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- Welche Kennzahl bestimmt bei einer Normalverteilung die horizontale Lage der Glockenkurve? - Welche Kennzahl beschreibt, wie breit oder schmal die Glockenkurve ist?

1. Der Erwartungswert \(\mu=72\) ist das Zentrum der Normalverteilung; dort liegt auch der Hochpunkt der Dichte. 2. Die Standardabweichung \(\sigma=5\) beschreibt die Streuung um dieses Zentrum; die Wendestellen der Dichte liegen bei \(72-5=67\) und \(72+5=77\).

\(\mu=72\): Zentrum bzw. Erwartungswert der Verteilung. \(\sigma=5\): Maß für die Streuung; die Wendestellen liegen jeweils \(5\) Einheiten vom Zentrum entfernt.

- Wo liegt der Erwartungswert bei einer Normaldichte im Graphen? - Wie verändert sich die Glockenkurve, wenn die Streuung größer wird?

1. Beide Kurven haben ihren Hochpunkt bei \(x=50\). Daher ist für beide \(\mu=50\). 2. Die Kurve \(f_B\) ist breiter und flacher als \(f_A\). Eine größere Standardabweichung erzeugt bei gleichem Erwartungswert genau diese Form. 3. Daher hat \(f_B\) die größere Standardabweichung.

a) \(\mu=50\) b) \(f_B\) hat die größere Standardabweichung, weil die Kurve breiter und flacher ist.

- Welcher Parameter verschiebt die Kurve entlang der \(x\)-Achse? - Wie wirkt sich eine Verdoppelung der Standardabweichung auf die maximale Höhe der Kurve aus? - Vergleiche die Graphen, die die gleiche Form, aber eine unterschiedliche Lage haben. - Vergleiche die Graphen, die dieselbe Symmetrieachse, aber eine unterschiedliche Streuung haben.

1. Vergleich der Lage (\(\mu\)): Die Graphen \(a\) (rot) und \(b\) (blau) sind symmetrisch zur \(y\)-Achse (\(x = 0\)). Daher kommen für sie nur die Verteilungen (I) und (II) infrage. Graph \(c\) (grün) ist symmetrisch zu \(x = 3\), was der Verteilung (III) entspricht. 2. Vergleich der Form (\(\sigma\)): Die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmt die Breite und Höhe. Ein größeres \(\sigma\) führt zu einer flacheren und breiteren Kurve. 3. Zuordnung (I): \(\mu = 0\) und \(\sigma = 1\). Dies passt zu Graph \(a\), da er bei \(x = 0\) zentriert ist und eine höhere Spitze (\(y \approx 0{,}4\)) hat als Graph \(b\). 4. Zuordnung (II): \(\mu = 0\) und \(\sigma = 2\). Dies passt zu Graph \(b\), da er bei \(x = 0\) zentriert, aber flacher (\(y \approx 0{,}2\)) und breiter ist als Graph \(a\). 5. Zuordnung (III): \(\mu = 3\) und \(\sigma = 1\). Dies passt zu Graph \(c\), da das Maximum bei \(x = 3\) liegt und die Form (Höhe \(\approx 0{,}4\)) identisch mit der von Graph \(a\) ist.

Zuordnung: (I) gehört zu Graph \(a\) (rot), da \(\mu = 0\) und die Kurve schmaler ist als bei \(b\). (II) gehört zu Graph \(b\) (blau), da \(\mu = 0\) und die Kurve wegen des größeren \(\sigma\) flacher und breiter ist. (III) gehört zu Graph \(c\) (grün), da die Kurve zu \(x = 3\) symmetrisch ist.

- Wo liegt im Graphen der höchste Punkt, und wie verhält sich die Kurve links und rechts davon? - An welcher Stelle liegt das Maximum einer Normaldichte in Abhängigkeit von \(\mu\)? - Wie verhält sich eine Glockenkurve links und rechts von ihrem Maximum? - Setze für die Hochpunkthöhe \(x=\mu\) in die allgemeine Dichteformel ein.

a) Im Graphen steigt die Dichte bis zum Hochpunkt bei \(x=4\) und fällt danach. Das stimmt mit der allgemeinen Eigenschaft einer Normaldichte überein: Der Hochpunkt liegt bei \(x=\mu\). Hier ist \(\mu=4\). Die Dichte ist daher für \(x<4\) streng monoton steigend und für \(x>4\) streng monoton fallend. b) Der maximale Funktionswert ist \(y_{\max}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{1{,}5\sqrt{2\pi}}\approx0{,}266\).

a) Streng monoton steigend für \(x<4\), streng monoton fallend für \(x>4\). b) \(y_{\max}\approx0{,}266\).

