Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor in der Parameterform? - Wie kannst du mithilfe der fertigen Gleichung beliebig viele Punkte auf der Geraden finden? - Was musst du für den Parameter wählen, damit du nicht wieder bei den Startpunkten landest?

1. Aufstellen des Richtungsvektors \(\vec{u} = \vec{PQ}\): \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3-7 \\ 5-(-3) \\ -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung mit Stützpunkt \(P\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung eines weiteren Punktes \(S\), zum Beispiel durch Einsetzen von \(r = 2\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-8 \\ -3+16 \\ 2-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 13 \\ -6 \end{pmatrix}\). 4. Ein möglicher Punkt ist somit \(S(-1 \mid 13 \mid -6)\).

a) Eine mögliche Parameterdarstellung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\). b) Ein möglicher Punkt ist \(S(-1 \mid 13 \mid -6)\) (entsteht z. B. für \(r = 2\)).

- Wie sieht die allgemeine Form einer Geradengleichung aus, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor bekannt sind? - Welche Rolle spielt der Parameter in der Geradengleichung? - Wie kannst du die Verschiebung von einem Punkt aus mathematisch mithilfe von Vektoren ausdrücken? - Was bedeutet ein negativer Faktor vor dem Richtungsvektor für die Position auf der Geraden?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Punktes \(Q\) für den Parameter \(r = 2{,}5\): \(\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + 2{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 10 \\ -1 + 0 \\ 5 - 7{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Punktes \(R\) für den Parameter \(r = -2\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 8 \\ -1 + 0 \\ 5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ 11 \end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). b) \(Q(12 \mid -1 \mid -2{,}5)\) und \(R(-6 \mid -1 \mid 11)\).

- Was bedeutet es für die Richtungsvektoren zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander liegen? - Welche Bestandteile benötigst du grundsätzlich, um eine Gerade in Parameterform aufzustellen? - Wie kannst du den gegebenen Punkt \(P\) in der Geradengleichung verwenden?

1. Da die Gerade \(h\) parallel zu \(g\) verlaufen soll, kann der Richtungsvektor von \(g\) direkt als Richtungsvektor für \(h\) übernommen werden: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Der gegebene Punkt \(P(5 \mid -2 \mid 0)\) dient als Stützpunkt der Geraden \(h\). Sein Ortsvektor ist \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Durch Einsetzen von Stütz- und Richtungsvektor in die allgemeine Punkt-Richtungs-Form ergibt sich die Gleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\).

\(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Wie stellst du eine Geradengleichung auf, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Vektoren benötigst du für die Parameterform einer Geraden? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was muss für den Parameter \(r\) gelten, damit ein Punkt auf der Geraden liegt?

1. Aufstellen des Richtungsvektors \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\) und der Geradengleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(C\): Aus der ersten Zeile \(1 + 2r = 0\) folgt \(r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(4 - 4 \cdot (-0{,}5) = 6\) und in die dritte Zeile \(-2 + 4 \cdot (-0{,}5) = -4\). Da alle Koordinaten übereinstimmen, liegt \(C\) auf der Geraden \(g\). 3. Punktprobe für \(D\): Aus der ersten Zeile \(1 + 2r = 4\) folgt \(r = 1{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(4 - 4 \cdot 1{,}5 = -2\). Die dritte Zeile liefert jedoch \(-2 + 4 \cdot 1{,}5 = 4 \neq 5\). Da ein Widerspruch auftritt, liegt \(D\) nicht auf der Geraden \(g\).

Der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden \(g\), der Punkt \(D\) liegt nicht auf der Geraden \(g\).

- Kannst du eine allgemeine Gleichung für alle Punkte auf der Geraden \(h\) angeben? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie findest du dann den zugehörigen Parameterwert? - Was bedeutet es für die anderen Koordinaten, wenn ein Punkt auf der Geraden liegen soll? - Reicht es aus, nur eine Koordinate zu prüfen, um die Lage eines Punktes zu bestätigen?

1. Aufstellen der Geradengleichung \(h: \vec{x} = \vec{P} + t \cdot \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(a\): Aus der \(y\)-Koordinate von \(R\) folgt \(-1 + 3t = 5\), also \(3t = 6\) und \(t = 2\). Prüfung mit der \(z\)-Koordinate: \(5 - 3 \cdot 2 = -1\) (korrekt). Berechnung der \(x\)-Koordinate: \(a = 2 + 3 \cdot 2 = 8\). 3. Punktprobe für \(S\): Aus der \(x\)-Koordinate folgt \(2 + 3t = -1\), also \(3t = -3\) und \(t = -1\). Prüfung der anderen Koordinaten: \(y = -1 + 3 \cdot (-1) = -4\) (korrekt) und \(z = 5 - 3 \cdot (-1) = 8\) (korrekt). Somit liegt \(S\) auf der Geraden \(h\).

a) \(a = 8\) b) Der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(h\).

- Wie hängen die Komponenten des Richtungsvektors einer Geraden mit ihrer Steigung \(m\) zusammen? - Welche Information liefert der Stützvektor über einen Punkt, der auf dem Graphen der Funktion liegen muss? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse?

Zuerst wird die Steigung \(m\) aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) berechnet, indem der Quotient der Komponenten gebildet wird: \(m = \frac{-6}{3} = -2\). Anschließend wird der Stützvektor \(\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) als Punkt \(P(-2 \mid 5)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + t\) eingesetzt, um den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen: \(5 = -2 \cdot (-2) + t \implies 5 = 4 + t \implies t = 1\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -2x + 1\). Zur Berechnung der Nullstelle wird der Funktionsterm gleich null gesetzt: \(0 = -2x + 1\). Durch Umformen ergibt sich \(2x = 1\), woraus die Nullstelle \(x = 0{,}5\) folgt.

Funktionsterm: \(f(x) = -2x + 1\) Nullstelle: \(x = 0{,}5\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Wie kannst du aus dem Richtungsvektor einer Geraden in der Ebene die Steigung \(m\) ablesen? - Wenn du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst, wie lässt sich dann der \(y\)-Achsenabschnitt berechnen?

Da die Gerade \(h\) parallel zu \(g\) verläuft, besitzen beide Geraden dieselbe Steigung \(m\). Diese wird aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) von \(g\) berechnet: \(m = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Um den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) für die Gerade \(h\) zu finden, werden die Koordinaten des Punktes \(A(6 \mid -1)\) in den Ansatz \(f(x) = 0{,}5x + t\) eingesetzt: \(-1 = 0{,}5 \cdot 6 + t\). Dies vereinfacht sich zu \(-1 = 3 + t\), woraus \(t = -4\) folgt. Die gesuchte Funktionsgleichung ist demnach \(f(x) = 0{,}5x - 4\).

\(f(x) = 0{,}5x - 4\)

- Wie ist eine Gerade in Parameterform allgemein aufgebaut? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor? - Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten einen Vektor berechnen, der die Richtung der Geraden angibt? - Macht es einen Unterschied für die Gerade, welchen der beiden Punkte du als Startpunkt wählst?

1. Berechnung der Richtungsvektoren durch die Differenz der Ortsvektoren: \(\vec{v}_{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 - 5 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec{v}_{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -4 - 2 \\ 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(\vec{v}_{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -4 - 5 \\ 0 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen der Geradengleichungen mit jeweils einem der Punkte als Stützvektor: \(g_{AB}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(g_{AC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) (Hinweis: Andere Stützvektoren oder Vielfache der Richtungsvektoren sind ebenfalls korrekt.)

Mögliche Gleichungen sind: \(g_{AB}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(g_{AC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s, t \in \mathbb{R}\).

- Wie bestimmst du den Richtungsvektor, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt? Wie kannst du das mit der Geradengleichung prüfen? - Wenn ein Punkt auf der Geraden liegen soll, muss derselbe Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen funktionieren. - Kannst du aus den bekannten Koordinaten eines Punktes zuerst den Parameter bestimmen?

1. Richtungsvektor bestimmen: \(\vec{v} = \vec{Q} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ -4-0 \\ 6-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\). Gleichung: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(R(1 | 2 | -6)\): \(1 = 3 + 4k \Rightarrow k = -0{,}5\) \(2 = 0 - 4k \Rightarrow k = -0{,}5\) \(-6 = -2 + 8k \Rightarrow k = -0{,}5\) Da \(k\) für alle Koordinaten identisch ist, liegt \(R\) auf \(g\). 3. Punkt \(S(5 | y | 2)\) auf \(g\): \(5 = 3 + 4k \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 0{,}5\) \(2 = -2 + 8k \Rightarrow 8k = 4 \Rightarrow k = 0{,}5\) Einsetzen in die \(y\)-Koordinate: \(y = 0 + 0{,}5 \cdot (-4) = -2\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden \(g\) (für den Parameterwert \(k = -0{,}5\)). c) Der gesuchte Wert ist \(y = -2\).

- Welche Koordinaten sind im Richtungsvektor null? Was bedeutet das für die Richtung der Geraden? - Schau dir die Koordinaten des Stützvektors an. Liegt dieser Punkt auf einer Achse oder in einer der Koordinatenebenen? - Wenn eine Koordinate sowohl im Stütz- als auch im Richtungsvektor null ist, was sagt das über die gesamte Gerade aus? - Unterscheide zwischen „ist identisch mit einer Achse“ und „verläuft parallel zu einer Achse“.

1. Gerade \(g\): Der Stützvektor liegt auf der \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)) und der Richtungsvektor weist in \(z\)-Richtung. Somit ist \(g\) die \(z\)-Achse. 2. Gerade \(h\): Sowohl die \(z\)-Komponente des Stützvektors als auch die des Richtungsvektors ist \(0\). Die Gerade liegt somit vollständig in der \(xy\)-Ebene. 3. Gerade \(i\): Sowohl die \(x\)-Komponente des Stützvektors als auch die des Richtungsvektors ist \(0\). Die Gerade liegt somit vollständig in der \(yz\)-Ebene. 4. Gerade \(j\): Der Richtungsvektor hat nur eine Komponente in \(y\)-Richtung (Parallelität zur \(y\)-Achse). Da der Stützvektor nicht auf der \(y\)-Achse liegt (\(x \neq 0, z \neq 0\)), verläuft die Gerade parallel zur \(y\)-Achse durch den Punkt \((1|2|3)\).

a) \(g\) ist die \(z\)-Achse. b) \(h\) liegt in der \(xy\)-Ebene. c) \(i\) liegt in der \(yz\)-Ebene. d) \(j\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse.

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Geraden und den Komponenten ihres Richtungsvektors? - Wie findet man den \(y\)-Achsenabschnitt, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Was bedeutet der Begriff Nullstelle für den Funktionswert?

