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- Vergleiche den Mittelpunkt-Ebenen-Abstand mit dem Radius. - Welche Lage entsteht, wenn beide Längen gleich groß sind?

1. Der Abstand des Mittelpunkts von der Ebene ist gleich dem Kugelradius. 2. Daher besitzt die Ebene genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kugeloberfläche und ist eine Tangentialebene.

Die Ebene \(E\) berührt die Kugel; sie ist eine Tangentialebene.

- Deute die Gerade \(e\) als Schnittbild der Ebene \(E\) in der dargestellten Ebene. - Wie viele gemeinsame Punkte hat \(e\) im Querschnitt mit dem Kreisrand? - Welche räumliche Lage einer Ebene zur Kugel entspricht diesem Schnittbild?

1. Im senkrechten Schnitt verläuft die Gerade \(e\) durch das Innere des Kreises und hat zwei Schnittpunkte mit dem Kreisrand. 2. Räumlich bedeutet das, dass die Ebene \(E\) die Kugel in einem Kreis schneidet.

Die Ebene \(E\) schneidet die Kugel in einem Kreis.

- Deute die Gerade \(e\) als Schnittbild der Ebene \(E\) in der dargestellten Ebene. - Welche gemeinsamen Punkte besitzt \(e\) mit dem Kreisquerschnitt? - Was sagt diese Lage über den Vergleich von Mittelpunkt-Ebenen-Abstand und Kugelradius aus?

1. Im dargestellten senkrechten Schnitt liegt die Gerade \(e\) vollständig außerhalb des Kreisquerschnitts und hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreisrand. 2. Damit ist der Abstand des Kugelmittelpunkts von der Ebene größer als der Kugelradius. 3. Räumlich bedeutet das, dass die Ebene \(E\) die Kugel verfehlt und keinen gemeinsamen Punkt mit ihr besitzt.

Die Ebene \(E\) verfehlt die Kugel; sie hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel.

- Deute \(e\) als Schnittbild der Ebene \(E\) in der dargestellten Schnittebene. - Wie viele gemeinsame Punkte besitzt \(e\) mit dem Kreisrand? - Welche räumliche Lage von Ebene und Kugel entspricht genau diesem Fall?

1. Im dargestellten senkrechten Schnitt hat die Gerade \(e\) genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreisrand. 2. Räumlich bedeutet dies, dass die Ebene \(E\) die Kugel in genau einem Punkt berührt. 3. Daher ist \(E\) eine Tangentialebene der Kugel.

Die Ebene \(E\) berührt die Kugel; sie ist eine Tangentialebene.

- Welche Richtung hat der Radius im Berührpunkt relativ zur Tangentialebene? - Welcher Vektor lässt sich aus Mittelpunkt und Berührpunkt bilden? - Wie bestimmst du anschließend den konstanten Term einer Koordinatengleichung durch den bekannten Punkt \(B\)?

1. Der Kugelmittelpunkt ist \(M(3|-1|2)\). 2. Der Radiusvektor zum Berührpunkt ist \(\vec{MB}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\). Er ist ein Normalenvektor der Tangentialebene. 3. Eine Koordinatengleichung hat daher die Form \(2x_1+3x_2+6x_3=c\). 4. Einsetzen von \(B\) ergibt \(c=2\cdot5+3\cdot2+6\cdot8=64\). 5. Somit lautet die Tangentialebene \(E:2x_1+3x_2+6x_3=64\).

\(E:2x_1+3x_2+6x_3=64\)

- Welche zwei Längen entscheiden bei einer Ebene und einer Kugel über die Lagebeziehung? - Betrachte die drei möglichen Vergleiche „kleiner“, „gleich“ und „größer“ getrennt. - Welche Schnittfigur passt jeweils zu diesen drei Vergleichsfällen?

1. Für \(E_1\) gilt \(d(M,E_1)=3<5=r\). Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis. 2. Für \(E_2\) gilt \(d(M,E_2)=5=r\). Die Ebene berührt die Kugel in genau einem Punkt und ist eine Tangentialebene. 3. Für \(E_3\) gilt \(d(M,E_3)=7>5=r\). Die Ebene hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel.

\(E_1\): Schnitt in einem Kreis, weil \(d(M,E_1)<r\). \(E_2\): Berührung in einem Punkt, weil \(d(M,E_2)=r\). \(E_3\): kein gemeinsamer Punkt, weil \(d(M,E_3)>r\).

- Welche räumliche Figur entsteht als Schnitt von \(E\) mit der Kugel, und wie erscheint sie in diesem senkrechten Mittelschnitt? - Welche Bedeutung haben die beiden Punkte \(A\) und \(B\) für diesen Schnittkreis? - Welche der sichtbaren Strecken verbindet den Mittelpunkt dieses Kreises mit seinem Rand? - Erst nachdem du diese Strecke identifiziert hast: Welche rechtwinklige Beziehung liefert ihre Länge aus den beiden eingezeichneten Angaben?

