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- Überlege dir, welche Koordinaten fest vorgegeben sind und welche Koordinaten jeden beliebigen Wert annehmen können. - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Wenn zwei Koordinaten aneinander gekoppelt sind (z. B. \(x_1 = x_3\)), wie verändert sich die Position im Raum, wenn du dich entlang der Achsen bewegst? - Wie viele Einschränkungen gibt es? Eine Gleichung im Raum beschreibt meist eine Fläche, zwei Gleichungen meist eine Linie.

1. Für \(x_1 = -4\) bleibt die \(x_1\)-Koordinate konstant, während \(x_2\) und \(x_3\) beliebig sind; dies beschreibt eine Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand 4 in negativer \(x_1\)-Richtung. 2. Die Bedingungen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0\) definieren den Schnitt zweier Ebenen. Die resultierende Punktmenge ist eine Gerade, die parallel zur \(x_1\)-Achse verläuft und in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. 3. Die Gleichung \(x_1 = x_3\) beschreibt alle Punkte, bei denen die erste und dritte Koordinate identisch sind; dies entspricht einer Ebene, welche die \(x_2\)-Achse enthält und die \(x_1x_3\)-Ebene im \(45^\circ\)-Winkel schneidet (eine Winkelhalbierendenebene zwischen der \(x_1x_2\)- und der \(x_2x_3\)-Ebene).

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene durch den Punkt \((-4|0|0)\). b) Gerade parallel zur \(x_1\)-Achse, die durch den Punkt \((0|3|0)\) verläuft. c) Ebene, welche die \(x_2\)-Achse enthält (Winkelhalbierendenebene zwischen der \(x_1x_2\)- und der \(x_2x_3\)-Ebene).

- Welche Koordinaten müssen bei einer Parallelen zu einer Koordinatenebene konstant bleiben? - Welche Werte nehmen die Koordinaten an, die nicht in der Bezeichnung der Achse vorkommen (z. B. bei der \(x_1\)-Achse)? - Wie lässt sich die Bedingung „alle Werte sind gleich“ mathematisch als Gleichung zwischen den Variablen \(x_1, x_2\) und \(x_3\) schreiben?

1. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene besitzt eine konstante \(x_3\)-Koordinate. Da der Punkt \(P(0|0|-5)\) enthalten ist, muss \(x_3 = -5\) gelten. 2. Auf der \(x_1\)-Achse können die \(x_1\)-Werte beliebig sein, während die \(x_2\)- und die \(x_3\)-Koordinate null sein müssen; dies führt zu den Bedingungen \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). 3. Wenn alle drei Koordinatenwerte \(x_1, x_2\) und \(x_3\) für jeden Punkt der Geraden identisch sein sollen, lässt sich dies durch die Gleichungskette \(x_1 = x_2 = x_3\) ausdrücken.

a) \(x_3 = -5\) b) \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\) c) \(x_1 = x_2 = x_3\)

- Wie findet man Punkte auf den Koordinatenachsen, wenn die Ebenengleichung bekannt ist? - Überlege dir, welche Koordinate auf einer bestimmten Achse oder in einer bestimmten Koordinatenebene den Wert Null haben muss. - Eine Spurgerade verbindet immer zwei Spurpunkte. Wie stellt man eine Gerade durch zwei Punkte auf? - Um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, kannst du seine Koordinaten direkt in die Gleichung einsetzen.

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: - \(x_2=x_3=0 \implies 4x_1 = 12 \implies S_1(3|0|0)\) - \(x_1=x_3=0 \implies 3x_2 = 12 \implies S_2(0|4|0)\) - \(x_1=x_2=0 \implies 6x_3 = 12 \implies S_3(0|0|2)\) 2. Aufstellen der Spurgeraden als Geraden durch die jeweiligen Spurpunkte: - \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) - \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) - \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) 3. Punktprobe für \(P(1|2|0{,}5)\) durch Einsetzen in die Koordinatengleichung: \(4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 0{,}5 = 4 + 6 + 3 = 13\). Da \(13 \neq 12\), liegt der Punkt \(P\) nicht in der Ebene \(E\).

a) \(S_1(3|0|0), S_2(0|4|0), S_3(0|0|2)\) b) \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\); \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalente Formen) c) Nein, der Punkt \(P\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da die Punktprobe \(13 \neq 12\) ergibt.

- Überlege, wie die Normalenform einer Ebene allgemein mit einem Punkt und einem Normalenvektor aufgebaut ist. - Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatenform mit den Einträgen des Normalenvektors zusammen? - Um den konstanten Wert auf der rechten Seite der Koordinatengleichung zu finden, kannst du die Koordinaten des gegebenen Punktes einsetzen.

1. Aufstellen der Normalenform unter Verwendung des Stützvektors \(\vec{p} = \vec{OP}\) und des Normalenvektors \(\vec{n}\): \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\). 2. Bestimmung der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren des Skalarprodukts: \(3x_1 + 5x_2 - x_3 = d\). 3. Berechnung des Skalarwerts \(d\) durch Einsetzen des Punktes \(P\): \(d = 3 \cdot 7 + 5 \cdot (-2) - 1 \cdot 4 = 21 - 10 - 4 = 7\). 4. Ergebnis der Koordinatenform: \(E: 3x_1 + 5x_2 - x_3 = 7\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: 3x_1 + 5x_2 - x_3 = 7\)

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rolle spielt ein Normalenvektor in der Koordinatengleichung einer Ebene? - Wie nutzt man einen bekannten Punkt der Ebene, um das Absolutglied \(d\) der Gleichung zu berechnen?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch den Verbindungsvektor der Punkte \(A\) und \(B\): \(\vec{n} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-(-1) \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen des Ansatzes für die Koordinatenform: \(-2x_1 + 3x_2 + 3x_3 = d\). 3. Einsetzen des Punktes \(P(4|0|1)\) in die Gleichung zur Bestimmung von \(d\): \(-2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = -8 + 3 = -5\). 4. Aufstellen der fertigen Ebenengleichung: \(-2x_1 + 3x_2 + 3x_3 = -5\) (oder äquivalent \(2x_1 - 3x_2 - 3x_3 = 5\)).

\(E: -2x_1 + 3x_2 + 3x_3 = -5\)

- Welcher Vektor steht senkrecht auf der \(x_2x_3\)-Ebene? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatenform zusammen? - Wenn eine Ebene parallel zu einer Koordinatenebene liegt, wie lässt sich ihr Abstand zum Ursprung direkt ablesen?

1. Bestimmung des Normalenvektors: Da die Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene verläuft, ist ihr Normalenvektor parallel zur \(x_1\)-Achse, also \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Normalenform: Mit dem Stützpunkt \(A\) ergibt sich \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\). 3. Umwandlung in Koordinatenform: Durch Ausmultiplizieren erhält man \(1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 1 \cdot 4 + 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 7\), also \(x_1 = 4\). 4. Berechnung des Abstands zum Ursprung: Da die Ebene parallel zu einer Koordinatenebene ist, entspricht der Abstand dem Betrag des konstanten Gliedes in der Koordinatenform, somit \(d = 4\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: x_1 = 4\) Abstand zum Ursprung: \(d = 4\)

- Was bedeutet es für die Orientierung einer Ebene, wenn eine Komponente ihres Normalenvektors null ist? - Überlege, welche Punkte die Gleichung erfüllen, wenn eine Variable gar nicht vorkommt. - Prüfe, ob der Koordinatenursprung in den Ebenen liegt. - Wie stehen Vektoren zueinander, deren Skalarprodukt null ergibt?

1. Bestimmung der Normalenvektoren: Für \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\), für \(E_2\) ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Analyse von \(E_1\): Da die \(x_2\)-Komponente des Normalenvektors null ist (\(n_2 = 0\)), steht der Normalenvektor senkrecht auf der \(x_2\)-Achse. Da die Ebene zudem durch den Ursprung verläuft (homogene Gleichung), enthält \(E_1\) die gesamte \(x_2\)-Achse. 3. Analyse von \(E_2\): Da zwei Komponenten des Normalenvektors null sind (\(n_1 = 0\) und \(n_3 = 0\)), ist der Normalenvektor parallel zur \(x_2\)-Achse. Damit verläuft die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene. Da sie den Ursprung enthält, ist \(E_2\) identisch mit der \(x_1x_3\)-Ebene.

Die Ebene \(E_1\) enthält die \(x_2\)-Achse, da ihr Normalenvektor \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) keine \(x_2\)-Komponente besitzt und die Ebene durch den Ursprung geht. Die Ebene \(E_2\) ist identisch mit der \(x_1x_3\)-Koordinatenebene, da ihr Normalenvektor \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) nur eine Komponente ungleich null besitzt und die Ebene den Ursprung enthält.

- Welche besondere Eigenschaft hat der Normalenvektor einer Ebene, die parallel zu einer Koordinatenebene liegt? - Wie hängen der Abstand zum Ursprung und der Achsenabschnitt bei solchen speziellen Ebenen zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau der Normalenform: Du benötigst einen Stützvektor und einen Normalenvektor.

1. Da die Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft, ist der Normalenvektor parallel zur \(x_3\)-Achse, z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Abstand zum Ursprung beträgt \(4\) Längeneinheiten. Da die Ebene die \(x_3\)-Achse im positiven Bereich schneidet, ist der Achsenabschnitt \(x_3 = 4\). Dies ist bereits die Koordinatenform. 3. Ein möglicher Stützpunkt auf der Ebene ist der Achsenschnittpunkt \(P(0|0|4)\). Damit ergibt sich die Normalenform \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\).

Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(x_3 = 4\)

- Wie hängen die Komponenten eines Normalenvektors mit der Koordinatengleichung einer Ebene zusammen? - Was bedeutet es rechnerisch, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? - Setze die Koordinaten des Ursprungs in die allgemeine Ebenengleichung ein.

1. Aufstellen der Koordinatengleichung durch Einsetzen der Komponenten des Normalenvektors als Koeffizienten \(a=4\), \(b=7\), \(c=-1\): \(4x_1 + 7x_2 - x_3 = d\). 2. Da die Ebene durch den Ursprung verläuft, ergibt die Punktprobe mit \(O(0|0|0)\) die Gleichung \(4 \cdot 0 + 7 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = d\), woraus \(d = 0\) folgt. Die Gleichung lautet \(4x_1 + 7x_2 - x_3 = 0\). 3. Für eine beliebige Ebene \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) führt die Punktprobe mit dem Ursprung stets auf \(a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = d\). Damit der Ursprung in der Ebene liegt, muss also die Bedingung \(d = 0\) erfüllt sein.

a) \(4x_1 + 7x_2 - x_3 = 0\) b) Es muss \(d = 0\) gelten, da beim Einsetzen des Ursprungs \((0|0|0)\) die linke Seite der Gleichung \(ax_1 + bx_2 + cx_3\) immer Null ergibt.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wie viele Unbekannte hast du in der allgemeinen Form und wie viele Informationen liefern dir die drei Punkte? - Überlege dir, warum es nicht nur eine einzige richtige Kombination für die Werte von \(a, b, c\) und \(d\) geben kann. - Versuche, eine der Variablen auf einen praktischen Wert festzulegen, um die anderen leichter berechnen zu können.

1. Durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die allgemeine Form \(ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0\) entstehen drei lineare Gleichungen: \(A(3|0|0) \implies 3a + d = 0\) \(B(0|0|2) \implies 2c + d = 0\) \(C(1|-1|1) \implies a - b + c + d = 0\) 2. Da eine Ebene durch unendlich viele kollineare Normalenvektoren beschrieben werden kann, ist das System unterbestimmt. Eine Variable, die nicht null sein muss, kann frei gewählt werden. 3. Wählt man \(d = -6\), so folgt aus der ersten Gleichung \(3a - 6 = 0 \implies a = 2\). 4. Aus der zweiten Gleichung folgt \(2c - 6 = 0 \implies c = 3\). 5. Einsetzen in die dritte Gleichung: \(2 - b + 3 - 6 = 0 \implies -b - 1 = 0 \implies b = -1\). 6. Die Koordinatengleichung lautet somit \(2x_1 - x_2 + 3x_3 - 6 = 0\).

Eine mögliche Koordinatengleichung ist \(E: 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 6 = 0\).

- Was passiert mit der Ebenengleichung, wenn du konkrete Zahlen für die Parameter einsetzt? - Erinnere dich an die Regeln für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. - Addiere die resultierenden Vektoren komponentenweise. - Die Koordinaten eines Punktes entsprechen den Komponenten seines Ortsvektors.

1. Einsetzen der Parameter \(r = 2\) und \(s = -1\) in die Ebenengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2+0 \\ -2+6-1 \\ 4-4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P_1(3|3|-5)\). 2. Einsetzen der Parameter \(r = -3\) und \(s = 0{,}5\) in die Ebenengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + (-3) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3+0 \\ -2-9+0{,}5 \\ 4+6+2{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -10{,}5 \\ 12{,}5 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P_2(-2|-10{,}5|12{,}5)\).

a) \(P_1(3|3|-5)\) b) \(P_2(-2|-10{,}5|12{,}5)\)

- Wie stellst du eine Ebenengleichung auf, wenn ein Punkt und zwei Richtungsvektoren gegeben sind? - Der Ortsvektor des gegebenen Punktes dient als Stützvektor. - Setze die gegebenen Zahlenwerte für die Parameter in deine Gleichung ein. - Achte beim Zusammenrechnen besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen der Parameterform der Ebene: \(\vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{u} + m \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung für Teil a) mit \(k = 4\) und \(m = -2\): \(\vec{p}_a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4+2 \\ 0+4-4 \\ 3+4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung für Teil b) mit \(k = 1{,}5\) und \(m = 1{,}5\): \(\vec{p}_b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1{,}5-1{,}5 \\ 0+1{,}5+3 \\ 3+1{,}5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4{,}5 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4{,}5 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}\)

- Wie bildet man aus drei gegebenen Punkten zwei Spannvektoren für eine Ebene? - Was muss für diese Spannvektoren gelten, damit eine zweidimensionale Fläche im Raum entsteht? - Was bedeutet es für die Lage der Punkte, wenn die Richtungsvektoren in die gleiche Richtung weisen?

Zur Aufstellung der Parameterform wählt man einen Punkt als Stützvektor, zum Beispiel \(A\), und bildet die Differenzvektoren zu den anderen Punkten als Richtungsvektoren. Es ergibt sich \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC_k} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ k-1 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ k-1 \end{pmatrix}\). Drei Punkte spannen genau dann keine Ebene auf, wenn die aus ihnen gebildeten Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear) sind. Dies ist der Fall, wenn \(\vec{AC_k} = q \cdot \vec{AB}\) für ein \(q \in \mathbb{R}\) gilt. Der Vergleich der ersten beiden Komponenten (\(4 = 2q\) und \(2 = q\)) liefert eindeutig \(q = 2\). Für die dritte Komponente muss daher \(k - 1 = 2 \cdot 2 = 4\) gelten, woraus \(k = 5\) folgt. Da die Richtungsvektoren in diesem Fall ein Vielfaches voneinander sind, liegen die Punkte \(A\), \(B\) und \(C_5\) auf einer gemeinsamen Geraden; sie sind also kollinear.

a) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ k-1 \end{pmatrix}\) b) \(k = 5\) c) Die Punkte liegen auf einer Geraden (sie sind kollinear).

- Wie bestimmt man einen Richtungsvektor, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Wann genau legen zwei Geraden eine eindeutige Ebene fest? Denke an die möglichen Lagebeziehungen. - Wie kannst du die Parameterform der Ebene direkt aus dem gemeinsamen Punkt und den Richtungen der Geraden bilden? - Bei der Punktprobe setzt du den Ortsvektor des Punktes für \(\vec{x}\) in die Ebenengleichung ein und prüfst, ob es Werte für die Parameter gibt, die alle drei Zeilen erfüllen.

1. Aufstellen der Geradengleichungen: \(h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(h_2\): Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 1-1 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). \(h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Begründung der Ebenenbildung: Die Geraden schneiden sich im Punkt \(P\). Da die Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) keine Vielfachen voneinander sind (nicht kollinear), definieren sie eindeutig eine Ebene. 3. Parameterform der Ebene \(E\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Punktprobe für \(R(3|2|6)\): \(2 - \mu = 3 \Rightarrow \mu = -1\) \(1 + \lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1\) \(4 + 2\lambda - \mu = 6 \Rightarrow 4 + 2 \cdot 1 - (-1) = 7\). Da \(7 \neq 6\), ist das System widersprüchlich. Der Punkt \(R\) liegt nicht in der Ebene.

a) \(h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). b) Da die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt \(P\) haben und ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind, spannen sie eine Ebene auf. Eine Parameterform ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). c) Der Punkt \(R(3|2|6)\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da das entsprechende lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt (\(7 \neq 6\) in der dritten Zeile).

- Wann legen drei Punkte genau eine Ebene fest? Überlege, was passieren würde, wenn sie auf einer Geraden lägen. - Wie hängen die Richtungsvektoren einer Ebene mit den Differenzen der Ortsvektoren der Punkte zusammen? - Welche Koordinaten müssen an einem Punkt auf der \(x_3\)-Achse zwingend null sein? - Nutze ein Gleichungssystem, um die passenden Parameterwerte für den Achsenschnittpunkt zu finden.

1. Richtungsvektoren zwischen den Punkten berechnen: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Kollinearität: Da \(\vec{u}\) kein Vielfaches von \(\vec{v}\) ist (z. B. \(\frac{-3}{-2} \neq \frac{3}{-1}\)), sind die Vektoren linear unabhängig. Die Punkte liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Geraden und spannen eine Ebene auf. 3. Parameterdarstellung aufstellen: Unter Verwendung von \(A\) als Stützpunkt ergibt sich \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse berechnen: Es gilt die Bedingung \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). I: \(4 - 3r - 2s = 0 \Rightarrow 3r + 2s = 4\) II: \(2 + 3r - s = 0 \Rightarrow 3r - s = -2\) Subtraktion der Gleichungen (I \(-\) II) führt zu \(3s = 6\), also \(s = 2\). Einsetzen in II ergibt \(3r - 2 = -2\), also \(r = 0\). 5. \(x_3\)-Koordinate bestimmen: \(x_3 = 1 + 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|0|5)\).

a) Die Richtungsvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) sind nicht kollinear. b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) c) \(S(0|0|5)\)

- Überlege, wie die Richtungsvektoren zueinander stehen müssen, wenn Geraden parallel sind. - Wie kannst du sicherstellen, dass zwei parallele Geraden nicht eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Welche Vektoren innerhalb der Geradenkonstruktion eignen sich als Spannvektoren für eine Ebene? - Erinnerst du dich, wie man prüft, ob ein Punkt die Bedingungen einer Ebenengleichung erfüllt?

1. Parallelität prüfen: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) sind wegen \(\vec{v} = -2 \cdot \vec{u}\) linear abhängig, also sind die Geraden parallel. 2. Identität ausschließen: Punktprobe des Stützpunktes von \(h\) in \(g\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(r = -1\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(0 + (-1) = -1 \neq 3\). Da der Punkt nicht auf \(g\) liegt, sind die Geraden echt parallel. 3. Ebenengleichung aufstellen: Als Stützvektor wird der von \(g\) gewählt. Der erste Spannvektor ist der Richtungsvektor von \(g\). Der zweite Spannvektor ergibt sich aus der Differenz der Stützvektoren: \(\vec{w} = \vec{p}_h - \vec{p}_g = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-0 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit gilt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Punktprobe für \(P\): Das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) führt auf \(r - t = -1\) und \(r + 3t = 4\). Subtraktion liefert \(4t = 5 \Rightarrow t = 1{,}25\). Daraus folgt \(r = 0{,}25\). Die Prüfung in der dritten Zeile (\(1 - 0{,}25 + 1{,}25 = 2\)) ergibt eine wahre Aussage. \(P\) liegt in \(E\).

a) \(\vec{v} = -2 \cdot \vec{u}\) (parallel); Punktprobe liefert Widerspruch (echt parallel). b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) (Beispiel) c) Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene (für \(r = 0{,}25\) und \(t = 1{,}25\)).

- Wann bestimmen drei Punkte genau eine Ebene und wann nicht? Überlege dir, wie sie zueinander liegen könnten. - Was passiert, wenn ein Punkt genau auf einer Geraden liegt? Kannst du dann die Ebene noch eindeutig „fixieren“? - Nutze Vektoren, um zu prüfen, ob Punkte auf einer gemeinsamen Linie liegen. - Setze den Punkt in die Geradengleichung ein, um seine Lage zu prüfen.

1. Prüfung von Teilaufgabe a: Berechnung der Verbindungsvektoren \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \). Untersuchung auf Kollinearität: Da kein Skalar \( k \) existiert, für den \( \vec{AC} = k \cdot \vec{AB} \) gilt (insbesondere wegen der \( z \)-Komponente: \( k \cdot 0 \neq 1 \)), sind die Punkte nicht kollinear. Ergebnis: Die Punkte legen eine eindeutige Ebene fest. 2. Prüfung von Teilaufgabe b: Untersuchung, ob der Punkt \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt. Aufstellen des Gleichungssystems: \( -1 + 3s = 5 \), \( 4 - 2s = 0 \) und \( 5 + s = 7 \). Aus der ersten Gleichung folgt \( s = 2 \). Einsetzen in die zweite Gleichung: \( 4 - 2 \cdot 2 = 0 \) (wahr). Einsetzen in die dritte Gleichung: \( 5 + 2 = 7 \) (wahr). Da der Punkt \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt, wird durch diese Angabe keine eindeutige Ebene festgelegt (es gibt unendlich viele Ebenen, die die Gerade enthalten).

a) Ja, die Punkte legen eine eindeutige Ebene fest, da sie nicht auf einer Geraden liegen. b) Nein, es wird keine eindeutige Ebene festgelegt, da der Punkt \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt.

- Was weißt du über die Normalenvektoren von parallelen Ebenen? - Wie ist eine Koordinatengleichung aufgebaut und welche Rolle spielen dabei die Koeffizienten vor den Variablen? - Welche Information liefert dir ein Punkt, der auf einer Ebene liegt, für die Ebenengleichung?

1. Da die Ebene \( F \) parallel zu \( E \) verlaufen soll, besitzt sie denselben Normalenvektor. Die Koeffizienten der Koordinatengleichung bleiben somit identisch: \( 5x_1 - x_2 + 3x_3 = d \). 2. Um den Wert von \( d \) zu bestimmen, werden die Koordinaten des Punktes \( P(2 | 6 | -1) \) in diese Gleichung eingesetzt: \( 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6 + 3 \cdot (-1) = 10 - 6 - 3 = 1 \). 3. Daraus ergibt sich die fertige Koordinatengleichung der Ebene \( F \): \( 5x_1 - x_2 + 3x_3 = 1 \).

\( F: 5x_1 - x_2 + 3x_3 = 1 \)

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Strahl senkrecht auf eine Fläche trifft? - Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und das Skalarprodukt mit der Ebenengleichung zusammen? - Welche Formel nutzt man, um aus einem Punkt und einem Normalenvektor direkt die Koordinatenform zu erhalten?

1. Da der Laserstrahl senkrecht auf die Fläche trifft, entspricht sein Richtungsvektor dem Normalenvektor der Ebene: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Die Bedingung für einen Punkt \(X\) in der Ebene lautet in Normalenform: \((\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0\). Eingesetzt ergibt sich \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\). 3. Zur Bestimmung der Koordinatengleichung wird das Skalarprodukt ausgewertet: \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = d\). 4. Einsetzen des Punktes \(P\) zur Berechnung von \(d\): \(2 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 4 = 10 - 2 - 4 = 4\). 5. Die Koordinatengleichung lautet somit \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = 4\).

a) \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\) b) \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = 4\)

- Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems? - Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn eine Variable in der Koordinatengleichung fehlt? - Überlege, welche Koordinate für alle Punkte in einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene denselben Wert haben muss.

1. Zur Berechnung der Spurpunkte setzt man jeweils zwei Koordinaten gleich Null: - \(x_2=0, x_3=0 \implies 5x_1 = 20 \implies x_1 = 4\). Spurpunkt \(S_1(4|0|0)\). - \(x_1=0, x_3=0 \implies 2x_2 = 20 \implies x_2 = 10\). Spurpunkt \(S_2(0|10|0)\). - Für den Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse (\(x_1=0, x_2=0\)) ergibt sich die falsche Aussage \(0 = 20\), es existiert also kein Spurpunkt \(S_3\). 2. Da die Variable \(x_3\) in der Gleichung nicht vorkommt (Koeffizient ist \(0\)), ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) orthogonal zur \(x_3\)-Achse (Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)). Folglich verläuft die Ebene \(E\) parallel zur \(x_3\)-Achse. Da \(d=20 \neq 0\), verläuft sie nicht durch den Ursprung, sondern echt parallel zur \(x_3\)-Achse. 3. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene hat die Form \(x_3 = d\). Da der Punkt \(P(1|2|3)\) auf der Ebene liegt, muss die \(x_3\)-Koordinate des Punktes die Gleichung erfüllen. Daraus folgt \(x_3 = 3\).

1. \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|10|0)\), kein \(S_3\). 2. \(E\) ist parallel zur \(x_3\)-Achse, da der Koeffizient von \(x_3\) Null ist und die Gleichung für \(x_1=x_2=0\) unlösbar ist. 3. \(F: x_3 = 3\).

- Überlege dir, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet wird. - In der Normalenform \(\vec{n} \cdot \vec{x} = d\) stehen die Komponenten des Normalenvektors direkt als Koeffizienten vor den Koordinatenvariablen. - Der Vektor \(\vec{x}\) repräsentiert einen beliebigen Punkt \((x_1|x_2|x_3)\) der Ebene.