- Setze \(\mu\) und \(\sigma\) zuerst in die beiden Formeln für die Wendestellen ein. - Welche Vereinfachung entsteht im Exponenten, wenn \(x=\mu\pm\sigma\) gilt? - Warum müssen beide Wendepunkte dieselbe Höhe besitzen? - Welchen horizontalen Abstand haben die Wendepunkte im Graphen vom Hochpunkt?

1. Die Wendestellen sind \(x_1=\mu-\sigma=-3\) und \(x_2=\mu+\sigma=-1\). 2. Wegen der Symmetrie haben beide Wendepunkte dieselbe Höhe. Für \(x=\mu+\sigma\) gilt \(\varphi_{-2;1}(-1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\approx0{,}242\). 3. Damit sind \(W_1\left(-3\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(-1\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\). Im Graphen liegen beide Wendepunkte symmetrisch im Abstand \(\sigma=1\) links und rechts des Hochpunkts bei \(x=-2\).

\(W_1\left(-3\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(-1\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\), mit gemeinsamer \(y\)-Koordinate \(\approx0{,}242\).

- Die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts bestimmt den Erwartungswert. - Schätze den Abstand vom Hochpunkt zu einer sichtbaren Wendestelle, um \(\sigma\) zu erhalten. - Welchen Wert nimmt der Exponentialterm der Normaldichte bei \(x=\mu\) an?

1. Die Hochpunkte liegen bei \(x=0\) beziehungsweise \(x=3\). Daher sind \(\mu_f=0\) und \(\mu_g=3\). 2. Die sichtbaren Wendestellen liegen bei \(f\) ungefähr eine Einheit und bei \(g\) ungefähr zwei Einheiten vom jeweiligen Hochpunkt entfernt. Daher erhält man \(\sigma_f\approx1\) und \(\sigma_g\approx2\). 3. Für eine Normaldichte gilt am Hochpunkt \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Damit ergibt sich für die schwarze Kurve ungefähr \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0{,}40\) und für die blaue Kurve ungefähr \(\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx0{,}20\). Diese Höhen stimmen mit der Zeichnung überein.

a) Schwarze Kurve: \(\mu_f=0\), \(\sigma_f\approx1\); blaue Kurve: \(\mu_g=3\), \(\sigma_g\approx2\) b) Hochpunkthöhen ungefähr \(0{,}40\) beziehungsweise \(0{,}20\)

- Suche zuerst die Symmetrieachse der Glockenkurve. - Wo ändert der Graph sichtbar seine Krümmung, und wie groß ist der ungefähre Abstand dieser Stellen vom Zentrum? - Berechne zunächst die Hochpunkthöhe aus deiner Schätzung für \(\sigma\) und verwende danach den angegebenen Faktor.

1. Der Hochpunkt liegt bei \(x=-1\), daher ist \(\mu=-1\). 2. Der Krümmungswechsel ist ungefähr bei \(x=-2{,}5\) und \(x=0{,}5\) zu erkennen. Der Abstand zum Hochpunkt beträgt jeweils etwa \(1{,}5\), also \(\sigma\approx1{,}5\). 3. Mit \(\sigma\approx1{,}5\) ist \(f(\mu)\approx\frac{1}{1{,}5\sqrt{2\pi}}\approx0{,}266\). Damit folgt \(y_W\approx0{,}266e^{-0{,}5}\approx0{,}16\). 4. Im Graphen liegt die Höhe an den geschätzten Wendestellen etwas über \(0{,}15\); das passt zum berechneten Wert.

a) \(\mu=-1\), \(\sigma\approx1{,}5\) b) \(y_W\approx0{,}16\); der Wert ist mit der Zeichnung vereinbar.

- Forme den quadratischen Ausdruck im Exponenten zu einem vollständigen Quadrat um. - Vergleiche anschließend Exponent und Vorfaktor mit der allgemeinen Normaldichte. - Welche Werte von \(\mu\) und \(\sigma\) ergeben dieselben Terme?

1. Im Exponenten gilt \(-0{,}5x^2+4x-8=-0{,}5(x^2-8x+16)=-0{,}5(x-4)^2\). 2. Damit ist \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-4)^2}{2}}\). Der Vergleich mit \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) liefert \(\mu=4\) und \(\sigma=1\). 3. Auch der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) stimmt für \(\sigma=1\) mit der Normaldichte überein.

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-4)^2}{2}}\). Daher gilt \(\mu=4\) und \(\sigma=1\).

- Suche die Symmetrieachse und den Hochpunkt der Glockenkurve. - Schätze den Abstand der sichtbaren Krümmungswechsel vom Mittelwert. - Welche Fläche unter einer Dichte gehört zu einem einzelnen Punkt?

