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- Welche Information über die Normalenrichtung steckt direkt in den Koeffizienten einer Koordinatenform? - Welche beiden Bestandteile brauchst du neben \(\vec{x}\) für die Form \((\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\)?

1. Die Koeffizienten der Koordinatenform liefern einen Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). 2. Mit dem Ortsvektor \(\vec{p}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) des gegebenen Punktes ergibt sich die Normalenform \((\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0\). 3. Damit gilt \(E:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=0\).

Zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\); \(E:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=0\)

- Welche Koeffizienten stehen vor \(x_1,x_2,x_3\)? - In welche Richtung zeigt der daraus abgelesene Normalenvektor? - Welche Koordinatenform besitzt die \(x_1x_2\)-Koordinatenebene selbst?

1. Die Koordinatenform lässt sich als \(0x_1+0x_2+1x_3=4\) lesen. 2. Daher ist beispielsweise \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) ein Normalenvektor. 3. Die Normalenrichtung stimmt mit derjenigen der \(x_1x_2\)-Koordinatenebene überein. Wegen \(x_3=4\) statt \(x_3=0\) sind die Ebenen echt parallel.

\(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\); \(E\) ist echt parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene.

- Welche Koordinaten sind jeweils festgelegt und welche bleiben frei? - Wie viele freie Koordinaten besitzt eine Ebene, wie viele eine Gerade im Raum? - Was bedeutet \(x_3=0\) für die Lage eines Punktes? - Welche Punkte der \(x_2\)-Achse erfüllen automatisch \(x_1=x_3\)?

1. Bei \(x_1=-4\) sind \(x_2\) und \(x_3\) frei. Die Punktmenge ist eine Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene durch \((-4|0|0)\). 2. Bei \(x_2=3\) und \(x_3=0\) ist \(x_1\) frei. Die Punktmenge ist eine Gerade parallel zur \(x_1\)-Achse durch \((0|3|0)\). 3. Die Bedingung \(x_1=x_3\) beschreibt eine Ebene, die die \(x_2\)-Achse enthält. Ihr Schnitt mit der \(x_1x_3\)-Ebene ist die Gerade mit \(x_1=x_3\).

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene durch \((-4|0|0)\) b) Gerade parallel zur \(x_1\)-Achse durch \((0|3|0)\) c) Ebene, die die \(x_2\)-Achse enthält

- Welche Koordinaten müssen bei einer Parallelen zu einer Koordinatenebene konstant bleiben? - Welche Werte nehmen die Koordinaten an, die nicht in der Bezeichnung der Achse vorkommen (z. B. bei der \(x_1\)-Achse)? - Wie lässt sich die Bedingung „alle Werte sind gleich“ mathematisch als Gleichung zwischen den Variablen \(x_1, x_2\) und \(x_3\) schreiben?

1. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene besitzt eine konstante \(x_3\)-Koordinate. Da der Punkt \(P(0|0|-5)\) enthalten ist, muss \(x_3 = -5\) gelten. 2. Auf der \(x_1\)-Achse können die \(x_1\)-Werte beliebig sein, während die \(x_2\)- und die \(x_3\)-Koordinate null sein müssen; dies führt zu den Bedingungen \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). 3. Wenn alle drei Koordinatenwerte \(x_1, x_2\) und \(x_3\) für jeden Punkt der Geraden identisch sein sollen, lässt sich dies durch die Gleichungskette \(x_1 = x_2 = x_3\) ausdrücken.

a) \(x_3 = -5\) b) \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\) c) \(x_1 = x_2 = x_3\)

- Welche beiden Angaben brauchst du direkt für eine Normalenform? - Welche Rolle spielen die Komponenten des Normalenvektors in der Koordinatenform? - Wie bestimmst du die Konstante der Koordinatenform mit dem gegebenen Punkt?

1. Mit dem Stützvektor \(\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}\) ergibt sich die Normalenform \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}3\\5\\-1\end{pmatrix}=0\). 2. Für die Koordinatenform hat die linke Seite die Koeffizienten des Normalenvektors: \(3x_1+5x_2-x_3=d\). 3. Einsetzen von \(P\) liefert \(d=3\cdot7+5(-2)-4=7\). 4. Somit lautet die Koordinatenform \(E:\ 3x_1+5x_2-x_3=7\).

Normalenform: \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}3\\5\\-1\end{pmatrix}=0\) Koordinatenform: \(E:\ 3x_1+5x_2-x_3=7\)

- Welchen Vektor erhältst du von \(A\) nach \(B\)? - Welche Rolle spielen die Komponenten eines Normalenvektors in der Koordinatenform? - Wie bestimmst du die Konstante mit dem gegebenen Punkt \(P\)?

1. Der Normalenvektor ist \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}\). 2. Daher hat die Koordinatenform die Gestalt \(-2x_1+3x_2+3x_3=d\). 3. Mit \(P(4|0|1)\) folgt \(d=-8+3=-5\). 4. Somit ist \(E:\ -2x_1+3x_2+3x_3=-5\).

\(E:\ -2x_1+3x_2+3x_3=-5\)

- Welche Richtung hat die Gerade \(s\)? - Welche Beziehung besteht zwischen dieser Richtung und einem Normalenvektor der senkrechten Ebene? - Wie bestimmst du die Konstante mit dem Punkt \(S\)?

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \(\overrightarrow{LM}=\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}\). Da \(F\) senkrecht auf \(s\) steht, ist dieser Vektor parallel zu einem Normalenvektor von \(F\). 2. Wir verwenden \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\). Damit hat \(F\) die Form \(x_1-x_3=d\). 3. Einsetzen von \(S(0|0|4)\) ergibt \(d=-4\). 4. Somit lautet die Koordinatenform \(F:\ x_1-x_3=-4\).

\(F:\ x_1-x_3=-4\)

- Welche Koordinate fehlt in der ersten Ebenengleichung? - Welche Koordinatenrichtung liegt damit vollständig in der Ebene? - Enthält die jeweilige Ebene den Ursprung? - Welche bekannte Koordinatenebene wird durch \(x_2=0\) beschrieben?

1. Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\). 2. Bei \(E_1\) kommt \(x_2\) nicht vor. Daher enthält die Ebene die Richtung der \(x_2\)-Achse. Weil die Gleichung homogen ist, liegt auch der Ursprung in \(E_1\); folglich enthält \(E_1\) die gesamte \(x_2\)-Achse. 3. \(E_2\) ist äquivalent zu \(x_2=0\). Das ist genau die \(x_1x_3\)-Koordinatenebene.

\(E_1\) enthält die \(x_2\)-Achse. \(E_2\) ist die \(x_1x_3\)-Koordinatenebene.

- Welche besondere Eigenschaft hat der Normalenvektor einer Ebene, die parallel zu einer Koordinatenebene liegt? - Wie hängen der Abstand zum Ursprung und der Achsenabschnitt bei solchen speziellen Ebenen zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau der Normalenform: Du benötigst einen Stützvektor und einen Normalenvektor.

1. Da die Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft, ist der Normalenvektor parallel zur \(x_3\)-Achse, z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Abstand zum Ursprung beträgt \(4\) Längeneinheiten. Da die Ebene die \(x_3\)-Achse im positiven Bereich schneidet, ist der Achsenabschnitt \(x_3 = 4\). Dies ist bereits die Koordinatenform. 3. Ein möglicher Stützpunkt auf der Ebene ist der Achsenschnittpunkt \(P(0|0|4)\). Damit ergibt sich die Normalenform \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\).

Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\) Koordinatenform: \(x_3 = 4\)

- Welche Koordinate bleibt in einer Ebene konstant, die parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene ist? - Welcher Normalenvektor steht senkrecht auf der \(x_2x_3\)-Ebene? - Wie setzt du einen Stützpunkt und einen Normalenvektor in die Normalenform ein?

1. Eine Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene besitzt einen Normalenvektor parallel zur \(x_1\)-Achse, zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). 2. Weil \(Q\) in \(G\) liegt, ist die erste Koordinate jedes Ebenenpunktes \(-2\). Daher lautet die Koordinatenform \(G:\ x_1=-2\). 3. Mit dem Stützpunkt \(Q\) ergibt sich die Normalenform \(G:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=0\).

a) \(G:\ x_1=-2\) b) \(G:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=0\)

- Wie hängen die Komponenten eines Normalenvektors mit den Koeffizienten der Koordinatenform zusammen? - Welche Werte besitzen alle drei Koordinaten des Ursprungs? - Was ergibt die Punktprobe mit \(O\) für die Konstante \(d\)?

1. Aus dem Normalenvektor folgt die Form \(4x_1+7x_2-x_3=d\). 2. Einsetzen des Ursprungs ergibt \(0=d\). Daher lautet die Koordinatenform \(E:\ 4x_1+7x_2-x_3=0\). 3. Allgemein muss für jede Ebene durch den Ursprung in der Form \(ax_1+bx_2+cx_3=d\) die Konstante \(d=0\) sein.

a) \(E:\ 4x_1+7x_2-x_3=0\) b) Es muss \(d=0\) gelten.

- Welche zwei Gleichungen sind zu einer Betragsgleichung der Form \(|u|=|v|\) äquivalent? - Welche Koordinaten besitzen alle Punkte der \(x_1\)-Achse gemeinsam? - Wie kannst du nachweisen, dass nicht nur ein einzelner Punkt, sondern die ganze Achse in einer Ebene liegt?

1. Aus \(|x_2|=|x_3|\) folgen die beiden Fälle \(x_2=x_3\) und \(x_2=-x_3\). 2. Damit lauten mögliche Koordinatenformen \(H_1:x_2-x_3=0\) und \(H_2:x_2+x_3=0\). 3. Jeder Punkt der \(x_1\)-Achse hat die Form \((s|0|0)\). Einsetzen liefert sowohl in \(H_1\) als auch in \(H_2\) die Gleichung \(0=0\). 4. Somit liegt die gesamte \(x_1\)-Achse in beiden Ebenen.

a) \(H_1:x_2-x_3=0\) und \(H_2:x_2+x_3=0\) b) Für jeden Achsenpunkt \((s|0|0)\) sind beide Koordinatenformen erfüllt; die \(x_1\)-Achse liegt daher in \(H_1\) und \(H_2\).

- Welche Beziehung haben die Normalenvektoren paralleler Ebenen? - Welche Koeffizienten kannst du deshalb beibehalten? - Wie bestimmt der Punkt \(P\) die neue Konstante?

1. Parallele Ebenen besitzen kollineare Normalenvektoren. Wir übernehmen daher die Koeffizienten und setzen \(F:\ 5x_1-x_2+3x_3=d\) an. 2. Einsetzen von \(P\) liefert \(d=5\cdot2-6+3(-1)=1\). 3. Somit lautet die Koordinatenform \(F:\ 5x_1-x_2+3x_3=1\).

\(F:\ 5x_1-x_2+3x_3=1\)

- Welche Beziehung besteht zwischen einer senkrecht auftreffenden Geradenrichtung und dem Normalenvektor der Ebene? - Welche beiden Angaben brauchst du für die Normalenform? - Wie erhältst du aus dem Normalenvektor die linke Seite der Koordinatenform? - Wie bestimmt der Punkt \(P\) die Konstante?

1. Weil der Strahl senkrecht auf die Fläche trifft, kann sein Richtungsvektor als Normalenvektor der Ebene verwendet werden. 2. Eine Normalenform ist \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}=0\). 3. Für die Koordinatenform ergibt sich \(2x_1+2x_2-x_3=d\). Mit \(P\) folgt \(d=10-2-4=4\). 4. Damit lautet die Koordinatenform \(2x_1+2x_2-x_3=4\).

a) \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}=0\) b) \(2x_1+2x_2-x_3=4\)

- Welchen Richtungsvektor besitzt die Gerade \(g\)? - Welche Beziehung hat dieser Vektor zum Normalenvektor einer orthogonalen Ebene? - Wie bestimmt der Punkt \(Q\) die Konstante der Koordinatenform?

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}\). Da \(E\) orthogonal zu \(g\) ist, kann dieser Vektor als Normalenvektor von \(E\) verwendet werden. 2. Die Koordinatenform hat die Gestalt \(2x_1-3x_2+2x_3=d\). 3. Mit \(Q(3|3|3)\) folgt \(d=6-9+6=3\). 4. Somit ist \(E:\ 2x_1-3x_2+2x_3=3\).

