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- Welche Koordinate der Geraden musst du mit der Ebenenbedingung vergleichen? - Bestimme zuerst den Geradenparameter und setze ihn anschließend in die Geradengleichung ein.

1. Auf der Geraden gilt \(x_3=t\). 2. Für einen Punkt der Ebene muss \(x_3=3\) sein. Daher ist \(t=3\). 3. Einsetzen in die Geradengleichung ergibt \(S(1|0|3)\).

\(S(1|0|3)\)

- Welche zwei Zugehörigkeiten muss ein Schnittpunkt gleichzeitig erfüllen? - Gibt es einen Parameterwert, mit dem die Gerade den vorgeschlagenen Punkt liefert? - Woran erkennst du, dass nicht die ganze Gerade in der Ebene liegt?

1. Für \(t=2\) ergibt die Gerade \(\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). Damit liegt \(S\) auf \(g\). 2. Der Punkt \(S\) hat \(x_3=2\) und liegt deshalb auch in \(E\). 3. Der Richtungsvektor von \(g\) hat eine von null verschiedene dritte Komponente. Die Gerade liegt daher nicht vollständig in \(E\), sodass der gemeinsame Punkt der eindeutige Schnittpunkt ist.

Die Behauptung stimmt: \(S(1|2|2)\) ist der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\).

- Welche Eigenschaften haben alle Punkte, die auf der \(x_2\)-Achse liegen? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Parameterform der Geraden zusammen? - Betrachte die einzelnen Zeilen der Vektorgleichung als separate Gleichungen. - Welche Unbekannte kannst du zuerst bestimmen?

1. Bedingung für einen Punkt auf der \(x_2\)-Achse: Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) müssen null sein (\(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\)). 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Zeilen der Geradengleichung: I: \(a + 2\lambda = 0\) II: \(4 - 2\lambda = 0\) 3. Lösen der Gleichung II nach \(\lambda\): \(2\lambda = 4 \implies \lambda = 2\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in Gleichung I: \(a + 2 \cdot 2 = 0 \implies a = -4\). 5. Berechnung der \(x_2\)-Koordinate des Schnittpunktes: \(x_2 = 1 + 1 \cdot 2 = 3\). 6. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(a + 2\lambda = 0\) und \(4 - 2\lambda = 0\). b) Der Parameterwert ist \(a = -4\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

- Welche Geradengleichung erhältst du aus den beiden gegebenen Punkten? - Welche Koordinate ist für jeden Punkt der \(x_1x_2\)-Ebene gleich Null? - Bestimme zuerst den Geradenparameter aus dieser Koordinate und setze ihn anschließend in die übrigen Koordinaten ein.

1. Ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{AB}=(3,3,-6)^T\). Damit gilt \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\3\\-6\end{pmatrix}\). 2. Für einen Punkt der \(x_1x_2\)-Ebene muss \(x_3=0\) gelten. Aus \(4-6t=0\) folgt \(t=\frac23\). 3. Einsetzen liefert \(x_1=4\) und \(x_2=-1\). Somit ist \(S(4|-1|0)\).

\(S(4|-1|0)\)

- Welche zwei Koordinaten sind für einen Spurpunkt auf einer bestimmten Koordinatenachse null? - Welche Information über eine Koordinatenrichtung liefert eine fehlende Variable in der Koordinatenform? - Wie unterscheidest du anschließend zwischen einer enthaltenen und einer echt parallelen Koordinatenachse? - Welche Beziehung zwischen Normalenvektor und Normalenvektoren der Koordinatenebenen würde Ebenenparallelität anzeigen?

1. Für \(E_1\) erhält man \(S_1(10|0|0)\), \(S_2(0|-5|0)\) und \(S_3(0|0|4)\). Da der Normalenvektor \(\begin{pmatrix}2\\-4\\5\end{pmatrix}\) keine Nullkomponente besitzt, ist keine Koordinatenachsenrichtung eine Richtung von \(E_1\), und \(E_1\) ist zu keiner Koordinatenebene parallel. 2. Für \(E_2\) erhält man \(S_1(6|0|0)\) und \(S_3(0|0|3)\). Auf der \(x_2\)-Achse würde die Ebenenbedingung \(0=18\) verlangen, also gibt es dort keinen Spurpunkt. 3. Da \(x_2\) in der Koordinatenform von \(E_2\) nicht vorkommt, liegt die Richtung \(\vec{e}_2\) in der Ebene. Weil die \(x_2\)-Achse selbst keinen Punkt mit \(E_2\) gemeinsam hat, ist \(E_2\) echt parallel zur \(x_2\)-Achse.

\(E_1\): \(S_1(10|0|0)\), \(S_2(0|-5|0)\), \(S_3(0|0|4)\); keine Parallelität zu einer Koordinatenachse oder Koordinatenebene. \(E_2\): \(S_1(6|0|0)\), \(S_3(0|0|3)\); kein Spurpunkt auf der \(x_2\)-Achse und echte Parallelität zu dieser Achse.

- Wie lautet die Parameterform der Geraden aus Stützpunkt und Richtungsvektor? - Welche Bedingung müssen die Koordinaten eines Geradenpunkts erfüllen, damit der Punkt in \(E\) liegt? - Was erhältst du, wenn du die drei koordinatenabhängigen Ausdrücke in die Koordinatenform einsetzt? - Wie bestimmst du nach dem Parameterwert die Koordinaten des Schnittpunkts?

1. Die Gerade hat die Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). 2. Einsetzen von \(x_1=5+2r\), \(x_2=-2+r\) und \(x_3=1-r\) in die Koordinatenform von \(E\) ergibt \(3(5+2r)-(-2+r)+2(1-r)=10\). 3. Daraus folgt \(19+3r=10\) und somit \(r=-3\). 4. Einsetzen in \(g\) ergibt \(S(-1|-5|4)\).

\(S(-1|-5|4)\)

- Welcher Vektor zeigt von \(L\) in Richtung von \(M\)? - Welcher Parameterbereich gehört zu einem Strahl, der in \(L\) beginnt? - Welche Bedingung müssen die Koordinaten eines Strahlpunkts erfüllen, damit er auf der Wand liegt? - Prüfe nach dem Lösen auch das Vorzeichen des Strahlparameters.

1. Der Richtungsvektor vom Startpunkt zum Orientierungspunkt ist \(\overrightarrow{LM}=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\). Der Laserstrahl wird daher durch \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\) mit \(t\ge0\) beschrieben. 2. Einsetzen in die Koordinatenform der Wand ergibt \(3(4+2t)-(-2+3t)+2(1+2t)=30\). 3. Daraus folgt \(16+7t=30\) und damit \(t=2\). Wegen \(t\ge0\) liegt der gemeinsame Punkt auf dem Laserstrahl. 4. Einsetzen von \(t=2\) ergibt \(S(8|4|5)\).

\(S(8|4|5)\)

- Welche besondere Lage zum Koordinatensystem beschreibt die Bedingung \(x_3=2\)? - Welche besondere Lage beschreibt entsprechend \(x_1=-1\)? - Welche Koordinate bleibt für Punkte frei, die beide Ebenenbedingungen erfüllen? - Welche Richtung hat daher die Schnittgerade?

