Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege bei jeder Angabe, ob du die Lage einer Ebene noch verändern könntest, ohne die gegebenen Objekte zu verlassen. - Welche Angabe liefert gleichzeitig einen gemeinsamen Punkt und zwei verschiedene Richtungen?

1. Zwei sich schneidende Geraden besitzen einen gemeinsamen Punkt und zwei verschiedene Richtungen. 2. Dadurch ist genau eine Ebene festgelegt, die beide Geraden enthält. 3. Die übrigen Angaben lassen jeweils mehrere Ebenen zu.

C) Zwei sich schneidende Geraden

- Welche dritte Koordinate besitzen alle Punkte von \(g\)? - Liegt \(P\) damit auf der Geraden? - Welches Eindeutigkeitskriterium gilt für eine Gerade und einen Punkt außerhalb der Geraden?

1. Jeder Punkt der Geraden \(g\) besitzt die dritte Koordinate \(x_3=0\). 2. Der Punkt \(P\) hat \(x_3=1\) und liegt daher nicht auf \(g\). 3. Eine Gerade und ein Punkt außerhalb der Geraden bestimmen eindeutig eine Ebene.

Ja. Der Punkt \(P\) liegt nicht auf \(g\); daher bestimmen \(g\) und \(P\) eindeutig eine Ebene.

- Welche zwei Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten liegen in der gesuchten Ebene? - Wie erhältst du aus diesen beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Welcher der drei Punkte eignet sich zum Bestimmen der Konstanten?

1. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\overrightarrow{LM}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{LN}=\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\overrightarrow{LM}\times\overrightarrow{LN}=\begin{pmatrix}16\\16\\0\end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 3. Daher hat \(H\) die Form \(x_1+x_2=d\). Mit \(L(4|0|0)\) folgt \(d=4\). 4. Somit lautet eine Koordinatenform \(H:\ x_1+x_2=4\).

\(H:\ x_1+x_2=4\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren von \(S_1\) zu den anderen Spurpunkten können als Richtungsvektoren dienen? - Wie erhältst du aus zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du mit einem Normalenvektor und einem Ebenenpunkt die rechte Seite der Koordinatenform?

1. Mit \(S_1\) als Stützpunkt erhält man die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-6\\0\\-2\end{pmatrix}\). Damit ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\-2\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren ist zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\). Mit \(S_1\) folgt \(x_1+2x_2-3x_3=6\).

1. \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\-2\end{pmatrix}\) 2. \(E:x_1+2x_2-3x_3=6\)

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du von \(A\) zu den beiden anderen Punkten? - Welche Eigenschaft müssen diese beiden Richtungsvektoren haben, damit wirklich eine Ebene entsteht? - Wie kannst du Kollinearität der beiden Richtungsvektoren mit einem gemeinsamen Faktor prüfen?

1. Mit \(A\) als Stützpunkt erhält man die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC_k}=\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}\). Damit lautet die Darstellung \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}\). 2. Die drei Punkte bestimmen genau dann keine Ebene, wenn die beiden Richtungsvektoren kollinear sind. Aus \(\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}=q\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) folgt aus den ersten beiden Koordinaten \(q=2\). 3. Dann muss \(k-1=4\) gelten, also \(k=5\). 4. Für \(k=5\) sind die beiden Richtungsvektoren kollinear; damit liegen \(A\), \(B\) und \(C_5\) auf einer Geraden.

a) \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\k-1\end{pmatrix}\) b) \(k=5\) c) Die drei Punkte sind kollinear.

- Welchen Richtungsvektor erhältst du für \(h_2\) aus \(P\) und \(Q\)? - Welche Lagebeziehung haben die beiden Geraden sicher, weil sie beide durch \(P\) verlaufen? - Was musst du zusätzlich über die beiden Richtungsvektoren prüfen, damit sie eindeutig eine Ebene bestimmen? - Welche Parameterwerte verlangt die Punktprobe mit \(R\)?

1. Für \(h_1\) gilt \(\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\). 2. Für \(h_2\) ist \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}\), also \(\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}\). 3. Die beiden Geraden schneiden sich in \(P\), und ihre Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Daher bestimmen sie eindeutig eine Ebene. 4. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}\). 5. Für \(R\) folgt aus den ersten beiden Koordinaten \(\mu=-1\) und \(\lambda=1\). Die dritte Koordinate wäre dann \(4+2\cdot1-(-1)=7\) statt \(6\). Daher liegt \(R\) nicht in \(E\).

a) \(h_1:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\) \(h_2:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}\) b) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}\) c) \(R\notin E\)

- Welche Lage müssen drei Punkte haben, damit sie eine Ebene eindeutig bestimmen? - Welche beiden Verbindungsvektoren kannst du in a) vergleichen? - Welche Punktprobe entscheidet in b), ob \(P\) außerhalb oder auf \(g\) liegt? - Was folgt für die Anzahl möglicher Ebenen, wenn der zusätzliche Punkt bereits auf der Geraden liegt?

1. Für a) gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\\6\\1\end{pmatrix}\). Die Vektoren sind nicht kollinear, insbesondere wegen der dritten Koordinate. Daher bestimmen die drei Punkte eindeutig eine Ebene. 2. Für b) prüfen wir \(P\in g\). Aus \(-1+3s=5\) folgt \(s=2\). Damit gelten auch \(4-2s=0\) und \(5+s=7\). Also liegt \(P\) auf \(g\). 3. Eine Gerade zusammen mit einem Punkt auf dieser Geraden bestimmt keine eindeutige Ebene; es gibt unendlich viele Ebenen, die \(g\) enthalten.

a) Ja, die Punkte bestimmen eindeutig eine Ebene. b) Nein, weil \(P\) auf \(g\) liegt.

- Welche zwei Verbindungsvektoren kannst du aus den drei Spurpunkten bilden? - Wie erhältst du aus zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du mit dem Normalenvektor und einem Spurpunkt die Koordinatenform? - Wie überprüfst du anschließend den gegebenen Punkt?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}\). Ein dazu orthogonaler Normalenvektor ist zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\). Mit \(S_1\) folgt \(2x_1+x_2-3x_3=6\). 2. Für \(P\) gilt \(2\cdot1+1-3(-1)=6\). Daher liegt \(P\) in \(E\).

1. \(E:2x_1+x_2-3x_3=6\) 2. \(P\in E\)

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Punkten? - Wie kannst du daraus einen Normalenvektor bestimmen? - Wie bestimmst du mit einem gegebenen Punkt die Konstante der Koordinatenform?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}0\\-3\\4\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\-12\\-9\end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\begin{pmatrix}2\\12\\9\end{pmatrix}\). 3. Mit \(P(2|3|0)\) folgt \(2x_1+12x_2+9x_3=40\).

