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- An welcher Stelle erreicht eine Gaußsche Glockenkurve ihr Maximum? - Wie hängen der maximale Funktionswert und die Standardabweichung bei einer Normalverteilung zusammen? - Welche Information liefert die Symmetrieachse für die Lage der Verteilung?

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der \(x\)-Koordinate des Maximums bzw. der Symmetrieachse: \(\mu = 120\). 2. Der maximale Wert der Dichtefunktion einer Normalverteilung ist gegeben durch \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 3. Einsetzen des gegebenen Funktionswertes: \(0{,}08 = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 4. Auflösen nach \(\sigma\): \(\sigma = \frac{1}{0{,}08 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 4{,}99\).

\(\mu = 120\) und \(\sigma \approx 4{,}99\)

- Welche Eigenschaft muss das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich immer erfüllen? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall und das Integral der Dichtefunktion zusammen? - Erinnere dich an die Formeln für den Erwartungswert und die Varianz bei stetigen Zufallsgrößen. - Achte darauf, dass die Dichtefunktion außerhalb des Intervalls \([0; 2]\) den Wert Null annimmt.

1. Berechnung von \(c\): Das Integral der Dichtefunktion über den Definitionsbereich muss 1 ergeben. Es gilt \(\int_{0}^{2} c \cdot (4 - x^2) \, dx = c \cdot [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = c \cdot (8 - \frac{8}{3}) = c \cdot \frac{16}{3}\). Aus \(c \cdot \frac{16}{3} = 1\) folgt \(c = \frac{3}{16}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 1{,}5)\): Es wird das Integral \(\int_{0}^{1{,}5} \frac{3}{16}(4 - x^2) \, dx\) berechnet. Dies ergibt \(\frac{3}{16} \cdot [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^{1{,}5} = \frac{3}{16} \cdot (4 \cdot 1{,}5 - \frac{1}{3} \cdot 1{,}5^3) = \frac{3}{16} \cdot (6 - 1{,}125) = \frac{3}{16} \cdot 4{,}875 = \frac{117}{128} \approx 0{,}9141\). 3. Erwartungswert \(E(X)\): \(E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot f(x) \, dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \frac{3}{16} \cdot [2x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^2 = \frac{3}{16} \cdot (8 - 4) = 0{,}75\,\text{mm}\). 4. Varianz und Standardabweichung: Zuerst wird \(E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \, dx = \frac{3}{16} \cdot [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \frac{3}{16} \cdot (\frac{32}{3} - \frac{32}{5}) = \frac{3}{16} \cdot \frac{64}{15} = 0{,}8\) berechnet. Die Varianz ist \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0{,}8 - 0{,}75^2 = 0{,}2375\). Die Standardabweichung ist \(\sigma(X) = \sqrt{0{,}2375} \approx 0{,}4873\,\text{mm}\).

a) \(c = \frac{3}{16} = 0{,}1875\) b) \(P(X \leq 1{,}5) = \frac{117}{128} \approx 91{,}41\,\%\) c) \(E(X) = 0{,}75\,\text{mm}\); \(\sigma(X) \approx 0{,}4873\,\text{mm}\)

- Überprüfe für den Nachweis der Dichte sowohl die Nichtnegativität als auch das Normierungsintegral. - Was bedeutet „länger als zwei Jahre“ für die Grenzen deines Integrals? - Kannst du den Erwartungswert intuitiv prüfen? Liegt er sinnvoll innerhalb des Intervalls \([0; 3]\)?

1. Nachweis der Dichteeigenschaften: Für \(t \in [0; 3]\) ist \(t^2 \geq 0\) und \((3-t) \geq 0\), somit ist \(g(t) \geq 0\) für \(k = \frac{4}{27} > 0\). Das Integral über den Bereich ist \(\int_{0}^{3} \frac{4}{27}(3t^2 - t^3) \, dt = \frac{4}{27} [t^3 - \frac{1}{4}t^4]_0^3 = \frac{4}{27} (27 - \frac{81}{4}) = \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} = 1\). Damit sind beide Bedingungen erfüllt. 2. Erwartungswert \(E(T)\): \(E(T) = \int_{0}^{3} t \cdot g(t) \, dt = \frac{4}{27} \int_{0}^{3} (3t^3 - t^4) \, dt = \frac{4}{27} [\frac{3}{4}t^4 - \frac{1}{5}t^5]_0^3 = \frac{4}{27} (\frac{243}{4} - \frac{243}{5}) = \frac{4}{27} \cdot 243 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) = 36 \cdot \frac{1}{20} = 1{,}8\). Der Erwartungswert beträgt \(1{,}8\) Jahre. 3. Wahrscheinlichkeit \(P(T > 2)\): Es wird das Integral von \(2\) bis \(3\) berechnet: \(\int_{2}^{3} \frac{4}{27}(3t^2 - t^3) \, dt = \frac{4}{27} [t^3 - \frac{1}{4}t^4]_2^3 = \frac{4}{27} ((27 - 20{,}25) - (8 - 4)) = \frac{4}{27} (6{,}75 - 4) = \frac{4}{27} \cdot 2{,}75 = \frac{4}{27} \cdot \frac{11}{4} = \frac{11}{27} \approx 0{,}4074\).

