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- Wie stehen die Richtungsvektoren zueinander? Sind sie parallel? - Was passiert, wenn du versuchst, einen Schnittpunkt zu berechnen? - Nutze das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren für die Abstandsberechnung. - Erinnerst du dich an die Formel für den Abstand windschiefer Geraden mit Hilfe des Skalarprodukts?

1. Richtungsvektoren prüfen: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da kein Skalar \(k\) existiert mit \(k \cdot \vec{u} = \vec{v}\), sind die Geraden nicht parallel. 2. Schnittpunktprüfung: Gleichsetzen liefert \(2+t=1+2s\), \(2t=4+s\) und \(-1+2t=-2s\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=2t-4\). Einsetzen in die erste: \(2+t=1+2(2t-4) \Rightarrow 2+t=4t-7 \Rightarrow 3t=9 \Rightarrow t=3\). Damit wäre \(s=2\). Prüfung in der dritten Gleichung: \(-1+2(3)=5\) und \(-2(2)=-4\). Da \(5 \neq -4\), sind die Geraden windschief. 3. Normalenvektor berechnen: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). Zur Vereinfachung kann \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. Der Betrag ist \(|\vec{n}^*| = \sqrt{4+4+1} = 3\). 4. Abstand berechnen: Verbindungsvektor der Aufpunkte \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 4-0 \\ 0-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). Der Abstand ist \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}^*|}{|\vec{n}^*|} = \frac{|(-1)(-2) + 4 \cdot 2 + 1(-1)|}{3} = \frac{|2+8-1|}{3} = \frac{9}{3} = 3\).

Die Geraden sind windschief. Ihr Abstand beträgt \(d = 3\).

- Wie kannst du prüfen, ob zwei Geraden parallel sind oder nicht? - Was muss gelten, damit zwei Geraden, die nicht parallel sind, keinen Schnittpunkt haben? - Kennst du eine Formel, die das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren nutzt, um den kürzesten Abstand zu bestimmen? - Ein Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Wie hilft dir das bei der Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte?

1. Überprüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, da \(\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-2}\). Die Geraden sind nicht parallel. 2. Überprüfung auf Schnittpunkt: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(5+t = 2s\), \(1-2t = 4+s\) und \(2+2t = 6\). Aus der dritten Gleichung folgt \(t = 2\). Einsetzen in die erste ergibt \(s = 3{,}5\). Einsetzen in die zweite ergibt \(1-4 = 4+3{,}5 \Rightarrow -3 = 7{,}5\), was ein Widerspruch ist. Die Geraden sind windschief. 3. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}\): Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Betrag des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). 5. Differenzvektor der Stützvektoren: \(\vec{w} = \vec{a}_h - \vec{a}_g = \begin{pmatrix} 0-5 \\ 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 6. Abstandsberechnung mit der Formel \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\): \(d = \frac{|(-5) \cdot (-2) + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5|}{3\sqrt{5}} = \frac{|10 + 12 + 20|}{3\sqrt{5}} = \frac{42}{3\sqrt{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}} = \frac{14}{5}\sqrt{5} \approx 6{,}26\).

Die Geraden sind windschief, da sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen. Ihr Abstand beträgt \(d = \frac{14}{\sqrt{5}} = \frac{14}{5}\sqrt{5} \approx 6{,}26\,\text{LE}\).

- Wie lassen sich die Koordinatenachsen als Geradengleichungen in Parameterform darstellen? - Welche Richtungsvektoren haben die \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Achse? - Kennst du eine Formel, mit der man den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden berechnen kann? - Überlege, wie du einen Vektor findest, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht.

