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- Welcher Punkt der Kugel ist für die Orientierung der Tangentialebene entscheidend? - Überlege, in welchem Winkel der Radius zum Berührpunkt auf der Tangentialebene steht. - Wie lässt sich aus dem Mittelpunkt der Kugel und dem Berührpunkt ein Normalenvektor für die Ebene gewinnen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Koordinatengleichung für Ebenen.

1. Den Mittelpunkt \(M(3|-1|2)\) der Kugel aus der Gleichung ablesen. 2. Den Normalenvektor \(\vec{n}\) der Tangentialebene berechnen: \(\vec{n} = \vec{MB} = \vec{B} - \vec{M} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - (-1) \\ 8 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Die Koordinatengleichung der Ebene \(E: 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = d\) aufstellen. 4. Den Parameter \(d\) durch Einsetzen des Punktes \(B\) bestimmen: \(d = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 8 = 10 + 6 + 48 = 64\). 5. Die fertige Gleichung lautet \(E: 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 64\).

\(E: 2x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 64\)

- Welche Information über den Mittelpunkt und den Radius kannst du direkt aus der Kugelgleichung entnehmen? - Wie hängen der Abstand des Mittelpunkts von einer Ebene und der Radius der Kugel zusammen, wenn die Ebene die Kugel nur berührt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Kugelradius, dem Radius eines Schnittkreises und dem Abstand des Kugelmittelpunkts von der Schnittebene. Der Satz des Pythagoras hilft hier weiter. - Die Abstandsformel für einen Punkt und eine Ebene in Koordinatenform ist ein nützliches Werkzeug.

1. Aus der Kugelgleichung werden der Mittelpunkt \(M(2 | -1 | 4)\) und der Radius \(r = \sqrt{25} = 5\) abgelesen. 2. Der Abstand \(d\) des Mittelpunkts \(M\) von der Ebene \(E_k\) wird mit der Abstandsformel berechnet: \(d = \frac{|2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 - k|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|10 - k|}{3}\). 3. Für eine Tangentialebene muss der Abstand \(d\) gleich dem Radius \(r = 5\) sein: \(\frac{|10 - k|}{3} = 5 \implies |10 - k| = 15\). Dies liefert \(10 - k = 15 \implies k = -5\) oder \(10 - k = -15 \implies k = 25\). 4. Für einen Schnittkreis mit Radius \(\rho = 4\) gilt nach dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck (bestehend aus Kugelradius, Kreisradius und Abstand): \(d^2 + \rho^2 = r^2\). Einsetzen ergibt \(d^2 + 4^2 = 5^2 \implies d^2 = 9 \implies d = 3\). 5. Der Abstand \(d = 3\) führt zur Gleichung \(\frac{|10 - k|}{3} = 3 \implies |10 - k| = 9\). Dies liefert \(10 - k = 9 \implies k = 1\) oder \(10 - k = -9 \implies k = 19\).

a) Die Ebene \(E_k\) ist eine Tangentialebene für \(k = -5\) und \(k = 25\). b) Ein Schnittkreis mit Radius \(\rho = 4\) entsteht für \(k = 1\) und \(k = 19\).

- Wie lassen sich der Mittelpunkt und der Radius direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Welche Formel hilft dir, den kürzesten Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform zu berechnen? - Vergleiche den berechneten Abstand mit dem Radius der Kugel. Was bedeutet das für die Lage? - Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, das aus dem Kugelradius, dem Abstand zum Mittelpunkt und dem Radius des Schnittkreises gebildet wird.

1. Bestimmung von Mittelpunkt \(M\) und Radius \(R\) der Kugel: Aus der Gleichung ergibt sich \(M(2 \mid -3 \mid 1)\) und \(R = \sqrt{100} = 10\). 2. Berechnung des Abstands \(d\) des Mittelpunkts \(M\) zur Ebene \(E\) mithilfe der Abstandsformel: \(d = \frac{|6 \cdot 2 - 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 + 15|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \frac{|12 + 9 + 2 + 15|}{\sqrt{49}} = \frac{38}{7} \approx 5{,}43\). 3. Da \(d < R\) (\(5{,}43 < 10\)), schneiden sich die Kugel und die Ebene in einem Kreis. 4. Berechnung des Schnittkreisradius \(r\) mit dem Satz des Pythagoras: \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - \left(\frac{38}{7}\right)^2} = \sqrt{100 - \frac{1444}{49}} = \sqrt{\frac{3456}{49}} = \frac{24\sqrt{6}}{7} \approx 8{,}40\).

Die Ebene \(E\) und die Kugel \(K\) schneiden sich in einem Kreis. Der Radius des Schnittkreises beträgt \(r = \frac{24\sqrt{6}}{7} \approx 8{,}40\).

- Wie kannst du eine allgemeine quadratische Form in die Standardform einer Kugelgleichung überführen? - Welche Information über den Radius liefert dir die rechte Seite der Kugelgleichung? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform direkt berechnen kann? - Was muss für den Abstand zwischen Mittelpunkt und Ebene gelten, damit ein Schnittkreis entsteht?