1. Berechnung des Skalarprodukts \(d\): \(d = \vec{n} \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 + 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4 = 5 - 6 - 8 = -9\). Die Normalenform lautet somit: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = -9\). 2. Aufstellen der Koordinatengleichung: Durch Ausmultiplizieren des Skalarprodukts \(\vec{n} \cdot \vec{x}\) mit \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\) ergibt sich: \(1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 - 2 \cdot x_3 = -9\). Die Koordinatengleichung ist \(x_1 + 3x_2 - 2x_3 = -9\).

a) \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = -9\) b) \(x_1 + 3x_2 - 2x_3 = -9\)

- Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatengleichung mit dem Normalenvektor zusammen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Vektor in einer Ebene liegt, im Vergleich zur Lage des Normalenvektors? - Wie prüft man rechnerisch, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Wie findest du einen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt?

1. Der Normalenvektor \(\vec{n}\) lässt sich direkt aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung ablesen: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Ein Vektor \(\vec{r}\) ist genau dann ein Richtungsvektor der Ebene, wenn er orthogonal zum Normalenvektor steht, also wenn das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) ergibt. 3. Durch Nullsetzen einer Koordinate und geschickte Wahl der anderen ergeben sich z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(2 \cdot 5 + 5 \cdot (-2) = 0\)) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) (da \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 0\)). Diese sind linear unabhängig, da sie keine Vielfachen voneinander sind. 4. Ein Stützpunkt wird durch Einsetzen gefunden, z. B. \(x_2=0, x_3=0 \Rightarrow 2x_1=10 \Rightarrow x_1=5\), also \(A(5|0|0)\). 5. Die Parameterform lautet damit: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\); Bedingung: \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\). b) Mögliche Vektoren sind \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). c) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) (Beispiel).

- Was bedeutet es geometrisch für den Normalenvektor einer Ebene, wenn diese senkrecht zu einer Geraden stehen soll? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatengleichung einer Ebene zusammen? - Wie nutzt du einen gegebenen Punkt, um das Absolutglied (die Konstante) einer Ebenengleichung zu bestimmen?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) dient als Normalenvektor \(\vec{n}\) für beide Ebenen. 2. Für \(E_1\) wird der Stützpunkt \(A(3 \mid -2 \mid 5)\) in den Ansatz \(4x_1 + x_2 - 2x_3 = d_1\) eingesetzt: \(4 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 5 = 12 - 2 - 10 = 0\). Daraus folgt \(E_1: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\). 3. Für \(E_2\) wird der Punkt \(P(0 \mid 6 \mid 1)\) in den Ansatz \(4x_1 + x_2 - 2x_3 = d_2\) eingesetzt: \(4 \cdot 0 + 1 \cdot 6 - 2 \cdot 1 = 4\). Daraus folgt \(E_2: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 4\).

a) \(E_1: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\) b) \(E_2: 4x_1 + x_2 - 2x_3 = 4\)

- Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Ortsvektor eines Punktes und dem Normalenvektor über die Lage des Punktes zur Ebene aus? - Wie kannst du aus einem Normalenvektor und einem Punkt direkt die Koordinatenform \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) aufstellen? - Welche Bedingung muss die Summe der Koordinaten von \(C\) erfüllen, damit der Punkt in der Ebene liegt?

1. Berechnung der Skalarprodukte: \(\vec{OA} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 6\). \(\vec{OB} \cdot \vec{n} = 5 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 6\). Beide Werte sind identisch (\(6 = 6\)). 2. Die Koordinatengleichung ergibt sich aus dem Normalenvektor und dem berechneten Skalarprodukt \(d = 6\): \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\). 3. Punktprobe für \(C(k | 3 | 0)\) in der Ebenengleichung: \(k + 3 + 0 = 6\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = 3\).

1. \(\vec{OA} \cdot \vec{n} = 6\) und \(\vec{OB} \cdot \vec{n} = 6\). 2. \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\) 3. \(k = 3\)

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in das Skalarprodukt einer Ebenengleichung ein? - Was bedeutet es für die Zugehörigkeit eines Punktes zur Ebene, wenn die Gleichung nach dem Einsetzen erfüllt ist? - Kannst du die Ebenengleichung als eine lineare Gleichung mit den Unbekannten \(x_1, x_2, x_3\) schreiben? - Wenn eine Koordinate gesucht ist, kannst du die anderen Werte einsetzen und die Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen.

1. Punktprobe für \(P(1|0|3)\): Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung ergibt \(5 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 5 + 3 = 8\). Da \(8 = 8\) eine wahre Aussage ist, liegt \(P\) in der Ebene \(E\). 2. Bestimmung der Koordinate für \(Q(x_1|4|1)\): Einsetzen der bekannten Koordinaten führt zur Gleichung \(5 \cdot x_1 - 2 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 8\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(5x_1 - 8 + 1 = 8 \implies 5x_1 - 7 = 8\). 4. Lösen nach \(x_1\): \(5x_1 = 15 \implies x_1 = 3\).

a) Der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\). b) Die \(x_1\)-Koordinate ist \(3\).

- Was kennzeichnet die Koordinaten eines Punktes, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Wie kannst du die Bedingung „alle Koordinaten sind gleich“ mathematisch ausdrücken? - Was musst du tun, um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt oder um eine fehlende Koordinate zu finden?

1. Zur Bestimmung der Spurpunkte werden jeweils zwei Koordinaten null gesetzt: Für \(S_1\): \(4x_1 = 8 \implies x_1 = 2\), also \(S_1(2 \mid 0 \mid 0)\). Für \(S_2\): \(-2x_2 = 8 \implies x_2 = -4\), also \(S_2(0 \mid -4 \mid 0)\). Für \(S_3\): \(x_3 = 8\), also \(S_3(0 \mid 0 \mid 8)\). 2. Für den Punkt \(P(a \mid a \mid a)\) wird der Ansatz in die Ebenengleichung eingesetzt: \(4a - 2a + a = 8\). Dies vereinfacht sich zu \(3a = 8\), woraus \(a = \frac{8}{3}\) folgt. Der Punkt ist \(P\left(\frac{8}{3} \mid \frac{8}{3} \mid \frac{8}{3}\right)\). 3. Einsetzen der bekannten Koordinaten von \(Q\) in die Gleichung: \(4 \cdot 3 - 2y + 2 = 8\). Zusammengefasst ergibt sich \(14 - 2y = 8\), also \(-2y = -6\). Daraus folgt \(y = 3\).

a) \(S_1(2 \mid 0 \mid 0)\), \(S_2(0 \mid -4 \mid 0)\), \(S_3(0 \mid 0 \mid 8)\) b) \(P\left(\frac{8}{3} \mid \frac{8}{3} \mid \frac{8}{3}\right)\) c) \(y = 3\)

- Wie kannst du die gegebenen Schnittpunkte direkt in eine Ebenengleichung einsetzen? - Wie lassen sich Brüche in einer Gleichung am einfachsten eliminieren? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Ebene liegt? - Nutze die Punktprobe, um die Lage des Punktes zu verifizieren.

1. Die Achsenabschnitte sind \(a_1 = 3\), \(a_2 = 6\) und \(a_3 = -2\). Die Achsenabschnittsform lautet somit \(\frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{6} + \frac{x_3}{-2} = 1\). 2. Um die Koordinatenform zu erhalten, wird die Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\) multipliziert: \(6 \cdot \left(\frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{6} - \frac{x_3}{2}\right) = 6 \cdot 1\). Dies ergibt \(2x_1 + x_2 - 3x_3 = 6\). 3. Zur Punktprobe werden die Koordinaten von \(P(1 | 1 | -1)\) in die Koordinatengleichung eingesetzt: \(2 \cdot 1 + 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 1 + 3 = 6\). Da die Gleichung \(6 = 6\) erfüllt ist, liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\).

1. Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{6} + \frac{x_3}{-2} = 1\) 2. Koordinatengleichung: \(2x_1 + x_2 - 3x_3 = 6\) 3. Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\).

- Welche Koordinaten haben Punkte, die auf den Koordinatenachsen liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks. - Wie lässt sich eine Ebene besonders leicht beschreiben, wenn die Schnittpunkte mit den Achsen bekannt sind? - Wie kannst du Brüche in einer Gleichung eliminieren, um eine ganzzahlige Koordinatenform zu erhalten?

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(S_y\): Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks in der \(yz\)-Ebene berechnet sich durch \(A = \frac{1}{2} \cdot |y| \cdot |z|\). Mit \(z = 3\) und \(A = 6\) folgt \(\frac{1}{2} \cdot |y| \cdot 3 = 6\), woraus \(|y| = 4\) resultiert. Da \(S_y\) auf der negativen \(y\)-Achse liegt, gilt \(y = -4\), also \(S_y(0|-4|0)\). 2. Aufstellen der Achsenabschnittsform: Mit den Achsenabschnitten \(a = 6\), \(b = -4\) und \(c = 3\) lautet die Gleichung \(\frac{x}{6} + \frac{y}{-4} + \frac{z}{3} = 1\). 3. Umwandlung in die Koordinatenform: Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\) ergibt \(2x - 3y + 4z = 12\).

\(E: 2x - 3y + 4z = 12\)

- Wie verhalten sich die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Ein Stützvektor zeigt zu einem beliebigen Punkt der Ebene, während die Spannvektoren die Richtung innerhalb der Ebene angeben. - Was bedeutet es rechnerisch für eine Gleichung, wenn ein Punkt auf der durch sie beschriebenen Fläche liegt?

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: Für \(S_1\) gilt \(4x_1 = 24 \implies x_1 = 6\), also \(S_1(6|0|0)\). Für \(S_2\) gilt \(3x_2 = 24 \implies x_2 = 8\), also \(S_2(0|8|0)\). Für \(S_3\) gilt \(2x_3 = 24 \implies x_3 = 12\), also \(S_3(0|0|12)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit \(S_1\) als Stützpunkt und den Vektoren \(\vec{S_1 S_2}\) sowie \(\vec{S_1 S_3}\) als Spannvektoren: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\). 3. Punktprobe für \(P(3|2|3)\) in der Koordinatengleichung: \(4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 + 6 = 24\). Da die Gleichung erfüllt ist, liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\).

a) \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\), \(S_3(0|0|12)\) b) Eine mögliche Parameterdarstellung ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\) c) Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene, da \(4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 24\) eine wahre Aussage ergibt.

- Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Wie viele Punkte benötigst du, um die Gleichung einer Geraden aufzustellen? - Eine Spurgerade liegt immer in einer der drei Koordinatenebenen (z. B. \(x_3 = 0\)). - Überlege dir, wie du die Richtung der Geraden aus den gefundenen Achsenschnittpunkten bestimmen kannst.

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: - \(x_2=0, x_3=0 \Rightarrow x_1=8 \Rightarrow S_1(8|0|0)\) - \(x_1=0, x_3=0 \Rightarrow 2x_2=8 \Rightarrow x_2=4 \Rightarrow S_2(0|4|0)\) - \(x_1=0, x_2=0 \Rightarrow 4x_3=8 \Rightarrow x_3=2 \Rightarrow S_3(0|0|2)\) 2. Aufstellen der Spurgeraden \(g_{12}, g_{13}, g_{23}\) als Verbindungsgeraden der Spurpunkte: - \(g_{12}\) (in der \(x_1x_2\)-Ebene): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) - \(g_{13}\) (in der \(x_1x_3\)-Ebene): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) - \(g_{23}\) (in der \(x_2x_3\)-Ebene): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Spurpunkte: \(S_1(8|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\). Spurgeraden: \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um eine Ebene eindeutig zu beschreiben? - Welche Punkte lassen sich besonders leicht berechnen, wenn man zwei der Koordinaten auf Null setzt? - Wie bildest du aus drei bekannten Punkten einen Stützvektor und zwei Spannvektoren? - Gibt es eine Variable, nach der du die Gleichung einfach auflösen kannst?

1. Bestimmung dreier Punkte auf der Ebene durch Nullsetzen zweier Koordinaten: Für \(x_2 = 0, x_3 = 0\) ergibt sich \(3x_1 = 18 \Rightarrow x_1 = 6\), also \(A(6|0|0)\). Für \(x_1 = 0, x_3 = 0\) ergibt sich \(-6x_2 = 18 \Rightarrow x_2 = -3\), also \(B(0|-3|0)\). Für \(x_1 = 0, x_2 = 0\) ergibt sich \(2x_3 = 18 \Rightarrow x_3 = 9\), also \(C(0|0|9)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit Stützvektor \(\vec{OA}\) und den Spannvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). 3. Die Parameterform lautet: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). Alternativ können die Spannvektoren gekürzt werden: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\).

Mögliche Parameterdarstellung: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Wie findest du einen Punkt auf einer Achse? Welche Koordinaten müssen dort Null sein? - Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene mit einer Achse. - Für die Parameterform benötigst du einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Spannvektoren. - Kannst du die Verbindungsvektoren zwischen den Spurpunkten als Richtungsvektoren nutzen?

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: Für \(S_1\): \(4x_1 = 24 \implies x_1 = 6 \implies S_1(6|0|0)\). Für \(S_2\): \(3x_2 = 24 \implies x_2 = 8 \implies S_2(0|8|0)\). Für \(S_3\): \(6x_3 = 24 \implies x_3 = 4 \implies S_3(0|0|4)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit \(S_1\) als Stützpunkt und den Verbindungsvektoren zu \(S_2\) und \(S_3\) als Spannvektoren: \(\vec{u} = \vec{S_1S_2} = \begin{pmatrix} 0-6 \\ 8-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\vec{v} = \vec{S_1S_3} = \begin{pmatrix} 0-6 \\ 0-0 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) Daraus folgt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

a) \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\), \(S_3(0|0|4)\) b) Mögliche Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)

- Wie findet man die Schnittpunkte einer Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems? - Was bedeutet es für die Geometrie einer Ebene, wenn eine Variable in ihrer Koordinatengleichung nicht vorkommt? - Überlege, welche Vektoren parallel zur Ebene liegen müssen, wenn sie eine Achse nie schneidet. - Wie kannst du aus bekannten Punkten oder Richtungen eine Ebene in der Form \(\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}\) aufbauen?

1. Berechnung der Spurpunkte: Setze jeweils zwei Koordinaten gleich null. Für die \(x_1\)-Achse (\(x_3 = 0\)): \(3x_1 = 12 \Rightarrow x_1 = 4\), also \(S_1(4|0|0)\). Für die \(x_3\)-Achse (\(x_1 = 0\)): \(4x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = 3\), also \(S_3(0|0|3)\). 2. Fehlender Spurpunkt: Ein Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse erfordert \(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\). Einsetzen in die Gleichung ergibt \(3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 \neq 12\). Da die Gleichung für keinen Punkt auf der \(x_2\)-Achse erfüllt ist, gibt es keinen Schnittpunkt. 3. Lage: Da die Variable \(x_2\) in der Gleichung fehlt und kein Spurpunkt mit der \(x_2\)-Achse existiert, verläuft die Ebene \(E\) parallel zur \(x_2\)-Achse. 4. Parameterform: Wähle einen Spurpunkt als Stützvektor, z. B. \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse ist, ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ein Richtungsvektor. Ein zweiter Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz der Spurpunkte: \(\vec{v} = \vec{S_1 S_3} = \begin{pmatrix} 0-4 \\ 0-0 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) Spurpunkte: \(S_1(4|0|0)\) und \(S_3(0|0|3)\). Ein Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse würde \(0 = 12\) erfordern, was ein Widerspruch ist. b) Die Ebene \(E\) liegt parallel zur \(x_2\)-Achse. c) Mögliche Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wie gehst du vor, wenn eine Koordinate eines Punktes unbekannt ist, der Punkt aber in der Ebene liegen soll? - Vergleiche den Wert der linken Seite mit \(8\): Ein kleinerer Wert kennzeichnet die dem gewählten Normalenvektor gegenüberliegende Seite.

1. Für Punkt \(A(1|-1|2)\) werden die Koordinaten in die Gleichung eingesetzt: \(4 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8\). Da die Gleichung \(8 = 8\) erfüllt ist, liegt \(A\) in der Ebene \(E\). 2. Für Punkt \(B(2|k|4)\) führt das Einsetzen zur Gleichung \(4 \cdot 2 - 2 \cdot k + 4 = 8\). Vereinfacht ergibt sich \(12 - 2k = 8\). Durch Umformen nach \(k\) erhält man \(2k = 4\), also \(k = 2\). 3. Für Punkt \(C(3|5|1)\) ergibt die Berechnung \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3\). Da \(3 < 8\), liegt der Punkt auf der Seite der Ebene, die der Richtung des Normalenvektors \(\vec{n}\) gegenüberliegt.

a) Ja, der Punkt \(A\) liegt in der Ebene \(E\), da \(4 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 2 = 8\) eine wahre Aussage ergibt. b) Der Punkt \(B\) liegt für \(k = 2\) in der Ebene \(E\). c) Der Punkt \(C\) liegt auf der dem Normalenvektor \(\vec{n}\) gegenüberliegenden Seite der Ebene, da \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 + 1 = 3 < 8\).

- Was bedeutet die Parallelität zweier Ebenen für ihre Ausrichtung im Raum und ihre Normalenvektoren? - Wie hängen der Normalenvektor und die Spannvektoren einer Ebene mathematisch zusammen? - Welche Information aus der Aufgabenstellung dient als Stützvektor für die Parameterform? - Kannst du ein einfaches Verfahren finden, um Vektoren zu bestimmen, deren Skalarprodukt mit einem gegebenen Vektor null ist?

1. Den Normalenvektor der Ebene \( F \) aus der Koordinatengleichung ablesen: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \). 2. Da \( E \parallel F \), übernimmt die Ebene \( E \) den Normalenvektor von \( F \). 3. Zwei linear unabhängige Spannvektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) bestimmen, die orthogonal zum Normalenvektor stehen (das Skalarprodukt mit \( \vec{n} \) muss jeweils null ergeben). Mögliche Vektoren sind \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \). 4. Den Punkt \( A(5|-1|2) \) als Stützvektor verwenden und die Parametergleichung \( E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \) aufstellen.

\( E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) (Beispiel für eine mögliche Parameterdarstellung)

- Wie steht die Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt zur Spiegelebene? - Welcher Vektor der Ebene eignet sich als Richtungsvektor für eine Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht? - Wo liegt der Mittelpunkt zwischen dem ursprünglichen Punkt und seinem Spiegelbild? - Wie kannst du den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene berechnen?

1. Aufstellen einer Lotgeraden \(g\) durch den Punkt \(A\) mit dem Normalenvektor der Ebene \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) als Richtungsvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Lotfußpunktes \(S\) durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \((1+t) + (2+t) + (3+t) = 12 \Rightarrow 3t + 6 = 12 \Rightarrow t = 2\). 3. Berechnung der Koordinaten von \(S\) durch Einsetzen von \(t = 2\) in \(g\): \(S(3|4|5)\). 4. Berechnung des Bildpunktes \(A'\) über die Beziehung \(\vec{OA'} = \vec{OA} + 2 \cdot \vec{AS}\) oder durch Verdoppelung des Parameters \(t\): \(\vec{OA'} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}\).

\(A'(5|6|7)\)

- Welche besondere Lage hat die Spiegelebene im Verhältnis zur Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt? - Wie findet man den Punkt, der genau in der Mitte zwischen zwei gegebenen Punkten liegt? - Welcher Vektor kann als Normalenvektor für die Ebene dienen? - Wenn du einen Punkt auf der Ebene und einen Normalenvektor kennst, wie stellst du daraus die Gleichung auf?

1. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(PP'\), da dieser auf der Spiegelebene liegen muss: \(M = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung eines Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene durch den Verbindungsvektor \(\vec{PP'}\): \(\vec{PP'} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung \(-2x_1 + x_2 + 2x_3 = d\) und Bestimmung von \(d\) durch Einsetzen von \(M\): \(-2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = -3\). 4. Die Ebenengleichung lautet \(-2x_1 + x_2 + 2x_3 = -3\) oder äquivalent \(2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\).

\(F: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\) (oder eine dazu äquivalente Gleichung)

- Wann liegen drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden? - Was passiert, wenn man einen Punkt in eine Geradengleichung einsetzt und ein Widerspruch entsteht? - Welche Vektoren eignen sich als Spannvektoren für eine Ebene, wenn eine Gerade und ein Punkt gegeben sind? - Erinnere dich an die Bedingungen für die lineare Unabhängigkeit von Richtungsvektoren.

1. Überprüfung der Kollinearität für a): Berechnung der Verbindungsvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}\), sind die Vektoren linear abhängig. Die Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden und legen somit keine eindeutige Ebene fest. 2. Punktprobe für b): Einsetzen der Koordinaten von \(P(2|2|2)\) in die Geradengleichung \(g\). Aus der ersten Zeile folgt \(3 + 0 \cdot t = 2\), was zu einem Widerspruch (\(3 = 2\)) führt. Der Punkt \(P\) liegt nicht auf der Geraden \(g\). 3. Aufstellen der Parameterform für b): Verwendung des Stützvektors von \(g\) als Stützvektor der Ebene, des Richtungsvektors von \(g\) als ersten Spannvektor und des Differenzvektors vom Stützpunkt der Geraden zu \(P\), also \(\vec{v} = \vec{p} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) als zweiten Spannvektor. Resultat: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) Keine eindeutige Ebene, da die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) kollinear sind (\(\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}\)). b) Eine eindeutige Ebene wird festgelegt, da \(P \notin g\). Eine mögliche Parametergleichung ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(s, t \in \mathbb{R}\).

- Wie berechnet man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten? - Was muss für die Spannvektoren gelten, damit sie eine Ebene aufspannen? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen möchtest, ob ein Punkt die Gleichung einer Ebene erfüllt? - Welches mathematische Verfahren hilft dir beim Lösen eines Systems mit mehreren Unbekannten?

1. Zur Aufstellung der Parameterform wird ein Stützvektor (z. B. \(\vec{p}\)) und zwei Spannvektoren (z. B. \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\)) benötigt. \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 5-2 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) Die Ebenengleichung lautet: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 2. Für die Punktprobe wird \(S\) in die Gleichung eingesetzt: \(I: 7 = 1 + 3r - 3s \Rightarrow 6 = 3r - 3s \Rightarrow 2 = r - s\) \(II: -2 = 2 - 2r + 3s \Rightarrow -4 = -2r + 3s\) \(III: -1 = 3 - 2r - 3s \Rightarrow -4 = -2r - 3s\) Addition von \(II\) und \(III\) ergibt \(-8 = -4r\), also \(r = 2\). Einsetzen in \(II\) ergibt \(-4 = -4 + 3s\), also \(s = 0\). Prüfung in \(I\): \(2 - 0 = 2\) (wahr). Da das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, liegt \(S\) in der Ebene \(E\).

1. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (mögliche Form) 2. Der Punkt \(S\) liegt in der Ebene \(E\), da das Gleichungssystem für \(r = 2\) und \(s = 0\) gelöst wird.

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Punkt auf einer der Koordinatenachsen liegt? Welche Koordinaten müssen dann Null sein? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um eine Ebene eindeutig zu beschreiben? - Kannst du aus drei bekannten Punkten der Ebene eine Gleichung mit Stütz- und Spannvektoren bilden?

1. Die Spurpunkte berechnet man, indem jeweils zwei Koordinaten null gesetzt werden: \(S_x\): Setze \(y=0, z=0 \Rightarrow x = 8\). Also \(S_x(8|0|0)\). \(S_y\): Setze \(x=0, z=0 \Rightarrow -2y = 8 \Rightarrow y = -4\). Also \(S_y(0|-4|0)\). \(S_z\): Setze \(x=0, y=0 \Rightarrow 4z = 8 \Rightarrow z = 2\). Also \(S_z(0|0|2)\). 2. Mit den Spurpunkten als Stütz- und Richtungsvektoren ergibt sich: Stützvektor \(\vec{a} = \vec{OS_x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Spannvektor 1: \(\vec{u} = \vec{S_x S_y} = \begin{pmatrix} 0-8 \\ -4-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Spannvektor 2: \(\vec{v} = \vec{S_x S_z} = \begin{pmatrix} 0-8 \\ 0-0 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Ebenengleichung: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

1. Spurpunkte: \(S_x(8|0|0)\), \(S_y(0|-4|0)\), \(S_z(0|0|2)\). 2. Eine mögliche Parameterform ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\).

- Wie viele Punkte benötigt man im Raum mindestens, um eine Ebene eindeutig festzulegen? - Überlege dir, wie du aus zwei Spannvektoren einen Vektor konstruieren kannst, der senkrecht auf der Ebene steht. - Was bedeutet es mathematisch für die Koordinaten eines Punktes, wenn er „auf einer Ebene liegt“? - Wenn du drei Punkte hast, ist die Ebene bereits „fertig“. Was passiert, wenn ein vierter Punkt dazukommt, dessen Koordinaten nicht frei wählbar sind?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ -(4 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \\ 4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -7 \\ 11 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung \(-x - 7y + 11z = d\). Einsetzen von \(A(1|1|0)\) ergibt \(-1 - 7 + 0 = -8\). Die Gleichung lautet \(x + 7y - 11z = 8\). 4. Berechnung der \(z\)-Koordinate für \(x = 4\) und \(y = 4\): \(4 + 7 \cdot 4 - 11z = 8 \Rightarrow 32 - 11z = 8 \Rightarrow 11z = 24 \Rightarrow z = \frac{24}{11} \approx 2{,}18\). 5. Da die \(z\)-Koordinate durch die anderen drei Punkte exakt festgelegt ist (\(z \approx 2{,}18\,\text{dm}\)), führt jede kleinste Abweichung der Beinlänge oder Bodenunebenheit dazu, dass der vierte Punkt nicht in der Ebene liegt, was zum Wackeln führt. Bei drei Punkten hingegen wird die Ebene immer genau durch diese Punkte definiert.

a) \(E: x + 7y - 11z = 8\) b) \(z = \frac{24}{11} \approx 2{,}18\,\text{dm}\). Ein vierter Punkt liegt nur dann in der durch die ersten drei Punkte definierten Ebene, wenn seine Koordinaten exakt die Ebenengleichung erfüllen. Da dies bei realen Böden oder Fertigungstoleranzen fast nie perfekt zutrifft, wackeln vierbeinige Tische, während ein dreibeiniger Hocker auf drei festen Auflagepunkten nicht wackelt.

