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- Wie bestimmt man einen Richtungsvektor, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind? - Wann genau legen zwei Geraden eine eindeutige Ebene fest? Denke an die möglichen Lagebeziehungen. - Wie kannst du die Parameterform der Ebene direkt aus dem gemeinsamen Punkt und den Richtungen der Geraden bilden? - Bei der Punktprobe setzt du den Ortsvektor des Punktes für \(\vec{x}\) in die Ebenengleichung ein und prüfst, ob es Werte für die Parameter gibt, die alle drei Zeilen erfüllen.

1. Aufstellen der Geradengleichungen: \(h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(h_2\): Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 1-1 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). \(h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Begründung der Ebenenbildung: Die Geraden schneiden sich im Punkt \(P\). Da die Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) keine Vielfachen voneinander sind (nicht kollinear), definieren sie eindeutig eine Ebene. 3. Parameterform der Ebene \(E\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Punktprobe für \(R(3|2|6)\): \(2 - \mu = 3 \Rightarrow \mu = -1\) \(1 + \lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1\) \(4 + 2\lambda - \mu = 6 \Rightarrow 4 + 2 \cdot 1 - (-1) = 7\). Da \(7 \neq 6\), ist das System widersprüchlich. Der Punkt \(R\) liegt nicht in der Ebene.

a) \(h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). b) Da die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt \(P\) haben und ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind, spannen sie eine Ebene auf. Eine Parameterform ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). c) Der Punkt \(R(3|2|6)\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da das entsprechende lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt (\(7 \neq 6\) in der dritten Zeile).

- Wann legen drei Punkte genau eine Ebene fest? Überlege, was passieren würde, wenn sie auf einer Geraden lägen. - Wie hängen die Richtungsvektoren einer Ebene mit den Differenzen der Ortsvektoren der Punkte zusammen? - Welche Koordinaten müssen an einem Punkt auf der \(x_3\)-Achse zwingend null sein? - Nutze ein Gleichungssystem, um die passenden Parameterwerte für den Achsenschnittpunkt zu finden.

1. Richtungsvektoren zwischen den Punkten berechnen: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Kollinearität: Da \(\vec{u}\) kein Vielfaches von \(\vec{v}\) ist (z. B. \(\frac{-3}{-2} \neq \frac{3}{-1}\)), sind die Vektoren linear unabhängig. Die Punkte liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Geraden und spannen eine Ebene auf. 3. Parameterdarstellung aufstellen: Unter Verwendung von \(A\) als Stützpunkt ergibt sich \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 4. Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse berechnen: Es gilt die Bedingung \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). I: \(4 - 3r - 2s = 0 \Rightarrow 3r + 2s = 4\) II: \(2 + 3r - s = 0 \Rightarrow 3r - s = -2\) Subtraktion der Gleichungen (I \(-\) II) führt zu \(3s = 6\), also \(s = 2\). Einsetzen in II ergibt \(3r - 2 = -2\), also \(r = 0\). 5. \(x_3\)-Koordinate bestimmen: \(x_3 = 1 + 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = 5\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|0|5)\).

a) Die Richtungsvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) sind nicht kollinear. b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) c) \(S(0|0|5)\)

- Überlege, wie die Richtungsvektoren zueinander stehen müssen, wenn Geraden parallel sind. - Wie kannst du sicherstellen, dass zwei parallele Geraden nicht eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Welche Vektoren innerhalb der Geradenkonstruktion eignen sich als Spannvektoren für eine Ebene? - Erinnerst du dich, wie man prüft, ob ein Punkt die Bedingungen einer Ebenengleichung erfüllt?

1. Parallelität prüfen: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) sind wegen \(\vec{v} = -2 \cdot \vec{u}\) linear abhängig, also sind die Geraden parallel. 2. Identität ausschließen: Punktprobe des Stützpunktes von \(h\) in \(g\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(r = -1\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(0 + (-1) = -1 \neq 3\). Da der Punkt nicht auf \(g\) liegt, sind die Geraden echt parallel. 3. Ebenengleichung aufstellen: Als Stützvektor wird der von \(g\) gewählt. Der erste Spannvektor ist der Richtungsvektor von \(g\). Der zweite Spannvektor ergibt sich aus der Differenz der Stützvektoren: \(\vec{w} = \vec{p}_h - \vec{p}_g = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-0 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit gilt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Punktprobe für \(P\): Das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) führt auf \(r - t = -1\) und \(r + 3t = 4\). Subtraktion liefert \(4t = 5 \Rightarrow t = 1{,}25\). Daraus folgt \(r = 0{,}25\). Die Prüfung in der dritten Zeile (\(1 - 0{,}25 + 1{,}25 = 2\)) ergibt eine wahre Aussage. \(P\) liegt in \(E\).

a) \(\vec{v} = -2 \cdot \vec{u}\) (parallel); Punktprobe liefert Widerspruch (echt parallel). b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) (Beispiel) c) Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene (für \(r = 0{,}25\) und \(t = 1{,}25\)).

- Wann bestimmen drei Punkte genau eine Ebene und wann nicht? Überlege dir, wie sie zueinander liegen könnten. - Was passiert, wenn ein Punkt genau auf einer Geraden liegt? Kannst du dann die Ebene noch eindeutig „fixieren“? - Nutze Vektoren, um zu prüfen, ob Punkte auf einer gemeinsamen Linie liegen. - Setze den Punkt in die Geradengleichung ein, um seine Lage zu prüfen.

1. Prüfung von Teilaufgabe a: Berechnung der Verbindungsvektoren \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \). Untersuchung auf Kollinearität: Da kein Skalar \( k \) existiert, für den \( \vec{AC} = k \cdot \vec{AB} \) gilt (insbesondere wegen der \( z \)-Komponente: \( k \cdot 0 \neq 1 \)), sind die Punkte nicht kollinear. Ergebnis: Die Punkte legen eine eindeutige Ebene fest. 2. Prüfung von Teilaufgabe b: Untersuchung, ob der Punkt \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt. Aufstellen des Gleichungssystems: \( -1 + 3s = 5 \), \( 4 - 2s = 0 \) und \( 5 + s = 7 \). Aus der ersten Gleichung folgt \( s = 2 \). Einsetzen in die zweite Gleichung: \( 4 - 2 \cdot 2 = 0 \) (wahr). Einsetzen in die dritte Gleichung: \( 5 + 2 = 7 \) (wahr). Da der Punkt \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt, wird durch diese Angabe keine eindeutige Ebene festgelegt (es gibt unendlich viele Ebenen, die die Gerade enthalten).

a) Ja, die Punkte legen eine eindeutige Ebene fest, da sie nicht auf einer Geraden liegen. b) Nein, es wird keine eindeutige Ebene festgelegt, da der Punkt \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt.

- Wann liegen drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden? - Was passiert, wenn man einen Punkt in eine Geradengleichung einsetzt und ein Widerspruch entsteht? - Welche Vektoren eignen sich als Spannvektoren für eine Ebene, wenn eine Gerade und ein Punkt gegeben sind? - Erinnere dich an die Bedingungen für die lineare Unabhängigkeit von Richtungsvektoren.

1. Überprüfung der Kollinearität für a): Berechnung der Verbindungsvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}\), sind die Vektoren linear abhängig. Die Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden und legen somit keine eindeutige Ebene fest. 2. Punktprobe für b): Einsetzen der Koordinaten von \(P(2|2|2)\) in die Geradengleichung \(g\). Aus der ersten Zeile folgt \(3 + 0 \cdot t = 2\), was zu einem Widerspruch (\(3 = 2\)) führt. Der Punkt \(P\) liegt nicht auf der Geraden \(g\). 3. Aufstellen der Parameterform für b): Verwendung des Stützvektors von \(g\) als Stützvektor der Ebene, des Richtungsvektors von \(g\) als ersten Spannvektor und des Differenzvektors vom Stützpunkt der Geraden zu \(P\), also \(\vec{v} = \vec{p} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2-3 \\ 2-1 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) als zweiten Spannvektor. Resultat: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) Keine eindeutige Ebene, da die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) kollinear sind (\(\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}\)). b) Eine eindeutige Ebene wird festgelegt, da \(P \notin g\). Eine mögliche Parametergleichung ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(s, t \in \mathbb{R}\).

