Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, welche besondere Eigenschaft die Normalverteilung hinsichtlich ihrer Symmetrie um den Erwartungswert hat. - Wie hängen Wahrscheinlichkeiten für Intervalle mit der Verteilungsfunktion \(\Phi\) zusammen? - Erinnere dich an die Bedeutung der Standardabweichung \(\sigma\) für die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe von \(\mu\). - Was gilt allgemein für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punktes bei stetigen Verteilungen?

1. Berechnung von \(P(X \le 100)\): Da die Normalverteilung symmetrisch um \(\mu\) ist, gilt \(P(X \le \mu) = 0{,}5\). 2. Berechnung von \(P(X \le 110)\): Transformation in die Standardnormalverteilung mit \(z = \frac{110 - 100}{10} = 1\). Es folgt \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\). 3. Berechnung von \(P(90 \le X \le 110)\): Dies entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall um den Erwartungswert. Es gilt \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 0{,}6827\). 4. Berechnung von \(P(X > 120)\): Transformation ergibt \(z = \frac{120 - 100}{10} = 2\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 5. Berechnung von \(P(X = 105)\): Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert stets \(0\).

a) \(P(X \le 100) = 0{,}5\) b) \(P(X \le 110) \approx 0{,}8413\) c) \(P(90 \le X \le 110) \approx 0{,}6827\) d) \(P(X > 120) \approx 0{,}0228\) e) \(P(X = 105) = 0\)

- Welche Transformation ermöglicht es uns, jede Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für Intervalle mit der Verteilungsfunktion \(\Phi\) zusammen? - Was musst du beachten, wenn die untere Grenze negativ ist oder nach der Wahrscheinlichkeit für Werte „größer als“ gefragt wird? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Mittelwert \(\mu\).

1. Zur Berechnung wird die Zufallsgröße \(X\) in die Standardnormalverteilung \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) transformiert. 2. Für a) ergibt sich \(z = \frac{12 - 10}{2} = 1\). Damit ist \(P(X \leq 12) = \Phi(1) \approx 0{,}8413\). 3. Für b) werden die Grenzen \(z_1 = \frac{7 - 10}{2} = -1{,}5\) und \(z_2 = \frac{13 - 10}{2} = 1{,}5\) berechnet. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = \Phi(1{,}5) - (1 - \Phi(1{,}5)) = 2 \cdot \Phi(1{,}5) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\). 4. Für c) ergibt sich die Gegenwahrscheinlichkeit \(1 - P(X \leq 14)\) mit \(z = \frac{14 - 10}{2} = 2\). Es folgt \(1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) \(P(X \leq 12) \approx 0{,}8413\) b) \(P(7 \leq X \leq 13) \approx 0{,}8664\) c) \(P(X > 14) \approx 0{,}0228\)

- Welche Symmetrieeigenschaften besitzt die Glockenkurve bezüglich des Erwartungswerts? - Wie transformiert man eine beliebig normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Überlege dir, welche Fläche unter der Kurve bei einer Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert (Punktwahrscheinlichkeit) berechnet wird. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten oberhalb und unterhalb von Werten zusammen, die denselben Abstand zum Erwartungswert haben?

1. Berechnung von \(P(X \le 42)\): Transformation in die Standardnormalverteilung ergibt \(\Phi\left(\frac{42 - 50}{8}\right) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587\). 2. Berechnung von \(P(X > 58)\): Aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve um \(\mu = 50\) gilt \(P(X > 58) = P(X < 42) \approx 0{,}1587\). Alternativ: \(1 - \Phi\left(\frac{58 - 50}{8}\right) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587\). 3. Berechnung von \(P(46 < X \le 54)\): \(\Phi\left(\frac{54 - 50}{8}\right) - \Phi\left(\frac{46 - 50}{8}\right) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) = 2 \cdot \Phi(0{,}5) - 1 \approx 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}3830\). 4. Bestimmung von \(P(X = 50)\): Da die Normalverteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Punktwert immer \(0\).

a) \(P(X \le 42) \approx 0{,}1587\) b) \(P(X > 58) \approx 0{,}1587\) c) \(P(46 < X \le 54) \approx 0{,}3830\) d) \(P(X = 50) = 0\)

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer normalverteilten Zufallsgröße? - Überlege dir, wie du die gegebenen Werte in die Standardnormalverteilung transformieren kannst. - Welche Rolle spielt die Verteilungsfunktion \(\Phi\) dabei? - Denke an die Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([60; 70]\): Die Grenzen werden transformiert zu \(z_1 = \frac{60-80}{10} = -2\) und \(z_2 = \frac{70-80}{10} = -1\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(-1) - \Phi(-2) \approx 0{,}1587 - 0{,}0228 = 0{,}1359\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([70; 80]\): Die Grenzen werden transformiert zu \(z_1 = -1\) und \(z_2 = \frac{80-80}{10} = 0\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(0) - \Phi(-1) \approx 0{,}5000 - 0{,}1587 = 0{,}3413\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([80; 95]\): Die Grenzen werden transformiert zu \(z_1 = 0\) und \(z_2 = \frac{95-80}{10} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(1{,}5) - \Phi(0) \approx 0{,}9332 - 0{,}5000 = 0{,}4332\).