\(E:\ 2x_1-3x_2+2x_3=3\)

- Welche zwei Koordinaten setzt du für einen Spurpunkt auf einer Achse gleich null? - Was bedeutet die fehlende Variable \(x_3\) für eine mögliche Bewegungsrichtung innerhalb der Ebene? - Welche zusätzliche Prüfung entscheidet, ob die \(x_3\)-Achse enthalten oder echt parallel ist? - Welche Koordinate ist in einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene konstant?

1. Für die \(x_1\)-Achse folgt \(S_1(4|0|0)\), für die \(x_2\)-Achse \(S_2(0|10|0)\). Auf der \(x_3\)-Achse wäre \(x_1=x_2=0\), womit \(0=20\) entstünde. Daher existiert kein \(S_3\). 2. Die Variable \(x_3\) fehlt. Die Richtung der \(x_3\)-Achse liegt daher in jeder Parallelverschiebung innerhalb der Ebene. Weil die Ebene die \(x_3\)-Achse selbst wegen \(0\neq20\) nicht enthält, ist \(E\) echt parallel zur \(x_3\)-Achse. 3. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene hat die Form \(x_3=d\). Mit \(P\) folgt \(F:\ x_3=3\).

1. \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|10|0)\), kein \(S_3\) 2. \(E\) ist echt parallel zur \(x_3\)-Achse. 3. \(F:\ x_3=3\)

- Welche beiden Vektoren werden zur Bestimmung von \(d\) skalar multipliziert? - Welche Komponenten von \(\vec{x}\) erscheinen beim Ausmultiplizieren? - Wie liest du daraus direkt die Koordinatenform ab?

1. Es gilt \(d=\vec{n}\cdot\vec{p}=1\cdot5+3(-2)+(-2)\cdot4=-9\). 2. Die Skalarproduktform lautet \(\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=-9\). 3. Ausmultiplizieren ergibt die Koordinatenform \(E:\ x_1+3x_2-2x_3=-9\).

a) \(d=-9\), also \(\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=-9\) b) \(E:\ x_1+3x_2-2x_3=-9\)

- Welche Beziehung besteht zwischen der Geradenrichtung und dem Normalenvektor einer senkrechten Ebene? - Welche Koeffizienten der Koordinatenform sind daher bei beiden Ebenen gleich? - Welche beiden Punkte bestimmen jeweils nur noch die Konstante?

1. Der Richtungsvektor \(\vec{u}=\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}\) kann als Normalenvektor beider Ebenen verwendet werden. 2. Für \(E_1\) ergibt sich mit \((3|-2|5)\) die Konstante \(4\cdot3-2-2\cdot5=0\). Also \(E_1:\ 4x_1+x_2-2x_3=0\). 3. Für \(E_2\) liefert \(P\) die Konstante \(0+6-2=4\). Also \(E_2:\ 4x_1+x_2-2x_3=4\).

a) \(E_1:\ 4x_1+x_2-2x_3=0\) b) \(E_2:\ 4x_1+x_2-2x_3=4\)

- Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Ortsvektor eines Punktes und dem Normalenvektor über die Lage des Punktes zur Ebene aus? - Wie kannst du aus einem Normalenvektor und einem Punkt direkt die Koordinatenform \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) aufstellen? - Welche Bedingung muss die Summe der Koordinaten von \(C\) erfüllen, damit der Punkt in der Ebene liegt?

1. Es gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{n}=1+2+3=6\) und \(\vec{OB}\cdot\vec{n}=5+0+1=6\). 2. Mit dem Normalenvektor und dem Wert \(d=6\) lautet die Koordinatenform \(x_1+x_2+x_3=6\). 3. Für \(C(k|3|0)\) ergibt die Punktprobe \(k+3=6\), also \(k=3\).

1. \(\vec{OA} \cdot \vec{n} = 6\) und \(\vec{OB} \cdot \vec{n} = 6\). 2. \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\) 3. \(k = 3\)

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in das Skalarprodukt einer Ebenengleichung ein? - Was bedeutet es für die Zugehörigkeit eines Punktes zur Ebene, wenn die Gleichung nach dem Einsetzen erfüllt ist? - Kannst du die Ebenengleichung als eine lineare Gleichung mit den Unbekannten \(x_1, x_2, x_3\) schreiben? - Wenn eine Koordinate gesucht ist, kannst du die anderen Werte einsetzen und die Gleichung nach der gesuchten Variable umstellen.

1. Punktprobe für \(P(1|0|3)\): Einsetzen der Koordinaten in die Ebenengleichung ergibt \(5 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 5 + 3 = 8\). Da \(8 = 8\) eine wahre Aussage ist, liegt \(P\) in der Ebene \(E\). 2. Bestimmung der Koordinate für \(Q(x_1|4|1)\): Einsetzen der bekannten Koordinaten führt zur Gleichung \(5x_1 - 2 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 8\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(5x_1 - 8 + 1 = 8 \implies 5x_1 - 7 = 8\). 4. Lösen nach \(x_1\): \(5x_1 = 15 \implies x_1 = 3\).

a) Der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\). b) Die \(x_1\)-Koordinate ist \(3\).

- Wie berechnet man den Wert \(d\), wenn ein Normalenvektor und ein Stützpunkt der Ebene bekannt sind? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren. - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllt? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil der Punktmenge einer Ebene ist?

1. Aufstellen der Ebenengleichung: Das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{A}\) berechnen, um \(d\) zu bestimmen. \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 = 2 + 6 - 4 = 4\). Somit lautet die Gleichung \(E: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 4\). 2. Punktprobe für \(B(4|0|1)\): \(2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = 8 - 4 = 4\). Da \(4 = 4\), gehört \(B\) zur Ebene. 3. Punktprobe für \(C(2|1|1)\): \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 4 + 3 - 4 = 3\). Da \(3 \neq 4\), gehört \(C\) nicht zur Ebene.

a) \(E: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 4\) b) Der Punkt \(B\) gehört zur Ebene \(E\), der Punkt \(C\) hingegen nicht.

