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- Welcher Verbindungsvektor der beiden Punkte eignet sich als Richtungsvektor? - Wähle für b) einen Parameterwert, der weder zum Stützpunkt noch zum zweiten gegebenen Punkt führt. - Jede andere zulässige Parameterwahl liefert ebenfalls einen richtigen weiteren Geradenpunkt.

1. Der Richtungsvektor ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3-7\\5-(-3)\\-2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\8\\-4\end{pmatrix}\). 2. Eine Parameterform ist \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}7\\-3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\8\\-4\end{pmatrix}\). 3. Wählt man zum Beispiel \(r=2\), erhält man \(S(-1|13|-6)\). Dieser Punkt unterscheidet sich von \(P\) und \(Q\).

a) \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}7\\-3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\8\\-4\end{pmatrix}\) oder eine äquivalente Parameterform. b) Zum Beispiel \(S(-1|13|-6)\).

- Welche beiden Bestandteile der Parameterform sind unmittelbar gegeben? - Ein positiver Parameter bewegt den Punkt in Richtung von \(\vec{v}\); was bedeutet ein negativer Parameter? - Setze die beiden vorgegebenen Faktoren jeweils als Parameterwert ein.

1. Mit \(P\) als Stützpunkt und \(\vec{v}\) als Richtungsvektor ist \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\). 2. Für \(r=2{,}5\) ergibt sich \(Q=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}+2{,}5\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\-1\\-2{,}5\end{pmatrix}\). 3. Für \(r=-2\) ergibt sich \(R=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-1\\11\end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\) b) \(Q(12|-1|-2{,}5)\), \(R(-6|-1|11)\)

- Welche Beziehung müssen die Richtungsvektoren paralleler Geraden haben? - Welcher Vektor ergibt sich unmittelbar aus dem vorgeschriebenen Punkt \(P\)? - Mehrere skalare Vielfache des gegebenen Richtungsvektors führen zu richtigen Parameterformen.

1. Für eine zu \(g\) parallele Gerade kann \(\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\) oder jedes von null verschiedene skalare Vielfache davon als Richtungsvektor verwendet werden. 2. Der gegebene Punkt \(P\) liefert den Stützvektor \(\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}\). 3. Damit ist zum Beispiel \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\).

Zum Beispiel \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\).

- Welcher Parameterwert gehört immer zum Stützpunkt? - In welche Richtung werden die Parameterwerte positiv? - Was bedeutet ein weiterer gleich langer Richtungsvektorschritt? - Was ändert sich, wenn du dich vom Stützpunkt entgegen der positiven Richtung bewegst?

1. Der Stützpunkt \(S\) gehört zu \(t=0\). 2. Der Strahl \(u\) zeigt von \(S\) über \(A\) in positive Parameterrichtung. Da \(\overrightarrow{SA}\) genau einem Richtungsvektorschritt entspricht, gehört \(A\) zu \(t=1\). 3. \(C\) liegt noch einen gleich langen Schritt weiter in positiver Richtung, also gehört \(C\) zu \(t=2\). 4. \(B\) liegt einen gleich langen Schritt entgegen der positiven Richtung, also gehört \(B\) zu \(t=-1\).

\(B\leftrightarrow t=-1\) \(S\leftrightarrow t=0\) \(A\leftrightarrow t=1\) \(C\leftrightarrow t=2\)

- Wie stellst du eine Geradengleichung auf, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Vektoren benötigst du für die Parameterform einer Geraden? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was muss für den Parameter \(r\) gelten, damit ein Punkt auf der Geraden liegt?

1. Aufstellen des Richtungsvektors \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\) und der Geradengleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(C\): Aus der ersten Zeile \(1 + 2r = 0\) folgt \(r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(4 - 4 \cdot (-0{,}5) = 6\) und in die dritte Zeile \(-2 + 4 \cdot (-0{,}5) = -4\). Da alle Koordinaten übereinstimmen, liegt \(C\) auf der Geraden \(g\). 3. Punktprobe für \(D\): Aus der ersten Zeile \(1 + 2r = 4\) folgt \(r = 1{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(4 - 4 \cdot 1{,}5 = -2\). Die dritte Zeile liefert jedoch \(-2 + 4 \cdot 1{,}5 = 4 \neq 5\). Da ein Widerspruch auftritt, liegt \(D\) nicht auf der Geraden \(g\).

Der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden \(g\), der Punkt \(D\) liegt nicht auf der Geraden \(g\).

- Kannst du eine allgemeine Gleichung für alle Punkte auf der Geraden \(h\) angeben? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie findest du dann den zugehörigen Parameterwert? - Was bedeutet es für die anderen Koordinaten, wenn ein Punkt auf der Geraden liegen soll? - Reicht es aus, nur eine Koordinate zu prüfen, um die Lage eines Punktes zu bestätigen?

1. Aufstellen der Geradengleichung \(h: \vec{x} = \vec{P} + t \cdot \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(a\): Aus der \(y\)-Koordinate von \(R\) folgt \(-1 + 3t = 5\), also \(3t = 6\) und \(t = 2\). Prüfung mit der \(z\)-Koordinate: \(5 - 3 \cdot 2 = -1\) (korrekt). Berechnung der \(x\)-Koordinate: \(a = 2 + 3 \cdot 2 = 8\). 3. Punktprobe für \(S\): Aus der \(x\)-Koordinate folgt \(2 + 3t = -1\), also \(3t = -3\) und \(t = -1\). Prüfung der anderen Koordinaten: \(y = -1 + 3 \cdot (-1) = -4\) (korrekt) und \(z = 5 - 3 \cdot (-1) = 8\) (korrekt). Somit liegt \(S\) auf der Geraden \(h\).

a) \(a = 8\) b) Der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(h\).

- Wie hängen die Komponenten des Richtungsvektors einer Geraden mit ihrer Steigung \(m\) zusammen? - Welche Information liefert der Stützvektor über einen Punkt, der auf dem Graphen der Funktion liegen muss? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse?

Zuerst wird die Steigung \(m\) aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) berechnet, indem der Quotient der Komponenten gebildet wird: \(m = \frac{-6}{3} = -2\). Anschließend wird der Stützvektor \(\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) als Punkt \(P(-2 \mid 5)\) in die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + t\) eingesetzt, um den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen: \(5 = -2 \cdot (-2) + t \implies 5 = 4 + t \implies t = 1\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -2x + 1\). Zur Berechnung der Nullstelle wird der Funktionsterm gleich null gesetzt: \(0 = -2x + 1\). Durch Umformen ergibt sich \(2x = 1\), woraus die Nullstelle \(x = 0{,}5\) folgt.

Funktionsterm: \(f(x) = -2x + 1\) Nullstelle: \(x = 0{,}5\)

- Was bedeutet es für die Steigung zweier Geraden, wenn diese parallel zueinander verlaufen? - Wie kannst du aus dem Richtungsvektor einer Geraden in der Ebene die Steigung \(m\) ablesen? - Wenn du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst, wie lässt sich dann der \(y\)-Achsenabschnitt berechnen?

Da die Gerade \(h\) parallel zu \(g\) verläuft, besitzen beide Geraden dieselbe Steigung \(m\). Diese wird aus dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) von \(g\) berechnet: \(m = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Um den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) für die Gerade \(h\) zu finden, werden die Koordinaten des Punktes \(A(6 \mid -1)\) in den Ansatz \(f(x) = 0{,}5x + t\) eingesetzt: \(-1 = 0{,}5 \cdot 6 + t\). Dies vereinfacht sich zu \(-1 = 3 + t\), woraus \(t = -4\) folgt. Die gesuchte Funktionsgleichung ist demnach \(f(x) = 0{,}5x - 4\).

\(f(x) = 0{,}5x - 4\)

- Wie ist eine Gerade in Parameterform allgemein aufgebaut? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor? - Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten einen Vektor berechnen, der die Richtung der Geraden angibt? - Macht es einen Unterschied für die Gerade, welchen der beiden Punkte du als Startpunkt wählst?

1. Berechnung der Richtungsvektoren durch die Differenz der Ortsvektoren: \(\vec{v}_{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 - 5 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec{v}_{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -4 - 2 \\ 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(\vec{v}_{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -4 - 5 \\ 0 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen der Geradengleichungen mit jeweils einem der Punkte als Stützvektor: \(g_{AB}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(g_{AC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) (Hinweis: Andere Stützvektoren oder Vielfache der Richtungsvektoren sind ebenfalls korrekt.)

Mögliche Gleichungen sind: \(g_{AB}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(g_{BC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(g_{AC}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s, t \in \mathbb{R}\).

- Wie bestimmst du den Richtungsvektor, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt? Wie kannst du das mit der Geradengleichung prüfen? - Wenn ein Punkt auf der Geraden liegen soll, muss derselbe Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen funktionieren. - Kannst du aus den bekannten Koordinaten eines Punktes zuerst den Parameter bestimmen?

1. Der Richtungsvektor ist \(\vec{v}=\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4\\-4\\8\end{pmatrix}\). Damit ist eine Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}4\\-4\\8\end{pmatrix}\). 2. Für \(R\) liefern die drei Koordinaten \(1=3+4k\), \(2=-4k\) und \(-6=-2+8k\) jeweils \(k=-0{,}5\). Daher liegt \(R\) auf \(g\). 3. Für \(S(5|z|2)\) folgt aus \(5=3+4k\) der Wert \(k=0{,}5\); die dritte Koordinate bestätigt diesen Wert. Dann ist \(z=-4\cdot0{,}5=-2\).

a) Zum Beispiel \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}4\\-4\\8\end{pmatrix}\) b) Ja, für \(k=-0{,}5\). c) \(z=-2\)

- Welche Komponenten des Richtungsvektors sind jeweils null, und welche Bewegungsrichtungen bleiben dadurch möglich? - Welche Koordinate bleibt bei allen Punkten einer Geraden konstant, wenn dieselbe Komponente im Stütz- und Richtungsvektor null ist? - Prüfe zusätzlich den Stützpunkt, bevor du entscheidest, ob eine Gerade mit einer Koordinatenachse identisch ist oder nur parallel zu ihr verläuft.

1. Bei \(g\) haben Stütz- und Richtungsvektor in der \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponente jeweils den Wert \(0\). Der Richtungsvektor zeigt in \(x_3\)-Richtung. Daher ist \(g\) die \(x_3\)-Achse. 2. Bei \(h\) ist die \(x_3\)-Komponente sowohl des Stützvektors als auch des Richtungsvektors \(0\). Daher liegt \(h\) vollständig in der \(x_1x_2\)-Ebene. 3. Bei \(i\) ist die \(x_1\)-Komponente sowohl des Stützvektors als auch des Richtungsvektors \(0\). Daher liegt \(i\) vollständig in der \(x_2x_3\)-Ebene. 4. Bei \(j\) hat der Richtungsvektor nur eine von \(0\) verschiedene \(x_2\)-Komponente. Die Gerade verläuft daher parallel zur \(x_2\)-Achse. Da ihr Stützpunkt nicht auf dieser Achse liegt, ist sie nicht mit der \(x_2\)-Achse identisch.

a) \(g\) ist die \(x_3\)-Achse. b) \(h\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. c) \(i\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene. d) \(j\) verläuft echt parallel zur \(x_2\)-Achse.

