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- Welche Größe soll maximiert werden? Formuliere dafür eine Gleichung. - Welche Einschränkung gibt es durch die Zaunlänge? Achte darauf, dass eine Seite nicht eingezäunt werden muss. - Kannst du die zu maximierende Größe so ausdrücken, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Wie findet man mithilfe der Ableitung den höchsten Punkt einer Funktion?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = xy\), wobei \(x\) die Länge einer der beiden zum Stall senkrechten Seiten und \(y\) die Länge der parallelen Seite ist. 2. Aufstellen der Nebenbedingung über den Umfang (ohne Stallwand): \(2x + y = 60\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(y\): \(y = 60 - 2x\). 4. Einsetzen in die Hauptbedingung zur Bildung der Zielfunktion: \(A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(x) = 60 - 4x\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Ermittlung der Extremstelle: \(60 - 4x = 0 \implies x = 15\). 7. Überprüfung mittels der zweiten Ableitung: \(A''(x) = -4\). Da \(A''(15) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung der zweiten Seitenlänge: \(y = 60 - 2 \cdot 15 = 30\).

Die Seitenlängen des Geheges betragen \(15\,\text{m}\) (senkrecht zur Wand) und \(30\,\text{m}\) (parallel zur Wand).

- Überlege dir, wie die Breite des Blechs auf die drei Seiten des Querschnitts verteilt wird. - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man in der Analysis den höchsten Punkt einer Funktion? - Prüfe, ob dein Ergebnis im Kontext der ursprünglichen Blechbreite sinnvoll ist.

1. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang des Querschnitts (drei Seiten): \(2h + b = 24\), wobei \(b\) die Breite des Bodens ist. Umstellen nach \(b\): \(b = 24 - 2h\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): \(A(h) = hb = h(24 - 2h) = 24h - 2h^2\). 3. Bestimmung des Extremwertes durch Ableiten: \(A'(h) = 24 - 4h\). Nullsetzen der ersten Ableitung: \(24 - 4h = 0 \Rightarrow h = 6\). 4. Überprüfung des Maximums mit der zweiten Ableitung: \(A''(h) = -4\). Da \(A''(6) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 5. Ergebnis: Die optimale Höhe der Seitenwände beträgt \(6\,\text{cm}\).

Die Höhe der Seitenwände muss \(h = 6\,\text{cm}\) betragen.

- Überlege dir zuerst, wie die Gesamtlänge des Zauns mit den Seitenlängen des Rechtecks zusammenhängt, wenn eine Seite wegfällt. - Suche eine Gleichung für die Fläche, in der nur noch eine Variable vorkommt. - Welche Werte kann die Seitenlänge im Sachzusammenhang minimal und maximal annehmen? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für Extremstellen bei differenzierbaren Funktionen. - Warum ist es wichtig, auch die Werte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen?

1. Hauptbedingung: \(A(x, y) = xy\), wobei \(x\) die Seite parallel zur Wand und \(y\) die Seiten senkrecht zur Wand sind. Nebenbedingung: \(x + 2y = 60 \Rightarrow x = 60 - 2y\). Einsetzen in die Hauptbedingung ergibt die Zielfunktion \(A(y) = (60 - 2y)y = 60y - 2y^2\). Da die Seitenlängen nicht negativ sein können, gilt \(y \ge 0\) und \(60 - 2y \ge 0 \Rightarrow y \le 30\). Der Definitionsbereich ist \(D = [0; 30]\). 2. Ableitung bilden: \(A'(y) = 60 - 4y\). Nullstelle der ersten Ableitung: \(60 - 4y = 0 \Rightarrow y = 15\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(A''(y) = -4 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Die zugehörige Seite \(x\) ist \(x = 60 - 2 \cdot 15 = 30\). 3. Maximaler Flächeninhalt: \(A(15) = 30 \cdot 15 = 450\,\text{m}^2\). Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(30) = 0\). Da die Funktion stetig ist und der Wert an der Stelle \(y = 15\) größer als die Werte an den Rändern ist, handelt es sich um das absolute Maximum im betrachteten Intervall.

