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- Untersuche bei zwei Vektoren, ob einer ein Vielfaches des anderen ist. - Stelle bei drei Vektoren eine Linearkombination auf, die den Nullvektor ergibt. - Überlege dir, wie viele Lösungen ein Gleichungssystem haben muss, damit Unabhängigkeit vorliegt. - Kannst du einen der Vektoren durch die anderen ausdrücken?

1. Teilaufgabe a): Prüfung auf Kollinearität durch den Ansatz \(\vec{a} = k \cdot \vec{b}\). Aus \(4 = k \cdot (-6)\) folgt \(k = -\frac{2}{3}\). Überprüfung der zweiten Komponente: \(-6 = -\frac{2}{3} \cdot 9 = -6\). Da ein gemeinsamer Faktor existiert, sind die Vektoren linear abhängig. 2. Teilaufgabe b): Ansatz der Vektorgleichung \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\). Dies führt zu dem Gleichungssystem: (I) \(r + 2s + t = 0\), (II) \(2r + t = 0\), (III) \(3r + s + t = 0\). Aus (II) folgt \(t = -2r\). Einsetzen in (III) ergibt \(3r + s - 2r = 0\), also \(s = -r\). Einsetzen beider Ergebnisse in (I) liefert \(r + 2(-r) + (-2r) = 0\), woraus \(-3r = 0\) und somit \(r = 0\) folgt. Daraus ergeben sich auch \(s = 0\) und \(t = 0\). Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear unabhängig.

a) Die Vektoren sind linear abhängig, da \(\vec{a} = -\frac{2}{3} \cdot \vec{b}\). b) Die Vektoren sind linear unabhängig, da die Gleichung \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\) nur die triviale Lösung \(r = s = t = 0\) besitzt.

- Kannst du einen der Vektoren als Summe der mit Faktoren multiplizierten anderen Vektoren schreiben? - Stelle für die Komponenten der Vektoren ein Gleichungssystem auf. - Wie viele Gleichungen benötigst du, um die Unbekannten eindeutig zu bestimmen, und wofür dient die verbleibende Gleichung? - Was sagt es über die Abhängigkeit aus, wenn das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für die Koeffizienten besitzt?

1. Ansatz zur Prüfung der linearen Abhängigkeit: \(r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(2r + s = 5\) (II) \(-r + 4s = 2\) (III) \(3r - 2s = 4\) 3. Aus Gleichung (I) folgt \(s = 5 - 2r\). Einsetzen in (II): \(-r + 4(5 - 2r) = 2 \Rightarrow -r + 20 - 8r = 2 \Rightarrow -9r = -18 \Rightarrow r = 2\). 4. Bestimmung von \(s\): \(s = 5 - 2(2) = 1\). 5. Überprüfung mit Gleichung (III): \(3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4\). Die Aussage ist wahr. 6. Da ein passendes Zahlenpaar gefunden wurde, sind die Vektoren linear abhängig. Die Linearkombination lautet \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\).

Die Vektoren sind linear abhängig. Es gilt: \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\).

- Überlege dir, was die Definition von linearer Unabhängigkeit ist: Wann besitzt die Gleichung \(k_1 \vec{v}_1 + \dots + k_n \vec{v}_n = \vec{0}\) nur die Lösung \(k_i = 0\)? - Bei zwei Vektoren kannst du oft direkt sehen, ob einer ein Vielfaches des anderen ist. - Was bedeutet es für die Abhängigkeit, wenn ein Vektor in der Menge der Nullvektor ist? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Koeffizienten zu bestimmen?

1. Für Teilaufgabe a) wird der Ansatz \(k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} + k_3 \vec{c} = \vec{0}\) gewählt. Dies führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(k_1 + k_2 = 0\), (II) \(k_1 + 2k_2 + k_3 = 0\), (III) \(k_1 + 3k_2 = 0\). Aus (I) und (III) folgt durch Subtraktion \(2k_2 = 0\), also \(k_2 = 0\). Damit ergibt sich \(k_1 = 0\) und aus (II) schließlich \(k_3 = 0\). Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear unabhängig. 2. In Teilaufgabe b) wird geprüft, ob ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Es gilt \(\vec{v} = -2 \cdot \vec{u}\). Da eine nichttriviale Linearkombination existiert, sind die Vektoren linear abhängig. 3. In Teilaufgabe c) enthält das System den Nullvektor \(\vec{z} = \vec{0}\). Jedes Vektorsystem, das den Nullvektor enthält, ist linear abhängig, da \(0 \cdot \vec{x} + 0 \cdot \vec{y} + 1 \cdot \vec{0} = \vec{0}\) eine nichttriviale Linearkombination darstellt.

a) linear unabhängig b) linear abhängig c) linear abhängig

- Was bedeutet es geometrisch, wenn drei Vektoren in einer Ebene liegen? - Überlege dir, wie eine Linearkombination aussehen muss, damit Vektoren linear abhängig sind. - Kannst du ein Gleichungssystem für die Koeffizienten aufstellen, um die Unabhängigkeit zu prüfen? - Wie viele Richtungen braucht man, um jeden Punkt im dreidimensionalen Raum zu erreichen?

1. Aussage a) ist wahr. Drei Vektoren im Raum sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene durch den Ursprung liegen (komplanar sind), da sich dann mindestens einer als Linearkombination der anderen darstellen lässt. 2. Aussage b) ist wahr. Eine Menge mit dem Nullvektor ist immer linear abhängig, da die Gleichung \(k \cdot \vec{0} = \vec{0}\) für \(k \neq 0\) eine nicht-triviale Linearkombination darstellt, die den Nullvektor ergibt. 3. Aussage c) ist wahr. Angenommen, \(k_1(\vec{u} + \vec{v}) + k_2\vec{v} = \vec{0}\). Dies lässt sich umformen zu \(k_1\vec{u} + (k_1 + k_2)\vec{v} = \vec{0}\). Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig sind, muss \(k_1 = 0\) und \(k_1 + k_2 = 0\) gelten, woraus \(k_1 = k_2 = 0\) folgt. 4. Aussage d) ist falsch. Im dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3\) können maximal drei Vektoren linear unabhängig sein, da die Dimension des Raumes 3 ist. Jede Menge mit mehr als drei Vektoren ist dort zwangsläufig linear abhängig.

