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- Frage dich bei jeder Zufallsgröße, ob zwischen zwei möglichen Werten immer noch weitere mögliche Werte liegen können. - Welche Art von Größe wird gezählt, welche wird gemessen? - Vergleiche die einzelnen Punktstapel mit den zusammenhängenden Klassen des Histogramms.

a) Die Fehleranzahl ist diskret: Sie kann nur ganzzahlige Zählwerte wie \(0,1,2,\ldots\) annehmen. Die Packungsmasse ist stetig: Innerhalb eines Messbereichs sind grundsätzlich beliebige reelle Zwischenwerte möglich. b) Im Punktdiagramm werden einzelne mögliche Zählwerte und ihre Wiederholungen sichtbar. Beim Histogramm werden dagegen Messwerte aus einem kontinuierlichen Wertebereich in benachbarte Intervalle eingeteilt und durch zusammenhängende Balken dargestellt.

a) Fehleranzahl: diskret. Packungsmasse: stetig. b) Das Punktdiagramm zeigt einzelne Zählwerte; das Histogramm fasst einen kontinuierlichen Messbereich in Intervalle zusammen.

- Welche einzelnen Werte kann die Anzahl der Umstiege überhaupt annehmen? - In welchem Diagramm kannst du die Häufigkeit eines konkreten Werts wie \(1\) direkt ablesen? - Was passiert mit solchen Einzelhäufigkeiten, wenn mehrere Werte in einem Intervall zusammengefasst werden?

1. Darstellung B ist geeigneter, um die diskrete Zufallsgröße sichtbar zu machen. Das Punktdiagramm zeigt für jeden möglichen ganzzahligen Wert \(0,1,2,3,4\) direkt seine Häufigkeit. 2. Darstellung A fasst mehrere mögliche Werte in breite Intervalle zusammen. Dadurch ist zum Beispiel im Balken \([0;2)\) nicht mehr direkt erkennbar, wie viele Beobachtungen genau den Wert \(0\) beziehungsweise \(1\) haben.

Darstellung B. Sie zeigt die einzelnen ganzzahligen Werte direkt; in A gehen durch die Intervallgruppierung die Häufigkeiten der einzelnen Werte verloren.

- Bei einer Gleichverteilung über ein Zeitintervall hängt die Wahrscheinlichkeit eines Abschnitts von dessen Länge im Verhältnis zur Gesamtlänge ab. - Überlege bei b), wie lang der Teil der Stunde ist, in dem keine Werbung läuft. - Vergleiche bei c) den alten und den neuen Zeitanteil der Rockmusik und achte auf Prozentpunkte.

1. Die gesamte Musikzeit beträgt \(27\,\text{min}+15\,\text{min}=42\,\text{min}\). Bei der Gleichverteilung gilt daher \(P(\text{Musik})=\frac{42}{60}=0{,}7=70\,\%\). 2. Die Zeit ohne Werbung beträgt \(60\,\text{min}-7\,\text{min}=53\,\text{min}\). Somit ist \(P(\text{keine Werbung})=\frac{53}{60}\approx0{,}883=88{,}3\,\%\). 3. Ursprünglich gilt \(P(\text{Rock})=\frac{15}{60}=0{,}25=25\,\%\). Nach der Änderung dauert Rockmusik \(18\,\text{min}\), also gilt \(P(\text{Rock})=\frac{18}{60}=0{,}3=30\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit steigt um \(5\) Prozentpunkte.

a) \(70\,\%\) b) \(\frac{53}{60}\approx88{,}3\,\%\) c) um \(5\) Prozentpunkte

- Überlege dir, ob die Zufallsgröße jeden beliebigen Wert in einem Bereich annehmen kann oder ob es Lücken zwischen den Werten gibt. - Kannst du die möglichen Ergebnisse zählen (1, 2, 3, ...)? - Spielt die Genauigkeit des Messgeräts eine Rolle für die theoretische Natur der Größe? - Unterscheide zwischen einer Zählung und einer Messung einer physikalischen Größe.

a) Sprintzeit: stetig, da die Zeit eine kontinuierlich fließende Größe ist und innerhalb eines sinnvollen Intervalls jeden beliebigen reellen Wert annehmen kann. b) Anzahl defekter Platinen: diskret, da die Werte nur als isolierte ganze Zahlen aus der Menge \(\{0, 1, \dots, 1000\}\) auftreten können. c) Reifendruck: stetig, da physikalische Drücke in einem Intervall jeden Wert annehmen können (überabzählbare Menge an Realisierungen). d) Augensumme: diskret, da die Summe nur ganzzahlige Werte im Bereich von \(3\) bis \(18\) annehmen kann (endliche Menge).

a) stetig b) diskret c) stetig d) diskret

- Vergleiche zuerst, ob die möglichen Werte jeweils einzeln aufgezählt werden können oder einen durchgehenden Bereich bilden. - Überlege, welche geometrische Breite ein einzelner Punkt unter einer Dichtefunktion besitzt. - Für Teil 3 musst du die Binomialwahrscheinlichkeit nicht ausrechnen. Welche Bedeutung hat dort \(0<p<1\) für einen möglichen Wert zwischen \(0\) und \(n\)?

