Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie hängen Kraft und Weg bei einer Feder zusammen? - Achte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Kraftfunktion und der verrichteten Arbeit in der Integralrechnung. - Überlege, welche Integrationsgrenzen für die jeweilige Teilaufgabe relevant sind.

1. Berechnung der Federkonstante \(D\): Aus \(F = D \cdot s\) folgt mit \(F = 15\,\text{N}\) und \(s = 0{,}06\,\text{m}\) der Wert \(D = \frac{15\,\text{N}}{0{,}06\,\text{m}} = 250\,\text{N/m}\). 2. Berechnung der Arbeit für \(10\,\text{cm}\): Die Arbeit \(W\) entspricht dem Integral der Kraftfunktion \(F(s) = 250s\). Es gilt \(W = \int_{0}^{0{,}1} 250s \, ds = [125s^2]_{0}^{0{,}1} = 125 \cdot 0{,}1^2 - 0 = 1{,}25\,\text{J}\). 3. Berechnung der zusätzlichen Arbeit für das Intervall \([10\,\text{cm}; 20\,\text{cm}]\): Hierfür wird das Integral von \(0{,}1\,\text{m}\) bis \(0{,}2\,\text{m}\) berechnet: \(W_{zusatz} = \int_{0{,}1}^{0{,}2} 250s \, ds = [125s^2]_{0{,}1}^{0{,}2} = 125 \cdot (0{,}04 - 0{,}01) = 125 \cdot 0{,}03 = 3{,}75\,\text{J}\).

a) \(D = 250\,\text{N/m}\) b) \(W = 1{,}25\,\text{J}\) c) \(W_{zusatz} = 3{,}75\,\text{J}\)

- Wie hängen die Bestandsänderung und die Änderungsrate mathematisch zusammen? - Welches Werkzeug hilft dir, den Durchschnittswert einer Funktion über ein Intervall zu berechnen? - Überlege dir, was ein negatives Vorzeichen der Änderungsrate für das Gesamtvolumen bedeutet. - Wann hört das Volumen auf zu sinken und beginnt wieder zu steigen?

1. Berechnung der gesamten Volumenänderung durch das Integral der Rate über das Intervall \([0; 4]\): \(\int_0^4 (-0{,}1t^3 + 0{,}6t^2 - 0{,}8t) \, dt = [-0{,}025t^4 + 0{,}2t^3 - 0{,}4t^2]_0^4\). Einsetzen der Grenzen: \((-0{,}025 \cdot 256 + 0{,}2 \cdot 64 - 0{,}4 \cdot 16) - 0 = -6{,}4 + 12{,}8 - 6{,}4 = 0\). Die gesamte Volumenänderung beträgt \(0\,\text{m}^3\). 2. Bestimmung der durchschnittlichen Rate über \([0; 2]\) mithilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung: \(\bar{m} = \frac{1}{2-0} \int_0^2 f(t) \, dt = \frac{1}{2} [-0{,}025t^4 + 0{,}2t^3 - 0{,}4t^2]_0^2 = \frac{1}{2} (-0{,}025 \cdot 16 + 0{,}2 \cdot 8 - 0{,}4 \cdot 4) = \frac{1}{2} (-0{,}4 + 1{,}6 - 1{,}6) = -0{,}2\). Die durchschnittliche Rate beträgt \(-0{,}2 \cdot 100\,\text{m}^3/\text{h} = -20\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f(t)\): Nullstellen liegen bei \(t_1=0\), \(t_2=2\) und \(t_3=4\). Für \(0 < t < 2\) ist \(f(t) < 0\) (Abfluss), für \(2 < t < 4\) ist \(f(t) > 0\) (Zufluss). Da das Volumen bis \(t=2\) abnimmt und danach wieder zunimmt, ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t=2\,\text{h}\) minimal.

a) Die Volumenänderung beträgt \(0\,\text{m}^3\). b) Die durchschnittliche Rate beträgt \(-20\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Das Volumen ist zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{h}\) minimal.

- Wie berechnet man die akkumulierte Menge aus einer gegebenen Rate? - Was gibt der Mittelwert einer Funktion anschaulich an? - Teile das Zeitintervall in zwei Abschnitte und berechne für jeden die entsprechende Fläche unter dem Graphen.

