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- Welche Eigenschaften haben alle Punkte, die auf der \(x_2\)-Achse liegen? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Parameterform der Geraden zusammen? - Betrachte die einzelnen Zeilen der Vektorgleichung als separate Gleichungen. - Welche Unbekannte kannst du zuerst bestimmen?

1. Bedingung für einen Punkt auf der \(x_2\)-Achse: Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) müssen null sein (\(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\)). 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Zeilen der Geradengleichung: I: \(a + 2\lambda = 0\) II: \(4 - 2\lambda = 0\) 3. Lösen der Gleichung II nach \(\lambda\): \(2\lambda = 4 \implies \lambda = 2\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in Gleichung I: \(a + 2 \cdot 2 = 0 \implies a = -4\). 5. Berechnung der \(x_2\)-Koordinate des Schnittpunktes: \(x_2 = 1 + 1 \cdot 2 = 3\). 6. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(a + 2\lambda = 0\) und \(4 - 2\lambda = 0\). b) Der Parameterwert ist \(a = -4\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

- Wie findest du Punkte auf einer Koordinatenachse? Welche Koordinaten müssen dort Null sein? - Was bedeutet es für die Lage einer Ebene, wenn eine Variable in der Koordinatengleichung gar nicht vorkommt? - Überlege dir, wie viele Spurpunkte eine Ebene haben muss, um parallel zu einer Achse zu sein. - Kannst du aus der Gleichung direkt ablesen, ob die Ebene durch den Ursprung geht?

1. Berechnung der Spurpunkte für \(E_1\): Setzen von jeweils zwei Koordinaten auf Null in \(2x_1 - 4x_2 + 5x_3 = 20\). - \(x_1\)-Achse (\(x_2=0, x_3=0\)): \(2x_1 = 20 \implies x_1 = 10\). Spurpunkt \(S_1(10|0|0)\). - \(x_2\)-Achse (\(x_1=0, x_3=0\)): \(-4x_2 = 20 \implies x_2 = -5\). Spurpunkt \(S_2(0|-5|0)\). - \(x_3\)-Achse (\(x_1=0, x_2=0\)): \(5x_3 = 20 \implies x_3 = 4\). Spurpunkt \(S_3(0|0|4)\). - Lage von \(E_1\): Da alle Koeffizienten ungleich Null sind, schneidet die Ebene alle drei Koordinatenachsen und liegt schräg im Raum ohne Parallelität zu einer Achse oder Koordinatenebene. 2. Berechnung der Spurpunkte für \(E_2\): Setzen von jeweils zwei Koordinaten auf Null in \(3x_1 + 6x_3 = 18\). - \(x_1\)-Achse (\(x_3=0\)): \(3x_1 = 18 \implies x_1 = 6\). Spurpunkt \(S_1(6|0|0)\). - \(x_2\)-Achse (\(x_1=0, x_3=0\)): \(0 = 18\) führt zu einem Widerspruch. Kein Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse. - \(x_3\)-Achse (\(x_1=0\)): \(6x_3 = 18 \implies x_3 = 3\). Spurpunkt \(S_3(0|0|3)\). - Lage von \(E_2\): Da der Koeffizient von \(x_2\) Null ist, verläuft die Ebene parallel zur \(x_2\)-Achse.

\(E_1\): Spurpunkte \(S_1(10|0|0)\), \(S_2(0|-5|0)\), \(S_3(0|0|4)\). Die Ebene befindet sich in allgemeiner Lage (keine Parallelität zu Achsen). \(E_2\): Spurpunkte \(S_1(6|0|0)\), \(S_3(0|0|3)\). Die Ebene ist parallel zur \(x_2\)-Achse.

- Wie hängen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden vom Parameter ab? - Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er in der Ebene liegt? - Kannst du die Ausdrücke für die Koordinaten aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen? - Wenn du den Wert für den Parameter gefunden hast, wie kommst du dann zum gesuchten Punkt?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradenkomponenten \(x_1 = 5 + 2r\), \(x_2 = -2 + r\) und \(x_3 = 1 - r\) in die Ebenengleichung: \(3(5 + 2r) - (-2 + r) + 2(1 - r) = 10\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(15 + 6r + 2 - r + 2 - 2r = 10 \Rightarrow 19 + 3r = 10\). 4. Lösen nach dem Parameter \(r\): \(3r = -9 \Rightarrow r = -3\). 5. Berechnen des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(r = -3\) in die Geradengleichung: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 + 2 \cdot (-3) \\ -2 + (-3) \\ 1 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(-1 \mid -5 \mid 4)\).

\(S(-1 \mid -5 \mid 4)\)

- Wie kannst du die Richtung des Laserstrahls mithilfe der gegebenen Punkte als Vektor darstellen? - Stelle eine Gleichung für die Gerade auf, die den Weg des Lasers beschreibt. - Wie lässt sich ein allgemeiner Punkt der Geraden in die Ebenengleichung einsetzen? - Was bedeutet der Wert des berechneten Parameters für die Richtung des Strahls?

1. Aufstellen der Geradengleichung für den Laserstrahl: Der Stützpunkt ist \(L(4|-2|1)\) und der Richtungsvektor ergibt sich aus \(\vec{LM} = \vec{M} - \vec{L} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 1-(-2) \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Gerade lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \(3 \cdot (4 + 2t) - (-2 + 3t) + 2 \cdot (1 + 2t) = 30\). 3. Auflösen nach dem Parameter \(t\): \(12 + 6t + 2 - 3t + 2 + 4t = 30 \Rightarrow 7t + 16 = 30 \Rightarrow 7t = 14 \Rightarrow t = 2\). 4. Da \(t > 0\), trifft der Strahl die Wand. Berechnung des Schnittpunktes durch Einsetzen von \(t=2\) in \(g\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Der Laserstrahl trifft die Wand im Punkt \(S(8|4|5)\).

- Wie steht die Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt zur Spiegelebene? - Welcher Vektor der Ebene eignet sich als Richtungsvektor für eine Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht? - Wo liegt der Mittelpunkt zwischen dem ursprünglichen Punkt und seinem Spiegelbild? - Wie kannst du den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene berechnen?

1. Aufstellen einer Lotgeraden \(g\) durch den Punkt \(A\) mit dem Normalenvektor der Ebene \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) als Richtungsvektor: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Lotfußpunktes \(S\) durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \((1+t) + (2+t) + (3+t) = 12 \Rightarrow 3t + 6 = 12 \Rightarrow t = 2\). 3. Berechnung der Koordinaten von \(S\) durch Einsetzen von \(t = 2\) in \(g\): \(S(3|4|5)\). 4. Berechnung des Bildpunktes \(A'\) über die Beziehung \(\vec{OA'} = \vec{OA} + 2 \cdot \vec{AS}\) oder durch Verdoppelung des Parameters \(t\): \(\vec{OA'} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}\).

\(A'(5|6|7)\)

- Wie stellst du eine Gerade auf, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Koordinate muss für einen Punkt in der \(x_1x_2\)-Ebene Null sein? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum?

