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- Kannst du eine der Variablen mithilfe der Summenbedingung durch die andere ersetzen? - Wie lautet der Funktionsterm für das Produkt, wenn er nur noch von einer Variablen abhängt? - Welches Verfahren aus der Analysis hilft dir dabei, den größten Wert einer Funktion zu bestimmen?

1. Aufstellen der Nebenbedingung: \(x + y = 60\), woraus folgt \(x = 60 - y\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für das Produkt: \(P(y) = x \cdot y^2 = (60 - y) \cdot y^2 = 60y^2 - y^3\). 3. Ableiten der Zielfunktion zur Bestimmung des Extremums: \(P'(y) = 120y - 3y^2\). 4. Nullsetzen der ersten Ableitung: \(120y - 3y^2 = 0 \Rightarrow 3y(40 - y) = 0\). Da die Summanden positiv sein müssen, ist \(y = 40\) die relevante Lösung. 5. Überprüfung des Maximums mit der zweiten Ableitung: \(P''(y) = 120 - 6y\). Einsetzen ergibt \(P''(40) = 120 - 240 = -120 < 0\), was ein lokales Maximum bestätigt. 6. Berechnung des ersten Summanden: \(x = 60 - 40 = 20\).

Die beiden Summanden sind \(x = 20\) und \(y = 40\).

- Überlege dir, wie du die eine Variable durch die andere ausdrücken kannst, indem du die Information über das Produkt nutzt. - Erstelle eine Funktion, die nur noch von einer der beiden Variablen abhängt. - Wie findet man in der Analysis üblicherweise den kleinsten Wert einer Funktion? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.

1. Aufstellen der Zielfunktion: \(S(x, y) = x + 2y\) 2. Nebenbedingung formulieren: \(x \cdot y = 18 \implies y = \frac{18}{x}\) 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von einer Variablen: \(S(x) = x + 2 \cdot \frac{18}{x} = x + \frac{36}{x}\) 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(S'(x) = 1 - \frac{36}{x^2}\) 5. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(1 - \frac{36}{x^2} = 0 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\) (da \(x > 0\)) 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(S''(x) = \frac{72}{x^3}\). Da \(S''(6) = \frac{72}{216} = \frac{1}{3} > 0\), liegt an der Stelle \(x = 6\) ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = \frac{18}{6} = 3\)

Die Zahlen lauten \(x = 6\) und \(y = 3\).

- Überlege dir zuerst, wie die Gesamtlänge des Zauns mit den Seitenlängen des Rechtecks zusammenhängt, wenn eine Seite wegfällt. - Suche eine Gleichung für die Fläche, in der nur noch eine Variable vorkommt. - Welche Werte kann die Seitenlänge im Sachzusammenhang minimal und maximal annehmen? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für Extremstellen bei differenzierbaren Funktionen. - Warum ist es wichtig, auch die Werte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen?

1. Hauptbedingung: \(A(x, y) = x \cdot y\), wobei \(x\) die Seite parallel zur Wand und \(y\) die Seiten senkrecht zur Wand sind. Nebenbedingung: \(x + 2y = 60 \Rightarrow x = 60 - 2y\). Einsetzen in die Hauptbedingung ergibt die Zielfunktion \(A(y) = (60 - 2y) \cdot y = 60y - 2y^2\). Da die Seitenlängen nicht negativ sein können, gilt \(y \ge 0\) und \(60 - 2y \ge 0 \Rightarrow y \le 30\). Der Definitionsbereich ist \(D = [0; 30]\). 2. Ableitung bilden: \(A'(y) = 60 - 4y\). Nullstelle der ersten Ableitung: \(60 - 4y = 0 \Rightarrow y = 15\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(A''(y) = -4 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Die zugehörige Seite \(x\) ist \(x = 60 - 2 \cdot 15 = 30\). 3. Maximaler Flächeninhalt: \(A(15) = 30 \cdot 15 = 450\,\text{m}^2\). Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(30) = 0\). Da die Funktion stetig ist und der Wert an der Stelle \(y = 15\) größer als die Werte an den Rändern ist, handelt es sich um das absolute Maximum im betrachteten Intervall.

1. Zielfunktion: \(A(y) = 60y - 2y^2\); Definitionsbereich: \(D = [0; 30]\) 2. Die Seiten senkrecht zur Wand betragen \(y = 15\,\text{m}\), die Seite parallel zur Wand beträgt \(x = 30\,\text{m}\). 3. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(450\,\text{m}^2\). Da die Randwerte \(A(0) = 0\) und \(A(30) = 0\) kleiner als der lokale Extremwert sind, liegt ein absolutes Maximum vor.

- Wie berechnet man den Umfang eines Quadrats und das Volumen eines Quaders? - Nutze die Bedingung für die Summe aus Höhe und Umfang, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Denke beim Ableiten der Funktion an die Potenzregel. - Überprüfe dein Ergebnis für die Seitenlänge, indem du sicherstellst, dass die Höhe des Pakets dabei positiv bleibt.

1. Die Grundfläche ist quadratisch mit der Seitenlänge \(x\), also ist der Umfang \(U = 4x\). Die Nebenbedingung lautet \(h + 4x = 108\), woraus folgt \(h = 108 - 4x\). Das Volumen eines Quaders ist \(V = G \cdot h = x^2 \cdot h\). Einsetzen der Nebenbedingung ergibt \(V(x) = x^2(108 - 4x) = 108x^2 - 4x^3\). 2. Die erste Ableitung der Volumenfunktion ist \(V'(x) = 216x - 12x^2\). Nullsetzen ergibt \(12x(18 - x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (Minimum) und \(x_2 = 18\). Die zweite Ableitung ist \(V''(x) = 216 - 24x\). Einsetzen von \(x = 18\) ergibt \(V''(18) = 216 - 432 = -216 < 0\), also liegt ein Maximum vor. Die Höhe ist \(h = 108 - 4 \cdot 18 = 36\). 3. Das maximale Volumen berechnet sich zu \(V(18) = 18^2 \cdot 36 = 324 \cdot 36 = 11\,664\,\text{cm}^3\).

1. Nachweis über \(h = 108 - 4x\) und \(V = x^2 \cdot h\). 2. Das Volumen wird maximal für eine Seitenlänge von \(x = 18\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 36\,\text{cm}\). 3. Das maximale Volumen beträgt \(11\,664\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, wie sich der Preis und die Anzahl der Mitglieder ändern, wenn du den Beitrag um einen bestimmten Betrag erhöhst oder senkst. - Stelle eine Funktionsgleichung für den Gesamtumsatz auf, indem du den Preis pro Person mit der Anzahl der Personen multiplizierst. - Denk daran, dass der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel das Maximum angibt. - Prüfe am Ende, ob alle geforderten Werte (Preis, Mitgliederzahl und Umsatz) berechnet wurden.

1. Aufstellen der Preis- und Mengenfunktion in Abhängigkeit von der Beitragsänderung \(x\) (in \(€\)): Der Preis pro Mitglied ist \(p(x) = 45 + x\), die Anzahl der Mitglieder beträgt \(n(x) = 800 - 10x\). 2. Aufstellen der Umsatzfunktion: \(U(x) = p(x) \cdot n(x) = (45 + x) \cdot (800 - 10x) = -10x^2 + 350x + 36\,000\). 3. Bestimmung des Extremwerts durch die erste Ableitung: \(U'(x) = -20x + 350\). Setzt man \(U'(x) = 0\), ergibt sich \(x = 17{,}5\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: \(U''(x) = -20 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung der Zielwerte: Der optimale Beitrag liegt bei \(45 + 17{,}5 = 62{,}50\,\text{€}\). Die Mitgliederzahl beträgt \(800 - 10 \cdot 17{,}5 = 625\). Der maximale Umsatz beläuft sich auf \(62{,}50 \cdot 625 = 39\,062{,}50\,\text{€}\).

Der maximale Umsatz wird bei einem monatlichen Beitrag von \(62{,}50\,\text{€}\) erreicht. Das Studio hat dann \(625\) Mitglieder und erzielt einen Umsatz von \(39\,062{,}50\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie du die Bedingung „Produkt ist 36“ mathematisch ausdrücken kannst. - Kannst du eine der beiden Zahlen durch die andere ausdrücken, um die Summe nur noch von einer Variable abhängig zu machen? - Erinnere dich daran, wie man mithilfe der Ableitung den kleinsten Wert einer Funktion bestimmt. - Achte darauf, dass die gesuchten Zahlen laut Aufgabenstellung positiv sein müssen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die erste Zahl und \(y\) für die zweite Zahl, wobei \(x, y > 0\) gilt. 2. Aufstellen der Nebenbedingung: Da das Produkt 36 ist, gilt \(x \cdot y = 36\). Auflösen nach \(y\) ergibt \(y = \frac{36}{x}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion: Die zu minimierende Summe ist \(S = x + 9y\). Einsetzen der Nebenbedingung führt zu \(S(x) = x + 9 \cdot \frac{36}{x} = x + \frac{324}{x}\). 4. Bestimmung der Ableitung: \(S'(x) = 1 - \frac{324}{x^2}\). 5. Ermittlung der kritischen Stellen: \(S'(x) = 0 \implies 1 = \frac{324}{x^2} \implies x^2 = 324\). Da \(x\) positiv sein muss, folgt \(x = 18\). 6. Überprüfung des Extremums: Die zweite Ableitung \(S''(x) = \frac{648}{x^3}\) ist für \(x = 18\) positiv (\(S''(18) > 0\)), folglich liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der zweiten Zahl: Durch Einsetzen in die Nebenbedingung erhält man \(y = \frac{36}{18} = 2\).

Die erste Zahl ist \(18\) und die zweite Zahl ist \(2\).

- Wie lässt sich die Summe der beiden Zahlen als Gleichung schreiben? - Versuche, das zu maximierende Produkt als Funktion einer einzigen Variable darzustellen. - Welche Werte kann die erste Zahl sinnvollerweise annehmen, wenn beide Zahlen nichtnegativ sein müssen? - Nutze die Differentialrechnung, um die Stelle mit dem größten Funktionswert zu finden.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die erste Zahl und \(y\) für die zweite Zahl (\(x, y \geq 0\)). 2. Nebenbedingung nutzen: Aus \(x + y = 15\) folgt \(y = 15 - x\). 3. Zielfunktion formulieren: Das Produkt \(P\) soll maximal werden, also \(P(x) = x^2 \cdot (15 - x) = 15x^2 - x^3\). 4. Definitionsbereich bestimmen: Da \(x\) und \(y\) nichtnegativ sind, liegt \(x\) im Intervall \([0; 15]\). 5. Ableitungen berechnen: \(P'(x) = 30x - 3x^2\) und \(P''(x) = 30 - 6x\). 6. Extremstellen suchen: \(P'(x) = 0 \implies 3x(10 - x) = 0\). Mögliche Stellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 10\). 7. Art des Extremums und Randwerte prüfen: \(P''(10) = 30 - 60 = -30 < 0\), somit liegt bei \(x = 10\) ein lokales Maximum vor. Die Randwerte ergeben \(P(0) = 0\) und \(P(15) = 0\), während \(P(10) = 10^2 \cdot 5 = 500\) ist. Das globale Maximum liegt also bei \(x = 10\). 8. Ergebnis vervollständigen: Die zweite Zahl ist \(y = 15 - 10 = 5\).

Die erste Zahl ist \(10\) und die zweite Zahl ist \(5\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, wenn die Eckpunkte durch den Ursprung und einen variablen Punkt auf einer Kurve gegeben sind. - Stelle eine Funktion auf, die nur von der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) abhängt. - Wie findet man in der Analysis den größten Wert einer Funktion innerhalb eines bestimmten Bereichs? - Vergiss nicht, auch die Werte an den Rändern des Definitionsbereichs zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da \(x \geq 0\) und \(f(x) \geq 0\) im gegebenen Intervall, gilt \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x - 6)^2 = x^3 - 12x^2 + 36x\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 3x^2 - 24x + 36\). 3. Bestimmung der stationären Punkte: \(3x^2 - 24x + 36 = 0 \implies x^2 - 8x + 12 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Die zweite Ableitung ist \(A''(x) = 6x - 24\). Für \(x_1 = 2\) ergibt sich \(A''(2) = 12 - 24 = -12 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Für \(x_2 = 6\) ergibt sich \(A''(6) = 36 - 24 = 12 > 0\), ein lokales Minimum. 5. Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(6) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 2\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = (2 - 6)^2 = 16\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 | 16)\).

\(P(2 | 16)\)

- Welche geometrische Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wie hängen Radius und Höhe zusammen, wenn das Volumen fest vorgegeben ist? - Stelle eine Formel für die gesamte Oberfläche auf und ersetze eine der Variablen. - Woran erkennt man mathematisch einen Tiefpunkt einer Funktion? - Überlege, wie du die berechnete Höhe mit dem Radius vergleichen kannst.

1. Aufstellen der Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 15\), woraus die Höhe \(h = \frac{15}{\pi \cdot r^2}\) folgt. 2. Einsetzen von \(h\) in die Oberflächenformel \(O = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h\): \(O(r) = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot \frac{15}{\pi \cdot r^2} = 2\pi \cdot r^2 + \frac{30}{r}\). 3. Ableiten der Zielfunktion: \(O'(r) = 4\pi \cdot r - \frac{30}{r^2}\). 4. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(4\pi \cdot r - \frac{30}{r^2} = 0 \Rightarrow 4\pi \cdot r^3 = 30 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{7{,}5}{\pi}} \approx 1{,}337\,\text{m}\). 5. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{15}{\pi \cdot (\sqrt[3]{7{,}5/\pi})^2} \approx 2{,}675\,\text{m}\). 6. Nachweis des Verhältnisses: Da \(r^3 = \frac{7{,}5}{\pi}\), gilt \(h = \frac{15}{\pi \cdot r^2} = \frac{2 \cdot 7{,}5}{\pi \cdot r^2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^3}{\pi \cdot r^2} = 2r\). Somit ist \(h = d\).

a) \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{30}{r}\) b) Der optimale Radius beträgt \(r \approx 1{,}34\,\text{m}\) und die optimale Höhe \(h \approx 2{,}67\,\text{m}\). c) Da \(h = \frac{V}{\pi r^2}\) und im Minimum \(r^3 = \frac{V}{2\pi}\) gilt, ist \(V = 2\pi r^3\). Durch Einsetzen folgt \(h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r\). Die Höhe entspricht somit dem Durchmesser.

- Überlege dir zuerst, wie man die Oberfläche und das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche berechnet. - Kannst du eine der Variablen (Höhe oder Grundseite) durch die andere ausdrücken, wenn die Oberfläche fest vorgegeben ist? - Erstelle eine Funktion für das Volumen, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man den größten Wert, den diese Volumenfunktion annehmen kann? - Vergleiche diesen Maximalwert mit dem in der Aufgabe geforderten Volumen.

1. Aufstellen der Gleichung für den Oberflächeninhalt: \(O = 2x^2 + 4xh = 120\), wobei \(x\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Umformen nach \(h\): \(h = \frac{120 - 2x^2}{4x} = \frac{30}{x} - \frac{x}{2}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(x) = x^2 \cdot h = x^2 \left(\frac{30}{x} - \frac{x}{2}\right) = 30x - 0{,}5x^3\). 4. Bestimmung des Extremums: \(V'(x) = 30 - 1{,}5x^2 = 0\) führt zu \(x^2 = 20\), also \(x = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{cm}\). Die zweite Ableitung \(V''(x) = -3x\) ist für \(x > 0\) negativ, es liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(\sqrt{20}) = 30\sqrt{20} - 0{,}5(\sqrt{20})^3 = 20\sqrt{20} = 40\sqrt{5} \approx 89{,}44\,\text{cm}^3\). 6. Vergleich: Da das geforderte Volumen von \(80\,\text{cm}^3\) kleiner als das maximale Volumen von ca. \(89{,}44\,\text{cm}^3\) ist und die Volumenfunktion stetig ist, existiert ein entsprechender Behälter.

Ja, ein solcher Behälter ist herstellbar, da das maximale Volumen bei der gegebenen Oberfläche etwa \(89{,}44\,\text{cm}^3\) beträgt und somit über dem geforderten Wert von \(80\,\text{cm}^3\) liegt.

- Wie lässt sich eine der Zahlen eliminieren, wenn ihr Produkt bekannt ist? - Stelle eine Funktion auf, die die zu minimierende Summe beschreibt. - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Minimalstelle gelten? - Achte darauf, dass nur positive Werte für die Zahlen gesucht sind.

1. Aufstellen der Nebenbedingung: \(x \cdot y = 16\), woraus folgt \(y = \frac{16}{x}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Summe: \(S(x) = x^2 + \frac{16}{x}\) für \(x > 0\). 3. Ableiten der Zielfunktion: \(S'(x) = 2x - \frac{16}{x^2}\). 4. Bestimmung der kritischen Stelle durch Nullsetzen: \(2x - \frac{16}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 16 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). 5. Überprüfung der Minimaleigenschaft mit der zweiten Ableitung: \(S''(x) = 2 + \frac{32}{x^3}\). Einsetzen ergibt \(S''(2) = 2 + \frac{32}{8} = 6 > 0\), was ein lokales Minimum bestätigt. 6. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = \frac{16}{2} = 8\).

Die Zahlen lauten \(x = 2\) und \(y = 8\).

- Betrachte einen vertikalen Schnitt durch die Mitte des Kegels. Welche geometrischen Figuren erkennst du? - Wie hängen die Höhe und der Radius des Zylinders zusammen, wenn die obere Kante des Zylinders die Wand des Kegels berührt? - Welche Größe soll maximiert werden und von welchen Variablen hängt diese ab? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten?

1. Hauptbedingung für das Volumen des Zylinders: \(V(r, h) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung mittels des Strahlensatzes im Querschnitt des Kegels: \(\frac{h}{R - r} = \frac{H}{R}\). Mit den gegebenen Werten \(R = 6\) und \(H = 12\) folgt \(h = 2 \cdot (6 - r) = 12 - 2r\). 3. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung: \(V(r) = \pi \cdot r^2 \cdot (12 - 2r) = 12\pi r^2 - 2\pi r^3\) für \(0 < r < 6\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(r) = 24\pi r - 6\pi r^2\). 5. Berechnung der Extremstelle durch Nullsetzen der Ableitung: \(6\pi r \cdot (4 - r) = 0\). Da \(r > 0\), ist \(r = 4\) die einzige relevante Lösung. 6. Nachweis des Maximums über die zweite Ableitung: \(V''(r) = 24\pi - 12\pi r\); \(V''(4) = 24\pi - 48\pi = -24\pi < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Da die Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs gegen \(0\) geht, ist dies das globale Maximum. 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = 12 - 2 \cdot 4 = 4\).

Der Zylinder mit dem größten Volumen hat einen Radius von \(r = 4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 4\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf dem Graphen liegt? - Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie geht man mit der oberen Grenze \(\infty\) bei einem Integral um? - Was bedeutet „prozentualer Anteil“ mathematisch für zwei gegebene Flächeninhalte?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Rechtecks: \(A(x) = x \cdot f(x) = 24x \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(A'(x) = 24 \cdot e^{-0{,}2x} + 24x \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (24 - 4{,}8x) \cdot e^{-0{,}2x}\). 3. Nullstelle der Ableitung finden: \(24 - 4{,}8x = 0 \implies x = 5\). 4. Nachweis des Maximums (z. B. über \(A''(x)\) oder Vorzeichenwechsel): \(A''(x) = (-9{,}6 + 0{,}96x) \cdot e^{-0{,}2x}\); \(A''(5) = -4{,}8 \cdot e^{-1} < 0\), also Maximum bei \(x = 5\). 5. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(5) = 24 \cdot 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 5} = 120 \cdot e^{-1} \approx 44{,}15\). 6. Berechnung des uneigentlichen Integrals für die Gesamtfläche: \(A_{\text{ges}} = \int_{0}^{\infty} 24 \cdot e^{-0{,}2x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{24}{-0{,}2} e^{-0{,}2x} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left[ -120 e^{-0{,}2x} \right]_0^b = 0 - (-120) = 120\). 7. Berechnung des prozentualen Anteils: \(\frac{A(5)}{A_{\text{ges}}} = \frac{120 \cdot e^{-1}}{120} = e^{-1} \approx 0{,}3679\), was \(36{,}79\,\%\) entspricht.

a) Das Maximum liegt bei \(x = 5\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(A(5) = 120 \cdot e^{-1} \approx 44{,}15\). b) Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{ges}} = 120\). c) Der Anteil beträgt \(e^{-1} \approx 36{,}79\,\%\).

- Wie lässt sich der Abstand zweier Punkte \(P(x_1|y_1)\) und \(Q(x_2|y_2)\) allgemein berechnen? - Anstatt die Abstandsfunktion selbst zu untersuchen, kannst du oft das Quadrat des Abstands betrachten. Warum vereinfacht das die Rechnung? - Welche Einschränkungen gibt es für den Definitionsbereich von \(x\)? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Extremwert tatsächlich ein Minimum ist.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion mithilfe des Satzes von Pythagoras: \(d(x) = \sqrt{(x - 3)^2 + (\sqrt{x + 5} - 0)^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 9 + x + 5} = \sqrt{x^2 - 5x + 14}\). 2. Da die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, reicht es, den Radikanden \(h(x) = x^2 - 5x + 14\) zu minimieren. 3. Ableitung von \(h(x)\) bilden: \(h'(x) = 2x - 5\). 4. Nullstelle der Ableitung bestimmen: \(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = 2{,}5\). 5. Nachweis des Minimums: Da \(h(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, liegt an der Stelle \(x = 2{,}5\) das globale Minimum vor. 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d(2{,}5) = \sqrt{2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 + 14} = \sqrt{6{,}25 - 12{,}5 + 14} = \sqrt{7{,}75}\). 7. Randwertprüfung am Definitionsrand \(x = -5\): \(d(-5) = \sqrt{(-5-3)^2 + 0} = 8\). Da \(8 > \sqrt{7{,}75}\), ist \(d(2{,}5)\) der globale minimale Abstand.

Der Abstand wird minimal für \(x = 2{,}5\). Der minimale Abstand beträgt \(\sqrt{7{,}75} = \frac{\sqrt{31}}{2} \approx 2{,}78\).

- Welche Maße bestimmen die Fläche des Rechtecks und welche den gesamten Umfang? - Nutze die Umfangsvorgabe, um eine der Variablen durch die andere auszudrücken. - Achte darauf, dass nur an einer Seite ein Halbkreis angesetzt ist und die gegenüberliegende Seite des Rechtecks Teil des Umfangs ist. - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Flächenfunktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Fläche des Rechtecks: \(A(b, h) = b \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang: \(U = b + 2h + \frac{\pi}{2} \cdot b = 200\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(2h = 200 - b \cdot (1 + \frac{\pi}{2}) \Rightarrow h = 100 - b \cdot (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion: \(A(b) = b \cdot (100 - b \cdot (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})) = 100b - (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})b^2\). 5. Ableiten der Zielfunktion nach \(b\): \(A'(b) = 100 - (1 + \frac{\pi}{2})b\). 6. Bestimmung des Extremums durch Nullsetzen der Ableitung: \(100 - (1 + \frac{\pi}{2})b = 0 \Rightarrow b = \frac{100}{1 + \frac{\pi}{2}} = \frac{200}{2 + \pi} \approx 38{,}91\,\text{m}\). 7. Berechnung der zugehörigen Länge \(h\): \(h = 100 - \frac{200}{2 + \pi} \cdot \frac{2 + \pi}{4} = 100 - 50 = 50\,\text{m}\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(b) = -(1 + \frac{\pi}{2}) < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor.

Die Breite des Spielfeldes beträgt \(b = \frac{200}{2 + \pi} \approx 38{,}91\,\text{m}\) und die Länge beträgt \(h = 50\,\text{m}\).

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen den drei Kantenlängen eines Quaders und seinem Volumen? - Wie lässt sich die Oberfläche eines geschlossenen Quaders aus seinen Kantenlängen zusammensetzen? - Kannst du eine Variable durch eine andere ausdrücken, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren? - Überlege dir, für welchen Wert der ersten Ableitung einer Funktion ein Extrempunkt vorliegen kann.

1. Aufstellen der Volumenbedingung mit Breite \(b\), Länge \(l = 2b\) und Höhe \(h\): \(V = 2b^2 \cdot h = 72\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{36}{b^2}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für den Oberflächeninhalt \(O\): \(O(b, h) = 2 \cdot (2b \cdot b) + 2 \cdot (2b \cdot h) + 2 \cdot (b \cdot h) = 4b^2 + 6bh\). 4. Substitution der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(O(b) = 4b^2 + 6b \cdot \frac{36}{b^2} = 4b^2 + \frac{216}{b}\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(O'(b) = 8b - \frac{216}{b^2}\). 6. Nullstellenberechnung der ersten Ableitung: \(8b - \frac{216}{b^2} = 0 \implies 8b^3 = 216 \implies b^3 = 27 \implies b = 3\). 7. Überprüfung der zweiten Ableitung \(O''(b) = 8 + \frac{432}{b^3}\): Da \(O''(3) = 24 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 8. Berechnung der restlichen Maße: \(l = 2 \cdot 3 = 6\) und \(h = \frac{36}{3^2} = 4\).

Die Breite beträgt \(3\,\text{dm}\), die Länge \(6\,\text{dm}\) und die Höhe \(4\,\text{dm}\).

- Wie hängen die Seitenlängen des Rechtecks mit der Position des Punktes \(Q\) auf dem Graphen zusammen? - Nutze die Produktregel und die Kettenregel, um die Zielfunktion abzuleiten. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist – beachte dabei das Verhalten der \(e\)-Funktion. - Überprüfe dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung oder einem Vorzeichenwechselkriterium.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Rechtecks: \(A(u) = u \cdot g(u) = 12u \cdot e^{-0{,}25u^2}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(A'(u) = 12 \cdot e^{-0{,}25u^2} + 12u \cdot (-0{,}5u) \cdot e^{-0{,}25u^2} = (12 - 6u^2) \cdot e^{-0{,}25u^2}\). 3. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(12 - 6u^2 = 0 \Rightarrow u^2 = 2 \Rightarrow u = \sqrt{2}\) (da \(u \ge 0\)). 4. Nachweis des Maximums: Die zweite Ableitung \(A''(u) = (3u^3 - 18u) \cdot e^{-0{,}25u^2}\) ergibt an der Stelle \(u = \sqrt{2}\) den Wert \((6\sqrt{2} - 18\sqrt{2}) \cdot e^{-0{,}5} = -12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} < 0\), somit liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}25 \cdot 2} = 12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} \approx 10{,}29\).

Der Flächeninhalt wird für \(u = \sqrt{2}\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} \approx 10{,}29\).

- Woran erkennt man bei einer Kosinusfunktion ohne Ableitung, wo die Extremwerte liegen? - Welche Werte kann die Kosinusfunktion maximal und minimal annehmen? - Vergiss nicht, die Randwerte des Definitionsbereichs zu untersuchen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der y-Achse?

1. Ableitung bilden: \(f'(t) = -8 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} t\right) = \frac{2\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{12} t\right)\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(t) = 0\) im Intervall \([0; 24]\): \(\sin\left(\frac{\pi}{12} t\right) = 0\) liefert \(t_1 = 0\), \(t_2 = 12\) und \(t_3 = 24\). 3. Funktionswerte an den Stellen berechnen: \(f(0) = -8 \cdot \cos(0) - 2 = -10\), \(f(12) = -8 \cdot \cos(\pi) - 2 = 6\), \(f(24) = -8 \cdot \cos(2\pi) - 2 = -10\). 4. Die niedrigste Temperatur wird an den Punkten \(T_1(0 \mid -10)\) und \(T_2(24 \mid -10)\) erreicht. 5. Der Hochpunkt liegt bei \(H(12 \mid 6)\). 6. Temperaturdifferenz berechnen: \(\Delta T = 6 - (-10) = 16\).

Die niedrigste Temperatur wird an den Punkten \((0 \mid -10)\) und \((24 \mid -10)\) erreicht. Der Temperaturunterschied zwischen der höchsten und der niedrigsten Temperatur beträgt \(16\,^\circ\text{C}\).

- Überlege dir, welche Stellen für die Sinusfunktion den größten und kleinsten Wert liefern. - Achte darauf, ob nach dem x-Wert oder nach einem Punkt (x- und y-Koordinate) gefragt ist. - Der Höhenunterschied ist die Differenz zwischen dem globalen Maximum und dem globalen Minimum im Intervall.

1. Ableitung berechnen: \(h'(x) = 1{,}2 \cdot \frac{\pi}{10} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10} x\right) = 0{,}12\pi \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10} x\right)\). 2. Nullstellen der Ableitung in \([0; 20]\) bestimmen: \(\cos\left(\frac{\pi}{10} x\right) = 0\) führt zu \(\frac{\pi}{10} x = \frac{\pi}{2}\) oder \(\frac{\pi}{10} x = \frac{3\pi}{2}\), also \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 15\). 3. Funktionswerte prüfen: \(h(5) = 1{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2{,}5 = 3{,}7\) und \(h(15) = 1{,}2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2{,}5 = 1{,}3\). 4. Randwerte prüfen: \(h(0) = 2{,}5\) und \(h(20) = 2{,}5\). 5. Der Hochpunkt liegt bei \(H(5 \mid 3{,}7)\), der Tiefpunkt bei \(T(15 \mid 1{,}3)\). 6. Höhenunterschied berechnen: \(3{,}7\,\text{m} - 1{,}3\,\text{m} = 2{,}4\,\text{m}\).

Der Hochpunkt der Strecke liegt bei \((5 \mid 3{,}7)\). Der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt beträgt \(2{,}4\,\text{m}\).

- Welche Bedingung muss für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit der Steigung und der Krümmung zusammen? - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Lichtstrahl horizontal auf eine Spitze trifft? - Achte auf den Definitionsbereich der Funktion bei deinen Berechnungen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x \cdot e^{-0{,}2x} + 0{,}5x^2 \cdot (-0{,}2) e^{-0{,}2x} = (x - 0{,}1x^2) e^{-0{,}2x}\). \(f''(x) = (1 - 0{,}2x) e^{-0{,}2x} - 0{,}2(x - 0{,}1x^2) e^{-0{,}2x} = (0{,}02x^2 - 0{,}4x + 1) e^{-0{,}2x}\). 2. Maximale Höhe: \(f'(x) = 0 \implies x(1 - 0{,}1x) = 0\). Da \(x=0\) das Randminimum ist, liegt das Maximum bei \(x = 10\). Die Höhe beträgt \(f(10) = 0{,}5 \cdot 100 \cdot e^{-2} = 50 e^{-2} \approx 6{,}77\,\text{m}\). 3. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \implies 0{,}02x^2 - 0{,}4x + 1 = 0 \implies x^2 - 20x + 50 = 0\). Lösungen: \(x = 10 \pm \sqrt{100 - 50} = 10 \pm \sqrt{50}\). Da \(x > 5\) und rechts von der Krone (\(x > 10\)) gesucht ist: \(x = 10 + \sqrt{50} \approx 17{,}07\). Da der Wall nur bis \(x=15\) definiert ist, liegt der gesuchte Punkt bei \(x = 10 + \sqrt{50}\) außerhalb des Bereichs. Korrektur der Interpretation: Der Wendepunkt \(x \approx 17{,}07\) liegt außerhalb des betrachteten Intervalls. Der Wendepunkt auf der ansteigenden Flanke liegt bei \(x = 10 - \sqrt{50} \approx 2{,}93\). Die Steigung ist dort maximal. 4. Lichtstrahl: Die Höhe der Krone ist \(y = 50 e^{-2}\). Gesucht ist \(x > 10\) mit \(f(x) = 50 e^{-2}\). Da die Funktion für \(x > 10\) streng monoton fallend ist und gegen 0 strebt, muss geprüft werden, ob ein solcher Wert im Intervall existiert. Da \(f(15) = 0{,}5 \cdot 225 \cdot e^{-3} \approx 5{,}60\) und \(f(10) \approx 6{,}77\), fällt der Graph im Intervall nicht weit genug ab, um den Wert \(6{,}77\) erneut zu erreichen. Der Strahl trifft die Oberfläche im gegebenen Bereich nicht mehr.

a) Die maximale Höhe beträgt ca. \(6{,}77\,\text{m}\) an der Stelle \(x = 10\,\text{m}\). b) Der Wendepunkt im relevanten Bereich liegt bei \(x \approx 2{,}93\) (ansteigende Flanke). An dieser Stelle ist die Steigung des Walls am größten. Der rechnerische Wendepunkt der abfallenden Flanke liegt bei \(x \approx 17{,}07\) außerhalb des Walls. c) Der horizontale Lichtstrahl trifft die Oberfläche im Bereich bis \(x=15\) nicht erneut, da die Höhe dort überall geringer als die Kronenhöhe ist.

- Überlege dir zuerst, wie das Volumen des Inhalts mit dem Radius und der Füllhöhe zusammenhängt. - Wie hängen die Gesamthöhe der Dose und die Füllhöhe des Inhalts laut Text zusammen? - Die Oberfläche einer Dose besteht aus dem Mantel sowie zwei kreisförmigen Flächen (Boden und Deckel). - Ersetze die Höhe in deiner Oberflächenformel durch den Ausdruck, den du aus der Volumenbedingung erhalten hast. - Um ein Minimum zu finden, musst du die erste Ableitung der Zielfunktion gleich Null setzen.

1. Bestimmung der Nebenbedingung über das Volumen des Inhalts: \(V_{\text{Inhalt}} = \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{Füll}} = 800\,\text{cm}^3\). Daraus folgt \(h_{\text{Füll}} = \frac{800}{\pi \cdot r^2}\). 2. Aufstellen der Beziehung für die Gesamthöhe: \(h = h_{\text{Füll}} + 2 = \frac{800}{\pi \cdot r^2} + 2\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche (Zylinder mit Boden und Deckel): \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h\). 4. Einsetzen von \(h\) in \(O(r)\): \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{800}{\pi r^2} + 2\right) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r} + 4\pi r\). 5. Ableiten der Zielfunktion zur Bestimmung des Extremums: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{1600}{r^2} + 4\pi\). 6. Nullsetzen der Ableitung: \(4\pi r - \frac{1600}{r^2} + 4\pi = 0 \implies 4\pi r^3 + 4\pi r^2 - 1600 = 0 \implies \pi r^3 + \pi r^2 - 400 = 0\). 7. Numerisches Lösen der Gleichung ergibt \(r \approx 4{,}72\,\text{cm}\). 8. Berechnung der zugehörigen Gesamthöhe: \(h = \frac{800}{\pi \cdot 4{,}72^2} + 2 \approx 13{,}44\,\text{cm}\). 9. Überprüfung der Art des Extremums mittels \(O''(r) = 4\pi + \frac{3200}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), somit liegt ein lokales Minimum vor.

a) \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r} + 4\pi r\) b) \(r \approx 4{,}72\,\text{cm}\); \(h \approx 13{,}44\,\text{cm}\)

- Überlege dir, wie man die Länge der Grundseite und die Höhe eines Dreiecks im Koordinatensystem bestimmt, wenn zwei Punkte auf derselben Höhe liegen. - Welche geometrische Formel nutzt man für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Um eine Formel allgemein nachzuweisen, setze die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von \(k\) in deine Flächenformel ein. - Wie findet man in der Analysis die Stelle, an der eine Funktion ihren größten Wert annimmt? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Für \(k=1\) ergibt sich \(f(1) = \frac{1^2}{1^2+4} = 0{,}2\). Die Punkte sind \(P_1(-1|0{,}2)\), \(Q_1(1|0{,}2)\) und \(R(0|1)\). Die Grundseite \(b\) verläuft parallel zur \(x\)-Achse mit Länge \(b = 1 - (-1) = 2\). Die Höhe \(h\) ist die Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(h = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}8 = 0{,}8\). 2. Allgemein ist die Grundseite \(b = 2k\) und die Höhe \(h = 1 - f(k) = 1 - \frac{k^2}{k^2+4} = \frac{k^2+4-k^2}{k^2+4} = \frac{4}{k^2+4}\). Der Flächeninhalt ergibt sich zu \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot 2k \cdot \frac{4}{k^2+4} = \frac{4k}{k^2+4}\). 3. Zur Bestimmung des Maximums wird die Ableitung gebildet: \(A'(k) = \frac{4(k^2+4) - 4k \cdot 2k}{(k^2+4)^2} = \frac{16 - 4k^2}{(k^2+4)^2}\). 4. Nullsetzen der Ableitung: \(16 - 4k^2 = 0 \Rightarrow k^2 = 4\). Da \(k > 0\), ist \(k = 2\). 5. Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(k)\) bei \(k=2\) von plus nach minus (da der Zähler eine nach unten geöffnete Parabel ist) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(k)\) für \(k \to 0\) und \(k \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist dies das globale Maximum. 6. Maximaler Flächeninhalt: \(A(2) = \frac{4 \cdot 2}{2^2+4} = \frac{8}{8} = 1\).

a) Für \(k=1\) ist der Flächeninhalt \(0{,}8\). Der allgemeine Term ist \(A(k) = \frac{4k}{k^2 + 4}\). b) Der Flächeninhalt ist für \(k = 2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(1\).

- Stelle zuerst eine Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie hängen die Breite und die Höhe des Rechtecks mit dem gewählten \(x\)-Wert und dem Funktionswert zusammen? - Nutze die erste Ableitung der Flächenfunktion, um die optimale Breite zu finden. - Setze den gefundenen \(x\)-Wert in die Punktkoordinaten und die Flächenformel ein.

1. Die Eckpunkte des Rechtecks sind \(A(-x|0)\), \(B(x|0)\), \(V(x|g(x))\) und \(U(-x|g(x))\). 2. Die Breite des Rechtecks ist \(b = x - (-x) = 2x\), die Höhe ist \(h = g(x) = \frac{32}{x^2+4}\). 3. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt ist \(A(x) = 2x \cdot \frac{32}{x^2+4} = \frac{64x}{x^2+4}\). 4. Die Ableitung lautet \(A'(x) = \frac{64(x^2+4) - 64x \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{256 - 64x^2}{(x^2+4)^2}\). 5. Nullstellen der Ableitung: \(256 - 64x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) (da \(x > 0\)). 6. Die Überprüfung (z. B. Vorzeichenwechselkriterium) zeigt, dass bei \(x=2\) ein Maximum vorliegt. 7. Koordinaten der Eckpunkte für \(x=2\): \(g(2) = \frac{32}{2^2+4} = \frac{32}{8} = 4\). Die Punkte sind \((-2|0)\), \((2|0)\), \((2|4)\) und \((-2|4)\). 8. Maximaler Flächeninhalt: \(A(2) = \frac{64 \cdot 2}{2^2+4} = \frac{128}{8} = 16\).

Das Maximum liegt bei \(x = 2\). Die Eckpunkte sind \((-2|0)\), \((2|0)\), \((2|4)\) und \((-2|4)\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16\).