1. Die Koordinatenachsen werden als Geraden mit dem Ursprung als Stützpunkt und den Einheitsvektoren als Richtungsvektoren aufgefasst: \(x\)-Achse: \(\vec{x} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(y\)-Achse: \(\vec{x} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(z\)-Achse: \(\vec{x} = \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Für den Abstand zur \(x\)-Achse: Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit dem Betrag \(|\vec{n}_x| = \sqrt{2}\). Die Anwendung der Abstandsformel mit dem Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) liefert \(d_x = \frac{|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). 3. Für den Abstand zur \(y\)-Achse: Der Normalenvektor ist \(\vec{n}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_y| = 1\). Der Abstand beträgt \(d_y = \frac{|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}|}{1} = 3\). 4. Für den Abstand zur \(z\)-Achse: Der Normalenvektor ist \(\vec{n}_z = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_z| = 1\). Der Abstand beträgt \(d_z = \frac{|\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}|}{1} = 3\).

Abstand zur \(x\)-Achse: \(2\sqrt{2} \approx 2{,}83\,\text{LE}\) Abstand zur \(y\)-Achse: \(3\,\text{LE}\) Abstand zur \(z\)-Achse: \(3\,\text{LE}\)

- Wie stehen die Richtungsvektoren der Geraden zueinander? Sind sie parallel? - Ein gemeinsames Lot steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Wie kannst du einen solchen Vektor berechnen? - Überlege dir, wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen kann, die eine der Geraden enthält und parallel zur anderen ist. - Für die Punkte mit dem geringsten Abstand kannst du einen allgemeinen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten der Geraden aufstellen.

1. Zur Bestimmung des Abstands windschiefer Geraden wird der Normalenvektor \(\vec{n}\) über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnet: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Betrag des Normalenvektors ist \(|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). 3. Mit der Abstandsformel für windschiefe Geraden ergibt sich für den Stützvektorunterschied \(\vec{b}-\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\): \(d = \frac{|\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}|}{\sqrt{3}} = \frac{|2 + 0 + 2|}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\,\text{m}\). 4. Zur Bestimmung der Lotfußpunkte \(P\) und \(Q\) wird der Verbindungsvektor \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 2-r \\ s-r \\ 2+s \end{pmatrix}\) auf Orthogonalität zu beiden Richtungsvektoren geprüft: I: \((2-r) \cdot 1 + (s-r) \cdot 1 = 0 \implies -2r + s = -2\) II: \((s-r) \cdot 1 + (2+s) \cdot 1 = 0 \implies -r + 2s = -2\) 5. Das Gleichungssystem liefert \(r = \frac{2}{3}\) und \(s = -\frac{2}{3}\). 6. Einsetzen in die Geradengleichungen ergibt \(P\left(\frac{2}{3}\middle|\frac{2}{3}\middle|0\right)\) und \(Q\left(2\middle|-\frac{2}{3}\middle|\frac{4}{3}\right)\).

a) Der Abstand beträgt \(d = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\,\text{m}\). b) Die Punkte sind \(P(\frac{2}{3} | \frac{2}{3} | 0)\) und \(Q(2 | -\frac{2}{3} | \frac{4}{3})\).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, anstatt die Wurzel zu verwenden? - Denke daran, dass ein fester Punkt auf einer Geraden durch einen festen Parameterwert definiert ist. - Wenn du eine Funktion von zwei Variablen hast und eine davon festhältst, wird die Ableitung nach der anderen Variable wie bei einer normalen Funktion gebildet.

1. Die Koordinaten der Punkte sind \(P(r-2|r|1)\) und \(Q(0|s-2|s)\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} r-2 \\ r-s+2 \\ 1-s \end{pmatrix}\). Das Abstandsquadrat ist \(f(r, s) = (r-2)^2 + (r-s+2)^2 + (1-s)^2 = 2r^2 + 2s^2 - 2rs - 6s + 9\). 2. Zur Minimierung bzgl. \(r\) wird die partielle Ableitung \(\frac{\partial f}{\partial r} = 4r - 2s\) gebildet und nullgesetzt. Da \(s\) einen festen Punkt auf der Geraden \(h\) markiert, wird es wie eine Konstante behandelt. Es ergibt sich \(4r = 2s\), also \(r = \frac{1}{2}s\). 3. Einsetzen von \(r = \frac{1}{2}s\) in \(f(r, s)\) liefert die Funktion \(k(s) = 2(\frac{1}{4}s^2) + 2s^2 - 2(\frac{1}{2}s)s - 6s + 9 = 1{,}5s^2 - 6s + 9\). Ableiten nach \(s\) und Nullsetzen: \(k'(s) = 3s - 6 = 0 \Rightarrow s = 2\). Daraus folgt \(r = 1\). Das minimale Abstandsquadrat ist \(k(2) = 1{,}5 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 9 = 3\). Der Abstand beträgt \(d = \sqrt{3}\).