1. Die Ebene \(E:x_3=2\) ist parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene; \(F:x_1=-1\) ist parallel zur \(x_2x_3\)-Koordinatenebene. 2. Ihre Normalenvektoren stehen orthogonal aufeinander. Daher schneiden sich die Ebenen rechtwinklig. 3. Für gemeinsame Punkte gelten gleichzeitig \(x_1=-1\) und \(x_3=2\); \(x_2\) ist frei. 4. Mit \(x_2=t\) ergibt sich \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\). Die Schnittgerade ist parallel zur \(x_2\)-Achse.

a) Die Ebenen schneiden sich rechtwinklig; ihre Schnittgerade ist parallel zur \(x_2\)-Achse. b) \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\)

- Welche Richtung besitzt jede Gerade, die senkrecht auf der Ebene \(E\) steht? - Wie erhältst du den gemeinsamen Punkt von \(g\) und \(E\)? - Welche Gleichung verbindet die Ortsvektoren zweier Endpunkte mit dem Ortsvektor ihres Mittelpunkts?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Daher kann \(g\) mit diesem Vektor als Richtungsvektor geschrieben werden: \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Für den Schnitt mit \(E\) gilt \((1+t)+(2+t)+(3+t)=12\). Daraus folgt \(t=2\), also \(S(3|4|5)\). 3. Aus der Mittelpunktbedingung \(S=\frac{1}{2}(A+B)\) folgt \(B=2S-A\). 4. Damit ist \(B=(5|6|7)\).

a) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(S(3|4|5)\) b) \(B(5|6|7)\)

- Erstelle zuerst eine Parameterform für die Gerade, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft. - Wie berechnet man den gemeinsamen Punkt zweier Geraden im Raum? - Wenn du einen Schnittpunkt der beiden Geraden gefunden hast, wie entscheidest du, ob dieser auch wirklich auf dem Teilstück zwischen \(A\) und \(B\) liegt? - Achte auf die Bedeutung des Parameters in deiner Geradengleichung für die Strecke \(AB\).

1. Aufstellen der Geradengleichung \(g\) durch \(A\) und \(B\): \(\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen von \(g\) und \(h\) zur Bestimmung des Schnittpunktes: I: \(2 + 4r = 1 + t\) II: \(4r = 3 - t\) III: \(1 + 8r = 1 + t\) 3. Lösen des Systems: Aus I folgt \(t = 4r + 1\). Einsetzen in II: \(4r = 3 - (4r + 1) \implies 8r = 2 \implies r = 0{,}25\). 4. Berechnung von \(t\): \(t = 4 \cdot 0{,}25 + 1 = 2\). 5. Überprüfung in III: \(1 + 8 \cdot 0{,}25 = 3\) und \(1 + 2 = 3\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S\). 6. Prüfung der Streckenbedingung: Da der Parameter \(r = 0{,}25\) im Intervall \([0; 1]\) liegt, befindet sich der Schnittpunkt auf der Strecke \(AB\). 7. Koordinaten des Schnittpunktes: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Ja, die Gerade \(h\) schneidet die Strecke \(AB\) im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Welche Koordinate muss in der \(x_2x_3\)-Ebene immer den Wert Null haben? - Wie viele Koordinaten eines Punktes müssen Null sein, damit er auf einer Koordinatenachse liegt? - Nutze die Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil, um die Bedingungen für den zweiten Teil schneller zu prüfen.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate der Geradengleichung gleich Null gesetzt: \(6 + 3\lambda = 0\). Dies liefert den Parameterwert \(\lambda = -2\). 2. Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die übrigen Koordinatengleichungen: \(x_2 = k - 2 \cdot (-2) = k + 4\) und \(x_3 = k - 2 + (-2) = k - 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\). 3. Für einen Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse müssen sowohl die \(x_1\)- als auch die \(x_3\)-Koordinate Null sein. Aus \(x_1 = 0\) folgt wie oben \(\lambda = -2\). 4. Bedingung \(x_3 = 0\) mit \(\lambda = -2\): \(k - 4 = 0 \implies k = 4\). 5. Berechnung der verbleibenden Koordinate \(x_2\) für \(k = 4\): \(x_2 = 4 + 4 = 8\). Der Schnittpunkt ist \(P(0 | 8 | 0)\).

a) \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\) b) \(k = 4\); Schnittpunkt \(P(0 | 8 | 0)\)

- Welchen Normalenvektor kannst du aus den beiden Richtungsvektoren gewinnen? - Wie bestimmst du damit eine Koordinatenform der Ebene? - Welche zwei Koordinaten setzt du jeweils null, um einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse zu erhalten?

1. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\). Als vereinfachten Normalenvektor kann man \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\) verwenden. 2. Mit dem Stützpunkt \((2|2|4)\) folgt die Koordinatenform \(x_1+x_2+2x_3=12\). 3. Für die \(x_1\)-Achse erhält man \(S_1(12|0|0)\), für die \(x_2\)-Achse \(S_2(0|12|0)\) und für die \(x_3\)-Achse \(S_3(0|0|6)\).

\(S_1(12|0|0)\), \(S_2(0|12|0)\), \(S_3(0|0|6)\)

- Welchen Normalenvektor erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren? - Welche zwei Koordinaten setzt du für einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null? - Was bedeutet ein Widerspruch bei der Punktbedingung für eine Achse? - Welche Information liefert der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) zusätzlich über die Lage von \(E\)?

1. Ein Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt folgt die Koordinatenform \(2x_1-3x_2=-12\). 2. Für die \(x_1\)-Achse erhält man \(S_1(-6|0|0)\), für die \(x_2\)-Achse \(S_2(0|4|0)\). 3. Auf der \(x_3\)-Achse wären \(x_1=x_2=0\); dies würde \(0=-12\) ergeben. Daher gibt es dort keinen Spurpunkt. 4. Die Richtung \(\vec{e}_3\) liegt in \(E\), weil \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) ein Richtungsvektor von \(E\) ist. Da die \(x_3\)-Achse keinen gemeinsamen Punkt mit \(E\) hat, ist \(E\) echt parallel zur \(x_3\)-Achse.

\(S_1(-6|0|0)\), \(S_2(0|4|0)\); auf der \(x_3\)-Achse existiert kein Spurpunkt. \(E\) ist echt parallel zur \(x_3\)-Achse.

- Überlege dir, welche Koordinate in der jeweiligen Ebene (z. B. der \(x_1x_2\)-Ebene) immer den Wert Null haben muss. - Wie kannst du den Parameter \(t\) berechnen, wenn du weißt, dass eine Koordinate Null sein soll? - Wenn zwei Spurpunkte zusammenfallen, was bedeutet das für die Lage des Punktes im Koordinatensystem? - Schau dir den Richtungsvektor an: Gibt es dort Nullen, die auf eine Parallelität hindeuten könnten?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus der dritten Zeile der Geradengleichung folgt \(-6 + 3t = 0\), woraus sich \(t = 2\) ergibt. Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Spurpunkt \(S_{12}(8|4|0)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Aus der zweiten Zeile folgt \(2 + t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{13}(0|0|-12)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Aus der ersten Zeile folgt \(4 + 2t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{23}(0|0|-12)\). 4. Besondere Lage: Da die Spurpunkte \(S_{13}\) und \(S_{23}\) identisch sind, schneidet die Gerade zwei Koordinatenebenen im selben Punkt. Dieser Punkt \((0|0|-12)\) liegt auf der \(x_3\)-Achse. Die Gerade schneidet somit die \(x_3\)-Achse.

Spurpunkte: \(S_{12}(8|4|0)\), \(S_{13}(0|0|-12)\) und \(S_{23}(0|0|-12)\). Besondere Lage: Die Gerade schneidet die \(x_3\)-Achse im Punkt \((0|0|-12)\).

