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- Überlege dir, an welcher Stelle die Glockenkurve der Normalverteilung symmetrisch ist. - Wie kannst du einen Wert \(x\) an einem Zentrum \(\mu\) spiegeln? - Wenn ein Bereich rechts vom Mittelwert liegt, wo muss der flächengleiche Bereich auf der linken Seite liegen? - Skizziere dir eine Glockenkurve und markiere die gegebenen Intervalle, um die Lage der gesuchten Intervalle zu visualisieren.

Die Dichtefunktion einer Normalverteilung ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \mu\). Ein Intervall \(]a; b[\) hat daher dieselbe Wahrscheinlichkeit wie das an \(\mu\) gespiegelte Intervall \(]\mu - (b - \mu); \mu + (\mu - a)[\), was vereinfacht \(]2\mu - b; 2\mu - a[\) entspricht. Mit \(\mu = 500\) ergeben sich: 1. Für \(]500; 560[\): Das gespiegelte Intervall ist \(]500 - (560 - 500); 500[ = ]440; 500[\). 2. Für \(]430; 480[\): Die Grenzen haben die Abstände \(70\) und \(20\) links von \(\mu\). Die Spiegelung nach rechts ergibt \(]500 + 20; 500 + 70[ = ]520; 570[\). 3. Für \(]525; +\infty[\): Der Abstand der unteren Grenze zu \(\mu\) ist \(25\). Das symmetrische Intervall liegt links von \(\mu - 25 = 475\), also \(]-\infty; 475[\). 4. Für \(]380; 420[\): Die Abstände zu \(\mu\) sind \(120\) und \(80\) nach links. Die Spiegelung nach rechts ergibt \(]500 + 80; 500 + 120[ = ]580; 620[\).

a) \(]440; 500[\) b) \(]520; 570[\) c) \(]-\infty; 475[\) d) \(]580; 620[\)

- Nutze die Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeiten links und rechts vom Erwartungswert symmetrisch verteilt sind. - Wenn zwei äußere Bereiche die gleiche Fläche unter der Kurve haben, was sagt das über ihre Lage zum Mittelpunkt aus? - Verwende den in Aufgabenteil a) berechneten Erwartungswert als Spiegelachse für die weiteren Aufgabenteile.

1. Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\) ist und \(P(X < 145) = P(X > 155)\) gilt, muss \(\mu\) genau in der Mitte der Werte \(145\) und \(155\) liegen. Es gilt \(\mu = \frac{145 + 155}{2} = 150\). 2. Um ein Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit wie \(]150; 153[\) zu finden, spiegelt man die Grenzen an \(\mu = 150\). Die obere Grenze \(153\) hat einen Abstand von \(3\) zu \(\mu\). Die Spiegelung ergibt \(150 - 3 = 147\). Das Intervall lautet somit \(]147; 150[\). 3. Das Intervall \(]158; +\infty[\) beginnt bei \(158\), was einen Abstand von \(8\) rechts von \(\mu = 150\) bedeutet. Das symmetrische Ereignis auf der linken Seite ist der Bereich links von \(\mu - 8 = 142\). Somit ist \(k = 142\) und das Intervall lautet \(]-\infty; 142[\).

a) \(\mu = 150\) b) \(]147; 150[\) c) \(]-\infty; 142[\)

- Überlege dir, wie man eine Abweichung vom Erwartungswert mathematisch als Betrag oder als Intervall ausdrückt. - Wie hängen die Grenzen des Intervalls mit der Standardabweichung zusammen, wenn man zur Standardnormalverteilung übergeht? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Welche Wahrscheinlichkeit liegt zwischen \(-z\) und \(z\) bei einer Standardnormalverteilung?

1. Identifikation der Aufgabenstellung als Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls um den Erwartungswert: \(P(\mu - 12 \le X \le \mu + 12)\). 2. Standardisierung der Zufallsgröße unter Verwendung von \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) führt auf die Grenzen \(z_1 = \frac{-12}{8} = -1{,}5\) und \(z_2 = \frac{12}{8} = 1{,}5\). 3. Anwendung der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung: \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 2 \cdot \Phi(1{,}5) - 1\). 4. Nachschlagen des Werts für die Verteilungsfunktion: \(\Phi(1{,}5) = 0{,}9332\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(86{,}64\,\%\).

