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- Beginne mit den Koordinaten, die vollständig bekannt sind, um die Parameter zu bestimmen. - Wie kannst du die berechneten Parameter nutzen, um die fehlende Koordinate zu finden? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Aufstellen der Gleichungen für die bekannten Koordinaten \(x_2\) und \(x_3\): II: \(1 + 2\lambda + 4\mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 10\) und III: \(3 + 2\lambda + \mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 8\). 2. Lösen des Teilsystems: Subtraktion von III von II ergibt \(3\mu = 2\), also \(\mu = \frac{2}{3}\). Einsetzen in III ergibt \(2\lambda + \frac{2}{3} = 8 \Rightarrow 2\lambda = \frac{22}{3} \Rightarrow \lambda = \frac{11}{3}\). 3. Berechnung der fehlenden Koordinate \(k\) mittels der Gleichung für \(x_1\): \(k = 2 + 1 \cdot \lambda - 3 \cdot \mu\). Einsetzen der Parameterwerte: \(k = 2 + \frac{11}{3} - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 + \frac{11}{3} - 2 = \frac{11}{3}\).

Damit der Punkt \(R\) in der Ebene \(F\) liegt, müssen die Parameter \(\lambda = \frac{11}{3}\) und \(\mu = \frac{2}{3}\) sein. Der gesuchte Wert für die Koordinate ist \(k = \frac{11}{3}\) (bzw. \(k \approx 3{,}67\)).

- Was sagen die Normalenvektoren über die gegenseitige Lage von zwei Ebenen aus? - Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander? Was folgt daraus für die Lage? - Wann stellt eine Gleichung dieselbe Punktmenge dar wie eine andere? - Wenn die Normalenvektoren parallel sind, welche zwei Fälle musst du dann noch unterscheiden?

1. Vergleich der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Feststellung der Kollinearität: Da \(\vec{n}_1 = -3 \cdot \vec{n}_2\), sind die Normalenvektoren parallel, womit die Ebenen entweder parallel oder identisch sind. 3. Untersuchung auf Identität für Teilaufgabe a): Division der Gleichung von \(E_1\) durch \(3\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\). Multiplikation der Gleichung von \(E_2\) mit \(-1\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = -k\). Die Ebenen sind identisch, wenn \(4 = -k\), also \(k = -4\). 4. Analyse für Teilaufgabe b): Für \(k = 0\) lauten die vereinfachten Gleichungen \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\) und \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0\). Da die Normalenvektoren parallel sind, aber die rechten Seiten der (normierten) Gleichungen verschieden sind, besitzen die Ebenen keine gemeinsamen Punkte. Sie sind somit echt parallel.

a) Die Ebenen sind identisch für \(k = -4\). b) Für \(k = 0\) sind die Ebenen echt parallel (parallel und nicht identisch), da ihre Normalenvektoren kollinear sind, sie aber keinen gemeinsamen Punkt besitzen (die Gleichungen führen auf einen Widerspruch \(4 = 0\)).

- Setze die Ausdrücke für die Koordinaten aus der Parameterform in die Koordinatengleichung ein, genau wie bei einer Schnittpunktberechnung. - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn die Parameter in deiner Rechnung plötzlich wegfallen? - Überlege, welche Rolle die Zahl auf der rechten Seite der Koordinatengleichung für die Lage im Raum spielt. - Wann hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung und wann unendlich viele?

1. Einsetzen der Parameterdarstellung von \(E_2\) (\(x_1 = 1 + \lambda + \mu\), \(x_2 = 2 - 2\mu\), \(x_3 = 1 + \lambda\)) in die Koordinatengleichung von \(E_1\): \(2 \cdot (1 + \lambda + \mu) + (2 - 2\mu) - 2 \cdot (1 + \lambda) = d\). 2. Vereinfachen der linken Seite: \(2 + 2\lambda + 2\mu + 2 - 2\mu - 2 - 2\lambda = d\). 3. Zusammenfassen der Terme: Die Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) heben sich vollständig auf (\(2\lambda - 2\lambda = 0\) und \(2\mu - 2\mu = 0\)). Es bleibt die Bedingung: \(2 = d\). 4. Interpretation des Ergebnisses: Ist \(d = 2\), so ist die Gleichung für beliebige Werte von \(\lambda\) und \(\mu\) erfüllt. Jeder Punkt von \(E_2\) liegt also in \(E_1\), die Ebenen sind identisch. 5. Ist \(d \neq 2\), so ergibt sich ein Widerspruch (z. B. \(2 = 5\)), was bedeutet, dass kein Punkt von \(E_2\) in \(E_1\) liegt. Da die Richtungsvektoren von \(E_2\) senkrecht auf dem Normalenvektor von \(E_1\) stehen, verlaufen die Ebenen echt parallel.

Für \(d = 2\) sind die Ebenen identisch. Für \(d \neq 2\) sind die Ebenen echt parallel.

- Wie prüft man die Parallelität zweier Ebenen mithilfe ihrer Normalenvektoren? - Wie setzt man einen Punkt in eine Ebenengleichung ein? - Überlege, wie viele gemeinsame Punkte zwei verschiedene parallele Ebenen haben können. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist?

1. Vergleich der Normalenvektoren: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{F_t} = \begin{pmatrix} 10 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_{F_t} = 2 \cdot \vec{n}_E\). Da die Normalenvektoren kollinear sind, sind die Ebenen für alle \(t\) parallel (oder identisch). 2. Punktprobe mit \(P(1|1|1)\) in \(F_t\): \(10 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = t \Rightarrow 10 - 4 + 2 = 8\). Somit ist \(t = 8\). 3. Für \(t = 8\) lautet die Gleichung \(F_8: 10x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 8\). Dividiert man diese Gleichung durch \(2\), erhält man \(5x_1 - 2x_2 + x_3 = 4\), was exakt der Gleichung von \(E\) entspricht. Die Ebenen \(F_8\) und \(E\) sind somit identisch. Alternativ: Da \(P(1|1|1)\) auch in \(E\) liegt (\(5-2+1=4\)) und die Ebenen parallel sind, müssen sie identisch sein.

1. Nachweis über Kollinearität der Normalenvektoren: \(\vec{n}_{F_t} = 2 \cdot \vec{n}_E\). 2. \(t = 8\) 3. Die Ebenen \(F_8\) und \(E\) sind identisch, da die Koordinatengleichung von \(F_8\) durch Multiplikation der Gleichung von \(E\) mit dem Faktor \(2\) entsteht (bzw. da sie parallel sind und einen gemeinsamen Punkt \(P\) besitzen).

- Wann liefert eine Punktprobe ein eindeutiges Ergebnis für einen Parameter? - Stell dir eine Gerade im Raum vor. Wie viele Ebenen kannst du um diese Gerade „drehen“? - Welche zwei Vektoren eignen sich am besten als Richtungsvektoren für die Ebene? - Achte darauf, dass die gewählten Spannvektoren nicht kollinear (parallel) sind.

1. Bestimmung von \(k\): Setze den Ortsvektor von \(P\) mit \(g_k\) gleich. Aus der \(x\)-Komponente: \(10 = 4 + 2s \Rightarrow s = 3\). Aus der \(z\)-Komponente: \(-1 = 2 - s \Rightarrow s = 3\). Einsetzen von \(s=3\) in die \(y\)-Komponente: \(5 = k + 3 \Rightarrow k = 2\). Für \(k=2\) liegt \(P\) auf \(g_2\). 2. Geometrische Begründung: Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, gibt es unendlich viele Ebenen (ein sogenanntes Ebenenbüschel), die diese Gerade und damit auch den Punkt enthalten. Eine eindeutige Ebene erfordert einen Punkt außerhalb der Geraden. 3. Parameterform für \(k=0\): Die Gerade ist \(g_0: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Punkt \(P(10|5|-1)\) liegt für \(k=0\) nicht auf der Geraden (da \(k=2\) die Bedingung für Inzidenz war). Als Stützvektor der Ebene dient \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Als Spannvektoren dienen der Richtungsvektor der Geraden \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und der Verbindungsvektor vom Stützpunkt zu \(P\): \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 10-4 \\ 5-0 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Da die Spannvektoren keine Vielfachen voneinander sind, bilden sie eine Ebene.

a) \(k = 2\) b) Wenn \(P\) auf \(g_k\) liegt, gibt es unendlich viele Ebenen, die beide enthalten. c) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. - Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, muss jeder ihrer Punkte – also auch der Stützpunkt – die Ebenengleichung erfüllen. - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Orthogonalität von Vektoren?

1. Bestimmung des Richtungsvektors \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) der Geraden und des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Ebene. 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt von Richtungs- und Normalenvektor muss null sein: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot a + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = a + 4 = 0\). Daraus folgt \(a = -4\). 3. Bedingung für das Liegen in der Ebene: Der Stützpunkt \(P(1|2|1)\) der Geraden muss die Ebenengleichung erfüllen. Einsetzen von \(P\) und \(a = -4\) in \(E\): \(-4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = b\). 4. Berechnung von \(b\): \(-4 + 2 + 2 = 0\), also \(b = 0\).

