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- Kannst du die allgemeine Form eines Punktes der Ebene \(F\) direkt in die Gleichung von \(E\) einsetzen? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn die resultierende Gleichung für alle, für keine oder nur für bestimmte Parameterkombinationen lösbar ist? - Überprüfe deine Vereinfachung der Terme sorgfältig.

1. Einsetzen der Koordinaten der Parameterform von \(F\) (\(x_1 = 1 + 2\lambda + \mu\), \(x_2 = 2 + \mu\), \(x_3 = 1 + \lambda + \mu\)) in die Koordinatengleichung von \(E\): \((1 + 2\lambda + \mu) + (2 + \mu) - 2(1 + \lambda + \mu) = 2\) 2. Vereinfachen der Gleichung: \(1 + 2\lambda + \mu + 2 + \mu - 2 - 2\lambda - 2\mu = 2\) \(1 = 2\) 3. Interpretation des Ergebnisses: Die lineare Gleichung führt auf einen Widerspruch (\(1 = 2\)). Dies bedeutet, dass es keine Parameterwerte \(\lambda, \mu\) gibt, die die Gleichung von \(E\) erfüllen. 4. Schlussfolgerung: Die Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte. Da sie im \(\mathbb{R}^3\) liegen und nicht identisch sind, müssen sie echt parallel zueinander sein.

Die Ebenen \(E\) und \(F\) sind echt parallel zueinander. Es gibt keine Schnittgerade.

- Schau dir die Zahlen vor den Variablen genau an. Gibt es eine Zahl, mit der du eine Gleichung multiplizieren kannst, um die andere zu erhalten? - Achte darauf, ob sich diese Zahl auch auf das Ergebnis nach dem Gleichheitszeichen bezieht. - Was sagt die Richtung des Normalenvektors über die Ausrichtung der Ebene im Raum aus?

1. Vergleich von \(E_1\) und \(E_2\): Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_1 = -2 \cdot \vec{n}_2\). Auch für die rechten Seiten gilt \(10 = -2 \cdot (-5)\). Da die gesamte Gleichung von \(E_1\) ein Vielfaches der Gleichung von \(E_2\) ist, sind die Ebenen identisch. 2. Vergleich von \(E_2\) und \(E_3\): Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_2 = -1 \cdot \vec{n}_3\). Für die rechten Seiten gilt jedoch \(-5 \neq -1 \cdot 7\). Da nur die Normalenvektoren kollinear sind, aber die Gleichungen insgesamt keine Vielfachen voneinander sind, liegen \(E_2\) und \(E_3\) echt parallel zueinander. 3. Allgemeine Begründung: Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren kollinear (Vielfache voneinander) sind. Dies erkennt man an der Proportionalität der Koeffizienten von \(x_1, x_2\) und \(x_3\). Sind auch die Konstanten auf der rechten Seite im gleichen Verhältnis, sind die Ebenen identisch; ansonsten sind sie echt parallel.

a) \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch, da die Gleichung von \(E_1\) das \((-2)\)-fache der Gleichung von \(E_2\) ist. b) \(E_2\) und \(E_3\) sind echt parallel, da ihre Normalenvektoren antiparallel sind (\(\vec{n}_2 = -\vec{n}_3\)), aber die Konstanten (\(-5\) und \(7\)) nicht im selben Verhältnis stehen. c) Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren (die Koeffizienten von \(x_1, x_2, x_3\)) linear abhängig sind. Sie sind identisch, wenn dies auch für die rechte Seite der Gleichung gilt.

- Beachte, dass in der Gleichung eine Koordinate fehlen kann. Was bedeutet das für den Normalenvektor? - Wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizierst, ändert sich die dargestellte Ebene nicht. - Welche Koordinaten hat der Ursprung? - Überlege, welcher Teil der Koordinatengleichung die Ausrichtung im Raum bestimmt und welcher Teil die Verschiebung.

