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- Wie kannst du aus einer Parameterform einen Normalenvektor gewinnen? - Überlege dir, wie die Normalenvektoren von parallelen Ebenen zueinander stehen. - Die Hesse-Normalform ist ein hilfreiches Werkzeug, um Abstände zwischen Ebenen zu berechnen. - Wenn du eine Ebene parallel verschiebst, welcher Teil der Koordinatengleichung ändert sich dann?

1. Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Betrag des Normalenvektors bestimmen: \(|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7\). 3. Koordinatengleichung von \(E\) aufstellen (unter Verwendung des Stützpunktes \((2|1|0)\)): \(6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - (6 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0) = 0\), also \(E: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10 = 0\). 4. Hesse-Normalform von \(E\) nutzen, um parallele Ebenen mit Abstand \(10\) zu finden: \(\frac{|6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10|}{7} = 10\). 5. Gleichung nach der Konstanten auflösen: \(|6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10| = 70\). 6. Fall 1: \(6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10 = 70 \Rightarrow F_1: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 80 = 0\). 7. Fall 2: \(6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10 = -70 \Rightarrow F_2: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + 60 = 0\).

\(F_1: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 80 = 0\) \(F_2: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + 60 = 0\)

- Worauf musst du beim Aufstellen der Hesse-Normalform bezüglich der Vorzeichen achten? - Wie hängen die Abstände eines Punktes auf einer Winkelhalbierenden zu den ursprünglichen Ebenen zusammen? - Woran erkennt man mathematisch, dass zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen? - Was passiert, wenn man zwei Gleichungen in HNF addiert oder subtrahiert?

1. Berechnung der Normalenvektorbeträge: \(|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3\) und \(|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3\). 2. Aufstellen der HNF (mit negativem oder verschwindendem Konstantglied): \(E_1: \frac{2}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3 - 2 = 0\) \(E_2: -\frac{1}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{2}{3}x_3 - 1 = 0\) 3. Bildung der winkelhalbierenden Ebenen: \(W_1 (\text{Summe}): \frac{1}{3}x_1 + \frac{4}{3}x_2 - x_3 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 + 4x_2 - 3x_3 - 9 = 0\) \(W_2 (\text{Differenz}): x_1 + \frac{1}{3}x_3 - 1 = 0 \Rightarrow 3x_1 + x_3 - 3 = 0\) 4. Nachweis der Orthogonalität über das Skalarprodukt der Normalenvektoren: \(\vec{n}_{W1} \cdot \vec{n}_{W2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 0\). 5. Punktprobe für \(P(0|0|3)\) in \(W_2\): \(3(0) + 3 - 3 = 0\). Der Punkt liegt in \(W_2\). 6. Abstände von \(P\) zu \(E_1\) und \(E_2\) mit der HNF: \(d(P, E_1) = |\frac{2(0) + 2(0) - 3 - 6}{3}| = |-3| = 3\) \(d(P, E_2) = |\frac{1(0) - 2(0) + 2(3) + 3}{3}| = |3| = 3\) 7. Ergebnis: Die Abstände sind gleich groß, was die Eigenschaft einer winkelhalbierenden Ebene bestätigt.

a) \(E_1: \frac{2}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3 - 2 = 0\); \(E_2: -\frac{1}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{2}{3}x_3 - 1 = 0\) b) \(W_1: x_1 + 4x_2 - 3x_3 - 9 = 0\); \(W_2: 3x_1 + x_3 - 3 = 0\) c) Das Skalarprodukt der Normalenvektoren \((1, 4, -3)\) und \((3, 0, 1)\) ist \(0\). d) \(d(P, E_1) = 3\) und \(d(P, E_2) = 3\). Die Abstände sind identisch.

- Überlege dir zuerst, wie man die Länge eines Vektors berechnet. - Wie verändert sich die Koordinatengleichung, wenn du sie in die Hesse-Normalform bringst? - Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Denk daran, dass Betragsgleichungen oft zwei Lösungen haben können.

