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- Welche Koordinate ist bei allen Punkten der Ebene \(x_3=0\) gleich? - In welcher Koordinatenrichtung verläuft eine Senkrechte auf diese Koordinatenebene?

1. Die Ebene \(x_3=0\) ist die \(x_1x_2\)-Ebene. Der senkrechte Abstand wird deshalb allein durch die dritte Koordinate bestimmt. 2. Es gilt \(d(P,E) = |7| = 7\).

Der Abstand beträgt \(7\,\text{LE}\).

- Was bedeutet die gegebene Parallelität für den Abstand der Punkte auf \(g\) zur Ebene? - Welcher Punkt der Geraden ist ohne weitere Rechnung sofort verfügbar? - Welche Koordinate bestimmt den senkrechten Abstand zur Ebene \(x_3=1\)?

1. Weil \(g\) parallel zu \(E\) ist, haben alle Punkte von \(g\) denselben Abstand zur Ebene. Man kann den Stützpunkt \(A(2|1|5)\) verwenden. 2. Für die Ebene \(x_3=1\) ist der Abstand \(d(g,E) = |5-1| = 4\).

Der Abstand beträgt \(4\,\text{LE}\).

- Was kennzeichnet die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Ebene? - Wie wird eine Ebene in dem beschriebenen senkrechten Schnitt dargestellt? - Welche der beiden Strecken hat im Schnitt die passende Richtung zur Geraden \(e\)?

1. Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die Länge der kürzesten Verbindung vom Punkt zur Ebene. 2. Diese kürzeste Verbindung steht senkrecht auf der Ebene und erscheint im senkrechten Schnitt senkrecht zur Geraden \(e\). 3. In der Abbildung ist \(\overline{PA}\) als diese Lotstrecke dargestellt. Daher stellt \(\overline{PA}\) den Abstand \(d(P,E)\) dar.

\(\overline{PA}\) stellt den Abstand \(d(P,E)\) dar, weil diese Strecke im senkrechten Schnitt die Lotstrecke zu \(e\) ist.

- Welcher Vektor steht senkrecht auf der Ebene und kann als Richtungsvektor für die Lotgerade dienen? - Wie findet man den Punkt auf der Ebene, der einem gegebenen Punkt am nächsten liegt? - Welche Gleichung muss ein Punkt erfüllen, damit er in der Ebene liegt? - Wie berechnet man die Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum?

1. Aufstellen der Lotgeraden \(g\) durch \(A\) mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) der Ebene \(E\): \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Schnittparameters \(r\) durch Einsetzen der Geraden in die Ebenengleichung: \((7+r) + (5+r) = 4 \Rightarrow 12 + 2r = 4 \Rightarrow r = -4\). 3. Berechnung des Lotfußpunktes \(F\) durch Einsetzen von \(r = -4\) in die Geradengleichung: \(F(3|1|2)\). 4. Berechnung des Abstands \(d\) als Länge des Vektors \(\vec{AF}\) oder mittels der Abstandsformel: \(d = \sqrt{(3-7)^2 + (1-5)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\).

a) \(F(3|1|2)\) b) \(d = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\)

- Welche Eigenschaft hat der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Rechteck? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit seinem Abstand zu den Koordinatenebenen zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Stab senkrecht auf der \(x_2x_3\)-Ebene steht?

1. Bestimmung des Diagonalenschnittpunkts \(M\): Da es sich um ein Rechteck handelt, liegt der Schnittpunkt der Diagonalen in der Mitte zwischen zwei gegenüberliegenden Eckpunkten. Es gilt \(M = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{C}) = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 10+2 \\ 2+8 \\ 3+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Identifikation der Wand: Die Wand liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene, welche durch die Koordinatengleichung \(x_1 = 0\) beschrieben wird. 3. Berechnung der Länge: Der Abstand eines Punktes zur \(x_2x_3\)-Ebene entspricht dem Betrag seiner \(x_1\)-Koordinate. Für den Punkt \(M(6|5|6)\) ergibt sich somit ein Abstand von \(d = |6| = 6\). Die Länge des Stabs beträgt \(6\) Längeneinheiten.

Die Länge des Stabs beträgt \(6\) Längeneinheiten.

- Welche Größe des Normalenvektors muss bei einer direkten Punkt-Ebene-Abstandsberechnung berücksichtigt werden? - Bringe die Ebenengleichung in die Hesse-Normalform und setze anschließend die Koordinaten von \(S\) ein. - Warum wird beim Abstand der Betrag des eingesetzten Ausdrucks verwendet?

1. Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\3\\-2\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2}=7\). 2. Die Hesse-Normalform lautet \(\frac{6x_1+3x_2-2x_3-14}{7}=0\). 3. Für \(S(7|9|10)\) ergibt sich \(d(S,E)=\frac{|6\cdot7+3\cdot9-2\cdot10-14|}{7}\). 4. Damit ist \(d(S,E)=\frac{35}{7}=5\).

Der kürzeste Abstand beträgt \(5\,\text{LE}\).

- Welche Form der Ebenengleichung erlaubt es, den Abstand nach dem Einsetzen eines Punktes direkt abzulesen? - Achte darauf, den Normalenvektor vollständig zu normieren. - Warum muss der eingesetzte Wert für eine Entfernung als Betrag betrachtet werden? - Vergleiche die beiden Abstände erst, nachdem du beide vollständig bestimmt hast.

