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- Lies für jede Verpackung die drei Kantenlängen aus ihrem Netz ab. - Welche sechs Rechtecksflächen bilden die Oberfläche eines geschlossenen Quaders? - Vergleiche am Ende die beiden Oberflächeninhalte; das Volumen ist bereits für beide Kandidaten gleich.

Für Verpackung a) liest man die Maße \(4\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) ab. Damit ist \(O_a=2(4\cdot3+4\cdot2+3\cdot2)=52\,\text{cm}^2\). Für Verpackung b) sind die Maße \(6\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). Daher ist \(O_b=2(6\cdot2+6\cdot2+2\cdot2)=56\,\text{cm}^2\). Unter den beiden gleichvolumigen Kandidaten minimiert Verpackung a) den Kartonbedarf.

Verpackung a) ist günstiger: \(O_a=52\,\text{cm}^2<56\,\text{cm}^2=O_b\).

- Welche drei Rechtecksseiten benötigen tatsächlich Zaun? - Drücke zuerst die Seite parallel zur Mauer in Abhängigkeit von \(x\) aus. - Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner beiden Seitenlängen.

Für die Seite parallel zur Mauer bleiben nach den beiden Seiten der Länge \(x\) noch \(20-2x\) Meter Zaun. Der Flächeninhalt ist daher \(A(x)=x(20-2x)\). Gesucht ist also Antwort A.

A) \(A(x)=x(20-2x)\)

- Welche Angabe muss bei jeder zulässigen Wahl von \(x\) und \(y\) unverändert bleiben? - Welche geometrische Größe beschreibt die Länge des gesamten Rahmens? - Unterscheide zwischen einer Bedingung für zulässige Rechtecke und der Größe, die möglichst klein werden soll.

1. Die vorgegebene Fläche liefert die Nebenbedingung \(xy=1{,}8\). 2. Die Länge des umlaufenden Rahmens ist der Umfang des Rechtecks. Daher ist \(U(x,y)=2x+2y\) die zu minimierende Zielgröße.

Nebenbedingung: \(xy=1{,}8\). Zielfunktion: Der Umfang \(U(x,y)=2x+2y\) soll minimiert werden.

- Welche Größe ist durch die Aufgabenstellung bereits festgelegt? - Welche geometrische Größe beschreibt unmittelbar den benötigten Blechverbrauch? - Unterscheide zwischen einer vorgegebenen Bedingung und der Größe, die möglichst klein werden soll.

1. Das Volumen ist bereits vorgegeben und muss daher als Bedingung eingehalten werden. 2. „Möglichst wenig Blech“ bedeutet, dass die gesamte Oberfläche der Dose möglichst klein sein soll. 3. Die Zielfunktion ist deshalb die Oberfläche \(O\).

Die Zielfunktion ist die Oberfläche \(O\), denn der Blechverbrauch soll minimiert werden. Das Volumen ist dagegen vorgegeben und gehört zur Nebenbedingung.

- Welche Bedingung muss für die Seitenlänge \(y\) gelten? - Prüfe bei den drei Vorschlägen, für welche Werte \(y=30-2x\) positiv bleibt.

1. Wegen positiver Seitenlängen muss \(x>0\) und zugleich \(y=30-2x>0\) gelten. 2. Damit ist genau der Bereich \(0<x<15\) möglich. Also ist A richtig.

A: \(0<x<15\).

- Welche Beziehung besteht zwischen \(B(u)\) und \(d(u)\)? - Welche Werte kann ein Abstand überhaupt annehmen? - Überlege, ob Quadrieren bei zwei nichtnegativen Zahlen ihre Größenordnung vertauschen kann.

1. Für jeden zulässigen Wert von \(u\) gilt \(d(u)\ge0\) und \(B(u)=d(u)^2\). 2. Auf den nichtnegativen Zahlen ist die Funktion \(z\mapsto z^2\) streng monoton steigend. 3. Deshalb ist genau dort, wo \(d(u)\) minimal ist, auch \(B(u)\) minimal. Die Wurzel kann bei der Optimierung also vermieden werden.

\(B(u)=d(u)^2\) besitzt dieselbe Minimalstelle wie \(d(u)\), weil Quadrieren auf \([0;\infty)\) die Reihenfolge der Abstände nicht verändert.

- Welche Größe soll maximiert werden? Formuliere dafür eine Gleichung. - Welche Einschränkung gibt es durch die Zaunlänge? Achte darauf, dass eine Seite nicht eingezäunt werden muss. - Kannst du die zu maximierende Größe so ausdrücken, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Wie findet man mithilfe der Ableitung den höchsten Punkt einer Funktion?

1. Sei \(x\) die Länge einer der beiden zur Stallwand senkrechten Seiten und \(y\) die Länge der parallelen Seite. Dann gilt \(A(x,y)=xy\) und \(2x+y=60\). 2. Damit ist \(y=60-2x\) und \(A(x)=60x-2x^2\) für \(0<x<30\). 3. Aus \(A'(x)=60-4x=0\) folgt \(x=15\,\text{m}\). Mit \(A''(x)=-4<0\) liegt ein lokales Maximum vor. Da \(A\) eine nach unten geöffnete quadratische Funktion ist und an beiden Randlagen gegen \(0\) geht, ist das Maximum absolut. 4. Es folgt \(y=60-2\cdot15=30\,\text{m}\).

Die Seitenlängen des Geheges betragen \(15\,\text{m}\) senkrecht zur Wand und \(30\,\text{m}\) parallel zur Wand.

- Überlege dir, wie die Breite des Blechs auf die drei Seiten des Querschnitts verteilt wird. - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man in der Analysis den höchsten Punkt einer Funktion? - Prüfe, ob dein Ergebnis im Kontext der ursprünglichen Blechbreite sinnvoll ist.

1. Für den Querschnitt gilt \(2h+b=24\), also \(b=24-2h\). Damit eine nicht entartete Rinne entsteht, gilt \(0<h<12\). 2. Die Querschnittsfläche ist \(A(h)=h(24-2h)=24h-2h^2\). 3. Aus \(A'(h)=24-4h=0\) folgt \(h=6\,\text{cm}\). Mit \(A''(h)=-4<0\) liegt ein lokales Maximum vor. Da die Zielfunktion eine nach unten geöffnete quadratische Funktion ist und an den Randlagen gegen \(0\) geht, ist es das absolute Maximum.

Die Höhe der Seitenwände muss \(h=6\,\text{cm}\) betragen.

- Welche Bedingungen müssen die Seitenlängen eines echten Rechtecks erfüllen? - Prüfe nicht nur \(x\), sondern auch die daraus berechnete Länge \(y\). - Übersetze die Positivitätsbedingung für \(y\) in eine Bedingung für \(x\).

1. Aus \(y=30-2x\) folgt für ein echtes Rechteck neben \(x>0\) auch \(y>0\). 2. Die Bedingung \(30-2x>0\) ist gleichbedeutend mit \(x<15\). 3. Deshalb lautet der sachlich sinnvolle Bereich \(0<x<15\). Leos obere Grenze \(30\) würde für \(x\ge15\) eine nicht positive dritte Seitenlänge liefern.

Der korrekte Bereich ist \(0<x<15\). Für \(x\ge15\) wäre \(y=30-2x\le0\) und damit kein Rechteck mit positiven Seitenlängen möglich.

- Prüfe eine stationäre Stelle immer zuerst gegen alle Bedingungen des Sachzusammenhangs. - Wie verhält sich die Flächenfunktion auf dem tatsächlich zulässigen Intervall? - Wenn im Inneren kein zulässiger Kandidat liegt, welche Rolle kann der Rand des Bereichs spielen?

1. Wegen der zusätzlichen Wegbegrenzung gilt \(0<x\le2\). Die stationäre Stelle \(x=3\) liegt außerhalb dieses zulässigen Bereichs und kann deshalb nicht die Lösung sein. 2. Es ist \(A'(x)=12-4x\). Für \(0<x\le2\) gilt \(A'(x)>0\), also wächst die Fläche im gesamten zulässigen Bereich. 3. Das Maximum liegt daher am Rand bei \(x=2\). Dann ist die dritte Seite \(12-2\cdot2=8\,\text{m}\) lang und \(A(2)=16\,\text{m}^2\).

Die Schlussfolgerung ist falsch, weil \(x=3\) nicht zulässig ist. Das Maximum liegt am Rand bei \(x=2\) und beträgt \(16\,\text{m}^2\).

- Suche ein großes und ein kleines Dreieck, die durch denselben Lichtstrahl begrenzt werden. - Welche Winkel stimmen in diesen beiden Dreiecken überein? - Ordne anschließend die entsprechenden Höhen und waagerechten Seiten einander zu. - Beachte, dass die Grundseite des großen Dreiecks nicht \(x\), sondern aus zwei Teilstrecken zusammengesetzt ist.

1. Das große Dreieck aus Leuchte, Mastfuß und Schattenspitze und das kleine Dreieck aus Kopf, Fußpunkt der Person und Schattenspitze sind ähnlich: Beide sind rechtwinklig und besitzen an der Schattenspitze denselben Winkel. 2. Die entsprechenden Höhen sind \(6\,\text{m}\) und \(1{,}8\,\text{m}\). Die zugehörigen waagerechten Seiten haben die Längen \(x+y\) und \(y\). 3. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{6}{x+y}=\frac{1{,}8}{y}\). 4. Damit gilt \(6y=1{,}8x+1{,}8y\), also \(4{,}2y=1{,}8x\). 5. Somit ist \(y(x)=\frac{3}{7}x\).

Die beiden rechtwinkligen Dreiecke mit gemeinsamer Schattenspitze sind ähnlich. Daher gilt \(\frac{6}{x+y}=\frac{1{,}8}{y}\) und somit \(y(x)=\frac{3}{7}x\).

- Welche obere Begrenzung des Rechtecks ist links von der Knickstelle aktiv? - Was ändert sich, sobald die rechte Rechteckseite rechts von der Knickstelle liegt? - Bestimme aus den eingezeichneten Längen die Steigung des schrägen Randes.

1. Bis zur senkrechten Projektion der Knickstelle ist die obere Begrenzung waagerecht. Für \(0<x\le4\) gilt daher \(y_{\max}(x)=6\). 2. Rechts der Knickstelle fällt die Begrenzung über eine horizontale Strecke von \(12\,\text{m}\) um \(6\,\text{m}\). Ihre Steigung ist deshalb \(-\frac12\). 3. Die fallende Gerade hat bei \(x=4\) den Wert \(6\), also \(y=6-\frac12(x-4)=8-\frac12x\). 4. Damit gilt für \(0<x<16\): \(y_{\max}(x)=6\) für \(0<x\le4\) und \(y_{\max}(x)=8-\frac12x\) für \(4<x<16\).

\(y_{\max}(x)=6\) für \(0<x\le4\) und \(y_{\max}(x)=8-\frac12x\) für \(4<x<16\).

- Welche drei Rechteckseiten werden mit dem Absperrband begrenzt? - Drücke die Frontbreite \(y\) durch die Tiefe \(x\) aus. - Untersuche die beiden zulässigen Tiefenintervalle getrennt, statt den Scheitelwert ungeprüft zu übernehmen. - Vergleiche die jeweils größten zulässigen Flächenwerte.

1. Das Absperrband verläuft an zwei Tiefenseiten und an der Front. Daher gilt \(2x+y=20\) und somit \(y=20-2x\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A(x)=xy=x(20-2x)=20x-2x^2\). 3. Die Parabel besitzt ihren Scheitel bei \(x=5\). Dieser Wert ist wegen der Säulen nicht zulässig. 4. Auf \([1;3]\) steigt \(A\), also ist dort \(A(3)=42\,\text{m}^2\) maximal. 5. Auf \([6;8]\) fällt \(A\), also ist dort \(A(6)=48\,\text{m}^2\) maximal. 6. Der Vergleich ergibt das globale zulässige Maximum bei \(x=6\,\text{m}\). Dann ist \(y=20-12=8\,\text{m}\).

\(A(x)=20x-2x^2\) für \(x\in[1;3]\cup[6;8]\). Das flächengrößte zulässige Rechteck hat \(x=6\,\text{m}\), \(y=8\,\text{m}\) und den Flächeninhalt \(48\,\text{m}^2\).

- Welche senkrechte und welche waagerechte Komponente hat eine Seitenwand? - Wie lang ist dadurch die obere parallele Seite des Trapezes? - Welche Größen brauchst du für die Flächenformel eines Trapezes?

1. Die Höhe des trapezförmigen Querschnitts ist \(5\sin(\alpha)\). 2. Jede Seitenwand vergrößert die obere Breite um \(5\cos(\alpha)\). Die obere parallele Seite hat daher die Länge \(8+10\cos(\alpha)\). 3. Mit der Trapezformel folgt \(A(\alpha)=\frac12\bigl(8+8+10\cos(\alpha)\bigr)\cdot5\sin(\alpha)\). 4. Damit ist \(A(\alpha)=5(8+5\cos(\alpha))\sin(\alpha)\). Für nach außen geneigte Seitenwände ist \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) sinnvoll.

\(A(\alpha)=5(8+5\cos(\alpha))\sin(\alpha)\) für \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\).

- Nutze die bereits angegebene Ableitung zusammen mit dem zulässigen Bereich. - Vergiss bei einem absoluten Maximum die Randpunkte nicht. - Welche bestimmte Integration beschreibt die gesamte Fläche im ersten Quadranten? - Vergleiche anschließend optimale Rechteckfläche und Gesamtfläche durch einen Quotienten.

1. Aus \(A'(u)=6-3u^2=0\) folgt im zulässigen Bereich \(u=\sqrt2\). 2. An den Randpunkten gilt \(A(0)=0\) und \(A(\sqrt6)=0\), während \(A(\sqrt2)=4\sqrt2>0\). Damit liegt bei \(u=\sqrt2\) das absolute Maximum. 3. Der gesamte Flächeninhalt ist \(I=\int_0^{\sqrt6}(6-x^2)\,dx=[6x-\frac13x^3]_0^{\sqrt6}=4\sqrt6\). 4. Der Anteil des optimalen Rechtecks ist \(\frac{4\sqrt2}{4\sqrt6}=\frac1{\sqrt3}\approx0{,}577\), also etwa \(57{,}7\,\%\).

a) \(u=\sqrt2\) b) \(I=4\sqrt6\) c) \(\frac1{\sqrt3}\approx57{,}7\,\%\)

- Welche Höhe bleibt oberhalb des ersten Zylinders vom ursprünglichen Kegel übrig? - Welche Beziehung liefert der Strahlensatz zwischen Radius und Höhe verschiedener Kegelquerschnitte? - Vergleiche die beiden linearen Verkleinerungsfaktoren, bevor du die gegebene Optimalregel erneut verwendest. - Überlege für die Begründung, ob die Optimalregel von absoluten Längen oder von dimensionslosen Verhältnissen abhängt.

1. Der erste Zylinder hat die Höhe \(H_1=\frac{H}{3}\). Daher besitzt der Restkegel die Höhe \(H_2=H-\frac{H}{3}=\frac{2H}{3}\). 2. Mit dem Strahlensatz gilt für den Kegelquerschnitt \(\frac{R_2}{R}=\frac{H_2}{H}=\frac23\). Daher ist \(R_2=\frac{2R}{3}\). Die gleichen linearen Verkleinerungsfaktoren zeigen, dass Restkegel und Ausgangskegel ähnlich sind. 3. Auf den Restkegel wird dieselbe Verhältnisregel angewendet. Der zweite optimale Zylinder hat somit die Höhe \(h_2=\frac{H_2}{3}=\frac{2H}{9}\). 4. Sein Radius ist \(r_2=\frac{2R_2}{3}=\frac{4R}{9}\). 5. Die Übertragung ist zulässig, weil der Restkegel zum ursprünglichen Kegel ähnlich ist und die bereits hergeleitete Optimalregel nur von den dimensionslosen Verhältnissen \(h/H\) und \(r/R\) abhängt, nicht von den absoluten Maßen.

a) Restkegel: \(R_2=\frac{2R}{3}\), \(H_2=\frac{2H}{3}\) und \(\frac{R_2}{R}=\frac{H_2}{H}=\frac23\) b) Zweiter optimaler Zylinder: \(r_2=\frac{4R}{9}\), \(h_2=\frac{2H}{9}\) c) Der Restkegel ist zum Ausgangskegel ähnlich; deshalb gilt dieselbe dimensionslose Optimalregel auch für ihn.

- Überlege dir zuerst, wie die Gesamtlänge des Zauns mit den Seitenlängen des Rechtecks zusammenhängt, wenn eine Seite wegfällt. - Suche eine Gleichung für die Fläche, in der nur noch eine Variable vorkommt. - Welche Werte kann die Seitenlänge im Sachzusammenhang minimal und maximal annehmen? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für Extremstellen bei differenzierbaren Funktionen. - Warum ist es wichtig, auch die Werte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen?

1. Hauptbedingung: \(A(x, y) = xy\), wobei \(x\) die Seite parallel zur Wand und \(y\) die Seiten senkrecht zur Wand sind. Nebenbedingung: \(x + 2y = 60 \Rightarrow x = 60 - 2y\). Einsetzen in die Hauptbedingung ergibt die Zielfunktion \(A(y) = (60 - 2y)y = 60y - 2y^2\). Da die Seitenlängen nicht negativ sein können, gilt \(y \ge 0\) und \(60 - 2y \ge 0 \Rightarrow y \le 30\). Der Definitionsbereich ist \(D = [0; 30]\). 2. Ableitung bilden: \(A'(y) = 60 - 4y\). Nullstelle der ersten Ableitung: \(60 - 4y = 0 \Rightarrow y = 15\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(A''(y) = -4 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Die zugehörige Seite \(x\) ist \(x = 60 - 2 \cdot 15 = 30\). 3. Maximaler Flächeninhalt: \(A(15) = 30 \cdot 15 = 450\,\text{m}^2\). Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(30) = 0\). Da die Funktion stetig ist und der Wert an der Stelle \(y = 15\) größer als die Werte an den Rändern ist, handelt es sich um das absolute Maximum im betrachteten Intervall.

1. Zielfunktion: \(A(y) = 60y - 2y^2\); Definitionsbereich: \(D = [0; 30]\) 2. Die Seiten senkrecht zur Wand betragen \(y = 15\,\text{m}\), die Seite parallel zur Wand beträgt \(x = 30\,\text{m}\). 3. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(450\,\text{m}^2\). Da die Randwerte \(A(0) = 0\) und \(A(30) = 0\) kleiner als der lokale Extremwert sind, liegt ein absolutes Maximum vor.

- Wie berechnet man den Umfang eines Quadrats und das Volumen eines Quaders? - Nutze die Bedingung für die Summe aus Höhe und Umfang, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Denke beim Ableiten der Funktion an die Potenzregel. - Überprüfe dein Ergebnis für die Seitenlänge, indem du sicherstellst, dass die Höhe des Pakets dabei positiv bleibt.

1. Die Grundfläche ist quadratisch mit der Seitenlänge \(x\), also ist der Umfang \(U = 4x\). Die Nebenbedingung lautet \(h + 4x = 108\), woraus folgt \(h = 108 - 4x\). Das Volumen eines Quaders ist \(V = Gh = x^2h\). Einsetzen der Nebenbedingung ergibt \(V(x) = x^2(108 - 4x) = 108x^2 - 4x^3\). Für ein nicht entartetes Paket muss \(x>0\) und \(h>0\) gelten, also \(0<x<27\). 2. Die erste Ableitung der Volumenfunktion ist \(V'(x) = 216x - 12x^2 = 12x(18-x)\). Nullsetzen ergibt \(x=0\) oder \(x=18\). Die Randlösung \(x=0\) gehört nicht zum physikalischen Definitionsbereich. Für \(0<x<18\) gilt \(V'(x)>0\), für \(18<x<27\) gilt \(V'(x)<0\). Damit steigt \(V\) bis \(x=18\) und fällt danach wieder. Außerdem gilt \(V(x)\to0\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to27^-\). Somit liegt bei \(x=18\) das eindeutige absolute Maximum im physikalischen Bereich. Die zweite Ableitung \(V''(18)=-216<0\) bestätigt zusätzlich den lokalen Hochpunkt. Die Höhe ist \(h = 108 - 4 \cdot 18 = 36\,\text{cm}\). 3. Das maximale Volumen berechnet sich zu \(V(18) = 18^2 \cdot 36 = 324 \cdot 36 = 11\,664\,\text{cm}^3\).

1. Nachweis über \(h = 108 - 4x\) und \(V = x^2h\), mit \(0<x<27\). 2. Das Volumen wird maximal für eine Seitenlänge von \(x = 18\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 36\,\text{cm}\). 3. Das maximale Volumen beträgt \(11\,664\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, wenn die Eckpunkte durch den Ursprung und einen variablen Punkt auf einer Kurve gegeben sind. - Stelle eine Funktion auf, die nur von der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) abhängt. - Wie findet man in der Analysis den größten Wert einer Funktion innerhalb eines bestimmten Bereichs? - Vergiss nicht, auch die Werte an den Rändern des Definitionsbereichs zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da \(x \geq 0\) und \(f(x) \geq 0\) im gegebenen Intervall, gilt \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x - 6)^2 = x^3 - 12x^2 + 36x\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 3x^2 - 24x + 36\). 3. Bestimmung der stationären Punkte: \(3x^2 - 24x + 36 = 0 \implies x^2 - 8x + 12 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Die zweite Ableitung ist \(A''(x) = 6x - 24\). Für \(x_1 = 2\) ergibt sich \(A''(2) = 12 - 24 = -12 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Für \(x_2 = 6\) ergibt sich \(A''(6) = 36 - 24 = 12 > 0\), ein lokales Minimum. 5. Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(6) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 2\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = (2 - 6)^2 = 16\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 | 16)\).

\(P(2 | 16)\)

- Welche geometrische Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wie hängen Radius und Höhe zusammen, wenn das Volumen fest vorgegeben ist? - Stelle eine Formel für die gesamte Oberfläche auf und ersetze eine der Variablen. - Woran erkennt man mathematisch einen Tiefpunkt einer Funktion? - Überlege, wie du die berechnete Höhe mit dem Radius vergleichen kannst.

1. Aus \(\pi r^2h=15\) folgt \(h=\frac{15}{\pi r^2}\) für \(r>0\). 2. Die Oberfläche des geschlossenen Zylinders ist \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). Einsetzen der Nebenbedingung ergibt \(O(r)=2\pi r^2+\frac{30}{r}\). 3. Es ist \(O'(r)=4\pi r-\frac{30}{r^2}\). Aus \(O'(r)=0\) folgt \(4\pi r^3=30\), also \(r=\sqrt[3]{\frac{7{,}5}{\pi}}\approx1{,}3365\,\text{m}\). 4. Da \(O''(r)=4\pi+\frac{60}{r^3}>0\) für alle \(r>0\), ist \(O\) streng konvex. Außerdem gilt \(O(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\). Der einzige kritische Punkt ist daher das absolute Minimum. 5. Die zugehörige Höhe ist \(h=\frac{15}{\pi r^2}\approx2{,}6730\,\text{m}\). Aus \(r^3=\frac{7{,}5}{\pi}\) folgt \(h=\frac{15}{\pi r^2}=2r\). Somit entspricht die Höhe genau dem Durchmesser.

a) \(O(r)=2\pi r^2+\frac{30}{r}\) für \(r>0\) b) Absolutes Minimum bei \(r\approx1{,}34\,\text{m}\) und \(h\approx2{,}67\,\text{m}\) c) Im Minimum gilt \(h=2r\); die Höhe entspricht dem Durchmesser.

- Welche Flächen gehören beim oben offenen Becken zur Innenfläche? - Nutze das feste Volumen, um die Höhe durch den Radius auszudrücken. - Vergleiche in Teil c) zwei verschiedene Oberflächenmodelle bei derselben Volumenbedingung. - Prüfe bei beiden Modellen, ob der gefundene innere Extremwert tatsächlich das globale Minimum liefert.

1. Aus \(\pi r^2h=50\) folgt \(h=\frac{50}{\pi r^2}\) für \(r>0\). 2. Für das oben offene Becken gilt \(A=\pi r^2+2\pi rh\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung liefert \(A(r)=\pi r^2+\frac{100}{r}\). 4. Es ist \(A'(r)=2\pi r-\frac{100}{r^2}\). Aus \(A'(r)=0\) folgt \(2\pi r^3=100\) und damit \(r=\sqrt[3]{\frac{50}{\pi}}\approx2{,}515\,\text{m}\). 5. Wegen \(\pi r^3=50\) gilt \(h=\frac{50}{\pi r^2}=r\approx2{,}515\,\text{m}\). Da \(A(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\), ist dies das absolute Minimum. 6. Für das offene Becken gilt somit im Optimum \(h{:}r=1{:}1\). 7. Für eine vollständig geschlossene Dose gleichen Volumens lautet die Oberfläche \(A_{\mathrm{g}}=2\pi r^2+2\pi rh\). Mit \(h=\frac{50}{\pi r^2}\) ergibt sich \(A_{\mathrm{g}}(r)=2\pi r^2+\frac{100}{r}\). 8. Aus \(A_{\mathrm{g}}'(r)=4\pi r-\frac{100}{r^2}=0\) folgt \(\pi r^3=25\). Damit ist \(h=\frac{50}{\pi r^2}=2r\), also \(h{:}r=2{:}1\).

a) \(A(r)=\pi r^2+\frac{100}{r}\) b) \(r\approx2{,}52\,\text{m}\) und \(h\approx2{,}52\,\text{m}\) c) Offenes Becken: \(h{:}r=1{:}1\). Vollständig geschlossene Dose gleichen Volumens bei minimaler Oberfläche: \(h{:}r=2{:}1\).

- Nutze die Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen eines Zylinders. - Drücke die Höhe \(h\) durch den Radius \(r\) aus, indem du die gegebene Oberfläche verwendest. - Bestimme die Zielfunktion für das Volumen in Abhängigkeit vom Radius. - Suche nach dem globalen Maximum dieser Funktion im sinnvollen Definitionsbereich. - Prüfe, ob das Zielvolumen innerhalb des Wertebereichs der Funktion liegt.

1. Aus \(2\pi r^2+2\pi rh=24\pi\) folgt \(h=\frac{12-r^2}{r}\). Für einen physikalisch sinnvollen Tank gilt \(r>0\) und \(h>0\), also \(0<r<\sqrt{12}\). 2. Das Volumen ist \(V(r)=\pi r^2h=\pi(12r-r^3)\). 3. Es ist \(V'(r)=\pi(12-3r^2)\). Der einzige kritische Punkt im Definitionsbereich ist \(r=2\). Zudem gilt \(V''(r)=-6\pi r<0\) für \(r>0\), sodass \(V\) streng konkav ist. 4. An den Randgrenzen des physikalischen Bereichs gilt \(V(r)\to0\) für \(r\to0^+\) und für \(r\to\sqrt{12}^-\). Daher ist der kritische Punkt bei \(r=2\) das absolute Maximum. 5. Das maximale Volumen beträgt \(V(2)=\pi(24-8)=16\pi\,\text{m}^3\). Da \(16\pi<20\pi\), kann das geforderte Fassungsvermögen nicht erreicht werden.

Nein, ein solcher Tank kann nicht hergestellt werden. Das bei dieser Oberfläche maximal mögliche Volumen beträgt lediglich \(16\pi\,\text{m}^3\), was kleiner ist als die geforderten \(20\pi\,\text{m}^3\).

- Stelle zuerst eine Formel für die Gesamtkosten auf, wobei du unterschiedliche Faktoren für die verschiedenen Flächen nutzt. - Wie kannst du die Höhe der Dose durch das Volumen und den Radius ausdrücken? - Setze diesen Ausdruck in deine Kostenformel ein, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch vom Radius abhängt. - Suche den Tiefpunkt dieser Funktion. - Musst du die konkreten Kosten \(c\) kennen, um das optimale Verhältnis der Maße zu finden?

1. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\). Seien \(c\) die Kosten pro \(\text{cm}^2\) für die Mantelfläche, dann sind \(3c\) die Kosten für Boden und Deckel. Es gilt: \(K = 3c(2\pi r^2) + c(2\pi r h) = c(6\pi r^2 + 2\pi r h)\). 2. Nutzung der Nebenbedingung \(V = \pi r^2 h = 500\), um \(h\) zu eliminieren: \(h = \frac{500}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen in die Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K(r) = c(6\pi r^2 + 2\pi r\frac{500}{\pi r^2}) = c(6\pi r^2 + \frac{1000}{r})\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(r\): \(K'(r) = c(12\pi r - \frac{1000}{r^2})\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Minimums: \(12\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \implies 12\pi r^3 = 1000 \implies r = \sqrt[3]{\frac{250}{3\pi}}\). 6. Da \(K''(r) = c(12\pi + \frac{2000}{r^3}) > 0\) für alle \(r > 0\), liegt ein Minimum vor. 7. Bestimmung des Verhältnisses \(\frac{h}{r}\): Aus \(12\pi r^3 = 2 \cdot 500\) und \(500 = \pi r^2 h\) folgt durch Einsetzen \(12\pi r^3 = 2\pi r^2 h\). Kürzen durch \(2\pi r^2\) ergibt \(6r = h\). 8. Das optimale Verhältnis ist somit \(h{:}r=6{:}1\).

Die Materialkosten werden minimiert, wenn das Verhältnis von Höhe zu Radius \(h{:}r=6{:}1\) beträgt (bzw. \(h = 6r\)).

- Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf dem Graphen liegt? - Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie geht man mit der oberen Grenze \(\infty\) bei einem Integral um? - Was bedeutet „prozentualer Anteil“ mathematisch für zwei gegebene Flächeninhalte?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Rechtecks: \(A(x) = x \cdot f(x) = 24x \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(A'(x) = 24 \cdot e^{-0{,}2x} + 24x \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (24 - 4{,}8x) \cdot e^{-0{,}2x}\). 3. Nullstelle der Ableitung finden: \(24 - 4{,}8x = 0 \implies x = 5\). 4. Nachweis des Maximums (z. B. über \(A''(x)\) oder Vorzeichenwechsel): \(A''(x) = (-9{,}6 + 0{,}96x) \cdot e^{-0{,}2x}\); \(A''(5) = -4{,}8 \cdot e^{-1} < 0\), also Maximum bei \(x = 5\). 5. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(5) = 24 \cdot 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 5} = 120 \cdot e^{-1} \approx 44{,}15\). 6. Berechnung des uneigentlichen Integrals für die Gesamtfläche: \(A_{\text{ges}} = \int_{0}^{\infty} 24 \cdot e^{-0{,}2x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{24}{-0{,}2} e^{-0{,}2x} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left[ -120 e^{-0{,}2x} \right]_0^b = 0 - (-120) = 120\). 7. Berechnung des prozentualen Anteils: \(\frac{A(5)}{A_{\text{ges}}} = \frac{120 \cdot e^{-1}}{120} = e^{-1} \approx 0{,}3679\), was \(36{,}79\,\%\) entspricht.

a) Das Maximum liegt bei \(x = 5\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(A(5) = 120 \cdot e^{-1} \approx 44{,}15\). b) Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{ges}} = 120\). c) Der Anteil beträgt \(e^{-1} \approx 36{,}79\,\%\).

- Welche Koordinaten haben die beiden Punkte, deren Abstand du untersuchen sollst? - Kannst du die Abstandsfunktion so betrachten, dass die Lage ihres Minimums leichter zu untersuchen ist, ohne die gesuchte Stelle zu verändern? - Welche Einschränkung ergibt sich aus dem Definitionsbereich von \(f\)? - Wie kannst du sicherstellen, dass dein gefundener Wert ein globales Minimum liefert?

1. Die Abstandsfunktion lautet \(d(x)=\sqrt{(x-3)^2+(\sqrt{x+5})^2}=\sqrt{x^2-5x+14}\). 2. Da die Wurzelfunktion streng monoton wächst, besitzt \(d\) ihr Minimum an derselben Stelle wie \(h(x)=x^2-5x+14\). 3. Es ist \(h'(x)=2x-5\). Aus \(h'(x)=0\) folgt \(x=2{,}5\). 4. Die Funktion \(h\) ist eine nach oben geöffnete Parabel; daher liegt bei \(x=2{,}5\) ihr globales Minimum vor. 5. Der minimale Abstand ist \(d(2{,}5)=\sqrt{7{,}75}=\frac{\sqrt{31}}{2}\approx2{,}78\). 6. Am Rand des Definitionsbereichs gilt \(d(-5)=8\); damit bestätigt auch der Randvergleich das globale Minimum.

Der Abstand wird für \(x=2{,}5\) minimal. Der minimale Abstand beträgt \(\frac{\sqrt{31}}{2}\approx2{,}78\).

