Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Bestandteile einer Geradengleichung beschreiben ihre Richtung? - Würde eine Parallelverschiebung einer Geraden ihren Winkel zur anderen Geraden ändern? - Welche Vektoren bleiben bei einer solchen Verschiebung unverändert?

1. Der Winkel zweier Geraden wird durch ihre Richtungen bestimmt. 2. Daher verwendet man \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) von \(g\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) von \(h\). 3. Die Stützvektoren legen nur fest, wo die Geraden im Raum liegen. Sie verändern ihre Richtungen und damit den Winkel nicht.

Verwendet werden die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). Die Stützvektoren bestimmen die Lage, nicht die Geradenrichtungen.

- Welcher Vektortyp ist in einer Koordinatenform einer Ebene unmittelbar erkennbar? - Welche Vektoren stehen jeweils senkrecht auf den beiden Ebenen? - Würde eine parallele Verschiebung einer Ebene ihren Winkel zur anderen Ebene ändern?

1. Der Winkel zweier Ebenen wird durch die Richtungen ihrer Normalenvektoren bestimmt. 2. Aus den Koordinatenformen liest man \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) ab. 3. Punkte der Ebenen legen deren Lage im Raum fest, ändern aber die Richtungen der Ebenen und damit ihren Schnittwinkel nicht.

Verwendet werden die Normalenvektoren \(\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Ebenenpunkte bestimmen die Lage, nicht den Winkel der Ebenenrichtungen.

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Ebene und ihrer Normalen? - Welche beiden Teilwinkel ergänzen sich im dargestellten senkrechten Schnitt zu einem rechten Winkel? - Gesucht ist der Winkel zur Ebene, nicht der Winkel zur Normalen.

1. Im senkrechten Schnitt bilden die Ebene \(E\) und ihre Normale \(n\) einen rechten Winkel. 2. Der eingezeichnete Winkel \(\beta\) zwischen \(g\) und \(n\) beträgt \(35^\circ\). 3. Der Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen \(g\) und \(E\) ist der Ergänzungswinkel dazu: \(\alpha=90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

\(\alpha=55^\circ\)

- Welche Vektoren kannst du direkt aus den beiden Koordinatenformen ablesen? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Ebenenschnittwinkel und dem kleineren Winkel der Normalenvektoren? - Welche Formel kennst du für den Winkel zwischen zwei Vektoren?

1. Aus den Koordinatenformen liest man die Normalenvektoren \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) ab. 2. Es gilt \(|\vec{n}_1|=|\vec{n}_2|=\sqrt{2}\) und \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=1\). 3. Der Schnittwinkel der Ebenen ist der kleinere Winkel ihrer Normalenvektoren. Daher gilt \(\cos(\phi)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{1}{2}\). 4. Somit ist \(\phi=60^\circ\).

\(\phi=60^\circ\)

- Welche Vektoren bestimmen die Richtungen der beiden Geraden? - Welche Beziehung verknüpft das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren mit ihrem eingeschlossenen Winkel? - Warum wird bei Geraden für den Schnittwinkel der Betrag des Skalarprodukts verwendet? - Prüfe am Ende, ob dein Winkel im Bereich von \(0^\circ\) bis \(90^\circ\) liegt.

1. Die Richtungsvektoren sind \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\4\\7\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-4+8+14=18\), \(|\vec{u}|=3\) und \(|\vec{v}|=9\). 3. Für den Schnittwinkel gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\). 4. Damit ist \(\alpha=\arccos\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}19^\circ\).

\(\alpha\approx48{,}19^\circ\)

- Welche Vektoren benötigst du, um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Sinus des Schnittwinkels und dem Kosinus des Winkels zwischen Richtungs- und Normalenvektor. - Achte darauf, dass das Ergebnis des Skalarprodukts in der Formel im Betrag steht.

1. Identifikation des Richtungsvektors \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) der Geraden und des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) der Ebene. 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = 6 - 8 + 0 = -2\). 3. Berechnung der Beträge der Vektoren: \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\) und \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Anwendung der Formel für den Schnittwinkel \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\): \(\sin(\alpha) = \frac{|-2|}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15}\). 5. Berechnung des Winkels: \(\alpha = \arcsin\left(\frac{2}{15}\right) \approx 7{,}66^\circ\).

Der Schnittwinkel beträgt etwa \(7{,}66^\circ\).

- Welche Vektoren geben bei Ebenen in Koordinatenform unmittelbar ihre Orientierung an? - Wie erhältst du aus zwei Normalenvektoren den kleineren Winkel zwischen den Ebenen? - Achte darauf, für den Schnittwinkel den Betrag des Skalarprodukts zu verwenden.

1. Normalenvektoren der Ebenen sind \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=-4\) sowie \(|\vec{n}_1|=|\vec{n}_2|=3\). 3. Für den kleineren Winkel zwischen den Ebenen gilt daher \(\cos(\phi)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{4}{9}\). 4. Somit ist \(\phi=\arccos\left(\frac{4}{9}\right)\approx63{,}6^\circ\).

\(\phi=\arccos\left(\frac{4}{9}\right)\approx63{,}6^\circ\)

- Welcher Vektor der Ebene wird in Ravis Skalarprodukt tatsächlich mit dem Richtungsvektor der Geraden verglichen? - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen dem Winkel zur Ebenennormalen und dem Winkel zur Ebene? - Welche beiden Winkel ergänzen sich hier zu \(90^\circ\)?

1. Ein Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\), der Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\). 2. Mit \(\frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}=\frac{2}{\sqrt{5}}\) bestimmt der Arkuskosinus den Winkel \(\beta\) zwischen der Geradenrichtung und dem Normalenvektor. Daher ist \(\beta\approx26{,}57^\circ\). 3. Der Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen Gerade und Ebene ergänzt \(\beta\) zu \(90^\circ\). Somit ist \(\alpha=90^\circ-\beta\approx63{,}43^\circ\). 4. Gleichwertig gilt direkt \(\sin(\alpha)=\frac{2}{\sqrt{5}}\).

Ravi hat den Winkel zwischen Geradenrichtung und Normalenvektor berechnet. Der Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene beträgt \(\alpha=\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\approx63{,}43^\circ\).

- Welche beiden Vektoren beschreiben die Richtung der Geraden und die Orientierung der Ebene? - Welcher Winkel entsteht zunächst zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor? - Welche trigonometrische Beziehung liefert daraus direkt den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene?

1. Ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{v}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\). 2. Aus der Koordinatenform der Ebene liest man \(\vec{n}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\) als Normalenvektor ab. 3. Es gilt \(|\vec{v}|=5\), \(|\vec{n}|=5\) und \(\vec{v}\cdot\vec{n}=9\). 4. Für den Schnittwinkel von Gerade und Ebene gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}=\frac{9}{25}=0{,}36\). 5. Damit ist \(\alpha=\arcsin(0{,}36)\approx21{,}1^\circ\).

\(\alpha\approx21{,}1^\circ\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene? - Um den Schnittpunkt zu finden, kannst du die allgemeine Form eines Geradenpunktes in die Koordinatenform der Ebene einsetzen. - Beim Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene wird mit dem Normalenvektor der ergänzende Winkel berücksichtigt.

