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- Überlege dir, wie man prüft, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. - Kannst du aus den Koordinaten des Punktes ein Gleichungssystem für die Parameter der Ebene aufstellen? - Schau dir die Koordinaten einzeln an. Gibt es eine Zeile, in der nur eine Unbekannte vorkommt? - Wenn du die Parameter der Ebene gefunden hast, wie kannst du damit die fehlende Koordinate berechnen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen des Ortsvektors von \(P\) mit der Ebenengleichung: I: \(4 = 1 + r + 2s\) II: \(3 = 2 + s\) III: \(a = 3 + 2r - s\) 2. Aus Gleichung II folgt direkt \(s = 1\). 3. Einsetzen von \(s = 1\) in Gleichung I: \(4 = 1 + r + 2 \cdot 1 \Rightarrow 4 = 3 + r \Rightarrow r = 1\). 4. Einsetzen der gefundenen Parameter \(r = 1\) und \(s = 1\) in Gleichung III zur Bestimmung von \(a\): \(a = 3 + 2 \cdot 1 - 1 = 4\).

\(a = 4\)

- Was passiert mit der Ebenengleichung, wenn du konkrete Zahlen für die Parameter einsetzt? - Erinnere dich an die Regeln für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. - Addiere die resultierenden Vektoren komponentenweise. - Die Koordinaten eines Punktes entsprechen den Komponenten seines Ortsvektors.

1. Einsetzen der Parameter \(r = 2\) und \(s = -1\) in die Ebenengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2+0 \\ -2+6-1 \\ 4-4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P_1(3|3|-5)\). 2. Einsetzen der Parameter \(r = -3\) und \(s = 0{,}5\) in die Ebenengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + (-3) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3+0 \\ -2-9+0{,}5 \\ 4+6+2{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -10{,}5 \\ 12{,}5 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P_2(-2|-10{,}5|12{,}5)\).

a) \(P_1(3|3|-5)\) b) \(P_2(-2|-10{,}5|12{,}5)\)

- Wie stellst du eine Ebenengleichung auf, wenn ein Punkt und zwei Richtungsvektoren gegeben sind? - Der Ortsvektor des gegebenen Punktes dient als Stützvektor. - Setze die gegebenen Zahlenwerte für die Parameter in deine Gleichung ein. - Achte beim Zusammenrechnen besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen der Parameterform der Ebene: \(\vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{u} + m \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung für Teil a) mit \(k = 4\) und \(m = -2\): \(\vec{p}_a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4+2 \\ 0+4-4 \\ 3+4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung für Teil b) mit \(k = 1{,}5\) und \(m = 1{,}5\): \(\vec{p}_b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1{,}5-1{,}5 \\ 0+1{,}5+3 \\ 3+1{,}5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4{,}5 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4{,}5 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}\)

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Ein Punkt auf einer Koordinatenachse hat eine besondere Eigenschaft bezüglich seiner Koordinaten. Welche ist das für die \(x_2\)-Achse? - Wenn zwei Koordinaten eines Punktes identisch sind (wie bei \(p\)), wie kannst du das im Gleichungssystem nutzen? - Kannst du aus zwei Gleichungen die Parameter bestimmen und das Ergebnis in der dritten Gleichung testen?

1. Punktprobe für \(A\): Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) \(3 + \lambda + 2\mu = 6\), \(1 + 2\lambda - \mu = 2\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 2\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(\lambda = 1\) und \(\mu = 1\). Die Überprüfung in der dritten Gleichung ergibt \(-2 + 1 + 3 = 2\) (wahr), also liegt \(A\) in \(E\). 2. Punktprobe für \(B\): LGS \(3 + \lambda + 2\mu = 1\), \(1 + 2\lambda - \mu = 2\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 3\). Die ersten beiden Gleichungen liefern \(\lambda = 0\) und \(\mu = -1\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-2 + 0 - 3 = -5 \neq 3\) (falsch), also liegt \(B\) nicht in \(E\). 3. Bestimmung von \(p\): Das LGS \(p = 3 + \lambda + 2\mu\), \(4 = 1 + 2\lambda - \mu\) und \(p = -2 + \lambda + 3\mu\) führt durch Gleichsetzen der Ausdrücke für \(p\) auf \(3 + \lambda + 2\mu = -2 + \lambda + 3\mu\), woraus \(\mu = 5\) folgt. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(2\lambda - 5 = 3 \implies \lambda = 4\). Damit ist \(p = 3 + 4 + 10 = 17\). 4. Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse: Ansatz \(S(0|y|0)\). Das LGS \(3 + \lambda + 2\mu = 0\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 0\) liefert durch Subtraktion \(\mu - 5 = 0 \implies \mu = 5\) und daraus \(\lambda = -13\). Die \(x_2\)-Koordinate ist \(y = 1 + 2 \cdot (-13) - 5 = -30\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|-30|0)\).

a) \(A \in E\), \(B \notin E\). b) \(p = 17\). c) \(S(0|-30|0)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der ersten Winkelhalbierenden einer Koordinatenebene liegt? - Setze die Punktkoordinaten mit der Ebenengleichung gleich und löse das entstehende System Schritt für Schritt. - Wenn eine Koordinate Null ist, vereinfacht das die Suche nach den Parametern erheblich. - Überlege dir, in welcher Ebene ein Punkt liegt, dessen erste Koordinate \(0\) ist.

