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- Wie stellst du eine Geradengleichung auf, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Vektoren benötigst du für die Parameterform einer Geraden? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was muss für den Parameter \(r\) gelten, damit ein Punkt auf der Geraden liegt?

1. Aufstellen des Richtungsvektors \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\) und der Geradengleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(C\): Aus der ersten Zeile \(1 + 2r = 0\) folgt \(r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(4 - 4 \cdot (-0{,}5) = 6\) und in die dritte Zeile \(-2 + 4 \cdot (-0{,}5) = -4\). Da alle Koordinaten übereinstimmen, liegt \(C\) auf der Geraden \(g\). 3. Punktprobe für \(D\): Aus der ersten Zeile \(1 + 2r = 4\) folgt \(r = 1{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(4 - 4 \cdot 1{,}5 = -2\). Die dritte Zeile liefert jedoch \(-2 + 4 \cdot 1{,}5 = 4 \neq 5\). Da ein Widerspruch auftritt, liegt \(D\) nicht auf der Geraden \(g\).

Der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden \(g\), der Punkt \(D\) liegt nicht auf der Geraden \(g\).

- Wie ist eine Gerade in Parameterform allgemein aufgebaut? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor? - Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten einen Vektor berechnen, der die Richtung der Geraden angibt? - Macht es einen Unterschied für die Gerade, welchen der beiden Punkte du als Startpunkt wählst?

1. Berechnung der Richtungsvektoren durch die Differenz der Ortsvektoren: \(\vec{v}_{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 - 5 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec{v}_{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -4 - 2 \\ 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(\vec{v}_{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -4 - 5 \\ 0 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen der Geradengleichungen mit jeweils einem der Punkte als Stützvektor: \(g_{AB}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(g_{AC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) (Hinweis: Andere Stützvektoren oder Vielfache der Richtungsvektoren sind ebenfalls korrekt.)

Mögliche Gleichungen sind: \(g_{AB}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(g_{AC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s, t \in \mathbb{R}\).

- Welche Koordinaten sind im Richtungsvektor null? Was bedeutet das für die Richtung der Geraden? - Schau dir die Koordinaten des Stützvektors an. Liegt dieser Punkt auf einer Achse oder in einer der Koordinatenebenen? - Wenn eine Koordinate sowohl im Stütz- als auch im Richtungsvektor null ist, was sagt das über die gesamte Gerade aus? - Unterscheide zwischen „ist identisch mit einer Achse“ und „verläuft parallel zu einer Achse“.

1. Gerade \(g\): Der Stützvektor liegt auf der \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)) und der Richtungsvektor weist in \(z\)-Richtung. Somit ist \(g\) die \(z\)-Achse. 2. Gerade \(h\): Sowohl die \(z\)-Komponente des Stützvektors als auch die des Richtungsvektors ist \(0\). Die Gerade liegt somit vollständig in der \(xy\)-Ebene. 3. Gerade \(i\): Sowohl die \(x\)-Komponente des Stützvektors als auch die des Richtungsvektors ist \(0\). Die Gerade liegt somit vollständig in der \(yz\)-Ebene. 4. Gerade \(j\): Der Richtungsvektor hat nur eine Komponente in \(y\)-Richtung (Parallelität zur \(y\)-Achse). Da der Stützvektor nicht auf der \(y\)-Achse liegt (\(x \neq 0, z \neq 0\)), verläuft die Gerade parallel zur \(y\)-Achse durch den Punkt \((1|2|3)\).

a) \(g\) ist die \(z\)-Achse. b) \(h\) liegt in der \(xy\)-Ebene. c) \(i\) liegt in der \(yz\)-Ebene. d) \(j\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse.

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Geraden und den Komponenten ihres Richtungsvektors? - Wie findet man den \(y\)-Achsenabschnitt, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Was bedeutet der Begriff Nullstelle für den Funktionswert?

1. Zur Aufstellung der Parameterform \(\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}\) wird der Ortsvektor eines Punktes als Stützvektor gewählt, zum Beispiel \(\vec{p} = \vec{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz der Ortsvektoren: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 - (-4) \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). Damit lautet die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Die Steigung \(m\) der linearen Funktion \(f(x) = mx + c\) wird berechnet durch \(m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-2 - 1}{2 - (-4)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\). Durch Einsetzen von \(P(-4|1)\) in \(1 = -0{,}5 \cdot (-4) + c\) ergibt sich \(1 = 2 + c\), also \(c = -1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5x - 1\). 3. Die Nullstelle wird durch \(f(x) = 0\) bestimmt: \(0 = -0{,}5x - 1 \implies 0{,}5x = -1 \implies x = -2\).

1. \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) 2. \(f(x) = -0{,}5x - 1\) 3. \(x = -2\)

- Wann sind zwei Geradengleichungen identisch? Welche zwei Eigenschaften müssen erfüllt sein? - Wie prüft man, ob zwei Vektoren in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen? - Wie stellt man fest, ob ein Punkt in einer Geradengleichung enthalten ist?

1. Überprüfung von \(h_1\): Der Richtungsvektor \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\) ist ein Vielfaches von \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\), da \(\vec{v}_1 = -2 \cdot \vec{u}\). Somit sind sie kollinear. 2. Prüfung, ob der Aufpunkt \(A_1(-1|1|-1)\) auf \(g\) liegt: Das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) liefert für alle drei Zeilen \(t = -1\). Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist \(h_1 = g\). 3. Überprüfung von \(h_2\): Der Richtungsvektor \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist kein Vielfaches von \(\vec{u}\), da die Vorzeichenstruktur der Komponenten nicht übereinstimmt (\(2/2 = 1\), aber \(1/(-1) = -1\)). Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. 4. Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, kann \(h_2\) nicht dieselbe Gerade wie \(g\) beschreiben.

Nur die Gleichung \(h_1\) beschreibt dieselbe Gerade wie \(g\), da ihr Richtungsvektor kollinear zum Richtungsvektor von \(g\) ist und ihr Aufpunkt auf der Geraden \(g\) liegt. Bei \(h_2\) sind die Richtungsvektoren nicht kollinear.

- Wie berechnet man den Richtungsvektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor in der Parameterform? - Was bedeutet es rechnerisch für die Parameter \(r\), wenn ein Punkt auf einer Geraden liegen soll? - Muss der berechnete Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen derselbe sein?

1. Zur Aufstellung der Parameterform wird der Ortsvektor eines Punktes (z. B. \(A\)) als Stützvektor und der Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) als Richtungsvektor verwendet: \(\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-(-1) \\ -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 2. Für die Punktprobe wird \(P\) mit der Geradengleichung gleichgesetzt: I: \(5 = 3 - 2r \Rightarrow 2 = -2r \Rightarrow r = -1\) II: \(-4 = -1 + 3 \cdot (-1) \Rightarrow -4 = -4\) (wahr) III: \(7 = 2 - 6 \cdot (-1) \Rightarrow 7 = 8\) (falsch) Da die dritte Gleichung einen Widerspruch liefert, liegt der Punkt \(P\) nicht auf der Geraden \(g\).

1. Eine mögliche Parameterform ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Der Punkt \(P\) liegt nicht auf der Geraden \(g\), da die Punktprobe zu einem Widerspruch (\(7 \neq 8\)) führt.

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielt der Parameter \(r\) bei der Punktprobe? - Muss der Parameter \(r\) für alle drei Zeilen des Gleichungssystems identisch sein? - Kannst du eine Koordinate nutzen, um den Parameter zu bestimmen, und diesen dann für die anderen Koordinaten verwenden?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Als Stützvektor wird \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) gewählt. Der Richtungsvektor ergibt sich aus \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 0-(-3) \\ -2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Damit lautet die Gleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(R(11|6|-8)\): Gleichsetzen von \(R\) mit der Geradengleichung führt auf das System \(11 = 2 + 3r\), \(6 = -3 + 3r\) und \(-8 = 1 - 3r\). Aus der ersten Gleichung folgt \(9 = 3r \Rightarrow r = 3\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(6 = -3 + 3 \cdot 3 = 6\) (wahr) und in die dritte Gleichung \(-8 = 1 - 3 \cdot 3 = -8\) (wahr). Da \(r=3\) für alle Koordinaten gilt, liegt \(R\) auf \(g\). 3. Bestimmung von \(y\) für \(S(-1|y|4)\): Aus der \(x\)-Koordinate folgt \(-1 = 2 + 3r \Rightarrow -3 = 3r \Rightarrow r = -1\). Die Kontrolle mit der \(z\)-Koordinate ergibt \(4 = 1 - 3 \cdot (-1) = 4\) (wahr). Für die \(y\)-Koordinate folgt somit \(y = -3 + 3 \cdot (-1) = -6\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf \(g\) (für \(r = 3\)). c) \(y = -6\)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Was bedeutet es für die Parameter \(r\), wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Nutze eine bekannte Koordinate des Punktes, um den Parameterwert zu bestimmen, und prüfe diesen dann bei den anderen Koordinaten.

1. Aufstellen der Geradengleichung: Als Stützvektor wird \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) und als Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 4-1 \\ 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) gewählt. Die Gleichung lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(C(11|10|-4)\): Gleichungssystem aufstellen: \(2+3r=11\), \(1+3r=10\), \(5-3r=-4\). Aus der ersten Gleichung folgt \(3r=9 \Rightarrow r=3\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(1+3(3)=10\) (wahr). Einsetzen in die dritte Gleichung: \(5-3(3)=-4\) (wahr). Der Punkt \(C\) liegt auf \(g\). 3. Bestimmung von \(x\) für \(D(x|-2|8)\): Aus der \(y\)-Koordinate folgt \(1+3r=-2 \Rightarrow 3r=-3 \Rightarrow r=-1\). Überprüfung mit der \(z\)-Koordinate: \(5-3(-1)=8\) (wahr). Berechnung der \(x\)-Koordinate: \(x = 2+3(-1) = -1\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) b) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden \(g\) (für \(r=3\)). c) \(x = -1\)

- Was zeichnet eine Gerade aus, die durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wie prüfst du, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie kannst du damit den zugehörigen Parameter bestimmen?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, kann der Nullvektor als Stützvektor und der Ortsvektor \(\vec{OP}\) als Richtungsvektor gewählt werden. Es ergibt sich \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 2. Punktprobe für \(Q\): Einsetzen der Koordinaten von \(Q\) in die Gleichung führt auf das System \(-2r = 6\), \(4r = -12\) und \(1r = -3\). Alle drei Gleichungen liefern \(r = -3\). Da ein einheitlicher Parameterwert existiert, liegt \(Q\) auf \(g\). 3. Bestimmung von \(R\): Aus der Bedingung \(x_2 = 10\) folgt \(4r = 10\), also \(r = 2{,}5\). Einsetzen dieses Wertes in die restlichen Koordinatengleichungen ergibt \(x_1 = -2 \cdot 2{,}5 = -5\) und \(x_3 = 1 \cdot 2{,}5 = 2{,}5\). Der Punkt ist \(R(-5|10|2{,}5)\).

a) \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) Ja, \(Q\) liegt auf \(g\) (für \(r = -3\)). c) \(R(-5|10|2{,}5)\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Geradengleichung zusammen? - Was passiert bei einer Ursprungsgeraden mit der Steigung, wenn die Gerade senkrecht steht? - Ein Punkt auf der Geraden liefert dir direkt einen Richtungsvektor vom Ursprung aus. - Überlege dir für die Parameterform, in welche Richtung man vom Ursprung aus „laufen“ muss.

1. Für Teil a) wählt man einen Wert für \(x_1\) oder \(x_2\) und löst die Gleichung \(3x_1 - 4x_2 = 0\). Setzt man \(x_1 = 4\), ergibt sich \(12 - 4x_2 = 0\), also \(x_2 = 3\). Ein möglicher Punkt ist \(P(4 \mid 3)\). Die Parameterform lautet \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Für Teil b) setzt man die Koordinaten von \(Q(-2 \mid 5)\) in \(x_2 = m \cdot x_1\) ein: \(5 = m \cdot (-2)\). Daraus folgt \(m = -2{,}5\). Die Gleichung lautet \(x_2 = -2{,}5x_1\). 3. Für Teil c): Die Gleichung \(x_1 = 0\) beschreibt die \(x_2\)-Achse. Bei einer Form \(x_2 = m \cdot x_1\) würde für \(x_1 = 0\) immer \(x_2 = 0\) folgen, was nur den Ursprung beschreibt und keine vertikale Gerade. In Parameterform kann jeder Punkt auf der \(x_2\)-Achse durch einen Richtungsvektor wie \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) erreicht werden: \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) z. B. \(P(4 \mid 3)\) und \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(x_2 = -2{,}5x_1\) c) Bei \(x_1 = 0\) ist die Steigung \(m\) nicht definiert (Division durch Null), da es sich um eine vertikale Gerade handelt. Eine Parameterform ist \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Welche Bestandteile benötigt eine Gerade in Parameterform und wie kannst du die gegebenen Informationen dort einsetzen? - Überlege dir, wie man prüft, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Welches mathematische Verfahren hilft dir dabei? - Was muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt tatsächlich Teil der Geraden ist?