1. Analyse von \(E\) und \(F\): Der Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_E = -2 \cdot \vec{n}_F\). 2. Vergleich der Konstanten: Multipliziert man die Gleichung von \(F\) mit \(-2\), ergibt sich \(3x_1 + 4x_3 = 12\). Dies entspricht exakt der Gleichung von \(E\), weshalb die Ebenen identisch sind. 3. Ebene durch den Ursprung: Parallelität zu \(E\) bedeutet gleicher Normalenvektor. Der Ansatz lautet \(3x_1 + 4x_3 = d\). Da die Ebene durch \(O(0 \mid 0 \mid 0)\) geht, muss \(3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0\) gelten, also \(d = 0\). Die Gleichung ist \(G: 3x_1 + 4x_3 = 0\). 4. Ebenenschar: Die parallelen Ebenen unterscheiden sich nur durch den Achsenabschnitt bzw. die Konstante \(d\). Die allgemeine Form ist \(3x_1 + 4x_3 = d\) für beliebige \(d \in \mathbb{R}\).

a) Die Ebenen \(E\) und \(F\) sind identisch. b) \(G: 3x_1 + 4x_3 = 0\) c) Die Gleichungen haben die Form \(3x_1 + 4x_3 = d\) mit \(d \in \mathbb{R}\).

- Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Was bedeutet es für die Gleichung einer Ebene, wenn sie parallel zu einer der Koordinatenebenen ist? - Wann stehen zwei Ebenen senkrecht aufeinander? Betrachte dazu ihre Normalenvektoren. - Welche Punkte und Vektoren sind bekannt, wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält?

1. Umwandlung von \(F\) in Koordinatenform: Der Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) zu \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Koordinatenform lautet \(1 \cdot x_1 = 1 \cdot 3\), also \(x_1 = 3\). 2. Lage von \(F\): Die Ebene verläuft parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3\). 3. Untersuchung der Ebene \(G\): Da \(G\) die \(x_1\)-Achse enthält, liegt der Ursprung \(O(0|0|0)\) in der Ebene und der Vektor \(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) in der Ebene. Mit dem Punkt \(P(0|1|1)\) ergibt sich ein zweiter Richtungsvektor \(\vec{v}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist ein Normalenvektor von \(G\): \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Nachweis der Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Normalenvektoren ist \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). Somit stehen die Ebenen senkrecht aufeinander. 5. Normalenform von \(G\): Da der Ursprung in \(G\) liegt, lautet eine Form \(\vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\).

a) \(F: x_1 = 3\) b) Die Ebene \(F\) ist parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene. c) Nachweis über Skalarprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = 0\); Normalenform z. B. \(G: \vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\)

- Überlege dir, wie zwei Ebenen im Raum zueinander liegen können und was passiert, wenn eine dritte Ebene dazukommt. - Welche geometrischen Objekte (Punkte, Geraden, Flächen) können beim Schneiden von Ebenen entstehen? - Stell dir die Seitenflächen eines Prismas oder ein offenes Zelt vor, um eine Situation ohne gemeinsamen Schnittpunkt zu finden. - Kann eine Gerade zwei Punkte enthalten, ohne dass alle Punkte dazwischen auch Teil der Geraden sind?

1. Begründung für genau zwei Lösungen: Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems entspricht dem Schnitt von Ebenen. Der Schnitt zweier Ebenen ist entweder leer, eine Ebene oder eine Gerade. Schneidet man dieses Ergebnis mit einer dritten Ebene, kann das Resultat wiederum nur leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene sein. Da eine Gerade unendlich viele Punkte enthält, ein Punkt genau einen und die leere Menge keinen, ist eine Menge aus exakt zwei isolierten Punkten geometrisch nicht möglich. 2. Mögliche Schnittgebilde: Die Lösungsmenge kann leer sein (kein Schnittpunkt), genau einen Punkt enthalten (Schnittpunkt), eine Gerade sein (Schnittgerade) oder eine Ebene sein (identische Ebenen). 3. Konfiguration ohne Lösung ohne Parallelität: Dies tritt ein, wenn sich die Ebenen paarweise in drei verschiedenen Geraden schneiden, die alle parallel zueinander verlaufen (Prismenstellung). In diesem Fall gibt es keinen Punkt, der auf allen drei Ebenen gleichzeitig liegt, obwohl jede Ebene jede andere schneidet.

a) Der Schnitt von Ebenen ergibt stets lineare Gebilde (Punkt, Gerade, Ebene oder die leere Menge). Da eine Gerade unendlich viele Punkte besitzt, können nicht genau zwei isolierte Punkte entstehen. b) Die Lösungsmenge kann leer sein, genau einen Punkt enthalten, eine Gerade sein oder eine Ebene sein. c) Die Ebenen bilden ein Prisma: Je zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, aber diese drei Schnittgeraden sind echt parallel zueinander. Es gibt somit keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen.