- Welche Maße bestimmen die Fläche des Rechtecks und welche den gesamten Umfang? - Nutze die Umfangsvorgabe, um eine der Variablen durch die andere auszudrücken. - Achte darauf, dass nur an einer Seite ein Halbkreis angesetzt ist und die gegenüberliegende Seite des Rechtecks Teil des Umfangs ist. - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Flächenfunktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Fläche des Rechtecks: \(A(b, h) = bh\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang: \(U = b + 2h + \frac{\pi}{2}b = 200\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(2h = 200 - b(1 + \frac{\pi}{2}) \Rightarrow h = 100 - b(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion: \(A(b) = b(100 - b(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})) = 100b - (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})b^2\). Aus \(b>0\) und \(h>0\) folgt \(0<b<\frac{400}{2+\pi}\). 5. Ableiten der Zielfunktion nach \(b\): \(A'(b) = 100 - (1 + \frac{\pi}{2})b\). 6. Bestimmung des Extremums durch Nullsetzen der Ableitung: \(100 - (1 + \frac{\pi}{2})b = 0 \Rightarrow b = \frac{100}{1 + \frac{\pi}{2}} = \frac{200}{2 + \pi} \approx 38{,}91\,\text{m}\). 7. Berechnung der zugehörigen Länge \(h\): \(h = 100 - \frac{200}{2 + \pi} \cdot \frac{2 + \pi}{4} = 100 - 50 = 50\,\text{m}\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(b) = -(1 + \frac{\pi}{2}) < 0\). Die Zielfunktion ist auf dem gesamten zulässigen Intervall streng konkav; der einzige innere Extrempunkt ist daher das absolute Maximum.

Die Breite des Spielfeldes beträgt \(b = \frac{200}{2 + \pi} \approx 38{,}91\,\text{m}\) und die Länge beträgt \(h = 50\,\text{m}\). Damit wird die Rechtecksfläche absolut maximal.

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken sich der äußere Umfang zusammensetzt. Gehört die Trennlinie zwischen Rechteck und Dreieck dazu? - Erinnere dich an die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge. - Drücke die Höhe des Rechtecks durch die Breite aus, indem du die Flächenvorgabe nutzt. - Die Zielfunktion sollte am Ende nur noch von der Variablen \(b\) abhängen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den äußeren Umfang: \(P(b, h) = b + 2h + 2b = 3b + 2h\) (die untere Seite, die zwei Seitenwände des Rechtecks und die zwei Schenkel des Dreiecks). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Fläche: \(A = bh + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = 10\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{10 - \frac{\sqrt{3}}{4}b^2}{b} = \frac{10}{b} - \frac{\sqrt{3}}{4}b\). Damit das Rechteck eine positive Höhe hat, gilt \(0<b<\sqrt{\frac{40}{\sqrt3}}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(P(b) = 3b + 2(\frac{10}{b} - \frac{\sqrt{3}}{4}b) = (3 - \frac{\sqrt{3}}{2})b + \frac{20}{b}\). 5. Ableiten der Funktion nach \(b\): \(P'(b) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{20}{b^2}\). 6. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(b^2 = \frac{20}{3 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow b = \sqrt{\frac{40}{6 - \sqrt{3}}} \approx 3{,}06\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(P''(b) = \frac{40}{b^3} > 0\) für \(b > 0\), somit liegt ein Minimum im zulässigen Bereich vor.

Die optimale Breite des Logos beträgt \(b = \sqrt{\frac{40}{6 - \sqrt{3}}} \approx 3{,}06\,\text{cm}\). Für die Modellierung gilt \(0<b<\sqrt{\frac{40}{\sqrt3}}\), damit die Rechteckhöhe positiv bleibt.

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen den drei Kantenlängen eines Quaders und seinem Volumen? - Wie lässt sich die Oberfläche eines geschlossenen Quaders aus seinen Kantenlängen zusammensetzen? - Kannst du eine Variable durch eine andere ausdrücken, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren? - Überlege dir, für welchen Wert der ersten Ableitung einer Funktion ein Extrempunkt vorliegen kann.

1. Aufstellen der Volumenbedingung mit Breite \(b\), Länge \(l = 2b\) und Höhe \(h\): \(V = 2b^2h = 72\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{36}{b^2}\), also gilt \(b>0\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für den Oberflächeninhalt \(O\): \(O(b, h) = 2 \cdot (2b \cdot b) + 2 \cdot (2b \cdot h) + 2 \cdot (b \cdot h) = 4b^2 + 6bh\). 4. Substitution der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(O(b) = 4b^2 + 6b\frac{36}{b^2} = 4b^2 + \frac{216}{b}\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(O'(b) = 8b - \frac{216}{b^2}\). 6. Nullstellenberechnung der ersten Ableitung: \(8b - \frac{216}{b^2} = 0 \implies 8b^3 = 216 \implies b^3 = 27 \implies b = 3\). 7. Überprüfung der zweiten Ableitung \(O''(b) = 8 + \frac{432}{b^3}\): Da \(O''(3) = 24 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. Außerdem gilt \(O(b)\to\infty\) für \(b\to0^+\) und für \(b\to\infty\); der einzige kritische Punkt ist daher das absolute Minimum auf \(b>0\). 8. Berechnung der restlichen Maße: \(l = 2 \cdot 3 = 6\) und \(h = \frac{36}{3^2} = 4\).

Die Breite beträgt \(3\,\text{dm}\), die Länge \(6\,\text{dm}\) und die Höhe \(4\,\text{dm}\). Diese Abmessungen liefern das absolute Minimum des Oberflächeninhalts.

- Wie berechnet man das Volumen und die Teilflächen (Deckel, Boden, Mantel) eines Zylinders? - Erstelle eine Formel für die Gesamtkosten, indem du die Teilflächen mit ihren jeweiligen Preisen gewichtest. - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine Variable in deiner Kostenformel zu ersetzen. - Welches Verfahren aus der Differentialrechnung hilft dir dabei, den kleinsten Wert einer Funktion zu finden?

1. Aufstellen der Volumenformel als Nebenbedingung: \(V = \pi r^2 h = 2\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{2}{\pi r^2}\) für \(r>0\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\) unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Materialpreise: \(K(r, h) = 10 \cdot (2 \pi r^2) + 5 \cdot (2 \pi r h) = 20 \pi r^2 + 10 \pi r h\). 4. Einsetzen der Nebenbedingung in die Kostenfunktion: \(K(r) = 20 \pi r^2 + 10 \pi r\frac{2}{\pi r^2} = 20 \pi r^2 + \frac{20}{r}\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(K'(r) = 40 \pi r - \frac{20}{r^2}\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Extremwertsuche: \(40 \pi r - \frac{20}{r^2} = 0 \implies 40 \pi r^3 = 20 \implies r^3 = \frac{1}{2\pi}\). 7. Berechnung des optimalen Radius: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} \approx 0{,}542\,\text{m}\). 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{2}{\pi (1/2\pi)^{2/3}} = 2\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}} \approx 2{,}168\,\text{m}\). 9. Die zweite Ableitung \(K''(r) = 40 \pi + \frac{40}{r^3}\) ist für \(r > 0\) stets positiv. Außerdem gilt \(K(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\). Damit ist der einzige kritische Punkt das absolute Kostenminimum.

Der Radius beträgt ca. \(0{,}54\,\text{m}\) und die Höhe ca. \(2{,}17\,\text{m}\) (exakt: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}\,\text{m}\) und \(h = 2\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}\,\text{m}\)). Diese Maße liefern das absolute Kostenminimum.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Eckpunkte durch Koordinaten gegeben sind? - Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks mit dem Funktionswert an der Stelle \(u\) zusammenhängt. - Erinnere dich an die Quotientenregel für das Ableiten von Brüchen. - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Maximum erfüllt sein? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert im Definitionsbereich liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) in Abhängigkeit von \(u\): Da das Dreieck rechtwinklig mit der Grundseite \(u\) und der Höhe \(f(u)\) ist, gilt \(A(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot \frac{10 \ln(u)}{u^2} = \frac{5 \ln(u)}{u}\). 2. Bildung der ersten Ableitung mittels Quotientenregel: \(A'(u) = \frac{5 \cdot \frac{1}{u} \cdot u - 5 \ln(u) \cdot 1}{u^2} = \frac{5 - 5 \ln(u)}{u^2}\). 3. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung): \(5 - 5 \ln(u) = 0 \Leftrightarrow \ln(u) = 1 \Leftrightarrow u = e\). 4. Überprüfung der Art des Extremums (hinreichende Bedingung): Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(u)\) an der Stelle \(u = e\) von Plus nach Minus (da \(5 - 5 \ln(u) > 0\) für \(u < e\) und \(5 - 5 \ln(u) < 0\) für \(u > e\)) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(1) = 0\) und \(\lim_{u \to \infty} A(u) = 0\), liegt bei \(u = e\) das globale Maximum vor.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist für \(u = e\) am größten.

- Wie hängen die Seitenlängen des Rechtecks mit der Position des Punktes \(Q\) auf dem Graphen zusammen? - Nutze die Produktregel und die Kettenregel, um die Zielfunktion abzuleiten. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist – beachte dabei das Verhalten der \(e\)-Funktion. - Überprüfe dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung oder einem Vorzeichenwechselkriterium.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Rechtecks: \(A(u) = u \cdot g(u) = 12u \cdot e^{-0{,}25u^2}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(A'(u) = 12 \cdot e^{-0{,}25u^2} + 12u \cdot (-0{,}5u) \cdot e^{-0{,}25u^2} = (12 - 6u^2) \cdot e^{-0{,}25u^2}\). 3. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(12 - 6u^2 = 0 \Rightarrow u^2 = 2 \Rightarrow u = \sqrt{2}\) (da \(u \ge 0\)). 4. Nachweis des Maximums: Die zweite Ableitung \(A''(u) = (3u^3 - 18u) \cdot e^{-0{,}25u^2}\) ergibt an der Stelle \(u = \sqrt{2}\) den Wert \((6\sqrt{2} - 18\sqrt{2}) \cdot e^{-0{,}5} = -12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} < 0\), somit liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}25 \cdot 2} = 12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} \approx 10{,}29\). 6. Zusätzlich gilt \(A(0)=0\) und \(\lim_{u\to\infty}A(u)=0\). Damit ist die gefundene Maximalstelle global.

Der Flächeninhalt wird für \(u = \sqrt{2}\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} \approx 10{,}29\).

- Überlege dir zuerst, wie das Volumen des Inhalts mit dem Radius und der Füllhöhe zusammenhängt. - Wie hängen die Gesamthöhe der Dose und die Füllhöhe des Inhalts laut Text zusammen? - Die Oberfläche einer Dose besteht aus dem Mantel sowie zwei kreisförmigen Flächen (Boden und Deckel). - Ersetze die Höhe in deiner Oberflächenformel durch den Ausdruck, den du aus der Volumenbedingung erhalten hast. - Um ein Minimum zu finden, musst du die erste Ableitung der Zielfunktion gleich Null setzen.

a) Aus \(V_{\text{Inhalt}} = \pi r^2h_{\text{Füll}} = 800\,\text{cm}^3\) folgt \(h_{\text{Füll}} = \frac{800}{\pi r^2}\). Die Gesamthöhe ist \(h = \frac{800}{\pi r^2} + 2\). Für die geschlossene Dose gilt \(O(r)=2\pi r^2+2\pi rh\), also \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r} + 4\pi r\) für \(r>0\). b) Ableiten der Zielfunktion: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{1600}{r^2} + 4\pi\). Nullsetzen ergibt \(\pi r^3 + \pi r^2 - 400 = 0\). Numerisch folgt \(r \approx 4{,}72\,\text{cm}\). Die zugehörige Gesamthöhe ist \(h = \frac{800}{\pi \cdot 4{,}72^2} + 2 \approx 13{,}44\,\text{cm}\). Mit \(O''(r) = 4\pi + \frac{3200}{r^3} > 0\) für \(r > 0\) und \(O(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) sowie \(r\to\infty\) ist dies das absolute Minimum.

a) \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r} + 4\pi r\) für \(r>0\) b) \(r \approx 4{,}72\,\text{cm}\); \(h \approx 13{,}44\,\text{cm}\). Diese Maße liefern das absolute Minimum des Materialbedarfs.

- Achte auf einheitliche Einheiten (Rechnen in Metern oder Dezimetern). - Der Behälter ist oben offen, daher besteht die Oberfläche nur aus einer Grundfläche und vier Seitenflächen. - Drücke die Gesamthöhe durch die Füllhöhe und den Sicherheitsabstand aus. - Nutze das gegebene Volumen, um eine der Variablen in der Oberflächenformel zu eliminieren. - Die Ableitung der Zielfunktion liefert dir die notwendige Bedingung für ein Minimum.

1. Definition der Variablen: \(a\) ist die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche, \(h_w\) ist die Füllhöhe des Wassers, \(H\) ist die Gesamthöhe des Behälters. 2. Nebenbedingung Volumen: \(V = a^2 \cdot h_w = 2\,\text{m}^3\). Umstellen nach \(h_w\): \(h_w = \frac{2}{a^2}\) für \(a>0\). 3. Zusammenhang der Höhen: \(H = h_w + 0{,}2 = \frac{2}{a^2} + 0{,}2\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche (oben offen): \(A(a) = a^2 + 4a \cdot H\). 5. Einsetzen von \(H\): \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \left(\frac{2}{a^2} + 0{,}2\right) = a^2 + \frac{8}{a} + 0{,}8a\). 6. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(a) = 2a - \frac{8}{a^2} + 0{,}8\). 7. Extremwertbedingung \(A'(a) = 0\): \(2a^3 + 0{,}8a^2 - 8 = 0\), also \(a^3 + 0{,}4a^2 - 4 = 0\). 8. Numerische Lösung ergibt \(a \approx 1{,}46\,\text{m}\). 9. Berechnung der Gesamthöhe: \(H = \frac{2}{1{,}46^2} + 0{,}2 \approx 1{,}13\,\text{m}\). 10. Die zweite Ableitung \(A''(a) = 2 + \frac{16}{a^3}\) ist positiv für \(a > 0\). Zudem gilt \(A(a)\to\infty\) für \(a\to0^+\) und \(a\to\infty\), sodass der einzige kritische Punkt das absolute Minimum liefert.

Die Seitenlänge beträgt \(a \approx 1{,}46\,\text{m}\) und die Gesamthöhe beträgt \(H \approx 1{,}13\,\text{m}\). Diese Maße minimieren den Materialaufwand global.

- Überlege dir, wie man die Länge der Grundseite und die Höhe eines Dreiecks im Koordinatensystem bestimmt, wenn zwei Punkte auf derselben Höhe liegen. - Welche geometrische Formel nutzt man für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Um eine Formel allgemein nachzuweisen, setze die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von \(k\) in deine Flächenformel ein. - Wie findet man in der Analysis die Stelle, an der eine Funktion ihren größten Wert annimmt? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Für \(k=1\) ergibt sich \(f(1) = \frac{1^2}{1^2+4} = 0{,}2\). Die Punkte sind \(P_1(-1|0{,}2)\), \(Q_1(1|0{,}2)\) und \(R(0|1)\). Die Grundseite \(b\) verläuft parallel zur \(x\)-Achse mit Länge \(b = 1 - (-1) = 2\). Die Höhe \(h\) ist die Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(h = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}8 = 0{,}8\). 2. Allgemein ist die Grundseite \(b = 2k\) und die Höhe \(h = 1 - f(k) = 1 - \frac{k^2}{k^2+4} = \frac{k^2+4-k^2}{k^2+4} = \frac{4}{k^2+4}\). Der Flächeninhalt ergibt sich zu \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot 2k \cdot \frac{4}{k^2+4} = \frac{4k}{k^2+4}\). 3. Zur Bestimmung des Maximums wird die Ableitung gebildet: \(A'(k) = \frac{4(k^2+4) - 4k \cdot 2k}{(k^2+4)^2} = \frac{16 - 4k^2}{(k^2+4)^2}\). 4. Nullsetzen der Ableitung: \(16 - 4k^2 = 0 \Rightarrow k^2 = 4\). Da \(k > 0\), ist \(k = 2\). 5. Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(k)\) bei \(k=2\) von plus nach minus (da der Zähler eine nach unten geöffnete Parabel ist) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(k)\) für \(k \to 0\) und \(k \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist dies das globale Maximum. 6. Maximaler Flächeninhalt: \(A(2) = \frac{4 \cdot 2}{2^2+4} = \frac{8}{8} = 1\).

a) Für \(k=1\) ist der Flächeninhalt \(0{,}8\). Der allgemeine Term ist \(A(k) = \frac{4k}{k^2 + 4}\). b) Der Flächeninhalt ist für \(k = 2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(1\).

- Überlege dir, wie du die Breite des Dreiecks in Abhängigkeit von der Höhe \(k\) ausdrücken kannst. - Welche geometrische Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist hier nützlich? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Länge der Grundseite zu bestimmen. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein gefundenes Ergebnis im sinnvollen Bereich für \(k\) liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Die Schnittpunkte mit der Geraden \(y = k\) ergeben sich aus \(k = 12 - x^2\), woraus \(x^2 = 12 - k\) und somit \(x = \pm \sqrt{12 - k}\) folgt. Die Grundseite des Dreiecks ist \(g = 2 \cdot \sqrt{12 - k}\), die zugehörige Höhe ist \(h = k\). 2. Die Zielfunktion lautet \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{12 - k} \cdot k = k \cdot \sqrt{12 - k}\) für \(k \in (0; 12)\). 3. Ableitung der Zielfunktion mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(k) = 1 \cdot \sqrt{12 - k} + k \cdot \frac{1}{2\sqrt{12 - k}} \cdot (-1) = \frac{2(12 - k) - k}{2\sqrt{12 - k}} = \frac{24 - 3k}{2\sqrt{12 - k}}\). 4. Bestimmung des Extremums: \(A'(k) = 0 \implies 24 - 3k = 0 \implies k = 8\). 5. Überprüfung der Art des Extremums und des Randverhaltens: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'\) bei \(k = 8\) von Plus nach Minus bestätigt das lokale Maximum. Da \(\lim_{k \to 0^+} A(k) = 0\) und \(\lim_{k \to 12^-} A(k) = 0\), liegt bei \(k = 8\) das globale Maximum vor. 6. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(8) = 8 \cdot \sqrt{12 - 8} = 8 \cdot 2 = 16\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für \(k = 8\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16\) Flächeneinheiten.

- Stelle zuerst die Gleichung der Hypotenuse \(BC\) auf. - Wie hängt die Länge der horizontalen Strecke \(DE\) von \(k\) ab? - Welche Information über \(M\) genügt, um seinen senkrechten Abstand zu \(DE\) zu bestimmen? - Wie kannst du nachweisen, dass die gefundene Extremstelle tatsächlich ein Maximum liefert?

1. Die Hypotenuse durch \(B(12|0)\) und \(C(0|6)\) hat die Gleichung \(y=-0{,}5x+6\). 2. Es ist \(D(0|k)\). Aus \(k=-0{,}5x+6\) folgt für den zweiten Schnittpunkt \(E(12-2k|k)\). 3. Die Grundseite \(DE\) hat die Länge \(12-2k\). Da \(M\) auf \(AB\) und damit auf der \(x\)-Achse liegt, beträgt sein senkrechter Abstand von der Geraden \(y=k\) genau \(k\); seine genaue Lage auf \(AB\) ist dafür unerheblich. 4. Damit gilt \(A(k)=\frac12(12-2k)k=6k-k^2\) für \(0<k<6\). 5. Aus \(A'(k)=6-2k=0\) folgt \(k=3\). 6. Wegen \(A''(k)=-2<0\) und der nach unten geöffneten Parabel ist dies das globale Maximum im betrachteten Intervall.

Die Strecke \(DE\) muss in der Höhe \(k=3\) gezeichnet werden.

- Welche ähnlichen Dreiecke erkennst du im Axialschnitt oberhalb des Zylinders und im gesamten Kegel? - Wie lässt sich dadurch die Zylinderhöhe durch seinen Radius ausdrücken? - Welche der beiden Größen \(r\) oder \(h\) eignet sich dann als einzige Variable der Volumenfunktion? - Vergleiche am Ende das maximale Zylindervolumen mit dem Volumen des ganzen Kegels.

1. Das Zylindervolumen ist \(V=\pi r^2h\). 2. Aus dem Strahlensatz im Kegelquerschnitt folgt \(\frac hH=\frac{R-r}{R}\), also \(h=H\left(1-\frac rR\right)\). 3. Damit gilt \(V(r)=\pi H\left(r^2-\frac{r^3}{R}\right)\) für \(0<r<R\). 4. Aus \(V'(r)=\pi H\left(2r-\frac{3r^2}{R}\right)=0\) folgt \(r=\frac23R\). Dann ist \(h=\frac13H\). Da \(V(r)\to0\) für \(r\to0^+\) und \(r\to R^-\) und dies der einzige positive innere kritische Wert ist, liegt das absolute Maximum vor. 5. Das maximale Zylindervolumen beträgt \(V_{\mathrm{Zyl}}=\pi\left(\frac23R\right)^2\frac13H=\frac4{27}\pi R^2H\). Mit \(V_{\mathrm{Keg}}=\frac13\pi R^2H\) folgt \(\frac{V_{\mathrm{Zyl}}}{V_{\mathrm{Keg}}}=\frac49\approx44{,}4\,\%\).

a) Das Volumen wird maximal für \(r=\frac23R\) und \(h=\frac13H\). b) Der Zylinder nimmt maximal den Anteil \(\frac49\) (ca. \(44{,}4\,\%\)) des Kegelvolumens ein.

- Welche Strecke des Dreiecks wird beim Rotieren zum Radius der gemeinsamen Kegelgrundfläche? - Wie hängt die Höhe auf der Hypotenuse mit den Katheten und der Hypotenuse zusammen? - Welche Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) liefert die Rechtwinkligkeit? - Welche algebraische Form der Zielfunktion macht ihre Symmetrie oder ihre Extremstelle besonders gut erkennbar?

1. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(a^2+b^2=144\). 2. Der Radius des Doppelkegels entspricht der Höhe des Dreiecks auf der Hypotenuse, also \(r=\frac{ab}{12}\). 3. Für den Doppelkegel gilt \(V=\frac13\pi r^2\cdot12=\frac\pi{36}a^2b^2\). Mit \(b^2=144-a^2\) folgt \(V(a)=\frac\pi{36}a^2(144-a^2)\). 4. Für \(x=a^2\) ist \(V=\frac\pi{36}(144x-x^2)\) mit \(0<x<144\). Diese nach unten geöffnete quadratische Funktion besitzt ihr absolutes Maximum bei \(x=72\). Somit gilt \(a=b=\sqrt{72}=6\sqrt2\,\text{cm}\approx8{,}49\,\text{cm}\). 5. Das maximale Volumen beträgt \(V_{\max}=\frac\pi{36}\cdot72\cdot72=144\pi\,\text{cm}^3\approx452{,}39\,\text{cm}^3\).

a) \(a=b=6\sqrt2\,\text{cm}\approx8{,}49\,\text{cm}\) b) \(V_{\max}=144\pi\,\text{cm}^3\approx452{,}39\,\text{cm}^3\)

- Welche Beziehung zwischen \(r\), \(h\) und \(R\) lässt sich im Achsenschnitt erkennen? - Wie kannst du die Mantelfläche auf eine einzige Variable zurückführen? - Gibt es eine äquivalente Form der Zielfunktion, deren Extremstelle sich einfacher untersuchen lässt? - Prüfe das geforderte Verhältnis erst nach der Optimierung mit den erhaltenen Ausdrücken für \(h\) und \(r\).

1. Für die Mantelfläche gilt \(M=2\pi rh\). 2. Im Achsenschnitt gilt \((2r)^2+h^2=(2R)^2\), also \(r=\sqrt{R^2-\frac{h^2}{4}}\) für \(0<h<2R\). 3. Damit ist \(M(h)=2\pi h\sqrt{R^2-\frac{h^2}{4}}=\pi\sqrt{4R^2h^2-h^4}\). 4. Da die Wurzelfunktion streng monoton wächst, kann der Radikand \(f(h)=4R^2h^2-h^4\) maximiert werden. Aus \(f'(h)=8R^2h-4h^3=0\) folgt für \(h>0\) \(h=\sqrt2R\). An den Randlagen geht der Radikand gegen \(0\); daher liegt hier das absolute Maximum. 5. Für \(h=\sqrt2R\) ist \(r=\sqrt{R^2-\frac{2R^2}{4}}=\frac{R}{\sqrt2}\). 6. Somit gilt \(\frac hr=\frac{\sqrt2R}{R/\sqrt2}=2\).

Die optimale Höhe ist \(h=\sqrt2R\). Der zugehörige Radius ist \(r=\frac{R}{\sqrt2}\), und es gilt \(\frac hr=2\).

- Stelle dir vor, wie sich die Länge, Breite und Höhe der Schachtel verändern, wenn du die Quadrate an den Ecken größer oder kleiner machst. - Welche Werte für die Seitenlänge der Quadrate sind überhaupt sinnvoll? - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung der Volumenfunktion null ist.

1. Das Volumen ist \(V(x)=(48-2x)(30-2x)x=4x^3-156x^2+1440x\). 2. Da die Seitenlängen positiv sein müssen, gilt \(0<x<15\). 3. Die erste Ableitung ist \(V'(x)=12x^2-312x+1440\). Aus \(V'(x)=0\) folgen \(x_1=6\) und \(x_2=20\); nur \(x=6\) liegt im Definitionsbereich. 4. Mit \(V''(x)=24x-312\) gilt \(V''(6)=-168<0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Die Volumenfunktion lässt sich stetig auf \([0;15]\) fortsetzen; an beiden Randpunkten gilt \(V=0\). Daher ist \(x=6\) das absolute Maximum. 5. Es ist \(V(6)=36\cdot18\cdot6=3888\,\text{cm}^3\).

Die Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate muss \(x=6\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen der Schachtel ist \(3888\,\text{cm}^3\).

- Was ist hier die Größe, die maximiert werden soll, und welche Größe ist fest vorgegeben? - Stelle eine Gleichung für die Oberfläche eines geschlossenen Quaders mit quadratischer Grundfläche auf. - Wie kannst du die Höhe eliminieren, um das Volumen nur noch in Abhängigkeit von der Grundseite darzustellen? - An welchem Punkt der Kurve erreicht das Volumen seinen höchsten Wert?

1. Das Volumen ist \(V=a^2h\), die feste Oberfläche erfüllt \(2a^2+4ah=150\). 2. Daraus folgt \(h=\frac{37{,}5}{a}-0{,}5a\). Für einen nicht entarteten Karton gilt \(0<a<\sqrt{75}\). 3. Einsetzen ergibt \(V(a)=37{,}5a-0{,}5a^3\). 4. Aus \(V'(a)=37{,}5-1{,}5a^2=0\) folgt \(a=5\,\text{cm}\). Mit \(V''(a)=-3a\) gilt \(V''(5)<0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Außerdem geht \(V\) an beiden Randlagen des physikalischen Bereichs gegen \(0\); damit ist das Maximum absolut. 5. Die Höhe ist \(h=\frac{150-2\cdot5^2}{4\cdot5}=5\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(5\,\text{cm}\) und die Höhe ebenfalls \(5\,\text{cm}\). Der volumenmaximale Karton ist damit ein Würfel.

- Stelle eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Ableitung, um nach Hochpunkten innerhalb des Intervalls zu suchen. - Es ist bei solchen Aufgaben sehr wichtig, die Werte an den Intervallgrenzen mit den lokalen Maxima zu vergleichen. - Kann es sein, dass ein Maximum mehrmals vorkommt?

1. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt lautet \(A(x) = x \cdot ((x-2)^2 + 1) = x(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x\). 2. Die erste Ableitung ist \(A'(x) = 3x^2 - 8x + 5\). 3. Nullstellen der Ableitung: \(3x^2 - 8x + 5 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). 4. Überprüfung der Art der Extrema: \(A''(x) = 6x - 8\). Da \(A''(1) = -2 < 0\), ist bei \(x=1\) ein lokales Maximum. Da \(A''(\frac{5}{3}) = 2 > 0\), ist bei \(x=\frac{5}{3}\) ein lokales Minimum. 5. Berechnung der Flächeninhalte: \(A(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 2\). 6. Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(2) = 2 \cdot ((2-2)^2 + 1) = 2 \cdot 1 = 2\). 7. Ergebnisvergleich: Sowohl an der lokalen Maximalstelle \(x = 1\) als auch am rechten Intervallrand \(x = 2\) beträgt der Flächeninhalt \(2\).

Der maximale Flächeninhalt von \(2\) Flächeneinheiten wird an zwei Stellen erreicht: bei \(x = 1\) und am Rand bei \(x = 2\).

- Was genau soll minimiert werden und welche Größe ist konstant? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken, indem du die Volumenformel nutzt? - Wie sieht die Funktion aus, wenn sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Erinnerst du dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Tiefpunkten einer Funktion?

1. Die Oberfläche ist \(O(r,h)=2\pi r^2+2\pi rh\), das Volumen erfüllt \(V=\pi r^2h\). 2. Für \(r>0\) ist \(h=\frac{V}{\pi r^2}\). Damit folgt \(O(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\). 3. Die erste Ableitung ist \(O'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}\). Aus \(O'(r)=0\) folgt \(r^3=\frac{V}{2\pi}\), also \(r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). 4. Mit \(O''(r)=4\pi+\frac{4V}{r^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Außerdem gilt \(O(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\); damit ist es das absolute Minimum. 5. Es ist \(h=\frac{V}{\pi r^2}=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=2r\).

Die Oberfläche ist minimal für \(r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\) und \(h=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). Die Höhe entspricht genau dem Durchmesser.

- Stell dir die Schachtel ohne Deckel vor – wie viele Flächen hat sie? - Nutze das feste Volumen, um die Höhe durch die Grundseite zu ersetzen. - Überlege dir, wie du das Verhältnis \(a{:}h\) am Ende isolieren kannst. - Welche Bedingungen müssen für ein Minimum erfüllt sein?

1. Die Oberfläche ist \(A(a,h)=a^2+4ah\), das Volumen erfüllt \(V=a^2h\). 2. Für \(a>0\) gilt \(h=\frac{V}{a^2}\). Damit folgt \(A(a)=a^2+\frac{4V}{a}\). 3. Es ist \(A'(a)=2a-\frac{4V}{a^2}\). Aus \(A'(a)=0\) folgt \(a^3=2V\), also \(a=\sqrt[3]{2V}\). 4. Da \(A''(a)=2+\frac{8V}{a^3}>0\) für \(a>0\), liegt ein lokales Minimum vor. Zusätzlich gilt \(A(a)\to\infty\) für \(a\to0^+\) und \(a\to\infty\); das Minimum ist daher absolut. 5. Die Höhe ist \(h=\frac{V}{(\sqrt[3]{2V})^2}=\frac12\sqrt[3]{2V}=\frac a2\). Somit gilt \(a{:}h=2{:}1\).

Der Materialverbrauch ist minimal, wenn die Grundseitenlänge doppelt so groß wie die Höhe ist: \(a{:}h=2{:}1\).

- Welche Größe soll in dieser Aufgabe maximal werden? Formuliere dafür eine Formel. - Wie hängen die Längen der Zaunstücke mit der Gesamtlänge des Drahtes zusammen? - Kannst du eine der Variablen in deiner Flächenformel durch die andere ersetzen? - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Kurve? - Hast du geprüft, ob dein Ergebnis tatsächlich ein Maximum und kein Minimum ist?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = xy\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Zaunlänge: \(3x + y = 120\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(y\): \(y = 120 - 3x\). 4. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen in die Hauptbedingung: \(A(x) = x(120 - 3x) = 120x - 3x^2\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(A'(x) = 120 - 6x\). 6. Bestimmen der Nullstelle der ersten Ableitung: \(120 - 6x = 0 \Rightarrow x = 20\). 7. Überprüfung der Maximaleigenschaft mit der zweiten Ableitung: \(A''(x) = -6\). Da \(A''(20) = -6 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung der zugehörigen Länge \(y\): \(y = 120 - 3 \cdot 20 = 60\). Die optimalen Maße sind \(x = 20\,\text{m}\) und \(y = 60\,\text{m}\). 9. Da \(A(x)=120x-3x^2\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist die gefundene Extremstelle im sachgerechten Definitionsbereich das globale Maximum.

Die Gesamtfläche wird maximal für die Maße \(x = 20\,\text{m}\) und \(y = 60\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen sich die Oberfläche der oben offenen Schachtel zusammensetzt. - Stelle eine Gleichung für das Volumen auf, das optimiert werden soll. - Nutze die gegebene Oberfläche, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - An welcher Stelle ist die Steigung der Volumenfunktion null? - Vergiss nicht, die zweite Ableitung zu nutzen, um zu zeigen, dass das Volumen dort wirklich am größten ist.