1. Zielfunktion: \(A(y) = 60y - 2y^2\); Definitionsbereich: \(D = [0; 30]\) 2. Die Seiten senkrecht zur Wand betragen \(y = 15\,\text{m}\), die Seite parallel zur Wand beträgt \(x = 30\,\text{m}\). 3. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(450\,\text{m}^2\). Da die Randwerte \(A(0) = 0\) und \(A(30) = 0\) kleiner als der lokale Extremwert sind, liegt ein absolutes Maximum vor.

- Wie berechnet man den Umfang eines Quadrats und das Volumen eines Quaders? - Nutze die Bedingung für die Summe aus Höhe und Umfang, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Denke beim Ableiten der Funktion an die Potenzregel. - Überprüfe dein Ergebnis für die Seitenlänge, indem du sicherstellst, dass die Höhe des Pakets dabei positiv bleibt.

1. Die Grundfläche ist quadratisch mit der Seitenlänge \(x\), also ist der Umfang \(U = 4x\). Die Nebenbedingung lautet \(h + 4x = 108\), woraus folgt \(h = 108 - 4x\). Das Volumen eines Quaders ist \(V = Gh = x^2h\). Einsetzen der Nebenbedingung ergibt \(V(x) = x^2(108 - 4x) = 108x^2 - 4x^3\). 2. Die erste Ableitung der Volumenfunktion ist \(V'(x) = 216x - 12x^2\). Nullsetzen ergibt \(12x(18 - x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (Minimum) und \(x_2 = 18\). Die zweite Ableitung ist \(V''(x) = 216 - 24x\). Einsetzen von \(x = 18\) ergibt \(V''(18) = 216 - 432 = -216 < 0\), also liegt ein Maximum vor. Die Höhe ist \(h = 108 - 4 \cdot 18 = 36\). 3. Das maximale Volumen berechnet sich zu \(V(18) = 18^2 \cdot 36 = 324 \cdot 36 = 11\,664\,\text{cm}^3\).

1. Nachweis über \(h = 108 - 4x\) und \(V = x^2h\). 2. Das Volumen wird maximal für eine Seitenlänge von \(x = 18\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 36\,\text{cm}\). 3. Das maximale Volumen beträgt \(11\,664\,\text{cm}^3\).

- Welche geometrische Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wie hängen Radius und Höhe zusammen, wenn das Volumen fest vorgegeben ist? - Stelle eine Formel für die gesamte Oberfläche auf und ersetze eine der Variablen. - Woran erkennt man mathematisch einen Tiefpunkt einer Funktion? - Überlege, wie du die berechnete Höhe mit dem Radius vergleichen kannst.

1. Aus \(\pi r^2h=15\) folgt \(h=\frac{15}{\pi r^2}\) für \(r>0\). 2. Die Oberfläche des geschlossenen Zylinders ist \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). Einsetzen der Nebenbedingung ergibt \(O(r)=2\pi r^2+\frac{30}{r}\). 3. Es ist \(O'(r)=4\pi r-\frac{30}{r^2}\). Aus \(O'(r)=0\) folgt \(4\pi r^3=30\), also \(r=\sqrt[3]{\frac{7{,}5}{\pi}}\approx1{,}3365\,\text{m}\). 4. Da \(O''(r)=4\pi+\frac{60}{r^3}>0\) für alle \(r>0\), ist \(O\) streng konvex. Außerdem gilt \(O(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\). Der einzige kritische Punkt ist daher das absolute Minimum. 5. Die zugehörige Höhe ist \(h=\frac{15}{\pi r^2}\approx2{,}6730\,\text{m}\). Aus \(r^3=\frac{7{,}5}{\pi}\) folgt \(h=\frac{15}{\pi r^2}=2r\). Somit entspricht die Höhe genau dem Durchmesser.

a) \(O(r)=2\pi r^2+\frac{30}{r}\) für \(r>0\) b) Absolutes Minimum bei \(r\approx1{,}34\,\text{m}\) und \(h\approx2{,}67\,\text{m}\) c) Im Minimum gilt \(h=2r\); die Höhe entspricht dem Durchmesser.