1. Berechnung der Gesamtmenge über das Integral: \(\int_0^{10} (-0{,}01t^3 + 0{,}12t^2 + 0{,}5) \, dt = [-0{,}0025t^4 + 0{,}04t^3 + 0{,}5t]_0^{10}\). Einsetzen der Grenzen: \(-0{,}0025 \cdot 10\,000 + 0{,}04 \cdot 1\,000 + 0{,}5 \cdot 10 = -25 + 40 + 5 = 20\). Die Gesamtmenge beträgt \(20\,\text{kg}\). 2. Durchschnittliche Emissionsrate \(\bar{E} = \frac{1}{10-0} \cdot 20 = 2\,\text{kg}/\text{h}\). 3. Berechnung der Teilmengen: Für \(t \in [0; 5]\): \(F(5) - F(0) = -0{,}0025 \cdot 625 + 0{,}04 \cdot 125 + 0{,}5 \cdot 5 = -1{,}5625 + 5 + 2{,}5 = 5{,}9375\,\text{kg}\). Für \(t \in [5; 10]\): \(F(10) - F(5) = 20 - 5{,}9375 = 14{,}0625\,\text{kg}\). In der zweiten Hälfte wird mit ca. \(14{,}06\,\text{kg}\) deutlich mehr Schadstoff freigesetzt als in der ersten Hälfte (ca. \(5{,}94\,\text{kg}\)).

a) Es werden insgesamt \(20\,\text{kg}\) Schadstoff freigesetzt. b) Die durchschnittliche Emissionsrate beträgt \(2\,\text{kg}/\text{h}\). c) In der ersten Hälfte werden \(5{,}9375\,\text{kg}\) und in der zweiten Hälfte \(14{,}0625\,\text{kg}\) freigesetzt.

- Wie hängen eine Änderungsrate und der Gesamtbestand mathematisch zusammen? - Welche Formel hilft dir, den Durchschnittswert einer Funktion über ein bestimmtes Intervall zu berechnen? - Erinnerst du dich an das Verfahren zur Bestimmung von Extrempunkten bei Funktionen mit \(e\)-Termen? - Achte bei der Integration darauf, ob du eine Stammfunktion direkt bilden kannst oder ein spezielles Verfahren wie die partielle Integration benötigst.

1. Berechnung der Gesamtmenge durch Integration der Produktionsrate: \(\int_{0}^{6} 50t \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t\). Mittels partieller Integration oder Stammfunktion \(F(t) = -100(t+2)e^{-0{,}5t}\) ergibt sich \(\left[ -100(t+2)e^{-0{,}5t} \right]_{0}^{6} = -800e^{-3} - (-200) \approx 160{,}17\). In den ersten 6 Stunden wurden ca. \(160{,}17\,\text{g}\) produziert. 2. Berechnung der durchschnittlichen Produktionsrate über den Mittelwert der Funktion im Intervall \([0; 10]\): \(\bar{m} = \frac{1}{10-0} \int_{0}^{10} 50t \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t\). Das Integral liefert \(\left[ -100(t+2)e^{-0{,}5t} \right]_{0}^{10} = -1200e^{-5} + 200 \approx 191{,}91\). Der Durchschnittswert beträgt \(\frac{191{,}91}{10} \approx 19{,}19\,\text{g/h}\). 3. Bestimmung des Maximums von \(f(t)\) durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(f'(t) = 50e^{-0{,}5t} - 25te^{-0{,}5t} = 25e^{-0{,}5t}(2-t)\). Die Bedingung \(f'(t) = 0\) liefert \(t = 2\). Die zweite Ableitung erfüllt \(f''(2) < 0\) und bestätigt das Maximum. Die maximale Produktionsrate zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{h}\) beträgt \(f(2) = 100e^{-1} \approx 36{,}79\,\text{g/h}\).

a) Es wurden ca. \(160{,}17\,\text{g}\) Wirkstoff produziert. b) Die durchschnittliche Produktionsrate beträgt ca. \(19{,}19\,\text{g/h}\). c) Die Produktionsrate ist nach \(2\,\text{Stunden}\) am höchsten und beträgt dort ca. \(36{,}79\,\text{g/h}\).