- Überlege dir, welche Form entsteht, wenn zwei Vektoren von einem Punkt aus ein Gebiet aufspannen. - Wie hängen die Längen der Spannvektoren und ihr Winkel mit dem Flächeninhalt zusammen? - Was passiert mit der Form, wenn die Summe der Anteile der beiden Richtungsvektoren begrenzt wird? - Setze die gegebenen Werte einfach in die Ebenengleichung ein, um den gesuchten Punkt zu finden.

1. Berechnung der Spannvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Da die Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) unabhängig voneinander das Intervall \([0; 1]\) durchlaufen, beschreibt die Punktmenge ein Parallelogramm. Wegen \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, es handelt sich also um ein Rechteck. 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| = 4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 4. Für ein Dreieck muss neben \(\lambda \ge 0\) und \(\mu \ge 0\) die zusätzliche Bedingung \(\lambda + \mu \le 1\) erfüllt sein. 5. Berechnung von \(D\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + 1 \cdot \vec{AB} + 1 \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(5|4|2)\).

a) Die Figur ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\). b) Die Bedingungen lauten \(\lambda \ge 0\), \(\mu \ge 0\) und \(\lambda + \mu \le 1\). c) Der Punkt hat die Koordinaten \(D(5|4|2)\).

- Wie gehst du vor, um gemeinsame Punkte zweier Geraden zu finden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Geraden eine einzige Ebene definieren? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Richtungsvektoren einer Ebene und ihrem Normalenvektor. - Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatenform mit dem Normalenvektor zusammen?

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(2 + r = 2 + 2s \Rightarrow r = 2s\) II: \(1 + 2r = 6 - s\) III: \(-1 + 2r = 2 + s\) Einsetzen von \(r = 2s\) in II ergibt \(1 + 4s = 6 - s \Rightarrow 5s = 5 \Rightarrow s = 1\). Daraus folgt \(r = 2\). Überprüfung in III: \(-1 + 2 \cdot 2 = 3\) und \(2 + 1 = 3\). Die Gleichung ist erfüllt. Der Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen von \(r=2\) in \(g\): \(S(4|5|3)\). 2. Da die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden nicht parallel. Da sie zudem einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, legen sie eindeutig eine Ebene fest. 3. Zur Bestimmung der Koordinatenform wird der Normalenvektor \(\vec{n}\) über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\). Ansatz für die Ebene \(E: 4x_1 + 3x_2 - 5x_3 = d\). Einsetzen des Stützpunktes von \(g\): \(4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 5 \cdot (-1) = 8 + 3 + 5 = 16\). Die Koordinatengleichung lautet \(E: 4x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 16\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(4|5|3)\). b) Die Geraden schneiden sich und sind nicht parallel, daher spannen sie eine Ebene auf. Eine Koordinatengleichung ist \(E: 4x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 16\).

- Wie prüft man, ob ein Punkt die Bedingungen einer Geradengleichung erfüllt? - Welche geometrischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Ebene eindeutig definiert ist? - Welche Vektoren innerhalb der Ebene kannst du nutzen, um eine Normalenrichtung zu finden? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten der Koordinatenform zusammen?

1. Punktprobe für \(A\) in \(h\): Aus der ersten Zeile der Geradengleichung folgt \(0 = 2 + t\), also \(t = -2\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(y = 5 - 2 \cdot (-2) = 9\). Da die Koordinate des Punktes \(A\) jedoch \(1\) ist (\(9 \neq 1\)), liegt \(A\) nicht auf \(h\). Da Punkt und Gerade nicht inzident sind, spannen sie eine eindeutige Ebene auf. 2. Aufstellen der Parameterform: Als Stützvektor wird der Stützvektor der Geraden \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) gewählt. Der erste Richtungsvektor ist der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der zweite Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz des Ortsvektors \(\overrightarrow{OA}\) und des Stützvektors \(\vec{p}\): \(\vec{v} = \overrightarrow{OA} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 1-5 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot 5 - 3 \cdot (-4) \\ 3 \cdot (-2) - 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot (-4) - (-2) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -11 \\ -8 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Koordinatengleichung: \(2x - 11y - 8z = d\). Durch Einsetzen von \(A(0|1|4)\) erhält man \(2 \cdot 0 - 11 \cdot 1 - 8 \cdot 4 = -43\). Die Gleichung lautet \(2x - 11y - 8z = -43\).

a) Die Punktprobe ergibt einen Widerspruch (\(9 \neq 1\)), daher liegt \(A\) nicht auf \(h\). b) Eine mögliche Koordinatengleichung ist \(E: 2x - 11y - 8z = -43\).

- Wann liefert eine Punktprobe ein eindeutiges Ergebnis für einen Parameter? - Stell dir eine Gerade im Raum vor. Wie viele Ebenen kannst du um diese Gerade „drehen“? - Welche zwei Vektoren eignen sich am besten als Richtungsvektoren für die Ebene? - Achte darauf, dass die gewählten Spannvektoren nicht kollinear (parallel) sind.

1. Bestimmung von \(k\): Setze den Ortsvektor von \(P\) mit \(g_k\) gleich. Aus der \(x\)-Komponente: \(10 = 4 + 2s \Rightarrow s = 3\). Aus der \(z\)-Komponente: \(-1 = 2 - s \Rightarrow s = 3\). Einsetzen von \(s=3\) in die \(y\)-Komponente: \(5 = k + 3 \Rightarrow k = 2\). Für \(k=2\) liegt \(P\) auf \(g_2\). 2. Geometrische Begründung: Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, gibt es unendlich viele Ebenen (ein sogenanntes Ebenenbüschel), die diese Gerade und damit auch den Punkt enthalten. Eine eindeutige Ebene erfordert einen Punkt außerhalb der Geraden. 3. Parameterform für \(k=0\): Die Gerade ist \(g_0: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Punkt \(P(10|5|-1)\) liegt für \(k=0\) nicht auf der Geraden (da \(k=2\) die Bedingung für Inzidenz war). Als Stützvektor der Ebene dient \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Als Spannvektoren dienen der Richtungsvektor der Geraden \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und der Verbindungsvektor vom Stützpunkt zu \(P\): \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 10-4 \\ 5-0 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Da die Spannvektoren keine Vielfachen voneinander sind, bilden sie eine Ebene.

a) \(k = 2\) b) Wenn \(P\) auf \(g_k\) liegt, gibt es unendlich viele Ebenen, die beide enthalten. c) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Was bedeutet es für den Normalenvektor, wenn eine Komponente null ist? - Erinnere dich daran, dass jeder Punkt der Ebene die Ebenengleichung erfüllen muss. - In der Koordinatenform fallen Variablen weg, deren zugehörige Komponente im Normalenvektor null ist.

1. Da der Vektor \(\vec{n}\) senkrecht auf der Ebene steht, ist er ein Normalenvektor. Die Normalenform lautet: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = 0\). 2. Die Koordinatenform ergibt sich aus dem Ansatz \(2x_1 + 0x_2 + 6x_3 = d\). 3. Einsetzen des Punktes \(Q\) zur Bestimmung von \(d\): \(d = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 8 + 6 \cdot (-3) = -18\). 4. Die Koordinatengleichung lautet somit \(2x_1 + 6x_3 = -18\). (Optional vereinfacht: \(x_1 + 3x_3 = -9\)).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: 2x_1 + 6x_3 = -18\)

- Überlege, was das Spatprodukt über das Volumen eines Körpers aussagt, wenn die Vektoren in einer Ebene liegen. - Wie hängen die Vektoren zwischen den Punkten zusammen? - Welche Bedingung muss für das Spatprodukt gelten, damit lineare Abhängigkeit vorliegt? - Erinnere dich an den Aufbau einer Parameterform mit Stützvektor und Spannvektoren.

1. Aufstellen der Spannvektoren der Ebene ausgehend von Punkt \(A\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Vektors zum Punkt \(D\): \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} k-2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Kreuzprodukts der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \( \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 2 \\ -(2 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1)) \\ 2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). 4. Anwendung des Spatprodukts: Damit die Punkte in einer Ebene liegen, muss das Volumen des aufgespannten Spats null sein: \(\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \vec{AD} = 0\). 5. Einsetzen und Lösen der Gleichung: \(\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k-2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -3 \cdot (k-2) + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = -3k + 6 + 9 = -3k + 15\). 6. Aus \(-3k + 15 = 0\) folgt \(k = 5\). 7. Aufstellen der Ebenengleichung in Parameterform: \(\vec{x} = \vec{A} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Der Parameterwert ist \(k = 5\). Eine mögliche Parametergleichung der Ebene lautet: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Wie kannst du aus drei Punkten zwei Vektoren bilden, die die Ebene aufspannen? - Welcher Vektor steht senkrecht auf zwei Spannvektoren? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatengleichung zusammen? - Denke daran, dass du einen Normalenvektor durch Kürzen vereinfachen kannst, solange die Richtung gleich bleibt.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren der Ebene: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors mittels Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 4 \\ (-1) \cdot (-2) - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 - 2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform mit Stützpunkt \(P\): \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 0\). 4. Umwandeln in die Koordinatenform: \(5x_1 - 2x_2 + 6x_3 = d\). Einsetzen von \(P(1|0|2)\) ergibt \(5 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 6 \cdot 2 = 17\). Somit lautet die Koordinatenform \(5x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 17\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 0\) (oder ein Vielfaches) Koordinatenform: \(E: 5x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 17\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und der Normalenform. - Wie berechnet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren? - Wenn eine Koordinate im Normalenvektor null ist, was bedeutet das für die Lage der Ebene im Koordinatensystem? - Ein Punkt auf der Ebene muss die Koordinatengleichung erfüllen – nutze dies zur Probe.

1. Berechnung der Spannvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung eines Normalenvektors durch das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 - (-2) \cdot (-1) \\ -2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\). Ein einfacherer Normalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Bestimmung der Koordinatenform: \(x_1 + 2x_3 = d\). Einsetzen von \(A(4|0|1)\) liefert \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 6\). Die Gleichung lautet \(x_1 + 2x_3 = 6\).

Koordinatenform: \(E: x_1 + 2x_3 = 6\) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 0\)

- Wann genau spannen zwei Geraden im Raum eine einzige, flache Ebene auf? - Überprüfe zuerst, ob die Richtungen der beiden Geraden in die gleiche oder in unterschiedliche Richtungen weisen. - Falls sie nicht parallel sind, könnten sie sich schneiden oder aneinander vorbeilaufen (windschief sein). Wie findet man das heraus? - Wenn du einen gemeinsamen Punkt oder eine parallele Lage bestätigt hast, wie baust du daraus die Parameterform mit einem Stützpunkt und zwei Richtungen?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren auf Parallelität: Die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, die Geraden sind also nicht parallel. 2. Untersuchung auf einen Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \(2 + r = 3 \implies r = 1\) \(1 = -1 + 2s \implies 2s = 2 \implies s = 1\) Prüfung der \(z\)-Koordinate: \(3 - 1 = 2\) und \(1 + 1 = 2\). 3. Da sich die Geraden im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 2)\) schneiden, legen sie eine eindeutige Ebene fest. 4. Aufstellen der Ebenengleichung: Als Stützvektor kann der Schnittpunkt oder ein Aufpunkt einer Geraden verwendet werden. Die Richtungsvektoren der Geraden dienen als Spannvektoren. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Ja, die Geraden legen eine Ebene fest, da sie sich im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 2)\) schneiden. Eine mögliche Gleichung ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Zwei Geraden legen nur dann eine Ebene fest, wenn sie entweder parallel (aber nicht identisch) sind oder sich in einem Punkt schneiden. - Untersuche zuerst die Richtungsvektoren. Sind sie kollinear? - Wenn sie nicht parallel sind, musst du prüfen, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben. Setze dazu die Geradengleichungen gleich. - Was bedeutet es für die Existenz einer Ebene, wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) sind linear unabhängig (keine Vielfachen), daher sind die Geraden nicht parallel. 2. Prüfung auf Schnittpunkt durch ein lineares Gleichungssystem: I: \(2\lambda = 2 + \mu\) II: \(5 - \lambda = 1 \implies \lambda = 4\) III: \(2 + \lambda = 4 + 3\mu\) 3. Einsetzen von \(\lambda = 4\) in I: \(8 = 2 + \mu \implies \mu = 6\). 4. Überprüfung in III: Linke Seite \(2 + 4 = 6\), rechte Seite \(4 + 3 \cdot 6 = 22\). Da \(6 \neq 22\), existiert kein Schnittpunkt. 5. Die Geraden sind windschief und legen somit keine gemeinsame Ebene fest.

Nein, die Geraden legen keine Ebene fest, da sie windschief sind.

- Wie findest du einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Was passiert mit der Normalengleichung, wenn du das Skalarprodukt ausschreibst? - Wann liegt eine Gerade vollständig in einer Ebene? Reicht es, die Endpunkte einer Strecke zu betrachten? - Könntest du die Punktprobe direkt in der Koordinatengleichung durchführen?

1. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Normalenform mit dem Stützvektor: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} = 0\). 3. Umwandlung in die Koordinatenform durch Ausmultiplizieren: \(2x_1 + 5x_2 - 6x_3 = 2 \cdot 0 + 5 \cdot 4 - 6 \cdot (-2) = 32\). Die Koordinatenform lautet \(E: 2x_1 + 5x_2 - 6x_3 = 32\). 4. Überprüfung, ob die Gerade \(AB\) in \(E\) liegt, durch Punktproben: Für \(A(4|6|1)\) ergibt sich \(2 \cdot 4 + 5 \cdot 6 - 6 \cdot 1 = 8 + 30 - 6 = 32\), also \(A \in E\). Für \(B(7|6|2)\) ergibt sich \(2 \cdot 7 + 5 \cdot 6 - 6 \cdot 2 = 14 + 30 - 12 = 32\), also \(B \in E\). 5. Da beide Punkte in der Ebene liegen, liegt die gesamte Gerade \(AB\) in der Ebene \(E\).

a) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} = 0\); Koordinatenform: \(E: 2x_1 + 5x_2 - 6x_3 = 32\). b) Die Gerade \(AB\) liegt in der Ebene \(E\), da beide Punkte die Ebenengleichung erfüllen.

- Kannst du aus den Richtungsvektoren der Ebene einen Vektor berechnen, der senkrecht auf der Ebene steht? - Wenn du die Koordinatengleichung hast, wie kannst du dann schnell testen, ob ein Punkt zur Ebene gehört? - Muss eine Gerade in der Ebene liegen, wenn nur einer ihrer Punkte darauf liegt?

1. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung: \(-x_1 + 2x_2 + 4x_3 = -1 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = 5\). Die Gleichung lautet \(E: -x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5\). 4. Punktprobe für \(P(1|1|1)\): \(-1 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 5\). Die Gleichung ist erfüllt, also \(P \in E\). 5. Punktprobe für \(Q(3|2|2)\): \(-3 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = -3 + 4 + 8 = 9\). Da \(9 \neq 5\), liegt \(Q\) nicht in der Ebene \(E\). 6. Da der Punkt \(Q\) nicht in der Ebene liegt, kann die Gerade \(g\) nicht vollständig in der Ebene \(E\) enthalten sein.

a) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0\); Koordinatengleichung: \(E: -x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5\). b) Die Gerade \(g\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da zwar der Punkt \(P\), aber nicht der Punkt \(Q\) in der Ebene liegt.

- Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht, welche Beziehung besteht dann zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene? - Erinnere dich daran, welche Koordinaten ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse hat. - Wie sieht die Koordinatenform aus, wenn eine Komponente des Normalenvektors Null ist?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(s\) entspricht dem Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(F\): \(\vec{n} = \vec{LM} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-2 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Vereinfachung des Normalenvektors (optional): \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Ansatz für die Koordinatengleichung mit dem Punkt \(S(0|0|4)\): \(1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 - 1 \cdot x_3 = d\). 4. Einsetzen der Koordinaten von \(S\): \(0 - 4 = -4\), also \(d = -4\). 5. Daraus ergibt sich die Gleichung: \(x_1 - x_3 = -4\).

\(F: x_1 - x_3 = -4\)

- Wie bestimmt man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Welche Bedeutung haben die Koeffizienten vor den Variablen in einer Koordinatengleichung? - Wie nutzt du den Stützpunkt der Ebene, um das absolute Glied in der Gleichung zu finden?

1. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}\) über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Koordinatengleichung mit dem Ansatz \(2x_1 - 4x_2 - x_3 + d = 0\). 3. Einsetzen des Stützpunktes \(P(1|2|-1)\) zur Bestimmung von \(d\): \(2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 - (-1) + d = 0 \Rightarrow 2 - 8 + 1 + d = 0 \Rightarrow -5 + d = 0 \Rightarrow d = 5\). 4. Die Koordinatengleichung lautet \(2x_1 - 4x_2 - x_3 + 5 = 0\).

\(E: 2x_1 - 4x_2 - x_3 + 5 = 0\)

- Was bedeutet es für die Lage der Ebene, wenn die Variable \(x_1\) in der Gleichung fehlt? - Findest du drei verschiedene Punkte, die die Gleichung erfüllen? - Alternativ: Kannst du zwei der Variablen als Parameter (z. B. \(r\) und \(s\)) setzen und die dritte Variable dadurch ausdrücken?

1. Bestimmung von drei Punkten auf der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen: Wähle \(x_1 = 0, x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 6\), also \(A(0|6|0)\). Wähle \(x_1 = 1, x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 6\), also \(B(1|6|0)\). Wähle \(x_1 = 0, x_3 = 1 \Rightarrow x_2 = 4\), also \(C(0|4|1)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit \(A\) als Stützpunkt und den Spannvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1-0 \\ 6-6 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-0 \\ 4-6 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Zusammensetzen zur Gleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Mögliche Lösung: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Was bedeutet es für die Gleichung einer Ebene, wenn sie parallel zu einer der Koordinatenebenen ist? - Wann stehen zwei Ebenen senkrecht aufeinander? Betrachte dazu ihre Normalenvektoren. - Welche Punkte und Vektoren sind bekannt, wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält?

1. Umwandlung von \(F\) in Koordinatenform: Der Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) zu \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Koordinatenform lautet \(1 \cdot x_1 = 1 \cdot 3\), also \(x_1 = 3\). 2. Lage von \(F\): Die Ebene verläuft parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3\). 3. Untersuchung der Ebene \(G\): Da \(G\) die \(x_1\)-Achse enthält, liegt der Ursprung \(O(0|0|0)\) in der Ebene und der Vektor \(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) in der Ebene. Mit dem Punkt \(P(0|1|1)\) ergibt sich ein zweiter Richtungsvektor \(\vec{v}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist ein Normalenvektor von \(G\): \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Nachweis der Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Normalenvektoren ist \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). Somit stehen die Ebenen senkrecht aufeinander. 5. Normalenform von \(G\): Da der Ursprung in \(G\) liegt, lautet eine Form \(\vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\).

a) \(F: x_1 = 3\) b) Die Ebene \(F\) ist parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene. c) Nachweis über Skalarprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = 0\); Normalenform z. B. \(G: \vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\)

- Überlege dir, wie du aus drei Punkten zwei Vektoren bilden kannst, die die Ebene aufspannen. - Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Welche Rolle spielt der Normalenvektor in der Koordinatenform? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer geometrischen Figur (hier der Ebene) ist?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren aus den Differenzen der Ortsvektoren: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Parameterform mit Stützpunkt \(P\): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) \\ -((-2) \cdot 1 - (-1) \cdot 1) \\ (-2) \cdot (-1) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\). 5. Ermittlung der Koordinatenform durch Skalarprodukt oder Einsetzen: \(2x_1 + x_2 - x_3 = d\). Mit \(P(4|0|1)\) ergibt sich \(2 \cdot 4 + 0 - 1 = 7\), also \(E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 7\). 6. Punktprobe für \(S(1|4|-1)\): \(2 \cdot 1 + 4 - (-1) = 2 + 4 + 1 = 7\). Da die Gleichung erfüllt ist (\(7 = 7\)), liegt \(S\) in der Ebene \(E\).

Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 7\) Der Punkt \(S(1|4|-1)\) liegt in der Ebene \(E\).

- Welche Punkte liegen alle auf der \(x_3\)-Achse? Setze einen allgemeinen Punkt der Achse in eine Ebenengleichung ein. - Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, wie muss der Normalenvektor der Ebene zum Richtungsvektor der Geraden stehen? - Was muss für das absolute Glied (die Konstante ohne Variable) in der Koordinatengleichung gelten, wenn die Ebene eine Achse (und damit den Ursprung) enthält?

1. Da die Ebene die \(x_3\)-Achse enthält, muss sie insbesondere den Ursprung \(O(0|0|0)\) enthalten. Die allgemeine Form lautet \(n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = 0\). 2. Jeder Punkt auf der \(x_3\)-Achse hat die Form \((0|0|k)\). Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \(n_3 \cdot k = 0\) für alle \(k\), woraus \(n_3 = 0\) folgt. 3. Die Gleichung reduziert sich auf \(n_1x_1 + n_2x_2 = 0\). Einsetzen des Punktes \(P(2|4|1)\) liefert \(2n_1 + 4n_2 = 0\). 4. Eine mögliche Lösung ist \(n_1 = 2\) und \(n_2 = -1\) (oder jedes Vielfache davon). Die Gleichung der Ebene ist somit \(2x_1 - x_2 = 0\). 5. Allgemeine Eigenschaft: Wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält, ist die entsprechende Koordinate des Normalenvektors null (z. B. \(n_3 = 0\) für die \(x_3\)-Achse), da der Normalenvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Achse stehen muss.

a) Eine mögliche Koordinatengleichung für \(E\) ist \(2x_1 - x_2 = 0\). b) Wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält, muss die entsprechende Komponente des Normalenvektors null sein (z. B. \(n_1 = 0\), wenn die \(x_1\)-Achse enthalten ist). Zudem muss das absolute Glied der Koordinatengleichung null sein, da die Ebene durch den Ursprung verläuft.

- Überlege dir, welche Koordinate für alle Punkte einer Ebene konstant sein muss, die parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene liegt. - Für den Abstand eines Punktes von einer solchen speziellen Ebene reicht es aus, die Differenz der entsprechenden Koordinaten zu betrachten. - Kannst du die Koordinatengleichung so umformen, dass auf einer Seite Null steht, um die Abstandsformel leichter anzuwenden?

1. Eine Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene hat einen Normalenvektor der Form \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da sie durch \(Q(-2|5|1)\) geht, besitzen alle Punkte der Ebene die \(x_1\)-Koordinate \(-2\). Die Koordinatengleichung lautet somit \(x_1 = -2\). 2. Unter Verwendung des Punktes \(Q\) als Stützpunkt lautet eine Normalenform \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\). 3. Der Abstand eines Punktes \(R(x_R|y_R|z_R)\) von einer Ebene \(x_1 = k\) berechnet sich durch \(d = |x_R - k|\). Hier gilt \(d = |3 - (-2)| = 5\).

a) \(x_1 = -2\) b) \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\) c) \(5\)

- Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn eine Koordinate in der Gleichung fehlt? - Welche Rolle spielt der Wert auf der rechten Seite der Gleichung für die Lage zum Ursprung? - Gibt es eine Achse, deren Punkte alle die Bedingung \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\) erfüllen?

1. Da die Variable \(x_3\) in der Gleichung nicht vorkommt (Koeffizient \(c=0\)), ist der Normalenvektor \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} k \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) orthogonal zur \(x_3\)-Achse. Somit liegen alle Ebenen parallel zur \(x_3\)-Achse oder enthalten diese. 2. Wegen \(d=0\) verläuft jede Ebene \(E_k\) durch den Ursprung \(O(0|0|0)\). 3. Da jede Ebene parallel zur \(x_3\)-Achse ist und den Ursprung enthält, muss die gesamte \(x_3\)-Achse in jeder Ebene der Schar liegen. 4. Die \(x_3\)-Achse kann durch die Gerade \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\) beschrieben werden. Die Punktprobe in \(E_k\) ergibt \(k \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0\), was für alle \(r\) und \(k\) eine wahre Aussage ist.

a) Alle Ebenen der Schar enthalten die \(x_3\)-Achse (sie verlaufen durch den Ursprung und sind parallel zur \(x_3\)-Achse). b) Eine mögliche Gerade ist die \(x_3\)-Achse: \(g: \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da für alle Punkte dieser Geraden \(x_1=0\) und \(x_2=0\) gilt, erfüllen sie die Gleichung \(k \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0\) für jedes \(k\).

- Überlege dir, welche geometrischen Objekte durch lineare Gleichungen in verschiedenen Dimensionen beschrieben werden. - Wie viele freie Parameter benötigst du für eine Gerade und wie viele für eine Ebene? - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn eine Koordinate in der Gleichung gar nicht vorkommt? - Setze gezielt Werte für einzelne Koordinaten auf Null, um Schnittpunkte mit den Achsen zu finden.

1. Im \(\mathbb{R}^2\) stellt die Gleichung eine Gerade dar. Zur Bestimmung der Parameterform werden zwei Punkte benötigt, z. B. die Achsenschnittpunkte \(S_1(5|0)\) und \(S_2(0|-4)\). Ein Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 - 5 \\ -4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Parameterform ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Im \(\mathbb{R}^3\) stellt die Gleichung eine Ebene dar. Da die Variable \(x_3\) nicht in der Gleichung vorkommt, ist der Wert von \(x_3\) beliebig wählbar, was der Richtung des Einheitsvektors \(\vec{e}_3\) entspricht. Eine Parameterform ergibt sich durch Ergänzung der Geradengleichung um diesen zweiten Richtungsvektor: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Die Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse, da der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}\) orthogonal zum Richtungsvektor der \(x_3\)-Achse ist. Zudem steht sie senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Gerade im \(\mathbb{R}^2\); Parameterform z. B. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) Ebene im \(\mathbb{R}^3\); Parameterform z. B. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Die Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse und steht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene.