- Überlege dir zuerst, wie man die Oberfläche und das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche berechnet. - Kannst du eine der Variablen (Höhe oder Grundseite) durch die andere ausdrücken, wenn die Oberfläche fest vorgegeben ist? - Erstelle eine Funktion für das Volumen, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man den größten Wert, den diese Volumenfunktion annehmen kann? - Vergleiche diesen Maximalwert mit dem in der Aufgabe geforderten Volumen.

1. Aufstellen der Gleichung für den Oberflächeninhalt: \(O = 2x^2 + 4xh = 120\), wobei \(x\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Umformen nach \(h\): \(h = \frac{120 - 2x^2}{4x} = \frac{30}{x} - \frac{x}{2}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(x) = x^2h = x^2 \left(\frac{30}{x} - \frac{x}{2}\right) = 30x - 0{,}5x^3\). 4. Bestimmung des Extremums: \(V'(x) = 30 - 1{,}5x^2 = 0\) führt zu \(x^2 = 20\), also \(x = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{cm}\). Die zweite Ableitung \(V''(x) = -3x\) ist für \(x > 0\) negativ, es liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(\sqrt{20}) = 30\sqrt{20} - 0{,}5(\sqrt{20})^3 = 20\sqrt{20} = 40\sqrt{5} \approx 89{,}44\,\text{cm}^3\). 6. Vergleich: Der sinnvolle Definitionsbereich ist \(0<x<\sqrt{60}\). Dort ist \(V\) stetig, und es gilt \(V(x)\to 0\) für \(x\to 0^+\) sowie \(V(x)\to 0\) für \(x\to \sqrt{60}^{\,-}\). Da das Maximum etwa \(89{,}44\,\text{cm}^3\) beträgt und damit über \(80\,\text{cm}^3\) liegt, nimmt \(V\) nach dem Zwischenwertsatz auch den Wert \(80\,\text{cm}^3\) an.

Ja, ein solcher Behälter ist herstellbar, da das maximale Volumen bei der gegebenen Oberfläche etwa \(89{,}44\,\text{cm}^3\) beträgt und somit über dem geforderten Wert von \(80\,\text{cm}^3\) liegt.

- Welche Maße bestimmen die Fläche des Rechtecks und welche den gesamten Umfang? - Nutze die Umfangsvorgabe, um eine der Variablen durch die andere auszudrücken. - Achte darauf, dass nur an einer Seite ein Halbkreis angesetzt ist und die gegenüberliegende Seite des Rechtecks Teil des Umfangs ist. - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Flächenfunktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Fläche des Rechtecks: \(A(b, h) = bh\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang: \(U = b + 2h + \frac{\pi}{2}b = 200\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(2h = 200 - b(1 + \frac{\pi}{2}) \Rightarrow h = 100 - b(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion: \(A(b) = b(100 - b(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})) = 100b - (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})b^2\). 5. Ableiten der Zielfunktion nach \(b\): \(A'(b) = 100 - (1 + \frac{\pi}{2})b\). 6. Bestimmung des Extremums durch Nullsetzen der Ableitung: \(100 - (1 + \frac{\pi}{2})b = 0 \Rightarrow b = \frac{100}{1 + \frac{\pi}{2}} = \frac{200}{2 + \pi} \approx 38{,}91\,\text{m}\). 7. Berechnung der zugehörigen Länge \(h\): \(h = 100 - \frac{200}{2 + \pi} \cdot \frac{2 + \pi}{4} = 100 - 50 = 50\,\text{m}\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(b) = -(1 + \frac{\pi}{2}) < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor.

Die Breite des Spielfeldes beträgt \(b = \frac{200}{2 + \pi} \approx 38{,}91\,\text{m}\) und die Länge beträgt \(h = 50\,\text{m}\).