\(a = -4\) und \(b = 0\)

- Überlege dir, wie der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene stehen muss, wenn die Gerade parallel zur Ebene liegt. - Wie hängen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zusammen, wenn die Gerade senkrecht auf der Ebene steht? - Nutze das Skalarprodukt für den Nachweis von Orthogonalität zwischen Vektoren. - Prüfe bei der Untersuchung auf Parallelität von Vektoren (Linearität), ob ein gemeinsamer Streckungsfaktor für alle Komponenten existiert.

1. Normalenvektor der Ebene \(E\) bestimmen: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität (\(g_a \parallel E\)): Das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v}\) und Normalenvektor \(\vec{n}_E\) muss null sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4a - 8 + 2 = 4a - 6 = 0\). 3. Gleichung lösen: \(4a = 6 \Rightarrow a = 1{,}5\). 4. Bedingung für Orthogonalität (\(g_a \perp E\)): Der Richtungsvektor \(\vec{v}\) muss ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n}_E\) sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Komponentenweise Prüfung: Aus der dritten Komponente folgt \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\). Aus der zweiten Komponente folgt \(4 = k \cdot (-2) = 2 \cdot (-2) = -4\). Dies ist ein Widerspruch (\(4 \neq -4\)). 6. Ergebnis: Für \(a = 1{,}5\) ist die Gerade parallel zur Ebene; es existiert kein \(a\), für das die Gerade senkrecht zur Ebene steht.

Die Gerade \(g_a\) ist parallel zur Ebene \(E\) für \(a = 1{,}5\). Es gibt keinen Wert für \(a\), sodass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht.

- Woran erkennst du im Koordinatensystem, in welche Richtung eine Ebene „zeigt“? - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, was bedeutet das für die Lage des Stützpunkts der Geraden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor einer Ebene und der Ausrichtung einer senkrechten Geraden. - Verwende ein Gleichungssystem, um die Kollinearität von zwei Vektoren zu prüfen.

1. Normalenvektor der Ebene \(F\): \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Parallelität (\(h_k \parallel F\)): \(\vec{v} \cdot \vec{n}_F = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 + 2k + 8 = 2k + 10 = 0\). 3. Lösung für Teil a): \(2k = -10 \Rightarrow k = -5\). 4. Prüfung der Punktprobe für \(h_{-5}\) in \(F\): Stützpunkt \(P(2|1|4)\) in \(F\) einsetzen: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = 2 + 2 - 8 = -4\). Da \(-4 \neq 10\), liegt die Gerade nicht in der Ebene (sie ist echt parallel). 5. Orthogonalität (\(h_k \perp F\)): \(\vec{v} = m \cdot \vec{n}_F \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} = m \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 6. Lösung für Teil b): Aus der ersten Komponente folgt \(2 = m \cdot 1 \Rightarrow m = 2\). Einsetzen in die dritte Komponente: \(-4 = 2 \cdot (-2) = -4\) (wahr). Einsetzen in die zweite Komponente: \(k = 2 \cdot m = 2 \cdot 2 = 4\).

a) Für \(k = -5\) ist die Gerade \(h_k\) parallel zur Ebene \(F\). Sie liegt nicht in der Ebene. b) Für \(k = 4\) ist die Gerade \(h_k\) senkrecht zur Ebene \(F\).

- Wann steht der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht auf einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene. - Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade eine Teilmenge einer Ebene ist? - Überprüfe zuerst, ob der Stützpunkt der Geraden überhaupt in der Ebene liegt. - Wie hängen die Richtungen von Gerade und Ebene zusammen, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft?

1. Für einen senkrechten Schnitt muss der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Ebene sein: \(\begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = c \cdot 1\), also \(c = 2\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(k = 2 \cdot 2 = 4\). Die dritte Komponente ist mit \(-2 = 2 \cdot (-1)\) konsistent. Für \(k = 4\) schneiden sich \(g_k\) und \(E\) senkrecht. 3. Damit eine Gerade in einer Ebene liegt, muss erstens der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor stehen: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies 2k + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 2k + 4 = 0\). Dies ist für \(k = -2\) erfüllt. 4. Zweitens muss der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geraden in der Ebene liegen. Einsetzen in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 0 - 4 - 6 = -8 \neq 0\). Da der Stützpunkt für kein \(k\) in der Ebene liegt, kann keine Gerade der Schar in \(E\) liegen.

a) \(k = 4\) b) Es gibt keinen solchen Wert für \(k\), da der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geradenschar nicht in der Ebene \(E\) liegt (\(-8 \neq 0\)).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn sie alle den gleichen Wert haben? Wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du eine Bedingung für die Koordinaten einsetzt und die Variable am Ende wegfällt? - Welche mathematische Aussage deutet darauf hin, dass es keine Lösung für ein Problem gibt?

1. Für einen Punkt mit drei identischen Koordinaten gilt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\). 2. Einsetzen des Ansatzes in die Ebenengleichung von \(E\): \(5a - 2a - a = 8\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2a = 8\), woraus \(a = 4\) folgt. Der gesuchte Punkt ist \(P(4|4|4)\). 4. Für die Ebenenschar \(F_k\) führt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) zur Gleichung \(k \cdot a + (2-k) \cdot a - 2a = 12\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der linken Seite: \(ka + 2a - ka - 2a = 12\). 6. Dies führt unabhängig vom Wert von \(a\) und \(k\) auf die falsche Aussage \(0 = 12\), was bedeutet, dass kein solcher Punkt existiert.

a) \(P(4|4|4)\) b) Der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) führt für alle \(k\) auf den Widerspruch \(0 = 12\).

- Überprüfe zunächst, ob die Geraden parallel sein können, indem du die Richtungsvektoren vergleichst. - Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du die \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten der Geraden gleichsetzt. - Nutze zwei der Gleichungen, um die Parameter der Geraden zu bestimmen, und setze diese in die dritte Gleichung ein, um die Bedingung für \(a\) zu finden. - Welche Lagebeziehung bleibt übrig, wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert?

1. Da die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind, können die Geraden nur schneidend oder windschief sein. 2. Gleichsetzen der Komponenten: (I) \(2 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1\) (III) \(3 + 2\lambda = 2 + \mu \Rightarrow 3 + 2 \cdot (-1) = 2 + \mu \Rightarrow 1 = 2 + \mu \Rightarrow \mu = -1\) 3. Einsetzen von \(\lambda = -1\) und \(\mu = -1\) in (II): \(1 - (-1) = a + (-1) \Rightarrow 2 = a - 1 \Rightarrow a = 3\). 4. Für \(a = 3\) existiert ein Schnittpunkt. Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(g\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Für \(a \neq 3\) besitzt das System keine Lösung, daher sind die Geraden windschief.

Für \(a = 3\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(1|2|1)\). Für alle \(a \neq 3\) sind die Geraden windschief.

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Was bedeutet es für die Lage von zwei Geraden im Raum, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind? - Überlege dir, welche verschiedenen Lagebeziehungen zwei Geraden haben können und in welchen dieser Fälle sie eine Ebene festlegen. - Können zwei parallele Geraden windschief sein?

1. Zunächst werden die Richtungsvektoren der Geraden aufgestellt: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{CD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\). Damit die Geraden parallel sind, müssen die Richtungsvektoren kollinear sein. Da die ersten beiden Komponenten bereits identisch sind, muss auch die dritte Komponente übereinstimmen: \(k - 2 = -1\), woraus \(k = 1\) folgt. 2. Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, spannen sie stets eine eindeutige Ebene auf (sofern sie nicht identisch sind). Da alle vier Punkte auf diesen beiden parallelen Geraden liegen (\(A, B\) auf \(g\) und \(C, D\) auf \(h\)), liegen sie folglich in der durch die Geraden definierten Ebene. Ein Test auf Identität (Punktprobe von \(C\) auf \(g\)) zeigt \(0 = 1 + 2r \Rightarrow r = -0{,}5\) und \(4 = 1 + r \Rightarrow r = 3\), was einen Widerspruch ergibt; die Geraden sind also echt parallel und liegen somit in einer Ebene.

1. Die Geraden sind für \(k = 1\) parallel. 2. Da die Geraden \(g\) und \(h\) für \(k = 1\) parallel (und nicht identisch) sind, liegen sie in einer gemeinsamen Ebene. Da die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) auf diesen Geraden liegen, sind sie komplanar.

- Was muss gelten, damit \(S\) in der Ebene liegt, die durch \(P, Q\) und \(R\) definiert wird? - Welche Form der Ebenengleichung eignet sich am besten, um eine fehlende Koordinate zu berechnen? - Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Was passiert mit der Variablen \(k\), wenn sie in eine Gleichung eingesetzt wird, in der eine Koordinate (hier \(x_2\)) gar nicht vorkommt?

