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- Überlege zuerst, wie viele Standardabweichungen der gegebene Wert vom Erwartungswert entfernt ist. - Erinnere dich an die Wahrscheinlichkeitswerte der Sigma-Regeln für die Intervalle um den Erwartungswert. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve, um von der Intervallwahrscheinlichkeit auf die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Randbereich zu schließen.

1. Identifikation der Parameter: \(\mu = 750\,\text{ml}\) und \(\sigma = 5\,\text{ml}\). 2. Bestimmung der Abweichung vom Erwartungswert: Der Wert \(760\,\text{ml}\) entspricht \(\mu + 2\sigma\), da \(750 + 2 \cdot 5 = 760\). 3. Anwendung der \(2\sigma\)-Regel: Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) beträgt etwa \(95{,}4\,\%\). 4. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert außerhalb dieses Intervalls liegt, beträgt \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). 5. Symmetrie ausnutzen: Da die Normalverteilung symmetrisch ist, entfällt auf den Bereich oberhalb von \(\mu + 2\sigma\) genau die Hälfte dieses Restes: \(P(X > 760) = 0{,}046 : 2 = 0{,}023\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(2{,}3\,\%\).

- Welchen speziellen Funktionswert nimmt die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung genau beim Erwartungswert an? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der Werte auf der y-Achse berechnen? - Überlege, welcher Anteil der Packungen *leichter* als das gesuchte Gewicht ist, wenn \(10\,\%\) schwerer sind.

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht dem x-Wert, an dem die Verteilungsfunktion den Funktionswert \(F(x) = 0{,}5\) annimmt. Aus dem Graphen lässt sich \(\mu = 250\,\text{g}\) ablesen. 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(248 \le X \le 252)\) berechnet sich durch die Differenz der Funktionswerte: \(F(252) - F(248)\). Ablesen aus dem Graphen: \(F(252) \approx 0{,}84\) und \(F(248) \approx 0{,}16\). Berechnung: \(0{,}84 - 0{,}16 = 0{,}68\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(68\,\%\). 3. Gesucht ist der Wert \(x\), für den \(P(X > x) = 0{,}10\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \le x) = 0{,}90\) bzw. \(F(x) = 0{,}90\) ist. Dem Funktionswert \(y = 0{,}9\) auf der y-Achse lässt sich auf der x-Achse näherungsweise der Wert \(x \approx 252{,}6\,\text{g}\) zuordnen.

a) \(\mu = 250\,\text{g}\) b) \(P(248 \le X \le 252) \approx 68\,\%\) c) Ab ca. \(252{,}6\,\text{g}\)

- Wie transformiert man eine normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Welche Symmetrieeigenschaft der \(\Phi\)-Funktion kannst du bei negativen Werten nutzen? - Was bedeutet „Rundung auf ganze Zahlen“ für die Grenzen des betrachteten Bereichs? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeiten und Flächeninhalten unter der Glockenkurve.

1. Für Teil a werden die Grenzen standardisiert: \(z_1=\frac{497-500}{3}=-1\) und \(z_2=\frac{506-500}{3}=2\). Daher ist \(P(497\leq X\leq506)=\Phi(2)-\Phi(-1)\approx0{,}818595\), also etwa \(81{,}86\,\%\). 2. Für die Unterfüllung gilt \(z=\frac{495-500}{3}=-\frac53\approx-1{,}6667\). Mit voller Genauigkeit erhält man \(P(X<495)=\Phi(-5/3)\approx0{,}047790\), also etwa \(4{,}78\,\%\). 3. Beim Runden auf ganze Milliliter wird \(500\,\text{ml}\) aus dem Intervall \([499{,}5;500{,}5)\). Die standardisierten Grenzen sind \(\pm\frac16\). Daher ist \(P=2\Phi(1/6)-1\approx0{,}132368\), also etwa \(13{,}24\,\%\).

a) etwa \(81{,}86\,\%\) b) etwa \(4{,}78\,\%\) c) etwa \(13{,}24\,\%\)

- Schau dir die Verteilung der Häufigkeiten an. Erinnert dich die Form an eine bekannte Kurve? - Wie berechnet man den Durchschnitt, wenn Werte mehrfach vorkommen? - Überlege dir, auf welchen Basiswert sich die prozentuale Abweichung beziehen muss. - Achte darauf, ob der Mittelwert über oder unter dem Vergleichswert liegt.

1. Begründung der Modellierung: Die Häufigkeitsverteilung ist eingipflig und annähernd symmetrisch um den Wert \(500\,\text{g}\). Da bei physikalischen Messgrößen und Produktionsprozessen oft zufällige, kleine Abweichungen in beide Richtungen auftreten, ist die Glockenform der Normalverteilung eine geeignete Annäherung. 2. Berechnung des Mittelwerts \(\overline{m}\): Summe der gewichteten Massen bilden: \((497 \cdot 3 + 498 \cdot 12 + 499 \cdot 25 + 500 \cdot 30 + 501 \cdot 18 + 502 \cdot 9 + 503 \cdot 3) = 49\,987\,\text{g}\). Division durch die Gesamtzahl \(n = 100\) ergibt \(\overline{m} = 499{,}87\,\text{g}\). 3. Berechnung der prozentualen Abweichung: Differenz zum Sollwert berechnen: \(499{,}87 - 500 = -0{,}13\). Prozentualer Anteil am Sollwert: \(\frac{-0{,}13}{500} \cdot 100\,\% = -0{,}026\,\%\). Der Mittelwert liegt somit um \(0{,}026\,\%\) unter dem Sollwert.

a) Die Daten sind eingipflig und annähernd symmetrisch, was charakteristisch für eine Normalverteilung ist. b) \(\overline{m} = 499{,}87\,\text{g}\) c) Die Abweichung beträgt \(-0{,}026\,\%\).

- Was ist typisch für die Verteilung von Werten bei technischen Produktionsprozessen? - Erstelle eine Tabelle für die Zwischenschritte der Mittelwerts- und Standardabweichungsberechnung. - Die Standardabweichung misst die Streuung um den Mittelwert. - Für den Prozentwert teilst du den Unterschied durch den Ausgangswert.

1. Begründung der Eignung: Die Häufigkeiten zeigen eine Konzentration um den zentralen Wert \(25{,}0\,\text{mm}\) und nehmen zu den Rändern hin gleichmäßig ab. Diese Symmetrie und das Vorliegen vieler kleiner, unabhängiger Einflussfaktoren rechtfertigen die Modellierung durch eine Normalverteilung. 2. Berechnung des Mittelwerts \(\mu_{\text{emp}}\): Gesamtsumme der Längen berechnen: \((24{,}8 \cdot 12 + 24{,}9 \cdot 45 + 25{,}0 \cdot 82 + 25{,}1 \cdot 48 + 25{,}2 \cdot 13) = 5000{,}5\,\text{mm}\). Division durch \(n = 200\) ergibt \(\mu_{\text{emp}} = 25{,}0025\,\text{mm}\). 3. Berechnung der Standardabweichung \(s_{\text{emp}}\): Varianz berechnen durch \(\frac{1}{n} \sum f_i \cdot (x_i - \mu_{\text{emp}})^2 \approx 0{,}00964\). Die Wurzel daraus ergibt \(s_{\text{emp}} \approx 0{,}0982\,\text{mm}\). 4. Prozentuale Abweichung: \(\frac{25{,}0025 - 25{,}0}{25{,}0} \cdot 100\,\% = 0{,}01\,\%\).

a) Die Verteilung ist annähernd symmetrisch und glockenförmig. b) \(\mu_{\text{emp}} = 25{,}0025\,\text{mm}\) und \(s_{\text{emp}} \approx 0{,}0982\,\text{mm}\) c) Die Abweichung beträgt \(0{,}01\,\%\).

- Was bedeuten die mathematischen Ungleichheitszeichen in Bezug auf das Gewicht der Packungen? - Wie transformiert man einen Wert der Normalverteilung in einen \(z\)-Wert der Standardnormalverteilung? - Welche Rolle spielt der Erwartungswert bei der Symmetrie der Glockenkurve? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der Verteilungsfunktion?

1. Interpretation a): Das Ereignis beschreibt, dass eine Packung weniger als \(491\,\text{g}\) Kaffee enthält. Berechnung: \(P(X < 491) = \Phi\left(\frac{491 - 500}{6}\right) = \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}0668\). 2. Interpretation b): Das Ereignis beschreibt, dass die Füllmenge einer Packung zwischen \(494\,\text{g}\) und \(512\,\text{g}\) liegt (einschließlich der Grenzen). Berechnung: \(P(494 \le X \le 512) = \Phi\left(\frac{512 - 500}{6}\right) - \Phi\left(\frac{494 - 500}{6}\right) = \Phi(2) - \Phi(-1) \approx 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185\). 3. Interpretation c): Das Ereignis beschreibt, dass eine Packung mindestens das Sollgewicht von \(500\,\text{g}\) aufweist. Berechnung: Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert ist, gilt \(P(X \ge 500) = 0{,}5\).

a) Interpretation: Die Packung enthält weniger als \(491\,\text{g}\). Wahrscheinlichkeit: \(\approx 6{,}68\,\%\). b) Interpretation: Die Füllmenge liegt zwischen \(494\,\text{g}\) und \(512\,\text{g}\). Wahrscheinlichkeit: \(\approx 81{,}85\,\%\). c) Interpretation: Die Packung enthält mindestens \(500\,\text{g}\). Wahrscheinlichkeit: \(50\,\%\).

- Überlege dir, wie du die Grenzen der Ungleichungen in Worten ausdrücken kannst (z. B. „mindestens“, „höchstens“, „zwischen“). - Erinnere dich an die Bedeutung der Standardabweichung und wie viele Prozent der Daten innerhalb bestimmter Vielfacher von \(\sigma\) liegen. - Welche Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve kannst du nutzen, wenn die Grenzen denselben Abstand zum Mittelwert haben?

1. Interpretation a): Das Ereignis beschreibt, dass ein Junge höchstens \(127\,\text{cm}\) groß ist. Berechnung: \(P(H \le 127) = \Phi\left(\frac{127 - 138}{5{,}5}\right) = \Phi(-2) \approx 0{,}0228\). 2. Interpretation b): Das Ereignis beschreibt, dass die Körpergröße eines Jungen mehr als \(132{,}5\,\text{cm}\) und weniger als \(143{,}5\,\text{cm}\) beträgt. Dies entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall um den Erwartungswert. Berechnung: \(P(132{,}5 < H < 143{,}5) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826\). 3. Interpretation c): Das Ereignis beschreibt, dass ein Junge größer als \(149\,\text{cm}\) ist. Berechnung: \(P(H > 149) = 1 - \Phi\left(\frac{149 - 138}{5{,}5}\right) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) Interpretation: Der Junge ist höchstens \(127\,\text{cm}\) groß. Wahrscheinlichkeit: \(\approx 2{,}28\,\%\). b) Interpretation: Der Junge ist zwischen \(132{,}5\,\text{cm}\) und \(143{,}5\,\text{cm}\) groß. Wahrscheinlichkeit: \(\approx 68{,}26\,\%\). c) Interpretation: Der Junge ist größer als \(149\,\text{cm}\). Wahrscheinlichkeit: \(\approx 2{,}28\,\%\).

- Erinnere dich an den Aufbau der Dichtefunktion der Normalverteilung. Welche Parameter lassen sich direkt aus dem Exponenten ablesen? - Achte darauf, dass im Nenner des Exponenten der Term \(2\sigma^2\) steht. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „überschritten“ wird? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung oder die Tabelle der Standardnormalverteilung für den z-Wert.