Der minimale Abstand der Geraden beträgt \(d = \sqrt{3}\).

- Wann nennt man zwei Geraden im dreidimensionalen Raum windschief? - Wie kann man prüfen, ob zwei Vektoren parallel sind? - Welche Lagebeziehungen gibt es, wenn kein Schnittpunkt existiert? - Wie hilft dir ein Vektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht, bei der Abstandsberechnung? - Kennst du eine Formel, die die Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf die Normalenrichtung nutzt?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander, also nicht parallel. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das Gleichungssystem: I: \(4 + 2r = 2 + s \Rightarrow s - 2r = 2\) II: \(1 = 5 + 2s \Rightarrow 2s = -4 \Rightarrow s = -2\) III: \(2 + r = 1 \Rightarrow r = -1\) Einsetzen in I: \(-2 - 2(-1) = 0 \neq 2\). Das System hat keine Lösung, die Geraden haben keinen Schnittpunkt. Da sie nicht parallel sind, sind sie windschief. 2. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Betrag des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{21}\). Differenzvektor der Stützpunkte: \(\vec{p}_h - \vec{p}_g = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 5-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\). Abstandsberechnung mit der Formel \(d = \frac{|(\vec{p}_h - \vec{p}_g) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\): \(d = \frac{|\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}|}{\sqrt{21}} = \frac{|4 + 4 - 4|}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}} \approx 0{,}873\).

1. Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das Gleichsetzen der Geraden führt zu einem Widerspruch, daher sind sie windschief. 2. Der Abstand beträgt \(d = \frac{4}{\sqrt{21}} \approx 0{,}873\,\text{LE}\).

- Wie stellst du eine Gerade auf, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Woran erkennst du rechnerisch, ob zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander stehen? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit zwei Geraden weder parallel sind noch sich schneiden? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand windschiefer Geraden mithilfe des Kreuzprodukts. - Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum mit Vektoren bestimmen?

1. Gerade \(g\): Der Richtungsvektor ist \(\vec{u} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Die Geradengleichung lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 2 + 4 - 2 = 4 \neq 0\). Die Richtungsvektoren sind nicht orthogonal. 3. Windschiefe: Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen voneinander (nicht parallel). Das Gleichsetzen der Geraden führt auf ein widersprüchliches Gleichungssystem (\(2+r=2s\), \(1+2r=4+2s\), \(3-2r=1+s\)), woraus folgt, dass kein Schnittpunkt existiert. Somit sind sie windschief. 4. Abstand: Ein Normalenvektor ist \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit dem Verbindungsvektor der Stützpunkte \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich der Abstand \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|12+15-4|}{\sqrt{36+25+4}} = \frac{23}{\sqrt{65}} \approx 2{,}85\). 5. Flächeninhalt Dreieck: Mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) berechnet man das Kreuzprodukt \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{64+1+25} = \frac{1}{2} \sqrt{90} = 1{,}5 \sqrt{10} \approx 4{,}74\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) b) Nein, da das Skalarprodukt \(4 \neq 0\) ist. c) Die Geraden sind windschief; der Abstand beträgt \(d = \frac{23}{\sqrt{65}} \approx 2{,}85\,\text{LE}\). d) Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1{,}5 \sqrt{10} \approx 4{,}74\,\text{FE}\).