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Vektor durch andere „ausgedrückt“ werden kann? - Wie kannst du die Vektoren in ein Gleichungssystem umschreiben? - Reicht es aus, nur zwei der drei Zeilen des Gleichungssystems zu betrachten? - Was passiert, wenn die berechneten Werte für die Variablen auch in der letzten, bisher ungenutzten Zeile ein wahres Ergebnis liefern?

1. Aufstellen der Vektorgleichung für die lineare Abhängigkeit: \(r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}\). 2. Erstellen des zugehörigen linearen Gleichungssystems: I: \(2r + 1s = 5\) II: \(-1r + 2s = 0\) III: \(3r - 4s = 2\) 3. Lösen des Teil-Gleichungssystems aus I und II: Aus II folgt \(r = 2s\). Einsetzen in I ergibt \(2(2s) + s = 5\), woraus \(5s = 5\) und somit \(s = 1\) folgt. Durch Einsetzen ergibt sich \(r = 2\). 4. Überprüfung der Lösung mit der dritten Gleichung III: \(3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2\). Die Gleichung ist erfüllt. 5. Schlussfolgerung: Da eine nichttriviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear abhängig. Die Linearkombination lautet \(\vec{c} = 2 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}\).

Die Vektoren sind linear abhängig. Es gilt: \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\).

- Was muss für die Koeffizienten einer Linearkombination gelten, die den Nullvektor ergibt, damit Unabhängigkeit vorliegt? - Stelle ein Gleichungssystem auf und versuche, die Variablen nacheinander zu eliminieren oder auszudrücken. - Wenn du zeigen kannst, dass nur die Lösung Null für alle Variablen möglich ist, was bedeutet das für die Basis-Eigenschaft?

1. Prüfung auf lineare Unabhängigkeit durch den Ansatz der homogenen Vektorgleichung: \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(r + t = 0 \Rightarrow t = -r\) (II) \(2r + s = 0 \Rightarrow s = -2r\) (III) \(3r + 2s + t = 0\) 3. Einsetzen von (I) und (II) in (III): \(3r + 2(-2r) + (-r) = 0 \Rightarrow 3r - 4r - r = 0 \Rightarrow -2r = 0\). 4. Daraus folgt \(r = 0\). Durch Einsetzen in die anderen Gleichungen ergibt sich auch \(s = 0\) und \(t = 0\). 5. Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear unabhängig und bilden somit eine Basis des \(\mathbb{R}^3\).

Ja, die Vektoren bilden eine Basis des \(\mathbb{R}^3\), da sie linear unabhängig sind.

- Wann liegen drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene? - Versuche, einen Vektor als Kombination der anderen beiden darzustellen. - Was muss für die Koeffizienten gelten, damit die Gleichung für alle Komponenten aufgeht? - Nutze zwei der Gleichungen, um die Unbekannten zu bestimmen, und setze sie in die verbleibende Gleichung ein.

1. Ansatz für lineare Abhängigkeit: Einer der Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen, z. B. \(r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(2r + s = 1\), (II) \(r = k\), (III) \(3r + 2s = 1\). 3. Lösen des Systems aus (I) und (III): Aus (I) folgt \(s = 1 - 2r\). Einsetzen in (III) ergibt \(3r + 2(1 - 2r) = 1 \Rightarrow 3r + 2 - 4r = 1 \Rightarrow -r = -1 \Rightarrow r = 1\). 4. Bestimmung von \(s\): \(s = 1 - 2(1) = -1\). 5. Bestimmung von \(k\) mithilfe von (II): Da \(r = k\) und \(r = 1\), muss \(k = 1\) gelten.

Die Vektoren sind für \(k = 1\) linear abhängig.

- Wann liegen drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene? - Welchen Wert nimmt das Volumen eines von drei linear abhängigen Vektoren aufgespannten Körpers an? - Wie hängen das Spatprodukt und das Volumen eines Spats zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte vorkommt.

1. Berechnung des Kreuzprodukts \(\vec{a} \times \vec{b}\): \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen des Spatprodukts \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}_k\): \(\begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ k \end{pmatrix} = -4 \cdot 2 + 10 \cdot 5 + 6 \cdot k = -8 + 50 + 6k = 42 + 6k\). 3. Bedingung für lineare Abhängigkeit: Das Spatprodukt muss den Wert \(0\) annehmen. 4. Lösen der Gleichung \(42 + 6k = 0\): \(6k = -42 \Rightarrow k = -7\).

Die Vektoren sind für \(k = -7\) linear abhängig.

- Was bedeutet es für die Lage der Vektoren im Raum, wenn einer eine Kombination der anderen ist? - Welche geometrische Bedeutung hat das Spatprodukt? - Berechne zuerst den Vektor für die Linearkombination, bevor du das Produkt bildest.

1. Begründung: Da \(\vec{w}\) als Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) dargestellt werden kann, sind die drei Vektoren linear abhängig (komplanar). Das Spatprodukt gibt das orientierte Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelepipeds an. Da die Vektoren in einer Ebene liegen, ist das Volumen \(0\). 2. Berechnung von \(\vec{w}\): \(\vec{w} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{u} \times \vec{v}\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Skalarprodukts mit \(\vec{w}\): \(\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = -6 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) + 3 \cdot 3 = -18 + 9 + 9 = 0\).

a) Das Spatprodukt muss \(0\) sein, da die Vektoren linear abhängig (komplanar) sind. b) Die Rechnung ergibt \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \((\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = -18 + 9 + 9 = 0\).

- Wann nennt man zwei Vektoren im Raum linear abhängig? - Überlege dir, wie die Komponenten der Vektoren zusammenhängen müssen, damit sie in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen. - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um den Proportionalitätsfaktor zu bestimmen? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung mehr als eine Lösung haben kann.