1. Aufstellen der Geradengleichung für \(g\): Mit dem Stützvektor \(\vec{A}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Spurpunktes \(S\) in der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus der Bedingung \(4 - 6t = 0\) folgt \(t = \frac{2}{3}\). Einsetzen in die Geradengleichung liefert \(x_1 = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 4\) und \(x_2 = -3 + 3 \cdot \frac{2}{3} = -1\). Somit ist \(S(4|-1|0)\). 3. Berechnung der Streckenlänge \(|\vec{SQ}|\): Mit \(\vec{SQ} = \vec{Q} - \vec{S} = \begin{pmatrix} 0-4 \\ 1-(-1) \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) folgt für die Länge \(d = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

a) \(S(4|-1|0)\) b) \(d = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)

- Welche Koordinate muss in der \(x_2x_3\)-Ebene immer den Wert Null haben? - Wie viele Koordinaten eines Punktes müssen Null sein, damit er auf einer Koordinatenachse liegt? - Nutze die Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil, um die Bedingungen für den zweiten Teil schneller zu prüfen.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate der Geradengleichung gleich Null gesetzt: \(6 + 3\lambda = 0\). Dies liefert den Parameterwert \(\lambda = -2\). 2. Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die übrigen Koordinatengleichungen: \(x_2 = k - 2 \cdot (-2) = k + 4\) und \(x_3 = k - 2 + (-2) = k - 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\). 3. Für einen Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse müssen sowohl die \(x_1\)- als auch die \(x_3\)-Koordinate Null sein. Aus \(x_1 = 0\) folgt wie oben \(\lambda = -2\). 4. Bedingung \(x_3 = 0\) mit \(\lambda = -2\): \(k - 4 = 0 \implies k = 4\). 5. Berechnung der verbleibenden Koordinate \(x_2\) für \(k = 4\): \(x_2 = 4 + 4 = 8\). Der Schnittpunkt ist \(P(0 | 8 | 0)\).

a) \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\) b) \(k = 4\); Schnittpunkt \(P(0 | 8 | 0)\)

- Wie sind die Koordinaten eines Punktes beschaffen, der auf einer der Achsen liegt? - Es gibt zwei gängige Wege: Entweder du setzt die Bedingungen für die Achsenpunkte direkt in die Parameterform ein oder du wandelst die Ebene zuerst in die Koordinatenform um. - In der Koordinatenform \(ax + by + cz = d\) lassen sich die Schnittpunkte besonders leicht ablesen, indem man jeweils zwei Variablen null setzt.

1. Aufstellen der Koordinatengleichung der Ebene \(E\): Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((2|2|4)\) folgt die Gleichung \(1 \cdot x + 1 \cdot y + 2 \cdot z = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 12\), also \(x + y + 2z = 12\). 2. Berechnung der Schnittpunkte (Spurpunkte): - \(x\)-Achse (\(y=0, z=0\)): \(x = 12 \implies S_x(12|0|0)\). - \(y\)-Achse (\(x=0, z=0\)): \(y = 12 \implies S_y(0|12|0)\). - \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)): \(2z = 12 \implies z = 6 \implies S_z(0|0|6)\).

Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind \(S_x(12|0|0)\), \(S_y(0|12|0)\) und \(S_z(0|0|6)\).

- Was bedeutet es für die Lage einer Ebene im Koordinatensystem, wenn einer der Richtungsvektoren in Richtung einer Achse zeigt? - Du kannst für jeden Achsenpunkt ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Für die \(x\)-Achse gilt zum Beispiel \(y=0\) und \(z=0\). - Überlege dir, ob die Ebene jede Achse schneiden muss oder ob sie zu einer Achse parallel verlaufen könnte.

1. Bestimmung der Koordinatengleichung: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Ebene hat die Form \(2x - 3y = d\). Einsetzen des Punktes \((3|6|1)\) ergibt \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 6 = 6 - 18 = -12\). Die Gleichung lautet \(2x - 3y = -12\). 2. Bestimmung der Spurpunkte: - Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0, z=0\)): \(2x = -12 \implies x = -6 \implies S_x(-6|0|0)\). - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0, z=0\)): \(-3y = -12 \implies y = 4 \implies S_y(0|4|0)\). - Schnittpunkt mit der \(z\)-Achse (\(x=0, y=0\)): Die Gleichung \(0 = -12\) hat keine Lösung. Da der Normalenvektor keine \(z\)-Komponente hat (bzw. ein Richtungsvektor parallel zur \(z\)-Achse verläuft), ist die Ebene parallel zur \(z\)-Achse und besitzt dort keinen Schnittpunkt.

Die Spurpunkte der Ebene sind \(S_x(-6|0|0)\) und \(S_y(0|4|0)\). Einen Schnittpunkt mit der \(z\)-Achse gibt es nicht, da die Ebene parallel zur \(z\)-Achse verläuft.

- Überlege dir, welche Koordinate in der jeweiligen Ebene (z. B. der \(x_1x_2\)-Ebene) immer den Wert Null haben muss. - Wie kannst du den Parameter \(t\) berechnen, wenn du weißt, dass eine Koordinate Null sein soll? - Wenn zwei Spurpunkte zusammenfallen, was bedeutet das für die Lage des Punktes im Koordinatensystem? - Schau dir den Richtungsvektor an: Gibt es dort Nullen, die auf eine Parallelität hindeuten könnten?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus der dritten Zeile der Geradengleichung folgt \(-6 + 3t = 0\), woraus sich \(t = 2\) ergibt. Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Spurpunkt \(S_{12}(8|4|0)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Aus der zweiten Zeile folgt \(2 + t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{13}(0|0|-12)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Aus der ersten Zeile folgt \(4 + 2t = 0\), also \(t = -2\). Einsetzen liefert den Punkt \(S_{23}(0|0|-12)\). 4. Besondere Lage: Da die Spurpunkte \(S_{13}\) und \(S_{23}\) identisch sind, schneidet die Gerade zwei Koordinatenebenen im selben Punkt. Dieser Punkt \((0|0|-12)\) liegt auf der \(x_3\)-Achse. Die Gerade schneidet somit die \(x_3\)-Achse.

Spurpunkte: \(S_{12}(8|4|0)\), \(S_{13}(0|0|-12)\) und \(S_{23}(0|0|-12)\). Besondere Lage: Die Gerade schneidet die \(x_3\)-Achse im Punkt \((0|0|-12)\).

- Was bedeutet es für die Lage einer Geraden, wenn eine Komponente des Richtungsvektors Null ist? - Wenn eine Gleichung wie \(4 = 0\) entsteht, wie interpretierst du das in Bezug auf Schnittpunkte? - Kannst du aus der Parallelität zu einer Ebene schließen, welche Spurpunkte existieren müssen und welche nicht?

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Die Bedingung \(4 + 0s = 0\) führt auf den Widerspruch \(4 = 0\). Es existiert kein Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. 2. Schnittpunkt mit der \(x_1x_3\)-Ebene (\(x_2 = 0\)): Die Bedingung \(3 - 2s = 0\) liefert \(s = 1{,}5\). Einsetzen in die Geradengleichung ergibt \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7{,}5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Spurpunkt ist \(S_{13}(7{,}5|0|4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): Die Bedingung \(0 + 5s = 0\) liefert \(s = 0\). Einsetzen ergibt den Stützpunkt als Spurpunkt: \(S_{23}(0|3|4)\). 4. Besondere Lage: Da die \(x_3\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist, verläuft die Gerade parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. Da zudem der Stützpunkt die \(x_1\)-Koordinate \(0\) besitzt, liegt der Stützpunkt in der \(x_2x_3\)-Ebene, die Gerade ist jedoch nicht parallel zu einer der Achsen, da die anderen Komponenten des Richtungsvektors ungleich Null sind.

Spurpunkte: \(S_{13}(7{,}5|0|4)\) und \(S_{23}(0|3|4)\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene. Besondere Lage: Die Gerade verläuft parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene in der Ebene \(x_3 = 4\), also im Abstand \(4\).

- Versuche zuerst, das Skalarprodukt auszurechnen, um eine einfachere Gleichung zu erhalten. - Wenn eine Ebene nur eine einzige Koordinate in ihrer Gleichung hat, was sagt das über ihre Ausrichtung aus? - Stell dir vor, welche Punkte die Bedingung der fertigen Gleichung erfüllen – wie liegen diese Punkte im Raum verteilt? - Wie viele Achsen kann eine Ebene schneiden, wenn sie parallel zu einer der Koordinatenebenen liegt?

1. Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform: Ausmultiplizieren des Skalarprodukts ergibt \(0 \cdot (x_1 - 1) + 4 \cdot (x_2 - 2) + 0 \cdot (x_3 - 3) = 0\). 2. Vereinfachung der Gleichung: \(4x_2 - 8 = 0\), was äquivalent zu \(x_2 = 2\) ist. 3. Bestimmung der Spurpunkte: - \(x_2\)-Achse: Einziger Schnittpunkt bei \(x_2 = 2\), also \(S_2(0|2|0)\). - \(x_1\)-Achse und \(x_3\)-Achse: Da die Gleichung unabhängig von \(x_1\) und \(x_3\) ist und für \(x_2=0\) die Bedingung \(0=2\) niemals erfüllt ist, gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x_1\)- und \(x_3\)-Achse. 4. Analyse der Lage: Da nur die \(x_2\)-Koordinate fest vorgegeben ist, ist die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene. Sie verläuft im Abstand 2 Einheiten parallel zu dieser.

Die Ebene hat nur einen Spurpunkt bei \(S_2(0|2|0)\). Sie ist parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene.

- Überlege zuerst, welche Koordinaten die Spitze des Mastes hat. - Wie lässt sich der Weg eines Sonnenstrahls, der die Spitze trifft, mathematisch als Gerade beschreiben? - Der Schatten der Spitze liegt dort, wo dieser Lichtstrahl auf die Ebene trifft. - Der Schatten des gesamten Mastes ist die Strecke zwischen dem Fußpunkt und dem Schattenpunkt der Spitze.

1. Koordinaten der Mastspitze \(Q\): Da der Mast im Punkt \(P(2|4|5)\) befestigt, \(4\,\text{m}\) lang und in \(x_3\)-Richtung ausgerichtet ist, ergibt sich \(Q(2|4|9)\). 2. Gerade für den Lichtstrahl durch die Spitze \(Q\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Schnittpunkt \(S\) von \(g\) mit der Ebene \(E\): Einsetzen der Geradenpunkte in \(E\): \((2+r) + 2(4+2r) + 2(9-2r) = 20 \Rightarrow 28 + r = 20 \Rightarrow r = -8\). 4. Schattenpunkt der Spitze: \(S = \begin{pmatrix} 2-8 \\ 4-16 \\ 9+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -12 \\ 25 \end{pmatrix}\). 5. Schattenvektor \(\vec{PS}\) und dessen Länge: \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ 20 \end{pmatrix}\). Die Schattenlänge beträgt \(|\vec{PS}| = \sqrt{(-8)^2 + (-16)^2 + 20^2} = \sqrt{64 + 256 + 400} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83\,\text{m}\).

Die Länge des Schattens beträgt \(12\sqrt{5}\,\text{m} \approx 26{,}83\,\text{m}\).

- Wie gehst du vor, um den Schnitt zweier Ebenen zu berechnen? - Was muss gelten, damit eine Gerade vollständig in einer Ebene liegt? - Überlege, wie der Normalenvektor einer Ebene orientiert sein muss, wenn die Ebene orthogonal zu einem Vektor stehen soll. - Kannst du die Ebenengleichung so umformen, dass du den Teil ohne \(k\) und den Teil mit \(k\) trennst?

1. Aufstellen der Ebenengleichungen für \(k=2\) und \(k=3\): \(E_2: 2x_2 + 2x_3 = 8\) bzw. \(x_2 + x_3 = 4\) und \(E_3: x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 12\). 2. Bestimmung der Schnittgeraden durch Parametrisierung, z. B. \(x_3 = r\): Aus \(E_2\) folgt \(x_2 = 4 - r\). Einsetzen in \(E_3\) ergibt \(x_1 + 2(4 - r) + 3r = 12 \Rightarrow x_1 + 8 + r = 12 \Rightarrow x_1 = 4 - r\). 3. Die Geradengleichung lautet \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Nachweis der Trägergerade: Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = 4-r, x_2 = 4-r, x_3 = r\) in die Schargleichung: \((k-2)(4-r) + 2(4-r) + k \cdot r = 4k - kr - 8 + 2r + 8 - 2r + kr = 4k\). Da die Gleichung \(4k = 4k\) für alle \(r\) und \(k\) erfüllt ist, liegt \(s\) in jeder Ebene \(E_k\). 5. Orthogonalität zu \(\vec{v}\): Der Normalenvektor \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} k-2 \\ 2 \\ k \end{pmatrix}\) muss kollinear zu \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) sein. Der Vergleich der \(x_2\)-Komponenten ergibt den Skalierungsfaktor \(1\), woraus \(k-2 = 1\), also \(k=3\), folgt; die dritte Komponente liefert ebenfalls \(k=3\).

a) \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder eine äquivalente Form) b) Der Nachweis erfolgt durch Einsetzen der Koordinaten von \(s\) in die Schargleichung, was zur Identität \(4k = 4k\) führt. c) \(k = 3\)

- Wie hängen die Koordinaten eines gemeinsamen Punktes mit den einzelnen Ebenengleichungen zusammen? - Welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, ein System mit drei Unbekannten effizient zu lösen? - Was muss gelten, damit ein Punkt Teil einer Geraden ist? - Kannst du die Punktprobe für jede Koordinate einzeln durchführen?

1. Zur Bestimmung von \(S\) wird das lineare Gleichungssystem aus den drei Ebenengleichungen gelöst. 2. Durch Addition von \(E\) und \(F\) wird \(x_2\) eliminiert: \(3x_1 + 2x_3 = 9\). 3. Durch Addition von \(E\) und \(G\) wird \(x_3\) eliminiert: \(2x_1 + 3x_2 = 8\). 4. Die systematische Lösung (z. B. mit dem Gauß-Verfahren) ergibt die Werte \(x_3 = 3\), \(x_2 = 2\) und \(x_1 = 1\). Der Schnittpunkt lautet \(S(1|2|3)\). 5. Für die Punktprobe wird \(S\) in die Geradengleichung \(h\) eingesetzt: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 6. Dies führt auf das System \(1 = t\), \(2 = 1 + t\) und \(3 = 4 - t\). Da alle drei Gleichungen den Wert \(t = 1\) liefern, liegt der Punkt \(S\) auf der Geraden \(h\).

a) \(S(1|2|3)\) b) Ja, der Punkt \(S\) liegt auf der Geraden \(h\) (für \(t = 1\)).

- Überlege dir, wie du die Gleichung so umstellen kannst, dass alle Terme mit dem Parameter von den Termen ohne Parameter getrennt sind. - Wann ist ein Ausdruck der Form \(k \cdot A + B = 0\) für jeden beliebigen Wert von \(k\) wahr? - Die Bedingungen, die du für die Koordinaten findest, beschreiben geometrisch den Schnitt zweier Ebenen. - Wie kannst du aus zwei Koordinatenbedingungen eine Gerade in Parameterform aufstellen?

1. Umformen der Ebenengleichung durch Ausklammern des Parameters \(k\): \(k(x_1 - x_3) + (x_2 - 4) = 0\). 2. Damit die Gleichung für alle \(k \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, müssen die Ausdrücke in den Klammern gleichzeitig Null sein. Dies führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(x_1 - x_3 = 0 \implies x_1 = x_3\) (II) \(x_2 - 4 = 0 \implies x_2 = 4\) 3. Zur Aufstellung der Geradengleichung wird eine Koordinate als Parameter gewählt. Sei \(x_3 = r\) mit \(r \in \mathbb{R}\). 4. Daraus ergibt sich \(x_1 = r\) und \(x_2 = 4\). 5. Die Parameterdarstellung der Schnittgeraden \(g\) lautet somit: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\).

- Wie kannst du die Fläche der Werbetafel mathematisch beschreiben? - Was muss gelten, damit eine Gerade eine Fläche im Raum trifft? - Welche Bedingungen müssen die Parameter einer Ebenengleichung erfüllen, damit ein Punkt innerhalb eines Rechtecks liegt? - Hast du den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnet?