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Geraden und den Komponenten ihres Richtungsvektors? - Wie findet man den \(y\)-Achsenabschnitt, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind? - Was bedeutet der Begriff Nullstelle für den Funktionswert?

1. Zur Aufstellung der Parameterform \(\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v}\) wird der Ortsvektor eines Punktes als Stützvektor gewählt, zum Beispiel \(\vec{p} = \vec{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz der Ortsvektoren: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 - (-4) \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). Damit lautet die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Die Steigung \(m\) der linearen Funktion \(f(x) = mx + c\) wird berechnet durch \(m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-2 - 1}{2 - (-4)} = \frac{-3}{6} = -0{,}5\). Durch Einsetzen von \(P(-4|1)\) in \(1 = -0{,}5 \cdot (-4) + c\) ergibt sich \(1 = 2 + c\), also \(c = -1\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5x - 1\). 3. Die Nullstelle wird durch \(f(x) = 0\) bestimmt: \(0 = -0{,}5x - 1 \implies 0{,}5x = -1 \implies x = -2\).

1. \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) 2. \(f(x) = -0{,}5x - 1\) 3. \(x = -2\)

- Welcher Vektor verbindet die beiden gegebenen Punkte und kann deshalb als Richtungsvektor dienen? - Bei einer Punktprobe muss derselbe Parameterwert alle drei Koordinatengleichungen erfüllen. - Nutze bei Teil 3 zuerst die vorgegebene \(x_1\)-Koordinate, um den Parameter zu bestimmen.

1. Als Stützvektor wird \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) gewählt. Der Richtungsvektor ist \(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\begin{pmatrix}3\\-2\\6\end{pmatrix}\). Damit lautet eine Parameterform \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\-2\\6\end{pmatrix}\). 2. Aus \(7=1+3r\) folgt \(r=2\). Für denselben Wert gilt \(2-2\cdot2=-2\) und \(-1+6\cdot2=11\). Daher liegt \(R\) auf \(g\). 3. Aus \(1+3r=-2\) folgt \(r=-1\). Damit sind \(x_2=2-2(-1)=4\) und \(x_3=-1+6(-1)=-7\). Also ist \(S(-2|4|-7)\).

1. \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\-2\\6\end{pmatrix}\) oder eine äquivalente Parameterform. 2. Ja, \(R\) liegt für \(r=2\) auf \(g\). 3. \(S(-2|4|-7)\)

- Wie berechnet man den Richtungsvektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielen der Stützvektor und der Richtungsvektor in der Parameterform? - Was bedeutet es rechnerisch für die Parameter \(r\), wenn ein Punkt auf einer Geraden liegen soll? - Muss der berechnete Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen derselbe sein?

1. Zur Aufstellung der Parameterform wird der Ortsvektor eines Punktes (z. B. \(A\)) als Stützvektor und der Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) als Richtungsvektor verwendet: \(\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-(-1) \\ -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 2. Für die Punktprobe wird \(P\) mit der Geradengleichung gleichgesetzt: I: \(5 = 3 - 2r \Rightarrow 2 = -2r \Rightarrow r = -1\) II: \(-4 = -1 + 3 \cdot (-1) \Rightarrow -4 = -4\) (wahr) III: \(7 = 2 - 6 \cdot (-1) \Rightarrow 7 = 8\) (falsch) Da die dritte Gleichung einen Widerspruch liefert, liegt der Punkt \(P\) nicht auf der Geraden \(g\).

1. Eine mögliche Parameterform ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Der Punkt \(P\) liegt nicht auf der Geraden \(g\), da die Punktprobe zu einem Widerspruch (\(7 \neq 8\)) führt.

- Welcher Verbindungsvektor der Punkte \(C\) und \(D\) eignet sich als Richtungsvektor? - Nutze zunächst eine bekannte Koordinate von \(Q\), um den Parameterwert zu bestimmen. - Derselbe Parameterwert muss anschließend auch zur dritten Koordinate passen.

1. Als Stützvektor wird \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\) gewählt. Der Richtungsvektor ist \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}2-4\\3-0\\1-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}\). Damit ist eine Parameterform \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}\). 2. Für \(Q\) gilt \(0=4-2t\), also \(t=2\). Die dritte Koordinate bestätigt diesen Wert, denn \(4=-2+3\cdot2\). Damit ist \(y=3\cdot2=6\).

1. \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}\) oder eine äquivalente Parameterform. 2. \(y=6\)

- Welche zwei Bestandteile benötigst du grundsätzlich für eine Geradengleichung in Parameterform? - Was bedeutet die Eigenschaft „parallel“ für die Richtungsvektoren zweier Geraden? - Wie kannst du aus zwei gegebenen Punkten einen Vektor berechnen, der in Richtung ihrer Verbindung verläuft? - Spielt es eine Rolle, ob du den Richtungsvektor noch kürzt oder verlängerst?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{u}\) der Verbindungsgeraden durch die Punkte \(B\) und \(C\): \(\vec{u} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 3-0 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Da die gesuchte Gerade \(g\) parallel zu dieser Verbindungsgeraden sein soll, wird \(\vec{u}\) (oder ein skalares Vielfaches davon) als Richtungsvektor verwendet. 3. Aufstellen der Parameterform mit dem Ortsvektor des Punktes \(A\) als Stützvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\).

\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit gekürztem Richtungsvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + r^* \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)) mit \(r, r^* \in \mathbb{R}\).

- Wie findet man rechnerisch den Punkt, der genau in der Mitte zwischen zwei anderen Punkten liegt? - Welche Information aus der Gleichung der Geraden \(k\) hilft dir dabei, die Parallelität für die neue Gerade \(m\) sicherzustellen? - Welche Rolle spielt der Punkt \(M\) beim Aufstellen der neuen Geradengleichung?

1. Der Mittelpunkt der Strecke \(QR\) ist \(M\left(\frac{0+4}{2}\middle|\frac{2-2}{2}\middle|\frac{-3+5}{2}\right)=M(2|0|1)\). 2. Da \(m\) parallel zu \(k\) verlaufen soll, kann der Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\) von \(k\) übernommen werden. 3. Mit \(M\) als Stützpunkt ergibt sich die Parameterform \(m:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\).

\(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) (mit \(s \in \mathbb{R}\)).

- Was zeichnet eine Gerade aus, die durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wie prüfst du, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes bekannt ist, wie kannst du damit den zugehörigen Parameter bestimmen?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, kann der Nullvektor als Stützvektor und der Ortsvektor \(\vec{OP}\) als Richtungsvektor gewählt werden. Es ergibt sich \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 2. Punktprobe für \(Q\): Einsetzen der Koordinaten von \(Q\) in die Gleichung führt auf das System \(-2r = 6\), \(4r = -12\) und \(r = -3\). Alle drei Gleichungen liefern \(r = -3\). Da ein einheitlicher Parameterwert existiert, liegt \(Q\) auf \(g\). 3. Bestimmung von \(R\): Aus der Bedingung \(x_2 = 10\) folgt \(4r = 10\), also \(r = 2{,}5\). Einsetzen dieses Wertes in die restlichen Koordinatengleichungen ergibt \(x_1 = -2 \cdot 2{,}5 = -5\) und \(x_3 = 1 \cdot 2{,}5 = 2{,}5\). Der Punkt ist \(R(-5|10|2{,}5)\).

a) \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) Ja, \(Q\) liegt auf \(g\) (für \(r = -3\)). c) \(R(-5|10|2{,}5)\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Geradengleichung zusammen? - Was passiert bei einer Ursprungsgeraden mit der Steigung, wenn die Gerade senkrecht steht? - Ein Punkt auf der Geraden liefert dir direkt einen Richtungsvektor vom Ursprung aus. - Überlege dir für die Parameterform, in welche Richtung man vom Ursprung aus „laufen“ muss.

1. Für Teil a) wählt man einen Wert für \(x_1\) oder \(x_2\) und löst die Gleichung \(3x_1 - 4x_2 = 0\). Setzt man \(x_1 = 4\), ergibt sich \(12 - 4x_2 = 0\), also \(x_2 = 3\). Ein möglicher Punkt ist \(P(4 \mid 3)\). Die Parameterform lautet \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Für Teil b) setzt man die Koordinaten von \(Q(-2 \mid 5)\) in \(x_2 = m \cdot x_1\) ein: \(5 = m \cdot (-2)\). Daraus folgt \(m = -2{,}5\). Die Gleichung lautet \(x_2 = -2{,}5x_1\). 3. Für Teil c): Die Gleichung \(x_1 = 0\) beschreibt die \(x_2\)-Achse. Bei einer Form \(x_2 = m \cdot x_1\) würde für \(x_1 = 0\) immer \(x_2 = 0\) folgen, was nur den Ursprung beschreibt und keine vertikale Gerade. In Parameterform kann jeder Punkt auf der \(x_2\)-Achse durch einen Richtungsvektor wie \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) erreicht werden: \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) z. B. \(P(4 \mid 3)\) und \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(x_2 = -2{,}5x_1\) c) Bei \(x_1 = 0\) ist die Steigung \(m\) nicht definiert (Division durch Null), da es sich um eine vertikale Gerade handelt. Eine Parameterform ist \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Welche beiden Angaben aus dem Text liefern Stützpunkt und Richtungsvektor des Strahls? - Bei einer Punktprobe muss ein gemeinsamer Parameterwert für alle drei Koordinaten existieren. - Welche zusätzliche Bedingung muss dieser Parameterwert erfüllen, damit der Punkt auf dem Strahl und nicht nur auf seiner Trägergeraden liegt?

1. Mit \(L\) als Stützpunkt und \(\vec{u}\) als Richtungsvektor ist \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\) mit \(r\ge0\). 2. Für \(S\) liefert die erste Koordinate \(-1=2-r\), also \(r=3\). Für diesen Wert gelten auch \(1+2\cdot3=7\) und \(5+3=8\). 3. Da derselbe Parameterwert alle drei Koordinaten erfüllt und \(3\ge0\) ist, trifft der Lichtstrahl den Sensor.

a) \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\) mit \(r\ge0\) b) Ja, für \(r=3\).

- Erstelle zuerst die Gleichung der Geraden, die durch die ersten beiden Punkte verläuft. - Wie prüft man, ob ein Punkt eine Gleichung erfüllt? - Was bedeutet es für die Lage des Punktes, wenn du für jede Koordinate denselben Wert für den Parameter erhältst?

1. Bestimmung des Richtungsvektors \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-4 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Punktprobe mit \(C(-2 \mid 7 \mid -5)\): I: \(1 + 3r = -2 \Rightarrow 3r = -3 \Rightarrow r = -1\) II: \(4 - 3r = 7 \Rightarrow -3r = 3 \Rightarrow r = -1\) III: \(-2 + 3r = -5 \Rightarrow 3r = -3 \Rightarrow r = -1\) 4. Da der Parameter \(r = -1\) für alle drei Koordinatengleichungen identisch ist, liegt der Punkt \(C\) auf der Geraden \(h\).