1. Aufstellen der Geradengleichung mit Stützvektor \(\vec{L}\) und Richtungsvektor \(\vec{u}\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 2. Durchführung der Punktprobe für \(S(-1|7|8)\) durch Gleichsetzen mit der Geradengleichung: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Untersuchung der ersten Zeile: \(-1 = 2 - r \Rightarrow r = 3\). 4. Überprüfung des Parameters \(r = 3\) in den weiteren Zeilen: Zweite Zeile \(1 + 2 \cdot 3 = 7\) (wahr); dritte Zeile \(5 + 1 \cdot 3 = 8\) (wahr). 5. Da der Parameter \(r = 3\) für alle drei Koordinaten konsistent ist, liegt der Punkt \(S\) auf der Geraden \(g\). Der Lichtstrahl trifft den Sensor.

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) Ja, der Lichtstrahl trifft den Sensor, da der Punkt \(S\) für \(r = 3\) auf der Geraden liegt.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor in der Parameterform? - Wie kannst du mithilfe der fertigen Gleichung beliebig viele Punkte auf der Geraden finden? - Was musst du für den Parameter wählen, damit du nicht wieder bei den Startpunkten landest?

1. Aufstellen des Richtungsvektors \(\vec{u} = \vec{PQ}\): \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3-7 \\ 5-(-3) \\ -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung mit Stützpunkt \(P\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung eines weiteren Punktes \(S\), zum Beispiel durch Einsetzen von \(r = 2\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-8 \\ -3+16 \\ 2-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 13 \\ -6 \end{pmatrix}\). 4. Ein möglicher Punkt ist somit \(S(-1 \mid 13 \mid -6)\).

a) Eine mögliche Parameterdarstellung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\). b) Ein möglicher Punkt ist \(S(-1 \mid 13 \mid -6)\) (entsteht z. B. für \(r = 2\)).

- Wie sieht die allgemeine Form einer Geradengleichung aus, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor bekannt sind? - Welche Rolle spielt der Parameter in der Geradengleichung? - Wie kannst du die Verschiebung von einem Punkt aus mathematisch mithilfe von Vektoren ausdrücken? - Was bedeutet ein negativer Faktor vor dem Richtungsvektor für die Position auf der Geraden?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Punktes \(Q\) für den Parameter \(r = 2{,}5\): \(\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + 2{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 10 \\ -1 + 0 \\ 5 - 7{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Punktes \(R\) für den Parameter \(r = -2\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 8 \\ -1 + 0 \\ 5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ 11 \end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). b) \(Q(12 \mid -1 \mid -2{,}5)\) und \(R(-6 \mid -1 \mid 11)\).

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielt der Stützvektor in der Parameterform? - Wie prüft man, ob ein gegebener Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn das Gleichungssystem für den Parameter \(s\) unterschiedliche Werte ergibt?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Als Richtungsvektor dient \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-2 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützvektor \(\vec{p}\) folgt \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für den Punkt \(Q\) gilt: \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Jede Zeile (\(5=1+4s\), \(0=2-2s\), \(7=3+4s\)) liefert \(s = 1\). 3. Punktprobe für \(R(11 | -3 | 13)\): Das Gleichungssystem \(1 + 4s = 11\), \(2 - 2s = -3\) und \(3 + 4s = 13\) ergibt jeweils \(s = 2{,}5\). Da der Parameterwert für alle drei Koordinaten identisch ist, liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form) b) \(s = 1\) c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden (für \(s = 2{,}5\)).

- Wann liegt ein Punkt auf einer Geraden? Setze den Ortsvektor des Punktes für \(\vec{x}\) ein. - Ein Stützvektor muss immer ein Punkt sein, der bereits auf der Geraden liegt. - Wie verändert ein Skalar vor einem Vektor dessen Richtung und Länge? - Erinnere dich daran, dass eine Gerade unendlich viele verschiedene Parameterdarstellungen besitzt.

1. Punktprobe für \(P(5 \mid 2 \mid 4)\): Aus \(1 + 2t = 5\) folgt \(t = 2\). Prüfung der anderen Koordinaten: \(4 - 1 \cdot 2 = 2\) und \(-2 + 3 \cdot 2 = 4\). \(P\) liegt auf \(g\). 2. Punktprobe für \(Q(3 \mid 3 \mid 1)\): Aus \(1 + 2t = 3\) folgt \(t = 1\). Prüfung: \(4 - 1 \cdot 1 = 3\) und \(-2 + 3 \cdot 1 = 1\). \(Q\) liegt auf \(g\). 3. Punktprobe für \(R(-1 \mid 5 \mid -4)\): Aus \(1 + 2t = -1\) folgt \(t = -1\). Prüfung: \(4 - 1 \cdot (-1) = 5\) und \(-2 + 3 \cdot (-1) = -5 \neq -4\). \(R\) liegt nicht auf \(g\). 4. Bestimmung des neuen Richtungsvektors \(\vec{u}\): Der ursprüngliche Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die entgegengesetzte Orientierung und dreifache Länge entsprechen dem Skalar \(-3\). Also \(\vec{u} = -3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\). 5. Aufstellen der neuen Geradengleichung mit Stützvektor \(\vec{OQ}\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\).

a) Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen auf der Geraden \(g\), der Punkt \(R\) hingegen nicht. Somit können nur \(P\) und \(Q\) als neue Stützvektoren dienen. b) Eine mögliche neue Parameterdarstellung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\).

- Wie kannst du aus der Steigung einer Geraden einen Vektor bestimmen, der in dieselbe Richtung zeigt? - Was bedeutet es für die Koordinaten der Punkte auf einer Geraden, wenn die Gleichung nur eine Variable enthält (z. B. \(x=7\))? - Kannst du zwei Punkte finden, die die Gleichung erfüllen, und daraus einen Vektor berechnen? - Ein Stützvektor zeigt auf einen beliebigen Punkt der Geraden – welcher Punkt lässt sich am einfachsten berechnen?

1. Für \(g_1\): Durch Einsetzen von \(x = 0\) ergibt sich der Punkt \(P(0|-2)\) als Stützpunkt. Die Steigung \(m = \frac{3}{4}\) entspricht einem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Für \(g_2\): Die Achsenabschnitte sind \(x = 2\) (für \(y = 0\)) und \(y = -5\) (für \(x = 0\)). Mit dem Stützpunkt \(A(2|0)\) und dem weiteren Punkt \(B(0|-5)\) ergibt sich der Richtungsvektor \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}\) bzw. kollinear \(\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Für \(g_3\): Da \(x\) konstant \(7\) ist, verläuft die Gerade parallel zur \(y\)-Achse. Ein Stützpunkt ist \(P(7|0)\) und der Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Darstellung lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Mögliche Parameterdarstellungen sind: a) \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) c) \(g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes mit der Geradengleichung verknüpfen? - Was muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt tatsächlich auf der Geraden liegt? - Wenn du einen Wert für den Parameter gefunden hast, wie kannst du entscheiden, ob der Punkt in einem bestimmten Abschnitt liegt? - Überprüfe jede Koordinate einzeln.

1. Punktprobe für \(P(5|6|1)\): Aufstellen des Gleichungssystems \(1 + 2r = 5\), \(-2 + 4r = 6\), \(3 - r = 1\). Alle drei Gleichungen liefern den konsistenten Wert \(r = 2\). Somit liegt \(P\) auf \(g\). 2. Intervallprüfung für \(P\): Der Parameterwert \(r = 2\) erfüllt die Bedingung \(0 \le 2 \le 3\), weshalb \(P\) auf der Teilstrecke liegt. 3. Punktprobe für \(Q(-3|-10|5)\): Das Gleichungssystem \(1 + 2r = -3\), \(-2 + 4r = -10\), \(3 - r = 5\) ergibt für jede Koordinate \(r = -2\). Somit liegt \(Q\) auf \(g\). 4. Intervallprüfung für \(Q\): Da \(r = -2\) nicht im Intervall \([0; 3]\) liegt, befindet sich \(Q\) nicht auf der Teilstrecke. 5. Punktprobe für \(R(0|0|3{,}5)\): Aus \(1 + 2r = 0\) folgt \(r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Komponente ergibt \(-2 + 4 \cdot (-0{,}5) = -4 \neq 0\). Da kein gemeinsamer Parameterwert existiert, liegt \(R\) nicht auf \(g\).

a) Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen auf der Geraden \(g\). Der Punkt \(R\) liegt nicht auf der Geraden. b) Nur der Punkt \(P\) liegt auf der Teilstrecke (bei \(r = 2\)). Der Punkt \(Q\) liegt mit \(r = -2\) außerhalb des Bereichs.

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, die durch zwei Punkte verläuft? - Welche Bedingung muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt genau auf der Strecke zwischen den Endpunkten liegt? - Was passiert, wenn der berechnete Parameter kleiner als 0 oder größer als 1 ist? - Muss der Parameterwert für alle drei Koordinaten (x, y, z) identisch sein?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \vec{A} + k \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung von \(P(1|3|8)\): Einsetzen in die Gleichung ergibt \(5 - 6k = 1 \implies k = \frac{2}{3}\). Überprüfung der anderen Komponenten: \(-1 + 6 \cdot \frac{2}{3} = 3\) und \(2 + 9 \cdot \frac{2}{3} = 8\). Da \(0 \le \frac{2}{3} \le 1\), liegt \(P\) auf der Strecke. 3. Prüfung von \(Q(7|-3|-1)\): Einsetzen ergibt \(5 - 6k = 7 \implies k = -\frac{1}{3}\). Da \(k < 0\), liegt \(Q\) zwar auf der Geraden, aber außerhalb der Strecke \(\overline{AB}\). 4. Prüfung von \(R(3|1|5)\): Einsetzen ergibt \(5 - 6k = 3 \implies k = \frac{1}{3}\). Überprüfung der anderen Komponenten: \(-1 + 6 \cdot \frac{1}{3} = 1\) und \(2 + 9 \cdot \frac{1}{3} = 5\). Da \(0 \le \frac{1}{3} \le 1\), liegt \(R\) auf der Strecke.

Die Punkte \(P\) und \(R\) liegen auf der Strecke \(\overline{AB}\). Der Punkt \(Q\) liegt auf der Geraden durch \(A\) und \(B\), aber nicht auf der Strecke selbst.

- Wie kannst du die Bewegung der Drohne mit einer mathematischen Gleichung beschreiben? - Welche Rolle spielt der Startpunkt und welche der Richtungsvektor in dieser Gleichung? - Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, muss es einen bestimmten Wert für den Streckungsfaktor (Parameter) geben, der für alle drei Koordinaten (x, y und z) gleichzeitig funktioniert. - Versuche, aus einer der Koordinatengleichungen den Wert für diesen Faktor zu berechnen und teste ihn dann bei den anderen beiden.

1. Aufstellen der Geradengleichung für die Flugbahn der Drohne: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen der Geradengleichung mit dem Punkt \(M(-8 | -7 | 7)\), um den Parameter \(r\) zu bestimmen: - \(x\)-Koordinate: \(12 - 4r = -8 \implies -4r = -20 \implies r = 5\). 3. Überprüfung des Parameters \(r = 5\) in den restlichen Koordinatengleichungen: - \(y\)-Koordinate: \(8 - 3 \cdot 5 = 8 - 15 = -7\) (Stimmt mit \(M_y\) überein). - \(z\)-Koordinate: \(2 + 1 \cdot 5 = 7\) (Stimmt mit \(M_z\) überein). 4. Da der Parameter \(r = 5\) für alle drei Koordinaten eine wahre Aussage liefert, liegt der Punkt \(M\) auf der Geraden. Die Drohne erreicht den Sensor.

Ja, die Drohne erreicht den Sensor bei gleichbleibendem Kurs, da der Punkt \(M\) auf der Fluggeraden liegt (für den Parameterwert \(r = 5\)).

- Was bedeutet es für die Richtungsvektoren zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Welche Bestandteile benötigst du grundsätzlich, um eine Gerade in Parameterform aufzustellen? - Wie kannst du den gegebenen Punkt \(P\) in der Geradengleichung verwenden?

1. Da die Gerade \(h\) parallel zu \(g\) verlaufen soll, kann der Richtungsvektor von \(g\) direkt als Richtungsvektor für \(h\) übernommen werden: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Der gegebene Punkt \(P(5 \mid -2 \mid 0)\) dient als Stützpunkt der Geraden \(h\). Sein Ortsvektor ist \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Durch Einsetzen von Stütz- und Richtungsvektor in die allgemeine Punkt-Richtungs-Form ergibt sich die Gleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\).

\(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors)

- Wann liegen Punkte auf einer Geraden, die durch den Punkt \((0 \mid 0 \mid 0)\) verläuft? - Wie hängen die Ortsvektoren solcher Punkte mathematisch zusammen? - Was bedeutet es für die einzelnen Koordinaten, wenn ein Vektor ein Vielfaches eines anderen ist? - Wie ist eine Geradengleichung aufgebaut, wenn sie durch den Ursprung geht?