1. Umformung der Kugelgleichung durch quadratische Ergänzung: \((x_1^2 - 4x_1 + 4) + (x_2^2 + 6x_2 + 9) + (x_3^2 - 2x_3 + 1) = 11 + 4 + 9 + 1\). Dies führt auf \((x_1 - 2)^2 + (x_2 + 3)^2 + (x_3 - 1)^2 = 25\). Der Mittelpunkt ist \(M(2|-3|1)\) und der Radius ist \(r = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung des Abstands von \(M\) zu \(E\) mittels der Hesseschen Normalform: \(d(M, E) = \frac{|2 \cdot 2 - 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 1 - 25|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 6 + 1 - 25|}{3} = \frac{|-14|}{3} = \frac{14}{3} \approx 4{,}67\). 3. Da der Abstand \(d = \frac{14}{3}\) kleiner als der Radius \(r = 5\) ist, schneidet die Ebene die Kugel.

a) Mittelpunkt \(M(2|-3|1)\), Radius \(r = 5\) b) Der Abstand beträgt \(d = \frac{14}{3}\). Da \(d < r\), schneidet die Ebene die Kugel.

- Wann berührt eine Ebene eine Kugel genau in einem Punkt? - Wie hängen der Normalenvektor einer Tangentialebene und der Vektor vom Mittelpunkt zum Berührpunkt zusammen? - Welche Koordinate des Mittelpunkts ist entscheidend für den Abstand zu einer Ebene, die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene liegt? - Überlege dir, in welchem Bereich die \(x_3\)-Werte der Kugelpunkte liegen müssen.

1. Der Abstand des Mittelpunkts \(M(4|0|-2)\) zur Ebene \(E: x_1 = 10\) ist \(d = |4 - 10| = 6\). Da der Abstand exakt dem Radius \(r = 6\) entspricht, ist \(E\) eine Tangentialebene. 2. Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Berührpunkt ergibt sich durch \(\vec{OB} = \vec{OM} + 6 \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Also \(B(10|0|-2)\). 3. Eine Ebene \(x_3 = k\) hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel, wenn ihr Abstand zum Mittelpunkt größer als der Radius ist. Der Abstand von \(M\) zu \(F_k\) ist \(d = |k - (-2)| = |k + 2|\). 4. Bedingung: \(|k + 2| > 6\). Dies führt zu \(k + 2 > 6 \Rightarrow k > 4\) oder \(k + 2 < -6 \Rightarrow k < -8\).

a) Der Abstand \(d = 6\) entspricht dem Radius \(r\). Berührpunkt \(B(10|0|-2)\). b) \(k < -8\) oder \(k > 4\).

- Wie prüft man, ob ein Punkt die Gleichung einer Kugel erfüllt? - Welcher Vektor steht im Berührpunkt senkrecht auf der Tangentialebene? - Was haben die Normalenvektoren paralleler Ebenen gemeinsam? - Welche Formel hilft dir, den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform zu berechnen?

1. Nachweis der Lage von \(P\): Einsetzen der Koordinaten von \(P(2|2|-3)\) in die Kugelgleichung ergibt \((2-4)^2 + (2+2)^2 + (-3-1)^2 = (-2)^2 + 4^2 + (-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36\). Da die Gleichung erfüllt ist, liegt \(P\) auf \(K\). 2. Bestimmung der Tangentialebene \(T\): Der Normalenvektor \(\vec{n}_T\) entspricht dem Vektor \(\vec{MP} = \vec{p} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-(-2) \\ -3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). Die Ebenengleichung lautet \(-2x_1 + 4x_2 - 4x_3 + d = 0\). Einsetzen von \(P\) liefert \(-2(2) + 4(2) - 4(-3) + d = 0 \implies 16 + d = 0 \implies d = -16\). Gekürzt ergibt sich \(T: x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 8 = 0\). 3. Bestimmung der Ebenen \(F_1\) und \(F_2\): Parallele Ebenen zu \(T\) haben die Form \(x_1 - 2x_2 + 2x_3 + k = 0\). Mit der Abstandsformel von \(M(4|-2|1)\) zu einer solchen Ebene gilt: \(\frac{|4 - 2(-2) + 2(1) + k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 10 \implies \frac{|10 + k|}{3} = 10\). 4. Berechnung der Parameter: \(|10 + k| = 30\) führt zu \(k_1 = 20\) und \(k_2 = -40\). Die Gleichungen lauten \(F_1: x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 20 = 0\) und \(F_2: x_1 - 2x_2 + 2x_3 - 40 = 0\).

a) Einsetzen ergibt \(36 = 36\). b) \(T: x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 8 = 0\) (oder ein Vielfaches davon). c) \(F_1: x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 20 = 0\) und \(F_2: x_1 - 2x_2 + 2x_3 - 40 = 0\).

- Wie hängen der Abstand des Kugelmittelpunkts zur Ebene und der Kugelradius zusammen, wenn ein Schnittkreis entsteht? - Welche Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene kennst du? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras für die Beziehung zwischen Kugelradius, Ebenenabstand und Schnittkreisradius. - Wie findet man den Punkt auf einer Ebene, der einem gegebenen Punkt außerhalb am nächsten liegt?

1. Abstandsberechnung: Der Abstand \(d\) des Mittelpunkts \(M(1|2|3)\) von der Ebene \(E\) wird mit der Hesseschen Normalform berechnet: \(d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 12|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|18|}{3} = 6\). 2. Lagebeziehung: Da der Abstand \(d = 6\) kleiner als der Radius \(r = 7\) der Kugel ist, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 3. Radius des Schnittkreises: Mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck (bestehend aus \(d\), \(r_s\) und \(r\)) folgt \(r_s = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{7^2 - 6^2} = \sqrt{49 - 36} = \sqrt{13}\). 4. Mittelpunkt des Schnittkreises: \(M_s\) ist der Fußpunkt des Lotes von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Einsetzen in \(E\): \(2(1+2t) - (2-t) + 2(3+2t) + 12 = 0 \implies 2 + 4t - 2 + t + 6 + 4t + 12 = 0 \implies 9t + 18 = 0 \implies t = -2\). 5. Einsetzen von \(t\) in \(g\): \(\vec{m}_s = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Mittelpunkt ist \(M_s(-3|4|-1)\).

a) Da der Abstand \(d = 6\) kleiner als der Radius \(r = 7\) ist, schneidet die Ebene die Kugel. b) \(r_s = \sqrt{13} \approx 3{,}61\); \(M_s(-3|4|-1)\).

