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- Welcher Parameter steht bereits im Stützpunkt, bevor du auf einer Geraden läufst? - Welcher Parameter multipliziert den Richtungsvektor? - Setze für Teil b) zuerst die Scharwahl und danach den Laufparameter ein.

1. Der Parameter \(a\) wählt aus der Schar eine bestimmte Gerade aus, weil er ihren Stützpunkt festlegt. 2. Ist \(a\) fest gewählt, bewegt der Laufparameter \(t\) den Punkt entlang genau dieser Geraden. 3. Für \(a=2\) und \(t=-1\) ergibt sich \(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\).

a) \(a\) wählt die Gerade der Schar; \(t\) beschreibt die Punkte auf der gewählten Geraden. b) \((2|-1|0)\)

- Welche Bedingung müssen die beiden Richtungsvektoren einer Ebene erfüllen? - Für welchen Scharparameter verliert der zweite Richtungsvektor seine Richtung vollständig? - Wie viele frei wirksame Laufparameter bleiben dann noch übrig?

1. Für eine Ebene werden zwei linear unabhängige Richtungsvektoren benötigt. 2. Bei \(k=0\) wird der zweite Richtungsvektor zum Nullvektor. 3. Dann verändert nur noch der Parameter \(r\) den Punkt. Die dargestellte Punktmenge ist die Gerade \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), also die \(x_1\)-Achse. 4. Für \(k\neq0\) sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig und die Parameterform beschreibt eine Ebene.

Für \(k=0\) liegt keine Ebene vor. Dann bleibt die Gerade \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\), also die \(x_1\)-Achse.

- Welche Eigenschaften haben alle Punkte, die auf der \(x_2\)-Achse liegen? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Parameterform der Geraden zusammen? - Betrachte die einzelnen Zeilen der Vektorgleichung als separate Gleichungen. - Welche Unbekannte kannst du zuerst bestimmen?

1. Bedingung für einen Punkt auf der \(x_2\)-Achse: Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) müssen null sein (\(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\)). 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Zeilen der Geradengleichung: I: \(a + 2\lambda = 0\) II: \(4 - 2\lambda = 0\) 3. Lösen der Gleichung II nach \(\lambda\): \(2\lambda = 4 \implies \lambda = 2\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in Gleichung I: \(a + 2 \cdot 2 = 0 \implies a = -4\). 5. Berechnung der \(x_2\)-Koordinate des Schnittpunktes: \(x_2 = 1 + 1 \cdot 2 = 3\). 6. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(a + 2\lambda = 0\) und \(4 - 2\lambda = 0\). b) Der Parameterwert ist \(a = -4\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

- Welche Beziehung muss zwischen Geradenrichtung und Ebenennormale für Parallelität gelten? - Wie kannst du diese Beziehung rechnerisch prüfen? - Welche zusätzliche Punktprobe unterscheidet echte Parallelität vom Enthaltensein?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\). 2. Für Parallelität muss der Richtungsvektor \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\a\\3\end{pmatrix}\) orthogonal zu \(\vec{n}\) sein. 3. Aus \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) folgt \(4-4a+6=0\), also \(a=2{,}5\). 4. Der Stützpunkt \((4|1|2)\) liegt nicht in \(E\), denn \(8-4+4=8\neq5\). Daher ist die Gerade für \(a=2{,}5\) echt parallel zu \(E\).

\(a=2{,}5\)

- Beginne mit den Koordinaten, die vollständig bekannt sind, um die Parameter zu bestimmen. - Wie kannst du die berechneten Parameter nutzen, um die fehlende Koordinate zu finden? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Aufstellen der Gleichungen für die bekannten Koordinaten \(x_2\) und \(x_3\): II: \(1 + 2\lambda + 4\mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 10\) und III: \(3 + 2\lambda + \mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 8\). 2. Lösen des Teilsystems: Subtraktion von III von II ergibt \(3\mu = 2\), also \(\mu = \frac{2}{3}\). Einsetzen in III ergibt \(2\lambda + \frac{2}{3} = 8 \Rightarrow 2\lambda = \frac{22}{3} \Rightarrow \lambda = \frac{11}{3}\). 3. Berechnung der fehlenden Koordinate \(k\) mittels der Gleichung für \(x_1\): \(k = 2 + 1 \cdot \lambda - 3\mu\). Einsetzen der Parameterwerte: \(k = 2 + \frac{11}{3} - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 + \frac{11}{3} - 2 = \frac{11}{3}\).

Damit der Punkt \(R\) in der Ebene \(F\) liegt, müssen die Parameter \(\lambda = \frac{11}{3}\) und \(\mu = \frac{2}{3}\) sein. Der gesuchte Wert für die Koordinate ist \(k = \frac{11}{3}\) (bzw. \(k \approx 3{,}67\)).

- Was sagen die Normalenvektoren über die gegenseitige Lage von zwei Ebenen aus? - Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander? Was folgt daraus für die Lage? - Wann stellt eine Gleichung dieselbe Punktmenge dar wie eine andere? - Wenn die Normalenvektoren parallel sind, welche zwei Fälle musst du dann noch unterscheiden?

1. Vergleich der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Feststellung der Kollinearität: Da \(\vec{n}_1 = -3 \cdot \vec{n}_2\), sind die Normalenvektoren parallel, womit die Ebenen entweder parallel oder identisch sind. 3. Untersuchung auf Identität für Teilaufgabe a): Division der Gleichung von \(E_1\) durch \(3\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\). Multiplikation der Gleichung von \(E_2\) mit \(-1\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = -k\). Die Ebenen sind identisch, wenn \(4 = -k\), also \(k = -4\). 4. Analyse für Teilaufgabe b): Für \(k = 0\) lauten die vereinfachten Gleichungen \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\) und \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0\). Da die Normalenvektoren parallel sind, aber die rechten Seiten der (normierten) Gleichungen verschieden sind, besitzen die Ebenen keine gemeinsamen Punkte. Sie sind somit echt parallel.

a) Die Ebenen sind identisch für \(k = -4\). b) Für \(k = 0\) sind die Ebenen echt parallel (parallel und nicht identisch), da ihre Normalenvektoren kollinear sind, sie aber keinen gemeinsamen Punkt besitzen (die Gleichungen führen auf einen Widerspruch \(4 = 0\)).

- Welche Ausdrücke für \(x_1,x_2,x_3\) liefert die Parameterform von \(E_2\)? - Was passiert mit \(\lambda\) und \(\mu\), wenn du diese Ausdrücke in die Koordinatenform von \(E_1\) einsetzt? - Welche Bedeutung hat eine Bedingung, die nur noch den äußeren Parameter \(d\) enthält?

1. Für Punkte von \(E_2\) gilt \(x_1=1+\lambda+\mu\), \(x_2=2-2\mu\) und \(x_3=1+\lambda\). 2. Einsetzen in die Koordinatenform von \(E_1\) ergibt \(2(1+\lambda+\mu)+(2-2\mu)-2(1+\lambda)=d\). 3. Alle Parameterterme heben sich auf; es bleibt \(2=d\). 4. Für \(d=2\) erfüllt jeder Punkt von \(E_2\) die Koordinatenform von \(E_1\), also sind die Ebenen identisch. 5. Für \(d\neq2\) entsteht ein Widerspruch. Da die beiden Richtungsvektoren von \(E_2\) zum Normalenvektor \(\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) orthogonal sind, sind die Ebenen dann echt parallel.

Für \(d=2\) sind die Ebenen identisch; für \(d\neq2\) sind sie echt parallel.

- Wie hängen die beiden Normalenvektoren zusammen? - Welche Bedingung erhältst du durch die Punktprobe mit \(P\)? - Was zeigt der direkte Vergleich der beiden Koordinatenformen für den gefundenen Parameterwert?

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{F_t}=\begin{pmatrix}10\\-4\\2\end{pmatrix}=2\vec{n}_E\). Daher sind alle Scharebenen parallel zu \(E\) oder mit ihr identisch. 2. Einsetzen von \(P\) in \(F_t\) ergibt \(10-4+2=t\), also \(t=8\). 3. Für \(t=8\) lautet die Koordinatenform von \(F_8\) nach Division durch \(2\): \(5x_1-2x_2+x_3=4\). Sie stimmt mit der Koordinatenform von \(E\) überein. Daher sind \(F_8\) und \(E\) identisch.

1. \(\vec{n}_{F_t}=2\vec{n}_E\) 2. \(t=8\) 3. \(F_8\) und \(E\) sind identisch.

- Untersuche zuerst, wann der Richtungsvektor überhaupt ein zulässiger Richtungsvektor einer Geraden ist. - Kannst du den Richtungsvektor so faktorisieren, dass eine feste Richtung sichtbar wird? - Welche zusätzliche Information neben parallelen Richtungen entscheidet hier, ob die Geraden nur parallel oder sogar identisch sind?

1. Der Richtungsvektor lässt sich als \(\begin{pmatrix}k-1\\2k-2\\0\end{pmatrix}=(k-1)\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) schreiben. 2. Für \(k=1\) wird der Richtungsvektor zum Nullvektor. Dann beschreibt die Gleichung nur den einzelnen Punkt \((1|2|0)\) und keine Gerade. 3. Für \(k\neq1\) ist der Richtungsvektor ein von null verschiedenes Vielfaches von \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\). Da zudem alle Schargeraden denselben Stützpunkt besitzen, beschreiben sie dieselbe Gerade.

Für \(k=1\) liegt keine Gerade vor. Für alle \(k\neq1\) sind die Geraden \(g_k\) identisch.

- Welche der beiden im Bild beschrifteten Geraden liegt vollständig in der dargestellten Ebene? - Welche dritte Koordinate besitzen alle Punkte dieses Scharmitglieds? - Was ändert der Scharparameter \(k\), und was bleibt an der Geradenrichtung unverändert?

1. Im Bild liegt die mit \(g_2\) beschriftete Gerade in der dargestellten Ebene \(E\), während \(g_{-1}\) parallel versetzt außerhalb liegt. 2. Alle Punkte von \(g_2\) besitzen die dritte Koordinate \(2\). Da \(E\) parallel zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene ist, folgt \(E:x_3=2\). 3. Für \(k=2\) gilt damit \(g_2\subset E\). 4. Für \(k\neq2\) besitzen alle Punkte von \(g_k\) die konstante dritte Koordinate \(k\neq2\). Die Richtung bleibt parallel zu \(E\), aber kein Punkt liegt in \(E\). Daher ist \(g_k\) dann zu \(E\) echt parallel.

a) Im Bild liegt \(g_2\) in \(E\); daher \(E:x_3=2\). b) Für \(k=2\): \(g_2\subset E\). Für \(k\neq2\): \(g_k\) ist zu \(E\) echt parallel.

- Welche Lagefälle kannst du bereits über die beiden Richtungsvektoren ausschließen? - Welche Koordinaten müsste ein gemeinsamer Punkt gleichzeitig besitzen? - Für welchen Wert des Scharparameters ist diese Gleichheit möglich?

1. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) sind für jeden Wert von \(a\) nicht kollinear. Die Geraden können also weder identisch noch parallel sein. 2. Ein gemeinsamer Punkt müsste die Form \((t|0|0)=(0|s|a)\) besitzen. 3. Daraus folgen \(t=0\), \(s=0\) und \(a=0\). 4. Für \(a=0\) schneiden sich die Geraden im Ursprung. 5. Für \(a\neq0\) gibt es keinen gemeinsamen Punkt; wegen der nicht parallelen Richtungen sind die Geraden dann windschief.

\(a=0\): Die Geraden schneiden sich im Ursprung. \(a\neq0\): Die Geraden sind windschief.

- Welche dritte Koordinate besitzen die Punkte von \(g_a\)? - Was geschieht mit Stützpunkt und Richtungsvektor im Sonderfall \(a=0\)? - Kannst du für \(a\neq0\) einen Laufparameter finden, der die Ebenenbedingung \(x_3=0\) erfüllt?

1. Für \(a=0\) gilt \(g_0:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). Alle Punkte haben \(x_3=0\), also liegt \(g_0\) in \(E\). 2. Für \(a\neq0\) hat ein Punkt von \(g_a\) die dritte Koordinate \(a+ta=a(1+t)\). 3. Mit \(t=-1\) wird diese Koordinate \(0\). Daher schneidet jedes \(g_a\) mit \(a\neq0\) die Ebene. 4. Der Schnittpunkt ist dann \((-1|0|0)\).

\(a=0\): \(g_0\subset E\). \(a\neq0\): \(g_a\) schneidet \(E\) in \((-1|0|0)\).

- Welche beiden Koordinaten werden bereits durch \(E\) und \(F\) festgelegt? - Welche Koordinate bleibt danach frei? - Was wird aus der Gleichung von \(H_a\), wenn du die beiden festen Koordinaten einsetzt?

1. Aus \(E\) und \(F\) folgt für jeden gemeinsamen Punkt \(x_1=0\) und \(x_2=0\). Frei bleibt zunächst \(x_3\). 2. In \(H_a\) muss dann \(0+0=a\) gelten. 3. Für \(a=0\) ist diese Bedingung immer erfüllt. Die gemeinsame Punktmenge ist die \(x_3\)-Achse. 4. Für \(a\neq0\) ist die Bedingung unmöglich. Dann besitzen die drei Ebenen keinen gemeinsamen Punkt.

\(a=0\): gemeinsame Punktmenge ist die \(x_3\)-Achse. \(a\neq0\): kein gemeinsamer Punkt.

- Was bedeutet ein gemeinsamer Schnittpunkt aller drei Spurgeraden im Querschnitt für die räumlichen Ebenen? - Vergleiche in Bild b), ob die drei paarweisen Schnittpunkte der Spurgeraden zusammenfallen oder verschieden sind. - Wie setzt sich die vorgegebene Richtung \(d\) vom Querschnitt wieder in den Raum fort?

1. In Bild a) schneiden sich die drei Spurgeraden \(e_1,e_2,e_3\) in demselben Punkt des Querschnitts. Durch diesen Punkt verläuft in der ursprünglichen räumlichen Konfiguration die Gerade parallel zu \(d\), die in allen drei Ebenen liegt. Für \(k=0\) besitzen die drei Ebenen daher eine gemeinsame Gerade. 2. In Bild b) schneiden sich die drei Spurgeraden nur paarweise und in drei verschiedenen Punkten. Entsprechend sind die drei paarweisen Schnittgeraden im Raum verschieden und jeweils parallel zu \(d\). 3. Ein gemeinsamer Punkt aller drei Ebenen müsste im Querschnitt auf allen drei Spurgeraden zugleich liegen. Einen solchen Punkt gibt es in Bild b) nicht. Für \(k=1\) ist die gemeinsame Punktmenge daher leer, obwohl jedes Ebenenpaar eine Schnittgerade besitzt.

\(k=0\): Die drei Ebenen besitzen eine gemeinsame Gerade parallel zu \(d\). \(k=1\): Die drei Ebenen haben keine gemeinsame Punktmenge; je zwei Ebenen schneiden sich dennoch in einer Geraden.

- Behandle den Parameter \(k\) zunächst wie eine Unbekannte in einer der Gleichungen. - Nutze die Gleichungen, in denen \(k\) nicht vorkommt, um die Werte für \(r\) und \(s\) zu berechnen. - Wie muss \(k\) gewählt werden, damit die verbleibende Gleichung keine Widersprüche erzeugt?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen \(\vec{g}(r) = \vec{h}_k(s)\): (I) \(2 + r = 4 + 2s \Rightarrow r - 2s = 2\) (II) \(1 + r = 3 + s \Rightarrow r - s = 2\) (III) \(2r = k\) 2. Subtraktion von (I) von (II) liefert: \((r - s) - (r - 2s) = 2 - 2 \Rightarrow s = 0\). 3. Einsetzen von \(s = 0\) in (II) ergibt \(r = 2\). 4. Bestimmung von \(k\) mithilfe von Gleichung (III): \(k = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) mit \(r = 2\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Für \(k = 4\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4|3|4)\).

- Was muss für die Ortsvektoren gelten, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt treffen? - Versuche, ein Gleichungssystem für die Parameter der Geraden aufzustellen. - Welche Gleichungen enthalten die wenigsten Unbekannten? Beginne mit diesen. - Wie kannst du überprüfen, ob dein berechneter Parameter \(b\) tatsächlich zu einem Schnittpunkt führt?

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen \(g\) und \(h_b\), um den Schnittpunkt zu finden: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ b \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(2 + r = 4\) II: \(3 = b + s\) III: \(1 + 2r = 3 + s\) 3. Aus Gleichung I folgt direkt \(r = 2\). 4. Einsetzen von \(r = 2\) in Gleichung III: \(1 + 2 \cdot 2 = 3 + s \implies 5 = 3 + s \implies s = 2\). 5. Einsetzen von \(s = 2\) in Gleichung II zur Bestimmung von \(b\): \(3 = b + 2 \implies b = 1\). 6. Berechnung des Schnittpunktes durch Einsetzen von \(r = 2\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 3 + 0 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Für \(b = 1\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4 \mid 3 \mid 5)\).

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? - Was sagt das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren über deren Winkel aus? - Unterscheide zwischen den Bedingungen für die Richtung der Geraden und ihrer Lage im Raum.

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Es muss also gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = -4k\), also \(k = -0{,}5\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(a = -0{,}5 \cdot 6 = -3\). Die Überprüfung der dritten Komponente (\(-3 = -0{,}5 \cdot 6\)) bestätigt die lineare Abhängigkeit für \(a = -3\). 2. Die Richtungsvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es muss gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0\). Dies führt zur Gleichung \(a \cdot 1 + 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 = 0\). Vereinfacht ergibt sich \(a + 8 - 6 = 0\), woraus \(a = -2\) folgt.

1. \(a = -3\) 2. \(a = -2\)

- Welche Koordinate muss in der \(x_2x_3\)-Ebene immer den Wert Null haben? - Wie viele Koordinaten eines Punktes müssen Null sein, damit er auf einer Koordinatenachse liegt? - Nutze die Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil, um die Bedingungen für den zweiten Teil schneller zu prüfen.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate der Geradengleichung gleich Null gesetzt: \(6 + 3\lambda = 0\). Dies liefert den Parameterwert \(\lambda = -2\). 2. Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die übrigen Koordinatengleichungen: \(x_2 = k - 2 \cdot (-2) = k + 4\) und \(x_3 = k - 2 + (-2) = k - 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\). 3. Für einen Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse müssen sowohl die \(x_1\)- als auch die \(x_3\)-Koordinate Null sein. Aus \(x_1 = 0\) folgt wie oben \(\lambda = -2\). 4. Bedingung \(x_3 = 0\) mit \(\lambda = -2\): \(k - 4 = 0 \implies k = 4\). 5. Berechnung der verbleibenden Koordinate \(x_2\) für \(k = 4\): \(x_2 = 4 + 4 = 8\). Der Schnittpunkt ist \(P(0 | 8 | 0)\).

a) \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\) b) \(k = 4\); Schnittpunkt \(P(0 | 8 | 0)\)

- Was bedeutet es für die Komponenten eines Richtungsvektors, wenn eine Gerade parallel zu einer Koordinatenebene verläuft? - Welche Koordinaten hat der Ursprung im dreidimensionalen Raum? - Überlege dir, welchen Wert der Parameter \(\mu\) annehmen muss, damit die \(x_3\)-Koordinate verschwindet.

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus \(1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Einsetzen in die anderen Koordinaten ergibt \(x_1 = 4 + 1 \cdot (c - 2) = c + 2\) und \(x_2 = c + 1 \cdot 2 = c + 2\). Der Punkt ist \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\). 2. Nachweis Ursprung für \(c = -2\): Ein Punkt auf der Geraden ist der Ursprung, wenn alle drei Koordinaten Null werden können. Aus \(x_3 = 1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Für \(c = -2\) ergibt sich \(x_1 = 4 + 1 \cdot (-2 - 2) = 0\) und \(x_2 = -2 + 1 \cdot 2 = 0\). Da alle Koordinaten Null sind, verläuft \(h_{-2}\) durch \((0|0|0)\). 3. Parallelität zur \(x_2x_3\)-Ebene: Eine Gerade ist parallel zu dieser Ebene, wenn ihr Richtungsvektor keine Komponente in \(x_1\)-Richtung hat (Skalarprodukt mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist Null). Daraus folgt \(c - 2 = 0\), also \(c = 2\). Da der Stützpunkt \((4|2|1)\) nicht in der Ebene \(x_1 = 0\) liegt, ist die Gerade echt parallel.

a) \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\) b) Für \(c = -2\) und \(\mu = 1\) ergibt sich der Punkt \((0 | 0 | 0)\). c) \(c = 2\), da in diesem Fall die \(x_1\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist.

- Untersuche zuerst, ob die Geraden jemals parallel sein können. - Bestimme die Parameter der Geraden mithilfe der Zeilen, die keinen Parameter \(a\) enthalten. - Welche Bedingung muss für \(a\) gelten, damit die verbleibende Gleichung ebenfalls erfüllt ist? - Was passiert geometrisch, wenn das System für ein bestimmtes \(a\) keine Lösung hat?

Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}^\top\) und \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}^\top\) sind nicht kollinear, da die \(z\)-Komponente des zweiten Vektors null ist, die des ersten jedoch nicht. Die Geraden sind also für alle \(a\) entweder schneidend oder windschief. Das Gleichungssystem aus dem Gleichsetzen lautet: 1) \(1 + \lambda = a + 3\mu\) 2) \(4 - 2\lambda = 2 + 2\mu\) 3) \(3 + 2\lambda = 1\) Aus 3) folgt \(2\lambda = -2\), also \(\lambda = -1\). Einsetzen in 2) ergibt \(4 - 2(-1) = 2 + 2\mu\), woraus \(6 = 2 + 2\mu\) und somit \(\mu = 2\) folgt. Damit sich die Geraden schneiden, muss 1) erfüllt sein: \(1 + (-1) = a + 3(2)\), was zu \(0 = a + 6\), also \(a = -6\) führt. Für \(a = -6\) liegt ein Schnittpunkt vor, der durch Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(g\) berechnet wird: \(S(0|6|1)\). Für alle \(a \neq -6\) ist das System unlösbar, die Geraden sind dann windschief.

