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- Welche dritte Koordinate muss jeder Punkt von \(E\) besitzen? - Welche der Richtungsvektoren verändern die dritte Koordinate? - Welche Rolle spielt die dritte Koordinate des Stützpunkts?

1. In A hat der Stützpunkt die dritte Koordinate \(2\), und beide Richtungsvektoren ändern \(x_3\) nicht. Daher gilt für jeden Punkt der Ebene \(x_3=2\). 2. In B ist stets \(x_3=0\); B beschreibt die \(x_1x_2\)-Koordinatenebene. 3. In C verändert der erste Richtungsvektor die dritte Koordinate. Daher enthält C auch Punkte mit \(x_3\neq2\).

A

- Welche Komponenten des Normalenvektors sind null? - Welcher Koordinatenunterschied bleibt dadurch im Skalarprodukt übrig?

1. Das Skalarprodukt betrachtet wegen des Normalenvektors nur die dritte Komponente. 2. Es gilt \(2(x_3-3)=0\), also \(x_3=3\). 3. Daher ist A äquivalent.

A: \(x_3=3\)

- Welche zwei Koordinaten sind an einem Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null? - Welche zwei Verbindungsvektoren zwischen den drei Spurpunkten sind linear unabhängig? - Wie setzt sich eine Parameterform aus einem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren zusammen?

1. Für den Spurpunkt auf der \(x_1\)-Achse setzt man \(x_2=x_3=0\). Damit ist \(x_1=8\) und \(S_1(8|0|0)\). Für die \(x_2\)-Achse gilt \(x_1=x_3=0\), also \(-2x_2=8\) und \(S_2(0|-4|0)\). Für die \(x_3\)-Achse gilt \(x_1=x_2=0\), also \(4x_3=8\) und \(S_3(0|0|2)\). 2. Mit \(S_1\) als Stützpunkt sind zwei Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-8\\0\\2\end{pmatrix}\). Damit ist eine mögliche Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-8\\0\\2\end{pmatrix}\) mit \(r,s\in\mathbb{R}\).

1. \(S_1(8|0|0)\), \(S_2(0|-4|0)\), \(S_3(0|0|2)\) 2. Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-8\\-4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-8\\0\\2\end{pmatrix}\)

- Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Welche Koeffizienten der Koordinatenform werden durch einen Normalenvektor festgelegt? - Wie bestimmst du die rechte Seite der Koordinatenform mithilfe des Stützpunktes?

1. Ein Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-1\end{pmatrix}\). 2. Die Koordinatenform hat daher den Ansatz \(2x_1-4x_2-x_3=d\). 3. Einsetzen des Stützpunktes \(P(1|2|-1)\) ergibt \(2-8+1=d\), also \(d=-5\). 4. Damit lautet die Koordinatenform \(E:2x_1-4x_2-x_3=-5\).

\(E:2x_1-4x_2-x_3=-5\)

- Welche Koordinate kann frei verändert werden, weil \(x_1\) in der Koordinatenform nicht vorkommt? - Wie kannst du drei nicht kollineare Punkte finden, die die Koordinatenform erfüllen? - Welche zwei Verbindungsvektoren zwischen diesen Punkten können als Richtungsvektoren dienen?

1. Drei nicht kollineare Punkte von \(F\) sind zum Beispiel \(A(0|6|0)\), \(B(1|6|0)\) und \(C(0|4|1)\). 2. Mit \(A\) als Stützpunkt erhält man die beiden linear unabhängigen Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\). 3. Eine mögliche Parameterform ist daher \(F:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\) mit \(r,s\in\mathbb{R}\).

Zum Beispiel \(F:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\)

- Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor der Ebene? - Wie bestimmst du mit dem Normalenvektor und dem Stützpunkt die Koordinatenform? - Welche zwei Koordinaten sind an einem Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null?

1. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix}8\\8\\16\end{pmatrix}\). Als vereinfachten Normalenvektor kann man \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\) wählen. Mit dem Stützpunkt \((4|0|0)\) folgt \(E:x_1+x_2+2x_3=4\). 2. Durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten erhält man \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|2)\).

1. \(E:x_1+x_2+2x_3=4\) 2. \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|2)\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren von \(S_1\) zu den anderen Spurpunkten können als Richtungsvektoren dienen? - Wie erhältst du aus zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du mit einem Normalenvektor und einem Ebenenpunkt die rechte Seite der Koordinatenform?

1. Mit \(S_1\) als Stützpunkt erhält man die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-6\\0\\-2\end{pmatrix}\). Damit ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\-2\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren ist zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\). Mit \(S_1\) folgt \(x_1+2x_2-3x_3=6\).

1. \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\-2\end{pmatrix}\) 2. \(E:x_1+2x_2-3x_3=6\)

- Welche Information steckt direkt in den Koeffizienten einer Koordinatenform? - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet Vektoren, die in der Ebene verlaufen? - Wie kannst du zwei verschiedene Lösungen dieser Bedingung finden, die keine Vielfachen voneinander sind? - Welchen einfachen Ebenenpunkt kannst du durch Nullsetzen zweier Koordinaten erhalten?

