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- Was bedeutet es für die Lage der Ebene, wenn die Variable \(x_1\) in der Gleichung fehlt? - Findest du drei verschiedene Punkte, die die Gleichung erfüllen? - Alternativ: Kannst du zwei der Variablen als Parameter (z. B. \(r\) und \(s\)) setzen und die dritte Variable dadurch ausdrücken?

1. Bestimmung von drei Punkten auf der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen: Wähle \(x_1 = 0, x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 6\), also \(A(0|6|0)\). Wähle \(x_1 = 1, x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 6\), also \(B(1|6|0)\). Wähle \(x_1 = 0, x_3 = 1 \Rightarrow x_2 = 4\), also \(C(0|4|1)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit \(A\) als Stützpunkt und den Spannvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1-0 \\ 6-6 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-0 \\ 4-6 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Zusammensetzen zur Gleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Mögliche Lösung: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatengleichung mit dem Normalenvektor zusammen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Vektor in einer Ebene liegt, im Vergleich zur Lage des Normalenvektors? - Wie prüft man rechnerisch, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Wie findest du einen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt?

1. Der Normalenvektor \(\vec{n}\) lässt sich direkt aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung ablesen: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Ein Vektor \(\vec{r}\) ist genau dann ein Richtungsvektor der Ebene, wenn er orthogonal zum Normalenvektor steht, also wenn das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) ergibt. 3. Durch Nullsetzen einer Koordinate und geschickte Wahl der anderen ergeben sich z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(2 \cdot 5 + 5 \cdot (-2) = 0\)) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) (da \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 0\)). Diese sind linear unabhängig, da sie keine Vielfachen voneinander sind. 4. Ein Stützpunkt wird durch Einsetzen gefunden, z. B. \(x_2=0, x_3=0 \Rightarrow 2x_1=10 \Rightarrow x_1=5\), also \(A(5|0|0)\). 5. Die Parameterform lautet damit: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\); Bedingung: \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\). b) Mögliche Vektoren sind \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). c) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) (Beispiel).

- Wie kannst du die gegebenen Schnittpunkte direkt in eine Ebenengleichung einsetzen? - Wie lassen sich Brüche in einer Gleichung am einfachsten eliminieren? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einer Ebene liegt? - Nutze die Punktprobe, um die Lage des Punktes zu verifizieren.

1. Die Achsenabschnitte sind \(a_1 = 3\), \(a_2 = 6\) und \(a_3 = -2\). Die Achsenabschnittsform lautet somit \(\frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{6} + \frac{x_3}{-2} = 1\). 2. Um die Koordinatenform zu erhalten, wird die Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\) multipliziert: \(6 \cdot \left(\frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{6} - \frac{x_3}{2}\right) = 6 \cdot 1\). Dies ergibt \(2x_1 + x_2 - 3x_3 = 6\). 3. Zur Punktprobe werden die Koordinaten von \(P(1 | 1 | -1)\) in die Koordinatengleichung eingesetzt: \(2 \cdot 1 + 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 1 + 3 = 6\). Da die Gleichung \(6 = 6\) erfüllt ist, liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\).

1. Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{6} + \frac{x_3}{-2} = 1\) 2. Koordinatengleichung: \(2x_1 + x_2 - 3x_3 = 6\) 3. Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene \(E\).

- Welche Koordinaten haben Punkte, die auf den Koordinatenachsen liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks. - Wie lässt sich eine Ebene besonders leicht beschreiben, wenn die Schnittpunkte mit den Achsen bekannt sind? - Wie kannst du Brüche in einer Gleichung eliminieren, um eine ganzzahlige Koordinatenform zu erhalten?

1. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(S_y\): Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks in der \(yz\)-Ebene berechnet sich durch \(A = \frac{1}{2} \cdot |y| \cdot |z|\). Mit \(z = 3\) und \(A = 6\) folgt \(\frac{1}{2} \cdot |y| \cdot 3 = 6\), woraus \(|y| = 4\) resultiert. Da \(S_y\) auf der negativen \(y\)-Achse liegt, gilt \(y = -4\), also \(S_y(0|-4|0)\). 2. Aufstellen der Achsenabschnittsform: Mit den Achsenabschnitten \(a = 6\), \(b = -4\) und \(c = 3\) lautet die Gleichung \(\frac{x}{6} + \frac{y}{-4} + \frac{z}{3} = 1\). 3. Umwandlung in die Koordinatenform: Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\) ergibt \(2x - 3y + 4z = 12\).

\(E: 2x - 3y + 4z = 12\)

- Wie verhalten sich die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Ein Stützvektor zeigt zu einem beliebigen Punkt der Ebene, während die Spannvektoren die Richtung innerhalb der Ebene angeben. - Was bedeutet es rechnerisch für eine Gleichung, wenn ein Punkt auf der durch sie beschriebenen Fläche liegt?

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: Für \(S_1\) gilt \(4x_1 = 24 \implies x_1 = 6\), also \(S_1(6|0|0)\). Für \(S_2\) gilt \(3x_2 = 24 \implies x_2 = 8\), also \(S_2(0|8|0)\). Für \(S_3\) gilt \(2x_3 = 24 \implies x_3 = 12\), also \(S_3(0|0|12)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit \(S_1\) als Stützpunkt und den Vektoren \(\vec{S_1 S_2}\) sowie \(\vec{S_1 S_3}\) als Spannvektoren: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\). 3. Punktprobe für \(P(3|2|3)\) in der Koordinatengleichung: \(4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 + 6 = 24\). Da die Gleichung erfüllt ist, liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\).

a) \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\), \(S_3(0|0|12)\) b) Eine mögliche Parameterdarstellung ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\) c) Ja, der Punkt \(P\) liegt in der Ebene, da \(4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 24\) eine wahre Aussage ergibt.

- Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um eine Ebene eindeutig zu beschreiben? - Welche Punkte lassen sich besonders leicht berechnen, wenn man zwei der Koordinaten auf Null setzt? - Wie bildest du aus drei bekannten Punkten einen Stützvektor und zwei Spannvektoren? - Gibt es eine Variable, nach der du die Gleichung einfach auflösen kannst?

1. Bestimmung dreier Punkte auf der Ebene durch Nullsetzen zweier Koordinaten: Für \(x_2 = 0, x_3 = 0\) ergibt sich \(3x_1 = 18 \Rightarrow x_1 = 6\), also \(A(6|0|0)\). Für \(x_1 = 0, x_3 = 0\) ergibt sich \(-6x_2 = 18 \Rightarrow x_2 = -3\), also \(B(0|-3|0)\). Für \(x_1 = 0, x_2 = 0\) ergibt sich \(2x_3 = 18 \Rightarrow x_3 = 9\), also \(C(0|0|9)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit Stützvektor \(\vec{OA}\) und den Spannvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). 3. Die Parameterform lautet: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). Alternativ können die Spannvektoren gekürzt werden: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\).

Mögliche Parameterdarstellung: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Wie findest du einen Punkt auf einer Achse? Welche Koordinaten müssen dort Null sein? - Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene mit einer Achse. - Für die Parameterform benötigst du einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Spannvektoren. - Kannst du die Verbindungsvektoren zwischen den Spurpunkten als Richtungsvektoren nutzen?

1. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: Für \(S_1\): \(4x_1 = 24 \implies x_1 = 6 \implies S_1(6|0|0)\). Für \(S_2\): \(3x_2 = 24 \implies x_2 = 8 \implies S_2(0|8|0)\). Für \(S_3\): \(6x_3 = 24 \implies x_3 = 4 \implies S_3(0|0|4)\). 2. Aufstellen der Parameterform mit \(S_1\) als Stützpunkt und den Verbindungsvektoren zu \(S_2\) und \(S_3\) als Spannvektoren: \(\vec{u} = \vec{S_1S_2} = \begin{pmatrix} 0-6 \\ 8-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\vec{v} = \vec{S_1S_3} = \begin{pmatrix} 0-6 \\ 0-0 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) Daraus folgt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

a) \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\), \(S_3(0|0|4)\) b) Mögliche Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)

- Wie findet man die Schnittpunkte einer Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems? - Was bedeutet es für die Geometrie einer Ebene, wenn eine Variable in ihrer Koordinatengleichung nicht vorkommt? - Überlege, welche Vektoren parallel zur Ebene liegen müssen, wenn sie eine Achse nie schneidet. - Wie kannst du aus bekannten Punkten oder Richtungen eine Ebene in der Form \(\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}\) aufbauen?

1. Berechnung der Spurpunkte: Setze jeweils zwei Koordinaten gleich null. Für die \(x_1\)-Achse (\(x_3 = 0\)): \(3x_1 = 12 \Rightarrow x_1 = 4\), also \(S_1(4|0|0)\). Für die \(x_3\)-Achse (\(x_1 = 0\)): \(4x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = 3\), also \(S_3(0|0|3)\). 2. Fehlender Spurpunkt: Ein Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse erfordert \(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\). Einsetzen in die Gleichung ergibt \(3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 \neq 12\). Da die Gleichung für keinen Punkt auf der \(x_2\)-Achse erfüllt ist, gibt es keinen Schnittpunkt. 3. Lage: Da die Variable \(x_2\) in der Gleichung fehlt und kein Spurpunkt mit der \(x_2\)-Achse existiert, verläuft die Ebene \(E\) parallel zur \(x_2\)-Achse. 4. Parameterform: Wähle einen Spurpunkt als Stützvektor, z. B. \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse ist, ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ein Richtungsvektor. Ein zweiter Richtungsvektor ergibt sich aus der Differenz der Spurpunkte: \(\vec{v} = \vec{S_1 S_3} = \begin{pmatrix} 0-4 \\ 0-0 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Gleichung lautet \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) Spurpunkte: \(S_1(4|0|0)\) und \(S_3(0|0|3)\). Ein Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse würde \(0 = 12\) erfordern, was ein Widerspruch ist. b) Die Ebene \(E\) liegt parallel zur \(x_2\)-Achse. c) Mögliche Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Was bedeutet die Parallelität zweier Ebenen für ihre Ausrichtung im Raum und ihre Normalenvektoren? - Wie hängen der Normalenvektor und die Spannvektoren einer Ebene mathematisch zusammen? - Welche Information aus der Aufgabenstellung dient als Stützvektor für die Parameterform? - Kannst du ein einfaches Verfahren finden, um Vektoren zu bestimmen, deren Skalarprodukt mit einem gegebenen Vektor null ist?

1. Den Normalenvektor der Ebene \( F \) aus der Koordinatengleichung ablesen: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \). 2. Da \( E \parallel F \), übernimmt die Ebene \( E \) den Normalenvektor von \( F \). 3. Zwei linear unabhängige Spannvektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) bestimmen, die orthogonal zum Normalenvektor stehen (das Skalarprodukt mit \( \vec{n} \) muss jeweils null ergeben). Mögliche Vektoren sind \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \). 4. Den Punkt \( A(5|-1|2) \) als Stützvektor verwenden und die Parametergleichung \( E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \) aufstellen.