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=3\). 2. Die Hesse-Normalform lautet \(\frac{2x_1+x_2-2x_3-12}{3}=0\). 3. Für \(P\) gilt \(d(P,E)=\frac{|2\cdot3+12-2\cdot1-12|}{3}=\frac{4}{3}\). 4. Für \(Q\) gilt \(d(Q,E)=\frac{|2\cdot1+2-2\cdot(-3)-12|}{3}=\frac{2}{3}\). 5. Daher ist \(d(P,E):d(Q,E)=\frac{4}{3}:\frac{2}{3}=2:1\).

a) \(d(P,E)=\frac{4}{3}\) und \(d(Q,E)=\frac{2}{3}\) b) Das Verhältnis beträgt \(2:1\).

- Wie ist die Normalenform einer Ebene aufgebaut und welche Informationen kannst du direkt ablesen? - Kennst du eine Formel, die den Normalenvektor und einen Vektor zwischen Punkt und Ebene nutzt? - Denk daran, den Normalenvektor zu normieren oder durch seinen Betrag zu teilen. - Was bedeutet das Skalarprodukt geometrisch im Kontext der Projektion eines Punktes auf die Normalenrichtung?

1. Identifikation des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ 6 \end{pmatrix}\) und des Stützvektors \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Länge des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 144 + 36} = \sqrt{196} = 14\). 3. Berechnung des Differenzvektors zwischen dem Punkt \(A\) und dem Stützpunkt: \(\vec{v} = \vec{a} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ -1-1 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 4. Anwendung der Abstandsformel: \(d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}|}\). 5. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 4 + (-12) \cdot (-2) + 6 \cdot 4 = 16 + 24 + 24 = 64\). 6. Damit beträgt der Abstand \(d = \frac{64}{14} = \frac{32}{7}\).

Der Abstand beträgt \(\frac{32}{7}\) (ca. \(4{,}57\)).

- Welche Länge hat der Normalenvektor der Ebene? - Wie entsteht aus der Koordinatengleichung die Hesse-Normalform? - Setze beide Punkte getrennt ein und vergleiche erst anschließend die erhaltenen Abstände.

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\-4\\7\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=9\). 2. Die Hesse-Normalform lautet \(\frac{4x_1-4x_2+7x_3-18}{9}=0\). 3. Für den Ursprung gilt \(d(O,E)=\frac{|-18|}{9}=2\). 4. Für \(M\) gilt \(d(M,E)=\frac{|4\cdot2-4\cdot1+7\cdot6-18|}{9}=\frac{28}{9}\approx3{,}11\). 5. Wegen \(2<\frac{28}{9}\) liegt \(O\) näher an \(E\).

\(d(O,E)=2\,\text{LE}\) und \(d(M,E)=\frac{28}{9}\,\text{LE}\approx3{,}11\,\text{LE}\). Der Ursprung \(O\) liegt näher an \(E\).

- Welche Formel hilft dir, den Abstand eines Punktes von einer Ebene direkt zu berechnen? - Welchen Normalenvektor kannst du aus der Koordinatengleichung der Ebene ablesen? - Warum steht im Zähler der Abstandsformel ein Betrag?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\3\\-2\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=7\). 2. Mit der Hesse-Normalform beziehungsweise der Abstandsformel ergibt sich \(d(P,E)=\frac{|6\cdot5+3\cdot(-1)-2\cdot4-12|}{7}\). 3. Damit ist \(d(P,E)=\frac{|7|}{7}=1\).

Der Abstand beträgt \(1\,\text{LE}\).

- Welche Länge hat der Normalenvektor der Ebene? - Wie lässt sich der Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform berechnen? - Welche geometrische Beziehung besteht bei einer Berührung zwischen Kugelradius und Mittelpunkt-Ebene-Abstand?

1. Ein Normalenvektor von \(G\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\-4\\7\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=9\). 2. Mit der Hesse-Normalform ergibt sich \(d(P,G)=\frac{|4\cdot1-4\cdot(-2)+7\cdot4-18|}{9}=\frac{22}{9}\approx2{,}44\). 3. Bei einer Kugel, die eine Ebene berührt, ist der Radius gleich dem Abstand des Mittelpunkts von der Ebene. Daher ist \(r=d(M,G)=\frac{|4\cdot5-4\cdot2+7\cdot2-18|}{9}=\frac{8}{9}\approx0{,}89\).

a) \(d(P,G)=\frac{22}{9}\,\text{LE}\approx2{,}44\,\text{LE}\) b) \(r=\frac{8}{9}\,\text{LE}\approx0{,}89\,\text{LE}\)

- Erinnere dich daran, dass die Lotgerade durch den Punkt \(B\) verläuft und orthogonal zur Ebene steht. - Wie hängen der ursprüngliche Punkt, der Lotfußpunkt und der gespiegelte Punkt auf der Lotgeraden zusammen? - Welchen Parameterwert der Lotgeraden erhältst du für den Lotfußpunkt und welchen folglich für den Bildpunkt? - Überlege dir eine Vektorkette, die vom Ursprung zum Bildpunkt führt.

1. Aufstellen der Lotgeraden \(h\) durch den Punkt \(B\) mit dem Normalenvektor der Ebene \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) als Richtungsvektor: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Schnittpunkts von \(h\) und \(F\) durch Einsetzen der Koordinaten von \(h\) in die Ebenengleichung: \(2(-1+2r) - 2(4-2r) + (3+r) = 2 \Rightarrow -2 + 4r - 8 + 4r + 3 + r = 2 \Rightarrow 9r - 7 = 2 \Rightarrow r = 1\). 3. Bestimmung des Lotfußpunktes \(L\) durch Einsetzen von \(r = 1\) in \(h\): \(L(1|2|4)\). 4. Der gespiegelte Punkt \(B'\) liegt auf der Lotgeraden bei dem doppelten Parameterwert \(r = 2\) oder kann über den Vektor \(\vec{OB'} = \vec{OL} + \vec{BL}\) berechnet werden: \(\vec{OB'} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 2 - 4 \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(B'(3|0|5)\).