1. Bestimmung der Normalenform oder Koordinatenform der Ebene durch \(P\), \(Q\) und \(R\): Spannvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 8 - (-2) \\ -(-4 - (-4)) \\ 1 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Vereinfachter Normalenvektor: \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Koordinatengleichung: \(2x_1 + x_3 = d\). Einsetzen von \(P(2|1|0)\) zur Bestimmung von \(d\): \(2 \cdot 2 + 0 = 4\). Die Ebene lautet \(E: 2x_1 + x_3 = 4\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(S(k|k|2)\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot k + 2 = 4\) 3. Auflösen nach \(k\): \(2k = 2 \Rightarrow k = 1\).

Der Punkt \(S\) liegt für \(k = 1\) in der gemeinsamen Ebene mit \(P\), \(Q\) und \(R\).

- Welche Bedingung muss für die Vektoren gelten, damit eine Gerade parallel zu einer Ebene ist? - Hängt die Ausrichtung der Geraden in diesem Fall vom Parameter \(a\) ab? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob eine ganze Gerade in einer Ebene liegt? - Wie stellst du eine Gerade auf, die durch den Koordinatenursprung geht?

1. Teilaufgabe a): Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor der Geradenschar ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 = 0\) ist für alle \(a\) gleich null, woraus Parallelität oder Enthaltensein folgt. 2. Teilaufgabe b): Damit \(g_a \subset E\) gilt, muss der Stützpunkt \(P(a|2|1)\) die Ebenengleichung erfüllen: \(a + 2 + 2 \cdot 1 = 6 \Rightarrow a + 4 = 6 \Rightarrow a = 2\). 3. Teilaufgabe c): Die Gerade \(h\) hat die Gleichung \(\vec{x} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Einsetzen der Komponenten \(x_1=s, x_2=s, x_3=s\) in \(E\): \(s + s + 2s = 6 \Rightarrow 4s = 6 \Rightarrow s = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

a) Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\), ist jede Gerade der Schar parallel zu \(E\) oder liegt in \(E\). b) Für \(a = 2\) liegt die Gerade \(g_a\) in der Ebene \(E\). c) Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

- Wie stehen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Wie kannst du prüfen, ob ein einzelner Punkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt? - Um einen Schnittpunkt zu finden, kannst du die Koordinaten der Geraden in die Koordinatenform der Ebene einsetzen.

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\): \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden \(\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}\) muss null sein: \(2 \cdot a + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 2a - 2 = 0\). Daraus folgt \(a = 1\). 3. Überprüfung der Lage für \(a = 1\): Punktprobe mit dem Stützpunkt \(P(1|1|1)\) der Geraden in der Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2\). Da \(2 \neq 5\), liegt der Punkt nicht in der Ebene, die Gerade ist also echt parallel. 4. Schnittpunktberechnung für \(a = 0\): Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1 + 2t\), \(x_3 = 1 + 4t\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + (1 + 2t) - (1 + 4t) = 5\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(2 + 1 + 2t - 1 - 4t = 5 \Rightarrow 2 - 2t = 5 \Rightarrow -2t = 3 \Rightarrow t = -1{,}5\). 6. Einsetzen von \(t = -1{,}5\) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \(S(1 | -2 | -5)\).

a) \(a = 1\) b) Die Gerade ist echt parallel, da der Stützpunkt \(P(1|1|1)\) nicht in der Ebene liegt (\(2 \neq 5\)). c) Der Schnittpunkt ist \(S(1 | -2 | -5)\).

- Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen. - Vergleiche die Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\), um den Proportionalitätsfaktor zwischen den Ebenen zu finden. - Was muss für die rechte Seite der Gleichung gelten, damit jeder Punkt der einen Ebene auch auf der anderen liegt?

1. Parallelität bestimmen: Damit die Ebenen parallel sind, müssen die Normalenvektoren \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ t \end{pmatrix}\) kollinear sein. Der Vergleich der ersten beiden Komponenten ergibt den Streckungsfaktor \(k = 3\) (da \(9 = 3 \cdot 3\) und \(6 = 3 \cdot 2\)). Daraus folgt für die dritte Komponente: \(t = 3 \cdot (-4) = -12\). 2. Identität bestimmen: Damit die Ebenen identisch sind, muss die gesamte Gleichung von \(F\) das 3-fache der Gleichung von \(E\) sein. Für die rechte Seite bedeutet das: \(s = 3 \cdot 6 = 18\). 3. Fallprüfung für \(t = -12, s = 10\): Für \(t = -12\) sind die Normalenvektoren kollinear (Parallelität ist gegeben). Da jedoch \(s = 10 \neq 18\) gilt, ist das Verhältnis der rechten Seiten nicht gleich dem Verhältnis der Normalenvektoren. Folglich sind die Ebenen echt parallel.

a) \(t = -12\) b) \(s = 18\) c) Für \(t = -12\) und \(s = 10\) sind die Ebenen echt parallel, da die Normalenvektoren zwar Vielfache voneinander sind (\(\vec{n}_F = 3 \cdot \vec{n}_E\)), die Konstante \(s = 10\) aber nicht das Dreifache der Konstanten von \(E\) (\(3 \cdot 6 = 18\)) ist.

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Wie hängen die Koeffizienten einer Ebenengleichung mit ihrem Normalenvektor zusammen? - Überlege dir, was passieren muss, damit zwei Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben. - Was unterscheidet zwei echt parallele Ebenen von zwei identischen Ebenen in ihrer Koordinatenform? - Wenn zwei Ebenen im Raum nicht parallel sind, wie liegen sie dann zueinander?

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} a \\ 6 \\ b \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität oder Identität ist die Kollinearität der Normalenvektoren: \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\). 3. Berechnung des Skalierungsfaktors \(k\) über die \(x_2\)-Koordinate: \(6 = k \cdot (-4) \Rightarrow k = -1{,}5\). 4. Berechnung der fehlenden Koeffizienten für die Parallelität: \(a = -1{,}5 \cdot 6 = -9\) und \(b = -1{,}5 \cdot 2 = -3\). 5. Untersuchung der Konstanten für Identität (a): \(c = k \cdot 12 = -1{,}5 \cdot 12 = -18\). Die Ebenen sind identisch für \(a = -9, b = -3, c = -18\). 6. Untersuchung für echte Parallelität (b): Die Normalenvektoren müssen kollinear sein, aber die Konstante darf nicht proportional sein. Dies gilt für \(a = -9, b = -3\) und \(c \neq -18\). 7. Untersuchung für den Schnitt (c): Die Normalenvektoren dürfen nicht kollinear sein. Dies ist der Fall, wenn \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\). Der Wert von \(c\) spielt hierbei keine Rolle.

a) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c = -18\) b) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c \neq -18\) c) \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\) (mit beliebigem \(c \in \mathbb{R}\))

- Was bedeutet Parallelität zwischen Gerade und Ebene für das Verhältnis von Richtungs- und Normalenvektor? - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht, welche Beziehung haben dann der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander? - Überprüfe bei Teilaufgabe b), ob alle Komponenten des Richtungsvektors ein Vielfaches des Normalenvektors sein können.

1. Teilaufgabe a): Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) der Ebene ist. 2. Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow a \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 0\). 3. Lösen der Gleichung: \(2a + 4 - 6 = 0 \Rightarrow 2a - 2 = 0 \Rightarrow a = 1\). 4. Teilaufgabe b): Damit die Gerade orthogonal zur Ebene steht, muss der Richtungsvektor \(\vec{u}\) kollinear zum Normalenvektor \(\vec{n}\) sein, d. h. \(\vec{u} = k \cdot \vec{n}\). 5. Aufstellen des Gleichungssystems: \(a = 2k\), \(1 = 4k\), \(2 = -3k\). 6. Aus der zweiten Gleichung folgt \(k = 0{,}25\). Aus der dritten Gleichung folgt \(k = -\frac{2}{3}\). 7. Da \(0{,}25 \neq -\frac{2}{3}\), gibt es kein \(k\) und somit kein \(a\), das die Bedingung erfüllt.

a) Für \(a = 1\) verläuft die Gerade parallel zur Ebene. b) Eine orthogonale Lage erfordert Kollinearität von Richtungs- und Normalenvektor (\(\vec{u} = k \cdot \vec{n}\)). Das resultierende Gleichungssystem (\(1 = 4k\) und \(2 = -3k\)) führt zu einem Widerspruch, weshalb kein solches \(a\) existiert.

- Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wenn eine Gleichung für alle Werte eines Parameters gelten soll, was bedeutet das für die Terme, die mit dem Parameter multipliziert werden? - Der Normalenvektor einer Ebene, die auf zwei anderen Ebenen senkrecht steht, lässt sich über das Kreuzprodukt finden. - Um zu zeigen, dass eine bestimmte Ebene Teil einer Schar ist, kannst du die Normalenvektoren vergleichen oder versuchen, den Parameter \(t\) direkt zu berechnen.

