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- Überlege dir, wie hoch eine rechteckige Fläche sein muss, damit sie bei einer Breite von 40 den Flächeninhalt 1 hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Fläche unter einer Kurve und der Wahrscheinlichkeit. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn die Breite eines Intervalls gegen Null geht? - Unterscheide zwischen diskreten Werten (wie beim Würfeln) und Werten auf einer kontinuierlichen Skala.

a) Die Dichtefunktion einer Gleichverteilung auf \([a; b]\) ist \(f(x) = \frac{1}{b-a}\). Für das Intervall \([0; 40]\) ergibt sich \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) und \(f(x) = 0\) sonst. b) Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich über das Integral: \(P(10 \le X \le 30) = \int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx = \left[ \frac{1}{40}x \right]_{10}^{30} = \frac{30}{40} - \frac{10}{40} = \frac{20}{40} = 0{,}5\). c) Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert stets \(P(X = k) = \int_{k}^{k} f(x) dx = 0\). Da beide Wahrscheinlichkeiten null sind, ist die Aussage des Technikers mathematisch korrekt, obwohl einer dieser Werte bei einer konkreten Messung auftreten kann.

a) \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) (sonst \(0\)). b) Das Integral \(\int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx\) ergibt \(\frac{30-10}{40} = 0{,}5\). c) Die Aussage ist wahr, da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeit für jeden Wert exakt \(0\) ist.

- An welcher Stelle erreicht eine Gaußsche Glockenkurve ihr Maximum? - Wie hängen der maximale Funktionswert und die Standardabweichung bei einer Normalverteilung zusammen? - Welche Information liefert die Symmetrieachse für die Lage der Verteilung?

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der \(x\)-Koordinate des Maximums bzw. der Symmetrieachse: \(\mu = 120\). 2. Der maximale Wert der Dichtefunktion einer Normalverteilung ist gegeben durch \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 3. Einsetzen des gegebenen Funktionswertes: \(0{,}08 = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 4. Auflösen nach \(\sigma\): \(\sigma = \frac{1}{0{,}08 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 4{,}99\).

\(\mu = 120\) und \(\sigma \approx 4{,}99\)

- Erinnere dich an die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung. - Versuche, den Ausdruck im Exponenten so umzuformen, dass er der Form \(-\frac{1}{2} \left(\dots\right)^2\) entspricht. - Welche Rolle spielt der Vorfaktor vor der e-Funktion im Vergleich zur Standardabweichung? - Vergleiche die Position des Maximums und die Breite der Kurve mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\).

1. Vergleich mit der allgemeinen Form der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). 2. Umformung des Exponenten: \(-0{,}02(x-12)^2 = -\frac{1}{50}(x-12)^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-12)^2}{25} = -\frac{1}{2} \left(\frac{x-12}{5}\right)^2\). 3. Identifikation der Parameter aus dem Exponenten: \(\mu = 12\) und \(\sigma = 5\). 4. Überprüfung des Vorfaktors: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}\). Dies stimmt mit dem gegebenen Koeffizienten überein. 5. Da die Funktion die Struktur der allgemeinen Dichtefunktion besitzt und der Normierungsfaktor korrekt ist, handelt es sich um eine Dichtefunktion einer Normalverteilung.

Die Funktion \(f\) ist eine Dichtefunktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert \(\mu = 12\) und der Standardabweichung \(\sigma = 5\).

- Welche beiden grundlegenden Eigenschaften muss eine Dichtefunktion auf einem Intervall erfüllen? - Schau dir die Graphen im gegebenen Intervall an. Verläuft einer der Graphen unterhalb der horizontalen Achse? - Wie berechnet man die Gesamtfläche unter einem Graphen in einem Intervall? Welcher Wert ist für eine Dichtefunktion vorgeschrieben? - Überprüfe für jede Funktion systematisch beide Eigenschaften.

Eine Funktion \(h\) ist eine Dichtefunktion auf einem Intervall \([a; b]\), wenn sie zwei Bedingungen erfüllt: 1. Nichtnegativität: \(h(x) \ge 0\) für alle \(x \in [a; b]\). 2. Normierung: Das Integral über dem Intervall ist gleich 1, also \(\int_a^b h(x) \,\text{d}x = 1\). Untersuchung von \(f\): - Da \(f(x)\) eine fallende lineare Funktion ist, liegt das Minimum im Intervall \([0; 2]\) an der rechten Grenze: \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2 + 1{,}25 = 0{,}25 > 0\). Somit ist \(f(x) \ge 0\) für alle \(x \in [0; 2]\) erfüllt. - Wir berechnen das Integral: \(\int_0^2 (-0{,}5x + 1{,}25) \,\text{d}x = \left[-0{,}25x^2 + 1{,}25x\right]_0^2 = (-0{,}25 \cdot 4 + 1{,}25 \cdot 2) - 0 = -1 + 2{,}5 = 1{,}5\) - Da das Integral \(1{,}5 \neq 1\) ist, ist \(f\) keine Dichtefunktion. Untersuchung von \(g\): - Wir prüfen die Nichtnegativität: An der linken Grenze des Intervalls gilt \(g(0) = 1{,}5 \cdot 0 - 1 = -1 < 0\). - Da die Funktion im Intervall \([0; 2]\) auch negative Werte annimmt, ist \(g\) keine Dichtefunktion (obwohl das Integral \(\int_0^2 (1{,}5x - 1) \,\text{d}x = \left[0{,}75x^2 - x\right]_0^2 = 3 - 2 = 1\) beträgt).

Keine der beiden Funktionen ist eine Dichtefunktion auf dem Intervall \([0; 2]\). - Für \(f\) gilt zwar \(f(x) \ge 0\) im gesamten Intervall, aber das Integral über dem Intervall beträgt \(\int_0^2 f(x)\,\text{d}x = 1{,}5 \neq 1\). - Für \(g\) beträgt das Integral zwar \(\int_0^2 g(x)\,\text{d}x = 1\), aber die Funktion nimmt im Intervall negative Werte an (z. B. \(g(0) = -1 < 0\)).

- Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer stetigen Zufallsgröße der Fläche unter der Dichtefunktion entspricht. - Zerlege die gesuchten Flächen unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Rechtecke und Trapeze. - Berechne die Fläche eines Trapezes mit der Formel \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\), wobei \(a\) und \(c\) die parallelen Seitenlängen (hier die Funktionswerte) und \(h\) die Breite des Intervalls sind. - Bestimme für Aufgabenteil c) zuerst den Funktionswert an der Stelle \(x = 4\). Nutze dazu den linearen Verlauf zwischen \(x = 3\) und \(x = 5\). - Nutze für Aufgabenteil d), dass sich die Wahrscheinlichkeit über ein größeres Intervall als Summe von Teilwahrscheinlichkeiten berechnen lässt.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(0 \le X \le 1)\) als Fläche des Rechtecks über \([0; 1]\) mit der Breite \(1\) und der Höhe \(0{,}1\): \(P(0 \le X \le 1) = 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}1\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) als Fläche des Trapezes über \([1; 3]\) mit den parallelen Seitenlängen \(f(1) = 0{,}1\) und \(f(3) = 0{,}4\) sowie der Breite \(2\): \(P(1 \le X \le 3) = \frac{0{,}1 + 0{,}4}{2} \cdot 2 = 0{,}5\) 3. Bestimmung des Funktionswerts \(f(4)\) durch lineare Interpolation auf dem Segment von \((3 \mid 0{,}4)\) nach \((5 \mid 0)\): \(f(4) = 0{,}2\) 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(3 \le X \le 4)\) als Fläche des Trapezes über \([3; 4]\) mit den parallelen Seitenlängen \(f(3) = 0{,}4\) und \(f(4) = 0{,}2\) sowie der Breite \(1\): \(P(3 \le X \le 4) = \frac{0{,}4 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}3\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 4)\) durch Addition der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(1 \le X \le 4) = P(1 \le X \le 3) + P(3 \le X \le 4) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\)

a) \(P(0 \le X \le 1) = 0{,}1\) b) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}5\) c) \(P(3 \le X \le 4) = 0{,}3\) d) \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}8\)

- Was gibt die Standardabweichung über die Form der Glockenkurve an? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Breite der Kurve und ihrer Höhe, wenn die Fläche darunter immer gleich bleiben muss? - Erinnere dich an die Definition einer Dichtefunktion.