a) \(L(1|2|4)\) b) \(B'(3|0|5)\)

- Wie kannst du aus zwei Spannvektoren der Ebene einen Normalenvektor bestimmen? - Nutze einen der gegebenen Ebenenpunkte, um aus dem Normalenvektor eine Koordinatengleichung zu erhalten. - Welche Rolle spielt die Länge des Normalenvektors bei der Hesse-Normalform? - Warum steht bei der Abstandsberechnung ein Betrag im Zähler?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\). 2. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-20\\0\\15\end{pmatrix}\). Vereinfacht kann \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Es gilt \(|\vec{n}|=5\). 4. Eine Koordinatengleichung hat die Form \(-4x_1+3x_3+c=0\). Mit \(A(1|2|1)\) folgt \(c=1\), also \(-4x_1+3x_3+1=0\). 5. Damit ist \(d(P,E)=\frac{|-4\cdot10+3\cdot3+1|}{5}=6\). 6. Ebenso ist \(d(Q,E)=\frac{|-4\cdot(-5)+3\cdot(-4)+1|}{5}=\frac{9}{5}=1{,}8\).

\(d(P,E)=6\,\text{LE}\) und \(d(Q,E)=1{,}8\,\text{LE}\)

- Welche Beziehung zwischen Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene kennzeichnet Parallelität? - Eine Parallelitätsbedingung allein unterscheidet noch nicht zwischen „echt parallel“ und „liegt in der Ebene“. Welche zusätzliche Prüfung hilft? - Welchen Geradenpunkt kannst du nach geklärter Lagebeziehung für die Abstandsberechnung verwenden? - Wie kann die Hesse-Normalform für diesen Punkt eingesetzt werden?

1. Ein Richtungsvektor der Geraden ist \(\vec{u}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}\). 2. Für den Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\2\\-3\end{pmatrix}\) der Ebene gilt \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\). Daher ist \(g\) parallel zu \(E\) oder liegt in \(E\). 3. Der Punkt \(A\) erfüllt die Ebenengleichung nicht, denn \(6\cdot1+2\cdot5-3\cdot2=10\neq12\). Somit ist \(g\) echt parallel zu \(E\). 4. Der Abstand von \(g\) zu \(E\) entspricht deshalb dem Abstand eines beliebigen Geradenpunkts von \(E\). Mit \(A\) folgt \(d(g,E)=\frac{|6\cdot1+2\cdot5-3\cdot2-12|}{\sqrt{6^2+2^2+(-3)^2}}=\frac{2}{7}\).

Die Gerade \(g\) ist echt parallel zur Ebene \(E\). Es gilt \(d(g,E)=\frac{2}{7}\,\text{LE}\approx0{,}29\,\text{LE}\).

- Welche Beziehung müssen Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene erfüllen, damit Parallelität möglich ist? - Wie kannst du ausschließen, dass die Gerade vollständig in der Ebene liegt? - Wenn eine Gerade echt parallel zu einer Ebene ist, wie lässt sich ihr Abstand auf einen Punkt-Ebene-Abstand zurückführen? - Welche Rolle spielt dabei die Hesse-Normalform?

1. Der Richtungsvektor ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\), ein Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{n}=2-4+2=0\). Daher ist \(h\) parallel zu \(F\) oder liegt in \(F\). 3. Der Aufpunkt \(P(1|1|4)\) erfüllt die Ebenengleichung nicht, denn \(1-2+8=7\neq5\). Somit ist \(h\) echt parallel zu \(F\). 4. Deshalb ist \(d(h,F)=d(P,F)=\frac{|1-2+8-5|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{2}{3}\).

Die Gerade \(h\) ist echt parallel zur Ebene \(F\). Es gilt \(d(h,F)=\frac{2}{3}\,\text{LE}\approx0{,}67\,\text{LE}\).

- Überlege dir, wie man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnet, wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt. - Setze die bekannten Werte in die Abstandsformel ein. - Denk daran, dass der Abstand durch einen Betrag definiert ist, was zu zwei möglichen Gleichungen führen kann. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(|f(x)| = c\) auflösen?

1. Aufstellen der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform: \(d(P, E) = \frac{|a p_1 + b p_2 + c p_3 + e|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\). 2. Einsetzen der Ebenenparameter \(a=6\), \(b=2\), \(c=-3\), \(e=-5\), der Punktkoordinaten \(P(k|1|-3)\) und des Abstands \(d(P,E)=4\): \(4 = \frac{|6k + 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-3) - 5|}{\sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2}}\). 3. Berechnen des Betrags des Normalenvektors: \(\sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(|6k + 2 + 9 - 5| = |6k + 6|\). 5. Lösen der Betragsgleichung \(\frac{|6k + 6|}{7} = 4 \iff |6k + 6| = 28\). 6. Fallunterscheidung für den Betrag: Fall 1: \(6k + 6 = 28 \implies 6k = 22 \implies k = \frac{11}{3}\). Fall 2: \(6k + 6 = -28 \implies 6k = -34 \implies k = -\frac{17}{3}\).

Die gesuchten Werte sind \(k_1 = \frac{11}{3}\) und \(k_2 = -\frac{17}{3}\).

- Stelle aus dem gegebenen Normalenvektor und dem Punkt \(A\) zunächst eine Koordinatengleichung von \(E\) auf. - Welche Länge hat der Normalenvektor, und wie wird damit die Hesse-Normalform gebildet? - Die Abstandsbedingung führt auf eine Betragsgleichung. Welche zwei Vorzeichenfälle sind deshalb möglich?

