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- Überlege dir, an welcher Stelle die Glockenkurve der Normalverteilung symmetrisch ist. - Wie kannst du einen Wert \(x\) an einem Zentrum \(\mu\) spiegeln? - Wenn ein Bereich rechts vom Mittelwert liegt, wo muss der flächengleiche Bereich auf der linken Seite liegen? - Skizziere dir eine Glockenkurve und markiere die gegebenen Intervalle, um die Lage der gesuchten Intervalle zu visualisieren.

Die Dichtefunktion einer Normalverteilung ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \mu\). Ein Intervall \(]a; b[\) hat daher dieselbe Wahrscheinlichkeit wie das an \(\mu\) gespiegelte Intervall \(]\mu - (b - \mu); \mu + (\mu - a)[\), was vereinfacht \(]2\mu - b; 2\mu - a[\) entspricht. Mit \(\mu = 500\) ergeben sich: 1. Für \(]500; 560[\): Das gespiegelte Intervall ist \(]500 - (560 - 500); 500[ = ]440; 500[\). 2. Für \(]430; 480[\): Die Grenzen haben die Abstände \(70\) und \(20\) links von \(\mu\). Die Spiegelung nach rechts ergibt \(]500 + 20; 500 + 70[ = ]520; 570[\). 3. Für \(]525; +\infty[\): Der Abstand der unteren Grenze zu \(\mu\) ist \(25\). Das symmetrische Intervall liegt links von \(\mu - 25 = 475\), also \(]-\infty; 475[\). 4. Für \(]380; 420[\): Die Abstände zu \(\mu\) sind \(120\) und \(80\) nach links. Die Spiegelung nach rechts ergibt \(]500 + 80; 500 + 120[ = ]580; 620[\).

a) \(]440; 500[\) b) \(]520; 570[\) c) \(]-\infty; 475[\) d) \(]580; 620[\)

- Nutze die Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeiten links und rechts vom Erwartungswert symmetrisch verteilt sind. - Wenn zwei äußere Bereiche die gleiche Fläche unter der Kurve haben, was sagt das über ihre Lage zum Mittelpunkt aus? - Verwende den in Aufgabenteil a) berechneten Erwartungswert als Spiegelachse für die weiteren Aufgabenteile.

1. Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\) ist und \(P(X < 145) = P(X > 155)\) gilt, muss \(\mu\) genau in der Mitte der Werte \(145\) und \(155\) liegen. Es gilt \(\mu = \frac{145 + 155}{2} = 150\). 2. Um ein Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit wie \(]150; 153[\) zu finden, spiegelt man die Grenzen an \(\mu = 150\). Die obere Grenze \(153\) hat einen Abstand von \(3\) zu \(\mu\). Die Spiegelung ergibt \(150 - 3 = 147\). Das Intervall lautet somit \(]147; 150[\). 3. Das Intervall \(]158; +\infty[\) beginnt bei \(158\), was einen Abstand von \(8\) rechts von \(\mu = 150\) bedeutet. Das symmetrische Ereignis auf der linken Seite ist der Bereich links von \(\mu - 8 = 142\). Somit ist \(k = 142\) und das Intervall lautet \(]-\infty; 142[\).

a) \(\mu = 150\) b) \(]147; 150[\) c) \(]-\infty; 142[\)

- Überlege dir, wie man eine Abweichung vom Erwartungswert mathematisch als Betrag oder als Intervall ausdrückt. - Wie hängen die Grenzen des Intervalls mit der Standardabweichung zusammen, wenn man zur Standardnormalverteilung übergeht? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Welche Wahrscheinlichkeit liegt zwischen \(-z\) und \(z\) bei einer Standardnormalverteilung?

1. Identifikation der Aufgabenstellung als Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls um den Erwartungswert: \(P(\mu - 12 \le X \le \mu + 12)\). 2. Standardisierung der Zufallsgröße unter Verwendung von \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) führt auf die Grenzen \(z_1 = \frac{-12}{8} = -1{,}5\) und \(z_2 = \frac{12}{8} = 1{,}5\). 3. Anwendung der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung: \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 2 \cdot \Phi(1{,}5) - 1\). 4. Nachschlagen des Werts für die Verteilungsfunktion: \(\Phi(1{,}5) = 0{,}9332\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(86{,}64\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie das Intervall der Gewichte aussieht, wenn es höchstens um einen bestimmten Wert vom Mittelwert abweicht. - Wie rechnet man eine allgemeine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung um? - Erinnere dich an die Symmetrie der Normalverteilung: Wie hängen \(P(Z \le k)\) und \(P(Z \le -k)\) zusammen? - Du benötigst eine Tabelle der Standardnormalverteilung oder eine entsprechende Taschenrechnerfunktion.