1. Orthogonalität: \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_t = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ t-1 \\ -t \end{pmatrix} = 1 + t - 1 - t = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, sind alle \(\mathbb{F}_t\) orthogonal zu \(\mathbb{F}\). Der Ursprung \(O(0|0|0)\) erfüllt \(0 + (t-1) \cdot 0 - t \cdot 0 = 0\) für alle \(t\). 2. Gemeinsame Schnittmenge: Sortieren nach \(t\): \(x_1 - x_2 + t(x_2 - x_3) = 0\). Alle Ebenen schneiden sich in der Geraden \(s\), definiert durch \(x_1 - x_2 = 0\) und \(x_2 - x_3 = 0\), also \(x_1 = x_2 = x_3\). Dies ergibt \(s: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(\mathbb{E}^*\): Der Normalenvektor \(\vec{n}^*\) muss orthogonal zu \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) sein. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(O \in \mathbb{E}^*\), lautet die Gleichung \(\mathbb{E}^*: x_1 - x_2 = 0\). 4. Zugehörigkeit zur Schar: Vergleich der Normalenvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ t-1 \\ -t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Dies liefert \(t-1 = -1 \Rightarrow t=0\) und \(-t=0 \Rightarrow t=0\). Für \(t=0\) ergibt die Schargleichung \(x_1 - x_2 = 0\), was exakt \(\mathbb{E}^*\) entspricht.

a) Alle Ebenen schneiden sich in der Geraden \(s: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). b) \(\mathbb{E}^*: x_1 - x_2 = 0\) c) Die Ebene gehört zur Schar für den Parameterwert \(t = 0\).

- Wie kannst du die Punktkoordinaten einer Ebene in Parameterform in die Koordinatengleichung einer anderen Ebene einsetzen? - Erinnere dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Normalenvektoren. - Wie berechnet man einen Normalenvektor, wenn zwei Spannvektoren einer Ebene bekannt sind? - Überlege, was das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene über deren gegenseitige Lage aussagt. - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, wie findest du heraus, ob sie in der Ebene liegt oder einen Abstand zu ihr hat?

1. Zur Bestimmung der Schnittgeraden \(g\) wird die Parameterform von \(E_2\) in die Koordinatengleichung von \(E_1\) eingesetzt: \((1+r) + (-r+s) = 2 \Rightarrow 1+s = 2 \Rightarrow s = 1\). Einsetzen von \(s=1\) in \(E_2\) liefert \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E_2\): \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Der Schnittwinkel berechnet sich über \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|-3-2+0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{28}} \approx 0{,}9449\). Dies ergibt \(\alpha \approx 19{,}11^\circ\). 4. Für die Lage von \(g\) zu \(H_a\) wird das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor von \(g\) und dem Normalenvektor \(\vec{n}_{H_a} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1-a \end{pmatrix}\) berechnet: \(\vec{v}_g \cdot \vec{n}_{H_a} = 1 \cdot a - 1 \cdot 1 + 1 \cdot (1-a) = a - 1 + 1 - a = 0\). Da das Skalarprodukt für alle \(a\) Null ist, verläuft \(g\) stets parallel zu \(H_a\) oder liegt in \(H_a\). 5. Prüfung eines Punktes von \(g\), z. B. \(P(1|1|3)\), in \(H_a\): \(a \cdot 1 + 1 + (1-a) \cdot 3 = a + 1 + 3 - 3a = 4 - 2a\). Die Bedingung \(4 - 2a = 4\) ist nur für \(a = 0\) erfüllt. 6. Ergebnis: Für \(a = 0\) liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(H_0\). Für \(a \neq 0\) ist die Gerade \(g\) echt parallel zur Ebene \(H_a\).

a) Schnittgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\); Schnittwinkel \(\alpha \approx 19{,}11^\circ\). b) Für \(a = 0\) liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(H_0\) (\(g \subset H_0\)). Für alle \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ist die Gerade \(g\) echt parallel zur Ebene \(H_a\) (\(g \parallel H_a\)).

- Wie stehen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Was passiert, wenn du den Stützvektor der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Lagebeziehung? - Gibt es einen speziellen Wert für \(k\), bei dem sich das Verhalten der Geraden grundlegend ändert?

1. Untersuchung der Parallelität über das Skalarprodukt von Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ k \end{pmatrix}\): \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 1 \cdot k = k - 1\). 2. Bedingung für Parallelität (\(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\)): Dies ist für \(k = 1\) erfüllt. In diesem Fall ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 3. Punktprobe für \(k = 1\): Einsetzen des Stützpunktes \(P(2|1|6)\) in die Ebene \(E\): \(3 \cdot 2 - 2(1) + 6 = 6 - 2 + 6 = 10\). Da \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. 4. Schlussfolgerung für \(k = 1\): Die Gerade \(g_1\) liegt vollständig in der Ebene \(E\). 5. Untersuchung für \(k \neq 1\): Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0\), ist der Richtungsvektor nicht orthogonal zum Normalenvektor. Folglich schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

Für \(k = 1\) liegt die Gerade \(g_1\) in der Ebene \(E\). Für alle \(k \neq 1\) schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden. - Welches Skalarprodukt hilft dir hier weiter? - Wenn du die Parallelität festgestellt hast, wie kannst du prüfen, ob die gesamte Gerade in der Ebene liegt oder einen Abstand zu ihr hat? - Genügt es, einen einzigen Punkt der Geraden zu prüfen?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Normalenvektor stehen. Das Skalarprodukt muss null sein: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot a + (-2) \cdot 3 = 0\). 3. Berechnung von \(a\): \(3 + a - 6 = 0 \Rightarrow a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3\). 4. Überprüfung der Punktlage: Testen, ob der Stützpunkt \(P(2|6|1)\) der Geraden in der Ebene \(E\) liegt: \(3 \cdot 2 + 6 - 2(1) = 6 + 6 - 2 = 10\). 5. Da die Gleichung \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. Für \(a=3\) verläuft die Gerade nicht nur parallel, sondern liegt vollständig in der Ebene \(E\).

Für \(a = 3\) verläuft die Gerade parallel zur Ebene. Da der Stützpunkt der Geraden in der Ebene liegt, ist die Gerade \(g_3\) in der Ebene \(E\) enthalten.

- Spurpunkte hängen hier teilweise von einem Parameter ab. Behandle diesen wie eine Zahl. - Wann sind alle Seiten eines Dreiecks gleich lang? Stelle eine Gleichung für \(k\) auf. - Für den Flächeninhalt kannst du das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren nutzen. - Erinnere dich an die Abstandsformel Punkt-Ebene (Hessesche Normalenform).

1. Spurpunkte durch Einsetzen von Nullen: \(S_1(1|0|0)\), \(S_2(0|k|0)\), \(S_3(0|0|k)\). 2. Das Dreieck ist gleichseitig, wenn alle Seitenlängen gleich sind: \(|\vec{S_1S_2}| = \sqrt{1^2 + k^2}\), \(|\vec{S_1S_3}| = \sqrt{1^2 + k^2}\), \(|\vec{S_2S_3}| = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2}\). Bedingung: \(\sqrt{1+k^2} = \sqrt{2k^2} \Rightarrow 1+k^2 = 2k^2 \Rightarrow k^2 = 1\). Für \(k > 0\) folgt \(k = 1\). 3. Für \(k = 3\) sind die Spurpunkte \(S_1(1|0|0)\), \(S_2(0|3|0)\), \(S_3(0|0|3)\). Flächeninhalt: Das Kreuzprodukt von \(\vec{S_1S_2}\) und \(\vec{S_1S_3}\) ist \(\begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). Daher ist \(A = \frac{1}{2} \left| \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \sqrt{81 + 9 + 9} = \frac{1}{2} \sqrt{99} = \frac{3}{2}\sqrt{11} \approx 4{,}97\,\text{FE}\). Abstand des Ursprungs \(O(0|0|0)\) von \(E_3: 3x_1 + x_2 + x_3 - 3 = 0\): Abstandsformel für Punkt und Ebene: \(d = \frac{|3 \cdot 0 + 0 + 0 - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{11} \approx 0{,}90\,\text{LE}\).

1. \(S_1(1|0|0)\), \(S_2(0|k|0)\), \(S_3(0|0|k)\) 2. \(k = 1\) 3. Flächeninhalt: \(\frac{3}{2}\sqrt{11} \approx 4{,}97\,\text{FE}\); Abstand: \(\frac{3}{\sqrt{11}} \approx 0{,}90\,\text{LE}\)

- Wann genau bilden ein Punkt und eine Gerade keine Ebene? Überlege, wie sie zueinander liegen könnten. - Für die Parameterform kannst du den Richtungsvektor der Geraden direkt übernehmen. Welchen zweiten Vektor benötigst du? - Wie hängen der Normalenvektor und das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren zusammen? - Was ist der Unterschied zwischen der Normalenform und der Parameterform?

