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- Erinnere dich an die Faustregeln für ganzzahlige Vielfache der Standardabweichung. - Welche Werte von \(k\) gehören zu \(68{,}3\,\%\), \(95{,}4\,\%\) und \(99{,}7\,\%\)? - Setze jeweils in \([\mu - k\sigma; \mu + k\sigma]\) ein. - Achte darauf, die Einheit Stunden im Ergebnis anzugeben.

1. Nach der \(1\sigma\)-Regel der Normalverteilung entfallen auf das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) etwa \(68{,}3\,\%\) der Werte. Berechnung: \([15000 - 800; 15000 + 800] = [14200; 15800]\). Das Intervall lautet also \([14200\,\text{h}; 15800\,\text{h}]\). 2. Nach der \(2\sigma\)-Regel entfallen auf das Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) etwa \(95{,}4\,\%\) der Werte. Berechnung: \([15000 - 2 \cdot 800; 15000 + 2 \cdot 800] = [13400; 16600]\). Das Intervall lautet also \([13400\,\text{h}; 16600\,\text{h}]\). 3. Nach der \(3\sigma\)-Regel entfallen auf das Intervall \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\) etwa \(99{,}7\,\%\) der Werte. Berechnung: \([15000 - 3 \cdot 800; 15000 + 3 \cdot 800] = [12600; 17400]\). Das Intervall lautet also \([12600\,\text{h}; 17400\,\text{h}]\).

1. \([14200\,\text{h}; 15800\,\text{h}]\) 2. \([13400\,\text{h}; 16600\,\text{h}]\) 3. \([12600\,\text{h}; 17400\,\text{h}]\)

- Welcher Anteil der Fläche unter der Glockenkurve liegt innerhalb einer \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- oder \(3\sigma\)-Umgebung? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen einseitigen Bereich (den Randbereich der Verteilung) aus den symmetrischen Sigma-Regeln herleiten? - Überlege, wie weit die Intervallgrenzen vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt sind. - Wie viel Prozent der Fläche liegen außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung und wie verteilt sich dieser Rest auf die beiden Seiten?

1. Zuordnung der Sigma-Regel für Teilaufgabe a): Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}954\) entspricht dem Bereich der \(2\sigma\)-Umgebung um den Erwartungswert \(\mu = 100\). 2. Aufstellen der Gleichung: Da das Intervall \([100 - 6; 100 + 6]\) gegeben ist, gilt \(2\sigma = 6\). 3. Berechnung von \(\sigma\): Aus \(2\sigma = 6\) folgt \(\sigma = 3\). 4. Zuordnung der Sigma-Regel für Teilaufgabe b): Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}0015\) entspricht der Fläche im rechten Randbereich außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung, da \(1 - 0{,}997 = 0{,}003\) und \(\frac{0{,}003}{2} = 0{,}0015\). 5. Aufstellen der Gleichung: Die Grenze liegt bei \(\mu + 3\sigma\). Mit \(100 + 3\sigma = 109\) ergibt sich \(3\sigma = 9\). 6. Berechnung von \(\sigma\): Aus \(3\sigma = 9\) folgt \(\sigma = 3\).

a) \(\sigma = 3\) b) \(\sigma = 3\)

- Überprüfe zuerst, ob das angegebene Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. - Welche der bekannten Sigma-Regeln (\(1\sigma\), \(2\sigma\) oder \(3\sigma\)) passt zu dem Wahrscheinlichkeitswert \(0{,}9973\)? - Wenn du weißt, wie viele Standardabweichungen die Intervallgrenze vom Mittelwert entfernt ist, kannst du eine einfache Gleichung aufstellen.

1. Das Intervall \([44; 56]\) liegt symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu = 50\), da \(50 - 44 = 6\) und \(56 - 50 = 6\). 2. Der Wahrscheinlichkeitswert \(0{,}9973\) ist das Kennzeichen für das \(3\sigma\)-Intervall der Normalverteilung (\(3\sigma\)-Regel). 3. Daraus ergibt sich der Zusammenhang \(3\sigma = 6\). 4. Durch Division durch 3 erhält man \(\sigma = 2\).

\(\sigma = 2\)

- Wie viel Prozent der Werte liegen bei einer Normalverteilung innerhalb von einer, zwei oder drei Standardabweichungen um den Mittelwert? - Kannst du die Grenzen des gegebenen Intervalls mithilfe von \(\mu\) und einem Vielfachen von \(\sigma\) ausdrücken? - Ist das Intervall symmetrisch zum Erwartungswert?

1. Identifikation der Sigma-Regel: Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}9544\) für ein zum Erwartungswert symmetrisches Intervall entspricht der \(2\sigma\)-Regel der Normalverteilung, da \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9544\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Intervallgrenzen: Aus dem Vergleich folgt \(170 = \mu + 2\sigma\) (oder analog \(130 = \mu - 2\sigma\)). 3. Einsetzen des gegebenen Erwartungswerts \(\mu = 150\): \(170 = 150 + 2\sigma\), woraus \(20 = 2\sigma\) folgt. 4. Berechnung des Ergebnisses: \(\sigma = 10\).

\(\sigma = 10\)

- Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung bei einer Binomialverteilung mit den Parametern zusammen? - Was bedeutet es für die Grenzen eines Intervalls, wenn nur ganze Zahlen als Ergebnisse möglich sind? - Welche festen Wahrscheinlichkeitswerte sind den Sigma-Umgebungen bei der Normalverteilung zugeordnet?

1. Berechnung der Kennzahlen einer Binomialverteilung mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}3\): \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}3 = 120\) \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} = \sqrt{84} \approx 9{,}17\) 2. Berechnung des Radius \(r = 2\sigma \approx 2 \cdot 9{,}17 = 18{,}34\). Grenzen des Intervalls: \([120 - 18{,}34; 120 + 18{,}34] = [101{,}66; 138{,}34]\). Die enthaltenen ganzzahligen Werte für \(X\) sind \(k \in \{102, 103, \dots, 138\}\). 3. Gemäß der \(2\sigma\)-Regel der Normalverteilung liegt die Wahrscheinlichkeit für Werte innerhalb des Intervalls \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) bei etwa \(95{,}4\,\%\).

1. \(\mu = 120\); \(\sigma \approx 9{,}17\) 2. Intervall: \([101{,}66; 138{,}34]\); ganzzahlige Werte: \(102, \dots, 138\) 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(95{,}4\,\%\).

- Erinnere dich an die Prozentwerte der \(\sigma\)-Regeln für die Normalverteilung. - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis kennst, wie berechnest du dann die erwartete Anzahl bei einer bestimmten Gesamtzahl? - Achte darauf, ob nach dem Bereich innerhalb oder außerhalb einer Umgebung gefragt wird.

1. Berechnung für die \(1\sigma\)-Umgebung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) \approx 0{,}683\). Für \(n = 400\) ergibt sich der Erwartungswert \(E = 400 \cdot 0{,}683 = 273{,}2\). 2. Berechnung für den Bereich außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung: Die Wahrscheinlichkeit innerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung liegt bei \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für den Bereich außerhalb beträgt \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). Erwartete Anzahl: \(400 \cdot 0{,}046 = 18{,}4\). 3. Berechnung für die \(3\sigma\)-Umgebung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997\). Erwartete Anzahl: \(400 \cdot 0{,}997 = 398{,}8\).

a) Erwartungsgemäß liegen etwa \(273{,}2\) Bauteile, gerundet etwa \(273\), in der \(1\sigma\)-Umgebung. b) Erwartungsgemäß liegen etwa \(18{,}4\) Bauteile, gerundet etwa \(18\), außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung. c) Erwartungsgemäß liegen etwa \(398{,}8\) Bauteile, gerundet etwa \(399\), im \(3\sigma\)-Intervall.

- Welcher Punkt auf der x-Achse liegt genau unter der Spitze der Glockenkurve? - Was sagt die Höhe der Kurve über die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle aus? - Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall entspricht der Fläche unter der Kurve in diesem Bereich. Vergleiche die Fläche „in der Mitte“ mit den Flächen „links und rechts außen“. - Wie viel Prozent der Werte liegen bei einer Normalverteilung ungefähr im Bereich von \(\mu - \sigma\) bis \(\mu + \sigma\)?

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums der Dichtefunktion. Aus der Grafik liest man \(\mu = 165\,\text{cm}\) ab. 2. Der Hochpunkt markiert den Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeitsdichte; aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung liegt hier auch der Erwartungswert (Zentrum der Verteilung). 3. Das Intervall \([159; 171]\) entspricht der \(1\sigma\)-Umgebung \([165 - 6; 165 + 6]\). 4. Die Fläche in diesem zentralen Intervall beträgt bei einer Normalverteilung etwa \(68{,}3\,\%\). 5. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Randbereiche \(P(X < 159) + P(X > 171)\) entspricht der restlichen Fläche unter der Kurve, also \(100\,\% - 68{,}3\,\% = 31{,}7\,\%\). 6. Da \(68{,}3\,\% > 31{,}7\,\%\), ist die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall größer.

a) Der Erwartungswert ist \(\mu = 165\,\text{cm}\). Er liegt am Hochpunkt, da die Normalverteilung symmetrisch ist und dort die höchste Dichte aufweist. b) Die Wahrscheinlichkeit \(P(159 \le X \le 171)\) ist größer. Sie entspricht der \(1\sigma\)-Umgebung und nimmt ca. \(68\,\%\) der Gesamtfläche ein, während die Randbereiche zusammen nur ca. \(32\,\%\) ausmachen.

