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- Überlege, welche geometrische Beziehung zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem kürzesten Verbindungsvektor vom Punkt zur Geraden besteht. - Wie kannst du einen beliebigen Punkt auf der Geraden mithilfe des Parameters \(t\) ausdrücken? - Welches Skalarprodukt muss den Wert Null ergeben, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Der gesuchte Abstand ist die Länge der orthogonalen Verbindung zwischen Punkt und Gerade.

1. Aufstellen des Verbindungsvektors zwischen dem Punkt \(P\) und einem allgemeinen Geradenpunkt \(F_t\): \(\vec{PF_t} = \begin{pmatrix} 1+2t-7 \\ 2-t-2 \\ 3+2t-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t-6 \\ -t \\ 2t-3 \end{pmatrix}\) 2. Anwendung der Orthogonalitätsbedingung \(\vec{PF_t} \cdot \vec{u} = 0\) mit dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\): \(2(2t-6) - 1(-t) + 2(2t-3) = 0\) 3. Auflösen der Gleichung \(9t - 18 = 0\) ergibt den Parameterwert \(t = 2\) 4. Berechnung des Lotfußpunktes \(F(5|0|7)\) durch Einsetzen von \(t = 2\) in die Geradengleichung 5. Der Abstand entspricht der Länge des Vektors \(\vec{PF} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(d = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3\)

\(3\)

- Was zeichnet einen Einheitsvektor im Vergleich zu einem gewöhnlichen Richtungsvektor aus? - Wie hängen der Punkt \(P\), sein Lotfußpunkt \(F\) auf der Geraden und der Abstand zueinander geometrisch zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dabei, die Länge eines Vektors zu bestimmen?

1. Berechnung der Länge des Richtungsvektors: \(|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\). 2. Bestimmung des Einheitsvektors: \(\vec{u} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Skalarprodukts für die Projektion: \(\vec{OP} \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \frac{8}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 3\). 4. Bestimmung des Ortsvektors des Lotfußpunktes: \(\vec{OF} = 3 \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), woraus \(F(2|2|1)\) folgt. 5. Berechnung des Abstands als Länge des Differenzvektors \(\vec{PF}\): \(\vec{PF} = \vec{OF} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 6. Betrag des Vektors: \(d = |\vec{PF}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = 3\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\) b) \(F(2|2|1)\) c) Der Abstand beträgt \(3\) Längeneinheiten.

- Welche Eigenschaft muss der Vektor zwischen dem Punkt und seinem Lotfußpunkt in Bezug auf die Gerade haben? - Wie kannst du den Richtungsvektor der Geraden nutzen, um eine Ebene zu konstruieren, in der der Lotfußpunkt liegen muss? - Überlege, wie sich der Abstand eines beliebigen Geradenpunktes zum Punkt \(P\) mithilfe eines Parameters ausdrücken lässt. - Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren hat einen ganz bestimmten Wert – wie hilft dir das hier weiter?

1. Weg über eine Hilfsebene: Aufstellen einer Hilfsebene \(E\) in Normalenform, die \(P\) enthält und deren Normalenvektor dem Richtungsvektor von \(g\) entspricht: \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 2 \cdot 3 - (-2) + 2 \cdot 4 = 16\). 2. Schnittpunktbestimmung: Einsetzen der Geradengleichung \(g\) in die Ebenengleichung \(E\): \(2(1+2t) - (2-t) + 2(-1+2t) = 16\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(9t - 2 = 16\), also \(t = 2\). Einsetzen in \(g\) liefert den Lotfußpunkt \(F(5 | 0 | 3)\). 3. Alternativer Weg über die Orthogonalitätsbedingung: Ein allgemeiner Punkt auf der Geraden ist \(F_t(1+2t | 2-t | -1+2t)\). Der Vektor \(\vec{PF_t} = \begin{pmatrix} 2t-2 \\ 4-t \\ 2t-5 \end{pmatrix}\) muss senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) stehen. Das Skalarprodukt \(\vec{PF_t} \cdot \vec{u} = 2(2t-2) - 1(4-t) + 2(2t-5) = 9t-18 = 0\) liefert ebenfalls \(t = 2\) und damit \(F(5 | 0 | 3)\). 4. Abstandsbestimmung: Der Abstand entspricht der Länge des Vektors \(\vec{PF} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(d(P, g) = |\vec{PF}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\).

Der Lotfußpunkt ist \(F(5 | 0 | 3)\) und der Abstand beträgt \(d(P, g) = 3\).

- Überlege dir, welche geometrische Eigenschaft der Lotfußpunkt auf der Geraden in Bezug auf den Punkt und seinen Spiegelpunkt hat. - Wie kannst du sicherstellen, dass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und der Geraden senkrecht auf der Geraden steht? - Der Lotfußpunkt liegt genau in der Mitte zwischen dem ursprünglichen Punkt und seinem Spiegelbild. Wie hilft dir das bei der Berechnung?

1. Aufstellen des Vektors \(\vec{AF}\) zwischen dem Punkt \(A\) und einem allgemeinen Geradenpunkt \(F_t(1+t|1|1-t)\): \(\vec{AF} = \begin{pmatrix} 1+t-2 \\ 1-3 \\ 1-t-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t-1 \\ -2 \\ -t-3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Parameters \(t\) für den Lotfußpunkt \(F\) durch die Orthogonalitätsbedingung \(\vec{AF} \cdot \vec{v} = 0\): \((t-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + (-t-3) \cdot (-1) = t - 1 + t + 3 = 2t + 2 = 0\). Daraus folgt \(t = -1\). 3. Berechnung der Koordinaten des Lotfußpunktes \(F\): \(\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 1 \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Spiegelpunktes \(A'\) mithilfe der Beziehung \(\vec{OA'} = \vec{OA} + 2 \cdot \vec{AF}\) oder \(\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OF} - \vec{OA}\): \(\vec{OA'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

\(A'(-2|-1|0)\)

- Wie muss der Vektor zwischen dem Punkt und seinem Lotfußpunkt zum Richtungsvektor der Geraden stehen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Punkt, seinem Lotfußpunkt und dem Bildpunkt bei einer Achsenspiegelung. - Was bedeutet es geometrisch für den Radius einer Kugel, wenn sie eine Gerade in genau einem Punkt berührt?