- Um Schnittpunkte mit Achsen zu finden, kannst du die jeweils anderen Koordinaten gleich Null setzen. - Wenn eine Variable in einer Ebenengleichung fehlt, ist die Ebene parallel zur entsprechenden Achse. - Ein Richtungsvektor einer Ebene kann oft direkt aus der fehlenden Variable abgeleitet werden. - Die Spurgerade in einer Koordinatenebene erhältst du, indem du die Bedingung für diese Ebene (z. B. \(x_1=0\)) berücksichtigst.

1. Spurpunkte berechnen: Für \(S_2\) setze \(x_1=0, x_3=0 \Rightarrow 3x_2 = 12 \Rightarrow x_2 = 4\), also \(S_2(0|4|0)\). Für \(S_3\) setze \(x_1=0, x_2=0 \Rightarrow 4x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = 3\), also \(S_3(0|0|3)\). 2. Parameterform der Ebene aufstellen: Stützvektor ist z. B. \(\vec{OS_2}\). Ein Richtungsvektor ist \(\vec{S_2S_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Da \(x_1\) in der Gleichung fehlt, ist \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ein zweiter Richtungsvektor. Damit folgt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Die Variable \(x_1\) tritt in der Gleichung nicht auf. Das bedeutet, dass für jeden Punkt \((0|x_2|x_3)\) der Ebene auch alle Punkte \((x_1|x_2|x_3)\) mit beliebigem \(x_1\) in der Ebene liegen. Dies entspricht einer Parallelität zur \(x_1\)-Achse. Alternativ: Der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) steht senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) der \(x_1\)-Achse. 4. Die Schnittgerade mit der \(x_2x_3\)-Ebene (Gleichung \(x_1=0\)) ergibt sich direkt aus der gegebenen Gleichung, indem man sie als Gerade im zweidimensionalen Untersystem betrachtet: \(3x_2 + 4x_3 = 12\) (mit \(x_1 = 0\)). In Vektorform: \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|3)\) b) z. B. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) c) Parallel zur \(x_1\)-Achse, da die Variable \(x_1\) in der Koordinatengleichung fehlt. d) \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Wann liegen zwei Geraden in einer gemeinsamen Ebene? Überlege, welche Lagebeziehungen das ermöglichen. - Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht? - Welche Informationen benötigst du für die Koordinatenform einer Ebene? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du Punkte beider Geraden in die Ebenengleichung einsetzt.

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(1 + 2r = 5 - s\) II: \(2r = 4 + s\) III: \(3 - r = 1 + 2s\) Aus I und II folgt durch Addition \(4r = 8\), also \(r = 2\). Einsetzen in II ergibt \(s = 0\). Die Prüfung in III ergibt \(3 - 2 = 1 + 0\), also \(1 = 1\) (wahre Aussage). Der Schnittpunkt ist \(S(5 | 4 | 1)\). 2. Die Richtungsvektoren der Geraden sind Spannvektoren der Ebene: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 - (-1) \\ -(4 - 1) \\ 2 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ansatz für die Koordinatenform: \(5x_1 - 3x_2 + 4x_3 = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((1|0|3)\): \(5 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 17\). Die Gleichung lautet \(E: 5x - 3y + 4z = 17\).

1. Schnittpunkt \(S(5 | 4 | 1)\). 2. \(E: 5x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 17\)

- Wie kannst du aus einer Geraden und einem Punkt zwei Spannvektoren für eine Ebene erzeugen? - Achte darauf, dass der gewählte Punkt nicht bereits auf der Geraden liegt. - Erinnere dich an die Definition der Normalenform: Was bedeuten der Stützvektor und der Normalenvektor geometrisch?

1. Als Stützvektor wird der Aufpunkt der Geraden gewählt: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der erste Spannvektor ist der Richtungsvektor der Geraden: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der zweite Spannvektor ergibt sich aus dem Verbindungsvektor vom Aufpunkt zum Punkt \(P\): \(\vec{v} = \vec{OP} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 - 0 \\ 0 - 3 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Parameterform: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 - (-6) \\ -(0 - 8) \\ -3 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Normalenform lautet \(F: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} = 0\).

1. \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (beispielhaft) 2. \(F: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} = 0\) (oder eine dazu äquivalente Form)

- Wann genau spannen drei Punkte im Raum eine eindeutige Ebene auf? - Untersuche die Lage der Punkte zueinander, indem du Verbindungsvektoren betrachtest. - Was bedeutet es für die Richtungsvektoren einer Ebene, wenn sie parallel zueinander sind? - Um eine von vielen möglichen Ebenen zu finden, kannst du einen beliebigen Punkt hinzunehmen, der nicht auf der Geraden durch die gegebenen Punkte liegt.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren zwischen den Punkten: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{PR} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren linear abhängig. Die Punkte \(P, Q\) und \(R\) liegen somit auf einer gemeinsamen Geraden (sie sind kollinear). 3. Eine Ebene ist nur dann eindeutig durch drei Punkte bestimmt, wenn diese nicht auf einer Geraden liegen. Da sie hier kollinear sind, gibt es unendlich viele Ebenen, welche die Gerade durch diese Punkte enthalten. 4. Zur Bestimmung einer möglichen Ebene wird ein Normalenvektor \(\vec{n}\) gesucht, der orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) steht. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\), da \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). 5. Aufstellen der Koordinatenform \(x - y = d\). Einsetzen von \(P(2|0|-1)\) ergibt \(2 - 0 = 2\), also \(d = 2\). Eine mögliche Gleichung ist \(x - y = 2\).

a) Die Punkte sind kollinear, da \(\vec{PR} = -1 \cdot \vec{PQ}\). Somit liegen sie auf einer Geraden und definieren keine eindeutige Ebene. b) Eine mögliche Ebene ist \(E: x - y = 2\) (individuelle Lösungen möglich).

- Welche geometrische Eigenschaft hat die Ebene, an der ein Punkt auf seinen Bildpunkt gespiegelt wird, in Bezug auf die Verbindungsstrecke? - Wie hängen der Normalenvektor der Ebene und der Verbindungsvektor der beiden symmetrischen Punkte zusammen? - Was lässt sich über den Mittelpunkt der beiden Punkte aussagen? - Wenn zwei Punktepaare dieselbe Symmetrieebene haben und auf derselben Normalen liegen, was haben sie dann gemeinsam? - Wie kannst du das gegebene Abstandsverhältnis nutzen, um die Lage eines Punktes ausgehend vom Symmetriezentrum zu beschreiben?

1. Bestimmung des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \([AB]\) als Punkt der Ebene: \(M = \left( \frac{2+6}{2} \middle| \frac{-1+3}{2} \middle| \frac{4+0}{2} \right) = (4|1|2)\). 2. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) der Ebene aus dem Verbindungsvektor \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\), woraus sich der vereinfachte Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt. 3. Aufstellen der Koordinatengleichung durch Einsetzen von \(M\): \(1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 3\), also \(E: x + y - z = 3\). 4. Da \(C\) und \(D\) symmetrisch zu \(E\) auf der Geraden \(AB\) liegen, ist \(M\) auch ihr Mittelpunkt. Aus dem Abstandsverhältnis \(d(C, D) = 1{,}5 \cdot d(A, B)\) folgt für die Abstände zum Mittelpunkt: \(d(M, C) = 1{,}5 \cdot d(M, A)\). 5. Da \(C\) auf der gleichen Seite wie \(A\) liegt, gilt für die Ortsvektoren: \(\vec{MC} = 1{,}5 \cdot \vec{MA}\). Mit \(\vec{MA} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ -1-1 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{MC} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung der Koordinaten von \(C\): \(\vec{OC} = \vec{OM} + \vec{MC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(C(1|-2|5)\).

a) \(E: x + y - z = 3\) b) \(C(1|-2|5)\)

- Welchen speziellen Punkt der Strecke zwischen zwei symmetrischen Punkten enthält die Symmetrieebene immer? - Wie steht der Verbindungsvektor zweier symmetrischer Punkte zur Ebene? - Überlege dir, wie du die Lage von \(U\) relativ zum Mittelpunkt \(M\) ausdrücken kannst, wenn das Abstandsverhältnis bekannt ist. - Was bedeutet es für die Vektoren \(\vec{MG}\) und \(\vec{MU}\), wenn \(U\) und \(G\) auf derselben Seite der Ebene liegen?

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M\) von \([GH]\): \(M = (3|3|6)\). 2. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) aus \(\vec{GH} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). Ein kollinearer Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Ebene \(E\): \(-x + y + 2z = -3 + 3 + 12 = 12\), also \(E: -x + y + 2z = 12\). 4. Da \(U\) und \(V\) symmetrisch zu \(E\) auf der Geraden \(GH\) liegen, ist \(M\) ihr Symmetriezentrum. Das Abstandsverhältnis \(d(U, V) = 3 \cdot d(G, H)\) impliziert für die Abstände zum Zentrum \(d(M, U) = 3 \cdot d(M, G)\). 5. Da \(U\) und \(G\) auf derselben Seite der Ebene liegen, gilt die vektorielle Beziehung \(\vec{MU} = 3 \cdot \vec{MG}\). 6. Mit \(\vec{MG} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-3 \\ 2-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(\vec{MU} = \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -12 \end{pmatrix}\). 7. Berechnung von \(U\): \(\vec{OU} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \\ -6 \end{pmatrix}\), also \(U(9|-3|-6)\).

a) \(E: -x + y + 2z = 12\) b) \(U(9|-3|-6)\)

- Welche geometrische Lage hat eine Spiegelebene im Verhältnis zu einem Punkt und seinem Bildpunkt? - Welcher Vektor steht senkrecht auf der gesuchten Ebene? - Welcher Punkt liegt garantiert auf der Ebene, wenn man die Verbindung zwischen dem Originalpunkt und dem Bildpunkt betrachtet? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatenform zusammen?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene: Da \(E\) die Mittellotebene der Strecke \(PQ\) ist, dient der Vektor \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ 4-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) als Normalenvektor. Zur Vereinfachung kann \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) verwendet werden. 2. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(PQ\): \(M = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung: Ansatz \(-2x + y + 2z = d\). Einsetzen von \(M(3|3|1)\) liefert \(-2 \cdot 3 + 3 + 2 \cdot 1 = -1\). 4. Die Gleichung lautet \(-2x + y + 2z = -1\) bzw. \(2x - y - 2z = 1\).

\(E: 2x - y - 2z = 1\) (oder eine dazu äquivalente Form)

- Wie nennt man die Menge aller Punkte, die von zwei festen Punkten denselben Abstand haben? - Welchen Vektor kannst du als Normalenvektor für diese spezielle Ebene nutzen? - Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke im Raum? - Wie findet man die Schnittpunkte einer Ebene mit den Achsen, wenn die Koordinatenform bekannt ist?

1. Berechnung des Normalenvektors: \(\vec{n} = \vec{RS} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-(-2) \\ 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). Alternativ gekürzt: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Mittelpunktes \(M\) von \(RS\): \(M = \left( \frac{6+2}{2} \middle| \frac{-2+4}{2} \middle| \frac{4+0}{2} \right) = (4|1|2)\). 3. Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Umwandlung in Koordinatenform: \(-2x + 3y - 2z = -2(4) + 3(1) - 2(2) = -9\), also \(2x - 3y + 2z = 9\). 5. Berechnung der Spurpunkte: - \(x\)-Achse (\(y=0, z=0\)): \(2x = 9 \Rightarrow S_x(4{,}5|0|0)\) - \(y\)-Achse (\(x=0, z=0\)): \(-3y = 9 \Rightarrow S_y(0|-3|0)\) - \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)): \(2z = 9 \Rightarrow S_z(0|0|4{,}5)\)

a) \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) b) Koordinatenform: \(2x - 3y + 2z = 9\); Spurpunkte: \(S_x(4{,}5|0|0)\), \(S_y(0|-3|0)\), \(S_z(0|0|4{,}5)\)

- Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an den Weg von der Parameterform zur Koordinatenform mithilfe des Kreuzprodukts. - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingungen einer Ebenengleichung erfüllt?

1. Berechnung der Koordinaten der Punkte \(P\) und \(Q\) als Mittelpunkte: \(P = \frac{1}{2}(A+S) = (3|0|6)\) \(Q = \frac{1}{2}(B+S) = (0|4|6)\) Der Punkt \(R\) ist mit \((0|0|4)\) gegeben. 2. Aufstellen der Ebene \(E\) in Parameterform (Stützpunkt \(R\)): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) 3. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -8 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Koordinatenform \(4x_1 + 3x_2 - 6x_3 = d\). Einsetzen von \(R(0|0|4)\) ergibt \(d = -24\). Die Gleichung lautet \(E: 4x_1 + 3x_2 - 6x_3 = -24\). 5. Punktprobe für \(T(1{,}5|2|6)\): \(4 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot 2 - 6 \cdot 6 = 6 + 6 - 36 = -24\). Die Bedingung ist erfüllt, der Punkt \(T\) liegt in der Ebene \(E\).

a) \(E: 4x_1 + 3x_2 - 6x_3 = -24\) (oder ein Vielfaches davon) b) Ja, der Punkt \(T\) liegt in der Ebene \(E\).

- Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf, indem du seine Koordinaten für \(x_1, x_2\) und \(x_3\) einsetzt. - Du hast vier Unbekannte, aber nur drei Punkte. Was sagt dir das über die Anzahl der Lösungen? - Kannst du eine Variable durch eine andere ausdrücken, um das System schrittweise zu reduzieren? - Denk daran, dass der Normalenvektor einer Ebene zwar eine feste Richtung, aber keine feste Länge hat.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte: (I) \(a + 2b + 3c + d = 0\) (II) \(3a + 2b + c + d = 0\) (III) \(a + c + d = 0\) 2. Lösung des Systems: Aus (III) folgt \(d = -a - c\). Einsetzen in (I) ergibt \(a + 2b + 3c - a - c = 0 \implies 2b + 2c = 0 \implies b = -c\). 3. Einsetzen von \(b = -c\) und \(d = -a - c\) in (II) ergibt \(3a - 2c + c - a - c = 0 \implies 2a - 2c = 0 \implies a = c\). 4. Alle Koeffizienten hängen von \(c\) ab: \(a = c\), \(b = -c\), \(d = -2c\). Die Nichteindeutigkeit resultiert daraus, dass jede Koordinatengleichung mit einem beliebigen Faktor \(k \neq 0\) multipliziert werden kann, ohne die beschriebene Ebene zu ändern (geometrisch entspricht dies der beliebigen Länge des Normalenvektors). 5. Mit der Wahl \(c = 1\) ergibt sich \(a = 1, b = -1, d = -2\). Die Gleichung lautet \(x_1 - x_2 + x_3 - 2 = 0\).

Eine mögliche Koordinatengleichung ist \(F: x_1 - x_2 + x_3 - 2 = 0\). Die Lösung ist nicht eindeutig, da jedes Vielfache der Gleichung dieselbe Ebene beschreibt.

- Nutze die Symmetrie des Quadrats, um den fehlenden Eckpunkt zu finden. - Überlege, welche Koordinate bei allen Punkten der Grundfläche identisch ist. - Für den Nachweis der Gleichschenkligkeit musst du nur zwei der drei Seitenlängen vergleichen. - Ein Normalenvektor steht senkrecht auf zwei Spannvektoren der Ebene. - Die Höhe einer Pyramide ist die senkrechte Entfernung der Spitze von der Grundfläche.

1. Da \(ABCD\) ein Quadrat in der Ebene \(x_3=2\) ist, ergibt sich der Mittelpunkt der Grundfläche aus dem Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) zu \(M(0|0|2)\). Durch Spiegelung von \(B\) an \(M\) oder Vektoraddition \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{BM}\) folgt \(D(0|-6|2)\). Die Ebene \(E\) hat die Gleichung \(x_3 = 2\) und liegt somit parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene im Abstand 2. 2. Zur Überprüfung der Gleichschenkligkeit berechnet man die Seitenlängen: \(|\vec{AS}| = \sqrt{(0-6)^2 + (0-0)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{36+64} = 10\) und \(|\vec{BS}| = \sqrt{(0-0)^2 + (0-6)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{36+64} = 10\). Da \(|\vec{AS}| = |\vec{BS}|\), ist das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig mit der Basis \(AB\). 3. Für die Ebene \(F\) durch \(A(6|0|2)\), \(B(0|6|2)\) und \(S(0|0|10)\) wählt man zwei Richtungsvektoren, z. B. \(\vec{AB} = (-6|6|0)\) und \(\vec{AS} = (-6|0|8)\). Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AS}\) ist ein Normalenvektor: \(\vec{n} = (48|48|36)\), was kollinear zu \((4|4|3)\) ist. Die Koordinatengleichung hat die Form \(4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = d\). Einsetzen von \(S\) liefert \(d = 3 \cdot 10 = 30\). Somit gilt \(F: 4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 30\). 4. Das Volumen berechnet sich über \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\). Die Grundfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge \(a = |\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{72}\), also \(G = 72\). Die Höhe ist der Abstand der Spitze \(S(0|0|10)\) zur Ebene \(E\) (\(z=2\)), also \(h = 10 - 2 = 8\). Daraus folgt \(V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 8 = 192\).

a) \(D(0|-6|2)\); die Ebene \(E\) ist parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. b) \(|\vec{AS}| = 10\), \(|\vec{BS}| = 10\), also gleichschenklig. c) \(F: 4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 30\) d) \(V = 192\)

- Wie kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Was muss für die Parameter gelten, damit ein Punkt tatsächlich Teil der Ebene ist? - Wenn eine Koordinate eines Punktes unbekannt ist, welche Zeilen der Ebenengleichung helfen dir, die Parameter zuerst zu bestimmen? - Überlege, wie viele Gleichungen du benötigst, um die beiden Parameter \(r\) und \(s\) eindeutig zu berechnen.

1. Prüfung von \(P(4|0|3)\): Aufstellen des Gleichungssystems \(1+r+2s=4\), \(r-s=0\) und \(2+r=3\). Aus der dritten Gleichung folgt \(r=1\). Einsetzen in die zweite ergibt \(s=1\). Die erste Gleichung liefert \(1+1+2 \cdot 1=4\), was eine wahre Aussage ist. \(P\) liegt in \(E\). 2. Prüfung von \(Q(5|1|5)\): Gleichungssystem \(1+r+2s=5\), \(r-s=1\) und \(2+r=5\). Aus der dritten Gleichung folgt \(r=3\). Einsetzen in die zweite ergibt \(3-s=1 \Rightarrow s=2\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(1+3+2 \cdot 2=8 \neq 5\). \(Q\) liegt nicht in \(E\). 3. Punkt \(D(2|y|4)\): Aus der \(x_3\)-Koordinate folgt \(2+r=4 \Rightarrow r=2\). Aus der \(x_1\)-Koordinate folgt \(1+2+2s=2 \Rightarrow 2s=-1 \Rightarrow s=-0{,}5\). Berechnung von \(y\): \(y=r-s=2-(-0{,}5)=2{,}5\). 4. Punkt \(F(x|3|6)\): Aus der \(x_3\)-Koordinate folgt \(2+r=6 \Rightarrow r=4\). Aus der \(x_2\)-Koordinate folgt \(4-s=3 \Rightarrow s=1\). Berechnung von \(x\): \(x=1+4+2 \cdot 1=7\).

a) \(P\) liegt in \(E\); \(Q\) liegt nicht in \(E\). b) \(y = 2{,}5\) und \(x = 7\).

- Wie findet man Punkte einer Ebene, wenn die Koordinatengleichung gegeben ist? Denke an die Schnittpunkte mit den Achsen. - Ist es einfacher, einen Punkt in die Parameterform oder in die Koordinatengleichung einzusetzen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Punktprobe eine wahre Aussage wie \(4=4\) ergibt? - Kannst du die Koordinaten von \(C\) als Terme in die Gleichung einsetzen und nach der Unbekannten auflösen?

1. Parameterform aufstellen: Suche drei Punkte, die die Gleichung erfüllen, z. B. \(S_1(2|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|-2)\). Daraus ergibt sich z. B. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(A(1|4|1)\): Einsetzen in die Koordinatengleichung: \(2 \cdot 1 + 4 - 2 \cdot 1 = 2 + 4 - 2 = 4\). Die Aussage ist wahr, also liegt \(A\) in \(E\). 3. Punktprobe für \(B(3|2|4)\): Einsetzen: \(2 \cdot 3 + 2 - 2 \cdot 4 = 6 + 2 - 8 = 0 \neq 4\). Die Aussage ist falsch, also liegt \(B\) nicht in \(E\). 4. Bestimmung von \(k\): Einsetzen von \(C(k|k|1)\) in die Gleichung: \(2k + k - 2 \cdot 1 = 4\). Zusammenfassen ergibt \(3k - 2 = 4\), woraus \(3k = 6\) und somit \(k = 2\) folgt.

a) Mögliche Lösung: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) (andere Repräsentationen sind möglich). b) \(A\) liegt in \(E\), \(B\) liegt nicht in \(E\). c) \(k = 2\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn sie alle den gleichen Wert haben? Wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du eine Bedingung für die Koordinaten einsetzt und die Variable am Ende wegfällt? - Welche mathematische Aussage deutet darauf hin, dass es keine Lösung für ein Problem gibt?

1. Für einen Punkt mit drei identischen Koordinaten gilt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\). 2. Einsetzen des Ansatzes in die Ebenengleichung von \(E\): \(5a - 2a - a = 8\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2a = 8\), woraus \(a = 4\) folgt. Der gesuchte Punkt ist \(P(4|4|4)\). 4. Für die Ebenenschar \(F_k\) führt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) zur Gleichung \(k \cdot a + (2-k) \cdot a - 2a = 12\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der linken Seite: \(ka + 2a - ka - 2a = 12\). 6. Dies führt unabhängig vom Wert von \(a\) und \(k\) auf die falsche Aussage \(0 = 12\), was bedeutet, dass kein solcher Punkt existiert.

a) \(P(4|4|4)\) b) Der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) führt für alle \(k\) auf den Widerspruch \(0 = 12\).

- Wie wandelt man eine Parameterform mithilfe des Normalenvektors in eine Koordinatenform um? - Was zeichnet einen Punkt aus, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum kennst du, die Vektoren nutzt?

1. Ein Normalenvektor \(\vec{n}\) ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix}\). Vereinfacht wählt man \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((4|0|0)\) folgt die Koordinatengleichung \(1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 4\). 2. Die Spurpunkte berechnen sich durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|2)\). 3. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{S_1S_2}| = \sqrt{(0-4)^2 + (4-0)^2 + 0^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) \(|\vec{S_1S_3}| = \sqrt{(0-4)^2 + 0^2 + (2-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) \(|\vec{S_2S_3}| = \sqrt{0^2 + (0-4)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) Da \(|\vec{S_1S_3}| = |\vec{S_2S_3}|\), ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basis \(S_1S_2\). Flächeninhalt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{S_1S_2}\) und \(\vec{S_1S_3}\) ist \(\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix}\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \left| \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 64 + 256} = \frac{1}{2} \sqrt{384} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80\,\text{FE}\).

1. \(E: x_1 + x_2 + 2x_3 = 4\) 2. \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\) 3. Die Seitenlängen sind \(|\vec{S_1S_2}| = \sqrt{32}\) und \(|\vec{S_1S_3}| = |\vec{S_2S_3}| = \sqrt{20}\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\sqrt{6} \approx 9{,}80\,\text{FE}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer dazu orthogonalen Ebene? - Wie nutzt man einen Punkt und einen Normalenvektor, um die Koordinatenform einer Ebene zu finden? - Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene? - Überlege dir, welcher Parameterwert in der Geradengleichung genau den Mittelpunkt zwischen den beiden Stützpunkten markiert.

1. Richtungsvektor der Geraden \(g\) bestimmen: \(\vec{v} = \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Normalenvektor der Ebene \(E\) festlegen: Da \(E \perp g\), kann \(\vec{n} = \frac{1}{2} \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) gewählt werden. 3. Koordinatengleichung mit \(C(5|3|3)\) aufstellen: \(1 \cdot x - 1 \cdot y + 1 \cdot z = 1 \cdot 5 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 5\). Die Gleichung lautet \(E: x - y + z = 5\). 4. Geradengleichung \(g\) aufstellen: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 5. Schnittpunkt \(S\) durch Einsetzen von \(g\) in \(E\) berechnen: \((1 + 2t) - (2 - 2t) + (3 + 2t) = 5 \implies 6t + 2 = 5 \implies t = 0{,}5\). 6. Koordinaten von \(S\) berechnen: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(S(2|1|4)\). 7. Mittelpunkt \(M\) von \(\overline{AB}\) berechnen: \(M = \left( \frac{1+3}{2} \mid \frac{2+0}{2} \mid \frac{3+5}{2} \right) = (2|1|4)\). Da \(S = M\), ist die Behauptung bewiesen.

a) \(E: x - y + z = 5\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(2|1|4)\). Da der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\) ebenfalls bei \((2|1|4)\) liegt, ist \(S\) der Mittelpunkt.

- Wie hängen die Orthogonalität einer Ebene zu einer Geraden und ihr Normalenvektor zusammen? - Erinnere dich an das Verfahren, bei dem man die Terme der Geradengleichung für \(x\), \(y\) und \(z\) in die Ebenengleichung einsetzt. - Was muss für den Parameter \(t\) gelten, damit ein Punkt der Geraden zwischen den Punkten \(P\) (für \(t=0\)) und \(Q\) (für \(t=1\)) liegt?