- Welche Informationen über die Kugel kannst du direkt aus der Gleichung ablesen? - Wie lässt sich der Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene bestimmen? - Überlege dir, unter welcher Bedingung eine Ebene eine Kugel schneidet, berührt oder gar nicht trifft. - Skizziere einen Querschnitt durch die Kugel und die Ebene. Welches geometrische Theorem hilft dir, den Radius des Schnittkreises zu berechnen? - Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist der Punkt auf der Ebene, der dem Kugelmittelpunkt am nächsten liegt. Wie findet man diesen Punkt mithilfe eines Normalenvektors?

1. Aus der Kugelgleichung werden der Mittelpunkt \(M(5 \mid -2 \mid 3)\) und der Radius \(R = \sqrt{225} = 15\) abgelesen. 2. Der Abstand \(d\) von \(M\) zur Ebene \(E\) wird mit der Abstandsformel berechnet: \(d = \frac{|6 \cdot 5 - 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 + 7|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \frac{49}{7} = 7\). 3. Da der Abstand \(d = 7\) kleiner als der Kugelradius \(R = 15\) ist, schneidet die Ebene die Kugel. 4. Der Radius \(r\) des Schnittkreises ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras zu \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{15^2 - 7^2} = \sqrt{176} = 4\sqrt{11} \approx 13{,}27\). 5. Zur Bestimmung des Mittelpunkts \(M_S\) wird eine Lotgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit der Ebene \(E\) geschnitten. Einsetzen von \(g\) in \(E\) liefert \(6(5 + 6t) - 3(-2 - 3t) + 2(3 + 2t) + 7 = 0\), woraus \(49t + 49 = 0\) und somit \(t = -1\) folgt. Einsetzen von \(t\) in die Geradengleichung ergibt \(M_S(-1 \mid 1 \mid 1)\).

Die Ebene schneidet die Kugel, da der Abstand \(d = 7\) kleiner als der Radius \(R = 15\) ist. Mittelpunkt des Schnittkreises: \(M_S(-1 \mid 1 \mid 1)\) Radius des Schnittkreises: \(r = 4\sqrt{11} \approx 13{,}27\)

- Wie kannst du den Radius und den Mittelpunkt der Kugel bestimmen? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform. - Was muss für den Abstand des Mittelpunkts zur Ebene gelten, damit ein Schnittkreis entsteht? - Stelle eine Gerade auf, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Wo trifft diese Gerade die Ebene? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Kugelradius, dem Abstand zur Ebene und dem Kreisradius?

1. Der Mittelpunkt der Kugel ist \(M(4 \mid 2 \mid -1)\), ihr Radius beträgt \(R = \sqrt{81} = 9\). 2. Der Abstand \(d\) von \(M\) zu \(E\) wird berechnet: \(d = \frac{|1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|4 + 4 - 2 + 3|}{3} = \frac{9}{3} = 3\). 3. Da \(d = 3 < 9 = R\), ist \(E\) eine Schnittebene. 4. Der Radius \(r\) des Schnittkreises berechnet sich zu \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\). 5. Der Mittelpunkt \(M_S\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Mit der Lotgeraden \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und Einsetzen in \(E\) erhält man \((4+t) + 2(2+2t) + 2(-1+2t) + 3 = 0\). Dies führt auf \(9t + 9 = 0\), also \(t = -1\). 6. Der Schnittkreismittelpunkt ist somit \(M_S(4-1 \mid 2-2 \mid -1-2) = (3 \mid 0 \mid -3)\).

Die Ebene schneidet die Kugel, da der Abstand \(d = 3\) kleiner als der Radius \(R = 9\) ist. Mittelpunkt des Schnittkreises: \(M_S(3 \mid 0 \mid -3)\) Radius des Schnittkreises: \(r = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\)

- Welche Eigenschaften teilen sich parallele Ebenen hinsichtlich ihrer Normalenvektoren? - Wie weit ist eine Tangentialebene vom Mittelpunkt der Kugel entfernt? - In welcher Richtung liegen die Berührpunkte vom Mittelpunkt aus gesehen, wenn die Ausrichtung der Ebene bekannt ist? - Wie kannst du einen Vektor auf eine bestimmte Länge bringen, um die Berührpunkte zu berechnen?

1. Bestimmung von Mittelpunkt \(M(2|0|-1)\) und Radius \(r = 6\) aus der Kugelgleichung. 2. Ablesen des Normalenvektors der Ebene \(E\): \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Länge des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3\). 4. Bestimmung der Berührpunkte \(B_{1,2}\) durch Abtragen des Radius in (Gegen-)Richtung des Einheitsnormalenvektors vom Mittelpunkt aus: \(\vec{OB} = \vec{OM} \pm \frac{r}{|\vec{n}|}\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \pm 2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Daraus ergeben sich \(B_1(6|2|-5)\) und \(B_2(-2|-2|3)\). 5. Aufstellen der Tangentialebenen mit dem Normalenvektor \(\vec{n}\) durch Einsetzen der Berührpunkte in die Form \(2x_1 + x_2 - 2x_3 = d\). 6. Für \(B_1\): \(2 \cdot 6 + 2 - 2 \cdot (-5) = 24\), also \(T_1: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 24\). 7. Für \(B_2\): \(2 \cdot (-2) + (-2) - 2 \cdot 3 = -12\), also \(T_2: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = -12\).

