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- Welche Koordinate ist für alle Punkte der Ebene \(E\) fest vorgegeben? - Wie verändert sich diese Koordinate, wenn du auf der Geraden den Parameter \(t\) variierst?

1. Der Stützpunkt von \(g\) hat die dritte Koordinate \(2\). 2. Die dritte Komponente des Richtungsvektors ist \(0\). Daher bleibt für jeden Punkt von \(g\) die Koordinate \(x_3=2\). 3. Somit liegt die gesamte Gerade \(g\) in der Ebene \(E\).

\(g\) liegt in \(E\).

- Verfolge im Quaderbild, wo die markierte Kantengerade die Grundfläche berührt. - Gehört die gesamte markierte Kante zur Grundfläche oder führt sie aus dieser heraus? - Welche Lagebeziehung entspricht genau einem gemeinsamen Punkt?

1. Im Schrägbild ist \(g\) als Quaderkante dargestellt, die am Punkt \(S\) aus der Grundflächenebene \(E\) herausführt. 2. Daher gehört \(S\) sowohl zu \(g\) als auch zu \(E\), während die übrigen Punkte der dargestellten Kantengeraden nicht in der Grundflächenebene liegen. 3. Somit schneidet \(g\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt: \(g\cap E=\{S\}\).

\(g\) schneidet \(E\) in genau einem Punkt; \(g\cap E=\{S\}\).

- Was bewirkt bei beiden Geraden die dritte Komponente des Richtungsvektors? - Welche dritte Koordinate besitzen die jeweiligen Stützpunkte? - Wann ist eine zur Ebene passende Richtung ausreichend für Enthaltensein, und wann nicht?

1. Beide Richtungsvektoren haben die dritte Komponente \(0\). Beim Laufen auf beiden Geraden ändert sich also \(x_3\) nicht. 2. Der Stützpunkt von \(g\) hat \(x_3=0\). Deshalb liegen alle Punkte von \(g\) in \(E\). 3. Der Stützpunkt von \(h\) hat \(x_3=1\). Deshalb besitzt \(h\) keinen Punkt mit \(x_3=0\). 4. Somit gilt \(g\subset E\), während \(h\) zu \(E\) echt parallel ist.

\(g\subset E\) \(h\) ist zu \(E\) echt parallel.

- Welche Beziehung muss zwischen Geradenrichtung und Ebenennormale für Parallelität gelten? - Wie kannst du diese Beziehung rechnerisch prüfen? - Welche zusätzliche Punktprobe unterscheidet echte Parallelität vom Enthaltensein?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\). 2. Für Parallelität muss der Richtungsvektor \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\a\\3\end{pmatrix}\) orthogonal zu \(\vec{n}\) sein. 3. Aus \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) folgt \(4-4a+6=0\), also \(a=2{,}5\). 4. Der Stützpunkt \((4|1|2)\) liegt nicht in \(E\), denn \(8-4+4=8\neq5\). Daher ist die Gerade für \(a=2{,}5\) echt parallel zu \(E\).

\(a=2{,}5\)

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was passiert mathematisch, wenn du die Koordinaten der Geradenpunkte in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Bedeutung haben die verschiedenen möglichen Ergebnisse für die Anzahl der Lösungen (keine, eine, unendlich viele) für die Lage der Geraden zur Ebene?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradenpunkte \((1+r|1+2r|1-r)\) in die Ebenengleichung: \((1+r) - (1+2r) + 2(1-r) = -4\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(1 + r - 1 - 2r + 2 - 2r = -4\), woraus \(-3r + 2 = -4\) folgt. 4. Lösen nach \(r\): \(-3r = -6 \Rightarrow r = 2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) durch Einsetzen von \(r=2\) in \(g\): \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\). Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt \(S(3|5|-1)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(3|5|-1)\).

- Welche beiden Vektoren bestimmen die Richtungen innerhalb der Ebene? - Wie prüfst du mit dem Skalarprodukt, ob der Geradenrichtungsvektor zu einer Ebenenrichtung orthogonal ist? - Warum müssen die beiden geprüften Ebenenrichtungen linear unabhängig sein?

1. Die beiden Richtungsvektoren von \(E\), \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\), sind keine Vielfachen voneinander und daher linear unabhängig. 2. Für den Geradenrichtungsvektor \(\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\vec{w}\cdot\vec{u}=2-2=0\). 3. Außerdem ist \(\vec{w}\cdot\vec{v}=-2+2=0\). 4. Damit ist \(\vec{w}\) zu zwei linear unabhängigen Richtungen von \(E\) orthogonal. Folglich steht \(g\) orthogonal auf \(E\).