1. Identifikation der Parameter durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Dichte \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\). 2. Aus dem Exponenten folgt direkt \(\mu = 120\) und \(2\sigma^2 = 50\). 3. Daraus ergibt sich \(\sigma^2 = 25\), also \(\sigma = 5\). Die Übereinstimmung des Vorfaktors \(\frac{1}{\sqrt{50\pi}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 25}}\) bestätigt das Ergebnis. 4. Gesucht ist \(P(X > 130)\). Transformation in die Standardnormalverteilung: \(z = \frac{130 - 120}{5} = \frac{10}{5} = 2\). 5. Berechnung: \(P(X > 130) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) Der Erwartungswert ist \(\mu = 120\,\text{km/h}\) und die Standardabweichung ist \(\sigma = 5\,\text{km/h}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(2{,}28\,\%\).

- Wie kannst du eine normalverteilte Größe in die Standardnormalverteilung überführen? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls, wenn du die Werte der Verteilungsfunktion an den Grenzen kennst? - Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit bei stetigen Verteilungen für einen ganz präzisen Einzelwert? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert.

1. Berechnung von \(P(X < 245)\) durch Transformation in die Standardnormalverteilung: \(z = \frac{245 - 250}{4} = -1{,}25\). Nachschlagen in der Tabelle oder Berechnung ergibt \(\Phi(-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) \approx 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\). 2. Berechnung von \(P(248 \le X \le 255)\): Bestimmung der \(z\)-Werte \(z_1 = \frac{248 - 250}{4} = -0{,}5\) und \(z_2 = \frac{255 - 250}{4} = 1{,}25\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}25) - \Phi(-0{,}5) = 0{,}8944 - (1 - 0{,}6915) = 0{,}8944 - 0{,}3085 = 0{,}5859\). 3. Berechnung von \(P(|X - 250| > 6)\): Dies entspricht \(P(X < 244) + P(X > 256)\). Mit \(z = \frac{256 - 250}{4} = 1{,}5\) ergibt sich aufgrund der Symmetrie \(2 \cdot (1 - \Phi(1{,}5)) = 2 \cdot (1 - 0{,}9332) = 2 \cdot 0{,}0668 = 0{,}1336\). 4. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Punktwert \(P(X = k) = 0\). Somit ist \(P(X = 250) = 0\).

A: \(P(X < 245) \approx 10{,}56\,\%\) B: \(P(248 \le X \le 255) \approx 58{,}59\,\%\) C: \(P(|X - 250| > 6) \approx 13{,}36\,\%\) D: \(P(X = 250) = 0\)

- Achte auf die Formulierungen „höchstens“ und „mindestens“. - Welche Rolle spielt die Symmetrie der Normalverteilung bei Intervallen, die symmetrisch um den Mittelwert liegen? - Erinnere dich an die Eigenschaft stetiger Zufallsvariablen bezüglich einzelner Zahlenwerte.

1. Für \(M\leq140\) ist \(z=\frac{140-150}{12}=-\frac56\). Daher gilt \(P(M\leq140)=\Phi(-5/6)\approx0{,}202328\), also etwa \(20{,}23\,\%\). 2. Für \(M\geq165\) ist \(z=\frac{165-150}{12}=1{,}25\). Daher gilt \(P(M\geq165)=1-\Phi(1{,}25)\approx0{,}105650\), also etwa \(10{,}56\,\%\). 3. Für \(145\leq M\leq155\) sind die standardisierten Grenzen \(\pm\frac5{12}\). Daher gilt \(P=\Phi(5/12)-\Phi(-5/12)\approx0{,}323078\), also etwa \(32{,}31\,\%\). 4. Da die Normalverteilung stetig ist, gilt für einen Einzelwert \(P(M=150)=0\).

A: \(P(M\leq140)\approx20{,}23\,\%\) B: \(P(M\geq165)\approx10{,}56\,\%\) C: \(P(145\leq M\leq155)\approx32{,}31\,\%\) D: \(P(M=150)=0\)

- Welche Verteilung beschreibt die Lebensdauer eines einzelnen Objekts? - Wie transformiert man eine normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Einzelereignis hast, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Kette? - Achte darauf, welche Parameter für die Binomialverteilung aus dem ersten Aufgabenteil übernommen werden müssen.

1. Für ein Leuchtmittel gilt \(p=P(X<13{,}500)=\Phi\left(\frac{13{,}500-15{,}000}{1200}\right)=\Phi(-1{,}25)\approx0{,}105650\). 2. Die Anzahl \(Y\) der Leuchtmittel mit einer Lebensdauer unter \(13{,}500\) Stunden ist binomialverteilt mit \(n=200\) und diesem ungerundeten Wert von \(p\). Daher ist \(P(Y\leq30)\approx0{,}980526\), also etwa \(98{,}05\,\%\).

1. etwa \(10{,}56\,\%\) 2. etwa \(98{,}05\,\%\)

- Wie transformiert man eine normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen? - Was berechnet man allgemein mit der Differenz zweier Werte einer kumulativen Verteilungsfunktion? - Welche Rolle spielen der Erwartungswert und die Standardabweichung bei den Grenzen im Aufgabenteil c?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Packung: \(P(X \le 485) = \Phi\left(\frac{485 - 500}{10}\right) = \Phi(-1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). 2. Modellierung der Anzahl \(K\) der untergewichtigen Packungen als binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p \approx 0{,}0668\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Stichprobe: \(P(K \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{50}{k} \cdot 0{,}0668^k \cdot (1 - 0{,}0668)^{50-k} \approx 0{,}5689\). 4. Berechnung der Differenz der Funktionswerte: \(\Phi_{500; 10}(510) - \Phi_{500; 10}(490) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826\). 5. Interpretation: Der Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Füllmenge einer zufällig gewählten Packung im Intervall zwischen \(490\,\text{g}\) und \(510\,\text{g}\) liegt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}68\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(56{,}89\,\%\). c) Der Wert beträgt ca. \(0{,}6826\). Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung eine Füllmenge zwischen \(490\,\text{g}\) und \(510\,\text{g}\) besitzt.

- Denke daran, dass die Fläche unter der gesamten Glockenkurve 1 beträgt. Wie findest du die Fläche für Werte, die „größer als“ ein bestimmter Wert sind? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein“ Ereignis suchst, ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken. - Was bedeutet die Differenz zweier Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le b) - P(X \le a)\) für das Intervall \([a; b]\)? - Wie hängen die Werte \(1800\) und \(2200\) mit dem Erwartungswert zusammen?

1. Für ein Bauteil gilt \(P(X>2400)=1-\Phi(1{,}6)\approx0{,}054799\), also etwa \(5{,}48\,\%\). 2. Für \(20\) unabhängige Bauteile ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eines mit mehr als \(2400\) Stunden Lebensdauer \(1-(1-0{,}054799\ldots)^{20}\approx0{,}676048\), also etwa \(67{,}60\,\%\). 3. Der Ausdruck \(\Phi_{2000;250}(2200)-\Phi_{2000;250}(1800)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine Lebensdauer zwischen \(1800\) und \(2200\) Stunden. Nach der Standardisierung ist der Wert \(\Phi(0{,}8)-\Phi(-0{,}8)\approx0{,}576289\approx0{,}5763\).

a) etwa \(5{,}48\,\%\) b) etwa \(67{,}60\,\%\) c) Wahrscheinlichkeit für \(1800\leq X\leq2200\); Wert etwa \(0{,}5763\)

- Welche Verteilung beschreibt die Füllmenge eines einzelnen Bechers? - Wie hängen der Mittelwert und die Standardabweichung mit der Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Bereich zusammen? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Becher hast, wie gehst du vor, wenn du die Anzahl der Treffer in einer festen Anzahl von Versuchen betrachtest? - Welche Verteilung ist für das Zählen von Erfolgen bei unabhängigen Versuchen geeignet?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Becher mit der Normalverteilung \(X \sim N(200; 5^2)\): \(P(X < 195) = \Phi\left(\frac{195 - 200}{5}\right) = \Phi(-1) \approx 0{,}1587\). 2. Modellierung der Anzahl der unterfüllten Becher durch eine Binomialverteilung \(Y \sim B(50; 0{,}1587)\). 3. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit für höchstens 10 Becher: \(P(Y \le 10) = \sum_{k=0}^{10} \binom{50}{k} \cdot 0{,}1587^k \cdot (1 - 0{,}1587)^{50-k} \approx 0{,}8406\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(15{,}87\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(84{,}06\,\%\).

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer Normalverteilung? - Erinnerst du dich an die Bedeutung der \(\sigma\)-Umgebungen um den Erwartungswert? - Welche Verteilung nutzt man, um die Anzahl der „Erfolge“ in einer Stichprobe zu bestimmen? - Wie geht man vor, wenn man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens“ einen bestimmten Wert berechnen soll?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Passgenauigkeit eines Bolzens mittels Normalverteilung \(X \sim N(10{,}00; 0{,}05^2)\): \(P(9{,}95 \le X \le 10{,}05) = \Phi\left(\frac{10{,}05 - 10{,}00}{0{,}05}\right) - \Phi\left(\frac{9{,}95 - 10{,}00}{0{,}05}\right) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826\) (bzw. exakter \(0{,}6827\) über die \(\sigma\)-Regel). 2. Die Anzahl der passgenauen Bolzen in der Stichprobe ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p \approx 0{,}6827\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens 140 Treffer: \(P(Y \ge 140) = 1 - P(Y \le 139) \approx 1 - 0{,}6709 = 0{,}3291\).

a) Der Anteil der passgenauen Bolzen beträgt etwa \(68{,}27\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(32{,}91\,\%\).

- Überlege dir, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle bei einer stetigen Zufallsvariablen berechnet. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punktes, wenn die Fläche unter der Kurve betrachtet wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Integral der Dichtefunktion und der Wahrscheinlichkeit in einem Intervall. - Für die prozentuale Änderung berechnest du die Differenz der Werte bezogen auf den ursprünglichen Wert.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für \(X \sim N(1000; 10^2)\): - \(P(980 \le X \le 1020) = \Phi(\frac{1020-1000}{10}) - \Phi(\frac{980-1000}{10}) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}97725 - 0{,}02275 = 0{,}9545\) - \(P(999 \le X \le 1001) = \Phi(0{,}1) - \Phi(-0{,}1) \approx 0{,}5398 - 0{,}4602 = 0{,}0796\) - Da die Normalverteilung stetig ist, gilt \(P(X = 1000) = 0\). 2. Berechnung des Integrals: - \(\int_{999{,}5}^{1000{,}5} \varphi_{1000; 10}(x) \, \text{d}x = P(999{,}5 \le X \le 1000{,}5) = \Phi(0{,}05) - \Phi(-0{,}05) \approx 0{,}5199 - 0{,}4801 = 0{,}0398\). - Interpretation: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beutel ein Gewicht hat, das gerundet auf ganze Gramm genau dem Sollwert von \(1000\,\text{g}\) entspricht. 3. Veränderung bei \(\sigma_{\text{neu}} = 5\): - \(P_{\text{neu}}(980 \le X \le 1020) = \Phi(4) - \Phi(-4) \approx 0{,}9999\). Steigerung um ca. \(4{,}76\,\%\). - \(P_{\text{neu}}(999 \le X \le 1001) = \Phi(0{,}2) - \Phi(-0{,}2) \approx 0{,}1585\). Mit den ungerundeten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich eine Steigerung um ca. \(99{,}01\,\%\). - \(P_{\text{neu}}(X = 1000) = 0\). Die Punktwahrscheinlichkeit bleibt \(0\); eine prozentuale Veränderung ist hier nicht sinnvoll definiert, da der Ausgangswert \(0\) ist.

a) \(P(980 \le X \le 1020) \approx 95{,}45\,\%\); \(P(999 \le X \le 1001) \approx 7{,}96\,\%\); \(P(X = 1000) = 0\). b) Das Integral ergibt ca. \(0{,}0398\). Es entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht im Intervall \([999{,}5; 1000{,}5]\) liegt (Sollgewicht auf ganze Gramm gerundet). c) Die Intervallwahrscheinlichkeiten steigen um ca. \(4{,}76\,\%\) bzw. \(99{,}01\,\%\). Die Punktwahrscheinlichkeit bleibt \(0\); eine prozentuale Veränderung ist dafür nicht sinnvoll definiert.