1. Der Hochpunkt und die Symmetrieachse liegen bei \(x=4\). Daher ist \(\mu=4\). 2. Der Krümmungswechsel ist ungefähr bei \(x=2{,}5\) und \(x=5{,}5\) zu erkennen. Der Abstand zum Erwartungswert beträgt jeweils etwa \(1{,}5\), also \(\sigma\approx1{,}5\). 3. Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner Punkt keine Fläche unter der Dichte. Deshalb gilt auch für den von \(\mu\) unabhängigen Einzelwert \(P(X=7)=0\).

a) \(\mu=4\) b) \(\sigma\approx1{,}5\) c) \(P(X=7)=0\)

- Welcher Punkt auf der x-Achse markiert das Zentrum der jeweiligen Verteilung? - Wie hängen die Höhe des Gipfels und die Breite der Kurve mit der Standardabweichung zusammen? - Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit grafisch als Fläche interpretieren?

1. Der Erwartungswert ist die x-Koordinate des Maximums. Für \(f_1\) ist \(\mu_1 = 2\), für \(f_2\) ist \(\mu_2 = 4\). Somit ist \(\mu_2 > \mu_1\). 2. Die Standardabweichung bestimmt die Breite und Höhe der Kurve. Da \(f_2\) flacher und breiter ist als \(f_1\), gilt \(\sigma_2 > \sigma_1\). Die Verteilung von \(X_2\) ist also stärker gestreut. 3. Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([1{,}5; 2{,}5]\). Da die blaue Kurve \(f_1\) in diesem Bereich (um ihren Mittelwert \(2\)) deutlich höhere Funktionswerte annimmt als die orangefarbene Kurve \(f_2\), ist der Flächeninhalt bei \(f_1\) größer. Es gilt \(P(1{,}5 \leq X_1 \leq 2{,}5) > P(1{,}5 \leq X_2 \leq 2{,}5)\).

a) \(\mu_2 > \mu_1\) (denn \(4 > 2\)) b) \(\sigma_2 > \sigma_1\), die Verteilung \(X_2\) streut stärker. c) Für \(X_1\) ist die Wahrscheinlichkeit größer, da die Fläche unter dem blauen Graphen im Intervall \([1{,}5; 2{,}5]\) größer ist.

- Vergleiche die x-Koordinaten der Maxima. - Wie verändert sich die Kurve, wenn sie „flacher“ wird? Was muss dann mit der Streuung passieren? - Erinnere dich an die Formel für den Maximalwert der Dichtefunktion oder nutze die Eigenschaft der Flächenkonstanz.

1. Der Hochpunkt des gestrichelten Graphen liegt bei \(x = 30\), also ist \(\mu_Y = 30\). Da der Hochpunkt von \(Y\) halb so hoch ist wie der von \(X\) (ca. \(0{,}04\) statt \(0{,}08\)) und der Graph doppelt so breit erscheint, muss die Standardabweichung doppelt so groß sein: \(\sigma_Y = 2 \cdot 5 = 10\). 2. Eine Erhöhung des Erwartungswerts \(\mu\) verschiebt den Graphen entlang der x-Achse nach rechts, ohne seine Form zu verändern. 3. Die maximale Höhe der Dichtefunktion ist gegeben durch \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Eine größere Standardabweichung \(\sigma\) führt also zu einem niedrigeren (und breiteren) Graphen, da das Produkt aus Höhe und „Breite“ (Fläche) konstant \(1\) bleiben muss.

a) \(\mu_Y = 30\); \(\sigma_Y = 10\) b) Der Graph wird parallel zur x-Achse verschoben. c) Je größer die Standardabweichung, desto niedriger ist das Maximum des Graphen.

- Welche x-Koordinate hat der Hochpunkt, und welchen Abstand haben die markierten Wendestellen davon? - Spiegle zunächst das rechte Intervall an der Symmetrieachse. - Welcher zusätzliche Bereich bleibt dann auf der linken Seite übrig? - Was muss mit der Höhe der Glockenkurve geschehen, wenn sie bei gleicher Gesamtfläche breiter wird?

1. Die Dichte ist symmetrisch und hat ihren Hochpunkt bei \(x=165\,\text{cm}\). Daher ist \(\mu=165\,\text{cm}\). Die markierten Wendestellen liegen bei \(159\,\text{cm}\) und \(171\,\text{cm}\), also ist \(\sigma=6\,\text{cm}\). 2. Durch Spiegelung an \(x=\mu=165\) gilt \(P(159\le X\le\mu)=P(\mu\le X\le171)\). Das Intervall \([156;\mu]\) enthält zusätzlich die positive Fläche von \(156\) bis \(159\). Daher ist \(P(156\le X\le\mu)>P(\mu\le X\le171)\). 3. Bei größerem \(\sigma\) und gleichem \(\mu\) wird die Glockenkurve breiter und ihr Hochpunkt niedriger; die Symmetrieachse bleibt unverändert.

a) \(\mu=165\,\text{cm}\), \(\sigma=6\,\text{cm}\) b) \(P(156\le X\le\mu)>P(\mu\le X\le171)\) c) Der Graph wird breiter und flacher; der Mittelpunkt bleibt unverändert.