1. Zur Aufstellung der Parameterform \(\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}\) wird der Ortsvektor eines Punktes als Stützvektor gewählt, zum Beispiel \(\vec{p} = \vec{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz der Ortsvektoren: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 - (-4) \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). Damit lautet die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Die Steigung \(m\) der linearen Funktion \(f(x) = mx + c\) wird berechnet durch \(m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-2 - 1}{2 - (-4)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\). Durch Einsetzen von \(P(-4|1)\) in \(1 = -0{,}5 \cdot (-4) + c\) ergibt sich \(1 = 2 + c\), also \(c = -1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5x - 1\). 3. Die Nullstelle wird durch \(f(x) = 0\) bestimmt: \(0 = -0{,}5x - 1 \implies 0{,}5x = -1 \implies x = -2\).

1. \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) 2. \(f(x) = -0{,}5x - 1\) 3. \(x = -2\)

- Erinnere dich, wie man eine Gerade im Raum durch einen Stützpunkt und einen Richtungsvektor beschreibt. - Wie kannst du feststellen, ob ein bestimmter Punkt die Bedingungen einer Geradengleichung erfüllt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden vorgegeben ist, wie kannst du dann den zugehörigen Parameterwert bestimmen? - Denke daran, dass der Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen derselbe sein muss, wenn ein Punkt auf der Geraden liegt.

1. Als Stützvektor wird \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) gewählt. Der Richtungsvektor ist \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 5-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Zur Punktprobe wird \(\vec{OR}\) mit der Geradengleichung gleichgesetzt: \(\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(7 = 1 + 3r \implies r = 2\). Prüfung in Zeile 2: \(2 - 2 \cdot 2 = -2\) (wahr). Prüfung in Zeile 3: \(-1 + 6 \cdot 2 = 11\) (wahr). Da \(r = 2\) für alle Komponenten gilt, liegt \(R\) auf \(g\). 3. Für die \(x_1\)-Koordinate gilt die Gleichung \(1 + 3r = -2\). Daraus folgt \(3r = -3\), also \(r = -1\). Einsetzen von \(r = -1\) in die restlichen Koordinaten liefert \(x_2 = 2 - 2 \cdot (-1) = 4\) und \(x_3 = -1 + 6 \cdot (-1) = -7\). Der Punkt ist \(S(-2|4|-7)\).

1. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden \(g\) (für \(r = 2\)). 3. \(S(-2|4|-7)\)

- Wie berechnet man den Richtungsvektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor in der Parameterform? - Was bedeutet es rechnerisch für die Parameter \(r\), wenn ein Punkt auf einer Geraden liegen soll? - Muss der berechnete Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen derselbe sein?

1. Zur Aufstellung der Parameterform wird der Ortsvektor eines Punktes (z. B. \(A\)) als Stützvektor und der Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) als Richtungsvektor verwendet: \(\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-(-1) \\ -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 2. Für die Punktprobe wird \(P\) mit der Geradengleichung gleichgesetzt: I: \(5 = 3 - 2r \Rightarrow 2 = -2r \Rightarrow r = -1\) II: \(-4 = -1 + 3 \cdot (-1) \Rightarrow -4 = -4\) (wahr) III: \(7 = 2 - 6 \cdot (-1) \Rightarrow 7 = 8\) (falsch) Da die dritte Gleichung einen Widerspruch liefert, liegt der Punkt \(P\) nicht auf der Geraden \(g\).

1. Eine mögliche Parameterform ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Der Punkt \(P\) liegt nicht auf der Geraden \(g\), da die Punktprobe zu einem Widerspruch (\(7 \neq 8\)) führt.

- Stelle zuerst die Geradengleichung mithilfe der beiden Punkte \(C\) und \(D\) auf. - Setze den Punkt \(Q\) mit seinen Koordinaten in die Geradengleichung ein. - Welche der Koordinaten von \(Q\) ist bekannt und kann genutzt werden, um den Parameter \(t\) zu bestimmen? - Setze den gefundenen Parameter in die Gleichung für die gesuchte Koordinate ein.

1. Als Stützvektor wählen wir \(\vec{OC}\) und als Richtungsvektor \(\vec{CD}\): \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2-4 \\ 3-0 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). 2. Da \(Q\) auf \(h\) liegt, muss die Gleichung \(\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) für ein bestimmtes \(t\) lösbar sein. Aus der \(x\)-Koordinate: \(0 = 4 - 2t \Rightarrow 2t = 4 \Rightarrow t = 2\). Überprüfung mit der \(z\)-Koordinate: \(4 = -2 + 3 \cdot 2 \Rightarrow 4 = 4\) (konsistent). Berechnung von \(y\) mit \(t = 2\): \(y = 0 + 3 \cdot 2 = 6\).

1. \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) 2. Die fehlende Koordinate ist \(y = 6\).

- Welche zwei Bestandteile benötigst du grundsätzlich für eine Geradengleichung in Parameterform? - Was bedeutet die Eigenschaft „parallel“ für die Richtungsvektoren zweier Geraden? - Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten einen Vektor berechnen, der in Richtung ihrer Verbindung verläuft? - Spielt es eine Rolle, ob du den Richtungsvektor noch kürzt oder verlängerst?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{u}\) der Verbindungsgeraden durch die Punkte \(B\) und \(C\): \(\vec{u} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 3-0 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Da die gesuchte Gerade \(g\) parallel zu dieser Verbindungsgeraden sein soll, wird \(\vec{u}\) (oder ein skalares Vielfaches davon) als Richtungsvektor verwendet. 3. Aufstellen der Parameterform mit dem Ortsvektor des Punktes \(A\) als Stützvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\).

\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit gekürztem Richtungsvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r^* \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)) mit \(r, r^* \in \mathbb{R}\).

- Wie findet man rechnerisch den Punkt, der genau in der Mitte zwischen zwei anderen Punkten liegt? - Welche Information aus der Gleichung der Geraden \(k\) hilft dir dabei, die Parallelität für die neue Gerade \(m\) sicherzustellen? - Welche Rolle spielt der Punkt \(M\) beim Aufstellen der neuen Geradengleichung?

1. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(QR\) durch Mittelwertbildung der Koordinaten: \(M\left(\frac{0+4}{2} \middle| \frac{2-2}{2} \middle| \frac{-3+5}{2}\right) = M(2|0|1)\). 2. Da die Gerade \(m\) parallel zur Geraden \(k\) verlaufen soll, wird der Richtungsvektor von \(k\) übernommen: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Parametergleichung mit dem Ortsvektor von \(M\) als Stützvektor und \(\vec{v}\) als Richtungsvektor: \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).

\(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) (mit \(s \in \mathbb{R}\)).

- Was zeichnet eine Gerade aus, die durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wie prüfst du, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie kannst du damit den zugehörigen Parameter bestimmen?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, kann der Nullvektor als Stützvektor und der Ortsvektor \(\vec{OP}\) als Richtungsvektor gewählt werden. Es ergibt sich \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 2. Punktprobe für \(Q\): Einsetzen der Koordinaten von \(Q\) in die Gleichung führt auf das System \(-2r = 6\), \(4r = -12\) und \(r = -3\). Alle drei Gleichungen liefern \(r = -3\). Da ein einheitlicher Parameterwert existiert, liegt \(Q\) auf \(g\). 3. Bestimmung von \(R\): Aus der Bedingung \(x_2 = 10\) folgt \(4r = 10\), also \(r = 2{,}5\). Einsetzen dieses Wertes in die restlichen Koordinatengleichungen ergibt \(x_1 = -2 \cdot 2{,}5 = -5\) und \(x_3 = 1 \cdot 2{,}5 = 2{,}5\). Der Punkt ist \(R(-5|10|2{,}5)\).

a) \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) Ja, \(Q\) liegt auf \(g\) (für \(r = -3\)). c) \(R(-5|10|2{,}5)\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Geradengleichung zusammen? - Was passiert bei einer Ursprungsgeraden mit der Steigung, wenn die Gerade senkrecht steht? - Ein Punkt auf der Geraden liefert dir direkt einen Richtungsvektor vom Ursprung aus. - Überlege dir für die Parameterform, in welche Richtung man vom Ursprung aus „laufen“ muss.

1. Für Teil a) wählt man einen Wert für \(x_1\) oder \(x_2\) und löst die Gleichung \(3x_1 - 4x_2 = 0\). Setzt man \(x_1 = 4\), ergibt sich \(12 - 4x_2 = 0\), also \(x_2 = 3\). Ein möglicher Punkt ist \(P(4 \mid 3)\). Die Parameterform lautet \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Für Teil b) setzt man die Koordinaten von \(Q(-2 \mid 5)\) in \(x_2 = m \cdot x_1\) ein: \(5 = m \cdot (-2)\). Daraus folgt \(m = -2{,}5\). Die Gleichung lautet \(x_2 = -2{,}5x_1\). 3. Für Teil c): Die Gleichung \(x_1 = 0\) beschreibt die \(x_2\)-Achse. Bei einer Form \(x_2 = m \cdot x_1\) würde für \(x_1 = 0\) immer \(x_2 = 0\) folgen, was nur den Ursprung beschreibt und keine vertikale Gerade. In Parameterform kann jeder Punkt auf der \(x_2\)-Achse durch einen Richtungsvektor wie \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) erreicht werden: \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) z. B. \(P(4 \mid 3)\) und \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(x_2 = -2{,}5x_1\) c) Bei \(x_1 = 0\) ist die Steigung \(m\) nicht definiert (Division durch Null), da es sich um eine vertikale Gerade handelt. Eine Parameterform ist \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Wie setzt du Startpunkt und Ausbreitungsrichtung zu einer Parameterdarstellung zusammen? - Wie prüfst du, ob ein Punkt durch die Parameterdarstellung erreicht wird? - Was muss für den Parameter bei allen drei Koordinaten gleichzeitig gelten? - Welche Einschränkung des Parameters stellt sicher, dass nur Punkte in Ausbreitungsrichtung erfasst werden?

1. Aufstellen der Parameterdarstellung mit Stützvektor \(\vec{L}\) und Richtungsvektor \(\vec{u}\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \ge 0\). 2. Durchführung der Punktprobe für \(S(-1|7|8)\) durch Gleichsetzen mit der Parameterdarstellung: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Aus der ersten Zeile folgt \(-1 = 2 - r \Rightarrow r = 3\). 4. Überprüfung in den weiteren Zeilen: \(1 + 2 \cdot 3 = 7\) und \(5 + 1 \cdot 3 = 8\). 5. Da \(r = 3\) alle Koordinatengleichungen erfüllt und \(r \ge 0\) gilt, trifft der Lichtstrahl den Sensor.