- Wie hängen die Grenzen des Intervalls mit der Standardabweichung zusammen? (Stichwort: \(z\)-Wert) - Beachte, dass die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls der Fläche unter der Gauß-Kurve entspricht. - Warum ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert bei einer kontinuierlichen Skala immer gleich? - Überlege dir bei der Interpretation, welchen Bereich von Werten man erhält, wenn man auf eine bestimmte Stelle rundet.

1. Wahrscheinlichkeiten für \(X \sim N(10; 0{,}02^2)\): - \(P(9{,}96 \le X \le 10{,}04) = \Phi(\frac{10{,}04-10}{0{,}02}) - \Phi(\frac{9{,}96-10}{0{,}02}) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\) - \(P(9{,}99 \le X \le 10{,}01) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) \approx 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}3830\) - \(P(X = 10{,}000) = 0\) (Eigenschaft stetiger Verteilungen). 2. Integralberechnung: - \(\int_{9{,}995}^{10{,}005} \varphi_{10; 0{,}02}(x) \, \text{d}x = P(9{,}995 \le X \le 10{,}005) = \Phi(0{,}25) - \Phi(-0{,}25) \approx 0{,}5987 - 0{,}4013 = 0{,}1974\). - Bedeutung: Wahrscheinlichkeit für einen Durchmesser, der auf zwei Nachkommastellen gerundet genau \(10{,}00\,\text{mm}\) beträgt. 3. Änderung bei \(\sigma_{\text{neu}} = 0{,}04\): - \(P_{\text{neu}}(9{,}96 \le X \le 10{,}04) = \Phi(\frac{0{,}04}{0{,}04}) - \Phi(-\frac{0{,}04}{0{,}04}) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}6827\). - Prozentuale Abnahme: \(\frac{0{,}6827 - 0{,}9545}{0{,}9545} \approx -0{,}2848\). Die Wahrscheinlichkeit sinkt um ca. \(28{,}48\,\%\).

a) \(P(9{,}96 \le X \le 10{,}04) \approx 95{,}45\,\%\); \(P(9{,}99 \le X \le 10{,}01) \approx 38{,}30\,\%\); \(P(X = 10{,}000) = 0\). b) Das Integral beträgt ca. \(0{,}1974\). Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Durchmesser im Bereich \(\pm 0{,}005\,\text{mm}\) um den Mittelwert. c) Die Wahrscheinlichkeit sinkt um ca. \(28{,}48\,\%\) (von ca. \(95{,}45\,\%\) auf ca. \(68{,}27\,\%\)).

- Kannst du das Problem mit der Standardnormalverteilung verknüpfen? - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit für den unteren Rand, wenn du den Erwartungswert erhöhst? - Wie hängen der z-Wert und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Nutze die Verteilungsfunktionen deines Taschenrechners, um systematisch Werte für den Erwartungswert zu testen.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([501; 507]\): Bestimmung der \(z\)-Werte \(z_1 = \frac{501 - 504}{3} = -1\) und \(z_2 = \frac{507 - 504}{3} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826\). 2. Bestimmung des Erwartungswerts durch Probieren: Gesucht ist \(\mu\) mit \(P(X < 495) \le 0{,}03\). 3. Test von \(\mu = 500{,}6\): \(P(X < 495) = \Phi\left(\frac{495 - 500{,}6}{3}\right) = \Phi(-1{,}867) \approx 0{,}0310 > 0{,}03\). 4. Test von \(\mu = 500{,}7\): \(P(X < 495) = \Phi\left(\frac{495 - 500{,}7}{3}\right) = \Phi(-1{,}9) \approx 0{,}0287 < 0{,}03\). 5. Der kleinstmögliche Erwartungswert auf eine Nachkommastelle genau ist somit \(\mu = 500{,}7\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(68{,}26\,\%\). b) Der kleinstmögliche Erwartungswert beträgt \(500{,}7\,\text{g}\).

- Überlege dir, wie man das Intervall um den Erwartungswert mithilfe der Standardabweichung und eines Faktors beschreiben kann. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls und die Verteilungsfunktion \(\Phi\) zusammen? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve aus. - Welchen \(z\)-Wert benötigt man für ein Wahrscheinlichkeitsintervall, das \(98\,\%\) der Werte einschließt?

1. Die Bedingung lautet \(P(745 \le X \le 755) \ge 0{,}98\). Durch Standardisierung ergibt sich die Ungleichung \(P\left(\frac{745 - 750}{\sigma} \le Z \le \frac{755 - 750}{\sigma}\right) \ge 0{,}98\), wobei \(Z\) standardnormalverteilt ist. 2. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um \(\mu\) entspricht dies \(2 \cdot \Phi\left(\frac{5}{\sigma}\right) - 1 \ge 0{,}98\), woraus \(\Phi\left(\frac{5}{\sigma}\right) \ge 0{,}99\) folgt. 3. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung (oder per GTR/CAS) ergibt sich für das \(0{,}99\)-Quantil der Wert \(z \approx 2{,}326\). 4. Durch Auflösen der Gleichung \(\frac{5}{\sigma} = 2{,}326\) nach \(\sigma\) erhält man \(\sigma \approx \frac{5}{2{,}326} \approx 2{,}15\). Damit die Wahrscheinlichkeit mindestens \(98\,\%\) beträgt, muss \(\sigma \le 2{,}15\) gelten.

Die Standardabweichung \(\sigma\) darf höchstens etwa \(2{,}15\,\text{ml}\) betragen.

- Was bedeutet ein maximaler Ausschuss von \(1\,\%\) für den Anteil der funktionierenden Teile? - Stelle eine Gleichung oder Ungleichung auf, die den Anteil der Teile im Toleranzbereich beschreibt. - Verwende die Standardisierung \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\), um mit der Standardnormalverteilung zu arbeiten. - Welcher \(z\)-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}995\) in der \(\Phi\)-Tabelle?

1. Der Ausschussanteil soll höchstens \(1\,\%\) betragen, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für ein brauchbares Bauteil mindestens \(99\,\%\) sein muss: \(P(119{,}7 \le L \le 120{,}3) \ge 0{,}99\). 2. Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt \(d = 0{,}3\,\text{mm}\). Die Standardisierung führt auf die Bedingung \(P\left(-\frac{0{,}3}{\sigma} \le Z \le \frac{0{,}3}{\sigma}\right) \ge 0{,}99\). 3. Dies lässt sich umformen zu \(2 \cdot \Phi\left(\frac{0{,}3}{\sigma}\right) - 1 \ge 0{,}99\), also \(\Phi\left(\frac{0{,}3}{\sigma}\right) \ge 0{,}995\). 4. Das zugehörige Quantil der Standardnormalverteilung ist \(z_{0{,}995} \approx 2{,}576\). 5. Die Ungleichung \(\frac{0{,}3}{\sigma} \ge 2{,}576\) liefert \(\sigma \le \frac{0{,}3}{2{,}576} \approx 0{,}116\).

Die Standardabweichung \(\sigma\) darf höchstens \(0{,}116\,\text{mm}\) betragen.

- Überlege dir, wie man aus Messdaten Kennzahlen wie den Durchschnitt berechnet. - Wie hängen das Intervall in Teil b) und die gegebenen Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) zusammen? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Bolzen hast, wie kannst du dann eine Anzahl in einer größeren Menge beschreiben? - Achte darauf, wie viele Bolzen genau \(65\,\%\) von \(150\) sind.

1. Das Unternehmen könnte eine ausreichend große Zufallsstichprobe entnehmen, die Längen messen und \(\mu\) durch das arithmetische Mittel sowie \(\sigma\) durch die empirische Standardabweichung schätzen. Zusätzlich kann die angenommene Normalverteilung grafisch oder mit einem Anpassungstest geprüft werden. 2. Für einen Bolzen gilt \(p=P(119{,}5\leq X\leq120{,}5)=P(-1\leq Z\leq1)=2\Phi(1)-1\approx0{,}682689\approx0{,}6827\). 3. Mindestens \(65\,\%\) von \(150\) Bolzen bedeutet wegen \(0{,}65\cdot150=97{,}5\) mindestens \(98\) Bolzen. Mit \(Y\sim B(150;p)\) und dem ungerundeten Wert von \(p\) ist \(P(Y\geq98)\approx0{,}805920\), also etwa \(80{,}59\,\%\).

a) Das Unternehmen könnte eine ausreichend große Zufallsstichprobe entnehmen, die Längen messen und \(\mu\) durch das arithmetische Mittel sowie \(\sigma\) durch die empirische Standardabweichung schätzen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(80{,}59\,\%\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis unter der Normalverteilung. - Nutze für den zweiten Teil die Binomialverteilung, da es um eine Anzahl von Erfolgen in einer festen Stichprobengröße geht. - Was bedeutet „höchstens \(10\,\%\)“ konkret als Anzahl bei \(400\) Packungen?

1. Wahrscheinlichkeit für eine Packung: Gesucht ist \(p = P(W > 505)\) für \(W \sim N(500; 4^2)\). Transformation zur Standardnormalverteilung: \(Z = \frac{505 - 500}{4} = 1{,}25\). Damit ist \(p = 1 - \Phi(1{,}25) \approx 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\). 2. Modellierung der Lieferung: Die Anzahl \(X\) der Packungen mit über \(505\,\text{g}\) ist binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p \approx 0{,}1056\). 3. Berechnung der Zielwahrscheinlichkeit: Höchstens \(10\,\%\) von \(400\) Packungen bedeutet \(X \le 40\). 4. Berechnung mit der Binomialverteilung: \(P(X \le 40) = \sum_{k=0}^{40} \binom{400}{k} \cdot 0{,}1056^k \cdot (1-0{,}1056)^{400-k} \approx 0{,}3950\). (Alternativ über Normalverteilung als Näherung: \(\mu_X = 42{,}24\), \(\sigma_X \approx 6{,}14\). Mit Stetigkeitskorrektur: \(P(X \le 40) \approx \Phi(\frac{40{,}5 - 42{,}24}{6{,}14}) \approx \Phi(-0{,}28) \approx 0{,}3897\). Die exakte Binomialverteilung ist vorzuziehen.)

a) \(P(W > 505) \approx 0{,}1056\) (ca. \(10{,}56\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}50\,\%\).

- Wie weit weicht der Wert \(750\) vom Erwartungswert ab, wenn man die Standardabweichung als Maßstab nimmt? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der „Treffer“ in einer Stichprobe von fester Größe? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein Ereignis“ und dem Gegenereignis. - Welche mathematische Operation hilft dir, eine Unbekannte im Exponenten zu isolieren?

