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- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Oberfläche und dem Radius? - In welcher Form stehen die Koordinaten des Mittelpunkts in der Kugelgleichung?

1. Berechnung des Radius \(r\) als Abstand zwischen \(M\) und \(P\): \(r = \sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2 + (4-4)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Aufstellen der Vektorform: \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\| = 5\) oder \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\|^2 = 25\). 3. Aufstellen der Koordinatenform durch Einsetzen von \(M\) und \(r^2\): \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 4)^2 = 25\).

Vektorform: \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\| = 5\) (alternativ \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\|^2 = 25\)) Koordinatenform: \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 4)^2 = 25\)

- Welche Informationen über den Mittelpunkt und den Radius kannst du direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Was sagt der Vergleich zwischen dem Abstand eines Punktes zum Mittelpunkt und dem Radius über die Lage des Punktes aus? - Musst du für den Vergleich unbedingt die Wurzel ziehen oder reicht der Vergleich der Quadrate?

1. Aus der Kugelgleichung werden der Mittelpunkt \(M(1|-4|2)\) und der Radius \(r = \sqrt{49} = 7\) abgelesen. 2. Für Punkt \(A(1|2|-1)\) wird der quadrierte Abstand zum Mittelpunkt berechnet: \((1-1)^2 + (2-(-4))^2 + (-1-2)^2 = 0^2 + 6^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45\). Da \(45 < 49\), liegt \(A\) innerhalb der Kugel. 3. Für Punkt \(B(7|-6|5)\) gilt: \((7-1)^2 + (-6-(-4))^2 + (5-2)^2 = 6^2 + (-2)^2 + 3^2 = 36 + 4 + 9 = 49\). Da \(49 = 49\), liegt \(B\) auf der Kugel. 4. Für Punkt \(C(-3|0|8)\) gilt: \((-3-1)^2 + (0-(-4))^2 + (8-2)^2 = (-4)^2 + 4^2 + 6^2 = 16 + 16 + 36 = 68\). Da \(68 > 49\), liegt \(C\) außerhalb der Kugel.

Der Punkt \(A\) liegt innerhalb der Kugel. Der Punkt \(B\) liegt auf der Kugel. Der Punkt \(C\) liegt außerhalb der Kugel.

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Radius einer Kugel und dem Abstand ihres Mittelpunkts zu einer Tangentialebene? - Wenn eine Kugel eine Ebene in einem Punkt berührt, wo muss dann ihr Mittelpunkt relativ zu diesem Punkt liegen? - Überlege dir, wie viele Kugeln es geben kann, die eine Ebene an einer festen Stelle berühren. - Wie lautet die allgemeine Form der Kugelgleichung?

1. Da die Kugel die \(xy\)-Ebene (\(z=0\)) berührt, muss ihr Mittelpunkt \(M\) den Abstand \(r=3\) von dieser Ebene haben. Die \(z\)-Koordinate des Mittelpunkts ist somit \(z_M = 3\) oder \(z_M = -3\). 2. Der Berührpunkt \(B(2|1|0)\) ist der Fußpunkt des Lotes vom Mittelpunkt auf die \(xy\)-Ebene. Daher stimmen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten von \(M\) mit denen von \(B\) überein: \(x_M = 2\) und \(y_M = 1\). 3. Es ergeben sich zwei mögliche Mittelpunkte: \(M_1(2|1|3)\) und \(M_2(2|1|-3)\). 4. Unter Verwendung der Kugelgleichung \((x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 + (z-z_M)^2 = r^2\) ergeben sich die Gleichungen: \(K_1: (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 9\) \(K_2: (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 9\)

\(K_1: (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 9\) \(K_2: (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 9\)

- Wie hängen der Mittelpunkt einer Kugel und die Endpunkte eines Durchmessers zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke im Raum. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Was muss gelten, damit ein Punkt genau auf der Oberfläche einer Kugel liegt?

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M\) als Mittelpunkt der Strecke \(AB\): \(\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1+7 \\ 1+9 \\ 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Radiusquadrats \(r^2\) über den Abstand \(AM\): \(r^2 = \|\vec{AM}\|^2 = (4-1)^2 + (5-1)^2 + (1-1)^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25\). 3. Aufstellen der Kugelgleichungen: Vektorform \(K: \left\|\vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\right\|^2 = 25\); Koordinatenform \(K: (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 5)^2 + (x_3 - 1)^2 = 25\). 4. Punktprobe mit \(P(8 | 2 | 1)\): Einsetzen in die Koordinatenform ergibt \((8 - 4)^2 + (2 - 5)^2 + (1 - 1)^2 = 4^2 + (-3)^2 + 0^2 = 16 + 9 = 25\). Da die Gleichung erfüllt ist (\(25 = 25\)), liegt der Punkt \(P\) auf der Kugeloberfläche.

a) Vektorform: \(K: \left\|\vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\right\|^2 = 25\); Koordinatenform: \((x_1 - 4)^2 + (x_2 - 5)^2 + (x_3 - 1)^2 = 25\) b) Ja, der Punkt \(P\) liegt auf der Kugeloberfläche, da der Abstand zum Mittelpunkt exakt dem Radius \(r = 5\) entspricht.

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum mithilfe ihrer Koordinaten? - Welche geometrische Form bilden alle Punkte, die von einem festen Punkt denselben Abstand haben? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt eine bestimmte Gleichung erfüllen soll? - Wenn zwei Koordinaten eines Punktes bereits vorgegeben sind, wie kannst du die dritte Koordinate mithilfe der Kugelgleichung finden?