1. Prüfung auf Parallelität: Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) berechnen: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = -2\). Da \(\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0\), schneiden sich Gerade und Ebene. 2. Berechnung des Schnittparameters \(t\): Einsetzen der Geradengleichung in die Ebene: \(2 \cdot 2 - (5 + t) + (3 - t) = 6 \Rightarrow 4 - 5 - t + 3 - t = 6 \Rightarrow 2 - 2t = 6\). Lösung: \(-2t = 4 \Rightarrow t = -2\). 3. Koordinaten des Schnittpunkts \(S\): Einsetzen von \(t = -2\) in \(g\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(2|3|5)\). 4. Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\): \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|-2|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 5. Ergebnis für \(\alpha\): \(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 35{,}3^\circ\).

Die Gerade und die Ebene schneiden sich im Punkt \(S(2|3|5)\) unter einem Winkel von \(\alpha \approx 35{,}3^\circ\).

- Welche Vektoren in jeder Seitenfläche liefern dir Richtungsinformationen für einen Normalenvektor? - Wodurch lässt sich der Winkel zweier Ebenen auf einen Winkel zwischen geeigneten Vektoren zurückführen? - Welche Symmetrie der quadratischen Grundfläche kannst du zur Kontrolle deiner beiden Normalenvektoren nutzen?

1. Ein Normalenvektor der Grundfläche ist \(\vec{n}_G=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Für die Seitenfläche \(BCS\) können \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-24\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{BS}=\begin{pmatrix}-12\\-12\\16\end{pmatrix}\) verwendet werden. Ein dazu senkrechter Normalenvektor ist \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\). 2. Für den Winkel \(\alpha\) zwischen \(BCS\) und der Grundfläche gilt \(\cos\alpha=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_G|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_G|}=\frac{3}{5}\). Daher ist \(\alpha\approx53{,}13^\circ\). 3. Für die Seitenfläche \(ABS\) ergibt sich beispielsweise der Normalenvektor \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\). 4. Für den Winkel \(\beta\) zwischen \(ABS\) und \(BCS\) gilt \(\cos\beta=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{9}{25}\). Daher ist \(\beta\approx68{,}90^\circ\).

a) \(\alpha\approx53{,}13^\circ\) b) \(\beta\approx68{,}90^\circ\)

- Welche Richtungsvektoren liegen jeweils in den betrachteten Seitenflächen? - Wie kannst du aus zwei voneinander unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor bestimmen? - Welche Vektoren brauchst du, um den Schnittwinkel zweier Ebenen zu berechnen? - Achte darauf, dass für den Schnittwinkel der kleinere Winkel zwischen den Ebenen gemeint ist.

1. Die Grundfläche hat den Normalenvektor \(\vec{n}_G=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Für die Ebene durch \(B,C,S\) sind \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-20\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BS}=\begin{pmatrix}-10\\-5\\12\end{pmatrix}\) Richtungsvektoren. Ihr Kreuzprodukt liefert einen Normalenvektor \(\begin{pmatrix}0\\240\\100\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}0\\12\\5\end{pmatrix}\). 2. Für den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Seitenfläche \(BCS\) und der Grundfläche gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_G|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_G|}=\frac{5}{13}\). Daher ist \(\alpha\approx67{,}38^\circ\). 3. Für die Ebene durch \(A,B,S\) sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}-10\\-5\\12\end{pmatrix}\) Richtungsvektoren. Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}120\\0\\100\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}\). 4. Für den Schnittwinkel \(\beta\) zwischen den beiden Seitenflächen gilt \(\cos(\beta)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{25}{13\sqrt{61}}\). Damit ist \(\beta\approx75{,}75^\circ\).

a) \(\alpha\approx67{,}38^\circ\) b) \(\beta\approx75{,}75^\circ\)

- Welche Normalenrichtung kannst du direkt aus der Koordinatenform von \(E\) ablesen? - Wie kannst du für \(G_a\) aus zwei Richtungsvektoren einen Normalenvektor gewinnen? - Welche Beziehung zwischen den beiden Normalenvektoren bestimmt den Schnittwinkel der Ebenen? - Beachte beim Auflösen der Winkelgleichung den Betrag im Zähler.

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Für \(G_a\) sind \(\vec{OP}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{OQ_a}=\begin{pmatrix}0\\1\\a\end{pmatrix}\) Richtungsvektoren. Ihr Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}_a=\begin{pmatrix}0\\-a\\1\end{pmatrix}\). 2. Für \(a=0\) ist \(\vec{n}_0=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{n}_E\cdot\vec{n}_0=0\) schneiden sich die Ebenen im Winkel \(90^\circ\). 3. Allgemein gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{n}_E\cdot\vec{n}_a|}{|\vec{n}_E|\,|\vec{n}_a|}=\frac{|a|}{\sqrt{2a^2+2}}\). Für \(\alpha=60^\circ\) folgt \(\frac{|a|}{\sqrt{2a^2+2}}=\frac{1}{2}\). 4. Quadrieren ergibt \(4a^2=2a^2+2\), also \(a^2=1\). Damit gilt \(a=1\) oder \(a=-1\).

a) \(90^\circ\) b) \(a=1\) oder \(a=-1\)

- Welche Vektoren benötigst du, um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Sinus des Schnittwinkels und dem Skalarprodukt der beteiligten Vektoren. - Nach dem Aufstellen der Gleichung kann das Quadrieren helfen, die Wurzeln und den Betrag aufzulösen. - Achte darauf, am Ende zu prüfen, ob dein berechneter Wert die ursprüngliche Gleichung erfüllt.

1. Normalenvektor der Ebene \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit Betrag \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3\) bestimmen. 2. Richtungsvektor der Geraden \(\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit Betrag \(|\vec{v}_a| = \sqrt{a^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{a^2 + 2}\) bestimmen. 3. Die Formel für den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen Gerade und Ebene nutzen: \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}_a|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}_a|}\). 4. Einsetzen der Werte: \(\sin(45^\circ) = \frac{|2a - 1 + 2|}{3 \cdot \sqrt{a^2 + 2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 5. Gleichung lösen: \(\frac{|2a + 1|}{3 \sqrt{a^2 + 2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 2|2a + 1| = 3\sqrt{2} \sqrt{a^2 + 2}\). 6. Quadrieren beider Seiten: \(4(4a^2 + 4a + 1) = 18(a^2 + 2) \Rightarrow 16a^2 + 16a + 4 = 18a^2 + 36\). 7. Umformen zur quadratischen Gleichung: \(2a^2 - 16a + 32 = 0 \Rightarrow a^2 - 8a + 16 = 0\). 8. Lösung mittels binomischer Formel oder p-q-Formel: \((a-4)^2 = 0 \Rightarrow a = 4\).

\(a = 4\)

- Welche Vektoren kannst du aus den beiden Koordinatenformen direkt ablesen? - Wie hängt der Schnittwinkel zweier Ebenen mit dem Winkel ihrer Normalenvektoren zusammen? - Warum wird für den Schnittwinkel der Betrag des Skalarprodukts verwendet?

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=6-4=2\), \(|\vec{n}_1|=3\) und \(|\vec{n}_2|=5\). 3. Für den Schnittwinkel gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{2}{15}\). 4. Damit ist \(\alpha=\arccos\left(\frac{2}{15}\right)\approx82{,}34^\circ\).

\(\alpha\approx82{,}34^\circ\)

- Bestimme zuerst den oberen Eckpunkt \(G\) aus der Quadergeometrie. - Für den Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene kannst du den Richtungsvektor der Geraden mit einem Normalenvektor der Ebene vergleichen. - Welche besonders einfachen Normalenvektoren besitzen die drei Koordinatenebenen? - Prüfe, ob deine berechneten Winkel jeweils zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) liegen.