- Überlege zuerst, welche Bedingungen für die gegenseitige Lage von Geraden im Raum gelten müssen. - Wie kann man einen Vektor finden, der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? - Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist die Länge der kürzesten Verbindung — was weißt du über die Winkel an den Endpunkten dieser Verbindung? - Wenn eine Kugel eine Gerade berührt, in welcher Beziehung stehen dann der Radius und der Abstand des Mittelpunkts zur Geraden?

1. Überprüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind wegen \(k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) linear unabhängig. 2. Überprüfung auf Schnittpunkt: Das Gleichungssystem aus den Geradengleichungen führt zu einem Widerspruch (\(r-2s=3\), \(2r+2s=4\), \(2r-s=6\)), da die ersten beiden Gleichungen \(s = -\frac{1}{3}\) und \(r = \frac{7}{3}\) liefern, was die dritte Gleichung (\(\frac{14}{3} + \frac{1}{3} = 5 \neq 6\)) nicht erfüllt. Somit sind die Geraden windschief. 3. Abstandsberechnung: Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\), skaliert zu \(\vec{n}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Der Abstand ergibt sich mit dem Differenzvektor der Stützpunkte \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) zu \(d = |\vec{w} \cdot \vec{n}_0| = \frac{|6 + 4 - 12|}{3} = \frac{2}{3}\). 4. Fußpunkte: Der Differenzvektor \(\vec{F_g F_h} = \begin{pmatrix} 3+2s-r \\ 4-2s-2r \\ 6+s-2r \end{pmatrix}\) muss parallel zu \(\vec{n}\) sein. Dies führt auf das System \(6s+3r=5\) und \(3s+6r=14\) mit den Lösungen \(r = \frac{23}{9}\) und \(s = -\frac{4}{9}\). Die Fußpunkte sind \(F_g\left(\frac{41}{9} \big| \frac{46}{9} \big| \frac{55}{9}\right)\) und \(F_h\left(\frac{37}{9} \big| \frac{44}{9} \big| \frac{59}{9}\right)\). 5. Kugelradius: Der Radius entspricht dem Abstand des Punktes \(M\) zur Geraden \(g\). Mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Abstandsformel für Punkte und Geraden ergibt sich der Abstand \(d(M, g) = \sqrt{2}\). Somit ist der Radius \(R = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

a) Die Geraden sind nicht parallel und haben keinen Schnittpunkt. b) \(d(g, h) = \frac{2}{3}\) c) \(F_g\left(\frac{41}{9} \big| \frac{46}{9} \big| \frac{55}{9}\right)\) und \(F_h\left(\frac{37}{9} \big| \frac{44}{9} \big| \frac{59}{9}\right)\) d) \(R = \sqrt{2}\)

- Ein Punkt auf einer Geraden lässt sich allgemein durch den Stützvektor und den Parameter ausdrücken. - Was weißt du über den Winkel zwischen der gemeinsamen Lotgeraden und den beiden gegebenen Geraden? - Wenn ein Vektor senkrecht auf einem anderen steht, welchen Wert hat dann ihr Skalarprodukt? - Du erhältst ein Gleichungssystem für die beiden unbekannten Parameter.