1. Für das Volumen gilt \(V(x,h)=x^2h\), für die verfügbare Oberfläche \(x^2+4xh=1200\). 2. Daraus folgt \(h=\frac{1200-x^2}{4x}\). Für eine nicht entartete Schachtel gilt \(0<x<\sqrt{1200}\). 3. Die Zielfunktion ist \(V(x)=300x-0{,}25x^3\). 4. Aus \(V'(x)=300-0{,}75x^2=0\) folgt \(x=20\,\text{cm}\). Mit \(V''(x)=-1{,}5x\) gilt \(V''(20)<0\), also liegt ein lokales Maximum vor. 5. Die Zielfunktion geht an beiden Randlagen des physikalischen Bereichs gegen \(0\). Daher ist der einzige positive innere kritische Wert das absolute Maximum. 6. Die Höhe ist \(h=\frac{1200-20^2}{4\cdot20}=10\,\text{cm}\).

Das Volumen ist absolut maximal für \(x=20\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken der Zaun besteht und wie diese mit den Seitenlängen des Rechtecks zusammenhängen. - Welche Information im Text beschreibt eine feste Größe, die du als Bedingung nutzen kannst? - Versuche, eine Formel für die Größe aufzustellen, die minimal werden soll, und ersetze eine der Variablen mithilfe der festen Größe. - Wie findet man rechnerisch den kleinsten Wert einer Funktion?

1. Sei \(x\) die Länge einer der beiden zur Mauer senkrechten Seiten und \(y\) die Länge der zur Mauer parallelen Seite. Dann ist die Zaunlänge \(L(x,y)=2x+y\). 2. Aus \(xy=18\) folgt für \(x>0\) die Beziehung \(y=\frac{18}{x}\). Damit ist \(L(x)=2x+\frac{18}{x}\). 3. Es gilt \(L'(x)=2-\frac{18}{x^2}\). Aus \(L'(x)=0\) folgt \(x=3\,\text{m}\). 4. Mit \(L''(x)=\frac{36}{x^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Außerdem gilt \(L(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\), daher ist es das absolute Minimum. 5. Es folgt \(y=\frac{18}{3}=6\,\text{m}\).

Die zur Mauer senkrechten Seiten müssen \(3\,\text{m}\) lang sein und die zur Mauer parallele Seite \(6\,\text{m}\). Damit ist die benötigte Zaunlänge absolut minimal.

- Skizziere die Situation und unterscheide zwischen der bedruckten Fläche und der Gesamtfläche des Plakats. - Drücke die Gesamthöhe und Gesamtbreite durch die Maße der bedruckten Fläche und die Randbreiten aus. - Die Zielfunktion beschreibt den gesamten Papierverbrauch, also die gesamte Fläche des Plakats. - Nutze den festen Wert der bedruckten Fläche, um eine Variable in deiner Zielfunktion zu eliminieren.

1. Sei \(x\) die Breite und \(y\) die Höhe der bedruckten Fläche. Die Gesamtbreite ist \(B=x+4\), die Gesamthöhe \(H=y+6\). 2. Die Gesamtfläche ist \(A_{ges}(x,y)=(x+4)(y+6)\). Wegen \(xy=384\) gilt für \(x>0\): \(y=\frac{384}{x}\). 3. Damit ist \(A_{ges}(x)=6x+\frac{1536}{x}+408\). 4. Aus \(A_{ges}'(x)=6-\frac{1536}{x^2}=0\) folgt \(x=16\,\text{cm}\). Mit \(A_{ges}''(x)=\frac{3072}{x^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Da \(A_{ges}(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\), ist es das absolute Minimum. 5. Es gilt \(B=16+4=20\,\text{cm}\), \(y=\frac{384}{16}=24\,\text{cm}\) und \(H=24+6=30\,\text{cm}\).

Das Plakat sollte eine Gesamtbreite von \(20\,\text{cm}\) und eine Gesamthöhe von \(30\,\text{cm}\) haben.

- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Beet zusammen? - Welche Teilstücke der Ränder bilden zusammen den gesamten Umfang? - Kannst du eine der Variablen durch die Umfangsgleichung ausdrücken und in die Flächenformel einsetzen? - Wie findet man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Überprüfe am Ende, ob deine Maße für das Rechteck und den Halbkreis sinnvoll sind.

1. Die Gesamtfläche ist \(A(b,l)=bl+\frac{\pi b^2}{8}\). Für den äußeren Umfang gilt \(b+2l+\frac{\pi b}{2}=10\). 2. Daraus folgt \(l=5-\frac b2-\frac{\pi b}{4}\). Die Bedingung \(l>0\) liefert \(0<b<\frac{20}{2+\pi}\). 3. Einsetzen ergibt \(A(b)=5b-\frac{b^2}{2}-\frac{\pi b^2}{8}\). 4. Aus \(A'(b)=5-b-\frac\pi4b=0\) folgt \(b=\frac{20}{4+\pi}\approx2{,}80\,\text{m}\). Es ist \(A''(b)=-(1+\frac\pi4)<0\); die Zielfunktion ist auf dem zulässigen Bereich streng konkav, also ist dies das absolute Maximum. 5. Es folgt \(l=\frac{10}{4+\pi}\approx1{,}40\,\text{m}\).

Die Breite beträgt \(b=\frac{20}{4+\pi}\approx2{,}80\,\text{m}\), die Rechtecklänge \(l=\frac{10}{4+\pi}\approx1{,}40\,\text{m}\).

- Wie berechnet man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge? - Welche Kanten des Fensters gehören zum äußeren Umfang und welche nicht? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Welche mathematische Bedingung muss für ein Maximum erfüllt sein? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit gemacht werden.

1. Die Fläche ist \(A(b,h)=bh+\frac{\sqrt3}{4}b^2\). Für den äußeren Umfang gilt \(3b+2h=300\). 2. Daraus folgt \(h=150-1{,}5b\), also \(0<b<100\). Einsetzen ergibt \(A(b)=150b-\frac{6-\sqrt3}{4}b^2\). 3. Die Ableitung \(A'(b)=150-\frac{6-\sqrt3}{2}b\) wird null für \(b=\frac{300}{6-\sqrt3}\approx70{,}29\,\text{cm}\). 4. Einsetzen liefert \(h=\frac{450-150\sqrt3}{6-\sqrt3}\approx44{,}56\,\text{cm}\). Da \(A''(b)<0\), ist die Zielfunktion streng konkav und der kritische Wert liefert das absolute Maximum auf dem zulässigen Bereich.

Die Breite des Fensters beträgt \(b=\frac{300}{6-\sqrt3}\approx70{,}29\,\text{cm}\), die Höhe des rechteckigen Teils \(h=\frac{450-150\sqrt3}{6-\sqrt3}\approx44{,}56\,\text{cm}\).

- Drücke die Kosten als Funktion der Oberfläche aus und berücksichtige dabei die Gewichtung der verschiedenen Flächen. - Nutze das gegebene Volumen, um eine der beiden Variablen (\(x\) oder \(h\)) zu eliminieren. - Suche das Minimum der entstandenen Funktion mithilfe der Ableitung. - Achte darauf, dass die Grundfläche quadratisch ist, was die Formeln vereinfacht.

1. Sei \(c\) der Kostensatz der Seitenflächen in \(\text{€}/\text{m}^2\). Wegen der Umrechnung von \(\text{dm}^2\) in \(\text{m}^2\) ist \(K=\frac{c}{100}(4x^2+4xh)\). Der positive konstante Faktor beeinflusst die Lage des Minimums nicht, daher genügt \(F(x,h)=4x^2+4xh\). 2. Aus \(x^2h=54\) folgt für \(x>0\): \(h=\frac{54}{x^2}\). 3. Damit ist \(F(x)=4x^2+\frac{216}{x}\). 4. Es gilt \(F'(x)=8x-\frac{216}{x^2}\). Aus \(F'(x)=0\) folgt \(x=3\,\text{dm}\). Mit \(F''(x)=8+\frac{432}{x^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. 5. Da \(F(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\), ist es das absolute Minimum. Die Höhe ist \(h=\frac{54}{9}=6\,\text{dm}\).

Die Materialkosten sind minimal für \(x=3\,\text{dm}\) und \(h=6\,\text{dm}\).

- Stelle zuerst eine Formel für den Umfang auf, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - Wie hängen die Seitenlängen in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse zusammen? - Die Lichtmenge ist proportional zur Fläche und zum Transmissionsgrad (1 minus Absorptionsgrad). - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein berechneter Wert tatsächlich ein Maximum liefert.

1. Bei Hypotenuse \(x\) haben die Katheten des Dreiecks die Länge \(\frac{x}{\sqrt2}\). Aus \(x+2y+\sqrt2x=8\) folgt \(y=4-\frac{1+\sqrt2}{2}x\). Wegen \(y>0\) gilt \(0<x<\frac{8}{1+\sqrt2}\). 2. Die Flächen sind \(A_R=xy\) und \(A_D=\frac14x^2\). Die durchgelassene Lichtmenge ist proportional zu \(L(x)=0{,}9A_R+0{,}6A_D\). 3. Einsetzen ergibt \(L(x)=3{,}6x-(0{,}3+0{,}45\sqrt2)x^2\). 4. Aus \(L'(x)=3{,}6-(0{,}6+0{,}9\sqrt2)x=0\) folgt \(x\approx1{,}922\,\text{m}\). Dann ist \(y\approx1{,}680\,\text{m}\). 5. Mit \(L''(x)=-(0{,}6+0{,}9\sqrt2)<0\) ist die Zielfunktion streng konkav; der innere kritische Wert liefert daher das absolute Maximum im zulässigen Intervall.

Die Breite beträgt \(x\approx1{,}92\,\text{m}\), die Höhe \(y\approx1{,}68\,\text{m}\).

- Welche geometrische Bedingung muss erfüllt sein? Nutze diese, um eine Variable zu eliminieren. - Stelle eine Funktion für die Gesamtkosten auf, die nur noch von einer Variable abhängt. - Beachte, dass die Box oben offen ist und somit nur eine Grundfläche berechnet werden muss. - Verwende die Ableitungsregeln für Potenzen, auch für den Term im Nenner.

1. Aus \(x^2h=6\) folgt für \(x>0\): \(h=\frac{6}{x^2}\). 2. Die Kosten sind \(K(x,h)=12x^2+32xh\). Einsetzen ergibt \(K(x)=12x^2+\frac{192}{x}\). 3. Aus \(K'(x)=24x-\frac{192}{x^2}=0\) folgt \(x^3=8\), also \(x=2\,\text{m}\). 4. Dann ist \(h=\frac{6}{2^2}=1{,}5\,\text{m}\). Mit \(K''(x)=24+\frac{384}{x^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Da \(K(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\), ist es das absolute Minimum.

Die Grundseitenlänge beträgt \(x=2\,\text{m}\), die Höhe \(h=1{,}5\,\text{m}\).

- Welche Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders kennst du? - Überlege, welche Größe fest vorgegeben ist und welche maximiert werden soll. - Kannst du eine der Variablen in der Volumenformel durch die Oberflächenformel ersetzen? - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Funktion? - Für den prozentualen Vergleich hilft das Verhältnis der beiden Volumina.

a) Für die gegebene Dose gilt \(V_1=\pi(3{,}3\,\text{cm})^2\cdot11{,}5\,\text{cm}\approx393{,}44\,\text{cm}^3\). Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\pi(3{,}3\,\text{cm})^2+2\pi\cdot3{,}3\,\text{cm}\cdot11{,}5\,\text{cm}=97{,}68\pi\,\text{cm}^2\approx306{,}87\,\text{cm}^2\). b) Bei demselben Oberflächeninhalt gilt \(O=2\pi r^2+2\pi rh\), also \(h=\frac{O}{2\pi r}-r\). Damit ist \(V(r)=\frac O2r-\pi r^3\) im Bereich \(0<r<\sqrt{O/(2\pi)}\). Aus \(V'(r)=\frac O2-3\pi r^2=0\) folgt \(r=\sqrt{\frac{O}{6\pi}}\approx4{,}03\,\text{cm}\). Mit \(V''(r)=-6\pi r<0\) liegt ein lokales Maximum vor; an den beiden Randlagen geht das Volumen gegen \(0\), also ist das Maximum absolut. Aus der Nebenbedingung folgt \(h=2r\approx8{,}07\,\text{cm}\). Das maximale Volumen beträgt \(V_{\max}\approx412{,}73\,\text{cm}^3\). c) Die prozentuale Vergrößerung ist \(\left(\frac{V_{\max}}{V_1}-1\right)\cdot100\,\%\approx4{,}90\,\%\).

a) \(V\approx393{,}44\,\text{cm}^3\); \(O\approx306{,}87\,\text{cm}^2\) b) \(r\approx4{,}03\,\text{cm}\); \(h\approx8{,}07\,\text{cm}\) c) Das Volumen ist um etwa \(4{,}90\,\%\) größer.

- Welche ähnlichen Dreiecke sind im Achsenschnitt zu erkennen? - Wie lässt sich dadurch der Zylinderradius durch \(h\), \(R\) und \(H\) ausdrücken? - Welche Größe des Zylinders wird in den ersten beiden Teilaufgaben optimiert? - Welche zusätzliche Länge benötigst du für die Mantelfläche des Kegels in Teil 3?

1. Aus dem Strahlensatz im Achsenschnitt folgt \(r=R\left(1-\frac hH\right)\). Daher ist \(M(h)=2\pi rh=2\pi R\left(h-\frac{h^2}{H}\right)\) für \(0<h<H\). 2. Aus \(M'(h)=2\pi R\left(1-\frac{2h}{H}\right)=0\) folgt \(h=\frac12H\). Die Zielfunktion ist streng konkav; damit liegt dort das absolute Maximum. 3. Für \(R=5\,\text{cm}\) und \(H=12\,\text{cm}\) ist die Mantellinie des Kegels \(s=13\,\text{cm}\), also \(M_{\mathrm{Kegel}}=65\pi\,\text{cm}^2\). Mit \(h=6\,\text{cm}\) und \(r=2{,}5\,\text{cm}\) gilt \(M_{\mathrm{Zylinder}}=30\pi\,\text{cm}^2\). 4. Der Anteil ist \(\frac{30\pi}{65\pi}=\frac6{13}\approx46{,}2\,\%\).

1. \(M(h)=2\pi R\left(h-\frac{h^2}{H}\right)\) für \(0<h<H\) 2. \(h=\frac12H\) 3. \(\frac6{13}\approx46{,}2\,\%\)

- Stelle zuerst eine Gleichung für das Volumen auf, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Überlege dir, wie sich die Gesamtkosten aus den Flächeninhalten des Bodens und der vier Seitenwände zusammensetzen. - Beachte den Kostenfaktor für das Bodenmaterial beim Aufstellen der Zielfunktion. - Wie findet man rechnerisch die Stelle, an der eine Funktion ihren kleinsten Wert annimmt? - Achte bei den Einheiten darauf, dass Liter in Kubikdezimeter umgerechnet werden können.

1. Es gilt \(a^2h=32\,\text{dm}^3\), also für \(a>0\): \(h=\frac{32}{a^2}\). 2. Mit dem Kostensatz \(k\) für die Seitenwände ist \(K=2ka^2+4kah\). Der positive Faktor \(k\) beeinflusst die Lage des Minimums nicht, daher wird \(f(a)=2a^2+\frac{128}{a}\) minimiert. 3. Aus \(f'(a)=4a-\frac{128}{a^2}=0\) folgt \(a^3=32\), also \(a=\sqrt[3]{32}\approx3{,}175\,\text{dm}\). 4. Mit \(f''(a)=4+\frac{256}{a^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Da \(f(a)\to\infty\) für \(a\to0^+\) und \(a\to\infty\), ist es das absolute Minimum. 5. Die Höhe ist \(h=\frac{32}{(\sqrt[3]{32})^2}=\sqrt[3]{32}\approx3{,}175\,\text{dm}\). Damit sind beide Maße etwa \(31{,}7\,\text{cm}\).

Die Kosten werden minimal für \(a=\sqrt[3]{32}\,\text{dm}\approx31{,}7\,\text{cm}\) und \(h=\sqrt[3]{32}\,\text{dm}\approx31{,}7\,\text{cm}\).

- Welches rechtwinklige Dreieck entsteht im Achsenschnitt zwischen Kugelradius, Zylinderradius und Zylinderhöhe? - Welche der beiden Variablen kannst du mithilfe dieses Zusammenhangs aus der Volumenformel entfernen? - Bestimme den geometrisch sinnvollen Bereich der Zylinderhöhe, bevor du ableitest. - Prüfe auch, was mit dem Volumen in den beiden Randlagen passiert.

1. Das Zylindervolumen ist \(V=\pi r^2h\). 2. Im Achsenschnitt gilt \(r^2+h^2=100\), also \(r^2=100-h^2\). 3. Damit ist \(V(h)=\pi(100-h^2)h\) für \(0<h<10\). 4. Aus \(V'(h)=100\pi-3\pi h^2=0\) folgt \(h=\frac{10}{\sqrt3}\approx5{,}77\,\text{cm}\). Mit \(V''(h)=-6\pi h<0\) liegt ein lokales Maximum vor. 5. Da \(V(h)\to0\) für \(h\to0^+\) und \(h\to10^-\), ist der einzige positive innere kritische Wert das absolute Maximum. 6. Der Radius ist \(r=\sqrt{100-\frac{100}{3}}=10\sqrt{\frac23}\approx8{,}16\,\text{cm}\).

Das Volumen ist maximal für \(h=\frac{10}{\sqrt3}\,\text{cm}\approx5{,}77\,\text{cm}\) und \(r=10\sqrt{\frac23}\,\text{cm}\approx8{,}16\,\text{cm}\).

- Zeichne das Dreieck und das Rechteck in ein Koordinatensystem oder fertige eine Skizze an. - Nutze den Strahlensatz, um eine Beziehung zwischen der Breite \(a\) und der Höhe \(b\) des Rechtecks herzustellen. - Welche Funktion beschreibt die Fläche, die du maximieren möchtest? - Wie gehst du vor, um den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel zu finden?

1. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt \(\frac b9=\frac{12-a}{12}\), also \(b=9-\frac34a\) für \(0<a<12\). 2. Die Fläche ist \(A(a)=a\left(9-\frac34a\right)=9a-\frac34a^2\). 3. Aus \(A'(a)=9-\frac32a=0\) folgt \(a=6\,\text{cm}\). Dann ist \(b=4{,}5\,\text{cm}\). 4. Da \(A''(a)=-1{,}5<0\), ist \(A\) auf dem gesamten zulässigen Bereich streng konkav; der kritische Wert liefert das absolute Maximum.

Der Flächeninhalt ist maximal für \(a=6\,\text{cm}\) und \(b=4{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Kegels? - Wie hängen der Radius der Grundfläche, die Höhe und die Mantellinie in einem Kegel zusammen? - Kannst du eine der Variablen in der Volumenformel durch die andere ausdrücken, indem du die feste Länge der Mantellinie nutzt? - Überlege dir, für welchen Bereich der Höhe das Problem physikalisch sinnvoll ist.

1. Für den Kegel gilt \(V=\frac13\pi r^2h\). Wegen \(r^2+h^2=12^2\) ist \(r^2=144-h^2\) und \(0<h<12\). 2. Damit ist \(V(h)=\frac13\pi(144h-h^3)\). 3. Aus \(V'(h)=\frac13\pi(144-3h^2)=0\) folgt \(h=4\sqrt3\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}\). Mit \(V''(h)=-2\pi h<0\) liegt ein lokales Maximum vor. 4. Da \(V(h)\to0\) für \(h\to0^+\) und \(h\to12^-\), ist der einzige positive innere kritische Wert das absolute Maximum. 5. Es folgt \(r=\sqrt{144-48}=4\sqrt6\,\text{cm}\approx9{,}80\,\text{cm}\).

Der Radius beträgt \(r=4\sqrt6\,\text{cm}\approx9{,}80\,\text{cm}\), die Höhe \(h=4\sqrt3\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Form hat die Dose und welche Formeln für Volumen und Oberfläche kennst du? - Wie kannst du eine der Variablen (Radius oder Höhe) durch die andere ersetzen, indem du das feste Volumen nutzt? - Was muss für die Steigung der Oberflächenfunktion an einem Tiefpunkt gelten? - Überlege dir, welche Faktoren außer dem Materialverbrauch für einen Hersteller wichtig sein könnten.

a) Aus \(\pi r^2h=800\) folgt für \(r>0\): \(h=\frac{800}{\pi r^2}\). Damit ist \(O(r)=2\pi r^2+\frac{1600}{r}\). Aus \(O'(r)=4\pi r-\frac{1600}{r^2}=0\) folgt \(r=\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}\approx5{,}03\,\text{cm}\). Dann ist \(h=2r\approx10{,}06\,\text{cm}\). Mit \(O''(r)=4\pi+\frac{3200}{r^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Da \(O(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\), ist es das absolute Minimum. b) Mögliche Gründe für Abweichungen sind zum Beispiel bessere Stapelbarkeit, angenehmere Greifbarkeit, gewünschte optische Wirkung oder produktionstechnische Anforderungen wie günstiger Blechzuschnitt.

a) Der Radius beträgt etwa \(5{,}03\,\text{cm}\), die Höhe etwa \(10{,}06\,\text{cm}\). b) Mögliche Gründe sind etwa Stapelbarkeit, Handhabung oder produktionstechnische Anforderungen.

- Welche Koordinaten hat ein allgemeiner Punkt des Graphen? - Wie lässt sich sein Abstand zum Ursprung beschreiben? - Gibt es eine äquivalente Form der Abstandsfunktion, deren Lage des Minimums leichter zu untersuchen ist? - Welche Randentwicklungen solltest du für ein globales Minimum berücksichtigen?

1. Für \(P(x|f(x))\) ist der Abstand zum Ursprung \(d(x)=\sqrt{x^2+\left(\frac4x\right)^2}\). 2. Da die Quadratwurzel streng monoton wächst, kann das Abstandsquadrat \(g(x)=x^2+\frac{16}{x^2}\) für \(x>0\) minimiert werden. 3. Es ist \(g'(x)=2x-\frac{32}{x^3}\). Aus \(g'(x)=0\) folgt \(x^4=16\), also wegen \(x>0\) \(x=2\). 4. Es gilt \(g''(x)=2+\frac{96}{x^4}>0\) für alle \(x>0\). Außerdem geht \(g(x)\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\) gegen \(\infty\). Daher liegt bei \(x=2\) das globale Minimum. 5. Es ist \(f(2)=2\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2|2)\).

Der Punkt \(P(2|2)\) hat den kleinsten Abstand zum Ursprung.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn die Koordinaten eines Eckpunkts bekannt sind? - Überlege dir, wie du die Zielfunktion für den Umfang nur in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken kannst. - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den optimalen \(x\)-Wert zu finden. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt?

1. Aufstellen der Umfangsfunktion: Da das Rechteck achsenparallel ist und einen Eckpunkt im Ursprung hat, sind die Seitenlängen \(x\) und \(f(x)\). Der Umfang berechnet sich zu \(U(x) = 2(x + f(x)) = 2(x + x + \frac{8}{x}) = 4x + \frac{16}{x}\). 2. Bestimmung des Minimums: Die erste Ableitung ist \(U'(x) = 4 - \frac{16}{x^2}\). Nullsetzen ergibt \(4 = \frac{16}{x^2} \Rightarrow x^2 = 4\). Da \(x > 0\), ist \(x = 2\). Die zweite Ableitung \(U''(x) = \frac{32}{x^3}\) ist für \(x = 2\) positiv (\(U''(2) = 4 > 0\)), daher liegt ein lokales Minimum vor. 3. Seitenlängen: Die erste Seite ist \(x = 2\). Die zweite Seite ist \(f(2) = 2 + \frac{8}{2} = 6\). 4. Minimaler Umfang: \(U(2) = 4 \cdot 2 + \frac{16}{2} = 16\). 5. Untersuchung des Flächeninhalts: Die Zielfunktion für die Fläche ist \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x + \frac{8}{x}) = x^2 + 8\). Da \(\lim_{x \to \infty} A(x) = \infty\), existiert für \(x > 0\) kein globales Maximum für den Flächeninhalt. 6. Da \(U''(x)>0\) für alle \(x>0\) und \(U(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) sowie für \(x\to\infty\) gilt, ist das Minimum global.

a) Die Seitenlängen betragen \(2\) und \(6\). b) Der minimale Umfang beträgt \(16\). c) Der Flächeninhalt wird durch \(A(x) = x^2 + 8\) beschrieben. Da dieser Term für \(x \to \infty\) unendlich groß wird, gibt es keinen maximalen Flächeninhalt.

- Setze die Funktionsterme der Geraden und der Kurve gleich, um die Schnittstellen zu finden. - Erinnere dich an die Abstandsformel zwischen zwei Punkten \(P_1(x_1|y_1)\) und \(P_2(x_2|y_2)\). - Wenn du eine Wurzel-Funktion minimieren möchtest, reicht es oft aus, den Ausdruck unter der Wurzel zu untersuchen. - Beachte bei der Lösung von Gleichungen wie \(m^2 = k\) die Definitionsmenge für die Steigung.

1. Schnittpunkte berechnen: Gleichsetzen von \(g(x) = mx\) und \(f(x) = \frac{9}{x}\) ergibt \(mx = \frac{9}{x} \Rightarrow x^2 = \frac{9}{m}\). Daraus folgen \(x_1 = \frac{3}{\sqrt{m}}\) und \(x_2 = -\frac{3}{\sqrt{m}}\). Die \(y\)-Koordinaten sind \(y_1 = m \cdot \frac{3}{\sqrt{m}} = 3\sqrt{m}\) und \(y_2 = -3\sqrt{m}\). Die Punkte sind \(P_1\left(\frac{3}{\sqrt{m}} \mid 3\sqrt{m}\right)\) und \(P_2\left(-\frac{3}{\sqrt{m}} \mid -3\sqrt{m}\right)\). 2. Minimum der Abstandsfunktion: Um \(d(m)\) zu minimieren, reicht es, den Radikanden \(h(m) = m + \frac{1}{m}\) zu minimieren. Die Ableitung ist \(h'(m) = 1 - \frac{1}{m^2}\). Nullsetzen ergibt \(m^2 = 1\), also \(m = 1\) (da \(m > 0\)). Wegen \(h''(m) = \frac{2}{m^3} > 0\) liegt ein Minimum vor. 3. Koordinaten und Abstand: Für \(m = 1\) ergeben sich die Punkte \(P_1(3 \mid 3)\) und \(P_2(-3 \mid -3)\). Der minimale Abstand ist \(d(1) = \sqrt{36 \cdot (1 + 1)} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). 4. Da \(h''(m)>0\) für alle \(m>0\) und \(h(m)\to\infty\) für \(m\to0^+\) sowie für \(m\to\infty\) gilt, ist das Minimum global.

a) \(P_1\left(\frac{3}{\sqrt{m}} \mid 3\sqrt{m}\right)\) und \(P_2\left(-\frac{3}{\sqrt{m}} \mid -3\sqrt{m}\right)\). b) Die Steigung für den minimalen Abstand beträgt \(m = 1\). c) Die Punkte sind \(P_1(3 \mid 3)\) und \(P_2(-3 \mid -3)\). Der minimale Abstand beträgt \(6\sqrt{2} \approx 8{,}49\).

- Welche Maße hat ein Rechteck, dessen Ecken durch die Koordinatenachsen und einen Punkt auf einer Kurve festgelegt sind? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie findet man in der Analysis den höchsten Wert einer Funktion? - Denk an die Ableitungsregeln für Wurzelterme und Produkte.

1. Da der Radikand einer Wurzelfunktion nicht negativ sein darf, gilt \(27 - 3x \ge 0\), woraus \(3x \le 27\) und somit \(x \le 9\) folgt. Da die Fläche im ersten Quadranten liegt, ist der Definitionsbereich \(x \in [0; 9]\). 2. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen \(x\) und \(y = f(x)\): \(A(x) = x \cdot \sqrt{27 - 3x}\). 3. Die Ableitung der Zielfunktion erfolgt mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 1 \cdot \sqrt{27 - 3x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{27 - 3x}} \cdot (-3) = \frac{2(27 - 3x) - 3x}{2\sqrt{27 - 3x}} = \frac{54 - 9x}{2\sqrt{27 - 3x}}\). 4. Die Extremstelle wird durch \(A'(x) = 0\) bestimmt: \(54 - 9x = 0 \Rightarrow x = 6\). 5. Die zugehörige \(y\)-Koordinate ist \(f(6) = \sqrt{27 - 3 \cdot 6} = \sqrt{9} = 3\). Der gesuchte Punkt ist \(P(6|3)\). 6. Der maximale Flächeninhalt berechnet sich zu \(A(6) = 6 \cdot 3 = 18\). Da \(A(0) = 0\) und \(A(9) = 0\), liegt bei \(x = 6\) das absolute Maximum vor.

a) Für die betrachtete Fläche gilt \(x \in [0; 9]\). b) Der Punkt ist \(P(6|3)\) und der maximale Flächeninhalt beträgt \(18\).

- Wie berechnet man den vertikalen Abstand zweier Punkte mit derselben \(x\)-Koordinate? - Stelle die Abstandsfunktion als Differenz der beiden Funktionswerte auf. - Welche Kandidaten müssen bei einem Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall geprüft werden? - Vergleiche nach der Extremwertbestimmung beide Randwerte mit dem inneren Kandidaten.

1. Im Intervall \([-4;-1]\) gilt \(f(a)\ge g(a)\), daher ist die Abstandsfunktion \(d(a)=f(a)-g(a)=-\frac13a^3-2a^2-3a+3\). 2. Die Ableitung ist \(d'(a)=-a^2-4a-3\). Aus \(d'(a)=0\) folgen \(a=-1\) und \(a=-3\). 3. Mit \(d''(a)=-2a-4\) gilt \(d''(-3)=2>0\), also ist \(a=-3\) ein lokales Minimum. Für \(a=-1\) gilt \(d''(-1)=-2<0\). 4. Auf dem abgeschlossenen Intervall werden zusätzlich beide Randwerte geprüft: \(d(-4)=\frac{13}{3}\) und \(d(-1)=\frac{13}{3}\). Dagegen ist \(d(-3)=3\). Somit liegt das absolute Minimum bei \(a=-3\).

Die Strecke wird für \(a=-3\) minimal. Der minimale Abstand beträgt \(3\).

- Skizziere die Situation im Koordinatensystem, um die Seitenlängen des Rechtecks zu identifizieren. - Welche Variable bestimmt die Höhe des Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf der Kurve liegt? - Nutze die erste Ableitung der Flächenfunktion, um die optimale Breite zu finden. - Achte auf die Einheiten in deiner finalen Antwort.

1. Im ersten Quadranten gilt \(0<x<\sqrt{7500}\). Die Rechtecksfläche ist \(A(x)=x(75-0{,}01x^2)=75x-0{,}01x^3\). 2. Aus \(A'(x)=75-0{,}03x^2=0\) folgt \(x=50\,\text{cm}\). Mit \(A''(x)=-0{,}06x\) gilt \(A''(50)<0\), also liegt ein lokales Maximum vor. 3. Da die Fläche an beiden Randlagen gegen \(0\) geht, ist dieser einzige positive innere kritische Wert das absolute Maximum. 4. Die zweite Seitenlänge ist \(y=75-0{,}01\cdot50^2=50\,\text{cm}\). Damit ist \(A=2500\,\text{cm}^2\).

Die optimale Platte ist ein Quadrat mit Seitenlänge \(50\,\text{cm}\); der maximale Flächeninhalt beträgt \(2500\,\text{cm}^2\).

- Hier soll nicht die Fläche, sondern die Kostenfunktion minimiert werden. Multipliziere die Teilflächen mit ihren jeweiligen Preisen. - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine der Abmessungen zu eliminieren. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Minimalstelle gelten? - Vergiss nicht, am Ende auch die Höhe der Schachtel zu berechnen.

1. Die Kosten sind \(K=0{,}20\cdot2a^2+0{,}10\cdot4ah=0{,}4a^2+0{,}4ah\). 2. Aus \(a^2h=250\) folgt für \(a>0\): \(h=\frac{250}{a^2}\). Damit ist \(K(a)=0{,}4a^2+\frac{100}{a}\). 3. Aus \(K'(a)=0{,}8a-\frac{100}{a^2}=0\) folgt \(a^3=125\), also \(a=5\,\text{cm}\). 4. Mit \(K''(a)=0{,}8+\frac{200}{a^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Da \(K(a)\to\infty\) für \(a\to0^+\) und \(a\to\infty\), ist es das absolute Minimum. 5. Die Höhe ist \(h=\frac{250}{25}=10\,\text{cm}\).

Die Materialkosten sind minimal für \(a=5\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\).

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Nutze die Bedingung aus Länge und Kreisumfang, um eine Variable zu eliminieren. - Welcher Radiusbereich ist mit einer positiven Röhrenlänge möglich? - Prüfe nach der Extremwertsuche auch die Randlagen des zulässigen Bereichs.