1. Da \(G\) über \(C\) liegt, ist \(G(0\mid5\mid16)\). Somit gilt \(\vec{AG}=\begin{pmatrix}-12\\5\\16\end{pmatrix}\). 2. Die Länge ist \(|\vec{AG}|=\sqrt{144+25+256}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\) Längeneinheiten. 3. Für die \(x_1x_2\)-Ebene kann \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) als Normalenvektor verwendet werden. Für den Schnittwinkel \(\alpha_1\) gilt \(\sin(\alpha_1)=\frac{|\vec{AG}\cdot\vec{n}_1|}{|\vec{AG}|\,|\vec{n}_1|}=\frac{16}{\sqrt{425}}\). Daher ist \(\alpha_1\approx50{,}91^\circ\). 4. Für die \(x_2x_3\)-Ebene mit \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) folgt \(\sin(\alpha_2)=\frac{12}{\sqrt{425}}\), also \(\alpha_2\approx35{,}60^\circ\). 5. Für die \(x_1x_3\)-Ebene mit \(\vec{n}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) folgt \(\sin(\alpha_3)=\frac{5}{\sqrt{425}}\), also \(\alpha_3\approx14{,}04^\circ\).

a) \(\vec{AG}=\begin{pmatrix}-12\\5\\16\end{pmatrix}\), \(|\vec{AG}|=5\sqrt{17}\) Längeneinheiten b) \(x_1x_2\)-Ebene: \(\alpha_1\approx50{,}91^\circ\); \(x_2x_3\)-Ebene: \(\alpha_2\approx35{,}60^\circ\); \(x_1x_3\)-Ebene: \(\alpha_3\approx14{,}04^\circ\)

- Bestimme zunächst den Vektor einer Seitenkante. - Für den Schnittwinkel mit der Grundfläche ist deren Normalenrichtung hilfreich. - In Teil c) werden zwei Geradenrichtungen miteinander verglichen, nicht eine Gerade mit einer Ebene. - Halte die beiden Winkelbeziehungen in den Teilen b) und c) auseinander.

1. Es gilt \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}-4\\4\\12\end{pmatrix}\). Daher ist \(|\vec{AS}|=\sqrt{176}=4\sqrt{11}\) Längeneinheiten. 2. Die Grundfläche liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene; ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel \(\beta\) gilt \(\sin(\beta)=\frac{|\vec{AS}\cdot\vec{n}|}{|\vec{AS}|\,|\vec{n}|}=\frac{12}{\sqrt{176}}\). Somit ist \(\beta\approx64{,}76^\circ\). 4. Weiter ist \(\vec{BS}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\12\end{pmatrix}\) und \(|\vec{BS}|=\sqrt{176}\). 5. Für den Winkel \(\gamma\) zwischen den Seitenkanten gilt \(\cos(\gamma)=\frac{\vec{AS}\cdot\vec{BS}}{|\vec{AS}|\,|\vec{BS}|}=\frac{144}{176}=\frac{9}{11}\). 6. Daher ist \(\gamma=\arccos\left(\frac{9}{11}\right)\approx35{,}10^\circ\).

a) \(|\vec{AS}|=4\sqrt{11}\) Längeneinheiten b) \(\beta\approx64{,}76^\circ\) c) \(\gamma\approx35{,}10^\circ\)

- Welche Information liefern die beiden Stützvektoren unmittelbar über die Lage der Geraden? - Welche beiden Richtungsvektoren brauchst du für den Schnittwinkel? - Welche Seiten des Dreiecks müssen gleich lang sein, wenn \(PQ\) die Basis ist? - Wie hängt bei einem Punkt \(Q=S+s\vec{v}_h\) die Länge \(|SQ|\) vom Parameter \(s\) ab?

1. Beide Geraden besitzen denselben Stützpunkt. Daher ist ihr Schnittpunkt \(S(2|-1|5)\). 2. Mit den Richtungsvektoren \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{v}_g\cdot\vec{v}_h|}{|\vec{v}_g|\,|\vec{v}_h|}=\frac{8}{9}\). Somit ist \(\alpha\approx27{,}3^\circ\). 3. Für ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis \(PQ\) müssen die Schenkel \(SP\) und \(SQ\) gleich lang sein. Es ist \(\vec{SP}=\begin{pmatrix}9\\18\\18\end{pmatrix}\) und daher \(|\vec{SP}|=27\). 4. Ein Punkt auf \(h\) hat die Form \(Q=S+s\vec{v}_h\). Wegen \(|\vec{v}_h|=3\) gilt \(|\vec{SQ}|=3|s|\). Aus \(3|s|=27\) folgen \(s=9\) und \(s=-9\). 5. Damit erhält man \(Q_1(20|17|14)\) und \(Q_2(-16|-19|-4)\).

a) \(S(2|-1|5)\), \(\alpha\approx27{,}3^\circ\) b) \(Q_1(20|17|14)\) und \(Q_2(-16|-19|-4)\)

- Welche drei Punkte bestimmen jeweils eine der beiden Seitenflächen? - Kannst du zu jeder Seitenfläche zuerst eine Koordinatenform bestimmen und daraus einen Normalenvektor ablesen? - Welche Beziehung zwischen den beiden Normalenvektoren liefert den Schnittwinkel der Ebenen?

1. Die Ebene durch \(P_1,P_3,P_5\) hat die Koordinatenform \(E_1:\ x_1+x_2+x_3=1\), die Ebene durch \(P_2,P_3,P_5\) die Koordinatenform \(E_2:\ -x_1+x_2+x_3=1\). 2. Damit können \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\) als Normalenvektoren verwendet werden. 3. Es gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{1}{3}\). 4. Somit ist \(\alpha=\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\approx70{,}53^\circ\).

\(\alpha\approx70{,}53^\circ\)

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen mit dem Schnittwinkel der Ebenen zusammen? - Kannst du den Normalenvektor direkt aus der Koordinatenform ablesen? - Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Denk daran, beim Skalarprodukt der Normalenvektoren den Betrag zu nehmen, damit du den spitzen Winkel erhältst.

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}_1\) der Ebene \(E_1\) aus der Koordinatenform: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}_2\) der Ebene \(E_2\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Beträge der Normalenvektoren: \(|\vec{n}_1| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{n}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). 4. Berechnung des Skalarprodukts der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 4 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = -1\). 5. Anwendung der Formel für den Schnittwinkel: \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|-1|}{5 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{5\sqrt{3}} \approx 0{,}1155\). 6. Berechnung des Winkels: \(\alpha = \arccos\left(\frac{1}{5\sqrt{3}}\right) \approx 83{,}4^\circ\).

Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen beträgt etwa \(83{,}4^\circ\).

- Was bedeutet es für den Winkel zwischen zwei Ebenen, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren Null ergibt? - Stelle zuerst für beide Ebenen einen Normalenvektor auf. - Welches Rechenverfahren hilft dir, einen Normalenvektor aus der Parameterform zu bestimmen?

1. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}_1\) von \(E_1\) mittels Kreuzprodukt: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}_2\) von \(E_2\) mittels Kreuzprodukt: \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Skalarprodukts der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0\). 4. Da das Skalarprodukt der Normalenvektoren gleich \(0\) ist, stehen die Normalenvektoren orthogonal zueinander. 5. Daraus folgt für den Schnittwinkel der Ebenen \(\alpha = 90^\circ\).

Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen beträgt \(90^\circ\).