1. Bedingung für die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Es muss ein Skalar \(k \in \mathbb{R}\) existieren, sodass \(\vec{v} = k \cdot \vec{u}\) (da \(\vec{u} \neq \vec{0}\)). 2. Aufstellen des Gleichungssystems komponentenweise: I: \(8 = k \cdot a\) II: \(a = k \cdot 2\) III: \(a = k \cdot 2\) 3. Aus Gleichung II (oder III) folgt \(k = \frac{a}{2}\). 4. Einsetzen von \(k\) in Gleichung I: \(8 = \frac{a}{2} \cdot a \implies 16 = a^2\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \(a_1 = 4\) und \(a_2 = -4\). 6. Für \(a = 4\) ergibt sich \(k = 2\), für \(a = -4\) ergibt sich \(k = -2\). In beiden Fällen sind die Vektoren kollinear.

Die Vektoren sind für \(a = 4\) und \(a = -4\) linear abhängig.

- Untersuche, ob die Gleichung \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\) nur für \(r=s=t=0\) lösbar ist. - Nutze das Additions- oder Einsetzungsverfahren, um das entstandene Gleichungssystem schrittweise zu lösen. - Wenn du versuchst, einen Vektor durch die anderen beiden auszudrücken, was passiert im Gleichungssystem, wenn sie unabhängig sind? - Überlege, ob die Vektoren in einer gemeinsamen Ebene liegen könnten oder den Raum aufspannen.

1. Ansatz mit der homogenen Vektorgleichung: \(r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Erstellen des Gleichungssystems: (I) \(r + 2t = 0\) (II) \(2r + s + t = 0\) (III) \(r - s = 0\) 3. Aus (III) folgt direkt \(r = s\). 4. Ersetzen von \(r\) durch \(s\) in (I) liefert \(s = -2t\). 5. Einsetzen von \(r = -2t\) und \(s = -2t\) in (II): \(2(-2t) + (-2t) + t = 0 \Rightarrow -4t - 2t + t = 0 \Rightarrow -5t = 0\). 6. Daraus folgt zwingend \(t = 0\). Durch Rückeinsetzen ergibt sich \(r = 0\) und \(s = 0\). 7. Da nur die triviale Lösung existiert, sind die Vektoren linear unabhängig. Eine Darstellung als Linearkombination ist nicht möglich.

Die Vektoren sind linear unabhängig.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Vektoren und der Dimension des Raumes. - Wenn du einen Vektor direkt durch die anderen ausdrücken kannst, was sagt das über die Abhängigkeit aus? - Überlege dir, ob sich die „Richtungseigenschaften“ ändern, wenn du Vektoren nur streckst oder stauchst. - Kann eine Linearkombination von zwei unabhängigen Vektoren parallel zu einem dritten, ebenfalls unabhängigen Vektor sein?

1. Teilaufgabe a): Der dritte Vektor lässt sich als Differenz der ersten beiden darstellen (\(\vec{x}_3 = \vec{u} - \vec{v}\)). Damit existiert eine nichttriviale Linearkombination \(\vec{u} - \vec{v} - (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{0}\). Die Vektoren sind linear abhängig. 2. Teilaufgabe b): Es handelt sich um vier Vektoren im dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3\). Da die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) gleich 3 ist, muss jede Menge von vier oder mehr Vektoren linear abhängig sein. 3. Teilaufgabe c): Da \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) linear unabhängig sind, kann \(\vec{w}\) nicht als Vielfaches von \(\vec{u} + \vec{v}\) dargestellt werden (andernfalls gäbe es eine Abhängigkeit zwischen \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\)). Zwei Vektoren, die keine Vielfachen voneinander sind, sind linear unabhängig. 4. Teilaufgabe d): Die Skalierung von Basisvektoren mit Faktoren ungleich Null ändert die lineare Unabhängigkeit nicht. Da \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) unabhängig sind, führt der Ansatz \(k_1(2\vec{u}) + k_2(3\vec{v}) + k_3(4\vec{w}) = \vec{0}\) aufgrund der Unabhängigkeit der Ursprungsvektoren direkt auf \(2k_1 = 0, 3k_2 = 0, 4k_3 = 0\), also \(k_1=k_2=k_3=0\). Die Vektoren sind linear unabhängig.

a) linear abhängig (da \(\vec{u} - \vec{v}\) eine Linearkombination ist) b) linear abhängig (da vier Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) immer abhängig sind) c) linear unabhängig (da \(\vec{w}\) kein Vielfaches von \(\vec{u} + \vec{v}\) sein kann) d) linear unabhängig (Skalierung erhält die Unabhängigkeit)

- Wann lässt sich ein Vektor als Linearkombination anderer Vektoren ausdrücken? - Wie hängen lineare Abhängigkeit und die Lösbarkeit eines homogenen Gleichungssystems zusammen? - Was bedeutet es für die Koeffizienten, wenn eine Darstellung „nicht-trivial“ ist? - Könntest du ein Gleichungssystem aufstellen und untersuchen, für welches \(k\) es mehr als nur die Nulllösung gibt?

1. Ansatz der Vektorgleichung \(r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} = \vec{0}\) führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(2r + s + 5t = 0\) (II) \(r + 2t = 0\) (III) \(3s + kt = 0\) 2. Aus (II) folgt \(r = -2t\). Einsetzen in (I) ergibt \(2(-2t) + s + 5t = 0\), woraus \(s + t = 0\) bzw. \(s = -t\) folgt. 3. Einsetzen von \(s = -t\) in (III) ergibt \(3(-t) + kt = 0\), also \((k - 3)t = 0\). 4. Für eine nicht-triviale Lösung muss \(t \neq 0\) möglich sein, was genau für \(k = 3\) der Fall ist. 5. Wählt man \(t = 1\), so ergeben sich \(r = -2\) und \(s = -1\). Eine mögliche Linearkombination ist \(-2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\).

Die Vektoren sind für \(k = 3\) linear abhängig. Eine mögliche nicht-triviale Linearkombination ist \(-2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\).

- Überlege, was passiert, wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist. - Was bedeutet „eindeutig“ im Zusammenhang mit Gleichungssystemen und Vektoren? - Versuche, eine Gleichung der Form \(r\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c} = \vec{0}\) aufzustellen, bei der nicht alle Parameter null sind. - Reicht es aus, dass nur ein Vektor von den anderen abhängt, damit die ganze Menge abhängig ist?