1. Bestimmung von \(q\): Aufstellen des LGS \(q = 2 + r\), \(q = r + 2s\) und \(5 = 1 + 2r - s\). Gleichsetzen der ersten beiden Gleichungen ergibt \(2 + r = r + 2s \implies s = 1\). Einsetzen in die dritte Gleichung liefert \(1 + 2r - 1 = 5 \implies 2r = 5 \implies r = 2{,}5\). Damit ist \(q = 2 + 2{,}5 = 4{,}5\). 2. Bestimmung von \(k\): LGS \(k = 2 + r\), \(k = r + 2s\) und \(k = 1 + 2r - s\). Aus den ersten beiden folgt wieder \(s = 1\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(k = 1 + 2r - 1 = 2r\). Gleichsetzen mit der ersten Gleichung liefert \(2r = 2 + r \implies r = 2\). Somit ist \(k = 4\). 3. Bestimmung von \(t\): LGS \(0 = 2 + r \implies r = -2\). Die weiteren Gleichungen sind \(t = r + 2s\) und \(t = 1 + 2r - s\). Einsetzen von \(r\) ergibt \(t = -2 + 2s\) und \(t = 1 - 4 - s = -3 - s\). Gleichsetzen liefert \(-2 + 2s = -3 - s \implies 3s = -1 \implies s = -\frac{1}{3}\). Damit ist \(t = -2 + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{8}{3}\). 4. Lage von \(T\): Der Punkt \(T(0|-\frac{8}{3}|-\frac{8}{3})\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene (da \(x_1 = 0\)) und dort auf der ersten Winkelhalbierenden (da \(x_2 = x_3\)).

a) \(q = 4{,}5\). b) \(k = 4\). c) \(t = -\frac{8}{3}\). Der Punkt \(T\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene auf der ersten Winkelhalbierenden.

- Überlege dir, welche Form entsteht, wenn zwei Vektoren von einem Punkt aus ein Gebiet aufspannen. - Wie hängen die Längen der Spannvektoren und ihr Winkel mit dem Flächeninhalt zusammen? - Was passiert mit der Form, wenn die Summe der Anteile der beiden Richtungsvektoren begrenzt wird? - Setze die gegebenen Werte einfach in die Ebenengleichung ein, um den gesuchten Punkt zu finden.

1. Berechnung der Spannvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Da die Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) unabhängig voneinander das Intervall \([0; 1]\) durchlaufen, beschreibt die Punktmenge ein Parallelogramm. Wegen \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, es handelt sich also um ein Rechteck. 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| = 4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 4. Für ein Dreieck muss neben \(\lambda \ge 0\) und \(\mu \ge 0\) die zusätzliche Bedingung \(\lambda + \mu \le 1\) erfüllt sein. 5. Berechnung von \(D\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + 1 \cdot \vec{AB} + 1 \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(5|4|2)\).

a) Die Figur ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\). b) Die Bedingungen lauten \(\lambda \ge 0\), \(\mu \ge 0\) und \(\lambda + \mu \le 1\). c) Der Punkt hat die Koordinaten \(D(5|4|2)\).

- Untersuche die Eigenschaften der beiden Richtungsvektoren (Länge und Winkel). - Welchen Einfluss haben die Grenzen der Parameter auf die Ausdehnung der Figur? - Wo liegt das Zentrum, wenn die Parameter von einem negativen zu einem betragsgleichen positiven Wert laufen? - Wie groß ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten möglichen Wert eines Parameters?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\): Das Skalarprodukt ist \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0\), sie sind also orthogonal. 2. Vergleich der Längen: \(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}\). Da die Vektoren orthogonal und gleich lang sind und die Parameter \(r, s\) symmetrische Intervalle gleicher Länge \([ -1; 1 ]\) durchlaufen, ist die Figur ein Quadrat. 3. Der Mittelpunkt ergibt sich für das Zentrum der Parameterbereiche, also \(r = 0\) und \(s = 0\). Somit ist der Mittelpunkt der Stützvektor \(Z(0|0|5)\). 4. Die Seitenlänge des Quadrats entspricht dem Zweifachen der Vektorlänge (da der Parameter von \(-1\) bis \(1\) geht, also eine Spanne von \(2\) hat): \(a = 2\sqrt{5}\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A = a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\,\text{FE}\).

a) Die Richtungsvektoren sind orthogonal (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)) und gleich lang (\(\sqrt{5}\)). Da beide Parameterintervalle die Länge \(2\) besitzen, sind alle Seiten gleich lang. b) Der Mittelpunkt ist \(Z(0|0|5)\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(20\,\text{FE}\).