1. Aufstellen der Ebenengleichung für die Werbetafel in Parameterform unter Verwendung der Richtungsvektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen der Geraden \(g\) mit der Ebene \(E\) führt zu einem linearen Gleichungssystem: \(I: 2 + 4r = 8 - 2t\) \(II: 1 + 3s = 7 - 2t\) \(III: 3 + s = 2 + t\) 3. Lösen des Systems ergibt die Parameterwerte \(t = 1{,}8\), \(s = 0{,}8\) und \(r = 0{,}6\). 4. Bestimmung des Durchstoßpunktes \(S\) durch Einsetzen von \(t\) in \(g\): \(S(4{,}4 | 3{,}4 | 3{,}8)\). 5. Überprüfung der Treffbedingung für das Rechteck: Da für die Parameter der Ebene \(0 \le r \le 1\) und \(0 \le s \le 1\) gilt, liegt der Durchstoßpunkt innerhalb der Begrenzung der Werbetafel. Der Lichtstrahl trifft die Tafel.

Der Lichtstrahl trifft die Werbetafel im Punkt \(S(4{,}4 | 3{,}4 | 3{,}8)\).

- Wie hängen die Orthogonalität einer Ebene zu einer Geraden und ihr Normalenvektor zusammen? - Erinnere dich an das Verfahren, bei dem man die Terme der Geradengleichung für \(x\), \(y\) und \(z\) in die Ebenengleichung einsetzt. - Was muss für den Parameter \(t\) gelten, damit ein Punkt der Geraden zwischen den Punkten \(P\) (für \(t=0\)) und \(Q\) (für \(t=1\)) liegt?

1. Richtungsvektor der Geraden \(h\) bestimmen: \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Normalenvektor der Ebene \(F\): Da \(F \perp h\), gilt \(\vec{n}_F = \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung mit \(R(7|3|3)\) aufstellen: \(2x + 2y + z = 2 \cdot 7 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 23\). Die Gleichung lautet \(F: 2x + 2y + z = 23\). 4. Geradengleichung \(h\) aufstellen: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Schnittpunkt \(S\) berechnen: \(2 \cdot (1 + 2t) + 2 \cdot (1 + 2t) + (1 + t) = 23 \implies 2 + 4t + 2 + 4t + 1 + t = 23 \implies 9t + 5 = 23 \implies 9t = 18 \implies t = 2\). 6. Koordinaten von \(S\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}\), also \(S(5|5|3)\). 7. Lageprüfung: Ein Punkt liegt auf der Strecke \(\overline{PQ}\), wenn der Parameter \(t\) im Intervall \([0; 1]\) liegt. Da \(t = 2\), liegt \(S\) außerhalb der Strecke \(\overline{PQ}\).

a) \(F: 2x + 2y + z = 23\) b) Der Schnittpunkt ist \(S(5|5|3)\). Er liegt nicht auf der Strecke \(\overline{PQ}\), da der zugehörige Parameter \(t = 2\) außerhalb des Bereichs \([0; 1]\) liegt.

- Wie findet man rechnerisch heraus, ob und wo sich zwei Geraden im Raum schneiden? - Was muss für die Richtungsvektoren gelten, damit ein Dreieck entsteht? - Erinnerst du dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren? - Welche Eigenschaft haben die Seitenlängen in einem gleichseitigen Dreieck? - Wie berechnet man den Mittelwert von drei Punkten im Koordinatensystem?

1. Bestimmung der Schnittpunkte durch paarweises Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(g_1 = g_2\) liefert \(r=2, s=-1\) und den Schnittpunkt \(B(4|2|2)\). \(g_2 = g_3\) liefert \(s=2, t=-1\) und den Schnittpunkt \(C(1|5|2)\). \(g_3 = g_1\) liefert \(t=2, r=-1\) und den Schnittpunkt \(A(1|2|-1)\). Da drei unterschiedliche Schnittpunkte existieren, bilden die Geraden ein Dreieck. 2. Berechnung der Innenwinkel über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Alle Seitenlängen betragen \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Da alle Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichseitig. Somit sind alle Innenwinkel \(\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ\). 3. Der Schwerpunkt \(S\) ergibt sich aus dem arithmetischen Mittel der Eckpunkte: \(\vec{s} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1+4+1 \\ 2+2+5 \\ -1+2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Die Gerade \(h\) hat den Stützvektor \(\vec{s}\) und den Richtungsvektor von \(AB\), also \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Nachweis durch paarweises Gleichsetzen: Es existieren drei eindeutige Schnittpunkte. b) Eckpunkte: \(A(1|2|-1)\), \(B(4|2|2)\), \(C(1|5|2)\). c) Alle Innenwinkel betragen \(60^\circ\); es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck. d) Schwerpunkt \(S(2|3|1)\). e) Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Was passiert mathematisch, wenn zwei Objekte Punkte gemeinsam haben? - Wie viele Variablen hast du und wie viele Gleichungen liefert der Vergleich der Vektorkomponenten? - Versuche, zwei der Parameter durch einen dritten auszudrücken. - Wenn du einen Zusammenhang zwischen den Parametern einer Ebene gefunden hast, kannst du diesen zurück in die Ebenengleichung einsetzen.

1. Gleichsetzen der Ebenengleichungen führt auf ein lineares Gleichungssystem: I: \(1 + r = 2 + t\) II: \(1 + r + s = 0\) III: \(1 + s = 1 + u\) 2. Aus Gleichung II folgt unmittelbar eine Beziehung zwischen den Parametern von \(E_1\): \(s = -1 - r\). 3. Einsetzen dieser Beziehung in die Parameterform von \(E_1\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (-1 - r) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 4. Zusammenfassen der Terme: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) Dies ist die Gleichung der Schnittgeraden.

Eine mögliche Parameterdarstellung der Schnittgeraden ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\).

- Bestimme zuerst eine Gleichung für die Ebene, in der das Dach liegt. Welche Form ist hierfür am praktischsten? - Wie kannst du den Verlauf des Balkens als Gerade im Raum beschreiben? - Überlege, wie du den gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene rechnerisch finden kannst. - Prüfe am Ende, ob dein Punkt tatsächlich in der Ebene liegt.

1. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: Spannvektoren sind \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zu \(\begin{pmatrix} 64 \\ 64 \\ 64 \end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(x_1 + x_2 + x_3 = d\). Mit \(C(0|0|12)\) folgt \(d=12\), also \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 12\). 2. Aufstellen der Geradengleichung für den Balken: Mit Stützpunkt \(P\) und Richtungsvektor \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Schnittpunktes: Einsetzen der Geradenkomponenten in \(E\): \((1+t) + (1+t) + (3t) = 12 \Rightarrow 5t + 2 = 12 \Rightarrow 5t = 10 \Rightarrow t = 2\). 4. Einsetzen von \(t=2\) in die Geradengleichung liefert den Punkt \(\vec{d} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 1+2 \\ 0+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Der Durchstoßpunkt des Balkens durch die Dachebene ist \(D(3|3|6)\).

- Aus welchen vier Ebenen bestehen die Außenflächen des Tetraeders? - Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene? - Nicht jeder Schnittpunkt mit einer der Ebenen muss auf der tatsächlichen Oberfläche des Körpers liegen. Wie kannst du das prüfen? - Überlege dir, welche Bedingungen die Koordinaten eines Punktes erfüllen müssen, um innerhalb der beschriebenen Grenzen zu liegen.