1. Für eine Flasche gilt \(p=P(X<750)=\Phi(-1)\approx0{,}158655\), also etwa \(15{,}87\,\%\). 2. Für \(Y\sim B(12;p)\) ist \(P(Y\leq1)=P(Y=0)+P(Y=1)=(1-p)^{12}+12p(1-p)^{11}\). Mit dem ungerundeten Wert von \(p\) ergibt sich \(P(Y\leq1)\approx0{,}410477\), also etwa \(41{,}05\,\%\). 3. Für mindestens eine unterfüllte Flasche mit mindestens \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit muss \(1-(1-p)^n\geq0{,}95\) gelten. Daraus folgt \(n\geq\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(1-p)}\approx17{,}34\). Daher müssen mindestens \(18\) Flaschen untersucht werden.

a) etwa \(15{,}87\,\%\) b) etwa \(41{,}05\,\%\) c) mindestens \(18\) Flaschen

- Prüfe, ob die angegebenen Grenzen symmetrisch um den Erwartungswert liegen. - Drücke den Abstand der Grenzen zum Erwartungswert als Vielfaches der Standardabweichung aus. - Welche Sigma-Regel deckt fast die gesamte Fläche unter der Kurve ab?

1. Bestimmung der Intervallgrenzen in Abhängigkeit von \(\sigma\): Die untere Grenze ist \(118{,}8 = 120 - 1{,}2 = 120 - 3 \cdot 0{,}4 = \mu - 3\sigma\). Die obere Grenze ist \(121{,}2 = 120 + 1{,}2 = 120 + 3 \cdot 0{,}4 = \mu + 3\sigma\). 2. Identifikation des gesuchten Intervalls: Es wird die Wahrscheinlichkeit \(P(118{,}8 \le X \le 121{,}2) = P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma)\) gesucht. 3. Anwendung der \(3\sigma\)-Regel: Nach der Sigma-Regel für das \(3\sigma\)-Intervall liegen ca. \(99{,}7\,\%\) der Werte innerhalb dieses Bereichs.

Der Anteil der Produktion, der keinen Ausschuss darstellt, beträgt etwa \(99{,}7\,\%\).

- Überlege, wie viele Standardabweichungen die Intervallgrenzen vom Erwartungswert entfernt liegen. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve, um Wahrscheinlichkeiten für einseitige Bereiche zu bestimmen. - Erinnere dich bei der Frage nach der Mindestanzahl an das Gegenereignis „kein einziges Mal“. - Wie lässt sich eine Ungleichung mit einer Unbekannten im Exponenten lösen?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten mittels \(\sigma\)-Regeln: Die Grenzen \(490\,\text{g}\) und \(510\,\text{g}\) entsprechen \(\mu - 2\sigma\) und \(\mu + 2\sigma\), da \(500 - 2 \cdot 5 = 490\) und \(500 + 2 \cdot 5 = 510\). Nach der \(2\sigma\)-Regel gilt \(P(490 \le X \le 510) \approx 95{,}4\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für die Kategorie „Standard“ beträgt somit ca. \(0{,}954\). Für „Übergewicht“ (\(m \ge 510\)) ergibt sich aufgrund der Symmetrie: \(P(X \ge \mu + 2\sigma) = \frac{1 - 0{,}954}{2} = 0{,}023\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(2{,}3\,\%\). 2. Berechnung der Mindestanzahl \(n\): Die Wahrscheinlichkeit für „Mindergewicht“ ist analog \(p = P(X < 490) = 0{,}023\). Gesucht ist das kleinste \(n\), für das gilt: \(P(\text{mind. eine}) = 1 - (1 - p)^n \ge 0{,}95\). Umformen führt zu \(0{,}977^n \le 0{,}05\). Logarithmieren ergibt \(n \cdot \ln(0{,}977) \le \ln(0{,}05)\). Da \(\ln(0{,}977) < 0\), dreht sich das Relationszeichen: \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}977)} \approx 128{,}74\). Es müssen mindestens \(129\) Packungen entnommen werden.

a) \(P(\text{Standard}) \approx 95{,}4\,\%\); \(P(\text{Übergewicht}) \approx 2{,}3\,\%\) b) Es müssen mindestens \(129\) Packungen entnommen werden.

- Welchen Anteil der Fläche unter der Glockenkurve decken die Bereiche \(\pm 1\sigma\), \(\pm 2\sigma\) und \(\pm 3\sigma\) ab? - Vergleiche den Abstand des Erwartungswerts von Null mit der Größe der Standardabweichung. - Überlege dir, wie sich die Form der Normalverteilungskurve verändert, wenn die Streuung kleiner wird. - Was bedeutet eine höhere Konzentration der Werte um den Mittelwert für die Wahrscheinlichkeit in einem festen Intervall?

1. Anwendung der \(\sigma\)-Regeln: Das Intervall \([39{,}8; 40{,}2]\) entspricht \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Gemäß der \(1\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit ca. \(68{,}3\,\%\). Der Wert \(39{,}4\,\text{mm}\) entspricht \(\mu - 3\sigma\), da \(40{,}0 - 3 \cdot 0{,}2 = 39{,}4\). Die Wahrscheinlichkeit \(P(X < \mu - 3\sigma)\) berechnet sich zu \(\frac{1 - 0{,}997}{2} = 0{,}0015\), also \(0{,}15\,\%\). 2. Erläuterung der Modellgüte: Der Erwartungswert \(\mu = 40{,}0\) liegt extrem weit von der physikalischen Grenze \(0\) entfernt. Der Abstand beträgt \(40{,}0 : 0{,}2 = 200\) Standardabweichungen. Die Wahrscheinlichkeit für Werte im negativen Bereich ist damit praktisch Null (\(\Phi(-200) \approx 0\)), wodurch das Modell die Realität hervorragend abbildet. 3. Auswirkung der Änderung von \(\sigma\): Das Intervall \([39{,}6; 40{,}4]\) entspricht bei \(\sigma = 0{,}2\) dem \(2\sigma\)-Bereich (ca. \(95{,}4\,\%\)). Wird \(\sigma\) auf \(0{,}1\) halbiert, entspricht das gleiche Intervall nun dem \(4\sigma\)-Bereich (\(40 \pm 4 \cdot 0{,}1\)). Da die Glockenkurve bei kleinerem \(\sigma\) schmaler und höher wird, konzentriert sich mehr Wahrscheinlichkeitsmasse um den Erwartungswert. Die Wahrscheinlichkeit, im Intervall zu liegen, steigt also deutlich an (nahezu \(100\,\%\)).

a) \(P(39{,}8 \le X \le 40{,}2) \approx 68{,}3\,\%\); \(P(X < 39{,}4) \approx 0{,}15\,\%\) b) Da \(\mu\) etwa \(200\sigma\) von Null entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit für negative Werte vernachlässigbar klein. c) Die Wahrscheinlichkeit steigt an, da die Verteilung schmaler wird und das Intervall nun einen \(4\sigma\)-Bereich statt eines \(2\sigma\)-Bereichs abdeckt.

- Vergleiche die gegebene Funktion mit der allgemeinen Formel der Dichtefunktion der Normalverteilung. - Überlege, welcher Teil der Formel den Erwartungswert und welcher die Varianz repräsentiert. - Erinnere dich an die Sigma-Regeln für die Wahrscheinlichkeiten in bestimmten Intervallen. - Nutze die Standardisierung oder die Umkehrfunktion der Normalverteilung, um Quantile zu berechnen.

1. Aus der allgemeinen Form der Dichtefunktion \(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) folgt durch Vergleich: \(\mu = 500\) und \(2\sigma^2 = 72\). Daraus ergibt sich \(\sigma^2 = 36\), also \(\sigma = 6\). Der Erwartungswert beträgt \(500\,\text{ml}\), die Standardabweichung \(6\,\text{ml}\). 2. Gesucht ist \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = P(494 \le X \le 506)\). Nach der \(\sigma\)-Regel (oder Berechnung mittels der Verteilungsfunktion \(\Phi(1) - \Phi(-1)\)) beträgt dieser Wert ca. \(0{,}6827\). 3. Gesucht ist \(k\) mit \(P(X \le k) = 0{,}9\). Standardisierung führt auf \(\Phi\left(\frac{k - 500}{6}\right) = 0{,}9\). Mit dem \(0{,}9\)-Quantil der Standardnormalverteilung \(z \approx 1{,}2816\) ergibt sich \(\frac{k - 500}{6} \approx 1{,}2816\), woraus \(k \approx 500 + 6 \cdot 1{,}2816 \approx 507{,}69\,\text{ml}\) folgt.

1. \(\mu = 500\,\text{ml}\), \(\sigma = 6\,\text{ml}\) 2. \(P(494 \le X \le 506) \approx 68{,}27\,\%\) 3. \(k \approx 507{,}69\,\text{ml}\)

- Überlege zuerst, welche Parameter für die Normalverteilung gegeben sind. - Wie transformiert man einen Wert der Zufallsgröße in einen Standardwert der Normalverteilung? - Denke daran, dass die Fläche unter der Glockenkurve die Wahrscheinlichkeit darstellt. - Bei Intervallen musst du die Differenz der Flächeninhalte bis zu den jeweiligen Grenzen bilden. - Ist die Wahrscheinlichkeit für „höchstens“ identisch mit der für „weniger als“ bei einer stetigen Verteilung?

1. Für Teil a ist \(z=\frac{250-252}{1{,}5}=-\frac43\). Daher gilt \(P(X<250)=\Phi(-4/3)\approx0{,}091211\), also etwa \(9{,}12\,\%\). 2. Für Teil b sind die standardisierten Grenzen \(z_1=-\frac23\) und \(z_2=\frac43\). Daher gilt \(P(251\leq X\leq254)=\Phi(4/3)-\Phi(-2/3)\approx0{,}656296\), also etwa \(65{,}63\,\%\). 3. Für Teil c ist \(z=2\). Daher gilt \(P(X\geq255)=1-\Phi(2)\approx0{,}022750\), also etwa \(2{,}28\,\%\).

a) \(P(X<250)\approx0{,}0912\) beziehungsweise \(9{,}12\,\%\) b) \(P(251\leq X\leq254)\approx0{,}6563\) beziehungsweise \(65{,}63\,\%\) c) \(P(X\geq255)\approx0{,}0228\) beziehungsweise \(2{,}28\,\%\)

- Welche Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung kannst du dem Text entnehmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion \(\Phi(z)\) und negativen \(z\)-Werten. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten eines bestimmten Wertes? - Skizziere dir eventuell die Glockenkurve, um die gesuchten Flächenbereiche zu visualisieren.

1. Transformation der Werte in die Standardnormalverteilung mit \(\mu = 20\,000\) und \(\sigma = 800\). 2. Zu a): \(z = \frac{18800 - 20000}{800} = -1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). 3. Zu b): \(z_1 = \frac{19600 - 20000}{800} = -0{,}5\) und \(z_2 = \frac{21200 - 20000}{800} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}5) - \Phi(-0{,}5) = 0{,}9332 - (1 - 0{,}6915) = 0{,}9332 - 0{,}3085 = 0{,}6247\). 4. Zu c): \(z = \frac{21000 - 20000}{800} = 1{,}25\). Die Wahrscheinlichkeit für \(X > 21\,000\) ist \(1 - \Phi(1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\).

a) \(P(X \leq 18\,800) = 0{,}0668\) (ca. \(6{,}68\,\%\)) b) \(P(19\,600 \leq X \leq 21\,200) = 0{,}6247\) (ca. \(62{,}47\,\%\)) c) \(P(X > 21\,000) = 0{,}1056\) (ca. \(10{,}56\,\%\))

- Was ist der Unterschied zwischen einer stetigen Verteilung wie der Normalverteilung und einer diskreten Verteilung wie der Binomialverteilung? - Wie transformiert man Werte einer Normalverteilung in die Standardnormalverteilung? - Welche Parameter benötigst du für die Binomialverteilung in Aufgabenteil c)? - Wie hängen die Ergebnisse aus den ersten Teilaufgaben mit der letzten zusammen?