- Wenn eine Funktion eine Änderungsrate (wie Liter pro Minute) angibt, wie kommt man dann auf die Gesamtänderung in einem Zeitraum? - Was bedeutet die Fläche unter dem Graphen der Zuflussrate physikalisch? - Achte beim Integrieren der Sinusfunktion auf die Kettenregel (innere Ableitung). - Wie unterscheidet sich die "Änderung des Bestands" vom "tatsächlichen Bestand" zu einem bestimmten Zeitpunkt?

1. Das zugeflossene Volumen entspricht dem Integral der Zuflussrate: \(V_{zu} = \int_{0}^{4} \left(40 \sin\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 50\right) \, dt\). 2. Stammfunktion bilden: \(G(t) = -\frac{160}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 50t\). 3. Berechnung für a): \(G(4) - G(0) = \left(-\frac{160}{\pi} \cos(\pi) + 200\right) - \left(-\frac{160}{\pi} \cos(0) + 0\right) = \frac{160}{\pi} + 200 + \frac{160}{\pi} = \frac{320}{\pi} + 200 \approx 301{,}86\,\text{l}\). 4. Berechnung für b): Der Bestand ist \(B(6) = B(0) + \int_{0}^{6} g(t) \, dt\). 5. Integral berechnen: \(\int_{0}^{6} g(t) \, dt = \left[-\frac{160}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 50t\right]_{0}^{6} = \left(-\frac{160}{\pi} \cos(1{,}5\pi) + 300\right) - \left(-\frac{160}{\pi} \cdot 1\right) = 0 + 300 + \frac{160}{\pi} = 300 + \frac{160}{\pi} \approx 350{,}93\,\text{l}\). 6. Gesamtbestand: \(200 + 350{,}93 = 550{,}93\,\text{l}\).

a) In den ersten 4 Minuten fließen ca. \(301{,}86\,\text{l}\) Wasser zu. b) Nach 6 Minuten befinden sich ca. \(550{,}93\,\text{l}\) Wasser im Becken.

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, um einen Ausdruck aus einem Polynom und einer Exponentialfunktion abzuleiten? - Wo berührt der Querschnitt den Boden? Diese Stellen sind deine Integrationsgrenzen. - Wie berechnet man das Volumen eines prismatischen Körpers aus seiner Querschnittsfläche und seiner Länge?

1. Nachweis der Stammfunktion: Die Ableitung von \(F(x) = (0{,}5x^2 + 2x - 4) \cdot e^{-0{,}5x}\) erfolgt mit der Produkt- und Kettenregel: \(F'(x) = (x + 2) \cdot e^{-0{,}5x} + (0{,}5x^2 + 2x - 4) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5x}\) \(F'(x) = (x + 2 - 0{,}25x^2 - x + 2) \cdot e^{-0{,}5x} = (4 - 0{,}25x^2) \cdot e^{-0{,}5x} = f(x)\). 2. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(4 - 0{,}25x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = -4, x_2 = 4\). 3. Berechnung der Querschnittsfläche: \(A = \int_{-4}^{4} f(x) \, \text{d}x = [F(x)]_{-4}^{4} = F(4) - F(-4)\). \(F(4) = (0{,}5 \cdot 16 + 2 \cdot 4 - 4) \cdot e^{-2} = 12e^{-2} \approx 1{,}624\). \(F(-4) = (0{,}5 \cdot 16 + 2 \cdot (-4) - 4) \cdot e^{2} = -4e^2 \approx -29{,}556\). \(A = 12e^{-2} - (-4e^2) = 12e^{-2} + 4e^2 \approx 31{,}18\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Länge: Aus \(V = A \cdot L\) folgt \(L = \frac{V}{A} = \frac{1800}{31{,}18} \approx 57{,}73\). Die Länge beträgt ca. \(57{,}7\,\text{m}\).

a) Der Nachweis erfolgt durch Ableiten von \(F(x)\) mittels Produktregel, was \(f(x)\) ergibt. b) Die Länge des Walls beträgt ca. \(57{,}7\,\text{m}\).