- Skizziere eine Glockenkurve und markiere den Bereich um den Erwartungswert. - Was kannst du über die Flächen links und rechts von den Intervallgrenzen sagen? - Wie viel Prozent der Gesamtfläche bleiben übrig, wenn man das gegebene Intervall abzieht? - Bedenke, dass die Kurve symmetrisch zu ihrem Zentrum verläuft.

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert außerhalb des Intervalls \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) liegt, beträgt \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). 2. Aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve zum Erwartungswert \(\mu\) verteilt sich diese Restwahrscheinlichkeit zu gleichen Teilen auf die beiden äußeren Ränder. 3. Für a) ergibt sich somit \(P(X \le \mu - 2\sigma) = 0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 4. Für c) gilt analog \(P(X \ge \mu + 2\sigma) = 0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 5. Für b) addiert man die Wahrscheinlichkeit des Intervalls und des linken Randes: \(P(X \le \mu + 2\sigma) = 0{,}954 + 0{,}023 = 0{,}977\) (alternativ: \(1 - 0{,}023 = 0{,}977\)).

a) \(\approx 0{,}023\) b) \(\approx 0{,}977\) c) \(\approx 0{,}023\)

- Wie viele Standardabweichungen liegen die gegebenen Grenzen vom Erwartungswert entfernt? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert herum. - Kannst du ein asymmetrisches Intervall in zwei Teile zerlegen, die jeweils am Erwartungswert beginnen oder enden? - Welche Prozentwerte ordnen die Sigma-Regeln den Bereichen um den Mittelwert zu?

Zunächst werden die Intervallgrenzen als Vielfache der Standardabweichung \(\sigma = 50\) vom Erwartungswert \(\mu = 500\) ausgedrückt. Für Teilaufgabe a) entspricht das Intervall \([450; 550]\) genau \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\), woraus sich nach der \(1\sigma\)-Regel direkt \(P \approx 68{,}3\,\%\) ergibt. In b) liegt das Intervall \([400; 500]\) zwischen \(\mu - 2\sigma\) und \(\mu\); aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve entspricht dies der Hälfte des \(2\sigma\)-Intervalls, also \(\frac{1}{2} \cdot 95{,}4\,\% = 47{,}7\,\%\). Für c) wird das Intervall \([450; 650]\) in die Abschnitte \([\mu - \sigma; \mu]\) und \([\mu; \mu + 3\sigma]\) zerlegt. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich somit als Summe der jeweiligen hälftigen Sigma-Intervalle: \(\frac{1}{2} \cdot 68{,}3\,\% + \frac{1}{2} \cdot 99{,}7\,\% = 34{,}15\,\% + 49{,}85\,\% = 84\,\%\).

a) \(P(450 \le X \le 550) \approx 68{,}3\,\%\) b) \(P(400 \le X \le 500) \approx 47{,}7\,\%\) c) \(P(450 \le X \le 650) \approx 84\,\%\)

- Überlege zuerst, wie viele Standardabweichungen die angegebenen Werte vom Erwartungswert entfernt liegen. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert aus. - Das gesamte Gebiet unter der Kurve entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(100\,\%\). - Erinnere dich daran, dass Intervalle wie \([\mu - \sigma; \mu]\) genau die Hälfte des entsprechenden Sigma-Intervalls abdecken. - Was bedeutet „Abweichung vom Erwartungswert“ mathematisch für das Intervall?

Gegeben sind \(\mu = 400\) und \(\sigma = 8\). Die Sigma-Regeln besagen: \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 68{,}3\,\%\), \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\,\%\) und \(P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\,\%\). 1. Für Teilaufgabe a) gilt: \(392 = \mu - \sigma\) und \(416 = \mu + 2\sigma\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu) + P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \frac{0{,}683}{2} + \frac{0{,}954}{2} = 0{,}3415 + 0{,}477 = 0{,}8185\). 2. Für Teilaufgabe b) gilt: \(384 = \mu - 2\sigma\). Die Wahrscheinlichkeit für den Bereich außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls ist \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). Da die Normalverteilung symmetrisch ist, entfällt auf den linken Randbereich (weniger als \(\mu - 2\sigma\)) die Hälfte davon: \(0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 3. Für Teilaufgabe c) ist die Abweichung um mehr als \(8\,\text{g}\) gesucht, also \(|X - \mu| > \sigma\). Dies ist das Gegenereignis zum \(1\sigma\)-Intervall: \(1 - P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = 1 - 0{,}683 = 0{,}317\).

a) \(81{,}85\,\%\) b) \(2{,}3\,\%\) c) \(31{,}7\,\%\)

- Skizziere dir die Glockenkurve und markiere die gesuchten Bereiche. - Prüfe für jeden Grenzwert, ob er ein Vielfaches von \(\sigma\) vom Mittelwert entfernt ist. - Wie viel Prozent der Fläche liegen jeweils rechts und links vom Erwartungswert? - Kombiniere die bekannten Sigma-Prozentsätze durch Addition oder Subtraktion, um Teilbereiche zu bestimmen.

Gegeben sind \(\mu = 10{,}00\) und \(\sigma = 0{,}05\). 1. Teilaufgabe a): Das Intervall \([9{,}90; 10{,}10]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Nach der \(2\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür etwa \(95{,}4\,\%\). 2. Teilaufgabe b): Der Bereich liegt zwischen \(\mu + 2\sigma = 10{,}10\) und \(\mu + 3\sigma = 10{,}15\). Die Wahrscheinlichkeit ist die Differenz der Flächen von \(\mu\) bis zu den jeweiligen Grenzen: \(P(\mu \le X \le \mu + 3\sigma) - P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \frac{0{,}997}{2} - \frac{0{,}954}{2} = 0{,}4985 - 0{,}477 = 0{,}0215\). 3. Teilaufgabe c): Gesucht ist \(P(X \ge 10{,}05)\), wobei \(10{,}05 = \mu + \sigma\). Da die Fläche rechts von \(\mu\) genau \(0{,}5\) beträgt, subtrahiert man den Teilbereich zwischen \(\mu\) und \(\mu + \sigma\): \(0{,}5 - P(\mu \le X \le \mu + \sigma) = 0{,}5 - \frac{0{,}683}{2} = 0{,}5 - 0{,}3415 = 0{,}1585\).

a) \(95{,}4\,\%\) b) \(2{,}15\,\%\) c) \(15{,}85\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welches Vielfache der Standardabweichung zu den gesuchten Wahrscheinlichkeiten gehört. - Erinnere dich an die Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für Intervalle mit den Wahrscheinlichkeiten für die Randbereiche zusammen? - Prüfe, wie oft die Standardabweichung in den Abstand zwischen dem Erwartungswert und dem gegebenen Wert passt.

1. Für das \(90\,\%\)-Intervall wird die Regel \([\mu - 1{,}64\sigma; \mu + 1{,}64\sigma]\) angewendet: \(450 - 1{,}64 \cdot 40 = 384{,}4\) und \(450 + 1{,}64 \cdot 40 = 515{,}6\). Das Intervall ist \(I \approx [384{,}4; 515{,}6]\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}954\) entspricht der \(2\sigma\)-Regel \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\): \(450 - 2 \cdot 40 = 370\) und \(450 + 2 \cdot 40 = 530\). Das Intervall ist \(I = [370; 530]\). 3. Der Wert \(330\) entspricht \(\mu - 3\sigma\), da \(450 - 3 \cdot 40 = 330\). Nach der \(3\sigma\)-Regel liegen ca. \(99{,}7\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit außerhalb dieses Intervalls beträgt \(1 - 0{,}997 = 0{,}003\). Aufgrund der Symmetrie entfällt auf den linken Randbereich \(P(X \le \mu - 3\sigma) \approx \frac{0{,}003}{2} = 0{,}0015\).

a) \(I \approx [384{,}4; 515{,}6]\) b) \(I = [370; 530]\) c) \(P(X \le 330) \approx 0{,}0015\)

- Überlege, welcher Anteil der Fläche unter der Glockenkurve links vom Erwartungswert liegt. - Wie hängen die Prozentangaben der Sigma-Regeln mit den Grenzen des Intervalls zusammen? - Skizziere die Glockenkurve und markiere die gegebenen Wahrscheinlichkeiten. - Unterscheide zwischen einseitigen und beidseitigen Intervallen.

1. Für a): Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le \mu + 1\sigma)\) entspricht etwa \(0{,}5 + \frac{0{,}683}{2} \approx 0{,}8415\). Der Wert \(72\) entspricht somit der Grenze \(\mu + \sigma\). Mit \(60 + \sigma = 72\) ergibt sich \(\sigma = 12\). 2. Für b): Die Wahrscheinlichkeit \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)\) beträgt etwa \(0{,}954\). Das gegebene Intervall \([54; 66]\) ist symmetrisch um \(\mu = 60\) mit einer halben Intervallbreite von \(6\). Es gilt also \(2\sigma = 6\), woraus \(\sigma = 3\) folgt.

a) \(\sigma = 12\) b) \(\sigma = 3\)

- Was bedeutet eine Abweichung vom Erwartungswert mathematisch für das Intervall? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung, um Wahrscheinlichkeiten für halbe Intervalle zu finden. - Welches Vielfache von \(\sigma\) gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(99{,}7\,\%\) im symmetrischen Intervall? - Wie viel Prozent der Werte liegen außerhalb der Sigma-Bereiche?