- Welche zwei Koordinaten sind an einem Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null? - Wie kannst du „alle drei Koordinaten sind gleich“ mit einer einzigen Variablen ausdrücken? - Welche direkte Punktbedingung liefert die fehlende Koordinate von \(Q\)?

1. Die Spurpunkte erhält man durch Nullsetzen der jeweils beiden anderen Koordinaten: \(S_1(2|0|0)\), \(S_2(0|-4|0)\), \(S_3(0|0|8)\). 2. Für \(P(a|a|a)\) gilt \(4a-2a+a=8\), also \(3a=8\) und \(a=\frac{8}{3}\). Damit ist \(P\left(\frac{8}{3}|\frac{8}{3}|\frac{8}{3}\right)\). 3. Für \(Q\) gilt \(4\cdot3-2y+2=8\), also \(14-2y=8\) und \(y=3\).

a) \(S_1(2|0|0)\), \(S_2(0|-4|0)\), \(S_3(0|0|8)\) b) \(P\left(\frac{8}{3}|\frac{8}{3}|\frac{8}{3}\right)\) c) \(y=3\)

- Welche zwei Koordinaten sind an einem Spurpunkt auf einer Achse null? - Welche beiden Spurpunkte liegen jeweils in derselben Koordinatenebene? - Wie stellst du eine Gerade durch zwei Punkte in Parameterform dar?

1. Die Spurpunkte sind \(S_1(8|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|2)\). 2. Die Spurgeraden sind die Verbindungsgeraden der entsprechenden Spurpunkte: \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\), \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\1\end{pmatrix}\), \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\).

Spurpunkte: \(S_1(8|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\) \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\) \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\1\end{pmatrix}\) \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wie gehst du vor, wenn eine Koordinate eines Punktes unbekannt ist, der Punkt aber in der Ebene liegen soll? - Vergleiche den Wert der linken Seite mit \(8\): Ein kleinerer Wert kennzeichnet die dem gewählten Normalenvektor gegenüberliegende Seite.

1. Für Punkt \(A(1|-1|2)\) werden die Koordinaten in die Gleichung eingesetzt: \(4 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8\). Da die Gleichung \(8 = 8\) erfüllt ist, liegt \(A\) in der Ebene \(E\). 2. Für Punkt \(B(2|k|4)\) führt das Einsetzen zur Gleichung \(4 \cdot 2 - 2k + 4 = 8\). Vereinfacht ergibt sich \(12 - 2k = 8\). Durch Umformen nach \(k\) erhält man \(2k = 4\), also \(k = 2\). 3. Für Punkt \(C(3|5|1)\) ergibt die Berechnung \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3\). Da \(3 < 8\), liegt der Punkt auf der Seite der Ebene, die der Richtung des Normalenvektors \(\vec{n}\) gegenüberliegt.

a) Ja, der Punkt \(A\) liegt in der Ebene \(E\), da \(4 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) + 2 = 8\) eine wahre Aussage ergibt. b) Der Punkt \(B\) liegt für \(k = 2\) in der Ebene \(E\). c) Der Punkt \(C\) liegt auf der dem Normalenvektor \(\vec{n}\) gegenüberliegenden Seite der Ebene, da \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 + 1 = 3 < 8\).

- Was bedeutet der fehlende \(x_2\)-Term zunächst nur für eine Richtung? - Welche Punkte liegen auf der \(x_2\)-Achse? - Was ergibt die Punktprobe dieser Achsenpunkte in der Koordinatenform?

1. Da in der Koordinatenform kein \(x_2\)-Term vorkommt, ist \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) zu einem Normalenvektor \(\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}\) orthogonal. Die Richtung der \(x_2\)-Achse liegt also in der Ebene. Aussage b) ist wahr. 2. Die Ebene enthält jedoch keinen Punkt der \(x_2\)-Achse: Dort gilt \(x_1=x_3=0\), also würde die Ebenengleichung \(0=6\) verlangen. 3. Daher liegt die \(x_2\)-Achse nicht in der Ebene; Aussage c) ist falsch. 4. Weil die Achsenrichtung in der Ebene liegt, die Achse selbst aber keinen gemeinsamen Punkt mit \(E\) besitzt, ist die \(x_2\)-Achse echt parallel zu \(E\). Aussage a) ist wahr.

a) wahr b) wahr c) falsch

- Welche beiden geometrischen Bedingungen legt die Formulierung „senkrecht in ihrem Mittelpunkt“ fest? - Welcher aus \(P\) und \(Q\) gebildete Vektor liefert eine Normalenrichtung der Ebene? - Wie bestimmst du die rechte Seite einer Koordinatenform, wenn ein Punkt der Ebene bekannt ist?

1. Der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\) ist \(M\left(4|3|1\right)\). 2. Da \(F\) senkrecht zu \(PQ\) steht, kann \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}\) als Normalenrichtung verwendet werden. Vereinfacht eignet sich \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\). 3. In der Koordinatenform \(-2x_1+x_2+2x_3=d\) liefert der Punkt \(M\) den Wert \(d=-3\). 4. Eine mögliche Koordinatenform ist daher \(F:2x_1-x_2-2x_3=3\).

\(F:2x_1-x_2-2x_3=3\)

- Welche zwei Koordinaten sind an einem Punkt auf der \(x_1\)-Achse null? Entsprechend für die anderen Achsen? - Welche zwei Spurpunkte liegen jeweils in derselben Koordinatenebene? - Wie stellst du eine Gerade durch zwei bekannte Punkte in Parameterform dar? - Welche direkte Rechnung prüft die Zugehörigkeit von \(P\) zur Ebene?

1. Durch Nullsetzen der jeweils beiden anderen Koordinaten erhält man \(S_1(3|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|2)\). 2. Die Spurgeraden können jeweils durch zwei Spurpunkte beschrieben werden: \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\), \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}\), \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}\). 3. Für \(P\) gilt \(4\cdot1+3\cdot2+6\cdot0{,}5=13\neq12\). Also liegt \(P\) nicht in \(E\).

a) \(S_1(3|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\) b) \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\) \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}\) \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}\) c) Nein, \(P\notin E\).