1. Aussage a) ist wahr. Bei zwei Vektoren bedeutet lineare Abhängigkeit, dass \(r\vec{a} + s\vec{b} = \vec{0}\) mit \((r, s) \neq (0, 0)\). Dies führt dazu, dass entweder \(\vec{a} = k\vec{b}\) oder \(\vec{b} = m\vec{a}\) gilt. 2. Aussage b) ist wahr. Wären die Vektoren linear abhängig, gäbe es für jeden darstellbaren Vektor unendlich viele verschiedene Kombinationen der Koeffizienten. Die Eindeutigkeit der Darstellung impliziert die lineare Unabhängigkeit (Eigenschaft einer Basis). 3. Aussage c) ist wahr. Es existiert die nicht-triviale Linearkombination \(1 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 1 \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{0}\). Da nicht alle Koeffizienten null sind, sind die Vektoren abhängig. 4. Aussage d) ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind zwei linear unabhängige Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}\) und der Nullvektor \(\vec{c} = \vec{0}\). Diese sind linear abhängig, aber \(\vec{a}\) lässt sich nicht durch \(\vec{b}\) und \(\vec{0}\) ausdrücken.

a) Wahr b) Wahr c) Wahr d) Falsch

- Überlege dir, wie eine Menge von Vektoren linear abhängig sein kann, ohne dass jeder einzelne Vektor von den anderen abhängt. - Was muss für die ersten drei Vektoren gelten, damit der vierte Vektor nicht in ihrer linearen Hülle liegt? - Wie viele Vektoren können im dreidimensionalen Raum maximal linear unabhängig sein? - Denk an den einfachsten Fall: Wann sind zwei Vektoren sicher linear abhängig?

1. Wahl der ersten drei Vektoren so, dass sie untereinander linear abhängig sind, zum Beispiel \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{v}_2 = 2 \cdot \vec{v}_1\) gilt, ist die Teilmenge \(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}\) bereits linear abhängig. 2. Bestimmung der linearen Hülle dieser Vektoren: Alle Linearkombinationen von \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\) liegen in der \(x_1x_2\)-Ebene (da die \(x_3\)-Koordinate bei allen drei Vektoren \(0\) ist). Die lineare Hülle ist somit die Menge aller Vektoren \(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Wahl von \(\vec{v}_4\) außerhalb dieser linearen Hülle, zum Beispiel \(\vec{v}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da die \(x_3\)-Koordinate von \(\vec{v}_4\) ungleich \(0\) ist, kann \(\vec{v}_4\) nicht als Linearkombination der anderen drei Vektoren dargestellt werden. 4. Die gesamte Menge \(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \vec{v}_4\}\) ist linear abhängig, da bereits eine Teilmenge (hier \(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}\)) linear abhängig ist. In \(\mathbb{R}^3\) sind zudem vier Vektoren grundsätzlich immer linear abhängig.

Beispiel: \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Begründung: \(\vec{v}_1\) und \(\vec{v}_2\) sind kollinear (\(\vec{v}_2 = 2 \cdot \vec{v}_1\)), daher ist die gesamte Menge linear abhängig. Die lineare Hülle von \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\) ist die \(x_1x_2\)-Ebene. Da \(\vec{v}_4\) eine Komponente in \(x_3\)-Richtung hat, liegt er nicht in dieser Ebene und ist keine Linearkombination der anderen.

- Prüfe zuerst, ob einer der Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) ein Vielfaches eines anderen ist. - Stelle für die Linearkombination ein lineares Gleichungssystem auf und versuche es zu lösen. - Was weißt du über die lineare Abhängigkeit einer Menge, wenn du bereits weißt, dass zwei ihrer Vektoren kollinear sind?

1. Untersuchung von \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\): Es fällt auf, dass \(\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}\) gilt. Damit existiert eine nicht-triviale Linearkombination \(2\vec{a} - 1\vec{b} + 0\vec{c} = \vec{0}\). Folglich sind die drei Vektoren linear abhängig. 2. Ansatz für die Linearkombination von \(\vec{d}\): \(r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Dies führt zum Gleichungssystem: (I) \(2r + 4s = 0\), (II) \(r + 2s = 1\), (III) \(t = 0\). Aus (I) folgt \(r = -2s\). Eingesetzt in (II) ergibt dies \(-2s + 2s = 1\), also \(0 = 1\). Dies ist ein Widerspruch, daher ist \(\vec{d}\) keine Linearkombination von \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\). 3. Da die Teilmenge \(\{\vec{a}, \vec{b}\}\) bereits linear abhängig ist, ist jede Obermenge, die diese Vektoren enthält, ebenfalls linear abhängig. Zudem ist im \(\mathbb{R}^3\) jede Menge aus vier Vektoren linear abhängig, da die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren durch die Dimension des Raumes (hier 3) begrenzt ist.

1. \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) sind linear abhängig, da \(\vec{b} = 2\vec{a}\). 2. Das Gleichungssystem \(r\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c} = \vec{d}\) führt auf den Widerspruch \(0 = 1\), \(\vec{d}\) ist also keine Linearkombination. 3. Die Menge \(\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\}\) ist linear abhängig, da sie eine linear abhängige Teilmenge (\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)) enthält (oder weil vier Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) immer abhängig sind).

- Stelle für den ersten Teil ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auf und prüfe, ob es eine Lösung gibt, die alle drei Zeilen erfüllt. - Wann nennt man zwei Vektoren kollinear und was bedeutet das für die lineare Abhängigkeit einer größeren Menge? - Überlege dir, ob die lineare Unabhängigkeit einer Menge von der Beziehung aller Vektoren untereinander abhängt oder nur von einem einzelnen.

1. Ansatz der Vektorgleichung \(r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}\) führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(6r - 2s = 1\) (II) \(-3r + s = 2\) (III) \(9r - 3s = 1\) Aus (II) folgt \(s = 3r + 2\). Einsetzen in (I) ergibt \(6r - 2(3r + 2) = 1 \Rightarrow -4 = 1\), was ein Widerspruch ist. Somit ist \(\vec{c}\) keine Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). 2. Die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind linear abhängig (kollinear), da \(\vec{a} = -3 \cdot \vec{b}\) gilt. Da eine Teilmenge des Vektorsystems linear abhängig ist, ist das gesamte System \(\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\) linear abhängig. 3. Die Aussage ist falsch. Das Beispiel aus Teil 1 und 2 zeigt, dass ein Vektor (\(\vec{c}\)) zwar keine Linearkombination der anderen beiden sein kann, das Gesamtsystem aber dennoch linear abhängig ist, wenn die anderen beiden Vektoren (\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)) untereinander linear abhängig sind.