1. Richtungsvektor der Geraden \(h\) bestimmen: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Normalenvektor der Ebene \(F\): Da \(F \perp h\), gilt \(\vec{n}_F = \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung mit \(R(7|3|3)\) aufstellen: \(2x + 2y + z = 2 \cdot 7 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 23\). Die Gleichung lautet \(F: 2x + 2y + z = 23\). 4. Geradengleichung \(h\) aufstellen: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Schnittpunkt \(S\) berechnen: \(2 \cdot (1 + 2t) + 2 \cdot (1 + 2t) + (1 + t) = 23 \implies 2 + 4t + 2 + 4t + 1 + t = 23 \implies 9t + 5 = 23 \implies 9t = 18 \implies t = 2\). 6. Koordinaten von \(S\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}\), also \(S(5|5|3)\). 7. Lageprüfung: Ein Punkt liegt auf der Strecke \(\overline{PQ}\), wenn der Parameter \(t\) im Intervall \([0; 1]\) liegt. Da \(t = 2\), liegt \(S\) außerhalb der Strecke \(\overline{PQ}\).

a) \(F: 2x + 2y + z = 23\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(5|5|3)\). Er liegt nicht auf der Strecke \(\overline{PQ}\), da der zugehörige Parameter \(t = 2\) außerhalb des Bereichs \([0; 1]\) liegt.

- Welche besondere Lage hat eine Ebene, zu der zwei Punkte symmetrisch liegen, im Verhältnis zur Strecke zwischen diesen Punkten? - Welche Eigenschaften muss der Normalenvektor der Ebene im Vergleich zum Verbindungsvektor der Punkte haben? - Erinnere dich an die Definition einer Symmetrieachse im Raum: Wo muss sie verlaufen und wie muss sie zum Verbindungsvektor orientiert sein? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingungen einer Ebenengleichung erfüllt?

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(AB\): \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\), also \(M(2|1|3)\). 2. Der Verbindungsvektor \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}\) dient als Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\). Vereinfachter Normalenvektor: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: \(-2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = d\). Einsetzen von \(M\): \(-2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 5\). Ergebnis: \(E: -2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5\). 4. Eine Symmetriegerade \(g\) muss durch den Mittelpunkt \(M(2| 1| 3)\) verlaufen und orthogonal zum Vektor \(\vec{AB}\) sein. 5. Suche eines Richtungsvektors \(\vec{v}\) mit \(\vec{v} \cdot \vec{n}_E = 0\): Beispielsweise \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), da \(-2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0\). 6. Mögliche Geradengleichung: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 7. Punktprobe für \(C(1| 1| 3)\) in \(E\): \(-2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -2 + 3 + 6 = 7\). Da \(7 \neq 5\), liegt \(C\) nicht in \(E\).

a) \(E: -2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5\) (oder ein Vielfaches davon) b) Eine mögliche Gerade ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) (andere Richtungsvektoren orthogonal zu \(\vec{AB}\) sind möglich) c) Der Punkt \(C\) liegt nicht in der Ebene \(E\).

- Überlege dir, welche Gleichungen die \(x_1x_2\)-Ebene und die \(x_1x_3\)-Ebene haben. - Welche Lage muss eine Ebene haben, die den Raum so teilt, dass eine Koordinatenebene genau auf die andere geklappt wird? - Betrachte die Situation in der \(x_2x_3\)-Ebene (Querschnitt), um die Winkelhalbierenden zu finden. - Bei der Spiegelung an einer Ebene wie \(x_2 = x_3\) werden bestimmte Koordinaten einfach vertauscht. Kannst du erkennen, welche?

1. Die \(x_1x_2\)-Ebene hat die Gleichung \(x_3 = 0\), die \(x_1x_3\)-Ebene hat die Gleichung \(x_2 = 0\). 2. Die gesuchten Spiegelebenen müssen die Winkelhalbierendenebenen zwischen diesen beiden Koordinatenebenen sein. Sie enthalten die Schnittgerade (die \(x_1\)-Achse). 3. Die Gleichungen der Winkelhalbierenden ergeben sich aus \(|x_2| = |x_3|\), also \(x_2 = x_3\) und \(x_2 = -x_3\). Koordinatenform: \(H_1: x_2 - x_3 = 0\) und \(H_2: x_2 + x_3 = 0\). 4. Spiegelung von \(P(5| 4| 2)\) an \(H_1\): Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 5. Die Lotgerade durch \(P\) ist \(L: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 6. Schnitt mit \(H_1\): \((4+t) - (2-t) = 0 \Rightarrow 2 + 2t = 0 \Rightarrow t = -1\). 7. Der Bildpunkt \(P'\) liegt bei \(2t = -2\): \(\overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(H_1: x_2 - x_3 = 0\) und \(H_2: x_2 + x_3 = 0\) b) \(P'(5| 2| 4)\)

- Wie kannst du aus drei Punkten eine Ebene in Parameterform aufstellen? - Welche Bedeutung haben die Werte \(a\), \(b\) und \(c\) in der Achsenabschnittsform für die Lage der Ebene im Koordinatensystem? - Betrachte das Tetraeder als eine Pyramide mit einer rechtwinkligen Grundfläche in einer der Koordinatenebenen. Welche Formel für das Pyramidenvolumen kennst du?

1. Zur Aufstellung der Parameterform wählen wir \(S_1\) als Stützpunkt und die Vektoren zu den anderen Achsenabschnittspunkten als Spannvektoren: \(\vec{x} = \vec{OS_1} + r \cdot \vec{S_1S_2} + s \cdot \vec{S_1S_3} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 2. Die Achsenabschnitte sind \(a = 6\), \(b = 3\) und \(c = -2\). Durch Einsetzen in die allgemeine Form \(\frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1\) erhält man direkt die Koordinatengleichung: \(\frac{x_1}{6} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{-2} = 1\). Dies lässt sich durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6\) in die Koordinatenform \(x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 6\) überführen. 3. Das Volumen eines Tetraeders mit den Ecken im Ursprung und auf den Koordinatenachsen berechnet sich über \(V = \frac{1}{6} \cdot |a \cdot b \cdot c|\). Einsetzen der Werte ergibt: \(V = \frac{1}{6} \cdot |6 \cdot 3 \cdot (-2)| = \frac{1}{6} \cdot |-36| = 6\). Das Volumen beträgt \(6\,\text{VE}\) (Volumeneinheiten).

1. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. \(\frac{x_1}{6} + \frac{x_2}{3} - \frac{x_3}{2} = 1\) 3. \(V = 6\,\text{VE}\)

- Überlege dir, wie du aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebene konstruieren kannst. - Wie hängen die Richtungsvektoren mit den gegebenen Punkten zusammen? - Um von der Parameterform zur Koordinatenform zu gelangen, benötigst du einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie berechnet man einen Vektor, der auf zwei anderen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Was passiert mit der allgemeinen Koordinatengleichung, wenn du einen der bekannten Punkte einsetzt?

1. Aufstellen der Parameterform: Als Stützvektor wird der Ortsvektor \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) gewählt. Die Richtungsvektoren ergeben sich aus den Differenzen der Ortsvektoren: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 5-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 0 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatenform: Mit dem Ansatz \(3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d\) und Einsetzen von \(A(1|2|3)\) ergibt sich \(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 16\). Die Gleichung lautet \(3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 16\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) b) \(E: 3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 16\)

- Wie kannst du aus drei Punkten zwei Vektoren bilden, die die Ebene aufspannen? - Erinnere dich an das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt, um die Normalenform zu finden. - Welche Eigenschaft muss ein Punkt erfüllen, um in einer Ebene zu liegen, wenn du die Ebenengleichung betrachtest? - Kannst du die Normalenform in eine einfache Summe der Koordinaten umschreiben, um den Punkt leichter zu prüfen?

1. Parameterform aufstellen: Stützvektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\), Spannvektoren \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). Somit \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Normalenform bestimmen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 16 \end{pmatrix}\). Gekürzt ergibt sich der Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Normalenform lautet \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). 3. Punktprobe: Setze \(S(3|3|4)\) in die Koordinatenform \(x_1 + x_2 + x_3 = 10\) ein (resultierend aus der Normalenform): \(3 + 3 + 4 = 10\). Da die Gleichung \(10 = 10\) erfüllt ist, liegt der Punkt \(S\) in der Ebene \(E\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) b) \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\) c) Ja, der Punkt \(S\) liegt in der Ebene, da \(3+3+4=10\) gilt.

- Wann sind zwei Vektoren linear abhängig? - Wie verhält sich eine Ebenengleichung, wenn die Richtungsvektoren in dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung zeigen? - Kannst du die beiden Parameter zu einem einzigen neuen Parameter zusammenfassen? - Wie prüfst du, ob ein Punkt die Bedingungen einer Geradengleichung erfüllt?

Damit \(S\) eine Gerade beschreibt, müssen die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sein. Es muss also ein Skalar \(k\) existieren, sodass \(\begin{pmatrix} m \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Ein Vergleich der zweiten und dritten Komponenten ergibt \(-2k = 4\) bzw. \(k = -2\), woraus \(k = -2\) folgt. Eingesetzt in die erste Komponente ergibt dies \(m = -2 \cdot 3 = -6\). Für \(m = -6\) lässt sich die Gleichung durch Ausklammern des gemeinsamen Richtungsvektors vereinfachen: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + (\lambda - 2\mu) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\lambda\) und \(\mu\) beliebige reelle Zahlen sind, kann die Kombination \(\lambda - 2\mu\) durch einen neuen Parameter \(t \in \mathbb{R}\) ersetzt werden. Die Geradengleichung lautet somit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Punktprobe für \(P(10| -4| 0)\) führt auf das Gleichungssystem \(10 = 4 + 3t\), \(-4 = 0 - 2t\) und \(0 = -2 + t\). Alle drei Gleichungen liefern den konsistenten Wert \(t = 2\), womit der Punkt auf der Geraden liegt.

a) \(m = -6\) b) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) c) Ja, der Punkt \(P\) liegt auf der Geraden.

- Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Welche Vektoren spannen die Ebene auf, wenn eine Gerade und ein Punkt gegeben sind? - Wie berechnet man aus zwei Richtungsvektoren einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht? - Erinnerst du dich, wie man einen Normalenvektor in eine Koordinatengleichung umwandelt?

1. Überprüfung der Punktlage: Ansatz \(\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(s = 2\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(1 = 2 + 0\), was ein Widerspruch ist. Somit liegt \(P\) nicht auf \(h\). 2. Aufstellen der Parameterform: Stützvektor der Ebene ist der Stützvektor von \(h\), Richtungsvektoren sind der Richtungsvektor von \(h\), \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\), und der Verbindungsvektor \(\vec{v} = \vec{OP} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Koordinatenform: \(2x_1 - x_3 = d\). Einsetzen des Punktes \((3|2|-1)\) ergibt \(2 \cdot 3 - (-1) = 7\). Die Gleichung lautet \(2x_1 - x_3 = 7\).

a) Der Punkt \(P\) liegt nicht auf \(h\), da die Punktprobe auf einen Widerspruch führt (\(1 \neq 2\)). b) \(E: 2x_1 - x_3 = 7\)

- Was muss gelten, damit ein Punkt auf einer Geraden liegt? Setze den Ortsvektor des Punktes für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung ein. - Eine Ebene, die eine Gerade enthält, übernimmt deren Richtungsvektor als einen ihrer eigenen Spannvektoren. - Wie findest du einen zweiten Spannvektor, wenn du einen weiteren Punkt der Ebene kennst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Kreuzprodukt der Spannvektoren und der Koordinatenform. - Was sagt der Normalenvektor über die Koeffizienten in der Koordinatengleichung aus?

1. Punktprobe für \(P\) auf \(g\): Die Gleichung \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) führt in der zweiten Zeile auf den Widerspruch \(4 = 2\). Somit liegt \(P\) nicht auf \(g\). 2. Parameterform aufstellen: Als Stützvektor wird der Stützvektor von \(g\) gewählt, als erster Spannvektor der Richtungsvektor von \(g\). Der zweite Spannvektor ergibt sich aus der Differenz des Ortsvektors \(\overrightarrow{OP}\) und des Stützvektors von \(g\): \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 4-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Es folgt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Umwandlung in Koordinatenform: Ein Normalenvektor \(\vec{n}\) wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren bestimmt: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Vereinfacht kann \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) verwendet werden. 4. Die Form \(x_1 + 2x_3 = d\) mit dem Punkt \(P(5|4|1)\) ergibt \(1 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 7\). Die Koordinatengleichung lautet \(x_1 + 2x_3 = 7\).

a) Die Punktprobe führt zu einem Widerspruch (\(4 \neq 2\)). b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) c) \(x_1 + 2x_3 = 7\)

- Wann liegen zwei Geraden in derselben Ebene, ohne identisch zu sein? - Wie hängen die Richtungsvektoren bei Parallelität zusammen? - Um eine Koordinatengleichung zu finden, benötigst du einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie kannst du aus zwei Spannvektoren einen Normalenvektor berechnen?

1. Bedingungen: Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein (\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\) mit \(k \neq 0\)). Zudem müssen die Geraden verschieden sein, d. h. der Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{q} - \vec{p}\) darf kein Vielfaches des Richtungsvektors \(\vec{u}\) sein. 2. Parameterform aufstellen: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Normalenvektor bestimmen: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\). 4. Koordinatenform: Ansatz \(x - 2y + 7z = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((1 \mid -1 \mid 2)\): \(1 - 2 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 = 1 + 2 + 14 = 17\). Die Gleichung lautet \(x - 2y + 7z = 17\).

a) Die Richtungsvektoren müssen linear abhängig sein (\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\)); der Differenzvektor der Stützpunkte darf kein Vielfaches des Richtungsvektors sein. b) \(x - 2y + 7z = 17\)

- Zwei Geraden legen genau dann eine Ebene fest, wenn sie entweder parallel (aber nicht identisch) sind oder sich schneiden. - Untersuche zuerst die Richtungsvektoren auf Parallelität. - Wenn die Geraden nicht parallel sind, prüfe, ob sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. - Was bedeutet es für eine mögliche Ebene, wenn die Geraden windschief sind?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a: Die Richtungsvektoren \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) sind keine Vielfachen voneinander, also nicht parallel. Prüfung auf Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \( 3 + \lambda = 4 \implies \lambda = 1 \); \( 2\lambda = 2 + \mu \implies 2 = 2 + \mu \implies \mu = 0 \); \( 2 = 2 + \mu \implies 2 = 2 \) (wahr). Die Geraden schneiden sich im Punkt \( S(4|2|2) \). Da sie sich schneiden, legen sie eine eindeutige Ebene fest. 2. Untersuchung von Teilaufgabe b: Die Richtungsvektoren \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) sind nicht parallel. Prüfung auf Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \( 2 + \lambda = 2 \implies \lambda = 0 \); \( 1 + \lambda = 1 + \mu \implies 1 = 1 + \mu \implies \mu = 0 \); \( 3 = 4 + \mu \implies 3 = 4 \) (Widerspruch). Die Geraden sind windschief. Da windschiefe Geraden nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen können, wird keine Ebene festgelegt.

a) Ja, die Geraden legen eine Ebene fest, da sie sich im Punkt \( S(4|2|2) \) schneiden. b) Nein, es wird keine Ebene festgelegt, da die Geraden windschief sind.

- Wie kannst du aus den Spannvektoren einer Ebene einen Normalenvektor berechnen? - Wenn zwei Ebenen parallel sind, was bedeutet das für ihre Ausrichtung im Raum und ihre Normalenvektoren? - Kannst du die Ebene \( H \) zuerst in Normalenform aufstellen und diese dann in die Koordinatenform umwandeln?

1. Zuerst wird ein Normalenvektor \( \vec{n} \) der Ebene \( E \) berechnet, indem das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren gebildet wird: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \\ -(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \\ 2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} \). 2. Da die Ebene \( H \) parallel zu \( E \) ist, übernimmt sie diesen Normalenvektor. Der Ansatz für die Koordinatengleichung lautet daher \( x_1 - 5x_2 - 2x_3 = d \). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes \( Q(3 | 0 | 2) \) in den Ansatz wird der Wert für \( d \) bestimmt: \( 1 \cdot 3 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = 3 - 0 - 4 = -1 \). 4. Die Koordinatengleichung der Ebene \( H \) lautet somit \( x_1 - 5x_2 - 2x_3 = -1 \).

\( H: x_1 - 5x_2 - 2x_3 = -1 \)

- Welche Eigenschaft der Geraden kannst du als Normalenvektor für deine Ebene verwenden? - Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du den Normalenvektor hast, wie sieht dann die linke Seite der Koordinatengleichung aus? - Wie findest du die Konstante auf der rechten Seite der Gleichung heraus?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(g\) dient als Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\). Berechnung durch \(\vec{n} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 1-4 \\ 0-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Der Ansatz für die Koordinatengleichung mit diesem Normalenvektor ist \(2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = d\). 3. Zur Bestimmung von \(d\) wird der Punkt \(Q(3 | 3 | 3)\) in die Gleichung eingesetzt: \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 6 - 9 + 6 = 3\). 4. Die fertige Koordinatengleichung ist \(2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 3\).

\(2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 3\)

- Welche Variable fehlt in der Gleichung und was bedeutet das für die Ausrichtung des Normalenvektors? - Setze die gegebenen Achsenabschnitte (Punkte auf den Achsen) in die allgemeine Ebenengleichung ein. - Welche Bedingung muss für den Parameter \(d\) gelten, damit eine Ebene durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wenn eine Ebene parallel zu einer Achse verläuft und den Ursprung enthält, was bedeutet das für die Lage der Achse zur Ebene?

1. Da der Koeffizient \(b\) vor \(x_2\) Null ist, ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ c \end{pmatrix}\) orthogonal zum Richtungsvektor der \(x_2\)-Achse \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(d \neq 0\), verläuft die Ebene \(ax_1 + cx_3 = d\) echt parallel zur \(x_2\)-Achse. 2. Die Spurpunkte sind \(S_1(4|0|0)\) und \(S_3(0|0|6)\). Einsetzen in die Gleichung \(ax_1 + cx_3 = d\): - \(a \cdot 4 + c \cdot 0 = d \implies a = \frac{d}{4}\) - \(a \cdot 0 + c \cdot 6 = d \implies c = \frac{d}{6}\) Wählt man beispielsweise \(d = 12\), ergibt sich \(a = 3\) und \(c = 2\). Die Gleichung lautet \(3x_1 + 2x_3 = 12\). (Jedes Vielfache dieser Koeffizienten ist ebenfalls korrekt). 3. Damit eine Ebene eine Koordinatenachse enthält, muss sie durch den Ursprung \((0|0|0)\) verlaufen, da jede Koordinatenachse den Ursprung enthält. Einsetzen des Ursprungs in die Gleichung \(ax_1 + cx_3 = d\) liefert \(a \cdot 0 + c \cdot 0 = d\), also \(d = 0\). Da \(b=0\) bereits gegeben ist, liegen dann alle Punkte der Form \((0|x_2|0)\) in der Ebene, womit sie die gesamte \(x_2\)-Achse enthält.

1. Die Ebenen sind parallel zur \(x_2\)-Achse, da der Koeffizient von \(x_2\) Null ist. 2. Mögliche Lösung: \(a=3, c=2, d=12\) (bzw. \(3x_1 + 2x_3 = 12\)). 3. Es muss \(d = 0\) gewählt werden.

- Wie hängen die Komponenten des Normalenvektors mit der Koordinatengleichung zusammen? - Was muss erfüllt sein, damit ein Punkt in einer Ebene liegt? - Erinnere dich daran, dass das Skalarprodukt aus der Summe der Produkte der jeweiligen Komponenten besteht.

1. Berechnung von \(d\): \(d = \vec{n} \cdot \vec{q} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 5 \cdot (-1) = 12 + 0 - 5 = 7\). Die Gleichung lautet: \(\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 7\). 2. Koordinatengleichung: Die Koeffizienten entsprechen den Komponenten von \(\vec{n}\): \(4x_1 - 2x_2 + 5x_3 = 7\). 3. Punktprobe für \(S(1|2|0)\): Setze die Koordinaten von \(S\) in die Koordinatengleichung ein: \(4 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 5 \cdot 0 = 4 - 4 + 0 = 0\). Da \(0 \neq 7\) ist, liegt der Punkt \(S\) nicht in der Ebene \(F\).

a) \(\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 7\) b) \(4x_1 - 2x_2 + 5x_3 = 7\) c) \(S\) liegt nicht in der Ebene \(F\), da die Punktprobe \(0 = 7\) einen Widerspruch ergibt.

- Erinnere dich an die Eigenschaft des Skalarprodukts bei orthogonalen Vektoren. - Welches mathematische Werkzeug liefert einen Vektor, der auf zwei anderen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Welche Bestandteile benötigst du für eine Parameterform einer Ebene?

1. Ein Vektor ist ein Richtungsvektor, wenn sein Skalarprodukt mit dem Normalenvektor null ist. Berechnung: \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Somit ist \(\vec{u}\) ein gültiger Richtungsvektor. 2. Ein Vektor \(\vec{v}\), der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, kann über das Kreuzprodukt berechnet werden: Das Kreuzprodukt von \(\vec{n}\) und \(\vec{u}\) ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Alternativ führt das Gleichungssystem \(v_1 + 2v_3 = 0\) und \(v_2 = 0\) zum selben Ergebnis (bis auf Skalierung). 3. Mit dem Stützpunkt \(P\) und den Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ergibt sich die Parameterform \(H: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Nachweis über das Skalarprodukt: \(1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches davon). c) \(H: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Welcher Vektor bietet sich als Normalenvektor an, wenn die Ebene senkrecht auf der Verbindungslinie zweier Punkte stehen soll? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten im Raum? - Erinnere dich an die Struktur der Normalenform: Ein Vektor steht senkrecht auf der Differenz aus dem Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und einem festen Stützpunkt.

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-2 \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Als Normalenvektor kann ein Vielfaches, z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\), gewählt werden. 2. Berechnung des Mittelpunkts \(M = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Umwandeln in Koordinatenform: \(2x_1 - x_2 - 2x_3 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3\). Ergebnis: \(E: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (oder ein Vielfaches des Normalenvektors) Koordinatenform: \(E: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\)

- Wo findest du in der Koordinatengleichung die Komponenten eines Normalenvektors? - Was passiert mit der Richtung eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? Bleibt er senkrecht zur Ebene? - Wie findest du einen Punkt, der eine Gleichung erfüllt? Versuche, zwei Koordinaten auf null zu setzen. - Überlege, ob du dieselbe Ebene auch mit einem doppelt so langen Normalenvektor beschreiben könntest.

1. Aus der Koordinatenform \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 12\) lässt sich der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ablesen. Die Form \(\vec{n} \cdot \vec{x} = d\) lautet somit \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 12\). 2. Die Menge aller Normalenvektoren besteht aus allen Vielfachen von \(\vec{n}\) ungleich dem Nullvektor: \(L = \{ k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \}\). 3. Ein möglicher Punkt \(P\) ist ein Spurpunkt, z. B. \(P(6|0|0)\) durch Setzen von \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). Die Gleichung lautet dann \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0\). 4. Die Darstellung ist nicht eindeutig. Sowohl der Normalenvektor \(\vec{n}\) kann durch ein beliebiges skalares Vielfaches \(k \neq 0\) ersetzt werden (wobei sich \(d\) entsprechend ändert), als auch der Stützvektor \(\vec{p}\) kann jeder beliebige Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene sein.

a) \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 12\) b) \(L = \{ k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \}\) c) Z. B. mit \(P(6|0|0)\): \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0\) d) Nein, da der Normalenvektor skaliert werden kann und jeder Punkt der Ebene als Stützpunkt dienen kann.

- Achte darauf, welche Koordinate in der Gleichung fehlt. Was bedeutet das für den Normalenvektor? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors? - Wenn ein Vektor die Länge 5 hat, wie kommst du dann auf einen Vektor mit der Länge 10 in derselben oder entgegengesetzten Richtung? - Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn der Ursprung \(O(0|0|0)\) die Gleichung erfüllt?

1. Der Normalenvektor wird aus den Koeffizienten der Variablen gelesen: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). Die Skalarproduktform ist \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0\). 2. Die Länge von \(\vec{n}\) ist \(|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5\). Um die Länge \(10\) zu erhalten, muss \(\vec{n}\) mit \(k = \pm 2\) multipliziert werden. Die gesuchten Vektoren sind \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Da die Koordinate \(x_2\) in der Gleichung fehlt (bzw. der Koeffizient \(0\) ist), verläuft die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse. Da die rechte Seite der Gleichung \(0\) ist, verläuft sie zudem durch den Ursprung. Somit enthält die Ebene die \(x_2\)-Achse.

a) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0\) b) \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\) c) Die Ebene verläuft durch den Ursprung und enthält die \(x_2\)-Achse (bzw. ist parallel zur \(x_2\)-Achse), da der Koeffizient von \(x_2\) null ist und das Absolutglied null ist.

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht? - Wie hängen die Koordinatenform einer Ebene und das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor zusammen? - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere das Distributivgesetz. - Wie ist der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten definiert?

1. Berechnung des Skalarprodukts von \(\vec{OA}\) und \(\vec{n}\): \(d = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-2) = 6 - 2 - 8 = -4\). Die Ebenengleichung lautet somit \(3x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -4\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(B\) in die linke Seite der Gleichung: \(3 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) - 2 \cdot 1 = 12 - 6 - 2 = 4\). Da \(4 \neq -4\) gilt, liegt der Punkt \(B\) nicht in der Ebene \(E\). 3. Da \(P\) und \(Q\) in \(E\) liegen, gilt \(\vec{OP} \cdot \vec{n} = d\) und \(\vec{OQ} \cdot \vec{n} = d\). Für den Differenzvektor \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}\) folgt durch Anwendung des Distributivgesetzes für Skalarprodukte: \(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = (\vec{OQ} - \vec{OP}) \cdot \vec{n} = \vec{OQ} \cdot \vec{n} - \vec{OP} \cdot \vec{n} = d - d = 0\). Geometrisch bedeutet dies, dass jeder Verbindungsvektor zweier Punkte der Ebene orthogonal zum Normalenvektor steht.

1. \(d = -4\) 2. \(B\) liegt nicht in \(E\), da das Skalarprodukt \(4\) ergibt. 3. \(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = \vec{OQ} \cdot \vec{n} - \vec{OP} \cdot \vec{n} = d - d = 0\).

- Wie berechnet man den Wert \(d\), wenn ein Normalenvektor und ein Stützpunkt der Ebene bekannt sind? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren. - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllt? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil der Punktmenge einer Ebene ist?