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \ge 0\) b) Ja, der Lichtstrahl trifft den Sensor für \(r = 3\).

- Erstelle zuerst die Gleichung der Geraden, die durch die ersten beiden Punkte verläuft. - Wie prüft man, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt? - Was bedeutet es für die Lage des Punktes, wenn du für jede Koordinate denselben Wert für den Parameter erhältst?

1. Bestimmung des Richtungsvektors \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-4 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Punktprobe mit \(C(-2 \mid 7 \mid -5)\): I: \(1 + 3r = -2 \Rightarrow 3r = -3 \Rightarrow r = -1\) II: \(4 - 3r = 7 \Rightarrow -3r = 3 \Rightarrow r = -1\) III: \(-2 + 3r = -5 \Rightarrow 3r = -3 \Rightarrow r = -1\) 4. Da der Parameter \(r = -1\) für alle drei Koordinatengleichungen identisch ist, liegt der Punkt \(C\) auf der Geraden \(h\).

Der Punkt \(C(-2 \mid 7 \mid -5)\) liegt auf der Geraden \(h\). Mit der Geradengleichung \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt die Punktprobe für alle Koordinaten den Parameterwert \(r = -1\).

- Wie setzt man einen Stützvektor und einen Richtungsvektor zu einer Geraden zusammen? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn du ein Vielfaches des Richtungsvektors zum Stützvektor addierst? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie kannst du daraus den Wert des Parameters berechnen? - Kannst du die Geradengleichung in drei einzelne Gleichungen für \(x\), \(y\) und \(z\) zerlegen?

1. Aufstellen der Parameterform: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(P\) durch Einsetzen von \(t = -3\): \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Parameters für \(B\) über die \(y\)-Koordinate: \(3 - 1 \cdot t = 0 \implies t = 3\). 4. Berechnung der restlichen Koordinaten von \(B\) mit \(t = 3\): \(x = 0 + 1 \cdot 3 = 3\) und \(z = -2 + 2 \cdot 3 = 4\). Somit ist \(B(3 \mid 0 \mid 4)\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). b) \(P(-3 \mid 6 \mid -8)\). c) Der Parameterwert ist \(t = 3\). Der Punkt lautet \(B(3 \mid 0 \mid 4)\).

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielt der Stützvektor in der Parameterform? - Wie prüft man, ob ein gegebener Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn das Gleichungssystem für den Parameter \(s\) unterschiedliche Werte ergibt?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Als Richtungsvektor dient \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-2 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützvektor \(\vec{p}\) folgt \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für den Punkt \(Q\) gilt: \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Jede Zeile (\(5=1+4s\), \(0=2-2s\), \(7=3+4s\)) liefert \(s = 1\). 3. Punktprobe für \(R(11 | -3 | 13)\): Das Gleichungssystem \(1 + 4s = 11\), \(2 - 2s = -3\) und \(3 + 4s = 13\) ergibt jeweils \(s = 2{,}5\). Da der Parameterwert für alle drei Koordinaten identisch ist, liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form) b) \(s = 1\) c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden (für \(s = 2{,}5\)).

- Wie kannst du aus der Steigung einer Geraden einen Vektor bestimmen, der in dieselbe Richtung zeigt? - Was bedeutet es für die Koordinaten der Punkte auf einer Geraden, wenn die Gleichung nur eine Variable enthält (z. B. \(x=7\))? - Kannst du zwei Punkte finden, die die Gleichung erfüllen, und daraus einen Vektor berechnen? - Ein Stützvektor zeigt auf einen beliebigen Punkt der Geraden – welcher Punkt lässt sich am einfachsten berechnen?

1. Für \(g_1\): Durch Einsetzen von \(x = 0\) ergibt sich der Punkt \(P(0|-2)\) als Stützpunkt. Die Steigung \(m = \frac{3}{4}\) entspricht einem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Für \(g_2\): Die Achsenabschnitte sind \(x = 2\) (für \(y = 0\)) und \(y = -5\) (für \(x = 0\)). Mit dem Stützpunkt \(A(2|0)\) und dem weiteren Punkt \(B(0|-5)\) ergibt sich der Richtungsvektor \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}\) bzw. kollinear \(\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Für \(g_3\): Da \(x\) konstant \(7\) ist, verläuft die Gerade parallel zur \(y\)-Achse. Ein Stützpunkt ist \(P(7|0)\) und der Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Darstellung lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Mögliche Parameterdarstellungen sind: a) \(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) c) \(g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes mit der Geradengleichung verknüpfen? - Was muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt tatsächlich auf der Geraden liegt? - Wenn du einen Wert für den Parameter gefunden hast, wie kannst du entscheiden, ob der Punkt in einem bestimmten Abschnitt liegt? - Überprüfe jede Koordinate einzeln.

1. Punktprobe für \(P(5|6|1)\): Aufstellen des Gleichungssystems \(1 + 2r = 5\), \(-2 + 4r = 6\), \(3 - r = 1\). Alle drei Gleichungen liefern den konsistenten Wert \(r = 2\). Somit liegt \(P\) auf \(g\). 2. Intervallprüfung für \(P\): Der Parameterwert \(r = 2\) erfüllt die Bedingung \(0 \le 2 \le 3\), weshalb \(P\) auf der Teilstrecke liegt. 3. Punktprobe für \(Q(-3|-10|5)\): Das Gleichungssystem \(1 + 2r = -3\), \(-2 + 4r = -10\), \(3 - r = 5\) ergibt für jede Koordinate \(r = -2\). Somit liegt \(Q\) auf \(g\). 4. Intervallprüfung für \(Q\): Da \(r = -2\) nicht im Intervall \([0; 3]\) liegt, befindet sich \(Q\) nicht auf der Teilstrecke. 5. Punktprobe für \(R(0|0|3{,}5)\): Aus \(1 + 2r = 0\) folgt \(r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Komponente ergibt \(-2 + 4 \cdot (-0{,}5) = -4 \neq 0\). Da kein gemeinsamer Parameterwert existiert, liegt \(R\) nicht auf \(g\).

a) Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen auf der Geraden \(g\). Der Punkt \(R\) liegt nicht auf der Geraden. b) Nur der Punkt \(P\) liegt auf der Teilstrecke (bei \(r = 2\)). Der Punkt \(Q\) liegt mit \(r = -2\) außerhalb des Bereichs.

- Welche Koordinate ist in der \(x_1x_2\)-Ebene immer Null? - Wie kannst du die Bedingung \(x_1 = x_3\) als Gleichung mit dem Parameter \(t\) ausdrücken? - Vergiss nicht, am Ende alle drei Koordinaten des gesuchten Punktes anzugeben.

1. Punkt \(C\): In der \(x_1x_2\)-Ebene gilt \(x_3 = 0\). Aus der dritten Zeile der Geradengleichung folgt \(2 + t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen in die anderen Zeilen liefert \(x_1 = 1 - (-2) = 3\) und \(x_2 = 4 + 2 \cdot (-2) = 0\). Der Punkt ist \(C(3 | 0 | 0)\). 2. Punkt \(D\): Die Bedingung lautet \(x_1 = x_3\). Mit den Termen der Geradengleichung ergibt sich \(1 - t = 2 + t\). Umstellen nach \(t\) führt zu \(-1 = 2t\), also \(t = -0{,}5\). Einsetzen in die Koordinaten liefert \(x_1 = 1 - (-0{,}5) = 1{,}5\), \(x_2 = 4 + 2 \cdot (-0{,}5) = 3\) und \(x_3 = 2 + (-0{,}5) = 1{,}5\). Der Punkt ist \(D(1{,}5 | 3 | 1{,}5)\).

a) \(C(3 | 0 | 0)\) b) \(D(1{,}5 | 3 | 1{,}5)\)

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, die durch zwei Punkte verläuft? - Welche Bedingung muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt genau auf der Strecke zwischen den Endpunkten liegt? - Was passiert, wenn der berechnete Parameter kleiner als 0 oder größer als 1 ist? - Muss der Parameterwert für alle drei Koordinaten (x, y, z) identisch sein?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \vec{A} + k \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung von \(P(1|3|8)\): Einsetzen in die Gleichung ergibt \(5 - 6k = 1 \implies k = \frac{2}{3}\). Überprüfung der anderen Komponenten: \(-1 + 6 \cdot \frac{2}{3} = 3\) und \(2 + 9 \cdot \frac{2}{3} = 8\). Da \(0 \le \frac{2}{3} \le 1\), liegt \(P\) auf der Strecke. 3. Prüfung von \(Q(7|-3|-1)\): Einsetzen ergibt \(5 - 6k = 7 \implies k = -\frac{1}{3}\). Da \(k < 0\), liegt \(Q\) zwar auf der Geraden, aber außerhalb der Strecke \(\overline{AB}\). 4. Prüfung von \(R(3|1|5)\): Einsetzen ergibt \(5 - 6k = 3 \implies k = \frac{1}{3}\). Überprüfung der anderen Komponenten: \(-1 + 6 \cdot \frac{1}{3} = 1\) und \(2 + 9 \cdot \frac{1}{3} = 5\). Da \(0 \le \frac{1}{3} \le 1\), liegt \(R\) auf der Strecke.

Die Punkte \(P\) und \(R\) liegen auf der Strecke \(\overline{AB}\). Der Punkt \(Q\) liegt auf der Geraden durch \(A\) und \(B\), aber nicht auf der Strecke selbst.

- Wie berechnest du Punkte auf einer Geraden, wenn die Parameterwerte bereits gegeben sind? - Erinnere dich an die Bedeutung des Parameters: Wann befindet sich ein Punkt vor dem ersten Punkt, wann dazwischen und wann hinter dem zweiten Punkt? - Untersuche für Punkt \(N\) zuerst die Lage auf der gesamten Geraden und betrachte dann den Wert des Parameters.

1. Berechnung der Endpunkte: Für \(r=0\) ergibt sich \(C(-2|4|0)\). Für \(r=1\) ergibt sich \(D(4|-2|6)\). 2. Prüfung von \(M\): Gleichsetzen der Koordinaten mit der Geradengleichung liefert \(-2 + 6r = 1 \implies 6r = 3 \implies r = 0{,}5\). Einsetzen in die restlichen Zeilen: \(4 - 6 \cdot 0{,}5 = 1\) und \(0 + 6 \cdot 0{,}5 = 3\). Da \(0 \le 0{,}5 \le 1\), liegt \(M\) auf der Strecke \(\overline{CD}\). 3. Prüfung von \(N\): Gleichsetzen liefert \(-2 + 6r = 6 \implies 6r = 8 \implies r = \frac{4}{3}\). Einsetzen in die restlichen Zeilen: \(4 - 6 \cdot \frac{4}{3} = -4\) und \(0 + 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). Da alle Koordinaten stimmen, liegt \(N\) auf der Geraden \(g\). Da jedoch \(r = \frac{4}{3} > 1\), liegt \(N\) außerhalb der Strecke \(\overline{CD}\).

a) \(C(-2|4|0)\), \(D(4|-2|6)\) b) Ja, \(M\) liegt auf der Strecke \(\overline{CD}\) (Parameter \(r=0{,}5\)). c) \(N\) liegt auf der Geraden \(g\) (Parameter \(r=\frac{4}{3}\)), aber da \(r > 1\), liegt der Punkt nicht auf der Strecke \(\overline{CD}\).