- Kannst du die gegebene Arbeit als ein bestimmtes Integral ausdrücken, in dem die Federkonstante als Parameter vorkommt? - Denke an die Umrechnung von Zentimetern in Meter, damit die Einheiten zur Arbeit in Joule (Newtonmeter) passen. - Wenn du die Federkonstante erst einmal hast, lässt sich die Kraft für jede beliebige Dehnung einfach bestimmen.

1. Aufstellen des Arbeitsintegrals: Die Arbeit ist gegeben durch \(W = \int_{a}^{b} D \cdot s \, ds = \frac{1}{2} D \cdot (b^2 - a^2)\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: Mit \(W = 0{,}72\,\text{J}\), \(a = 0{,}04\,\text{m}\) und \(b = 0{,}08\,\text{m}\) ergibt sich die Gleichung \(0{,}72 = \frac{1}{2} D \cdot (0{,}08^2 - 0{,}04^2)\). 3. Auflösen nach \(D\): \(0{,}72 = 0{,}5 \cdot D \cdot (0{,}0064 - 0{,}0016) = 0{,}0024 \cdot D\). Daraus folgt \(D = \frac{0{,}72}{0{,}0024} = 300\,\text{N/m}\). 4. Berechnung der Kraft bei \(15\,\text{cm}\): Mit \(s = 0{,}15\,\text{m}\) ergibt sich \(F(0{,}15) = 300\,\text{N/m} \cdot 0{,}15\,\text{m} = 45\,\text{N}\).

a) \(D = 300\,\text{N/m}\) b) \(F = 45\,\text{N}\)

- Überlege dir, wie der physikalische Zusammenhang zwischen Kraft, Weg und Arbeit mathematisch durch ein Integral dargestellt wird. - Erinnere dich an die Potenzregel für das Integrieren von Funktionen der Form \(f(x) = x^n\). - Achte beim Einsetzen der oberen Grenze \(3a\) darauf, den gesamten Ausdruck korrekt zu potenzieren. - Versuche, das Ergebnis so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Aufstellen des Integrals für die Arbeit: \(W = \int_{a}^{3a} c \cdot s^2 \, ds\) 2. Bestimmung der Stammfunktion der Kraftfunktion: \(\int c \cdot s^2 \, ds = \frac{c}{3} s^3\) 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung durch Einsetzen der Grenzen: \(\left[ \frac{c}{3} s^3 \right]_{a}^{3a} = \frac{c}{3} (3a)^3 - \frac{c}{3} a^3\) 4. Vereinfachung des Ausdrucks: \(\frac{c}{3} \cdot 27a^3 - \frac{c}{3} a^3 = 9ca^3 - \frac{1}{3}ca^3 = \frac{26}{3} c a^3\)

\(W = \frac{26}{3} c a^3\)

- Nutze zuerst die Information über die Kraft an der Stelle \(0\), um eine der Unbekannten direkt zu finden. - Wie berechnet man die Fläche unter der Kraft-Weg-Kurve, wenn diese Arbeit darstellt? - Stelle eine Gleichung auf, in der die verrichtete Arbeit als Integral vorkommt. - Setze die bekannten Werte in deine berechnete Stammfunktion ein, um eine einfache lineare Gleichung für die verbleibende Konstante zu erhalten.

1. Nutzung der ersten Bedingung zur Bestimmung von \(d\): \(F(0) = k \cdot 0 + d = 10\), woraus direkt \(d = 10\) folgt. 2. Aufstellen des Integrals für die Arbeit mit dem bekannten Wert für \(d\): \(W = \int_{0}^{4} (k \cdot s + 10) \, ds\). 3. Berechnung des Integrals in Abhängigkeit von \(k\): \(\left[ \frac{k}{2} s^2 + 10s \right]_{0}^{4} = \left( \frac{k}{2} \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 \right) - 0 = 8k + 40\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Arbeitswert und Lösen der Gleichung nach \(k\): \(8k + 40 = 80 \implies 8k = 40 \implies k = 5\).

\(k = 5\) und \(d = 10\)

- Überlege dir zuerst, von welchem Startwert bis zu welchem Endwert der Abstand zum Mittelpunkt des Himmelskörpers verläuft. - Wie hängen Kraft, Weg und Arbeit mathematisch zusammen, wenn die Kraft vom Ort abhängt? - Achte beim Einsetzen der Werte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen. - Die Stammfunktion von \(\frac{1}{r^2}\) ist ein wichtiger Baustein für die Lösung.