1. Für das Intervall \([495;505]\) sind die standardisierten Grenzen \(\pm1{,}25\). Daher gilt \(P(495\leq X\leq505)=2\Phi(1{,}25)-1\approx0{,}788700\), also etwa \(78{,}87\,\%\). 2. Für weniger als \(492\,\text{ml}\) ist \(z=-2\). Daher gilt \(p=P(X<492)=\Phi(-2)\approx0{,}022750\), also etwa \(2{,}28\,\%\). 3. Für \(Y\sim B(12;p)\) ist \(P(Y\leq1)=(1-p)^{12}+12p(1-p)^{11}\). Mit dem ungerundeten Wert von \(p\) ergibt sich \(P(Y\leq1)\approx0{,}970642\), also etwa \(97{,}06\,\%\).

a) etwa \(78{,}87\,\%\) b) etwa \(2{,}28\,\%\) c) etwa \(97{,}06\,\%\)

- Wie transformiert man eine beliebig normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Welcher z-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}5\,\%\) am linken Rand? - Stelle die Gleichung für den z-Wert nach der gesuchten Größe um.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Untergewicht: \(P(X < 1000) = \Phi\left(\frac{1000 - 1006}{4}\right) = \Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}68\,\%\). 2. Anpassung der Standardabweichung: Gefordert ist \(P(X < 1000) = 0{,}005\). Mit dem z-Wert für das \(0{,}5\,\%\)-Quantil \(z_{0{,}005} \approx -2{,}576\) ergibt sich: \(\frac{1000 - 1006}{\sigma} = -2{,}576 \Rightarrow -6 = -2{,}576 \cdot \sigma \Rightarrow \sigma = \frac{-6}{-2{,}576} \approx 2{,}33\). Die neue Standardabweichung muss ca. \(2{,}33\,\text{g}\) betragen. 3. Anpassung des Erwartungswertes: Gefordert ist \(P(X < 1000) = 0{,}005\) bei \(\sigma = 4\): \(\frac{1000 - \mu}{4} = -2{,}576 \Rightarrow 1000 - \mu = -10{,}304 \Rightarrow \mu = 1010{,}304\). Der Erwartungswert muss auf ca. \(1010{,}3\,\text{g}\) erhöht werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}68\,\%\). b) (1) Die Standardabweichung müsste auf ca. \(2{,}33\,\text{g}\) sinken. (2) Der Erwartungswert müsste auf ca. \(1010{,}3\,\text{g}\) angehoben werden.

- Überlege dir bei Rundungsaufgaben, welcher Bereich von Werten auf die Zielzahl führt. - Wo ist die Glockenkurve am höchsten? Das hilft dir, den Bereich mit der größten Wahrscheinlichkeit zu finden. - „Mindestens \(95\,\%\) überschreiten den Wert“ bedeutet das Gleiche wie „höchstens \(5\,\%\) unterschreiten den Wert“. - Wenn eine feste Anzahl an Objekten untersucht wird und jedes Objekt eine bestimmte Eigenschaft mit einer festen Wahrscheinlichkeit hat, hilft ein zweistufiges Modell.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([5{,}80; 6{,}20]\): Mit \(z_1 = \frac{5{,}80 - 6{,}00}{0{,}15} \approx -1{,}33\) und \(z_2 = \frac{6{,}20 - 6{,}00}{0{,}15} \approx 1{,}33\) ergibt sich \(P(5{,}80 \le X \le 6{,}20) = \Phi(1{,}33) - \Phi(-1{,}33) \approx 0{,}8176\). 2. Für die auf eine Nachkommastelle gerundete Dicke von \(6{,}0\,\text{mm}\) muss die tatsächliche Dicke im Intervall \([5{,}95; 6{,}05[\) liegen. Berechnung: \(P(5{,}95 \le X < 6{,}05) = \Phi(\frac{6{,}05-6{,}00}{0{,}15}) - \Phi(\frac{5{,}95-6{,}00}{0{,}15}) = \Phi(0{,}33) - \Phi(-0{,}33) \approx 0{,}2611\). 3. Da die Dichtefunktion der Normalverteilung symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu\) verläuft und dort ihr Maximum besitzt, liegt im Intervall \([\mu - \frac{L}{2}; \mu + \frac{L}{2}]\) die größte Wahrscheinlichkeit für eine feste Länge \(L\). Das gesuchte Intervall ist somit \([5{,}90\,\text{mm}; 6{,}10\,\text{mm}]\). 4. Gesucht ist \(d\) mit \(P(X > d) = 0{,}95\), was \(P(X \le d) = 0{,}05\) entspricht. Mit dem \(0{,}05\)-Quantil der Standardnormalverteilung \(z \approx -1{,}645\) folgt: \(d = 6{,}00 - 1{,}645 \cdot 0{,}15 \approx 5{,}75\,\text{mm}\). 5. Zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = P(X > 5{,}85)\) bestimmen: \(z = \frac{5{,}85-6{,}00}{0{,}15} = -1\). \(p = P(Z > -1) = \Phi(1) \approx 0{,}8413\). Für die Binomialverteilung mit \(n=50\) und \(p=0{,}8413\) ist \(P(Y \ge 40) = \sum_{k=40}^{50} \binom{50}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{50-k} \approx 0{,}8406\).

a) \(P \approx 0{,}8176\) (bzw. \(81{,}76\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}2611\) (bzw. \(26{,}11\,\%\)) c) Intervall \([5{,}90\,\text{mm}; 6{,}10\,\text{mm}]\), da die Dichtefunktion bei \(\mu = 6{,}00\) maximal ist. d) \(d \approx 5{,}75\,\text{mm}\) e) \(P \approx 0{,}8406\) (bzw. \(84{,}06\,\%\))

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert auf eine ganze Zahl gerundet wird? Welches Intervall wird dadurch abgedeckt? - Überlege dir, wie die Glockenkurve aussieht. Wo ist die Fläche unter der Kurve bei gleicher Breite am größten? - „Nicht unterschritten“ bedeutet, dass der Wert größer oder gleich einem gesuchten \(d\) ist. - Nutze für den letzten Aufgabenteil die Ergebnisse aus dem ersten Teil als Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis in einer Kette.

1. Für \(X<500\) ist \(z=\frac{500-505}{4}=-1{,}25\). Daher gilt \(P(X<500)=\Phi(-1{,}25)\approx0{,}105650\), also etwa \(10{,}56\,\%\). 2. Auf ganze Gramm gerundet ergibt sich \(505\,\text{g}\) für \(504{,}5\leq X<505{,}5\). Die standardisierten Grenzen sind \(\pm0{,}125\). Daher gilt \(P=2\Phi(0{,}125)-1\approx0{,}099476\approx0{,}0995\). 3. Unter allen Intervallen der Länge \(5{,}0\,\text{g}\) ist die Wahrscheinlichkeit maximal, wenn das Intervall symmetrisch um \(\mu=505\,\text{g}\) liegt. Ein solches Intervall ist \([502{,}5\,\text{g};507{,}5\,\text{g}]\). 4. Gesucht ist \(d\) mit \(P(X\geq d)=0{,}85\), also \(P(X<d)=0{,}15\). Mit \(z_{0{,}15}\approx-1{,}03643\) folgt \(d=505+4z_{0{,}15}\approx500{,}854\,\text{g}\), gerundet \(500{,}9\,\text{g}\). 5. Für einen Karton ist die Anzahl \(Y\) der Packungen unter \(500\,\text{g}\) binomialverteilt mit \(n=25\) und dem ungerundeten Wert \(p=\Phi(-1{,}25)\). Daher ist \(P(Y\leq3)\approx0{,}731769\), also etwa \(73{,}18\,\%\).

a) etwa \(0{,}1056\) beziehungsweise \(10{,}56\,\%\) b) etwa \(0{,}0995\) beziehungsweise \(9{,}95\,\%\) c) \([502{,}5\,\text{g};507{,}5\,\text{g}]\) d) etwa \(500{,}9\,\text{g}\) e) etwa \(0{,}7318\) beziehungsweise \(73{,}18\,\%\)

- Kannst du die Bedeutung des Hochpunkts einer Glockenkurve beschreiben? - Wie hängen die Wendepunkte einer normalverteilten Dichtefunktion mit der Standardabweichung zusammen? - Welche Eigenschaft der Dichtefunktion kannst du nutzen, um Flächenanteile links und rechts vom Erwartungswert zu vergleichen? - Überlege, welcher Anteil der Gesamtfläche links vom Erwartungswert liegt. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine gaußsche Glockenfunktion?

1. **Erwartungswerte ablesen:** Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums der Glockenkurve. Für Maschine A gilt \(\mu_A = 10\,\text{g}\), für Maschine B gilt \(\mu_B = 14\,\text{g}\). 2. **Standardabweichungen ablesen:** Der Abstand vom Erwartungswert zu den Wendepunkten entspricht der Standardabweichung \(\sigma\). Für Maschine A liegen die Wendepunkte bei \(x = 8\) und \(x = 12\), woraus \(\sigma_A = 2\,\text{g}\) folgt. Für Maschine B liegen die Wendepunkte bei \(x = 13\) und \(x = 15\), woraus \(\sigma_B = 1\,\text{g}\) folgt. 3. **Vergleich der Unterbefüllung:** Der Anteil unterbefüllter Tütchen entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve links von \(x = 12\). Da \(\mu_A = 10 < 12\), liegt bei Maschine A mehr als die Hälfte der Fläche links von \(12\,\text{g}\) (Anteil \({>}\,50\,\%\)). Da \(\mu_B = 14 > 12\), liegt bei Maschine B weniger als die Hälfte der Fläche links von \(12\,\text{g}\) (Anteil \({<}\,50\,\%\)). Maschine A hat somit den höheren Anteil an unterbefüllten Tütchen. 4. **Wendepunkte berechnen:** Die x-Koordinaten der Wendepunkte für Maschine B sind \(x_1 = 13\) und \(x_2 = 15\). Durch Einsetzen in die Dichtefunktion \(f_B(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(x-14)^2}\) erhält man für beide Punkte den Funktionswert \(y = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}242\). Die Wendepunkte lauten somit exakt \(W_1\left(13 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(15 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\); näherungsweise liegen sie bei \(W_1(13 \mid 0{,}242)\) und \(W_2(15 \mid 0{,}242)\).

a) Maschine A: \(\mu_A = 10\,\text{g}\), \(\sigma_A = 2\,\text{g}\) Maschine B: \(\mu_B = 14\,\text{g}\), \(\sigma_B = 1\,\text{g}\) b) Maschine A liefert einen höheren Anteil an unterbefüllten Tütchen. Da der Erwartungswert \(\mu_A = 10\,\text{g}\) unter dem Sollgewicht von \(12\,\text{g}\) liegt, sind aufgrund der Symmetrie der Kurve mehr als \(50\,\%\) der Tütchen unterbefüllt. Bei Maschine B liegt der Erwartungswert bei \(\mu_B = 14\,\text{g}\), weshalb dort weniger als \(50\,\%\) unterbefüllt sind. c) \(W_1\left(13 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right) \approx W_1(13 \mid 0{,}242)\) \(W_2\left(15 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right) \approx W_2(15 \mid 0{,}242)\)

- Wo befindet sich bei einer symmetrischen Glockenkurve der Erwartungswert? Schaue dir den höchsten Punkt des Graphen an. - Welche besondere geometrische Bedeutung haben die Punkte auf dem Graphen, an denen die Krümmung ihr Vorzeichen wechselt? Wie hängt deren Abstand zum Erwartungswert mit der Standardabweichung zusammen? - Überlege, wie viele Standardabweichungen der Wert \(480\,\text{mL}\) vom Erwartungswert entfernt liegt. - Welche bekannten Prozentanteile gehören zu den Standardintervallen um den Erwartungswert (den sogenannten \(\sigma\)-Umgebungen)? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve, um von der Wahrscheinlichkeit für ein symmetrisches Intervall auf die Wahrscheinlichkeit für einen einseitigen Bereich zu schließen.

