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- Prüfe, ob derselbe Faktor jede Komponente von \(\vec{u}\) in die entsprechende Komponente von \(\vec{v}\) überführt. - Was bedeutet es für zwei Vektoren, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist?

1. Vergleiche die Komponenten der beiden Vektoren. 2. Es gilt \(\vec{v}=-2\vec{u}\). 3. Daher ist einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen und die beiden Vektoren sind linear abhängig.

Linear abhängig, denn \(\vec{v}=-2\vec{u}\).

- Welche bekannte Vektorregel zeigt die Diagonale eines Parallelogramms? - Wie kannst du diese Beziehung so umstellen, dass auf einer Seite der Nullvektor steht? - Was zeigt eine solche nichttriviale Nullkombination über lineare Abhängigkeit?

1. In einem Parallelogramm ist die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt die Summe der beiden anliegenden Seitenvektoren. 2. Daher gilt \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\). 3. Umgestellt erhält man \(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{0}\) mit nicht ausschließlich null gesetzten Koeffizienten. 4. Somit sind die drei Vektoren linear abhängig.

\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\); daher sind die drei Vektoren linear abhängig.

- Kannst du einen der Vektoren als Summe der mit Faktoren multiplizierten anderen Vektoren schreiben? - Stelle für die Komponenten der Vektoren ein Gleichungssystem auf. - Wie viele Gleichungen benötigst du, um die Unbekannten eindeutig zu bestimmen, und wofür dient die verbleibende Gleichung? - Was sagt es über die Abhängigkeit aus, wenn das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für die Koeffizienten besitzt?

1. Ansatz zur Prüfung der linearen Abhängigkeit: \(r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(2r + s = 5\) (II) \(-r + 4s = 2\) (III) \(3r - 2s = 4\) 3. Aus Gleichung (I) folgt \(s = 5 - 2r\). Einsetzen in (II): \(-r + 4(5 - 2r) = 2 \Rightarrow -r + 20 - 8r = 2 \Rightarrow -9r = -18 \Rightarrow r = 2\). 4. Bestimmung von \(s\): \(s = 5 - 2(2) = 1\). 5. Überprüfung mit Gleichung (III): \(3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4\). Die Aussage ist wahr. 6. Da ein passendes Zahlenpaar gefunden wurde, sind die Vektoren linear abhängig. Die Linearkombination lautet \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\).

Die Vektoren sind linear abhängig. Es gilt: \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\).

- Überlege dir, was die Definition von linearer Unabhängigkeit ist: Wann besitzt die Gleichung \(k_1 \vec{v}_1 + \dots + k_n \vec{v}_n = \vec{0}\) nur die Lösung \(k_i = 0\)? - Bei zwei Vektoren kannst du oft direkt sehen, ob einer ein Vielfaches des anderen ist. - Was bedeutet es für die Abhängigkeit, wenn ein Vektor in der Menge der Nullvektor ist? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Koeffizienten zu bestimmen?

1. Für Teilaufgabe a) wird der Ansatz \(k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} + k_3 \vec{c} = \vec{0}\) gewählt. Dies führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(k_1 + k_2 = 0\), (II) \(k_1 + 2k_2 + k_3 = 0\), (III) \(k_1 + 3k_2 = 0\). Aus (I) und (III) folgt durch Subtraktion \(2k_2 = 0\), also \(k_2 = 0\). Damit ergibt sich \(k_1 = 0\) und aus (II) schließlich \(k_3 = 0\). Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear unabhängig. 2. In Teilaufgabe b) wird geprüft, ob ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Es gilt \(\vec{v} = -2 \cdot \vec{u}\). Da eine nichttriviale Linearkombination existiert, sind die Vektoren linear abhängig. 3. In Teilaufgabe c) enthält das System den Nullvektor \(\vec{z} = \vec{0}\). Jedes Vektorsystem, das den Nullvektor enthält, ist linear abhängig, da \(0 \cdot \vec{x} + 0 \cdot \vec{y} + 1 \cdot \vec{0} = \vec{0}\) eine nichttriviale Linearkombination darstellt.

a) linear unabhängig b) linear abhängig c) linear abhängig

- Was bedeutet es geometrisch, wenn drei Vektoren in einer Ebene liegen? - Überlege dir, wie eine Linearkombination aussehen muss, damit Vektoren linear abhängig sind. - Kannst du ein Gleichungssystem für die Koeffizienten aufstellen, um die Unabhängigkeit zu prüfen? - Wie viele Richtungen braucht man, um jeden Punkt im dreidimensionalen Raum zu erreichen?

1. Aussage a) ist wahr. Drei Vektoren im Raum sind genau dann linear abhängig, wenn sie bei gemeinsamem Anfangspunkt in einer gemeinsamen Ebene durch den Ursprung liegen, da sich dann mindestens einer als Linearkombination der anderen darstellen lässt. 2. Aussage b) ist wahr. Eine Menge mit dem Nullvektor ist immer linear abhängig, da die Gleichung \(k \cdot \vec{0} = \vec{0}\) für \(k \neq 0\) eine nicht-triviale Linearkombination darstellt, die den Nullvektor ergibt. 3. Aussage c) ist wahr. Angenommen, \(k_1 \cdot (\vec{u} + \vec{v}) + k_2 \cdot \vec{v} = \vec{0}\). Dies lässt sich umformen zu \(k_1 \cdot \vec{u} + (k_1 + k_2) \cdot \vec{v} = \vec{0}\). Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig sind, muss \(k_1 = 0\) und \(k_1 + k_2 = 0\) gelten, woraus \(k_1 = k_2 = 0\) folgt. 4. Aussage d) ist falsch. Im dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3\) können maximal drei Vektoren linear unabhängig sein, da die Dimension des Raumes 3 ist. Jede Menge mit mehr als drei Vektoren ist dort zwangsläufig linear abhängig.

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch

- Welche Gleichung mit dem Nullvektor charakterisiert lineare Unabhängigkeit? - Welche drei Komponentengleichungen erhältst du aus diesem Ansatz? - Kannst du zwei Variablen zunächst durch die dritte ausdrücken und anschließend zurück einsetzen?

1. Setze \(r\vec{u}+s\vec{v}+t\vec{w}=\vec{0}\) an. Daraus folgen \(r+2t=0\), \(2r+s=0\) und \(-s+3t=0\). 2. Aus der ersten Gleichung ist \(r=-2t\), aus der dritten \(s=3t\). 3. In die zweite Gleichung eingesetzt ergibt sich \(2(-2t)+3t=0\), also \(-t=0\) und damit \(t=0\). 4. Folglich sind auch \(r=0\) und \(s=0\). Es gibt nur die triviale Nullkombination; die drei Vektoren sind linear unabhängig.