1. Das LGS \(r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} = \vec{c}\) besitzt keine Lösung (Widerspruch \(-4 = 1\)). 2. Das Vektorsystem ist linear abhängig, da \(\vec{a} = -3 \cdot \vec{b}\). 3. Die Aussage ist falsch; für die Unabhängigkeit des Gesamtsystems müssen auch die Vektoren der betrachteten Teilmenge (hier \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)) untereinander linear unabhängig sein.

- Überlege dir, wie viele Richtungen man in einer Ebene maximal aufspannen kann, ohne dass eine Richtung durch die anderen „festgelegt“ ist. - Was bedeutet die Definition der linearen Abhängigkeit für eine Gleichung, in der ein Vektor bereits der Nullvektor ist? - Untersuche bei der Kombination von Vektoren, ob man durch einfaches Umstellen der Gleichung für die Nulldarstellung auf die Unabhängigkeit der ursprünglichen Vektoren zurückgreifen kann.

1. Wahr. In einem \(n\)-dimensionalen Vektorraum können maximal \(n\) Vektoren linear unabhängig sein. Da der \(\mathbb{R}^2\) zweidimensional ist, ist jede Menge mit mehr als zwei Vektoren linear abhängig. 2. Wahr. Eine Menge ist linear abhängig, wenn eine nichttriviale Nulldarstellung existiert. Mit dem Nullvektor \(\vec{0}\) in der Menge lässt sich die Gleichung \(k \cdot \vec{0} + 0 \cdot \vec{v}_2 + \dots = \vec{0}\) für jedes \(k \neq 0\) erfüllen. 3. Wahr. Angenommen, \(c_1 \cdot \vec{u} + c_2 \cdot (2\vec{u} + \vec{v}) = \vec{0}\). Umformen ergibt \((c_1 + 2c_2) \cdot \vec{u} + c_2 \cdot \vec{v} = \vec{0}\). Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten null sein: \(c_2 = 0\) und \(c_1 + 2c_2 = 0\), woraus auch \(c_1 = 0\) folgt. Es existiert nur die triviale Lösung.

1. Wahr; 2. Wahr; 3. Wahr.

- Wie kannst du die gegebene Abhängigkeitsgleichung nutzen, um einen Vektor durch die anderen zu ersetzen? - Wenn du eine Gleichung hast, die Null ergibt, kannst du sie (oder ein Vielfaches davon) zu einer bestehenden Gleichung addieren, ohne den Wert zu ändern. - Ziel ist es, den Term mit \(\vec{a}\) zu eliminieren.

1. Aus der Bedingung der linearen Abhängigkeit \(\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\) wird der Vektor \(\vec{a}\) isoliert: \(\vec{a} = 2\vec{b} - \vec{c}\). 2. Dieser Ausdruck für \(\vec{a}\) wird in die ursprüngliche Darstellung von \(\vec{v}\) eingesetzt: \(\vec{v} = 4(2\vec{b} - \vec{c}) + 2\vec{b} - 3\vec{c}\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer ergibt: \(\vec{v} = 8\vec{b} - 4\vec{c} + 2\vec{b} - 3\vec{c}\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\): \(\vec{v} = 10\vec{b} - 7\vec{c}\). 5. Die gesuchte Darstellung mit dem Koeffizienten \(0\) für \(\vec{a}\) lautet somit: \(0\vec{a} + 10\vec{b} - 7\vec{c}\).

Die weitere Darstellung lautet \(\vec{v} = 0\vec{a} + 10\vec{b} - 7\vec{c}\).

- Was bedeutet es für die lineare Abhängigkeit, wenn ein Gleichungssystem mehr Lösungen als nur die Null-Lösung hat? - Wie viele Gleichungen erhältst du, wenn du Vektoren mit zwei Komponenten betrachtest? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Unbekannten und der Anzahl der Gleichungen in Bezug auf freie Parameter.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) aus der Vektorgleichung: \(I: r - 2s + 5t = 0\) \(II: 4r + 3s + t = 0\) 2. Lösen des LGS durch Elimination oder Einsetzen: Aus \(I\) folgt \(r = 2s - 5t\). Einsetzen in \(II\) ergibt \(4(2s - 5t) + 3s + t = 0\), woraus \(11s - 19t = 0\) folgt. Somit ist \(s = \frac{19}{11}t\). 3. Bestimmung von \(r\): \(r = 2(\frac{19}{11}t) - 5t = \frac{38}{11}t - \frac{55}{11}t = -\frac{17}{11}t\). 4. Die Lösungsmenge ist \(\{(r; s; t) \mid r = -\frac{17}{11}k; s = \frac{19}{11}k; t = k, k \in \mathbb{R} \}\). 5. Allgemeine Begründung: Für drei Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) ergibt sich ein homogenes LGS mit zwei Gleichungen (für die zwei Komponenten) und drei Unbekannten (die Koeffizienten). Da die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl der Gleichungen, gibt es mindestens eine freie Variable und somit stets nichttriviale Lösungen. Dies impliziert nach Definition lineare Abhängigkeit.

a) \((r; s; t) = \left(-\frac{17}{11}k; \frac{19}{11}k; k\right)\) für beliebiges \(k \in \mathbb{R}\). b) Ein homogenes LGS mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten besitzt stets nichttriviale Lösungen (mehr Unbekannte als Gleichungen), weshalb die Vektoren immer linear abhängig sind.

- Was zeichnet eine Basis im Hinblick auf die Erzeugung von Vektoren aus? - Wie lautet die mathematische Bedingung dafür, dass eine Menge von Vektoren linear abhängig ist? - Kannst du die Gleichung der Linearkombination so umstellen, dass auf einer Seite der Nullvektor steht?