- Welche Koordinaten besitzen die beiden Endpunkte der Kante \(GH\), und wie erhältst du daraus ihren Mittelpunkt? - Welche zwei Richtungsvektoren kannst du in der Ebene durch \(B,D,E\) bilden? - Welche Beziehung zwischen Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene liefert den Schnittwinkel?

1. Es sind \(G(6|6|6)\) und \(H(0|6|6)\), also \(M(3|6|6)\). Damit kann für \(g\) der Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) verwendet werden. 2. In der Ebene \(\varepsilon\) liegen die Richtungsvektoren \(\vec{BD}=\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BE}=\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}\). Ihr Kreuzprodukt liefert einen Normalenvektor \(\begin{pmatrix}36\\36\\36\end{pmatrix}\), also beispielsweise \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel \(\alpha\) gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\). 4. Damit ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{5}{3\sqrt{3}}\right)\approx74{,}2^\circ\).

\(\alpha\approx74{,}2^\circ\)

- Welche zwei Richtungsvektoren liegen jeweils in einer der beiden Seitenflächen? - Wie kannst du daraus je einen Normalenvektor bestimmen? - Welche Beziehung zwischen den Normalenvektoren liefert den Schnittwinkel der Ebenen?

1. Für die Seitenfläche \(BCS\) sind \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-10\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BS}=\begin{pmatrix}-5\\-5\\12\end{pmatrix}\) Richtungsvektoren. Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}0\\120\\50\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}0\\12\\5\end{pmatrix}\). 2. Für die Seitenfläche \(CDS\) sind \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}0\\-10\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{CS}=\begin{pmatrix}5\\-5\\12\end{pmatrix}\) Richtungsvektoren. Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}-120\\0\\50\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}-12\\0\\5\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel \(\gamma\) gilt \(\cos(\gamma)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{25}{169}\). 4. Damit ist \(\gamma=\arccos\left(\frac{25}{169}\right)\approx81{,}5^\circ\).

\(\gamma\approx81{,}5^\circ\)

- Welche Koordinaten müssen für einen Punkt auf einer bestimmten Koordinatenachse null sein? - Welchen Normalenvektor kannst du aus der Koordinatenform von \(E\) ablesen? - Welche Beziehung liefert den Winkel zwischen einer Achsenrichtung und der Ebene? - Was bedeutet das Fehlen von \(x_3\) zunächst für eine Richtungsänderung innerhalb der Ebene, und liegt die \(x_3\)-Achse selbst in \(E\)?

1. Für den Spurpunkt auf der \(x_1\)-Achse setzt man \(x_2=x_3=0\). Daraus folgt \(3x_1=12\), also \(S_1(4|0|0)\). Für die \(x_2\)-Achse folgt mit \(x_1=x_3=0\) aus \(-4x_2=12\) der Punkt \(S_2(0|-3|0)\). 2. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=5\). Für die \(x_1\)-Achse mit \(\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) gilt \(\sin(\alpha_1)=\frac{3}{5}\), also \(\alpha_1\approx36{,}87^\circ\). Für die \(x_2\)-Achse gilt \(\sin(\alpha_2)=\frac{4}{5}\), also \(\alpha_2\approx53{,}13^\circ\). 3. Die Koordinatenform ist unabhängig von \(x_3\). Daher enthält \(E\) die Richtung \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Da die \(x_3\)-Achse selbst den Ursprung enthält, der nicht in \(E\) liegt, ist \(E\) echt parallel zur \(x_3\)-Achse. Der Schnittwinkel beträgt \(0^\circ\).

1. \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|-3|0)\) 2. Mit der \(x_1\)-Achse: \(\alpha_1\approx36{,}87^\circ\); mit der \(x_2\)-Achse: \(\alpha_2\approx53{,}13^\circ\) 3. \(E\) ist echt parallel zur \(x_3\)-Achse; der Schnittwinkel beträgt \(0^\circ\).

- Welche Koordinatenform kannst du aus den beiden Richtungsvektoren und dem Stützpunkt der Ebene gewinnen? - Wie lässt sich danach der gemeinsame Punkt von Gerade und Ebene bestimmen? - Welche beiden Vektoren brauchst du für den Geraden-Ebenen-Winkel?

1. Die beiden Richtungsvektoren von \(E\) liefern den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((0|0|1)\) ergibt sich die Koordinatenform \(E:\ -x_2+x_3=1\). 2. Einsetzen der Geraden in die Koordinatenform ergibt \(-\lambda+2=1\). Daher ist \(\lambda=1\) und \(S(2|1|2)\). 3. Für den Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) der Geraden gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}=\frac{1}{2}\). 4. Damit beträgt der Schnittwinkel \(\alpha=30^\circ\).

\(S(2|1|2)\), \(\alpha=30^\circ\)

- Welche zwei Richtungsvektoren kannst du aus den drei Spurpunkten bilden? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor von \(E\)? - Welche einfachen Normalenvektoren besitzen die beiden Koordinatenebenen? - Welche Winkelformel verknüpft die Normalenvektoren zweier Ebenen?

1. Mit \(\vec{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}\) erhält man als Normalenvektor beispielsweise \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\). Mit \(S_1\) folgt die Koordinatenform \(E:\ x_1+x_2+2x_3=6\). 2. Die \(x_1x_2\)-Ebene besitzt den Normalenvektor \(\vec{n}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Daher gilt \(\cos(\alpha)=\frac{2}{\sqrt{6}}\) und somit \(\alpha\approx35{,}3^\circ\). 3. Die \(x_1x_3\)-Ebene besitzt den Normalenvektor \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). Daher gilt \(\cos(\beta)=\frac{1}{\sqrt{6}}\) und somit \(\beta\approx65{,}9^\circ\).

Mit der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\alpha\approx35{,}3^\circ\) Mit der \(x_1x_3\)-Ebene: \(\beta\approx65{,}9^\circ\)

- Stelle zuerst den Normalenvektor der Ebene \(E_k\) in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Welcher einfache Vektor steht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene? - Nutze die Formel für den Kosinus des Schnittwinkels zweier Ebenen. - Welchen exakten Wert hat \(\cos(45^\circ)\)? - Löse die resultierende Gleichung nach \(k\) auf und beachte die Bedingung \(k > 0\).

1. Identifikation der Normalenvektoren: Der Normalenvektor der Ebene \(E_k\) ist \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ k \end{pmatrix}\). Der Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene ist \(\vec{n}_z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Winkelformel: \(\cos(45^\circ) = \frac{|\vec{n}_k \cdot \vec{n}_z|}{|\vec{n}_k| \cdot |\vec{n}_z|}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|k|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + k^2} \cdot 1} = \frac{k}{\sqrt{25 + k^2}}\) (da \(k > 0\)). 4. Quadrieren der Gleichung: \(\frac{2}{4} = \frac{k^2}{25 + k^2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{k^2}{25 + k^2}\). 5. Lösen nach \(k\): \(25 + k^2 = 2k^2 \Rightarrow k^2 = 25\). Wegen \(k > 0\) ergibt sich \(k = 5\).

Der gesuchte Parameterwert ist \(k = 5\).

- Wie bestimmt man den Normalenvektor einer Ebene, wenn sie in Parameterform gegeben ist? - Erinnere dich an die Formeln für den Winkel zwischen zwei Ebenen und den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. Beachte den Unterschied zwischen Sinus und Kosinus. - Überlege dir, wie die Lage einer Geraden innerhalb einer Ebene den Winkel zu einer zweiten Ebene beeinflusst.

1. Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_1| = \sqrt{2}\). 2. Normalenvektor von \(E_2\) durch Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_2| = \sqrt{2}\). 3. Schnittwinkel \(\gamma\) der Ebenen: \(\cos(\gamma) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|0 + 1 + 0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\). Daraus folgt \(\gamma = 60^\circ\). 4. Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen Gerade \(h\) und Ebene \(E_1\): \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}_1|} = \frac{|1 + 0 + 0|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Daraus folgt \(\alpha = 45^\circ\). 5. Vergleich: Der Winkel \(\alpha = 45^\circ\) der Geraden zur Ebene ist kleiner als der Schnittwinkel \(\gamma = 60^\circ\) der beiden Ebenen.

a) \(\gamma = 60^\circ\) b) \(\alpha = 45^\circ\) c) \(\alpha < \gamma\)

- Welche zwei Bedingungen musst du prüfen, damit \(S\) tatsächlich der Schnittpunkt ist? - Welche Vektoren brauchst du für den Schnittwinkel zwischen \(g\) und \(E\)? - Woran erkennst du aus Stützpunkt und Richtungsvektor, ob eine ganze Gerade in einer Ebene liegt? - Vergleiche beim letzten Winkel ausschließlich die beiden Geradenrichtungen.

1. Für \(S\) gilt \(2\cdot1-2\cdot0+1=3\), also \(S\in E\). Einsetzen von \(g\) in die Koordinatenform von \(E\) ergibt \(2(1+2t)-2t+(1+2t)=3\), also \(4t=0\). Damit ist \(t=0\) und \(S\) der eindeutige Schnittpunkt. 2. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\), der Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\). Daher gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}=\frac{4}{9}\), also \(\alpha\approx26{,}39^\circ\). 3. Für \(\vec{u}_k=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) gilt \(\vec{u}_k\cdot\vec{n}=0\), und der Stützpunkt \(S\) liegt in \(E\). Damit liegt \(k\) vollständig in \(E\). Außerdem gilt \(\cos(\gamma)=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{u}_k|}{|\vec{v}|\,|\vec{u}_k|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\), also \(\gamma=45^\circ\).

1. \(S(1|0|1)\) liegt in \(E\) und entspricht auf \(g\) dem Parameter \(t=0\); damit ist \(S\) der Schnittpunkt. 2. \(\alpha\approx26{,}39^\circ\) 3. \(k\subset E\); der Schnittwinkel zwischen \(g\) und \(k\) beträgt \(45^\circ\).

- Wie kannst du aus den beiden Richtungsvektoren der Parameterform einen Normalenvektor gewinnen? - Welche Beziehung verwendest du für den Winkel einer Geraden mit einer Ebene? - Welche Beziehung verwendest du dagegen für den Winkel zwischen zwei Geradenrichtungen? - Was fällt beim Größenvergleich der drei Winkel auf?

1. Aus den beiden Richtungsvektoren ergibt sich der Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). Mit \(A(2|1|0)\) folgt die Koordinatenform \(E:\ x_1-x_2+x_3=1\). 2. Für \(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\sin(\beta)=\frac{|\vec{w}\cdot\vec{n}|}{|\vec{w}|\,|\vec{n}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}\). Somit ist \(\beta\approx54{,}74^\circ\). 3. Für \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) gilt \(\cos(\gamma_1)=\frac{1}{2}\), also \(\gamma_1=60^\circ\). Für \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) gilt ebenfalls \(\cos(\gamma_2)=\frac{1}{2}\), also \(\gamma_2=60^\circ\). 4. Es gilt \(\beta<\gamma_1\) und \(\beta<\gamma_2\). Der Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene ist der kleinste Winkel, den die Gerade mit einer in der Ebene verlaufenden Geraden bilden kann.

1. \(E:\ x_1-x_2+x_3=1\) 2. \(\beta\approx54{,}74^\circ\) 3. \(\gamma_1=60^\circ\), \(\gamma_2=60^\circ\) 4. Der Geraden-Ebenen-Schnittwinkel ist kleiner oder gleich dem Winkel zu jeder einzelnen Geradenrichtung in der Ebene.

- Welche zusätzliche Einschränkung muss der Parameter einer Geradengleichung erfüllen, wenn nur ein Strahl gemeint ist? - Welche Bedingung erfüllt der Trefferpunkt in der Ebene? - Welche beiden Vektoren brauchst du anschließend für den Schnittwinkel zwischen Strahlrichtung und Ebene?

1. Der Lichtstrahl wird durch \(g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}6\\2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) mit \(r\ge0\) beschrieben. 2. Einsetzen in \(E\) ergibt \((6+2r)+(2-r)=10\). Daher ist \(r=2\), also liegt der Treffer in Strahlrichtung. 3. Einsetzen von \(r=2\) liefert \(S(10|0|5)\). 4. Ein Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{v}|}{|\vec{n}|\,|\vec{v}|}=\frac{1}{3\sqrt{2}}\). 5. Somit ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)\approx13{,}63^\circ\).

\(S(10|0|5)\), \(\alpha\approx13{,}63^\circ\)

- Wie erhältst du aus \(A\) und \(B\) eine Parameterform der Geraden? - Welche Gleichung muss der gemeinsame Punkt von Gerade und Ebene erfüllen? - Welchen Vektor kannst du aus der Koordinatenform der Ebene direkt für die Winkelberechnung ablesen?

1. Ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{v}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). Damit lautet eine Parameterform \(g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). 2. Einsetzen in die Koordinatenform von \(E\) ergibt \(2(2t)-2(1+2t)+(2+t)=2\). Daraus folgt \(t=2\). 3. Für \(t=2\) ist \(S(4|5|4)\). 4. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\). Daher gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}=\frac{1}{9}\). 5. Somit ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{9}\right)\approx6{,}38^\circ\).

\(S(4|5|4)\), \(\alpha\approx6{,}38^\circ\)

- Wie kannst du aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene einen Normalenvektor bestimmen? - Welche Darstellung der Ebene erleichtert anschließend das Einsetzen der Geraden? - Welche beiden Vektoren benötigst du für den Geraden-Ebenen-Winkel?

1. Die beiden Richtungsvektoren der Ebene liefern den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((1|2|1)\) folgt die Koordinatenform \(E:\ x_1-2x_2+x_3=-2\). 2. Einsetzen von \(g\) in die Koordinatenform ergibt \((5+t)-2(4+2t)+(3+t)=-2\). Daraus folgt \(t=1\) und somit \(S(6|6|4)\). 3. Mit dem Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{v}|}{|\vec{n}|\,|\vec{v}|}=\frac{1}{3}\). 4. Daher ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\approx19{,}47^\circ\).

a) \(E:\ x_1-2x_2+x_3=-2\) b) \(S(6|6|4)\) c) \(\alpha\approx19{,}47^\circ\)

- Welche Spurpunkte erhältst du durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten? - Welche Richtungsvektoren der Spurgeraden gehen von demselben Eckpunkt des Spurdreiecks aus? - Welche Vektoren brauchst du für einen Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden? - Wie kannst du den dritten Innenwinkel bestimmen, wenn zwei bereits bekannt sind?