1. Für a): Die Bedingung \(P(|Y - \mu| > d) \approx 0{,}003\) ist äquivalent zu \(P(\mu - d \le Y \le \mu + d) \approx 0{,}997\). Gemäß der \(3\sigma\)-Regel entspricht dies dem Intervall \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\). Mit \(3\sigma = 15\) ergibt sich \(\sigma = 5\). 2. Für b): Da die Normalverteilung symmetrisch ist, gilt \(P(Y \ge \mu + \sigma) = 0{,}5 - P(\mu \le Y \le \mu + \sigma) \approx 0{,}5 - 0{,}341 = 0{,}159\). Der Wert \(110\) entspricht also \(\mu + \sigma\). Mit \(100 + \sigma = 110\) folgt \(\sigma = 10\).

a) \(\sigma = 5\) b) \(\sigma = 10\)

- Bestimme für jeden Wert den Abstand zum Erwartungswert in Einheiten von \(\sigma\). - Skizziere dir gedanklich die Glockenkurve, um zu entscheiden, ob du Flächen addieren oder von der Gesamtfläche abziehen musst. - Denke daran, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Hälfte der Verteilung (links oder rechts von \(\mu\)) immer \(50\,\%\) beträgt.

1. Parameter: \(\mu = 1200\) und \(\sigma = 100\). 2. Zu a): \(1400 = \mu + 2\sigma\). Gesucht ist die Fläche im rechten Randbereich. \(P(T > \mu + 2\sigma) = \frac{100\,\% - 95{,}4\,\%}{2} = 2{,}3\,\%\). 3. Zu b): \(1100 = \mu - \sigma\). Gesucht ist \(P(T \le \mu - \sigma)\). Unter Ausnutzung der Symmetrie gilt: \(P(T \le \mu - \sigma) = \frac{100\,\% - 68{,}3\,\%}{2} = 15{,}85\,\%\). 4. Zu c): Das Intervall \([1000; 1300]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + \sigma]\). Berechnung über die halben Sigma-Bereiche: \(P(\mu - 2\sigma \le T \le \mu) = \frac{95{,}4\,\%}{2} = 47{,}7\,\%\) und \(P(\mu \le T \le \mu + \sigma) = \frac{68{,}3\,\%}{2} = 34{,}15\,\%\). Summe: \(47{,}7\,\% + 34{,}15\,\% = 81{,}85\,\%\).

a) \(\approx 2{,}3\,\%\) b) \(\approx 15{,}85\,\%\) c) \(\approx 81{,}85\,\%\)

- Erinnere dich an die speziellen Sigma-Werte für die gängigen Sicherheitswahrscheinlichkeiten \(90\,\%\), \(95\,\%\) und \(99\,\%\). - Was bedeutet die Schreibweise mit dem Betrag \(|X - \mu| < d\) für die Lage des Intervalls? - Wenn \(95\,\%\) der Werte im Zentrum liegen, wie viel Prozent liegen dann jeweils im linken und im rechten Randbereich? - Welcher Z-Wert gehört zur \(90\,\%\)-Umgebung?

1. Analyse von Teilaufgabe a): Der Ausdruck \(|X - 400| < 32{,}8\) beschreibt ein symmetrisches Intervall um \(\mu = 400\) mit dem Radius \(d = 32{,}8\). Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}90\) entspricht der \(1{,}64\sigma\)-Umgebung. 2. Berechnung: Es gilt \(1{,}64\sigma = 32{,}8\). Division durch \(1{,}64\) ergibt \(\sigma = 20\). 3. Analyse von Teilaufgabe b): Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}025\) im linken Schwanz entspricht der Hälfte des Rests der \(95\,\%\)-Umgebung (\(1 - 0{,}95 = 0{,}05\) und \(\frac{0{,}05}{2} = 0{,}025\)). Die \(95\,\%\)-Umgebung wird durch \(1{,}96\sigma\) definiert. 4. Berechnung: Die untere Grenze ist \(\mu - 1{,}96\sigma\). Mit \(400 - 1{,}96\sigma = 360{,}8\) folgt \(1{,}96\sigma = 39{,}2\). Division durch \(1{,}96\) ergibt \(\sigma = 20\).

a) \(\sigma = 20\) b) \(\sigma = 20\)

- Wo muss der Erwartungswert bei einer symmetrischen Glockenkurve liegen, wenn die Flächen links von 60 und rechts von 100 gleich groß sind? - Kennst du bestimmte Wahrscheinlichkeitswerte, die Vielfachen der Standardabweichung (Sigma-Regeln) zugeordnet sind? - Wie hängen die äußeren Randbereiche der Verteilung mit dem zentralen Sicherheitsintervall zusammen?

1. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung liegt der Erwartungswert \(\mu\) genau in der Mitte der beiden Grenzen: \(\mu = \frac{60 + 100}{2} = 80\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X < \mu - k\sigma) \approx 0{,}0228\) entspricht nach der \(2\sigma\)-Regel dem Bereich außerhalb von zwei Standardabweichungen (da \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545\) und \(\frac{1 - 0{,}9545}{2} \approx 0{,}02275\)). 3. Es gilt also \(\mu - 2\sigma = 60\). 4. Einsetzen von \(\mu = 80\) ergibt \(80 - 2\sigma = 60\), woraus \(2\sigma = 20\) und somit \(\sigma = 10\) folgt.

\(\mu = 80\); \(\sigma = 10\)

- Welche Wahrscheinlichkeiten ordnen die Sigma-Regeln den Intervallen \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\), \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) und \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\) zu? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert \(\mu\), um Wahrscheinlichkeiten für einseitige Intervalle zu bestimmen. - Überlege, wie viele Standardabweichungen die Intervallgrenze vom Erwartungswert entfernt sein muss, um die gegebene Wahrscheinlichkeit zu erreichen. - Skizziere dir die Glockenkurve und markiere die gegebenen Bereiche.

1. Nach der \(2\sigma\)-Regel gilt \(P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}477\). Durch Vergleich mit dem Intervall \([\mu; 600]\) folgt \(\mu + 2\sigma = 600\). Mit \(\sigma = 50\) ergibt sich \(\mu + 100 = 600\), also \(\mu = 500\). 2. Die \(1\sigma\)-Regel besagt \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu) \approx 0{,}3413\). Hier wird der Wert \(0{,}3415\) verwendet. Es folgt \(\mu - \sigma = 350\). Mit \(\sigma = 50\) ergibt sich \(\mu - 50 = 350\), also \(\mu = 400\). 3. Die \(3\sigma\)-Regel besagt \(P(X \ge \mu + 3\sigma) \approx 0{,}00135\). Mit dem gegebenen Wert \(0{,}0015\) (entsprechend der Näherung für das \(3\sigma\)-Intervall von \(99{,}7\,\%\)) folgt \(\mu + 3\sigma = 750\). Mit \(\sigma = 50\) ergibt sich \(\mu + 150 = 750\), also \(\mu = 600\).

a) \(\mu = 500\) b) \(\mu = 400\) c) \(\mu = 600\)

- Erinnere dich daran, dass die gesamte Fläche unter der Kurve \(1\) (bzw. \(100\,\%\)) ist und die Fläche rechts oder links vom Erwartungswert jeweils \(0{,}5\) beträgt. - Wie hängen die gegebenen Wahrscheinlichkeitswerte mit den Werten \(0{,}683\), \(0{,}95\) oder \(0{,}997\) zusammen? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) als Summe von \(0{,}5\) und einem Sigma-Intervall-Anteil ausdrücken? - Identifiziere, ob sich die Intervallgrenze oberhalb oder unterhalb des Erwartungswerts befindet.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1585\) entspricht dem Bereich links von \(\mu - \sigma\), da \(0{,}5 - 0{,}3415 = 0{,}1585\). Somit gilt \(160 = \mu - \sigma\). Mit \(\sigma = 20\) folgt \(\mu = 160 + 20 = 180\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}9985\) entspricht näherungsweise der Fläche links von \(\mu + 3\sigma\), da \(0{,}5 + 0{,}4985 = 0{,}9985\) (unter Verwendung der \(3\sigma\)-Regel). Somit gilt \(250 = \mu + 3\sigma\). Mit \(\sigma = 20\) folgt \(250 = \mu + 60\), also \(\mu = 190\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 170) \approx 0{,}975\) bedeutet wegen der Symmetrie \(P(X \le 170) \approx 0{,}025\). Dieser linke Randbereich gehört zur zentralen \(95\,\%\)-Umgebung mit dem Faktor \(1{,}96\). Daher gilt \(170 = \mu - 1{,}96\sigma\). Mit \(\sigma = 20\) folgt \(170 = \mu - 39{,}2\), also \(\mu = 209{,}2\).

a) \(\mu = 180\) b) \(\mu = 190\) c) \(\mu = 209{,}2\)

- Welche Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) kannst du aus der Funktionsgleichung ablesen? - Wie hängen die Grenzen im Aufgabenteil a) mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Prozentwerte für die \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- und \(3\sigma\)-Intervalle. - Skizziere dir zur Not die Glockenkurve, um die Symmetrie für den einseitigen Bereich in a) zu nutzen.