1. Aus \(l+2\pi r=120\) folgt \(l=120-2\pi r\). Damit ist \(V(r)=\pi r^2(120-2\pi r)=120\pi r^2-2\pi^2r^3\) für \(0<r<\frac{60}{\pi}\). 2. Aus \(V''(r)=240\pi r-6\pi^2r^2=0\) folgt für \(r>0\) \(r=\frac{40}{\pi}\approx12{,}73\,\text{cm}\). 3. Die zugehörige Länge ist \(l=120-2\pi\cdot\frac{40}{\pi}=40\,\text{cm}\). Da das Volumen an beiden Randlagen gegen \(0\) geht und der innere kritische Wert ein Maximum liefert, ist dieses Maximum global. 4. Das maximale Volumen ist \(V_{\max}=\pi\left(\frac{40}{\pi}\right)^2\cdot40=\frac{64000}{\pi}\,\text{cm}^3\approx20\,371{,}8\,\text{cm}^3\).

a) \(V(r)=120\pi r^2-2\pi^2r^3\) für \(0<r<\frac{60}{\pi}\) b) \(r=\frac{40}{\pi}\,\text{cm}\approx12{,}7\,\text{cm}\), \(l=40\,\text{cm}\) c) \(V_{\max}\approx20\,371{,}8\,\text{cm}^3\)

- Welche Strecken müssen insgesamt eingezäunt werden? Skizziere die Situation. - Wie hängen die beiden Seitenlängen über den Flächeninhalt zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Welche mathematische Bedingung muss für einen minimalen Wert erfüllt sein?

1. Bezeichnet \(y\) die Länge der vier parallelen Zaunstücke und \(x\) die Länge der beiden anderen Außenseiten, so gilt \(L(x,y)=2x+4y\). 2. Aus \(xy=1350\) folgt für \(y>0\): \(x=\frac{1350}{y}\). Damit ist \(L(y)=\frac{2700}{y}+4y\). 3. Aus \(L'(y)=-\frac{2700}{y^2}+4=0\) folgt \(y=15\sqrt3\approx25{,}98\,\text{m}\). 4. Dann ist \(x=30\sqrt3\approx51{,}96\,\text{m}\). Mit \(L''(y)=\frac{5400}{y^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Da \(L(y)\to\infty\) für \(y\to0^+\) und \(y\to\infty\), ist es das absolute Minimum.

Das Gehege hat optimal die Seitenlängen \(30\sqrt3\,\text{m}\approx51{,}96\,\text{m}\) und \(15\sqrt3\,\text{m}\approx25{,}98\,\text{m}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Die Höhe des Dreiecks entspricht genau dem Funktionswert an der Stelle \(x\). - Denke beim Ableiten an die Produktregel und die Kettenregel für die Exponentialfunktion. - Da das Intervall für \(x\) abgeschlossen ist, musst du sicherstellen, dass das gefundene Maximum nicht an den Rändern liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{1}{2}x(4 - x)e^{0{,}5x} = (2x - 0{,}5x^2)e^{0{,}5x}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produktregel: \(A'(x) = (2 - x) \cdot e^{0{,}5x} + (2x - 0{,}5x^2) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 3. Vereinfachen der Ableitung: \(A'(x) = (2 - x + x - 0{,}25x^2)e^{0{,}5x} = (2 - 0{,}25x^2)e^{0{,}5x}\). 4. Bestimmen der Extremstellen durch \(A'(x) = 0\): Da \(e^{0{,}5x} \neq 0\), muss \(2 - 0{,}25x^2 = 0\) gelten, woraus \(x^2 = 8\) folgt. 5. Da \(x\) im Intervall \([0; 4]\) liegen muss, ist die relevante Stelle \(x = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). 6. Randwertprüfung: \(A(0) = 0\), \(A(4) = 0\). Da \(A(\sqrt{8}) = (2\sqrt{8} - 0{,}5 \cdot 8)e^{0{,}5\sqrt{8}} \approx 6{,}82 > 0\), ist dies das absolute Maximum im Intervall.

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für \(x = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) maximal.

- Was genau soll minimiert werden? Formuliere dafür einen mathematischen Ausdruck. - Welche Information aus dem Text dient als feste Bedingung, um die Variablen zu verknüpfen? - Achte darauf, dass der Behälter oben offen ist – wie wirkt sich das auf die Formel für die Oberfläche aus? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Wie findest du mit Hilfe der Ableitung den tiefsten Punkt einer Funktion?

1. Für die Oberfläche gilt \(O(a,h)=a^2+4ah\), für das Volumen \(a^2h=108\). 2. Damit ist für \(a>0\): \(h=\frac{108}{a^2}\) und \(O(a)=a^2+\frac{432}{a}\). 3. Aus \(O'(a)=2a-\frac{432}{a^2}=0\) folgt \(a=6\,\text{dm}\). 4. Mit \(O''(a)=2+\frac{864}{a^3}>0\) liegt ein lokales Minimum vor. Da \(O(a)\to\infty\) für \(a\to0^+\) und \(a\to\infty\), ist es das absolute Minimum. 5. Die Höhe ist \(h=\frac{108}{36}=3\,\text{dm}\).

Die Grundkanten sind jeweils \(6\,\text{dm}\) lang, die Höhe beträgt \(3\,\text{dm}\).

- Welche Größe soll im Problem optimiert werden? - Wie hängen die Kosten für den Boden und die Wände mit der jeweiligen Fläche zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, indem du die Kostenbedingung nutzt? - Was musst du tun, um den Hochpunkt einer Funktion rechnerisch zu bestimmen?

a) Die gewichtete Materialbedingung lautet \(3a^2+4ah=9\). Daraus folgt \(h=\frac{9-3a^2}{4a}\). Wegen \(a>0\) und \(h>0\) gilt \(0<a<\sqrt3\). Das Volumen ist \(V(a)=a^2h=\frac14(9a-3a^3)\). Aus \(V'(a)=\frac94-\frac94a^2=0\) folgt \(a=1\,\text{m}\). Mit \(V''(a)=-4{,}5a<0\) liegt ein lokales Maximum vor. Da \(V\) an beiden Randlagen gegen \(0\) geht, ist es das absolute Maximum. Die Höhe ist \(h=1{,}5\,\text{m}\). b) Das maximale Volumen beträgt \(V=1^2\cdot1{,}5=1{,}5\,\text{m}^3\).

a) \(a=1\,\text{m}\), \(h=1{,}5\,\text{m}\) b) \(V_{\max}=1{,}5\,\text{m}^3\)

- Was sind die beiden Größen, die das Volumen eines Zylinders bestimmen? - Wie hängen die Seiten des Rechtecks mit den Maßen des Zylinders zusammen? - Nutze den Umfang des Rechtecks, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Achte darauf, dass eine Seite des Rechtecks den Umfang des Kreises bildet, nicht den Radius. - Überprüfe am Ende, ob deine Ergebnisse die Randbedingungen erfüllen.

1. Sei \(x\) die Seite, die zum Umfang der Grundfläche wird, und \(h\) die Zylinderhöhe. Aus \(2x+2h=120\) folgt \(h=60-x\); damit gilt \(0<x<60\). 2. Wegen \(x=2\pi r\) ist \(r=\frac{x}{2\pi}\). Das Volumen ist \(V(x)=\frac{1}{4\pi}(60x^2-x^3)\). 3. Aus \(V'(x)=\frac{1}{4\pi}(120x-3x^2)=0\) folgt im Inneren \(x=40\,\text{cm}\). Mit \(V''(x)=\frac{1}{4\pi}(120-6x)\) gilt \(V''(40)<0\). 4. Da das Volumen an beiden Randlagen gegen \(0\) geht, ist dieser einzige positive innere kritische Wert das absolute Maximum. Die zweite Seitenlänge ist \(h=20\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Blechs müssen \(40\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\) betragen; die \(40\,\text{cm}\)-Seite bildet den Kreisumfang.

- Wie hängen die Länge und Breite der Grundfläche von der Höhe \(h\) ab, wenn man die Gesamtmaße der Pappe betrachtet? - Überlege dir, welche Werte für die Höhe \(h\) überhaupt sinnvoll sind, damit die Schachtel existieren kann. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert tatsächlich zu einem Maximum führt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: Mit der Höhe \(h\), der Länge \(l\) und der Breite \(w\) gilt \(V(h, l, w) = lwh\). 2. Aufstellen der Nebenbedingungen aus den Maßen der Pappe: In der Länge gilt \(2l + 2h = 80 \implies l = 40 - h\). In der Breite gilt \(w + 2h = 50 \implies w = 50 - 2h\). 3. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(h) = (40 - h) \cdot (50 - 2h) \cdot h = (2000 - 80h - 50h + 2h^2) \cdot h = 2h^3 - 130h^2 + 2000h\). 4. Bestimmung des Definitionsbereichs: Aus \(l > 0\) und \(w > 0\) folgt \(h < 40\) und \(h < 25\), also \(D = (0; 25)\). 5. Ableiten und Nullstellen bestimmen: \(V'(h) = 6h^2 - 260h + 2000\). Setze \(V'(h) = 0 \implies 3h^2 - 130h + 1000 = 0\). 6. Anwendung der Mitternachtsformel: \(h = \frac{130 \pm \sqrt{16900 - 12000}}{6} = \frac{130 \pm 70}{6}\). Dies ergibt \(h_1 = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} \approx 33{,}33\) (nicht im Definitionsbereich) und \(h_2 = \frac{60}{6} = 10\). 7. Überprüfung des Maximums: \(V''(h) = 12h - 260\); \(V''(10) = 120 - 260 = -140 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Da \(\lim_{h \to 0^+} V(h) = 0\) und \(\lim_{h \to 25^-} V(h) = 0\), ist es das globale Maximum. 8. Berechnung des Volumens: \(V(10) = (40 - 10) \cdot (50 - 20) \cdot 10 = 30 \cdot 30 \cdot 10 = 9000\).

Die Höhe muss \(h = 10\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen ist \(V = 9000\,\text{cm}^3\).

- Stelle zuerst die Formeln für das Gesamtvolumen und die Gesamtoberfläche aus den Einzelteilen (Zylinder und Halbkugel) zusammen. - Achte darauf, dass die Halbkugel nur eine Oberfläche hat (keinen Boden zum Zylinder hin) und der Zylinder nur einen Boden hat. - Drücke die Höhe \(h\) durch den Radius \(r\) aus, indem du das gegebene Volumen nutzt. - Suche das Minimum der Oberflächenfunktion mithilfe der ersten Ableitung.

1. Die Oberfläche ist \(O(r,h)=3\pi r^2+2\pi rh\), das Volumen erfüllt \(\pi r^2h+\frac23\pi r^3=1{,}5\). 2. Daraus folgt \(h=\frac{1{,}5}{\pi r^2}-\frac23r\). Wegen \(h\ge0\) gilt \(0<r\le\sqrt[3]{\frac{2{,}25}{\pi}}\). 3. Einsetzen ergibt \(O(r)=\frac53\pi r^2+\frac3r\). 4. Aus \(O'(r)=\frac{10}{3}\pi r-\frac3{r^2}=0\) folgt \(r^3=\frac9{10\pi}\), also \(r\approx0{,}659\,\text{m}\). Die zugehörige Höhe ist \(h\approx0{,}659\,\text{m}\). 5. Mit \(O''(r)=\frac{10}{3}\pi+\frac6{r^3}>0\) ist \(O\) auf dem positiven Bereich streng konvex. Der kritische Wert liegt im zulässigen Intervall und liefert daher das absolute Minimum.

Die optimalen Maße sind \(r=\sqrt[3]{\frac9{10\pi}}\approx0{,}66\,\text{m}\) und \(h\approx0{,}66\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du die Materialkosten als Funktion der Fläche ausdrücken kannst. - Welche Größe ist fest vorgegeben (die Konstante in deiner Rechnung) und welche soll maximiert werden? - Stelle eine Gleichung für die Kosten auf und nutze sie, um eine Variable in der Volumenformel zu ersetzen. - Vergiss nicht, am Ende das Verhältnis der beiden Längenmaße zu bilden.

1. Seien \(k\) die Kosten pro Flächeneinheit für den Mantel und \(2k\) die Kosten für den Boden. Dann gilt für die festen Gesamtkosten \(C=2k\pi r^2+2k\pi rh\). 2. Daraus folgt \(h=\frac{C}{2k\pi r}-r\). Wegen \(h>0\) gilt \(0<r<\sqrt{\frac{C}{2k\pi}}\). 3. Das Volumen ist \(V(r)=\pi r^2h=\frac{Cr}{2k}-\pi r^3\). 4. Aus \(V'(r)=\frac{C}{2k}-3\pi r^2=0\) folgt \(C=6k\pi r^2\). Einsetzen in die Kostenbedingung ergibt \(6k\pi r^2=2k\pi r^2+2k\pi rh\), also \(h=2r\). 5. Die Volumenfunktion geht an beiden Randlagen des zulässigen Bereichs gegen \(0\); der einzige positive innere kritische Wert liefert daher das absolute Maximum.

Das optimale Verhältnis ist \(h{:}r=2{:}1\), also \(h=2r\).

- Welche Größe soll maximiert werden? Stelle dafür eine Formel auf. - Welche Information ist fest vorgegeben? Nutze diese, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Welche Radien sind mit einer nichtnegativen Höhe überhaupt möglich? - Erinnere dich daran, wie man mithilfe der Ableitung Hochpunkte einer Funktion bestimmt. - Prüfe auch das Verhalten an den Grenzen des zulässigen Bereichs.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(r, h) = \pi r^2h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 600\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{600 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{300}{\pi r} - r\). Wegen \(r>0\) und \(h\ge 0\) gilt \(0<r\le \sqrt{\frac{300}{\pi}}\). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2\left(\frac{300}{\pi r} - r\right) = 300r - \pi r^3\). 5. Bestimmung des Extremums: \(V'(r) = 300 - 3\pi r^2 = 0 \Rightarrow r^2 = \frac{100}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} \approx 5{,}64\,\text{cm}\). 6. Nachweis des Maximums: \(V''(r) = -6\pi r\); da \(V''(5{,}64) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Im zulässigen Bereich gibt es nur diesen inneren kritischen Punkt. Außerdem gilt \(V(r)\to 0\) für \(r\to 0^+\) und \(V\!\left(\sqrt{\frac{300}{\pi}}\right)=0\). Damit ist das Maximum absolut. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{300}{\pi \cdot 5{,}6419} - 5{,}6419 \approx 11{,}28\,\text{cm}\). 8. Berechnung des Volumens: \(V = 300 \cdot 5{,}6419 - \pi \cdot (5{,}6419)^3 \approx 1128{,}38\,\text{cm}^3\).

Der Radius beträgt \(r \approx 5{,}64\,\text{cm}\), die Höhe \(h \approx 11{,}28\,\text{cm}\) und das maximale Volumen \(V \approx 1128{,}38\,\text{cm}^3\). Im zulässigen Bereich \(0<r\le \sqrt{\frac{300}{\pi}}\) ist dies das absolute Maximum.

- Da der Behälter oben offen ist, besteht die Oberfläche nur aus dem Boden und der Mantelfläche. - Berücksichtige die unterschiedlichen Preise pro Quadratmeter direkt in deiner Zielfunktion. - Eliminiere die Variable \(h\) mithilfe der Volumenformel. - Wo liegt die Ableitung der Kostenfunktion bei null? - Untersuche auch, was mit den Kosten für sehr kleine und sehr große positive Radien geschieht.

1. Aufstellen der Kostenfunktion: \(K(r, h) = 15 \cdot (\pi r^2) + 10 \cdot (2\pi rh)\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 10\). Daher gilt \(r>0\) und \(h>0\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{10}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen in die Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K(r) = 15\pi r^2 + 20\pi r \cdot \frac{10}{\pi r^2} = 15\pi r^2 + \frac{200}{r}\) für \(r>0\). 5. Bestimmung des Extremums: \(K'(r) = 30\pi r - \frac{200}{r^2} = 0 \Rightarrow 30\pi r^3 = 200 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{20}{3\pi}} \approx 1{,}29\,\text{m}\). 6. Nachweis des Minimums: \(K''(r) = 30\pi + \frac{400}{r^3}\); da \(K''(1{,}29) > 0\), liegt ein Minimum vor. Da \(K(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und für \(r\to\infty\), ist dieses einzige Minimum auf \(r>0\) zugleich das absolute Minimum. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{10}{\pi \cdot (1{,}285)^2} \approx 1{,}93\,\text{m}\). 8. Berechnung der minimalen Kosten: \(K(1{,}285) = 15\pi \cdot (1{,}285)^2 + \frac{200}{1{,}285} \approx 233{,}45\,\text{€}\).

Die Kosten werden minimal für einen Radius von \(r \approx 1{,}29\,\text{m}\) und eine Höhe von \(h \approx 1{,}93\,\text{m}\). Die absoluten minimalen Kosten betragen \(K \approx 233{,}45\,\text{€}\).

- Stelle zuerst Formeln für das Volumen und die gewichteten Oberflächenkosten auf. - Überlege, wie du eine der Variablen \(h\) oder \(r\) eliminieren kannst, indem du die Volumenbedingung nutzt. - Welche positiven Radien sind mit einer nichtnegativen Zylinderhöhe möglich? - Welche Funktion beschreibt die Kosten in Abhängigkeit von nur einer Variablen? - Wie kannst du nach dem Extremwert prüfen, ob er im gesamten zulässigen Bereich minimal ist?

1. Aufstellen der Formel für das Volumen: \(V = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion \(C\). Mit den Oberflächen der Seitenwand (\(2\pi r h\)) und der Halbkugel (\(2\pi r^2\)) sowie den relativen Kostenfaktoren \(1\) und \(2\) ergibt sich: \(C(r, h) = 2\pi r h \cdot 1 + 2\pi r^2 \cdot 2 = 2\pi r h + 4\pi r^2\). 3. Auflösen der Volumenformel nach \(h\): \(h = \frac{V - \frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). Wegen \(r>0\) und \(h\ge0\) ist nur \(0<r\le \sqrt[3]{\frac{3V}{2\pi}}\) zulässig. 4. Einsetzen von \(h\) in die Kostenfunktion: \(C(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 4\pi r^2 = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 4\pi r^2 = \frac{2V}{r} + \frac{8}{3}\pi r^2\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(C'(r) = -\frac{2V}{r^2} + \frac{16}{3}\pi r\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(-\frac{2V}{r^2} + \frac{16}{3}\pi r = 0 \Rightarrow \frac{16}{3}\pi r^3 = 2V \Rightarrow V = \frac{8}{3}\pi r^3\). 7. Einsetzen von \(V\) in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = \frac{8}{3}r - \frac{2}{3}r = 2r\). 8. Die zweite Ableitung \(C''(r) = \frac{4V}{r^3} + \frac{16}{3}\pi\) ist für \(r > 0\) stets positiv. Der gefundene Radius ist zulässig und daher ist der zugehörige Tiefpunkt zugleich das absolute Minimum auf dem physikalisch zulässigen Bereich. Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\).

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\). Die Höhe des zylindrischen Teils muss also genau dem Durchmesser der Halbkugel entsprechen; dies liefert das absolute Kostenminimum im zulässigen Bereich.

- Betrachte getrennt die Sichtlinien zur Unterkante und zur Oberkante der Werbefläche. - Wie lassen sich die beiden zugehörigen Winkel mithilfe von \(x\) beschreiben? - Der gesuchte Sichtwinkel ist die Differenz dieser beiden Winkel. - Welche streng wachsende Funktion des Sichtwinkels lässt sich einfacher optimieren als der Winkel selbst?

1. Sei \(\beta_1\) der Winkel zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Oberkante und \(\beta_2\) der entsprechende Winkel zur Unterkante. Dann gilt \(\tan(\beta_1)=\frac{8}{x}\) und \(\tan(\beta_2)=\frac{2}{x}\). 2. Der Sichtwinkel ist \(\theta=\beta_1-\beta_2\). Mit der Formel für den Tangens einer Winkeldifferenz folgt \(\tan(\theta)=\frac{\frac{8}{x}-\frac{2}{x}}{1+\frac{8}{x}\frac{2}{x}}=\frac{6x}{x^2+16}\). 3. Da \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\) gilt und die Tangensfunktion dort streng wächst, genügt es, \(q(x)=\frac{6x}{x^2+16}\) für \(x>0\) zu maximieren. 4. Es gilt \(q'(x)=\frac{6(16-x^2)}{(x^2+16)^2}\). Damit wächst \(q\) für \(0<x<4\) und fällt für \(x>4\). 5. Der Sichtwinkel ist daher bei \(x=4\,\text{m}\) maximal. 6. Für \(x=4\) gilt \(\tan(\theta_{\max})=\frac{3}{4}\). Somit ist \(\theta_{\max}=\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\approx36{,}87^\circ\).

a) \(\tan(\theta(x))=\frac{6x}{x^2+16}\) b) \(x=4\,\text{m}\) c) \(\theta_{\max}\approx36{,}87^\circ\)

- Welche rechtwinklige Beziehung zwischen \(R\), \(r\) und \(h\) ist im Achsenschnitt sichtbar? - Welche Fläche des Zylinders ist mit „Mantelfläche“ gemeint? - Warum darfst du zum Maximieren einer nichtnegativen Größe auch ihr Quadrat betrachten? - Welche Mantelfläche erhältst du in den beiden geometrischen Randfällen?

1. Im Achsenschnitt bilden Kugelradius \(R\), Zylinderhöhe \(h\) und Zylinderradius \(r\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras gilt \(r^2+h^2=R^2\), also \(r=\sqrt{R^2-h^2}\). Die Mantelfläche ist \(M(h)=2\pi rh=2\pi h\sqrt{R^2-h^2}\) für \(0\le h\le R\). 2. Zur Maximierung kann wegen \(M(h)\ge0\) das Quadrat \(f(h)=\left(\frac{M}{2\pi}\right)^2=h^2(R^2-h^2)=R^2h^2-h^4\) untersucht werden. Aus \(f'(h)=2R^2h-4h^3=2h(R^2-2h^2)=0\) folgt für einen nicht entarteten Zylinder \(h=\frac{R}{\sqrt2}\). An den Randwerten \(h=0\) und \(h=R\) ist \(M=0\); der einzige innere positive kritische Wert liefert daher das absolute Maximum. 3. Dann ist \(r=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{2}}=\frac{R}{\sqrt2}\). Somit gilt \(M_{\max}=2\pi\cdot\frac{R}{\sqrt2}\cdot\frac{R}{\sqrt2}=\pi R^2\). Die gekrümmte Oberfläche einer Halbkugel ist \(O_{\mathrm{HK}}=2\pi R^2\), also \(\frac{M_{\max}}{O_{\mathrm{HK}}}=\frac12\).

1. \(M(h)=2\pi h\sqrt{R^2-h^2}\) für \(0\le h\le R\). 2. Die maximale Mantelfläche wird für \(h=\frac{R}{\sqrt2}\) erreicht. 3. Es ist \(M_{\max}=\pi R^2\), also genau die Hälfte von \(2\pi R^2\).

- Welche drei Längen bilden im Diagonalschnitt ein rechtwinkliges Dreieck? - Wie lang ist die halbe Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge \(a\)? - Drücke \(a^2\) durch die Höhe aus, bevor du das Pyramidenvolumen optimierst. - Welche entarteten Randlagen sind bei festgehaltener Seitenkante möglich?

1. Für das Volumen gilt \(V=\frac13a^2h\). 2. Im Diagonalschnitt gilt \(s^2=h^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2\). Mit \(s=9\,\text{cm}\) folgt \(a^2=2(81-h^2)\) für \(0\le h\le9\). 3. Damit ist \(V(h)=\frac23(81h-h^3)\). 4. Aus \(V'(h)=\frac23(81-3h^2)=0\) folgt \(h=3\sqrt3\,\text{cm}\approx5{,}20\,\text{cm}\). 5. Da \(V(0)=V(9)=0\) und der innere kritische Wert ein Maximum liefert, ist es global. 6. Es ist \(V_{\max}=108\sqrt3\,\text{cm}^3\approx187{,}06\,\text{cm}^3\).

\(h=3\sqrt3\,\text{cm}\approx5{,}20\,\text{cm}\); \(V_{\max}=108\sqrt3\,\text{cm}^3\approx187{,}06\,\text{cm}^3\)

- Welche Größe soll maximiert werden? - Welche rechtwinklige Beziehung erkennst du im Achsenschnitt zwischen Kugelradius, Zylinderradius und halber Zylinderhöhe? - Wie kannst du das Volumen auf eine Variable zurückführen? - Welche Randlagen gehören zum geometrisch möglichen Höhenintervall?

1. Das Zylindervolumen ist \(V=\pi r^2h\). 2. Im Achsenschnitt gilt \(r^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2\), also für \(R=6\,\text{m}\) \(r^2=36-\frac{h^2}{4}\). 3. Damit ist \(V(h)=36\pi h-\frac\pi4h^3\) für \(0\le h\le12\). 4. Aus \(V'(h)=36\pi-\frac{3\pi}{4}h^2=0\) folgt \(h=4\sqrt3\,\text{m}\approx6{,}93\,\text{m}\). Da die Randvolumina null sind, liegt dort das globale Maximum. 5. Der zugehörige Radius ist \(r=\sqrt{24}=2\sqrt6\,\text{m}\approx4{,}90\,\text{m}\). 6. Das maximale Volumen ist \(V_{\max}=96\sqrt3\pi\,\text{m}^3\approx522{,}37\,\text{m}^3\).

\(h\approx6{,}93\,\text{m}\), \(r\approx4{,}90\,\text{m}\), \(V_{\max}\approx522{,}37\,\text{m}^3\)

- Welche Größe soll maximiert werden und von welchen Variablen hängt sie ab? - Wie hängen die Seitenlängen des Quaders mathematisch mit der Raumdiagonalen zusammen? - Kannst du die Nebenbedingung so umformen, dass du eine Variable in der Volumenformel ersetzen kannst? - Welche Höhen sind bei fester Raumdiagonale überhaupt möglich? - Prüfe nach dem inneren Extremwert auch das Verhalten an den geometrischen Grenzen.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für das Volumen: \(V = a^2h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung über die Raumdiagonale: \(D^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2\). Für nicht entartete Behälter gilt \(0<h<D\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(a^2 = \frac{D^2 - h^2}{2}\) und Einsetzen in die Hauptbedingung zur Erstellung der Zielfunktion: \(V(h) = \frac{D^2 - h^2}{2}h = \frac{1}{2}(D^2 h - h^3)\). 4. Bilden der ersten Ableitung: \(V'(h) = \frac{1}{2}(D^2 - 3h^2)\). 5. Bestimmen der Nullstelle der Ableitung für das Maximum: \(D^2 - 3h^2 = 0 \Rightarrow h = \frac{D}{\sqrt{3}}\) (da \(h > 0\)). Dies ist der einzige innere kritische Wert; außerdem gilt \(V(h)\to0\) für \(h\to0^+\) und \(h\to D^-\). Daher liegt hier das absolute Maximum. 6. Berechnen des zugehörigen Wertes für \(a\): \(a^2 = \frac{D^2 - \frac{D^2}{3}}{2} = \frac{1}{3} D^2 \Rightarrow a = \frac{D}{\sqrt{3}}\). 7. Bestimmen des Verhältnisses: \(\frac{h}{a} = \frac{D/\sqrt{3}}{D/\sqrt{3}} = 1\).

Das optimale Verhältnis ist \(\frac{h}{a} = 1\). Das bedeutet, der Behälter muss die Form eines Würfels haben; dieser liefert das absolute Volumenmaximum.

- Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck im Inneren des Zylinders vor, dessen Hypotenuse die gesuchte Distanz ist. - Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Versuche, die Zielfunktion so umzuformen, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt. - Was passiert mit dem Quadrat einer positiven Funktion, wenn die Funktion selbst ein Minimum annimmt? - Untersuche auch, wie sich die Zielfunktion für sehr kleine und sehr große positive Radien verhält.

1. Hauptbedingung: Minimierung der Distanz \(s = \sqrt{r^2 + h^2}\), was äquivalent zur Minimierung von \(f(r, h) = r^2 + h^2\) ist. 2. Nebenbedingung: \(V = \pi r^2h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}\). Wegen des festen positiven Volumens gilt \(r>0\) und \(h>0\). 3. Zielfunktion durch Substitution von \(h\): \(f(r) = r^2 + \left(\frac{V}{\pi r^2}\right)^2 = r^2 + \frac{V^2}{\pi^2r^4}\). 4. Ableitung der Zielfunktion: \(f'(r) = 2r - \frac{4V^2}{\pi^2r^5}\). 5. Nullstelle der Ableitung: \(2r = \frac{4V^2}{\pi^2r^5} \Rightarrow r^6 = \frac{2V^2}{\pi^2}\). Dies ist die einzige positive kritische Stelle. Da \(f(r)\to\infty\) sowohl für \(r\to0^+\) als auch für \(r\to\infty\), ist sie das absolute Minimum. 6. Ersetzen von \(V^2\) durch \((\pi r^2 h)^2\): \(r^6 = \frac{2 \pi^2 r^4 h^2}{\pi^2} = 2r^4 h^2\). 7. Auflösen nach dem Verhältnis: \(r^2 = 2h^2 \Rightarrow \frac{r}{h} = \sqrt{2}\).

Das optimale Verhältnis von Radius zu Höhe beträgt \(r{:}h=\sqrt{2}{:}1\) bzw. \(r = \sqrt{2}h\). Dieses Verhältnis liefert das absolute Minimum der Distanz.

- Wie hängen Volumen, Grundkante und Höhe bei einer Pyramide zusammen? - Kannst du die zu minimierende Größe als Funktion einer einzigen positiven Variablen ausdrücken? - Überlege, ob es rechnerisch einfacher ist, das Quadrat der Fläche zu untersuchen. - Was geschieht mit der Zielfunktion für sehr kleine und sehr große positive Höhen? - Versuche am Ende, die Konstante \(V\) wieder durch die geometrischen Variablen zu ersetzen.

1. Aufstellen der Formel für die Mantelfläche: \(M = a \cdot \sqrt{4h^2 + a^2}\). 2. Verwendung der Volumenformel \(V = \frac{1}{3}a^2 h\) als Nebenbedingung, um \(a^2 = \frac{3V}{h}\) auszudrücken. Wegen \(V>0\) gilt \(h>0\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in das Quadrat der Zielfunktion: \(f(h) = M^2 = \frac{3V}{h} \cdot \left(4h^2 + \frac{3V}{h}\right) = 12Vh + \frac{9V^2}{h^2}\). Da \(M>0\), haben \(M\) und \(f\) dieselben Minimalstellen. 4. Bildung der ersten Ableitung der Zielfunktion: \(f'(h) = 12V - 18V^2 h^{-3}\). 5. Bestimmung der Extremstelle durch \(f'(h) = 0\): \(12V = \frac{18V^2}{h^3} \Rightarrow h^3 = \frac{3}{2}V\). Dies ist die einzige positive kritische Stelle. Da \(f(h)\to\infty\) für \(h\to0^+\) und für \(h\to\infty\), liegt hier das absolute Minimum. 6. Rücksubstitution von \(V = \frac{1}{3}a^2 h\) in die Gleichung \(h^3 = \frac{3}{2}V\): \(h^3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}a^2 h = \frac{1}{2}a^2 h\). 7. Vereinfachung der Beziehung zwischen den Maßen: \(2h^2 = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{2}h\). Das gesuchte Verhältnis ist \(a{:}h=\sqrt{2}{:}1\).

Das Verhältnis von Grundkante \(a\) zur Höhe \(h\) muss \(a{:}h=\sqrt{2}{:}1\) betragen (also \(a = \sqrt{2} \cdot h\)). Dieses Verhältnis liefert das absolute Minimum der Mantelfläche.

- Schreibe einen beliebigen Punkt des Graphen als \(P(x,x^2)\). - Minimiere das Quadrat des Abstands; dadurch vermeidest du die Wurzel, ohne die Lage des Minimums zu verändern. - Faktorisiere die Ableitung und untersuche, ob der quadratische Faktor reelle Nullstellen besitzt. - Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von negativ zu positiv weist das absolute Minimum nach, wenn es die einzige kritische Stelle ist.

1. Ein Punkt auf dem Graphen hat die Form \(P(x,x^2)\). Das Quadrat seines Abstands zu \(A(3,0)\) ist \(D(x)=(x-3)^2+x^4=x^4+x^2-6x+9\). Da die Quadratwurzelfunktion streng monoton wächst, genügt es, \(D\) zu minimieren. 2. Die Ableitung ist \(D'(x)=4x^3+2x-6=2(x-1)(2x^2+2x+3)\). 3. Für den quadratischen Faktor gilt \(2x^2+2x+3>0\) für alle reellen \(x\), da seine Diskriminante \(2^2-4\cdot2\cdot3=-20<0\) ist. Daher ist \(x=1\) die einzige kritische Stelle. 4. Für \(x<1\) ist \(D'(x)<0\), und für \(x>1\) ist \(D'(x)>0\). Somit fällt \(D\) bis \(x=1\) und steigt danach. Deshalb liegt dort das eindeutige absolute Minimum. 5. Es ist \(f(1)=1\). Der gesuchte Punkt ist daher \(P(1,1)\).