Berührpunkte: \(B_1(6|2|-5)\) und \(B_2(-2|-2|3)\) Tangentialebenen: \(T_1: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 24\) und \(T_2: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = -12\)

- Wie hängen der Abstand des Kugelmittelpunkts von der Ebene und der Kugelradius zusammen, wenn ein Schnittkreis entsteht? - Skizziere die Situation im Querschnitt: Kugelradius, Abstand zur Ebene und Schnittkreisradius bilden ein rechtwinkliges Dreieck. - Wo liegt das Zentrum des Schnittkreises in Bezug auf den Kugelmittelpunkt? - Damit eine Gerade in der Ebene die Kugel nicht trifft, muss sie außerhalb des Schnittkreises verlaufen.

1. Aus der Kugelgleichung werden der Mittelpunkt \(M(-1|4|2)\) und der Radius \(r = \sqrt{100} = 10\) abgelesen. 2. Der Abstand \(d\) des Mittelpunkts \(M\) zur Ebene \(E\) wird mit der Abstandsformel berechnet: \(d(M, E) = \frac{|3 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 31|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \frac{|-3 - 8 + 31|}{5} = \frac{20}{5} = 4\). 3. Da \(d = 4 < 10 = r\), ist \(E\) eine Schnittebene und schneidet die Kugel in einem Kreis. 4. Der Radius des Schnittkreises ergibt sich nach Pythagoras zu \(r_S = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \approx 9{,}17\). 5. Der Mittelpunkt des Schnittkreises \(M_S\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). Einsetzen in \(E\) liefert \(3(-1 + 3t) - 4(2 - 4t) + 31 = 0 \Rightarrow 25t + 20 = 0 \Rightarrow t = -\frac{4}{5}\). Somit ist \(M_S\left(-\frac{17}{5}\middle|4\middle|\frac{26}{5}\right)\). 6. Jede Gerade in \(E\), deren Abstand zu \(M_S\) größer als \(r_S = 2\sqrt{21}\) ist, schneidet die Kugel nicht. Ein Richtungsvektor in \(E\) ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Ein dazu senkrechter Verschiebungsvektor in \(E\) ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{w}| = 5\). Der Punkt \(P = M_S + 2\vec{w} = \left(\frac{23}{5}\middle|4\middle|\frac{56}{5}\right)\) liegt in \(E\) und hat von \(M_S\) den Abstand \(10 > 2\sqrt{21}\). Eine mögliche Gerade ist daher \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{23}{5} \\ 4 \\ \frac{56}{5} \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

a) Wegen \(d(M, E) = 4 < r = 10\) liegt ein Schnittkreis vor. b) \(r_S = 2\sqrt{21} \approx 9{,}17\). c) Eine mögliche Gerade ist \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{23}{5} \\ 4 \\ \frac{56}{5} \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

- Überprüfe zuerst, ob der angegebene Punkt tatsächlich auf beiden Kugeloberflächen liegt. - Berechne den Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und vergleiche ihn mit der Summe der Radien. - Überlege, welche Richtung der Normalenvektor einer Ebene haben muss, die eine Kugel in einem Punkt berührt. - Der Verbindungsvektor der Mittelpunkte liefert dir die Ausrichtung der Tangentialebene.

1. Identifikation der Mittelpunkte \(M_1(2|1|4)\) und \(M_2(10|7|4)\) sowie der Radien \(r_1 = 5\) und \(r_2 = 5\). 2. Nachweis, dass \(B\) auf beiden Kugeln liegt: \(|\vec{B} - \vec{M_1}|^2 = 4^2 + 3^2 + 0^2 = 25\) und \(|\vec{B} - \vec{M_2}|^2 = (-4)^2 + (-3)^2 + 0^2 = 25\). 3. Berechnung des Abstands der Mittelpunkte: \(d(M_1, M_2) = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\). Da \(d = r_1 + r_2 = 10\), berühren sich die Kugeln von außen. 4. Die Tangentialebene hat den Normalenvektor \(\vec{n} = \vec{M_1M_2} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\), gekürzt \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Aufstellen der Ebenengleichung mit \(B(6|4|4)\): \(4(x_1 - 6) + 3(x_2 - 4) + 0(x_3 - 4) = 0 \Rightarrow 4x_1 + 3x_2 - 36 = 0\).

Die Kugeln berühren sich im Punkt \(B(6 | 4 | 4)\), da der Abstand der Mittelpunkte \(d = 10\) der Summe der Radien \(r_1 + r_2 = 10\) entspricht und \(B\) auf beiden Kugeln liegt. Die Tangentialebene lautet \(E: 4x_1 + 3x_2 - 36 = 0\).

- Wie lässt sich der Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen? - Vergleiche den berechneten Abstand des Mittelpunkts zur Ebene mit dem Radius der Kugel. - Welche geometrische Figur entsteht, wenn eine Ebene eine Kugel schneidet? - Skizziere die Situation im Querschnitt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Kugelradius, dem Abstand zum Mittelpunkt und dem Radius der Schnittfigur?

1. Bestimmung des Abstands \(d\) des Mittelpunkts \(M(2| -1| 4)\) von der Ebene \(E\): \(2x_1 - 2x_2 + x_3 - 1 = 0\). 2. Einsetzen in die Abstandsformel: \(d = \frac{|2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 2 + 4 - 1|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3\). 3. Vergleich von Abstand \(d = 3\) und Radius \(r = 6\): Da \(d < r\), schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 4. Berechnung des Schnittkreisradius \(r_S\) mit dem Satz des Pythagoras: \(r_S = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\).

a) Die Ebene \(E\) schneidet die Kugel \(K\), da der Abstand \(d = 3\) kleiner als der Radius \(r = 6\) ist. b) Der Radius des Schnittkreises beträgt \(r_S = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\).