1. Vergleich der Standardabweichungen: Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert. Der Graph von \(h_2\) ist deutlich breiter und flacher als der von \(h_1\). Dies bedeutet, dass die Werte bei \(h_2\) stärker streuen, weshalb \(\sigma_2 > \sigma_1\) gilt. 2. Begründung über die Gesamtwahrscheinlichkeit: Das Integral über eine Dichtefunktion von \(-\infty\) bis \(+\infty\) muss immer genau \(1\) ergeben (die Fläche unter dem Graphen ist konstant). Wenn eine Kurve aufgrund einer größeren Standardabweichung breiter wird, muss sie zwangsläufig flacher werden (niedrigeres Maximum), damit der gesamte Flächeninhalt weiterhin den Wert \(1\) beibehält.

a) Die Funktion \(h_2\) gehört zur größeren Standardabweichung, da ihre Kurve breiter ist und die Werte somit weiter um den Mittelwert streuen. b) Da die Fläche unter jeder Dichtefunktion genau \(1\) sein muss, führt eine größere Breite (größere Streuung) zwingend zu einer geringeren Höhe der Kurve, damit der Flächeninhalt konstant bleibt.

- Überlege dir, welcher geometrische Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit und der Fläche unter dem Graphen einer Dichtefunktion besteht. - Du kannst die Kästchen im Koordinatensystem nutzen, um Flächeninhalte zu bestimmen oder zu schätzen. - Wie viel Wahrscheinlichkeit entspricht einem einzelnen Kästchen im Graphen? - Für den zweiten Teil kannst du die Fläche als Dreieck berechnen, nachdem du die Höhe an der entsprechenden Stelle ermittelt hast.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1)\) entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 1]\). Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 0{,}4\). \(P(X \le 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 3)\) entspricht der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([3; 5]\). Zuerst wird die Funktionsgleichung für den linearen Abschnitt im Intervall \([1; 5]\) bestimmt: Die Gerade verläuft durch \((1|0{,}4)\) und \((5|0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 0{,}4}{5 - 1} = -0{,}1\). Die Gleichung lautet \(f(x) = -0{,}1(x - 5) = -0{,}1x + 0{,}5\). An der Stelle \(x = 3\) ist der Funktionswert \(f(3) = -0{,}1 \cdot 3 + 0{,}5 = 0{,}2\). Die Fläche des Dreiecks über \([3; 5]\) mit Grundseite \(2\) und Höhe \(0{,}2\) ist: \(P(X \ge 3) = \frac{1}{2} \cdot (5 - 3) \cdot 0{,}2 = 0{,}2\).

a) \(P(X \le 1) = 0{,}2\) (bzw. \(20\,\%\)) b) \(P(X \ge 3) = 0{,}2\) (bzw. \(20\,\%\))

- Überlege dir, wie Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Verteilungen grafisch dargestellt werden. - Kann eine Wahrscheinlichkeit größer als \(1\) sein? Kann ein Dichtewert größer als \(1\) sein? - Was ist der Unterschied zwischen der Höhe eines Punktes auf einer Kurve und einer Fläche unter dieser Kurve?

1. Bewertung der Aussage: Die Schlussfolgerung ist falsch. Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für jeden exakten Einzelwert stets \(0\). 2. Unterscheidung Dichte vs. Wahrscheinlichkeit: Der Funktionswert \(\phi(x)\) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle an. Er ist ein Maß für die relative Konzentration von Wahrscheinlichkeit, stellt aber selbst keine Wahrscheinlichkeit dar (Dichtewerte können sogar größer als \(1\) sein). 3. Geometrische Interpretation: Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächeninhalten unter der Glockenkurve. Da ein einzelner Punkt auf der x-Achse die Breite \(0\) besitzt, ist der Flächeninhalt über diesem Punkt (und damit die Wahrscheinlichkeit) unabhängig von der Höhe der Kurve immer \(0\).

Die Schlussfolgerung ist falsch. Während \(\phi(x)\) die lokale Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt, sind Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Größen als Flächen unter der Kurve definiert. Da ein einzelner Wert keine Ausdehnung besitzt, ist die Fläche über ihm und damit die Wahrscheinlichkeit \(P(X = \mu) = 0\), obwohl die Dichte dort ihr Maximum annimmt.

- Nutze die Eigenschaft, dass die Glockenkurve perfekt gespiegelt werden kann. - Wenn du die Fläche in der Mitte kennst, wie viel bleibt dann für den Rest übrig? - Überlege dir, wie sich die Symmetrie auf die beiden äußeren Bereiche (links von -1 und rechts von 1) auswirkt. - Was bedeutet eine größere Streuung für die Form der Verteilung, wenn die Gesamtfläche immer 1 bleiben muss?

a) Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(z=0\)) ist die Fläche links von der Null genauso groß wie die Fläche rechts von der Null. Da die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion \(1\) beträgt, entfällt auf jede Hälfte genau der Wert \(0{,}5\), woraus \(P(Z \le 0) = 0{,}5\) folgt. b) Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis der einfachen Standardabweichung ist \(1 - P(-1 \le Z \le 1) \approx 1 - 0{,}6827 = 0{,}3173\). Dieser Wert entspricht der Summe der Flächen in beiden Randbereichen. Wegen der Symmetrie ist \(P(Z \ge 1) = \frac{0{,}3173}{2} = 0{,}15865\). c) Eine größere Standardabweichung \(\sigma\) bedeutet eine größere Streuung der Werte. Der Graph der Dichtefunktion (die Glockenkurve) wird breiter und flacher, da das Maximum bei \(x = \mu\) sinken muss, um die Gesamtfläche von \(1\) beizubehalten.

a) Da die Gesamtfläche \(1\) ist und die Funktion symmetrisch zu \(z=0\) verläuft, muss die Fläche der linken Hälfte \(P(Z \le 0) = 0{,}5\) sein. b) \(P(Z \ge 1) = \frac{1 - 0{,}6827}{2} = 0{,}15865\). c) Die Glockenkurve wird breiter und die maximale Höhe (beim Mittelwert) nimmt ab.

- Vergleiche den Funktionsterm mit der allgemeinen Formel für die Dichtefunktion der Normalverteilung. - Welcher Wert in der Formel steht an der Stelle, die das Zentrum der Glockenkurve angibt? - Achte beim Exponenten darauf, wie der Nenner mit der Standardabweichung zusammenhängt. - Wie rechnet man einen konkreten Wert in einen z-Wert um, um die Standardnormalverteilung zu nutzen?

1. Vergleich der gegebenen Funktion mit der allgemeinen Dichtefunktion der Normalverteilung \(\varphi_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). Da \(f(x)\) diese Struktur besitzt, liegt eine Normalverteilung vor. 2. Bestimmung von \(\mu\) aus dem Zähler des Exponenten: \(x - \mu = x - 1{,}02 \implies \mu = 1{,}02\). 3. Bestimmung von \(\sigma\) aus dem Nenner des Exponenten: \(2\sigma^2 = 0{,}0008 \implies \sigma^2 = 0{,}0004 \implies \sigma = 0{,}02\). Der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{0{,}0008\pi}}\) bestätigt dies, da \(\sigma\sqrt{2\pi} = \sqrt{\sigma^2 \cdot 2\pi} = \sqrt{0{,}0004 \cdot 2\pi} = \sqrt{0{,}0008\pi}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X < 1{,}00)\) durch Standardisierung: \(z = \frac{1{,}00 - 1{,}02}{0{,}02} = -1\). 5. Ablesen oder Berechnen des Wertes: \(P(X < 1{,}00) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\).

a) Die Funktion entspricht der Form der gaußschen Glockenkurve. Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 1{,}02\,\text{kg}\) und die Standardabweichung \(\sigma = 0{,}02\,\text{kg}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(15{,}87\,\%\).

- Wie lässt sich der Erwartungswert direkt aus den Koordinaten des Hochpunkts ablesen? - Nutze die Formel für den Maximalwert der Dichtefunktion, um die Standardabweichungen zu berechnen. - Was bedeutet eine größere Standardabweichung für die Form der Glockenkurve im Vergleich zu einer kleineren? - Denk daran, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit (Fläche unter der Kurve) immer \(1\) sein muss. Was passiert mit der Höhe, wenn die Kurve breiter wird?

1. Bestimmung der Parameter für \(X\): \(\mu_X = 10\). Berechnung von \(\sigma_X\) über \(0{,}2 = \frac{1}{\sigma_X \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_X = \frac{1}{0{,}2 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 1{,}99\). 2. Bestimmung der Parameter für \(Y\): \(\mu_Y = 20\). Berechnung von \(\sigma_Y\) über \(0{,}05 = \frac{1}{\sigma_Y \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_Y = \frac{1}{0{,}05 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 7{,}98\). 3. Vergleich der Kurvenform: Eine größere Standardabweichung führt zu einer breiteren und damit flacheren Kurve (da die Fläche unter dem Graph konstant \(1\) sein muss). 4. Da \(\sigma_Y > \sigma_X\) (\(7{,}98 > 1{,}99\)), verläuft die Kurve der Zufallsgröße \(Y\) flacher.

a) \(X\): \(\mu_X = 10\), \(\sigma_X \approx 1{,}99\); \(Y\): \(\mu_Y = 20\), \(\sigma_Y \approx 7{,}98\) b) Die Kurve von \(Y\) ist flacher, da ihre Standardabweichung \(\sigma_Y\) deutlich größer ist als \(\sigma_X\).