a) Aufstellen der Gleichung für die Punktmenge (Kugelgleichung) mit Mittelpunkt \(A(2|-3|5)\) und Radius \(r = 7\): \((x_1 - 2)^2 + (x_2 + 3)^2 + (x_3 - 5)^2 = 7^2 = 49\). b) Überprüfung von \(P(2|4|5)\): Einsetzen ergibt \((2-2)^2 + (4+3)^2 + (5-5)^2 = 0^2 + 7^2 + 0^2 = 49\). Da \(49 = 49\), liegt \(P\) auf der Punktmenge. Überprüfung von \(Q(6|0|5)\): Einsetzen ergibt \((6-2)^2 + (0+3)^2 + (5-5)^2 = 4^2 + 3^2 + 0^2 = 16 + 9 = 25\). Da \(25 \neq 49\), liegt \(Q\) nicht auf der Punktmenge. c) Bestimmung der Punkte mit \(x_1 = 2\) und \(x_3 = 5\): Einsetzen in die Gleichung liefert \((2-2)^2 + (x_2 + 3)^2 + (5-5)^2 = 49\), woraus \((x_2 + 3)^2 = 49\) folgt. Es gilt \(x_2 + 3 = 7 \implies x_2 = 4\) oder \(x_2 + 3 = -7 \implies x_2 = -10\). Die gesuchten Punkte sind \(S_1(2|4|5)\) und \(S_2(2|-10|5)\).

a) \((x_1 - 2)^2 + (x_2 + 3)^2 + (x_3 - 5)^2 = 49\) b) \(P\) erfüllt die Bedingung (\(49 = 49\)), \(Q\) erfüllt die Bedingung nicht (\(25 \neq 49\)). c) Die Punkte sind \(S_1(2|4|5)\) und \(S_2(2|-10|5)\).

- Wie kann man eine allgemeine quadratische Form in die Scheitelpunktform bzw. Mittelpunktsform überführen? - Erinnere dich an das Verfahren der quadratischen Ergänzung. - Was sagt das Ergebnis aus, wenn man die Koordinaten eines Punktes in die Kugelgleichung einsetzt und der Wert größer als \(r^2\) ist?

1. Umformung der Gleichung mittels quadratischer Ergänzung: \(x_1^2 + 6x_1 + 9 - 9 + x_2^2 - 4x_2 + 4 - 4 + x_3^2 = 12\) \((x_1 + 3)^2 + (x_2 - 2)^2 + x_3^2 = 12 + 9 + 4 = 25\). 2. Ablesen von Mittelpunkt und Radius: \(M(-3| 2| 0)\) und \(r = \sqrt{25} = 5\). 3. Punktprobe mit \(A(1| 0| 4)\): Einsetzen in die linke Seite der Gleichung: \((1 + 3)^2 + (0 - 2)^2 + 4^2 = 4^2 + (-2)^2 + 4^2 = 16 + 4 + 16 = 36\). 4. Vergleich mit \(r^2 = 25\): Da \(36 > 25\), liegt der Punkt \(A\) außerhalb der Kugel.

a) Mittelpunkt \(M(-3| 2| 0)\), Radius \(r = 5\) b) Der Punkt \(A\) liegt außerhalb der Kugel, da der quadrierte Abstand zum Mittelpunkt \(36\) beträgt und somit größer als \(r^2 = 25\) ist.

- Wie kannst du eine Gleichung in allgemeiner Form so umformen, dass du den Mittelpunkt direkt siehst? - Erinnere dich an das Verfahren der quadratischen Ergänzung. - Überlege dir eine Skizze: Wenn ein Punkt außerhalb liegt, wie setzt sich sein Abstand zum Mittelpunkt aus dem Radius und dem Abstand zur Oberfläche zusammen?

1. Umwandlung der allgemeinen Form in die Normalform durch quadratische Ergänzung: \((x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + (z^2 + 2z + 1) - 1 - 11 = 0 \implies (x+3)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 25\). 2. Bestimmung der Kenngrößen: Mittelpunkt \(M(-3|2|-1)\) und Radius \(r = \sqrt{25} = 5\). 3. Berechnung des Abstands \(d(P, M) = \sqrt{(9 - (-3))^2 + (7 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{12^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\). 4. Lageprüfung: Da \(d(P, M) = 13 > 5 = r\), liegt der Punkt \(P\) außerhalb der Kugel. 5. Der kürzeste Abstand zur Kugeloberfläche ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Abstand zum Mittelpunkt und dem Radius: \(13 - 5 = 8\).

a) Mittelpunkt \(M(-3|2|-1)\), Radius \(r = 5\). b) Der Abstand zwischen \(P\) und \(M\) beträgt \(13\). c) Der Punkt \(P\) liegt außerhalb der Kugel; der kürzeste Abstand zur Oberfläche beträgt \(8\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Mittelpunkt und den Endpunkten eines Durchmessers? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Wann genau liegt ein Punkt auf einer Kugeloberfläche? - Erinnere dich an einen bekannten Satz der Geometrie über Dreiecke am Kreisrand, deren eine Seite der Durchmesser ist.

1. Zur Bestimmung von \(Q\) wird die Mittelpunktsformel \(\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{P} + \vec{Q})\) nach \(\vec{Q}\) umgestellt: \(\vec{Q} = 2\vec{M} - \vec{P}\). Mit den gegebenen Koordinaten ergibt sich \(\vec{Q} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ 6+1 \\ -2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(Q(-1|7|-1)\). 2. Der Radius \(r\) der Kugel berechnet sich über den Abstand \(|\vec{MP}|\): \(r^2 = (5-2)^2 + (-1-3)^2 + (-1+1)^2 = 3^2 + (-4)^2 + 0^2 = 25\), also \(r=5\). Für den Punkt \(R\) wird der Abstand \(|\vec{MR}|\) geprüft: \((2-2)^2 + (6-3)^2 + (3-(-1))^2 = 0^2 + 3^2 + 4^2 = 25\). Da der Abstand zum Mittelpunkt dem Radius entspricht, liegt \(R\) auf der Kugel. 3. Da \(\overline{PQ}\) ein Durchmesser der Kugel ist und der Punkt \(R\) auf der Kugeloberfläche liegt, ist das Dreieck \(PQR\) nach dem Satz des Thales (im Raum) rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(R\).

a) \(Q(-1|7|-1)\) b) Der Abstand \(|\vec{MR}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = 5\) entspricht dem Radius \(r = |\vec{MP}| = 5\). c) Das Dreieck \(PQR\) ist rechtwinklig bei \(R\) (Satz des Thales).