- Wo liegt bei einer Normalverteilung das Maximum der Kurve? - Vergleiche die Form der beiden Kurven: Sind sie unterschiedlich breit oder hoch? - Wenn eine Funktion nur verschoben wird, ändern sich dann ihre Streuungsmaße?

1. Bestimmung der Erwartungswerte: Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums (Symmetrieachse). Aus der Abbildung liest man ab: \(\mu_1 = 3\) und \(\mu_2 = 7\). 2. Analyse der Transformation: Der Graph von \(f_2\) ist gegenüber dem Graphen von \(f_1\) lediglich um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben. Form und Höhe der Kurven sind identisch. 3. Schlussfolgerung für die Standardabweichung: Da die Form der Glockenkurven (Breite und Höhe) identisch ist, müssen auch die Standardabweichungen gleich groß sein, also \(\sigma_1 = \sigma_2\).

a) \(\mu_1 = 3\) und \(\mu_2 = 7\). b) Der Graph von \(f_2\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f_1\) um \(4\) Einheiten in positive x-Richtung. Da die Form unverändert bleibt, gilt \(\sigma_1 = \sigma_2\).

- Was gibt die Standardabweichung über die Form der Glockenkurve an? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Breite der Kurve und ihrer Höhe, wenn die Fläche darunter immer gleich bleiben muss? - Erinnere dich an die Definition einer Dichtefunktion.

1. Vergleich der Standardabweichungen: Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert. Der Graph von \(h_2\) ist deutlich breiter und flacher als der von \(h_1\). Dies bedeutet, dass die Werte bei \(h_2\) stärker streuen, weshalb \(\sigma_2 > \sigma_1\) gilt. 2. Begründung über die Gesamtwahrscheinlichkeit: Das Integral über eine Dichtefunktion von \(-\infty\) bis \(+\infty\) muss immer genau \(1\) ergeben (die Fläche unter dem Graphen ist konstant). Wenn eine Kurve aufgrund einer größeren Standardabweichung breiter wird, muss sie zwangsläufig flacher werden (niedrigeres Maximum), damit der gesamte Flächeninhalt weiterhin den Wert \(1\) beibehält.

a) Die Funktion \(h_2\) gehört zur größeren Standardabweichung, da ihre Kurve breiter ist und die Werte somit weiter um den Mittelwert streuen. b) Da die Fläche unter jeder Dichtefunktion genau \(1\) sein muss, führt eine größere Breite (größere Streuung) zwingend zu einer geringeren Höhe der Kurve, damit der Flächeninhalt konstant bleibt.

- Überprüfe für den Nachweis der Dichte sowohl die Nichtnegativität als auch das Normierungsintegral. - Was bedeutet „länger als zwei Jahre“ für die Grenzen deines Integrals? - Kannst du den Erwartungswert intuitiv prüfen? Liegt er sinnvoll innerhalb des Intervalls \([0; 3]\)?

1. Nachweis der Dichteeigenschaften: Für \(t \in [0; 3]\) ist \(t^2 \geq 0\) und \((3-t) \geq 0\), somit ist \(g(t) \geq 0\) für \(k = \frac{4}{27} > 0\). Das Integral über den Bereich ist \(\int_{0}^{3} \frac{4}{27}(3t^2 - t^3) \, dt = \frac{4}{27} [t^3 - \frac{1}{4}t^4]_0^3 = \frac{4}{27} (27 - \frac{81}{4}) = \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} = 1\). Damit sind beide Bedingungen erfüllt. 2. Erwartungswert \(E(T)\): \(E(T) = \int_{0}^{3} t \cdot g(t) \, dt = \frac{4}{27} \int_{0}^{3} (3t^3 - t^4) \, dt = \frac{4}{27} [\frac{3}{4}t^4 - \frac{1}{5}t^5]_0^3 = \frac{4}{27} (\frac{243}{4} - \frac{243}{5}) = \frac{4}{27} \cdot 243 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) = 36 \cdot \frac{1}{20} = 1{,}8\). Der Erwartungswert beträgt \(1{,}8\) Jahre. 3. Wahrscheinlichkeit \(P(T > 2)\): Es wird das Integral von \(2\) bis \(3\) berechnet: \(\int_{2}^{3} \frac{4}{27}(3t^2 - t^3) \, dt = \frac{4}{27} [t^3 - \frac{1}{4}t^4]_2^3 = \frac{4}{27} ((27 - 20{,}25) - (8 - 4)) = \frac{4}{27} (6{,}75 - 4) = \frac{4}{27} \cdot 2{,}75 = \frac{4}{27} \cdot \frac{11}{4} = \frac{11}{27} \approx 0{,}4074\).

a) Nachweis durch \(g(t) \geq 0\) und \(\int_{0}^{3} g(t) \, dt = 1\). b) \(E(T) = 1{,}8\,\text{Jahre}\) c) \(P(T > 2) = \frac{11}{27} \approx 40{,}74\,\%\)

- Was gibt der Erwartungswert über die Lage der Glockenkurve an? - Erinnere dich an die Sigma-Regeln für bestimmte Wahrscheinlichkeitsbereiche. - An welchen markanten Stellen im Abstand zur Mitte ändert die Glockenkurve ihre Krümmung?

