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- Welche beiden Längen entscheiden über die Lage einer Geraden relativ zu einer Kugel? - Was bedeutet es geometrisch, wenn der Abstand der Geraden vom Mittelpunkt kleiner als der Radius ist?

1. Man vergleicht den Mittelpunkt-Geraden-Abstand mit dem Kugelradius. 2. Es gilt \(3<5\). Die Gerade verläuft daher durch das Kugelinnere und schneidet die Kugeloberfläche in zwei Punkten.

\(g\) ist eine Sekante der Kugel.

- Achte darauf, wie viele gemeinsame Punkte jede Gerade mit dem Kreisrand des Kugelquerschnitts hat. - Welche Bezeichnung gehört zu zwei, einem beziehungsweise keinem gemeinsamen Punkt?

1. Die Gerade \(g\) schneidet den dargestellten Kugelquerschnitt in zwei Punkten und ist daher eine Sekante. 2. Die Gerade \(h\) berührt den Querschnitt in genau einem Punkt und ist daher eine Tangente. 3. Die Gerade \(q\) hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Querschnitt und ist daher eine Passante.

\(g\): Sekante \(h\): Tangente \(q\): Passante

- Ein Punkt auf der Geraden kann allgemein durch den Parameter aus der Geradengleichung ausgedrückt werden. - Nutze das Skalarprodukt, um die Bedingung für den kürzesten Abstand (Lot) zu formulieren. - Der Radius entspricht genau diesem kürzesten Abstand.

1. Der Berührpunkt \(S\) ist der Punkt auf der Geraden \(h\), für den der Vektor \(\vec{MS}\) orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist. 2. Aufstellen des Differenzvektors \(\vec{MS} = \vec{OS} - \vec{OM} = \begin{pmatrix} 3+s-1 \\ 2s-1 \\ 1-s-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+s \\ 2s-1 \\ -s-3 \end{pmatrix}\). 3. Orthogonalitätsbedingung \(\vec{MS} \cdot \vec{v} = 0\): \((2+s) \cdot 1 + (2s-1) \cdot 2 + (-s-3) \cdot (-1) = 2+s+4s-2+s+3 = 6s+3 = 0\). Dies liefert \(s = -0{,}5\). 4. Einsetzen von \(s = -0{,}5\) in die Geradengleichung ergibt den Berührpunkt: \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - 0{,}5\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ -1 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\). Also \(S(2{,}5 | -1 | 1{,}5)\). 5. Der Radius \(r\) ist der Abstand \(|\vec{MS}|\) für \(s = -0{,}5\): \(\vec{MS} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -2 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\). \(r = \sqrt{1{,}5^2 + (-2)^2 + (-2{,}5)^2} = \sqrt{2{,}25 + 4 + 6{,}25} = \sqrt{12{,}5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = 2{,}5\sqrt{2} \approx 3{,}54\).

Der Radius ist \(r = \frac{5}{\sqrt{2}} = 2{,}5\sqrt{2} \approx 3{,}54\). Der Berührpunkt ist \(S(2{,}5 | -1 | 1{,}5)\).

- Welche Bedingung muss ein Punkt erfüllen, damit er zugleich auf der Geraden und auf der Kugel liegt? - Wie kannst du einen allgemeinen Punkt von \(g\) mit dem Parameter \(t\) beschreiben? - Was sagt die Anzahl der zulässigen Parameterwerte über Sekante, Tangente oder Passante aus?

1. Die Kugelgleichung lautet \((x_1-2)^2+x_2^2+(x_3-7)^2=9\). 2. Ein Geradenpunkt hat die Koordinaten \((1+t|2-2t|5+2t)\). Einsetzen in die Kugelgleichung ergibt \((t-1)^2+4(t-1)^2+4(t-1)^2=9\). 3. Damit gilt \(9(t-1)^2=9\), also \(t=0\) oder \(t=2\). 4. Die zugehörigen Punkte sind \(S_1(1|2|5)\) und \(S_2(3|-2|9)\). 5. Da zwei Schnittpunkte existieren, ist \(g\) eine Sekante.

Die Gerade \(g\) ist eine Sekante. Die Schnittpunkte sind \(S_1(1|2|5)\) und \(S_2(3|-2|9)\).

- Welche Bedingung muss ein Punkt von \(h\) zusätzlich erfüllen, um auf der Kugel zu liegen? - Welche Gleichung in \(\lambda\) entsteht, wenn du beide Beschreibungen eines gemeinsamen Punktes verbindest? - Wie interpretierst du den Fall, dass diese Gleichung genau einen reellen Parameterwert besitzt?

1. Ein Punkt von \(h\) hat die Koordinaten \((6+2\lambda|-\lambda|5)\). Die Kugelbedingung führt auf \((2\lambda+3)^2+(1-\lambda)^2+9=14\). 2. Nach Vereinfachen ergibt sich \(5\lambda^2+10\lambda+5=0\), also \((\lambda+1)^2=0\). 3. Es gibt genau einen Parameterwert \(\lambda=-1\). Daher ist \(h\) eine Tangente. 4. Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Berührpunkt \(B(4|1|5)\).