1. Definition der Basis: Eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) ist ein Erzeugendensystem, das aus drei linear unabhängigen Vektoren besteht. Da \(\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\) eine Basis ist, lässt sich jeder beliebige Vektor des Raumes, also auch \(\vec{d}\), als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. Es existieren also Skalare \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}\) mit \(\vec{d} = \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c}\). 2. Umformung zur Definition der linearen Abhängigkeit: Die Gleichung kann zu \(\lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c} - 1 \cdot \vec{d} = \vec{0}\) umgestellt werden. 3. Nachweis der linearen Abhängigkeit: In dieser Linearkombination ist der Koeffizient vor \(\vec{d}\) gleich \(-1\) und damit ungleich null. Da eine Linearkombination des Nullvektors existiert, bei der mindestens ein Koeffizient nicht null ist, ist die Menge \(\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\}\) linear abhängig.

a) Da eine Basis den gesamten Raum aufspannt (Erzeugendensystem), lässt sich jeder Vektor \(\vec{d} \in \mathbb{R}^3\) durch sie kombinieren: \(\vec{d} = \lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c}\). b) Durch Umstellen zu \(\lambda_1 \vec{a} + \lambda_2 \vec{b} + \lambda_3 \vec{c} - 1 \cdot \vec{d} = \vec{0}\) erkennt man eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors (da der Koeffizient \(-1 \neq 0\) ist), was die lineare Abhängigkeit beweist.

- Wann genau bilden drei Vektoren im dreidimensionalen Raum eine Basis? - Welche Bedingung muss für die Koeffizienten gelten, damit Vektoren als linear unabhängig bezeichnet werden? - Versuche, das Gleichungssystem schrittweise zu lösen. Welche Werte müssen die Variablen annehmen, damit der Nullvektor kombiniert werden kann? - Wenn du zeigst, dass die Vektoren linear unabhängig sind, was folgt daraus für die Eigenschaft als Basis in einem Raum mit der gleichen Dimension?

1. Ansatz zur Prüfung der linearen Unabhängigkeit (homogenes Gleichungssystem): \(r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = \vec{0}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(1r + 0s + 2t = 0 \implies r = -2t\) II: \(2r + 1s + 0t = 0\) III: \(0r - 1s + 3t = 0 \implies s = 3t\) 3. Einsetzen der Ausdrücke für \(r\) und \(s\) in Gleichung II: \(2(-2t) + (3t) = 0 \implies -4t + 3t = 0 \implies -t = 0\). 4. Bestimmung der Variablen: Aus \(-t = 0\) folgt \(t = 0\). Daraus ergibt sich \(r = -2(0) = 0\) und \(s = 3(0) = 0\). 5. Schlussfolgerung: Da nur die triviale Lösung \(r=s=t=0\) existiert, sind die Vektoren linear unabhängig. Da es drei linear unabhängige Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) sind, bilden sie eine Basis des \(\mathbb{R}^3\).

Ja, die Vektoren bilden eine Basis des \(\mathbb{R}^3\), da sie linear unabhängig sind. Die Untersuchung des homogenen Gleichungssystems ergibt ausschließlich die triviale Lösung \(r=0\), \(s=0\) und \(t=0\).

- Wann lässt sich ein Vektor als Kombination der anderen darstellen? - Gibt es eine Kenngröße für Matrizen, die direkt über die lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren Auskunft gibt? - Was muss für diese Kenngröße gelten, damit Abhängigkeit vorliegt? - Kommst du mit einem Gleichungssystem ans Ziel, wenn du untersuchst, wann die Linearkombination den Nullvektor ergibt?

1. Aufstellen der Bedingung für lineare Abhängigkeit über die Determinante der aus den Vektoren gebildeten Matrix: \(\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ 3 & 2 & k \end{pmatrix} = 0\). 2. Berechnung der Determinante (z. B. nach der Regel von Sarrus): \(1 \cdot k \cdot k + 0 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 2 - (3 \cdot k \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + k \cdot 2 \cdot 0) = k^2 + 4 - (3k + 2) = k^2 - 3k + 2\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(k^2 - 3k + 2 = 0\) mithilfe der Mitternachtsformel oder des Satzes von Vieta. 4. Die berechneten Nullstellen sind \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 2\). Für diese Werte ist das System linear abhängig.

\(k \in \{1; 2\}\)

- Überlege dir, was es bedeutet, wenn drei Vektoren linear abhängig sind. - Könntest du einen der Vektoren als Summe der anderen beiden (jeweils mit einem Faktor multipliziert) schreiben? - Betrachte die Zeilen des Vektorgleichungssystems einzeln. - Gibt es Zeilen, in denen nur eine Unbekannte vorkommt?

1. Ansatz der Linearkombination für lineare Abhängigkeit: \(\vec{c}_k = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}\) (da \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) offensichtlich keine Vielfachen voneinander sind). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Zeilen 2 und 3: (II) \(1 \cdot r + 0 \cdot s = 2 \Rightarrow r = 2\) (III) \(4 \cdot r - 1 \cdot s = 10\) 3. Einsetzen von \(r = 2\) in Gleichung (III): \(4 \cdot 2 - s = 10 \Rightarrow 8 - s = 10 \Rightarrow s = -2\). 4. Einsetzen der Werte für \(r\) und \(s\) in die erste Gleichung zur Bestimmung von \(k\): (I) \(2 \cdot r + 1 \cdot s = k \Rightarrow 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = k \Rightarrow 4 - 2 = k\). 5. Ergebnis: Für \(k = 2\) sind die Vektoren linear abhängig.

Für \(k = 2\) sind die Vektoren linear abhängig.

- Wähle einen Punkt als Stützpunkt und bilde von dort aus die Vektoren zu den anderen drei Punkten. - Wann liegen drei Vektoren in derselben Ebene? Überlege, was das für ihre lineare Abhängigkeit bedeutet. - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Vektor durch eine Kombination der anderen beiden ausgedrückt werden kann? - Was bedeutet es für die Lage der Punkte, wenn das resultierende Gleichungssystem eine Lösung besitzt?

1. Bildung der Differenzvektoren von einem gemeinsamen Ausgangspunkt (hier \( A \)): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf lineare Abhängigkeit durch den Ansatz \(\vec{AD} = r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}\). Dies führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(2r - s = 1\) (II) \(r + 2s = 3\) (III) \(r + 2s = 3\) 3. Lösung des Systems: Die Gleichungen (II) und (III) sind identisch. Aus (II) ergibt sich \(r = 3 - 2s\). Einsetzen in (I) liefert \(2(3 - 2s) - s = 1 \Leftrightarrow 6 - 5s = 1 \Leftrightarrow s = 1\). Daraus folgt \(r = 1\). 4. Da eine eindeutige Lösung existiert, ist der Vektor \(\vec{AD}\) als Linearkombination von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) darstellbar. Folglich sind die drei Vektoren linear abhängig und die vier Punkte liegen in einer Ebene.