Die Vektoren sind linear unabhängig, da \(r\vec{u}+s\vec{v}+t\vec{w}=\vec{0}\) nur die Lösung \(r=s=t=0\) besitzt.

- Wann liegen Punkte auf einer Geraden, die durch den Punkt \((0 \mid 0 \mid 0)\) verläuft? - Wie hängen die Ortsvektoren solcher Punkte mathematisch zusammen? - Was bedeutet es für die einzelnen Koordinaten, wenn ein Vektor ein Vielfaches eines anderen ist? - Wie ist eine Geradengleichung aufgebaut, wenn sie durch den Ursprung geht?

1. Damit Punkte auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden liegen, müssen ihre Ortsvektoren kollinear sein, also skalare Vielfache voneinander (bzw. eines gemeinsamen Richtungsvektors) darstellen. Wir prüfen die Verhältnisse der Koordinaten: Für \(A\): \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für \(B\): \(\vec{OB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für \(C\): \(\vec{OC} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\). Hier gilt \(\frac{6}{3}=2\) und \(\frac{-4}{-2}=2\), aber \(\frac{10}{4}=2{,}5\). Somit ist \(C\) kein Vielfaches. Für \(D\): \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = -0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ergebnis: Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden. 2. Als Richtungsvektor kann jeder der Ortsvektoren der Punkte \(A\), \(B\) oder \(D\) (oder ein Vielfaches davon) verwendet werden. Mit dem Stützvektor \(\vec{0}\) ergibt sich zum Beispiel: \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\).

1. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dieser Geraden. 2. Eine mögliche Gleichung ist \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du von \(A\) zu den beiden anderen Punkten? - Welche Eigenschaft müssen diese beiden Richtungsvektoren haben, damit wirklich eine Ebene entsteht? - Wie kannst du Kollinearität der beiden Richtungsvektoren mit einem gemeinsamen Faktor prüfen?

1. Mit \(A\) als Stützpunkt erhält man die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC_k}=\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}\). Damit lautet die Darstellung \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}\). 2. Die drei Punkte bestimmen genau dann keine Ebene, wenn die beiden Richtungsvektoren kollinear sind. Aus \(\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}=q\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) folgt aus den ersten beiden Koordinaten \(q=2\). 3. Dann muss \(k-1=4\) gelten, also \(k=5\). 4. Für \(k=5\) sind die beiden Richtungsvektoren kollinear; damit liegen \(A\), \(B\) und \(C_5\) auf einer Geraden.

a) \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}\) b) \(k=5\) c) Die drei Punkte sind kollinear.

- Untersuche bei zwei Vektoren, ob einer ein Vielfaches des anderen ist. - Stelle bei drei Vektoren eine Linearkombination auf, die den Nullvektor ergibt. - Überlege dir, wie viele Lösungen ein Gleichungssystem haben muss, damit Unabhängigkeit vorliegt. - Kannst du einen der Vektoren durch die anderen ausdrücken?

1. Teilaufgabe a): Prüfung auf Kollinearität durch den Ansatz \(\vec{a} = k \cdot \vec{b}\). Aus \(4 = k \cdot (-6)\) folgt \(k = -\frac{2}{3}\). Überprüfung der zweiten Komponente: \(-6 = -\frac{2}{3} \cdot 9 = -6\). Da ein gemeinsamer Faktor existiert, sind die Vektoren linear abhängig. 2. Teilaufgabe b): Ansatz der Vektorgleichung \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\). Dies führt zu dem Gleichungssystem: (I) \(r + 2s + t = 0\), (II) \(2r + t = 0\), (III) \(3r + s + t = 0\). Aus (II) folgt \(t = -2r\). Einsetzen in (III) ergibt \(3r + s - 2r = 0\), also \(s = -r\). Einsetzen beider Ergebnisse in (I) liefert \(r + 2(-r) + (-2r) = 0\), woraus \(-3r = 0\) und somit \(r = 0\) folgt. Daraus ergeben sich auch \(s = 0\) und \(t = 0\). Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear unabhängig.

a) Die Vektoren sind linear abhängig, da \(\vec{a} = -\frac{2}{3} \cdot \vec{b}\). b) Die Vektoren sind linear unabhängig, da die Gleichung \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\) nur die triviale Lösung \(r = s = t = 0\) besitzt.

- Prüfe zuerst, welche Beziehung zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) besteht. - Wann genügt es, den dritten Vektor als Linearkombination der ersten beiden darzustellen, um lineare Abhängigkeit zu zeigen? - Welche Komponentengleichungen entstehen aus einem solchen Linearkombinationsansatz?

1. Die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind nicht proportional und daher linear unabhängig. Deshalb sind \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) genau dann linear abhängig, wenn \(\vec{c}\) als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) dargestellt werden kann. 2. Mit \(r\vec{a}+s\vec{b}=\vec{c}\) erhält man \(2r+s=1\), \(r=k\) und \(3r+2s=1\). 3. Aus \(2r+s=1\) folgt \(s=1-2r\). Eingesetzt in \(3r+2s=1\) ergibt das \(3r+2(1-2r)=1\), also \(r=1\). 4. Damit ist \(s=-1\) und aus \(r=k\) folgt \(k=1\).

Die Vektoren sind für \(k=1\) linear abhängig.

- Wann liegen drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene? - Welchen Wert nimmt das Volumen eines von drei linear abhängigen Vektoren aufgespannten Körpers an? - Wie hängen das Spatprodukt und das Volumen eines Spats zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte vorkommt.

1. Für drei Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) gilt: Sie sind genau dann linear abhängig, wenn das Spatprodukt \(\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}_k)\) den Wert \(0\) hat. 2. Berechnung des Spatprodukts als Determinante: \(\det \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -1 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & k \end{pmatrix} = 2 \cdot (1 \cdot k - 5 \cdot 1) - 4 \cdot ((-1) \cdot k - 5 \cdot 3) + 2 \cdot ((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 3)\). 3. Vereinfachen ergibt \(2k - 10 - 4(-k - 15) - 8 = 2k - 10 + 4k + 60 - 8 = 42 + 6k\). 4. Bedingung für lineare Abhängigkeit: Das Spatprodukt muss den Wert \(0\) annehmen. 5. Lösen der Gleichung \(42 + 6k = 0\): \(6k = -42 \Rightarrow k = -7\).