- Welche Information über den Mittelpunkt und den Radius kannst du direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Was muss für den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und einer Tangentialebene gelten? - Nutze die Formel für den Punkt-Ebene-Abstand, um eine Gleichung für den Parameter aufzustellen. - Denk daran, dass eine Betragsgleichung in der Regel zwei Lösungen besitzt.

1. Identifikation von Mittelpunkt und Radius der Kugel aus der Gleichung: \(M(1| -2| 3)\) und \(r = \sqrt{25} = 5\). 2. Eine Ebene ist genau dann eine Tangentialebene, wenn der Abstand des Mittelpunkts zur Ebene exakt dem Radius entspricht: \(d(M, F_c) = r\). 3. Aufstellen der Abstandsformel für den Punkt \(M\) und die Ebene \(F_c\): \(d = \frac{|4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) - 3 \cdot 3 + c|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2}} = \frac{|c - 5|}{5}\). 4. Gleichsetzen mit dem Radius \(r = 5\): \(\frac{|c - 5|}{5} = 5 \implies |c - 5| = 25\). 5. Lösen der Betragsgleichung: \(c - 5 = 25 \implies c_1 = 30\) oder \(c - 5 = -25 \implies c_2 = -20\).

Die Ebene \(F_c\) ist eine Tangentialebene für \(c_1 = 30\) und \(c_2 = -20\).

- Welche Informationen über die Kugel kannst du direkt aus ihrer Gleichung ablesen? - Wie lässt sich mathematisch prüfen, ob eine Ebene eine Kugel schneidet, berührt oder an ihr vorbeiläuft? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im Zusammenhang mit dem Kugelradius, dem Abstand der Ebene zum Mittelpunkt und dem Radius des Schnittkreises. - Wie findet man den Punkt in einer Ebene, der einem gegebenen Punkt außerhalb der Ebene am nächsten liegt?

1. Bestimmung von Mittelpunkt \(M(1|2|3)\) und Radius \(R = \sqrt{49} = 7\) der Kugel aus der Gleichung. 2. Berechnung des Abstands \(d\) des Mittelpunkts \(M\) zur Ebene \(E\) mittels der Hesseschen Normalform: \(d = \frac{|2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 3 - 12|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|-6|}{3} = 2\). 3. Da \(d = 2 < 7 = R\), schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 4. Berechnung des Schnittkreisradius: \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{49 - 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). 5. Der Mittelpunkt \(M_s\) des Schnittkreises ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) wird mit \(E\) geschnitten: \(2(1+2t) - (2-t) + 2(3+2t) = 12 \Rightarrow 9t + 6 = 12 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\). 6. Einsetzen von \(t\) in die Geradengleichung liefert \(M_s\left(\frac{7}{3} \big| \frac{4}{3} \big| \frac{13}{3}\right)\).

Der Schnittkreis hat den Radius \(r = 3\sqrt{5}\) und den Mittelpunkt \(M_s\left(\frac{7}{3} \big| \frac{4}{3} \big| \frac{13}{3}\right)\).

- Skizziere einen Querschnitt der Pyramide durch die Mitte der gegenüberliegenden Seitenkanten. Welches geometrische Objekt entsteht? - Welche besondere Eigenschaft hat der Mittelpunkt eines Kreises, der alle Seiten eines Dreiecks berührt? - Stelle die Ebenengleichung für eine der Dachflächen auf, zum Beispiel in der Hesseschen Normalform. - Was bedeutet es für die Koordinaten des Mittelpunkts, wenn die Kugel den Boden berührt?

1. Koordinatensystem wählen: Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene, Mittelpunkt der Basis bei \(M(0|0|0)\). Die Spitze liegt bei \(S(0|0|60)\). Eine Grundkante verläuft parallel zur \(x_2\)-Achse durch \(x_1 = 80\). 2. Seitenebene aufstellen: Eine der Seitenflächen verläuft durch die Punkte \((80|-80|0)\), \((80|80|0)\) und \((0|0|60)\). Die zugehörige Spurgerade in der \(x_1x_3\)-Ebene verläuft durch \((80|0|0)\) und \((0|0|60)\). Die Ebenengleichung ist \(60x_1 + 80x_3 = 4800\) bzw. \(3x_1 + 4x_3 - 240 = 0\). 3. Hessesche Normalform: \(\frac{3x_1 + 4x_3 - 240}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3x_1 + 4x_3 - 240}{5} = 0\). 4. Mittelpunkt und Radius: Der Mittelpunkt \(P\) liegt bei \((0|0|r)\), da er die Grundfläche \(x_3=0\) berührt und auf der Symmetrieachse liegt. Sein Abstand zur Seitenfläche muss ebenfalls \(r\) sein. 5. Berechnung: \(r = \left| \frac{3 \cdot 0 + 4r - 240}{5} \right|\). Da der Mittelpunkt innerhalb liegt, ist der Zähler negativ: \(r = \frac{240 - 4r}{5} \implies 5r = 240 - 4r \implies 9r = 240 \implies r = \frac{80}{3} \approx 26{,}67\). 6. Ergebnis: Der Radius beträgt \(\frac{80}{3}\,\text{m}\) (ca. \(26{,}67\,\text{m}\)), und der Mittelpunkt liegt in dieser Höhe über dem Boden.