- Wie kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Was muss für die Parameter gelten, damit ein Punkt tatsächlich Teil der Ebene ist? - Wenn eine Koordinate eines Punktes unbekannt ist, welche Zeilen der Ebenengleichung helfen dir, die Parameter zuerst zu bestimmen? - Überlege, wie viele Gleichungen du benötigst, um die beiden Parameter \(r\) und \(s\) eindeutig zu berechnen.

1. Prüfung von \(P(4|0|3)\): Aufstellen des Gleichungssystems \(1+r+2s=4\), \(r-s=0\) und \(2+r=3\). Aus der dritten Gleichung folgt \(r=1\). Einsetzen in die zweite ergibt \(s=1\). Die erste Gleichung liefert \(1+1+2 \cdot 1=4\), was eine wahre Aussage ist. \(P\) liegt in \(E\). 2. Prüfung von \(Q(5|1|5)\): Gleichungssystem \(1+r+2s=5\), \(r-s=1\) und \(2+r=5\). Aus der dritten Gleichung folgt \(r=3\). Einsetzen in die zweite ergibt \(3-s=1 \Rightarrow s=2\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(1+3+2 \cdot 2=8 \neq 5\). \(Q\) liegt nicht in \(E\). 3. Punkt \(D(2|y|4)\): Aus der \(x_3\)-Koordinate folgt \(2+r=4 \Rightarrow r=2\). Aus der \(x_1\)-Koordinate folgt \(1+2+2s=2 \Rightarrow 2s=-1 \Rightarrow s=-0{,}5\). Berechnung von \(y\): \(y=r-s=2-(-0{,}5)=2{,}5\). 4. Punkt \(F(x|3|6)\): Aus der \(x_3\)-Koordinate folgt \(2+r=6 \Rightarrow r=4\). Aus der \(x_2\)-Koordinate folgt \(4-s=3 \Rightarrow s=1\). Berechnung von \(x\): \(x=1+4+2 \cdot 1=7\).

a) \(P\) liegt in \(E\); \(Q\) liegt nicht in \(E\). b) \(y = 2{,}5\) und \(x = 7\).

- Wie kannst du den Punkt und die Ebenengleichung gleichsetzen? - Welches mathematische Verfahren hilft dir, Systeme mit mehreren Unbekannten zu lösen? - Was bedeutet es für die Lage des Punktes, wenn die drei Koordinatengleichungen keine gemeinsame Lösung für die Parameter \(r\) und \(s\) besitzen? - Denke daran, die gefundenen Werte für die Parameter in der jeweils nicht genutzten Koordinatengleichung zu prüfen.

1. Für Punkt \(P\): Aufstellen des Gleichungssystems aus \(\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Daraus ergeben sich die Gleichungen I: \(2r + s = 3\), II: \(-r + 3s = 2\) und III: \(4r - 2s = 2\). Aus I und II folgt durch Einsetzen oder Eliminieren \(r = 1\) und \(s = 1\). Die Überprüfung in III ergibt \(4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 2\), was eine wahre Aussage ist. Somit liegt \(P\) in \(E\) mit \(r = 1\) und \(s = 1\). 2. Für Punkt \(Q\): Aufstellen des Gleichungssystems I: \(2r + s = -1\), II: \(-r + 3s = 1\) und III: \(4r - 2s = 3\). Aus I und II folgt \(r = -\frac{4}{7}\) und \(s = \frac{1}{7}\). Die Überprüfung in III ergibt \(4 \cdot (-\frac{4}{7}) - 2 \cdot \frac{1}{7} = -\frac{18}{7} \neq 3\). Dies ist ein Widerspruch, weshalb \(Q\) nicht in der Ebene \(E\) liegt.

a) Der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\). Die Parameterwerte sind \(r = 1\) und \(s = 1\). b) Der Punkt \(Q\) liegt nicht in der Ebene \(E\).

- Was passiert mit der Position im Raum, wenn du einen Parameter festhältst und den anderen variierst? - Erinnere dich an die Definition von Vektoren als „Schritte“ vom Stützpunkt aus. Welche Fläche deckst du ab, wenn beide Schritte begrenzt sind? - Überlege dir, wie viele Eckpunkte entstehen, wenn du die Grenzwerte der Ungleichungen kombinierst. - Wie sieht die Parameterform einer Geraden aus? Kannst du die Bedingung \( r = s \) so einsetzen, dass nur noch ein Parameter übrig bleibt?