Die Vektoren sind für \(k = -7\) linear abhängig.

- Was bedeutet es für die Lage der Vektoren im Raum, wenn einer eine Kombination der anderen ist? - Welche geometrische Bedeutung hat das Spatprodukt? - Berechne zuerst den Vektor für die Linearkombination, bevor du das Produkt bildest.

1. Begründung: Da \(\vec{w}\) als Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) dargestellt werden kann, sind die drei Vektoren linear abhängig. Das Spatprodukt gibt das orientierte Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelepipeds an. Da die Vektoren bei gemeinsamem Anfangspunkt in einer Ebene liegen, ist das Volumen \(0\). 2. Berechnung von \(\vec{w}\): \(\vec{w} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Spatprodukts als Determinante: \(\det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot 3 - (-3) \cdot 1) - (-1) \cdot (0 \cdot 3 - (-3) \cdot 2) + 3 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 2)\). 4. Vereinfachen ergibt \(12 + 6 - 18 = 0\). Damit bestätigt die Rechnung die Überlegung aus Teil a).

a) Das Spatprodukt muss \(0\) sein, da die Vektoren linear abhängig sind. b) Es gilt \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0\).

- Wann nennt man zwei Vektoren im Raum linear abhängig? - Überlege dir, wie die Komponenten der Vektoren zusammenhängen müssen, damit sie in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen. - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um den Proportionalitätsfaktor zu bestimmen? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung mehr als eine Lösung haben kann.

1. Bedingung für die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Es muss ein Skalar \(k \in \mathbb{R}\) existieren, sodass \(\vec{v} = k \cdot \vec{u}\) (da \(\vec{u} \neq \vec{0}\)). 2. Aufstellen des Gleichungssystems komponentenweise: I: \(8 = k \cdot a\) II: \(a = k \cdot 2\) III: \(a = k \cdot 2\) 3. Aus Gleichung II (oder III) folgt \(k = \frac{a}{2}\). 4. Einsetzen von \(k\) in Gleichung I: \(8 = \frac{a}{2} \cdot a \implies 16 = a^2\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(a_1 = 4\) und \(a_2 = -4\). 6. Für \(a = 4\) ergibt sich \(k = 2\), für \(a = -4\) ergibt sich \(k = -2\). In beiden Fällen sind die Vektoren kollinear.

Die Vektoren sind für \(a = 4\) und \(a = -4\) linear abhängig.

- Prüfe zunächst, ob die ersten beiden Vektoren bereits linear abhängig sind. - Unter welcher Voraussetzung kannst du lineare Abhängigkeit des Tripels dadurch prüfen, dass du den dritten Vektor als Linearkombination der ersten beiden darstellst? - Welche Komponentengleichungen entstehen aus diesem Ansatz?

1. Die Vektoren \(\vec{x}\) und \(\vec{y}\) sind nicht proportional und daher linear unabhängig. Die drei Vektoren sind somit genau dann linear abhängig, wenn \(\vec{z}\) als Linearkombination von \(\vec{x}\) und \(\vec{y}\) dargestellt werden kann. 2. Der Ansatz \(r\vec{x}+s\vec{y}=\vec{z}\) liefert \(r+2s=8\), \(-2r+s=a\) und \(3r-s=3\). 3. Aus \(3r-s=3\) folgt \(s=3r-3\). Eingesetzt in \(r+2s=8\) ergibt das \(r+2(3r-3)=8\), also \(r=2\). 4. Damit ist \(s=3\). Aus der zweiten Komponente folgt \(a=-2\cdot2+3=-1\).

Die Vektoren sind für \(a=-1\) linear abhängig.

- Untersuche, ob die Gleichung \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\) nur für \(r=s=t=0\) lösbar ist. - Nutze das Additions- oder Einsetzungsverfahren, um das entstandene Gleichungssystem schrittweise zu lösen. - Wenn du versuchst, einen Vektor durch die anderen beiden auszudrücken, was passiert im Gleichungssystem, wenn sie unabhängig sind? - Überlege, ob die Vektoren in einer gemeinsamen Ebene liegen könnten oder den Raum aufspannen.

1. Ansatz mit der homogenen Vektorgleichung: \(r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Erstellen des Gleichungssystems: (I) \(r + 2t = 0\) (II) \(2r + s + t = 0\) (III) \(r - s = 0\) 3. Aus (III) folgt direkt \(r = s\). 4. Ersetzen von \(r\) durch \(s\) in (I) liefert \(s = -2t\). 5. Einsetzen von \(r = -2t\) und \(s = -2t\) in (II): \(2(-2t) + (-2t) + t = 0 \Rightarrow -4t - 2t + t = 0 \Rightarrow -5t = 0\). 6. Daraus folgt zwingend \(t = 0\). Durch Rückeinsetzen ergibt sich \(r = 0\) und \(s = 0\). 7. Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear unabhängig. Eine Darstellung als Linearkombination ist nicht möglich.

Die Vektoren sind linear unabhängig.

- Kannst du in einer Teilaufgabe einen Vektor unmittelbar als Linearkombination der anderen erkennen? - Was würde es für die ursprünglichen drei Vektoren bedeuten, wenn \(\vec{w}\) ein Vielfaches von \(\vec{u}+\vec{v}\) wäre? - Verändert eine Multiplikation mit einem von null verschiedenen Skalar die Möglichkeit einer nichttrivialen Nullkombination?

1. In a) ist der dritte Vektor bereits eine Linearkombination der ersten beiden. Es gilt \(\vec{u}-\vec{v}-(\vec{u}-\vec{v})=\vec{0}\) mit nicht ausschließlich verschwindenden Koeffizienten. Die Vektoren sind linear abhängig. 2. In b) ist der vierte Vektor die Linearkombination \(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\) der ersten drei. Damit ist die Menge linear abhängig. 3. In c) könnten die beiden Vektoren nur dann linear abhängig sein, wenn \(\vec{w}=k(\vec{u}+\vec{v})\) für ein \(k\in\mathbb{R}\) gälte. Dann wäre \(-k\vec{u}-k\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}\) eine nichttriviale Abhängigkeitsrelation der ursprünglich unabhängigen Vektoren. Das ist unmöglich. Also sind die beiden Vektoren linear unabhängig. 4. In d) führt \(a(2\vec{u})+b(3\vec{v})+c(4\vec{w})=\vec{0}\) wegen der Unabhängigkeit von \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) auf \(2a=3b=4c=0\). Somit ist \(a=b=c=0\), und die drei skalierten Vektoren sind linear unabhängig.

a) linear abhängig b) linear abhängig c) linear unabhängig d) linear unabhängig

- Wann lässt sich ein Vektor als Linearkombination anderer Vektoren ausdrücken? - Wie hängen lineare Abhängigkeit und die Lösbarkeit eines homogenen Gleichungssystems zusammen? - Was bedeutet es für die Koeffizienten, wenn eine Darstellung „nicht-trivial“ ist? - Könntest du ein Gleichungssystem aufstellen und untersuchen, für welches \(k\) es mehr als nur die Nulllösung gibt?