- Welche Punkte liegen allgemein auf der \(x_3\)-Achse? - Welche Bedingung folgt, wenn du \((0|0|k)\) für beliebiges \(k\) in die Ebenenform einsetzt? - Welche zusätzliche Gleichung liefert der Punkt \(P\)? - Warum muss eine Ebene, die eine Koordinatenachse enthält, auch den Ursprung enthalten?

1. Weil \(E\) die \(x_3\)-Achse enthält, enthält sie den Ursprung. Die Koordinatenform hat daher die Gestalt \(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=0\). 2. Für jeden Punkt \((0|0|k)\) der \(x_3\)-Achse muss die Gleichung erfüllt sein. Daher ist \(n_3=0\). 3. Mit \(P(2|4|1)\) folgt \(2n_1+4n_2=0\). Eine mögliche Wahl ist \(n_1=2\), \(n_2=-1\). 4. Damit ist eine Koordinatenform \(E:\ 2x_1-x_2=0\). 5. Allgemein ist bei einer Ebene, die die \(x_i\)-Achse enthält, die \(i\)-te Komponente ihres Normalenvektors null. Außerdem enthält die Ebene den Ursprung, sodass die Konstante ihrer Koordinatenform null ist.

a) \(E:\ 2x_1-x_2=0\) b) Enthält eine Ebene die \(x_i\)-Achse, so ist die \(i\)-te Komponente ihres Normalenvektors null; außerdem ist die Konstante der Koordinatenform null.

- Welche Koordinatenrichtung ist zu jedem Normalenvektor \(\begin{pmatrix}k\\3\\0\end{pmatrix}\) orthogonal? - Welcher gemeinsame Punkt liegt wegen der rechten Seite \(0\) in jeder Ebene? - Welche Gerade erhältst du aus diesem Punkt und der gemeinsamen Richtung?

1. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}k\\3\\0\end{pmatrix}\). Weil seine dritte Komponente null ist, liegt die Richtung \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) in jeder Ebene. 2. Außerdem ist die rechte Seite null, also enthält jede Ebene den Ursprung. 3. Damit enthält jede Ebene die gesamte \(x_3\)-Achse. 4. Eine passende Gerade ist daher \(g:\ \vec{x}=r\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Für jeden ihrer Punkte gilt \(x_1=x_2=0\), also ist \(kx_1+3x_2=0\) für jedes \(k\) erfüllt.

a) Alle Ebenen enthalten die \(x_3\)-Achse. b) Zum Beispiel \(g:\ \vec{x}=r\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).

- Welche Rolle spielen Mittelpunkt und Verbindungsvektor von \(A\) und \(B\) bei der Ebenenkonstruktion? - Wie wirkt sich das Verhältnis der gesamten Streckenlängen auf die Abstände ihrer Endpunkte vom gemeinsamen Mittelpunkt aus? - Welche der beiden möglichen Richtungen auf der Geraden \(AB\) ist durch die Seitenbedingung für \(C\) festgelegt?

1. Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M(4|1|2)\). 2. Eine Normalenrichtung der Ebene ist \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}\), also beispielsweise \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). 3. Einsetzen von \(M\) in \(x_1+x_2-x_3=d\) ergibt \(d=3\). Damit gilt \(E:x_1+x_2-x_3=3\). 4. Weil \(M\) Mittelpunkt beider Strecken ist und \(|CD|=1{,}5\,|AB|\) gilt, ist \(|MC|=1{,}5\,|MA|\). Wegen der geforderten Seite von \(E\) zeigt \(\overrightarrow{MC}\) in dieselbe Richtung wie \(\overrightarrow{MA}\). 5. Es ist \(\overrightarrow{MA}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix}\), also \(\overrightarrow{MC}=1{,}5\overrightarrow{MA}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}\). 6. Damit ist \(C=M+\overrightarrow{MC}=(1|-2|5)\).

a) \(E:x_1+x_2-x_3=3\) b) \(C(1|-2|5)\)

- Welche besondere Ebene bilden alle Punkte mit gleichem Abstand zu \(R\) und \(S\)? - Welcher Verbindungsvektor steht senkrecht auf dieser Ebene? - Welcher Punkt der Strecke \(RS\) liegt sicher in der Ebene? - Welche zwei Koordinaten setzt du für jeden Spurpunkt gleich null?

1. Ein Normalenvektor ist der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{RS}=\begin{pmatrix}-4\\6\\-4\end{pmatrix}\), vereinfacht \(\begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}\). 2. Der Mittelpunkt der Strecke \(RS\) ist \(M(4|1|2)\). Damit lautet eine Normalenform \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}=0\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(2x_1-3x_2+2x_3=9\). 4. Für die Spurpunkte werden jeweils zwei Koordinaten null gesetzt: \(S_1(4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|-3|0)\), \(S_3(0|0|4{,}5)\).

a) \(E:\ \left(\vec{x}-\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}=0\) b) \(E:\ 2x_1-3x_2+2x_3=9\); \(S_1(4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|-3|0)\), \(S_3(0|0|4{,}5)\)

- Welche Beziehung besteht zwischen der Geradenrichtung und dem Normalenvektor einer senkrechten Ebene? - Wie bestimmst du mit \(C\) die Konstante der Koordinatenform? - Welchen Parameterwert liefert das Einsetzen der Geraden in die Ebene? - Wie berechnest du unabhängig davon den Mittelpunkt von \(A\) und \(B\)?

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{v}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}\). Da \(E\) senkrecht auf \(g\) steht, kann \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) als Normalenvektor von \(E\) verwendet werden. 2. Mit \(C(5|3|3)\) folgt die Koordinatenform \(E:\ x_1-x_2+x_3=5\). 3. Eine Parameterform von \(g\) ist \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}\). Einsetzen in \(E\) ergibt \(1+2t-(2-2t)+(3+2t)=5\), also \(t=0{,}5\). 4. Damit ist \(S(2|1|4)\). 5. Der Mittelpunkt von \(A\) und \(B\) ist ebenfalls \(M(2|1|4)\). Also gilt \(S=M\).

a) \(E:\ x_1-x_2+x_3=5\) b) \(S(2|1|4)\); dieser Punkt ist der Mittelpunkt von \(\overline{AB}\).