\(E:\ 2x_1+12x_2+9x_3=40\)

- Welche Beziehung zwischen den beiden Verbindungsvektoren entscheidet in a) über Kollinearität? - Welche Bedingung muss in b) gelten, damit eine Gerade zusammen mit einem Punkt eindeutig eine Ebene festlegt? - Welche zwei voneinander unabhängigen Richtungen stehen dir in b) unmittelbar zur Verfügung?

1. Für a) sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}3\\6\\3\end{pmatrix}=3\vec{AB}\). Die Punkte sind daher kollinear und legen keine eindeutige Ebene fest. 2. Für b) kann \(P\) nicht auf \(g\) liegen, da die erste Koordinate jedes Geradenpunkts \(3\) ist, während \(P\) dort die Koordinate \(2\) besitzt. Eine Gerade und ein Punkt außerhalb der Geraden bestimmen eindeutig eine Ebene. 3. Ein Richtungsvektor der Ebene ist der Richtungsvektor von \(g\), \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). Als zweiter Richtungsvektor kann vom Stützpunkt \((3|1|2)\) zu \(P\) der Vektor \(\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\) verwendet werden. 4. Damit ist beispielsweise \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\) eine passende Parameterform.

a) Keine eindeutige Ebene, da \(A,B,C\) kollinear sind. b) Eine eindeutige Ebene wird festgelegt; zum Beispiel \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(s,t\in\mathbb{R}\).

- Welche Lagebeziehungen zweier Geraden führen zu genau einer gemeinsamen Ebene? - Was verraten die beiden gleichen Stützvektoren hier sofort? - Wie kannst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor der Ebene gewinnen? - Wie bestimmst du anschließend die Konstante in der Koordinatenform?

1. Die Richtungsvektoren \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Da beide Geraden denselben Stützpunkt \(S(1|2|3)\) besitzen, schneiden sie sich dort. Zwei sich schneidende, nicht identische Geraden bestimmen eindeutig eine Ebene. 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}\). 3. Mit dem Punkt \(S\) ergibt sich \(-x_1+2x_2+5x_3=d\) und \(d=-1+4+15=18\). 4. Somit lautet eine Koordinatenform \(E:\ -x_1+2x_2+5x_3=18\).

a) Die Geraden schneiden sich in \(S(1|2|3)\) und besitzen nicht kollineare Richtungsvektoren; daher bestimmen sie eindeutig eine Ebene. b) \(E:\ -x_1+2x_2+5x_3=18\)

- Welche zwei Verbindungsvektoren kannst du von einem der drei Punkte zu den beiden anderen bilden? - Welche Bedingung müssen diese beiden Richtungsvektoren erfüllen, damit sie eine Ebene bestimmen? - Welche Gleichungen entstehen, wenn du die Koordinaten von \(S\) in die Parameterform einsetzt?

1. Als Stützvektor kann \(\vec{p}\) verwendet werden. Zwei Richtungsvektoren sind \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\). Sie sind nicht kollinear. 2. Damit ist beispielsweise \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\). 3. Für die Punktprobe mit \(S\) entsteht das Gleichungssystem \(2=r-s\), \(-4=-2r+3s\), \(-4=-2r-3s\). Aus den letzten beiden Gleichungen folgt \(r=2\) und danach \(s=0\). 4. Die erste Gleichung ist mit \(r=2\) und \(s=0\) ebenfalls erfüllt. Daher liegt \(S\) in \(E\).

1. Zum Beispiel \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\3\\-3\end{pmatrix}\) 2. \(S\in E\), beispielsweise mit \(r=2\) und \(s=0\).

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Fußpunkten? - Wie kannst du daraus einen Normalenvektor und anschließend eine Koordinatenform bestimmen? - Welche Bedingung muss der vierte Punkt erfüllen, wenn seine ersten beiden Koordinaten bereits feststehen? - Warum sind drei Auflagepunkte geometrisch weniger empfindlich als vier?

1. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\). 2. Ihr Kreuzprodukt liefert den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\-7\\11\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt zunächst \(-x_1-7x_2+11x_3=-8\), also äquivalent \(E:\ x_1+7x_2-11x_3=8\). 3. Für \(x_1=4\) und \(x_2=4\) gilt \(4+28-11x_3=8\). Daher ist \(x_3=\frac{24}{11}\approx2{,}18\). 4. Die durch drei Auflagepunkte bestimmte Ebene legt die benötigte Höhe des vierten Auflagepunkts eindeutig fest. Weicht dieser Punkt davon ab, liegen nicht alle vier Auflagepunkte in derselben Ebene; dann kann der Tisch wackeln.

a) \(E:\ x_1+7x_2-11x_3=8\) b) \(x_3=\frac{24}{11}\,\text{dm}\approx2{,}18\,\text{dm}\). Ein vierter Auflagepunkt muss genau in der durch die ersten drei Punkte bestimmten Ebene liegen, damit alle vier gleichzeitig aufliegen.

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Auflagepunkten? - Wie kannst du aus diesen Richtungsvektoren einen Normalenvektor bestimmen? - Wie hängen Normalenform und Koordinatenform zusammen? - Welche Koordinaten sind in Teil d) bereits festgelegt?

1. Mit dem Stützvektor \(\vec{OP_1}\) und den Richtungsvektoren \(\vec{P_1P_2}=\begin{pmatrix}100\\0\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{P_1P_3}=\begin{pmatrix}0\\100\\-2\end{pmatrix}\) erhält man \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\80\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}100\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\100\\-2\end{pmatrix}\). 2. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix}-200\\200\\10\,000\end{pmatrix}\). Als vereinfachter Normalenvektor kann \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\1\\50\end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Eine Normalenform ist \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\0\\80\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\50\end{pmatrix}=0\). Ausmultiplizieren ergibt die Koordinatenform \(E:\ -x_1+x_2+50x_3=4000\). 4. Für \(x_1=x_2=50\) folgt \(-50+50+50x_3=4000\), also \(x_3=80\).

a) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\80\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}100\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\100\\-2\end{pmatrix}\) b) Zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\1\\50\end{pmatrix}\); \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\0\\80\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\50\end{pmatrix}=0\) c) \(E:\ -x_1+x_2+50x_3=4000\) d) \(x_3=80\,\text{cm}\)

- Welche Punkte der beiden Spurgeraden liegen auf den jeweiligen Koordinatenachsen? - Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Spurpunkten? - Wie kannst du daraus einen Normalenvektor und anschließend die Koordinatenform bestimmen? - Welche Punktprobe entscheidet Teil c)?