1. Identifikation der gegebenen Größen: Standardabweichung \(\sigma = 2{,}5\) und maximale Abweichung \(d = 4\). 2. Aufstellen des Wahrscheinlichkeitsausdrucks für das symmetrische Intervall um den Erwartungswert \(\mu\): \(P(\mu - 4 \le X \le \mu + 4) = P(|X - \mu| \le 4)\). 3. Transformation in die Standardnormalverteilung (z-Transformation): \(P\left(\frac{-4}{2{,}5} \le Z \le \frac{4}{2{,}5}\right) = P(-1{,}6 \le Z \le 1{,}6)\). 4. Nutzung der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung: \(\Phi(1{,}6) - \Phi(-1{,}6) = 2 \cdot \Phi(1{,}6) - 1\). 5. Einsetzen des Tabellenwerts \(\Phi(1{,}6) = 0{,}9452\): \(2 \cdot 0{,}9452 - 1 = 0{,}8904\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}8904\) (bzw. \(89{,}04\,\%\)).

- Was bedeutet der Ausdruck „\(k\cdot\sigma\)-Umgebung“ für die Grenzen deines Intervalls bezogen auf den Erwartungswert? - Bei der Umrechnung in die \(z\)-Skala (Standardisierung) kürzen sich \(\mu\) und \(\sigma\) in diesem speziellen Fall heraus. - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein symmetrisches Intervall um Null allein mit der Funktion \(\Phi\) ausdrücken? - Achte darauf, das Endergebnis wie gefordert in Prozent anzugeben.

1. Definition der \(0{,}75\sigma\)-Umgebung: Das gesuchte Intervall lautet \([\mu - 0{,}75\sigma; \mu + 0{,}75\sigma]\). 2. Ansatz für die Wahrscheinlichkeit: \(P(\mu - 0{,}75\sigma \le X \le \mu + 0{,}75\sigma)\). 3. Standardisierung durch die Transformation \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\): Die Grenzen des Intervalls werden zu \(\frac{(\mu \pm 0{,}75\sigma) - \mu}{\sigma} = \pm 0{,}75\). 4. Berechnung über die Verteilungsfunktion \(\Phi\) der Standardnormalverteilung: \(P(-0{,}75 \le Z \le 0{,}75) = \Phi(0{,}75) - \Phi(-0{,}75) = 2 \cdot \Phi(0{,}75) - 1\). 5. Verwendung des Tabellenwerts \(\Phi(0{,}75) \approx 0{,}7734\): \(2 \cdot 0{,}7734 - 1 = 0{,}5468\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}68\,\%\).

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls mithilfe der Verteilungsfunktion \(\Phi\) ausdrückt. - Welchen Wert muss die Verteilungsfunktion an der oberen Grenze annehmen, damit in der Mitte \(70\,\%\) der Fläche liegen? - Wie hängen die Grenzen eines Intervalls bei einer allgemeinen Normalverteilung mit denen der Standardnormalverteilung zusammen?

1. Für die Standardnormalverteilung gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = 2\Phi(k) - 1\). Setzt man dies gleich \(0{,}70\), ergibt sich \(2\Phi(k) = 1{,}70\), also \(\Phi(k) = 0{,}85\). 2. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung (oder durch Probieren) findet man für \(\Phi(k) = 0{,}85\) den Wert \(k \approx 1{,}04\). 3. Für eine beliebig normalverteilte Zufallsgröße \(G \sim N(\mu; \sigma)\) liegt das symmetrische \(70\,\%\)-Intervall bei \([\mu - k \cdot \sigma; \mu + k \cdot \sigma]\). 4. Einsetzen der Werte: \(1000 \pm 1{,}04 \cdot 6 = 1000 \pm 6{,}24\). 5. Das Intervall lautet somit \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

a) \(k \approx 1{,}04\) b) Das Intervall ist \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