1. Ansatz der Vektorgleichung \(r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} = \vec{0}\) führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(2r + s + 5t = 0\) (II) \(r + 2t = 0\) (III) \(3s + kt = 0\) 2. Aus (II) folgt \(r = -2t\). Einsetzen in (I) ergibt \(2(-2t) + s + 5t = 0\), woraus \(s + t = 0\) bzw. \(s = -t\) folgt. 3. Einsetzen von \(s = -t\) in (III) ergibt \(3(-t) + kt = 0\), also \((k - 3)t = 0\). 4. Für eine nicht-triviale Lösung muss \(t \neq 0\) möglich sein, was genau für \(k = 3\) der Fall ist. 5. Wählt man \(t = 1\), so ergeben sich \(r = -2\) und \(s = -1\). Eine mögliche Linearkombination ist \(-2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\).

Die Vektoren sind für \(k = 3\) linear abhängig. Eine mögliche nicht-triviale Linearkombination ist \(-2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\).

- Welche nichttriviale Nullkombination entsteht, wenn einer von zwei Vektoren ein Vielfaches des anderen ist? - Was könntest du zu einer vorhandenen Darstellung von \(\vec{x}\) addieren, falls \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) eine nichttriviale Nullkombination besitzen? - Kann der Nullvektor ein Gegenbeispiel für eine Aussage über drei linear abhängige Vektoren liefern?

1. Aussage a) ist wahr. Bei zwei Vektoren besteht genau dann eine nichttriviale Nullkombination, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. 2. Aussage b) ist wahr. Wären \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) linear abhängig, gäbe es Koeffizienten \(r,s,t\), nicht alle null, mit \(r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}=\vec{0}\). Zu jeder Darstellung \(\vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}\) könnte man dann für jedes \(\lambda\in\mathbb{R}\) die Koeffizienten \(\alpha+\lambda r\), \(\beta+\lambda s\), \(\gamma+\lambda t\) verwenden. Die Darstellung wäre also nicht eindeutig. 3. Aussage c) ist wahr, denn \(\vec{a}-2\vec{b}-(\vec{a}-2\vec{b})=\vec{0}\) ist eine nichttriviale Nullkombination der drei angegebenen Vektoren. 4. Aussage d) ist falsch. Sind \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) linear unabhängig und \(\vec{c}=\vec{0}\), dann ist das Tripel linear abhängig. Trotzdem lässt sich beispielsweise \(\vec{a}\) nicht als Linearkombination von \(\vec{b}\) und \(\vec{0}\) darstellen.

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch

- Wie kann eine ganze Vektormenge bereits durch eine kleinere abhängige Teilmenge linear abhängig werden? - Kannst du die ersten drei Vektoren so wählen, dass alle ihre Linearkombinationen eine gemeinsame Koordinateneigenschaft besitzen? - Wie könntest du anschließend \(\vec{v}_4\) wählen, damit es diese Eigenschaft sicher nicht besitzt?

1. Wähle zum Beispiel \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_4=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). 2. Wegen \(\vec{v}_2=2\vec{v}_1\) sind bereits \(\vec{v}_1\) und \(\vec{v}_2\) linear abhängig. Daher ist auch die gesamte Menge linear abhängig. 3. Jede Linearkombination von \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\) hat als dritte Komponente \(0\). Der Vektor \(\vec{v}_4\) hat dagegen die dritte Komponente \(1\). Somit kann \(\vec{v}_4\) nicht als Linearkombination der ersten drei Vektoren dargestellt werden.

Ein mögliches Beispiel ist \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_4=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Die Menge ist wegen \(\vec{v}_2=2\vec{v}_1\) linear abhängig; \(\vec{v}_4\) ist wegen seiner dritten Komponente keine Linearkombination von \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\).

- Prüfe zuerst, ob einer der Vektoren \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) ein Vielfaches eines anderen ist. - Welche Komponentengleichungen entstehen aus \(r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}=\vec{d}\)? - Wie kannst du eine bereits gefundene nichttriviale Nullkombination unverändert auf eine größere Vektormenge übertragen?

1. Es gilt \(\vec{b}=2\vec{a}\). Damit ist beispielsweise \(2\vec{a}-\vec{b}+0\vec{c}=\vec{0}\) eine nichttriviale Nullkombination. Also sind \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) linear abhängig. 2. Der Ansatz \(r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}=\vec{d}\) führt auf \(2r+4s=0\), \(r+2s=1\) und \(t=0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(r=-2s\). In der zweiten entstünde dann \(0=1\). Daher ist \(\vec{d}\) keine Linearkombination von \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\). 3. Die gesamte Menge enthält mit \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) bereits eine linear abhängige Teilmenge. Dieselbe nichttriviale Nullkombination bleibt auch nach Hinzunahme von \(\vec{c}\) und \(\vec{d}\) gültig, wenn deren Koeffizienten \(0\) gewählt werden. Daher ist die Vierermenge linear abhängig.

1. \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) sind linear abhängig, da \(\vec{b}=2\vec{a}\). 2. \(\vec{d}\) ist keine Linearkombination von \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\); das LGS führt auf den Widerspruch \(0=1\). 3. Die Vierermenge ist linear abhängig, weil sie die bereits linear abhängigen Vektoren \(\vec{a},\vec{b}\) enthält.

- Welche Gleichung musst du lösen, wenn \(\vec{c}\) eine Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sein soll? - Prüfe unabhängig davon, ob zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) selbst schon eine einfache Abhängigkeitsbeziehung besteht. - Reicht eine Aussage über \(\vec{c}\) allein aus, um die Unabhängigkeit aller drei Vektoren zu sichern?