1. Damit Punkte auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden liegen, müssen ihre Ortsvektoren kollinear sein, also skalare Vielfache voneinander (bzw. eines gemeinsamen Richtungsvektors) darstellen. Wir prüfen die Verhältnisse der Koordinaten: Für \(A\): \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für \(B\): \(\vec{OB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für \(C\): \(\vec{OC} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\). Hier gilt \(\frac{6}{3}=2\) und \(\frac{-4}{-2}=2\), aber \(\frac{10}{4}=2{,}5\). Somit ist \(C\) kein Vielfaches. Für \(D\): \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = -0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ergebnis: Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden. 2. Als Richtungsvektor kann jeder der Ortsvektoren der Punkte \(A\), \(B\) oder \(D\) (oder ein Vielfaches davon) verwendet werden. Mit dem Stützvektor \(\vec{0}\) ergibt sich zum Beispiel: \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\).

1. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dieser Geraden. 2. Eine mögliche Gleichung ist \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

- Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was bedeutet es für den Parameter \(\lambda\), wenn eine Koordinate eines Punktes bereits bekannt ist? - Welchen Richtungsvektor haben die Koordinatenachsen im dreidimensionalen Raum? - Eine Gerade ist durch einen Punkt (Stützvektor) und eine Richtung (Richtungsvektor) eindeutig festgelegt.

1. Punktprobe für \(P\): Aus \(1 = 3 - \lambda\) folgt \(\lambda = 2\). Einsetzen in die anderen Komponenten ergibt \(2 = -2 + 2 \cdot 2\) (wahr) und \(15 = 5 + 5 \cdot 2\) (wahr). Somit liegt \(P\) auf \(g\). 2. Berechnung von \(Q\): Die Bedingung \(x_1 = 5\) führt zu \(5 = 3 - \lambda\), also \(\lambda = -2\). Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die Geradengleichung liefert \(x_2 = -2 + 2 \cdot (-2) = -6\) und \(x_3 = 5 + 5 \cdot (-2) = -5\). Der Punkt ist \(Q(5|-6|-5)\). 3. Gerade \(h\): Da \(h\) durch \(P\) verläuft, dient \(\vec{OP}\) als Stützvektor. Die Parallelität zur \(x_2\)-Achse bestimmt den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) \(P\) liegt auf \(g\) für \(\lambda = 2\). b) \(Q(5|-6|-5)\) c) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors)

- Kannst du eine allgemeine Gleichung für alle Punkte auf der Geraden \(h\) angeben? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie findest du dann den zugehörigen Parameterwert? - Was bedeutet es für die anderen Koordinaten, wenn ein Punkt auf der Geraden liegen soll? - Reicht es aus, nur eine Koordinate zu prüfen, um die Lage eines Punktes zu bestätigen?

1. Aufstellen der Geradengleichung \(h: \vec{x} = \vec{P} + t \cdot \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(a\): Aus der \(y\)-Koordinate von \(R\) folgt \(-1 + 3t = 5\), also \(3t = 6\) und \(t = 2\). Prüfung mit der \(z\)-Koordinate: \(5 - 3 \cdot 2 = -1\) (korrekt). Berechnung der \(x\)-Koordinate: \(a = 2 + 3 \cdot 2 = 8\). 3. Punktprobe für \(S\): Aus der \(x\)-Koordinate folgt \(2 + 3t = -1\), also \(3t = -3\) und \(t = -1\). Prüfung der anderen Koordinaten: \(y = -1 + 3 \cdot (-1) = -4\) (korrekt) und \(z = 5 - 3 \cdot (-1) = 8\) (korrekt). Somit liegt \(S\) auf der Geraden \(h\).

a) \(a = 8\) b) Der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(h\).

- Wie hängen die Komponenten des Richtungsvektors einer Geraden mit ihrer Steigung \(m\) zusammen? - Welche Information liefert der Stützvektor über einen Punkt, der auf dem Graphen der Funktion liegen muss? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse?

Zuerst wird die Steigung \(m\) aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) berechnet, indem der Quotient der Komponenten gebildet wird: \(m = \frac{-6}{3} = -2\). Anschließend wird der Stützvektor \(\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) als Punkt \(P(-2 \mid 5)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = m \cdot x + t\) eingesetzt, um den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen: \(5 = -2 \cdot (-2) + t \implies 5 = 4 + t \implies t = 1\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -2x + 1\). Zur Berechnung der Nullstelle wird der Funktionsterm gleich null gesetzt: \(0 = -2x + 1\). Durch Umformen ergibt sich \(2x = 1\), woraus die Nullstelle \(x = 0{,}5\) folgt.

Funktionsterm: \(f(x) = -2x + 1\) Nullstelle: \(x = 0{,}5\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Wie kannst du aus dem Richtungsvektor einer Geraden in der Ebene die Steigung \(m\) ablesen? - Wenn du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst, wie lässt sich dann der \(y\)-Achsenabschnitt berechnen?

Da die Gerade \(h\) parallel zu \(g\) verläuft, besitzen beide Geraden dieselbe Steigung \(m\). Diese wird aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) von \(g\) berechnet: \(m = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Um den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) für die Gerade \(h\) zu finden, werden die Koordinaten des Punktes \(A(6 \mid -1)\) in den Ansatz \(f(x) = 0{,}5 \cdot x + t\) eingesetzt: \(-1 = 0{,}5 \cdot 6 + t\). Dies vereinfacht sich zu \(-1 = 3 + t\), woraus \(t = -4\) folgt. Die gesuchte Funktionsgleichung ist demnach \(f(x) = 0{,}5x - 4\).

\(f(x) = 0{,}5x - 4\)

- Wie bestimmst du den Richtungsvektor, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt? Wie kannst du das mit der Geradengleichung prüfen? - Wenn ein Punkt auf der Geraden liegen soll, muss derselbe Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen funktionieren. - Kannst du aus den bekannten Koordinaten eines Punktes zuerst den Parameter bestimmen?

1. Richtungsvektor bestimmen: \(\vec{v} = \vec{Q} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ -4-0 \\ 6-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\). Gleichung: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(R(1 | 2 | -6)\): \(1 = 3 + 4k \Rightarrow k = -0{,}5\) \(2 = 0 - 4k \Rightarrow k = -0{,}5\) \(-6 = -2 + 8k \Rightarrow k = -0{,}5\) Da \(k\) für alle Koordinaten identisch ist, liegt \(R\) auf \(g\). 3. Punkt \(S(5 | y | 2)\) auf \(g\): \(5 = 3 + 4k \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 0{,}5\) \(2 = -2 + 8k \Rightarrow 8k = 4 \Rightarrow k = 0{,}5\) Einsetzen in die \(y\)-Koordinate: \(y = 0 + 0{,}5 \cdot (-4) = -2\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden \(g\) (für den Parameterwert \(k = -0{,}5\)). c) Der gesuchte Wert ist \(y = -2\).

- Überlege dir zuerst, welchen Punkt die Gerade auf jeden Fall enthalten muss (Stützvektor). - Welche Komponenten eines Richtungsvektors müssen null sein, damit er parallel zu einer Ebene oder Achse ist? - Wenn eine Gerade in einer bestimmten Ebene liegen soll, welche Bedingung müssen dann alle Punkte der Geraden erfüllen? - Denk daran, dass es für jede Aufgabe unendlich viele richtige Parametergleichungen gibt.

1. Zu a): Da die Gerade die \(x\)-Achse sein soll, wählen wir den Ursprung \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) als Stützpunkt und den Einheitsvektor in \(x\)-Richtung \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) als Richtungsvektor. Resultat: \(\vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Zu b): Der Stützvektor ist \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da die Gerade parallel zur \(z\)-Achse verläuft, muss der Richtungsvektor die Form \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix}\) mit \(c \neq 0\) haben. Resultat: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Zu c): Damit die Gerade in der \(xz\)-Ebene liegt, müssen die \(y\)-Komponenten von Stütz- und Richtungsvektor \(0\) sein. Da sie nicht durch den Ursprung geht, darf der Stützvektor nicht der Nullvektor (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors) sein, z. B. \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da sie nicht parallel zu den Achsen ist, müssen im Richtungsvektor sowohl \(x\) als auch \(z\) ungleich \(0\) sein. Resultat: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Zu d): Parallelität zur \(xy\)-Ebene bedeutet, dass die \(z\)-Komponente des Richtungsvektors \(0\) ist. Die feste Höhe \(z=4\) erfordert einen Stützvektor mit \(z=4\). Resultat: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(k: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) d) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Erinnere dich, wie man eine Gerade im Raum durch einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor beschreibt. - Wie kannst du feststellen, ob ein bestimmter Punkt die Bedingungen einer Geradengleichung erfüllt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden vorgegeben ist, wie kannst du dann den zugehörigen Parameterwert bestimmen? - Denke daran, dass der Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen derselbe sein muss, wenn ein Punkt auf der Geraden liegt.

1. Als Stützvektor wird \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) gewählt. Der Richtungsvektor ist \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 5-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Zur Punktprobe wird \(\vec{OR}\) mit der Geradengleichung gleichgesetzt: \(\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(7 = 1 + 3r \implies r = 2\). Prüfung in Zeile 2: \(2 - 2 \cdot 2 = -2\) (wahr). Prüfung in Zeile 3: \(-1 + 6 \cdot 2 = 11\) (wahr). Da \(r = 2\) für alle Komponenten gilt, liegt \(R\) auf \(g\). 3. Für die \(x_1\)-Koordinate gilt die Gleichung \(1 + 3r = -2\). Daraus folgt \(3r = -3\), also \(r = -1\). Einsetzen von \(r = -1\) in die restlichen Koordinaten liefert \(x_2 = 2 - 2 \cdot (-1) = 4\) und \(x_3 = -1 + 6 \cdot (-1) = -7\). Der Punkt ist \(S(-2|4|-7)\).

1. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden \(g\) (für \(r = 2\)). 3. \(S(-2|4|-7)\)

- Welche Koordinate muss den Wert Null haben, damit ein Punkt in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt? - Wie kannst du einen Punkt auf der Geraden berechnen, wenn du einen bestimmten Parameterwert kennst? - Wie hängen verschiedene Richtungsvektoren derselben Geraden mathematisch zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Länge (den Betrag) eines Vektors.

1. Um den Aufpunkt in der \(x_1x_2\)-Ebene zu finden, wird die \(x_3\)-Koordinate der Geradengleichung null gesetzt: \(1 - 6r = 0\). Daraus ergibt sich \(r = \frac{1}{6}\). 2. Einsetzen von \(r = \frac{1}{6}\) in die Geradengleichung liefert den neuen Aufpunkt \(P\left(\frac{16}{3} \mid -\frac{4}{3} \mid 0\right)\). 3. Die Länge des ursprünglichen Richtungsvektors \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\) beträgt \(\sqrt{2^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\). 4. Damit der neue Richtungsvektor \(\vec{v}\) die Länge \(\sqrt{14}\) besitzt, muss der ursprüngliche Vektor mit \(\pm \frac{1}{2}\) skaliert werden. Mögliche Richtungsvektoren sind \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) oder \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 5. Eine mögliche Gleichung ist somit \(\vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{16}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

Eine mögliche Gleichung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{16}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit dem Gegenvektor als Richtungsvektor).

- Stelle zuerst die Geradengleichung mithilfe der beiden Punkte \(C\) und \(D\) auf. - Setze den Punkt \(Q\) mit seinen Koordinaten in die Geradengleichung ein. - Welche der Koordinaten von \(Q\) ist bekannt und kann genutzt werden, um den Parameter \(t\) zu bestimmen? - Setze den gefundenen Parameter in die Gleichung für die gesuchte Koordinate ein.

1. Als Stützvektor wählen wir \(\vec{OC}\) und als Richtungsvektor \(\vec{CD}\): \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2-4 \\ 3-0 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). 2. Da \(Q\) auf \(h\) liegt, muss die Gleichung \(\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) für ein bestimmtes \(t\) lösbar sein. Aus der \(x\)-Koordinate: \(0 = 4 - 2t \Rightarrow 2t = 4 \Rightarrow t = 2\). Überprüfung mit der \(z\)-Koordinate: \(4 = -2 + 3 \cdot 2 \Rightarrow 4 = 4\) (konsistent). Berechnung von \(y\) mit \(t = 2\): \(y = 0 + 3 \cdot 2 = 6\).

1. \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) 2. Die fehlende Koordinate ist \(y = 6\).