1. Aufstellen der Ebenengleichung: Das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{A}\) berechnen, um \(d\) zu bestimmen. \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 = 2 + 6 - 4 = 4\). Somit lautet die Gleichung \(E: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 4\). 2. Punktprobe für \(B(4|0|1)\): \(2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = 8 - 4 = 4\). Da \(4 = 4\), gehört \(B\) zur Ebene. 3. Punktprobe für \(C(2|1|1)\): \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 4 + 3 - 4 = 3\). Da \(3 \neq 4\), gehört \(C\) nicht zur Ebene.

a) \(E: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 4\) b) Der Punkt \(B\) gehört zur Ebene \(E\), der Punkt \(C\) hingegen nicht.

- Wie berechnet man das Skalarprodukt zwischen einem Vektor und dem allgemeinen Ortsvektor \(\vec{x}\)? - Wie führt man eine Punktprobe bei einer Ebene durch? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er nicht auf den Koordinatenachsen liegen darf? - Wie viele Koordinaten kannst du bei einer Ebene frei wählen, um einen Punkt zu finden?

1. Die Koordinatenform ergibt sich direkt aus dem Skalarprodukt: \(1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 - 2 \cdot x_3 = 6\), also \(x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 6\). 2. Punktprobe für \(R\): \(1 + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 3 + 2 = 6\). Da \(6 = 6\) eine wahre Aussage ist, liegt \(R\) in \(\mathbb{E}\). Punktprobe für \(S\): \(2 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 2 + 6 - 4 = 4\). Da \(4 \neq 6\), liegt \(S\) nicht in \(\mathbb{E}\). 3. Für \(T(x_1 \mid x_2 \mid 0)\) muss gelten: \(x_1 + 3x_2 = 6\). Damit der Punkt auf keiner Achse liegt, dürfen \(x_1\) und \(x_2\) nicht null sein. Wählt man z. B. \(x_2 = 1\), folgt \(x_1 + 3 = 6 \implies x_1 = 3\). Ein möglicher Punkt ist \(T(3 \mid 1 \mid 0)\).

a) \(x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 6\) b) \(R\) liegt in \(\mathbb{E}\); \(S\) liegt nicht in \(\mathbb{E}\). c) Individuelle Lösung möglich, z. B. \(T(3 \mid 1 \mid 0)\) oder \(T(9 \mid -1 \mid 0)\).

- Was muss auf der rechten Seite der Gleichung stehen, damit sie der Achsenabschnittsform entspricht? - Wie hängen die Nenner in der Achsenabschnittsform mit den Schnittpunkten auf den Koordinatenachsen zusammen? - Welche Form hat die Grundfläche des Körpers, der von der Ebene und den Achsen begrenzt wird? - Erinnere dich an die Volumenformel für eine Pyramide mit rechtwinkliger Grundfläche im Koordinatensystem.

1. Um die Achsenabschnittsform \(\frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} + \frac{x_3}{a_3} = 1\) zu erhalten, wird die Gleichung durch \(12\) dividiert: \(\frac{3x_1}{12} + \frac{4x_2}{12} + \frac{2x_3}{12} = \frac{12}{12}\). Durch Kürzen ergibt sich \(\frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{6} = 1\). 2. Aus der Achsenabschnittsform lassen sich die Schnittpunkte mit den Achsen direkt ablesen: \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\) und \(S_3(0|0|6)\). 3. Das Volumen des Tetraeders berechnet sich mit der Formel \(V = \frac{1}{6} \cdot |a_1 \cdot a_2 \cdot a_3|\). Einsetzen der Achsenabschnitte ergibt \(V = \frac{1}{6} \cdot |4 \cdot 3 \cdot 6| = \frac{72}{6} = 12\). Das Volumen beträgt \(12\,\text{VE}\).

1. Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{6} = 1\) 2. Spurpunkte: \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\), \(S_3(0|0|6)\) 3. Volumen: \(V = 12\,\text{VE}\)

- Wenn du eine Gleichung mit drei Unbekannten hast, kannst du zwei davon frei wählen, um die dritte zu bestimmen. - Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatengleichung mit dem Normalenvektor zusammen? - Welches Rechenwerkzeug nutzt man in der Vektorgeometrie, um zu prüfen, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen?

1. Auflösen der Gleichung nach \(x_1\): \(-x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6 \iff x_1 = 3x_2 + 2x_3 - 6\). 2. Ersetzen von \(x_2\) durch \(r\) und \(x_3\) durch \(s\) führt zum Gleichungssystem: \(x_1 = -6 + 3r + 2s\), \(x_2 = r\), \(x_3 = s\). In Vektorschreibweise ergibt dies die Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Orthogonalität wird über das Skalarprodukt geprüft: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -3 + 3 + 0 = 0\) und \(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 + 0 + 2 = 0\). Da beide Skalarprodukte null sind, steht der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene.

a) \(x_1 = 3x_2 + 2x_3 - 6\) b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Mit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) gilt \(\vec{n} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\) und \(\vec{n} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). Die Orthogonalität ist somit bestätigt.

- Was bedeutet es für die Lage einer Ebene im Koordinatensystem, wenn eine Variable in der Gleichung fehlt? - Wenn es keinen Spurpunkt auf einer Achse gibt, wie verläuft die Ebene dann zu dieser Achse? - Erinnere dich daran, dass Spurgeraden die Schnittmengen der Ebene mit den Ebenen \(x_1=0\), \(x_2=0\) oder \(x_3=0\) sind. - Wie sieht eine Gerade aus, die parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft?

1. Spurpunkte berechnen: - \(x_2=0, x_3=0 \Rightarrow 2x_1=10 \Rightarrow x_1=5 \Rightarrow S_1(5|0|0)\) - \(x_1=0, x_2=0 \Rightarrow -5x_3=10 \Rightarrow x_3=-2 \Rightarrow S_3(0|0|-2)\) 2. Da die Variable \(x_2\) in der Ebenengleichung nicht vorkommt (Koeffizient ist 0), ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}\) orthogonal zur \(x_2\)-Achse. Somit verläuft die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse und besitzt keinen Schnittpunkt mit ihr. 3. Spurgeraden bestimmen: - \(g_{13}\) (in der \(x_1x_3\)-Ebene, \(x_2=0\)): Verbindungsgerade von \(S_1\) und \(S_3\), also \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). - \(g_{12}\) (in der \(x_1x_2\)-Ebene, \(x_3=0\)): \(2x_1=10 \Rightarrow x_1=5\). Dies ist eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). - \(g_{23}\) (in der \(x_2x_3\)-Ebene, \(x_1=0\)): \(-5x_3=10 \Rightarrow x_3=-2\). Dies ist eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) Spurpunkte: \(S_1(5|0|0)\) und \(S_3(0|0|-2)\). b) Da der Koeffizient von \(x_2\) null ist, liegt eine Parallelität zur \(x_2\)-Achse vor. c) Spurgeraden: \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Kannst du die Gleichung nach einer der Variablen auflösen, um die anderen als Parameter zu verwenden? - Was passiert mit dem Parameter \(t\), wenn du eine Variable isolierst? - Wie lassen sich die Koordinaten einzeln in Abhängigkeit von zwei freien Parametern (z. B. \(r\) und \(s\)) ausdrücken? - Überlege, wie du den Vektor \(\vec{x}\) in einen konstanten Teil und zwei Teile mit den Parametern zerlegen kannst.

1. Auflösen der Koordinatengleichung nach einer Variablen (hier \(x_1\)): \(x_1 = 10 - t \cdot x_2 + 2x_3\). 2. Wahl der freien Parameter für die verbleibenden Variablen: Setze \(x_2 = r\) und \(x_3 = s\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 3. Einsetzen in die Vektordarstellung \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 10 - t \cdot r + 2 \cdot s \\ r \\ s \end{pmatrix}\). 4. Trennung nach dem konstanten Anteil und den Anteilen mit den Parametern \(r\) und \(s\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -t \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(H_t: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -t \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Kannst du die Vektorgleichung zeilenweise als drei separate Gleichungen aufschreiben? - Überlege dir, wie du eine Gleichung nach einem der Parameter auflösen kannst. - Wie kannst du diesen Parameter in den anderen Gleichungen ersetzen, damit er dort verschwindet? - Das Ziel ist eine Gleichung, in der nur noch \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) und Zahlen vorkommen.

Zunächst wird die Parameterform in ein System aus drei Gleichungen zerlegt: (I) \(x_1 = 3 + r + 2s\) (II) \(x_2 = 1 + 2r\) (III) \(x_3 = 4 + r - s\) Aus Gleichung (II) lässt sich der Parameter \(r\) direkt in Abhängigkeit von \(x_2\) ausdrücken: \(2r = x_2 - 1 \Rightarrow r = 0{,}5x_2 - 0{,}5\). Dieser Ausdruck für \(r\) wird in Gleichung (III) eingesetzt, um \(s\) zu bestimmen: \(x_3 = 4 + (0{,}5x_2 - 0{,}5) - s \Rightarrow s = 3{,}5 + 0{,}5x_2 - x_3\). Nun werden die Ausdrücke für \(r\) und \(s\) in Gleichung (I) eingesetzt: \(x_1 = 3 + (0{,}5x_2 - 0{,}5) + 2 \cdot (3{,}5 + 0{,}5x_2 - x_3)\). Durch Zusammenfassen ergibt sich: \(x_1 = 3 + 0{,}5x_2 - 0{,}5 + 7 + x_2 - 2x_3 \Rightarrow x_1 = 9{,}5 + 1{,}5x_2 - 2x_3\). Umgestellt in die Standardform ergibt dies \(x_1 - 1{,}5x_2 + 2x_3 = 9{,}5\). Multiplikation mit \(2\) liefert die ganzzahlige Koordinatengleichung \(2x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 19\).

Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet \(2x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 19\).

- Wie kannst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Vektor finden, der senkrecht auf der Ebene steht? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Koeffizienten der Koordinatengleichung und dem Normalenvektor? - Wie nutzt du den Stützpunkt der Ebene, um das Absolutglied der Koordinatengleichung zu bestimmen? - Was bedeutet es mathematisch für die Koordinatengleichung, wenn ein Punkt auf einer Ebene liegt?

1. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Koordinatenform \(4x_1 - 2x_2 + x_3 = d\) und Einsetzen des Stützpunktes \((2 \mid 1 \mid -1)\): \(4 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + (-1) = 5\). Die Gleichung lautet \(4x_1 - 2x_2 + x_3 = 5\). 3. Punktprobe für \(P(3 \mid 4 \mid 1)\): \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5\). Da \(5 = 5\) eine wahre Aussage ist, liegt \(P\) in \(E\). 4. Punktprobe für \(Q(1 \mid 1 \mid 1)\): \(4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3\). Da \(3 \neq 5\) ist, liegt \(Q\) nicht in \(E\).

a) Eine Koordinatengleichung ist \(4x_1 - 2x_2 + x_3 = 5\). b) Der Punkt \(P(3 \mid 4 \mid 1)\) liegt in der Ebene \(E\), da er die Gleichung erfüllt (\(5 = 5\)). Der Punkt \(Q(1 \mid 1 \mid 1)\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da er die Gleichung nicht erfüllt (\(3 \neq 5\)).

- Wie findet man Punkte, die eine Koordinatengleichung erfüllen? Es ist oft am einfachsten, zwei Koordinaten auf Null zu setzen. - Wenn du drei Punkte hast, wie bildest du daraus einen Stützvektor und zwei Spannvektoren? - Wie setzt man einen Punkt in eine Parameterform ein, um zu prüfen, ob er auf der Ebene liegt? - Was muss für die Parameter \(r\) und \(s\) gelten, damit der Punkt Teil der Ebene ist?

1. Zur Parameterform: Bestimmung dreier Punkte auf der Ebene, z. B. über die Spurpunkte \(S_1(2 \mid 0 \mid 0)\), \(S_2(0 \mid 6 \mid 0)\) und \(S_3(0 \mid 0 \mid -3)\). Daraus folgt eine mögliche Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe mit Koordinatengleichung für \(P(1 \mid 5 \mid 1)\): \(3 \cdot 1 + 5 - 2 \cdot 1 = 3 + 5 - 2 = 6\). Da \(6 = 6\), liegt \(P\) in \(E\). 3. Punktprobe mit Koordinatengleichung für \(Q(2 \mid 2 \mid 2)\): \(3 \cdot 2 + 2 - 2 \cdot 2 = 6 + 2 - 4 = 4\). Da \(4 \neq 6\), liegt \(Q\) nicht in \(E\). 4. Punktprobe für \(P\) mit der Parameterform führt zu einem linearen Gleichungssystem: (I) \(2 - 2r - 2s = 1\) (II) \(6r = 5 \Rightarrow r = \frac{5}{6}\) (III) \(-3s = 1 \Rightarrow s = -\frac{1}{3}\) Einsetzen in (I): \(2 - 2 \cdot \frac{5}{6} - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = 2 - \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = 2 - 1 = 1\). Das System ist lösbar, somit liegt \(P\) in \(E\).

a) Eine mögliche Parameterform ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). b) Der Punkt \(P(1 \mid 5 \mid 1)\) liegt in der Ebene (\(6=6\)), der Punkt \(Q(2 \mid 2 \mid 2)\) liegt nicht in der Ebene (\(4 \neq 6\)). c) Durch Gleichsetzen von \(\vec{OP}\) mit der Parameterform erhält man z. B. \(r = \frac{5}{6}\) und \(s = -\frac{1}{3}\). Da das System widerspruchsfrei lösbar ist, liegt \(P\) in \(E\).

- Was passiert rechnerisch, wenn du versuchst, einen Spurpunkt für eine Achse zu finden, deren Variable in der Gleichung fehlt? - Wenn eine Ebene parallel zu einer Achse verläuft, welche Richtung muss dann einer ihrer Spannvektoren haben? - Nutze die vorhandenen Punkte für den Stützvektor und den ersten Richtungsvektor.

1. Berechnung der Spurpunkte: \(S_1\): \(5x_1 = 10 \implies x_1 = 2 \implies S_1(2|0|0)\). \(S_3\): \(-2x_3 = 10 \implies x_3 = -5 \implies S_3(0|0|-5)\). 2. Da die Variable \(x_2\) in der Gleichung nicht vorkommt (Koeffizient ist 0), führt der Ansatz für den Spurpunkt auf der \(x_2\)-Achse (\(x_1=0, x_3=0\)) zu der falschen Aussage \(0 = 10\). Dies bedeutet, dass die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse verläuft und diese nicht schneidet. 3. Für die Parameterform kann man die beiden Spurpunkte nutzen, um den ersten Spannvektor zu erhalten: \(\vec{u} = \vec{S_1S_3} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}\). Da die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse ist, kann der Einheitsvektor der \(x_2\)-Achse als zweiter Spannvektor gewählt werden: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Parameterform: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

a) \(S_1(2|0|0)\) und \(S_3(0|0|-5)\). Es gibt keinen Spurpunkt \(S_2\), da die Gleichung \(0 \cdot x_2 = 10\) für kein \(x_2\) erfüllt ist (die Ebene ist parallel zur \(x_2\)-Achse). b) Mögliche Parameterform: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Was haben alle Punkte gemeinsam, die auf einer Ebene liegen, deren Gleichung nur eine Variable enthält? - Stell dir vor, du stehst im Koordinatenursprung. Wo befinden sich alle Punkte mit der Eigenschaft \(x_2 = 5\)? - Ein Richtungsvektor gibt an, in welche Richtungen man sich innerhalb der Ebene bewegen kann, ohne sie zu verlassen. Welche Koordinaten dürfen sich dabei ändern? - Wie viele Richtungsvektoren brauchst du für eine Ebene und wie müssen diese zueinander liegen?

1. Lagebeschreibung: Die Gleichung \(x_2 = 5\) besagt, dass alle Punkte der Ebene den festen \(x_2\)-Wert 5 haben. Dies bedeutet, dass die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene im Abstand von 5 Einheiten verläuft. 2. Begründung der Spannvektoren: Ein Vektor ist ein Spannvektor der Ebene, wenn die Verschiebung eines Punktes der Ebene um diesen Vektor wieder zu einem Punkt in der Ebene führt. Da in \(F\) nur die Bedingung \(x_2 = 5\) gilt, darf sich bei einer Verschiebung die \(x_2\)-Koordinate nicht ändern (\(\Delta x_2 = 0\)). Bei von null verschiedenen Vektoren der Form \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}\) ist die zweite Komponente null, sodass die Bedingung \(x_2 = 5\) erhalten bleibt. 3. Parameterform: Ein Stützpunkt muss die Bedingung \(x_2 = 5\) erfüllen, z. B. \(P(0|5|0)\). Als linear unabhängige Spannvektoren eignen sich die Einheitsvektoren der Achsen, zu denen die Ebene parallel ist: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Gleichung ist \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Die Ebene \(F\) verläuft parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene im Abstand von 5 Einheiten. b) Da die Ebene durch \(x_2 = \text{konstant}\) definiert ist, darf eine Verschiebung innerhalb der Ebene die \(x_2\)-Koordinate nicht verändern. Dies ist bei von null verschiedenen Vektoren mit einer 0 an der zweiten Stelle der Fall. c) Mögliche Parameterform: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Wie kannst du aus drei Punkten zwei Richtungsvektoren bilden, die in der Ebene liegen? - Welche Eigenschaft muss ein Vektor haben, der senkrecht auf einer Ebene steht? - Erinnerst du dich, wie man einen Vektor findet, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Wenn du die linke Seite der Koordinatengleichung hast, wie findest du dann die Zahl auf der rechten Seite heraus?

1. Aufstellen der Spannvektoren: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors mittels Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -12 \\ -9 \end{pmatrix}\). Ein kollinearer Normalenvektor ist \(\vec{n}' = \begin{pmatrix} 2 \\ 12 \\ 9 \end{pmatrix}\). 3. Ansatz der Koordinatengleichung: \(2x_1 + 12x_2 + 9x_3 = d\). 4. Einsetzen des Punktes \(P(2|3|0)\) zur Bestimmung von \(d\): \(2 \cdot 2 + 12 \cdot 3 + 9 \cdot 0 = 40\). 5. Aufstellen der fertigen Gleichung: \(2x_1 + 12x_2 + 9x_3 = 40\).

\(2x_1 + 12x_2 + 9x_3 = 40\)

- Überlege zuerst, wie du aus den beiden Richtungsvektoren der Parameterform einen Vektor berechnest, der senkrecht zur Ebene steht. - Wie nutzt du den Stützpunkt der Ebene, um die Konstante in der Koordinatengleichung zu bestimmen? - Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der genau auf der \(x_1\)-Achse liegt? - Wie viele Koordinaten müssen Null sein, um einen Schnittpunkt mit einer Achse zu berechnen?

1. Bestimmung des Normalenvektors durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Koordinatenform \(-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 = d\) und Einsetzen des Stützpunktes \((2|2|1)\): \(-2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 9\). Die Gleichung lautet \(-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 9\). 3. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: Für \(S_1\): \(x_2=0, x_3=0 \implies -2x_1 = 9 \implies x_1 = -4{,}5\). Für \(S_2\): \(x_1=0, x_3=0 \implies 4x_2 = 9 \implies x_2 = 2{,}25\). Für \(S_3\): \(x_1=0, x_2=0 \implies 5x_3 = 9 \implies x_3 = 1{,}8\). Ergebnis: \(S_1(-4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|2{,}25|0)\) und \(S_3(0|0|1{,}8)\).

Koordinatengleichung: \(-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 9\); Spurpunkte: \(S_1(-4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|2{,}25|0)\), \(S_3(0|0|1{,}8)\).

- Um den Schnittpunkt zu finden, kannst du die Terme der Geradengleichungen komponentenweise gleichsetzen. - Für die Parameterform einer Ebene, die von zwei sich schneidenden Geraden aufgespannt wird, kannst du den Schnittpunkt als Stützpunkt wählen. - Der Normalenvektor der Ebene steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Geraden. - Verwende den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene, um die Koordinatenform aufzustellen.

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(3 + t = 2 + 2s\) II: \(4 + 2t = 2 + s\) III: \(1 - t = 2 + s\) Aus III folgt \(t = -1 - s\). Einsetzen in I ergibt \(3 - 1 - s = 2 + 2s \Rightarrow 2 - s = 2 + 2s \Rightarrow s = 0\). Daraus folgt \(t = -1\). Die Probe in II (\(4 - 2 = 2 + 0\)) bestätigt die Lösung. Der Schnittpunkt ist \(S(2|2|2)\). 2. Die Ebene wird durch den Schnittpunkt und die Richtungsvektoren der Geraden aufgespannt: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 3. Der Normalenvektor \(\vec{n}\) ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Mit dem vereinfachten Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) lautet der Ansatz: \(x_1 - x_2 - x_3 = d\). Einsetzen von \(S(2|2|2)\) liefert \(2 - 2 - 2 = -2\), also \(x_1 - x_2 - x_3 = -2\) bzw. \(-x_1 + x_2 + x_3 = 2\).

1. Schnittpunkt \(S(2|2|2)\). 2. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (andere Stützpunkte möglich). 3. \(E: x_1 - x_2 - x_3 = -2\) oder \(-x_1 + x_2 + x_3 = 2\).

- Überlege, wie du aus den Informationen der Geraden und dem zusätzlichen Punkt zwei Richtungsvektoren für die Ebene gewinnen kannst. - Wie stellst du sicher, dass die beiden Richtungsvektoren nicht in die gleiche Richtung zeigen? - Erinnere dich an das Kreuzprodukt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie nutzt du den Normalenvektor, um die Koeffizienten der Koordinatengleichung zu bestimmen? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Ebene ist, deren Gleichung du bereits kennst?

1. Als Stützvektor der Ebene wird der Stützvektor der Geraden \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) gewählt. Die Spannvektoren ergeben sich aus dem Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Differenzvektor zwischen \(Q\) und dem Stützpunkt der Geraden: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ -1-2 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Der Normalenvektor \(\vec{n}\) wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes in den Ansatz \(3x_1 - 2x_2 - 3x_3 = d\) ergibt \(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 - 3 \cdot 0 = -1\). Die Koordinatengleichung ist \(E: 3x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -1\). 3. Punktprobe für \(P(4|-1|5)\): \(3 \cdot 4 - 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 5 = 12 + 2 - 15 = -1\). Da die Gleichung erfüllt ist (\(-1 = -1\)), liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\).

1. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) 2. \(E: 3x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -1\) 3. Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\).

- Wie kannst du aus drei Punkten einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren für eine Ebene bilden? - Ein Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren der Ebene. Welches Rechenverfahren hilft dir hierbei? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatengleichung zusammen? - Wenn ein Punkt in einer Ebene liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung der Ebene erfüllen.

1. Aufstellen der Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\) und den Spannvektoren \(\vec{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung der Koordinatengleichung: Der Normalenvektor \(\vec{n}\) wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit dem Ansatz \(2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = d\) und Einsetzen von \(A(4|1|1)\) folgt \(2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 13\). Die Koordinatengleichung lautet \(2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 13\). 3. Punktprobe für \(D(1|2|z)\): Einsetzen der Koordinaten von \(D\) in die Gleichung ergibt \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot z = 13\). Dies führt zu \(8 + 2z = 13\), also \(2z = 5\) und somit \(z = 2{,}5\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) b) \(E: 2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 13\) c) \(z = 2{,}5\)

- Wann sind drei Punkte kollinear (liegen auf einer Geraden)? Überprüfe die Richtungsvektoren zwischen ihnen. - Für die Koordinatenform benötigst du einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - Was zeichnet einen Punkt aus, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? Welche Koordinaten müssen dann Null sein?

1. Überprüfung auf Kollinearität: Die Richtungsvektoren \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) werden auf lineare Abhängigkeit geprüft. Da es kein \(k\) gibt mit \(k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (da \(2k = -1 \implies k = -0{,}5\), aber \(-1 \cdot (-0{,}5) \neq 2\)), sind die Vektoren linear unabhängig. Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. 2. Koordinatenform bestimmen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) ist der Normalenvektor \( \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Ansatz \(-2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d\) mit Punkt \(P(1|2|3)\) liefert \(-2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 11\). Die Gleichung ist \(-2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 11\). 3. Berechnung der Spurpunkte: - \(S_1\) (\(x_1\)-Achse, \(x_2=0, x_3=0\)): \(-2x_1 = 11 \implies x_1 = -5{,}5 \implies S_1(-5{,}5|0|0)\). - \(S_2\) (\(x_2\)-Achse, \(x_1=0, x_3=0\)): \(2x_2 = 11 \implies x_2 = 5{,}5 \implies S_2(0|5{,}5|0)\). - \(S_3\) (\(x_3\)-Achse, \(x_1=0, x_2=0\)): \(3x_3 = 11 \implies x_3 = \frac{11}{3} \implies S_3(0|0|\frac{11}{3})\).

a) Die Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) sind keine Vielfachen voneinander, daher sind die Punkte nicht kollinear. b) \(E: -2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 11\) c) \(S_1(-5{,}5|0|0)\), \(S_2(0|5{,}5|0)\), \(S_3(0|0|\frac{11}{3})\)

- Was passiert mit der Position im Raum, wenn du einen Parameter festhältst und den anderen variierst? - Erinnere dich an die Definition von Vektoren als „Schritte“ vom Stützpunkt aus. Welche Fläche deckst du ab, wenn beide Schritte begrenzt sind? - Überlege dir, wie viele Eckpunkte entstehen, wenn du die Grenzwerte der Ungleichungen kombinierst. - Wie sieht die Parameterform einer Geraden aus? Kannst du die Bedingung \( r = s \) so einsetzen, dass nur noch ein Parameter übrig bleibt?