- Welche Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden erlauben die Definition einer eindeutigen Ebene? - Schau dir die Stützvektoren der beiden Geraden genau an. - Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Wie gelangt man von einem Normalenvektor und einem Punkt zur Koordinatenform \(ax + by + cz = d\)?

1. Bestimmung der gegenseitigen Lage für a): Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander und somit linear unabhängig. Da beide Geraden denselben Stützpunkt \(S(1|2|3)\) besitzen, schneiden sie sich in diesem Punkt. Schneidende Geraden legen stets eine eindeutige Ebene fest. 2. Berechnung des Normalenvektors für b): Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatenform: Mit dem Normalenvektor folgt der Ansatz \(-x + 2y + 5z = d\). 4. Bestimmung von \(d\): Einsetzen des Schnittpunkts \(S(1|2|3)\) ergibt \(-1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = -1 + 4 + 15 = 18\). Die Gleichung lautet \(-x + 2y + 5z = 18\).

a) Die Geraden legen eine Ebene fest, da sie sich im Punkt \(S(1|2|3)\) schneiden und ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind. b) Eine Koordinatengleichung der Ebene ist \(E: -x + 2y + 5z = 18\) (oder äquivalent \(x - 2y - 5z = -18\)).

- Wie berechnet man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten? - Was muss für die Spannvektoren gelten, damit sie eine Ebene aufspannen? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen möchtest, ob ein Punkt die Gleichung einer Ebene erfüllt? - Welches mathematische Verfahren hilft dir beim Lösen eines Systems mit mehreren Unbekannten?

1. Zur Aufstellung der Parameterform wird ein Stützvektor (z. B. \(\vec{p}\)) und zwei Spannvektoren (z. B. \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\)) benötigt. \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 5-2 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) Die Ebenengleichung lautet: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 2. Für die Punktprobe wird \(S\) in die Gleichung eingesetzt: \(I: 7 = 1 + 3r - 3s \Rightarrow 6 = 3r - 3s \Rightarrow 2 = r - s\) \(II: -2 = 2 - 2r + 3s \Rightarrow -4 = -2r + 3s\) \(III: -1 = 3 - 2r - 3s \Rightarrow -4 = -2r - 3s\) Addition von \(II\) und \(III\) ergibt \(-8 = -4r\), also \(r = 2\). Einsetzen in \(II\) ergibt \(-4 = -4 + 3s\), also \(s = 0\). Prüfung in \(I\): \(2 - 0 = 2\) (wahr). Da das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, liegt \(S\) in der Ebene \(E\).

1. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) (mögliche Form) 2. Der Punkt \(S\) liegt in der Ebene \(E\), da das Gleichungssystem für \(r = 2\) und \(s = 0\) gelöst wird.

- Wie viele Punkte benötigt man im Raum mindestens, um eine Ebene eindeutig festzulegen? - Überlege dir, wie du aus zwei Spannvektoren einen Vektor konstruieren kannst, der senkrecht auf der Ebene steht. - Was bedeutet es mathematisch für die Koordinaten eines Punktes, wenn er „auf einer Ebene liegt“? - Wenn du drei Punkte hast, ist die Ebene bereits „fertig“. Was passiert, wenn ein vierter Punkt dazukommt, dessen Koordinaten nicht frei wählbar sind?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ -(4 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \\ 4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -7 \\ 11 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung \(-x - 7y + 11z = d\). Einsetzen von \(A(1|1|0)\) ergibt \(-1 - 7 + 0 = -8\). Die Gleichung lautet \(x + 7y - 11z = 8\). 4. Berechnung der \(z\)-Koordinate für \(x = 4\) und \(y = 4\): \(4 + 7 \cdot 4 - 11z = 8 \Rightarrow 32 - 11z = 8 \Rightarrow 11z = 24 \Rightarrow z = \frac{24}{11} \approx 2{,}18\). 5. Da die \(z\)-Koordinate durch die anderen drei Punkte exakt festgelegt ist (\(z \approx 2{,}18\,\text{dm}\)), führt jede kleinste Abweichung der Beinlänge oder Bodenunebenheit dazu, dass der vierte Punkt nicht in der Ebene liegt, was zum Wackeln führt. Bei drei Punkten hingegen wird die Ebene immer genau durch diese Punkte definiert.

a) \(E: x + 7y - 11z = 8\) b) \(z = \frac{24}{11} \approx 2{,}18\,\text{dm}\). Ein vierter Punkt liegt nur dann in der durch die ersten drei Punkte definierten Ebene, wenn seine Koordinaten exakt die Ebenengleichung erfüllen. Da dies bei realen Böden oder Fertigungstoleranzen fast nie perfekt zutrifft, wackeln vierbeinige Tische, während ein dreibeiniger Hocker auf drei festen Auflagepunkten nicht wackelt.

- Erinnere dich an den Aufbau der Parameterform: Du benötigst einen Aufpunkt und zwei Vektoren, die die Fläche aufspannen. - Der Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren der Parameterform. - Um die Koordinatenform zu erhalten, kannst du entweder das Skalarprodukt in der Normalenform ausmultiplizieren oder den Normalenvektor direkt als Koeffizienten vor \(x, y\) und \(z\) verwenden. - Die Höhe an einer bestimmten Stelle entspricht dem \(z\)-Wert des Punktes in der Ebene bei gegebenen \(x\)- und \(y\)-Werten.

1. Parameterform mit Stützvektor \(\vec{p_1}\) und Richtungsvektoren \(\vec{u} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{P_1P_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \\ -2 \end{pmatrix}\): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n}' = \begin{pmatrix} -200 \\ 200 \\ 10\,000 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix}\). 3. Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix} = 0\). 4. Koordinatenform: \(-x + y + 50z = d\). Einsetzen von \(P_1(0|0|80)\) ergibt \(50 \cdot 80 = 4000\). Also \(E: -x + y + 50z = 4000\). 5. Berechnung der Höhe für \(x=50, y=50\): \(-50 + 50 + 50z = 4000 \Rightarrow 50z = 4000 \Rightarrow z = 80\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \\ -2 \end{pmatrix}\) (Beispiel) b) \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix}\); Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 50 \end{pmatrix} = 0\) c) \(E: -x + y + 50z = 4000\) d) Die Höhe beträgt \(z = 80\,\text{cm}\).

- Welche Punkte der Spurgeraden liegen direkt auf den Koordinatenachsen? - Erinnere dich an die Achsenabschnittsform einer Ebene: \(\frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1\). Was bedeuten \(a, b\) und \(c\)? - Wie kannst du eine Gleichung mit Brüchen in eine Form ohne Brüche umwandeln? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Ebene ist, wenn du seine Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzt?

1. Bestimmung der Spurpunkte aus den Geradengleichungen: - \(S_1(5|0|0)\) ist der gemeinsame Stützpunkt beider Geraden auf der \(x_1\)-Achse. - Für \(g_{12}\) ergibt \(r=1\) den Punkt auf der \(x_2\)-Achse: \(S_2(0|2|0)\). - Für \(g_{13}\) ergibt \(s=1\) den Punkt auf der \(x_3\)-Achse: \(S_3(0|0|10)\). 2. Aufstellen der Koordinatengleichung mit der Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{10} = 1\). Multiplikation mit dem Hauptnenner \(10\) führt zu: \(2x_1 + 5x_2 + x_3 = 10\). 3. Punktprobe für \(Q(1|1|3)\): \(2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 3 = 2 + 5 + 3 = 10\). Die Gleichung ist erfüllt (\(10 = 10\)), somit liegt \(Q\) in der Ebene \(E\).

a) \(S_1(5|0|0), S_2(0|2|0), S_3(0|0|10)\) b) \(2x_1 + 5x_2 + x_3 = 10\) c) Ja, der Punkt \(Q\) liegt in der Ebene \(E\).

- Wie gehst du vor, um gemeinsame Punkte zweier Geraden zu finden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Geraden eine einzige Ebene definieren? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Richtungsvektoren einer Ebene und ihrem Normalenvektor. - Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatenform mit dem Normalenvektor zusammen?