Der Punkt \(C(-2 \mid 7 \mid -5)\) liegt auf der Geraden \(h\). Mit der Geradengleichung \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt die Punktprobe für alle Koordinaten den Parameterwert \(r = -1\).

- Setze Stützvektor und Richtungsvektor unmittelbar zur Parameterform zusammen. - Welcher Parameterwert entspricht in b) dem Verschiebungsvektor \(-3\vec{u}\)? - Nutze in c) zuerst die zweite Koordinatengleichung und bestimme danach \(x_1\) und \(x_3\).

1. Die Parameterform ist \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\). 2. Für \(t=-3\) erhält man \(P=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\6\\-8\end{pmatrix}\). 3. Aus der zweiten Koordinate folgt \(3-t=0\), also \(t=3\). Damit sind \(x_1=3\) und \(x_3=-2+2\cdot3=4\). Also ist \(B(3|0|4)\).

a) \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) b) \(P(-3|6|-8)\) c) \(t=3\), \(B(3|0|4)\)

- Wie berechnet man den Ortsvektor eines Punktes, wenn der Parameter bekannt ist? - Welche Bedingung muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er in der \(xz\)-Ebene liegt? - Wenn eine Koordinate eines Punktes auf der Geraden bekannt ist, wie kannst du daraus den Wert des Parameters bestimmen? - Kannst du die Vektorgleichung in drei einzelne Gleichungen für \(x\), \(y\) und \(z\) zerlegen?

1. Einsetzen von \(r = 4\) in die Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 9 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(A(-4 | 10 | 9)\). 2. Bestimmung von \(r\) über die \(x\)-Koordinate: \(4 - 2r = 10 \Rightarrow -2r = 6 \Rightarrow r = -3\). Einsetzen von \(r = -3\) für die restlichen Koordinaten ergibt \(y = -2 + (-3) \cdot 3 = -11\) und \(z = 1 + (-3) \cdot 2 = -5\). Somit ist \(B(10 | -11 | -5)\). 3. In der \(xz\)-Ebene ist die \(y\)-Koordinate Null: \(-2 + 3r = 0 \Rightarrow 3r = 2 \Rightarrow r = \frac{2}{3}\). Einsetzen liefert \(x = 4 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) und \(z = 1 + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{3}\). Der Spurpunkt ist \(S\left(\frac{8}{3} \mid 0 \mid \frac{7}{3}\right)\).

a) \(A(-4 | 10 | 9)\) b) \(r = -3\); \(B(10 | -11 | -5)\) c) \(r = \frac{2}{3}\); \(S\left(\frac{8}{3} \mid 0 \mid \frac{7}{3}\right)\)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielt der Stützvektor in der Parameterform? - Wie prüft man, ob ein gegebener Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn das Gleichungssystem für den Parameter \(s\) unterschiedliche Werte ergibt?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Als Richtungsvektor dient \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-2 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützvektor \(\vec{p}\) folgt \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für den Punkt \(Q\) gilt: \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Jede Zeile (\(5=1+4s\), \(0=2-2s\), \(7=3+4s\)) liefert \(s = 1\). 3. Punktprobe für \(R(11 | -3 | 13)\): Das Gleichungssystem \(1 + 4s = 11\), \(2 - 2s = -3\) und \(3 + 4s = 13\) ergibt jeweils \(s = 2{,}5\). Da der Parameterwert für alle drei Koordinaten identisch ist, liegt \(R\) auf der Geraden.

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form) b) \(s = 1\) c) Ja, der Punkt \(R\) liegt auf der Geraden (für \(s = 2{,}5\)).

- Ein beliebiger Punkt der Geraden kann als Stützpunkt dienen. - Wie lässt sich aus einer Steigung ein Richtungsvektor mit ganzzahligen Komponenten gewinnen? - Bei einer Gleichung wie \(x_1=7\) ist eine Koordinate für alle Geradenpunkte fest; welche Bewegungsrichtung bleibt dann übrig?

1. Für \(g_1\) liegt zum Beispiel \(P(0|-2)\) auf der Geraden. Aus der Steigung \(\frac{3}{4}\) kann der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) gewählt werden. Damit ist \(g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\). 2. Für \(g_2\) liegen zum Beispiel \(A(2|0)\) und \(B(0|-5)\) auf der Geraden. Ein Richtungsvektor ist daher \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}\). Somit ist etwa \(g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}\). 3. Bei \(g_3\) ist die \(x_1\)-Koordinate konstant \(7\). Ein Stützpunkt ist \(P(7|0)\), und ein Richtungsvektor ist \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Daher ist \(g_3: \vec{x}=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).

a) Zum Beispiel \(g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) b) Zum Beispiel \(g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}\) c) Zum Beispiel \(g_3: \vec{x}=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes mit der Geradengleichung verknüpfen? - Was muss für den Parameter gelten, damit ein Punkt tatsächlich auf der Geraden liegt? - Wenn du einen Wert für den Parameter gefunden hast, wie kannst du entscheiden, ob der Punkt in einem bestimmten Abschnitt liegt? - Überprüfe jede Koordinate einzeln.

1. Punktprobe für \(P(5|6|1)\): Aufstellen des Gleichungssystems \(1 + 2r = 5\), \(-2 + 4r = 6\), \(3 - r = 1\). Alle drei Gleichungen liefern den konsistenten Wert \(r = 2\). Somit liegt \(P\) auf \(g\). 2. Intervallprüfung für \(P\): Der Parameterwert \(r = 2\) erfüllt die Bedingung \(0 \le 2 \le 3\), weshalb \(P\) auf der Teilstrecke liegt. 3. Punktprobe für \(Q(-3|-10|5)\): Das Gleichungssystem \(1 + 2r = -3\), \(-2 + 4r = -10\), \(3 - r = 5\) ergibt für jede Koordinate \(r = -2\). Somit liegt \(Q\) auf \(g\). 4. Intervallprüfung für \(Q\): Da \(r = -2\) nicht im Intervall \([0; 3]\) liegt, befindet sich \(Q\) nicht auf der Teilstrecke. 5. Punktprobe für \(R(0|0|3{,}5)\): Aus \(1 + 2r = 0\) folgt \(r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Komponente ergibt \(-2 + 4 \cdot (-0{,}5) = -4 \neq 0\). Da kein gemeinsamer Parameterwert existiert, liegt \(R\) nicht auf \(g\).

a) Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen auf der Geraden \(g\). Der Punkt \(R\) liegt nicht auf der Geraden. b) Nur der Punkt \(P\) liegt auf der Teilstrecke (bei \(r = 2\)). Der Punkt \(Q\) liegt mit \(r = -2\) außerhalb des Bereichs.

- Welche Koordinate ist in der \(x_1x_2\)-Ebene immer Null? - Wie kannst du die Bedingung \(x_1 = x_3\) als Gleichung mit dem Parameter \(t\) ausdrücken? - Vergiss nicht, am Ende alle drei Koordinaten des gesuchten Punktes anzugeben.

1. Punkt \(C\): In der \(x_1x_2\)-Ebene gilt \(x_3 = 0\). Aus der dritten Zeile der Geradengleichung folgt \(2 + t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen in die anderen Zeilen liefert \(x_1 = 1 - (-2) = 3\) und \(x_2 = 4 + 2 \cdot (-2) = 0\). Der Punkt ist \(C(3 | 0 | 0)\). 2. Punkt \(D\): Die Bedingung lautet \(x_1 = x_3\). Mit den Termen der Geradengleichung ergibt sich \(1 - t = 2 + t\). Umstellen nach \(t\) führt zu \(-1 = 2t\), also \(t = -0{,}5\). Einsetzen in die Koordinaten liefert \(x_1 = 1 - (-0{,}5) = 1{,}5\), \(x_2 = 4 + 2 \cdot (-0{,}5) = 3\) und \(x_3 = 2 + (-0{,}5) = 1{,}5\). Der Punkt ist \(D(1{,}5 | 3 | 1{,}5)\).

a) \(C(3 | 0 | 0)\) b) \(D(1{,}5 | 3 | 1{,}5)\)

- Stelle zuerst eine Parameterform der Trägergeraden durch \(A\) und \(B\) auf. - Welche Parameterwerte entsprechen genau den Punkten zwischen den beiden Endpunkten einschließlich der Endpunkte? - Ein Punkt der Geraden erfüllt alle drei Koordinatengleichungen mit demselben Parameterwert \(k\).

1. Eine Parameterform der Trägergeraden ist \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-6\\6\\9\end{pmatrix}\). Die Strecke \(\overline{AB}\) entspricht dabei \(0\le k\le1\). 2. Für \(P\) ergibt die erste Koordinate \(5-6k=1\), also \(k=\frac{2}{3}\). Dieser Wert erfüllt auch die zweite und dritte Koordinate. Da \(0\le\frac{2}{3}\le1\), liegt \(P\) auf der Strecke. 3. Für \(Q\) erhält man \(k=-\frac{1}{3}\). Der Punkt liegt auf der Trägergeraden, aber wegen \(k<0\) nicht auf der Strecke. 4. Für \(R\) folgt \(k=\frac{1}{3}\); derselbe Wert erfüllt alle drei Koordinaten. Da \(0\le\frac{1}{3}\le1\), liegt \(R\) auf der Strecke.

a) \(P\) liegt auf \(\overline{AB}\). b) \(Q\) liegt auf der Trägergeraden, aber nicht auf \(\overline{AB}\). c) \(R\) liegt auf \(\overline{AB}\).

- Wie berechnest du Punkte auf einer Geraden, wenn die Parameterwerte bereits gegeben sind? - Erinnere dich an die Bedeutung des Parameters: Wann befindet sich ein Punkt vor dem ersten Punkt, wann dazwischen und wann hinter dem zweiten Punkt? - Untersuche für Punkt \(N\) zuerst die Lage auf der gesamten Geraden und betrachte dann den Wert des Parameters.

1. Berechnung der Endpunkte: Für \(r=0\) ergibt sich \(C(-2|4|0)\). Für \(r=1\) ergibt sich \(D(4|-2|6)\). 2. Prüfung von \(M\): Gleichsetzen der Koordinaten mit der Geradengleichung liefert \(-2 + 6r = 1 \implies 6r = 3 \implies r = 0{,}5\). Einsetzen in die restlichen Zeilen: \(4 - 6 \cdot 0{,}5 = 1\) und \(0 + 6 \cdot 0{,}5 = 3\). Da \(0 \le 0{,}5 \le 1\), liegt \(M\) auf der Strecke \(\overline{CD}\). 3. Prüfung von \(N\): Gleichsetzen liefert \(-2 + 6r = 6 \implies 6r = 8 \implies r = \frac{4}{3}\). Einsetzen in die restlichen Zeilen: \(4 - 6 \cdot \frac{4}{3} = -4\) und \(0 + 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). Da alle Koordinaten stimmen, liegt \(N\) auf der Geraden \(g\). Da jedoch \(r = \frac{4}{3} > 1\), liegt \(N\) außerhalb der Strecke \(\overline{CD}\).

a) \(C(-2|4|0)\), \(D(4|-2|6)\) b) Ja, \(M\) liegt auf der Strecke \(\overline{CD}\) (Parameter \(r=0{,}5\)). c) \(N\) liegt auf der Geraden \(g\) (Parameter \(r=\frac{4}{3}\)), aber da \(r > 1\), liegt der Punkt nicht auf der Strecke \(\overline{CD}\).