1. Die Wertemenge \(W_X=\{0,1,2,\dots,500\}\) ist endlich und damit abzählbar. Die normalverteilte Zufallsgröße \(L\) kann dagegen Werte aus einem kontinuierlichen Bereich annehmen; ihr mathematischer Wertebereich ist \(\mathbb{R}\). 2. Für jede stetige Zufallsgröße gilt für einen Einzelwert \(x\): \(P(L=x)=0\). Daher ist \(P(L=100)=0\). 3. Für \(X\sim B(500;0{,}02)\) gilt \(0<p<1\). Jeder Wert \(k\in\{0,1,\dots,500\}\) hat deshalb eine positive Binomialwahrscheinlichkeit. Insbesondere gilt \(P(X=10)>0\). 4. Bei einer stetigen Zufallsgröße wird eine Intervallwahrscheinlichkeit durch eine Fläche unter der Dichte beschrieben. Für ein Punktintervall ist die Intervallbreite \(0\), also gilt \(\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0\). Bei einer diskreten Zufallsgröße werden dagegen einzelnen möglichen Werten Wahrscheinlichkeitsmassen zugeordnet.

1. \(W_X\) ist endlich und abzählbar; \(L\) hat einen kontinuierlichen Wertebereich. 2. \(P(L=100)=0\) 3. \(P(X=10)>0\) 4. Bei stetigen Zufallsgrößen hat ein einzelner Punkt keine Fläche unter der Dichte; bei diskreten Zufallsgrößen können Einzelwerte positive Wahrscheinlichkeitsmassen besitzen.

- Überlege, ob man alle möglichen Werte der Kinderanzahl einzeln auflisten kann. - Was passiert mit der Menge der möglichen Pendelzeiten, wenn die Messgenauigkeit immer weiter erhöht wird? - Wie werden Wahrscheinlichkeiten bei diskreten und bei stetigen Zufallsgrößen dargestellt?

1. Die Anzahl der Kinder ist eine diskrete Zufallsgröße. Ihre möglichen Werte sind isolierte, abzählbare Zahlen, zum Beispiel \(0, 1, 2, \dots\). Jedem Wert kann eine Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) zugeordnet werden, die als Höhe einer Säule dargestellt wird. 2. Die theoretisch exakt gemessene Pendelzeit ist eine stetige Zufallsgröße. Sie kann innerhalb eines geeigneten Bereichs jeden reellen Wert annehmen; die Menge der möglichen Werte ist daher überabzählbar. 3. Bei einer stetigen Zufallsgröße gilt für jeden Einzelwert \(x\), dass \(P(X=x)=0\). Wahrscheinlichkeiten werden deshalb für Intervalle als Flächen unter einer Dichtekurve dargestellt. Eine Dichtefunktion beschreibt somit das stetige Wahrscheinlichkeitsmodell angemessen.

Die Anzahl der Kinder ist diskret und besitzt abzählbare, isolierte Werte; Einzelwahrscheinlichkeiten lassen sich daher als Säulenhöhen darstellen. Die theoretisch exakt gemessene Pendelzeit ist stetig. Da Einzelwerte Wahrscheinlichkeit \(0\) haben, werden Intervallwahrscheinlichkeiten als Flächen unter einer Dichtekurve dargestellt.

- Vergleiche genau, welche Randwerte zum geschlossenen und zum offenen Intervall gehören. - Bei einer diskreten Verteilung können einzelne mögliche Werte eine eigene Wahrscheinlichkeitsmasse tragen. - Überlege, welchen Flächeninhalt ein einzelner Punkt unter einer Dichtekurve besitzt.