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(2 + r = 2 + 2s \Rightarrow r = 2s\) II: \(1 + 2r = 6 - s\) III: \(-1 + 2r = 2 + s\) Einsetzen von \(r = 2s\) in II ergibt \(1 + 4s = 6 - s \Rightarrow 5s = 5 \Rightarrow s = 1\). Daraus folgt \(r = 2\). Überprüfung in III: \(-1 + 2 \cdot 2 = 3\) und \(2 + 1 = 3\). Die Gleichung ist erfüllt. Der Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen von \(r=2\) in \(g\): \(S(4|5|3)\). 2. Da die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden nicht parallel. Da sie zudem einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, legen sie eindeutig eine Ebene fest. 3. Zur Bestimmung der Koordinatenform wird der Normalenvektor \(\vec{n}\) über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\). Ansatz für die Ebene \(E: 4x_1 + 3x_2 - 5x_3 = d\). Einsetzen des Stützpunktes von \(g\): \(4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 5 \cdot (-1) = 8 + 3 + 5 = 16\). Die Koordinatengleichung lautet \(E: 4x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 16\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(4|5|3)\). b) Die Geraden schneiden sich und sind nicht parallel, daher spannen sie eine Ebene auf. Eine Koordinatengleichung ist \(E: 4x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 16\).

- Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen. - Wenn Geraden parallel sind, wie kannst du feststellen, ob sie identisch oder echt parallel sind? - Welche Vektoren kannst du als Spannvektoren für die Ebene nutzen, wenn die Richtungsvektoren der Geraden parallel sind? - Kannst du einen Vektor finden, der von einer Geraden zur anderen führt?

1. Untersuchung der Richtungsvektoren: \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = -2 \cdot \vec{v}_g\). Die Richtungsvektoren sind kollinear, die Geraden also parallel. 2. Punktprobe: Liegt \(P(1|0|3)\) auf \(h\)? \(1 = 3 - 4k \Rightarrow k = 0{,}5\) \(0 = 2 + 2k \Rightarrow k = -1\). Widerspruch. Die Geraden sind echt parallel. 3. Da die Geraden echt parallel sind, spannen sie eine Ebene auf. Die Ebene wird durch den Richtungsvektor \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) und den Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-0 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) aufgespannt. 4. Normalenvektor: Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-2) - 4 \cdot 2 \\ 4 \cdot 2 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\). Vereinfachter Normalenvektor (Division durch 6): \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Koordinatenform \(F: -x_1 + 2x_2 + x_3 = d\). Einsetzen von \(P(1|0|3)\): \(-1 + 2 \cdot 0 + 3 = 2\). Gleichung: \(F: -x_1 + 2x_2 + x_3 = 2\).

a) Die Geraden sind echt parallel. b) Eine Koordinatengleichung der Ebene ist \(F: -x_1 + 2x_2 + x_3 = 2\) (oder ein Vielfaches davon, z. B. \(x_1 - 2x_2 - x_3 = -2\)).

- Wie prüft man, ob ein Punkt die Bedingungen einer Geradengleichung erfüllt? - Welche geometrischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Ebene eindeutig definiert ist? - Welche Vektoren innerhalb der Ebene kannst du nutzen, um eine Normalenrichtung zu finden? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten der Koordinatenform zusammen?

1. Punktprobe für \(A\) in \(h\): Aus der ersten Zeile der Geradengleichung folgt \(0 = 2 + t\), also \(t = -2\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(y = 5 - 2 \cdot (-2) = 9\). Da die Koordinate des Punktes \(A\) jedoch \(1\) ist (\(9 \neq 1\)), liegt \(A\) nicht auf \(h\). Da Punkt und Gerade nicht inzident sind, spannen sie eine eindeutige Ebene auf. 2. Aufstellen der Parameterform: Als Stützvektor wird der Stützvektor der Geraden \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) gewählt. Der erste Richtungsvektor ist der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der zweite Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz des Ortsvektors \(\overrightarrow{OA}\) und des Stützvektors \(\vec{p}\): \(\vec{v} = \overrightarrow{OA} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 1-5 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot 5 - 3 \cdot (-4) \\ 3 \cdot (-2) - 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot (-4) - (-2) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -11 \\ -8 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Koordinatengleichung: \(2x - 11y - 8z = d\). Durch Einsetzen von \(A(0|1|4)\) erhält man \(2 \cdot 0 - 11 \cdot 1 - 8 \cdot 4 = -43\). Die Gleichung lautet \(2x - 11y - 8z = -43\).

a) Die Punktprobe ergibt einen Widerspruch (\(9 \neq 1\)), daher liegt \(A\) nicht auf \(h\). b) Eine mögliche Koordinatengleichung ist \(E: 2x - 11y - 8z = -43\).

- Wie kannst du aus drei Punkten zwei Vektoren bilden, die die Ebene aufspannen? - Welcher Vektor steht senkrecht auf zwei Spannvektoren? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatengleichung zusammen? - Denke daran, dass du einen Normalenvektor durch Kürzen vereinfachen kannst, solange die Richtung gleich bleibt.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren der Ebene: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors mittels Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 4 \\ (-1) \cdot (-2) - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 - 2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform mit Stützpunkt \(P\): \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 0\). 4. Umwandeln in die Koordinatenform: \(5x_1 - 2x_2 + 6x_3 = d\). Einsetzen von \(P(1|0|2)\) ergibt \(5 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 6 \cdot 2 = 17\). Somit lautet die Koordinatenform \(5x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 17\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 0\) (oder ein Vielfaches) Koordinatenform: \(E: 5x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 17\)

- Wann genau spannen zwei Geraden im Raum eine einzige, flache Ebene auf? - Überprüfe zuerst, ob die Richtungen der beiden Geraden in die gleiche oder in unterschiedliche Richtungen weisen. - Falls sie nicht parallel sind, könnten sie sich schneiden oder aneinander vorbeilaufen (windschief sein). Wie findet man das heraus? - Wenn du einen gemeinsamen Punkt oder eine parallele Lage bestätigt hast, wie baust du daraus die Parameterform mit einem Stützpunkt und zwei Richtungen?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren auf Parallelität: Die Vektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, die Geraden sind also nicht parallel. 2. Untersuchung auf einen Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \(2 + r = 3 \implies r = 1\) \(1 = -1 + 2s \implies 2s = 2 \implies s = 1\) Prüfung der \(z\)-Koordinate: \(3 - 1 = 2\) und \(1 + 1 = 2\). 3. Da sich die Geraden im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 2)\) schneiden, legen sie eine eindeutige Ebene fest. 4. Aufstellen der Ebenengleichung: Als Stützvektor kann der Schnittpunkt oder ein Aufpunkt einer Geraden verwendet werden. Die Richtungsvektoren der Geraden dienen als Spannvektoren. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Ja, die Geraden legen eine Ebene fest, da sie sich im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 2)\) schneiden. Eine mögliche Gleichung ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Überlege dir, wie du aus drei Punkten zwei Vektoren bilden kannst, die die Ebene aufspannen. - Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Welche Rolle spielt der Normalenvektor in der Koordinatenform? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer geometrischen Figur (hier der Ebene) ist?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren aus den Differenzen der Ortsvektoren: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Parameterform mit Stützpunkt \(P\): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) \\ -((-2) \cdot 1 - (-1) \cdot 1) \\ (-2) \cdot (-1) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\). 5. Ermittlung der Koordinatenform durch Skalarprodukt oder Einsetzen: \(2x_1 + x_2 - x_3 = d\). Mit \(P(4|0|1)\) ergibt sich \(2 \cdot 4 + 0 - 1 = 7\), also \(E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 7\). 6. Punktprobe für \(S(1|4|-1)\): \(2 \cdot 1 + 4 - (-1) = 2 + 4 + 1 = 7\). Da die Gleichung erfüllt ist (\(7 = 7\)), liegt \(S\) in der Ebene \(E\).

Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: 2x_1 + x_2 - x_3 = 7\) Der Punkt \(S(1|4|-1)\) liegt in der Ebene \(E\).

- Wie können die Richtungsvektoren der Geraden für die Ebenengleichung genutzt werden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Richtungsvektoren und dem Normalenvektor. - In welcher Form lässt sich ein Punkt am einfachsten auf seine Lage in der Ebene prüfen? - Kannst du die Koordinatenform direkt aus der Normalenform herleiten?