1. Vergleich der gegebenen Funktion \(\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{72\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-40)^2}{72}}\) mit der allgemeinen Form \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) ergibt \(\mu = 40\) und \(2\sigma^2 = 72\), also \(\sigma^2 = 36\) bzw. \(\sigma = 6\). 2. Zu a): Der Wert \(34\) entspricht \(\mu - \sigma = 40 - 6\). Nach der \(1\sigma\)-Regel liegen ca. \(68{,}3\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit für den linken Randbereich berechnet sich durch \(P(X \le \mu - \sigma) = \frac{1 - 0{,}683}{2} = 0{,}1585\). 3. Zu b): Die Abweichung um höchstens eine Standardabweichung entspricht dem Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Gemäß der \(1\sigma\)-Regel beträgt diese Wahrscheinlichkeit \(0{,}683\).

a) \(P(X \le 34) \approx 15{,}85\,\%\) b) \(P(34 \le X \le 46) \approx 68{,}3\,\%\)

- Bestimme zuerst \(\mu\) und \(\sigma\) aus dem Exponenten und dem Vorfaktor der Dichtefunktion. - Drücke die Zahl \(10\) als Vielfaches von \(\sigma\) ausgehend von \(\mu\) aus. - Was bedeutet „um mindestens zwei Standardabweichungen abweichen“ für die Lage der Werte im Vergleich zum \(2\sigma\)-Intervall? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung aus.

1. Bestimmung der Parameter durch Koeffizientenvergleich mit der Standardform: \(\mu = -5\) und \(2\sigma^2 = 50 \Rightarrow \sigma = 5\). 2. Zu a): Der Wert \(10\) entspricht \(\mu + 3\sigma = -5 + 3 \cdot 5\). Die \(3\sigma\)-Regel besagt, dass \(P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997\). Der gesuchte Bereich \(P(X > \mu + 3\sigma)\) ist die Hälfte der verbleibenden Restwahrscheinlichkeit: \(\frac{1 - 0{,}997}{2} = 0{,}0015\). 3. Zu b): Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls: \(P(|X - \mu| \ge 2\sigma) = 1 - P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)\). Mit der \(2\sigma\)-Regel (\(95{,}4\,\%\)) ergibt sich \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\).

a) \(P(X > 10) \approx 0{,}15\,\%\) b) \(P(|X + 5| \ge 10) \approx 4{,}6\,\%\)

- Überlege zuerst, ob der gesuchte Erwartungswert größer oder kleiner als \(500\) sein muss, damit \(95\,\%\) der Werte darüber liegen. - Wie kannst du eine beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen? - Welcher \(z\)-Wert gehört zu einer Fläche von \(5\,\%\) am linken Rand?

1. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: Die Bedingung \(P(X > 500) \approx 0{,}95\) ist äquivalent zu \(P(X \le 500) \approx 0{,}05\). 2. Ermittlung des zugehörigen \(z\)-Werts: Für eine Wahrscheinlichkeit von \(0{,}05\) am linken Rand ergibt sich aus der Standardnormalverteilungstabelle (oder per GTR) ein \(z\)-Wert von \(z \approx -1{,}645\). 3. Standardisierung: Mithilfe der Formel \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) ergibt sich näherungsweise \(-1{,}645 \approx \frac{500 - \mu}{80}\). 4. Berechnung von \(\mu\): Umstellen nach \(\mu\) liefert \(500 - \mu \approx -131{,}6\), woraus \(\mu \approx 631{,}6\) folgt.

\(\mu \approx 631{,}6\)

- Welche Vielfachen der Standardabweichung gehören zu den gesuchten Wahrscheinlichkeiten? - Erinnere dich an die Form der Sigma-Intervalle: \([\mu - k\sigma; \mu + k\sigma]\). - Schau in einer Tabelle für die Normalverteilung nach den Werten für \(k\).

1. Für \(P \approx 0{,}683\) gilt die \(1\sigma\)-Regel: \(I = [\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [120 - 15; 120 + 15] = [105; 135]\). 2. Für \(P \approx 0{,}950\) gilt die \(1{,}96\sigma\)-Regel: \(I = [\mu - 1{,}96\sigma; \mu + 1{,}96\sigma] = [120 - 1{,}96 \cdot 15; 120 + 1{,}96 \cdot 15] = [120 - 29{,}4; 120 + 29{,}4] = [90{,}6; 149{,}4]\). 3. Für \(P \approx 0{,}990\) gilt die \(2{,}58\sigma\)-Regel: \(I = [\mu - 2{,}58\sigma; \mu + 2{,}58\sigma] = [120 - 2{,}58 \cdot 15; 120 + 2{,}58 \cdot 15] = [120 - 38{,}7; 120 + 38{,}7] = [81{,}3; 158{,}7]\).

a) \(I = [105; 135]\) b) \(I = [90{,}6; 149{,}4]\) c) \(I = [81{,}3; 158{,}7]\)

- Wie viele Standardabweichungen liegen die Intervallgrenzen vom Mittelwert entfernt? - Berechne zuerst den Radius des Intervalls und teile diesen durch \(\sigma\). - Beachte bei Teilaufgabe c), dass nach der Wahrscheinlichkeit außerhalb eines symmetrischen Intervalls gefragt ist.

1. Berechnung des Abstands zum Mittelwert für \(I_1\): \(40{,}0328 - 40 = 0{,}0328\). Bestimmung des Faktors \(k\): \(0{,}0328 : 0{,}02 = 1{,}64\). Nach der Sigma-Regel für \(1{,}64\sigma\) folgt \(P(X \in I_1) \approx 0{,}900\) (bzw. \(90\,\%\)). 2. Berechnung des Abstands zum Mittelwert für \(I_2\): \(40{,}04 - 40 = 0{,}04\). Bestimmung des Faktors \(k\): \(0{,}04 : 0{,}02 = 2\). Nach der \(2\sigma\)-Regel folgt \(P(X \in I_2) \approx 0{,}954\) (bzw. \(95{,}4\,\%\)). 3. Abweichung um mehr als \(0{,}06\,\text{mm}\) entspricht dem Bereich außerhalb von \([\mu - 0{,}06; \mu + 0{,}06]\). Faktor \(k = 0{,}06 : 0{,}02 = 3\). Die Wahrscheinlichkeit innerhalb des \(3\sigma\)-Intervalls liegt bei ca. \(0{,}997\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für den Bereich außerhalb ist \(1 - 0{,}997 = 0{,}003\) (bzw. \(0{,}3\,\%\)).

a) \(P \approx 0{,}900\) b) \(P \approx 0{,}954\) c) \(P \approx 0{,}003\)

- Prüfe zuerst, ob das Intervall symmetrisch um den gegebenen Erwartungswert \(\mu\) liegt. - Welches Vielfache von \(\sigma\) gehört zu einer zentralen Wahrscheinlichkeit von \(68{,}3\,\%\)? - Bei einseitigen Wahrscheinlichkeiten wie \(P(Y \le k)\) musst du berücksichtigen, dass die linke Hälfte der Glockenkurve bereits \(50\,\%\) der Fläche einnimmt. - Nutze \(1{,}64\sigma\), wenn eine kumulierte Wahrscheinlichkeit von etwa \(95\,\%\) gegeben ist.

1. Für Teilaufgabe a): Das Intervall \([220; 280]\) liegt symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu = 250\), da \(250 - 30 = 220\) und \(250 + 30 = 280\). Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}683\) entspricht der \(1\sigma\)-Regel. 2. Daraus folgt direkt \(\sigma = 30\). 3. Für Teilaufgabe b): Die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(0{,}950\) setzt sich zusammen aus dem zentralen \(90\,\%\)-Intervall (\(1{,}64\sigma\)-Umgebung) und dem linken Restbereich von \(5\,\%\). Somit liegt die Grenze \(274{,}6\) bei \(\mu + 1{,}64\sigma\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(250 + 1{,}64\sigma = 274{,}6\). 5. Subtraktion von \(250\) ergibt \(1{,}64\sigma = 24{,}6\). Division durch \(1{,}64\) liefert \(\sigma = 15\).

a) \(\sigma = 30\) b) \(\sigma = 15\)

- Überlege dir, welchen Anteil der Glockenkurve die Sigma-Intervalle (\(1\sigma, 2\sigma, 3\sigma\)) abdecken. - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert \(\mu\). - Prüfe bei einseitigen Intervallen, wie viel Wahrscheinlichkeit in den Randbereichen der Verteilung übrig bleibt. - Erinnere dich an die spezifischen Faktoren für die \(90\,\%\), \(95\,\%\) und \(99\,\%\) Intervalle.