- Welche Punkte der Geraden entsprechen den Parameterwerten \(\lambda = 0\) und \(\lambda = 1\)? - Überlege dir, welcher Parameterwert genau die Mitte der Strecke \(AB\) markiert. - Wie verändert sich die Position des Punktes auf der Geraden, wenn der Parameter negativ wird? - Stell dir vor, der Vektor \(\vec{AB}\) ist eine Schrittanweisung von \(A\) aus. Wo landest du bei einem halben Schritt oder einem rückwärtigen Schritt?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 4-(-2) \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen von \(\lambda = 0{,}4\) in die Geradengleichung: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1{,}2 \\ -2 + 2{,}4 \\ 3 - 1{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}2 \\ 0{,}4 \\ 1{,}8 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P(2{,}2 \mid 0{,}4 \mid 1{,}8)\). 3. Analyse der Parameterbereiche: Der Punkt \(P\) liegt für \(0 < \lambda < 1\) zwischen \(A\) und \(B\). Die Bedingung, dass er näher an \(B\) liegt (größere Entfernung zu \(A\)), wird ab dem Mittelpunkt (\(\lambda = 0{,}5\)) erfüllt. Somit gilt \(0{,}5 < \lambda < 1\). 4. Für \(\lambda < 0\) liegt der Punkt außerhalb der Strecke \(AB\) auf der Geraden, und zwar auf der Seite von \(A\), die \(B\) gegenüberliegt (auf der Verlängerung der Strecke über \(A\) hinaus).

a) \(P(2{,}2 \mid 0{,}4 \mid 1{,}8)\) b) \(0{,}5 < \lambda < 1\) (bzw. \(\lambda \in ]0{,}5; 1[\)) c) Der Punkt liegt auf der Geraden außerhalb der Strecke \(AB\) auf der Seite von \(A\).

- Welche Koordinate in der Gleichung gibt die Höhe über dem Boden an? - Wie hängen der Parameter \( t \) und die verstrichene Zeit zusammen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Überlege, ob du für die Entfernung den gesamten Ortsvektor oder nur den Richtungsanteil betrachten musst.

1. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die \( x_3 \)-Koordinate der Geradengleichung gleich der Zielhöhe gesetzt: \( 50 + 5 \cdot t = 300 \). 2. Lösen der Gleichung nach \( t \): \( 5t = 250 \Rightarrow t = 50 \). Der Ballon erreicht die Höhe nach \( 50\,\text{s} \). 3. Die Entfernung vom Startpunkt \( P \) entspricht der Länge des Verschiebungsvektors \( t \cdot \vec{v} \) zum Zeitpunkt \( t = 50 \). Der Verschiebungsvektor ist \( 50 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 100 \\ 250 \end{pmatrix} \). 4. Berechnung des Betrags dieses Vektors: \( |\Delta \vec{x}| = \sqrt{200^2 + 100^2 + 250^2} = \sqrt{40\,000 + 10\,000 + 62\,500} = \sqrt{112\,500} \approx 335{,}41 \). Die Entfernung beträgt ca. \( 335{,}41\,\text{m} \).

a) Der Ballon erreicht die Höhe nach \( 50\,\text{s} \). b) Die Entfernung vom Startpunkt beträgt \( \sqrt{112\,500} \approx 335{,}41\,\text{m} \).

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Objekt den Erdboden berührt? - Wie findest du die genaue Position im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt \( t \)? - Welche Formel hilft dir, den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem zu bestimmen?

1. Das Flugzeug setzt auf dem Boden auf, wenn die \( x_3 \)-Koordinate Null ist: \( 600 - 20 \cdot t = 0 \). 2. Lösen nach \( t \): \( 20t = 600 \Rightarrow t = 30 \). Das Flugzeug berührt den Boden nach \( 30\,\text{s} \). 3. Berechnung des Standorts zum Zeitpunkt \( t = 30 \): \( \vec{x}(30) = \begin{pmatrix} -2000 + 30 \cdot 80 \\ 1500 + 30 \cdot (-60) \\ 600 + 30 \cdot (-20) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400 \\ -300 \\ 0 \end{pmatrix} \). 4. Die Entfernung zum Ursprung ist der Betrag des Ortsvektors am Aufsetzpunkt: \( d = \sqrt{400^2 + (-300)^2 + 0^2} = \sqrt{160\,000 + 90\,000} = \sqrt{250\,000} = 500 \). Die Entfernung beträgt \( 500\,\text{m} \).

a) Das Flugzeug setzt nach \( 30\,\text{s} \) auf. b) Die Entfernung zum Koordinatenursprung beträgt \( 500\,\text{m} \).

- Welche zwei Bestandteile benötigst du grundsätzlich für eine Geradengleichung in Parameterform? - Was bedeutet die Eigenschaft „parallel“ für die Richtungsvektoren zweier Geraden? - Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten einen Vektor berechnen, der in Richtung ihrer Verbindung verläuft? - Spielt es eine Rolle, ob du den Richtungsvektor noch kürzt oder verlängerst?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{u}\) der Verbindungsgeraden durch die Punkte \(B\) und \(C\): \(\vec{u} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 3-0 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Da die gesuchte Gerade \(g\) parallel zu dieser Verbindungsgeraden sein soll, wird \(\vec{u}\) (oder ein skalares Vielfaches davon) als Richtungsvektor verwendet. 3. Aufstellen der Parameterform mit dem Ortsvektor des Punktes \(A\) als Stützvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\).

\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit gekürztem Richtungsvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r^* \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)) mit \(r, r^* \in \mathbb{R}\).

- Wie findet man rechnerisch den Punkt, der genau in der Mitte zwischen zwei anderen Punkten liegt? - Welche Information aus der Gleichung der Geraden \(k\) hilft dir dabei, die Parallelität für die neue Gerade \(m\) sicherzustellen? - Welche Rolle spielt der Punkt \(M\) beim Aufstellen der neuen Geradengleichung?

1. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(QR\) durch Mittelwertbildung der Koordinaten: \(M\left(\frac{0+4}{2} \middle| \frac{2-2}{2} \middle| \frac{-3+5}{2}\right) = M(2|0|1)\). 2. Da die Gerade \(m\) parallel zur Geraden \(k\) verlaufen soll, wird der Richtungsvektor von \(k\) übernommen: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Parametergleichung mit dem Ortsvektor von \(M\) als Stützvektor und \(\vec{v}\) als Richtungsvektor: \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).

\(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) (mit \(s \in \mathbb{R}\)).

- Wie gehst du vor, wenn eine Koordinate eines Punktes durch eine Variable wie \(k\) ersetzt wurde? - Welche Gleichung musst du aufstellen, um Punkte mit speziellen Eigenschaften (z.B. Gleichheit von Koordinaten) zu finden? - Überlege dir, wie du den Parameter \(r\) eliminieren oder berechnen kannst, wenn eine Bedingung an die Koordinaten geknüpft ist.

1. Geradengleichung \(h\): Mit Stützvektor \(\vec{A}\) und Richtungsvektor \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(k\): Für die \(y\)-Koordinate gilt \(10 = 4 - 3r \Rightarrow 6 = -3r \Rightarrow r = -2\). Einsetzen in die \(z\)-Koordinate: \(-10 = -2 + 4 \cdot (-2) = -10\) (konsistent). Für die \(x\)-Koordinate folgt \(k = 1 + 2 \cdot (-2) = -3\). 3. Punkt mit \(x = z\): Bedingung \(1 + 2r = -2 + 4r\). Umstellen ergibt \(3 = 2r \Rightarrow r = 1{,}5\). Einsetzen von \(r\) in die Geradengleichung liefert den Punkt: \(x = 1 + 2 \cdot 1{,}5 = 4\), \(y = 4 - 3 \cdot 1{,}5 = -0{,}5\), \(z = -2 + 4 \cdot 1{,}5 = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(P(4|-0{,}5|4)\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(k = -3\) c) Ja, der Punkt ist \((4|-0{,}5|4)\).

- Was ist das Besondere an der Gleichung einer Ursurungsgeraden im Vergleich zu einer allgemeinen Geraden? - Wenn ein Punkt auf der Geraden liegt, muss derselbe Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen funktionieren. - Bei Teilaufgabe c) kannst du versuchen, den Parameter zuerst über eine feste Zahl zu bestimmen und dann die Abhängigkeiten von \(k\) zu prüfen.

1. Geradengleichung aufstellen: Da es eine Ursprungsgerade ist, lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe \(P(-6|3|-9)\): \(4s=-6 \Rightarrow s=-1{,}5\). Prüfung: \(-2(-1{,}5)=3\) und \(6(-1{,}5)=-9\). Beides wahr, \(P\) liegt auf \(h\). 3. Punktprobe \(Q(10|-5|12)\): \(4s=10 \Rightarrow s=2{,}5\). Prüfung: \(-2(2{,}5)=-5\) (wahr), aber \(6(2{,}5)=15 \neq 12\). \(Q\) liegt nicht auf \(h\). 4. Koordinaten von \(S(x|y|21)\): Aus der \(z\)-Koordinate folgt \(6s=21 \Rightarrow s=3{,}5\). Damit ergibt sich \(x = 4 \cdot 3{,}5 = 14\) und \(y = -2 \cdot 3{,}5 = -7\). 5. Untersuchung von \(R(k|k+6|18)\): Aus der \(z\)-Koordinate folgt \(6s=18 \Rightarrow s=3\). Für die \(x\)-Koordinate müsste gelten: \(4 \cdot 3 = k \Rightarrow k=12\). Setzt man \(k=12\) in den Ausdruck für die \(y\)-Koordinate ein, erhält man \(k+6 = 18\). Die Geradengleichung liefert für \(y\) jedoch \(-2 \cdot 3 = -6\). Da \(18 \neq -6\), gibt es kein solches \(k\).

a) \(P\) liegt auf \(h\); \(Q\) liegt nicht auf \(h\). b) \(x = 14\); \(y = -7\) c) Aus der \(z\)-Koordinate folgt der feste Parameter \(s=3\). Dieser liefert für die \(y\)-Koordinate den Wert \(-6\). Die Bedingung \(k+6=-6\) führt zu \(k=-12\), was jedoch im Widerspruch zur \(x\)-Koordinate steht, die für \(s=3\) den Wert \(12\) (also \(k=12\)) erfordert.

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden vom Parameter ab? - Stelle einen Term für die Summe der drei Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter auf. - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors. - Gibt es nur eine Lösung für einen Punkt mit einem bestimmten Abstand zum Ursprung?

1. Geradengleichung: Da \(h\) eine Ursprungsgerade ist, lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\). 2. Koordinatensumme: Die Summe der Koordinaten eines beliebigen Punktes auf \(h\) ist \(3s + (-2s) + 6s = 7s\). Die Bedingung \(7s = 21\) liefert \(s = 3\). Einsetzen ergibt \(B(9|-6|18)\). 3. Abstand zum Ursprung: Der Abstand eines Punktes auf der Geraden zum Ursprung entspricht dem Betrag seines Ortsvektors: \(|\vec{x}| = |s| \cdot \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = |s| \cdot \sqrt{49} = 7|s|\). Die Bedingung \(7|s| = 35\) liefert \(|s| = 5\), also \(s = 5\) oder \(s = -5\). Mögliche Punkte sind \(C_1(15|-10|30)\) oder \(C_2(-15|10|-30)\).

a) \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) b) \(B(9|-6|18)\) c) \(C(15|-10|30)\) oder \(C(-15|10|-30)\)

- Wann liegt ein Punkt auf einer Geraden, die durch eine Gleichung gegeben ist? - Du kannst die Parameterform als zwei einzelne Gleichungen für \(x_1\) und \(x_2\) schreiben. - Vergleiche die Komponenten des Richtungsvektors mit den Koordinaten des Punktes \(M\).

1. In Teil a) prüft man, ob der Punkt \(P(-b \mid a)\) die Gleichung erfüllt: \(a \cdot (-b) + b \cdot (a) = -ab + ab = 0\). Da der Punkt auf der Geraden liegt und nicht der Ursprung ist, ist \(\vec{OP} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) ein gültiger Richtungsvektor. 2. In Teil b) nutzt man die Parameterdarstellung \(x_1 = 5t\) und \(x_2 = 2t\). Durch Elimination von \(t\) (z. B. \(t = \frac{x_1}{5}\)) folgt \(x_2 = 2 \cdot \frac{x_1}{5}\), also \(x_2 = 0{,}4x_1\). Umgeformt in die gewünschte Form ergibt sich \(2x_1 - 5x_2 = 0\) (oder ein Vielfaches davon). 3. In Teil c) setzt man \(M(k \mid 6)\) in die Gleichung aus b) ein: \(2k - 5 \cdot 6 = 0\). Dies führt zu \(2k = 30\), also \(k = 15\). Alternativ über den Parameter: \(2t = 6 \implies t = 3\), daraus folgt \(k = 5 \cdot 3 = 15\).

a) Nachweis durch Einsetzen: \(a(-b) + b(a) = 0\). b) \(2x_1 - 5x_2 = 0\) c) \(k = 15\)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Welche Koordinate der Geradengleichung entspricht der Höhe? - Wenn du die Höhe kennst, wie kannst du den zugehörigen Parameterwert bestimmen? - Wie findest du die restlichen Koordinaten, sobald du den Wert für den Parameter kennst?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 40-10 \\ 50-20 \\ 70-100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ -30 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ -30 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Parameters \(t\) für die Höhe \(z = 85\): \(100 - 30t = 85 \Rightarrow -30t = -15 \Rightarrow t = 0{,}5\). 4. Berechnung der \(x\)- und \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen von \(t = 0{,}5\): \(x = 10 + 30 \cdot 0{,}5 = 25\) und \(y = 20 + 30 \cdot 0{,}5 = 35\). 5. Der gesuchte Punkt ist \(P(25|35|85)\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ -30 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Das Objekt befindet sich im Punkt \(P(25|35|85)\) in einer Höhe von \(85\,\text{m}\).