a) Nachweis durch \(g(t) \geq 0\) und \(\int_{0}^{3} g(t) \, dt = 1\). b) \(E(T) = 1{,}8\,\text{Jahre}\) c) \(P(T > 2) = \frac{11}{27} \approx 40{,}74\,\%\)

- Vergleiche die gegebene Funktion direkt mit der allgemeinen Form der Normalverteilungsdichte. - Was muss im Nenner des Exponenten stehen, damit der Faktor \(-4{,}5\) vor der Klammer korrekt dargestellt wird? - Achte beim Ablesen von \(\mu\) besonders auf das Vorzeichen in der Klammer. - Wie hängen der Koeffizient vor der e-Funktion und der Wert von \(\sigma\) zusammen?

1. Vergleich des Exponenten \(-4{,}5(x+2)^2\) mit der allgemeinen Form \(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\). 2. Bestimmung von \(\mu\): Da im Quadrat \((x+2)^2 = (x - (-2))^2\) steht, ist \(\mu = -2\). 3. Bestimmung von \(\sigma\): Aus dem Koeffizienten im Exponenten folgt \(\frac{1}{2\sigma^2} = 4{,}5\). Umstellen ergibt \(\sigma^2 = \frac{1}{9}\) und somit \(\sigma = \frac{1}{3}\). 4. Überprüfung des Vorfaktors: Mit \(\sigma = \frac{1}{3}\) ergibt sich \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\frac{1}{3} \sqrt{2\pi}} = \frac{3}{\sqrt{2\pi}}\), was dem gegebenen Wert entspricht.

\(\mu = -2\); \(\sigma = \frac{1}{3}\)

- Erinnere dich an die allgemeine Funktionsgleichung für die Dichte der Normalverteilung. - Wie kannst du den Ausdruck im Exponenten so umformen, dass ein Quadrat entsteht? - Vergleiche die Bestandteile deiner umgeformten Funktion Schritt für Schritt mit der allgemeinen Formel. - Achte besonders auf den Zusammenhang zwischen dem Wert im Nenner des Exponenten und dem Faktor vor der Wurzel.

1. Vergleich mit der allgemeinen Form der gaußschen Glockenfunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). 2. Umformung des Exponenten mittels der ersten binomischen Formel: \(-\frac{x^2 + 4x + 4}{18} = -\frac{(x+2)^2}{18}\). 3. Anpassung an die Standardform des Exponenten: \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x+2)^2}{9} = -\frac{1}{2} \left(\frac{x+2}{3}\right)^2\). 4. Identifikation der Parameter durch Koeffizientenvergleich: \(\mu = -2\) und \(\sigma = 3\). 5. Überprüfung des Normierungsfaktors: \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{3 \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{18\pi}}\). 6. Da der Vorfaktor und der Exponent exakt der Definition entsprechen, handelt es sich um eine Dichtefunktion einer Normalverteilung mit \(\mu = -2\) und \(\sigma = 3\).

Die Funktion ist eine Dichtefunktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert \(\mu = -2\) und der Standardabweichung \(\sigma = 3\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten einer Funktion? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für die Verkettung mit der e-Funktion. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf die Art der Krümmung? - Beachte, dass der Faktor vor der e-Funktion sowie die e-Funktion selbst stets positiv sind.

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: \(\varphi_{\mu; \sigma}'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung mittels Produkt- und Kettenregel: \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \left(\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 - 1\right) \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\). 3. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung: Da \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) > 0\) für alle \(x\), muss \(\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 - 1 = 0\) gelten. Dies führt zu \(x_1 = \mu - \sigma\) und \(x_2 = \mu + \sigma\). 4. Analyse des Vorzeichens von \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x)\): Für \(x < \mu - \sigma\) und \(x > \mu + \sigma\) ist \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) > 0\), der Graph ist also linksgekrümmt. Für \(\mu - \sigma < x < \mu + \sigma\) ist \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt.