1. Bei der diskreten Zufallsgröße gehören die Randwerte \(45\) und \(55\) nur zum geschlossenen Intervall. Daher gilt \(P(45\le Y\le55)-P(45<Y<55)=P(Y=45)+P(Y=55)>0\). 2. Bei der stetigen Zufallsgröße gilt \(P(X=45)=P(X=55)=0\). Deshalb ist \(P(45\le X\le55)=P(45<X<55)\). 3. Bei einer diskreten Zufallsgröße können einzelne mögliche Werte positive Wahrscheinlichkeiten besitzen. Bei einer stetigen Zufallsgröße hat jeder einzelne exakte Wert Wahrscheinlichkeit \(0\); Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf Intervalle und werden als Flächen unter einer Dichte beschrieben.

1. \(P(45\le Y\le55)-P(45<Y<55)=P(Y=45)+P(Y=55)>0\) 2. \(P(45\le X\le55)=P(45<X<55)\) 3. Diskrete Einzelwerte können positive Wahrscheinlichkeit besitzen; stetige Einzelwerte haben Wahrscheinlichkeit \(0\).

- Vergleiche die Balkenhöhen links und rechts vom Zentrum des Histogramms. - Entscheidend für „diskret oder stetig“ ist die Menge möglicher Werte der Zufallsgröße, nicht die gewählte Darstellung. - Welche Eigenschaften einer Glockenkurve erkennst du im Histogramm, und welche Unsicherheit bleibt bei einer Stichprobe?

a) Die größten Häufigkeiten liegen in den beiden mittleren Klassen um \(50\,\text{mm}\). Zu beiden Seiten nehmen die Häufigkeiten ungefähr spiegelbildlich ab. Das Histogramm ist daher annähernd symmetrisch und glockenförmig. b) Eine Länge kann innerhalb eines Messbereichs grundsätzlich beliebige reelle Zwischenwerte annehmen. Die Klassen im Histogramm sind nur eine Darstellungsform der gemessenen stetigen Werte und machen die Zufallsgröße nicht diskret. c) Die annähernd symmetrische Glockenform passt qualitativ zu einer Normalverteilung. Ein endliches Histogramm hängt jedoch von Stichprobe und Klasseneinteilung ab; deshalb liefert es nur eine Plausibilitätsbegründung für das Modell.

a) Annähernd symmetrisch und glockenförmig mit dem Zentrum bei ungefähr \(50\,\text{mm}\); die Häufigkeiten nehmen zu den Rändern ab. b) Die Bauteillänge ist stetig, weil zwischen zwei Längenwerten grundsätzlich weitere mögliche Längen liegen. c) Die Form spricht für ein Normalmodell, beweist eine exakte Normalverteilung aber nicht.

- Ordne jeden Messwert genau einer der vier Klassen zu. - Beachte besonders, zu welcher Klasse der Randwert \(51{,}0\) gehört. - Vergleiche anschließend deine vier Häufigkeiten mit den drei Diagrammen.

1. In \([48;49)\) liegen \(48{,}1\) und \(48{,}7\): Häufigkeit \(2\). 2. In \([49;50)\) liegen \(49{,}2,49{,}6,49{,}8\): Häufigkeit \(3\). 3. In \([50;51)\) liegen \(50{,}1,50{,}3,50{,}4,50{,}8\): Häufigkeit \(4\). Der Wert \(51{,}0\) gehört wegen der links geschlossenen Klassen bereits zur nächsten Klasse. 4. In \([51;52)\) liegen \(51{,}0,51{,}4,51{,}7\): Häufigkeit \(3\). 5. Nur Histogramm B zeigt die Folge \(2,3,4,3\).

Histogramm B; Klassenhäufigkeiten \(2,3,4,3\)

- Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten bei einer stetigen Gleichverteilung? - Welcher Bereich von Werten führt beim Runden auf eine Stelle nach dem Komma zu einem bestimmten Ergebnis? - Überlege dir, wie groß der Abstand zwischen zwei benachbarten Werten ist, die auf \(k\) Stellen gerundet wurden. - Was passiert mit der Intervallbreite, wenn man die Anzahl der Dezimalstellen erhöht?

1. Die Wahrscheinlichkeit im Intervall \([1{,}15; 1{,}25)\) berechnet sich bei einer Gleichverteilung über die Breite des Intervalls dividiert durch die Breite des Definitionsbereichs: \(P(1{,}15 \le X < 1{,}25) = \frac{1{,}25 - 1{,}15}{5} = \frac{0{,}1}{5} = 0{,}02\). 2. Ein Wert ergibt gerundet auf eine Dezimalstelle \(1{,}2\), wenn er im Intervall \([1{,}15; 1{,}25)\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit entspricht somit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1: \(P(\text{gerundet } 1{,}2) = 0{,}02\). 3. Für einen auf \(k\) Dezimalstellen darstellbaren Wert \(a\) im angegebenen inneren Bereich entspricht die Rundung einem Intervall der Breite \(10^{-k}\), nämlich von \(a - 0{,}5 \cdot 10^{-k}\) bis \(a + 0{,}5 \cdot 10^{-k}\). Da die Gesamtlänge des Bereichs \(5\) beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{10^{-k}}{5} = 0{,}2 \cdot 10^{-k}\). Mit zunehmender Genauigkeit (größerem \(k\)) verringert sich die Intervallbreite bei jeder zusätzlichen Stelle um den Faktor \(10\); entsprechend wird auch die Wahrscheinlichkeit durch \(10\) geteilt.