- Was bedeutet es für die Richtungsvektoren zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Welchen Stützvektor verwendet man für eine Gerade, die durch den Ursprung geht? - Wie führt man eine Verschiebung eines Punktes um einen gegebenen Vektor rechnerisch aus? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Berechnung des Richtungsvektors von \(g\): \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-(-1) \\ 7-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Ursprungsgeraden \(h\): Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, übernimmt sie den Richtungsvektor. Mit dem Stützvektor \(\vec{0}\) ergibt sich \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Bildpunktes \(P'\): Die Verschiebung von \(P(6|4|4)\) um den Ortsvektor \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\) liefert \(\vec{OP'} = \vec{OP} + \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}\). Somit ist \(P'(8|3|9)\). 4. Punktprobe für \(P'\) auf \(g\): Die Gleichung von \(g\) lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Einsetzen von \(P'\) führt zu \(\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die erste Zeile ergibt \(8 = 2 + 3r \Rightarrow r = 2\). Prüfung in den anderen Zeilen: \(3 = -1 + 2 \cdot 2\) (wahr) und \(9 = 5 + 2 \cdot 2\) (wahr). Der Punkt \(P'\) liegt auf \(g\).

a) \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) b) Der Bildpunkt ist \(P'(8|3|9)\). Die Punktprobe mit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt für \(r = 2\) den Punkt \(P'\), womit die Lage bestätigt ist.

- Welche Eigenschaft teilen sich parallele Geraden in ihrer Parameterform? - Wenn ein Punkt \(Q\) durch einen Vektor verschoben wird, um \(R\) zu erreichen, wie kannst du diese Operation umkehren, um von \(R\) zurück zu \(Q\) zu gelangen? - Wie zeigt man, dass ein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors ist?

1. Aufstellen der Ursprungsgeraden \(L_0\): Parallelität bedeutet identischer Richtungsvektor, Ursprung bedeutet Stützvektor \(\vec{0}\). Somit \(L_0: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(Q\): Die Verschiebung ist definiert durch \(\vec{OQ} + \vec{u} = \vec{OR}\). Umstellen nach \(\vec{OQ}\) ergibt \(\vec{OQ} = \vec{OR} - \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(Q(4|-2|6)\). 3. Nachweis auf \(L_0\): Einsetzen von \(Q\) in \(L_0\): \(\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Aus allen drei Zeilen folgt konsistent \(s = 2\). Damit liegt \(Q\) auf \(L_0\).

a) \(L_0: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) Der Punkt ist \(Q(4|-2|6)\). Er erfüllt die Gleichung von \(L_0\) für den Parameterwert \(s = 2\).

- Untersuche, in welcher Beziehung die Richtungsvektoren der beiden Gleichungen zueinander stehen. - Was muss für die Richtungsvektoren und die Stützpunkte gelten, damit zwei Gleichungen dieselbe Gerade darstellen? - Setze die Koordinaten des Punktes \(Q\) in die Geradengleichungen ein und löse die entstehenden Zeilengleichungen nach dem Parameter auf. - Vergleiche die Ergebnisse für \(r\) und \(s\) aus Aufgabenteil b) – fällt dir ein Faktor auf, der auch bei den Richtungsvektoren vorkommt?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: Der Richtungsvektor von \(h\), \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}\), ist das \((-2)\)-Fache des Richtungsvektors von \(g\), \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da beide Gleichungen denselben Stützpunkt \(A(3|1|-2)\) verwenden und die Richtungsvektoren kollinear sind, beschreiben sie dieselbe Gerade. 2. Punktprobe für \(Q(5|5|2)\) in \(g\): Aus \(3 + 1 \cdot r = 5\) folgt \(r = 2\). Überprüfung der anderen Komponenten: \(1 + 2 \cdot 2 = 5\) und \(-2 + 2 \cdot 2 = 2\) bestätigt \(r = 2\). 3. Punktprobe für \(Q(5|5|2)\) in \(h\): Aus \(3 - 2 \cdot s = 5\) folgt \(-2s = 2\), also \(s = -1\). Überprüfung: \(1 - 4 \cdot (-1) = 5\) und \(-2 - 4 \cdot (-1) = 2\) bestätigt \(s = -1\). 4. Zusammenhang der Parameter: Da \(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\), muss für denselben Vektor \(\vec{x} - \vec{p}\) gelten: \(r \cdot \vec{v}_g = s \cdot (-2 \cdot \vec{v}_g)\). Daraus ergibt sich die Beziehung \(r = -2s\) bzw. \(s = -\frac{1}{2}r\). Das negative Vorzeichen bewirkt eine Orientierungsumkehr auf der Geraden, und der Faktor \(2\) führt zu einer Skalierung der Parameterwerte.

a) Die Richtungsvektoren sind kollinear (\(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\)) und der Stützpunkt ist identisch. b) \(r = 2\) und \(s = -1\). c) Es gilt \(s = -\frac{1}{2}r\). Das negative Vorzeichen kehrt die Durchlaufrichtung um, und der Betrag des Richtungsvektors beeinflusst die „Schrittweite“ des Parameters.

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Parametergleichungen dieselbe Gerade beschreiben? - Wie kannst du feststellen, ob ein Punkt (der Stützvektor) auf einer gegebenen Geraden liegt? - Was bedeutet Kollinearität im Zusammenhang mit den Richtungsvektoren? - Berechne zuerst einen Richtungsvektor für die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(B\).

1. Berechnung des Richtungsvektors von \(g\): \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-(-1) \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Ein kollinearer Richtungsvektor muss ein Vielfaches von \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) sein. 2. Prüfung von \(h\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) entspricht dem Punkt \(B\) und liegt somit auf \(g\). Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{u}\) (\(k = -\frac{1}{3}\)). Somit beschreibt \(h\) dieselbe Gerade. 3. Prüfung von \(k\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\) liegt auf \(g\), da \(\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist jedoch nicht kollinear zu \(\vec{u}\) (die Vorzeichenstruktur passt nicht). Somit beschreibt \(k\) eine andere Gerade. 4. Prüfung von \(m\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 11 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix}\) liegt auf \(g\) (\(t = 3\)). Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{u}\) (\(k = 0{,}5\)). Somit beschreibt \(m\) dieselbe Gerade.

Die Darstellungen \(h\) und \(m\) beschreiben dieselbe Gerade \(g\). Die Darstellung \(k\) beschreibt eine andere Gerade, da ihr Richtungsvektor nicht kollinear zum Richtungsvektor von \(g\) ist.

- Wie findest du einen beliebigen Punkt auf der Geraden \(g\), der nicht der Startpunkt ist? - Berechne zuerst die Länge des aktuellen Richtungsvektors. Wie verhält sich diese zur gewünschten Länge \(3\sqrt{14}\)? - Mit welchem Faktor musst du einen Vektor multiplizieren, um seine Richtung umzukehren und seine Länge anzupassen? - Vergiss nicht, dass du für eine Parameterdarstellung sowohl einen passenden Stützvektor als auch einen passenden Richtungsvektor benötigst.

1. Bestimmung eines neuen Stützvektors: Wähle z. B. \(t = 1\) in der Originalgleichung: \(\vec{p}_{neu} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung der Länge des ursprünglichen Richtungsvektors \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\): \(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\). 3. Skalierung des Richtungsvektors: Die Ziel-Länge ist \(3\sqrt{14}\), was dem \(1{,}5\)-fachen der ursprünglichen Länge entspricht. Da die Richtung entgegengesetzt sein soll, multiplizieren wir \(\vec{u}\) mit \(-1{,}5\). 4. Neuer Richtungsvektor: \(\vec{v}_{neu} = -1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix}\). 5. Aufstellen der Gleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Eine mögliche Parameterdarstellung ist: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix}\). (Hinweis: Der Stützvektor kann variieren, solange er ein Punkt der Geraden außer \((4|-2|5)\) ist).

- Erstelle zuerst die Gleichung der Geraden, die durch die ersten beiden Punkte verläuft. - Wie prüft man, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt? - Was bedeutet es für die Lage des Punktes, wenn du für jede Koordinate denselben Wert für den Parameter erhältst?

1. Bestimmung des Richtungsvektors \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-4 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Punktprobe mit \(C(-2 \mid 7 \mid -5)\): I: \(1 + 3r = -2 \Rightarrow 3r = -3 \Rightarrow r = -1\) II: \(4 - 3r = 7 \Rightarrow -3r = 3 \Rightarrow r = -1\) III: \(-2 + 3r = -5 \Rightarrow 3r = -3 \Rightarrow r = -1\) 4. Da der Parameter \(r = -1\) für alle drei Koordinatengleichungen identisch ist, liegt der Punkt \(C\) auf der Geraden \(h\).

Der Punkt \(C(-2 \mid 7 \mid -5)\) liegt auf der Geraden \(h\). Mit der Geradengleichung \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt die Punktprobe für alle Koordinaten den Parameterwert \(r = -1\).

- Wie setzt man einen Stützvektor und einen Richtungsvektor zu einer Geraden zusammen? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn du ein Vielfaches des Richtungsvektors zum Stützvektor addierst? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie kannst du daraus den Wert des Parameters berechnen? - Kannst du die Geradengleichung in drei einzelne Gleichungen für \(x\), \(y\) und \(z\) zerlegen?

1. Aufstellen der Parameterform: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(P\) durch Einsetzen von \(t = -3\): \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Parameters für \(B\) über die \(y\)-Koordinate: \(3 - 1 \cdot t = 0 \implies t = 3\). 4. Berechnung der restlichen Koordinaten von \(B\) mit \(t = 3\): \(x = 0 + 1 \cdot 3 = 3\) und \(z = -2 + 2 \cdot 3 = 4\). Somit ist \(B(3 \mid 0 \mid 4)\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). b) \(P(-3 \mid 6 \mid -8)\). c) Der Parameterwert ist \(t = 3\). Der Punkt lautet \(B(3 \mid 0 \mid 4)\).

- Wie berechnet man den Ortsvektor eines Punktes, wenn der Parameter bekannt ist? - Welche Bedingung muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er in der \(xz\)-Ebene liegt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden bekannt ist, wie kannst du daraus den Wert des Parameters bestimmen? - Kannst du die Vektorgleichung in drei einzelne Gleichungen für \(x\), \(y\) und \(z\) zerlegen?

1. Einsetzen von \(r = 4\) in die Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 9 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(A(-4 | 10 | 9)\). 2. Bestimmung von \(r\) über die \(x\)-Koordinate: \(4 - 2r = 10 \Rightarrow -2r = 6 \Rightarrow r = -3\). Einsetzen von \(r = -3\) für die restlichen Koordinaten ergibt \(y = -2 + (-3) \cdot 3 = -11\) und \(z = 1 + (-3) \cdot 2 = -5\). Somit ist \(B(10 | -11 | -5)\). 3. In der \(xz\)-Ebene ist die \(y\)-Koordinate Null: \(-2 + 3r = 0 \Rightarrow 3r = 2 \Rightarrow r = \frac{2}{3}\). Einsetzen liefert \(x = 4 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) und \(z = 1 + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\). Der Spurpunkt ist \(S\left(\frac{8}{3} \mid 0 \mid \frac{7}{3}\right)\).

a) \(A(-4 | 10 | 9)\) b) \(r = -3\); \(B(10 | -11 | -5)\) c) \(r = \frac{2}{3}\); \(S\left(\frac{8}{3} \mid 0 \mid \frac{7}{3}\right)\)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Parameterdarstellungen dieselbe Gerade beschreiben? - Wie prüfst du, ob ein gegebener Punkt (Stützvektor) auf einer anderen Geraden liegt? - Was muss für die Richtungsvektoren gelten, damit sie dieselbe Richtung (oder die Gegenrichtung) angeben?

1. Berechnung des Richtungsvektors von \(g\): \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 3-(-1) \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Parameterdarstellung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Untersuchung von \(h_1\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) entspricht dem Punkt \(B\), der auf \(g\) liegt. Der Richtungsvektor \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist ein Vielfaches von \(\vec{v}\), da \(\vec{v} = -2 \cdot \vec{v}_1\). Somit beschreibt \(h_1\) dieselbe Gerade \(g\). 3. Untersuchung von \(h_2\): Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) liegt auf \(g\), da die Gleichung \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) für \(k = 0{,}5\) eine wahre Aussage ergibt. Der Richtungsvektor \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) ist identisch mit \(\vec{v}\). Somit beschreibt auch \(h_2\) dieselbe Gerade \(g\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Sowohl \(h_1\) als auch \(h_2\) beschreiben dieselbe Gerade \(g\), da ihre Stützvektoren auf \(g\) liegen und ihre Richtungsvektoren kollinear zum Richtungsvektor von \(g\) sind.

- Ein Richtungsvektor kann mit jeder beliebigen Zahl (außer Null) multipliziert werden, ohne die Gerade zu verändern. - Welcher Punkt der Geraden als Stützvektor gewählt wird, ist für die Gerade als Ganzes egal. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten mithilfe ihrer Ortsvektoren? - Was bedeutet „entgegengesetzt orientiert“ für das Vorzeichen des Skalars beim Richtungsvektor?