- Wie liest man die Kenngrößen einer Kugel aus ihrer Koordinatengleichung ab? - Wenn \(M\) genau in der Mitte zwischen \(A\) und \(B\) liegt, wie kannst du dann \(B\) berechnen? - Was bedeutet es für das Skalarprodukt zweier Vektoren, wenn diese einen rechten Winkel einschließen? - Welche geometrische Figur entsteht, wenn man zwei Endpunkte eines Durchmessers mit einem weiteren Punkt auf der Oberfläche verbindet?

1. Aus der Kugelgleichung in Normalform \((x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2\) lassen sich der Mittelpunkt \(M(4|-1|2)\) und der Radius \(r = \sqrt{81} = 9\) direkt ablesen. 2. Da \(\overline{AB}\) ein Durchmesser ist, ist \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\). Es gilt \(\vec{B} = \vec{M} + \vec{AM} = 2\vec{M} - \vec{A}\). Einsetzen ergibt \(\vec{B} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(4|-10|2)\). 3. Nach dem Satz des Thales bilden ein Durchmesser \(\overline{AB}\) und ein weiterer Punkt \(C\) auf der Kugeloberfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel am Punkt \(C\). Da die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) somit orthogonal zueinander stehen, muss ihr Skalarprodukt null sein.

a) \(M(4|-1|2)\), \(r = 9\) b) \(B(4|-10|2)\) c) Da \(\overline{AB}\) ein Durchmesser ist und \(C\) auf der Kugel liegt, ist das Dreieck \(ABC\) nach dem Satz des Thales rechtwinklig bei \(C\). Die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) sind orthogonal, weshalb ihr Skalarprodukt \(0\) ist.

- Was wissen wir über die Koordinaten des Mittelpunkts, wenn die Kugel eine Koordinatenebene berührt? - Wenn eine Kugel zwei Koordinatenebenen berührt, welche Bedingungen müssen dann für zwei der drei Koordinaten des Mittelpunkts gelten? - Nutze die Information über die Lage des Mittelpunkts in der Ebene \(z=10\), um die dritte Koordinate festzulegen. - Wie viele Vorzeichenkombinationen sind für die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Mittelpunkts möglich?

1. Die Berührung der \(xz\)-Ebene (\(y=0\)) impliziert, dass der Abstand des Mittelpunkts \(M(x_M|y_M|z_M)\) zur Ebene gleich dem Radius ist: \(|y_M| = 5\). 2. Die Berührung der \(yz\)-Ebene (\(x=0\)) impliziert analog: \(|x_M| = 5\). 3. Da der Mittelpunkt in der Ebene \(z = 10\) liegt, gilt \(z_M = 10\). 4. Aus \(|x_M| = 5\) und \(|y_M| = 5\) ergeben sich vier mögliche Kombinationen für den Mittelpunkt: \(M_1(5|5|10)\), \(M_2(5|-5|10)\), \(M_3(-5|5|10)\) und \(M_4(-5|-5|10)\). 5. Mit \(r^2 = 25\) lauten die Kugelgleichungen: \((x-5)^2 + (y-5)^2 + (z-10)^2 = 25\) \((x-5)^2 + (y+5)^2 + (z-10)^2 = 25\) \((x+5)^2 + (y-5)^2 + (z-10)^2 = 25\) \((x+5)^2 + (y+5)^2 + (z-10)^2 = 25\)

\((x-5)^2 + (y-5)^2 + (z-10)^2 = 25\) \((x-5)^2 + (y+5)^2 + (z-10)^2 = 25\) \((x+5)^2 + (y-5)^2 + (z-10)^2 = 25\) \((x+5)^2 + (y+5)^2 + (z-10)^2 = 25\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Beziehung muss zwischen dem Abstand eines Punktes zum Mittelpunkt und dem Radius der Kugel gelten, damit der Punkt auf der Kugeloberfläche liegt? - Überlege dir, wie sich diese Bedingung für das Innere und das Äußere der Kugel ändert. - Es ist oft einfacher, mit den Quadraten der Abstände zu rechnen, um Wurzeln zu vermeiden.

1. Aufstellen des Abstandsquadrats zwischen \(M\) und \(P\): \(d^2 = (4-1)^2 + (1-1)^2 + (c-1)^2 = 9 + (c-1)^2\). 2. Bedingung für „auf der Kugeloberfläche“ (\(d^2 = r^2\)): \(9 + (c-1)^2 = 25 \Rightarrow (c-1)^2 = 16\). 3. Lösen der Gleichung: \(c-1 = 4\) oder \(c-1 = -4\), woraus \(c = 5\) oder \(c = -3\) folgt. 4. Bedingung für „innerhalb“ (\(d^2 < 25\)): \((c-1)^2 < 16 \Rightarrow -4 < c-1 < 4 \Rightarrow -3 < c < 5\). 5. Bedingung für „außerhalb“ (\(d^2 > 25\)): \((c-1)^2 > 16 \Rightarrow c-1 > 4\) oder \(c-1 < -4 \Rightarrow c > 5\) oder \(c < -3\).

Innerhalb: \(-3 < c < 5\) Auf der Kugeloberfläche: \(c = -3\) oder \(c = 5\) Außerhalb: \(c < -3\) oder \(c > 5\)

- Welchen Abstand hat der Mittelpunkt einer Kugel zu einer Koordinatenebene, wenn er diese berührt? - Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\)? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf der Oberfläche einer Kugel liegt? - Beachte die Bedingung, dass alle Koordinaten des Mittelpunktes positiv sein müssen.

1. Da die Kugel die \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)) und die \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)) berührt und alle Koordinaten des Mittelpunktes positiv sind, entsprechen die Koordinaten \(m_1\) und \(m_3\) dem Radius: \(m_1 = 9\) und \(m_3 = 9\). 2. Aufstellen der Kugelgleichung mit dem unbekannten \(m_2\): \((x_1 - 9)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - 9)^2 = 9^2\). 3. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(5 | 1 | 5)\) in die Gleichung: \((5 - 9)^2 + (1 - m_2)^2 + (5 - 9)^2 = 81\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \((-4)^2 + (1 - m_2)^2 + (-4)^2 = 81 \implies 16 + (1 - m_2)^2 + 16 = 81 \implies (1 - m_2)^2 = 49\). 5. Lösen nach \(m_2\): \(1 - m_2 = 7 \implies m_2 = -6\) (nicht im positiven Bereich) oder \(1 - m_2 = -7 \implies m_2 = 8\). 6. Der Mittelpunkt ist somit \(M(9 | 8 | 9)\).