1. Der Parameter \(\mu = 250\) stellt den Erwartungswert der Verteilung dar. Er gibt den durchschnittlichen Wirkstoffgehalt der Tabletten an und markiert das Zentrum der symmetrischen Verteilung. 2. Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen bei einer Normalverteilung ca. \(95{,}4\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Mit \(\mu = 250\) und \(\sigma = 3\) ergibt sich: \(250 - 2 \cdot 3 = 244\) und \(250 + 2 \cdot 3 = 256\). Das Intervall lautet somit \([244; 256]\) in \(\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte einer Normalverteilung befinden sich an den Stellen \(x_1 = \mu - \sigma\) und \(x_2 = \mu + \sigma\). Hier gilt: \(x_1 = 250 - 3 = 247\) und \(x_2 = 250 + 3 = 253\).

1. Der Wert \(\mu = 250\,\text{mg}\) ist der Erwartungswert (Mittelwert) der Produktion. 2. Der Gehalt liegt für ca. \(95{,}4\,\%\) der Tabletten im Bereich zwischen \(244\,\text{mg}\) und \(256\,\text{mg}\). 3. Die Wendepunkte liegen bei \(x = 247\) und \(x = 253\).

- Was ist der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen bei der Berechnung von Punktwahrscheinlichkeiten? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung bezüglich ihres Mittelwerts. - Überlege, wie die Standardabweichung die „Breite“ der Verteilung beeinflusst und was das für die Höhe der Kurve bedeutet.

1. Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines exakten Punktwertes \(P(X = k)\) immer gleich \(0\), da die Fläche unter der Dichtefunktion über einem einzelnen Punkt null ist. 2. Da \(3\,\text{Stunden} = 180\,\text{Minuten}\) genau dem Erwartungswert \(\mu\) entsprechen und die Normalverteilung symmetrisch zu \(\mu\) ist, liegen genau \(50\,\%\) der Werte oberhalb dieses Wertes. 3. Eine Verringerung der Standardabweichung \(\sigma\) führt dazu, dass die Werte enger um den Erwartungswert konzentriert sind. Die Glockenkurve wird schmaler (geringere Streuung) und gleichzeitig steiler bzw. höher im Maximum, da die Gesamtfläche unter der Kurve stets \(1\) betragen muss.

1. Bei stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für Einzelwerte immer \(0\). 2. Genau \(50\,\%\) der Nutzer nutzen das Smartphone länger als \(3\) Stunden. 3. Die Glockenkurve wird schmaler und das Maximum wird höher.

- Wo liegt bei der gaußschen Glockenkurve immer der höchste Punkt? - Wie hängen der maximale Funktionswert und die Parameter der Normalverteilung zusammen? - Betrachte den Abstand der Intervallgrenzen zum Erwartungswert im Vergleich zur Standardabweichung.

1. Der Hochpunkt der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) liegt stets bei \((\mu \mid \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}})\). Aus der Aufgabenstellung folgt direkt \(\mu = 4\). Für die Standardabweichung gilt \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{18\pi}}\). Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich \(\frac{1}{2\pi\sigma^2} = \frac{1}{18\pi}\), woraus \(2\sigma^2 = 18\) und somit \(\sigma^2 = 9\) bzw. \(\sigma = 3\) folgt. 2. Gesucht ist \(P(1 \le X \le 7)\). Da \(\mu = 4\) und \(\sigma = 3\), lässt sich das Intervall als \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) schreiben: \([4 - 3; 4 + 3] = [1; 7]\). Nach der bekannten \(\sigma\)-Regel für die Normalverteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall etwa \(68{,}3\,\%\). Mit der Standardnormalverteilung berechnet man \(\Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\).

1. \(\mu = 4\), \(\sigma = 3\) 2. \(P(1 \le X \le 7) \approx 0{,}683\) (bzw. \(68{,}3\,\%\))

- Welcher Parameter wird durch die Symmetrieachse der Glockenkurve festgelegt? - Die Höhe des Hochpunkts hängt von \(\sigma\) ab. Welche Beziehung gilt für \(f(\mu)\)? - Prüfe deine Schätzung zusätzlich daran, wie weit die sichtbaren Wendestellen ungefähr vom Hochpunkt entfernt liegen.

