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- Welche Eigenschaften haben alle Punkte, die auf der \(x_2\)-Achse liegen? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Parameterform der Geraden zusammen? - Betrachte die einzelnen Zeilen der Vektorgleichung als separate Gleichungen. - Welche Unbekannte kannst du zuerst bestimmen?

1. Bedingung für einen Punkt auf der \(x_2\)-Achse: Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) müssen null sein (\(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\)). 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Zeilen der Geradengleichung: I: \(a + 2\lambda = 0\) II: \(4 - 2\lambda = 0\) 3. Lösen der Gleichung II nach \(\lambda\): \(2\lambda = 4 \implies \lambda = 2\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in Gleichung I: \(a + 2 \cdot 2 = 0 \implies a = -4\). 5. Berechnung der \(x_2\)-Koordinate des Schnittpunktes: \(x_2 = 1 + 1 \cdot 2 = 3\). 6. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(a + 2\lambda = 0\) und \(4 - 2\lambda = 0\). b) Der Parameterwert ist \(a = -4\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

- Überlege dir, wie man prüft, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. - Kannst du aus den Koordinaten des Punktes ein Gleichungssystem für die Parameter der Ebene aufstellen? - Schau dir die Koordinaten einzeln an. Gibt es eine Zeile, in der nur eine Unbekannte vorkommt? - Wenn du die Parameter der Ebene gefunden hast, wie kannst du damit die fehlende Koordinate berechnen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen des Ortsvektors von \(P\) mit der Ebenengleichung: I: \(4 = 1 + r + 2s\) II: \(3 = 2 + s\) III: \(a = 3 + 2r - s\) 2. Aus Gleichung II folgt direkt \(s = 1\). 3. Einsetzen von \(s = 1\) in Gleichung I: \(4 = 1 + r + 2 \cdot 1 \Rightarrow 4 = 3 + r \Rightarrow r = 1\). 4. Einsetzen der gefundenen Parameter \(r = 1\) und \(s = 1\) in Gleichung III zur Bestimmung von \(a\): \(a = 3 + 2 \cdot 1 - 1 = 4\).

\(a = 4\)

- Wie findest du Punkte auf einer Koordinatenachse? Welche Koordinaten müssen dort Null sein? - Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn eine Variable in der Koordinatengleichung gar nicht vorkommt? - Überlege dir, wie viele Spurpunkte eine Ebene haben muss, um parallel zu einer Achse zu sein. - Kannst du aus der Gleichung direkt ablesen, ob die Ebene durch den Ursprung geht?

1. Berechnung der Spurpunkte für \(E_1\): Setzen von jeweils zwei Koordinaten auf Null in \(2x_1 - 4x_2 + 5x_3 = 20\). - \(x_1\)-Achse (\(x_2=0, x_3=0\)): \(2x_1 = 20 \implies x_1 = 10\). Spurpunkt \(S_1(10|0|0)\). - \(x_2\)-Achse (\(x_1=0, x_3=0\)): \(-4x_2 = 20 \implies x_2 = -5\). Spurpunkt \(S_2(0|-5|0)\). - \(x_3\)-Achse (\(x_1=0, x_2=0\)): \(5x_3 = 20 \implies x_3 = 4\). Spurpunkt \(S_3(0|0|4)\). - Lage von \(E_1\): Da alle Koeffizienten ungleich Null sind, schneidet die Ebene alle drei Koordinatenachsen und liegt schräg im Raum ohne Parallelität zu einer Achse oder Koordinatenebene. 2. Berechnung der Spurpunkte für \(E_2\): Setzen von jeweils zwei Koordinaten auf Null in \(3x_1 + 6x_3 = 18\). - \(x_1\)-Achse (\(x_3=0\)): \(3x_1 = 18 \implies x_1 = 6\). Spurpunkt \(S_1(6|0|0)\). - \(x_2\)-Achse (\(x_1=0, x_3=0\)): \(0 = 18\) führt zu einem Widerspruch. Kein Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse. - \(x_3\)-Achse (\(x_1=0\)): \(6x_3 = 18 \implies x_3 = 3\). Spurpunkt \(S_3(0|0|3)\). - Lage von \(E_2\): Da der Koeffizient von \(x_2\) Null ist, verläuft die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse.

\(E_1\): Spurpunkte \(S_1(10|0|0)\), \(S_2(0|-5|0)\), \(S_3(0|0|4)\). Die Ebene befindet sich in allgemeiner Lage (keine Parallelität zu Achsen). \(E_2\): Spurpunkte \(S_1(6|0|0)\), \(S_3(0|0|3)\). Die Ebene ist parallel zur \(x_2\)-Achse.

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was passiert mathematisch, wenn du die Koordinaten der Geradenpunkte in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Bedeutung haben die verschiedenen möglichen Ergebnisse für die Anzahl der Lösungen (keine, eine, unendlich viele) für die Lage der Geraden zur Ebene?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradenpunkte \((1+r|1+2r|1-r)\) in die Ebenengleichung: \((1+r) - (1+2r) + 2(1-r) = -4\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(1 + r - 1 - 2r + 2 - 2r = -4\), woraus \(-3r + 2 = -4\) folgt. 4. Lösen nach \(r\): \(-3r = -6 \Rightarrow r = 2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) durch Einsetzen von \(r=2\) in \(g\): \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\). Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt \(S(3|5|-1)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(3|5|-1)\).

- Was sagt die Beziehung zwischen den Richtungsvektoren über den Verlauf der Geraden aus? - Wenn zwei Geraden in dieselbe Richtung zeigen, welche zwei Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es dann? - Wie kannst du herausfinden, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt? - Was bedeutet es für die gesamte Gerade, wenn bereits ein einziger Punkt gemeinsam ist und die Richtungen übereinstimmen?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: Es wird geprüft, ob ein Skalar \(k\) existiert, sodass \(\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -15 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\). Die komponentenweise Division ergibt \(-3 : 2 = -1{,}5\), \(6 : (-4) = -1{,}5\) und \(-15 : 10 = -1{,}5\). Da \(k = -1{,}5\) für alle Komponenten gilt, sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Geraden sind somit parallel oder identisch. 2. Punktprobe: Es wird geprüft, ob der Stützpunkt von \(h\), \(P(2|6|-17)\), auf der Geraden \(g\) liegt. Dazu wird das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}\) gelöst. Aus der ersten Zeile folgt \(2 = 5 + 2\lambda \Rightarrow \lambda = -1{,}5\). Einsetzen in die zweite Zeile: \(0 - 4 \cdot (-1{,}5) = 6\) (wahre Aussage). Einsetzen in die dritte Zeile: \(-2 + 10 \cdot (-1{,}5) = -17\) (wahre Aussage). Da der Punkt \(P\) auf \(g\) liegt, sind die Geraden identisch.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch.

- Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben alle Geraden der Schar \(k_p\)? - Welche Koordinaten (\(x\), \(y\) oder \(z\)) müssen bei einem Punkt auf der \(z\)-Achse Null sein? - Versuche, ein Gleichungssystem für einen möglichen Schnittpunkt aufzustellen und untersuche es auf Widersprüche. - Überlege dir, welche Punkte die Gerade \(g\) überhaupt erreichen kann.

1. Die Geraden der Schar \(k_p\) verlaufen für alle \(p \neq 0\) entlang der \(z\)-Achse, da ihr Stützpunkt der Ursprung ist und der Richtungsvektor nur eine \(z\)-Komponente besitzt. 2. Ein Schnittpunkt mit \(g\) müsste die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten \(0\) besitzen (Bedingung für Punkte auf der \(z\)-Achse). 3. Prüfung der \(x\)-Koordinate von \(g\): \(5 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -2{,}5\). 4. Prüfung der \(y\)-Koordinate von \(g\): \(0 + 1\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0\). 5. Da \(\lambda\) nicht gleichzeitig \(-2{,}5\) und \(0\) sein kann, existiert kein Punkt auf \(g\), der auf der \(z\)-Achse liegt. Somit gibt es keinen Schnittpunkt.

Die Geraden \(k_p\) liegen alle auf der \(z\)-Achse. Ein Schnittpunkt müsste die Koordinaten \(x=0\) und \(y=0\) haben. Für die Gerade \(g\) führt dies auf die widersprüchlichen Bedingungen \(\lambda = -2{,}5\) (aus \(x=0\)) und \(\lambda = 0\) (aus \(y=0\)). Daher gibt es keinen Schnittpunkt.

- Wie bestimmst du aus zwei gegebenen Punkten eine Geradengleichung in Parameterform? - Was verraten dir die Richtungsvektoren über die mögliche Lagebeziehung der Geraden? - Wenn Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, welche zwei Fälle der Lagebeziehung bleiben dann noch übrig? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob zwei parallele Geraden tatsächlich verschiedene Geraden im Raum beschreiben?

1. Aufstellen der Parameterform für \(g\): Der Richtungsvektor ist \(\vec{v}_g = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Damit gilt \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Vergleich der Richtungsvektoren: Es ist \(\vec{v}_g = 2 \cdot \vec{v}_h\), da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\). Die Richtungsvektoren sind kollinear, die Geraden also parallel oder identisch. 3. Punktprobe zur Unterscheidung: Prüfen, ob der Stützpunkt \(A(2 | -1 | 4)\) von \(g\) auf \(h\) liegt. Einsetzen ergibt das System \(1 + t = 2 \Rightarrow t = 1\); \(0 + t = -1 \Rightarrow t = -1\). Da die Gleichungen widersprüchliche Werte \(t=1\) und \(t=-1\) liefern, liegt der Punkt nicht auf \(h\). 4. Ergebnis: Die Geraden sind echt parallel.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind echt parallel.

- Kannst du die allgemeine Form eines Punktes der Ebene \(F\) direkt in die Gleichung von \(E\) einsetzen? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn die resultierende Gleichung für alle, für keine oder nur für bestimmte Parameterkombinationen lösbar ist? - Überprüfe deine Vereinfachung der Terme sorgfältig.

1. Einsetzen der Koordinaten der Parameterform von \(F\) (\(x_1 = 1 + 2\lambda + \mu\), \(x_2 = 2 + \mu\), \(x_3 = 1 + \lambda + \mu\)) in die Koordinatengleichung von \(E\): \((1 + 2\lambda + \mu) + (2 + \mu) - 2(1 + \lambda + \mu) = 2\) 2. Vereinfachen der Gleichung: \(1 + 2\lambda + \mu + 2 + \mu - 2 - 2\lambda - 2\mu = 2\) \(1 = 2\) 3. Interpretation des Ergebnisses: Die lineare Gleichung führt auf einen Widerspruch (\(1 = 2\)). Dies bedeutet, dass es keine Parameterwerte \(\lambda, \mu\) gibt, die die Gleichung von \(E\) erfüllen. 4. Schlussfolgerung: Die Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte. Da sie im \(\mathbb{R}^3\) liegen und nicht identisch sind, müssen sie echt parallel zueinander sein.

Die Ebenen \(E\) und \(F\) sind echt parallel zueinander. Es gibt keine Schnittgerade.

- Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer darauf senkrecht stehenden Geraden zusammen? - Wo kannst du in der Koordinatengleichung der Ebene die Komponenten des Normalenvektors finden? - Welche Informationen benötigst du grundsätzlich, um eine Gerade in Parameterform aufzustellen?

1. Aus der Koordinatenform der Ebene \(E\) wird der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) abgelesen. 2. Da die Gerade \(g\) orthogonal zur Ebene verlaufen soll, entspricht ihr Richtungsvektor dem Normalenvektor der Ebene. 3. Mit dem Punkt \(P\) als Stützpunkt ergibt sich die Geradengleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\).

\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors)

- Welche Vektoren bestimmen die Ausrichtung der Ebene und welcher Vektor die der Geraden? - Wie kannst du mit Hilfe des Skalarprodukts feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen? - Was musst du über die Spannvektoren der Ebene wissen, damit sie eine Ebene und keine Gerade aufspannen?

1. Identifikation der Richtungs- und Spannvektoren: Richtungsvektor der Geraden \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\), Spannvektoren der Ebene \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität: Da \(\vec{u}\) kein Vielfaches von \(\vec{v}\) ist, sind die Spannvektoren nicht parallel und definieren eindeutig eine Ebene. 3. Berechnung des Skalarprodukts \(\vec{w} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0\). 4. Berechnung des Skalarprodukts \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0\). 5. Da der Richtungsvektor der Geraden auf beiden Spannvektoren senkrecht steht, ist die Gerade \(g\) orthogonal zur Ebene \(E\).

Die Gerade \(g\) steht orthogonal zur Ebene \(E\), da ihr Richtungsvektor \(\vec{w}\) sowohl zum Spannvektor \(\vec{u}\) als auch zum Spannvektor \(\vec{v}\) orthogonal ist (\(\vec{w} \cdot \vec{u} = 0\) und \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 0\)) und die Spannvektoren nicht parallel zueinander sind.

- Wie hängen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden vom Parameter ab? - Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er in der Ebene liegt? - Kannst du die Ausdrücke für die Koordinaten aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen? - Wenn du den Wert für den Parameter gefunden hast, wie kommst du dann zum gesuchten Punkt?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradenkomponenten \(x_1 = 5 + 2r\), \(x_2 = -2 + r\) und \(x_3 = 1 - r\) in die Ebenengleichung: \(3(5 + 2r) - (-2 + r) + 2(1 - r) = 10\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(15 + 6r + 2 - r + 2 - 2r = 10 \Rightarrow 19 + 3r = 10\). 4. Lösen nach dem Parameter \(r\): \(3r = -9 \Rightarrow r = -3\). 5. Berechnen des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(r = -3\) in die Geradengleichung: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 + 2 \cdot (-3) \\ -2 + (-3) \\ 1 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(-1 \mid -5 \mid 4)\).

\(S(-1 \mid -5 \mid 4)\)

- Wie kannst du die Richtung des Laserstrahls mithilfe der gegebenen Punkte als Vektor darstellen? - Stelle eine Gleichung für die Gerade auf, die den Weg des Lasers beschreibt. - Wie lässt sich ein allgemeiner Punkt der Geraden in die Ebenengleichung einsetzen? - Was bedeutet der Wert des berechneten Parameters für die Richtung des Strahls?

1. Aufstellen der Geradengleichung für den Laserstrahl: Der Stützpunkt ist \(L(4|-2|1)\) und der Richtungsvektor ergibt sich aus \(\vec{LM} = \vec{M} - \vec{L} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 1-(-2) \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Gerade lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \(3 \cdot (4 + 2t) - (-2 + 3t) + 2 \cdot (1 + 2t) = 30\). 3. Auflösen nach dem Parameter \(t\): \(12 + 6t + 2 - 3t + 2 + 4t = 30 \Rightarrow 7t + 16 = 30 \Rightarrow 7t = 14 \Rightarrow t = 2\). 4. Da \(t > 0\), trifft der Strahl die Wand. Berechnung des Schnittpunktes durch Einsetzen von \(t=2\) in \(g\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Der Laserstrahl trifft die Wand im Punkt \(S(8|4|5)\).

- Was muss für den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene gelten, damit sie parallel sind? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt einer Geraden auch in einer Ebene liegt? - Was bedeutet es für die Anzahl der Schnittpunkte, wenn die Parallelitätsbedingung erfüllt ist, der Stützpunkt der Geraden aber nicht in der Ebene liegt?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\) aus der Koordinatenform: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität durch das Skalarprodukt von Richtungsvektor \(\vec{v}\) der Geraden und Normalenvektor \(\vec{n}\): \(\vec{v} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 2 + 4 - 6 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, steht der Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor, woraus \(g \parallel E\) folgt. 3. Prüfung, ob der Stützpunkt \(P(4|1|1)\) der Geraden in der Ebene liegt: Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \(4 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 4\). Da \(4 \neq 8\) ist, liegt der Punkt nicht in der Ebene. 4. Schlussfolgerung: Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft, aber ihr Stützpunkt nicht in der Ebene liegt, ist die Gerade echt parallel zur Ebene und besitzt keine gemeinsamen Punkte.

Die Gerade \(g\) ist parallel zur Ebene \(E\), da das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor null ergibt. Da der Stützpunkt \(P(4|1|1)\) die Ebenengleichung nicht erfüllt (\(4 \neq 8\)), verlaufen Gerade und Ebene echt parallel. Sie haben somit keinen gemeinsamen Punkt.

- Schau dir die Zahlen vor den Variablen genau an. Gibt es eine Zahl, mit der du eine Gleichung multiplizieren kannst, um die andere zu erhalten? - Achte darauf, ob sich diese Zahl auch auf das Ergebnis nach dem Gleichheitszeichen bezieht. - Was sagt die Richtung des Normalenvektors über die Ausrichtung der Ebene im Raum aus?

1. Vergleich von \(E_1\) und \(E_2\): Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_1 = -2 \cdot \vec{n}_2\). Auch für die rechten Seiten gilt \(10 = -2 \cdot (-5)\). Da die gesamte Gleichung von \(E_1\) ein Vielfaches der Gleichung von \(E_2\) ist, sind die Ebenen identisch. 2. Vergleich von \(E_2\) und \(E_3\): Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_2 = -1 \cdot \vec{n}_3\). Für die rechten Seiten gilt jedoch \(-5 \neq -1 \cdot 7\). Da nur die Normalenvektoren kollinear sind, aber die Gleichungen insgesamt keine Vielfachen voneinander sind, liegen \(E_2\) und \(E_3\) echt parallel zueinander. 3. Allgemeine Begründung: Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren kollinear (Vielfache voneinander) sind. Dies erkennt man an der Proportionalität der Koeffizienten von \(x_1, x_2\) und \(x_3\). Sind auch die Konstanten auf der rechten Seite im gleichen Verhältnis, sind die Ebenen identisch; ansonsten sind sie echt parallel.

a) \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch, da die Gleichung von \(E_1\) das \((-2)\)-fache der Gleichung von \(E_2\) ist. b) \(E_2\) und \(E_3\) sind echt parallel, da ihre Normalenvektoren antiparallel sind (\(\vec{n}_2 = -\vec{n}_3\)), aber die Konstanten (\(-5\) und \(7\)) nicht im selben Verhältnis stehen. c) Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren (die Koeffizienten von \(x_1, x_2, x_3\)) linear abhängig sind. Sie sind identisch, wenn dies auch für die rechte Seite der Gleichung gilt.

- Was sagen die Normalenvektoren über die gegenseitige Lage von zwei Ebenen aus? - Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander? Was folgt daraus für die Lage? - Wann stellt eine Gleichung dieselbe Punktmenge dar wie eine andere? - Wenn die Normalenvektoren parallel sind, welche zwei Fälle musst du dann noch unterscheiden?

1. Vergleich der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Feststellung der Kollinearität: Da \(\vec{n}_1 = -3 \cdot \vec{n}_2\), sind die Normalenvektoren parallel, womit die Ebenen entweder parallel oder identisch sind. 3. Untersuchung auf Identität für Teilaufgabe a): Division der Gleichung von \(E_1\) durch \(3\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\). Multiplikation der Gleichung von \(E_2\) mit \(-1\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = -k\). Die Ebenen sind identisch, wenn \(4 = -k\), also \(k = -4\). 4. Analyse für Teilaufgabe b): Für \(k = 0\) lauten die vereinfachten Gleichungen \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\) und \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0\). Da die Normalenvektoren parallel sind, aber die rechten Seiten der (normierten) Gleichungen verschieden sind, besitzen die Ebenen keine gemeinsamen Punkte. Sie sind somit echt parallel.

a) Die Ebenen sind identisch für \(k = -4\). b) Für \(k = 0\) sind die Ebenen echt parallel (parallel und nicht identisch), da ihre Normalenvektoren kollinear sind, sie aber keinen gemeinsamen Punkt besitzen (die Gleichungen führen auf einen Widerspruch \(4 = 0\)).

- Setze die Ausdrücke für die Koordinaten aus der Parameterform in die Koordinatengleichung ein, genau wie bei einer Schnittpunktberechnung. - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn die Parameter in deiner Rechnung plötzlich wegfallen? - Überlege, welche Rolle die Zahl auf der rechten Seite der Koordinatengleichung für die Lage im Raum spielt. - Wann hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung und wann unendlich viele?

1. Einsetzen der Parameterdarstellung von \(E_2\) (\(x_1 = 1 + \lambda + \mu\), \(x_2 = 2 - 2\mu\), \(x_3 = 1 + \lambda\)) in die Koordinatengleichung von \(E_1\): \(2 \cdot (1 + \lambda + \mu) + (2 - 2\mu) - 2 \cdot (1 + \lambda) = d\). 2. Vereinfachen der linken Seite: \(2 + 2\lambda + 2\mu + 2 - 2\mu - 2 - 2\lambda = d\). 3. Zusammenfassen der Terme: Die Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) heben sich vollständig auf (\(2\lambda - 2\lambda = 0\) und \(2\mu - 2\mu = 0\)). Es bleibt die Bedingung: \(2 = d\). 4. Interpretation des Ergebnisses: Ist \(d = 2\), so ist die Gleichung für beliebige Werte von \(\lambda\) und \(\mu\) erfüllt. Jeder Punkt von \(E_2\) liegt also in \(E_1\), die Ebenen sind identisch. 5. Ist \(d \neq 2\), so ergibt sich ein Widerspruch (z. B. \(2 = 5\)), was bedeutet, dass kein Punkt von \(E_2\) in \(E_1\) liegt. Da die Richtungsvektoren von \(E_2\) senkrecht auf dem Normalenvektor von \(E_1\) stehen, verlaufen die Ebenen echt parallel.

Für \(d = 2\) sind die Ebenen identisch. Für \(d \neq 2\) sind die Ebenen echt parallel.

- Beachte, dass in der Gleichung eine Koordinate fehlen kann. Was bedeutet das für den Normalenvektor? - Wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizierst, ändert sich die dargestellte Ebene nicht. - Welche Koordinaten hat der Ursprung? - Überlege, welcher Teil der Koordinatengleichung die Ausrichtung im Raum bestimmt und welcher Teil die Verschiebung.

1. Analyse von \(E\) und \(F\): Der Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_E = -2 \cdot \vec{n}_F\). 2. Vergleich der Konstanten: Multipliziert man die Gleichung von \(F\) mit \(-2\), ergibt sich \(3x_1 + 4x_3 = 12\). Dies entspricht exakt der Gleichung von \(E\), weshalb die Ebenen identisch sind. 3. Ebene durch den Ursprung: Parallelität zu \(E\) bedeutet gleicher Normalenvektor. Der Ansatz lautet \(3x_1 + 4x_3 = d\). Da die Ebene durch \(O(0 \mid 0 \mid 0)\) geht, muss \(3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0\) gelten, also \(d = 0\). Die Gleichung ist \(G: 3x_1 + 4x_3 = 0\). 4. Ebenenschar: Die parallelen Ebenen unterscheiden sich nur durch den Achsenabschnitt bzw. die Konstante \(d\). Die allgemeine Form ist \(3x_1 + 4x_3 = d\) für beliebige \(d \in \mathbb{R}\).

a) Die Ebenen \(E\) und \(F\) sind identisch. b) \(G: 3x_1 + 4x_3 = 0\) c) Die Gleichungen haben die Form \(3x_1 + 4x_3 = d\) mit \(d \in \mathbb{R}\).

- Wie prüft man die Parallelität zweier Ebenen mithilfe ihrer Normalenvektoren? - Wie setzt man einen Punkt in eine Ebenengleichung ein? - Überlege, wie viele gemeinsame Punkte zwei verschiedene parallele Ebenen haben können. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist?

1. Vergleich der Normalenvektoren: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{F_t} = \begin{pmatrix} 10 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_{F_t} = 2 \cdot \vec{n}_E\). Da die Normalenvektoren kollinear sind, sind die Ebenen für alle \(t\) parallel (oder identisch). 2. Punktprobe mit \(P(1|1|1)\) in \(F_t\): \(10 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = t \Rightarrow 10 - 4 + 2 = 8\). Somit ist \(t = 8\). 3. Für \(t = 8\) lautet die Gleichung \(F_8: 10x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 8\). Dividiert man diese Gleichung durch \(2\), erhält man \(5x_1 - 2x_2 + x_3 = 4\), was exakt der Gleichung von \(E\) entspricht. Die Ebenen \(F_8\) und \(E\) sind somit identisch. Alternativ: Da \(P(1|1|1)\) auch in \(E\) liegt (\(5-2+1=4\)) und die Ebenen parallel sind, müssen sie identisch sein.

1. Nachweis über Kollinearität der Normalenvektoren: \(\vec{n}_{F_t} = 2 \cdot \vec{n}_E\). 2. \(t = 8\) 3. Die Ebenen \(F_8\) und \(E\) sind identisch, da die Koordinatengleichung von \(F_8\) durch Multiplikation der Gleichung von \(E\) mit dem Faktor \(2\) entsteht (bzw. da sie parallel sind und einen gemeinsamen Punkt \(P\) besitzen).

- Überlege zuerst, wie man die Gleichheit der Ortsvektoren beider Geraden mathematisch formuliert. - Wie viele Variablen hast du und wie viele Gleichungen ergeben sich daraus? - Wenn du Werte für die Parameter gefunden hast, die zwei Gleichungen lösen, was musst du mit der dritten Gleichung tun? - Was bedeutet es geometrisch für die Lage der Geraden, wenn das System keine Lösung hat?

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(1 + 2r = 5 - s\) (II) \(2 - r = 2s\) (III) \(5 + 3r = 11 + s\) 2. Umformen der Gleichungen (I) und (II) ergibt ein System für \(r\) und \(s\): (I') \(2r + s = 4\) (II') \(r + 2s = 2\) 3. Lösen dieses Teilsystems: Aus (II') folgt \(r = 2 - 2s\). Einsetzen in (I') liefert \(2 \cdot (2 - 2s) + s = 4 \Rightarrow 4 - 4s + s = 4 \Rightarrow -3s = 0 \Rightarrow s = 0\). Daraus folgt \(r = 2\). 4. Überprüfung der Lösung in Gleichung (III): \(5 + 3 \cdot 2 = 11 + 0 \Rightarrow 11 = 11\). Da die Gleichung erfüllt ist, schneiden sich die Geraden. 5. Berechnung des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(r = 2\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 11 \end{pmatrix}\).

Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(5|0|11)\).

- Was muss für die Ortsvektoren gelten, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt treffen? - Versuche, ein Gleichungssystem für die Parameter der Geraden aufzustellen. - Welche Gleichungen enthalten die wenigsten Unbekannten? Beginne mit diesen. - Wie kannst du überprüfen, ob dein berechneter Parameter \(b\) tatsächlich zu einem Schnittpunkt führt?

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen \(g\) und \(h_b\), um den Schnittpunkt zu finden: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ b \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(2 + r = 4\) II: \(3 = b + s\) III: \(1 + 2r = 3 + s\) 3. Aus Gleichung I folgt direkt \(r = 2\). 4. Einsetzen von \(r = 2\) in Gleichung III: \(1 + 2 \cdot 2 = 3 + s \implies 5 = 3 + s \implies s = 2\). 5. Einsetzen von \(s = 2\) in Gleichung II zur Bestimmung von \(b\): \(3 = b + 2 \implies b = 1\). 6. Berechnung des Schnittpunktes durch Einsetzen von \(r = 2\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 3 + 0 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Für \(b = 1\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4 \mid 3 \mid 5)\).

- Wie stellst du eine Gerade auf, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Koordinate muss für einen Punkt in der \(x_1x_2\)-Ebene Null sein? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum?

1. Aufstellen der Geradengleichung für \(g\): Mit dem Stützvektor \(\vec{A}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Spurpunktes \(S\) in der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus der Bedingung \(4 - 6t = 0\) folgt \(t = \frac{2}{3}\). Einsetzen in die Geradengleichung liefert \(x_1 = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 4\) und \(x_2 = -3 + 3 \cdot \frac{2}{3} = -1\). Somit ist \(S(4|-1|0)\). 3. Berechnung der Streckenlänge \(|\vec{SQ}|\): Mit \(\vec{SQ} = \vec{Q} - \vec{S} = \begin{pmatrix} 0-4 \\ 1-(-1) \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) folgt für die Länge \(d = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

a) \(S(4|-1|0)\) b) \(d = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? - Was sagt das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren über deren Winkel aus? - Unterscheide zwischen den Bedingungen für die Richtung der Geraden und ihrer Lage im Raum.

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Es muss also gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = -4k\), also \(k = -0{,}5\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(a = -0{,}5 \cdot 6 = -3\). Die Überprüfung der dritten Komponente (\(-3 = -0{,}5 \cdot 6\)) bestätigt die lineare Abhängigkeit für \(a = -3\). 2. Die Richtungsvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es muss gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0\). Dies führt zur Gleichung \(a \cdot 1 + 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 = 0\). Vereinfacht ergibt sich \(a + 8 - 6 = 0\), woraus \(a = -2\) folgt.

1. \(a = -3\) 2. \(a = -2\)

- Wie prüft man, ob zwei Richtungsvektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen? - Wenn zwei Geraden parallel sind, wie findet man heraus, ob sie eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Orthogonalität? - Haben die Geraden einen gemeinsamen Punkt?

1. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) sind linear abhängig, da \(\vec{u}_h = -2 \cdot \vec{u}_g\). Somit sind die Geraden parallel oder identisch. Die Punktprobe mit dem Stützvektor von \(h\) in \(g\) ergibt: \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Dies führt in allen drei Zeilen auf \(r = 1\). Da der Punkt auf \(g\) liegt, sind die Geraden \(g\) und \(h\) identisch. 2. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind linear unabhängig. Das Skalarprodukt ist \(\vec{u}_g \cdot \vec{u}_k = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 0\), woraus folgt, dass die Geraden orthogonal sind. Da beide Geraden den gleichen Stützvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) besitzen, schneiden sie sich in diesem Punkt.

\(g\) und \(h\) sind identisch. \(g\) und \(k\) sind zueinander orthogonal und schneiden sich im Punkt \((1|2|0)\).

- Welche Koordinate muss in der \(x_2x_3\)-Ebene immer den Wert Null haben? - Wie viele Koordinaten eines Punktes müssen Null sein, damit er auf einer Koordinatenachse liegt? - Nutze die Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil, um die Bedingungen für den zweiten Teil schneller zu prüfen.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate der Geradengleichung gleich Null gesetzt: \(6 + 3\lambda = 0\). Dies liefert den Parameterwert \(\lambda = -2\). 2. Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die übrigen Koordinatengleichungen: \(x_2 = k - 2 \cdot (-2) = k + 4\) und \(x_3 = k - 2 + (-2) = k - 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\). 3. Für einen Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse müssen sowohl die \(x_1\)- als auch die \(x_3\)-Koordinate Null sein. Aus \(x_1 = 0\) folgt wie oben \(\lambda = -2\). 4. Bedingung \(x_3 = 0\) mit \(\lambda = -2\): \(k - 4 = 0 \implies k = 4\). 5. Berechnung der verbleibenden Koordinate \(x_2\) für \(k = 4\): \(x_2 = 4 + 4 = 8\). Der Schnittpunkt ist \(P(0 | 8 | 0)\).

a) \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\) b) \(k = 4\); Schnittpunkt \(P(0 | 8 | 0)\)

- Was bedeutet es für die Komponenten eines Richtungsvektors, wenn eine Gerade parallel zu einer Koordinatenebene verläuft? - Welche Koordinaten hat der Ursprung im dreidimensionalen Raum? - Überlege dir, welchen Wert der Parameter \(\mu\) annehmen muss, damit die \(x_3\)-Koordinate verschwindet.

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus \(1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Einsetzen in die anderen Koordinaten ergibt \(x_1 = 4 + 1 \cdot (c - 2) = c + 2\) und \(x_2 = c + 1 \cdot 2 = c + 2\). Der Punkt ist \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\). 2. Nachweis Ursprung für \(c = -2\): Ein Punkt auf der Geraden ist der Ursprung, wenn alle drei Koordinaten Null werden können. Aus \(x_3 = 1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Für \(c = -2\) ergibt sich \(x_1 = 4 + 1 \cdot (-2 - 2) = 0\) und \(x_2 = -2 + 1 \cdot 2 = 0\). Da alle Koordinaten Null sind, verläuft \(h_{-2}\) durch \((0|0|0)\). 3. Parallelität zur \(x_2x_3\)-Ebene: Eine Gerade ist parallel zu dieser Ebene, wenn ihr Richtungsvektor keine Komponente in \(x_1\)-Richtung hat (Skalarprodukt mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist Null). Daraus folgt \(c - 2 = 0\), also \(c = 2\). Da der Stützpunkt \((4|2|1)\) nicht in der Ebene \(x_1 = 0\) liegt, ist die Gerade echt parallel.

a) \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\) b) Für \(c = -2\) und \(\mu = 1\) ergibt sich der Punkt \((0 | 0 | 0)\). c) \(c = 2\), da in diesem Fall die \(x_1\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist.

- Schau dir zuerst die Richtungsvektoren an: Sind sie Vielfache voneinander? - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind? - Wie kannst du ein System aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen? - Vergiss nicht, deine berechneten Werte in der dritten Gleichung zu überprüfen. - Wie kommst du vom Parameterwert zum Punkt auf der Geraden?

1. Prüfung der Richtungsvektoren auf Kollinearität: Da \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) keine Lösung für \(k\) besitzt, sind die Richtungsvektoren nicht parallel. 2. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zum linearen Gleichungssystem (LGS): (I) \(1 + 2r = 4 - s \Rightarrow 2r + s = 3\) (II) \(1 + r = 2s \Rightarrow r - 2s = -1\) (III) \(4 - 3r = 5 - 4s \Rightarrow -3r + 4s = 1\) 3. Lösen des Teilsystems aus (I) und (II): Multiplikation von (II) mit \(2\) und Subtraktion von (I) ergibt \(5s = 5\), also \(s = 1\). Einsetzen in (I) ergibt \(2r + 1 = 3\), also \(r = 1\). 4. Überprüfung mit (III): \(-3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 1\). Die Gleichung ist erfüllt, das LGS ist konsistent. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\) durch Einsetzen von \(r = 1\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 1)\).

Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 1)\).

- Erinnere dich daran, dass drei linear unabhängige Vektoren ein Volumen aufspannen. Was bedeutet das für die Lage von zwei Geraden? - Was ist der Unterschied zwischen der Abhängigkeit von nur zwei Vektoren im Vergleich zu drei Vektoren? - Überlege dir, wie man prüft, ob ein Punkt einer Geraden auf einer anderen Geraden liegt, und wie sich das in Vektoren ausdrückt.

1. Wenn drei Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) linear unabhängig sind, sind sie nicht komplanar. Da die Richtungsvektoren somit auch nicht linear abhängig sein können, sind die Geraden weder parallel noch schneiden sie sich. Es bleibt nur die Lagebeziehung windschief. 2. Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig sind, sind die Geraden nicht parallel. Die lineare Abhängigkeit des Tripels \(\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}\) bedeutet, dass die Geraden in einer Ebene liegen. Nicht-parallele Geraden in einer Ebene müssen sich schneiden. 3. Die Abhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zeigt an, dass die Geraden parallel oder identisch sind. Die Abhängigkeit von \(\vec{u}\) und \(\vec{w}\) bedeutet, dass der Vektor zwischen den Stützpunkten in Richtung der Geraden zeigt, der Stützpunkt von \(h\) also auf \(g\) liegt. Somit sind die Geraden identisch.

1. windschief 2. schneidend 3. identisch

- Überlege dir, wie man einen beliebigen Punkt auf der Geraden \(g\) allgemein mit Hilfe des Parameters beschreiben kann. - Wenn zwei Geraden sich senkrecht schneiden, was muss dann für ihre Richtungsvektoren gelten? - Der Richtungsvektor der gesuchten Geraden führt vom gegebenen Punkt zum Schnittpunkt auf der Geraden \(g\). - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Orthogonalität zweier Vektoren zu prüfen oder zu erzwingen?

1. Ein allgemeiner Punkt \(F_t\) auf der Geraden \(g\) hat die Koordinaten \(F_t(1+t|1+2t|1+2t)\). 2. Der Verbindungsvektor zwischen dem Punkt \(A\) und \(F_t\) wird aufgestellt: \(\vec{AF_t} = \begin{pmatrix} 1+t-4 \\ 1+2t-2 \\ 1+2t-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t-3 \\ 2t-1 \\ 2t-2 \end{pmatrix}\). 3. Da \(h\) die Gerade \(g\) senkrecht schneiden soll, muss der Vektor \(\vec{AF_t}\) orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) von \(g\) sein. Die Bedingung \(\vec{AF_t} \cdot \vec{v} = 0\) ergibt: \((t-3) \cdot 1 + (2t-1) \cdot 2 + (2t-2) \cdot 2 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(t-3 + 4t-2 + 4t-4 = 9t - 9 = 0 \Rightarrow t = 1\). 5. Einsetzen von \(t=1\) in \(\vec{AF_t}\) liefert den Richtungsvektor der Geraden \(h\): \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 6. Mit dem Stützpunkt \(A\) ergibt sich die Geradengleichung \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

\(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form)

- Überlege zuerst, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder nicht. - Wie gehst du vor, wenn du prüfen willst, ob zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben? - Wie verändert sich die Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? - Welche Koordinaten haben Punkte, die auf einer Koordinatenachse liegen? - Erinnere dich daran, dass zwei Geraden genau dann einen Schnittpunkt haben, wenn das zugehörige Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt.

1. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden nicht parallel. 2. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(4 + 2t = 1 + s\), \(-1 + 4t = 3 + s\) und \(2 - 4t = s\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(t = 3{,}5\) und \(s = 10\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-12 = 10\) (falsch). Die Geraden sind windschief. 3. Richtungsvektor für \(m\): Da \(m \parallel g\), ist der Richtungsvektor ein Vielfaches von \(\vec{u}_g\). Es gilt \(|\vec{u}_g| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = 6\). Für den Betrag 3 muss der Vektor mit \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) (oder \(-0{,}5\)) multipliziert werden. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Schnitt von \(g\) und \(n\): Ansatz für \(n: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_P \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Gleichsetzen mit \(g\) ergibt das System \(x_P + \lambda = 4 + 2t\), \(\lambda = -1 + 4t\) und \(\lambda = 2 - 4t\). Aus den letzten beiden folgt \(8t = 3 \Rightarrow t = 0{,}375\) und \(\lambda = 0{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_P + 0{,}5 = 4 + 0{,}75 \Rightarrow x_P = 4{,}25\). Der Punkt ist \(P(4{,}25|0|0)\).

a) Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_m = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)). c) Der Punkt auf der \(x_1\)-Achse ist \(P(4{,}25|0|0)\).

- Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? - Was bedeutet es für die Lage, wenn das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für beide Parameter besitzt? - Wie kannst du sicherstellen, dass ein berechneter Punkt tatsächlich auf beiden Geraden liegt?

Zunächst wird geprüft, ob die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}^\top\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}^\top\) kollinear sind. Da kein Skalar \(c\) existiert mit \(\vec{u} = c \cdot \vec{v}\), sind die Geraden entweder schneidend oder windschief. Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen ergibt sich das lineare Gleichungssystem: 1) \(t = 5 - 2k\) 2) \(2 - t = -1 + k\) 3) \(4 + 2t = 4 + k\) Aus Gleichung 3 folgt \(2t = k\). Einsetzen in Gleichung 2 ergibt \(2 - t = -1 + 2t\), woraus \(3t = 3\) und somit \(t = 1\) folgt. Damit ergibt sich \(k = 2\). Die Überprüfung in Gleichung 1 liefert \(1 = 5 - 2 \cdot 2\), was eine wahre Aussage ist. Die Geraden schneiden sich. Der Schnittpunkt \(S\) ergibt sich durch Einsetzen von \(t = 1\) in \(g\) zu \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}^\top + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}^\top = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}^\top\).

Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(1|1|6)\).

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Ein Punkt auf einer Koordinatenachse hat eine besondere Eigenschaft bezüglich seiner Koordinaten. Welche ist das für die \(x_2\)-Achse? - Wenn zwei Koordinaten eines Punktes identisch sind (wie bei \(p\)), wie kannst du das im Gleichungssystem nutzen? - Kannst du aus zwei Gleichungen die Parameter bestimmen und das Ergebnis in der dritten Gleichung testen?

1. Punktprobe für \(A\): Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) \(3 + \lambda + 2\mu = 6\), \(1 + 2\lambda - \mu = 2\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 2\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(\lambda = 1\) und \(\mu = 1\). Die Überprüfung in der dritten Gleichung ergibt \(-2 + 1 + 3 = 2\) (wahr), also liegt \(A\) in \(E\). 2. Punktprobe für \(B\): LGS \(3 + \lambda + 2\mu = 1\), \(1 + 2\lambda - \mu = 2\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 3\). Die ersten beiden Gleichungen liefern \(\lambda = 0\) und \(\mu = -1\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-2 + 0 - 3 = -5 \neq 3\) (falsch), also liegt \(B\) nicht in \(E\). 3. Bestimmung von \(p\): Das LGS \(p = 3 + \lambda + 2\mu\), \(4 = 1 + 2\lambda - \mu\) und \(p = -2 + \lambda + 3\mu\) führt durch Gleichsetzen der Ausdrücke für \(p\) auf \(3 + \lambda + 2\mu = -2 + \lambda + 3\mu\), woraus \(\mu = 5\) folgt. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(2\lambda - 5 = 3 \implies \lambda = 4\). Damit ist \(p = 3 + 4 + 10 = 17\). 4. Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse: Ansatz \(S(0|y|0)\). Das LGS \(3 + \lambda + 2\mu = 0\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 0\) liefert durch Subtraktion \(\mu - 5 = 0 \implies \mu = 5\) und daraus \(\lambda = -13\). Die \(x_2\)-Koordinate ist \(y = 1 + 2 \cdot (-13) - 5 = -30\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|-30|0)\).

a) \(A \in E\), \(B \notin E\). b) \(p = 17\). c) \(S(0|-30|0)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der ersten Winkelhalbierenden einer Koordinatenebene liegt? - Setze die Punktkoordinaten mit der Ebenengleichung gleich und löse das entstehende System Schritt für Schritt. - Wenn eine Koordinate Null ist, vereinfacht das die Suche nach den Parametern erheblich. - Überlege dir, in welcher Ebene ein Punkt liegt, dessen erste Koordinate \(0\) ist.

1. Bestimmung von \(q\): Aufstellen des LGS \(q = 2 + r\), \(q = r + 2s\) und \(5 = 1 + 2r - s\). Gleichsetzen der ersten beiden Gleichungen ergibt \(2 + r = r + 2s \implies s = 1\). Einsetzen in die dritte Gleichung liefert \(1 + 2r - 1 = 5 \implies 2r = 5 \implies r = 2{,}5\). Damit ist \(q = 2 + 2{,}5 = 4{,}5\). 2. Bestimmung von \(k\): LGS \(k = 2 + r\), \(k = r + 2s\) und \(k = 1 + 2r - s\). Aus den ersten beiden folgt wieder \(s = 1\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(k = 1 + 2r - 1 = 2r\). Gleichsetzen mit der ersten Gleichung liefert \(2r = 2 + r \implies r = 2\). Somit ist \(k = 4\). 3. Bestimmung von \(t\): LGS \(0 = 2 + r \implies r = -2\). Die weiteren Gleichungen sind \(t = r + 2s\) und \(t = 1 + 2r - s\). Einsetzen von \(r\) ergibt \(t = -2 + 2s\) und \(t = 1 - 4 - s = -3 - s\). Gleichsetzen liefert \(-2 + 2s = -3 - s \implies 3s = -1 \implies s = -\frac{1}{3}\). Damit ist \(t = -2 + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{8}{3}\). 4. Lage von \(T\): Der Punkt \(T(0|-\frac{8}{3}|-\frac{8}{3})\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene (da \(x_1 = 0\)) und dort auf der ersten Winkelhalbierenden (da \(x_2 = x_3\)).

a) \(q = 4{,}5\). b) \(k = 4\). c) \(t = -\frac{8}{3}\). Der Punkt \(T\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene auf der ersten Winkelhalbierenden.

- Wie sind die Koordinaten eines Punktes beschaffen, der auf einer der Achsen liegt? - Es gibt zwei gängige Wege: Entweder du setzt die Bedingungen für die Achsenpunkte direkt in die Parameterform ein oder du wandelst die Ebene zuerst in die Koordinatenform um. - In der Koordinatenform \(ax + by + cz = d\) lassen sich die Schnittpunkte besonders leicht ablesen, indem man jeweils zwei Variablen null setzt.

1. Aufstellen der Koordinatengleichung der Ebene \(E\): Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((2|2|4)\) folgt die Gleichung \(1 \cdot x + 1 \cdot y + 2 \cdot z = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 12\), also \(x + y + 2z = 12\). 2. Berechnung der Schnittpunkte (Spurpunkte): - \(x\)-Achse (\(y=0, z=0\)): \(x = 12 \implies S_x(12|0|0)\). - \(y\)-Achse (\(x=0, z=0\)): \(y = 12 \implies S_y(0|12|0)\). - \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)): \(2z = 12 \implies z = 6 \implies S_z(0|0|6)\).

Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind \(S_x(12|0|0)\), \(S_y(0|12|0)\) und \(S_z(0|0|6)\).

- Was bedeutet es für die Lage einer Ebene im Koordinatensystem, wenn einer der Richtungsvektoren in Richtung einer Achse zeigt? - Du kannst für jeden Achsenpunkt ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Für die \(x\)-Achse gilt zum Beispiel \(y=0\) und \(z=0\). - Überlege dir, ob die Ebene jede Achse schneiden muss oder ob sie zu einer Achse parallel verlaufen könnte.

1. Bestimmung der Koordinatengleichung: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Ebene hat die Form \(2x - 3y = d\). Einsetzen des Punktes \((3|6|1)\) ergibt \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 6 = 6 - 18 = -12\). Die Gleichung lautet \(2x - 3y = -12\). 2. Bestimmung der Spurpunkte: - Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0, z=0\)): \(2x = -12 \implies x = -6 \implies S_x(-6|0|0)\). - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0, z=0\)): \(-3y = -12 \implies y = 4 \implies S_y(0|4|0)\). - Schnittpunkt mit der \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)): Die Gleichung \(0 = -12\) hat keine Lösung. Da der Normalenvektor keine \(z\)-Komponente hat (bzw. ein Richtungsvektor parallel zur \(z\)-Achse verläuft), ist die Ebene parallel zur \(z\)-Achse und besitzt dort keinen Schnittpunkt.

Die Spurpunkte der Ebene sind \(S_x(-6|0|0)\) und \(S_y(0|4|0)\). Einen Schnittpunkt mit der \(z\)-Achse gibt es nicht, da die Ebene parallel zur \(z\)-Achse verläuft.

- Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade in einer Ebene liegt? - Wie verhalten sich die Richtungsvektoren zueinander? - Was muss für den Stützpunkt der Geraden im Bezug auf die Ebene gelten? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter der Ebene zu bestimmen?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren: Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) lässt sich als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene darstellen (\(1 \cdot \vec{v}_1 + 1 \cdot \vec{v}_2\)). Somit verläuft die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 2. Punktprobe mit dem Stützpunkt der Geraden: \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(3 = 1 + 2r\), II: \(2 = 1 + s\), III: \(a = 1 + r - s\). 4. Aus I folgt \(r = 1\), aus II folgt \(s = 1\). 5. Einsetzen in III: \(a = 1 + 1 - 1 = 1\). Damit die Gerade in der Ebene liegt, muss \(a = 1\) gelten.

\(a = 1\)

- Wie stehen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist? - Mit welchem Rechenverfahren kannst du die Orthogonalität zweier Vektoren prüfen? - Welche Informationen liefert dir die Koordinatengleichung der Ebene direkt über ihre Lage im Raum?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\) aus der Koordinatengleichung: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ 3 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Normalenvektor der Ebene stehen. 3. Berechnung über das Skalarprodukt: \(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_E = 0 \implies 2 \cdot 2 + a \cdot (-4) + 3 \cdot 2 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(4 - 4a + 6 = 0 \implies 10 - 4a = 0 \implies 4a = 10 \implies a = 2{,}5\). 5. Punktprobe zur Unterscheidung (optional): Einsetzen des Stützpunktes \((4|1|2)\) in die Ebenengleichung ergibt \(2 \cdot 4 - 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 8 \neq 5\), somit liegt die Gerade für \(a = 2{,}5\) echt parallel zur Ebene.

\(a = 2{,}5\)

- Überlege dir, welche Rolle der Richtungsvektor einer Geraden für den Normalenvektor einer dazu senkrechten Ebene spielt. - Wie viele linear unabhängige Richtungsvektoren benötigt eine Ebene und wie hängen diese mit einer enthaltenen Geraden zusammen? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor gelten, damit Parallelität vorliegt? - Wie unterscheidet man zwischen einer Geraden, die in einer Ebene liegt, und einer, die echt parallel dazu verläuft?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(g\) ist \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Da die Ebene \(E\) orthogonal zu \(g\) ist, dient dieser als Normalenvektor \(\vec{n}_E\). Der Ansatz \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = d\) mit dem Punkt \(P(4| 1| 0)\) ergibt \(2 \cdot 4 + 2(1) - 0 = 10\). Somit lautet die Gleichung \(E: 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 10\). 2. Eine Ebene, die \(g\) enthält, kann den Stützpunkt \(A\) und den Richtungsvektor \(\vec{v}\) von \(g\) übernehmen. Als zweiten Richtungsvektor wählt man einen beliebigen Vektor \(\vec{w}\), der kein Vielfaches von \(\vec{v}\) ist, zum Beispiel \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Ebene ist \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Der Normalenvektor von \(H\) ist \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{n}_H \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 0\), womit \(g\) parallel zu \(H\) ist. Eine Punktprobe mit \(A(1| -2| 3)\) in \(H\) ergibt \(1 + 2(3) = 7 \neq 10\). Da der Punkt nicht in der Ebene liegt, ist die Gerade echt parallel.

1. \(E: 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 10\) 2. \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (beispielhaft) 3. Ja, die Gerade ist echt parallel, da \(\vec{n}_H \cdot \vec{v} = 0\) gilt und die Punktprobe nicht erfüllt ist (\(7 \neq 10\)).

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, wenn zwei Punkte auf ihr bekannt sind? - Was passiert mathematisch, wenn du die Ausdrücke für die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Bedeutung haben die möglichen Ergebnistypen der Gleichung (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) für die Lagebeziehung? - Wenn du einen Wert für den Parameter gefunden hast, wie kommst du damit zum gesuchten Punkt?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Koordinaten der Geraden \(x_1 = 1 + 2r\), \(x_2 = 4 - 2r\) und \(x_3 = 2 + 2r\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot (1 + 2r) + 3 \cdot (4 - 2r) - (2 + 2r) = 12\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2 + 4r + 12 - 6r - 2 - 2r = 12 \Rightarrow 12 - 4r = 12\). 4. Lösen nach \(r\): \(-4r = 0 \Rightarrow r = 0\). 5. Da die Gleichung genau eine Lösung für \(r\) besitzt, schneidet die Gerade die Ebene. 6. Einsetzen von \(r = 0\) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \(S(1|4|2)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(1|4|2)\).

- Stelle zuerst eine Gleichung für die Gerade auf. - Überlege dir, wie der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zueinander stehen müssten, wenn Parallelität vorliegt. - Was bedeutet es für die Lösbarkeit der kombinierten Gleichung, wenn die Gerade die Ebene schneidet? - Wie unterscheidet sich das rechnerische Ergebnis bei „echter Parallelität“ von dem Fall, dass die Gerade „in der Ebene liegt“?

1. Aufstellen der Geradengleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradenpunkte \(x_1 = 2 + 4t\), \(x_2 = 1 + 2t\) und \(x_3 = 5 - 4t\) in die Ebene \(F\): \((2 + 4t) + (1 + 2t) + (5 - 4t) = 5\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(8 + 2t = 5\). 4. Lösen nach \(t\): \(2t = -3 \Rightarrow t = -1{,}5\). 5. Da die lineare Gleichung genau eine Lösung für \(t\) besitzt, ist die Gerade nicht parallel zur Ebene, sondern schneidet diese. 6. Berechnung des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(t = -1{,}5\) in \(h\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} - 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 11 \end{pmatrix}\).

Die Gerade \(h\) ist nicht parallel zur Ebene \(F\), sondern schneidet sie im Punkt \(S(-4|-2|11)\).

- Überlege dir, welche Koordinate in der jeweiligen Ebene (z. B. der \(x_1x_2\)-Ebene) immer den Wert Null haben muss. - Wie kannst du den Parameter \(t\) berechnen, wenn du weißt, dass eine Koordinate Null sein soll? - Wenn zwei Spurpunkte zusammenfallen, was bedeutet das für die Lage des Punktes im Koordinatensystem? - Schau dir den Richtungsvektor an: Gibt es dort Nullen, die auf eine Parallelität hindeuten könnten?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus der dritten Zeile der Geradengleichung folgt \(-6 + 3t = 0\), woraus sich \(t = 2\) ergibt. Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Spurpunkt \(S_{12}(8|4|0)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Aus der zweiten Zeile folgt \(2 + t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{13}(0|0|-12)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Aus der ersten Zeile folgt \(4 + 2t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{23}(0|0|-12)\). 4. Besondere Lage: Da die Spurpunkte \(S_{13}\) und \(S_{23}\) identisch sind, schneidet die Gerade zwei Koordinatenebenen im selben Punkt. Dieser Punkt \((0|0|-12)\) liegt auf der \(x_3\)-Achse. Die Gerade schneidet somit die \(x_3\)-Achse.

Spurpunkte: \(S_{12}(8|4|0)\), \(S_{13}(0|0|-12)\) und \(S_{23}(0|0|-12)\). Besondere Lage: Die Gerade schneidet die \(x_3\)-Achse im Punkt \((0|0|-12)\).

- Was bedeutet es für die Lage einer Geraden, wenn eine Komponente des Richtungsvektors Null ist? - Wenn eine Gleichung wie \(4 = 0\) entsteht, wie interpretierst du das in Bezug auf Schnittpunkte? - Kannst du aus der Parallelität zu einer Ebene schließen, welche Spurpunkte existieren müssen und welche nicht?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Die Bedingung \(4 + 0s = 0\) führt auf den Widerspruch \(4 = 0\). Es existiert kein Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Die Bedingung \(3 - 2s = 0\) liefert \(s = 1{,}5\). Einsetzen in die Geradengleichung ergibt \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7{,}5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Spurpunkt ist \(S_{13}(7{,}5|0|4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Die Bedingung \(0 + 5s = 0\) liefert \(s = 0\). Einsetzen ergibt den Stützpunkt als Spurpunkt: \(S_{23}(0|3|4)\). 4. Besondere Lage: Da die \(x_3\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist, verläuft die Gerade parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. Da zudem der Stützpunkt die \(x_1\)-Koordinate \(0\) besitzt, liegt der Stützpunkt in der \(x_2x_3\)-Ebene, die Gerade ist jedoch nicht parallel zu einer der Achsen, da die anderen Komponenten des Richtungsvektors ungleich Null sind.

Spurpunkte: \(S_{13}(7{,}5|0|4)\) und \(S_{23}(0|3|4)\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. Besondere Lage: Die Gerade verläuft parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene in der Ebene \(x_3 = 4\), also im Abstand \(4\).

- Versuche zuerst, das Skalarprodukt auszurechnen, um eine einfachere Gleichung zu erhalten. - Wenn eine Ebene nur eine einzige Koordinate in ihrer Gleichung hat, was sagt das über ihre Ausrichtung aus? - Stell dir vor, welche Punkte die Bedingung der fertigen Gleichung erfüllen – wie liegen diese Punkte im Raum verteilt? - Wie viele Achsen kann eine Ebene schneiden, wenn sie parallel zu einer der Koordinatenebenen liegt?

1. Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform: Ausmultiplizieren des Skalarprodukts ergibt \(0 \cdot (x_1 - 1) + 4 \cdot (x_2 - 2) + 0 \cdot (x_3 - 3) = 0\). 2. Vereinfachung der Gleichung: \(4x_2 - 8 = 0\), was äquivalent zu \(x_2 = 2\) ist. 3. Bestimmung der Spurpunkte: - \(x_2\)-Achse: Einziger Schnittpunkt bei \(x_2 = 2\), also \(S_2(0|2|0)\). - \(x_1\)-Achse und \(x_3\)-Achse: Da die Gleichung unabhängig von \(x_1\) und \(x_3\) ist und für \(x_2=0\) die Bedingung \(0=2\) niemals erfüllt ist, gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x_1\)- und \(x_3\)-Achse. 4. Analyse der Lage: Da nur die \(x_2\)-Koordinate fest vorgegeben ist, ist die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene. Sie verläuft im Abstand 2 Einheiten parallel zu dieser.

Die Ebene hat nur einen Spurpunkt bei \(S_2(0|2|0)\). Sie ist parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene.

- Kannst du die Ebene in einer Form darstellen, die das Einsetzen der Geraden erleichtert? - Was bedeutet es für die gegenseitige Lage, wenn die resultierende Gleichung für den Parameter genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat? - Wie findest du den Richtungsvektor einer Geraden, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Information liefert dir das Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte in die Ebenengleichung?

1. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: Aus den Achsenabschnitten \(A\), \(B\) und \(C\) folgt direkt die Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\). 2. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\vec{p} = \vec{OP}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung der gegenseitigen Lage durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \((1 + 2t) + (1 + 2t) + (1 + 2t) = 6\). 4. Lösen der Gleichung nach \(t\): \(3 + 6t = 6 \Rightarrow 6t = 3 \Rightarrow t = 0{,}5\). Da die Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, schneidet die Gerade die Ebene. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\): Einsetzen von \(t = 0{,}5\) in die Geradengleichung liefert \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2|2)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(2|2|2)\).

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. - Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, muss jeder ihrer Punkte – also auch der Stützpunkt – die Ebenengleichung erfüllen. - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Orthogonalität von Vektoren?

1. Bestimmung des Richtungsvektors \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) der Geraden und des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Ebene. 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt von Richtungs- und Normalenvektor muss null sein: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot a + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = a + 4 = 0\). Daraus folgt \(a = -4\). 3. Bedingung für das Liegen in der Ebene: Der Stützpunkt \(P(1|2|1)\) der Geraden muss die Ebenengleichung erfüllen. Einsetzen von \(P\) und \(a = -4\) in \(E\): \(-4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = b\). 4. Berechnung von \(b\): \(-4 + 2 + 2 = 0\), also \(b = 0\).

\(a = -4\) und \(b = 0\)

- Wie hängen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zusammen, wenn ein Schnittpunkt existiert? - Um den Schnittpunkt zu finden, kannst du die allgemeine Form eines Geradenpunktes in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen. - Denk daran, dass für den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene die Sinus-Funktion in der Formel verwendet wird, wenn man mit dem Normalenvektor arbeitet.

1. Prüfung auf Parallelität: Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) berechnen: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -2\). Da \(\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0\), schneiden sich Gerade und Ebene. 2. Berechnung des Schnittparameters \(t\): Einsetzen der Geradengleichung in die Ebene: \(2 \cdot 2 - (5 + t) + (3 - t) = 6 \Rightarrow 4 - 5 - t + 3 - t = 6 \Rightarrow 2 - 2t = 6\). Lösung: \(-2t = 4 \Rightarrow t = -2\). 3. Koordinaten des Schnittpunkts \(S\): Einsetzen von \(t = -2\) in \(g\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(2|3|5)\). 4. Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\): \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|-2|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 5. Ergebnis für \(\alpha\): \(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 35{,}3^\circ\).

Die Gerade und die Ebene schneiden sich im Punkt \(S(2|3|5)\) unter einem Winkel von \(\alpha \approx 35{,}3^\circ\).

- Überlege dir, wie der Stützvektor und der Richtungsvektor einer Geraden beschaffen sein müssen, damit die Gerade in der Ebene liegt. - Was ändert sich an der Lagebeziehung, wenn du den Richtungsvektor beibehältst, aber den Stützpunkt so wählst, dass er nicht in der Ebene liegt? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, die in Parameterform gegeben ist?

1. Für die Gerade \(g\) in der Ebene \(E\) wird der Stützvektor der Ebene \(\vec{p}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und einer ihrer Spannvektoren, z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), gewählt: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Da der Stützpunkt in \(E\) liegt und der Richtungsvektor ein Spannvektor von \(E\) ist, liegt \(g\) in \(E\). 2. Für die Gerade \(h\) wird ein Richtungsvektor gewählt, der eine Linearkombination der Spannvektoren von \(E\) ist, z. B. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Als Stützpunkt wird ein Punkt außerhalb von \(E\) gewählt, z. B. der Ursprung \(Q(0|0|0)\). 3. Nachweis \(Q \notin E\): Das Gleichungssystem \(0 = 4 + 2\lambda\), \(0 = 1 + \lambda + 3\mu\) und \(0 = 0 - \lambda + 2\mu\) führt aus der ersten Gleichung zu \(\lambda = -2\). Eingesetzt in die zweite folgt \(0 = 1 - 2 + 3\mu \Rightarrow \mu = \frac{1}{3}\). Die Prüfung in der dritten Gleichung ergibt \(0 = -(-2) + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\), was ein Widerspruch ist. Somit ist \(Q \notin E\). 4. Die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist damit echt parallel zu \(E\).

Mögliche Lösungen: a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) b) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Punkt \(Q(0|0|0)\) liegt nicht in \(E\), da das entsprechende Lineargleichungssystem keine Lösung besitzt (\(2 + \frac{2}{3} \neq 0\)).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Normalenvektor einer Ebene und den Richtungsvektoren von Geraden, die parallel zur Ebene verlaufen? - Wie findest du schnell einen Punkt, der in einer Ebene liegt, wenn die Koordinatengleichung bekannt ist? - Was muss für einen Punkt gelten, damit er nicht in der Ebene liegt?

1. Ein Vektor \(\vec{v}\) ist parallel zu \(E\), wenn er orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) ist. Bedingung: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 1 \cdot v_1 + 2v_2 - 2v_3 = 0\). Eine Lösung ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Für eine Gerade \(k\) in \(E\) wird ein Punkt \(P\) benötigt, der die Ebenengleichung erfüllt. Mit \(x_2=0, x_3=0\) folgt \(x_1=6\), also \(P(6|0|0)\). Die Gerade ist \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Für eine Gerade \(m\), die echt parallel zu \(E\) ist, wird ein Punkt \(S\) benötigt, der die Gleichung nicht erfüllt. Mit \(S(0|0|0)\) ergibt sich \(0 + 2 \cdot 0 - 2(0) = 0 \neq 6\). Die Gerade ist \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (da \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0\)). b) Mögliche Geraden: \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (liegt in \(E\)) \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (echt parallel zu \(E\))

- Überlege dir, wie der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene stehen muss, wenn die Gerade parallel zur Ebene liegt. - Wie hängen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zusammen, wenn die Gerade senkrecht auf der Ebene steht? - Nutze das Skalarprodukt für den Nachweis von Orthogonalität zwischen Vektoren. - Prüfe bei der Untersuchung auf Parallelität von Vektoren (Linearität), ob ein gemeinsamer Streckungsfaktor für alle Komponenten existiert.

1. Normalenvektor der Ebene \(E\) bestimmen: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität (\(g_a \parallel E\)): Das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v}\) und Normalenvektor \(\vec{n}_E\) muss null sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4a - 8 + 2 = 4a - 6 = 0\). 3. Gleichung lösen: \(4a = 6 \Rightarrow a = 1{,}5\). 4. Bedingung für Orthogonalität (\(g_a \perp E\)): Der Richtungsvektor \(\vec{v}\) muss ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n}_E\) sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Komponentenweise Prüfung: Aus der dritten Komponente folgt \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\). Aus der zweiten Komponente folgt \(4 = k \cdot (-2) = 2 \cdot (-2) = -4\). Dies ist ein Widerspruch (\(4 \neq -4\)). 6. Ergebnis: Für \(a = 1{,}5\) ist die Gerade parallel zur Ebene; es existiert kein \(a\), für das die Gerade senkrecht zur Ebene steht.

Die Gerade \(g_a\) ist parallel zur Ebene \(E\) für \(a = 1{,}5\). Es gibt keinen Wert für \(a\), sodass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht.

- Woran erkennst du im Koordinatensystem, in welche Richtung eine Ebene „zeigt“? - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, was bedeutet das für die Lage des Stützpunkts der Geraden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor einer Ebene und der Ausrichtung einer senkrechten Geraden. - Verwende ein Gleichungssystem, um die Kollinearität von zwei Vektoren zu prüfen.

1. Normalenvektor der Ebene \(F\): \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Parallelität (\(h_k \parallel F\)): \(\vec{v} \cdot \vec{n}_F = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 + 2k + 8 = 2k + 10 = 0\). 3. Lösung für Teil a): \(2k = -10 \Rightarrow k = -5\). 4. Prüfung der Punktprobe für \(h_{-5}\) in \(F\): Stützpunkt \(P(2|1|4)\) in \(F\) einsetzen: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = 2 + 2 - 8 = -4\). Da \(-4 \neq 10\), liegt die Gerade nicht in der Ebene (sie ist echt parallel). 5. Orthogonalität (\(h_k \perp F\)): \(\vec{v} = m \cdot \vec{n}_F \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} = m \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 6. Lösung für Teil b): Aus der ersten Komponente folgt \(2 = m \cdot 1 \Rightarrow m = 2\). Einsetzen in die dritte Komponente: \(-4 = 2 \cdot (-2) = -4\) (wahr). Einsetzen in die zweite Komponente: \(k = 2 \cdot m = 2 \cdot 2 = 4\).

a) Für \(k = -5\) ist die Gerade \(h_k\) parallel zur Ebene \(F\). Sie liegt nicht in der Ebene. b) Für \(k = 4\) ist die Gerade \(h_k\) senkrecht zur Ebene \(F\).

- Überlege dir, in welche Richtung ein Normalenvektor im Vergleich zur Ebene zeigt. - Was bedeutet ein Skalarprodukt von Null für die geometrische Ausrichtung zweier Vektoren? - Wie viele Schnittpunkte können eine Gerade und eine Ebene theoretisch haben? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade nicht nur parallel zu einer Ebene verläuft, sondern in ihr liegt?

1. Wahr. Da der Normalenvektor \(\vec{n}\) definitionsgemäß senkrecht auf der Ebene steht, führt ein zum Normalenvektor paralleler Richtungsvektor \(\vec{v}\) dazu, dass auch die Gerade senkrecht zur Ebene verläuft. 2. Falsch. Die Bedingung \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\) bedeutet, dass der Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor ist. Daraus folgt, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft oder in ihr liegt. In beiden Fällen ist ein einzelner Schnittpunkt ausgeschlossen (entweder kein Schnittpunkt oder unendlich viele). 3. Wahr. Die Darstellbarkeit des Richtungsvektors als Linearkombination der Spannvektoren stellt sicher, dass die Gerade parallel zur Ebene ist oder in ihr liegt. Die zusätzliche Bedingung, dass ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt (Punktprobe), schließt die echte Parallelität aus, sodass die Gerade in der Ebene liegen muss.

1. Wahr (Richtungsvektor zeigt in Lotrichtung). 2. Falsch (Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr; kein einzelner Schnittpunkt möglich). 3. Wahr (Parallelität durch Vektoren und gemeinsamer Punkt durch Punktprobe gegeben).

- Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor über die Neigung der Geraden zur Ebene aus? - Wann ist ein Punkt Teil einer Ebene, wenn man die Normalengleichung betrachtet? - Was unterscheidet „echt parallel“ von „in der Ebene liegend“?

a) Ein einzelner Schnittpunkt existiert genau dann, wenn die Gerade nicht parallel zur Ebene verläuft. Parallelität liegt vor, wenn der Richtungsvektor \(\vec{u}\) senkrecht auf dem Normalenvektor \(\vec{n}\) steht, also \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\). Folglich tritt ein Schnittpunkt genau dann ein, wenn \(\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0\) gilt. b) Der Ausdruck \((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}\) entspricht der linken Seite der Normalenform der Ebene für einen Punkt \(P\). Wäre der Wert gleich \(0\), würde der Punkt \(P\) in der Ebene liegen. Da die Gerade jedoch echt parallel zur Ebene verläuft, besitzt sie keine gemeinsamen Punkte mit der Ebene. Somit muss für jeden Punkt \(P\) der Geraden gelten: \((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \neq 0\).

a) Genau ein Schnittpunkt existiert für \(\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0\), da die Gerade dann nicht parallel zur Ebene ist. b) Es muss \((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \neq 0\) gelten, da kein Punkt der echt parallelen Geraden die Ebenengleichung erfüllt.

- Wie prüft man, ob alle Punkte einer Geraden eine Ebenengleichung erfüllen? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Geraden windschief sind? - Überlege dir, wie du zeigst, dass Richtungsvektoren nicht parallel zueinander verlaufen können. - Was bedeutet es für das Gleichungssystem der Geraden, wenn kein Schnittpunkt existiert?

1. Einsetzen der Geradengleichung \(g\) in die Ebenengleichung \(E\): \((0 + \lambda) + (2 + 0) - (0 + \lambda) = 2\). Vereinfachung ergibt \(2 = 2\). Da die Gleichung für alle \(\lambda \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, liegt \(g\) vollständig in \(E\). 2. Untersuchung auf Parallelität von \(g\) und \(h_k\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{pmatrix}\) sind für kein \(k\) kollinear, da die erste Komponente von \(h_k\) immer \(0\) ist, während sie bei \(g\) den Wert \(1\) hat. Somit sind die Geraden nie parallel. 3. Untersuchung auf Schnittpunkte: Gleichsetzen der Geraden führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(\lambda = 1\) (II) \(2 = k\mu\) (III) \(\lambda = 1 + \mu\) Aus (I) und (III) folgt \(1 = 1 + \mu\), also \(\mu = 0\). Einsetzen von \(\mu = 0\) in (II) ergibt \(2 = 0\), was ein Widerspruch ist. Das System ist für kein \(k\) lösbar. 4. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind sie für alle \(k \in \mathbb{R}\) windschief.

a) Durch Einsetzen von \(x_1 = \lambda\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = \lambda\) in \(x_1 + x_2 - x_3 = 2\) erhält man \(\lambda + 2 - \lambda = 2\), also \(2 = 2\). Somit liegt \(g\) in \(E\). b) Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, da \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Lösung für \(r\) besitzt (\(1 = r \cdot 0\) ist unmöglich). Das Gleichungssystem für den Schnittpunkt führt auf den Widerspruch \(2 = 0\). Folglich sind die Geraden für alle \(k\) windschief.

- Überlege zuerst, welche Koordinaten die Spitze des Mastes hat. - Wie lässt sich der Weg eines Sonnenstrahls, der die Spitze trifft, mathematisch als Gerade beschreiben? - Der Schatten der Spitze liegt dort, wo dieser Lichtstrahl auf die Ebene trifft. - Der Schatten des gesamten Mastes ist die Strecke zwischen dem Fußpunkt und dem Schattenpunkt der Spitze.

1. Koordinaten der Mastspitze \(Q\): Da der Mast im Punkt \(P(2|4|5)\) befestigt, \(4\,\text{m}\) lang und in \(x_3\)-Richtung ausgerichtet ist, ergibt sich \(Q(2|4|9)\). 2. Gerade für den Lichtstrahl durch die Spitze \(Q\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Schnittpunkt \(S\) von \(g\) mit der Ebene \(E\): Einsetzen der Geradenpunkte in \(E\): \((2+r) + 2(4+2r) + 2(9-2r) = 20 \Rightarrow 28 + r = 20 \Rightarrow r = -8\). 4. Schattenpunkt der Spitze: \(S = \begin{pmatrix} 2-8 \\ 4-16 \\ 9+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -12 \\ 25 \end{pmatrix}\). 5. Schattenvektor \(\vec{PS}\) und dessen Länge: \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ 20 \end{pmatrix}\). Die Schattenlänge beträgt \(|\vec{PS}| = \sqrt{(-8)^2 + (-16)^2 + 20^2} = \sqrt{64 + 256 + 400} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83\,\text{m}\).

Die Länge des Schattens beträgt \(12\sqrt{5}\,\text{m} \approx 26{,}83\,\text{m}\).

- Wann steht der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht auf einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene. - Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade eine Teilmenge einer Ebene ist? - Überprüfe zuerst, ob der Stützpunkt der Geraden überhaupt in der Ebene liegt. - Wie hängen die Richtungen von Gerade und Ebene zusammen, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft?

1. Für einen senkrechten Schnitt muss der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Ebene sein: \(\begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = c \cdot 1\), also \(c = 2\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(k = 2 \cdot 2 = 4\). Die dritte Komponente ist mit \(-2 = 2 \cdot (-1)\) konsistent. Für \(k = 4\) schneiden sich \(g_k\) und \(E\) senkrecht. 3. Damit eine Gerade in einer Ebene liegt, muss erstens der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor stehen: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies 2k + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 2k + 4 = 0\). Dies ist für \(k = -2\) erfüllt. 4. Zweitens muss der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geraden in der Ebene liegen. Einsetzen in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 0 - 4 - 6 = -8 \neq 0\). Da der Stützpunkt für kein \(k\) in der Ebene liegt, kann keine Gerade der Schar in \(E\) liegen.

a) \(k = 4\) b) Es gibt keinen solchen Wert für \(k\), da der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geradenschar nicht in der Ebene \(E\) liegt (\(-8 \neq 0\)).

- Wie muss der Richtungsvektor einer Geraden im Verhältnis zum Normalenvektor der Ebene stehen, damit sie senkrecht auf der Ebene steht? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor null ergibt? - Hängt die Lage des Stützpunktes der Geraden bezüglich der Ebene \(F\) vom Parameter \(a\) ab? - Untersuche, ob die Punktprobe für den Stützpunkt in der Ebene \(F\) erfolgreich sein kann.

1. Der Normalenvektor der Ebene \(F\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor aller Geraden der Schar ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Für einen senkrechten Schnitt müsste \(\vec{v} = c \cdot \vec{n}\) gelten. Dies führt auf das System \(1 = c\), \(-1 = c\) und \(2 = 0\). Da dies offensichtlich widersprüchlich ist, ist kein Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor, und somit schneidet keine Gerade die Ebene senkrecht. 3. Eine Gerade liegt in der Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor steht (\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)) und ihr Stützpunkt in der Ebene liegt. 4. Prüfung der Orthogonalität: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Alle Geraden der Schar verlaufen somit parallel zur Ebene \(F\). 5. Prüfung des Stützpunktes \(P(3|1|a)\): Einsetzen in \(F\) ergibt \(3 + 1 = 4\). Da \(4 \neq 10\) gilt, liegt der Stützpunkt für keinen Wert von \(a\) in der Ebene. Folglich liegt keine Gerade in \(F\).

a) Nachweis über die lineare Unabhängigkeit von Richtungsvektor \(\vec{v} = (1, -1, 2)^T\) und Normalenvektor \(\vec{n} = (1, 1, 0)^T\). b) Alle Geraden sind parallel zu \(F\) (da \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)), aber der Stützpunkt \(P(3|1|a)\) erfüllt die Ebenengleichung \(x_1 + x_2 = 10\) für keinen Wert von \(a\), da \(3 + 1 = 4 \neq 10\).

- Wie gehst du vor, um den Schnitt zweier Ebenen zu berechnen? - Was muss gelten, damit eine Gerade vollständig in einer Ebene liegt? - Überlege, wie der Normalenvektor einer Ebene orientiert sein muss, wenn die Ebene orthogonal zu einem Vektor stehen soll. - Kannst du die Ebenengleichung so umformen, dass du den Teil ohne \(k\) und den Teil mit \(k\) trennst?

1. Aufstellen der Ebenengleichungen für \(k=2\) und \(k=3\): \(E_2: 2x_2 + 2x_3 = 8\) bzw. \(x_2 + x_3 = 4\) und \(E_3: x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 12\). 2. Bestimmung der Schnittgeraden durch Parametrisierung, z. B. \(x_3 = r\): Aus \(E_2\) folgt \(x_2 = 4 - r\). Einsetzen in \(E_3\) ergibt \(x_1 + 2(4 - r) + 3r = 12 \Rightarrow x_1 + 8 + r = 12 \Rightarrow x_1 = 4 - r\). 3. Die Geradengleichung lautet \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Nachweis der Trägergerade: Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = 4-r, x_2 = 4-r, x_3 = r\) in die Schargleichung: \((k-2)(4-r) + 2(4-r) + k \cdot r = 4k - kr - 8 + 2r + 8 - 2r + kr = 4k\). Da die Gleichung \(4k = 4k\) für alle \(r\) und \(k\) erfüllt ist, liegt \(s\) in jeder Ebene \(E_k\). 5. Orthogonalität zu \(\vec{v}\): Der Normalenvektor \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} k-2 \\ 2 \\ k \end{pmatrix}\) muss kollinear zu \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) sein. Der Vergleich der \(x_2\)-Komponenten ergibt den Skalierungsfaktor \(1\), woraus \(k-2 = 1\), also \(k=3\), folgt; die dritte Komponente liefert ebenfalls \(k=3\).

a) \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Der Nachweis erfolgt durch Einsetzen der Koordinaten von \(s\) in die Schargleichung, was zur Identität \(4k = 4k\) führt. c) \(k = 3\)

- Wie hängen die Koordinaten eines gemeinsamen Punktes mit den einzelnen Ebenengleichungen zusammen? - Welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, ein System mit drei Unbekannten effizient zu lösen? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Geraden ist? - Kannst du die Punktprobe für jede Koordinate einzeln durchführen?