- Was bedeutet es für die Lage einer Geraden, wenn eine Komponente des Richtungsvektors Null ist? - Wenn eine Gleichung wie \(4 = 0\) entsteht, wie interpretierst du das in Bezug auf Schnittpunkte? - Kannst du aus der Parallelität zu einer Ebene schließen, welche Spurpunkte existieren müssen und welche nicht?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Die Bedingung \(4 + 0 \cdot s = 0\) führt auf den Widerspruch \(4 = 0\). Es existiert kein Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Die Bedingung \(3 - 2s = 0\) liefert \(s = 1{,}5\). Einsetzen in die Geradengleichung ergibt \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 1{,}5\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7{,}5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Spurpunkt ist \(S_{13}(7{,}5|0|4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Die Bedingung \(0 + 5s = 0\) liefert \(s = 0\). Einsetzen ergibt den Stützpunkt als Spurpunkt: \(S_{23}(0|3|4)\). 4. Besondere Lage: Da die \(x_3\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist, verläuft die Gerade parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. Da zudem der Stützpunkt die \(x_1\)-Koordinate \(0\) besitzt, liegt der Stützpunkt in der \(x_2x_3\)-Ebene, die Gerade ist jedoch nicht parallel zu einer der Achsen, da die anderen Komponenten des Richtungsvektors ungleich Null sind.

Spurpunkte: \(S_{13}(7{,}5|0|4)\) und \(S_{23}(0|3|4)\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. Besondere Lage: Die Gerade verläuft parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene in der Ebene \(x_3 = 4\), also im Abstand \(4\).

- Welche einfachere Koordinatenform entsteht, wenn du das Skalarprodukt ausmultiplizierst? - Welche Koordinaten sind auf einer bestimmten Koordinatenachse jeweils null? - Welche Koordinate bleibt für alle Punkte der Ebene fest? - Vergleiche den Normalenvektor von \(E\) mit dem Normalenvektor der passenden Koordinatenebene.

1. Ausmultiplizieren der Normalenform ergibt \(4(x_2-2)=0\), also die Koordinatenform \(x_2=2\). 2. Auf der \(x_2\)-Achse gilt \(x_1=x_3=0\). Damit erhält man den Spurpunkt \(S_2(0|2|0)\). 3. Auf der \(x_1\)-Achse und der \(x_3\)-Achse ist jeweils \(x_2=0\). Das widerspricht \(x_2=2\), daher gibt es dort keine Schnittpunkte. 4. Die Ebene besteht aus allen Punkten mit festem \(x_2=2\). Ihr Normalenvektor ist damit parallel zu \(\vec{e}_2\), also ist \(E\) echt parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene. Der Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten.

Spurpunkt: \(S_2(0|2|0)\); keine Schnittpunkte mit der \(x_1\)- oder \(x_3\)-Achse. \(E\) ist echt parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene und hat von ihr den Abstand \(2\).

- Welche Koordinaten hat die Mastspitze, wenn der Mast vom Befestigungspunkt aus in positiver \(x_3\)-Richtung verläuft? - Beschreibe den Sonnenstrahl durch die Mastspitze als gerichtete Gerade mit einem nichtnegativen Parameter. - Der Schattenpunkt der Spitze ist der Schnittpunkt dieses Strahls mit der Ebene. - Welche Strecke auf der Ebene bildet anschließend den Schatten des Mastes?

1. Die Mastspitze ist \(Q(2|4|9)\). 2. Der Sonnenstrahl durch \(Q\) wird durch \(g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\4\\9\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\) mit \(r\ge0\) beschrieben. 3. Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \((2+r)+2(4+2r)+2(9-3r)=20\). Damit ist \(28-r=20\) und folglich \(r=8\). 4. Der Schattenpunkt der Mastspitze ist \(S(10|20|-15)\). 5. Der Schattenvektor ist \(\vec{PS}=(8,16,-20)^T\). Seine Länge beträgt \(|\vec{PS}|=\sqrt{8^2+16^2+(-20)^2}=\sqrt{720}=12\sqrt5\,\text{m}\approx26{,}83\,\text{m}\).

\(12\sqrt5\,\text{m}\approx26{,}83\,\text{m}\)

- Welche beiden konkreten Ebenengleichungen erhältst du zunächst für \(k=2\) und \(k=3\)? - Wie kannst du bei zwei Ebenengleichungen eine Koordinate frei wählen, um die Schnittgerade zu parametrisieren? - Für Teil b): Welche Bedingung muss jeder Punkt der gefundenen Geraden für jedes \(k\) erfüllen? - Welche Beziehung besteht zwischen einem Vektor und dem Normalenvektor einer Ebene, wenn der Vektor orthogonal zur Ebene verläuft?

1. Für \(k=2\) und \(k=3\) erhält man \(E_2:x_2+x_3=4\) und \(E_3:x_1+2x_2+3x_3=12\). 2. Setzt man \(x_3=r\), folgt aus \(E_2\) zunächst \(x_2=4-r\). Einsetzen in \(E_3\) liefert \(x_1=4-r\). 3. Damit ist \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 4. Für einen allgemeinen Punkt von \(s\) gilt \(x_1=4-r\), \(x_2=4-r\) und \(x_3=r\). Einsetzen in \(E_k\) ergibt \((k-2)(4-r)+2(4-r)+kr=4k\). Die Gleichung ist für alle \(r\) und alle \(k\) erfüllt; daher liegt \(s\) in jeder Ebene der Schar. 5. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}k-2\\2\\k\end{pmatrix}\). Damit \(E_k\) orthogonal zu \(\vec{v}\) ist, muss \(\vec{n}_k\) kollinear zu \(\vec{v}\) sein. Aus der zweiten Komponente folgt der Skalierungsfaktor \(1\); somit gilt \(k-2=1\) und \(k=3\). Auch die dritte Komponente stimmt dann überein.

a) \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\) b) Für jeden Punkt von \(s\) wird die Schargleichung zur Identität \(4k=4k\); daher gilt \(s\subset E_k\) für jedes \(k\in\mathbb{R}\). c) \(k=3\)

- Welche geometrische Eigenschaft hat die Verbindung vom Ursprung zum nächstgelegenen Punkt einer Geraden? - Schreibe zunächst einen allgemeinen Punkt der Geraden in Abhängigkeit vom Parameter auf. - Wie kannst du die Orthogonalität zweier Vektoren rechnerisch ausdrücken? - Wenn du den nächstgelegenen Punkt kennst, welche Länge entspricht dem gesuchten Abstand?

1. Ein Punkt der Geraden hat die Koordinaten \(P_\lambda(4-2\lambda|2+\lambda|\lambda)\). 2. Für den nächstgelegenen Punkt steht der Vektor \(\vec{OP_\lambda}\) senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\vec{u}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\). Daher gilt \(\vec{OP_\lambda}\cdot\vec{u}=0\). 3. Es folgt \(-2(4-2\lambda)+(2+\lambda)+\lambda=0\), also \(6\lambda-6=0\) und damit \(\lambda=1\). 4. Somit ist \(P(2|3|1)\). 5. Der Abstand ist die Länge von \(\vec{OP}\): \(d(O,g)=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}\).

a) \(P(2|3|1)\) b) \(d(O,g)=\sqrt{14}\)

- Wie hängen die Koordinaten eines gemeinsamen Punktes mit den einzelnen Ebenengleichungen zusammen? - Welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, ein System mit drei Unbekannten effizient zu lösen? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Geraden ist? - Kannst du die Punktprobe für jede Koordinate einzeln durchführen?