1. Der gemeinsame Stützpunkt liegt auf der \(x_1\)-Achse, also \(S_1(5|0|0)\). Für \(r=1\) erhält man auf \(g_{12}\) den Spurpunkt \(S_2(0|2|0)\), für \(s=1\) auf \(g_{13}\) den Spurpunkt \(S_3(0|0|10)\). 2. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\vec{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-5\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-5\\0\\10\end{pmatrix}\). Ihr Kreuzprodukt ist ein Vielfaches von \(\begin{pmatrix}2\\5\\1\end{pmatrix}\). 3. Mit \(S_1\) folgt die Koordinatenform \(E:\ 2x_1+5x_2+x_3=10\). 4. Für \(Q\) ist \(2\cdot1+5\cdot1+3=10\). Daher liegt \(Q\) in \(E\).

a) \(S_1(5|0|0)\), \(S_2(0|2|0)\), \(S_3(0|0|10)\) b) \(E:\ 2x_1+5x_2+x_3=10\) c) \(Q\in E\)

- Welche Gleichungen entstehen beim Gleichsetzen der beiden Geraden? - Welche zusätzliche Eigenschaft der Richtungsvektoren zeigt, dass die Geraden nicht identisch sind? - Wie kannst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor der gemeinsamen Ebene gewinnen? - Wie bestimmst du danach die Konstante der Koordinatenform?

1. Gleichsetzen liefert aus der ersten Koordinate \(r=2s\). Die zweite Koordinate ergibt damit \(1+4s=6-s\), also \(s=1\) und \(r=2\). Die dritte Koordinate ist für diese Werte ebenfalls erfüllt. 2. Damit ist \(S(4|5|3)\) der gemeinsame Punkt. Die beiden Richtungsvektoren \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Zwei sich schneidende, nicht identische Geraden bestimmen eindeutig eine Ebene. 3. Das Kreuzprodukt liefert den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\3\\-5\end{pmatrix}\). 4. Mit einem Punkt von \(g\) folgt \(4x_1+3x_2-5x_3=16\). Dies ist eine Koordinatenform von \(E\).

a) \(S(4|5|3)\) b) Die Geraden schneiden sich und besitzen nicht kollineare Richtungsvektoren; \(E:\ 4x_1+3x_2-5x_3=16\).

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Richtungsvektoren? - Wie kannst du danach unterscheiden, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind? - Welche zwei nicht kollinearen Richtungsvektoren kannst du für die gemeinsame Ebene verwenden? - Wie gelangst du von diesen Richtungsvektoren zu einer Koordinatenform?

1. Die Richtungsvektoren sind kollinear, denn \(\begin{pmatrix}-4\\2\\-8\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\). Die Geraden sind daher parallel oder identisch. 2. Für den Stützpunkt \(P(1|0|3)\) von \(g\) würde aus \(1=3-4k\) zunächst \(k=0{,}5\) folgen. Die zweite Koordinate verlangte dagegen \(0=2+2k\), also \(k=-1\). Daher liegt \(P\) nicht auf \(h\); die Geraden sind echt parallel. 3. Für die gemeinsame Ebene können der Richtungsvektor \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\) und der Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\) als Richtungsvektoren verwendet werden. 4. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\12\\6\end{pmatrix}\), vereinfacht also \(\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\). 5. Mit \(P(1|0|3)\) ergibt sich \(-x_1+2x_2+x_3=2\).

a) Die Geraden sind echt parallel. b) Eine mögliche Koordinatenform ist \(F:\ -x_1+2x_2+x_3=2\).

- Welcher Parameterwert müsste sich aus der ersten Koordinate ergeben, falls \(A\) auf \(h\) läge? - Was muss derselbe Parameter dann in den übrigen Koordinaten leisten? - Welche zwei Richtungsvektoren liegen sicher in der gesuchten Ebene? - Wie kannst du daraus einen Normalenvektor und anschließend die Koordinatenform bestimmen?

1. Für \(A\in h\) müsste aus der ersten Koordinate \(0=2+t\), also \(t=-2\), gelten. Dann wäre die zweite Koordinate \(5-2(-2)=9\) statt \(1\). Also liegt \(A\) nicht auf \(h\). 2. Ein Punkt außerhalb einer Geraden und die Gerade bestimmen eindeutig eine Ebene. 3. Als Richtungsvektoren der Ebene können \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\) und der Verbindungsvektor vom Stützpunkt \(P(2|5|-1)\) zu \(A\), also \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\5\end{pmatrix}\), verwendet werden. 4. Das Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-11\\-8\end{pmatrix}\). 5. Mit \(A(0|1|4)\) folgt \(2x_1-11x_2-8x_3=-43\).

a) \(A\) liegt nicht auf \(h\); daher bestimmen \(A\) und \(h\) eindeutig eine Ebene. b) \(E:\ 2x_1-11x_2-8x_3=-43\).

- Welche zwei Richtungsvektoren kannst du aus den drei Punkten bilden? - Wie findest du einen Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht? - Welcher der drei Punkte eignet sich als Stützpunkt der Normalenform? - Wie erhältst du aus der Normalenform die Koordinatenform?

1. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}10\\-4\\12\end{pmatrix}\), vereinfacht also \(\vec{n}_0=\begin{pmatrix}5\\-2\\6\end{pmatrix}\). 3. Mit dem Stützpunkt \(P\) ergibt sich die Normalenform \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}5\\-2\\6\end{pmatrix}=0\). 4. Ausmultiplizieren liefert die Koordinatenform \(E:\ 5x_1-2x_2+6x_3=17\).

Normalenform: \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}5\\-2\\6\end{pmatrix}=0\) Koordinatenform: \(E:\ 5x_1-2x_2+6x_3=17\)

- Welche Beziehung haben die beiden Richtungsvektoren zueinander? - Wie kannst du bei nicht parallelen Geraden zwischen „sich schneidend“ und „windschief“ unterscheiden? - Was folgt für die Ebenenbestimmung, wenn ein gemeinsamer Punkt existiert? - Welche Vektoren kannst du direkt als Richtungsvektoren der Ebene übernehmen?

1. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Die Geraden sind daher nicht parallel. 2. Beim Gleichsetzen folgt aus der ersten Koordinate \(r=1\) und aus der zweiten Koordinate \(s=1\). Für diese Werte liefern beide Geraden in der dritten Koordinate den Wert \(2\). Also schneiden sie sich in \(S(3|1|2)\). 3. Zwei sich schneidende Geraden mit nicht kollinearen Richtungsvektoren bestimmen eindeutig eine Ebene. 4. Eine mögliche Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\).

Die Geraden schneiden sich in \(S(3|1|2)\) und bestimmen daher eindeutig eine Ebene. Eine mögliche Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\).

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Punkten? - Wie kannst du aus diesen Richtungsvektoren einen Normalenvektor bestimmen? - Wie hängen Normalenform und Koordinatenform zusammen? - Welche der drei Darstellungen eignet sich besonders direkt für die Punktprobe?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 2. Damit ist eine Parameterform \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 3. Das Kreuzprodukt liefert den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). 4. Eine Normalenform ist \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=0\). 5. Daraus folgt die Koordinatenform \(E:\ 2x_1+x_2-x_3=7\). 6. Für \(S(1|4|-1)\) gilt \(2\cdot1+4-(-1)=7\). Daher liegt \(S\) in \(E\).