1. Zur Bestimmung von \(S\) wird das lineare Gleichungssystem aus den drei Ebenengleichungen gelöst. 2. Durch Addition von \(E\) und \(F\) wird \(x_2\) eliminiert: \(3x_1 + 2x_3 = 9\). 3. Durch Addition von \(E\) und \(G\) wird \(x_3\) eliminiert: \(2x_1 + 3x_2 = 8\). 4. Die systematische Lösung (z. B. mit dem Gauß-Verfahren) ergibt die Werte \(x_3 = 3\), \(x_2 = 2\) und \(x_1 = 1\). Der Schnittpunkt lautet \(S(1|2|3)\). 5. Für die Punktprobe wird \(S\) in die Geradengleichung \(h\) eingesetzt: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 6. Dies führt auf das System \(1 = t\), \(2 = 1 + t\) und \(3 = 4 - t\). Da alle drei Gleichungen den Wert \(t = 1\) liefern, liegt der Punkt \(S\) auf der Geraden \(h\).

a) \(S(1|2|3)\) b) Ja, der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(h\) (für \(t = 1\)).

- Überlege dir, wie du die Gleichung so umstellen kannst, dass alle Terme mit dem Parameter von den Termen ohne Parameter getrennt sind. - Wann ist ein Ausdruck der Form \(k \cdot A + B = 0\) für jeden beliebigen Wert von \(k\) wahr? - Die Bedingungen, die du für die Koordinaten findest, beschreiben geometrisch den Schnitt zweier Ebenen. - Wie kannst du aus zwei Koordinatenbedingungen eine Gerade in Parameterform aufstellen?

1. Umformen der Ebenengleichung durch Ausklammern des Parameters \(k\): \(k(x_1 - x_3) + (x_2 - 4) = 0\). 2. Damit die Gleichung für alle \(k \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, müssen die Ausdrücke in den Klammern gleichzeitig Null sein. Dies führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(x_1 - x_3 = 0 \implies x_1 = x_3\) (II) \(x_2 - 4 = 0 \implies x_2 = 4\) 3. Zur Aufstellung der Geradengleichung wird eine Koordinate als Parameter gewählt. Sei \(x_3 = r\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 4. Daraus ergibt sich \(x_1 = r\) und \(x_2 = 4\). 5. Die Parameterdarstellung der Schnittgeraden \(g\) lautet somit: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\).

- Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer dazu orthogonalen Geraden zusammen? - Was muss für das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor der Ebene gelten, damit diese parallel zueinander sind? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt einer Geraden in einer gegebenen Ebene liegt? - Reicht es für die Parallelität aus, nur die Richtungen zu betrachten, oder musst du auch die Lage eines Punktes prüfen?

1. Aus der Koordinatenform von \(E\) wird der Normalenvektor \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}\) abgelesen. Für eine orthogonale Gerade \(g\) dient dieser als Richtungsvektor. Mit dem Stützpunkt \(P(4|6|1)\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Eine zu \(E\) parallele Gerade \(h\) benötigt einen Richtungsvektor \(\vec{v}\), der orthogonal zu \(\vec{n}_E\) ist (\(\vec{v} \cdot \vec{n}_E = 0\)). Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), da \(1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 8 = 0\). Mit dem Ursprung als Stützpunkt folgt \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da der Ursprung nicht in \(E\) liegt (\(4 \cdot 0 - 0 + 8 \cdot 0 = 0 \neq 18\)), ist \(h\) echt parallel. 3. Zur Untersuchung von \(k\) wird das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_E\) berechnet: \(2 \cdot 4 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 8 = 0\). Somit ist \(k\) parallel zu \(E\). Die Punktprobe mit \(A(1|2|2)\) in \(E\) ergibt \(4 \cdot 1 - 2 + 8 \cdot 2 = 18\). Da der Punkt in der Ebene liegt, verläuft die Gerade \(k\) innerhalb der Ebene \(E\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}\) (oder Vielfache des Richtungsvektors) b) \(h: \vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) (Beispiel; jeder Richtungsvektor \(\vec{v}\) mit \(\vec{v} \cdot \vec{n}_E = 0\) ist zulässig) c) Die Gerade \(k\) liegt in der Ebene \(E\).

- Nutze den Normalenvektor der Ebene direkt als Richtungsvektor für eine senkrechte Gerade. - Um einen Schnittpunkt zu finden, kannst du die allgemeine Form eines Geradenpunktes in die Ebenengleichung einsetzen. - Überlege dir, welche Bedingungen für die Vektoren erfüllt sein müssen, damit eine Gerade parallel oder orthogonal zu einer Ebene ist. - Das Skalarprodukt hilft dir bei der Prüfung auf Parallelität (Winkel zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor).

1. Der Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da \(g\) senkrecht auf \(F\) steht, ist \(\vec{n}_F\) der Richtungsvektor von \(g\). Mit dem Ursprung \(O(0|0|0)\) folgt \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Zur Bestimmung des Schnittpunkts \(S\) wird \(g\) in \(F\) eingesetzt: \(1 \cdot (t) + 2 \cdot (2t) - 2 \cdot (-2t) = 12\). Dies vereinfacht sich zu \(t + 4t + 4t = 12\), also \(9t = 12\) bzw. \(t = \frac{4}{3}\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(\vec{OS} = \frac{4}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ \frac{8}{3} \\ -\frac{8}{3} \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} | \frac{8}{3} | -\frac{8}{3})\). 3. Für die Parallelität müsste das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v}_l = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F\) null sein: \(1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 1 \neq 0\). Daher ist \(l\) nicht parallel zu \(F\). Für eine orthogonale Lage müsste \(\vec{v}_l\) ein Vielfaches von \(\vec{n}_F\) sein. Da die Komponentenverhältnisse \(1:1 \neq 1:2\) nicht übereinstimmen, ist \(l\) auch nicht orthogonal zu \(F\).

a) \(g: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) b) \(S(\frac{4}{3} | \frac{8}{3} | -\frac{8}{3})\) c) Nicht parallel, da das Skalarprodukt \(\vec{v}_l \cdot \vec{n}_F = 1 \neq 0\) ist. Nicht orthogonal, da \(\vec{v}_l\) kein Vielfaches von \(\vec{n}_F\) ist.

- Wie kannst du die Fläche der Werbetafel mathematisch beschreiben? - Was muss gelten, damit eine Gerade eine Fläche im Raum trifft? - Welche Bedingungen müssen die Parameter einer Ebenengleichung erfüllen, damit ein Punkt innerhalb eines Rechtecks liegt? - Hast du den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnet?

1. Aufstellen der Ebenengleichung für die Werbetafel in Parameterform unter Verwendung der Richtungsvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen der Geraden \(g\) mit der Ebene \(E\) führt zu einem linearen Gleichungssystem: \(I: 2 + 4r = 8 - 2t\) \(II: 1 + 3s = 7 - 2t\) \(III: 3 + s = 2 + t\) 3. Lösen des Systems ergibt die Parameterwerte \(t = 1{,}8\), \(s = 0{,}8\) und \(r = 0{,}6\). 4. Bestimmung des Durchstoßpunktes \(S\) durch Einsetzen von \(t\) in \(g\): \(S(4{,}4 | 3{,}4 | 3{,}8)\). 5. Überprüfung der Treffbedingung für das Rechteck: Da für die Parameter der Ebene \(0 \le r \le 1\) und \(0 \le s \le 1\) gilt, liegt der Durchstoßpunkt innerhalb der Begrenzung der Werbetafel. Der Lichtstrahl trifft die Tafel.

Der Lichtstrahl trifft die Werbetafel im Punkt \(S(4{,}4 | 3{,}4 | 3{,}8)\).

- Überlege dir, wie zwei Ebenen im Raum zueinander liegen können und was passiert, wenn eine dritte Ebene dazukommt. - Welche geometrischen Objekte (Punkte, Geraden, Flächen) können beim Schneiden von Ebenen entstehen? - Stell dir die Seitenflächen eines Prismas oder ein offenes Zelt vor, um eine Situation ohne gemeinsamen Schnittpunkt zu finden. - Kann eine Gerade zwei Punkte enthalten, ohne dass alle Punkte dazwischen auch Teil der Geraden sind?

1. Begründung für genau zwei Lösungen: Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems entspricht dem Schnitt von Ebenen. Der Schnitt zweier Ebenen ist entweder leer, eine Ebene oder eine Gerade. Schneidet man dieses Ergebnis mit einer dritten Ebene, kann das Resultat wiederum nur leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene sein. Da eine Gerade unendlich viele Punkte enthält, ein Punkt genau einen und die leere Menge keinen, ist eine Menge aus exakt zwei isolierten Punkten geometrisch nicht möglich. 2. Mögliche Schnittgebilde: Die Lösungsmenge kann leer sein (kein Schnittpunkt), genau einen Punkt enthalten (Schnittpunkt), eine Gerade sein (Schnittgerade) oder eine Ebene sein (identische Ebenen). 3. Konfiguration ohne Lösung ohne Parallelität: Dies tritt ein, wenn sich die Ebenen paarweise in drei verschiedenen Geraden schneiden, die alle parallel zueinander verlaufen (Prismenstellung). In diesem Fall gibt es keinen Punkt, der auf allen drei Ebenen gleichzeitig liegt, obwohl jede Ebene jede andere schneidet.

a) Der Schnitt von Ebenen ergibt stets lineare Gebilde (Punkt, Gerade, Ebene oder die leere Menge). Da eine Gerade unendlich viele Punkte besitzt, können nicht genau zwei isolierte Punkte entstehen. b) Die Lösungsmenge kann leer sein, genau einen Punkt enthalten, eine Gerade sein oder eine Ebene sein. c) Die Ebenen bilden ein Prisma: Je zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, aber diese drei Schnittgeraden sind echt parallel zueinander. Es gibt somit keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen.

- Versuche, das Gleichungssystem mit einem Standardverfahren (z. B. Additionsverfahren) zu lösen. - Achte darauf, ob eine der Gleichungen eine Kombination der anderen beiden ist. - Was bedeutet es für die gegenseitige Lage von Ebenen, wenn ein System unendlich viele Lösungen hat? - Prüfe auch, ob die Ebenen identisch sein könnten, indem du die Normalenvektoren vergleichst.

1. Addition von Gleichung (I) und (II): \((x_1 + x_2 + x_3) + (x_1 - x_2 + 2x_3) = 3 + 1 \implies 2x_1 + 3x_3 = 4\). 2. Vergleich mit Gleichung (III): Das Ergebnis der Addition entspricht exakt der Gleichung (III). Damit ist eine Gleichung redundant (linear abhängig), und das System hat unendlich viele Lösungen. 3. Bestimmung der Lösungsgeraden: Setze \(x_3 = t\). Aus (III) folgt \(2x_1 = 4 - 3t \implies x_1 = 2 - 1{,}5t\). Einsetzen in (I): \((2 - 1{,}5t) + x_2 + t = 3 \implies x_2 = 1 + 0{,}5t\). 4. Die Lösungsmenge ist die Gerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Geometrische Interpretation: Die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden (Büschelstellung). Keine zwei Ebenen sind identisch, da ihre Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, die auf der Schnittgeraden \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\) liegen. Geometrisch bedeutet dies, dass sich die drei Ebenen \(E_1, E_2\) und \(E_3\) in dieser gemeinsamen Geraden schneiden (Ebenenbüschel).

- Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer Geraden beim Berechnen des Schnittwinkels zusammen? - Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt eines Würfels, wenn seine Eckpunkte bekannt sind? - An welchen Stellen eines Körpers treten typischerweise die minimalen und maximalen Werte für eine lineare Koordinatensumme auf? - Wie findet man die Spurpunkte einer Ebene, also die Schnittpunkte mit den Achsen?

1. Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), der Richtungsvektor der \(x_3\)-Achse ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Winkels \(\alpha\) über \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|} = \frac{|2|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{6}}\). Daraus folgt \(\alpha \approx 54{,}74^\circ\). 3. Der Mittelpunkt des Würfels liegt bei \(M(3|3|3)\). Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \(3 + 3 + 2 \cdot 3 = 12\), also \(k = 12\). 4. Die Extremwerte der Summe \(x_1 + x_2 + 2x_3\) im Bereich \(0 \le x_i \le 6\) liegen am Ursprung (\(k=0\)) und am gegenüberliegenden Eckpunkt \((6|6|6)\) mit \(k = 6 + 6 + 2 \cdot 6 = 24\). Das Intervall ist \(k \in [0; 24]\). 5. Schnittpunkte von \(E_4\) (\(x_1 + x_2 + 2x_3 = 4\)): Mit der \(x_1\)-Achse \(S_1(4|0|0)\), mit der \(x_2\)-Achse \(S_2(0|4|0)\), mit der \(x_3\)-Achse \(S_3(0|0|2)\). Da alle Koordinatenwerte zwischen \(0\) und \(6\) liegen, befinden sich die Punkte auf dem Rand oder im Inneren des Würfels.

a) \(\alpha \approx 54{,}74^\circ\) b) \(k = 12\) c) \(k \in [0; 24]\) d) \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\). Da \(0 \le 4 \le 6\) und \(0 \le 2 \le 6\), liegen alle Punkte innerhalb der Würfelgrenzen.

- Was sagt das Verhältnis der Richtungsvektoren über die Lage der Geraden aus? - Wie kannst du mathematisch prüfen, ob es einen gemeinsamen Punkt gibt? - Wenn du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und drei Gleichungen hast, wie gehst du mit der überzähligen Gleichung um? - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn das Gleichungssystem keine Lösung besitzt?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren auf Parallelität: Die Vektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (\(1 \cdot k = 2 \Rightarrow k=2\), aber \(-1 \cdot 2 \neq 1\)), daher sind die Geraden weder parallel noch identisch. 2. Gleichsetzen der Parameterformen zur Untersuchung auf einen Schnittpunkt: \(5 + r = 5 + 2s \Rightarrow r = 2s\) (I) \(2 - r = -1 + s \Rightarrow 3 - r = s\) (II) \(-1 + 2r = 6 - 3s\) (III) 3. Lösen des Systems aus (I) und (II): Einsetzen von \(r = 2s\) in (II) ergibt \(3 - 2s = s \Rightarrow 3 = 3s \Rightarrow s = 1\). Daraus folgt \(r = 2 \cdot 1 = 2\). 4. Überprüfung mit Gleichung (III): \(-1 + 2(2) = 3\) und \(6 - 3(1) = 3\). Da \(3 = 3\) eine wahre Aussage ist, schneiden sich die Geraden. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\): Einsetzen von \(r=2\) in \(g\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(7 | 0 | 3)\).

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? Betrachte die Komponenten, die keine Variablen enthalten. - Wenn du den Parameter \(k\) gefunden hast, wie unterscheidest du dann zwischen „parallel“ und „identisch“? - Reicht es aus, nur eine Komponente bei der Punktprobe zu prüfen?

1. Bedingung für Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ k \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\) müssen kollinear sein. Es muss gelten \(\vec{v} = m \cdot \vec{u}\). Vergleich der \(x\)-Komponenten: \(-9 = m \cdot 3 \Rightarrow m = -3\). Vergleich der \(z\)-Komponenten zur Kontrolle: \(6 = -3 \cdot (-2) = 6\) (erfüllt). Berechnung von \(k\): \(12 = -3 \cdot k \Rightarrow k = -4\). Für \(k = -4\) sind die Geraden parallel oder identisch. 2. Punktprobe für Identität: Prüfe, ob der Stützpunkt \(A(1|2|0)\) von \(g_{-4}\) auf \(h\) liegt: \(1 = 4 - 9s \Rightarrow -3 = -9s \Rightarrow s = \frac{1}{3}\). Einsetzen in die \(y\)-Komponente: \(-1 + 12 \cdot \frac{1}{3} = -1 + 4 = 3\). Da die \(y\)-Koordinate des Stützpunkts \(A\) jedoch \(2\) ist (\(3 \neq 2\)), liegt der Punkt nicht auf \(h\). Somit sind die Geraden für \(k = -4\) echt parallel.

a) \(k = -4\) b) Für \(k = -4\) sind die Geraden echt parallel.

- Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du durch eine Punktprobe klären, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setze die Geradengleichungen gleich, um nach einem Schnittpunkt zu suchen. - Denke daran, dass ein Schnittpunkt nur existiert, wenn die gefundenen Parameterwerte alle drei Koordinatengleichungen erfüllen. - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn kein Schnittpunkt existiert, obwohl die Richtungsvektoren nicht parallel sind?

1. Paar \(g_1, g_3\): Untersuchung der Richtungsvektoren \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) zeigt Kollinearität (\(\vec{v}_3 = -2 \cdot \vec{v}_1\)). Punktprobe mit \(A_3(-3|0|0)\) in \(g_1\) liefert \(1+2r=-3 \Rightarrow r=-2\), \(2+r=0 \Rightarrow r=-2\) und \(3-r=0 \Rightarrow r=3\). Da die Komponentengleichungen widersprüchliche Werte für \(r\) liefern, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Ergebnis: \(g_1\) und \(g_3\) sind echt parallel. 2. Paar \(g_1, g_2\): Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen der Parameterformen führt zum LGS: \(1+2r = 5-s\), \(2+r = 4+2s\), \(3-r = 1+2s\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(r=2\) und \(s=0\). Einsetzen in die dritte Gleichung: \(3-2 = 1\) und \(1+2(0) = 1\) (wahr). Ergebnis: Schnittpunkt \(S(5|4|1)\). 3. Paar \(g_2, g_3\): Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen führt zum LGS: \(5-s = -3-4t\), \(4+2s = -2t\), \(1+2s = 2t\). Aus den letzten beiden Gleichungen folgt durch Addition \(5+4s = 0 \Rightarrow s = -1{,}25\) und daraus \(t = -0{,}75\). Prüfung in der ersten Gleichung: \(5 - (-1{,}25) = 6{,}25\) und \(-3 - 4(-0{,}75) = 0\). Da \(6{,}25 \neq 0\), gibt es keinen Schnittpunkt. Ergebnis: \(g_2\) und \(g_3\) sind windschief.

\(g_1\) und \(g_2\) schneiden sich im Punkt \(S(5|4|1)\). \(g_1\) und \(g_3\) sind echt parallel. \(g_2\) und \(g_3\) sind windschief.

- Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind. - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du mit einer Punktprobe klären, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Sind die Richtungsvektoren nicht parallel, setze die Geradengleichungen gleich, um nach einem Schnittpunkt zu suchen. - Erhältst du beim Gleichsetzen ein unlösbares System mit einem Widerspruch, obwohl die Richtungen verschieden sind, liegen die Geraden windschief.

1. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Das Gleichsetzen der Parameterformen führt auf das System: \(1+r=3\), \(2=2+s\) und \(3+r=5+s\). Daraus folgt \(s=0\) und \(r=2\). Die Prüfung in der dritten Gleichung ergibt \(3+2=5+0\), also \(5=5\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 5)\). 2. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(-2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Eine Punktprobe mit dem Stützpunkt \((2 | 0 | 1)\) von \(k\) in \(g\) ergibt: \(1+r=2 \Rightarrow r=1\), aber \(2=0\) ist ein Widerspruch. Somit sind \(g\) und \(k\) echt parallel. 3. Untersuchung von \(h\) und \(k\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Das Gleichsetzen ergibt: \(3=2-2t \Rightarrow t=-0{,}5\); \(2+s=0 \Rightarrow s=-2\). Die Prüfung in der dritten Koordinate: \(5+s = 5-2 = 3\) und \(1-2t = 1-2(-0{,}5) = 2\). Da \(3 \neq 2\), sind die Geraden \(h\) und \(k\) windschief.

\(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(3 | 2 | 5)\). \(g\) und \(k\) sind echt parallel. \(h\) und \(k\) sind windschief.

- Formen der Geradengleichungen können variieren; du kannst sie zur Untersuchung in die jeweils andere Form einsetzen. - Überlege dir, was es für die Lagebeziehung bedeutet, wenn beim Einsetzen einer Parameterform in eine Koordinatengleichung eine allgemeingültige Aussage wie \(0=0\) entsteht. - Wie viele Schnittpunkte können zwei verschiedene Geraden in einer Ebene maximal haben? - Wenn zwei Geraden identisch sind, wie verhält sich dann die dritte Gerade zu diesen beiden?

1. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Setze die Punktkoordinaten von \(g\) (\(x = 1 + 2\lambda\), \(y = 3 + \lambda\)) in die Koordinatengleichung von \(h\) ein: \((1 + 2\lambda) - 2(3 + \lambda) = 1 + 2\lambda - 6 - 2\lambda = -5\). Die Gleichung \(-5 = -5\) ist für alle \(\lambda\) erfüllt. Somit sind \(g\) und \(h\) identisch. 2. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Setze den \(y\)-Wert von \(g\) in die Funktionsgleichung von \(k\) ein: \(3 + \lambda = -2(1 + 2\lambda) + 10 \Rightarrow 3 + \lambda = -2 - 4\lambda + 10 \Rightarrow 5\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = 1\). Einsetzen von \(\lambda = 1\) in \(g\) ergibt den Schnittpunkt \(S(3 | 4)\). 3. Untersuchung von \(h\) und \(k\): Da \(g\) und \(h\) identisch sind, muss der Schnittpunkt von \(h\) und \(k\) derselbe sein wie der von \(g\) und \(k\). Einsetzen von \(y = -2x + 10\) in \(h\): \(x - 2(-2x + 10) = -5 \Rightarrow x + 4x - 20 = -5 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3\). Daraus folgt \(y = -2(3) + 10 = 4\). Schnittpunkt ist \(S(3 | 4)\).

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch. Die Gerade \(k\) schneidet sowohl \(g\) als auch \(h\) im Punkt \(S(3 | 4)\).

- Wann haben zwei Geradengleichungen unendlich viele gemeinsame Punkte? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn ein Gleichungssystem beim Gleichsetzen keinen einzigen Schnittpunkt liefert, obwohl die Richtungsvektoren in die gleiche Richtung zeigen? - Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. - Wie viele Zeilen eines Gleichungssystems müssen erfüllt sein, damit ein Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Vergleich der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = -0{,}5 \cdot \vec{v}_g\) und \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} = 1{,}5 \cdot \vec{v}_g\). Da die Richtungsvektoren kollinear sind, sind alle drei Geraden zueinander parallel oder identisch. 2. Schnittpunktansatz \(g \cap h\): Gleichsetzen der Parameterdarstellungen führt auf das System: \(5 + 4r = 1 - 2s \Leftrightarrow 4r + 2s = -4\) \(-2r = 2 + s \Leftrightarrow -2r - s = 2\) \(-2 + 6r = -8 - 3s \Leftrightarrow 6r + 3s = -6\) Alle drei Gleichungen sind äquivalent zu \(2r + s = -2\). Das System hat unendlich viele Lösungen, woraus folgt, dass \(g\) und \(h\) identisch sind (\(g = h\)). 3. Schnittpunktansatz \(g \cap k\): Gleichsetzen führt auf: \(5 + 4r = 3 + 6t \Leftrightarrow 2r - 3t = -1\) \(-2r = 1 - 3t \Leftrightarrow 2r - 3t = -1\) \(-2 + 6r = -1 + 9t \Leftrightarrow 6r - 9t = 1 \Leftrightarrow 2r - 3t = \frac{1}{3}\) Die Gleichungen widersprechen sich (\(-1 \neq \frac{1}{3}\)), das System ist unlösbar. Daraus folgt, dass \(g\) und \(k\) echt parallel sind. 4. Ergebnis: \(g\) und \(h\) beschreiben dieselbe Gerade, \(k\) ist eine dazu echt parallele Gerade.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind identisch. Die Gerade \(k\) ist zu beiden echt parallel.

- Erinnerst du dich, wie man prüft, ob ein Vektor ein Vielfaches eines anderen ist? - Wenn du zwei Geraden gleichsetzt und eine wahre Aussage wie \(0=0\) oder zwei identische Gleichungen erhältst, was sagt das über die Anzahl der Schnittpunkte aus? - Reicht es aus, nur zwei der Geraden zu vergleichen, um eine Aussage über alle drei zu treffen? - Achte darauf, dass die Geraden hier in der Ebene (\(\mathbb{R}^2\)) liegen, das Prinzip aber das gleiche wie im Raum ist.

1. Analyse der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{v}_g = -2 \cdot \vec{v}_h\) und \(\vec{v}_k = 3 \cdot \vec{v}_h\). Alle Geraden verlaufen in dieselbe Richtung. 2. Schnittpunktansatz \(g \cap h\): \(2 - 4\lambda = 2\mu \Rightarrow 2\lambda + \mu = 1\) \(1 + 6\lambda = 4 - 3\mu \Rightarrow 6\lambda + 3\mu = 3 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 1\) Beide Gleichungen sind identisch. Das System besitzt unendlich viele Lösungen, was bedeutet, dass \(g\) und \(h\) identisch sind. 3. Schnittpunktansatz \(h \cap k\): \(2\mu = 4 + 6\sigma \Rightarrow \mu - 3\sigma = 2\) \(4 - 3\mu = -2 - 9\sigma \Rightarrow -3\mu + 9\sigma = -6 \Rightarrow \mu - 3\sigma = 2\) Auch hier ergeben sich unendlich viele Lösungen, somit ist \(h = k\). 4. Schlussfolgerung: Da \(g = h\) und \(h = k\), beschreiben alle drei Parameterdarstellungen dieselbe Gerade.

Alle drei Parameterdarstellungen (\(g\), \(h\) und \(k\)) bestimmen dieselbe Gerade.

- Wann sind zwei Geraden identisch und was bedeutet das für ihre Richtungs- und Stützvektoren? - Kannst du einen Zusammenhang zwischen den beiden Richtungsvektoren erkennen? - Was passiert, wenn du versuchst, den Stützpunkt der einen Geraden in die Gleichung der anderen Geraden einzusetzen? - Überlege dir, welche Lagebeziehungen zwischen Geraden im Raum möglich sind, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

1. Damit die Geraden identisch sind, müssen ihre Richtungsvektoren kollinear sein und der Stützpunkt von \(h_{a,b}\) muss auf \(g\) liegen. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \((-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für die Punktprobe des Stützpunkts gilt: \(\begin{pmatrix} a \\ 10 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(10 = 1 + 3\lambda \Rightarrow \lambda = 3\). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \(a = 2 + 3 = 5\). Einsetzen in die dritte Zeile ergibt \(b = -3 - 2 \cdot 3 = -9\). 2. Zwei Geraden besitzen genau dann einen einzigen Schnittpunkt, wenn ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind. Da hier die Richtungsvektoren für alle \(a, b\) linear abhängig (kollinear) sind, können die Geraden nur identisch oder echt parallel sein. In keinem dieser Fälle existiert genau ein Schnittpunkt.

1. \(a = 5\) und \(b = -9\) 2. Da die Richtungsvektoren kollinear sind (\(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\)), sind die Geraden für alle \(a, b\) entweder parallel oder identisch. Ein einzelner Schnittpunkt setzt jedoch linear unabhängige Richtungsvektoren voraus.

- Was muss für die Ortsvektoren gelten, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Du hast drei Koordinatengleichungen, aber zunächst nur zwei Unbekannte in den Parametern der Geraden. Welche Gleichungen eignen sich am besten zum Starten? - Wie kannst du überprüfen, ob dein berechneter Parameter \(a\) tatsächlich zu einem Schnittpunkt führt? - Denke daran, dass der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegen muss.

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(3 + r = 1 + 3s\) II: \(1 - 2r = 7 + as\) III: \(4 + 2r = -2 - 2s\) 2. Aus I folgt \(r = 3s - 2\). Einsetzen in III ergibt \(4 + 2(3s - 2) = -2 - 2s\), woraus \(4 + 6s - 4 = -2 - 2s\) folgt. Dies vereinfacht sich zu \(8s = -2\), also \(s = -0{,}25\). 3. Einsetzen von \(s = -0{,}25\) in I ergibt \(r = 3 \cdot (-0{,}25) - 2 = -2{,}75\). 4. Einsetzen von \(r\) und \(s\) in II: \(1 - 2(-2{,}75) = 7 + a(-0{,}25) \Rightarrow 6{,}5 = 7 - 0{,}25a \Rightarrow -0{,}5 = -0{,}25a \Rightarrow a = 2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts mit \(r = -2{,}75\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - 2{,}75 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}25 \\ 6{,}5 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\).

a) \(a = 2\) b) \(S(0{,}25 \mid 6{,}5 \mid -1{,}5)\)

- Schau dir zuerst die Stützvektoren an – gibt es dort eine Gemeinsamkeit? - Untersuche die Richtungsvektoren auf Kollinearität (sind sie Vielfache voneinander?). - Gibt es Koordinaten, die bei einer Geraden immer denselben Wert haben? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn ein Punkt der einen Geraden offensichtlich auf der anderen liegt?

1. Teilaufgabe a): Die Geraden besitzen denselben Stützvektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Da die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander (also linear unabhängig) sind, schneiden sich die Geraden genau in diesem Punkt. Der Schnittpunkt ist \(S(5|2|-1)\). 2. Teilaufgabe b): Für alle Punkte auf \(g\) gilt \(x = 1\) und \(y = 2\), da der Richtungsvektor nur eine \(z\)-Komponente hat. Für alle Punkte auf \(h\) gilt \(x = 2\) und \(z = 5\). Da die \(x\)-Koordinaten der Geraden stets verschieden sind (\(1 \neq 2\)), kann es keinen gemeinsamen Punkt geben. Da die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) nicht kollinear sind, sind die Geraden windschief.

a) Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S(5|2|-1)\). b) Die Geraden sind windschief.

- Vergleiche die Richtungsvektoren. Sind sie parallel? - Prüfe, ob der Stützpunkt der einen Geraden die Form des Richtungsvektors der anderen (Ursprungs-)Geraden hat. - Wenn Geraden dieselbe Richtung haben, reicht ein einziger gemeinsamer Punkt für Identität. - Überlege dir, wo die Stützpunkte im Koordinatensystem liegen und in welche Richtung sich die Geraden von dort aus wegbewegen.

1. Teilaufgabe a): Der Richtungsvektor von \(g\) ist das Doppelte des Richtungsvektors von \(h\) (\(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)), somit sind sie parallel. Da der Stützpunkt von \(g\) (\(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)) gleichzeitig der Richtungsvektor von \(h\) ist, liegt dieser Punkt auf \(h\) (für \(\mu = 1\)). Die Geraden sind somit identisch. 2. Teilaufgabe b): Beide Geraden haben denselben Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), sind also parallel. Die Stützpunkte \((0|0|4)\) und \((0|0|5)\) liegen beide auf der \(z\)-Achse. Damit die Geraden identisch wären, müsste ihr gemeinsamer Richtungsvektor in Richtung der Differenz der Stützpunkte \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) zeigen. Da dies nicht der Fall ist, haben sie keinen gemeinsamen Punkt und sind echt parallel.

a) Die Geraden sind identisch. b) Die Geraden sind echt parallel.

- Wie findest du den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. - Wie stellt man eine Parametergleichung für eine Gerade durch zwei Punkte auf? - Wie berechnet man den Punkt, an dem sich zwei Geraden treffen?

1. Bestimmung der Mittelpunkte zweier Seiten, zum Beispiel \(M_{BC}\) der Seite \(\overline{BC}\) und \(M_{AC}\) der Seite \(\overline{AC}\): \(M_{BC} = \left(\frac{5+3}{2} \big| \frac{0+8}{2} \big| \frac{6+4}{2}\right) = (4|4|5)\) \(M_{AC} = \left(\frac{1+3}{2} \big| \frac{4+8}{2} \big| \frac{2+4}{2}\right) = (2|6|3)\) 2. Aufstellen der Geradengleichungen für die Seitenhalbierenden \(s_a\) (durch \(A\) und \(M_{BC}\)) und \(s_b\) (durch \(B\) und \(M_{AC}\)): \(s_a: \vec{x} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AM_{BC}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(s_b: \vec{x} = \vec{OB} + k \cdot \vec{BM_{AC}} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\) 3. Gleichsetzen der Geraden zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(I: 1 + 3t = 5 - 3k\) \(II: 4 = 6k \Rightarrow k = \frac{2}{3}\) \(III: 2 + 3t = 6 - 3k\) Einsetzen von \(k = \frac{2}{3}\) in \(I\): \(1 + 3t = 5 - 2 \Rightarrow 3t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\). 4. Einsetzen von \(t = \frac{2}{3}\) in \(s_a\): \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(3|4|4)\).

\(S(3|4|4)\)

- Es gibt eine einfache Formel, um den Schwerpunkt direkt aus den Koordinaten der drei Eckpunkte zu berechnen. - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Was muss für den Parameter \(r\) gelten, damit der Punkt Teil der Geraden ist?

1. Der Schwerpunkt \(S\) berechnet sich durch den Mittelwert der Koordinaten der Eckpunkte: \(\vec{OS} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \frac{1}{3} \cdot \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(3|2|3)\). 2. Punktprobe für \(S\) auf der Geraden \(g\): \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) führt auf das Linearsystem: \(3 = 1 + 2r \Rightarrow 2r = 2 \Rightarrow r = 1\) \(2 = 0 + 2r \Rightarrow 2r = 2 \Rightarrow r = 1\) \(3 = 5 - 2r \Rightarrow -2r = -2 \Rightarrow r = 1\) Da in allen drei Zeilen derselbe Wert für \(r\) bestimmt wurde, liegt der Schwerpunkt \(S\) auf der Geraden \(g\).

1. \(S(3|2|3)\) 2. Ja, der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(g\) (für \(r=1\)).

- Was muss für drei Geraden gelten, damit sie ein Dreieck begrenzen? - Wie prüfst du die Lagebeziehung von zwei Geraden im Raum? - Erinnerst du dich, wie man ein lineares Gleichungssystem löst, um Schnittpunkte zu finden? - Wenn du zwei Eckpunkte auf einer Geraden gefunden hast, welche Werte nimmt der Parameter zwischen diesen Punkten an?

1. Schnittpunkt \(g \cap h\): Gleichsetzen der Parameterformen führt auf das Gleichungssystem \(2\lambda + \mu = 4\) und \(-\lambda - 2\mu = -2\). Die Lösung ergibt \(\mu = 0\) und \(\lambda = 2\). Der Schnittpunkt ist \(P_1(5|0|1)\). 2. Schnittpunkt \(h \cap k\): Gleichsetzen führt auf \(\mu + \nu = 2\) und \(2\mu - \nu = 4\). Die Lösung ergibt \(\mu = 2\) und \(\nu = 0\). Der Schnittpunkt ist \(P_2(3|4|5)\). 3. Schnittpunkt \(k \cap g\): Gleichsetzen führt auf \(\nu - 2\lambda = -2\) und \(\nu + \lambda = -2\). Die Lösung ergibt \(\lambda = 0\) und \(\nu = -2\). Der Schnittpunkt ist \(P_3(1|2|3)\). 4. Da drei paarweise verschiedene Schnittpunkte existieren, bilden die Geraden ein Dreieck mit den Eckpunkten \(P_1, P_2, P_3\). 5. Parameterintervalle für die Seiten: Seite \(P_3 P_1\) auf \(g\): \(\lambda \in [0; 2]\) Seite \(P_1 P_2\) auf \(h\): \(\mu \in [0; 2]\) Seite \(P_2 P_3\) auf \(k\): \(\nu \in [-2; 0]\)

Die Geraden bilden ein Dreieck. Eckpunkte: \(A(5|0|1)\), \(B(3|4|5)\) und \(C(1|2|3)\). Seitenintervalle: \(g: \lambda \in [0; 2]\); \(h: \mu \in [0; 2]\); \(k: \nu \in [-2; 0]\).

- Ein Dreieck entsteht nur, wenn sich alle drei Geradenpaare in jeweils genau einem Punkt schneiden. - Untersuche nacheinander die Lagebeziehungen der Paare \((g, h)\), \((g, k)\) und \((h, k)\). - Was bedeutet es für die Figur, wenn zwei Geraden windschief zueinander liegen?

1. Untersuchung \(g \cap h\): Gleichsetzen ergibt \(2 + \lambda = 3\), \(1 = 1 + \mu\) und \(1 + \lambda = 2 + \mu\). Daraus folgt \(\lambda = 1\) und \(\mu = 0\). Die dritte Gleichung \(1 + 1 = 2 + 0\) ist erfüllt. Schnittpunkt \(S_1(3|1|2)\). 2. Untersuchung \(g \cap k\): Gleichsetzen ergibt \(2 + \lambda = 1 + \nu\), \(1 = 1 + \nu\) und \(1 + \lambda = 1\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\nu = 0\), aus der dritten \(\lambda = 0\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2 + 0 = 1 + 0\), was ein Widerspruch (\(2 = 1\)) ist. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, daher sind \(g\) und \(k\) windschief. 3. Da ein Paar der Geraden keinen Schnittpunkt besitzt, können die drei Geraden kein Dreieck bilden.

Die Geraden bilden kein Dreieck, da die Geraden \(g\) und \(k\) windschief zueinander sind (es existiert kein Schnittpunkt).

- Was muss für die Richtungsvektoren gelten, damit ein Schnittpunkt überhaupt möglich ist? - Wie kannst du die Parameter der Geraden berechnen, wenn du zunächst die Gleichung ignorierst, in der der unbekannte Parameter \(a\) vorkommt? - Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du die gefundenen Werte für die Geradenparameter in die verbliebene Gleichung einsetzt? - Wie erhältst du aus den berechneten Parametern die Punktkoordinaten?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(4 + 2r = a + s\), \(2 - r = 1 + 2s\) und \(1 + 3r = 5 - s\). 2. Verwendung der zweiten und dritten Gleichung zur Bestimmung der Parameter \(r\) und \(s\): Aus \(r = 1 - 2s\) und Einsetzen in die dritte Gleichung folgt \(1 + 3(1 - 2s) = 5 - s\), woraus sich \(s = -0{,}2\) und \(r = 1{,}4\) ergeben. 3. Einsetzen von \(r = 1{,}4\) und \(s = -0{,}2\) in die erste Gleichung, um \(a\) zu berechnen: \(4 + 2 \cdot 1{,}4 = a - 0{,}2 \Rightarrow 6{,}8 = a - 0{,}2 \Rightarrow a = 7\). 4. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) durch Einsetzen von \(r = 1{,}4\) in die Gleichung von \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6{,}8 \\ 0{,}6 \\ 5{,}2 \end{pmatrix}\).