1. Aus den Koeffizienten der Koordinatenform kann man \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\5\\-3\end{pmatrix}\) ablesen. 2. Für jeden Richtungsvektor \(\vec{r}\) von \(E\) gilt \(\vec{n}\cdot\vec{r}=0\). 3. Zum Beispiel erfüllen \(\vec{u}=\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\) diese Bedingung. Sie sind keine Vielfachen voneinander und daher linear unabhängig. 4. Ein möglicher Stützpunkt ist \(A(5|0|0)\), denn \(2\cdot5=10\). 5. Damit ist eine mögliche Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\).

a) Zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\5\\-3\end{pmatrix}\); für jeden Richtungsvektor gilt \(\vec{n}\cdot\vec{r}=0\). b) Zum Beispiel \(\vec{u}=\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\) c) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\)

- Welche zwei Verbindungsvektoren kannst du aus den drei Spurpunkten bilden? - Wie erhältst du aus zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du mit dem Normalenvektor und einem Spurpunkt die Koordinatenform? - Wie überprüfst du anschließend den gegebenen Punkt?

1. Zwei Richtungsvektoren sind \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}\). Ein dazu orthogonaler Normalenvektor ist zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\). Mit \(S_1\) folgt \(2x_1+x_2-3x_3=6\). 2. Für \(P\) gilt \(2\cdot1+1-3(-1)=6\). Daher liegt \(P\) in \(E\).

1. \(E:2x_1+x_2-3x_3=6\) 2. \(P\in E\)

- Welche zwei Koordinaten setzt du für einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null? - Welche zwei Verbindungsvektoren der drei Spurpunkte sind linear unabhängig? - Welche Darstellung eignet sich für die Punktprobe besonders direkt?

1. Durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten erhält man \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\) und \(S_3(0|0|12)\). 2. Mit \(S_1\) als Stützpunkt sind zwei Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-6\\0\\12\end{pmatrix}\). Damit ist zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\12\end{pmatrix}\). 3. Für \(P\) gilt \(4\cdot3+3\cdot2+2\cdot3=24\). Daher liegt \(P\) in \(E\).

a) \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\), \(S_3(0|0|12)\) b) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\12\end{pmatrix}\) c) \(P\in E\)

- Welche drei Ebenenpunkte erhältst du besonders einfach durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten? - Welcher dieser Punkte kann als Stützpunkt dienen? - Welche zwei Verbindungsvektoren kannst du als Richtungsvektoren verwenden?

1. Drei einfache Punkte von \(E\) sind \(A(6|0|0)\), \(B(0|-3|0)\) und \(C(0|0|9)\). 2. Mit \(A\) als Stützpunkt erhält man die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-6\\-3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-6\\0\\9\end{pmatrix}\). 3. Eine mögliche Parameterform ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}\), wobei die gekürzten Richtungsvektoren dieselben Richtungen beschreiben.

Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}\)

- Welche zwei Koordinaten sind an einem Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null? - Welcher Spurpunkt kann als Stützpunkt dienen? - Welche zwei Verbindungsvektoren der Spurpunkte sind linear unabhängig und eignen sich als Richtungsvektoren?

1. Durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten erhält man \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\) und \(S_3(0|0|4)\). 2. Mit \(S_1\) als Stützpunkt sind zwei Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-6\\0\\4\end{pmatrix}\). Damit ist zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\4\end{pmatrix}\).

a) \(S_1(6|0|0)\), \(S_2(0|8|0)\), \(S_3(0|0|4)\) b) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-6\\0\\4\end{pmatrix}\)

- Welche zwei Koordinaten sind für einen Punkt auf einer bestimmten Koordinatenachse null? - Welche Richtung kann in der Ebene frei verändert werden, weil \(x_2\) in der Koordinatenform fehlt? - Woran erkennst du zusätzlich, ob die \(x_2\)-Achse selbst enthalten ist oder keinen Punkt mit der Ebene gemeinsam hat? - Welche zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren kannst du anschließend für eine Parameterform verwenden?

1. Für die \(x_1\)-Achse gilt \(x_2=x_3=0\), also \(S_1(4|0|0)\). Für die \(x_3\)-Achse gilt \(x_1=x_2=0\), also \(S_3(0|0|3)\). Auf der \(x_2\)-Achse wären \(x_1=x_3=0\); dies würde \(0=12\) ergeben. Daher gibt es dort keinen Spurpunkt. 2. Weil \(x_2\) in der Koordinatenform nicht vorkommt, ist \(\vec{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) eine Richtung in \(E\). Da die \(x_2\)-Achse keinen Punkt mit \(E\) gemeinsam hat, ist \(E\) echt parallel zur \(x_2\)-Achse. 3. Mit \(S_1\) als Stützpunkt, \(\vec{e}_2\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\) erhält man \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\).

a) \(S_1(4|0|0)\), \(S_3(0|0|3)\); auf der \(x_2\)-Achse würde die Ebenenbedingung \(0=12\) verlangen. b) \(E\) ist echt parallel zur \(x_2\)-Achse. c) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\)

- Welche Beziehung haben die Normalenvektoren paralleler Ebenen? - Welche Skalarproduktbedingung müssen Richtungsvektoren von \(E\) bezüglich dieses Normalenvektors erfüllen? - Wie stellst du sicher, dass deine beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind? - Welcher gegebene Punkt dient unmittelbar als Stützpunkt?

1. Ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}\). Wegen \(E\parallel F\) kann derselbe Normalenvektor für \(E\) verwendet werden. 2. Gesucht sind zwei linear unabhängige Richtungsvektoren, die zu \(\vec{n}\) orthogonal sind. Zum Beispiel gilt dies für \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\). 3. Mit \(A\) als Stützpunkt ergibt sich \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\).

Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\)

- Wie kannst du die drei Koordinatenbedingungen zu einer Parameterform zusammenfassen? - Woran erkennst du, dass die beiden entstehenden Richtungsvektoren tatsächlich eine Ebene aufspannen? - Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du mit dem Stützpunkt die rechte Seite der Koordinatenform?

1. Die drei Bedingungen ergeben die Parameterform \(\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}\). 2. Die beiden Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander und daher linear unabhängig. Somit beschreibt \(M\) eine Ebene. 3. Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\). 4. Mit dem Stützpunkt \((2|5|-1)\) gilt \(2+2\cdot5-1=11\). Daher lautet eine Koordinatenform \(M:x_1+2x_2+x_3=11\).

\(M\) ist eine Ebene; eine Koordinatenform ist \(M:x_1+2x_2+x_3=11\).

- Welche Bedingung muss ein Normalenvektor gegenüber jedem Richtungsvektor der Ebene erfüllen? - Prüfe Milans Vektor zuerst an beiden gegebenen Richtungen. - Wie kannst du aus zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren systematisch einen Normalenvektor gewinnen?

1. Ein Normalenvektor muss zu beiden Richtungsvektoren orthogonal sein. Für Milans Vektor gilt \(\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=2\neq0\). Daher ist \(\vec{n}_M\) kein Normalenvektor von \(E\). 2. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). Dieser Vektor ist zu beiden Richtungsvektoren orthogonal. 3. Mit dem Stützpunkt \(P(1|0|2)\) gilt \(1-0+2=3\). Somit ist eine korrekte Koordinatenform \(E:x_1-x_2+x_3=3\).

\(\vec{n}_M\) ist kein Normalenvektor, weil er nicht zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist. Eine korrekte Koordinatenform lautet \(E:x_1-x_2+x_3=3\).

- Welche Eigenschaft muss ein Normalenvektor bezüglich jedes Richtungsvektors besitzen? - Prüfe beide Skalarprodukte getrennt. - Muss ein ungewöhnlich aussehender Vorschlag automatisch falsch sein?

1. Ein Normalenvektor muss zu beiden Richtungsvektoren orthogonal sein. 2. Für den ersten Richtungsvektor gilt \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=0\). 3. Für den zweiten gilt jedoch \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=0\) ebenfalls. Der Vorschlag ist also tatsächlich korrekt. 4. Ein möglicher Normalenvektor ist damit \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\).

Der Vorschlag ist korrekt; \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) ist zu beiden Richtungsvektoren orthogonal.

- Wie erhältst du aus zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor der Ebene? - Wie wird aus einer Normalenform durch Ausmultiplizieren eine Koordinatenform? - Was folgt für die Verbindungsgerade zweier verschiedener Punkte, wenn beide Punkte in derselben Ebene liegen?

1. Ein Normalenvektor ergibt sich als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}\). 2. Damit lautet eine Normalenform \(E:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}=0\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(2x_1+5x_2-6x_3=32\). 4. Für \(A\) gilt \(2\cdot4+5\cdot6-6\cdot1=32\), also \(A\in E\). Für \(B\) gilt \(2\cdot7+5\cdot6-6\cdot2=32\), also \(B\in E\). 5. Da die beiden verschiedenen Punkte \(A\) und \(B\) in \(E\) liegen, liegt ihre Verbindungsgerade vollständig in \(E\).

a) Normalenform: \(E:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}=0\); Koordinatenform: \(E:2x_1+5x_2-6x_3=32\) b) Die Gerade durch \(A\) und \(B\) liegt vollständig in \(E\).

- Welcher Vektor steht gleichzeitig auf beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht? - Wie kannst du eine Normalenform in eine Koordinatenform umwandeln? - Welche Punktbedingung muss für eine vollständig in der Ebene liegende Gerade insbesondere für beide gegebenen Geradenpunkte gelten?