- Was bedeutet der Ausdruck „\(k\sigma\)-Umgebung“ für die Grenzen deines Intervalls bezogen auf den Erwartungswert? - Bei der Umrechnung in die \(z\)-Skala (Standardisierung) kürzen sich \(\mu\) und \(\sigma\) in diesem speziellen Fall heraus. - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein symmetrisches Intervall um Null allein mit der Funktion \(\Phi\) ausdrücken? - Achte darauf, das Endergebnis wie gefordert in Prozent anzugeben.

1. Die \(0{,}75\sigma\)-Umgebung ist \([\mu-0{,}75\sigma;\mu+0{,}75\sigma]\). 2. Mit \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) wird daraus \(P(-0{,}75\leq Z\leq0{,}75)\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(P=\Phi(0{,}75)-\Phi(-0{,}75)=2\Phi(0{,}75)-1\). 4. Mit voller Rechnergenauigkeit ist \(P\approx0{,}546745\), also etwa \(54{,}67\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(54{,}67\,\%\).

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls mithilfe der Verteilungsfunktion \(\Phi\) ausdrückt. - Welchen Wert muss die Verteilungsfunktion an der oberen Grenze annehmen, damit in der Mitte \(70\,\%\) der Fläche liegen? - Wie hängen die Grenzen eines Intervalls bei einer allgemeinen Normalverteilung mit denen der Standardnormalverteilung zusammen?

1. Für die Standardnormalverteilung gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = 2\Phi(k) - 1\). Setzt man dies gleich \(0{,}70\), ergibt sich \(2\Phi(k) = 1{,}70\), also \(\Phi(k) = 0{,}85\). 2. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung (oder durch Probieren) findet man für \(\Phi(k) = 0{,}85\) den Wert \(k \approx 1{,}04\). 3. Für eine beliebig normalverteilte Zufallsgröße \(G \sim N(\mu; \sigma^2)\) liegt das symmetrische \(70\,\%\)-Intervall bei \([\mu - k\sigma; \mu + k\sigma]\). 4. Einsetzen der Werte: \(1000 \pm 1{,}04 \cdot 6 = 1000 \pm 6{,}24\). 5. Das Intervall lautet somit \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

a) \(k \approx 1{,}04\) b) Das Intervall ist \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

- Wie hängen die gegebenen Grenzen mit dem Erwartungswert zusammen? Liegen sie symmetrisch dazu? - Was bedeutet eine „Abweichung um mehr als einen Wert“ für die Auswahl der Intervalle auf der Glockenkurve? - Kannst du die Symmetrie der Normalverteilung nutzen, um die Berechnung abzukürzen? - Überlege dir, wie viele Standardabweichungen die genannten Werte vom Mittelwert entfernt sind.

1. Berechnung der z-Werte für das Intervall \([6{,}0; 6{,}4]\): \(z_1 = \frac{6{,}0 - 6{,}2}{0{,}15} = -\frac{4}{3}\) und \(z_2 = \frac{6{,}4 - 6{,}2}{0{,}15} = \frac{4}{3}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(-\frac{4}{3} \le Z \le \frac{4}{3}) \approx 0{,}8176\). 2. Eine Abweichung von mehr als \(0{,}3\,\text{g}\) bedeutet \(X < 5{,}9\) oder \(X > 6{,}5\). Dies entspricht dem Bereich außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls, da \(0{,}3 = 2 \cdot 0{,}15\). Die z-Werte sind \(z_1 = -2\) und \(z_2 = 2\). Die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung innerhalb dieses Bereichs ist \(P(5{,}9 \le X \le 6{,}5) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für die Überschreitung ist \(1 - 0{,}9545 = 0{,}0455\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(81{,}76\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}55\,\%\).

