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Interpretation von Integralergebnissen

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Gegeben ist eine Funktion \(f\) und das Integral \(\int_{0}^{6} f(x) \text{d}x = 24\). Interpretiere den Wert des Integrals in den folgenden Sachzusammenhängen: a) Die Funktion \(f\) modelliert die momentane Änderungsrate der Bakterienanzahl in einer Petrischale (\(x\) in Stunden, \(f(x)\) in Millionen Bakterien pro Stunde). b) Die Funktion \(f\) beschreibt die elektrische Leistungsaufnahme eines Industriebetriebs (\(x\) in Stunden, \(f(x)\) in Megawatt). c) Ein flaches Bauteil wird durch die \(x\)-Achse, die Geraden \(x=0\) und \(x=6\) sowie den Graphen von \(f\) begrenzt, wobei der Graph im Intervall \([0; 6]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(x\) und \(f(x)\) in Zentimetern).

Denkanstöße

- Überlege dir, welche physikalische oder mathematische Größe entsteht, wenn man die Einheit der Funktionswerte mit der Einheit der \(x\)-Werte multipliziert. - Was bedeutet es allgemein, wenn man eine Änderungsrate über einen bestimmten Zeitraum integriert? - Erinnere dich an den physikalischen Zusammenhang zwischen Leistung und Energie. - Wie lässt sich ein Integral geometrisch deuten, wenn der Graph über der \(x\)-Achse liegt?

Lösung

1. Im Kontext a) entspricht das Integral der Nettoänderung des Bestands über das Zeitintervall \([0; 6]\). Da der Integralwert 24 beträgt, hat die Anzahl der Bakterien in den ersten sechs Stunden insgesamt um 24 Millionen zugenommen. 2. Im Kontext b) ist das Integral der Leistung über die Zeit gleich der aufgenommenen Energie. Ein Integralwert von 24 bedeutet hier, dass im Zeitraum von 0 bis 6 Stunden insgesamt eine elektrische Energie von \(24\,\text{MWh}\) (Megawattstunden) verbraucht wurde. 3. Im geometrischen Kontext c) stellt das Integral den Flächeninhalt der beschriebenen Fläche dar. Der Wert 24 gibt an, dass das Bauteil einen Flächeninhalt von \(24\,\text{cm}^2\) besitzt.

Antwort

a) Die Bakterienanzahl nimmt in den ersten 6 Stunden um 24 Millionen zu. b) Die aufgenommene elektrische Energie im Zeitraum von 0 bis 6 Stunden beträgt \(24\,\text{MWh}\). c) Der Flächeninhalt des Bauteils beträgt \(24\,\text{cm}^2\).
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Gegeben ist eine Funktion \(g\) und die Gleichung \(\int_{2}^{5} g(x) \text{d}x = -1{,}5\). Erläutere die Bedeutung der Gleichung in den folgenden Situationen: a) Die Funktion \(g\) beschreibt die Änderungsrate des Wasserstands in einem Staubecken (\(x\) in Stunden, \(g(x)\) in Metern pro Stunde). b) Die Funktion \(g\) gibt die vertikale Geschwindigkeit eines Tauchers an (\(x\) in Sekunden, \(g(x)\) in Metern pro Sekunde, wobei positive Werte ein Aufsteigen beschreiben). c) Die Funktion \(g\) beschreibt die Änderungsrate des Luftdrucks während eines Wetterumschwungs (\(x\) in Stunden, \(g(x)\) in Hektopascal pro Stunde).

Denkanstöße

- Was sagt das Vorzeichen des Ergebnisses über die Richtung der Änderung aus? - Wie hängen Geschwindigkeit und Position mathematisch über das Integral zusammen? - Achte auf die Einheiten: Was ergibt sich, wenn man eine Rate (z. B. \(m/h\)) mit einer Zeitdauer (\(h\)) multipliziert? - Überlege, ob das Integral eine absolute Menge oder eine Veränderung beschreibt.