1. \(P(60 \le X \le 70) \approx 13{,}59\,\%\) 2. \(P(70 \le X \le 80) \approx 34{,}13\,\%\) 3. \(P(80 \le X \le 95) \approx 43{,}32\,\%\)

- Was bedeutet „mindestens“ mathematisch als Ungleichung? - Wie kannst du eine beliebig normalverteilte Größe in eine standardnormalverteilte Größe umwandeln? - Welche Rolle spielt die Symmetrie oder die Gegenwahrscheinlichkeit bei der Arbeit mit Verteilungstabellen?

1. Bestimmung des \(z\)-Wertes für die obere Grenze durch Standardisierung: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{75 - 60}{12} = \frac{15}{12} = 1{,}25\). 2. Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit für den Bereich „mindestens“: \(P(X \ge 75) = 1 - P(X < 75) = 1 - \Phi(1{,}25)\). 3. Nachschlagen des Wertes in der Tabelle der Standardnormalverteilung: \(\Phi(1{,}25) \approx 0{,}8944\). 4. Berechnung der finalen Wahrscheinlichkeit: \(1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(10{,}56\,\%\) (bzw. \(0{,}1056\)).

- Überlege dir, wie man eine beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformiert. - Welche Rolle spielen die Grenzen des Intervalls bei der Berechnung mit der Verteilungsfunktion? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit für „kleiner als“ und „größer als“ bei stetigen Verteilungen. - Wie gehst du vor, wenn ein Wert links vom Erwartungswert liegt?

1. Berechnung der z-Werte für das Intervall \([150; 250]\): \(z_1 = \frac{150 - 200}{25} = -2\) und \(z_2 = \frac{250 - 200}{25} = 2\). Die Wahrscheinlichkeit entspricht \(\Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544\). 2. Berechnung des z-Werts für \(175\): \(z = \frac{175 - 200}{25} = -1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\). 3. Berechnung des z-Werts für \(210\): \(z = \frac{210 - 200}{25} = 0{,}4\). Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 210)\) ist \(1 - \Phi(0{,}4) \approx 1 - 0{,}6554 = 0{,}3446\). 4. Berechnung der z-Werte für das Intervall \([180; 220]\): \(z_1 = \frac{180 - 200}{25} = -0{,}8\) und \(z_2 = \frac{220 - 200}{25} = 0{,}8\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(0{,}8) - \Phi(-0{,}8) \approx 0{,}7881 - 0{,}2119 = 0{,}5762\).

1. \(P(X \in [150; 250]) \approx 0{,}9544\) 2. \(P(X \le 175) \approx 0{,}1587\) 3. \(P(X > 210) \approx 0{,}3446\) 4. \(P(X \in [180; 220]) \approx 0{,}5762\)

- Kannst du die gegebenen Füllmengen als Vielfache der Standardabweichung vom Mittelwert ausdrücken? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve, um Rechnungen zu vereinfachen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn ein Wert mehr als \(2\sigma\) oder \(2{,}5\sigma\) vom Mittelwert entfernt ist? - Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für „Abweichung um mehr als...“ mit der Gegenwahrscheinlichkeit oder Symmetrie bestimmen kann.

1. Zu a): Da \(505\) dem Erwartungswert entspricht, ist \(P(X \le 505) = 0{,}5\). 2. Zu b): Das Intervall \([501; 509]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit im \(2\sigma\)-Intervall beträgt \(P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\). 3. Zu c): Transformation für \(x = 500\) ergibt \(z = \frac{500 - 505}{2} = -2{,}5\). Es gilt \(P(X < 500) = \Phi(-2{,}5) = 1 - \Phi(2{,}5) \approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062\). 4. Zu d): Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt \(P(X = 505) = 0\). 5. Zu e): Gesucht ist \(P(|X - 505| > 5) = P(X < 500 \text{ oder } X > 510)\). Wegen Symmetrie ist dies \(2 \cdot P(X < 500) \approx 2 \cdot 0{,}0062 = 0{,}0124\).

a) \(P(X \le 505) = 0{,}5\) b) \(P(501 \le X \le 509) \approx 0{,}9545\) c) \(P(X < 500) \approx 0{,}0062\) d) \(P(X = 505) = 0\) e) \(P(|X - 505| > 5) \approx 0{,}0124\)

- Überlege, wie die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsgröße mit Hilfe von Integralen berechnet wird. - Beachte, dass die Funktion in verschiedenen Abschnitten unterschiedlich definiert ist. Wie wirkt sich das auf das Integral aus? - Kannst du das gesuchte Intervall in Teilintervalle zerlegen, die zu den Funktionsabschnitten passen?