- Überlege zuerst, wie viele Tabletten man im Durchschnitt mit erhöhtem Wirkstoffgehalt erwartet. - Wie kannst du die Streuung der Ergebnisse um diesen Durchschnittswert berechnen? - Welche Kennzahl aus der Normalverteilung gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\)? - Der Radius ergibt sich aus dem Produkt dieser Kennzahl und der Standardabweichung.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 600 \cdot 0{,}15 = 90\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{600 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}746\). 3. Bestimmung des \(k\)-Werts für eine Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\): Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung (oder den \(\sigma\)-Regeln) ergibt sich für \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) \approx 0{,}95\) der Wert \(k \approx 1{,}96\). 4. Berechnung des Radius: \(r = k \cdot \sigma = 1{,}96 \cdot 8{,}746 \approx 17{,}142\).

Der Radius der Umgebung beträgt etwa \(17{,}14\).

- Welche Kennzahlen einer Binomialverteilung benötigst du, um die Lage und Streuung der Verteilung zu beschreiben? - Welche Faktoren (Sigma-Regeln) gehören zu den Wahrscheinlichkeiten \(90\,\%\) und \(95\,\%\)? - Wie ist ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert allgemein aufgebaut? - Überprüfe, ob die Laplace-Bedingung (\(\sigma > 3\)) erfüllt ist, damit die Näherung durch die Normalverteilung zulässig ist.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 600 \cdot 0{,}2 = 120\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{120 \cdot 0{,}8} = \sqrt{96} \approx 9{,}798\). Für die \(90\,\%\)-Umgebung wird der Faktor \(k \approx 1{,}64\) verwendet. Intervallgrenzen: \(120 \pm 1{,}64 \cdot 9{,}798 \approx 120 \pm 16{,}07\). Ergebnis: \([103{,}93; 136{,}07]\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}7 = 280\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3} = \sqrt{84} \approx 9{,}165\). Für die \(95\,\%\)-Umgebung wird der Faktor \(k \approx 1{,}96\) verwendet. Intervallgrenzen: \(280 \pm 1{,}96 \cdot 9{,}165 \approx 280 \pm 17{,}96\). Ergebnis: \([262{,}04; 297{,}96]\).

a) \([103{,}93; 136{,}07]\) b) \([262{,}04; 297{,}96]\)

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt und die Streuung der Verteilung. - Welchen speziellen Wert für \(k\) nutzt man bei der \(95\,\%\)-Sicherheitswahrscheinlichkeit? - Überlege dir für den zweiten Teil, wie sich die Fläche unter der Glockenkurve verändert, wenn das Intervall mehr Wahrscheinlichkeit einschließen soll.

1. Berechnung zu a): Erwartungswert \(\mu = 1\,250 \cdot 0{,}16 = 200\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{1\,250 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}84} = \sqrt{168} \approx 12{,}961\). Sigma-Faktor für \(95\,\%\) ist \(k \approx 1{,}96\). Umgebung: \([200 - 1{,}96 \cdot 12{,}961; 200 + 1{,}96 \cdot 12{,}961] \approx [174{,}60; 225{,}40]\). 2. Begründung zu b): Die \(99\,\%\)-Umgebung ist breiter. Damit ein größerer Anteil der Wahrscheinlichkeit (hier \(99\,\%\) statt \(95\,\%\)) im Intervall liegt, muss der Abstand zum Erwartungswert vergrößert werden. Mathematisch entspricht dies einem größeren Sigma-Faktor \(k\) (ca. \(2{,}58\) statt \(1{,}96\)).

a) \([174{,}60; 225{,}40]\) b) Die \(99\,\%\)-Umgebung ist breiter, da ein höheres Wahrscheinlichkeitsniveau einen größeren Faktor \(k\) erfordert, um einen größeren Bereich der Verteilung abzudecken.

- Welche Kenngrößen der Verteilung benötigst du, um ein Intervall um das Zentrum zu berechnen? - Welcher \(z\)-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\) bei einer symmetrischen Abweichung? - Denke daran, dass das Ergebnis für die Anzahl der Schrauben als Bereich ganzer Zahlen angegeben werden sollte.