- Welche Rolle spielen die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) für die Position und die Breite der Glockenkurve? - Wie ändert sich die Höhe des Gipfels, wenn die Kurve schmaler wird, damit die Fläche unter dem Graphen gleich bleibt? - An welchen Stellen relativ zum Erwartungswert treten bei einer Normalverteilung typischerweise die Wendepunkte auf? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den maximalen Wert der Dichtefunktion an der Stelle \(x = \mu\).

1. Vergleich der Lage und Form: Der Graph von \(f\) ist im Vergleich zu \(\varphi_{0; 1}\) um \(4\) Einheiten nach rechts in positive \(x\)-Richtung verschoben (\(\mu = 4\)). Da \(\sigma = 0{,}5 < 1\) ist, verläuft der Graph schmaler und steiler; er ist in \(x\)-Richtung gestaucht und in \(y\)-Richtung gestreckt. 2. Maximum: Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 4\). Der Funktionswert ist \(f(4) = \frac{1}{0{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}7979\). Im Vergleich dazu liegt das Maximum von \(\varphi_{0; 1}\) bei \(x = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Der maximale Wert von \(f\) ist also genau doppelt so groß. 3. Wendepunkte: Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen bei \(x = \mu \pm \sigma\). Hier ergibt sich \(x_1 = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4 + 0{,}5 = 4{,}5\).

a) Der Graph ist um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben und aufgrund von \(\sigma = 0{,}5\) schmaler und höher als der Standardgraph. b) Hochpunkt \(H(4 \mid \frac{2}{\sqrt{2\pi}}) \approx H(4 \mid 0{,}7979)\). Der \(y\)-Wert ist doppelt so hoch wie bei der Standardnormalverteilung (\(\approx 0{,}3989\)). c) Die Wendepunkte liegen bei \(x_1 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\).

- Woran erkennst du im Funktionsterm, ob ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Überlege, wie sich Änderungen im Argument der Funktion (also direkt am \(x\)) auf den Graphen auswirken. - Was passiert mit einer Symmetrieachse, wenn man das gesamte Objekt verschiebt?

a) Nachweis der Achsensymmetrie für \(\varphi_{0; 1}\): Durch Einsetzen von \(-x\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(\varphi_{0; 1}(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} = \varphi_{0; 1}(x)\). Da \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(x=0\)). b) Beschreibung der Transformationen: Zuerst erfolgt eine Skalierung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\sigma\), was zu \(\varphi_{0; 1}(\frac{x}{\sigma})\) führt. Anschließend wird der Graph um \(\mu\) Einheiten in \(x\)-Richtung verschoben (nach rechts für \(\mu > 0\)), was den Term \(\varphi_{0; 1}(\frac{x-\mu}{\sigma})\) ergibt. Zuletzt erfolgt eine Skalierung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\), um die Normierungsbedingung (Flächeninhalt 1) zu erhalten. c) Begründung der Symmetrieachse: Die ursprüngliche Symmetrieachse liegt bei \(x = 0\). Eine Skalierung in \(x\)-Richtung verändert die Lage dieser vertikalen Achse nicht. Die Verschiebung in \(x\)-Richtung um den Wert \(\mu\) verschiebt jedoch die gesamte Kurve und damit auch die Symmetrieachse an die Stelle \(x = \mu\). Die abschließende Skalierung in \(y\)-Richtung ändert die horizontale Lage der Symmetrieachse nicht mehr.

a) Nachweis über \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\). b) Skalierung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\sigma\), Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(\mu\), Skalierung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{\sigma}\). c) Die Symmetrieachse \(x=0\) wird durch die Verschiebung um \(\mu\) auf \(x=\mu\) abgebildet; Skalierungen verändern die Lage einer vertikalen Symmetrieachse nicht.

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis bei einer stetigen Verteilung annimmt. - Wie hängen die Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Flächeninhalte in bestimmten Intervallen zu bestimmen. - Achte auf die Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion.

1. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Punkt \(x_0\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X = x_0) = 0\). Somit ist \(P(X = 0{,}5) = 0\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 0{,}5)\) wird durch das Integral \(\int_{0}^{0{,}5} 6(x - x^2) \, dx\) berechnet. Mit der Stammfunktion \(F(x) = 6(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3) = 3x^2 - 2x^3\) ergibt sich \(F(0{,}5) - F(0) = (3 \cdot 0{,}25 - 2 \cdot 0{,}125) - 0 = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). 3. Für \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8)\) berechnet man \(F(0{,}8) - F(0{,}2)\). Es gilt \(F(0{,}8) = 3 \cdot 0{,}64 - 2 \cdot 0{,}512 = 1{,}92 - 1{,}024 = 0{,}896\) und \(F(0{,}2) = 3 \cdot 0{,}04 - 2 \cdot 0{,}008 = 0{,}12 - 0{,}016 = 0{,}104\). Die Differenz ist \(0{,}896 - 0{,}104 = 0{,}792\). 4. Für \(P(X > 0{,}75)\) berechnet man \(1 - F(0{,}75)\) oder \(\int_{0{,}75}^{1} f(x) \, dx\). Mit \(F(0{,}75) = 3 \cdot 0{,}5625 - 2 \cdot 0{,}421875 = 1{,}6875 - 0{,}84375 = 0{,}84375\) ergibt sich \(1 - 0{,}84375 = 0{,}15625\).

a) \(P(X = 0{,}5) = 0\) b) \(P(X \le 0{,}5) = 0{,}5\) c) \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8) = 0{,}792\) d) \(P(X > 0{,}75) = 0{,}15625\)

- Welche Bedingung muss für das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich gelten? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall, wenn die Dichtefunktion bekannt ist? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit auch geometrisch interpretieren, indem du die Form der Fläche unter dem Graphen betrachtest?

1. Damit \(f\) eine Dichtefunktion ist, muss das Integral über den gesamten Bereich gleich 1 sein: \(\int_{0}^{4} k(4 - x) \, dx = 1\). Die Stammfunktion ist \(k \cdot (4x - \frac{1}{2}x^2)\). Ausgewertet an den Grenzen ergibt dies \(k \cdot (16 - 8) = 8k\). Aus \(8k = 1\) folgt \(k = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\) entspricht dem Integral \(\int_{2}^{4} \frac{1}{8}(4 - x) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{8}(4x - \frac{1}{2}x^2)\) ergibt sich \(F(4) - F(2) = 1 - \frac{1}{8}(8 - 2) = 1 - \frac{6}{8} = 0{,}25\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) wird durch \(F(3) - F(1)\) berechnet. Es gilt \(F(3) = \frac{1}{8}(12 - 4{,}5) = \frac{7{,}5}{8} = 0{,}9375\) und \(F(1) = \frac{1}{8}(4 - 0{,}5) = \frac{3{,}5}{8} = 0{,}4375\). Die Differenz beträgt \(0{,}9375 - 0{,}4375 = 0{,}5\).

a) \(k = 0{,}125\) b) \(P(X \ge 2) = 0{,}25\) c) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}5\)

- Kannst du den Bruch innerhalb der Klammer im Exponenten vereinfachen? - Nutze Potenzgesetze, um den Vorfaktor unter eine Wurzel zu ziehen oder umgekehrt. - Überlege, wie du den Term im Exponenten so umschreiben kannst, dass nur noch \((x - \text{etwas})\) im Zähler steht. - Was muss für den Vorfaktor gelten, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt?

1. Umformung des Ausdrucks in der Klammer des Exponenten: \(\frac{2x - 10}{8} = \frac{2(x-5)}{8} = \frac{x-5}{4}\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{32\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-5}{4}\right)^2}\). 3. Vergleich mit der Standardform \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) liefert \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). 4. Prüfung des Koeffizienten: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4^2 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\). 5. Der Koeffizient passt exakt zur Standardabweichung \(\sigma = 4\), womit die Funktion eine Dichtefunktion der Normalverteilung darstellt.

Durch Umformung der Klammer zu \(\frac{x-5}{4}\) erkennt man die Parameter \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). Wegen \(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\) ist die Bedingung für eine Dichtefunktion einer Normalverteilung erfüllt.

- Kannst du die Gesamtfläche unter dem Graphen mithilfe einer bekannten geometrischen Form wie einem Trapez berechnen? - Welche Eigenschaft muss die Gesamtfläche unter dem Graphen einer Dichtefunktion immer erfüllen? - Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit \(P(a \le X \le b)\) als Fläche unter der Kurve interpretieren? - Kannst du für manche Wahrscheinlichkeiten das Gegenereignis nutzen, um die Berechnung durch Abziehen einfacher Teilflächen zu vereinfachen? - Wie hängt die kumulative Verteilungsfunktion \(F(x)\) mit der Dichtefunktion \(f(x)\) zusammen?