- Stelle zuerst fest, wie groß der Durchmesser des Stammes ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seiten eines Rechtecks im Umkreis. - Für die Fläche und die Tragfähigkeit ergeben sich unterschiedliche Zielfunktionen. - Vergleiche am Ende die berechneten Werte der Tragfähigkeit für beide Balkenformen miteinander.

1. Nebenbedingung für den Durchmesser \(d = 60\,\text{cm}\): \(b^2 + h^2 = 3\,600\). 2. Lösung a (Fläche): Zielfunktion \(A(b) = b \cdot \sqrt{3\,600 - b^2}\). Die Ableitung \(A'(b) = \frac{3\,600 - 2b^2}{\sqrt{3\,600 - b^2}}\) liefert mit \(3\,600 - 2b^2 = 0\) das Ergebnis \(b = \sqrt{1\,800} \approx 42{,}43\,\text{cm}\). Da \(b=h\), handelt es sich um ein Quadrat mit \(b = h \approx 42{,}43\,\text{cm}\). 3. Lösung b (Tragfähigkeit): Zielfunktion \(T(b) = k \cdot b \cdot (3\,600 - b^2) = k \cdot (3\,600b - b^3)\). Die Ableitung \(T'(b) = k \cdot (3\,600 - 3b^2)\) liefert mit \(3b^2 = 3\,600\) die Breite \(b = \sqrt{1\,200} \approx 34{,}64\,\text{cm}\). Daraus folgt \(h = \sqrt{3\,600 - 1\,200} = \sqrt{2\,400} \approx 48{,}99\,\text{cm}\). 4. Lösung c (Vergleich): Berechnung der Tragfähigkeitswerte (ohne \(k\)). \(T_a = \sqrt{1\,800} \cdot 1\,800 \approx 76\,367{,}5\) und \(T_b = \sqrt{1\,200} \cdot 2\,400 \approx 83\,138{,}4\). Der prozentuale Unterschied berechnet sich durch \(\frac{T_b - T_a}{T_a} = \frac{83\,138{,}4 - 76\,367{,}5}{76\,367{,}5} \approx 0{,}0887\). Die Tragfähigkeit ist um ca. \(8{,}9\,\%\) höher.

a) Der flächengrößte Balken hat die Maße \(b \approx 42{,}43\,\text{cm}\) und \(h \approx 42{,}43\,\text{cm}\). b) Der tragfähigste Balken hat die Maße \(b \approx 34{,}64\,\text{cm}\) und \(h \approx 48{,}99\,\text{cm}\). c) Die Tragfähigkeit des optimalen Balkens ist um etwa \(8{,}9\,\%\) höher als die des quadratischen Balkens.

- Überlege dir, wie du die Breite des Dreiecks in Abhängigkeit von der Höhe \(k\) ausdrücken kannst. - Welche geometrische Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist hier nützlich? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Länge der Grundseite zu bestimmen. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein gefundenes Ergebnis im sinnvollen Bereich für \(k\) liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Die Schnittpunkte mit der Geraden \(y = k\) ergeben sich aus \(k = 12 - x^2\), woraus \(x^2 = 12 - k\) und somit \(x = \pm \sqrt{12 - k}\) folgt. Die Grundseite des Dreiecks ist \(g = 2 \cdot \sqrt{12 - k}\), die zugehörige Höhe ist \(h = k\). 2. Die Zielfunktion lautet \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{12 - k} \cdot k = k \cdot \sqrt{12 - k}\) für \(k \in (0; 12)\). 3. Ableitung der Zielfunktion mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(k) = 1 \cdot \sqrt{12 - k} + k \cdot \frac{1}{2\sqrt{12 - k}} \cdot (-1) = \frac{2(12 - k) - k}{2\sqrt{12 - k}} = \frac{24 - 3k}{2\sqrt{12 - k}}\). 4. Bestimmung des Extremums: \(A'(k) = 0 \implies 24 - 3k = 0 \implies k = 8\). 5. Überprüfung der Art des Extremums und des Randverhaltens: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'\) bei \(k = 8\) von Plus nach Minus bestätigt das lokale Maximum. Da \(\lim_{k \to 0^+} A(k) = 0\) und \(\lim_{k \to 12^-} A(k) = 0\), liegt bei \(k = 8\) das globale Maximum vor. 6. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(8) = 8 \cdot \sqrt{12 - 8} = 8 \cdot 2 = 16\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für \(k = 8\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16\) Flächeneinheiten.

- Stelle zuerst die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte \(B\) und \(C\) verläuft. - Wie lässt sich die Länge der horizontalen Strecke \(DE\) durch den Wert \(k\) ausdrücken? - Mache dir klar, wie groß die Höhe des Dreiecks \(DEM\) ist, wenn die Grundseite \(DE\) auf der Höhe \(k\) liegt. - Spielt die genaue Position von \(M\) auf der Strecke \(AB\) eine Rolle für den Flächeninhalt?

1. Bestimmung der Geradengleichung für die Hypotenuse \(BC\): Mit den Punkten \(B(12|0)\) und \(C(0|6)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{6 - 0}{0 - 12} = -0{,}5\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 6\), also \(y = -0{,}5x + 6\). 2. Koordinaten der Punkte \(D\) und \(E\): Punkt \(D\) liegt auf der \(y\)-Achse bei \(y = k\), also \(D(0|k)\). Punkt \(E\) liegt auf \(BC\) bei \(y = k\): \(k = -0{,}5x + 6 \implies 0{,}5x = 6 - k \implies x = 12 - 2k\). Somit ist \(E(12 - 2k | k)\). 3. Aufstellen der Zielfunktion: Die Grundseite \(DE\) des Dreiecks \(DEM\) hat die Länge \(g = (12 - 2k) - 0 = 12 - 2k\). Die Höhe des Dreiecks bezüglich dieser Grundseite ist der vertikale Abstand von \(M\) zur Geraden \(y = k\), also \(h = k\). 4. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt ist \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot (12 - 2k) \cdot k = 6k - k^2\) für \(k \in (0; 6)\). 5. Optimierung: \(A'(k) = 6 - 2k\). Setze \(A'(k) = 0 \implies k = 3\). 6. Nachweis des Maximums: \(A''(k) = -2 < 0\), daher liegt ein lokales Maximum vor. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist es das globale Maximum im betrachteten Intervall.

Die Strecke \(DE\) muss in der Höhe \(k = 3\) gezeichnet werden.

- Kannst du eine Beziehung zwischen dem Radius und der Höhe des Zylinders finden, wenn du dir den Querschnitt des Kegels ansiehst? - Welche geometrischen Sätze helfen dir, Verhältnisse von Längen in ähnlichen Dreiecken zu beschreiben? - Welche Variable eignet sich am besten als Unbekannte für deine Zielfunktion? - Vergiss nicht, am Ende das berechnete Volumen des Zylinders durch das Volumen des Kegels zu teilen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen des Zylinders: \(V = \pi r^2 h\). 2. Verwendung des Strahlensatzes im Querschnitt des Kegels zur Aufstellung der Nebenbedingung: \(\frac{h}{H} = \frac{R - r}{R}\), woraus \(h = H \cdot (1 - \frac{r}{R})\) folgt. 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2 \cdot H \cdot (1 - \frac{r}{R}) = \pi H (r^2 - \frac{r^3}{R})\). 4. Bestimmen des Maximums durch Ableiten nach \(r\): \(V'(r) = \pi H (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0\). Die für das Problem relevante Lösung ist \(r = \frac{2}{3}R\). 5. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = H \cdot (1 - \frac{2/3 R}{R}) = \frac{1}{3}H\). 6. Berechnung des Volumenanteils: Das maximale Zylindervolumen beträgt \(V_{Zyl} = \pi (\frac{2}{3}R)^2 \cdot \frac{1}{3}H = \frac{4}{27} \pi R^2 H\). Da das Kegelvolumen \(V_{Keg} = \frac{1}{3} \pi R^2 H\) ist, ergibt sich der Anteil zu \(\frac{V_{Zyl}}{V_{Keg}} = \frac{4/27}{1/3} = \frac{4}{9}\).

a) Das Volumen wird maximal für \(r = \frac{2}{3}R\) und \(h = \frac{1}{3}H\). b) Der Zylinder nimmt maximal den Anteil \(\frac{4}{9}\) (ca. \(44{,}4\,\%\)) des Kegelvolumens ein.

- Überlege dir, wie der Radius des Rotationskörpers mit der Höhe des Dreiecks zusammenhängt. - Wie berechnet man das Volumen von zwei Kegeln, die an ihrer Grundfläche zusammengesetzt sind? - Nutze den Satz des Pythagoras, um eine Beziehung zwischen den beiden Katheten herzustellen. - Kannst du die Zielfunktion vereinfachen, indem du ein Quadrat einer Variablen ersetzt?

1. Zusammenhang der Katheten über den Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = 12^2 = 144\). 2. Der Radius \(r\) des Doppelkegels entspricht der Höhe \(h_c\) des Dreiecks auf der Hypotenuse: \(r = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{a \cdot b}{12}\). 3. Das Volumen des Doppelkegels setzt sich aus zwei Einzelkegeln zusammen: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 c = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \cdot b}{12}\right)^2 \cdot 12 = \frac{\pi}{36} a^2 b^2\). 4. Ersetzen von \(b^2\) durch \(144 - a^2\) ergibt die Zielfunktion \(V(a) = \frac{\pi}{36} a^2 (144 - a^2)\). 5. Substitution \(x = a^2\) führt auf \(f(x) = \frac{\pi}{36} (144x - x^2)\). Die Ableitung \(f'(x) = \frac{\pi}{36} (144 - 2x)\) liefert die Extremstelle bei \(x = 72\). 6. Daraus folgen die Kathetenlängen \(a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\,\text{cm}\) und \(b = \sqrt{144 - 72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\,\text{cm}\). 7. Das maximale Volumen beträgt \(V = \frac{\pi}{36} \cdot 72 \cdot 72 = 144\pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^3\).

a) Das Volumen wird maximal für \(a = b = 6\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 8{,}49\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt \(144\pi\,\text{cm}^3 \approx 452{,}39\,\text{cm}^3\).

- Für Aufgabenteil a) musst du lediglich die gegebenen Zeitpunkte in die Funktionsgleichung einsetzen. - Denke bei Extremwertaufgaben in b) daran, sowohl die notwendige Bedingung als auch ein Kriterium zur Überprüfung der Art des Extremums zu nutzen. - Vergiss bei der Suche nach dem absoluten Maximum nicht, die Werte an den Rändern des Definitionsbereichs zu prüfen. - Die zweite Ableitung gibt an, wie sich die Steigung (also die Änderungsrate) der Funktion verändert. - Das Maximum einer Änderungsrate findest du dort, wo die Ableitung dieser Rate null wird.

1. Einsetzen der Zeitwerte in die Funktionsgleichung: \(c(0) = 5\) und \(c(12) = -0{,}1 \cdot 12^3 + 1{,}2 \cdot 12^2 + 5 = -172{,}8 + 172{,}8 + 5 = 5\). Zu Beginn und nach 12 Minuten beträgt die Konzentration jeweils \(5\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Bestimmung des Maximums über die erste Ableitung: \(c'(t) = -0{,}3t^2 + 2{,}4t\). Nullstellen von \(c'\): \(0{,}3t(-t + 8) = 0\) liefert \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). Die zweite Ableitung \(c''(t) = -0{,}6t + 2{,}4\) ergibt \(c''(8) = -2{,}4 < 0\), also liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. Da die Randwerte \(c(0) = 5\) und \(c(12) = 5\) kleiner sind als \(c(8) = -0{,}1 \cdot 8^3 + 1{,}2 \cdot 8^2 + 5 = 30{,}6\), ist dies das globale Maximum. 3. Berechnung von \(c''(2) = -0{,}6 \cdot 2 + 2{,}4 = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Da \(c''(2) > 0\), nimmt die Änderungsrate der Konzentration zu diesem Zeitpunkt zu; die Zunahme der Konzentration beschleunigt sich also. 4. Die maximale Zunahme liegt am Wendepunkt (Maximum der ersten Ableitung). \(c''(t) = 0 \implies -0{,}6t + 2{,}4 = 0 \implies t = 4\). Die maximale Änderungsrate beträgt \(c'(4) = -0{,}3 \cdot 4^2 + 2{,}4 \cdot 4 = -4{,}8 + 9{,}6 = 4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

a) \(c(0) = 5\,\text{mg}/\text{l}\) und \(c(12) = 5\,\text{mg}/\text{l}\). b) Das Maximum wird nach \(8\,\text{Minuten}\) erreicht und beträgt \(30{,}6\,\text{mg}/\text{l}\). c) \(c''(2) = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Dies bedeutet, dass die Änderungsrate der Konzentration zum Zeitpunkt \(t = 2\) ansteigt (positive Beschleunigung der Konzentrationszunahme). d) Die Konzentration nimmt nach \(4\,\text{Minuten}\) am schnellsten zu. Die maximale Änderungsrate beträgt \(4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

- Stelle dir vor, wie sich die Länge, Breite und Höhe der Schachtel verändern, wenn du die Quadrate an den Ecken größer oder kleiner machst. - Welche Werte für die Seitenlänge der Quadrate sind überhaupt sinnvoll? - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung der Volumenfunktion null ist.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(x) = (48 - 2x) \cdot (30 - 2x) \cdot x\). 2. Vereinfachen der Funktion: \(V(x) = (1440 - 96x - 60x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 156x^2 + 1440x\). 3. Bestimmen des Definitionsbereichs: Da die Seitenlängen positiv sein müssen, gilt \(2x < 30\), also \(0 < x < 15\). 4. Berechnen der ersten Ableitung: \(V'(x) = 12x^2 - 312x + 1440\). 5. Notwendige Bedingung \(V'(x) = 0\): \(12(x^2 - 26x + 120) = 0\). Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 20\). 6. Abgleich mit dem Definitionsbereich: Nur \(x = 6\) liegt im Intervall \((0; 15)\). 7. Hinreichende Bedingung prüfen: \(V''(x) = 24x - 312\). Einsetzen ergibt \(V''(6) = 24 \cdot 6 - 312 = 144 - 312 = -168 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(6) = (48 - 12) \cdot (30 - 12) \cdot 6 = 36 \cdot 18 \cdot 6 = 3888\).

Die Seitenlänge der Quadrate muss \(x = 6\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen der Schachtel ist \(3888\,\text{cm}^3\).

- Welche Maße hat ein Rechteck, dessen Ecken durch die Koordinatenachsen und einen Punkt auf einer Kurve festgelegt sind? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie findet man in der Analysis den höchsten Wert einer Funktion? - Denk an die Ableitungsregeln für Wurzelterme und Produkte.

1. Da der Radikand einer Wurzelfunktion nicht negativ sein darf, gilt \(27 - 3x \ge 0\), woraus \(3x \le 27\) und somit \(x \le 9\) folgt. Da die Fläche im ersten Quadranten liegt, ist der Definitionsbereich \(x \in [0; 9]\). 2. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen \(x\) und \(y = f(x)\): \(A(x) = x \cdot \sqrt{27 - 3x}\). 3. Die Ableitung der Zielfunktion erfolgt mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 1 \cdot \sqrt{27 - 3x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{27 - 3x}} \cdot (-3) = \frac{2(27 - 3x) - 3x}{2\sqrt{27 - 3x}} = \frac{54 - 9x}{2\sqrt{27 - 3x}}\). 4. Die Extremstelle wird durch \(A'(x) = 0\) bestimmt: \(54 - 9x = 0 \Rightarrow x = 6\). 5. Die zugehörige \(y\)-Koordinate ist \(f(6) = \sqrt{27 - 3 \cdot 6} = \sqrt{9} = 3\). Der gesuchte Punkt ist \(P(6|3)\). 6. Der maximale Flächeninhalt berechnet sich zu \(A(6) = 6 \cdot 3 = 18\). Da \(A(0) = 0\) und \(A(9) = 0\), liegt bei \(x = 6\) das absolute Maximum vor.

Der Punkt ist \(P(6|3)\) und der maximale Flächeninhalt beträgt \(18\).

- Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn ein Minimum vorliegt? - Kannst du eine der Variablen als festen Parameter behandeln und nur nach der anderen ableiten? - Nutze die Symmetrie des Problems: Wenn \(x\) und \(y\) in der Formel die gleichen Rollen spielen, was könnte das für ihre optimalen Werte bedeuten? - Wie hängen Volumen, Grundseiten und Höhe bei einem Quader zusammen?

1. Die Funktion \(f_x(y) = 6xy + \frac{64}{x} + \frac{64}{y}\) wird nach \(y\) abgeleitet: \(f_x'(y) = 6x - \frac{64}{y^2}\). Die notwendige Bedingung \(f_x'(y) = 0\) liefert \(6x = \frac{64}{y^2}\) bzw. \(y^2 = \frac{64}{6x} = \frac{32}{3x}\). 2. Analog ergibt die Ableitung nach \(x\) die Bedingung \(f_y'(x) = 6y - \frac{64}{x^2} = 0\), woraus \(x^2 = \frac{32}{3y}\) folgt. 3. Durch Gleichsetzen oder Einsetzen (Symmetrie nutzen: \(x=y\)) ergibt sich \(x^2 = \frac{32}{3x}\), also \(x^3 = \frac{32}{3}\). Damit ist \(x = \sqrt[3]{\frac{32}{3}} \approx 2{,}20\,\text{dm}\). Aufgrund der Symmetrie gilt \(y = x \approx 2{,}20\,\text{dm}\). Die Höhe berechnet sich über das Volumen: \(h = \frac{V}{x \cdot y} = \frac{16}{(32/3)^{2/3}} \approx 3{,}30\,\text{dm}\).

Die optimalen Maße sind \(x \approx 2{,}20\,\text{dm}\), \(y \approx 2{,}20\,\text{dm}\) und \(h \approx 3{,}30\,\text{dm}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Welche mathematische Eigenschaft einer Funktion sorgt dafür, dass die Position ihrer Maxima und Minima bei einer Transformation unverändert bleibt? - Überlege, wie sich die Ableitung einer Funktion \(d(x)\) im Vergleich zu \((d(x))^2\) berechnet (Kettenregel). - Kann ein Abstand negativ sein?

1. Die Abstandsfunktion zwischen \(P(3{,}5 \mid 0)\) und \(Q(x \mid \sqrt{x})\) lautet \(d(x) = \sqrt{(x - 3{,}5)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2} = \sqrt{x^2 - 7x + 12{,}25 + x} = \sqrt{x^2 - 6x + 12{,}25}\). 2. Da die Wurzelfunktion für positive Argumente streng monoton wachsend ist, nimmt \(d(x)\) genau dort ein Minimum an, wo auch der Radikand (das Quadrat des Abstands) minimal wird. Das Quadrieren eliminiert die Wurzel, was die Ableitung und die Nullstellensuche erheblich vereinfacht. 3. Wir minimieren \(g(x) = x^2 - 6x + 12{,}25\). Die Ableitung ist \(g'(x) = 2x - 6\). Setzen wir \(g'(x) = 0\), ergibt sich \(x = 3\). Da \(g''(x) = 2 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 3\) ist \(f(3) = \sqrt{3}\). Der gesuchte Punkt ist \(Q(3 \mid \sqrt{3})\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem minimalen Abstand zu \(P\) ist \(Q(3 \mid \sqrt{3})\). Das Quadrieren der Zielfunktion ist zulässig, da die Quadrierfunktion \(y \mapsto y^2\) für \(y \geq 0\) streng monoton wachsend ist und somit die Lage der Extremstellen beibehält.

- Welche Strecken müssen insgesamt eingezäunt werden? Skizziere die Situation. - Wie hängen die beiden Seitenlängen über den Flächeninhalt zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Welche mathematische Bedingung muss für einen minimalen Wert erfüllt sein?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Gesamtlänge \(L\): Bezeichnet \(y\) die Länge der vier parallelen Zaunstücke (zwei Außenseiten und zwei Trennzäune) und \(x\) die Länge der anderen beiden Außenseiten, so gilt \(L(x, y) = 2x + 4y\). 2. Verwendung der Nebenbedingung für den Flächeninhalt: \(A = x \cdot y = 1350\), woraus \(x = \frac{1350}{y}\) folgt. 3. Bildung der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(y\): \(L(y) = 2 \cdot \frac{1350}{y} + 4y = \frac{2700}{y} + 4y\). 4. Bestimmung des Extremums durch die erste Ableitung: \(L'(y) = -\frac{2700}{y^2} + 4\). Setzt man \(L'(y) = 0\), erhält man \(4y^2 = 2700\), also \(y^2 = 675\). 5. Berechnung der optimalen Werte: \(y = \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \approx 25{,}98\,\text{m}\). 6. Ermittlung der zweiten Seite: \(x = \frac{1350}{15\sqrt{3}} = \frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3} \approx 51{,}96\,\text{m}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(L''(y) = \frac{5400}{y^3} > 0\) für \(y > 0\), somit liegt ein lokales Minimum vor.

Die optimale Gesamtlänge des Geheges beträgt \(30\sqrt{3}\,\text{m} \approx 51{,}96\,\text{m}\) und die Breite (in Richtung der Trennzäune gemessen) beträgt \(15\sqrt{3}\,\text{m} \approx 25{,}98\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, welche geometrischen Formeln für einen Zylinder (Volumen und Oberflächenbestandteile) hier wichtig sind. - Welche Größe soll minimiert werden und welche Größe ist fest vorgegeben? - Du kannst eine der Variablen in der Kostenfunktion ersetzen, indem du die Volumenformel nach dieser Variablen auflöst. - Nutze die Ableitungsregeln, um die optimale Stelle für den Radius zu finden.

1. Aufstellen der Kostenfunktion (Hauptbedingung): \(K = 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 0{,}20 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \cdot 0{,}10 = 0{,}4\pi r^2 + 0{,}2\pi rh\). 2. Einbeziehen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{\pi r^2}\). 3. Bilden der Zielfunktion durch Einsetzen von \(h\): \(K(r) = 0{,}4\pi r^2 + 0{,}2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 0{,}4\pi r^2 + \frac{100}{r}\). 4. Bestimmen der ersten Ableitung: \(K'(r) = 0{,}8\pi r - 100r^{-2} = 0{,}8\pi r - \frac{100}{r^2}\). 5. Berechnen der notwendigen Bedingung \(K'(r) = 0\): \(0{,}8\pi r = \frac{100}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{125}{\pi} \Rightarrow r = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 3{,}41\,\text{cm}\). 6. Ermitteln der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{500}{\pi \cdot (3{,}4139...)^2} \approx 13{,}66\,\text{cm}\). 7. Überprüfen der hinreichenden Bedingung: \(K''(r) = 0{,}8\pi + \frac{200}{r^3}\); da \(K''(3{,}41) > 0\), liegt ein lokales Minimum vor.

Die Materialkosten werden minimal für einen Radius von \(r \approx 3{,}41\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h \approx 13{,}66\,\text{cm}\).

- Stelle eine Gleichung für die Größe auf, die minimiert werden soll. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den beiden Seitenlängen des Rechtecks? - Wie kannst du eine der Variablen in deiner Hauptgleichung ersetzen? - Überlege dir, für welchen Bereich der Seitenlängen das Problem überhaupt Sinn ergibt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich bei deinem Ergebnis tatsächlich um den kleinsten Wert handelt.

1. Zielfunktion für die Zaunlänge aufstellen: \(L(x, y) = x + 2y\), wobei \(x\) die Länge parallel zur Mauer und \(y\) die Länge der beiden Seiten senkrecht zur Mauer ist. 2. Nebenbedingung für den Flächeninhalt nutzen: \(x \cdot y = 800 \Rightarrow y = \frac{800}{x}\). 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von einer Variablen formulieren: \(f(x) = x + 2 \cdot \frac{800}{x} = x + \frac{1\,600}{x}\). 4. Ableitung bilden: \(f'(x) = 1 - \frac{1\,600}{x^2}\). 5. Nullstelle der Ableitung bestimmen: \(1 - \frac{1\,600}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1\,600 \Rightarrow x = 40\) (da \(x > 0\)). 6. Minimum prüfen (z. B. über \(f''(x) = \frac{3\,200}{x^3} > 0\)) und die zweite Seitenlänge berechnen: \(y = \frac{800}{40} = 20\). 7. Ergebnis: Die Seite an der Mauer ist \(40\,\text{m}\) lang, die beiden senkrechten Seiten sind jeweils \(20\,\text{m}\) lang.

Die Seite parallel zur Mauer muss \(40\,\text{m}\) lang sein, die beiden darauf senkrecht stehenden Seiten jeweils \(20\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, welche Größe maximiert werden soll und welche Informationen über die Oberfläche gegeben sind. - Kannst du eine Gleichung für die Oberfläche aufstellen und diese nach einer der Variablen auflösen? - Achte darauf, welche Werte die Seitenlänge \(a\) überhaupt annehmen kann, damit die Höhe \(h\) positiv bleibt. - Wie gehst du vor, um nachzuweisen, dass ein gefundener Wert tatsächlich zu einem Maximum führt?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für das Volumen: \(V(a, h) = a^2 \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Oberflächeninhalt: \(O = a^2 + 4ah = 1200\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{1200 - a^2}{4a} = \frac{300}{a} - \frac{a}{4}\). 4. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen von \(h\) in \(V\): \(V(a) = a^2 \cdot \left(\frac{300}{a} - \frac{a}{4}\right) = 300a - \frac{1}{4}a^3\). 5. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da \(a > 0\) und \(h > 0\) sein müssen, gilt \(a^2 < 1200\), also \(0 < a < \sqrt{1200} \approx 34{,}64\). 6. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(a) = 300 - \frac{3}{4}a^2\) und \(V''(a) = -1{,}5a\). 7. Notwendige Bedingung \(V'(a) = 0\): \(300 - 0{,}75a^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 400 \Rightarrow a = 20\) (da \(a > 0\)). 8. Hinreichende Bedingung prüfen: \(V''(20) = -1{,}5 \cdot 20 = -30 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 9. Randwertbetrachtung: Da \(\lim_{a \to 0^+} V(a) = 0\) und \(\lim_{a \to \sqrt{1200}^-} V(a) = 0\), ist das lokale Maximum bei \(a = 20\) auch das globale Maximum im Definitionsbereich. 10. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{300}{20} - \frac{20}{4} = 15 - 5 = 10\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(a = 20\,\text{cm}\) und die Höhe des Behälters beträgt \(h = 10\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Form hat das Objekt und wie berechnet man sein Volumen? - Es gibt eine Einschränkung für die Maße – wie kannst du diese als Gleichung schreiben? - Versuche, eine Variable in der Volumenformel durch die andere zu ersetzen. - Denk an die Ableitungsregeln, um den höchsten Punkt der Funktion zu finden. - Vergiss nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis wirklich das größte Volumen liefert.

1. Hauptbedingung für das Volumen des Zylinders aufstellen: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot l\). 2. Nebenbedingung aus der Aufgabenstellung formulieren: \(l + 2 \cdot \pi \cdot r = 120\). 3. Zielfunktion durch Einsetzen von \(l = 120 - 2 \cdot \pi \cdot r\) erstellen: \(V(r) = \pi \cdot r^2 \cdot (120 - 2 \cdot \pi \cdot r) = 120 \cdot \pi \cdot r^2 - 2 \cdot \pi^2 \cdot r^3\). 4. Definitionsbereich festlegen: Da \(r, l > 0\) sein müssen, gilt \(0 < r < \frac{60}{\pi}\). 5. Erste Ableitung bilden: \(V'(r) = 240 \cdot \pi \cdot r - 6 \cdot \pi^2 \cdot r^2\). 6. Notwendige Bedingung \(V'(r) = 0\) lösen: \(6 \cdot \pi \cdot r \cdot (40 - \pi \cdot r) = 0\) liefert \(r_1 = 0\) (Randwert/Minimum) und \(r_2 = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73\). 7. Hinreichende Bedingung prüfen: \(V''(r) = 240 \cdot \pi - 12 \cdot \pi^2 \cdot r\). Einsetzen von \(r_2 = \frac{40}{\pi}\) ergibt \(V''(\frac{40}{\pi}) = 240 \cdot \pi - 480 \cdot \pi = -240 \cdot \pi < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. 8. Länge berechnen: \(l = 120 - 2 \cdot \pi \cdot \frac{40}{\pi} = 40\).

Die Rolle erreicht ihr maximales Volumen bei einem Radius von \(r = \frac{40}{\pi}\,\text{cm} \approx 12{,}73\,\text{cm}\) und einer Länge von \(l = 40\,\text{cm}\).

- Überlege dir zuerst, wie du den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest, wenn die Seitenlängen von \(x\) abhängen. - Vergiss nicht, dass bei Extremwertaufgaben in einem geschlossenen Intervall das Maximum nicht immer dort liegen muss, wo die Ableitung Null ist. - Vergleiche am Ende alle berechneten Flächeninhalte miteinander, auch die an den Grenzen des Definitionsbereichs.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 3x^2 - 8x + 5\). 3. Bestimmung der stationären Punkte (\(A'(x) = 0\)): \(3x^2 - 8x + 5 = 0\) liefert mit der Mitternachtsformel \(x_1 = 1\) und \(x_2 = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). Beide Werte liegen im Intervall \([0; 3]\). 4. Prüfung der Funktionswerte an den stationären Stellen: \(A(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 2\) und \(A(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - 4 \cdot (\frac{5}{3})^2 + 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{27} - \frac{100}{9} + \frac{25}{3} = \frac{50}{27} \approx 1{,}85\). 5. Prüfung der Randwerte des Intervalls \([0; 3]\): \(A(0) = 0\) und \(A(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 27 - 36 + 15 = 6\). 6. Vergleich der Werte: Der größte Flächeninhalt ist \(A(3) = 6\). Das absolute Maximum liegt somit am Rand bei \(x = 3\).

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird für \(x = 3\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(6\) Flächeneinheiten.

- Stelle eine Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auf, dessen Höhe durch den Funktionswert bestimmt wird. - Wie verhält sich die Fläche an den Intervallgrenzen? Setze diese Werte in deine Flächenformel ein. - Denke daran, dass du die Stelle suchst, an der die erste Ableitung Null wird, und prüfe dann, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Dreiecks: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{1}{2}x \cdot (-x^2 + 3x + 9) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 + 4{,}5x\). 2. Erste Ableitung bilden: \(A'(x) = -1{,}5x^2 + 3x + 4{,}5\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(-1{,}5x^2 + 3x + 4{,}5 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Da \(x \in [0; 4{,}5]\), ist nur \(x = 3\) relevant. 4. Prüfung auf Maximum (z. B. über \(A''(x) = -3x + 3\)): \(A''(3) = -9 + 3 = -6 < 0\), also liegt bei \(x = 3\) ein lokales Maximum vor. 5. Wert des lokalen Maximums berechnen: \(A(3) = -0{,}5 \cdot 27 + 1{,}5 \cdot 9 + 4{,}5 \cdot 3 = -13{,}5 + 13{,}5 + 13{,}5 = 13{,}5\). 6. Randwertprüfung: \(A(0) = 0\) und \(A(4{,}5) = -0{,}5 \cdot 4{,}5^3 + 1{,}5 \cdot 4{,}5^2 + 4{,}5^2 = 5{,}0625\). 7. Ergebnis: Das absolute Maximum liegt im Inneren des Intervalls bei \(x = 3\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird an der Stelle \(x = 3\) maximal.

- Welche Größe soll im Problem optimiert werden? - Wie hängen die Kosten für den Boden und die Wände mit der jeweiligen Fläche zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, indem du die Kostenbedingung nutzt? - Was musst du tun, um den Hochpunkt einer Funktion rechnerisch zu bestimmen?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(a, h) = a^2 \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die gewichteten Materialkosten: \(3 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot h = 9\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach der Höhe: \(h = \frac{9 - 3a^2}{4a}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion liefert die Volumenfunktion in Abhängigkeit von \(a\): \(V(a) = a^2 \cdot \frac{9 - 3a^2}{4a} = \frac{1}{4}(9a - 3a^3)\). 5. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(V'(a) = \frac{9}{4} - \frac{9}{4}a^2\). Nullsetzen liefert \(1 - a^2 = 0\), woraus wegen \(a > 0\) die Lösung \(a = 1\) folgt. 6. Nachweis des Maximums über die zweite Ableitung: \(V''(a) = -4{,}5a\), mit \(V''(1) = -4{,}5 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{9 - 3 \cdot 1^2}{4 \cdot 1} = 1{,}5\). 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(1) = 1^2 \cdot 1{,}5 = 1{,}5\). Die optimalen Abmessungen sind \(a = 1\,\text{m}\) und \(h = 1{,}5\,\text{m}\) bei einem Volumen von \(1{,}5\,\text{m}^3\).

a) \(a = 1\,\text{m}\) und \(h = 1{,}5\,\text{m}\) b) \(V = 1{,}5\,\text{m}^3\)

- Was sind die beiden Größen, die das Volumen eines Zylinders bestimmen? - Wie hängen die Seiten des Rechtecks mit den Maßen des Zylinders zusammen? - Nutze den Umfang des Rechtecks, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Achte darauf, dass eine Seite des Rechtecks den Umfang des Kreises bildet, nicht den Radius. - Überprüfe am Ende, ob deine Ergebnisse die Randbedingungen erfüllen.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) der Umfang der Grundfläche und \(h\) die Höhe des Zylinders. 2. Nebenbedingung: Der Umfang des Blechs ist \(2x + 2h = 120\), woraus \(h = 60 - x\) folgt. 3. Bestimmung des Radius \(r\) der Grundfläche: Da der Umfang \(x = 2\pi r\) ist, gilt \(r = \frac{x}{2\pi}\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \cdot (60 - x) = \frac{1}{4\pi} \cdot (60x^2 - x^3)\). 5. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(x) = \frac{1}{4\pi} \cdot (120x - 3x^2)\). 6. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(120x - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x \cdot (40 - x) = 0\). 7. Lösungen sind \(x_1 = 0\) (Minimum/Randwert) und \(x_2 = 40\). 8. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(V''(x) = \frac{1}{4\pi} \cdot (120 - 6x)\). Da \(V''(40) = \frac{-120}{4\pi} < 0\), liegt ein Maximum vor. 9. Berechnung der zweiten Seitenlänge: \(h = 60 - 40 = 20\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Blechs müssen \(40\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\) betragen, wobei die \(40\,\text{cm}\) lange Seite zum Kreis gebogen wird.

- Wie hängen die Länge und Breite der Grundfläche von der Höhe \(h\) ab, wenn man die Gesamtmaße der Pappe betrachtet? - Überlege dir, welche Werte für die Höhe \(h\) überhaupt sinnvoll sind, damit die Schachtel existieren kann. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert tatsächlich zu einem Maximum führt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: Mit der Höhe \(h\), der Länge \(l\) und der Breite \(w\) gilt \(V(h, l, w) = l \cdot w \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingungen aus den Maßen der Pappe: In der Länge gilt \(2l + 2h = 80 \implies l = 40 - h\). In der Breite gilt \(w + 2h = 50 \implies w = 50 - 2h\). 3. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(h) = (40 - h) \cdot (50 - 2h) \cdot h = (2000 - 80h - 50h + 2h^2) \cdot h = 2h^3 - 130h^2 + 2000h\). 4. Bestimmung des Definitionsbereichs: Aus \(l > 0\) und \(w > 0\) folgt \(h < 40\) und \(h < 25\), also \(D = (0; 25)\). 5. Ableiten und Nullstellen bestimmen: \(V'(h) = 6h^2 - 260h + 2000\). Setze \(V'(h) = 0 \implies 3h^2 - 130h + 1000 = 0\). 6. Anwendung der Mitternachtsformel: \(h = \frac{130 \pm \sqrt{16900 - 12000}}{6} = \frac{130 \pm 70}{6}\). Dies ergibt \(h_1 = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} \approx 33{,}33\) (nicht im Definitionsbereich) und \(h_2 = \frac{60}{6} = 10\). 7. Überprüfung des Maximums: \(V''(h) = 12h - 260\); \(V''(10) = 120 - 260 = -140 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Da \(\lim_{h \to 0^+} V(h) = 0\) und \(\lim_{h \to 25^-} V(h) = 0\), ist es das globale Maximum. 8. Berechnung des Volumens: \(V(10) = (40 - 10) \cdot (50 - 20) \cdot 10 = 30 \cdot 30 \cdot 10 = 9000\).

Die Höhe muss \(h = 10\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen ist \(V = 9000\,\text{cm}^3\).

- Stelle zuerst die Formeln für das Gesamtvolumen und die Gesamtoberfläche aus den Einzelteilen (Zylinder und Halbkugel) zusammen. - Achte darauf, dass die Halbkugel nur eine Oberfläche hat (keinen Boden zum Zylinder hin) und der Zylinder nur einen Boden hat. - Drücke die Höhe \(h\) durch den Radius \(r\) aus, indem du das gegebene Volumen nutzt. - Suche das Minimum der Oberflächenfunktion mithilfe der ersten Ableitung.

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche \(O\): \(O(r, h) = \pi r^2\) (Boden) \(+ 2\pi r h\) (Mantel) \(+ 2\pi r^2\) (Halbkugel), also \(O(r, h) = 3\pi r^2 + 2\pi r h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen \(V\): \(V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3 = 1{,}5\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{1{,}5 - \frac{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2} = \frac{1{,}5}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(O(r) = 3\pi r^2 + 2\pi r \cdot (\frac{1{,}5}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r) = 3\pi r^2 + \frac{3}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 = \frac{5}{3}\pi r^2 + \frac{3}{r}\). 5. Ableiten und Extrempunkt bestimmen: \(O'(r) = \frac{10}{3}\pi r - \frac{3}{r^2}\). Nullsetzen ergibt \(\frac{10}{3}\pi r = \frac{3}{r^2} \implies r^3 = \frac{9}{10\pi}\). 6. Numerische Werte berechnen: \(r = \sqrt[3]{\frac{9}{10\pi}} \approx 0{,}659\,\text{m}\). Einsetzen in die Formel für \(h\) ergibt \(h = \frac{1{,}5 - \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{9}{10\pi}}{\pi r^2} = \frac{1{,}5 - 0{,}6}{\pi r^2} = \frac{0{,}9}{\pi r^2} \approx 0{,}659\,\text{m}\). 7. Überprüfung: \(O''(r) = \frac{10}{3}\pi + \frac{6}{r^3} > 0\), somit liegt ein Minimum vor.

Die optimalen Maße sind \(r = \sqrt[3]{\frac{9}{10\pi}} \approx 0{,}66\,\text{m}\) und \(h = \frac{0{,}9}{\pi r^2} \approx 0{,}66\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du die Materialkosten als Funktion der Fläche ausdrücken kannst. - Welche Größe ist fest vorgegeben (die Konstante in deiner Rechnung) und welche soll maximiert werden? - Stelle eine Gleichung für die Kosten auf und nutze sie, um eine Variable in der Volumenformel zu ersetzen. - Vergiss nicht, am Ende das Verhältnis der beiden Längenmaße zu bilden.