1. Ein Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}\). 2. Eine Normalenform lautet \(E:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}=0\). 3. Ausmultiplizieren ergibt die Koordinatenform \(E:-x_1+2x_2+4x_3=5\). 4. Für \(P\) gilt \(-1+2+4=5\), also \(P\in E\). Für \(Q\) gilt \(-3+4+8=9\neq5\), also \(Q\notin E\). 5. Weil bereits ein Punkt der Geraden nicht in \(E\) liegt, ist \(g\) nicht vollständig in \(E\) enthalten.

a) Normalenform: \(E:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}=0\); Koordinatenform: \(E:-x_1+2x_2+4x_3=5\) b) Die Gerade \(g\) liegt nicht vollständig in \(E\).

- Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Was bedeutet es für die Gleichung einer Ebene, wenn sie parallel zu einer der Koordinatenebenen ist? - Wann stehen zwei Ebenen senkrecht aufeinander? Betrachte dazu ihre Normalenvektoren. - Welche Punkte und Vektoren sind bekannt, wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält?

1. Umwandlung von \(F\) in Koordinatenform: Der Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) zu \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Koordinatenform lautet \(1 \cdot x_1 = 1 \cdot 3\), also \(x_1 = 3\). 2. Lage von \(F\): Die Ebene verläuft parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3\). 3. Untersuchung der Ebene \(G\): Da \(G\) die \(x_1\)-Achse enthält, liegt der Ursprung \(O(0|0|0)\) in der Ebene und der Vektor \(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) in der Ebene. Mit dem Punkt \(P(0|1|1)\) ergibt sich ein zweiter Richtungsvektor \(\vec{v}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist ein Normalenvektor von \(G\): \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Nachweis der Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Normalenvektoren ist \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). Somit stehen die Ebenen senkrecht aufeinander. 5. Normalenform von \(G\): Da der Ursprung in \(G\) liegt, lautet eine Form \(\vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\).

a) \(F: x_1 = 3\) b) Die Ebene \(F\) ist parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene. c) Nachweis über Skalarprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = 0\); Normalenform z. B. \(G: \vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\)

- Überlege dir, welche geometrischen Objekte durch lineare Gleichungen in verschiedenen Dimensionen beschrieben werden. - Wie viele freie Parameter benötigst du für eine Gerade und wie viele für eine Ebene? - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn eine Koordinate in der Gleichung gar nicht vorkommt? - Setze gezielt Werte für einzelne Koordinaten auf Null, um Schnittpunkte mit den Achsen zu finden.

1. Im \(\mathbb{R}^2\) stellt die Gleichung eine Gerade dar. Zur Bestimmung der Parameterform werden zwei Punkte benötigt, z. B. die Achsenschnittpunkte \(S_1(5|0)\) und \(S_2(0|-4)\). Ein Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 - 5 \\ -4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Eine mögliche Parameterform ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Im \(\mathbb{R}^3\) stellt die Gleichung eine Ebene dar. Da die Variable \(x_3\) nicht in der Gleichung vorkommt, ist der Wert von \(x_3\) beliebig wählbar, was der Richtung des Einheitsvektors \(\vec{e}_3\) entspricht. Eine Parameterform ergibt sich durch Ergänzung der Geradengleichung um diesen zweiten Richtungsvektor: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Die Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse, da der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}\) orthogonal zum Richtungsvektor der \(x_3\)-Achse ist. Zudem steht sie senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Gerade im \(\mathbb{R}^2\); Parameterform z. B. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) Ebene im \(\mathbb{R}^3\); Parameterform z. B. \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Die Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse und steht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene.

- Welche Koordinaten sind an einem Spurpunkt auf der \(x_2\)- beziehungsweise \(x_3\)-Achse null? - Welche zusätzliche Richtung kannst du in einer Parameterform frei verwenden, weil \(x_1\) in der Koordinatenform nicht vorkommt? - Woran kannst du unterscheiden, ob nur eine Achsenrichtung in der Ebene liegt oder ob die gesamte Koordinatenachse enthalten ist? - Welche zusätzliche Bedingung gilt für Punkte der \(x_2x_3\)-Ebene?

1. Für die \(x_2\)-Achse gilt \(x_1=x_3=0\), also \(3x_2=12\) und damit \(S_2(0|4|0)\). Für die \(x_3\)-Achse gilt \(x_1=x_2=0\), also \(4x_3=12\) und damit \(S_3(0|0|3)\). 2. Mit \(S_2\) als Stützpunkt und \(\overrightarrow{S_2S_3}=\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}\) sowie \(\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) erhält man zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). 3. Da \(x_1\) in der Koordinatenform nicht vorkommt, kann die \(x_1\)-Koordinate eines Ebenenpunktes beliebig verändert werden. Die Richtung \(\vec{e}_1\) liegt daher in \(E\). Die \(x_1\)-Achse selbst liegt jedoch nicht in \(E\), denn der Ursprung erfüllt \(3x_2+4x_3=12\) nicht. Somit ist \(E\) echt parallel zur \(x_1\)-Achse. 4. Für die \(x_2x_3\)-Ebene gilt \(x_1=0\). Daher ist die Spurgerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}\).