1. Aufteilung des gesuchten Intervalls \([1; 3]\) gemäß der abschnittsweise definierten Funktion in die Teilintervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\). 2. Berechnung des Integrals für den ersten Abschnitt: \(\int_{1}^{2} 0{,}2x \, dx = [0{,}1x^2]_{1}^{2} = 0{,}1 \cdot 2^2 - 0{,}1 \cdot 1^2 = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\). 3. Berechnung des Integrals für den zweiten Abschnitt: \(\int_{2}^{3} 0{,}4 \, dx = [0{,}4x]_{2}^{3} = 0{,}4 \cdot 3 - 0{,}4 \cdot 2 = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4\). 4. Addition der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7\).

\(P(1 \le X \le 3) = 0{,}7\)

- Welche Transformation hilft dir dabei, eine beliebige Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen? - Wie hängen die Grenzen des gesuchten Intervalls mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve, wenn du mit negativen Werten arbeitest. - Welches Hilfsmittel (Tabelle oder Taschenrechner) steht dir zur Verfügung, um die Werte der Verteilungsfunktion zu bestimmen?

1. Transformation der Intervallgrenzen in \(z\)-Werte (Standardisierung): \(z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1\) \(z_2 = \frac{120 - 100}{15} = \frac{20}{15} \approx 1{,}33\) 2. Ansatz über die Verteilungsfunktion \(\Phi\) der Standardnormalverteilung: \(P(85 \le X \le 120) = \Phi(1{,}33) - \Phi(-1)\). 3. Anwendung der Symmetrieeigenschaft für negative Werte: \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)\). 4. Einsetzen der Tabellenwerte: \(\Phi(1{,}33) \approx 0{,}9082\) und \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(0{,}9082 - (1 - 0{,}8413) = 0{,}9082 - 0{,}1587 = 0{,}7495\).

\(P(85 \le X \le 120) \approx 0{,}7495\)

- Wie hängen die Fläche unter der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Achte bei abschnittsweise definierten Funktionen darauf, das Integral an den entsprechenden Stellen aufzuteilen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines exakten Wertes, wenn die Verteilung stetig ist? - Du kannst die Flächen in diesem Fall auch geometrisch als Dreiecke oder Trapeze berechnen.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1)\) entspricht dem Integral der Dichtefunktion von \(0\) bis \(1\). Die Berechnung liefert \(\int_0^1 0{,}4x \, dx = [0{,}2x^2]_0^1 = 0{,}2\). 2. Für \(P(X \le 3)\) wird das Integral von \(0\) bis \(3\) berechnet, aufgeteilt an der Nahtstelle \(x=1\). Dies ergibt \(P(X \le 1) + \int_1^3 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = 0{,}2 + [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_1^3 = 0{,}2 + (1{,}05 - 0{,}45) = 0{,}8\). 3. Für \(P(0{,}5 \le X \le 2)\) summiert man die Teilintegrale: \(\int_{0{,}5}^1 0{,}4x \, dx + \int_1^2 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = (0{,}2 - 0{,}05) + (0{,}8 - 0{,}45) = 0{,}15 + 0{,}35 = 0{,}5\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 4)\) ergibt sich aus \(\int_4^5 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_4^5 = 1{,}25 - 1{,}2 = 0{,}05\). 5. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Einzelwert \(P(X = k) = 0\), also \(P(X = 2) = 0\).

1. \(P(X \le 1) = 0{,}2\) 2. \(P(X \le 3) = 0{,}8\) 3. \(P(0{,}5 \le X \le 2) = 0{,}5\) 4. \(P(X > 4) = 0{,}05\) 5. \(P(X = 2) = 0\)

- Erinnere dich an die Standardisierung von Normalverteilungen, um die \(\Phi\)-Tabelle nutzen zu können. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve aus, um Wahrscheinlichkeiten für negative z-Werte oder Ausläufer zu berechnen. - Was sagen dir die \(\sigma\)-Regeln über die Wahrscheinlichkeiten in der Nähe des Erwartungswerts?

Die Zufallsgröße \(X\) ist \(N(100; 15^2)\)-verteilt. Die Transformation erfolgt über \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\). 1. \(P(85 \le X \le 115) = P(\frac{85-100}{15} \le Z \le \frac{115-100}{15}) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\). 2. \(P(X \le 70) = \Phi(\frac{70-100}{15}) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 3. \(P(X > 130) = 1 - \Phi(\frac{130-100}{15}) = 1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\). 4. \(P(110 \le X \le 120) = \Phi(\frac{120-100}{15}) - \Phi(\frac{110-100}{15}) = \Phi(1{,}33) - \Phi(0{,}67) \approx 0{,}9082 - 0{,}7486 = 0{,}1596\).

1. \(P(85 \le X \le 115) \approx 68{,}26\,\%\) 2. \(P(X \le 70) \approx 2{,}28\,\%\) 3. \(P(X > 130) \approx 2{,}28\,\%\) 4. \(P(110 \le X \le 120) \approx 15{,}96\,\%\)

- Überlege dir, wie groß die gesamte Fläche unter der Glockenkurve ist. - Nutze die Achsensymmetrie der Glockenkurve an der Stelle \(x = 0\). - Wie hängen die Flächeninhalte am linken und rechten Rand der Kurve zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion \(\Phi\) und dem Integral der Dichtefunktion.