1. Aufstellen der Kostenfunktion (Nebenbedingung): Seien \(k\) die Kosten pro Flächeneinheit für den Mantel und \(2k\) die Kosten für den Boden. Die Gesamtkosten \(C\) ergeben sich zu \(C = 2k \cdot \pi r^2 + k \cdot 2\pi r h\). 2. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{C - 2k\pi r^2}{2k\pi r} = \frac{C}{2k\pi r} - r\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{C}{2k\pi r} - r \right) = \frac{Cr}{2k} - \pi r^3\). 4. Ableiten und Nullstellen bestimmen: \(V'(r) = \frac{C}{2k} - 3\pi r^2 = 0 \implies C = 6k\pi r^2\). 5. Einsetzen von \(C\) in die Kostenfunktion: \(6k\pi r^2 = 2k\pi r^2 + 2k\pi r h \implies 4k\pi r^2 = 2k\pi r h\). 6. Auflösen nach dem Verhältnis: Durch Division durch \(2k\pi r\) erhält man \(2r = h\). Das Volumen ist maximal, wenn die Höhe genau dem Durchmesser des Bodens entspricht.

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\).

- Welche Größe soll maximiert werden? Stelle dafür eine Formel auf. - Welche Information ist fest vorgegeben? Nutze diese, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Erinnere dich daran, wie man mithilfe der Ableitung Hochpunkte einer Funktion bestimmt. - Prüfe am Ende, ob deine Maße im Kontext der Aufgabenstellung sinnvoll sind.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(r, h) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 600\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{600 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{300}{\pi r} - r\). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2 \cdot \left(\frac{300}{\pi r} - r\right) = 300r - \pi r^3\). 5. Bestimmung des Extremums: \(V'(r) = 300 - 3\pi r^2 = 0 \Rightarrow r^2 = \frac{100}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} \approx 5{,}64\,\text{cm}\). 6. Nachweis des Maximums: \(V''(r) = -6\pi r\); da \(V''(5{,}64) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{300}{\pi \cdot 5{,}6419} - 5{,}6419 \approx 11{,}28\,\text{cm}\). 8. Berechnung des Volumens: \(V = 300 \cdot 5{,}6419 - \pi \cdot (5{,}6419)^3 \approx 1128{,}38\,\text{cm}^3\).

Der Radius beträgt \(r \approx 5{,}64\,\text{cm}\), die Höhe \(h \approx 11{,}28\,\text{cm}\) und das maximale Volumen \(V \approx 1128{,}38\,\text{cm}^3\).

- Stelle zuerst Formeln für das Volumen und die gewichteten Oberflächenkosten auf. - Überlege, wie du eine der Variablen \(h\) oder \(r\) eliminieren kannst, indem du die Volumenbedingung nutzt. - Welche Funktion beschreibt die Kosten in Abhängigkeit von nur einer Variablen? - Wie findest du den Tiefpunkt dieser Funktion mithilfe der Differentialrechnung?

1. Aufstellen der Formel für das Volumen: \(V = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion \(C\). Mit den Oberflächen der Seitenwand (\(2\pi r h\)) und der Halbkugel (\(2\pi r^2\)) sowie den relativen Kostenfaktoren \(1\) und \(2\) ergibt sich: \(C(r, h) = 2\pi r h \cdot 1 + 2\pi r^2 \cdot 2 = 2\pi r h + 4\pi r^2\). 3. Auflösen der Volumenformel nach \(h\): \(h = \frac{V - \frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Kostenfunktion: \(C(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 4\pi r^2 = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 4\pi r^2 = \frac{2V}{r} + \frac{8}{3}\pi r^2\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(C'(r) = -\frac{2V}{r^2} + \frac{16}{3}\pi r\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(-\frac{2V}{r^2} + \frac{16}{3}\pi r = 0 \Rightarrow \frac{16}{3}\pi r^3 = 2V \Rightarrow V = \frac{8}{3}\pi r^3\). 7. Einsetzen von \(V\) in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = \frac{8}{3}r - \frac{2}{3}r = 2r\). 8. Die zweite Ableitung \(C''(r) = \frac{4V}{r^3} + \frac{16}{3}\pi\) ist für \(r > 0\) stets positiv, woraus folgt, dass ein Minimum vorliegt. Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\).

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\). Die Höhe des zylindrischen Teils muss also genau dem Durchmesser der Halbkugel entsprechen.

- Welche Größe soll maximiert werden? Formuliere dafür eine Gleichung. - Wie hängen die Breite und die Höhe des Rechtecks durch die Form des Dreiecks zusammen? - Nutze den Strahlensatz oder die Ähnlichkeit von Dreiecken, um eine Beziehung zwischen den Variablen herzustellen. - Kannst du die Flächeninhaltsformel so umformen, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Wie findest du mit Mitteln der Analysis den höchsten Punkt einer Funktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = x \cdot y\), wobei \(x\) die Breite und \(y\) die Höhe des Rechtecks ist. 2. Bestimmung der Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes oder ähnlicher Dreiecke: \(\frac{y}{15} = \frac{10 - x}{10}\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(y\): \(y = 1{,}5 \cdot (10 - x) = 15 - 1{,}5x\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(A(x) = x \cdot (15 - 1{,}5x) = 15x - 1{,}5x^2\). 5. Bestimmung des Extremums durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(A'(x) = 15 - 3x = 0 \Rightarrow x = 5\). 6. Nachweis des Maximums über die zweite Ableitung: \(A''(x) = -3 < 0\). 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(y = 15 - 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5\).

Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(5\,\text{cm}\) und \(7{,}5\,\text{cm}\).

- Betrachte einen zweidimensionalen Schnitt durch die Mitte der Pyramide, um die geometrische Beziehung zu finden. - Welche Größe soll maximiert werden? Stelle dafür eine Formel auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Denke an die notwendige Bedingung für Extremstellen bei differenzierbaren Funktionen. - Vergleiche am Ende das berechnete Quadervolumen mit der bekannten Formel für das Pyramidenvolumen.

1. Betrachtung eines Symmetrieschnitts durch die Pyramidenspitze und die Mittelpunkte gegenüberliegender Grundkanten: Das entstehende gleichschenklige Dreieck hat die Basis \(a\) und die Höhe \(h\). Der Quaderschnitt ist ein Rechteck mit Breite \(x\) und Höhe \(y\). Aus dem Strahlensatz folgt \(\frac{h-y}{h} = \frac{x}{a}\), woraus sich \(y = h \cdot (1 - \frac{x}{a})\) ergibt. 2. Die Zielfunktion für das Volumen ist \(V(x) = x^2 \cdot y = x^2 \cdot h \cdot (1 - \frac{x}{a}) = hx^2 - \frac{h}{a}x^3\). Die erste Ableitung \(V'(x) = 2hx - \frac{3h}{a}x^2\) liefert durch Nullsetzen \(x \cdot (2h - \frac{3h}{a}x) = 0\). Da \(x > 0\), folgt \(x = \frac{2}{3}a\). Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt \(y = h \cdot (1 - \frac{2/3a}{a}) = \frac{1}{3}h\). 3. Das Maximalvolumen beträgt \(V_{\text{max}} = (\frac{2}{3}a)^2 \cdot \frac{1}{3}h = \frac{4}{27}a^2 h\). Das Volumen der Pyramide ist \(V_{\text{Pyr}} = \frac{1}{3}a^2 h\). Das Verhältnis beträgt \(\frac{V_{\text{max}}}{V_{\text{Pyr}}} = \frac{4/27}{1/3} = \frac{4}{9}\). Der Anteil beträgt somit \(\frac{4}{9}\) (ca. \(44{,}4\,\%\)).

1. Nachweis über Strahlensatz: \(\frac{y}{h} = \frac{a-x}{a} \implies y = h \cdot (1 - \frac{x}{a})\). 2. Die optimalen Maße sind \(x = \frac{2}{3}a\) und \(y = \frac{1}{3}h\). 3. Der Quader nimmt \(\frac{4}{9}\) des Pyramidenvolumens ein.

- Kannst du die Beziehung zwischen dem Radius und der Höhe des Zylinders mithilfe des Strahlensatzes im Querschnitt des Kegels beschreiben? - Welche Maße kann die Höhe des Zylinders im Inneren des Kegels theoretisch annehmen? - Denk an die Volumenformel für einen Zylinder. - Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion zu finden? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich bei deiner gefundenen Stelle tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Aus dem Strahlensatz im Achsenschnitt des Kegels folgt für den Radius \(r\) des Zylinders: \(\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H}\). Mit \(R = 5\) und \(H = 15\) ergibt sich \(r(h) = 5 \cdot \frac{15-h}{15} = 5 - \frac{1}{3}h\). Einsetzen in die Volumenformel \(V = \pi r^2 h\) liefert \(V(h) = \pi \cdot (5 - \frac{1}{3}h)^2 \cdot h\). Da die Höhe positiv sein muss und nicht größer als die Kegelhöhe sein kann, gilt \(h \in [0; 15]\). 2. Ableiten der Zielfunktion \(V(h) = \pi \cdot (25h - \frac{10}{3}h^2 + \frac{1}{9}h^3)\) ergibt \(V'(h) = \pi \cdot (25 - \frac{20}{3}h + \frac{1}{3}h^2)\). Nullsetzen führt auf die quadratische Gleichung \(h^2 - 20h + 75 = 0\) mit den Lösungen \(h_1 = 15\) (Randwert, \(V=0\)) und \(h_2 = 5\). Die zweite Ableitung \(V''(h) = \pi \cdot (-\frac{20}{3} + \frac{2}{3}h)\) ist für \(h=5\) negativ (\(V''(5) = -\frac{10}{3}\pi\)), also liegt ein Maximum vor. 3. Das maximale Volumen beträgt \(V(5) = \pi \cdot (5 - \frac{5}{3})^2 \cdot 5 = \frac{500}{9}\pi \approx 174{,}53\,\text{cm}^3\). Das Kegelvolumen ist \(V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 15 = 125\pi\). Der Anteil beträgt \(\frac{500/9 \cdot \pi}{125\pi} = \frac{4}{9} \approx 44{,}4\,\%\).

1. \(V(h) = \pi \cdot (5 - \frac{1}{3}h)^2 \cdot h\); \(D_h = [0; 15]\) 2. \(h = 5\,\text{cm}\) 3. \(V_{\text{max}} = \frac{500}{9}\pi \approx 174{,}53\,\text{cm}^3\); Anteil: \(\frac{4}{9} \approx 44{,}4\,\%\)

- Welche geometrische Form hat der Querschnitt und wie berechnet man dessen Fläche? - Kannst du die Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks mithilfe der Funktionsgleichung ausdrücken? - Wie hängen die Breite des Rechtecks und die \(x\)-Koordinate der Eckpunkte zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein Maximum der Flächenfunktion erfüllt sein? - Hast du geprüft, ob deine Lösung im sinnvollen Bereich für die Breite liegt?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks in Abhängigkeit von der halben Breite \(x\): \(A(x) = 2x \cdot f(x) = 2x \cdot (4 - 0{,}25x^2) = 8x - 0{,}5x^3\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da das Rechteck innerhalb der Giebelwand liegen muss, gilt \(0 < x < 4\). 3. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 8 - 1{,}5x^2\). 4. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(8 - 1{,}5x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{8}{1{,}5} = \frac{16}{3} \implies x = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\). 5. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(A''(x) = -3x\). Da \(A''(\frac{4}{\sqrt{3}}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Da es die einzige Extremstelle im Intervall ist und \(\lim_{x \to 0^+} A(x) = 0\) sowie \(\lim_{x \to 4^-} A(x) = 0\) gilt, ist es das globale Maximum. 6. Berechnung der gesuchten Größen: Breite \(w = 2x = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4{,}62\,\text{m}\). Höhe \(h = f(\frac{4}{\sqrt{3}}) = 4 - 0{,}25 \cdot \frac{16}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\,\text{m}\). Maximaler Flächeninhalt \(A_{max} = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{3\sqrt{3}} \approx 12{,}32\,\text{m}^2\).

Die optimale Breite des Schachts beträgt ca. \(4{,}62\,\text{m}\) (exakt \(\frac{8}{\sqrt{3}}\,\text{m}\)) und die optimale Höhe beträgt ca. \(2{,}67\,\text{m}\) (exakt \(\frac{8}{3}\,\text{m}\)). Der maximale Flächeninhalt des Querschnitts beläuft sich auf ca. \(12{,}32\,\text{m}^2\) (exakt \(\frac{64}{3\sqrt{3}}\,\text{m}^2\)).

- Überlege dir, wie die Grundseite der Pyramide und die Höhe mit der festen Seitenkante zusammenhängen. Eine Skizze des Querschnitts entlang der Diagonale hilft. - Drücke die Grundfläche der Pyramide durch die Höhe aus, um eine Funktion mit nur einer Variablen zu erhalten. - Welche Werte kann die Höhe theoretisch annehmen? - Nutze die Ableitung, um das Maximum der Volumenfunktion zu finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\), wobei \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe der Pyramide ist. 2. Bestimmen der Nebenbedingung über den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck aus Höhe, halber Grundflächendiagonale und Seitenkante: \(s^2 = h^2 + \left(\frac{a \cdot \sqrt{2}}{2}\right)^2\). Mit \(s = 9\) folgt \(81 = h^2 + \frac{a^2}{2}\), also \(a^2 = 2 \cdot (81 - h^2)\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(h) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (81 - h^2) \cdot h = \frac{2}{3} \cdot (81h - h^3)\). 4. Bestimmen des Extremwerts durch Ableiten: \(V'(h) = \frac{2}{3} \cdot (81 - 3h^2)\). Nullsetzen ergibt \(81 - 3h^2 = 0 \implies h^2 = 27 \implies h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}\). 5. Überprüfung der Randwerte und der zweiten Ableitung \(V''(h) = -4h\). Da \(V''(3\sqrt{3}) < 0\), liegt ein Maximum vor. 6. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(3\sqrt{3}) = \frac{2}{3} \cdot (81 \cdot 3\sqrt{3} - (3\sqrt{3})^3) = \frac{2}{3} \cdot (243\sqrt{3} - 81\sqrt{3}) = 108\sqrt{3}\,\text{cm}^3 \approx 187{,}06\,\text{cm}^3\).

Die Höhe der Pyramide beträgt \(h = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}\). Das maximale Volumen ist \(V = 108\sqrt{3}\,\text{cm}^3 \approx 187{,}06\,\text{cm}^3\).

- Lege ein Koordinatensystem fest, um die Bruchlinie als Funktionsgraph darzustellen. - Welche Punkte auf der Bruchlinie kommen als Eckpunkte für das neue Rechteck infrage? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von einer Variablen auf. - Überprüfe, ob dein berechneter optimaler Wert innerhalb der physikalischen Grenzen der Scheibe liegt. - Vergiss nicht, die Randwerte des Definitionsbereichs zu untersuchen.

1. Ein Koordinatensystem wird so gewählt, dass die Eckpunkte der ursprünglichen Scheibe bei \((0|0)\), \((100|0)\), \((100|60)\) und \((0|60)\) liegen. Die Bruchlinie verläuft zwischen dem Mittelpunkt der kurzen Seite \((0|30)\) und dem Mittelpunkt der langen Seite \((50|60)\). 2. Die Gleichung der Bruchlinie lautet \(y = 0{,}6x + 30\) für \(x \in [0; 50]\). 3. Ein Rechteck mit der oberen linken Ecke \((x|y)\) auf der Bruchlinie und der unteren rechten Ecke bei \((100|0)\) hat die Breite \(w = 100 - x\) und die Höhe \(h = y = 0{,}6x + 30\). 4. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt ist \(A(x) = (100 - x)(0{,}6x + 30) = -0{,}6x^2 + 30x + 3\,000\). 5. Die Ableitung \(A'(x) = -1{,}2x + 30\) liefert durch Nullsetzen die Extremstelle \(x = 25\). Da \(A''(25) = -1{,}2 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 6. Da \(25\) im Intervall \([0; 50]\) liegt, wird der Randvergleich durchgeführt: \(A(0) = 3\,000\), \(A(50) = 3\,000\) und \(A(25) = 3\,375\). Das Maximum liegt bei \(x = 25\). 7. Die Maße sind \(w = 100 - 25 = 75\,\text{cm}\) und \(h = 0{,}6 \cdot 25 + 30 = 45\,\text{cm}\).

Die neue Scheibe hat die Maße \(75\,\text{cm} \times 45\,\text{cm}\).

- Was genau soll maximiert werden? Formuliere dafür eine Gleichung. - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen dem Radius der Kugel und den Maßen des Zylinders? Eine Skizze des Querschnitts kann hier helfen. - Kannst du eine der Variablen in deiner Volumengleichung durch die andere ersetzen? - Denke daran, die Randwerte des Definitionsbereichs für die Höhe zu betrachten.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen des Zylinders: \(V(r, h) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Bestimmen der Nebenbedingung unter Verwendung des Satzes von Pythagoras im axialen Schnitt der Kugel: \(r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2\), woraus \(r^2 = 36 - \frac{h^2}{4}\) folgt. 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion ergibt die Zielfunktion in Abhängigkeit von \(h\): \(V(h) = \pi \cdot \left(36 - \frac{h^2}{4}\right) \cdot h = 36\pi h - \frac{\pi}{4}h^3\). 4. Bilden der ersten Ableitung: \(V'(h) = 36\pi - \frac{3\pi}{4}h^2\). 5. Nullsetzen der ersten Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(36\pi = \frac{3\pi}{4}h^2 \Rightarrow h^2 = 48 \Rightarrow h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{m}\). 6. Überprüfung der zweiten Ableitung \(V''(h) = -\frac{3\pi}{2}h\): Da \(V''(4\sqrt{3}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Da \(V(0) = 0\) und \(V(2R) = 0\), ist dies das globale Maximum im relevanten Intervall. 7. Berechnung des Radius: \(r = \sqrt{36 - \frac{48}{4}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90\,\text{m}\). 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V = \pi \cdot 24 \cdot 4\sqrt{3} = 96\sqrt{3}\pi \approx 522{,}37\,\text{m}^3\).

Der Zylinder hat eine Höhe von \(h \approx 6{,}93\,\text{m}\) und einen Radius von \(r \approx 4{,}90\,\text{m}\). Das maximale Volumen beträgt \(V \approx 522{,}37\,\text{m}^3\).

- Welche Größe soll maximiert werden und von welchen Variablen hängt sie ab? - Wie hängen die Seitenlängen des Quaders mathematisch mit der Raumdiagonalen zusammen? - Kannst du die Nebenbedingung so umformen, dass du eine Variable in der Volumenformel ersetzen kannst? - Erinnere dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten mithilfe der Ableitung.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für das Volumen: \(V = a^2 \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung über die Raumdiagonale: \(D^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(a^2 = \frac{D^2 - h^2}{2}\) und Einsetzen in die Hauptbedingung zur Erstellung der Zielfunktion: \(V(h) = \frac{D^2 - h^2}{2} \cdot h = \frac{1}{2}(D^2 h - h^3)\). 4. Bilden der ersten Ableitung: \(V'(h) = \frac{1}{2}(D^2 - 3h^2)\). 5. Bestimmen der Nullstelle der Ableitung für das Maximum: \(D^2 - 3h^2 = 0 \Rightarrow h = \frac{D}{\sqrt{3}}\) (da \(h > 0\)). 6. Berechnen des zugehörigen Wertes für \(a\): \(a^2 = \frac{D^2 - \frac{D^2}{3}}{2} = \frac{1}{3} D^2 \Rightarrow a = \frac{D}{\sqrt{3}}\). 7. Bestimmen des Verhältnisses: \(\frac{h}{a} = \frac{D/\sqrt{3}}{D/\sqrt{3}} = 1\).

Das optimale Verhältnis ist \(\frac{h}{a} = 1\). Das bedeutet, der Behälter muss die Form eines Würfels haben.

- Wie hängen Volumen, Grundkante und Höhe bei einer Pyramide zusammen? - Kannst du die zu minimierende Größe als Funktion einer einzigen Variablen ausdrücken? - Überlege, ob es rechnerisch einfacher ist, das Quadrat der Fläche zu untersuchen. - Welche Bedingung muss die Ableitung an einer Minimalstelle erfüllen? - Versuche am Ende, die Konstante \(V\) wieder durch die geometrischen Variablen zu ersetzen.

1. Aufstellen der Formel für die Mantelfläche: \(M = a \cdot \sqrt{4h^2 + a^2}\). 2. Verwendung der Volumenformel \(V = \frac{1}{3}a^2 h\) als Nebenbedingung, um \(a^2 = \frac{3V}{h}\) auszudrücken. 3. Einsetzen der Nebenbedingung in das Quadrat der Zielfunktion: \(f(h) = M^2 = \frac{3V}{h} \cdot \left(4h^2 + \frac{3V}{h}\right) = 12Vh + \frac{9V^2}{h^2}\). 4. Bildung der ersten Ableitung der Zielfunktion: \(f'(h) = 12V - 18V^2 h^{-3}\). 5. Bestimmung der Extremstelle durch \(f'(h) = 0\): \(12V = \frac{18V^2}{h^3} \Rightarrow h^3 = \frac{3}{2}V\). 6. Rücksubstitution von \(V = \frac{1}{3}a^2 h\) in die Gleichung \(h^3 = \frac{3}{2}V\): \(h^3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}a^2 h = \frac{1}{2}a^2 h\). 7. Vereinfachung der Beziehung zwischen den Maßen: \(2h^2 = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{2}h\). Das gesuchte Verhältnis ist \(a : h = \sqrt{2} : 1\).

Das Verhältnis von Grundkante \(a\) zur Höhe \(h\) muss \(a : h = \sqrt{2} : 1\) betragen (also \(a = \sqrt{2} \cdot h\)).

- Skizziere einen Querschnitt der Kugel, der durch die Spitze und eine Diagonale der Grundfläche verläuft. - Wie hängen der Kugelradius, die Höhe der Pyramide und die Diagonale der Grundfläche zusammen? - Denke an den Satz des Pythagoras im Inneren der Kugel. - Welchen Einfluss hat die Lage der Grundfläche (oberhalb oder unterhalb des Kugelmittelpunkts) auf deine Formeln?

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V = \frac{1}{3} a^2 h\). 2. Nebenbedingung: In einem vertikalen Schnitt durch die Kugelmitte und zwei gegenüberliegende Grundflächenecken bildet der Kugelradius \(R\), die halbe Diagonale der Grundfläche \(x\) und der Abstand der Grundfläche vom Mittelpunkt \(|h-R|\) ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt: \(x^2 + (h-R)^2 = R^2 \Rightarrow x^2 = 2Rh - h^2\). 3. Da die Grundfläche ein Quadrat mit der Diagonalen \(2x\) ist, gilt \(a^2 = 2x^2 = 2(2Rh - h^2) = 4Rh - 2h^2\). 4. Zielfunktion mit \(R = 9\): \(V(h) = \frac{1}{3} (36h - 2h^2) h = 12h^2 - \frac{2}{3} h^3\). Der Definitionsbereich ist \(0 < h < 18\). 5. Extremwertbestimmung: \(V'(h) = 24h - 2h^2 = 0 \Rightarrow 2h(12 - h) = 0\). Die Lösung \(h = 12\) liegt im Intervall. 6. Überprüfung: \(V''(h) = 24 - 4h \Rightarrow V''(12) = 24 - 48 = -24 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. Da \(\lim_{h \to 0^+} V(h) = 0\) und \(\lim_{h \to 18^-} V(h) = 0\) gilt, ist es das globale Maximum.

Das Volumen der Pyramide wird maximal für eine Höhe von \(h = 12\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie die Höhe des Quaders kleiner wird, wenn seine Grundfläche größer wird. Ein Querschnitt durch die Mitte der Pyramide kann hier helfen. - Nutze den Strahlensatz, um eine Beziehung zwischen der Breite und der Höhe des Quaders herzustellen. - Was ist die allgemeine Formel für das Volumen eines Quaders? - Wie findest du bei einer Funktion die Stelle, an der der Funktionswert am größten ist? - Vergleiche am Ende das berechnete Quadervolumen mit der Formel für das Pyramidenvolumen.

1. Zur Aufstellung der Zielfunktion wird der Strahlensatz (V-Figur) im Querschnitt der Pyramide verwendet. Sei \(x\) die Grundkante und \(y\) die Höhe des Quaders. Es gilt das Verhältnis \(\frac{h - y}{h} = \frac{x}{a}\). Umgestellt nach \(y\) ergibt sich die Nebenbedingung \(y = h \cdot (1 - \frac{x}{a}) = 15 \cdot (1 - \frac{x}{9}) = 15 - \frac{5}{3}x\). Das Volumen des Quaders ist \(V(x) = x^2 \cdot y\). Eingesetzt ergibt sich die Zielfunktion \(V(x) = x^2 \cdot (15 - \frac{5}{3}x) = 15x^2 - \frac{5}{3}x^3\). 2. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung \(V'(x) = 30x - 5x^2\) gebildet und gleich null gesetzt: \(5x \cdot (6 - x) = 0\). Die physikalisch sinnvolle Lösung ist \(x = 6\,\text{cm}\). Die zweite Ableitung \(V''(x) = 30 - 10x\) ergibt \(V''(6) = -30 < 0\), was das Maximum bestätigt. Die zugehörige Höhe beträgt \(y = 15 - \frac{5}{3} \cdot 6 = 5\,\text{cm}\). 3. Das maximale Volumen des Quaders ist \(V_{max} = 6^2 \cdot 5 = 180\,\text{cm}^3\). Das Volumen der Pyramide beträgt \(V_{Pyr} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9^2 \cdot 15 = 405\,\text{cm}^3\). Der Anteil berechnet sich zu \(\frac{180}{405} = \frac{4}{9} \approx 44{,}44\,\%\).

1. \(V(x) = 15x^2 - \frac{5}{3}x^3\) 2. \(x = 6\,\text{cm}\), \(y = 5\,\text{cm}\) 3. \(\frac{4}{9} \approx 44{,}44\,\%\)

- Wie berechnet man den Erlös aus dem Preis und der Menge? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Gewinn, Erlös und Kosten? - An welcher Stelle der Gewinnkurve ist die Steigung gleich Null? - Wie kannst du sicherstellen, dass es sich um einen Hochpunkt und nicht um einen Tiefpunkt handelt?

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = x \cdot p(x) = x \cdot (-0{,}4x + 84) = -0{,}4x^2 + 84x\). 2. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = (-0{,}4x^2 + 84x) - (12x + 400) = -0{,}4x^2 + 72x - 400\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung: \(G'(x) = -0{,}8x + 72\). 4. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen: \(-0{,}8x + 72 = 0 \Rightarrow x = 90\). 5. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -0{,}8 < 0\), somit liegt bei \(x = 90\) ein lokales Maximum vor. 6. Berechnung des optimalen Preises: \(p(90) = -0{,}4 \cdot 90 + 84 = 48\). 7. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(90) = -0{,}4 \cdot 90^2 + 72 \cdot 90 - 400 = 2840\).

Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 90\,\text{ME}\) erreicht. Der zugehörige Preis beträgt \(48\,\text{GE/ME}\) und der maximale Gewinn beläuft sich auf \(2840\,\text{GE}\).

- Wie berechnet man den Erlös aus dem Preis und der Menge? - Überlege dir, wie der Gewinn mit dem Erlös und den Kosten zusammenhängt. - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion an einer Stelle einen Hochpunkt hat? - Denk daran, dass negative Produktionsmengen in der Realität nicht sinnvoll sind.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = p \cdot x = 125x\) 2. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 125x - (\frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 50x + 100) = -\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 + 75x - 100\) 3. Bestimmung der ersten Ableitung der Gewinnfunktion: \(G'(x) = -x^2 + 10x + 75\) 4. Setzen der ersten Ableitung gleich Null zur Bestimmung der Extremstellen: \(-x^2 + 10x + 75 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren ergibt sich \(x_1 = 15\) und \(x_2 = -5\). Da die Produktionsmenge positiv sein muss, ist \(x = 15\) der relevante Kandidat. 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -2x + 10\). Einsetzen von \(x = 15\) ergibt \(G''(15) = -20\). Da \(G''(15) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 15\) ein lokales Maximum vor. 6. Für \(x \ge 0\) gilt \(G'(x) > 0\) auf \([0;15[\) und \(G'(x) < 0\) für \(x > 15\). Daher ist \(x = 15\) nicht nur ein lokales, sondern das globale Maximum im ökonomisch relevanten Bereich.

Der Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(15\,\text{ME}\) maximal.

- Welche Formel berechnet den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem? - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Abstands zu minimieren, da die Wurzel eine monotone Funktion ist. - Wenn du eine Gleichung dritten Grades lösen musst, versuche zuerst, eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren kleiner Werte zu finden. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um einen Tiefpunkt handelt.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion zum Quadrat (um die Wurzel zu vermeiden): \(D(x) = (x - 3)^2 + (x^2 - 0)^2 = x^4 + x^2 - 6x + 9\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(D'(x) = 4x^3 + 2x - 6\). 3. Bestimmung der Nullstellen von \(D'(x)\): Durch systematisches Probieren findet man die Nullstelle \(x = 1\). 4. Nachweis des Minimums mit der zweiten Ableitung: \(D''(x) = 12x^2 + 2\). Da \(D''(1) = 14 > 0\) ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokales Minimum vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(1) = 1^2 = 1\). 6. Ergebnis: Der gesuchte Punkt ist \(P(1; 1)\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem minimalen Abstand zu \(A(3; 0)\) ist \(P(1; 1)\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion grafisch an? - Wenn du das Minimum einer Funktion (hier der Grenzkosten) suchst, welche Ableitung musst du dann gleich Null setzen? - Erinnere dich an die Definition des Wendepunkts einer Funktion. - Wie interpretierst du die Steigung der Kostenkurve im Hinblick auf den Kostenanstieg?

1. Bildung der Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}8x + 40\). 2. Bestimmung des Minimums von \(K'(x)\): Die notwendige Bedingung \(K''(x) = 0\) führt zu \(0{,}06x - 1{,}8 = 0\), woraus \(x = 30\,\text{ME}\) folgt. 3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(K'''(x) = 0{,}06 > 0\), somit liegt bei \(x = 30\) ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung der minimalen Grenzkosten: \(K'(30) = 0{,}03 \cdot 30^2 - 1{,}8 \cdot 30 + 40 = 27 - 54 + 40 = 13\,\text{GE/ME}\). 5. Ökonomischer und geometrischer Zusammenhang: Das Minimum der Grenzkosten entspricht dem Wendepunkt der Kostenfunktion \(K\). An dieser Stelle geht die Kostenkurve von einer Rechtskrümmung (degressiver Kostenverlauf) in eine Linkskrümmung (progressiver Kostenverlauf) über; hier steigen die Kosten am langsamsten an.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 30\,\text{ME}\) am geringsten. b) Die minimalen Grenzkosten betragen \(13\,\text{GE/ME}\). c) Das Minimum der Grenzkosten markiert die Stelle des geringsten Kostenanstiegs, was geometrisch dem Wendepunkt der Gesamtkostenfunktion \(K\) entspricht.

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen die Innenverkleidung des Beckens besteht. - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Grundseite, der Höhe und dem vorgegebenen Volumen? - Versuche, die Formel für die Oberfläche so umzuformen, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man in der Analysis den kleinsten Wert einer Funktion?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für die zu minimierende Oberfläche \(O\) (Boden plus vier Seitenwände): \(O(a, h) = a^2 + 4ah\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung über das Volumen \(V\): \(V = a^2 \cdot h = 32\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{32}{a^2}\). 4. Einsetzen in die Hauptbedingung zur Erstellung der Zielfunktion: \(O(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(O'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). 6. Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung: \(2a - \frac{128}{a^2} = 0 \Leftrightarrow 2a^3 = 128 \Leftrightarrow a^3 = 64 \Leftrightarrow a = 4\). 7. Überprüfung der Art des Extremums (z. B. über \(O''(a) = 2 + \frac{256}{a^3}\)): Da \(O''(4) = 6 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 8. Berechnung der zugehörigen Tiefe: \(h = \frac{32}{4^2} = 2\).

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche beträgt \(a = 4\,\text{m}\) und die Tiefe des Beckens beträgt \(h = 2\,\text{m}\).

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Zusammenhänge zwischen den drei Kantenlängen. - Stelle eine Formel für die Gesamtoberfläche eines Quaders auf und nutze die Informationen aus dem Text, um Variablen zu ersetzen. - Verwende das feste Volumen, um die Höhe durch die Breite auszudrücken. - Suche nach dem Tiefpunkt der resultierenden Oberflächenfunktion.

1. Definition der Variablen: Breite \(b\), Länge \(l = 3b\), Höhe \(h\). 2. Aufstellen der Hauptbedingung für die Oberfläche \(O\): \(O = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) = 2 \cdot (3b^2 + 3bh + bh) = 6b^2 + 8bh\). 3. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen \(V\): \(V = l \cdot b \cdot h = 3b \cdot b \cdot h = 3b^2 h = 36\). 4. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{36}{3b^2} = \frac{12}{b^2}\). 5. Einsetzen in die Hauptbedingung zur Zielfunktion: \(O(b) = 6b^2 + 8b \cdot \frac{12}{b^2} = 6b^2 + \frac{96}{b}\). 6. Ableiten der Zielfunktion: \(O'(b) = 12b - \frac{96}{b^2}\). 7. Nullsetzen der Ableitung: \(12b - \frac{96}{b^2} = 0 \Leftrightarrow 12b^3 = 96 \Leftrightarrow b^3 = 8 \Leftrightarrow b = 2\). 8. Berechnung der weiteren Maße: \(l = 3 \cdot 2 = 6\) und \(h = \frac{12}{2^2} = 3\). 9. Verifizierung des Minimums: \(O''(b) = 12 + \frac{192}{b^3}\), was für \(b=2\) positiv ist (\(O''(2) = 36\)).

Die Abmessungen des Behälters sind: Länge \(l = 6\,\text{dm}\), Breite \(b = 2\,\text{dm}\) und Höhe \(h = 3\,\text{dm}\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte in der Gleichung fest sind und welche variabel. - Kannst du die trigonometrischen Terme in der Gleichung so umformen, dass nur noch eine einzige trigonometrische Funktion (z. B. der Tangens) vorkommt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis. - Um ein Maximum zu finden, ist die Untersuchung der ersten Ableitung der Zielfunktion ein bewährtes Mittel.

1. Einsetzen der gegebenen Werte \(x = 30\), \(v = 20\), \(g = 10\) und \(\alpha = 45^\circ\) in die Funktionsgleichung: \(y(30) = \tan(45^\circ) \cdot 30 - \frac{10 \cdot 30^2}{2 \cdot 20^2 \cdot \cos^2(45^\circ)}\). Mit \(\tan(45^\circ) = 1\) und \(\cos^2(45^\circ) = 0{,}5\) ergibt sich \(y(30) = 30 - \frac{9000}{400} = 30 - 22{,}5 = 7{,}5\,\text{m}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Höhe in Abhängigkeit von \(\alpha\) bei \(x = 30\): \(h(\alpha) = 30 \tan(\alpha) - \frac{45}{4 \cos^2(\alpha)}\). 3. Nutzung der Identität \(\frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 1 + \tan^2(\alpha)\) zur Vereinfachung: \(h(t) = 30t - 11{,}25(1 + t^2)\) mit \(t = \tan(\alpha)\). 4. Ableiten nach \(t\): \(h'(t) = 30 - 22{,}5t\). Nullsetzen der Ableitung liefert \(t = \frac{30}{22{,}5} = \frac{4}{3}\). 5. Berechnung des Winkels: \(\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ\). 6. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = \frac{4}{3}\) in \(h(t)\): \(h_{\text{max}} = 30 \cdot \frac{4}{3} - 11{,}25 \cdot (1 + \frac{16}{9}) = 40 - 11{,}25 \cdot \frac{25}{9} = 40 - 31{,}25 = 8{,}75\,\text{m}\).

a) Die Kapsel trifft die Wand in einer Höhe von \(7{,}5\,\text{m}\). b) Die maximale Höhe von \(8{,}75\,\text{m}\) wird bei einem Abwurfwinkel von \(\alpha \approx 53{,}13^\circ\) erreicht.

- Was versteht man unter Grenzkosten und wie hängen sie mit der Kostenfunktion zusammen? - Wie berechnet man die Durchschnittskosten pro Mengeneinheit? - Was ist die Bedingung für ein Minimum oder Maximum einer Funktion? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Erlös, Kosten und Gewinn? - Wie kannst du Nullstellen bei einer Funktion dritten Grades finden, wenn kein einfaches Ausklammern möglich ist?

1. Berechnung der Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 3x^2 - 18x + 30\). Um das Minimum der Grenzkosten zu finden, wird die zweite Ableitung \(K''(x) = 6x - 18\) gleich null gesetzt. Es ergibt sich \(x = 3\). Da \(K'''(3) = 6 > 0\), liegt bei \(x = 3\,\text{ME}\) ein Minimum vor. 2. Bestimmung des Betriebsoptimums: Die Durchschnittskostenfunktion ist \(\bar{K}(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 9x + 30 + \frac{25}{x}\). Die Ableitung \(\bar{K}'(x) = 2x - 9 - \frac{25}{x^2}\) wird gleich null gesetzt: \(2x^3 - 9x^2 - 25 = 0\). Durch Probieren findet man die Nullstelle \(x = 5\). Das Betriebsoptimum liegt bei \(x = 5\,\text{ME}\). 3. Maximierung des Gewinns: Die Gewinnfunktion ist \(G(x) = E(x) - K(x) = 51x - (x^3 - 9x^2 + 30x + 25) = -x^3 + 9x^2 + 21x - 25\). Die erste Ableitung \(G'(x) = -3x^2 + 18x + 21\) wird gleich null gesetzt: \(x^2 - 6x - 7 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 7\) und \(x_2 = -1\). Da nur positive Mengen sinnvoll sind, wird \(x = 7\) mit \(G''(x) = -6x + 18\) geprüft: \(G''(7) = -24 < 0\). Der maximale Gewinn wird bei \(x = 7\,\text{ME}\) erzielt.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(3\,\text{ME}\) minimal. b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(x = 5\,\text{ME}\). c) Die gewinnmaximale Produktionsmenge beträgt \(7\,\text{ME}\).

- Überlege dir zuerst, wie die Gewinnfunktion aus der Erlös- und der Kostenfunktion zusammengesetzt wird. - Welche Ableitung einer Funktion nutzt man, um Extremstellen zu finden? - Was bedeutet der Begriff „Grenzkosten“ mathematisch für die Kostenfunktion? - Achte bei der Gewinnberechnung darauf, den gefundenen \(x\)-Wert korrekt in die ursprüngliche Gewinnfunktion einzusetzen.