\(M(9 | 8 | 9)\)

- Welche Informationen kannst du direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Wie kannst du eine Gerade beschreiben, die durch zwei bekannte Punkte verläuft? - Wenn eine Gerade eine Kugel schneidet, welche Bedingung müssen die Punkte der Geraden erfüllen? - Überlege dir, wie lang der Vektor vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kugeloberfläche sein muss.

1. Ablesen von Mittelpunkt und Radius aus der Kugelgleichung: \(M(5 | -2 | 1)\) und \(r = \sqrt{49} = 7\). 2. Aufstellen der Geradengleichung für \(g\): Stützvektor \(\vec{m}\), Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{MQ} = \begin{pmatrix} 7-5 \\ 1-(-2) \\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Die Gerade lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung der Schnittpunkte durch Einsetzen der Geraden in die Kugelgleichung: \((2t)^2 + (3t)^2 + (6t)^2 = 49 \implies 4t^2 + 9t^2 + 36t^2 = 49 \implies 49t^2 = 49 \implies t = \pm 1\). 4. Berechnung der Punkte: Für \(t = 1\) ergibt sich \(S_1(7 | 1 | 7)\). Für \(t = -1\) ergibt sich \(S_2(3 | -5 | -5)\).

Die Schnittpunkte der Geraden mit der Kugel sind \(S_1(7 | 1 | 7)\) und \(S_2(3 | -5 | -5)\).

- Überlege dir zuerst, wo der Mittelpunkt der gegebenen Kugel liegt und wie groß ihr Radius ist. - Wenn sich zwei Kugeln in einem Punkt berühren, müssen ihre Mittelpunkte und dieser Berührpunkt auf einer gemeinsamen Geraden liegen. - Wie weit muss der neue Mittelpunkt vom Berührpunkt entfernt sein? - In welche Richtung musst du vom Berührpunkt aus gehen, um die Kugel „von außen“ anzufügen?

1. Bestimmung des Mittelpunkts \(M_K(1|2|3)\) und des Radius \(r_K = 5\) der Kugel \(K\). 2. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{M_K B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Die Länge dieses Vektors entspricht dem Radius \(r_K = 5\). 3. Da die gesuchte Kugel \(S\) die Kugel \(K\) von außen berührt, muss ihr Mittelpunkt \(M_S\) auf der Geraden durch \(M_K\) und \(B\) liegen, wobei \(B\) zwischen den beiden Mittelpunkten liegt. Der Abstand von \(B\) zu \(M_S\) muss dem Radius \(r_S = 10\) entsprechen. 4. Da \(|\vec{M_K B}| = 5\) ist, erhält man den Mittelpunkt durch \(\vec{M_S} = \vec{B} + \frac{10}{5} \cdot \vec{M_K B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 14 \\ 12 \end{pmatrix}\). 5. Aufstellen der Kugelgleichung mit \(M_S(1|14|12)\) und \(r_S^2 = 100\).

\(S: (x-1)^2 + (y-14)^2 + (z-12)^2 = 100\)

- Bestimme zunächst den Mittelpunkt und den Radius der Kugel \(K\). - Prüfe kurz nach, ob der Punkt \(P\) tatsächlich auf der Kugel \(K\) liegt. - Es gibt zwei Möglichkeiten für die Lage der neuen Kugel: Sie kann die Kugel \(K\) von innen oder von außen berühren. - Nutze Vektoren, um vom Berührpunkt aus in die richtige Richtung zum neuen Mittelpunkt zu gelangen.

1. Aus der Gleichung von \(K\) folgen \(M_K(1|-2|2)\) und \(r_K = \sqrt{144} = 12\). 2. Berechnung des Vektors vom Mittelpunkt zum Berührpunkt: \(\vec{M_K P} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 6-(-2) \\ -6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}\). Die Länge ist \(|\vec{M_K P}| = \sqrt{16+64+64} = 12\). 3. Die Mittelpunkte \(M_1, M_2\) der gesuchten Kugeln liegen auf der Geraden durch \(M_K\) und \(P\) im Abstand \(r_S = 6\) von \(P\). 4. Da \(\vec{M_K P}\) die Länge 12 hat, ist ein Vektor der Länge 6 in dieser Richtung genau \(\frac{6}{12} \cdot \vec{M_K P} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 5. Berechnung der Mittelpunkte: \(\vec{M_1} = \vec{P} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ -10 \end{pmatrix}\) (Berührung von außen) und \(\vec{M_2} = \vec{P} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) (Berührung von innen). 6. Die Kugelgleichungen lauten \(S_1: (x-7)^2 + (y-10)^2 + (z+10)^2 = 36\) und \(S_2: (x-3)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 36\).

\(S_1: (x-7)^2 + (y-10)^2 + (z+10)^2 = 36\) und \(S_2: (x-3)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 36\)

- Überlege dir, wie sich die Koordinaten der Punkte in der Deckfläche von denen in der Grundfläche unterscheiden, wenn das Prisma gerade nach oben verläuft. - Wo muss der Mittelpunkt einer Kugel liegen, damit alle Eckpunkte eines solchen Körpers den gleichen Abstand zu ihm haben? Nutze Symmetrien aus. - Erinnere dich an den Satz des Thales für den Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks.