1. Aufstellen der Ebenengleichungen der Tetraederflächen: Die Grundfläche in der \(xy\)-Ebene ist \(E_1: z = 0\). Die Seitenflächen in den Koordinatenebenen sind \(E_2: x = 0\) und \(E_3: y = 0\). Die vierte Begrenzungsfläche verläuft durch \(A, B, C\) und hat die Gleichung \(E_4: x + y + z = 6\). 2. Schnitt der Geraden \(g\) mit \(E_1\): \(-1 + 2t = 0 \Rightarrow t = 0{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\). Da \(1{,}5 + 1{,}5 \leq 6\) und \(x, y \geq 0\), liegt \(P_1\) auf der Begrenzungsfläche. 3. Schnitt der Geraden \(g\) mit \(E_2\) und \(E_3\): \(1 + t = 0 \Rightarrow t = -1\). Der Punkt \((0|0|-3)\) liegt wegen \(z < 0\) außerhalb des Tetraeders. 4. Schnitt der Geraden \(g\) mit \(E_4\): \((1 + t) + (1 + t) + (-1 + 2t) = 6 \Rightarrow 1 + 4t = 6 \Rightarrow t = 1{,}25\). Der Schnittpunkt ist \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Da alle Koordinaten positiv sind, liegt \(P_2\) auf der Begrenzungsfläche. 5. Ergebnis: Die Ein- und Austrittspunkte sind \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\) und \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Die Strecke im Inneren entspricht dem Parameterintervall \(0{,}5 \leq t \leq 1{,}25\).

Die Ein- und Austrittspunkte sind \(P_1(1{,}5|1{,}5|0)\) und \(P_2(2{,}25|2{,}25|1{,}5)\). Der Abschnitt im Inneren des Tetraeders entspricht dem Parameterbereich \(t \in [0{,}5; 1{,}25]\).

- Wie viele Unbekannte und wie viele Gleichungen hast du? Was bedeutet das für die Anzahl der freien Parameter? - Du kannst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen lösen, indem du eine Variable eliminierst. - Wenn du eine Variable als Parameter (z. B. \(t\)) wählst, kannst du die anderen Variablen in Abhängigkeit von diesem \(t\) ausdrücken. - Überlege dir, wie ein Punkt auf der Geraden aussieht und wie man daraus die Vektordarstellung \( \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{v} \) gewinnt.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems aus den beiden Ebenengleichungen: (I) \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\) (II) \(2x_1 - x_2 + 3x_3 = 9\) 2. Elimination einer Variablen, zum Beispiel durch Addition von (I) und (II): \(3x_1 + 4x_3 = 15\) 3. Einführung eines Parameters für eine der verbleibenden Variablen, zum Beispiel \(x_3 = 3t\). 4. Auflösen nach den anderen Variablen in Abhängigkeit von \(t\): Aus \(3x_1 + 4(3t) = 15\) folgt \(3x_1 = 15 - 12t\), also \(x_1 = 5 - 4t\). Einsetzen in (I): \((5 - 4t) + x_2 + 3t = 6 \Rightarrow x_2 - t + 5 = 6 \Rightarrow x_2 = 1 + t\). 5. Zusammenfassen zur Geradengleichung in Vektorform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Eine mögliche Parametergleichung der Schnittgeraden ist: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Darstellung).

- Was passiert, wenn du die einzelnen Zeilen der Parameterform für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in die Koordinatengleichung einsetzt? - Welche mathematischen Fälle können beim Lösen einer solchen Gleichung auftreten und was bedeuten sie für die Lage der Ebenen? - Wenn eine Gleichung mit zwei Variablen (Parametern) übrig bleibt, wie kannst du eine der Variablen eliminieren, um eine Gerade zu beschreiben? - Erinnere dich daran, wie eine Geradengleichung aufgebaut ist – sie benötigt nur einen Parameter.

1. Aufstellen der komponentenweisen Gleichungen für \(E_2\): \(x_1 = 1 + 2r + s\), \(x_2 = 1 + s\), \(x_3 = 2 + r\). 2. Einsetzen dieser Ausdrücke in die Koordinatengleichung von \(E_1\): \(3 \cdot (1 + 2r + s) - (1 + s) + 2(2 + r) = 10\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(3 + 6r + 3s - 1 - s + 4 + 2r = 10 \Rightarrow 8r + 2s + 6 = 10 \Rightarrow 8r + 2s = 4\). 4. Da die Gleichung eine Abhängigkeit zwischen den Parametern \(r\) und \(s\) beschreibt (und nicht allgemeingültig oder unlösbar ist), schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. 5. Auflösen nach einem Parameter, z. B. \(s\): \(2s = 4 - 8r \Rightarrow s = 2 - 4r\). 6. Einsetzen von \(s\) in die Parameterform von \(E_2\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + (2 - 4r) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 7. Zusammenfassen zur Geradengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 1+2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2-4 \\ 0-4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden \(g\). Eine mögliche Gleichung der Schnittgeraden lautet: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Welche Information über die Lage der Schnittgerade liefern dir die Normalenvektoren der beiden Ebenen? - Wie kannst du einen Vektor finden, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Um einen Punkt auf der Schnittgeraden zu finden, kannst du eine Koordinate (z. B. \( x_3 \)) auf einen festen Wert setzen und das verbleibende System lösen. - Eine Gerade im Raum benötigt immer einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.

1. Bestimmung der Normalenvektoren der Ebenen aus den Koeffizienten der Koordinatengleichungen: \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als Richtungsvektor der Schnittgeraden \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \). 3. Suche eines Stützpunktes der Geraden durch Lösen des Gleichungssystems der Ebenen. Setze z. B. \( x_3 = 0 \): I: \( x_1 + x_2 = 6 \) II: \( 2x_1 - x_2 = 3 \) Addition von I und II liefert \( 3x_1 = 9 \), also \( x_1 = 3 \). Einsetzen in I ergibt \( 3 + x_2 = 6 \), also \( x_2 = 3 \). Der Stützpunkt ist \( P(3 \mid 3 \mid 0) \). 4. Aufstellen der Geradengleichung: \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \).

Eine mögliche Parametergleichung der Schnittgeraden ist \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \) mit \( t \in \mathbb{R} \).

- Überlege dir, wie du aus zwei Richtungsvektoren einen Vektor konstruieren kannst, der senkrecht auf der Ebene steht. - Wie lässt sich ein Punkt auf einer Geraden allgemein beschreiben, um ihn in eine Ebenengleichung einzusetzen? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform.

1. Aufstellen der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Parameterform: \( E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -26 \\ -39 \\ -78 \end{pmatrix}\). Kürzen durch \(-13\) ergibt \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Koordinatengleichung: \( 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = d \). Einsetzen von \( A \): \( 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 6 \cdot 5 = 35 \). Also \( E: 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 35 \). 4. Abstand zum Ursprung mit der Hesseschen Normalform: \( d(O, E) = \frac{|-35|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{35}{\sqrt{49}} = \frac{35}{7} = 5 \). 5. Schnittpunktbestimmung durch Einsetzen der Geradengleichung in \( E \): \( 2 \cdot (1 + \sigma) + 3 \cdot (2 - 2\sigma) + 6 \cdot (3 + 4\sigma) = 35 \). Vereinfachen: \( 2 + 2\sigma + 6 - 6\sigma + 18 + 24\sigma = 35 \Rightarrow 20\sigma + 26 = 35 \Rightarrow 20\sigma = 9 \Rightarrow \sigma = 0{,}45 \). 6. Einsetzen von \(\sigma = 0{,}45\) in \( g \): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}45 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}45 \\ 1{,}1 \\ 4{,}8 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \( S(1{,}45 | 1{,}1 | 4{,}8) \).

a) \( E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \); \( E: 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 35 \) b) Der Abstand beträgt \( 5 \) Längeneinheiten. c) \( S(1{,}45 | 1{,}1 | 4{,}8) \)

- Wann stehen zwei Ebenen senkrecht aufeinander? Überprüfe die Ausrichtung ihrer Normalenvektoren. - Für die Schnittgerade kannst du das Gleichungssystem der beiden Ebenen lösen, indem du eine Variable als Parameter wählst. - Wenn eine Ebene senkrecht auf zwei anderen Ebenen steht, welche Richtung muss ihr Normalenvektor dann im Vergleich zu den anderen Normalenvektoren haben? - Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene findest du, indem du die allgemeinen Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt.