1. Berechnung des Differenzvektors: \(\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung 1: Supportvektor ist \(\vec{Q} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Bedingung 2: Der neue Richtungsvektor ist \(\vec{u} = -2 \cdot \vec{PQ} = \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}\). Als Stützvektor kann ein beliebiger Punkt der Geraden gewählt werden, z. B. \(P\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}\). 4. Bedingung 3: Berechnung des Mittelpunktes \(M\): \(\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{P} + \vec{Q}) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2+4 \\ 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\).

Mögliche Lösungen sind: 1. \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\)

- Wann beschreiben zwei verschiedene Gleichungen dieselbe Gerade? - Was muss für den Stützpunkt gelten, damit er auf der Geraden liegt? - In welcher Beziehung müssen die Richtungsvektoren zueinander stehen? - Kannst du den Vektor \(\vec{AB}\) berechnen und mit den Richtungsvektoren in den Gleichungen vergleichen? - Prüfe, ob der Punkt \((2| 2| 0)\) in einer besonderen Beziehung zu \(A\) und \(B\) steht.

1. Berechnung des Richtungsvektors der Geraden durch \(A\) und \(B\): \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 4-0 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung von Mias Gleichung: Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) entspricht dem Ortsvektor von Punkt \(A\), der auf der Geraden liegt. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{AB}\), da \(\vec{AB} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist Mias Darstellung korrekt. 3. Überprüfung von Toms Gleichung: Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AB\), da \(\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Mittelpunkt liegt auf der Geraden. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{AB}\), da \(\vec{AB} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Somit ist auch Toms Darstellung korrekt.

Beide Darstellungen sind korrekt. Mia verwendet den Punkt \(A\) als Stützpunkt und einen Richtungsvektor, der halb so lang wie \(\vec{AB}\) ist. Tom verwendet den Mittelpunkt der Strecke \(AB\) als Stützpunkt und einen Richtungsvektor, der in die entgegengesetzte Richtung von \(\vec{AB}\) zeigt und halb so lang ist.

- Wie berechnet man den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten? - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Vektor die „entgegengesetzte Orientierung“ hat? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt genau in der Mitte zwischen zwei anderen Punkten liegt? - Welche Eigenschaft muss ein Vektor \(\vec{u}\) haben, damit er als Richtungsvektor für eine bereits definierte Gerade dienen kann?

1. Zu Teilaufgabe a): Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 4-10 \\ -1-5 \\ 4-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix}\). Ein Richtungsvektor mit entgegengesetzter Orientierung ist \(\vec{QP} = -\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \(Q\) ergibt sich: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Zu Teilaufgabe b): Der Punkt \(M(7| 2| 1)\) liegt auf der Geraden \(h\), wenn sein Ortsvektor als Linearkombination dargestellt werden kann. Es ist der Mittelpunkt von \(P\) und \(Q\), da \(\frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 10+4 \\ 5-1 \\ -2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\) auf der Geraden durch \(P\) und \(Q\) liegt, ist er als Stützvektor geeignet. 3. Möglicher Vektor \(\vec{u}\): Jeder Vektor, der ein skalares Vielfaches von \(\vec{PQ}\) ist (ungleich dem Nullvektor), ist geeignet, zum Beispiel \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) oder \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix}\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}\). b) Der Punkt \((7| 2| 1)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\), da \(\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})\). Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Wie findet man rechnerisch den Punkt, an dem eine Gerade die \(y\)-Achse kreuzt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten in der Form \(ax + by = c\) und dem Normalenvektor der Geraden. - Wie findet man zu einem gegebenen Vektor einen anderen Vektor, der senkrecht auf ihm steht? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors?

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(x = 0\) in die Gleichung \(3x + 2y = 6\) ein. Es folgt \(2y = 6\), also \(y = 3\). Der Stützvektor ist somit \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Richtungsvektors: Die Normalenform der Geraden hat den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Ein dazu orthogonaler Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches davon). 3. Überprüfung der Bedingungen für \(\vec{u}\): Die Länge von \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) ist \(\sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}\). Die \(x\)-Komponente ist \(2\), was positiv ist. Damit ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\)

- Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und ihr Normalenvektor in der Ebene zusammen? - Kannst du die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) zerlegen? - Was passiert, wenn du den Parameter aus dem Gleichungssystem eliminierst? - Überlege dir bei Aufgabenteil 2, wie man den Vektor in einen konstanten Teil und einen Teil mit Parameter aufspalten kann.

1. Der Richtungsvektor ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor ist somit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes \(\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) in die Normalenform \(\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{p}\) ergibt \(5 \cdot (-1) - 3 \cdot 4 = -17\). Die Gleichung lautet \(5x - 3y = -17\). 2. Die Parameterdarstellung lässt sich als \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) schreiben. Mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich durch Einsetzen des Punktes \((3|0)\) der Wert \(1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 3\). Die Gleichung lautet \(x + 2y = 3\). 3. Mit dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist ein Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes \((0|2)\) führt zu \(0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 2\). Die Gleichung lautet \(y = 2\).

1. \(g_1: 5x - 3y = -17\) 2. \(g_2: x + 2y = 3\) 3. \(g_3: y = 2\)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung oder dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor für die Koordinatenform. - Was bedeutet Parallelität für die Koeffizienten in der Koordinatengleichung? - Welche Eigenschaft hat die Konstante \(c\) in der Gleichung \(ax + by = c\), wenn die Gerade durch den Ursprung verläuft?

1. Als Stützvektor wird \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) gewählt. Der Richtungsvektor ergibt sich aus \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt ein Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) oder vereinfacht \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatenform ist \(2x + 1y = c\). Einsetzen von \(A(3|-2)\) ergibt \(2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 4\). Die Gleichung ist \(2x + y = 4\). 3. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, kann derselbe Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. Die Gleichung hat die Form \(2x + y = c\). Da \(h\) durch \((0|0)\) geht, folgt \(2 \cdot 0 + 0 = 0\). Die Gleichung lautet \(2x + y = 0\).

1. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) 2. \(g: 2x + y = 4\) 3. \(h: 2x + y = 0\)

- Kannst du für einen gegebenen Punkt einen passenden Wert für den Streckungsfaktor finden? - Reicht es aus, nur eine Koordinate zu prüfen? - Was bedeutet die Einschränkung des Parameters für die Position des Punktes auf der Geraden? - Wie gehst du vor, wenn die Rechnungen für verschiedene Koordinaten unterschiedliche Ergebnisse liefern?

1. Punktprobe für \(A(4|3)\): Das Gleichungssystem \(-2 + 3\lambda = 4\) und \(5 - \lambda = 3\) liefert für beide Koordinaten \(\lambda = 2\). Punkt \(A\) liegt auf \(h\). 2. Bereichsprüfung für \(A\): Da \(\lambda = 2\) im Intervall \([1; 3]\) liegt, befindet sich \(A\) im aktiven Bereich. 3. Punktprobe für \(B(-8|7)\): Die Gleichungen \(-2 + 3\lambda = -8\) und \(5 - \lambda = 7\) ergeben jeweils \(\lambda = -2\). Punkt \(B\) liegt auf \(h\). 4. Bereichsprüfung für \(B\): Da \(\lambda = -2\) kleiner als \(1\) ist, liegt \(B\) außerhalb des aktiven Bereichs. 5. Punktprobe für \(C(1|3)\): Aus \(-2 + 3\lambda = 1\) folgt \(\lambda = 1\), während \(5 - \lambda = 3\) zu \(\lambda = 2\) führt. Aufgrund des Widerspruchs liegt \(C\) nicht auf \(h\).

a) Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden \(h\). Der Punkt \(C\) liegt nicht auf der Geraden. b) Nur der Punkt \(A\) liegt im aktiven Bereich (bei \(\lambda = 2\)).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Wie kannst du die bekannte Koordinate nutzen, um den Parameter der Geraden zu bestimmen? - Muss der Parameterwert für alle drei Koordinatenzeilen derselbe sein? - Was passiert, wenn die Rechnungen für verschiedene Koordinaten zu unterschiedlichen Parameterwerten führen?

1. Für Punkt \(A\): Die \(x_2\)-Koordinate ist \(0\). Aus der Geradengleichung folgt \(-2 + r = 0\), also \(r = 2\). Einsetzen von \(r\) in die anderen Zeilen ergibt \(x_1 = 3 + 2 \cdot 2 = 7\) und \(x_3 = 1 - 3 \cdot 2 = -5\). Somit liegt \(A(7 | 0 | -5)\) auf der Geraden. 2. Für Punkt \(B\): Die \(x_1\)-Koordinate ist \(7\). Aus \(3 + 2r = 7\) folgt \(2r = 4\), also \(r = 2\). Die \(x_3\)-Koordinate muss dann \(1 - 3 \cdot 2 = -5\) sein. Da für \(B\) jedoch \(x_3 = -4\) vorgegeben ist, gibt es einen Widerspruch (\(-5 \neq -4\)). Es gibt keinen Wert für \(x_2\), sodass \(B\) auf \(g\) liegt.

a) Ja, für \(x_1 = 7\) und \(x_3 = -5\) liegt der Punkt \(A(7 | 0 | -5)\) auf \(g\). b) Nein, da die \(x_1\)-Koordinate den Parameter \(r = 2\) erfordert, die \(x_3\)-Koordinate jedoch \(r = \frac{5}{3}\).

- Wie berechnest du Punkte auf einer Geraden, wenn die Parameterwerte bereits gegeben sind? - Erinnere dich an die Bedeutung des Parameters: Wann befindet sich ein Punkt vor dem ersten Punkt, wann dazwischen und wann hinter dem zweiten Punkt? - Untersuche für Punkt \(N\) zuerst die Lage auf der gesamten Geraden und betrachte dann den Wert des Parameters.

1. Berechnung der Endpunkte: Für \(r=0\) ergibt sich \(C(-2|4|0)\). Für \(r=1\) ergibt sich \(D(4|-2|6)\). 2. Prüfung von \(M\): Gleichsetzen der Koordinaten mit der Geradengleichung liefert \(-2 + 6r = 1 \implies 6r = 3 \implies r = 0{,}5\). Einsetzen in die restlichen Zeilen: \(4 - 6 \cdot 0{,}5 = 1\) und \(0 + 6 \cdot 0{,}5 = 3\). Da \(0 \le 0{,}5 \le 1\), liegt \(M\) auf der Strecke \(\overline{CD}\). 3. Prüfung von \(N\): Gleichsetzen liefert \(-2 + 6r = 6 \implies 6r = 8 \implies r = \frac{4}{3}\). Einsetzen in die restlichen Zeilen: \(4 - 6 \cdot \frac{4}{3} = -4\) und \(0 + 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). Da alle Koordinaten stimmen, liegt \(N\) auf der Geraden \(g\). Da jedoch \(r = \frac{4}{3} > 1\), liegt \(N\) außerhalb der Strecke \(\overline{CD}\).

a) \(C(-2|4|0)\), \(D(4|-2|6)\) b) Ja, \(M\) liegt auf der Strecke \(\overline{CD}\) (Parameter \(r=0{,}5\)). c) \(N\) liegt auf der Geraden \(g\) (Parameter \(r=\frac{4}{3}\)), aber da \(r > 1\), liegt der Punkt nicht auf der Strecke \(\overline{CD}\).

- Stelle zuerst eine allgemeine Gleichung für alle Punkte auf, die der Laserstrahl erreichen kann. - Du kennst bereits einen Teil des Zielpunktes. Wie kannst du diese Information nutzen, um den unbekannten Parameter in deiner Geradengleichung zu finden? - Wenn du weißt, "wie weit" (mit welchem Faktor) man vom Startpunkt aus gehen muss, um die richtige x-Stelle zu erreichen, kannst du diesen Faktor auch für die anderen Richtungen nutzen.

1. Aufstellen der Geradengleichung für den Laserstrahl: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1{,}2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -0{,}1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Parameters \(t\) mithilfe der bekannten \(x\)-Koordinate des Zielpunkts \(Z(17 | y | z)\): - \(5 + 3t = 17 \implies 3t = 12 \implies t = 4\). 3. Berechnung der fehlenden Koordinaten durch Einsetzen von \(t = 4\) in die Geradengleichung: - \(y = -2 + 4 \cdot 4 = -2 + 16 = 14\). - \(z = 1{,}2 + 4 \cdot (-0{,}1) = 1{,}2 - 0{,}4 = 0{,}8\). 4. Die Koordinaten des Zentrums lauten somit \(Z(17 | 14 | 0{,}8)\).

Die fehlenden Koordinaten des Zentrums der Zielscheibe sind \(y = 14\) und \(z = 0{,}8\). Der Punkt ist somit \(Z(17 | 14 | 0{,}8)\).

- Beginne mit der Punktprobe, indem du den Punkt \(R\) für \(\vec{x}\) einsetzt. - Welche der drei Koordinatengleichungen enthält nur eine einzige Unbekannte? - Bestimme zuerst den Geradenparameter \(\lambda\). - Nutze den gefundenen Wert für \(\lambda\), um nacheinander die anderen Variablen in den übrigen Gleichungen zu berechnen.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Punktprobe: (I) \(1 = s + 2\lambda\) (II) \(5 = r + \lambda \cdot s\) (III) \(-2 = 4 - 3\lambda\) 2. Berechnung von \(\lambda\) aus (III): \(-6 = -3\lambda \implies \lambda = 2\). 3. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in (I): \(1 = s + 2 \cdot 2 \implies 1 = s + 4 \implies s = -3\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) und \(s = -3\) in (II): \(5 = r + 2 \cdot (-3) \implies 5 = r - 6 \implies r = 11\).