1. Der Ansatz \(r\vec{a}+s\vec{b}=\vec{c}\) führt auf \(6r-2s=1\), \(-3r+s=2\) und \(9r-3s=1\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=3r+2\). In die erste Gleichung eingesetzt ergibt das \(-4=1\). Somit ist \(\vec{c}\) keine Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). 2. Es gilt \(\vec{a}=-3\vec{b}\). Daher sind schon \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) linear abhängig, also ist auch das Tripel \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) linear abhängig. 3. Mats' Behauptung ist falsch. Dass \(\vec{c}\) keine Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist, reicht nicht aus, wenn \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) bereits linear abhängig sind.

1. Das LGS besitzt keine Lösung; es entsteht der Widerspruch \(-4=1\). 2. Die drei Vektoren sind linear abhängig, da \(\vec{a}=-3\vec{b}\). 3. Mats' Aussage ist falsch; zusätzlich müssen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) linear unabhängig sein.

- Wie viele voneinander unabhängige Richtungen kann es in einer Ebene geben? - Welche besonders einfache nichttriviale Nullkombination ist möglich, wenn der Nullvektor zur Menge gehört? - Kannst du die Nullkombination in Aussage 3 so umformen, dass wieder nur \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) auftreten?

1. Wahr. In der Ebene können höchstens zwei voneinander unabhängige Richtungen vorkommen. Drei Vektoren in \(\mathbb{R}^2\) sind daher linear abhängig. 2. Wahr. Enthält die Menge \(\vec{0}\), so erhält man eine nichttriviale Nullkombination, indem man dem Nullvektor einen von null verschiedenen Koeffizienten und allen übrigen Vektoren den Koeffizienten \(0\) gibt. 3. Wahr. Aus \(c_1\vec{u}+c_2(2\vec{u}+\vec{v})=\vec{0}\) folgt \((c_1+2c_2)\vec{u}+c_2\vec{v}=\vec{0}\). Wegen der linearen Unabhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) gilt \(c_2=0\) und danach \(c_1=0\). Es existiert also nur die triviale Lösung.

1. Wahr 2. Wahr 3. Wahr

- Wie kannst du die gegebene Abhängigkeitsgleichung nutzen, um einen Vektor durch die anderen zu ersetzen? - Wenn du eine Gleichung hast, die Null ergibt, kannst du sie (oder ein Vielfaches davon) zu einer bestehenden Gleichung addieren, ohne den Wert zu ändern. - Ziel ist es, den Term mit \(\vec{a}\) zu eliminieren.

1. Aus der Bedingung der linearen Abhängigkeit \(\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\) wird der Vektor \(\vec{a}\) isoliert: \(\vec{a} = 2\vec{b} - \vec{c}\). 2. Dieser Ausdruck für \(\vec{a}\) wird in die ursprüngliche Darstellung von \(\vec{v}\) eingesetzt: \(\vec{v} = 4(2\vec{b} - \vec{c}) + 2\vec{b} - 3\vec{c}\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer ergibt: \(\vec{v} = 8\vec{b} - 4\vec{c} + 2\vec{b} - 3\vec{c}\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\): \(\vec{v} = 10\vec{b} - 7\vec{c}\). 5. Die gesuchte Darstellung mit dem Koeffizienten \(0\) für \(\vec{a}\) lautet somit: \(0\vec{a} + 10\vec{b} - 7\vec{c}\).

Die weitere Darstellung lautet \(\vec{v} = 0\vec{a} + 10\vec{b} - 7\vec{c}\).

- Was bedeutet es für die lineare Abhängigkeit, wenn ein Gleichungssystem mehr Lösungen als nur die Null-Lösung hat? - Wie viele Gleichungen erhältst du, wenn du Vektoren mit zwei Komponenten betrachtest? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Unbekannten und der Anzahl der Gleichungen in Bezug auf freie Parameter.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) aus der Vektorgleichung: \(I: r - 2s + 5t = 0\) \(II: 4r + 3s + t = 0\) 2. Lösen des LGS durch Elimination oder Einsetzen: Aus \(I\) folgt \(r = 2s - 5t\). Einsetzen in \(II\) ergibt \(4(2s - 5t) + 3s + t = 0\), woraus \(11s - 19t = 0\) folgt. Somit ist \(s = \frac{19}{11}t\). 3. Bestimmung von \(r\): \(r = 2(\frac{19}{11}t) - 5t = \frac{38}{11}t - \frac{55}{11}t = -\frac{17}{11}t\). 4. Die Lösungsmenge ist \(\{(r; s; t) \mid r = -\frac{17}{11}k; s = \frac{19}{11}k; t = k, k \in \mathbb{R} \}\). 5. Allgemeine Begründung: Für drei Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) ergibt sich ein homogenes LGS mit zwei Gleichungen (für die zwei Komponenten) und drei Unbekannten (die Koeffizienten). Da die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen, gibt es mindestens eine freie Variable und somit stets nichttriviale Lösungen. Dies impliziert nach Definition lineare Abhängigkeit.

a) \((r; s; t) = \left(-\frac{17}{11}k; \frac{19}{11}k; k\right)\) für beliebiges \(k \in \mathbb{R}\). b) Ein homogenes LGS mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten besitzt stets nichttriviale Lösungen (mehr Unbekannte als Gleichungen), weshalb die Vektoren immer linear abhängig sind.

- Welche drei Verbindungsvektoren von \(A\) zu den übrigen Punkten sind für die Koplanaritätsprüfung relevant? - Welche Bedeutung hat das Spatprodukt dieser drei Vektoren für das Volumen? - Welche Bedingung muss dieses Volumen erfüllen, wenn \(D\) in derselben Ebene liegt? - Welche zwei unabhängigen Richtungsvektoren kannst du anschließend für die Parameterform verwenden?

1. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\). Außerdem ist \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}k-2\\1\\3\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\). 3. Für vier koplanare Punkte muss das Spatprodukt \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}\) gleich \(0\) sein. Hier ergibt sich \(-3(k-2)+3\cdot3=-3k+15\). 4. Aus \(-3k+15=0\) folgt \(k=5\). 5. Eine Parameterform der Ebene ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\).

\(k=5\). Eine mögliche Parameterform ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\).