1. Aus dem Normalenvektor und \(A\) folgt die Koordinatengleichung \(12x_2-5x_3-7=0\). 2. Da \(|\vec{n}|=13\), lautet die Hesse-Normalform \(\frac{12x_2-5x_3-7}{13}=0\). 3. Die Abstandsbedingung ergibt \(\frac{|12y-5\cdot4-7|}{13}=3\), also \(|12y-27|=39\). 4. Aus \(12y-27=39\) folgt \(y=5{,}5\). 5. Aus \(12y-27=-39\) folgt \(y=-1\).

\(y=5{,}5\) oder \(y=-1\)

- Welche geometrische Größe liefert der Betrag des Vektorprodukts zweier Seitenvektoren, und wie hängt sie mit der Dreiecksfläche zusammen? - Wie kannst du das Tetraedervolumen direkt aus drei von \(A\) ausgehenden Vektoren bestimmen? - Stelle für den zweiten Weg eine Koordinatengleichung der Ebene \(ABC\) auf. - Welche geometrische Bedeutung hat der Abstand der Spitze von der Grundebene?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}\). Daher ist \(G=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+6^2}=3\sqrt{2}\). 3. Mit \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}\) ist \(V=\frac{1}{6}|(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AS}|=6\). 4. Aus \(V=\frac{1}{3}Gh\) folgt \(h=\frac{3V}{G}=3\sqrt{2}\). 5. Ein Normalenvektor der Grundebene ist \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\). Mit \(A\) erhält man die Koordinatengleichung \(x_1+x_3-2=0\). 6. Der Abstand der Spitze von dieser Ebene ist \(d(S,E)=\frac{|4+4-2|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\). Beide Wege liefern dieselbe Höhe.

a) \(G=3\sqrt{2}\,\text{FE}\) b) \(h=3\sqrt{2}\,\text{LE}\)

- Welche zwei Spannvektoren der Grundebene kannst du aus \(P\), \(Q\) und \(R\) bilden? - Wie erhältst du daraus einen Normalenvektor und anschließend eine Koordinatengleichung? - Welche Größe muss bei der Punkt-Ebene-Abstandsformel im Nenner stehen? - Wie wird der kürzeste Abstand der Spitze von der Grundebene bei einer Pyramide bezeichnet?

1. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-2\\0\\6\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{PQ}\times\vec{PR}=\begin{pmatrix}24\\12\\8\end{pmatrix}\). Als vereinfachter Normalenvektor kann \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}\) verwendet werden. 3. Eine Koordinatengleichung hat die Form \(6x_1+3x_2+2x_3+c=0\). Mit \(P\) folgt \(c=-12\), also \(E:6x_1+3x_2+2x_3-12=0\). 4. Für \(S\) ist \(d(S,E)=\frac{|6\cdot5+3\cdot5+2\cdot5-12|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{43}{7}\approx6{,}14\). 5. Dieser Abstand ist die Höhe des Tetraeders bezüglich der Grundfläche \(PQR\).

a) \(E:6x_1+3x_2+2x_3-12=0\) b) \(d(S,E)=\frac{43}{7}\,\text{LE}\approx6{,}14\,\text{LE}\). Dieser Wert ist die Höhe bezüglich der Grundfläche \(PQR\).

- Welche Form haben die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_3\)-Achse? - Wegen der Symmetrie genügt es, den Abstand zu einer einzigen Mantelfläche zu betrachten. - Stelle eine Koordinatengleichung dieser Mantelfläche auf und setze den Punkt \(L(0|0|h)\) in die Abstandsformel ein. - Welche Vorzeicheninformation folgt daraus, dass \(L\) im Inneren der Pyramide liegt?

1. Wegen der Symmetrie hat die LED die Form \(L(0|0|h)\) mit \(0<h<12\). 2. Für die Mantelfläche durch \(A\), \(B\) und \(S\) kann \(\vec{n}=\begin{pmatrix}12\\0\\5\end{pmatrix}\) als Normalenvektor verwendet werden. 3. Eine Koordinatengleichung dieser Mantelfläche ist \(12x_1+5x_3-60=0\), und es gilt \(|\vec{n}|=13\). 4. Damit ist \(d(L,E)=\frac{|5h-60|}{13}\). Wegen \(0<h<12\) gilt \(d(L,E)=\frac{60-5h}{13}\). 5. Aus \(\frac{60-5h}{13}=2\) folgt \(h=6{,}8\). 6. Aufgrund der Symmetrie hat \(L\) damit zu allen vier Mantelflächen den Abstand \(2\,\text{LE}\).

\(L(0|0|6{,}8)\)

- Wie lautet die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform? - Was bedeutet es geometrisch für die Koordinaten eines Punktes, wenn er in einer Ebene liegt? - Wenn \(B\) die Mitte von \(AC\) ist, wie hängen die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{BC}\) zusammen? - Kannst du die Koordinaten von \(C\) finden, indem du den Weg von \(A\) nach \(B\) einfach noch einmal von \(B\) aus gehst?

1. Berechnung des Abstands von \(A(0|0|0)\) zu \(E\) mittels der Abstandsformel: \(d(A, E) = \frac{|6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 14|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|-14|}{7} = 2\). 2. Einsetzen von \(B(1|2|1)\) in die Ebenengleichung: \(6 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 14 = 6 + 6 + 2 - 14 = 0\). Somit liegt \(B\) in \(E\). 3. Bestimmung von \(C\) über die Mittelpunktsbedingung \(\vec{OC} = \vec{OA} + 2 \cdot \vec{AB}\) oder \(\vec{OC} = 2 \cdot \vec{OB} - \vec{OA}\): \(\vec{OC} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(2|4|2)\). 4. Berechnung des Abstands von \(C\) zu \(E\): \(d(C, E) = \frac{|6 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 - 14|}{7} = \frac{|12 + 12 + 4 - 14|}{7} = \frac{14}{7} = 2\). Die Abstände sind identisch.

a) Der Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten. b) Der Punkt \(B\) liegt in \(E\), da die Koordinaten die Gleichung erfüllen. Der gesuchte Punkt ist \(C(2|4|2)\). c) Der Abstand von \(C\) zu \(E\) beträgt ebenfalls \(2\) Längeneinheiten.

- Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Eine Ebene kann durch eine Gleichung der Form \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) beschrieben werden, wobei der Normalenvektor die Koeffizienten liefert. - Der Spiegelpunkt liegt auf einer Geraden, die durch den ursprünglichen Punkt geht und senkrecht auf der Ebene steht. - Welchen Abstand haben der Punkt und sein Spiegelbild jeweils vom Lotfußpunkt auf der Ebene?

1. Aufstellen der Spannvektoren der Ebene: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Normalenvektors über das Kreuzprodukt: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen der Koordinatengleichung: \(x_1 + x_2 + x_3 = d\). Einsetzen von \(A\) ergibt \(4 + 1 + 2 = 7\), also \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 7\). 4. Aufstellen der Lotgeraden \(h\) durch \(P\) senkrecht zu \(E\): \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Schnittpunkt von \(h\) und \(E\): \((5+k) + (6+k) + (8+k) = 7 \Rightarrow 19 + 3k = 7 \Rightarrow k = -4\). Der Lotfußpunkt ist \(F(1|2|4)\). 6. Berechnung des Spiegelpunktes: \(\vec{OP'} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PF} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 7\) b) \(P'(-3|-2|0)\)

- Welche Form hat die Grundfläche der Pyramide? Überprüfe dies mit den Vektoren zwischen den Eckpunkten. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms im Raum? - Erinnerst du dich an die Formel für das Volumen einer Pyramide? Welche Größen fehlen dir noch? - Wie lässt sich der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Der Flächeninhalt der parallelogrammförmigen Grundfläche ist \(G=|\vec{AB}\times\vec{AD}|=\left|\begin{pmatrix}-8\\-16\\16\end{pmatrix}\right|=24\). 3. Ein Normalenvektor der Grundebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). Mit \(A\) ergibt sich die Koordinatengleichung \(E:x_1+2x_2-2x_3-1=0\). 4. Die Höhe der Pyramide ist der Abstand von \(S\) zu \(E\): \(h=d(S,E)=\frac{|6+2\cdot9-2\cdot10-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=1\). 5. Damit ist \(V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot24\cdot1=8\).

Das Volumen der Pyramide beträgt \(8\,\text{VE}\).

- Die Grundfläche ist hier ein Dreieck. Denke an den Faktor \(\frac{1}{2}\) beim Kreuzprodukt. - Welche Methode kennst du, um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene effizient zu berechnen? - Achte darauf, dass die Höhe immer senkrecht auf der gewählten Grundfläche stehen muss. - Gibt es eine alternative Formel für das Volumen eines Tetraeders, wenn alle vier Eckpunkte gegeben sind?

1. Berechnung der Spannvektoren der Grundfläche: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks \(PQR\): \(G = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \frac{1}{2} \left| \begin{pmatrix} 24 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14\). 3. Bestimmung der Koordinatengleichung der Ebene durch \(P, Q, R\). Ein Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Ebene lautet \(6x + 3y + 2z = 12\) bzw. \(6x + 3y + 2z - 12 = 0\). 4. Berechnung der Höhe \(h\) als Abstand von \(S(5|1|0)\) zur Ebene: \(h = \frac{|6 \cdot 5 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|21|}{7} = 3\). 5. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 14 \cdot 3 = 14\).

Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(14\,\text{FE}\), die Höhe beträgt \(3\,\text{LE}\) und das Volumen des Tetraeders beträgt \(14\,\text{VE}\).

- Welche Formel hilft dir, den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu bestimmen? - Welche besonderen Koordinaten hat ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse? - Die Gleichheit zweier Abstände führt hier auf eine Betragsgleichung. Welche zwei Vorzeichenfälle sind möglich? - Welche der entstehenden Lösungen ist durch die Aufgabenstellung ausgeschlossen?

1. Der Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\3\\-2\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2}=7\). Die Hesse-Normalform lautet \(\frac{6x_1+3x_2-2x_3-28}{7}=0\). Für den Ursprung folgt \(d(O,F)=\frac{|-28|}{7}=4\). 2. Ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse hat die Form \(Q(0|0|z)\). Die Bedingung \(d(Q,F)=4\) führt auf \(\frac{|-2z-28|}{7}=4\), also \(|-2z-28|=28\). 3. Aus \(-2z-28=28\) folgt \(z=-28\); aus \(-2z-28=-28\) folgt \(z=0\). Da der Ursprung ausgeschlossen ist, bleibt \(Q(0|0|-28)\).

1. Der Abstand zum Ursprung beträgt \(4\,\text{LE}\). 2. \(Q(0|0|-28)\)

- Wandle die Ebene zunächst von der Parameterform in die Koordinatenform um. - Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene über deren Lagebeziehung aus? - Wie berechnet man den Abstand zwischen einer parallelen Geraden und einer Ebene? - Überprüfe, ob der Aufpunkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt.