Für \(a = 7\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(6{,}8 | 0{,}6 | 5{,}2)\).

- Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks im Raum, wenn die Koordinaten der Eckpunkte bekannt sind? - Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Durchschnitt der Koordinaten seiner drei Eckpunkte. - Wie stellt man eine Parametergleichung für eine Gerade durch zwei Punkte auf? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man den Ortsvektor des Punktes für den allgemeinen Vektor der Geradengleichung ein.

1. Berechnung der Schwerpunkte der Seitenflächen als arithmetisches Mittel der Eckpunktkoordinaten: \(S_1 (ABC) = \left(\frac{3+0+0}{3} \big| \frac{0+3+0}{3} \big| \frac{0+0+0}{3}\right) = (1|1|0)\) \(S_2 (ABD) = \left(\frac{3+0+1}{3} \big| \frac{0+3+1}{3} \big| \frac{0+0+4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3} \big| \frac{4}{3} \big| \frac{4}{3}\right)\) \(S_3 (ACD) = \left(\frac{3+0+1}{3} \big| \frac{0+0+1}{3} \big| \frac{0+0+4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3} \big| \frac{1}{3} \big| \frac{4}{3}\right)\) \(S_4 (BCD) = \left(\frac{0+0+1}{3} \big| \frac{3+0+1}{3} \big| \frac{0+0+4}{3}\right) = \left(\frac{1}{3} \big| \frac{4}{3} \big| \frac{4}{3}\right)\) 2. Berechnung des Schwerpunkts \(S\) des Dreiecks \(S_2 S_3 S_4\): \(S = \frac{1}{3}(S_2 + S_3 + S_4) = \left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{1}{3}}{3} \big| \frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}{3} \big| \frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{3}\right) = (1|1|\frac{4}{3})\) 3. Aufstellen der Geradengleichung \(g\) durch \(S_1(1|1|0)\) und \(D(1|1|4)\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) 4. Punktprobe für \(S(1|1|\frac{4}{3})\): Einsetzen führt zu \(1 = 1\), \(1 = 1\) und \(\frac{4}{3} = 4r \Rightarrow r = \frac{1}{3}\). Da ein einheitliches \(r\) existiert, liegt \(S\) auf \(g\).

a) \(S_1(1|1|0)\), \(S_2\left(\frac{4}{3} \big| \frac{4}{3} \big| \frac{4}{3}\right)\), \(S_3\left(\frac{4}{3} \big| \frac{1}{3} \big| \frac{4}{3}\right)\), \(S_4\left(\frac{1}{3} \big| \frac{4}{3} \big| \frac{4}{3}\right)\) b) \(S(1|1|\frac{4}{3})\) c) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\); \(S\) liegt auf \(g\) (für \(r = \frac{1}{3}\)).

- Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren der Geraden Vielfache voneinander sind. - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du mit einer Punktprobe klären, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setze die Geradengleichungen gleich, um nach gemeinsamen Punkten zu suchen. - Vergiss nicht, bei einem Schnittpunkt die gefundenen Parameterwerte in der dritten Gleichung zu überprüfen.

1. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}_k = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(-2 \cdot \vec{u}_g = \vec{u}_k\). Punktprobe mit dem Stützpunkt von \(k\) in \(g\): \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) führt auf \(r=2\) in allen drei Komponenten. Somit sind \(g\) und \(k\) identisch. 2. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt zum linearen Gleichungssystem: (I) \(-1 + 2r = 4 - 3s\) (II) \(r = 2 - s\) (III) \(3 - 2r = -2 + 3s\) Einsetzen von (II) in (I): \(-1 + 2(2 - s) = 4 - 3s \implies 3 - 2s = 4 - 3s \implies s = 1\). Daraus folgt \(r = 1\). Überprüfung in (III): \(3 - 2(1) = -2 + 3(1) \implies 1 = 1\) (wahre Aussage). Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(1|1|1)\). Da \(g=k\), schneiden sich auch \(h\) und \(k\) in \(S\).

Die Geraden \(g\) und \(k\) sind identisch. Die Gerade \(h\) schneidet sowohl \(g\) als auch \(k\) im Punkt \(S(1|1|1)\).

- Betrachte zuerst die Richtungsvektoren der Geraden. Sind sie Vielfache voneinander? - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du prüfen, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen liegt. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setze die Geradengleichungen gleich, um nach einem Schnittpunkt zu suchen. - Was bedeutet es für die Lage der Geraden, wenn das resultierende Gleichungssystem keine Lösung hat?

1. Untersuchung von \(g\) und \(h\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(\vec{v}_h = -1{,}5 \cdot \vec{v}_g\). Die Punktprobe mit dem Stützpunkt von \(h\) in \(g\) ergibt \(0 = 4 + 2r \Rightarrow r = -2\). Einsetzen in die \(y\)-Komponente: \(-2 - 2 \cdot (-2) = 2 \neq 1\). Somit sind \(g\) und \(h\) echt parallel. 2. Untersuchung von \(g\) und \(k\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System: \(4 + 2r = 3 + t\), \(-2 - 2r = 1\) und \(1 + 4r = -3 + t\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(r = -1{,}5\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(t = 4 + 2 \cdot (-1{,}5) - 3 = -2\). Die Prüfung in der dritten Gleichung ergibt \(1 + 4 \cdot (-1{,}5) = -5\) und \(-3 + (-2) = -5\). Somit schneiden sich \(g\) und \(k\) im Punkt \(S(1|1|-5)\). 3. Untersuchung von \(h\) und \(k\): Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen ergibt in der \(y\)-Komponente \(1 + 3s = 1 \Rightarrow s = 0\). In der \(x\)-Komponente folgt \(0 - 3 \cdot 0 = 3 + t \Rightarrow t = -3\). Die Prüfung in der \(z\)-Komponente ergibt \(-5 - 6 \cdot 0 = -5\) und \(-3 + (-3) = -6\). Da \(-5 \neq -6\), sind \(h\) und \(k\) windschief.

\(g\) und \(h\) sind echt parallel; \(g\) und \(k\) schneiden sich im Punkt \(S(1|1|-5)\); \(h\) und \(k\) sind windschief zueinander.

- Überprüfe zunächst, ob die Geraden parallel sein können, indem du die Richtungsvektoren vergleichst. - Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du die \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten der Geraden gleichsetzt. - Nutze zwei der Gleichungen, um die Parameter der Geraden zu bestimmen, und setze diese in die dritte Gleichung ein, um die Bedingung für \(a\) zu finden. - Welche Lagebeziehung bleibt übrig, wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert?

1. Da die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind, können die Geraden nur schneidend oder windschief sein. 2. Gleichsetzen der Komponenten: (I) \(2 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1\) (III) \(3 + 2\lambda = 2 + \mu \Rightarrow 3 + 2 \cdot (-1) = 2 + \mu \Rightarrow 1 = 2 + \mu \Rightarrow \mu = -1\) 3. Einsetzen von \(\lambda = -1\) und \(\mu = -1\) in (II): \(1 - (-1) = a + (-1) \Rightarrow 2 = a - 1 \Rightarrow a = 3\). 4. Für \(a = 3\) existiert ein Schnittpunkt. Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(g\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Für \(a \neq 3\) besitzt das System keine Lösung, daher sind die Geraden windschief.

Für \(a = 3\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(1|2|1)\). Für alle \(a \neq 3\) sind die Geraden windschief.

- Überlege, was die Stützvektoren über den Schnittpunkt aussagen. - Wie hängen die Längen der Schenkel in einem gleichschenkligen Dreieck zusammen? - Bei einer Spiegelung an einer Geraden liegt der Lotfußpunkt genau in der Mitte zwischen Punkt und Bildpunkt. - Denke an die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren.

1. Der Schnittpunkt \(S\) ergibt sich direkt aus den Stützvektoren zu \(S(2 | -1 | 5)\), da beide Geraden denselben Stützpunkt verwenden. 2. Der Schnittwinkel \(\alpha\) berechnet sich über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Mit \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v}_g \cdot \vec{v}_h|}{|\vec{v}_g| \cdot |\vec{v}_h|} = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1|}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}\) folgt \(\alpha \approx 27{,}3^\circ\). 3. Für ein gleichschenkliges Dreieck \(SPQ\) mit Basis \(PQ\) muss \(|\vec{SQ}| = |\vec{SP}|\) gelten. Der Vektor \(\vec{SP} = \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ 18 \end{pmatrix}\) hat die Länge \(27\). Da der Richtungsvektor von \(h\) die Länge \(3\) hat, muss für den Parameter \(s\) gelten: \(|s| \cdot 3 = 27\), also \(s_1 = 9\) und \(s_2 = -9\). Dies führt zu \(Q_1(20 | 17 | 14)\) und \(Q_2(-16 | -19 | -4)\). 4. Zur Spiegelung von \(P\) an \(h\) wird der Lotfußpunkt \(L\) bestimmt. Die Bedingung \(\vec{PL} \cdot \vec{v}_h = 0\) mit \(L = \vec{S} + s \vec{v}_h\) ergibt \(s = \frac{\vec{SP} \cdot \vec{v}_h}{|\vec{v}_h|^2} = \frac{18 + 36 + 18}{9} = 8\). Somit ist \(L(18 | 15 | 13)\). Der Bildpunkt ist \(\vec{P'} = \vec{P} + 2 \cdot \vec{PL} = 2\vec{L} - \vec{P}\), woraus \(P'(25 | 13 | 3)\) folgt.

a) \(S(2 | -1 | 5)\); \(\alpha \approx 27{,}3^\circ\) b) \(Q_1(20 | 17 | 14)\) und \(Q_2(-16 | -19 | -4)\) c) \(P'(25 | 13 | 3)\)

- Wie findet man rechnerisch heraus, ob und wo sich zwei Geraden im Raum schneiden? - Was muss für die Richtungsvektoren gelten, damit ein Dreieck entsteht? - Erinnerst du dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren? - Welche Eigenschaft haben die Seitenlängen in einem gleichseitigen Dreieck? - Wie berechnet man den Mittelwert von drei Punkten im Koordinatensystem?

1. Bestimmung der Schnittpunkte durch paarweises Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(g_1 = g_2\) liefert \(r=2, s=-1\) und den Schnittpunkt \(B(4|2|2)\). \(g_2 = g_3\) liefert \(s=2, t=-1\) und den Schnittpunkt \(C(1|5|2)\). \(g_3 = g_1\) liefert \(t=2, r=-1\) und den Schnittpunkt \(A(1|2|-1)\). Da drei unterschiedliche Schnittpunkte existieren, bilden die Geraden ein Dreieck. 2. Berechnung der Innenwinkel über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Alle Seitenlängen betragen \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Da alle Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichseitig. Somit sind alle Innenwinkel \(\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ\). 3. Der Schwerpunkt \(S\) ergibt sich aus dem arithmetischen Mittel der Eckpunkte: \(\vec{s} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1+4+1 \\ 2+2+5 \\ -1+2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Die Gerade \(h\) hat den Stützvektor \(\vec{s}\) und den Richtungsvektor von \(AB\), also \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Nachweis durch paarweises Gleichsetzen: Es existieren drei eindeutige Schnittpunkte. b) Eckpunkte: \(A(1|2|-1)\), \(B(4|2|2)\), \(C(1|5|2)\). c) Alle Innenwinkel betragen \(60^\circ\); es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck. d) Schwerpunkt \(S(2|3|1)\). e) Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Wie kannst du den Punkt und die Ebenengleichung gleichsetzen? - Welches mathematische Verfahren hilft dir, Systeme mit mehreren Unbekannten zu lösen? - Was bedeutet es für die Lage des Punktes, wenn das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung für alle drei Koordinaten besitzt? - Denke daran, die gefundenen Werte für die Parameter in der jeweils nicht genutzten Koordinatengleichung zu prüfen.

1. Für Punkt \(P\): Aufstellen des Gleichungssystems aus \(\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Daraus ergeben sich die Gleichungen I: \(2r + s = 3\), II: \(-r + 3s = 2\) und III: \(4r - 2s = 2\). Aus I und II folgt durch Einsetzen oder Eliminieren \(r = 1\) und \(s = 1\). Die Überprüfung in III ergibt \(4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 2\), was eine wahre Aussage ist. Somit liegt \(P\) in \(E\) mit \(r = 1\) und \(s = 1\). 2. Für Punkt \(Q\): Aufstellen des Gleichungssystems I: \(2r + s = -1\), II: \(-r + 3s = 1\) und III: \(4r - 2s = 3\). Aus I und II folgt \(r = -\frac{4}{7}\) und \(s = \frac{1}{7}\). Die Überprüfung in III ergibt \(4 \cdot (-\frac{4}{7}) - 2 \cdot \frac{1}{7} = -\frac{18}{7} \neq 3\). Dies ist ein Widerspruch, weshalb \(Q\) nicht in der Ebene \(E\) liegt.

a) Der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\). Die Parameterwerte sind \(r = 1\) und \(s = 1\). b) Der Punkt \(Q\) liegt nicht in der Ebene \(E\).

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Was bedeutet es für die Lage von zwei Geraden im Raum, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind? - Überlege dir, welche verschiedenen Lagebeziehungen zwei Geraden haben können und in welchen dieser Fälle sie eine Ebene festlegen. - Kannst du dir zwei parallele Geraden vorstellen, die nicht in einer flachen Ebene liegen?

1. Zunächst werden die Richtungsvektoren der Geraden aufgestellt: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{CD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\). Damit die Geraden parallel sind, müssen die Richtungsvektoren kollinear sein. Da die ersten beiden Komponenten bereits identisch sind, muss auch die dritte Komponente übereinstimmen: \(k - 2 = -1\), woraus \(k = 1\) folgt. 2. Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, spannen sie stets eine eindeutige Ebene auf (sofern sie nicht identisch sind). Da alle vier Punkte auf diesen beiden parallelen Geraden liegen (\(A, B\) auf \(g\) und \(C, D\) auf \(h\)), liegen sie folglich in der durch die Geraden definierten Ebene. Ein Test auf Identität (Punktprobe von \(C\) auf \(g\)) zeigt \(0 = 1 + 2r \Rightarrow r = -0{,}5\) und \(4 = 1 + r \Rightarrow r = 3\), was einen Widerspruch ergibt; die Geraden sind also echt parallel und liegen somit in einer Ebene.

1. Die Geraden sind für \(k = 1\) parallel. 2. Da die Geraden \(g\) und \(h\) für \(k = 1\) parallel (und nicht identisch) sind, liegen sie in einer gemeinsamen Ebene. Da die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) auf diesen Geraden liegen, sind sie komplanar.

- Woran erkennst du, dass vier Punkte in einer Ebene liegen? - Wie kannst du aus drei Punkten eine Ebene beschreiben? - Welche Bedingungen müssen für die Parameter gelten, damit ein Punkt Teil einer Ebene ist? - Könntest du statt der Parameterform auch die Normalenform oder Koordinatenform der Ebene nutzen?

1. Aufstellen einer Ebenengleichung in Parameterform durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\): \(E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) 2. Durchführen der Punktprobe mit \(D(7|6|-2)\): I: \(2 + 3r - s = 7 \Rightarrow 3r - s = 5\) II: \(1 + r + 3s = 6 \Rightarrow r + 3s = 5\) III: \(3 - 2r - s = -2 \Rightarrow 2r + s = 5\) 3. Lösen des Gleichungssystems: Addition von I und III ergibt \(5r = 10\), also \(r = 2\). Einsetzen von \(r\) in III ergibt \(2 \cdot 2 + s = 5\), also \(s = 1\). 4. Überprüfung in Gleichung II: \(2 + 3 \cdot 1 = 5\) (wahre Aussage). 5. Da das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt, liegt der Punkt \(D\) in der Ebene \(E\). Die Punkte bilden ein ebenes Viereck.

Ja, die Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene, da die Punktprobe für \(D\) in der von \(A, B, C\) aufgespannten Ebene ein konsistentes Ergebnis liefert (mit den Parametern \(r=2\) und \(s=1\)).

- Überlege dir, wie die Richtungsvektoren zweier paralleler Ebenen zusammenhängen müssen. - Wie kannst du prüfen, ob ein Vektor in der Ebene liegt, die von zwei anderen Vektoren aufgespannt wird? - Wenn die Ebenen parallel sind, welche zwei Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es dann noch? - Wie kannst du mit einem Punkt der einen Ebene testen, welcher dieser beiden Fälle vorliegt?

1. Prüfung der Parallelität durch Untersuchung der Richtungsvektoren: Es wird geprüft, ob sich die Richtungsvektoren von \(F\) als Linearkombinationen der Richtungsvektoren von \(E\) darstellen lassen. 2. Für \(\vec{u}_F = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) gilt: \(\vec{u}_F = 1 \cdot \vec{u}_E + 1 \cdot \vec{v}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Für \(\vec{v}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) gilt: \(\vec{v}_F = -1 \cdot \vec{u}_E + 1 \cdot \vec{v}_E = -\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Da beide Richtungsvektoren von \(F\) in der von den Richtungsvektoren von \(E\) aufgespannten Ebene liegen, sind die Ebenen parallel. 5. Punktprobe zur Unterscheidung zwischen Identität und echter Parallelität: Setze den Stützvektor von \(F\) in die Gleichung von \(E\) ein: \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 6. Aus der zweiten Zeile folgt \(1 + s = -1 \implies s = -2\). Aus der dritten Zeile folgt \(2 + r = 1 \implies r = -1\). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \(3 + (-1) + 2 \cdot (-2) = -2\), was ungleich \(0\) ist. 7. Da der Punkt nicht in \(E\) liegt, sind die Ebenen echt parallel.

Die Ebenen \(E\) und \(F\) sind echt parallel.

- Was passiert mathematisch, wenn zwei Objekte Punkte gemeinsam haben? - Wie viele Variablen hast du und wie viele Gleichungen liefert der Vergleich der Vektorkomponenten? - Versuche, zwei der Parameter durch einen dritten auszudrücken. - Wenn du einen Zusammenhang zwischen den Parametern einer Ebene gefunden hast, kannst du diesen zurück in die Ebenengleichung einsetzen.

1. Gleichsetzen der Ebenengleichungen führt auf ein lineares Gleichungssystem: I: \(1 + r = 2 + t\) II: \(1 + r + s = 0\) III: \(1 + s = 1 + u\) 2. Aus Gleichung II folgt unmittelbar eine Beziehung zwischen den Parametern von \(E_1\): \(s = -1 - r\). 3. Einsetzen dieser Beziehung in die Parameterform von \(E_1\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-1 - r) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 4. Zusammenfassen der Terme: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) Dies ist die Gleichung der Schnittgeraden.

Eine mögliche Parameterdarstellung der Schnittgeraden ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\).

- Wie kannst du die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken? - Was bedeutet es für die Lösbarkeit einer Gleichung, wenn eine Gerade die Ebene schneidet, parallel zu ihr verläuft oder in ihr liegt? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen möchtest, ob ein Punkt eine bestimmte Gleichung erfüllt?

1. Einsetzen der Geradengleichung \( g \) in die Ebenengleichung \( E \): \( (1 + 2r) + 2 \cdot (1 - r) - (-1) = 1 + 2r + 2 - 2r + 1 = 4 \). 2. Da die Gleichung \( 4 = 4 \) eine wahre Aussage für alle \( r \in \mathbb{R} \) ist, liegt die Gerade \( g \) vollständig in der Ebene \( E \). 3. Einsetzen der Geradengleichung \( h \) in die Ebenengleichung \( E \): \( (3 + s) + 2(1 + s) - (2 + s) = 3 + s + 2 + 2s - 2 - s = 3 + 2s \). 4. Lösen der Gleichung \( 3 + 2s = 4 \): \( 2s = 1 \implies s = 0{,}5 \). 5. Einsetzen von \( s = 0{,}5 \) in die Geradengleichung \( h \): \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 1{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} \). 6. Der Schnittpunkt ist \( S(3{,}5 | 1{,}5 | 2{,}5) \).

a) Die Gerade \( g \) liegt in der Ebene \( E \). b) Der Schnittpunkt ist \( S(3{,}5 | 1{,}5 | 2{,}5) \).

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen zusammen, wenn diese parallel sind? - Wie berechnet man einen Normalenvektor, wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist? - Wenn du weißt, dass die Ebenen parallel sind, wie kannst du herausfinden, ob sie identisch sind? - Könntest du eine Ebene in die Koordinatenform umwandeln, um die Punktprobe zu vereinfachen?

1. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von \( E_1 \) ergibt \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von \( E_2 \) ergibt \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix} \). 3. Vergleich der Normalenvektoren: Da \( \vec{n}_2 = -2 \cdot \vec{n}_1 \), sind die Normalenvektoren kollinear und die Ebenen somit parallel. 4. Punktprobe: Überprüfung, ob der Stützpunkt \( P(0|0|0) \) von \( E_2 \) in \( E_1 \) liegt. Einsetzen in die Koordinatenform von \( E_1 \): \( -4x_1 - 5x_2 + x_3 = d \). Mit dem Stützpunkt von \( E_1 \) ergibt sich \( d = -4 \cdot (-1) - 5 \cdot 0 + 1 = 5 \). Einsetzen von \( P \) ergibt \( -4 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0 = 0 \). Da \( 0 \neq 5 \), liegt der Punkt nicht in der Ebene. 5. Ergebnis: Die Ebenen sind echt parallel.

Die Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) sind echt parallel.

- Zuerst musst du herausfinden, wie die Ebene im Raum orientiert ist. Welche Vektoren spannen sie auf? - Wie findet man einen Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Der Ursprung als Punkt hat ganz spezielle Koordinaten. Wie sieht der zugehörige Ortsvektor aus?

1. Bestimmung zweier Spannvektoren der Ebene: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Ein kollinearer, vereinfachter Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, ist der Stützvektor \(\vec{0}\). 5. Die Parametergleichung lautet \(h: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\).

\(h: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors)

- Wie kannst du den Normalenvektor einer Ebene aus ihrer Koordinatengleichung ablesen? - Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor der Ebene über deren Lage aus? - Wie prüfst du, ob ein Punkt einer Geraden auch in der Ebene liegt? - Was musst du tun, wenn die Gerade die Ebene schneidet, um den genauen Punkt zu finden?

1. Untersuchung von \(g\): Skalarprodukt aus Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) und Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnen: \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 0\). Die Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 2. Punktprobe für \(g\): Stützpunkt \(P(1|2|6)\) in \(E\) einsetzen: \(2 \cdot 1 - 4(2) + 3(6) = 2 - 8 + 18 = 12\). Da \(12 = 12\) eine wahre Aussage ist, liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(E\). 3. Untersuchung von \(h\): Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-4) \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 1 \neq 0\). Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt. 4. Schnittpunktberechnung für \(h\): Geradengleichung in \(E\) einsetzen: \(2(5+s) - 4(1+s) + 3(2+s) = 12 \Rightarrow 10+2s-4-4s+6+3s = 12 \Rightarrow s+12=12 \Rightarrow s=0\). Einsetzen von \(s=0\) in \(h\) ergibt den Schnittpunkt \(S(5|1|2)\).

Die Gerade \(g\) liegt in der Ebene \(E\) (\(g \subset E\)). Die Gerade \(h\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(5|1|2)\).

- Überlege zuerst, wie du die einzelnen Komponenten \(x_1, x_2, x_3\) der Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken kannst. - Setze diese Ausdrücke in die Ebene ein, um zu prüfen, ob es eine Lösung für den Parameter gibt. - Was würde es bedeuten, wenn die Gleichung für den Parameter am Ende eine falsche Aussage (wie \(0 = 5\)) oder eine allgemeingültige Aussage (wie \(5 = 5\)) ergeben würde? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = t\), \(x_2 = 4 - t\) und \(x_3 = -2 + 3t\) in die Koordinatengleichung der Ebene: \(2 \cdot t + 2 \cdot (4 - t) - (-2 + 3t) = 5\). 2. Auflösen der Klammern und Zusammenfassen: \(2t + 8 - 2t + 2 - 3t = 5 \Rightarrow 10 - 3t = 5\). 3. Isolieren des Parameters \(t\): \(-3t = -5 \Rightarrow t = \frac{5}{3}\). 4. Da genau ein Wert für \(t\) existiert, schneidet die Gerade die Ebene. 5. Einsetzen von \(t = \frac{5}{3}\) in die Geradengleichung zur Bestimmung des Ortsvektors des Schnittpunkts: \(x_1 = \frac{5}{3}\) \(x_2 = 4 - \frac{5}{3} = \frac{12}{3} - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}\) \(x_3 = -2 + 3 \cdot \frac{5}{3} = -2 + 5 = 3\) Der Schnittpunkt ist \(S\left(\frac{5}{3} \mid \frac{7}{3} \mid 3\right)\).

Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt \(S\left(\frac{5}{3} \mid \frac{7}{3} \mid 3\right)\).

- Wie stehen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Wie kannst du prüfen, ob ein einzelner Punkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt? - Um einen Schnittpunkt zu finden, kannst du die Koordinaten der Geraden in die Koordinatenform der Ebene einsetzen.

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\): \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden \(\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}\) muss null sein: \(2 \cdot a + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 2a - 2 = 0\). Daraus folgt \(a = 1\). 3. Überprüfung der Lage für \(a = 1\): Punktprobe mit dem Stützpunkt \(P(1|1|1)\) der Geraden in der Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2\). Da \(2 \neq 5\), liegt der Punkt nicht in der Ebene, die Gerade ist also echt parallel. 4. Schnittpunktberechnung für \(a = 0\): Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1 + 2t\), \(x_3 = 1 + 4t\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + (1 + 2t) - (1 + 4t) = 5\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(2 + 1 + 2t - 1 - 4t = 5 \Rightarrow 2 - 2t = 5 \Rightarrow -2t = 3 \Rightarrow t = -1{,}5\). 6. Einsetzen von \(t = -1{,}5\) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \(S(1 | -2 | -5)\).

a) \(a = 1\) b) Die Gerade ist echt parallel, da der Stützpunkt \(P(1|1|1)\) nicht in der Ebene liegt (\(2 \neq 5\)). c) Der Schnittpunkt ist \(S(1 | -2 | -5)\).

- Bestimme zuerst eine Gleichung für die Ebene, in der das Dach liegt. Welche Form ist hierfür am praktischsten? - Wie kannst du den Verlauf des Balkens als Gerade im Raum beschreiben? - Überlege, wie du den gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene rechnerisch finden kannst. - Prüfe am Ende, ob dein Punkt tatsächlich in der Ebene liegt.

1. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: Spannvektoren sind \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zu \(\begin{pmatrix} 64 \\ 64 \\ 64 \end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(x_1 + x_2 + x_3 = d\). Mit \(C(0|0|12)\) folgt \(d=12\), also \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 12\). 2. Aufstellen der Geradengleichung für den Balken: Mit Stützpunkt \(P\) und Richtungsvektor \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Schnittpunktes: Einsetzen der Geradenkomponenten in \(E\): \((1+t) + (1+t) + (3t) = 12 \Rightarrow 5t + 2 = 12 \Rightarrow 5t = 10 \Rightarrow t = 2\). 4. Einsetzen von \(t=2\) in die Geradengleichung liefert den Punkt \(\vec{d} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 1+2 \\ 0+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Der Durchstoßpunkt des Balkens durch die Dachebene ist \(D(3|3|6)\).

- Aus welchen vier Ebenen bestehen die Außenflächen des Tetraeders? - Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene? - Nicht jeder Schnittpunkt mit einer der Ebenen muss auf der tatsächlichen Oberfläche des Körpers liegen. Wie kannst du das prüfen? - Überlege dir, welche Bedingungen die Koordinaten eines Punktes erfüllen müssen, um innerhalb der beschriebenen Grenzen zu liegen.

1. Aufstellen der Ebenengleichungen der Tetraederflächen: Die Grundfläche in der \(xy\)-Ebene ist \(E_1: z = 0\). Die Seitenflächen in den Koordinatenebenen sind \(E_2: x = 0\) und \(E_3: y = 0\). Die vierte Begrenzungsfläche verläuft durch \(A, B, C\) und hat die Gleichung \(E_4: x + y + z = 6\). 2. Schnitt der Geraden \(g\) mit \(E_1\): \(-1 + 2t = 0 \Rightarrow t = 0{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\). Da \(1{,}5 + 1{,}5 \leq 6\) und \(x, y \geq 0\), liegt \(P_1\) auf der Begrenzungsfläche. 3. Schnitt der Geraden \(g\) mit \(E_2\) und \(E_3\): \(1 + t = 0 \Rightarrow t = -1\). Der Punkt \((0|0|-3)\) liegt wegen \(z < 0\) außerhalb des Tetraeders. 4. Schnitt der Geraden \(g\) mit \(E_4\): \((1 + t) + (1 + t) + (-1 + 2t) = 6 \Rightarrow 1 + 4t = 6 \Rightarrow t = 1{,}25\). Der Schnittpunkt ist \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Da alle Koordinaten positiv sind, liegt \(P_2\) auf der Begrenzungsfläche. 5. Ergebnis: Die Ein- und Austrittspunkte sind \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\) und \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Die Strecke im Inneren entspricht dem Parameterintervall \(0{,}5 \leq t \leq 1{,}25\).

Die Ein- und Austrittspunkte sind \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\) und \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Der Abschnitt im Inneren des Tetraeders entspricht dem Parameterbereich \(t \in [0{,}5; 1{,}25]\).

- Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen. - Vergleiche die Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\), um den Proportionalitätsfaktor zwischen den Ebenen zu finden. - Was muss für die rechte Seite der Gleichung gelten, damit jeder Punkt der einen Ebene auch auf der anderen liegt?

1. Parallelität bestimmen: Damit die Ebenen parallel sind, müssen die Normalenvektoren \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ t \end{pmatrix}\) kollinear sein. Der Vergleich der ersten beiden Komponenten ergibt den Streckungsfaktor \(k = 3\) (da \(9 = 3 \cdot 3\) und \(6 = 3 \cdot 2\)). Daraus folgt für die dritte Komponente: \(t = 3 \cdot (-4) = -12\). 2. Identität bestimmen: Damit die Ebenen identisch sind, muss die gesamte Gleichung von \(F\) das 3-fache der Gleichung von \(E\) sein. Für die rechte Seite bedeutet das: \(s = 3 \cdot 6 = 18\). 3. Fallprüfung für \(t = -12, s = 10\): Für \(t = -12\) sind die Normalenvektoren kollinear (Parallelität ist gegeben). Da jedoch \(s = 10 \neq 18\) gilt, ist das Verhältnis der rechten Seiten nicht gleich dem Verhältnis der Normalenvektoren. Folglich sind die Ebenen echt parallel.

a) \(t = -12\) b) \(s = 18\) c) Für \(t = -12\) und \(s = 10\) sind die Ebenen echt parallel, da die Normalenvektoren zwar Vielfache voneinander sind (\(\vec{n}_F = 3 \cdot \vec{n}_E\)), die Konstante \(s = 10\) aber nicht das Dreifache der Konstanten von \(E\) (\(3 \cdot 6 = 18\)) ist.

- Wie viele Unbekannte und wie viele Gleichungen hast du? Was bedeutet das für die Anzahl der freien Parameter? - Du kannst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen lösen, indem du eine Variable eliminierst. - Wenn du eine Variable als Parameter (z. B. \(t\)) wählst, kannst du die anderen Variablen in Abhängigkeit von diesem \(t\) ausdrücken. - Überlege dir, wie ein Punkt auf der Geraden aussieht und wie man daraus die Vektordarstellung \( \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v} \) gewinnt.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems aus den beiden Ebenengleichungen: (I) \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\) (II) \(2x_1 - x_2 + 3x_3 = 9\) 2. Elimination einer Variablen, zum Beispiel durch Addition von (I) und (II): \(3x_1 + 4x_3 = 15\) 3. Einführung eines Parameters für eine der verbleibenden Variablen, zum Beispiel \(x_3 = 3t\). 4. Auflösen nach den anderen Variablen in Abhängigkeit von \(t\): Aus \(3x_1 + 4(3t) = 15\) folgt \(3x_1 = 15 - 12t\), also \(x_1 = 5 - 4t\). Einsetzen in (I): \((5 - 4t) + x_2 + 3t = 6 \Rightarrow x_2 - t + 5 = 6 \Rightarrow x_2 = 1 + t\). 5. Zusammenfassen zur Geradengleichung in Vektorform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Eine mögliche Parametergleichung der Schnittgeraden ist: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Darstellung).

- Was passiert, wenn du die einzelnen Zeilen der Parameterform für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in die Koordinatengleichung einsetzt? - Welche mathematischen Fälle können beim Lösen einer solchen Gleichung auftreten und was bedeuten sie für die Lage der Ebenen? - Wenn eine Gleichung mit zwei Variablen (Parametern) übrig bleibt, wie kannst du eine der Variablen eliminieren, um eine Gerade zu beschreiben? - Erinnere dich daran, wie eine Geradengleichung aufgebaut ist – sie benötigt nur einen Parameter.

1. Aufstellen der komponentenweisen Gleichungen für \(E_2\): \(x_1 = 1 + 2r + s\), \(x_2 = 1 + s\), \(x_3 = 2 + r\). 2. Einsetzen dieser Ausdrücke in die Koordinatengleichung von \(E_1\): \(3 \cdot (1 + 2r + s) - (1 + s) + 2(2 + r) = 10\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(3 + 6r + 3s - 1 - s + 4 + 2r = 10 \Rightarrow 8r + 2s + 6 = 10 \Rightarrow 8r + 2s = 4\). 4. Da die Gleichung eine Abhängigkeit zwischen den Parametern \(r\) und \(s\) beschreibt (und nicht allgemeingültig oder unlösbar ist), schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. 5. Auflösen nach einem Parameter, z. B. \(s\): \(2s = 4 - 8r \Rightarrow s = 2 - 4r\). 6. Einsetzen von \(s\) in die Parameterform von \(E_2\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + (2 - 4r) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 7. Zusammenfassen zur Geradengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 1+2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2-4 \\ 0-4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden \(g\). Eine mögliche Gleichung der Schnittgeraden lautet: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Woran erkennst du an den Normalenvektoren, ob zwei Ebenen parallel sind? - Wie verändert sich eine Ebenengleichung, wenn du sie mit einer Zahl multiplizierst? - Was muss für die gesamte Gleichung gelten, damit zwei Ebenen nicht nur parallel, sondern identisch sind? - Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass sie direkt mit einer anderen vergleichbar ist?

1. Bestimmung der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 15 \\ -10 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Vergleich der Normalenvektoren: Es gilt \(\vec{n}_1 = -5 \cdot \vec{n}_2\) und \(\vec{n}_3 = -2 \cdot \vec{n}_2\). Da alle Normalenvektoren kollinear sind, sind alle drei Ebenen zueinander parallel. 3. Prüfung auf Identität zwischen \(E_1\) und \(E_2\): Dividiert man die Gleichung von \(E_1\) durch \(-5\), erhält man \(-3x_1 + 2x_2 - x_3 = -5\). Dies entspricht exakt der Gleichung von \(E_2\), woraus \(E_1 = E_2\) folgt. 4. Prüfung auf Identität mit \(E_3\): Multipliziert man die Gleichung von \(E_2\) mit \(-2\), so ergibt sich auf der linken Seite die linke Seite von \(E_3\), aber auf der rechten Seite gilt \(-2 \cdot (-5) = 10\). Da \(10 \neq 12\) ist, sind \(E_1\) und \(E_2\) echt parallel zu \(E_3\).

Die Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch (\(E_1 = E_2\)). Die Ebene \(E_3\) ist zu den Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) echt parallel.

- Betrachte das Verhältnis der Koeffizienten vor den Variablen \(x_1, x_2\) und \(x_3\). - Was passiert mit der Lage der Ebene, wenn sich nur die Zahl auf der rechten Seite der Gleichung ändert? - Wann genau wird aus einer parallelen Lage eine Identität?

1. Vergleich der Normalenvektoren: Der Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}\), der von \(F_t\) ist \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_E = 2 \cdot \vec{n}_F\), sodass die Ebenen für alle \(t\) parallel sind. 2. Bedingung für Identität: Damit die Ebenen identisch sind, muss auch die Konstante auf der rechten Seite denselben Proportionalitätsfaktor erfüllen. Es muss also \(8 = 2 \cdot t\) gelten, woraus \(t = 4\) folgt. 3. Untersuchung für \(t = 5\): Für \(t = 5\) sind die Normalenvektoren weiterhin kollinear (\(\vec{n}_E = 2 \cdot \vec{n}_F\)), aber für die Konstanten gilt \(8 \neq 2 \cdot 5\). Da die Gleichungen keine Vielfachen voneinander sind, sind die Ebenen echt parallel.

a) Für \(t = 4\) sind die Ebenen \(E\) und \(F_t\) identisch. b) Für \(t = 5\) sind die Ebenen echt parallel, da ihre Normalenvektoren kollinear sind, die Gleichungen jedoch keine Vielfachen voneinander sind (\(8 \neq 2 \cdot 5\)).

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier paralleler Ebenen zusammen? - Woran erkennst du, ob zwei parallele Ebenen identisch oder echt parallel sind? - Wenn eine Ebene parallel zu einer anderen ist, was kannst du über ihren Normalenvektor sagen? - Wie nutzt du einen gegebenen Punkt, um die fehlende Konstante in einer Ebenengleichung zu berechnen?

1. Vergleich der Normalenvektoren: Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), der von \(E_2\) ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_2 = -2 \cdot \vec{n}_1\), sind die Normalenvektoren kollinear und die Ebenen somit parallel. 2. Prüfung auf Identität: Multipliziert man die Gleichung von \(E_1\) mit \(-2\), erhält man \(-10x_1 + 2x_2 - 4x_3 = -20\). Da die rechte Seite der Gleichung von \(E_2\) den Wert \(5\) hat (und \(-20 \neq 5\)), sind die Ebenen echt parallel. 3. Bestimmung von \(E_3\): Da \(E_3 \parallel E_1\), kann der Normalenvektor \(\vec{n}_1\) übernommen werden. Einsetzen von \(P(2 \mid -3 \mid 1)\) in den Ansatz \(5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) ergibt \(5 \cdot 2 - (-3) + 2 \cdot 1 = 10 + 3 + 2 = 15\). Somit lautet die Gleichung \(E_3: 5x_1 - x_2 + 2x_3 = 15\). 4. Allgemeine Form: Alle zu \(E_1\) parallelen Ebenen haben dieselben Koeffizienten für die Variablen, unterscheiden sich aber in der Konstanten auf der rechten Seite: \(5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) mit \(d \in \mathbb{R}\).

a) Die Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind echt parallel. b) \(E_3: 5x_1 - x_2 + 2x_3 = 15\) c) \(5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) mit \(d \in \mathbb{R}\)

- Was muss passieren, wenn du die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt, damit die Gerade in der Ebene liegt? - Ein Normalenvektor einer Ebene muss senkrecht auf jedem Vektor stehen, der in der Ebene verläuft. - Wie stellst du sicher, dass die neue Ebene nicht genau dieselbe Lage wie die erste Ebene hat? - Welche Rolle spielt der Stützpunkt der Geraden bei der Aufstellung der neuen Ebene?