1. Die Bedingung \( r = 2 \) fixiert den Anteil des ersten Richtungsvektors, während \( s \) in einem abgeschlossenen Intervall variiert. Dies beschreibt eine Strecke in der Ebene. 2. Da beide Parameter unabhängig voneinander in einem Intervall von 0 bis 1 variieren, handelt es sich um ein Parallelogramm. 3. Die kombinierten Bedingungen \( r \ge 0, s \ge 0 \) und \( r + s \le 1 \) definieren ein Dreieck. 4. Die Gleichsetzung der Parameter \( r = s \) führt zu \( \vec{x} = \vec{a} + r \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \). Dies beschreibt eine Gerade, die durch den Stützpunkt der Ebene verläuft. Eckpunkte für Teilaufgabe 2: - Für \( r=0, s=0 \): \( P_1(3 | 0 | -2) \) - Für \( r=1, s=0 \): \( P_2(3+2 | 0+1 | -2+2) = P_2(5 | 1 | 0) \) - Für \( r=0, s=1 \): \( P_3(3-1 | 0+2 | -2+0) = P_3(2 | 2 | -2) \) - Für \( r=1, s=1 \): \( P_4(3+2-1 | 0+1+2 | -2+2+0) = P_4(4 | 3 | 0) \)

1. Strecke 2. Parallelogramm; Eckpunkte: \( (3 | 0 | -2), (5 | 1 | 0), (2 | 2 | -2), (4 | 3 | 0) \) 3. Dreieck 4. Gerade

- Schau dir an, welche Parameter in den Bedingungen fest (Gleichung) und welche variabel (Ungleichung) sind. - Ein Intervall für einen Parameter bei gleichzeitig freiem anderen Parameter bedeutet meist eine Ausdehnung ins Unendliche in eine Richtung. - Überlege, welche Werte die Parameter an den genannten Eckpunkten der Figuren annehmen müssen. - Die Summe der Parameter \( \lambda + \mu \) begrenzt oft die „Diagonale“ der Fläche, was typisch für Dreiecke ist.

- (A) Ein Parallelogramm wird durch unabhängige Intervalle für beide Parameter aufgespannt. Die Eckpunkte zeigen, dass \( \lambda \) von 0 bis 2 und \( \mu \) von 0 bis 3 laufen muss. Dies entspricht Bedingung 2. - (B) Eine Gerade parallel zu \( \vec{v} \) erfordert, dass der Koeffizient von \( \vec{u} \) konstant ist (\( \lambda = c \)). Damit sie nicht durch den Stützpunkt (\( \lambda = 0, \mu = 0 \)) geht, muss \( \lambda \neq 0 \) sein. Bedingung 3 (\( \lambda = 1 \)) erfüllt dies. - (C) Die Standardform eines Dreiecks in der Parameterdarstellung mit den Richtungsvektoren als Seiten ist durch \( \lambda \ge 0, \mu \ge 0 \) und \( \lambda + \mu \le 1 \) gegeben. Dies entspricht Bedingung 1. - (D) Wenn ein Parameter (z. B. \( \lambda \)) auf ein Intervall beschränkt ist, während der andere (\( \mu \)) beliebig groß oder klein werden kann, entsteht ein unendlicher Streifen zwischen den Geraden \( \vec{x} = \vec{a} + 0 \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} \) und \( \vec{x} = \vec{a} + 1 \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} \). Dies entspricht Bedingung 4.

(A) – 2; (B) – 3; (C) – 1; (D) – 4

- Wie kannst du mathematisch prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Überlege, wie man einen Vektor durch zwei andere Vektoren ausdrücken kann. - Wenn ein Punkt einer Ebene und ihre gesamte Ausrichtung (Spannraum) mit einer anderen Ebene übereinstimmen, was folgt daraus? - Erinnere dich an das Lösen von linearen Gleichungssystemen.

1. Überprüfung des Stützvektors: Der Ansatz \( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) führt auf das Gleichungssystem \( 1+r=2 \), \( 2+s=3 \) und \( r-s=0 \). Die Lösungen \( r=1 \) und \( s=1 \) erfüllen alle Gleichungen, somit liegt der Stützpunkt von \( E_2 \) in \( E_1 \). 2. Überprüfung der Spannvektoren: Der erste Spannvektor von \( E_2 \) lässt sich als \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) darstellen. Der zweite Spannvektor von \( E_2 \) lässt sich als \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) darstellen. Da der Stützpunkt von \( E_2 \) in \( E_1 \) liegt und beide Spannvektoren von \( E_2 \) im Spannraum von \( E_1 \) liegen (und linear unabhängig sind), sind die Ebenen identisch.

Die Ebenen sind identisch, da der Stützvektor von \( E_2 \) in \( E_1 \) liegt (für \( r=1, s=1 \)) und die Spannvektoren von \( E_2 \) Linearkombinationen der Spannvektoren von \( E_1 \) sind.

- Wie kannst du aus der Parameterform einen Normalenvektor berechnen? - Worüber geben die Koeffizienten in einer Koordinatengleichung Auskunft? - Wann sind zwei Ebenen parallel und wann sind sie sogar identisch? - Welche Rolle spielt der Stützpunkt der einen Ebene bei der Überprüfung der Identität?

1. Bestimmung eines Normalenvektors von \(E_1\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Vergleich mit dem Normalenvektor von \(E_2\), der aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung abgelesen wird: \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_1 = \vec{n}_2\), sind die Ebenen parallel oder identisch. 3. Überprüfung, ob der Stützpunkt \(P(4|1|-2)\) von \(E_1\) in der Ebene \(E_2\) liegt: \(-3 \cdot 4 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = -12 - 1 - 4 = -17\). 4. Da der Punkt die Gleichung von \(E_2\) erfüllt und die Normalenvektoren kollinear sind, sind \(E_1\) und \(E_2\) identisch.

Die Ebenen sind identisch, da der Normalenvektor von \(E_1\) (berechnet als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)) mit dem Normalenvektor von \(E_2\) übereinstimmt und der Stützpunkt von \(E_1\) die Koordinatengleichung von \(E_2\) erfüllt (\(-17 = -17\)).

- Wie prüfst du, ob zwei Vektoren parallel zueinander sind? - Welche Vektoren benötigst du, um eine Ebene aufzuspannen? - Wie hilft dir das Kreuzprodukt (Vektorprodukt), um von der Parameterform zur Koordinatenform zu gelangen? - Welche Eigenschaften haben Punkte, die auf einer der Koordinatenachsen liegen?

1. Überprüfung der Kollinearität: Die Richtungsvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (aus \(3 = -k\) folgt \(k = -3\), aber \(-1 \neq 3 \cdot (-3)\)). Die Punkte liegen somit nicht auf einer Geraden. 2. Parameterform: Mit \(A\) als Stützpunkt und den Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) als Spannvektoren ergibt sich \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatenform: Ein Normalenvektor wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\). Einsetzen eines Punktes (z. B. \(A\)) in den Ansatz \(7x_1 + 5x_2 + 8x_3 = d\) liefert \(7 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 8 \cdot 3 = 43\). Die Gleichung lautet \(7x_1 + 5x_2 + 8x_3 = 43\). 4. Schnittpunkt mit der \(x_1\)-Achse: Setze \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\) in die Koordinatengleichung ein: \(7x_1 = 43 \Rightarrow x_1 = \frac{43}{7}\). Der Schnittpunkt ist \(S\left(\frac{43}{7} \big| 0 \big| 0\right)\).

a) Da \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) linear unabhängig sind, liegen die Punkte nicht auf einer Geraden. b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) (Beispiel) c) \(E: 7x_1 + 5x_2 + 8x_3 = 43\) d) \(S\left(\frac{43}{7} \big| 0 \big| 0\right)\)

- Was passiert bei einer Punktprobe, wenn ein Punkt nicht auf einer Geraden liegt? - Wie kannst du aus einem Punkt und einer Geraden zwei Spannvektoren für eine Ebene gewinnen? - Wie testest du am einfachsten, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wenn du die Koordinatengleichung bereits hast?

1. Punktprobe für \(P\) auf \(h\): Das Gleichungssystem \(1 = 4 + t\), \(2 = 0 + t\), \(1 = -2 + 3t\) führt auf \(t = -3\) und \(t = 2\). Da dies ein Widerspruch ist, liegt \(P\) nicht auf \(h\). 2. Aufstellen der Ebene: Als Stützvektor wird der Aufpunkt der Geraden \(A(4|0|-2)\) gewählt. Spannvektoren sind der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und der Vektor \(\vec{AP} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{AP}\) ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -3 \\ -12 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(-3x_1 - 12x_2 + 5x_3 = d\). Mit \(A\) folgt \(d = -12 - 0 - 10 = -22\). Umgeformt ergibt sich \(3x_1 + 12x_2 - 5x_3 = 22\). 4. Punktprobe für \(R(2|3|4)\): Einsetzen in die Koordinatengleichung: \(3 \cdot 2 + 12 \cdot 3 - 5 \cdot 4 = 6 + 36 - 20 = 22\). Die Aussage \(22 = 22\) ist wahr, also liegt \(R\) in der Ebene \(F\).

a) Die Punktprobe führt zu einem Widerspruch (\(t = -3\) und \(t = 2\)), daher \(P \notin h\). b) \(F: 3x_1 + 12x_2 - 5x_3 = 22\) c) Ja, \(R\) liegt in \(F\), da die Koordinatengleichung erfüllt ist (\(22 = 22\)).

- Wie kannst du einen Punktvektor mit der Parameterform einer Ebene gleichsetzen? - Ein Punkt liegt in der Ebene, wenn es eine Kombination der Parameter gibt, die alle drei Zeilen der Vektorgleichung erfüllt. - Welches Verfahren kennst du, um Systeme mit mehreren Unbekannten zu lösen? - Reicht es aus, wenn die Werte für die Parameter nur zwei der drei Zeilen erfüllen?

1. Für Punkt \(P(5|0|1)\) wird das Lineare Gleichungssystem (LGS) aufgestellt: (I) \(1 + 2r + s = 5 \implies 2r + s = 4\) (II) \(2 - r = 0 \implies r = 2\) (III) \(r - 2s = 1\) Aus (II) folgt \(r = 2\). Eingesetzt in (III): \(2 - 2s = 1 \implies 2s = 1 \implies s = 0{,}5\). Überprüfung mit (I): \(2 \cdot 2 + 0{,}5 = 4{,}5 \neq 4\). Das System hat keine Lösung, \(P\) liegt nicht in \(E\). 2. Für Punkt \(Q(4|1|-1)\) wird das LGS aufgestellt: (I) \(1 + 2r + s = 4 \implies 2r + s = 3\) (II) \(2 - r = 1 \implies r = 1\) (III) \(r - 2s = -1\) Aus (II) folgt \(r = 1\). Eingesetzt in (III): \(1 - 2s = -1 \implies 2s = 2 \implies s = 1\). Überprüfung mit (I): \(2 \cdot 1 + 1 = 3\). Das System ist konsistent mit \(r = 1\) und \(s = 1\). Somit liegt \(Q\) in \(E\).

a) Der Punkt \(P(5|0|1)\) liegt nicht in der Ebene \(E\). b) Der Punkt \(Q(4|1|-1)\) liegt in der Ebene \(E\) (für \(r = 1\) und \(s = 1\)).

- Welche Bedingung muss die \( x_3 \)-Koordinate eines Punktes erfüllen, damit er in der \( x_1x_2 \)-Ebene liegt? - Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht, welche besondere Bedeutung hat dann ihr Richtungsvektor für die Ebene? - Wie kannst du eine Koordinatengleichung aufstellen, wenn du einen Normalenvektor und einen Punkt der Ebene kennst? - Überlege dir zuerst, wo genau die Ebene die Gerade trifft, bevor du die Ebenengleichung aufstellst.

1. Den Schnittpunkt \( S \) (Spurpunkt) der Geraden \( g \) mit der \( x_1x_2 \)-Ebene berechnen, indem die \( x_3 \)-Koordinate gleich null gesetzt wird: \( -1 + 5t = 0 \Rightarrow t = 0{,}2 \). 2. Einsetzen von \( t = 0{,}2 \) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \( S(4{,}4 | -0{,}2 | 0) \). 3. Da die Gerade \( g \) die Ebene \( E \) orthogonal schneidet, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \). 4. Den Ansatz für die Koordinatengleichung \( 2x_1 - x_2 + 5x_3 = d \) mit dem Punkt \( S \) füllen, um \( d \) zu bestimmen: \( 2 \cdot 4{,}4 - (-0{,}2) + 5 \cdot 0 = 8{,}8 + 0{,}2 = 9 \). 5. Die fertige Koordinatengleichung aufstellen: \( 2x_1 - x_2 + 5x_3 = 9 \).

\( E: 2x_1 - x_2 + 5x_3 = 9 \)

- Überlege dir, wie du aus zwei Richtungsvektoren einen Vektor konstruieren kannst, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie lässt sich ein Punkt auf einer Geraden allgemein beschreiben, um ihn in eine Ebenengleichung einzusetzen? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform.

1. Aufstellen der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Parameterform: \( E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -26 \\ -39 \\ -78 \end{pmatrix}\). Kürzen durch \(-13\) ergibt \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung: \( 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = d \). Einsetzen von \( A \): \( 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 6 \cdot 5 = 35 \). Also \( E: 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 35 \). 4. Abstand zum Ursprung mit der Hesseschen Normalform: \( d(O, E) = \frac{|-35|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{35}{\sqrt{49}} = \frac{35}{7} = 5 \). 5. Schnittpunktbestimmung durch Einsetzen der Geradengleichung in \( E \): \( 2 \cdot (1 + \sigma) + 3 \cdot (2 - 2\sigma) + 6 \cdot (3 + 4\sigma) = 35 \). Vereinfachen: \( 2 + 2\sigma + 6 - 6\sigma + 18 + 24\sigma = 35 \Rightarrow 20\sigma + 26 = 35 \Rightarrow 20\sigma = 9 \Rightarrow \sigma = 0{,}45 \). 6. Einsetzen von \(\sigma = 0{,}45\) in \( g \): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}45 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}45 \\ 1{,}1 \\ 4{,}8 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \( S(1{,}45 | 1{,}1 | 4{,}8) \).

a) \( E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \); \( E: 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 35 \) b) Der Abstand beträgt \( 5 \) Längeneinheiten. c) \( S(1{,}45 | 1{,}1 | 4{,}8) \)

- Wie hängen die Richtungsvektoren einer Ebene mit ihrem Normalenvektor zusammen? - Welche geometrische Bedingung muss für die Seitenlängen und die Winkel in einem Quadrat gelten? - Wo genau liegt die Spitze einer geraden Pyramide in Relation zur Grundfläche? - Wie kannst du die Höhe mithilfe eines Normalenvektors darstellen?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{BC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Einsetzen eines Punktes (z. B. \(A\)) in \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) ergibt \(d = 9\). Koordinatengleichung: \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 9\). 3. Nachweis der Eigenschaften: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 = 0\) zeigt die Orthogonalität. 4. Bestimmung von \(D\): \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 5. Mittelpunkt der Grundfläche: \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right) = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 3 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\), also \(M(4{,}5|3|1{,}5)\). 6. Berechnung der Spitze \(S\): Der Normaleneinheitsvektor ist \(\vec{n}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit \(h=9\) folgt \(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OM} \pm 9 \cdot \vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 3 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Mögliche Spitzen sind \(S_1(10{,}5 | 0 | 7{,}5)\) oder \(S_2(-1{,}5 | 6 | -4{,}5)\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 9\) b) \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 3\) und \(\vec{AB} \perp \vec{BC}\); \(D(3|3|3)\) c) \(S_1(10{,}5 | 0 | 7{,}5)\) oder \(S_2(-1{,}5 | 6 | -4{,}5)\)

- Wie bildet man aus drei Punkten zwei Spannvektoren für eine Ebene? - Erinnerst du dich, wie man mit dem Kreuzprodukt einen Vektor findet, der senkrecht auf einer Ebene steht? - Was muss für die Längen der Verbindungsvektoren in einem gleichseitigen Dreieck gelten? - Wie berechnet man den Mittelwert von Koordinaten, um den Schwerpunkt zu finden?

1. Richtungsvektoren der Ebene: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(r, s \in \mathbb{R}\). 3. Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Koordinatenform mit Punkt \(A\): \(1 \cdot (x_1-2) + 1 \cdot (x_2-2) + 1 \cdot (x_3-4) = 0 \Rightarrow x_1+x_2+x_3=8\). 5. Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(|\vec{AC}| = \sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}\), \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2}\). Damit ist das Dreieck \(ABC\) gleichseitig. 6. Schwerpunkt: \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\begin{pmatrix} \frac{8}{3} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}\), also \(G\left(\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\right)\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), Koordinatenform: \(x_1+x_2+x_3=8\) b) Das Dreieck \(ABC\) ist gleichseitig mit Seitenlänge \(2\sqrt{2}\). Der Schwerpunkt ist \(G\left(\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\right)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Wie kannst du aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebenengleichung aufstellen? - Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene, wenn man zwei Spannvektoren hat? - Was verraten dir die Normalenvektoren zweier Ebenen über ihre gegenseitige Lage?

1. Spurpunkte von \(E\): Setze jeweils zwei Variablen null. \(x_1 = 12 \implies S_1(12|0|0)\); \(-2x_2 = 12 \implies S_2(0|-6|0)\); \(2x_3 = 12 \implies S_3(0|0|6)\). 2. Parameterform von \(E\): Mit \(S_3\) als Stützpunkt und den Vektoren zu den anderen Spurpunkten als Spannvektoren: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung von \(F\): Normalenvektor: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes \((1|1|1)\) in \(x_1 - 2x_2 + 2x_3 = d\) ergibt \(1 - 2 + 2 = 1\), also \(F: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 1\). 4. Lagebeziehung: Die Normalenvektoren von \(E\) und \(F\) sind identisch (\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)). Da die Konstanten der Koordinatengleichungen (\(12 \neq 1\)) verschieden sind, sind die Ebenen echt parallel zueinander.

a) Spurpunkte: \(S_1(12|0|0)\), \(S_2(0|-6|0)\), \(S_3(0|0|6)\) b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix}\) (Beispiel) c) Koordinatengleichung \(F: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 1\); die Ebenen \(E\) und \(F\) sind echt parallel.

- Welche Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden erlauben die Definition einer eindeutigen Ebene? - Schau dir die Stützvektoren der beiden Geraden genau an. - Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Wie gelangt man von einem Normalenvektor und einem Punkt zur Koordinatenform \(ax + by + cz = d\)?

1. Bestimmung der gegenseitigen Lage für a): Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander und somit linear unabhängig. Da beide Geraden denselben Stützpunkt \(S(1|2|3)\) besitzen, schneiden sie sich in diesem Punkt. Schneidende Geraden legen stets eine eindeutige Ebene fest. 2. Berechnung des Normalenvektors für b): Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatenform: Mit dem Normalenvektor folgt der Ansatz \(-x + 2y + 5z = d\). 4. Bestimmung von \(d\): Einsetzen des Schnittpunkts \(S(1|2|3)\) ergibt \(-1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = -1 + 4 + 15 = 18\). Die Gleichung lautet \(-x + 2y + 5z = 18\).

a) Die Geraden legen eine Ebene fest, da sie sich im Punkt \(S(1|2|3)\) schneiden und ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind. b) Eine Koordinatengleichung der Ebene ist \(E: -x + 2y + 5z = 18\) (oder äquivalent \(x - 2y - 5z = -18\)).

- Erinnere dich an den Aufbau der Parameterform: Du benötigst einen Aufpunkt und zwei Vektoren, die die Fläche aufspannen. - Der Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren der Parameterform. - Um die Koordinatenform zu erhalten, kannst du entweder das Skalarprodukt in der Normalenform ausmultiplizieren oder den Normalenvektor direkt als Koeffizienten vor \(x, y\) und \(z\) verwenden. - Die Höhe an einer bestimmten Stelle entspricht dem \(z\)-Wert des Punktes in der Ebene bei gegebenen \(x\)- und \(y\)-Werten.

1. Parameterform mit Stützvektor \(\vec{p_1}\) und Richtungsvektoren \(\vec{u} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{P_1P_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \\ -2 \end{pmatrix}\): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n}' = \begin{pmatrix} -200 \\ 200 \\ 10\,000 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix}\). 3. Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix} = 0\). 4. Koordinatenform: \(-x + y + 50z = d\). Einsetzen von \(P_1(0|0|80)\) ergibt \(50 \cdot 80 = 4000\). Also \(E: -x + y + 50z = 4000\). 5. Berechnung der Höhe für \(x=50, y=50\): \(-50 + 50 + 50z = 4000 \Rightarrow 50z = 4000 \Rightarrow z = 80\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \\ -2 \end{pmatrix}\) (Beispiel) b) \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix}\); Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix} = 0\) c) \(E: -x + y + 50z = 4000\) d) Die Höhe beträgt \(z = 80\,\text{cm}\).

- Welche Punkte der Spurgeraden liegen direkt auf den Koordinatenachsen? - Erinnere dich an die Achsenabschnittsform einer Ebene: \(\frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1\). Was bedeuten \(a, b\) und \(c\)? - Wie kannst du eine Gleichung mit Brüchen in eine Form ohne Brüche umwandeln? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Ebene ist, wenn du seine Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzt?

1. Bestimmung der Spurpunkte aus den Geradengleichungen: - \(S_1(5|0|0)\) ist der gemeinsame Stützpunkt beider Geraden auf der \(x_1\)-Achse. - Für \(g_{12}\) ergibt \(r=1\) den Punkt auf der \(x_2\)-Achse: \(S_2(0|2|0)\). - Für \(g_{13}\) ergibt \(s=1\) den Punkt auf der \(x_3\)-Achse: \(S_3(0|0|10)\). 2. Aufstellen der Koordinatengleichung mit der Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{10} = 1\). Multiplikation mit dem Hauptnenner \(10\) führt zu: \(2x_1 + 5x_2 + x_3 = 10\). 3. Punktprobe für \(Q(1|1|3)\): \(2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 3 = 2 + 5 + 3 = 10\). Die Gleichung ist erfüllt (\(10 = 10\)), somit liegt \(Q\) in der Ebene \(E\).

a) \(S_1(5|0|0), S_2(0|2|0), S_3(0|0|10)\) b) \(2x_1 + 5x_2 + x_3 = 10\) c) Ja, der Punkt \(Q\) liegt in der Ebene \(E\).

- Untersuche die Eigenschaften der beiden Richtungsvektoren (Länge und Winkel). - Welchen Einfluss haben die Grenzen der Parameter auf die Ausdehnung der Figur? - Wo liegt das Zentrum, wenn die Parameter von einem negativen zu einem betragsgleichen positiven Wert laufen? - Wie groß ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten möglichen Wert eines Parameters?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\): Das Skalarprodukt ist \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0\), sie sind also orthogonal. 2. Vergleich der Längen: \(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}\). Da die Vektoren orthogonal und gleich lang sind und die Parameter \(r, s\) symmetrische Intervalle gleicher Länge \([ -1; 1 ]\) durchlaufen, ist die Figur ein Quadrat. 3. Der Mittelpunkt ergibt sich für das Zentrum der Parameterbereiche, also \(r = 0\) und \(s = 0\). Somit ist der Mittelpunkt der Stützvektor \(Z(0|0|5)\). 4. Die Seitenlänge des Quadrats entspricht dem Zweifachen der Vektorlänge (da der Parameter von \(-1\) bis \(1\) geht, also eine Spanne von \(2\) hat): \(a = 2 \cdot \sqrt{5}\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A = a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\,\text{FE}\).

a) Die Richtungsvektoren sind orthogonal (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)) und gleich lang (\(\sqrt{5}\)). Da beide Parameterintervalle die Länge \(2\) besitzen, sind alle Seiten gleich lang. b) Der Mittelpunkt ist \(Z(0|0|5)\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(20\,\text{FE}\).

- Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen. - Wenn Geraden parallel sind, wie kannst du feststellen, ob sie identisch oder echt parallel sind? - Welche Vektoren kannst du als Spannvektoren für die Ebene nutzen, wenn die Richtungsvektoren der Geraden parallel sind? - Kannst du einen Vektor finden, der von einer Geraden zur anderen führt?

1. Untersuchung der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = -2 \cdot \vec{v}_g\). Die Richtungsvektoren sind kollinear, die Geraden also parallel. 2. Punktprobe: Liegt \(P(1|0|3)\) auf \(h\)? \(1 = 3 - 4k \Rightarrow k = 0{,}5\) \(0 = 2 + 2k \Rightarrow k = -1\). Widerspruch. Die Geraden sind echt parallel. 3. Da die Geraden echt parallel sind, spannen sie eine Ebene auf. Die Ebene wird durch den Richtungsvektor \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) und den Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-0 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) aufgespannt. 4. Normalenvektor: Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-2) - 4 \cdot 2 \\ 4 \cdot 2 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\). Vereinfachter Normalenvektor (Division durch 6): \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Koordinatenform \(F: -x_1 + 2x_2 + x_3 = d\). Einsetzen von \(P(1|0|3)\): \(-1 + 2 \cdot 0 + 3 = 2\). Gleichung: \(F: -x_1 + 2x_2 + x_3 = 2\).

a) Die Geraden sind echt parallel. b) Eine Koordinatengleichung der Ebene ist \(F: -x_1 + 2x_2 + x_3 = 2\) (oder ein Vielfaches davon, z. B. \(x_1 - 2x_2 - x_3 = -2\)).

- Was bedeutet ein Spatprodukt von Null für die geometrische Anordnung von vier Punkten? - Wie berechnet man das Volumen eines Spats und wie hängt dieses mit dem Volumen einer Pyramide zusammen? - Denke an die Definition der linearen Abhängigkeit von drei Vektoren im Raum. - Stelle zuerst die Vektoren auf, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren von \(P\) aus: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Spatprodukts: Zuerst wird das Kreuzprodukt von \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) berechnet. Es ist \( \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Dann das Skalarprodukt mit \(\vec{PS}\): \(\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = -18 - 9 - 5 = -32\). 3. Interpretation: Da das Spatprodukt ungleich Null ist (\(-32 \neq 0\)), sind die Vektoren linear unabhängig. Die Punkte liegen somit nicht in einer Ebene (sie sind nicht koplanar). Das Volumen des aufgespannten Spats ist der Betrag des Spatprodukts, also \(32\,\text{VE}\). 4. Berechnung des Pyramidenvolumens: Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide (Tetraeder) beträgt ein Sechstel des Spatvolumens: \(V = \frac{1}{6} \cdot |-32| = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\,\text{VE}\).