\(g\) steht orthogonal auf \(E\), weil ihr Richtungsvektor zu beiden linear unabhängigen Richtungsvektoren von \(E\) orthogonal ist.

- Wie lauten die drei Koordinaten eines allgemeinen Geradenpunkts in Abhängigkeit von \(t\)? - Welche Gleichung entsteht nach Einsetzen in die Ebenenbedingung? - Was bedeutet genau eine Lösung für die Lagebeziehung?

1. Einsetzen der Geradenkoordinaten in die Ebenenbedingung ergibt \(2t+2(4-t)-(-2+3t)=5\). 2. Daraus folgt \(10-3t=5\), also \(t=\frac{5}{3}\). Es gibt genau einen Parameterwert, daher schneidet \(g\) die Ebene. 3. Einsetzen in die Gerade liefert \(S\left(\frac{5}{3}\middle|\frac{7}{3}\middle|3\right)\).

\(g\) schneidet \(E\) im Punkt \(S\left(\frac{5}{3}\middle|\frac{7}{3}\middle|3\right)\).

- Was muss für den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene gelten, damit sie parallel sind? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt einer Geraden auch in einer Ebene liegt? - Was bedeutet es für die Anzahl der Schnittpunkte, wenn die Parallelitätsbedingung erfüllt ist, der Stützpunkt der Geraden aber nicht in der Ebene liegt?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\) aus der Koordinatenform: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität durch das Skalarprodukt von Richtungsvektor \(\vec{v}\) der Geraden und Normalenvektor \(\vec{n}\): \(\vec{v} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 2 + 4 - 6 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, steht der Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor, woraus \(g \parallel E\) folgt. 3. Prüfung, ob der Stützpunkt \(P(4|1|1)\) der Geraden in der Ebene liegt: Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \(4 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 4\). Da \(4 \neq 8\) ist, liegt der Punkt nicht in der Ebene. 4. Schlussfolgerung: Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft, aber ihr Stützpunkt nicht in der Ebene liegt, ist die Gerade echt parallel zur Ebene und besitzt keine gemeinsamen Punkte.

Die Gerade \(g\) ist parallel zur Ebene \(E\), da das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor null ergibt. Da der Stützpunkt \(P(4|1|1)\) die Ebenengleichung nicht erfüllt (\(4 \neq 8\)), verlaufen Gerade und Ebene echt parallel. Sie haben somit keinen gemeinsamen Punkt.

- Welche Information liefert das Skalarprodukt von Normalen- und Richtungsvektor tatsächlich? - Reicht eine Aussage über die Richtung aus, um die Lage der ganzen Geraden festzulegen? - Welche zusätzliche Prüfung kannst du am Stützpunkt vornehmen?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\). 2. Für den Richtungsvektor \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) gilt \(\vec{n}\cdot\vec{u}=2-1-1=0\). Die Geradenrichtung ist also parallel zur Ebene. 3. Der Stützpunkt \((0|0|0)\) erfüllt die Ebenengleichung nicht, denn \(0\neq3\). 4. Daher liegt \(g\) nicht in \(E\), sondern ist zu \(E\) echt parallel. 5. Lenis Schluss ist unvollständig: Für Enthaltensein muss zusätzlich ein Punkt der Geraden in der Ebene liegen.

Die Behauptung ist falsch. \(g\) ist zu \(E\) echt parallel. Aus \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) folgt nur, dass die Geradenrichtung parallel zur Ebene ist; für \(g\subset E\) müsste zusätzlich ein Geradenpunkt in \(E\) liegen.

- Was bedeutet eine Null in einer Komponente des Richtungsvektors für die Ausrichtung der Geraden? - Wie ist die \(x_1x_3\)-Ebene im Koordinatensystem durch eine Gleichung definiert? - Wenn zwei verschiedene Spurpunkte identisch sind, was sagt das über die Position des Punktes im Koordinatensystem aus?