1. Nachweis der Dichtefunktion: Die Fläche unter dem Graphen entspricht einer Trapezfläche mit der Grundseite \(a = 3\), der Oberseite \(c = 1\) (Intervall \([1; 2]\)) und der Höhe \(h = 0{,}5\). Die Fläche berechnet sich als: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{3 + 1}{2} \cdot 0{,}5 = 1\). Da \(f(x) \ge 0\) und die Gesamtfläche \(1\) beträgt, ist \(f\) eine zulässige Dichtefunktion. 2. Wahrscheinlichkeiten: (1) \(P(X \le 1)\) ist die Fläche des linken Dreiecks von \(0\) bis \(1\): \(P(X \le 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). (2) \(P(X \ge 1{,}5)\) ist die Fläche von \(1{,}5\) bis \(3\). Diese setzt sich aus einem Rechteck (Breite \(0{,}5\), Höhe \(0{,}5\)) und einem Dreieck (Breite \(1\), Höhe \(0{,}5\)) zusammen: \(P(X \ge 1{,}5) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\). (3) \(P(0{,}5 \le X \le 2{,}5)\) lässt sich über das Gegenereignis bestimmen, indem man die zwei äußeren Dreiecke abzieht. Bei \(x = 0{,}5\) und \(x = 2{,}5\) beträgt die Höhe jeweils \(0{,}25\): \(A_{\text{links}} = A_{\text{rechts}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}25 = 0{,}0625\). \(P(0{,}5 \le X \le 2{,}5) = 1 - 2 \cdot 0{,}0625 = 0{,}875\). 3. Verteilungsfunktion \(F(x)\) für \(0 \le x \le 1\): Hierfür integrieren wir die Funktion \(f(t) = 0{,}5t\): \(F(x) = \int_{0}^{x} 0{,}5t \,\mathrm{d}t = \left[ 0{,}25t^2 \right]_{0}^{x} = 0{,}25x^2\).

a) Die Fläche unter dem Graphen ist ein Trapez mit der Fläche \(A = \frac{3 + 1}{2} \cdot 0{,}5 = 1\). Da zudem \(f(x) \ge 0\) gilt, ist \(f\) eine Dichtefunktion. b) (1) \(P(X \le 1) = 0{,}25\) (2) \(P(X \ge 1{,}5) = 0{,}5\) (3) \(P(0{,}5 \le X \le 2{,}5) = 0{,}875\) c) \(F(x) = 0{,}25x^2\) für \(0 \le x \le 1\)

- Erinnere dich daran, welche zwei Eigenschaften eine Funktion erfüllen muss, um als Dichtefunktion zulässig zu sein. - Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit geometrisch als Fläche unter der Kurve einer Dichtefunktion deuten? - Kannst du den Bereich unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zerlegen? - Überlege für den Median, bis zu welchem \(x\)-Wert genau die Hälfte der Gesamtfläche unter dem Graphen liegt. In welchem Intervall muss dieser Wert liegen?

1. Zur Überprüfung der Dichtefunktion wird gezeigt, dass \(f(x) \ge 0\) gilt und die Gesamtfläche unter dem Graphen gleich \(1\) ist. Die Fläche unter dem Graphen im Intervall \([0; 4]\) setzt sich aus drei Teilflächen zusammen: einem Dreieck über \([0; 1]\) mit \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\), einem Rechteck über \([1; 2]\) mit \(A_2 = 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\) und einem Dreieck über \([2; 4]\) mit \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\). Die Summe der Flächeninhalte ist \(A = 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}4 = 1\). Da \(f(x)\) zudem überall nicht-negativ ist, handelt es sich um eine zulässige Dichtefunktion. 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen \(x = 1\) und \(x = 3\). Dieser Bereich besteht aus dem Rechteck über \([1; 2]\) mit Fläche \(0{,}4\) und einem Trapez über \([2; 3]\) mit den parallelen Seiten \(f(2) = 0{,}4\) und \(f(3) = 0{,}2\). Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(A_{\text{Trapez}} = \frac{0{,}4 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}3\). Somit gilt \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7\). 3. Für den Median \(m\) gilt \(P(X \le m) = 0{,}5\). Da \(P(X \le 1) = 0{,}2\) und \(P(X \le 2) = 0{,}6\) ist, muss \(m\) im Intervall \([1; 2]\) liegen. In diesem Bereich ist \(f(x) = 0{,}4\) konstant, weshalb sich die Wahrscheinlichkeit als \(P(X \le m) = 0{,}2 + 0{,}4 \cdot (m - 1) = 0{,}5\) berechnen lässt. Auflösen nach \(m\) liefert \(0{,}4 \cdot (m - 1) = 0{,}3 \implies m - 1 = 0{,}75 \implies m = 1{,}75\).

a) Die Funktion ist überall nicht-negativ (\(f(x) \ge 0\)) und der gesamte Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([0; 4]\) beträgt \(0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}4 = 1\). b) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}7\) c) \(m = 1{,}75\)

- Erinnere dich daran, wie die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsgröße mit der Fläche unter der Dichtekurve zusammenhängt. - Welche geometrischen Formen siehst du unter dem Graphen der Dichtefunktion? Kannst du deren Flächeninhalt mit einfachen Formeln berechnen? - Überlege, welche Symmetrien der Graph aufweist und wie dir das beim Berechnen der verschiedenen Intervalle helfen kann. - Was gilt allgemein für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punktes bei einer stetigen Zufallsgröße? - Wie hängen die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion mathematisch zusammen? Welches Werkzeug der Analysis hilft dir hier weiter?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten durch geometrische Flächenberechnung unter der Kurve der Dichtefunktion \(f\) (Gesamtfläche unter \(f\) ist \(1\)): - \(P(X \le 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}25 = 0{,}125\) - \(P(X \le 2) = 0{,}5\) aufgrund der Symmetrie des Graphen bezüglich \(x = 2\). - \(P(X \ge 3) = P(X \le 1) = 0{,}125\) aufgrund der Symmetrie. - \(P(X \le 3) = 1 - P(X \ge 3) = 1 - 0{,}125 = 0{,}875\). - \(P(1 \le X \le 3) = P(X \le 3) - P(X \le 1) = 0{,}875 - 0{,}125 = 0{,}75\). - \(P(X = 2) = 0\), da für jede stetige Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit eines Einzelwertes null ist. 2. Bestimmung der Verteilungsfunktion \(F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \,\mathrm{d}t\): - Für \(x < 0\): \(F(x) = 0\) - Für \(0 \le x < 2\): \(F(x) = \int_0^x 0{,}25t \,\mathrm{d}t = 0{,}125x^2\) - Für \(2 \le x \le 4\): \(F(x) = F(2) + \int_2^x (-0{,}25t + 1) \,\mathrm{d}t = 0{,}5 + [-0{,}125t^2 + t]_2^x = -0{,}125x^2 + x - 1\) - Für \(x > 4\): \(F(x) = 1\)

a) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lauten: (1) \(P(X \le 1) = 0{,}125\) (2) \(P(X \le 2) = 0{,}5\) (3) \(P(X \le 3) = 0{,}875\) (4) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}75\) (5) \(P(X \ge 3) = 0{,}125\) (6) \(P(X = 2) = 0\) b) Die Verteilungsfunktion \(F\) lautet: \(F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ 0{,}125x^2 & \text{für } 0 \le x < 2 \\ -0{,}125x^2 + x - 1 & \text{für } 2 \le x \le 4 \\ 1 & \text{für } x > 4 \end{cases}\)

- Erinnere dich daran, welche zwei Bedingungen eine mathematische Funktion erfüllen muss, um als Wahrscheinlichkeitsdichte zu gelten. - Wie hängt die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls mit dem Integral der Dichtefunktion zusammen? - Überlege dir, wie die kumulative Verteilungsfunktion \(F(x)\) als Integral der Dichtefunktion definiert ist. - Welche Formel hilft dir, den Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsgröße zu berechnen? Denke an das Analogon zum gewichteten Mittelwert bei diskreten Zufallsgrößen.