- Welche Normalenrichtung ergibt sich aus der Bedingung, dass \(E\) die Strecke \(AB\) senkrecht schneidet? - Welche Bedingung muss ein Richtungsvektor einer Geraden erfüllen, die vollständig in einer Ebene liegt? - Welche der vorgegebenen Komponenten des Richtungsvektors macht die verbleibende Komponente bestimmbar? - Wie lässt sich die Punktlage direkt mit der Koordinatenform prüfen?

1. Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M(2|1|3)\). 2. Eine Normalenrichtung von \(E\) ist \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-4\\6\\4\end{pmatrix}\), also beispielsweise \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix}\). 3. Aus \(-2x_1+3x_2+2x_3=d\) und \(M\in E\) folgt \(d=5\). Somit gilt \(E:-2x_1+3x_2+2x_3=5\). 4. Für einen Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\v_2\\0\end{pmatrix}\) einer in \(E\) liegenden Geraden muss \(\vec{n}_E\cdot\vec{v}=0\) gelten. Damit ist \(-6+3v_2=0\), also \(v_2=2\). 5. Eine passende Gerade ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). 6. Für \(C\) ergibt die linke Seite der Koordinatenform \(-2+3+6=7\). Da \(7\neq5\), liegt \(C\) nicht in \(E\).

a) \(E:-2x_1+3x_2+2x_3=5\) b) Zum Beispiel \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\) c) \(C\notin E\)

- Welche Koordinatenform steckt in dem Skalarprodukt? - Kannst du zwei Koordinaten frei wählen und die dritte passend bestimmen? - Welche geometrische Lösungsmenge besitzt eine lineare Gleichung mit drei Koordinaten? - Welche Eigenschaft müsste eine echte Umkehroperation hinsichtlich der Eindeutigkeit besitzen?

1. Die Gleichung lautet in Koordinatenform \(2x_1+x_2-2x_3=12\). Beispielsweise erfüllen \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}0\\12\\0\end{pmatrix}\) die Gleichung. 2. Die Lösungsmenge ist eine Ebene mit Normalenvektor \(\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\). 3. Eine eindeutige Umkehroperation müsste aus dem Skalar \(12\) genau einen Vektor \(\vec{x}\) zurückgewinnen. Hier gibt es jedoch unendlich viele Lösungen auf der Ebene. Daher ist eine solche Vektordivision nicht eindeutig definiert.

a) Zum Beispiel \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}0\\12\\0\end{pmatrix}\) b) Eine Ebene im Raum c) Es gibt unendlich viele Lösungsvektoren; daher wäre die vermeintliche Umkehroperation nicht eindeutig.

- Welche Koordinatenrichtung ist zu \(\begin{pmatrix}a\\0\\c\end{pmatrix}\) orthogonal? - Wie unterscheiden sich „enthalten“ und „echt parallel“ bei einer Achse? - Welche Gleichungen liefern die beiden vorgegebenen Spurpunkte? - Warum sind gemeinsam skalierte Koeffizienten keine verschiedenen Ebenen?

1. Ein Normalenvektor hat die Form \(\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\0\\c\end{pmatrix}\) und ist zur Richtung der \(x_2\)-Achse orthogonal. Da \(d\neq0\), enthält die Ebene die \(x_2\)-Achse nicht. Sie ist daher echt parallel zu ihr. 2. Aus den Spurpunkten \(S_1(4|0|0)\) und \(S_3(0|0|6)\) folgen \(4a=d\) und \(6c=d\). Eine mögliche Skalierung ist \(d=12\), damit \(a=3\) und \(c=2\). Also etwa \(H:\ 3x_1+2x_3=12\). Jede gemeinsame von null verschiedene Skalierung beschreibt dieselbe Ebene. 3. Damit die gesamte \(x_2\)-Achse enthalten ist, muss insbesondere der Ursprung enthalten sein. Das ist genau für \(d=0\) der Fall.

1. Die Ebenen sind echt parallel zur \(x_2\)-Achse. 2. Zum Beispiel \(a=3\), \(c=2\), \(d=12\) 3. \(d=0\)

- Welches Skalarprodukt liefert die Konstante \(d\)? - Wie werden die Komponenten des Normalenvektors beim Ausmultiplizieren zu Koeffizienten der Koordinatenform? - Welche direkte Punktprobe entscheidet über \(S\)?

1. Es gilt \(d=\vec{n}\cdot\vec{q}=4\cdot3-2\cdot0+5(-1)=7\). Damit lautet die Skalarproduktform \(\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=7\). 2. Ausmultiplizieren ergibt die Koordinatenform \(F:\ 4x_1-2x_2+5x_3=7\). 3. Für \(S\) ergibt die linke Seite \(4-4+0=0\neq7\). Also liegt \(S\) nicht in \(F\).

a) \(\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=7\) b) \(F:\ 4x_1-2x_2+5x_3=7\) c) Nein, \(S\notin F\).

- Welcher Vektor bietet sich als Normalenvektor an, wenn die Ebene senkrecht auf der Verbindungslinie zweier Punkte stehen soll? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten im Raum? - Erinnere dich an die Struktur der Normalenform: Ein Vektor steht senkrecht auf der Differenz aus dem Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und einem festen Stützpunkt.

1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-2 \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Als Normalenvektor kann ein Vielfaches, z. B. \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\), gewählt werden. 2. Berechnung des Mittelpunkts \(M = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Normalenform: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\). 4. Umwandeln in Koordinatenform: \(2x_1 - x_2 - 2x_3 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 3\). Ergebnis: \(E: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\).

Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (oder ein Vielfaches des Normalenvektors) Koordinatenform: \(E: 2x_1 - x_2 - 2x_3 = 3\)

- Welchen Normalenvektor kannst du direkt aus der Koordinatenform ablesen? - Was passiert mit derselben Ebene, wenn du Normalenvektor und rechte Seite gemeinsam skalierst? - Wie findest du leicht einen konkreten Punkt auf \(E\)? - Welche zusätzliche Wahlfreiheit entsteht erst in der punktbezogenen Normalenform?