\(r = 11\) und \(s = -3\)

- Wie hängen der Normalenvektor einer Geraden in Koordinatenform und ihr Richtungsvektor zusammen? - Kannst du aus der Gleichung \(4x_1 + 3x_2 = 12\) einen Vektor ablesen, der senkrecht auf der Geraden steht? - Wenn du einen Vektor \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) hast, wie findest du einen Vektor, der senkrecht dazu ist? - Erinnere dich daran, dass parallele Geraden in derselben Ebene den gleichen Richtungsvektor besitzen können.

1. Aus der Koordinatengleichung \(4x_1 + 3x_2 = 12\) lässt sich der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) ablesen. 2. Ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) der Geraden muss orthogonal zum Normalenvektor stehen. Durch Vertauschen der Komponenten und Vorzeichenänderung einer Komponente erhält man \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, übernimmt \(h\) diesen Richtungsvektor. 4. Mit dem Punkt \(P(1 \mid 5)\) als Stützpunkt ergibt sich die Parameterform: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors)

- Was bedeutet die Angabe „in der \(x_1\)-\(x_3\)-Ebene“ für die \(x_2\)-Koordinate? - Wie kannst du aus einer Gleichung wie \(5x_1 = 2x_3\) ein konkretes Zahlenpaar für \(x_1\) und \(x_3\) finden? - Wie sieht der Stützvektor aus, wenn die Gerade durch den Ursprung verläuft? - Wie prüfst du allgemein, ob ein Punkt die Bedingungen einer Geradengleichung erfüllt?

1. Die Gerade liegt in der \(x_1\)-\(x_3\)-Ebene, woraus folgt, dass die \(x_2\)-Koordinate aller Punkte auf der Geraden \(0\) sein muss (\(x_2 = 0\)). Aus der Gleichung \(5x_1 - 2x_3 = 0\) folgt \(5x_1 = 2x_3\). Wählt man \(x_1 = 2\), so ergibt sich \(10 = 2x_3\), also \(x_3 = 5\). Ein Richtungsvektor ist somit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Da es eine Ursprungsgerade ist, lautet die Parameterform: \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\). 2. Zur Überprüfung setzen wir den Ortsvektor von \(Q\) mit der Geradengleichung gleich: \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(4 = 2s \Rightarrow s = 2\). Prüfung der anderen Zeilen mit \(s = 2\): Zweite Zeile: \(0 = 2 \cdot 0\) (wahr). Dritte Zeile: \(10 = 2 \cdot 5\) (wahr). Da ein einheitlicher Parameter \(s\) existiert, liegt der Punkt \(Q\) auf der Geraden \(h\).

1. Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Ja, der Punkt \(Q(4 \mid 0 \mid 10)\) liegt auf der Geraden \(h\), da sein Ortsvektor das Doppelte des Richtungsvektors \(\vec{v}\) ist (entspricht \(s = 2\)).

- Überlege dir zuerst, welche Punkte die gesuchten Geraden festlegen. - Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks im Raum. - Wähle einen der beiden Punkte als Stützpunkt und die Differenz der Ortsvektoren als Richtungsvektor.

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{AB}\): \(\vec{M_{AB}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aufstellen der Geradengleichung für \(g\) mit Stützvektor \(\vec{C}\) und Richtungsvektor \(\vec{CM_{AB}}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Schwerpunkts \(S_{ABC}\): \(\vec{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 6+0+0 \\ 0+6+0 \\ 0+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aufstellen der Geradengleichung für \(h\) mit Stützvektor \(\vec{D}\) und Richtungsvektor \(\vec{DS_{ABC}}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -9 \end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -9 \end{pmatrix}\)

- Identifiziere für jede Gerade einen Punkt als Aufpunkt und berechne den Vektor zwischen den beiden gegebenen Punkten als Richtungsvektor. - Achte darauf, für verschiedene Geraden unterschiedliche Parameter (z. B. \(t, u, v\)) zu verwenden. - Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den Endpunkten.

1. Für die Gerade \(g_{AS}\) wird der Stützvektor \(\vec{A}\) und der Richtungsvektor \(\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-2 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\) verwendet: \(g_{AS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\). 2. Für die Gerade \(g_{CS}\) wird der Stützvektor \(\vec{C}\) und der Richtungsvektor \(\vec{CS} = \vec{S} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 5-8 \\ 5-8 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\) verwendet: \(g_{CS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{BC}\): \(\vec{M_{BC}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Gerade \(m\) durch \(S\) und \(M_{BC}\) ergibt sich zu: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \left( \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}\).

a) \(g_{AS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\); \(g_{CS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\) b) \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}\)

- Wie bildest du einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Welche Formel hilft dir, den Schwerpunkt eines Dreiecks aus den Eckpunkten zu bestimmen? - Was bedeutet es für die Richtungsvektoren zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander sind?

1. Gerade \(g_{BC}\): Mit Stützvektor \(\vec{B}\) und Richtungsvektor \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Mittelpunkt \(M_{BC}\): \(\vec{m}_{BC} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C}) = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Seitenhalbierende \(s_a\): Mit Stützvektor \(\vec{A}\) und Richtungsvektor \(\vec{AM}_{BC} = \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (vereinfacht \(\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)) ergibt sich \(s_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Schwerpunkt \(S\): \(\vec{s} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 5. Gerade \(h\): Der Mittelpunkt von \(AC\) ist \(M_{AC}(0|2|5)\). Die Richtung von \(s_b\) ist \(\vec{BM}_{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) (vereinfacht \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)). Mit Stützpunkt \(S\) folgt \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(M_{BC}(-1{,}5|4|4)\); \(s_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) c) \(S(0|3|4)\) d) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Nutze die Vektoreigenschaft \(\vec{AB} = \vec{DC}\), um den fehlenden Punkt im Parallelogramm zu finden. - Wo schneiden sich die Diagonalen eines Parallelogramms? - Wie lautet die allgemeine Form einer Geradengleichung in Parameterform? - Denke daran, dass du Richtungsvektoren durch Multiplikation mit einem Skalar vereinfachen kannst.

1. Eckpunkt \(D\): In einem Parallelogramm gilt \(\vec{D} = \vec{A} + \vec{BC} = \vec{A} + (\vec{C} - \vec{B})\). Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{D} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Diagonale \(g_{BD}\): Mit Stützvektor \(\vec{B}(6|1|4)\) und Richtungsvektor \(\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\) (vereinfacht \(\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)) ergibt sich \(g_{BD}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\). 3. Schnittpunkt \(M\): \(M\) ist der Mittelpunkt der Diagonale \(AC\), also \(\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{C}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Mittelpunkt \(M_{CD}\): \(\vec{m}_{CD} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Gerade \(k\): Mit Stützvektor \(\vec{M}\) und Richtungsvektor \(\vec{MM}_{CD} = \vec{M}_{CD} - \vec{M} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

a) \(D(0|3|-2)\) b) \(g_{BD}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) c) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man den Bildpunkt eines Punktes bei einer Spiegelung an einem Zentrum? - Überlege dir, wie sich die Richtung einer Geraden ändert, wenn jeder ihrer Punkte am selben Zentrum gespiegelt wird. - Erinnere dich an die Definition von Parallelität im Zusammenhang mit Richtungsvektoren. - Für die allgemeine Begründung hilft es, die Spiegelformel auf die gesamte Geradengleichung anzuwenden.

1. Zur Bestimmung von \(g'\) wird der Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) von \(g\) an \(Q\) gespiegelt: \(\vec{a'} = \vec{q} + (\vec{q} - \vec{a}) = 2\vec{q} - \vec{a} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Da die Punktspiegelung die Richtung einer Geraden nicht ändert (bzw. den Richtungsvektor invertiert), bleibt der Richtungsvektor kollinear. Eine mögliche Gleichung ist \(g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Die Geraden \(g\) und \(g'\) besitzen denselben Richtungsvektor und unterschiedliche Punktmengen, sie sind also echt parallel. 4. Allgemeine Begründung: Ein beliebiger Punkt \(X\) auf \(g\) mit \(\vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{v}\) wird auf \(X'\) mit \(\vec{x'} = 2\vec{q} - \vec{x} = (2\vec{q} - \vec{a}) - s \cdot \vec{v}\) abgebildet. Dies ist die Parameterform einer Geraden mit dem Richtungsvektor \(-\vec{v}\), welcher parallel zu \(\vec{v}\) ist. Da \(Q \notin g\), kann \(g\) nicht mit \(g'\) identisch sein.

a) \(g': \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form) b) Die Geraden \(g\) und \(g'\) sind echt parallel. c) Die Spiegelung transformiert die Geradengleichung \(\vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{v}\) in \(\vec{x'} = (2\vec{q} - \vec{a}) - s \cdot \vec{v}\). Der neue Richtungsvektor \(-\vec{v}\) ist kollinear zu \(\vec{v}\), was Parallelität impliziert.

- Wie bildest du einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Was muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt auf der Geraden liegt? - Welche Koordinate ist in der \(1\)-\(2\)-Koordinatenebene immer Null? - Was haben parallele Geraden hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren gemeinsam?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Die Geradengleichung lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(C(-2 | 5 | -4)\): Aus der ersten Koordinate folgt \(4 - 3r = -2 \Rightarrow r = 2\). Einsetzen in die anderen Koordinaten ergibt \(-1 + 3 \cdot 2 = 5\) und \(2 - 3 \cdot 2 = -4\). Somit liegt \(C\) auf \(g\). 3. Punktprobe für \(D(7 | -4 | 6)\): Aus der ersten Koordinate folgt \(4 - 3r = 7 \Rightarrow r = -1\). Die Prüfung der weiteren Koordinaten ergibt \(-1 + 3 \cdot (-1) = -4\) und \(2 - 3 \cdot (-1) = 5\). Da \(5 \neq 6\), liegt \(D\) nicht auf \(g\). 4. In der \(1\)-\(2\)-Koordinatenebene ist \(x_3 = 0\). Aus \(2 - 3r = 0\) folgt \(r = \frac{2}{3}\). Einsetzen in die Koordinaten liefert \(x_1 = 4 - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2\) und \(x_2 = -1 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 1\). Der Punkt ist \(S(2 | 1 | 0)\). 5. Eine parallele Gerade \(h\) besitzt den gleichen Richtungsvektor wie \(g\). Mit dem Stützpunkt \(P\) ergibt sich \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors) b) \(C\) liegt auf \(g\); \(D\) liegt nicht auf \(g\). c) \(S(2 | 1 | 0)\) d) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\)

- Kannst du die Gerade mit Hilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors beschreiben? - Wie gehst du vor, um zu zeigen, dass ein Punkt Teil einer Geraden ist? - Welche Bedingung erfüllt ein Punkt, wenn er in der \(2\)-\(3\)-Ebene (der \(x_2x_3\)-Ebene) liegt? - Welchen Ortsvektor hat der Koordinatenursprung?

1. Der Richtungsvektor ist \(\vec{KL} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Die Gerade ist \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(M(5 | 0 | 3)\): \(2 + 2t = 5 \Rightarrow t = 1{,}5\). Überprüfung: \(6 - 4 \cdot 1{,}5 = 0\) und \(-3 + 4 \cdot 1{,}5 = 3\). \(M\) liegt auf \(h\). 3. Punktprobe für \(N(0 | 10 | -7)\): \(2 + 2t = 0 \Rightarrow t = -1\). Überprüfung: \(6 - 4 \cdot (-1) = 10\) und \(-3 + 4 \cdot (-1) = -7\). \(N\) liegt auf \(h\). 4. In der \(2\)-\(3\)-Koordinatenebene gilt \(x_1 = 0\). Aus \(2 + 2t = 0\) folgt \(t = -1\). Dies entspricht dem bereits geprüften Punkt \(N(0 | 10 | -7)\). 5. Für die Gerade \(k\) durch den Ursprung \((0|0|0)\) mit dem Richtungsvektor von \(h\) gilt: \(k: \vec{x} = u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) Sowohl \(M\) als auch \(N\) liegen auf der Geraden \(h\). c) \(N(0 | 10 | -7)\) d) \(k: \vec{x} = u \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man den Verbindungsvektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Eigenschaft teilen parallele Geraden hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren? - Was sind die Koordinaten des Ursprungs? - Denke daran, dass ein Richtungsvektor beliebig skaliert werden kann, solange er seine Richtung beibehält.