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung von \(E_1\): \(2 \cdot (2 + s) - (0 + 2s) = 4 + 2s - 2s = 4\). Da die Gleichung für alle \(s \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, liegt \(g\) in \(E_1\). 2. Bestimmung eines Normalenvektors \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\) für \(E_2\), der orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Geraden ist. Es muss gelten: \(1 \cdot n_1 + 2 \cdot n_2 - 1 \cdot n_3 = 0\). Eine mögliche Lösung ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Prüfung auf lineare Unabhängigkeit: Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_2\) kein Vielfaches von \(\vec{n}_1\) ist, sind die Ebenen weder parallel noch identisch. 4. Bestimmung des Parameters \(d\) durch Einsetzen des Stützpunktes \(P(2|0|1)\) in die Form \(x_1 + x_3 = d\): \(2 + 1 = 3\). Somit ist \(E_2: x_1 + x_3 = 3\).

Die Gerade \(g\) liegt in \(E_1\), da das Einsetzen die Identität \(4 = 4\) ergibt. Eine mögliche Ebene ist \(E_2: x_1 + x_3 = 3\).

- Überlege dir, wie der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der gesuchten Ebene zueinander stehen müssen. - Kannst du eine einfache Gleichung für die Komponenten des Normalenvektors aufstellen? - Wie verhinderst du, dass du aus Versehen die ursprüngliche Ebene \(F_1\) erneut beschreibst? - Vergiss nicht, dass der Stützpunkt der Geraden auch in der neuen Ebene liegen muss.

1. Nachweis der Lage: Einsetzen der Komponenten von \(h\) in \(F_1\): \((-1 + 2t) + (4 + t) - (2 + 3t) = -1 + 4 - 2 + 2t + t - 3t = 1\). Die Identität \(1 = 1\) zeigt, dass \(h \subset F_1\). 2. Konstruktion von \(F_2\): Ein Normalenvektor \(\vec{n}_2\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) sein. Bedingung: \(2n_1 + n_2 + 3n_3 = 0\). Eine Lösung ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Unabhängigkeitsprüfung: Der Normalenvektor von \(F_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_2\) nicht kollinear zu \(\vec{n}_1\) ist, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. 4. Berechnung des Achsenabschnitts: Einsetzen des Punktes \((-1|4|2)\) in \(x_1 - 2x_2 = d\) ergibt \(-1 - 2 \cdot 4 = -9\). Die Ebene ist \(F_2: x_1 - 2x_2 = -9\).

Der Nachweis erfolgt durch Einsetzen (\(1=1\)). Eine mögliche Ebene ist \(F_2: x_1 - 2x_2 = -9\).

- Schau dir die Koeffizienten der Variablen in den drei Gleichungen genau an. Fällt dir ein Zusammenhang zwischen den ersten beiden und der dritten Gleichung auf? - Was bedeutet es für die Lösbarkeit eines Systems, wenn eine Gleichung eine Kombination der anderen ist, das Ergebnis auf der rechten Seite aber nicht dazu passt? - Erinnere dich an die verschiedenen Möglichkeiten, wie drei Ebenen im Raum liegen können, wenn ihre Normalenvektoren in einer Ebene liegen (komplanar sind). - Wie viele gemeinsame Punkte können drei Ebenen haben, wenn das Gleichungssystem keine Lösung liefert?

1. Prüfung der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Es fällt auf, dass \(\vec{n}_1 + \vec{n}_2 = \vec{n}_3\) gilt. Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, aber keine zwei Vektoren sind kollinear (die Ebenen sind also nicht parallel). 2. Anwendung des Additionsverfahrens auf die Gleichungen: Addiert man die Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\), erhält man \((1+2)x_1 + (-1+3)x_2 + (2-1)x_3 = 3+1\), also \(3x_1 + 2x_2 + x_3 = 4\). 3. Fallunterscheidung für \(k\): - Fall \(k = 4\): Die Gleichung von \(E_3\) ist identisch mit der Summe der Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\). Das Gleichungssystem hat den Rang 2 und somit unendlich viele Lösungen. Geometrisch bedeutet dies, dass sich alle drei Ebenen in einer gemeinsamen Schnittgeraden schneiden (Ebenenbüschel). - Fall \(k \neq 4\): Die linke Seite der Gleichung von \(E_3\) entspricht der Summe von \(E_1\) und \(E_2\), aber die rechte Seite unterscheidet sich (\(k \neq 4\)). Das Gleichungssystem ist widersprüchlich und besitzt keine Lösung. Geometrisch liegen drei Schnittgeraden vor, die alle parallel zueinander verlaufen (Prismenfall).

Für \(k = 4\) besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen; die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden (Ebenenbüschel). Für \(k \neq 4\) besitzt das Gleichungssystem keine Lösung; die Ebenen schneiden sich paarweise in drei echt parallelen Geraden (Prismenfall).

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Wie hängen die Koeffizienten einer Ebenengleichung mit ihrem Normalenvektor zusammen? - Überlege dir, was passieren muss, damit zwei Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben. - Was unterscheidet zwei echt parallele Ebenen von zwei identischen Ebenen in ihrer Koordinatenform? - Wenn zwei Ebenen im Raum nicht parallel sind, wie liegen sie dann zueinander?

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} a \\ 6 \\ b \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität oder Identität ist die Kollinearität der Normalenvektoren: \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\). 3. Berechnung des Skalierungsfaktors \(k\) über die \(x_2\)-Koordinate: \(6 = k \cdot (-4) \Rightarrow k = -1{,}5\). 4. Berechnung der fehlenden Koeffizienten für die Parallelität: \(a = -1{,}5 \cdot 6 = -9\) und \(b = -1{,}5 \cdot 2 = -3\). 5. Untersuchung der Konstanten für Identität (a): \(c = k \cdot 12 = -1{,}5 \cdot 12 = -18\). Die Ebenen sind identisch für \(a = -9, b = -3, c = -18\). 6. Untersuchung für echte Parallelität (b): Die Normalenvektoren müssen kollinear sein, aber die Konstante darf nicht proportional sein. Dies gilt für \(a = -9, b = -3\) und \(c \neq -18\). 7. Untersuchung für den Schnitt (c): Die Normalenvektoren dürfen nicht kollinear sein. Dies ist der Fall, wenn \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\). Der Wert von \(c\) spielt hierbei keine Rolle.

a) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c = -18\) b) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c \neq -18\) c) \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\) (mit beliebigem \(c \in \mathbb{R}\))

- Wie kannst du den Lichtstrahl mithilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors beschreiben? - Welche Bedingung muss für die Koordinaten eines Punktes erfüllt sein, damit er in der Ebene liegt? - Wie hilft dir das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene weiter? - Achte darauf, ob du für den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene die Sinus- oder die Kosinusfunktion benötigst.

1. Aufstellen der Geradengleichung für den Lichtstrahl: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(r \ge 0\). 2. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebene \(E\): \((6 + 2r) + (2 - r) = 10\). 3. Auflösen nach dem Parameter: \(8 + r = 10\), woraus \(r = 2\) folgt. 4. Berechnung des Auftreffpunkts durch Einsetzen von \(r = 2\) in die Geradengleichung: \(S(10|0|5)\). 5. Berechnung des Schnittwinkels mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v}\): \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 2|}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{2}}\). 6. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right) \approx 13{,}63^\circ\).

Der Lichtstrahl trifft im Punkt \(S(10|0|5)\) auf die Ebene. Der Auftreffwinkel beträgt \(\alpha \approx 13{,}63^\circ\).

- Stelle zunächst eine Parameterform der Geraden auf, die durch die beiden Punkte verläuft. - Suche den gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene, indem du die Geradengleichung koordinatenweise in die Ebenengleichung einsetzt. - Welchen Vektor kannst du direkt aus der Koordinatengleichung der Ebene ablesen, um Winkel zu berechnen? - Überlege, wie der Winkel zwischen einem Vektor und einer Ebene mit dem Winkel zwischen diesem Vektor und dem Normalenvektor zusammenhängt.

1. Bestimmung des Richtungsvektors der Geraden: \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Einsetzen der Geradenpunkte in die Ebenengleichung: \(2 \cdot (2t) - 2 \cdot (1 + 2t) + (2 + t) = 2\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4t - 2 - 4t + 2 + t = 2\), woraus \(t = 2\) folgt. 5. Berechnung des Durchstoßpunkts durch Einsetzen von \(t = 2\) in die Geradengleichung: \(S(4|5|4)\). 6. Berechnung des Schnittwinkels unter Verwendung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|2 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 1|}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}\). 7. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{9}\right) \approx 6{,}38^\circ\).

Der Durchstoßpunkt ist \(S(4|5|4)\) und der Schnittwinkel beträgt \(\alpha \approx 6{,}38^\circ\).

- Welche Information über die Lage der Schnittgerade liefern dir die Normalenvektoren der beiden Ebenen? - Wie kannst du einen Vektor finden, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Um einen Punkt auf der Schnittgeraden zu finden, kannst du eine Koordinate (z. B. \( x_3 \)) auf einen festen Wert setzen und das verbleibende System lösen. - Eine Gerade im Raum benötigt immer einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.

1. Bestimmung der Normalenvektoren der Ebenen aus den Koeffizienten der Koordinatengleichungen: \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als Richtungsvektor der Schnittgeraden \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \). 3. Suche eines Stützpunktes der Geraden durch Lösen des Gleichungssystems der Ebenen. Setze z. B. \( x_3 = 0 \): I: \( x_1 + x_2 = 6 \) II: \( 2x_1 - x_2 = 3 \) Addition von I und II liefert \( 3x_1 = 9 \), also \( x_1 = 3 \). Einsetzen in I ergibt \( 3 + x_2 = 6 \), also \( x_2 = 3 \). Der Stützpunkt ist \( P(3 \mid 3 \mid 0) \). 4. Aufstellen der Geradengleichung: \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \).

Eine mögliche Parametergleichung der Schnittgeraden ist \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \) mit \( t \in \mathbb{R} \).

- Wie findest du einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Was passiert, wenn du die einzelnen Koordinaten der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche trigonometrische Funktion verknüpft den Normalenvektor einer Ebene mit dem Richtungsvektor einer Geraden zur Winkelberechnung? - Achte beim Winkel darauf, ob du den Sinus oder Kosinus verwenden musst, wenn du mit dem Normalenvektor arbeitest.

1. Zur Bestimmung der Koordinatengleichung wird der Normalenvektor aus dem Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnet: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \). Mit dem Stützpunkt \( (1|2|1) \) ergibt sich die Gleichung \( 1 \cdot x_1 - 2 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 = d \). Einsetzen liefert \( 1 - 4 + 1 = -2 \), also \( E: x_1 - 2x_2 + x_3 = -2 \). 2. Für den Schnittpunkt wird die Gerade in die Koordinatengleichung eingesetzt: \( (5+t) - 2 \cdot (4+2t) + (3+t) = -2 \). Dies vereinfacht sich zu \( 5+t-8-4t+3+t = -2 \), woraus \( -2t = -2 \) und somit \( t = 1 \) folgt. Einsetzen von \( t = 1 \) in \( g \) ergibt \( S(6|6|4) \). 3. Der Schnittwinkel \( \alpha \) berechnet sich über \( \sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|} \), wobei \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) der Richtungsvektor von \( g \) ist. Es gilt \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 1 - 4 + 1 = -2 \), \( |\vec{n}| = \sqrt{6} \) und \( |\vec{v}| = \sqrt{6} \). Somit ist \( \sin(\alpha) = \frac{|-2|}{6} = \frac{1}{3} \). Der Winkel beträgt \( \alpha \approx 19{,}47^\circ \).

a) \( E: x_1 - 2x_2 + x_3 = -2 \) b) \( S(6|6|4) \) c) \( \alpha \approx 19{,}47^\circ \)

- Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Wie kann man die Parameterdarstellung einer Geraden nutzen, um eine Bedingung für die Koordinaten der Ebene zu formulieren? - Der Normalenvektor der Ebene lässt sich direkt aus der Koordinatengleichung ablesen. - Überlege, wie der Winkel zwischen einem Normalenvektor und einem Richtungsvektor mit dem gesuchten Winkel zwischen Ebene und Gerade zusammenhängt.

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 1-0 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \). Die Parameterform lautet \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \). 2. Einsetzen der Geradenkomponenten \( x_1 = 1+u, x_2 = u, x_3 = 1+4u \) in die Ebene \( E \): \( 2 \cdot (1+u) - u + 2 \cdot (1+4u) = 6 \). Vereinfachung: \( 2 + 2u - u + 2 + 8u = 6 \implies 9u + 4 = 6 \implies 9u = 2 \implies u = \frac{2}{9} \). Einsetzen in \( h \) ergibt \( D(\frac{11}{9} | \frac{2}{9} | \frac{17}{9}) \). 3. Der Normalenvektor der Ebene ist \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) mit \( |\vec{n}| = 3 \). Der Richtungsvektor von \( h \) ist \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \) mit \( |\vec{v}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \). Das Skalarprodukt ist \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 2 - 1 + 8 = 9 \). Es gilt \( \sin(\beta) = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Daraus folgt \( \beta = 45^\circ \).

a) \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \) (oder äquivalent) b) \( D(\frac{11}{9} | \frac{2}{9} | \frac{17}{9}) \) c) \( \beta = 45^\circ \)

- Wann besitzt ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, und wann hängen die Lösungen von einem Parameter ab? - Wie verhalten sich die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix, wenn es unendlich viele Lösungen gibt? - Was bedeutet es geometrisch für die Lage von drei Ebenen, wenn das System keine gemeinsame Lösung hat, aber keine der Ebenen parallel zu einer anderen ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Determinante der Koeffizientenmatrix und der Lösbarkeit.

1. Aufstellen der Koeffizientenmatrix \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) und Berechnung der Determinante: \(\det(A) = 1(1-2k) - 1(2-k) + 1(4-1) = -k + 2\). Die Lösung ist nicht eindeutig für \(\det(A) = 0\), also \(k = 2\). 2. Einsetzen von \(k=2\) in das Gleichungssystem und Anwendung des Gauß-Verfahrens: I: \(x_1 + x_2 + x_3 = 4\) II: \(2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6 \implies \text{II} - 2\cdot\text{I}: -x_2 = -2 \implies x_2 = 2\) III: \(x_1 + 2x_2 + x_3 = m \implies \text{III} - \text{I}: x_2 = m - 4\) Damit eine gemeinsame Schnittgerade (unendlich viele Lösungen) existiert, muss \(m-4 = 2\) gelten, also \(m = 6\). 3. Berechnung der Schnittgeraden für \(k=2, m=6\): Aus \(x_2 = 2\) folgt in I: \(x_1 + 2 + x_3 = 4 \implies x_1 = 2 - x_3\). Mit \(x_3 = t\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Fall \(k=2, m \neq 6\): Das System ist widersprüchlich (keine Lösung). Da keine zwei Normalenvektoren parallel sind (die Ebenen sind nicht paarweise parallel), bilden die drei Ebenen eine Prismenstellung. Die drei Schnittgeraden der Ebenenpaare verlaufen parallel zueinander.

a) \(k = 2\) b) Für \(m = 6\) gibt es eine Schnittgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). c) Die Ebenen bilden ein Prisma (kein gemeinsamer Schnittpunkt, aber paarweise Schnittgeraden, die parallel zueinander verlaufen).

- Überlege dir, wie man eine Gerade durch zwei Punkte mathematisch darstellt. - Wie findet man den gemeinsamen Punkt einer Geraden und einer Ebene, wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt? - Erinnere dich an die Formel für den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. Welchen Vektor der Ebene benötigst du dafür? - Achte beim Winkel darauf, dass du die Sinus-Funktion verwendest, wenn du mit dem Normalenvektor arbeitest.

1. Aufstellen der Geradengleichung für den Laserstrahl: \( g: \vec{x} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) 2. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \( 3 \cdot (2 + 2t) + 2 \cdot (1 + 2t) - 6 \cdot t = 21 \) 3. Vereinfachen und nach \( t \) auflösen: \( 6 + 6t + 2 + 4t - 6t = 21 \Rightarrow 4t + 8 = 21 \Rightarrow 4t = 13 \Rightarrow t = 3{,}25 \) 4. Da \( t > 0 \), liegt der Schnittpunkt in der Richtung des Strahls. Berechnung des Punktes \( S \): \( \vec{OS} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8{,}5 \\ 7{,}5 \\ 3{,}25 \end{pmatrix} \) 5. Berechnung des Schnittwinkels \( \alpha \) mit dem Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \) und dem Richtungsvektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \): \( \sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-6) \cdot 1|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 4 - 6|}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21} \) 6. Ergebnis: \( \alpha = \arcsin\left(\frac{4}{21}\right) \approx 10{,}98^\circ \)

a) \( S(8{,}5 | 7{,}5 | 3{,}25) \) b) \( \alpha \approx 10{,}98^\circ \)

- Für den Nachweis eines Schnittpunkts musst du die Geradengleichungen gleichsetzen und das resultierende Gleichungssystem lösen. - Erinnere dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren unter Verwendung des Skalarprodukts. - Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist identisch mit dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. - Überlege dir, wie du Normalenvektoren konstruieren kannst, die senkrecht auf der jeweiligen Geraden stehen, aber in einer bestimmten geometrischen Beziehung zueinander stehen. Das Kreuzprodukt ist hier ein hilfreiches Werkzeug.

1. Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen \( \begin{pmatrix} 5+2r \\ 1+r \\ 2+2r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+2s \\ 2s \\ s \end{pmatrix} \) ergibt sich ein lineares Gleichungssystem. Die Lösung lautet \( r = -1 \) und \( s = 0 \). Der Schnittpunkt ist \( S(3|0|0) \). 2. Der Schnittwinkel \( \alpha \) wird über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnet: \( \cos \alpha = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|} = \frac{|2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1|}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9} \). Daraus folgt \( \alpha \approx 27{,}3^\circ \). 3. Um den gleichen Schnittwinkel zu erhalten, können die Ebenen so konstruiert werden, dass ihre Normalenvektoren in der von \( g_1 \) und \( g_2 \) aufgespannten Ebene liegen. Zuerst wird ein Normalenvektor dieser gemeinsamen Ebene berechnet. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt \( \vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \). Die Kreuzprodukte von \(\vec{v}_1\) beziehungsweise \(\vec{v}_2\) mit \(\vec{w}\) ergeben die Normalenvektoren \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 10 \end{pmatrix} \). Mit dem Schnittpunkt \( S \) (oder den Stützpunkten der Geraden) ergeben sich die Koordinatengleichungen \( E_1: -2x - 10y + 7z = -6 \) und \( E_2: 2x - 7y + 10z = 6 \).

(1) Schnittpunkt \( S(3|0|0) \) (für \( r = -1 \) bzw. \( s = 0 \)). (2) \( \alpha \approx 27{,}3^\circ \). (3) Mögliche Ebenen sind \( E_1: -2x - 10y + 7z = -6 \) (bzw. \( 2x + 10y - 7z = 6 \)) und \( E_2: 2x - 7y + 10z = 6 \).

- Wenn zwei Geraden denselben Stützvektor haben, ist der Schnittpunkt offensichtlich. - Für den Winkel zwischen Ebenen nutzt man üblicherweise deren Normalenvektoren. - Damit der Winkel zwischen den Ebenen dem Winkel zwischen den Geraden entspricht, müssen die Normalenvektoren in derselben Weise „gegeneinander geneigt“ sein wie die Richtungsvektoren. - Nutze das Kreuzprodukt mehrfach, um Vektoren zu finden, die bestimmte Orthogonalitätsbedingungen erfüllen.

1. Der Schnittpunkt \( S(1|0|1) \) kann direkt aus den Stützvektoren abgelesen werden (für \( \lambda = 0 \) und \( \mu = 0 \)). Der Schnittwinkel berechnet sich über die Richtungsvektoren \( \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \): \( \cos \alpha = \frac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \). Somit ist \( \alpha = 60^\circ \). 2. Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, die Normalenvektoren \( \vec{n}_1 \) und \( \vec{n}_2 \) der Ebenen so zu wählen, dass sie in der von \( g_1 \) und \( g_2 \) aufgespannten Ebene liegen und jeweils senkrecht auf ihrer Geraden stehen. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt einen Vektor senkrecht zu dieser Ebene: \( \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Die Kreuzprodukte von \(\vec{v}_1\) beziehungsweise \(\vec{v}_2\) mit \(\vec{w}\) ergeben \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \). Mit dem Punkt \( S(1|0|1) \) ergeben sich die Ebenen: \( E_1: 1 \cdot (x-1) - 1 \cdot (y-0) - 2 \cdot (z-1) = 0 \implies x - y - 2z = -1 \). \( E_2: 2 \cdot (x-1) + 1 \cdot (y-0) - 1 \cdot (z-1) = 0 \implies 2x + y - z = 1 \).

(1) Schnittpunkt \( S(1|0|1) \), Schnittwinkel \( \alpha = 60^\circ \). (2) Mögliche Ebenen sind \( E_1: x - y - 2z = -1 \) und \( E_2: 2x + y - z = 1 \). Der Lösungsweg verwendet Kreuzprodukte, um geeignete Normalenvektoren der Ebenen zu bestimmen.

- Wann liegen drei Punkte so, dass sie keine Ebene, sondern nur eine Gerade aufspannen? - Erinnere dich an das Verfahren, wie man aus zwei Spannvektoren einen Vektor konstruiert, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie kannst du die Information aus der Geradengleichung direkt in die Ebenengleichung einsetzen? - Achte darauf, ob bei der Winkelberechnung Sinus oder Kosinus verwendet werden muss, wenn es um eine Gerade und eine Ebene geht.

1. Nachweis der eindeutigen Ebene: Die Richtungsvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (linear unabhängig), da die Nullkomponenten an verschiedenen Stellen stehen. Somit liegen die Punkte nicht auf einer Geraden und spannen eine Ebene auf. 2. Aufstellen der Koordinatengleichung: Ein Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Durch Einsetzen von \(A\) in \(1x_1 + 1x_2 + 1x_3 = d\) erhält man \(3+0+0=3\). Die Gleichung lautet \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 3\). 3. Schnittpunktbestimmung: Einsetzen der Geradengleichung in \(E\): \((1+t) + 1 + (0+t) = 3 \Rightarrow 2t + 2 = 3 \Rightarrow t = 0{,}5\). Einsetzen von \(t\) in \(g\) ergibt den Schnittpunkt \(S(1{,}5 | 1 | 0{,}5)\). 4. Winkelberechnung: Mit dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) gilt \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n}_E \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}_E| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|1+0+1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}\). Daraus folgt \(\alpha = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right) \approx 54{,}74^\circ\).

a) Die Punkte sind nicht kollinear; \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 3\). b) Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt \(S(1{,}5 | 1 | 0{,}5)\). c) Der Schnittwinkel beträgt \(\alpha \approx 54{,}74^\circ\).

- Wie stehen die Normalenvektoren zueinander, wenn Ebenen parallel sind? - Um eine Schnittgerade zu finden, kannst du eine Koordinate als Parameter (z. B. \(t\)) wählen und die anderen in Abhängigkeit davon ausdrücken. - Welcher Vektor repräsentiert die Ausrichtung einer Ebene im Raum bei der Winkelberechnung? - Für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform gibt es eine direkte Formel.

1. Lagebeziehung: Die Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) sind nicht parallel (keine Vielfachen), daher schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. 2. Schnittgerade: Lösen des Gleichungssystems aus \(E_1\) und \(E_2\). Addition der Gleichungen liefert \(3x_1 + x_3 = 15 \Rightarrow x_3 = 15 - 3x_1\). Einsetzen in \(E_2\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 2 \cdot (15 - 3x_1) = 3 \Rightarrow -5x_1 - 2x_2 = -27 \Rightarrow x_2 = 13{,}5 - 2{,}5x_1\). Mit \(x_1 = t\) und Wahl eines ganzzahligen Stützpunktes (z.B. \(t=3\)) ergibt sich \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix}\). 3. Winkelberechnung: \(\cos(\phi) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|2 - 4 - 2|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{9}} = \frac{4}{9}\). Somit ist \(\phi = \arccos\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63{,}61^\circ\). 4. Abstand Punkt-Ebene: Nutzung der Hessischen Normalform von \(E_1\): \(d(R, E_1) = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0 - 12|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-12|}{3} = 4\).

a) Die Ebenen schneiden sich; \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent). b) Der Schnittwinkel beträgt \(\phi \approx 63{,}61^\circ\). c) Der Abstand beträgt \(d = 4\,\text{LE}\).

- Kannst du das Gleichungssystem durch Addieren zweier Zeilen vereinfachen? - Wie hängen die Spaltenvektoren des Gleichungssystems mit den Richtungsvektoren der Geraden und der Ebene zusammen? - Welcher Punkt der Geraden wird durch den Parameterwert \(r=2\) beschrieben? - Überlege, wie die Differenz der Stützvektoren \(\vec{a} - \vec{p}\) mit der rechten Seite des Gleichungssystems zusammenhängt.

1. Addition von Gleichung I und II liefert \(3r = 6\), also \(r = 2\). 2. Einsetzen von \(r = 2\) in I ergibt \(2 - s + t = 4 \Rightarrow t - s = 2 \Rightarrow t = s + 2\). 3. Einsetzen in III: \(2s + 3(s + 2) = 11 \Rightarrow 5s + 6 = 11 \Rightarrow 5s = 5\), also \(s = 1\). 4. Daraus folgt \(t = 3\). Die Lösung ist \((r, s, t) = (2, 1, 3)\). 5. Für die Geometrie gilt die Gleichung \(\vec{p} + r \cdot \vec{u} = \vec{a} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}\), was umgeformt \(r \cdot \vec{u} - s \cdot \vec{v} - t \cdot \vec{w} = \vec{a} - \vec{p}\) entspricht. 6. Aus den Koeffizienten des LGS liest man ab: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix}\). 7. Da \(S(5|1|2)\) bei \(r = 2\) erreicht wird, gilt für den Stützvektor der Geraden: \(\vec{p} = \vec{OS} - 2 \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 8. Der Stützvektor der Ebene ergibt sich aus \(\vec{a} = \vec{p} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 13 \end{pmatrix}\).

a) \((r, s, t) = (2, 1, 3)\) b) Eine mögliche Lösung ist: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 13 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)

- Löse das System zuerst nach einer Variablen auf, die nur in zwei Gleichungen vorkommt. - Vergleiche die Koeffizienten von \(x_1\) im System mit dem gegebenen Richtungsvektor \(\vec{u}\). - Wenn \(A\) auf der Geraden liegt und \(x_1=1\) die Lösung für den Schnittpunkt ist, welche Rolle spielt \(A\) dann im Kontext des Durchstoßpunktes? - Wie erhältst du die Richtungsvektoren der Ebene aus den Koeffizienten von \(x_2\) und \(x_3\)? Achte auf die Vorzeichen beim Umstellen der Gleichung.

1. Aus III folgt \(x_2 = 3 - x_3\). Einsetzen in I: \(x_1 + 2(3 - x_3) - x_3 = 4 \Rightarrow x_1 - 3x_3 = -2 \Rightarrow x_1 = 3x_3 - 2\). 2. Einsetzen in II: \(3(3x_3 - 2) - (3 - x_3) + 2x_3 = 3 \Rightarrow 9x_3 - 6 - 3 + x_3 + 2x_3 = 3 \Rightarrow 12x_3 = 12\), also \(x_3 = 1\). 3. Rückwärtseinsetzen ergibt \(x_2 = 2\) und \(x_1 = 1\). Die Lösung ist \((1, 2, 1)\). 4. Die Vektorgleichung lautet \(\vec{p} + x_1 \cdot \vec{u} = \vec{a} + x_2 \cdot \vec{v} + x_3 \cdot \vec{w}\). Umgeformt: \(x_1 \cdot \vec{u} - x_2 \cdot \vec{v} - x_3 \cdot \vec{w} = \vec{a} - \vec{p}\). 5. Aus dem LGS und dem gegebenen \(\vec{u}\) folgt: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 6. Da \(A(2|-1|4)\) auf \(h\) liegt und \(x_1 = 1\) die Lösung ist, entspricht \(A\) dem Schnittpunkt. Der Stützvektor der Geraden ist \(\vec{p} = \vec{OA} - 1 \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 7. Der Stützvektor der Ebene ist \(\vec{a} = \vec{p} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 1\) b) Eine mögliche Ebene ist \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + x_2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + x_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

- Wie prüft man die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene mithilfe des Normalenvektors? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene. - Für den Schnittpunkt kannst du die allgemeine Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen und nach dem Parameter auflösen. - Überlege dir, wie du die Koordinaten des Schnittpunkts so umstellen kannst, dass eine Variable als Parameter einer Geraden fungiert. - Zwei Ebenen sind orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren eine bestimmte Bedingung erfüllen.

1. Parallelität von \(g\): Der Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt \(2 \cdot 1 + 1 \cdot (-4) - 2 \cdot (-1) = 0\). Da der Punkt \(A(1|0|-1)\) nicht in \(E\) liegt (\(2 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot (-1) = 4 \neq 6\)), ist \(g \parallel E\). 2. Abstand: Mit der hessischen Normalform von \(E\) ergibt sich \(d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|4 - 6|}{3} = \frac{2}{3}\). 3. Parameter \(a_0\): Durch Vergleich der Richtungsvektoren sieht man direkt \(a_0 = -4\). 4. Schnittpunkte \(P_a\): Einsetzen von \(g_a\) in \(E\): \(2 \cdot (1+\lambda) + a\lambda - 2 \cdot (-1-\lambda) = 6 \Rightarrow 4 + (4+a)\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{4+a}\) (für \(a \neq -4\)). 5. Punktkoordinaten: \(P_a = \left( 1 + \frac{2}{4+a} \mid \frac{2a}{4+a} \mid -1 - \frac{2}{4+a} \right)\). 6. Ortsgerade \(h\): Mit \(u = \frac{2}{4+a}\) lässt sich \(P_a\) umformen zu \(P_a = (1+u \mid 2-4u \mid -1-u) = (1|2|-1) + u(1|-4|-1)\). Somit ist \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\). 7. Ebene \(F\): Alle \(g_a\) haben den Stützpunkt \(A(1|0|-1)\) und Richtungsvektoren der Form \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). \(F\) wird also von \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) aufgespannt. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(x_1 + x_3 = 0\). 8. Orthogonalität: \(\vec{n}_E \cdot \vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 + 0 - 2 = 0\).

a) \(g \parallel E\); Abstand \(d = \frac{2}{3}\). b) \(a_0 = -4\). c) Schnitt für \(a \neq -4\); \(P_a = \left( \frac{a+6}{a+4} \mid \frac{2a}{a+4} \mid \frac{-a-6}{a+4} \right)\). d) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\). e) \(F: x_1 + x_3 = 0\); wegen \(\vec{n}_E \cdot \vec{n}_F = 0\) gilt \(F \perp E\).

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, wenn zwei Punkte auf ihr bekannt sind? - Was passiert mathematisch, wenn ein Punkt der Geraden gleichzeitig in der Ebene liegen muss? - Überlege, welcher Vektor der Ebene senkrecht auf ihr steht und wie dieser dir beim Winkel hilft. - Achte darauf, ob du für den Winkel zwischen Gerade und Ebene den Sinus oder den Kosinus verwenden musst.

1. Aufstellen der Geradengleichung für \( g \): Der Richtungsvektor ist \( \vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \). Damit ergibt sich \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \). 2. Einsetzen der Geradenpunkte \( x_1 = 5 + 2\lambda \), \( x_2 = 2 + 2\lambda \) und \( x_3 = 1 + 4\lambda \) in die Ebenengleichung: \( (5 + 2\lambda) + (2 + 2\lambda) + (1 + 4\lambda) = 12 \). 3. Vereinfachen der Gleichung: \( 8\lambda + 8 = 12 \), woraus \( 8\lambda = 4 \) und somit \( \lambda = 0{,}5 \) folgt. 4. Berechnung des Schnittpunkts \( S \): \( \vec{s} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \). Der Schnittpunkt ist \( S(6 \mid 3 \mid 3) \). 5. Berechnung des Schnittwinkels \( \alpha \): Mit dem Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) der Ebene und dem Richtungsvektor \( \vec{v} \) der Geraden gilt \( \sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|} \). 6. Einsetzen der Werte: \( \sin(\alpha) = \frac{|1\cdot 2 + 1\cdot 2 + 1\cdot 4|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{24}} = \frac{8}{\sqrt{72}} \approx 0{,}9428 \). Daraus ergibt sich \( \alpha \approx 70{,}5^\circ \).

a) Der Schnittpunkt ist \( S(6 \mid 3 \mid 3) \). b) Der Schnittwinkel beträgt \( \alpha \approx 70{,}5^\circ \).

- Wie gehst du vor, um die gegenseitige Lage zweier Geraden zu untersuchen? - Wann genau sind zwei Geraden windschief und wie berechnet man in diesem Fall den kürzesten Abstand? - Was haben alle Geraden der Schar gemeinsam, und wie kannst du daraus eine Ebene konstruieren? - Kannst du den Richtungsvektor der Schar in einen festen und einen variablen Teil zerlegen?

1. Gleichsetzen von \(g\) und \(h_k\): \(\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 2 \end{pmatrix}\). Aus der dritten Zeile folgt \(4 = 2 + 2s\), also \(s = 1\). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \(-1 + r = 1 + 2 \cdot 1\), also \(r = 4\). Die zweite Zeile liefert \(5 - 4 = k \cdot 1\), woraus \(k = 1\) folgt. Der Schnittpunkt ist \(S(3|1|4)\). 2. Für \(k=0\) sind die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) linear unabhängig. Ein Gleichsetzen führt auf einen Widerspruch in der zweiten Zeile (\(5 - r = 0 \Rightarrow r = 5\), aber aus Zeile 1 folgt \(-1 + 5 = 1 + 2s \Rightarrow s = 1{,}5\), was in Zeile 3 zu \(4 = 2 + 2 \cdot 1{,}5 = 5\) führt). Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt einen zu beiden Richtungsvektoren orthogonalen Vektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Abstand berechnet sich über die Projektion des Differenzvektors der Stützpunkte \(\vec{d} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}\) auf den Einheitsnormalenvektor: \(d = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|-4 + 10 - 4|}{\sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\). 3. Alle Geraden \(h_k\) haben den gleichen Stützpunkt \(A(1|0|2)\). Die Richtungsvektoren lassen sich als Linearkombination \(\begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) darstellen. Damit liegen alle Richtungsvektoren in der von \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) aufgespannten Ebene durch \(A\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatengleichung lautet \(-x_1 + x_3 = -1 + 2 = 1\), also \(x_1 - x_3 + 1 = 0\).

a) \(k = 1\), Schnittpunkt \(S(3|1|4)\). b) Nachweis über lineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren und Widerspruch beim Gleichsetzen; Abstand \(d = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\). c) Nachweis über gemeinsamen Stützpunkt und Aufspaltung des Richtungsvektors; Ebene \(E: x_1 - x_3 + 1 = 0\).

- Überlege dir für den vierten Punkt eines Quadrats, welche Vektoren parallel und gleich lang sein müssen. - Wenn alle Punkte einer Figur die gleiche Koordinate in einer Richtung haben, lässt sich die Ebenengleichung sehr einfach angeben. - Die Spitze einer geraden Pyramide liegt immer senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. - Nutze den Streckungsfaktor \( k \), der das Verhältnis von Resthöhe zur Gesamthöhe beschreibt, um den neuen Flächeninhalt zu berechnen.

1. Berechnung von \( D \): Da \( ABCD \) ein Quadrat ist, muss die Vektorgleichung \( \vec{D} = \vec{A} + \vec{BC} \) erfüllt sein. Mit \( \vec{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) ergibt sich \( D(2-4|1+3|2+0) = D(-2|4|2) \). 2. Ebene \( E_1 \): Da alle Punkte \( A, B, C, D \) die \( x_3 \)-Koordinate 2 besitzen, liegt das Quadrat in der Ebene \( E_1: x_3 = 2 \). Ein Normalenvektor ist \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \). 3. Spitze \( S \): Der Mittelpunkt der Grundfläche ist der Mittelpunkt der Diagonale \( AC \), also \( M(1{,}5|4{,}5|2) \). Da es eine gerade Pyramide ist, liegt \( S \) senkrecht über \( M \). Mit \( h = 10 \) und \( x_3 > 2 \) folgt \( S(1{,}5|4{,}5|12) \). 4. Schnittfläche: Der Abstand der Ebene \( E_2: x_3 = 6 \) von der Grundebene \( E_1: x_3 = 2 \) beträgt \( d = 4 \). Die Resthöhe von \( E_2 \) bis zur Spitze \( S \) beträgt \( 10 - 4 = 6 \). Der Streckungsfaktor für die Seitenlängen ist \( k = \frac{6}{10} = 0{,}6 \). Die Grundfläche hat den Inhalt \( A_G = |\vec{AB}|^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \). Der Flächeninhalt der Schnittfläche ist \( A_S = k^2 \cdot A_G = 0{,}36 \cdot 25 = 9 \).

a) \( D(-2|4|2) \); \( E_1: x_3 = 2 \) b) \( S(1{,}5|4{,}5|12) \) c) \( A = 9 \)

- Wie prüft man rechnerisch, ob drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen? - Überlege dir, wie der Richtungsvektor einer Geraden beschaffen sein muss, damit sie senkrecht auf einer Ebene steht, deren Koordinatengleichung bekannt ist. - Der Abstand eines Punktes von einer Ebene lässt sich über die Lotgerade oder direkt mit einer Formel bestimmen. Wie hilft dir dieser Abstand bei der Spiegelung? - Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide. Welche Formel nutzt man für das Volumen einer Pyramide?