1. Bestimmung der Koordinaten der Deckfläche: Da das Prisma gerade ist und die Höhe \(6\) beträgt, werden die \(z\)-Koordinaten der Grundpunkte um \(6\) erhöht: \(D(4|0|6)\), \(E(0|4|6)\), \(F(0|0|6)\). 2. Bestimmung des Kugelmittelpunkts \(M\): Aus Symmetriegründen muss der Mittelpunkt der Umkugel in der Mitte zwischen Grund- und Deckfläche liegen, also \(z_M = 3\). In der \(xy\)-Ebene muss \(M\) der Umkreismittelpunkt des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) sein. Dieser liegt im Mittelpunkt der Hypotenuse \(AB\): \(M_{xy} = \left(\frac{4+0}{2} \middle| \frac{0+4}{2}\right) = (2|2)\). Somit ist \(M(2|2|3)\). 3. Berechnung des Radiusquadrats \(r^2\): Abstand von \(M\) zu einem Eckpunkt, z. B. \(C(0|0|0)\): \(r^2 = (2-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2 = 4 + 4 + 9 = 17\). 4. Kugelgleichung: \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 17\).

a) \(D(4|0|6)\), \(E(0|4|6)\), \(F(0|0|6)\) b) \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 17\)

- Welche Information liefert der Durchmesser der Kugel für den Radius? - Wie hängen die maximale Höhe der Kugel und die Position des Mittelpunkts auf der vertikalen Achse zusammen? - Welche Koordinate hat jeder Punkt, der genau auf der Erdoberfläche liegt? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises, wenn man seinen Radius kennt?

1. Bestimmung des Kugelradius: Da der Durchmesser \(20\,\text{m}\) beträgt, ist der Radius \(R = 10\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Mittelpunkts \(M(0|0|z_M)\): Die maximale Höhe über dem Boden ist \(16\,\text{m}\), also liegt der höchste Punkt bei \((0|0|16)\). Da dieser Punkt den Abstand \(R\) zum Mittelpunkt hat, gilt \(z_M + 10 = 16\), woraus \(z_M = 6\) folgt. Der Mittelpunkt ist \(M(0|0|6)\). 3. Aufstellen der Kugelgleichung: Mit \(M(0|0|6)\) und \(R = 10\) ergibt sich \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 - 6)^2 = 100\). 4. Berechnung des Bodenradius \(r\): An der Erdoberfläche ist \(x_3 = 0\). Einsetzen in die Gleichung liefert \(x_1^2 + x_2^2 + (0 - 6)^2 = 100\), also \(x_1^2 + x_2^2 = 100 - 36 = 64\). Der Radius des Schnittkreises ist somit \(r = \sqrt{64} = 8\,\text{m}\). 5. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi \approx 50{,}27\,\text{m}\).

a) Eine mögliche Kugelgleichung ist \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 - 6)^2 = 100\). b) Der Umfang des Kreises beträgt \(16\pi\,\text{m} \approx 50{,}27\,\text{m}\).

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass sie der Form \((x_1-m_1)^2 + (x_2-m_2)^2 + (x_3-m_3)^2 = r^2\) entspricht? - Welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, gemischte Terme wie \(x_1^2 - 8x_1\) in ein Binom zu verwandeln? - Was muss auf der rechten Seite der Gleichung stehen, damit der Radius genau 7 beträgt? - Wie hängen die Vorzeichen in den Klammern mit den Koordinaten des Mittelpunkts zusammen?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung für alle drei Koordinaten: \((x_1 - 4)^2 - 16 + (x_2 + 5)^2 - 25 + (x_3 + 2)^2 - 4 + c = 0\). 2. Umformung der Gleichung in die Mittelpunktsform: \((x_1 - 4)^2 + (x_2 + 5)^2 + (x_3 + 2)^2 = 45 - c\). 3. Bestimmung des Mittelpunkts aus den Binomen: \(M(4 \mid -5 \mid -2)\). 4. Gleichsetzen des Terms für das Radiusquadrat mit dem Quadrat des gegebenen Radius \(r = 7\): \(45 - c = 7^2 = 49\). 5. Auflösen nach \(c\): \(c = 45 - 49 = -4\).

\(c = -4\); Mittelpunkt \(M(4 \mid -5 \mid -2)\)

- Was ist der erste Schritt, wenn alle quadratischen Terme denselben Vorfaktor ungleich 1 haben? - Nutze die quadratische Ergänzung, um die Gleichung in die Standardform einer Kugel zu bringen. - Welche Bedingung muss für den Wert auf der rechten Seite der Gleichung erfüllt sein, damit eine Kugel existiert? - Kann die Summe von Quadratzahlen jemals eine negative Zahl ergeben?

1. Division der gesamten Gleichung durch den gemeinsamen Faktor 3: \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1 - 6x_2 + 8x_3 + 31 = 0\). 2. Anwendung der quadratischen Ergänzung auf die Variablen: \((x_1 + 2)^2 - 4 + (x_2 - 3)^2 - 9 + (x_3 + 4)^2 - 16 + 31 = 0\). 3. Zusammenfassen der Konstanten und Umstellen: \((x_1 + 2)^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 + 4)^2 = 4 + 9 + 16 - 31 = -2\). 4. Analyse des Ergebnisses: Da die Summe der Quadrate gleich \(-2\) ist und Quadrate im Reellen nie negativ sind, gibt es keine Punkte, die diese Gleichung erfüllen. 5. Schlussfolgerung: Die Gleichung beschreibt keine Kugel; ihre Lösungsmenge im \(\mathbb{R}^3\) ist leer.

Die Gleichung beschreibt keine Kugel, da nach der quadratischen Ergänzung die Form \((x_1 + 2)^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 + 4)^2 = -2\) entsteht. Da \(-2 < 0\) ist, ist die Lösungsmenge leer.

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass die Koordinaten des Mittelpunkts direkt ablesbar sind? - Welche Eigenschaft muss die rechte Seite der Kugelgleichung in Standardform haben, damit ein geometrischer Körper mit Ausdehnung entsteht? - Was ist der Unterschied zwischen dem Radius und dem Wert auf der rechten Seite der Standardform?

