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- Wie berechnet man allgemein die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer stetigen Zufallsgröße? - Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn das Intervall nur aus einem einzigen Punkt besteht? - Welchen Wert hat ein Integral, wenn die obere und untere Grenze gleich sind?

1. Identifikation des Ereignisses: Das Ereignis \(X = c\) kann als das Intervall \([c; c]\) aufgefasst werden. 2. Anwendung der Integralformel: Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich somit durch das Integral \(\int_{c}^{c} f(x) \, dx\). 3. Auswertung des Integrals: Nach den Eigenschaften des bestimmten Integrals ist der Wert eines Integrals, bei dem die untere und obere Grenze identisch sind, stets gleich \(0\), unabhängig vom Funktionsterm der Dichtefunktion \(f\). Somit folgt \(P(X = c) = 0\).

Da \(P(X = c)\) als Integral \(\int_{c}^{c} f(x) \, dx\) dargestellt werden kann und Integrale mit identischen Grenzen stets den Wert \(0\) liefern, gilt \(P(X = c) = 0\).

- Überlege dir, wie hoch eine rechteckige Fläche sein muss, damit sie bei einer Breite von 40 den Flächeninhalt 1 hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Fläche unter einer Kurve und der Wahrscheinlichkeit. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn die Breite eines Intervalls gegen Null geht? - Unterscheide zwischen diskreten Werten (wie beim Würfeln) und Werten auf einer kontinuierlichen Skala.

a) Die Dichtefunktion einer Gleichverteilung auf \([a; b]\) ist \(f(x) = \frac{1}{b-a}\). Für das Intervall \([0; 40]\) ergibt sich \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) und \(f(x) = 0\) sonst. b) Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich über das Integral: \(P(10 \le X \le 30) = \int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx = \left[ \frac{1}{40}x \right]_{10}^{30} = \frac{30}{40} - \frac{10}{40} = \frac{20}{40} = 0{,}5\). c) Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert stets \(P(X = k) = \int_{k}^{k} f(x) dx = 0\). Da beide Wahrscheinlichkeiten null sind, ist die Aussage des Technikers mathematisch korrekt, obwohl einer dieser Werte bei einer konkreten Messung auftreten kann.

a) \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) (sonst \(0\)). b) Das Integral \(\int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx\) ergibt \(\frac{30-10}{40} = 0{,}5\). c) Die Aussage ist wahr, da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeit für jeden Wert exakt \(0\) ist.

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn man von einem zentralen Punkt \(\mu\) den gleichen Betrag nach links und nach rechts geht? - Setze die Ausdrücke \(\mu - h\) und \(\mu + h\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache die Terme in der Klammer. - Welche Rolle spielt das Quadrat im Exponenten bei der Vereinfachung?

1. Berechnung von \(\varphi_{\mu;\sigma}(\mu - h)\): Einsetzen in den Funktionsterm liefert \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{(\mu - h) - \mu}{\sigma}\right)^2} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{-h}{\sigma}\right)^2}\). Da \((-h)^2 = h^2\), vereinfacht sich dies zu \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sigma}\right)^2}\). 2. Berechnung von \(\varphi_{\mu;\sigma}(\mu + h)\): Einsetzen liefert \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{(\mu + h) - \mu}{\sigma}\right)^2} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sigma}\right)^2}\). 3. Vergleich: Beide Ausdrücke sind identisch, womit die Gleichung \(\varphi_{\mu;\sigma}(\mu - h) = \varphi_{\mu;\sigma}(\mu + h)\) für alle \(h \in \mathbb{R}\) bewiesen ist. 4. Geometrische Interpretation: Die Gleichung besagt, dass die Funktionswerte in gleichem Abstand \(h\) links und rechts von der Stelle \(x = \mu\) stets gleich groß sind. Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur vertikalen Geraden \(x = \mu\) ist.

Der Nachweis erfolgt durch Einsetzen: Da \(((\mu-h)-\mu)^2 = (-h)^2 = h^2\) und \(((\mu+h)-\mu)^2 = h^2\) gilt, sind die Funktionswerte identisch. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \mu\) ist.

