Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie hängen Kraft und Weg bei einer Feder zusammen? - Achte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Kraftfunktion und der verrichteten Arbeit in der Integralrechnung. - Überlege, welche Integrationsgrenzen für die jeweilige Teilaufgabe relevant sind.

1. Berechnung der Federkonstante \(D\): Aus \(F = Ds\) folgt mit \(F = 15\,\text{N}\) und \(s = 0{,}06\,\text{m}\) der Wert \(D = \frac{15\,\text{N}}{0{,}06\,\text{m}} = 250\,\text{N/m}\). 2. Berechnung der Arbeit für \(10\,\text{cm}\): Die Arbeit \(W\) entspricht dem Integral der Kraftfunktion \(F(s) = 250s\). Es gilt \(W = \int_{0}^{0{,}1} 250s \, ds = [125s^2]_{0}^{0{,}1} = 125 \cdot 0{,}1^2 - 0 = 1{,}25\,\text{J}\). 3. Berechnung der zusätzlichen Arbeit für das Intervall \([10\,\text{cm}; 20\,\text{cm}]\): Hierfür wird das Integral von \(0{,}1\,\text{m}\) bis \(0{,}2\,\text{m}\) berechnet: \(W_{zusatz} = \int_{0{,}1}^{0{,}2} 250s \, ds = [125s^2]_{0{,}1}^{0{,}2} = 125 \cdot (0{,}04 - 0{,}01) = 125 \cdot 0{,}03 = 3{,}75\,\text{J}\).

a) \(D = 250\,\text{N/m}\) b) \(W = 1{,}25\,\text{J}\) c) \(W_{zusatz} = 3{,}75\,\text{J}\)

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen einer zeitabhängigen Rate (Leistung) und dem daraus resultierenden Gesamtbestand (Energie). - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, den Gesamteffekt einer sich ändernden Größe über ein Zeitintervall zu bestimmen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Funktion über einen bestimmten Bereich? - Achte auf die Einheiten: Wie hängen Kilowatt und Kilowattstunden zusammen?

1. Berechnung der Gesamtenergie als Integral der Leistung über das Zeitintervall \([0; 6]\): \(\int_{0}^{6} (-t^2 + 12t) \, dt\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 6t^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(6) - F(0) = (-\frac{1}{3} \cdot 6^3 + 6 \cdot 6^2) - 0 = -72 + 216 = 144\). Die Energie beträgt \(144\,\text{kWh}\). 2. Anwendung der Mittelwertformel für Integrale: \(\bar{P} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} P(t) \, dt\). Einsetzen der Werte: \(\frac{1}{12-0} \int_{0}^{12} (-t^2 + 12t) \, dt\). Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{3}t^3 + 6t^2]_{0}^{12} = (-\frac{1}{3} \cdot 1728 + 6 \cdot 144) - 0 = -576 + 864 = 288\). Division durch die Intervallbreite: \(\frac{288}{12} = 24\). Die durchschnittliche Leistung beträgt \(24\,\text{kW}\).

1. Die erzeugte Energie beträgt \(144\,\text{kWh}\). 2. Die durchschnittliche Leistungsabgabe beträgt \(24\,\text{kW}\).

- Wie hängen die Bestandsänderung und die Änderungsrate mathematisch zusammen? - Welches Werkzeug hilft dir, den Durchschnittswert einer Funktion über ein Intervall zu berechnen? - Überlege dir, was ein negatives Vorzeichen der Änderungsrate für das Gesamtvolumen bedeutet. - Wann hört das Volumen auf zu sinken und beginnt wieder zu steigen?