1. Die Parameterform ergibt sich direkt aus dem Schnittpunkt als Stützvektor und den Richtungsvektoren der Geraden: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors mittels Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \\ -(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \\ 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Bestimmung der Koordinatenform: \(1 \cdot x_1 - 2 \cdot x_2 - 2 \cdot x_3 = d\). Einsetzen von \(A(1|0|2)\) ergibt \(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3\). Somit \(E: x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -3\). 5. Punktprobe für \(T(5|1|3)\): \(5 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 5 - 2 - 6 = -3\). Da \(-3 = -3\) gilt, liegt der Punkt \(T\) in der Ebene \(E\).

Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -3\) Der Punkt \(T(5|1|3)\) liegt in der Ebene \(E\).

- Wie kannst du aus einer Geraden und einem Punkt zwei Spannvektoren für eine Ebene erzeugen? - Achte darauf, dass der gewählte Punkt nicht bereits auf der Geraden liegt. - Erinnere dich an die Definition der Normalenform: Was bedeuten der Stützvektor und der Normalenvektor geometrisch?

1. Als Stützvektor wird der Aufpunkt der Geraden gewählt: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der erste Spannvektor ist der Richtungsvektor der Geraden: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der zweite Spannvektor ergibt sich aus dem Verbindungsvektor vom Aufpunkt zum Punkt \(P\): \(\vec{v} = \vec{OP} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 - 0 \\ 0 - 3 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Parameterform: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 - (-6) \\ -(0 - 8) \\ -3 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Normalenform lautet \(F: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} = 0\).

1. \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (beispielhaft) 2. \(F: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} = 0\) (oder eine dazu äquivalente Form)

- Überlege dir, welche Rolle der Richtungsvektor einer Geraden für den Normalenvektor einer dazu senkrechten Ebene spielt. - Wie viele linear unabhängige Richtungsvektoren benötigt eine Ebene und wie hängen diese mit einer enthaltenen Geraden zusammen? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor gelten, damit Parallelität vorliegt? - Wie unterscheidet man zwischen einer Geraden, die in einer Ebene liegt, und einer, die echt parallel dazu verläuft?

1. Der Richtungsvektor der Geraden \(g\) ist \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Da die Ebene \(E\) orthogonal zu \(g\) ist, dient dieser als Normalenvektor \(\vec{n}_E\). Der Ansatz \(2x_1 + 2x_2 - x_3 = d\) mit dem Punkt \(P(4| 1| 0)\) ergibt \(2 \cdot 4 + 2(1) - 0 = 10\). Somit lautet die Gleichung \(E: 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 10\). 2. Eine Ebene, die \(g\) enthält, kann den Stützpunkt \(A\) und den Richtungsvektor \(\vec{v}\) von \(g\) übernehmen. Als zweiten Richtungsvektor wählt man einen beliebigen Vektor \(\vec{w}\), der kein Vielfaches von \(\vec{v}\) ist, zum Beispiel \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Ebene ist \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Der Normalenvektor von \(H\) ist \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{n}_H \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 0\), womit \(g\) parallel zu \(H\) ist. Eine Punktprobe mit \(A(1| -2| 3)\) in \(H\) ergibt \(1 + 2(3) = 7 \neq 10\). Da der Punkt nicht in der Ebene liegt, ist die Gerade echt parallel.

1. \(E: 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 10\) 2. \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (beispielhaft) 3. Ja, die Gerade ist echt parallel, da \(\vec{n}_H \cdot \vec{v} = 0\) gilt und die Punktprobe nicht erfüllt ist (\(7 \neq 10\)).

- Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an den Weg von der Parameterform zur Koordinatenform mithilfe des Kreuzprodukts. - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt die Bedingungen einer Ebenengleichung erfüllt?

1. Berechnung der Koordinaten der Punkte \(P\) und \(Q\) als Mittelpunkte: \(P = \frac{1}{2}(A+S) = (3|0|6)\) \(Q = \frac{1}{2}(B+S) = (0|4|6)\) Der Punkt \(R\) ist mit \((0|0|4)\) gegeben. 2. Aufstellen der Ebene \(E\) in Parameterform (Stützpunkt \(R\)): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) 3. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -8 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Koordinatenform \(4x_1 + 3x_2 - 6x_3 = d\). Einsetzen von \(R(0|0|4)\) ergibt \(d = -24\). Die Gleichung lautet \(E: 4x_1 + 3x_2 - 6x_3 = -24\). 5. Punktprobe für \(T(1{,}5|2|6)\): \(4 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot 2 - 6 \cdot 6 = 6 + 6 - 36 = -24\). Die Bedingung ist erfüllt, der Punkt \(T\) liegt in der Ebene \(E\).

a) \(E: 4x_1 + 3x_2 - 6x_3 = -24\) (oder ein Vielfaches davon) b) Ja, der Punkt \(T\) liegt in der Ebene \(E\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wie viele Unbekannte hast du in der allgemeinen Form und wie viele Informationen liefern dir die drei Punkte? - Überlege dir, warum es nicht nur eine einzige richtige Kombination für die Werte von \(a, b, c\) und \(d\) geben kann. - Versuche, eine der Variablen auf einen praktischen Wert festzulegen, um die anderen leichter berechnen zu können.

1. Durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die allgemeine Form \(ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0\) entstehen drei lineare Gleichungen: \(A(3|0|0) \implies 3a + d = 0\) \(B(0|0|2) \implies 2c + d = 0\) \(C(1|-1|1) \implies a - b + c + d = 0\) 2. Da eine Ebene durch unendlich viele kollineare Normalenvektoren beschrieben werden kann, ist das System unterbestimmt. Eine Variable, die nicht null sein muss, kann frei gewählt werden. 3. Wählt man \(d = -6\), so folgt aus der ersten Gleichung \(3a - 6 = 0 \implies a = 2\). 4. Aus der zweiten Gleichung folgt \(2c - 6 = 0 \implies c = 3\). 5. Einsetzen in die dritte Gleichung: \(2 - b + 3 - 6 = 0 \implies -b - 1 = 0 \implies b = -1\). 6. Die Koordinatengleichung lautet somit \(2x_1 - x_2 + 3x_3 - 6 = 0\).

Eine mögliche Koordinatengleichung ist \(E: 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 6 = 0\).

- Nutze die Symmetrie des Quadrats, um den fehlenden Eckpunkt zu finden. - Überlege, welche Koordinate bei allen Punkten der Grundfläche identisch ist. - Für den Nachweis der Gleichschenkligkeit musst du nur zwei der drei Seitenlängen vergleichen. - Ein Normalenvektor steht senkrecht auf zwei Spannvektoren der Ebene. - Die Höhe einer Pyramide ist die senkrechte Entfernung der Spitze von der Grundfläche.

1. Da \(ABCD\) ein Quadrat in der Ebene \(x_3=2\) ist, ergibt sich der Mittelpunkt der Grundfläche aus dem Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) zu \(M(0|0|2)\). Durch Spiegelung von \(B\) an \(M\) oder Vektoraddition \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{BM}\) folgt \(D(0|-6|2)\). Die Ebene \(E\) hat die Gleichung \(x_3 = 2\) und liegt somit parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene im Abstand 2. 2. Zur Überprüfung der Gleichschenkligkeit berechnet man die Seitenlängen: \(|\vec{AS}| = \sqrt{(0-6)^2 + (0-0)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{36+64} = 10\) und \(|\vec{BS}| = \sqrt{(0-0)^2 + (0-6)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{36+64} = 10\). Da \(|\vec{AS}| = |\vec{BS}|\), ist das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig mit der Basis \(AB\). 3. Für die Ebene \(F\) durch \(A(6|0|2)\), \(B(0|6|2)\) und \(S(0|0|10)\) wählt man zwei Richtungsvektoren, z. B. \(\vec{AB} = (-6|6|0)\) und \(\vec{AS} = (-6|0|8)\). Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AS}\) ist ein Normalenvektor: \(\vec{n} = (48|48|36)\), was kollinear zu \((4|4|3)\) ist. Die Koordinatengleichung hat die Form \(4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = d\). Einsetzen von \(S\) liefert \(d = 3 \cdot 10 = 30\). Somit gilt \(F: 4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 30\). 4. Das Volumen berechnet sich über \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\). Die Grundfläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge \(a = |\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{72}\), also \(G = 72\). Die Höhe ist der Abstand der Spitze \(S(0|0|10)\) zur Ebene \(E\) (\(z=2\)), also \(h = 10 - 2 = 8\). Daraus folgt \(V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 8 = 192\).

a) \(D(0|-6|2)\); die Ebene \(E\) ist parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. b) \(|\vec{AS}| = 10\), \(|\vec{BS}| = 10\), also gleichschenklig. c) \(F: 4x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 30\) d) \(V = 192\)

- Überlege dir, wie du aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebene konstruieren kannst. - Wie hängen die Richtungsvektoren mit den gegebenen Punkten zusammen? - Um von der Parameterform zur Koordinatenform zu gelangen, benötigst du einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie berechnet man einen Vektor, der auf zwei anderen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Was passiert mit der allgemeinen Koordinatengleichung, wenn du einen der bekannten Punkte einsetzt?

