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- Wie hängen die Krümmung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer zweiten Ableitung zusammen? - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \(e^u\) immer positive Werte liefert. - Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung in verschiedenen Testintervallen. - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten.

1. Erste Ableitung bilden: \(\varphi'(x) = -x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2} = -x \cdot \varphi(x)\). 2. Zweite Ableitung bilden: Unter Verwendung der Produktregel ergibt sich \(\varphi''(x) = (-1) \cdot \varphi(x) + (-x) \cdot (-x \cdot \varphi(x)) = (x^2 - 1) \cdot \varphi(x)\). 3. Wendestellen bestimmen: Da \(\varphi(x) > 0\) für alle \(x\), gilt \(\varphi''(x) = 0\) nur für \(x^2 - 1 = 0\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 4. Krümmungsintervalle analysieren: - Für \(x < -1\) ist \(x^2 - 1 > 0\), also \(\varphi''(x) > 0\). Der Graph ist linkskrümmt. - Für \(-1 < x < 1\) ist \(x^2 - 1 < 0\), also \(\varphi''(x) < 0\). Der Graph ist rechtskrümmt. - Für \(x > 1\) ist \(x^2 - 1 > 0\), also \(\varphi''(x) > 0\). Der Graph ist linkskrümmt. 5. Koordinaten der Wendepunkte berechnen: \(\varphi(1) = \varphi(-1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}242\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(-1 \mid 0{,}242)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}242)\).

Der Graph ist im Intervall \(]-1; 1[\) rechtsgekrümmt und in den Intervallen \(]-\infty; -1[\) sowie \(]1; \infty[\) linkskrümmt. Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(-1 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}) \approx (-1 \mid 0{,}242)\) und \(W_2(1 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}) \approx (1 \mid 0{,}242)\).

- Vergleiche den Funktionsterm mit der allgemeinen Dichtefunktion der Normalverteilung, um die Werte für das Zentrum und die Streuung zu finden. - Überlege, welcher Parameter die Breite und welcher die Lage der Glockenkurve beeinflusst. - Beachte, dass eine Streckung der Breite bei einer Wahrscheinlichkeitsdichte immer eine Anpassung der Höhe nach sich zieht, damit die Fläche unter dem Graphen konstant bleibt. - Wo befindet sich das Maximum der Standardnormalverteilung und wie verändert es sich durch die Transformationen?

1. Vergleich der Funktionsgleichung mit der allgemeinen Form \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) liefert die Parameter \(\sigma = 2{,}5\) und \(\mu = -4\). Der Graph von \(\varphi_{0; 1}\) wird zunächst in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\sigma = 2{,}5\) gestreckt. Anschließend erfolgt eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4\). Zuletzt wird der Graph um \(4\) Einheiten nach links (Verschiebung um \(\mu = -4\)) in \(x\)-Richtung verschoben. 2. Der Hochpunkt der Standardnormalverteilung liegt bei \(H_0(0 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi}})\). Durch die Verschiebung liegt die \(x\)-Koordinate bei \(x = -4\). Durch die vertikale Stauchung ergibt sich die \(y\)-Koordinate zu \(y = \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}}\). Der Hochpunkt ist somit \(H(-4 \mid \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}})\).

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\), Stauchung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(0{,}4\) und Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links. 2. \(H\left(-4 \mid \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}}\right)\)

- Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Tangentengleichungen. - Beachte die Symmetrie der Standardnormalverteilung zur \(y\)-Achse. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn Grundseite und Höhe bekannt sind? - Wo schneiden die Tangenten die \(x\)-Achse? Das hilft dir, die Länge der Grundseite zu bestimmen.

1. Koordinaten und Steigungen in den Wendepunkten bestimmen: \(\varphi(1) = \varphi(-1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}242\). Die Steigungen lauten \(\varphi'(-1) = -(-1) \cdot \varphi(-1) = \varphi(1)\) und \(\varphi'(1) = -1 \cdot \varphi(1) = -\varphi(1)\). 2. Tangentengleichungen aufstellen: - \(t_1(x) = \varphi(1) \cdot (x - (-1)) + \varphi(1) = \varphi(1) \cdot (x + 2)\). - \(t_2(x) = -\varphi(1) \cdot (x - 1) + \varphi(1) = -\varphi(1) \cdot (x - 2)\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse finden: \(t_1(x) = 0 \Rightarrow x = -2\) und \(t_2(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). Die Basis des Dreiecks hat die Länge \(g = 2 - (-2) = 4\). 4. Schnittpunkt der Tangenten (Spitze des Dreiecks) bestimmen: Aus Symmetriegründen oder durch Gleichsetzen \(t_1(x) = t_2(x)\) folgt \(x = 0\). Die Höhe ist \(h = t_1(0) = 2 \cdot \varphi(1) = \frac{2}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}484\). 5. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \varphi(1) = 4 \cdot \varphi(1) = \frac{4}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}968\).

a) Die Tangentengleichungen lauten \(t_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}(x + 2) \approx 0{,}242x + 0{,}484\) und \(t_2(x) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}(x - 2) \approx -0{,}242x + 0{,}484\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A = \frac{4}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}968\,\text{FE}\).

- Welche Auswirkungen haben Streckungen auf den Flächeninhalt unter einem Graphen? - Wie hängen der Streckfaktor in \(x\)-Richtung und die Standardabweichung zusammen? - Welche Koordinate des Hochpunkts wird durch die Verschiebung beeinflusst? - Nutze die Information über den Funktionswert des Hochpunkts, um auf die Form der Glockenkurve rückzuschließen.

1. Die Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(5\) Einheiten nach rechts bestimmt den Erwartungswert, also gilt \(\mu = 5\). 2. Der Funktionswert des Hochpunkts einer Normalverteilung ist allgemein gegeben durch \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Durch den Vergleich mit \(y_H = \frac{1}{4 \cdot \sqrt{2\pi}}\) folgt direkt \(\sigma = 4\). 3. Die Streckung in \(x\)-Richtung entspricht dem Parameter \(\sigma\), also ist der Streckfaktor \(k = \sigma = 4\). 4. Damit die Fläche unter der Kurve \(1\) bleibt, muss bei einer Streckung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(\sigma\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\) erfolgen. Der gesuchte Skalierungsfaktor in \(y\)-Richtung ist somit \(\frac{1}{4} = 0{,}25\).

\(\mu = 5\), \(\sigma = 4\), Skalierungsfaktor in \(y\)-Richtung: \(0{,}25\).