1. Orthogonalität: Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0\) ist, sind die Ebenen orthogonal. 2. Schnittgerade \(s\): Aus \(\mathbb{E}_2\) folgt \(x_1 = x_2\). Eingesetzt in \(\mathbb{E}_1\): \(x_1 + x_1 + x_3 = 3 \implies x_3 = 3 - 2x_1\). Mit \(x_1 = r\) ergibt sich \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Ebene \(\mathbb{E}_3\): Der Normalenvektor \(\vec{n}_3\) muss orthogonal zu \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) sein. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit \(P(1 \mid 1 \mid 1)\) folgt \(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 0\), also \(\mathbb{E}_3: x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\). 4. Schnittpunkt \(S\): Setze \(s\) in \(\mathbb{E}_3\) ein: \((r) + (r) - 2 \cdot (3 - 2r) = 0 \implies 6r - 6 = 0 \implies r = 1\). Einsetzen in \(s\) liefert \(S(1 \mid 1 \mid 1)\).

a) \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\); \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) b) \(\mathbb{E}_3: x_1 + x_2 - 2x_3 = 0\) c) \(S(1 \mid 1 \mid 1)\)

- Erstelle zuerst eine Parameterform für die Gerade, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft. - Wie berechnet man den gemeinsamen Punkt zweier Geraden im Raum? - Wenn du einen Schnittpunkt der beiden Geraden gefunden hast, wie entscheidest du, ob dieser auch wirklich auf dem Teilstück zwischen \(A\) und \(B\) liegt? - Achte auf die Bedeutung des Parameters in deiner Geradengleichung für die Strecke \(AB\).

1. Aufstellen der Geradengleichung \(g\) durch \(A\) und \(B\): \(\vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen von \(g\) und \(h\) zur Bestimmung des Schnittpunktes: I: \(2 + 4r = 1 + t\) II: \(4r = 3 - t\) III: \(1 + 8r = 1 + t\) 3. Lösen des Systems: Aus I folgt \(t = 4r + 1\). Einsetzen in II: \(4r = 3 - (4r + 1) \implies 8r = 2 \implies r = 0{,}25\). 4. Berechnung von \(t\): \(t = 4(0{,}25) + 1 = 2\). 5. Überprüfung in III: \(1 + 8(0{,}25) = 3\) und \(1 + 2 = 3\). Die Geraden schneiden sich im Punkt \(S\). 6. Prüfung der Streckenbedingung: Da der Parameter \(r = 0{,}25\) im Intervall \([0; 1]\) liegt, befindet sich der Schnittpunkt auf der Strecke \(AB\). 7. Koordinaten des Schnittpunktes: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Ja, die Gerade \(h\) schneidet die Strecke \(AB\) im Punkt \(S(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Bestimme zuerst alle benötigten Punkte mithilfe der Vektorrechnung. Achte dabei auf das angegebene Teilverhältnis. - Eine Koordinatengleichung kann auch Variablen „verlieren“, wenn der Normalenvektor Nullkomponenten hat. - Für den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene setzt man die allgemeine Geradenform in die Ebenengleichung ein. - Überprüfe am Ende, ob der berechnete Parameter \(r\) im Bereich der Strecke liegt.

1. Berechnung der Punktkoordinaten: \(K = \frac{1}{2}(A+S) = (1|1|4)\) \(L = \frac{1}{2}(B+S) = (3|1|4)\) \(M = S + \frac{1}{4}(C-S) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \\ -2 \end{pmatrix} = (2{,}5|2{,}5|6)\) 2. Bestimmung der Koordinatengleichung von \(E\): Spannvektoren: \(\vec{KL} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{KM} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 2 \end{pmatrix}\) Normalenvektor: Das Kreuzprodukt von \(\vec{KL}\) und \(\vec{KM}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) Ebenengleichung: \(-4x_2 + 3x_3 = d\). Einsetzen von \(K(1|1|4)\) ergibt \(-4 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 8\). Somit \(E: -4x_2 + 3x_3 = 8\). 3. Schnittpunkt \(N\) mit der Kante \(\overline{DS}\): Geradengleichung \(g_{DS}: \vec{x} = \vec{OD} + r \cdot \vec{DS} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}\) mit \(0 \le r \le 1\). Einsetzen in \(E\): \(-4 \cdot (4 - 2r) + 3 \cdot (8r) = 8 \Rightarrow -16 + 8r + 24r = 8 \Rightarrow 32r = 24 \Rightarrow r = 0{,}75\). Ortsvektor von \(N\): \(\vec{ON} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + 0{,}75 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(N(1{,}5|2{,}5|6)\).

a) \(E: -4x_2 + 3x_3 = 8\) b) \(N(1{,}5|2{,}5|6)\)

- Bestimme zunächst die Position der Spitze des Stabes im Raum. - Nutze die gegebene Schattenlänge, um den Endpunkt des Schattens auf der Geraden \(h\) zu finden. - Wie hängen die Position der Spitze, der Schattenpunkt der Spitze und die Richtung der Sonnenstrahlen zusammen? - Ein Vektor, der von der Spitze zum Schattenpunkt zeigt, gibt eine mögliche Richtung der Sonnenstrahlen an.

1. Koordinaten der Stabspitze \(Q\): Mit \(P(3|2|4)\) und Länge 2 in \(x_3\)-Richtung folgt \(Q(3|2|6)\). 2. Schattenpunkt \(S\) auf der Geraden \(h\): Der Richtungsvektor von \(h\) ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{v}| = \sqrt{4+4+1} = 3\). Da der Schatten die Länge 3 hat, muss der Schattenpunkt der Spitze bei \(S = P \pm \vec{v}\) liegen. 3. Fall 1: \(S_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Sonnenrichtung ergibt sich aus dem Vektor von der Spitze zum Schattenpunkt: \(\vec{s}_1 = \vec{S}_1 - \vec{Q} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 4-2 \\ 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Fall 2: \(S_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Sonnenrichtung ist \(\vec{s}_2 = \vec{S}_2 - \vec{Q} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 0-2 \\ 5-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Eine mögliche Richtung der Sonnenstrahlen ist \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder auch \(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\)).

- Wenn alle Ebenen eine gemeinsame Gerade haben, muss deren Gleichung unabhängig vom Parameter \(t\) erfüllt sein. - Versuche, die Gleichung so umzustrukturieren, dass du Terme mit \(t\) von Termen ohne \(t\) isolierst. - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Vektor vom Ursprung zum nächstgelegenen Punkt auf dieser Geraden? - Erinnere dich an das Verfahren zur Bestimmung eines Lotfußpunktes.

1. Umformung der Schargleichung nach dem Parameter \(t\): \(x_1 + 2x_3 - 4 + t(x_2 - x_3 - 2) = 0\). 2. Eine Gerade gehört zu allen Ebenen, wenn beide Klammerausdrücke Null sind: (I) \(x_1 + 2x_3 - 4 = 0\) und (II) \(x_2 - x_3 - 2 = 0\). 3. Parametrisierung mit \(x_3 = \lambda\): Aus (II) folgt \(x_2 = 2 + \lambda\), aus (I) folgt \(x_1 = 4 - 2\lambda\). 4. Die Trägergerade ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Bestimmung des Lotfußpunkts \(P\) vom Ursprung auf \(g\): Der Vektor \(\vec{OP} = \begin{pmatrix} 4-2\lambda \\ 2+\lambda \\ \lambda \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) sein. 6. Skalarprodukt ansetzen: \(-2 \cdot (4-2\lambda) + 1(2+\lambda) + 1(\lambda) = -8 + 4\lambda + 2 + \lambda + \lambda = 6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1\). 7. Einsetzen von \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ergibt \(P(2 | 3 | 1)\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) \(P(2 | 3 | 1)\)

- Woran erkennst du bei einem linearen Gleichungssystem, ob es genau eine Lösung gibt? - Welches Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen beherrschst du am besten? - Überlege dir, welche Eigenschaft die Normalenvektoren von parallelen Ebenen haben. - Welche Koordinate ist bei allen Punkten, die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene liegen, identisch?