1. Zur Bestimmung von \(S\) wird das lineare Gleichungssystem aus den drei Ebenengleichungen gelöst. 2. Durch Addition von \(E\) und \(F\) wird \(x_2\) eliminiert: \(3x_1 + 2x_3 = 9\). 3. Durch Addition von \(E\) und \(G\) wird \(x_3\) eliminiert: \(2x_1 + 3x_2 = 8\). 4. Die systematische Lösung (z. B. mit dem Gauß-Verfahren) ergibt die Werte \(x_3 = 3\), \(x_2 = 2\) und \(x_1 = 1\). Der Schnittpunkt lautet \(S(1|2|3)\). 5. Für die Punktprobe wird \(S\) in die Geradengleichung \(h\) eingesetzt: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 6. Dies führt auf das System \(1 = t\), \(2 = 1 + t\) und \(3 = 4 - t\). Da alle drei Gleichungen den Wert \(t = 1\) liefern, liegt der Punkt \(S\) auf der Geraden \(h\).

a) \(S(1|2|3)\) b) Ja, der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(h\) (für \(t = 1\)).

- Welche drei Gleichungen müssen die Koordinaten eines gemeinsamen Punktes gleichzeitig erfüllen? - Wie kannst du das lineare Gleichungssystem so umformen, dass du die Variablen nacheinander eindeutig bestimmst? - Welchen Normalenvektor hat die \(x_1x_2\)-Koordinatenebene? - Welche Koordinate ist deshalb in einer dazu parallelen Ebene konstant?

1. Für den gemeinsamen Schnittpunkt wird das lineare Gleichungssystem der drei Ebenen gelöst. 2. Addition der Gleichungen von \(E\) und \(F\) ergibt \(3x_1+3x_3=3\), also \(x_1+x_3=1\). 3. Addition von zweimal \(F\) und \(G\) ergibt \(3x_1+4x_3=5\). 4. Aus den beiden Gleichungen folgt \(x_3=2\), anschließend \(x_1=-1\) und schließlich \(x_2=0\). Da alle drei Variablen eindeutig bestimmt sind, ist \(S(-1|0|2)\) der einzige gemeinsame Punkt. 5. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene hat einen Normalenvektor parallel zu \(\vec{e}_3\) und damit eine Koordinatenform \(x_3=d\). 6. Wegen \(S\in H\) gilt \(d=2\). Somit ist \(H:x_3=2\).

a) \(S(-1|0|2)\) b) \(H:x_3=2\)

- Wie kannst du die Schargleichung in einen Teil mit \(k\) und einen Teil ohne \(k\) zerlegen? - Welche Bedingungen müssen gelten, damit die Gleichung unabhängig vom Wert von \(k\) erfüllt bleibt? - Welche zwei Koordinatenbeziehungen erhältst du dadurch für alle gemeinsamen Punkte? - Wie lässt sich die Menge dieser Punkte mit einem freien Parameter beschreiben?

1. Die Schargleichung lässt sich als \(k(x_1-x_3)+(x_2-4)=0\) schreiben. 2. Ein Punkt liegt genau dann in jeder Ebene \(E_k\), wenn die Gleichung für jedes \(k\in\mathbb{R}\) erfüllt ist. Dazu müssen \(x_1-x_3=0\) und \(x_2-4=0\) gelten. 3. Damit gilt \(x_1=x_3\) und \(x_2=4\). Setzt man \(x_3=r\), so ist auch \(x_1=r\). 4. Die gemeinsame Gerade hat daher die Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) mit \(r\in\mathbb{R}\).

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\), \(r\in\mathbb{R}\)

- Mit welchen beiden Kantenvektoren kannst du die Ebene der Werbetafel parametrisieren? - Welche zusätzlichen Parametergrenzen beschreiben nicht die ganze Ebene, sondern genau das Rechteck? - Welche Gleichungen entstehen, wenn ein Punkt zugleich auf dem Lichtstrahl und in der Ebene liegt? - Welche Bedingungen müssen der Strahlparameter und die beiden Flächenparameter nach dem Lösen erfüllen?

1. Die Tafel liegt in der Ebene mit der Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}\). Für Punkte des Rechtecks gilt zusätzlich \(0\le r\le1\) und \(0\le s\le1\). 2. Gleichsetzen von Strahl und Ebene liefert \(2+4r=8-2t\), \(1+3s=7-2t\) und \(3+s=2+t\). 3. Das System hat die Lösung \(t=1{,}8\), \(r=0{,}6\) und \(s=0{,}8\). Wegen \(t\ge0\) liegt der gemeinsame Punkt auf dem Lichtstrahl. 4. Einsetzen in \(g\) ergibt den Schnittpunkt \(S(4{,}4|3{,}4|3{,}8)\). 5. Da \(r\) und \(s\) beide im Intervall \([0;1]\) liegen, befindet sich \(S\) innerhalb des Rechtecks. Der Lichtstrahl trifft die Werbetafel.

Ja. Der Lichtstrahl trifft die Werbetafel im Punkt \(S(4{,}4|3{,}4|3{,}8)\).

- Welche Schnittmengen können zunächst bei zwei Ebenen entstehen? - Was kann passieren, wenn du diese Schnittmenge zusätzlich mit einer dritten Ebene schneidest? - Kann eine lineare Schnittmenge aus genau zwei voneinander getrennten Punkten bestehen? - Suche für Teil c) eine Anordnung, in der jedes Ebenenpaar eine Gerade gemeinsam hat, diese Geraden aber keinen gemeinsamen Punkt erzwingen.

1. Der Schnitt zweier Ebenen ist leer, eine Gerade oder bei identischen Ebenen eine Ebene. Schneidet man dieses Ergebnis mit der dritten Ebene, kann als gemeinsame Lösungsmenge nur die leere Menge, ein einzelner Punkt, eine Gerade oder eine Ebene entstehen. Zwei isolierte Punkte sind daher nicht möglich. 2. Als Lösungsmenge kommen somit die leere Menge, genau ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene infrage. 3. Eine mögliche Anordnung ohne gemeinsamen Punkt besteht aus drei Ebenen, die sich paarweise schneiden, wobei die drei paarweisen Schnittgeraden echt parallel zueinander sind. Dann schneidet zwar jedes Ebenenpaar einander, aber kein Punkt liegt in allen drei Ebenen zugleich.

a) Zwei isolierte Lösungen sind unmöglich, weil der gemeinsame Schnitt dreier Ebenen nur leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene sein kann. b) Leere Menge, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene. c) Zum Beispiel drei paarweise schneidende Ebenen, deren drei paarweise Schnittgeraden echt parallel zueinander sind; dann gibt es keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen.

- Prüfe, ob sich eine der drei Gleichungen aus den beiden anderen gewinnen lässt. - Wie viele freie Variablen bleiben, wenn nur zwei unabhängige Bedingungen vorliegen? - Wie kannst du die Lösungsmenge mit einem freien Parameter beschreiben? - Woran erkennst du über die Normalenvektoren, dass keine zwei Ebenen identisch sind?

1. Addition von (I) und (II) ergibt \(2x_1+3x_3=4\). Das ist genau Gleichung (III), also liefert (III) keine zusätzliche Bedingung. 2. Das System hat daher einen freien Parameter und unendlich viele Lösungen. Setze \(x_3=t\). 3. Aus (III) folgt \(x_1=2-1{,}5t\). Einsetzen in (I) ergibt \(x_2=1+0{,}5t\). 4. Die Lösungsmenge ist die Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}\). 5. Die Normalenvektoren \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}\) sind paarweise keine skalaren Vielfachen. Daher sind die Ebenen nicht identisch; alle drei schneiden sich in derselben Geraden \(g\).