- Stelle eine Parameterform für alle Punkte auf, die der Laserstrahl erreichen kann. - Nutze die vorgegebene \(x_1\)-Koordinate, um den Parameter zu bestimmen. - Verwende denselben Parameterwert für die beiden übrigen Koordinaten und prüfe am Ende die Bedingung \(t\ge0\).

1. Eine Parameterform des Strahls ist \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1{,}2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\4\\-0{,}1\end{pmatrix}\) mit \(t\ge0\). 2. Aus \(5+3t=17\) folgt \(t=4\). 3. Damit ist \(x_2=-2+4\cdot4=14\) und \(x_3=1{,}2+4(-0{,}1)=0{,}8\). 4. Wegen \(t=4\ge0\) liegt der Punkt tatsächlich auf dem Strahl. Das Zentrum ist \(Z(17|14|0{,}8)\).

\(x_2=14\), \(x_3=0{,}8\); also \(Z(17|14|0{,}8)\).

- Wie hängen der Normalenvektor einer Geraden in Koordinatenform und ihr Richtungsvektor zusammen? - Kannst du aus der Gleichung \(4x_1 + 3x_2 = 12\) einen Vektor ablesen, der senkrecht auf der Geraden steht? - Wie kannst du aus einem solchen Normalenvektor einen dazu orthogonalen Richtungsvektor bilden? - Welche Information liefert der Punkt \(P\) für die Parameterform von \(h\)?

1. Aus der Koordinatenform \(4x_1 + 3x_2 = 12\) lässt sich der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) ablesen. 2. Ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) der Geraden muss orthogonal zum Normalenvektor stehen. Durch Vertauschen der Komponenten und Vorzeichenänderung einer Komponente erhält man \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Da \(h\) parallel zu \(g\) ist, kann \(h\) diesen Richtungsvektor verwenden. 4. Mit dem Punkt \(P(1 \mid 5)\) als Stützpunkt ergibt sich \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Wann liegen Punkte auf einer Geraden, die durch den Punkt \((0 \mid 0 \mid 0)\) verläuft? - Wie hängen die Ortsvektoren solcher Punkte mathematisch zusammen? - Was bedeutet es für die einzelnen Koordinaten, wenn ein Vektor ein Vielfaches eines anderen ist? - Wie ist eine Geradengleichung aufgebaut, wenn sie durch den Ursprung geht?

1. Damit Punkte auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden liegen, müssen ihre Ortsvektoren kollinear sein, also skalare Vielfache voneinander (bzw. eines gemeinsamen Richtungsvektors) darstellen. Wir prüfen die Verhältnisse der Koordinaten: Für \(A\): \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für \(B\): \(\vec{OB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für \(C\): \(\vec{OC} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\). Hier gilt \(\frac{6}{3}=2\) und \(\frac{-4}{-2}=2\), aber \(\frac{10}{4}=2{,}5\). Somit ist \(C\) kein Vielfaches. Für \(D\): \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = -0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ergebnis: Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden. 2. Als Richtungsvektor kann jeder der Ortsvektoren der Punkte \(A\), \(B\) oder \(D\) (oder ein Vielfaches davon) verwendet werden. Mit dem Stützvektor \(\vec{0}\) ergibt sich zum Beispiel: \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\).

1. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dieser Geraden. 2. Eine mögliche Gleichung ist \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

- Was bedeutet die Angabe „in der \(x_1\)-\(x_3\)-Ebene“ für die \(x_2\)-Koordinate? - Wie kannst du aus \(5x_1=2x_3\) ein geeignetes Zahlenpaar für \(x_1\) und \(x_3\) wählen? - Wie sieht der Stützvektor einer Ursprungsgeraden aus? - Woran erkennst du bei der Punktprobe, ob ein gemeinsamer Parameterwert für alle drei Koordinaten existiert?

1. Da die Gerade in der \(x_1\)-\(x_3\)-Ebene liegt, gilt für alle ihre Punkte \(x_2=0\). Aus \(5x_1 - 2x_3 = 0\) folgt \(5x_1=2x_3\). Wählt man \(x_1=2\), erhält man \(x_3=5\). Ein möglicher Richtungsvektor ist daher \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}\). Da \(h\) durch den Ursprung verläuft, lautet eine Parameterform \(h: \vec{x}=s\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}\) mit \(s\in\mathbb{R}\). 2. Für \(Q\) muss \(\begin{pmatrix}4\\0\\10\end{pmatrix}=s\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}\) gelten. Aus der ersten Koordinate folgt \(s=2\). Damit stimmen auch die zweite und dritte Koordinate überein. Also liegt \(Q\) auf \(h\).

1. Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}\). Eine Parameterform ist \(h: \vec{x}=s\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}\). 2. Ja. Für \(s=2\) erhält man den Punkt \(Q(4 \mid 0 \mid 10)\).

- Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Was bedeutet es für den Parameter \(\lambda\), wenn eine Koordinate eines Punktes bereits bekannt ist? - Welchen Richtungsvektor haben die Koordinatenachsen im dreidimensionalen Raum? - Eine Gerade ist durch einen Punkt (Stützvektor) und eine Richtung (Richtungsvektor) eindeutig festgelegt.

1. Punktprobe für \(P\): Aus \(1 = 3 - \lambda\) folgt \(\lambda = 2\). Einsetzen in die anderen Komponenten ergibt \(2 = -2 + 2 \cdot 2\) (wahr) und \(15 = 5 + 5 \cdot 2\) (wahr). Somit liegt \(P\) auf \(g\). 2. Berechnung von \(Q\): Die Bedingung \(x_1 = 5\) führt zu \(5 = 3 - \lambda\), also \(\lambda = -2\). Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die Geradengleichung liefert \(x_2 = -2 + 2 \cdot (-2) = -6\) und \(x_3 = 5 + 5 \cdot (-2) = -5\). Der Punkt ist \(Q(5|-6|-5)\). 3. Gerade \(h\): Da \(h\) durch \(P\) verläuft, dient \(\vec{OP}\) als Stützvektor. Die Parallelität zur \(x_2\)-Achse bestimmt den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) \(P\) liegt auf \(g\) für \(\lambda = 2\). b) \(Q(5|-6|-5)\) c) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Wie berechnet man den Verbindungsvektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Eigenschaft teilen parallele Geraden hinsichtlich ihrer Richtungsvektoren? - Was sind die Koordinaten des Ursprungs? - Denke daran, dass ein Richtungsvektor beliebig skaliert werden kann, solange er seine Richtung beibehält.

1. Geradengleichung \(k\): Mit dem Stützvektor \(\vec{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(E\): Das Gleichungssystem \(1 = 2 + 2s\), \(4 = 3 - 2s\) und \(-3 = -1 + 4s\) ergibt aus der ersten Zeile \(s = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite (\(4 = 3 + 1\)) und dritte Zeile (\(-3 = -1 - 2\)) liefert jeweils wahre Aussagen. \(E\) liegt auf \(k\). 3. Gerade \(m\): Da \(m \parallel k\), kann der Richtungsvektor von \(k\) (oder ein von null verschiedenes Vielfaches) übernommen werden. Der Stützvektor ist der Nullvektor \(\vec{0}\). Somit: \(m: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (Andere Stützpunkte oder von null verschiedene Vielfache des Richtungsvektors sind möglich) b) Ja, der Punkt \(E\) liegt auf \(k\) (für \(s = -0{,}5\)). c) \(m: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Welche Richtung hat eine Gerade, die senkrecht auf einer Ebene steht? - Welche Information über diese Richtung kannst du aus der Koordinatenform von \(E\) ablesen? - Welche beiden Bestandteile brauchst du für die Parameterform einer Geraden?

1. Aus der Koordinatenform der Ebene liest man den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}\) ab. 2. Da \(g\) senkrecht auf \(E\) stehen soll, kann ein Normalenvektor von \(E\) als Richtungsvektor von \(g\) verwendet werden. 3. Mit \(P\) als Stützpunkt ergibt sich \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}\), \(r\in\mathbb{R}\).

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}\) (oder mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors)

- Lies zuerst die beiden markierten Punkte mithilfe der Gitterlinien und Achsenwerte ab. - Welcher Vektor führt von einem der abgelesenen Punkte zum anderen? - Für eine Parameterform brauchst du einen Punkt der Geraden und einen zu ihr parallelen, von null verschiedenen Richtungsvektor.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-2|1)\) und \(B(2|3)\) ab. 2. Ein Richtungsvektor ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). Dieser kann zu \(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) gekürzt werden. 3. Mit \(A\) als Stützpunkt erhält man beispielsweise \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\).

\(A(-2|1)\), \(B(2|3)\); zum Beispiel \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\)

- Welche zwei Bedingungen müssen zwei Parameterformen erfüllen, damit sie dieselbe Gerade beschreiben? - Liegt der neue Stützpunkt \((3|1|2)\) auf der ursprünglichen Geraden? - Welche der drei neuen Richtungen ist ein von null verschiedenes Vielfaches der ursprünglichen Richtung?

1. Der Punkt \((3|1|2)\) liegt auf \(g\), denn er entsteht für \(t=1\). 2. Der Richtungsvektor in A ist \(2\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Damit hat A einen Punkt von \(g\) als Stützpunkt und eine kollineare Richtung; A beschreibt dieselbe Gerade. 3. Der Richtungsvektor in B ist nicht kollinear zum Richtungsvektor von \(g\); B beschreibt daher nicht dieselbe Gerade. 4. Der Richtungsvektor in C ist ebenfalls nicht kollinear zu \(\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Daher ist auch C nicht äquivalent.

Nur A beschreibt dieselbe Gerade.

- Welche Information bestimmt jeweils einen geeigneten Stützpunkt? - Welche Komponenten eines Richtungsvektors müssen null sein, wenn sich die Gerade nur in bestimmten Koordinatenrichtungen bewegen darf? - Prüfe bei c) zusätzlich, ob deine Gerade wirklich weder durch den Ursprung verläuft noch zu einer Koordinatenachse parallel ist. - Es gibt bei allen vier Teilaufgaben mehrere richtige Parameterformen.

1. Für a) kann der Ursprung als Stützpunkt und ein von \(\vec{0}\) verschiedener Vektor in \(x_1\)-Richtung als Richtungsvektor gewählt werden. Eine Möglichkeit ist \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). 2. Für b) ist \(P\) ein Stützpunkt. Ein Richtungsvektor parallel zur \(x_3\)-Achse hat die Form \(\begin{pmatrix}0\\0\\c\end{pmatrix}\) mit \(c\neq0\). Eine Möglichkeit ist \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). 3. Für c) müssen die \(x_2\)-Komponenten von Stütz- und Richtungsvektor \(0\) sein. Der Richtungsvektor soll zugleich von keiner Koordinatenachsenrichtung abhängig sein. Eine Möglichkeit ist \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\). Der Ursprung liegt nicht auf dieser Geraden. 4. Für d) muss die \(x_3\)-Komponente des Richtungsvektors \(0\) sein und der Stützpunkt die \(x_3\)-Koordinate \(4\) besitzen. Eine Möglichkeit ist \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).

a) Zum Beispiel \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). b) Zum Beispiel \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). c) Zum Beispiel \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\). d) Zum Beispiel \(k: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).