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und seiner Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3\). 2. Aufstellen der HNF: Durch Division der Koordinatengleichung durch den Betrag des Normalenvektors erhält man \(\frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = 0\). 3. Berechnung des Abstands von \(P(1|1|15)\): Einsetzen der Koordinaten in die HNF ergibt \(d(P, E) = \left| \frac{2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 15 - 9}{3} \right| = \left| \frac{6}{3} \right| = 2\). 4. Bestimmung der Punkte auf der \(x_1\)-Achse: Ein Punkt auf der \(x_1\)-Achse hat die Form \(B(x|0|0)\). Einsetzen in die Abstandsformel: \(\left| \frac{2x - 2 \cdot 0 + 0 - 9}{3} \right| = 5\). 5. Lösen der Gleichung \(|2x - 9| = 15\): Fall 1: \(2x - 9 = 15 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12\). Fall 2: \(2x - 9 = -15 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\). Die Punkte sind \(B_1(12|0|0)\) und \(B_2(-3|0|0)\).

a) \(E: \frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = 0\) b) Der Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten. c) Die Punkte sind \(B_1(12|0|0)\) und \(B_2(-3|0|0)\).

- Welche Eigenschaft teilen parallele Ebenen hinsichtlich ihres Normalenvektors? - Wie kannst du den Abstand eines Punktes oder einer ganzen Ebene mithilfe der Hesse-Normalform berechnen? - Bedenke, dass es in zwei entgegengesetzte Richtungen Ebenen mit dem gleichen Abstand geben kann. - Wie wirkt sich eine Verschiebung entlang des Normalenvektors auf das Absolutglied in der Koordinatengleichung aus?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dessen Betrags \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3\). 2. Aufstellen der Hesse-Normalform der Ebene \(E\): \(\frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = 0\). 3. Ansatz für Ebenen im Abstand \(d = 6\): \(\frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = \pm 6\). 4. Umformen der Gleichungen durch Multiplikation mit \(3\) und Isolation des konstanten Glieds: \(2x_1 - 2x_2 + x_3 = 9 \pm 18\). 5. Berechnung der Ergebnisse: \(E_1: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 27\) und \(E_2: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -9\).

Die gesuchten Ebenen sind \(E_1: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 27\) und \(E_2: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -9\).

- Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen mithilfe ihrer Normalenvektoren? - Denk an die Normierung der Ebenengleichungen, bevor du sie kombinierst. - Wie findet man die Schnittgerade zweier Ebenen? - Was muss für einen Punkt und den Richtungsvektor einer Geraden gelten, damit die Gerade in einer Ebene liegt?

1. Schnittwinkelberechnung: Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = (4, -4, 2)\) und \(\vec{n}_2 = (4, 7, 4)\) mit Beträgen \(|\vec{n}_1| = 6\) und \(|\vec{n}_2| = 9\). \(\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|16 - 28 + 8|}{6 \cdot 9} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}\). Daraus folgt \(\alpha \approx 85{,}75^\circ\). 2. Aufstellen der HNF: \(E_1: \frac{2}{3}x_1 - \frac{2}{3}x_2 + \frac{1}{3}x_3 - 2 = 0\) \(E_2: \frac{4}{9}x_1 + \frac{7}{9}x_2 + \frac{4}{9}x_3 - 1 = 0\) 3. Winkelhalbierende Ebenen durch Addition und Subtraktion: \(W_1 (\text{Summe}): \frac{10}{9}x_1 + \frac{1}{9}x_2 + \frac{7}{9}x_3 - 3 = 0 \Rightarrow 10x_1 + x_2 + 7x_3 - 27 = 0\) \(W_2 (\text{Differenz}): \frac{2}{9}x_1 - \frac{13}{9}x_2 - \frac{1}{9}x_3 - 1 = 0 \Rightarrow 2x_1 - 13x_2 - x_3 - 9 = 0\) 4. Schnittgerade \(g\): Lösen des Systems \(E_1=0\) und \(E_2=0\). Ein Punkt ist \(P(0|-1|4)\). Der Richtungsvektor ist \(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (-30, -8, 44)\), gekürzt \(\vec{u} = (15, 4, -22)\). Somit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 4 \\ -22 \end{pmatrix}\). 5. Nachweis für \(g\) in \(W_1\): Punktprobe für \(P\) in \(W_1\): \(10(0) + (-1) + 7(4) - 27 = -1 + 28 - 27 = 0\). Skalarprodukt Richtungsvektor und Normalenvektor von \(W_1\): \(\begin{pmatrix} 15 \\ 4 \\ -22 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} = 150 + 4 - 154 = 0\). Die Gerade liegt in der Ebene.