1. Aufstellen des Vektors \(\vec{AL} = \begin{pmatrix} t-3 \\ 2t-1 \\ -5 \end{pmatrix}\) unter Verwendung des allgemeinen Geradenpunktes \(L_t(t|1+2t|1)\). 2. Bestimmung von \(t\) durch die Orthogonalitätsbedingung \(\vec{AL} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\): \(1 \cdot (t-3) + 2 \cdot (2t-1) = 0 \Rightarrow 5t - 5 = 0 \Rightarrow t = 1\). 3. Einsetzen von \(t=1\) in die Geradengleichung ergibt den Lotfußpunkt \(L(1|3|1)\). 4. Der Abstand \(d(A, g)\) entspricht der Länge des Vektors \(\vec{AL} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\): \(d = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+1+25} = \sqrt{30} \approx 5{,}48\). 5. Berechnung des Spiegelpunktes \(A'\) über \(\vec{OA'} = \vec{OA} + 2 \cdot \vec{AL}\) oder \(\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OL} - \vec{OA}\): \(\vec{OA'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\), also \(A'(-1|4|-4)\). 6. Da die Kugel die Gerade berührt, entspricht der Radius dem Abstand \(d = \sqrt{30}\). Mit dem Mittelpunkt \(A(3|2|6)\) lautet die Kugelgleichung: \((x_1 - 3)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 6)^2 = 30\).

a) \(L(1|3|1)\) b) \(d = \sqrt{30} \approx 5{,}48\) c) \(A'(-1|4|-4)\) d) \(K: (x_1 - 3)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 6)^2 = 30\)

- Nutze ein Verfahren, bei dem du zuerst den Punkt auf der Geraden bestimmst, der dem Punkt \(Q\) am nächsten liegt (Lotfußpunkt). - Erstelle einen Vektor, der vom Punkt \(Q\) zu einem variablen Punkt auf der Geraden führt. - Nutze die Eigenschaft, dass dieser Verbindungsvektor im Falle des kürzesten Abstands orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein muss. - Erinnere dich daran, wie man den Betrag eines Vektors im Raum mithilfe der Koordinaten berechnet.

1. Bestimmung des Vektors \(\vec{QF_s}\) von \(Q\) zu einem allgemeinen Punkt auf der Geraden \(h\): \(\vec{QF_s} = \begin{pmatrix} 1+s-1 \\ s-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \\ s-2 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. Skalarprodukt von \(\vec{QF_s}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) gleich Null setzen: \(s \cdot 1 + (s-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 0\) 3. Aus der Gleichung \(2s - 2 = 0\) folgt der Parameterwert \(s = 1\) 4. Ermittlung der Koordinaten des Lotfußpunktes \(F(2|1|1)\) 5. Berechnung des Abstands als Betrag des Vektors \(\vec{QF} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\): \(d = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}\)

\(\sqrt{6}\)

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und der kürzesten Verbindung zum Punkt? - Wie lässt sich ein beliebiger Punkt auf der Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken? - Welches Rechenwerkzeug hilft dir festzustellen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors zwischen zwei Punkten?

1. Ein allgemeiner Punkt \(P\) auf der Geraden \(g\) hat die Koordinaten \(P(1+\lambda|2+\lambda|3+\lambda)\). Der Verbindungsvektor \(\vec{QP}\) ergibt sich zu \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} 1+\lambda-3 \\ 2+\lambda-0 \\ 3+\lambda-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda-2 \\ \lambda+2 \\ \lambda+3 \end{pmatrix}\). 2. Damit der Abstand minimal ist, muss \(\vec{QP}\) senkrecht zum Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) der Geraden stehen. Das Skalarprodukt muss null ergeben: \((\lambda-2) \cdot 1 + (\lambda+2) \cdot 1 + (\lambda+3) \cdot 1 = 0\). 3. Auflösen der Gleichung \(3\lambda + 3 = 0\) liefert \(\lambda = -1\). Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Lotfußpunkt \(P(0|1|2)\). 4. Der minimale Abstand entspricht der Länge des Vektors \(\vec{QP}\) für \(\lambda = -1\). Mit \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) folgt \(d = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}\).

a) \(P(0|1|2)\) b) \(d = \sqrt{14} \approx 3{,}74\)

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen der Höhe eines Dreiecks und der gegenüberliegenden Grundseite? - Wie lässt sich ein beliebiger Punkt auf einer Geraden mithilfe eines Parameters darstellen? - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kennst du aus der Mittelstufe?

1. Aufstellen der Geradengleichung \(g_{AB}\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Lotfußpunktes \(L\) durch die Bedingung \(\vec{CL} \cdot \vec{v}_{AB} = 0\): \(\left[ \begin{pmatrix} 2+4r-4 \\ 2-5 \\ 1+3r-5 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow 4(4r-2) + 3(3r-4) = 0 \Rightarrow 25r - 20 = 0 \Rightarrow r = 0{,}8\). 3. Koordinaten von \(L\): \(\vec{L} = \vec{A} + 0{,}8 \cdot \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5{,}2 \\ 2 \\ 3{,}4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Höhe \(h_c = |\vec{CL}|\): \(\vec{CL} = \begin{pmatrix} 5{,}2-4 \\ 2-5 \\ 3{,}4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}2 \\ -3 \\ -1{,}6 \end{pmatrix}\). \(h_c = \sqrt{1{,}2^2 + (-3)^2 + (-1{,}6)^2} = \sqrt{1{,}44 + 9 + 2{,}56} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\). 5. Flächeninhalt mit Grundseite \(c = |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{13} = 2{,}5 \cdot \sqrt{13} \approx 9{,}01\).

a) \(L(5{,}2|2|3{,}4)\) b) \(h_c = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) c) \(A = 2{,}5 \cdot \sqrt{13} \approx 9{,}01\)

- Welche geometrische Eigenschaft hat die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Geraden? - Wie kannst du einen allgemeinen Punkt auf der Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken? - Könnte dir das Skalarprodukt helfen, eine senkrechte Verbindung zu finden? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors, wenn man seine Koordinaten kennt?