1. Minimale Grenzkosten: Die Grenzkostenfunktion ist \(K'(x) = x^2 - 20x + 150\). Das Minimum dieser Parabel liegt an ihrem Scheitelpunkt. Die Ableitung \(K''(x) = 2x - 20\) liefert bei \(K''(x) = 0\) den Wert \(x = 10\). Da \(K'''(10) = 2 > 0\), sind die Grenzkosten bei \(x = 10\,\text{ME}\) minimal. 2. Gewinnmaximum: Die Erlösfunktion ist \(E(x) = 450x\). Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = 450x - (\frac{1}{3}x^3 - 10x^2 + 150x + 1000) = -\frac{1}{3}x^3 + 10x^2 + 300x - 1000\). Die notwendige Bedingung für ein Maximum ist \(G'(x) = -x^2 + 20x + 300 = 0\). Die quadratische Gleichung liefert \(x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 1200}}{-2}\), woraus \(x_1 = 30\) und \(x_2 = -10\) folgen. Für \(x = 30\) gilt \(G''(30) = -2(30) + 20 = -40 < 0\), also liegt ein Maximum vor. 3. Maximaler Gewinn: Einsetzen von \(x = 30\) in die Gewinnfunktion: \(G(30) = -\frac{1}{3}(30)^3 + 10(30)^2 + 300(30) - 1000 = -9000 + 9000 + 9000 - 1000 = 8000\). Der maximale Gewinn beträgt \(8000\,\text{GE}\).

a) Die Grenzkosten sind bei \(x = 10\,\text{ME}\) am geringsten. b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(30\,\text{ME}\) erreicht. c) Der maximale Gewinn beträgt \(8000\,\text{GE}\).

- Kannst du die Funktion in zwei Faktoren zerlegen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen? - Überlege dir, wie du das Maximum einer Funktion mit einer Variablen bestimmst. - Was muss für die Faktoren gelten, damit ihr Produkt maximal wird? - Prüfe auch die Ränder der Intervalle.

1. Da die Variablen \(T_1\) und \(T_2\) in getrennten Faktoren auftreten, wird das Maximum von \(A(T_1, T_2)\) durch die Maxima der Einzelfunktionen \(f(T_1) = 3T_1^2 - T_1^3\) und \(g(T_2) = 12T_2 - T_2^2\) bestimmt. 2. Untersuchung von \(f(T_1)\) auf \([0; 3]\): Die Ableitung \(f'(T_1) = 6T_1 - 3T_1^2 = 3T_1(2 - T_1)\) liefert die stationären Stellen \(T_1 = 0\) und \(T_1 = 2\). Die zweite Ableitung \(f''(2) = 6 - 6 \cdot 2 = -6 < 0\) bestätigt ein lokales Maximum an der Stelle \(T_1 = 2\). Da \(f(0) = 0\) und \(f(3) = 0\), ist \(T_1 = 2\) das globale Maximum. 3. Untersuchung von \(g(T_2)\) auf \([0; 12]\): Die Ableitung \(g'(T_2) = 12 - 2T_2\) liefert die stationäre Stelle \(T_2 = 6\). Die zweite Ableitung \(g''(6) = -2 < 0\) bestätigt ein lokales Maximum. Da \(g(0) = 0\) und \(g(12) = 0\), ist \(T_2 = 6\) das globale Maximum. 4. Die Ausbeute \(A\) erreicht somit ihr Maximum für \(T_1 = 2\) und \(T_2 = 6\).

\(T_1 = 2\) und \(T_2 = 6\)

- Überlege dir, wie sich der Umfang des Sektors aus den Radien und dem Bogen zusammensetzt. - Welche Formel verbindet Radius, Bogenlänge und Flächeninhalt eines Kreissektors? - Drücke eine der Variablen durch die andere aus, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten. - Beachte, dass der Winkel im Bogenmaß direkt über das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert ist.

1. Die Umfangsgleichung lautet \(U = 2r + b = 20\), woraus sich die Bogenlänge \(b = 20 - 2r\) ergibt. 2. Die Fläche eines Kreissektors ist \(A = \frac{1}{2} \cdot r \cdot b\). Einsetzen der Nebenbedingung liefert die Zielfunktion \(A(r) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (20 - 2r) = 10r - r^2\). 3. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(r) = 10 - 2r\). Nullsetzen ergibt \(10 - 2r = 0 \implies r = 5\). 4. Die zweite Ableitung \(A''(r) = -2\) ist überall negativ, also liegt bei \(r = 5\,\text{cm}\) ein Maximum vor. 5. Berechnung des Winkels \(\varphi\) im Bogenmaß über die Beziehung \(b = r \cdot \varphi\): Mit \(b = 20 - 2 \cdot 5 = 10\) folgt \(10 = 5 \cdot \varphi\), also \(\varphi = 2\).

Der Radius beträgt \(r = 5\,\text{cm}\) und der Mittelpunktswinkel beträgt \(\varphi = 2\) (im Bogenmaß).

- Skizziere die Situation und markiere den Weg an Land und den Weg durch das Wasser. - Überlege dir, wie du die Länge des Weges im Wasser mit dem Satz des Pythagoras ausdrücken kannst. - Erstelle eine Funktion für die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Stelle, an der die Leitung ins Wasser geht. - Wie findet man bei einer Funktion den kleinsten Wert? - Vergiss nicht, am Ende auch die Kosten für die gefundenen Kilometer zu berechnen.

1. Sei \(x\) der Abstand des Punktes \(P\) von Station \(A\) entlang der Küste in \(\text{km}\). Die Strecke an Land ist \(x\), die Strecke im Meer ist nach Pythagoras \(\sqrt{(15-x)^2 + 8^2}\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion: \(K(x) = 30\,000 \cdot x + 50\,000 \cdot \sqrt{(15-x)^2 + 64}\) für \(0 \leq x \leq 15\). 3. Bestimmung der Ableitung: \(K'(x) = 30\,000 - \frac{50\,000 \cdot (15-x)}{\sqrt{(15-x)^2 + 64}}\). 4. Nullsetzen der Ableitung führt zur Gleichung \(3 \cdot \sqrt{(15-x)^2 + 64} = 5 \cdot (15-x)\). Quadrieren ergibt \(9 \cdot ((15-x)^2 + 64) = 25 \cdot (15-x)^2\), woraus \(576 = 16 \cdot (15-x)^2\) und somit \(15-x = 6\) folgt. Dies ergibt \(x = 9\). 5. Vergleich mit Randwerten: \(K(0) = 850\,000\,\text{€}\), \(K(15) = 850\,000\,\text{€}\) und \(K(9) = 30\,000 \cdot 9 + 50\,000 \cdot 10 = 770\,000\,\text{€}\). 6. Das Minimum liegt bei \(x = 9\,\text{km}\).

Der Punkt \(P\) muss \(9\,\text{km}\) von der Station \(A\) entfernt sein. Die minimalen Gesamtkosten betragen \(770\,000\,\text{€}\).

- Ein Quader hat 12 Kanten. Welche davon sind jeweils gleich lang? - Nutze die Beziehung zwischen Länge und Breite, um die Anzahl der Variablen in deiner Gleichung für die Kantenlängensumme zu reduzieren. - Die Bedingung für die Höhe schränkt die möglichen Werte für die Breite ein. Bestimme diesen Bereich vor der Optimierung. - Denke daran, bei einer Optimierung auf einem beschränkten Definitionsbereich auch die Randwerte und das Randverhalten zu prüfen.

1. Zielfunktion für das Volumen: \(V(w, l, h) = w \cdot l \cdot h\). Mit \(l = 1{,}5w\) folgt \(V(w, h) = 1{,}5w^2h\). 2. Nebenbedingung für die Kantenlängensumme: \(4 \cdot (w + l + h) = 240 \Rightarrow w + 1{,}5w + h = 60 \Rightarrow 2{,}5w + h = 60\). Umgestellt nach \(h\): \(h = 60 - 2{,}5w\). 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von \(w\): \(V(w) = 1{,}5w^2(60 - 2{,}5w) = 90w^2 - 3{,}75w^3\). 4. Definitionsbereich bestimmen: Aus \(h \le 30\) folgt \(60 - 2{,}5w \le 30 \Rightarrow 30 \le 2{,}5w \Rightarrow w \ge 12\). Da eine Box eine positive Höhe haben muss, gilt zudem \(h > 0\), also \(2{,}5w < 60 \Rightarrow w < 24\). Somit ist \(D = [12; 24[\). 5. Ableitung und Extremstellen: \(V'(w) = 180w - 11{,}25w^2 = 0\). Dies liefert \(w_1 = 0\) (nicht im Intervall) und \(w_2 = 16\). 6. Prüfung des Maximums: \(V''(w) = 180 - 22{,}5w\). \(V''(16) = 180 - 360 = -180 < 0\), also liegt bei \(w = 16\) ein lokales Maximum vor. 7. Vergleich mit dem Randwert und dem Randverhalten: \(V(12) = 1{,}5 \cdot 12^2 \cdot (60 - 2{,}5 \cdot 12) = 6\,480\,\text{cm}^3\). \(V(16) = 1{,}5 \cdot 16^2 \cdot (60 - 40) = 7\,680\,\text{cm}^3\). Außerdem gilt \(\lim_{w \to 24^-} V(w) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(w = 16\). 8. Maße berechnen: \(w = 16\,\text{cm}\), \(l = 1{,}5 \cdot 16 = 24\,\text{cm}\), \(h = 60 - 2{,}5 \cdot 16 = 20\,\text{cm}\). 9. Maximales Volumen: \(V = 16 \cdot 24 \cdot 20 = 7\,680\,\text{cm}^3\).

a) Die Box hat die Breite \(w = 16\,\text{cm}\), die Länge \(l = 24\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 20\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt \(7\,680\,\text{cm}^3\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Überlege dir eine Funktion für den Flächeninhalt, die nur von der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) abhängt. - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Denke daran, am Ende die Koordinaten des Punktes anzugeben, nicht nur den \(x\)-Wert.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Der Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks mit den Eckpunkten \((0 \mid 0)\) und \(P(x \mid f(x))\) berechnet sich durch \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x \cdot e^{1-x}) = x^2 \cdot e^{1-x}\). 2. Ableitung berechnen: Unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(A'(x) = 2x \cdot e^{1-x} + x^2 \cdot e^{1-x} \cdot (-1) = (2x - x^2) \cdot e^{1-x}\). 3. Bestimmung der Extremstellen: Die notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) führt auf \(x(2 - x) \cdot e^{1-x} = 0\). Da \(e^{1-x} > 0\) und \(x > 0\) vorausgesetzt ist, bleibt nur die Lösung \(x = 2\). 4. Überprüfung des Maximums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) an der Stelle \(x = 2\) von positiv nach negativ (da \(A'(1) = e^0 > 0\) und \(A'(3) = -3e^{-2} < 0\)) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(x)\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist es ein globales Maximum. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = 2 \cdot e^{1-2} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e}\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 \mid \frac{2}{e})\).

\(P(2 \mid \frac{2}{e})\)

- Nutze die Symmetrie der Funktion zur \(y\)-Achse aus, um die Breite des Rechtecks in Abhängigkeit von \(x\) auszudrücken. - Wenn die Breite \(2x\) ist, wie groß ist dann die zugehörige Höhe des Rechtecks? - Welche Ableitungsregel ist für gebrochen-rationale Funktionen am besten geeignet? - Achte darauf, dass am Ende nach den Seitenlängen des Rechtecks gefragt ist, nicht nur nach dem \(x\)-Wert.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse hat das Rechteck die Eckpunkte \((-x \mid 0)\), \((x \mid 0)\), \((x \mid f(x))\) und \((-x \mid f(x))\) mit \(x > 0\). Die Breite ist \(2x\) und die Höhe \(f(x)\). Die Fläche ist \(A(x) = 2x \cdot \frac{4}{x^2 + 1} = \frac{8x}{x^2 + 1}\). 2. Ableitung berechnen: Mit der Quotientenregel folgt \(A'(x) = \frac{8(x^2 + 1) - 8x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{8 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2}\). 3. Bestimmung der Extremstellen: Die notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) liefert \(8 - 8x^2 = 0\), woraus für \(x > 0\) die Stelle \(x = 1\) folgt. 4. Überprüfung des Maximums: Da der Zähler \(8(1-x^2)\) für \(x < 1\) positiv und für \(x > 1\) negativ ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokales Maximum vor. Wegen \(A(0) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} A(x) = 0\) ist dies das globale Maximum. 5. Berechnung der Seitenlängen: Die Breite beträgt \(b = 2x = 2 \cdot 1 = 2\). Die Höhe beträgt \(h = f(1) = \frac{4}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2\). Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(2\) und \(2\).

Die Seitenlängen betragen \(2\) und \(2\).

- Wie findest du die Steigung einer Geraden, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Überlege dir eine Funktion, die den vertikalen Unterschied zwischen zwei Graphen beschreibt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Kurve zu finden? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert tatsächlich im angegebenen Intervall liegt.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Rändern: \(f(1) = 4\) und \(f(4) = 1\). 2. Bestimmung der Sekantensteigung: \(m = \frac{1 - 4}{4 - 1} = -1\). 3. Aufstellen der Sekantengleichung: \(s(x) = -1 \cdot (x - 1) + 4 = -x + 5\). 4. Definition der Differenzfunktion für den vertikalen Abstand: \(d(x) = s(x) - f(x) = -x + 5 - \frac{4}{x}\). 5. Ableitung der Differenzfunktion: \(d'(x) = -1 + \frac{4}{x^2}\). 6. Berechnung der kritischen Stelle: \(d'(x) = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4\). Da \(x \in [1; 4]\), folgt \(x = 2\). 7. Nachweis des Maximums: \(d''(x) = -\frac{8}{x^3}\); \(d''(2) = -1 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Da \(d(1) = 0\) und \(d(4) = 0\), ist es ein globales Maximum im Intervall. 8. Berechnung des maximalen Abstands: \(d(2) = -2 + 5 - \frac{4}{2} = 1\).

a) \(s(x) = -x + 5\) b) Die Stelle ist \(x = 2\); der maximale Abstand beträgt \(1\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um die Extremstelle zu finden? - Erstelle eine Zielfunktion, die nur noch von der Variablen \(x\) abhängt. - Welche Bedingungen muss die Ableitung an einer Minimalstelle erfüllen? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis ein lokales oder ein globales Minimum darstellt.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion zum Quadrat (da das Minimum des Abstandsquadrats mit dem Minimum des Abstands übereinstimmt): \(g(x) = (x-1)^2 + (e^x)^2 = (x-1)^2 + e^{2x}\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 2(x-1) + 2e^{2x}\). 3. Bestimmung der notwendigen Bedingung \(g'(x) = 0\): Durch Einsetzen prüft man die Stelle \(x = 0\), wobei \(g'(0) = 2(0-1) + 2e^0 = -2 + 2 = 0\) ergibt. 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mittels der zweiten Ableitung: \(g''(x) = 2 + 4e^{2x}\). Da \(g''(0) = 2 + 4 = 6 > 0\), liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. 5. Da die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen unendlich strebt, ist das Minimum global. 6. Berechnung des zugehörigen Funktionswertes: \(f(0) = e^0 = 1\). Der gesuchte Punkt ist somit \(Q(0|1)\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem kleinsten Abstand zu \(A(1|0)\) ist \(Q(0|1)\).

- Wie berechnet man die Zeit, die man für eine bestimmte Strecke benötigt? - Die Gesamtkosten pro Stunde setzen sich aus den variablen Kosten und den Fixkosten zusammen. - Denk daran, dass die Gesamtkosten für die Fahrt die Kosten pro Stunde multipliziert mit der Gesamtfahrzeit sind. - Um die optimale Geschwindigkeit zu finden, bilde die Ableitung der Kostenfunktion. - Für den Nachweis der Tangente kannst du die allgemeine Tangentengleichung nutzen und prüfen, ob der Punkt \(P\) darauf liegt.

1. Kostenfunktion aufstellen: Die Fahrzeit beträgt \(t = \frac{s}{v} = \frac{400}{v}\). Die Gesamtkosten sind \(C(v) = t \cdot (K(v) + L) = \frac{400}{v} \cdot (0{,}01 v^2 + 15 + 85) = \frac{400}{v} \cdot (0{,}01 v^2 + 100)\). Vereinfacht: \(C(v) = 4 v + \frac{40\,000}{v}\). 2. Minimum bestimmen: Ableitung \(C'(v) = 4 - \frac{40\,000}{v^2}\). Nullsetzen ergibt \(4 = \frac{40\,000}{v^2} \Rightarrow v^2 = 10\,000 \Rightarrow v = 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Die zweite Ableitung \(C''(100) = \frac{80\,000}{100^3} > 0\) bestätigt das Minimum. 3. Tangente prüfen: Der Berührpunkt ist \(B(100 | K(100))\) mit \(K(100) = 0{,}01 \cdot 100^2 + 15 = 115\). Die Steigung ist \(K'(100) = 0{,}02 \cdot 100 = 2\). Die Tangentengleichung lautet \(y = 2(v - 100) + 115 = 2v - 200 + 115 = 2v - 85\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(-85\), was exakt \(-L\) entspricht.

a) \(C(v) = \frac{400}{v} \cdot (0{,}01 v^2 + 100) = 4v + \frac{40\,000}{v}\). b) Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(v = 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). c) Die Tangente an \(K(v)\) bei \(v=100\) ist \(y = 2v - 85\). Für \(v=0\) ist \(y = -85\), was dem Wert \(-L\) entspricht.

- Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Rechtecks allgemein berechnen, wenn die Seitenlängen durch die Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen gegeben sind? - Stelle eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Welche Bedingungen müssen für ein Minimum der Flächeninhaltsfunktion erfüllt sein? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot \frac{x^3 + 54}{x^2} = \frac{x^3 + 54}{x} = x^2 + \frac{54}{x}\) 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 2x - \frac{54}{x^2}\) 3. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung: \(2x - \frac{54}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 = 54 \Leftrightarrow x^3 = 27 \Leftrightarrow x = 3\) 4. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(A''(x) = 2 + \frac{108}{x^3}\). Einsetzen von \(x = 3\) ergibt \(A''(3) = 2 + \frac{108}{27} = 6 > 0\), also liegt ein lokales Minimum vor. 5. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinate: \(f(3) = \frac{3^3 + 54}{3^2} = \frac{27 + 54}{9} = \frac{81}{9} = 9\). Der gesuchte Punkt ist \(P(3 \mid 9)\).

Der Eckpunkt muss die Koordinaten \((3 \mid 9)\) besitzen.

- Welche Maße hat das gesamte Plakat, wenn du die Maße der bedruckten Fläche als Variablen wählst? - Du suchst die minimalen Außenmaße, also musst du die Funktion für den gesamten Flächeninhalt minimieren. - Nutze die Fläche des bedruckten Teils als Nebenbedingung, um eine Variable zu eliminieren. - Achte darauf, am Ende die Außenmaße des Plakats anzugeben, nicht nur die Maße der bedruckten Fläche.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Breite und \(y\) die Höhe der bedruckten Fläche (in \(\text{cm}\)). 2. Nebenbedingung: \(x \cdot y = 384 \implies y = \frac{384}{x}\). 3. Zielfunktion für die Gesamtfläche \(A\): Die Außenbreite ist \(x + 4\), die Außenhöhe ist \(y + 6\). Somit \(A(x, y) = (x + 4)(y + 6)\). 4. Einsetzen der Nebenbedingung: \(A(x) = (x + 4)(\frac{384}{x} + 6) = 384 + 6x + \frac{1536}{x} + 24 = 408 + 6x + \frac{1536}{x}\). 5. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 6 - \frac{1536}{x^2}\). 6. Nullstelle der Ableitung bestimmen: \(6 - \frac{1536}{x^2} = 0 \implies 6x^2 = 1536 \implies x^2 = 256 \implies x = 16\) (da \(x > 0\)). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(x) = \frac{3072}{x^3}\). Da \(A''(16) > 0\), liegt ein Minimum vor. 8. Berechnung der zugehörigen Höhe der Druckfläche: \(y = \frac{384}{16} = 24\). 9. Berechnung der Außenmaße: Breite \(B = 16 + 4 = 20\,\text{cm}\), Höhe \(H = 24 + 6 = 30\,\text{cm}\).

Die Außenmaße des Plakats müssen \(20\,\text{cm}\) in der Breite und \(30\,\text{cm}\) in der Höhe betragen.

- Wie hängen die Steigung der Geraden und die Achsenabschnitte zusammen, wenn die Gerade durch einen festen Punkt gehen muss? - Überlege dir, welchen Definitionsbereich die Steigung haben muss, damit die Achsenabschnitte positiv sind. - Stelle eine Funktion auf, die die Summe der beiden Längen beschreibt. - Verwende die Ableitung, um den tiefsten Punkt der Funktion zu finden.

1. Aufstellen der Geradengleichung durch \(P(4 | 1)\) mit der Steigung \(m\): \(y - 1 = m(x - 4)\). 2. Bestimmung der Achsenabschnitte in Abhängigkeit von \(m\): Für \(y=0\) folgt \(x_0 = 4 - \frac{1}{m}\). Für \(x=0\) folgt \(y_0 = 1 - 4m\). Da die Schnittpunkte auf den positiven Achsen liegen müssen, gilt \(m < 0\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für die Summe \(S = x_0 + y_0\): \(S(m) = 4 - \frac{1}{m} + 1 - 4m = 5 - \frac{1}{m} - 4m\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(S'(m) = \frac{1}{m^2} - 4\). 5. Bestimmung des Extremums: \(S'(m) = 0 \implies \frac{1}{m^2} = 4 \implies m^2 = \frac{1}{4}\). Da \(m < 0\), ist \(m = -\frac{1}{2}\). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(S''(m) = -\frac{2}{m^3}\). Da \(S''(-\frac{1}{2}) = -\frac{2}{-1/8} = 16 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der Achsenabschnitte: \(x_0 = 4 - \frac{1}{-1/2} = 6\) und \(y_0 = 1 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3\).

Die Summe der Kathetenlängen wird minimal für \(x_0 = 6\) und \(y_0 = 3\).

- Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks und die Länge seiner Basis voneinander abhängen. Eine Skizze des Achsenschnitts kann hier helfen. - Kannst du ein Verhältnis zwischen den Seiten des Rechtecks und den Maßen des Dreiecks finden? Der Strahlensatz ist hier ein nützliches Werkzeug. - Überlege dir, für welche Werte der Höhe \(h\) das Problem überhaupt sinnvoll definiert ist. - Denke daran, dass du eine Funktion aufstellen musst, die nur noch von einer Variablen (der Höhe \(h\)) abhängt, bevor du ableitest.

1. Definition der Variablen: Sei \(h\) die Höhe des Dreiecks und \(g\) dessen Grundseite. 2. Aufstellen der Nebenbedingung mittels Strahlensatz: Durch die Ähnlichkeit des Teildreiecks oberhalb des Rechtecks zum Gesamtdreieck ergibt sich das Verhältnis \(\frac{h-4}{10} = \frac{h}{g}\). 3. Auflösen nach \(g\): \(g(h) = \frac{10h}{h-4}\) für \(h > 4\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): \(A(h) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{10h}{h-4} \cdot h = \frac{5h^2}{h-4}\). 5. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(h) = \frac{10h \cdot (h-4) - 5h^2 \cdot 1}{(h-4)^2} = \frac{5h^2 - 40h}{(h-4)^2}\). 6. Nullsetzen der ersten Ableitung: \(5h(h-8) = 0\). Da \(h > 4\) sein muss, ist die einzige relevante Lösung \(h = 8\). 7. Überprüfung der Hinreichenden Bedingung: Da \(A'(h) < 0\) für \(4 < h < 8\) und \(A'(h) > 0\) für \(h > 8\), liegt bei \(h = 8\,\text{cm}\) ein lokales Minimum vor.

Die Höhe des Dreiecks muss \(h = 8\,\text{cm}\) gewählt werden.

- Fertige eine Skizze des Querschnitts (Achsenschnitt) durch die Mitte des Kegels an. Welche geometrischen Figuren siehst du? - Wie hängen der Radius und die Höhe des Zylinders zusammen, wenn die obere Kante den Kegel berührt? - Erinnere dich an die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders. - Welche Werte kann der Radius \(r\) im Kontext dieser Aufgabe annehmen?

1. Definition der Variablen: Sei \(r\) der Radius und \(h_z\) die Höhe des Zylinders. 2. Aufstellen der Nebenbedingung mittels Strahlensatz im Achsenschnitt des Kegels: \(\frac{H - h_z}{r} = \frac{H}{R}\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte und Auflösen nach \(h_z\): \(\frac{12 - h_z}{r} = \frac{12}{6} = 2 \implies h_z = 12 - 2r\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für die Mantelfläche \(M\): \(M(r) = 2\pi \cdot r \cdot h_z = 2\pi \cdot r \cdot (12 - 2r) = 24\pi r - 4\pi r^2\). 5. Bestimmung des Maximums durch Ableiten nach \(r\): \(M'(r) = 24\pi - 8\pi r\). 6. Nullsetzen der Ableitung: \(24\pi - 8\pi r = 0 \implies r = 3\). 7. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(M''(r) = -8\pi < 0\), somit liegt ein Maximum bei \(r = 3\,\text{cm}\) vor.

Die Mantelfläche des Zylinders wird für einen Radius von \(r = 3\,\text{cm}\) maximal.

- Überlege dir, wie die Höhe der Pyramide schrumpft, wenn die Grundseite größer wird. - Nutze den Strahlensatz in einer geeigneten Querschnittsfigur, um eine Beziehung zwischen den Variablen herzustellen. - Welche Einschränkungen gibt es für die Länge der Grundkante der Pyramide im Vergleich zum Quader? - Was ist die Zielgröße, die minimiert werden soll, und von welcher Variablen hängt sie ab?

1. Skizze eines Querschnitts durch die Mitte der Seitenflächen: Aus dem Strahlensatz (Ähnlichkeit der Dreiecke) folgt für die Höhe \(H\) der Pyramide und ihre Grundkante \(x\): \(\frac{H-h}{H} = \frac{a}{x}\). 2. Umstellen nach \(H\): \(H \cdot x - h \cdot x = H \cdot a \Rightarrow H(x-a) = hx \Rightarrow H(x) = \frac{h \cdot x}{x-a}\) für \(x > a\). 3. Zielfunktion für das Volumen: \(V(x) = \frac{1}{3} x^2 H(x) = \frac{h}{3} \cdot \frac{x^3}{x-a}\). 4. Ableitung bilden: \(V'(x) = \frac{h}{3} \cdot \frac{3x^2(x-a) - x^3 \cdot 1}{(x-a)^2} = \frac{h}{3} \cdot \frac{2x^3 - 3ax^2}{(x-a)^2}\). 5. Notwendige Bedingung \(V'(x) = 0\): \(2x^3 - 3ax^2 = 0 \Rightarrow x^2(2x - 3a) = 0\). Da \(x > a\), folgt \(x = 1{,}5a\). 6. Hinreichende Bedingung: Ein Vorzeichenwechsel von \(V'\) bei \(x = 1{,}5a\) von Minus nach Plus bestätigt das lokale Minimum. 7. Berechnung der Höhe: \(H = \frac{h \cdot 1{,}5a}{1{,}5a - a} = \frac{1{,}5ah}{0{,}5a} = 3h\). 8. Volumenvergleich: \(V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} (1{,}5a)^2 \cdot 3h = 2{,}25 a^2 h\). Da \(V_{\text{Quader}} = a^2 h\), beträgt der Anteil \(\frac{a^2 h}{2{,}25 a^2 h} = \frac{1}{2{,}25} = \frac{4}{9} \approx 44{,}4\,\%\).

a) \(H(x) = \frac{hx}{x-a}\) für \(x > a\) b) \(x = 1{,}5a\) und \(H = 3h\) c) Der Quader nimmt \(\frac{4}{9}\) (ca. \(44{,}4\,\%\)) des minimalen Pyramidenvolumens ein.

- Überlege dir zuerst, welche Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders gelten. - Welche Größe ist fest vorgegeben und welche soll maximiert werden? - Versuche, eine der Variablen (Radius oder Höhe) mithilfe der Oberflächenformel zu eliminieren. - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Maximum in der Analysis.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r, h) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Nutzen der Nebenbedingung für die Oberfläche: \(A = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h = 600\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{600 - 2\pi \cdot r^2}{2\pi \cdot r} = \frac{300}{\pi \cdot r} - r\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(r) = \pi \cdot r^2 \cdot \left(\frac{300}{\pi \cdot r} - r\right) = 300r - \pi \cdot r^3\). 5. Bestimmen des Extremums durch die erste Ableitung: \(V'(r) = 300 - 3\pi \cdot r^2\). Nullsetzen liefert \(3\pi \cdot r^2 = 300 \implies r^2 = \frac{100}{\pi}\), also \(r = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \approx 5{,}64\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(V''(r) = -6\pi \cdot r\). Da \(V''\left(\frac{10}{\sqrt{\pi}}\right) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{300}{\pi \cdot \frac{10}{\sqrt{\pi}}} - \frac{10}{\sqrt{\pi}} = \frac{30}{\sqrt{\pi}} - \frac{10}{\sqrt{\pi}} = \frac{20}{\sqrt{\pi}} \approx 11{,}28\,\text{cm}\).

Das Volumen wird maximal für einen Radius von \(r \approx 5{,}64\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h \approx 11{,}28\,\text{cm}\).

- Stelle zuerst fest, aus welchen Teilstücken sich der äußere Umfang zusammensetzt. - Drücke die Höhe des Rechtecks durch die Breite aus, indem du die Umfangsbeschränkung nutzt. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks. - Suche das Maximum der resultierenden Flächenfunktion.

1. Aufstellen der Umfangsgleichung (Nebenbedingung): Der Umfang besteht aus der Unterseite (\(x\)), den zwei vertikalen Seiten (\(2y\)) und den zwei oberen Schrägen des Dreiecks (\(2x\)). Es gilt \(U = 3x + 2y = 8\). 2. Umstellen nach \(y\): \(y = \frac{8 - 3x}{2} = 4 - 1{,}5x\). 3. Aufstellen der Flächenformel (Zielfunktion): \(A = A_{\text{Rechteck}} + A_{\text{Dreieck}} = x \cdot y + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2\). 4. Einsetzen von \(y\): \(A(x) = x(4 - 1{,}5x) + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = 4x - 1{,}5x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = 4x - (1{,}5 - \frac{\sqrt{3}}{4}) x^2\). 5. Ableiten und Nullstelle bestimmen: \(A'(x) = 4 - 2(1{,}5 - \frac{\sqrt{3}}{4}) x = 4 - (3 - \frac{\sqrt{3}}{2}) x = 0\). 6. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{4}{3 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \approx \frac{4}{2{,}134} \approx 1{,}874\,\text{m}\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 4 - 1{,}5 \cdot 1{,}874 \approx 1{,}189\,\text{m}\). 8. Überprüfung: \(A''(x) = -(3 - \frac{\sqrt{3}}{2}) < 0\), es handelt sich um ein Maximum.

Der Flächeninhalt des Fensters wird maximal für eine Breite von etwa \(1{,}87\,\text{m}\) und eine Rechteckhöhe von etwa \(1{,}19\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen ein oben offener Quader besteht. - Wie hängen die Grundseite \(a\), die Höhe \(h\) und das Volumen \(V\) zusammen? - Nutze diese Beziehung, um die Oberfläche nur noch mit einer Variablen auszudrücken. - Wie findet man in der Analysis Extremstellen einer Funktion?

1. Nebenbedingung aufstellen: Das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche ist \(V = a^2 \cdot h = 32\). Umstellen nach der Höhe ergibt \(h = \frac{32}{a^2}\). 2. Zielfunktion aufstellen: Die Oberfläche eines oben offenen Quaders besteht aus der Grundfläche und vier Seitenflächen: \(A = a^2 + 4 \cdot a \cdot h\). 3. Zu a): Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel ergibt \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\). 4. Zu b): Ableiten der Zielfunktion nach \(a\): \(A'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). Nullsetzen der Ableitung: \(2a - \frac{128}{a^2} = 0 \iff 2a^3 = 128 \iff a^3 = 64 \iff a = 4\,\text{m}\). Die zugehörige Höhe berechnen: \(h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2\,\text{m}\). (Überprüfung über \(A''(a) = 2 + \frac{256}{a^3} > 0\) bestätigt das Minimum). 5. Zu c): Einsetzen von \(a = 4\) in die Zielfunktion: \(A(4) = 4^2 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48\,\text{m}^2\).

a) \(A(a) = a^2 + \frac{128}{a}\) b) Die optimalen Maße sind \(a = 4\,\text{m}\) und \(h = 2\,\text{m}\). c) Die minimale Oberfläche beträgt \(48\,\text{m}^2\).

- Wie lässt sich die Grundseite und die Höhe des Dreiecks mithilfe der Koordinate \(x\) und dem Funktionswert \(f(x)\) ausdrücken? - Nutze die Symmetrie der Funktion zur \(y\)-Achse, um die Breite der Basis zu bestimmen. - Überlege dir eine Formel für den Flächeninhalt und leite diese ab, um die Extremstellen zu finden. - Denk beim Ableiten an die Produktregel und die Kettenregel. - Vergiss nicht, am Ende sowohl den \(x\)-Wert als auch die Koordinaten des Punktes \(P\) anzugeben.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da das Dreieck die Basisbreite \(b = 2x\) und die Höhe \(h = f(x)\) besitzt, ergibt sich \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 6e^{-0{,}1x^2} = 6x \cdot e^{-0{,}1x^2}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 6 \cdot e^{-0{,}1x^2} + 6x \cdot (-0{,}2x) \cdot e^{-0{,}1x^2} = (6 - 1{,}2x^2) \cdot e^{-0{,}1x^2}\). 3. Bestimmung der notwendigen Bedingung für ein Extremum: \(A'(x) = 0\) führt zu \(6 - 1{,}2x^2 = 0\), da die Exponentialfunktion stets positiv ist. Dies ergibt \(x^2 = 5\), also \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}236\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) an der Stelle \(x = \sqrt{5}\) von Plus nach Minus (da \(6 - 1{,}2x^2\) für \(x < \sqrt{5}\) positiv und für \(x > \sqrt{5}\) negativ ist) bestätigt das lokale Maximum. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(P\): \(f(\sqrt{5}) = 6 \cdot e^{-0{,}1 \cdot 5} = 6 \cdot e^{-0{,}5} \approx 3{,}639\). 6. Ergebnis: \(x = \sqrt{5}\) und \(P(\sqrt{5} \mid 6e^{-0{,}5})\).

Der Flächeninhalt wird maximal für \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}24\). Der Punkt \(P\) hat die Koordinaten \((\sqrt{5} \mid 6e^{-0{,}5})\), gerundet etwa \((2{,}24 \mid 3{,}64)\).

- Skizziere dir gedanklich, wie das Rechteck unter der Kurve liegt. Wie hängen Breite und Höhe von \(x\) ab? - Welche Symmetrie weist die Funktion \(f\) auf und wie hilft dir das bei der Formel für die Breite? - Erinnere dich an die Quotientenregel für die Ableitung der Zielfunktion. - Wann ist ein Bruch gleich null? - Achte darauf, dass nach den Seitenlängen (Breite und Höhe) gefragt ist, nicht nur nach dem \(x\)-Wert.

1. Definition der Eckpunkte: Aufgrund der Symmetrie von \(f\) zur \(y\)-Achse liegen die Ecken auf dem Graphen bei \(P(x \mid f(x))\) und \(Q(-x \mid f(x))\) mit \(x > 0\). Die Ecken auf der \(x\)-Achse liegen bei \((x \mid 0)\) und \((-x \mid 0)\). 2. Aufstellen der Zielfunktion: Die Breite des Rechtecks ist \(b = 2x\) und die Höhe ist \(h = f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(A(x) = 2x \cdot \frac{12}{x^2 + 3} = \frac{24x}{x^2 + 3}\). 3. Ableitung mit der Quotientenregel: \(A'(x) = \frac{24 \cdot (x^2 + 3) - 24x \cdot (2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{24x^2 + 72 - 48x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{72 - 24x^2}{(x^2 + 3)^2}\). 4. Bestimmung der Extremstelle: \(A'(x) = 0 \implies 72 - 24x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}\). 5. Bestimmung der Seitenlängen: Die Breite ist \(b = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\). Die Höhe ist \(h = f(\sqrt{3}) = \frac{12}{3 + 3} = 2\). 6. Nachweis des Maximums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) an der Stelle \(x = \sqrt{3}\) von Plus nach Minus bestätigt das Maximum.

Das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt hat die Breite \(2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) und die Höhe \(2\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, dessen eine Ecke auf einem Funktionsgraphen liegt. - Welche Werte kann die Breite des Rechtecks überhaupt annehmen? Schau dir dazu die Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen an. - Wie findest du den höchsten Punkt einer Funktion? - Vergiss nicht zu prüfen, ob die gefundenen Seitenlängen im erlaubten Bereich liegen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (12 - 0{,}75x^2) = 12x - 0{,}75x^3\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs: Die Nullstelle von \(f\) im positiven Bereich liegt bei \(12 - 0{,}75x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4\). Somit gilt \(x \in [0; 4]\). 3. Bildung der ersten Ableitung: \(A'(x) = 12 - 2{,}25x^2\). 4. Bestimmung der Extremstellen: \(A'(x) = 0 \Rightarrow 12 = 2{,}25x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{16}{3} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\). 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(A''(x) = -4{,}5x\). Da \(A''(\frac{4}{\sqrt{3}}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 6. Vergleich mit den Randwerten: \(A(0) = 0\) und \(A(4) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(x \approx 2{,}31\). 7. Berechnung der zugehörigen Rechteckshöhe: \(y = f(\frac{4}{\sqrt{3}}) = 12 - 0{,}75 \cdot \frac{16}{3} = 12 - 4 = 8\).

Die Seitenlängen des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt betragen \(x = \frac{4}{3}\sqrt{3} \approx 2{,}31\) und \(y = 8\).

- Überlege dir zuerst, wie sich das Gesamtvolumen aus den Teilvolumina von Zylinder und Halbkugel zusammensetzt. - Drücke eine der Variablen (am besten die Höhe) durch die andere aus, indem du das Volumen als konstant betrachtest. - Achte beim Aufstellen der Kostenfunktion darauf, welche Flächen mit welchen Kostenfaktoren multipliziert werden müssen. - Erinnere dich an die Oberflächenformeln für Halbkugeln, Kreise und Zylindermäntel. - Wann ist eine Funktion minimal? Nutze die erste Ableitung.

1. Aufstellen der Volumenformel: \(V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3\). 2. Umstellen nach der Zylinderhöhe: \(h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\) mit dem Kostenfaktor \(k\) für Mantel und Deckel und \(2k\) für den Boden: \(K(r, h) = k \cdot (2\pi r h + \pi r^2) + 2k \cdot (2\pi r^2) = k \cdot (2\pi r h + 5\pi r^2)\). Da \(k\) keinen Einfluss auf die Extremstelle hat, wird die Zielfunktion \(f(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 5\pi r^2\) betrachtet. 4. Vereinfachen der Zielfunktion: \(f(r) = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 5\pi r^2 = \frac{2V}{r} + \frac{11}{3}\pi r^2\). 5. Ableiten und Nullstelle finden: \(f'(r) = -\frac{2V}{r^2} + \frac{22}{3}\pi r = 0 \Rightarrow \frac{22}{3}\pi r^3 = 2V \Rightarrow V = \frac{11}{3}\pi r^3\). 6. Einsetzen von \(V\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\frac{11}{3}\pi r^3}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = \frac{11}{3}r - \frac{2}{3}r = 3r\). 7. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(f''(r) = \frac{4V}{r^3} + \frac{22}{3}\pi > 0\) für \(r > 0\), also liegt ein Minimum vor.