- Was bedeutet ein Spatprodukt von Null für die geometrische Anordnung von vier Punkten? - Wie berechnet man das Volumen eines Spats und wie hängt dieses mit dem Volumen einer Pyramide zusammen? - Denke an die Definition der linearen Abhängigkeit von drei Vektoren im Raum. - Stelle zuerst die Vektoren auf, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren von \(P\) aus: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Spatprodukts: Zuerst wird das Kreuzprodukt von \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) berechnet. Es ist \(\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Dann das Skalarprodukt mit \(\vec{PS}\): \(\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = -18 - 9 - 5 = -32\). 3. Interpretation: Da das Spatprodukt ungleich Null ist (\(-32 \neq 0\)), sind die Vektoren linear unabhängig. Die Punkte liegen somit nicht in einer Ebene, sondern bilden die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide. Das Volumen des aufgespannten Spats ist der Betrag des Spatprodukts, also \(32\,\text{VE}\). 4. Berechnung des Pyramidenvolumens: Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide beträgt ein Sechstel des Spatvolumens: \(V = \frac{1}{6} \cdot |-32| = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\,\text{VE}\).

Die Punkte liegen nicht in einer Ebene, da das Spatprodukt den Wert \(-32\) hat und somit ungleich Null ist. Sie bilden daher die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide. Deren Volumen beträgt \(V = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\,\text{VE}\). Das Spatprodukt gibt das orientierte Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds an; ist es Null, verschwindet das Volumen und die Punkte sind koplanar.

- Welche Bedingung müssen drei Punkte erfüllen, damit sie eine Ebene eindeutig bestimmen? - Vergleiche die beiden Verbindungsvektoren von \(P\) zu \(Q\) und von \(P\) zu \(R\). - Wenn die Punkte auf einer Geraden liegen: Welche Bedingung muss ein Normalenvektor einer Ebene erfüllen, die diese Gerade enthält? - Wie bestimmst du danach die Konstante der Koordinatenform?

1. Es gilt \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\-3\end{pmatrix}=-\overrightarrow{PQ}\). 2. Die drei Punkte sind daher kollinear. Drei kollineare Punkte bestimmen keine eindeutige Ebene; durch ihre gemeinsame Gerade verlaufen unendlich viele Ebenen. 3. Ein Richtungsvektor der gemeinsamen Geraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Für eine mögliche Ebene wählen wir einen Normalenvektor, der zu \(\vec{u}\) orthogonal ist, zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). 4. Mit \(P(2|0|-1)\) ergibt sich \(x_1-x_2=2\). Diese Ebene enthält die gesamte gemeinsame Gerade und damit alle drei Punkte.

a) Die Punkte sind kollinear, weil \(\overrightarrow{PR}=-\overrightarrow{PQ}\). Daher bestimmen sie keine eindeutige Ebene. b) Eine mögliche Koordinatenform ist \(E:\ x_1-x_2=2\).

- Prüfe zuerst, ob die ersten beiden Vektoren unabhängig voneinander sind. - Unter welcher Voraussetzung kannst du die Abhängigkeit des Tripels durch eine Darstellung des dritten Vektors als Linearkombination der ersten beiden prüfen? - Welche Information liefert die erste Komponente eines solchen Linearkombinationsansatzes besonders schnell? - Welche Bedingung an \(k\) entsteht, wenn die übrigen beiden Komponenten gleichzeitig erfüllt sein sollen?

1. Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind für jedes \(k\) linear unabhängig: \(\vec{v}\) ist nie der Nullvektor und wegen der ersten Komponenten \(1\) beziehungsweise \(0\) kein skalares Vielfaches von \(\vec{u}\). 2. Daher sind die drei Vektoren genau dann linear abhängig, wenn \(\vec{w}\) als Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) darstellbar ist. Setze \(a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}\). 3. Aus der ersten Komponente folgt \(a=1\). Die zweite Komponente liefert \(2+bk=1\), also \(bk=-1\). Die dritte Komponente liefert \(3+2b=k\), also \(b=\frac{k-3}{2}\). 4. Damit muss \(k\cdot\frac{k-3}{2}=-1\) gelten. Dies führt zu \(k^2-3k+2=0\), also \((k-1)(k-2)=0\). 5. Somit sind die drei Vektoren genau für \(k=1\) oder \(k=2\) linear abhängig.

\(k\in\{1;2\}\)

- Wann liefern zwei Richtungsvektoren tatsächlich nur eine unabhängige Richtung? - Welche Komponenten kannst du vergleichen, um den Proportionalitätsfaktor der beiden Richtungsvektoren zu bestimmen? - Wie lassen sich die beiden Parameterterme zusammenfassen, wenn beide Richtungsvektoren parallel sind? - Woran erkennst du bei der Punktprobe, ob derselbe Parameterwert alle Koordinaten erfüllt?

1. Damit nur eine Gerade entsteht, müssen die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sein. Setze \(\begin{pmatrix}m\\4\\-2\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\). Aus der zweiten beziehungsweise dritten Komponente folgt \(k=-2\). Damit ist \(m=-6\). 2. Für \(m=-6\) ist der zweite Richtungsvektor das \(-2\)-Fache des ersten. Daher kann man beide Parameterterme zusammenfassen: \(\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}+(\lambda-2\mu)\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\). Da \(\lambda-2\mu\) jeden reellen Wert annehmen kann, lautet eine vereinfachte Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\). 3. Für \(P\) ergeben die drei Koordinaten jeweils \(t=2\). Somit liegt \(P\) auf der Geraden.

a) \(m=-6\) b) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\) c) Ja, \(P\) liegt für \(t=2\) auf der Geraden.

- Überlege dir, was es bedeutet, wenn drei Vektoren linear abhängig sind. - Könntest du einen der Vektoren als Summe der anderen beiden (jeweils mit einem Faktor multipliziert) schreiben? - Betrachte die Zeilen des Vektorgleichungssystems einzeln. - Gibt es Zeilen, in denen nur eine Unbekannte vorkommt?

1. Ansatz der Linearkombination für lineare Abhängigkeit: \(\vec{c}_k = r\vec{a} + s\vec{b}\) (da \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) offensichtlich keine Vielfachen voneinander sind). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Zeilen 2 und 3: (II) \(1 \cdot r + 0 \cdot s = 2 \Rightarrow r = 2\) (III) \(4 \cdot r - 1 \cdot s = 10\) 3. Einsetzen von \(r = 2\) in Gleichung (III): \(4 \cdot 2 - s = 10 \Rightarrow 8 - s = 10 \Rightarrow s = -2\). 4. Einsetzen der Werte für \(r\) und \(s\) in die erste Gleichung zur Bestimmung von \(k\): (I) \(2 \cdot r + 1 \cdot s = k \Rightarrow 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = k \Rightarrow 4 - 2 = k\). 5. Ergebnis: Für \(k = 2\) sind die Vektoren linear abhängig.