1. Aufstellen eines Vektors \(\vec{QL}\) von der Kamera \(Q(2|{-1}|4)\) zu einem beliebigen Punkt auf der Schiene \(L(5+t|1+2t|3-2t)\): \(\vec{QL} = \begin{pmatrix} 5+t-2 \\ 1+2t-(-1) \\ 3-2t-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+t \\ 2+2t \\ -1-2t \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Orthogonalitätsbedingung: Der Vektor \(\vec{QL}\) muss senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) stehen. Das Skalarprodukt \(\vec{QL} \cdot \vec{v} = 0\) ergibt \(1 \cdot (3+t) + 2 \cdot (2+2t) - 2 \cdot (-1-2t) = 0\). 3. Lösen der Gleichung: \(3 + t + 4 + 4t + 2 + 4t = 0 \Rightarrow 9t + 9 = 0 \Rightarrow t = -1\). 4. Einsetzen von \(t = -1\) in den Vektor \(\vec{QL}\) ergibt den Lotvektor \(\vec{QL} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Berechnung des Abstands als Betrag des Lotvektors: \(d = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\,\text{m}\).

Der minimale Abstand beträgt \(\sqrt{5}\,\text{m} \approx 2{,}24\,\text{m}\).

- Überlege, wie man eine Ebene konstruiert, die den Sensor enthält und den Laserstrahl rechtwinklig schneidet. - Was ist das Besondere am Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden? - Wie bestimmt man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum?

1. Erstellung einer Hilfsebene \(E\) in Normalenform, die den Punkt \(S(5|10|12)\) enthält und senkrecht zur Geraden \(h\) steht. Der Richtungsvektor der Geraden dient als Normalenvektor: \(2(x-5) - 1(y-10) + 2(z-12) = 0\). 2. Vereinfachung der Ebenengleichung: \(2x - 10 - y + 10 + 2z - 24 = 0 \Rightarrow 2x - y + 2z = 24\). 3. Bestimmung des Schnittpunkts \(L\) von Gerade \(h\) und Ebene \(E\) durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebene: \(2(-2+2k) - (5-k) + 2(3+2k) = 24\). 4. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(-4 + 4k - 5 + k + 6 + 4k = 24 \Rightarrow 9k - 3 = 24 \Rightarrow 9k = 27 \Rightarrow k = 3\). 5. Berechnung des Lotfußpunktes \(L\) durch Einsetzen von \(k=3\) in \(h\): \(L = \begin{pmatrix} -2+6 \\ 5-3 \\ 3+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung des Abstands \(d\) als Länge der Strecke \(SL\): \(d = |\vec{SL}| = \sqrt{(4-5)^2 + (2-10)^2 + (9-12)^2} = \sqrt{1 + 64 + 9} = \sqrt{74} \approx 8{,}60\).

a) Der dem Sensor am nächsten liegende Punkt ist \(L(4|2|9)\). b) Die Entfernung beträgt \(\sqrt{74} \approx 8{,}60\) Längeneinheiten.

- Überlege dir, welche geometrische Eigenschaft die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Geraden besitzt. - Wie kannst du mit Hilfe des Skalarprodukts ausdrücken, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Ein allgemeiner Punkt auf der Geraden hängt von einem Parameter ab. Kannst du diesen Parameter nutzen, um einen Vektor vom Punkt zur Geraden aufzustellen? - Was gibt die Länge des Vektors zwischen dem Punkt und seinem Lotfußpunkt an?

1. Aufstellen des Verbindungsvektors \(\vec{AF_t}\) zwischen dem Punkt \(A\) und einem beliebigen Punkt \(F_t\) auf der Geraden \(g\): \(\vec{AF_t} = \begin{pmatrix} 1+t-3 \\ 1-2 \\ 1+t-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t-2 \\ -1 \\ t \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Orthogonalitätsbedingung: Das Skalarprodukt aus dem Verbindungsvektor \(\vec{AF_t}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) der Geraden muss Null ergeben: \((t-2) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + t \cdot 1 = 0\). 3. Lösen der Gleichung nach \(t\): \(2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1\). 4. Bestimmung des Lotfußpunktes \(F\) durch Einsetzen von \(t = 1\) in die Geradengleichung: \(\vec{x}_F = \begin{pmatrix} 1+1 \\ 1 \\ 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), also \(F(2|1|2)\). 5. Berechnung des Abstands als Länge des Vektors \(\vec{AF}\): \(d = |\vec{AF}| = \left\| \begin{pmatrix} 2-3 \\ 1-2 \\ 2-1 \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).

Der Lotfußpunkt ist \(F(2|1|2)\) und der Abstand beträgt \(d = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).

- Welche Eigenschaft muss der Vektor zwischen dem Punkt und seinem Lotfußpunkt im Bezug auf die Gerade haben? - Wie hängen die Seitenlängen des Dreiecks mit den Abständen der Punkte zusammen? - Welche Maße des Dreiecks entsprechen dem Radius und der Höhe des Rotationskörpers?

1. Lotfußpunkt bestimmen: Ein allgemeiner Punkt auf \(g\) ist \(F_t(1+2t | 2+t | 2+2t)\). Der Vektor \(\vec{PF_t} = \begin{pmatrix} 2t-5 \\ t \\ 2t-4 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) sein. 2. Skalarprodukt bilden: \(2(2t-5) + 1(t) + 2(2t-4) = 0 \Rightarrow 9t - 18 = 0 \Rightarrow t = 2\). Einsetzen liefert den Lotfußpunkt \(F(5|4|6)\). 3. Flächeninhalt berechnen: Die Kathetenlängen sind \(|\vec{AF}| = |\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}| = \sqrt{16+4+16} = 6\) und \(|\vec{PF}| = |\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}| = \sqrt{1+4+0} = \sqrt{5}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}\). 4. Kegelvolumen bestimmen: Der Radius des Kegels ist \(r = |\vec{PF}| = \sqrt{5}\), die Höhe ist \(h = |\vec{AF}| = 6\). Das Volumen beträgt \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 5 \cdot 6 = 10\pi\).

a) \(F(5|4|6)\) b) \(3\sqrt{5} \approx 6{,}71\) c) \(V = 10\pi \approx 31{,}42\)

- Erinnere dich an die verschiedenen Methoden, den Lotfußpunkt zu bestimmen (z. B. über eine Hilfsebene oder die Orthogonalitätsbedingung). - Was gibt der Betrag des Vektors zwischen dem Punkt und dem Lotfußpunkt geometrisch an? - Stelle dir die Rotation räumlich vor: Welcher Punkt beschreibt den Kreis und welcher Punkt ist die Spitze des Kegels?