1. Punktprobe: \(A: 1-0+0=1\) (wahr), \(B: 3-2+0=1\) (wahr), \(C: 1-2+2=1\) (wahr). Alle Punkte liegen in \(\mathbb{E}\). Da die Vektoren \(\vec{AB} = (2, 1, 0)\) und \(\vec{AC} = (0, 1, 1)\) keine Vielfachen voneinander sind, sind die Punkte nicht kollinear und bilden ein Dreieck. 2. Gerade \(g\): \(\vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \vec{QR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor \((2, -4, 4)\) ist das Doppelte des Normalenvektors \(\vec{n}_E = (1, -2, 2)\), woraus \(g \perp \mathbb{E}\) folgt. Einsetzen in \(\mathbb{E}\): \((2+2t) - 2(3-4t) + 2(-2+4t) = 1 \Rightarrow 18t - 8 = 1 \Rightarrow t = 0{,}5\). Schnittpunkt \(M(3|1|0)\), was dem Punkt \(B\) entspricht. 3. Spiegelung: Da \(M\) bei \(t=0{,}5\) liegt und \(Q\) bei \(t=0\), liegt der Spiegelpunkt \(D\) bei \(t=1\), also \(D(4|-1|2)\). 4. Volumen: Grundfläche Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) hat den Betrag \(3\). Daher gilt \(G = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{1}{2} |(1, -2, 2)| = 1{,}5\). Da \(g \perp \mathbb{E}\) und \(M=B\), ist die Strecke \(\overline{QB}\) die Höhe \(h\) des Tetraeders. \(h = |\vec{QB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Volumen \(V = \frac{1}{3} \cdot 1{,}5 \cdot 3 = 1{,}5\).

a) Alle Punkte liegen in \(\mathbb{E}\); sie bilden ein Dreieck, da \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) linear unabhängig sind. b) \(M(3|1|0)\); \(g \perp \mathbb{E}\), da der Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors ist. c) \(D(4|-1|2)\) d) \(V = 1{,}5\)

- Wann sind zwei Vektoren linear abhängig? Betrachte die Komponenten einzeln. - Überlege, welcher Teil der Ebenengleichung vom Parameter \(k\) unabhängig ist. - Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene aus ihrer Parameterform? - Zwei Ebenen sind genau dann orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. - Setze die Koordinaten des Punktes für \(x_1, x_2, x_3\) in die Ebenengleichung ein und löse das entstandene Gleichungssystem.

1. Überprüfung der linearen Unabhängigkeit der Richtungsvektoren: Da der zweite Richtungsvektor in der zweiten Komponente eine \(1\) und der erste dort eine \(0\) hat, können sie für kein \(k\) kollinear sein. Somit ist \(E_k\) stets eine Ebene. 2. Bestimmung der gemeinsamen Geraden: Die Ebenengleichung lässt sich schreiben als \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Damit ein Punkt für alle \(k\) enthalten ist, muss der Koeffizient des variablen Teils verschwinden, also \(\mu = 0\). Die gemeinsame Gerade ist somit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Orthogonalität: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E_k\): \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} -1 \\ k \\ 2 \end{pmatrix}\). Für \(k = -1\) ergibt sich \(\vec{n}_{-1} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{n}_k \cdot \vec{n}_{-1} = 0 \Rightarrow (-1) \cdot (-1) + k \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 1 - k + 4 = 5 - k = 0\). Daraus folgt \(k = 5\). 4. Punktprobe für \(A(5|2|3)\): Einsetzen in die Ebenengleichung führt auf das System \(5 = 1 + 2\lambda + \mu k\), \(2 = 1 + \mu\) und \(3 = 1 + \lambda\). Aus der dritten Gleichung folgt \(\lambda = 2\), aus der zweiten \(\mu = 1\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(5 = 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot k \Rightarrow 5 = 5 + k \Rightarrow k = 0\). Der Punkt liegt auf \(E_0\).

a) Die Richtungsvektoren sind für alle \(k \in \mathbb{R}\) linear unabhängig. b) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(k = 5\) d) Ja, der Punkt \(A\) liegt auf der Ebene \(E_0\).

- Wann stehen zwei Ebenen senkrecht aufeinander? Überprüfe die Ausrichtung ihrer Normalenvektoren. - Für die Schnittgerade kannst du das Gleichungssystem der beiden Ebenen lösen, indem du eine Variable als Parameter wählst. - Wenn eine Ebene senkrecht auf zwei anderen Ebenen steht, welche Richtung muss ihr Normalenvektor dann im Vergleich zu den anderen Normalenvektoren haben? - Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene findest du, indem du die allgemeinen Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt.

1. Orthogonalität: Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0\) ist, sind die Ebenen orthogonal. 2. Schnittgerade \(s\): Aus \(\mathbb{E}_2\) folgt \(x_1 = x_2\). Eingesetzt in \(\mathbb{E}_1\): \(x_1 + x_1 + x_3 = 3 \implies x_3 = 3 - 2x_1\). Mit \(x_1 = r\) ergibt sich \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Ebene \(\mathbb{E}_3\): Der Normalenvektor \(\vec{n}_3\) muss orthogonal zu \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) sein. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit \(P(1 \mid 1 \mid 1)\) folgt \(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 0\), also \(\mathbb{E}_3: x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\). 4. Schnittpunkt \(S\): Setze \(s\) in \(\mathbb{E}_3\) ein: \((r) + (r) - 2 \cdot (3 - 2r) = 0 \implies 6r - 6 = 0 \implies r = 1\). Einsetzen in \(s\) liefert \(S(1 \mid 1 \mid 1)\).

a) \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\); \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) b) \(\mathbb{E}_3: x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\) c) \(S(1 \mid 1 \mid 1)\)

- Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wenn eine Gleichung für alle Werte eines Parameters gelten soll, was bedeutet das für die Terme, die mit dem Parameter multipliziert werden? - Der Normalenvektor einer Ebene, die auf zwei anderen Ebenen senkrecht steht, lässt sich über das Kreuzprodukt finden. - Um zu zeigen, dass eine bestimmte Ebene Teil einer Schar ist, kannst du die Normalenvektoren vergleichen oder versuchen, den Parameter \(t\) direkt zu berechnen.

1. Orthogonalität: \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_t = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ t-1 \\ -t \end{pmatrix} = 1 + t - 1 - t = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, sind alle \(\mathbb{F}_t\) orthogonal zu \(\mathbb{F}\). Der Ursprung \(O(0|0|0)\) erfüllt \(0 + (t-1) \cdot 0 - t \cdot 0 = 0\) für alle \(t\). 2. Gemeinsame Schnittmenge: Sortieren nach \(t\): \(x_1 - x_2 + t(x_2 - x_3) = 0\). Alle Ebenen schneiden sich in der Geraden \(s\), definiert durch \(x_1 - x_2 = 0\) und \(x_2 - x_3 = 0\), also \(x_1 = x_2 = x_3\). Dies ergibt \(s: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(\mathbb{E}^*\): Der Normalenvektor \(\vec{n}^*\) muss orthogonal zu \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) sein. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(O \in \mathbb{E}^*\), lautet die Gleichung \(\mathbb{E}^*: x_1 - x_2 = 0\). 4. Zugehörigkeit zur Schar: Vergleich der Normalenvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ t-1 \\ -t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Dies liefert \(t-1 = -1 \Rightarrow t=0\) und \(-t=0 \Rightarrow t=0\). Für \(t=0\) ergibt die Schargleichung \(x_1 - x_2 = 0\), was exakt \(\mathbb{E}^*\) entspricht.

a) Alle Ebenen schneiden sich in der Geraden \(s: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). b) \(\mathbb{E}^*: x_1 - x_2 = 0\) c) Die Ebene gehört zur Schar für den Parameterwert \(t = 0\).

- Wie hängen die Richtungsvektoren zusammen, wenn Geraden parallel sind? - Was muss gelten, damit ein Punkt einer Geraden nicht auf der anderen liegt? - Wie konstruiert man einen zweiten Spannvektor für eine Ebene aus zwei parallelen Geraden? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Orthogonalität? - Welche Formeln oder Methoden kennst du, um den Abstand zwischen zwei parallelen Objekten zu bestimmen?

1. Nachweis der Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) sind wegen \(\vec{v} = -2\vec{u}\) kollinear. Eine Punktprobe mit \(A_g(1|2|1)\) in \(h\) führt auf das System \(1 = 3 - 4s\), \(2 = 5\), \(1 = 2s\). Die zweite Gleichung \(2 = 5\) ist ein Widerspruch, daher sind die Geraden echt parallel. 2. Ebene \(E\): Parameterform mit Stützpunkt von \(g\) und den Richtungsvektoren \(\vec{u}\) sowie \(\vec{A_g A_h} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zu \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) bzw. vereinfacht \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Koordinatengleichung: \(x_1 + 2x_3 = 3\). 3. Orthogonalität und Abstand: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Skalarprodukt mit \(\vec{u}\): \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 5 \neq 0\), also nicht senkrecht. Der Abstand \(d(g, h)\) entspricht dem Abstand eines Punktes von \(g\) (z. B. \(P\)) zu \(h\). Berechnung über die Hilfsebene senkrecht zu \(h\) durch \(P\) oder die Abstandsformel für parallele Geraden: Der Betrag des Kreuzprodukts von \(\vec{PQ}\) und \(\vec{u}\) ist \(\sqrt{45}\). Daher gilt \(d = \frac{\sqrt{45}}{|\vec{u}|} = \frac{|\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}|}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{9} = 3\). 4. Rechter Winkel bei \(Q\): Es muss \(\vec{QP} \cdot \vec{QR} = 0\) gelten. Mit \(R(1+2r|2|1-r)\) ist \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} -2+2r \\ -3 \\ 1-r \end{pmatrix}\) und \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Skalarprodukt: \(-2 \cdot (-2+2r) + (-3) \cdot (-3) + 1 \cdot (1-r) = 4 - 4r + 9 + 1 - r = 14 - 5r\). Setze \(14 - 5r = 0 \Rightarrow r = 2{,}8\).

a) Richtungsvektoren sind Vielfache (\(-2\)), Punktprobe liefert Widerspruch. b) \(E: x_1 + 2x_3 = 3\) (oder Vielfaches). c) Skalarprodukt \(\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 5 \neq 0\); Abstand \(d = 3\). d) \(r = 2{,}8\).

- Wie kannst du die Punktkoordinaten einer Ebene in Parameterform in die Koordinatengleichung einer anderen Ebene einsetzen? - Erinnere dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Normalenvektoren. - Wie berechnet man einen Normalenvektor, wenn zwei Spannvektoren einer Ebene bekannt sind? - Überlege, was das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene über deren gegenseitige Lage aussagt. - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, wie findest du heraus, ob sie in der Ebene liegt oder einen Abstand zu ihr hat?

1. Zur Bestimmung der Schnittgeraden \(g\) wird die Parameterform von \(E_2\) in die Koordinatengleichung von \(E_1\) eingesetzt: \((1+r) + (-r+s) = 2 \Rightarrow 1+s = 2 \Rightarrow s = 1\). Einsetzen von \(s=1\) in \(E_2\) liefert \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E_2\): \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Der Schnittwinkel berechnet sich über \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|-3-2+0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{28}} \approx 0{,}9449\). Dies ergibt \(\alpha \approx 19{,}11^\circ\). 4. Für die Lage von \(g\) zu \(H_a\) wird das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor von \(g\) und dem Normalenvektor \(\vec{n}_{H_a} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1-a \end{pmatrix}\) berechnet: \(\vec{v}_g \cdot \vec{n}_{H_a} = 1 \cdot a - 1 \cdot 1 + 1 \cdot (1-a) = a - 1 + 1 - a = 0\). Da das Skalarprodukt für alle \(a\) Null ist, verläuft \(g\) stets parallel zu \(H_a\) oder liegt in \(H_a\). 5. Prüfung eines Punktes von \(g\), z. B. \(P(1|1|3)\), in \(H_a\): \(a \cdot 1 + 1 + (1-a) \cdot 3 = a + 1 + 3 - 3a = 4 - 2a\). Die Bedingung \(4 - 2a = 4\) ist nur für \(a = 0\) erfüllt. 6. Ergebnis: Für \(a = 0\) liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(H_0\). Für \(a \neq 0\) ist die Gerade \(g\) echt parallel zur Ebene \(H_a\).

a) Schnittgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\); Schnittwinkel \(\alpha \approx 19{,}11^\circ\). b) Für \(a = 0\) liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(H_0\) (\(g \subset H_0\)). Für alle \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ist die Gerade \(g\) echt parallel zur Ebene \(H_a\) (\(g \parallel H_a\)).

- Wie kannst du aus den gegebenen Gleichungen für die Koordinaten eine Vektorgleichung der Form \(\vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v}\) erstellen? - Erinnere dich daran, wie man einen Vektor findet, der senkrecht auf zwei Spannvektoren steht. - Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Ebene verläuft immer entlang des Normalenvektors. - Welche geometrische Figur entsteht, wenn man vom Punkt \(Q\) aus in Richtung des Normalenvektors geht?

1. Aufstellen der Parameterform der Ebene \(M\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind, handelt es sich um eine Ebene. 2. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Vereinfacht kann \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Koordinatengleichung: \(x_1 + 2x_2 + x_3 = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((2|5|-1)\) ergibt \(2 + 10 - 1 = 11\). Also \(M: x_1 + 2x_2 + x_3 = 11\). 4. Bestimmung des Lotfußpunktes \(P_0\): Aufstellen der Lotgeraden \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Schneiden von \(l\) mit \(M\): \((4 + t) + 2 \cdot (1 + 2t) + (8 + t) = 11 \implies 6t + 14 = 11 \implies t = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(t\) in die Lotgerade ergibt \(P_0(3{,}5|0|7{,}5)\). 6. Berechnung des Abstands: \(d(Q, M) = |\vec{QP_0}| = \sqrt{(3{,}5-4)^2 + (0-1)^2 + (7{,}5-8)^2} = \sqrt{0{,}25 + 1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22\).

a) \(M: x_1 + 2x_2 + x_3 = 11\) b) \(P_0(3{,}5|0|7{,}5)\) c) \(d = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22\,\text{LE}\)

- Um zu zeigen, dass sich zwei Geraden schneiden, kannst du ihre Terme gleichsetzen und das resultierende Gleichungssystem lösen. - Eine Ebene, die zwei sich schneidende Geraden enthält, hat einen Normalenvektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. - Überlege dir, für welchen speziellen Wert des Parameters die Schargleichung mit deiner gefundenen Ebenengleichung identisch wird. - Um die gemeinsame Schnittgerade einer Schar zu finden, kannst du die Gleichung nach dem Parameter sortieren und die Ausdrücke mit und ohne Parameter getrennt Null setzen. - Wenn eine Ebene senkrecht auf einer ganzen Schar von Ebenen stehen soll, muss ihr Normalenvektor senkrecht auf den Normalenvektoren zweier beliebiger (nicht paralleler) Ebenen der Schar stehen.

1. Schnittpunktbestimmung: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(1+2\lambda = -1+4\mu\), \(2+\lambda = 1+\mu\) und \(-\lambda = 1-2\mu\). Die Lösung ergibt \(\mu = 0\) und \(\lambda = -1\). Der Schnittpunkt ist \(S(-1|1|1)\). 2. Ebene \(E\): Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit dem Punkt \(S\) folgt die Koordinatengleichung \(-x_1 - 2x_3 = 1\) bzw. \(x_1 + 2x_3 = 1\). 3. Ebenenschar: Für \(t=0\) ergibt sich in der Schargleichung \(1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 2x_3 = 1+0\), also \(x_1 + 2x_3 = 1\). Somit ist \(E = E_0\). 4. Gemeinsame Gerade \(s\): Die Schargleichung lässt sich umformen zu \(x_1 + 2x_3 - 1 + t(x_1 + x_2 - 1) = 0\). Alle Punkte der Geraden müssen beide Teilgleichungen \(x_1 + 2x_3 = 1\) und \(x_1 + x_2 = 1\) erfüllen. Wählt man \(x_1 = 1-2k\), folgt \(x_3 = k\) und \(x_2 = 2k\). Eine Parameterform ist \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Orthogonale Ebene \(E^*\): Damit \(E^*\) orthogonal zu allen \(E_t\) ist, muss ihr Normalenvektor \(\vec{n}^*\) orthogonal zu allen Normalenvektoren \(\vec{n}_t = \begin{pmatrix} 1+t \\ t \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sein. Dies ist erfüllt, wenn \(\vec{n}^*\) parallel zum Richtungsvektor der Schnittgeraden \(s\) ist. Mit \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Punkt \(P(2|1|5)\) ergibt sich \(-2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = 3\). Die Gleichung lautet \(-2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(-1|1|1)\). Die Ebene ist \(E: x_1 + 2x_3 = 1\). b) Für \(t=0\) gilt \(E_0 = E\). Die gemeinsame Gerade ist \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). c) \(E^*: -2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3\) (oder äquivalent).

- Wie hängen der Mittelpunkt einer Strecke und die zugehörige Symmetrieebene zusammen? - Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er in einer bestimmten Ebene liegt? - Welche Eigenschaft hat der Normalenvektor einer Ebene, die senkrecht auf einer Geraden steht? - Wie nutzt man das Skalarprodukt, um die Orthogonalität zweier Vektoren zu prüfen? - Überlege dir, welche Rolle der Lotfußpunkt bei der Spiegelung eines Punktes an einer Geraden spielt.

1. Symmetrieebene \(E\): Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M(4|2|-1)\). Der Normalenvektor ist \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(1 \cdot (x-4) - 2 \cdot (y-2) + 2 \cdot (z+1) = 0\), also \(E: x - 2y + 2z = -2\). 2. Lage von \(g\) in \(E\): Einsetzen von \(g\) in \(E\): \((2\lambda) - 2(1+2\lambda) + 2(\lambda) = 2\lambda - 2 - 4\lambda + 2\lambda = -2\). Die Bedingung \(-2 = -2\) ist für alle \(\lambda\) erfüllt. 3. Ebene \(F\): Der Richtungsvektor von \(g\) ist der Normalenvektor \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Mit \(A(5|0|1)\) ergibt sich \(2 \cdot 5 + 2 \cdot 0 + 1 = 11\), also \(F: 2x + 2y + z = 11\). Da \(2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 - 3 = 11\), liegt auch \(B\) in \(F\). 4. Schnittpunkt \(S\): Einsetzen von \(g\) in \(F\): \(2 \cdot (2\lambda) + 2 \cdot (1+2\lambda) + \lambda = 11 \Rightarrow 9\lambda + 2 = 11 \Rightarrow \lambda = 1\). Somit ist \(S(2|3|1)\). 5. Orthogonalität: \(\vec{SA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt ist \(3 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 + 0 \cdot (-4) = 0\), folglich \(SA \perp SB\). 6. Spiegelpunkt \(A'\): Da \(S\) der Lotfußpunkt von \(A\) auf \(g\) ist, gilt \(\vec{a'} = \vec{s} + \vec{AS} = 2\vec{s} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(A'(-1|6|1)\).

a) \(E: x - 2y + 2z = -2\) b) Nachweis durch Einsetzen; \(F: 2x + 2y + z = 11\) c) \(S(2|3|1)\); Nachweis über \(\vec{SA} \cdot \vec{SB} = 0\) d) \(A'(-1|6|1)\)

- Behandle den Parameter \(k\) zunächst wie eine Unbekannte in einer der Gleichungen. - Nutze die Gleichungen, in denen \(k\) nicht vorkommt, um die Werte für \(r\) und \(s\) zu berechnen. - Wie muss \(k\) gewählt werden, damit die verbleibende Gleichung keine Widersprüche erzeugt?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen \(\vec{g}(r) = \vec{h}_k(s)\): (I) \(2 + r = 4 + 2s \Rightarrow r - 2s = 2\) (II) \(1 + r = 3 + s \Rightarrow r - s = 2\) (III) \(2r = k\) 2. Subtraktion von (I) von (II) liefert: \((r - s) - (r - 2s) = 2 - 2 \Rightarrow s = 0\). 3. Einsetzen von \(s = 0\) in (II) ergibt \(r = 2\). 4. Bestimmung von \(k\) mithilfe von Gleichung (III): \(k = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) mit \(r = 2\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Für \(k = 4\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4|3|4)\).

- Was bedeutet eine Null in einer Komponente des Richtungsvektors für die Ausrichtung der Geraden? - Wie ist die \(x_1x_3\)-Ebene im Koordinatensystem durch eine Gleichung definiert? - Wenn zwei verschiedene Spurpunkte identisch sind, was sagt das über die Position des Punktes im Koordinatensystem aus?

1. Analyse der Geraden für Teilaufgabe a): Die \(x_2\)-Komponente des Richtungsvektors ist \(0\), was bedeutet, dass die Gerade parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene verläuft (oder in ihr liegt). Da die \(x_2\)-Koordinate des Stützpunktes \(3\) ist, gilt für alle Punkte der Geraden \(x_2 = 3\). Da die \(x_1x_3\)-Ebene durch \(x_2 = 0\) definiert ist, gibt es keinen gemeinsamen Punkt. 2. Berechnung der Spurpunkte für Teilaufgabe b): Für die \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): \(-2 + k = 0 \Rightarrow k = 2\). Dies ergibt den Punkt \(S_{12}(0|3|0)\). Für die \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): \(6 - 3k = 0 \Rightarrow k = 2\). Dies ergibt den Punkt \(S_{23}(0|3|0)\). 3. Interpretation: Beide Spurpunkte fallen in einem Punkt zusammen. Da zwei Koordinaten (\(x_1\) und \(x_3\)) Null sind, liegt dieser Punkt auf der \(x_2\)-Achse.

a) Da die \(x_2\)-Koordinate der Geraden konstant \(3\) ist, kann sie die Ebene \(x_2 = 0\) nicht schneiden. b) Die beiden Spurpunkte \(S_{12}\) und \(S_{23}\) fallen im Punkt \(S(0|3|0)\) zusammen. Dieser liegt auf der \(x_2\)-Achse.

- Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren parallel zueinander verlaufen. - Wenn sie nicht parallel sind, gibt es zwei Möglichkeiten für die Lagebeziehung. Welche sind das? - Setze die Geradengleichungen gleich, um ein Gleichungssystem aufzustellen. - Was sagt es über die Lage aus, wenn die ersten zwei Gleichungen eine Lösung liefern, die dritte aber nicht?

1. Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (\(1 : 3 \neq 2 : (-1)\)), daher sind die Geraden weder parallel noch identisch. 2. Gleichsetzen der Geradengleichungen zur Prüfung auf einen Schnittpunkt: (I) \(\lambda - 3\mu = 2\) (II) \(2\lambda + \mu = -3\) (III) \(2\lambda - \mu = 4\) 3. Lösen von (I) und (II): Aus (II) folgt \(\mu = -3 - 2\lambda\). Einsetzen in (I): \(\lambda - 3(-3 - 2\lambda) = 2 \Rightarrow \lambda + 9 + 6\lambda = 2 \Rightarrow 7\lambda = -7 \Rightarrow \lambda = -1\). Daraus folgt \(\mu = -3 - 2(-1) = -1\). 4. Überprüfung in (III): \(2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1\). Da \(-1 \neq 4\), ist das LGS unlösbar. 5. Schlussfolgerung: Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein Schnittpunkt existiert, sind die Geraden windschief.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief.

- Was bedeutet die lineare Abhängigkeit von zwei Richtungsvektoren für die Ausrichtung der Geraden? - Wenn der Verbindungsvektor der Stützpunkte nicht in Richtung der Geraden zeigt, kann dann ein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegen? - Überlege, welche verschiedenen Lagebeziehungen dazu führen, dass drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene liegen. - Erfüllen parallele Geraden dieselbe Vektorbedingung wie schneidende Geraden?

1. Aus der linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) folgt, dass die Geraden entweder parallel oder identisch sind. Da der Verbindungsvektor \(\vec{w}\) linear unabhängig von \(\vec{u}\) ist, kann der Stützpunkt von \(h\) nicht auf der Geraden \(g\) liegen. Somit sind die Geraden echt parallel. 2. Die Bedingung ist notwendig, da sich zwei Geraden nur schneiden können, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen (Komplanarität), was die lineare Abhängigkeit von \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) voraussetzt. Sie ist nicht hinreichend, da auch echt parallele oder identische Geraden komplanar sind und somit die Bedingung der linearen Abhängigkeit erfüllen, ohne einen eindeutigen Schnittpunkt zu besitzen.

a) Die Geraden sind echt parallel. b) Notwendig, da ein Schnittpunkt Komplanarität erfordert (\(\vec{w}\) muss als Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) darstellbar sein). Nicht hinreichend, da die Bedingung auch bei parallelen oder identischen Geraden erfüllt ist, die keinen eindeutigen Schnittpunkt haben.

- Der Punkt \(S\) ist der sogenannte Lotfußpunkt. Wie findet man diesen bei einer Geraden? - Nutze die Eigenschaft aus, dass der Verbindungsvektor vom Punkt zur Geraden im rechten Winkel zum Richtungsvektor der Geraden stehen muss. - Sobald du den Schnittpunkt \(S\) kennst, hast du zwei Punkte, durch die die Gerade \(h\) verläuft.

1. Der Schnittpunkt \(S\) liegt auf \(g\), hat also die Form \(S(2+2k | 2k | 1-k)\). 2. Der Vektor \(\vec{BS} = \begin{pmatrix} 2k+1 \\ 2k-6 \\ -k-1 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) sein. 3. Skalarprodukt ansetzen: \(2 \cdot (2k+1) + 2 \cdot (2k-6) - 1 \cdot (-k-1) = 4k+2 + 4k-12 + k+1 = 9k-9 = 0\). 4. Aus \(9k-9=0\) folgt \(k=1\). Einsetzen in die Koordinaten von \(S\) ergibt \(S(4|2|0)\). 5. Der Richtungsvektor für \(h\) ist \(\vec{BS} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 2-6 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\). 6. Die Gerade \(h\) hat damit die Gleichung \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\).

a) \(S(4|2|0)\) b) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\)

- Stelle zuerst die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte auf. - Wann sind zwei Vektoren parallel? Wie prüfst du das rechnerisch? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors und wie skaliert man ihn auf eine bestimmte Länge? - Was zeichnet die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_3\)-Achse aus? - Ein Punkt auf einer Geraden lässt sich durch die Geradengleichung in Abhängigkeit von einem Parameter ausdrücken.

1. Gerade \(g\): Richtungsvektor \(\vec{u}_g = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (vereinfachter Richtungsvektor). 2. Lagebeziehung: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(1+t = \mu\), \(2 = 1-\mu\), \(-1+t = 4\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(\mu = -1\). Dann ergibt die erste Gleichung \(t = -2\). Die dritte Gleichung liefert \(-3 = 4\) (Widerspruch). Also windschief. 3. Richtungsvektor für \(k\): Parallelität zu \(h\) bedeutet \(\vec{v}_k = c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|c| \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = |c| \cdot \sqrt{2}\). Da \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), muss \(|c| = 3\) gelten. Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Punkt \(C\) auf \(h\): \(C(\mu | 1-\mu | 4)\). Gerade \(j: \vec{x} = \begin{pmatrix} \mu \\ 1-\mu \\ 4 \end{pmatrix} + \tau \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Schnitt mit \(x_3\)-Achse bedeutet \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). Aus \(1-\mu + 0 = 0\) folgt \(\mu = 1\). Damit ergibt \(\mu + \tau = 0\) den Wert \(\tau = -1\). Für \(\mu = 1\) ist der Punkt \(C(1|0|4)\).

a) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und das Gleichungssystem hat keine Lösung; daher sind die Geraden windschief. b) Ein möglicher Richtungsvektor ist \(\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)). c) Der gesuchte Stützpunkt ist \(C(1|0|4)\).

- Untersuche zuerst, ob die Geraden jemals parallel sein können. - Bestimme die Parameter der Geraden mithilfe der Zeilen, die keinen Parameter \(a\) enthalten. - Welche Bedingung muss für \(a\) gelten, damit die verbleibende Gleichung ebenfalls erfüllt ist? - Was passiert geometrisch, wenn das System für ein bestimmtes \(a\) keine Lösung hat?

Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}^\top\) und \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}^\top\) sind nicht kollinear, da die \(z\)-Komponente des zweiten Vektors null ist, die des ersten jedoch nicht. Die Geraden sind also für alle \(a\) entweder schneidend oder windschief. Das Gleichungssystem aus dem Gleichsetzen lautet: 1) \(1 + \lambda = a + 3\mu\) 2) \(4 - 2\lambda = 2 + 2\mu\) 3) \(3 + 2\lambda = 1\) Aus 3) folgt \(2\lambda = -2\), also \(\lambda = -1\). Einsetzen in 2) ergibt \(4 - 2(-1) = 2 + 2\mu\), woraus \(6 = 2 + 2\mu\) und somit \(\mu = 2\) folgt. Damit sich die Geraden schneiden, muss 1) erfüllt sein: \(1 + (-1) = a + 3(2)\), was zu \(0 = a + 6\), also \(a = -6\) führt. Für \(a = -6\) liegt ein Schnittpunkt vor, der durch Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(g\) berechnet wird: \(S(0|6|1)\). Für alle \(a \neq -6\) ist das System unlösbar, die Geraden sind dann windschief.

Für \(a = -6\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(0|6|1)\). Für \(a \neq -6\) sind die Geraden windschief.

- Stelle für jede Koordinate \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) eine Gleichung auf. - Du hast nun drei Gleichungen und drei Unbekannte (\(a\), \(\lambda\) und \(\mu\)). - Versuche, die Parameter der Ebene (\(\lambda\) und \(\mu\)) durch den Parameter \(a\) auszudrücken. - Setze diese Ausdrücke in die verbleibende Gleichung ein, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch \(a\) enthält.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) für die Punktprobe: I: \(a + 1 = 1 + \lambda\) II: \(a = 2 - \lambda + 2\mu\) III: \(9 = 1 + 2\lambda + \mu\) 2. Aus Gleichung I folgt \(\lambda = a\). 3. Substitution von \(\lambda = a\) in Gleichung II: \(a = 2 - a + 2\mu \Rightarrow 2a - 2 = 2\mu \Rightarrow \mu = a - 1\). 4. Einsetzen von \(\lambda = a\) und \(\mu = a - 1\) in Gleichung III: \(9 = 1 + 2a + (a - 1)\) \(9 = 3a \Rightarrow a = 3\). 5. Für \(a = 3\) ergeben sich die Parameter \(\lambda = 3\) und \(\mu = 2\), womit der Punkt \(P(4 \mid 3 \mid 9)\) in der Ebene liegt.

\(a = 3\)

- Welche besondere Eigenschaft haben Normalenvektoren von Ebenen, die senkrecht auf den Koordinatenebenen stehen? - Wenn eine Ebene eine Gerade enthält, welche Beziehung besteht dann zwischen ihrem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden? - Wann genau nennt man eine Gerade und eine Ebene „senkrecht“ zueinander? Achte auf den Unterschied zwischen dem Normalenvektor der Ebene und der Ebene selbst. - Wie kannst du durch das Skalarprodukt ausschließen, dass zwei Vektoren orthogonal sind?

1. Eine Ebene senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene hat einen Normalenvektor der Form \(\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Damit die Ebene die Gerade \(h\) enthält, muss das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) null sein: \(n_1 \cdot 1 + n_2 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow n_1 = n_2\). Mit \(n_1 = n_2 = 1\) ergibt sich der Ansatz \(x_1 + x_2 = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((0| 4| 2)\) liefert \(0 + 4 = 4\). Die Ebene ist \(E: x_1 + x_2 = 4\). 2. Für eine Ebene \(G\), die weder parallel noch senkrecht zu \(h\) ist, darf der Normalenvektor \(\vec{n}_G\) weder orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v}\) sein (Skalarprodukt ungleich 0) noch ein Vielfaches von \(\vec{v}\) sein. Wählt man \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), so ist \(\vec{n}_G \cdot \vec{v} = 1 \neq 0\) (nicht parallel) und \(\vec{n}_G\) ist offensichtlich kein Vielfaches von \(\vec{v}\) (nicht senkrecht).

1. \(E: x_1 + x_2 = 4\) 2. \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (beispielhaft)

- Wie stehen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Was passiert, wenn du den Stützvektor der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Lagebeziehung? - Gibt es einen speziellen Wert für \(k\), bei dem sich das Verhalten der Geraden grundlegend ändert?

1. Untersuchung der Parallelität über das Skalarprodukt von Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ k \end{pmatrix}\): \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 1 \cdot k = k - 1\). 2. Bedingung für Parallelität (\(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\)): Dies ist für \(k = 1\) erfüllt. In diesem Fall ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 3. Punktprobe für \(k = 1\): Einsetzen des Stützpunktes \(P(2|1|6)\) in die Ebene \(E\): \(3 \cdot 2 - 2(1) + 6 = 6 - 2 + 6 = 10\). Da \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. 4. Schlussfolgerung für \(k = 1\): Die Gerade \(g_1\) liegt vollständig in der Ebene \(E\). 5. Untersuchung für \(k \neq 1\): Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0\), ist der Richtungsvektor nicht orthogonal zum Normalenvektor. Folglich schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

Für \(k = 1\) liegt die Gerade \(g_1\) in der Ebene \(E\). Für alle \(k \neq 1\) schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden. - Welches Skalarprodukt hilft dir hier weiter? - Wenn du die Parallelität festgestellt hast, wie kannst du prüfen, ob die gesamte Gerade in der Ebene liegt oder einen Abstand zu ihr hat? - Genügt es, einen einzigen Punkt der Geraden zu prüfen?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Normalenvektor stehen. Das Skalarprodukt muss null sein: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot a + (-2) \cdot 3 = 0\). 3. Berechnung von \(a\): \(3 + a - 6 = 0 \Rightarrow a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3\). 4. Überprüfung der Punktlage: Testen, ob der Stützpunkt \(P(2|6|1)\) der Geraden in der Ebene \(E\) liegt: \(3 \cdot 2 + 6 - 2(1) = 6 + 6 - 2 = 10\). 5. Da die Gleichung \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. Für \(a=3\) verläuft die Gerade nicht nur parallel, sondern liegt vollständig in der Ebene \(E\).

Für \(a = 3\) verläuft die Gerade parallel zur Ebene. Da der Stützpunkt der Geraden in der Ebene liegt, ist die Gerade \(g_3\) in der Ebene \(E\) enthalten.

- Bestimme zunächst die Position der Spitze des Stabes im Raum. - Nutze die gegebene Schattenlänge, um den Endpunkt des Schattens auf der Geraden \(h\) zu finden. - Wie hängen die Position der Spitze, der Schattenpunkt der Spitze und die Richtung der Sonnenstrahlen zusammen? - Ein Vektor, der von der Spitze zum Schattenpunkt zeigt, gibt eine mögliche Richtung der Sonnenstrahlen an.

1. Koordinaten der Stabspitze \(Q\): Mit \(P(3|2|4)\) und Länge 2 in \(x_3\)-Richtung folgt \(Q(3|2|6)\). 2. Schattenpunkt \(S\) auf der Geraden \(h\): Der Richtungsvektor von \(h\) ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{v}| = \sqrt{4+4+1} = 3\). Da der Schatten die Länge 3 hat, muss der Schattenpunkt der Spitze bei \(S = P \pm \vec{v}\) liegen. 3. Fall 1: \(S_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Sonnenrichtung ergibt sich aus dem Vektor von der Spitze zum Schattenpunkt: \(\vec{s}_1 = \vec{S}_1 - \vec{Q} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 4-2 \\ 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Fall 2: \(S_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Sonnenrichtung ist \(\vec{s}_2 = \vec{S}_2 - \vec{Q} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 0-2 \\ 5-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Eine mögliche Richtung der Sonnenstrahlen ist \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder auch \(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\)).

- Wenn alle Ebenen eine gemeinsame Gerade haben, muss deren Gleichung unabhängig vom Parameter \(t\) erfüllt sein. - Versuche, die Gleichung so umzustrukturieren, dass du Terme mit \(t\) von Termen ohne \(t\) isolierst. - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Vektor vom Ursprung zum nächstgelegenen Punkt auf dieser Geraden? - Erinnere dich an das Verfahren zur Bestimmung eines Lotfußpunktes.

1. Umformung der Schargleichung nach dem Parameter \(t\): \(x_1 + 2x_3 - 4 + t(x_2 - x_3 - 2) = 0\). 2. Eine Gerade gehört zu allen Ebenen, wenn beide Klammerausdrücke Null sind: (I) \(x_1 + 2x_3 - 4 = 0\) und (II) \(x_2 - x_3 - 2 = 0\). 3. Parametrisierung mit \(x_3 = \lambda\): Aus (II) folgt \(x_2 = 2 + \lambda\), aus (I) folgt \(x_1 = 4 - 2\lambda\). 4. Die Trägergerade ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Bestimmung des Lotfußpunkts \(P\) vom Ursprung auf \(g\): Der Vektor \(\vec{OP} = \begin{pmatrix} 4-2\lambda \\ 2+\lambda \\ \lambda \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sein. 6. Skalarprodukt ansetzen: \(-2 \cdot (4-2\lambda) + 1(2+\lambda) + 1(\lambda) = -8 + 4\lambda + 2 + \lambda + \lambda = 6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1\). 7. Einsetzen von \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ergibt \(P(2 | 3 | 1)\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) \(P(2 | 3 | 1)\)

- Woran erkennst du bei einem linearen Gleichungssystem, ob es genau eine Lösung gibt? - Welches Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen beherrschst du am besten? - Überlege dir, welche Eigenschaft die Normalenvektoren von parallelen Ebenen haben. - Welche Koordinate ist bei allen Punkten, die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene liegen, identisch?

1. Das lineare Gleichungssystem (LGS) der drei Ebenen wird aufgestellt. 2. Addition von \(E\) und \(F\) eliminiert \(x_2\): \(3x_1 + 3x_3 = 3 \Rightarrow x_1 + x_3 = 1\). 3. Addition von \(2 \cdot F\) und \(G\) eliminiert ebenfalls \(x_2\): \(3x_1 + 4x_3 = 5\). 4. Subtraktion der beiden resultierenden Gleichungen ergibt \(x_3 = 2\). Rückwärtseinsetzen liefert \(x_1 = -1\) und schließlich \(x_2 = 0\). Es existiert genau eine Lösung, der Schnittpunkt ist \(S(-1|0|2)\). 5. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene hat die allgemeine Form \(x_3 = d\). 6. Da der Punkt \(S(-1|0|2)\) in der Ebene \(H\) liegen muss, gilt für die \(x_3\)-Koordinate \(2 = d\). Die Gleichung lautet somit \(H: x_3 = 2\).

a) \(S(-1|0|2)\) b) \(H: x_3 = 2\)

- Versuche, die Ebenengleichung so zu sortieren, dass du den Parameter \(a\) ausklammern kannst. - Welche Teile der Gleichung müssen Null sein, damit der Wert von \(a\) keinen Einfluss auf das Ergebnis hat? - Du erhältst zwei Gleichungen für die drei Koordinaten. Nutze eine Koordinate als freien Parameter (z. B. \(t\)), um die anderen auszudrücken. - Achte beim Aufstellen der Geradengleichung darauf, dass der Stützvektor und der Richtungsvektor korrekt aus deinen Termen abgelesen werden.