1. Um zu zeigen, dass \(f\) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: - Nichtnegativität: Für \(x < 0\) und \(x > 3\) ist \(f(x) = 0 \geq 0\). Für \(0 \leq x \leq 3\) gilt \(x^2 \geq 0\) und \(3 - x \geq 0\), somit ist auch \(f(x) = \frac{4}{27}x^2(3-x) \geq 0\). - Normierung: Das Integral über den gesamten Definitionsbereich muss \(1\) ergeben: \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{3} \left(\frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{27}x^3\right)\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{4}{27}x^3 - \frac{1}{27}x^4 \right]_{0}^{3} = \left(\frac{4}{27} \cdot 27 - \frac{1}{27} \cdot 81\right) - 0 = 4 - 3 = 1 \) Beide Bedingungen sind erfüllt. 2. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 1{,}5)\) integrieren wir die Dichtefunktion von \(0\) bis \(1{,}5\): \( P(X \leq 1{,}5) = \int_{0}^{1{,}5} \left(\frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{27}x^3\right)\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{4}{27}x^3 - \frac{1}{27}x^4 \right]_{0}^{1{,}5} \) Mit \(1{,}5 = \frac{3}{2}\) ergibt sich: \( F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{8} - \frac{1}{27} \cdot \frac{81}{16} = \frac{1}{2} - \frac{3}{16} = \frac{5}{16} = 0{,}3125 \) Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(31{,}25\,\%\). 3. Die Verteilungsfunktion \(F\) für das Intervall \([0; 3]\) ist die Stammfunktion mit \(F(0) = 0\): \( F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t = \left[ \frac{4}{27}t^3 - \frac{1}{27}t^4 \right]_{0}^{x} = \frac{4}{27}x^3 - \frac{1}{27}x^4 \) 4. Der Erwartungswert \(\mu\) berechnet sich über: \( \mu = \int_{0}^{3} x \cdot f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{3} \left(\frac{4}{9}x^3 - \frac{4}{27}x^4\right)\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{9}x^4 - \frac{4}{135}x^5 \right]_{0}^{3} \) Einsetzen der Grenzen liefert: \( \mu = \left(\frac{81}{9} - \frac{4 \cdot 243}{135}\right) - 0 = 9 - \frac{4 \cdot 9}{5} = 9 - 7{,}2 = 1{,}8 \) Der Erwartungswert beträgt \(1{,}8\,\text{Stunden}\). Da \(0{,}8 \cdot 60\,\text{Minuten} = 48\,\text{Minuten}\) sind, entspricht dies \(1\,\text{Stunde}\) und \(48\,\text{Minuten}\).

a) Da \(f(x) \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und das Integral \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{3} \left(\frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{27}x^3\right)\,\mathrm{d}x = 1\) ergibt, ist \(f\) eine zulässige Wahrscheinlichkeitsdichte. b) \(P(X \leq 1{,}5) = \frac{5}{16} = 0{,}3125\) (oder \(31{,}25\,\%\)) c) \(F(x) = \frac{4}{27}x^3 - \frac{1}{27}x^4\) für \(0 \leq x \leq 3\) d) \(\mu = 1{,}8\,\text{Stunden}\) (dies entspricht \(1\,\text{Stunde}\) und \(48\,\text{Minuten}\))

- Welche geometrischen Eigenschaften (wie Symmetrie oder Monotonie) muss die Dichtefunktion einer Normalverteilung immer besitzen? - Wie hängen die Wendepunkte einer normalverteilten Glockenkurve mit ihrer Standardabweichung zusammen? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen dem Maximalwert der Dichtefunktion und ihrer Standardabweichung? - Denke an die Gesamtwahrscheinlichkeit: Welchen Wert muss die Fläche unter einer Dichtefunktion immer haben?

1. **Ausschluss von Graph \(g\) (grün):** Der Graph \(g\) ist symmetrisch um die Achse \(x = 2\), und seine Wendepunkte liegen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Dies entspricht einem Abstand von \(1\) zum Symmetriezentrum, was eine Standardabweichung von \(\sigma = 1\) bedeuten würde. Für eine Normalverteilung mit \(\sigma = 1\) müsste das Maximum der Dichtefunktion jedoch bei \(y = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}40\) liegen. Der Graph von \(g\) hat jedoch ein Maximum bei \(y = 0{,}6\), was zu hoch ist (die Gesamtfläche unter dem Graphen wäre damit größer als \(1\)). 2. **Ausschluss von Graph \(h\) (rot):** Die Dichtefunktion einer Normalverteilung ist immer perfekt symmetrisch zu ihrem Maximum (dem Erwartungswert \(\mu\)). Der Graph \(h\) ist jedoch sichtlich asymmetrisch aufgebaut (die Kurve fällt rechts vom Maximum steiler ab als links davon). 3. **Parameterbestimmung für den korrekten Graphen \(f\) (blau):** - **Erwartungswert \(\mu\):** Der Hochpunkt des Graphen liegt bei \(x = 2\). Da die Kurve symmetrisch ist, gilt \(\mu = 2\). - **Standardabweichung \(\sigma\):** Die Wendepunkte des Graphen liegen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Der Abstand der Wendepunkte vom Erwartungswert entspricht genau der Standardabweichung \(\sigma\). Es gilt also \(\sigma = 2 - 1 = 1\). - **Überprüfung:** Bei \(\sigma = 1\) liegt das Maximum bei \(y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}40\). Dies stimmt mit dem abgelesenen Hochpunkt überein.

a) Der grüne Graph \(g\) kann keine Dichtefunktion sein, da sein Maximum bei \(0{,}6\) liegt, obwohl seine Wendepunkte bei \(x = 1\) und \(x = 3\) eine Standardabweichung von \(\sigma = 1\) und damit eine maximale Höhe von ca. \(0{,}40\) erfordern würden (die Gesamtfläche unter dem Graphen wäre größer als \(1\)). Der rote Graph \(h\) ist asymmetrisch um sein Maximum aufgebaut, was für die symmetrische Glockenkurve einer Normalverteilung unmöglich ist. b) Für den verbleibenden blauen Graphen \(f\) gilt: - Erwartungswert \(\mu = 2\) - Standardabweichung \(\sigma = 1\)

- Erinnere dich daran, welche geometrische Bedeutung Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Zufallsgrößen haben. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks oder eines Trapezes? - Was muss für das Integral über den gesamten Bereich einer Dichtefunktion gelten? - Überlege dir im Sachkontext, was die Variable \(x\) und die berechnete Wahrscheinlichkeit bedeuten.

1. Eine Funktion \(f\) ist eine Dichtefunktion, wenn sie stets nicht-negativ ist und der Flächeninhalt unter dem Graphen über dem gesamten Definitionsbereich genau 1 beträgt. Die Fläche unter dem Graphen von \(f\) bildet ein Dreieck mit der Grundseite \(g = 3\) und der Höhe \(h = f(2) = \frac{2}{3}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} = 1\). Somit ist \(f\) eine zulässige Dichtefunktion. 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1)\) entspricht der Fläche unter \(f\) im Intervall \([0; 1]\). Dies ist ein Dreieck mit der Grundseite 1 und der Höhe \(f(1) = \frac{1}{3}\). \(P(X \le 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1{,}5 \le X \le 2{,}5)\) wird durch das Integral \(\int_{1{,}5}^{2{,}5} f(x) \,\mathrm{d}x\) berechnet. Dies entspricht der Summe zweier Trapezflächen: - Bereich \([1{,}5; 2]\): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot (f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{24}\). - Bereich \([2; 2{,}5]\): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot (f(2) + f(2{,}5)) \cdot 0{,}5 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4} = \frac{6}{24}\). Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(1{,}5 \le X \le 2{,}5) = \frac{7}{24} + \frac{6}{24} = \frac{13}{24} \approx 0{,}5417\). Interpretation: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(54{,}17\,\%\) fällt das Bauteil zwischen \(1{,}5\) und \(2{,}5\) Jahren aus.

1. Die Fläche unter dem Graphen ist ein Dreieck mit \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} = 1\). Da \(f(x) \ge 0\), ist \(f\) eine Dichtefunktion. 2. \(P(X \le 1) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). 3. \(P(1{,}5 \le X \le 2{,}5) = \frac{13}{24} \approx 0{,}5417\). Das Bauteil fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(54{,}2\,\%\) in diesem Zeitraum aus.