1. Berechnung der gesamten Volumenänderung durch das Integral der Rate über das Intervall \([0; 4]\): \(\int_0^4 (-0{,}1t^3 + 0{,}6t^2 - 0{,}8t) \, dt = [-0{,}025t^4 + 0{,}2t^3 - 0{,}4t^2]_0^4\). Einsetzen der Grenzen: \((-0{,}025 \cdot 256 + 0{,}2 \cdot 64 - 0{,}4 \cdot 16) - 0 = -6{,}4 + 12{,}8 - 6{,}4 = 0\). Die gesamte Volumenänderung beträgt \(0\,\text{m}^3\). 2. Bestimmung der durchschnittlichen Rate über \([0; 2]\) mithilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung: \(\bar{m} = \frac{1}{2-0} \int_0^2 f(t) \, dt = \frac{1}{2} [-0{,}025t^4 + 0{,}2t^3 - 0{,}4t^2]_0^2 = \frac{1}{2} (-0{,}025 \cdot 16 + 0{,}2 \cdot 8 - 0{,}4 \cdot 4) = \frac{1}{2} (-0{,}4 + 1{,}6 - 1{,}6) = -0{,}2\). Die durchschnittliche Rate beträgt \(-0{,}2 \cdot 100\,\text{m}^3/\text{h} = -20\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f(t)\): Nullstellen liegen bei \(t_1=0\), \(t_2=2\) und \(t_3=4\). Für \(0 < t < 2\) ist \(f(t) < 0\) (Abfluss), für \(2 < t < 4\) ist \(f(t) > 0\) (Zufluss). Da das Volumen bis \(t=2\) abnimmt und danach wieder zunimmt, ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t=2\,\text{h}\) minimal.

a) Die Volumenänderung beträgt \(0\,\text{m}^3\). b) Die durchschnittliche Rate beträgt \(-20\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Das Volumen ist zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{h}\) minimal.

- Wie berechnet man die akkumulierte Menge aus einer gegebenen Rate? - Was gibt der Mittelwert einer Funktion anschaulich an? - Teile das Zeitintervall in zwei Abschnitte und berechne für jeden die entsprechende Fläche unter dem Graphen.

1. Berechnung der Gesamtmenge über das Integral: \(\int_0^{10} (-0{,}01t^3 + 0{,}12t^2 + 0{,}5) \,\text{d}t = [-0{,}0025t^4 + 0{,}04t^3 + 0{,}5t]_0^{10}\). Einsetzen der Grenzen: \(-0{,}0025 \cdot 10\,000 + 0{,}04 \cdot 1000 + 0{,}5 \cdot 10 = -25 + 40 + 5 = 20\). Die Gesamtmenge beträgt \(20\,\text{kg}\). 2. Durchschnittliche Emissionsrate \(\bar{E} = \frac{1}{10-0} \cdot 20 = 2\,\text{kg}/\text{h}\). 3. Berechnung der Teilmengen: Für \(t \in [0; 5]\): \(F(5) - F(0) = -0{,}0025 \cdot 625 + 0{,}04 \cdot 125 + 0{,}5 \cdot 5 = -1{,}5625 + 5 + 2{,}5 = 5{,}9375\,\text{kg}\). Für \(t \in [5; 10]\): \(F(10) - F(5) = 20 - 5{,}9375 = 14{,}0625\,\text{kg}\). In der zweiten Hälfte wird mit ca. \(14{,}06\,\text{kg}\) deutlich mehr Schadstoff freigesetzt als in der ersten Hälfte (ca. \(5{,}94\,\text{kg}\)).

a) Es werden insgesamt \(20\,\text{kg}\) Schadstoff freigesetzt. b) Die durchschnittliche Emissionsrate beträgt \(2\,\text{kg}/\text{h}\). c) In der ersten Hälfte werden \(5{,}9375\,\text{kg}\) und in der zweiten Hälfte \(14{,}0625\,\text{kg}\) freigesetzt.

- Wenn eine Funktion eine Änderungsrate (wie Liter pro Minute) angibt, wie kommt man dann auf die Gesamtänderung in einem Zeitraum? - Was bedeutet die Fläche unter dem Graphen der Zuflussrate physikalisch? - Achte beim Integrieren der Sinusfunktion auf die Kettenregel (innere Ableitung). - Wie unterscheidet sich die "Änderung des Bestands" vom "tatsächlichen Bestand" zu einem bestimmten Zeitpunkt?