1. Auflösen der Klammer und Sortieren nach dem Parameter \(a\): \(a \cdot x_1 + x_1 + a \cdot x_2 - 2x_3 - 4 = 0\). 2. Ausklammern von \(a\): \(a(x_1 + x_2) + (x_1 - 2x_3 - 4) = 0\). 3. Aufstellen der Bedingungen für die Unabhängigkeit vom Parameter \(a\): (I) \(x_1 + x_2 = 0 \implies x_2 = -x_1\) (II) \(x_1 - 2x_3 - 4 = 0 \implies 2x_3 = x_1 - 4 \implies x_3 = \frac{1}{2}x_1 - 2\) 4. Wahl eines Parameters für die Gerade: Sei \(x_1 = 2t\). 5. Einsetzen ergibt \(x_2 = -2t\) und \(x_3 = t - 2\). 6. Die Geradengleichung in Parameterform ist: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Erstelle zuerst eine Parametergleichung für die Ebene, in der das Dreieck liegt. - Wie findet man den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene? - Überlege dir, welche Einschränkungen für die Parameter \(r\) und \(s\) gelten, damit man im Inneren eines Dreiecks bleibt. - Hilft dir die Summe der Parameter bei der Entscheidung, ob der Punkt im Dreieck liegt?

1. Aufstellen der Ebene \(E\), in der das Segel liegt, in Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen der Geraden \(h\) mit der Ebene \(E\) zur Bestimmung des Durchstoßpunktes: \(1 + 4r = 5 - k\) \(4s = 3 - k\) \(2 + 4s = 1 + 2k\) 3. Durch Einsetzen der zweiten in die dritte Gleichung folgt \(2 + (3 - k) = 1 + 2k\), woraus sich \(k = \frac{4}{3}\) ergibt. 4. Daraus resultieren die Ebenenparameter \(s = \frac{5}{12}\) und \(r = \frac{2}{3}\). 5. Prüfung der Dreiecksbedingung: Für einen Punkt innerhalb des Dreiecks \(PQR\) muss gelten: \(r \ge 0, s \ge 0\) und \(r + s \le 1\). 6. Berechnung der Summe: \(r + s = \frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{13}{12} \approx 1{,}08\). Da \(r + s > 1\) ist, liegt der Durchstoßpunkt \(S(\frac{11}{3} | \frac{5}{3} | \frac{11}{3})\) außerhalb des Segels. Das Projektil trifft das Segel nicht.

Das Projektil trifft das Sonnensegel nicht, da der Durchstoßpunkt \(S(\frac{11}{3} | \frac{5}{3} | \frac{11}{3})\) außerhalb der dreieckigen Fläche liegt.

- Woran erkennt man, dass ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht? - Wie berechnet man den Abstand eines Punktes von einer Ebene? - Überlege dir, welche Kombination von Eckpunkt-Koordinaten (\(\pm 2\)) den Wert der Ebenengleichung maximiert oder minimiert. - Wie viele Eckpunkte eines Würfels können maximal in einer Ebene liegen, damit ein Dreieck entsteht?

1. Der Richtungsvektor der Diagonale ist \(\vec{v} = \vec{P_2} - \vec{P_1} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{v} = 4 \cdot \vec{n}\), ist die Diagonale orthogonal zur Ebene. 2. Der Abstand zum Ursprung ergibt sich aus der Hesseschen Normalform: \(d = \frac{|a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{3}}\). 3. Die Extremwerte der Funktion \(f(x_1, x_2, x_3) = x_1 - x_2 + x_3\) auf dem Würfel \([-2; 2]^3\) liegen an den Eckpunkten. Das Maximum ist \(2 - (-2) + 2 = 6\) am Punkt \((2|-2|2)\). Das Minimum ist \(-2 - 2 + (-2) = -6\) am Punkt \((-2|2|-2)\). Für \(a=6\) und \(a=-6\) gibt es genau einen Berührpunkt. 4. Für \(a=2\) prüfen wir die Eckpunkte des Würfels: \(x_1 - x_2 + x_3 = 2\). Die Punkte \((2|2|2)\), \((2|-2|-2)\) und \((-2|-2|2)\) erfüllen die Gleichung. Da dies drei nicht kollineare Eckpunkte des Würfels sind und die Ebene durch keine weiteren Kanten innerhalb der Würfelbegrenzung verläuft, ohne diese zu schneiden, bildet die Schnittfläche ein Dreieck.

a) Nachweis über \(\vec{P_1P_2} = 4 \cdot \vec{n}\). b) \(d = \frac{|a|}{\sqrt{3}}\) c) \(a = 6\) mit Berührpunkt \((2|-2|2)\); \(a = -6\) mit Berührpunkt \((-2|2|-2)\). d) Die Schnittpunkte sind die Würfeleckpunkte \((2|2|2)\), \((2|-2|-2)\) und \((-2|-2|2)\).

- Beginne damit, die Geradengleichungen komponentenweise gleichzusetzen. - Welche der drei Gleichungen enthalten zunächst nur die Parameter \(r\) und \(s\)? - Nutze die Gleichungen, die unabhängig von \(a\) sind, um die Werte für die Parameter zu finden. - Setze die gefundenen Parameter in die verbleibende Gleichung ein, um die Bedingung für \(a\) zu erfüllen.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(4 + r = 1 + 2s\) (I) \(a + 2r = 1 + s\) (II) \(3 + r = 2\) (III) 2. Bestimmung von \(r\) aus (III): \(r = 2 - 3 = -1\). 3. Bestimmung von \(s\) durch Einsetzen von \(r = -1\) in (I): \(4 - 1 = 1 + 2s \Rightarrow 3 = 1 + 2s \Rightarrow 2 = 2s \Rightarrow s = 1\). 4. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(r = -1\) und \(s = 1\) in (II): \(a + 2(-1) = 1 + 1 \Rightarrow a - 2 = 2 \Rightarrow a = 4\). 5. Berechnung des Schnittpunktes für \(a = 4\): Einsetzen von \(s = 1\) in \(h\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Die Geraden schneiden sich für \(a = 4\). Der Schnittpunkt lautet \(S(3 | 2 | 2)\).

- Nutze die Gleichungen der \(x\)- und \(z\)-Koordinaten, um die Parameter der Geraden zu bestimmen, da diese unabhängig von \(a\) sind. - Überprüfe dein Ergebnis für \(a\), indem du die berechneten Parameter in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einsetzt. - Wie hängen die Richtungsvektoren mit der Eigenschaft „parallel“ zusammen? Hängt diese Eigenschaft vom Stützvektor (und damit von \(a\)) ab? - Erinnere dich an die vier möglichen Lagebeziehungen von Geraden im Raum und schließe nacheinander aus.

1. Teilaufgabe a): Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert das LGS: (I) \(4+\lambda = 2+3\mu\), (II) \(2\lambda = a+2\mu\), (III) \(3-\lambda = 1+\mu\). Aus (I) \(\lambda-3\mu = -2\) und (III) \(\lambda+\mu = 2\) folgt durch Subtraktion \(-4\mu = -4 \Rightarrow \mu = 1\). Einsetzen in (III) ergibt \(\lambda = 1\). Einsetzen von \(\lambda, \mu\) in (II) ergibt \(2(1) = a + 2(1) \Rightarrow a = 0\). Der Schnittpunkt für \(a=0\) ergibt sich durch Einsetzen von \(\lambda=1\) in \(g\): \(S(5|2|2)\). 2. Teilaufgabe b): Die Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear, da kein Faktor \(k\) existiert mit \(k \cdot 1 = 3\) und \(k \cdot 2 = 2\) (wäre \(k=3\) und \(k=1\)). Die Parallelität ist somit für alle \(a\) ausgeschlossen. 3. Teilaufgabe c): Da die Richtungsvektoren nie parallel sind und ein Schnittpunkt nur für \(a=0\) existiert, müssen die Geraden für alle anderen Werte von \(a\) windschief sein.

a) Für \(a = 0\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(5|2|2)\). b) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear (keine Vielfachen voneinander). c) Für \(a \neq 0\) sind die Geraden windschief, da sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen.

- Beginne damit, die Richtungsvektoren auf Kollinearität zu prüfen. Von welchem Wert für \(k\) hängt das ab? - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du prüfen, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, gibt es zwei Möglichkeiten: Schnittpunkt oder windschief. - Was sagt die \(z\)-Koordinate der Gleichungssysteme über mögliche Schnittpunkte aus?

1. Prüfung auf Parallelität der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} k+1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(c = 1\). Damit muss \(k+1 = 2\) gelten, also \(k = 1\). 2. Fall \(k = 1\): Die Richtungsvektoren sind identisch. Prüfung auf Identität durch Punktprobe: Ist der Stützvektor \((3|1|1)^T\) von \(f_1\) auf \(g\)? \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(r = 1\). Dies erfüllt auch die erste (\(1 + 2 \cdot 1 = 3\)) und dritte Zeile (\(1 = 1\)). Also sind die Geraden für \(k = 1\) identisch. 3. Fall \(k \neq 1\): Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Gleichsetzen der Geraden: \(1 + 2r = 3 + s(k+1)\), \(r = 1 + s\) und \(1 = k\). Da \(k \neq 1\) vorausgesetzt ist, widerspricht die dritte Zeile dem Gleichungssystem. Es gibt keinen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert, sind die Geraden windschief.

Für \(k = 1\) sind die Geraden identisch. Für \(k \neq 1\) sind die Geraden windschief.

- Erinnere dich an die Definition des Schwerpunkts als Mittelwert der Eckpunkte. - Für die Geradengleichung benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. - Beim Gleichsetzen zweier Geraden erhältst du ein lineares Gleichungssystem für die Parameter. - Das Teilverhältnis lässt sich direkt aus dem Parameterwert des Schnittpunkts ablesen, wenn der Richtungsvektor der Geraden genau der Verbindungsvektor der beiden Punkte der Strecke ist.

1. Berechnung der Schwerpunkte: \(S_T = \frac{1}{3}(P+Q+R) = \left(\frac{4+0+0}{3} \big| \frac{0+4+0}{3} \big| \frac{0+0+0}{3}\right) = (\frac{4}{3}|\frac{4}{3}|0)\) \(S_R = \frac{1}{3}(P+Q+T) = \left(\frac{4+0+2}{3} \big| \frac{0+4+2}{3} \big| \frac{0+0+8}{3}\right) = (2|2|\frac{8}{3})\) 2. Aufstellen der Geradengleichungen: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ -8 \end{pmatrix}\); \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}\) 3. Gleichsetzen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(2 - \frac{2}{3}r = 2s\) und \(8 - 8r = \frac{8}{3}s\). Lösen des Systems ergibt \(r = 0{,}75\) und \(s = 0{,}75\). Einsetzen von \(s = 0{,}75\) in \(h\) ergibt \(S(1{,}5|1{,}5|2)\). 4. Bestimmung des Teilverhältnisses: Da \(r = 0{,}75 = \frac{3}{4}\) ist, gilt \(\vec{TS} = \frac{3}{4} \vec{TS_T}\). Damit teilt \(S\) die Strecke \(TS_T\) im Verhältnis \(3:1\).

a) \(S_T(\frac{4}{3}|\frac{4}{3}|0)\), \(S_R(2|2|\frac{8}{3})\) b) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ -8 \end{pmatrix}\); \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}\) c) Schnittpunkt \(S(1{,}5|1{,}5|2)\); Teilverhältnis \(3:1\) (von \(T\) aus gesehen).

- Was bedeutet es rechnerisch für das Gleichungssystem, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Beginne mit den Gleichungen, die den Parameter \(a\) nicht enthalten, um die Werte für \(\lambda\) und \(\mu\) zu finden. - Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es, wenn zwei Geraden nicht parallel sind?

1. Überprüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander. Die Geraden sind also für kein \(a\) parallel oder identisch. 2. Schnittbedingung aufstellen: Gleichsetzen der Komponenten liefert: (I) \(2 + \lambda = 2\mu\) (II) \(-1 + 2\lambda = a + \mu\) (III) \(3 = 1 + 2\mu\) 3. Parameter berechnen: Aus (III) folgt \(2\mu = 2\), also \(\mu = 1\). Einsetzen in (I) ergibt \(2 + \lambda = 2\), also \(\lambda = 0\). 4. Parameter \(a\) bestimmen: Einsetzen von \(\lambda = 0\) und \(\mu = 1\) in (II) ergibt \(-1 + 2(0) = a + 1 \implies -1 = a + 1 \implies a = -2\). 5. Schlussfolgerung für \(a \neq -2\): Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und für \(a \neq -2\) kein Schnittpunkt existiert, müssen die Geraden windschief sein.

Für \(a = -2\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(2|-1|3)\). Für \(a \neq -2\) sind die Geraden windschief.

- Wie kannst du einen Vektor an einem anderen Vektor spiegeln? Erinnere dich an die Projektion. - Der Schnittpunkt der Geraden ist ein praktischer Fixpunkt für die Spiegelung der gesamten Geraden. - Achte darauf, dass für den Abstand zwischen zwei Punkten der Betrag des Differenzvektors berechnet werden muss. - Es gibt oft zwei Punkte auf einer Geraden, die denselben Abstand zu einem festen Punkt auf der Geraden haben.

1. Der Schnittpunkt ist \(S(1 | 1 | 1)\). Die Richtungsvektoren sind \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{v}_1|=5\) und \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{v}_2|=\sqrt{2}\). Das Skalarprodukt ist \(3\). Es gilt \(\cos(\alpha) = \frac{3}{5\sqrt{2}} \approx 0{,}4243\), woraus \(\alpha \approx 64{,}9^\circ\) folgt. 2. Bei der Spiegelung einer Geraden an einer anderen (mit gemeinsamem Schnittpunkt) bleibt der Schnittpunkt fix. Der neue Richtungsvektor \(\vec{v}_3\) ergibt sich durch Spiegelung von \(\vec{v}_1\) an \(\vec{v}_2\). Es gilt \(\vec{v}_3 = 2 \cdot \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_2|^2} \cdot \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). Die Gerade lautet \(g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Der Abstand \(SA\) entspricht der Länge des Vektors \(\vec{SA} = \vec{A} - \vec{S} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{SA}| = 5\). Für \(B\) auf \(g_2\) gilt \(\vec{SB} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Bedingung \(|\vec{SB}| = 5\) führt zu \(|\mu| \cdot \sqrt{2} = 5\), also \(\mu = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \approx \pm 3{,}536\). Ein möglicher Punkt ist \(B(1 + \frac{5}{\sqrt{2}} | 1 + \frac{5}{\sqrt{2}} | 1)\).

a) \(\alpha \approx 64{,}9^\circ\) b) \(g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) c) \(B(1 + \frac{5}{\sqrt{2}} | 1 + \frac{5}{\sqrt{2}} | 1)\) oder \(B(1 - \frac{5}{\sqrt{2}} | 1 - \frac{5}{\sqrt{2}} | 1)\)

- Wie lautet die allgemeine Parameterform einer Geraden durch zwei Punkte? - Was ist die Definition des Mittelpunkts einer Strecke im Raum? - Kannst du die Vektorgleichung aus Aufgabenteil c) so umstellen, dass der Ortsvektor \(\vec{z}\) alleine auf einer Seite steht? - Nutze für den allgemeinen Beweis in d), dass du die Masse \(m\) aus der Summe ausklammern kannst.

1. Aufstellen der Geradengleichungen durch die Punkte: \(g_{PQ}: \vec{x} = \vec{p} + r(\vec{q}-\vec{p}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder vereinfacht Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)). \(g_{QR}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) (oder Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\)). \(g_{RP}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\)). 2. Berechnung der Seitenhalbierenden: Mittelpunkt \(M_{QR} = (5|5|3)\). Seitenhalbierende \(s_P: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Mittelpunkt \(M_{PR} = (3|4|2)\). Seitenhalbierende \(s_Q: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + w \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\). Schnittpunkt \(s_P = s_Q\) ergibt \(v = \frac{2}{3}, w = \frac{2}{3}\) und \(M(4 | \frac{11}{3} | 3)\). 3. Berechnung von \(Z\): \(3(\vec{p}-\vec{z}) + 2(\vec{q}-\vec{z}) + 1(\vec{r}-\vec{z}) = \vec{0} \Rightarrow 6\vec{z} = 3\vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r}\). \(\vec{z} = \frac{1}{6} \left( \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 22 \\ 16 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{3} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}\). 4. Allgemeiner Beweis: \(m(\vec{p}-\vec{z}) + m(\vec{q}-\vec{z}) + m(\vec{r}-\vec{z}) = \vec{0} \Rightarrow m(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}) = 3m\vec{z}\). Kürzen von \(m \neq 0\) ergibt \(\vec{z} = \frac{1}{3}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})\), was der Formel für den geometrischen Schwerpunkt entspricht.

a) \(g_{PQ}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\); \(g_{QR}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\); \(g_{RP}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) (Richtungsvektoren können variieren). b) \(M(4 | \frac{11}{3} | 3)\). c) \(Z(\frac{11}{3} | \frac{8}{3} | \frac{10}{3})\). d) Die Umformung ergibt \(\vec{z} = \frac{1}{3}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})\), was der Definition des geometrischen Schwerpunkts entspricht.

- Beginne mit den Koordinaten, die vollständig bekannt sind, um die Parameter zu bestimmen. - Wie kannst du die berechneten Parameter nutzen, um die fehlende Koordinate zu finden? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Aufstellen der Gleichungen für die bekannten Koordinaten \(x_2\) und \(x_3\): II: \(1 + 2\lambda + 4\mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 10\) und III: \(3 + 2\lambda + \mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 8\). 2. Lösen des Teilsystems: Subtraktion von III von II ergibt \(3\mu = 2\), also \(\mu = \frac{2}{3}\). Einsetzen in III ergibt \(2\lambda + \frac{2}{3} = 8 \Rightarrow 2\lambda = \frac{22}{3} \Rightarrow \lambda = \frac{11}{3}\). 3. Berechnung der fehlenden Koordinate \(k\) mittels der Gleichung für \(x_1\): \(k = 2 + 1 \cdot \lambda - 3 \cdot \mu\). Einsetzen der Parameterwerte: \(k = 2 + \frac{11}{3} - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 + \frac{11}{3} - 2 = \frac{11}{3}\).

Damit der Punkt \(R\) in der Ebene \(F\) liegt, müssen die Parameter \(\lambda = \frac{11}{3}\) und \(\mu = \frac{2}{3}\) sein. Der gesuchte Wert für die Koordinate ist \(k = \frac{11}{3}\) (bzw. \(k \approx 3{,}67\)).

- Beginne damit, für beide Punktpaare eine Parameterform der Geraden aufzustellen. - Untersuche zuerst, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden in die gleiche Richtung zeigen. - Wenn die Geraden nicht parallel sind, musst du prüfen, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben. - Welche Lagebeziehung zwischen zwei Geraden verhindert, dass man eine flache Ebene durch beide legen kann?

1. Aufstellen der Geradengleichungen: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also sind die Geraden weder parallel noch identisch. 3. Prüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geraden führt zum System: I: \(1 + 2r = 2 + 2s\) II: \(2 + 2r = s\) III: \(1 + 2r = 4 + s\) Aus II folgt \(2r = s - 2\). Eingesetzt in I: \(1 + s - 2 = 2 + 2s \Rightarrow s - 1 = 2 + 2s \Rightarrow s = -3\). Daraus ergibt sich \(2r = -5 \Rightarrow r = -2{,}5\). Prüfung in III: \(1 + 2 \cdot (-2{,}5) = -4\), aber \(4 + (-3) = 1\). Da \(-4 \neq 1\), existiert kein Schnittpunkt. 4. Schlussfolgerung: Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind sie windschief. Windschiefe Geraden liegen nicht in einer gemeinsamen Ebene, weshalb auch die vier Punkte nicht in einer Ebene liegen.

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind windschief. Daher liegen die vier Punkte \(P_1, P_2, P_3\) und \(P_4\) nicht in einer gemeinsamen Ebene.

- Was muss gelten, damit \(S\) in der Ebene liegt, die durch \(P, Q\) und \(R\) definiert wird? - Welche Form der Ebenengleichung eignet sich am besten, um eine fehlende Koordinate zu berechnen? - Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Was passiert mit der Variablen \(k\), wenn sie in eine Gleichung eingesetzt wird, in der eine Koordinate (hier \(x_2\)) gar nicht vorkommt?

1. Bestimmung der Normalenform oder Koordinatenform der Ebene durch \(P\), \(Q\) und \(R\): Spannvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 8 - (-2) \\ -(-4 - (-4)) \\ 1 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Vereinfachter Normalenvektor: \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Koordinatengleichung: \(2x_1 + x_3 = d\). Einsetzen von \(P(2|1|0)\) zur Bestimmung von \(d\): \(2 \cdot 2 + 0 + 0 = 4\). Die Ebene lautet \(E: 2x_1 + x_3 = 4\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(S(k|k|2)\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot k + 2 = 4\) 3. Auflösen nach \(k\): \(2k = 2 \Rightarrow k = 1\).

Der Punkt \(S\) liegt für \(k = 1\) in der gemeinsamen Ebene mit \(P\), \(Q\) und \(R\).

- Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren denselben zweidimensionalen Unterraum aufspannen. - Stelle ein Gleichungssystem auf, um zu prüfen, wann die Richtungsvektoren der einen Ebene durch die der anderen ausgedrückt werden können. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Ebenen eventuell sogar alle Punkte gemeinsam haben. - Was muss gelten, damit eine Ebene in einer anderen enthalten ist?

1. Bedingung für Parallelität: Die Richtungsvektoren von \(F\) müssen als Linearkombination der Richtungsvektoren von \(E\) darstellbar sein. 2. Erster Richtungsvektor von \(F\): \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Komponente folgt \(k = 2\). Die dritte Komponente ergibt \(5 = 2 \cdot 2 + m \implies m = 1\). Die zweite Komponente liefert \(3 = 2a + 1 \implies a = 1\). 3. Zweiter Richtungsvektor von \(F\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} = k' \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + m' \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (unter Verwendung von \(a=1\)). Die erste Komponente ergibt \(k' = 1\). Die zweite ergibt \(0 = 1 + m' \implies m' = -1\). Die dritte ergibt \(b = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \implies b = 1\). 4. Somit sind die Ebenen für \(a = 1\) und \(b = 1\) parallel. 5. Identitätsprüfung (Punktprobe): Prüfe, ob \(P_F(2|0|3)\) in \(E\) liegt: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 6. Erste Zeile: \(1 + r = 2 \implies r = 1\). Zweite Zeile: \(1 + 1 + s = 0 \implies s = -2\). Dritte Zeile: \(1 + 2(1) + (-2) = 1\). Da \(1 \neq 3\), liegt der Punkt nicht in \(E\). 7. Ergebnis: Für \(a = 1, b = 1\) sind die Ebenen echt parallel.

Die Ebenen sind für \(a = 1\) und \(b = 1\) zueinander parallel. Für diese Werte sind sie echt parallel.

- Wann ist ein Vektor von zwei anderen Vektoren linear abhängig? - Welche Eigenschaft müssen die Richtungsvektoren einer Geraden und einer Ebene haben, damit Parallelität vorliegt? - Wie kannst du feststellen, ob ein einzelner Punkt einer Geraden auch Teil einer Ebene ist?

1. Prüfung der linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren: Der Richtungsvektor der Geraden \( \vec{v}_g = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) muss als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) darstellbar sein. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \( a \cdot 2 + b \cdot 1 = 3 \); \( a \cdot 1 + b \cdot 0 = 1 \); \( a \cdot 0 + b \cdot 1 = 1 \). 3. Lösung des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \( a = 1 \), aus der dritten \( b = 1 \). Einsetzen in die erste Gleichung: \( 2 \cdot 1 + 1(1) = 3 \). Da die Lösung \( a=1, b=1 \) alle Gleichungen erfüllt, ist \( g \) parallel zu \( E \). 4. Prüfung, ob der Stützpunkt \( P(2 | 2 | 3) \) der Geraden in der Ebene liegt: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \). 5. Daraus folgt: \( 2 = 2 + \lambda \implies \lambda = 0 \) und \( 3 = 1 + \mu \implies \mu = 2 \). Einsetzen in die erste Zeile: \( 1 + 2 \cdot 0 + 2 = 3 \). Da \( 3 \neq 2 \), liegt der Punkt nicht in der Ebene. 6. Die Gerade \( g \) ist somit echt parallel zur Ebene \( E \).

a) Der Richtungsvektor der Geraden lässt sich als Summe der beiden Spannvektoren der Ebene darstellen (\( \vec{v}_g = 1 \cdot \vec{u} + 1 \cdot \vec{v} \)), womit die Parallelität gezeigt ist. b) Die Gerade \( g \) ist echt parallel zur Ebene \( E \), da ihr Stützpunkt nicht in der Ebene liegt.

- Welche Information über die Lage der Ebene liefert der Normalenvektor in der Koordinatenform? - Wann sind zwei Vektoren parallel (kollinear)? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt einer Ebene in Parameterform auch in einer Ebene in Koordinatenform liegt? - Was unterscheidet identische Ebenen von echt parallelen Ebenen in Bezug auf ihre Gleichungen?

1. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \( E_2 \) ergibt \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \). 2. Ablesen des Normalenvektors von \( E_1 \): \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ a \end{pmatrix} \). 3. Bedingung für Parallelität: \( \vec{n}_1 \) muss ein Vielfaches von \( \vec{n}_2 \) sein. Durch Vergleich der ersten beiden Komponenten ergibt sich der Faktor \( k = 1 \). Damit muss \( a = -3 \) gelten. 4. Identitätsprüfung für \( a = -3 \): Einsetzen des Stützpunktes \( P(1|0|1) \) von \( E_2 \) in die Gleichung von \( E_1 \): \( 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \). 5. Da \( -1 \neq 8 \), liegt der Punkt nicht in \( E_1 \). 6. Ergebnis: Für \( a = -3 \) sind die Ebenen echt parallel.

Für \( a = -3 \) sind die Ebenen parallel. Da der Stützpunkt von \( E_2 \) die Gleichung von \( E_1 \) nicht erfüllt, sind sie echt parallel.

- Erinnere dich an die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere das Distributivgesetz. - Was passiert mit dem Skalarprodukt, wenn du weißt, dass zwei der beteiligten Produkte bereits null sind? - Überlege dir geometrisch, was passiert, wenn zwei Richtungsvektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen. Spannen sie dann noch eine Fläche auf?

1. Ansatz für das Skalarprodukt eines beliebigen Vektors \(\vec{x}\) der Ebene mit \(\vec{n}\): \(\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot (r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v})\). Anwendung des Distributivgesetzes für Skalarprodukte: \(\vec{n} \cdot \vec{x} = r \cdot (\vec{n} \cdot \vec{u}) + s \cdot (\vec{n} \cdot \vec{v})\). Da nach Voraussetzung \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) und \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0\) gilt, folgt \(\vec{n} \cdot \vec{x} = r \cdot 0 + s \cdot 0 = 0\). Somit steht \(\vec{n}\) senkrecht auf jedem Vektor der Ebene. 2. Wären \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) parallel, würden sie lediglich eine Gerade (eine Dimension) statt einer Ebene (zwei Dimensionen) aufspannen. Die Orthogonalität zu einer Geraden reicht nicht aus, um die Lage im dreidimensionalen Raum festzulegen; es gäbe unendlich viele Richtungen, die senkrecht auf dieser Geraden stehen, aber nicht senkrecht auf einer bestimmten Ebene liegen müssen.

1. Durch Einsetzen der Linearkombination in das Skalarprodukt ergibt sich \(\vec{n} \cdot (r\vec{u} + s\vec{v}) = r(\vec{n} \cdot \vec{u}) + s(\vec{n} \cdot \vec{v})\). Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) und \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0\), ist das Gesamtergebnis \(0\), was die Orthogonalität zu jedem \(\vec{x}\) beweist. 2. Die Nicht-Kollinearität stellt sicher, dass eine zweidimensionale Ebene aufgespannt wird. Bei Parallelität würde nur eine Gerade aufgespannt, wodurch die Senkrechte nicht eindeutig für eine ganze Ebene definiert wäre.

- Welche Bedingung muss für die Vektoren gelten, damit eine Gerade parallel zu einer Ebene ist? - Hängt die Ausrichtung der Geraden in diesem Fall vom Parameter \(a\) ab? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein ganze Gerade in einer Ebene liegt? - Wie stellst du eine Gerade auf, die durch den Koordinatenursprung geht?

1. Teilaufgabe a): Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor der Geradenschar ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 = 0\) ist für alle \(a\) gleich Null, woraus die Parallelität oder Enthaltensein folgt. 2. Teilaufgabe b): Damit \(g_a \subset E\) gilt, muss der Stützpunkt \(P(a|2|1)\) die Ebenengleichung erfüllen: \(a + 2 + 2(1) = 6 \Rightarrow a + 4 = 6 \Rightarrow a = 2\). 3. Teilaufgabe c): Die Gerade \(h\) hat die Gleichung \(\vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Einsetzen der Komponenten \(x_1=s, x_2=s, x_3=s\) in \(E\): \(s + s + 2s = 6 \Rightarrow 4s = 6 \Rightarrow s = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

a) Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\), ist jede Gerade der Schar parallel zu \(E\) oder liegt in \(E\). b) Für \(a = 2\) liegt die Gerade \(g_a\) in der Ebene \(E\). c) Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

- Wenn beide Objekte in Parameterform gegeben sind, kannst du sie gleichsetzen, um gemeinsame Punkte zu finden. - Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem bei der Untersuchung von Gerade und Ebene haben und was bedeutet das für die Lage? - Überlege, ob es einfacher ist, eine der Formen (z. B. die Ebene) zuerst in die Koordinatenform umzuwandeln.

1. Gleichsetzen der Parameterdarstellungen von Gerade und Ebene führt auf ein lineares Gleichungssystem: I: \(4 + r = 1 + 2s\) II: \(1 + 2r = -1 + s + t\) III: \(3 - r = 2 - t\) 2. Umstellen der Gleichungen: I: \(r - 2s = -3\) II: \(2r - s - t = -2\) III: \(-r + t = -1\) 3. Lösen des Systems: Aus III folgt \(t = r - 1\). Einsetzen in II ergibt \(2r - s - (r - 1) = -2 \Rightarrow r - s = -3 \Rightarrow s = r + 3\). Einsetzen in I ergibt \(r - 2(r + 3) = -3 \Rightarrow -r - 6 = -3 \Rightarrow r = -3\). 4. Bestimmung der weiteren Parameter: \(s = 0\) und \(t = -4\). 5. Da das LGS eine eindeutige Lösung besitzt, schneiden sich die Gerade und die Ebene. 6. Einsetzen von \(r = -3\) in die Geradengleichung \(h\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Die Gerade \(h\) und die Ebene \(F\) schneiden sich im Punkt \(S(1 | -5 | 6)\).

- Wie findet man einen Normalenvektor, wenn eine Ebene durch drei Punkte gegeben ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Parallelität zwischen einer Geraden und einer Ebene unter Verwendung des Normalenvektors. - Wenn du weißt, dass die Gerade parallel zur Ebene ist, was musst du dann über den Stützpunkt prüfen? - Fällt dir beim Stützpunkt der Geraden und den gegebenen Punkten der Ebene etwas auf?

1. Aufstellen der Spannvektoren der Ebene \(E\): \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{w} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -7 \end{pmatrix}\). 3. Prüfung auf Parallelität: Skalarprodukt von Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}\) berechnen: \(3 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) + 3 \cdot (-7) = 6 + 15 - 21 = 0\). Somit gilt \(g \parallel E\). 4. Prüfung auf gemeinsamen Punkt: Der Stützpunkt der Geraden ist \(P(2|4|1)\). Dies entspricht exakt dem Punkt \(B\), welcher zur Definition der Ebene genutzt wurde. Alternativ ergibt die Koordinatenform der Ebene \(2x_1 - 3x_2 - 7x_3 = -15\) bei Punktprobe mit \(P\): \(2 \cdot 2 - 3 \cdot 4 - 7 \cdot 1 = 4 - 12 - 7 = -15\). 5. Da die Parallelitätsbedingung erfüllt ist und der Stützpunkt in der Ebene liegt, liegt die gesamte Gerade in der Ebene.

Die Gerade \(g\) liegt in der Ebene \(E\). Der Nachweis der Parallelität erfolgt über das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und des Normalenvektors der Ebene (\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)). Da der Stützpunkt \(P(2|4|1)\) der Geraden identisch mit dem Ebenenpunkt \(B\) ist, liegt die Gerade in der Ebene und hat somit unendlich viele gemeinsame Punkte mit ihr.

- Welche Seitenflächen der Pyramide wird die Gerade vermutlich durchstoßen, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Erstelle für diese Seitenflächen jeweils eine Ebenengleichung. - Wie findest du den Punkt auf der Geraden, der in einer bestimmten Ebene liegt? - Wenn du die beiden Schnittpunkte hast, wie berechnest du die Entfernung zwischen ihnen?

1. Bestimmung der relevanten Seitenflächen: Da die Gerade bei \(y=4\) und \(z=2\) verläuft, schneidet sie die Seitenflächen \(ADS\) und \(BCS\). 2. Ebene durch \(A, D, S\): Mit \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}\) ergibt der Normalenvektor \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatengleichung ist \(-4x + z = -8\). 3. Schnitt der Geraden \(h\) mit \(E_{ADS}\): Einsetzen von \(x=s\) und \(z=2\) ergibt \(-4s + 2 = -8 \Rightarrow s = 2{,}5\). Der Eintrittspunkt ist \(P_1(2{,}5|4|2)\). 4. Ebene durch \(B, C, S\): Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BS} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}\) ergibt der Normalenvektor \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatengleichung ist \(4x + z = 24\). 5. Schnitt der Geraden \(h\) mit \(E_{BCS}\): Einsetzen von \(x=s\) und \(z=2\) ergibt \(4s + 2 = 24 \Rightarrow s = 5{,}5\). Der Austrittspunkt ist \(P_2(5{,}5|4|2)\). 6. Länge der Strecke: Der Abstand zwischen \(P_1\) und \(P_2\) beträgt \(d = \sqrt{(5{,}5-2{,}5)^2 + 0^2 + 0^2} = 3\).

Die Länge der Strecke innerhalb der Pyramide beträgt \(3\) Längeneinheiten.

- Überlege dir, was mit einer Gleichung passiert, wenn du sie als Linearkombination anderer Gleichungen schreibst. - Wenn ein Punkt auf der Schnittgeraden von zwei Ebenen liegt, muss er beide Gleichungen erfüllen. Was passiert, wenn du diesen Punkt in eine Kombination dieser Gleichungen einsetzt? - Was bewirkt die Änderung der Zahl auf der rechten Seite einer Ebenengleichung für die Lage der Ebene im Raum? - Wenn zwei Ebenen eine Gerade gemeinsam haben, die dritte Ebene aber parallel zu dieser Geraden verschoben ist, wie viele gemeinsame Punkte haben dann alle drei zusammen?

1. Analyse der Konstruktion: Seien \(L_1(\vec{x}) = d_1\) und \(L_2(\vec{x}) = d_2\) die Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\). Die Schnittgerade \(s\) enthält alle Punkte \(\vec{x}\), die beide Gleichungen simultan erfüllen. 2. Untersuchung der Hilfsebene: Eine Ebene \(E^*\) mit der Gleichung \(2 \cdot L_1(\vec{x}) - L_2(\vec{x}) = 2d_1 - d_2\) würde die Gerade \(s\) enthalten, da für alle Punkte auf \(s\) gilt: \(2 \cdot d_1 - d_2 = 2d_1 - d_2\). 3. Einfluss der Konstanten: Die Ebene \(E_3\) hat die Gleichung \(2 \cdot L_1(\vec{x}) - L_2(\vec{x}) = 2d_1 - d_2 + 5\). Da der Normalenvektor \(\vec{n}_3 = 2\vec{n}_1 - \vec{n}_2\) identisch mit dem von \(E^*\) ist, verläuft \(E_3\) parallel zu \(E^*\). Da die rechte Seite um \(5\) verschoben ist, liegt \(E_3\) echt parallel zu \(E^*\) und enthält somit die Gerade \(s\) nicht. 4. Schlussfolgerung für das LGS: Da kein Punkt der Geraden \(s\) (die alle gemeinsamen Punkte von \(E_1\) und \(E_2\) darstellt) in \(E_3\) liegt, gibt es keinen Punkt, der in allen drei Ebenen gleichzeitig liegt. Das lineare Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Die Ebene \(E_3\) verläuft echt parallel zur Schnittgeraden \(s\) von \(E_1\) und \(E_2\). Da somit kein Punkt gleichzeitig auf allen drei Ebenen liegen kann, besitzt das zugehörige lineare Gleichungssystem keine Lösung (Lösungsmenge \(L = \emptyset\)).

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen mit dem Richtungsvektor ihrer Schnittgeraden zusammen? - Nutze das Vektorprodukt, um einen allgemeinen Ausdruck für die Richtung der Schnittgeraden in Abhängigkeit von \( k \) zu finden. - Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Vergleiche die Komponenten der Vektoren, um eine Gleichung für \( k \) aufzustellen.

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \( \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_{F,k} = \begin{pmatrix} k \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als allgemeinen Richtungsvektor der Schnittgeraden \( \vec{v}_k = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot k - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - 2 \cdot k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ k - 2 \\ -1 - 2k \end{pmatrix} \). 3. Abgleich mit dem gegebenen Richtungsvektor \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \). Da die erste Komponente bereits übereinstimmt, muss gelten: \( k - 2 = -1 \) und \( -1 - 2k = -3 \). 4. Lösen der Gleichung \( k - 2 = -1 \) ergibt \( k = 1 \). 5. Überprüfung mit der dritten Komponente: \( -1 - 2 \cdot 1 = -3 \). Die Bedingung ist erfüllt.

Der gesuchte Wert ist \( k = 1 \).

- Wie verhalten sich die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Eine Gerade in einer Koordinatenebene (z. B. der \(xy\)-Ebene) hat immer eine Koordinate, die fest auf null gesetzt ist. - Für den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum eignet sich der Betrag des Kreuzprodukts zweier Seitenvektoren. - Denke bei der Winkelberechnung daran, dass die Vektoren beide vom selben Eckpunkt ausgehen müssen.