Parameterform: \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) Normalenform: \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=0\) Koordinatenform: \(E:\ 2x_1+x_2-x_3=7\) Der Punkt \(S(1|4|-1)\) liegt in \(E\).

- Wie können die Richtungsvektoren der Geraden für die Ebenengleichung genutzt werden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Richtungsvektoren und dem Normalenvektor. - In welcher Form lässt sich ein Punkt am einfachsten auf seine Lage in der Ebene prüfen? - Kannst du die Koordinatenform direkt aus der Normalenform herleiten?

1. Die Parameterform ergibt sich direkt aus dem Schnittpunkt als Stützvektor und den Richtungsvektoren der Geraden: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors mittels Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \\ -(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \\ 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Bestimmung der Koordinatenform: \(1 \cdot x_1 - 2x_2 - 2x_3 = d\). Einsetzen von \(A(1|0|2)\) ergibt \(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3\). Somit \(E: x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -3\). 5. Punktprobe für \(T(5|1|3)\): \(5 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 5 - 2 - 6 = -3\). Da \(-3 = -3\) gilt, liegt der Punkt \(T\) in der Ebene \(E\).

Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(E: x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -3\) Der Punkt \(T(5|1|3)\) liegt in der Ebene \(E\).

- Welchen Stützpunkt und welchen Richtungsvektor liefert die Gerade bereits? - Welcher Verbindungsvektor führt von diesem Stützpunkt zu \(P\)? - Warum dürfen die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sein? - Wie erhältst du aus zwei Richtungsvektoren einen Normalenvektor?

1. Als Stützvektor kann der Stützvektor der Geraden gewählt werden. Ein Richtungsvektor ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). Ein zweiter Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor vom Stützpunkt \((0|3|1)\) zu \(P\): \(\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\). 2. Damit ist eine Parameterform \(F:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}6\\8\\5\end{pmatrix}\). 4. Eine Normalenform lautet \(F:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}6\\8\\5\end{pmatrix}=0\).

1. \(F:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\) 2. \(F:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}6\\8\\5\end{pmatrix}=0\)

- Welche Bedingung müssen drei Punkte erfüllen, damit sie eine Ebene eindeutig bestimmen? - Vergleiche die beiden Verbindungsvektoren von \(P\) zu \(Q\) und von \(P\) zu \(R\). - Wenn die Punkte auf einer Geraden liegen: Welche Bedingung muss ein Normalenvektor einer Ebene erfüllen, die diese Gerade enthält? - Wie bestimmst du danach die Konstante der Koordinatenform?

1. Es gilt \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\-3\end{pmatrix}=-\overrightarrow{PQ}\). 2. Die drei Punkte sind daher kollinear. Drei kollineare Punkte bestimmen keine eindeutige Ebene; durch ihre gemeinsame Gerade verlaufen unendlich viele Ebenen. 3. Ein Richtungsvektor der gemeinsamen Geraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Für eine mögliche Ebene wählen wir einen Normalenvektor, der zu \(\vec{u}\) orthogonal ist, zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). 4. Mit \(P(2|0|-1)\) ergibt sich \(x_1-x_2=2\). Diese Ebene enthält die gesamte gemeinsame Gerade und damit alle drei Punkte.

a) Die Punkte sind kollinear, weil \(\overrightarrow{PR}=-\overrightarrow{PQ}\). Daher bestimmen sie keine eindeutige Ebene. b) Eine mögliche Koordinatenform ist \(E:\ x_1-x_2=2\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene, wenn beide orthogonal zueinander sind? - Welche zwei nicht kollinearen Richtungsvektoren kann eine Ebene verwenden, die \(g\) enthält? - Was zeigt das Skalarprodukt aus Geradenrichtung und Ebenennormale über Parallelität? - Welche zusätzliche Punktprobe unterscheidet echte Parallelität von vollständiger Enthaltenheit?

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{v}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\). Da \(E\) orthogonal zu \(g\) sein soll, kann \(\vec{v}\) als Normalenvektor von \(E\) verwendet werden. Mit \(P(4|1|0)\) folgt \(E:\ 2x_1+2x_2-x_3=10\). 2. Eine Ebene, die \(g\) enthält, kann den Stützpunkt \(A\) und den Richtungsvektor \(\vec{v}\) übernehmen. Als zweiten, nicht kollinearen Richtungsvektor wählen wir zum Beispiel \(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). Damit ist \(F:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor von \(H\) ist \(\vec{n}_H=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_H\cdot\vec{v}=2-2=0\), also ist \(g\) parallel zu \(H\) oder in \(H\) enthalten. Für \(A\) gilt \(1+2\cdot3=7\neq10\). Somit ist \(g\) echt parallel zu \(H\).

1. \(E:\ 2x_1+2x_2-x_3=10\) 2. Zum Beispiel \(F:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) 3. Ja. \(\vec{n}_H\cdot\vec{v}=0\), aber \(A\notin H\); daher ist \(g\) echt parallel zu \(H\).

- Welche Koordinaten haben die Mittelpunkte von \(\overline{AS}\) und \(\overline{BS}\)? - Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du von \(R\) zu diesen Mittelpunkten? - Wie bestimmst du daraus einen Normalenvektor? - Welche Darstellung eignet sich danach direkt für die Punktprobe mit \(T\)?

1. Die Mittelpunkte sind \(P(3|0|6)\) und \(Q(0|4|6)\). 2. Mit dem Stützpunkt \(R(0|0|4)\) erhält man die Richtungsvektoren \(\vec{u}=\overrightarrow{RP}=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{RQ}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-8\\-6\\12\end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\begin{pmatrix}4\\3\\-6\end{pmatrix}\). 4. Mit \(R\) folgt die Koordinatenform \(E:\ 4x_1+3x_2-6x_3=-24\). 5. Für \(T\) gilt \(4\cdot1{,}5+3\cdot2-6\cdot6=-24\). Daher liegt \(T\) in \(E\).

a) \(E:\ 4x_1+3x_2-6x_3=-24\) b) Ja, \(T\) liegt in \(E\).

- Welche Gleichung muss jeder der drei Punkte erfüllen? - Wie viele Gleichungen entstehen für die vier Koeffizienten? - Warum beschreiben gemeinsam skalierte Koeffizienten dieselbe Ebene? - Welche einfache von null verschiedene Skalierung erleichtert die Rechnung?