1. Aufstellen der Parameterform: Als Stützvektor wird der Ortsvektor \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) gewählt. Die Richtungsvektoren ergeben sich aus den Differenzen der Ortsvektoren: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 5-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 0 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatenform: Mit dem Ansatz \(3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d\) und Einsetzen von \(A(1|2|3)\) ergibt sich \(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 16\). Die Gleichung lautet \(3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 16\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) b) \(E: 3x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 16\)

- Wie kannst du aus drei Punkten zwei Vektoren bilden, die die Ebene aufspannen? - Erinnere dich an das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt, um die Normalenform zu finden. - Welche Eigenschaft muss ein Punkt erfüllen, um in einer Ebene zu liegen, wenn du die Ebenengleichung betrachtest? - Kannst du die Normalenform in eine einfache Summe der Koordinaten umschreiben, um den Punkt leichter zu prüfen?

1. Parameterform aufstellen: Stützvektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\), Spannvektoren \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). Somit \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Normalenform bestimmen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 16 \end{pmatrix}\). Gekürzt ergibt sich der Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Normalenform lautet \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). 3. Punktprobe: Setze \(S(3|3|4)\) in die Koordinatenform \(x_1 + x_2 + x_3 = 10\) ein (resultierend aus der Normalenform): \(3 + 3 + 4 = 10\). Da die Gleichung \(10 = 10\) erfüllt ist, liegt der Punkt \(S\) in der Ebene \(E\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\) b) \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\) c) Ja, der Punkt \(S\) liegt in der Ebene, da \(3+3+4=10\) gilt.

- Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Welche Vektoren spannen die Ebene auf, wenn eine Gerade und ein Punkt gegeben sind? - Wie berechnet man aus zwei Richtungsvektoren einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht? - Erinnerst du dich, wie man einen Normalenvektor in eine Koordinatengleichung umwandelt?

1. Überprüfung der Punktlage: Ansatz \(\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Zeile folgt \(s = 2\). Einsetzen in die zweite Zeile ergibt \(1 = 2 + 0\), was ein Widerspruch ist. Somit liegt \(P\) nicht auf \(h\). 2. Aufstellen der Parameterform: Stützvektor der Ebene ist der Stützvektor von \(h\), Richtungsvektoren sind der Richtungsvektor von \(h\), \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\), und der Verbindungsvektor \(\vec{v} = \vec{OP} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Aufstellen der Koordinatenform: \(2x_1 - x_3 = d\). Einsetzen des Punktes \((3|2|-1)\) ergibt \(2 \cdot 3 - (-1) = 7\). Die Gleichung lautet \(2x_1 - x_3 = 7\).

a) Der Punkt \(P\) liegt nicht auf \(h\), da die Punktprobe auf einen Widerspruch führt (\(1 \neq 2\)). b) \(E: 2x_1 - x_3 = 7\)

- Was muss gelten, damit ein Punkt auf einer Geraden liegt? Setze den Ortsvektor des Punktes für \(\vec{x}\) in die Geradengleichung ein. - Eine Ebene, die eine Gerade enthält, übernimmt deren Richtungsvektor als einen ihrer eigenen Spannvektoren. - Wie findest du einen zweiten Spannvektor, wenn du einen weiteren Punkt der Ebene kennst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Kreuzprodukt der Spannvektoren und der Koordinatenform. - Was sagt der Normalenvektor über die Koeffizienten in der Koordinatengleichung aus?

1. Punktprobe für \(P\) auf \(g\): Die Gleichung \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) führt in der zweiten Zeile auf den Widerspruch \(4 = 2\). Somit liegt \(P\) nicht auf \(g\). 2. Parameterform aufstellen: Als Stützvektor wird der Stützvektor von \(g\) gewählt, als erster Spannvektor der Richtungsvektor von \(g\). Der zweite Spannvektor ergibt sich aus der Differenz des Ortsvektors \(\overrightarrow{OP}\) und des Stützvektors von \(g\): \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 4-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Es folgt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Umwandlung in Koordinatenform: Ein Normalenvektor \(\vec{n}\) wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren bestimmt: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Vereinfacht kann \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) verwendet werden. 4. Die Form \(x_1 + 2x_3 = d\) mit dem Punkt \(P(5|4|1)\) ergibt \(1 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 7\). Die Koordinatengleichung lautet \(x_1 + 2x_3 = 7\).

a) Die Punktprobe führt zu einem Widerspruch (\(4 \neq 2\)). b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) c) \(x_1 + 2x_3 = 7\)

- Wann liegen zwei Geraden in derselben Ebene, ohne identisch zu sein? - Wie hängen die Richtungsvektoren bei Parallelität zusammen? - Um eine Koordinatengleichung zu finden, benötigst du einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie kannst du aus zwei Spannvektoren einen Normalenvektor berechnen?

1. Bedingungen: Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein (\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\) mit \(k \neq 0\)). Zudem müssen die Geraden verschieden sein, d. h. der Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{q} - \vec{p}\) darf kein Vielfaches des Richtungsvektors \(\vec{u}\) sein. 2. Parameterform aufstellen: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Normalenvektor bestimmen: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\). 4. Koordinatenform: Ansatz \(x - 2y + 7z = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((1 \mid -1 \mid 2)\): \(1 - 2 \cdot (-1) + 7 \cdot 2 = 1 + 2 + 14 = 17\). Die Gleichung lautet \(x - 2y + 7z = 17\).

a) Die Richtungsvektoren müssen linear abhängig sein (\(\vec{u} = k \cdot \vec{v}\)); der Differenzvektor der Stützpunkte darf kein Vielfaches des Richtungsvektors sein. b) \(x - 2y + 7z = 17\)

- Zwei Geraden legen genau dann eine Ebene fest, wenn sie entweder parallel (aber nicht identisch) sind oder sich schneiden. - Untersuche zuerst die Richtungsvektoren auf Parallelität. - Wenn die Geraden nicht parallel sind, prüfe, ob sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. - Was bedeutet es für eine mögliche Ebene, wenn die Geraden windschief sind?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a: Die Richtungsvektoren \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) sind keine Vielfachen voneinander, also nicht parallel. Prüfung auf Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \( 3 + \lambda = 4 \implies \lambda = 1 \); \( 2\lambda = 2 + \mu \implies 2 = 2 + \mu \implies \mu = 0 \); \( 2 = 2 + \mu \implies 2 = 2 \) (wahr). Die Geraden schneiden sich im Punkt \( S(4|2|2) \). Da sie sich schneiden, legen sie eine eindeutige Ebene fest. 2. Untersuchung von Teilaufgabe b: Die Richtungsvektoren \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) sind nicht parallel. Prüfung auf Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \( 2 + \lambda = 2 \implies \lambda = 0 \); \( 1 + \lambda = 1 + \mu \implies 1 = 1 + \mu \implies \mu = 0 \); \( 3 = 4 + \mu \implies 3 = 4 \) (Widerspruch). Die Geraden sind windschief. Da windschiefe Geraden nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen können, wird keine Ebene festgelegt.

a) Ja, die Geraden legen eine Ebene fest, da sie sich im Punkt \( S(4|2|2) \) schneiden. b) Nein, es wird keine Ebene festgelegt, da die Geraden windschief sind.

- Woran erkennst du, dass vier Punkte in einer Ebene liegen? - Wie kannst du aus drei Punkten eine Ebene beschreiben? - Welche Bedingungen müssen für die Parameter gelten, damit ein Punkt Teil einer Ebene ist? - Könntest du statt der Parameterform auch die Normalenform oder Koordinatenform der Ebene nutzen?