a) \(S_2(0|4|0)\), \(S_3(0|0|3)\) b) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) c) Die Richtung der \(x_1\)-Achse liegt in \(E\); die \(x_1\)-Achse selbst liegt nicht in \(E\). Daher ist \(E\) echt parallel zur \(x_1\)-Achse. d) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}\)

- Welche drei einfachen Punkte kannst du aus der Koordinatenform gewinnen, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt? - Welche zwei Verbindungsvektoren dieser Punkte können als Richtungsvektoren einer Parameterform dienen? - Welche Darstellung eignet sich für eine direkte Punktprobe besonders gut? - Wie wird die unbekannte Koordinate von \(C\) durch die Ebenenbedingung festgelegt?

1. Drei nicht kollineare Punkte von \(E\) sind zum Beispiel \(S_1(2|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\) und \(S_3(0|0|-2)\). Damit ist eine mögliche Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}\). 2. Für \(A\) gilt \(2\cdot1+4-2\cdot1=4\), also \(A\in E\). Für \(B\) gilt \(2\cdot3+2-2\cdot4=0\neq4\), also \(B\notin E\). 3. Für \(C(k|k|1)\) gilt \(2k+k-2=4\). Damit ist \(3k=6\) und \(k=2\).

a) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}\) b) \(A\in E\), \(B\notin E\) c) \(k=2\)

- Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren von \(E\) einen Normalenvektor? - Welche Beziehung haben die Normalenvektoren paralleler Ebenen? - Wie bestimmt der gegebene Punkt \(Q\) die rechte Seite der Koordinatenform von \(H\)?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-5\\-2\end{pmatrix}\). 2. Weil \(H\) parallel zu \(E\) ist, kann derselbe Normalenvektor verwendet werden. Daher hat \(H\) die Form \(x_1-5x_2-2x_3=d\). 3. Einsetzen von \(Q(3|0|2)\) ergibt \(d=3-0-4=-1\). 4. Somit lautet die Koordinatenform \(H:x_1-5x_2-2x_3=-1\).

\(H:x_1-5x_2-2x_3=-1\)

- Erinnere dich an die Eigenschaft des Skalarprodukts bei orthogonalen Vektoren. - Welches mathematische Werkzeug liefert einen Vektor, der auf zwei anderen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Welche Bestandteile benötigst du für eine Parameterform einer Ebene?

1. Ein Vektor ist ein Richtungsvektor, wenn sein Skalarprodukt mit dem Normalenvektor null ist. Berechnung: \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Somit ist \(\vec{u}\) ein gültiger Richtungsvektor. 2. Ein Vektor \(\vec{v}\), der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, kann über das Kreuzprodukt berechnet werden: Das Kreuzprodukt von \(\vec{n}\) und \(\vec{u}\) ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Alternativ führt das Gleichungssystem \(v_1 + 2v_3 = 0\) und \(v_2 = 0\) zum selben Ergebnis (bis auf Skalierung). 3. Mit dem Stützpunkt \(P\) und den Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ergibt sich die Parameterform \(H: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Nachweis über das Skalarprodukt: \(1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches davon). c) \(H: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Was entsteht beim Ausmultiplizieren des Skalarprodukts mit dem allgemeinen Ortsvektor? - Wie funktioniert eine direkte Punktprobe in der Koordinatenform? - Welche Gleichung für \(x_1\) und \(x_2\) bleibt übrig, wenn \(x_3=0\) festgelegt ist? - Welche Koordinaten muss dein Beispiel besitzen, damit es auf keiner Koordinatenachse liegt?

1. Ausmultiplizieren des Skalarprodukts ergibt die Koordinatenform \(x_1+3x_2-2x_3=6\). 2. Für \(R\) gilt \(1+3\cdot1-2(-1)=6\), also \(R\in E\). 3. Für \(S\) gilt \(2+3\cdot2-2\cdot2=4\neq6\), also \(S\notin E\). 4. Für \(T(x_1|x_2|0)\) muss \(x_1+3x_2=6\) gelten. Wählt man etwa \(x_2=1\), folgt \(x_1=3\). Damit ist \(T(3|1|0)\) ein mögliches Beispiel und liegt auf keiner Koordinatenachse.

a) \(E:x_1+3x_2-2x_3=6\) b) \(R\in E\), \(S\notin E\) c) Zum Beispiel \(T(3|1|0)\)

- Welche beiden Koordinaten müssen jeweils null sein, wenn du einen Spurpunkt auf einer bestimmten Koordinatenachse suchst? - Wie kannst du aus drei nicht kollinearen Punkten einen Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren für eine Parameterform gewinnen? - Welche bekannte Volumenformel lässt sich auf das von den drei Achsen aufgespannte Tetraeder anwenden?