1. Der räumliche Schnittkreis liegt in \(E\). Im senkrechten Mittelschnitt wird ein Durchmesser dieses Schnittkreises durch die beiden Punkte \(A\) und \(B\) dargestellt; sein Mittelpunkt ist \(Z\). Daher gilt \(\rho=|ZA|=|ZB|\). 2. Da \(Z\) der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(e\) ist, steht \(MZ\) senkrecht auf \(ZA\). Das Dreieck \(MZA\) ist rechtwinklig. 3. Aus der Abbildung liest man \(MA=r=5\,\text{LE}\) und \(MZ=d=3\,\text{LE}\) ab. 4. Mit dem Satz des Pythagoras folgt \(\rho^2=|ZA|^2=5^2-3^2=16\,\text{LE}^2\). 5. Somit ist \(\rho=4\,\text{LE}\).

a) \(\rho=|ZA|=|ZB|\), weil \(AB\) im senkrechten Mittelschnitt einen Durchmesser des räumlichen Schnittkreises darstellt und \(Z\) dessen Mittelpunkt ist. b) \(\rho=4\,\text{LE}\)

- Warum steht \(MZ\) nicht nur auf der Ebene, sondern auch auf jeder durch \(Z\) verlaufenden Strecke innerhalb von \(E\) senkrecht? - Welche zwei Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks \(MZA\) sind für jeden Schnittkreispunkt \(A\) gleich vorgegeben? - Was folgt für einen Punkt in einer Ebene, wenn alle Punkte eines Kreises denselben Abstand von ihm haben?

1. Für jeden Schnittkreispunkt \(A\) gilt \(A\in E\). Da \(MZ\perp E\) ist und \(Z,A\in E\) liegen, steht \(MZ\) senkrecht auf \(ZA\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(MZA\) gilt \(MA=r=6\,\text{LE}\) und \(MZ=d(M,E)=3\,\text{LE}\). 3. Daher folgt für jeden möglichen Punkt \(A\): \(|ZA|^2=|MA|^2-|MZ|^2=36-9=27\,\text{LE}^2\), also \(|ZA|=3\sqrt3\,\text{LE}\). 4. Alle Punkte des Schnittkreises besitzen somit in der Ebene \(E\) denselben Abstand von \(Z\). Deshalb ist \(Z(-2|1|0)\) der Mittelpunkt des Schnittkreises und \(\rho=3\sqrt3\,\text{LE}\).

Für jeden Schnittkreispunkt \(A\) gilt \(|ZA|=3\sqrt3\,\text{LE}\). Daher ist \(Z(-2|1|0)\) der Schnittkreismittelpunkt und \(\rho=3\sqrt3\,\text{LE}\).

- Welche Daten der Kugel kannst du direkt aus der Gleichung ablesen? - Wie hängt bei einer Tangentialebene der Abstand des Kugelmittelpunkts von der Ebene mit dem Kugelradius zusammen? - Betrachte für Teil b) einen senkrechten Schnitt durch den Kugelmittelpunkt und den Schnittkreis. Welche drei Längen bilden darin ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Die Kugel hat den Mittelpunkt \(M(2|-1|4)\) und den Radius \(r=5\). 2. Der Abstand des Mittelpunkts von \(E_k\) ist \(d(M,E_k)=\frac{|10-k|}{3}\). 3. Für eine Tangentialebene gilt \(d(M,E_k)=r\). Daher ist \(|10-k|=15\), also \(k=-5\) oder \(k=25\). 4. Bei einem Schnittkreis bilden Kugelradius \(r\), Mittelpunkt-Ebene-Abstand \(d\) und Schnittkreisradius \(\rho\) ein rechtwinkliges Dreieck. Für \(r=5\) und \(\rho=4\) folgt \(d=3\). 5. Damit gilt \(\frac{|10-k|}{3}=3\), also \(|10-k|=9\). Daher ist \(k=1\) oder \(k=19\).

a) \(k=-5\) oder \(k=25\) b) \(k=1\) oder \(k=19\)

- Welche Größen von \(K\) lassen sich direkt aus der Mittelpunktsform ablesen? - Vergleiche den Abstand des Mittelpunkts von \(E\) mit dem Kugelradius. - Welche geometrische Beziehung besteht im senkrechten Mittelpunktschnitt zwischen \(r\), \(d(M,E)\) und \(\rho\)?

1. Die Kugel hat den Mittelpunkt \(M(2|-3|1)\) und den Radius \(r=10\). 2. Der Mittelpunkt-Ebene-Abstand ist \(d(M,E)=\frac{|12+9+2+15|}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{38}{7}\approx5{,}43\). 3. Da \(d(M,E)<r\), schneiden sich Kugel und Ebene in einem Kreis. 4. Für den Schnittkreis gilt \(\rho=\sqrt{r^2-d(M,E)^2}=\sqrt{100-\frac{1444}{49}}=\frac{24\sqrt{6}}{7}\approx8{,}40\).

Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis mit \(\rho=\frac{24\sqrt{6}}{7}\,\text{LE}\approx8{,}40\,\text{LE}\).

- In welcher Form der Kugelgleichung kannst du den Mittelpunkt unmittelbar ablesen? - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen dem Radius im Berührpunkt und einer Tangentialebene? - Welcher Vektor aus Mittelpunkt und Berührpunkt liefert dir daher eine geeignete Richtung für die Ebene? - Wie kannst du den konstanten Term der Koordinatengleichung mithilfe von \(B\) bestimmen?