1. \(P(1{,}15 \le X < 1{,}25) = 0{,}02\) 2. \(P(\text{gerundet } 1{,}2) = 0{,}02\) 3. \(P = \frac{10^{-k}}{5} = 0{,}2 \cdot 10^{-k}\). Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Breite des Rundungsintervalls \(10^{-k}\).

- Was weißt du über die Fläche unter einer Kurve an einer einzelnen Stelle? - Welches Intervall von Werten wird auf die Zahl 500 gerundet, wenn man keine Nachkommastellen betrachtet? - Wie ändert sich dieses Intervall, wenn man auf eine Nachkommastelle genau rundet? - Nutze die Standardnormalverteilung \(\Phi\), um die Wahrscheinlichkeiten für die Intervalle zu bestimmen.

1. Bei einer stetigen Zufallsgröße gilt für jeden Einzelwert \(x\): \(P(X=x)=\int_x^x f(t)\,dt=0\). 2. Auf ganze Gramm gerundet ergibt sich \(500\,\text{g}\) für \(499{,}5\leq X<500{,}5\). Nach der Standardisierung sind die Grenzen \(\pm0{,}125\). Daher gilt \(P=\Phi(0{,}125)-\Phi(-0{,}125)=2\Phi(0{,}125)-1\approx0{,}099476\approx0{,}0995\). 3. Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(500{,}0\,\text{g}\) für \(499{,}95\leq X<500{,}05\). Die standardisierten Grenzen sind \(\pm0{,}0125\). Daher ist \(P=2\Phi(0{,}0125)-1\approx0{,}009973\approx0{,}0100\). Das zweite Rundungsintervall ist deutlich schmaler, daher ist auch die Wahrscheinlichkeit deutlich kleiner.

1. \(P(X=500)=0\). 2. \(P(499{,}5\leq X<500{,}5)\approx0{,}0995\), also etwa \(9{,}95\,\%\). 3. \(P(499{,}95\leq X<500{,}05)\approx0{,}0100\), also etwa \(1{,}00\,\%\).

- Stell dir vor, du würdest die Werte auf einem Zahlenstrahl markieren. Sind es Punkte mit Abständen oder ist es eine durchgehende Linie? - Achte besonders darauf, ob durch Rundung oder kleinste Einheiten (wie Cent) eine eigentlich stetige Größe „gestuft“ wird. - Betrachte die mathematische Definition des Wertebereichs: Ist er abzählbar oder entspricht er einem Intervall reeller Zahlen?

a) Einwohneranzahl: diskret, da Menschen nur in ganzen Zahlen gezählt werden können (abzählbare Werte). b) Grundstücksfläche: stetig, da Flächenmaße theoretisch jeden reellen Wert in einem Intervall annehmen können. c) Stromkosten: diskret, da die Währungseinheit Cent die kleinste Stufe darstellt und somit nur Vielfache von \(0{,}01\,\text{€}\) möglich sind (isolierte Werte). d) Abgerundete Wartezeit: diskret, da durch die Rundung auf ganze Minuten nur noch Werte aus der Menge der natürlichen Zahlen \(\{0, 1, 2, \dots\}\) möglich sind, selbst wenn die zugrunde liegende Zeit stetig ist.

a) diskret b) stetig c) diskret d) diskret

- Vergleiche die möglichen Werte der Augensumme mit den möglichen Werten einer normalverteilten Messgröße. - Für Teil 3 kannst du die Intervallgrenzen standardisieren und anschließend die Differenz zweier Werte von \(\Phi\) bilden. - Überlege für Teil 4, ob ein einzelner möglicher Wert bei der jeweiligen Zufallsgröße positive Wahrscheinlichkeit besitzen kann.