1. Analyse der Geraden für Teilaufgabe a): Die \(x_2\)-Komponente des Richtungsvektors ist \(0\), was bedeutet, dass die Gerade parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene verläuft (oder in ihr liegt). Da die \(x_2\)-Koordinate des Stützpunktes \(3\) ist, gilt für alle Punkte der Geraden \(x_2 = 3\). Da die \(x_1x_3\)-Ebene durch \(x_2 = 0\) definiert ist, gibt es keinen gemeinsamen Punkt. 2. Berechnung der Spurpunkte für Teilaufgabe b): Für die \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): \(-2 + k = 0 \Rightarrow k = 2\). Dies ergibt den Punkt \(S_{12}(0|3|0)\). Für die \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): \(6 - 3k = 0 \Rightarrow k = 2\). Dies ergibt den Punkt \(S_{23}(0|3|0)\). 3. Interpretation: Beide Spurpunkte fallen in einem Punkt zusammen. Da zwei Koordinaten (\(x_1\) und \(x_3\)) Null sind, liegt dieser Punkt auf der \(x_2\)-Achse.

a) Da die \(x_2\)-Koordinate der Geraden konstant \(3\) ist, kann sie die Ebene \(x_2 = 0\) nicht schneiden. b) Die beiden Spurpunkte \(S_{12}\) und \(S_{23}\) fallen im Punkt \(S(0|3|0)\) zusammen. Dieser liegt auf der \(x_2\)-Achse.

- Was bedeutet es für die Komponenten eines Richtungsvektors, wenn eine Gerade parallel zu einer Koordinatenebene verläuft? - Welche Koordinaten hat der Ursprung im dreidimensionalen Raum? - Überlege dir, welchen Wert der Parameter \(\mu\) annehmen muss, damit die \(x_3\)-Koordinate verschwindet.

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus \(1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Einsetzen in die anderen Koordinaten ergibt \(x_1 = 4 + 1 \cdot (c - 2) = c + 2\) und \(x_2 = c + 1 \cdot 2 = c + 2\). Der Punkt ist \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\). 2. Nachweis Ursprung für \(c = -2\): Ein Punkt auf der Geraden ist der Ursprung, wenn alle drei Koordinaten Null werden können. Aus \(x_3 = 1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Für \(c = -2\) ergibt sich \(x_1 = 4 + 1 \cdot (-2 - 2) = 0\) und \(x_2 = -2 + 1 \cdot 2 = 0\). Da alle Koordinaten Null sind, verläuft \(h_{-2}\) durch \((0|0|0)\). 3. Parallelität zur \(x_2x_3\)-Ebene: Eine Gerade ist parallel zu dieser Ebene, wenn ihr Richtungsvektor keine Komponente in \(x_1\)-Richtung hat (Skalarprodukt mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist Null). Daraus folgt \(c - 2 = 0\), also \(c = 2\). Da der Stützpunkt \((4|2|1)\) nicht in der Ebene \(x_1 = 0\) liegt, ist die Gerade echt parallel.

a) \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\) b) Für \(c = -2\) und \(\mu = 1\) ergibt sich der Punkt \((0 | 0 | 0)\). c) \(c = 2\), da in diesem Fall die \(x_1\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist.

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade vollständig in einer Ebene liegt? - Lässt sich der Richtungsvektor der Geraden als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene darstellen? - Welche zusätzliche Punktprobe entscheidet dann über das Enthaltensein?

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\). Damit ist die Geradenrichtung eine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene. 2. Für vollständiges Enthaltensein muss zusätzlich der Stützpunkt \((3|2|a)\) in \(E\) liegen. 3. Die Punktprobe ergibt \(3=1+2r\), \(2=1+s\) und \(a=1+r-s\). 4. Daraus folgen \(r=1\), \(s=1\) und schließlich \(a=1\).

\(a=1\)

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, wenn zwei Punkte auf ihr bekannt sind? - Was passiert mathematisch, wenn du die Ausdrücke für die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Bedeutung haben die möglichen Ergebnistypen der Gleichung (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) für die Lagebeziehung? - Wenn du einen Wert für den Parameter gefunden hast, wie kommst du damit zum gesuchten Punkt?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Koordinaten der Geraden \(x_1 = 1 + 2r\), \(x_2 = 4 - 2r\) und \(x_3 = 2 + 2r\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot (1 + 2r) + 3 \cdot (4 - 2r) - (2 + 2r) = 12\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2 + 4r + 12 - 6r - 2 - 2r = 12 \Rightarrow 12 - 4r = 12\). 4. Lösen nach \(r\): \(-4r = 0 \Rightarrow r = 0\). 5. Da die Gleichung genau eine Lösung für \(r\) besitzt, schneidet die Gerade die Ebene. 6. Einsetzen von \(r = 0\) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \(S(1|4|2)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(1|4|2)\).