1. Bestimmung der Parameter: \(n = 1\,000\), \(p = 0{,}04\). 2. Berechnung von \(\mu\): \(\mu = 1\,000 \cdot 0{,}04 = 40\). 3. Berechnung von \(\sigma\): \(\sigma = \sqrt{1\,000 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96} = \sqrt{38{,}4} \approx 6{,}197\). Da \(\sigma > 3\), ist die Näherung zulässig. 4. Für ein \(95\,\%\)-Intervall wird der \(z\)-Wert \(1{,}96\) benötigt (da \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)). 5. Berechnung der Intervallgrenzen: \(k = 1{,}96 \cdot \sigma \approx 1{,}96 \cdot 6{,}197 \approx 12{,}15\). 6. Das Intervall lautet \([\mu - k; \mu + k] = [40 - 12{,}15; 40 + 12{,}15] = [27{,}85; 52{,}15]\). 7. Da die Anzahl der Schrauben ganzzahlig ist, rundet man auf das nächstgelegene ganzzahlige Intervall: \([28; 52]\).

Die Anzahl der Ausschussschrauben liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(95\,\%\) im Bereich von \(28\) bis \(52\) Schrauben (Intervall \([28; 52]\)).

- Überlege zuerst, wie viele defekte Chips man im Durchschnitt (Erwartungswert) erwarten würde. - Wie kannst du die Streuung der Werte um diesen Durchschnitt berechnen? - Welche Rolle spielt die Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(90\,\%\) bei der Wahl des Faktors für die Breite des Intervalls? - Denke daran, dass das gesuchte Intervall symmetrisch um den Mittelwert liegen soll.

1. Erwartungswert berechnen: \(\mu = n \cdot p = 800 \cdot 0{,}05 = 40\) 2. Standardabweichung berechnen: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{800 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} \approx 6{,}164\) 3. Laplace-Bedingung prüfen: \(\sigma^2 = 38 > 9\), somit ist die Näherung durch die Normalverteilung zulässig 4. \(z\)-Wert für die Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(90\,\%\) bestimmen: \(k \approx 1{,}64\) 5. Intervallgrenzen berechnen: \(\mu \pm k \cdot \sigma = 40 \pm 1{,}64 \cdot 6{,}164 \approx 40 \pm 10{,}11\) 6. Untere Grenze: \(40 - 10{,}11 = 29{,}89\); Obere Grenze: \(40 + 10{,}11 = 50{,}11\) 7. Rundung auf ganze Zahlen für die Anzahl der Chips: \([30; 50]\)

Das symmetrische \(90\,\%\)-Intervall ist \([30; 50]\).

- Bestimme zunächst die Kennzahlen \(\mu\) und \(\sigma\) der zugrunde liegenden Verteilung. - Welcher \(k\)-Wert gehört zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(95\,\%\)? - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist, die Aufgabe aber nach einer Anzahl von Haushalten fragt?

1. Erwartungswert berechnen: \(\mu = n \cdot p = 1200 \cdot 0{,}18 = 216\) 2. Standardabweichung berechnen: \(\sigma = \sqrt{1200 \cdot 0{,}18 \cdot 0{,}82} = \sqrt{177{,}12} \approx 13{,}309\) 3. Laplace-Bedingung prüfen: \(\sigma^2 \approx 177{,}12 > 9\), die Anwendung der Normalverteilung ist möglich 4. \(z\)-Wert für die Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(95\,\%\) bestimmen: \(k \approx 1{,}96\) 5. Intervallgrenzen berechnen: \(\mu \pm k \cdot \sigma = 216 \pm 1{,}96 \cdot 13{,}309 \approx 216 \pm 26{,}09\) 6. Untere Grenze: \(216 - 26{,}09 = 189{,}91\); Obere Grenze: \(216 + 26{,}09 = 242{,}09\) 7. Rundung auf ganze Zahlen: \([190; 242]\)

Das symmetrische \(95\,\%\)-Intervall ist \([190; 242]\).

- Du suchst hier nach den Grenzen eines Intervalls, in dem ein bestimmter Prozentsatz der Werte liegt. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls und der Verteilungsfunktion \(\Phi\). - Welchen \(z\)-Wert benötigt man für ein zentrales \(95\,\%\)-Intervall bei der Standardnormalverteilung? - Wie rechnet man diesen \(z\)-Wert wieder in die ursprüngliche Einheit (Millimeter) um?