1. Aufstellen eines allgemeinen Verbindungsvektors \(\vec{PQ}\): \(\vec{PQ} = \vec{x}_h - \vec{x}_g = \begin{pmatrix} 0-1-r \\ 1+s-r \\ 4+s-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-r \\ 1+s-r \\ 3+s \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für den kürzesten Abstand: Der Vektor \(\vec{PQ}\) muss senkrecht auf beiden Richtungsvektoren \(\vec{u} = (1, 1, 0)^T\) und \(\vec{v} = (0, 1, 1)^T\) stehen. 3. Gleichungssystem aufstellen: I: \(\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow (-1-r) \cdot 1 + (1+s-r) \cdot 1 + (3+s) \cdot 0 = 0 \Rightarrow -2r + s = 0\). II: \(\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow (-1-r) \cdot 0 + (1+s-r) \cdot 1 + (3+s) \cdot 1 = 0 \Rightarrow -r + 2s = -4\). 4. System lösen: Aus I folgt \(s = 2r\). Einsetzen in II ergibt \(-r + 4r = -4 \Rightarrow 3r = -4 \Rightarrow r = -\frac{4}{3}\). Damit ist \(s = -\frac{8}{3}\). 5. Lotfußpunkte berechnen: \(P = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{4}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \left(-\frac{1}{3} \mid -\frac{4}{3} \mid 1\right)\). \(Q = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \frac{8}{3} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \left(0 \mid -\frac{5}{3} \mid \frac{4}{3}\right)\). 6. Abstand berechnen: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 - (-1/3) \\ -5/3 - (-4/3) \\ 4/3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ -1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}\). \(d = |\vec{PQ}| = \sqrt{(1/3)^2 + (-1/3)^2 + (1/3)^2} = \sqrt{3/9} = \sqrt{1/3} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \approx 0{,}577\).

Die Punkte mit dem minimalen Abstand sind \(P\left(-\frac{1}{3} \mid -\frac{4}{3} \mid 1\right)\) und \(Q\left(0 \mid -\frac{5}{3} \mid \frac{4}{3}\right)\). Der minimale Abstand beträgt \(d = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \approx 0{,}577\,\text{LE}\).

- Überprüfe zuerst, ob die Geraden parallel sind oder sich schneiden könnten. - Ein gemeinsames Lot steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Wie berechnet man einen solchen Vektor? - Die Projektion des Verbindungsvektors zweier beliebiger Punkte der Geraden auf den Normalenvektor ergibt den gesuchten Abstand. - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Berechnung des Abstands?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\): \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). 3. Berechnung des Differenzvektors der Stützpunkte: \(\vec{w} = \vec{a}_g - \vec{a}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Anwendung der Abstandsformel für windschiefe Geraden: \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}|}{\sqrt{3}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(d \approx 2{,}31\).

Der Abstand beträgt \(\frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\,\text{LE}\).

- Stelle zuerst den Vektor zwischen zwei beliebigen Punkten der Geraden auf. - Du suchst das Minimum einer Funktion mit zwei Variablen. Das passiert dort, wo beide partiellen Ableitungen Null sind. - Der kürzeste Verbindungsvektor zwischen zwei windschiefen Geraden hat eine ganz besondere geometrische Eigenschaft bezüglich ihrer Richtungen. - Überlege, wie du die Orthogonalität zweier Vektoren einfach mit dem Skalarprodukt prüfen kannst.

1. Allgemeine Punkte: \(P(3+t|t|t)\) und \(Q(u|1-u|2)\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} u-t-3 \\ 1-u-t \\ 2-t \end{pmatrix}\). 2. Das Abstandsquadrat lautet \(f(t, u) = (u-t-3)^2 + (1-u-t)^2 + (2-t)^2 = 3t^2 + 2u^2 - 8u + 14\). 3. Die partiellen Ableitungen werden nullgesetzt: \(f_t = 6t = 0 \Rightarrow t = 0\) und \(f_u = 4u - 8 = 0 \Rightarrow u = 2\). 4. Einsetzen der Parameter \(t=0, u=2\): \(P(3|0|0)\), \(Q(2|-1|2)\). Abstandsquadrat \(d^2 = (2-3)^2 + (-1-0)^2 + (2-0)^2 = 1 + 1 + 4 = 6\). Der Abstand ist \(d = \sqrt{6}\). 5. Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Verbindungsvektor \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Skalarprodukte: \(\vec{PQ} \cdot \vec{v}_g = -1 - 1 + 2 = 0\) und \(\vec{PQ} \cdot \vec{v}_h = -1 + 1 + 0 = 0\). Die Orthogonalität ist bestätigt.