1. Das zugeflossene Volumen entspricht dem Integral der Zuflussrate: \(V_{zu} = \int_{0}^{4} \left(40 \sin\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 50\right) \, dt\). 2. Stammfunktion bilden: \(G(t) = -\frac{160}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 50t\). 3. Berechnung für a): \(G(4) - G(0) = \left(-\frac{160}{\pi} \cos(\pi) + 200\right) - \left(-\frac{160}{\pi} \cos(0) + 0\right) = \frac{160}{\pi} + 200 + \frac{160}{\pi} = \frac{320}{\pi} + 200 \approx 301{,}86\,\text{l}\). 4. Berechnung für b): Der Bestand ist \(B(6) = B(0) + \int_{0}^{6} g(t) \, dt\). 5. Integral berechnen: \(\int_{0}^{6} g(t) \, dt = \left[-\frac{160}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 50t\right]_{0}^{6} = \left(-\frac{160}{\pi} \cos(1{,}5\pi) + 300\right) - \left(-\frac{160}{\pi} \cdot 1\right) = 0 + 300 + \frac{160}{\pi} = 300 + \frac{160}{\pi} \approx 350{,}93\,\text{l}\). 6. Gesamtbestand: \(200 + 350{,}93 = 550{,}93\,\text{l}\).

a) In den ersten 4 Minuten fließen ca. \(301{,}86\,\text{l}\) Wasser zu. b) Nach 6 Minuten befinden sich ca. \(550{,}93\,\text{l}\) Wasser im Becken.

- Kannst du die gegebene Arbeit als ein bestimmtes Integral ausdrücken, in dem die Federkonstante als Parameter vorkommt? - Denke an die Umrechnung von Zentimetern in Meter, damit die Einheiten zur Arbeit in Joule (Newtonmeter) passen. - Wenn du die Federkonstante erst einmal hast, lässt sich die Kraft für jede beliebige Dehnung einfach bestimmen.

1. Aufstellen des Arbeitsintegrals: Die Arbeit ist gegeben durch \(W = \int_{a}^{b} Ds \, ds = \frac{1}{2} D(b^2 - a^2)\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: Mit \(W = 0{,}72\,\text{J}\), \(a = 0{,}04\,\text{m}\) und \(b = 0{,}08\,\text{m}\) ergibt sich die Gleichung \(0{,}72 = \frac{1}{2} D(0{,}08^2 - 0{,}04^2)\). 3. Auflösen nach \(D\): \(0{,}72 = 0{,}5D(0{,}0064 - 0{,}0016) = 0{,}0024D\). Daraus folgt \(D = \frac{0{,}72}{0{,}0024} = 300\,\text{N/m}\). 4. Berechnung der Kraft bei \(15\,\text{cm}\): Mit \(s = 0{,}15\,\text{m}\) ergibt sich \(F(0{,}15) = 300\,\text{N/m} \cdot 0{,}15\,\text{m} = 45\,\text{N}\).

a) \(D = 300\,\text{N/m}\) b) \(F = 45\,\text{N}\)

- Überlege dir, wie der physikalische Zusammenhang zwischen Kraft, Weg und Arbeit mathematisch durch ein Integral dargestellt wird. - Erinnere dich an die Potenzregel für das Integrieren von Funktionen der Form \(f(x) = x^n\). - Achte beim Einsetzen der oberen Grenze \(3a\) darauf, den gesamten Ausdruck korrekt zu potenzieren. - Versuche, das Ergebnis so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Aufstellen des Integrals für die Arbeit: \(W = \int_{a}^{3a} cs^2 \, ds\) 2. Bestimmung der Stammfunktion der Kraftfunktion: \(\int cs^2 \, ds = \frac{c}{3} s^3\) 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung durch Einsetzen der Grenzen: \(\left[ \frac{c}{3} s^3 \right]_{a}^{3a} = \frac{c}{3} (3a)^3 - \frac{c}{3} a^3\) 4. Vereinfachung des Ausdrucks: \(\frac{c}{3} \cdot 27a^3 - \frac{c}{3} a^3 = 9ca^3 - \frac{1}{3}ca^3 = \frac{26}{3} c a^3\)

\(W = \frac{26}{3} c a^3\)

- Nutze zuerst die Information über die Kraft an der Stelle \(0\), um eine der Unbekannten direkt zu finden. - Wie berechnet man die Fläche unter der Kraft-Weg-Kurve, wenn diese Arbeit darstellt? - Stelle eine Gleichung auf, in der die verrichtete Arbeit als Integral vorkommt. - Setze die bekannten Werte in deine berechnete Stammfunktion ein, um eine einfache lineare Gleichung für die verbleibende Konstante zu erhalten.