1. Aus der Symmetrie \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) folgt für Teilaufgabe a): \(\int_{-\infty}^{-2} \varphi(x) \, dx = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 2. Für den Bereich zwischen den symmetrischen Grenzen in b) gilt: \(\int_{-2}^{2} \varphi(x) \, dx = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544\). 3. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) beträgt, ergibt sich für den rechten Rand in c): \(\int_{2}^{\infty} \varphi(x) \, dx = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) \(\approx 0{,}0228\) b) \(\approx 0{,}9544\) c) \(\approx 0{,}0228\)

- Skizziere eine Glockenkurve und markiere den Bereich um den Erwartungswert. - Was kannst du über die Flächen links und rechts von den Intervallgrenzen sagen? - Wie viel Prozent der Gesamtfläche bleiben übrig, wenn man das gegebene Intervall abzieht? - Bedenke, dass die Kurve symmetrisch zu ihrem Zentrum verläuft.

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert außerhalb des Intervalls \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) liegt, beträgt \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). 2. Aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve zum Erwartungswert \(\mu\) verteilt sich diese Restwahrscheinlichkeit zu gleichen Teilen auf die beiden äußeren Ränder. 3. Für a) ergibt sich somit \(P(X \le \mu - 2\sigma) = 0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 4. Für c) gilt analog \(P(X \ge \mu + 2\sigma) = 0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 5. Für b) addiert man die Wahrscheinlichkeit des Intervalls und des linken Randes: \(P(X \le \mu + 2\sigma) = 0{,}954 + 0{,}023 = 0{,}977\) (alternativ: \(1 - 0{,}023 = 0{,}977\)).

a) \(\approx 0{,}023\) b) \(\approx 0{,}977\) c) \(\approx 0{,}023\)

- Erinnere dich an die Formel für die Standardisierung. - Wie gehst du vor, wenn ein \(z\)-Wert negativ ist? Gibt es eine Symmetrieeigenschaft der Funktion \(\Phi\)? - Überlege dir bei Aufgabenteil c), ob die gesuchte Fläche links oder rechts vom transformierten Wert liegt. - Skizziere dir gedanklich die Position der Werte im Verhältnis zum Mittelwert \(\mu = 200\).

1. Transformation der Werte in \(z\)-Werte mittels \(z = \frac{x - 200}{50}\). 2. Für a): \(z = \frac{275 - 200}{50} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 3. Für b): Untere Grenze \(z_1 = \frac{100 - 200}{50} = -2\), obere Grenze \(z_2 = \frac{250 - 200}{50} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1) - \Phi(-2) = \Phi(1) - (1 - \Phi(2)) \approx 0{,}8413 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}8413 - 0{,}0228 = 0{,}8185\). 4. Für c): \(z = \frac{150 - 200}{50} = -1\). Die Wahrscheinlichkeit für \(X \geq 150\) entspricht \(1 - \Phi(-1) = 1 - (1 - \Phi(1)) = \Phi(1) \approx 0{,}8413\).

a) \(P(X \leq 275) \approx 0{,}9332\) b) \(P(100 < X < 250) \approx 0{,}8185\) c) \(P(X \geq 150) \approx 0{,}8413\)

- Überlege, wie man eine beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführt. - Welche Rolle spielt die Symmetrie der Glockenkurve bei negativen z-Werten? - Erinnere dich an die Eigenschaft von Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Zufallsgrößen für einzelne Punkte. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „kleiner als“ und „größer als“ zusammen?

1. Transformation in die Standardnormalverteilung mit \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\). 2. Für a): \(P(21 \le X \le 33) = \Phi\left(\frac{33 - 25}{4}\right) - \Phi\left(\frac{21 - 25}{4}\right) = \Phi(2) - \Phi(-1) = \Phi(2) - (1 - \Phi(1)) \approx 0{,}9772 - (1 - 0{,}8413) = 0{,}8185\). 3. Für b): \(P(X \le 17) = \Phi\left(\frac{17 - 25}{4}\right) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 4. Für c): \(P(X > 29) = 1 - P(X \le 29) = 1 - \Phi\left(\frac{29 - 25}{4}\right) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\). 5. Für d): Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Einzelwert \(k\): \(P(X = k) = 0\). Somit ist \(P(X = 25) = 0\).

a) \(P(21 \le X \le 33) \approx 0{,}8185\) b) \(P(X \le 17) \approx 0{,}0228\) c) \(P(X > 29) \approx 0{,}1587\) d) \(P(X = 25) = 0\)

- Nutze die Symmetrie der Normalverteilung um den Mittelwert aus. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der Verteilungsfunktion? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Wert mehr als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt ist? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für die Hälfte der Glockenkurve direkt angeben?