- Stelle zuerst eine Parameterdarstellung für alle Punkte auf, die der Laserstrahl erreichen kann. - Wie kannst du die bekannte \(x\)-Koordinate nutzen, um den Parameter zu bestimmen? - Wenn du weißt, „wie weit“ man in Parameterdarstellung vom Startpunkt aus gehen muss, kannst du denselben Parameter für die anderen Koordinaten verwenden. - Prüfe auch, ob der gefundene Parameter zur Ausbreitungsrichtung des Strahls passt.

1. Aufstellen der Parameterdarstellung für den Laserstrahl: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1{,}2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -0{,}1 \end{pmatrix}\) mit \(t \ge 0\). 2. Bestimmung des Parameters mithilfe der bekannten \(x\)-Koordinate des Zielpunkts \(Z(17 | y | z)\): \(5 + 3t = 17 \Rightarrow 3t = 12 \Rightarrow t = 4\). 3. Berechnung der fehlenden Koordinaten: \(y = -2 + 4 \cdot 4 = 14\) und \(z = 1{,}2 + 4 \cdot (-0{,}1) = 0{,}8\). 4. Da \(t = 4 \ge 0\) gilt, liegt das Zentrum in Ausbreitungsrichtung des Strahls. Es hat die Koordinaten \(Z(17 | 14 | 0{,}8)\).

Die fehlenden Koordinaten des Zentrums der Zielscheibe sind \(y = 14\) und \(z = 0{,}8\). Der Punkt ist somit \(Z(17 | 14 | 0{,}8)\).

- Wie hängen der Normalenvektor einer Geraden in Koordinatenform und ihr Richtungsvektor zusammen? - Kannst du aus der Gleichung \(4x_1 + 3x_2 = 12\) einen Vektor ablesen, der senkrecht auf der Geraden steht? - Wenn du einen Vektor \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) hast, wie findest du einen Vektor, der senkrecht dazu ist? - Erinnere dich daran, dass parallele Geraden in derselben Ebene den gleichen Richtungsvektor besitzen können.

1. Aus der Koordinatengleichung \(4x_1 + 3x_2 = 12\) lässt sich der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) ablesen. 2. Ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) der Geraden muss orthogonal zum Normalenvektor stehen. Durch Vertauschen der Komponenten und Vorzeichenänderung einer Komponente erhält man \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, übernimmt \(h\) diesen Richtungsvektor. 4. Mit dem Punkt \(P(1 \mid 5)\) als Stützpunkt ergibt sich die Parameterform: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Was bedeutet die Angabe „in der \(x_1\)-\(x_3\)-Ebene“ für die \(x_2\)-Koordinate? - Wie kannst du aus einer Gleichung wie \(5x_1 = 2x_3\) ein konkretes Zahlenpaar für \(x_1\) und \(x_3\) finden? - Wie sieht der Stützvektor aus, wenn die Gerade durch den Ursprung verläuft? - Wie prüfst du allgemein, ob ein Punkt die Bedingungen einer Geradengleichung erfüllt?

1. Die Gerade liegt in der \(x_1\)-\(x_3\)-Ebene, woraus folgt, dass die \(x_2\)-Koordinate aller Punkte auf der Geraden \(0\) sein muss (\(x_2 = 0\)). Aus der Gleichung \(5x_1 - 2x_3 = 0\) folgt \(5x_1 = 2x_3\). Wählt man \(x_1 = 2\), so ergibt sich \(10 = 2x_3\), also \(x_3 = 5\). Ein Richtungsvektor ist somit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Da es eine Ursprungsgerade ist, lautet die Parameterform: \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\). 2. Zur Überprüfung setzen wir den Ortsvektor von \(Q\) mit der Geradengleichung gleich: \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(4 = 2s \Rightarrow s = 2\). Prüfung der anderen Zeilen mit \(s = 2\): Zweite Zeile: \(0 = 2 \cdot 0\) (wahr). Dritte Zeile: \(10 = 2 \cdot 5\) (wahr). Da ein einheitlicher Parameter \(s\) existiert, liegt der Punkt \(Q\) auf der Geraden \(h\).

1. Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Ja, der Punkt \(Q(4 \mid 0 \mid 10)\) liegt auf der Geraden \(h\), da sein Ortsvektor das Doppelte des Richtungsvektors \(\vec{v}\) ist (entspricht \(s = 2\)).

- Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was bedeutet es für den Parameter \(\lambda\), wenn eine Koordinate eines Punktes bereits bekannt ist? - Welchen Richtungsvektor haben die Koordinatenachsen im dreidimensionalen Raum? - Eine Gerade ist durch einen Punkt (Stützvektor) und eine Richtung (Richtungsvektor) eindeutig festgelegt.

1. Punktprobe für \(P\): Aus \(1 = 3 - \lambda\) folgt \(\lambda = 2\). Einsetzen in die anderen Komponenten ergibt \(2 = -2 + 2 \cdot 2\) (wahr) und \(15 = 5 + 5 \cdot 2\) (wahr). Somit liegt \(P\) auf \(g\). 2. Berechnung von \(Q\): Die Bedingung \(x_1 = 5\) führt zu \(5 = 3 - \lambda\), also \(\lambda = -2\). Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die Geradengleichung liefert \(x_2 = -2 + 2 \cdot (-2) = -6\) und \(x_3 = 5 + 5 \cdot (-2) = -5\). Der Punkt ist \(Q(5|-6|-5)\). 3. Gerade \(h\): Da \(h\) durch \(P\) verläuft, dient \(\vec{OP}\) als Stützvektor. Die Parallelität zur \(x_2\)-Achse bestimmt den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) \(P\) liegt auf \(g\) für \(\lambda = 2\). b) \(Q(5|-6|-5)\) c) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Wie berechnet man den Verbindungsvektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Eigenschaft teilen parallele Geraden hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren? - Was sind die Koordinaten des Ursprungs? - Denke daran, dass ein Richtungsvektor beliebig skaliert werden kann, solange er seine Richtung beibehält.

1. Geradengleichung \(k\): Mit dem Stützvektor \(\vec{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(E\): Das Gleichungssystem \(1 = 2 + 2s\), \(4 = 3 - 2s\) und \(-3 = -1 + 4s\) ergibt aus der ersten Zeile \(s = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite (\(4 = 3 + 1\)) und dritte Zeile (\(-3 = -1 - 2\)) liefert jeweils wahre Aussagen. \(E\) liegt auf \(k\). 3. Gerade \(m\): Da \(m \parallel k\), kann der Richtungsvektor von \(k\) (oder ein von null verschiedenes Vielfaches) übernommen werden. Der Stützvektor ist der Nullvektor \(\vec{0}\). Somit: \(m: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (Andere Stützpunkte oder von null verschiedene Vielfache des Richtungsvektors sind möglich) b) Ja, der Punkt \(E\) liegt auf \(k\) (für \(s = -0{,}5\)). c) \(m: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer darauf senkrecht stehenden Geraden zusammen? - Wo kannst du in der Koordinatengleichung der Ebene die Komponenten des Normalenvektors finden? - Welche Informationen benötigst du grundsätzlich, um eine Gerade in Parameterform aufzustellen?

1. Aus der Koordinatenform der Ebene \(E\) wird der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) abgelesen. 2. Da die Gerade \(g\) orthogonal zur Ebene verlaufen soll, entspricht ihr Richtungsvektor dem Normalenvektor der Ebene. 3. Mit dem Punkt \(P\) als Stützpunkt ergibt sich die Geradengleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\).

\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Überlege dir zuerst, welchen Punkt die Gerade auf jeden Fall enthalten muss (Stützvektor). - Welche Komponenten eines Richtungsvektors müssen null sein, damit er parallel zu einer Ebene oder Achse ist? - Wenn eine Gerade in einer bestimmten Ebene liegen soll, welche Bedingung müssen dann alle Punkte der Geraden erfüllen? - Denk daran, dass es für jede Aufgabe unendlich viele richtige Parametergleichungen gibt.

1. Zu a): Da die Gerade die \(x\)-Achse sein soll, wählen wir den Ursprung \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) als Stützpunkt und den Einheitsvektor in \(x\)-Richtung \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) als Richtungsvektor. Resultat: \(\vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Zu b): Der Stützvektor ist \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da die Gerade parallel zur \(z\)-Achse verläuft, muss der Richtungsvektor die Form \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix}\) mit \(c \neq 0\) haben. Resultat: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Zu c): Damit die Gerade in der \(xz\)-Ebene liegt, müssen die \(y\)-Komponenten von Stütz- und Richtungsvektor \(0\) sein. Da sie nicht durch den Ursprung geht, darf der Stützvektor nicht der Nullvektor (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors) sein, z. B. \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da sie nicht parallel zu den Achsen ist, müssen im Richtungsvektor sowohl \(x\) als auch \(z\) ungleich \(0\) sein. Resultat: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Zu d): Parallelität zur \(xy\)-Ebene bedeutet, dass die \(z\)-Komponente des Richtungsvektors \(0\) ist. Die feste Höhe \(z=4\) erfordert einen Stützvektor mit \(z=4\). Resultat: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(k: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) d) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Welche Koordinate muss den Wert Null haben, damit ein Punkt in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt? - Wie kannst du einen Punkt auf der Geraden berechnen, wenn du einen bestimmten Parameterwert kennst? - Wie hängen verschiedene Richtungsvektoren derselben Geraden mathematisch zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Länge (den Betrag) eines Vektors.