1. Die Spurpunkte sind \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\) und \(S_3(0|0|2)\). 2. Eine mögliche Wahl der Spurgeraden ist \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\), \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix}\), \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\). 3. Am Punkt \(S_1\) verwenden wir \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\cos\alpha=\frac{16}{5\sqrt{20}}\), also \(\alpha\approx44{,}3^\circ\). 4. Am Punkt \(S_2\) gilt mit \(\overrightarrow{S_2S_1}=\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_2S_3}=\begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix}\): \(\cos\beta=\frac{9}{5\sqrt{13}}\), also \(\beta\approx60{,}1^\circ\). 5. Der dritte Winkel ist \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\approx75{,}6^\circ\).

a) \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\), \(S_3(0|0|2)\) b) \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\) \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix}\) \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\) c) \(\alpha\approx44{,}3^\circ\), \(\beta\approx60{,}1^\circ\), \(\gamma\approx75{,}6^\circ\)

- Welche Koordinatenform hat die Ebene durch die drei gleich weit vom Ursprung entfernten Achsenpunkte? - Wie kannst du die Flugrichtung aus \(C\) und \(D\) bestimmen? - Woran erkennst du nach der Schnittpunktberechnung, ob der Punkt im begrenzten Dreieck und nicht nur in dessen Ebene liegt? - Welche Vektoren brauchst du für den Schnittwinkel der Flugbahn mit der Ebene?

1. Aus den drei Punkten ergibt sich die Koordinatenform der Ebene \(E:\ x_1+x_2+x_3=6\) mit Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Die Flugbahn hat die Parameterform \(h:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) mit \(t\ge0\). 3. Einsetzen in \(E\) ergibt \((1+t)+(1+2t)+(2+t)=6\), also \(t=0{,}5\). Damit ist \(S(1{,}5|2|2{,}5)\). 4. Alle drei Koordinaten von \(S\) sind nichtnegativ und ihre Summe ist \(6\). Daher liegt \(S\) im Dreieck, dessen Eckpunkte die drei positiven Achsenabschnitte von \(E\) sind. 5. Mit \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{v}|}{|\vec{n}|\,|\vec{v}|}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\). 6. Somit ist \(\alpha=\arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\approx70{,}53^\circ\).

a) \(S(1{,}5|2|2{,}5)\); der Punkt liegt innerhalb des Dreiecks \(P_1P_2P_3\). b) \(\alpha\approx70{,}53^\circ\)

- Woran erkennst du anhand zweier Verbindungsvektoren, dass drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen? - Wie kannst du aus diesen Richtungsvektoren einen Normalenvektor der Ebene gewinnen? - Welche Darstellung der Ebene erleichtert die Schnittpunktberechnung mit \(g\)? - Welche beiden Vektoren brauchst du für den Geraden-Ebenen-Winkel?

1. Die Richtungsvektoren \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Daher bestimmen die drei Punkte eindeutig eine Ebene. 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}9\\9\\9\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt \(E:\ x_1+x_2+x_3=3\). 3. Einsetzen der Geraden in \(E\) ergibt \((1+t)+1+t=3\), also \(t=0{,}5\). Somit schneidet \(g\) die Ebene in \(S(1{,}5|1|0{,}5)\). 4. Mit \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}_E\cdot\vec{v}|}{|\vec{n}_E|\,|\vec{v}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}\). Daher ist \(\alpha\approx54{,}74^\circ\).

a) Die Punkte sind nicht kollinear; \(E:\ x_1+x_2+x_3=3\). b) \(g\) schneidet \(E\) in \(S(1{,}5|1|0{,}5)\). c) \(\alpha\approx54{,}74^\circ\)

- Welche gemeinsame Ebenendarstellung erleichtert die Bestimmung der Schnittgeraden? - Wie kannst du beim Lösen der beiden Koordinatenformen eine Koordinate frei wählen? - Welche Vektoren brauchst du für den Schnittwinkel der Ebenen? - Prüfe, ob der Richtungsvektor deiner Schnittgeraden auf beiden Normalenvektoren senkrecht steht.

1. Die beiden Richtungsvektoren von \(E_2\) liefern den Normalenvektor \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt folgt die Koordinatenform \(E_2:\ -x_1-x_2+x_3=-1\). 2. Das Gleichungssystem aus \(E_1\) und \(E_2\) liefert nach Subtraktion \(3x_1+x_3=7\), also \(x_3=7-3x_1\). 3. Einsetzen in \(E_2\) ergibt \(x_2=8-4x_1\). Mit \(x_1=t\) folgt \(k:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\8\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-4\\-3\end{pmatrix}\). 4. Für \(E_1\) ist \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Daher gilt \(\cos(\phi)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\). 5. Somit ist \(\phi=\arccos\left(\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)\approx78{,}9^\circ\).

a) \(k:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\8\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-4\\-3\end{pmatrix}\) b) \(\phi\approx78{,}9^\circ\)

- Wie kannst du zunächst prüfen, ob und wo die Gerade die Ebene trifft? - Welche beiden Vektoren enthalten die nötige Richtungsinformation für den Winkel zwischen Gerade und Ebene? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Winkel zur Ebene und dem Winkel zum Normalenvektor?

1. Einsetzen der Geraden in die Koordinatenform ergibt \(2\lambda-(2+\lambda)+2=6\). Damit ist \(\lambda=6\) und somit \(D(6|8|1)\). 2. Ein Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\), ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel gilt \(\sin\alpha=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}=\frac{1}{3\sqrt{2}}\). 4. Daraus folgt \(\alpha\approx13{,}63^\circ\).

a) \(D(6|8|1)\) b) \(\alpha\approx13{,}63^\circ\)

- Wie bestimmst du die Schnittpunkte zweier Graphen rechnerisch? - Welche Steigungen haben die beiden Graphen an einem Schnittpunkt? - Wie berechnest du aus zwei Tangentensteigungen den kleineren Schnittwinkel?

1. Aus \(\frac{1}{4}x^3=x\) folgt \(x(x^2-4)=0\). Damit sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Die Schnittpunkte sind \(Q(-2\mid-2)\), \(O(0\mid0)\) und \(P(2\mid2)\). 2. Es gilt \(f'(x)=\frac{3}{4}x^2\) und \(g'(x)=1\). 3. Im Ursprung sind die Steigungen \(0\) und \(1\), daher beträgt der Schnittwinkel \(45^\circ\). 4. Bei \(x=\pm2\) sind die Steigungen \(3\) und \(1\). Somit gilt \(\tan(\varphi)=\left|\frac{3-1}{1+3\cdot1}\right|=0{,}5\), also \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

a) \(Q(-2 \mid -2)\), \(O(0 \mid 0)\) und \(P(2 \mid 2)\). b) Bei \(O\): \(45^\circ\). Bei \(Q\) und \(P\): jeweils \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

- Wie berechnet man einen Normalenvektor, wenn drei Punkte einer Ebene gegeben sind? - Erinnere dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen mithilfe ihrer Normalenvektoren. - Kannst du den Normalenvektor durch Multiplikation mit einem Skalar vereinfachen, um die Rechnung zu erleichtern? - Achte bei der Gleichung für \(t\) auf die Bedingung \(t > 2\).