Ja, die Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene, da der Vektor \(\vec{AD}\) eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist (\(\vec{AD} = 1 \cdot \vec{AB} + 1 \cdot \vec{AC}\)).

- Was muss für drei Vektoren im dreidimensionalen Raum gelten, damit sie keine Basis bilden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen linearer Abhängigkeit und der Eigenschaft, eine Basis zu sein. - Du kannst prüfen, ob einer der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellbar ist. - Alternativ hilft dir die Determinante der Matrix, die aus den Vektoren gebildet wird.

1. Drei Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) bilden genau dann keine Basis, wenn sie linear abhängig sind. Dies ist der Fall, wenn die Determinante der aus ihnen gebildeten Matrix null ist oder wenn einer als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann: \(r \cdot \vec{x} + s \cdot \vec{y} = \vec{z}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(1r + 2s = 8\) II: \(-2r + 1s = a\) III: \(3r - 1s = 3\) 3. Lösen des Teil-Systems aus I und III: Aus III folgt \(s = 3r - 3\). Einsetzen in I: \(r + 2(3r - 3) = 8 \implies 7r - 6 = 8 \implies 7r = 14 \implies r = 2\). 4. Bestimmen von \(s\): \(s = 3(2) - 3 = 3\). 5. Einsetzen von \(r = 2\) und \(s = 3\) in Gleichung II zur Bestimmung von \(a\): \(a = -2(2) + 1(3) = -4 + 3 = -1\). 6. Alternativ über die Determinante: \(\det(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) = 1(3 + a) - 2(-6 - 3a) + 8(2 - 3) = 3 + a + 12 + 6a - 8 = 7a + 7\). Setzt man \(7a + 7 = 0\), folgt \(a = -1\).

Die Vektoren bilden für \(a = -1\) keine Basis des \(\mathbb{R}^3\).

- Nutze die Definition der linearen Unabhängigkeit für die ursprünglichen Vektoren \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\). - Setze die Ausdrücke für \(\vec{a}, \vec{b}\) und \(\vec{c}\) in eine allgemeine Linearkombination ein. - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass du die Unabhängigkeit von \(\vec{u}, \vec{v}\) und \(\vec{w}\) ausnutzen kannst? - Was sagt die Existenz einer Lösung, bei der nicht alle Variablen null sind, über die Abhängigkeit aus?

1. Ansatz der Linearkombination: \(x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{b} + z \cdot \vec{c} = \vec{0}\). 2. Einsetzen der Definitionen: \(x(\vec{u} + \vec{v}) + y(\vec{v} - \vec{w}) + z(\vec{u} + \vec{w}) = \vec{0}\). 3. Umordnen nach den Basisvektoren \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\): \((x + z)\vec{u} + (x + y)\vec{v} + (-y + z)\vec{w} = \vec{0}\). 4. Da \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) linear unabhängig sind, müssen die Koeffizienten einzeln null sein: (I) \(x + z = 0 \Rightarrow x = -z\) (II) \(x + y = 0 \Rightarrow -z + y = 0 \Rightarrow y = z\) (III) \(-y + z = 0 \Rightarrow -z + z = 0\). 5. Die Gleichung (III) ist für jedes beliebige \(z\) erfüllt. Wählt man \(z = 1\), erhält man \(x = -1\) und \(y = 1\). 6. Da eine nicht-triviale Lösung (\(x=-1, y=1, z=1\)) existiert, sind die Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}\) und \(\vec{c}\) linear abhängig. Es gilt \(-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\).

Die Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}\) und \(\vec{c}\) sind linear abhängig, da die Linearkombination \(-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\) eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors ermöglicht.

- Erinnere dich an die Definition: Eine Menge ist linear abhängig, wenn mindestens einer ihrer Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. - Was passiert mit der Abhängigkeit einer Menge, wenn du einen weiteren Vektor zu einer bereits abhängigen Teilmenge hinzufügst? - Kannst du ein Beispiel finden, bei dem zwei Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, der dritte aber in eine völlig andere? - Überlege dir im Fall c), was es geometrisch bedeutet, wenn \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) eine Ebene aufspannen und \(\vec{w}\) nicht in dieser Ebene liegt.

a) Die Aussage ist wahr. Nach Definition ist eine Menge von Vektoren linear abhängig, wenn sich der Nullvektor als nichttriviale Linearkombination darstellen lässt. Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) bereits abhängig sind, existiert eine Kombination \(a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0}\) mit \((a; b) \neq (0; 0)\). Dann gilt auch \(a\vec{u} + b\vec{v} + 0\vec{w} = \vec{0}\). b) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Hier ist \(\vec{w}\) keine Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\), aber \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind linear abhängig (\(\vec{v} = 2\vec{u}\)), wodurch das Gesamtsystem abhängig ist. c) Die Aussage ist wahr. Wären sie abhängig, gälte \(x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} = \vec{0}\). Wäre \(z \neq 0\), ließe sich \(\vec{w}\) als Linearkombination von \(\vec{u}, \vec{v}\) schreiben (Widerspruch). Wäre \(z = 0\), müsste \(x\vec{u} + y\vec{v} = \vec{0}\) gelten, was wegen der Unabhängigkeit von \(\vec{u}, \vec{v}\) nur für \(x=y=0\) möglich ist. Also ist nur die triviale Kombination möglich.

a) Wahr: Eine Menge mit einer abhängigen Teilmenge ist immer abhängig. b) Falsch: \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) könnten untereinander abhängig sein (z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)). c) Wahr: Da \(\vec{w}\) nicht in der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Ebene liegt und \(\vec{u}, \vec{v}\) eine Ebene aufspannen (da sie linear unabhängig sind), sind sie zusammen linear unabhängig.