Durch quadratische Ergänzung wird die Gleichung in die Standardform überführt: \((x_1^2 - 4kx_1 + 4k^2) + (x_2^2 + 2x_2 + 1) + (x_3^2 - 6x_3 + 9) = -13 + 4k^2 + 1 + 9\), woraus sich \((x_1 - 2k)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 3)^2 = 4k^2 - 3\) ergibt. Der Mittelpunkt ist somit \(M_k(2k \mid -1 \mid 3)\) und das Radiusquadrat \(r^2 = 4k^2 - 3\). Eine Kugel existiert nur, wenn das Radiusquadrat positiv ist: \(4k^2 - 3 > 0 \iff k^2 > \frac{3}{4} \iff |k| > \frac{\sqrt{3}}{2}\). Für den Radius \(r = 5\) muss gelten: \(4k^2 - 3 = 25 \iff 4k^2 = 28 \iff k^2 = 7\), also \(k = \sqrt{7}\) oder \(k = -\sqrt{7}\).

a) \(M_k(2k \mid -1 \mid 3)\) und \(r^2 = 4k^2 - 3\) b) \(|k| > \frac{\sqrt{3}}{2}\) (bzw. \(k < -\frac{\sqrt{3}}{2}\) oder \(k > \frac{\sqrt{3}}{2}\)) c) \(k = \pm \sqrt{7}\)

- Erinnere dich an die allgemeine Form der Kugelgleichung. Welche Werte stehen in den Klammern und was steht auf der rechten Seite? - Welche Eigenschaften haben Punkte, die auf der \(x_1\)-Achse liegen? Was weißt du über ihre anderen Koordinaten? - Setze bekannte Koordinatenwerte direkt in die Gleichung ein, um nach der unbekannten Variablen aufzulösen.

a) Ablesen von Mittelpunkt und Radius aus der Normalform \((x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2\): \(M(-1|4|0)\) und \(r = \sqrt{25} = 5\). b) Bedingung für die \(x_1\)-Achse: \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). Einsetzen in die Kugelgleichung: \((x_1 + 1)^2 + (0 - 4)^2 + 0^2 = 25\). Es folgt \((x_1 + 1)^2 + 16 = 25 \implies (x_1 + 1)^2 = 9\). Daraus folgt \(x_1 + 1 = 3 \implies x_1 = 2\) oder \(x_1 + 1 = -3 \implies x_1 = -4\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2|0|0)\) und \(N_2(-4|0|0)\). c) Einsetzen der Koordinaten von \(S(2|8|x_3)\) in die Gleichung: \((2 + 1)^2 + (8 - 4)^2 + x_3^2 = 25\). Es folgt \(3^2 + 4^2 + x_3^2 = 25 \implies 9 + 16 + x_3^2 = 25 \implies 25 + x_3^2 = 25 \implies x_3^2 = 0 \implies x_3 = 0\). Der Punkt ist \(S(2|8|0)\).

a) \(M(-1|4|0)\), \(r = 5\) b) \(N_1(2|0|0)\) und \(N_2(-4|0|0)\) c) \(x_3 = 0\)

- Wie hängen der Radius einer Kugel und der Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Oberflächenpunkt zusammen? - Was sagt das Ergebnis einer Punktprobe über die Lage eines Punktes relativ zur Kugel aus? - Welche Koordinate eines Punktes gibt dir direkt Auskunft über seinen Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene? - Wie groß muss der Radius mindestens sein, damit eine Kugel eine Koordinatenebene berührt oder schneidet?

1. Berechnung des Radiusquadrats \(r^2\) als quadrierten Abstand zwischen \(M\) und \(P\): \(r^2 = (5-3)^2 + (-1 - (-2))^2 + (2-4)^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9\). 2. Aufstellen der Kugelgleichung: \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 4)^2 = 9\). 3. Punktprobe für \(Q\): Einsetzen der Koordinaten in die linke Seite der Gleichung ergibt \((1-3)^2 + (-4+2)^2 + (5-4)^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9\). Da das Ergebnis exakt \(r^2\) entspricht, liegt \(Q\) auf der Kugeloberfläche. 4. Schnittbedingung mit der \(x_1x_2\)-Ebene: Der Abstand des Mittelpunkts \(M\) zur Ebene \(x_3 = 0\) ist durch den Betrag der \(x_3\)-Koordinate gegeben, also \(d = |4| = 4\). Da der Abstand \(d = 4\) größer ist als der Radius \(r = 3\), besitzt die Kugel keinen Punkt mit der Ebene gemeinsam.

a) \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 4)^2 = 9\) b) Der Punkt \(Q\) liegt auf der Kugeloberfläche. c) Der Abstand des Mittelpunkts zur \(x_1x_2\)-Ebene ist \(4\). Da dieser größer ist als der Radius \(r = 3\), gibt es keinen Schnittpunkt.

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Erinnere dich an die allgemeine Form der Kugelgleichung mit Mittelpunkt und Radius. - Wenn ein Punkt auf einer Kugel liegt, muss er die Kugelgleichung erfüllen. - Achte bei der Bestimmung der Koordinate auf die zusätzliche Bedingung in der Aufgabenstellung.

1. Berechnung der Abstände zum Mittelpunkt \(M(2 | -1 | 5)\): \(d(M, A) = \sqrt{(6-2)^2 + (-1 - (-1))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = 5\) \(d(M, B) = \sqrt{(2-2)^2 + (4 - (-1))^2 + (5-5)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\) \(d(M, C) = \sqrt{(5-2)^2 + (3 - (-1))^2 + (5-5)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5\) Alle Punkte haben den Abstand \(r = 5\). 2. Aufstellen der Kugelgleichung in Koordinatenform: Mit \(M(x_M | y_M | z_M) = (2 | -1 | 5)\) und \(r = 5\) ergibt sich: \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 5)^2 = 5^2\) bzw. \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 5)^2 = 25\). 3. Bestimmung der Koordinate \(y\) für \(P(2 | y | 8)\): Einsetzen in die Kugelgleichung: \((2 - 2)^2 + (y + 1)^2 + (8 - 5)^2 = 25\) \(0 + (y + 1)^2 + 3^2 = 25 \implies (y + 1)^2 + 9 = 25 \implies (y + 1)^2 = 16\). Daraus folgt \(y + 1 = 4\) oder \(y + 1 = -4\). \(y_1 = 3\) oder \(y_2 = -5\). Da \(y > -1\) gefordert ist, ist \(y = 3\).

a) Der Abstand beträgt für alle Punkte \(r = 5\). b) Die Kugelgleichung lautet \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 5)^2 = 25\). c) Die gesuchte Koordinate ist \(y = 3\).