- Wie stellst du die Gerade durch zwei gegebene Punkte in Parameterform dar? - Welche Gleichung entsteht, wenn du die Geradenkoordinaten in die Ebenenbedingung einsetzt? - Was bedeuten eine, keine oder unendlich viele Lösungen dieser Gleichung für die Lagebeziehung? - Wie erhältst du aus einem gefundenen Geradenparameter den Schnittpunkt?

1. Die Gerade lautet \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\-4\end{pmatrix}\). 2. Einsetzen in die Ebenenbedingung ergibt \((2+4t)+(1+2t)+(5-4t)=5\), also \(8+2t=5\). 3. Daraus folgt \(t=-1{,}5\). Es gibt genau einen Parameterwert, also schneidet \(h\) die Ebene. 4. Einsetzen in die Gerade liefert \(S(-4|-2|11)\).

Die Gerade \(h\) schneidet \(F\) im Punkt \(S(-4|-2|11)\).

- Kannst du die Ebene in einer Form darstellen, die das Einsetzen der Geraden erleichtert? - Was bedeutet es für die gegenseitige Lage, wenn die resultierende Gleichung für den Parameter genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat? - Wie findest du den Richtungsvektor einer Geraden, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Information liefert dir das Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte in die Ebenengleichung?

1. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: Aus den Achsenabschnitten \(A\), \(B\) und \(C\) folgt direkt die Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\). 2. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\vec{p} = \vec{OP}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung der gegenseitigen Lage durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \((1 + 2t) + (1 + 2t) + (1 + 2t) = 6\). 4. Lösen der Gleichung nach \(t\): \(3 + 6t = 6 \Rightarrow 6t = 3 \Rightarrow t = 0{,}5\). Da die Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, schneidet die Gerade die Ebene. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\): Einsetzen von \(t = 0{,}5\) in die Geradengleichung liefert \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2|2)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(2|2|2)\).

- Welche Kombination aus Stützpunkt und Richtungsvektor garantiert, dass eine Gerade in der Ebene bleibt? - Wie kannst du für eine echt parallele Gerade dieselbe Ebenenrichtung verwenden, aber den Stützpunkt verändern? - Wie prüfst du bei einer Ebene in Parameterform, ob der gewählte Stützpunkt außerhalb liegt?

1. Für eine Gerade in \(E\) kann der Stützpunkt der Ebene und einer ihrer Richtungsvektoren verwendet werden. Zum Beispiel ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) vollständig in \(E\) enthalten. 2. Für eine echt parallele Gerade kann ein Richtungsvektor der Ebene beibehalten und ein Stützpunkt außerhalb der Ebene gewählt werden. Verwende etwa den Ursprung und \(\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\): \(h:\vec{x}=k\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\). 3. Der Ursprung liegt nicht in \(E\): Aus \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\) folgt aus der ersten Koordinate \(\lambda=-2\) und aus der zweiten \(\mu=\frac{1}{3}\). Die dritte Koordinate würde dann \(0=2+\frac{2}{3}\) verlangen, also einen Widerspruch. 4. Daher besitzt \(h\) eine Richtung innerhalb von \(E\), aber keinen Stützpunkt in \(E\); \(h\) ist echt parallel zu \(E\).

a) Zum Beispiel \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) b) Zum Beispiel \(h:\vec{x}=k\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\); der Ursprung liegt nicht in \(E\), daher ist \(h\) echt parallel zu \(E\).

- Welche Skalarproduktbedingung verbindet einen Normalenvektor der Ebene mit einer Richtung innerhalb der Ebene? - Wie findest du einen einfachen Punkt, der die Koordinatenform erfüllt? - Welcher Unterschied beim Stützpunkt entscheidet zwischen „in der Ebene enthalten“ und „echt parallel“?

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). Für einen Richtungsvektor innerhalb von \(E\) muss \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\) gelten. Zum Beispiel erfüllt \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) diese Bedingung. 2. Der Punkt \(P(6|0|0)\) liegt in \(E\). Daher ist \(k:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) vollständig in \(E\) enthalten. 3. Der Ursprung erfüllt die Ebenenbedingung nicht. Daher ist \(m:\vec{x}=t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) echt parallel zu \(E\).

a) Zum Beispiel \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) b) Zum Beispiel \(k:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) und \(m:\vec{x}=t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\)

- Welche geometrische Richtung beschreibt ein Normalenvektor einer Ebene? - Was bedeutet ein Skalarprodukt von null für die Geradenrichtung relativ zum Normalenvektor? - Welche zusätzliche Punktbedingung unterscheidet eine enthaltene von einer echt parallelen Geraden?