Die Lösungsmenge ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\). Geometrisch schneiden sich die drei verschiedenen Ebenen in dieser gemeinsamen Geraden.

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer dazu orthogonalen Ebene? - Wie erhältst du mit einem Normalenvektor und dem Punkt \(R\) die Koordinatenform? - Welche Bedingung muss ein Punkt der Geraden zusätzlich erfüllen, um in \(F\) zu liegen? - Welcher Parameterbereich beschreibt in der Geradenparameterform genau die Strecke von \(P\) nach \(Q\)?

1. Ein Richtungsvektor von \(h\) ist \(\vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). 2. Da \(F\) orthogonal zu \(h\) ist, kann \(\vec{u}\) als Normalenvektor von \(F\) verwendet werden. 3. Mit \(R(7|3|3)\) ergibt sich \(2x_1+2x_2+x_3=23\). Also lautet die Koordinatenform \(F:2x_1+2x_2+x_3=23\). 4. Die Gerade hat die Parameterform \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). 5. Einsetzen in \(F\) ergibt \(2(1+2t)+2(1+2t)+(1+t)=23\), also \(9t+5=23\) und damit \(t=2\). 6. Somit ist \(S(5|5|3)\). 7. Die Strecke \(\overline{PQ}\) entspricht in dieser Parameterform \(0\le t\le1\). Da \(t=2\) gilt, liegt \(S\) nicht auf der Strecke.

a) \(F:2x_1+2x_2+x_3=23\) b) \(S(5|5|3)\); der Punkt liegt nicht auf \(\overline{PQ}\), weil \(t=2\notin[0;1]\).

- Welche beiden Parameter musst du jeweils bestimmen, wenn du zwei Geraden gleichsetzt? - Führe die Lageprüfung für jedes der drei Geradenpaare getrennt durch. - Warum reicht es nicht, nur zu wissen, dass sich jedes Paar irgendwie schneidet? - Welche Geradenpaare müssen durch die drei verschiedenen Eckpunkte des Dreiecks verlaufen?

1. Aus \(g_1=g_2\) folgt \(r=2\) und \(s=-1\). Der Schnittpunkt ist \(B(4|2|2)\). 2. Aus \(g_2=g_3\) folgt \(s=2\) und \(t=-1\). Der Schnittpunkt ist \(C(1|5|2)\). 3. Aus \(g_3=g_1\) folgt \(t=2\) und \(r=-1\). Der Schnittpunkt ist \(A(1|2|-1)\). 4. Die drei Schnittpunkte sind verschieden. Dabei liegt \(A\) auf \(g_1\) und \(g_3\), \(B\) auf \(g_1\) und \(g_2\), \(C\) auf \(g_2\) und \(g_3\). Somit tragen die drei Geraden die drei Seiten des Dreiecks \(ABC\).

a) Die Geraden schneiden sich paarweise in drei verschiedenen Punkten. b) \(g_1\cap g_3=\{A(1|2|-1)\}\), \(g_1\cap g_2=\{B(4|2|2)\}\), \(g_2\cap g_3=\{C(1|5|2)\}\). Daher tragen \(g_1,g_2,g_3\) die Seiten des Dreiecks \(ABC\).

- Welche drei Gleichungen erhältst du beim komponentenweisen Gleichsetzen der beiden Parameterformen? - Welche Beziehung zwischen \(r\) und \(s\) folgt besonders direkt aus der zweiten Koordinate? - Wie kannst du diese Beziehung in eine der Ebenen einsetzen, sodass nur noch ein freier Parameter bleibt? - Prüfe anschließend, ob die so erhaltenen Punkte tatsächlich auch die zweite Ebenenform erfüllen.

1. Gleichsetzen der beiden Parameterformen liefert komponentenweise \(1+r=2+t\), \(1+r+s=0\) und \(1+s=1+u\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=-1-r\). 3. Setzt man diese Beziehung in \(E_1\) ein, erhält man \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+(-1-r)\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). 4. Zusammenfassen ergibt \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\). Diese Punkte liegen auch in \(E_2\), da dort die zweite Koordinate freiheitsunabhängig gleich \(0\) ist und \(x_1,x_3\) frei gewählt werden können.

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(r\in\mathbb{R}\)

- Welche zwei Verbindungsvektoren in der Dachebene kannst du aus \(A,B,C\) bilden? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor und anschließend die Koordinatenform? - Welche Parameterform beschreibt den Balken durch \(P\) und \(Q\)? - Welche Gleichung entsteht, wenn ein Balkenpunkt zugleich in der Dachebene liegt?

1. Für die Ebene liefern \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-8\\0\\8\end{pmatrix}\) zwei Richtungsvektoren. Ein dazu orthogonaler Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Mit \(C(0|0|12)\) ergibt sich die Koordinatenform \(E:x_1+x_2+x_3=12\). 3. Der Balken hat die Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\). 4. Einsetzen in \(E\) ergibt \((1+t)+(1+t)+3t=12\), also \(5t+2=12\) und \(t=2\). 5. Damit ist der Schnittpunkt \(D(3|3|6)\). Einsetzen in \(E\) bestätigt \(3+3+6=12\).

\(D(3|3|6)\)

- Welche vier Ungleichungen beschreiben das Innere dieses achsenorientierten Tetraeders? - Bei welchen Parameterwerten trifft \(g\) die vier Begrenzungsebenen? - Warum ist nicht jeder Schnitt mit einer Trägerebene automatisch ein Punkt auf der Tetraederoberfläche? - Welche beiden gültigen Randtreffer begrenzen schließlich den inneren Parameterbereich?

1. Der Tetraeder wird durch \(x_1\ge0\), \(x_2\ge0\), \(x_3\ge0\) und \(x_1+x_2+x_3\le6\) beschrieben. Seine Begrenzungsebenen sind entsprechend \(x_1=0\), \(x_2=0\), \(x_3=0\) und \(x_1+x_2+x_3=6\). 2. Der Schnitt mit \(x_3=0\) ergibt \(-1+2t=0\), also \(t=0{,}5\) und \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\). Dieser Punkt erfüllt alle übrigen Tetraederbedingungen. 3. Die Schnitte mit \(x_1=0\) und \(x_2=0\) entstehen beide bei \(t=-1\) im Punkt \((0|0|-3)\). Wegen \(x_3<0\) liegt dieser Punkt außerhalb des Tetraeders. 4. Aus \((1+t)+(1+t)+(-1+2t)=6\) folgt \(t=1{,}25\). Damit ist \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\), der ebenfalls alle übrigen Bedingungen erfüllt. 5. Die Gerade liegt daher genau für \(0{,}5\le t\le1{,}25\) innerhalb des Tetraeders.

Eintritt/Austritt: \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\) und \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Innerer Geradenabschnitt: \(t\in[0{,}5;1{,}25]\).

- Welche Gleichung erhältst du, wenn du eine Variable aus den beiden Koordinatenformen eliminierst? - Warum bleibt bei zwei unabhängigen Gleichungen mit drei Koordinaten eine Variable frei? - Wie kannst du die freie Variable so parametrisieren, dass ganzzahlige Richtungskoordinaten entstehen? - Wie liest du aus den drei koordinatenabhängigen Ausdrücken Stütz- und Richtungsvektor der Schnittgeraden ab?