1. Durch Einsetzen der Punkte entstehen die Gleichungen \(3a+d=0\), \(2c+d=0\) und \(a-b+c+d=0\). 2. Die Koeffizienten einer Koordinatenform sind nur bis auf einen gemeinsamen von null verschiedenen Faktor bestimmt. Daher darf eine passende Skalierung gewählt werden; die vier Koeffizienten dürfen nicht gleichzeitig null sein. 3. Wählen wir \(d=-6\), so folgt aus \(3a-6=0\) der Wert \(a=2\) und aus \(2c-6=0\) der Wert \(c=3\). 4. Die dritte Gleichung liefert \(2-b+3-6=0\), also \(b=-1\). 5. Damit ist eine Koordinatenform \(E:\ 2x_1-x_2+3x_3-6=0\).

Eine mögliche Koordinatenform ist \(E:\ 2x_1-x_2+3x_3-6=0\).

- Welche Verbindungsvektoren zwischen den drei gegebenen Punkten liegen sicher in \(F\)? - Wie erhältst du aus zwei nicht kollinearen Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Welchen gegebenen Punkt kannst du zum Bestimmen der Konstanten verwenden? - Welche einfache Probe entscheidet anschließend über \(T\)?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{AS}=\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}48\\48\\36\end{pmatrix}\), vereinfacht also \(\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix}\). 3. Mit \(S(0|0|10)\) folgt \(4x_1+4x_2+3x_3=30\). 4. Für \(T(3|3|6)\) ergibt die linke Seite \(4\cdot3+4\cdot3+3\cdot6=42\neq30\). Daher liegt \(T\) nicht in \(F\).

a) Zum Beispiel \(\vec{u}=\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\) b) \(F:\ 4x_1+4x_2+3x_3=30\) c) Nein, \(T\notin F\).

- Welche zwei Verbindungsvektoren kannst du von \(A\) aus bilden? - Woran erkennst du, dass diese beiden Richtungsvektoren tatsächlich eine Ebene aufspannen? - Wie erhältst du aus ihnen einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du damit die Koordinatenform?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}\). Sie sind nicht kollinear, daher bestimmen die drei Punkte eindeutig eine Ebene. 2. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}6\\4\\6\end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}\). 4. Mit \(A(1|2|3)\) folgt die Koordinatenform \(E:\ 3x_1+2x_2+3x_3=16\).

a) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}\) b) \(E:\ 3x_1+2x_2+3x_3=16\)

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Eckpunkten? - Wie findest du einen Normalenvektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht? - Welcher Punkt eignet sich als Stützpunkt der Normalenform? - Welche Darstellung ist für die Punktprobe besonders direkt?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}0\\4\\-4\end{pmatrix}\). 2. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\4\\-4\end{pmatrix}\). 3. Das Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}=\begin{pmatrix}16\\16\\16\end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Damit ist eine Normalenform \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=0\). 4. Daraus folgt die Koordinatenform \(x_1+x_2+x_3=10\). Für \(S(3|3|4)\) gilt \(3+3+4=10\), also liegt \(S\) in \(E\).

a) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\4\\-4\end{pmatrix}\) b) \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=0\) c) Ja, \(S\) liegt in \(E\).

- Welcher Parameterwert folgt aus der ersten Koordinate, falls \(P\) auf \(h\) läge? - Welcher zweite Richtungsvektor der Ebene entsteht aus dem Stützpunkt von \(h\) und \(P\)? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du anschließend die Konstante der Koordinatenform?

1. Für \(P\in h\) müsste aus der ersten Koordinate \(s=2\) folgen. Die zweite Koordinate wäre dann weiterhin \(2\) statt \(1\). Also liegt \(P\) nicht auf \(h\). 2. Ein Richtungsvektor der Ebene ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\). Ein zweiter ist der Verbindungsvektor vom Stützpunkt \((3|2|-1)\) zu \(P\): \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\). 4. Mit dem Stützpunkt der Geraden folgt die Koordinatenform \(E:\ 2x_1-x_3=7\).

a) \(P\notin h\) b) \(E:\ 2x_1-x_3=7\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren kannst du von \(A\) aus bilden? - Welche Beziehung dieser Vektoren würde verhindern, dass eine eindeutige Ebene entsteht? - Welche beiden Koordinaten sind auf der \(x_3\)-Achse null? - Welche zwei Gleichungen für \(r\) und \(s\) erhältst du daraus?

1. Es gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-3\\3\\1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Die beiden Vektoren sind nicht kollinear, also bestimmen die drei Punkte eindeutig eine Ebene. 2. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\). 3. Für einen Punkt der \(x_3\)-Achse müssen \(x_1=0\) und \(x_2=0\) gelten. Damit erhält man \(3r+2s=4\) und \(3r-s=-2\). 4. Daraus folgt \(s=2\) und \(r=0\). Die dritte Koordinate ist dann \(x_3=1+2\cdot2=5\). 5. Der Schnittpunkt ist \(S(0|0|5)\).

a) \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) sind nicht kollinear. b) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\) c) \(S(0|0|5)\)

- Welche Koordinate liefert sofort eine widersprüchliche Punktprobe? - Welchen Richtungsvektor liefert die Gerade bereits für die Ebene? - Welcher Verbindungsvektor zum Punkt \(P\) kann als zweite Richtung dienen? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor für die Koordinatenform?

1. Für \(P\in g\) müsste in der zweiten Koordinate \(4=2\) gelten. Daher liegt \(P\) nicht auf \(g\). 2. Ein Richtungsvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\). Ein zweiter ist der Verbindungsvektor vom Stützpunkt der Geraden zu \(P\): \(\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}\). 3. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}\). 4. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\). 5. Mit \(P(5|4|1)\) folgt die Koordinatenform \(E:\ x_1+2x_3=7\).

a) \(P\notin g\) b) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}\) c) \(E:\ x_1+2x_3=7\)

- Welche Beziehung besteht zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden? - Welche Punktprobe unterscheidet Identität von echter Parallelität? - Welche zwei nicht kollinearen Richtungsvektoren erzeugen die gemeinsame Ebene? - Wie prüfst du die Zugehörigkeit von \(P\) zur Parameterform?

1. Die Richtungsvektoren sind kollinear, denn \(\begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). 2. Der Stützpunkt \((1|3|2)\) von \(h\) liegt nicht auf \(g\): Aus der ersten Koordinate folgt \(r=-1\), dann wäre die zweite Koordinate \(-1\) statt \(3\). Also sind die Geraden echt parallel. 3. Neben \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) verwenden wir den Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\). Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\). 4. Für \(P\) erhält man aus den ersten beiden Koordinaten \(t=1{,}25\) und \(r=0{,}25\). Die dritte Koordinate ist damit ebenfalls erfüllt. Also liegt \(P\) in \(E\).

a) \(g\) und \(h\) sind echt parallel. b) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\) c) Ja, \(P\in E\).