1. Lotfußpunkt bestimmen: Aufstellung einer Hilfsebene \(E\) durch \(Q\) orthogonal zu \(h\): \(0 \cdot (x-4) + 4 \cdot (y-8) + 3 \cdot (z-15) = 0 \Rightarrow 4y + 3z - 77 = 0\). 2. Schnittpunkt \(E \cap h\): Einsetzen der Geradengleichung \(x=4, y=-1+4s, z=2+3s\) in die Ebene liefert \(4(-1+4s) + 3(2+3s) - 77 = 0 \Rightarrow 25s - 75 = 0 \Rightarrow s = 3\). Der Fußpunkt ist \(F(4|11|11)\). 3. Abstand berechnen: Der Abstand ist die Länge des Vektors \(\vec{QF} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). Somit ist \(d(Q, h) = |\vec{QF}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2} = 5\). 4. Kegelvolumen berechnen: Der Radius ist \(r = d(Q, h) = 5\). Die Höhe \(h_k\) ist die Länge der Strecke auf der Achse zwischen Aufpunkt und Fußpunkt: \(h_k = |\vec{BF}| = |\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 9 \end{pmatrix}| = \sqrt{144+81} = 15\). Das Volumen ist \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_k = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 15 = 125\pi\).

a) \(F(4|11|11)\) b) \(d(Q, h) = 5\) c) \(V = 125\pi \approx 392{,}70\)

- Welche Methoden kennst du, um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden im Raum zu berechnen? - Erinnere dich an die Bedingung, dass der Verbindungsvektor vom Punkt zum Lotfußpunkt orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein muss. - Wie lässt sich der Abstand mit Hilfe des Skalarprodukts oder des Kreuzprodukts ausdrücken? - Der Ursprung ist ein spezieller Punkt mit den Koordinaten \((0|0|0)\).

1. Berechnung des Abstands von \(P\) zu \(g\): Bestimmung des Lotfußpunkts \(F\) auf der Geraden durch die Bedingung \((\vec{x}_g - \vec{p}) \cdot \vec{v} = 0\). Mit \(\vec{AP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(t = \frac{3 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 0 \cdot 1}{2^2 + 2^2 + 1^2} = \frac{18}{9} = 2\). Der Lotfußpunkt ist \(F(5|6|5)\). Der Abstand ist der Betrag des Vektors \(\vec{PF} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\), also \(d = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3\). Alternativ über die Formel \(d = \frac{|\vec{v} \times \vec{AP}|}{|\vec{v}|} = \frac{9}{3} = 3\). 2. Berechnung des Abstands zum Ursprung \(O(0|0|0)\): Mit \(\vec{AO} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) ergibt sich der Parameter \(t = \frac{-1 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1}{9} = -1\). Der Lotfußpunkt ist \(F_O(-1|0|2)\). Der Abstand beträgt \(d = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).

a) \(3\) b) \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\)

- Wie liegen die Gerade und die Koordinatenebene zueinander? Sind sie parallel? - Der Abstand zu einer Achse lässt sich oft durch eine einfache geometrische Überlegung in einer Projektionsebene finden. - Ein Berührpunkt zwischen einer Kugel und einer Geraden ist immer der Punkt auf der Geraden, der dem Mittelpunkt der Kugel am nächsten liegt. - Welche Koordinate ist auf der \(x_1\)-Achse immer null, welche auf der \(x_2x_3\)-Ebene?

1. Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: Da die Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse verläuft und für alle Punkte der Geraden \(x_1 = 8\) gilt, entspricht der Abstand zur Ebene \(x_1 = 0\) dem konstanten Wert der \(x_1\)-Koordinate, also \(d = 8\). 2. Abstand zur \(x_1\)-Achse: Die \(x_1\)-Achse ist die Menge aller Punkte \((x|0|0)\). Ein beliebiger Punkt auf \(h\) ist \(H(8|6|k)\). Der Abstand wird minimal, wenn die Verbindung orthogonal zur Achse und zur Geraden steht. Dies ist für \(k = 0\) und den Achsenpunkt \((8|0|0)\) der Fall. Der Abstand ist \(\sqrt{(8-8)^2 + (6-0)^2 + (0-0)^2} = 6\). 3. Kugelradius und Berührpunkt: Der Radius entspricht dem Abstand des Ursprungs \(O(0|0|0)\) zur Geraden \(h\). Der Abstand eines Punktes \((8|6|k)\) zum Ursprung ist \(\sqrt{8^2 + 6^2 + k^2} = \sqrt{100 + k^2}\). Das Minimum liegt bei \(k = 0\) mit \(d = 10\). Der Radius ist somit \(r = 10\) und der Berührpunkt (Lotfußpunkt) ist \(B(8|6|0)\).

a) \(8\) b) \(6\) c) Radius \(r = 10\); Berührpunkt \(B(8|6|0)\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene, die senkrecht auf dieser Geraden steht? - Wie findet man den Punkt auf einer Geraden, der einem gegebenen Punkt am nächsten liegt? - Überlege dir, welche Maße (Radius und Höhe) der Kegel hat, wenn die Rotation um die Gerade \(g\) erfolgt. - Erinnere dich an die Volumenformel für einen Kegel.

1. Aufstellen der Ebenengleichung \(E\): Der Richtungsvektor von \(g\) dient als Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Mit dem Punkt \(P(4|4|1)\) ergibt sich \(2 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 14\), also \(E: 2x + y + 2z = 14\). 2. Berechnung des Lotfußpunktes \(F\): Einsetzen der Geradengleichung in \(E\): \(2(1+2t) + (1+t) + 2(1+2t) = 14 \Rightarrow 9t + 5 = 14 \Rightarrow t = 1\). Damit ist \(F(3|2|3)\). 3. Abstand \(d(P, g)\): Der Abstand entspricht der Länge des Vektors \(\vec{FP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(d = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3\). 4. Kegelvolumen: Der Radius des Kegels ist \(r = d(P, g) = 3\). Die Höhe \(h\) ist der Abstand zwischen \(F\) und \(Q\). Mit \(\vec{FQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(h = \sqrt{16+4+16} = 6\). Das Volumen berechnet sich zu \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 18\pi\).

a) \(E: 2x + y + 2z = 14\) b) \(d(P, g) = 3\) c) \(V = 18\pi\)

- Wie berechnet man die Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten im Raum? - Was muss für die Vektoren gelten, damit ein Dreieck gleichschenklig ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Orthogonalität zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Lotvektor. - Wie hängen die Grundseite, die Höhe und der Flächeninhalt bei einer Raute zusammen? - Welche Vektoreigenschaft nutzt man, um den vierten Punkt eines Parallelogramms zu finden?