1. Die Bedingung \( r = 2 \) fixiert den Anteil des ersten Richtungsvektors, während \( s \) in einem abgeschlossenen Intervall variiert. Dies beschreibt eine Strecke in der Ebene. 2. Da beide Parameter unabhängig voneinander in einem Intervall von 0 bis 1 variieren, handelt es sich um ein Parallelogramm. 3. Die kombinierten Bedingungen \( r \ge 0, s \ge 0 \) und \( r + s \le 1 \) definieren ein Dreieck. 4. Die Gleichsetzung der Parameter \( r = s \) führt zu \( \vec{x} = \vec{a} + r \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \). Dies beschreibt eine Gerade, die durch den Stützpunkt der Ebene verläuft. Eckpunkte für Teilaufgabe 2: - Für \( r=0, s=0 \): \( P_1(3 | 0 | -2) \) - Für \( r=1, s=0 \): \( P_2(3+2 | 0+1 | -2+2) = P_2(5 | 1 | 0) \) - Für \( r=0, s=1 \): \( P_3(3-1 | 0+2 | -2+0) = P_3(2 | 2 | -2) \) - Für \( r=1, s=1 \): \( P_4(3+2-1 | 0+1+2 | -2+2+0) = P_4(4 | 3 | 0) \)

1. Strecke 2. Parallelogramm; Eckpunkte: \( (3 | 0 | -2), (5 | 1 | 0), (2 | 2 | -2), (4 | 3 | 0) \) 3. Dreieck 4. Gerade

- Schau dir an, welche Parameter in den Bedingungen fest (Gleichung) und welche variabel (Ungleichung) sind. - Ein Intervall für einen Parameter bei gleichzeitig freiem anderen Parameter bedeutet meist eine Ausdehnung ins Unendliche in eine Richtung. - Überlege, welche Werte die Parameter an den genannten Eckpunkten der Figuren annehmen müssen. - Die Summe der Parameter \( \lambda + \mu \) begrenzt oft die „Diagonale“ der Fläche, was typisch für Dreiecke ist.

- (A) Ein Parallelogramm wird durch unabhängige Intervalle für beide Parameter aufgespannt. Die Eckpunkte zeigen, dass \( \lambda \) von 0 bis 2 und \( \mu \) von 0 bis 3 laufen muss. Dies entspricht Bedingung 2. - (B) Eine Gerade parallel zu \( \vec{v} \) erfordert, dass der Koeffizient von \( \vec{u} \) konstant ist (\( \lambda = c \)). Damit sie nicht durch den Stützpunkt (\( \lambda = 0, \mu = 0 \)) geht, muss \( \lambda \neq 0 \) sein. Bedingung 3 (\( \lambda = 1 \)) erfüllt dies. - (C) Die Standardform eines Dreiecks in der Parameterdarstellung mit den Richtungsvektoren als Seiten ist durch \( \lambda \ge 0, \mu \ge 0 \) und \( \lambda + \mu \le 1 \) gegeben. Dies entspricht Bedingung 1. - (D) Wenn ein Parameter (z. B. \( \lambda \)) auf ein Intervall beschränkt ist, während der andere (\( \mu \)) beliebig groß oder klein werden kann, entsteht ein unendlicher Streifen zwischen den Geraden \( \vec{x} = \vec{a} + 0 \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} \) und \( \vec{x} = \vec{a} + 1 \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} \). Dies entspricht Bedingung 4.

(A) – 2; (B) – 3; (C) – 1; (D) – 4

- Stelle für jede Koordinate \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) eine Gleichung auf. - Du hast nun drei Gleichungen und drei Unbekannte (\(a\), \(\lambda\) und \(\mu\)). - Versuche, die Parameter der Ebene (\(\lambda\) und \(\mu\)) durch den Parameter \(a\) auszudrücken. - Setze diese Ausdrücke in die verbleibende Gleichung ein, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch \(a\) enthält.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) für die Punktprobe: I: \(a + 1 = 1 + \lambda\) II: \(a = 2 - \lambda + 2\mu\) III: \(9 = 1 + 2\lambda + \mu\) 2. Aus Gleichung I folgt \(\lambda = a\). 3. Substitution von \(\lambda = a\) in Gleichung II: \(a = 2 - a + 2\mu \Rightarrow 2a - 2 = 2\mu \Rightarrow \mu = a - 1\). 4. Einsetzen von \(\lambda = a\) und \(\mu = a - 1\) in Gleichung III: \(9 = 1 + 2a + (a - 1)\) \(9 = 3a \Rightarrow a = 3\). 5. Für \(a = 3\) ergeben sich die Parameter \(\lambda = 3\) und \(\mu = 2\), womit der Punkt \(P(4 \mid 3 \mid 9)\) in der Ebene liegt.

\(a = 3\)