\( E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) (Beispiel für eine mögliche Parameterdarstellung)

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Punkt auf einer der Koordinatenachsen liegt? Welche Koordinaten müssen dann Null sein? - Wie viele Punkte benötigst du mindestens, um eine Ebene eindeutig zu beschreiben? - Kannst du aus drei bekannten Punkten der Ebene eine Gleichung mit Stütz- und Spannvektoren bilden?

1. Die Spurpunkte berechnet man, indem jeweils zwei Koordinaten null gesetzt werden: \(S_x\): Setze \(y=0, z=0 \Rightarrow x = 8\). Also \(S_x(8|0|0)\). \(S_y\): Setze \(x=0, z=0 \Rightarrow -2y = 8 \Rightarrow y = -4\). Also \(S_y(0|-4|0)\). \(S_z\): Setze \(x=0, y=0 \Rightarrow 4z = 8 \Rightarrow z = 2\). Also \(S_z(0|0|2)\). 2. Mit den Spurpunkten als Stütz- und Richtungsvektoren ergibt sich: Stützvektor \(\vec{a} = \vec{OS_x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Spannvektor 1: \(\vec{u} = \vec{S_x S_y} = \begin{pmatrix} 0-8 \\ -4-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Spannvektor 2: \(\vec{v} = \vec{S_x S_z} = \begin{pmatrix} 0-8 \\ 0-0 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Ebenengleichung: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

1. Spurpunkte: \(S_x(8|0|0)\), \(S_y(0|-4|0)\), \(S_z(0|0|2)\). 2. Eine mögliche Parameterform ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\).

- Wie findest du einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Was passiert mit der Normalengleichung, wenn du das Skalarprodukt ausschreibst? - Wann liegt eine Gerade vollständig in einer Ebene? Reicht es, die Endpunkte einer Strecke zu betrachten? - Könntest du die Punktprobe direkt in der Koordinatengleichung durchführen?

1. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Normalenform mit dem Stützvektor: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} = 0\). 3. Umwandlung in die Koordinatenform durch Ausmultiplizieren: \(2x_1 + 5x_2 - 6x_3 = 2 \cdot 0 + 5 \cdot 4 - 6 \cdot (-2) = 32\). Die Koordinatenform lautet \(E: 2x_1 + 5x_2 - 6x_3 = 32\). 4. Überprüfung, ob die Gerade \(AB\) in \(E\) liegt, durch Punktproben: Für \(A(4|6|1)\) ergibt sich \(2 \cdot 4 + 5 \cdot 6 - 6 \cdot 1 = 8 + 30 - 6 = 32\), also \(A \in E\). Für \(B(7|6|2)\) ergibt sich \(2 \cdot 7 + 5 \cdot 6 - 6 \cdot 2 = 14 + 30 - 12 = 32\), also \(B \in E\). 5. Da beide Punkte in der Ebene liegen, liegt die gesamte Gerade \(AB\) in der Ebene \(E\).

a) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix} = 0\); Koordinatenform: \(E: 2x_1 + 5x_2 - 6x_3 = 32\). b) Die Gerade \(AB\) liegt in der Ebene \(E\), da beide Punkte die Ebenengleichung erfüllen.

- Kannst du aus den Richtungsvektoren der Ebene einen Vektor berechnen, der senkrecht auf der Ebene steht? - Wenn du die Koordinatengleichung hast, wie kannst du dann schnell testen, ob ein Punkt zur Ebene gehört? - Muss eine Gerade in der Ebene liegen, wenn nur einer ihrer Punkte darauf liegt?

1. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung: \(-x_1 + 2x_2 + 4x_3 = -1 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 = 5\). Die Gleichung lautet \(E: -x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5\). 4. Punktprobe für \(P(1|1|1)\): \(-1 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 5\). Die Gleichung ist erfüllt, also \(P \in E\). 5. Punktprobe für \(Q(3|2|2)\): \(-3 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = -3 + 4 + 8 = 9\). Da \(9 \neq 5\), liegt \(Q\) nicht in der Ebene \(E\). 6. Da der Punkt \(Q\) nicht in der Ebene liegt, kann die Gerade \(g\) nicht vollständig in der Ebene \(E\) enthalten sein.

a) Normalenform: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = 0\); Koordinatengleichung: \(E: -x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 5\). b) Die Gerade \(g\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da zwar der Punkt \(P\), aber nicht der Punkt \(Q\) in der Ebene liegt.

- Wie bestimmt man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Welche Bedeutung haben die Koeffizienten vor den Variablen in einer Koordinatengleichung? - Wie nutzt du den Stützpunkt der Ebene, um das absolute Glied in der Gleichung zu finden?

1. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}\) über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Koordinatengleichung mit dem Ansatz \(2x_1 - 4x_2 - x_3 + d = 0\). 3. Einsetzen des Stützpunktes \(P(1|2|-1)\) zur Bestimmung von \(d\): \(2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 - (-1) + d = 0 \Rightarrow 2 - 8 + 1 + d = 0 \Rightarrow -5 + d = 0 \Rightarrow d = 5\). 4. Die Koordinatengleichung lautet \(2x_1 - 4x_2 - x_3 + 5 = 0\).