- Welche Koordinate muss den Wert Null haben, damit ein Punkt in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt? - Wie kannst du einen Punkt auf der Geraden berechnen, wenn du einen bestimmten Parameterwert kennst? - Wie hängen verschiedene Richtungsvektoren derselben Geraden mathematisch zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Länge (den Betrag) eines Vektors.

1. Für einen Stützpunkt in der \(x_1x_2\)-Ebene muss die \(x_3\)-Koordinate null sein: \(1-6r=0\). Daher ist \(r=\frac{1}{6}\). 2. Einsetzen liefert den Stützpunkt \(P\left(\frac{16}{3}\middle|-\frac{4}{3}\middle|0\right)\). 3. Der ursprüngliche Richtungsvektor hat die Länge \(\sqrt{2^2+4^2+(-6)^2}=2\sqrt{14}\). 4. Daher erhält man durch Skalierung mit \(\pm\frac{1}{2}\) einen Richtungsvektor der Länge \(\sqrt{14}\), zum Beispiel \(\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\). 5. Eine mögliche Parameterform ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{16}{3}\\-\frac{4}{3}\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\).

Eine mögliche Gleichung ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{16}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder mit dem Gegenvektor als Richtungsvektor).

- Welche Punkte der Geraden entsprechen den Parameterwerten \(\lambda = 0\) und \(\lambda = 1\)? - Überlege dir, welcher Parameterwert genau die Mitte der Strecke \(AB\) markiert. - Wie verändert sich die Position des Punktes auf der Geraden, wenn der Parameter negativ wird? - Stell dir vor, der Vektor \(\vec{AB}\) ist eine Schrittanweisung von \(A\) aus. Wo landest du bei einem halben Schritt oder einem rückwärtigen Schritt?

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 4-(-2) \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen von \(\lambda = 0{,}4\) in die Geradengleichung: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1{,}2 \\ -2 + 2{,}4 \\ 3 - 1{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}2 \\ 0{,}4 \\ 1{,}8 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P(2{,}2 \mid 0{,}4 \mid 1{,}8)\). 3. Analyse der Parameterbereiche: Der Punkt \(P\) liegt für \(0 < \lambda < 1\) zwischen \(A\) und \(B\). Die Bedingung, dass er näher an \(B\) liegt (größere Entfernung zu \(A\)), wird ab dem Mittelpunkt (\(\lambda = 0{,}5\)) erfüllt. Somit gilt \(0{,}5 < \lambda < 1\). 4. Für \(\lambda < 0\) liegt der Punkt außerhalb der Strecke \(AB\) auf der Geraden, und zwar auf der Seite von \(A\), die \(B\) gegenüberliegt (auf der Verlängerung der Strecke über \(A\) hinaus).

a) \(P(2{,}2 \mid 0{,}4 \mid 1{,}8)\) b) \(0{,}5 < \lambda < 1\) (bzw. \(\lambda \in ]0{,}5; 1[\)) c) Der Punkt liegt auf der Geraden außerhalb der Strecke \(AB\) auf der Seite von \(A\).

- Welche Koordinate in der Gleichung gibt die Höhe über dem Boden an? - Wie hängen der Parameter \( t \) und die verstrichene Zeit zusammen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Überlege, ob du für die Entfernung den gesamten Ortsvektor oder nur den Richtungsanteil betrachten musst.

1. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die \( x_3 \)-Koordinate der Geradengleichung gleich der Zielhöhe gesetzt: \( 50 + 5t = 300 \). 2. Lösen der Gleichung nach \( t \): \( 5t = 250 \Rightarrow t = 50 \). Der Ballon erreicht die Höhe nach \( 50\,\text{s} \). 3. Die Entfernung vom Startpunkt \( P \) entspricht der Länge des Verschiebungsvektors \( t\vec{v} \) zum Zeitpunkt \( t = 50 \). Der Verschiebungsvektor ist \( 50\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 100 \\ 250 \end{pmatrix} \). 4. Berechnung des Betrags dieses Vektors: \( |\Delta \vec{x}| = \sqrt{200^2 + 100^2 + 250^2} = \sqrt{40\,000 + 10\,000 + 62\,500} = \sqrt{112\,500} \approx 335{,}41 \). Die Entfernung beträgt ca. \( 335{,}41\,\text{m} \).

a) Der Ballon erreicht die Höhe nach \( 50\,\text{s} \). b) Die Entfernung vom Startpunkt beträgt \( \sqrt{112\,500} \approx 335{,}41\,\text{m} \).

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Objekt den Erdboden berührt? - Wie findest du die genaue Position im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt \( t \)? - Welche Formel hilft dir, den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem zu bestimmen?

1. Das Flugzeug setzt auf dem Boden auf, wenn die \( x_3 \)-Koordinate Null ist: \( 600 - 20t = 0 \). 2. Lösen nach \( t \): \( 20t = 600 \Rightarrow t = 30 \). Das Flugzeug berührt den Boden nach \( 30\,\text{s} \). 3. Berechnung des Standorts zum Zeitpunkt \( t = 30 \): \( \vec{x}(30) = \begin{pmatrix} -2000 + 30 \cdot 80 \\ 1500 + 30 \cdot (-60) \\ 600 + 30 \cdot (-20) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400 \\ -300 \\ 0 \end{pmatrix} \). 4. Die Entfernung zum Ursprung ist der Betrag des Ortsvektors am Aufsetzpunkt: \( d = \sqrt{400^2 + (-300)^2 + 0^2} = \sqrt{160\,000 + 90\,000} = \sqrt{250\,000} = 500 \). Die Entfernung beträgt \( 500\,\text{m} \).

a) Das Flugzeug setzt nach \( 30\,\text{s} \) auf. b) Die Entfernung zum Koordinatenursprung beträgt \( 500\,\text{m} \).

- Überlege zuerst, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder nicht. - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben? - Wie verändert sich die Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? - Welche Koordinaten haben Punkte, die auf einer Koordinatenachse liegen? - Erinnere dich daran, dass zwei Geraden genau dann einen Schnittpunkt haben, wenn das zugehörige Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt.

1. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden nicht parallel. 2. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(4 + 2t = 1 + s\), \(-1 + 4t = 3 + s\) und \(2 - 4t = s\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(t = 3{,}5\) und \(s = 10\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-12 = 10\) (falsch). Die Geraden sind windschief. 3. Richtungsvektor für \(m\): Da \(m \parallel g\), ist der Richtungsvektor ein Vielfaches von \(\vec{u}_g\). Es gilt \(|\vec{u}_g| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = 6\). Für den Betrag 3 muss der Vektor mit \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) (oder \(-0{,}5\)) multipliziert werden. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Schnitt von \(g\) und \(n\): Ansatz für \(n: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_P \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Gleichsetzen mit \(g\) ergibt das System \(x_P + \lambda = 4 + 2t\), \(\lambda = -1 + 4t\) und \(\lambda = 2 - 4t\). Aus den letzten beiden folgt \(8t = 3 \Rightarrow t = 0{,}375\) und \(\lambda = 0{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_P + 0{,}5 = 4 + 0{,}75 \Rightarrow x_P = 4{,}25\). Der Punkt ist \(P(4{,}25|0|0)\).

a) Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)). c) Der Punkt auf der \(x_1\)-Achse ist \(P(4{,}25|0|0)\).

- Welche Rolle spielen ein Stützpunkt und der Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) beim Aufstellen der Parameterform? - Nutze bei b) zunächst eine Koordinate von \(T\), die nicht von \(k\) abhängt. - Übersetze die Bedingung aus c) in eine Gleichung zwischen der ersten und dritten Koordinate der Parameterform.

1. Mit \(A\) als Stützpunkt und \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\) als Richtungsvektor ergibt sich \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\). 2. Für \(T\) gilt in der zweiten Koordinate \(10=4-3r\), also \(r=-2\). Die dritte Koordinate ist damit \(-2+4(-2)=-10\), also konsistent. Für die erste Koordinate folgt \(k=1+2(-2)=-3\). 3. Die Bedingung \(x_1=x_3\) liefert \(1+2r=-2+4r\). Daraus folgt \(r=1{,}5\). Einsetzen ergibt \(x_1=4\), \(x_2=-0{,}5\) und \(x_3=4\). Der gesuchte Punkt ist \(P(4|-0{,}5|4)\).

a) \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\) b) \(k=-3\) c) Ja, \(P(4|-0{,}5|4)\).

- Was ist das Besondere an der Gleichung einer Ursprungsgeraden im Vergleich zu einer allgemeinen Geraden? - Wenn ein Punkt auf der Geraden liegt, muss derselbe Parameterwert für alle drei Koordinatengleichungen funktionieren. - Bei Teilaufgabe c) kannst du versuchen, den Parameter zuerst über eine feste Zahl zu bestimmen und dann die Abhängigkeiten von \(k\) zu prüfen.

1. Geradengleichung aufstellen: Da es eine Ursprungsgerade ist, lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe \(P(-6|3|-9)\): \(4s=-6 \Rightarrow s=-1{,}5\). Prüfung: \(-2(-1{,}5)=3\) und \(6(-1{,}5)=-9\). Beides wahr, \(P\) liegt auf \(h\). 3. Punktprobe \(Q(10|-5|12)\): \(4s=10 \Rightarrow s=2{,}5\). Prüfung: \(-2(2{,}5)=-5\) (wahr), aber \(6(2{,}5)=15 \neq 12\). \(Q\) liegt nicht auf \(h\). 4. Koordinaten von \(S(x|y|21)\): Aus der \(z\)-Koordinate folgt \(6s=21 \Rightarrow s=3{,}5\). Damit ergibt sich \(x = 4 \cdot 3{,}5 = 14\) und \(y = -2 \cdot 3{,}5 = -7\). 5. Untersuchung von \(R(k|k+6|18)\): Aus der \(z\)-Koordinate folgt \(6s=18 \Rightarrow s=3\). Für die \(x\)-Koordinate müsste gelten: \(4 \cdot 3 = k \Rightarrow k=12\). Setzt man \(k=12\) in den Ausdruck für die \(y\)-Koordinate ein, erhält man \(k+6 = 18\). Die Geradengleichung liefert für \(y\) jedoch \(-2 \cdot 3 = -6\). Da \(18 \neq -6\), gibt es kein solches \(k\).

a) \(P\) liegt auf \(h\); \(Q\) liegt nicht auf \(h\). b) \(x = 14\); \(y = -7\) c) Aus der \(z\)-Koordinate folgt der feste Parameter \(s=3\). Dieser liefert für die \(y\)-Koordinate den Wert \(-6\). Die Bedingung \(k+6=-6\) führt zu \(k=-12\), was jedoch im Widerspruch zur \(x\)-Koordinate steht, die für \(s=3\) den Wert \(12\) (also \(k=12\)) erfordert.

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden vom Parameter ab? - Stelle einen Term für die Summe der drei Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter auf. - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors. - Gibt es nur eine Lösung für einen Punkt mit einem bestimmten Abstand zum Ursprung?