- Überlege zuerst, wie viele Tabletten man im Durchschnitt mit erhöhtem Wirkstoffgehalt erwartet. - Wie kannst du die Streuung der Ergebnisse um diesen Durchschnittswert berechnen? - Welche Kennzahl aus der Normalverteilung gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\)? - Der Radius ergibt sich aus dem Produkt dieser Kennzahl und der Standardabweichung.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 600 \cdot 0{,}15 = 90\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{600 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}746\). 3. Bestimmung des \(k\)-Werts für eine Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\): Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung (oder den \(\sigma\)-Regeln) ergibt sich für \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) \approx 0{,}95\) der Wert \(k \approx 1{,}96\). 4. Berechnung des Radius: \(r = k \cdot \sigma = 1{,}96 \cdot 8{,}746 \approx 17{,}142\).

Der Radius der Umgebung beträgt etwa \(17{,}14\).

- Welche Kennzahlen einer Binomialverteilung benötigst du, um die Lage und Streuung der Verteilung zu beschreiben? - Welche Faktoren (Sigma-Regeln) gehören zu den Wahrscheinlichkeiten \(90\,\%\) und \(95\,\%\)? - Wie ist ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert allgemein aufgebaut? - Überprüfe, ob die Laplace-Bedingung (\(\sigma > 3\)) erfüllt ist, damit die Näherung durch die Normalverteilung zulässig ist.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Erwartungswert: \(\mu = n \cdot p = 600 \cdot 0{,}2 = 120\). Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{96} \approx 9{,}798\). Für die zentrale \(90\,\%\)-Umgebung wird \(k \approx 1{,}645\) verwendet. Die normalverteilte Näherung liefert \(120 \pm 1{,}645 \cdot 9{,}798 \approx 120 \pm 16{,}12\), also \([103{,}88; 136{,}12]\). Da \(X\) ganzzahlig ist, entspricht dies den möglichen Werten \(104\) bis \(136\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Erwartungswert: \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}7 = 280\). Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3} = \sqrt{84} \approx 9{,}165\). Für die zentrale \(95\,\%\)-Umgebung wird \(k \approx 1{,}96\) verwendet. Die normalverteilte Näherung liefert \(280 \pm 1{,}96 \cdot 9{,}165 \approx 280 \pm 17{,}96\), also \([262{,}04; 297{,}96]\). Für die ganzzahlige Zufallsgröße entspricht dies den möglichen Werten \(263\) bis \(297\).

a) Normalverteilte Näherung: \([103{,}88; 136{,}12]\); für die ganzzahlige Zufallsgröße: \([104; 136]\) b) Normalverteilte Näherung: \([262{,}04; 297{,}96]\); für die ganzzahlige Zufallsgröße: \([263; 297]\)

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt und die Streuung der Verteilung. - Welchen speziellen Wert für \(k\) nutzt man bei der \(95\,\%\)-Sicherheitswahrscheinlichkeit? - Überlege dir für den zweiten Teil, wie sich die Fläche unter der Glockenkurve verändert, wenn das Intervall mehr Wahrscheinlichkeit einschließen soll.

1. Erwartungswert: \(\mu = 1250 \cdot 0{,}16 = 200\). 2. Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{1250 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}84} = \sqrt{168} \approx 12{,}961\). 3. Für eine zentrale Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\) gilt \(k \approx 1{,}96\). 4. Die normalverteilte Näherung liefert \([200 - 1{,}96 \cdot 12{,}961; 200 + 1{,}96 \cdot 12{,}961] \approx [174{,}60; 225{,}40]\). Da \(X\) ganzzahlig ist, entspricht dies den möglichen Werten \(175\) bis \(225\). 5. Eine \(99\,\%\)-Umgebung ist breiter, weil für einen größeren eingeschlossenen Wahrscheinlichkeitsanteil ein größerer Faktor \(k\) benötigt wird (etwa \(2{,}576\) statt \(1{,}96\)).

a) Normalverteilte Näherung: \([174{,}60; 225{,}40]\); für die ganzzahlige Zufallsgröße: \([175; 225]\) b) Die \(99\,\%\)-Umgebung ist breiter, weil sie einen größeren Wahrscheinlichkeitsanteil einschließen soll.

- Welche Kenngrößen der Verteilung benötigst du, um ein Intervall um das Zentrum zu berechnen? - Welcher \(z\)-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\) bei einer symmetrischen Abweichung? - Denke daran, dass das Ergebnis für die Anzahl der Schrauben als Bereich ganzer Zahlen angegeben werden sollte.