Die Materialkosten werden minimiert, wenn die Höhe \(h\) des zylindrischen Teils genau das Dreifache des Radius \(r\) beträgt (\(h = 3r\)).

- Überlege zuerst, gegen welchen Wert die Funktion strebt, wenn \(x\) sehr groß wird. Das ist die waagerechte Asymptote. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um die Breite des Rechtecks durch eine Variable \(x\) auszudrücken. - Wie berechnet man den vertikalen Abstand zwischen zwei Linien, wenn man deren Funktionsgleichungen kennt? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf und suche deren Extrempunkt.

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Da \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2}{x^2+9} = 3\), lautet die Gleichung der Asymptote \(y = 3\). 2. Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wählen wir die Eckpunkte auf dem Graphen als \(P_1(x \mid f(x))\) und \(P_2(-x \mid f(x))\) mit \(x > 0\). Die gegenüberliegenden Eckpunkte auf der Asymptote sind \(P_3(x \mid 3)\) und \(P_4(-x \mid 3)\). 3. Die Breite des Rechtecks beträgt \(b(x) = 2x\), die Höhe ist die Differenz der y-Werte: \(h(x) = 3 - f(x) = 3 - \frac{3x^2}{x^2+9} = \frac{3(x^2+9) - 3x^2}{x^2+9} = \frac{27}{x^2+9}\). 4. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt lautet \(A(x) = 2x \cdot \frac{27}{x^2+9} = \frac{54x}{x^2+9}\). 5. Ableitung bilden: \(A'(x) = \frac{54(x^2+9) - 54x(2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{486 - 54x^2}{(x^2+9)^2}\). 6. Nullstelle der Ableitung: \(486 - 54x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\) (da \(x > 0\)). 7. Überprüfung des Maximums: \(A'(x)\) wechselt bei \(x = 3\) das Vorzeichen von Plus nach Minus, also liegt ein lokales Maximum vor. Da \(A(x) \to 0\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\), ist es ein absolutes Maximum. 8. Seitenlängen berechnen: Breite \(b = 2 \cdot 3 = 6\), Höhe \(h = \frac{27}{3^2+9} = \frac{27}{18} = 1{,}5\).

Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt hat die Seitenlängen \(6\) und \(1{,}5\).

- Wie lässt sich die Länge der Grundseite eines Dreiecks ausdrücken, dessen Eckpunkte symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen? - Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks mit dem Funktionswert an der Stelle \(x\) zusammenhängt. - Erstelle eine Funktion für den Flächeninhalt, die nur von der Variablen \(x\) abhängt. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Bestimmung von Extremstellen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da \(A(x | f(x))\) und \(B(-x | f(x))\) symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen, ist die Grundseite \(g = 2x\) und die Höhe \(h = f(x) = 27 - x^2\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (27 - x^2) = 27x - x^3\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da die Punkte im ersten und zweiten Quadranten auf der Parabel liegen sollen, gilt \(x > 0\) und \(27 - x^2 > 0\), also \(x \in (0; \sqrt{27})\). 3. Ableitungen bilden: \(A'(x) = 27 - 3x^2\) und \(A''(x) = -6x\). 4. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\): \(27 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) (da \(x > 0\)). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(A''(3) = -18 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 6. Koordinaten berechnen: \(f(3) = 27 - 3^2 = 18\). Die gesuchten Punkte sind \(A(3|18)\) und \(B(-3|18)\).

Die Koordinaten der Punkte für den maximalen Flächeninhalt sind \(A(3|18)\) und \(B(-3|18)\).

- Der Abstand eines Punktes \((x \mid y)\) zum Ursprung lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. - Nutze die Funktionsgleichung, um die \(y\)-Koordinate in deiner Abstandsformel zu ersetzen, sodass nur noch eine Variable übrig bleibt. - Untersuche die resultierende Funktion auf ihre Tiefpunkte. - Achte darauf, ob es aufgrund der Symmetrie der Parabel mehr als einen Punkt geben könnte.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(D(x) = (x - 0)^2 + (f(x) - 0)^2 = x^2 + (x^2 - 5)^2\) 2. Ausmultiplizieren der Funktion: \(D(x) = x^2 + x^4 - 10x^2 + 25 = x^4 - 9x^2 + 25\) 3. Bilden der ersten Ableitung: \(D'(x) = 4x^3 - 18x\) 4. Nullstellen von \(D'(x)\) bestimmen: \(2x(2x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) oder \(x^2 = 4{,}5 \Rightarrow x_{2,3} = \pm \sqrt{4{,}5}\) 5. Zweite Ableitung bilden: \(D''(x) = 12x^2 - 18\) 6. Überprüfung der Stellen: - \(D''(0) = -18 < 0\) (lokales Maximum) - \(D''(\pm \sqrt{4{,}5}) = 12 \cdot 4{,}5 - 18 = 54 - 18 = 36 > 0\) (lokale Minima) 7. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten: \(f(\pm \sqrt{4{,}5}) = (\pm \sqrt{4{,}5})^2 - 5 = 4{,}5 - 5 = -0{,}5\) 8. Die gesuchten Punkte sind somit \(P_1(\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\).

Die Punkte mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung sind \(P_1(\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\). Dies entspricht etwa \((2{,}12 \mid -0{,}5)\) und \((-2{,}12 \mid -0{,}5)\).

- Aus welchen Einzelteilen setzt sich die Randlinie des Fensters zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks und eines Halbkreises? - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf und löse sie nach einer Variablen auf, um sie in die Umfangsgleichung einzusetzen. - Überlege dir, welche Werte für die Breite \(b\) überhaupt sinnvoll sind.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Umfang \(U\): \(U = b + 2a + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot b\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Fläche \(A\): \(A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a \cdot b + \frac{\pi b^2}{8} = 5\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(a\): \(a = \frac{5}{b} - \frac{\pi b}{8}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(U(b) = b + 2 \cdot \left(\frac{5}{b} - \frac{\pi b}{8}\right) + \frac{\pi b}{2} = b + \frac{10}{b} + \frac{\pi b}{4} = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right)b + \frac{10}{b}\). 5. Ableiten der Umfangsfunktion: \(U'(b) = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{10}{b^2}\). 6. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(b^2 = \frac{10}{1 + \pi/4} = \frac{40}{4+\pi} \approx 5{,}600\) führt zu \(b = \sqrt{\frac{40}{4+\pi}} \approx 2{,}37\,\text{m}\). 7. Berechnung der zugehörigen Höhe \(a\): Einsetzen von \(b\) ergibt \(a = \frac{b}{2} \approx 1{,}18\,\text{m}\).

Die Breite des Fensters muss etwa \(b \approx 2{,}37\,\text{m}\) und die Höhe des rechteckigen Teils \(a \approx 1{,}18\,\text{m}\) betragen.

- Kannst du eine Skizze des Querschnitts machen, um die Beziehung zwischen den Variablen zu sehen? - Wie hängen der Radius der Kegelgrundfläche, die Kegelhöhe und der Kugelradius geometrisch zusammen? - Welche Variable eignet sich am besten als Unbekannte für die Zielfunktion? - Denk daran, dass die Höhe des Kegels größer oder kleiner als der Kugelradius sein könnte.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Kegelvolumen: \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot r_k^2 \cdot h\). 2. Bestimmung der Nebenbedingung durch den Zusammenhang in der Kugel: Sei \(x\) der Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Grundfläche des Kegels. Dann gilt für die Höhe \(h = R + x\) (mit \(-R < x < R\)) und nach dem Satz des Pythagoras für den Grundkreisradius des Kegels \(r_k^2 = R^2 - x^2\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(x) = \frac{1}{3} \pi \cdot (R^2 - x^2) \cdot (R + x) = \frac{\pi}{3} \cdot (R^3 + R^2 x - R x^2 - x^3)\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(x\): \(V'(x) = \frac{\pi}{3} \cdot (R^2 - 2Rx - 3x^2)\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen: \(-3x^2 - 2Rx + R^2 = 0\). Die quadratische Lösungsformel ergibt \(x_1 = \frac{1}{3}R\) und \(x_2 = -R\). Der Wert \(x_2 = -R\) gehört nicht zum Definitionsbereich und entspricht nur dem entarteten Randfall der stetigen Fortsetzung. 6. Überprüfung der zweiten Ableitung \(V''(x) = \frac{\pi}{3} \cdot (-2R - 6x)\): Für \(x = \frac{1}{3}R\) ist \(V''(\frac{1}{3}R) = \frac{\pi}{3} \cdot (-4R) < 0\), also liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung der optimalen Höhe: \(h = R + \frac{1}{3}R = \frac{4}{3}R\).

Die Höhe des Kegels muss \(h = \frac{4}{3}R\) betragen.

- Wie findest du heraus, wo der Graph die x-Achse schneidet? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnet. - Überlege dir, wie die Seitenlängen des Rechtecks von der Wahl des Punktes \(u\) abhängen. - Die Zielfunktion für den Flächeninhalt muss abgeleitet werden, um das Maximum zu finden. - Achte darauf, ob dein gefundener Wert für \(u\) im gesuchten Bereich liegt.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(f(0) = 16\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x^3 - 12x + 16 = 0\). Durch Probieren findet man \(x = 2\) (\(2^3 - 12 \cdot 2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0\)). Da \(f'(x) = 3x^2 - 12\) im Intervall \([0; 2]\) stets negativ oder null ist, verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_0^2 (x^3 - 12x + 16) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_0^2 = (4 - 24 + 32) - 0 = 12\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Rechteck: \(A(u) = u \cdot f(u) = u(u^3 - 12u + 16) = u^4 - 12u^2 + 16u\). 4. Bestimmung des Extremums: \(A'(u) = 4u^3 - 24u + 16 = 0\). Da \(u = 2\) eine Nullstelle ist, folgt durch Polynomdivision \(4(u - 2)(u^2 + 2u - 2) = 0\). Die relevanten Nullstellen von \(u^2 + 2u - 2\) sind \(u = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}\). Im Intervall \(]0; 2[\) liegt nur \(u = \sqrt{3} - 1 \approx 0{,}732\). 5. Überprüfung und Koordinaten: \(A''(u) = 12u^2 - 24\). Für \(u = \sqrt{3} - 1\) ist \(A''(u) < 0\), also liegt ein Maximum vor. Der \(y\)-Wert ist \(f(\sqrt{3}-1) = 18 - 6\sqrt{3} \approx 7{,}608\). Die Koordinaten sind \(P(\sqrt{3}-1 | 18 - 6\sqrt{3})\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Flächeneinheiten. b) Der Punkt hat die Koordinaten \(P(\sqrt{3}-1 | 18 - 6\sqrt{3})\) (bzw. gerundet \(P(0{,}732 | 7{,}608)\)).

- Wie lässt sich die Grundseite und die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken? - Beachte, dass die Höhe die Differenz zwischen dem \(y\)-Wert des Punktes \(A\) und dem Funktionswert \(f(x)\) ist. - Nutze eine Substitution, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu finden. - Vergiss nicht, am Ende den tatsächlichen Flächeninhalt zu berechnen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt unter Verwendung der Basis \(g = 2x\) und der Höhe \(h = 10 - f(x)\): \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (10 - (x^4 - 6x^2 + 2)) = -x^5 + 6x^3 + 8x\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(x) = -5x^4 + 18x^2 + 8\). 3. Berechnung der Nullstellen von \(A'(x)\) mittels Substitution \(z = x^2\): Die Gleichung \(5z^2 - 18z - 8 = 0\) liefert die positive Lösung \(z = 4\). 4. Ermittlung der relevanten Stelle \(x = \sqrt{4} = 2\). 5. Nachweis des Maximums (z. B. über die zweite Ableitung \(A''(2) = -88 < 0\)) und Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(2) = -(2^5) + 6 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2 = -32 + 48 + 16 = 32\).

Der Flächeninhalt wird für \(x = 2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(32\) Flächeneinheiten.

- Für eine unbegrenzte Fläche musst du ein uneigentliches Integral berechnen. - Wie verhält sich \(e^{-x}\) multipliziert mit einer Potenz von \(x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Stelle die allgemeine Tangentengleichung auf und bestimme daraus den Term für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Suche das Maximum dieser neu entstandenen Funktion in Abhängigkeit von \(a\).

1. Berechnung des Flächeninhalts: Die Fläche im 1. Quadranten entspricht dem Integral \(\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x}\). Der Grenzwert für \(x \to \infty\) ist \(0\). Somit gilt \(A = 0 - F(0) = 0 - (-2) = 2\). 2. Tangentengleichung: Mit \(f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}\) ergibt sich die Tangente an der Stelle \(a\) zu \(y = (2a - a^2)e^{-a} \cdot (x-a) + a^2 e^{-a}\). 3. \(y\)-Achsenabschnitt \(n(a)\): Vereinfachen von \(n(a) = -a(2a - a^2)e^{-a} + a^2 e^{-a}\) führt zu \(n(a) = (a^3 - a^2)e^{-a}\). 4. Extremwertbestimmung: Die Ableitung \(n'(a) = (3a^2 - 2a)e^{-a} - (a^3 - a^2)e^{-a} = (-a^3 + 4a^2 - 2a)e^{-a} = -a(a^2 - 4a + 2)e^{-a}\) hat Nullstellen bei \(a_1 = 0\) und \(a_{2,3} = 2 \pm \sqrt{2}\). 5. Maximum finden: Da \(n(2+\sqrt{2}) \approx 0{,}93\) der größte Funktionswert unter den Kandidaten ist und \(n(a) \to 0\) für \(a \to \infty\) sowie \(n(a) \to -\infty\) für \(a \to -\infty\) gilt, liegt das globale Maximum bei \(a = 2 + \sqrt{2}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2\). b) Die Tangentengleichung ist \(y = (2a - a^2)e^{-a} \cdot x + (a^3 - a^2)e^{-a}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist für \(a = 2 + \sqrt{2}\) am größten.

- Kannst du die Anzahl der Teilnehmer als eine lineare Funktion des Preises beschreiben? - Wie berechnet man den Gesamterlös aus dem Preis pro Person und der Anzahl der Personen? - Achte darauf, dass die Anzahl der Teilnehmer nicht größer als die verfügbaren Plätze im Bus sein darf. - Welche mathematische Bedingung muss für ein Maximum der Erlösfunktion erfüllt sein?

1. Aufstellen der linearen Nachfragefunktion \(n(p)\): Mit der Steigung \(m = \frac{\Delta n}{\Delta p} = \frac{2}{-10} = -0{,}2\) und dem Punkt \((400|30)\) ergibt sich \(n(p) = -0{,}2 \cdot (p - 400) + 30 = -0{,}2p + 110\). 2. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(p) = p \cdot n(p) = p \cdot (-0{,}2p + 110) = -0{,}2p^2 + 110p\). 3. Bestimmung des Maximums: Die erste Ableitung \(E'(p) = -0{,}4p + 110\) wird null gesetzt: \(-0{,}4p + 110 = 0 \Rightarrow p = 275\). 4. Überprüfung der Kapazität: Bei einem Preis von \(275\,\text{€}\) beträgt die Teilnehmerzahl \(n(275) = -0{,}2 \cdot 275 + 110 = 55\). Da \(55 \le 60\), wird die Kapazitätsgrenze nicht überschritten. 5. Bestätigung des Maximums: Da \(E(p)\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, stellt der Scheitelpunkt bei \(p = 275\) das globale Maximum dar.

Die Erlösfunktion lautet \(E(p) = -0{,}2p^2 + 110p\). Der maximale Erlös wird bei einem Reisepreis von \(275{,}00\,\text{€}\) erzielt. Die Teilnehmerzahl liegt dann bei \(55\) Personen, womit die Kapazität von \(60\) Plätzen eingehalten wird.

- Stelle die Flächeninhaltsfunktion in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung der Zielfunktion zu bestimmen. - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung der Flächenfunktion Null ist. - Prüfe, ob der gefundene Wert tatsächlich ein Maximum liefert und vergleiche ihn mit den Werten an den Intervallgrenzen.

1. Zielfunktion für den Flächeninhalt aufstellen: \(A(x) = x \cdot f(x) = \frac{18x}{x^2 + 9}\). 2. Ableitung bilden (Quotientenregel): \(A'(x) = \frac{18(x^2 + 9) - 18x(2x)}{(x^2 + 9)^2} = \frac{18x^2 + 162 - 36x^2}{(x^2 + 9)^2} = \frac{162 - 18x^2}{(x^2 + 9)^2}\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(162 - 18x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\) (da \(x \in [0; 6]\)). 4. Art des Extremums prüfen: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'\) bei \(x = 3\) von Plus nach Minus (da der Zähler für \(x < 3\) positiv und für \(x > 3\) negativ ist) bestätigt ein lokales Maximum. 5. Randwerte prüfen: \(A(0) = 0\) und \(A(6) = \frac{108}{45} = 2{,}4\). Der Funktionswert an der Stelle \(x = 3\) ist \(A(3) = \frac{54}{18} = 3\). Das absolute Maximum liegt somit bei \(x = 3\). 6. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(f(3) = \frac{18}{3^2 + 9} = \frac{18}{18} = 1\). Der Punkt ist \(P(3 | 1)\).

\(P(3 | 1)\)

- Beachte, dass das Becken oben offen ist – wie ändert das die Formel für die Oberfläche? - Nutze das gegebene Volumen, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - Suche das Minimum der Oberflächenfunktion mithilfe der Ableitung. - Vergleiche am Ende den Wert der Tiefe direkt mit dem Wert des Radius.

1. Nebenbedingung für das Volumen: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 50\), also \(h = \frac{50}{\pi \cdot r^2}\). 2. Zielfunktion für die Fläche (ohne Deckel): \(A = \pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h\). 3. Substitution von \(h\): \(A(r) = \pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot \frac{50}{\pi \cdot r^2} = \pi \cdot r^2 + \frac{100}{r}\). 4. Erste Ableitung bilden: \(A'(r) = 2\pi \cdot r - \frac{100}{r^2}\). 5. Extremstelle berechnen: \(2\pi \cdot r - \frac{100}{r^2} = 0 \Rightarrow 2\pi \cdot r^3 = 100 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{50}{\pi}} \approx 2{,}515\,\text{m}\). 6. Tiefe berechnen: \(h = \frac{50}{\pi \cdot r^2}\). Da \(V = \pi \cdot r^3 = 50\), folgt \(h = \frac{\pi \cdot r^3}{\pi \cdot r^2} = r \approx 2{,}515\,\text{m}\). 7. Verhältnis: Im Optimum gilt \(h = r\), also ein Verhältnis von \(1:1\). Bei einer geschlossenen Dose gilt hingegen \(h = 2r\).

a) \(A(r) = \pi r^2 + \frac{100}{r}\) b) Der optimale Radius ist \(r \approx 2{,}52\,\text{m}\) und die optimale Tiefe ist \(h \approx 2{,}52\,\text{m}\). c) Im Minimum gilt \(h = r\) (Verhältnis \(1:1\)). Bei einer geschlossenen Dose ist das optimale Verhältnis \(h = 2r\) (Verhältnis \(2:1\)).

- Nutze die Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen eines Zylinders. - Drücke die Höhe \(h\) durch den Radius \(r\) aus, indem du die gegebene Oberfläche verwendest. - Bestimme die Zielfunktion für das Volumen in Abhängigkeit vom Radius. - Suche nach dem globalen Maximum dieser Funktion im sinnvollen Definitionsbereich. - Prüfe, ob das Zielvolumen innerhalb des Wertebereichs der Funktion liegt.

1. Formel für den Oberflächeninhalt eines Zylinders: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 24\pi\). 2. Umstellen nach der Höhe \(h\): \(r^2 + rh = 12 \Rightarrow h = \frac{12 - r^2}{r}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \left(\frac{12 - r^2}{r}\right) = \pi(12r - r^3)\). 4. Bestimmung des Maximums durch Ableiten: \(V'(r) = \pi(12 - 3r^2)\). Setzt man \(V'(r) = 0\), erhält man \(3r^2 = 12\), woraus \(r = 2\,\text{m}\) folgt (da \(r > 0\)). 5. Überprüfung des Extremums: \(V''(r) = -6\pi r < 0\) für \(r = 2\), also liegt ein Maximum vor. 6. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(2) = \pi(12 \cdot 2 - 2^3) = 16\pi\,\text{m}^3\). 7. Da das maximal mögliche Volumen \(16\pi\,\text{m}^3\) (ca. \(50{,}27\,\text{m}^3\)) beträgt, kann ein Volumen von \(20\pi\,\text{m}^3\) (ca. \(62{,}83\,\text{m}^3\)) nicht erreicht werden.

Nein, ein solcher Tank kann nicht hergestellt werden. Das bei dieser Oberfläche maximal mögliche Volumen beträgt lediglich \(16\pi\,\text{m}^3\), was kleiner ist als die geforderten \(20\pi\,\text{m}^3\).

- Stelle zuerst eine Formel für die Gesamtkosten auf, wobei du unterschiedliche Faktoren für die verschiedenen Flächen nutzt. - Wie kannst du die Höhe der Dose durch das Volumen und den Radius ausdrücken? - Setze diesen Ausdruck in deine Kostenformel ein, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch vom Radius abhängt. - Suche den Tiefpunkt dieser Funktion. - Musst du die konkreten Kosten \(c\) kennen, um das optimale Verhältnis der Maße zu finden?

1. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\). Seien \(c\) die Kosten pro \(\text{cm}^2\) für die Mantelfläche, dann sind \(3c\) die Kosten für Boden und Deckel. Es gilt: \(K = 3c \cdot (2 \cdot \pi r^2) + c \cdot (2\pi r h) = c \cdot (6\pi r^2 + 2\pi r h)\). 2. Nutzung der Nebenbedingung \(V = \pi r^2 h = 500\), um \(h\) zu eliminieren: \(h = \frac{500}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen in die Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K(r) = c \cdot (6\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2}) = c \cdot (6\pi r^2 + \frac{1000}{r})\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(r\): \(K'(r) = c \cdot (12\pi r - \frac{1000}{r^2})\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Minimums: \(12\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \implies 12\pi r^3 = 1000 \implies r = \sqrt[3]{\frac{250}{3\pi}}\). 6. Da \(K''(r) = c \cdot (12\pi + \frac{2000}{r^3}) > 0\) für alle \(r > 0\), liegt ein Minimum vor. 7. Bestimmung des Verhältnisses \(\frac{h}{r}\): Aus \(12\pi r^3 = 2 \cdot 500\) und \(500 = \pi r^2 h\) folgt durch Einsetzen \(12\pi r^3 = 2\pi r^2 h\). Kürzen durch \(2\pi r^2\) ergibt \(6r = h\). 8. Das optimale Verhältnis ist somit \(h : r = 6 : 1\).

Die Materialkosten werden minimiert, wenn das Verhältnis von Höhe zu Radius \(h : r = 6 : 1\) beträgt (bzw. \(h = 6r\)).

- Erinnere dich an den Zusammenhang \(a^x = e^{x \cdot \ln(a)}\). - Nutze die Produktregel beim Ableiten der Flächenfunktion. - Das Integral einer Exponentialfunktion \(a^x\) ist proportional zu \(a^x\). Was passiert mit \(0{,}75^x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Für den prozentualen Anteil in c) kannst du das Verhältnis der Integrale bilden. Fällt dir dabei eine Vereinfachung auf?

1. Umrechnung der Basis: \(0{,}75 = e^{\ln(0{,}75)}\), daraus folgt \(h(x) = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75) \cdot x} \approx 5 \cdot e^{-0{,}2877x}\). 2. Zielfunktion für die Rechteckfläche: \(A(u) = u \cdot 5 \cdot e^{\ln(0{,}75)u}\). 3. Ableitung bilden: \(A'(u) = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75)u} + 5u \cdot \ln(0{,}75) \cdot e^{\ln(0{,}75)u} = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75)u} (1 + u \ln(0{,}75))\). 4. Nullstelle der Ableitung: \(1 + u \ln(0{,}75) = 0 \implies u = -\frac{1}{\ln(0{,}75)} \approx 3{,}48\). (Nachweis des Maximums analog zur ersten Aufgabe). 5. Berechnung der Gesamtfläche über das uneigentliche Integral: \(\int_0^\infty 5 \cdot 0{,}75^x \, dx = \left[ \frac{5}{\ln(0{,}75)} \cdot 0{,}75^x \right]_0^\infty = 0 - \frac{5}{\ln(0{,}75)} = -\frac{5}{\ln(0{,}75)} \approx 17{,}38\). 6. Berechnung der Teilfläche für \(x > 10\): \(\int_{10}^\infty 5 \cdot 0{,}75^x \, dx = \left[ \frac{5}{\ln(0{,}75)} \cdot 0{,}75^x \right]_{10}^\infty = 0 - \frac{5}{\ln(0{,}75)} \cdot 0{,}75^{10}\). 7. Verhältnisbildung: \(\frac{\text{Teilfläche}}{\text{Gesamtfläche}} = \frac{-(5/\ln(0{,}75)) \cdot 0{,}75^{10}}{-5/\ln(0{,}75)} = 0{,}75^{10} \approx 0{,}0563\).

a) \(h(x) = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75) \cdot x}\) b) Das Maximum liegt bei \(u = -\frac{1}{\ln(0{,}75)} \approx 3{,}48\). c) Die Gesamtfläche beträgt \(-\frac{5}{\ln(0{,}75)} \approx 17{,}38\). Der Anteil für \(x > 10\) beträgt \(0{,}75^{10} \approx 5{,}63\,\%\).

- Stelle eine Funktion für das Quadrat des Abstands zwischen einem allgemeinen Punkt auf dem Graphen und dem Punkt \(M\) auf. - Überlege dir anhand der Symmetrie der Parabel, warum zwei Punkte als Lösung infrage kommen könnten. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob es sich um ein Minimum handelt? - Wie erhältst du aus dem Minimum der Abstandsquadrat-Funktion den tatsächlichen Abstand?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Quadrat des Abstands zwischen einem beliebigen Punkt \(Q(x|\frac{1}{2}x^2)\) und dem Punkt \(M(0|3)\): \(D(x) = (x - 0)^2 + (\frac{1}{2}x^2 - 3)^2 = x^2 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\). 2. Erste Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen berechnen: \(D'(x) = x^3 - 4x\). 3. Nullstellen von \(D'(x)\) bestimmen: \(x(x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Prüfung mit der zweiten Ableitung \(D''(x) = 3x^2 - 4\): \(D''(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum); \(D''(\pm 2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0\) (lokale Minima). 5. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten der Punkte auf dem Graphen: \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2\) und \(g(-2) = 2\). Die gesuchten Punkte sind \(Q_1(2|2)\) und \(Q_2(-2|2)\). 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d_{min} = \sqrt{D(2)} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 9} = \sqrt{4 - 8 + 9} = \sqrt{5}\).

Die Punkte mit dem geringsten Abstand sind \(Q_1(2|2)\) und \(Q_2(-2|2)\). Der minimale Abstand beträgt \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken sich der äußere Umfang zusammensetzt. Gehört die Trennlinie zwischen Rechteck und Dreieck dazu? - Erinnere dich an die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge. - Drücke die Höhe des Rechtecks durch die Breite aus, indem du die Flächenvorgabe nutzt. - Die Zielfunktion sollte am Ende nur noch von der Variablen \(b\) abhängen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den äußeren Umfang: \(P(b, h) = b + 2h + 2b = 3b + 2h\) (die untere Seite, die zwei Seitenwände des Rechtecks und die zwei Schenkel des Dreiecks). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Fläche: \(A = b \cdot h + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = 10\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{10 - \frac{\sqrt{3}}{4}b^2}{b} = \frac{10}{b} - \frac{\sqrt{3}}{4}b\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(P(b) = 3b + 2 \cdot (\frac{10}{b} - \frac{\sqrt{3}}{4}b) = 3b + \frac{20}{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}b = (3 - \frac{\sqrt{3}}{2})b + \frac{20}{b}\). 5. Ableiten der Funktion nach \(b\): \(P'(b) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{20}{b^2}\). 6. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(b^2 = \frac{20}{3 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow b = \sqrt{\frac{40}{6 - \sqrt{3}}} \approx 3{,}06\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(P''(b) = \frac{40}{b^3} > 0\) für \(b > 0\), somit liegt ein Minimum vor.

Die optimale Breite des Logos beträgt \(b = \sqrt{\frac{40}{6 - \sqrt{3}}} \approx 3{,}06\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man das Volumen und die Teilflächen (Deckel, Boden, Mantel) eines Zylinders? - Erstelle eine Formel für die Gesamtkosten, indem du die Teilflächen mit ihren jeweiligen Preisen gewichtest. - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine Variable in deiner Kostenformel zu ersetzen. - Welches Verfahren aus der Differentialrechnung hilft dir dabei, den kleinsten Wert einer Funktion zu finden?

1. Aufstellen der Volumenformel als Nebenbedingung: \(V = \pi r^2 h = 2\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{2}{\pi r^2}\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\) unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Materialpreise: \(K(r, h) = 10 \cdot (2 \pi r^2) + 5 \cdot (2 \pi r h) = 20 \pi r^2 + 10 \pi r h\). 4. Einsetzen der Nebenbedingung in die Kostenfunktion: \(K(r) = 20 \pi r^2 + 10 \pi r \cdot \frac{2}{\pi r^2} = 20 \pi r^2 + \frac{20}{r}\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(K'(r) = 40 \pi r - \frac{20}{r^2}\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Extremwertsuche: \(40 \pi r - \frac{20}{r^2} = 0 \implies 40 \pi r^3 = 20 \implies r^3 = \frac{1}{2\pi}\). 7. Berechnung des optimalen Radius: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} \approx 0{,}542\,\text{m}\). 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{2}{\pi \cdot (1/2\pi)^{2/3}} = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}} \approx 2{,}168\,\text{m}\). 9. Die zweite Ableitung \(K''(r) = 40 \pi + \frac{40}{r^3}\) ist für \(r > 0\) stets positiv, was das Minimum bestätigt.

Der Radius beträgt ca. \(0{,}54\,\text{m}\) und die Höhe ca. \(2{,}17\,\text{m}\) (exakt: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}\,\text{m}\) und \(h = 2\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}\,\text{m}\)).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Eckpunkte durch Koordinaten gegeben sind? - Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks mit dem Funktionswert an der Stelle \(u\) zusammenhängt. - Erinnere dich an die Quotientenregel für das Ableiten von Brüchen. - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Maximum erfüllt sein? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert im Definitionsbereich liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) in Abhängigkeit von \(u\): Da das Dreieck rechtwinklig mit der Grundseite \(u\) und der Höhe \(f(u)\) ist, gilt \(A(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot \frac{10 \ln(u)}{u^2} = \frac{5 \ln(u)}{u}\). 2. Bildung der ersten Ableitung mittels Quotientenregel: \(A'(u) = \frac{5 \cdot \frac{1}{u} \cdot u - 5 \ln(u) \cdot 1}{u^2} = \frac{5 - 5 \ln(u)}{u^2}\). 3. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung): \(5 - 5 \ln(u) = 0 \Leftrightarrow \ln(u) = 1 \Leftrightarrow u = e\). 4. Überprüfung der Art des Extremums (hinreichende Bedingung): Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(u)\) an der Stelle \(u = e\) von Plus nach Minus (da \(5 - 5 \ln(u) > 0\) für \(u < e\) und \(5 - 5 \ln(u) < 0\) für \(u > e\)) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(1) = 0\) und \(\lim_{u \to \infty} A(u) = 0\), liegt bei \(u = e\) das globale Maximum vor.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist für \(u = e\) am größten.

- Wie findet man Extrempunkte und Wendepunkte einer Funktion? - Was sagt die zweite Ableitung über die Krümmung des Graphen aus? - Stell dir die Sichtlinie als eine Gerade vor. Wann liegt eine Kurve unterhalb oder oberhalb einer Geraden? - Überlege, wie sich die Steigung des Profils vom Startpunkt aus entwickelt.

1. Ableitungen: \(g'(x) = 1 \cdot e^{-0{,}5x} + (x + 4) \cdot (-0{,}5) e^{-0{,}5x} = (1 - 0{,}5x - 2) e^{-0{,}5x} = (-0{,}5x - 1) e^{-0{,}5x}\). \(g''(x) = -0{,}5 e^{-0{,}5x} - 0{,}5(-0{,}5x - 1) e^{-0{,}5x} = (-0{,}5 + 0{,}25x + 0{,}5) e^{-0{,}5x} = 0{,}25x \cdot e^{-0{,}5x}\). 2. Gipfel: \(g'(x) = 0 \implies -0{,}5x - 1 = 0 \implies x = -2\). \(g(-2) = (-2 + 4) e^{1} = 2e \approx 5{,}44\). Gipfel bei \((-2 | 2e)\). 3. Steilstes Gefälle: Das Gefälle ist an den Wendepunkten oder den Rändern maximal. \(g''(x) = 0 \implies x = 0\). Steigung im Wendepunkt: \(g'(0) = -1 \cdot e^0 = -1\). Vergleich mit dem Rand \(x=6\): \(g'(6) = (-3 - 1) e^{-3} = -4 e^{-3} \approx -0{,}20\). Da \(g'(0) = -1\) die kleinste (stärkstes Gefälle) Steigung ist, liegt die steilste Stelle bei \(x = 0\). 4. Sichtbarkeit: Die Verbindungslinie von \(P(-4|0)\) zum Gipfel \(S(-2|2e)\) hat die Steigung \(m = \frac{2e - 0}{-2 - (-4)} = \frac{2e}{2} = e \approx 2{,}72\). Die Tangentensteigung im Punkt \(P(-4|0)\) ist \(g'(-4) = (-0{,}5(-4) - 1) e^{2} = (2 - 1) e^2 = e^2 \approx 7{,}39\). Da die Steigung des Geländes am Startpunkt (\(e^2\)) größer ist als die Steigung der Sichtlinie (\(e\)), verläuft das Gelände zunächst oberhalb der Sichtlinie. Die Person kann den Gipfel nicht sehen, da er durch den Hügel selbst verdeckt wird (der Graph ist in diesem Bereich rechtsgekrümmt).

a) Der Gipfel liegt bei \(x = -2\) mit den Koordinaten \((-2 | 5{,}44)\). b) Das steilste Gefälle befindet sich an der Stelle \(x = 0\). c) Nein, die Person kann den Gipfel nicht sehen. Da die Steigung des Geländes im Startpunkt (\(e^2 \approx 7{,}39\)) größer ist als die Steigung der direkten Verbindungslinie zum Gipfel (\(e \approx 2{,}72\)), wölbt sich der Hügel über die Sichtlinie.

- Achte auf einheitliche Einheiten (Rechnen in Metern oder Dezimetern). - Der Behälter ist oben offen, daher besteht die Oberfläche nur aus einer Grundfläche und vier Seitenflächen. - Drücke die Gesamthöhe durch die Füllhöhe und den Sicherheitsabstand aus. - Nutze das gegebene Volumen, um eine der Variablen in der Oberflächenformel zu eliminieren. - Die Ableitung der Zielfunktion liefert dir die notwendige Bedingung für ein Minimum.

1. Definition der Variablen: \(a\) ist die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche, \(h_{w}\) ist die Füllhöhe des Wassers, \(H\) ist die Gesamthöhe des Behälters. 2. Nebenbedingung Volumen: \(V = a^2 \cdot h_{w} = 2\,\text{m}^3\). Umstellen nach \(h_{w}\): \(h_{w} = \frac{2}{a^2}\). 3. Zusammenhang der Höhen: \(H = h_{w} + 0{,}2 = \frac{2}{a^2} + 0{,}2\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche (oben offen): \(A(a) = a^2 + 4a \cdot H\). 5. Einsetzen von \(H\): \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \left(\frac{2}{a^2} + 0{,}2\right) = a^2 + \frac{8}{a} + 0{,}8a\). 6. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(a) = 2a - \frac{8}{a^2} + 0{,}8\). 7. Extremwertbedingung \(A'(a) = 0\): \(2a - \frac{8}{a^2} + 0{,}8 = 0 \implies 2a^3 + 0{,}8a^2 - 8 = 0 \implies a^3 + 0{,}4a^2 - 4 = 0\). 8. Numerische Lösung ergibt \(a \approx 1{,}46\,\text{m}\). 9. Berechnung der Gesamthöhe: \(H = \frac{2}{1{,}46^2} + 0{,}2 \approx 1{,}13\,\text{m}\). 10. Die zweite Ableitung \(A''(a) = 2 + \frac{16}{a^3}\) ist positiv für \(a > 0\), daher liegt ein Minimum vor.

Die Seitenlänge beträgt \(a \approx 1{,}46\,\text{m}\) und die Gesamthöhe beträgt \(H \approx 1{,}13\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie weit die Eckpunkte auf der \(x\)-Achse voneinander entfernt sind. - Die Höhe des Rechtecks wird durch den Graphen der Funktion begrenzt. - Zur Bestimmung eines Extremwerts ist die erste Ableitung der Zielfunktion hilfreich. - Achte beim Ableiten besonders auf die Verknüpfung der Funktionen (Produkt- und Kettenregel). - Denke daran, dass \(u\) laut Aufgabenstellung positiv sein muss.

1. Seitenlängen bestimmen: Die Grundseite auf der \(x\)-Achse reicht von \(-u\) bis \(u\), hat also die Länge \(2u\). Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(u\), also \(g(u) = 5 \cdot e^{-0{,}5u^2}\). 2. Flächeninhalt aufstellen: \(A(u) = \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 2u \cdot 5 \cdot e^{-0{,}5u^2} = 10u \cdot e^{-0{,}5u^2}\). 3. Ableitung der Flächenfunktion mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(u) = 10 \cdot e^{-0{,}5u^2} + 10u \cdot e^{-0{,}5u^2} \cdot (-u) = 10 \cdot e^{-0{,}5u^2} \cdot (1 - u^2)\). 4. Notwendige Bedingung für Extremum: \(A'(u) = 0\). Da \(10 \cdot e^{-0{,}5u^2} > 0\) für alle \(u\), muss \(1 - u^2 = 0\) gelten. 5. Lösung für \(u > 0\): \(u^2 = 1 \Rightarrow u = 1\). 6. Art des Extremums prüfen: \(A'(u)\) hat bei \(u = 1\) einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus (da \(1-u^2\) für \(u<1\) positiv und für \(u>1\) negativ ist), folglich liegt ein lokales Maximum vor.

a) Seitenlängen: \(2u\) und \(5e^{-0{,}5u^2}\); Fläche: \(A(u) = 2u \cdot 5e^{-0{,}5u^2} = 10u e^{-0{,}5u^2}\). b) Der Flächeninhalt wird für \(u = 1\) maximal.