1. Ansatz für das symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervall: \(P(\mu - d \le X \le \mu + d) = 0{,}95\). 2. Überführung in die Standardnormalverteilung: \(P\left(-\frac{d}{\sigma} \le Z \le \frac{d}{\sigma}\right) = 0{,}95\). 3. Verwendung der Formel für symmetrische Intervalle \(2 \cdot \Phi(z) - 1 = P\), wobei \(z = \frac{d}{\sigma}\) ist. 4. Auflösen nach \(\Phi(z)\): \(\Phi(z) = \frac{0{,}95 + 1}{2} = 0{,}975\). 5. Bestimmung des \(z\)-Wertes aus der Tabelle oder mithilfe der inversen Verteilungsfunktion: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). 6. Berechnung der gesuchten Abweichung \(d = z \cdot \sigma = 1{,}96 \cdot 0{,}05\,\text{mm} = 0{,}098\,\text{mm}\).

Die maximale Abweichung beträgt \(d = 0{,}098\,\text{mm}\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Größe um einen bestimmten Faktor der Standardabweichung vom Mittelwert abweicht? - Nutze die Standardisierung, um die allgemeine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu überführen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaft der Dichtefunktion bzw. die Beziehung \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).

1. Die Bedingung „höchstens um das \(1{,}5\)-fache der Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen“ entspricht dem Intervall \([\mu - 1{,}5\sigma; \mu + 1{,}5\sigma]\). 2. Durch Standardisierung \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\) wird die Wahrscheinlichkeit zu \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5)\). 3. Berechnung: \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 2\Phi(1{,}5) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\). 4. Allgemeiner Nachweis: \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k\sigma \le X - \mu \le k\sigma)\). 5. Division durch \(\sigma > 0\) liefert \(P(-k \le \frac{X - \mu}{\sigma} \le k) = P(-k \le Z \le k)\). 6. Da \(Z\) standardnormalverteilt ist, gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = \Phi(k) - (1 - \Phi(k)) = 2\Phi(k) - 1\). Dieser Ausdruck ist unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\).

a) \(P(\mu - 1{,}5\sigma \le X \le \mu + 1{,}5\sigma) \approx 0{,}8664\) b) Durch Standardisierung folgt \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k \le Z \le k) = 2\Phi(k) - 1\).

- Unterscheide zwischen der absoluten Anzahl der Erfolge und dem relativen Anteil in der Stichprobe. - Wie berechnet man ein Intervall für den relativen Anteil direkt aus dem Intervall der absoluten Häufigkeit? - Welcher \(z\)-Wert entspricht einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(99\,\%\)? - Wann gilt ein Stichprobenergebnis als „unverträglich“ mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit?

1. Parameter: \(n = 600\), \(p = 0{,}85\). 2. Erwartungswert \(\mu = 600 \cdot 0{,}85 = 510\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{600 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}746\). 3. Für \(99\,\%\) Sicherheitswahrscheinlichkeit gilt \(z \approx 2{,}58\). 4. Prognoseintervall für die Anzahl \(X\): \([510 - 2{,}58 \cdot 8{,}746; 510 + 2{,}58 \cdot 8{,}746] = [487{,}44; 532{,}56]\). 5. Umrechnung in Anteile \(h = \frac{X}{n}\): \([\frac{487{,}44}{600}; \frac{532{,}56}{600}] \approx [0{,}8124; 0{,}8876]\). Das Intervall für den Anteil ist somit ca. \([81{,}2\,\%; 88{,}8\,\%]\). 6. Beurteilung: Der beobachtete absolute Wert \(486\) liegt außerhalb des Prognoseintervalls für die Anzahl (\(486 < 487{,}44\)). Alternativ liegt der Anteil \(\hat{h} = \frac{486}{600} = 0{,}81 = 81\,\%\) außerhalb des Anteilsintervalls. Das Ergebnis ist somit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(99\,\%\) nicht mit der Behauptung verträglich.

a) Das Prognoseintervall für den Anteil beträgt ca. \([81{,}2\,\%; 88{,}8\,\%]\). b) Da der beobachtete Anteil von \(81\,\%\) (entspricht \(486\) Patienten) außerhalb des \(99\,\%\)-Prognoseintervalls liegt, ist das Ergebnis mit der Behauptung des Unternehmens nicht verträglich.