1. Bestimmung der Parameter: \(n = 1000\), \(p = 0{,}04\). 2. Berechnung von \(\mu\): \(\mu = 1000 \cdot 0{,}04 = 40\). 3. Berechnung von \(\sigma\): \(\sigma = \sqrt{1000 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96} = \sqrt{38{,}4} \approx 6{,}197\). Da \(\sigma > 3\), ist die Näherung zulässig. 4. Für ein \(95\,\%\)-Intervall wird der \(z\)-Wert \(1{,}96\) benötigt (da \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)). 5. Berechnung der Intervallgrenzen: \(k = 1{,}96 \cdot \sigma \approx 1{,}96 \cdot 6{,}197 \approx 12{,}15\). 6. Das Intervall lautet \([\mu - k; \mu + k] = [40 - 12{,}15; 40 + 12{,}15] = [27{,}85; 52{,}15]\). 7. Da die Anzahl der Schrauben ganzzahlig ist, reichen die ganzzahligen Werte innerhalb der berechneten Grenzen von \(28\) bis \(52\), also \([28; 52]\).

Die Anzahl der Ausschussschrauben liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(95\,\%\) im Bereich von \(28\) bis \(52\) Schrauben (Intervall \([28; 52]\)).

- Du suchst hier nach den Grenzen eines Intervalls, in dem ein bestimmter Prozentsatz der Werte liegt. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls und der Verteilungsfunktion \(\Phi\). - Welchen \(z\)-Wert benötigt man für ein zentrales \(95\,\%\)-Intervall bei der Standardnormalverteilung? - Wie rechnet man diesen \(z\)-Wert wieder in die ursprüngliche Einheit (Millimeter) um?

1. Ansatz für das symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervall: \(P(\mu - d \le X \le \mu + d) = 0{,}95\). 2. Überführung in die Standardnormalverteilung: \(P\left(-\frac{d}{\sigma} \le Z \le \frac{d}{\sigma}\right) = 0{,}95\). 3. Verwendung der Formel für symmetrische Intervalle \(2 \cdot \Phi(z) - 1 = P\), wobei \(z = \frac{d}{\sigma}\) ist. 4. Auflösen nach \(\Phi(z)\): \(\Phi(z) = \frac{0{,}95 + 1}{2} = 0{,}975\). 5. Bestimmung des \(z\)-Wertes aus der Tabelle oder mithilfe der inversen Verteilungsfunktion: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). 6. Berechnung der gesuchten Abweichung \(d = z \cdot \sigma = 1{,}96 \cdot 0{,}05\,\text{mm} = 0{,}098\,\text{mm}\).

Die maximale Abweichung beträgt näherungsweise \(d \approx 0{,}098\,\text{mm}\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Größe um einen bestimmten Faktor der Standardabweichung vom Mittelwert abweicht? - Nutze die Standardisierung, um die allgemeine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu überführen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaft der Dichtefunktion bzw. die Beziehung \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).

1. Die Bedingung „höchstens um das \(1{,}5\)-fache der Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen“ entspricht dem Intervall \([\mu - 1{,}5\sigma; \mu + 1{,}5\sigma]\). 2. Durch Standardisierung \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\) wird die Wahrscheinlichkeit zu \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5)\). 3. Berechnung: \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 2\Phi(1{,}5) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\). 4. Allgemeiner Nachweis: \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k\sigma \le X - \mu \le k\sigma)\). 5. Division durch \(\sigma > 0\) liefert \(P(-k \le \frac{X - \mu}{\sigma} \le k) = P(-k \le Z \le k)\). 6. Da \(Z\) standardnormalverteilt ist, gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = \Phi(k) - (1 - \Phi(k)) = 2\Phi(k) - 1\). Dieser Ausdruck ist unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\).

a) \(P(\mu - 1{,}5\sigma \le X \le \mu + 1{,}5\sigma) \approx 0{,}8664\) b) Durch Standardisierung folgt \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k \le Z \le k) = 2\Phi(k) - 1\).