1. Spurpunkte durch Nullsetzen der anderen Koordinaten: \(S_x(4|0|0)\), \(S_y(0|3|0)\), \(S_z(0|0|2)\). 2. Spurgeraden liegen in den Koordinatenebenen: \(s_{xy}\) (\(z=0\)): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(s_{yz}\) (\(x=0\)): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(s_{xz}\) (\(y=0\)): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \nu \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) 3. Flächeninhalt des Dreiecks \(S_x S_y S_z\): Vektoren \(\vec{S_x S_y} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{S_x S_z} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der beiden Seitenvektoren ist \(\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}\). Fläche \(A = \frac{1}{2} \cdot \left|\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2} \sqrt{6^2 + 8^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\,\text{FE}\). 4. Winkelberechnung über das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren: Winkel \(\alpha\) bei \(S_x\): \(\cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}}{|\vec{S_x S_y}| \cdot |\vec{S_x S_z}|} = \frac{16}{5 \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{10\sqrt{5}} \Rightarrow \alpha \approx 44{,}31^\circ\). Winkel \(\beta\) bei \(S_y\): \(\vec{S_y S_x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{S_y S_z} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\cos \beta = \frac{9}{5 \cdot \sqrt{13}} \Rightarrow \beta \approx 60{,}07^\circ\). Winkel \(\gamma\) bei \(S_z\): \(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 75{,}62^\circ\).

1. \(S_x(4|0|0), S_y(0|3|0), S_z(0|0|2)\). 2. \(s_{xy}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\); \(s_{yz}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(s_{xz}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \nu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. \(A = \sqrt{61} \approx 7{,}81\,\text{FE}\). 4. \(\alpha \approx 44{,}3^\circ, \beta \approx 60{,}1^\circ, \gamma \approx 75{,}6^\circ\).

- Wann sind zwei Ebenengleichungen ein Vielfaches voneinander? Was bedeutet das für die Ebenen? - Nutze das Gauß-Verfahren oder die Determinante, um die Lösbarkeit des Systems zu prüfen. - Überlege, was mit dem System passiert, wenn zwei der drei Gleichungen im Grunde dieselbe Ebene beschreiben. - Wovon hängt der Winkel zwischen zwei Ebenen ab? Kommt der Parameter \(b\) in den Gleichungen von \(F_1\) oder \(F_2\) vor?

1. Vergleich der Normalenvektoren von \(E_b\) und \(F_1\): \(\vec{n}_b = \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{F1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Parallelität liegt vor, wenn \(\vec{n}_{F1} = 2 \cdot \vec{n}_b\), also \(2 = 2b \implies b = 1\). Da auch die rechte Seite der Gleichung \(F_1\) das Doppelte der rechten Seite von \(E_b\) ist (\(6 = 2 \cdot 3\)), sind die Ebenen für \(b=1\) identisch. 2. Untersuchung der Lösbarkeit des Systems: I: \(x_1 + b x_2 + 2x_3 = 3\) II: \(2x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 6 \iff x_1 + x_2 + 2x_3 = 3\) III: \(x_1 - x_2 + x_3 = 0\) Das System hat keine eindeutige Lösung, wenn die Normalenvektoren linear abhängig sind. Da \(F_1\) (bzw. die reduzierte Form) und \(F_2\) nicht parallel sind, ist die Determinante der Matrix aus I, II (reduziert) und III entscheidend: \(\det \begin{pmatrix} 1 & b & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1+2) - b \cdot (1-2) + 2 \cdot (-1-1) = 3 + b - 4 = b - 1\). 3. Fallunterscheidung: - Wenn \(b \neq 1\): Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. - Wenn \(b = 1\): \(E_1\) und \(F_1\) sind identisch. Die Lagebeziehung reduziert sich auf den Schnitt von zwei Ebenen (\(E_1=F_1\) und \(F_2\)), was eine Schnittgerade ergibt. 4. Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen wird ausschließlich durch das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren bestimmt. Da die Normalenvektoren von \(F_1\) und \(F_2\) konstant sind (\(\vec{n}_{F1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_{F2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)), ist ihr Winkel \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_{F1} \cdot \vec{n}_{F2}|}{|\vec{n}_{F1}| \cdot |\vec{n}_{F2}|}\) unabhängig von \(b\).

a) Für \(b = 1\) ist \(E_1\) parallel zu \(F_1\). Tatsächlich sind die Ebenen identisch (\(E_1 = F_1\)). b) Für \(b \neq 1\) schneiden sich die drei Ebenen in einem Punkt. Für \(b = 1\) sind \(E_1\) und \(F_1\) identisch und schneiden \(F_2\) in einer Geraden. c) Da die Normalenvektoren von \(F_1\) und \(F_2\) keinen Parameter \(b\) enthalten, ist ihr Skalarprodukt und damit ihr Schnittwinkel konstant.

- Wandle die Drei-Punkte-Form der Ebene zuerst in eine Koordinatengleichung um. Das erleichtert das Finden des Schnittpunkts. - Überlege dir, wie die Flugbahn als Gerade beschrieben werden kann. - Was bedeutet es für den Parameter \( t \), wenn das Insekt den Punkt \( S \) tatsächlich in Flugrichtung erreicht? - Nutze das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Flugbahn und dem Normalenvektor der Ebene für die Winkelberechnung.

1. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: Aus den Achsenabschnitten \( (6|0|0), (0|6|0), (0|0|6) \) folgt direkt \( E: x_1 + x_2 + x_3 = 6 \). Alternativ über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \( \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{P_1P_3} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \), was den Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) ergibt. 2. Aufstellen der Geradengleichung für die Flugbahn: \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) 3. Bestimmung des Schnittpunkts durch Einsetzen von \( h \) in \( E \): \( (1+t) + (1+2t) + (2+t) = 6 \Rightarrow 4t + 4 = 6 \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = 0{,}5 \) 4. Berechnung der Koordinaten von \( S \): \( \vec{OS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 2 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} \). Der Punkt \( S(1{,}5 | 2 | 2{,}5) \) liegt innerhalb des von \( P_1, P_2, P_3 \) gebildeten Dreiecks. 5. Berechnung des Winkels \( \alpha \) mit \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \): \( \sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) 6. Ergebnis: \( \alpha = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 70{,}53^\circ \)

a) \( S(1{,}5 | 2 | 2{,}5) \) b) \( \alpha \approx 70{,}53^\circ \)

- Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und der Normalenvektor einer Ebene zusammen, wenn diese parallel sind? - Nutze die Abstandsformel Punkt-Ebene für den Stützpunkt der Geraden. - Setze die allgemeine Form eines Scharpunktes in die Ebenengleichung ein, um den Geradenparameter \(\lambda\) zu finden. - Wenn du die Koordinaten von \(Q_s\) hast, versuche den Term, der \(s\) enthält, als neuen Parameter einer Geraden zu interpretieren. - Um zu zeigen, dass alle Geraden in einer Ebene liegen, finde zwei feste Richtungsvektoren, aus denen sich jeder Richtungsvektor der Schar kombinieren lässt.

1. Parallelität von \(g\): \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Skalarprodukt: \(1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Punkt \(A(0|0|3)\) eingesetzt in \(E\): \(0 - 0 + 2 \cdot 3 = 6 \neq 9\). Also \(g \parallel E\). 2. Abstand: \(d = \frac{|6 - 9|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3}{3} = 1\). 3. Schar-Zugehörigkeit: Für \(s=0\) ergibt sich der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(g = g_0\). 4. Schnittpunkte \(Q_s\): Einsetzen von \(g_s\) in \(E\): \(\lambda \cdot (2+s) - 2 \cdot \lambda \cdot (1-2s) + 2 \cdot (3+2s\lambda) = 9 \Rightarrow 2\lambda + s\lambda - 2\lambda + 4s\lambda + 6 + 4s\lambda = 9 \Rightarrow 9s\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3s}\) (Schnitt für \(s \neq 0\)). 5. Punktkoordinaten: \(Q_s = \begin{pmatrix} \frac{2+s}{3s} \\ \frac{1-2s}{3s} \\ 3 + \frac{2s}{3s} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{2}{3s} \\ -\frac{2}{3} + \frac{1}{3s} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix}\). 6. Gerade \(m\): Mit \(\mu = \frac{1}{3s}\) folgt \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 7. Ebene \(F\): Aufgespannt wird \(F\) durch \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (für \(s=0\)) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) (Koeffizienten von \(s\)). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix}\). 8. Orthogonalität: \(\vec{n}_E \cdot \vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} = 2 + 8 - 10 = 0\). Da \(m\) sowohl in \(E\) als auch in \(F\) liegt (Punkt- und Richtungsprüfung), ist \(m\) die Schnittgerade.

a) \(g \parallel E\); Abstand \(d = 1\). b) \(g = g_0\). c) Schnitt für \(s \neq 0\); \(Q_s = \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3s} \mid -\frac{2}{3} + \frac{1}{3s} \mid \frac{11}{3} \right)\). d) \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). e) \(F: 2x_1 - 4x_2 - 5x_3 = -15\); \(F \perp E\) wegen \(\vec{n}_E \cdot \vec{n}_F = 0\).

- Es ist oft einfacher, beide Ebenen in der gleichen Form (z. B. Koordinatenform) vorliegen zu haben, um die Schnittmenge zu berechnen. - Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen mit dem Winkel zusammen, den die Ebenen einschließen? - Um eine Gerade aus zwei Ebenengleichungen zu erhalten, kannst du eine Variable als Parameter (z. B. \( t \)) wählen. - Überprüfe am Ende, ob dein Richtungsvektor der Schnittgeraden senkrecht auf beiden Normalenvektoren steht.

1. Umwandlung von \( E_2 \) in Koordinatenform: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Die Gleichung lautet \( -x_1 - x_2 + x_3 = d \). Mit dem Stützpunkt \( (2 \mid 0 \mid 1) \) folgt \( -2 - 0 + 1 = -1 \), also \( E_2: -x_1 - x_2 + x_3 = -1 \). 2. Bestimmung der Schnittgeraden durch Lösen des Gleichungssystems: (I) \( 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 6 \) (II) \( -x_1 - x_2 + x_3 = -1 \) Subtraktion (I) - (II) liefert \( 3x_1 + x_3 = 7 \), also \( x_3 = 7 - 3x_1 \). 3. Einsetzen von \( x_3 \) in (II): \( -x_1 - x_2 + (7 - 3x_1) = -1 \Rightarrow -4x_1 - x_2 = -8 \Rightarrow x_2 = 8 - 4x_1 \). 4. Mit \( x_1 = t \) ergibt sich die Schnittgerade \( k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \). 5. Berechnung des Schnittwinkels \( \phi \): Mit \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) gilt \( \cos(\phi) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} \). 6. Einsetzen: \( \cos(\phi) = \frac{|-2 + 1 + 2|}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \approx 0{,}1925 \). Dies ergibt \( \phi \approx 78{,}9^\circ \).

a) Eine mögliche Gleichung der Schnittgeraden ist \( k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \) (oder äquivalent). b) Der Schnittwinkel beträgt \( \phi \approx 78{,}9^\circ \).

- Wie findest du den gemeinsamen Punkt einer Geraden und einer Ebene? - Um eine Gerade an einer Ebene zu spiegeln, kannst du den Schnittpunkt und das Spiegelbild eines weiteren Punktes der Geraden verwenden. - Erinnerst du dich an die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene? - Wende die Abstandsformel auf einen allgemeinen Punkt der Geraden an und löse die Betragsgleichung.

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebene: \(2(\lambda) - (2 + \lambda) + 2(1) = 6 \Rightarrow 2\lambda - 2 - \lambda + 2 = 6 \Rightarrow \lambda = 6\). Einsetzen von \(\lambda = 6\) in \(f\) ergibt den Durchstoßpunkt \(D(6|8|1)\). 2. Spiegelung eines weiteren Punktes von \(f\), z. B. des Stützpunktes \(A(0|2|1)\). Lotgerade durch \(A\) mit Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) von \(H\): \(L: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Schnitt von \(L\) mit \(H\): \(2(2t) - (2 - t) + 2(1 + 2t) = 6 \Rightarrow 9t = 6 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\). Der Spiegelpunkt \(A'\) ergibt sich bei \(t = \frac{4}{3}\) zu \(\vec{a}' = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{4}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix}\). Die Bildgerade \(f'\) verläuft durch \(D\) und \(A'\). Richtungsvektor \(\vec{v}' = \vec{d} - \vec{a}' = \begin{pmatrix} 6 - \frac{8}{3} \\ 8 - \frac{2}{3} \\ 1 - \frac{11}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{22}{3} \\ -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\). Gleichung \(f': \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Abstandsformel (Hesse-Normalform) für einen allgemeinen Geradenpunkt \(P_\lambda(\lambda | 2+\lambda | 1)\): \(d = \frac{|2\lambda - (2+\lambda) + 2 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|\lambda - 6|}{3}\). Setze \(d = 3\): \(|\lambda - 6| = 9\). Fall 1: \(\lambda - 6 = 9 \Rightarrow \lambda = 15 \Rightarrow P_1(15|17|1)\). Fall 2: \(\lambda - 6 = -9 \Rightarrow \lambda = -3 \Rightarrow P_2(-3|-1|1)\).

a) \(D(6|8|1)\) b) \(f': \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors) c) \(P_1(15|17|1)\) und \(P_2(-3|-1|1)\)

- Für den Nachweis eines Quadrats musst du Seitenlängen und Winkel (Skalarprodukt) prüfen. - Das Volumen einer Pyramide berechnet sich aus Grundfläche und Höhe. - Punkte auf halber Höhe erhältst du durch zentrische Streckung von der Spitze aus oder als Mittelpunkte der Kanten. - Ein Punkt liegt im Inneren, wenn er bei seiner spezifischen Höhe innerhalb der durch die Mantelflächen begrenzten Fläche liegt. - Überlege dir, wie sich die Ausdehnung des Quadrats mit zunehmender Höhe verringert.

1. Nachweis Quadrat: Die Vektoren \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \) haben beide die Länge \( \sqrt{32} \). Ihr Skalarprodukt ist \( 4 \cdot (-4) + 4 \cdot 4 = 0 \), was Orthogonalität zeigt. Da alle Seitenvektoren (\( \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}, \vec{DA} \)) die Länge \( \sqrt{32} \) haben und die Winkel \( 90^\circ \) betragen, ist \( ABCD \) ein Quadrat. 2. Volumen: Die Grundfläche ist \( G = (\sqrt{32})^2 = 32 \). Der Mittelpunkt der Grundfläche ist \( M(0|4|0) \). Die Höhe ist die Differenz der \( x_3 \)-Koordinaten von \( S \) und \( M \), also \( h = 12 \). Das Volumen beträgt \( V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 12 = 128 \). 3. Schnittfläche bei \( x_3 = 6 \): Da dies die halbe Höhe ist, werden alle Vektoren von der Spitze zu den Grundpunkten mit dem Faktor \( 0{,}5 \) gestreckt. Die neuen Punkte liegen in der Mitte zwischen \( S \) und den Basispunkten: \( A'(0|2|6), B'(2|4|6), C'(0|6|6), D'(-2|4|6) \). 4. Punktprüfung: Ein Punkt liegt innerhalb der Pyramide, wenn seine \( x_3 \)-Koordinate zwischen 0 und 12 liegt und er innerhalb des Begrenzungsquadrats der jeweiligen Höhe \( x_3 \) liegt. Das Quadrat in Höhe \( x_3 \) wird durch die Bedingung \( |x_1| + |x_2 - 4| \le 4 \cdot \frac{12 - x_3}{12} \) beschrieben. Für \( P(1|4|3) \): \( |1| + |4 - 4| = 1 \). Die rechte Seite ist \( 4 \cdot \frac{9}{12} = 3 \). Da \( 1 < 3 \), liegt \( P \) im Inneren. Für \( Q(2|6|6) \): \( |2| + |6 - 4| = 4 \). Die rechte Seite ist \( 4 \cdot \frac{6}{12} = 2 \). Da \( 4 > 2 \), liegt \( Q \) außerhalb.

a) Nachweis über \( |\vec{AB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{32} \) und \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \); \( V = 128 \) b) \( A'(0|2|6), B'(2|4|6), C'(0|6|6), D'(-2|4|6) \) c) \( P \) liegt im Inneren; \( Q \) liegt außerhalb.

- Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer darauf senkrecht stehenden Geraden zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Spiegelpunktes: Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene ist genau die Mitte zwischen dem ursprünglichen Punkt und seinem Spiegelbild. - Welche Eigenschaften haben die Diagonalen in einem Quadrat bezüglich ihrer Länge, ihres Schnittpunkts und ihres Winkels zueinander? - Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide, wenn die Grundfläche ein Quadrat ist? Welche Größen benötigst du dafür?

1. Ebene \(\mathbb{E}\): Parameterform \(\vec{x} = \vec{OA_2} + r \cdot \vec{A_2A_1} + s \cdot \vec{A_2A_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatenform lautet \(2x_1 + 2x_2 + x_3 = 0\). 2. Gerade \(g\): Richtungsvektor \(\vec{B_1B_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da dieser kollinear zum Normalenvektor von \(\mathbb{E}\) ist, gilt \(g \perp \mathbb{E}\). Einsetzen von \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) in \(\mathbb{E}\) liefert \(2 \cdot (6+2t) + 2 \cdot (6+2t) + (3+t) = 0 \Rightarrow 9t = -27 \Rightarrow t = -3\). Damit ist \(M(0|0|0)\). Spiegelpunkt \(D_1 = \vec{OM} + (\vec{OM} - \vec{OB_1}) = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix}\). 3. Orthogonalität: \(\vec{A_1B_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{A_1D_1} = \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ -9 \end{pmatrix}\). Skalarprodukt: \(3 \cdot (-9) + 12 \cdot 0 + (-3) \cdot (-9) = -27 + 27 = 0\). Da \(M\) der Mittelpunkt beider Diagonalen eines Quadrats sein muss, gilt \(\vec{OC_1} = \vec{OM} - \vec{MA_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}\). 4. Lotfußpunkt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{MA_1}\) und \(\vec{MB_1}\) ergibt für die Quadratebene \(\mathbb{F}\) den Normalenvektor \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} -54 \\ 27 \\ 54 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Vektor \(\vec{MS} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist parallel zu \(\vec{n}_F\), also ist \(M\) der Lotfußpunkt. 5. Volumen: Diagonale \(d = |\vec{A_1C_1}| = \sqrt{(-6)^2 + 12^2 + (-12)^2} = 18\). Grundfläche \(G = \frac{1}{2}d^2 = 162\). Höhe \(h = |\vec{MS}| = 6\). Volumen \(V = \frac{1}{3} \cdot 162 \cdot 6 = 324\).

a) \(\mathbb{E}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\); Koordinatenform: \(2x_1 + 2x_2 + x_3 = 0\) b) \(M(0|0|0)\); \(D_1(-6|-6|-3)\) c) \(C_1(-3|6|-6)\) d) \(V = 324\)

- Der Richtungsvektor einer Schnittgeraden steht senkrecht auf den Normalenvektoren beider Ebenen. - Welchen Punkt haben alle Ebenen der Schar gemeinsam? - Verwende die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Normalenvektoren. - Lies den Normalenvektor der Ebene \(H\) direkt aus der Koordinatengleichung ab. - Zwei Ebenen sind identisch, wenn sie dieselbe Punktmenge beschreiben. Prüfe zuerst, ob der Stützpunkt der einen Ebene in der anderen liegt.

1. Schnittgerade: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_0\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_1\) ergibt \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als Richtungsvektor der Schnittgeraden \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da beide Ebenen den Stützpunkt \((2|0|4)\) enthalten, lautet die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Schnittwinkel: \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_0 \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}_0| \cdot |\vec{n}_1|} = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}\). Daraus folgt \(\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right) \approx 35{,}26^\circ\). 3. Orthogonalität zu \(H\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_a\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_a = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}\). Normalenvektor von \(H\) ist \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Bedingung \(\vec{n}_a \cdot \vec{n}_H = 1 + 1 + 2a = 2 + 2a = 0 \Rightarrow a = -1\). 4. Prüfung von \(E^*\): Der Stützpunkt von \(E^*\) ist \(P(2|2|4)\). Prüfung, ob \(P\) in einer Ebene \(F_a\) liegt: \(2 = 2 + r \Rightarrow r = 0\); \(4 = 4 + s \Rightarrow s = 0\); mittlere Koordinate \(2 = 0 + 0 \cdot a = 0\), was ein Widerspruch ist. Da der Stützpunkt von \(E^*\) in keiner Ebene der Schar liegt, gehört \(E^*\) nicht zur Schar.

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(\alpha \approx 35{,}26^\circ\) c) \(a = -1\) d) Nein, die Ebene \(E^*\) gehört nicht zur Schar \(F_a\).

- Wie hängen die Richtungsvektoren zweier Geraden mit dem Normalenvektor der aufgespannten Ebene zusammen? - Was muss für die Normalenvektoren gelten, wenn zwei Ebenen senkrecht zueinander stehen? - Um eine gemeinsame Gerade einer Ebenenschar zu finden, kannst du die Gleichung nach dem Parameter sortieren und die Terme einzeln null setzen. - Überlege dir geometrisch: Wenn alle Ebenen eine Gerade enthalten, welche dieser Ebenen ist dann am weitesten von einem Punkt entfernt? - Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene ist maximal, wenn der Normalenvektor der Ebene in Richtung des kürzesten Abstandsvektors vom Punkt zur gemeinsamen Geraden zeigt.

1. Der Schnittpunkt beider Geraden ist der gemeinsame Stützpunkt \(S(1|1|2)\). 2. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E\): \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Mit \(S\) folgt \(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 1\), also \(E: x_1 - 2x_2 + x_3 = 1\). 3. Orthogonalität: \(\vec{n}_k \cdot \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ 1+k \\ 2k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 - 2 \cdot (1+k) + 2k = 2 - 2 - 2k + 2k = 0\). Da das Skalarprodukt der Normalenvektoren null ist, stehen die Ebenen senkrecht aufeinander. 4. Gemeinsame Gerade: Umformen der Ebenengleichung nach \(k\): \(2x_1 + x_2 - 3 + k(x_2 + 2x_3 - 3) = 0\). Die Schnittgerade ergibt sich aus dem System \(2x_1 + x_2 = 3\) und \(x_2 + 2x_3 = 3\). Mit \(x_3 = \lambda\) folgt \(x_2 = 3 - 2\lambda\) und \(x_1 = \lambda\). Somit \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Maximaler Abstand: Der maximale Abstand einer Ebene der Schar zum Ursprung entspricht dem Abstand des Ursprungs zur Geraden \(l\). Der Lotfußpunkt \(Q\) auf \(l\) wird durch \(\vec{q} \cdot \vec{v}_l = 0\) bestimmt: \(\begin{pmatrix} \lambda \\ 3-2\lambda \\ \lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda - 6 + 4\lambda + \lambda = 6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1\). Der Punkt ist \(Q(1|1|1)\). Die Ebene mit maximalem Abstand muss \(\vec{OQ}\) als Normalenvektor haben. \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} 2 \\ 1+k \\ 2k \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) liefert \(c=2\) und \(1+k=2 \Rightarrow k_0 = 1\). Der Abstand ist \(|\vec{OQ}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

a) \(S(1|1|2)\), \(E: x_1 - 2x_2 + x_3 = 1\) b) \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(k_0 = 1\); maximaler Abstand \(d = \sqrt{3}\)

- Wann besitzt ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung? Denke an die Determinante oder das Gauß-Verfahren. - Was bedeutet eine Zeile der Form „0 = Zahl“ im Gauß-Verfahren für die Lösbarkeit? - Wie lässt sich die Lösung eines \(3 \times 3\)-Systems als Schnittgebilde von Ebenen im Raum vorstellen? - Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es für drei Ebenen, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert?

1. Determinante oder Gauß-Verfahren: Das System hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. \(\det(A) = 1(8 - k^2) - 1(4 - k) + 1(k - 2) = 8 - k^2 - 4 + k + k - 2 = -k^2 + 2k + 2\). Nullstellen von \(-k^2 + 2k + 2 = 0\): \(k_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)(2)}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} = 1 \mp \sqrt{3}\). Genau eine Lösung für \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). 2. Fall \(k = 2\): Einsetzen in das System: (I) \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) (II) \(x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3\) (III) \(x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2\) Subtraktion (II)-(I) ergibt \(x_2 + x_3 = 1\). Subtraktion (III)-(II) ergibt \(2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -0{,}5\). Daraus folgt \(x_2 = 1{,}5\) und \(x_1 = 2 - 1{,}5 - (-0{,}5) = 1\). Lösung: \((1|1{,}5|-0{,}5)\). Geometrisch: Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. 3. Unlösbarkeit: Prüfung der kritischen Werte \(k = 1 \pm \sqrt{3}\). Für \(k = 1+\sqrt{3} \approx 2{,}732\): Gauß-Elimination führt in der letzten Zeile zu einem Widerspruch der Form \(0 = c\) mit \(c \neq 0\). Konkret: \(k^2 - 2k - 2 = 0\) ist die Bedingung für eine Nullzeile links. Die rechte Seite nach Elimination ist \(k - 1 - (k-2) - (k-1)(3-2) = ...\) (vereinfacht). Alternativ über das Gauß-Tableau: 1 1 1 | 2 0 1 k-1 | 1 0 k-1 3 | k-2 Dritte Zeile minus \((k-1)\) mal zweite Zeile: \(0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + (3 - (k-1)^2)x_3 = (k-2) - (k-1)\). Links: \(3 - (k^2 - 2k + 1) = -k^2 + 2k + 2\). Rechts: \(k - 2 - k + 1 = -1\). Für \(k = 1 \pm \sqrt{3}\) wird die linke Seite \(0\), während die rechte Seite \(-1\) bleibt. In beiden Fällen ist das System unlösbar.

a) \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). b) Für \(k=2\) gibt es die eindeutige Lösung \((1|1{,}5|-0{,}5)\); die drei Ebenen schneiden sich in diesem Punkt. c) Für \(k = 1-\sqrt{3}\) und \(k = 1+\sqrt{3}\).

- Nutze das Gauß-Verfahren, um das System in Stufenform zu bringen. - Achte besonders auf den Koeffizienten vor der letzten Variable in der letzten Zeile. - Wann hat ein Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? - Was bedeutet eine eindeutige Lösung für die Lage von drei Ebenen im Raum? - Wenn ein System unendlich viele Lösungen in Form einer Geradengleichung hat, wie liegen die Ebenen dann zueinander?

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & -1 & 2 & | & 1 \\ 3 & -1 & k & | & 4 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung des Gauß-Verfahrens: \(II - I \Rightarrow 0x_1 - 2x_2 + x_3 = -1\) \(III - 3 \cdot I \Rightarrow 0x_1 - 4x_2 + (k-3)x_3 = -2\) \(III' - 2 \cdot II' \Rightarrow 0x_1 + 0x_2 + (k-5)x_3 = 0\). 3. Fallunterscheidung: Fall 1: \(k \neq 5\). Die letzte Gleichung ergibt \((k-5)x_3 = 0\), woraus \(x_3 = 0\) folgt. Rückwärtseinsetzen liefert \(-2x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5\) und \(x_1 + 0{,}5 + 0 = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5\). Es gibt genau eine Lösung: \(L = \{(1{,}5; 0{,}5; 0)\}\). Geometrisch bedeutet dies, dass sich die drei Ebenen in genau einem Punkt schneiden. Fall 2: \(k = 5\). Die letzte Zeile wird zu \(0 = 0\). Es gibt unendlich viele Lösungen. Mit \(x_3 = \lambda\) folgt aus \(II'\): \(-2x_2 + \lambda = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5 + 0{,}5\lambda\). Einsetzen in \(I\): \(x_1 + (0{,}5 + 0{,}5\lambda) + \lambda = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5 - 1{,}5\lambda\). Lösungsmenge \(L = \{ (1{,}5 - 1{,}5\lambda; 0{,}5 + 0{,}5\lambda; \lambda) \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). Geometrisch schneiden sich die drei Ebenen in einer gemeinsamen Geraden.

a) Für \(k \neq 5\) ist das System eindeutig lösbar. Für \(k = 5\) besitzt es unendlich viele Lösungen. b) Für \(k \neq 5\): \(L = \{(1{,}5; 0{,}5; 0)\}\). Für \(k = 5\): \(L = \{ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). c) Für \(k \neq 5\) schneiden sich die drei Ebenen in einem gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt). Für \(k = 5\) schneiden sie sich in einer gemeinsamen Geraden (Schnittgerade).

- Woran erkennst du am Normalenvektor, dass eine Ebene orthogonal zu einer anderen ist? - Welche Koordinaten müssen im Normalenvektor Null sein, damit eine Ebene parallel zu einer Koordinatenebene ist? - Nutze das Einsetzungs- oder Additionsverfahren, um das Gleichungssystem schrittweise zu lösen. - Achte beim Lösen des Gleichungssystems auf Divisionen durch Ausdrücke, die Null werden könnten. Das führt oft zu einer Fallunterscheidung.

1. Orthogonalität: Die Normalenvektoren \(\vec{n}_a = \begin{pmatrix} a+1 \\ 1-a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) müssen orthogonal sein. Skalarprodukt: \(2 \cdot (a+1) - 2 \cdot (1-a) + 1 \cdot a = 2a + 2 - 2 + 2a + a = 5a = 0\). Daraus folgt \(a = 0\). Es gibt also genau eine solche Ebene \(E_0: x_1 + x_2 = 2\). 2. Parallelität zur \(x_1x_2\)-Ebene: Der Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene ist \(\vec{n}_{12} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Damit \(E_a\) parallel dazu ist, muss \(\vec{n}_a\) ein Vielfaches von \(\vec{n}_{12}\) sein. Das bedeutet \(a+1 = 0\) und \(1-a = 0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(a = -1\), aus der zweiten \(a = 1\). Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, gibt es kein solches \(a\). 3. LGS lösen: Aus \(I\) folgt \(x_2 = 2 - x_1\). Einsetzen in \(II\): \(x_1 - (2 - x_1) + x_3 = 0 \Rightarrow 2x_1 + x_3 = 2 \Rightarrow x_3 = 2 - 2x_1\). Einsetzen in \(III\): \(2x_1 + t \cdot (2 - 2x_1) = 4 \Rightarrow 2x_1 + 2t - 2tx_1 = 4 \Rightarrow x_1(2 - 2t) = 4 - 2t\). Fall 1: \(2 - 2t \neq 0 \Rightarrow t \neq 1\). Eindeutige Lösung: \(x_1 = \frac{4-2t}{2-2t} = \frac{2-t}{1-t}\). Dann \(x_3 = 2 - 2\frac{2-t}{1-t} = \frac{2-2t-4+2t}{1-t} = \frac{-2}{1-t} = \frac{2}{t-1}\) und \(x_2 = 2 - \frac{2-t}{1-t} = \frac{2-2t-2+t}{1-t} = \frac{-t}{1-t} = \frac{t}{t-1}\). Geometrisch: Die drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt. Fall 2: \(t = 1\). Die Gleichung \(x_1(0) = 4 - 2 = 2\) ist ein Widerspruch. Keine Lösung. Geometrisch: Die Schnittgeraden der Ebenenpaare sind parallel (Prismenfall).

a) \(a = 0\). b) Nein, da die Bedingungen \(a = -1\) und \(a = 1\) nicht gleichzeitig erfüllt werden können. c) Für \(t \neq 1\): Genau ein Schnittpunkt \(S\left(\frac{2-t}{1-t} | \frac{t}{t-1} | \frac{2}{t-1}\right)\). Für \(t = 1\): Keine Lösung, die Ebenen befinden sich im Prismenfall (kein gemeinsamer Punkt).

- Was bedeutet es für das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor, wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene verläuft? - Wenn zwei Ebenen orthogonal sind, wie stehen dann ihre Normalenvektoren zueinander? - Wie findet man einen Vektor, der zu zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht ist? - Ein Schnittpunkt von drei Ebenen lässt sich durch ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten finden.

1. Lage von \(g\) und \(E\): Skalarprodukt des Richtungsvektors \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und des Normalenvektors \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) berechnen: \(1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 0\). Punktprobe mit \(P_g(2|2|2)\): \(3 \cdot 2 - 2 + 2 \cdot 2 = 8 \neq 10\). Also ist \(g\) echt parallel zu \(E\). 2. Ebene \(F\): Da \(g \subset F\) und \(F \perp E\), muss der Normalenvektor \(\vec{n}_F\) senkrecht auf \(\vec{u}_g\) und \(\vec{n}_E\) stehen. Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}_g\) und \(\vec{n}_E\) ergibt \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Mit \(P_g(2|2|2)\) folgt \(1 \cdot 2 - 5 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = -16\). Gleichung \(F: x_1 - 5x_2 - 4x_3 = -16\). 3. Ebene \(H\): Da \(H \perp E\) und \(H \perp F\), ergibt das Kreuzprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \\ -14 \end{pmatrix}\). Gekürzt \(\vec{n}_H^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Mit \(A(1|1|1)\) ergibt sich \(1 + 1 - 1 = 1\). Gleichung \(H: x_1 + x_2 - x_3 = 1\). 4. Schnittpunkt berechnen: Lösen des Systems aus \(E, F, H\). (1) \(3x_1 - x_2 + 2x_3 = 10\) (2) \(x_1 - 5x_2 - 4x_3 = -16\) (3) \(x_1 + x_2 - x_3 = 1\) Die Lösung ergibt \(x_1 = \frac{44}{21}\), \(x_2 = \frac{32}{21}\), \(x_3 = \frac{55}{21}\).

a) \(g\) ist echt parallel zu \(E\). b) \(F: x_1 - 5x_2 - 4x_3 = -16\) c) \(H: x_1 + x_2 - x_3 = 1\) d) \(S\left(\frac{44}{21} \middle| \frac{32}{21} \middle| \frac{55}{21}\right) \approx S(2{,}10 | 1{,}52 | 2{,}62)\)

- Setze für \(a\) den Wert 0 ein, um die spezielle Ebene der Schar zu erhalten. - Um zu prüfen, ob eine Gerade in einer Ebene liegt, kannst du die allgemeine Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen. - Sortiere die Schargleichung so, dass alle Terme mit \(a\) in einer Klammer stehen und alle Terme ohne \(a\) außerhalb. - Die Punkte, die unabhängig von \(a\) in der Ebene liegen, müssen beide Teile der sortierten Gleichung gleichzeitig erfüllen (Schnittgerade). - Erinnere dich an die Struktur einer Ebenenbüschel-Gleichung: Eine Ebene wird durch die Gleichung des „Teils mit dem Parameter“ repräsentiert, kann aber selbst nicht durch Einsetzen eines reellen Wertes für den Parameter erreicht werden.

1. Ebene \(E_0\): Einsetzen von \(a=0\) in die Schargleichung liefert \(1x_1 - 1x_2 + 1x_3 = 1\), also \(E_0: x_1 - x_2 + x_3 = 1\). 2. Lage von \(g\): Einsetzen von \(g\) in \(E_0\): \((1+\lambda) - (0+\lambda) + 0 = 1 \Rightarrow 1 = 1\). Da die Gleichung für alle \(\lambda\) erfüllt ist, liegt \(g\) in \(E_0\). 3. Gemeinsame Gerade \(l\): Umformen der Schargleichung nach \(a\): \(x_1 - x_2 + x_3 - 1 + a(x_1 + 2x_2 - x_3 - 3) = 0\). Die Gerade \(l\) ergibt sich aus dem Schnitt der Ebenen \(x_1 - x_2 + x_3 = 1\) und \(x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\). Addition der Gleichungen eliminiert \(x_3\): \(2x_1 + x_2 = 4 \Rightarrow x_2 = 4 - 2x_1\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_1 - (4-2x_1) + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 5 - 3x_1\). Mit \(x_1 = t\) folgt \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Ebene \(\tilde{E}\): Die Schar hat die Form \(P_1 + a \cdot P_2 = 0\). Alle Ebenen der Schar entstehen durch Kombination dieser zwei Grundebenen, außer der Ebene \(P_2 = 0\), die formal dem Fall \(a \to \infty\) entspricht. Somit ist \(\tilde{E}: x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\).

a) \(E_0: x_1 - x_2 + x_3 = 1\). Die Prüfung durch Einsetzen bestätigt \(1=1\). b) \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent). c) \(\tilde{E}: x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\).

- Wie berechnet man die Projektion eines Punktes auf eine Ursprungsgerade? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Punkt, Lotfußpunkt und Bildpunkt bei einer Spiegelung. - Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt. - Bei einer Drehung um 90° bleibt der Abstand zum Lotfußpunkt gleich, und der neue Richtungsvektor steht senkrecht auf dem alten und der Drehachse.

1. Lotfußpunkt \(S\): Projektion von \(\vec{p}\) auf den Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\lambda_S = \frac{\vec{p} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} = \frac{9 \cdot 1 + 0 + 0}{1^2+2^2+2^2} = \frac{9}{9} = 1\). Damit ist \(S(1|2|2)\). 2. Spiegelpunkt \(P'\): Es gilt \(\vec{p'} = 2 \cdot \vec{s} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Somit \(P'(-7|4|4)\). 3. Matrix \(M\): Die Bilder der Einheitsvektoren unter der Spiegelung \(f(\vec{x}) = 2 \cdot \frac{\vec{x} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \cdot \vec{v} - \vec{x}\) bilden die Spalten der Matrix. \(f(\vec{e}_1) = 2 \cdot \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\) \(f(\vec{e}_2) = 2 \cdot \frac{2}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ -\frac{1}{9} \\ \frac{8}{9} \end{pmatrix}\) \(f(\vec{e}_3) = 2 \cdot \frac{2}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ \frac{8}{9} \\ -\frac{1}{9} \end{pmatrix}\) Daraus folgt \(M = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4 \\ 4 & -1 & 8 \\ 4 & 8 & -1 \end{pmatrix}\). 4. Drehung \(P''\): Der Vektor \(\vec{SP} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) steht senkrecht auf \(g\). Ein dazu orthogonaler Vektor gleicher Länge in der Drehebene wird durch das Kreuzprodukt mit dem Einheitsrichtungsvektor \(\vec{u} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) erzeugt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{SP}\) ergibt \(\vec{w} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 18 \\ -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(\vec{p''} = \vec{s} \pm \vec{w}\). Mit dem positiven Vorzeichen ergibt sich \(P''(1|8|-4)\).

a) \(S(1|2|2)\) b) \(P'(-7|4|4)\) c) \(M = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4 \\ 4 & -1 & 8 \\ 4 & 8 & -1 \end{pmatrix}\) d) \(P''(1|8|-4)\) oder \(P''(1|-4|8)\)