Der Punkt mit dem absoluten minimalen Abstand zu \(A(3,0)\) ist \(P(1,1)\).

- Stelle eine Funktion auf, die den Abstand eines beliebigen Punktes \((x; f(x))\) zum Punkt \(S\) beschreibt. - Kannst du die Symmetrie der Parabel nutzen, um deine Ergebnisse zu plausibilisieren? - Achte darauf, alle Stellen zu finden, an denen die Ableitung null wird, und untersuche sie auf ihre Art. - Wie verhält sich das Abstandsquadrat für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(D(x) = (x - 0)^2 + (0{,}5x^2 - 1{,}5 - 1)^2 = x^2 + (0{,}5x^2 - 2{,}5)^2\). 2. Vereinfachen des Ausdrucks: \(D(x) = x^2 + 0{,}25x^4 - 2{,}5x^2 + 6{,}25 = 0{,}25x^4 - 1{,}5x^2 + 6{,}25\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen durch \(D'(x) = x^3 - 3x = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3}\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(D''(x) = 3x^2 - 3\): \(D''(0) = -3 < 0\) (lokales Maximum), \(D''(\pm \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 - 3 = 6 > 0\) (lokale Minima). Da \(D(x)\to\infty\) für \(|x|\to\infty\) und keine weiteren kritischen Stellen existieren, sind diese beiden lokalen Minima zugleich die beiden absoluten Minima. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(\pm \sqrt{3}) = 0{,}5 \cdot 3 - 1{,}5 = 0\). 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d = \sqrt{(\pm \sqrt{3} - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\).

Die Punkte mit dem absoluten minimalen Abstand sind \(P_1(-\sqrt{3}; 0)\) und \(P_2(\sqrt{3}; 0)\). Der minimale Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Zusammenhänge zwischen den drei Kantenlängen. - Stelle eine Formel für die Gesamtoberfläche eines Quaders auf und nutze die Informationen aus dem Text, um Variablen zu ersetzen. - Verwende das feste Volumen, um die Höhe durch die Breite auszudrücken. - Suche nach dem Tiefpunkt der resultierenden Oberflächenfunktion. - Prüfe zusätzlich das Verhalten der Oberfläche für sehr kleine und sehr große positive Breiten.

1. Definition der Variablen: Breite \(b\), Länge \(l = 3b\), Höhe \(h\). Wegen des positiven Volumens gilt \(b>0\) und \(h>0\). 2. Aufstellen der Hauptbedingung für die Oberfläche \(O\): \(O = 2(lb + lh + bh) = 2(3b^2 + 3bh + bh) = 6b^2 + 8bh\). 3. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen \(V\): \(V = lbh = 3b \cdot b \cdot h = 3b^2 h = 36\). 4. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{36}{3b^2} = \frac{12}{b^2}\). 5. Einsetzen in die Hauptbedingung zur Zielfunktion: \(O(b) = 6b^2 + 8b \cdot \frac{12}{b^2} = 6b^2 + \frac{96}{b}\) für \(b>0\). 6. Ableiten der Zielfunktion: \(O'(b) = 12b - \frac{96}{b^2}\). 7. Nullsetzen der Ableitung: \(12b - \frac{96}{b^2} = 0 \Leftrightarrow 12b^3 = 96 \Leftrightarrow b^3 = 8 \Leftrightarrow b = 2\). 8. Berechnung der weiteren Maße: \(l = 3 \cdot 2 = 6\) und \(h = \frac{12}{2^2} = 3\). 9. Verifizierung des Minimums: \(O''(b) = 12 + \frac{192}{b^3}\), was für \(b=2\) positiv ist (\(O''(2) = 36\)). Da \(O(b)\to\infty\) für \(b\to0^+\) und für \(b\to\infty\), ist die einzige positive kritische Stelle zugleich das absolute Minimum.

Die Abmessungen des Behälters sind: Länge \(l = 6\,\text{dm}\), Breite \(b = 2\,\text{dm}\) und Höhe \(h = 3\,\text{dm}\). Diese Maße minimieren die Oberfläche absolut.

- Überlege dir zuerst, welche Werte in der Gleichung fest sind und welche variabel. - Kannst du die trigonometrischen Terme in der Gleichung so umformen, dass nur noch eine einzige trigonometrische Funktion (z. B. der Tangens) vorkommt? - Welchen Wertebereich hat \(t=\tan(\alpha)\) für die vorgegebenen Winkel? - Welche Form hat die Zielfunktion nach der Substitution, und was sagt diese Form über das globale Maximum aus?

1. Einsetzen der gegebenen Werte \(x = 30\), \(v = 20\), \(g = 10\) und \(\alpha = 45^\circ\) in die Funktionsgleichung: \(y(30) = \tan(45^\circ) \cdot 30 - \frac{10 \cdot 30^2}{2 \cdot 20^2 \cdot \cos^2(45^\circ)}\). Mit \(\tan(45^\circ) = 1\) und \(\cos^2(45^\circ) = 0{,}5\) ergibt sich \(y(30) = 30 - \frac{9000}{400} = 30 - 22{,}5 = 7{,}5\,\text{m}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Höhe in Abhängigkeit von \(\alpha\) bei \(x = 30\): \(h(\alpha) = 30 \tan(\alpha) - \frac{45}{4 \cos^2(\alpha)}\). 3. Nutzung der Identität \(\frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 1 + \tan^2(\alpha)\) zur Vereinfachung: \(h(t) = 30t - 11{,}25(1 + t^2)\) mit \(t = \tan(\alpha)\). Für die betrachteten Abwurfwinkel gilt \(t=\tan(\alpha)\ge0\). 4. Ableiten nach \(t\): \(h'(t) = 30 - 22{,}5t\). Nullsetzen der Ableitung liefert \(t = \frac{30}{22{,}5} = \frac{4}{3}\). 5. Berechnung des Winkels: \(\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ\). 6. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = \frac{4}{3}\) in \(h(t)\): \(h_{\max} = 30 \cdot \frac{4}{3} - 11{,}25 \cdot (1 + \frac{16}{9}) = 40 - 11{,}25 \cdot \frac{25}{9} = 40 - 31{,}25 = 8{,}75\,\text{m}\). 7. Da \(h(t)\) eine nach unten geöffnete quadratische Funktion ist, ist ihre einzige Extremstelle auf \(t\ge0\) das absolute Maximum.

a) Die Kapsel trifft die Wand in einer Höhe von \(7{,}5\,\text{m}\). b) Die maximale Höhe von \(8{,}75\,\text{m}\) wird bei einem Abwurfwinkel von \(\alpha \approx 53{,}13^\circ\) erreicht.

- Überlege dir, wie sich der Umfang des Sektors aus den Radien und dem Bogen zusammensetzt. - Welche Werte kann der Radius annehmen, wenn die Bogenlänge nicht negativ sein darf? - Welche Formel verbindet Radius, Bogenlänge und Flächeninhalt eines Kreissektors? - Drücke eine der Variablen durch die andere aus, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten. - Prüfe auch die beiden Randfälle des zulässigen Radiusbereichs.

1. Die Umfangsgleichung lautet \(U = 2r + b = 20\), woraus sich die Bogenlänge \(b = 20 - 2r\) ergibt. Wegen \(r>0\) und \(b\ge0\) gilt \(0<r\le10\). 2. Die Fläche eines Kreissektors ist \(A = \frac{1}{2}rb\). Einsetzen der Nebenbedingung liefert die Zielfunktion \(A(r) = \frac{1}{2}r(20 - 2r) = 10r - r^2\). 3. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(r) = 10 - 2r\). Nullsetzen ergibt \(10 - 2r = 0 \implies r = 5\). 4. Die zweite Ableitung \(A''(r) = -2\) ist überall negativ, also liegt bei \(r = 5\,\text{cm}\) ein Maximum vor. Zudem gilt \(A(r)\to0\) für \(r\to0^+\) und \(A(10)=0\); damit ist es das absolute Maximum im zulässigen Bereich. 5. Berechnung des Winkels \(\varphi\) im Bogenmaß über die Beziehung \(b = r\varphi\): Mit \(b = 20 - 2 \cdot 5 = 10\) folgt \(10 = 5 \cdot \varphi\), also \(\varphi = 2\).

Der Radius beträgt \(r = 5\,\text{cm}\) und der Mittelpunktswinkel beträgt \(\varphi = 2\) (im Bogenmaß). Diese Werte liefern den absoluten maximalen Flächeninhalt.

- Welche zwei Teilstrecken verursachen unterschiedliche Kosten? - Wie kannst du die Länge der Meeresstrecke aus dem Küstenrest \(15-x\) und dem senkrechten Abstand \(8\,\text{km}\) bestimmen? - Stelle die Gesamtkosten als Summe aus Land- und Meereskosten auf. - Auf dem abgeschlossenen Intervall musst du die innere kritische Stelle mit beiden Randpunkten vergleichen.

1. Sei \(x\) der Abstand des Punktes \(P\) von \(A\) entlang der Küste. Die Strecke an Land ist \(x\), die Strecke im Meer ist nach Pythagoras \(\sqrt{(15-x)^2+8^2}\). 2. Die Kostenfunktion lautet \(K(x)=30\,000x+50\,000\sqrt{(15-x)^2+64}\) für \(0\le x\le15\). 3. Ableiten ergibt \(K''(x)=30\,000-\frac{50000(15-x)}{\sqrt{(15-x)^2+64}}\). 4. Aus \(K''(x)=0\) folgt \(3\sqrt{(15-x)^2+64}=5(15-x)\). Quadrieren liefert \(9((15-x)^2+64)=25(15-x)^2\), also \((15-x)^2=36\). Im zulässigen Bereich ist \(15-x\ge0\), daher \(15-x=6\) und \(x=9\). 5. Es gilt \(K(0)=850\,000\,\text{€}\), \(K(15)=850\,000\,\text{€}\) und \(K(9)=30\,000\cdot9+50\,000\cdot10=770\,000\,\text{€}\). 6. Damit liegt das absolute Minimum bei \(x=9\,\text{km}\).

Der Punkt \(P\) liegt \(9\,\text{km}\) von \(A\) entfernt. Die minimalen Gesamtkosten betragen \(770\,000\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, welche geometrische Formel für das Volumen hier wichtig ist. - Wie hängen der Radius und der Umfang eines Kreises zusammen? Nutze dies für die Nebenbedingung. - Drücke eine der Variablen durch die andere aus, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Unbekannten abhängt. - Achte darauf, ob die berechneten Extremstellen innerhalb der vorgegebenen Grenzen für die Höhe liegen. - Vergiss nicht, am Ende auch die Werte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r, h) = \pi r^2h\). 2. Einsetzen der Nebenbedingung \(h + U = 180\) mit \(U = 2\pi r\): \(r = \frac{180 - h}{2\pi}\). 3. Erstellen der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(h\): \(V(h) = \pi\left(\frac{180 - h}{2\pi}\right)^2h = \frac{1}{4\pi}(180 - h)^2h = \frac{1}{4\pi}(h^3 - 360h^2 + 32\,400h)\). 4. Bestimmung des Definitionsbereichs aus den Bedingungen: \(20 \le h \le 100\). 5. Ableiten und Nullstellen finden: \(V'(h) = \frac{1}{4\pi}(3h^2 - 720h + 32\,400) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung \(h^2 - 240h + 10\,800 = 0\) sind \(h_1 = 60\) und \(h_2 = 180\). 6. Überprüfung der Extrema: \(h_1 = 60\) liegt im Intervall \([20; 100]\). Wegen \(V''(60) = \frac{1}{4\pi} \cdot (6 \cdot 60 - 720) = -\frac{360}{4\pi} < 0\) liegt dort ein lokales Maximum vor. 7. Randwertprüfung: \(V(20) = \frac{128000}{\pi} \approx 40\,743{,}66\), \(V(60) = \frac{216000}{\pi} \approx 68\,754{,}94\), \(V(100) = \frac{160000}{\pi} \approx 50\,929{,}58\). Das absolute Maximum liegt bei \(h = 60\,\text{cm}\). 8. Berechnung der Maße: \(h = 60\,\text{cm}\), \(r = \frac{180 - 60}{2\pi} = \frac{60}{\pi} \approx 19{,}10\,\text{cm}\). 9. Maximales Volumen: \(V(60) = \frac{216000}{\pi} \approx 68\,754{,}94\,\text{cm}^3\).

a) Die optimalen Maße sind eine Höhe von \(h = 60\,\text{cm}\) und ein Radius von \(r = \frac{60}{\pi} \approx 19{,}10\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt etwa \(68\,754{,}94\,\text{cm}^3\).

- Ein Quader hat 12 Kanten. Welche davon sind jeweils gleich lang? - Nutze die Beziehung zwischen Länge und Breite, um die Anzahl der Variablen in deiner Gleichung für die Kantenlängensumme zu reduzieren. - Die Bedingung für die Höhe schränkt die möglichen Werte für die Breite ein. Bestimme diesen Bereich vor der Optimierung. - Denke daran, bei einer Optimierung auf einem beschränkten Definitionsbereich auch die Randwerte und das Randverhalten zu prüfen.

1. Zielfunktion für das Volumen: \(V(w, l, h) = wlh\). Mit \(l = 1{,}5w\) folgt \(V(w, h) = 1{,}5w^2h\). 2. Nebenbedingung für die Kantenlängensumme: \(4(w + l + h) = 240 \Rightarrow w + 1{,}5w + h = 60 \Rightarrow 2{,}5w + h = 60\). Umgestellt nach \(h\): \(h = 60 - 2{,}5w\). 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von \(w\): \(V(w) = 1{,}5w^2(60 - 2{,}5w) = 90w^2 - 3{,}75w^3\). 4. Definitionsbereich bestimmen: Aus \(h \le 30\) folgt \(60 - 2{,}5w \le 30 \Rightarrow 30 \le 2{,}5w \Rightarrow w \ge 12\). Da eine Box eine positive Höhe haben muss, gilt zudem \(h > 0\), also \(2{,}5w < 60 \Rightarrow w < 24\). Somit ist \(D = [12; 24[\). 5. Ableitung und Extremstellen: \(V'(w) = 180w - 11{,}25w^2 = 0\). Dies liefert \(w_1 = 0\) (nicht im Intervall) und \(w_2 = 16\). 6. Prüfung des Maximums: \(V''(w) = 180 - 22{,}5w\). \(V''(16) = 180 - 360 = -180 < 0\), also liegt bei \(w = 16\) ein lokales Maximum vor. 7. Vergleich mit dem Randwert und dem Randverhalten: \(V(12) = 1{,}5 \cdot 12^2 \cdot (60 - 2{,}5 \cdot 12) = 6480\,\text{cm}^3\). \(V(16) = 1{,}5 \cdot 16^2 \cdot (60 - 40) = 7680\,\text{cm}^3\). Außerdem gilt \(\lim_{w \to 24^-} V(w) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(w = 16\). 8. Maße berechnen: \(w = 16\,\text{cm}\), \(l = 1{,}5 \cdot 16 = 24\,\text{cm}\), \(h = 60 - 2{,}5 \cdot 16 = 20\,\text{cm}\). 9. Maximales Volumen: \(V = 16 \cdot 24 \cdot 20 = 7680\,\text{cm}^3\).

a) Die Box hat die Breite \(w = 16\,\text{cm}\), die Länge \(l = 24\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 20\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt \(7680\,\text{cm}^3\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Überlege dir eine Funktion für den Flächeninhalt, die nur von der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) abhängt. - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Denke daran, am Ende die Koordinaten des Punktes anzugeben, nicht nur den \(x\)-Wert.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Der Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks mit den Eckpunkten \((0 \mid 0)\) und \(P(x \mid f(x))\) berechnet sich durch \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x \cdot e^{1-x}) = x^2 \cdot e^{1-x}\). 2. Ableitung berechnen: Unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(A'(x) = 2x \cdot e^{1-x} + x^2 \cdot e^{1-x} \cdot (-1) = (2x - x^2) \cdot e^{1-x}\). 3. Bestimmung der Extremstellen: Die notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) führt auf \(x(2 - x) \cdot e^{1-x} = 0\). Da \(e^{1-x} > 0\) und \(x > 0\) vorausgesetzt ist, bleibt nur die Lösung \(x = 2\). 4. Überprüfung des Maximums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) an der Stelle \(x = 2\) von positiv nach negativ (da \(A'(1) = e^0 > 0\) und \(A'(3) = -3e^{-2} < 0\)) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(x)\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist es ein globales Maximum. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = 2 \cdot e^{1-2} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e}\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 \mid \frac{2}{e})\).

\(P(2 \mid \frac{2}{e})\)

- Nutze die Symmetrie der Funktion zur \(y\)-Achse aus, um die Breite des Rechtecks in Abhängigkeit von \(x\) auszudrücken. - Wenn die Breite \(2x\) ist, wie groß ist dann die zugehörige Höhe des Rechtecks? - Welche Ableitungsregel ist für gebrochen-rationale Funktionen am besten geeignet? - Achte darauf, dass am Ende nach den Seitenlängen des Rechtecks gefragt ist, nicht nur nach dem \(x\)-Wert.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse hat das Rechteck die Eckpunkte \((-x \mid 0)\), \((x \mid 0)\), \((x \mid f(x))\) und \((-x \mid f(x))\) mit \(x > 0\). Die Breite ist \(2x\) und die Höhe \(f(x)\). Die Fläche ist \(A(x) = 2x \cdot \frac{4}{x^2 + 1} = \frac{8x}{x^2 + 1}\). 2. Ableitung berechnen: Mit der Quotientenregel folgt \(A''(x) = \frac{8(x^2 + 1) - 8x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{8 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2}\). 3. Bestimmung der Extremstellen: Die notwendige Bedingung \(A''(x) = 0\) liefert \(8 - 8x^2 = 0\), woraus für \(x > 0\) die Stelle \(x = 1\) folgt. 4. Da der Zähler \(8(1-x^2)\) für \(x < 1\) positiv und für \(x > 1\) negativ ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokales Maximum vor. Wegen \(\lim_{x\to0^+}A(x)=0\) und \(\lim_{x \to \infty} A(x) = 0\) ist dies das globale Maximum. 5. Die Breite beträgt \(b = 2x = 2\). Die Höhe beträgt \(h = f(1) = 2\). Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(2\) und \(2\).

Die Seitenlängen betragen \(2\) und \(2\).

- Wie findest du die Steigung einer Geraden, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Überlege dir eine Funktion, die den vertikalen Unterschied zwischen zwei Graphen beschreibt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Kurve zu finden? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert tatsächlich im angegebenen Intervall liegt.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Rändern: \(f(1) = 4\) und \(f(4) = 1\). 2. Bestimmung der Sekantensteigung: \(m = \frac{1 - 4}{4 - 1} = -1\). 3. Aufstellen der Sekantengleichung: \(s(x) = -1 \cdot (x - 1) + 4 = -x + 5\). 4. Definition der Differenzfunktion für den vertikalen Abstand: \(d(x) = s(x) - f(x) = -x + 5 - \frac{4}{x}\). 5. Ableitung der Differenzfunktion: \(d'(x) = -1 + \frac{4}{x^2}\). 6. Berechnung der kritischen Stelle: \(d'(x) = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4\). Da \(x \in [1; 4]\), folgt \(x = 2\). 7. Nachweis des Maximums: \(d''(x) = -\frac{8}{x^3}\); \(d''(2) = -1 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Da \(d(1) = 0\) und \(d(4) = 0\), ist es ein globales Maximum im Intervall. 8. Berechnung des maximalen Abstands: \(d(2) = -2 + 5 - \frac{4}{2} = 1\).

a) \(s(x) = -x + 5\) b) Die Stelle ist \(x = 2\); der maximale Abstand beträgt \(1\).

- Bestimme zuerst die Steigung der Geraden mithilfe der gegebenen Punkte. - Stelle eine Funktion für die Differenz der beiden Funktionswerte auf. - Nutze die Ableitungsregeln für Logarithmusfunktionen, um Extremstellen zu finden. - Achte darauf, den Wert für \(x\) und den zugehörigen Differenzwert exakt (mit \(e\) und \(\ln\)) anzugeben.

1. Bestimmung der Geradensteigung durch \(O(0|0)\) und \(P(e-1|1)\): \(m = \frac{1 - 0}{e-1 - 0} = \frac{1}{e-1}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(g(x) = \frac{1}{e-1}x\). 3. Bildung der Differenzfunktion: \(d(x) = \ln(x+1) - \frac{1}{e-1}x\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(d'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{e-1}\). 5. Nullsetzen der Ableitung: \(\frac{1}{x+1} = \frac{1}{e-1} \implies x+1 = e-1 \implies x = e-2\). 6. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(d''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\). Da \(d''(e-2) = -\frac{1}{(e-1)^2} < 0\), liegt ein Maximum vor. 7. Vergleich mit den Randwerten: \(d(0) = 0\) und \(d(e-1) = \ln(e) - \frac{e-1}{e-1} = 1 - 1 = 0\). 8. Berechnung des maximalen Werts an der Stelle \(x = e-2\): \(d(e-2) = \ln(e-2+1) - \frac{e-2}{e-1} = \ln(e-1) - \frac{e-2}{e-1}\).

a) \(g(x) = \frac{1}{e-1}x\) b) Die Differenz ist am größten für \(x = e-2\). Der maximale Wert beträgt \(\ln(e-1) - \frac{e-2}{e-1}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um die Extremstelle zu finden? - Erstelle eine Zielfunktion, die nur noch von der Variablen \(x\) abhängt. - Welche Bedingungen muss die Ableitung an einer Minimalstelle erfüllen? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis ein lokales oder ein globales Minimum darstellt.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion zum Quadrat (da das Minimum des Abstandsquadrats mit dem Minimum des Abstands übereinstimmt): \(g(x) = (x-1)^2 + (e^x)^2 = (x-1)^2 + e^{2x}\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 2(x-1) + 2e^{2x}\). 3. Bestimmung der notwendigen Bedingung \(g'(x) = 0\): Durch Einsetzen prüft man die Stelle \(x = 0\), wobei \(g'(0) = 2(0-1) + 2e^0 = -2 + 2 = 0\) ergibt. 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mittels der zweiten Ableitung: \(g''(x) = 2 + 4e^{2x}\). Da \(g''(0) = 2 + 4 = 6 > 0\), liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. 5. Da die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen unendlich strebt, ist das Minimum global. 6. Berechnung des zugehörigen Funktionswertes: \(f(0) = e^0 = 1\). Der gesuchte Punkt ist somit \(Q(0|1)\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem kleinsten Abstand zu \(A(1|0)\) ist \(Q(0|1)\).

- Drücke den Flächeninhalt als Produkt der Koordinaten des Punktes auf dem Graphen aus. - Beachte den Definitionsbereich \(x>0\). - Bestimme die einzige kritische Stelle der Flächeninhaltsfunktion. - Für ein absolutes Minimum musst du zusätzlich das Verhalten für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\) untersuchen.

1. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist \(A(x)=x\cdot f(x)=x\cdot\frac{x^3+54}{x^2}=x^2+\frac{54}{x}\), wobei \(x>0\). 2. Die Ableitung ist \(A'(x)=2x-\frac{54}{x^2}\). Aus \(A'(x)=0\) folgt \(2x^3=54\), also \(x=3\). 3. Für alle \(x>0\) gilt \(A''(x)=2+\frac{108}{x^3}>0\). Außerdem gilt \(A(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\). Daher ist die einzige kritische Stelle bei \(x=3\) das eindeutige absolute Minimum. 4. Die zugehörige \(y\)-Koordinate ist \(f(3)=\frac{3^3+54}{3^2}=9\). Somit ist der gesuchte Eckpunkt \(P(3\mid9)\).

Der Flächeninhalt ist absolut minimal für den Eckpunkt \(P(3\mid9)\).

- Stelle die Gerade durch \(P(4\mid1)\) mit einer negativen Steigung \(m\) dar. - Bestimme beide Achsenabschnitte in Abhängigkeit von \(m\). - Untersuche die Summe für den gesamten Definitionsbereich \(m<0\). - Prüfe neben der kritischen Stelle auch das Verhalten für \(m\to0^-\) und \(m\to-\infty\).

1. Eine Gerade durch \(P(4\mid1)\) mit Steigung \(m\) hat die Gleichung \(y-1=m(x-4)\). Damit beide Achsenabschnitte positiv sind, muss \(m<0\) gelten. 2. Für \(y=0\) ergibt sich \(x_0=4-\frac{1}{m}\). Für \(x=0\) ergibt sich \(y_0=1-4m\). 3. Die Summe der Kathetenlängen lautet \(S(m)=x_0+y_0=5-\frac{1}{m}-4m\), \(m<0\). 4. Die Ableitung ist \(S'(m)=\frac{1}{m^2}-4\). Aus \(S'(m)=0\) folgt \(m^2=\frac14\). Wegen \(m<0\) ist \(m=-\frac12\). 5. Für alle \(m<0\) gilt \(S''(m)=-\frac{2}{m^3}>0\). Außerdem gilt \(S(m)\to\infty\) für \(m\to0^-\) und für \(m\to-\infty\). Daher ist die einzige kritische Stelle das absolute Minimum. 6. Die Achsenabschnitte sind \(x_0=4-\frac{1}{-1/2}=6\) und \(y_0=1-4\left(-\frac12\right)=3\).

Die Summe der Kathetenlängen ist absolut minimal für \(x_0=6\) und \(y_0=3\).

- Welche Beziehung besteht zwischen Masthöhe, horizontalem Abstand und Entfernung \(s\)? - Wie lässt sich \(\cos(\beta)\) aus demselben rechtwinkligen Dreieck ausdrücken? - Setze beide geometrischen Beziehungen erst in das Beleuchtungsmodell ein. - Ein Maximum muss im gesamten Bereich \(h>0\) begründet werden, nicht nur durch eine stationäre Stelle.

1. Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt \(s=\sqrt{h^2+36}\) und \(\cos(\beta)=\frac{h}{s}\). 2. Damit ist \(E(h)=k\frac{h}{(h^2+36)^{3/2}}\). 3. Es gilt \(E'(h)=k\frac{36-2h^2}{(h^2+36)^{5/2}}\). 4. Die einzige positive kritische Stelle erfüllt \(36-2h^2=0\). Somit ist \(h=3\sqrt2\,\text{m}\). 5. Für \(0<h<3\sqrt2\) ist \(E'(h)>0\), für \(h>3\sqrt2\) ist \(E'(h)<0\). Daher liegt dort das globale Maximum.

\(h=3\sqrt2\,\text{m}\approx4{,}24\,\text{m}\)

- Nutze die feste Volumenbedingung, um die Höhe durch den Radius auszudrücken. - Welche Flächen der Dose werden mit welchem Preis pro Quadratzentimeter gewichtet? - Führe die im Text verlangte Prüfung mit der zweiten Ableitung durch. - Wie verhält sich die Kostenfunktion für sehr kleine beziehungsweise sehr große positive Radien?

1. Aus \(\pi r^2h=27\pi\) folgt für \(r>0\) die Höhe \(h=\frac{27}{r^2}\). 2. Die Kostenfunktion lautet \(K(r,h)=2\pi r^2+4\pi rh\). Nach Einsetzen der Nebenbedingung ergibt sich \(K(r)=2\pi r^2+\frac{108\pi}{r}\). 3. Es gilt \(K''(r)=4\pi r-\frac{108\pi}{r^2}\). Aus \(K''(r)=0\) folgt \(r^3=27\), also \(r=3\,\text{cm}\). Damit ist \(h=3\,\text{cm}\). 4. Die zweite Ableitung ist \(K''''(r)=4\pi+\frac{216\pi}{r^3}\), also \(K''''(3)=12\pi>0\). Zudem gilt \(K(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und für \(r\to\infty\). Somit ist das gefundene Minimum global.

Die Materialkosten sind bei \(r=3\,\text{cm}\) und \(h=3\,\text{cm}\) minimal.

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen ein oben offener Quader besteht. - Wie hängen die Grundseite \(a\), die Höhe \(h\) und das Volumen \(V\) zusammen? - Nutze diese Beziehung, um die Oberfläche nur noch mit einer Variablen auszudrücken. - Wie findet man in der Analysis Extremstellen einer Funktion?

1. Nebenbedingung aufstellen: Das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche ist \(V = a^2h = 32\). Umstellen nach der Höhe ergibt \(h = \frac{32}{a^2}\). 2. Zielfunktion aufstellen: Die Oberfläche eines oben offenen Quaders besteht aus der Grundfläche und vier Seitenflächen: \(A = a^2 + 4ah\). 3. Zu a): Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel ergibt \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\). 4. Zu b): Ableiten der Zielfunktion nach \(a\): \(A'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). Nullsetzen der Ableitung: \(2a - \frac{128}{a^2} = 0 \iff 2a^3 = 128 \iff a^3 = 64 \iff a = 4\,\text{m}\). Die zugehörige Höhe berechnen: \(h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2\,\text{m}\). (Überprüfung über \(A''(a) = 2 + \frac{256}{a^3} > 0\) bestätigt das Minimum). 5. Zu c): Einsetzen von \(a = 4\) in die Zielfunktion: \(A(4) = 4^2 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48\,\text{m}^2\).

a) \(A(a) = a^2 + \frac{128}{a}\) b) Die optimalen Maße sind \(a = 4\,\text{m}\) und \(h = 2\,\text{m}\). c) Die minimale Oberfläche beträgt \(48\,\text{m}^2\).

- Wie lässt sich die Grundseite und die Höhe des Dreiecks mithilfe der Koordinate \(x\) und dem Funktionswert \(f(x)\) ausdrücken? - Nutze die Symmetrie der Funktion zur \(y\)-Achse, um die Breite der Basis zu bestimmen. - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung vor und nach der einzigen kritischen Stelle auf dem gesamten Bereich \(x>0\). - Vergiss nicht, am Ende sowohl den \(x\)-Wert als auch die Koordinaten des Punktes \(P\) anzugeben.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da das Dreieck die Basisbreite \(b = 2x\) und die Höhe \(h = f(x)\) besitzt, ergibt sich \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 6e^{-0{,}1x^2} = 6x \cdot e^{-0{,}1x^2}\) für \(x>0\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 6 \cdot e^{-0{,}1x^2} + 6x \cdot (-0{,}2x) \cdot e^{-0{,}1x^2} = (6 - 1{,}2x^2) \cdot e^{-0{,}1x^2}\). 3. Bestimmung der notwendigen Bedingung für ein Extremum: \(A'(x) = 0\) führt zu \(6 - 1{,}2x^2 = 0\), da die Exponentialfunktion stets positiv ist. Dies ergibt \(x^2 = 5\), also \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}236\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: \(A'(x)>0\) für \(0<x<\sqrt5\) und \(A'(x)<0\) für \(x>\sqrt5\). Somit steigt die Flächenfunktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich bis \(x=\sqrt5\) und fällt danach. Daher liegt dort das eindeutige absolute Maximum. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(P\): \(f(\sqrt{5}) = 6 \cdot e^{-0{,}1 \cdot 5} = 6 \cdot e^{-0{,}5} \approx 3{,}639\). 6. Ergebnis: \(x = \sqrt{5}\) und \(P(\sqrt{5} \mid 6e^{-0{,}5})\).

Der Flächeninhalt wird absolut maximal für \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}24\). Der Punkt \(P\) hat die Koordinaten \((\sqrt{5} \mid 6e^{-0{,}5})\), gerundet etwa \((2{,}24 \mid 3{,}64)\).

- Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung der Flächenfunktion zu bilden. - Welche Nullstellen der Ableitung liegen tatsächlich im geometrisch zulässigen Intervall? - Vergleiche für das absolute Maximum die innere kritische Stelle mit beiden Randpunkten.

1. Zielfunktion für den Flächeninhalt aufstellen: \(A(x) = x \cdot f(x) = \frac{8x - 2x^2}{x + 2}\). 2. Definitionsbereich eingrenzen: Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x = 4\), Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(f(0) = 4\). Also \(x \in [0; 4]\). 3. Ableitung mit der Quotientenregel berechnen: \(A'(x) = \frac{(8 - 4x)(x + 2) - (8x - 2x^2) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-2x^2 - 8x + 16}{(x + 2)^2}\). 4. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) führt auf die quadratische Gleichung \(-2x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 8 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = -2 \pm \sqrt{12} = -2 \pm 2\sqrt{3}\). 6. Im zulässigen Intervall liegt nur \(x = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1{,}46\); die zweite rechnerische Lösung ist negativ und damit nicht zulässig. 7. Für das absolute Maximum sind auf dem abgeschlossenen Intervall die Randpunkte und die einzige innere kritische Stelle zu vergleichen: \(A(0) = 0\), \(A(4) = 0\) und \(A(2\sqrt3-2)>0\). Damit ist die innere Stelle eindeutig global maximal. 8. Maximalen Flächeninhalt berechnen: \(A(2\sqrt{3}-2) = 16 - 8\sqrt{3} \approx 2{,}14\).