1. Die Aussage ist wahr. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Ist der Geradenrichtungsvektor zu ihm parallel, verläuft die Gerade ebenfalls senkrecht zur Ebene. 2. Die Aussage ist falsch. Aus \(\vec{v}\cdot\vec{n}=0\) folgt, dass die Geradenrichtung in der Ebene verläuft. Die Gerade ist dann entweder echt parallel zur Ebene oder vollständig in ihr enthalten; ein einzelner Schnittpunkt ist ausgeschlossen. 3. Die Aussage ist wahr. Die Linearkombination zeigt, dass die Geradenrichtung innerhalb der Ebene verläuft. Ein gemeinsamer Punkt schließt echte Parallelität aus, sodass die Gerade vollständig in der Ebene liegt.

1. Wahr. 2. Falsch; die Gerade ist echt parallel zur Ebene oder liegt vollständig in ihr. 3. Wahr.

- Welche Lage zur Ebene beschreibt \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\)? - Welche Bedingung erfüllt ein Ebenenpunkt in der Normalenform? - Was unterscheidet echte Parallelität von einer in der Ebene enthaltenen Geraden?

1. Genau ein Schnittpunkt entsteht, wenn die Geradenrichtung nicht innerhalb der Ebene verläuft. Das ist äquivalent zu \(\vec{u}\cdot\vec{n}\neq0\). 2. Für einen Ebenenpunkt würde nach der Normalenform \((\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{n}=0\) gelten. 3. Bei echter Parallelität besitzt \(g\) keinen Punkt in \(E\). Deshalb gilt für jeden Punkt \(P\) auf \(g\): \((\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{n}\neq0\).

a) Genau ein Schnittpunkt existiert für \(\vec{u}\cdot\vec{n}\neq0\). b) Es gilt \((\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{n}\neq0\).

- Wie muss der Richtungsvektor einer Geraden im Verhältnis zum Normalenvektor der Ebene stehen, damit sie senkrecht auf der Ebene steht? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor null ergibt? - Hängt die Lage des Stützpunktes der Geraden bezüglich der Ebene \(F\) vom Parameter \(a\) ab? - Untersuche, ob die Punktprobe für den Stützpunkt in der Ebene \(F\) erfolgreich sein kann.

1. Der Normalenvektor der Ebene \(F\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor aller Geraden der Schar ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Für einen senkrechten Schnitt müsste \(\vec{v} = c \cdot \vec{n}\) gelten. Dies führt auf das System \(1 = c\), \(-1 = c\) und \(2 = 0\). Da dies offensichtlich widersprüchlich ist, ist kein Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor, und somit schneidet keine Gerade die Ebene senkrecht. 3. Eine Gerade liegt in der Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor steht (\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)) und ihr Stützpunkt in der Ebene liegt. 4. Prüfung der Orthogonalität: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Alle Geraden der Schar verlaufen somit parallel zur Ebene \(F\). 5. Prüfung des Stützpunktes \(P(3|1|a)\): Einsetzen in \(F\) ergibt \(3 + 1 = 4\). Da \(4 \neq 10\) gilt, liegt der Stützpunkt für keinen Wert von \(a\) in der Ebene. Folglich liegt keine Gerade in \(F\).

a) Nachweis über die lineare Unabhängigkeit von Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Alle Geraden sind parallel zu \(F\) (da \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)), aber der Stützpunkt \(P(3|1|a)\) erfüllt die Ebenengleichung \(x_1 + x_2 = 10\) für keinen Wert von \(a\), da \(3 + 1 = 4 \neq 10\).

- Welche Beziehung besteht zwischen einem Normalenvektor der Ebene und der Richtung einer orthogonalen Geraden? - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet eine Geradenrichtung innerhalb der Ebene? - Welche zusätzliche Punktbedingung unterscheidet echte Parallelität von einer enthaltenen Geraden?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}\). Für eine orthogonale Gerade kann dieser als Richtungsvektor verwendet werden. Damit ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\6\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}\). 2. Für eine zu \(E\) parallele Geradenrichtung muss \(\vec{v}\cdot\vec{n}_E=0\) gelten. Zum Beispiel eignet sich \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}\). Der Ursprung liegt nicht in \(E\), daher ist \(h:\vec{x}=s\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}\) echt parallel zu \(E\). 3. Für \(k\) gilt \(\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\cdot\vec{n}_E=0\). Der Stützpunkt \((1|2|2)\) erfüllt außerdem \(4\cdot1-2+8\cdot2=18\). Daher liegt \(k\) vollständig in \(E\).

a) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\6\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}\) b) Zum Beispiel \(h:\vec{x}=s\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}\) c) \(k\) liegt vollständig in \(E\).