1. Um den Aufpunkt in der \(x_1x_2\)-Ebene zu finden, wird die \(x_3\)-Koordinate der Geradengleichung null gesetzt: \(1 - 6r = 0\). Daraus ergibt sich \(r = \frac{1}{6}\). 2. Einsetzen von \(r = \frac{1}{6}\) in die Geradengleichung liefert den neuen Aufpunkt \(P\left(\frac{16}{3} \mid -\frac{4}{3} \mid 0\right)\). 3. Die Länge des ursprünglichen Richtungsvektors \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\) beträgt \(\sqrt{2^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\). 4. Damit der neue Richtungsvektor \(\vec{v}\) die Länge \(\sqrt{14}\) besitzt, muss der ursprüngliche Vektor mit \(\pm \frac{1}{2}\) skaliert werden. Mögliche Richtungsvektoren sind \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) oder \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 5. Eine mögliche Gleichung ist somit \(\vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{16}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

Eine mögliche Gleichung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{16}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit dem Gegenvektor als Richtungsvektor).

- Welche Punkte der Geraden entsprechen den Parameterwerten \(\lambda = 0\) und \(\lambda = 1\)? - Überlege dir, welcher Parameterwert genau die Mitte der Strecke \(AB\) markiert. - Wie verändert sich die Position des Punktes auf der Geraden, wenn der Parameter negativ wird? - Stell dir vor, der Vektor \(\vec{AB}\) ist eine Schrittanweisung von \(A\) aus. Wo landest du bei einem halben Schritt oder einem rückwärtigen Schritt?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 4-(-2) \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen von \(\lambda = 0{,}4\) in die Geradengleichung: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1{,}2 \\ -2 + 2{,}4 \\ 3 - 1{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}2 \\ 0{,}4 \\ 1{,}8 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P(2{,}2 \mid 0{,}4 \mid 1{,}8)\). 3. Analyse der Parameterbereiche: Der Punkt \(P\) liegt für \(0 < \lambda < 1\) zwischen \(A\) und \(B\). Die Bedingung, dass er näher an \(B\) liegt (größere Entfernung zu \(A\)), wird ab dem Mittelpunkt (\(\lambda = 0{,}5\)) erfüllt. Somit gilt \(0{,}5 < \lambda < 1\). 4. Für \(\lambda < 0\) liegt der Punkt außerhalb der Strecke \(AB\) auf der Geraden, und zwar auf der Seite von \(A\), die \(B\) gegenüberliegt (auf der Verlängerung der Strecke über \(A\) hinaus).

a) \(P(2{,}2 \mid 0{,}4 \mid 1{,}8)\) b) \(0{,}5 < \lambda < 1\) (bzw. \(\lambda \in ]0{,}5; 1[\)) c) Der Punkt liegt auf der Geraden außerhalb der Strecke \(AB\) auf der Seite von \(A\).

- Welche Koordinate in der Gleichung gibt die Höhe über dem Boden an? - Wie hängen der Parameter \( t \) und die verstrichene Zeit zusammen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Überlege, ob du für die Entfernung den gesamten Ortsvektor oder nur den Richtungsanteil betrachten musst.

1. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die \( x_3 \)-Koordinate der Geradengleichung gleich der Zielhöhe gesetzt: \( 50 + 5t = 300 \). 2. Lösen der Gleichung nach \( t \): \( 5t = 250 \Rightarrow t = 50 \). Der Ballon erreicht die Höhe nach \( 50\,\text{s} \). 3. Die Entfernung vom Startpunkt \( P \) entspricht der Länge des Verschiebungsvektors \( t\vec{v} \) zum Zeitpunkt \( t = 50 \). Der Verschiebungsvektor ist \( 50\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 100 \\ 250 \end{pmatrix} \). 4. Berechnung des Betrags dieses Vektors: \( |\Delta \vec{x}| = \sqrt{200^2 + 100^2 + 250^2} = \sqrt{40\,000 + 10\,000 + 62\,500} = \sqrt{112\,500} \approx 335{,}41 \). Die Entfernung beträgt ca. \( 335{,}41\,\text{m} \).

a) Der Ballon erreicht die Höhe nach \( 50\,\text{s} \). b) Die Entfernung vom Startpunkt beträgt \( \sqrt{112\,500} \approx 335{,}41\,\text{m} \).

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Objekt den Erdboden berührt? - Wie findest du die genaue Position im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt \( t \)? - Welche Formel hilft dir, den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem zu bestimmen?

1. Das Flugzeug setzt auf dem Boden auf, wenn die \( x_3 \)-Koordinate Null ist: \( 600 - 20t = 0 \). 2. Lösen nach \( t \): \( 20t = 600 \Rightarrow t = 30 \). Das Flugzeug berührt den Boden nach \( 30\,\text{s} \). 3. Berechnung des Standorts zum Zeitpunkt \( t = 30 \): \( \vec{x}(30) = \begin{pmatrix} -2000 + 30 \cdot 80 \\ 1500 + 30 \cdot (-60) \\ 600 + 30 \cdot (-20) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400 \\ -300 \\ 0 \end{pmatrix} \). 4. Die Entfernung zum Ursprung ist der Betrag des Ortsvektors am Aufsetzpunkt: \( d = \sqrt{400^2 + (-300)^2 + 0^2} = \sqrt{160\,000 + 90\,000} = \sqrt{250\,000} = 500 \). Die Entfernung beträgt \( 500\,\text{m} \).

a) Das Flugzeug setzt nach \( 30\,\text{s} \) auf. b) Die Entfernung zum Koordinatenursprung beträgt \( 500\,\text{m} \).

- Überlege zuerst, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder nicht. - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben? - Wie verändert sich die Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? - Welche Koordinaten haben Punkte, die auf einer Koordinatenachse liegen? - Erinnere dich daran, dass zwei Geraden genau dann einen Schnittpunkt haben, wenn das zugehörige Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt.

1. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden nicht parallel. 2. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(4 + 2t = 1 + s\), \(-1 + 4t = 3 + s\) und \(2 - 4t = s\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(t = 3{,}5\) und \(s = 10\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-12 = 10\) (falsch). Die Geraden sind windschief. 3. Richtungsvektor für \(m\): Da \(m \parallel g\), ist der Richtungsvektor ein Vielfaches von \(\vec{u}_g\). Es gilt \(|\vec{u}_g| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = 6\). Für den Betrag 3 muss der Vektor mit \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) (oder \(-0{,}5\)) multipliziert werden. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Schnitt von \(g\) und \(n\): Ansatz für \(n: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_P \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Gleichsetzen mit \(g\) ergibt das System \(x_P + \lambda = 4 + 2t\), \(\lambda = -1 + 4t\) und \(\lambda = 2 - 4t\). Aus den letzten beiden folgt \(8t = 3 \Rightarrow t = 0{,}375\) und \(\lambda = 0{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_P + 0{,}5 = 4 + 0{,}75 \Rightarrow x_P = 4{,}25\). Der Punkt ist \(P(4{,}25|0|0)\).

a) Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)). c) Der Punkt auf der \(x_1\)-Achse ist \(P(4{,}25|0|0)\).

- Wie gehst du vor, wenn eine Koordinate eines Punktes durch eine Variable wie \(k\) ersetzt wurde? - Welche Gleichung musst du aufstellen, um Punkte mit speziellen Eigenschaften (z.B. Gleichheit von Koordinaten) zu finden? - Überlege dir, wie du den Parameter \(r\) eliminieren oder berechnen kannst, wenn eine Bedingung an die Koordinaten geknüpft ist.

1. Geradengleichung \(h\): Mit Stützvektor \(\vec{A}\) und Richtungsvektor \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(k\): Für die \(y\)-Koordinate gilt \(10 = 4 - 3r \Rightarrow 6 = -3r \Rightarrow r = -2\). Einsetzen in die \(z\)-Koordinate: \(-10 = -2 + 4 \cdot (-2) = -10\) (konsistent). Für die \(x\)-Koordinate folgt \(k = 1 + 2 \cdot (-2) = -3\). 3. Punkt mit \(x = z\): Bedingung \(1 + 2r = -2 + 4r\). Umstellen ergibt \(3 = 2r \Rightarrow r = 1{,}5\). Einsetzen von \(r\) in die Geradengleichung liefert den Punkt: \(x = 1 + 2 \cdot 1{,}5 = 4\), \(y = 4 - 3 \cdot 1{,}5 = -0{,}5\), \(z = -2 + 4 \cdot 1{,}5 = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(P(4|-0{,}5|4)\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(k = -3\) c) Ja, der Punkt ist \((4|-0{,}5|4)\).

- Was ist das Besondere an der Gleichung einer Ursprungsgeraden im Vergleich zu einer allgemeinen Geraden? - Wenn ein Punkt auf der Geraden liegt, muss derselbe Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen funktionieren. - Bei Teilaufgabe c) kannst du versuchen, den Parameter zuerst über eine feste Zahl zu bestimmen und dann die Abhängigkeiten von \(k\) zu prüfen.

1. Geradengleichung aufstellen: Da es eine Ursprungsgerade ist, lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe \(P(-6|3|-9)\): \(4s=-6 \Rightarrow s=-1{,}5\). Prüfung: \(-2(-1{,}5)=3\) und \(6(-1{,}5)=-9\). Beides wahr, \(P\) liegt auf \(h\). 3. Punktprobe \(Q(10|-5|12)\): \(4s=10 \Rightarrow s=2{,}5\). Prüfung: \(-2(2{,}5)=-5\) (wahr), aber \(6(2{,}5)=15 \neq 12\). \(Q\) liegt nicht auf \(h\). 4. Koordinaten von \(S(x|y|21)\): Aus der \(z\)-Koordinate folgt \(6s=21 \Rightarrow s=3{,}5\). Damit ergibt sich \(x = 4 \cdot 3{,}5 = 14\) und \(y = -2 \cdot 3{,}5 = -7\). 5. Untersuchung von \(R(k|k+6|18)\): Aus der \(z\)-Koordinate folgt \(6s=18 \Rightarrow s=3\). Für die \(x\)-Koordinate müsste gelten: \(4 \cdot 3 = k \Rightarrow k=12\). Setzt man \(k=12\) in den Ausdruck für die \(y\)-Koordinate ein, erhält man \(k+6 = 18\). Die Geradengleichung liefert für \(y\) jedoch \(-2 \cdot 3 = -6\). Da \(18 \neq -6\), gibt es kein solches \(k\).

a) \(P\) liegt auf \(h\); \(Q\) liegt nicht auf \(h\). b) \(x = 14\); \(y = -7\) c) Aus der \(z\)-Koordinate folgt der feste Parameter \(s=3\). Dieser liefert für die \(y\)-Koordinate den Wert \(-6\). Die Bedingung \(k+6=-6\) führt zu \(k=-12\), was jedoch im Widerspruch zur \(x\)-Koordinate steht, die für \(s=3\) den Wert \(12\) (also \(k=12\)) erfordert.

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden vom Parameter ab? - Stelle einen Term für die Summe der drei Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter auf. - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors. - Gibt es nur eine Lösung für einen Punkt mit einem bestimmten Abstand zum Ursprung?