- Überlege dir, wie Breite und Höhe eines Rechtecks zusammenhängen, das genau in einen Kreis passt. - Drücke eine der beiden Variablen durch die andere aus, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten. - Nutze die Ableitungsregeln, um das Maximum der Funktion zu finden. - Für den allgemeinen Nachweis solltest du mit der Variable für den Durchmesser rechnen, anstatt einen konkreten Zahlenwert einzusetzen.

1. Aufstellen der Nebenbedingung über den Satz des Pythagoras im kreisförmigen Querschnitt: \(b^2 + h^2 = d^2\), woraus \(h^2 = d^2 - b^2\) folgt. 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Steifigkeit in Abhängigkeit von \(b\): \(S(b) = k \cdot b \cdot (d^2 - b^2)^{1{,}5}\). 3. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(S'(b) = k \cdot \sqrt{d^2 - b^2} \cdot (d^2 - 4b^2)\). 4. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der Ableitung: \(d^2 - 4b^2 = 0 \Rightarrow b = \frac{d}{2}\). 5. Berechnung der Maße für \(d = 40\,\text{cm}\): \(b = 20\,\text{cm}\) und \(h = \sqrt{40^2 - 20^2} = \sqrt{1\,200} \approx 34{,}64\,\text{cm}\). 6. Allgemeiner Nachweis des Verhältnisses: Mit \(b = \frac{d}{2}\) ergibt sich \(h^2 = d^2 - \frac{d^2}{4} = \frac{3}{4}d^2\), also \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}d\). Das Verhältnis \(\frac{h}{b}\) ist somit \(\frac{\sqrt{3}d/2}{d/2} = \sqrt{3}\).

a) Die optimale Breite beträgt \(b = 20\,\text{cm}\) und die optimale Höhe \(h \approx 34{,}64\,\text{cm}\). b) Die Behauptung ist korrekt, da das Verhältnis \(\frac{h}{b} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}d}{\frac{1}{2}d} = \sqrt{3}\) konstant ist.

- Überlege dir, wie die Höhe der Pyramide und die Position ihrer Grundfläche innerhalb der Kugel zusammenhängen. - Eine Skizze des Querschnitts durch die Kugelmitte, der zwei gegenüberliegende Ecken der Grundfläche enthält, kann beim Finden der Nebenbedingung helfen. - Versuche, die Grundkantenlänge mithilfe des Satzes von Pythagoras durch die Höhe und den Radius der Kugel auszudrücken. - Was genau ist die Zielgröße, die hier optimiert werden soll?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen der Pyramide: \(V = \frac{1}{3} a^2 h\). 2. Herleiten der Nebenbedingung über den Querschnitt der Kugel durch die Diagonale der Grundfläche und die Pyramidenspitze. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für den Radius des Umkreises der Grundfläche \(r_G\): \(r_G^2 + (h - R)^2 = R^2\). 3. Da bei einer quadratischen Grundfläche mit Kantenlänge \(a\) für den Umkreisradius \(r_G = \frac{a}{\sqrt{2}}\) gilt, folgt \(r_G^2 = \frac{a^2}{2}\). Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt \(\frac{a^2}{2} = R^2 - (h - R)^2 = 2Rh - h^2\), also \(a^2 = 4Rh - 2h^2\). 4. Einsetzen von \(a^2\) in die Zielfunktion: \(V(h) = \frac{1}{3} (4Rh - 2h^2) h = \frac{4}{3}Rh^2 - \frac{2}{3}h^3\). 5. Bestimmen des Extremums durch Ableiten und Nullsetzen: \(V'(h) = \frac{8}{3}Rh - 2h^2 = 0\). Dies liefert neben der trivialen Lösung \(h = 0\) den Wert \(h = \frac{4}{3}R\). 6. Berechnung der zugehörigen Grundkante: \(a^2 = 4R \cdot \frac{4}{3}R - 2 \cdot (\frac{4}{3}R)^2 = \frac{16}{3}R^2 - \frac{32}{9}R^2 = \frac{16}{9}R^2\), woraus \(a = \frac{4}{3}R\) folgt.

Die Pyramide erreicht ihr maximales Volumen für eine Höhe von \(h = \frac{4}{3}R\) und eine Grundkantenlänge von \(a = \frac{4}{3}R\).

- Nutze die gegebenen Bedingungen, um alle Seitenlängen durch die Variable \(a\) auszudrücken. - Denke daran, dass die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist. - Um den Flächeninhalt zu maximieren, kann es hilfreich sein, das Quadrat der Flächenformel zu betrachten, um die Wurzel zu umgehen. - Achte bei der Rotation darauf, welche Seite die Höhe und welche der Radius des Kegels ist.

1. Nebenbedingungen aufstellen: \(a + c = 12 \Rightarrow c = 12 - a\) und \(a^2 + b^2 = c^2\). 2. Ausdruck für die zweite Kathete finden: \(b^2 = (12 - a)^2 - a^2 = 144 - 24a + a^2 - a^2 = 144 - 24a\), also \(b = \sqrt{144 - 24a}\). 3. Teil a: Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A(a) = \frac{1}{2} a \cdot \sqrt{144 - 24a}\). Zur Vereinfachung wird das Quadrat der Funktion \(f(a) = A^2 = \frac{1}{4} a^2 (144 - 24a) = 36a^2 - 6a^3\) maximiert. 4. Ableitung bilden: \(f'(a) = 72a - 18a^2\). Nullstellen bei \(a = 0\) (Minimum) und \(a = 4\). 5. Ergebnis für a): Bei \(a = 4\,\text{cm}\) ergeben sich \(c = 8\,\text{cm}\) und \(b = \sqrt{144 - 96} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). 6. Teil b: Bei Rotation um \(a\) ist \(a\) die Höhe und \(b\) der Radius des Kegels. Zielfunktion \(V(a) = \frac{1}{3} \pi b^2 a = \frac{1}{3} \pi (144 - 24a) a = 48\pi a - 8\pi a^2\). 7. Ableitung bilden: \(V'(a) = 48\pi - 16\pi a\). Nullstelle bei \(a = 3\). 8. Ergebnis für b): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ergeben sich \(c = 9\,\text{cm}\) und \(b = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

a) Maximaler Flächeninhalt bei \(a = 4\,\text{cm}\), \(b = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\) und \(c = 8\,\text{cm}\). b) Maximales Volumen bei \(a = 3\,\text{cm}\), \(b = 6\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 8{,}49\,\text{cm}\) und \(c = 9\,\text{cm}\).

- Überlege dir, welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Ableitung besteht. - Bei der Suche nach dem globalen Maximum in einem geschlossenen Intervall musst du die lokalen Extrema mit den Werten an den Intervallgrenzen vergleichen. - "Am stärksten zunehmen" bezieht sich auf das Maximum der ersten Ableitung. - Um die stärkste Abnahme zu finden, musst du den kleinsten (negativsten) Wert der Änderungsrate bestimmen. Prüfe hierfür die Wendepunkte und die Randwerte der Ableitungsfunktion.

1. Die Leistung nimmt zu, wenn die erste Ableitung positiv ist: \(P'(t) = -1{,}5t^2 + 12t\). \(P'(t) > 0 \implies 1{,}5t(8 - t) > 0\). Dies ist für \(0 < t < 8\) der Fall. Die Leistung nimmt im Intervall \([0; 8]\) zu. 2. Mögliche Extrema bei \(P'(t) = 0\): \(t = 0\) und \(t = 8\). Prüfung der Funktionswerte: \(P(0) = 20\), \(P(8) = -0{,}5 \cdot 512 + 6 \cdot 64 + 20 = 148\). Randwertprüfung bei \(t = 10\): \(P(10) = -0{,}5 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 20 = 120\). Die maximale Leistung beträgt \(148\,\text{kW}\) bei \(t = 8\). 3. Maximale Zunahme am Wendepunkt von \(P\): \(P''(t) = -3t + 12 = 0 \implies t = 4\). Die Zunahme beträgt \(P'(4) = -1{,}5 \cdot 16 + 12 \cdot 4 = 24\,\text{kW}/\text{h}\). 4. Die stärkste Abnahme entspricht dem globalen Minimum der Ableitungsfunktion \(P'(t)\) im Intervall \([0; 10]\). Da die Parabel von \(P'\) nach unten geöffnet ist, liegt das Minimum an einem der Ränder des betrachteten Intervalls. \(P'(0) = 0\) und \(P'(10) = -1{,}5 \cdot 100 + 12 \cdot 10 = -30\). Die stärkste Abnahme findet somit am Ende des Zeitraums bei \(t = 10\) statt; die Änderungsrate beträgt dort \(-30\,\text{kW}/\text{h}\).

a) Die Leistung nimmt im Zeitraum von \(t = 0\) bis \(t = 8\) Stunden zu. b) Die maximale Leistung beträgt \(148\,\text{kW}\) nach \(8\,\text{Stunden}\). c) Die Leistung nimmt nach \(4\,\text{Stunden}\) am stärksten zu; die Zunahme beträgt \(24\,\text{kW}/\text{h}\). d) Die Leistung nimmt am Ende des Beobachtungszeitraums bei \(t = 10\,\text{Stunden}\) am stärksten ab; die Änderungsrate beträgt dort \(-30\,\text{kW}/\text{h}\).

- Stelle eine Beziehung zwischen dem Zylinderradius, der Zylinderhöhe und dem Kugelradius auf. Ein rechtwinkliges Dreieck im Querschnitt hilft dabei. - Die Mantelfläche eines Zylinders berechnet sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe. - Manchmal ist es einfacher, das Quadrat einer Funktion zu maximieren, um Wurzeln bei der Ableitung zu vermeiden. - Was bedeutet ein Verhältnis von \(2\) geometrisch für die Form des Zylinders im Vergleich zu seinem Durchmesser?

1. Aufstellen der Formel für die Mantelfläche: \(M = 2\pi r h\). 2. Geometrische Nebenbedingung: Im Achsenschnitt bildet die Diagonale des Zylinders den Kugeldurchmesser \(2R\). Nach Pythagoras gilt \((2r)^2 + h^2 = (2R)^2\), also \(r = \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}}\). 3. Zielfunktion: \(M(h) = 2\pi h \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}} = \pi \sqrt{4R^2 h^2 - h^4}\). 4. Extremwertbestimmung: Es genügt, das Maximum des Radikanden \(f(h) = 4R^2 h^2 - h^4\) zu finden. Die Ableitung \(f'(h) = 8R^2 h - 4h^3\) liefert für \(h > 0\) die Nullstelle \(h = \sqrt{2}R\). Die zweite Ableitung \(f''(h) = 8R^2 - 12h^2\) ist an dieser Stelle negativ, es liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung von \(r\): Für \(h = \sqrt{2}R\) ergibt sich \(r = \sqrt{R^2 - \frac{2R^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}R^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}\). 6. Verhältnisprüfung: Der Quotient \(\frac{h}{r} = \frac{\sqrt{2}R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).

Die optimale Höhe ist \(h = \sqrt{2}R\). Das Verhältnis von Höhe zu Radius ist \(\frac{h}{r} = 2\).

- Überlege zuerst, welche Größen das Volumen beeinflussen und wie diese durch die Vorgabe des Paketdienstes voneinander abhängen. - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken? - Was passiert mit dem Volumen, wenn die Grundfläche extrem klein oder die Länge extrem kurz wird? - Nutze die Ableitungen, um den Hochpunkt der Funktion zu finden.

1. Hauptbedingung (Volumen): \(V = a^2 \cdot l\). 2. Nebenbedingung (Gurtmaß): \(l + 4a = 360\), woraus folgt \(l = 360 - 4a\). 3. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen der Nebenbedingung: \(V(a) = a^2 \cdot (360 - 4a) = 360a^2 - 4a^3\). 4. Definitionsbereich festlegen: \(a > 0\) und \(4a < 360 \implies 0 < a < 90\). 5. Ableitungen bilden: \(V'(a) = 720a - 12a^2\) und \(V''(a) = 720 - 24a\). 6. Notwendige Bedingung \(V'(a) = 0\): \(12a(60 - a) = 0\). Die Lösungen sind \(a_1 = 0\) (nicht im Definitionsbereich) und \(a_2 = 60\). 7. Hinreichende Bedingung prüfen: \(V''(60) = 720 - 24 \cdot 60 = 720 - 1440 = -720 < 0\). Da die zweite Ableitung negativ ist, liegt bei \(a = 60\) ein Maximum vor. 8. Berechnung der Länge: \(l = 360 - 4 \cdot 60 = 360 - 240 = 120\).

Das Volumen wird maximal, wenn die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche \(a = 60\,\text{cm}\) und die Länge des Pakets \(l = 120\,\text{cm}\) beträgt.

- Erinnere dich an die Kettenregel für die Ableitung zusammengesetzter Funktionen. - Was bedeutet „streng monoton wachsend“ für die Ordnung von Funktionswerten? - Untersuche, ob die äußere Funktion die „Richtung“ der Ungleichung zwischen zwei Funktionswerten verändert. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der Ableitung der äußeren Funktion auf die Ableitung der gesamten Funktion?

1. Die Ableitung von \(h(x) = \ln(f(x))\) lautet nach der Kettenregel \(h'(x) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\). Ist \(f'(x_0) = 0\), so folgt \(h'(x_0) = \frac{1}{f(x_0)} \cdot 0 = 0\), da \(f(x) > 0\) vorausgesetzt ist. Somit ist \(x_0\) eine stationäre Stelle von \(h\). 2. Damit die Extremstellen und deren Art (Maximum/Minimum) erhalten bleiben, muss die äußere Funktion \(T\) im Wertebereich von \(f\) streng monoton wachsend sein. Ist \(T\) streng monoton wachsend, gilt: \(f(x_1) < f(x_2) \iff T(f(x_1)) < T(f(x_2))\). Da die Quadrierfunktion für \(y > 0\) und der natürliche Logarithmus für alle \(y\) in ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend sind, bleiben die Stellen der Extrema bei diesen Transformationen identisch.

1. Nach der Kettenregel ist \(h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\). Da \(f(x) > 0\), führt \(f'(x) = 0\) direkt zu \(h'(x) = 0\). 2. Die äußere Funktion \(T\) muss im relevanten Bereich streng monoton wachsend sein. Dies ist für \(T(y) = y^2\) (für \(y > 0\)) und \(T(y) = \ln(y)\) gegeben, weshalb beide Transformationen die Lage und Art der Extrema erhalten.

- Stelle zuerst eine Formel für die Kosten auf, wobei du die unterschiedlichen Gewichtungen der Flächen berücksichtigst. - Wie kannst du die Höhe \(h\) durch den Radius \(r\) ersetzen, wenn das Volumen bekannt ist? - Suche nach dem Tiefpunkt der resultierenden Kostenfunktion. - Untersuche am Ende das Verhältnis \(\frac{h}{r}\), indem du die Ausdrücke durcheinander dividierst.

1. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\): Seien \(c\) die Kosten pro \(\text{cm}^2\) der Mantelfläche. Dann gilt \(K = 3c \cdot (2 \cdot \pi r^2) + c \cdot (2\pi r h)\). Da \(c\) konstant und positiv ist, kann die zu minimierende Funktion als \(f(r, h) = 6\pi r^2 + 2\pi r h\) betrachtet werden. 2. Nutzung der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 1000 \implies h = \frac{1000}{\pi r^2}\). 3. Substitution von \(h\) in die Zielfunktion: \(f(r) = 6\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 6\pi r^2 + \frac{2000}{r}\). 4. Ableiten der Funktion: \(f'(r) = 12\pi r - \frac{2000}{r^2}\). 5. Nullstelle der Ableitung finden: \(12\pi r^3 = 2000 \implies r^3 = \frac{500}{3\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{500}{3\pi}} \approx 3{,}76\,\text{cm}\). 6. Berechnung der Höhe \(h\): \(h = \frac{1000}{\pi \cdot (\frac{500}{3\pi})^{2/3}} = \frac{1000 \cdot (3\pi)^{2/3}}{\pi \cdot 500^{2/3}} = 2 \cdot \frac{500^{1/3} \cdot 3^{2/3} \cdot \pi^{2/3}}{\pi} = 2 \cdot 500^{1/3} \cdot 3^{2/3} \cdot \pi^{-1/3}\). 7. Bestimmung des Verhältnisses \(\frac{h}{r}\): \(\frac{h}{r} = \frac{2 \cdot 500^{1/3} \cdot 3^{2/3} \cdot \pi^{-1/3}}{500^{1/3} \cdot 3^{-1/3} \cdot \pi^{-1/3}} = 2 \cdot 3 = 6\). 8. Überprüfung: \(f''(r) = 12\pi + \frac{4000}{r^3} > 0\), also liegt ein Minimum vor.

Die Materialkosten sind minimal, wenn die Höhe \(h\) des Zylinders das Sechsfache des Radius \(r\) beträgt (\(h : r = 6 : 1\)).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Die Höhe des Dreiecks entspricht genau dem Funktionswert an der Stelle \(x\). - Denke beim Ableiten an die Produktregel und die Kettenregel für die Exponentialfunktion. - Da das Intervall für \(x\) abgeschlossen ist, musst du sicherstellen, dass das gefundene Maximum nicht an den Rändern liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{1}{2}x(4 - x)e^{0{,}5x} = (2x - 0{,}5x^2)e^{0{,}5x}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produktregel: \(A'(x) = (2 - x) \cdot e^{0{,}5x} + (2x - 0{,}5x^2) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 3. Vereinfachen der Ableitung: \(A'(x) = (2 - x + x - 0{,}25x^2)e^{0{,}5x} = (2 - 0{,}25x^2)e^{0{,}5x}\). 4. Bestimmen der Extremstellen durch \(A'(x) = 0\): Da \(e^{0{,}5x} \neq 0\), muss \(2 - 0{,}25x^2 = 0\) gelten, woraus \(x^2 = 8\) folgt. 5. Da \(x\) im Intervall \([0; 4]\) liegen muss, ist die relevante Stelle \(x = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). 6. Randwertprüfung: \(A(0) = 0\), \(A(4) = 0\). Da \(A(\sqrt{8}) = (2\sqrt{8} - 0{,}5 \cdot 8)e^{0{,}5\sqrt{8}} \approx 6{,}82 > 0\), ist dies das absolute Maximum im Intervall.

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für \(x = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) maximal.

- Was genau soll minimiert werden? Formuliere dafür einen mathematischen Ausdruck. - Welche Information aus dem Text dient als feste Bedingung, um die Variablen zu verknüpfen? - Achte darauf, dass der Behälter oben offen ist – wie wirkt sich das auf die Formel für die Oberfläche aus? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Wie findest du mit Hilfe der Ableitung den tiefsten Punkt einer Funktion?

1. Zielfunktion für die Oberfläche \(O\) eines oben offenen Quaders mit quadratischer Grundseite \(a\) und Höhe \(h\) aufstellen: \(O(a, h) = a^2 + 4ah\). 2. Nebenbedingung für das Volumen nutzen: \(V = a^2 \cdot h = 108 \Rightarrow h = \frac{108}{a^2}\). 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von \(a\) formulieren: \(f(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{108}{a^2} = a^2 + \frac{432}{a}\). 4. Ableitung bilden: \(f'(a) = 2a - \frac{432}{a^2}\). 5. Extremstelle berechnen: \(2a - \frac{432}{a^2} = 0 \Rightarrow 2a^3 = 432 \Rightarrow a^3 = 216 \Rightarrow a = 6\). 6. Minimum durch die zweite Ableitung \(f''(a) = 2 + \frac{864}{a^3}\) bestätigen: \(f''(6) = 2 + \frac{864}{216} = 6 > 0\). 7. Die Höhe berechnen: \(h = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3\). 8. Ergebnis: Die Grundkante beträgt \(6\,\text{dm}\), die Höhe \(3\,\text{dm}\).

Die Grundkanten des Behälters müssen jeweils \(6\,\text{dm}\) lang sein, die Höhe des Behälters muss \(3\,\text{dm}\) betragen.

- Erinnere dich an die Formel für den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem. - Ein kleiner Rechentrick: Statt den Abstand selbst zu minimieren, kannst du das Quadrat des Abstands minimieren, um die Wurzel loszuwerden. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Minimalstelle gelten? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Koordinate des Punktes \(Q\) mit der Funktionsgleichung zu berechnen.

1. Aufstellen der Abstandsformel zwischen \(P(5|0)\) und \(Q(x|2\sqrt{x})\): \(d(x) = \sqrt{(x - 5)^2 + (2\sqrt{x} - 0)^2}\). 2. Vereinfachung der Zielfunktion: Da der Abstand \(d(x)\) minimal wird, wenn das Quadrat des Abstands minimal wird, betrachten wir \(g(x) = d^2(x) = (x - 5)^2 + 4x\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(g(x) = x^2 - 10x + 25 + 4x = x^2 - 6x + 25\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(g'(x) = 2x - 6\) und \(g''(x) = 2\). 5. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\): \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(3) = 2 > 0\), somit liegt ein lokales Minimum vor. 7. Randwertprüfung am Rand des Definitionsbereichs (\(x = 0\)): \(g(0) = 25\), während \(g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 25 = 16\). Da \(g(x)\) für \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt, ist \(x = 3\) das globale Minimum. 8. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(3) = 2\sqrt{3}\).

Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((3|2\sqrt{3})\).

- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Fenster zusammen? - Welche Linien gehören zum Außenumfang des gesamten Fensters? Beachte, dass die Trennlinie zwischen Rechteck und Halbkreis nicht zum Umfang zählt. - Stelle eine Gleichung für den Umfang auf und löse sie nach einer der Unbekannten auf. - Setze diesen Ausdruck in die Flächenformel ein, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man rechnerisch den höchsten Wert einer solchen Funktion?

1. Hauptbedingung für den Flächeninhalt aufstellen: \(A = 2 \cdot r \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2\) (wobei \(2r\) die Breite des Rechtecks ist). 2. Nebenbedingung für den Umfang formulieren: \(U = 2 \cdot h + 2 \cdot r + \pi \cdot r = 6\). 3. Nebenbedingung nach \(h\) auflösen: \(h = 3 - r - \frac{\pi}{2} \cdot r = 3 - r \cdot (1 + \frac{\pi}{2})\). 4. Zielfunktion \(A(r)\) bilden: \(A(r) = 2 \cdot r \cdot (3 - r \cdot (1 + \frac{\pi}{2})) + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = 6 \cdot r - 2 \cdot r^2 - \pi \cdot r^2 + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = 6 \cdot r - r^2 \cdot (2 + \frac{\pi}{2})\). 5. Ableitung bestimmen: \(A'(r) = 6 - 2 \cdot r \cdot (2 + \frac{\pi}{2}) = 6 - r \cdot (4 + \pi)\). 6. Extremstelle berechnen: \(6 - r \cdot (4 + \pi) = 0 \implies r = \frac{6}{4 + \pi} \approx 0{,}84\). 7. Art des Extremums prüfen: \(A''(r) = -(4 + \pi) < 0\), also liegt ein Maximum vor. 8. Höhe \(h\) berechnen: \(h = 3 - \frac{6}{4 + \pi} \cdot (1 + \frac{\pi}{2}) = 3 - \frac{6 \cdot (2 + \pi)}{2 \cdot (4 + \pi)} = \frac{3 \cdot (4 + \pi) - 3 \cdot (2 + \pi)}{4 + \pi} = \frac{6}{4 + \pi}\).

Die Fläche wird maximal für einen Radius von \(r = \frac{6}{4 + \pi}\,\text{m} \approx 0{,}84\,\text{m}\) und eine Rechteckhöhe von ebenfalls \(h = \frac{6}{4 + \pi}\,\text{m} \approx 0{,}84\,\text{m}\).

- Wie lauten die Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders? - Beachte, dass der Zylinder oben offen ist – wie verändert das die Formel für die Oberfläche? - Versuche, die Höhe \(h\) in der Volumenformel durch einen Ausdruck mit \(r\) und \(O\) zu ersetzen. - Vergleiche am Ende den Ausdruck für den optimalen Radius mit der Formel für die Höhe.

1. Zielfunktion für das Volumen eines Zylinders: \(V = \pi r^2 h\). 2. Nebenbedingung für die Oberfläche (Mantel plus Boden): \(O = \pi r^2 + 2\pi r h\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach der Höhe: \(h = \frac{O - \pi r^2}{2\pi r}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion zur Ermittlung von \(V(r)\): \(V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{O - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{1}{2}(Or - \pi r^3)\). 5. Ableiten nach \(r\) und Nullsetzen der ersten Ableitung: \(V'(r) = \frac{1}{2}(O - 3\pi r^2) = 0\), woraus \(O = 3\pi r^2\) folgt. 6. Nachweis des Verhältnisses durch Einsetzen von \(O = 3\pi r^2\) in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{3\pi r^2 - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{2\pi r^2}{2\pi r} = r\). 7. Für \(O = 12\pi\) ergibt sich aus \(O = 3\pi r^2\): \(12\pi = 3\pi r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2\). 8. Da für das Maximum \(h = r\) gilt, folgt \(h = 2\). 9. Berechnung des Volumens: \(V = \pi \cdot 2^2 \cdot 2 = 8\pi\). Das maximale Volumen für \(O = 12\pi\,\text{m}^2\) beträgt \(V = 8\pi\,\text{m}^3 \approx 25{,}13\,\text{m}^3\) bei \(r = 2\,\text{m}\) und \(h = 2\,\text{m}\).

a) \(V(r) = \frac{1}{2}(Or - \pi r^3)\) b) Nachweis über \(V'(r) = 0 \implies O = 3\pi r^2\) und Einsetzen in \(h(r)\) ergibt \(h = r\). c) \(r = 2\,\text{m}\), \(h = 2\,\text{m}\), \(V = 8\pi\,\text{m}^3 \approx 25{,}13\,\text{m}^3\)

- Kannst du die Höhe und die Breite des Trapezes mithilfe von Winkelfunktionen ausdrücken? - Skizziere den Querschnitt und markiere den gesuchten Winkel. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Welche Werte für den Winkel sind im Kontext der Aufgabenstellung überhaupt sinnvoll? - Nutze Identitäten für Winkelfunktionen, um die Ableitung leichter berechnen zu können.

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Querschnittsfläche \(A\): Das Trapez hat die Höhe \(h = 10 \cdot \sin(\alpha)\), die untere Seite \(b = 10\) und die obere Seite \(a = 10 + 2 \cdot 10 \cdot \cos(\alpha)\). 2. Die Flächenformel \(A = \frac{a+b}{2} \cdot h\) ergibt nach Einsetzen: \(A(\alpha) = (10 + 10 \cdot \cos(\alpha)) \cdot 10 \cdot \sin(\alpha) = 100 \cdot (\sin(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha))\). 3. Vereinfachung mit der Doppelwinkelformel: \(A(\alpha) = 100 \cdot \sin(\alpha) + 50 \cdot \sin(2\alpha)\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(\alpha) = 100 \cdot \cos(\alpha) + 100 \cdot \cos(2\alpha)\). 5. Nullstellen von \(A'(\alpha)\) bestimmen: \(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha) = 0 \Rightarrow \cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) - 1 = 0\). 6. Substitution \(u = \cos(\alpha)\) führt zu \(2u^2 + u - 1 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 0{,}5\) und \(u_2 = -1\). 7. Für den Winkel zwischen einer hochgebogenen Seitenwand und der waagerechten Verlängerung des Bodens gilt \(0^\circ < \alpha \le 90^\circ\). Daher ist nur \(\cos(\alpha) = 0{,}5\) relevant, also \(\alpha = 60^\circ\). 8. Überprüfung der Randwerte und der zweiten Ableitung bestätigt das Maximum. 9. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(60^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1 + 0{,}5) = 75\sqrt{3} \approx 129{,}90\,\text{cm}^2\).

Der optimale Winkel beträgt \(\alpha = 60^\circ\). Die maximale Querschnittsfläche der Rinne ist dann \(A \approx 129{,}90\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken sich der Umfang zusammensetzt. - Stelle eine Formel für den gesamten Flächeninhalt auf, der sich aus zwei verschiedenen geometrischen Grundformen zusammensetzt. - Nutze die Umfangsgleichung, um eine der Variablen zu eliminieren. - Wie gehst du vor, um das Maximum einer Funktion zu bestimmen? - Am Ende ist nach einem Verhältnis gefragt, das heißt, du musst die beiden Maße durcheinander dividieren.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Das Fenster besteht aus einem Rechteck (\(b \cdot h\)) und einem gleichseitigen Dreieck (\(\frac{\sqrt{3}}{4}b^2\)), also \(A(b, h) = b \cdot h + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang \(u\): Der Umfang besteht aus der Basis \(b\), den zwei vertikalen Seiten \(2h\) und den zwei schrägen Seiten des Dreiecks \(2b\). Somit gilt \(u = 3b + 2h\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{u - 3b}{2} = \frac{u}{2} - 1{,}5b\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(A(b) = b \cdot (\frac{u}{2} - 1{,}5b) + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{u}{2}b - 1{,}5b^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2\). 5. Ableiten und Nullstelle finden: \(A'(b) = \frac{u}{2} - 3b + \frac{\sqrt{3}}{2}b\). Setzt man \(A'(b) = 0\), erhält man \(b \cdot (3 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{u}{2}\), woraus \(b = \frac{u}{6 - \sqrt{3}}\) folgt. 6. Berechnung von \(h\): Durch Einsetzen von \(b\) in die Gleichung für \(h\) ergibt sich \(h = \frac{u - \frac{3u}{6 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{u(6 - \sqrt{3} - 3)}{2(6 - \sqrt{3})} = \frac{u(3 - \sqrt{3})}{2(6 - \sqrt{3})}\). 7. Bestimmung des Verhältnisses: \(\frac{h}{b} = \frac{u(3 - \sqrt{3})}{2(6 - \sqrt{3})} \cdot \frac{6 - \sqrt{3}}{u} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\).

Das Verhältnis von \(h\) zu \(b\) für einen maximalen Flächeninhalt beträgt \(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} \approx 0{,}634\).

- Wie berechnet man die Fläche der vier dreieckigen Seitenflächen einer Pyramide? - Stelle einen Zusammenhang zwischen der Seitenhöhe der Dreiecke, der Körperhöhe und der Grundseite auf. - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Volumens zu maximieren, um die Wurzel in der Rechnung zu eliminieren. - Welche Variable lässt sich am leichtesten aus der Gleichung für die Mantelfläche eliminieren?

1. Mantelfläche einer quadratischen Pyramide: \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} a h_s = 2 a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}} = a \sqrt{4H^2 + a^2}\). 2. Umstellen der Nebenbedingung nach \(H^2\): \(M^2 = a^2 (4H^2 + a^2) = 4a^2 H^2 + a^4 \implies H^2 = \frac{M^2 - a^4}{4a^2}\). 3. Zielfunktion für das Volumen (quadriert, um Wurzeln zu vermeiden): \(V^2(a) = \left(\frac{1}{3} a^2 H\right)^2 = \frac{1}{9} a^4 H^2 = \frac{1}{9} a^4 \cdot \frac{M^2 - a^4}{4a^2} = \frac{1}{36} (M^2 a^2 - a^6)\). 4. Ableiten von \(f(a) = M^2 a^2 - a^6\) nach \(a\): \(f'(a) = 2M^2 a - 6a^5\). 5. Nullstelle der Ableitung finden: \(2M^2 a = 6a^5 \implies M^2 = 3a^4\). 6. Einsetzen von \(M^2 = 4a^2 H^2 + a^4\) in das Ergebnis: \(3a^4 = 4a^2 H^2 + a^4 \implies 2a^4 = 4a^2 H^2 \implies a^2 = 2H^2\). 7. Bestimmung des Verhältnisses: \(a = H\sqrt{2}\) bzw. \(H = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a\).

Das Volumen ist maximal für \(a = H\sqrt{2}\) bzw. \(H = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

- Da der Behälter oben offen ist, besteht die Oberfläche nur aus dem Boden und der Mantelfläche. - Berücksichtige die unterschiedlichen Preise pro Quadratmeter direkt in deiner Zielfunktion. - Eliminiere die Variable \(h\) mithilfe der Volumenformel. - Wo liegt die Ableitung der Kostenfunktion bei null?

1. Aufstellen der Kostenfunktion: \(K(r, h) = 15 \cdot (\pi r^2) + 10 \cdot (2\pi rh)\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 10\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{10}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen in die Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K(r) = 15\pi r^2 + 20\pi r \cdot \frac{10}{\pi r^2} = 15\pi r^2 + \frac{200}{r}\). 5. Bestimmung des Extremums: \(K'(r) = 30\pi r - \frac{200}{r^2} = 0 \Rightarrow 30\pi r^3 = 200 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{20}{3\pi}} \approx 1{,}29\,\text{m}\). 6. Nachweis des Minimums: \(K''(r) = 30\pi + \frac{400}{r^3}\); da \(K''(1{,}29) > 0\), liegt ein Minimum vor. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{10}{\pi \cdot (1{,}285)^2} \approx 1{,}93\,\text{m}\). 8. Berechnung der minimalen Kosten: \(K(1{,}285) = 15\pi \cdot (1{,}285)^2 + \frac{200}{1{,}285} \approx 233{,}45\,\text{€}\).

Die Kosten werden minimal für einen Radius von \(r \approx 1{,}29\,\text{m}\) und eine Höhe von \(h \approx 1{,}93\,\text{m}\). Die minimalen Kosten betragen \(K \approx 233{,}45\,\text{€}\).

- Berechne zuerst die Mantellinie des Kegels in Abhängigkeit von \(r\). - Stelle die Gleichungen für die Oberfläche und das Volumen auf. Achte darauf, welche Flächen zur Gesamtoberfläche gehören. - Nutze die Oberflächengleichung als Nebenbedingung, um die Höhe \(h\) zu ersetzen. - Suche das Maximum der resultierenden Volumenfunktion durch Ableiten.

1. Berechnung der Mantellinie \(s\) des Kegels: \(s = \sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{r^2 + \left(\frac{4}{3}r\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9}r^2} = \frac{5}{3}r\). 2. Aufstellen der Formel für die Oberfläche \(O\) (Boden + Zylindermantel + Kegelmantel): \(O = \pi r^2 + 2\pi r h + \pi r s = \pi r^2 + 2\pi r h + \frac{5}{3}\pi r^2 = \frac{8}{3}\pi r^2 + 2\pi r h\). 3. Aufstellen der Formel für das Volumen \(V\): \(V = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^2 H = \pi r^2 h + \frac{4}{9}\pi r^3\). 4. Umstellen der Oberflächenformel nach \(h\): \(h = \frac{O - \frac{8}{3}\pi r^2}{2\pi r} = \frac{O}{2\pi r} - \frac{4}{3}r\). 5. Einsetzen in die Volumenformel: \(V(r) = \pi r^2 \left(\frac{O}{2\pi r} - \frac{4}{3}r\right) + \frac{4}{9}\pi r^3 = \frac{Or}{2} - \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{4}{9}\pi r^3 = \frac{Or}{2} - \frac{8}{9}\pi r^3\). 6. Ableiten nach \(r\): \(V'(r) = \frac{O}{2} - \frac{8}{3}\pi r^2\). 7. Nullsetzen der Ableitung: \(\frac{8}{3}\pi r^2 = \frac{O}{2} \Rightarrow O = \frac{16}{3}\pi r^2\). 8. Einsetzen von \(O\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\frac{16}{3}\pi r^2}{2\pi r} - \frac{4}{3}r = \frac{8}{3}r - \frac{4}{3}r = \frac{4}{3}r\). 9. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(V''(r) = -\frac{16}{3}\pi r < 0\) bestätigt das Maximum. Das Ergebnis ist \(h = \frac{4}{3}r\).

Das Volumen ist maximal, wenn die Zylinderhöhe \(h\) gleich der Kegelhöhe \(H\) ist, also \(h = \frac{4}{3} r\).

- Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem. Welche Koordinaten haben die Eckpunkte des Rechtecks? - Drücke die Breite und die Höhe des Rechtecks durch die Koordinate \(x\) eines Punktes auf dem Graphen aus. - Stelle eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - In welchem Bereich muss \(x\) liegen, damit das Rechteck innerhalb der Fläche bleibt? - Nutze die Ableitung, um das Maximum der Flächenfunktion zu finden.

1. Wahl der Variablen: Ein Eckpunkt auf dem Graphen hat die Koordinaten \(P(x | 12 - x^2)\) mit \(x > 0\). Die Breite des Rechtecks ist \(b = 2x\), die Höhe ist \(h = f(x) = 12 - x^2\). 2. Aufstellen der Zielfunktion: \(A(x) = 2x \cdot (12 - x^2) = 24x - 2x^3\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da \(x\) zwischen der \(y\)-Achse und der Nullstelle von \(f\) liegen muss, gilt \(0 < x < \sqrt{12}\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 24 - 6x^2\). 5. Notwendige Bedingung für ein Extremum: \(24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) (da \(x > 0\)). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(A''(x) = -12x \Rightarrow A''(2) = -24 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der Maße: Breite \(b = 2 \cdot 2 = 4\), Höhe \(h = 12 - 2^2 = 8\).

Die Seitenlängen des flächengrößten Rechtecks betragen \(4\) und \(8\).

- Welche Teilkörper bilden den Tank und wie berechnet man deren Einzelvolumina und Oberflächen? - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine der beiden Unbekannten (\(h\) oder \(r\)) durch die andere auszudrücken. - Überlege dir mithilfe des Satzes von Pythagoras, wie lang die Mantellinie der Kegel in Abhängigkeit vom Radius ist. - Suche das Minimum der Oberflächenfunktion durch Ableiten. - Es ist hilfreich, das Volumen \(V\) am Ende wieder durch den gefundenen Radius-Ausdruck zu ersetzen, um das Verhältnis zu bestimmen.

1. Aufstellen der Formeln für das Gesamtvolumen \(V = V_{\text{Zylinder}} + 2 \cdot V_{\text{Kegel}} = \pi r^2 h + 2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3\) und die Gesamtoberfläche \(A = A_{\text{Zylindermantel}} + 2 \cdot A_{\text{Kegelmantel}}\). 2. Berechnung der Mantellinie des Kegels: \(s = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}\). Damit gilt \(A = 2\pi r h + 2\pi r s = 2\pi r h + 2\sqrt{2}\pi r^2\). 3. Auflösen der Volumenformel nach \(h\): \(h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Oberflächenformel zur Eliminierung einer Variablen: \(A(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 2\sqrt{2}\pi r^2 = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 2\sqrt{2}\pi r^2\). 5. Zusammenfassen der Zielfunktion: \(A(r) = \frac{2V}{r} + \pi r^2 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)\). 6. Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung: \(A'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right) = 0\). 7. Daraus folgt für das Volumen im Extremum: \(V = \pi r^3 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)\). 8. Einsetzen dieses Ausdrucks für \(V\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\pi r^3 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = r\left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3} - \frac{2}{3}\right) = r(2\sqrt{2} - 2)\). 9. Das gesuchte Verhältnis ist \(h = 2(\sqrt{2} - 1) \cdot r\).