Der Flächeninhalt wird für \(x = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1{,}46\) absolut maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16 - 8\sqrt{3} \approx 2{,}14\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, gegen welchen Wert die Funktion strebt, wenn \(|x|\) sehr groß wird. Das ist die waagerechte Asymptote. - Warum kann ein maximales Rechteck die Asymptote als obere Begrenzung nutzen? - Nutze Symmetrie und das Verhalten von \(f\) mit wachsendem \(|x|\), um die Lage eines optimalen Rechtecks zu begründen. - Stelle anschließend eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von einer positiven Variablen auf.

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Da \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2}{x^2+9} = 3\), lautet die Gleichung der Asymptote \(y = 3\). 2. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und \(f(x)\) wächst mit \(|x|\). Ein flächenmaximales Rechteck kann nach oben bis zur Asymptote erweitert werden. Für einen vorgegebenen maximalen Abstand \(x>0\) seiner vertikalen Seiten von der \(y\)-Achse ist die größte mögliche Breite \(2x\); sie wird bei symmetrischer Lage erreicht, während die zulässige Höhe durch \(f(x)\) bestimmt wird. Daher genügt es, die unteren Eckpunkte als \(P_1(x \mid f(x))\) und \(P_2(-x \mid f(x))\) und die oberen als \(P_3(x \mid 3)\) und \(P_4(-x \mid 3)\) zu wählen. 3. Die Breite des Rechtecks beträgt \(b(x) = 2x\), die Höhe ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(h(x) = 3 - f(x) = 3 - \frac{3x^2}{x^2+9} = \frac{3(x^2+9) - 3x^2}{x^2+9} = \frac{27}{x^2+9}\). 4. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt lautet \(A(x) = 2x \cdot \frac{27}{x^2+9} = \frac{54x}{x^2+9}\). 5. Ableitung bilden: \(A'(x) = \frac{54(x^2+9) - 54x(2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{486 - 54x^2}{(x^2+9)^2}\). 6. Nullstelle der Ableitung: \(486 - 54x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\) (da \(x > 0\)). 7. Überprüfung des Maximums: \(A'(x)\) wechselt bei \(x = 3\) das Vorzeichen von Plus nach Minus. Da \(A(x) \to 0\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\), ist es ein absolutes Maximum. 8. Seitenlängen berechnen: Breite \(b = 2 \cdot 3 = 6\), Höhe \(h = \frac{27}{3^2+9} = \frac{27}{18} = 1{,}5\).

Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt hat die Seitenlängen \(6\) und \(1{,}5\).

- Bestimme zunächst die waagerechte Asymptote, indem du den Grenzwert für große \(|x|\) betrachtest. - Warum kann ein maximales Rechteck seine obere Seite auf die Asymptote legen? - Wie helfen Symmetrie und das Verhalten von \(g\) mit wachsendem \(|x|\), die Lage des optimalen Rechtecks zu begründen? - Stelle danach die Flächenfunktion auf und untersuche sie auf dem Bereich \(x>0\).

1. Bestimmung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) geht \(e^{-x^2}\) gegen \(0\), also ist die waagerechte Asymptote \(y = 5\). 2. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und \(g(x)\) wächst mit \(|x|\). Ein flächenmaximales Rechteck kann nach oben bis zur Asymptote erweitert werden. Für einen vorgegebenen maximalen Abstand \(x>0\) der vertikalen Seiten von der \(y\)-Achse ist die größte mögliche Breite \(2x\), die bei symmetrischer Lage erreicht wird; die untere Rechteckseite berührt dann den Graphen bei \(\pm x\). Die Höhe ist daher \(h(x) = 5 - g(x) = 4e^{-x^2}\). 3. Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = 2x \cdot 4e^{-x^2} = 8x e^{-x^2}\) für \(x>0\). 4. Erste Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(A''(x) = 8e^{-x^2} + 8x e^{-x^2}(-2x) = 8e^{-x^2}(1 - 2x^2)\). 5. Notwendige Bedingung \(A''(x) = 0\): Da \(8e^{-x^2} \neq 0\), muss \(1 - 2x^2 = 0\) gelten. Dies liefert \(x^2 = 0{,}5\), also \(x = \sqrt{0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\). 6. Hinreichende Bedingung: Ein Vorzeichenwechsel von \(A''(x)\) bei \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) von Plus nach Minus bestätigt das Maximum. Da dies die einzige positive kritische Stelle ist und \(A(x)\to0\) für \(x\to0^+\) sowie \(x\to\infty\), ist das Maximum absolut. 7. Maximaler Flächeninhalt: \(A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4\sqrt{2} e^{-0{,}5} \approx 3{,}431\).

Der maximale Flächeninhalt beträgt \(4\sqrt{2} e^{-0{,}5} \approx 3{,}431\) Flächeneinheiten.

- Wie lässt sich die Länge der Grundseite eines Dreiecks ausdrücken, dessen Eckpunkte symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen? - Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks mit dem Funktionswert an der Stelle \(x\) zusammenhängt. - Erstelle eine Funktion für den Flächeninhalt, die nur von der Variablen \(x\) abhängt. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Bestimmung von Extremstellen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da \(A(x | f(x))\) und \(B(-x | f(x))\) symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen, ist die Grundseite \(g = 2x\) und die Höhe \(h = f(x) = 27 - x^2\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (27 - x^2) = 27x - x^3\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da die Punkte im ersten und zweiten Quadranten auf der Parabel liegen sollen, gilt \(x > 0\) und \(27 - x^2 > 0\), also \(x \in (0; \sqrt{27})\). 3. Ableitungen bilden: \(A'(x) = 27 - 3x^2\) und \(A''(x) = -6x\). 4. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\): \(27 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) (da \(x > 0\)). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(A''(3) = -18 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 6. Koordinaten berechnen: \(f(3) = 27 - 3^2 = 18\). Die gesuchten Punkte sind \(A(3|18)\) und \(B(-3|18)\). 7. Zudem gilt \(A(x)\to0\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\sqrt{27}^{\,-}\). Damit ist das Maximum global.

Die Koordinaten der Punkte für den maximalen Flächeninhalt sind \(A(3|18)\) und \(B(-3|18)\).

- Der Abstand eines Punktes \((x \mid y)\) zum Ursprung lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. - Nutze die Funktionsgleichung, um die \(y\)-Koordinate in deiner Abstandsformel zu ersetzen, sodass nur noch eine Variable übrig bleibt. - Untersuche die resultierende Funktion auf ihre Tiefpunkte. - Achte darauf, ob es aufgrund der Symmetrie der Parabel mehr als einen Punkt geben könnte.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(D(x) = (x - 0)^2 + (f(x) - 0)^2 = x^2 + (x^2 - 5)^2\) 2. Ausmultiplizieren der Funktion: \(D(x) = x^2 + x^4 - 10x^2 + 25 = x^4 - 9x^2 + 25\) 3. Bilden der ersten Ableitung: \(D'(x) = 4x^3 - 18x\) 4. Nullstellen von \(D'(x)\) bestimmen: \(2x(2x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) oder \(x^2 = 4{,}5 \Rightarrow x_{2,3} = \pm \sqrt{4{,}5}\) 5. Zweite Ableitung bilden: \(D''(x) = 12x^2 - 18\) 6. Überprüfung der Stellen: - \(D''(0) = -18 < 0\) (lokales Maximum) - \(D''(\pm \sqrt{4{,}5}) = 12 \cdot 4{,}5 - 18 = 54 - 18 = 36 > 0\) (lokale Minima) 7. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten: \(f(\pm \sqrt{4{,}5}) = (\pm \sqrt{4{,}5})^2 - 5 = 4{,}5 - 5 = -0{,}5\) 8. Die gesuchten Punkte sind somit \(P_1(\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\). 9. Wegen \(D(x)\to\infty\) für \(|x|\to\infty\) sind die beiden lokalen Minima zugleich die globalen Minima.

Die Punkte mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung sind \(P_1(\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\). Dies entspricht etwa \((2{,}12 \mid -0{,}5)\) und \((-2{,}12 \mid -0{,}5)\).

- Aus welchen Einzelteilen setzt sich die Randlinie des Fensters zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks und eines Halbkreises? - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf und löse sie nach einer Variablen auf, um sie in die Umfangsgleichung einzusetzen. - Welche Werte für die Breite \(b\) führen zu einer nichtnegativen Rechteckhöhe?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Umfang \(U\): \(U = b + 2a + \frac{1}{2}\pi b\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Fläche \(A\): \(A = ab + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2 = ab + \frac{\pi b^2}{8} = 5\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(a\): \(a = \frac{5}{b} - \frac{\pi b}{8}\). Wegen \(b>0\) und \(a\ge0\) gilt \(0<b\le\sqrt{\frac{40}{\pi}}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(U(b) = b + 2\left(\frac{5}{b} - \frac{\pi b}{8}\right) + \frac{\pi b}{2} = b + \frac{10}{b} + \frac{\pi b}{4} = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right)b + \frac{10}{b}\). 5. Ableiten der Umfangsfunktion: \(U'(b) = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{10}{b^2}\). 6. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(b^2 = \frac{10}{1 + \pi/4} = \frac{40}{4+\pi} \approx 5{,}600\) führt zu \(b = \sqrt{\frac{40}{4+\pi}} \approx 2{,}37\,\text{m}\). Dieser Wert liegt im zulässigen Bereich. 7. Berechnung der zugehörigen Höhe \(a\): Einsetzen von \(b\) ergibt \(a = \frac{b}{2} \approx 1{,}18\,\text{m}\). 8. Es gilt \(U''(b)=\frac{20}{b^3}>0\) für \(b>0\). Damit ist \(U\) streng konvex und die gefundene kritische Stelle das eindeutige absolute Minimum im zulässigen Bereich.

Die Breite des Fensters muss etwa \(b \approx 2{,}37\,\text{m}\) und die Höhe des rechteckigen Teils \(a \approx 1{,}18\,\text{m}\) betragen. Diese Maße liefern den absoluten minimalen Umfang.

- Bestimme zuerst die Begrenzungen der Fläche im ersten Quadranten und prüfe, dass der Graph dort oberhalb der \(x\)-Achse liegt. - Wie hängen die Seitenlängen des Rechtecks von \(u\) ab? - Vergleiche für das absolute Maximum auch das Verhalten der Rechteckfläche an den Grenzen \(u\to0^+\) und \(u\to2^-\). - Nutze das Ergebnis aus a), um den Anteil des maximalen Rechtecks an der gesamten eingeschlossenen Fläche zu bestimmen.

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(f(0)=16\). Die Nullstelle im ersten Quadranten ist \(x=2\), denn \(f(2)=0\). Für \(0\le x<2\) gilt \(f(x)>0\). 2. Die eingeschlossene Fläche ist \(A_{\mathrm{ges}}=\int_0^2(x^3-12x+16)\,dx=\left[\frac14x^4-6x^2+16x\right]_0^2=12\). 3. Der Rechteckinhalt ist \(A(u)=u f(u)=u^4-12u^2+16u\) für \(0<u<2\). 4. Aus \(A'(u)=4u^3-24u+16=4(u-2)(u^2+2u-2)=0\) folgt im offenen Intervall nur \(u=\sqrt3-1\). Da \(A''(u)=12u^2-24\) dort negativ ist und die Rechteckfläche an beiden Randgrenzen gegen \(0\) geht, liegt das absolute Maximum vor. 5. Es ist \(f(\sqrt3-1)=18-6\sqrt3\), also \(P(\sqrt3-1\mid18-6\sqrt3)\). Der maximale Rechteckinhalt beträgt \(A_{\max}=-36+24\sqrt3\). 6. Der Anteil an der Gesamtfläche ist \(\frac{A_{\max}}{12}=-3+2\sqrt3\approx0{,}464\), also etwa \(46{,}4\,\%\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Flächeneinheiten. b) Das maximale Rechteck entsteht bei \(P(\sqrt3-1\mid18-6\sqrt3)\), gerundet \(P(0{,}732\mid7{,}608)\). Es nimmt den Anteil \(-3+2\sqrt3\approx46{,}4\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Wie lässt sich die Grundseite und die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken? - Beachte, dass die Höhe die Differenz zwischen dem \(y\)-Wert des Punktes \(A\) und dem Funktionswert \(f(x)\) ist. - Nutze eine Substitution, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu finden. - Vergiss nicht, am Ende den tatsächlichen Flächeninhalt zu berechnen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt unter Verwendung der Basis \(g = 2x\) und der Höhe \(h = 10 - f(x)\): \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (10 - (x^4 - 6x^2 + 2)) = -x^5 + 6x^3 + 8x\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(x) = -5x^4 + 18x^2 + 8\). 3. Berechnung der Nullstellen von \(A'(x)\) mittels Substitution \(z = x^2\): Die Gleichung \(5z^2 - 18z - 8 = 0\) liefert die positive Lösung \(z = 4\). 4. Ermittlung der relevanten Stelle \(x = \sqrt{4} = 2\). 5. Nachweis des Maximums (z. B. über die zweite Ableitung \(A''(2) = -88 < 0\)) und Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(2) = -(2^5) + 6 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2 = -32 + 48 + 16 = 32\). 6. Im zulässigen Intervall gilt \(A(x)\to0\) für \(x\to0^+\) und am zweiten Randpunkt mit \(f(x)=10\). Daher ist das Maximum bei \(x=2\) global.

Der Flächeninhalt wird für \(x = 2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(32\) Flächeneinheiten.

- Welche mathematische Bedingung muss für die Achsensymmetrie zur y-Achse erfüllt sein? - Aus welchen Seitenlängen setzt sich das eingezeichnete Rechteck zusammen? Drücke diese mithilfe von \(u\) aus. - Welche Ableitungsregel eignet sich für die Flächenfunktion \(A(u)\)? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung vor und nach der positiven kritischen Stelle.

a) Für jedes \(x \in \mathbb{R}\) gilt \(f(-x) = \frac{16}{(-x)^2 + 4} = \frac{16}{x^2 + 4} = f(x)\). Daher ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(x=0\): \(f(0)=4\). Somit ist \(S_y(0\mid4)\). b) Die Breite des Rechtecks ist der Abstand zwischen \(P(-u \mid 0)\) und \(Q(u \mid 0)\), also \(2u\). Die Höhe entspricht \(f(u)=\frac{16}{u^2+4}\). Damit gilt \(A(u)=2u\cdot\frac{16}{u^2+4}=\frac{32u}{u^2+4}\). c) Wir leiten die Flächenfunktion \(A(u)\) mithilfe der Quotientenregel ab: \(A'(u)=\frac{32(u^2+4)-32u\cdot2u}{(u^2+4)^2}=\frac{32(4-u^2)}{(u^2+4)^2}\). Aus \(A'(u)=0\) folgt wegen \(u>0\) der Wert \(u=2\). Für \(0<u<2\) ist \(A'(u)>0\), für \(u>2\) ist \(A'(u)<0\); daher liegt bei \(u=2\) das globale Maximum. Es ist \(A(2)=8\).

a) Es gilt \(f(-x)=f(x)\); der Schnittpunkt mit der y-Achse ist \(S_y(0\mid4)\). b) \(A(u)=\frac{32u}{u^2+4}\). c) Der Flächeninhalt wird für \(u=2\) maximal; der maximale Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Wie hängen die Breite und die Höhe des Rechtecks mit den Koordinaten von \(P(u\mid v)\) zusammen? - Drücke die Rechteckhöhe mithilfe der Funktionsgleichung durch \(u\) aus. - Welche Randlagen hat die Rechteckfläche im zulässigen Bereich? - Aus dem optimalen Wert für \(u\) müssen anschließend die tatsächliche Breite und Höhe bestimmt werden.

1. Die Breite der Glasscheibe beträgt \(2u\), die Höhe ist \(f(u)=6-0{,}5u^2\). Daher gilt \(A(u)=2u(6-0{,}5u^2)=12u-u^3\). 2. Es ist \(A''(u)=12-3u^2\). Aus \(A''(u)=0\) folgt wegen \(u>0\) der Wert \(u=2\). 3. Mit \(A''''(u)=-6u\) gilt \(A''''(2)=-12<0\). Außerdem sind die Randwerte \(A(0)=0\) und \(A(\sqrt{12})=0\); daher liegt das globale Maximum bei \(u=2\). 4. Die Breite beträgt \(2u=4\,\text{m}\), die Höhe \(f(2)=4\,\text{m}\), und die maximale Fläche ist \(16\,\text{m}^2\).

a) \(A(u)=12u-u^3\) b) Breite: \(4\,\text{m}\), Höhe: \(4\,\text{m}\) c) Maximaler Flächeninhalt: \(16\,\text{m}^2\)

- Welche Seitenlängen hat das Rechteck in Abhängigkeit von \(u\)? - Stelle daraus zuerst die Flächenfunktion auf. - Welcher Faktor der Ableitung kann niemals null werden? - Prüfe für die globale Aussage auch das Verhalten der Fläche für sehr kleine und sehr große positive \(u\).

1. Die Breite des Rechtecks ist \(u\), die Höhe \(f(u)=8e^{-0{,}5u}\). Damit ist \(A(u)=8u e^{-0{,}5u}\) für \(u>0\). 2. Mit der Produktregel folgt \(A'(u)=(8-4u)e^{-0{,}5u}\). 3. Da \(e^{-0{,}5u}>0\) gilt, ist \(A'(u)=0\) genau für \(u=2\). 4. Die zweite Ableitung ist \(A''(u)=(2u-8)e^{-0{,}5u}\), also \(A''(2)=-4e^{-1}<0\). Zudem gilt \(A(u)\to0\) für \(u\to0^+\) und für \(u\to\infty\); damit ist das Maximum global. 5. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(A(2)=16e^{-1}=\frac{16}{e}\approx5{,}89\).

Der Flächeninhalt wird für \(u=2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{e}\approx5{,}89\) Flächeneinheiten.

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen mit der Funktionsgleichung zusammen? - Welche mathematische Formel hilft dir, den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene zu berechnen? - Überlege dir, warum das Minimum des quadratischen Abstands an derselben Stelle liegt wie das Minimum des eigentlichen Abstands. - Wie bestimmst du die Extremstellen einer Funktion mithilfe der Differentialrechnung? - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese senkrecht aufeinander stehen?

1. Aufstellen der Abstandsformel: Der Abstand \(d(x)\) eines Punktes \(Q(x \mid 0{,}5x^2)\) zum Punkt \(P(6 \mid 0)\) berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras zu \(d(x) = \sqrt{(x - 6)^2 + (0{,}5x^2 - 0)^2}\). Das Quadrat des Abstands ist somit \(d^2(x) = (x - 6)^2 + 0{,}25x^4 = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). 2. Bestimmung des Minimums: Gesucht ist das Minimum von \(g(x) = d^2(x) = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). Die erste Ableitung lautet \(g'(x) = x^3 + 2x - 12\). Die Nullstellenbedingung \(g'(x) = 0\) liefert durch Ausprobieren die ganzzahlige Nullstelle \(x = 2\). Polynomdivision ergibt \((x^3 + 2x - 12) : (x - 2) = x^2 + 2x + 6\), was keine weiteren reellen Nullstellen besitzt. Wegen \(g''(x) = 3x^2 + 2\) und \(g''(2) = 14 > 0\) liegt bei \(x = 2\) ein globales Minimum vor. Der optimale Anschlusspunkt ist \(Q_E(2 \mid 2)\). 3. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: Die Steigung der Tangente an \(f\) im Punkt \(Q_E(2 \mid 2)\) ist \(f'(2) = 2\). Die Steigung der Verbindungsgeraden \(PQ_E\) ist \(m = \frac{2 - 0}{2 - 6} = -0{,}5\). Das Produkt der Steigungen ist \(f'(2) \cdot m = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\). Damit verläuft die Verbindungsstraße im Anschlusspunkt senkrecht zur Umgehungsstraße.

a) Der Abstand beträgt \(d(x) = \sqrt{(x-6)^2 + (0{,}5x^2)^2}\). Das Quadrat dieses Abstands liefert nach dem Ausmultiplizieren die Formel \(d^2(x) = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). b) Der optimale Anschlusspunkt hat die Koordinaten \(Q_E(2 \mid 2)\). c) Die Steigung der Tangente im Punkt \(Q_E\) ist \(f'(2) = 2\). Die Steigung der Verbindungsstrecke \(PQ_E\) ist \(m = -0{,}5\). Da das Produkt der Steigungen \(2 \cdot (-0{,}5) = -1\) ist, verläuft die Verbindungsstraße senkrecht zur Umgehungsstraße im Anschlusspunkt.

- Welche beiden Kathetenlängen hat das rechtwinklige Dreieck in Abhängigkeit von \(u\)? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion vereinfacht das Nullsetzen der Ableitung? - Für die unbeschränkte Fläche brauchst du einen Grenzübergang der oberen Integrationsgrenze. - Der prozentuale Anteil ist das Verhältnis aus maximaler Dreiecksfläche und Gesamtfläche.

1. Die Grundseite des Dreiecks hat die Länge \(u\), die Höhe ist \(f(u)=6e^{-0{,}4u}\). Daher gilt \(A(u)=\frac12u\cdot6e^{-0{,}4u}=3u e^{-0{,}4u}\). 2. Mit der Produktregel folgt \(A'(u)=(3-1{,}2u)e^{-0{,}4u}\). Da die Exponentialfunktion positiv ist, gilt \(A'(u)=0\) genau für \(u=2{,}5\). Die Ableitung wechselt dort von Plus nach Minus, also liegt das globale Maximum vor. 3. Der maximale Dreiecksflächeninhalt beträgt \(A(2{,}5)=7{,}5e^{-1}\approx2{,}76\). 4. Für die Gesamtfläche gilt \(A_{\mathrm{gesamt}}=\int_0^\infty6e^{-0{,}4x}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to\infty}\left[-15e^{-0{,}4x}\right]_0^z=15\). Der Grenzwert existiert, also ist die Fläche endlich. 5. Der Anteil ist \(\frac{A(2{,}5)}{15}=\frac{1}{2e}\approx0{,}1839\), also \(18{,}4\,\%\).

a) \(A(u)=3u e^{-0{,}4u}\) b) \(u=2{,}5\); maximaler Flächeninhalt \(\approx2{,}76\) c) \(A_{\mathrm{gesamt}}=15\) d) \(18{,}4\,\%\)

- Drücke die Seitenlängen des Rechtecks in Abhängigkeit von \(u\) aus. Wie hängen Breite und Höhe mit den Koordinaten der Eckpunkte zusammen? - Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks ist \(A = \text{Breite} \cdot \text{Höhe}\). - Erinnere dich an das Vorgehen bei Extremwertaufgaben. Welchen Schritt musst du mit der Flächenfunktion \(A(u)\) durchführen? - Beachte beim Ableiten die Produktregel und die Kettenregel für die \(e\)-Funktion. - Überprüfe am Ende, ob dein gefundenes \(u\) tatsächlich zu einem Maximum führt.

1. Die Breite des Rechtecks ist \(2u\), seine Höhe ist \(g(u)=8e^{-u^2}\). Daher gilt \(A(u)=2u\cdot8e^{-u^2}=16ue^{-u^2}\). 2. Mit Produkt- und Kettenregel folgt \(A'(u)=16e^{-u^2}(1-2u^2)\). 3. Wegen \(e^{-u^2}>0\) ist \(A'(u)=0\) genau für \(u=\frac1{\sqrt2}\), da \(u>0\). Für \(0<u<\frac1{\sqrt2}\) ist \(A'(u)>0\), danach ist \(A'(u)<0\). 4. Außerdem gilt \(A(u)\to0\) für \(u\to0^+\) und für \(u\to\infty\). Somit ist \(u=\frac1{\sqrt2}\) die Stelle des eindeutigen absoluten Maximums. 5. Der maximale Flächeninhalt ist \(A(\frac1{\sqrt2})=8\sqrt2e^{-1/2}\approx6{,}86\) Flächeneinheiten.

a) \(A(u)=16ue^{-u^2}\). b) Das absolute Maximum liegt bei \(u=\frac1{\sqrt2}\approx0{,}71\). c) \(A_{\max}=8\sqrt2e^{-1/2}\approx6{,}86\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir, was mit dem Term \(e^{-0{,}4x}\) passiert, wenn \(x\) immer größer wird. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und ihrem Monotonieverhalten. - Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks für ein beispielhaftes \(s\) in Abhängigkeit von \(s\) und \(f(s)\). - Zur Bestimmung des Extremwerts einer Funktion bildest du deren Ableitung und suchst die Nullstellen.

1. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Für \(x \to \infty\) strebt der Term \(e^{-0{,}4x}\) gegen 0, da der Exponent gegen \(-\infty\) geht. Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1 + 6 \cdot 0 = 1\). Die Gerade \(y = 1\) ist eine waagrechte Asymptote. 2. Nachweis der Monotonie: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = 6 \cdot (-0{,}4) \cdot e^{-0{,}4x} = -2{,}4 \cdot e^{-0{,}4x}\). Da die Exponentialfunktion \(e^{-0{,}4x}\) für alle \(x\) positiv ist, gilt \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}_0^+\). Damit ist \(f\) streng monoton fallend. 3. Aufstellen der Flächenfunktion: Die Breite des Rechtecks ist \(s\), die Höhe ist \(f(s) - 1 = 6 \cdot e^{-0{,}4s}\). Der Flächeninhalt ist \(A(s) = s \cdot 6 \cdot e^{-0{,}4s} = 6se^{-0{,}4s}\). 4. Bestimmung des Maximums: Ableitung \(A'(s) = 6 \cdot e^{-0{,}4s} + 6s \cdot (-0{,}4) \cdot e^{-0{,}4s} = (6 - 2{,}4s) \cdot e^{-0{,}4s}\). Nullsetzen: \(6 - 2{,}4s = 0 \Rightarrow s = \frac{6}{2{,}4} = 2{,}5\). Da \(A'(s) > 0\) für \(s < 2{,}5\) und \(A'(s) < 0\) für \(s > 2{,}5\), liegt bei \(s = 2{,}5\) ein Maximum vor.

a) Wegen \(\lim_{x \to \infty} e^{-0{,}4x} = 0\) folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\). Mit \(f'(x) = -2{,}4 \cdot e^{-0{,}4x} < 0\) ist \(f\) streng monoton fallend. b) Der Flächeninhalt ist \(A(s) = 6se^{-0{,}4s}\). Das Maximum liegt bei \(s = 2{,}5\).

- Wie berechnet man allgemein die Fläche eines Rechtecks, wenn die Seitenlängen durch Koordinaten gegeben sind? - Nutze die Funktionsgleichung, um die Höhe des Rechtecks in Abhängigkeit von \(u\) anzugeben. - Um ein Maximum zu finden, musst du die Ableitung der Flächenfunktion bilden und deren Nullstellen untersuchen. - Achte beim Ableiten besonders auf die Produktregel.

1. Der Flächeninhalt ist \(A(u)=u\cdot f(u)=12u^2e^{-0{,}5u}\). 2. Mit Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(A'(u)=(24u-6u^2)e^{-0{,}5u}=6u(4-u)e^{-0{,}5u}\). 3. Für \(u>0\) ist die einzige kritische Stelle \(u=4\). Auf \((0;4)\) gilt \(A'(u)>0\), auf \((4;\infty)\) gilt \(A'(u)<0\). 4. Außerdem gilt \(A(u)\to0\) für \(u\to0^+\) und für \(u\to\infty\). Daher liegt bei \(u=4\) das eindeutige absolute Maximum. 5. \(A(4)=192e^{-2}\approx25{,}98\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird für \(u=4\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa \(25{,}98\) Flächeneinheiten.

- Welche Länge hat eine Böschung bei einer Höhe \(h\) und einem Winkel von \(45^\circ\)? - Welche Beziehung ergibt sich aus der festen Gesamtlänge von Boden und Böschungen? - Unterscheide beim Trapez zwischen Bodenbreite und oberer Breite. - Stelle für den rechteckigen Vergleichskanal eine eigene Nebenbedingung auf.

1. Bei einem Böschungswinkel von \(45^\circ\) beträgt die horizontale Ausladung einer Böschung ebenso wie ihre Höhe \(h\). Die Länge einer Böschung ist daher \(h\sqrt2\). 2. Aus der Bedingung \(b+2h\sqrt2=12\) folgt \(b(h)=12-2\sqrt2h\). Wegen \(b>0\) gilt \(0<h<3\sqrt2\). 3. Die obere Breite des trapezförmigen Querschnitts beträgt \(b+2h\). Daher ist \(A(h)=\frac{b+(b+2h)}{2}h=(b+h)h\). 4. Einsetzen von \(b(h)\) ergibt \(A(h)=12h+(1-2\sqrt2)h^2\). 5. Die quadratische Funktion ist nach unten geöffnet. Aus \(A'(h)=12+2(1-2\sqrt2)h=0\) folgt \(h=\frac{6}{2\sqrt2-1}\,\text{m}\approx3{,}28\,\text{m}\). 6. Damit ist \(b=12-2\sqrt2h=\frac{36-12\sqrt2}{7}\,\text{m}\approx2{,}72\,\text{m}\). Der maximale Querschnitt beträgt \(A_{\max}=\frac{36+72\sqrt2}{7}\,\text{m}^2\approx19{,}69\,\text{m}^2\). 7. Für einen rechteckigen Kanal gilt unter derselben Bedingung \(b+2h=12\). Damit ist \(A_R(h)=h(12-2h)=12h-2h^2\). Das Maximum liegt bei \(h=3\,\text{m}\) und \(b=6\,\text{m}\), also bei \(A_{R,\max}=18\,\text{m}^2\). 8. Der optimale trapezförmige Querschnitt ist damit um \(\frac{19{,}69-18}{18}\cdot100\,\%\approx9{,}4\,\%\) größer als der optimale rechteckige Querschnitt.

a) \(b(h)=12-2\sqrt2h\) b) \(A(h)=12h+(1-2\sqrt2)h^2\) c) \(h\approx3{,}28\,\text{m}\), \(b\approx2{,}72\,\text{m}\), \(A_{\max}\approx19{,}69\,\text{m}^2\) d) Rechteck: \(h=3\,\text{m}\), \(b=6\,\text{m}\), \(A_{\max}=18\,\text{m}^2\). Der optimale trapezförmige Querschnitt ist etwa \(9{,}4\,\%\) größer.

- Überlege dir zuerst, wie man die Oberfläche und das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche berechnet. - Kannst du eine der Variablen (Höhe oder Grundseite) durch die andere ausdrücken, wenn die Oberfläche fest vorgegeben ist? - Erstelle eine Funktion für das Volumen, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man den größten Wert, den diese Volumenfunktion annehmen kann? - Vergleiche diesen Maximalwert mit dem in der Aufgabe geforderten Volumen.

1. Aufstellen der Gleichung für den Oberflächeninhalt: \(O = 2x^2 + 4xh = 120\), wobei \(x\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Umformen nach \(h\): \(h = \frac{120 - 2x^2}{4x} = \frac{30}{x} - \frac{x}{2}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(x) = x^2h = x^2 \left(\frac{30}{x} - \frac{x}{2}\right) = 30x - 0{,}5x^3\). 4. Bestimmung des Extremums: \(V'(x) = 30 - 1{,}5x^2 = 0\) führt zu \(x^2 = 20\), also \(x = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{cm}\). Die zweite Ableitung \(V''(x) = -3x\) ist für \(x > 0\) negativ, es liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(\sqrt{20}) = 30\sqrt{20} - 0{,}5(\sqrt{20})^3 = 20\sqrt{20} = 40\sqrt{5} \approx 89{,}44\,\text{cm}^3\). 6. Der sinnvolle Definitionsbereich ist \(0<x<\sqrt{60}\). Auf dem abgeschlossenen Intervall \([1;\sqrt{20}]\) ist \(V\) stetig. Es gilt \(V(1)=29{,}5\,\text{cm}^3<80\,\text{cm}^3\) und \(V(\sqrt{20})\approx89{,}44\,\text{cm}^3>80\,\text{cm}^3\). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens ein \(x\in(1;\sqrt{20})\) mit \(V(x)=80\,\text{cm}^3\). Der Behälter ist somit konstruierbar.

Ja, ein solcher Behälter ist herstellbar. Die Volumenfunktion ist auf einem abgeschlossenen Teilintervall stetig und nimmt dort Werte unter und über \(80\,\text{cm}^3\) an; daher wird \(80\,\text{cm}^3\) nach dem Zwischenwertsatz erreicht.

- Welche Informationen über Breite und Höhe kannst du direkt aus Nullstellen und Scheitel der Parabel gewinnen? - Welche geometrische Beziehung verbindet die Koordinaten von \(P\) mit seinem Abstand vom Ursprung? - Gibt es eine äquivalente Art, die Lage eines Minimums der in b) gefundenen Abstandsfunktion rechnerisch zu untersuchen? - Welche geometrische Figur beschreibt der Graph von \(g\), und welcher Flächeninhalt gehört dazu?