- Erinnere dich an die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung. - Versuche, den Ausdruck im Exponenten so umzuformen, dass er der Form \(-\frac{1}{2} \left(\dots\right)^2\) entspricht. - Welche Rolle spielt der Vorfaktor vor der e-Funktion im Vergleich zur Standardabweichung? - Vergleiche die Position des Maximums und die Breite der Kurve mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\).

1. Vergleich mit der allgemeinen Form der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). 2. Umformung des Exponenten: \(-0{,}02(x-12)^2 = -\frac{1}{50}(x-12)^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-12)^2}{25} = -\frac{1}{2} \left(\frac{x-12}{5}\right)^2\). 3. Identifikation der Parameter aus dem Exponenten: \(\mu = 12\) und \(\sigma = 5\). 4. Überprüfung des Vorfaktors: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}\). Dies stimmt mit dem gegebenen Koeffizienten überein. 5. Da die Funktion die Struktur der allgemeinen Dichtefunktion besitzt und der Normierungsfaktor korrekt ist, handelt es sich um eine Dichtefunktion einer Normalverteilung.

Die Funktion \(f\) ist eine Dichtefunktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert \(\mu = 12\) und der Standardabweichung \(\sigma = 5\).

- Überlege dir, wie Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Verteilungen grafisch dargestellt werden. - Kann eine Wahrscheinlichkeit größer als \(1\) sein? Kann ein Dichtewert größer als \(1\) sein? - Was ist der Unterschied zwischen der Höhe eines Punktes auf einer Kurve und einer Fläche unter dieser Kurve?

1. Bewertung der Aussage: Die Schlussfolgerung ist falsch. Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für jeden exakten Einzelwert stets \(0\). 2. Unterscheidung Dichte vs. Wahrscheinlichkeit: Der Funktionswert \(\phi(x)\) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle an. Er ist ein Maß für die relative Konzentration von Wahrscheinlichkeit, stellt aber selbst keine Wahrscheinlichkeit dar (Dichtewerte können sogar größer als \(1\) sein). 3. Geometrische Interpretation: Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächeninhalten unter der Glockenkurve. Da ein einzelner Punkt auf der x-Achse die Breite \(0\) besitzt, ist der Flächeninhalt über diesem Punkt (und damit die Wahrscheinlichkeit) unabhängig von der Höhe der Kurve immer \(0\).

Die Schlussfolgerung ist falsch. Während \(\phi(x)\) die lokale Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt, sind Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Größen als Flächen unter der Kurve definiert. Da ein einzelner Wert keine Ausdehnung besitzt, ist die Fläche über ihm und damit die Wahrscheinlichkeit \(P(X = \mu) = 0\), obwohl die Dichte dort ihr Maximum annimmt.

- Nutze die Eigenschaft, dass die Glockenkurve perfekt gespiegelt werden kann. - Wenn du die Fläche in der Mitte kennst, wie viel bleibt dann für den Rest übrig? - Überlege dir, wie sich die Symmetrie auf die beiden äußeren Bereiche (links von -1 und rechts von 1) auswirkt. - Was bedeutet eine größere Streuung für die Form der Verteilung, wenn die Gesamtfläche immer 1 bleiben muss?

a) Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(z=0\)) ist die Fläche links von der Null genauso groß wie die Fläche rechts von der Null. Da die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion \(1\) beträgt, entfällt auf jede Hälfte genau der Wert \(0{,}5\), woraus \(P(Z \le 0) = 0{,}5\) folgt. b) Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis der einfachen Standardabweichung ist \(1 - P(-1 \le Z \le 1) \approx 1 - 0{,}6827 = 0{,}3173\). Dieser Wert entspricht der Summe der Flächen in beiden Randbereichen. Wegen der Symmetrie ist \(P(Z \ge 1) = \frac{0{,}3173}{2} = 0{,}15865\). c) Eine größere Standardabweichung \(\sigma\) bedeutet eine größere Streuung der Werte. Der Graph der Dichtefunktion (die Glockenkurve) wird breiter und flacher, da das Maximum bei \(x = \mu\) sinken muss, um die Gesamtfläche von \(1\) beizubehalten.