1. Durch quadratische Ergänzung folgt \((x_1+5)^2+(x_2-4)^2+(x_3+1)^2=144\). 2. Damit ist der Mittelpunkt \(M(-5|4|-1)\). 3. Der Radiusvektor zum Berührpunkt ist \(\vec{MB}=\begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}\). Ein vereinfachter Normalenvektor der Tangentialebene ist daher \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). 4. Eine Koordinatengleichung hat die Form \(2x_1+2x_2+x_3=c\). 5. Einsetzen von \(B\) ergibt \(c=2\cdot3+2\cdot12+3=33\). 6. Somit lautet die Tangentialebene \(E:2x_1+2x_2+x_3=33\).

\(E:2x_1+2x_2+x_3=33\) (oder ein Vielfaches davon)

- Welche Form der Kugelgleichung macht Mittelpunkt und Radius direkt sichtbar? - Wie erhältst du den Abstand eines Punktes von einer Ebene in Koordinatenform? - Welche drei Lagefälle ergeben sich aus dem Vergleich von Mittelpunkt-Ebene-Abstand und Kugelradius?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \((x_1-2)^2+(x_2+3)^2+(x_3-1)^2=25\). Daher gilt \(M(2|-3|1)\) und \(r=5\). 2. Mit der Hesse-Normalform berechnet sich der Abstand zu \(d(M,E)=\frac{|2\cdot2-2\cdot(-3)+1-25|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{14}{3}\). 3. Da \(\frac{14}{3}<5\) gilt, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis.

a) \(M(2|-3|1)\), \(r=5\) b) \(d(M,E)=\frac{14}{3}\,\text{LE}\); da \(d(M,E)<r\), schneidet die Ebene die Kugel.

- Wann berührt eine Ebene eine Kugel genau in einem Punkt? - Wie hängen der Normalenvektor einer Tangentialebene und der Vektor vom Mittelpunkt zum Berührpunkt zusammen? - Welche Koordinate des Mittelpunkts ist entscheidend für den Abstand zu einer Ebene, die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene liegt? - Überlege dir, in welchem Bereich die \(x_3\)-Werte der Kugelpunkte liegen müssen.

1. Der Abstand des Mittelpunkts \(M(4|0|-2)\) zur Ebene \(E: x_1 = 10\) ist \(d = |4 - 10| = 6\). Da der Abstand exakt dem Radius \(r = 6\) entspricht, ist \(E\) eine Tangentialebene. 2. Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Berührpunkt ergibt sich durch \(\vec{OB} = \vec{OM} + 6 \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Also \(B(10|0|-2)\). 3. Eine Ebene \(x_3 = k\) hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel, wenn ihr Abstand zum Mittelpunkt größer als der Radius ist. Der Abstand von \(M\) zu \(F_k\) ist \(d = |k - (-2)| = |k + 2|\). 4. Bedingung: \(|k + 2| > 6\). Dies führt zu \(k + 2 > 6 \Rightarrow k > 4\) oder \(k + 2 < -6 \Rightarrow k < -8\).

a) Der Abstand \(d = 6\) entspricht dem Radius \(r\). Berührpunkt \(B(10|0|-2)\). b) \(k < -8\) oder \(k > 4\).

- Welche Bedingung muss ein Punkt erfüllen, damit er auf der Kugeloberfläche liegt? - Welche Richtung hat der Radius im Berührpunkt relativ zur Tangentialebene? - Welche Eigenschaft haben die Normalenvektoren paralleler Ebenen? - Wie kannst du die beiden möglichen Ebenen aus dem vorgeschriebenen Abstand zum Mittelpunkt bestimmen?

1. Einsetzen von \(P\) ergibt \((2-4)^2+(2+2)^2+(-3-1)^2=4+16+16=36\). Damit liegt \(P\) auf der Kugel. 2. Der Mittelpunkt ist \(M(4|-2|1)\), also \(\vec{MP}=\begin{pmatrix}-2\\4\\-4\end{pmatrix}\). Dieser Radiusvektor ist ein Normalenvektor der Tangentialebene. 3. Mit \(-2x_1+4x_2-4x_3+c=0\) und \(P\) folgt \(-4+8+12+c=0\), also \(c=-16\). Gekürzt lautet die Tangentialebene \(T:x_1-2x_2+2x_3+8=0\). 4. Jede zu \(T\) parallele Ebene hat die Form \(x_1-2x_2+2x_3+k=0\). Für den Abstand von \(M\) gilt \(\frac{|4-2(-2)+2\cdot1+k|}{3}=10\), also \(|10+k|=30\). 5. Daraus folgen \(k=20\) oder \(k=-40\). Somit sind \(F_1:x_1-2x_2+2x_3+20=0\) und \(F_2:x_1-2x_2+2x_3-40=0\).

a) Einsetzen ergibt \(36=36\); daher liegt \(P\) auf \(K\). b) \(T:x_1-2x_2+2x_3+8=0\) (oder ein Vielfaches davon) c) \(F_1:x_1-2x_2+2x_3+20=0\) und \(F_2:x_1-2x_2+2x_3-40=0\)

- Welche Lagefälle kannst du durch den Vergleich von \(d(M,E)\) und \(r\) unterscheiden? - Betrachte einen Schnitt durch den Kugelmittelpunkt, der senkrecht auf \(E\) steht. Welche drei Strecken erkennst du dort? - Welche besondere Lage hat der Mittelpunkt des Schnittkreises relativ zu \(M\) und \(E\)? - Wie kannst du diesen Punkt als Schnittpunkt einer geeigneten Geraden mit \(E\) bestimmen?