1. Für Teilaufgabe a) entspricht die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1585\) dem linksseitigen Randbereich außerhalb der \(1\sigma\)-Umgebung, da \(0{,}5 - \frac{0{,}683}{2} = 0{,}1585\). Somit gilt \(c = \mu - \sigma = 40 - 4 = 36\). 2. In Teilaufgabe b) ist das Intervall \([32; c]\) gegeben. Da \(32 = 40 - 2 \cdot 4 = \mu - 2\sigma\) ist und die Wahrscheinlichkeit für die \(2\sigma\)-Umgebung etwa \(0{,}954\) beträgt, muss \(c\) die rechte Grenze dieser Umgebung sein: \(c = \mu + 2\sigma = 40 + 8 = 48\). 3. Für Teilaufgabe c) entspricht die Wahrscheinlichkeit \(0{,}005\) dem rechtsseitigen Randbereich einer \(99\,\%\)-Umgebung (\(1 - 0{,}99 = 0{,}01\); einseitig \(0{,}005\)). Mit dem Faktor \(2{,}58\) ergibt sich \(c = \mu + 2{,}58\sigma = 40 + 2{,}58 \cdot 4 = 50{,}32\).

a) \(c = 36\) b) \(c = 48\) c) \(c = 50{,}32\)

- Was gibt der Erwartungswert bei einer großen Anzahl von Paketen an? - Erinnere dich an die Formel für die Standardabweichung bei einer Erfolg-Misserfolg-Situation. - Wie berechnet man ein Intervall, das symmetrisch um den Mittelwert liegt? - Welcher feste Prozentsatz ist mit der \(3\sigma\)-Regel verknüpft?

1. Berechnung des Erwartungswerts \(\mu\) für die Binomialverteilung mit \(n = 2400\) und \(p = 0{,}05\): \(\mu = 2400 \cdot 0{,}05 = 120\). 2. Berechnung der Standardabweichung \(\sigma\): \(\sigma = \sqrt{2400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{114} \approx 10{,}68\). 3. Berechnung der \(3\sigma\)-Umgebung: \(3\sigma \approx 3 \cdot 10{,}68 = 32{,}04\). Die Grenzen sind \(120 - 32{,}04 = 87{,}96\) und \(120 + 32{,}04 = 152{,}04\). Die ganzzahligen Werte innerhalb der berechneten Grenzen reichen von \(88\) bis \(152\), also \([88; 152]\). 4. Gemäß den Sigma-Regeln der Normalverteilung deckt die \(3\sigma\)-Umgebung eine Wahrscheinlichkeit von etwa \(99{,}7\,\%\) ab.

a) Im Durchschnitt müssen \(120\) Pakete manuell nachbearbeitet werden. b) Die \(3\sigma\)-Umgebung ist das Intervall \([88; 152]\). Sie deckt eine Wahrscheinlichkeit von ca. \(99{,}7\,\%\) ab.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge (Sollgewicht erfüllt oder nicht) gibt? - Erinnere dich an die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung. - Für die Intervalle kannst du die Sigma-Regeln der Normalverteilung nutzen. Welche \(k\)-Werte gehören zu \(95\,\%\) und \(99\,\%\)? - Achte darauf, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist, um die Näherung zu rechtfertigen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 6000 \cdot 0{,}015 = 90\) 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{6000 \cdot 0{,}015 \cdot 0{,}985} = \sqrt{88{,}65} \approx 9{,}42\) 3. Überprüfung der Laplace-Bedingung: \(\sigma^2 = 88{,}65 > 9\), somit ist die Normalverteilung eine gute Näherung. 4. \(95\,\%\)-Intervall (\(k \approx 1{,}96\)): \([\mu - 1{,}96\sigma; \mu + 1{,}96\sigma] = [90 - 1{,}96 \cdot 9{,}4154; 90 + 1{,}96 \cdot 9{,}4154] \approx [71{,}55; 108{,}45]\). Gerundet: \([72; 108]\). 5. \(99\,\%\)-Intervall (\(k \approx 2{,}58\)): \([\mu - 2{,}58\sigma; \mu + 2{,}58\sigma] = [90 - 2{,}58 \cdot 9{,}4154; 90 + 2{,}58 \cdot 9{,}4154] \approx [65{,}71; 114{,}29]\). Gerundet: \([66; 114]\).

a) \(\mu = 90\); \(\sigma \approx 9{,}42\) b) \(95\,\%\)-Intervall: \([72; 108]\); \(99\,\%\)-Intervall: \([66; 114]\)

- Was bedeuten die Bezeichnungen \(2\sigma\)- und \(3\sigma\)-Intervall für die Breite des Bereichs um den Mittelwert? - Welche festen Wahrscheinlichkeitswerte sind mit diesen Sigma-Regeln verknüpft? - Um zu prüfen, ob ein Wert „außergewöhnlich“ ist, schaut man, ob er innerhalb oder außerhalb der berechneten Grenzen liegt.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 1600 \cdot 0{,}2 = 320\) 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{1600 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{256} = 16\) 3. Bestimmung des \(2\sigma\)-Intervalls: \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma] = [320 - 32; 320 + 32] = [288; 352]\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}4\,\%\). 4. Bestimmung des \(3\sigma\)-Intervalls: \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma] = [320 - 48; 320 + 48] = [272; 368]\). 5. Abgleich des Messwerts: Der Wert \(360\) liegt innerhalb des Intervalls \([272; 368]\). Das Ergebnis weicht somit nicht auffällig im Sinne der \(3\sigma\)-Regel ab.

a) Das \(2\sigma\)-Intervall ist \([288; 352]\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}4\,\%\). b) Das \(3\sigma\)-Intervall ist \([272; 368]\). Da \(360\) innerhalb dieses Intervalls liegt, weicht das Ergebnis nicht auffällig vom Erwartungswert ab.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Bauteile? - Wie berechnest du den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer solchen Verteilung? - Welchen Faktor musst du für ein \(95\,\%\)-Prognoseintervall verwenden? - Achte darauf, das Ergebnis auf ganze Zahlen zu runden, da es um die Anzahl von Bauteilen geht.

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 2500\) und \(p = 0{,}04\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 2500 \cdot 0{,}04 = 100\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{2500 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96} = \sqrt{96} \approx 9{,}798\). 4. Da \(\sigma > 3\), ist die Laplace-Bedingung erfüllt und die Normalverteilung als Näherung zulässig. 5. Anwendung der \(\sigma\)-Regel für \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit mit dem z-Wert \(1{,}96\): Das Intervall berechnet sich durch \([\mu - 1{,}96\sigma; \mu + 1{,}96\sigma]\). 6. Einsetzen der Werte: \([100 - 1{,}96 \cdot 9{,}798; 100 + 1{,}96 \cdot 9{,}798] \approx [100 - 19{,}20; 100 + 19{,}20] = [80{,}80; 119{,}20]\). 7. Angabe des ganzzahligen Intervalls: \([81; 119]\).

Das \(95\,\%\)-Prognoseintervall für die Anzahl der mangelhaften Bauteile liegt bei ca. \([81; 119]\).

- Bestimme zuerst Erwartungswert und Standardabweichung für die gegebene Stichprobe. - Erinnere dich an die spezifischen Faktoren für die verschiedenen Sicherheitswahrscheinlichkeiten der Normalverteilung. - Überprüfe, ob die Standardabweichung groß genug ist, um die Sigma-Regeln anzuwenden. - Runde die Intervallgrenzen am Ende sinnvoll auf ganze Personen.

1. Festlegen der Parameter: \(n = 600\), \(p = 0{,}6\). 2. Berechnung von \(\mu\): \(\mu = 600 \cdot 0{,}6 = 360\). 3. Berechnung von \(\sigma\): \(\sigma = \sqrt{600 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4} = \sqrt{144} = 12\). 4. Für \(90\,\%\) Wahrscheinlichkeit (z-Wert ca. \(1{,}64\)): \([\mu - 1{,}64\sigma; \mu + 1{,}64\sigma] = [360 - 1{,}64 \cdot 12; 360 + 1{,}64 \cdot 12] = [340{,}32; 379{,}68]\). Ganzzahliges Intervall: \([341; 379]\). 5. Für \(99\,\%\) Wahrscheinlichkeit (z-Wert ca. \(2{,}58\)): \([\mu - 2{,}58\sigma; \mu + 2{,}58\sigma] = [360 - 2{,}58 \cdot 12; 360 + 2{,}58 \cdot 12] = [329{,}04; 390{,}96]\). Ganzzahliges Intervall: \([330; 390]\).

Das \(90\,\%\)-Intervall liegt bei ca. \([341; 379]\). Das \(99\,\%\)-Intervall liegt bei ca. \([330; 390]\).

- Überlege zuerst, welche Parameter für die Binomialverteilung gegeben sind. - Erinnere dich an die Faustformel für die Standardabweichung bei Bernoulliketten. - Welche Vielfachen der Standardabweichung gehören zu den bekannten Wahrscheinlichkeitswerten (Sigma-Regeln)? - Die Abweichung vom Erwartungswert kann in beide Richtungen (nach oben und nach unten) erfolgen.

1. Berechnung der Kennzahlen der Binomialverteilung: \(\mu = n \cdot p = 1600 \cdot 0{,}2 = 320\). Die Standardabweichung ergibt sich zu \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{1600 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{256} = 16\). 2. Für eine zentrale Wahrscheinlichkeit von \(95\,\%\) wird der \(z\)-Wert \(1{,}96\) verwendet. Das Intervall berechnet sich durch \([\mu - 1{,}96\sigma; \mu + 1{,}96\sigma] = [320 - 1{,}96 \cdot 16; 320 + 1{,}96 \cdot 16] = [288{,}64; 351{,}36]\). Bezogen auf Personen liegt die Anzahl mit \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit zwischen \(289\) und \(351\). 3. Eine Abweichung von mehr als \(32\) entspricht genau \(2\sigma\), da \(2 \cdot 16 = 32\). Nach der Sigma-Regel für die \(2\sigma\)-Umgebung liegen ca. \(95{,}4\,\%\) der Werte innerhalb dieses Bereichs. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert außerhalb liegt (also um mehr als \(32\) abweicht), beträgt somit ca. \(100\,\% - 95{,}4\,\% = 4{,}6\,\%\).