a) Da die Gesamtfläche \(1\) ist und die Funktion symmetrisch zu \(z=0\) verläuft, muss die Fläche der linken Hälfte \(P(Z \le 0) = 0{,}5\) sein. b) \(P(Z \ge 1) = \frac{1 - 0{,}6827}{2} = 0{,}15865\). c) Die Glockenkurve wird breiter und die maximale Höhe (beim Mittelwert) nimmt ab.

- Welche Rolle spielen die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) für die Position und die Breite der Glockenkurve? - Wie ändert sich die Höhe des Gipfels, wenn die Kurve schmaler wird, damit die Fläche unter dem Graphen gleich bleibt? - An welchen Stellen relativ zum Erwartungswert treten bei einer Normalverteilung typischerweise die Wendepunkte auf? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den maximalen Wert der Dichtefunktion an der Stelle \(x = \mu\).

1. Vergleich der Lage und Form: Der Graph von \(f\) ist im Vergleich zu \(\varphi_{0; 1}\) um \(4\) Einheiten nach rechts in positive \(x\)-Richtung verschoben (\(\mu = 4\)). Da \(\sigma = 0{,}5 < 1\) ist, verläuft der Graph schmaler und steiler; er ist in \(x\)-Richtung gestaucht und in \(y\)-Richtung gestreckt. 2. Maximum: Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 4\). Der Funktionswert ist \(f(4) = \frac{1}{0{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}7979\). Im Vergleich dazu liegt das Maximum von \(\varphi_{0; 1}\) bei \(x = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Der maximale Wert von \(f\) ist also genau doppelt so groß. 3. Wendepunkte: Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen bei \(x = \mu \pm \sigma\). Hier ergibt sich \(x_1 = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4 + 0{,}5 = 4{,}5\).

a) Der Graph ist um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben und aufgrund von \(\sigma = 0{,}5\) schmaler und höher als der Standardgraph. b) Hochpunkt \(H(4 \mid \frac{2}{\sqrt{2\pi}}) \approx H(4 \mid 0{,}7979)\). Der \(y\)-Wert ist doppelt so hoch wie bei der Standardnormalverteilung (\(\approx 0{,}3989\)). c) Die Wendepunkte liegen bei \(x_1 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\).

- Woran erkennst du im Funktionsterm, ob ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Überlege, wie sich Änderungen im Argument der Funktion (also direkt am \(x\)) auf den Graphen auswirken. - Was passiert mit einer Symmetrieachse, wenn man das gesamte Objekt verschiebt?

a) Nachweis der Achsensymmetrie für \(\varphi_{0; 1}\): Durch Einsetzen von \(-x\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(\varphi_{0; 1}(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} = \varphi_{0; 1}(x)\). Da \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(x=0\)). b) Beschreibung der Transformationen: Zuerst erfolgt eine Skalierung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\sigma\), was zu \(\varphi_{0; 1}(\frac{x}{\sigma})\) führt. Anschließend wird der Graph um \(\mu\) Einheiten in \(x\)-Richtung verschoben (nach rechts für \(\mu > 0\)), was den Term \(\varphi_{0; 1}(\frac{x-\mu}{\sigma})\) ergibt. Zuletzt erfolgt eine Skalierung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\), um die Normierungsbedingung (Flächeninhalt 1) zu erhalten. c) Begründung der Symmetrieachse: Die ursprüngliche Symmetrieachse liegt bei \(x = 0\). Eine Skalierung in \(x\)-Richtung verändert die Lage dieser vertikalen Achse nicht. Die Verschiebung in \(x\)-Richtung um den Wert \(\mu\) verschiebt jedoch die gesamte Kurve und damit auch die Symmetrieachse an die Stelle \(x = \mu\). Die abschließende Skalierung in \(y\)-Richtung ändert die horizontale Lage der Symmetrieachse nicht mehr.

a) Nachweis über \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\). b) Skalierung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\sigma\), Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(\mu\), Skalierung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{\sigma}\). c) Die Symmetrieachse \(x=0\) wird durch die Verschiebung um \(\mu\) auf \(x=\mu\) abgebildet; Skalierungen verändern die Lage einer vertikalen Symmetrieachse nicht.