- Versuche, das Gleichungssystem mit einem Standardverfahren (z. B. Additionsverfahren) zu lösen. - Achte darauf, ob eine der Gleichungen eine Kombination der anderen beiden ist. - Was bedeutet es für die gegenseitige Lage von Ebenen, wenn ein System unendlich viele Lösungen hat? - Prüfe auch, ob die Ebenen identisch sein könnten, indem du die Normalenvektoren vergleichst.

1. Addition von Gleichung (I) und (II): \((x_1 + x_2 + x_3) + (x_1 - x_2 + 2x_3) = 3 + 1 \implies 2x_1 + 3x_3 = 4\). 2. Vergleich mit Gleichung (III): Das Ergebnis der Addition entspricht exakt der Gleichung (III). Damit ist eine Gleichung redundant (linear abhängig), und das System hat unendlich viele Lösungen. 3. Bestimmung der Lösungsgeraden: Setze \(x_3 = t\). Aus (III) folgt \(2x_1 = 4 - 3t \implies x_1 = 2 - 1{,}5t\). Einsetzen in (I): \((2 - 1{,}5t) + x_2 + t = 3 \implies x_2 = 1 + 0{,}5t\). 4. Die Lösungsmenge ist die Gerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Geometrische Interpretation: Die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden (Büschelstellung). Keine zwei Ebenen sind identisch, da ihre Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind.

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, die auf der Schnittgeraden \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\) liegen. Geometrisch bedeutet dies, dass sich die drei Ebenen \(E_1, E_2\) und \(E_3\) in dieser gemeinsamen Geraden schneiden (Ebenenbüschel).

- Überlege dir, wie die Richtungsvektoren zweier paralleler Ebenen zusammenhängen müssen. - Wie kannst du prüfen, ob ein Vektor in der Ebene liegt, die von zwei anderen Vektoren aufgespannt wird? - Wenn die Ebenen parallel sind, welche zwei Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es dann noch? - Wie kannst du mit einem Punkt der einen Ebene testen, welcher dieser beiden Fälle vorliegt?

1. Prüfung der Parallelität durch Untersuchung der Richtungsvektoren: Es wird geprüft, ob sich die Richtungsvektoren von \(F\) als Linearkombinationen der Richtungsvektoren von \(E\) darstellen lassen. 2. Für \(\vec{u}_F = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) gilt: \(\vec{u}_F = 1 \cdot \vec{u}_E + 1 \cdot \vec{v}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Für \(\vec{v}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) gilt: \(\vec{v}_F = -1 \cdot \vec{u}_E + 1 \cdot \vec{v}_E = -\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Da beide Richtungsvektoren von \(F\) in der von den Richtungsvektoren von \(E\) aufgespannten Ebene liegen, sind die Ebenen parallel. 5. Punktprobe zur Unterscheidung zwischen Identität und echter Parallelität: Setze den Stützvektor von \(F\) in die Gleichung von \(E\) ein: \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 6. Aus der zweiten Zeile folgt \(1 + s = -1 \implies s = -2\). Aus der dritten Zeile folgt \(2 + r = 1 \implies r = -1\). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \(3 + (-1) + 2 \cdot (-2) = -2\), was ungleich \(0\) ist. 7. Da der Punkt nicht in \(E\) liegt, sind die Ebenen echt parallel.

Die Ebenen \(E\) und \(F\) sind echt parallel.

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen zusammen, wenn diese parallel sind? - Wie berechnet man einen Normalenvektor, wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist? - Wenn du weißt, dass die Ebenen parallel sind, wie kannst du herausfinden, ob sie identisch sind? - Könntest du eine Ebene in die Koordinatenform umwandeln, um die Punktprobe zu vereinfachen?

1. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von \( E_1 \) ergibt \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von \( E_2 \) ergibt \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix} \). 3. Vergleich der Normalenvektoren: Da \( \vec{n}_2 = -2 \cdot \vec{n}_1 \), sind die Normalenvektoren kollinear und die Ebenen somit parallel. 4. Punktprobe: Überprüfung, ob der Stützpunkt \( P(0|0|0) \) von \( E_2 \) in \( E_1 \) liegt. Einsetzen in die Koordinatenform von \( E_1 \): \( -4x_1 - 5x_2 + x_3 = d \). Mit dem Stützpunkt von \( E_1 \) ergibt sich \( d = -4 \cdot (-1) - 5 \cdot 0 + 1 = 5 \). Einsetzen von \( P \) ergibt \( -4 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0 = 0 \). Da \( 0 \neq 5 \), liegt der Punkt nicht in der Ebene. 5. Ergebnis: Die Ebenen sind echt parallel.