a) \(\alpha \approx 85{,}75^\circ\) b) \(W_1: 10x_1 + x_2 + 7x_3 - 27 = 0\); \(W_2: 2x_1 - 13x_2 - x_3 - 9 = 0\) c) Schnittgerade z. B. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 4 \\ -22 \end{pmatrix}\). Die Punktprobe ergibt \(0=0\) und das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor ist \(0\).

- Was muss für die Normalenvektoren zweier Ebenen gelten, wenn diese parallel zueinander sind? - Wie kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen, wenn die HNF bekannt ist? - Wenn zwei Ebenen parallel sind, haben alle Punkte der einen Ebene denselben Abstand zur anderen Ebene. - Wie hängen die Konstanten in der HNF mit dem Abstand zum Ursprung zusammen?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}\) und seiner Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12\). 2. HNF von \(E\): \(\frac{4x_1 + 8x_2 - 8x_3 - 15}{12} = 0\). 3. Abstand des Ursprungs \(O(0|0|0)\): Einsetzen in die HNF ergibt \(d(O, E) = \left| \frac{-15}{12} \right| = 1{,}25\). 4. Abstand paralleler Ebenen: Die HNF von \(F\) lautet \(\frac{4x_1 + 8x_2 - 8x_3 - k}{12} = 0\). Der Abstand zwischen den parallelen Ebenen entspricht der Differenz der konstanten Glieder in der HNF: \(\left| \frac{-15}{12} - \left( \frac{-k}{12} \right) \right| = 3\). 5. Lösen der Gleichung \(\left| \frac{k - 15}{12} \right| = 3 \Rightarrow |k - 15| = 36\): Fall 1: \(k - 15 = 36 \Rightarrow k = 51\). Fall 2: \(k - 15 = -36 \Rightarrow k = -21\).

a) \(E: \frac{4x_1 + 8x_2 - 8x_3 - 15}{12} = 0\) b) Der Abstand beträgt \(1{,}25\) Längeneinheiten. c) Die möglichen Werte für \(k\) sind \(51\) und \(-21\).

- Wenn eine Ebene genau in der Mitte zwischen zwei parallelen Ebenen liegt, wie verhält sich ihr Abstand zu diesen beiden? - Wie hängen die Koeffizienten von \(x_1, x_2, x_3\) bei parallelen Ebenen zusammen? - Nutze die Länge des Normalenvektors, um die Verschiebung der Ebene in eine Gleichung zu übersetzen. - Überlege dir zuerst, welchen Abstand die Ebenen \(H_1\) und \(H_2\) einzeln von der Ebene \(E\) haben müssen.

1. Normalenvektor der Ebene \(E\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 8^2} = 12\). 2. Da \(E\) die Mittelebene zwischen \(H_1\) und \(H_2\) ist, beträgt der Abstand von \(E\) zu den gesuchten Ebenen jeweils die Hälfte des Gesamtabstands: \(d = \frac{10}{2} = 5\). 3. Verwendung der Hesse-Normalform für den Abstand \(5\): \(\frac{8x_1 - 4x_2 + 8x_3 - 27}{12} = \pm 5\). 4. Auflösen der Gleichung durch Multiplikation mit dem Betrag des Normalenvektors: \(8x_1 - 4x_2 + 8x_3 - 27 = \pm 60\). 5. Resultierende Koordinatengleichungen: \(H_1: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = 87\) und \(H_2: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = -33\).

Die Gleichungen der Ebenen lauten \(H_1: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = 87\) und \(H_2: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = -33\).