1. Geradengleichung: Da \(h\) eine Ursprungsgerade ist, lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\). 2. Koordinatensumme: Die Summe der Koordinaten eines beliebigen Punktes auf \(h\) ist \(3s + (-2s) + 6s = 7s\). Die Bedingung \(7s = 21\) liefert \(s = 3\). Einsetzen ergibt \(B(9|-6|18)\). 3. Abstand zum Ursprung: Der Abstand eines Punktes auf der Geraden zum Ursprung entspricht dem Betrag seines Ortsvektors: \(|\vec{x}| = |s| \cdot \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = |s| \cdot \sqrt{49} = 7|s|\). Die Bedingung \(7|s| = 35\) liefert \(|s| = 5\), also \(s = 5\) oder \(s = -5\). Mögliche Punkte sind \(C_1(15|-10|30)\) oder \(C_2(-15|10|-30)\).

a) \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) b) \(B(9|-6|18)\) c) \(C(15|-10|30)\) oder \(C(-15|10|-30)\)

- Wann liegt ein Punkt auf einer Geraden, die durch eine Gleichung gegeben ist? - Du kannst die Parameterform als zwei einzelne Gleichungen für \(x_1\) und \(x_2\) schreiben. - Vergleiche die Komponenten des Richtungsvektors mit den Koordinaten des Punktes \(M\).

1. In Teil a) prüft man, ob der Punkt \(P(-b \mid a)\) die Gleichung erfüllt: \(a \cdot (-b) + b \cdot (a) = -ab + ab = 0\). Da der Punkt auf der Geraden liegt und nicht der Ursprung ist, ist \(\vec{OP} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) ein gültiger Richtungsvektor. 2. In Teil b) nutzt man die Parameterdarstellung \(x_1 = 5t\) und \(x_2 = 2t\). Durch Elimination von \(t\) (z. B. \(t = \frac{x_1}{5}\)) folgt \(x_2 = 2 \cdot \frac{x_1}{5}\), also \(x_2 = 0{,}4x_1\). Umgeformt in die gewünschte Form ergibt sich \(2x_1 - 5x_2 = 0\) (oder ein Vielfaches davon). 3. In Teil c) setzt man \(M(k \mid 6)\) in die Gleichung aus b) ein: \(2k - 5 \cdot 6 = 0\). Dies führt zu \(2k = 30\), also \(k = 15\). Alternativ über den Parameter: \(2t = 6 \implies t = 3\), daraus folgt \(k = 5 \cdot 3 = 15\).

a) Nachweis durch Einsetzen: \(a(-b) + b(a) = 0\). b) \(2x_1 - 5x_2 = 0\) c) \(k = 15\)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Welche Koordinate der Geradengleichung entspricht der Höhe? - Wenn du die Höhe kennst, wie kannst du den zugehörigen Parameterwert bestimmen? - Wie findest du die restlichen Koordinaten, sobald du den Wert für den Parameter kennst?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 40-10 \\ 50-20 \\ 70-100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ -30 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ -30 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Parameters \(t\) für die Höhe \(z = 85\): \(100 - 30t = 85 \Rightarrow -30t = -15 \Rightarrow t = 0{,}5\). 4. Berechnung der \(x\)- und \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen von \(t = 0{,}5\): \(x = 10 + 30 \cdot 0{,}5 = 25\) und \(y = 20 + 30 \cdot 0{,}5 = 35\). 5. Der gesuchte Punkt ist \(P(25|35|85)\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 30 \\ 30 \\ -30 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Das Objekt befindet sich im Punkt \(P(25|35|85)\) in einer Höhe von \(85\,\text{m}\).

- Was bedeutet es für die Richtungsvektoren zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Welchen Stützvektor verwendet man für eine Gerade, die durch den Ursprung geht? - Wie führt man eine Verschiebung eines Punktes um einen gegebenen Vektor rechnerisch aus? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Berechnung des Richtungsvektors von \(g\): \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-(-1) \\ 7-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Ursprungsgeraden \(h\): Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, übernimmt sie den Richtungsvektor. Mit dem Stützvektor \(\vec{0}\) ergibt sich \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Bildpunktes \(P'\): Die Verschiebung von \(P(6|4|4)\) um den Ortsvektor \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\) liefert \(\vec{OP'} = \vec{OP} + \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}\). Somit ist \(P'(8|3|9)\). 4. Punktprobe für \(P'\) auf \(g\): Die Gleichung von \(g\) lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Einsetzen von \(P'\) führt zu \(\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die erste Zeile ergibt \(8 = 2 + 3r \Rightarrow r = 2\). Prüfung in den anderen Zeilen: \(3 = -1 + 2 \cdot 2\) (wahr) und \(9 = 5 + 2 \cdot 2\) (wahr). Der Punkt \(P'\) liegt auf \(g\).

a) \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) b) Der Bildpunkt ist \(P'(8|3|9)\). Die Punktprobe mit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt für \(r = 2\) den Punkt \(P'\), womit die Lage bestätigt ist.

- Wie findest du einen beliebigen Punkt auf der Geraden \(g\), der nicht der Startpunkt ist? - Berechne zuerst die Länge des aktuellen Richtungsvektors. Wie verhält sich diese zur gewünschten Länge \(3\sqrt{14}\)? - Mit welchem Faktor musst du einen Vektor multiplizieren, um seine Richtung umzukehren und seine Länge anzupassen? - Vergiss nicht, dass du für eine Parameterdarstellung sowohl einen passenden Stützvektor als auch einen passenden Richtungsvektor benötigst.

1. Bestimmung eines neuen Stützvektors: Wähle z. B. \(t = 1\) in der Originalgleichung: \(\vec{p}_{neu} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung der Länge des ursprünglichen Richtungsvektors \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\): \(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\). 3. Skalierung des Richtungsvektors: Die Ziel-Länge ist \(3\sqrt{14}\), was dem \(1{,}5\)-fachen der ursprünglichen Länge entspricht. Da die Richtung entgegengesetzt sein soll, multiplizieren wir \(\vec{u}\) mit \(-1{,}5\). 4. Neuer Richtungsvektor: \(\vec{v}_{neu} = -1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix}\). 5. Aufstellen der Gleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Eine mögliche Parameterdarstellung ist: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix}\). (Hinweis: Der Stützvektor kann variieren, solange er ein Punkt der Geraden außer \((4|-2|5)\) ist.)

- Wie berechnet man den Ortsvektor eines Punktes, wenn der Parameter bekannt ist? - Welche Bedingung muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er in der \(xz\)-Ebene liegt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden bekannt ist, wie kannst du daraus den Wert des Parameters bestimmen? - Kannst du die Vektorgleichung in drei einzelne Gleichungen für \(x\), \(y\) und \(z\) zerlegen?

1. Einsetzen von \(r = 4\) in die Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 9 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(A(-4 | 10 | 9)\). 2. Bestimmung von \(r\) über die \(x\)-Koordinate: \(4 - 2r = 10 \Rightarrow -2r = 6 \Rightarrow r = -3\). Einsetzen von \(r = -3\) für die restlichen Koordinaten ergibt \(y = -2 + (-3) \cdot 3 = -11\) und \(z = 1 + (-3) \cdot 2 = -5\). Somit ist \(B(10 | -11 | -5)\). 3. In der \(xz\)-Ebene ist die \(y\)-Koordinate Null: \(-2 + 3r = 0 \Rightarrow 3r = 2 \Rightarrow r = \frac{2}{3}\). Einsetzen liefert \(x = 4 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) und \(z = 1 + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\). Der Spurpunkt ist \(S\left(\frac{8}{3} \mid 0 \mid \frac{7}{3}\right)\).

a) \(A(-4 | 10 | 9)\) b) \(r = -3\); \(B(10 | -11 | -5)\) c) \(r = \frac{2}{3}\); \(S\left(\frac{8}{3} \mid 0 \mid \frac{7}{3}\right)\)

- Wann liegt ein Punkt auf einer Geraden? Setze den Ortsvektor des Punktes für \(\vec{x}\) ein. - Ein Stützvektor muss immer ein Punkt sein, der bereits auf der Geraden liegt. - Wie verändert ein Skalar vor einem Vektor dessen Richtung und Länge? - Erinnere dich daran, dass eine Gerade unendlich viele verschiedene Parameterdarstellungen besitzt.

1. Punktprobe für \(P(5 \mid 2 \mid 4)\): Aus \(1 + 2t = 5\) folgt \(t = 2\). Prüfung der anderen Koordinaten: \(4 - 1 \cdot 2 = 2\) und \(-2 + 3 \cdot 2 = 4\). \(P\) liegt auf \(g\). 2. Punktprobe für \(Q(3 \mid 3 \mid 1)\): Aus \(1 + 2t = 3\) folgt \(t = 1\). Prüfung: \(4 - 1 \cdot 1 = 3\) und \(-2 + 3 \cdot 1 = 1\). \(Q\) liegt auf \(g\). 3. Punktprobe für \(R(-1 \mid 5 \mid -4)\): Aus \(1 + 2t = -1\) folgt \(t = -1\). Prüfung: \(4 - 1 \cdot (-1) = 5\) und \(-2 + 3 \cdot (-1) = -5 \neq -4\). \(R\) liegt nicht auf \(g\). 4. Bestimmung des neuen Richtungsvektors \(\vec{u}\): Der ursprüngliche Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die entgegengesetzte Orientierung und dreifache Länge entsprechen dem Skalar \(-3\). Also \(\vec{u} = -3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\). 5. Aufstellen der neuen Geradengleichung mit Stützvektor \(\vec{OQ}\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\).

a) Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen auf der Geraden \(g\), der Punkt \(R\) hingegen nicht. Somit können nur \(P\) und \(Q\) als neue Stützvektoren dienen. b) Eine mögliche neue Parameterdarstellung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\).

- Ein Richtungsvektor kann mit jeder beliebigen Zahl (außer Null) multipliziert werden, ohne die Gerade zu verändern. - Welcher Punkt der Geraden als Stützvektor gewählt wird, ist für die Gerade als Ganzes egal. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten mithilfe ihrer Ortsvektoren? - Was bedeutet „entgegengesetzt orientiert“ für das Vorzeichen des Skalars beim Richtungsvektor?

1. Berechnung des Differenzvektors: \(\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung 1: Stützvektor ist \(\vec{Q} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Bedingung 2: Der neue Richtungsvektor ist \(\vec{u} = -2 \cdot \vec{PQ} = \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}\). Als Stützvektor kann ein beliebiger Punkt der Geraden gewählt werden, z. B. \(P\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}\). 4. Bedingung 3: Berechnung des Mittelpunktes \(M\): \(\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{P} + \vec{Q}) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2+4 \\ 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Darstellung ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\).