Die Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) sind echt parallel.

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier paralleler Ebenen zusammen? - Woran erkennst du, ob zwei parallele Ebenen identisch oder echt parallel sind? - Wenn eine Ebene parallel zu einer anderen ist, was kannst du über ihren Normalenvektor sagen? - Wie nutzt du einen gegebenen Punkt, um die fehlende Konstante in einer Ebenengleichung zu berechnen?

1. Vergleich der Normalenvektoren: Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), der von \(E_2\) ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_2 = -2 \cdot \vec{n}_1\), sind die Normalenvektoren kollinear und die Ebenen somit parallel. 2. Prüfung auf Identität: Multipliziert man die Gleichung von \(E_1\) mit \(-2\), erhält man \(-10x_1 + 2x_2 - 4x_3 = -20\). Da die rechte Seite der Gleichung von \(E_2\) den Wert \(5\) hat (und \(-20 \neq 5\)), sind die Ebenen echt parallel. 3. Bestimmung von \(E_3\): Da \(E_3 \parallel E_1\), kann der Normalenvektor \(\vec{n}_1\) übernommen werden. Einsetzen von \(P(2 \mid -3 \mid 1)\) in den Ansatz \(5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) ergibt \(5 \cdot 2 - (-3) + 2 \cdot 1 = 10 + 3 + 2 = 15\). Somit lautet die Gleichung \(E_3: 5x_1 - x_2 + 2x_3 = 15\). 4. Allgemeine Form: Alle zu \(E_1\) parallelen Ebenen haben dieselben Koeffizienten für die Variablen, unterscheiden sich aber in der Konstanten auf der rechten Seite: \(5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) mit \(d \in \mathbb{R}\).

a) Die Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind echt parallel. b) \(E_3: 5x_1 - x_2 + 2x_3 = 15\) c) \(5x_1 - x_2 + 2x_3 = d\) mit \(d \in \mathbb{R}\)

- Wie kannst du mathematisch prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Überlege, wie man einen Vektor durch zwei andere Vektoren ausdrücken kann. - Wenn ein Punkt einer Ebene und ihre gesamte Ausrichtung (Spannraum) mit einer anderen Ebene übereinstimmen, was folgt daraus? - Erinnere dich an das Lösen von linearen Gleichungssystemen.

1. Überprüfung des Stützvektors: Der Ansatz \( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) führt auf das Gleichungssystem \( 1+r=2 \), \( 2+s=3 \) und \( r-s=0 \). Die Lösungen \( r=1 \) und \( s=1 \) erfüllen alle Gleichungen, somit liegt der Stützpunkt von \( E_2 \) in \( E_1 \). 2. Überprüfung der Spannvektoren: Der erste Spannvektor von \( E_2 \) lässt sich als \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) darstellen. Der zweite Spannvektor von \( E_2 \) lässt sich als \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) darstellen. Da der Stützpunkt von \( E_2 \) in \( E_1 \) liegt und beide Spannvektoren von \( E_2 \) im Spannraum von \( E_1 \) liegen (und linear unabhängig sind), sind die Ebenen identisch.

Die Ebenen sind identisch, da der Stützvektor von \( E_2 \) in \( E_1 \) liegt (für \( r=1, s=1 \)) und die Spannvektoren von \( E_2 \) Linearkombinationen der Spannvektoren von \( E_1 \) sind.

- Wie kannst du aus der Parameterform einen Normalenvektor berechnen? - Worüber geben die Koeffizienten in einer Koordinatengleichung Auskunft? - Wann sind zwei Ebenen parallel und wann sind sie sogar identisch? - Welche Rolle spielt der Stützpunkt der einen Ebene bei der Überprüfung der Identität?

1. Bestimmung eines Normalenvektors von \(E_1\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Vergleich mit dem Normalenvektor von \(E_2\), der aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung abgelesen wird: \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_1 = \vec{n}_2\), sind die Ebenen parallel oder identisch. 3. Überprüfung, ob der Stützpunkt \(P(4|1|-2)\) von \(E_1\) in der Ebene \(E_2\) liegt: \(-3 \cdot 4 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = -12 - 1 - 4 = -17\). 4. Da der Punkt die Gleichung von \(E_2\) erfüllt und die Normalenvektoren kollinear sind, sind \(E_1\) und \(E_2\) identisch.