1. Nutzung der ersten Bedingung zur Bestimmung von \(d\): \(F(0) = k0 + d = 10\), woraus direkt \(d = 10\,\text{N}\) folgt. 2. Aufstellen des Integrals für die Arbeit mit dem bekannten Wert für \(d\): \(W = \int_{0}^{4} (ks + 10) \, \text{d}s\). 3. Berechnung des Integrals in Abhängigkeit von \(k\): \(\left[ \frac{k}{2} s^2 + 10s \right]_{0}^{4} = \left( \frac{k}{2} \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 \right) - 0 = 8k + 40\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Arbeitswert und Lösen der Gleichung nach \(k\): \(8k + 40 = 80 \implies 8k = 40 \implies k = 5\,\text{N/m}\).

\(k = 5\,\text{N/m}\) und \(d = 10\,\text{N}\)

- Überlege dir zuerst, von welchem Startwert bis zu welchem Endwert der Abstand zum Mittelpunkt des Himmelskörpers verläuft. - Wie hängen Kraft, Weg und Arbeit mathematisch zusammen, wenn die Kraft vom Ort abhängt? - Achte beim Einsetzen der Werte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen. - Die Stammfunktion von \(\frac{1}{r^2}\) ist ein wichtiger Baustein für die Lösung.

1. Aufstellen des Integrals für die Arbeit: Die Arbeit entspricht dem Integral der Kraft über den Weg, wobei der Abstand \(r\) vom Mondmittelpunkt von \(r_1 = r_M\) bis \(r_2 = r_M + h\) verläuft. Mit \(h = 1738\,\text{km}\) ergibt sich \(r_1 = 1{,}738 \cdot 10^6\,\text{m}\) und \(r_2 = 3{,}476 \cdot 10^6\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(W = \int_{r_1}^{r_2} G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} \, dr = G \cdot M \cdot m \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2}\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(W = G \cdot M \cdot m \cdot \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)\). Da \(r_2 = 2 \cdot r_1\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(W = \frac{G \cdot M \cdot m}{2 \cdot r_M}\). 4. Numerische Berechnung: \(W = \frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}348 \cdot 10^{22} \cdot 400}{2 \cdot 1{,}738 \cdot 10^6} \approx 5{,}643 \cdot 10^8\,\text{J}\).

Die erforderliche Arbeit beträgt ca. \(5{,}643 \cdot 10^8\,\text{J}\) (bzw. \(564{,}3\,\text{MJ}\)).

- Überlege dir, welche mathematische Größe (Flächeninhalt, Steigung usw.) die Gesamtmenge des Wassers darstellt, wenn die Zuflussrate gegeben ist. - Wie viel Volumen entspricht einem einzelnen Kästchen im Gitter? Achte auf die Einheiten der Achsen. - Du kannst den Flächeninhalt schätzen, indem du die Kästchen unter der Kurve zählst oder die Fläche durch einfache geometrische Formen wie Rechtecke oder Trapeze annäherst. - Vergiss am Ende nicht, die berechnete Menge mit den Kosten pro Einheit zu multiplizieren.

1. Die zugeflossene Wassermenge entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([4; 12]\). Ein Gitterkästchen entspricht \(1\,\text{m}^3\). 2. Durch Kästchenzählen oder eine Trapezsumme erhält man näherungsweise \(57\,\text{m}^3\). Der Integralwert beträgt etwa \(57{,}04\,\text{m}^3\). 3. Die Reinigungskosten betragen damit ungefähr \(57{,}04\,\text{m}^3 \cdot 1{,}50\,\frac{\text{€}}{\text{m}^3} \approx 85{,}56\,\text{€}\).

Ein angemessener Näherungswert für die Reinigungskosten ist etwa \(86\,\text{€}\). Das zugehörige Wasservolumen beträgt ungefähr \(57\,\text{m}^3\).

- Wo schneiden sich die beiden Graphen? Das hilft dir bei Teil a). - Wie berechnet man das Volumen bei einer konstanten Durchflussrate? Denke an ein Rechteck. - Vergleiche bei Teil c) die Flächenstücke, in denen \(f\) oberhalb von \(g\) liegt, mit den Stücken, in denen \(g\) oberhalb von \(f\) liegt.