Der Radius beträgt \(r = \frac{80}{3}\,\text{m} \approx 26{,}67\,\text{m}\). Der Mittelpunkt liegt auf der Höhe \(h = \frac{80}{3}\,\text{m} \approx 26{,}67\,\text{m}\) über dem Boden.

- Welche besondere Eigenschaft hat der Mittelpunkt einer Kugel, die die drei Koordinatenebenen berührt? - Stelle die Gleichung der Ebene auf, die nicht auf den Koordinatenachsen liegt. - Welche Formel hilft dir dabei, den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu berechnen? - Setze die Abstände zu den verschiedenen Flächen gleich, um eine Gleichung für den unbekannten Radius aufzustellen.

1. Da die Kugel die drei Koordinatenebenen (\(xy\)-, \(xz\)- und \(yz\)-Ebene) berührt und im ersten Oktanten liegt, muss ihr Mittelpunkt \(M(r|r|r)\) lauten. 2. Aufstellen der Gleichung für die vierte Begrenzungsfläche durch \(X, Y, Z\): Die Achsenabschnittsform lautet \(\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\), was multipliziert mit 6 die Koordinatenform \(2x + 2y + z - 6 = 0\) ergibt. 3. Der Normalenvektor dieser Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\). 4. Der Abstand von \(M(r|r|r)\) zu dieser Ebene muss ebenfalls \(r\) entsprechen: \(d = \frac{|2r + 2r + r - 6|}{3} = r\). 5. Da der Mittelpunkt unterhalb der Ebene liegt (nahe dem Ursprung), ist der Ausdruck im Betrag negativ: \(\frac{6 - 5r}{3} = r\). 6. Lösen der Gleichung: \(6 - 5r = 3r \implies 8r = 6 \implies r = 0{,}75\). 7. Der Radius der Inkugel beträgt \(r = 0{,}75\).

\(r = 0{,}75\)

- Wandle die allgemeine Form der Kugelgleichung zuerst in die Mittelpunktsform um, um wichtige Kenngrößen zu erhalten. - Wie lässt sich der Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnen? Vergleiche diesen Abstand mit dem Kugelradius, um die Lage zu bestimmen. - Wenn ein Schnittkreis vorliegt, bilden Kugelradius, Kreisradius und Abstand ein rechtwinkliges Dreieck. - Der Mittelpunkt des Schnittkreises liegt auf einer Geraden, die senkrecht zur Ebene durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Wie nennt man eine solche Gerade?

1. Bestimmung von Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) der Kugel durch quadratische Ergänzung: \((x_1-1)^2 - 1 + (x_2+2)^2 - 4 + (x_3-3)^2 - 9 - 35 = 0 \implies (x_1-1)^2 + (x_2+2)^2 + (x_3-3)^2 = 49\). Somit ist \(M(1 | -2 | 3)\) und \(r = 7\). 2. Berechnung des Abstands \(d\) von \(M\) zur Ebene \(E\): \(d = \frac{|3 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) - 4 \cdot 3 - 12|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 12 - 12|}{5} = \frac{21}{5} = 4{,}2\). 3. Da \(d < r\) (\(4{,}2 < 7\)), schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 4. Der Radius \(\rho\) des Schnittkreises berechnet sich zu \(\rho = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{49 - 4{,}2^2} = \sqrt{49 - 17{,}64} = \sqrt{31{,}36} = 5{,}6\). 5. Der Mittelpunkt \(Z\) des Schnittkreises ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). 6. Einsetzen von \(g\) in \(E\): \(3(1 + 3\lambda) - 4(3 - 4\lambda) = 12 \implies 3 + 9\lambda - 12 + 16\lambda = 12 \implies 25\lambda = 21 \implies \lambda = 0{,}84\). 7. Einsetzen von \(\lambda\) in \(g\) ergibt \(Z(1 + 3 \cdot 0{,}84 | -2 | 3 - 4 \cdot 0{,}84) = Z(3{,}52 | -2 | -0{,}36)\).

Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis. Der Radius des Schnittkreises beträgt \(\rho = 5{,}6\). Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist \(Z(3{,}52 | -2 | -0{,}36)\).

- Wie kannst du eine Kugelgleichung in der allgemeinen Form in die Mittelpunktsform überführen? - Um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Parameterform zu finden, ist es oft hilfreich, diese zuerst in die Koordinatenform umzuwandeln. - Was sagt das Verhältnis zwischen dem Abstand des Mittelpunkts zur Ebene und dem Kugelradius über die Schnittmenge aus? - Wenn eine Ebene keinen gemeinsamen Punkt mit einer Kugel hat, wie erhältst du den Abstand der Kugeloberfläche zur Ebene aus \(d\) und \(R\)?

1. Umformung der Kugelgleichung durch quadratische Ergänzung: \((x_1-1)^2 - 1 + (x_2-2)^2 - 4 + (x_3+2)^2 - 4 - 7 = 0 \implies (x_1-1)^2 + (x_2-2)^2 + (x_3+2)^2 = 16\). Somit ist \(M(1|2|-2)\) und \(R = 4\). 2. Umwandlung der Ebene \(E\) in Koordinatenform: Ein Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((5|0|6)\) folgt \(E: -3x_2 + 4x_3 - 24 = 0\). 3. Berechnung des Abstands \(d\) von \(M\) zu \(E\): \(d = \frac{|-3 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) - 24|}{\sqrt{0^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{|-6 - 8 - 24|}{5} = \frac{38}{5} = 7{,}6\). 4. Vergleich von Abstand und Radius: Da \(d = \frac{38}{5} > R = 4\), hat die Ebene keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel. 5. Der Abstand der Kugeloberfläche zur Ebene ist \(d - R = \frac{38}{5} - 4 = \frac{18}{5} = 3{,}6\).