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2(\sqrt{2} - 1) \cdot r\). Dies entspricht etwa \(h \approx 0{,}828 \cdot r\).

- Zerlege den Körper in einen Quader und eine Pyramide. - Achte darauf, welche Flächen zur gesamten Außenfläche \(S\) gehören (Boden, Wände, Dachflächen). - Wie berechnet man die Fläche eines Seitendreiecks der Pyramide, wenn die Pyramidenhöhe bekannt ist? - Drücke die Höhe \(h\) durch die Variable \(a\) und die Konstante \(S\) aus, um eine Zielfunktion für das Volumen zu erhalten. - Bestimme das Maximum der Funktion durch die erste Ableitung.

1. Aufstellen der Formeln für die Gesamtoberfläche \(S = a^2\) (Boden) \(+ 4ah\) (Seitenwände) \(+ M_{\text{Pyramide}}\) und das Volumen \(V = a^2 h + \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a}{2} = a^2 h + \frac{1}{6} a^3\). 2. Berechnung der Höhe der Seitendreiecke der Pyramide: \(h_s = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\). Damit ist die Mantelfläche \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} a^2\). 3. Die Gesamtoberfläche ist \(S = a^2 + 4ah + \sqrt{2} a^2 = a^2(1 + \sqrt{2}) + 4ah\). 4. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{S - a^2(1 + \sqrt{2})}{4a} = \frac{S}{4a} - \frac{1 + \sqrt{2}}{4} a\). 5. Einsetzen in die Volumenformel: \(V(a) = a^2 \left(\frac{S}{4a} - \frac{1 + \sqrt{2}}{4} a\right) + \frac{1}{6} a^3 = \frac{S}{4} a - \frac{1 + 3\sqrt{2}}{12} a^3\). 6. Ableiten und Nullsetzen: \(V'(a) = \frac{S}{4} - \frac{1 + 3\sqrt{2}}{4} a^2 = 0\), woraus \(S = (1 + 3\sqrt{2}) a^2\) und damit \(a = \sqrt{\frac{S}{1 + 3\sqrt{2}}}\) folgt. 7. Einsetzen in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{(1 + 3\sqrt{2}) a^2 - (1 + \sqrt{2}) a^2}{4a} = \frac{2\sqrt{2} a^2}{4a} = \frac{\sqrt{2}}{2} a\).

Die Grundkante muss \(a = \sqrt{\frac{S}{1 + 3\sqrt{2}}}\) betragen. Die Höhe des quaderförmigen Unterbaus ist dann \(h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a\).

- Verwende den Satz des Pythagoras in einem geeigneten Querschnitt, um eine Beziehung zwischen Zylinderradius und Zylinderhöhe zu finden. - Welche Fläche ist mit „Mantelfläche“ eines Zylinders gemeint? - Um die Ableitung zu vereinfachen, kannst du statt der Mantelfläche selbst ihr Quadrat maximieren. Warum ist das erlaubt? - Erinnere dich an die Formel für die Oberfläche einer Kugel und halbiere sie für die Halbkugeloberfläche.

1. In einem Achsenschnitt durch das Zentrum der Halbkugel bildet der Radius \(R\), die Zylinderhöhe \(h\) und der Zylinderradius \(r\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras gilt \(r^2 + h^2 = R^2\), also \(r = \sqrt{R^2 - h^2}\). Die Mantelfläche ist \(M(h) = 2\pi r h = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2}\). 2. Zur Maximierung von \(M(h)\) kann das Quadrat der Funktion \(f(h) = (M/2\pi)^2 = h^2(R^2 - h^2) = R^2 h^2 - h^4\) untersucht werden. Die Ableitung \(f'(h) = 2R^2 h - 4h^3\) liefert durch Nullsetzen \(2h(R^2 - 2h^2) = 0\). Da \(h > 0\), ergibt sich \(h = \frac{R}{\sqrt{2}}\) (bzw. \(h = \frac{1}{2}\sqrt{2}R\)). 3. Für \(h = \frac{R}{\sqrt{2}}\) ergibt sich \(r = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}\). Die maximale Mantelfläche ist \(M_{\text{max}} = 2\pi \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = \pi R^2\). Die gekrümmte Oberfläche einer Halbkugel ist \(O_{\text{HK}} = 2\pi R^2\). Es gilt \(\frac{M_{\text{max}}}{O_{\text{HK}}} = \frac{\pi R^2}{2\pi R^2} = \frac{1}{2}\).

1. \(M(h) = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2}\) 2. Die maximale Mantelfläche wird für \(h = \frac{R}{\sqrt{2}}\) erreicht. 3. Die maximale Mantelfläche beträgt \(M_{\text{max}} = \pi R^2\), was genau der Hälfte der Halbkugeloberfläche (\(2\pi R^2\)) entspricht.

- Skizziere einen Querschnitt der Kugel mit dem einbeschriebenen Kegel. - Welcher mathematische Satz hilft dir, den Radius des Kegels mit der Höhe und dem Kugelradius in Verbindung zu setzen? - Zwischen welchen Werten kann die Höhe des Kegels innerhalb einer Kugel liegen? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Kegels? - Wie findest du rechnerisch heraus, bei welcher Höhe das Volumen am größten ist?

1. Im Achsenschnitt der Kugel bildet der Radius \(r\) des Kegels mit dem Abstand der Grundfläche zum Kugelmittelpunkt \(|h-R|\) und dem Kugelradius \(R\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(r^2 + (h-R)^2 = R^2\), woraus \(r^2 = R^2 - (h-R)^2 = 18h - h^2\) folgt. Die Volumenformel \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) ergibt die Zielfunktion \(V(h) = \frac{1}{3}\pi \cdot (18h - h^2) \cdot h = \frac{1}{3}\pi \cdot (18h^2 - h^3)\). 2. Die Ableitung \(V'(h) = \frac{1}{3}\pi \cdot (36h - 3h^2)\) hat die Nullstellen \(h = 0\) (Minimum) und \(h = 12\). Für \(h = 12\,\text{cm}\) ergibt sich ein Maximum, da \(V''(12) = \frac{1}{3}\pi \cdot (36 - 6 \cdot 12) = -12\pi < 0\). Der zugehörige Radius ist \(r = \sqrt{18 \cdot 12 - 12^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\,\text{cm}\). 3. Das maximale Volumen berechnet sich zu \(V(12) = \frac{1}{3}\pi \cdot 72 \cdot 12 = 288\pi \approx 904{,}78\,\text{cm}^3\).

1. \(V(h) = \frac{1}{3}\pi \cdot (18h^2 - h^3)\) 2. \(h = 12\,\text{cm}\); \(r = 6\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 8{,}49\,\text{cm}\) 3. \(V_{\text{max}} \approx 904{,}78\,\text{cm}^3\)

- Welche Formel benötigst du für das Volumen eines Zylinders? - Kannst du eine Skizze des Querschnitts machen? Welche geometrischen Sätze helfen dir, eine Beziehung zwischen Radius und Höhe zu finden? - Wie verändert sich die Höhe des Zylinders, wenn der Radius größer wird? - Überlege dir, in welchem Bereich der Radius des Eisblocks liegen kann. - Was musst du tun, um den Hochpunkt der Volumenfunktion zu finden?

1. Aufstellen der Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes oder einer Geradengleichung für die Kegelwand: Sei \(r\) der Radius und \(h\) die Höhe des Zylinders. Im Querschnitt betrachtet ergibt sich das Verhältnis \(\frac{h}{6-r} = \frac{15}{6}\), woraus folgt: \(h = 2{,}5 \cdot (6 - r) = 15 - 2{,}5r\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V\) des Zylinders: \(V(r) = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot (15 - 2{,}5r) = 15\pi r^2 - 2{,}5\pi r^3\). 3. Definitionsbereich festlegen: \(0 < r < 6\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(r) = 30\pi r - 7{,}5\pi r^2\). 5. Notwendige Bedingung für ein Extremum (\(V'(r) = 0\)): \(7{,}5\pi r \cdot (4 - r) = 0\). Da \(r > 0\), folgt \(r = 4\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(V''(r) = 30\pi - 15\pi r\). Da \(V''(4) = 30\pi - 60\pi = -30\pi < 0\), liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung der restlichen Werte: Höhe \(h = 15 - 2{,}5 \cdot 4 = 15 - 10 = 5\,\text{cm}\). Maximales Volumen \(V_{max} = \pi \cdot 4^2 \cdot 5 = 80\pi \approx 251{,}33\,\text{cm}^3\).

Der Eisblock hat bei einem Radius von \(4\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(5\,\text{cm}\) sein maximales Volumen. Dieses beträgt \(80\pi\,\text{cm}^3 \approx 251{,}33\,\text{cm}^3\).

- Skizziere die Situation und wähle eine Ecke als Ursprung. - Wie lautet die Geradengleichung für eine Linie mit einem \(45^\circ\)-Winkel? - Bestimme das Intervall, in dem sich der Eckpunkt des neuen Rechtecks auf der Bruchlinie bewegen kann. - Überlege dir, warum das Ergebnis davon abhängen könnte, wie lang die Platte im Vergleich zu ihrer Breite ist. - Denke an die Untersuchung der Randwerte, falls dein berechnetes Extremum außerhalb des erlaubten Bereichs liegt.

1. Koordinatensystem: Ursprung \((0|0)\) unten links, Steinplatte bis \((b|a)\). Defekte Ecke oben links bei \((0|a)\). Die Bruchlinie startet bei \((0|0{,}75a)\) und hat wegen des \(45^\circ\)-Winkels die Steigung \(1\). 2. Gleichung der Bruchlinie: \(y = x + 0{,}75a\). Sie trifft die Oberkante \(y=a\) bei \(x = 0{,}25a\). Der Definitionsbereich für den Eckpunkt des neuen Rechtecks auf der Linie ist \(x \in [0; 0{,}25a]\). 3. Zielfunktion: Das Rechteck zwischen \((x|y)\) auf der Linie und \((b|0)\) hat die Fläche \(A(x) = (b - x)(x + 0{,}75a) = -x^2 + (b - 0{,}75a)x + 0{,}75ab\). 4. Ableitung: \(A'(x) = -2x + b - 0{,}75a\). Nullstelle bei \(x_0 = 0{,}5b - 0{,}375a\). 5. Fallunterscheidung: Das Maximum liegt bei \(x_0\), sofern \(x_0 \le 0{,}25a\). Dies ist äquivalent zu \(0{,}5b \le 0{,}625a\) bzw. \(b \le 1{,}25a\). 6. Fall 1 (\(a \le b \le 1{,}25a\)): Das Optimum liegt bei \(x = 0{,}5b - 0{,}375a\). Die Maße sind \(w = b - x = 0{,}5b + 0{,}375a\) und \(h = x + 0{,}75a = 0{,}5b + 0{,}375a\) (quadratisch). 7. Fall 2 (\(b > 1{,}25a\)): Die Ableitung ist im Intervall stets positiv, das Maximum liegt am Rand bei \(x = 0{,}25a\). Die Maße sind \(w = b - 0{,}25a\) und \(h = a\).

Für \(b \le 1{,}25a\) ist die neue Platte quadratisch mit der Seitenlänge \(0{,}5b + 0{,}375a\). Für \(b > 1{,}25a\) hat die neue Platte die Maße \(b - 0{,}25a\) und \(a\).

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche? - Wie hängen die Eckpunkte der Deckfläche des Quaders mit dem Radius des Kegels auf einer bestimmten Höhe zusammen? Nutze den Strahlensatz. - Beachte den Zusammenhang zwischen der Seitenlänge des Quadrats und dem Abstand seiner Ecken zum Mittelpunkt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob dein gefundenes Extremum tatsächlich ein Maximum ist.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen des Quaders: \(V(a, h) = a^2 \cdot h\). 2. Herleiten der Nebenbedingung über den Strahlensatz im Achsenschnitt des Kegels. Sei \(x\) die halbe Diagonale der quadratischen Grundfläche, also \(x = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Es gilt: \(\frac{x}{R} = \frac{H - h}{H}\). 3. Umstellen nach \(a\): \(a = \sqrt{2} \cdot R \cdot \frac{H - h}{H} = \sqrt{2} \cdot 12 \cdot \frac{18 - h}{18} = \frac{2\sqrt{2}}{3}(18 - h)\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(h) = \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}(18 - h)\right)^2 \cdot h = \frac{8}{9}(18 - h)^2 \cdot h = \frac{8}{9}(324h - 36h^2 + h^3)\). 5. Ableiten der Funktion: \(V'(h) = \frac{8}{9}(324 - 72h + 3h^2) = \frac{8}{3}(108 - 24h + h^2)\). 6. Bestimmung der Extremstellen durch \(V'(h) = 0\): Die quadratische Gleichung \(h^2 - 24h + 108 = 0\) liefert \(h_1 = 6\) und \(h_2 = 18\). 7. Untersuchung der Art des Extremums: \(h = 18\) führt zu \(V = 0\) (Minimum). Bei \(h = 6\,\text{cm}\) liegt das Maximum vor. 8. Berechnung der Seitenlänge: \(a = \frac{2\sqrt{2}}{3}(18 - 6) = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31\,\text{cm}\). 9. Berechnung des Volumens: \(V(6) = (8\sqrt{2})^2 \cdot 6 = 128 \cdot 6 = 768\,\text{cm}^3\).

Die Seitenlänge beträgt \(a \approx 11{,}31\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 6\,\text{cm}\). Das maximale Volumen des Quaders ist \(V = 768\,\text{cm}^3\).

- Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck im Inneren des Zylinders vor, dessen Hypotenuse die gesuchte Distanz ist. - Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Versuche, die Zielfunktion so umzuformen, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt. - Was passiert mit dem Quadrat einer Funktion, wenn die Funktion selbst ein Minimum annimmt?

1. Hauptbedingung: Minimierung der Distanz \(s = \sqrt{r^2 + h^2}\), was äquivalent zur Minimierung von \(f(r, h) = r^2 + h^2\) ist. 2. Nebenbedingung: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi \cdot r^2}\). 3. Zielfunktion durch Substitution von \(h\): \(f(r) = r^2 + \left(\frac{V}{\pi \cdot r^2}\right)^2 = r^2 + \frac{V^2}{\pi^2 \cdot r^4}\). 4. Ableitung der Zielfunktion: \(f'(r) = 2r - \frac{4V^2}{\pi^2 \cdot r^5}\). 5. Nullstelle der Ableitung: \(2r = \frac{4V^2}{\pi^2 \cdot r^5} \Rightarrow r^6 = \frac{2V^2}{\pi^2}\). 6. Ersetzen von \(V^2\) durch \((\pi r^2 h)^2\): \(r^6 = \frac{2 \pi^2 r^4 h^2}{\pi^2} = 2r^4 h^2\). 7. Auflösen nach dem Verhältnis: \(r^2 = 2h^2 \Rightarrow \frac{r}{h} = \sqrt{2}\).

Das optimale Verhältnis von Radius zu Höhe beträgt \(r : h = \sqrt{2} : 1\) bzw. \(r = \sqrt{2} \cdot h\).

- Wie hängen der Radius der Kugel, der Radius des Zylinders und die halbe Höhe des Zylinders in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Welche Formel beschreibt die Mantelfläche eines Zylinders? - Oft ist es leichter, das Quadrat einer Fläche zu maximieren, um die Wurzel in der Ableitung zu vermeiden. - Was bedeutet ein Verhältnis von 1 für die Form des Zylinderquerschnitts?

1. Zielfunktion für die Mantelfläche des Zylinders: \(M(r, h) = 2\pi \cdot r \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung durch den Satz des Pythagoras im Achsenschnitt der Kugel: \(r^2 + (\frac{h}{2})^2 = R^2\), woraus \(r = \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}}\) folgt. 3. Einsetzen in die Zielfunktion: \(M(h) = 2\pi \cdot h \cdot \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}} = \pi \cdot \sqrt{4R^2h^2 - h^4}\). 4. Zur Vereinfachung Maximierung des Quadrats der Funktion (oder des Radikanden): \(f(h) = 4R^2h^2 - h^4\). 5. Ableiten: \(f'(h) = 8R^2h - 4h^3\). 6. Nullstellen bestimmen: \(4h(2R^2 - h^2) = 0\). Da \(h > 0\), ergibt sich \(h^2 = 2R^2\), also \(h = R\sqrt{2}\). 7. Berechnung des Radius \(r\): \(r^2 = R^2 - \frac{2R^2}{4} = \frac{1}{2}R^2\), also \(r = \frac{R}{\sqrt{2}}\). 8. Berechnung des Durchmessers \(d = 2r = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}\). 9. Bestimmung des Verhältnisses: \(\frac{h}{d} = \frac{R\sqrt{2}}{R\sqrt{2}} = 1\).

Das Verhältnis von Höhe \(h\) zu Durchmesser \(d\) des Zylinders mit der größten Mantelfläche beträgt \(1 : 1\) (bzw. \(\frac{h}{d} = 1\)).

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen Radius, Höhe und Mantellinie eines Kegels? - Wie kannst du eine der Unbekannten mithilfe des Volumens eliminieren? - Welches Werkzeug der Analysis hilft dir, den kleinsten Wert einer Funktion zu finden? - Kannst du das Ergebnis als ein einfaches Verhältnis zwischen \(h\) und \(r\) formulieren?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Quadrat der Mantellinie unter Nutzung des Satzes von Pythagoras: \(s^2 = r^2 + h^2\). 2. Nutzung der Nebenbedingung für das konstante Volumen: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \Rightarrow r^2 = \frac{3V}{\pi h}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(f(h) = \frac{3V}{\pi h} + h^2\). 4. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(h) = -\frac{3V}{\pi h^2} + 2h\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(2h = \frac{3V}{\pi h^2} \Rightarrow 2h^3 = \frac{3V}{\pi}\). 6. Einsetzen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) in das Ergebnis: \(2h^3 = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h}{\pi} = r^2 h\). 7. Bestimmung des Verhältnisses: \(2h^2 = r^2 \Rightarrow r = \sqrt{2}h\). Daraus folgt das Verhältnis \(h : r = 1 : \sqrt{2}\).

Die Mantellinie \(s\) ist am kürzesten, wenn das Verhältnis von Höhe zu Radius \(h : r = 1 : \sqrt{2}\) beträgt (bzw. \(r = \sqrt{2} \cdot h\)).

- Was ist die Zielgröße, die extrem werden soll? - Welche Informationen aus dem Text kannst du nutzen, um eine Beziehung zwischen den Variablen herzustellen? - Die Formel für die Mantelfläche einer Pyramide benötigt die Höhe der Seitenflächen. Wie hängt diese mit der Körperhöhe zusammen? - Manchmal ist es einfacher, das Quadrat einer Größe zu optimieren, um lästige Wurzeln loszuwerden. - Überlege dir, in welchem Bereich die Seitenlänge der Grundfläche liegen muss.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(a, h) = \frac{1}{3} a^2 h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_s = a^2 + a \sqrt{4h^2 + a^2} = 432\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \((432 - a^2)^2 = a^2 (4h^2 + a^2) \Rightarrow 432^2 - 864a^2 + a^4 = 4a^2h^2 + a^4 \Rightarrow h^2 = \frac{432^2}{4a^2} - 216\). 4. Aufstellen der Zielfunktion (hier zur Vereinfachung \(V^2\)): \(f(a^2) = \frac{1}{9} a^4 \left(\frac{432^2}{4a^2} - 216\right) = \frac{432^2}{36} a^2 - 24 a^4\). Mit \(u = a^2\) ergibt sich \(g(u) = 5184u - 24u^2\). 5. Bestimmung des Extremums: \(g'(u) = 5184 - 48u = 0 \Rightarrow u = 108\). Da \(g''(u) = -48 < 0\), liegt ein Maximum vor. 6. Berechnung der Maße: \(a = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\,\text{cm}\). Einsetzen in die Gleichung für \(h\): \(h^2 = \frac{432^2}{4 \cdot 108} - 216 = 432 - 216 = 216 \Rightarrow h = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}70\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(a = 6\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 10{,}39\,\text{cm}\) und die Höhe der Pyramide beträgt \(h = 6\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 14{,}70\,\text{cm}\).

- Was ist die Größe, die maximiert werden soll? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Radius, der Höhe und der schrägen Mantellinie eines Kegels? - Kannst du das Volumen quadrieren oder nur den Term unter der Wurzel betrachten, um die Ableitung zu vereinfachen? - Überlege, wie du die Nebenbedingung so umstellst, dass du eine Variable in der Volumenformel ersetzen kannst.

1. Hauptbedingung: Maximierung des Volumens \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \). 2. Nebenbedingung: Die Mantelfläche \( M = \pi \cdot r \cdot s \) ist konstant, wobei \( s = \sqrt{r^2 + h^2} \) die Mantellinie ist. 3. Aus der Nebenbedingung folgt \( s = \frac{M}{\pi r} \). Einsetzen in den Satz des Pythagoras ergibt \( h = \sqrt{s^2 - r^2} = \sqrt{\frac{M^2}{\pi^2 r^2} - r^2} \). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \( V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{\frac{M^2}{\pi^2 r^2} - r^2} = \frac{1}{3}\sqrt{M^2 r^2 - \pi^2 r^6} \). 5. Zur Extremwertbestimmung wird die Funktion unter der Wurzel \( f(r) = M^2 r^2 - \pi^2 r^6 \) abgeleitet und nullgesetzt: \( f'(r) = 2M^2 r - 6\pi^2 r^5 = 0 \). 6. Dies führt auf \( 2M^2 = 6\pi^2 r^4 \), woraus \( M = \pi r^2 \sqrt{3} \) folgt. 7. Da \( M = \pi r s \) gilt, ergibt sich \( \pi r s = \pi r^2 \sqrt{3} \), also \( s = r\sqrt{3} \). 8. Berechnung der Höhe: \( h = \sqrt{(r\sqrt{3})^2 - r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} \). 9. Das optimale Verhältnis ist \( \frac{h}{r} = \sqrt{2} \).

Das Verhältnis von Höhe \( h \) zu Radius \( r \) muss \( \frac{h}{r} = \sqrt{2} \) betragen.

- Erinnere dich daran, dass der Erlös das Produkt aus Menge und Preis ist. - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn ein Faktor eine Exponentialfunktion ist? - Wann kann ein Produkt aus einer Exponentialfunktion und einer Klammer den Wert Null annehmen? - Vergiss nicht, die Einheiten und die geforderte Rundung zu beachten.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = x \cdot p(x) = 300x \cdot e^{-0{,}005x}\). 2. Ableiten der Erlösfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(E'(x) = 300 \cdot e^{-0{,}005x} + 300x \cdot (-0{,}005) \cdot e^{-0{,}005x} = 300 \cdot e^{-0{,}005x} \cdot (1 - 0{,}005x)\). 3. Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen: Da \(e^{-0{,}005x} > 0\), muss \(1 - 0{,}005x = 0\) gelten, woraus \(x = 200\) folgt. 4. Überprüfung des Maximums: \(E''(x) = 300 \cdot e^{-0{,}005x} \cdot (-0{,}005) \cdot (1 - 0{,}005x) + 300 \cdot e^{-0{,}005x} \cdot (-0{,}005)\). An der Stelle \(x = 200\) ergibt sich \(E''(200) = -1{,}5 \cdot e^{-1} < 0\), also liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des Preises: \(p(200) = 300 \cdot e^{-1} \approx 110{,}36\,\text{GE/ME}\). 6. Berechnung des maximalen Erlöses: \(E(200) = 200 \cdot 110{,}3639... \approx 22\,072{,}77\,\text{GE}\).

Der Erlös ist bei einer Absatzmenge von \(x = 200\,\text{ME}\) maximal. Der maximale Erlös beträgt circa \(22\,072{,}77\,\text{GE}\) bei einem Preis von etwa \(110{,}36\,\text{GE/ME}\).

- Beachte, dass der Preis hier nicht konstant ist, sondern von der Menge \(x\) abhängt. - Wie verändert sich die Erlösfunktion, wenn der Preis eine Funktion von \(x\) ist? - Stelle zuerst die vollständige Gewinnfunktion auf, bevor du ableitest. - Vergiss nicht, am Ende auch den Funktionswert der Gewinnfunktion an der optimalen Stelle zu berechnen.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = x \cdot p(x) = x \cdot (300 - 10x) = 300x - 10x^2\) 2. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = (300x - 10x^2) - (x^3 - 15x^2 + 100x + 500) = -x^3 + 5x^2 + 200x - 500\) 3. Bestimmung der kritischen Punkte durch die erste Ableitung: \(G'(x) = -3x^2 + 10x + 200\). Nullsetzen führt zu \(3x^2 - 10x - 200 = 0\). Die Lösungen sind \(x = \frac{10 \pm 50}{6}\), also \(x_1 = 10\) und \(x_2 = -\frac{20}{3}\). Nur \(x = 10\) ist ökonomisch sinnvoll. 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 10\). Für \(x = 10\) gilt \(G''(10) = -60 + 10 = -50 < 0\), somit liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns durch Einsetzen in \(G(x)\): \(G(10) = -10^3 + 5 \cdot 10^2 + 200 \cdot 10 - 500 = -1000 + 500 + 2000 - 500 = 1000\).

Der Gewinn ist bei einer Produktionsmenge von \(10\) Stück maximal und beträgt \(1000{,}00\,\text{€}\).

- Stelle eine Funktion auf, die den Abstand eines beliebigen Punktes \((x; f(x))\) zum Punkt \(S\) beschreibt. - Kannst du die Symmetrie der Parabel nutzen, um deine Ergebnisse zu plausibilisieren? - Achte darauf, alle Stellen zu finden, an denen die Ableitung null wird, und untersuche sie auf ihre Art. - Überlege am Ende, ob der berechnete Abstand sinnvoll ist, indem du ihn mit dem Abstand des Scheitelpunktes zu \(S\) vergleichst.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(D(x) = (x - 0)^2 + (0{,}5x^2 - 1{,}5 - 1)^2 = x^2 + (0{,}5x^2 - 2{,}5)^2\). 2. Vereinfachen des Ausdrucks: \(D(x) = x^2 + 0{,}25x^4 - 2{,}5x^2 + 6{,}25 = 0{,}25x^4 - 1{,}5x^2 + 6{,}25\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen durch \(D'(x) = x^3 - 3x = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3}\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(D''(x) = 3x^2 - 3\): \(D''(0) = -3 < 0\) (lokales Maximum), \(D''(\pm \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 - 3 = 6 > 0\) (lokale Minima). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(\pm \sqrt{3}) = 0{,}5 \cdot 3 - 1{,}5 = 0\). 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d = \sqrt{(\pm \sqrt{3} - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\).

Die Punkte mit dem minimalen Abstand sind \(P_1(-\sqrt{3}; 0)\) und \(P_2(\sqrt{3}; 0)\). Der minimale Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- Wie bildest du die Durchschnittskosten, wenn du die Gesamtkosten kennst? - Um eine gebrochen-rationale Funktion abzuleiten, kannst du sie entweder umschreiben oder die Quotientenregel nutzen. - Wenn du die Nullstelle einer kubischen Gleichung suchst, probiere zunächst kleine ganzzahlige Werte aus. - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Kurven in einem Punkt schneiden?

1. Aufstellen der Durchschnittskostenfunktion: \(k(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 50x + 32}{x} = x^2 - 6x + 50 + \frac{32}{x}\). 2. Ableitung der Durchschnittskostenfunktion bilden: \(k'(x) = 2x - 6 - \frac{32}{x^2}\). 3. Notwendige Bedingung für ein Extremum \(k'(x) = 0\): \(2x - 6 - \frac{32}{x^2} = 0 \iff 2x^3 - 6x^2 - 32 = 0 \iff x^3 - 3x^2 - 16 = 0\). Durch systematisches Probieren oder ein Näherungsverfahren findet man die Nullstelle \(x_0 = 4\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(k''(x) = 2 + \frac{64}{x^3}\). Da \(k''(4) = 2 + \frac{64}{64} = 3 > 0\), liegt bei \(x_0 = 4\) ein Minimum vor. 5. Vergleich von Grenzkosten und Durchschnittskosten an der Stelle \(x_0 = 4\): Durchschnittskosten: \(k(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 50 + \frac{32}{4} = 16 - 24 + 50 + 8 = 50\). Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 3x^2 - 12x + 50\). Grenzkostenwert: \(K'(4) = 3 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 + 50 = 48 - 48 + 50 = 50\). Ergebnis: \(K'(4) = k(4) = 50\).

a) \(k(x) = x^2 - 6x + 50 + \frac{32}{x}\) b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(x_0 = 4\,\text{ME}\). c) An der Stelle \(x_0 = 4\) gilt \(K'(4) = 50\) und \(k(4) = 50\). Damit ist nachgewiesen, dass die Grenzkostenkurve die Durchschnittskostenkurve in ihrem Minimum schneidet.

- Nutze trigonometrische Identitäten, um die Zielfunktion zu vereinfachen, bevor du ableitest. - Konstante Faktoren vor der Funktion beeinflussen die Lage der Extremstelle nicht. - Die Produktregel ist hier dein wichtigstes Werkzeug für die Ableitung. - Überlege dir, bei welchen Winkeln das Produkt sicher Null ist, um die Randwerte schnell zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion \(P(\alpha) = \frac{v^2}{g} \sin(2\alpha) \cdot \frac{v^2 \sin^2(\alpha)}{2g} = \frac{v^4}{2g^2} \sin(2\alpha) \sin^2(\alpha)\). 2. Vereinfachung unter Nutzung von \(\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\): \(P(\alpha) = \frac{v^4}{g^2} \sin^3(\alpha) \cos(\alpha)\). 3. Da \(\frac{v^4}{g^2}\) konstant ist, reicht es, \(f(\alpha) = \sin^3(\alpha) \cos(\alpha)\) zu maximieren. 4. Ableiten mit der Produkt- und Kettenregel: \(f'(\alpha) = 3 \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha) - \sin^4(\alpha)\). 5. Faktorisieren: \(f'(\alpha) = \sin^2(\alpha) (3 \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))\). 6. Nullstellen bestimmen: \(\sin^2(\alpha) = 0\) (Randwert) oder \(3 \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 0 \implies \tan^2(\alpha) = 3\). 7. Lösung für \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ\). 8. Für den Rand gilt \(P(0^\circ) = 0\) und \(\lim_{\alpha \to 90^\circ-} P(\alpha) = 0\). Somit liegt bei \(60^\circ\) ein globales Maximum vor.

Das Produkt aus Wurfweite und Scheitelhöhe wird bei einem Abwurfwinkel von \(\alpha = 60^\circ\) maximal.

- Betrachte die Einflüsse von \(x\) und \(y\) getrennt voneinander. - Wie gehst du vor, um das Maximum einer Funktion \(f(x)\) in einem geschlossenen Intervall zu finden? - Untersuche die Nullstellen der ersten Ableitungen für beide Variablen. - Achte darauf, welche der gefundenen Stellen tatsächlich zu einem Maximum führen und was an den Intervallgrenzen passiert.

1. Die Funktion \(W(x, y)\) lässt sich als Produkt zweier unabhängiger Teilfunktionen \(f(x) = 12x^2 - x^3\) und \(g(y) = y(18 - y)^2\) auffassen. Das globale Maximum von \(W\) liegt dort, wo beide Teilfunktionen ihre jeweiligen Maxima annehmen. 2. Bestimmung des Maximums von \(f(x)\) auf \([0; 12]\): Die Ableitung \(f'(x) = 24x - 3x^2 = 3x(8 - x)\) hat die Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 8\). Die Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f''(8) = 24 - 6 \cdot 8 = -24 < 0\) sowie der Randwerte \(f(0) = 0\) und \(f(12) = 0\) ergibt das Maximum bei \(x = 8\). 3. Bestimmung des Maximums von \(g(y)\) auf \([0; 18]\): Die Ableitung \(g'(y) = (18 - y)^2 + y \cdot 2(18 - y) \cdot (-1) = (18 - y)(18 - 3y)\) besitzt die Nullstellen \(y = 18\) und \(y = 6\). Da \(g(0) = 0\), \(g(18) = 0\) und \(g(6) = 6 \cdot 12^2 = 864 > 0\), liegt das Maximum bei \(y = 6\). 4. Die maximale Wirksamkeit wird demnach bei \(x = 8\) und \(y = 6\) erreicht.

\(x = 8\) und \(y = 6\)

- Die Zeit berechnet sich aus dem Quotienten von Weg und Geschwindigkeit. - Stelle eine Formel für die Zeit im Wald und eine für die Zeit auf der Straße auf. - Nutze eine Variable für die Teilstrecke auf der Straße, um beide Weglängen auszudrücken. - Suche das Minimum der kombinierten Zeitfunktion mithilfe der Ableitung. - Achte beim Ergebnis darauf, den Dezimalwert der Zeit korrekt in Stunden und Minuten umzurechnen.

1. Sei \(y\) der Abstand des Punktes \(P\) vom Punkt \(C\) in \(\text{km}\). Die Wegstrecke im Wald beträgt \(\sqrt{4^2 + y^2}\), die Strecke auf der Straße \(10-y\). 2. Aufstellen der Zeitfunktion: \(T(y) = \frac{\sqrt{16+y^2}}{3} + \frac{10-y}{5}\) für \(0 \leq y \leq 10\). 3. Ableitung bilden: \(T'(y) = \frac{y}{3\sqrt{16+y^2}} - \frac{1}{5}\). 4. Nullstelle der Ableitung berechnen: \(5y = 3\sqrt{16+y^2}\). Quadrieren liefert \(25y^2 = 9(16+y^2)\), also \(16y^2 = 144\). Daraus folgt \(y = 3\). 5. Prüfung der Randwerte und des Extremums: \(T(0) \approx 3{,}33\,\text{h}\), \(T(10) \approx 3{,}59\,\text{h}\), \(T(3) = \frac{5}{3} + \frac{7}{5} = \frac{46}{15}\,\text{h}\). 6. Umrechnung der Zeit: \(\frac{46}{15}\,\text{h} = 3\,\text{h} + \frac{1}{15}\,\text{h} = 3\,\text{h}\) und \(4\,\text{min}\).

Der Wanderer muss die Straße in einem Abstand von \(3\,\text{km}\) vom Punkt \(C\) betreten. Er benötigt für den Weg insgesamt \(3\,\text{Stunden}\) und \(4\,\text{Minuten}\).

- Überlege dir zuerst, welche geometrische Formel für das Volumen hier wichtig ist. - Wie hängen der Radius und der Umfang eines Kreises zusammen? Nutze dies für die Nebenbedingung. - Drücke eine der Variablen durch die andere aus, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Unbekannten abhängt. - Achte darauf, ob die berechneten Extremstellen innerhalb der vorgegebenen Grenzen für die Höhe liegen. - Vergiss nicht, am Ende auch die Werte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r, h) = \pi \cdot r^2 \cdot h\). 2. Einsetzen der Nebenbedingung \(h + U = 180\) mit \(U = 2\pi r\): \(r = \frac{180 - h}{2\pi}\). 3. Erstellen der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(h\): \(V(h) = \pi \cdot \left(\frac{180 - h}{2\pi}\right)^2 \cdot h = \frac{1}{4\pi} \cdot (180 - h)^2 \cdot h = \frac{1}{4\pi} \cdot (h^3 - 360h^2 + 32\,400h)\). 4. Bestimmung des Definitionsbereichs aus den Bedingungen: \(20 \le h \le 100\). 5. Ableiten und Nullstellen finden: \(V'(h) = \frac{1}{4\pi} \cdot (3h^2 - 720h + 32\,400) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung \(h^2 - 240h + 10\,800 = 0\) sind \(h_1 = 60\) und \(h_2 = 180\). 6. Überprüfung der Extrema: \(h_1 = 60\) liegt im Intervall \([20; 100]\). Wegen \(V''(60) = \frac{1}{4\pi} \cdot (6 \cdot 60 - 720) = -\frac{360}{4\pi} < 0\) liegt dort ein lokales Maximum vor. 7. Randwertprüfung: \(V(20) = \frac{128\,000}{\pi} \approx 40\,743{,}66\), \(V(60) = \frac{216\,000}{\pi} \approx 68\,754{,}94\), \(V(100) = \frac{160\,000}{\pi} \approx 50\,929{,}58\). Das absolute Maximum liegt bei \(h = 60\,\text{cm}\). 8. Berechnung der Maße: \(h = 60\,\text{cm}\), \(r = \frac{180 - 60}{2\pi} = \frac{60}{\pi} \approx 19{,}10\,\text{cm}\). 9. Maximales Volumen: \(V(60) = \frac{216\,000}{\pi} \approx 68\,754{,}94\,\text{cm}^3\).

a) Die optimalen Maße sind eine Höhe von \(h = 60\,\text{cm}\) und ein Radius von \(r = \frac{60}{\pi} \approx 19{,}10\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt etwa \(68\,754{,}94\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst die Steigung der Geraden mithilfe der gegebenen Punkte. - Stelle eine Funktion für die Differenz der beiden Funktionswerte auf. - Nutze die Ableitungsregeln für Logarithmusfunktionen, um Extremstellen zu finden. - Achte darauf, den Wert für \(x\) und den zugehörigen Differenzwert exakt (mit \(e\) und \(\ln\)) anzugeben.

1. Bestimmung der Geradensteigung durch \(O(0|0)\) und \(P(e-1|1)\): \(m = \frac{1 - 0}{e-1 - 0} = \frac{1}{e-1}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(g(x) = \frac{1}{e-1}x\). 3. Bildung der Differenzfunktion: \(d(x) = \ln(x+1) - \frac{1}{e-1}x\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(d'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{e-1}\). 5. Nullsetzen der Ableitung: \(\frac{1}{x+1} = \frac{1}{e-1} \implies x+1 = e-1 \implies x = e-2\). 6. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(d''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\). Da \(d''(e-2) = -\frac{1}{(e-1)^2} < 0\), liegt ein Maximum vor. 7. Vergleich mit den Randwerten: \(d(0) = 0\) und \(d(e-1) = \ln(e) - \frac{e-1}{e-1} = 1 - 1 = 0\). 8. Berechnung des maximalen Werts an der Stelle \(x = e-2\): \(d(e-2) = \ln(e-2+1) - \frac{e-2}{e-1} = \ln(e-1) - \frac{e-2}{e-1}\).

a) \(g(x) = \frac{1}{e-1}x\) b) Die Differenz ist am größten für \(x = e-2\). Der maximale Wert beträgt \(\ln(e-1) - \frac{e-2}{e-1}\).