\(E: 2x_1 - 4x_2 - x_3 + 5 = 0\)

- Überlege dir, welche geometrischen Objekte durch lineare Gleichungen in verschiedenen Dimensionen beschrieben werden. - Wie viele freie Parameter benötigst du für eine Gerade und wie viele für eine Ebene? - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn eine Koordinate in der Gleichung gar nicht vorkommt? - Setze gezielt Werte für einzelne Koordinaten auf Null, um Schnittpunkte mit den Achsen zu finden.

1. Im \(\mathbb{R}^2\) stellt die Gleichung eine Gerade dar. Zur Bestimmung der Parameterform werden zwei Punkte benötigt, z. B. die Achsenschnittpunkte \(S_1(5|0)\) und \(S_2(0|-4)\). Ein Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 - 5 \\ -4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Parameterform ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Im \(\mathbb{R}^3\) stellt die Gleichung eine Ebene dar. Da die Variable \(x_3\) nicht in der Gleichung vorkommt, ist der Wert von \(x_3\) beliebig wählbar, was der Richtung des Einheitsvektors \(\vec{e}_3\) entspricht. Eine Parameterform ergibt sich durch Ergänzung der Geradengleichung um diesen zweiten Richtungsvektor: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Die Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse, da der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}\) orthogonal zum Richtungsvektor der \(x_3\)-Achse ist. Zudem steht sie senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Gerade im \(\mathbb{R}^2\); Parameterform z. B. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) Ebene im \(\mathbb{R}^3\); Parameterform z. B. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Die Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse und steht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene.

- Um Schnittpunkte mit Achsen zu finden, kannst du die jeweils anderen Koordinaten gleich Null setzen. - Wenn eine Variable in einer Ebenengleichung fehlt, ist die Ebene parallel zur entsprechenden Achse. - Ein Richtungsvektor einer Ebene kann oft direkt aus der fehlenden Variable abgeleitet werden. - Die Spurgerade in einer Koordinatenebene erhältst du, indem du die Bedingung für diese Ebene (z. B. \(x_1=0\)) berücksichtigst.

1. Spurpunkte berechnen: Für \(S_2\) setze \(x_1=0, x_3=0 \Rightarrow 3x_2 = 12 \Rightarrow x_2 = 4\), also \(S_2(0|4|0)\). Für \(S_3\) setze \(x_1=0, x_2=0 \Rightarrow 4x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = 3\), also \(S_3(0|0|3)\). 2. Parameterform der Ebene aufstellen: Stützvektor ist z. B. \(\vec{OS_2}\). Ein Richtungsvektor ist \(\vec{S_2S_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Da \(x_1\) in der Gleichung fehlt, ist \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ein zweiter Richtungsvektor. Damit folgt \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Die Variable \(x_1\) tritt in der Gleichung nicht auf. Das bedeutet, dass für jeden Punkt \((0|x_2|x_3)\) der Ebene auch alle Punkte \((x_1|x_2|x_3)\) mit beliebigem \(x_1\) in der Ebene liegen. Dies entspricht einer Parallelität zur \(x_1\)-Achse. Alternativ: Der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) steht senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) der \(x_1\)-Achse. 4. Die Schnittgerade mit der \(x_2x_3\)-Ebene (Gleichung \(x_1=0\)) ergibt sich direkt aus der gegebenen Gleichung, indem man sie als Gerade im zweidimensionalen Untersystem betrachtet: \(3x_2 + 4x_3 = 12\) (mit \(x_1 = 0\)). In Vektorform: \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|3)\) b) z. B. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) c) Parallel zur \(x_1\)-Achse, da die Variable \(x_1\) in der Koordinatengleichung fehlt. d) \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Wie findet man Punkte einer Ebene, wenn die Koordinatengleichung gegeben ist? Denke an die Schnittpunkte mit den Achsen. - Ist es einfacher, einen Punkt in die Parameterform oder in die Koordinatengleichung einzusetzen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Punktprobe eine wahre Aussage wie \(4=4\) ergibt? - Kannst du die Koordinaten von \(C\) als Terme in die Gleichung einsetzen und nach der Unbekannten auflösen?

1. Parameterform aufstellen: Suche drei Punkte, die die Gleichung erfüllen, z. B. \(S_1(2|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|-2)\). Daraus ergibt sich z. B. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe für \(A(1|4|1)\): Einsetzen in die Koordinatengleichung: \(2 \cdot 1 + 4 - 2 \cdot 1 = 2 + 4 - 2 = 4\). Die Aussage ist wahr, also liegt \(A\) in \(E\). 3. Punktprobe für \(B(3|2|4)\): Einsetzen: \(2 \cdot 3 + 2 - 2 \cdot 4 = 6 + 2 - 8 = 0 \neq 4\). Die Aussage ist falsch, also liegt \(B\) nicht in \(E\). 4. Bestimmung von \(k\): Einsetzen von \(C(k|k|1)\) in die Gleichung: \(2k + k - 2 \cdot 1 = 4\). Zusammenfassen ergibt \(3k - 2 = 4\), woraus \(3k = 6\) und somit \(k = 2\) folgt.

a) Mögliche Lösung: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) (andere Repräsentationen sind möglich). b) \(A\) liegt in \(E\), \(B\) liegt nicht in \(E\). c) \(k = 2\).

- Wie wandelt man eine Parameterform mithilfe des Normalenvektors in eine Koordinatenform um? - Was zeichnet einen Punkt aus, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum kennst du, die Vektoren nutzt?