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen den drei Kantenlängen eines Quaders und seinem Volumen? - Wie lässt sich die Oberfläche eines geschlossenen Quaders aus seinen Kantenlängen zusammensetzen? - Kannst du eine Variable durch eine andere ausdrücken, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren? - Überlege dir, für welchen Wert der ersten Ableitung einer Funktion ein Extrempunkt vorliegen kann.

1. Aufstellen der Volumenbedingung mit Breite \(b\), Länge \(l = 2b\) und Höhe \(h\): \(V = 2b^2h = 72\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{36}{b^2}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für den Oberflächeninhalt \(O\): \(O(b, h) = 2 \cdot (2b \cdot b) + 2 \cdot (2b \cdot h) + 2 \cdot (b \cdot h) = 4b^2 + 6bh\). 4. Substitution der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(O(b) = 4b^2 + 6b\frac{36}{b^2} = 4b^2 + \frac{216}{b}\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(O'(b) = 8b - \frac{216}{b^2}\). 6. Nullstellenberechnung der ersten Ableitung: \(8b - \frac{216}{b^2} = 0 \implies 8b^3 = 216 \implies b^3 = 27 \implies b = 3\). 7. Überprüfung der zweiten Ableitung \(O''(b) = 8 + \frac{432}{b^3}\): Da \(O''(3) = 24 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 8. Berechnung der restlichen Maße: \(l = 2 \cdot 3 = 6\) und \(h = \frac{36}{3^2} = 4\).

Die Breite beträgt \(3\,\text{dm}\), die Länge \(6\,\text{dm}\) und die Höhe \(4\,\text{dm}\).

- Überlege dir zuerst, wie das Volumen des Inhalts mit dem Radius und der Füllhöhe zusammenhängt. - Wie hängen die Gesamthöhe der Dose und die Füllhöhe des Inhalts laut Text zusammen? - Die Oberfläche einer Dose besteht aus dem Mantel sowie zwei kreisförmigen Flächen (Boden und Deckel). - Ersetze die Höhe in deiner Oberflächenformel durch den Ausdruck, den du aus der Volumenbedingung erhalten hast. - Um ein Minimum zu finden, musst du die erste Ableitung der Zielfunktion gleich Null setzen.

1. Bestimmung der Nebenbedingung über das Volumen des Inhalts: \(V_{\text{Inhalt}} = \pi r^2h_{\text{Füll}} = 800\,\text{cm}^3\). Daraus folgt \(h_{\text{Füll}} = \frac{800}{\pi r^2}\). 2. Aufstellen der Beziehung für die Gesamthöhe: \(h = h_{\text{Füll}} + 2 = \frac{800}{\pi r^2} + 2\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche (Zylinder mit Boden und Deckel): \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h\). 4. Einsetzen von \(h\) in \(O(r)\): \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{800}{\pi r^2} + 2\right) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r} + 4\pi r\). 5. Ableiten der Zielfunktion zur Bestimmung des Extremums: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{1600}{r^2} + 4\pi\). 6. Nullsetzen der Ableitung: \(4\pi r - \frac{1600}{r^2} + 4\pi = 0 \implies 4\pi r^3 + 4\pi r^2 - 1600 = 0 \implies \pi r^3 + \pi r^2 - 400 = 0\). 7. Numerisches Lösen der Gleichung ergibt \(r \approx 4{,}72\,\text{cm}\). 8. Berechnung der zugehörigen Gesamthöhe: \(h = \frac{800}{\pi \cdot 4{,}72^2} + 2 \approx 13{,}44\,\text{cm}\). 9. Überprüfung der Art des Extremums mittels \(O''(r) = 4\pi + \frac{3200}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), somit liegt ein lokales Minimum vor.

a) \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r} + 4\pi r\) b) \(r \approx 4{,}72\,\text{cm}\); \(h \approx 13{,}44\,\text{cm}\)

- Stelle zuerst fest, wie groß der Durchmesser des Stammes ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seiten eines Rechtecks im Umkreis. - Für die Fläche und die Tragfähigkeit ergeben sich unterschiedliche Zielfunktionen. - Vergleiche am Ende die berechneten Werte der Tragfähigkeit für beide Balkenformen miteinander.