1. Zeitraum bestimmen: Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass \(f(t) > g(t)\) gilt, wenn der blaue Graph oberhalb der grünen Linie liegt. Dies ist im Intervall \(t \in (2{,}4; 7{,}6)\) der Fall (ungefähre Werte aus der Zeichnung). 2. Volumen Rohr 2: Da die Rate konstant \(5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) ist, ergibt sich über \(10\,\text{min}\) ein Volumen von \(V_g = 5 \cdot 10 = 50\,\text{L}\). 3. Volumen Rohr 1 (Schätzung): Das Integral \(\int_{0}^{10} 8e^{-0{,}07(t-5)^2} \,\text{d}t\) entspricht der Fläche unter dem Graphen von \(f\). Diese Fläche kann durch Auszählen der Kästchen oder Vergleich mit dem Rechteck von \(g\) (Fläche \(50\)) geschätzt werden. Die Fläche unter \(f\) ist etwas größer als die unter \(g\). Numerisch ergibt sich ca. \(50{,}3\,\text{L}\).

a) Die Durchflussrate im ersten Rohr ist im Zeitraum von ca. \(2{,}4\,\text{min}\) bis \(7{,}6\,\text{min}\) höher. b) Im zweiten Rohr fließen insgesamt \(50\,\text{L}\) Wasser. c) Durch das erste Rohr fließt insgesamt etwas mehr Wasser (ca. \(50{,}3\,\text{L}\)). Im Graphen sieht man, dass die Fläche von \(f\), die oberhalb der Linie \(g=5\) liegt, etwas größer ist als die beiden Flächenstücke am Rand, in denen \(g\) oberhalb von \(f\) liegt.

- Überlege dir, wie du aus einer Rate (Volumen pro Zeit) eine Gesamtmenge (Volumen) berechnen kannst. - Was sagt die zweite Ableitung über das Steigungsverhalten (Zunahme/Abnahme) der ursprünglichen Funktion aus? - Kannst du die Stammfunktion schrittweise durch partielle Integration finden oder kennst du eine allgemeine Form für Funktionen des Typs \(p(x) \cdot e^{ax}\)? - Vergewissere dich, dass du den Unterschied zwischen der Rate selbst und der Änderung der Rate berücksichtigst.

1. Berechnung des Volumens als Integral der Rate: \(V = \int_{0}^{12} (100t^2 e^{-0{,}2t} + 200) \, \text{d}t\). Eine Stammfunktion des Teils \(100t^2 e^{-0{,}2t}\) ist \(G_{\text{part}}(t) = (-500t^2 - 5000t - 25\,000)e^{-0{,}2t}\). Damit ist \(G(t) = (-500t^2 - 5000t - 25\,000)e^{-0{,}2t} + 200t\). Auswertung: \(G(12)-G(0)=(-157\,000e^{-2{,}4}+2400)-(-25\,000) \approx 13\,157{,}28\). Das Volumen beträgt ca. \(13\,157{,}28\,\text{m}^3\). 2. Die mittlere Durchflussrate ist der Mittelwert \(\bar{g} = \frac{1}{18-6} \int_{6}^{18} g(t) \, \text{d}t\). Berechnung des Integrals über \([6; 18]\): \(G(18) - G(6) = (-277\,000e^{-3{,}6} + 3600) - (-73\,000e^{-1{,}2} + 1200) \approx 16\,818{,}51\). Der Mittelwert ist \(16\,818{,}51 : 12 \approx 1401{,}54\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Die stärkste Abnahme entspricht dem Minimum der ersten Ableitung \(g'\). Es gilt \(g'(t) = (200t - 20t^2)e^{-0{,}2t}\) und \(g''(t) = (4t^2 - 80t + 200)e^{-0{,}2t}\). Die Nullstellen von \(4t^2 - 80t + 200 = 0\) sind \(t_1 \approx 2{,}93\) und \(t_2 \approx 17{,}07\). Im fallenden Bereich nach dem Maximum bei \(t=10\) nimmt \(g'\) bei \(t \approx 17{,}07\,\text{h}\) seinen kleinsten Wert an. Dort nimmt die Durchflussrate am stärksten ab.

a) In den ersten 12 Stunden flossen ca. \(13\,157{,}28\,\text{m}^3\) Wasser vorbei. b) Die mittlere Durchflussrate beträgt ca. \(1401{,}54\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Die Durchflussrate nimmt nach ca. \(17{,}07\,\text{h}\) am stärksten ab (Wendepunkt der Funktion im fallenden Bereich).