1. Bestimmung des Normalenvektors von \(E\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung der Parallelität: Das Skalarprodukt des Richtungsvektors von \(g\) mit \(\vec{n}\) ist \(\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = 12 - 12 + 0 = 0\). Da der Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor steht, ist \(g\) parallel zu \(E\). 3. Koordinatengleichung von \(E\): Mit \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und dem Stützpunkt \(P(4|0|0)\) lautet die Gleichung \(3x_1 + 4x_2 = 12\). 4. Punktprobe und Abstand: Der Stützpunkt \(P(1|1|5)\) von \(g\) ergibt in der Ebenengleichung \(3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 7 \neq 12\), also ist \(g\) echt parallel. Der Abstand berechnet sich zu \(d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-5|}{5} = 1\).

Die Gerade \(g\) ist parallel zur Ebene \(E\). Der Abstand zwischen der Geraden und der Ebene beträgt \(d(g, E) = 1\).

- Wie findest du aus den beiden Spannvektoren einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht? - Welche Verbindung zwischen dem Punkt \(P\) und einem Punkt der Ebene kannst du für die Abstandsberechnung nutzen? - Welche Rolle spielt die Länge des Normalenvektors in der Hesse-Normalform?

1. Ein Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=3\). 2. Mit dem Stützpunkt \(A(3|0|0)\) ist \(\vec{AP}=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}\). 3. Daher ergibt sich \(d(P,E)=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{AP}|}{|\vec{n}|}=\frac{|2\cdot3-1+2\cdot5|}{3}=5\).

Der Abstand beträgt \(5\,\text{LE}\).

- Was bedeutet es für die Gleichung der Ebene, wenn sie durch den Ursprung verläuft? - Kannst du die Ebene zuerst in die Koordinatenform umwandeln? - Wie lautet die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene, wenn du den Normalenvektor kennst? - Vergiss nicht, am Ende durch die Länge des Normalenvektors zu teilen.

1. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}\) mittels Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Länge des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 3. Da die Ebene durch den Ursprung verläuft, ist der Stützvektor \(\vec{a} = \vec{0}\). Die Abstandsformel vereinfacht sich zu \(d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{q}|}{|\vec{n}|}\). 4. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{n} \cdot \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} = 6 + 20 + 0 = 26\). 5. Damit beträgt der Abstand \(d = \frac{|26|}{13} = 2\).

Der Abstand des Punktes \(Q\) von der Ebene \(F\) beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- In welcher Koordinatenebene liegt das Dreieck \(OAB\), und welche besondere Form hat es dadurch? - Wie erhältst du aus zwei Spannvektoren der Ebene \(ABC\) einen Normalenvektor? - Welche Darstellung der Ebene eignet sich besonders für die Abstandsberechnung? - Für die beiden Volumenwege kannst du unterschiedliche Seitenflächen als Grundfläche wählen.

1. Das Dreieck \(OAB\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene und ist rechtwinklig. Daher ist \(A_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6=18\). 2. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}\). Das Vektorprodukt ist \(\begin{pmatrix}36\\36\\-36\end{pmatrix}\), also kann \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) verwendet werden. Damit lautet die Koordinatengleichung \(E_{ABC}:x_1+x_2-x_3=6\). 3. Mit der Hesse-Normalform ergibt sich \(d(O,E_{ABC})=\frac{|-6|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\approx3{,}46\). 4. Mit der Grundfläche \(OAB\) und der Höhe \(6\) ist \(V=\frac{1}{3}\cdot18\cdot6=36\). 5. Der Flächeninhalt von \(ABC\) ist \(A_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{36^2+36^2+(-36)^2}=18\sqrt{3}\). Mit der Höhe \(2\sqrt{3}\) folgt erneut \(V=\frac{1}{3}\cdot18\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=36\).

a) \(18\,\text{FE}\) b) \(E_{ABC}:x_1+x_2-x_3=6\) c) \(2\sqrt{3}\,\text{LE}\approx3{,}46\,\text{LE}\) d) \(V=36\,\text{VE}\)

- Wie hängen die Spannvektoren einer Ebene mit einem Normalenvektor zusammen? - Welche Koordinatengleichung erhältst du, wenn du den Stützpunkt in den gefundenen Normalenvektor einsetzt? - Was musst du bei der Hesse-Normalform mit der Länge des Normalenvektors tun?

1. Das Vektorprodukt der Spannvektoren ist \(\begin{pmatrix}-6\\-3\\6\end{pmatrix}\). Als vereinfachter Normalenvektor eignet sich \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\). 2. Mit dem Stützpunkt \((4|1|0)\) erhält man \(E:2x_1+x_2-2x_3=9\). 3. Da \(|\vec{n}|=3\), lautet die Hesse-Normalform \(\frac{2x_1+x_2-2x_3-9}{3}=0\). 4. Für den Ursprung ergibt sich \(d(O,E)=\frac{|-9|}{3}=3\). 5. Für \(S(10|10|10)\) ergibt sich \(d(S,E)=\frac{|20+10-20-9|}{3}=\frac{1}{3}\).

a) \(E:2x_1+x_2-2x_3=9\) b) \(d(O,E)=3\,\text{LE}\) c) \(d(S,E)=\frac{1}{3}\,\text{LE}\)

- Wie bestimmst du den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene? - Formuliere den Abstand eines allgemeinen Geradenpunkts von \(E\) mit der Hesse-Normalform. - Warum können auf einer Geraden, die eine Ebene schneidet, zwei Punkte denselben positiven Abstand von der Ebene besitzen?