Die Gerade \(h\) ist eine Tangente. Der Berührpunkt ist \(B(4|1|5)\).

- Welche Angaben zu Mittelpunkt und Radius kannst du direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Welche Länge hat \(\vec{MQ}\), und wie kannst du damit Teil a) entscheiden? - Welche besondere Sehne einer Kugel entsteht, wenn eine Gerade durch den Mittelpunkt verläuft? - Welche Punktbeziehung gilt zwischen den beiden Endpunkten eines Durchmessers und seinem Mittelpunkt?

1. Aus der Kugelgleichung folgen \(M(5|-2|1)\) und \(r=7\,\text{LE}\). 2. Es ist \(\vec{MQ}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\) und damit \(|\vec{MQ}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7\,\text{LE}=r\). Also liegt \(Q\) auf \(K\). 3. Da \(g\) durch den Mittelpunkt \(M\) verläuft, bilden die beiden Schnittpunkte mit der Kugel die Endpunkte eines Durchmessers. Daher ist \(M\) der Mittelpunkt von \(\overline{QR}\). 4. Somit gilt \(\vec{OR}=2\vec{OM}-\vec{OQ}=\begin{pmatrix}3\\-5\\-5\end{pmatrix}\), also \(R(3|-5|-5)\). 5. Einsetzen liefert \((3-5)^2+(-5+2)^2+(-5-1)^2=4+9+36=49\). Damit liegt \(R\) auf \(K\).

a) \(Q\) liegt auf \(K\), denn \(|\vec{MQ}|=7\,\text{LE}=r\). b) \(R(3|-5|-5)\) c) Für \(R\) ergibt die linke Seite der Kugelgleichung \(49\); damit ist \(R\) als zweiter Schnittpunkt bestätigt.

- Wie kannst du einen beliebigen Punkt der Geraden allgemein mit dem Parameter ausdrücken? - Was passiert, wenn du diesen allgemeinen Punkt in die Kugelgleichung einsetzt? - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben und was bedeutet das für die Lagebeziehung? - Wenn du die Parameterwerte gefunden hast, wie kommst du dann zu den Koordinaten der Punkte?

1. Einsetzen der Geradengleichung in die Kugelgleichung: \(((1 + r) - 4)^2 + (2 - 2)^2 + ((2 + r) - 5)^2 = 18\) 2. Vereinfachen der Terme: \((r - 3)^2 + 0^2 + (r - 3)^2 = 18\) 3. Zusammenfassen und Lösen der quadratischen Gleichung: \(2 \cdot (r - 3)^2 = 18 \Rightarrow (r - 3)^2 = 9\) Daraus ergeben sich die Lösungen \(r_1 - 3 = 3 \Rightarrow r_1 = 6\) und \(r_2 - 3 = -3 \Rightarrow r_2 = 0\). 4. Bestimmung der Schnittpunkte durch Einsetzen von \(r\) in \(g\): Für \(r_1 = 6\): \(S_1(7 | 2 | 8)\) Für \(r_2 = 0\): \(S_2(1 | 2 | 2)\) 5. Da es genau zwei Schnittpunkte gibt, ist die Gerade \(g\) eine Sekante der Kugel \(K\).

Die Gerade \(g\) ist eine Sekante der Kugel \(K\). Es gibt zwei Schnittpunkte: \(S_1(7 | 2 | 8)\) und \(S_2(1 | 2 | 2)\).

- Welche Koordinaten hat ein allgemeiner Punkt der Geraden in Abhängigkeit von \(t\)? - Was muss für einen Schnittpunkt zusätzlich zur Geradengleichung gelten? - Welche Aussage über die Lage folgt aus der Anzahl reeller Lösungen der entstehenden Gleichung?

1. Ein allgemeiner Punkt der Geraden hat die Koordinaten \((3|t|0)\). 2. Einsetzen in die Kugelgleichung ergibt \(3^2+t^2+0^2=4\), also \(t^2=-5\). 3. Diese Gleichung hat keine reelle Lösung. Daher haben Gerade und Kugel keinen gemeinsamen Punkt.

Die Gerade \(g\) verfehlt die Kugel; sie ist eine Passante.

- Welche Größe bleibt bei dieser Kugelfamilie fest? - Ordne die drei möglichen Lagen danach, ob der Radius kleiner, gleich oder größer als der Mittelpunkt-Geraden-Abstand ist. - Beachte die Bedingung \(r>0\).