1. Bedingung für keine eindeutige Ebene: Eine Ebene ist nur dann eindeutig definiert, wenn der Punkt nicht auf der Geraden liegt. Punktprobe \(S_k \in g\): \(4 = 2\lambda \implies \lambda = 2\). Einsetzen in die dritte Komponente: \(4 = 2 + 2\) (wahr). Einsetzen in die zweite Komponente: \(k = 4 - 2 \cdot 2 = 0\). Für \(k = 0\) liegt der Punkt auf der Geraden. 2. Parameterform für \(k=2\): Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{OS_2} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Normalenvektor berechnen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Vereinfacht (durch \(-2\)) ergibt sich \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Normalengleichung: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (entspricht \(x_1 - 2x_3 = -4\)).

a) Für \(k = 0\) wird keine eindeutige Ebene definiert, da der Punkt \(S_0\) auf der Geraden \(g\) liegt. b) Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\); Normalengleichung: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren denselben zweidimensionalen Unterraum aufspannen. - Stelle ein Gleichungssystem auf, um zu prüfen, wann die Richtungsvektoren der einen Ebene durch die der anderen ausgedrückt werden können. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Ebenen eventuell sogar alle Punkte gemeinsam haben. - Was muss gelten, damit eine Ebene in einer anderen enthalten ist?

1. Bedingung für Parallelität: Die Richtungsvektoren von \(F\) müssen als Linearkombination der Richtungsvektoren von \(E\) darstellbar sein. 2. Erster Richtungsvektor von \(F\): \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Komponente folgt \(k = 2\). Die dritte Komponente ergibt \(5 = 2 \cdot 2 + m \implies m = 1\). Die zweite Komponente liefert \(3 = 2a + 1 \implies a = 1\). 3. Zweiter Richtungsvektor von \(F\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} = k' \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + m' \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (unter Verwendung von \(a=1\)). Die erste Komponente ergibt \(k' = 1\). Die zweite ergibt \(0 = 1 + m' \implies m' = -1\). Die dritte ergibt \(b = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \implies b = 1\). 4. Somit sind die Ebenen für \(a = 1\) und \(b = 1\) parallel. 5. Identitätsprüfung (Punktprobe): Prüfe, ob \(P_F(2|0|3)\) in \(E\) liegt: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 6. Erste Zeile: \(1 + r = 2 \implies r = 1\). Zweite Zeile: \(1 + 1 + s = 0 \implies s = -2\). Dritte Zeile: \(1 + 2(1) + (-2) = 1\). Da \(1 \neq 3\), liegt der Punkt nicht in \(E\). 7. Ergebnis: Für \(a = 1, b = 1\) sind die Ebenen echt parallel.

Die Ebenen sind für \(a = 1\) und \(b = 1\) zueinander parallel. Für diese Werte sind sie echt parallel.

- Welche Information über die Lage der Ebene liefert der Normalenvektor in der Koordinatenform? - Wann sind zwei Vektoren parallel (kollinear)? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt einer Ebene in Parameterform auch in einer Ebene in Koordinatenform liegt? - Was unterscheidet identische Ebenen von echt parallelen Ebenen in Bezug auf ihre Gleichungen?

1. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \( E_2 \) ergibt \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \). 2. Ablesen des Normalenvektors von \( E_1 \): \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ a \end{pmatrix} \). 3. Bedingung für Parallelität: \( \vec{n}_1 \) muss ein Vielfaches von \( \vec{n}_2 \) sein. Durch Vergleich der ersten beiden Komponenten ergibt sich der Faktor \( k = 1 \). Damit muss \( a = -3 \) gelten. 4. Identitätsprüfung für \( a = -3 \): Einsetzen des Stützpunktes \( P(1|0|1) \) von \( E_2 \) in die Gleichung von \( E_1 \): \( 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \). 5. Da \( -1 \neq 8 \), liegt der Punkt nicht in \( E_1 \). 6. Ergebnis: Für \( a = -3 \) sind die Ebenen echt parallel.

Für \( a = -3 \) sind die Ebenen parallel. Da der Stützpunkt von \( E_2 \) die Gleichung von \( E_1 \) nicht erfüllt, sind sie echt parallel.

- Schau dir die Koeffizienten der Variablen in den drei Gleichungen genau an. Fällt dir ein Zusammenhang zwischen den ersten beiden und der dritten Gleichung auf? - Was bedeutet es für die Lösbarkeit eines Systems, wenn eine Gleichung eine Kombination der anderen ist, das Ergebnis auf der rechten Seite aber nicht dazu passt? - Erinnere dich an die verschiedenen Möglichkeiten, wie drei Ebenen im Raum liegen können, wenn ihre Normalenvektoren in einer Ebene liegen (komplanar sind). - Wie viele gemeinsame Punkte können drei Ebenen haben, wenn das Gleichungssystem keine Lösung liefert?

1. Prüfung der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Es fällt auf, dass \(\vec{n}_1 + \vec{n}_2 = \vec{n}_3\) gilt. Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, aber keine zwei Vektoren sind kollinear (die Ebenen sind also nicht parallel). 2. Anwendung des Additionsverfahrens auf die Gleichungen: Addiert man die Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\), erhält man \((1+2)x_1 + (-1+3)x_2 + (2-1)x_3 = 3+1\), also \(3x_1 + 2x_2 + x_3 = 4\). 3. Fallunterscheidung für \(k\): - Fall \(k = 4\): Die Gleichung von \(E_3\) ist identisch mit der Summe der Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\). Das Gleichungssystem hat den Rang 2 und somit unendlich viele Lösungen. Geometrisch bedeutet dies, dass sich alle drei Ebenen in einer gemeinsamen Schnittgeraden schneiden (Ebenenbüschel). - Fall \(k \neq 4\): Die linke Seite der Gleichung von \(E_3\) entspricht der Summe von \(E_1\) und \(E_2\), aber die rechte Seite unterscheidet sich (\(k \neq 4\)). Das Gleichungssystem ist widersprüchlich und besitzt keine Lösung. Geometrisch liegen drei Schnittgeraden vor, die alle parallel zueinander verlaufen (Prismenfall).

Für \(k = 4\) besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen; die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden (Ebenenbüschel). Für \(k \neq 4\) besitzt das Gleichungssystem keine Lösung; die Ebenen schneiden sich paarweise in drei echt parallelen Geraden (Prismenfall).

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen mit dem Richtungsvektor ihrer Schnittgeraden zusammen? - Nutze das Vektorprodukt, um einen allgemeinen Ausdruck für die Richtung der Schnittgeraden in Abhängigkeit von \( k \) zu finden. - Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Vergleiche die Komponenten der Vektoren, um eine Gleichung für \( k \) aufzustellen.

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \( \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_{F,k} = \begin{pmatrix} k \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als allgemeinen Richtungsvektor der Schnittgeraden \( \vec{v}_k = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot k - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - 2 \cdot k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ k - 2 \\ -1 - 2k \end{pmatrix} \). 3. Abgleich mit dem gegebenen Richtungsvektor \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \). Da die erste Komponente bereits übereinstimmt, muss gelten: \( k - 2 = -1 \) und \( -1 - 2k = -3 \). 4. Lösen der Gleichung \( k - 2 = -1 \) ergibt \( k = 1 \). 5. Überprüfung mit der dritten Komponente: \( -1 - 2 \cdot 1 = -3 \). Die Bedingung ist erfüllt.

Der gesuchte Wert ist \( k = 1 \).

- Wann besitzt ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, und wann hängen die Lösungen von einem Parameter ab? - Wie verhalten sich die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix, wenn es unendlich viele Lösungen gibt? - Was bedeutet es geometrisch für die Lage von drei Ebenen, wenn das System keine gemeinsame Lösung hat, aber keine der Ebenen parallel zu einer anderen ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Determinante der Koeffizientenmatrix und der Lösbarkeit.

1. Aufstellen der Koeffizientenmatrix \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) und Berechnung der Determinante: \(\det(A) = 1(1-2k) - 1(2-k) + 1(4-1) = -k + 2\). Die Lösung ist nicht eindeutig für \(\det(A) = 0\), also \(k = 2\). 2. Einsetzen von \(k=2\) in das Gleichungssystem und Anwendung des Gauß-Verfahrens: I: \(x_1 + x_2 + x_3 = 4\) II: \(2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6 \implies \text{II} - 2\cdot\text{I}: -x_2 = -2 \implies x_2 = 2\) III: \(x_1 + 2x_2 + x_3 = m \implies \text{III} - \text{I}: x_2 = m - 4\) Damit eine gemeinsame Schnittgerade (unendlich viele Lösungen) existiert, muss \(m-4 = 2\) gelten, also \(m = 6\). 3. Berechnung der Schnittgeraden für \(k=2, m=6\): Aus \(x_2 = 2\) folgt in I: \(x_1 + 2 + x_3 = 4 \implies x_1 = 2 - x_3\). Mit \(x_3 = t\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Fall \(k=2, m \neq 6\): Das System ist widersprüchlich (keine Lösung). Da keine zwei Normalenvektoren parallel sind (die Ebenen sind nicht paarweise parallel), bilden die drei Ebenen eine Prismenstellung. Die drei Schnittgeraden der Ebenenpaare verlaufen parallel zueinander.

a) \(k = 2\) b) Für \(m = 6\) gibt es eine Schnittgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). c) Die Ebenen bilden ein Prisma (kein gemeinsamer Schnittpunkt, aber paarweise Schnittgeraden, die parallel zueinander verlaufen).