1. Das lineare Gleichungssystem (LGS) der drei Ebenen wird aufgestellt. 2. Addition von \(E\) und \(F\) eliminiert \(x_2\): \(3x_1 + 3x_3 = 3 \Rightarrow x_1 + x_3 = 1\). 3. Addition von \(2 \cdot F\) und \(G\) eliminiert ebenfalls \(x_2\): \(3x_1 + 4x_3 = 5\). 4. Subtraktion der beiden resultierenden Gleichungen ergibt \(x_3 = 2\). Rückwärtseinsetzen liefert \(x_1 = -1\) und schließlich \(x_2 = 0\). Es existiert genau eine Lösung, der Schnittpunkt ist \(S(-1|0|2)\). 5. Eine Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene hat die allgemeine Form \(x_3 = d\). 6. Da der Punkt \(S(-1|0|2)\) in der Ebene \(H\) liegen muss, gilt für die \(x_3\)-Koordinate \(2 = d\). Die Gleichung lautet somit \(H: x_3 = 2\).

a) \(S(-1|0|2)\) b) \(H: x_3 = 2\)

- Versuche, die Ebenengleichung so zu sortieren, dass du den Parameter \(a\) ausklammern kannst. - Welche Teile der Gleichung müssen Null sein, damit der Wert von \(a\) keinen Einfluss auf das Ergebnis hat? - Du erhältst zwei Gleichungen für die drei Koordinaten. Nutze eine Koordinate als freien Parameter (z. B. \(t\)), um die anderen auszudrücken. - Achte beim Aufstellen der Geradengleichung darauf, dass der Stützvektor und der Richtungsvektor korrekt aus deinen Termen abgelesen werden.

1. Auflösen der Klammer und Sortieren nach dem Parameter \(a\): \(a \cdot x_1 + x_1 + a \cdot x_2 - 2x_3 - 4 = 0\). 2. Ausklammern von \(a\): \(a(x_1 + x_2) + (x_1 - 2x_3 - 4) = 0\). 3. Aufstellen der Bedingungen für die Unabhängigkeit vom Parameter \(a\): (I) \(x_1 + x_2 = 0 \implies x_2 = -x_1\) (II) \(x_1 - 2x_3 - 4 = 0 \implies 2x_3 = x_1 - 4 \implies x_3 = \frac{1}{2}x_1 - 2\) 4. Wahl eines Parameters für die Gerade: Sei \(x_1 = 2t\). 5. Einsetzen ergibt \(x_2 = -2t\) und \(x_3 = t - 2\). 6. Die Geradengleichung in Parameterform ist: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Erstelle zuerst eine Parametergleichung für die Ebene, in der das Dreieck liegt. - Wie findet man den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene? - Überlege dir, welche Einschränkungen für die Parameter \(r\) und \(s\) gelten, damit man im Inneren eines Dreiecks bleibt. - Hilft dir die Summe der Parameter bei der Entscheidung, ob der Punkt im Dreieck liegt?

1. Aufstellen der Ebene \(E\), in der das Segel liegt, in Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Gleichsetzen der Geraden \(h\) mit der Ebene \(E\) zur Bestimmung des Durchstoßpunktes: \(1 + 4r = 5 - k\) \(4s = 3 - k\) \(2 + 4s = 1 + 2k\) 3. Durch Einsetzen der zweiten in die dritte Gleichung folgt \(2 + (3 - k) = 1 + 2k\), woraus sich \(k = \frac{4}{3}\) ergibt. 4. Daraus resultieren die Ebenenparameter \(s = \frac{5}{12}\) und \(r = \frac{2}{3}\). 5. Prüfung der Dreiecksbedingung: Für einen Punkt innerhalb des Dreiecks \(PQR\) muss gelten: \(r \ge 0, s \ge 0\) und \(r + s \le 1\). 6. Berechnung der Summe: \(r + s = \frac{8}{12} + \frac{5}{12} = \frac{13}{12} \approx 1{,}08\). Da \(r + s > 1\) ist, liegt der Durchstoßpunkt \(S(\frac{11}{3} | \frac{5}{3} | \frac{11}{3})\) außerhalb des Segels. Das Projektil trifft das Segel nicht.

Das Projektil trifft das Sonnensegel nicht, da der Durchstoßpunkt \(S(\frac{11}{3} | \frac{5}{3} | \frac{11}{3})\) außerhalb der dreieckigen Fläche liegt.

- Welche Seitenflächen der Pyramide wird die Gerade vermutlich durchstoßen, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse verläuft? - Erstelle für diese Seitenflächen jeweils eine Ebenengleichung. - Wie findest du den Punkt auf der Geraden, der in einer bestimmten Ebene liegt? - Wenn du die beiden Schnittpunkte hast, wie berechnest du die Entfernung zwischen ihnen?

1. Bestimmung der relevanten Seitenflächen: Da die Gerade bei \(y=4\) und \(z=2\) verläuft, schneidet sie die Seitenflächen \(ADS\) und \(BCS\). 2. Ebene durch \(A, D, S\): Mit \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}\) ergibt der Normalenvektor \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatengleichung ist \(-4x + z = -8\). 3. Schnitt der Geraden \(h\) mit \(E_{ADS}\): Einsetzen von \(x=s\) und \(z=2\) ergibt \(-4s + 2 = -8 \Rightarrow s = 2{,}5\). Der Eintrittspunkt ist \(P_1(2{,}5|4|2)\). 4. Ebene durch \(B, C, S\): Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BS} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}\) ergibt der Normalenvektor \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Die Koordinatengleichung ist \(4x + z = 24\). 5. Schnitt der Geraden \(h\) mit \(E_{BCS}\): Einsetzen von \(x=s\) und \(z=2\) ergibt \(4s + 2 = 24 \Rightarrow s = 5{,}5\). Der Austrittspunkt ist \(P_2(5{,}5|4|2)\). 6. Länge der Strecke: Der Abstand zwischen \(P_1\) und \(P_2\) beträgt \(d = \sqrt{(5{,}5-2{,}5)^2 + 0^2 + 0^2} = 3\).

Die Länge der Strecke innerhalb der Pyramide beträgt \(3\) Längeneinheiten.

- Kannst du das Gleichungssystem durch Addieren zweier Zeilen vereinfachen? - Wie hängen die Spaltenvektoren des Gleichungssystems mit den Richtungsvektoren der Geraden und der Ebene zusammen? - Welcher Punkt der Geraden wird durch den Parameterwert \(r=2\) beschrieben? - Überlege, wie die Differenz der Stützvektoren \(\vec{a} - \vec{p}\) mit der rechten Seite des Gleichungssystems zusammenhängt.