1. Der Hochpunkt der Glockenkurve liegt bei \(x=500\). Daher ist \(\mu=500\,\text{mL}\). 2. Die Wendepunkte liegen bei \(x=490\) und \(x=510\). Ihr Abstand vom Erwartungswert beträgt \(10\), also ist \(\sigma=10\,\text{mL}\). 3. Es gilt \(480=\mu-2\sigma\). Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen etwa \(95{,}4\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\). Wegen der Symmetrie entfällt auf den linken Randbereich die Hälfte des Restes: \(P(X<480)\approx\frac{1-0{,}954}{2}=0{,}023=2{,}3\,\%\).

a) \(\mu=500\,\text{mL}\) und \(\sigma=10\,\text{mL}\) b) \(P(X<480)\approx 0{,}023=2{,}3\,\%\)

- Erinnere dich daran, dass der Exponent einer e-Funktion mit negativem Vorzeichen maximal ist, wenn der quadratische Ausdruck im Exponenten den Wert Null annimmt. - Nutze die Symmetrie der gaußschen Glockenkurve um den Erwartungswert \(\mu\). - Die \(1\sigma\)-Regel besagt, dass etwa \(68\,\%\) der Daten innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert liegen. Wie viel Prozent liegen dann jeweils links und rechts davon? - Die \(2\sigma\)-Regel besagt, dass etwa \(95\,\%\) der Daten innerhalb von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert liegen. - Überlege dir, wie sich eine Änderung des Parameters \(\mu\) geometrisch auf den Graphen auswirkt, wenn \(\sigma\) gleich bleibt.

1. Der Funktionsterm \(f(x) = \frac{1}{5 \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-755}{5}\right)^2}\) wird maximiert, wenn der Exponent der e-Funktion möglichst groß (also am nächsten an \(0\)) ist. Da \((x - 755)^2 \ge 0\) gilt, ist der Exponent für \(x = 755\) genau \(0\). Da \(e^0 = 1\) der maximale Wert der e-Funktion ist, liegt das Maximum der Dichtefunktion bei \(x = 755\). Der maximale Funktionswert beträgt: \(f(755) = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}0798\) Im Diagramm entspricht dies dem Hochpunkt der Glockenkurve bei \(x = 755\), der knapp unter der Gitternetzlinie \(y = 0{,}08\) liegt. 2. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten mit den \(\sigma\)-Regeln: - Für weniger als \(750\,\text{mL}\): Da \(750 = \mu - \sigma\), liegt dieser Wert genau eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert. Nach der \(1\sigma\)-Regel befinden sich ca. \(68\,\%\) (genauer \(68{,}3\,\%\)) der Werte im Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Der Rest von ca. \(32\,\%\) (bzw. \(31{,}7\,\%\)) verteilt sich symmetrisch auf die beiden äußeren Bereiche. Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. \(\frac{100\,\% - 68\,\%}{2} = 16\,\%\) (bzw. ca. \(15{,}85\,\%\)). - Für das Intervall zwischen \(745\,\text{mL}\) und \(765\,\text{mL}\): Da \(745 = \mu - 2\sigma\) und \(765 = \mu + 2\sigma\), entspricht dies dem Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Nach der \(2\sigma\)-Regel beträgt diese Wahrscheinlichkeit ca. \(95\,\%\) (genauer \(95{,}4\,\%\)). 3. Durch die Senkung des Erwartungswerts auf \(\mu_{\text{neu}} = 750\,\text{mL}\) verschiebt sich der gesamte Graph der Dichtefunktion um \(5\) Einheiten nach links. Die Form (Höhe und Breite) bleibt unverändert. Der Wert \(745\,\text{mL}\) liegt nun genau eine Standardabweichung unter dem neuen Erwartungswert (\(\mu_{\text{neu}} - \sigma = 750 - 5 = 745\)). Der Anteil der Flaschen mit weniger als \(745\,\text{mL}\) entspricht somit wieder dem Bereich links von \(\mu_{\text{neu}} - \sigma\), was ca. \(16\,\%\) (bzw. \(15{,}85\,\%\)) entspricht.

a) Das Maximum liegt bei \(x = 755\), da der Exponent dort \(0\) und somit maximal wird. Der maximale Wert beträgt \(f(755) \approx 0{,}0798\). Im Diagramm liegt der Hochpunkt der Kurve bei \(x = 755\) knapp unter der Linie \(y = 0{,}08\). b) 1. ca. \(16\,\%\) (oder \(15{,}85\,\%\)) 2. ca. \(95\,\%\) (oder \(95{,}4\,\%\)) c) Der Graph verschiebt sich um \(5\) Einheiten nach links (Form bleibt gleich). Der Anteil der Flaschen unter \(745\,\text{mL}\) beträgt bei der neuen Einstellung ca. \(16\,\%\) (oder \(15{,}85\,\%\)).

- Beachte alle gegebenen Werte in der Aufgabenstellung. - Welche Bedeutung haben der Erwartungswert und die Standardabweichung für die Lage und Form der Glockenkurve? - Wie kannst du die Grenze für Unterfüllung mithilfe der Standardabweichung und des Erwartungswerts ausdrücken? - Erinnere dich an die Symmetrie der Normalverteilung. Welcher Anteil der Werte liegt außerhalb des symmetrischen Intervalls und wie verteilt sich dieser auf die beiden Seiten? - Überlege dir, wie sich eine Veränderung der Parameter geometrisch auf den Graphen auswirkt (z. B. Verschiebung oder Streckung/Stauchung).

1. **Wahrscheinlichkeit für Unterfüllung bestimmen:** Der Grenzwert von \(1000\,\text{mL}\) liegt genau eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, da \(\mu - \sigma = 1005\,\text{mL} - 5\,\text{mL} = 1000\,\text{mL}\). Laut der Sigma-Regel liegen im Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) ca. \(68\,\%\) der Werte. Die restlichen \(100\,\% - 68\,\% = 32\,\%\) verteilen sich aus Symmetriegründen zu gleichen Teilen auf die beiden äußeren Bereiche (unter \(1000\,\text{mL}\) und über \(1010\,\text{mL}\)). Die Wahrscheinlichkeit für Unterfüllung (Füllmenge unter \(1000\,\text{mL}\)) beträgt somit: \(P(X < 1000) \approx \frac{32\,\%}{2} = 16\,\%\). 2. **Veränderung der Graphen erklären:** - **Maßnahme (1): Erhöhung von \(\mu\)** Eine Erhöhung des Erwartungswerts verschiebt den gesamten Graphen der Dichtefunktion nach rechts entlang der x-Achse, ohne seine Form zu verändern. Dadurch wandert der Großteil der Verteilung weiter weg vom Grenzwert \(1000\,\text{mL}\), und die Fläche links von \(1000\,\text{mL}\) (die der Wahrscheinlichkeit für Unterfüllung entspricht) wird kleiner. - **Maßnahme (2): Verringerung von \(\sigma\)** Eine Verringerung der Standardabweichung führt dazu, dass die Glockenkurve schmaler und steiler wird (der Hochpunkt wird höher). Die Werte konzentrieren sich enger um den unveränderten Erwartungswert \(\mu = 1005\,\text{mL}\). Dadurch werden die äußeren Bereiche (die „Ränder“) flacher, und die Fläche links von \(1000\,\text{mL}\) nimmt ab.

a) Die Wahrscheinlichkeit für eine unterfüllte Flasche beträgt ca. \(16\,\%\). b) Bei Maßnahme (1) verschiebt sich der gesamte Graph nach rechts entlang der x-Achse, wodurch die Fläche unter der Kurve links von \(1000\,\text{mL}\) kleiner wird. Bei Maßnahme (2) wird die Glockenkurve schmaler und steiler um den Mittelwert konzentriert, wodurch die Wahrscheinlichkeit für Werte im äußeren linken Bereich (unter \(1000\,\text{mL}\)) ebenfalls sinkt.

- Welcher Wert auf der x-Achse markiert die Mitte der Verteilung? - Vergleiche die „Breite“ der beiden Glocken. Was sagt das über die Genauigkeit aus? - Überlege, wie weit du vom Mittelpunkt nach rechts gehen musst, bis zum Krümmungswechsel der Kurve.

1. Bestimmung von \(\mu\): Beide Kurven haben ihr Maximum bei \(x = 500\). Somit gilt für beide Anlagen \(\mu = 500\,\text{g}\). 2. Bestimmung von \(\sigma\): - Anlage 1 (blau): Das Maximum liegt bei \(y \approx 0{,}20\). Mit \(\sigma = \frac{1}{y_{\max} \cdot \sqrt{2\pi}} \approx \frac{1}{0{,}20 \cdot 2{,}5066} \approx 1{,}99\), also \(\sigma_1 \approx 2\,\text{g}\). Alternativ: Die Wendestellen liegen bei \(500 \pm 2\). - Anlage 2 (grün): Das Maximum liegt bei \(y \approx 0{,}08\). Mit \(\sigma = \frac{1}{0{,}08 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 4{,}98\), also \(\sigma_2 \approx 5\,\text{g}\). Alternativ: Die Wendestellen liegen bei \(500 \pm 5\). 3. Präzision: Anlage 1 arbeitet präziser, da die Standardabweichung \(\sigma_1 = 2\,\text{g}\) kleiner ist als \(\sigma_2 = 5\,\text{g}\). Die Werte streuen enger um den Sollwert.

a) Anlage 1 (blau): \(\mu = 500\,\text{g}\), \(\sigma = 2\,\text{g}\) Anlage 2 (grün): \(\mu = 500\,\text{g}\), \(\sigma = 5\,\text{g}\) b) Anlage 1 arbeitet präziser, da ihre Standardabweichung kleiner ist (\(\sigma = 2\,\text{g} < 5\,\text{g}\)), was eine geringere Streuung der Füllmengen um den Zielwert bedeutet.

- Nutze die Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve. - Bestimme für jede Teilaufgabe, wie viele Standardabweichungen (\(\sigma\)) die Grenzen vom Mittelwert (\(\mu\)) entfernt sind. - Erinnere dich an die Prozentwerte der \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- und \(3\sigma\)-Regeln. - Wenn nach einem Anteil außerhalb eines zentralen Intervalls gefragt ist, denke daran, das Ergebnis durch zwei zu teilen.