1. Für die \(x_1\)-Achse werden \(x_2=x_3=0\) gesetzt. Daraus folgt \(S_1(4|0|0)\). Entsprechend erhält man \(S_2(0|3|0)\) und \(S_3(0|0|6)\). 2. Mit dem Stützpunkt \(S_1\) und den Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\) sowie \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}\) ergibt sich \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}\). 3. Das Dreieck \(OS_1S_2\) ist rechtwinklig mit Flächeninhalt \(A_G=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3=6\). Die Höhe des Tetraeders beträgt \(6\). 4. Damit ist \(V=\frac{1}{3}A_G\cdot6=12\,\text{VE}\).

1) \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\), \(S_3(0|0|6)\) 2) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}\) 3) \(V=12\,\text{VE}\)

- Wie kannst du den unbekannten Spurpunkt auf der negativen \(x_2\)-Halbachse mit einer Variablen beschreiben? - Welche beiden Katheten hat das rechtwinklige Dreieck \(OS_2S_3\)? - Welche zwei Verbindungsvektoren erhältst du, sobald alle drei Spurpunkte bekannt sind? - Wie führt ein Normalenvektor dieser beiden Richtungen zur Koordinatenform?

1. Schreibe \(S_2=(0|a|0)\) mit \(a<0\). Für das rechtwinklige Dreieck gilt \(6=\frac{1}{2}\cdot|a|\cdot3\). Damit ist \(|a|=4\) und wegen der negativen Halbachse \(a=-4\). Also ist \(S_2(0|-4|0)\). 2. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\overrightarrow{S_1S_2}=\begin{pmatrix}-6\\-4\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_1S_3}=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\). Mit \(S_1\) folgt \(2x_1-3x_2+4x_3=12\).

\(E:2x_1-3x_2+4x_3=12\)

- Welche zwei Koordinaten kannst du nach dem Auflösen frei als Parameter wählen? - Wie liest du einen Normalenvektor aus der Koordinatenform ab? - Welche Skalarproduktbedingung müssen die Richtungsvektoren erfüllen?

1. Umformen ergibt \(x_1=3x_2+2x_3-6\). 2. Mit \(x_2=r\) und \(x_3=s\) gilt \(x_1=-6+3r+2s\). Daher ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}=-3+3=0\) und \(\vec{n}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=-2+2=0\). Beide Vektoren sind damit Richtungsvektoren von \(E\).

a) \(x_1=3x_2+2x_3-6\) b) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) c) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\) und beide Skalarprodukte mit den Richtungsvektoren sind \(0\).

- Welche zwei Koordinaten kannst du nach dem Auflösen der Koordinatenform frei wählen? - Was wird aus dem Scharparameter \(t\), wenn du \(x_2\) durch einen freien Parameter ersetzt? - Wie zerlegst du den Ortsvektor anschließend in Stützvektor und zwei Richtungsanteile?

1. Löse die Koordinatenform nach \(x_1\) auf: \(x_1=10-tx_2+2x_3\). 2. Setze \(x_2=r\) und \(x_3=s\). Dann ist \(x_1=10-tr+2s\). 3. Damit ergibt sich \(H_t:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-t\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\). 4. Die beiden Richtungsvektoren sind für jedes \(t\) linear unabhängig, da der zweite Vektor eine von null verschiedene dritte Koordinate besitzt, der erste aber nicht.

\(H_t:\vec{x}=\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-t\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\)

- Welche drei skalaren Gleichungen erhältst du aus der Parameterform? - Welche dieser Gleichungen lässt sich besonders einfach nach einem Parameter auflösen? - Wie kannst du den gefundenen Ausdruck nacheinander in die übrigen Gleichungen einsetzen, bis keine Parameter mehr vorkommen?

1. Aus der Parameterform folgen \(x_1=3+r+2s\), \(x_2=1+2r\) und \(x_3=4+r-s\). 2. Aus \(x_2=1+2r\) folgt \(r=\frac{x_2-1}{2}\). 3. Aus \(x_3=4+r-s\) folgt \(s=4+r-x_3=\frac{7+x_2}{2}-x_3\). 4. Einsetzen in \(x_1=3+r+2s\) ergibt \(x_1=3+\frac{x_2-1}{2}+7+x_2-2x_3\). Damit ist \(2x_1=19+3x_2-4x_3\). 5. Die Koordinatenform lautet \(E:2x_1-3x_2+4x_3=19\).

\(E:2x_1-3x_2+4x_3=19\)

- Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du mit diesem Normalenvektor und dem Stützpunkt die Koordinatenform? - Welche Gleichheit muss bei einer positiven Punktprobe erfüllt sein?