1. Die beiden Koordinatenformen liefern das Gleichungssystem \(x_1+x_2+x_3=6\) und \(2x_1-x_2+3x_3=9\). 2. Addition der Gleichungen ergibt \(3x_1+4x_3=15\). 3. Wähle \(x_3=3t\). Dann folgt \(x_1=5-4t\). 4. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x_2=1+t\). 5. Damit lautet eine Parameterform der Schnittgeraden \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}\).

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\)

- Welche Ausdrücke für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) liefert die Parameterform von \(E_2\)? - Was erhältst du, wenn du diese drei Ausdrücke in die Koordinatenform von \(E_1\) einsetzt? - Was bedeutet es geometrisch, wenn nach dem Einsetzen eine Beziehung zwischen zwei Parametern mit einem freien Parameter übrig bleibt? - Wie kannst du die verbleibende Beziehung in die Parameterform einer Geraden überführen?

1. Aus der Parameterform von \(E_2\) folgt \(x_1=1+2r+s\), \(x_2=1+s\) und \(x_3=2+r\). 2. Einsetzen in die Koordinatenform von \(E_1\) ergibt \(3(1+2r+s)-(1+s)+2(2+r)=10\). 3. Vereinfachen liefert \(8r+2s=4\), also \(s=2-4r\). 4. Es bleibt ein freier Parameter. Daher schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. 5. Einsetzen von \(s=2-4r\) in \(E_2\) ergibt \(\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}\).

Die Ebenen schneiden sich in der Geraden \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}\), \(r\in\mathbb{R}\).

- Welche Normalenvektoren kannst du direkt aus den beiden Koordinatenformen ablesen? - Welche Eigenschaft muss ein Richtungsvektor der Schnittgeraden bezüglich beider Normalenvektoren besitzen? - Wie kannst du einen gemeinsamen Punkt beider Ebenen finden, wenn du eine Koordinate frei festlegst? - Welche zwei Angaben brauchst du für die Parameterform einer Geraden?

1. Aus den Koordinatenformen liest man die Normalenvektoren \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) ab. 2. Ein Vektor, der zu beiden Normalenvektoren orthogonal ist, ist ihr Kreuzprodukt: \(\vec{v}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\). 3. Für einen Stützpunkt setze \(x_3=0\). Dann gilt \(x_1+x_2=6\) und \(2x_1-x_2=3\). 4. Addieren ergibt \(3x_1=9\), also \(x_1=3\) und damit \(x_2=3\). Somit ist \(P(3|3|0)\) ein Punkt beider Ebenen. 5. Daher ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\), eine Parameterform der Schnittgeraden.

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\)

- Welche zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte eignen sich als Richtungsvektoren der Ebene? - Wie erhältst du aus zwei unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor? - Wie kannst du aus einem Normalenvektor und einem bekannten Ebenenpunkt die Koordinatenform aufstellen? - Welche Gleichung entsteht, wenn du die Gerade in die Koordinatenform der Ebene einsetzt?

1. Es gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\8\\-5\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}9\\-2\\-2\end{pmatrix}\). Daher ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\8\\-5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}9\\-2\\-2\end{pmatrix}\) eine Parameterform. 2. Ein Normalenvektor ist \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-26\\-39\\-78\end{pmatrix}\), also beispielsweise \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\). 3. Mit Punkt \(A\) ergibt sich die Koordinatenform \(2x_1+3x_2+6x_3=35\). 4. Einsetzen von \(g\) liefert \(2(1+\sigma)+3(2-2\sigma)+6(3+4\sigma)=35\). Daraus folgt \(20\sigma+26=35\), also \(\sigma=\frac{9}{20}=0{,}45\). 5. Einsetzen in \(g\) ergibt \(S(1{,}45|1{,}1|4{,}8)\).

a) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\8\\-5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}9\\-2\\-2\end{pmatrix}\) und \(E:2x_1+3x_2+6x_3=35\) b) \(S(1{,}45|1{,}1|4{,}8)\)

- Wie kannst du zunächst prüfen, ob und wo die Gerade die Ebene trifft? - Welche beiden Vektoren enthalten die nötige Richtungsinformation für den Winkel zwischen Gerade und Ebene? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Winkel zur Ebene und dem Winkel zum Normalenvektor?

1. Einsetzen der Geraden in die Koordinatenform ergibt \(2\lambda-(2+\lambda)+2=6\). Damit ist \(\lambda=6\) und somit \(D(6|8|1)\). 2. Ein Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\), ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel gilt \(\sin\alpha=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}=\frac{1}{3\sqrt{2}}\). 4. Daraus folgt \(\alpha\approx13{,}63^\circ\).

a) \(D(6|8|1)\) b) \(\alpha\approx13{,}63^\circ\)

- Welche Bedingung an die Normalenvektoren zeigt, dass zwei Ebenen orthogonal sind? - Welche Koordinate kannst du beim Lösen der beiden Ebenengleichungen als freien Parameter wählen? - Welche Richtung muss ein Normalenvektor von \(E_3\) bezüglich der beiden gegebenen Normalenvektoren haben? - Wie bestimmst du anschließend den gemeinsamen Punkt von \(s\) und \(E_3\)?

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=1-1=0\) sind die Ebenen orthogonal. 2. Aus \(E_2\) folgt \(x_1=x_2\). Mit \(x_1=r\) ergibt \(E_1\) die Koordinate \(x_3=3-2r\). Damit ist \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor von \(E_3\) muss zu \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) orthogonal sein. Das Kreuzprodukt liefert beispielsweise \(\vec{n}_3=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\). 4. Mit \(P(1|1|1)\) folgt \(E_3:x_1+x_2-2x_3=0\). 5. Einsetzen von \(s\) in \(E_3\) ergibt \(r+r-2(3-2r)=0\), also \(r=1\). Daher ist \(S(1|1|1)\).

a) \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0\); \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\) b) \(E_3:x_1+x_2-2x_3=0\) c) \(S(1|1|1)\)

- Welche Koordinaten haben die beiden Kantenmittelpunkte und der Punkt im angegebenen Teilverhältnis? - Welche zwei Verbindungsvektoren innerhalb der Ebene kannst du daraus bilden? - Wie erhältst du mit einem Normalenvektor die Koordinatenform? - Welcher Parameterbereich gehört zur Kante \(\overline{DS}\), nicht nur zu ihrer Trägergeraden?

1. Es gilt \(K(1|1|4)\), \(L(3|1|4)\) und \(M=S+\frac{1}{4}(C-S)=(2{,}5|2{,}5|6)\). 2. Zwei Richtungsvektoren von \(E\) sind \(\overrightarrow{KL}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{KM}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\2\end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}\). 3. Mit \(K\) folgt die Koordinatenform \(E:-4x_2+3x_3=8\). 4. Die Kante \(\overline{DS}\) hat die Parameterform \(\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-2\\8\end{pmatrix}\) mit \(0\le r\le1\). 5. Einsetzen in \(E\) ergibt \(-4(4-2r)+3(8r)=8\), also \(32r=24\) und \(r=0{,}75\). Dieser Wert liegt im Streckenintervall. 6. Damit ist \(N(1{,}5|2{,}5|6)\).

a) \(E:-4x_2+3x_3=8\) b) \(N(1{,}5|2{,}5|6)\)

- Bestimme zunächst die Position der Spitze des Stabes im Raum. - Nutze die gegebene Schattenlänge, um den Endpunkt des Schattens auf der Geraden \(h\) zu finden. - Wie hängen die Position der Spitze, der Schattenpunkt der Spitze und die Richtung der Sonnenstrahlen zusammen? - Ein Vektor, der von der Spitze zum Schattenpunkt zeigt, gibt eine mögliche Richtung der Sonnenstrahlen an.