- Genügt es für die Abhängigkeit, wenn nur ein einziger Vektor „überflüssig“ ist, oder müssen alle gegenseitig voneinander abhängen? - Stelle dir die geometrische Lage von Vektoren im Raum vor: Wann „verlässt“ ein dritter Vektor die von den ersten beiden aufgespannte Fläche? - Wenn eine größere Vektormenge linear unabhängig ist, was folgt dann für jede Teilmenge?

1. Falsch. Es reicht aus, wenn mindestens ein Vektor als Linearkombination darstellbar ist. Gegenbeispiel: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Hier ist \(\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}\), die Menge ist also abhängig, aber \(\vec{c}\) lässt sich nicht durch \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) darstellen. 2. Wahr. Lineare Abhängigkeit bei drei Vektoren bedeutet geometrisch, dass sie in derselben Ebene liegen (oder sogar auf derselben Geraden), was dem Begriff der Komplanarität entspricht. 3. Wahr. Wäre eine Teilmenge linear abhängig, gäbe es für diese bereits eine nichttriviale Nulldarstellung. Diese würde dann auch für die gesamte Menge gelten (indem man die fehlenden Vektoren mit dem Koeffizienten 0 multipliziert), was im Widerspruch zur Voraussetzung der Unabhängigkeit der Gesamtmenge stünde.

1. Falsch; 2. Wahr; 3. Wahr.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Darstellung „eindeutig“ ist? - Wie könnte ein Beweis durch Widerspruch hier hilfreich sein? - Nutze die Definition der linearen Unabhängigkeit für den Nullvektor. - Überlege, was passiert, wenn du zwei verschiedene Gleichungen für denselben Vektor voneinander abziehst.

1. Annahme: Es existieren zwei Darstellungen für den Vektor \(\vec{x}\) mit \(\vec{x} = \sum_{i=1}^{n} r_i \vec{a}_i\) und \(\vec{x} = \sum_{i=1}^{n} s_i \vec{a}_i\). 2. Gleichsetzen der Ausdrücke: \(\sum r_i \vec{a}_i = \sum s_i \vec{a}_i\). 3. Subtraktion der einen Seite führt zur Gleichung \(\sum (r_i - s_i) \vec{a}_i = \vec{0}\). 4. Da die Vektoren \(\vec{a}_1, \dots, \vec{a}_n\) nach Voraussetzung linear unabhängig sind, folgt aus der Definition der linearen Unabhängigkeit, dass alle Koeffizienten der Nullkombination gleich Null sein müssen: \(r_i - s_i = 0\) für alle \(i \in \{1, \dots, n\}\). 5. Daraus folgt \(r_i = s_i\) für alle \(i\). Die Koeffizienten sind also identisch, womit die Darstellung eindeutig ist.

Der Beweis erfolgt durch Gleichsetzen zweier potenzieller Darstellungen \(\sum r_i \vec{a}_i = \sum s_i \vec{a}_i\). Durch Umformen erhält man die Linearkombination des Nullvektors \(\sum (r_i - s_i) \vec{a}_i = \vec{0}\). Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Vektoren \(\vec{a}_i\) müssen alle Koeffizienten \(r_i - s_i\) gleich \(0\) sein, woraus \(r_i = s_i\) folgt. Die Darstellung ist somit eindeutig.

- Was ist die Voraussetzung dafür, dass drei Vektoren im dreidimensionalen Raum eine Basis bilden? - Hängt die Unabhängigkeit davon ab, ob die Determinante der Koeffizientenmatrix null oder ungleich null ist? - Wenn du eine Gleichung dritten Grades erhältst, hilft oft das Finden einer ersten Lösung durch Probieren. - Überlege dir, was in den Spezialfällen \(t=1\) oder \(t=-2\) mit den Vektoren passiert.

1. Drei Vektoren bilden im \(\mathbb{R}^3\) genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Determinante der aus ihnen gebildeten Matrix ungleich null ist. 2. Aufstellen und Berechnen der Determinante: \(\det \begin{pmatrix} t & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{pmatrix} = t \cdot (t^2 - 1) - 1 \cdot (t - 1) + 1 \cdot (1 - t) = t^3 - t - t + 1 + 1 - t = t^3 - 3t + 2\). 3. Bestimmung der Nullstellen des Terms \(t^3 - 3t + 2\). Durch Raten findet man \(t_1 = 1\). Polynomdivision oder Horner-Schema ergibt \((t-1)(t^2 + t - 2)\). Weitere Nullstellen der quadratischen Gleichung \(t^2 + t - 2 = 0\) sind \(t_2 = 1\) und \(t_3 = -2\). 4. Die Determinante ist null für \(t = 1\) und \(t = -2\). Folglich bilden die Vektoren für alle anderen Werte eine Basis.

\(t \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 1\}\)

- Erstelle aus drei der Punkte eine Parameterform für eine Ebene. - Setze den vierten Punkt, der den Parameter enthält, in diese Ebenengleichung ein. - Untersuche, für welchen Wert des Parameters das entstehende Gleichungssystem lösbar ist. - Alternativ kannst du das Spatprodukt der drei Vektoren bilden und gleich Null setzen.

1. Wahl eines Bezugspunkts (z. B. \( S \)) und Aufstellen der Vektoren zu den übrigen Punkten: \(\vec{SQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{SR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SP} = \begin{pmatrix} -1 \\ k-1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Die Punkte sind komplanar, wenn \(\vec{SP}\) als Linearkombination von \(\vec{SQ}\) und \(\vec{SR}\) darstellbar ist: \(r \cdot \vec{SQ} + s \cdot \vec{SR} = \vec{SP}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems koordinatenweise: (I) \(-2s = -1\) (II) \(2r = k - 1\) (III) \(-2r + s = -1\) 4. Aus (I) folgt direkt \(s = 0{,}5\). Einsetzen von \(s\) in (III) ergibt \(-2r + 0{,}5 = -1 \Rightarrow -2r = -1{,}5 \Rightarrow r = 0{,}75\). 5. Einsetzen der Werte für \(r\) in Gleichung (II): \(2 \cdot 0{,}75 = k - 1 \Rightarrow 1{,}5 = k - 1 \Rightarrow k = 2{,}5\).

Die Punkte liegen für \( k = 2{,}5 \) in einer gemeinsamen Ebene.