- Wann sind zwei Ebenengleichungen ein Vielfaches voneinander? Was bedeutet das für die Ebenen? - Nutze das Gauß-Verfahren oder die Determinante, um die Lösbarkeit des Systems zu prüfen. - Überlege, was mit dem System passiert, wenn zwei der drei Gleichungen im Grunde dieselbe Ebene beschreiben. - Wovon hängt der Winkel zwischen zwei Ebenen ab? Kommt der Parameter \(b\) in den Gleichungen von \(F_1\) oder \(F_2\) vor?

1. Vergleich der Normalenvektoren von \(E_b\) und \(F_1\): \(\vec{n}_b = \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{F1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Parallelität liegt vor, wenn \(\vec{n}_{F1} = 2 \cdot \vec{n}_b\), also \(2 = 2b \implies b = 1\). Da auch die rechte Seite der Gleichung \(F_1\) das Doppelte der rechten Seite von \(E_b\) ist (\(6 = 2 \cdot 3\)), sind die Ebenen für \(b=1\) identisch. 2. Untersuchung der Lösbarkeit des Systems: I: \(x_1 + b x_2 + 2x_3 = 3\) II: \(2x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 6 \iff x_1 + x_2 + 2x_3 = 3\) III: \(x_1 - x_2 + x_3 = 0\) Das System hat keine eindeutige Lösung, wenn die Normalenvektoren linear abhängig sind. Da \(F_1\) (bzw. die reduzierte Form) und \(F_2\) nicht parallel sind, ist die Determinante der Matrix aus I, II (reduziert) und III entscheidend: \(\det \begin{pmatrix} 1 & b & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1+2) - b \cdot (1-2) + 2 \cdot (-1-1) = 3 + b - 4 = b - 1\). 3. Fallunterscheidung: - Wenn \(b \neq 1\): Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. - Wenn \(b = 1\): \(E_1\) und \(F_1\) sind identisch. Die Lagebeziehung reduziert sich auf den Schnitt von zwei Ebenen (\(E_1=F_1\) und \(F_2\)), was eine Schnittgerade ergibt. 4. Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen wird ausschließlich durch das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren bestimmt. Da die Normalenvektoren von \(F_1\) und \(F_2\) konstant sind (\(\vec{n}_{F1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_{F2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)), ist ihr Winkel \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_{F1} \cdot \vec{n}_{F2}|}{|\vec{n}_{F1}| \cdot |\vec{n}_{F2}|}\) unabhängig von \(b\).

a) Für \(b = 1\) ist \(E_1\) parallel zu \(F_1\). Tatsächlich sind die Ebenen identisch (\(E_1 = F_1\)). b) Für \(b \neq 1\) schneiden sich die drei Ebenen in einem Punkt. Für \(b = 1\) sind \(E_1\) und \(F_1\) identisch und schneiden \(F_2\) in einer Geraden. c) Da die Normalenvektoren von \(F_1\) und \(F_2\) keinen Parameter \(b\) enthalten, ist ihr Skalarprodukt und damit ihr Schnittwinkel konstant.

- Wann sind zwei Vektoren linear abhängig? Betrachte die Komponenten einzeln. - Überlege, welcher Teil der Ebenengleichung vom Parameter \(k\) unabhängig ist. - Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene aus ihrer Parameterform? - Zwei Ebenen sind genau dann orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. - Setze die Koordinaten des Punktes für \(x_1, x_2, x_3\) in die Ebenengleichung ein und löse das entstandene Gleichungssystem.

1. Überprüfung der linearen Unabhängigkeit der Richtungsvektoren: Da der zweite Richtungsvektor in der zweiten Komponente eine \(1\) und der erste dort eine \(0\) hat, können sie für kein \(k\) kollinear sein. Somit ist \(E_k\) stets eine Ebene. 2. Bestimmung der gemeinsamen Geraden: Die Ebenengleichung lässt sich schreiben als \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Damit ein Punkt für alle \(k\) enthalten ist, muss der Koeffizient des variablen Teils verschwinden, also \(\mu = 0\). Die gemeinsame Gerade ist somit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Orthogonalität: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E_k\): \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} -1 \\ k \\ 2 \end{pmatrix}\). Für \(k = -1\) ergibt sich \(\vec{n}_{-1} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{n}_k \cdot \vec{n}_{-1} = 0 \Rightarrow (-1) \cdot (-1) + k \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 1 - k + 4 = 5 - k = 0\). Daraus folgt \(k = 5\). 4. Punktprobe für \(A(5|2|3)\): Einsetzen in die Ebenengleichung führt auf das System \(5 = 1 + 2\lambda + \mu k\), \(2 = 1 + \mu\) und \(3 = 1 + \lambda\). Aus der dritten Gleichung folgt \(\lambda = 2\), aus der zweiten \(\mu = 1\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(5 = 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot k \Rightarrow 5 = 5 + k \Rightarrow k = 0\). Der Punkt liegt auf \(E_0\).

a) Die Richtungsvektoren sind für alle \(k \in \mathbb{R}\) linear unabhängig. b) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(k = 5\) d) Ja, der Punkt \(A\) liegt auf der Ebene \(E_0\).

- Der Richtungsvektor einer Schnittgeraden steht senkrecht auf den Normalenvektoren beider Ebenen. - Welchen Punkt haben alle Ebenen der Schar gemeinsam? - Verwende die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Normalenvektoren. - Lies den Normalenvektor der Ebene \(H\) direkt aus der Koordinatengleichung ab. - Zwei Ebenen sind identisch, wenn sie dieselbe Punktmenge beschreiben. Prüfe zuerst, ob der Stützpunkt der einen Ebene in der anderen liegt.

1. Schnittgerade: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_0\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_1\) ergibt \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als Richtungsvektor der Schnittgeraden \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da beide Ebenen den Stützpunkt \((2|0|4)\) enthalten, lautet die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Schnittwinkel: \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_0 \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}_0| \cdot |\vec{n}_1|} = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}\). Daraus folgt \(\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right) \approx 35{,}26^\circ\). 3. Orthogonalität zu \(H\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_a\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_a = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}\). Normalenvektor von \(H\) ist \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Bedingung \(\vec{n}_a \cdot \vec{n}_H = 1 + 1 + 2a = 2 + 2a = 0 \Rightarrow a = -1\). 4. Prüfung von \(E^*\): Der Stützpunkt von \(E^*\) ist \(P(2|2|4)\). Prüfung, ob \(P\) in einer Ebene \(F_a\) liegt: \(2 = 2 + r \Rightarrow r = 0\); \(4 = 4 + s \Rightarrow s = 0\); mittlere Koordinate \(2 = 0 + 0 \cdot a = 0\), was ein Widerspruch ist. Da der Stützpunkt von \(E^*\) in keiner Ebene der Schar liegt, gehört \(E^*\) nicht zur Schar.

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(\alpha \approx 35{,}26^\circ\) c) \(a = -1\) d) Nein, die Ebene \(E^*\) gehört nicht zur Schar \(F_a\).

- Wann besitzt ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung? Denke an die Determinante oder das Gauß-Verfahren. - Was bedeutet eine Zeile der Form „0 = Zahl“ im Gauß-Verfahren für die Lösbarkeit? - Wie lässt sich die Lösung eines \(3 \times 3\)-Systems als Schnittgebilde von Ebenen im Raum vorstellen? - Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es für drei Ebenen, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert?