Mögliche Lösungen sind: 1. \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\)

- Wie findet man rechnerisch den Punkt, an dem eine Gerade die \(y\)-Achse kreuzt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten in der Form \(ax + by = c\) und dem Normalenvektor der Geraden. - Wie findet man zu einem gegebenen Vektor einen anderen Vektor, der senkrecht auf ihm steht? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors?

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(x = 0\) in die Gleichung \(3x + 2y = 6\) ein. Es folgt \(2y = 6\), also \(y = 3\). Der Stützvektor ist somit \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Richtungsvektors: Die Normalenform der Geraden hat den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Ein dazu orthogonaler Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches davon). 3. Überprüfung der Bedingungen für \(\vec{u}\): Die Länge von \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) ist \(\sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}\). Die \(x\)-Komponente ist \(2\), was positiv ist. Damit ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\).

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\)

- Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, der auf einer der Achsen liegt? - Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und der Richtungsvektor einer dazu senkrechten Geraden in der Ebene zusammen? - Kannst du die Parametergleichung komponentenweise in zwei Gleichungen zerlegen, um die Achsenabschnitte zu finden?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1\)-Achse (\(x_2 = 0\)): \(4 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}\). Einsetzen in \(x_1\): \(x_1 = 1 + 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{11}{3}\). Also \(S_1\left(\frac{11}{3} \mid 0\right)\) mit \(a = \frac{11}{3}\). Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse (\(x_1 = 0\)): \(1 + 2t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}\). Einsetzen in \(x_2\): \(x_2 = 4 - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{11}{2}\). Also \(S_2\left(0 \mid \frac{11}{2}\right)\) mit \(b = \frac{11}{2}\). 2. Einsetzen von \(a\) und \(b\) in die Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{11/3} + \frac{x_2}{11/2} = 1\), äquivalent zu \(\frac{3x_1}{11} + \frac{2x_2}{11} = 1\). 3. Die Gerade \(h\) verläuft durch \(O(0 \mid 0)\), also ist der Stützvektor \(\vec{0}\). Der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) von \(g\) sein. Es gilt \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 2v_1 - 3v_2 = 0\). Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Damit lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\).

1. \(S_1\left(\frac{11}{3} \mid 0\right)\), \(S_2\left(0 \mid \frac{11}{2}\right)\) 2. \(\frac{x_1}{11/3} + \frac{x_2}{11/2} = 1\), äquivalent zu \(\frac{3x_1}{11} + \frac{2x_2}{11} = 1\) 3. \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und ihr Normalenvektor in der Ebene zusammen? - Kannst du die Vektorgleichung in ein Gleichungssystem für \(x\) und \(y\) zerlegen? - Was passiert, wenn du den Parameter aus dem Gleichungssystem eliminierst? - Überlege dir bei Aufgabenteil 2, wie man den Vektor in einen konstanten Teil und einen Teil mit Parameter aufspalten kann.

1. Der Richtungsvektor ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor ist somit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes \(\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) in die Normalenform \(\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{p}\) ergibt \(5 \cdot (-1) - 3 \cdot 4 = -17\). Die Gleichung lautet \(5x - 3y = -17\). 2. Die Parameterdarstellung lässt sich als \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) schreiben. Mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich durch Einsetzen des Punktes \((3|0)\) der Wert \(1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 3\). Die Gleichung lautet \(x + 2y = 3\). 3. Mit dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist ein Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes \((0|2)\) führt zu \(0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 2\). Die Gleichung lautet \(y = 2\).

1. \(g_1: 5x - 3y = -17\) 2. \(g_2: x + 2y = 3\) 3. \(g_3: y = 2\)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung oder dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor für die Koordinatenform. - Was bedeutet Parallelität für die Koeffizienten in der Koordinatengleichung? - Welche Eigenschaft hat die Konstante \(c\) in der Gleichung \(ax + by = c\), wenn die Gerade durch den Ursprung verläuft?

1. Als Stützvektor wird \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) gewählt. Der Richtungsvektor ergibt sich aus \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt ein Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) oder vereinfacht \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatenform ist \(2x + y = c\). Einsetzen von \(A(3|-2)\) ergibt \(2 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 4\). Die Gleichung ist \(2x + y = 4\). 3. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, kann derselbe Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. Die Gleichung hat die Form \(2x + y = c\). Da \(h\) durch \((0|0)\) geht, folgt \(2 \cdot 0 + 0 = 0\). Die Gleichung lautet \(2x + y = 0\).

1. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) 2. \(g: 2x + y = 4\) 3. \(h: 2x + y = 0\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Wie kannst du die bekannte Koordinate nutzen, um den Parameter der Geraden zu bestimmen? - Muss der Parameterwert für alle drei Koordinatenzeilen derselbe sein? - Was passiert, wenn die Rechnungen für verschiedene Koordinaten zu unterschiedlichen Parameterwerten führen?

1. Für Punkt \(A\): Die \(x_2\)-Koordinate ist \(0\). Aus der Geradengleichung folgt \(-2 + r = 0\), also \(r = 2\). Einsetzen von \(r\) in die anderen Zeilen ergibt \(x_1 = 3 + 2 \cdot 2 = 7\) und \(x_3 = 1 - 3 \cdot 2 = -5\). Somit liegt \(A(7 | 0 | -5)\) auf der Geraden. 2. Für Punkt \(B\): Die \(x_1\)-Koordinate ist \(7\). Aus \(3 + 2r = 7\) folgt \(2r = 4\), also \(r = 2\). Die \(x_3\)-Koordinate muss dann \(1 - 3 \cdot 2 = -5\) sein. Da für \(B\) jedoch \(x_3 = -4\) vorgegeben ist, gibt es einen Widerspruch (\(-5 \neq -4\)). Es gibt keinen Wert für \(x_2\), sodass \(B\) auf \(g\) liegt.

a) Ja, für \(x_1 = 7\) und \(x_3 = -5\) liegt der Punkt \(A(7 | 0 | -5)\) auf \(g\). b) Nein, da die \(x_1\)-Koordinate den Parameter \(r = 2\) erfordert, die \(x_3\)-Koordinate jedoch \(r = \frac{5}{3}\).

- Beginne mit der Punktprobe, indem du den Punkt \(R\) für \(\vec{x}\) einsetzt. - Welche der drei Koordinatengleichungen enthält nur eine einzige Unbekannte? - Bestimme zuerst den Geradenparameter \(\lambda\). - Nutze den gefundenen Wert für \(\lambda\), um nacheinander die anderen Variablen in den übrigen Gleichungen zu berechnen.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Punktprobe: (I) \(1 = s + 2\lambda\) (II) \(5 = r + \lambda s\) (III) \(-2 = 4 - 3\lambda\) 2. Berechnung von \(\lambda\) aus (III): \(-6 = -3\lambda \implies \lambda = 2\). 3. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in (I): \(1 = s + 2 \cdot 2 \implies 1 = s + 4 \implies s = -3\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) und \(s = -3\) in (II): \(5 = r + 2 \cdot (-3) \implies 5 = r - 6 \implies r = 11\).

\(r = 11\) und \(s = -3\)

- Überlege dir zuerst, welche Punkte die gesuchten Geraden festlegen. - Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks im Raum. - Wähle einen der beiden Punkte als Stützpunkt und die Differenz der Ortsvektoren als Richtungsvektor.

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{AB}\): \(\vec{M_{AB}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aufstellen der Geradengleichung für \(g\) mit Stützvektor \(\vec{C}\) und Richtungsvektor \(\vec{CM_{AB}}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Schwerpunkts \(S_{ABC}\): \(\vec{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 6+0+0 \\ 0+6+0 \\ 0+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aufstellen der Geradengleichung für \(h\) mit Stützvektor \(\vec{D}\) und Richtungsvektor \(\vec{DS_{ABC}}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -9 \end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -9 \end{pmatrix}\)

- Identifiziere für jede Gerade einen Punkt als Aufpunkt und berechne den Vektor zwischen den beiden gegebenen Punkten als Richtungsvektor. - Achte darauf, für verschiedene Geraden unterschiedliche Parameter (z. B. \(t, u, v\)) zu verwenden. - Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den Endpunkten.

1. Für die Gerade \(g_{AS}\) wird der Stützvektor \(\vec{A}\) und der Richtungsvektor \(\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-2 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\) verwendet: \(g_{AS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\). 2. Für die Gerade \(g_{CS}\) wird der Stützvektor \(\vec{C}\) und der Richtungsvektor \(\vec{CS} = \vec{S} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 5-8 \\ 5-8 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\) verwendet: \(g_{CS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{BC}\): \(\vec{M_{BC}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Gerade \(m\) durch \(S\) und \(M_{BC}\) ergibt sich zu: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \left( \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}\).

a) \(g_{AS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\); \(g_{CS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\) b) \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}\)

- Wie bildest du einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Welche Formel hilft dir, den Schwerpunkt eines Dreiecks aus den Eckpunkten zu bestimmen? - Was bedeutet es für die Richtungsvektoren zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander sind?

1. Gerade \(g_{BC}\): Mit Stützvektor \(\vec{B}\) und Richtungsvektor \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Mittelpunkt \(M_{BC}\): \(\vec{m}_{BC} = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{C}) = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Seitenhalbierende \(s_a\): Mit Stützvektor \(\vec{A}\) und Richtungsvektor \(\vec{AM}_{BC} = \begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (vereinfacht \(\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)) ergibt sich \(s_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Schwerpunkt \(S\): \(\vec{s} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 5. Gerade \(h\): Der Mittelpunkt von \(AC\) ist \(M_{AC}(0|2|5)\). Die Richtung von \(s_b\) ist \(\vec{BM}_{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) (vereinfacht \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)). Mit Stützpunkt \(S\) folgt \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(M_{BC}(-1{,}5|4|4)\); \(s_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) c) \(S(0|3|4)\) d) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Nutze die Vektoreigenschaft \(\vec{AB} = \vec{DC}\), um den fehlenden Punkt im Parallelogramm zu finden. - Wo schneiden sich die Diagonalen eines Parallelogramms? - Wie lautet die allgemeine Form einer Geradengleichung in Parameterform? - Denke daran, dass du Richtungsvektoren durch Multiplikation mit einem Skalar vereinfachen kannst.