1. Gegeben sind \(\mu = 1000\) und \(\sigma = 20\). 2. Zu a): Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu = 1000\) ist, wiegen genau \(50\,\%\) der Brote mehr als \(1000\,\text{g}\). 3. Zu b): Das Intervall \([980; 1020]\) entspricht \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Nach der Sigma-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür ca. \(68{,}3\,\%\). 4. Zu c): Das Gewicht \(960\,\text{g}\) entspricht \(\mu - 2\sigma\). Da im Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) ca. \(95{,}4\,\%\) der Werte liegen, befinden sich außerhalb ca. \(4{,}6\,\%\). Der linke Teilbereich (\(X < 960\)) umfasst somit die Hälfte davon, also ca. \(2{,}3\,\%\). 5. Zu d): Das Intervall, in dem \(99{,}7\,\%\) der Werte liegen, ist das \(3\sigma\)-Intervall \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\). Mit \(\mu = 1000\) und \(3\sigma = 60\) ergibt sich das Intervall \([940\,\text{g}; 1060\,\text{g}]\).

a) \(50\,\%\) b) ca. \(68{,}3\,\%\) (oder \(0{,}683\)) c) ca. \(2{,}3\,\%\) (oder \(0{,}023\)) d) \([940\,\text{g}; 1060\,\text{g}]\)

- Wo befindet sich bei einer Glockenkurve der höchste Punkt und was sagt dieser über den Mittelwert aus? - Erinnere dich daran, dass die Wendestellen genau eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt sind. - Die Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht der gesamten Fläche unter der Kurve. Wie groß ist diese immer? - Nutze die Symmetrie der Kurve um die vertikale Achse durch den Hochpunkt. - Überlege, wie viel Prozent der Daten innerhalb einfacher Standardabweichungen liegen.

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der Stelle des Maximums der Dichtefunktion. Aus dem Graphen liest man \(\mu = 10\) ab. 2. Die Wendestellen einer Normalverteilung liegen bei \(\mu \pm \sigma\). Im Graphen befinden sich die Wendestellen etwa bei \(x = 8\) und \(x = 12\). Daraus folgt \(\sigma \approx 2\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 12)\) entspricht der Fläche unter der Kurve im Intervall \([8; 12]\). Durch Zählen der Kästchen (jedes Kästchen hat den Flächeninhalt \(0{,}1\)) ergibt sich eine Fläche von etwa \(6{,}8\) Kästchen, was einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(0{,}68\) entspricht (dies passt zur \(\sigma\)-Regel für den Bereich \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\)). 4. Da die Dichtefunktion symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu = 10\) ist und die Gesamtfläche unter dem Graphen \(1\) beträgt, gilt \(P(X \ge 10) = 0{,}5\). 5. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 12)\) lässt sich berechnen als: \(P(X > 12) = P(X \ge 10) - P(10 \le X \le 12)\). Aufgrund der Symmetrie ist \(P(10 \le X \le 12) = \frac{1}{2} \cdot P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}34\). Somit ist \(P(X > 12) \approx 0{,}5 - 0{,}34 = 0{,}16\).

a) \(\mu = 10\); \(\sigma \approx 2\). b) \(P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}68\). c) \(P(X \ge 10) = 0{,}5\), da der Graph symmetrisch zu \(\mu = 10\) ist und die Gesamtfläche \(1\) beträgt. d) \(P(X > 12) \approx 0{,}16\).

- Wo befindet sich bei einer Glockenkurve der Erwartungswert? - Wie lässt sich die Standardabweichung grafisch an der Kurve erkennen? Achte auf die Krümmung. - Wenn du den Erwartungswert und die Standardabweichung kennst, kannst du jeden Wert in einen Standardwert (\(z\)-Wert) umrechnen. - Überlege, ob du die Fläche links oder rechts von deinem berechneten Wert suchst.

1. Den Erwartungswert \(\mu\) ablesen: Das Maximum der Glockenkurve liegt bei \(\mu = 1000\,\text{mL}\). 2. Die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmen: Die Wendepunkte der Kurve liegen bei \(990\,\text{mL}\) und \(1010\,\text{mL}\). Der Abstand zum Erwartungswert beträgt \(\sigma = 1010 - 1000 = 10\,\text{mL}\). 3. Den \(z\)-Wert für \(x = 1015\) berechnen: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{1015 - 1000}{10} = 1{,}5\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 1015)\) bestimmen: \(P(X > 1015) = 1 - \Phi(1{,}5)\). 5. Wert aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen: \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 6. Ergebnis berechnen: \(1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(6{,}68\,\%\).

Aus der Abbildung liest man \(\mu = 1000\,\text{mL}\) und \(\sigma = 10\,\text{mL}\) ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche mehr als \(1015\,\text{mL}\) enthält, beträgt ca. \(6{,}68\,\%\).

- Der Hochpunkt der Verteilung gibt dir direkt einen wichtigen Parameter an. - Schau dir die Stelle an, an der die Krümmung der Kurve wechselt. Der Abstand zur Mitte ist die Standardabweichung. - Für die Passgenauigkeit musst du die Fläche unter der Kurve in einem bestimmten Bereich bestimmen. - Nutze die Tabellenwerte für die Standardnormalverteilung, nachdem du die Werte transformiert hast.

1. Kennzahlen ablesen: Der Hochpunkt liegt bei \(\mu = 40\,\text{mm}\). Die Wendestellen liegen bei \(38\,\text{mm}\) und \(42\,\text{mm}\), woraus \(\sigma = 42 - 40 = 2\,\text{mm}\) folgt. 2. Intervallgrenzen standardisieren: Für \(x_1 = 37\): \(z_1 = \frac{37 - 40}{2} = -1{,}5\). Für \(x_2 = 43\): \(z_2 = \frac{43 - 40}{2} = 1{,}5\). 3. Wahrscheinlichkeit im Intervall berechnen: \(P(37 \le X \le 43) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)\). 4. Symmetrie der Normalverteilung nutzen: \(P = \Phi(1{,}5) - (1 - \Phi(1{,}5)) = 2 \cdot \Phi(1{,}5) - 1\). 5. Wert einsetzen: \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 6. Berechnung: \(2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\). Der Anteil beträgt ca. \(86{,}64\,\%\).

Aus der Grafik ergibt sich \(\mu = 40\,\text{mm}\) und \(\sigma = 2\,\text{mm}\). Der Anteil der passgenauen Bauteile beträgt ca. \(86{,}6\,\%\).

- Erinnere dich an die Formel für den Hochpunkt der gaußschen Glockenkurve. - Welche besonderen Wahrscheinlichkeiten gelten für die Intervalle um den Erwartungswert (Sigma-Regeln)? - Ein Integral unter einer Dichtefunktion entspricht immer einer Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich. - Überlege, wie viele Standardabweichungen der Wert 0 vom Mittelwert entfernt ist, um die Wahrscheinlichkeit für unmögliche (negative) Werte einzuschätzen.

1. Der Maximalwert einer Normalverteilung liegt bei \(x = \mu\) und beträgt \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Mit \(\sigma = 20\) ergibt sich \(\frac{1}{20\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}0199\), was gerundet \(0{,}020\) entspricht. 2. Das Intervall \([140; 180]\) entspricht \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Die Fläche unter der Kurve in diesem Bereich entspricht der Wahrscheinlichkeit. Nach der \(\sigma\)-Regel beträgt diese ca. \(68{,}3\,\%\). 3. Das Integral beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Orange eine Masse zwischen dem Mittelwert (\(160\,\text{g}\)) und einem Wert \(160+a\) hat. Da die Fläche von \(\mu - \sigma\) bis \(\mu + \sigma\) etwa \(68{,}2\,\%\) beträgt, entspricht die Hälfte davon (\(34{,}1\,\%\)) genau dem Bereich von \(\mu\) bis \(\mu + \sigma\). Somit ist \(a = \sigma = 20\,\text{g}\). 4. Die Wahrscheinlichkeit für negative Werte (\(X < 0\)) ist extrem gering. Da \(0\) mehr als \(8\sigma\) vom Mittelwert entfernt liegt (\(160 / 20 = 8\)), ist \(P(X < 0) \approx 0\). Das Modell ist daher für diesen Sachkontext sehr gut geeignet.

a) Maximalwert: \(\frac{1}{20\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}0199 \approx 0{,}020\). b) \(P(140 \le X \le 180) \approx 68{,}3\,\%\) (\(\sigma\)-Intervall). c) Wahrscheinlichkeit für Massen zwischen \(160\,\text{g}\) und \(180\,\text{g}\); \(a = 20\,\text{g}\). d) Die Kritik ist theoretisch berechtigt, aber praktisch irrelevant, da \(P(X < 0)\) aufgrund des großen Abstands (\(8\sigma\)) vernachlässigbar klein ist.

- Der höchste Punkt der Kurve liegt immer über dem Erwartungswert. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve: Die Fläche links von \(\mu\) beträgt genau \(0{,}5\). - Erinnere dich an die Sigma-Regeln für Intervalle, in denen \(68\,\%\), \(95\,\%\) oder \(99{,}7\,\%\) der Werte liegen. - Überlege, was passieren würde, wenn der Durchschnitt genau bei der Mindestmenge läge.

1. Der Maximalwert berechnet sich zu \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}133\). 2. Der Wert \(1001\,\text{mL}\) liegt genau eine Standardabweichung unter dem Mittelwert (\(\mu - \sigma\)). Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) beträgt ca. \(68{,}3\,\%\). Der Rest außerhalb dieses Intervalls beträgt \(100\,\% - 68{,}3\,\% = 31{,}7\,\%\). Aufgrund der Symmetrie entfällt die Hälfte davon auf den Bereich unter \(1001\,\text{mL}\), also \(P(X < 1001) \approx 15{,}85\,\%\). 3. Für das \(95\,\%\)-Intervall gilt die Faustregel \(k \approx 2\sigma\). Genauer ist \(k = 1{,}96 \cdot \sigma = 1{,}96 \cdot 3\,\text{mL} \approx 5{,}88\,\text{mL}\). Im Sachkontext bedeutet dies, dass \(95\,\%\) aller Flaschen eine Füllmenge zwischen ca. \(998\,\text{mL}\) und \(1010\,\text{mL}\) haben. 4. Durch die Erhöhung von \(\mu\) wird der Anteil der Flaschen unter der Nennfüllmenge von \(1000\,\text{mL}\) verringert. Wäre \(\mu=1000\,\text{mL}\), lägen wegen der Symmetrie \(50\,\%\) der Flaschen unter dem Nennwert.

a) Maximalwert: \(\approx 0{,}133\). b) \(P(X < 1001) \approx 15{,}9\,\%\). c) \(k \approx 6\,\text{mL}\) (genauer \(5{,}88\,\text{mL}\)). Bedeutung: \(95\,\%\) der Flaschen liegen im Bereich \([1004-k; 1004+k]\). d) Um den Anteil der Flaschen unterhalb der Nennfüllmenge von \(1000\,\text{mL}\) zu verringern.

- Wo liegt bei einer Glockenkurve immer der Erwartungswert? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Höhe des Hochpunkts und der Streuung der Daten. - Welche festen Prozentwerte gehören zu den Intervallen um den Mittelwert mit der Breite einer oder zweier Standardabweichungen? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung, um Wahrscheinlichkeiten für einseitige Bereiche zu bestimmen.

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Hochpunktes: \(\mu = 150\,\text{g}\). 2. Der Wert der Dichtefunktion am Maximum beträgt laut y-Achse etwa \(0{,}04\). 3. Aus der Formel für das Maximum der Dichtefunktion \(\varphi(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\) folgt \(\sigma = \frac{1}{0{,}04 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 9{,}97\), gerundet \(\sigma \approx 10\,\text{g}\). 4. Das Intervall \([140; 160]\) entspricht \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Nach der \(1\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit ca. \(68{,}3\,\%\). 5. Der Wert \(170\) entspricht \(\mu + 2\sigma\). Da das Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) etwa \(95{,}4\,\%\) der Fläche abdeckt, entfallen auf die beiden äußeren Ränder zusammen \(4{,}6\,\%\). Aufgrund der Symmetrie gilt \(P(X > 170) \approx 2{,}3\,\%\).

a) \(\mu = 150\,\text{g}\); \(\varphi(150) \approx 0{,}04\) b) \(\sigma \approx 10\,\text{g}\) c) \(P(140 \le X \le 160) \approx 68{,}3\,\%\) d) \(P(X > 170) \approx 2{,}3\,\%\)

- Wie hängen der Anteil in der Grundgesamtheit und die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Stichprobe zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau \(k\) Treffern. - Bei „mindestens ein Treffer“ ist es oft einfacher, über das Gegenereignis nachzudenken. - Welche mathematische Operation hilft dir, eine Unbekannte im Exponenten zu isolieren?