1. Addition von Gleichung I und II liefert \(3r = 6\), also \(r = 2\). 2. Einsetzen von \(r = 2\) in I ergibt \(2 - s + t = 4 \Rightarrow t - s = 2 \Rightarrow t = s + 2\). 3. Einsetzen in III: \(2s + 3(s + 2) = 11 \Rightarrow 5s + 6 = 11 \Rightarrow 5s = 5\), also \(s = 1\). 4. Daraus folgt \(t = 3\). Die Lösung ist \((r, s, t) = (2, 1, 3)\). 5. Für die Geometrie gilt die Gleichung \(\vec{p} + r \cdot \vec{u} = \vec{a} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}\), was umgeformt \(r \cdot \vec{u} - s \cdot \vec{v} - t \cdot \vec{w} = \vec{a} - \vec{p}\) entspricht. 6. Aus den Koeffizienten des LGS liest man ab: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix}\). 7. Da \(S(5|1|2)\) bei \(r = 2\) erreicht wird, gilt für den Stützvektor der Geraden: \(\vec{p} = \vec{OS} - 2 \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 8. Der Stützvektor der Ebene ergibt sich aus \(\vec{a} = \vec{p} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 13 \end{pmatrix}\).

a) \((r, s, t) = (2, 1, 3)\) b) Eine mögliche Lösung ist: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 13 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)

- Wie findest du den gemeinsamen Punkt einer Geraden und einer Ebene? - Um eine Gerade an einer Ebene zu spiegeln, kannst du den Schnittpunkt und das Spiegelbild eines weiteren Punktes der Geraden verwenden. - Erinnerst du dich an die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene? - Wende die Abstandsformel auf einen allgemeinen Punkt der Geraden an und löse die Betragsgleichung.

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebene: \(2(\lambda) - (2 + \lambda) + 2(1) = 6 \Rightarrow 2\lambda - 2 - \lambda + 2 = 6 \Rightarrow \lambda = 6\). Einsetzen von \(\lambda = 6\) in \(f\) ergibt den Durchstoßpunkt \(D(6|8|1)\). 2. Spiegelung eines weiteren Punktes von \(f\), z. B. des Stützpunktes \(A(0|2|1)\). Lotgerade durch \(A\) mit Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) von \(H\): \(L: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Schnitt von \(L\) mit \(H\): \(2(2t) - (2 - t) + 2(1 + 2t) = 6 \Rightarrow 9t = 6 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\). Der Spiegelpunkt \(A'\) ergibt sich bei \(t = \frac{4}{3}\) zu \(\vec{a}' = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{4}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix}\). Die Bildgerade \(f'\) verläuft durch \(D\) und \(A'\). Richtungsvektor \(\vec{v}' = \vec{d} - \vec{a}' = \begin{pmatrix} 6 - \frac{8}{3} \\ 8 - \frac{2}{3} \\ 1 - \frac{11}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{22}{3} \\ -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\). Gleichung \(f': \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Abstandsformel (Hesse-Normalform) für einen allgemeinen Geradenpunkt \(P_\lambda(\lambda | 2+\lambda | 1)\): \(d = \frac{|2\lambda - (2+\lambda) + 2 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|\lambda - 6|}{3}\). Setze \(d = 3\): \(|\lambda - 6| = 9\). Fall 1: \(\lambda - 6 = 9 \Rightarrow \lambda = 15 \Rightarrow P_1(15|17|1)\). Fall 2: \(\lambda - 6 = -9 \Rightarrow \lambda = -3 \Rightarrow P_2(-3|-1|1)\).

a) \(D(6|8|1)\) b) \(f': \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\) (oder ein Vielfaches des Richtungsvektors) c) \(P_1(15|17|1)\) und \(P_2(-3|-1|1)\)

- Was bedeutet es für das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor, wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene verläuft? - Wenn zwei Ebenen orthogonal sind, wie stehen dann ihre Normalenvektoren zueinander? - Wie findet man einen Vektor, der zu zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht ist? - Ein Schnittpunkt von drei Ebenen lässt sich durch ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten finden.

1. Lage von \(g\) und \(E\): Skalarprodukt des Richtungsvektors \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und des Normalenvektors \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) berechnen: \(1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 0\). Punktprobe mit \(P_g(2|2|2)\): \(3 \cdot 2 - 2 + 2 \cdot 2 = 8 \neq 10\). Also ist \(g\) echt parallel zu \(E\). 2. Ebene \(F\): Da \(g \subset F\) und \(F \perp E\), muss der Normalenvektor \(\vec{n}_F\) senkrecht auf \(\vec{u}_g\) und \(\vec{n}_E\) stehen. Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}_g\) und \(\vec{n}_E\) ergibt \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Mit \(P_g(2|2|2)\) folgt \(1 \cdot 2 - 5 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = -16\). Gleichung \(F: x_1 - 5x_2 - 4x_3 = -16\). 3. Ebene \(H\): Da \(H \perp E\) und \(H \perp F\), ergibt das Kreuzprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \\ -14 \end{pmatrix}\). Gekürzt \(\vec{n}_H^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Mit \(A(1|1|1)\) ergibt sich \(1 + 1 - 1 = 1\). Gleichung \(H: x_1 + x_2 - x_3 = 1\). 4. Schnittpunkt berechnen: Lösen des Systems aus \(E, F, H\). (1) \(3x_1 - x_2 + 2x_3 = 10\) (2) \(x_1 - 5x_2 - 4x_3 = -16\) (3) \(x_1 + x_2 - x_3 = 1\) Die Lösung ergibt \(x_1 = \frac{44}{21}\), \(x_2 = \frac{32}{21}\), \(x_3 = \frac{55}{21}\).

a) \(g\) ist echt parallel zu \(E\). b) \(F: x_1 - 5x_2 - 4x_3 = -16\) c) \(H: x_1 + x_2 - x_3 = 1\) d) \(S\left(\frac{44}{21} \middle| \frac{32}{21} \middle| \frac{55}{21}\right) \approx S(2{,}10 | 1{,}52 | 2{,}62)\)

- Wie hängen der Mittelpunkt einer Strecke und die zugehörige Symmetrieebene zusammen? - Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er in einer bestimmten Ebene liegt? - Welche Eigenschaft hat der Normalenvektor einer Ebene, die senkrecht auf einer Geraden steht? - Wie nutzt man das Skalarprodukt, um die Orthogonalität zweier Vektoren zu prüfen? - Überlege dir, welche Rolle der Lotfußpunkt bei der Spiegelung eines Punktes an einer Geraden spielt.

1. Symmetrieebene \(E\): Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M(4|2|-1)\). Der Normalenvektor ist \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\), vereinfacht \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(1 \cdot (x-4) - 2 \cdot (y-2) + 2 \cdot (z+1) = 0\), also \(E: x - 2y + 2z = -2\). 2. Lage von \(g\) in \(E\): Einsetzen von \(g\) in \(E\): \((2\lambda) - 2(1+2\lambda) + 2(\lambda) = 2\lambda - 2 - 4\lambda + 2\lambda = -2\). Die Bedingung \(-2 = -2\) ist für alle \(\lambda\) erfüllt. 3. Ebene \(F\): Der Richtungsvektor von \(g\) ist der Normalenvektor \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Mit \(A(5|0|1)\) ergibt sich \(2 \cdot 5 + 2 \cdot 0 + 1 = 11\), also \(F: 2x + 2y + z = 11\). Da \(2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 - 3 = 11\), liegt auch \(B\) in \(F\). 4. Schnittpunkt \(S\): Einsetzen von \(g\) in \(F\): \(2 \cdot (2\lambda) + 2 \cdot (1+2\lambda) + \lambda = 11 \Rightarrow 9\lambda + 2 = 11 \Rightarrow \lambda = 1\). Somit ist \(S(2|3|1)\). 5. Orthogonalität: \(\vec{SA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt ist \(3 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 + 0 \cdot (-4) = 0\), folglich \(SA \perp SB\). 6. Spiegelpunkt \(A'\): Da \(S\) der Lotfußpunkt von \(A\) auf \(g\) ist, gilt \(\vec{a'} = \vec{s} + \vec{AS} = 2\vec{s} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(A'(-1|6|1)\).

a) \(E: x - 2y + 2z = -2\) b) Nachweis durch Einsetzen; \(F: 2x + 2y + z = 11\) c) \(S(2|3|1)\); Nachweis über \(\vec{SA} \cdot \vec{SB} = 0\) d) \(A'(-1|6|1)\)