1. Aufstellen des Integrals für die Arbeit: Die Arbeit entspricht dem Integral der Kraft über den Weg, wobei der Abstand \(r\) vom Mondmittelpunkt von \(r_1 = r_M\) bis \(r_2 = r_M + h\) verläuft. Mit \(h = 1738\,\text{km}\) ergibt sich \(r_1 = 1{,}738 \cdot 10^6\,\text{m}\) und \(r_2 = 3{,}476 \cdot 10^6\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(W = \int_{r_1}^{r_2} G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} \, dr = G \cdot M \cdot m \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2}\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(W = G \cdot M \cdot m \cdot \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)\). Da \(r_2 = 2 \cdot r_1\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(W = \frac{G \cdot M \cdot m}{2 \cdot r_M}\). 4. Numerische Berechnung: \(W = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}348 \cdot 10^{22} \cdot 400}{2 \cdot 1{,}738 \cdot 10^6} \approx 5{,}643 \cdot 10^8\,\text{J}\).

Die erforderliche Arbeit beträgt ca. \(5{,}643 \cdot 10^8\,\text{J}\) (bzw. \(564{,}3\,\text{MJ}\)).

- Welche Symmetrie liegt vor und welche Potenzen von \(x\) kommen daher im Funktionsterm vor? - Wie kannst du die Information über den Ursprung und die Nullstelle nutzen, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren? - Was bedeutet es für das Vorzeichen der Funktion, wenn die Fläche im ersten Quadranten liegt? - Wie hängen der Flächeninhalt und das bestimmte Integral zusammen?

1. Da die Funktion vierten Grades achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist und durch den Ursprung verläuft, lautet der Ansatz \(f(x) = ax^4 + bx^2\). 2. Aus der Nullstelle bei \(x = 3\) folgt \(f(3) = 0\), also \(81a + 9b = 0\), woraus \(b = -9a\) resultiert. Der Funktionsterm ist somit \(f(x) = ax^4 - 9ax^2\). 3. Da die Fläche im ersten Quadranten liegt, muss \(f(x) \ge 0\) für \(0 \le x \le 3\) gelten. Das Integral der Funktion in den Grenzen von \(0\) bis \(3\) wird mit dem Flächeninhalt gleichgesetzt: \(\int_{0}^{3} (ax^4 - 9ax^2) \, dx = 16{,}2\). 4. Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{a}{5}x^5 - 3ax^3\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(3) - F(0) = \frac{243}{5}a - 81a = 48{,}6a - 81a = -32{,}4a\). 5. Aus \(-32{,}4a = 16{,}2\) ergibt sich \(a = -0{,}5\). 6. Durch Einsetzen von \(a\) in \(b = -9a\) erhält man \(b = 4{,}5\). Der gesuchte Funktionsterm ist \(f(x) = -0{,}5x^4 + 4{,}5x^2\).

\(f(x) = -0{,}5x^4 + 4{,}5x^2\)

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen einer zeitabhängigen Rate (Leistung) und dem daraus resultierenden Gesamtbestand (Energie). - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, den Gesamteffekt einer sich ändernden Größe über ein Zeitintervall zu bestimmen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Funktion über einen bestimmten Bereich? - Achte auf die Einheiten: Wie hängen Kilowatt und Kilowattstunden zusammen?

1. Berechnung der Gesamtenergie als Integral der Leistung über das Zeitintervall \([0; 6]\): \(\int_{0}^{6} (-t^2 + 12t) \, dt\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 6t^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(6) - F(0) = (-\frac{1}{3} \cdot 6^3 + 6 \cdot 6^2) - 0 = -72 + 216 = 144\). Die Energie beträgt \(144\,\text{kWh}\). 2. Anwendung der Mittelwertformel für Integrale: \(\bar{P} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} P(t) \, dt\). Einsetzen der Werte: \(\frac{1}{12-0} \int_{0}^{12} (-t^2 + 12t) \, dt\). Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{3}t^3 + 6t^2]_{0}^{12} = (-\frac{1}{3} \cdot 1728 + 6 \cdot 144) - 0 = -576 + 864 = 288\). Division durch die Intervallbreite: \(\frac{288}{12} = 24\). Die durchschnittliche Leistung beträgt \(24\,\text{kW}\).