1. Aufstellen einer Ebenengleichung in Parameterform durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\): \(E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) 2. Durchführen der Punktprobe mit \(D(7|6|-2)\): I: \(2 + 3r - s = 7 \Rightarrow 3r - s = 5\) II: \(1 + r + 3s = 6 \Rightarrow r + 3s = 5\) III: \(3 - 2r - s = -2 \Rightarrow 2r + s = 5\) 3. Lösen des Gleichungssystems: Addition von I und III ergibt \(5r = 10\), also \(r = 2\). Einsetzen von \(r\) in III ergibt \(2 \cdot 2 + s = 5\), also \(s = 1\). 4. Überprüfung in Gleichung II: \(2 + 3 \cdot 1 = 5\) (wahre Aussage). 5. Da das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt, liegt der Punkt \(D\) in der Ebene \(E\). Somit liegen alle vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene.

Ja, die Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene, da die Punktprobe für \(D\) in der von \(A, B, C\) aufgespannten Ebene ein konsistentes Ergebnis liefert (mit den Parametern \(r=2\) und \(s=1\)).

- Wie kannst du aus drei Punkten zwei Richtungsvektoren bilden, die in der Ebene liegen? - Welche Eigenschaft muss ein Vektor haben, der senkrecht auf einer Ebene steht? - Erinnerst du dich, wie man einen Vektor findet, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Wenn du die linke Seite der Koordinatengleichung hast, wie findest du dann die Zahl auf der rechten Seite heraus?

1. Aufstellen der Spannvektoren: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{PR} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors mittels Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ -12 \\ -9 \end{pmatrix}\). Ein kollinearer Normalenvektor ist \(\vec{n}' = \begin{pmatrix} 2 \\ 12 \\ 9 \end{pmatrix}\). 3. Ansatz der Koordinatengleichung: \(2x_1 + 12x_2 + 9x_3 = d\). 4. Einsetzen des Punktes \(P(2|3|0)\) zur Bestimmung von \(d\): \(2 \cdot 2 + 12 \cdot 3 + 9 \cdot 0 = 40\). 5. Aufstellen der fertigen Gleichung: \(2x_1 + 12x_2 + 9x_3 = 40\).

\(2x_1 + 12x_2 + 9x_3 = 40\)

- Um den Schnittpunkt zu finden, kannst du die Terme der Geradengleichungen komponentenweise gleichsetzen. - Für die Parameterform einer Ebene, die von zwei sich schneidenden Geraden aufgespannt wird, kannst du den Schnittpunkt als Stützpunkt wählen. - Der Normalenvektor der Ebene steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Geraden. - Verwende den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene, um die Koordinatenform aufzustellen.

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(3 + t = 2 + 2s\) II: \(4 + 2t = 2 + s\) III: \(1 - t = 2 + s\) Aus III folgt \(t = -1 - s\). Einsetzen in I ergibt \(3 - 1 - s = 2 + 2s \Rightarrow 2 - s = 2 + 2s \Rightarrow s = 0\). Daraus folgt \(t = -1\). Die Probe in II (\(4 - 2 = 2 + 0\)) bestätigt die Lösung. Der Schnittpunkt ist \(S(2|2|2)\). 2. Die Ebene wird durch den Schnittpunkt und die Richtungsvektoren der Geraden aufgespannt: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 3. Der Normalenvektor \(\vec{n}\) ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}\). Mit dem vereinfachten Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) lautet der Ansatz: \(x_1 - x_2 - x_3 = d\). Einsetzen von \(S(2|2|2)\) liefert \(2 - 2 - 2 = -2\), also \(x_1 - x_2 - x_3 = -2\) bzw. \(-x_1 + x_2 + x_3 = 2\).

1. Schnittpunkt \(S(2|2|2)\). 2. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (andere Stützpunkte möglich). 3. \(E: x_1 - x_2 - x_3 = -2\) oder \(-x_1 + x_2 + x_3 = 2\).

- Überlege, wie du aus den Informationen der Geraden und dem zusätzlichen Punkt zwei Richtungsvektoren für die Ebene gewinnen kannst. - Wie stellst du sicher, dass die beiden Richtungsvektoren nicht in die gleiche Richtung zeigen? - Erinnere dich an das Kreuzprodukt, um einen Vektor zu finden, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie nutzt du den Normalenvektor, um die Koeffizienten der Koordinatengleichung zu bestimmen? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Ebene ist, deren Gleichung du bereits kennst?

1. Als Stützvektor der Ebene wird der Stützvektor der Geraden \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) gewählt. Die Spannvektoren ergeben sich aus dem Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Differenzvektor zwischen \(Q\) und dem Stützpunkt der Geraden: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ -1-2 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Parameterform lautet \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Der Normalenvektor \(\vec{n}\) wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes in den Ansatz \(3x_1 - 2x_2 - 3x_3 = d\) ergibt \(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 - 3 \cdot 0 = -1\). Die Koordinatengleichung ist \(E: 3x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -1\). 3. Punktprobe für \(P(4|-1|5)\): \(3 \cdot 4 - 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 5 = 12 + 2 - 15 = -1\). Da die Gleichung erfüllt ist (\(-1 = -1\)), liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\).

1. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\) 2. \(E: 3x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -1\) 3. Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\).

- Wie kannst du aus drei Punkten einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren für eine Ebene bilden? - Ein Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren der Ebene. Welches Rechenverfahren hilft dir hierbei? - Wie hängen der Normalenvektor und die Koeffizienten in der Koordinatengleichung zusammen? - Wenn ein Punkt in einer Ebene liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung der Ebene erfüllen.

1. Aufstellen der Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\) und den Spannvektoren \(\vec{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung der Koordinatengleichung: Der Normalenvektor \(\vec{n}\) wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit dem Ansatz \(2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = d\) und Einsetzen von \(A(4|1|1)\) folgt \(2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 13\). Die Koordinatengleichung lautet \(2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 13\). 3. Punktprobe für \(D(1|2|z)\): Einsetzen der Koordinaten von \(D\) in die Gleichung ergibt \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot z = 13\). Dies führt zu \(8 + 2z = 13\), also \(2z = 5\) und somit \(z = 2{,}5\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) b) \(E: 2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 13\) c) \(z = 2{,}5\)

- Wann sind drei Punkte kollinear (liegen auf einer Geraden)? Überprüfe die Richtungsvektoren zwischen ihnen. - Für die Koordinatenform benötigst du einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - Was zeichnet einen Punkt aus, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? Welche Koordinaten müssen dann Null sein?

1. Überprüfung auf Kollinearität: Die Richtungsvektoren \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) werden auf lineare Abhängigkeit geprüft. Da es kein \(k\) gibt mit \(k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (da \(2k = -1 \implies k = -0{,}5\), aber \(-1 \cdot (-0{,}5) \neq 2\)), sind die Vektoren linear unabhängig. Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. 2. Koordinatenform bestimmen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) ist der Normalenvektor \( \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Ansatz \(-2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d\) mit Punkt \(P(1|2|3)\) liefert \(-2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 11\). Die Gleichung ist \(-2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 11\). 3. Berechnung der Spurpunkte: - \(S_1\) (\(x_1\)-Achse, \(x_2=0, x_3=0\)): \(-2x_1 = 11 \implies x_1 = -5{,}5 \implies S_1(-5{,}5|0|0)\). - \(S_2\) (\(x_2\)-Achse, \(x_1=0, x_3=0\)): \(2x_2 = 11 \implies x_2 = 5{,}5 \implies S_2(0|5{,}5|0)\). - \(S_3\) (\(x_3\)-Achse, \(x_1=0, x_2=0\)): \(3x_3 = 11 \implies x_3 = \frac{11}{3} \implies S_3(0|0|\frac{11}{3})\).

a) Die Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) sind keine Vielfachen voneinander, daher sind die Punkte nicht kollinear. b) \(E: -2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 11\) c) \(S_1(-5{,}5|0|0)\), \(S_2(0|5{,}5|0)\), \(S_3(0|0|\frac{11}{3})\)

- Was muss passieren, wenn du die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt, damit die Gerade in der Ebene liegt? - Ein Normalenvektor einer Ebene muss senkrecht auf jedem Vektor stehen, der in der Ebene verläuft. - Wie stellst du sicher, dass die neue Ebene nicht genau dieselbe Lage wie die erste Ebene hat? - Welche Rolle spielt der Stützpunkt der Geraden bei der Aufstellung der neuen Ebene?