- Wann füllt sich ein Gefäß? Wenn mehr hineinfließt als herausfließt. Schau dir an, wo die Kurven sich schneiden. - Der Wasserstand ändert sich solange, wie die Raten unterschiedlich sind. Wann hört er auf zu steigen und fängt an zu sinken? - Die Fläche zwischen zwei Raten-Graphen entspricht der Bestandsänderung in diesem Zeitraum. - Nutze die Integralrechnung, um die Fläche zwischen den beiden Kurven genau zu berechnen.

1. Das Volumen nimmt zu, wenn die Zuflussrate \(z(t)\) größer als die Abflussrate \(a(t)\) ist. Grafisch entspricht dies dem Bereich, in dem der blaue Graph oberhalb der roten gestrichelten Linie liegt. 2. Schnittpunkte berechnen: \(-0{,}1t^2 + 2t + 5 = 12 \Rightarrow -0{,}1t^2 + 2t - 7 = 0\). Die Lösungen sind \(t_1 = 10 - \sqrt{30} \approx 4{,}52\,\text{h}\) und \(t_2 = 10 + \sqrt{30} \approx 15{,}48\,\text{h}\). 3. Der Zeitraum der Zunahme ist somit das Intervall \((4{,}52; 15{,}48)\). 4. Da das Volumen bis zum Zeitpunkt \(t_2\) zunimmt und danach (weil die Abflussrate dann höher ist) wieder abnimmt, liegt der Höchststand bei \(t \approx 15{,}48\,\text{h}\). 5. Berechnung der Netto-Zunahme über das Integral der Differenzfunktion: \(V = \int_{10-\sqrt{30}}^{10+\sqrt{30}} (-0{,}1t^2 + 2t - 7)\,\text{d}t\). 6. Mit der Substitution \(u=t-10\) wird der Integrand zu \(3-0{,}1u^2\). Daher gilt \(V=\int_{-\sqrt{30}}^{\sqrt{30}}(3-0{,}1u^2)\,\text{d}u=4\sqrt{30}\approx21{,}91\). 7. Da die Raten in \(1000\,\text{m}^3/\text{h}\) angegeben sind, beträgt die Netto-Zunahme etwa \(21\,909\,\text{m}^3\).

a) Das Volumen nimmt im Zeitraum zwischen ca. \(4{,}52\,\text{h}\) und \(15{,}48\,\text{h}\) zu, da hier die Zuflussrate höher als die Abflussrate ist. b) Der Höchststand wird zum Zeitpunkt \(t \approx 15{,}48\,\text{h}\) erreicht. c) Die Netto-Zunahme beträgt ca. \(21\,909\,\text{m}^3\).

- Der Gipfelpunkt ist der Hochpunkt des Graphen. Nutze die erste Ableitung. - Denke daran, dass ein Produkt aus zwei Teilfunktionen vorliegt. Welche Ableitungsregel hilft hier? - Für die Fläche unter einem Graphen benötigst du das bestimmte Integral. - Die Stammfunktion einer Funktion der Form \(x \cdot e^{ax}\) lässt sich gut mit der partiellen Integration finden.