Die Ebene \(E\) hat keinen gemeinsamen Punkt mit \(K\). Der Abstand der Kugeloberfläche zur Ebene beträgt \(\frac{18}{5} = 3{,}6\).

- Bevor du den Normalenvektor bestimmen kannst, musst du die Kugelgleichung so umformen, dass du den Mittelpunkt direkt ablesen kannst. - Welches mathematische Verfahren hilft dabei, eine quadratische Form wie \(x_1^2 + 10x_1\) in ein Binom zu verwandeln? - Sobald du den Mittelpunkt hast, entspricht der Vektor vom Mittelpunkt zum Berührpunkt dem Normalenvektor der Ebene. - Du kannst den Normalenvektor kürzen, um mit einfacheren Zahlen zu rechnen.

1. Die Kugelgleichung durch quadratische Ergänzung in die Standardform überführen: \((x_1 + 5)^2 - 25 + (x_2 - 4)^2 - 16 + (x_3 + 1)^2 - 1 = 102\), woraus folgt \((x_1 + 5)^2 + (x_2 - 4)^2 + (x_3 + 1)^2 = 144\). 2. Den Mittelpunkt \(M(-5|4|-1)\) ablesen. 3. Den Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnen: \(\vec{n} = \vec{MB} = \vec{B} - \vec{M} = \begin{pmatrix} 3 - (-5) \\ 12 - 4 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}\). 4. Zur Vereinfachung kann ein kollinearer Normalenvektor verwendet werden: \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Die Ebenengleichung \(2x_1 + 2x_2 + x_3 = d\) aufstellen und \(B\) einsetzen: \(d = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 12 + 3 = 33\). 6. Die resultierende Gleichung ist \(E: 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 33\) (oder ein Vielfaches davon).

\(E: 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 33\) (oder \(8x_1 + 8x_2 + 4x_3 = 132\))

- Nutze die quadratische Ergänzung, um Mittelpunkt und Radius der Kugel zu finden. - Wenn eine Ebene senkrecht auf einem Vektor steht, was sagt das über ihren Normalenvektor aus? - Überlege, wie du vom Mittelpunkt aus zu den Punkten auf der Kugeloberfläche gelangst, die in Richtung des Normalenvektors liegen. - Wie sieht die Koordinatengleichung einer Ebene aus, wenn eine Koordinate im Normalenvektor Null ist?

1. Überführung der Kugelgleichung in die Normalform durch quadratische Ergänzung: \((x_1+2)^2 - 4 + (x_2-1)^2 - 1 + (x_3+3)^2 - 9 = 11 \Rightarrow (x_1+2)^2 + (x_2-1)^2 + (x_3+3)^2 = 25\). Mittelpunkt \(M(-2|1|-3)\), Radius \(r = 5\). 2. Der Normalenvektor der gesuchten Ebenen muss parallel zu \(\vec{v}\) sein, da die Ebenen senkrecht auf \(\vec{v}\) stehen: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\). Die Bedingung der Parallelität zur \(x_2\)-Achse ist erfüllt, da die \(x_2\)-Komponente von \(\vec{n}\) null ist. 3. Berechnung des Betrags von \(\vec{n}\): \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = 5\). Da \(|\vec{n}| = r\), können die Berührpunkte direkt berechnet werden. 4. Berührpunkte: \(\vec{OB} = \vec{OM} \pm \vec{n}\). \(B_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}\) und \(B_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Aufstellen der Ebenengleichungen \(4x_1 - 3x_3 = d\): Für \(B_1\): \(4(2) - 3(-6) = 26 \Rightarrow T_1: 4x_1 - 3x_3 = 26\). Für \(B_2\): \(4(-6) - 3(0) = -24 \Rightarrow T_2: 4x_1 - 3x_3 = -24\).

Berührpunkte: \(B_1(2|1|-6)\) und \(B_2(-6|1|0)\) Tangentialebenen: \(T_1: 4x_1 - 3x_3 = 26\) und \(T_2: 4x_1 - 3x_3 = -24\)

- Benutze die quadratische Ergänzung, um die Kugelgleichung in die Standardform zu bringen. - Berechne den Abstand des Mittelpunkts zur Ebene und vergleiche ihn mit dem Radius. - Der Punkt auf der Kugel, der einer Ebene am nächsten ist, liegt immer auf dem Lot vom Mittelpunkt zur Ebene. - Wie kann man den minimalen Abstand direkt aus dem Abstand des Mittelpunkts und dem Radius bestimmen?

1. Umformung der Kugelgleichung durch quadratische Ergänzung: \(x_1^2 + (x_2 - 3)^2 - 9 + (x_3 + 4)^2 - 16 = 0 \Rightarrow x_1^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 + 4)^2 = 25\). Mittelpunkt \(M(0|3|-4)\), Radius \(r = 5\). 2. Abstand von \(M\) zu \(F\): \(d(M, F) = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 - 2 \cdot (-4) + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 8 + 5|}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}\). 3. Da \(d(M, F) = 5\frac{1}{3} > 5 = r\), haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte. 4. Der Punkt \(P\) auf der Kugel mit dem minimalen Abstand zu \(F\) liegt auf der Lotgeraden von \(M\) auf \(F\). Lotgerade: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 5. Der Einheitsnormalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da \(2 \cdot 0 + 3 - 2 \cdot (-4) + 5 = 16 > 0\) gilt, gelangt man von \(M\) in Richtung der Ebene, indem man entgegen der Normalenrichtung geht. 6. Daher liegt der gesuchte Kugelpunkt bei \(P = \vec{m} - 5\vec{n}_0\). 7. \(P = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \frac{5}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10/3 \\ 4/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \approx (-3{,}33|1{,}33|-0{,}67)\). 8. Der minimale Abstand ist \(d_{\text{min}} = d(M, F) - r = \frac{16}{3} - 5 = \frac{1}{3}\).

a) \(M(0|3|-4)\), \(r = 5\). b) Die Ebene \(F\) hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel, da \(d(M, F) = \frac{16}{3} > 5\). c) Der Punkt ist \(P\left(-\frac{10}{3} \big| \frac{4}{3} \big| -\frac{2}{3}\right)\), der minimale Abstand beträgt \(d_{\text{min}} = \frac{1}{3}\).