1. Ein Normalenvektor \(\vec{n}\) ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix}\). Vereinfacht wählt man \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((4|0|0)\) folgt die Koordinatengleichung \(1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 4\). 2. Die Spurpunkte berechnen sich durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|2)\). 3. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{S_1S_2}| = \sqrt{(0-4)^2 + (4-0)^2 + 0^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) \(|\vec{S_1S_3}| = \sqrt{(0-4)^2 + 0^2 + (2-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) \(|\vec{S_2S_3}| = \sqrt{0^2 + (0-4)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) Da \(|\vec{S_1S_3}| = |\vec{S_2S_3}|\), ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basis \(S_1S_2\). Flächeninhalt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{S_1S_2}\) und \(\vec{S_1S_3}\) ist \(\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix}\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \left| \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 64 + 256} = \frac{1}{2} \sqrt{384} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80\,\text{FE}\).

1. \(E: x_1 + x_2 + 2x_3 = 4\) 2. \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\) 3. Die Seitenlängen sind \(|\vec{S_1S_2}| = \sqrt{32}\) und \(|\vec{S_1S_3}| = |\vec{S_2S_3}| = \sqrt{20}\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\sqrt{6} \approx 9{,}80\,\text{FE}\).

- Wie kannst du aus drei Punkten eine Ebene in Parameterform aufstellen? - Welche Bedeutung haben die Werte \(a\), \(b\) und \(c\) in der Achsenabschnittsform für die Lage der Ebene im Koordinatensystem? - Betrachte das Tetraeder als eine Pyramide mit einer rechtwinkligen Grundfläche in einer der Koordinatenebenen. Welche Formel für das Pyramidenvolumen kennst du?

1. Zur Aufstellung der Parameterform wählen wir \(S_1\) als Stützpunkt und die Vektoren zu den anderen Achsenabschnittspunkten als Spannvektoren: \(\vec{x} = \vec{OS_1} + r \cdot \vec{S_1S_2} + s \cdot \vec{S_1S_3} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 2. Die Achsenabschnitte sind \(a = 6\), \(b = 3\) und \(c = -2\). Durch Einsetzen in die allgemeine Form \(\frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{b} + \frac{x_3}{c} = 1\) erhält man direkt die Koordinatengleichung: \(\frac{x_1}{6} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{-2} = 1\). Dies lässt sich durch Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6\) in die Koordinatenform \(x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 6\) überführen. 3. Das Volumen eines Tetraeders mit den Ecken im Ursprung und auf den Koordinatenachsen berechnet sich über \(V = \frac{1}{6} \cdot |a \cdot b \cdot c|\). Einsetzen der Werte ergibt: \(V = \frac{1}{6} \cdot |6 \cdot 3 \cdot (-2)| = \frac{1}{6} \cdot |-36| = 6\). Das Volumen beträgt \(6\,\text{VE}\) (Volumeneinheiten).

1. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. \(\frac{x_1}{6} + \frac{x_2}{3} - \frac{x_3}{2} = 1\) 3. \(V = 6\,\text{VE}\)

- Wie kannst du aus den Spannvektoren einer Ebene einen Normalenvektor berechnen? - Wenn zwei Ebenen parallel sind, was bedeutet das für ihre Ausrichtung im Raum und ihre Normalenvektoren? - Kannst du die Ebene \( H \) zuerst in Normalenform aufstellen und diese dann in die Koordinatenform umwandeln?

1. Zuerst wird ein Normalenvektor \( \vec{n} \) der Ebene \( E \) berechnet, indem das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren gebildet wird: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \\ -(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \\ 2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} \). 2. Da die Ebene \( H \) parallel zu \( E \) ist, übernimmt sie diesen Normalenvektor. Der Ansatz für die Koordinatengleichung lautet daher \( x_1 - 5x_2 - 2x_3 = d \). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes \( Q(3 | 0 | 2) \) in den Ansatz wird der Wert für \( d \) bestimmt: \( 1 \cdot 3 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = 3 - 0 - 4 = -1 \). 4. Die Koordinatengleichung der Ebene \( H \) lautet somit \( x_1 - 5x_2 - 2x_3 = -1 \).

\( H: x_1 - 5x_2 - 2x_3 = -1 \)

- Erinnere dich an die Eigenschaft des Skalarprodukts bei orthogonalen Vektoren. - Welches mathematische Werkzeug liefert einen Vektor, der auf zwei anderen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Welche Bestandteile benötigst du für eine Parameterform einer Ebene?

1. Ein Vektor ist ein Richtungsvektor, wenn sein Skalarprodukt mit dem Normalenvektor null ist. Berechnung: \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Somit ist \(\vec{u}\) ein gültiger Richtungsvektor. 2. Ein Vektor \(\vec{v}\), der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, kann über das Kreuzprodukt berechnet werden: Das Kreuzprodukt von \(\vec{n}\) und \(\vec{u}\) ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Alternativ führt das Gleichungssystem \(v_1 + 2v_3 = 0\) und \(v_2 = 0\) zum selben Ergebnis (bis auf Skalierung). 3. Mit dem Stützpunkt \(P\) und den Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ergibt sich die Parameterform \(H: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Nachweis über das Skalarprodukt: \(1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches davon). c) \(H: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Wie berechnet man das Skalarprodukt zwischen einem Vektor und dem allgemeinen Ortsvektor \(\vec{x}\)? - Wie führt man eine Punktprobe bei einer Ebene durch? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er nicht auf den Koordinatenachsen liegen darf? - Wie viele Koordinaten kannst du bei einer Ebene frei wählen, um einen Punkt zu finden?