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung von \(E_1\): \(2 \cdot (2 + s) - (0 + 2s) = 4 + 2s - 2s = 4\). Da die Gleichung für alle \(s \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, liegt \(g\) in \(E_1\). 2. Bestimmung eines Normalenvektors \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\) für \(E_2\), der orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Geraden ist. Es muss gelten: \(1 \cdot n_1 + 2 \cdot n_2 - 1 \cdot n_3 = 0\). Eine mögliche Lösung ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Prüfung auf lineare Unabhängigkeit: Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_2\) kein Vielfaches von \(\vec{n}_1\) ist, sind die Ebenen weder parallel noch identisch. 4. Bestimmung des Parameters \(d\) durch Einsetzen des Stützpunktes \(P(2|0|1)\) in die Form \(x_1 + x_3 = d\): \(2 + 1 = 3\). Somit ist \(E_2: x_1 + x_3 = 3\).

Die Gerade \(g\) liegt in \(E_1\), da das Einsetzen die Identität \(4 = 4\) ergibt. Eine mögliche Ebene ist \(E_2: x_1 + x_3 = 3\).

- Wie prüfst du, ob zwei Vektoren parallel zueinander sind? - Welche Vektoren benötigst du, um eine Ebene aufzuspannen? - Wie hilft dir das Kreuzprodukt (Vektorprodukt), um von der Parameterform zur Koordinatenform zu gelangen? - Welche Eigenschaften haben Punkte, die auf einer der Koordinatenachsen liegen?

1. Überprüfung der Kollinearität: Die Richtungsvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander (aus \(3 = -k\) folgt \(k = -3\), aber \(-1 \neq 3 \cdot (-3)\)). Die Punkte liegen somit nicht auf einer Geraden. 2. Parameterform: Mit \(A\) als Stützpunkt und den Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) als Spannvektoren ergibt sich \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatenform: Ein Normalenvektor wird über das Kreuzprodukt der Spannvektoren berechnet: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\). Einsetzen eines Punktes (z. B. \(A\)) in den Ansatz \(7x_1 + 5x_2 + 8x_3 = d\) liefert \(7 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 8 \cdot 3 = 43\). Die Gleichung lautet \(7x_1 + 5x_2 + 8x_3 = 43\). 4. Schnittpunkt mit der \(x_1\)-Achse: Setze \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\) in die Koordinatengleichung ein: \(7x_1 = 43 \Rightarrow x_1 = \frac{43}{7}\). Der Schnittpunkt ist \(S\left(\frac{43}{7} \big| 0 \big| 0\right)\).

a) Da \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) linear unabhängig sind, liegen die Punkte nicht auf einer Geraden. b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) (Beispiel) c) \(E: 7x_1 + 5x_2 + 8x_3 = 43\) d) \(S\left(\frac{43}{7} \big| 0 \big| 0\right)\)

- Was passiert bei einer Punktprobe, wenn ein Punkt nicht auf einer Geraden liegt? - Wie kannst du aus einem Punkt und einer Geraden zwei Spannvektoren für eine Ebene gewinnen? - Wie testest du am einfachsten, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wenn du die Koordinatengleichung bereits hast?

1. Punktprobe für \(P\) auf \(h\): Das Gleichungssystem \(1 = 4 + t\), \(2 = 0 + t\), \(1 = -2 + 3t\) führt auf \(t = -3\) und \(t = 2\). Da dies ein Widerspruch ist, liegt \(P\) nicht auf \(h\). 2. Aufstellen der Ebene: Als Stützvektor wird der Aufpunkt der Geraden \(A(4|0|-2)\) gewählt. Spannvektoren sind der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und der Vektor \(\vec{AP} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{AP}\) ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -3 \\ -12 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(-3x_1 - 12x_2 + 5x_3 = d\). Mit \(A\) folgt \(d = -12 - 0 - 10 = -22\). Umgeformt ergibt sich \(3x_1 + 12x_2 - 5x_3 = 22\). 4. Punktprobe für \(R(2|3|4)\): Einsetzen in die Koordinatengleichung: \(3 \cdot 2 + 12 \cdot 3 - 5 \cdot 4 = 6 + 36 - 20 = 22\). Die Aussage \(22 = 22\) ist wahr, also liegt \(R\) in der Ebene \(F\).

a) Die Punktprobe führt zu einem Widerspruch (\(t = -3\) und \(t = 2\)), daher \(P \notin h\). b) \(F: 3x_1 + 12x_2 - 5x_3 = 22\) c) Ja, \(R\) liegt in \(F\), da die Koordinatengleichung erfüllt ist (\(22 = 22\)).

- Wie hängen die Richtungsvektoren einer Ebene mit ihrem Normalenvektor zusammen? - Welche geometrische Bedingung muss für die Seitenlängen und die Winkel in einem Quadrat gelten? - Wo genau liegt die Spitze einer geraden Pyramide in Relation zur Grundfläche? - Wie kannst du die Höhe mithilfe eines Normalenvektors darstellen?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{BC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Einsetzen eines Punktes (z. B. \(A\)) in \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) ergibt \(d = 9\). Koordinatengleichung: \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 9\). 3. Nachweis der Eigenschaften: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 = 0\) zeigt die Orthogonalität. 4. Bestimmung von \(D\): \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 5. Mittelpunkt der Grundfläche: \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right) = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 3 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\), also \(M(4{,}5|3|1{,}5)\). 6. Berechnung der Spitze \(S\): Der Normaleneinheitsvektor ist \(\vec{n}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit \(h=9\) folgt \(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OM} \pm 9 \cdot \vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 3 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Mögliche Spitzen sind \(S_1(10{,}5 | 0 | 7{,}5)\) oder \(S_2(-1{,}5 | 6 | -4{,}5)\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\); \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 9\) b) \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 3\) und \(\vec{AB} \perp \vec{BC}\); \(D(3|3|3)\) c) \(S_1(10{,}5 | 0 | 7{,}5)\) oder \(S_2(-1{,}5 | 6 | -4{,}5)\)

- Wie bildet man aus drei Punkten zwei Spannvektoren für eine Ebene? - Erinnerst du dich, wie man mit dem Kreuzprodukt einen Vektor findet, der senkrecht auf einer Ebene steht? - Was muss für die Längen der Verbindungsvektoren in einem gleichseitigen Dreieck gelten? - Wie berechnet man den Mittelwert von Koordinaten, um den Schwerpunkt zu finden?

1. Richtungsvektoren der Ebene: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(r, s \in \mathbb{R}\). 3. Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Koordinatenform mit Punkt \(A\): \(1 \cdot (x_1-2) + 1 \cdot (x_2-2) + 1 \cdot (x_3-4) = 0 \Rightarrow x_1+x_2+x_3=8\). 5. Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(|\vec{AC}| = \sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}\), \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2}\). Damit ist das Dreieck \(ABC\) gleichseitig. 6. Schwerpunkt: \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\begin{pmatrix} \frac{8}{3} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}\), also \(G\left(\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\right)\).

a) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), Koordinatenform: \(x_1+x_2+x_3=8\) b) Das Dreieck \(ABC\) ist gleichseitig mit Seitenlänge \(2\sqrt{2}\). Der Schwerpunkt ist \(G\left(\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\middle|\frac{8}{3}\right)\).

- Welche besondere Eigenschaft haben Normalenvektoren von Ebenen, die senkrecht auf den Koordinatenebenen stehen? - Wenn eine Ebene eine Gerade enthält, welche Beziehung besteht dann zwischen ihrem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden? - Wann genau nennt man eine Gerade und eine Ebene „senkrecht“ zueinander? Achte auf den Unterschied zwischen dem Normalenvektor der Ebene und der Ebene selbst. - Wie kannst du durch das Skalarprodukt ausschließen, dass zwei Vektoren orthogonal sind?