1. Die erzeugte Energie beträgt \(144\,\text{kWh}\). 2. Die durchschnittliche Leistungsabgabe beträgt \(24\,\text{kW}\).

- Überlege dir, wie du aus einer Rate (Volumen pro Zeit) eine Gesamtmenge (Volumen) berechnen kannst. - Was sagt die zweite Ableitung über das Steigungsverhalten (Zunahme/Abnahme) der ursprünglichen Funktion aus? - Kannst du die Stammfunktion schrittweise durch partielle Integration finden oder kennst du eine allgemeine Form für Funktionen des Typs \(p(x) \cdot e^{ax}\)? - Vergewissere dich, dass du den Unterschied zwischen der Rate selbst und der Änderung der Rate berücksichtigst.

1. Berechnung des Volumens als Integral der Rate: \(V = \int_{0}^{12} (100t^2 e^{-0{,}2t} + 200) \, \text{d}t\). Eine Stammfunktion des Teils \(100t^2 e^{-0{,}2t}\) ist \(G_{\text{part}}(t) = (-500t^2 - 5000t - 25\,000)e^{-0{,}2t}\). Damit ist \(G(t) = (-500t^2 - 5000t - 25\,000)e^{-0{,}2t} + 200t\). Auswertung: \(G(12)-G(0)=(-157\,000e^{-2{,}4}+2400)-(-25\,000) \approx 13\,157{,}28\). Das Volumen beträgt ca. \(13\,157{,}28\,\text{m}^3\). 2. Die mittlere Durchflussrate ist der Mittelwert \(\bar{g} = \frac{1}{18-6} \int_{6}^{18} g(t) \, \text{d}t\). Berechnung des Integrals über \([6; 18]\): \(G(18) - G(6) = (-277\,000e^{-3{,}6} + 3600) - (-73\,000e^{-1{,}2} + 1200) \approx 16\,818{,}51\). Der Mittelwert ist \(16\,818{,}51 : 12 \approx 1\,401{,}54\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Die stärkste Abnahme entspricht dem Minimum der ersten Ableitung \(g'\). Es gilt \(g'(t) = (200t - 20t^2)e^{-0{,}2t}\) und \(g''(t) = (4t^2 - 80t + 200)e^{-0{,}2t}\). Die Nullstellen von \(4t^2 - 80t + 200 = 0\) sind \(t_1 \approx 2{,}93\) und \(t_2 \approx 17{,}07\). Im fallenden Bereich nach dem Maximum bei \(t=10\) nimmt \(g'\) bei \(t \approx 17{,}07\,\text{h}\) seinen kleinsten Wert an. Dort nimmt die Durchflussrate am stärksten ab.

a) In den ersten 12 Stunden flossen ca. \(13\,157{,}28\,\text{m}^3\) Wasser vorbei. b) Die mittlere Durchflussrate beträgt ca. \(1\,401{,}54\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Die Durchflussrate nimmt nach ca. \(17{,}07\,\text{Stunden}\) am stärksten ab (Wendepunkt der Funktion im fallenden Bereich).

- Zur Verifizierung der Stammfunktion hilft die Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\). - Erinnere dich an die Definition des Mittelwerts einer Funktion über einem Intervall \([a; b]\). - Die Grenzen für das Integral findest du, indem du die Nullstellen der Profilfunktion berechnest. - Das Volumen ergibt sich aus der Fläche des Querschnitts multipliziert mit der Ausdehnung in die Tiefe.