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis bei einer stetigen Verteilung annimmt. - Wie hängen die Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Flächeninhalte in bestimmten Intervallen zu bestimmen. - Achte auf die Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion.

1. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Punkt \(x_0\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X = x_0) = 0\). Somit ist \(P(X = 0{,}5) = 0\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 0{,}5)\) wird durch das Integral \(\int_{0}^{0{,}5} 6(x - x^2) \, dx\) berechnet. Mit der Stammfunktion \(F(x) = 6 \cdot (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3) = 3x^2 - 2x^3\) ergibt sich \(F(0{,}5) - F(0) = (3 \cdot 0{,}25 - 2 \cdot 0{,}125) - 0 = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). 3. Für \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8)\) berechnet man \(F(0{,}8) - F(0{,}2)\). Es gilt \(F(0{,}8) = 3 \cdot 0{,}64 - 2 \cdot 0{,}512 = 1{,}92 - 1{,}024 = 0{,}896\) und \(F(0{,}2) = 3 \cdot 0{,}04 - 2 \cdot 0{,}008 = 0{,}12 - 0{,}016 = 0{,}104\). Die Differenz ist \(0{,}896 - 0{,}104 = 0{,}792\). 4. Für \(P(X > 0{,}75)\) berechnet man \(1 - F(0{,}75)\) oder \(\int_{0{,}75}^{1} f(x) \, dx\). Mit \(F(0{,}75) = 3 \cdot 0{,}5625 - 2 \cdot 0{,}421875 = 1{,}6875 - 0{,}84375 = 0{,}84375\) ergibt sich \(1 - 0{,}84375 = 0{,}15625\).

a) \(P(X = 0{,}5) = 0\) b) \(P(X \le 0{,}5) = 0{,}5\) c) \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8) = 0{,}792\) d) \(P(X > 0{,}75) = 0{,}15625\)

- Welche Bedingung muss für das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich gelten? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall, wenn die Dichtefunktion bekannt ist? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit auch geometrisch interpretieren, indem du die Form der Fläche unter dem Graphen betrachtest?

1. Damit \(f\) eine Dichtefunktion ist, muss das Integral über den gesamten Bereich gleich 1 sein: \(\int_{0}^{4} k(4 - x) \, dx = 1\). Die Stammfunktion ist \(k \cdot (4x - \frac{1}{2}x^2)\). Ausgewertet an den Grenzen ergibt dies \(k \cdot (16 - 8) = 8k\). Aus \(8k = 1\) folgt \(k = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\) entspricht dem Integral \(\int_{2}^{4} \frac{1}{8}(4 - x) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{8}(4x - \frac{1}{2}x^2)\) ergibt sich \(F(4) - F(2) = 1 - \frac{1}{8}(8 - 2) = 1 - \frac{6}{8} = 0{,}25\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) wird durch \(F(3) - F(1)\) berechnet. Es gilt \(F(3) = \frac{1}{8}(12 - 4{,}5) = \frac{7{,}5}{8} = 0{,}9375\) und \(F(1) = \frac{1}{8}(4 - 0{,}5) = \frac{3{,}5}{8} = 0{,}4375\). Die Differenz beträgt \(0{,}9375 - 0{,}4375 = 0{,}5\).

a) \(k = 0{,}125\) b) \(P(X \ge 2) = 0{,}25\) c) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}5\)

- Kannst du den Bruch innerhalb der Klammer im Exponenten vereinfachen? - Nutze Potenzgesetze, um den Vorfaktor unter eine Wurzel zu ziehen oder umgekehrt. - Überlege, wie du den Term im Exponenten so umschreiben kannst, dass nur noch \((x - \text{etwas})\) im Zähler steht. - Was muss für den Vorfaktor gelten, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt?