Für \(k = 2\) sind die Vektoren linear abhängig.

- Wie lässt sich ein beliebiger Richtungsvektor der Ebene als Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) schreiben? - Welche Rechenregel des Skalarprodukts kannst du auf diese Linearkombination anwenden? - Was bleibt übrig, wenn beide einzelnen Skalarprodukte null sind? - Welche geometrische Punktmenge erzeugen zwei kollineare Richtungsvektoren statt einer Ebene?

1. Für einen beliebigen Richtungsvektor \(\vec{x}=r\vec{u}+s\vec{v}\) gilt \(\vec{n}\cdot\vec{x}=\vec{n}\cdot(r\vec{u}+s\vec{v})=r(\vec{n}\cdot\vec{u})+s(\vec{n}\cdot\vec{v})\). 2. Wegen \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) und \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(\vec{n}\cdot\vec{x}=0\). Somit ist \(\vec{n}\) zu jeder Richtung der Ebene orthogonal. 3. Sind \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) kollinear, erzeugen ihre Linearkombinationen nur eine Geradenrichtung. Dann zeigt die Orthogonalität zu dieser einen Richtung noch nicht die Orthogonalität zu allen Richtungen einer bestimmten Ebene.

1. \(\vec{n}\cdot(r\vec{u}+s\vec{v})=r(\vec{n}\cdot\vec{u})+s(\vec{n}\cdot\vec{v})=0\). 2. Nur zwei nicht kollineare Richtungsvektoren erfassen alle Richtungen einer Ebene durch Linearkombinationen; kollineare Vektoren erfassen nur eine Geradenrichtung.

- Wähle einen Punkt als Stützpunkt und bilde von dort aus die Vektoren zu den anderen drei Punkten. - Wann liegen drei Vektoren in derselben Ebene? Überlege, was das für ihre lineare Abhängigkeit bedeutet. - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Vektor durch eine Kombination der anderen beiden ausgedrückt werden kann? - Was bedeutet es für die Lage der Punkte, wenn das resultierende Gleichungssystem eine Lösung besitzt?

1. Bildung der Differenzvektoren von einem gemeinsamen Ausgangspunkt (hier \( A \)): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf lineare Abhängigkeit durch den Ansatz \(\vec{AD} = r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}\). Dies führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(2r - s = 1\) (II) \(r + 2s = 3\) (III) \(r + 2s = 3\) 3. Lösung des Systems: Die Gleichungen (II) und (III) sind identisch. Aus (II) ergibt sich \(r = 3 - 2s\). Einsetzen in (I) liefert \(2(3 - 2s) - s = 1 \Leftrightarrow 6 - 5s = 1 \Leftrightarrow s = 1\). Daraus folgt \(r = 1\). 4. Da eine eindeutige Lösung existiert, ist der Vektor \(\vec{AD}\) als Linearkombination von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) darstellbar. Folglich sind die drei Vektoren linear abhängig und die vier Punkte liegen in einer Ebene.

Ja, die Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene, da der Vektor \(\vec{AD}\) eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist (\(\vec{AD} = 1 \cdot \vec{AB} + 1 \cdot \vec{AC}\)).

- Erstelle aus drei der Punkte eine Parameterform für eine Ebene. - Setze den vierten Punkt, der den Parameter enthält, in diese Ebenengleichung ein. - Untersuche, für welchen Wert des Parameters das entstehende Gleichungssystem lösbar ist. - Alternativ kannst du das Spatprodukt der drei Vektoren bilden und gleich Null setzen.

1. Wahl eines Bezugspunkts (z. B. \( S \)) und Aufstellen der Vektoren zu den übrigen Punkten: \(\vec{SQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{SR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SP} = \begin{pmatrix} -1 \\ k-1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Die Punkte sind komplanar, wenn \(\vec{SP}\) als Linearkombination von \(\vec{SQ}\) und \(\vec{SR}\) darstellbar ist: \(r \cdot \vec{SQ} + s \cdot \vec{SR} = \vec{SP}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems koordinatenweise: (I) \(-2s = -1\) (II) \(2r = k - 1\) (III) \(-2r + s = -1\) 4. Aus (I) folgt direkt \(s = 0{,}5\). Einsetzen von \(s\) in (III) ergibt \(-2r + 0{,}5 = -1 \Rightarrow -2r = -1{,}5 \Rightarrow r = 0{,}75\). 5. Einsetzen der Werte für \(r\) in Gleichung (II): \(2 \cdot 0{,}75 = k - 1 \Rightarrow 1{,}5 = k - 1 \Rightarrow k = 2{,}5\).

Die Punkte liegen für \( k = 2{,}5 \) in einer gemeinsamen Ebene.

- Welche Eigenschaft müsste eine nichttriviale Linearkombination der drei Vektoren haben, um Abhängigkeit zu zeigen? - Kannst du ein Beispiel vollständig in einer Koordinatenebene wählen, ohne dass zwei Vektoren kollinear werden? - Prüfe bei deinem Beispiel getrennt die paarweise Nichtkollinearität und die Abhängigkeit der Dreiermenge.

1. Wähle zum Beispiel \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 2. Keine zwei dieser Vektoren sind kollinear. 3. Trotzdem gilt \(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\), also \(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\). 4. Daher sind die drei Vektoren linear abhängig. Paarweise Nichtkollinearität reicht für drei Vektoren nicht aus.

Beispiel: \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Obwohl keine zwei kollinear sind, gilt \(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\); die drei Vektoren sind also linear abhängig.

- Setze eine allgemeine Linearkombination von \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) gleich dem Nullvektor. - Wie kannst du nach dem Einsetzen die Terme nach \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) zusammenfassen? - Welche Folgerung erlaubt dir dann die gegebene lineare Unabhängigkeit von \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\)?

1. Setze \(x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}=\vec{0}\) an. 2. Nach Einsetzen der Definitionen ergibt sich \(x(\vec{u}+\vec{v})+y(\vec{v}-\vec{w})+z(\vec{u}+\vec{w})=\vec{0}\). 3. Zusammengefasst nach \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) gilt \((x+z)\vec{u}+(x+y)\vec{v}+(-y+z)\vec{w}=\vec{0}\). 4. Da \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) linear unabhängig sind, müssen \(x+z=0\), \(x+y=0\) und \(-y+z=0\) gelten. 5. Daraus folgt \(x=-z\) und \(y=z\); die dritte Gleichung ist dann automatisch erfüllt. Für \(z=1\) erhält man die nichttriviale Lösung \(x=-1\), \(y=1\), \(z=1\). 6. Somit sind \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) linear abhängig und es gilt \(-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\).

Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) sind linear abhängig; beispielsweise gilt \(-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\).

- Erinnere dich an die Definition: Eine Menge ist linear abhängig, wenn mindestens einer ihrer Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. - Was passiert mit der Abhängigkeit einer Menge, wenn du einen weiteren Vektor zu einer bereits abhängigen Teilmenge hinzufügst? - Kannst du ein Beispiel finden, bei dem zwei Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, der dritte aber in eine völlig andere? - Überlege dir im Fall c), was es geometrisch bedeutet, wenn \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) eine Ebene aufspannen und \(\vec{w}\) nicht in dieser Ebene liegt.

a) Die Aussage ist wahr. Nach Definition ist eine Menge von Vektoren linear abhängig, wenn sich der Nullvektor als nichttriviale Linearkombination darstellen lässt. Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) bereits abhängig sind, existiert eine Kombination \(a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0}\) mit \((a; b) \neq (0; 0)\). Dann gilt auch \(a\vec{u} + b\vec{v} + 0\vec{w} = \vec{0}\). b) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Hier ist \(\vec{w}\) keine Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\), aber \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind linear abhängig (\(\vec{v} = 2\vec{u}\)), wodurch das Gesamtsystem abhängig ist. c) Die Aussage ist wahr. Wären sie abhängig, gälte \(x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} = \vec{0}\). Wäre \(z \neq 0\), ließe sich \(\vec{w}\) als Linearkombination von \(\vec{u}, \vec{v}\) schreiben (Widerspruch). Wäre \(z = 0\), müsste \(x\vec{u} + y\vec{v} = \vec{0}\) gelten, was wegen der Unabhängigkeit von \(\vec{u}, \vec{v}\) nur für \(x=y=0\) möglich ist. Also ist nur die triviale Kombination möglich.

a) Wahr: Eine Menge mit einer abhängigen Teilmenge ist immer abhängig. b) Falsch: \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) könnten untereinander abhängig sein (z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)). c) Wahr: Da \(\vec{w}\) nicht in der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Ebene liegt und \(\vec{u}, \vec{v}\) eine Ebene aufspannen (da sie linear unabhängig sind), sind sie zusammen linear unabhängig.

- Was bedeutet „eindeutig“ für zwei mögliche Darstellungen desselben Vektors? - Welche Gleichung entsteht, wenn du zwei solche Darstellungen voneinander subtrahierst? - Welche Folgerung erlaubt dir dann die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren?

1. Angenommen, es gibt zwei Darstellungen \(\vec{x}=r_1\vec{a}+r_2\vec{b}+r_3\vec{c}\) und \(\vec{x}=s_1\vec{a}+s_2\vec{b}+s_3\vec{c}\). 2. Durch Gleichsetzen und Subtrahieren erhält man \((r_1-s_1)\vec{a}+(r_2-s_2)\vec{b}+(r_3-s_3)\vec{c}=\vec{0}\). 3. Da \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) linear unabhängig sind, ist nur die triviale Nullkombination möglich. Daher gilt \(r_1-s_1=0\), \(r_2-s_2=0\) und \(r_3-s_3=0\). 4. Somit ist \(r_1=s_1\), \(r_2=s_2\) und \(r_3=s_3\). Die Koeffizienten der Darstellung sind eindeutig.

Nimmt man zwei Darstellungen von \(\vec{x}\) an und subtrahiert sie, erhält man eine Nullkombination der linear unabhängigen Vektoren \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\). Deshalb müssen alle Koeffizientendifferenzen null sein; die beiden Koeffiziententripel sind identisch.

- Wie lässt sich lineare Abhängigkeit über eine Linearkombination beschreiben, die den Nullvektor ergibt? - Vergleiche die drei entstehenden Koordinatengleichungen miteinander, bevor du sie vollständig löst. - Welche Sonderrolle kann ein Parameterwert spielen, bei dem sich die drei Gleichungen stark vereinfachen?

1. Für lineare Abhängigkeit wird eine nichttriviale Lösung von \(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}\) gesucht. Daraus folgen \(t\alpha+\beta+\gamma=0\), \(\alpha+t\beta+\gamma=0\) und \(\alpha+\beta+t\gamma=0\). 2. Subtraktion der ersten beiden Gleichungen liefert \((t-1)(\alpha-\beta)=0\), Subtraktion der letzten beiden \((t-1)(\beta-\gamma)=0\). 3. Für \(t=1\) sind die drei Vektoren gleich und damit linear abhängig. 4. Für \(t\neq1\) folgt \(\alpha=\beta=\gamma\). Einsetzen ergibt \((t+2)\alpha=0\). Eine nichttriviale Lösung existiert daher genau für \(t=-2\). 5. Somit sind die drei Vektoren genau für \(t\in\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}\) linear unabhängig.

\(t\in\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}\)

- Welchen Wert nimmt \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})\) für einen Punkt an, der gleichzeitig in \(E_1\) und \(E_2\) liegt? - Vergleiche diesen Wert mit der rechten Seite der Bedingung von \(E_3\). - Welche geometrische Konsequenz folgt, wenn dieselbe linke Seite einer Ebenenbedingung nur um eine von null verschiedene Konstante verschoben wird?

1. Für jeden Punkt \(\vec{x}\) auf \(s\) gelten gleichzeitig \(L_1(\vec{x})=d_1\) und \(L_2(\vec{x})=d_2\). Daher hat dort die linke Seite von \(E_3\) stets den Wert \(2d_1-d_2\). 2. Die Ebenenbedingung von \(E_3\) verlangt jedoch den um \(5\) größeren Wert \(2d_1-d_2+5\). Somit liegt kein Punkt von \(s\) in \(E_3\). 3. Die Ebene mit \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})=2d_1-d_2\) würde \(s\) enthalten und besitzt denselben Normalenvektor wie \(E_3\). Deshalb ist \(s\) parallel zu \(E_3\), aber nicht in \(E_3\) enthalten. 4. Alle gemeinsamen Punkte von \(E_1\) und \(E_2\) liegen auf \(s\). Da kein Punkt von \(s\) in \(E_3\) liegt, besitzt das Dreiebenensystem keine gemeinsame Lösung.

Die Schnittgerade \(s\) ist echt parallel zu \(E_3\). Das Dreiebenensystem besitzt keine gemeinsame Lösung, also \(L=\emptyset\).