1. Bestimmung der Normalenvektoren: Für die Ebene \(E\) ergibt sich aus \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) der Normalenvektor \(\vec{n}_E = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Für \(F_t\) ergibt sich mit \(\vec{AD}_t = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ t-2 \end{pmatrix}\) der Normalenvektor \(\vec{n}_t = \vec{AB} \times \vec{AD}_t = \begin{pmatrix} 2(t-2) \\ -2(t-2) \\ 4 \end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_t = \begin{pmatrix} t-2 \\ -(t-2) \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Kosinuswerts: Mit der Formel \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_E \cdot \vec{n}_t|}{|\vec{n}_E| \cdot |\vec{n}_t|}\) folgt \(\cos(\alpha) = \frac{|-(t-2) - (t-2) + 0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2(t-2)^2 + 4}} = \frac{2|t-2|}{2\sqrt{(t-2)^2 + 2}} = \frac{|t-2|}{\sqrt{t^2 - 4t + 6}}\). 3. Bestimmung von \(t\): Für \(\alpha = 30^\circ\) gilt \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Gleichsetzen liefert \(\frac{(t-2)^2}{(t-2)^2 + 2} = \frac{3}{4}\). Auflösen nach \(u = t-2\) ergibt \(4u^2 = 3u^2 + 6\), also \(u^2 = 6\). Da \(t > 2\) gefordert ist, folgt \(t-2 = \sqrt{6}\) und somit \(t = 2 + \sqrt{6}\).

a) \(\cos(\alpha) = \frac{|t-2|}{\sqrt{t^2 - 4t + 6}}\) b) \(t = 2 + \sqrt{6}\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene beim Geraden-Ebenen-Winkel? - Wie kannst du für jede Seitenfläche einen Normalenvektor in Abhängigkeit von \(k\) bestimmen? - Welche Gleichung entsteht, wenn der Ebenenwinkel \(60^\circ\) betragen soll? - Untersuche für Teil c) den Ausdruck für den Kosinus des Schnittwinkels, wenn \(k\) immer größer wird.

1. Für \(k=4\) ist ein Richtungsvektor der Seitenkante \(\vec{AS_4}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\4\end{pmatrix}\). Mit dem Normalenvektor \(\vec{n}_G=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) der Grundfläche gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{AS_4}\cdot\vec{n}_G|}{|\vec{AS_4}|\,|\vec{n}_G|}=\frac{4}{\sqrt{24}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\). Daher ist \(\alpha\approx54{,}7^\circ\). 2. Für die Seitenflächen können die Normalenvektoren \(\vec{n}_{ABS}=\begin{pmatrix}0\\k\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{BCS}=\begin{pmatrix}-k\\0\\2\end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Für den Schnittwinkel \(\phi=60^\circ\) gilt \(\frac{1}{2}=\frac{|\vec{n}_{ABS}\cdot\vec{n}_{BCS}|}{|\vec{n}_{ABS}|\,|\vec{n}_{BCS}|}=\frac{4}{k^2+4}\). Damit folgt \(k^2=4\) und wegen \(k>0\) somit \(k=2\). 4. Allgemein gilt \(\cos(\phi)=\frac{4}{k^2+4}\). Für \(k\to\infty\) geht dieser Ausdruck gegen \(0\), also \(\phi\to90^\circ\). Für jedes endliche \(k>0\) bleibt der Bruch positiv; deshalb wird \(90^\circ\) nicht erreicht.

a) \(\alpha\approx54{,}7^\circ\) b) \(k=2\) c) Für \(k\to\infty\) gilt \(\cos(\phi)=\frac{4}{k^2+4}\to0\), also \(\phi\to90^\circ\). Für endliche \(k>0\) bleibt \(\cos(\phi)>0\), daher ist \(\phi<90^\circ\).

- Bestimme zunächst die Normalenvektoren der beteiligten Ebenen. - Nutze für den Nachweis der Ungleichung die Monotonie der Kosinusfunktion im relevanten Bereich. - Überlege dir, welcher Kosinuswert zu einem Winkel von \(45^\circ\) gehört. - Vereinfache den Ausdruck für \(\cos(\phi)\) so weit wie möglich, bevor du die Ungleichung prüfst.

1. Für \(a=4\) sind die Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = \vec{OP} \times \vec{OR} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -16 \\ 16 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \vec{OQ} \times \vec{OR} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ -16 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Winkel \(\gamma\) ergibt sich aus \(\cos(\gamma) = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\), also \(\gamma = 60^\circ\). 2. Die Normalenvektoren für Teilaufgabe b) sind \(\vec{n}_{OPR} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4a \\ 16 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 \\ -a \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{PQR} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a \\ 4a \\ -16 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a \\ a \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Der Kosinus des Winkels ist \(\cos(\phi) = \frac{|-a^2-16|}{\sqrt{a^2+16} \cdot \sqrt{2a^2+16}} = \frac{a^2+16}{\sqrt{a^2+16} \cdot \sqrt{2a^2+16}} = \sqrt{\frac{a^2+16}{2a^2+16}}\). 4. Um \(\phi < 45^\circ\) zu zeigen, muss \(\cos(\phi) > \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) gelten. Dies entspricht \(\cos^2(\phi) > \frac{1}{2}\). Aus \(\frac{a^2+16}{2a^2+16} > \frac{1}{2}\) folgt durch Multiplikation mit dem (positiven) Nenner \(2a^2+32 > 2a^2+16\), was zu \(32 > 16\) führt. Diese Aussage ist für alle \(a > 0\) wahr.

a) \(60^\circ\) b) Der Nachweis erfolgt über \(\cos^2(\phi) = \frac{a^2+16}{2a^2+16} = \frac{1}{2} + \frac{8}{2a^2+16}\). Da der zweite Term für alle \(a > 0\) positiv ist, gilt \(\cos^2(\phi) > \frac{1}{2}\), was \(\phi < 45^\circ\) impliziert.

- Stelle zuerst eine allgemeine Formel für den Sinus des Winkels in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Um das Maximum des Winkels zu finden, kannst du das Maximum des Sinus (oder seines Quadrats) untersuchen. - Nutze die Ableitungsregeln, um die Extremstellen der resultierenden Funktion zu finden. - Vergiss nicht, am Ende den Sinuswert wieder in den entsprechenden Winkel umzurechnen.

1. Richtungsvektor der Geraden \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{v}| = \sqrt{2}\) und Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} k \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_k| = \sqrt{k^2 + 2}\) identifizieren. 2. Formel für den Sinus des Schnittwinkels aufstellen: \(\sin(\alpha(k)) = \frac{|k \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{k^2 + 2}} = \frac{|k+1|}{\sqrt{2k^2 + 4}}\). 3. Zur Bestimmung des Extremums die Funktion \(f(k) = \sin^2(\alpha(k)) = \frac{(k+1)^2}{2k^2 + 4}\) untersuchen. 4. Ableitung bilden: \(f'(k) = \frac{2(k+1)(2k^2+4) - (k+1)^2(4k)}{(2k^2+4)^2} = \frac{2(k+1)(4-2k)}{(2k^2+4)^2}\). 5. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(k_1 = -1\) (Minimum, \(\alpha = 0^\circ\)) und \(k_2 = 2\). 6. Maximalwert bei \(k = 2\) prüfen: \(\sin(\alpha) = \frac{|2+1|}{\sqrt{2 \cdot 2^2 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 7. Winkel berechnen: \(\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ\). Da der Grenzwert für \(k \to \pm \infty\) bei \(45^\circ\) liegt, ist \(60^\circ\) das absolute Maximum.

Der Schnittwinkel wird für \(k = 2\) maximal; der maximale Winkel beträgt \(60^\circ\).

- Wie lautet ein Normalenvektor von \(E_k\)? - Welche Komponente dieses Normalenvektors ist für den Winkel mit einer bestimmten Koordinatenachse entscheidend? - Welche Bedingung müssen die drei Sinuswerte erfüllen, wenn alle drei Schnittwinkel gleich sein sollen? - Beachte in Teil 1 die zusätzliche Bedingung \(k>0\).