1. Mit der Hesse-Normalform ergibt sich \(d(M,E)=\frac{|2\cdot1-2+2\cdot3+12|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{18}{3}=6\,\text{LE}\). 2. Da \(d(M,E)=6\,\text{LE}<r=7\,\text{LE}\) gilt, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 3. Im senkrechten Mittelschnitt bilden \(d(M,E)\), \(\rho\) und \(r\) ein rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt \(\rho^2=r^2-d(M,E)^2=49-36=13\) und somit \(\rho=\sqrt{13}\,\text{LE}\). 4. Der Schnittkreismittelpunkt \(Z\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). 5. Einsetzen in \(E\) ergibt \(9t+18=0\), also \(t=-2\). Damit folgt \(Z(-3|4|-1)\).

a) Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis, da \(d(M,E)=6\,\text{LE}<r=7\,\text{LE}\). b) \(\rho=\sqrt{13}\,\text{LE}\), \(Z(-3|4|-1)\)

- Welche Kugeldaten kannst du direkt aus der Gleichung ablesen? - Welche Lage folgt aus dem Vergleich von Mittelpunkt-Ebene-Abstand und Kugelradius? - Welche drei Strecken erkennst du in einem senkrechten Mittelschnitt durch Kugelmittelpunkt und Schnittkreis? - Welche besondere Lage hat der Schnittkreismittelpunkt relativ zu \(M\) und \(E\)?

1. Aus der Kugelgleichung liest man \(M(5|-2|3)\) und \(r=15\) ab. 2. Der Abstand des Mittelpunkts von der Ebene ist \(d(M,E)=\frac{|6\cdot5-3\cdot(-2)+2\cdot3+7|}{\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}}=\frac{49}{7}=7\,\text{LE}\). 3. Da \(d(M,E)=7\,\text{LE}<r=15\,\text{LE}\) gilt, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 4. Im senkrechten Mittelschnitt gilt \(\rho^2=r^2-d(M,E)^2=15^2-7^2=176\). Daher ist \(\rho=4\sqrt{11}\,\text{LE}\). 5. Der Schnittkreismittelpunkt \(Z\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade lautet \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}6\\-3\\2\end{pmatrix}\). Einsetzen in \(E\) ergibt \(49t+49=0\), also \(t=-1\). 6. Damit folgt \(Z(-1|1|1)\).

Die Ebene schneidet die Kugel, weil \(d(M,E)=7\,\text{LE}<r=15\,\text{LE}\) gilt. \(Z(-1|1|1)\), \(\rho=4\sqrt{11}\,\text{LE}\)

- Welche Kugeldaten kannst du aus der Mittelpunktsform ablesen? - Welcher Vergleich entscheidet, ob eine Ebene die Kugel schneidet? - Welche Beziehung besteht im senkrechten Mittelschnitt zwischen Kugelradius, Ebenenabstand und Schnittkreisradius? - Wie lässt sich der Schnittkreismittelpunkt als Lotfußpunkt bestimmen?

1. Die Kugel hat den Mittelpunkt \(M(4|2|-1)\) und den Radius \(r=9\). 2. Der Mittelpunkt-Ebene-Abstand ist \(d(M,E)=\frac{|4+2\cdot2+2\cdot(-1)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3\,\text{LE}\). 3. Da \(3\,\text{LE}<9\,\text{LE}\) gilt, schneidet \(E\) die Kugel in einem Kreis. 4. Für den Schnittkreisradius gilt \(\rho^2=r^2-d(M,E)^2=9^2-3^2=72\). Somit ist \(\rho=6\sqrt{2}\,\text{LE}\). 5. Der Schnittkreismittelpunkt \(Z\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). 6. Einsetzen in \(E\) ergibt \(9t+9=0\), also \(t=-1\). Damit folgt \(Z(3|0|-3)\).

Die Ebene schneidet die Kugel, weil \(d(M,E)=3\,\text{LE}<r=9\,\text{LE}\) gilt. \(Z(3|0|-3)\), \(\rho=6\sqrt{2}\,\text{LE}\)

- Welche Richtung müssen die Normalenvektoren der gesuchten Ebenen im Vergleich zu \(E\) haben? - Wie groß ist der Abstand eines Berührpunkts vom Kugelmittelpunkt? - In welchen beiden Richtungen vom Mittelpunkt können die Berührpunkte liegen? - Wie nutzt du einen bekannten Punkt, um die Konstante einer Koordinatengleichung festzulegen?

1. Aus der Kugelgleichung folgen \(M(2|0|-1)\) und \(r=6\). 2. Ein Normalenvektor der vorgegebenen Ebene und damit auch der gesuchten parallelen Tangentialebenen ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=3\). 3. Die Berührpunkte liegen vom Mittelpunkt aus in den beiden Normalenrichtungen im Abstand \(r\). Daher gilt \(\vec{OB}_{1,2}=\vec{OM}\pm\frac{r}{|\vec{n}|}\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\pm2\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\). 4. Somit sind \(B_1(6|2|-5)\) und \(B_2(-2|-2|3)\). 5. Die Tangentialebenen haben die Form \(2x_1+x_2-2x_3=c\). Einsetzen von \(B_1\) beziehungsweise \(B_2\) ergibt \(c=24\) beziehungsweise \(c=-12\). 6. Also lauten sie \(T_1:2x_1+x_2-2x_3=24\) und \(T_2:2x_1+x_2-2x_3=-12\).