- Überlege dir, wie man die Fläche unter einem Graphen berechnet, der aus geraden Teilstücken besteht. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter der Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeiten. - Für die Bestimmung der Funktionsgleichung kannst du die Formel für eine Gerade durch zwei Punkte nutzen. - Was bedeutet es anschaulich für die Fläche unter dem Graphen, wenn ein Wert der Median ist?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung von \(f\): - Für \(0 \le x < 2\): Steigung \(m = \frac{0{,}4 - 0}{2 - 0} = 0{,}2\), also \(f(x) = 0{,}2x\). - Für \(2 \le x \le 5\): Steigung \(m = \frac{0 - 0{,}4}{5 - 2} = -\frac{0{,}4}{3} = -\frac{2}{15}\). Einsetzen des Punktes \((5 \mid 0)\) ergibt \(0 = -\frac{2}{15} \cdot 5 + c \Rightarrow c = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). Also \(f(x) = -\frac{2}{15}x + \frac{2}{3}\). Außerhalb des Intervalls \([0;5]\) gilt \(f(x)=0\). 2. Berechnung von \(P(X \le 1)\): - Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche eines Dreiecks mit Grundseite \(1\) und Höhe \(f(1) = 0{,}2 \cdot 1 = 0{,}2\). - \(P(X \le 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}2 = 0{,}1\). 3. Berechnung von \(P(1{,}5 \le X \le 3)\): - Die Fläche setzt sich aus zwei Teil-Trapezen zusammen. - Bereich \([1{,}5; 2]\): Trapez mit Höhe \(0{,}5\), Grundseiten \(f(1{,}5) = 0{,}3\) und \(f(2) = 0{,}4\). Fläche \(A_1 = \frac{0{,}3 + 0{,}4}{2} \cdot 0{,}5 = 0{,}175\). - Bereich \([2; 3]\): Trapez mit Höhe \(1\), Grundseiten \(f(2) = 0{,}4\) und \(f(3) = -\frac{2}{15} \cdot 3 + \frac{2}{3} = \frac{4}{15}\). Fläche \(A_2 = \frac{0{,}4 + \frac{4}{15}}{2} \cdot 1 = \frac{1}{3}\). - \(P(1{,}5 \le X \le 3) = 0{,}175 + \frac{1}{3} = \frac{7}{40} + \frac{1}{3} = \frac{61}{120} \approx 0{,}5083\). 4. Begründung für den Median: - Die Fläche unter dem Graphen von \(0\) bis \(2\) ist \(P(X \le 2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\). - Da dies weniger als \(0{,}5\) (\(50\,\%\)) ist, muss der Median \(x_m\) (der Wert mit \(P(X \le x_m) = 0{,}5\)) rechts von \(x = 2\) liegen.

a) \(f(x)=\begin{cases}0{,}2x & \text{für }0\le x<2,\\-\frac{2}{15}x+\frac{2}{3} & \text{für }2\le x\le 5,\\0 & \text{sonst.}\end{cases}\) b) \(P(X \le 1) = 0{,}1\) c) \(P(1{,}5 \le X \le 3) = \frac{61}{120} \approx 0{,}5083\) d) Die Fläche unter dem Graphen im Intervall \([0; 2]\) beträgt nur \(0{,}4\). Um \(0{,}5\) (\(50\,\%\) der Gesamtfläche) zu erreichen, muss man über \(x = 2\) hinausgehen.

- Erinnere dich daran, dass die Fläche unter der Dichtefunktion in einem Intervall die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall angibt. - Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le x)\) an. - Nutze für den Erwartungswert die Definition des uneigentlichen Integrals und den gegebenen Hinweis zur Stammfunktion. - Überlege dir beim Graphen, welchen Wert die Funktion an der Stelle \(x=0\) annimmt und wie sie sich für große \(x\) verhält.

1. Der Graph beginnt bei \(f(0)=0{,}2\), fällt für \(x\ge 0\) streng monoton und nähert sich der \(x\)-Achse an. Als Orientierungspunkte eignen sich \(f(5)=0{,}2e^{-1}\approx 0{,}0736\), \(f(10)=0{,}2e^{-2}\approx 0{,}0271\) und \(f(15)=0{,}2e^{-3}\approx 0{,}0100\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit von höchstens \(5\) Minuten ist \(P(X\le 5)=\int_0^5 0{,}2e^{-0{,}2x}\,\mathrm{d}x=[-e^{-0{,}2x}]_0^5=1-e^{-1}\approx 0{,}6321\). Sie beträgt also etwa \(63{,}2\,\%\). 3. Für die Verteilungsfunktion gilt \(F(x)=\begin{cases}0 & \text{für }x<0,\\1-e^{-0{,}2x} & \text{für }x\ge 0.\end{cases}\) 4. Für den Erwartungswert gilt \(\mu=\int_0^\infty x\cdot 0{,}2e^{-0{,}2x}\,\mathrm{d}x\). Eine Stammfunktion des Integranden ist \(-e^{-0{,}2x}(x+5)\). Daher folgt \(\mu=\left[-e^{-0{,}2x}(x+5)\right]_0^\infty=0-(-5)=5\).

a) Der Graph startet bei \((0\mid 0{,}2)\), fällt streng monoton und nähert sich der \(x\)-Achse an. Beispielsweise gilt \(f(5)\approx0{,}0736\), \(f(10)\approx0{,}0271\) und \(f(15)\approx0{,}0100\). b) \(P(X\le 5)=1-e^{-1}\approx 0{,}6321\approx 63{,}2\,\%\) c) \(F(x)=\begin{cases}0 & \text{für }x<0,\\1-e^{-0{,}2x} & \text{für }x\ge 0.\end{cases}\) d) \(\mu=5\) Minuten

- Überlege dir, welche zwei mathematischen Bedingungen eine Funktion erfüllen muss, um als Wahrscheinlichkeitsdichte zu gelten. - Wie berechnet man eine Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Intervall, wenn die Dichtefunktion gegeben ist? - Der Erwartungswert bei stetigen Zufallsgrößen wird über ein Integral berechnet, in dem die Zufallsgröße mit ihrer Dichte gewichtet wird. - Schau dir den Verlauf der Graphen an: Wo liegt die meiste „Fläche“? Dies hilft dir, die Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte vorab einzuschätzen.

1. Nachweis der Dichteeigenschaften: Die Funktionen \(f\) und \(g\) sind im Intervall \([0; 2]\) nicht negativ. Die Integrale über den Definitionsbereich müssen 1 ergeben: \(\int_0^2 \frac{3}{8}x^2 \,\text{d}x = [\frac{1}{8}x^3]_0^2 = \frac{8}{8} - 0 = 1\). \(\int_0^2 \frac{3}{8}(x-2)^2 \,\text{d}x = [\frac{1}{8}(x-2)^3]_0^2 = 0 - \frac{1}{8}(-8) = 1\). Beide Funktionen sind somit gültige Wahrscheinlichkeitsdichten. 2. Wahrscheinlichkeit für Wartezeit \(> 1\,\text{min}\): Für SprintBus: \(P(X_f > 1) = 1 - P(X_f \le 1) = 1 - \int_0^1 \frac{3}{8}x^2 \,\text{d}x = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875\). Für SteadyLine: \(P(X_g > 1) = \int_1^2 \frac{3}{8}(x-2)^2 \,\text{d}x = [\frac{1}{8}(x-2)^3]_1^2 = 0 - \frac{1}{8}(-1)^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Erwartungswerte: \(E(f) = \int_0^2 x\frac{3}{8}x^2 \,\text{d}x = \int_0^2 \frac{3}{8}x^3 \,\text{d}x = [\frac{3}{32}x^4]_0^2 = \frac{3 \cdot 16}{32} = 1{,}5\,\text{min}\). \(E(g) = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{8}(x-2)^2 \,\text{d}x = \frac{3}{8} \int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 4x) \,\text{d}x = \frac{3}{8} [\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2]_0^2 = \frac{3}{8} (4 - \frac{32}{3} + 8) = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = 0{,}5\,\text{min}\). SteadyLine ist zu bevorzugen, da die durchschnittliche Wartezeit mit \(0{,}5\,\text{min}\) deutlich geringer ist als bei SprintBus (\(1{,}5\,\text{min}\)).

a) Beide Integrale über \([0; 2]\) ergeben 1, und die Funktionswerte sind nicht negativ. b) SprintBus: \(87{,}5\,\%\) SteadyLine: \(12{,}5\,\%\) c) \(E(f) = 1{,}5\,\text{min}\) \(E(g) = 0{,}5\,\text{min}\) SteadyLine ist zu bevorzugen.

- Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit in einem Intervall dem Flächeninhalt unter der Dichtefunktion entspricht. - Du kannst die Fläche in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zerlegen. - Was muss für die Gesamtfläche unter einer Dichtefunktion immer gelten?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 4)\) durch Berechnung des Flächeninhalts unter dem Graphen: - Im Intervall \([1; 2]\) bildet der Graph ein Trapez mit den Eckpunkten \((1 \mid 0)\), \((2 \mid 0)\), \((2 \mid 0{,}2)\) und \((1 \mid 0{,}1)\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_1 = \frac{0{,}1 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}15\). - Im Intervall \([2; 4]\) bildet der Graph ein Rechteck mit der Breite \(2\) und der Höhe \(0{,}2\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_2 = 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4\). - Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}15 + 0{,}4 = 0{,}55\). 2. Überprüfung der Gesamtfläche unter dem Graphen von \(0\) bis \(6\): - Fläche des Dreiecks von \(0\) bis \(2\): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2\). - Fläche des Rechtecks von \(2\) bis \(6\): \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\). - Gesamte Fläche: \(0{,}2 + 0{,}8 = 1{,}0\). Da die Fläche \(1\) ist und die Funktionswerte stets nicht negativ sind, ist \(f\) eine gültige Dichtefunktion.

a) \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}55\) b) Ja, \(f\) ist eine gültige Dichtefunktion, da \(f(x)\ge 0\) im Intervall \([0; 6]\) gilt und die Gesamtfläche unter dem Graphen dort genau \(1\) beträgt.