- Welche Beziehung der Richtungsvektoren kennzeichnet parallele Geraden? - Welche zusätzliche Beziehung würde bedeuten, dass beide Geraden identisch sind? - Welche zwei Richtungsvektoren liegen in der gemeinsamen Ebene? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor und die Koordinatenform?

1. Für parallele Geraden müssen die Richtungsvektoren kollinear sein. Damit die Geraden nicht identisch sind, darf der Verbindungsvektor \(\vec{q}-\vec{p}\) der Stützpunkte nicht kollinear zu dieser gemeinsamen Richtung sein. Dann bestimmen die beiden echt parallelen Geraden eindeutig eine Ebene. 2. Hier ist \(\begin{pmatrix}-4\\-2\\0\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\). Der Verbindungsvektor der Stützpunkte ist \(\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\), der nicht kollinear zu \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) ist. 3. Ein Normalenvektor der Ebene ist \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\7\end{pmatrix}\). 4. Mit dem Stützpunkt \((1|-1|2)\) folgt \(x_1-2x_2+7x_3=17\).

a) Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein; der Verbindungsvektor der Stützpunkte darf nicht kollinear zu ihnen sein. b) \(E:\ x_1-2x_2+7x_3=17\)

- Zwei Geraden legen genau dann eine Ebene fest, wenn sie entweder parallel (aber nicht identisch) sind oder sich schneiden. - Untersuche zuerst die Richtungsvektoren auf Parallelität. - Wenn die Geraden nicht parallel sind, prüfe, ob sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. - Was bedeutet es für eine mögliche Ebene, wenn die Geraden windschief sind?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a: Die Richtungsvektoren \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) sind keine Vielfachen voneinander, also nicht parallel. Prüfung auf Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \( 3 + \lambda = 4 \implies \lambda = 1 \); \( 2\lambda = 2 + \mu \implies 2 = 2 + \mu \implies \mu = 0 \); \( 2 = 2 + \mu \implies 2 = 2 \) (wahr). Die Geraden schneiden sich im Punkt \( S(4|2|2) \). Da sie sich schneiden, legen sie eine eindeutige Ebene fest. 2. Untersuchung von Teilaufgabe b: Die Richtungsvektoren \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) sind nicht parallel. Prüfung auf Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \( 2 + \lambda = 2 \implies \lambda = 0 \); \( 1 + \lambda = 1 + \mu \implies 1 = 1 + \mu \implies \mu = 0 \); \( 3 = 4 + \mu \implies 3 = 4 \) (Widerspruch). Die Geraden sind windschief. Da windschiefe Geraden nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen können, wird keine Ebene festgelegt.

a) Ja, die Geraden legen eine Ebene fest, da sie sich im Punkt \( S(4|2|2) \) schneiden. b) Nein, es wird keine Ebene festgelegt, da die Geraden windschief sind.

- Woran erkennst du, dass vier Punkte in einer Ebene liegen? - Wie kannst du aus drei Punkten eine Ebene beschreiben? - Welche Bedingungen müssen für die Parameter gelten, damit ein Punkt Teil einer Ebene ist? - Könntest du statt der Parameterform auch die Normalenform oder Koordinatenform der Ebene nutzen?

1. Aufstellen einer Ebenengleichung in Parameterform durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\): \(E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) 2. Durchführen der Punktprobe mit \(D(7|6|-2)\): I: \(2 + 3r - s = 7 \Rightarrow 3r - s = 5\) II: \(1 + r + 3s = 6 \Rightarrow r + 3s = 5\) III: \(3 - 2r - s = -2 \Rightarrow 2r + s = 5\) 3. Lösen des Gleichungssystems: Addition von I und III ergibt \(5r = 10\), also \(r = 2\). Einsetzen von \(r\) in III ergibt \(2 \cdot 2 + s = 5\), also \(s = 1\). 4. Überprüfung in Gleichung II: \(2 + 3 \cdot 1 = 5\) (wahre Aussage). 5. Da das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt, liegt der Punkt \(D\) in der Ebene \(E\). Somit liegen alle vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene.

Ja, die Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene, da die Punktprobe für \(D\) in der von \(A, B, C\) aufgespannten Ebene ein konsistentes Ergebnis liefert (mit den Parametern \(r=2\) und \(s=1\)).

- Wie kannst du den unbekannten Spurpunkt auf der negativen \(x_2\)-Halbachse mit einer Variablen beschreiben? - Welche beiden Katheten hat das rechtwinklige Dreieck \(OS_2S_3\)? - Welche zwei Verbindungsvektoren erhältst du, sobald alle drei Spurpunkte bekannt sind? - Wie führt ein Normalenvektor dieser beiden Richtungen zur Koordinatenform?

1. Schreibe \(S_2=(0|a|0)\) mit \(a<0\). Für das rechtwinklige Dreieck gilt \(6=\frac{1}{2}\cdot|a|\cdot3\). Damit ist \(|a|=4\) und wegen der negativen Halbachse \(a=-4\). Also ist \(S_2(0|-4|0)\). 2. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-6\\-4\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\). Mit \(S_1\) folgt \(2x_1-3x_2+4x_3=12\).

\(E:2x_1-3x_2+4x_3=12\)

- Welche Gleichung muss jeder der drei Punkte erfüllen? - Welche Beziehungen für \(a\) und \(c\) erhältst du aus den ersten beiden Gleichungen? - Warum darfst du alle Koeffizienten gemeinsam skalieren? - Welche einfache Wahl für \(d\) vermeidet Brüche?

1. Durch Einsetzen der drei Punkte entstehen \(a+2b=d\), \(4b+c=d\) und \(2a+b+3c=d\). 2. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(a=d-2b\) und \(c=d-4b\). 3. Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(2(d-2b)+b+3(d-4b)=d\), also \(4d=15b\). 4. Da gemeinsam skalierte Koeffizienten dieselbe Ebene beschreiben, wählen wir zum Beispiel \(d=15\). Dann ist \(b=4\), \(a=7\) und \(c=-1\). 5. Eine Koordinatenform lautet \(E:\ 7x_1+4x_2-x_3=15\).

\(E:\ 7x_1+4x_2-x_3=15\)

- Welche Gleichungen entstehen durch Gleichsetzen der beiden Geraden? - Welchen gemeinsamen Punkt kannst du als Stützpunkt der Ebene verwenden? - Welche beiden Richtungsvektoren liegen bereits in der Ebene? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor für die Koordinatenform?

1. Gleichsetzen liefert \(3+t=2+2s\), \(4+2t=2+s\) und \(1-t=2+s\). Aus der dritten Gleichung folgt \(t=-1-s\). Einsetzen in die erste ergibt \(s=0\) und damit \(t=-1\). Die zweite Gleichung ist erfüllt. Also ist \(S(2|2|2)\). 2. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-3\\-3\end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\). 4. Mit \(S\) folgt \(x_1-x_2-x_3=-2\).