1. \(\mu = 320\); \(\sigma = 16\) 2. Das Intervall lautet \([288{,}64; 351{,}36]\) (bzw. ganzzahlig \(289\) bis \(351\)). 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}6\,\%\).

- Berechne zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung der Stichprobe. - Nutze die Näherungswerte der Normalverteilung: \(1\sigma \approx 68\,\%\), \(2\sigma \approx 95{,}4\,\%\), \(3\sigma \approx 99{,}7\,\%\). - Achte darauf, ob nach der Wahrscheinlichkeit innerhalb oder außerhalb der Umgebung gefragt wird. - Für exakte \(95\,\%\) innerhalb (oder \(5\,\%\) außerhalb) nutzt man oft den Faktor \(1{,}96\) statt \(2\).

Zuerst werden die Parameter bestimmt: \(\mu = 900 \cdot 0{,}1 = 90\) und \(\sigma = \sqrt{900 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{81} = 9\). Zu a): Eine Wahrscheinlichkeit von ca. \(32\,\%\) (genauer \(31{,}7\,\%\)) außerhalb des Intervalls entspricht der \(1\sigma\)-Umgebung. Die Abweichung beträgt also mehr als \(\sigma = 9\). Zu b): \(5\,\%\) außerhalb entspricht einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(95\,\%\) innerhalb. Dies entspricht dem Intervall \(\mu \pm 1{,}96\sigma = 90 \pm 1{,}96 \cdot 9 = 90 \pm 17{,}64\). Der Bereich ist somit \([72{,}36; 107{,}64]\) (ganzzahlig \(73\) bis \(107\)). Zu c): Eine Abweichung von \(27\) entspricht genau \(3\sigma\), da \(3 \cdot 9 = 27\). Nach der \(3\sigma\)-Regel liegen \(99{,}7\,\%\) der Werte innerhalb. Die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von mehr als \(3\sigma\) beträgt daher ca. \(0{,}3\,\%\).

a) \(9\) b) \(72{,}36\) bis \(107{,}64\) (oder ganzzahlig \(73\) bis \(107\)) c) \(0{,}3\,\%\)

- Welche Verteilung liegt bei diesem Zufallsexperiment vor? - Wie berechnet man die Kennzahlen dieser Verteilung? - Was bedeuten die Bezeichnungen \(1\sigma\), \(2\sigma\) und \(3\sigma\) für die Breite des Bereichs um den Mittelwert? - Achte darauf, wie man die berechneten Dezimalzahlen sinnvoll in ganze Zahlen für die Trefferanzahl umwandelt.

1. Berechnung von Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\): \(\mu = n \cdot p = 1800 \cdot \frac{1}{6} = 300\) \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{1800 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{250} \approx 15{,}811\) 2. Bestimmung der Intervalle \([\mu - k\sigma; \mu + k\sigma]\): - \(1\sigma\)-Intervall: \([300 - 15{,}811; 300 + 15{,}811] = [284{,}189; 315{,}811]\). Nach außen gerundet: \([284; 316]\). - \(2\sigma\)-Intervall: \([300 - 2 \cdot 15{,}811; 300 + 2 \cdot 15{,}811] = [268{,}378; 331{,}622]\). Nach außen gerundet: \([268; 332]\). - \(3\sigma\)-Intervall: \([300 - 3 \cdot 15{,}811; 300 + 3 \cdot 15{,}811] = [252{,}567; 347{,}433]\). Nach außen gerundet: \([252; 348]\).

1. Das \(1\sigma\)-Intervall ist \([284; 316]\). 2. Das \(2\sigma\)-Intervall ist \([268; 332]\). 3. Das \(3\sigma\)-Intervall ist \([252; 348]\).

- Was muss für die Standardabweichung gelten, damit man die Normalverteilung als Näherung nutzen darf? - Welcher Vielfache der Standardabweichung gehört zur Wahrscheinlichkeit von \(95{,}4\,\%\)? - Denk daran, dass die Anzahl der Chips nur ganze Zahlen sein kann.

1. Berechnung der Kennwerte: \(\mu = n \cdot p = 2000 \cdot 0{,}03 = 60\) \(\sigma = \sqrt{2000 \cdot 0{,}03 \cdot 0{,}97} = \sqrt{58{,}2} \approx 7{,}629\) 2. Überprüfung der Laplace-Bedingung: Da \(\sigma \approx 7{,}63 > 3\) ist, gilt die Laplace-Bedingung als erfüllt, und die Normalverteilung ist eine gute Näherung. 3. Berechnung des \(2\sigma\)-Intervalls (entspricht ca. \(95{,}4\,\%\)): Untere Grenze: \(\mu - 2\sigma = 60 - 2 \cdot 7{,}629 = 60 - 15{,}258 = 44{,}742\) Obere Grenze: \(\mu + 2\sigma = 60 + 2 \cdot 7{,}629 = 60 + 15{,}258 = 75{,}258\) Gerundetes Intervall (nach innen): \([45; 75]\).

a) Ja, die Laplace-Bedingung ist erfüllt, da \(\sigma \approx 7{,}63 > 3\). b) Das Intervall lautet \([45; 75]\).

- Berechne zunächst, wie viele Personen im Durchschnitt betroffen sein müssten. - Das \(3\sigma\)-Intervall deckt fast alle zu erwartenden Ergebnisse ab. Was bedeutet es für eine Behauptung, wenn ein Stichprobenergebnis weit außerhalb liegt? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Wert außerhalb des \(3\sigma\)-Bereichs?

1. Bestimmung der Parameter: \(n = 4000\), \(p = 0{,}025\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 4000 \cdot 0{,}025 = 100\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{4000 \cdot 0{,}025 \cdot 0{,}975} = \sqrt{97{,}5} \approx 9{,}87\). 4. Da \(\sigma^2 = 97{,}5 > 9\), wird die \(3\sigma\)-Regel angewendet: \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma] = [100 - 3 \cdot 9{,}87; 100 + 3 \cdot 9{,}87] = [100 - 29{,}61; 100 + 29{,}61] = [70{,}39; 129{,}61]\). 5. Beurteilung: Der beobachtete Wert von \(160\) liegt deutlich außerhalb des \(3\sigma\)-Intervalls \([70{,}39; 129{,}61]\). 6. Schlussfolgerung: Da Werte außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung extrem unwahrscheinlich sind (Wahrscheinlichkeit \(< 0{,}3\,\%\)), ist das Ergebnis mit der Angabe des Unternehmens nicht vereinbar.

a) Das \(3\sigma\)-Intervall liegt bei \([70{,}39; 129{,}61]\) (für Personen: \(\{71, \dots, 129\}\)). b) Das Ergebnis von \(160\) ist nicht mit der Angabe vereinbar, da es deutlich außerhalb des \(3\sigma\)-Intervalls liegt.

- Wo liegt der höchste Punkt (das Maximum) einer Normalverteilungskurve und welchen Parameter der Verteilung stellt dieser dar? - Erinnere dich an den geometrischen Zusammenhang zwischen den Wendepunkten der Dichtefunktion und der Standardabweichung \(\sigma\). - Welche prozentualen Flächenanteile liegen innerhalb des \(1\sigma\)- und des \(2\sigma\)-Intervalls um den Erwartungswert \(\mu\)? - Nutze die Symmetrie der Kurve bezüglich des Erwartungswerts, um Wahrscheinlichkeiten für einseitig unbegrenzte Intervalle zu bestimmen.

1. Erwartungswert \(\mu\): Der Hochpunkt des symmetrischen Graphen liegt bei \(x = 4\), folglich ist \(\mu = 4\). 2. Standardabweichung \(\sigma\): Die Wendepunkte liegen bei \(\mu \pm \sigma\). Da der Krümmungswechsel bei \(x = 3\) und \(x = 5\) stattfindet, ist \(\sigma = 1\). 3. Wahrscheinlichkeit \(P(3 \le X \le 5)\): Das Intervall \([3; 5]\) entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Nach der ersten Sigma-Regel gilt \(P(3 \le X \le 5) \approx 68{,}3\,\%\) (oder \(68\,\%\)). 4. Wahrscheinlichkeit \(P(2 \le X \le 6)\): Das Intervall \([2; 6]\) entspricht dem \(2\sigma\)-Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Nach der zweiten Sigma-Regel gilt \(P(2 \le X \le 6) \approx 95{,}4\,\%\) (oder \(95\,\%\)). 5. Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 5)\): Aus Symmetriegründen gilt \(P(X \ge 4) = 50\,\%\) und \(P(4 \le X \le 5) \approx 34{,}15\,\%\) (Hälfte des \(1\sigma\)-Intervalls). Damit folgt \(P(X \ge 5) \approx 50\,\% - 34{,}15\,\% = 15{,}85\,\%\) (oder über das Gegenereignis des \(1\sigma\)-Intervalls: \(\frac{100\,\% - 68{,}3\,\%}{2} \approx 15{,}85\,\%\), gerundet ca. \(16\,\%\)).