- Welche geometrische Beziehung muss zwischen der Geradenrichtung und dem Normalenvektor bestehen, wenn eine Gerade orthogonal auf einer Ebene steht? - Wie kannst du einen allgemeinen Punkt der Geraden auf die Ebenenbedingung testen? - Welche zwei verschiedenen Vektorbedingungen unterscheiden Parallelität und Orthogonalität einer Geraden zur Ebene?

1. Ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). Da \(g\) orthogonal zu \(F\) ist und durch den Ursprung verläuft, gilt \(g:\vec{x}=t\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). 2. Einsetzen in \(F\) liefert \(t+4t+4t=12\), also \(t=\frac{4}{3}\). Damit ist \(S\left(\frac{4}{3}\middle|\frac{8}{3}\middle|-\frac{8}{3}\right)\). 3. Für die Richtung \(\vec{v}_l=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\vec{v}_l\cdot\vec{n}_F=1\neq0\), also ist \(l\) nicht parallel zu \(F\). Zugleich ist \(\vec{v}_l\) kein skalares Vielfaches von \(\vec{n}_F\), also ist \(l\) nicht orthogonal zu \(F\).

a) \(g:\vec{x}=t\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\) b) \(S\left(\frac{4}{3}\middle|\frac{8}{3}\middle|-\frac{8}{3}\right)\) c) \(l\) ist weder parallel noch orthogonal zu \(F\).

- Welche Parameterform beschreibt die Gerade aller Punkte \((a|a|a)\)? - Wie kannst du eine Koordinatenform wählen, deren linke Seite für jeden Punkt dieser Geraden denselben Wert besitzt, die rechte Seite aber davon verschieden ist? - Welche Gleichung entsteht in \(E_d\), wenn alle drei Koordinaten durch dieselbe Variable ersetzt werden?

1. Die Gerade der Punkte mit gleichen Koordinaten hat die Parameterform \(g:\vec{x}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Ein mögliches Beispiel ist \(H:x_1-x_2=1\). Einsetzen von \(x_1=x_2=x_3=a\) führt zu \(a-a=1\), also zum Widerspruch \(0=1\). Daher besitzt \(H\) keinen Punkt von \(g\). 3. Für \(E_d\) führt \(x_1=x_2=x_3=a\) auf \(3a=d\). Für jedes \(d\) gibt es genau die Lösung \(a=\frac{d}{3}\). 4. Der gemeinsame Punkt ist \(P\left(\frac{d}{3}\middle|\frac{d}{3}\middle|\frac{d}{3}\right)\).

a) Zum Beispiel \(H:x_1-x_2=1\) b) \(P\left(\frac{d}{3}\middle|\frac{d}{3}\middle|\frac{d}{3}\right)\)

- Wie kannst du die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken? - Was bedeutet es für die Lösbarkeit einer Gleichung, wenn eine Gerade die Ebene schneidet, parallel zu ihr verläuft oder in ihr liegt? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen möchtest, ob ein Punkt eine bestimmte Gleichung erfüllt?

1. Einsetzen der Geradengleichung \( g \) in die Ebenengleichung \( E \): \( (1 + 2r) + 2 \cdot (1 - r) - (-1) = 1 + 2r + 2 - 2r + 1 = 4 \). 2. Da die Gleichung \( 4 = 4 \) eine wahre Aussage für alle \( r \in \mathbb{R} \) ist, liegt die Gerade \( g \) vollständig in der Ebene \( E \). 3. Einsetzen der Geradengleichung \( h \) in die Ebenengleichung \( E \): \( (3 + s) + 2(1 + s) - (2 + s) = 3 + s + 2 + 2s - 2 - s = 3 + 2s \). 4. Lösen der Gleichung \( 3 + 2s = 4 \): \( 2s = 1 \implies s = 0{,}5 \). 5. Einsetzen von \( s = 0{,}5 \) in die Geradengleichung \( h \): \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 0{,}5\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 1{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} \). 6. Der Schnittpunkt ist \( S(3{,}5 | 1{,}5 | 2{,}5) \).

a) Die Gerade \( g \) liegt in der Ebene \( E \). b) Der Schnittpunkt ist \( S(3{,}5 | 1{,}5 | 2{,}5) \).