1. Koordinaten der Stabspitze \(Q\): Mit \(P(3|2|4)\) und Länge 2 in \(x_3\)-Richtung folgt \(Q(3|2|6)\). 2. Schattenpunkt \(S\) auf der Geraden \(h\): Der Richtungsvektor von \(h\) ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{v}| = \sqrt{4+4+1} = 3\). Da der Schatten die Länge 3 hat, muss der Schattenpunkt der Spitze bei \(S = P \pm \vec{v}\) liegen. 3. Fall 1: \(S_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Sonnenrichtung ergibt sich aus dem Vektor von der Spitze zum Schattenpunkt: \(\vec{s}_1 = \vec{S}_1 - \vec{Q} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 4-2 \\ 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Fall 2: \(S_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Sonnenrichtung ist \(\vec{s}_2 = \vec{S}_2 - \vec{Q} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 0-2 \\ 5-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Eine mögliche Richtung der Sonnenstrahlen ist \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder auch \(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\)).

- Welche zwei Richtungsvektoren beschreiben die Ebene durch die drei Segelpunkte? - Welche Gleichungen entstehen, wenn ein Punkt gleichzeitig auf der Flugbahn und in dieser Ebene liegt? - Welche Bedingungen an \(r\) und \(s\) beschreiben genau das Dreieck und nicht die ganze Ebene? - Welche dieser Bedingungen entscheidet hier darüber, ob der Schnittpunkt zur Segelfläche gehört?

1. Das Segel liegt in der Ebene mit der Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen von \(h\) und \(E\) liefert \(1+4r=5-k\), \(4s=3-k\) und \(2+4s=1+2k\). 3. Aus den letzten beiden Gleichungen folgt \(k=\frac{4}{3}\). Damit sind \(s=\frac{5}{12}\) und \(r=\frac{2}{3}\). 4. Der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene ist \(S\left(\frac{11}{3}\middle|\frac{5}{3}\middle|\frac{11}{3}\right)\). 5. Für das Dreieck gelten die Parameterbedingungen \(r\ge0\), \(s\ge0\) und \(r+s\le1\). Hier ist \(r+s=\frac{13}{12}>1\). 6. Somit liegt \(S\) außerhalb der dreieckigen Segelfläche. Das Projektil durchfliegt das Sonnensegel nicht.

Nein. Der Schnittpunkt \(S\left(\frac{11}{3}\middle|\frac{5}{3}\middle|\frac{11}{3}\right)\) liegt außerhalb des Dreiecks, weil \(r+s=\frac{13}{12}>1\).

- Welche Seitenflächen können eine Gerade mit konstantem \(x_2=4\) seitlich begrenzen? - Bestimme für jede dieser beiden Seitenflächen eine Koordinatenform und setze die Parameterform von \(h\) ein. - Prüfe, dass der zwischen den beiden Schnittparametern liegende Geradenabschnitt nicht vorher eine andere Begrenzungsfläche verlässt. - Wie wird aus der Parameterdifferenz und der Länge des Richtungsvektors die tatsächliche Abschnittslänge?

1. Da auf \(h\) stets \(x_2=4\) gilt, wird der innere Abschnitt durch die beiden gegenüberliegenden Seitenflächen \(ADS\) und \(BCS\) begrenzt. 2. Für \(ADS\) kann die Koordinatenform \(-4x_1+x_3=-8\) verwendet werden. Einsetzen von \(h\) ergibt \(-4(4+4t)+(2+2t)=-8\). Daraus folgt \(t=-\frac{3}{7}\). 3. Der erste Randpunkt ist damit \(P_1=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\frac{3}{7}\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{16}{7}\\4\\\frac{8}{7}\end{pmatrix}\). 4. Für \(BCS\) lautet eine Koordinatenform \(4x_1+x_3=24\). Einsetzen von \(h\) ergibt \(4(4+4t)+(2+2t)=24\). Daraus folgt \(t=\frac{1}{3}\). 5. Der zweite Randpunkt ist \(P_2=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{16}{3}\\4\\\frac{8}{3}\end{pmatrix}\). 6. Zwischen diesen beiden Parametern bleiben die Punkte auch bezüglich der beiden übrigen Seitenflächen und der Grundfläche innerhalb der Pyramide. Die Parameterdifferenz beträgt \(\frac{1}{3}-\left(-\frac{3}{7}\right)=\frac{16}{21}\). 7. Der Richtungsvektor hat die Länge \(\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\). Daher beträgt die gesuchte Abschnittslänge \(\frac{16}{21}\cdot2\sqrt{5}=\frac{32\sqrt{5}}{21}\).

\(P_1\left(\frac{16}{7}\middle|4\middle|\frac{8}{7}\right)\), \(P_2\left(\frac{16}{3}\middle|4\middle|\frac{8}{3}\right)\) Abschnittslänge: \(\frac{32\sqrt{5}}{21}\) Längeneinheiten

- Welchen Wert nimmt \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})\) für einen Punkt an, der gleichzeitig in \(E_1\) und \(E_2\) liegt? - Vergleiche diesen Wert mit der rechten Seite der Bedingung von \(E_3\). - Welche geometrische Konsequenz folgt, wenn dieselbe linke Seite einer Ebenenbedingung nur um eine von null verschiedene Konstante verschoben wird?

1. Für jeden Punkt \(\vec{x}\) auf \(s\) gelten gleichzeitig \(L_1(\vec{x})=d_1\) und \(L_2(\vec{x})=d_2\). Daher hat dort die linke Seite von \(E_3\) stets den Wert \(2d_1-d_2\). 2. Die Ebenenbedingung von \(E_3\) verlangt jedoch den um \(5\) größeren Wert \(2d_1-d_2+5\). Somit liegt kein Punkt von \(s\) in \(E_3\). 3. Die Ebene mit \(2L_1(\vec{x})-L_2(\vec{x})=2d_1-d_2\) würde \(s\) enthalten und besitzt denselben Normalenvektor wie \(E_3\). Deshalb ist \(s\) parallel zu \(E_3\), aber nicht in \(E_3\) enthalten. 4. Alle gemeinsamen Punkte von \(E_1\) und \(E_2\) liegen auf \(s\). Da kein Punkt von \(s\) in \(E_3\) liegt, besitzt das Dreiebenensystem keine gemeinsame Lösung.

Die Schnittgerade \(s\) ist echt parallel zu \(E_3\). Das Dreiebenensystem besitzt keine gemeinsame Lösung, also \(L=\emptyset\).

- Welche Gleichungen kannst du zunächst addieren, um einen der drei Parameter direkt zu bestimmen? - Welche Vektorgleichung entsteht allgemein, wenn du einen Punkt der Geraden mit einem Punkt der Ebene gleichsetzt? - Wie hängen die Koeffizienten des LGS mit den Richtungsvektoren von Gerade und Ebene zusammen? - Welcher Stützvektor der Geraden führt bei dem in a) gefundenen Wert von \(r\) zum vorgegebenen Punkt \(S\)?