1. Einsetzen eines Geradenpunkts in die Ebenengleichung ergibt \(6(1+t)+3\cdot2-2(-1+2t)=14\). Daraus folgt \(14+2t=14\), also \(t=0\) und \(S(1|2|-1)\). 2. Der Normalenvektor von \(E\) hat die Länge \(7\). Die Hesse-Normalform führt für einen Geradenpunkt \(P_t(1+t|2|-1+2t)\) auf \(\frac{|6(1+t)+3\cdot2-2(-1+2t)-14|}{7}=4\). 3. Damit gilt \(\frac{|2t|}{7}=4\), also \(t=14\) oder \(t=-14\). 4. Für \(t=14\) erhält man \(P_1(15|2|27)\), für \(t=-14\) erhält man \(P_2(-13|2|-29)\).

a) \(S(1|2|-1)\) b) \(P_1(15|2|27)\) und \(P_2(-13|2|-29)\)

- Wie hängt der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Ebene mit dem Normalenvektor zusammen? - Was ist ein Lotfußpunkt und wie kann man ihn mithilfe einer Hilfsgeraden bestimmen? - Wenn du den Abstand eines Punktes auf der Lotgeraden zur Ebene suchst, wie verändert sich dieser Abstand, wenn du dich entlang der Geraden bewegst? - Überlege dir, wie du die Parameterwerte für die gesuchten Punkte direkt aus dem bereits berechneten Abstand von \( B \) ableiten kannst.

1. Berechnung des Abstands mit der HNF: Der Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) hat die Länge \( \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3 \). Der Abstand ist \( d(B, F) = \frac{|1\cdot 2 + 2\cdot 2 + 2\cdot 6 - 9|}{3} = \frac{9}{3} = 3 \). 2. Aufstellen der Lotgeraden durch \( B \) mit Richtungsvektor \( \vec{n} \): \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \). 3. Schnitt der Lotgeraden mit \( F \): \( (2+r) + 2(2+2r) + 2(6+2r) = 9 \Rightarrow 9r + 18 = 9 \Rightarrow r = -1 \). 4. Einsetzen von \( r = -1 \) ergibt den Lotfußpunkt \( Q(1 \mid 0 \mid 4) \). 5. Für Punkte auf der Lotgeraden \( h \) gilt für den Abstand zur Ebene \( d(P_r, F) = \frac{|9r+9|}{3} = |3r+3| \). 6. Ansatz für Abstand 6: \( |3r+3| = 6 \). Dies liefert \( 3r+3=6 \Rightarrow r=1 \) und \( 3r+3=-6 \Rightarrow r=-3 \). 7. Koordinaten der Punkte: Für \( r=1 \) folgt \( P_1(3 \mid 4 \mid 8) \), für \( r=-3 \) folgt \( P_2(-1 \mid -4 \mid 0) \).

a) Der Abstand beträgt \( 3 \). b) \( Q(1 \mid 0 \mid 4) \) c) \( P_1(3 \mid 4 \mid 8) \) und \( P_2(-1 \mid -4 \mid 0) \)

- Wie erhältst du aus zwei Spannvektoren der Ebene einen Normalenvektor? - Welche Darstellung der Ebene eignet sich für die direkte Abstandsberechnung? - Auf welcher Geraden liegen \(Q\), sein Lotfußpunkt und der Spiegelpunkt \(Q''\)? - Welche Mittelpunktbeziehung gilt zwischen \(Q\), dem Lotfußpunkt und \(Q''\)?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}\). Das Vektorprodukt ist \(\begin{pmatrix}-8\\-4\\-8\end{pmatrix}\), sodass \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) als Normalenvektor verwendet werden kann. 2. Mit \(A(2|0|1)\) folgt \(E:2x_1+x_2+2x_3=6\). 3. Der Abstand ist mit der Hesse-Normalform \(d(Q,E)=\frac{|2\cdot5+5+2\cdot9-6|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=9\). 4. Der Lotfußpunkt ist \(F=Q-9\cdot\frac{1}{3}\vec{n}=(-1|2|3)\). 5. Wegen \(F=\frac{1}{2}(Q+Q'')\) ist \(Q''=2F-Q=(-7|-1|-3)\).

a) \(E:2x_1+x_2+2x_3=6\) b) \(d(Q,E)=9\,\text{LE}\) c) \(Q''(-7|-1|-3)\)

- Wie stehen der Richtungsvektor einer Geraden und der Normalenvektor einer Ebene zueinander, wenn diese parallel sind? - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, wie bestimmt man dann ihren Abstand? - Was bedeutet es für den Radius einer Kugel, wenn sie eine Ebene berührt? - Wie prüft man, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt?

1. Nachweis der Parallelität: Das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \) der Geraden und dem Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) der Ebene berechnen: \( 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 6 - 4 - 2 = 0 \). Da der Aufpunkt \( P(1|4|5) \) die Ebenengleichung nicht erfüllt (\( 2+8+5 = 15 \neq 6 \)), ist \( g \) echt parallel zu \( E \). 2. Abstandsberechnung: Der Abstand der Geraden entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes auf \( g \) (z. B. der Aufpunkt \( P \)) zu \( E \). \( d(g, E) = \frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 5 - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{9}{3} = 3 \). 3. Punktprobe für \( M \): Gleichsetzen von \( M \) und \( g \): \( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \). Für \( t = 1 \) ist die Gleichung erfüllt, also \( M \in g \). 4. Kugelgleichung: Da die Kugel die Ebene berührt, entspricht der Radius \( r \) dem Abstand des Mittelpunktes \( M \) zur Ebene \( E \). Da \( M \) auf \( g \) liegt und \( g \parallel E \), ist \( r = d(g, E) = 3 \). Die Kugelgleichung lautet \( (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 3^2 = 9 \).

a) \( \vec{v}_g \cdot \vec{n}_E = 0 \) und \( P_g \notin E \), daher \( g \parallel E \). b) \( d(g, E) = 3 \) c) \( M \) liegt auf \( g \) für \( t = 1 \). Kugelgleichung: \( (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 3)^2 = 9 \)

- Welche beiden Koordinaten sind für einen Punkt auf der Symmetrieachse bereits festgelegt? - Stelle eine Koordinatengleichung einer Mantelfläche auf und nutze sie für den Abstand von \(P\). - Wegen der Symmetrie genügt der Vergleich mit einer der vier Mantelflächen. - Welche Gleichung entsteht, wenn der Abstand zur Grundfläche gleich dem Abstand zu einer Mantelfläche sein soll?

