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- Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\)? - Was passiert, wenn du die Terme für die Koordinaten \(x\), \(y\) und \(z\) der Geraden in die Kugelgleichung einsetzt? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben und was bedeutet das für die Lage der Geraden zur Kugel? - Wenn du die Werte für den Parameter gefunden hast, wie kommst du dann zu den gesuchten Punkten?

1. Aufstellen der Kugelgleichung: \((x-2)^2 + y^2 + (z-7)^2 = 9\). 2. Einsetzen der Komponenten der Geradengleichung \(x = 1+t\), \(y = 2-2t\) und \(z = 5+2t\) in die Kugelgleichung: \((1+t-2)^2 + (2-2t)^2 + (5+2t-7)^2 = 9\). 3. Vereinfachen des Ausdrucks: \((t-1)^2 + (-2(t-1))^2 + (2(t-1))^2 = 9 \Rightarrow (t-1)^2 + 4(t-1)^2 + 4(t-1)^2 = 9 \Rightarrow 9(t-1)^2 = 9\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung nach \(t\): \((t-1)^2 = 1 \Rightarrow t-1 = 1 \text{ oder } t-1 = -1\). Dies ergibt die Parameterwerte \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 0\). 5. Berechnung der Koordinaten durch Einsetzen der Parameterwerte in die Gerade \(g\): Für \(t_1 = 2\) ergibt sich der Punkt \(S_2(3|-2|9)\), für \(t_2 = 0\) ergibt sich der Punkt \(S_1(1|2|5)\). Da es zwei Lösungen gibt, handelt es sich um eine Sekante.

Die Gerade ist eine Sekante. Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|2|5)\) und \(S_2(3|-2|9)\).

- Wie stehen der Radiusvektor zum Berührpunkt und die Tangente (Gerade) zueinander? - Welche Eigenschaft hat der Punkt auf der Geraden, der den geringsten Abstand zum Mittelpunkt hat? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die die Orthogonalität nutzt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden?

1. Aufstellen der Geradengleichung für \(g\) durch \(P\) und \(Q\): Als Richtungsvektor kann der zu \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) parallele Vektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. Damit gilt \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Berührpunktes \(B\) als Lotfußpunkt von \(M\) auf \(g\): Der Vektor \(\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM} = \begin{pmatrix} 4+2t-2 \\ 1+t-5 \\ 1+t+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2t \\ -4+t \\ 2+t \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u}\) sein. 3. Skalarprodukt ansetzen: \(\begin{pmatrix} 2+2t \\ -4+t \\ 2+t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 4+4t-4+t+2+t = 6t+2 = 0\). Daraus folgt \(t = -\frac{1}{3}\). 4. Koordinaten des Berührpunktes berechnen: \(\vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(\frac{10}{3} | \frac{2}{3} | \frac{2}{3})\). 5. Berechnung des Radius \(r\) als Abstand \(|\vec{MB}|\): Mit \(t = -\frac{1}{3}\) ist \(\vec{MB} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ -\frac{13}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}\). Es gilt \(r = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{13}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{16+169+25}{9}} = \sqrt{\frac{210}{9}} = \frac{\sqrt{210}}{3} \approx 4{,}83\).

Der Radius beträgt \(r = \frac{\sqrt{210}}{3} \approx 4{,}83\). Der Berührpunkt hat die Koordinaten \(B(\frac{10}{3} | \frac{2}{3} | \frac{2}{3})\).

- Ein Punkt auf der Geraden kann allgemein durch den Parameter aus der Geradengleichung ausgedrückt werden. - Nutze das Skalarprodukt, um die Bedingung für den kürzesten Abstand (Lot) zu formulieren. - Der Radius entspricht genau diesem kürzesten Abstand.

1. Der Berührpunkt \(S\) ist der Punkt auf der Geraden \(h\), für den der Vektor \(\vec{MS}\) orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist. 2. Aufstellen des Differenzvektors \(\vec{MS} = \vec{OS} - \vec{OM} = \begin{pmatrix} 3+s-1 \\ 2s-1 \\ 1-s-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+s \\ 2s-1 \\ -s-3 \end{pmatrix}\). 3. Orthogonalitätsbedingung \(\vec{MS} \cdot \vec{v} = 0\): \((2+s) \cdot 1 + (2s-1) \cdot 2 + (-s-3) \cdot (-1) = 2+s+4s-2+s+3 = 6s+3 = 0\). Dies liefert \(s = -0{,}5\). 4. Einsetzen von \(s = -0{,}5\) in die Geradengleichung ergibt den Berührpunkt: \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ -1 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\). Also \(S(2{,}5 | -1 | 1{,}5)\). 5. Der Radius \(r\) ist der Abstand \(|\vec{MS}|\) für \(s = -0{,}5\): \(\vec{MS} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -2 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\). \(r = \sqrt{1{,}5^2 + (-2)^2 + (-2{,}5)^2} = \sqrt{2{,}25 + 4 + 6{,}25} = \sqrt{12{,}5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = 2{,}5 \cdot \sqrt{2} \approx 3{,}54\).

Der Radius ist \(r = \frac{5}{\sqrt{2}} = 2{,}5 \cdot \sqrt{2} \approx 3{,}54\). Der Berührpunkt ist \(S(2{,}5 | -1 | 1{,}5)\).

- Setze die Ausdrücke für \(x\), \(y\) und \(z\) aus der Geradengleichung direkt in die gegebene Kugelgleichung ein. - Denk beim Auflösen der Klammern an die binomischen Formeln. - Welche Information liefert die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung über die Anzahl der gemeinsamen Punkte? - Wenn genau eine Lösung existiert, wie nennt man diese spezielle Lage der Geraden?