Für \(a = -6\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(0|6|1)\). Für \(a \neq -6\) sind die Geraden windschief.

- Welche Geradenparameter ergeben sich aus der ersten und dritten Koordinate der Punktprobe? - Was bedeutet es für die Eindeutigkeit einer Ebene, wenn der zusätzliche Punkt bereits auf der Geraden liegt? - Welchen zweiten Richtungsvektor erhältst du für \(k=0\) aus einem Geradenpunkt und \(P\)? - Welche Bedingung müssen die beiden Richtungsvektoren erfüllen, damit sie eine Ebene aufspannen?

1. Aus der ersten und dritten Koordinate der Punktprobe folgt jeweils \(s=3\). 2. Die zweite Koordinate liefert dann \(5=k+3\), also \(k=2\). 3. Für \(k=2\) liegt \(P\) auf \(g_2\). Durch eine Gerade allein verlaufen unendlich viele Ebenen; der zusätzliche Punkt legt daher keine eindeutige Ebene fest. 4. Für \(k=0\) ist ein Stützpunkt von \(g_0\) der Punkt \(A(4|0|2)\), und \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) ist ihr Richtungsvektor. 5. Ein zweiter Richtungsvektor der gesuchten Ebene ist \(\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}\). Dieser ist kein Vielfaches von \(\vec{u}\). 6. Daher ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}\) eine mögliche Parameterform.

a) \(k=2\) b) Für \(k=2\) liegt \(P\) bereits auf \(g_2\); daher bestimmen die gegebenen Daten keine eindeutige Ebene. c) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}\)

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade vollständig in einer Ebene liegt? - Lässt sich der Richtungsvektor der Geraden als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene darstellen? - Welche zusätzliche Punktprobe entscheidet dann über das Enthaltensein?

1. Der Richtungsvektor der Geraden ist \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\). Damit ist die Geradenrichtung eine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene. 2. Für vollständiges Enthaltensein muss zusätzlich der Stützpunkt \((3|2|a)\) in \(E\) liegen. 3. Die Punktprobe ergibt \(3=1+2r\), \(2=1+s\) und \(a=1+r-s\). 4. Daraus folgen \(r=1\), \(s=1\) und schließlich \(a=1\).

\(a=1\)

- Wie stehen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Was passiert, wenn du den Stützvektor der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Lagebeziehung? - Gibt es einen speziellen Wert für \(k\), bei dem sich das Verhalten der Geraden grundlegend ändert?

1. Untersuchung der Parallelität über das Skalarprodukt von Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ k \end{pmatrix}\): \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 1 \cdot k = k - 1\). 2. Bedingung für Parallelität (\(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\)): Dies ist für \(k = 1\) erfüllt. In diesem Fall ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 3. Punktprobe für \(k = 1\): Einsetzen des Stützpunktes \(P(2|1|6)\) in die Ebene \(E\): \(3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 6 = 6 - 2 + 6 = 10\). Da \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. 4. Schlussfolgerung für \(k = 1\): Die Gerade \(g_1\) liegt vollständig in der Ebene \(E\). 5. Untersuchung für \(k \neq 1\): Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0\), ist der Richtungsvektor nicht orthogonal zum Normalenvektor. Folglich schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

Für \(k = 1\) liegt die Gerade \(g_1\) in der Ebene \(E\). Für alle \(k \neq 1\) schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. - Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, muss jeder ihrer Punkte – also auch der Stützpunkt – die Ebenengleichung erfüllen. - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Orthogonalität von Vektoren?

1. Bestimmung des Richtungsvektors \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) der Geraden und des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Ebene. 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt von Richtungs- und Normalenvektor muss null sein: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot a + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = a + 4 = 0\). Daraus folgt \(a = -4\). 3. Bedingung für das Liegen in der Ebene: Der Stützpunkt \(P(1|2|1)\) der Geraden muss die Ebenengleichung erfüllen. Einsetzen von \(P\) und \(a = -4\) in \(E\): \(-4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = b\). 4. Berechnung von \(b\): \(-4 + 2 + 2 = 0\), also \(b = 0\).

\(a = -4\) und \(b = 0\)

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden. - Welches Skalarprodukt hilft dir hier weiter? - Wenn du die Parallelität festgestellt hast, wie kannst du prüfen, ob die gesamte Gerade in der Ebene liegt oder einen Abstand zu ihr hat? - Genügt es, einen einzigen Punkt der Geraden zu prüfen?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Normalenvektor stehen. Das Skalarprodukt muss null sein: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot a + (-2) \cdot 3 = 0\). 3. Berechnung von \(a\): \(3 + a - 6 = 0 \Rightarrow a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3\). 4. Überprüfung der Punktlage: Testen, ob der Stützpunkt \(P(2|6|1)\) der Geraden in der Ebene \(E\) liegt: \(3 \cdot 2 + 6 - 2 \cdot 1 = 6 + 6 - 2 = 10\). 5. Da die Gleichung \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. Für \(a=3\) verläuft die Gerade nicht nur parallel, sondern liegt vollständig in der Ebene \(E\).

Für \(a = 3\) verläuft die Gerade parallel zur Ebene. Da der Stützpunkt der Geraden in der Ebene liegt, ist die Gerade \(g_3\) in der Ebene \(E\) enthalten.

- Überlege dir, wie der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene stehen muss, wenn die Gerade parallel zur Ebene liegt. - Wie hängen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zusammen, wenn die Gerade senkrecht auf der Ebene steht? - Nutze das Skalarprodukt für den Nachweis von Orthogonalität zwischen Vektoren. - Prüfe bei der Untersuchung auf Parallelität von Vektoren (Linearität), ob ein gemeinsamer Streckungsfaktor für alle Komponenten existiert.

1. Normalenvektor der Ebene \(E\) bestimmen: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität (\(g_a \parallel E\)): Das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v}\) und Normalenvektor \(\vec{n}_E\) muss null sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4a - 8 + 2 = 4a - 6 = 0\). 3. Gleichung lösen: \(4a = 6 \Rightarrow a = 1{,}5\). 4. Bedingung für Orthogonalität (\(g_a \perp E\)): Der Richtungsvektor \(\vec{v}\) muss ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n}_E\) sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Komponentenweise Prüfung: Aus der dritten Komponente folgt \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\). Aus der zweiten Komponente folgt \(4 = k \cdot (-2) = 2 \cdot (-2) = -4\). Dies ist ein Widerspruch (\(4 \neq -4\)). 6. Ergebnis: Für \(a = 1{,}5\) ist die Gerade parallel zur Ebene; es existiert kein \(a\), für das die Gerade senkrecht zur Ebene steht.

Die Gerade \(g_a\) ist parallel zur Ebene \(E\) für \(a = 1{,}5\). Es gibt keinen Wert für \(a\), sodass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht.

- Woran erkennst du im Koordinatensystem, in welche Richtung eine Ebene „zeigt“? - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, was bedeutet das für die Lage des Stützpunkts der Geraden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor einer Ebene und der Ausrichtung einer senkrechten Geraden. - Verwende ein Gleichungssystem, um die Kollinearität von zwei Vektoren zu prüfen.

1. Normalenvektor der Ebene \(F\): \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Parallelität (\(h_k \parallel F\)): \(\vec{v} \cdot \vec{n}_F = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 + 2k + 8 = 2k + 10 = 0\). 3. Lösung für Teil a): \(2k = -10 \Rightarrow k = -5\). 4. Prüfung der Punktprobe für \(h_{-5}\) in \(F\): Stützpunkt \(P(2|1|4)\) in \(F\) einsetzen: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = 2 + 2 - 8 = -4\). Da \(-4 \neq 10\), liegt die Gerade nicht in der Ebene (sie ist echt parallel). 5. Orthogonalität (\(h_k \perp F\)): \(\vec{v} = m\vec{n}_F \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} = m\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 6. Lösung für Teil b): Aus der ersten Komponente folgt \(2 = m \cdot 1 \Rightarrow m = 2\). Einsetzen in die dritte Komponente: \(-4 = 2 \cdot (-2) = -4\) (wahr). Einsetzen in die zweite Komponente: \(k = 2 \cdot m = 2 \cdot 2 = 4\).

a) Für \(k = -5\) ist die Gerade \(h_k\) parallel zur Ebene \(F\). Sie liegt nicht in der Ebene. b) Für \(k = 4\) ist die Gerade \(h_k\) senkrecht zur Ebene \(F\).

- Wie prüft man, ob alle Punkte einer Geraden eine Ebenengleichung erfüllen? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Geraden windschief sind? - Überlege dir, wie du zeigst, dass Richtungsvektoren nicht parallel zueinander verlaufen können. - Was bedeutet es für das Gleichungssystem der Geraden, wenn kein Schnittpunkt existiert?

1. Einsetzen der Geradengleichung \(g\) in die Ebenengleichung \(E\): \((0 + \lambda) + (2 + 0) - (0 + \lambda) = 2\). Vereinfachung ergibt \(2 = 2\). Da die Gleichung für alle \(\lambda \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, liegt \(g\) vollständig in \(E\). 2. Untersuchung auf Parallelität von \(g\) und \(h_k\): Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{pmatrix}\) sind für kein \(k\) kollinear, da die erste Komponente von \(h_k\) immer \(0\) ist, während sie bei \(g\) den Wert \(1\) hat. Somit sind die Geraden nie parallel. 3. Untersuchung auf Schnittpunkte: Gleichsetzen der Geraden führt auf das lineare Gleichungssystem: (I) \(\lambda = 1\) (II) \(2 = k\mu\) (III) \(\lambda = 1 + \mu\) Aus (I) und (III) folgt \(1 = 1 + \mu\), also \(\mu = 0\). Einsetzen von \(\mu = 0\) in (II) ergibt \(2 = 0\), was ein Widerspruch ist. Das System ist für kein \(k\) lösbar. 4. Da die Geraden weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen, sind sie für alle \(k \in \mathbb{R}\) windschief.

a) Durch Einsetzen von \(x_1 = \lambda\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = \lambda\) in \(x_1 + x_2 - x_3 = 2\) erhält man \(\lambda + 2 - \lambda = 2\), also \(2 = 2\). Somit liegt \(g\) in \(E\). b) Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, da \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Lösung für \(r\) besitzt (\(1 = r \cdot 0\) ist unmöglich). Das Gleichungssystem für den Schnittpunkt führt auf den Widerspruch \(2 = 0\). Folglich sind die Geraden für alle \(k\) windschief.

- Wann steht der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht auf einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene. - Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade eine Teilmenge einer Ebene ist? - Überprüfe zuerst, ob der Stützpunkt der Geraden überhaupt in der Ebene liegt. - Wie hängen die Richtungen von Gerade und Ebene zusammen, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft?