1. Determinante oder Gauß-Verfahren: Das System hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. \(\det(A) = 1(8 - k^2) - 1(4 - k) + 1(k - 2) = 8 - k^2 - 4 + k + k - 2 = -k^2 + 2k + 2\). Nullstellen von \(-k^2 + 2k + 2 = 0\): \(k_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)(2)}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} = 1 \mp \sqrt{3}\). Genau eine Lösung für \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). 2. Fall \(k = 2\): Einsetzen in das System: (I) \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) (II) \(x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3\) (III) \(x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2\) Subtraktion (II)-(I) ergibt \(x_2 + x_3 = 1\). Subtraktion (III)-(II) ergibt \(2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -0{,}5\). Daraus folgt \(x_2 = 1{,}5\) und \(x_1 = 2 - 1{,}5 - (-0{,}5) = 1\). Lösung: \((1|1{,}5|-0{,}5)\). Geometrisch: Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. 3. Unlösbarkeit: Prüfung der kritischen Werte \(k = 1 \pm \sqrt{3}\). Alternativ über das Gauß-Tableau: 1 1 1 | 2 0 1 k-1 | 1 0 k-1 3 | k-2 Dritte Zeile minus \((k-1)\) mal zweite Zeile: \(0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + (3 - (k-1)^2)x_3 = (k-2) - (k-1)\). Links: \(3 - (k^2 - 2k + 1) = -k^2 + 2k + 2\). Rechts: \(k - 2 - k + 1 = -1\). Für \(k = 1 \pm \sqrt{3}\) wird die linke Seite \(0\), während die rechte Seite \(-1\) bleibt. In beiden Fällen ist das System unlösbar.

a) \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). b) Für \(k=2\) gibt es die eindeutige Lösung \((1|1{,}5|-0{,}5)\); die drei Ebenen schneiden sich in diesem Punkt. c) Für \(k = 1-\sqrt{3}\) und \(k = 1+\sqrt{3}\).

- Nutze das Gauß-Verfahren, um das System in Stufenform zu bringen. - Achte besonders auf den Koeffizienten vor der letzten Variable in der letzten Zeile. - Wann hat ein Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? - Was bedeutet eine eindeutige Lösung für die Lage von drei Ebenen im Raum? - Wenn ein System unendlich viele Lösungen in Form einer Geradengleichung hat, wie liegen die Ebenen dann zueinander?

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & -1 & 2 & | & 1 \\ 3 & -1 & k & | & 4 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung des Gauß-Verfahrens: \(II - I \Rightarrow 0x_1 - 2x_2 + x_3 = -1\) \(III - 3 \cdot I \Rightarrow 0x_1 - 4x_2 + (k-3)x_3 = -2\) \(III' - 2 \cdot II' \Rightarrow 0x_1 + 0x_2 + (k-5)x_3 = 0\). 3. Fallunterscheidung: Fall 1: \(k \neq 5\). Die letzte Gleichung ergibt \((k-5)x_3 = 0\), woraus \(x_3 = 0\) folgt. Rückwärtseinsetzen liefert \(-2x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5\) und \(x_1 + 0{,}5 + 0 = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5\). Es gibt genau eine Lösung: \(L = \{(1{,}5; 0{,}5; 0)\}\). Geometrisch bedeutet dies, dass sich die drei Ebenen in genau einem Punkt schneiden. Fall 2: \(k = 5\). Die letzte Zeile wird zu \(0 = 0\). Es gibt unendlich viele Lösungen. Mit \(x_3 = \lambda\) folgt aus \(II'\): \(-2x_2 + \lambda = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5 + 0{,}5\lambda\). Einsetzen in \(I\): \(x_1 + (0{,}5 + 0{,}5\lambda) + \lambda = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5 - 1{,}5\lambda\). Lösungsmenge \(L = \{ (1{,}5 - 1{,}5\lambda; 0{,}5 + 0{,}5\lambda; \lambda) \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). Geometrisch schneiden sich die drei Ebenen in einer gemeinsamen Geraden.

a) Für \(k \neq 5\) ist das System eindeutig lösbar. Für \(k = 5\) besitzt es unendlich viele Lösungen. b) Für \(k \neq 5\): \(L = \{(1{,}5; 0{,}5; 0)\}\). Für \(k = 5\): \(L = \{ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). c) Für \(k \neq 5\) schneiden sich die drei Ebenen in einem gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt). Für \(k = 5\) schneiden sie sich in einer gemeinsamen Geraden (Schnittgerade).

- Woran erkennst du am Normalenvektor, dass eine Ebene orthogonal zu einer anderen ist? - Welche Koordinaten müssen im Normalenvektor Null sein, damit eine Ebene parallel zu einer Koordinatenebene ist? - Nutze das Einsetzungs- oder Additionsverfahren, um das Gleichungssystem schrittweise zu lösen. - Achte beim Lösen des Gleichungssystems auf Divisionen durch Ausdrücke, die Null werden könnten. Das führt oft zu einer Fallunterscheidung.

1. Orthogonalität: Die Normalenvektoren \(\vec{n}_a = \begin{pmatrix} a+1 \\ 1-a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) müssen orthogonal sein. Skalarprodukt: \(2 \cdot (a+1) - 2 \cdot (1-a) + 1 \cdot a = 2a + 2 - 2 + 2a + a = 5a = 0\). Daraus folgt \(a = 0\). Es gibt also genau eine solche Ebene \(E_0: x_1 + x_2 = 2\). 2. Parallelität zur \(x_1x_2\)-Ebene: Der Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene ist \(\vec{n}_{12} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Damit \(E_a\) parallel dazu ist, muss \(\vec{n}_a\) ein Vielfaches von \(\vec{n}_{12}\) sein. Das bedeutet \(a+1 = 0\) und \(1-a = 0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(a = -1\), aus der zweiten \(a = 1\). Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, gibt es kein solches \(a\). 3. LGS lösen: Aus \(I\) folgt \(x_2 = 2 - x_1\). Einsetzen in \(II\): \(x_1 - (2 - x_1) + x_3 = 0 \Rightarrow 2x_1 + x_3 = 2 \Rightarrow x_3 = 2 - 2x_1\). Einsetzen in \(III\): \(2x_1 + t \cdot (2 - 2x_1) = 4 \Rightarrow 2x_1 + 2t - 2tx_1 = 4 \Rightarrow x_1(2 - 2t) = 4 - 2t\). Fall 1: \(2 - 2t \neq 0 \Rightarrow t \neq 1\). Eindeutige Lösung: \(x_1 = \frac{4-2t}{2-2t} = \frac{2-t}{1-t}\). Dann \(x_3 = 2 - 2\frac{2-t}{1-t} = \frac{2-2t-4+2t}{1-t} = \frac{-2}{1-t} = \frac{2}{t-1}\) und \(x_2 = 2 - \frac{2-t}{1-t} = \frac{2-2t-2+t}{1-t} = \frac{-t}{1-t} = \frac{t}{t-1}\). Geometrisch: Die drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt. Fall 2: \(t = 1\). Die Gleichung \(x_1(0) = 4 - 2 = 2\) ist ein Widerspruch. Keine Lösung. Geometrisch: Die Schnittgeraden der Ebenenpaare sind parallel (Prismenfall).

a) \(a = 0\). b) Nein, da die Bedingungen \(a = -1\) und \(a = 1\) nicht gleichzeitig erfüllt werden können. c) Für \(t \neq 1\): Genau ein Schnittpunkt \(S\left(\frac{2-t}{1-t} | \frac{t}{t-1} | \frac{2}{t-1}\right)\). Für \(t = 1\): Keine Lösung, die Ebenen befinden sich im Prismenfall (kein gemeinsamer Punkt).

- Um zu zeigen, dass sich zwei Geraden schneiden, kannst du ihre Terme gleichsetzen und das resultierende Gleichungssystem lösen. - Eine Ebene, die zwei sich schneidende Geraden enthält, hat einen Normalenvektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. - Überlege dir, für welchen speziellen Wert des Parameters die Schargleichung mit deiner gefundenen Ebenengleichung identisch wird. - Um die gemeinsame Schnittgerade einer Schar zu finden, kannst du die Gleichung nach dem Parameter sortieren und die Ausdrücke mit und ohne Parameter getrennt Null setzen. - Wenn eine Ebene senkrecht auf einer ganzen Schar von Ebenen stehen soll, muss ihr Normalenvektor senkrecht auf den Normalenvektoren zweier beliebiger (nicht paralleler) Ebenen der Schar stehen.

1. Schnittpunktbestimmung: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(1+2\lambda = -1+4\mu\), \(2+\lambda = 1+\mu\) und \(-\lambda = 1-2\mu\). Die Lösung ergibt \(\mu = 0\) und \(\lambda = -1\). Der Schnittpunkt ist \(S(-1|1|1)\). 2. Ebene \(E\): Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit dem Punkt \(S\) folgt die Koordinatengleichung \(-x_1 - 2x_3 = -1\) bzw. \(x_1 + 2x_3 = 1\). 3. Ebenenschar: Für \(t=0\) ergibt sich in der Schargleichung \(1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 2x_3 = 1+0\), also \(x_1 + 2x_3 = 1\). Somit ist \(E = E_0\). 4. Gemeinsame Gerade \(s\): Die Schargleichung lässt sich umformen zu \(x_1 + 2x_3 - 1 + t(x_1 + x_2 - 1) = 0\). Alle Punkte der Geraden müssen beide Teilgleichungen \(x_1 + 2x_3 = 1\) und \(x_1 + x_2 = 1\) erfüllen. Wählt man \(x_1 = 1-2k\), folgt \(x_3 = k\) und \(x_2 = 2k\). Eine Parameterform ist \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Orthogonale Ebene \(E^*\): Damit \(E^*\) orthogonal zu allen \(E_t\) ist, muss ihr Normalenvektor \(\vec{n}^*\) orthogonal zu allen Normalenvektoren \(\vec{n}_t = \begin{pmatrix} 1+t \\ t \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sein. Dies ist erfüllt, wenn \(\vec{n}^*\) parallel zum Richtungsvektor der Schnittgeraden \(s\) ist. Mit \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Punkt \(P(2|1|5)\) ergibt sich \(-2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = 3\). Die Gleichung lautet \(-2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(-1|1|1)\). Die Ebene ist \(E: x_1 + 2x_3 = 1\). b) Für \(t=0\) gilt \(E_0 = E\). Die gemeinsame Gerade ist \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). c) \(E^*: -2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3\) (oder äquivalent).