1. \(S(2|2|2)\) 2. \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\) 3. \(E:\ x_1-x_2-x_3=-2\)

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Richtungsvektoren? - Welche Punktprobe schließt Identität aus? - Welcher Verbindungsvektor zwischen den Geraden liefert eine zweite Ebenenrichtung? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor und die Koordinatenform?

1. Die Richtungsvektoren sind kollinear, denn \(\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Der Stützpunkt \((0|1|0)\) von \(g_2\) liegt nicht auf \(g_1\): Aus der ersten Koordinate folgt \(r=-0{,}5\), dann wäre die zweite Koordinate \(3\) statt \(1\). Also sind die Geraden echt parallel. 2. Ein Richtungsvektor der Ebene ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Ein zweiter ist der Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-3\end{pmatrix}\). Damit ist eine Parameterform \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\-1\\-3\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-5\\-1\\2\end{pmatrix}\). Mit \((0|1|0)\) folgt \(-5x_1-x_2+2x_3=-1\), äquivalent \(5x_1+x_2-2x_3=1\).

1. Die Geraden sind echt parallel. 2. \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\-1\\-3\end{pmatrix}\) 3. \(E:\ 5x_1+x_2-2x_3=1\)

- Welchen Richtungsvektor liefert die Gerade bereits? - Welcher Verbindungsvektor vom Stützpunkt der Geraden zu \(Q\) kann als zweite Ebenenrichtung dienen? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor? - Welche Darstellung ist für die abschließende Punktprobe besonders direkt?

1. Ein Richtungsvektor der Ebene ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\). Ein zweiter ist der Verbindungsvektor vom Stützpunkt der Geraden zu \(Q\): \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}\). Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-2\\-3\end{pmatrix}\). Mit \((1|2|0)\) folgt die Koordinatenform \(E:\ 3x_1-2x_2-3x_3=-1\). 3. Für \(P\) gilt \(3\cdot4-2(-1)-3\cdot5=-1\). Daher liegt \(P\) in \(E\).

1. \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}\) 2. \(E:\ 3x_1-2x_2-3x_3=-1\) 3. Ja, \(P\in E\).

- Welche Beziehung der Richtungsvektoren zeigt Parallelität? - Welche Punktprobe schließt Identität aus? - Welcher Verbindungsvektor der Stützpunkte liefert eine zweite Ebenenrichtung? - Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor?

1. Die Richtungsvektoren sind kollinear, denn \(\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Der Stützpunkt \((0|1|2)\) von \(g\) liegt nicht auf \(h\), da die drei Koordinaten unterschiedliche Parameterwerte verlangen. Also sind die Geraden echt parallel. 2. Ein Richtungsvektor der gemeinsamen Ebene ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). Ein zweiter ist der Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\). 3. Das Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 4. Mit \((0|1|2)\) folgt \(-x_1-x_2+x_3=1\).

1. Die Geraden sind echt parallel. 2. \(E:\ -x_1-x_2+x_3=1\)

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Punkten? - Wie gewinnst du daraus einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du die Konstante der Koordinatenform? - Welche Bedingung muss \(D(1|2|z)\) erfüllen, damit der Punkt in \(E\) liegt?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-4\\0\\4\end{pmatrix}\). Damit ist eine Parameterform \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\4\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}8\\12\\8\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt die Koordinatenform \(2x_1+3x_2+2x_3=13\). 3. Für \(D\) gilt \(2\cdot1+3\cdot2+2z=13\), also \(z=2{,}5\).

a) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\4\end{pmatrix}\) b) \(E:\ 2x_1+3x_2+2x_3=13\) c) \(z=2{,}5\)

- Wann sind drei Punkte kollinear (liegen auf einer Geraden)? Überprüfe die Richtungsvektoren zwischen ihnen. - Für die Koordinatenform benötigst du einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. - Was zeichnet einen Punkt aus, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? Welche Koordinaten müssen dann Null sein?

1. Überprüfung auf Kollinearität: Die Richtungsvektoren \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) werden auf lineare Abhängigkeit geprüft. Da es kein \(k\) gibt mit \(k\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (da \(2k = -1 \implies k = -0{,}5\), aber \(-1 \cdot (-0{,}5) \neq 2\)), sind die Vektoren linear unabhängig. Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. 2. Koordinatenform bestimmen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) ist der Normalenvektor \( \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Ansatz \(-2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = d\) mit Punkt \(P(1|2|3)\) liefert \(-2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 11\). Die Gleichung ist \(-2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 11\). 3. Berechnung der Spurpunkte: - \(S_1\) (\(x_1\)-Achse, \(x_2=0, x_3=0\)): \(-2x_1 = 11 \implies x_1 = -5{,}5 \implies S_1(-5{,}5|0|0)\). - \(S_2\) (\(x_2\)-Achse, \(x_1=0, x_3=0\)): \(2x_2 = 11 \implies x_2 = 5{,}5 \implies S_2(0|5{,}5|0)\). - \(S_3\) (\(x_3\)-Achse, \(x_1=0, x_2=0\)): \(3x_3 = 11 \implies x_3 = \frac{11}{3} \implies S_3(0|0|\frac{11}{3})\).

a) Die Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) sind keine Vielfachen voneinander, daher sind die Punkte nicht kollinear. b) \(E: -2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 11\) c) \(S_1(-5{,}5|0|0)\), \(S_2(0|5{,}5|0)\), \(S_3(0|0|\frac{11}{3})\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren kannst du von \(A\) aus bilden? - Welche Beziehung würde Kollinearität bedeuten? - Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Welche Koordinaten sind auf der \(x_1\)-Achse null?

1. Es gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}\). Die Vektoren sind nicht kollinear, also liegen die Punkte nicht auf einer Geraden. 2. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}7\\5\\8\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt die Koordinatenform \(E:\ 7x_1+5x_2+8x_3=43\). 4. Auf der \(x_1\)-Achse gilt \(x_2=x_3=0\). Daher ist \(x_1=\frac{43}{7}\) und der Schnittpunkt \(S\left(\frac{43}{7}|0|0\right)\).

a) \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) sind nicht kollinear. b) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}\) c) \(E:\ 7x_1+5x_2+8x_3=43\) d) \(S\left(\frac{43}{7}|0|0\right)\)

- Welche Parameterwerte verlangt die Punktprobe in den ersten beiden Koordinaten? - Welchen Richtungsvektor liefert die Gerade bereits? - Welcher Verbindungsvektor vom Stützpunkt zu \(P\) dient als zweite Ebenenrichtung? - Welche Darstellung ist für die Punktprobe mit \(R\) besonders direkt?