- Überlege zuerst, ob der gesuchte Wert \(k\) links oder rechts von der Mitte des Dreiecks liegen muss. - Es ist oft einfacher, mit der Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X > k)\) zu rechnen, wenn \(k\) nahe am rechten Rand liegt. - Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich aus \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\).

1. Analyse der Dichtefunktion \(g\): Der Graph verläuft von \((0 \mid 0)\) über \((2 \mid 0{,}5)\) zu \((4 \mid 0)\). Die Gesamtfläche ist \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}5 = 1\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit bis zum Erwartungswert: Da das Dreieck symmetrisch zu \(x=2\) ist, gilt \(P(X \le 2) = 0{,}5\). 3. Da \(0{,}875 > 0{,}5\), muss \(k\) im Intervall \([2; 4]\) liegen. Es gilt \(P(X > k) = 1 - 0{,}875 = 0{,}125\). 4. Die Fläche rechts von \(k\) ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \((4-k)\). Die Funktionsgleichung für den rechten Schenkel ist \(g(x) = -0{,}25x + 1\). Die Höhe bei \(x=k\) ist \(g(k) = -0{,}25k + 1\). 5. Berechnung von \(k\): \(\frac{1}{2} \cdot (4-k) \cdot (-0{,}25k + 1) = 0{,}125 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (4-k) \cdot 0{,}25(4-k) = 0{,}125 \Rightarrow 0{,}125 \cdot (4-k)^2 = 0{,}125 \Rightarrow (4-k)^2 = 1\). 6. Daraus folgt \(4-k = 1\) (da \(k < 4\)), also \(k = 3\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 3\).

- Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um Wahrscheinlichkeiten für halbe Intervalle direkt anzugeben. - Erinnere dich daran, dass die Gesamtfläche unter jeder Dichtefunktion immer genau 1 ergeben muss. - Du kannst Flächeninhalte unter Kurven näherungsweise durch einfache geometrische Formen wie Rechtecke oder Dreiecke abschätzen. - Wie groß ist der Anteil der Fläche, der außerhalb des genannten Intervalls liegt?

1. Wegen der Achsensymmetrie des Graphen zur \(y\)-Achse liegt die Hälfte der Gesamtfläche rechts von \(0\). Daher gilt \(P(Y>0)=0{,}5\). 2. Für Teil b) wird auf \([0;1{,}5]\) eine zusammengesetzte Trapezfläche mit der Schrittweite \(0{,}5\) verwendet. Da \(g\) dort konkav ist, liegen die Verbindungsstrecken zwischen den Stützpunkten unter dem Graphen; die Trapezsumme ist also eine untere Schranke. 3. Es gilt \(g(0)=0{,}375\), \(g(0{,}5)=0{,}3515625\), \(g(1)=0{,}28125\) und \(g(1{,}5)=0{,}1640625\). Unter Nutzung der Symmetrie ergibt sich als untere Schranke \(2\cdot 0{,}5\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot 0{,}375+0{,}3515625+0{,}28125+\frac{1}{2}\cdot 0{,}1640625\right)=0{,}90234375\). 4. Damit gilt \(P(-1{,}5\le Y\le 1{,}5)>0{,}902>0{,}9\).

a) \(P(Y>0)=0{,}5\) b) Eine zusammengesetzte Trapezfläche unter dem Graphen liefert die untere Schranke \(0{,}90234375\). Daher gilt \(P(-1{,}5\le Y\le 1{,}5)>90\,\%\).

- Überlege dir, welche geometrische Bedeutung die Fläche unter der Kurve für eine Wahrscheinlichkeitsdichte hat. - Kannst du die gesuchten Flächen in einfache Teilfiguren wie Rechtecke, Dreiecke oder Trapeze zerlegen? - Für Teilaufgabe c) hilft es, erst einmal zu schätzen, in welchem Abschnitt des Graphen der gesuchte Wert \(k\) liegen muss. - Denke daran, dass die gesamte Fläche unter dem Graphen einer Dichtefunktion immer den Wert 1 hat.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([1; 3]\). Da die Dichte hier konstant \(0{,}1\) ist, ergibt sich ein Rechteck: \(P(1 \le X \le 3) = (3 - 1) \cdot 0{,}1 = 0{,}2\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 5)\) entspricht der Fläche unter dem Graphen von \(x=5\) bis zum Ende des Definitionsbereichs bei \(x=6\). Dies ist ein Trapez mit den parallelen Seiten \(f(5) = 0{,}3\) und \(f(6) = 0{,}5\) sowie der Breite \(1\). Rechnung: \(P(X \ge 5) = \frac{0{,}3 + 0{,}5}{2} \cdot 1 = 0{,}4\). 3. Gesucht ist \(k\) mit \(P(X \le k) = 0{,}7\). Da \(P(X \le 4) = 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4 < 0{,}7\), muss \(k\) im Intervall \([4; 6]\) liegen. Der Funktionsterm für diesen Bereich lautet \(f(x) = 0{,}2x - 0{,}7\). Die Gleichung \(0{,}4 + \int_{4}^{k} (0{,}2x - 0{,}7) \,\mathrm{d}x = 0{,}7\) führt auf \(0{,}1k^2 - 0{,}7k + 0{,}9 = 0\) bzw. \(k^2 - 7k + 9 = 0\). Die physikalisch sinnvolle Lösung im Intervall ist \(k = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx 5{,}30\).

a) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}2\) b) \(P(X \ge 5) = 0{,}4\) c) \(k \approx 5{,}30\)

- Kannst du den Ausdruck im Exponenten so umformen, dass eine binomische Formel sichtbar wird? - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung aus? - Welche Teile des Exponenten entsprechen dem Erwartungswert und welche der Standardabweichung? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein \(\sigma\) auch zum Vorfaktor der Funktion passt.

1. Den Exponenten durch Ausklammern und Anwendung der zweiten binomischen Formel umformen: \(-\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}(x^2 - 4x + 4) = -\frac{1}{8}(x-2)^2\). 2. Den umgeformten Exponenten mit der Standardform \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\) vergleichen: \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-2)^2}{4}\). 3. Daraus die Parameter ablesen: \(\mu = 2\) und \(\sigma^2 = 4\), woraus \(\sigma = 2\) folgt. 4. Den Vorfaktor zur Kontrolle prüfen: \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}\). Dies stimmt mit der Aufgabe überein.

\(\mu = 2\); \(\sigma = 2\)

- Welche Struktur muss der Exponent einer Gaußfunktion haben? Eine quadratische Ergänzung oder Ausklammern könnte helfen. - Welche Rolle spielt die Standardabweichung \(\sigma\) für den Vorfaktor der Funktion? - Gibt es eine bekannte Eigenschaft der Normalverteilung, die die Position der Wendestellen direkt mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\) verknüpft? - Überlege, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt.

1. Faktorisierung des Exponenten: \(-0{,}125(x^2 - 4x + 4) = -0{,}125(x-2)^2\). 2. Bestimmung von \(\mu\) und \(\sigma\): Der Vergleich mit \(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\) ergibt \(\mu = 2\) und \(\frac{1}{2\sigma^2} = 0{,}125 = \frac{1}{8}\). Daraus folgt \(\sigma^2 = 4\), also \(\sigma = 2\). 3. Berechnung der Konstanten \(c\): In der Standardform gilt \(c = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Einsetzen von \(\sigma = 2\) ergibt \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). 4. Bestimmung der Wendestellen: Bei einer gaußschen Glockenfunktion liegen die Wendestellen exakt bei \(x_W = \mu \pm \sigma\). 5. Einsetzen der Werte: \(x_1 = 2 - 2 = 0\) und \(x_2 = 2 + 2 = 4\).

Der Wert der Konstanten ist \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). Die Wendestellen des Graphen von \(f\) liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten einer Funktion? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für die Verkettung mit der e-Funktion. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf die Art der Krümmung? - Beachte, dass der Faktor vor der e-Funktion sowie die e-Funktion selbst stets positiv sind.

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: \(\varphi_{\mu; \sigma}'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung mittels Produkt- und Kettenregel: \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \left(\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 - 1\right) \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\). 3. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung: Da \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) > 0\) für alle \(x\), muss \(\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 - 1 = 0\) gelten. Dies führt zu \(x_1 = \mu - \sigma\) und \(x_2 = \mu + \sigma\). 4. Analyse des Vorzeichens von \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x)\): Für \(x < \mu - \sigma\) und \(x > \mu + \sigma\) ist \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) > 0\), der Graph ist also linksgekrümmt. Für \(\mu - \sigma < x < \mu + \sigma\) ist \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt.