1. Die Koordinatenform ergibt sich direkt aus dem Skalarprodukt: \(1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 - 2 \cdot x_3 = 6\), also \(x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 6\). 2. Punktprobe für \(R\): \(1 + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 3 + 2 = 6\). Da \(6 = 6\) eine wahre Aussage ist, liegt \(R\) in \(\mathbb{E}\). Punktprobe für \(S\): \(2 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 2 + 6 - 4 = 4\). Da \(4 \neq 6\), liegt \(S\) nicht in \(\mathbb{E}\). 3. Für \(T(x_1 \mid x_2 \mid 0)\) muss gelten: \(x_1 + 3x_2 = 6\). Damit der Punkt auf keiner Achse liegt, dürfen \(x_1\) und \(x_2\) nicht null sein. Wählt man z. B. \(x_2 = 1\), folgt \(x_1 + 3 = 6 \implies x_1 = 3\). Ein möglicher Punkt ist \(T(3 \mid 1 \mid 0)\).

a) \(x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 6\) b) \(R\) liegt in \(\mathbb{E}\); \(S\) liegt nicht in \(\mathbb{E}\). c) Individuelle Lösung möglich, z. B. \(T(3 \mid 1 \mid 0)\) oder \(T(9 \mid -1 \mid 0)\).

- Was muss auf der rechten Seite der Gleichung stehen, damit sie der Achsenabschnittsform entspricht? - Wie hängen die Nenner in der Achsenabschnittsform mit den Schnittpunkten auf den Koordinatenachsen zusammen? - Welche Form hat die Grundfläche des Körpers, der von der Ebene und den Achsen begrenzt wird? - Erinnere dich an die Volumenformel für eine Pyramide mit rechtwinkliger Grundfläche im Koordinatensystem.

1. Um die Achsenabschnittsform \(\frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} + \frac{x_3}{a_3} = 1\) zu erhalten, wird die Gleichung durch \(12\) dividiert: \(\frac{3x_1}{12} + \frac{4x_2}{12} + \frac{2x_3}{12} = \frac{12}{12}\). Durch Kürzen ergibt sich \(\frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{6} = 1\). 2. Aus der Achsenabschnittsform lassen sich die Schnittpunkte mit den Achsen direkt ablesen: \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\) und \(S_3(0|0|6)\). 3. Das Volumen des Tetraeders berechnet sich mit der Formel \(V = \frac{1}{6} \cdot |a_1 \cdot a_2 \cdot a_3|\). Einsetzen der Achsenabschnitte ergibt \(V = \frac{1}{6} \cdot |4 \cdot 3 \cdot 6| = \frac{72}{6} = 12\). Das Volumen beträgt \(12\,\text{VE}\).

1. Achsenabschnittsform: \(\frac{x_1}{4} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{6} = 1\) 2. Spurpunkte: \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\), \(S_3(0|0|6)\) 3. Volumen: \(V = 12\,\text{VE}\)

- Wenn du eine Gleichung mit drei Unbekannten hast, kannst du zwei davon frei wählen, um die dritte zu bestimmen. - Wie hängen die Koeffizienten der Koordinatengleichung mit dem Normalenvektor zusammen? - Welches Rechenwerkzeug nutzt man in der Vektorgeometrie, um zu prüfen, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen?

1. Auflösen der Gleichung nach \(x_1\): \(-x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6 \iff x_1 = 3x_2 + 2x_3 - 6\). 2. Ersetzen von \(x_2\) durch \(r\) und \(x_3\) durch \(s\) führt zum Gleichungssystem: \(x_1 = -6 + 3r + 2s\), \(x_2 = r\), \(x_3 = s\). In Vektorschreibweise ergibt dies die Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Orthogonalität wird über das Skalarprodukt geprüft: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -3 + 3 + 0 = 0\) und \(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 + 0 + 2 = 0\). Da beide Skalarprodukte null sind, steht der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene.

a) \(x_1 = 3x_2 + 2x_3 - 6\) b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Mit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) gilt \(\vec{n} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\) und \(\vec{n} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). Die Orthogonalität ist somit bestätigt.

- Kannst du die Gleichung nach einer der Variablen auflösen, um die anderen als Parameter zu verwenden? - Was passiert mit dem Parameter \(t\), wenn du eine Variable isolierst? - Wie lassen sich die Koordinaten einzeln in Abhängigkeit von zwei freien Parametern (z. B. \(r\) und \(s\)) ausdrücken? - Überlege, wie du den Vektor \(\vec{x}\) in einen konstanten Teil und zwei Teile mit den Parametern zerlegen kannst.

1. Auflösen der Koordinatengleichung nach einer Variablen (hier \(x_1\)): \(x_1 = 10 - t \cdot x_2 + 2x_3\). 2. Wahl der freien Parameter für die verbleibenden Variablen: Setze \(x_2 = r\) und \(x_3 = s\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\). 3. Einsetzen in die Vektordarstellung \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 10 - t \cdot r + 2 \cdot s \\ r \\ s \end{pmatrix}\). 4. Trennung nach dem konstanten Anteil und den Anteilen mit den Parametern \(r\) und \(s\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -t \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(H_t: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -t \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Kannst du die Vektorgleichung zeilenweise als drei separate Gleichungen aufschreiben? - Überlege dir, wie du eine Gleichung nach einem der Parameter auflösen kannst. - Wie kannst du diesen Parameter in den anderen Gleichungen ersetzen, damit er dort verschwindet? - Das Ziel ist eine Gleichung, in der nur noch \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) und Zahlen vorkommen.