1. Geradengleichung \(k\): Mit dem Stützvektor \(\vec{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(E\): Das Gleichungssystem \(1 = 2 + 2s\), \(4 = 3 - 2s\) und \(-3 = -1 + 4s\) ergibt aus der ersten Zeile \(s = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite (\(4 = 3 + 1\)) und dritte Zeile (\(-3 = -1 - 2\)) liefert jeweils wahre Aussagen. \(E\) liegt auf \(k\). 3. Gerade \(m\): Da \(m \parallel k\), kann der Richtungsvektor von \(k\) (oder ein Vielfaches) übernommen werden. Der Stützvektor ist der Nullvektor \(\vec{0}\). Somit: \(m: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (Andere Stützpunkte oder Vielfache des Richtungsvektors sind möglich) b) Ja, der Punkt \(E\) liegt auf \(k\) (für \(s = -0{,}5\)). c) \(m: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors)

- Erstelle zuerst eine Parameterform für die Gerade, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft. - Wie berechnet man den gemeinsamen Punkt zweier Geraden im Raum? - Wenn du einen Schnittpunkt der beiden Geraden gefunden hast, wie entscheidest du, ob dieser auch wirklich auf dem Teilstück zwischen \(A\) und \(B\) liegt? - Achte auf die Bedeutung des Parameters in deiner Geradengleichung für die Strecke \(AB\).

1. Aufstellen der Geradengleichung \(g\) durch \(A\) und \(B\): \(\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen von \(g\) und \(h\) zur Bestimmung des Schnittpunktes: I: \(2 + 4r = 1 + t\) II: \(4r = 3 - t\) III: \(1 + 8r = 1 + t\) 3. Lösen des Systems: Aus I folgt \(t = 4r + 1\). Einsetzen in II: \(4r = 3 - (4r + 1) \implies 8r = 2 \implies r = 0{,}25\). 4. Berechnung von \(t\): \(t = 4(0{,}25) + 1 = 2\). 5. Überprüfung in III: \(1 + 8(0{,}25) = 3\) und \(1 + 2 = 3\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S\). 6. Prüfung der Streckenbedingung: Da der Parameter \(r = 0{,}25\) im Intervall \([0; 1]\) liegt, befindet sich der Schnittpunkt auf der Strecke \(AB\). 7. Koordinaten des Schnittpunktes: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Ja, die Gerade \(h\) schneidet die Strecke \(AB\) im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Zwei Geraden sind identisch, wenn ihre Richtungsvektoren parallel sind und der Stützpunkt der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt. - Wie kannst du zeigen, dass ein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors ist? - Berechne zuerst den Ortsvektor des Punktes \(X\), indem du \(\lambda\) in die Gleichung für \(g\) einsetzt. - Verwende diesen Ortsvektor dann als \(\vec{x}\) in der Gleichung für \(h\), um \(\mu\) zu bestimmen.

1. Prüfung der Richtungsvektoren: Es gilt \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ -1 \end{pmatrix}\). Die Richtungsvektoren sind somit kollinear. 2. Punktprobe: Der Stützvektor von \(h\), \(\vec{p}_h = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), wird in \(g\) eingesetzt: \(4 + 3\lambda = -2 \Rightarrow 3\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -2\). Einsetzen in die anderen Zeilen: \(0 - 1 \cdot (-2) = 2\) und \(1 + 2 \cdot (-2) = -3\). Da der Punkt auf \(g\) liegt und die Richtungsvektoren parallel sind, sind die Geraden identisch. 3. Berechnung von \(X\) für \(\lambda = 4\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix}\). 4. Bestimmung von \(\mu\): Setze \(X(16|-4|9)\) in \(h\) ein: \(-2 - 1{,}5\mu = 16 \Rightarrow -1{,}5\mu = 18 \Rightarrow \mu = -12\). Überprüfung der restlichen Komponenten: \(2 + 0{,}5 \cdot (-12) = -4\) und \(-3 - 1 \cdot (-12) = 9\). Somit ist \(\mu = -12\).

a) Die Richtungsvektoren sind kollinear (\(\vec{v}_g = -2 \cdot \vec{v}_h\)) und der Stützpunkt \((-2|2|-3)\) von \(h\) liegt auf \(g\) (für \(\lambda = -2\)). b) Der Punkt ist \(X(16| -4| 9)\); der zugehörige Parameterwert ist \(\mu = -12\).

- Setze die beiden Ausdrücke für den Ortsvektor \(\vec{x}\) gleich. - Überlege dir, wie man die Gleichung vereinfachen kann, wenn der Vektor \(\vec{v}\) in fast jedem Term vorkommt. - Was bedeutet es geometrisch, wenn zwei Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind? - Denke an die Definition der Punktmenge einer Geraden: Welche Punkte werden erreicht, wenn der Parameter alle reellen Zahlen durchläuft?

1. Gleichsetzen der Terme für einen beliebigen Punkt \(X\): \(\vec{a} + t \cdot \vec{v} = (\vec{a} + 2\vec{v}) + s \cdot (-0{,}5\vec{v})\). 2. Subtraktion von \(\vec{a}\) auf beiden Seiten führt zu \(t \cdot \vec{v} = 2\vec{v} - 0{,}5s \cdot \vec{v}\). 3. Da \(\vec{v} \neq \vec{0}\), können die Koeffizienten verglichen werden: \(t = 2 - 0{,}5s\). 4. Umstellen nach \(s\): \(0{,}5s = 2 - t \Rightarrow s = 4 - 2t\). Für jedes reelle \(t\) existiert somit ein eindeutiges reelles \(s\). 5. Begründung für b): Ein neuer Stützvektor \(\vec{b} = \vec{a} + r\vec{v}\) verschiebt lediglich den Startpunkt (\(s=0\)) auf der Geraden. Ein neuer Richtungsvektor \(\vec{u} = k\vec{v}\) (\(k \neq 0\)) ändert nur die Skalierung des Parameters (die „Schrittweite“), behält aber die Orientierung der Geraden im Raum bei (Kollinearität). Da die Linearkombination \(\vec{a} + r\vec{v} + s(k\vec{v}) = \vec{a} + (r + sk)\vec{v}\) für \(s \in \mathbb{R}\) alle Werte \(t = r + sk\) annehmen kann, wird dieselbe Punktmenge erzeugt.

a) Durch Gleichsetzen erhält man \(\vec{a} + t\vec{v} = \vec{a} + (2 - 0{,}5s)\vec{v}\). Der Zusammenhang ist \(s = 4 - 2t\). b) Jede Wahl eines Punktes der Geraden als Stützvektor und jedes kollinearen Richtungsvektors \(\neq \vec{0}\) führt zu einer linearen Umrechnung der Parameter (\(t = r + sk\)). Da diese Umrechnung für \(k \neq 0\) eine Bijektion auf \(\mathbb{R}\) darstellt, wird die identische Punktmenge durchlaufen.

- Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, der auf einer der Achsen liegt? - Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und der Richtungsvektor einer dazu senkrechten Geraden in der Ebene zusammen? - Kannst du die Parametergleichung komponentenweise in zwei Gleichungen zerlegen, um die Achsenabschnitte zu finden?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1\)-Achse (\(x_2 = 0\)): \(4 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}\). Einsetzen in \(x_1\): \(x_1 = 1 + 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{11}{3}\). Also \(S_1\left(\frac{11}{3}; 0\right)\) mit \(a = \frac{11}{3}\). Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse (\(x_1 = 0\)): \(1 + 2t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}\). Einsetzen in \(x_2\): \(x_2 = 4 - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + 1{,}5 = 5{,}5 = \frac{11}{2}\). Also \(S_2\left(0; \frac{11}{2}\right)\) mit \(b = \frac{11}{2}\). 2. Einsetzen von \(a\) und \(b\) in die Form \(\frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} = 1\): \(\frac{x_1}{11/3} + \frac{x_2}{11/2} = 1 \Rightarrow \frac{3x_1}{11} + \frac{2x_2}{11} = 1\). 3. Die Gerade \(h\) verläuft durch \(O(0; 0)\), also ist der Stützvektor \(\vec{0}\). Der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) von \(g\) sein. Es muss gelten: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 2v_1 - 3v_2 = 0\). Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung für \(h\): \(\vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\).

1. \(S_1\left(\frac{11}{3}; 0\right)\), \(S_2(0; 5{,}5)\) 2. \(\frac{3x_1}{11} + \frac{2x_2}{11} = 1\) (oder \(\frac{x_1}{3{,}67} + \frac{x_2}{5{,}5} = 1\)) 3. \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Welche Koordinate ist in der \(x_1x_2\)-Ebene immer Null? - Wie kannst du die Bedingung \(x_1 = x_3\) als Gleichung mit dem Parameter \(t\) ausdrücken? - Vergiss nicht, am Ende alle drei Koordinaten des gesuchten Punktes anzugeben.

1. Punkt \(C\): In der \(x_1x_2\)-Ebene gilt \(x_3 = 0\). Aus der dritten Zeile der Geradengleichung folgt \(2 + t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen in die anderen Zeilen liefert \(x_1 = 1 - (-2) = 3\) und \(x_2 = 4 + 2 \cdot (-2) = 0\). Der Punkt ist \(C(3 | 0 | 0)\). 2. Punkt \(D\): Die Bedingung lautet \(x_1 = x_3\). Mit den Termen der Geradengleichung ergibt sich \(1 - t = 2 + t\). Umstellen nach \(t\) führt zu \(-1 = 2t\), also \(t = -0{,}5\). Einsetzen in die Koordinaten liefert \(x_1 = 1 - (-0{,}5) = 1{,}5\), \(x_2 = 4 + 2 \cdot (-0{,}5) = 3\) und \(x_3 = 2 + (-0{,}5) = 1{,}5\). Der Punkt ist \(D(1{,}5 | 3 | 1{,}5)\).

a) \(C(3 | 0 | 0)\) b) \(D(1{,}5 | 3 | 1{,}5)\)

- Setze die Koordinaten des Punktes für den Vektor \(\vec{x}\) ein. - Betrachte jede Zeile der Vektorgleichung als eine einzelne Gleichung. - In welcher Gleichung kommt nur eine Unbekannte (zusätzlich zum Parameter \(\lambda\)) vor? - Versuche, eine Variable durch \(\lambda\) auszudrücken und in eine andere Gleichung einzusetzen. - Überprüfe, ob es mehr als einen Wert für \(\lambda\) geben kann, der die Gleichungen erfüllt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen von \(P\) und \(g\): (I) \(7 = a + 2\lambda\) (II) \(4 = 1 + a\lambda\) (III) \(10 = b + 3\lambda\) 2. Auflösen von (I) nach \(a\): \(a = 7 - 2\lambda\). 3. Einsetzen von \(a\) in (II): \(4 = 1 + (7 - 2\lambda) \cdot \lambda \implies 3 = 7\lambda - 2\lambda^2\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung \(2\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0\) mithilfe der Mitternachtsformel: \(\lambda_1 = 3\) und \(\lambda_2 = 0{,}5\). 5. Fall 1 (\(\lambda = 3\)): Einsetzen in die Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(a = 7 - 2 \cdot 3 = 1\) und \(10 = b + 3 \cdot 3 \implies b = 1\). 6. Fall 2 (\(\lambda = 0{,}5\)): Einsetzen in die Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(a = 7 - 2 \cdot 0{,}5 = 6\) und \(10 = b + 3 \cdot 0{,}5 \implies b = 8{,}5\).

Es gibt zwei mögliche Wertepaare: \(a_1 = 1, b_1 = 1\) (für \(\lambda = 3\)) und \(a_2 = 6, b_2 = 8{,}5\) (für \(\lambda = 0{,}5\)).

- Ein Punkt auf \(h'\) lässt sich durch Spiegelung eines beliebigen Punktes von \(h\) an \(Z\) finden. - Wie hängen das Spiegelzentrum \(Z\) und der Abstand zwischen einer Geraden und ihrer bildpunktgespiegelten Geraden zusammen? - Zur Abstandsberechnung paralleler Geraden kannst du den Abstand eines Punktes der einen Geraden zur anderen Geraden bestimmen. - Skizziere dir die Lage von \(h\), \(Z\) und \(h'\) im Geiste: \(Z\) liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Geraden.

1. Spiegelung des Stützpunktes \(A(1|1|1)\) an \(Z(4|5|1)\): \(\vec{a'} = 2\vec{z} - \vec{a} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Bildgerade ist \(h': \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Da \(h \parallel h'\), entspricht der Abstand zwischen den Geraden dem doppelten Abstand des Punktes \(Z\) zur Geraden \(h\). 3. Berechnung des Abstands \(d(Z, h)\): Der Vektor von \(A\) zu \(Z\) ist \(\vec{AZ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Abstand ergibt sich über das Kreuzprodukt mit dem Einheitsrichtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(d(Z, h) = \frac{|\vec{AZ} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5\). 4. Der Abstand zwischen den parallelen Geraden ist \(d(h, h') = 2 \cdot d(Z, h) = 2 \cdot 5 = 10\). Alternativ: Abstand zwischen \(A(1|1|1)\) und \(h'\). Der Lotfußpunkt von \(A\) auf \(h'\) ist \(F(7|9|1)\), da die \(z\)-Koordinate bereits übereinstimmt und die Richtungsvektoren in \(z\)-Richtung verlaufen. Der Abstand ist \(|\vec{AF}| = \sqrt{(7-1)^2 + (9-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\).

a) \(h': \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) Der Abstand beträgt \(10\) Längeneinheiten.