1. Ein Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}\). 2. Mit dem Stützpunkt \((2|1|-1)\) ergibt sich \(4x_1-2x_2+x_3=5\). 3. Für \(P\) gilt \(4\cdot3-2\cdot4+1=5\), also \(P\in E\). 4. Für \(Q\) gilt \(4\cdot1-2\cdot1+1=3\neq5\), also \(Q\notin E\).

a) \(E:4x_1-2x_2+x_3=5\) b) \(P\in E\), \(Q\notin E\)

- Welche drei einfachen Ebenenpunkte erhältst du durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten? - Welche zwei Verbindungsvektoren zwischen diesen Punkten können als Richtungsvektoren dienen? - Wie funktioniert eine Punktprobe in der Koordinatenform? - Welche gemeinsamen Parameterwerte müssen bei einer Punktprobe in der Parameterform alle drei Koordinaten erfüllen?

1. Drei einfache Ebenenpunkte sind \(S_1(2|0|0)\), \(S_2(0|6|0)\) und \(S_3(0|0|-3)\). Damit ist zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\-3\end{pmatrix}\). 2. Für \(P\) gilt \(3\cdot1+5-2\cdot1=6\), also \(P\in E\). Für \(Q\) gilt \(3\cdot2+2-2\cdot2=4\neq6\), also \(Q\notin E\). 3. Für \(P\) liefern die zweite und dritte Koordinate \(r=\frac{5}{6}\) und \(s=-\frac{1}{3}\). In der ersten Koordinate gilt dann \(2-2\cdot\frac{5}{6}-2\left(-\frac{1}{3}\right)=1\). Das System ist konsistent, also liegt \(P\) auch nach der Parameterform in \(E\).

a) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\-3\end{pmatrix}\) b) \(P\in E\), \(Q\notin E\) c) Für \(P\) gilt \(r=\frac{5}{6}\) und \(s=-\frac{1}{3}\); damit sind alle drei Koordinatengleichungen erfüllt.

- Welche Koordinate ist für jeden Punkt von \(F\) festgelegt und welche beiden können sich ändern? - Was muss bei einer Verschiebung innerhalb von \(F\) mit der zweiten Koordinate passieren? - Warum reichen zwei beliebige Richtungsvektoren nicht aus, wenn sie Vielfache voneinander sind?

1. Alle Punkte von \(F\) haben die feste zweite Koordinate \(5\). Daher ist \(F\) parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene und hat von ihr den Abstand \(5\). 2. Beim Verschieben eines Ebenenpunktes um \(\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\0\\v_3\end{pmatrix}\) ändert sich die zweite Koordinate nicht. Die Bedingung \(x_2=5\) bleibt also erfüllt. Für eine Parameterform müssen zwei solche Richtungsvektoren zusätzlich linear unabhängig sein. 3. Mit \(P(0|5|0)\), \(\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{e}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) erhält man \(F:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).

a) \(F\) ist parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene und hat von ihr den Abstand \(5\). b) Bei Vektoren \(\begin{pmatrix}v_1\\0\\v_3\end{pmatrix}\) bleibt die zweite Koordinate unverändert; zwei Richtungsvektoren einer Parameterform müssen außerdem linear unabhängig sein. c) Zum Beispiel \(F:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)

- Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie bestimmst du mit diesem Normalenvektor und dem Stützpunkt die Koordinatenform? - Welche zwei Koordinaten setzt du für einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null?

1. Ein Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\4\\5\end{pmatrix}\). 2. Mit dem Stützpunkt \((2|2|1)\) folgt \(-2x_1+4x_2+5x_3=9\). 3. Durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten erhält man \(S_1(-4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|2{,}25|0)\) und \(S_3(0|0|1{,}8)\).

Koordinatenform: \(E:-2x_1+4x_2+5x_3=9\) Spurpunkte: \(S_1(-4{,}5|0|0)\), \(S_2(0|2{,}25|0)\), \(S_3(0|0|1{,}8)\)

- Welche zwei Koordinaten setzt du für einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null? - Welche zwei Verbindungsvektoren der Spurpunkte können als Richtungsvektoren der Parameterform dienen? - Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren von \(F\) einen Normalenvektor? - Was musst du zusätzlich zu kollinearen Normalenvektoren prüfen, um identische von echt parallelen Ebenen zu unterscheiden?

1. Durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten erhält man \(S_1(12|0|0)\), \(S_2(0|-6|0)\) und \(S_3(0|0|6)\). 2. Mit \(S_3\) als Stützpunkt sind zwei Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_3S_1}=\begin{pmatrix}12\\0\\-6\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_3S_2}=\begin{pmatrix}0\\-6\\-6\end{pmatrix}\). Damit ist zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}12\\0\\-6\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-6\\-6\end{pmatrix}\). 3. Für \(F\) ist ein Normalenvektor das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((1|1|1)\) folgt \(F:x_1-2x_2+2x_3=1\). 4. \(E\) und \(F\) besitzen kollineare Normalenvektoren, aber die Koordinatenformen sind keine Vielfachen derselben Gleichung. Daher sind die Ebenen echt parallel.

a) \(S_1(12|0|0)\), \(S_2(0|-6|0)\), \(S_3(0|0|6)\) b) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}12\\0\\-6\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-6\\-6\end{pmatrix}\) c) \(F:x_1-2x_2+2x_3=1\); \(E\) und \(F\) sind echt parallel.