1. Entscheidend ist der Vergleich von \(r\) mit dem festen Abstand \(d(M,g)=4\). 2. Für \(0<r<4\) ist der Radius kleiner als der Abstand; \(g\) ist eine Passante. 3. Für \(r=4\) stimmen Radius und Abstand überein; \(g\) ist eine Tangente. 4. Für \(r>4\) ist der Radius größer als der Abstand; \(g\) ist eine Sekante.

Passante: \(0<r<4\) Tangente: \(r=4\) Sekante: \(r>4\)

- Wie stehen der Radiusvektor zum Berührpunkt und die Tangente (Gerade) zueinander? - Welche Eigenschaft hat der Punkt auf der Geraden, der den geringsten Abstand zum Mittelpunkt hat? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die die Orthogonalität nutzt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden?

1. Aufstellen der Geradengleichung für \(g\) durch \(P\) und \(Q\): Als Richtungsvektor kann der zu \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) parallele Vektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) verwendet werden. Damit gilt \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Berührpunktes \(B\) als Lotfußpunkt von \(M\) auf \(g\): Der Vektor \(\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM} = \begin{pmatrix} 4+2t-2 \\ 1+t-5 \\ 1+t+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2t \\ -4+t \\ 2+t \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Richtungsvektor \(\vec{u}\) sein. 3. Skalarprodukt ansetzen: \(\begin{pmatrix} 2+2t \\ -4+t \\ 2+t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 4+4t-4+t+2+t = 6t+2 = 0\). Daraus folgt \(t = -\frac{1}{3}\). 4. Koordinaten des Berührpunktes berechnen: \(\vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(\frac{10}{3} | \frac{2}{3} | \frac{2}{3})\). 5. Berechnung des Radius \(r\) als Abstand \(|\vec{MB}|\): Mit \(t = -\frac{1}{3}\) ist \(\vec{MB} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ -\frac{13}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}\). Es gilt \(r = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{13}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{16+169+25}{9}} = \sqrt{\frac{210}{9}} = \frac{\sqrt{210}}{3} \approx 4{,}83\).

Der Radius beträgt \(r = \frac{\sqrt{210}}{3} \approx 4{,}83\). Der Berührpunkt hat die Koordinaten \(B(\frac{10}{3} | \frac{2}{3} | \frac{2}{3})\).

- Was kennzeichnet den Abstand eines Punktes zu einer Geraden geometrisch? - Wie hängen der Abstand des Mittelpunkts zur Geraden und der Radius der Kugel bei einer Tangente zusammen? - Wie ändert sich die Anzahl der Schnittpunkte, wenn der Radius größer als der Abstand zum Mittelpunkt ist? - Kannst du die Schnittpunktberechnung analog zum Standardverfahren (Einsetzen der Geraden in die Kugelgleichung) durchführen?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Abstands des Mittelpunkts \(M\) zur Geraden \(g\). Ein allgemeiner Punkt auf \(g\) ist \(P_t(2+t | 3+2t | 1+2t)\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{MP_t} = \begin{pmatrix} t-3 \\ 2t \\ 2t-3 \end{pmatrix}\). Die Bedingung für den Lotfußpunkt (kürzester Abstand) ist \(\vec{MP_t} \cdot \vec{v} = 0\), wobei \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Richtungsvektor ist. 2. Lösen der Orthogonalitätsbedingung: \(1(t-3) + 2(2t) + 2(2t-3) = 9t - 9 = 0 \Rightarrow t = 1\). 3. Der Abstand ist die Länge von \(\vec{MP_1}\): \(\vec{MP_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), also \(d = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\). Für eine Tangente muss \(r = 3\) gelten. 4. Teilaufgabe b): Für \(r = 5\) ist der Radius größer als der Abstand \(d=3\), folglich ist \(g\) eine Sekante. Zur Berechnung der Schnittpunkte wird die Kugelgleichung \((x_1 - 5)^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 - 4)^2 = 25\) mit \(g\) geschnitten. 5. Einsetzen ergibt: \((t-3)^2 + (2t)^2 + (2t-3)^2 = 25 \Rightarrow (t^2 - 6t + 9) + 4t^2 + (4t^2 - 12t + 9) = 25 \Rightarrow 9t^2 - 18t - 7 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung: \(t_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 9 \cdot (-7)}}{18} = \frac{18 \pm \sqrt{576}}{18} = \frac{18 \pm 24}{18}\). Somit \(t_1 = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}\) und \(t_2 = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}\). 7. Einsetzen in \(g\): \(S_1(\frac{13}{3} | \frac{23}{3} | \frac{17}{3})\) und \(S_2(\frac{5}{3} | \frac{7}{3} | \frac{1}{3})\).

a) Damit \(g\) eine Tangente ist, muss der Radius \(r = 3\) sein. b) Für \(r = 5\) ist \(g\) eine Sekante. Die Schnittpunkte sind \(S_1(\frac{13}{3} | \frac{23}{3} | \frac{17}{3})\) und \(S_2(\frac{5}{3} | \frac{7}{3} | \frac{1}{3})\).