Zunächst wird die Parameterform in ein System aus drei Gleichungen zerlegt: (I) \(x_1 = 3 + r + 2s\) (II) \(x_2 = 1 + 2r\) (III) \(x_3 = 4 + r - s\) Aus Gleichung (II) lässt sich der Parameter \(r\) direkt in Abhängigkeit von \(x_2\) ausdrücken: \(2r = x_2 - 1 \Rightarrow r = 0{,}5x_2 - 0{,}5\). Dieser Ausdruck für \(r\) wird in Gleichung (III) eingesetzt, um \(s\) zu bestimmen: \(x_3 = 4 + (0{,}5x_2 - 0{,}5) - s \Rightarrow s = 3{,}5 + 0{,}5x_2 - x_3\). Nun werden die Ausdrücke für \(r\) und \(s\) in Gleichung (I) eingesetzt: \(x_1 = 3 + (0{,}5x_2 - 0{,}5) + 2 \cdot (3{,}5 + 0{,}5x_2 - x_3)\). Durch Zusammenfassen ergibt sich: \(x_1 = 3 + 0{,}5x_2 - 0{,}5 + 7 + x_2 - 2x_3 \Rightarrow x_1 = 9{,}5 + 1{,}5x_2 - 2x_3\). Umgestellt in die Standardform ergibt dies \(x_1 - 1{,}5x_2 + 2x_3 = 9{,}5\). Multiplikation mit \(2\) liefert die ganzzahlige Koordinatengleichung \(2x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 19\).

Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet \(2x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 19\).

- Wie kannst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Vektor finden, der senkrecht auf der Ebene steht? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Koeffizienten der Koordinatengleichung und dem Normalenvektor? - Wie nutzt du den Stützpunkt der Ebene, um das Absolutglied der Koordinatengleichung zu bestimmen? - Was bedeutet es mathematisch für die Koordinatengleichung, wenn ein Punkt auf einer Ebene liegt?

1. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Koordinatenform \(4x_1 - 2x_2 + x_3 = d\) und Einsetzen des Stützpunktes \((2 \mid 1 \mid -1)\): \(4 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + (-1) = 5\). Die Gleichung lautet \(4x_1 - 2x_2 + x_3 = 5\). 3. Punktprobe für \(P(3 \mid 4 \mid 1)\): \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5\). Da \(5 = 5\) eine wahre Aussage ist, liegt \(P\) in \(E\). 4. Punktprobe für \(Q(1 \mid 1 \mid 1)\): \(4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3\). Da \(3 \neq 5\) ist, liegt \(Q\) nicht in \(E\).

a) Eine Koordinatengleichung ist \(4x_1 - 2x_2 + x_3 = 5\). b) Der Punkt \(P(3 \mid 4 \mid 1)\) liegt in der Ebene \(E\), da er die Gleichung erfüllt (\(5 = 5\)). Der Punkt \(Q(1 \mid 1 \mid 1)\) liegt nicht in der Ebene \(E\), da er die Gleichung nicht erfüllt (\(3 \neq 5\)).

- Wie findet man Punkte, die eine Koordinatengleichung erfüllen? Es ist oft am einfachsten, zwei Koordinaten auf Null zu setzen. - Wenn du drei Punkte hast, wie bildest du daraus einen Stützvektor und zwei Spannvektoren? - Wie setzt man einen Punkt in eine Parameterform ein, um zu prüfen, ob er auf der Ebene liegt? - Was muss für die Parameter \(r\) und \(s\) gelten, damit der Punkt Teil der Ebene ist?

1. Zur Parameterform: Bestimmung dreier Punkte auf der Ebene, z. B. über die Spurpunkte \(S_1(2 \mid 0 \mid 0)\), \(S_2(0 \mid 6 \mid 0)\) und \(S_3(0 \mid 0 \mid -3)\). Daraus folgt eine mögliche Parameterform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Punktprobe mit Koordinatengleichung für \(P(1 \mid 5 \mid 1)\): \(3 \cdot 1 + 5 - 2 \cdot 1 = 3 + 5 - 2 = 6\). Da \(6 = 6\), liegt \(P\) in \(E\). 3. Punktprobe mit Koordinatengleichung für \(Q(2 \mid 2 \mid 2)\): \(3 \cdot 2 + 2 - 2 \cdot 2 = 6 + 2 - 4 = 4\). Da \(4 \neq 6\), liegt \(Q\) nicht in \(E\). 4. Punktprobe für \(P\) mit der Parameterform führt zu einem linearen Gleichungssystem: (I) \(2 - 2r - 2s = 1\) (II) \(6r = 5 \Rightarrow r = \frac{5}{6}\) (III) \(-3s = 1 \Rightarrow s = -\frac{1}{3}\) Einsetzen in (I): \(2 - 2 \cdot \frac{5}{6} - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = 2 - \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = 2 - 1 = 1\). Das System ist lösbar, somit liegt \(P\) in \(E\).

a) Eine mögliche Parameterform ist \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). b) Der Punkt \(P(1 \mid 5 \mid 1)\) liegt in der Ebene (\(6=6\)), der Punkt \(Q(2 \mid 2 \mid 2)\) liegt nicht in der Ebene (\(4 \neq 6\)). c) Durch Gleichsetzen von \(\vec{OP}\) mit der Parameterform erhält man z. B. \(r = \frac{5}{6}\) und \(s = -\frac{1}{3}\). Da das System widerspruchsfrei lösbar ist, liegt \(P\) in \(E\).