1. Nachweis der Gleichschenkligkeit: Berechnung der Seitenlängen mittels Vektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{AB}| = 5\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{AD}| = 5\). Da \(|\vec{AB}| = |\vec{AD}|\), ist das Dreieck gleichschenklig. 2. Bestimmung des Lotfußpunktes \(L\): Aufstellen der Geradengleichung \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Bedingung \(\vec{LD} \cdot \vec{u} = 0\) führt auf \((-3-3r) \cdot 3 + (4-4r) \cdot 4 + 0 = 0\), woraus \(r = 0{,}28\) folgt. Einsetzen ergibt \(L(1{,}84|3{,}12|1)\). 3. Abstandsberechnung: Der Abstand entspricht der Länge des Vektors \(\vec{DL} = \begin{pmatrix} 3{,}84 \\ -2{,}88 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(d = \sqrt{3{,}84^2 + (-2{,}88)^2} = 4{,}8\). 4. Koordinaten von \(C\) und \(M\): Über die Eigenschaft des Parallelogramms folgt \(\vec{C} = \vec{B} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Diagonalenschnittpunkt \(M\) ist der Mittelpunkt von \(AC\): \(M(1|6|1)\). 5. Flächeninhalt: \(A = |\vec{AB}| \cdot d = 5 \cdot 4{,}8 = 24\).

a) \(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{AD}| = 5\). Da zwei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. b) Lotfußpunkt \(L(1{,}84|3{,}12|1)\); Abstand \(d = 4{,}8\). c) \(C(1|10|1)\); Diagonalenschnittpunkt \(M(1|6|1)\); Flächeninhalt \(A = 24\,\text{FE}\).

- Was bedeutet Orthogonalität für das Skalarprodukt zweier Vektoren? - Wie ist der Abstand eines Punktes von einer Geraden definiert? - Kannst du einen allgemeinen Punkt auf der Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken? - Welche Gleichung musst du aufstellen, um Punkte mit einem vorgegebenen Abstand zu finden? - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Gleichung für den Parameter?

1. Bestimmung von \(L\): Ein allgemeiner Punkt auf \(g\) ist \(G_k(1+2k|1+2k|k)\). Der Vektor \(\vec{PG_k} = \begin{pmatrix} 2k-4 \\ 2k-3 \\ k-4 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sein. Das Skalarprodukt liefert \(2(2k-4) + 2(2k-3) + 1(k-4) = 0 \Rightarrow 9k - 18 = 0 \Rightarrow k = 2\). Somit ist \(L(5|5|2)\). 2. Abstandsberechnung: Der Abstand \(d(P, g)\) ist die Länge des Vektors \(\vec{PL} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), also \(d = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}\). 3. Punkte mit Abstand \(\sqrt{41}\): Es gilt \(|\vec{PG_k}|^2 = 41\). Dies führt zur Gleichung \((2k-4)^2 + (2k-3)^2 + (k-4)^2 = 41\). Vereinfacht ergibt sich \(9k^2 - 36k + 41 = 41 \Rightarrow 9k(k-4) = 0\). Die Lösungen sind \(k_1 = 0\) und \(k_2 = 4\). 4. Koordinaten: Einsetzen der Parameterwerte in die Geradengleichung ergibt \(Q_1(1|1|0)\) und \(Q_2(9|9|4)\).

a) \(L(5|5|2)\) b) \(d = \sqrt{5} \approx 2{,}24\) c) \(Q_1(1|1|0)\) und \(Q_2(9|9|4)\)

- Untersuche die Längen der Vektoren zwischen den Eckpunkten und deren Winkel zueinander. - Stelle eine Geradengleichung für die Kante auf und bestimme den Abstand des Punktes zu dieser Geraden. - Du kannst den Abstand entweder über das Kreuzprodukt oder durch die Bestimmung eines Lotfußpunktes berechnen.

1. Nachweis des Quadrats: Die Vektoren der Grundkanten sind \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\). Außerdem gilt \(\vec{BC} = \vec{AD}\) und \(\vec{DC} = \vec{AB}\). Da \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\) und \(|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = 6\), handelt es sich um ein Quadrat mit Seitenlänge \(6\,\text{m}\). 2. Abstand \(S\) von \(AB\): Die Gerade durch \(A\) und \(B\) hat die Gleichung \(\vec{g}_{AB}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Mit dem Vektor \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}\) ergibt sich der Abstand über die Formel \(d = \frac{|\vec{AS} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|} = \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ -3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{10^2 + (-3)^2} = \sqrt{109} \approx 10{,}44\,\text{m}\). 3. Abstand \(A\) von der Geraden \(CS\): Die Gerade durch \(C\) und \(S\) ist \(\vec{g}_{CS}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\). Mit \(\vec{CA} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\) berechnet man das Kreuzprodukt \(\vec{CA} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} -60 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Abstand ist \(d = \frac{|\vec{CA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{(-60)^2 + 60^2}}{\sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 10^2}} = \frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{118}} = \frac{60}{\sqrt{59}} \approx 7{,}81\,\text{m}\).

a) Die gegenüberliegenden Kantenvektoren sind jeweils gleich; außerdem sind \(\vec{AB}\) und \(\vec{AD}\) orthogonal und gleich lang (\(6\,\text{m}\)). b) Der Abstand beträgt \(\sqrt{109} \approx 10{,}44\,\text{m}\). c) Der Abstand beträgt \(\frac{60}{\sqrt{59}} \approx 7{,}81\,\text{m}\).

- Überprüfe, ob die Punkte alle in einer gemeinsamen Ebene liegen oder nicht. - Stelle eine Parameterform für die Gerade durch zwei der Punkte auf. - Der Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum lässt sich elegant mit dem Kreuzprodukt bestimmen.

1. Begründung Tetraeder: Die Vektoren \(\vec{OP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{OQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{OR} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\) liegen auf den Koordinatenachsen. Da sie alle vom Nullvektor verschieden und paarweise orthogonal sind, sind sie linear unabhängig. Die vier Punkte liegen somit nicht in einer Ebene. 2. Abstand \(O\) von \(QR\): Die Gerade durch \(Q\) und \(R\) hat den Richtungsvektor \(\vec{u} = \vec{QR} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\). Mit dem Aufpunkt \(Q\) und dem Vektor \(\vec{QO} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ergibt sich der Abstand \(d = \frac{|\vec{QO} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|} = \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -48 \end{pmatrix} \right|}{\sqrt{(-6)^2 + 8^2}} = \frac{48}{10} = 4{,}8\). 3. Flächeninhalt \(PQR\): Mit den Vektoren \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnet man das Kreuzprodukt \(\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{pmatrix} -32 \\ -24 \\ -48 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-32)^2 + (-24)^2 + (-48)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3904} = \sqrt{976} = 4\sqrt{61} \approx 31{,}24\,\text{FE}\).

a) Die Vektoren vom Ursprung zu den Punkten \(P\), \(Q\) und \(R\) sind linear unabhängig (Achsenlage). b) Der Abstand beträgt \(4{,}8\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(4\sqrt{61} \approx 31{,}24\,\text{FE}\).