1. Für einen senkrechten Schnitt muss der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Ebene sein: \(\begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = c \cdot 1\), also \(c = 2\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(k = 2 \cdot 2 = 4\). Die dritte Komponente ist mit \(-2 = 2 \cdot (-1)\) konsistent. Für \(k = 4\) schneiden sich \(g_k\) und \(E\) senkrecht. 3. Damit eine Gerade in einer Ebene liegt, muss erstens der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor stehen: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies 2k + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 2k + 4 = 0\). Dies ist für \(k = -2\) erfüllt. 4. Zweitens muss der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geraden in der Ebene liegen. Einsetzen in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 0 - 4 - 6 = -8 \neq 0\). Da der Stützpunkt für kein \(k\) in der Ebene liegt, kann keine Gerade der Schar in \(E\) liegen.

a) \(k = 4\) b) Es gibt keinen solchen Wert für \(k\), da der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geradenschar nicht in der Ebene \(E\) liegt (\(-8 \neq 0\)).

- Welche beiden konkreten Ebenengleichungen erhältst du zunächst für \(k=2\) und \(k=3\)? - Wie kannst du bei zwei Ebenengleichungen eine Koordinate frei wählen, um die Schnittgerade zu parametrisieren? - Für Teil b): Welche Bedingung muss jeder Punkt der gefundenen Geraden für jedes \(k\) erfüllen? - Welche Beziehung besteht zwischen einem Vektor und dem Normalenvektor einer Ebene, wenn der Vektor orthogonal zur Ebene verläuft?

1. Für \(k=2\) und \(k=3\) erhält man \(E_2:x_2+x_3=4\) und \(E_3:x_1+2x_2+3x_3=12\). 2. Setzt man \(x_3=r\), folgt aus \(E_2\) zunächst \(x_2=4-r\). Einsetzen in \(E_3\) liefert \(x_1=4-r\). 3. Damit ist \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 4. Für einen allgemeinen Punkt von \(s\) gilt \(x_1=4-r\), \(x_2=4-r\) und \(x_3=r\). Einsetzen in \(E_k\) ergibt \((k-2)(4-r)+2(4-r)+kr=4k\). Die Gleichung ist für alle \(r\) und alle \(k\) erfüllt; daher liegt \(s\) in jeder Ebene der Schar. 5. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}k-2\\2\\k\end{pmatrix}\). Damit \(E_k\) orthogonal zu \(\vec{v}\) ist, muss \(\vec{n}_k\) kollinear zu \(\vec{v}\) sein. Aus der zweiten Komponente folgt der Skalierungsfaktor \(1\); somit gilt \(k-2=1\) und \(k=3\). Auch die dritte Komponente stimmt dann überein.

a) \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\) b) Für jeden Punkt von \(s\) wird die Schargleichung zur Identität \(4k=4k\); daher gilt \(s\subset E_k\) für jedes \(k\in\mathbb{R}\). c) \(k=3\)

- Wie kannst du die Schargleichung in einen Teil mit \(k\) und einen Teil ohne \(k\) zerlegen? - Welche Bedingungen müssen gelten, damit die Gleichung unabhängig vom Wert von \(k\) erfüllt bleibt? - Welche zwei Koordinatenbeziehungen erhältst du dadurch für alle gemeinsamen Punkte? - Wie lässt sich die Menge dieser Punkte mit einem freien Parameter beschreiben?

1. Die Schargleichung lässt sich als \(k(x_1-x_3)+(x_2-4)=0\) schreiben. 2. Ein Punkt liegt genau dann in jeder Ebene \(E_k\), wenn die Gleichung für jedes \(k\in\mathbb{R}\) erfüllt ist. Dazu müssen \(x_1-x_3=0\) und \(x_2-4=0\) gelten. 3. Damit gilt \(x_1=x_3\) und \(x_2=4\). Setzt man \(x_3=r\), so ist auch \(x_1=r\). 4. Die gemeinsame Gerade hat daher die Parameterform \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) mit \(r\in\mathbb{R}\).

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\), \(r\in\mathbb{R}\)

- Welche Koordinaten besitzt ein allgemeiner Punkt der Geraden \(d\)? - Welche Beziehung zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor kennzeichnet Parallelität von Gerade und Ebene? - Vereinfacht sich dieses Skalarprodukt in Abhängigkeit von \(k\)? - Welche Punktprobe entscheidet anschließend zwischen Enthaltensein und echter Parallelität?

1. Punkte von \(d\) haben die Koordinaten \((t|t|t)\). Einsetzen in \(E\) ergibt \(5t-2t-t=8\), also \(2t=8\) und \(t=4\). 2. Damit schneiden sich \(d\) und \(E\) in \(P(4|4|4)\). 3. Für \(F_k\) ist ein Normalenvektor \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}k\\2-k\\-2\end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor von \(d\) ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 4. Es gilt für jedes \(k\): \(\vec{u}\cdot\vec{n}_k=k+(2-k)-2=0\). Daher ist \(d\) zu jeder Ebene \(F_k\) parallel oder in ihr enthalten. 5. Der Ursprung als Stützpunkt von \(d\) erfüllt keine der Ebenen \(F_k\), weil links \(0\), rechts aber \(12\) steht. Somit ist \(d\) zu jeder Ebene \(F_k\) echt parallel.

a) \(P(4|4|4)\) b) Die Gerade \(d\) ist für jedes \(k\in\mathbb{R}\) echt parallel zu \(F_k\).

- Welche Information über die Orientierung von \(E_k\) kannst du direkt aus ihrer Koordinatenform ablesen? - Welche Beziehung müssen die Normalen zweier paralleler beziehungsweise senkrechter Ebenen erfüllen? - Welche Bedingung verbindet den Richtungsvektor einer Geraden mit dem Normalenvektor einer zu ihr parallelen Ebene? - Woran erkennst du zusätzlich, ob eine zur Ebene parallele Gerade in der Ebene liegt oder echt parallel zu ihr ist?

1. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}k\\1\\1\end{pmatrix}\), ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\). Für Parallelität müssen die Normalen proportional sein. Aus den letzten beiden Komponenten folgt der Faktor \(-1\), also \(k=-1\). Dann lautet \(E_{-1}\) nach Multiplikation mit \(-1\): \(x_1-x_2-x_3=1\). Wegen der unterschiedlichen rechten Seiten sind \(E_{-1}\) und \(F\) nicht identisch, also echt parallel. 2. Ein Normalenvektor von \(G\) ist \(\vec{n}_G=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Senkrechte Ebenen haben orthogonale Normalenvektoren. Daher gilt \(\vec{n}_k\cdot\vec{n}_G=k+1-2=k-1=0\), also \(k=1\). 3. Der Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\). Für eine zur Ebene parallele Gerade muss \(\vec{u}\cdot\vec{n}_k=0\) gelten. Damit ist \(k-2=0\), also \(k=2\). Der Ursprung liegt nicht in \(E_2: 2x_1+x_2+x_3=2\); deshalb liegt \(g\) nicht in der Ebene, sondern ist echt parallel zu ihr.

a) \(k=-1\) b) \(k=1\) c) \(k=2\)

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? Betrachte die Komponenten, die keine Variablen enthalten. - Wenn du den Parameter \(k\) gefunden hast, wie unterscheidest du dann zwischen „parallel“ und „identisch“? - Reicht es aus, nur eine Komponente bei der Punktprobe zu prüfen?

1. Bedingung für Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ k \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\) müssen kollinear sein. Es muss gelten \(\vec{v} = m\vec{u}\). Vergleich der \(x\)-Komponenten: \(-9 = m \cdot 3 \Rightarrow m = -3\). Vergleich der \(z\)-Komponenten zur Kontrolle: \(6 = -3 \cdot (-2) = 6\) (erfüllt). Berechnung von \(k\): \(12 = -3k \Rightarrow k = -4\). Für \(k = -4\) sind die Geraden parallel oder identisch. 2. Punktprobe für Identität: Prüfe, ob der Stützpunkt \(A(1|2|0)\) von \(g_{-4}\) auf \(h\) liegt: \(1 = 4 - 9s \Rightarrow -3 = -9s \Rightarrow s = \frac{1}{3}\). Einsetzen in die \(y\)-Komponente: \(-1 + 12 \cdot \frac{1}{3} = -1 + 4 = 3\). Da die \(y\)-Koordinate des Stützpunkts \(A\) jedoch \(2\) ist (\(3 \neq 2\)), liegt der Punkt nicht auf \(h\). Somit sind die Geraden für \(k = -4\) echt parallel.

a) \(k = -4\) b) Für \(k = -4\) sind die Geraden echt parallel.

- Nutze die Gleichungen der \(x\)- und \(z\)-Koordinaten, um die Parameter der Geraden zu bestimmen, da diese unabhängig von \(a\) sind. - Überprüfe dein Ergebnis für \(a\), indem du die berechneten Parameter in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einsetzt. - Wie hängen die Richtungsvektoren mit der Eigenschaft „parallel“ zusammen? Hängt diese Eigenschaft vom Stützvektor (und damit von \(a\)) ab? - Erinnere dich an die vier möglichen Lagebeziehungen von Geraden im Raum und schließe nacheinander aus.

1. Teilaufgabe a): Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert das LGS: (I) \(4+\lambda = 2+3\mu\), (II) \(2\lambda = a+2\mu\), (III) \(3-\lambda = 1+\mu\). Aus (I) \(\lambda-3\mu = -2\) und (III) \(\lambda+\mu = 2\) folgt durch Subtraktion \(-4\mu = -4 \Rightarrow \mu = 1\). Einsetzen in (III) ergibt \(\lambda = 1\). Einsetzen von \(\lambda, \mu\) in (II) ergibt \(2(1) = a + 2(1) \Rightarrow a = 0\). Der Schnittpunkt für \(a=0\) ergibt sich durch Einsetzen von \(\lambda=1\) in \(g\): \(S(5|2|2)\). 2. Teilaufgabe b): Die Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear, da kein Faktor \(k\) existiert mit \(k \cdot 1 = 3\) und \(k \cdot 2 = 2\) (wäre \(k=3\) und \(k=1\)). Die Parallelität ist somit für alle \(a\) ausgeschlossen. 3. Teilaufgabe c): Da die Richtungsvektoren nie parallel sind und ein Schnittpunkt nur für \(a=0\) existiert, müssen die Geraden für alle anderen Werte von \(a\) windschief sein.

a) Für \(a = 0\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(5|2|2)\). b) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear (keine Vielfachen voneinander). c) Für \(a \neq 0\) sind die Geraden windschief, da sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen.