- Bestimme zunächst die Mittelpunkte und die exakten Radien beider Kugeln. - Es gibt zwei Arten, wie sich Kugeln berühren können: von außen oder von innen. Prüfe die Abstände. - Der Berührpunkt muss auf der Geraden liegen, die durch beide Mittelpunkte verläuft. - Nutze das Verhältnis der Radien, um die Position des Berührpunkts auf dieser Geraden zu finden.

1. Bestimmung der Mittelpunkte \(M_1(1|2|3)\), \(M_2(3|4|5)\) und Radien \(r_1 = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), \(r_2 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). 2. Abstand der Mittelpunkte: \(d(M_1, M_2) = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). 3. Da \(d = |r_1 - r_2| = |4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}\), berühren sich die Kugeln von innen. 4. Der Berührpunkt \(B\) liegt auf der Geraden durch \(M_1\) und \(M_2\). Da \(r_1 = 2 \cdot d\), gilt \(\vec{B} = \vec{M_1} + 2\vec{M_1M_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}\). 5. Die Tangentialebene hat den Normalenvektor \(\vec{n} = \vec{M_1M_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 6. Gleichung mit \(B(5|6|7)\): \(1(x_1 - 5) + 1(x_2 - 6) + 1(x_3 - 7) = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 - 18 = 0\).

a) Die Kugeln berühren sich von innen, da der Abstand der Mittelpunkte \(d = 2\sqrt{3}\) genau der Differenz der Radien \(|r_1 - r_2| = 2\sqrt{3}\) entspricht. b) Der Berührpunkt ist \(B(5 | 6 | 7)\). c) Die Tangentialebene lautet \(E: x_1 + x_2 + x_3 - 18 = 0\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Radius einer Kugel und dem Abstand ihres Mittelpunktes zu einer Tangentialebene? - Wie findet man den Punkt auf einer Ebene, der einem gegebenen Punkt außerhalb am nächsten liegt? - Nutze eine Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Mittelpunkt verläuft. - Wenn du den Berührpunkt kennst, wie weit muss man vom Mittelpunkt aus „durch“ diesen Punkt gehen, um zum gespiegelten Punkt zu gelangen?

1. Der Radius der Kugel entspricht dem Abstand des Mittelpunktes zur Ebene: \(r = d(M, E) = \frac{|1 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|-9|}{3} = 3\). 2. Aufstellen der Lotgeraden \(g\) durch \(M\) mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Schnitt von \(g\) mit \(E\): \((1 + t) - 2(-2t) + 2(2t) - 10 = 0 \Rightarrow 1 + t + 4t + 4t - 10 = 0 \Rightarrow 9t = 9 \Rightarrow t = 1\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(B(2|-2|2)\). 4. Der gespiegelte Mittelpunkt \(M'\) ergibt sich durch Verdoppelung des Vektors \(\vec{MB}\): \(\vec{OM'} = \vec{OM} + 2 \cdot \vec{MB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) Der Radius der Kugel beträgt \(r = 3\). b) Der Berührpunkt ist \(B(2|-2|2)\). c) Der gespiegelte Mittelpunkt ist \(M'(3|-4|4)\).

- Kannst du die Kugelgleichung so umformen, dass du den Mittelpunkt und den Radius direkt ablesen kannst? - Überlege dir, wie du den Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnest. - Wenn du dir einen Querschnitt durch die Kugel und die Ebene vorstellst, welches geometrische Gebilde entsteht für die Radien und den Abstand? - Wie hängen der Normalenvektor der Ebene und die Verbindungslinie zwischen Kugelmittelpunkt und Schnittkreismittelpunkt zusammen?

1. Umformung der Kugelgleichung durch quadratische Ergänzung: \(x_1^2 + (x_2 - 3)^2 - 9 + (x_3 + 2)^2 - 4 = 12 \Rightarrow x_1^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 + 2)^2 = 25\). 2. Ablesen von Mittelpunkt \(M(0|3|-2)\) und Radius \(R = 5\). 3. Berechnung des Abstands \(d\) von \(M\) zu \(E\): \(d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{6}{3} = 2\). 4. Vergleich: \(d = 2 < 5 = R\), somit existiert ein Schnittkreis. 5. Berechnung des Schnittkreisradius: \(r = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\). 6. Bestimmung von \(M_s\) über die Lotgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Schnitt mit \(E\): \((t) + 2(3+2t) - 2(-2-2t) = 4 \Rightarrow 9t + 10 = 4 \Rightarrow t = -\frac{2}{3}\). 7. Koordinaten von \(M_s = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} - \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 5/3 \\ -2/3 \end{pmatrix}\).

Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis mit Radius \(r = \sqrt{21}\) und Mittelpunkt \(M_s\left(-\frac{2}{3} \big| \frac{5}{3} \big| -\frac{2}{3}\right)\).