- Wie stehen der kürzeste Verbindungsvektor und der Richtungsvektor der Geraden zueinander? - Kannst du einen Vektor aufstellen, der vom Punkt \(P\) zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden führt? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gelten? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors?

1. Aufstellen eines allgemeinen Verbindungsvektors \(\vec{PF_{\lambda}}\) zwischen dem Punkt \(P\) und einem beliebigen Punkt \(F_{\lambda}\) auf der Geraden: \(\vec{PF_{\lambda}} = \begin{pmatrix} 1+2\lambda-2 \\ 1+\lambda-2 \\ 2-2\lambda-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\lambda-1 \\ \lambda-1 \\ 3-2\lambda \end{pmatrix}\) 2. Bestimmung des Parameters \(\lambda\) über die Orthogonalitätsbedingung, dass \(\vec{PF_{\lambda}}\) senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) steht: \(\begin{pmatrix} 2\lambda-1 \\ \lambda-1 \\ 3-2\lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = 0 \implies 2(2\lambda-1) + 1(\lambda-1) - 2(3-2\lambda) = 0\) 3. Lösen der Gleichung: \(4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 6 + 4\lambda = 9\lambda - 9 = 0 \implies \lambda = 1\) 4. Einsetzen von \(\lambda = 1\) in den Verbindungsvektor ergibt den Lotvektor: \(\vec{PL} = \begin{pmatrix} 2(1)-1 \\ 1-1 \\ 3-2(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 5. Der Abstand \(d\) entspricht dem Betrag dieses Vektors: \(d = |\vec{PL}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\)

Der Abstand beträgt \(d = \sqrt{2} \approx 1{,}41\,\text{LE}\).

- Überlege dir, welche Rolle der Lotfußpunkt \(F\) bei einer Spiegelung eines Punktes an einer Geraden spielt. - Welche Lage hat \(F\) bezüglich der Strecke \(QQ'\)? - Erinnere dich an die Formel für die Projektion eines Vektors auf eine Ursprungsgerade.

1. Bestimmung des Einheitsvektors \(\vec{u}\) der Geraden \(h\): Länge des Richtungsvektors ist \(\sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\), also \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Lotfußpunktes \(F\) mittels Projektion: \(\vec{OQ} \cdot \vec{u} = 7 \cdot 0{,}6 + 1 \cdot 0{,}8 + 5 \cdot 0 = 5\). 3. Ortsvektor \(\vec{OF} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Spiegelpunktes \(Q'\) über die Mittelpunktsformel oder Vektorkette: \(\vec{OQ'} = \vec{OF} + \vec{QF} = 2 \cdot \vec{OF} - \vec{OQ}\). 5. Einsetzen der Werte: \(\vec{OQ'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 7 \\ 8 - 1 \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix}\).

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten \(Q'(-1|7|-5)\).

- Um einen Punkt an einer Geraden zu spiegeln, musst du zuerst den Punkt auf der Geraden finden, der dem Punkt \(A\) am nächsten liegt. - Welche geometrische Bedeutung hat dieser nächste Punkt für die Strecke zwischen dem Originalpunkt und seinem Spiegelbild? - Wie kannst du die Orthogonalität nutzen, um die Position auf der Geraden zu bestimmen? - Wenn du den Vektor vom Punkt \(A\) zum Lotfußpunkt kennst, wie kommst du von dort aus zum Spiegelpunkt?

1. Bestimmung des Lotfußpunktes \(L\) von \(A\) auf \(h\): Ein allgemeiner Geradenpunkt ist \(L_s(2+s | 1 | 1-s)\). Der Verbindungsvektor \(\vec{AL_s} = \begin{pmatrix} s-2 \\ -4 \\ -s-2 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Geraden sein. 2. Orthogonalitätsbedingung: Das Skalarprodukt \(\vec{AL_s} \cdot \vec{u} = 1(s-2) + 0(-4) - 1(-s-2) = s-2+s+2 = 2s = 0\) führt auf \(s = 0\). 3. Koordinaten des Lotfußpunktes: Durch Einsetzen von \(s=0\) in die Geradengleichung erhält man \(L(2 | 1 | 1)\). 4. Spiegelung: Der Lotfußpunkt \(L\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AA'\). Es gilt \(\vec{OA'} = \vec{OL} + \vec{AL} = 2\vec{OL} - \vec{OA}\). Einsetzen der Koordinaten ergibt \(\vec{OA'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten \(A'(0 | -3 | -1)\).

- In einem gleichschenkligen Dreieck steht die Symmetrieachse senkrecht auf der Basis und halbiert diese. - Was bedeutet diese Symmetrie für die Lage der Punkte \(B\) und \(C\) im Verhältnis zur Geraden \(s\)? - Suche zuerst den Punkt auf der Symmetrieachse, der dem Punkt \(B\) am nächsten liegt.

1. Da \(s\) die Symmetrieachse ist, ist \(C\) der Spiegelpunkt von \(B\) an der Geraden \(s\). 2. Aufstellen des Vektors \(\vec{BF}\) zum allgemeinen Geradenpunkt \(F_{\lambda}(1+\lambda|2-2\lambda|3+2\lambda)\): \(\vec{BF} = \begin{pmatrix} 1+\lambda-1 \\ 2-2\lambda-(-4) \\ 3+2\lambda-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ 6-2\lambda \\ 2\lambda-3 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Parameters \(\lambda\) für den Lotfußpunkt \(F\) mittels \(\vec{BF} \cdot \vec{v} = 0\): \(\lambda \cdot 1 + (6-2\lambda) \cdot (-2) + (2\lambda-3) \cdot 2 = \lambda - 12 + 4\lambda + 4\lambda - 6 = 9\lambda - 18 = 0\). Dies ergibt \(\lambda = 2\). 4. Berechnung des Lotfußpunktes \(F\): \(\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 2-4 \\ 3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\). 5. Berechnung des Eckpunktes \(C\) über die Spiegelung: \(\vec{OC} = \vec{OF} + (\vec{OF} - \vec{OB}) = 2 \cdot \vec{OF} - \vec{OB} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\).