1. Nachweis der Stammfunktion: Ableiten von \(F(x) = (2x^2 + 20x + 50) \cdot e^{-0{,}2x}\) mit der Produktregel: \(F'(x) = (4x + 20) \cdot e^{-0{,}2x} + (2x^2 + 20x + 50) \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x}\) \(F'(x) = (4x + 20 - 0{,}4x^2 - 4x - 10) \cdot e^{-0{,}2x} = (10 - 0{,}4x^2) \cdot e^{-0{,}2x} = f(x)\). 2. Integrationsgrenzen bestimmen: \(10 - 0{,}4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = -5, x_2 = 5\). Die Breite der Basis ist \(10\,\text{m}\). 3. Querschnittsfläche berechnen: \(A = \int_{-5}^{5} f(x) \, \text{d}x = F(5) - F(-5)\). \(F(5) = (2 \cdot 25 + 20 \cdot 5 + 50) \cdot e^{-1} = 200e^{-1} \approx 73{,}58\). \(F(-5) = (2 \cdot 25 + 20 \cdot (-5) + 50) \cdot e^{1} = 0 \cdot e^1 = 0\). \(A = 200e^{-1} - 0 \approx 73{,}58\,\text{m}^2\). 4. Mittlere Höhe: \(\bar{h} = \frac{1}{5 - (-5)} \cdot A = \frac{73{,}58}{10} = 7{,}358 \approx 7{,}36\,\text{m}\). 5. Volumen: \(V = A \cdot L = 200e^{-1} \cdot 50 = 10\,000e^{-1} \approx 3678{,}79\,\text{m}^3\).

a) Die Ableitung \(F'(x)\) entspricht \(f(x)\). b) Die mittlere Höhe beträgt ca. \(7{,}36\,\text{m}\). c) Das Volumen beträgt ca. \(3678{,}8\,\text{m}^3\).

- Was bedeutet „vollständig aus dem Einflussbereich entfernen“ für die obere Integrationsgrenze? - Erinnere dich daran, wie man ein Integral berechnet, bei dem eine Grenze unendlich ist. - Wandle alle Einheiten (Mikrocoulomb in Coulomb, Zentimeter in Meter) vor der Rechnung in das SI-System um. - Welche Stammfunktion benötigst du für einen Term der Form \(\frac{c}{r^2}\)?

1. Modellierung als uneigentliches Integral: Da die Ladung bis ins Unendliche entfernt wird, lautet der Ansatz für die Arbeit \(W = \int_{r_0}^{\infty} k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \, dr\). 2. Berechnung des Grenzwerts: \(W = \lim_{b \to \infty} \int_{r_0}^{b} k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot r^{-2} \, dr = k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_0}^{b}\). 3. Auswertung der Stammfunktion: \(\lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{r_0}) \right) = 0 + \frac{1}{r_0} = \frac{1}{r_0}\). Somit gilt \(W = \frac{k \cdot Q_1 \cdot Q_2}{r_0}\). 4. Einsetzen der Werte: Mit \(Q_1 = 5 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\), \(Q_2 = 2 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\) und \(r_0 = 0{,}1\,\text{m}\) ergibt sich \(W = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9}}{0{,}1} = \frac{8{,}99}{0{,}1} = 89{,}9\,\text{J}\).

Das elektrische Feld verrichtet eine Arbeit von \(89{,}9\,\text{J}\).

- Welche mathematischen Bedingungen leiten sich aus der Existenz eines Extrempunktes im Ursprung ab? - Wie hilft dir die Nullstelle bei \(x = 4\), eine Beziehung zwischen den verbleibenden Koeffizienten herzustellen? - In welchem Quadranten liegt die Fläche? Was sagt das über das Vorzeichen der Funktionswerte in diesem Bereich aus? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Bedingung für einen Tiefpunkt (zweite Ableitung) tatsächlich erfüllt ist.

1. Ein Extrempunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f'(0) = 0\). Für eine Funktion dritten Grades \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) folgt daraus direkt \(d = 0\) und \(c = 0\). Der Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + bx^2\). 2. Die Bedingung für die Nullstelle \(f(4) = 0\) liefert \(64a + 16b = 0\), also \(b = -4a\). Damit ist \(f(x) = ax^3 - 4ax^2\). 3. Die Fläche im ersten Quadranten bedeutet, dass \(f(x) \ge 0\) für \(0 \le x \le 4\) gilt. Das Integral wird aufgestellt: \(\int_{0}^{4} (ax^3 - 4ax^2) \, \text{d}x = 32\). 4. Die Berechnung des Integrals ergibt \([\frac{a}{4}x^4 - \frac{4a}{3}x^3]_0^4 = 64a - \frac{256}{3}a = -\frac{64}{3}a\). 5. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt: \(-\frac{64}{3}a = 32 \implies a = -1{,}5\). 6. Daraus folgt \(b = -4 \cdot (-1{,}5) = 6\). Die Bedingung für den Tiefpunkt \(f''(0) > 0\) ist mit \(f''(x) = -9x + 12\) und \(f''(0) = 12\) erfüllt. 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\).