- Was passiert bei der Standardisierung, wenn die Intervallgrenzen als Vielfache von \(\sigma\) um \(\mu\) gegeben sind? - Skizziere eine Glockenkurve und ein Intervall fester Breite auf der x-Achse. Wo musst du die Kurve platzieren, um die meiste Fläche einzufangen? - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung. - Überlege dir, welcher Anteil der Werte links vom Erwartungswert liegt. Hängt dieser Anteil von der Breite der Kurve ab?

1. Berechnung von \(P(\mu - \sigma \le Y \le \mu + \sigma)\): Durch Standardisierung erhält man \(z_1 = \frac{(\mu - \sigma) - \mu}{\sigma} = -1\) und \(z_2 = \frac{(\mu + \sigma) - \mu}{\sigma} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 2\Phi(1)-1 \approx 0{,}682689 \approx 0{,}6827\). Da \(\mu\) und \(\sigma\) bei der Standardisierung wegfallen, ist das Ergebnis für alle Normalverteilungen identisch. 2. Maximierung von \(P(Y \in I)\): Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung ist symmetrisch zu \(\mu\) und dort am größten. Die Fläche unter der Glockenkurve über einem Intervall fester Breite ist dann am größten, wenn das Intervall symmetrisch um den Hochpunkt \(\mu\) liegt. Somit muss \(\mu\) genau in der Mitte des Intervalls liegen: \(\mu = \frac{10 + 20}{2} = 15\). 3. Untersuchung von \(P(Y \le \mu)\): Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung zur Achse \(x = \mu\) halbiert der Erwartungswert die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion. Es gilt immer \(P(Y \le \mu) = 0{,}5\), unabhängig von der Größe der Standardabweichung \(\sigma\). Eine Verdopplung von \(\sigma\) ändert diesen Wert nicht.

a) \(P(\mu - \sigma \le Y \le \mu + \sigma) \approx 0{,}6827\) (unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\)). b) Die Wahrscheinlichkeit ist für \(\mu = 15\) maximal. c) Die Wahrscheinlichkeit bleibt konstant bei \(0{,}5\).

- Unterscheide zwischen der absoluten Anzahl der Erfolge und dem relativen Anteil in der Stichprobe. - Wie berechnet man ein Intervall für den relativen Anteil direkt aus dem Intervall der absoluten Häufigkeit? - Welcher \(z\)-Wert entspricht einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(99\,\%\)? - Wann gilt ein Stichprobenergebnis als „unverträglich“ mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit?

1. Parameter: \(n = 600\), \(p = 0{,}85\). 2. Erwartungswert \(\mu = 600 \cdot 0{,}85 = 510\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{600 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}746\). 3. Für \(99\,\%\) Sicherheitswahrscheinlichkeit gilt \(z \approx 2{,}58\). 4. Prognoseintervall für die Anzahl \(X\): \([510 - 2{,}58 \cdot 8{,}746; 510 + 2{,}58 \cdot 8{,}746] = [487{,}44; 532{,}56]\). 5. Umrechnung in Anteile \(h = \frac{X}{n}\): \([\frac{487{,}44}{600}; \frac{532{,}56}{600}] \approx [0{,}8124; 0{,}8876]\). Das Intervall für den Anteil ist somit ca. \([81{,}2\,\%; 88{,}8\,\%]\). 6. Beurteilung: Der beobachtete absolute Wert \(486\) liegt außerhalb des Prognoseintervalls für die Anzahl (\(486 < 487{,}44\)). Alternativ liegt der Anteil \(\hat{h} = \frac{486}{600} = 0{,}81 = 81\,\%\) außerhalb des Anteilsintervalls. Das Ergebnis ist somit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(99\,\%\) nicht mit der Behauptung verträglich.

a) Das Prognoseintervall für den Anteil beträgt ca. \([81{,}2\,\%; 88{,}8\,\%]\). b) Da der beobachtete Anteil von \(81\,\%\) (entspricht \(486\) Patienten) außerhalb des \(99\,\%\)-Prognoseintervalls liegt, ist das Ergebnis mit der Behauptung des Unternehmens nicht verträglich.