- Kannst du den Geradenrichtungsvektor als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren von \(E\) darstellen? - Welche zusätzliche Punktbedingung entscheidet zwischen echter Parallelität und vollständiger Enthaltenheit? - Wie prüfst du die Zugehörigkeit des Geradenstützpunkts zu einer Ebene in Parameterform?

1. Der Geradenrichtungsvektor lässt sich als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene schreiben: \(\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\). Daher verläuft die Geradenrichtung innerhalb von \(E\). 2. Für den Stützpunkt \(P(2|2|3)\) von \(g\) müsste \(\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) lösbar sein. 3. Aus der zweiten Koordinate folgt \(\lambda=0\), aus der dritten \(\mu=2\). Die erste Koordinate würde dann \(2=1+0+2=3\) verlangen. Der Stützpunkt liegt also nicht in \(E\). 4. Somit ist \(g\) echt parallel zu \(E\).

a) \(\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\), also ist die Geradenrichtung eine Richtung der Ebene. b) \(g\) ist echt parallel zu \(E\), weil ihr Stützpunkt nicht in \(E\) liegt.

- Welche zwei unabhängigen Richtungen der Ebene erhältst du aus den drei Punkten? - Welche Eigenschaft muss die Richtung einer Geraden haben, die eine Ebene orthogonal schneidet? - Wie kannst du prüfen, ob dein gewählter Geradenrichtungsvektor zu beiden Ebenenrichtungen senkrecht ist?

1. Zwei Richtungsvektoren der Ebene sind \(\vec{u}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Ein Vektor, der zu beiden Ebenenrichtungen senkrecht ist, ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}8\\-8\\8\end{pmatrix}\). Als einfacheres skalares Vielfaches kann \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Eine Gerade, die \(E\) orthogonal schneidet, besitzt einen zum Normalenvektor parallelen Richtungsvektor. Da \(h\) durch den Ursprung gehen soll, ist zum Beispiel \(h:\vec{x}=t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\), geeignet. 4. Zur Kontrolle gilt \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\vec{u}=0\) und \(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\vec{v}=0\). Daher ist die Geradenrichtung zu allen Ebenenrichtungen orthogonal.

\(h:\vec{x}=t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\), oder eine äquivalente Parameterform mit einem von null verschiedenen Vielfachen des Richtungsvektors.

- Welchen Normalenvektor kannst du aus der Koordinatenform ablesen? - Welche Aussage liefert das Skalarprodukt von Geradenrichtungsvektor und Normalenvektor? - Welche Punktprobe unterscheidet bei einem Skalarprodukt von null zwischen Enthaltenheit und echter Parallelität? - Wie bestimmst du bei einem eindeutigen Schnitt den Geradenparameter?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}\). Für \(g\) gilt \(\vec{n}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=0\), also ist \(g\) parallel zu \(E\) oder in \(E\) enthalten. 2. Der Stützpunkt \((1|2|6)\) erfüllt \(2-8+18=12\). Daher liegt \(g\) vollständig in \(E\). 3. Für \(h\) gilt \(\vec{n}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=1\neq0\). Somit schneidet \(h\) die Ebene genau einmal. 4. Einsetzen von \(h\) in die Koordinatenform ergibt \(2(5+s)-4(1+s)+3(2+s)=12\), also \(12+s=12\) und \(s=0\). Der Schnittpunkt ist \(S(5|1|2)\).

\(g\) liegt vollständig in \(E\). \(h\) schneidet \(E\) im Punkt \(S(5|1|2)\).

- Welche Bedingung müssen die Ortsvektoren eines gemeinsamen Punktes in beiden Parameterformen erfüllen? - Wie kannst du das entstehende lineare Gleichungssystem schrittweise nach den drei Parametern lösen? - Was bedeutet eine eindeutige Parameterlösung für die Lage von Gerade und Ebene?

1. Gleichsetzen der beiden Parameterformen liefert \(4+r=1+2s\), \(1+2r=-1+s+t\) und \(3-r=2-t\). 2. Aus der dritten Gleichung folgt \(t=r-1\). Einsetzen in die zweite ergibt \(s=r+3\). 3. In der ersten Gleichung folgt \(r-2(r+3)=-3\), also \(r=-3\). Damit sind \(s=0\) und \(t=-4\). 4. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Daher schneidet \(h\) die Ebene \(F\). 5. Einsetzen von \(r=-3\) in \(h\) ergibt \(S(1|-5|6)\).