- Was haben alle Punkte gemeinsam, die auf einer Ebene liegen, deren Gleichung nur eine Variable enthält? - Stell dir vor, du stehst im Koordinatenursprung. Wo befinden sich alle Punkte mit der Eigenschaft \(x_2 = 5\)? - Ein Richtungsvektor gibt an, in welche Richtungen man sich innerhalb der Ebene bewegen kann, ohne sie zu verlassen. Welche Koordinaten dürfen sich dabei ändern? - Wie viele Richtungsvektoren brauchst du für eine Ebene und wie müssen diese zueinander liegen?

1. Lagebeschreibung: Die Gleichung \(x_2 = 5\) besagt, dass alle Punkte der Ebene den festen \(x_2\)-Wert 5 haben. Dies bedeutet, dass die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene im Abstand von 5 Einheiten verläuft. 2. Begründung der Spannvektoren: Ein Vektor ist ein Spannvektor der Ebene, wenn die Verschiebung eines Punktes der Ebene um diesen Vektor wieder zu einem Punkt in der Ebene führt. Da in \(F\) nur die Bedingung \(x_2 = 5\) gilt, darf sich bei einer Verschiebung die \(x_2\)-Koordinate nicht ändern (\(\Delta x_2 = 0\)). Bei von null verschiedenen Vektoren der Form \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}\) ist die zweite Komponente null, sodass die Bedingung \(x_2 = 5\) erhalten bleibt. 3. Parameterform: Ein Stützpunkt muss die Bedingung \(x_2 = 5\) erfüllen, z. B. \(P(0|5|0)\). Als linear unabhängige Spannvektoren eignen sich die Einheitsvektoren der Achsen, zu denen die Ebene parallel ist: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Gleichung ist \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Die Ebene \(F\) verläuft parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene im Abstand von 5 Einheiten. b) Da die Ebene durch \(x_2 = \text{konstant}\) definiert ist, darf eine Verschiebung innerhalb der Ebene die \(x_2\)-Koordinate nicht verändern. Dies ist bei von null verschiedenen Vektoren mit einer 0 an der zweiten Stelle der Fall. c) Mögliche Parameterform: \(F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\).

- Überlege zuerst, wie du aus den beiden Richtungsvektoren der Parameterform einen Vektor berechnest, der senkrecht zur Ebene steht. - Wie nutzt du den Stützpunkt der Ebene, um die Konstante in der Koordinatengleichung zu bestimmen? - Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der genau auf der \(x_1\)-Achse liegt? - Wie viele Koordinaten müssen Null sein, um einen Schnittpunkt mit einer Achse zu berechnen?

1. Bestimmung des Normalenvektors durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Koordinatenform \(-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 = d\) und Einsetzen des Stützpunktes \((2|2|1)\): \(-2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 9\). Die Gleichung lautet \(-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 9\). 3. Berechnung der Spurpunkte durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten: Für \(S_1\): \(x_2=0, x_3=0 \implies -2x_1 = 9 \implies x_1 = -4{,}5\). Für \(S_2\): \(x_1=0, x_3=0 \implies 4x_2 = 9 \implies x_2 = 2{,}25\). Für \(S_3\): \(x_1=0, x_2=0 \implies 5x_3 = 9 \implies x_3 = 1{,}8\). Ergebnis: \(S_1(-4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|2{,}25|0)\) und \(S_3(0|0|1{,}8)\).

Koordinatengleichung: \(-2x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 9\); Spurpunkte: \(S_1(-4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|2{,}25|0)\), \(S_3(0|0|1{,}8)\).

- Wie kannst du aus den gegebenen Gleichungen für die Koordinaten eine Vektorgleichung der Form \(\vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v}\) erstellen? - Erinnere dich daran, wie man einen Vektor findet, der senkrecht auf zwei Spannvektoren steht. - Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Ebene verläuft immer entlang des Normalenvektors. - Welche geometrische Figur entsteht, wenn man vom Punkt \(Q\) aus in Richtung des Normalenvektors geht?

1. Aufstellen der Parameterform der Ebene \(M\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind, handelt es sich um eine Ebene. 2. Bestimmung des Normalenvektors: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Vereinfacht kann \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Koordinatengleichung: \(x_1 + 2x_2 + x_3 = d\). Einsetzen des Stützpunktes \((2|5|-1)\) ergibt \(2 + 10 - 1 = 11\). Also \(M: x_1 + 2x_2 + x_3 = 11\). 4. Bestimmung des Lotfußpunktes \(P_0\): Aufstellen der Lotgeraden \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Schneiden von \(l\) mit \(M\): \((4 + t) + 2 \cdot (1 + 2t) + (8 + t) = 11 \implies 6t + 14 = 11 \implies t = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(t\) in die Lotgerade ergibt \(P_0(3{,}5|0|7{,}5)\). 6. Berechnung des Abstands: \(d(Q, M) = |\vec{QP_0}| = \sqrt{(3{,}5-4)^2 + (0-1)^2 + (7{,}5-8)^2} = \sqrt{0{,}25 + 1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22\).

a) \(M: x_1 + 2x_2 + x_3 = 11\) b) \(P_0(3{,}5|0|7{,}5)\) c) \(d = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22\,\text{LE}\)