- Wann sind zwei Geraden identisch und was bedeutet das für ihre Richtungs- und Stützvektoren? - Kannst du einen Zusammenhang zwischen den beiden Richtungsvektoren erkennen? - Was passiert, wenn du versuchst, den Stützpunkt der einen Geraden in die Gleichung der anderen Geraden einzusetzen? - Überlege dir, welche Lagebeziehungen zwischen Geraden im Raum möglich sind, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

1. Damit die Geraden identisch sind, müssen ihre Richtungsvektoren kollinear sein und der Stützpunkt von \(h_{a,b}\) muss auf \(g\) liegen. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \((-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für die Punktprobe des Stützpunkts gilt: \(\begin{pmatrix} a \\ 10 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(10 = 1 + 3\lambda \Rightarrow \lambda = 3\). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \(a = 2 + 3 = 5\). Einsetzen in die dritte Zeile ergibt \(b = -3 - 2 \cdot 3 = -9\). 2. Ein einzelner Schnittpunkt ist nur möglich, wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind. Da hier die Richtungsvektoren für alle \(a, b\) linear abhängig (kollinear) sind, können die Geraden nur identisch oder echt parallel sein. In keinem dieser Fälle existiert genau ein Schnittpunkt.

1. \(a = 5\) und \(b = -9\) 2. Da die Richtungsvektoren kollinear sind (\(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\)), sind die Geraden für alle \(a, b\) entweder parallel oder identisch. Ein einzelner Schnittpunkt setzt jedoch linear unabhängige Richtungsvektoren voraus.

- Welche Gleichung entsteht aus jeder Koordinate, wenn du die beiden Parameterformen gleichsetzt? - Welche beiden Gleichungen enthalten den äußeren Parameter \(a\) noch nicht? - Wie kannst du daraus zuerst \(r\) und \(s\) bestimmen? - Welche verbleibende Gleichung legt danach \(a\) fest?

1. Gleichsetzen der beiden Parameterformen ergibt \(3+r=1+3s\), \(1-2r=7+as\) und \(4+2r=-2-2s\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(r=3s-2\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(8s=-2\), also \(s=-0{,}25\). 3. Damit ist \(r=3(-0{,}25)-2=-2{,}75\). 4. Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(1-2(-2{,}75)=7-0{,}25a\), also \(a=2\). 5. Einsetzen von \(r=-2{,}75\) in \(g\) ergibt \(S(0{,}25|6{,}5|-1{,}5)\).

a) \(a=2\) b) \(S(0{,}25|6{,}5|-1{,}5)\)

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Was bedeutet es für die Lage von zwei Geraden im Raum, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind? - Überlege dir, welche verschiedenen Lagebeziehungen zwei Geraden haben können und in welchen dieser Fälle sie eine Ebene festlegen. - Können zwei parallele Geraden windschief sein?

1. Zunächst werden die Richtungsvektoren der Geraden aufgestellt: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{CD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\). Damit die Geraden parallel sind, müssen die Richtungsvektoren kollinear sein. Da die ersten beiden Komponenten bereits identisch sind, muss auch die dritte Komponente übereinstimmen: \(k - 2 = -1\), woraus \(k = 1\) folgt. 2. Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, spannen sie stets eine eindeutige Ebene auf (sofern sie nicht identisch sind). Da alle vier Punkte auf diesen beiden parallelen Geraden liegen (\(A, B\) auf \(g\) und \(C, D\) auf \(h\)), liegen sie folglich in der durch die Geraden definierten Ebene. Ein Test auf Identität (Punktprobe von \(C\) auf \(g\)) zeigt \(0 = 1 + 2r \Rightarrow r = -0{,}5\) und \(4 = 1 + r \Rightarrow r = 3\), was einen Widerspruch ergibt; die Geraden sind also echt parallel und liegen somit in einer Ebene.

1. Die Geraden sind für \(k = 1\) parallel. 2. Da die Geraden \(g\) und \(h\) für \(k = 1\) parallel (und nicht identisch) sind, liegen sie in einer gemeinsamen Ebene. Da die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) auf diesen Geraden liegen, sind sie komplanar.

- Welche zwei Verbindungsvektoren bestimmen die Richtung der Ebene durch \(P,Q,R\)? - Wie findest du einen Normalenvektor, der zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist? - Welche Koordinatenform ergibt sich mit einem der drei gegebenen Ebenenpunkte? - Welche Bedingung muss \(S(k|k|2)\) dann erfüllen?

1. Zwei Richtungsvektoren der Ebene durch \(P,Q,R\) sind \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\4\end{pmatrix}\). 2. Ihr Kreuzprodukt ist \(\begin{pmatrix}10\\0\\5\end{pmatrix}\), also kann \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) als Normalenvektor verwendet werden. 3. Mit \(P\) erhält man die Koordinatenform \(E:2x_1+x_3=4\). 4. Einsetzen von \(S(k|k|2)\) ergibt \(2k+2=4\), also \(k=1\).

\(k=1\)

- Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren von \(E_2\) einen Normalenvektor? - Welche Beziehung müssen die Normalenvektoren paralleler Ebenen erfüllen? - Welche Punktprobe entscheidet anschließend zwischen Identität und echter Parallelität?

1. Ein Normalenvektor von \(E_2\) ist das Kreuzprodukt seiner beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}2\\-4\\-3\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}2\\-4\\a\end{pmatrix}\). 3. Für Parallelität müssen die Normalenvektoren kollinear sein. Die ersten beiden Komponenten erzwingen den Faktor \(1\), also \(a=-3\). 4. Der Stützpunkt \((1|0|1)\) von \(E_2\) erfüllt \(E_1\) dann nicht, denn \(2-3=-1\neq8\). 5. Somit sind die Ebenen für \(a=-3\) echt parallel.

\(a=-3\); die Ebenen sind dann echt parallel.

- Hängt der Richtungsvektor der Geraden überhaupt von \(a\) ab? - Welche Beziehung muss dieser Richtungsvektor zum Normalenvektor von \(E\) besitzen? - Welche Punktprobe legt den einzigen enthaltenen Scharparameter fest?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\), der Richtungsvektor jeder Schargeraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{n}\cdot\vec{u}=2-2=0\). Daher ist jede Schargerade zu \(E\) parallel oder in \(E\) enthalten. 3. Der Stützpunkt \((a|2|1)\) liegt genau dann in \(E\), wenn \(a+2+2=6\). Daraus folgt \(a=2\). 4. Für \(a=2\) liegt \(g_2\) vollständig in \(E\); für \(a\neq2\) liegt der Stützpunkt außerhalb von \(E\), also ist \(g_a\) echt parallel zu \(E\).

a) Für jedes \(a\) gilt \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\), also ist \(g_a\) parallel zu \(E\) oder in \(E\) enthalten. b) \(a=2\); für \(a\neq2\) ist \(g_a\) echt parallel zu \(E\).

- Wie stehen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Wie kannst du prüfen, ob ein einzelner Punkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt? - Um einen Schnittpunkt zu finden, kannst du die Koordinaten der Geraden in die Koordinatenform der Ebene einsetzen.

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\): \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden \(\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}\) muss null sein: \(2a + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 2a - 2 = 0\). Daraus folgt \(a = 1\). 3. Überprüfung der Lage für \(a = 1\): Punktprobe mit dem Stützpunkt \(P(1|1|1)\) der Geraden in der Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2\). Da \(2 \neq 5\), liegt der Punkt nicht in der Ebene, die Gerade ist also echt parallel. 4. Schnittpunktberechnung für \(a = 0\): Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1 + 2t\), \(x_3 = 1 + 4t\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + (1 + 2t) - (1 + 4t) = 5\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(2 + 1 + 2t - 1 - 4t = 5 \Rightarrow 2 - 2t = 5 \Rightarrow -2t = 3 \Rightarrow t = -1{,}5\). 6. Einsetzen von \(t = -1{,}5\) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \(S(1 | -2 | -5)\).

a) \(a = 1\) b) Die Gerade ist echt parallel, da der Stützpunkt \(P(1|1|1)\) nicht in der Ebene liegt (\(2 \neq 5\)). c) Der Schnittpunkt ist \(S(1 | -2 | -5)\).

- Welche Beziehung müssen die Normalenvektoren paralleler Ebenen erfüllen? - Welcher Proportionalitätsfaktor folgt bereits aus den Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\)? - Welche zusätzliche Bedingung an die rechte Seite ist für Identität nötig?

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}9\\6\\t\end{pmatrix}\). 2. Die ersten beiden Komponenten zeigen den Faktor \(3\). Für Parallelität muss daher \(t=3(-4)=-12\) gelten. 3. Für Identität muss auch die rechte Seite mit demselben Faktor skaliert sein. Daher ist \(s=3\cdot6=18\). 4. Für \(t=-12\), \(s=10\) sind die Normalenvektoren zwar proportional, die gesamten Koordinatenformen aber nicht. Daher sind die Ebenen echt parallel.

a) \(t=-12\) b) \(s=18\) c) echt parallel

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Wie hängen die Koeffizienten einer Ebenengleichung mit ihrem Normalenvektor zusammen? - Überlege dir, was passieren muss, damit zwei Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben. - Was unterscheidet zwei echt parallele Ebenen von zwei identischen Ebenen in ihrer Koordinatenform? - Wenn zwei Ebenen im Raum nicht parallel sind, wie liegen sie dann zueinander?

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} a \\ 6 \\ b \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität oder Identität ist die Kollinearität der Normalenvektoren: \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\). 3. Berechnung des Skalierungsfaktors \(k\) über die \(x_2\)-Koordinate: \(6 = k \cdot (-4) \Rightarrow k = -1{,}5\). 4. Berechnung der fehlenden Koeffizienten für die Parallelität: \(a = -1{,}5 \cdot 6 = -9\) und \(b = -1{,}5 \cdot 2 = -3\). 5. Untersuchung der Konstanten für Identität (a): \(c = k \cdot 12 = -1{,}5 \cdot 12 = -18\). Die Ebenen sind identisch für \(a = -9, b = -3, c = -18\). 6. Untersuchung für echte Parallelität (b): Die Normalenvektoren müssen kollinear sein, aber die Konstante darf nicht proportional sein. Dies gilt für \(a = -9, b = -3\) und \(c \neq -18\). 7. Untersuchung für den Schnitt (c): Die Normalenvektoren dürfen nicht kollinear sein. Dies ist der Fall, wenn \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\). Der Wert von \(c\) spielt hierbei keine Rolle.

a) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c = -18\) b) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c \neq -18\) c) \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\) (mit beliebigem \(c \in \mathbb{R}\))

- Was bedeutet Parallelität zwischen Gerade und Ebene für das Verhältnis von Richtungs- und Normalenvektor? - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht, welche Beziehung haben dann der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander? - Überprüfe bei Teilaufgabe b), ob alle Komponenten des Richtungsvektors ein Vielfaches des Normalenvektors sein können.

1. Teilaufgabe a): Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) der Ebene ist. 2. Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow a \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 0\). 3. Lösen der Gleichung: \(2a + 4 - 6 = 0 \Rightarrow 2a - 2 = 0 \Rightarrow a = 1\). 4. Teilaufgabe b): Damit die Gerade orthogonal zur Ebene steht, muss der Richtungsvektor \(\vec{u}\) kollinear zum Normalenvektor \(\vec{n}\) sein, d. h. \(\vec{u} = k\vec{n}\). 5. Aufstellen des Gleichungssystems: \(a = 2k\), \(1 = 4k\), \(2 = -3k\). 6. Aus der zweiten Gleichung folgt \(k = 0{,}25\). Aus der dritten Gleichung folgt \(k = -\frac{2}{3}\). 7. Da \(0{,}25 \neq -\frac{2}{3}\), gibt es kein \(k\) und somit kein \(a\), das die Bedingung erfüllt.

a) Für \(a = 1\) verläuft die Gerade parallel zur Ebene. b) Eine orthogonale Lage erfordert Kollinearität von Richtungs- und Normalenvektor (\(\vec{u} = k\vec{n}\)). Das resultierende Gleichungssystem (\(1 = 4k\) und \(2 = -3k\)) führt zu einem Widerspruch, weshalb kein solches \(a\) existiert.