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Kugelgleichung: \((6+2\lambda-3)^2 + (0-\lambda+1)^2 + (5-2)^2 = 14\). 2. Zusammenfassen der Terme in den Klammern: \((2\lambda+3)^2 + (1-\lambda)^2 + 3^2 = 14\). 3. Ausmultiplizieren mithilfe der binomischen Formeln: \(4\lambda^2 + 12\lambda + 9 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 9 = 14\). 4. Ordnen und Vereinfachen der Gleichung: \(5\lambda^2 + 10\lambda + 19 = 14 \Rightarrow 5\lambda^2 + 10\lambda + 5 = 0\). 5. Division durch 5 führt zu \(\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0\), was nach der ersten binomischen Formel \((\lambda+1)^2 = 0\) entspricht. 6. Es gibt nur eine Lösung für den Parameter: \(\lambda = -1\). Dies bedeutet, dass die Gerade die Kugel berührt (Tangente). 7. Berechnung des Berührpunktes durch Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(h\): \(B(6+2(-1)|0-(-1)|5) = B(4|1|5)\).

Die Gerade ist eine Tangente. Der Berührpunkt ist \(B(4|1|5)\).

- Wie kannst du einen beliebigen Punkt der Geraden allgemein mit dem Parameter ausdrücken? - Was passiert, wenn du diesen allgemeinen Punkt in die Kugelgleichung einsetzt? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben und was bedeutet das für die Lagebeziehung? - Wenn du die Parameterwerte gefunden hast, wie kommst du dann zu den Koordinaten der Punkte?

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Kugelgleichung: \(((1 + r) - 4)^2 + (2 - 2)^2 + ((2 + r) - 5)^2 = 18\) 2. Vereinfachen der Terme: \((r - 3)^2 + 0^2 + (r - 3)^2 = 18\) 3. Zusammenfassen und Lösen der quadratischen Gleichung: \(2 \cdot (r - 3)^2 = 18 \Rightarrow (r - 3)^2 = 9\) Daraus ergeben sich die Lösungen \(r_1 - 3 = 3 \Rightarrow r_1 = 6\) und \(r_2 - 3 = -3 \Rightarrow r_2 = 0\). 4. Bestimmung der Schnittpunkte durch Einsetzen von \(r\) in \(g\): Für \(r_1 = 6\): \(S_1(7 | 2 | 8)\) Für \(r_2 = 0\): \(S_2(1 | 2 | 2)\) 5. Da es genau zwei Schnittpunkte gibt, ist die Gerade \(g\) eine Sekante der Kugel \(K\).

Die Gerade \(g\) ist eine Sekante der Kugel \(K\). Es gibt zwei Schnittpunkte: \(S_1(7 | 2 | 8)\) und \(S_2(1 | 2 | 2)\).

- Was kennzeichnet den Abstand eines Punktes zu einer Geraden geometrisch? - Wie hängen der Abstand des Mittelpunkts zur Geraden und der Radius der Kugel bei einer Tangente zusammen? - Wie ändert sich die Anzahl der Schnittpunkte, wenn der Radius größer als der Abstand zum Mittelpunkt ist? - Kannst du die Schnittpunktberechnung analog zum Standardverfahren (Einsetzen der Geraden in die Kugelgleichung) durchführen?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Abstands des Mittelpunkts \(M\) zur Geraden \(g\). Ein allgemeiner Punkt auf \(g\) ist \(P_t(2+t | 3+2t | 1+2t)\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{MP_t} = \begin{pmatrix} t-3 \\ 2t \\ 2t-3 \end{pmatrix}\). Die Bedingung für den Lotfußpunkt (kürzester Abstand) ist \(\vec{MP_t} \cdot \vec{v} = 0\), wobei \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Richtungsvektor ist. 2. Lösen der Orthogonalitätsbedingung: \(1(t-3) + 2(2t) + 2(2t-3) = 9t - 9 = 0 \Rightarrow t = 1\). 3. Der Abstand ist die Länge von \(\vec{MP_1}\): \(\vec{MP_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), also \(d = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\). Für eine Tangente muss \(r = 3\) gelten. 4. Teilaufgabe b): Für \(r = 5\) ist der Radius größer als der Abstand \(d=3\), folglich ist \(g\) eine Sekante. Zur Berechnung der Schnittpunkte wird die Kugelgleichung \((x_1 - 5)^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 - 4)^2 = 25\) mit \(g\) geschnitten. 5. Einsetzen ergibt: \((t-3)^2 + (2t)^2 + (2t-3)^2 = 25 \Rightarrow (t^2 - 6t + 9) + 4t^2 + (4t^2 - 12t + 9) = 25 \Rightarrow 9t^2 - 18t - 7 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung: \(t_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 9 \cdot (-7)}}{18} = \frac{18 \pm \sqrt{576}}{18} = \frac{18 \pm 24}{18}\). Somit \(t_1 = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}\) und \(t_2 = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}\). 7. Einsetzen in \(g\): \(S_1(\frac{13}{3} | \frac{23}{3} | \frac{17}{3})\) und \(S_2(\frac{5}{3} | \frac{7}{3} | \frac{1}{3})\).

a) Damit \(g\) eine Tangente ist, muss der Radius \(r = 3\) sein. b) Für \(r = 5\) ist \(g\) eine Sekante. Die Schnittpunkte sind \(S_1(\frac{13}{3} | \frac{23}{3} | \frac{17}{3})\) und \(S_2(\frac{5}{3} | \frac{7}{3} | \frac{1}{3})\).