Lösung

1. In Situation a) stellt das Integral die gesamte Änderung des Wasserstands im Zeitintervall \([2; 5]\) dar. Der negative Wert \(-1{,}5\) bedeutet, dass der Wasserstand zwischen der 2. und der 5. Stunde insgesamt um \(1{,}5\,\text{m}\) gesunken ist. 2. In Situation b) entspricht das Integral der Änderung der vertikalen Position (Höhenänderung). Der Wert \(-1{,}5\) bedeutet, dass der Taucher im Zeitraum von 2 bis 5 Sekunden seine Position um \(1{,}5\,\text{m}\) nach unten verändert hat, er ist also tiefer gesunken. 3. In Situation c) gibt das Integral die Nettoänderung des Luftdrucks an. Das Ergebnis \(-1{,}5\) besagt, dass der Luftdruck zwischen der 2. und der 5. Stunde um insgesamt \(1{,}5\,\text{hPa}\) gefallen ist.

Antwort

a) Der Wasserstand sinkt zwischen der 2. und der 5. Stunde insgesamt um \(1{,}5\,\text{m}\). b) Der Taucher sinkt im Zeitraum von 2 bis 5 Sekunden um insgesamt \(1{,}5\,\text{m}\) tiefer. c) Der Luftdruck nimmt zwischen der 2. und der 5. Stunde um insgesamt \(1{,}5\,\text{hPa}\) ab.
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Ein technischer Prozess wird überwacht. Die Funktion \(f\) beschreibt die Temperatur eines Bauteils (in \(^\circ\text{C}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten). Ordne den unten stehenden Beschreibungen die passenden mathematischen Ausdrücke aus der Tabelle zu. Beachte, dass zu einer Beschreibung mehrere Ausdrücke gehören können. a) Nach 20 Minuten beträgt die Temperatur genau \(65\,^\circ\text{C}\). b) Die Erwärmung des Bauteils ist zum Zeitpunkt \(t = 20\) lokal am intensivsten. c) Die Temperatur des Bauteils steigt im Zeitintervall von \(t = 20\) bis \(t = 50\) um insgesamt \(15\,^\circ\text{C}\) an. d) Die durchschnittliche Temperatur während der ersten 50 Minuten beträgt \(72\,^\circ\text{C}\). <table> <tr> <td>A: \(f(20) = 65\)</td> <td>B: \(f'(20) > 0\)</td> </tr> <tr> <td>C: \(f''(20) = 0\)</td> <td>D: \(f'''(20) < 0\)</td> </tr> <tr> <td>E: \(f(50) - f(20) = 15\)</td> <td>F: \(\int_{20}^{50} f'(t) \, dt = 15\)</td> </tr> <tr> <td>G: \(\frac{1}{50} \int_{0}^{50} f(t) \, dt = 72\)</td> <td>H: \(\int_{0}^{50} f(t) \, dt = 3\,600\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Woran erkennst du in einem Graphen oder einer Funktion, dass eine Änderungsrate lokal ihren höchsten Wert erreicht? - Wie hängen die Änderung eines Bestandes und die Fläche unter der Kurve der Änderungsrate zusammen? - Was berechnet man mit dem Ausdruck \(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)? - Überlege, ob eine Aussage über eine Differenz auch als Integral geschrieben werden kann.

Lösung

1. Beschreibung a) entspricht direkt dem Funktionswert zum Zeitpunkt \(t = 20\): Ausdruck A. 2. Beschreibung b) bezieht sich auf eine lokal maximale Änderungsrate \(f'\). Dafür gilt an der betrachteten Stelle \(f''(20) = 0\) und \(f'''(20) < 0\). Da von Erwärmung die Rede ist, muss außerdem \(f'(20) > 0\) gelten: Ausdrücke B, C, D. 3. Beschreibung c) beschreibt die Differenz der Funktionswerte oder das Integral der Änderungsrate über das Intervall: Ausdrücke E, F. 4. Beschreibung d) nutzt den Mittelwertsatz der Integralrechnung: \(\bar{y} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t) \, \text{d}t\). Für \(a=0\) und \(b=50\) ergibt sich \(\frac{1}{50} \int_{0}^{50} f(t) \, \text{d}t = 72\). Durch Multiplikation mit 50 erhält man \(\int_{0}^{50} f(t) \, \text{d}t = 3\,600\): Ausdrücke G, H.