- Welche Gestalt hat der Normalenvektor, wenn der Koeffizient von \(x_3\) bereits auf \(1\) festgelegt ist? - Welche zwei Skalarprodukte müssen mit den Richtungsvektoren verschwinden? - Wie bestimmst du danach die rechte Seite mit dem Stützpunkt? - Was geschieht mit der Lösungsmenge, wenn du eine ganze Koordinatenform mit demselben von null verschiedenen Faktor multiplizierst?

1. Der Normalenvektor der gesuchten Koordinatenform ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\1\end{pmatrix}\). 2. Orthogonalität zum ersten Richtungsvektor liefert \(a+1=0\), also \(a=-1\). 3. Orthogonalität zum zweiten Richtungsvektor liefert \(b+1=0\), also \(b=-1\). 4. Einsetzen des Stützpunkts \((1|2|0)\) ergibt \(d=-1-2=-3\). Eine Koordinatenform ist somit \(-x_1-x_2+x_3=-3\). 5. Bei Normierung des \(x_3\)-Koeffizienten auf \(2\) werden alle Koeffizienten und die rechte Seite mit \(2\) multipliziert: \(-2x_1-2x_2+2x_3=-6\). 6. Multiplikation einer Ebenengleichung mit einem von null verschiedenen Faktor ändert ihre Lösungsmenge nicht. Daher beschreiben beide Koordinatenformen dieselbe Ebene.

a) \(a=-1\), \(b=-1\), \(d=-3\), also \(-x_1-x_2+x_3=-3\) b) \(-2x_1-2x_2+2x_3=-6\); beide Formen sind skalare Vielfache und daher äquivalent.

- Schreibe die beiden \(\lambda\)-abhängigen Richtungsvektoren als Linearkombinationen zweier fester Richtungsvektoren. - Für welche \(\lambda\) können die beiden neuen Richtungen linear abhängig werden? - Wenn die beiden neuen Richtungen unabhängig sind: Kannst du die ursprünglichen Richtungsvektoren wieder als Linearkombinationen der neuen ausdrücken? - Bestimme die Koordinatenform anschließend nur einmal aus den festen Richtungsvektoren und dem Stützpunkt.

1. Setze \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). Diese Vektoren sind linear unabhängig. Die beiden \(\lambda\)-abhängigen Richtungsvektoren sind \(\vec{u}_\lambda=\vec{u}+\lambda\vec{v}\) und \(\vec{v}_\lambda=\lambda\vec{u}+\vec{v}\). 2. Aus \(a\vec{u}_\lambda+b\vec{v}_\lambda=\vec{0}\) folgt wegen der Unabhängigkeit von \(\vec{u},\vec{v}\) das System \(a+\lambda b=0\) und \(\lambda a+b=0\). Mit \(a=-\lambda b\) ergibt sich \((1-\lambda^2)b=0\). 3. Für \(\lambda\neq\pm1\) folgt \(b=0\) und damit \(a=0\); die Richtungsvektoren sind unabhängig und \(E_\lambda\) ist eine Ebene. Für \(\lambda=1\) sind beide Richtungsvektoren gleich \(\vec{u}+\vec{v}\); für \(\lambda=-1\) sind sie Gegenvektoren. Dann entsteht jeweils nur eine Gerade. 4. Für \(\lambda\neq\pm1\) gilt umgekehrt \(\vec{u}=\frac{\vec{u}_\lambda-\lambda\vec{v}_\lambda}{1-\lambda^2}\) und \(\vec{v}=\frac{\vec{v}_\lambda-\lambda\vec{u}_\lambda}{1-\lambda^2}\). Daher erzeugen \(\vec{u}_\lambda,\vec{v}_\lambda\) genau dieselben Ebenenrichtungen wie \(\vec{u},\vec{v}\). 5. Ein Normalenvektor zu \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \(P(1|0|0)\) folgt \(\vec{n}\cdot\vec{x}=1\), also \(x_1-x_2+x_3=1\). Diese Koordinatenform gilt für jedes \(\lambda\neq\pm1\). 6. Für \(\lambda=1\) ist die dargestellte Punktmenge die Gerade durch \(P\) mit Richtung \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\). Für \(\lambda=-1\) ist es die Gerade durch \(P\) mit Richtung \(\vec{u}-\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\).

a) Genau für \(\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) beschreibt \(E_\lambda\) eine Ebene. b) Für alle zulässigen \(\lambda\): \(x_1-x_2+x_3=1\). c) Bei \(\lambda=1\) beziehungsweise \(\lambda=-1\) degeneriert die Darstellung jeweils zu einer Geraden durch \(P(1|0|0)\).