1. Für eine Packung ist \(p=P(X<495)=\Phi(-1{,}25)\approx0{,}105650\), also etwa \(10{,}56\,\%\). 2. Für \(Y\sim B(100;p)\) gilt mit dem ungerundeten Wert von \(p\): \(P(Y=10)=\binom{100}{10}p^{10}(1-p)^{90}\approx0{,}129621\), also etwa \(12{,}96\,\%\). 3. Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(1-(1-p)^n>0{,}99\). Dies ist äquivalent zu \(n>\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1-p)}\approx41{,}24\). Daher sind mindestens \(42\) Packungen erforderlich. Tatsächlich gilt für \(n=41\) nur etwa \(98{,}97\,\%\), für \(n=42\) aber etwa \(99{,}08\,\%\).

1. etwa \(10{,}56\,\%\) 2. etwa \(12{,}96\,\%\) 3. mindestens \(42\) Packungen

- Erinnere dich daran, wie man bei der Normalverteilung Wahrscheinlichkeiten für Intervalle oder Mindestwerte bestimmt. - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung oder den Zusammenhang \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\), falls nötig. - Wenn du das Ergebnis aus Aufgabenteil a) hast, kannst du dieses als Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Stichprobe verwenden. - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 38 von 40“ aus den Wahrscheinlichkeiten für exakt 38, 39 und 40 Erfolge zusammensetzen?

1. Für die Mindestlebensdauer \(1410\) Stunden ist \(z=\frac{1410-1500}{60}=-1{,}5\). Daher gilt für eine LED \(p=P(X\geq1410)=\Phi(1{,}5)\approx0{,}933193\). 2. Für \(Y\sim B(40;p)\) ist \(P(Y\geq38)=P(Y=38)+P(Y=39)+P(Y=40)\). Mit dem ungerundeten Wert von \(p\) ergibt sich \(P(Y\geq38)\approx0{,}494702\), also etwa \(49{,}47\,\%\).

a) etwa \(0{,}9332\) beziehungsweise \(93{,}32\,\%\) b) etwa \(0{,}4947\) beziehungsweise \(49{,}47\,\%\)

- Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert ausdrücken? - Welcher z-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(99{,}5\,\%\) in der Standardnormalverteilung? - Überlege, wie sich eine kleinere Standardabweichung auf die Breite der Glockenkurve auswirkt. - Stelle eine Gleichung auf, in der die gesuchte Größe die einzige Unbekannte ist.

1. Berechnung des Anteils für \(L < 199{,}0\): Bestimmung des \(z\)-Werts \(z = \frac{199{,}0 - 200{,}5}{0{,}8} = -1{,}875\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(-1{,}875) \approx 0{,}0304\), was einem Anteil von \(3{,}04\,\%\) entspricht. 2. Bestimmung der Standardabweichung: Die Bedingung lautet \(P(198 \le L \le 202) \ge 0{,}99\). Da das Intervall symmetrisch um \(\mu = 200\) liegt, gilt \(P(200 - 2 \le L \le 200 + 2) = 2 \cdot \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 1 \ge 0{,}99\). 3. Umformung führt zu \(\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) \ge 0{,}995\). 4. Der zugehörige \(z\)-Wert für die Wahrscheinlichkeit \(0{,}995\) ist \(z \approx 2{,}576\). 5. Lösen der Gleichung \(\frac{2}{\sigma} = 2{,}576\) ergibt \(\sigma \approx \frac{2}{2{,}576} \approx 0{,}7764\). 6. Der exakte Grenzwert beträgt etwa \(0{,}7764\,\text{cm}\). Damit die Vorgabe auch nach Rundung auf zwei Nachkommastellen sicher eingehalten wird, wird nach unten gerundet: \(0{,}77\,\text{cm}\).

a) Der Anteil beträgt ca. \(3{,}04\,\%\). b) Die maximale Standardabweichung beträgt \(0{,}77\,\text{cm}\).

- Wie viel Prozent der Werte liegen innerhalb der \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- oder \(3\sigma\)-Umgebung? - Überlege, wie die Trefferwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Bolzen definiert ist, um sie in der Formel für die Binomialverteilung zu nutzen. - Was besagt die Laplace-Bedingung über die Varianz einer Stichprobe?

1. Anwendung der \(\sigma\)-Regeln: Die Abweichung von \(0{,}10\,\text{mm}\) entspricht genau \(2\sigma\). Das Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) enthält ca. \(95{,}45\,\%\) der Werte. Der Ausschussanteil außerhalb dieses Intervalls beträgt somit \(100\,\% - 95{,}45\,\% = 4{,}55\,\%\). 2. Binomialverteilung für \(n = 50\) und \(p = 0{,}0455\): Gesucht ist \(P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}0455^2 \cdot (1 - 0{,}0455)^{48}\). 3. Berechnung: \(\binom{50}{2} = 1225\), \(0{,}0455^2 \approx 0{,}00207\), \(0{,}9545^{48} \approx 0{,}1070\). Das Ergebnis ist \(P(X = 2) \approx 0{,}2713\). 4. Laplace-Bedingung prüfen: Die Bedingung für die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung lautet für die Varianz \(n \cdot p \cdot (1 - p) > 9\). 5. Rechnung für \(n = 200\): \(200 \cdot 0{,}0455 \cdot (1 - 0{,}0455) = 9{,}1 \cdot 0{,}9545 \approx 8{,}686\). Da \(8{,}686 < 9\), ist die Laplace-Bedingung für \(n = 200\) knapp nicht erfüllt. 6. Allgemein ist die Laplace-Bedingung erfüllt, wenn \(n \cdot 0{,}0455 \cdot 0{,}9545 > 9\), also \(n > \frac{9}{0{,}0455 \cdot 0{,}9545} \approx 207{,}2\). Daher ist die Normalapproximation ab \(n = 208\) nach dieser Bedingung zulässig.

a) Da die zulässige Abweichung \(2\sigma\) entspricht, liegen nach der \(\sigma\)-Regel ca. \(95{,}45\,\%\) im Toleranzbereich; der Rest von \(4{,}55\,\%\) ist Ausschuss. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}13\,\%\). c) Die Laplace-Bedingung (\(n \cdot p \cdot (1 - p) > 9\)) ist für \(n = 200\) mit einem Wert von ca. \(8{,}69\) nicht erfüllt; sie ist erst ab \(n = 208\) erfüllt.

- Nutze die Standardisierung, um die Wahrscheinlichkeit bei der Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen. - Wenn eine Stichprobe betrachtet wird und jedes Element nur zwei Zustände (z. B. untergewichtig oder nicht) haben kann, liegt eine Binomialverteilung vor. - Für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert kannst du die entsprechenden Quantile der Normalverteilung verwenden. - Achte bei der Intervallsuche auf die Bedingung „mindestens“ und die geforderte Ganzzahligkeit.

1. Die Wahrscheinlichkeit für Untergewicht ist \(p = P(X < 247) = \Phi\left(\frac{247 - 250}{2}\right) = \Phi(-1{,}5)\). Mit \(\Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). 2. Die Anzahl der untergewichtigen Pakete \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p \approx 0{,}0668\). Gesucht ist \(P(Y \le 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) = \binom{50}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{50} + \binom{50}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{49} \approx 0{,}0315 + 0{,}1128 = 0{,}1443\). 3. Gesucht ist ein Intervall \([250-c; 250+c]\) mit \(P(250-c \le X \le 250+c) \ge 0{,}95\). Dies entspricht \(2\Phi(\frac{c}{2}) - 1 \ge 0{,}95\), also \(\Phi(\frac{c}{2}) \ge 0{,}975\). Das zugehörige \(z\)-Quantil ist \(1{,}96\). Es muss gelten \(\frac{c}{2} \ge 1{,}96\), also \(c \ge 3{,}92\). Für ganzzahlige Grenzen muss \(c\) so gewählt werden, dass \(250-c\) und \(250+c\) ganzzahlig sind, also \(c \ge 4\). Das kleinste solche Intervall ist \([246; 254]\).

1. \(P(X < 247) \approx 6{,}68\,\%\) 2. \(P(Y \le 1) \approx 14{,}43\,\%\) 3. \([246\,\text{g}; 254\,\text{g}]\)

- Kannst du die gegebenen Werte für Erwartungswert und Standardabweichung identifizieren? - Achte bei der Wahrscheinlichkeit „mehr als“ darauf, das Gegenereignis korrekt zu verwenden. - Wenn du eine Anzahl an Erfolgen in einer Stichprobe suchst, welche Verteilung hilft dir dabei? - Welche Wahrscheinlichkeit aus den vorherigen Schritten dient als Erfolgswahrscheinlichkeit für den letzten Teil?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(12 \le X \le 15\): \(P(12 \le X \le 15) = \Phi\left(\frac{2}{3}\right) - \Phi\left(-\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}6563\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(65{,}63\,\%\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X > 16\): \(P(X > 16) = 1 - \Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}0912\). Der Anteil beträgt ca. \(9{,}12\,\%\). 3. Binomialverteilung mit \(n = 50\) und \(p \approx 0{,}0912\): Gesucht ist \(P(Y \ge 5) = 1 - P(Y \le 4)\). Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(Y \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{50}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{50-k} \approx 0{,}5156\). Somit ist \(P(Y \ge 5) \approx 1 - 0{,}5156 = 0{,}4844\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(48{,}44\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(65{,}63\,\%\). b) Der Prozentsatz beträgt ca. \(9{,}12\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(48{,}44\,\%\).

- Erinnere dich an die Anteile der Glockenkurve innerhalb der ein-, zwei- und dreifachen Standardabweichung. - Bei Abweichungen in beide Richtungen (größer oder kleiner als ein Wert) musst du beide „Enden“ der Verteilung berücksichtigen. - Nutze die Standardisierung \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\), um Werte in der Tabelle der Standardnormalverteilung nachzuschlagen. - Für die Mindestfüllmenge suchst du den z-Wert, bei dem die Fläche links davon genau \(0{,}01\) beträgt.

1. Zu a): Der Wert \(984\) entspricht \(\mu - 2\sigma\) (\(1000 - 2 \cdot 8\)). Nach der \(\sigma\)-Regel liegen ca. \(95{,}4\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit für Werte kleiner als \(\mu - 2\sigma\) beträgt somit \(\frac{1 - 0{,}954}{2} = 0{,}023 = 2{,}3\,\%\). 2. Zu b): Gesucht ist \(P(|X - 1000| > 12)\). Die Standardisierung ergibt \(P(|Z| > \frac{12}{8}) = P(|Z| > 1{,}5)\). Dies entspricht \(2 \cdot (1 - \Phi(1{,}5)) \approx 2 \cdot (1 - 0{,}9332) = 0{,}1336\). Es sind also ca. \(13{,}36\,\%\). 3. Zu c): Es gilt \(P(X < m) = 0{,}01\). Standardisierung liefert \(\Phi(\frac{m - 1000}{8}) = 0{,}01\). Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung folgt \(\frac{m - 1000}{8} \approx -2{,}326\). Auflösen nach \(m\) ergibt \(m = 1000 - 2{,}326 \cdot 8 \approx 981{,}39\,\text{ml}\).

a) ca. \(2{,}3\,\%\) b) \(13{,}36\,\%\) c) \(m \approx 981{,}39\,\text{ml}\)