1. Umformung des Ausdrucks in der Klammer des Exponenten: \(\frac{2x - 10}{8} = \frac{2(x-5)}{8} = \frac{x-5}{4}\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{32\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-5}{4}\right)^2}\). 3. Vergleich mit der Standardform \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) liefert \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). 4. Prüfung des Koeffizienten: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4^2 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\). 5. Der Koeffizient passt exakt zur Standardabweichung \(\sigma = 4\), womit die Funktion eine Dichtefunktion der Normalverteilung darstellt.

Durch Umformung der Klammer zu \(\frac{x-5}{4}\) erkennt man die Parameter \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). Wegen \(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\) ist die Bedingung für eine Dichtefunktion einer Normalverteilung erfüllt.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Setze die bekannten Koordinaten des Wendepunkts und die Steigung in die Tangentengleichung ein. - Um die Nullstelle der Tangente zu finden, musst du die Gleichung nach \(x\) auflösen. - Überlege dir, wie sich Terme auf beiden Seiten der Gleichung gegenseitig kürzen lassen.

1. Koordinaten des Wendepunkts bestimmen: \(W\left(\mu + \sigma \mid \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\right)\). 2. Steigung der Tangente berechnen: Mit \(\varphi_{\mu; \sigma}'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\) ergibt sich für \(x = \mu + \sigma\): \(m = \varphi_{\mu; \sigma}'(\mu + \sigma) = -\frac{\sigma}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-1/2} = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}}\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung \(y = m \cdot (x - x_W) + y_W\): \(t(x) = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - (\mu + \sigma)) + \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\). 4. Schnittstelle mit der \(x\)-Achse berechnen: Setze \(t(x) = 0 \implies \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}} = \frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - \mu - \sigma)\). Multiplikation mit \(\sigma^2\sqrt{2\pi e}\) liefert \(\sigma = x - \mu - \sigma\), woraus \(x = \mu + 2\sigma\) folgt.

Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - \mu - \sigma) + \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\). Die Nullstelle dieser Tangente liegt bei \(x = \mu + 2\sigma\).

- Wie weist man rechnerisch nach, dass ein Graph symmetrisch zu einer senkrechten Achse \(x = a\) ist? - An welcher Stelle nimmt die Glockenkurve ihren höchsten Wert an und wie lautet der Term für diesen Wert? - Betrachte den Vorfaktor der Exponentialfunktion. Was passiert mit dem Gesamtwert des Bruchs, wenn der Nenner vergrößert wird?

1. Nachweis der Symmetrie: Zu zeigen ist \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu - h) = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu + h)\) für ein beliebiges \(h \in \mathbb{R}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt für die linke Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu-h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{-h}{\sigma})^2}\) und für die rechte Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu+h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{h}{\sigma})^2}\). Da \((-h)^2 = h^2\), sind beide Ausdrücke identisch. 2. Bestimmung von \(\sigma\): Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Die Gleichung \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \approx 0{,}133\) führt zu \(\sigma \approx \frac{1}{0{,}133 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 3{,}00\). 3. Veränderung des Maximums: Der maximale Funktionswert ist umgekehrt proportional zu \(\sigma\), da \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Bei einer Vervierfachung von \(\sigma\) (neue Standardabweichung \(4\sigma\)) wird der Vorfaktor zu \(\frac{1}{4\sigma \sqrt{2\pi}}\), was genau einem Viertel des ursprünglichen Maximalwerts entspricht.

a) Durch Einsetzen von \(\mu-h\) und \(\mu+h\) in den Funktionsterm erhält man aufgrund des Quadrats im Exponenten identische Werte: \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu-h) = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{-h}{\sigma})^2} = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{h}{\sigma})^2} = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu+h)\). b) \(\sigma \approx 3\). c) Der maximale Funktionswert wird geteilt durch \(4\) (bzw. auf ein Viertel reduziert), da \(\sigma\) im Nenner des Vorfaktors steht.