1. Nebenbedingung für den Durchmesser \(d = 60\,\text{cm}\): \(b^2 + h^2 = 3600\). 2. Lösung a (Fläche): Zielfunktion \(A(b) = b \cdot \sqrt{3600 - b^2}\). Die Ableitung \(A'(b) = \frac{3600 - 2b^2}{\sqrt{3600 - b^2}}\) liefert mit \(3600 - 2b^2 = 0\) das Ergebnis \(b = \sqrt{1800} \approx 42{,}43\,\text{cm}\). Da \(b=h\), handelt es sich um ein Quadrat mit \(b = h \approx 42{,}43\,\text{cm}\). 3. Lösung b (Tragfähigkeit): Zielfunktion \(T(b) = kb(3600 - b^2) = k(3600b - b^3)\). Die Ableitung \(T'(b) = k(3600 - 3b^2)\) liefert mit \(3b^2 = 3600\) die Breite \(b = \sqrt{1200} \approx 34{,}64\,\text{cm}\). Daraus folgt \(h = \sqrt{3600 - 1200} = \sqrt{2400} \approx 48{,}99\,\text{cm}\). 4. Lösung c (Vergleich): Berechnung der Tragfähigkeitswerte (ohne \(k\)). \(T_a = \sqrt{1800} \cdot 1800 \approx 76\,367{,}5\) und \(T_b = \sqrt{1200} \cdot 2400 \approx 83\,138{,}4\). Der prozentuale Unterschied berechnet sich durch \(\frac{T_b - T_a}{T_a} = \frac{83138{,}4 - 76367{,}5}{76367{,}5} \approx 0{,}0887\). Die Tragfähigkeit ist um ca. \(8{,}9\,\%\) höher.

a) Der flächengrößte Balken hat die Maße \(b \approx 42{,}43\,\text{cm}\) und \(h \approx 42{,}43\,\text{cm}\). b) Der tragfähigste Balken hat die Maße \(b \approx 34{,}64\,\text{cm}\) und \(h \approx 48{,}99\,\text{cm}\). c) Die Tragfähigkeit des optimalen Balkens ist um etwa \(8{,}9\,\%\) höher als die des quadratischen Balkens.

- Stelle zuerst die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte \(B\) und \(C\) verläuft. - Wie lässt sich die Länge der horizontalen Strecke \(DE\) durch den Wert \(k\) ausdrücken? - Mache dir klar, wie groß die Höhe des Dreiecks \(DEM\) ist, wenn die Grundseite \(DE\) auf der Höhe \(k\) liegt. - Spielt die genaue Position von \(M\) auf der Strecke \(AB\) eine Rolle für den Flächeninhalt?

1. Bestimmung der Geradengleichung für die Hypotenuse \(BC\): Mit den Punkten \(B(12|0)\) und \(C(0|6)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{6 - 0}{0 - 12} = -0{,}5\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 6\), also \(y = -0{,}5x + 6\). 2. Koordinaten der Punkte \(D\) und \(E\): Punkt \(D\) liegt auf der \(y\)-Achse bei \(y = k\), also \(D(0|k)\). Punkt \(E\) liegt auf \(BC\) bei \(y = k\): \(k = -0{,}5x + 6 \implies 0{,}5x = 6 - k \implies x = 12 - 2k\). Somit ist \(E(12 - 2k | k)\). 3. Aufstellen der Zielfunktion: Die Grundseite \(DE\) des Dreiecks \(DEM\) hat die Länge \(g = (12 - 2k) - 0 = 12 - 2k\). Die Höhe des Dreiecks bezüglich dieser Grundseite ist der vertikale Abstand von \(M\) zur Geraden \(y = k\), also \(h = k\). 4. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt ist \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot (12 - 2k) \cdot k = 6k - k^2\) für \(k \in (0; 6)\). 5. Optimierung: \(A'(k) = 6 - 2k\). Setze \(A'(k) = 0 \implies k = 3\). 6. Nachweis des Maximums: \(A''(k) = -2 < 0\), daher liegt ein lokales Maximum vor. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist es das globale Maximum im betrachteten Intervall.