Berührpunkte: \(B_1(6|2|-5)\) und \(B_2(-2|-2|3)\) Tangentialebenen: \(T_1:2x_1+x_2-2x_3=24\) und \(T_2:2x_1+x_2-2x_3=-12\)

- Welche Information liefert der Durchmesser der Kugel für den Radius? - Wie hängen die maximale Höhe der Kugel und die Position des Mittelpunkts auf der vertikalen Achse zusammen? - Welche Koordinate hat jeder Punkt, der genau auf der Erdoberfläche liegt? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises, wenn man seinen Radius kennt?

1. Bestimmung des Kugelradius: Da der Durchmesser \(20\,\text{m}\) beträgt, ist der Radius \(R = 10\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Mittelpunkts \(M(0|0|z_M)\): Die maximale Höhe über dem Boden ist \(16\,\text{m}\), also liegt der höchste Punkt bei \((0|0|16)\). Da dieser Punkt den Abstand \(R\) zum Mittelpunkt hat, gilt \(z_M + 10 = 16\), woraus \(z_M = 6\) folgt. Der Mittelpunkt ist \(M(0|0|6)\). 3. Aufstellen der Kugelgleichung: Mit \(M(0|0|6)\) und \(R = 10\) ergibt sich \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 - 6)^2 = 100\). 4. Berechnung des Bodenradius \(r\): An der Erdoberfläche ist \(x_3 = 0\). Einsetzen in die Gleichung liefert \(x_1^2 + x_2^2 + (0 - 6)^2 = 100\), also \(x_1^2 + x_2^2 = 100 - 36 = 64\). Der Radius des Schnittkreises ist somit \(r = \sqrt{64} = 8\,\text{m}\). 5. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi \approx 50{,}27\,\text{m}\).

a) Eine mögliche Kugelgleichung ist \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 - 6)^2 = 100\). b) Der Umfang des Kreises beträgt \(16\pi\,\text{m} \approx 50{,}27\,\text{m}\).

- Welcher Abstand entscheidet über die Lage einer Ebene relativ zu einer Kugel? - Welche Lage folgt aus dem Vergleich dieses Abstands mit dem Kugelradius? - Welche drei Strecken erkennst du in einem senkrechten Mittelschnitt durch den Kugelmittelpunkt?

1. Der Abstand des Mittelpunkts von der Ebene ist \(d(M,E)=\frac{|2\cdot2-2\cdot(-1)+4-1|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{9}{3}=3\,\text{LE}\). 2. Da \(d(M,E)=3\,\text{LE}<r=6\,\text{LE}\) gilt, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 3. Im senkrechten Mittelschnitt gilt \(\rho^2=r^2-d(M,E)^2=6^2-3^2=27\). Daher ist \(\rho=3\sqrt{3}\,\text{LE}\).

a) Die Ebene \(E\) schneidet die Kugel \(K\), da \(d(M,E)=3\,\text{LE}<r=6\,\text{LE}\) gilt. b) \(\rho=3\sqrt{3}\,\text{LE}\)

- Welche Information über den Mittelpunkt und den Radius kannst du direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Was muss für den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und einer Tangentialebene gelten? - Nutze die Formel für den Punkt-Ebene-Abstand, um eine Gleichung für den Parameter aufzustellen. - Denk daran, dass eine Betragsgleichung in der Regel zwei Lösungen besitzt.

1. Identifikation von Mittelpunkt und Radius der Kugel aus der Gleichung: \(M(1| -2| 3)\) und \(r = \sqrt{25} = 5\). 2. Eine Ebene ist genau dann eine Tangentialebene, wenn der Abstand des Mittelpunkts zur Ebene exakt dem Radius entspricht: \(d(M, F_c) = r\). 3. Aufstellen der Abstandsformel für den Punkt \(M\) und die Ebene \(F_c\): \(d = \frac{|4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) - 3 \cdot 3 + c|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2}} = \frac{|c - 5|}{5}\). 4. Gleichsetzen mit dem Radius \(r = 5\): \(\frac{|c - 5|}{5} = 5 \implies |c - 5| = 25\). 5. Lösen der Betragsgleichung: \(c - 5 = 25 \implies c_1 = 30\) oder \(c - 5 = -25 \implies c_2 = -20\).

Die Ebene \(F_c\) ist eine Tangentialebene für \(c_1 = 30\) und \(c_2 = -20\).

- Welche Symmetrie legt fest, auf welcher Geraden der Kugelmittelpunkt liegen muss? - Wie kannst du eine Koordinatengleichung einer Dachfläche aus drei geeigneten Punkten bestimmen? - Welche beiden Abstände des Kugelmittelpunkts müssen wegen der Berührungen gleich dem Radius sein?