Antwort

a) A b) B, C, D c) E, F d) G, H
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Die Funktion \(f\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Schadstoffmenge in einem See. Dabei wird \(t\) in Wochen seit Beginn einer Messreihe und \(f(t)\) in \(\text{kg}/\text{Woche}\) angegeben. Zum Zeitpunkt \(t=0\) befinden sich bereits \(500\,\text{kg}\) Schadstoff im See. Interpretiere die folgenden mathematischen Aussagen im Sachzusammenhang: a) \(f(t) < 0\) für \(t \in [5; 8]\) b) \(\int_{0}^{4} f(t) dt = -100\) c) \(500 + \int_{0}^{T} f(t) dt = 250\)

Denkanstöße

- Was gibt das Vorzeichen der Änderungsrate über die Entwicklung des Bestands an? - Welche physikalische oder mathematische Größe wird durch das Integral einer Rate berechnet? - Was bedeutet die Zahl 500 in der Gleichung c) im Vergleich zur Aufgabenstellung? - Wie hängen Anfangswert, Änderung und Endwert zusammen?

Lösung

1. Da \(f(t)\) die Änderungsrate der Masse darstellt, zeigt ein negatives Vorzeichen eine Abnahme an. Im Intervall \([5; 8]\) sinkt die Schadstoffmenge im See somit kontinuierlich. 2. Das Integral der Änderungsrate über ein Zeitintervall entspricht der Nettoänderung des Bestands. In den ersten vier Wochen (\(t=0\) bis \(t=4\)) hat die Schadstoffmenge insgesamt um \(100\,\text{kg}\) abgenommen. 3. Der Ausdruck \(500 + \int_{0}^{T} f(t) dt\) berechnet den Gesamtbestand zum Zeitpunkt \(T\), bestehend aus dem Anfangswert und der kumulierten Änderung. Die Gleichung besagt, dass zum Zeitpunkt \(T\) die Schadstoffmenge im See auf \(250\,\text{kg}\) gesunken ist, was der Hälfte des Ausgangswerts entspricht.

Antwort

a) Zwischen der 5. und der 8. Woche nimmt die Schadstoffmenge im See ab. b) In den ersten vier Wochen verringert sich die Schadstoffmenge insgesamt um \(100\,\text{kg}\). c) Es wird der Zeitpunkt \(T\) berechnet, an dem sich nur noch \(250\,\text{kg}\) Schadstoff (die Hälfte der Anfangsmenge) im See befinden.
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Der Zufluss von Wasser in ein Staubecken wird durch die Funktion \(k\) mit \(k(t) = 100 \cdot (t^2 - 10t + 21)\) für \(0 \le t \le 8\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden und \(k(t)\) die Zuflussrate in \(\text{m}^3/\text{h}\). Ein negativer Wert von \(k(t)\) bedeutet, dass Wasser aus dem Becken abfließt. Zu Beginn der Messung (\(t=0\)) befinden sich \(5\,000\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. a) Erläutere die Bedeutung des Integrals \(\int_3^7 k(t) \, dt\) im Sachzusammenhang. b) Berechne den Wert des Integrals \(\int_0^3 k(t) \, dt\) und interpretiere das Ergebnis. c) Stelle einen Term auf, der das Wasservolumen \(V(8)\) im Becken nach 8 Stunden beschreibt.

Denkanstöße

- Was bedeutet es für den Wasservorrat, wenn die Zuflussrate negativ ist? - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man eine Rate über die Zeit integriert? - Wie berücksichtigst du einen Anfangswert, wenn du den Endbestand berechnen willst? - Achte auf die Einheiten: Was passiert mit \(\text{m}^3/\text{h} \cdot \text{h}\)?