1. \(t = 0\), \(u = 2\) 2. \(d = \sqrt{6}\) 3. \(\vec{PQ} \cdot \vec{v}_g = 0\) und \(\vec{PQ} \cdot \vec{v}_h = 0\); die Orthogonalität ist erfüllt.

- Was zeichnet die Verbindungslinie aus, die den kürzesten Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden darstellt? - Wie kannst du einen beliebigen Punkt auf einer Geraden mithilfe seines Parameters ausdrücken? - Welche Bedingung müssen die Skalarprodukte erfüllen, wenn eine Strecke senkrecht auf zwei Richtungen steht? - Kannst du ein Gleichungssystem für die unbekannten Parameter der Geraden aufstellen?

1. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen einem Punkt \(G\) auf \(g\) und \(H\) auf \(h\) ist \(\vec{GH} = \vec{x}_h - \vec{x}_g = \begin{pmatrix} -1 - t \\ 1 + k \\ 3 + k - t \end{pmatrix}\). 2. Der Vektor \(\vec{GH}\) muss senkrecht auf beiden Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) stehen. I: \(\vec{GH} \cdot \vec{v}_g = 0 \Rightarrow (-1 - t) \cdot 1 + (1 + k) \cdot 0 + (3 + k - t) \cdot 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2t + k = 0\) II: \(\vec{GH} \cdot \vec{v}_h = 0 \Rightarrow (-1 - t) \cdot 0 + (1 + k) \cdot 1 + (3 + k - t) \cdot 1 = 0 \Rightarrow 4 + 2k - t = 0\) 3. Aus II folgt \(t = 4 + 2k\). Einsetzen in I: \(2 - 2(4 + 2k) + k = 0 \Rightarrow 2 - 8 - 4k + k = 0 \Rightarrow -6 - 3k = 0 \Rightarrow k = -2\). 4. Einsetzen von \(k\) in die Gleichung für \(t\): \(t = 4 + 2(-2) = 0\). 5. Berechnung der Punkte: \(L_g = \vec{x}_g(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(L_h = \vec{x}_h(-2) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 + (-2) \\ 3 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Die Lotfußpunkte sind \(L_g(1|1|0)\) und \(L_h(0|0|1)\).

- Wie findest du einen Richtungsvektor aus zwei gegebenen Punkten? - Welche Rechenoperation hilft dir, die Senkrechtstellung zweier Vektoren zu prüfen? - Was musst du beim Gleichsetzen der Geradengleichungen beachten, um auf Windschiefe zu schließen? - Gibt es eine spezielle Formel oder ein Verfahren mit einem Normalenvektor, um den Abstand zu berechnen?

1. Gerade \(h\): Der Richtungsvektor ist \(\vec{v} = \vec{P_2} - \vec{P_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Die Gleichung ist \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) ist \(2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 4 - 2 - 2 = 0\). Sie sind orthogonal. 3. Windschiefe: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Gleichsetzen: \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Aus I: \(2k - 2s = 1\), aus II: \(-2k - s = 2\). Addition ergibt \(-3s = 3 \implies s = -1\), daraus \(k = -0{,}5\). Einsetzen in III: \(5 + (-0{,}5) \cdot 1 = 4{,}5\); rechte Seite: \(2 + (-1) \cdot (-2) = 4\). Da \(4{,}5 \neq 4\), gibt es keinen Schnittpunkt. Die Geraden sind windschief. 4. Abstand: Da die Richtungsvektoren orthogonal sind, ist ihr Kreuzprodukt der Normalenvektor \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Vektor zwischen den Stützpunkten ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Der Abstand ist \(d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|1+4-6|}{3} = \frac{1}{3}\).

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) b) Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren ist \(0\), daher sind sie orthogonal. c) Die Geraden sind nicht parallel und das Gleichungssystem für den Schnittpunkt hat keine Lösung. d) Der Abstand beträgt \(d = \frac{1}{3} \approx 0{,}33\,\text{LE}\).