- Welche Beziehung zwischen den Normalenvektoren ist für Parallelität nötig? - Was zeigt zusätzlich der Vergleich der rechten Seiten für \(b=1\)? - Wann hat ein System aus drei Ebenengleichungen genau eine Lösung? - Was geschieht mit der gemeinsamen Lösungsmenge, wenn zwei der drei Ebenen identisch werden?

1. Ein Normalenvektor von \(E_b\) ist \(\vec{n}_b=\begin{pmatrix}1\\b\\2\end{pmatrix}\), ein Normalenvektor von \(F_1\) ist \(\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\). 2. Parallelität erfordert \(\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\b\\2\end{pmatrix}\). Daraus folgt \(b=1\). Für \(b=1\) ist auch die rechte Seite von \(F_1\) das Doppelte derjenigen von \(E_1\), also sind \(E_1\) und \(F_1\) identisch. 3. Die reduzierte Koordinatenform von \(F_1\) ist \(x_1+x_2+2x_3=3\). 4. Für \(b\neq1\) sind die drei Normalenvektoren linear unabhängig; das Dreier-System hat daher genau einen gemeinsamen Punkt. 5. Für \(b=1\) beschreiben \(E_1\) und \(F_1\) dieselbe Ebene. Zusammen mit \(F_2\) bleibt deshalb die Schnittgerade dieser beiden verschiedenen Ebenen als gemeinsame Lösungsmenge.

a) \(b=1\); dann sind \(E_1\) und \(F_1\) identisch. b) Für \(b\neq1\) besitzen die drei Ebenen genau einen gemeinsamen Punkt. Für \(b=1\) besitzen sie eine gemeinsame Schnittgerade.

- Welche Normalenvektoren kannst du direkt aus den Koordinatenformen ablesen? - Was muss bei der nach \(t\) sortierten Schargleichung unabhängig von \(t\) gelten? - Welche Richtung muss der Normalenvektor einer Ebene haben, die auf zwei anderen Ebenen senkrecht steht? - Welcher Scharparameter reproduziert die gefundene Koordinatenform direkt?

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_t=\begin{pmatrix}1\\t-1\\-t\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_F\cdot\vec{n}_t=1+t-1-t=0\). Also ist jedes \(F_t\) orthogonal zu \(F\). 2. Der Ursprung erfüllt jede Schargleichung. 3. Die Schargleichung lautet \(x_1-x_2+t(x_2-x_3)=0\). Gemeinsame Punkte aller Scharebenen erfüllen \(x_1-x_2=0\) und \(x_2-x_3=0\), also \(x_1=x_2=x_3\). Die gemeinsame Schnittmenge ist die Gerade \(s:\vec{x}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 4. Ein Normalenvektor von \(E^*\) muss zu \(\vec{n}_F\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\) orthogonal sein. Ein Kreuzprodukt liefert \(\vec{n}^*=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). Da der Ursprung in \(E^*\) liegt, ist \(E^*:x_1-x_2=0\). 5. Für \(t=0\) lautet die Schargleichung \(F_0:x_1-x_2=0\). Daher ist \(E^*=F_0\).

a) Für alle \(t\) gilt \(F_t\perp F\), und alle \(F_t\) enthalten den Ursprung. Ihre gemeinsame Schnittmenge ist \(s:\vec{x}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). b) \(E^*:x_1-x_2=0\) c) \(E^*=F_0\), also \(t=0\).

- Welche Bedingung erhältst du, wenn du die Parameterform von \(E_2\) in die Koordinatenform von \(E_1\) einsetzt? - Wie berechnest du den Winkel zweier Ebenen aus ihren Normalenvektoren? - Welche Beziehung zwischen Geradenrichtung und Ebenennormale zeigt Parallelität? - Welche Punktprobe unterscheidet danach Enthaltensein von echter Parallelität?

1. Einsetzen der Parameterform von \(E_2\) in \(E_1\) ergibt \((1+r)+(-r+s)=2\), also \(s=1\). Damit ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Aus den beiden Richtungsvektoren von \(E_2\) erhält man \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\). 3. Daher ist \(\cos\alpha=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}=\frac{5}{\sqrt{28}}\), also \(\alpha\approx19{,}11^\circ\). 4. Ein Normalenvektor von \(H_a\) ist \(\vec{n}_a=\begin{pmatrix}a\\1\\1-a\end{pmatrix}\). Für den Richtungsvektor \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\vec{v}_g\cdot\vec{n}_a=a-1+1-a=0\) für jedes \(a\). Also ist \(g\) stets zu \(H_a\) parallel oder in \(H_a\) enthalten. 5. Der Punkt \(P(1|1|3)\) von \(g\) erfüllt \(H_a\) genau dann, wenn \(a+1+3(1-a)=4\), also \(a=0\). Daher liegt \(g\) in \(H_0\) und ist für \(a\neq0\) echt parallel zu \(H_a\).

a) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\); \(\alpha\approx19{,}11^\circ\) b) Für \(a=0\) gilt \(g\subset H_0\); für \(a\neq0\) ist \(g\) echt parallel zu \(H_a\).

- Welche Bedingung erfüllen die Normalenvektoren orthogonaler Ebenen? - Welche Komponenten muss der Normalenvektor einer zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene parallelen Ebene besitzen? - Können die daraus entstehenden beiden Bedingungen an \(a\) gleichzeitig erfüllt sein?

1. Ein Normalenvektor von \(E_a\) ist \(\vec{n}_a=\begin{pmatrix}a+1\\1-a\\a\end{pmatrix}\), von \(H\) ist \(\vec{n}_H=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\). 2. Für Orthogonalität gilt \(\vec{n}_a\cdot\vec{n}_H=2(a+1)-2(1-a)+a=5a\). Daher ist genau für \(a=0\) die Ebene \(E_0\) orthogonal zu \(H\). 3. Eine zur \(x_1x_2\)-Koordinatenebene parallele Ebene müsste einen Normalenvektor besitzen, dessen erste und zweite Komponente beide null sind. 4. Dafür wären gleichzeitig \(a+1=0\) und \(1-a=0\) nötig, also \(a=-1\) und \(a=1\). Das ist unmöglich. Daher gibt es kein solches \(a\).

a) \(a=0\) b) Es gibt keinen solchen Wert von \(a\).

- Beginne damit, die Richtungsvektoren auf Kollinearität zu prüfen. Von welchem Wert für \(k\) hängt das ab? - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du prüfen, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, gibt es zwei Möglichkeiten: Schnittpunkt oder windschief. - Was sagt die \(z\)-Koordinate der Gleichungssysteme über mögliche Schnittpunkte aus?

1. Prüfung auf Parallelität der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} k+1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(c = 1\). Damit muss \(k+1 = 2\) gelten, also \(k = 1\). 2. Fall \(k = 1\): Die Richtungsvektoren sind identisch. Prüfung auf Identität durch Punktprobe: Ist der Stützvektor \((3|1|1)^T\) von \(f_1\) auf \(g\)? \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(r = 1\). Dies erfüllt auch die erste (\(1 + 2 \cdot 1 = 3\)) und dritte Zeile (\(1 = 1\)). Also sind die Geraden für \(k = 1\) identisch. 3. Fall \(k \neq 1\): Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Gleichsetzen der Geraden: \(1 + 2r = 3 + s(k+1)\), \(r = 1 + s\) und \(1 = k\). Da \(k \neq 1\) vorausgesetzt ist, widerspricht die dritte Zeile dem Gleichungssystem. Es gibt keinen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert, sind die Geraden windschief.

Für \(k = 1\) sind die Geraden identisch. Für \(k \neq 1\) sind die Geraden windschief.

- Wann bestimmen eine Gerade und ein zusätzlicher Punkt keine eindeutige Ebene? - Welcher Verbindungsvektor von einem Geradenpunkt zu \(S_2\) kann als zweiter Richtungsvektor dienen? - Welche Bedingung muss dieser zweite Richtungsvektor bezüglich des Geradenrichtungsvektors erfüllen? - Wie erhältst du aus zwei unabhängigen Richtungsvektoren einen Normalenvektor?

1. Eine eindeutige Ebene entsteht nur, wenn \(S_k\) nicht auf \(g\) liegt. 2. Aus \(4=2\lambda\) folgt \(\lambda=2\). Die dritte Koordinate ist damit erfüllt, und die zweite ergibt \(k=4-2\cdot2=0\). Also liegt \(S_0\) auf \(g\). 3. Für \(k=2\) ist ein Stützpunkt \(A(0|4|2)\), ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\), und \(\overrightarrow{AS_2}=\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}\) ist ein zweiter unabhängiger Richtungsvektor der Ebene. 4. Damit ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}\) eine Parameterform. 5. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren liefert einen Normalenvektor \(\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}\), also vereinfacht \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\). 6. Eine Normalenform ist \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}=0\).

a) \(k=0\) b) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}\) Normalenform: \(\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}=0\)

- Welche Bedingung müssen die beiden Richtungsvektoren einer Ebene bezüglich der Richtungen der anderen Ebene erfüllen, wenn die Ebenen parallel sind? - Welche Komponenten erlauben dir bei der ersten Linearkombination, die Koeffizienten schrittweise zu bestimmen? - Wie unterscheidest du nach festgestellter Parallelität zwischen Identität und echter Parallelität?

1. Für Parallelität müssen die beiden Richtungsvektoren von \(F\) Linearkombinationen der beiden Richtungsvektoren von \(E\) sein. 2. Aus \(\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}1\\a\\2\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) folgt \(\alpha=2\), \(\beta=1\) und damit \(3=2a+1\), also \(a=1\). 3. Mit \(a=1\) folgt aus \(\begin{pmatrix}1\\0\\b\end{pmatrix}=\gamma\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\delta\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) zunächst \(\gamma=1\), \(\delta=-1\) und damit \(b=1\). 4. Für \(a=b=1\) sind die Ebenen parallel. Eine Punktprobe mit \((2|0|3)\) in \(E\) liefert aus der ersten und zweiten Koordinate \(r=1\), \(s=-2\), aber dann in der dritten Koordinate \(1+2-2=1\neq3\). 5. Daher sind die Ebenen für \(a=b=1\) echt parallel.

\(a=1\), \(b=1\); die Ebenen sind dann echt parallel.

- Welche Beziehung erkennst du zwischen den linken Seiten der drei Koordinatenformen? - Welche rechte Seite müsste die dritte Gleichung besitzen, damit sie aus den ersten beiden folgt? - Was bedeutet ein Widerspruch zwischen gleicher linker Seite und verschiedenen rechten Seiten für die gemeinsame Lösungsmenge? - Welche paarweisen Lagebeziehungen bleiben möglich, wenn keine zwei Normalenvektoren kollinear sind?