1. Anwendung der Standardisierung \(Z = \frac{X - 500}{20}\). 2. Für a): Intervall um den Erwartungswert \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). \(P(480 < X < 520) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2 \cdot \Phi(1) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\). 3. Für b): \(P(X > 550) = 1 - \Phi\left(\frac{550 - 500}{20}\right) = 1 - \Phi(2{,}5) \approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062\). 4. Für c): \(P(450 \le X \le 490) = \Phi\left(\frac{490 - 500}{20}\right) - \Phi\left(\frac{450 - 500}{20}\right) = \Phi(-0{,}5) - \Phi(-2{,}5) = (1 - \Phi(0{,}5)) - (1 - \Phi(2{,}5)) \approx (1 - 0{,}6915) - (1 - 0{,}9938) = 0{,}3085 - 0{,}0062 = 0{,}3023\). 5. Für d): Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um \(\mu\) gilt \(P(X \le \mu) = 0{,}5\). Also \(P(X \le 500) = 0{,}5\).

a) \(P(480 < X < 520) \approx 0{,}6826\) b) \(P(X > 550) \approx 0{,}0062\) c) \(P(450 \le X \le 490) \approx 0{,}3023\) d) \(P(X \le 500) = 0{,}5\)

- Erinnerst du dich an die Faustregeln für die \(\sigma\)-Intervalle? - Was lässt sich über die Wahrscheinlichkeit aussagen, wenn ein Wert genau dem Erwartungswert entspricht? - Kannst du die Symmetrie der Verteilung nutzen, um Rechnungen abzukürzen, wenn Abstände zu \(\mu\) identisch sind? - Wie wird das Intervall berechnet, wenn eine Grenze unendlich ist?

1. Berechnung von \(P(8 \le X \le 12)\): Dies entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall. \(\Phi\left(\frac{12 - 10}{2}\right) - \Phi\left(\frac{8 - 10}{2}\right) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826\). 2. Berechnung von \(P(X \le 7)\): \(\Phi\left(\frac{7 - 10}{2}\right) = \Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). 3. Berechnung von \(P(X > 13)\): \(1 - \Phi\left(\frac{13 - 10}{2}\right) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). 4. Bestimmung von \(P(X \le 10)\): Da \(10\) der Erwartungswert \(\mu\) ist, teilt er die Verteilung in zwei gleich große Flächenhälften. Somit ist \(P(X \le 10) = 0{,}5\).

a) \(P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}6826\) b) \(P(X \le 7) \approx 0{,}0668\) c) \(P(X > 13) \approx 0{,}0668\) d) \(P(X \le 10) = 0{,}5\)

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \([a; b]\) mithilfe der Verteilungsfunktion berechnet. - Vergleiche die Grenzen des gesuchten Intervalls mit den Werten im Vorschlag des Schülers. - Denke an die Standardisierung \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\), um Tabellenwerte nutzen zu können.

1. Fehleranalyse: Der Schüler hat zur Berechnung des Intervalls \([32; 56]\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 40)\) subtrahiert. Damit berechnet er lediglich die Wahrscheinlichkeit für das Teilintervall \([\mu; 56]\), also \([40; 56]\), anstatt beim unteren Randwert \(32\) zu beginnen. 2. Korrekter Ansatz: \(P(32 \le X \le 56) = P(X \le 56) - P(X \le 32)\). 3. Standardisierung: \(\Phi\left(\frac{56-40}{8}\right) - \Phi\left(\frac{32-40}{8}\right) = \Phi(2) - \Phi(-1)\). 4. Symmetrie der Normalverteilung: \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)\). 5. Berechnung mit Tabellenwerten: \(\Phi(2) \approx 0{,}9772\) und \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\). 6. Ergebnis: \(0{,}9772 - (1 - 0{,}8413) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185\).

a) Der Schüler subtrahiert die Wahrscheinlichkeit bis zum Erwartungswert \(\mu = 40\) statt bis zur unteren Intervallgrenze \(32\). Er berechnet somit nur \(P(40 \le X \le 56)\). b) \(P(32 \le X \le 56) \approx 0{,}8185\)

- Erinnere dich an die Formel für die Transformation einer beliebigen Normalverteilung in die Standardnormalverteilung. - Welche Rolle spielt die Standardabweichung bei der Berechnung der \(z\)-Werte? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Fehleranalyse: Die Schülerin hat bei der Standardisierung vergessen, die Differenzen \((x - \mu)\) durch die Standardabweichung \(\sigma = 2\) zu dividieren. Ihr Ansatz entspricht einer Normalverteilung mit \(\sigma = 1\). 2. Korrektur des Ansatzes: \(P(7 \le X \le 13) = \Phi\left(\frac{13 - 10}{2}\right) - \Phi\left(\frac{7 - 10}{2}\right) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)\). 3. Anwendung der Symmetrie: \(\Phi(1{,}5) - (1 - \Phi(1{,}5)) = 2 \cdot \Phi(1{,}5) - 1\). 4. Berechnung mit Tabellenwerten: \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 5. Endergebnis: \(2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\).