1. Gipfelpunkt bestimmen: Ableitung: \(g'(x) = 10 \cdot e^{-0{,}2x} + 10x \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (10 - 2x) \cdot e^{-0{,}2x}\). Extremum: \(g'(x) = 0 \implies 10 - 2x = 0 \implies x = 5\). Höhe: \(g(5) = 10 \cdot 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 5} = 50 \cdot e^{-1} \approx 18{,}39\). Der Gipfelpunkt liegt bei \(G(5 \mid 18{,}39)\). 2. Stammfunktion bilden: Mittels partieller Integration: \(\int 10x \cdot e^{-0{,}2x}\,\text{d}x\). Setze \(u = 10x \implies u' = 10\) und \(v' = e^{-0{,}2x} \implies v = -5 e^{-0{,}2x}\). \(\int u \cdot v' = u \cdot v - \int u' \cdot v = -50x e^{-0{,}2x} - \int -50 e^{-0{,}2x}\,\text{d}x = -50x e^{-0{,}2x} - 250 e^{-0{,}2x} + C\). Stammfunktion: \(G(x) = -50(x + 5) \cdot e^{-0{,}2x}\). 3. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_0^{15} g(x)\,\text{d}x = G(15) - G(0) = [-50(15+5) e^{-0{,}2 \cdot 15}] - [-50(0+5) e^0]\) \(A = [-1000 \cdot e^{-3}] - [-250] = 250 - 1000 e^{-3} \approx 200{,}21\). Der Flächeninhalt beträgt ca. \(200{,}21\,\text{m}^2\).

a) Der Gipfelpunkt liegt bei ca. \((5 \mid 18{,}39)\). b) Der Querschnittsflächeninhalt beträgt ca. \(200{,}21\,\text{m}^2\).

- Nutze die Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen, insbesondere die Kettenregel. - Um Gleichungen mit \(e\)-Funktionen zu lösen, ist oft ein Logarithmieren beider Seiten nach passender Umformung hilfreich. - Das Verhalten der Funktion für sehr große Zeitwerte (\(t \to \infty\)) bestimmst du über die Grenzwerte der einzelnen Terme. - Überlege dir die Einheit des Integrals, indem du die Einheiten der Achsen multiplizierst.

1. Bestimmung des Maximums: \(c'(t) = 25(-0{,}05 e^{-0{,}05t} + 0{,}25 e^{-0{,}25t})\). Setze \(c'(t) = 0 \implies 0{,}05 e^{-0{,}05t} = 0{,}25 e^{-0{,}25t} \implies e^{0{,}2t} = 5 \implies t = \frac{\ln(5)}{0{,}2} \approx 8{,}05\,\text{min}\). 2. Bestimmung der Wendestelle: \(c''(t) = 25(0{,}0025 e^{-0{,}05t} - 0{,}0625 e^{-0{,}25t})\). Setze \(c''(t) = 0 \implies 0{,}0025 e^{-0{,}05t} = 0{,}0625 e^{-0{,}25t} \implies e^{0{,}2t} = 25 \implies t = \frac{\ln(25)}{0{,}2} \approx 16{,}09\,\text{min}\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{\infty} 25(e^{-0{,}05t} - e^{-0{,}25t}) \,\text{d}t = 25\left[ \frac{1}{-0{,}05} e^{-0{,}05t} - \frac{1}{-0{,}25} e^{-0{,}25t} \right]_{0}^{\infty} = 25\left[ -20 e^{-0{,}05t} + 4 e^{-0{,}25t} \right]_{0}^{\infty}\). 4. Grenzwerte einsetzen: Für \(t \to \infty\) streben die Exponentialterme gegen 0. Untere Grenze \(t = 0\) abziehen: \(25(0 - (-20 \cdot 1 + 4 \cdot 1)) = 25 \cdot (0 - (-16)) = 400\). 5. Ergebnis: Die Gesamtbelastung beträgt \(400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\).

a) Das Maximum wird nach ca. \(8{,}05\,\text{min}\) erreicht. b) Die Konzentration sinkt am stärksten bei \(t \approx 16{,}09\,\text{min}\). c) Die Gesamtbelastung beträgt \(400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\).

- Nutze die Integralrechnung, um die Fläche unter dem oberen Graphen zu bestimmen, und verdopple das Ergebnis. - Bestimme zuerst die Ableitungsfunktion, um Steigungen und Extrempunkte zu finden. - Denke daran, dass der Betrag der Steigung an einer Nullstelle den Tangens des Schnittwinkels liefert.