1. Die Normalenvektoren erfüllen \(\vec{n}_1+\vec{n}_2=\vec{n}_3\). Keine zwei Normalenvektoren sind kollinear, also schneiden sich die Ebenen jeweils paarweise in Geraden. 2. Addiert man die Koordinatenformen von \(E_1\) und \(E_2\), erhält man \(3x_1+2x_2+x_3=4\). 3. Für \(k=4\) ist die dritte Gleichung genau die Summe der ersten beiden. Daher ist sie für die gemeinsame Lösungsmenge redundant; alle drei Ebenen besitzen dieselbe gemeinsame Schnittgerade. 4. Für \(k\neq4\) verlangen die ersten beiden Ebenen für jeden gemeinsamen Punkt \(3x_1+2x_2+x_3=4\), während \(E_3\) denselben linken Ausdruck gleich \(k\) setzt. Das ist widersprüchlich, also gibt es keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen. 5. Da keine zwei Ebenen parallel sind, schneiden sie sich im Fall \(k\neq4\) weiterhin paarweise. Die drei paarweisen Schnittgeraden sind zueinander parallel.

Für \(k=4\) besitzen alle drei Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade und damit unendlich viele gemeinsame Punkte. Für \(k\neq4\) besitzen die drei Ebenen keinen gemeinsamen Punkt; ihre drei paarweisen Schnittgeraden sind parallel zueinander.

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen mit dem Richtungsvektor ihrer Schnittgeraden zusammen? - Nutze das Vektorprodukt, um einen allgemeinen Ausdruck für die Richtung der Schnittgeraden in Abhängigkeit von \( k \) zu finden. - Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Vergleiche die Komponenten der Vektoren, um eine Gleichung für \( k \) aufzustellen.

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \( \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_{F,k} = \begin{pmatrix} k \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als allgemeinen Richtungsvektor der Schnittgeraden \( \vec{v}_k = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot k - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - 2 \cdot k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ k - 2 \\ -1 - 2k \end{pmatrix} \). 3. Abgleich mit dem gegebenen Richtungsvektor \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \). Da die erste Komponente bereits übereinstimmt, muss gelten: \( k - 2 = -1 \) und \( -1 - 2k = -3 \). 4. Lösen der Gleichung \( k - 2 = -1 \) ergibt \( k = 1 \). 5. Überprüfung mit der dritten Komponente: \( -1 - 2 \cdot 1 = -3 \). Die Bedingung ist erfüllt.

Der gesuchte Wert ist \( k = 1 \).

- Für welchen Wert von \(k\) verliert die Koeffizientenmatrix ihre eindeutige Lösbarkeit? - Welche beiden einfachen Gleichungen erhältst du nach passenden Zeilenkombinationen für \(k=2\)? - Wann sind diese beiden Gleichungen miteinander vereinbar? - Was bleibt geometrisch übrig, wenn das Dreier-System keine Lösung hat, aber keine zwei Ebenen parallel sind?

1. Die Koeffizientenmatrix lautet \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&k\\1&2&1\end{pmatrix}\). Ihre Determinante ist \(\det(A)=2-k\). Daher ist das System genau für \(k=2\) nicht eindeutig lösbar. 2. Für \(k=2\) ergibt \(E_2-2E_1\) die Gleichung \(-x_2=-2\), also \(x_2=2\). 3. Aus \(E_3-E_1\) folgt \(x_2=m-4\). Für eine gemeinsame Lösungsmenge muss daher \(m-4=2\), also \(m=6\), gelten. 4. Für \(k=2\), \(m=6\) ist \(x_2=2\) und aus \(E_1\) folgt \(x_1+x_3=2\). Mit \(x_3=t\) erhält man \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\). 5. Für \(k=2\), \(m\neq6\) ist das System widersprüchlich und besitzt keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen. Da keine zwei Ebenen parallel sind, schneiden sich die Ebenen weiterhin paarweise; diese drei Schnittgeraden sind parallel zueinander.

a) \(k=2\) b) \(m=6\); \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\) c) Für \(m\neq6\) gibt es keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen; die drei paarweisen Schnittgeraden sind parallel zueinander.

- Welche Koordinate bestimmt beim Gleichsetzen sofort einen Geradenparameter? - Was musst du für Windschiefe sowohl bezüglich der Richtungen als auch bezüglich eines möglichen Schnittpunkts zeigen? - Welche zwei festen Richtungsvektoren erzeugen gemeinsam jeden Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}2\\k\\2\end{pmatrix}\)? - Wie erhältst du aus diesen beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor der gemeinsamen Ebene?

1. Aus der dritten Koordinate beim Gleichsetzen folgt \(s=1\). Die erste Koordinate liefert dann \(r=4\), die zweite \(k=1\). Daher ist \(S(3|1|4)\). 2. Für \(k=0\) sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Beim Gleichsetzen folgt aus der zweiten Koordinate \(r=5\), aus der ersten \(s=1{,}5\), während die dritte Koordinate dann den Widerspruch \(4=5\) ergibt. Also sind die Geraden windschief. 3. Alle \(h_k\) besitzen den Stützpunkt \(A(1|0|2)\), und \(\begin{pmatrix}2\\k\\2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). 4. Damit liegen alle \(h_k\) in der Ebene durch \(A\) mit den Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). 5. Ein Normalenvektor ist \(\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\); mit \(A\) ergibt sich die Koordinatenform \(E:x_1-x_3+1=0\).

a) \(k=1\), \(S(3|1|4)\) b) \(g\) und \(h_0\) sind windschief. c) \(E:x_1-x_3+1=0\)

- Welche Komponente verhindert, dass die beiden Richtungsvektoren jemals kollinear werden? - Welche Koordinatenform erhältst du aus einem Normalenvektor von \(E_k\)? - Wenn diese Koordinatenform für jedes \(k\) gelten soll, welche beiden Ausdrücke müssen dann getrennt verschwinden? - Welche Bedingung an die Normalenvektoren beschreibt Orthogonalität zweier Ebenen?

1. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}k\\1\\0\end{pmatrix}\) können wegen ihrer zweiten Komponenten für kein \(k\) kollinear sein. Daher beschreibt jedes \(E_k\) eine Ebene. 2. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}-1\\k\\2\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \(P(1|1|1)\) ergibt sich die Koordinatenform \(-x_1+kx_2+2x_3=k+1\), also \((-x_1+2x_3-1)+k(x_2-1)=0\). 3. Ein Punkt liegt auf jeder Ebene genau dann, wenn \(x_2-1=0\) und \(-x_1+2x_3-1=0\). Mit \(x_3=1+t\) folgt \(x_1=1+2t\). Daher ist die gemeinsame Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\). 4. Für \(E_{-1}\) ist \(\vec{n}_{-1}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}\). Aus \(\vec{n}_k\cdot\vec{n}_{-1}=1-k+4=0\) folgt \(k=5\). 5. Für \(A\) ergibt die Parameterform aus der dritten Koordinate \(\lambda=2\), aus der zweiten \(\mu=1\). Die erste Koordinate liefert dann \(5=1+4+k\), also \(k=0\). Somit liegt \(A\) auf \(E_0\).

a) Für jedes \(k\) sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig. b) \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\) c) \(k=5\) d) \(A\in E_0\)

- Welche Richtung hat die Schnittgerade bezüglich der beiden Normalenvektoren? - Welche Formel verbindet den Schnittwinkel zweier Ebenen mit ihren Normalenvektoren? - Welche Beziehung müssen die Normalenvektoren orthogonaler Ebenen erfüllen? - Welche einfache Punktprobe kann eine Zugehörigkeit von \(E^*\) zur Schar bereits ausschließen?

1. Normalenvektoren von \(F_0\) und \(F_1\) sind \(\vec{n}_0=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\). 2. Ein Richtungsvektor ihrer Schnittgeraden ist \(\vec{n}_0\times\vec{n}_1\sim\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Beide Ebenen enthalten \((2|0|4)\). Daher ist \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel gilt \(\cos\alpha=\frac{|\vec{n}_0\cdot\vec{n}_1|}{|\vec{n}_0||\vec{n}_1|}=\frac{2}{\sqrt{6}}\). Somit ist \(\alpha\approx35{,}26^\circ\). 4. Ein Normalenvektor von \(F_a\) ist \(\vec{n}_a=\begin{pmatrix}1\\-1\\a\end{pmatrix}\), von \(H\) ist \(\vec{n}_H=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\). Aus \(\vec{n}_a\cdot\vec{n}_H=2+2a=0\) folgt \(a=-1\). 5. Der Stützpunkt \((2|2|4)\) von \(E^*\) liegt in keiner Scharebene: Aus erster und dritter Koordinate der Punktprobe folgt \(r=s=0\), die zweite Koordinate verlangte dann \(2=0\). Daher gehört \(E^*\) nicht zur Schar.

a) \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) b) \(\alpha\approx35{,}26^\circ\) c) \(a=-1\) d) \(E^*\) gehört nicht zur Schar.

- Welche Information über den Schnittpunkt ist schon an den beiden Geraden ablesbar? - Wie erhältst du aus ihren Richtungsvektoren einen Normalenvektor der gemeinsamen Ebene? - Welches Skalarprodukt prüft die Orthogonalität von \(E\) und \(E_k\)? - Welche zwei Gleichungen müssen für einen Punkt gelten, der unabhängig von \(k\) auf jeder Scharebene liegt?

1. Beide Geraden besitzen den Stützpunkt \(S(1|1|2)\); sie schneiden sich dort. 2. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\), also kann \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\) verwendet werden. Damit ist \(E:x_1-2x_2+x_3=1\). 3. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}2\\1+k\\2k\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_k\cdot\vec{n}_E=2-2(1+k)+2k=0\), also \(E_k\perp E\) für jedes \(k\). 4. Die Schargleichung lässt sich als \(2x_1+x_2-3+k(x_2+2x_3-3)=0\) schreiben. Gemeinsame Punkte aller Scharebenen erfüllen daher \(2x_1+x_2=3\) und \(x_2+2x_3=3\). 5. Mit \(x_3=\lambda\) folgt \(x_2=3-2\lambda\), \(x_1=\lambda\). Somit ist \(l:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\).

a) \(S(1|1|2)\); \(E:x_1-2x_2+x_3=1\) b) Für jedes \(k\) gilt \(E_k\perp E\); \(l:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\)

- Wann besitzt ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung? Denke an die Determinante oder das Gauß-Verfahren. - Was bedeutet eine Zeile der Form „0 = Zahl“ im Gauß-Verfahren für die Lösbarkeit? - Wie lässt sich die Lösung eines \(3 \times 3\)-Systems als Schnittgebilde von Ebenen im Raum vorstellen? - Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es für drei Ebenen, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert?