a) Der Ansatz ist falsch, weil die Division durch \(\sigma = 2\) fehlt. Korrekt ist: \(\Phi\left(\frac{13 - 10}{2}\right) - \Phi\left(\frac{7 - 10}{2}\right)\). b) \(P(7 \le X \le 13) \approx 0{,}8664\)

- Wie viele Standardabweichungen liegen die Grenzen vom Mittelwert entfernt? - Erinnere dich an die Bedeutung der Sigma-Regeln oder nutze die Verteilungsfunktion. - Skizziere die Glockenkurve und das Intervall für beide Fälle. - Wo ist die Dichte der Normalverteilung am höchsten? - Überlege dir, wie sich die Fläche unter der Kurve verschiebt, wenn die Kurve nach links oder rechts wandert.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X \sim N(45; 8)\): Die Grenzen \(37\) und \(53\) liegen jeweils genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt (\(z_1 = \frac{37-45}{8} = -1\); \(z_2 = \frac{53-45}{8} = 1\)). Es gilt \(P(37 \le X \le 53) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}6827\). 2. Beurteilung der Änderung bei \(\mu = 40\): Da die Dichtefunktion der Normalverteilung ihr Maximum an der Stelle \(\mu\) besitzt und achsensymmetrisch dazu verläuft, ist die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall fester Breite genau dann am größten, wenn der Erwartungswert in der Mitte des Intervalls liegt. Die Mitte des Intervalls \([37; 53]\) ist \(45\). Durch die Verschiebung des Erwartungswerts auf \(40\) liegt dieser weiter vom Zentrum des Intervalls entfernt, wodurch die Fläche unter der Glockenkurve über diesem Bereich abnimmt. Die Wahrscheinlichkeit wird somit kleiner.

a) \(P(37 \le X \le 53) \approx 0{,}6827\) (bzw. \(68{,}27\,\%\)) b) Die Wahrscheinlichkeit wird kleiner, da der Erwartungswert nicht mehr in der Mitte des Intervalls liegt und somit weniger Fläche im Bereich hoher Dichte eingeschlossen wird.

- Nutze die Standardisierung, um die Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen. - Was passiert mit der Form der Glockenkurve, wenn die Standardabweichung größer wird? - Bleibt die Fläche unter der gesamten Kurve gleich, wenn sie breiter wird? - Überlege, ob die Werte bei einer größeren Streuung eher nah am Mittelwert oder weiter weg zu finden sind.

1. Berechnung für \(X\) mit \(\mu_X = 10\) und \(\sigma_X = 4\): Die \(z\)-Werte der Grenzen sind \(z_1 = \frac{8-10}{4} = -0{,}5\) und \(z_2 = \frac{12-10}{4} = 0{,}5\). Damit ergibt sich \(P(8 \le X \le 12) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) \approx 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}3830\). 2. Berechnung für \(Y\) mit \(\mu_Y = 10\) und \(\sigma_Y = 8\): Die \(z\)-Werte sind \(z_1 = \frac{8-10}{8} = -0{,}25\) und \(z_2 = \frac{12-10}{8} = 0{,}25\). Damit ergibt sich \(P(8 \le Y \le 12) = \Phi(0{,}25) - \Phi(-0{,}25) \approx 0{,}5987 - 0{,}4013 = 0{,}1974\). 3. Vergleich und Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit \(P(8 \le Y \le 12)\) ist deutlich kleiner als \(P(8 \le X \le 12)\). Da die Standardabweichung bei \(Y\) größer ist, ist die Glockenkurve flacher und breiter gestreut. Da die Gesamtfläche unter der Kurve immer \(1\) betragen muss, sinkt bei einer größeren Streuung die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Nähe des Erwartungswerts, wodurch Intervalle um \(\mu\) eine geringere Wahrscheinlichkeit erhalten.

a) \(P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}3830\) b) \(P(8 \le Y \le 12) \approx 0{,}1974\). Die Wahrscheinlichkeit ist bei \(Y\) kleiner, da eine größere Standardabweichung zu einer flacheren Glockenkurve führt, wodurch die Fläche in der Umgebung des Erwartungswerts abnimmt.

- Überlege dir, welche Rolle die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert spielt. - Wie hängen die Grenzen der Intervalle mit Vielfachen der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Faustregeln für die \(\sigma\)-Umgebungen. - Wie transformiert man einen Wert in eine Standardnormalverteilung?

1. Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu = 60\) ist, gilt für die Hälfte der Fläche unter der Dichtekurve: \(P(X \le 60) = 0{,}5\). 2. Das Intervall \([56; 64]\) entspricht \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Nach der \(\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür etwa \(0{,}6827\). 3. Das Intervall \([60; 68]\) entspricht \([\mu; \mu + 2\sigma]\). Mit der Verteilungsfunktion gilt \(P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \Phi(2) - 0{,}5 \approx 0{,}4772\). 4. Für \(P(X > 70)\) berechnet man den \(z\)-Wert: \(z = \frac{70 - 60}{4} = 2{,}5\). Unter Verwendung der Verteilungsfunktion \(\Phi\) der Standardnormalverteilung ergibt sich: \(P(X > 70) = 1 - \Phi(2{,}5) \approx 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062\).

a) \(P(X \le 60) = 0{,}5\) b) \(P(56 \le X \le 64) \approx 0{,}6827\) c) \(P(60 \le X \le 68) \approx 0{,}4772\) d) \(P(X > 70) \approx 0{,}0062\)

- Prüfe, ob die Intervallgrenzen einfache Abstände zum Erwartungswert (wie \(\sigma\) oder \(2\sigma\)) darstellen. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der \(\Phi\)-Funktion für negative Werte. - Welchen Anteil der Fläche deckt die gesamte Glockenkurve ab?

1. Für \(P(X \le 125)\) wird der \(z\)-Wert bestimmt: \(z = \frac{125 - 150}{25} = -1\). Es gilt \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\). 2. Das Intervall \([150; 200]\) entspricht \([\mu; \mu + 2\sigma]\). Mit der Verteilungsfunktion gilt \(P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \Phi(2) - 0{,}5 \approx 0{,}4772\). 3. Das Intervall \([100; 200]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Nach der \(2\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit ca. \(0{,}9545\). 4. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um \(\mu = 150\) ist die Wahrscheinlichkeit oberhalb des Erwartungswerts genau \(P(X > 150) = 0{,}5\).

a) \(P(X \le 125) \approx 0{,}1587\) b) \(P(150 \le X \le 200) \approx 0{,}4772\) c) \(P(100 \le X \le 200) \approx 0{,}9545\) d) \(P(X > 150) = 0{,}5\)

- Kannst du die Problemstellung grafisch skizzieren, um ein Gefühl für die Flächenanteile zu bekommen? - Erinnere dich an die Formel zur Standardisierung. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „kleiner als“ eine bestimmte Grenze ist, bezogen auf die Verteilungsfunktion? - Wie nutzt man Tabellen oder den Taschenrechner für die \(\Phi\)-Werte?

1. Für das Intervall \([97; 103]\) berechnet man die z-Werte: \(z_1 = \frac{97-100}{2} = -1{,}5\) und \(z_2 = \frac{103-100}{2} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(97 \le X \le 103) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}93319 - 0{,}06681 = 0{,}86638\). 2. Für das Intervall \([103; 105]\) berechnet man die z-Werte: \(z_1 = 1{,}5\) und \(z_2 = \frac{105-100}{2} = 2{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(103 \le X \le 105) = \Phi(2{,}5) - \Phi(1{,}5) \approx 0{,}99379 - 0{,}93319 = 0{,}0606\). 3. Für das Ereignis \(X < 96\) berechnet man den z-Wert: \(z = \frac{96-100}{2} = -2\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X < 96) = \Phi(-2) \approx 0{,}02275\).

a) \(P(97 \le X \le 103) \approx 86{,}64\,\%\) b) \(P(103 \le X \le 105) \approx 6{,}06\,\%\) c) \(P(X < 96) \approx 2{,}28\,\%\)

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein geschlossenes Intervall bei einer stetigen Verteilung? - Erinnerst du dich an die Formel zur Standardisierung? - Wie geht man vor, wenn ein \(z\)-Wert negativ ist und die Tabelle nur positive Werte enthält?

1. Standardisierung der Intervallgrenzen: \(z_1 = \frac{10 - 12}{2{,}5} = -0{,}8\) und \(z_2 = \frac{15 - 12}{2{,}5} = 1{,}2\). 2. Ansatz über die Differenz der Verteilungsfunktionen: \(P(10 \le X \le 15) = \Phi(1{,}2) - \Phi(-0{,}8)\). 3. Umformung des negativen \(z\)-Wertes mittels Symmetrie: \(\Phi(-0{,}8) = 1 - \Phi(0{,}8)\). 4. Einsetzen der Tabellenwerte: \(\Phi(1{,}2) \approx 0{,}8849\) und \(\Phi(0{,}8) \approx 0{,}7881\). 5. Berechnung: \(0{,}8849 - (1 - 0{,}7881) = 0{,}8849 - 0{,}2119 = 0{,}6730\).

Die Wahrscheinlichkeit \(P(10 \le X \le 15)\) beträgt etwa \(0{,}6730\) (bzw. \(67{,}30\,\%\)).