1. Es ist \(f(\pm8)=0\), also beträgt die Bodenbreite \(16\,\text{m}\). Wegen der nach unten geöffneten Parabel ist \(f(0)=8\,\text{m}\) die maximale Höhe. 2. Mit dem Satz des Pythagoras folgt \(d(x)=\sqrt{x^2+f(x)^2}=\sqrt{0{,}015625x^4-x^2+64}\). 3. Zur Bestimmung der Minimalstellen kann der Ausdruck \(h(x)=0{,}015625x^4-x^2+64\) untersucht werden. Es ist \(h'(x)=0{,}0625x^3-2x=x(0{,}0625x^2-2)\). 4. Die kritischen Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{32}=\pm4\sqrt2\). Bei \(x=\pm4\sqrt2\) liegt das globale Minimum vor; dort ist \(d=\sqrt{48}=4\sqrt3\approx6{,}93\,\text{m}\). 5. Der Flächeninhalt des Parabelmodells ist \(A_f=\int_{-8}^{8}(8-0{,}125x^2)\,\text{d}x=\frac{256}{3}\approx85{,}33\,\text{m}^2\). 6. Das zweite Modell ist ein Halbkreis mit Radius \(8\,\text{m}\), also \(A_g=32\pi\approx100{,}53\,\text{m}^2\). 7. Die relative Abweichung bezogen auf \(A_g\) beträgt \(\frac{|A_f-A_g|}{A_g}\approx0{,}1512\), also etwa \(15{,}1\,\%\).

a) Breite: \(16\,\text{m}\); maximale Höhe: \(8\,\text{m}\) b) \(d(x)=\sqrt{0{,}015625x^4-x^2+64}\) c) \(x=\pm4\sqrt2\approx\pm5{,}66\); minimaler Abstand: \(4\sqrt3\approx6{,}93\,\text{m}\) d) Die Querschnittsfläche des Parabelmodells weicht um etwa \(15{,}1\,\%\) von der Halbkreisfläche ab.

- Welche Beziehung besteht zwischen den Seiten des Rechtecks und dem Durchmesser des umgebenden Kreises? - Wie kannst du die Zielfunktion auf eine einzige Variable zurückführen? - Welche Randlagen sind für die Biegesteifigkeit sinnvoll zu betrachten? - Führe den allgemeinen Nachweis mit \(d\) durch, bevor du einen konkreten Durchmesser einsetzt.

1. Im kreisförmigen Querschnitt gilt nach dem Satz des Pythagoras \(b^2+h^2=d^2\), also \(h^2=d^2-b^2\) für \(0<b<d\). 2. Damit ist \(S(b)=kb(d^2-b^2)^{1{,}5}\). 3. Es ist \(S'(b)=k\sqrt{d^2-b^2}(d^2-4b^2)\). Aus \(S'(b)=0\) folgt \(b=\frac d2\). 4. Für \(d=40\,\text{cm}\) ergibt sich \(b=20\,\text{cm}\) und \(h=\sqrt{40^2-20^2}=20\sqrt3\,\text{cm}\approx34{,}64\,\text{cm}\). 5. Allgemein folgt aus \(b=\frac d2\), dass \(h^2=d^2-\frac{d^2}{4}=\frac34d^2\) und damit \(h=\frac{\sqrt3}{2}d\). Somit gilt \(\frac hb=\sqrt3\). 6. Da \(S(b)\to0\) für \(b\to0^+\) und \(b\to d^-\) und der innere kritische Wert eindeutig ist, liegt dort das absolute Maximum.

a) \(b=20\,\text{cm}\) und \(h=20\sqrt3\,\text{cm}\approx34{,}64\,\text{cm}\) b) Im Optimum gilt allgemein \(\frac hb=\sqrt3\).

- Stelle zuerst fest, wie groß der Durchmesser des Stammes ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seiten eines Rechtecks im Umkreis. - Für die Fläche und die Tragfähigkeit ergeben sich unterschiedliche Zielfunktionen. - Vergleiche am Ende die berechneten Werte der Tragfähigkeit für beide Balkenformen miteinander.

a) Für den Durchmesser \(d=60\,\text{cm}\) gilt \(b^2+h^2=3600\). Damit ist \(A(b)=b\sqrt{3600-b^2}\) für \(0<b<60\). Die Ableitung \(A'(b)=\frac{3600-2b^2}{\sqrt{3600-b^2}}\) liefert \(b=\sqrt{1800}\approx42{,}43\,\text{cm}\). Dann gilt \(h=b\approx42{,}43\,\text{cm}\). Da die Fläche an beiden Randlagen gegen \(0\) geht und dies der einzige innere kritische Wert ist, liegt das absolute Maximum vor. b) Für die Tragfähigkeit genügt die Zielfunktion \(T(b)=kb(3600-b^2)=k(3600b-b^3)\). Aus \(T'(b)=k(3600-3b^2)=0\) folgt \(b=\sqrt{1200}\approx34{,}64\,\text{cm}\). Damit ist \(h=\sqrt{2400}\approx48{,}99\,\text{cm}\). Auch diese Zielfunktion geht an den Randlagen gegen \(0\) und besitzt nur diesen positiven inneren kritischen Wert, also ist das Maximum absolut. c) Ohne den gemeinsamen Proportionalitätsfaktor \(k\) gilt \(T_a=\sqrt{1800}\cdot1800\approx76\,367{,}5\) und \(T_b=\sqrt{1200}\cdot2400\approx83\,138{,}4\). Daher ist \(\frac{T_b-T_a}{T_a}\approx0{,}0887\), also ist die Tragfähigkeit um etwa \(8{,}9\,\%\) höher.

a) Der flächengrößte Balken hat die Maße \(b \approx 42{,}43\,\text{cm}\) und \(h \approx 42{,}43\,\text{cm}\). b) Der tragfähigste Balken hat die Maße \(b \approx 34{,}64\,\text{cm}\) und \(h \approx 48{,}99\,\text{cm}\). c) Die Tragfähigkeit des optimalen Balkens ist um etwa \(8{,}9\,\%\) höher als die des quadratischen Balkens.

- Welche Längen im Axialschnitt bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Kugelradius? - Wie hängt die halbe Grundflächendiagonale mit der Grundkantenlänge \(a\) zusammen? - Versuche, \(a^2\) durch \(h\) und \(R\) auszudrücken, bevor du das Volumen optimierst. - Welche Randlagen sind für eine einbeschriebene Pyramide geometrisch möglich?

1. Das Volumen der Pyramide ist \(V=\frac13a^2h\). 2. Im Axialschnitt gilt für den Umkreisradius der quadratischen Grundfläche \(r_G^2+(h-R)^2=R^2\). Mit \(r_G=\frac{a}{\sqrt2}\) folgt \(\frac{a^2}{2}=2Rh-h^2\), also \(a^2=4Rh-2h^2\). 3. Damit ist \(V(h)=\frac13(4Rh-2h^2)h=\frac43Rh^2-\frac23h^3\) für \(0<h<2R\). 4. Aus \(V'(h)=\frac83Rh-2h^2=0\) folgt der innere kritische Wert \(h=\frac43R\). Die Volumenfunktion ist im Inneren positiv und geht an beiden Randlagen gegen \(0\); daher liegt dort das absolute Maximum. 5. Einsetzen ergibt \(a^2=4R\cdot\frac43R-2\left(\frac43R\right)^2=\frac{16}{9}R^2\), also \(a=\frac43R\).

Das maximale Volumen wird für \(h=\frac43R\) und \(a=\frac43R\) erreicht.

- Nutze beide geometrischen Bedingungen, um die Seitenlängen durch eine einzige Variable auszudrücken. - Welche Einschränkung folgt daraus, dass \(c\) die Hypotenuse eines nicht entarteten rechtwinkligen Dreiecks ist? - Welche äquivalente Betrachtung kann die Extremwertuntersuchung einer positiven Flächenfunktion mit Wurzel vereinfachen? - Welche Dreiecksseite wird bei der Rotation zur Kegelhöhe und welche zum Radius?

1. Aus \(a+c=12\) folgt \(c=12-a\). Mit \(a^2+b^2=c^2\) ergibt sich \(b^2=144-24a\). Für ein nicht entartetes Dreieck gilt \(0<a<6\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A(a)=\frac12a\sqrt{144-24a}\). Da \(A(a)>0\) im Inneren des Bereichs, besitzt \(A\) ihr Maximum an derselben Stelle wie \(A^2=36a^2-6a^3\). 3. Aus \((A^2)'=72a-18a^2=0\) folgt im Inneren \(a=4\). Da \(A\) an beiden Randlagen gegen \(0\) geht, ist dies das absolute Maximum. Es folgen \(c=8\,\text{cm}\) und \(b=4\sqrt3\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}\). 4. Bei Rotation um \(a\) ist \(a\) die Kegelhöhe und \(b\) der Grundkreisradius. Damit ist \(V(a)=\frac13\pi b^2a=48\pi a-8\pi a^2\) für \(0<a<6\). 5. Die nach unten geöffnete quadratische Funktion besitzt ihr absolutes Maximum bei \(a=3\). Damit gilt \(c=9\,\text{cm}\) und \(b=6\sqrt2\,\text{cm}\approx8{,}49\,\text{cm}\).

a) \(a=4\,\text{cm}\), \(b=4\sqrt3\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}\), \(c=8\,\text{cm}\) b) \(a=3\,\text{cm}\), \(b=6\sqrt2\,\text{cm}\approx8{,}49\,\text{cm}\), \(c=9\,\text{cm}\)

- Welche Begrenzung bestimmt die mögliche Höhe des neuen Rechtecks bei verschiedenen Breiten? - Ändert sich diese Begrenzung innerhalb des zulässigen Bereichs? - Wie kannst du sicherstellen, dass deine Zielfunktion den gesamten möglichen Bereich des Zuschnitts erfasst? - Welche Kandidaten musst du vergleichen, bevor du ein globales Maximum behauptest?

1. Lege den Ursprung in die unbeschädigte gegenüberliegende Ecke. Die ursprüngliche Platte reicht dann von \(x=0\) bis \(x=120\) und von \(y=0\) bis \(y=80\). 2. Für \(0\le x\le60\) begrenzt die intakte Oberkante das Rechteck. Es gilt \(A_1(x)=80x\), also \(A_1(x)\le4800\,\text{cm}^2\). 3. Die Bruchkante verbindet \((60|80)\) und \((120|40)\) und hat die Gleichung \(y=-\frac23x+120\). Für \(60\le x\le120\) gilt daher \(A_2(x)=x\left(-\frac23x+120\right)=-\frac23x^2+120x\). 4. Aus \(A_2'(x)=-\frac43x+120=0\) folgt \(x=90\). Dann ist \(y=60\). Die nach unten geöffnete quadratische Funktion besitzt dort ihr Maximum im zweiten Teilbereich. 5. Im Vergleich mit dem ersten Teilbereich gilt \(A_1(60)=4800\,\text{cm}^2<5400\,\text{cm}^2=A_2(90)\). Damit ist das absolute Maximum erreicht. 6. Die optimalen Maße sind \(90\,\text{cm}\times60\,\text{cm}\).

Die neue Glasplatte hat die Maße \(90\,\text{cm}\times60\,\text{cm}\).

- Welche Beziehung zwischen Radius und Höhe eines einbeschriebenen Zylinders folgt aus ähnlichen Dreiecken im Kegel? - Welche Optimierungsgröße ist für jeden der beiden Zylinder dieselbe? - Welche Maße des ursprünglichen Kegels ändern sich, wenn nur der Bereich oberhalb des ersten Zylinders betrachtet wird? - Welche Volumina müssen für den gesuchten Gesamtanteil miteinander verglichen werden?

1. Für einen in einen Kegel mit Radius \(R\) und Höhe \(H\) einbeschriebenen Zylinder gilt mit dem Strahlensatz \(r=R\left(1-\frac hH\right)\). Daher ist \(V(h)=\pi R^2h\left(1-\frac hH\right)^2\). 2. Es ist \(V'(h)=\pi R^2\left(1-\frac hH\right)\left(1-\frac{3h}{H}\right)\). Im Bereich \(0<h<H\) liegt das Volumenmaximum bei \(h=\frac H3\); dann ist \(r=\frac{2R}{3}\). 3. Für den ersten Zylinder folgt \(h_1=6\,\text{cm}\) und \(r_1=6\,\text{cm}\). Der darüber verbleibende Restkegel hat \(H_2=12\,\text{cm}\) und \(R_2=6\,\text{cm}\). 4. Die gleiche geometrische Optimierung im Restkegel liefert \(h_2=4\,\text{cm}\) und \(r_2=4\,\text{cm}\). 5. Das Volumen des ursprünglichen Kegels beträgt \(V_K=486\pi\,\text{cm}^3\). Für die beiden Zylinder gilt \(V_{Z1}=216\pi\,\text{cm}^3\) und \(V_{Z2}=64\pi\,\text{cm}^3\). 6. Damit ist \(\frac{V_{Z1}+V_{Z2}}{V_K}=\frac{280}{486}=\frac{140}{243}\approx0{,}576\).

1. Zylinder 1: \(r_1=6\,\text{cm}\), \(h_1=6\,\text{cm}\); Zylinder 2: \(r_2=4\,\text{cm}\), \(h_2=4\,\text{cm}\) 2. \(\frac{140}{243}\approx0{,}576\)

- Was bedeutet es in den ersten beiden Teilaufgaben, jeweils eine der Variablen als fest zu betrachten? - Welche gemeinsame Information liefern die beiden notwendigen Bedingungen über die optimalen Seitenlängen? - Für die globale Begründung brauchst du eine Aussage, die alle positiven Paare \((x,y)\) erfasst, nicht nur stationäre Kandidaten. - Welche bekannte Beziehung zwischen Summe und Produkt zweier positiver Zahlen könnte dabei nützlich sein?

1. Für festes \(x>0\) gilt \(f_x(y)=6xy+\frac{64}{x}+\frac{64}{y}\). Die notwendige Bedingung lautet \(f_x'(y)=6x-\frac{64}{y^2}=0\), also \(y^2=\frac{32}{3x}\). 2. Analog ergibt sich \(f_y'(x)=6y-\frac{64}{x^2}=0\), also \(x^2=\frac{32}{3y}\). 3. Aus beiden Bedingungen folgt \(x=y\). Damit ist \(x^3=\frac{32}{3}\), also \(x=y=\sqrt[3]{\frac{32}{3}}\approx2{,}20\,\text{dm}\). Aus \(xyh=16\) folgt \(h\approx3{,}30\,\text{dm}\). 4. Für die globale Begründung setze \(p=xy>0\). Wegen \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\sqrt p\) gilt \(\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{p}\ge\frac2{\sqrt p}\), mit Gleichheit genau für \(x=y\). 5. Daher ist \(K(x,y)\ge F(p)=6p+\frac{128}{\sqrt p}\). Es ist \(F'(p)=6-64p^{-3/2}\); die einzige kritische Stelle erfüllt \(p^{3/2}=\frac{32}{3}\). Zudem gilt \(F(p)\to\infty\) für \(p\to0^+\) und \(p\to\infty\). Somit liefert der symmetrische Punkt das globale Kostenminimum.

1. \(y^2=\frac{32}{3x}\) 2. \(x^2=\frac{32}{3y}\) 3. \(x=y=\sqrt[3]{\frac{32}{3}}\approx2{,}20\,\text{dm}\) und \(h\approx3{,}30\,\text{dm}\); diese Maße liefern das globale Kostenminimum.

- Welche der beiden Versandbedingungen kann für eine feste Grundkante die mögliche Länge begrenzen? - Ist über den gesamten zulässigen Bereich dieselbe Bedingung maßgeblich? - Wie kannst du die Volumenfunktion so aufstellen, dass keine zulässige Paketform übersehen wird? - Was musst du nach der Extremwertsuche vergleichen, um ein globales Maximum zu begründen?

1. Das Volumen ist \(V(a,l)=a^2l\). 2. Es gelten \(l+4a\le160\), \(l\le80\), \(a>0\) und \(l>0\). Für festes \(a\) wächst das Volumen mit \(l\), daher ist jeweils die größtmögliche zulässige Länge zu wählen: \(l=\min(80,160-4a)\). 3. Für \(0<a\le20\) gilt \(l=80\). Dann ist \(V_1(a)=80a^2\), also streng steigend; das größte Volumen dieses Bereichs ist \(32\,000\,\text{cm}^3\) bei \(a=20\). 4. Für \(20\le a<40\) gilt \(l=160-4a\). Damit ist \(V_2(a)=160a^2-4a^3\). 5. Aus \(V_2''(a)=4a(80-3a)=0\) folgt \(a=\frac{80}{3}\,\text{cm}\). Die zugehörige Länge ist \(l=\frac{160}{3}\,\text{cm}\). 6. Das Volumen beträgt \(V_{\max}=\frac{1024000}{27}\,\text{cm}^3\approx37\,925{,}93\,\text{cm}^3\). Dieser Wert ist größer als das Maximum des ersten Bereichs; daher ist er global maximal.

\(a=\frac{80}{3}\,\text{cm}\approx26{,}67\,\text{cm}\), \(l=\frac{160}{3}\,\text{cm}\approx53{,}33\,\text{cm}\), \(V_{\max}=\frac{1024000}{27}\,\text{cm}^3\approx37\,925{,}93\,\text{cm}^3\)

- Welche Gleichung ergibt sich aus den acht verwendeten Kantenstücken? - Welcher Bereich für \(a\) folgt aus der Mindesthöhe? - Was bedeutet es für die Optimierung, wenn eine rechnerische Extremstelle außerhalb dieses Bereichs liegt? - Welche Werte oder Verläufe musst du dann innerhalb des tatsächlich zulässigen Bereichs untersuchen?

1. Aus \(4a+4h=360\) folgt \(a+h=90\) und damit \(h=90-a\). 2. Daher ist \(V(a)=a^2(90-a)=90a^2-a^3\). 3. Die Mindesthöhe liefert \(90-a\ge40\), also \(0<a\le50\). 4. Es ist \(V'(a)=180a-3a^2=3a(60-a)\). Die für ein inneres Maximum relevante Nullstelle \(a=60\) liegt außerhalb des zulässigen Bereichs. 5. Für alle \(a\in(0;50)\) gilt \(V'(a)>0\); daher ist \(V\) im gesamten zulässigen Bereich streng steigend und nimmt sein Maximum am rechten Rand bei \(a=50\,\text{cm}\) an. 6. Dann ist \(h=40\,\text{cm}\) und \(V_{\max}=50^2\cdot40=100\,000\,\text{cm}^3\).

a) \(V(a)=90a^2-a^3\) b) \(a=50\,\text{cm}\), \(h=40\,\text{cm}\) c) \(V_{\max}=100\,000\,\text{cm}^3\)

- Wie lauten die Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders? - Beachte, dass der Zylinder oben offen ist – wie verändert das die Formel für die Oberfläche? - Versuche, die Höhe \(h\) in der Volumenformel durch einen Ausdruck mit \(r\) und \(O\) zu ersetzen. - Vergleiche am Ende den Ausdruck für den optimalen Radius mit der Formel für die Höhe.

a) Für die Oberfläche gilt \(O=\pi r^2+2\pi rh\). Daher ist \(h=\frac{O-\pi r^2}{2\pi r}\) und \(V(r)=\frac12(Or-\pi r^3)\). Wegen \(h>0\) gilt \(0<r<\sqrt{O/\pi}\). b) Aus \(V'(r)=\frac12(O-3\pi r^2)=0\) folgt \(O=3\pi r^2\). Einsetzen in die Höhenformel ergibt \(h=r\). Mit \(V''(r)=-3\pi r<0\) liegt ein lokales Maximum vor; die Volumenfunktion geht an beiden Randlagen des zulässigen Bereichs gegen \(0\), also ist es das absolute Maximum. c) Für \(O=12\pi\,\text{m}^2\) folgt \(r=2\,\text{m}\) und damit \(h=2\,\text{m}\). Das maximale Volumen ist \(V=8\pi\,\text{m}^3\approx25{,}13\,\text{m}^3\).

a) \(V(r)=\frac12(Or-\pi r^3)\) für \(0<r<\sqrt{O/\pi}\) b) Im absoluten Maximum gilt \(h=r\). c) \(r=2\,\text{m}\), \(h=2\,\text{m}\), \(V=8\pi\,\text{m}^3\approx25{,}13\,\text{m}^3\)

- Welche Höhe und welche obere Breite hat das Trapez in Abhängigkeit von \(\alpha\)? - Welche Winkelwerte sind geometrisch möglich, bevor sich die Seitenwände schneiden? - Verwende beim Ableiten trigonometrischer Funktionen konsequent das Bogenmaß. - Welche Randlagen müssen neben einem inneren kritischen Wert verglichen werden?

1. Für die Differentialrechnung wird \(\alpha\) im Bogenmaß verwendet. Die Höhe des Trapezes ist \(h=10\sin(\alpha)\), die obere Seite ist \(a=10+20\cos(\alpha)\). Damit sich die Seitenwände nicht kreuzen, gilt \(0<\alpha\le\frac{2\pi}{3}\). 2. Die Fläche ist \(A(\alpha)=\frac{a+10}{2}h=100\sin(\alpha)+50\sin(2\alpha)\). 3. Aus \(A'(\alpha)=100\cos(\alpha)+100\cos(2\alpha)=0\) folgt mit \(u=\cos(\alpha)\) die Gleichung \(2u^2+u-1=0\). Im zulässigen Bereich liefert \(u=0{,}5\) den inneren kritischen Wert \(\alpha=\frac\pi3\). 4. Für \(\alpha\to0^+\) geht die Fläche gegen \(0\); bei \(\alpha=\frac{2\pi}{3}\) gilt \(A=25\sqrt3\,\text{cm}^2\). Damit ist \(\alpha=\frac\pi3=60^\circ\) die globale Maximalstelle. 5. Es gilt \(A\left(\frac\pi3\right)=75\sqrt3\,\text{cm}^2\approx129{,}90\,\text{cm}^2\).

Der optimale Winkel beträgt \(\alpha=60^\circ\). Die maximale Querschnittsfläche ist \(75\sqrt3\,\text{cm}^2\approx129{,}90\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken sich der Umfang zusammensetzt. - Stelle eine Formel für den gesamten Flächeninhalt auf, der sich aus zwei verschiedenen geometrischen Grundformen zusammensetzt. - Nutze die Umfangsgleichung, um eine der Variablen zu eliminieren. - Wie gehst du vor, um das Maximum einer Funktion zu bestimmen? - Am Ende ist nach einem Verhältnis gefragt, das heißt, du musst die beiden Maße durcheinander dividieren.

1. Der Flächeninhalt ist \(A(b,h)=bh+\frac{\sqrt3}{4}b^2\). Für den Umfang gilt \(u=3b+2h\), also \(h=\frac u2-1{,}5b\). 2. Wegen \(h>0\) gilt \(0<b<\frac u3\). Damit ist \(A(b)=\frac u2b-1{,}5b^2+\frac{\sqrt3}{4}b^2\). 3. Aus \(A'(b)=\frac u2-3b+\frac{\sqrt3}{2}b=0\) folgt \(b=\frac{u}{6-\sqrt3}\). 4. Die Zielfunktion ist eine nach unten geöffnete quadratische Funktion; der innere kritische Wert ist daher das absolute Maximum auf dem zulässigen Intervall. 5. Einsetzen in \(h=\frac u2-1{,}5b\) ergibt \(h=\frac{u(3-\sqrt3)}{2(6-\sqrt3)}\). Somit ist \(\frac hb=\frac{3-\sqrt3}{2}\).

Das optimale Verhältnis ist \(\frac hb=\frac{3-\sqrt3}{2}\approx0{,}634\).

- Welche rechtwinklige Beziehung zwischen Körperhöhe, halber Grundkante und Seitenhöhe ist im Schnitt sichtbar? - Wie setzt sich die gesamte Mantelfläche aus den vier kongruenten Dreiecksflächen zusammen? - Welche äquivalente Form einer positiven Zielfunktion könnte die Extremwertuntersuchung vereinfachen? - Wie kannst du die Extremalbedingung anschließend mit der Mantelflächenbedingung verbinden, um ein dimensionsloses Verhältnis zu erhalten?

1. Bezeichnet \(s\) die Seitenhöhe einer Dreiecksfläche, so gilt \(s^2=H^2+\frac{a^2}{4}\). Die vier Seitenflächen haben zusammen die Mantelfläche \(M=2as=a\sqrt{4H^2+a^2}\). 2. Daraus folgt \(H^2=\frac{M^2-a^4}{4a^2}\) für \(0<a<\sqrt M\). 3. Da \(V=\frac13a^2H>0\), kann zur Maximierung auch \(V^2(a)=\frac1{36}(M^2a^2-a^6)\) untersucht werden. 4. Für \(f(a)=M^2a^2-a^6\) ist \(f'(a)=2M^2a-6a^5\). Der positive innere kritische Wert erfüllt \(M^2=3a^4\). 5. An beiden Randlagen geht \(V^2\) gegen \(0\); wegen des einzigen positiven inneren kritischen Werts liegt dort das absolute Maximum. 6. Mit \(M^2=4a^2H^2+a^4\) und \(M^2=3a^4\) folgt \(a^2=2H^2\), also \(H=\frac{a}{\sqrt2}\).

Das Volumen ist maximal für \(H{:}a=1{:}\sqrt2\), also \(H=\frac{a}{\sqrt2}\).

- Berechne zuerst die Mantellinie des Kegels in Abhängigkeit von \(r\). - Stelle die Gleichungen für die Oberfläche und das Volumen auf. Achte darauf, welche Flächen zur Gesamtoberfläche gehören. - Nutze die Oberflächengleichung als Nebenbedingung, um die Höhe \(h\) zu ersetzen. - Welche Radien sind mit \(h\ge0\) überhaupt möglich? - Prüfe nach dem Extremwert, ob er im gesamten zulässigen Bereich maximal ist.

1. Berechnung der Mantellinie \(s\) des Kegels: \(s = \sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{r^2 + \left(\frac{4}{3}r\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9}r^2} = \frac{5}{3}r\). 2. Aufstellen der Formel für die Oberfläche \(O\) (Boden + Zylindermantel + Kegelmantel): \(O = \pi r^2 + 2\pi r h + \pi r s = \pi r^2 + 2\pi r h + \frac{5}{3}\pi r^2 = \frac{8}{3}\pi r^2 + 2\pi r h\). 3. Aufstellen der Formel für das Volumen \(V\): \(V = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^2 H = \pi r^2 h + \frac{4}{9}\pi r^3\). 4. Umstellen der Oberflächenformel nach \(h\): \(h = \frac{O - \frac{8}{3}\pi r^2}{2\pi r} = \frac{O}{2\pi r} - \frac{4}{3}r\). Wegen \(r>0\) und \(h\ge0\) gilt \(0<r\le\sqrt{\frac{3O}{8\pi}}\). 5. Einsetzen in die Volumenformel: \(V(r) = \pi r^2 \left(\frac{O}{2\pi r} - \frac{4}{3}r\right) + \frac{4}{9}\pi r^3 = \frac{Or}{2} - \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{4}{9}\pi r^3 = \frac{Or}{2} - \frac{8}{9}\pi r^3\). 6. Ableiten nach \(r\): \(V'(r) = \frac{O}{2} - \frac{8}{3}\pi r^2\). 7. Nullsetzen der Ableitung: \(\frac{8}{3}\pi r^2 = \frac{O}{2} \Rightarrow O = \frac{16}{3}\pi r^2\). 8. Einsetzen von \(O\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\frac{16}{3}\pi r^2}{2\pi r} - \frac{4}{3}r = \frac{8}{3}r - \frac{4}{3}r = \frac{4}{3}r\). 9. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(V''(r) = -\frac{16}{3}\pi r < 0\) bestätigt das Maximum. Der gefundene Radius liegt im zulässigen Bereich; wegen der strengen Konkavität der Zielfunktion auf \(r>0\) ist dieses Maximum dort eindeutig und absolut. Das Ergebnis ist \(h = \frac{4}{3}r\).

Das Volumen ist maximal, wenn die Zylinderhöhe \(h\) gleich der Kegelhöhe \(H\) ist, also \(h = \frac{4}{3} r\). Dies ist das eindeutige absolute Maximum im physikalisch zulässigen Bereich.

- Welche Teilkörper bilden den Tank und wie berechnet man deren Einzelvolumina und Oberflächen? - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine der beiden Unbekannten (\(h\) oder \(r\)) durch die andere auszudrücken. - Überlege dir mithilfe des Satzes von Pythagoras, wie lang die Mantellinie der Kegel in Abhängigkeit vom Radius ist. - Welche positiven Radien führen zu einer nichtnegativen Zylinderhöhe? - Prüfe nach dem Extremwert auch das Verhalten der Oberfläche im gesamten zulässigen Bereich.

1. Aufstellen der Formeln für das Gesamtvolumen \(V = V_{\text{Zylinder}} + 2V_{\text{Kegel}} = \pi r^2 h + 2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3\) und die Gesamtoberfläche \(A = A_{\text{Zylindermantel}} + 2A_{\text{Kegelmantel}}\). 2. Berechnung der Mantellinie des Kegels: \(s = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}\). Damit gilt \(A = 2\pi r h + 2\pi r s = 2\pi r h + 2\sqrt{2}\pi r^2\). 3. Auflösen der Volumenformel nach \(h\): \(h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). Aus \(r>0\) und \(h\ge0\) folgt \(0<r\le\sqrt[3]{\frac{3V}{2\pi}}\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Oberflächenformel zur Eliminierung einer Variablen: \(A(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 2\sqrt{2}\pi r^2 = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 2\sqrt{2}\pi r^2\). 5. Zusammenfassen der Zielfunktion: \(A(r) = \frac{2V}{r} + \pi r^2 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)\). 6. Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung: \(A'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right) = 0\). 7. Daraus folgt für das Volumen im Extremum: \(V = \pi r^3 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)\). 8. Einsetzen dieses Ausdrucks für \(V\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\pi r^3 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = r\left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3} - \frac{2}{3}\right) = r(2\sqrt{2} - 2)\). 9. Das gesuchte Verhältnis ist \(h = 2(\sqrt{2} - 1)r\). Die Extremalgleichung besitzt genau eine positive Lösung. Vor ihr ist die Oberflächenfunktion fallend und danach steigend; außerdem gilt \(A(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\). Der gefundene Radius liegt wegen \(h>0\) im zulässigen Bereich. Damit handelt es sich um das absolute Minimum.

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2(\sqrt{2} - 1)r\). Dies entspricht etwa \(h \approx 0{,}828r\) und liefert das absolute Oberflächenminimum im zulässigen Bereich.

- Zerlege den Körper in einen Quader und eine Pyramide. - Achte darauf, welche Flächen zur gesamten Außenfläche \(S\) gehören (Boden, Wände, Dachflächen). - Wie berechnet man die Fläche eines Seitendreiecks der Pyramide, wenn die Pyramidenhöhe bekannt ist? - Drücke die Höhe \(h\) durch die Variable \(a\) und die Konstante \(S\) aus, um eine Zielfunktion für das Volumen zu erhalten. - Welche Werte von \(a\) führen zu einer nichtnegativen Höhe \(h\), und wie verhält sich die Zielfunktion um den gefundenen Extremwert?

1. Aufstellen der Formeln für die Gesamtoberfläche \(S = a^2\) (Boden) \(+ 4ah\) (Seitenwände) \(+ M_{\text{Pyramide}}\) und das Volumen \(V = a^2 h + \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a}{2} = a^2 h + \frac{1}{6} a^3\). 2. Berechnung der Höhe der Seitendreiecke der Pyramide: \(h_s = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\). Damit ist die Mantelfläche \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} a^2\). 3. Die Gesamtoberfläche ist \(S = a^2 + 4ah + \sqrt{2} a^2 = a^2(1 + \sqrt{2}) + 4ah\). 4. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{S - a^2(1 + \sqrt{2})}{4a} = \frac{S}{4a} - \frac{1 + \sqrt{2}}{4} a\). Daher gilt für ein physikalisch sinnvolles Gewächshaus \(0<a\le\sqrt{\frac{S}{1+\sqrt{2}}}\). 5. Einsetzen in die Volumenformel: \(V(a) = a^2 \left(\frac{S}{4a} - \frac{1 + \sqrt{2}}{4} a\right) + \frac{1}{6} a^3 = \frac{S}{4} a - \frac{1 + 3\sqrt{2}}{12} a^3\). 6. Ableiten und Nullsetzen: \(V'(a) = \frac{S}{4} - \frac{1 + 3\sqrt{2}}{4} a^2 = 0\), woraus \(S = (1 + 3\sqrt{2}) a^2\) und damit \(a = \sqrt{\frac{S}{1 + 3\sqrt{2}}}\) folgt. Dieser Wert liegt im zulässigen Bereich. Da \(V'(a)\) vor dieser Stelle positiv und danach negativ ist, liegt dort das eindeutige absolute Maximum. 7. Einsetzen in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{(1 + 3\sqrt{2}) a^2 - (1 + \sqrt{2}) a^2}{4a} = \frac{2\sqrt{2} a^2}{4a} = \frac{\sqrt{2}}{2} a\).