1. \(Y\) ist diskret, da die Augensumme nur die ganzzahligen Werte \(2,3,\dots,12\) annehmen kann. \(X\) ist stetig, da eine normalverteilte Zufallsgröße Werte aus einem kontinuierlichen Bereich annehmen kann. 2. Für \(Y\le3\) sind die Würfelpaare \((1,1)\), \((1,2)\) und \((2,1)\) günstig. Daher gilt \(P(Y\le3)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\approx0{,}0833\). 3. Die standardisierten Grenzen sind \(z_1=\frac{6{,}5-7}{2{,}4}\approx-0{,}2083\) und \(z_2=\frac{7{,}5-7}{2{,}4}\approx0{,}2083\). Somit gilt \(P(6{,}5\le X\le7{,}5)=\Phi(0{,}2083)-\Phi(-0{,}2083)\approx0{,}1650\). 4. Bei \(Y\) gilt \(P(Y\le3)=P(Y<3)+P(Y=3)\), wobei \(P(Y=3)>0\) ist. Deshalb ändert der Randpunkt die Wahrscheinlichkeit. Bei der stetigen Zufallsgröße \(X\) gilt \(P(X=7{,}5)=0\), also \(P(X\le7{,}5)=P(X<7{,}5)\).

1. \(Y\): diskret; \(X\): stetig 2. \(P(Y\le3)=\frac{1}{12}\approx0{,}0833\) 3. \(P(6{,}5\le X\le7{,}5)\approx0{,}1650\) 4. Bei \(Y\) kann ein Randpunkt positive Wahrscheinlichkeit besitzen; bei \(X\) hat jeder Einzelwert Wahrscheinlichkeit \(0\).

- Stelle dir vor, du zoomst in den Bereich zwischen zwei möglichen Werten hinein – findest du dort immer weitere mögliche Werte? - Unterscheide zwischen der physikalischen Natur einer Größe und ihrer Darstellung durch Messgeräte oder Rundungsregeln. - Abzählbar unendlich bedeutet, dass man die Werte wie die natürlichen Zahlen \(1, 2, 3, \dots\) auflisten könnte. - Überabzählbar unendlich tritt meist bei Intervallen reeller Zahlen auf.

a) Der Winkel ist eine stetige Zufallsgröße, da jeder reelle Wert im Intervall \([0; 360)\) möglich ist; die Wertemenge ist überabzählbar unendlich. b) Der Geldbetrag ist eine diskrete Zufallsgröße, da Cent-Beträge nur in festen Schritten von \(0{,}01\,\text{€}\) vorkommen; die Menge der Werte ist wegen der festen Kapazitätsgrenze endlich. c) Die Zerfallsdauer ist eine stetige Zufallsgröße, da Zeit eine kontinuierliche physikalische Größe ist, die jeden positiven reellen Wert annehmen kann; die Wertemenge ist überabzählbar unendlich. d) Die gerundeten Sonnenstunden bilden eine diskrete Zufallsgröße, da durch die Rundung auf Zehntelstunden nur ein festes Raster an Werten (z. B. \(0{,}0; 0{,}1; \dots; 24{,}0\)) möglich ist; die Menge ist endlich.

a) stetig; überabzählbar unendlich b) diskret; endlich c) stetig; überabzählbar unendlich d) diskret; endlich

- Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks, dessen Breite genau Null ist? - Erinnere dich an die Definition der Wahrscheinlichkeit als Integral über die Dichtefunktion. - Überlege dir eine Analogie aus der Geometrie: Wie verhält sich die Länge einer Linie zu der „Länge“ eines einzelnen Punktes auf dieser Linie?

1. Für jeden Einzelpunkt \(c\) gilt \(P(X=c)=\int_c^c f(x)\,dx=0\). 2. Daher ist \(P(a\le X\le b)=P(X=a)+P(a<X<b)+P(X=b)=P(a<X<b)\). 3. Leons Argumentation ist falsch, weil Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Zufallsgrößen nicht durch eine abzählbare Summe von Einzelpunktwahrscheinlichkeiten, sondern durch ein Integral bestimmt werden. Das Integral ist ein Grenzwert von Flächensummen und kann über einem Intervall positiv sein, obwohl jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit \(0\) besitzt. Analog dazu hat eine Strecke eine positive Länge, obwohl jeder einzelne Punkt die Länge \(0\) hat.

a) Da \(P(X=c)=\int_c^c f(x)\,dx=0\), haben die Randpunkte \(a\) und \(b\) keinen Einfluss auf die Intervallwahrscheinlichkeit. b) Die Behauptung ist falsch, da bei stetigen Größen Wahrscheinlichkeiten über Integrale und nicht über eine Summe von Einzelpunktwahrscheinlichkeiten bestimmt werden. Ein Integral über ein Intervall kann positiv sein, obwohl jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit \(0\) besitzt.