- Was sagt der Wert der Summe \(x^2 + y^2 + z^2\) im Vergleich zum Quadrat des Radius über die Lage eines Punktes aus? - Welche Koordinate ist in der \(xy\)-Ebene immer Null? - Welche Koordinaten haben Punkte, die direkt auf der \(z\)-Achse liegen? - Erinnere dich an die Gleichung eines Kreises in der Ebene.

1. Überprüfung der Punktlagen durch Einsetzen in \(x^2 + y^2 + z^2\): Für \(P(6 | 0 | -8)\): \(36 + 0 + 64 = 100\). Da \(100 = 100\), liegt \(P\) auf der Kugel. Für \(Q(7 | 7 | 1)\): \(49 + 49 + 1 = 99\). Da \(99 < 100\), liegt \(Q\) im Inneren. Für \(R(10 | 1 | 0)\): \(100 + 1 + 0 = 101\). Da \(101 > 100\), liegt \(R\) außerhalb. Für \(S(\sqrt{50} | -5 | 5)\): \(50 + 25 + 25 = 100\). Da \(100 = 100\), liegt \(S\) auf der Kugel. 2. Schnitt mit der \(xy\)-Ebene: In der \(xy\)-Ebene gilt \(z = 0\). Einsetzen in die Kugelgleichung liefert \(x^2 + y^2 + 0^2 = 100\), also \(x^2 + y^2 = 100\). Dies beschreibt einen Kreis in der \(xy\)-Ebene mit Radius 10 um den Ursprung. 3. Punkte auf der \(z\)-Achse: Für Punkte auf der \(z\)-Achse gilt \(x = 0\) und \(y = 0\). Einsetzen in die Kugelgleichung: \(0^2 + 0^2 + z^2 = 100 \implies z^2 = 100\). Daraus ergeben sich \(z_1 = 10\) und \(z_2 = -10\). Die Punkte sind \(Z_1(0 | 0 | 10)\) und \(Z_2(0 | 0 | -10)\).

a) \(P\) und \(S\) liegen auf der Kugel, \(Q\) liegt im Inneren, \(R\) liegt außerhalb. b) Es entsteht ein Kreis mit der Gleichung \(x^2 + y^2 = 100\). c) Die Punkte sind \((0 | 0 | 10)\) und \((0 | 0 | -10)\).

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Kugelgleichung ein oder berechne den Abstand zum Mittelpunkt. - Du erhältst einen quadratischen Ausdruck in Abhängigkeit von \(c\). - Wann ist ein quadratischer Term kleiner oder größer als ein bestimmter Wert? Eine Skizze der entsprechenden Parabel kann helfen. - Achte darauf, dass \(c\) an mehreren Stellen in den Koordinaten vorkommen kann.

1. Berechnung des quadrierten Abstands \(d^2\) von \(P\) zu \(M\): \(d^2 = (c-0)^2 + (c-1)^2 + (1-0)^2 = c^2 + c^2 - 2c + 1 + 1 = 2c^2 - 2c + 2\). 2. Gleichsetzen mit dem Quadrat des Radius \(r^2 = 6\) für Punkte auf der Kugel: \(2c^2 - 2c + 2 = 6 \Rightarrow 2c^2 - 2c - 4 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(c^2 - c - 2 = 0\) ergibt die Nullstellen \(c_1 = 2\) und \(c_2 = -1\). 4. Da die Parabel \(f(c) = 2c^2 - 2c - 4\) nach oben geöffnet ist, gilt: - \(d^2 = r^2\) für \(c = -1\) oder \(c = 2\) (auf der Oberfläche). - \(d^2 < r^2\) für \(-1 < c < 2\) (im Inneren). - \(d^2 > r^2\) für \(c < -1\) oder \(c > 2\) (im Äußeren).

Im Inneren: \(-1 < c < 2\) Auf der Oberfläche: \(c = -1\) oder \(c = 2\) Im Äußeren: \(c < -1\) oder \(c > 2\)

- Wenn eine Kugel alle drei Koordinatenebenen berührt, was lässt sich dann über die Koordinaten ihres Mittelpunktes im Verhältnis zum Radius sagen? - Stelle eine Gleichung auf, die den Abstand des Punktes \(A\) zum Mittelpunkt beschreibt. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Gleichung?

1. Da die Kugel alle drei Koordinatenebenen im ersten Oktanten berührt, müssen die Koordinaten des Mittelpunktes alle gleich dem Radius \(r\) sein: \(M(r | r | r)\). 2. Aufstellen der Kugelgleichung: \((x_1 - r)^2 + (x_2 - r)^2 + (x_3 - r)^2 = r^2\). 3. Einsetzen des Punktes \(A(1 | 2 | 1)\): \((1 - r)^2 + (2 - r)^2 + (1 - r)^2 = r^2\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \((1 - 2r + r^2) + (4 - 4r + r^2) + (1 - 2r + r^2) = r^2 \implies 3r^2 - 8r + 6 = r^2\). 5. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2r^2 - 8r + 6 = 0 \implies r^2 - 4r + 3 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(r_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\), woraus \(r_1 = 1\) und \(r_2 = 3\) folgen. 7. Die möglichen Mittelpunkte sind \(M_1(1 | 1 | 1)\) und \(M_2(3 | 3 | 3)\).

\(M_1(1 | 1 | 1)\) und \(M_2(3 | 3 | 3)\)

- Wenn Punkte auf den Achsen liegen, vereinfacht das das Aufstellen einer Gleichung oft sehr stark. - Nutze die quadratische Ergänzung, um aus der allgemeinen Form einer Kugelgleichung den Mittelpunkt und den Radius abzulesen. - Um zu prüfen, ob eine Kugel in einer anderen liegt, vergleiche den Abstand der Mittelpunkte mit der Differenz der Radien.