- Setze für \(a\) den Wert 0 ein, um die spezielle Ebene der Schar zu erhalten. - Um zu prüfen, ob eine Gerade in einer Ebene liegt, kannst du die allgemeine Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen. - Sortiere die Schargleichung so, dass alle Terme mit \(a\) in einer Klammer stehen und alle Terme ohne \(a\) außerhalb. - Die Punkte, die unabhängig von \(a\) in der Ebene liegen, müssen beide Teile der sortierten Gleichung gleichzeitig erfüllen (Schnittgerade). - Erinnere dich an die Struktur einer Ebenenbüschel-Gleichung: Eine Ebene wird durch die Gleichung des „Teils mit dem Parameter“ repräsentiert, kann aber selbst nicht durch Einsetzen eines reellen Wertes für den Parameter erreicht werden.

1. Ebene \(E_0\): Einsetzen von \(a=0\) in die Schargleichung liefert \(1x_1 - 1x_2 + 1x_3 = 1\), also \(E_0: x_1 - x_2 + x_3 = 1\). 2. Lage von \(g\): Einsetzen von \(g\) in \(E_0\): \((1+\lambda) - (0+\lambda) + 0 = 1 \Rightarrow 1 = 1\). Da die Gleichung für alle \(\lambda\) erfüllt ist, liegt \(g\) in \(E_0\). 3. Gemeinsame Gerade \(l\): Umformen der Schargleichung nach \(a\): \(x_1 - x_2 + x_3 - 1 + a(x_1 + 2x_2 - x_3 - 3) = 0\). Die Gerade \(l\) ergibt sich aus dem Schnitt der Ebenen \(x_1 - x_2 + x_3 = 1\) und \(x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\). Addition der Gleichungen eliminiert \(x_3\): \(2x_1 + x_2 = 4 \Rightarrow x_2 = 4 - 2x_1\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_1 - (4-2x_1) + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 5 - 3x_1\). Mit \(x_1 = t\) folgt \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Ebene \(\tilde{E}\): Die Schar hat die Form \(P_1 + a \cdot P_2 = 0\). Alle Ebenen der Schar entstehen durch Kombination dieser zwei Grundebenen, außer der Ebene \(P_2 = 0\), die formal dem Fall \(a \to \infty\) entspricht. Somit ist \(\tilde{E}: x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\).

a) \(E_0: x_1 - x_2 + x_3 = 1\). Die Prüfung durch Einsetzen bestätigt \(1=1\). b) \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent). c) \(\tilde{E}: x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\).

- Wie hängen der Richtungsvektor einer Geraden und der Normalenvektor einer Ebene zusammen, wenn diese parallel sind? - Nutze die Abstandsformel Punkt-Ebene für den Stützpunkt der Geraden. - Setze die allgemeine Form eines Scharpunktes in die Ebenengleichung ein, um den Geradenparameter \(\lambda\) zu finden. - Wenn du die Koordinaten von \(Q_s\) hast, versuche den Term, der \(s\) enthält, als neuen Parameter einer Geraden zu interpretieren. - Um zu zeigen, dass alle Geraden in einer Ebene liegen, finde zwei feste Richtungsvektoren, aus denen sich jeder Richtungsvektor der Schar kombinieren lässt.

1. Parallelität von \(g\): \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Skalarprodukt: \(1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Punkt \(A(0|0|3)\) eingesetzt in \(E\): \(0 - 0 + 2 \cdot 3 = 6 \neq 9\). Also \(g \parallel E\). 2. Abstand: \(d = \frac{|6 - 9|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3}{3} = 1\). 3. Schar-Zugehörigkeit: Für \(s=0\) ergibt sich der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(g = g_0\). 4. Schnittpunkte \(Q_s\): Einsetzen von \(g_s\) in \(E\): \(\lambda \cdot (2+s) - 2 \cdot \lambda \cdot (1-2s) + 2 \cdot (3+2s\lambda) = 9 \Rightarrow 2\lambda + s\lambda - 2\lambda + 4s\lambda + 6 + 4s\lambda = 9 \Rightarrow 9s\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3s}\) (Schnitt für \(s \neq 0\)). 5. Punktkoordinaten: \(Q_s = \begin{pmatrix} \frac{2+s}{3s} \\ \frac{1-2s}{3s} \\ 3 + \frac{2s}{3s} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{2}{3s} \\ -\frac{2}{3} + \frac{1}{3s} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix}\). 6. Gerade \(m\): Mit \(\mu = \frac{1}{3s}\) folgt \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 7. Ebene \(F\): Aufgespannt wird \(F\) durch \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (für \(s=0\)) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) (Koeffizienten von \(s\)). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix}\). 8. Orthogonalität: \(\vec{n}_E \cdot \vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} = 2 + 8 - 10 = 0\). Da \(m\) sowohl in \(E\) als auch in \(F\) liegt (Punkt- und Richtungsprüfung), ist \(m\) die Schnittgerade.

a) \(g \parallel E\); Abstand \(d = 1\). b) \(g = g_0\). c) Schnitt für \(s \neq 0\); \(Q_s = \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3s} \mid -\frac{2}{3} + \frac{1}{3s} \mid \frac{11}{3} \right)\). d) \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{11}{3} \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). e) \(F: 2x_1 - 4x_2 - 5x_3 = -15\); \(F \perp E\) wegen \(\vec{n}_E \cdot \vec{n}_F = 0\).

- Wie hängen die Richtungsvektoren zweier Geraden mit dem Normalenvektor der aufgespannten Ebene zusammen? - Was muss für die Normalenvektoren gelten, wenn zwei Ebenen senkrecht zueinander stehen? - Um eine gemeinsame Gerade einer Ebenenschar zu finden, kannst du die Gleichung nach dem Parameter sortieren und die Terme einzeln null setzen. - Überlege dir geometrisch: Wenn alle Ebenen eine Gerade enthalten, welche dieser Ebenen ist dann am weitesten von einem Punkt entfernt? - Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene ist maximal, wenn der Normalenvektor der Ebene in Richtung des kürzesten Abstandsvektors vom Punkt zur gemeinsamen Geraden zeigt.

1. Der Schnittpunkt beider Geraden ist der gemeinsame Stützpunkt \(S(1|1|2)\). 2. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E\): \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Mit \(S\) folgt \(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 1\), also \(E: x_1 - 2x_2 + x_3 = 1\). 3. Orthogonalität: \(\vec{n}_k \cdot \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ 1+k \\ 2k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 - 2 \cdot (1+k) + 2k = 2 - 2 - 2k + 2k = 0\). Da das Skalarprodukt der Normalenvektoren null ist, stehen die Ebenen senkrecht aufeinander. 4. Gemeinsame Gerade: Umformen der Ebenengleichung nach \(k\): \(2x_1 + x_2 - 3 + k(x_2 + 2x_3 - 3) = 0\). Die Schnittgerade ergibt sich aus dem System \(2x_1 + x_2 = 3\) und \(x_2 + 2x_3 = 3\). Mit \(x_3 = \lambda\) folgt \(x_2 = 3 - 2\lambda\) und \(x_1 = \lambda\). Somit \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Maximaler Abstand: Der maximale Abstand einer Ebene der Schar zum Ursprung entspricht dem Abstand des Ursprungs zur Geraden \(l\). Der Lotfußpunkt \(Q\) auf \(l\) wird durch \(\vec{q} \cdot \vec{v}_l = 0\) bestimmt: \(\begin{pmatrix} \lambda \\ 3-2\lambda \\ \lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda - 6 + 4\lambda + \lambda = 6\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1\). Der Punkt ist \(Q(1|1|1)\). Die Ebene mit maximalem Abstand muss \(\vec{OQ}\) als Normalenvektor haben. \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} 2 \\ 1+k \\ 2k \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) liefert \(c=2\) und \(1+k=2 \Rightarrow k_0 = 1\). Der Abstand ist \(|\vec{OQ}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

a) \(S(1|1|2)\), \(E: x_1 - 2x_2 + x_3 = 1\) b) \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(k_0 = 1\); maximaler Abstand \(d = \sqrt{3}\)