\(C(5|0|8)\)

- Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Nutze für die Spiegelung an einer Geraden zuerst die Projektion des Punktes auf die Gerade, um den Lotfußpunkt zu finden. - Was fällt dir an den \(z\)-Koordinaten aller gegebenen Punkte und Richtungsvektoren auf? In welcher besonderen Lage befinden sie sich? - Überlege, welche Abbildung entsteht, wenn man nacheinander an zwei zueinander senkrechten Achsen spiegelt.

1. Nachweis der Orthogonalität über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 - 1 + 0 = 0\). 2. Spiegelung von \(P\) an \(g\): Bestimmung des Lotfußpunktes \(L_g\). Mit \(\vec{SP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u}\) ergibt sich der Parameter \(t = \frac{\vec{SP} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \frac{6}{2} = 3\). Somit ist \(L_g = \vec{OS} + 3\vec{u} = (5|4|3)\). Der Spiegelpunkt ist \(\vec{OP_g} = 2\vec{OL_g} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Spiegelung von \(P_g\) an \(h\): Mit \(\vec{S P_g} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}\) ergibt sich \(s = \frac{\vec{S P_g} \cdot \vec{v}}{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \frac{4-2}{2} = 1\). Somit ist \(L_h = \vec{OS} + 1\vec{v} = (3|0|3)\). Der Spiegelpunkt ist \(\vec{O P_{gh}} = 2\vec{OL_h} - \vec{OP_g} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 4. Spiegelung von \(P\) an \(S\): \(\vec{O P_S} = 2\vec{OS} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 5. Feststellung: \(P_{gh} = P_S\). Geometrische Begründung: Da \(P\) in der von \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene liegt (alle \(z\)-Koordinaten sind \(3\)), entspricht die Hintereinanderausführung von zwei Achsenspiegelungen an zueinander senkrechten, sich schneidenden Achsen einer Punktspiegelung an deren Schnittpunkt.

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), daher \(g \perp h\). b) \(P_g(6|3|3)\) c) \(P_{gh}(0|-3|3)\) d) \(P_S(0|-3|3)\); es gilt \(P_{gh} = P_S\). Da \(P\) in der Ebene von \(g\) und \(h\) liegt, ist die doppelte Achsenspiegelung an orthogonalen Geraden identisch mit der Punktspiegelung am Schnittpunkt.

- Was bedeutet es für den Abstand zweier Geraden, wenn sie parallel sind? - Reicht es aus, den Abstand eines beliebigen Punktes der einen Geraden zur anderen Geraden zu bestimmen? - Wie findest du den Lotfußpunkt eines Punktes auf einer Geraden? - Erinnerst du dich an die Bedingung für Orthogonalität im Vektorraum?

1. Da die Geraden parallel sind, entspricht ihr Abstand dem Abstand des Punktes \(S(1|0|2)\) von der Geraden \(f\). 2. Es wird ein Punkt \(F\) auf \(f\) gesucht, so dass der Vektor \(\vec{SF}\) orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist. Mit \(F(2+t|3-2t|2t)\) ergibt sich \(\vec{SF} = \begin{pmatrix} 2+t-1 \\ 3-2t-0 \\ 2t-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+1 \\ 3-2t \\ 2t-2 \end{pmatrix}\). 3. Die Bedingung \(\vec{SF} \cdot \vec{v} = 0\) führt zu: \(1(t+1) - 2(3-2t) + 2(2t-2) = 0\). Dies vereinfacht sich zu \(t+1-6+4t+4t-4 = 0\), also \(9t - 9 = 0\), woraus \(t=1\) folgt. 4. Für \(t=1\) ist der Differenzvektor \(\vec{SF} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Der Abstand ist der Betrag dieses Vektors: \(d = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}\).

\(d = \sqrt{5} \approx 2{,}24\)

- Wie ist der Abstand eines Punktes von einer Geraden definiert? - Gibt es eine Formel, die das Kreuzprodukt zweier Vektoren mit dem Abstand eines Punktes von einer Geraden verknüpft? - Wie hängen der Flächeninhalt eines Dreiecks und der eines Parallelogramms zusammen, wenn sie dieselbe Grundseite und Höhe haben? - Welche geometrische Bedeutung hat der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren?

1. Gerade \(g\) durch \(P\) und \(Q\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), Länge \(|\vec{u}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). 2. Abstand Punkt-Gerade (z. B. über das Kreuzprodukt): \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Vektorprodukt \(\vec{u} \times \vec{PR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -6 \\ -20 \end{pmatrix}\). 4. Betrag des Vektorprodukts: \(\sqrt{12^2 + (-6)^2 + (-20)^2} = \sqrt{144 + 36 + 400} = \sqrt{580} = 2\sqrt{145}\). 5. Abstand \(d(R, g) = \frac{|\vec{u} \times \vec{PR}|}{|\vec{u}|} = \frac{2\sqrt{145}}{2\sqrt{5}} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\). 6. Flächeninhalt des Parallelogramms: \(A = |\vec{PQ}| \cdot h\). Da \(h = d(R, g)\) und \(|\vec{PQ}| = |\vec{u}|\), entspricht der Flächeninhalt genau dem Betrag des Kreuzproduktes der aufspannenden Vektoren: \(A = |\vec{u} \times \vec{PR}| = \sqrt{580} = 2\sqrt{145} \approx 24{,}08\).

a) \(d = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) b) \(A = \sqrt{580} = 2\sqrt{145} \approx 24{,}08\)

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? Erinnere dich an den Satz des Pythagoras. - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um den Punkt mit dem geringsten Abstand zu finden? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Minimum einer Funktion erfüllt sein? - Achte beim Vereinfachen der Funktion auf die binomischen Formeln.