\(h\) schneidet \(F\) im Punkt \(S(1|-5|6)\).

- Welche zwei Richtungsvektoren der Ebene erhältst du aus den drei gegebenen Punkten? - Wie kannst du daraus einen Normalenvektor bestimmen? - Welche Skalarproduktbedingung zeigt, dass die Geradenrichtung innerhalb der Ebene verläuft? - Welche besondere Beziehung besteht zwischen dem Geradenstützpunkt und den drei gegebenen Ebenenpunkten?

1. Zwei Richtungsvektoren von \(E\) sind \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\-3\\-7\end{pmatrix}\). 3. Für den Geradenrichtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-5\\3\end{pmatrix}\) gilt \(\vec{v}\cdot\vec{n}=6+15-21=0\). Die Geradenrichtung verläuft daher innerhalb der Ebene. 4. Der Stützpunkt der Geraden ist \(B(2|4|1)\) und liegt definitionsgemäß in \(E\). Somit liegt die gesamte Gerade in \(E\). 5. Gerade und Ebene besitzen daher unendlich viele gemeinsame Punkte.

Die Gerade \(g\) liegt vollständig in \(E\) und besitzt mit \(E\) unendlich viele gemeinsame Punkte.

- Welchen Wert nimmt \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})\) für einen Punkt an, der gleichzeitig in \(E_1\) und \(E_2\) liegt? - Vergleiche diesen Wert mit der rechten Seite der Bedingung von \(E_3\). - Welche geometrische Konsequenz folgt, wenn dieselbe linke Seite einer Ebenenbedingung nur um eine von null verschiedene Konstante verschoben wird?

1. Für jeden Punkt \(\vec{x}\) auf \(s\) gelten gleichzeitig \(L_1(\vec{x})=d_1\) und \(L_2(\vec{x})=d_2\). Daher hat dort die linke Seite von \(E_3\) stets den Wert \(2d_1-d_2\). 2. Die Ebenenbedingung von \(E_3\) verlangt jedoch den um \(5\) größeren Wert \(2d_1-d_2+5\). Somit liegt kein Punkt von \(s\) in \(E_3\). 3. Die Ebene mit \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})=2d_1-d_2\) würde \(s\) enthalten und besitzt denselben Normalenvektor wie \(E_3\). Deshalb ist \(s\) parallel zu \(E_3\), aber nicht in \(E_3\) enthalten. 4. Alle gemeinsamen Punkte von \(E_1\) und \(E_2\) liegen auf \(s\). Da kein Punkt von \(s\) in \(E_3\) liegt, besitzt das Dreiebenensystem keine gemeinsame Lösung.

Die Schnittgerade \(s\) ist echt parallel zu \(E_3\). Das Dreiebenensystem besitzt keine gemeinsame Lösung, also \(L=\emptyset\).

- Welche Richtung ist für eine Gerade senkrecht zu \(E\) vorgeschrieben? - Wie steht diese Richtung zum Normalenvektor von \(F\)? - Welchen Unterschied macht es für echte Parallelität, ob der vorgeschriebene Stützpunkt in \(F\) liegt? - Vergleiche die Situationen der Punkte \(A\) und \(B\), bevor du eine Gerade aufstellst.

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). Jede zu \(E\) senkrechte Gerade muss einen dazu kollinearen Richtungsvektor besitzen. 2. Ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_E\cdot\vec{n}_F=2-2+0=0\). Eine zu \(E\) senkrechte Gerade hat daher eine zu \(F\) parallele Richtung. 3. Für \(A\) gilt \(2\cdot1-0=2\), also \(A\in F\). Eine Gerade durch \(A\) mit zu \(F\) paralleler Richtung liegt deshalb in \(F\) und kann nicht echt parallel zu \(F\) sein. 4. Für \(B\) gilt \(2\cdot0-0=0\neq2\), also \(B\notin F\). 5. Damit erfüllt zum Beispiel \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) beide Bedingungen: \(g\perp E\) und \(g\) ist zu \(F\) echt parallel.

a) Nein. Jede zu \(E\) senkrechte Gerade besitzt hier eine zu \(F\) parallele Richtung; weil \(A\in F\), würde eine solche Gerade durch \(A\) in \(F\) liegen. b) Zum Beispiel \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\).