Der Graph der Funktion \(\varphi_{\mu; \sigma}\) ist im Intervall \(]\mu - \sigma; \mu + \sigma[\) rechtsgekrümmt. In den Intervallen \(]-\infty; \mu - \sigma[\) und \(]\mu + \sigma; \infty[\) ist der Graph linksgekrümmt.

- Wie lässt sich der Erwartungswert direkt aus den Koordinaten des Hochpunkts ablesen? - Nutze die Formel für den Maximalwert der Dichtefunktion, um die Standardabweichungen zu berechnen. - Was bedeutet eine größere Standardabweichung für die Form der Glockenkurve im Vergleich zu einer kleineren? - Denk daran, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit (Fläche unter der Kurve) immer \(1\) sein muss. Was passiert mit der Höhe, wenn die Kurve breiter wird?

1. Bestimmung der Parameter für \(X\): \(\mu_X = 10\). Berechnung von \(\sigma_X\) über \(0{,}2 = \frac{1}{\sigma_X \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_X = \frac{1}{0{,}2 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 1{,}99\). 2. Bestimmung der Parameter für \(Y\): \(\mu_Y = 20\). Berechnung von \(\sigma_Y\) über \(0{,}05 = \frac{1}{\sigma_Y \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_Y = \frac{1}{0{,}05 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 7{,}98\). 3. Vergleich der Kurvenform: Eine größere Standardabweichung führt zu einer breiteren und damit flacheren Kurve (da die Fläche unter dem Graph konstant \(1\) sein muss). 4. Da \(\sigma_Y > \sigma_X\) (\(7{,}98 > 1{,}99\)), verläuft die Kurve der Zufallsgröße \(Y\) flacher.

a) \(X\): \(\mu_X = 10\), \(\sigma_X \approx 1{,}99\); \(Y\): \(\mu_Y = 20\), \(\sigma_Y \approx 7{,}98\) b) Die Kurve von \(Y\) ist flacher, da ihre Standardabweichung \(\sigma_Y\) deutlich größer ist als \(\sigma_X\).

- Was gibt der Erwartungswert über die Lage der Glockenkurve an? - Erinnere dich an die Sigma-Regeln für bestimmte Wahrscheinlichkeitsbereiche. - An welchen markanten Stellen im Abstand zur Mitte ändert die Glockenkurve ihre Krümmung?

1. Der Parameter \(\mu = 250\) stellt den Erwartungswert der Verteilung dar. Er gibt den durchschnittlichen Wirkstoffgehalt der Tabletten an und markiert das Zentrum der symmetrischen Verteilung. 2. Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen bei einer Normalverteilung ca. \(95{,}4\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Mit \(\mu = 250\) und \(\sigma = 3\) ergibt sich: \(250 - 2 \cdot 3 = 244\) und \(250 + 2 \cdot 3 = 256\). Das Intervall lautet somit \([244; 256]\) in \(\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte einer Normalverteilung befinden sich an den Stellen \(x_1 = \mu - \sigma\) und \(x_2 = \mu + \sigma\). Hier gilt: \(x_1 = 250 - 3 = 247\) und \(x_2 = 250 + 3 = 253\).

1. Der Wert \(\mu = 250\,\text{mg}\) ist der Erwartungswert (Mittelwert) der Produktion. 2. Der Gehalt liegt für ca. \(95{,}4\,\%\) der Tabletten im Bereich zwischen \(244\,\text{mg}\) und \(256\,\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte liegen bei \(x = 247\) und \(x = 253\).

- Was ist der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen bei der Berechnung von Punktwahrscheinlichkeiten? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung bezüglich ihres Mittelwerts. - Überlege, wie die Standardabweichung die „Breite“ der Verteilung beeinflusst und was das für die Höhe der Kurve bedeutet.

1. Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines exakten Punktwertes \(P(X = k)\) immer gleich \(0\), da die Fläche unter der Dichtefunktion über einem einzelnen Punkt null ist. 2. Da \(3\,\text{Stunden} = 180\,\text{Minuten}\) genau dem Erwartungswert \(\mu\) entsprechen und die Normalverteilung symmetrisch zu \(\mu\) ist, liegen genau \(50\,\%\) der Werte oberhalb dieses Wertes. 3. Eine Verringerung der Standardabweichung \(\sigma\) führt dazu, dass die Werte enger um den Erwartungswert konzentriert sind. Die Glockenkurve wird schmaler (geringere Streuung) und gleichzeitig steiler bzw. höher im Maximum, da die Gesamtfläche unter der Kurve stets \(1\) betragen muss.

1. Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für Einzelwerte immer \(0\). 2. Genau \(50\,\%\) der Nutzer nutzen das Smartphone länger als \(3\) Stunden. 3. Die Glockenkurve wird schmaler und das Maximum wird höher.

- Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der gegebenen Funktion zu bilden. - Was passiert mit dem Term \(e^{-k \cdot z^2}\), wenn \(z\) betragsmäßig sehr groß wird? - Welche Bedeutung hat das Integral über \(x \cdot f(x)\) in der Stochastik? - Überlege dir, wie der Vorfaktor in der allgemeinen Formel der Normalverteilung von \(\sigma\) abhängt.

a) Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2} \cdot (-\frac{1}{2} \cdot 2z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} = h(z)\). b) Berechnung des Erwartungswerts: \(\int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \phi(z) \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ -e^{-\frac{1}{2}z^2} \right]_{-\infty}^{+\infty}\). Da \(\lim_{z \to \pm\infty} e^{-\frac{1}{2}z^2} = 0\), ergibt das Integral den Wert \(0\). Dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu = 0\) der Standardnormalverteilung. c) Maximalwert bei \(z=0\): \(\phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei größerem \(\sigma\) wird der Vorfaktor \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) kleiner, die Kurve wird also flacher und das Maximum sinkt.

a) Die Ableitung von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) ergibt \(g'(z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2}\), womit die Stammfunktionseigenschaft gezeigt ist. b) Das Integral hat den Wert \(0\); dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu\). c) Der maximale Wert beträgt \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei einer größeren Standardabweichung \(\sigma\) verringert sich die maximale Höhe der Glockenkurve.

- Kannst du den Ausdruck im Exponenten so umformen, dass eine binomische Formel sichtbar wird? - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung aus? - Welche Teile des Exponenten entsprechen dem Erwartungswert und welche der Standardabweichung? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein \(\sigma\) auch zum Vorfaktor der Funktion passt.

1. Den Exponenten durch Ausklammern und Anwendung der zweiten binomischen Formel umformen: \(-\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}(x^2 - 4x + 4) = -\frac{1}{8}(x-2)^2\). 2. Den umgeformten Exponenten mit der Standardform \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\) vergleichen: \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-2)^2}{4}\). 3. Daraus die Parameter ablesen: \(\mu = 2\) und \(\sigma^2 = 4\), woraus \(\sigma = 2\) folgt. 4. Den Vorfaktor zur Kontrolle prüfen: \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}\). Dies stimmt mit der Aufgabe überein.

\(\mu = 2\); \(\sigma = 2\)

- Welche Struktur muss der Exponent einer Gaußfunktion haben? Eine quadratische Ergänzung oder Ausklammern könnte helfen. - Welche Rolle spielt die Standardabweichung \(\sigma\) für den Vorfaktor der Funktion? - Gibt es eine bekannte Eigenschaft der Normalverteilung, die die Position der Wendestellen direkt mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\) verknüpft? - Überlege, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt.

1. Faktorisierung des Exponenten: \(-0{,}125(x^2 - 4x + 4) = -0{,}125(x-2)^2\). 2. Bestimmung von \(\mu\) und \(\sigma\): Der Vergleich mit \(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\) ergibt \(\mu = 2\) und \(\frac{1}{2\sigma^2} = 0{,}125 = \frac{1}{8}\). Daraus folgt \(\sigma^2 = 4\), also \(\sigma = 2\). 3. Berechnung der Konstanten \(c\): In der Standardform gilt \(c = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Einsetzen von \(\sigma = 2\) ergibt \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). 4. Bestimmung der Wendestellen: Bei einer gaußschen Glockenfunktion liegen die Wendestellen exakt bei \(x_W = \mu \pm \sigma\). 5. Einsetzen der Werte: \(x_1 = 2 - 2 = 0\) und \(x_2 = 2 + 2 = 4\).

Der Wert der Konstanten ist \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). Die Wendestellen des Graphen von \(f\) liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).