1. Eine Ebene senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene hat einen Normalenvektor der Form \(\vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Damit die Ebene die Gerade \(h\) enthält, muss das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) null sein: \(n_1 \cdot 1 + n_2 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow n_1 = n_2\). Mit \(n_1 = n_2 = 1\) ergibt sich der Ansatz \(x_1 + x_2 = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((0| 4| 2)\) liefert \(0 + 4 = 4\). Die Ebene ist \(E: x_1 + x_2 = 4\). 2. Für eine Ebene \(G\), die weder parallel noch senkrecht zu \(h\) ist, darf der Normalenvektor \(\vec{n}_G\) weder orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v}\) sein (Skalarprodukt ungleich 0) noch ein Vielfaches von \(\vec{v}\) sein. Wählt man \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), so ist \(\vec{n}_G \cdot \vec{v} = 1 \neq 0\) (nicht parallel) und \(\vec{n}_G\) ist offensichtlich kein Vielfaches von \(\vec{v}\) (nicht senkrecht).

1. \(E: x_1 + x_2 = 4\) 2. \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (beispielhaft)

- Ein Normalenvektor, der eine Null-Komponente hat, deutet auf eine parallele Lage zu einer Achse hin. - Vergleiche die Abstände zwischen den Eckpunkten, um die Art des Dreiecks zu bestimmen. - Zerlege den Tetraeder gedanklich in eine Grundfläche in einer Koordinatenebene und eine dazu senkrechte Höhe. - Die \(x_3\)-Achse besteht aus allen Punkten, deren \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten Null sind.

1. Richtungsvektoren von \(H\): \(\vec{LM} = (-4|4|0)\) und \(\vec{LN} = (-2|2|4)\). Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{LM}\) und \(\vec{LN}\) ist \(\vec{n} = (16|16|0)\), vereinfacht \((1|1|0)\). Die Gleichung lautet \(x_1 + x_2 = d\). Mit \(L(4|0|0)\) folgt \(d=4\). Also \(H: x_1 + x_2 = 4\). 2. Seitenlängen berechnen: \(|\vec{LN}| = \sqrt{(2-4)^2 + (2-0)^2 + 4^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24}\). \(|\vec{MN}| = \sqrt{(2-0)^2 + (2-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24}\). Da \(|\vec{LN}| = |\vec{MN}|\), ist das Dreieck gleichschenklig. 3. Das Volumen des Tetraeders \(OLMN\) lässt sich über die Spatprodukt-Formel berechnen: \(V = \frac{1}{6} \cdot |\vec{w} \cdot \overrightarrow{ON}|\), wobei \(\vec{w}\) das Kreuzprodukt von \(\overrightarrow{OL}\) und \(\overrightarrow{OM}\) ist. Mit \(\vec{w} = (0|0|16)\) ergibt sich \(V = \frac{1}{6} \cdot |0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 16 \cdot 4| = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\). Alternativ: Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene ist das Dreieck \(OLM\) mit \(G = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\) und Höhe \(h = z_N = 4\). \(V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4 = \frac{32}{3}\). 4. Die Grundfläche des Tetraeders \(OLMP\) ist das Dreieck \(OLM\) in der \(x_1x_2\)-Ebene mit \(G=8\). Das Volumen ist \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot h = 16\). Daraus folgt \(h = \frac{16 \cdot 3}{8} = 6\). Da \(P\) auf der \(x_3\)-Achse liegt, ist \(P(0|0|6)\) oder \(P(0|0|-6)\).

a) \(H: x_1 + x_2 = 4\) b) \(|\vec{LN}| = |\vec{MN}| = \sqrt{24}\) c) \(V = \frac{32}{3}\) d) \(P(0|0|6)\) oder \(P(0|0|-6)\)

- Was passiert mit der allgemeinen Gleichung, wenn du einen Punkt einsetzt? - Du hast vier Unbekannte (\(a, b, c, d\)), aber nur drei Gleichungen. Warum ist das bei einer Ebene kein Problem? - Versuche, alle Variablen durch eine einzige (z. B. \(d\)) auszudrücken. - Du darfst hier für \(d\) einen von null verschiedenen Wert wählen, um konkrete Werte für \(a, b, c\) zu erhalten; eine gemeinsame Skalierung aller Koeffizienten beschreibt dieselbe Ebene.

Durch Einsetzen der Punkte \(A, B, C\) in den Ansatz \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) entsteht folgendes System: (1) \(1a + 2b + 0c = d\) (2) \(0a + 4b + 1c = d\) (3) \(2a + 1b + 3c = d\) Aus (1) folgt \(a = d - 2b\) und aus (2) folgt \(c = d - 4b\). Diese Ausdrücke werden in (3) eingesetzt: \(2 \cdot (d - 2b) + b + 3 \cdot (d - 4b) = d\) \(2d - 4b + b + 3d - 12b = d\) \(5d - 15b = d \Rightarrow 4d = 15b \Rightarrow b = \frac{4}{15}d\). Wählt man \(d = 15\), ergibt sich \(b = 4\). Daraus folgt \(a = 15 - 2 \cdot 4 = 7\) und \(c = 15 - 4 \cdot 4 = -1\). Die Koeffizienten sind somit \(a = 7\), \(b = 4\), \(c = -1\) für \(d = 15\).

Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet \(7x_1 + 4x_2 - x_3 = 15\).

- Wie hängen die Richtungsvektoren zusammen, wenn Geraden parallel sind? - Vergiss nicht zu prüfen, ob ein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegt, um echte Parallelität zu bestätigen. - Bei parallelen Geraden benötigst du für die Ebene einen Richtungsvektor und einen Vektor, der die beiden Geraden verbindet. - Der Normalenvektor muss senkrecht auf der gesamten Ebene stehen.

1. Die Richtungsvektoren sind kollinear, da \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Eine Punktprobe mit \(P(0|1|0)\) in \(g_1\) führt zu \(1 + 2r = 0 \Rightarrow r = -0{,}5\). Einsetzen in die zweite Komponente: \(2 - 2 \cdot (-0{,}5) = 3 \neq 1\). Da der Punkt nicht auf \(g_1\) liegt, sind die Geraden echt parallel. 2. Als Spannvektoren dienen ein Richtungsvektor (z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)) und der Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 1-2 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\). \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\). 3. Normalenvektor über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Ansatz: \(-5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\). Punktprobe mit \((0|1|0)\) ergibt \(d = -1\). Gleichung: \(-5x_1 - x_2 + 2x_3 = -1\) oder \(5x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\).

1. Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander; Punktprobe negativ. 2. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) (Beispiel). 3. \(E: 5x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\).

- Wie hängen die Richtungsvektoren zusammen, wenn zwei Geraden parallel sind? - Wie kannst du ausschließen, dass zwei parallele Geraden eigentlich dieselbe Gerade beschreiben? - Wenn du zwei parallele Geraden hast, wie findest du einen Vektor, der „zwischen“ den Geraden spannt? - Nutze den Normalenvektor, um direkt zur Koordinatenform zu gelangen.

1. Die Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\). Somit sind die Geraden parallel. Die Punktprobe mit dem Stützpunkt \(A_g(0|1|2)\) in \(h\) führt auf das System \(0 = 3 - 4t \Rightarrow t = 0{,}75\), \(1 = 0 + 2t \Rightarrow t = 0{,}5\) und \(2 = 4 - 2t \Rightarrow t = 1\). Da die \(t\)-Werte widersprüchlich sind, liegt der Punkt nicht auf \(h\), die Geraden sind also echt parallel. 2. Für die Ebene \(E\) wird der Stützvektor von \(g\) und dessen Richtungsvektor \(\vec{v}_g\) übernommen. Ein zweiter Spannvektor \(\vec{u}\) wird durch die Verbindung der Stützpunkte gebildet: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ 0-1 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt von \(\vec{v}_g\) und \(\vec{u}\) ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatengleichung lautet \(-x_1 - x_2 + x_3 = d\). Einsetzen von \(A_g(0|1|2)\) ergibt \(d = -0 - 1 + 2 = 1\). Somit ist \(E: -x_1 - x_2 + x_3 = 1\) (oder äquivalent \(x_1 + x_2 - x_3 = -1\)).

1. Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander (\(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\)), aber der Stützpunkt von \(g\) liegt nicht auf \(h\). 2. \(E: -x_1 - x_2 + x_3 = 1\) oder \(E: x_1 + x_2 - x_3 = -1\).