1. Wegen der Symmetrie hat \(P\) die Form \(P(5|5|h)\). Sein Abstand von der Grundebene \(x_3=0\) beträgt \(h\). 2. Für die Mantelfläche durch \(B\), \(C\) und \(S\) ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\12\\5\end{pmatrix}\) ein Normalenvektor. Eine Koordinatengleichung lautet \(12x_2+5x_3-120=0\). 3. Die Hesse-Normalform dieser Ebene ist \(\frac{12x_2+5x_3-120}{13}=0\). 4. Für \(P(5|5|h)\) beträgt der Abstand zu dieser Mantelfläche \(\frac{60-5h}{13}\). 5. Aus \(h=\frac{60-5h}{13}\) folgt \(13h=60-5h\), also \(h=\frac{10}{3}\). 6. Damit ist \(P\left(5\middle|5\middle|\frac{10}{3}\right)\).

\(P\left(5\middle|5\middle|\frac{10}{3}\right)\)

- Welche geometrische Menge besteht aus allen Punkten mit einem festen Abstand zu einer Ebene? - Wegen des Betrags in der Abstandsbedingung entstehen zwei parallele Hilfsebenen. - Die gesuchten Punkte müssen zusätzlich in \(E\) liegen. Welche Schnittmengen sind daher zu bestimmen?

1. Der Normalenvektor von \(F\) hat die Länge \(3\). Die Hesse-Normalform führt für den Abstand \(2\) auf \(\frac{|2x_1+x_2-2x_3-6|}{3}=2\). 2. Damit liegen die gesuchten Punkte auf einer der beiden zu \(F\) parallelen Ebenen \(F_1:2x_1+x_2-2x_3=12\) oder \(F_2:2x_1+x_2-2x_3=0\). 3. Der Schnitt von \(E\) mit \(F_1\) ergibt mit \(x_3=t\) die Gerade \(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}9\\-6\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\). 4. Der Schnitt von \(E\) mit \(F_2\) ergibt mit \(x_3=s\) die Gerade \(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\).

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}9\\-6\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb R\) \(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\), \(s\in\mathbb R\)

- Formuliere mit der Hesse-Normalform zunächst die beiden Ebenen, deren Punkte genau \(4\,\text{LE}\) von \(F\) entfernt sind. - Setze anschließend die Koordinaten eines allgemeinen Punktes von \(E\) in diese beiden Ebenengleichungen ein. - Welche Form haben die Schnittmengen jeweils, wenn zwischen den beiden Parametern nur eine lineare Beziehung bestehen bleibt?

1. Der Normalenvektor von \(F\) hat die Länge \(3\). Die Hesse-Normalform liefert für den Abstand \(4\) die beiden Hilfsebenen \(F_1:2x_1-x_2+2x_3=21\) und \(F_2:2x_1-x_2+2x_3=-3\). 2. Für einen Punkt von \(E\) gilt \(x_1=2+\lambda\), \(x_2=1+\mu\) und \(x_3=\lambda-\mu\). Einsetzen in \(F_1\) ergibt \(4\lambda-3\mu=18\). 3. Mit \(\mu=4t\) folgt \(\lambda=\frac{9}{2}+3t\) und damit \(h_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{13}{2}\\1\\\frac{9}{2}\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\). 4. Einsetzen in \(F_2\) ergibt \(4\lambda-3\mu=-6\). Mit \(\mu=4s\) folgt \(\lambda=-\frac{3}{2}+3s\) und damit \(h_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\).

\(h_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{13}{2}\\1\\\frac{9}{2}\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb R\) \(h_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\), \(s\in\mathbb R\)

- Schau dir die Koordinaten der Punkte A, B und C genau an. Liegen sie in einer besonderen Ebene? - Wenn du das Volumen bereits kennst, kannst du die Formel für das Volumen umstellen, um eine unbekannte Höhe (Abstand) zu berechnen. - Für den Flächeninhalt im Raum eignet sich das Kreuzprodukt der aufspannenden Vektoren.

1. Die Vektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind orthogonal. Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\). Da alle Punkte von \(ABC\) die \(z\)-Koordinate \(2\) haben, liegt das Dreieck in der Ebene \(z = 2\). Der Abstand von \(D(3|3|6)\) zu dieser Ebene ist \(h = |6 - 2| = 4\). 2. Das Volumen des Tetraeders berechnet sich zu \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 4 = 16\). 3. Für die Fläche \(ABD\) nutzen wir \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt ist \(\vec{n}_{ABD} = \begin{pmatrix} 0 \\ -16 \\ 8 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 + (-16)^2 + 8^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{320} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94\). 4. Der Abstand \(d(C, E_{ABD})\) entspricht der Höhe des Tetraeders bezüglich der Grundfläche \(ABD\). Aus \(V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABD} \cdot d\) folgt \(d = \frac{3V}{A_{ABD}} = \frac{3 \cdot 16}{4\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = 2{,}4\sqrt{5} \approx 5{,}37\).

a) \(A_{ABC} = 12\); \(d(D, E_{ABC}) = 4\) b) \(V = 16\) c) \(A_{ABD} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94\) d) \(d(C, E_{ABD}) = \frac{12}{\sqrt{5}} = 2{,}4\sqrt{5} \approx 5{,}37\)