1. Lege die Grundfläche in die \(x_1x_2\)-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und die Spitze bei \(S(0|0|60)\). Eine Seitenfläche enthält zum Beispiel die Punkte \((80|-80|0)\), \((80|80|0)\) und \(S\). 2. Eine Koordinatengleichung dieser Seitenebene ist \(3x_1+4x_3-240=0\). Der Normalenvektor hat die Länge \(5\). 3. Da die Kugel den Boden berührt und ihr Mittelpunkt auf der Symmetrieachse liegt, hat er die Form \(P(0|0|r)\). 4. Der Abstand von \(P\) zur Seitenebene muss ebenfalls \(r\) sein. Mit der Hesse-Normalform gilt \(r=\frac{|4r-240|}{5}\). 5. Im Inneren der Pyramide ist \(4r-240<0\). Daher folgt \(5r=240-4r\), also \(r=\frac{80}{3}\,\text{m}\). 6. Weil der Mittelpunkt den Abstand \(r\) vom Boden hat, liegt er ebenfalls in der Höhe \(\frac{80}{3}\,\text{m}\).

\(r=\frac{80}{3}\,\text{m}\approx26{,}67\,\text{m}\); der Mittelpunkt liegt \(\frac{80}{3}\,\text{m}\approx26{,}67\,\text{m}\) über dem Boden.

- Welche Form müssen die Koordinaten des Mittelpunkts haben, wenn die Kugel alle drei Koordinatenebenen berührt? - Welche Gleichung besitzt die noch fehlende Begrenzungsebene durch \(X\), \(Y\) und \(Z\)? - Welche Gleichheit der Abstände charakterisiert den Mittelpunkt der Inkugel?

1. Da die Kugel die drei Koordinatenebenen \(x_1x_2\), \(x_1x_3\) und \(x_2x_3\) berührt und im ersten Oktanten liegt, hat ihr Mittelpunkt die Form \(M(r|r|r)\). 2. Die vierte Begrenzungsebene durch \(X\), \(Y\) und \(Z\) hat die Koordinatengleichung \(2x_1+2x_2+x_3-6=0\). 3. Ihr Normalenvektor \(\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) hat die Länge \(3\). 4. Der Abstand von \(M\) zu dieser Ebene muss ebenfalls \(r\) sein: \(\frac{|5r-6|}{3}=r\). 5. Für einen Mittelpunkt im Inneren gilt \(5r-6<0\). Daher ist \(\frac{6-5r}{3}=r\). 6. Es folgt \(6=8r\), also \(r=0{,}75\).

\(r=0{,}75\,\text{LE}\)

- Wandle die allgemeine Form der Kugelgleichung zuerst in die Mittelpunktsform um, um wichtige Kenngrößen zu erhalten. - Wie lässt sich der Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnen? Vergleiche diesen Abstand mit dem Kugelradius, um die Lage zu bestimmen. - Wenn ein Schnittkreis vorliegt, bilden Kugelradius, Kreisradius und Abstand ein rechtwinkliges Dreieck. - Der Mittelpunkt des Schnittkreises liegt auf einer Geraden, die senkrecht zur Ebene durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Wie nennt man eine solche Gerade?

1. Bestimmung von Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) der Kugel durch quadratische Ergänzung: \((x_1-1)^2 - 1 + (x_2+2)^2 - 4 + (x_3-3)^2 - 9 - 35 = 0 \implies (x_1-1)^2 + (x_2+2)^2 + (x_3-3)^2 = 49\). Somit ist \(M(1 | -2 | 3)\) und \(r = 7\). 2. Berechnung des Abstands \(d\) von \(M\) zur Ebene \(E\): \(d = \frac{|3 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) - 4 \cdot 3 - 12|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 12 - 12|}{5} = \frac{21}{5} = 4{,}2\). 3. Da \(d < r\) (\(4{,}2 < 7\)), schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 4. Der Radius \(\rho\) des Schnittkreises berechnet sich zu \(\rho = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{49 - 4{,}2^2} = \sqrt{49 - 17{,}64} = \sqrt{31{,}36} = 5{,}6\). 5. Der Mittelpunkt \(Z\) des Schnittkreises ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade lautet \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). 6. Einsetzen von \(g\) in \(E\): \(3(1 + 3\lambda) - 4(3 - 4\lambda) = 12 \implies 3 + 9\lambda - 12 + 16\lambda = 12 \implies 25\lambda = 21 \implies \lambda = 0{,}84\). 7. Einsetzen von \(\lambda\) in \(g\) ergibt \(Z(1 + 3 \cdot 0{,}84 | -2 | 3 - 4 \cdot 0{,}84) = Z(3{,}52 | -2 | -0{,}36)\).

Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis. Der Radius des Schnittkreises beträgt \(\rho = 5{,}6\). Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist \(Z(3{,}52 | -2 | -0{,}36)\).

- Welche Kugeldaten werden sichtbar, wenn du die Kugelgleichung in Mittelpunktsform bringst? - Wie erhältst du aus den beiden Spannvektoren einen Normalenvektor der Ebene? - Welche Lage folgt aus dem Vergleich von Mittelpunkt-Ebene-Abstand und Kugelradius? - Wie verändert sich der Abstand von der Ebene, wenn du vom Mittelpunkt bis zur nächstgelegenen Kugeloberfläche gehst?