a) \(\mu = 4\), da der Hochpunkt bei \(x = 4\) liegt; \(\sigma = 1\), da die Wendepunkte bei \(x = 3\) und \(x = 5\) liegen. b) 1. \(P(3 \le X \le 5) \approx 68{,}3\,\%\) (oder \(68\,\%\)) 2. \(P(2 \le X \le 6) \approx 95{,}4\,\%\) (oder \(95\,\%\)) 3. \(P(X \ge 5) \approx 15{,}85\,\%\) (oder \(16\,\%\))

- Welche Werte haben der Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) in dieser Aufgabe? - Wie hängen die im Aufgabentext genannten Füllmengen (wie \(495\,\text{mL}\) oder \(490\,\text{mL}\)) mit \(\mu\) und Vielfachen von \(\sigma\) zusammen? - Erinnere dich an die Prozentwerte der bekannten \(\sigma\)-Regeln (wie für das \(1\sigma\)- und das \(2\sigma\)-Intervall). - Nutze die Symmetrie der Dichtekurve um den Erwartungswert, um Wahrscheinlichkeiten für einseitige Randbereiche zu bestimmen.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit im Intervall \([495\,\text{mL}; 505\,\text{mL}]\): Der Erwartungswert ist \(\mu = 500\,\text{mL}\) und die Standardabweichung \(\sigma = 5\,\text{mL}\). Die Grenzen des Intervalls berechnen sich als: \(\mu - \sigma = 500 - 5 = 495\,\text{mL}\) \(\mu + \sigma = 500 + 5 = 505\,\text{mL}\) Dies entspricht genau dem \(1\sigma\)-Intervall. Nach der entsprechenden \(\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall ca. \(68{,}3\,\%\) (oder gerundet \(68\,\%\)). 2. Begründung für eine Füllmenge von weniger als \(490\,\text{mL}\): Der Wert \(490\,\text{mL}\) entspricht genau \(\mu - 2\sigma = 500 - 2 \cdot 5\). Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen ca. \(95{,}4\,\%\) aller Füllmengen im symmetrischen Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma] = [490\,\text{mL}; 510\,\text{mL}]\). Die Wahrscheinlichkeit, außerhalb dieses Intervalls zu liegen, beträgt somit: \(100\,\% - 95{,}4\,\% = 4{,}6\,\%\) Da die Dichtefunktion symmetrisch um \(\mu = 500\) verläuft, entfällt auf den linken Randbereich (weniger als \(490\,\text{mL}\)) genau die Hälfte dieses Wertes: \(P(X < 490) \approx \frac{4{,}6\,\%}{2} = 2{,}3\,\%\) Da \(2{,}3\,\% < 2{,}5\,\%\) ist, ist die Aussage begründet.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(68{,}3\,\%\) (oder gerundet \(68\,\%\)). b) Der Wert \(490\,\text{mL}\) entspricht \(\mu - 2\sigma\). Da im Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) ca. \(95{,}4\,\%\) der Füllmengen liegen, verbleiben außerhalb insgesamt \(4{,}6\,\%\). Aufgrund der Symmetrie der Verteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Füllmenge von weniger als \(490\,\text{mL}\) genau die Hälfte davon, also ca. \(2{,}3\,\%\). Da \(2{,}3\,\% < 2{,}5\,\%\) ist, ist die Behauptung gezeigt.

- Überlege dir, wie groß die Fläche unter der gesamten Kurve ist. - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich außerhalb eines Intervalls suchst, denke an die Gegenwahrscheinlichkeit. - Skizziere dir im Kopf, welche Flächenstücke du voneinander abziehen oder addieren musst, um zum Zielintervall zu kommen. - Erinnere dich daran, dass die Fläche links und rechts vom Erwartungswert jeweils genau \(50\,\%\) beträgt.

Die Grenzen werden in Einheiten von \(\sigma = 12\) bestimmt. Zu a): Da \(56 = \mu - 2\sigma\) und \(104 = \mu + 2\sigma\) gilt, entspricht dies dem \(2\sigma\)-Intervall mit \(P \approx 95{,}4\,\%\). Zu b): Der Wert \(116\) entspricht \(\mu + 3\sigma\). Da der Bereich außerhalb des \(3\sigma\)-Intervalls insgesamt \(100\,\% - 99{,}7\,\% = 0{,}3\,\%\) beträgt, entfallen aufgrund der Symmetrie auf den rechten Randbereich \(P(Y \ge \mu + 3\sigma) \approx 0{,}15\,\%\). Zu c): Die Grenzen liegen bei \(\mu - 3\sigma = 44\) und \(\mu - \sigma = 68\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Differenz der Flächenanteile von der Mitte aus: \(P(\mu - 3\sigma \le Y \le \mu) - P(\mu - \sigma \le Y \le \mu) \approx \frac{1}{2} \cdot 99{,}7\,\% - \frac{1}{2} \cdot 68{,}3\,\% = 49{,}85\,\% - 34{,}15\,\% = 15{,}7\,\%\).

a) \(P(56 \le Y \le 104) \approx 95{,}4\,\%\) b) \(P(Y \ge 116) \approx 0{,}15\,\%\) c) \(P(44 \le Y \le 68) \approx 15{,}7\,\%\)

- Nutze die bekannten Sigma-Werte für die Standardwahrscheinlichkeiten. - Skizziere dir bei Wahrscheinlichkeiten für einseitige Bereiche, wie diese aus den Intervallwahrscheinlichkeiten berechnet werden können. - Überlege bei Teilaufgabe c), welche Fläche unter der Glockenkurve links von \(c\) liegen muss und wie sich diese aus einem symmetrischen Intervall und einer „Hälfte“ des Restes zusammensetzt.

1. Für das \(99\,\%\)-Intervall nutzt man die Regel \([\mu - 2{,}58\sigma; \mu + 2{,}58\sigma]\). Mit \(\mu = 1200\) und \(\sigma = 150\) ergibt sich: \(1200 \pm 2{,}58 \cdot 150 = 1200 \pm 387\). Das Intervall ist \(I \approx [813; 1587]\). 2. Der Wert \(1650\) liegt genau \(3\sigma\) über dem Mittelwert (\(1200 + 3 \cdot 150 = 1650\)). Die \(3\sigma\)-Regel besagt, dass \(P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997\) ist. Der Bereich oberhalb von \(\mu + 3\sigma\) hat somit die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 1650) \approx \frac{1 - 0{,}997}{2} = 0{,}0015\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}977\) setzt sich zusammen aus dem \(2\sigma\)-Intervall (\(95{,}4\,\%\)) und dem unteren Restbereich (\(P(X < \mu - 2\sigma) \approx \frac{1 - 0{,}954}{2} = 0{,}023\)). Da \(0{,}954 + 0{,}023 = 0{,}977\), entspricht \(c\) dem Wert \(\mu + 2\sigma\). Berechnung: \(c = 1200 + 2 \cdot 150 = 1500\).

a) \(I \approx [813; 1587]\) b) \(P(X > 1650) \approx 0{,}0015\) c) \(c = 1500\)

- Formuliere die gegebene Wahrscheinlichkeit zuerst als Intervall um den Mittelwert. - Nutze die Standardisierung \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\), um zur Standardnormalverteilung überzugehen. - Wenn \(95\,\%\) im Zentrum liegen, wie viel Prozent liegen dann jeweils in den äußeren Rändern? - Welchen \(z\)-Wert liefert die Tabelle für das entsprechende Quantil?

1. Die Bedingung „um höchstens \(12\,\text{g}\) vom Erwartungswert abweichen“ entspricht dem symmetrischen Intervall \([1000 - 12; 1000 + 12] = [988; 1012]\). Es gilt also \(P(988 \le X \le 1012) = 0{,}95\). 2. Durch Standardisierung folgt \(P\left(\frac{988 - 1000}{\sigma} \le Z \le \frac{1012 - 1000}{\sigma}\right) = 0{,}95\), was zu \(\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{12}{\sigma}\right) = 0{,}95\) führt. 3. Aufgrund der Symmetrie gilt \(2 \cdot \Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right) - 1 = 0{,}95\), also \(\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right) = 0{,}975\). 4. Der Tabelle der Standardnormalverteilung entnimmt man für den Funktionswert \(0{,}975\) den \(z\)-Wert \(1{,}96\). 5. Es gilt somit \(\frac{12}{\sigma} = 1{,}96\). Umstellen nach \(\sigma\) liefert \(\sigma = \frac{12}{1{,}96} \approx 6{,}1224\).

Die Standardabweichung beträgt ca. \(6{,}12\,\text{g}\).

- Vergleiche die gegebenen Wahrscheinlichkeiten mit den bekannten Werten der Sigma-Regeln (\(68{,}3\,\%\), \(95{,}4\,\%\), \(99{,}7\,\%\) sowie den Intervallen für \(90\,\%\) und \(95\,\%\)). - Überlege, ob das angegebene Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt oder an diesem beginnt bzw. endet. - Skizziere die Glockenkurve, um zu sehen, welcher Teil der Fläche (Mitte oder Rand) durch die Wahrscheinlichkeit beschrieben wird. - Achte bei einseitigen Grenzen darauf, wie viel Fläche in den Randbereichen der Verteilung übrig bleibt.