1. Die Symmetrieachse und der Hochpunkt der roten Kurve liegen bei \(x=-1\). Daher ist \(\mu_1=-1\). Der Hochpunkt hat ungefähr die Höhe \(0{,}8\). Mit \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) ergibt sich \(\sigma_1\approx\frac{1}{0{,}8\sqrt{2\pi}}\approx0{,}5\). 2. Die Symmetrieachse und der Hochpunkt der blauen Kurve liegen bei \(x=2\). Daher ist \(\mu_2=2\). Der Hochpunkt hat ungefähr die Höhe \(0{,}4\). Damit folgt \(\sigma_2\approx\frac{1}{0{,}4\sqrt{2\pi}}\approx1{,}0\). 3. Alternativ lässt sich \(\sigma\) näherungsweise über den Abstand der Wendestellen von der jeweiligen Symmetrieachse abschätzen.

Graph \(f\): \(\mu_1=-1\), \(\sigma_1\approx0{,}5\) Graph \(g\): \(\mu_2=2\), \(\sigma_2\approx1{,}0\)

- Wo liegt bei einer Normaldichte die Symmetrieachse? - Vergleiche die drei Hochpunkthöhen und nutze ihren Zusammenhang mit \(\sigma\). - Setze für die allgemeine Begründung \(x=\mu\) in die Dichteformel ein.

1. Die Erwartungswerte ergeben sich aus den Symmetrieachsen beziehungsweise Hochpunkten: \(\mu_1=-2\), \(\mu_2=3\) und \(\mu_3=0\). 2. Die Hochpunkte liegen ungefähr bei \(0{,}4\), \(0{,}2\) und \(0{,}1\). Wegen \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) erhält man daraus näherungsweise \(\sigma_1\approx1\), \(\sigma_2\approx2\) und \(\sigma_3\approx4\). Die sichtbaren Abstände der Wendestellen von den Hochpunkten bestätigen diese Schätzungen. 3. Bei \(x=\mu\) ist der Exponentialterm der Normaldichte gleich \(1\). Deshalb gilt \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Die Hochpunkthöhe ist somit umgekehrt proportional zu \(\sigma\): Größeres \(\sigma\) bedeutet einen niedrigeren und breiteren Graphen.

a) \(\mu_1=-2\), \(\sigma_1\approx1\); \(\mu_2=3\), \(\sigma_2\approx2\); \(\mu_3=0\), \(\sigma_3\approx4\) b) \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\); die Hochpunkthöhe ist umgekehrt proportional zu \(\sigma\).

- Welcher Parameter lässt sich an der Symmetrieachse des Graphen ablesen? - Wie hängen die Wendestellen einer Normaldichte mit \(\sigma\) zusammen? - Welche Lage hat eine Sekante gegenüber einem konkaven Graphen, und wie kann daraus eine Flächenuntergrenze entstehen? - Lies für die Trapezabschätzung nur die benötigten Randhöhen näherungsweise ab.

1. Der Hochpunkt und die Symmetrieachse liegen bei \(x=5\), also ist \(\mu=5\). Die Krümmung wechselt sichtbar ungefähr bei \(x=3\) und \(x=7\). Der Abstand zum Mittelwert ist jeweils etwa \(2\), daher \(\sigma\approx2\). 2. Auf \([5;7]\) ist der Graph konkav, daher liegt die Verbindungsstrecke der beiden Randpunkte unter der Kurve. Aus dem Graphen liest man ungefähr \(f(5)\approx0{,}20\) und \(f(7)\approx0{,}12\) ab. Das darunterliegende Trapez hat die Fläche \(A\approx\frac{0{,}20+0{,}12}{2}\cdot2=0{,}32\). Somit ist \(P(5\le X\le7)>0{,}32>0{,}3\).

1. \(\mu=5\), \(\sigma\approx2\) 2. Ein unter dem Graphen liegendes Trapez hat ungefähr die Fläche \(0{,}32\); daher gilt \(P(5\le X\le7)>0{,}3\).

- Die Hochpunkte bestimmen die beiden Symmetrieachsen. - Schätze für \(\sigma\) jeweils den Abstand vom Hochpunkt zu einer sichtbaren Wendestelle. - Welche Wahrscheinlichkeit liegt aufgrund der Symmetrie links vom jeweiligen Erwartungswert? - Berechne das Intervall in c) erst aus deinen Ergebnissen aus a).