Die Ebenen sind identisch, da der Normalenvektor von \(E_1\) (berechnet als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)) mit dem Normalenvektor von \(E_2\) übereinstimmt und der Stützpunkt von \(E_1\) die Koordinatengleichung von \(E_2\) erfüllt (\(-17 = -17\)).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Wie kannst du aus einem Punkt und zwei Richtungsvektoren eine Ebenengleichung aufstellen? - Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene, wenn man zwei Spannvektoren hat? - Was verraten dir die Normalenvektoren zweier Ebenen über ihre gegenseitige Lage?

1. Spurpunkte von \(E\): Setze jeweils zwei Variablen null. \(x_1 = 12 \implies S_1(12|0|0)\); \(-2x_2 = 12 \implies S_2(0|-6|0)\); \(2x_3 = 12 \implies S_3(0|0|6)\). 2. Parameterform von \(E\): Mit \(S_3\) als Stützpunkt und den Vektoren zu den anderen Spurpunkten als Spannvektoren: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung von \(F\): Normalenvektor: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Einsetzen des Stützpunktes \((1|1|1)\) in \(x_1 - 2x_2 + 2x_3 = d\) ergibt \(1 - 2 + 2 = 1\), also \(F: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 1\). 4. Lagebeziehung: Die Normalenvektoren von \(E\) und \(F\) sind identisch (\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\)). Da die Konstanten der Koordinatengleichungen (\(12 \neq 1\)) verschieden sind, sind die Ebenen echt parallel zueinander.

a) Spurpunkte: \(S_1(12|0|0)\), \(S_2(0|-6|0)\), \(S_3(0|0|6)\) b) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix}\) (Beispiel) c) Koordinatengleichung \(F: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 1\); die Ebenen \(E\) und \(F\) sind echt parallel.

- Wie hängen der Normalenvektor und die Ausrichtung einer Ebene zusammen? - Was muss für die Normalenvektoren gelten, damit zwei Ebenen parallel sind? - Wie wandelt man eine Parameterform in eine Koordinatenform um? - Wenn zwei Ebenen parallel sind und einen gemeinsamen Punkt besitzen, was bedeutet das für ihre Lage zueinander?

1. Bestimmung der Normalenvektoren: Für \(E_1\) ist das Kreuzprodukt der Spannvektoren \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} \). Für \(E_2\) ist das Kreuzprodukt der Spannvektoren \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \). Da \( \vec{n}_1 = -1 \cdot \vec{n}_2 \), sind die Normalenvektoren kollinear und die Ebenen somit parallel oder identisch. 2. Aufstellen der Koordinatengleichung für \( E_1 \): Mit \( \vec{n}_1 \) und dem Stützpunkt \( (0|1|2) \) folgt \( 3x_1 - 6x_2 - x_3 = 3 \cdot 0 - 6 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = -8 \). 3. Punktprobe: Einsetzen des Stützpunktes \( (0|0|8) \) von \( E_2 \) in die Gleichung von \( E_1 \): \( 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 8 = -8 \). Da die Gleichung erfüllt ist (\( -8 = -8 \)), liegt der Punkt in der Ebene. Daraus folgt, dass die Ebenen identisch sind.

Ja, die beiden Parameterdarstellungen beschreiben dieselbe Ebene. Die Normalenvektoren sind kollinear (z. B. \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} \)) und der Stützpunkt von \( E_2 \) erfüllt die Koordinatengleichung von \( E_1 \) (\( 3x_1 - 6x_2 - x_3 = -8 \)).

- Zuerst solltest du die Ebene \(E\) in eine vergleichbare Form bringen, zum Beispiel die Normalenform oder Koordinatenform. - Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei aufspannenden Vektoren steht? - Wenn zwei Ebenengleichungen dasselbe Vielfache voneinander sind, was bedeutet das für die Ebenen? - Reicht es aus, nur die Richtungen der Ebenen zu vergleichen?