Der Graph der Funktion \(\varphi_{\mu; \sigma}\) ist im Intervall \(]\mu - \sigma; \mu + \sigma[\) rechtsgekrümmt. In den Intervallen \(]-\infty; \mu - \sigma[\) und \(]\mu + \sigma; \infty[\) ist der Graph linksgekrümmt.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Setze die bekannten Koordinaten des Wendepunkts und die Steigung in die Tangentengleichung ein. - Um die Nullstelle der Tangente zu finden, musst du die Gleichung nach \(x\) auflösen. - Überlege dir, wie sich Terme auf beiden Seiten der Gleichung gegenseitig kürzen lassen.

1. Koordinaten des Wendepunkts bestimmen: \(W\left(\mu + \sigma \mid \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\right)\). 2. Steigung der Tangente berechnen: Mit \(\varphi_{\mu; \sigma}'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\) ergibt sich für \(x = \mu + \sigma\): \(m = \varphi_{\mu; \sigma}'(\mu + \sigma) = -\frac{\sigma}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-1/2} = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}}\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_W) + y_W\): \(t(x) = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - (\mu + \sigma)) + \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\). 4. Schnittstelle mit der \(x\)-Achse berechnen: Setze \(t(x) = 0 \implies \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}} = \frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - \mu - \sigma)\). Multiplikation mit \(\sigma^2\sqrt{2\pi e}\) liefert \(\sigma = x - \mu - \sigma\), woraus \(x = \mu + 2\sigma\) folgt.

Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - \mu - \sigma) + \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\). Die Nullstelle dieser Tangente liegt bei \(x = \mu + 2\sigma\).

- Wie weist man rechnerisch nach, dass ein Graph symmetrisch zu einer senkrechten Achse \(x = a\) ist? - An welcher Stelle nimmt die Glockenkurve ihren höchsten Wert an und wie lautet der Term für diesen Wert? - Betrachte den Vorfaktor der Exponentialfunktion. Was passiert mit dem Gesamtwert des Bruchs, wenn der Nenner vergrößert wird?

1. Nachweis der Symmetrie: Zu zeigen ist \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu - h) = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu + h)\) für ein beliebiges \(h \in \mathbb{R}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt für die linke Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu-h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{-h}{\sigma})^2}\) und für die rechte Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu+h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{h}{\sigma})^2}\). Da \((-h)^2 = h^2\), sind beide Ausdrücke identisch. 2. Bestimmung von \(\sigma\): Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Die Gleichung \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \approx 0{,}133\) führt zu \(\sigma \approx \frac{1}{0{,}133 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 3{,}00\). 3. Veränderung des Maximums: Der maximale Funktionswert ist umgekehrt proportional zu \(\sigma\), da \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Bei einer Vervierfachung von \(\sigma\) (neue Standardabweichung \(4\sigma\)) wird der Vorfaktor zu \(\frac{1}{4\sigma \sqrt{2\pi}}\), was genau einem Viertel des ursprünglichen Maximalwerts entspricht.

a) Durch Einsetzen von \(\mu-h\) und \(\mu+h\) in den Funktionsterm erhält man aufgrund des Quadrats im Exponenten identische Werte: \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu-h) = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{-h}{\sigma})^2} = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{h}{\sigma})^2} = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu+h)\). b) \(\sigma \approx 3\). c) Der maximale Funktionswert wird geteilt durch \(4\) (bzw. auf ein Viertel reduziert), da \(\sigma\) im Nenner des Vorfaktors steht.

- Welche mathematische Bedingung muss für das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich gelten? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Intervall mithilfe der Dichtefunktion? - Erinnere dich daran, wie man Extremstellen einer Funktion mithilfe der ersten Ableitung bestimmt. - Berechne zuerst die Grenzen des Intervalls um den Erwartungswert, bevor du das Integral anwendest.

1. **Bestimmung von \(k\)**: Damit \(f\) eine zulässige Wahrscheinlichkeitsdichte ist, muss das Integral über den gesamten Definitionsbereich gleich 1 sein: \( \int_0^4 k \cdot x \cdot (4-x)^2 \, dx = 1 \) Wir berechnen das Integral: \( \int_0^4 (16x - 8x^2 + x^3) \, dx = \left[ 8x^2 - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 \right]_0^4 = 128 - \frac{512}{3} + 64 = \frac{64}{3} \) Daraus folgt: \( k \cdot \frac{64}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{64} \) 2. **Berechnung von \(P(1 \le X \le 3)\)**: Mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{3}{64}\left(8x^2 - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4\right)\) berechnen wir: \( F(3) = \frac{3}{64}\left(72 - 72 + 20{,}25\right) = \frac{243}{256} = 0{,}94921875 \) \( F(1) = \frac{3}{64}\left(8 - \frac{8}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{67}{256} = 0{,}26171875 \) \( P(1 \le X \le 3) = F(3) - F(1) = \frac{176}{256} = \frac{11}{16} = 0{,}6875 = 68{,}75\,\% \) 3. **Bestimmung des Modalwerts**: Aus dem Graphen lässt sich das Maximum bei etwa \(x \approx 1{,}3\) ablesen. Rechnerisch bestimmen wir die Nullstelle der ersten Ableitung von \(f(x) = \frac{3}{64}(16x - 8x^2 + x^3)\): \( f'(x) = \frac{3}{64}(16 - 16x + 3x^2) = 0 \implies 3x^2 - 16x + 16 = 0 \) Mit der Lösungsformel ergibt sich: \( x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6} = \frac{16 \pm 8}{6} \implies x_1 = 4; \quad x_2 = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \) Da \(f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9} \approx 0{,}44\) und \(f(0) = f(4) = 0\), liegt das globale Maximum bei \(x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\,\text{g}\). 4. **Wahrscheinlichkeit im Intervall \([E(X) - \sigma; E(X) + \sigma]\)**: Das gesuchte Intervall lautet \([1{,}6 - 0{,}8; 1{,}6 + 0{,}8] = [0{,}8; 2{,}4]\). Wir berechnen die Werte der Stammfunktion an den Grenzen: \( F(2{,}4) = F\left(\frac{12}{5}\right) = 0{,}8208 \) \( F(0{,}8) = F\left(\frac{4}{5}\right) = 0{,}1808 \) \( P(0{,}8 \le X \le 2{,}4) = F(2{,}4) - F(0{,}8) = 0{,}8208 - 0{,}1808 = 0{,}64 = 64\,\% \)

a) \(k = \frac{3}{64}\) b) \(P(1 \le X \le 3) = \frac{11}{16} = 0{,}6875 = 68{,}75\,\%\) c) Abgelesen: ca. \(1{,}3\,\text{g}\); rechnerisch: \(x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\,\text{g}\) d) Intervall: \([0{,}8\,\text{g}; 2{,}4\,\text{g}]\); \(P(0{,}8 \le X \le 2{,}4) = 0{,}64 = 64\,\%\)

- Wie hängen die Wahrscheinlichkeit und die Fläche unter dem Graphen zusammen? - Kannst du die Funktionswerte an den Stellen 2, 6 und 8 direkt aus dem Koordinatensystem ablesen? - Erinnere dich an die Definition des Medians bei stetigen Zufallsgrößen: Welche Fläche muss links vom Median liegen? - Du kannst Flächeninhalte von Dreiecken und Trapezen nutzen, um Integrale zu umgehen oder deine Ergebnisse zu prüfen.

1. \(P(X \le 2)\) ist der Flächeninhalt des Dreiecks von \(x=0\) bis \(x=2\). Mit \(f(2) = 0{,}1\) ergibt sich: \(P(X \le 2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}1\). 2. Für \(x \in [4; 10]\) fällt die Dichte linear von \(0{,}2\) auf \(0\). Der Term ist \(f(x) = \frac{10-x}{30}\). Die Wahrscheinlichkeit \(P(6 \le X \le 8)\) ist die Fläche eines Trapezes mit \(f(6) = \frac{4}{30}\) und \(f(8) = \frac{2}{30}\) sowie Breite \(2\). Rechnung: \(P(6 \le X \le 8) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4}{30} + \frac{2}{30}) \cdot 2 = \frac{6}{30} = 0{,}2\). 3. Der Median \(x_m\) teilt die Gesamtfläche in zwei Hälften zu je \(0{,}5\). Da die Fläche bis \(x=4\) genau \(0{,}4\) beträgt (\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}2\)), muss \(x_m\) im Bereich \([4; 10]\) liegen. Die Bedingung \(\int_{4}^{x_m} \frac{10-x}{30} \,\mathrm{d}x = 0{,}1\) führt zur quadratischen Gleichung \(x_m^2 - 20x_m + 70 = 0\). Die Lösung im Intervall ist \(x_m = 10 - \sqrt{30} \approx 4{,}52\).

a) \(P(X \le 2) = 0{,}1\) b) \(P(6 \le X \le 8) = 0{,}2\) c) \(x_m \approx 4{,}52\,\text{mm}\)