1. Für Teilaufgabe a): Der Wert \(0{,}4985\) entspricht der Hälfte der Wahrscheinlichkeit der \(3\sigma\)-Regel (\(0{,}997 : 2 = 0{,}4985\)). Dies bedeutet, dass das Intervall \([900; 1200]\) entweder dem Bereich \([\mu - 3\sigma; \mu]\) oder \([\mu; \mu + 3\sigma]\) entspricht. 2. Mit \(\sigma = 100\) ergibt sich \(3\sigma = 300\). Da die Intervallbreite \(1200 - 900 = 300\) beträgt, ist \(\mu\) eine der Intervallgrenzen. Es folgt \(\mu = 900\) (Intervall ist \([900; 900 + 300]\)) oder \(\mu = 1200\) (Intervall ist \([1200 - 300; 1200]\)). 3. Für Teilaufgabe b): Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}025\) am linken Rand entspricht dem Bereich außerhalb der \(1{,}96\sigma\)-Umgebung (da \(P(\mu - 1{,}96\sigma \le X \le \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95\)). 4. Es gilt daher \(\mu - 1{,}96\sigma = 551\). Einsetzen von \(\sigma = 100\) liefert \(\mu - 196 = 551\), woraus \(\mu = 747\) folgt.

a) \(\mu = 900\) oder \(\mu = 1200\) b) \(\mu = 747\)

- Skizziere dir die Glockenkurve und markiere die gegebenen Bereiche. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der Sigma-Intervalle mit ihren Hälften zusammen? - Achte darauf, ob das Intervall am Erwartungswert beginnt oder endet. - Kombiniere bekannte Teil-Wahrscheinlichkeiten (z. B. von \(\mu-\sigma\) bis \(\mu\) und von \(\mu\) bis \(\mu+2\sigma\)).

1. In Teilaufgabe a) ist \(0{,}4985\) genau die Hälfte der Wahrscheinlichkeit der \(3\sigma\)-Umgebung (\(0{,}997 : 2\)). Da das Intervall bei \(\mu = 150\) endet, muss \(c\) die linke Grenze der \(3\sigma\)-Umgebung sein: \(c = \mu - 3\sigma = 150 - 30 = 120\). 2. Für Teilaufgabe b) entspricht \(0{,}025\) dem linken Randbereich der \(95\,\%\)-Umgebung (\(1 - 0{,}95 = 0{,}05\); einseitig \(0{,}025\)). Mit dem Faktor \(1{,}96\) berechnet man \(c = \mu - 1{,}96\sigma = 150 - 1{,}96 \cdot 10 = 130{,}4\). 3. In Teilaufgabe c) ist \(140 = \mu - \sigma\). Die Wahrscheinlichkeit von \(\mu - \sigma\) bis \(\mu\) beträgt \(0{,}3413\). Die verbleibende Wahrscheinlichkeit bis \(0{,}8185\) ist \(0{,}8185 - 0{,}3413 = 0{,}4772\). Dies entspricht genau der Hälfte der \(2\sigma\)-Umgebung (\(0{,}9544 : 2\)). Somit ist \(c = \mu + 2\sigma = 150 + 20 = 170\).

a) \(c = 120\) b) \(c = 130{,}4\) c) \(c = 170\)

- Berechne zuerst die exakten Grenzen des Intervalls und überlege, welche ganzen Zahlen dazwischen liegen. - Denk bei der Näherung durch die Normalverteilung daran, die Grenzen um \(0{,}5\) zu erweitern. - Nutze eine Tabelle der Standardnormalverteilung für die \(\Phi\)-Werte.

1. Berechnung von \(\mu\) und \(\sigma\): \(\mu = 100 \cdot 0{,}4 = 40\) \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\) 2. Bestimmung des \(1\sigma\)-Intervalls: \([40 - 4{,}899; 40 + 4{,}899] = [35{,}101; 44{,}899]\). Die relevanten ganzzahligen Trefferzahlen im Intervall sind \(k \in \{36, 37, \dots, 44\}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(36 \le X \le 44)\) mit Normalverteilungsnäherung und Stetigkeitskorrektur: Untere Grenze mit Korrektur: \(36 - 0{,}5 = 35{,}5\) Obere Grenze mit Korrektur: \(44 + 0{,}5 = 44{,}5\) Z-Werte: \(z_1 = \frac{35{,}5 - 40}{4{,}899} \approx -0{,}919\); \(z_2 = \frac{44{,}5 - 40}{4{,}899} \approx 0{,}919\) \(P \approx \Phi(0{,}92) - \Phi(-0{,}92) = \Phi(0{,}92) - (1 - \Phi(0{,}92)) = 2 \cdot \Phi(0{,}92) - 1\) Mit \(\Phi(0{,}92) \approx 0{,}8212\) ergibt sich \(P \approx 2 \cdot 0{,}8212 - 1 = 0{,}6424 \approx 64{,}2\,\%\). 4. Vergleich: \(64{,}2\,\%\) liegt näher an \(68\,\%\) (Differenz \(3{,}8\,\%\)) als an \(70\,\%\) (Differenz \(5{,}8\,\%\)).

Die relevanten Trefferzahlen sind \(36 \le X \le 44\). Mit Normalverteilungsnäherung und Stetigkeitskorrektur gilt \(P(36 \le X \le 44) \approx 64{,}2\,\%\); der Wert liegt näher an \(68\,\%\).

- Wie berechnet man den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung? - Welche Bedingung muss für die Standardabweichung gelten, damit die Näherung durch die Normalverteilung als verlässlich gilt? - Beachte bei der Bestimmung des Intervalls, dass die Zufallsgröße nur ganze Zahlen annehmen kann. Welche Zahlen liegen innerhalb der berechneten Grenzen? - Wie kann man die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion berechnen?

1. Der Erwartungswert berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}15 = 60\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{51} \approx 7{,}14\). Da \(\sigma \approx 7{,}14 > 3\), ist die Laplace-Bedingung erfüllt. 2. Der Radius der Umgebung beträgt \(1{,}96 \cdot \sigma \approx 1{,}96 \cdot 7{,}1414 \approx 13{,}997\). Das Intervall \([\mu - 1{,}96\sigma; \mu + 1{,}96\sigma]\) ergibt sich zu \([60 - 13{,}997; 60 + 13{,}997] = [46{,}003; 73{,}997]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, wird die Wahrscheinlichkeit \(P(47 \le X \le 73)\) berechnet. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 73) - P(X \le 46) \approx 0{,}9680 - 0{,}0263 = 0{,}9417\). 3. Die Wahrscheinlichkeit der \(1{,}96\sigma\)-Umgebung bei der Binomialverteilung liegt mit ca. \(94{,}17\,\%\) nahe am theoretischen Wert der Normalverteilung von \(95\,\%\).

1. \(\mu = 60\); \(\sigma = \sqrt{51} \approx 7{,}14\). Die Laplace-Bedingung \(\sigma > 3\) ist erfüllt. 2. Das Intervall lautet \([46{,}003; 73{,}997]\), die relevanten Trefferzahlen sind \(47 \le X \le 73\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(47 \le X \le 73) \approx 0{,}9417\). 3. Das Ergebnis \(94{,}17\,\%\) weicht nur geringfügig vom theoretischen Wert \(95\,\%\) ab.

- Überlege, wie die Trefferwahrscheinlichkeiten für \(X\) und \(Y\) zusammenhängen. - Was passiert mit der Standardabweichung, wenn man \(p\) und \(1-p\) vertauscht? - Wie hängen die Ereignisse „\(k\) rote Kugeln“ und „\(n-k\) blaue Kugeln“ zusammen? - Kannst du einen Zusammenhang zwischen dem Intervall für \(X\) und dem Intervall für \(Y\) herstellen?

1. Für \(X\) gilt: \(\sigma_X = \sqrt{192 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{36} = 6\). Für \(Y\) gilt: \(\sigma_Y = \sqrt{192 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{36} = 6\). Beide Standardabweichungen sind identisch. 2. Der Erwartungswert für \(X\) ist \(\mu_X = 192 \cdot 0{,}25 = 48\). Die \(2\sigma\)-Umgebung ist \([48 - 12; 48 + 12] = [36; 60]\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(36 \le X \le 60) = P(X \le 60) - P(X \le 35) \approx 0{,}9795 - 0{,}0163 = 0{,}9632\). 3. Da \(Y = 192 - X\) gilt, entspricht das Ereignis \(36 \le X \le 60\) genau dem Ereignis \(192 - 60 \le 192 - X \le 192 - 36\), also \(132 \le Y \le 156\). Da \(\mu_Y = 144\) ist, entspricht dies genau dem Intervall \([\mu_Y - 2\sigma; \mu_Y + 2\sigma]\). Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) und der komplementären Wahrscheinlichkeiten \(p\) und \(1-p\) sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen spiegelbildlich, wodurch die Umgebungen um die jeweiligen Erwartungswerte die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

1. \(\sigma_X = 6\) und \(\sigma_Y = 6\). 2. \(P(36 \le X \le 60) \approx 0{,}9632\). 3. Die Wahrscheinlichkeiten sind identisch, da die Verteilungen von \(X\) (mit \(p\)) und \(Y\) (mit \(1-p\)) symmetrisch zueinander sind und das Ereignis für die \(2\sigma\)-Umgebung von \(X\) direkt in das entsprechende Ereignis für \(Y\) übergeht (\(Y = 192 - X\)).