Die Grundkante muss \(a = \sqrt{\frac{S}{1 + 3\sqrt{2}}}\) betragen. Die Höhe des quaderförmigen Unterbaus ist dann \(h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a\). Diese Maße liefern das absolute Volumenmaximum im zulässigen Bereich.

- Wie kannst du die Bruchlinie in einem geeigneten Koordinatensystem beschreiben? - Welche Lage eines achsenparallelen Rechtecks ist für ein Flächenmaximum überhaupt relevant? - Welche Einschränkung gilt für den Punkt des Rechtecks, der die Bruchlinie berührt? - Wie entscheidest du, ob ein innerer Extremkandidat geometrisch zulässig ist oder ein Randfall betrachtet werden muss?

1. Wähle den Ursprung unten links. Die defekte Ecke liegt oben links; die Bruchlinie beginnt bei \((0|\frac34a)\) und trifft wegen des \(45^\circ\)-Winkels die Oberkante bei \((\frac14a|a)\). 2. Die Bruchlinie hat die Gleichung \(y=x+\frac34a\) für \(0\le x\le\frac14a\). 3. Ein Rechteck mit oberer linker Ecke \((x|y)\) auf dieser Linie und rechter unterer Ecke \((b|0)\) hat die Fläche \(A(x)=(b-x)\left(x+\frac34a\right)\). 4. Die Scheitelstelle der quadratischen Flächenfunktion ist \(x_0=\frac12b-\frac38a\). Sie liegt genau dann im zulässigen Intervall, wenn \(b\le\frac54a\). 5. Für \(a\le b\le\frac54a\) liegt das Maximum bei \(x=x_0\). Breite und Höhe sind dann jeweils \(\frac12b+\frac38a\); die optimale Platte ist quadratisch. 6. Für \(b>\frac54a\) steigt \(A\) auf dem zulässigen Intervall bis zum rechten Rand. Bei \(x=\frac14a\) ergeben sich die Maße \(b-\frac14a\) und \(a\).

Für \(a\le b\le\frac54a\): quadratische Platte mit Seitenlänge \(\frac12b+\frac38a\). Für \(b>\frac54a\): Maße \(b-\frac14a\) und \(a\).

- Betrachte einen Axialschnitt des Kegelstumpfs: Welche horizontale Kathete entsteht aus der Differenz der beiden Radien? - Die feste Mantellinie, die Höhe und diese Radiendifferenz bilden ein rechtwinkliges Dreieck. - Führe für die Radiendifferenz eine eigene Variable ein, bevor du die Volumenformel verwendest. - Untersuche nach dem Ableiten das Vorzeichen im gesamten zulässigen Bereich.

1. Setze \(x=R-2\). Dann gilt \(0\le x<8\). Aus dem rechtwinkligen Dreieck im Mantelschnitt folgt \(h=\sqrt{64-x^2}\). 2. Mit \(R=x+2\) und \(r=2\) wird das Volumen zu \(V(x)=\frac{\pi}{3}\sqrt{64-x^2}(x^2+6x+12)\). 3. Die Ableitung lässt sich schreiben als \(V'(x)=-\frac{\pi(x-6)(3x^2+30x+64)}{3\sqrt{64-x^2}}\). 4. Für \(x\ge0\) ist \(3x^2+30x+64>0\). Daher ist \(V'(x)>0\) für \(0\le x<6\) und \(V'(x)<0\) für \(6<x<8\). Das globale Maximum liegt bei \(x=6\). 5. Damit ist \(R=8\,\text{cm}\) und \(h=\sqrt{64-36}=2\sqrt7\,\text{cm}\approx5{,}29\,\text{cm}\). 6. Das maximale Volumen beträgt \(V_{\max}=56\pi\sqrt7\,\text{cm}^3\approx465{,}46\,\text{cm}^3\).

\(R=8\,\text{cm}\), \(h=2\sqrt7\,\text{cm}\approx5{,}29\,\text{cm}\), \(V_{\max}=56\pi\sqrt7\,\text{cm}^3\approx465{,}46\,\text{cm}^3\)

- Was ist die Zielgröße, die extrem werden soll? - Welche Informationen aus dem Text kannst du nutzen, um eine Beziehung zwischen den Variablen herzustellen? - Wenn du eine Gleichung quadrierst, welche Vorzeichenbedingung der ursprünglichen Gleichung musst du weiterhin beachten? - Manchmal ist es einfacher, das Quadrat einer Größe zu optimieren, um lästige Wurzeln loszuwerden. - Überlege dir, in welchem Bereich \(a^2\) liegen muss, damit eine reelle, nichtnegative Höhe entsteht.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(a, h) = \frac{1}{3} a^2 h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_s = a^2 + a \sqrt{4h^2 + a^2} = 432\). Damit muss insbesondere \(432-a^2\ge0\) gelten. 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \((432 - a^2)^2 = a^2 (4h^2 + a^2) \Rightarrow 432^2 - 864a^2 + a^4 = 4a^2h^2 + a^4 \Rightarrow h^2 = \frac{432^2}{4a^2} - 216\). Zusammen mit \(h^2\ge0\) folgt \(0<a^2\le216\); damit ist auch die beim Quadrieren erforderliche Bedingung \(432-a^2\ge0\) erfüllt. 4. Aufstellen der Zielfunktion (hier zur Vereinfachung \(V^2\)): \(f(a^2) = \frac{1}{9} a^4 \left(\frac{432^2}{4a^2} - 216\right) = \frac{432^2}{36} a^2 - 24 a^4\). Mit \(u = a^2\) ergibt sich \(g(u) = 5184u - 24u^2\) für \(0<u\le216\). Da \(V\ge0\), maximiert dieselbe Stelle auch \(V\). 5. Bestimmung des Extremums: \(g'(u) = 5184 - 48u = 0 \Rightarrow u = 108\). Da \(g''(u) = -48 < 0\), liegt ein Maximum vor. Die nach unten geöffnete quadratische Funktion besitzt auf dem zulässigen Intervall damit ihr absolutes Maximum bei \(u=108\). 6. Berechnung der Maße: \(a = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\,\text{cm}\). Einsetzen in die Gleichung für \(h\): \(h^2 = \frac{432^2}{4 \cdot 108} - 216 = 432 - 216 = 216 \Rightarrow h = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}70\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(a = 6\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 10{,}39\,\text{cm}\) und die Höhe der Pyramide beträgt \(h = 6\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 14{,}70\,\text{cm}\). Diese Maße liefern das absolute Volumenmaximum.

- Nutze in beiden Teilaufgaben ähnliche Dreiecke im passenden Schnitt. - Beim Zylinder ist \(r\) eine geeignete Variable für die Volumenfunktion. - Bei der quadratischen Säule ist im Diagonalschnitt der Abstand eines oberen Eckpunkts von der Mittelachse entscheidend. - Welche Größen kürzen sich beim abschließenden Verhältnis der beiden Maximalvolumina?

1. Für den Zylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\) gilt im Axialschnitt wegen ähnlicher Dreiecke \(\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}\). Daher ist \(h=H\left(1-\frac{r}{R}\right)\). Das Zylindervolumen ist \(V_Z(r)=\pi Hr^2\left(1-\frac{r}{R}\right)\). 2. Es gilt \(V_Z'(r)=\pi Hr\left(2-\frac{3r}{R}\right)\). Für \(r>0\) folgt \(r=\frac{2}{3}R\). Damit ist \(h=H\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}H\). 3. Für die quadratische Säule sei \(s\) die Grundkantenlänge. Im Diagonalschnitt ist der Abstand eines oberen Eckpunkts von der Mittelachse \(\frac{s\sqrt2}{2}\). Aus ähnlichen Dreiecken folgt \(h=H\left(1-\frac{s\sqrt2}{2R}\right)\). Damit ist \(V_S(s)=Hs^2\left(1-\frac{s\sqrt2}{2R}\right)\). 4. Es gilt \(V_S'(s)=Hs\left(2-\frac{3\sqrt2}{2R}s\right)\). Für \(s>0\) folgt \(s=\frac{2\sqrt2}{3}R\). Dann ist \(h=\frac{1}{3}H\) und somit \(V_{S,\max}=\frac{8}{27}R^2H\). 5. Für den optimalen Zylinder gilt \(V_{Z,\max}=\frac{4\pi}{27}R^2H\). Daher ist \(\frac{V_{Z,\max}}{V_{S,\max}}=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57\). Der Zylinder nutzt den Raum im Kegel besser aus.

a) \(h=\frac{1}{3}H\) b) \(V_{S,\max}=\frac{8}{27}R^2H\) c) \(\frac{V_{Z,\max}}{V_{S,\max}}=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57\); der Zylinder nutzt den Raum im Kegel besser aus.

- Was ist die Größe, die maximiert werden soll? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Radius, der Höhe und der schrägen Mantellinie eines Kegels? - Welche Radien sind bei der festen Mantelfläche geometrisch möglich? - Kannst du das Volumen quadrieren oder nur den Term unter der Wurzel betrachten, um die Ableitung zu vereinfachen? - Prüfe neben dem inneren Extremwert auch die beiden Grenzfälle des zulässigen Radiusbereichs.

1. Hauptbedingung: Maximierung des Volumens \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\). 2. Nebenbedingung: Die Mantelfläche \(M = \pi rs\) ist konstant, wobei \(s = \sqrt{r^2 + h^2}\) die Mantellinie ist. 3. Aus der Nebenbedingung folgt \(s = \frac{M}{\pi r}\). Einsetzen in den Satz des Pythagoras ergibt \(h = \sqrt{s^2 - r^2} = \sqrt{\frac{M^2}{\pi^2 r^2} - r^2}\). Damit gilt \(0<r\le\sqrt{\frac{M}{\pi}}\). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{\frac{M^2}{\pi^2 r^2} - r^2} = \frac{1}{3}\sqrt{M^2 r^2 - \pi^2 r^6}\). 5. Zur Extremwertbestimmung wird die Funktion unter der Wurzel \(f(r) = M^2 r^2 - \pi^2 r^6\) abgeleitet und nullgesetzt: \(f'(r) = 2M^2 r - 6\pi^2 r^5 = 0\). Da die Wurzel streng wächst, maximiert derselbe Radius auch \(V\). 6. Dies führt auf \(2M^2 = 6\pi^2 r^4\), woraus \(M = \pi r^2 \sqrt{3}\) folgt. Im zulässigen Bereich gibt es nur diesen positiven inneren kritischen Radius; außerdem geht das Volumen für \(r\to0^+\) gegen null und ist am oberen Rand ebenfalls null. Daher ist dies das absolute Maximum. 7. Da \(M = \pi r s\) gilt, ergibt sich \(\pi r s = \pi r^2 \sqrt{3}\), also \(s = r\sqrt{3}\). 8. Berechnung der Höhe: \(h = \sqrt{(r\sqrt{3})^2 - r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}\). 9. Das optimale Verhältnis ist \(\frac{h}{r} = \sqrt{2}\).

Das Verhältnis von Höhe \(h\) zu Radius \(r\) muss \(\frac{h}{r} = \sqrt{2}\) betragen. Dieses Verhältnis liefert das absolute Volumenmaximum.

- Vereinfache das Produkt zunächst mit einer Doppelwinkelformel, bevor du ableitest. - Konstante Faktoren verändern die Lage einer Maximalstelle nicht. - Verwende beim Ableiten trigonometrischer Funktionen das Bogenmaß. - Welche Werte hat das Produkt an den beiden Randlagen des zulässigen Winkelbereichs?

1. Für die Differentialrechnung wird \(\alpha\) im Bogenmaß mit \(0\le\alpha<\frac\pi2\) betrachtet. Es gilt \(P(\alpha)=\frac{v^4}{2g^2}\sin(2\alpha)\sin^2(\alpha)=\frac{v^4}{g^2}\sin^3(\alpha)\cos(\alpha)\). 2. Der konstante Faktor \(\frac{v^4}{g^2}\) beeinflusst die Maximalstelle nicht. Daher genügt \(f(\alpha)=\sin^3(\alpha)\cos(\alpha)\). 3. Ableiten liefert \(f'(\alpha)=3\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)-\sin^4(\alpha)=\sin^2(\alpha)\left(3\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\right)\). 4. Im Inneren gilt damit \(3\cos^2(\alpha)=\sin^2(\alpha)\), also \(\tan^2(\alpha)=3\). Wegen \(0<\alpha<\frac\pi2\) folgt \(\alpha=\frac\pi3\). 5. Am Rand ist \(P(0)=0\) und für \(\alpha\to\frac\pi2^-\) gilt \(P(\alpha)\to0\). Damit ist \(\alpha=\frac\pi3\) die globale Maximalstelle. 6. Umgerechnet in Grad ist \(\frac\pi3=60^\circ\).

Das Produkt aus Wurfweite und Scheitelhöhe wird bei \(\alpha=60^\circ\) maximal.

- Der Abstand eines Punktes \((x|y)\) zum Ursprung berechnet sich über den Satz des Pythagoras. - Nutze die Funktionsgleichung, um die \(y\)-Koordinate in der Abstandsformel durch \(x\) zu ersetzen. - Wie kannst du nach dem Ableiten untersuchen, ob eine gefundene kritische Stelle die einzige im Definitionsbereich ist? - Welche Rand- oder Grenzwertbetrachtungen brauchst du, um aus einem lokalen Minimum ein globales Minimum zu machen?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Quadrat des Abstands zum Ursprung \(O(0|0)\): \(g(x) = x^2 + (1 - \ln(x))^2\). 2. Bildung der ersten Ableitung nach der Kettenregel: \(g''(x) = 2x + 2(1 - \ln(x)) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = 2x - \frac{2}{x} + \frac{2\ln(x)}{x}\). 3. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die Ableitung faktorisiert: \(g''(x) = \frac{2}{x}(x^2 - 1 + \ln(x))\). Für \(q(x) = x^2 - 1 + \ln(x)\) gilt \(q(1) = 0\) und \(q''(x) = 2x + \frac{1}{x} > 0\) für \(x > 0\). Daher ist \(q\) streng monoton steigend und \(x = 1\) die einzige Nullstelle von \(g''\). 4. Da \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) gilt, ist die einzige Extremstelle bei \(x = 1\) das globale Minimum. 5. Bestimmung der Koordinaten des Punktes: \(f(1) = 1 - \ln(1) = 1\). Der gesuchte Punkt ist \(P(1|1)\).

Der Punkt des Graphen mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung ist \(P(1|1)\).

- Verwende die Zwei-Punkte-Form oder die Steigung, um eine Beziehung zwischen den Achsenabschnitten herzustellen. - Welcher geometrische Satz verbindet die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Beim Ableiten der Zielfunktion kann Ausklammern oder geschicktes Vereinfachen des Bruchs hilfreich sein. - Überlege dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrem Quadrat unter der Bedingung, dass die Funktionswerte positiv sind.

1. Aufstellen der Geradengleichung durch \(P(1 | 8)\) und \(S_x(x_0 | 0)\): Die Steigung ist \(m = \frac{8 - 0}{1 - x_0} = \frac{8}{1 - x_0}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ergibt sich zu \(y_0 = \frac{-8x_0}{1 - x_0} = \frac{8x_0}{x_0 - 1}\). 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras für das Quadrat der Hypotenuse: \(L^2 = x_0^2 + y_0^2 = x_0^2 + \left(\frac{8x_0}{x_0 - 1}\right)^2 = x_0^2 + \frac{64x_0^2}{(x_0 - 1)^2}\). 3. Ableiten von \(f(x_0) = L^2(x_0)\): \(f'(x_0) = 2x_0 + \frac{128x_0(x_0 - 1)^2 - 64x_0^2 \cdot 2(x_0 - 1)}{(x_0 - 1)^4} = 2x_0 \cdot \left(1 - \frac{64}{(x_0 - 1)^3}\right)\). 4. Nullsetzen der Ableitung: \(1 - \frac{64}{(x_0 - 1)^3} = 0 \implies (x_0 - 1)^3 = 64 \implies x_0 - 1 = 4 \implies x_0 = 5\). 5. Begründung für \(L^2\): Da die Hypotenusenlänge \(L(x_0)\) stets positiv ist und die Quadratfunktion \(g(z) = z^2\) für \(z > 0\) streng monoton wachsend ist, liegt das Minimum von \(L(x_0)\) an derselben Stelle wie das Minimum von \([L(x_0)]^2\). 6. Für \(x_0>1\) ist \(x_0=5\) die einzige Nullstelle von \(f'\). Zudem gilt \(f(x_0)\to\infty\) für \(x_0\to1^+\) und für \(x_0\to\infty\). Daher liegt bei \(x_0=5\) das globale Minimum.

a) \(L^2(x_0) = x_0^2 + \frac{64x_0^2}{(x_0-1)^2}\) für \(x_0>1\). b) Die Hypotenuse wird minimal für \(x_0 = 5\). c) Da \(L(x_0) > 0\) und die Funktion \(g(z) = z^2\) für \(z > 0\) streng monoton steigt, haben \(L\) und \(L^2\) ihre Extrema an den gleichen Stellen.

- Welche ähnlichen Dreiecke erkennst du oberhalb des Quaders und im gesamten Symmetrieschnitt? - Warum muss die Pyramiden-Grundkante \(x\) größer als die Quaderkante \(a\) sein? - Drücke zuerst \(H\) durch \(x\) aus und setze dies in die Pyramidenvolumenformel ein. - Untersuche für die globale Minimalität auch das Verhalten nahe \(x=a\) und für sehr große \(x\).

1. Im Symmetrieschnitt bilden Pyramide und Quader ein großes Dreieck mit einem innenliegenden Rechteck. Aus ähnlichen Dreiecken folgt \(\frac{H-h}{H}=\frac{a}{x}\). 2. Umstellen ergibt \(H(x)=\frac{hx}{x-a}\) für \(x>a\). 3. Das Pyramidenvolumen lautet \(V(x)=\frac13x^2H(x)=\frac h3\frac{x^3}{x-a}\). 4. Ableiten ergibt \(V'(x)=\frac h3\frac{x^2(2x-3a)}{(x-a)^2}\). Im zulässigen Bereich ist die einzige kritische Stelle \(x=\frac32a\). 5. Für \(a<x<\frac32a\) ist \(V'(x)<0\), für \(x>\frac32a\) ist \(V'(x)>0\). Außerdem gilt \(V(x)\to\infty\) für \(x\to a^+\) und für \(x\to\infty\). Daher ist das Minimum global. 6. Die zugehörige Höhe ist \(H=\frac{h\cdot\frac32a}{\frac32a-a}=3h\). 7. Das minimale Pyramidenvolumen ist \(V_{\mathrm{Pyr}}=\frac13\left(\frac32a\right)^2\cdot3h=\frac94a^2h\). Mit \(V_{\mathrm{Quader}}=a^2h\) folgt der Anteil \(\frac{V_{\mathrm{Quader}}}{V_{\mathrm{Pyr}}}=\frac49\approx44{,}4\,\%\).

a) \(H(x)=\frac{hx}{x-a}\) für \(x>a\) b) \(x=\frac32a\) und \(H=3h\) c) Der Quader nimmt \(\frac49\approx44{,}4\,\%\) des minimalen Pyramidenvolumens ein.

- Zerlege die Fensterfläche in Rechteck und Halbkreis und nutze \(r=\frac b2\). - Welche Teile gehören tatsächlich zum äußeren Rahmen, und welche davon haben unterschiedliche Meterpreise? - Welche Bedingung an \(r\) stellt sicher, dass die Rechteckhöhe positiv bleibt? - Prüfe nach der Extremwertbestimmung, ob die Kostenfunktion im zulässigen Bereich nur ein Minimum besitzen kann.

1. Mit \(r=\frac b2\) gilt für die Fläche \(2rh+\frac12\pi r^2=2{,}50\). Daher ist \(h=\frac{1{,}25}{r}-\frac{\pi}{4}r\). Für einen nicht entarteten rechteckigen Teil gilt \(0<r<\sqrt{\frac5\pi}\). 2. Die geraden Rahmenstücke haben zusammen die Länge \(2h+2r\), der Halbkreisbogen die Länge \(\pi r\). Somit ist \(K(r)=12(2h+2r)+18\pi r=\frac{30}{r}+(24+12\pi)r\). 3. Es gilt \(K'(r)=-\frac{30}{r^2}+24+12\pi\). Aus \(K'(r)=0\) folgt \(r^2=\frac{30}{24+12\pi}\), also \(r\approx0{,}6973\,\text{m}\). 4. Wegen \(K''(r)=\frac{60}{r^3}>0\) für alle \(r>0\) ist \(K\) streng konvex. Die kritische Stelle liegt im zulässigen Bereich und liefert daher das globale Kostenminimum. 5. Damit ist \(b=2r\approx1{,}39\,\text{m}\) und \(h=\frac{1{,}25}{r}-\frac{\pi}{4}r\approx1{,}24\,\text{m}\).

Die Kosten werden für eine Breite von etwa \(1{,}39\,\text{m}\) und eine Rechteckhöhe von etwa \(1{,}24\,\text{m}\) minimal.

- Setze das Gesamtvolumen aus Zylinder und Halbkugel zusammen. - Welche Flächen werden mit dem einfachen und welche mit dem doppelten Kostenfaktor gewichtet? - Prüfe, welche Werte von \(r\) überhaupt zu einer positiven Zylinderhöhe führen. - Nach der Extremwertbestimmung: Wie kannst du sicherstellen, dass das Ergebnis global minimal ist?

1. Das Volumen ist \(V=\pi r^2h+\frac23\pi r^3\). Daher gilt \(h=\frac{V}{\pi r^2}-\frac23r\). Physikalisch müssen \(r>0\) und \(h>0\) gelten. 2. Mit dem Kostenfaktor \(k\) für Mantel und Deckel sowie \(2k\) für den halbkugelförmigen Boden ist \(K(r,h)=k(2\pi rh+5\pi r^2)\). Für die Extremstelle kann der positive Faktor \(k\) weggelassen werden. 3. Nach Einsetzen der Volumenbedingung erhält man \(f(r)=\frac{2V}{r}+\frac{11}{3}\pi r^2\). Es gilt \(f'(r)=-\frac{2V}{r^2}+\frac{22}{3}\pi r\). Aus \(f'(r)=0\) folgt \(V=\frac{11}{3}\pi r^3\). 4. Einsetzen in die Höhenformel ergibt \(h=\frac{11}{3}r-\frac23r=3r\). Diese Höhe ist positiv und damit physikalisch zulässig. 5. Wegen \(f''(r)=\frac{4V}{r^3}+\frac{22}{3}\pi>0\) für \(r>0\) ist \(f\) streng konvex. Zusammen mit \(f(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\) folgt, dass das gefundene Verhältnis das globale Kostenminimum liefert.

Die Materialkosten sind minimal für \(h=3r\), also für \(h{:}r=3{:}1\).

- Stelle zunächst eine Formel für das Quadrat des Abstands zwischen einem beliebigen Punkt auf dem Graphen und dem gegebenen Punkt auf. - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, anstatt die Wurzel zu betrachten? - Leite die Abstandsfunktion ab und suche nach den Nullstellen. - Wenn du eine Gleichung höheren Grades erhältst, versuche eine ganzzahlige Lösung durch Testen kleiner Werte zu finden. - Vergiss nicht, die Art des Extrempunkts zu überprüfen und die Koordinaten des gesuchten Punktes anzugeben.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion zum Quadrat: \(D(x) = (x - (-1))^2 + (f(x) - (-1))^2 = (x+1)^2 + \left(\frac{4}{x} + 1\right)^2\) 2. Vereinfachen der Zielfunktion: \(D(x) = x^2 + 2x + 1 + \frac{16}{x^2} + \frac{8}{x} + 1 = x^2 + 2x + 2 + 8x^{-1} + 16x^{-2}\) 3. Bilden der ersten Ableitung: \(D'(x) = 2x + 2 - \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3}\) 4. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen: \(2x + 2 - \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3} = 0 \Leftrightarrow 2x^4 + 2x^3 - 8x - 32 = 0 \Leftrightarrow x^4 + x^3 - 4x - 16 = 0\) 5. Bestimmen der Nullstelle durch Probieren oder systematisches Testen von Teilern des Absolutglieds: \(x = 2\) ist eine Lösung, da \(2^4 + 2^3 - 4 \cdot 2 - 16 = 16 + 8 - 8 - 16 = 0\) 6. Überprüfen der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(D''(x) = 2 + \frac{16}{x^3} + \frac{96}{x^4}\). Da \(D''(x)=2+\frac{16}{x^3}+\frac{96}{x^4}>0\) für alle \(x>0\) gilt, ist \(D\) dort streng konvex; die kritische Stelle \(x=2\) ist somit das eindeutige Minimum. 7. Da \(D(x)\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt, ist das Minimum global. 8. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = \frac{4}{2} = 2\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem kleinsten Abstand zu \(P(-1 \mid -1)\) ist \(Q(2 \mid 2)\).

- Welche geometrischen Größen bestimmen den Flächeninhalt des Dreiecks? - Kannst du eine Beziehung zwischen der Höhe, der halben Basis und dem Radius des Inkreises herstellen? Skizziere dazu den Radius, der senkrecht auf einem Schenkel steht. - Es ist oft einfacher, das Quadrat einer Zielfunktion zu minimieren, wenn diese eine Wurzel enthält. - Welchen Definitionsbereich muss die Höhe \(h\) im Vergleich zum Radius \(r\) haben?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2}bh\), wobei \(b\) die Grundseite und \(h\) die Höhe des Dreiecks ist. 2. Bestimmung der Nebenbedingung durch geometrische Überlegungen (z. B. Ähnlichkeit von Dreiecken oder Abstandsformel): Der Abstand des Kreismittelpunktes (auf der Höhe im Abstand \(r\) von der Basis) zu einem Schenkel muss \(r\) betragen. Dies führt zur Beziehung \(b^2 = \frac{4r^2h}{h-2r}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung mit \(r = 3\) in die Zielfunktion: \(A(h) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{36h}{h-6}}h = \frac{3h^{1{,}5}}{\sqrt{h-6}}\). Zur Vereinfachung kann das Quadrat der Funktion minimiert werden: \(f(h) = A(h)^2 = \frac{9h^3}{h-6}\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(h\): \(f'(h) = \frac{27h^2(h-6) - 9h^3}{(h-6)^2} = \frac{18h^3 - 162h^2}{(h-6)^2}\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremwerts: \(18h^2(h-9) = 0\). Da \(h > 2r = 6\) gelten muss, ergibt sich \(h = 9\). 6. Für \(6 < h < 9\) ist \(f'(h) < 0\), für \(h > 9\) ist \(f'(h) > 0\). Außerdem gilt \(\lim_{h \to 6^+} f(h) = \infty\) und \(\lim_{h \to \infty} f(h) = \infty\). Somit liegt bei \(h = 9\,\text{cm}\) das globale Minimum vor.

Die Höhe des Dreiecks muss \(h = 9\,\text{cm}\) gewählt werden, damit der Flächeninhalt minimal wird.

- Nutze den Satz des Pythagoras, um den Abstand zwischen zwei Punkten auszudrücken. - Wenn du das Minimum einer Wurzelfunktion suchst, reicht es oft aus, den Term unter der Wurzel zu untersuchen. - Zerlege die gesuchte Fläche gedanklich in eine Fläche unter einer Kurve und eine einfache geometrische Figur wie ein Dreieck. - Erinnere dich an die Stammfunktion von Potenzfunktionen für die Integration.

1. Nachweis der Abstandsfunktion: \(d(x) = \sqrt{(x-3)^2 + (2\sqrt{x}-0)^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 9 + 4x} = \sqrt{x^2 - 2x + 9}\). 2. Bestimmung von \(Q_E\): Zur Minimierung von \(d(x)\) wird der Radikand \(g(x) = x^2 - 2x + 9\) minimiert. \(g'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\). Da \(g''(x) = 2 > 0\), liegt ein Minimum vor. Der Funktionswert ist \(f(1) = 2\sqrt{1} = 2\). Somit ist \(Q_E(1 \mid 2)\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die Fläche setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen. Teil 1: Fläche unter dem Graphen von \(x=0\) bis \(x=1\): \(A_1 = \int_0^1 2\sqrt{x} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{4}{3}x^{1{,}5} \right]_0^1 = \frac{4}{3}\). Teil 2: Fläche unter der Strecke \(\overline{PQ_E}\) von \(x=1\) bis \(x=3\). Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(3-1=2\) und der Höhe \(2\). \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). Gesamtfläche: \(A_{ges} = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\).

a) Nachweis durch Einsetzen in die Abstandsformel: \(d(x) = \sqrt{(x-3)^2 + (2\sqrt{x})^2} = \sqrt{x^2 - 2x + 9}\). b) \(Q_E(1 \mid 2)\) c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{10}{3} \approx 3{,}33\).

- Überlege dir, wie sich der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet. - Stelle eine Funktion für den Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von \(u\) auf. - Denke daran, die Funktionswerte an den Rändern des Intervalls zu berechnen. - Zur Bestimmung des exakten Werts benötigst du eine Stammfunktion von \(g\).

1. Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A(u)\) aufstellen: Die Flächeninhalte der beiden Trapeze sind \(A_1 = \frac{g(0) + g(u)}{2} \cdot u\) und \(A_2 = \frac{g(u) + g(4)}{2} \cdot (4 - u)\). Mit den Randwerten \(g(0) = 2\) und \(g(4) = 6\) vereinfacht sich der Gesamtinhalt zu: \(A(u) = 2 \cdot g(u) - 2u + 12\). 2. Maximieren der Funktion: Einsetzen von \(g(u)\) ergibt \(A(u) = 4\sqrt{u} - 2u + 16\). Die Ableitung lautet \(A'(u) = \frac{2}{\sqrt{u}} - 2\). Die Bedingung \(A'(u) = 0\) liefert \(\sqrt{u} = 1\), also \(u = 1\). Wegen \(A''(1) = -1 < 0\) handelt es sich um ein Maximum. 3. Koordinaten von \(R\): Berechnung des Punktes auf dem Graphen: \(g(1) = 4\). Somit ist \(R(1 \mid 4)\). 4. Abweichung berechnen: Maximaler Näherungswert: \(A(1) = 18\). Exakter Integralwert: \(\int_0^4 (2\sqrt{x} + 2) \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{4}{3}x^{1{,}5} + 2x \right]_0^4 = \frac{56}{3} \approx 18{,}67\). Prozentuale Abweichung: \(\frac{\frac{56}{3} - 18}{\frac{56}{3}} = \frac{1}{28} \approx 3{,}57\,\%\).

a) Der Flächeninhalt wird für \(u = 1\) maximal. Die Koordinaten von \(R\) sind \(R(1 \mid 4)\). b) Die Abweichung beträgt ca. \(3{,}57\,\%\).

- Stell dir vor, du verschiebst die Gerade \(g\) parallel in Richtung der Parabel. Welchen Punkt berührt sie zuerst? - Die Steigung der Parabel erhältst du über die erste Ableitung. - Für den Abstand eines Punktes von einer Geraden gibt es eine spezielle Formel (Hesse-Normalform). - Alternativ kannst du die vertikale Differenz \(h(x) = f(x) - g(x)\) minimieren, um die Stelle zu finden, aber für den echten Abstand ist das Lot entscheidend.

1. Geometrische Begründung: Beim minimalen Abstand steht die kürzeste Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden und auf der Tangente an die Parabel. Daher sind Tangente und Gerade parallel. 2. Berechnung der Stelle mit paralleler Tangente: \(f(x) = 0{,}25x^2 + 2 \Rightarrow f'(x) = 0{,}5x\). Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = 0{,}5\). Gleichsetzen: \(0{,}5x = 0{,}5 \Rightarrow x = 1\). 3. Koordinaten von \(P\): \(f(1) = 0{,}25 \cdot 1^2 + 2 = 2{,}25\). Somit ist \(P(1 \mid 2{,}25)\). 4. Berechnung des Abstands: Verwende die Punkt-Gerade-Abstandsformel für \(P(1 \mid 2{,}25)\) und \(0{,}5x - y - 1 = 0\): \(d = \frac{|0{,}5 \cdot 1 - 2{,}25 - 1|}{\sqrt{0{,}5^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2{,}75|}{\sqrt{1{,}25}} = \frac{2{,}75}{\sqrt{1{,}25}} \approx 2{,}46\).

a) Beim minimalen Abstand steht die Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden und auf der Tangente an die Parabel. Daher sind Tangente und Gerade parallel. b) Der Punkt ist \(P(1 \mid 2{,}25)\). Der minimale Abstand beträgt \(d = \frac{2{,}75}{\sqrt{1{,}25}} \approx 2{,}46\) Längeneinheiten.