1. Determinante oder Gauß-Verfahren: Das System hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. \(\det(A) = 1 \cdot (8 - k^2) - 1 \cdot (4 - k) + 1 \cdot (k - 2) = 8 - k^2 - 4 + k + k - 2 = -k^2 + 2k + 2\). Nullstellen von \(-k^2 + 2k + 2 = 0\): \(k_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (-1) \cdot 2}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} = 1 \mp \sqrt{3}\). Genau eine Lösung für \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). 2. Fall \(k = 2\): Einsetzen in das System: (I) \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) (II) \(x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3\) (III) \(x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2\) Subtraktion (II)-(I) ergibt \(x_2 + x_3 = 1\). Subtraktion (III)-(II) ergibt \(2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -0{,}5\). Daraus folgt \(x_2 = 1{,}5\) und \(x_1 = 2 - 1{,}5 - (-0{,}5) = 1\). Lösung: \((1|1{,}5|-0{,}5)\). Geometrisch: Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. 3. Unlösbarkeit: Prüfung der kritischen Werte \(k = 1 \pm \sqrt{3}\). Alternativ über das Gauß-Tableau: 1 1 1 | 2 0 1 k-1 | 1 0 k-1 3 | k-2 Dritte Zeile minus \((k-1)\) mal zweite Zeile: \(0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + (3 - (k-1)^2)x_3 = (k-2) - (k-1)\). Links: \(3 - (k^2 - 2k + 1) = -k^2 + 2k + 2\). Rechts: \(k - 2 - k + 1 = -1\). Für \(k = 1 \pm \sqrt{3}\) wird die linke Seite \(0\), während die rechte Seite \(-1\) bleibt. In beiden Fällen ist das System unlösbar.

a) \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). b) Für \(k=2\) gibt es die eindeutige Lösung \((1|1{,}5|-0{,}5)\); die drei Ebenen schneiden sich in diesem Punkt. c) Für \(k = 1-\sqrt{3}\) und \(k = 1+\sqrt{3}\).

- Nutze das Gauß-Verfahren, um das System in Stufenform zu bringen. - Achte besonders auf den Koeffizienten vor der letzten Variable in der letzten Zeile. - Wann hat ein Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? - Was bedeutet eine eindeutige Lösung für die Lage von drei Ebenen im Raum? - Wenn ein System unendlich viele Lösungen in Form einer Geradengleichung hat, wie liegen die Ebenen dann zueinander?

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & -1 & 2 & | & 1 \\ 3 & -1 & k & | & 4 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung des Gauß-Verfahrens: \(II - I \Rightarrow -2x_2 + x_3 = -1\) \(III - 3 \cdot I \Rightarrow -4x_2 + (k-3)x_3 = -2\) \(III' - 2 \cdot II' \Rightarrow (k-5)x_3 = 0\). 3. Fallunterscheidung: Fall 1: \(k \neq 5\). Die letzte Gleichung ergibt \((k-5)x_3 = 0\), woraus \(x_3 = 0\) folgt. Rückwärtseinsetzen liefert \(-2x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5\) und \(x_1 + 0{,}5 + 0 = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5\). Es gibt genau eine Lösung: \(L = \{(1{,}5|0{,}5|0)\}\). Geometrisch bedeutet dies, dass sich die drei Ebenen in genau einem Punkt schneiden. Fall 2: \(k = 5\). Die letzte Zeile wird zu \(0 = 0\). Es gibt unendlich viele Lösungen. Mit \(x_3 = \lambda\) folgt aus \(II'\): \(-2x_2 + \lambda = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5 + 0{,}5\lambda\). Einsetzen in \(I\): \(x_1 + (0{,}5 + 0{,}5\lambda) + \lambda = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5 - 1{,}5\lambda\). Lösungsmenge \(L = \{ (1{,}5 - 1{,}5\lambda|0{,}5 + 0{,}5\lambda|\lambda) \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). Geometrisch schneiden sich die drei Ebenen in einer gemeinsamen Geraden.

a) Für \(k \neq 5\) ist das System eindeutig lösbar. Für \(k = 5\) besitzt es unendlich viele Lösungen. b) Für \(k \neq 5\): \(L = \{(1{,}5|0{,}5|0)\}\). Für \(k = 5\): \(L = \{ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). c) Für \(k \neq 5\) schneiden sich die drei Ebenen in einem gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt). Für \(k = 5\) schneiden sie sich in einer gemeinsamen Geraden (Schnittgerade).

- Welche Parameterwerte erhältst du beim Gleichsetzen der beiden Geraden? - Wie findest du den Normalenvektor der Ebene durch zwei sich schneidende Geraden? - Was erhältst du, wenn du die Schargleichung in einen parameterfreien und einen mit \(t\) multiplizierten Teil zerlegst? - Welche Richtung muss ein Normalenvektor besitzen, der zu allen Scharnormalen orthogonal ist?

1. Gleichsetzen von \(g\) und \(h\) liefert \(\lambda=-1\), \(\mu=0\). Daher ist \(S(-1|1|1)\) der Schnittpunkt. 2. Das Kreuzprodukt der Geradenrichtungen liefert einen Normalenvektor \(\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}\). Mit \(S\) ergibt sich die Koordinatenform \(E:x_1+2x_3=1\). 3. Für \(t=0\) lautet die Schargleichung ebenfalls \(x_1+2x_3=1\). Also ist \(E=E_0\). 4. Die Schargleichung lässt sich schreiben als \((x_1+2x_3-1)+t(x_1+x_2-1)=0\). Gemeinsame Punkte aller Scharebenen erfüllen daher \(x_1+2x_3=1\) und \(x_1+x_2=1\). 5. Mit \(x_3=k\) folgt \(x_1=1-2k\), \(x_2=2k\). Daher ist \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\). 6. Die Normalenvektoren der Schar haben die Form \(\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Ein Normalenvektor, der zu beiden festen Vektoren orthogonal ist, ist \(\vec{n}^*=\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\). 7. Mit \(P\) ergibt sich \(-2\cdot2+2\cdot1+5=3\). Somit ist \(E^*:-2x_1+2x_2+x_3=3\).

a) \(S(-1|1|1)\); \(E:x_1+2x_3=1\) b) \(E=E_0\); \(s:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\) c) \(E^*:-2x_1+2x_2+x_3=3\)

- Was erhältst du durch direktes Einsetzen von \(a=0\)? - Wie kannst du die Schargleichung in einen parameterfreien Teil und einen mit \(a\) multiplizierten Teil zerlegen? - Welche zwei Gleichungen müssen gemeinsame Punkte aller Scharebenen gleichzeitig erfüllen? - Welche der beiden dabei auftretenden Ebenen wird durch keine endliche Wahl des Scharparameters allein reproduziert?

1. Für \(a=0\) ist \(F_0:x_1-x_2+x_3=1\). 2. Einsetzen der Geraden \(g\) ergibt \((1+\lambda)-\lambda+0=1\). Die Gleichung ist für jedes \(\lambda\) erfüllt, also liegt \(g\) in \(F_0\). 3. Sortiert nach \(a\) lautet die Schargleichung \((x_1-x_2+x_3-1)+a(x_1+2x_2-x_3-3)=0\). 4. Ein Punkt liegt für jedes \(a\) in der Schar, wenn beide Klammerausdrücke null sind. Damit gilt \(x_1-x_2+x_3=1\) und \(x_1+2x_2-x_3=3\). 5. Aus diesen beiden Gleichungen folgt mit \(x_1=t\): \(x_2=4-2t\) und \(x_3=5-3t\). Daher ist \(l:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\). 6. Die zweite Klammer beschreibt die Ebene \(E^*:x_1+2x_2-x_3=3\). Jeder Punkt von \(l\) erfüllt diese Gleichung nach Schritt 4. 7. Keine reelle Wahl von \(a\) lässt in der Schargleichung den ersten Klammerausdruck vollständig verschwinden. Daher wird \(E^*\) nicht durch einen endlichen Scharparameter dargestellt.

a) \(F_0:x_1-x_2+x_3=1\); \(g\subset F_0\) b) \(l:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\) c) \(E^*:x_1+2x_2-x_3=3\)

- Wie kannst du mit dem Richtungsvektor von \(g\) und einem Normalenvektor von \(E\) zunächst die Orientierung prüfen? Was musst du zusätzlich am Stützpunkt kontrollieren? - Welcher Wert von \(s\) lässt den Richtungsvektor der Schar mit dem von \(g\) übereinstimmen? - Setze einen allgemeinen Punkt von \(g_s\) in die Ebenengleichung ein und untersuche, wann sich der Geradenparameter eindeutig bestimmen lässt. - Kannst du den von \(s\) abhängigen Anteil der Koordinaten von \(Q_s\) durch einen neuen Parameter ersetzen? - Zerlege den Richtungsvektor von \(g_s\) in zwei feste Vektoren. Welche gemeinsame Ebene aller Geraden wird dadurch sichtbar?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). Für den Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) von \(g\) gilt \(\vec{n}_E\cdot\vec{v}=2-2=0\). Der Stützpunkt \(A(0|0|3)\) erfüllt die Ebenengleichung nicht, denn die linke Seite hat dort den Wert \(6\). Daher ist \(g\) echt parallel zu \(E\). 2. Für \(s=0\) wird der Richtungsvektor von \(g_s\) zu \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\). Somit ist \(g=g_0\). 3. Einsetzen eines allgemeinen Punktes von \(g_s\) in \(E\) ergibt \(\lambda(2+s)-2\lambda(1-2s)+2(3+2s\lambda)=9\), also \(9s\lambda=3\). Genau für \(s\neq0\) existiert damit ein eindeutiger Schnittparameter \(\lambda=\frac{1}{3s}\). 4. Für \(s\neq0\) ist \(Q_s=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3s}\\-\frac{2}{3}+\frac{1}{3s}\\\frac{11}{3}\end{pmatrix}\). Mit \(\mu=\frac{1}{3s}\) erhält man \(m: \vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{11}{3}\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\). Somit liegen alle \(Q_s\) auf \(m\). 5. Jeder Richtungsvektor der Schar hat die Form \(\begin{pmatrix}2+s\\1-2s\\2s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). Daher liegen alle \(g_s\) in der durch \(A(0|0|3)\) und diese beiden Richtungsvektoren bestimmten Ebene \(F\). 6. Ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}2\\-4\\-5\end{pmatrix}\), also \(F: 2x_1-4x_2-5x_3=-15\). Es gilt \(\vec{n}_E\cdot\vec{n}_F=2+8-10=0\), also \(F\perp E\). Außerdem erfüllt der Stützpunkt von \(m\) beide Ebenengleichungen, und der Richtungsvektor von \(m\) liegt in beiden Ebenen. Somit ist \(m\) ihre Schnittgerade.

a) \(g\parallel E\), wobei \(g\) nicht in \(E\) liegt. b) \(g=g_0\) c) Genau für \(s\neq0\); \(Q_s=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3s}\middle|-\frac{2}{3}+\frac{1}{3s}\middle|\frac{11}{3}\right)\) d) \(m: \vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{11}{3}\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) e) \(F: 2x_1-4x_2-5x_3=-15\) und \(F\perp E\); die Schnittgerade von \(E\) und \(F\) ist \(m\).