1. Addition von I und II ergibt \(3r=6\), also \(r=2\). 2. Einsetzen in I liefert \(2-s+t=4\), also \(t=s+2\). 3. Einsetzen in III ergibt \(2s+3(s+2)=11\), also \(s=1\) und damit \(t=3\). 4. Somit ist \((r,s,t)=(2,1,3)\). 5. Beim Gleichsetzen einer Geraden \(\vec{p}+r\vec{u}\) mit einer Ebene \(\vec{a}+s\vec{v}+t\vec{w}\) entsteht \(r\vec{u}-s\vec{v}-t\vec{w}=\vec{a}-\vec{p}\). 6. Zu den Koeffizienten des gegebenen Systems passen etwa \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\) und \(\vec{a}-\vec{p}=\begin{pmatrix}4\\2\\11\end{pmatrix}\). 7. Da bei \(r=2\) der Punkt \(S\) erreicht wird, ist \(\vec{p}=\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}\). 8. Damit kann \(\vec{a}=\vec{p}+\begin{pmatrix}4\\2\\11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-1\\13\end{pmatrix}\) gewählt werden.

a) \((r,s,t)=(2,1,3)\) b) Eine mögliche Wahl ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}7\\-1\\13\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\).

- Welche zwei Prüfungen unterscheiden bei \(\vec{u}\cdot\vec{n}_E=0\) zwischen Enthaltensein und echter Parallelität? - Welche Richtung muss der Normalenvektor einer Ebene besitzen, die sowohl die Gerade enthält als auch orthogonal zu \(E\) ist? - Wie findest du einen Normalenvektor, der zu zwei gegebenen Normalenvektoren orthogonal ist? - Welches lineare Gleichungssystem beschreibt den gemeinsamen Punkt dreier Ebenen?

1. Der Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\), der Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{n}_E=3-1-2=0\). 2. Der Stützpunkt \(P(2|2|2)\) erfüllt die Koordinatenform von \(E\) nicht, denn \(6-2+4=8\neq10\). Daher ist \(g\) echt parallel zu \(E\). 3. Für \(F\) muss ein Normalenvektor sowohl zu \(\vec{u}\) als auch zu \(\vec{n}_E\) orthogonal sein. Ein Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\-5\\-4\end{pmatrix}\). Mit \(P\) folgt \(F:x_1-5x_2-4x_3=-16\). 4. Ein Normalenvektor von \(H\) muss zu \(\vec{n}_E\) und \(\vec{n}_F\) orthogonal sein. Ein Kreuzprodukt ist ein Vielfaches von \(\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt \(H:x_1+x_2-x_3=1\). 5. Das LGS aus \(E\), \(F\) und \(H\) hat die Lösung \(x_1=\frac{44}{21}\), \(x_2=\frac{32}{21}\), \(x_3=\frac{55}{21}\).

a) \(g\) ist echt parallel zu \(E\). b) \(F:x_1-5x_2-4x_3=-16\) c) \(H:x_1+x_2-x_3=1\) d) \(S\left(\frac{44}{21}\middle|\frac{32}{21}\middle|\frac{55}{21}\right)\)

- Welche Informationen liefern Mittelpunkt und Verbindungsvektor von \(A\) und \(B\) für Teil a)? - Welche zwei Bedingungen musst du prüfen, um zu zeigen, dass eine ganze Gerade in einer Ebene liegt? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene, wenn die Gerade die Ebene senkrecht schneidet? - Wie kannst du den rechten Winkel im Dreieck unabhängig von der Zeichnung rechnerisch überprüfen?

1. Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist \(M(4|2|-1)\). Eine Normalenrichtung der gesuchten Ebene ist \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\-4\end{pmatrix}\), also beispielsweise \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). 2. Mit \(M\in E\) ergibt sich \(E:x_1-2x_2+2x_3=-2\). 3. Für den Stützpunkt von \(g\) gilt \(0-2\cdot1+2\cdot0=-2\). Außerdem ist \(\vec{n}_E\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=2-4+2=0\). Damit liegt \(g\) vollständig in \(E\). 4. Da \(g\) die Ebene \(F\) senkrecht schneiden soll, kann der Richtungsvektor von \(g\) als Normalenvektor von \(F\) verwendet werden. Mit \(A\) folgt \(F:2x_1+2x_2+x_3=11\); auch \(B\) erfüllt diese Koordinatenform. 5. Einsetzen von \(g\) in \(F\) ergibt \(9\lambda+2=11\), also \(\lambda=1\). Damit ist \(S(2|3|1)\). 6. Es gilt \(\overrightarrow{SA}=\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{SB}=\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt ist \(3-3+0=0\). Daher ist der Winkel \(ASB\) ein rechter Winkel.

a) \(E:x_1-2x_2+2x_3=-2\) b) \(g\subset E\) und \(F:2x_1+2x_2+x_3=11\) c) \(S(2|3|1)\) und \(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}=0\), also \(\angle ASB=90^\circ\)

- Welche Verträglichkeitsbedingung müssen zwei nicht parallele Geraden erfüllen, wenn sie beide in derselben Ebene liegen sollen? - Auf welcher Geraden liegt jeder gemeinsame Punkt von \(g_a\) und \(k_b\), falls die beiden vorgeschriebenen Schnittbedingungen erfüllt sind? - Erst nachdem die Parameterbeziehung geklärt ist: Welche zwei Richtungsvektoren und welcher gemeinsame Punkt bestimmen \(F\)? - Für den vollständigen Nachweis reicht es nicht, nur die beiden Geraden in \(F\) einzusetzen; charakterisiere jeweils die gesamte Schnittmenge.

1. Soll eine Ebene \(F\) beide vorgeschriebenen Schnittgeraden enthalten, müssen \(g_a\) und \(k_b\) in derselben Ebene liegen. Da ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind, müssen sie sich dafür schneiden. 2. Ein gemeinsamer Punkt muss wegen \(g_a\subset E\) und \(k_b\subset H\) zugleich auf \(E\cap H\) liegen. Für \(g_a\) liegt ein Punkt auf \(E\cap H\), wenn seine zweite Koordinate null ist: \(a+t=0\), also \(t=-a\). Der Punkt ist \((-a|0|0)\). 3. Für \(k_b\) muss zusätzlich \(x_3=0\) gelten: \(1-s=0\), also \(s=1\). Der entsprechende Punkt ist \((b+1|0|0)\). 4. Die beiden Geraden schneiden sich genau dann, wenn \(-a=b+1\), also \(a+b=-1\). Dies ist die notwendige und hinreichende Bedingung. 5. Für \(a+b=-1\) ist \(P=(-a|0|0)\) ihr gemeinsamer Punkt. Mit den Richtungsvektoren \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) erhält man zum Beispiel den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 6. Durch \(P\) ergibt sich \(F:x_1-x_2+x_3=-a\). 7. Für \(E\cap F\) gilt \(x_3=0\), also \(x_1-x_2=-a\). Mit \(x_1=t\) folgt \((x_1|x_2|x_3)=(t|a+t|0)\), genau die Gerade \(g_a\). 8. Für \(H\cap F\) gilt \(x_2=0\), also \(x_1+x_3=-a\). Wegen \(b=-a-1\) hat \(k_b\) die Form \((b+s|0|1-s)\), und dort ist \(x_1+x_3=b+1=-a\). Umgekehrt lässt sich jeder Punkt mit \(x_2=0\) und \(x_1+x_3=-a\) durch einen passenden Wert von \(s\) darstellen. Daher gilt genau \(H\cap F=k_b\).

a) Genau für \(a+b=-1\). b) Für jedes solche Paar kann man \(F:x_1-x_2+x_3=-a\) wählen. Dann gilt vollständig \(E\cap F=g_a\) und \(H\cap F=k_b\).