1. Die Hochpunkte liegen bei \(x=2\) und \(x=5\), daher sind \(\mu_1=2\) und \(\mu_2=5\). Die sichtbaren Wendestellen liegen ungefähr eine beziehungsweise zwei Einheiten von den Hochpunkten entfernt. Somit gilt \(\sigma_1\approx1\) und \(\sigma_2\approx2\). 2. Wegen der Symmetrie einer Normalverteilung liegen jeweils \(50\,\%\) der Wahrscheinlichkeit links und rechts vom Erwartungswert. Daher gilt \(P(X_1\le\mu_1)=0{,}5\) und \(P(X_2\le\mu_2)=0{,}5\). 3. Mit den in a) bestimmten Werten ist das \(1\sigma\)-Intervall von \(X_2\) näherungsweise \([\mu_2-\sigma_2;\mu_2+\sigma_2]=[3;7]\). Nach der \(1\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr \(68{,}3\,\%\).

a) \(\mu_1=2\), \(\sigma_1\approx1\); \(\mu_2=5\), \(\sigma_2\approx2\) b) \(P(X_1\le\mu_1)=0{,}5\), \(P(X_2\le\mu_2)=0{,}5\) c) ungefähr \([3;7]\); etwa \(68{,}3\,\%\)

- Welcher Parameter wird durch die Symmetrieachse und den Hochpunkt festgelegt? - Schätze den Abstand der sichtbaren Wendestellen vom Hochpunkt. - Berechne die Grenzen in b) erst aus deinen in a) bestimmten Werten. - Was bleibt beim Verdoppeln von \(\sigma\) unverändert, und wie hängt die Hochpunkthöhe von \(\sigma\) ab?

1. Der Hochpunkt liegt bei \(x=10\), daher ist \(\mu=10\). Der Krümmungswechsel ist ungefähr bei \(x=8\) und \(x=12\) zu erkennen; deshalb ist \(\sigma\approx2\). 2. Mit diesen Werten ist das \(2\sigma\)-Intervall näherungsweise \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]=[6;14]\). Nach der \(2\sigma\)-Regel liegt die Wahrscheinlichkeit näherungsweise bei \(95{,}4\,\%\). 3. Durch Verdoppeln ergibt sich \(\sigma_{\text{neu}}\approx4\). Die Kurve wird breiter und flacher. Das Maximum bleibt bei \(x=10\) und hat mit diesem Schätzwert ungefähr die Höhe \(f(10)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\approx0{,}10\). Der neue Hochpunkt ist damit ungefähr \((10\mid0{,}10)\). Die neuen Wendestellen liegen näherungsweise bei \(x=10-4=6\) und \(x=10+4=14\).

a) \(\mu=10\), \(\sigma\approx2\) b) ungefähr \([6;14]\); etwa \(95{,}4\,\%\) c) \(\sigma_{\text{neu}}\approx4\); die Kurve wird breiter und flacher; Hochpunkt ungefähr \((10\mid0{,}10)\), Wendestellen näherungsweise bei \(x=6\) und \(x=14\)

- Wo liegt der Wendepunkt bei der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung? - Wie verändert sich die Steigung der Verteilungsfunktion, wenn die Werte der Zufallsgröße stärker um den Mittelwert streuen? - Schätze die Steigung mithilfe zweier gut ablesbarer Punkte in der Nähe des Wendepunkts.

1. Beide Verteilungsfunktionen nehmen den Wert \(0{,}5\) bei \(x=2\) an. Daher gilt für beide Verteilungen \(\mu=2\). 2. \(F_1\) steigt steiler an als \(F_2\). Somit besitzt die zu \(F_1\) gehörende Normalverteilung die kleinere Standardabweichung. 3. Für \(F_2\) lässt sich die maximale Steigung in der Umgebung von \(x=2\) durch eine Sekante abschätzen. Aus dem Graphen liest man etwa \(F_2(1{,}5)\approx 0{,}369\) und \(F_2(2{,}5)\approx 0{,}631\) ab. Daher ist \(m\approx\frac{0{,}631-0{,}369}{2{,}5-1{,}5}=0{,}262\). 4. Für die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung gilt am Wendepunkt \(F'(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\approx\frac{0{,}4}{\sigma}\). Daraus folgt \(\sigma\approx\frac{0{,}4}{0{,}262}\approx 1{,}53\), also näherungsweise \(\sigma\approx 1{,}5\).

a) Für beide Verteilungen gilt \(\mu=2\). b) \(F_1\) gehört zur kleineren Standardabweichung, weil der Graph steiler ist. c) Die maximale Steigung von \(F_2\) beträgt näherungsweise \(0{,}26\); daraus folgt \(\sigma\approx 1{,}5\).

- Wo auf der y-Achse findest du den Punkt, der genau in der Mitte der Verteilung (beim Erwartungswert) liegt? - Was sagt die Steilheit des Graphen über die Streuung der Werte aus? Je steiler der Graph, desto enger liegen die Werte beieinander. - Wie hängen der Erwartungswert, die Standardabweichung und der Wert, bei dem \(84{,}1\,\%\) erreicht sind, zusammen?