Lösung

1. Die Nullstellen von \(k(t) = 100(t-3)(t-7)\) liegen bei \(t=3\) und \(t=7\). Im Intervall \([3; 7]\) ist \(k(t)\) negativ. Das Integral \(\int_3^7 k(t) \, dt\) gibt daher die Netto-Volumenänderung an und ist negativ; der Betrag \(-\int_3^7 k(t) \, dt\) entspricht dem gesamten Wasservolumen, das zwischen der 3. und 7. Stunde aus dem Becken abfließt. 2. Berechnung des Integrals: \(\int_0^3 100(t^2 - 10t + 21) \, dt = 100 \cdot \left[ \frac{1}{3}t^3 - 5t^2 + 21t \right]_0^3 = 100 \cdot (9 - 45 + 63) = 2\,700\). Das Ergebnis \(2\,700\,\text{m}^3\) bedeutet, dass in den ersten drei Stunden insgesamt \(2\,700\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken zugeflossen sind. 3. Das Volumen nach 8 Stunden setzt sich aus dem Anfangsbestand und der kumulierten Änderung zusammen: \(V(8) = 5\,000 + \int_0^8 k(t) \, dt\).

Antwort

a) Das Integral gibt die Netto-Volumenänderung zwischen der 3. und 7. Stunde an. Da die Rate dort negativ ist, ist der Integralwert negativ; das abgeflossene Wasservolumen ist der Betrag dieses Integrals. b) \(\int_0^3 k(t) \, dt = 2\,700\). In den ersten drei Stunden fließen \(2\,700\,\text{m}^3\) Wasser zu. c) \(V(8) = 5\,000 + \int_0^8 k(t) \, dt\) (oder \(V(8) = 5\,000 + \int_0^8 100(t^2 - 10t + 21) \, dt\)).
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Ein Solarpark speist elektrische Energie in das Netz ein. Die Funktion \(P\) gibt die Einspeiseleistung in Kilowatt (\(\text{kW}\)) an, wobei \(t\) die Zeit in Stunden seit Mitternacht (\(t=0\)) beschreibt. Formuliere für die folgenden Fragestellungen jeweils einen passenden mathematischen Term, eine Gleichung oder eine Ungleichung: a) Wie viel Energie wurde insgesamt zwischen 8:00 Uhr und 12:00 Uhr eingespeist? b) Zu welchem Zeitpunkt \(t\) entspricht die momentane Leistung genau der durchschnittlichen Einspeiseleistung im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 18:00 Uhr? c) In welchem Zeitraum von zwei Stunden werden insgesamt mehr als \(400\,\text{kWh}\) Energie eingespeist?

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Gesamtmenge (Energie), wenn die Rate (Leistung) gegeben ist? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall. - Wie kann man ein Zeitintervall der Dauer 2 Stunden allgemein mit einer Variablen \(t\) ausdrücken? - Was ist der Unterschied zwischen einer momentanen Größe und einer über einen Zeitraum akkumulierten Größe?

Lösung

1. Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit. Für den Zeitraum von 8 bis 12 Stunden ergibt sich der Term \(\int_{8}^{12} P(t) dt\). 2. Die durchschnittliche Leistung in einem Intervall \([a; b]\) ist durch den Mittelwert der Funktion definiert: \(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} P(x) dx\). Für das Intervall \([6; 18]\) ergibt dies \(\frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). Die gesuchte Gleichung lautet \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). 3. Ein beliebiges Zeitintervall der Länge 2, das zum Zeitpunkt \(t\) beginnt, endet bei \(t+2\). Damit das Intervall innerhalb eines Tages liegt, gilt \(0 \le t \le 22\). Die Bedingung, dass die darin erzeugte Energie größer als \(400\,\text{kWh}\) ist, führt auf die Ungleichung \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\).

Antwort

a) \(\int_{8}^{12} P(t) dt\) b) \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\) c) \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\)

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