1. Für \(P\in h\) müsste aus der ersten Koordinate \(t=-3\) und aus der zweiten \(t=2\) folgen. Das ist ein Widerspruch, also liegt \(P\) nicht auf \(h\). 2. Ein Richtungsvektor der Ebene ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\). Ein zweiter ist der Verbindungsvektor vom Stützpunkt \(A(4|0|-2)\) zu \(P\): \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}\). 3. Das Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-3\\-12\\5\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt \(-3x_1-12x_2+5x_3=-22\), äquivalent \(3x_1+12x_2-5x_3=22\). 4. Für \(R\) gilt \(3\cdot2+12\cdot3-5\cdot4=22\). Daher liegt \(R\) in \(F\).

a) \(P\notin h\) b) \(F:\ 3x_1+12x_2-5x_3=22\) c) Ja, \(R\in F\).

- Welche zwei Verbindungsvektoren kannst du von \(A\) aus bilden? - Welche Beziehung dieser Vektoren würde eine eindeutige Ebene verhindern? - Wie gelangst du von zwei Richtungsvektoren zu einem Normalenvektor? - Welche Darstellung eignet sich direkt für die Punktprobe?

1. Es gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}\). Die Vektoren sind nicht kollinear, also bestimmen die drei Punkte eindeutig eine Ebene. 2. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt \(E:\ 2x_1-x_2+2x_3=9\). 4. Für \(T(3|3|3)\) ergibt die linke Seite \(6-3+6=9\). Also liegt \(T\) in \(E\).

a) Die beiden Verbindungsvektoren sind nicht kollinear. b) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}\) c) \(E:\ 2x_1-x_2+2x_3=9\) d) Ja, \(T\in E\).

- Welche zwei Verbindungsvektoren erhältst du aus den drei Punkten? - Woran erkennst du, ob diese eine eindeutige Ebene bestimmen? - Wie erhältst du die Koordinatenform aus einem Normalenvektor? - Welche Koordinaten sind auf der \(x_3\)-Achse null?

1. Die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}\) sind nicht kollinear. Daher bestimmen die drei Punkte eindeutig eine Ebene. 2. Eine Parameterform ist \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt die Koordinatenform \(E:\ x_1+x_2+x_3=8\). 4. Auf der \(x_3\)-Achse gilt \(x_1=x_2=0\). Damit ist \(x_3=8\), also \(S(0|0|8)\).

a) Die beiden Richtungsvektoren sind nicht kollinear. b) \(E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}\) c) \(E:\ x_1+x_2+x_3=8\) d) \(S(0|0|8)\)

- Prüfe zuerst unabhängig von \(k\), ob die ganze Gerade \(g\) in \(E\) liegt. - Was erhältst du, wenn du \(P_k\) in die Koordinatenform von \(E\) einsetzt? - Für welchen Wert von \(k\) fällt \(P_k\) auf die Gerade \(g\)? - Wann bestimmen eine Gerade und ein Punkt eine eindeutige Ebene?

1. Der Stützpunkt von \(g\) erfüllt \(1-0+1=2\), und der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) ändert den Ausdruck \(x_1-x_2+x_3\) um \(1-1+0=0\). Daher liegt \(g\) vollständig in \(E\). 2. Für jeden Punkt \(P_k\) gilt \(1-k+(1+k)=2\). Somit liegt jeder \(P_k\) in \(E\). 3. \(P_k\) liegt genau dann auf \(g\), wenn für ein \(t\) gilt \((1+t|t|1)=(1|k|1+k)\). 4. Aus der ersten Koordinate folgt \(t=0\), damit aus der zweiten \(k=0\); die dritte ist dann ebenfalls erfüllt. 5. Für \(k=0\) liegt der zusätzliche Punkt auf \(g\), sodass keine eindeutige Ebene bestimmt wird. Für jedes \(k\neq0\) liegt \(P_k\) außerhalb von \(g\), aber in \(E\). Daher bestimmen \(g\) und \(P_k\) dann eindeutig die Ebene \(E\).

Für alle \(k\neq0\).

- Welche Beziehung haben die Normalenvektoren zweier senkrechter Ebenen? - Welche Beziehung muss zwischen dem Richtungsvektor einer enthaltenen Geraden und dem Normalenvektor der Ebene gelten? - Welche Bedingung am Skalarprodukt schließt Parallelität zwischen Gerade und Ebene aus? - Welche Beziehung zwischen Geradenrichtung und Ebenennormale würde dagegen Senkrechtstellung bedeuten?

1. Ein Normalenvektor einer Ebene, die senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene steht, ist orthogonal zu \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) und hat daher die Form \(\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\0\end{pmatrix}\). Damit \(E\) die Gerade \(h\) enthält, muss zusätzlich \(\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=0\) gelten. Also ist \(n_1=n_2\). Mit \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und dem Stützpunkt \((0|4|2)\) folgt \(E:\ x_1+x_2=4\). 2. Für eine Ebene \(G\), die nicht parallel zu \(h\) ist, darf ihr Normalenvektor nicht orthogonal zum Richtungsvektor von \(h\) sein. Für eine Ebene, die nicht senkrecht zu \(h\) ist, darf ihr Normalenvektor nicht kollinear zu diesem Richtungsvektor sein. Zum Beispiel erfüllt \(\vec{n}_G=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) beide Bedingungen.

1. \(E:\ x_1+x_2=4\) 2. Zum Beispiel \(\vec{n}_G=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)

- Was muss passieren, wenn du die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt, damit die Gerade in der Ebene liegt? - Ein Normalenvektor einer Ebene muss senkrecht auf jedem Vektor stehen, der in der Ebene verläuft. - Wie stellst du sicher, dass die neue Ebene nicht genau dieselbe Lage wie die erste Ebene hat? - Welche Rolle spielt der Stützpunkt der Geraden bei der Aufstellung der neuen Ebene?

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung von \(E_1\): \(2 \cdot (2 + s) - (0 + 2s) = 4 + 2s - 2s = 4\). Da die Gleichung für alle \(s \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, liegt \(g\) in \(E_1\). 2. Bestimmung eines Normalenvektors \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\) für \(E_2\), der orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Geraden ist. Es muss gelten: \(1 \cdot n_1 + 2n_2 - 1 \cdot n_3 = 0\). Eine mögliche Lösung ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Prüfung auf lineare Unabhängigkeit: Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_2\) kein Vielfaches von \(\vec{n}_1\) ist, sind die Ebenen weder parallel noch identisch. 4. Bestimmung des Parameters \(d\) durch Einsetzen des Stützpunktes \(P(2|0|1)\) in die Form \(x_1 + x_3 = d\): \(2 + 1 = 3\). Somit ist \(E_2: x_1 + x_3 = 3\).

Die Gerade \(g\) liegt in \(E_1\), da das Einsetzen die Identität \(4 = 4\) ergibt. Eine mögliche Ebene ist \(E_2: x_1 + x_3 = 3\).