1. Geradengleichung: Da \(h\) eine Ursprungsgerade ist, lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\). 2. Koordinatensumme: Die Summe der Koordinaten eines beliebigen Punktes auf \(h\) ist \(3s + (-2s) + 6s = 7s\). Die Bedingung \(7s = 21\) liefert \(s = 3\). Einsetzen ergibt \(B(9|-6|18)\). 3. Abstand zum Ursprung: Der Abstand eines Punktes auf der Geraden zum Ursprung entspricht dem Betrag seines Ortsvektors: \(|\vec{x}| = |s| \cdot \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = |s| \cdot \sqrt{49} = 7|s|\). Die Bedingung \(7|s| = 35\) liefert \(|s| = 5\), also \(s = 5\) oder \(s = -5\). Mögliche Punkte sind \(C_1(15|-10|30)\) oder \(C_2(-15|10|-30)\).

a) \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\) b) \(B(9|-6|18)\) c) \(C(15|-10|30)\) oder \(C(-15|10|-30)\)

- Prüfe in a), ob ein Punkt mit dem Ortsvektor \(\vec{v}\) die gegebene Geradengleichung erfüllt. - Schreibe die Parameterform in b) komponentenweise und überlege, wie du den Parameter eliminieren kannst. - Für c) kannst du entweder die Koordinatengleichung oder die Parameterform von \(h\) verwenden.

1. Für a) erfüllt der Punkt \(P(-b|a)\) die Gleichung, denn \(a(-b)+ba=0\). Da \(a\) und \(b\) nicht beide null sind, ist \(P\neq O\). Somit ist \(\vec{OP}=\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) ein Richtungsvektor von \(g\). 2. Aus der Parameterform von \(h\) folgen \(x_1=5t\) und \(x_2=2t\). Eliminieren von \(t\) ergibt \(2x_1-5x_2=0\). 3. Für \(M(k|6)\) gilt \(2k-5\cdot6=0\). Daher ist \(k=15\).

a) \(a(-b)+ba=0\), also ist \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) ein Richtungsvektor. b) \(2x_1-5x_2=0\) c) \(k=15\)

- Welcher Verbindungsvektor der beiden gegebenen Punkte kann als Richtungsvektor dienen? - Welche Komponente der Parameterform beschreibt nach dem Text die Höhe? - Bestimme zuerst den Parameterwert zur vorgegebenen Höhe und danach die beiden übrigen Koordinaten.

1. Der Richtungsvektor ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}40-10\\50-20\\70-100\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30\\30\\-30\end{pmatrix}\). 2. Eine Parameterform lautet \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}10\\20\\100\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}30\\30\\-30\end{pmatrix}\). 3. Für die Höhe \(85\,\text{m}\) gilt \(100-30t=85\). Daraus folgt \(t=0{,}5\). 4. Einsetzen liefert \(x_1=25\) und \(x_2=35\). Der gesuchte Punkt ist \(P(25|35|85)\).

a) \(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}10\\20\\100\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}30\\30\\-30\end{pmatrix}\) oder eine äquivalente Parameterform. b) \(P(25|35|85)\)

- Welche Beziehung müssen die Richtungsvektoren paralleler Geraden haben? - Welcher Stützvektor gehört zu einer Geraden durch den Ursprung? - Eine Verschiebung um einen Vektor entspricht der Addition dieses Vektors zum Ortsvektor des Punktes. - Prüfe den erhaltenen Bildpunkt anschließend mit einem gemeinsamen Parameterwert in \(g\).

1. Der Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\). 2. Da \(h\) durch den Ursprung geht und parallel zu \(g\) ist, kann man \(h: \vec{x}=s\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\) wählen. 3. Die Verschiebung von \(P\) um \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\) ergibt \(\vec{OP'}=\begin{pmatrix}6\\4\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\3\\9\end{pmatrix}\). Also ist \(P'(8|3|9)\). 4. Für \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\) liefert \(r=2\) den Punkt \(\begin{pmatrix}8\\3\\9\end{pmatrix}\). Damit liegt \(P'\) auf \(g\).

a) \(h: \vec{x}=s\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\) b) \(P'(8|3|9)\); für \(r=2\) erfüllt \(P'\) die Parameterform von \(g\).

- Vergleiche zuerst Stützpunkte und Richtungsvektoren der beiden Parameterformen. - Bestimme bei b) den jeweiligen Parameter aus einer Koordinate und kontrolliere ihn mit den übrigen Koordinaten. - Welche Gleichung müssen die beiden parameterabhängigen Verschiebungsvektoren für denselben Punkt erfüllen?

1. Beide Parameterformen haben denselben Stützpunkt. Außerdem ist \(\begin{pmatrix}-2\\-4\\-4\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Daher beschreiben sie dieselbe Gerade. 2. In \(g\) liefert die erste Koordinate \(3+r=5\), also \(r=2\). Dieser Wert erfüllt auch die beiden anderen Koordinaten. 3. In \(h\) gilt \(3-2s=5\), also \(s=-1\); auch dieser Wert erfüllt die übrigen Koordinaten. 4. Für denselben Punkt muss \(r\vec{v}_g=s\vec{v}_h=s(-2\vec{v}_g)\) gelten. Daher ist \(r=-2s\) beziehungsweise \(s=-\frac{1}{2}r\). Das Minuszeichen kehrt die Durchlaufrichtung um; der Faktor \(2\) verändert die Schrittweite des Parameters.

a) Gleicher Stützpunkt und \(\vec{v}_h=-2\vec{v}_g\); daher sind die Geraden identisch. b) \(r=2\), \(s=-1\) c) \(s=-\frac{1}{2}r\)

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Parameterformen dieselbe Gerade beschreiben? - Prüfe zuerst, ob der jeweilige Stützpunkt auf \(g\) liegt. - Vergleiche anschließend den jeweiligen Richtungsvektor mit einem Richtungsvektor von \(g\).

1. Ein Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}\). Richtungsvektoren derselben Geraden müssen von diesem Vektor linear abhängig sein. 2. Bei \(h\) ist der Stützpunkt \(B\) ein Punkt von \(g\), und \(\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=-\frac{1}{3}\vec{AB}\). Daher ist \(h=g\). 3. Der Stützpunkt von \(k\) liegt zwar auf \(g\), denn \(\begin{pmatrix}8\\5\\-3\end{pmatrix}=\vec{OA}+2\vec{AB}\). Sein Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) ist aber nicht von \(\vec{AB}\) linear abhängig. Daher ist \(k\neq g\). 4. Der Stützpunkt von \(m\) liegt mit dem Parameterwert \(3\) auf \(g\), und \(\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\-1{,}5\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\vec{AB}\). Daher ist \(m=g\).

a) \(h\) beschreibt dieselbe Gerade wie \(g\). b) \(k\) beschreibt eine andere Gerade. c) \(m\) beschreibt dieselbe Gerade wie \(g\).

- Wähle zunächst einen anderen Parameterwert als \(0\), um einen neuen Stützpunkt auf \(g\) zu erhalten. - Vergleiche die Länge des vorhandenen Richtungsvektors mit der geforderten Länge. - Welches Vorzeichen muss der Skalierungsfaktor haben, damit die Richtung umgekehrt wird?

1. Für \(t=1\) erhält man den Punkt \(P(6|4|1)\) auf \(g\). Sein Ortsvektor kann als neuer Stützvektor verwendet werden. 2. Der ursprüngliche Richtungsvektor hat die Länge \(\sqrt{2^2+6^2+(-4)^2}=2\sqrt{14}\). 3. Für die Länge \(3\sqrt{14}\) ist der Betragsfaktor \(\frac{3}{2}\) nötig. Wegen der entgegengesetzten Richtung wird mit \(-\frac{3}{2}\) skaliert. So entsteht \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-3\\-9\\6\end{pmatrix}\). 4. Eine passende Parameterform ist \(\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\-9\\6\end{pmatrix}\).

Zum Beispiel \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\-9\\6\end{pmatrix}\).

- Ein möglicher Stützpunkt einer anderen Parameterform muss selbst auf der Geraden liegen. - Prüfe jeden Punkt mit einem gemeinsamen Parameterwert für alle drei Koordinaten. - Welcher Skalar verändert einen Richtungsvektor gleichzeitig auf die dreifache Länge und in die entgegengesetzte Orientierung?

1. Für \(P\) liefert die erste Koordinate \(t=2\). Mit diesem Wert gelten auch \(4-t=2\) und \(-2+3t=4\). Daher liegt \(P\) auf \(g\). 2. Für \(Q\) folgt aus der ersten Koordinate \(t=1\); damit stimmen auch die zweite und dritte Koordinate. Also liegt \(Q\) auf \(g\). 3. Für \(R\) folgt aus der ersten Koordinate \(t=-1\). Dann ergibt die dritte Koordinate \(-2+3(-1)=-5\neq-4\). Daher liegt \(R\) nicht auf \(g\). 4. Der neue Richtungsvektor ist \(-3\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-9\end{pmatrix}\). Mit \(Q\) als Stützpunkt ergibt sich \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\3\\-9\end{pmatrix}\).

a) \(P\) und \(Q\) liegen auf \(g\); \(R\) liegt nicht auf \(g\). b) \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\3\\-9\end{pmatrix}\)

- Jeder Punkt der Geraden kann als Stützpunkt einer Parameterform dienen. - Ein von null verschiedenes skalares Vielfaches eines Richtungsvektors beschreibt dieselbe Geradenrichtung. - Berechne für Teil 3 zuerst den Mittelpunkt der beiden gegebenen Punkte.

1. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4-(-2)\\1-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}\). 2. Für Bedingung 1 kann man \(f: \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}\) wählen. 3. Für Bedingung 2 ist \(-2\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-12\\8\end{pmatrix}\) ein passender Richtungsvektor. Eine Möglichkeit ist \(f: \vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-12\\8\end{pmatrix}\). 4. Der Mittelpunkt ist \(M\left(\frac{-2+4}{2}\middle|\frac{5+1}{2}\right)=M(1|3)\). Damit ist zum Beispiel \(f: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}\) geeignet.

1. Zum Beispiel \(\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}\) 2. Zum Beispiel \(\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-12\\8\end{pmatrix}\) 3. Zum Beispiel \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}\)

- Wann beschreiben zwei verschiedene Gleichungen dieselbe Gerade? - Was muss für den Stützpunkt gelten, damit er auf der Geraden liegt? - In welcher Beziehung müssen die Richtungsvektoren zueinander stehen? - Kannst du den Vektor \(\vec{AB}\) berechnen und mit den Richtungsvektoren in den Gleichungen vergleichen? - Prüfe, ob der Punkt \((2| 2| 0)\) in einer besonderen Beziehung zu \(A\) und \(B\) steht.

1. Berechnung des Richtungsvektors der Geraden durch \(A\) und \(B\): \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 4-0 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung von Mias Gleichung: Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) entspricht dem Ortsvektor von Punkt \(A\), der auf der Geraden liegt. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{AB}\), da \(\vec{AB} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist Mias Darstellung korrekt. 3. Überprüfung von Toms Gleichung: Der Stützvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AB\), da \(\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Mittelpunkt liegt auf der Geraden. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) ist kollinear zu \(\vec{AB}\), da \(\vec{AB} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Somit ist auch Toms Darstellung korrekt.