1. Umformen der Kugelgleichung ergibt \((x_1-1)^2+(x_2-2)^2+(x_3+2)^2=16\). Daher ist \(M(1|2|-2)\) und \(r=4\). 2. Ein Normalenvektor der Ebene ist \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\4\end{pmatrix}\). Damit ist \(E:-3x_2+4x_3-24=0\). 3. Der Mittelpunkt-Ebene-Abstand ist \(d(M,E)=\frac{|-6-8-24|}{5}=\frac{38}{5}=7{,}6\). 4. Da \(d(M,E)>r\), haben Kugel und Ebene keinen gemeinsamen Punkt. 5. Der Abstand der Kugeloberfläche von der Ebene ist \(d(M,E)-r=\frac{18}{5}=3{,}6\).

Kugel und Ebene haben keinen gemeinsamen Punkt. Der Abstand der Kugeloberfläche von \(E\) beträgt \(\frac{18}{5}\,\text{LE}=3{,}6\,\text{LE}\).

- Welche Kugeldaten werden sichtbar, wenn du die Gleichung in eine Form mit drei vollständigen Quadraten bringst? - Welche zwei unabhängigen Richtungen müssen in jeder gesuchten Ebene liegen? - Wie kannst du aus zwei Richtungen einer Ebene eine dazu senkrechte Normalenrichtung gewinnen? - Wo liegen die Berührpunkte relativ zum Mittelpunkt und zur Normalenrichtung der Tangentialebenen?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \((x_1+2)^2+(x_2-1)^2+(x_3+3)^2=25\). Damit sind \(M(-2|1|-3)\) und \(r=5\,\text{LE}\). 2. In jeder gesuchten Ebene liegen die Richtungen \(\vec{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}\). Eine Normalenrichtung ist daher \(\vec{n}=\vec{v}\times\vec{e}_2=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\). 3. Es gilt \(|\vec{n}|=5=r\). Die Berührpunkte liegen vom Mittelpunkt aus in den beiden Normalenrichtungen, also \(\vec{OB}_{1,2}=\vec{OM}\pm\vec{n}\). 4. Damit folgen \(B_1(1|1|1)\) und \(B_2(-5|1|-7)\). 5. Die Tangentialebenen haben die Form \(3x_1+4x_3=c\). Für \(B_1\) ist \(c=7\), für \(B_2\) ist \(c=-43\). 6. Somit lauten die Ebenen \(T_1:3x_1+4x_3=7\) und \(T_2:3x_1+4x_3=-43\).

Berührpunkte: \(B_1(1|1|1)\) und \(B_2(-5|1|-7)\) Tangentialebenen: \(T_1:3x_1+4x_3=7\) und \(T_2:3x_1+4x_3=-43\)

- Welcher Vergleich entscheidet zunächst, ob die Ebene die Kugel schneidet? - Welche Streckenbeziehung erkennst du in einem senkrechten Mittelschnitt durch den Kugelmittelpunkt? - Wo liegt der Mittelpunkt \(Z\) des Schnittkreises? - Welche Bedingung muss eine Gerade innerhalb von \(E\) relativ zu diesem Schnittkreis erfüllen, damit sie die Kugel nicht trifft?

1. Die Kugel hat den Mittelpunkt \(M(-1|4|2)\) und den Radius \(r=10\). 2. Der Abstand des Mittelpunkts von der Ebene ist \(d(M,E)=\frac{|3\cdot(-1)-4\cdot2+31|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{20}{5}=4\,\text{LE}\). 3. Da \(d(M,E)=4\,\text{LE}<r=10\,\text{LE}\) gilt, schneidet \(E\) die Kugel in einem Kreis. 4. Für dessen Radius gilt \(\rho^2=r^2-d(M,E)^2=10^2-4^2=84\). Damit ist \(\rho=2\sqrt{21}\,\text{LE}\). 5. Der Schnittkreismittelpunkt \(Z\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Mit \(\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\) ergibt sich aus dem Einsetzen in \(E\) der Parameter \(t=-\frac{4}{5}\), also \(Z\left(-\frac{17}{5}\middle|4\middle|\frac{26}{5}\right)\). 6. Eine Gerade in \(E\), deren Abstand von \(Z\) größer als \(\rho\) ist, schneidet den Schnittkreis und damit die Kugel nicht. Der Vektor \(\vec{u}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) liegt parallel zu \(E\). Außerdem liegt \(\vec{w}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\) in \(E\) und steht senkrecht auf \(\vec{u}\). 7. Für \(P=Z+2\vec{w}=\left(\frac{23}{5}\middle|4\middle|\frac{56}{5}\right)\) beträgt der Abstand von \(Z\) zur Geraden durch \(P\) in Richtung \(\vec{u}\) genau \(10\,\text{LE}>2\sqrt{21}\,\text{LE}\). Daher ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{23}{5}\\4\\\frac{56}{5}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) eine mögliche Gerade.

a) Wegen \(d(M,E)=4\,\text{LE}<r=10\,\text{LE}\) liegt ein Schnittkreis vor. b) \(\rho=2\sqrt{21}\,\text{LE}\) c) Zum Beispiel \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{23}{5}\\4\\\frac{56}{5}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)

- Benutze die quadratische Ergänzung, um die Kugelgleichung in die Standardform zu bringen. - Berechne den Abstand des Mittelpunkts zur Ebene und vergleiche ihn mit dem Radius. - Der Punkt auf der Kugel, der einer Ebene am nächsten ist, liegt immer auf dem Lot vom Mittelpunkt zur Ebene. - Wie kann man den minimalen Abstand direkt aus dem Abstand des Mittelpunkts und dem Radius bestimmen?