1. Der Verbindungsvektor \(\vec{BP_s}\) wird aufgestellt: \(\vec{BP_s} = \begin{pmatrix} 4+s-1 \\ 1+2s-2 \\ 3-s-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s+3 \\ 2s-1 \\ -s-2 \end{pmatrix}\). 2. Das Quadrat des Abstands ist die Summe der Quadrate der Komponenten: \(f(s) = (s+3)^2 + (2s-1)^2 + (-s-2)^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt: \(f(s) = (s^2+6s+9) + (4s^2-4s+1) + (s^2+4s+4) = 6s^2 + 6s + 14\). 4. Zur Bestimmung des Minimums wird die erste Ableitung gebildet und Null gesetzt: \(f'(s) = 12s + 6 = 0 \Rightarrow s = -0{,}5\). Die zweite Ableitung \(f''(s) = 12 > 0\) bestätigt das Minimum. 5. Der minimale quadratische Abstand ist \(f(-0{,}5) = 6 \cdot (-0{,}5)^2 + 6 \cdot (-0{,}5) + 14 = 1{,}5 - 3 + 14 = 12{,}5\). 6. Der tatsächliche Abstand ist die Wurzel daraus: \(d = \sqrt{12{,}5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = 2{,}5 \cdot \sqrt{2} \approx 3{,}536\).

a) \(f(s) = 6s^2 + 6s + 14\) b) \(s = -0{,}5\) c) \(d = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}536\)

- Der Lotfußpunkt lässt sich über eine Hilfsebene oder durch die Bedingung \(\vec{AF} \cdot \vec{u} = 0\) finden. - Wenn eine Kugel eine Gerade berührt, entspricht der Kugelradius genau dem Abstand des Mittelpunkts von der Geraden. - Für den Abstand zweier Punkte im Raum kannst du die Formel für den Betrag des Verbindungsvektors nutzen. - In Teilaufgabe d) kannst du den allgemeinen Geradenpunkt in die Abstandsformel einsetzen und nach dem Parameter auflösen.

1. Lotfußpunkt \(F\): Eine Hilfsebene durch \(A\) senkrecht zu \(h\) hat die Gleichung \(1x + 2y + 2z = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 14\). Schnitt mit \(h\): \((1+k) + 2(1+2k) + 2(1+2k) = 14 \Rightarrow 9k + 5 = 14 \Rightarrow k = 1\). Somit ist \(F(2|3|3)\). 2. Abstand: Der Abstand ist die Länge von \(\vec{FA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), also \(d = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 3. Kugelgleichung: Da die Kugel die Gerade berührt, ist der Radius \(R = d(A, h) = \sqrt{8}\). Mit Mittelpunkt \(A(2|5|1)\) folgt \(S: (x-2)^2 + (y-5)^2 + (z-1)^2 = 8\). 4. Punkte mit Abstand 3: Gesucht sind Punkte \(B\) auf \(h\) mit \(|\vec{AB}|^2 = 9\). Mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} k-1 \\ 2k-4 \\ 2k \end{pmatrix}\) folgt \((k-1)^2 + (2k-4)^2 + (2k)^2 = 9 \Rightarrow 9k^2 - 18k + 17 = 9 \Rightarrow 9k^2 - 18k + 8 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(k_1 = \frac{4}{3}\) und \(k_2 = \frac{2}{3}\). Einsetzen in \(h\) liefert \(B_1(\frac{7}{3}|\frac{11}{3}|\frac{11}{3})\) und \(B_2(\frac{5}{3}|\frac{7}{3}|\frac{7}{3})\).

a) \(F(2|3|3)\) b) \(d = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\) c) \(S: (x-2)^2 + (y-5)^2 + (z-1)^2 = 8\) d) \(B_1(\frac{7}{3}|\frac{11}{3}|\frac{11}{3})\) und \(B_2(\frac{5}{3}|\frac{7}{3}|\frac{7}{3})\)

- Was bedeutet die Projektion eines Ortsvektors auf den Richtungsvektor einer Ursprungsgeraden für die Lage des resultierenden Punktes? - Wie lässt sich der Lotfußpunkt als Vektorprojektion ausdrücken? - Wie hängen der Punkt \(P\), sein Lotfußpunkt \(F\) auf der Geraden und der Abstand des Punktes zur Geraden zusammen?

1. Berechnung des Einheitsvektors zu \(\vec{v}\): \(\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\), also \(\vec{v}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Berechnung der skalaren Komponente von \(\vec{p}\) in Richtung von \(\vec{v}_0\): \(\vec{p} \cdot \vec{v}_0 = \frac{1}{3} \cdot (3+6+6) = 5\). Der Ortsvektor von \(F\) ist die Vektorprojektion \(\vec{f} = 5 \cdot \vec{v}_0 = \frac{5}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}\). Somit ist \(F(\frac{5}{3} | \frac{10}{3} | \frac{10}{3})\). 2. Der Abstand entspricht der Länge des Differenzvektors \(\vec{PF} = \vec{f} - \vec{p}\). Berechnung: \(\vec{PF} = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} - \frac{9}{3} \\ \frac{10}{3} - \frac{9}{3} \\ \frac{10}{3} - \frac{9}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\). Abstand \(d = \lVert\vec{PF}\rVert = \sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{16+1+1}{9}} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

1. \(F(\frac{5}{3} | \frac{10}{3} | \frac{10}{3})\) oder \(F(1{,}67 | 3{,}33 | 3{,}33)\) 2. \(d = \sqrt{2} \approx 1{,}41\)

- Stelle dir eine Ebene vor, die den Punkt \(A\) enthält und die Gerade genau im rechten Winkel schneidet. - Wie kannst du den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden finden? - Welcher Vektor hilft dir, die Entfernung zwischen dem Punkt und seinem Lotfußpunkt zu bestimmen?

1. Hilfsebene \(E\) in Normalenform aufstellen, die \(A\) enthält und senkrecht auf \(h\) steht. Der Richtungsvektor von \(h\) ist der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\): \(E: 1x_1 + 2x_2 + 2x_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = 1 + 12 + 10 = 23\) 2. Schnittpunkt von \(h\) mit \(E\) berechnen (Lotfußpunkt \(L\)): \(1(1+t) + 2(1+2t) + 2(1+2t) = 23 \implies 1 + t + 2 + 4t + 2 + 4t = 23 \implies 9t + 5 = 23 \implies 9t = 18 \implies t = 2\) 3. Koordinaten von \(L\) durch Einsetzen von \(t=2\) in \(h\): \(\vec{OL} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \implies L(3 | 5 | 5)\) 4. Abstand \(d\) berechnen als Länge der Strecke \(AL\): \(\vec{AL} = \vec{OL} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-6 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(d = |\vec{AL}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\)

Der Lotfußpunkt ist \(L(3 | 5 | 5)\) und der Abstand beträgt \(d = \sqrt{5} \approx 2{,}24\,\text{LE}\).