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}1\\1\\k\end{pmatrix}\). Für die \(x_3\)-Achse gilt \(\sin(45^\circ)=\frac{|k|}{\sqrt{2+k^2}}\). Wegen \(k>0\) folgt nach dem Quadrieren \(\frac{k^2}{2+k^2}=\frac{1}{2}\), also \(k^2=2\) und damit \(k=\sqrt{2}\). 2. Für die drei Koordinatenachsen gelten \(\sin(\alpha_1)=\frac{1}{|\vec{n}_k|}\), \(\sin(\alpha_2)=\frac{1}{|\vec{n}_k|}\) und \(\sin(\alpha_3)=\frac{|k|}{|\vec{n}_k|}\). Gleiche Winkel erfordern daher \(|k|=1\), also \(k=1\) oder \(k=-1\). 3. Für \(|k|=1\) ist \(|\vec{n}_k|=\sqrt{3}\). Somit gilt \(\sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{3}}\) und \(\alpha\approx35{,}26^\circ\).

1. \(k=\sqrt{2}\) 2. Für \(k=1\) oder \(k=-1\) sind alle drei Achsenwinkel gleich; \(\alpha\approx35{,}26^\circ\).

- Welche Vektoren stehen jeweils senkrecht auf \(E_1\) und \(E_2\)? - Welche Richtung muss die Schnittgerade relativ zu beiden Normalenvektoren besitzen? - Welche zwei Orthogonalitätsbedingungen muss der Richtungsvektor von \(g\) erfüllen? - Vergleiche die beiden Winkel möglichst über ihre exakten trigonometrischen Werte, bevor du rundest.

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\), jeweils mit Länge \(3\). 2. Für den Ebenenwinkel gilt \(\cos(\gamma)=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{1}{9}\). Somit ist \(\gamma=\arccos\left(\frac{1}{9}\right)\approx83{,}62^\circ\). 3. Ein Richtungsvektor der Schnittgeraden steht auf beiden Normalenvektoren senkrecht. Aus \(\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\begin{pmatrix}8\\0\\-4\end{pmatrix}\) kann \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\) gewählt werden. 4. Da \(g\) in \(E_2\) liegt und zugleich orthogonal zu \(s\) verläuft, muss \(\vec{v}\) sowohl zu \(\vec{n}_2\) als auch zu \(\vec{u}\) orthogonal sein. Eine Wahl ist \(\vec{v}=\vec{n}_2\times\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\5\\4\end{pmatrix}\). 5. Für den Schnittwinkel von \(g\) mit \(E_1\) gilt \(\sin(\alpha)=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}_1|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}_1|}=\frac{4\sqrt{5}}{9}\). Daher ist \(\alpha\approx83{,}62^\circ\). 6. Somit gilt \(\alpha=\gamma\). Die in \(E_2\) zur Schnittgeraden orthogonale Richtung realisiert den Schnittwinkel der beiden Ebenen.

a) \(\gamma\approx83{,}62^\circ\) b) Zum Beispiel \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\) c) Zum Beispiel \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\5\\4\end{pmatrix}\), \(\alpha\approx83{,}62^\circ\); es gilt \(\alpha=\gamma\).

- Welche Parameterwerte erhältst du, wenn du die beiden Geraden gleichsetzt? - Welche Beziehung liefert den Schnittwinkel der beiden Geraden aus ihren Richtungsvektoren? - Welche Bedingung muss ein Normalenvektor einer Ebene erfüllen, damit die zugehörige Gerade vollständig in der Ebene liegen kann? - Wie könntest du die beiden Normalenvektoren so konstruieren, dass ihr gegenseitiger Winkel kontrolliert mit dem Winkel der Geradenrichtungen zusammenhängt?

1. Gleichsetzen der Geraden liefert \(r=-1\) und \(s=0\). Damit ist der gemeinsame Punkt \(S(3|0|0)\). 2. Mit \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2|}{|\vec{v}_1|\,|\vec{v}_2|}=\frac{8}{9}\). Daher ist \(\alpha\approx27{,}3^\circ\). 3. Ein Vektor orthogonal zu beiden Geradenrichtungen ist \(\vec{w}=\vec{v}_1\times\vec{v}_2=\begin{pmatrix}-3\\2\\2\end{pmatrix}\). Wählt man \(\vec{n}_1=\vec{v}_1\times\vec{w}=\begin{pmatrix}-2\\-10\\7\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\vec{v}_2\times\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\-7\\10\end{pmatrix}\), so steht \(\vec{n}_i\) jeweils senkrecht auf der zugehörigen Geradenrichtung. 4. Mit dem gemeinsamen Punkt \(S\) ergeben sich beispielsweise \(E_1:\ -2x_1-10x_2+7x_3=-6\) und \(E_2:\ 2x_1-7x_2+10x_3=6\). Der Winkel ihrer Normalenvektoren stimmt mit dem Winkel von \(\vec{v}_1\) und \(\vec{v}_2\) überein, daher ist ihr Schnittwinkel \(\alpha\).

(1) \(S(3|0|0)\) (2) \(\alpha\approx27{,}3^\circ\) (3) Zum Beispiel \(E_1:\ -2x_1-10x_2+7x_3=-6\) und \(E_2:\ 2x_1-7x_2+10x_3=6\)

- Nutze zuerst die vorgeschriebene erste Koordinate des Schnittpunkts; dadurch lässt sich der mögliche Schnittpunkt auf \(g_b\) ausdrücken. - Welche Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) folgt daraus, dass dieser Punkt auch in \(E_a\) liegen muss? - Setze diese Beziehung erst danach in die Formel für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene ein. - Nach dem Quadrieren musst du alle reellen Kandidaten wieder gegen \(a\neq0\) und die ursprüngliche Winkelbedingung prüfen.

1. Auf jedem Strahl \(g_b\) ist die erste Koordinate gleich \(t\). Aus \(x_1=2\) folgt daher \(t=2\), also ist der mögliche Schnittpunkt \(S=(2|2b|0)\). 2. Die Bedingung \(S\in E_a\) liefert \(2a+2b=a+2\), also \(a+2b=2\) und damit \(a=2-2b\). 3. Ein Richtungsvektor des Strahls ist \(\vec{u}_b=\begin{pmatrix}1\\b\\0\end{pmatrix}\), ein Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}_a=\begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix}\). Für den Schnittwinkel \(30^\circ\) gilt \(\frac{|\vec{u}_b\cdot\vec{n}_a|}{|\vec{u}_b|\,|\vec{n}_a|}=\frac{1}{2}\). 4. Mit \(a=2-2b\) wird daraus \(\frac{|2-b|}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{(2-2b)^2+2}}=\frac{1}{2}\). 5. Quadrieren und Umformen ergibt \(4(2-b)^2=(1+b^2)((2-2b)^2+2)\), also \((b-1)(b+1)(2b^2-4b+5)=0\). 6. Das quadratische Polynom \(2b^2-4b+5\) besitzt wegen der Diskriminante \(16-40=-24\) keine reellen Nullstellen. Somit bleiben \(b=1\) und \(b=-1\). 7. Für \(b=1\) wäre \(a=2-2b=0\); dieser Wert ist ausgeschlossen. Für \(b=-1\) folgt \(a=4\). 8. Die ursprüngliche Winkelbedingung ist für \((a,b)=(4,-1)\) erfüllt: \(\vec{u}=(1,-1,0)\), \(\vec{n}=(4,1,1)\), also \(\frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\). 9. Mit \(t=2\) liegt der Schnittpunkt auf dem Strahl und lautet \(S(2|-2|0)\).

Einziges Paar: \((a,b)=(4,-1)\) Schnittpunkt: \(S(2|-2|0)\)