- Der Abstand eines Punktes \((x|y)\) zum Ursprung berechnet sich über den Satz des Pythagoras. - Nutze die Funktionsgleichung, um die \(y\)-Koordinate in der Abstandsformel durch \(x\) zu ersetzen. - Die Ableitung der Logarithmusfunktion und die Kettenregel sind hier wichtig. - Manchmal lassen sich Nullstellen von Ableitungen bei Logarithmusfunktionen durch einfaches Einsetzen markanter Werte wie \(1\) oder \(e\) finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Quadrat des Abstands zum Ursprung \(O(0|0)\): \(g(x) = x^2 + (1 - \ln(x))^2\). 2. Bildung der ersten Ableitung nach der Kettenregel: \(g'(x) = 2x + 2(1 - \ln(x)) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = 2x - \frac{2}{x} + \frac{2\ln(x)}{x}\). 3. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die Ableitung faktorisiert: \(g'(x) = \frac{2}{x}(x^2 - 1 + \ln(x))\). Für \(q(x) = x^2 - 1 + \ln(x)\) gilt \(q(1) = 0\) und \(q'(x) = 2x + \frac{1}{x} > 0\) für \(x > 0\). Daher ist \(q\) streng monoton steigend und \(x = 1\) die einzige Nullstelle von \(g'\). 4. Da \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) gilt, ist die einzige Extremstelle bei \(x = 1\) das globale Minimum. 5. Bestimmung der Koordinaten des Punktes: \(f(1) = 1 - \ln(1) = 1\). Der gesuchte Punkt ist \(P(1|1)\).

Der Punkt des Graphen mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung ist \(P(1|1)\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einem Punkt \(a\)? - Wie findest du die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen? - Ein Flächeninhalt muss immer positiv sein. Nutze Betragsstriche oder achte auf das Vorzeichen der Koordinaten im gegebenen Intervall. - Denk daran, dass für ein Maximum die erste Ableitung null sein muss.

1. Tangentengleichung: \(g'(x) = \frac{2}{x}\). An der Stelle \(a\) ist die Steigung \(m = \frac{2}{a}\) und der Funktionswert \(g(a) = 2\ln(a)\). Die Tangente lautet \(t(x) = \frac{2}{a}(x - a) + 2\ln(a) = \frac{2}{a}x - 2 + 2\ln(a)\). 2. Achsenschnittpunkte: - \(R\) (y-Achse): \(x=0 \implies y_R = 2\ln(a) - 2\). Also \(R(0 | 2\ln(a) - 2)\). - \(S\) (x-Achse): \(0 = \frac{2}{a}x - 2 + 2\ln(a) \implies \frac{2}{a}x = 2 - 2\ln(a) \implies x_S = a(1 - \ln(a))\). Also \(S(a(1 - \ln(a)) | 0)\). 3. Flächeninhalt: \(A(a) = |x_S \cdot y_R| = |a(1 - \ln(a)) \cdot (2\ln(a) - 2)| = 2a(1 - \ln(a))^2\). 4. Extremwertsuche: \(A'(a) = 2(1 - \ln(a))^2 + 2a \cdot 2(1 - \ln(a)) \cdot (-\frac{1}{a}) = 2(1 - \ln(a))^2 - 4(1 - \ln(a)) = 2(1 - \ln(a)) \cdot [(1 - \ln(a)) - 2] = 2(1 - \ln(a))(-1 - \ln(a))\). 5. Nullstellen von \(A'(a)\): \(1 - \ln(a) = 0 \implies a = e\) (hier ist \(A(e) = 0\)) oder \(-1 - \ln(a) = 0 \implies \ln(a) = -1 \implies a = e^{-1} = \frac{1}{e}\). 6. Maximalwert: \(A(\frac{1}{e}) = 2 \cdot \frac{1}{e} \cdot (1 - (-1))^2 = \frac{2}{e} \cdot 4 = \frac{8}{e} \approx 2{,}943\).

a) \(S(a(1 - \ln(a)) | 0)\) und \(R(0 | 2\ln(a) - 2)\) b) \(A(a) = 2a(1 - \ln(a))^2\) c) Der maximale Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{e} \approx 2{,}943\) Flächeneinheiten bei \(a = \frac{1}{e}\).

- Überlege dir zuerst, wie lange das Flugzeug für die Strecke \(s\) in der Luft ist und wie viel Höhe es dabei verliert. - Wie viel Zeit muss es im Aufwind verbringen, um genau diese Höhe wieder zu gewinnen? - Um eine Funktion zu minimieren, hilft dir die erste Ableitung. - Was bedeutet es geometrisch für eine Gerade, durch einen bestimmten Punkt zu verlaufen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\).

1. Herleitung der Zeitfunktion: Die Gleitzeit beträgt \(t_G = \frac{s}{c}\) (in Stunden), also \(3600 \cdot \frac{s}{c}\) Sekunden. Der Höhenverlust ist \(h = v \cdot t_G = g(c) \cdot \frac{3600 \cdot s}{c}\). Die Zeit zum Steigen ist \(t_{St} = \frac{h}{v_{St}} = \frac{g(c) \cdot 3600 \cdot s}{c \cdot v_{St}}\). Die Summe ergibt \(T(c) = \frac{3600 \cdot s}{c} \left(1 + \frac{g(c)}{v_{St}}\right)\). 2. Minimierung von \(T(c)\): Es genügt, den Term \(f(c) = \frac{v_{St} + g(c)}{c}\) zu minimieren. Einsetzen der Werte ergibt \(f(c) = \frac{3{,}2 + 0{,}0005(c-80)^2 + 0{,}8}{c} = \frac{0{,}0005 c^2 - 0{,}08 c + 7{,}2}{c} = 0{,}0005 c - 0{,}08 + \frac{7{,}2}{c}\). 3. Ableitung bilden: \(f'(c) = 0{,}0005 - \frac{7{,}2}{c^2}\). Nullsetzen führt zu \(c^2 = \frac{7{,}2}{0{,}0005} = 14\,400\), woraus \(c = 120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) folgt (die negative Lösung entfällt physikalisch). Die Überprüfung der zweiten Ableitung \(f''(120) = \frac{14{,}4}{120^3} > 0\) bestätigt das Minimum. 4. Tangentennachweis: Die Tangentengleichung an \(g\) im Punkt \(B(120 | g(120))\) lautet mit \(g(120) = 1{,}6\) und \(g'(120) = 0{,}001(120-80) = 0{,}04\): \(y = 0{,}04(c - 120) + 1{,}6 = 0{,}04 c - 4{,}8 + 1{,}6 = 0{,}04 c - 3{,}2\). Für \(c=0\) ergibt sich \(y = -3{,}2\), was genau \(-v_{St}\) entspricht.

a) \(T(c) = t_G + t_{St} = \frac{3600s}{c} + \frac{g(c) \cdot 3600s}{c \cdot v_{St}} = \frac{3600s}{c} (1 + \frac{g(c)}{v_{St}})\). b) Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(c = 120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). c) Die Tangente an \(g\) im Punkt \((120 | 1{,}6)\) hat die Gleichung \(y = 0{,}04c - 3{,}2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0 | -3{,}2)\), was \(-v_{St}\) entspricht.

- Verwende die Zwei-Punkte-Form oder die Steigung, um eine Beziehung zwischen den Achsenabschnitten herzustellen. - Welcher geometrische Satz verbindet die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Beim Ableiten der Zielfunktion kann Ausklammern oder geschicktes Vereinfachen des Bruchs hilfreich sein. - Überlege dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrem Quadrat unter der Bedingung, dass die Funktionswerte positiv sind.

1. Aufstellen der Geradengleichung durch \(P(1 | 8)\) und \(S_x(x_0 | 0)\): Die Steigung ist \(m = \frac{8 - 0}{1 - x_0} = \frac{8}{1 - x_0}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ergibt sich zu \(y_0 = \frac{-8x_0}{1 - x_0} = \frac{8x_0}{x_0 - 1}\). 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras für das Quadrat der Hypotenuse: \(L^2 = x_0^2 + y_0^2 = x_0^2 + \left(\frac{8x_0}{x_0 - 1}\right)^2 = x_0^2 + \frac{64x_0^2}{(x_0 - 1)^2}\). 3. Ableiten von \(f(x_0) = L^2(x_0)\): \(f'(x_0) = 2x_0 + \frac{128x_0(x_0 - 1)^2 - 64x_0^2 \cdot 2(x_0 - 1)}{(x_0 - 1)^4} = 2x_0 \cdot \left(1 - \frac{64}{(x_0 - 1)^3}\right)\). 4. Nullsetzen der Ableitung: \(1 - \frac{64}{(x_0 - 1)^3} = 0 \implies (x_0 - 1)^3 = 64 \implies x_0 - 1 = 4 \implies x_0 = 5\). 5. Begründung für \(L^2\): Da die Hypotenusenlänge \(L(x_0)\) stets positiv ist und die Quadratfunktion \(g(z) = z^2\) für \(z > 0\) streng monoton wachsend ist, liegt das Minimum von \(L(x_0)\) an derselben Stelle wie das Minimum von \([L(x_0)]^2\).

a) Nachweis über den Strahlensatz oder die Geradengleichung und Pythagoras. b) Die Hypotenuse wird minimal für \(x_0 = 5\). c) Da \(L(x_0) > 0\) und die Funktion \(g(z) = z^2\) für \(z > 0\) streng monoton steigt, haben \(L\) und \(L^2\) ihre Extrema an den gleichen Stellen.

- Stelle eine Beziehung zwischen dem Radius und der Höhe des Kegels her, indem du ähnliche Dreiecke im Querschnitt betrachtest. - Drücke das Volumen des Kegels als Funktion einer einzigen Variablen aus. - Vergiss nicht, die Definitionsmenge für deinen Radius festzulegen. - Wie hängen Kegel- und Zylindervolumen allgemein von Radius und Höhe ab?

1. Definition der Variablen: \(R\) sei der Radius und \(H\) die Höhe des Kegels. 2. Zusammenhang über Strahlensatz (Achsenschnitt): \(\frac{H}{R} = \frac{H-h}{r}\). 3. Auflösen nach \(H\): \(Hr = R(H-h) \Rightarrow Hr = RH - Rh \Rightarrow H(R-r) = Rh \Rightarrow H = \frac{Rh}{R-r}\). 4. Zielfunktion Volumen: \(V(R) = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{\pi h}{3} \cdot \frac{R^3}{R-r}\). 5. Ableiten nach \(R\): \(V'(R) = \frac{\pi h}{3} \cdot \frac{3R^2(R-r) - R^3}{(R-r)^2} = \frac{\pi h}{3} \cdot \frac{2R^3 - 3rR^2}{(R-r)^2}\). 6. Extremstellen bestimmen: \(V'(R) = 0 \Rightarrow 2R^3 - 3rR^2 = 0 \Rightarrow R = 1{,}5r\) (da \(R > r\)). 7. Höhe berechnen: \(H = \frac{1{,}5r \cdot h}{1{,}5r - r} = \frac{1{,}5rh}{0{,}5r} = 3h\). Dies bestätigt die Behauptung. 8. Minimales Volumen: \(V_{\text{min}} = \frac{1}{3} \pi (1{,}5r)^2 \cdot 3h = 2{,}25 \pi r^2 h\). 9. Da \(V_Z = \pi r^2 h\), gilt \(V_{\text{min}} = 2{,}25 \cdot V_Z\).

Das Volumen des Kegels wird minimal für \(H = 3h\). Das minimale Volumen beträgt \(V_{\text{Kegel}} = 2{,}25 \cdot V_Z = \frac{9}{4} V_Z\).

- Stelle die Formeln für die Oberfläche und das Volumen einer quadratischen Pyramide auf. - Beachte, dass die Oberfläche aus der Grundfläche und vier kongruenten Dreiecksflächen besteht. - Um die Rechnung zu vereinfachen, kannst du statt des Volumens auch dessen Quadrat maximieren. - Welche Beziehung besteht zwischen der Körperhöhe, der Seitenkante und der Höhe der Seitenfläche?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(a, h) = \frac{1}{3} a^2 \cdot h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = a^2 + 2a \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 100\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(100 - a^2 = 2a \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} \implies (100 - a^2)^2 = 4a^2 \cdot (h^2 + \frac{a^2}{4}) = 4a^2 h^2 + a^4\). 4. Vereinfachen: \(10\,000 - 200a^2 + a^4 = 4a^2 h^2 + a^4 \implies h^2 = \frac{10\,000 - 200a^2}{4a^2} = \frac{2500}{a^2} - 50\). 5. Da \(V\) maximal ist, wenn \(V^2\) maximal ist, betrachte \(f(a) = \frac{1}{9} a^4 \cdot h^2 = \frac{1}{9} a^4 \cdot \left(\frac{2500}{a^2} - 50\right) = \frac{1}{9} (2500a^2 - 50a^4)\). 6. Ableitung bilden und Nullstellen suchen: \(f'(a) = \frac{1}{9} (5000a - 200a^3) = 0 \implies 200a \cdot (25 - a^2) = 0\). Da \(a > 0\), folgt \(a = 5\,\text{cm}\). 7. Überprüfung: \(f''(a) = \frac{1}{9} (5000 - 600a^2) \implies f''(5) = \frac{1}{9} (5000 - 15\,000) < 0\), also Maximum. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \sqrt{\frac{2500}{25} - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}\).

Das maximale Volumen wird erreicht, wenn die Grundseite \(a = 5\,\text{cm}\) und die Körperhöhe \(h = 5\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 7{,}07\,\text{cm}\) betragen.

- Welche geometrischen Formen bilden das Fenster und wie hängen ihre Maße zusammen? - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Berücksichtige bei der Kostenfunktion, dass verschiedene Abschnitte unterschiedliche Preise pro Meter haben. - Wie verhält sich die Kostenfunktion an den Rändern des Definitionsbereichs?

1. Aufstellen der Flächenformel (Nebenbedingung): Mit dem Radius \(r = \frac{b}{2}\) gilt \(A = b \cdot h + \frac{1}{2} \pi r^2 = 2rh + \frac{1}{2} \pi r^2 = 2{,}50\). 2. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{2{,}50 - 0{,}5 \pi r^2}{2r} = \frac{1{,}25}{r} - \frac{\pi}{4} r\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K = 12 \cdot (2h + 2r) + 18 \cdot (\pi r) = 24h + 24r + 18\pi r\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Kostenfunktion: \(K(r) = 24 \left( \frac{1{,}25}{r} - \frac{\pi}{4} r \right) + 24r + 18\pi r = \frac{30}{r} - 6\pi r + 24r + 18\pi r = \frac{30}{r} + 24r + 12\pi r\). 5. Ableiten und Nullstelle bestimmen: \(K'(r) = -\frac{30}{r^2} + 24 + 12\pi = 0\). 6. Auflösen nach \(r\): \(r^2 = \frac{30}{24 + 12\pi} \approx 0{,}4862 \implies r \approx 0{,}6973\,\text{m}\). 7. Berechnung der Maße: Breite \(b = 2r \approx 1{,}39\,\text{m}\). Höhe \(h = \frac{1{,}25}{0{,}6973} - \frac{\pi \cdot 0{,}6973}{4} \approx 1{,}7926 - 0{,}5477 \approx 1{,}24\,\text{m}\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(K''(r) = \frac{60}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), somit liegt ein Minimum vor.

Die Kosten für den Rahmen werden minimiert, wenn die Breite des rechteckigen Teils etwa \(1{,}39\,\text{m}\) und die Höhe etwa \(1{,}24\,\text{m}\) beträgt.

- Welche mathematischen Formeln beschreiben das Volumen und die verschiedenen Teilflächen eines Zylinders? - Wie kannst du die Information über das feste Volumen nutzen, um eine der Variablen in der Kostengleichung zu ersetzen? - Was musst du tun, um den tiefsten Punkt einer Funktion zu finden? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein Ergebnis wirklich ein Minimum beschreibt.

1. Aufstellen der Volumenformel als Nebenbedingung: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 27\pi\). Daraus folgt die Höhe in Abhängigkeit vom Radius: \(h = \frac{27}{r^2}\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion (Zielfunktion): Die Kosten setzen sich aus Boden, Deckel und Mantelfläche zusammen: \(K(r, h) = 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 1 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \cdot 2 = 2\pi r^2 + 4\pi r h\). 3. Substitution der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(K(r) = 2\pi r^2 + 4\pi r \cdot \frac{27}{r^2} = 2\pi r^2 + \frac{108\pi}{r}\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(K'(r) = 4\pi r - \frac{108\pi}{r^2}\). 5. Berechnung der Nullstelle der ersten Ableitung: \(4\pi r - \frac{108\pi}{r^2} = 0 \iff 4\pi r = \frac{108\pi}{r^2} \iff r^3 = 27 \iff r = 3\,\text{cm}\). 6. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{27}{3^2} = 3\,\text{cm}\). 7. Nachweis des Minimums mit der zweiten Ableitung: \(K''(r) = 4\pi + \frac{216\pi}{r^3}\). Einsetzen von \(r = 3\): \(K''(3) = 4\pi + \frac{216\pi}{27} = 4\pi + 8\pi = 12\pi\). Da \(12\pi > 0\), liegt ein lokales Minimum vor.

Die Materialkosten sind minimal für einen Radius von \(r = 3\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 3\,\text{cm}\).

- Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung der Flächenfunktion zu bilden. - Suche die Nullstellen der Ableitung im relevanten Intervall. - Überlege dir, welche der mathematisch möglichen Lösungen im Kontext der Geometrie (positive Seitenlängen) sinnvoll ist.

1. Zielfunktion für den Flächeninhalt aufstellen: \(A(x) = x \cdot f(x) = \frac{8x - 2x^2}{x + 2}\). 2. Definitionsbereich eingrenzen: Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x = 4\), Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(f(0) = 4\). Also \(x \in [0; 4]\). 3. Ableitung mit der Quotientenregel berechnen: \(A'(x) = \frac{(8 - 4x)(x + 2) - (8x - 2x^2) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-2x^2 - 8x + 16}{(x + 2)^2}\). 4. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) führt auf die quadratische Gleichung \(-2x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 8 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = -2 \pm \sqrt{12} = -2 \pm 2\sqrt{3}\). 6. Da \(x > 0\) sein muss, ist die einzige relevante Stelle \(x = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1{,}46\). 7. Nachweis des Maximums (z. B. Vorzeichenwechselkriterium oder Randwertvergleich): \(A(0) = 0\), \(A(4) = 0\), \(A(1{,}46) > 0\). 8. Maximalen Flächeninhalt berechnen: \(A(2\sqrt{3}-2) = 16 - 8\sqrt{3} \approx 2{,}14\).

Der Flächeninhalt wird für \(x = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1{,}46\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16 - 8\sqrt{3} \approx 2{,}14\) Flächeneinheiten.

- Wie berechnet man den Mantel eines Kegels, wenn Radius und Höhe bekannt sind? - Nutze die Volumenformel, um die Höhe \(h\) des Zylinders zu eliminieren. - Die Gesamtoberfläche besteht aus drei Teilen: der Grundfläche, der Mantelfläche des Zylinders und der Mantelfläche des Kegels. - Vergiss nicht, nach dem Ableiten und Nullsetzen zu prüfen, ob es sich wirklich um ein Minimum handelt. - Das Endergebnis ist ein einfaches Vielfaches von \(r\).

1. Volumenformel für den zusammengesetzten Körper (Zylinder und Kegel): \(V = \pi r^2 h + \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \pi r^2 h + \frac{1}{3}\pi r^3\). 2. Nebenbedingung nach \(h\) auflösen: \(h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r\). 3. Oberflächenformel (Boden + Zylindermantel + Kegelmantel): \(A = \pi r^2 + 2\pi r h + \pi r \sqrt{r^2 + r^2} = \pi r^2 + 2\pi r h + \sqrt{2}\pi r^2 = (1+\sqrt{2})\pi r^2 + 2\pi r h\). 4. Substitution von \(h\) in die Oberflächenformel: \(A(r) = (1+\sqrt{2})\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r\right) = (1+\sqrt{2})\pi r^2 + \frac{2V}{r} - \frac{2}{3}\pi r^2 = \left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi r^2 + \frac{2V}{r}\). 5. Ableiten nach \(r\) und Nullstelle bestimmen: \(A'(r) = 2\left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 \Rightarrow V = \left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi r^3\). 6. Einsetzen von \(V\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{(\frac{1}{3} + \sqrt{2})\pi r^3}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r = \left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)r - \frac{1}{3}r = \sqrt{2}r\). 7. Da \(A''(r) = 2\left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi + \frac{4V}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), ist die Oberfläche minimal.

Das optimale Verhältnis ist \(h = \sqrt{2}r\) (bzw. \(\frac{h}{r} = \sqrt{2}\)).

- Bestimme zunächst die waagerechte Asymptote, indem du den Grenzwert für große \(x\) betrachtest. - Drücke die Höhe des Rechtecks als Differenz zwischen dem konstanten Wert der Asymptote und dem Funktionswert \(g(x)\) aus. - Da der Graph symmetrisch zur y-Achse ist, ist es hilfreich, die Breite als \(2x\) anzusetzen. - Denke beim Ableiten der Zielfunktion an die Produktregel und die Kettenregel.

1. Bestimmung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) geht \(e^{-x^2}\) gegen \(0\), also ist die waagerechte Asymptote \(y = 5\). 2. Aufgrund der Achsensymmetrie von \(g\) wählen wir ein Rechteck mit der Breite \(2x\) für \(x > 0\). Die Höhe ist der Abstand zwischen Asymptote und Graph: \(h(x) = 5 - g(x) = 5 - (5 - 4e^{-x^2}) = 4e^{-x^2}\). 3. Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = 2x \cdot 4e^{-x^2} = 8x e^{-x^2}\). 4. Erste Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 8e^{-x^2} + 8x e^{-x^2}(-2x) = 8e^{-x^2}(1 - 2x^2)\). 5. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\): Da \(8e^{-x^2} \neq 0\), muss \(1 - 2x^2 = 0\) gelten. Dies liefert \(x^2 = 0{,}5\), also \(x = \sqrt{0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\). 6. Hinreichende Bedingung: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) bei \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) von Plus nach Minus bestätigt das Maximum. 7. Maximaler Flächeninhalt: \(A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{8}{\sqrt{2}} e^{-0{,}5} = 4\sqrt{2} e^{-0{,}5} \approx 3{,}427\).

Der maximale Flächeninhalt beträgt \(4\sqrt{2} e^{-0{,}5} \approx 3{,}427\) Flächeneinheiten.

- Stelle eine Funktion für den Abstand eines Punktes auf der Kurve zum Ursprung auf. - Denk daran, dass die Bedingung für Orthogonalität zweier Geraden \(m_1 \cdot m_2 = -1\) lautet. - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte? - Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen?

1. Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(g(x) = x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2 = x^2 + 81x^{-2}\). 2. Ableitung bilden: \(g'(x) = 2x - 162x^{-3}\). 3. Nullstelle der Ableitung für \(x > 0\): \(2x = \frac{162}{x^3} \implies x^4 = 81 \implies x = 3\). 4. Nachweis des Minimums: \(g''(x) = 2 + 486x^{-4}\); \(g''(3) = 2 + \frac{486}{81} = 8 > 0\). Der Punkt ist \(P(3|3)\). 5. Steigung der Strecke \(OP\): \(m_1 = \frac{f(3) - 0}{3 - 0} = \frac{3}{3} = 1\). 6. Steigung der Tangente in \(P\): \(f'(x) = -9x^{-2}\), also \(f'(3) = -\frac{9}{9} = -1\). 7. Orthogonalitätsnachweis: Wegen \(m_1 \cdot f'(3) = 1 \cdot (-1) = -1\) stehen die Strecke \(OP\) und die Tangente senkrecht aufeinander.

1. Der Punkt mit minimalem Abstand ist \(P(3|3)\). 2. Die Steigung der Strecke \(OP\) ist \(m_1 = 1\), die Steigung der Tangente ist \(f'(3) = -1\). Da das Produkt der Steigungen \(-1\) ergibt, sind sie orthogonal.

- Welche geometrische Eigenschaft haben Punkte auf dem Graphen, die symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen? - Nutze die Flächenformel für Dreiecke und setze die Terme für Grundseite und Höhe ein. - Welche Ableitungsregel ist hier besonders hilfreich, um die Nullstellen der Ableitung zu finden? - Achte darauf, dass das Ergebnis für \(x\) im Kontext der Aufgabenstellung (erster Quadrant für \(A\)) sinnvoll ist.

1. Zielfunktion aufstellen: Die Grundseite des Dreiecks verläuft horizontal zwischen \(B(-x|f(x))\) und \(A(x|f(x))\) mit der Länge \(g = 2x\). Die Höhe entspricht dem Funktionswert \(h = f(x)\). Die Fläche ist \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \frac{16}{x^2 + 4} = \frac{16x}{x^2 + 4}\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel berechnen: \(A'(x) = \frac{16(x^2 + 4) - 16x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{64 - 16x^2}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Extremstellen finden: \(A'(x) = 0 \Rightarrow 64 - 16x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4\). Für \(x > 0\) ergibt sich \(x = 2\). 4. Überprüfung des Maximums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) bei \(x=2\) von Plus nach Minus (oder Prüfung der zweiten Ableitung) bestätigt das lokale Maximum. 5. Punktkoordinaten bestimmen: \(f(2) = \frac{16}{2^2 + 4} = \frac{16}{8} = 2\). 6. Ergebnisse formulieren: \(A(2|2)\) und \(B(-2|2)\).

Der Flächeninhalt wird maximal für die Punkte \(A(2|2)\) und \(B(-2|2)\).

- Stelle zunächst eine Formel für das Quadrat des Abstands zwischen einem beliebigen Punkt auf dem Graphen und dem gegebenen Punkt auf. - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, anstatt die Wurzel zu betrachten? - Leite die Abstandsfunktion ab und suche nach den Nullstellen. - Wenn du eine Gleichung höheren Grades erhältst, versuche eine ganzzahlige Lösung durch Testen kleiner Werte zu finden. - Vergiss nicht, die Art des Extrempunkts zu überprüfen und die Koordinaten des gesuchten Punktes anzugeben.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion zum Quadrat: \(D(x) = (x - (-1))^2 + (f(x) - (-1))^2 = (x+1)^2 + \left(\frac{4}{x} + 1\right)^2\) 2. Vereinfachen der Zielfunktion: \(D(x) = x^2 + 2x + 1 + \frac{16}{x^2} + \frac{8}{x} + 1 = x^2 + 2x + 2 + 8x^{-1} + 16x^{-2}\) 3. Bilden der ersten Ableitung: \(D'(x) = 2x + 2 - \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3}\) 4. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen: \(2x + 2 - \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3} = 0 \Leftrightarrow 2x^4 + 2x^3 - 8x - 32 = 0 \Leftrightarrow x^4 + x^3 - 4x - 16 = 0\) 5. Bestimmen der Nullstelle durch Probieren oder systematisches Testen von Teilern des Absolutglieds: \(x = 2\) ist eine Lösung, da \(2^4 + 2^3 - 4 \cdot 2 - 16 = 16 + 8 - 8 - 16 = 0\) 6. Überprüfen der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(D''(x) = 2 + \frac{16}{x^3} + \frac{96}{x^4}\). Da \(D''(2) = 2 + \frac{16}{8} + \frac{96}{16} = 2 + 2 + 6 = 10 > 0\), liegt an der Stelle \(x = 2\) ein lokales Minimum vor. 7. Da \(D(x)\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt, ist das Minimum global. 8. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = \frac{4}{2} = 2\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem kleinsten Abstand zu \(P(-1 \mid -1)\) ist \(Q(2 \mid 2)\).

- Welche geometrischen Größen bestimmen den Flächeninhalt des Dreiecks? - Kannst du eine Beziehung zwischen der Höhe, der halben Basis und dem Radius des Inkreises herstellen? Skizziere dazu den Radius, der senkrecht auf einem Schenkel steht. - Es ist oft einfacher, das Quadrat einer Zielfunktion zu minimieren, wenn diese eine Wurzel enthält. - Welchen Definitionsbereich muss die Höhe \(h\) im Vergleich zum Radius \(r\) haben?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\), wobei \(b\) die Grundseite und \(h\) die Höhe des Dreiecks ist. 2. Bestimmung der Nebenbedingung durch geometrische Überlegungen (z. B. Ähnlichkeit von Dreiecken oder Abstandsformel): Der Abstand des Kreismittelpunktes (auf der Höhe im Abstand \(r\) von der Basis) zu einem Schenkel muss \(r\) betragen. Dies führt zur Beziehung \(b^2 = \frac{4r^2h}{h-2r}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung mit \(r = 3\) in die Zielfunktion: \(A(h) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{36h}{h-6}} \cdot h = \frac{3h^{1{,}5}}{\sqrt{h-6}}\). Zur Vereinfachung kann das Quadrat der Funktion minimiert werden: \(f(h) = A(h)^2 = \frac{9h^3}{h-6}\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(h\): \(f'(h) = \frac{27h^2(h-6) - 9h^3}{(h-6)^2} = \frac{18h^3 - 162h^2}{(h-6)^2}\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremwerts: \(18h^2(h-9) = 0\). Da \(h > 2r = 6\) gelten muss, ergibt sich \(h = 9\). 6. Für \(6 < h < 9\) ist \(f'(h) < 0\), für \(h > 9\) ist \(f'(h) > 0\). Außerdem gilt \(\lim_{h \to 6^+} f(h) = \infty\) und \(\lim_{h \to \infty} f(h) = \infty\). Somit liegt bei \(h = 9\,\text{cm}\) das globale Minimum vor.

Die Höhe des Dreiecks muss \(h = 9\,\text{cm}\) gewählt werden, damit der Flächeninhalt minimal wird.

- Was ist die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders? - Wie kannst du den Radius und die Höhe des Zylinders mithilfe des Kugelradius in Beziehung setzen? - Es ist oft einfacher, das Quadrat einer Funktion zu maximieren, wenn eine Wurzel enthalten ist. - Was genau ist nach der Berechnung der Einzelwerte noch zu tun, um die Endfrage zu beantworten?

1. Zielgröße ist die Mantelfläche des Zylinders: \(M = 2 \pi \cdot r \cdot h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung mittels des Satzes von Pythagoras im Achsenschnitt der Kugel: \(r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2\), woraus \(r = \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}}\) folgt. 3. Aufstellen der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(h\): \(M(h) = 2 \pi \cdot h \cdot \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}} = \pi \cdot \sqrt{4R^2 h^2 - h^4}\). 4. Zur Vereinfachung wird das Quadrat der Mantelfläche oder die Funktion unter der Wurzel maximiert: \(f(h) = 4R^2 h^2 - h^4\). 5. Ableiten und Nullsetzen: \(f'(h) = 8R^2 h - 4h^3 = 0\). Da \(h > 0\), folgt \(4h \cdot (2R^2 - h^2) = 0 \implies h = \sqrt{2} \cdot R\). 6. Bestimmung des zugehörigen Radius \(r\): \(r^2 = R^2 - \frac{2R^2}{4} = \frac{1}{2}R^2 \implies r = \frac{R}{\sqrt{2}}\). 7. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{h}{r} = \frac{\sqrt{2} \cdot R}{R / \sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).

Das Verhältnis von Höhe zu Radius beträgt \(h : r = 2 : 1\).

- Erinnere dich an die Formel für den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem. - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Abstands zu minimieren, da die Wurzel eine monotone Funktion ist. - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Minimum erfüllt sein? - Untersuche alle gefundenen kritischen Stellen, um das globale Minimum zu identifizieren.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion (oder deren Quadrat zur Vereinfachung) zwischen \(S(0|4{,}5)\) und einem allgemeinen Punkt \(P(x|x^2)\): \(D(x) = (x - 0)^2 + (x^2 - 4{,}5)^2 = x^2 + x^4 - 9x^2 + 20{,}25 = x^4 - 8x^2 + 20{,}25\). 2. Bildung der Ableitung der Zielfunktion: \(D'(x) = 4x^3 - 16x\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen durch Nullsetzen der Ableitung: \(4x(x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Prüfung der Stellen auf ein Minimum: Ein Vergleich der Funktionswerte \(D(0) = 20{,}25\) und \(D(\pm 2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 20{,}25 = 4{,}25\) zeigt, dass bei \(x = \pm 2\) ein globales Minimum vorliegt. 5. Angabe der Koordinaten durch Einsetzen in die Parabelgleichung: \(P_1(2|4)\) und \(P_2(-2|4)\). 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d = \sqrt{4{,}25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \approx 2{,}06\).

Die Punkte mit dem kleinsten Abstand sind \(P_1(2|4)\) und \(P_2(-2|4)\). Der minimale Abstand beträgt \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) (ca. \(2{,}06\)) Längeneinheiten.

- Überlege zuerst, in welchem Bereich der Graph im 3. Quadranten verläuft, indem du die Nullstellen suchst. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(a\). - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Funktionswert der Tangentengleichung bei \(x=0\). - Um ein Maximum zu finden, musst du die Ableitung der Funktion bilden, die den \(y\)-Achsenabschnitt beschreibt. - Denke daran, auch das Verhalten an den Rändern oder die Art des Extremums zu prüfen.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Die Nullstellen von \(f(x) = (x(x+2))e^x\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 0\). Da der Graph für \(x \in (-2; 0)\) unterhalb der \(x\)-Achse im 3. Quadranten verläuft, ist der Flächeninhalt \(A = \left| \int_{-2}^{0} f(x) \, dx \right|\). 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = x^2 e^x\). Damit ergibt sich \(A = |[x^2 e^x]_{-2}^0| = |0 - 4e^{-2}| = 4e^{-2} \approx 0{,}541\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit \(f'(x) = (x^2 + 4x + 2)e^x\) lautet die Tangente \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\), also \(y = (a^2 + 4a + 2)e^a \cdot (x-a) + (a^2 + 2a)e^a\). 4. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n(a)\): Durch Einsetzen von \(x=0\) erhält man \(n(a) = -a(a^2 + 4a + 2)e^a + (a^2 + 2a)e^a = (-a^3 - 3a^2)e^a\). 5. Optimierung von \(n(a)\): Die Ableitung \(n'(a) = (-a^3 - 6a^2 - 6a)e^a = -a(a^2 + 6a + 6)e^a\) hat die Nullstellen \(a_1 = 0\), \(a_2 = -3 + \sqrt{3}\) und \(a_3 = -3 - \sqrt{3}\). 6. Vergleich der Funktionswerte: Da \(n(-3-\sqrt{3}) \approx 0{,}34\) positiv ist und \(n(0) = 0\) sowie \(n(-3+\sqrt{3}) < 0\) gelten, liegt das globale Maximum bei \(a = -3 - \sqrt{3}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(4e^{-2} \approx 0{,}541\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = (a^2 + 4a + 2)e^a \cdot x + (-a^3 - 3a^2)e^a\). Der \(y\)-Achsenabschnitt wird für \(a = -3 - \sqrt{3}\) maximal.

- Fertige eine Skizze des Achsenschnitts an, um die geometrischen Zusammenhänge zwischen den Radien und der Höhe zu erkennen. - Kannst du den Radius der Kegelgrundfläche mithilfe des Satzes von Pythagoras durch den Kugelradius und die Höhe ausdrücken? - Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel und Kugel. - Untersuche die Randwerte des Definitionsbereichs der Höhe – was passiert, wenn die Höhe gegen \(0\) oder gegen den Kugeldurchmesser geht?

1. Aufstellen der Volumenformel für den Kegel: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), wobei \(r\) der Radius der Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Bestimmen des Zusammenhangs zwischen \(r\), \(h\) und \(R\): Mit dem Abstand \(x = |h - R|\) vom Kugelmittelpunkt zur Grundfläche gilt nach Pythagoras \(r^2 + (h - R)^2 = R^2\), woraus \(r^2 = 2Rh - h^2\) folgt. 3. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(h) = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)\) für \(0 < h < 2R\). 4. Bestimmen der Extremstelle: Die Ableitung \(V'(h) = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)\) besitzt im Definitionsbereich die Nullstelle \(h = \frac{4}{3}R\). Da \(V''(h) = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)\) an dieser Stelle negativ ist, liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Volumens: Einsetzen von \(h = \frac{4}{3}R\) in \(V(h)\) ergibt \(V_{\text{max}} = \frac{32}{81} \pi R^3\). 6. Berechnung des Volumenverhältnisses: Mit dem Kugelvolumen \(V_K = \frac{4}{3} \pi R^3\) ergibt sich das Verhältnis \(\frac{V_{\text{max}}}{V_K} = \frac{32/81 \pi R^3}{4/3 \pi R^3} = \frac{8}{27}\).

Die optimale Höhe beträgt \(h = \frac{4}{3}R\). Das Verhältnis des maximalen Kegelvolumens zum Kugelvolumen ist \(\frac{8}{27}\).

- Nutze den Strahlensatz, um die Höhe des inneren Körpers durch seinen Radius bzw. seine Breite auszudrücken. - Beachte beim Quader, dass die Ecken den Kegelmantel berühren. Wie hängt der Abstand dieser Ecken zur Mittelachse mit der Seitenlänge des Quadrats zusammen? - Verwende für den Nachweis in Teil 1 die allgemeine Formel und leite nach der Variablen des inneren Körpers ab. - Stelle für den Vergleich der Volumina in Teil 3 einen Bruch auf, in dem sich \(R\) und \(H\) kürzen lassen.

1. Für einen Zylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\) gilt nach dem Strahlensatz \(\frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}\), also \(h = H(1 - \frac{r}{R})\). Das Volumen ist \(V(r) = \pi r^2 H (1 - \frac{r}{R}) = \pi H (r^2 - \frac{r^3}{R})\). Die Ableitung \(V'(r) = \pi H (2r - \frac{3r^2}{R})\) besitzt bei \(r = \frac{2}{3}R\) eine Extremstelle. Einsetzen in die Höhenformel ergibt \(h = H(1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}H\). 2. Für die quadratische Säule mit Grundkante \(s\) liegen die oberen Ecken auf einem Kreis mit Radius \(r_{s} = \frac{s\sqrt{2}}{2}\). Der Strahlensatz liefert \(\frac{H-h}{H} = \frac{s\sqrt{2}}{2R}\), woraus \(h = H(1 - \frac{s\sqrt{2}}{2R})\) folgt. Das Volumen ist \(V(s) = s^2 H (1 - \frac{s\sqrt{2}}{2R}) = H (s^2 - \frac{\sqrt{2}}{2R}s^3)\). Die Ableitung \(V'(s) = H (2s - \frac{3\sqrt{2}}{2R}s^2)\) führt auf \(s = \frac{4R}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}R\). Das maximale Volumen ist \(V_{Säule} = (\frac{2\sqrt{2}}{3}R)^2 \cdot \frac{1}{3}H = \frac{8}{27}R^2 H\). 3. Das maximale Zylindervolumen ist \(V_{Zyl} = \pi (\frac{2}{3}R)^2 \cdot \frac{1}{3}H = \frac{4\pi}{27}R^2 H\). Das Verhältnis beträgt \(\frac{V_{Zyl}}{V_{Säule}} = \frac{4\pi/27}{8/27} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). Da \(\pi > 2\), ist das Zylindervolumen größer; der Zylinder nutzt den Raum besser aus.

1. Nachweis über \(V'(r)=0 \implies r = \frac{2}{3}R\) und \(h = H(1-\frac{r}{R}) = \frac{1}{3}H\). 2. \(V_{Säule, max} = \frac{8}{27}R^2 H\) 3. Verhältnis \(\frac{V_{Zyl}}{V_{Säule}} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\); der Zylinder nutzt den Raum besser aus.