1. Der Erwartungswert (Durchschnitt) liegt bei dem x-Wert, an dem der Graph den y-Wert \(0{,}5\) erreicht. Für Maschine 1 (blau) liegt dieser bei \(x = 10{,}0\), für Maschine 2 (rot) bei \(x = 10{,}5\). Somit hat Maschine 2 den größeren durchschnittlichen Durchmesser. 2. Eine kleinere Standardabweichung führt zu einem steileren Anstieg der Verteilungsfunktion im Bereich um den Erwartungswert. Da der rote Graph (\(F_2\)) deutlich steiler verläuft als der blaue (\(F_1\)), arbeitet Maschine 2 präziser. 3. Für Maschine 1 ist \(\mu_1 = 10{,}0\). Gesucht ist der x-Wert für \(F_1(x) \approx 0{,}84\). Aus dem Graphen liest man hierfür \(x \approx 10{,}4\) ab. Da \(x = \mu_1 + \sigma_1\) gilt, folgt \(10{,}4 = 10{,}0 + \sigma_1\), also \(\sigma_1 \approx 0{,}4\,\text{mm}\).

a) Maschine 2, da der Punkt bei \(y = 0{,}5\) weiter rechts liegt (\(10{,}5 > 10{,}0\)). b) Maschine 2, da ihr Graph steiler verläuft, was auf eine geringere Streuung hinweist. c) \(\sigma_1 \approx 0{,}4\,\text{mm}\)

- Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der gegebenen Funktion zu bilden. - Was passiert mit dem Term \(e^{-kz^2}\), wenn \(z\) betragsmäßig sehr groß wird? - Welche Bedeutung hat das Integral über \(x \cdot f(x)\) in der Stochastik? - Überlege dir, wie der Vorfaktor in der allgemeinen Formel der Normalverteilung von \(\sigma\) abhängt.

a) Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2} \cdot (-\frac{1}{2} \cdot 2z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} = h(z)\). b) Berechnung des Erwartungswerts: \(\int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \phi(z) \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ -e^{-\frac{1}{2}z^2} \right]_{-\infty}^{+\infty}\). Da \(\lim_{z \to \pm\infty} e^{-\frac{1}{2}z^2} = 0\), ergibt das Integral den Wert \(0\). Dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu = 0\) der Standardnormalverteilung. c) Maximalwert bei \(z=0\): \(\phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei größerem \(\sigma\) wird der Vorfaktor \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) kleiner, die Kurve wird also flacher und das Maximum sinkt.

a) Die Ableitung von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) ergibt \(g'(z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2}\), womit die Stammfunktionseigenschaft gezeigt ist. b) Das Integral hat den Wert \(0\); dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu\). c) Der maximale Wert beträgt \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei einer größeren Standardabweichung \(\sigma\) verringert sich die maximale Höhe der Glockenkurve.

- Welche Eigenschaft muss das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich immer erfüllen? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall und das Integral der Dichtefunktion zusammen? - Erinnere dich an die Formeln für den Erwartungswert und die Varianz bei stetigen Zufallsgrößen. - Achte darauf, dass die Dichtefunktion außerhalb des Intervalls \([0; 2]\) den Wert Null annimmt.

1. Berechnung von \(c\): Das Integral der Dichtefunktion über den Definitionsbereich muss 1 ergeben. Es gilt \(\int_{0}^{2} c \cdot (4 - x^2) \, dx = c \cdot [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = c \cdot (8 - \frac{8}{3}) = c \cdot \frac{16}{3}\). Aus \(c \cdot \frac{16}{3} = 1\) folgt \(c = \frac{3}{16}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 1{,}5)\): Es wird das Integral \(\int_{0}^{1{,}5} \frac{3}{16}(4 - x^2) \, dx\) berechnet. Dies ergibt \(\frac{3}{16} \cdot [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^{1{,}5} = \frac{3}{16} \cdot (4 \cdot 1{,}5 - \frac{1}{3} \cdot 1{,}5^3) = \frac{3}{16} \cdot (6 - 1{,}125) = \frac{3}{16} \cdot 4{,}875 = \frac{117}{128} \approx 0{,}9141\). 3. Erwartungswert \(E(X)\): \(E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot f(x) \, dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \frac{3}{16} \cdot [2x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^2 = \frac{3}{16} \cdot (8 - 4) = 0{,}75\,\text{mm}\). 4. Varianz und Standardabweichung: Zuerst wird \(E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \, dx = \frac{3}{16} \cdot [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \frac{3}{16} \cdot (\frac{32}{3} - \frac{32}{5}) = \frac{3}{16} \cdot \frac{64}{15} = 0{,}8\) berechnet. Die Varianz ist \(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0{,}8 - 0{,}75^2 = 0{,}2375\). Die Standardabweichung ist \(\sigma(X) = \sqrt{0{,}2375} \approx 0{,}4873\,\text{mm}\).

a) \(c = \frac{3}{16} = 0{,}1875\) b) \(P(X \leq 1{,}5) = \frac{117}{128} \approx 91{,}41\,\%\) c) \(E(X) = 0{,}75\,\text{mm}\); \(\sigma(X) \approx 0{,}4873\,\text{mm}\)