1. Umformung der Kugelgleichung durch quadratische Ergänzung: \(x_1^2 + (x_2 - 3)^2 - 9 + (x_3 + 4)^2 - 16 = 0 \Rightarrow x_1^2 + (x_2 - 3)^2 + (x_3 + 4)^2 = 25\). Mittelpunkt \(M(0|3|-4)\), Radius \(r = 5\). 2. Abstand von \(M\) zu \(F\): \(d(M, F) = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 - 2 \cdot (-4) + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 8 + 5|}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}\). 3. Da \(d(M, F) = 5\frac{1}{3} > 5 = r\), haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte. 4. Der Punkt \(P\) auf der Kugel mit dem minimalen Abstand zu \(F\) liegt auf der Lotgeraden von \(M\) auf \(F\). Lotgerade: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 5. Der Einheitsnormalenvektor ist \(\vec{n}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da \(2 \cdot 0 + 3 - 2 \cdot (-4) + 5 = 16 > 0\) gilt, gelangt man von \(M\) in Richtung der Ebene, indem man entgegen der Normalenrichtung geht. 6. Daher liegt der gesuchte Kugelpunkt bei \(P = \vec{m} - 5\vec{n}_0\). 7. \(P = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \frac{5}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10/3 \\ 4/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \approx (-3{,}33|1{,}33|-0{,}67)\). 8. Der minimale Abstand ist \(d_{\text{min}} = d(M, F) - r = \frac{16}{3} - 5 = \frac{1}{3}\).

a) \(M(0|3|-4)\), \(r = 5\). b) Die Ebene \(F\) hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel, da \(d(M, F) = \frac{16}{3} > 5\). c) Der Punkt ist \(P\left(-\frac{10}{3} \big| \frac{4}{3} \big| -\frac{2}{3}\right)\), der minimale Abstand beträgt \(d_{\text{min}} = \frac{1}{3}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Radius einer Kugel und dem Abstand ihres Mittelpunktes zu einer Tangentialebene? - Wie findet man den Punkt auf einer Ebene, der einem gegebenen Punkt außerhalb am nächsten liegt? - Nutze eine Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Mittelpunkt verläuft. - Wenn du den Berührpunkt kennst, wie weit muss man vom Mittelpunkt aus „durch“ diesen Punkt gehen, um zum gespiegelten Punkt zu gelangen?

1. Der Radius der Kugel entspricht dem Abstand des Mittelpunktes zur Ebene: \(r = d(M, E) = \frac{|1 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|-9|}{3} = 3\). 2. Aufstellen der Lotgeraden \(g\) durch \(M\) mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Schnitt von \(g\) mit \(E\): \((1 + t) - 2(-2t) + 2(2t) - 10 = 0 \Rightarrow 1 + t + 4t + 4t - 10 = 0 \Rightarrow 9t = 9 \Rightarrow t = 1\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(B(2|-2|2)\). 4. Der gespiegelte Mittelpunkt \(M'\) ergibt sich durch Verdoppelung des Vektors \(\vec{MB}\): \(\vec{OM'} = \vec{OM} + 2 \cdot \vec{MB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) Der Radius der Kugel beträgt \(r = 3\). b) Der Berührpunkt ist \(B(2|-2|2)\). c) Der gespiegelte Mittelpunkt ist \(M'(3|-4|4)\).

- Welche Kugeldaten werden sichtbar, wenn du die Gleichung in Mittelpunktsform bringst? - Welcher Vergleich entscheidet über die Lage von Kugel und Ebene? - Welche Beziehung besteht in einem senkrechten Mittelschnitt zwischen \(r\), \(d(M,E)\) und \(\rho\)? - Wie hängt der Schnittkreismittelpunkt \(Z\) mit dem Lot vom Kugelmittelpunkt auf die Ebene zusammen?

1. Durch quadratische Ergänzung folgt \(x_1^2+(x_2-3)^2+(x_3+2)^2=25\). Damit sind \(M(0|3|-2)\) und \(r=5\). 2. Der Mittelpunkt-Ebene-Abstand beträgt \(d(M,E)=\frac{|2\cdot3-2\cdot(-2)-4|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{6}{3}=2\,\text{LE}\). 3. Da \(d(M,E)=2\,\text{LE}<r=5\,\text{LE}\) gilt, schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis. 4. Für den Schnittkreisradius gilt \(\rho^2=r^2-d(M,E)^2=25-4=21\). Somit ist \(\rho=\sqrt{21}\,\text{LE}\). 5. Der Schnittkreismittelpunkt \(Z\) ist der Lotfußpunkt von \(M\) auf \(E\). Die Lotgerade ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). 6. Einsetzen in \(E\) ergibt \(9t+10=4\), also \(t=-\frac{2}{3}\). Damit folgt \(Z\left(-\frac{2}{3}\middle|\frac{5}{3}\middle|-\frac{2}{3}\right)\).

Die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis mit \(\rho=\sqrt{21}\,\text{LE}\) und \(Z\left(-\frac{2}{3}\middle|\frac{5}{3}\middle|-\frac{2}{3}\right)\).