Beide Darstellungen sind korrekt. Mia verwendet den Punkt \(A\) als Stützpunkt und einen Richtungsvektor, der halb so lang wie \(\vec{AB}\) ist. Tom verwendet den Mittelpunkt der Strecke \(AB\) als Stützpunkt und einen Richtungsvektor, der in die entgegengesetzte Richtung von \(\vec{AB}\) zeigt und halb so lang ist.

- Welche Koordinate ist auf der \(x_2\)-Achse gleich null? - Welcher Vektor steht senkrecht auf einer Geraden mit der Gleichung \(3x_1+2x_2=6\)? - Prüfe abschließend sowohl die Länge als auch das Vorzeichen der ersten Komponente deines Richtungsvektors.

1. Auf der \(x_2\)-Achse gilt \(x_1=0\). Aus \(2x_2=6\) folgt \(x_2=3\). Daher ist \(\vec{p}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\). 2. Der Koeffizientenvektor \(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) steht senkrecht auf der Geraden. Ein dazu orthogonaler Richtungsvektor mit positiver erster Komponente ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\). 3. Seine Länge ist \(\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\). Somit erfüllt \(\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) beide Bedingungen.

\(h: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\)

- Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, der auf einer der Achsen liegt? - Wie hängen die Richtungsvektoren zweier senkrechter Geraden in der Ebene zusammen? - Kannst du die Parameterform komponentenweise in zwei skalare Gleichungen zerlegen, um die Achsenabschnitte zu finden?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1\)-Achse (\(x_2 = 0\)): \(4 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}\). Einsetzen in \(x_1\): \(x_1 = 1 + 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{11}{3}\). Also \(S_1\left(\frac{11}{3} \mid 0\right)\) mit \(a = \frac{11}{3}\). Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse (\(x_1 = 0\)): \(1 + 2t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}\). Einsetzen in \(x_2\): \(x_2 = 4 - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{11}{2}\). Also \(S_2\left(0 \mid \frac{11}{2}\right)\) mit \(b = \frac{11}{2}\). 2. Einsetzen von \(a\) und \(b\) in die Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{11/3} + \frac{x_2}{11/2} = 1\), äquivalent zu \(\frac{3x_1}{11} + \frac{2x_2}{11} = 1\). 3. Die Gerade \(h\) verläuft durch \(O(0 \mid 0)\), also ist der Stützvektor \(\vec{0}\). Der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) von \(g\) sein. Es gilt \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 2v_1 - 3v_2 = 0\). Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Damit lautet die Gleichung \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R}\).

1. \(S_1\left(\frac{11}{3} \mid 0\right)\), \(S_2\left(0 \mid \frac{11}{2}\right)\) 2. \(\frac{x_1}{11/3} + \frac{x_2}{11/2} = 1\), äquivalent zu \(\frac{3x_1}{11} + \frac{2x_2}{11} = 1\) 3. \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und ein dazu orthogonaler Normalenvektor in der Ebene zusammen? - Kannst du die Parameterform in zwei skalare Gleichungen für \(x_1\) und \(x_2\) zerlegen? - Was passiert, wenn du den laufenden Parameter aus diesen beiden Gleichungen eliminierst? - Überlege dir bei Teil 2, wie du den Vektor in einen konstanten Teil und einen parameterabhängigen Teil zerlegen kannst.

1. Für \(g_1\) ist ein Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((-1|4)\) ergibt sich \(5x_1-3x_2=-17\). 2. Die Parameterform von \(g_2\) lautet \(\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\), daher folgt \(x_1+2x_2=3\). 3. Für \(g_3\) ist ein Normalenvektor \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((0|2)\) ergibt sich \(x_2=2\).

1. \(g_1:5x_1-3x_2=-17\) 2. \(g_2:x_1+2x_2=3\) 3. \(g_3:x_2=2\)

- Berechne zuerst den Verbindungsvektor \(\vec{AB}\). - Welcher Koeffizientenvektor \(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) steht senkrecht auf dem Richtungsvektor? - Was muss für die rechte Seite einer Gleichung \(ax_1+bx_2=c\) gelten, wenn die Gerade durch den Ursprung verläuft?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\). Damit lautet eine Parameterform \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\). 2. Ein Vektor senkrecht zum Richtungsvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Deshalb hat die Gleichung die Form \(2x_1+x_2=c\). Einsetzen von \(A\) ergibt \(c=4\), also \(2x_1+x_2=4\). 3. Eine parallele Gerade hat denselben Koeffizientenvektor. Da \(h\) durch den Ursprung verläuft, ist die rechte Seite \(0\). Somit lautet \(h:2x_1+x_2=0\).

1. \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\) oder äquivalent. 2. \(g:2x_1+x_2=4\) 3. \(h:2x_1+x_2=0\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Wie kannst du die bekannte Koordinate nutzen, um den Parameter der Geraden zu bestimmen? - Muss der Parameterwert für alle drei Koordinatenzeilen derselbe sein? - Was passiert, wenn die Rechnungen für verschiedene Koordinaten zu unterschiedlichen Parameterwerten führen?

1. Für Punkt \(A\): Die \(x_2\)-Koordinate ist \(0\). Aus der Geradengleichung folgt \(-2 + r = 0\), also \(r = 2\). Einsetzen von \(r\) in die anderen Zeilen ergibt \(x_1 = 3 + 2 \cdot 2 = 7\) und \(x_3 = 1 - 3 \cdot 2 = -5\). Somit liegt \(A(7 | 0 | -5)\) auf der Geraden. 2. Für Punkt \(B\): Die \(x_1\)-Koordinate ist \(7\). Aus \(3 + 2r = 7\) folgt \(2r = 4\), also \(r = 2\). Die \(x_3\)-Koordinate muss dann \(1 - 3 \cdot 2 = -5\) sein. Da für \(B\) jedoch \(x_3 = -4\) vorgegeben ist, gibt es einen Widerspruch (\(-5 \neq -4\)). Es gibt keinen Wert für \(x_2\), sodass \(B\) auf \(g\) liegt.

a) Ja, für \(x_1 = 7\) und \(x_3 = -5\) liegt der Punkt \(A(7 | 0 | -5)\) auf \(g\). b) Nein, da die \(x_1\)-Koordinate den Parameter \(r = 2\) erfordert, die \(x_3\)-Koordinate jedoch \(r = \frac{5}{3}\).

- Beginne mit der Punktprobe, indem du den Punkt \(R\) für \(\vec{x}\) einsetzt. - Welche der drei Koordinatengleichungen enthält nur eine einzige Unbekannte? - Bestimme zuerst den Geradenparameter \(\lambda\). - Nutze den gefundenen Wert für \(\lambda\), um nacheinander die anderen Variablen in den übrigen Gleichungen zu berechnen.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Punktprobe: (I) \(1 = s + 2\lambda\) (II) \(5 = r + \lambda s\) (III) \(-2 = 4 - 3\lambda\) 2. Berechnung von \(\lambda\) aus (III): \(-6 = -3\lambda \implies \lambda = 2\). 3. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in (I): \(1 = s + 2 \cdot 2 \implies 1 = s + 4 \implies s = -3\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) und \(s = -3\) in (II): \(5 = r + 2 \cdot (-3) \implies 5 = r - 6 \implies r = 11\).

\(r = 11\) und \(s = -3\)

- Vergleiche zunächst die Richtungsvektoren der Geraden. - Was bedeutet es für zwei parallele Geraden, wenn das Gleichsetzen nicht nur einen einzelnen Parameterwert, sondern unendlich viele gemeinsame Lösungen liefert? - Wenn \(g=h\) und \(h=k\) gilt, welche Schlussfolgerung folgt für alle drei Geraden?

1. Die Richtungsvektoren sind alle linear abhängig, denn \(\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\). 2. Beim Gleichsetzen von \(g\) und \(h\) erhält man aus beiden Koordinaten dieselbe Gleichung \(2\lambda+\mu=1\). Das System besitzt unendlich viele Lösungen. Daher sind \(g\) und \(h\) identisch. 3. Beim Gleichsetzen von \(h\) und \(k\) liefern beide Koordinaten dieselbe Gleichung \(\mu-3\sigma=2\). Auch dieses System besitzt unendlich viele Lösungen. Daher sind \(h\) und \(k\) identisch. 4. Somit beschreiben alle drei Parameterformen dieselbe Gerade.

\(g\), \(h\) und \(k\) sind identisch.

- Überlege dir zuerst, welche Punkte die gesuchten Geraden festlegen. - Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks im Raum. - Wähle einen der beiden Punkte als Stützpunkt und die Differenz der Ortsvektoren als Richtungsvektor.

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{AB}\): \(\vec{M_{AB}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aufstellen der Geradengleichung für \(g\) mit Stützvektor \(\vec{C}\) und Richtungsvektor \(\vec{CM_{AB}}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Schwerpunkts \(S_{ABC}\): \(\vec{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 6+0+0 \\ 0+6+0 \\ 0+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aufstellen der Geradengleichung für \(h\) mit Stützvektor \(\vec{D}\) und Richtungsvektor \(\vec{DS_{ABC}}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -9 \end{pmatrix}\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -9 \end{pmatrix}\)

- Identifiziere für jede Gerade einen Stützpunkt und berechne den Vektor zwischen den beiden gegebenen Punkten als Richtungsvektor. - Achte darauf, für verschiedene Geraden unterschiedliche laufende Parameter zu verwenden. - Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den Endpunkten.

1. Für die Gerade \(g_{AS}\) wird der Stützvektor \(\vec{A}\) und der Richtungsvektor \(\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-2 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\) verwendet: \(g_{AS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\). 2. Für die Gerade \(g_{CS}\) wird der Stützvektor \(\vec{C}\) und der Richtungsvektor \(\vec{CS} = \vec{S} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 5-8 \\ 5-8 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\) verwendet: \(g_{CS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{BC}\): \(\vec{M_{BC}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Gerade \(m\) durch \(S\) und \(M_{BC}\) ergibt sich zu: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \left( \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}\).

a) \(g_{AS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\); \(g_{CS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\) b) \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}\)

- Welche zwei Punkte bestimmen jeweils die gesuchte Gerade? - Wie berechnest du den Mittelpunkt einer Strecke und den Schwerpunkt eines Dreiecks aus den Ortsvektoren? - Was muss für die Richtungsvektoren paralleler Geraden gelten? - Kannst du einen Richtungsvektor durch ein von null verschiedenes skalares Vielfaches vereinfachen?