1. Aufstellen der Richtungsvektoren für Ebene \(E\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors von \(E\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Normalenvektors von \(F\) aus der Gleichung: \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\). 4. Überprüfung auf Kollinearität: \(\vec{n}_E = 2 \cdot \vec{n}_F\), also sind die Ebenen parallel oder identisch. 5. Punktprobe mit \(A(1|0|2)\) in \(F\): \(2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2{,}5 \cdot 2 = 2 + 0 + 5 = 7\). 6. Da die Normalenvektoren parallel sind und der Punkt \(A\) in \(F\) liegt, sind \(E\) und \(F\) identisch.

Ja, die Ebenen \(E\) und \(F\) sind identisch. Der Normalenvektor von \(E\) ist \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\), was ein Vielfaches des Normalenvektors von \(F\) (\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\)) ist. Zudem liegt der Punkt \(A\) auf der Ebene \(F\).

- Wie findet man einen zweiten Richtungsvektor für eine Ebene, wenn zwei parallele Geraden gegeben sind? - Woran erkennt man an den Normalenvektoren, ob zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen? - Wenn eine Ebene zu zwei anderen Ebenen orthogonal sein soll, welche Richtung muss ihr Normalenvektor dann haben?

1. Ebene \( E_1 \): Richtungsvektoren \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -12 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Gleichung: \( x_1 + x_2 + 2x_3 = 10 \). 2. Ebene \( E_2 \): Richtungsvektoren sind der Richtungsvektor der Geraden \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und der Differenzvektor der Aufpunkte \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Normalenvektor: Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Gleichung: \( x_1 + x_2 - x_3 = 1 \). 3. Orthogonalitätsnachweis: Skalarprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 2\cdot(-1) = 1 + 1 - 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Normalenvektoren und somit die Ebenen senkrecht aufeinander. 4. Ebene \( E_3 \): Der Normalenvektor \(\vec{n}_3\) muss senkrecht auf \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) stehen. Das Kreuzprodukt von \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) ist \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Gleichung für \( E_3 \) mit Punkt \( P(5|0|0) \): \( 1 \cdot (x_1 - 5) - 1 \cdot (x_2 - 0) + 0 \cdot (x_3 - 0) = 0 \), also \( x_1 - x_2 = 5 \).

a) \( E_1: x_1 + x_2 + 2x_3 = 10 \); \( E_2: x_1 + x_2 - x_3 = 1 \) b) Nachweis über \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\) c) \( E_3: x_1 - x_2 = 5 \) bzw. in Normalenform \( \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \)

- Wann sind zwei Ebenen identisch, wann parallel und wann schneiden sie sich? - Welche Rolle spielen die Koeffizienten vor den Variablen im Vergleich zum Ergebnis hinter dem Gleichheitszeichen? - Wie viele freie Parameter hat die Lösung eines Systems mit zwei Gleichungen und drei Variablen im Normalfall? - Für Teilaufgabe c): Wie prüfst du, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

1. Für Teilaufgabe a) muss \(E_2\) ein Vielfaches von \(E_1\) sein, sodass beide Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben. Sei \(E_2: 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 12\). Die Lösungsmenge entspricht \(E_1\). Setze \(x_2 = s\) und \(x_3 = t\). Dann ist \(2x_1 = 6 + s - 3t\), also \(x_1 = 3 + 0{,}5s - 1{,}5t\). \(L = \left\{ \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mid s, t \in \mathbb{R} \right\}\). 2. Für Teilaufgabe b) müssen die Ebenen parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten der linken Seite müssen proportional sein, die rechte Seite darf nicht im selben Verhältnis stehen. Beispiel: \(E_2: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 10\). 3. Für Teilaufgabe c) muss \(E_2\) den Punkt \(P(3 | 0 | 0)\) enthalten und darf nicht parallel zu \(E_1\) sein. Einsetzen von \(P\) in \(E_1\): \(2 \cdot 3 - 0 + 3 \cdot 0 = 6\). Wähle zum Beispiel \(E_2: x_2 = 0\). Der Punkt \(P\) liegt auch auf \(E_2\). Die Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = (2; -1; 3)\) und \(\vec{n}_2 = (0; 1; 0)\) sind keine Vielfachen, daher schneiden sich die Ebenen in einer Geraden durch \(P\).

Mögliche Lösungen: a) \(E_2: 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 12\); \(L = \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mid s, t \in \mathbb{R} \right\}\) b) \(E_2: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 10\) c) \(E_2: x_2 = 0\)