1. Flächenberechnung: Die Fläche der oberen Hälfte ist das Integral \(\int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - 0{,}5x\sqrt{x}) \,\mathrm{d}x = [ \frac{4}{3}x^{1{,}5} - 0{,}2x^{2{,}5} ]_{0}^{4} = \frac{32}{3} - \frac{32}{5} = \frac{64}{15} \approx 4{,}27\,\text{dm}^2\). Die Gesamtfläche ist das Doppelte: \(A = \frac{128}{15} \approx 8{,}53\,\text{dm}^2\). 2. Winkelberechnung: Die Ableitung ist \(f'(x) = 0{,}25\frac{4 - 3x}{\sqrt{x}}\). An der Stelle \(x = 4\) gilt \(f'(4) = 0{,}25 \cdot \frac{4 - 12}{2} = -1\). Der Winkel berechnet sich über \(\tan(\alpha) = |f'(4)| = 1 \implies \alpha = 45^\circ\). 3. Maximale Höhe: Die Bedingung für das Maximum ist \(f'(x) = 0\), also \(4 - 3x = 0 \implies x = \frac{4}{3}\). Die maximale Höhe ist \(f(\frac{4}{3}) = 0{,}5\sqrt{\frac{4}{3}} \cdot (4 - \frac{4}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{3\sqrt{3}} \approx 1{,}54\,\text{dm}\).

a) \(A = \frac{128}{15} \approx 8{,}53\,\text{dm}^2\) b) \(\alpha = 45^\circ\) c) Die maximale Höhe beträgt etwa \(1{,}54\,\text{dm}\).

- Die Leistung ist die Änderungsrate der Energie. Wie kommt man von der Leistung zur Energie? - Überlege dir, was die Fläche zwischen der Erzeugungskurve und der Verbrauchslinie physikalisch bedeutet. - Wann ist die Bilanz positiv, wann negativ? - Der Akku wird genau dann geladen, wenn die Produktion den Verbrauch übersteigt. Wo ist das im Graphen sichtbar?

1. Die Energie \(E(t)\) im Akku berechnet sich durch \(E(t) = E(0) + \int_0^t (P(\tau) - C(\tau)) \,\text{d}\tau\). Aus dem Graphen entnimmt man \(P(t) = -\frac{1}{9}t(t-12) = \frac{4}{3}t - \frac{1}{9}t^2\) und \(C(t) = 1{,}5\). 2. Berechnung für \(t = 6\): \(\int_0^6 (\frac{4}{3}t - \frac{1}{9}t^2 - 1{,}5) \,\text{d}t = [\frac{2}{3}t^2 - \frac{1}{27}t^3 - 1{,}5t]_0^6 = (\frac{2}{3} \cdot 36 - \frac{216}{27} - 9) - 0 = 24 - 8 - 9 = 7\). Die Energie beträgt \(E(6) = 5 + 7 = 12\,\text{kWh}\). 3. Berechnung für \(t = 12\): \(\int_0^{12} (\frac{4}{3}t - \frac{1}{9}t^2 - 1{,}5) \,\text{d}t = [\frac{2}{3}t^2 - \frac{1}{27}t^3 - 1{,}5t]_0^{12} = (\frac{2}{3} \cdot 144 - \frac{1728}{27} - 18) - 0 = 96 - 64 - 18 = 14\). Die Energie beträgt \(E(12) = 5 + 14 = 19\,\text{kWh}\). 4. Ladezeitraum: Der Akku wird geladen, wenn die Erzeugung größer als der Verbrauch ist (\(P(t) > C(t)\)). Die Schnittpunkte berechnen sich aus \(-\frac{1}{9}t^2 + \frac{4}{3}t = 1{,}5 \Leftrightarrow t^2 - 12t + 13{,}5 = 0\). Mit der pq-Formel: \(t_{1,2} = 6 \pm \sqrt{36 - 13{,}5} = 6 \pm \sqrt{22{,}5}\). Dies ergibt \(t_1 \approx 1{,}26\) und \(t_2 \approx 10{,}74\). Der Ladezeitraum ist somit etwa \((1{,}26; 10{,}74)\) Stunden nach 6:00 Uhr.

a) Nach 6 Stunden (um 12:00 Uhr) sind \(12\,\text{kWh}\) im Akku gespeichert. Nach 12 Stunden (um 18:00 Uhr) sind \(19\,\text{kWh}\) im Akku gespeichert. b) Der Akku wird im Zeitraum von ca. \(1{,}26\) bis \(10{,}74\) Stunden nach 6:00 Uhr geladen (entspricht etwa 7:16 Uhr bis 16:44 Uhr).