1. Für \(g_{BC}\) gilt \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\). Damit ist \(g_{BC}:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\). 2. Der Mittelpunkt ist \(M_{BC}(-1{,}5|4|4)\). Ein Richtungsvektor der Seitenhalbierenden \(s_a\) ist \(\vec{AM}_{BC}=\begin{pmatrix}-4{,}5\\3\\0\end{pmatrix}\), zum Beispiel vereinfacht \(\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\). Daher ist \(s_a:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\). 3. Der Schwerpunkt ist \(S\left(\frac{3+0-3}{3}\middle|\frac{1+5+3}{3}\middle|\frac{4+2+6}{3}\right)=S(0|3|4)\). 4. Es ist \(M_{AC}(0|2|5)\), also kann \(\vec{BM}_{AC}=\begin{pmatrix}0\\-3\\3\end{pmatrix}\) zu \(\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\) vereinfacht werden. Somit ist \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\).

a) \(g_{BC}:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\) b) \(M_{BC}(-1{,}5|4|4)\); \(s_a:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-3\\2\\0\end{pmatrix}\) c) \(S(0|3|4)\) d) \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\)

- Welche Vektorgleichung verbindet vier aufeinanderfolgende Eckpunkte eines Parallelogramms? - Welche besondere Eigenschaft haben die Diagonalen eines Parallelogramms an ihrem Schnittpunkt? - Welche zwei Punkte bestimmen die Gerade \(g_{BD}\), welche zwei die Gerade \(k\)? - Wie kannst du einen Richtungsvektor durch ein von null verschiedenes Vielfaches vereinfachen?

1. In einem Parallelogramm gilt \(\vec{D}=\vec{A}+(\vec{C}-\vec{B})\). Mit \(\vec{C}-\vec{B}=\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}\) folgt \(D(0|3|-2)\). 2. Für die Diagonale gilt \(\vec{BD}=\begin{pmatrix}-6\\2\\-6\end{pmatrix}\), zum Beispiel vereinfacht \(\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}\). Damit ist \(g_{BD}:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}\). 3. Der Diagonalenschnittpunkt ist der Mittelpunkt von \(AC\), also \(M(3|2|1)\). Außerdem ist \(M_{CD}(2|4|0)\). 4. Daher ist \(\vec{MM}_{CD}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\), und eine Parameterform von \(k\) lautet \(k:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\).

a) \(D(0|3|-2)\) b) \(g_{BD}:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\1\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}\) c) \(k:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\)

- Wie erhältst du aus den beiden gegebenen Punkten einen Richtungsvektor von \(g\)? - Was muss bei einer Punktprobe für alle drei Koordinaten mit demselben Parameterwert gelten? - Welche Koordinate ist in der \(x_1x_2\)-Ebene gleich null? - Welche Beziehung besteht zwischen den Richtungsvektoren paralleler Geraden?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\). Damit lautet die Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\). 2. Für \(C\) liefert die erste Koordinate \(r=2\). Mit diesem Wert stimmen auch die zweite und dritte Koordinate überein, also liegt \(C\) auf \(g\). Für \(D\) liefert die erste Koordinate \(r=-1\). Dann ergibt die dritte Koordinate \(5\) statt \(6\), also liegt \(D\) nicht auf \(g\). 3. In der \(x_1x_2\)-Ebene gilt \(x_3=0\). Aus \(2-3r=0\) folgt \(r=\frac{2}{3}\). Damit erhält man \(S(2|1|0)\). 4. Eine zu \(g\) parallele Gerade kann denselben Richtungsvektor verwenden. Durch \(P\) erhält man \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\).

a) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\) b) \(C\) liegt auf \(g\); \(D\) liegt nicht auf \(g\). c) \(S(2|1|0)\) d) \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\)

- Welche zwei unabhängigen Richtungen der Ebene erhältst du aus den drei Punkten? - Welche Eigenschaft muss die Richtung einer Geraden haben, die eine Ebene orthogonal schneidet? - Wie kannst du prüfen, ob dein gewählter Geradenrichtungsvektor zu beiden Ebenenrichtungen senkrecht ist?

1. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\vec{u}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Ein Vektor, der zu beiden Ebenenrichtungen senkrecht ist, ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}8\\-8\\8\end{pmatrix}\). Als einfacheres skalares Vielfaches kann \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Eine Gerade, die \(E\) orthogonal schneidet, besitzt einen zum Normalenvektor parallelen Richtungsvektor. Da \(h\) durch den Ursprung gehen soll, ist zum Beispiel \(h:\vec{x}=t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\), geeignet. 4. Zur Kontrolle gilt \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\vec{u}=0\) und \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\vec{v}=0\). Daher ist die Geradenrichtung zu allen Ebenenrichtungen orthogonal.

\(h:\vec{x}=t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\), oder eine äquivalente Parameterform mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors.

- Welchen Richtungsvektor erhältst du aus den beiden Endpunkten der Kante? - Welches Parameterintervall beschreibt die Kante, wenn \(S\) zu \(t=0\) und \(A\) zu \(t=1\) gehört? - Prüfe bei jedem Punkt zuerst, ob ein einheitlicher Parameterwert alle drei Koordinaten erfüllt. - Unterscheide danach zwischen Zugehörigkeit zur Trägergeraden und Zugehörigkeit zur begrenzten Kante.

1. Ein Richtungsvektor von \(S\) nach \(A\) ist \(\vec{SA}=\begin{pmatrix}4\\-4\\-12\end{pmatrix}\). Damit lautet eine Parameterform der Trägergeraden \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\-4\\-12\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\). 2. Für \(P(3|-3|3)\) liefert die erste Koordinate \(4t=3\), also \(t=\frac{3}{4}\). Die beiden anderen Koordinaten stimmen damit ebenfalls überein. Da \(0\le\frac{3}{4}\le1\), liegt \(P\) auf der Kante \(SA\). 3. Für \(Q(5|-5|-3)\) liefert die erste Koordinate \(4t=5\), also \(t=\frac{5}{4}\). Auch die beiden anderen Koordinaten stimmen damit überein. Der Punkt liegt daher auf der Trägergeraden, aber wegen \(\frac{5}{4}>1\) nicht auf der Kante \(SA\).

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\-4\\-12\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\) Für \(P\) gilt \(t=\frac{3}{4}\); daher liegt \(P\) auf \(SA\). Für \(Q\) gilt \(t=\frac{5}{4}\); daher liegt \(Q\) nur auf der Trägergeraden, nicht auf der Kante.

- Stelle zuerst die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte auf. - Wann sind zwei Vektoren parallel? Wie prüfst du das rechnerisch? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors und wie skaliert man ihn auf eine bestimmte Länge? - Was zeichnet die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_3\)-Achse aus? - Ein Punkt auf einer Geraden lässt sich durch die Geradengleichung in Abhängigkeit von einem Parameter ausdrücken.

1. Gerade \(g\): Richtungsvektor \(\vec{u}_g = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (vereinfachter Richtungsvektor). 2. Lagebeziehung: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(1+t = \mu\), \(2 = 1-\mu\), \(-1+t = 4\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\mu = -1\). Dann ergibt die erste Gleichung \(t = -2\). Die dritte Gleichung liefert \(-3 = 4\) (Widerspruch). Also windschief. 3. Richtungsvektor für \(k\): Parallelität zu \(h\) bedeutet \(\vec{v}_k = c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|c| \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = |c| \cdot \sqrt{2}\). Da \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), muss \(|c| = 3\) gelten. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Punkt \(C\) auf \(h\): \(C(\mu | 1-\mu | 4)\). Gerade \(j: \vec{x} = \begin{pmatrix} \mu \\ 1-\mu \\ 4 \end{pmatrix} + \tau \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Schnitt mit \(x_3\)-Achse bedeutet \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). Aus \(1-\mu + 0 = 0\) folgt \(\mu = 1\). Damit ergibt \(\mu + \tau = 0\) den Wert \(\tau = -1\). Für \(\mu = 1\) ist der Punkt \(C(1|0|4)\).

a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und das Gleichungssystem hat keine Lösung; daher sind die Geraden windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)). c) Der gesuchte Stützpunkt ist \(C(1|0|4)\).

- Setze die beiden Ortsvektorausdrücke für denselben Punkt gleich. - Warum darfst du bei \(\vec{v}\neq\vec{0}\) die skalaren Koeffizienten von \(\vec{v}\) vergleichen? - Betrachte in b) einen allgemeinen neuen Stützpunkt auf \(g\) und ein allgemeines von null verschiedenes Vielfaches des Richtungsvektors.

1. Für denselben Punkt gilt \(\vec{a}+t\vec{v}=\vec{a}+2\vec{v}-0{,}5s\vec{v}\). 2. Nach Subtraktion von \(\vec{a}\) und wegen \(\vec{v}\neq\vec{0}\) können die Koeffizienten verglichen werden: \(t=2-0{,}5s\). 3. Daraus folgt \(s=4-2t\). Zu jedem \(t\in\mathbb{R}\) gehört damit genau ein reeller Wert \(s\), und umgekehrt. 4. Allgemein sei ein neuer Stützpunkt \(\vec{b}=\vec{a}+r\vec{v}\) und ein neuer Richtungsvektor \(\vec{u}=k\vec{v}\) mit \(k\neq0\). Dann hat die neue Parameterform die Gestalt \(\vec{b}+s\vec{u}=\vec{a}+(r+sk)\vec{v}\). Wenn \(s\) alle reellen Werte durchläuft, nimmt \(r+sk\) wegen \(k\neq0\) ebenfalls alle reellen Werte an. Daher entsteht genau dieselbe Punktmenge.

a) \(s=4-2t\) b) Für \(\vec{b}=\vec{a}+r\vec{v}\) und \(\vec{u}=k\vec{v}\) mit \(k\neq0\) gilt \(\vec{b}+s\vec{u}=\vec{a}+(r+sk)\vec{v}\); der neue Parameter durchläuft damit wieder alle Punkte von \(g\).

- Setze die Koordinaten des Punktes für den Vektor \(\vec{x}\) ein. - Betrachte jede Zeile der Vektorgleichung als eine einzelne Gleichung. - In welcher Gleichung kommt nur eine Unbekannte (zusätzlich zum Parameter \(\lambda\)) vor? - Versuche, eine Variable durch \(\lambda\) auszudrücken und in eine andere Gleichung einzusetzen. - Überprüfe, ob es mehr als einen Wert für \(\lambda\) geben kann, der die Gleichungen erfüllt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen von \(P\) und \(g\): (I) \(7 = a + 2\lambda\) (II) \(4 = 1 + a\lambda\) (III) \(10 = b + 3\lambda\) 2. Auflösen von (I) nach \(a\): \(a = 7 - 2\lambda\). 3. Einsetzen von \(a\) in (II): \(4 = 1 + (7 - 2\lambda) \cdot \lambda \implies 3 = 7\lambda - 2\lambda^2\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung \(2\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0\) mithilfe der Mitternachtsformel: \(\lambda_1 = 3\) und \(\lambda_2 = 0{,}5\). 5. Fall 1 (\(\lambda = 3\)): Einsetzen in die Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(a = 7 - 2 \cdot 3 = 1\) und \(10 = b + 3 \cdot 3 \implies b = 1\). 6. Fall 2 (\(\lambda = 0{,}5\)): Einsetzen in die Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(a = 7 - 2 \cdot 0{,}5 = 6\) und \(10 = b + 3 \cdot 0{,}5 \implies b = 8{,}5\).

Es gibt zwei mögliche Wertepaare: \(a_1 = 1, b_1 = 1\) (für \(\lambda = 3\)) und \(a_2 = 6, b_2 = 8{,}5\) (für \(\lambda = 0{,}5\)).