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- Welche geometrische Transformation entspricht einer Änderung des Wertes, der von der Variablen \(x\) subtrahiert wird? - Wie hängen die Steigung der Verteilungsfunktion und die Werte der zugehörigen Dichtefunktion zusammen? - Welchen Wahrscheinlichkeitswert nimmt eine normalverteilte Zufallsgröße genau an ihrem Erwartungswert an? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve und was diese für die kumulierte Fläche bedeuten.

1. Der Parameter \(\mu\) bestimmt die horizontale Lage des Graphen auf der \(x\)-Achse. Eine Vergrößerung von \(\mu\) bewirkt eine Verschiebung des gesamten Graphen nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). 2. Die Steigung der Verteilungsfunktion entspricht dem Wert der Dichtefunktion \(\phi_{\mu; \sigma}\). Da der Maximalwert der Dichtefunktion an der Stelle \(x = \mu\) durch \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) gegeben ist, führt eine Vergrößerung von \(\sigma\) zu einer Verringerung dieses Maximalwertes. Der Graph der Verteilungsfunktion verläuft somit im Zentrum „flacher“. 3. Jede Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist punktsymmetrisch zum Punkt \((\mu; 0{,}5)\). Da \(\Phi_{\mu; \sigma}(\mu) = 0{,}5\) für alle \(\sigma > 0\) gilt, ist dies der gesuchte Punkt.

1. Der Graph wird entlang der \(x\)-Achse nach rechts verschoben. 2. Die maximale Steigung an der Stelle \(x = \mu\) nimmt ab; der Graph wird flacher. 3. Der Punkt hat die Koordinaten \((\mu; 0{,}5)\).

- Überlege, wie die beiden x-Werte im Verhältnis zum Erwartungswert liegen. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Flächenanteilen links von einem Wert und rechts von seinem symmetrischen Gegenstück? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le \mu - a)\) und \(P(X \le \mu + a)\) zusammen?

1. Identifikation der Symmetrie zum Erwartungswert: Die Stellen \(x_1 = 45\) und \(x_2 = 55\) liegen symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu = 50\), da \(45 = 50 - 5\) und \(55 = 50 + 5\) gilt (Abstand \(a = 5\)). 2. Anwendung der Symmetrieeigenschaft der Verteilungsfunktion: Es gilt die Beziehung \(\Phi_{\mu; \sigma}(\mu - a) = 1 - \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a)\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte: \(0{,}3085 = 1 - \Phi_{50; \sigma}(55)\). 4. Berechnung des gesuchten Wertes: \(\Phi_{50; \sigma}(55) = 1 - 0{,}3085 = 0{,}6915\).

\(\Phi_{50; \sigma}(55) = 0{,}6915\)

- Wie verändert sich das Argument der Funktion \(\Phi\), wenn man von der Standardnormalverteilung zur allgemeinen Normalverteilung übergeht? - Betrachte die Formel für die Dichtefunktion an der Stelle ihres Maximums. - Was sagt die Verteilungsfunktion über die gesamte Fläche unter der Dichtekurve aus, wenn man das gesamte Intervall betrachtet? - Überlege, wie sich eine Änderung von \(\sigma\) auf die Breite der Verteilung auswirkt.

1. Der Graph von \(F_1\) wird zunächst um 5 Einheiten nach rechts verschoben, was zu \(\Phi_{5; 1}\) führt. Anschließend erfolgt eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor 2 (da \(\sigma\) von 1 auf 2 steigt), was die Funktion \(F_2(x) = \Phi_{0; 1}(\frac{x-5}{2})\) ergibt. 2. Die Steigung der Verteilungsfunktion an der Stelle \(\mu\) ist gegeben durch \(\Phi'_{\mu; \sigma}(\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Da \(\sigma_1 = 1\) kleiner ist als \(\sigma_2 = 2\), ist der Nenner beim ersten Graphen kleiner und somit der Gesamtwert (die Steigung) größer. 3. Für \(x \to \infty\) streben alle Verteilungsfunktionen gegen den Grenzwert 1. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, dass die Zufallsgröße einen beliebigen reellen Wert annimmt (\(P(X < \infty) = 1\)).

1. Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts und anschließende Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor 2. 2. Die Steigung an der Stelle \(\mu\) ist antiproportional zu \(\sigma\). Wegen \(\sigma_1 < \sigma_2\) ist \(F_1\) an dieser Stelle steiler. 3. Der Grenzwert ist 1. Er repräsentiert die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse.

- Wie berechnet man allgemein die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \([x_1; x_2]\), wenn die Verteilungsfunktion bekannt ist? - Versuche, in deiner Formel alle Ausdrücke, die \(\mu - a\) enthalten, durch den in der Aufgabe genannten Zusammenhang zu ersetzen. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen des Ansatzes für die Intervallwahrscheinlichkeit mittels der Verteilungsfunktion: \(P(\mu - a \le X \le \mu + a) = \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - \Phi_{\mu; \sigma}(\mu - a)\). 2. Anwendung der gegebenen Symmetrie-Eigenschaft: Ersetzen des Terms \(\Phi_{\mu; \sigma}(\mu - a)\) durch den Ausdruck \(1 - \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a)\). 3. Einsetzen und Vereinfachen der Gleichung: \(P = \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - (1 - \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a))\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(P = \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - 1 + \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) = 2 \cdot \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - 1\).

\(P(\mu - a \le X \le \mu + a) = 2 \cdot \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - 1\)