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Die Skalarproduktform lautet \(\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=12\). 2. Alle Normalenvektoren sind die von null verschiedenen Vielfachen \(k\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) mit \(k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 3. Beispielsweise liegt \(P(6|0|0)\) in \(E\). Eine Normalenform ist \(\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\right)=0\). 4. In der Skalarproduktform \(\vec{n}\cdot\vec{x}=d\) können \(\vec{n}\) und \(d\) mit demselben Faktor \(k\neq0\) skaliert werden. In der Normalenform kann zusätzlich jeder Punkt der Ebene als Stützpunkt gewählt werden. Das sind zwei verschiedene Quellen der Nicht-Eindeutigkeit.

a) \(\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=12\) b) \(\left\{k\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\mid k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\right\}\) c) Zum Beispiel mit \(P(6|0|0)\): \(\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\cdot\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\right)=0\) d) Skalarproduktform: gemeinsame Skalierung von \(\vec{n}\) und \(d\); Normalenform: zusätzlich freie Wahl des Stützpunkts in \(E\).

- Welche Komponenten besitzt ein Normalenvektor der Ebene? - Wie lang ist dieser Normalenvektor zunächst? - Welche Skalierungsfaktoren führen zur Länge \(10\)? - Welche zwei Informationen zeigen zusammen, dass die \(x_2\)-Achse tatsächlich enthalten ist?

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\). Daher lautet die Skalarproduktform \(\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=0\). 2. Die Länge von \(\vec{n}\) ist \(5\). Die beiden kollinearen Normalenvektoren der Länge \(10\) sind daher \(\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\). 3. Weil \(x_2\) nicht vorkommt, liegt die Richtung der \(x_2\)-Achse in der Ebene. Weil die rechte Seite null ist, enthält \(E\) außerdem den Ursprung. Daher enthält \(E\) die gesamte \(x_2\)-Achse.

a) \(\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\cdot\vec{x}=0\) b) \(\begin{pmatrix}6\\0\\-8\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\) c) \(E\) enthält die \(x_2\)-Achse.

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht? - Wie hängen die Koordinatenform einer Ebene und das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor zusammen? - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere das Distributivgesetz. - Wie ist der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten definiert?

1. Berechnung des Skalarprodukts von \(\vec{OA}\) und \(\vec{n}\): \(d = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-2) = 6 - 2 - 8 = -4\). Die Ebenengleichung lautet somit \(3x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -4\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(B\) in die linke Seite der Gleichung: \(3 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) - 2 \cdot 1 = 12 - 6 - 2 = 4\). Da \(4 \neq -4\) gilt, liegt der Punkt \(B\) nicht in der Ebene \(E\). 3. Da \(P\) und \(Q\) in \(E\) liegen, gilt \(\vec{OP} \cdot \vec{n} = d\) und \(\vec{OQ} \cdot \vec{n} = d\). Für den Differenzvektor \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}\) folgt durch Anwendung des Distributivgesetzes für Skalarprodukte: \(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = (\vec{OQ} - \vec{OP}) \cdot \vec{n} = \vec{OQ} \cdot \vec{n} - \vec{OP} \cdot \vec{n} = d - d = 0\). Geometrisch bedeutet dies, dass jeder Verbindungsvektor zweier Punkte der Ebene orthogonal zum Normalenvektor steht.

1. \(d = -4\) 2. \(B\) liegt nicht in \(E\), da das Skalarprodukt \(4\) ergibt. 3. \(\vec{PQ} \cdot \vec{n} = \vec{OQ} \cdot \vec{n} - \vec{OP} \cdot \vec{n} = d - d = 0\).

- Wie lässt sich ein beliebiger Richtungsvektor der Ebene als Linearkombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) schreiben? - Welche Rechenregel des Skalarprodukts kannst du auf diese Linearkombination anwenden? - Was bleibt übrig, wenn beide einzelnen Skalarprodukte null sind? - Welche geometrische Punktmenge erzeugen zwei kollineare Richtungsvektoren statt einer Ebene?

1. Für einen beliebigen Richtungsvektor \(\vec{x}=r\vec{u}+s\vec{v}\) gilt \(\vec{n}\cdot\vec{x}=\vec{n}\cdot(r\vec{u}+s\vec{v})=r(\vec{n}\cdot\vec{u})+s(\vec{n}\cdot\vec{v})\). 2. Wegen \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) und \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(\vec{n}\cdot\vec{x}=0\). Somit ist \(\vec{n}\) zu jeder Richtung der Ebene orthogonal. 3. Sind \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) kollinear, erzeugen ihre Linearkombinationen nur eine Geradenrichtung. Dann zeigt die Orthogonalität zu dieser einen Richtung noch nicht die Orthogonalität zu allen Richtungen einer bestimmten Ebene.

1. \(\vec{n}\cdot(r\vec{u}+s\vec{v})=r(\vec{n}\cdot\vec{u})+s(\vec{n}\cdot\vec{v})=0\). 2. Nur zwei nicht kollineare Richtungsvektoren erfassen alle Richtungen einer Ebene durch Linearkombinationen; kollineare Vektoren erfassen nur eine Geradenrichtung.

- Was bedeutet es für die Lage einer Ebene im Koordinatensystem, wenn eine Variable in der Gleichung fehlt? - Wenn es keinen Spurpunkt auf einer Achse gibt, wie verläuft die Ebene dann zu dieser Achse? - Erinnere dich daran, dass Spurgeraden die Schnittmengen der Ebene mit den Ebenen \(x_1=0\), \(x_2=0\) oder \(x_3=0\) sind. - Wie sieht eine Gerade aus, die parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft?