1. Aufstellen der Kugelgleichung \(K_1\): Die allgemeine Form ist \(x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\). Einsetzen von \(O(0|0|0)\) ergibt \(d=0\). Einsetzen von \(P(8|0|0)\) ergibt \(64+8a=0 \Rightarrow a=-8\). Analog folgt aus \(Q\) und \(R\): \(b=-8\) und \(c=-8\). Die Gleichung lautet \(x^2+y^2+z^2-8x-8y-8z=0\). 2. Mittelpunkt und Radius von \(K_1\): Durch quadratische Ergänzung erhält man \((x-4)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 48\). Somit ist \(M_1(4|4|4)\) und \(r_1 = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\). 3. Lagebeziehung von \(K_2\): \(M_2(2|2|2)\) und \(r_2 = 2\). Der Abstand der Mittelpunkte ist \(d = \sqrt{(4-2)^2 + (4-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\). Da \(d + r_2 = 2\sqrt{3} + 2 \approx 5{,}46 < 4\sqrt{3} = r_1\), liegt \(K_2\) im Inneren von \(K_1\).

a) \(K_1: (x-4)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 48\); \(M_1(4|4|4)\), \(r_1 = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\) b) Nachweis über \(d(M_1, M_2) + r_2 < r_1\)

- Welche Punkte auf der Kugeloberfläche kannst du direkt aus der Aufgabenstellung benennen? - Wie weit ist jeder Punkt auf der Oberfläche vom noch unbekannten Mittelpunkt entfernt? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die vertikale Verschiebung des Mittelpunkts und den Radius zu finden? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt innerhalb, auf oder außerhalb einer Kugel liegt?

1. Koordinaten bekannter Punkte: Der Mittelpunkt der Grundfläche ist \(O(0|0|0)\). Ein Punkt auf dem Rand der Grundfläche ist \(A(24|0|0)\), da der Durchmesser \(48\,\text{m}\) beträgt. Der höchste Punkt der Kuppel ist \(H(0|0|18)\). 2. Ansatz für den Kugelmittelpunkt und Radius: Der Mittelpunkt liegt bei \(M(0|0|z_M)\). Es gilt für den Abstand zum Mittelpunkt \(R^2 = 24^2 + (0 - z_M)^2\) und \(R^2 = (18 - z_M)^2\). 3. Gleichsetzen und Lösen: \(576 + z_M^2 = 324 - 36z_M + z_M^2 \implies 252 = -36z_M \implies z_M = -7\). 4. Berechnung von \(R\): \(R^2 = 24^2 + (-7)^2 = 576 + 49 = 625\), also \(R = 25\,\text{m}\). Die Kugelgleichung lautet \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 + 7)^2 = 625\). 5. Lageprüfung von \(P(15|10|25)\): Berechnung des quadrierten Abstands zum Mittelpunkt \(M(0|0|-7)\): \(d^2 = 15^2 + 10^2 + (25 - (-7))^2 = 225 + 100 + 32^2 = 325 + 1024 = 1349\). 6. Vergleich: Da \(d^2 = 1349 > 625 = R^2\), liegt der Punkt außerhalb der Kugel.

a) Der Radius beträgt \(25\,\text{m}\). Die Kugelgleichung lautet \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 + 7)^2 = 625\). b) Das Messinstrument befindet sich außerhalb der Kugel, da sein Abstand zum Mittelpunkt (\(\approx 36{,}73\,\text{m}\)) größer als der Radius (\(25\,\text{m}\)) ist.

- Erinnere dich an das Verfahren der quadratischen Ergänzung für drei Variablen. - Wie hängen die Koordinaten des Mittelpunkts von dem Parameter ab? Kannst du daraus eine Parameterform einer Geraden erstellen? - Welche Bedingung muss für den Abstand des Mittelpunkts zu einer Ebene erfüllt sein, damit eine Berührung stattfindet? - Welche Koordinate eines Punktes gibt direkt seinen Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene an?

Die quadratische Ergänzung liefert \((x_1 - 2a)^2 + x_2^2 + (x_3 - a)^2 = 16 - 5a^2 + 4a^2 + a^2 = 16\). Da die rechte Seite mit \(16\) konstant positiv ist, handelt es sich für alle \(a \in \mathbb{R}\) um eine Kugel mit dem festen Radius \(r = \sqrt{16} = 4\). Die Mittelpunkte haben die Koordinaten \(M_a(2a \mid 0 \mid a)\). Diese liegen auf einer Geraden durch den Ursprung mit der Gleichung \(g: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb{R}\). Eine Kugel berührt die \(x_1x_2\)-Ebene genau dann, wenn der Abstand des Mittelpunkts zur Ebene gleich dem Radius ist. Der Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene entspricht dem Betrag der \(x_3\)-Koordinate: \(|a| = 4 \implies a = 4\) oder \(a = -4\).

a) Radius \(r = 4\); da \(r^2 = 16 > 0\) unabhängig von \(a\) ist, liegt immer eine Kugel vor. b) \(g: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent) c) \(a = 4\) oder \(a = -4\)

- Erinnerst du dich an das Verfahren der quadratischen Ergänzung, um Terme der Form \(x^2 + px\) in ein Binom umzuwandeln? - Wie muss eine Gleichung strukturiert sein, damit man das Zentrum und die Ausdehnung einer Kugel direkt ablesen kann? - Welche Formel hilft dir, die Entfernung zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum zu bestimmen?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung für alle drei Koordinatenrichtungen: \((x_1^2 - 4x_1 + 4) + (x_2^2 + 6x_2 + 9) + (x_3^2 - 2x_3 + 1) = 2 + 4 + 9 + 1\). 2. Umformung in die Standardform der Kugelgleichung mittels binomischer Formeln: \((x_1 - 2)^2 + (x_2 + 3)^2 + (x_3 - 1)^2 = 16\). Dies entspricht der Form \((x_1-a)^2 + (x_2-b)^2 + (x_3-c)^2 = r^2\). 3. Ablesen der Kenngrößen: Der Mittelpunkt ist \(M(2 | -3 | 1)\) und das Radiusquadrat ist \(16\), woraus \(r = 4\) folgt. 4. Berechnung des Abstands zwischen \(M(2 | -3 | 1)\) und \(O(0 | 0 | 0)\): \(d(M, O) = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3{,}74\).

a) Durch quadratische Ergänzung erhält man \((x_1 - 2)^2 + (x_2 + 3)^2 + (x_3 - 1)^2 = 16\). b) \(M(2 | -3 | 1)\) und \(r = 4\) c) Der Abstand beträgt \(\sqrt{14} \approx 3{,}74\).