1. Eckpunkt \(D\): In einem Parallelogramm gilt \(\vec{D} = \vec{A} + \vec{BC} = \vec{A} + (\vec{C} - \vec{B})\). Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{D} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Diagonale \(g_{BD}\): Mit Stützvektor \(\vec{B}(6|1|4)\) und Richtungsvektor \(\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}\) (vereinfacht \(\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)) ergibt sich \(g_{BD}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\). 3. Schnittpunkt \(M\): \(M\) ist der Mittelpunkt der Diagonale \(AC\), also \(\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{C}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Mittelpunkt \(M_{CD}\): \(\vec{m}_{CD} = \frac{1}{2}(\vec{C} + \vec{D}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Gerade \(k\): Mit Stützvektor \(\vec{M}\) und Richtungsvektor \(\vec{MM}_{CD} = \vec{M}_{CD} - \vec{M} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

a) \(D(0|3|-2)\) b) \(g_{BD}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) c) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

- Wie bildest du einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Was muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt auf der Geraden liegt? - Welche Koordinate ist in der \(x_1x_2\)-Ebene immer Null? - Was haben parallele Geraden hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren gemeinsam?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Die Geradengleichung lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(C(-2 | 5 | -4)\): Aus der ersten Koordinate folgt \(4 - 3r = -2 \Rightarrow r = 2\). Einsetzen in die anderen Koordinaten ergibt \(-1 + 3 \cdot 2 = 5\) und \(2 - 3 \cdot 2 = -4\). Somit liegt \(C\) auf \(g\). 3. Punktprobe für \(D(7 | -4 | 6)\): Aus der ersten Koordinate folgt \(4 - 3r = 7 \Rightarrow r = -1\). Die Prüfung der weiteren Koordinaten ergibt \(-1 + 3 \cdot (-1) = -4\) und \(2 - 3 \cdot (-1) = 5\). Da \(5 \neq 6\), liegt \(D\) nicht auf \(g\). 4. In der \(x_1x_2\)-Ebene ist \(x_3 = 0\). Aus \(2 - 3r = 0\) folgt \(r = \frac{2}{3}\). Einsetzen in die Koordinaten liefert \(x_1 = 4 - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2\) und \(x_2 = -1 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 1\). Der Punkt ist \(S(2 | 1 | 0)\). 5. Eine parallele Gerade \(h\) besitzt den gleichen Richtungsvektor wie \(g\). Mit dem Stützpunkt \(P\) ergibt sich \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors) b) \(C\) liegt auf \(g\); \(D\) liegt nicht auf \(g\). c) \(S(2 | 1 | 0)\) d) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\)

- Zuerst musst du herausfinden, wie die Ebene im Raum orientiert ist. Welche Vektoren spannen sie auf? - Wie findet man einen Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Der Ursprung als Punkt hat ganz spezielle Koordinaten. Wie sieht der zugehörige Ortsvektor aus?

1. Bestimmung zweier Spannvektoren der Ebene: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Ein kollinearer, vereinfachter Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, ist der Stützvektor \(\vec{0}\). 5. Die Parametergleichung lautet \(h: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\).

\(h: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Wenn der Mittelpunkt eines Quadrats im Ursprung liegt, wie weit sind die Seitenmitten und die Ecken dann vom Ursprung entfernt? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Strecke liegt, kannst du eine Geradengleichung aufstellen und schauen, ob es einen passenden Parameter gibt. - Denke daran, dass der Parameter für eine Strecke zwischen zwei Punkten zwischen 0 und 1 liegen muss.

1. Bestimmung der Grundpunkte: Da der Mittelpunkt bei \((0|0)\) liegt und die Seitenlänge \(8\) beträgt, liegen die Ecken bei \(\pm 4\) in \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung. Die \(x_3\)-Koordinate ist \(0\). \(A(4|-4|0)\), \(B(4|4|0)\), \(C(-4|4|0)\), \(D(-4|-4|0)\). 2. Aufstellen der Geradengleichung für die Kante \(SA\): \(\vec{x} = \vec{s} + t \cdot (\vec{a} - \vec{s}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4-0 \\ -4-0 \\ 0-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -12 \end{pmatrix}\). 3. Punktprobe für \(P(2|-2|6)\): \(2 = 0 + 4t \implies t = 0{,}5\) \(-2 = 0 - 4t \implies t = 0{,}5\) \(6 = 12 - 12t \implies 12t = 6 \implies t = 0{,}5\) 4. Da \(t = 0{,}5\) für alle Koordinaten gilt und im Bereich \(0 \le t \le 1\) liegt, befindet sich der Punkt \(P\) auf der Kante \(SA\).

a) Die Eckpunkte sind \(A(4|-4|0)\), \(B(4|4|0)\), \(C(-4|4|0)\) und \(D(-4|-4|0)\). b) Ja, der Punkt \(P(2|-2|6)\) liegt auf der Kante \(SA\), da er die Geradengleichung für \(t = 0{,}5\) erfüllt.

- Stelle zuerst die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte auf. - Wann sind zwei Vektoren parallel? Wie prüfst du das rechnerisch? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors und wie skaliert man ihn auf eine bestimmte Länge? - Was zeichnet die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_3\)-Achse aus? - Ein Punkt auf einer Geraden lässt sich durch die Geradengleichung in Abhängigkeit von einem Parameter ausdrücken.

1. Gerade \(g\): Richtungsvektor \(\vec{u}_g = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (vereinfachter Richtungsvektor). 2. Lagebeziehung: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(1+t = \mu\), \(2 = 1-\mu\), \(-1+t = 4\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\mu = -1\). Dann ergibt die erste Gleichung \(t = -2\). Die dritte Gleichung liefert \(-3 = 4\) (Widerspruch). Also windschief. 3. Richtungsvektor für \(k\): Parallelität zu \(h\) bedeutet \(\vec{v}_k = c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|c| \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = |c| \cdot \sqrt{2}\). Da \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), muss \(|c| = 3\) gelten. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Punkt \(C\) auf \(h\): \(C(\mu | 1-\mu | 4)\). Gerade \(j: \vec{x} = \begin{pmatrix} \mu \\ 1-\mu \\ 4 \end{pmatrix} + \tau \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Schnitt mit \(x_3\)-Achse bedeutet \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). Aus \(1-\mu + 0 = 0\) folgt \(\mu = 1\). Damit ergibt \(\mu + \tau = 0\) den Wert \(\tau = -1\). Für \(\mu = 1\) ist der Punkt \(C(1|0|4)\).

a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und das Gleichungssystem hat keine Lösung; daher sind die Geraden windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)). c) Der gesuchte Stützpunkt ist \(C(1|0|4)\).

- Setze die beiden Ausdrücke für den Ortsvektor \(\vec{x}\) gleich. - Überlege dir, wie man die Gleichung vereinfachen kann, wenn der Vektor \(\vec{v}\) in fast jedem Term vorkommt. - Was bedeutet es geometrisch, wenn zwei Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind? - Denke an die Definition der Punktmenge einer Geraden: Welche Punkte werden erreicht, wenn der Parameter alle reellen Zahlen durchläuft?

1. Gleichsetzen der Terme für einen beliebigen Punkt \(X\): \(\vec{a} + t\vec{v} = (\vec{a} + 2\vec{v}) + s(-0{,}5\vec{v})\). 2. Subtraktion von \(\vec{a}\) auf beiden Seiten führt zu \(t\vec{v} = 2\vec{v} - 0{,}5s\vec{v}\). 3. Da \(\vec{v} \neq \vec{0}\), können die Koeffizienten verglichen werden: \(t = 2 - 0{,}5s\). 4. Umstellen nach \(s\): \(0{,}5s = 2 - t \Rightarrow s = 4 - 2t\). Für jedes reelle \(t\) existiert somit ein eindeutiges reelles \(s\). 5. Begründung für b): Ein neuer Stützvektor \(\vec{b} = \vec{a} + r\vec{v}\) verschiebt lediglich den Startpunkt (\(s=0\)) auf der Geraden. Ein neuer Richtungsvektor \(\vec{u} = k\vec{v}\) (\(k \neq 0\)) ändert die Skalierung des Parameters und kehrt bei \(k < 0\) die Orientierung um; wegen der Kollinearität bleibt die beschriebene Gerade unverändert. Da die Linearkombination \(\vec{a} + r\vec{v} + s(k\vec{v}) = \vec{a} + (r + sk)\vec{v}\) für \(s \in \mathbb{R}\) alle Werte \(t = r + sk\) annehmen kann, wird dieselbe Punktmenge erzeugt.

a) Durch Gleichsetzen erhält man \(\vec{a} + t\vec{v} = \vec{a} + (2 - 0{,}5s) \cdot \vec{v}\). Der Zusammenhang ist \(s = 4 - 2t\). b) Jede Wahl eines Punktes der Geraden als Stützvektor und jedes kollinearen Richtungsvektors \(\neq \vec{0}\) führt zu einer linearen Umrechnung der Parameter (\(t = r + sk\)). Da diese Umrechnung für \(k \neq 0\) eine Bijektion auf \(\mathbb{R}\) darstellt, wird die identische Punktmenge durchlaufen.

- Setze die Koordinaten des Punktes für den Vektor \(\vec{x}\) ein. - Betrachte jede Zeile der Vektorgleichung als eine einzelne Gleichung. - In welcher Gleichung kommt nur eine Unbekannte (zusätzlich zum Parameter \(\lambda\)) vor? - Versuche, eine Variable durch \(\lambda\) auszudrücken und in eine andere Gleichung einzusetzen. - Überprüfe, ob es mehr als einen Wert für \(\lambda\) geben kann, der die Gleichungen erfüllt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen von \(P\) und \(g\): (I) \(7 = a + 2\lambda\) (II) \(4 = 1 + a\lambda\) (III) \(10 = b + 3\lambda\) 2. Auflösen von (I) nach \(a\): \(a = 7 - 2\lambda\). 3. Einsetzen von \(a\) in (II): \(4 = 1 + (7 - 2\lambda) \cdot \lambda \implies 3 = 7\lambda - 2\lambda^2\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung \(2\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0\) mithilfe der Mitternachtsformel: \(\lambda_1 = 3\) und \(\lambda_2 = 0{,}5\). 5. Fall 1 (\(\lambda = 3\)): Einsetzen in die Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(a = 7 - 2 \cdot 3 = 1\) und \(10 = b + 3 \cdot 3 \implies b = 1\). 6. Fall 2 (\(\lambda = 0{,}5\)): Einsetzen in die Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(a = 7 - 2 \cdot 0{,}5 = 6\) und \(10 = b + 3 \cdot 0{,}5 \implies b = 8{,}5\).

Es gibt zwei mögliche Wertepaare: \(a_1 = 1, b_1 = 1\) (für \(\lambda = 3\)) und \(a_2 = 6, b_2 = 8{,}5\) (für \(\lambda = 0{,}5\)).