\(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in der Funktionsgleichung vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Nutze den Punkt auf der \(y\)-Achse, um das Absolutglied direkt zu bestimmen. - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf. Beachte dabei, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze die Symmetrie des Graphen, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen.

1. Ansatz aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Hochpunkt bei \((0|4{,}5)\): \(f(0) = 4{,}5 \implies e = 4{,}5\). Die Bedingung \(f'(0)=0\) ist durch die Symmetrie bereits erfüllt. Für einen Hochpunkt muss zusätzlich \(f''(0)=2c<0\) gelten; dies wird nach der Bestimmung von \(c\) geprüft. 3. Punkt \(P(3|0)\) einsetzen: \(f(3) = 81a + 9c + 4{,}5 = 0\). Umstellen nach \(c\) ergibt \(9c = -81a - 4{,}5\), also \(c = -9a - 0{,}5\). 4. Flächeninhalt über das Integral im Intervall \([-3; 3]\): Aufgrund der Symmetrie gilt \(2 \cdot \int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, \text{d}x = 16{,}2\), also \(\int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, \text{d}x = 8{,}1\). 5. Integration: \(\left[ \frac{a}{5}x^5 - \frac{9a+0{,}5}{3}x^3 + 4{,}5x \right]_0^3 = 48{,}6a - 9(9a+0{,}5) + 13{,}5 = 48{,}6a - 81a - 4{,}5 + 13{,}5 = -32{,}4a + 9\). 6. Gleichung lösen: \(-32{,}4a + 9 = 8{,}1 \implies -32{,}4a = -0{,}9 \implies a = \frac{1}{36}\). 7. Koeffizient \(c\) berechnen: \(c = -9 \cdot \frac{1}{36} - 0{,}5 = -0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}75\). Da \(f''(0)=2c=-1{,}5<0\), ist \(H(0|4{,}5)\) tatsächlich ein Hochpunkt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\).

\(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie lautet die Gleichung einer Tangente in einem Punkt mit waagerechter Steigung? - Wie berechnet man die Schnittstellen zwischen einer Funktion und ihrer Tangente? - Wie ist die Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen definiert? - Überlege dir, wie du die Koeffizienten der Funktion Schritt für Schritt aus den gegebenen Informationen bestimmen kannst.

1. Aus der Bedingung für den Sattelpunkt bei \(P(0|2)\) folgen \(f(0) = 2\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). 2. Einsetzen in \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) ergibt direkt \(d = 2\), \(c = 0\) und \(2b = 0\), also \(b = 0\). Die Funktion lautet somit \(f(x) = x^4 + ax^3 + 2\). 3. Die Tangente \(t\) im Sattelpunkt \(P(0|2)\) ist eine waagerechte Gerade mit der Gleichung \(t(x) = 2\). 4. Zur Flächenberechnung werden die Schnittpunkte von \(f\) und \(t\) bestimmt: \(x^4 + ax^3 + 2 = 2 \implies x^3(x + a) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -a\). 5. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = \left| \int_{0}^{-a} (f(x) - t(x)) \, \text{d}x \right| = \left| \int_{0}^{-a} (x^4 + ax^3) \, \text{d}x \right| = \left| \left[ \frac{1}{5}x^5 + \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{-a} \right|\). 6. Auswerten des Integrals liefert \(A = \left| -\frac{1}{5}a^5 + \frac{1}{4}a^5 \right| = \left| \frac{1}{20}a^5 \right|\). 7. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{20}|a|^5 = 51{,}2 \implies |a|^5 = 1024\). Da \(4^5 = 1024\), folgt \(|a| = 4\). 8. Ein Sattelpunkt erfordert zusätzlich \(f'''(0) \neq 0\). Mit \(f'''(x) = 24x + 6a\) ist \(f'''(0) = 6a\). Für \(a = 4\) oder \(a = -4\) ist dies erfüllt. Beide Werte für \(a\) führen zu einer gültigen Funktion.

Die möglichen Funktionsterme sind \(f(x) = x^4 + 4x^3 + 2\) und \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2\).