Die Punkte liegen nicht in einer Ebene, da das Spatprodukt den Wert \(-32\) hat und somit ungleich Null ist. Das Volumen der dreiseitigen Pyramide beträgt \(V = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\,\text{VE}\). Das Spatprodukt gibt das orientierte Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds an; ist es Null, verschwindet das Volumen und die Punkte sind koplanar.

- Wie können die Richtungsvektoren der Geraden für die Ebenengleichung genutzt werden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Richtungsvektoren und dem Normalenvektor. - In welcher Form lässt sich ein Punkt am einfachsten auf seine Lage in der Ebene prüfen? - Kannst du die Koordinatenform direkt aus der Normalenform herleiten?

1. Die Parameterform ergibt sich direkt aus dem Schnittpunkt als Stützvektor und den Richtungsvektoren der Geraden: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors mittels Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \\ -(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \\ 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Bestimmung der Koordinatenform: \(1 \cdot x_1 - 2 \cdot x_2 - 2 \cdot x_3 = d\). Einsetzen von \(A(1|0|2)\) ergibt \(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3\). Somit \(E: x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -3\). 5. Punktprobe für \(T(5|1|3)\): \(5 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 5 - 2 - 6 = -3\). Da \(-3 = -3\) gilt, liegt der Punkt \(T\) in der Ebene \(E\).

Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -3\) Der Punkt \(T(5|1|3)\) liegt in der Ebene \(E\).

- Prüfe zuerst, ob die Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief sind. - Welche dieser Lagebeziehungen führen zu einer eindeutigen Ebene und welche nicht? - Wenn zwei Geraden identisch sind, verhalten sie sich wie eine einzige Gerade im Raum. - Um eine Ebene zu finden, die eine Gerade enthält, muss der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen.

1. Vergleich der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 \cdot \vec{v}_g\). Die Richtungsvektoren sind kollinear, die Geraden also parallel oder identisch. 2. Punktprobe: Prüfen, ob der Stützpunkt \(P_h(3|1|1)\) auf \(g\) liegt: \(3 = 1 + 2r \Rightarrow r=1\); \(1 = 2 - 1 \cdot 1 = 1\); \(1 = 0 + 1 \cdot 1 = 1\). Da \(r=1\) alle Gleichungen erfüllt, sind die Geraden identisch. 3. Da identische Geraden nur eine einzige Punktmenge im Raum beschreiben, gibt es unendlich viele Ebenen (ein Ebenenbüschel), die diese Gerade enthalten. 4. Für eine mögliche Ebene wird ein Normalenvektor \(\vec{n}\) benötigt, der orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist. Wähle z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), da \(1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 = 0\). 5. Ansatz \(x + 2y = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((1|2|0)\) liefert \(1 + 2 \cdot 2 = 5\). Eine mögliche Gleichung ist \(x + 2y = 5\).

a) Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch, da ihre Richtungsvektoren kollinear sind und der Stützpunkt von \(h\) auf \(g\) liegt. Eine einzelne Gerade definiert keine eindeutige Ebene. b) Eine mögliche Ebene ist \(E: x + 2y = 5\) (individuelle Lösungen möglich).

- Bestimme zuerst alle benötigten Punkte mithilfe der Vektorrechnung. Achte dabei auf das angegebene Teilverhältnis. - Eine Koordinatengleichung kann auch Variablen „verlieren“, wenn der Normalenvektor Nullkomponenten hat. - Für den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene setzt man die allgemeine Geradenform in die Ebenengleichung ein. - Überprüfe am Ende, ob der berechnete Parameter \(r\) im Bereich der Strecke liegt.

1. Berechnung der Punktkoordinaten: \(K = \frac{1}{2}(A+S) = (1|1|4)\) \(L = \frac{1}{2}(B+S) = (3|1|4)\) \(M = S + \frac{1}{4}(C-S) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \\ -2 \end{pmatrix} = (2{,}5|2{,}5|6)\) 2. Bestimmung der Koordinatengleichung von \(E\): Spannvektoren: \(\vec{KL} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{KM} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 2 \end{pmatrix}\) Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{KL}\) und \(\vec{KM}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) Ebenengleichung: \(-4x_2 + 3x_3 = d\). Einsetzen von \(K(1|1|4)\) ergibt \(-4 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 8\). Somit \(E: -4x_2 + 3x_3 = 8\). 3. Schnittpunkt \(N\) mit der Kante \(\overline{DS}\): Geradengleichung \(g_{DS}: \vec{x} = \vec{OD} + r \cdot \vec{DS} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}\) mit \(0 \le r \le 1\). Einsetzen in \(E\): \(-4 \cdot (4 - 2r) + 3 \cdot (8r) = 8 \Rightarrow -16 + 8r + 24r = 8 \Rightarrow 32r = 24 \Rightarrow r = 0{,}75\). Ortsvektor von \(N\): \(\vec{ON} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + 0{,}75 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(N(1{,}5|2{,}5|6)\).

a) \(E: -4x_2 + 3x_3 = 8\) b) \(N(1{,}5|2{,}5|6)\)

- Ein Normalenvektor, der eine Null-Komponente hat, deutet auf eine parallele Lage zu einer Achse hin. - Vergleiche die Abstände zwischen den Eckpunkten, um die Art des Dreiecks zu bestimmen. - Zerlege den Tetraeder gedanklich in eine Grundfläche in einer Koordinatenebene und eine dazu senkrechte Höhe. - Die \(x_3\)-Achse besteht aus allen Punkten, deren \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten Null sind.

1. Richtungsvektoren von \(H\): \(\vec{LM} = (-4|4|0)\) und \(\vec{LN} = (-2|2|4)\). Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{LM}\) und \(\vec{LN}\) ist \(\vec{n} = (16|16|0)\), vereinfacht \((1|1|0)\). Die Gleichung lautet \(x_1 + x_2 = d\). Mit \(L(4|0|0)\) folgt \(d=4\). Also \(H: x_1 + x_2 = 4\). 2. Seitenlängen berechnen: \(|\vec{LN}| = \sqrt{(2-4)^2 + (2-0)^2 + 4^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24}\). \(|\vec{MN}| = \sqrt{(2-0)^2 + (2-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24}\). Da \(|\vec{LN}| = |\vec{MN}|\), ist das Dreieck gleichschenklig. 3. Das Volumen des Tetraeders \(OLMN\) lässt sich über die Spatprodukt-Formel berechnen: \(V = \frac{1}{6} \cdot |\vec{w} \cdot \overrightarrow{ON}|\), wobei \(\vec{w}\) das Kreuzprodukt von \(\overrightarrow{OL}\) und \(\overrightarrow{OM}\) ist. Mit \(\vec{w} = (0|0|16)\) ergibt sich \(V = \frac{1}{6} \cdot |0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 16 \cdot 4| = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\). Alternativ: Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene ist das Dreieck \(OLM\) mit \(G = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\) und Höhe \(h = z_N = 4\). \(V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4 = \frac{32}{3}\). 4. Die Grundfläche des Tetraeders \(OLMP\) ist das Dreieck \(OLM\) in der \(x_1x_2\)-Ebene mit \(G=8\). Das Volumen ist \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot h = 16\). Daraus folgt \(h = \frac{16 \cdot 3}{8} = 6\). Da \(P\) auf der \(x_3\)-Achse liegt, ist \(P(0|0|6)\) oder \(P(0|0|-6)\).

a) \(H: x_1 + x_2 = 4\) b) \(|\vec{LN}| = |\vec{MN}| = \sqrt{24}\) c) \(V = \frac{32}{3}\) d) \(P(0|0|6)\) oder \(P(0|0|-6)\)

- Wie sieht der Richtungsvektor einer Geraden aus, auf der alle Punkte die Form \((a|a|a)\) haben? - Wann sind eine Gerade und eine Ebene parallel zueinander? - Was muss für die rechte Seite einer Ebenengleichung gelten, damit sie nicht durch den Ursprung verläuft? - Wie viele Lösungen hat eine lineare Gleichung wie \(3a = d\) für eine Unbekannte \(a\)?

1. Die Gerade \(g\) lässt sich durch die Gleichung \(\vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) beschreiben. Eine Ebene \(n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = c\) enthält keinen Punkt von \(g\), wenn ihr Normalenvektor orthogonal zum Richtungsvektor von \(g\) ist (\(n_1 + n_2 + n_3 = 0\)) und die Ebene nicht den Ursprung enthält (\(c \neq 0\)). 2. Beispiel für \(H\): \(x_1 - x_2 = 1\). Einsetzen von \(x_1=x_2=x_3=a\) ergibt \(a - a = 1 \Rightarrow 0 = 1\) (Widerspruch), somit existiert kein Schnittpunkt. 3. Für die Ebene \(E_d\) führt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) auf die Gleichung \(a + a + a = d\). 4. Zusammenfassen ergibt \(3a = d\), was für jedes \(d\) die eindeutige Lösung \(a = \frac{d}{3}\) besitzt. 5. Der gesuchte Punkt ist somit \(P\left(\frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3}\right)\).

a) Mögliche Ebene: \(H: x_1 - x_2 = 1\). Begründung: Der Ansatz \(x_1=x_2=x_3=a\) führt auf den Widerspruch \(0=1\). b) Der Punkt ist \(P\left(\frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3}\right)\). Da die Gleichung \(3a = d\) für jedes \(d\) genau eine Lösung für \(a\) hat, gibt es genau einen solchen Punkt.

- Spurpunkte hängen hier teilweise von einem Parameter ab. Behandle diesen wie eine Zahl. - Wann sind alle Seiten eines Dreiecks gleich lang? Stelle eine Gleichung für \(k\) auf. - Für den Flächeninhalt kannst du das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren nutzen. - Erinnere dich an die Abstandsformel Punkt-Ebene (Hessesche Normalenform).

1. Spurpunkte durch Einsetzen von Nullen: \(S_1(1|0|0)\), \(S_2(0|k|0)\), \(S_3(0|0|k)\). 2. Das Dreieck ist gleichseitig, wenn alle Seitenlängen gleich sind: \(|\vec{S_1S_2}| = \sqrt{1^2 + k^2}\), \(|\vec{S_1S_3}| = \sqrt{1^2 + k^2}\), \(|\vec{S_2S_3}| = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2}\). Bedingung: \(\sqrt{1+k^2} = \sqrt{2k^2} \Rightarrow 1+k^2 = 2k^2 \Rightarrow k^2 = 1\). Für \(k > 0\) folgt \(k = 1\). 3. Für \(k = 3\) sind die Spurpunkte \(S_1(1|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\), \(S_3(0|0|3)\). Flächeninhalt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{S_1S_2}\) und \(\vec{S_1S_3}\) ist \(\begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \left| \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \sqrt{81 + 9 + 9} = \frac{1}{2} \sqrt{99} = \frac{3}{2}\sqrt{11} \approx 4{,}97\,\text{FE}\). Abstand des Ursprungs \(O(0|0|0)\) von \(E_3: 3x_1 + x_2 + x_3 - 3 = 0\): Abstandsformel für Punkt und Ebene: \(d = \frac{|3 \cdot 0 + 0 + 0 - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{11} \approx 0{,}90\,\text{LE}\).

1. \(S_1(1|0|0)\), \(S_2(0|k|0)\), \(S_3(0|0|k)\) 2. \(k = 1\) 3. Flächeninhalt: \(\frac{3}{2}\sqrt{11} \approx 4{,}97\,\text{FE}\); Abstand: \(\frac{3}{\sqrt{11}} \approx 0{,}90\,\text{LE}\)

- Wann genau bilden ein Punkt und eine Gerade keine Ebene? Überlege, wie sie zueinander liegen könnten. - Für die Parameterform kannst du den Richtungsvektor der Geraden direkt übernehmen. Welchen zweiten Vektor benötigst du? - Wie hängen der Normalenvektor und das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren zusammen? - Was ist der Unterschied zwischen der Normalenform und der Parameterform?

1. Bedingung für keine eindeutige Ebene: Eine Ebene ist nur dann eindeutig definiert, wenn der Punkt nicht auf der Geraden liegt. Punktprobe \(S_k \in g\): \(4 = 2\lambda \implies \lambda = 2\). Einsetzen in die dritte Komponente: \(4 = 2 + 2\) (wahr). Einsetzen in die zweite Komponente: \(k = 4 - 2 \cdot 2 = 0\). Für \(k = 0\) liegt der Punkt auf der Geraden. 2. Parameterform für \(k=2\): Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{OS_2} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Normalenvektor berechnen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Vereinfacht (durch \(-2\)) ergibt sich \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Normalengleichung: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (entspricht \(x_1 - 2x_3 = -4\)).

a) Für \(k = 0\) wird keine eindeutige Ebene definiert, da der Punkt \(S_0\) auf der Geraden \(g\) liegt. b) Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\); Normalengleichung: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Was bedeutet „gleicher Abstand vom Ursprung“ für die Koordinaten der Schnittpunkte? Berücksichtige dabei alle Richtungen der Achsen. - Nutze die Achsenabschnittsform oder eine allgemeine Koordinatenform als Startpunkt. - Wie viele verschiedene Vorzeichenkombinationen sind theoretisch für die Koeffizienten der Ebene denkbar? - Prüfe nach dem Einsetzen des Punktes, welche Werte für den Abstand \(d\) tatsächlich positiv sind.

1. Aufstellen des allgemeinen Ansatzes: Die Achsenabschnitte der Ebene liegen bei \((\pm d|0|0)\), \((0|\pm d|0)\) und \((0|0|\pm d)\). Dies führt zur allgemeinen Koordinatengleichung \(\pm x \pm y \pm z = d\) mit \(d > 0\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(2|2|2)\) zur Bestimmung von \(d\): Es muss gelten \(\pm 2 \pm 2 \pm 2 = d\). Da \(d\) positiv sein muss, werden alle Kombinationen der Vorzeichen geprüft, die eine positive Summe ergeben. 3. Fallunterscheidung der Vorzeichenkombinationen: - Drei positive Vorzeichen: \(2+2+2 = 6 \Rightarrow d=6\). Gleichung: \(x+y+z=6\). - Zwei positive, ein negatives Vorzeichen: \(2+2-2 = 2 \Rightarrow d=2\). Dies ergibt drei mögliche Gleichungen durch Permutation der Vorzeichen: \(x+y-z=2\), \(x-y+z=2\) und \(-x+y+z=2\). - Andere Kombinationen (z. B. \(2-2-2 = -2\)) führen auf ein negatives \(d\), was im Widerspruch zur Voraussetzung \(d > 0\) steht. 4. Zusammenfassung: Es ergeben sich insgesamt vier mögliche Ebenengleichungen.

Die möglichen Koordinatengleichungen sind: \(E_1: x+y+z=6\) \(E_2: x+y-z=2\) \(E_3: x-y+z=2\) \(E_4: -x+y+z=2\)

- Was passiert mit der allgemeinen Gleichung, wenn du einen Punkt einsetzt? - Du hast vier Unbekannte (\(a, b, c, d\)), aber nur drei Gleichungen. Warum ist das bei einer Ebene kein Problem? - Versuche, alle Variablen durch eine einzige (z. B. \(d\)) auszudrücken. - Du darfst hier für \(d\) einen von null verschiedenen Wert wählen, um konkrete Werte für \(a, b, c\) zu erhalten; eine gemeinsame Skalierung aller Koeffizienten beschreibt dieselbe Ebene.

Durch Einsetzen der Punkte \(A, B, C\) in den Ansatz \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) entsteht folgendes System: (1) \(1a + 2b + 0c = d\) (2) \(0a + 4b + 1c = d\) (3) \(2a + 1b + 3c = d\) Aus (1) folgt \(a = d - 2b\) und aus (2) folgt \(c = d - 4b\). Diese Ausdrücke werden in (3) eingesetzt: \(2 \cdot (d - 2b) + b + 3 \cdot (d - 4b) = d\) \(2d - 4b + b + 3d - 12b = d\) \(5d - 15b = d \Rightarrow 4d = 15b \Rightarrow b = \frac{4}{15}d\). Wählt man \(d = 15\), ergibt sich \(b = 4\). Daraus folgt \(a = 15 - 2 \cdot 4 = 7\) und \(c = 15 - 4 \cdot 4 = -1\). Die Koeffizienten sind somit \(a = 7\), \(b = 4\), \(c = -1\) für \(d = 15\).

Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet \(7x_1 + 4x_2 - x_3 = 15\).

- Wie hängen die Richtungsvektoren zusammen, wenn Geraden parallel sind? - Vergiss nicht zu prüfen, ob ein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegt, um echte Parallelität zu bestätigen. - Bei parallelen Geraden benötigst du für die Ebene einen Richtungsvektor und einen Vektor, der die beiden Geraden verbindet. - Der Normalenvektor muss senkrecht auf der gesamten Ebene stehen.

1. Die Richtungsvektoren sind kollinear, da \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Eine Punktprobe mit \(P(0|1|0)\) in \(g_1\) führt zu \(1 + 2r = 0 \Rightarrow r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Komponente: \(2 - 2 \cdot (-0{,}5) = 3 \neq 1\). Da der Punkt nicht auf \(g_1\) liegt, sind die Geraden echt parallel. 2. Als Spannvektoren dienen ein Richtungsvektor (z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)) und der Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 1-2 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\). \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\). 3. Normalenvektor über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Ansatz: \(-5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\). Punktprobe mit \((0|1|0)\) ergibt \(d = -1\). Gleichung: \(-5x_1 - x_2 + 2x_3 = -1\) oder \(5x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\).

1. Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander; Punktprobe negativ. 2. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) (Beispiel). 3. \(E: 5x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\).

- Wie hängen die Richtungsvektoren zusammen, wenn zwei Geraden parallel sind? - Wie kannst du ausschließen, dass zwei parallele Geraden eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Wenn du zwei parallele Geraden hast, wie findest du einen Vektor, der „zwischen“ den Geraden spannt? - Nutze den Normalenvektor, um direkt zur Koordinatenform zu gelangen.

1. Die Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\). Somit sind die Geraden parallel. Die Punktprobe mit dem Stützpunkt \(A_g(0|1|2)\) in \(h\) führt auf das System \(0 = 3 - 4t \Rightarrow t = 0{,}75\), \(1 = 0 + 2t \Rightarrow t = 0{,}5\) und \(2 = 4 - 2t \Rightarrow t = 1\). Da die \(t\)-Werte widersprüchlich sind, liegt der Punkt nicht auf \(h\), die Geraden sind also echt parallel. 2. Für die Ebene \(E\) wird der Stützvektor von \(g\) und dessen Richtungsvektor \(\vec{v}_g\) übernommen. Ein zweiter Spannvektor \(\vec{u}\) wird durch die Verbindung der Stützpunkte gebildet: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ 0-1 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt von \(\vec{v}_g\) und \(\vec{u}\) ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatengleichung lautet \(-x_1 - x_2 + x_3 = d\). Einsetzen von \(A_g(0|1|2)\) ergibt \(d = -0 - 1 + 2 = 1\). Somit ist \(E: -x_1 - x_2 + x_3 = 1\) (oder äquivalent \(x_1 + x_2 - x_3 = -1\)).

1. Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander (\(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\)), aber der Stützpunkt von \(g\) liegt nicht auf \(h\). 2. \(E: -x_1 - x_2 + x_3 = 1\) oder \(E: x_1 + x_2 - x_3 = -1\).

- Wie hängen der Normalenvektor und die Ausrichtung einer Ebene zusammen? - Was muss für die Normalenvektoren gelten, damit zwei Ebenen parallel sind? - Wie wandelt man eine Parameterform in eine Koordinatenform um? - Wenn zwei Ebenen parallel sind und einen gemeinsamen Punkt besitzen, was bedeutet das für ihre Lage zueinander?

1. Bestimmung der Normalenvektoren: Für \(E_1\) ist das Kreuzprodukt der Spannvektoren \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} \). Für \(E_2\) ist das Kreuzprodukt der Spannvektoren \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \). Da \( \vec{n}_1 = -1 \cdot \vec{n}_2 \), sind die Normalenvektoren kollinear und die Ebenen somit parallel oder identisch. 2. Aufstellen der Koordinatengleichung für \( E_1 \): Mit \( \vec{n}_1 \) und dem Stützpunkt \( (0|1|2) \) folgt \( 3x_1 - 6x_2 - x_3 = 3 \cdot 0 - 6 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = -8 \). 3. Punktprobe: Einsetzen des Stützpunktes \( (0|0|8) \) von \( E_2 \) in die Gleichung von \( E_1 \): \( 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 8 = -8 \). Da die Gleichung erfüllt ist (\( -8 = -8 \)), liegt der Punkt in der Ebene. Daraus folgt, dass die Ebenen identisch sind.

Ja, die beiden Parameterdarstellungen beschreiben dieselbe Ebene. Die Normalenvektoren sind kollinear (z. B. \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} \)) und der Stützpunkt von \( E_2 \) erfüllt die Koordinatengleichung von \( E_1 \) (\( 3x_1 - 6x_2 - x_3 = -8 \)).

- Zuerst solltest du die Ebene \(E\) in eine vergleichbare Form bringen, zum Beispiel die Normalenform oder Koordinatenform. - Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei aufspannenden Vektoren steht? - Wenn zwei Ebenengleichungen dasselbe Vielfache voneinander sind, was bedeutet das für die Ebenen? - Reicht es aus, nur die Richtungen der Ebenen zu vergleichen?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren für Ebene \(E\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors von \(E\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Normalenvektors von \(F\) aus der Gleichung: \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\). 4. Überprüfung auf Kollinearität: \(\vec{n}_E = 2 \cdot \vec{n}_F\), also sind die Ebenen parallel oder identisch. 5. Punktprobe mit \(A(1|0|2)\) in \(F\): \(2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2{,}5 \cdot 2 = 2 + 0 + 5 = 7\). 6. Da die Normalenvektoren parallel sind und der Punkt \(A\) in \(F\) liegt, sind \(E\) und \(F\) identisch.

Ja, die Ebenen \(E\) und \(F\) sind identisch. Der Normalenvektor von \(E\) ist \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\), was ein Vielfaches des Normalenvektors von \(F\) (\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\)) ist. Zudem liegt der Punkt \(A\) auf der Ebene \(F\).

- Wie findet man einen zweiten Richtungsvektor für eine Ebene, wenn zwei parallele Geraden gegeben sind? - Woran erkennt man an den Normalenvektoren, ob zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen? - Wenn eine Ebene zu zwei anderen Ebenen orthogonal sein soll, welche Richtung muss ihr Normalenvektor dann haben?

1. Ebene \( E_1 \): Richtungsvektoren \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -12 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung: \( x_1 + x_2 + 2x_3 = 10 \). 2. Ebene \( E_2 \): Richtungsvektoren sind der Richtungsvektor der Geraden \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und der Differenzvektor der Aufpunkte \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Normalenvektor: Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Gleichung: \( x_1 + x_2 - x_3 = 1 \). 3. Orthogonalitätsnachweis: Skalarprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 2\cdot(-1) = 1 + 1 - 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Normalenvektoren und somit die Ebenen senkrecht aufeinander. 4. Ebene \( E_3 \): Der Normalenvektor \(\vec{n}_3\) muss senkrecht auf \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) stehen. Das Kreuzprodukt von \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) ist \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Gleichung für \( E_3 \) mit Punkt \( P(5|0|0) \): \( 1 \cdot (x_1 - 5) - 1 \cdot (x_2 - 0) + 0 \cdot (x_3 - 0) = 0 \), also \( x_1 - x_2 = 5 \).

a) \( E_1: x_1 + x_2 + 2x_3 = 10 \); \( E_2: x_1 + x_2 - x_3 = 1 \) b) Nachweis über \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\) c) \( E_3: x_1 - x_2 = 5 \) bzw. in Normalenform \( \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \)

- Nutze die Achsenabschnitte der Ebene, um die Koordinatengleichung schnell aufzustellen. - Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen. - Für die Lage innerhalb eines Dreiecks kannst du die Parameterform der Ebene nutzen. Welche Bedingungen müssen für die Parameter \(r\) und \(s\) gelten? - Erinnere dich: \(r > 0\), \(s > 0\) und \(r + s < 1\).

1. Aufstellen der Koordinatenform (Achsenabschnittsform): \(\frac{x_1}{8} + \frac{x_2}{8} + \frac{x_3}{4} = 1\). Multiplikation mit 8 ergibt \(x_1 + x_2 + 2x_3 = 8\). 2. Punktprobe für \(S(2|2|2)\): \(2 + 2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8\). Die Bedingung \(8 = 8\) ist erfüllt, \(S\) liegt in der Ebene \(E\). 3. Lage im Dreieck mittels Parameterform: \(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OP} + r \cdot \vec{PQ} + s \cdot \vec{PR}\). \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Aus der dritten Zeile: \(4s = 2 \Rightarrow s = 0{,}5\). Aus der zweiten Zeile: \(8r = 2 \Rightarrow r = 0{,}25\). Überprüfung der ersten Zeile: \(8 - 8 \cdot 0{,}25 - 8 \cdot 0{,}5 = 8 - 2 - 4 = 2\). Die Werte sind konsistent. 4. Da \(r > 0\), \(s > 0\) und \(r + s = 0{,}75 < 1\), liegt der Punkt \(S\) im Inneren des Dreiecks \(PQR\).

a) \(E: x_1 + x_2 + 2x_3 = 8\) b) Ja, \(S\) liegt in \(E\), da \(2 + 2 + 2 \cdot 2 = 8\). c) Ja, der Punkt \(S\) liegt im Inneren des Dreiecks, da die Parameter \(r = 0{,}25\) und \(s = 0{,}5\) die Bedingungen \(r, s > 0\) und \(r + s < 1\) erfüllen.