- Wie hängen die Grenzen des Intervalls mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Transformation auf die Standardnormalverteilung. - Überlege dir, wie sich die Form der Glockenkurve verändert, wenn die Streuung der Werte zunimmt. - Wo erreicht die Dichtefunktion der Normalverteilung ihren höchsten Wert? - Was passiert mit der Fläche unter der Kurve über einem festen Intervall, wenn man die Kurve nach links oder rechts verschiebt?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(P(72 \le X \le 88)\): Standardisierung der Grenzen ergibt \(z_1 = \frac{72-80}{5} = -1{,}6\) und \(z_2 = \frac{88-80}{5} = 1{,}6\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu \(\Phi(1{,}6) - \Phi(-1{,}6) = 2 \cdot \Phi(1{,}6) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}9452 - 1 = 0{,}8904\). 2. Auswirkung der Erhöhung von \(\sigma\): Eine größere Standardabweichung führt zu einer flacheren und breiteren Glockenkurve. Da das Intervall fest bleibt und symmetrisch um den Erwartungswert liegt, sinkt die Wahrscheinlichkeit, da sich die Fläche stärker auf die Randbereiche (Tails) verteilt. 3. Auswirkung der Verschiebung von \(\mu\): Das Intervall \([72; 88]\) liegt bei \(\mu = 85\) nicht mehr symmetrisch zum Erwartungswert; sein Mittelpunkt liegt bei \(80\). Da die Dichtefunktion ihr Maximum bei \(\mu\) besitzt und zu den Seiten hin abfällt, verringert sich die eingeschlossene Fläche, wenn das Intervall vom Zentrum weg verschoben wird. Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab.

a) \(P(72 \le X \le 88) \approx 0{,}8904\) b) Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab, da die Verteilung flacher wird und mehr Werte außerhalb des festen Intervalls liegen. c) Die Wahrscheinlichkeit nimmt ab, da das Intervall nicht mehr symmetrisch um das Maximum der Dichtefunktion liegt.

- Wie hängen die gegebenen Grenzen mit dem Erwartungswert zusammen? Liegen sie symmetrisch dazu? - Was bedeutet eine „Abweichung um mehr als einen Wert“ für die Auswahl der Intervalle auf der Glockenkurve? - Kannst du die Symmetrie der Normalverteilung nutzen, um die Berechnung abzukürzen? - Überlege dir, wie viele Standardabweichungen die genannten Werte vom Mittelwert entfernt sind.

1. Berechnung der z-Werte für das Intervall \([6{,}0; 6{,}4]\): \(z_1 = \frac{6{,}0 - 6{,}2}{0{,}15} = -\frac{4}{3}\) und \(z_2 = \frac{6{,}4 - 6{,}2}{0{,}15} = \frac{4}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(-\frac{4}{3} \le Z \le \frac{4}{3}) \approx 0{,}8176\). 2. Eine Abweichung von mehr als \(0{,}3\,\text{g}\) bedeutet \(X < 5{,}9\) oder \(X > 6{,}5\). Dies entspricht dem Bereich außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls, da \(0{,}3 = 2 \cdot 0{,}15\). Die z-Werte sind \(z_1 = -2\) und \(z_2 = 2\). Die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung innerhalb dieses Bereichs ist \(P(5{,}9 \le X \le 6{,}5) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für die Überschreitung ist \(1 - 0{,}9545 = 0{,}0455\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(81{,}76\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}55\,\%\).

- Was passiert bei der Standardisierung, wenn die Intervallgrenzen als Vielfache von \(\sigma\) um \(\mu\) gegeben sind? - Skizziere eine Glockenkurve und ein Intervall fester Breite auf der x-Achse. Wo musst du die Kurve platzieren, um die meiste Fläche einzufangen? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung. - Überlege dir, welcher Anteil der Werte links vom Erwartungswert liegt. Hängt dieser Anteil von der Breite der Kurve ab?

1. Berechnung von \(P(\mu - \sigma \le Y \le \mu + \sigma)\): Durch Standardisierung erhält man \(z_1 = \frac{(\mu - \sigma) - \mu}{\sigma} = -1\) und \(z_2 = \frac{(\mu + \sigma) - \mu}{\sigma} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826\). Da \(\mu\) und \(\sigma\) bei der Standardisierung wegfallen, ist das Ergebnis für alle Normalverteilungen identisch. 2. Maximierung von \(P(Y \in I)\): Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung ist symmetrisch zu \(\mu\) und dort am größten. Die Fläche unter der Glockenkurve über einem Intervall fester Breite ist dann am größten, wenn das Intervall symmetrisch um den Hochpunkt \(\mu\) liegt. Somit muss \(\mu\) genau in der Mitte des Intervalls liegen: \(\mu = \frac{10 + 20}{2} = 15\). 3. Untersuchung von \(P(Y \le \mu)\): Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung zur Achse \(x = \mu\) halbiert der Erwartungswert die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion. Es gilt immer \(P(Y \le \mu) = 0{,}5\), unabhängig von der Größe der Standardabweichung \(\sigma\). Eine Verdopplung von \(\sigma\) ändert diesen Wert nicht.

a) \(P(\mu - \sigma \le Y \le \mu + \sigma) \approx 0{,}6826\) (unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\)). b) Die Wahrscheinlichkeit ist für \(\mu = 15\) maximal. c) Die Wahrscheinlichkeit bleibt konstant bei \(0{,}5\).