1. Spurpunkte berechnen: - \(x_2=0, x_3=0 \Rightarrow 2x_1=10 \Rightarrow x_1=5 \Rightarrow S_1(5|0|0)\) - \(x_1=0, x_2=0 \Rightarrow -5x_3=10 \Rightarrow x_3=-2 \Rightarrow S_3(0|0|-2)\) 2. Da die Variable \(x_2\) in der Ebenengleichung nicht vorkommt (Koeffizient ist 0), ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}\) orthogonal zur \(x_2\)-Achse. Somit verläuft die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse und besitzt keinen Schnittpunkt mit ihr. 3. Spurgeraden bestimmen: - \(g_{13}\) (in der \(x_1x_3\)-Ebene, \(x_2=0\)): Verbindungsgerade von \(S_1\) und \(S_3\), also \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). - \(g_{12}\) (in der \(x_1x_2\)-Ebene, \(x_3=0\)): \(2x_1=10 \Rightarrow x_1=5\). Dies ist eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). - \(g_{23}\) (in der \(x_2x_3\)-Ebene, \(x_1=0\)): \(-5x_3=10 \Rightarrow x_3=-2\). Dies ist eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) Spurpunkte: \(S_1(5|0|0)\) und \(S_3(0|0|-2)\). b) Da der Koeffizient von \(x_2\) null ist, liegt eine Parallelität zur \(x_2\)-Achse vor. c) Spurgeraden: \(g_{13}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(g_{12}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(g_{23}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Welche Spurpunkte erhältst du durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten? - Welche Richtungsvektoren der Spurgeraden gehen von demselben Eckpunkt des Spurdreiecks aus? - Welche Vektoren brauchst du für einen Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden? - Wie kannst du den dritten Innenwinkel bestimmen, wenn zwei bereits bekannt sind?

1. Die Spurpunkte sind \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\) und \(S_3(0|0|2)\). 2. Eine mögliche Wahl der Spurgeraden ist \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\), \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix}\), \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\). 3. Am Punkt \(S_1\) verwenden wir \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\cos\alpha=\frac{16}{5\sqrt{20}}\), also \(\alpha\approx44{,}3^\circ\). 4. Am Punkt \(S_2\) gilt mit \(\overrightarrow{S_2S_1}=\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_2S_3}=\begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix}\): \(\cos\beta=\frac{9}{5\sqrt{13}}\), also \(\beta\approx60{,}1^\circ\). 5. Der dritte Winkel ist \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\approx75{,}6^\circ\).

a) \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\), \(S_3(0|0|2)\) b) \(g_{12}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\) \(g_{23}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix}\) \(g_{13}:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\) c) \(\alpha\approx44{,}3^\circ\), \(\beta\approx60{,}1^\circ\), \(\gamma\approx75{,}6^\circ\)

- Welche Koordinate ist in der \(x_1x_2\)-Ebene immer null? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene, wenn die Gerade orthogonal auf der Ebene steht? - Wie bestimmst du die rechte Seite einer Koordinatenform, wenn Normalenvektor und ein Ebenenpunkt bekannt sind?

1. Für den Schnittpunkt \(S\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene gilt \(x_3=0\). Daher ist \(-1+5t=0\), also \(t=0{,}2\). 2. Einsetzen ergibt \(S(4{,}4|-0{,}2|0)\). 3. Da \(g\) orthogonal zu \(E\) verläuft, ist ein Normalenvektor von \(E\) der Richtungsvektor von \(g\): \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}\). 4. Die Koordinatenform hat damit den Ansatz \(2x_1-x_2+5x_3=d\). Einsetzen von \(S\) liefert \(2\cdot4{,}4-(-0{,}2)+5\cdot0=9\), also \(d=9\). 5. Somit gilt \(E:2x_1-x_2+5x_3=9\).

\(E:2x_1-x_2+5x_3=9\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren vom Stützpunkt \(P\) aus beschreiben die Ebene? - Welche geometrischen Punkte erhältst du für die Parameterpaare \((0|0)\), \((1|0)\) und \((0|1)\)? - Überlege, wie sich ein Punkt zwischen diesen drei Eckpunkten als Mischung der beiden Richtungen von \(P\) aus beschreiben lässt.

1. Es gilt \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-8\\0\\4\end{pmatrix}\). Damit ist eine Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-8\\0\\4\end{pmatrix}\). 2. Für \(S\) ergibt die zweite Koordinate \(8r=2\), also \(r=0{,}25\). Aus der dritten Koordinate folgt \(4s=2\), also \(s=0{,}5\). Die erste Koordinate bestätigt diese Werte: \(8-8\cdot0{,}25-8\cdot0{,}5=2\). 3. In dieser Darstellung entsprechen \(P\), \(Q\) und \(R\) den Parameterpaaren \((0|0)\), \((1|0)\) und \((0|1)\). Für Punkte im Inneren des Dreiecks müssen beide Anteile positiv sein und zusammen kleiner als \(1\) bleiben. Hier gilt \(0{,}25>0\), \(0{,}5>0\) und \(0{,}25+0{,}5=0{,}75<1\). Daher liegt \(S\) im Inneren des Dreiecks \(PQR\).

a) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-8\\0\\4\end{pmatrix}\) b) \(r=0{,}25\), \(s=0{,}5\) c) \(S\) liegt im Inneren des Dreiecks \(PQR\).

- Welche Koordinaten können die drei Spurpunkte bei gleichem Abstand \(d\) vom Ursprung besitzen? - Welche Vorzeichen der Koeffizienten entsprechen den möglichen positiven und negativen Achsenrichtungen? - Welche Gleichung entsteht nach Einsetzen von \(P(2|2|2)\)? - Welche Vorzeichenfälle beschreiben nach gemeinsamer Multiplikation mit \(-1\) dieselbe Ebene?

1. Wegen des gleichen Abstands liegen die Spurpunkte bei \((\pm d|0|0)\), \((0|\pm d|0)\) und \((0|0|\pm d)\). Nach gemeinsamer Skalierung kann die Koordinatenform daher als \(\pm x_1\pm x_2\pm x_3=d\) mit \(d>0\) geschrieben werden. 2. Einsetzen von \(P(2|2|2)\) liefert \(\pm2\pm2\pm2=d\). 3. Drei positive Vorzeichen ergeben \(d=6\) und \(x_1+x_2+x_3=6\). 4. Genau ein negatives Vorzeichen ergibt \(d=2\) und die drei Formen \(x_1+x_2-x_3=2\), \(x_1-x_2+x_3=2\) und \(-x_1+x_2+x_3=2\). 5. Die übrigen Vorzeichenkombinationen ergeben keine zusätzliche Ebene mit \(d>0\), weil sie nach gemeinsamer Multiplikation mit \(-1\) bereits einen der genannten Fälle beschreiben.

\(E_1:\ x_1+x_2+x_3=6\) \(E_2:\ x_1+x_2-x_3=2\) \(E_3:\ x_1-x_2+x_3=2\) \(E_4:\ -x_1+x_2+x_3=2\)