Die Strecke \(DE\) muss in der Höhe \(k = 3\) gezeichnet werden.

- Kannst du eine Beziehung zwischen dem Radius und der Höhe des Zylinders finden, wenn du dir den Querschnitt des Kegels ansiehst? - Welche geometrischen Sätze helfen dir, Verhältnisse von Längen in ähnlichen Dreiecken zu beschreiben? - Welche Variable eignet sich am besten als Unbekannte für deine Zielfunktion? - Vergiss nicht, am Ende das berechnete Volumen des Zylinders durch das Volumen des Kegels zu teilen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen des Zylinders: \(V = \pi r^2 h\). 2. Verwendung des Strahlensatzes im Querschnitt des Kegels zur Aufstellung der Nebenbedingung: \(\frac{h}{H} = \frac{R - r}{R}\), woraus \(h = H \cdot (1 - \frac{r}{R})\) folgt. 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2 \cdot H \cdot (1 - \frac{r}{R}) = \pi H (r^2 - \frac{r^3}{R})\). 4. Bestimmen des Maximums durch Ableiten nach \(r\): \(V'(r) = \pi H (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0\). Die für das Problem relevante Lösung ist \(r = \frac{2}{3}R\). 5. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = H \cdot (1 - \frac{\frac{2}{3}R}{R}) = \frac{1}{3}H\). 6. Berechnung des Volumenanteils: Das maximale Zylindervolumen beträgt \(V_{Zyl} = \pi (\frac{2}{3}R)^2 \cdot \frac{1}{3}H = \frac{4}{27} \pi R^2 H\). Da das Kegelvolumen \(V_{Keg} = \frac{1}{3} \pi R^2 H\) ist, ergibt sich der Anteil zu \(\frac{V_{Zyl}}{V_{Keg}} = \frac{4/27}{1/3} = \frac{4}{9}\).

a) Das Volumen wird maximal für \(r = \frac{2}{3}R\) und \(h = \frac{1}{3}H\). b) Der Zylinder nimmt maximal den Anteil \(\frac{4}{9}\) (ca. \(44{,}4\,\%\)) des Kegelvolumens ein.

- Überlege dir, wie der Radius des Rotationskörpers mit der Höhe des Dreiecks zusammenhängt. - Wie berechnet man das Volumen von zwei Kegeln, die an ihrer Grundfläche zusammengesetzt sind? - Nutze den Satz des Pythagoras, um eine Beziehung zwischen den beiden Katheten herzustellen. - Kannst du die Zielfunktion vereinfachen, indem du ein Quadrat einer Variablen ersetzt?

1. Zusammenhang der Katheten über den Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = 12^2 = 144\). 2. Der Radius \(r\) des Doppelkegels entspricht der Höhe \(h_c\) des Dreiecks auf der Hypotenuse: \(r = \frac{ab}{c} = \frac{ab}{12}\). 3. Das Volumen des Doppelkegels setzt sich aus zwei Einzelkegeln zusammen: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 c = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{ab}{12}\right)^2 \cdot 12 = \frac{\pi}{36} a^2 b^2\). 4. Ersetzen von \(b^2\) durch \(144 - a^2\) ergibt die Zielfunktion \(V(a) = \frac{\pi}{36} a^2 (144 - a^2)\). 5. Substitution \(x = a^2\) führt auf \(f(x) = \frac{\pi}{36} (144x - x^2)\). Die Ableitung \(f'(x) = \frac{\pi}{36} (144 - 2x)\) liefert die Extremstelle bei \(x = 72\). 6. Daraus folgen die Kathetenlängen \(a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\,\text{cm}\) und \(b = \sqrt{144 - 72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\,\text{cm}\). 7. Das maximale Volumen beträgt \(V = \frac{\pi}{36} \cdot 72 \cdot 72 = 144\pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^3\).

a) Das Volumen wird maximal für \(a = b = 6\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 8{,}49\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt \(144\pi\,\text{cm}^3 \approx 452{,}39\,\text{cm}^3\).

- Stelle dir vor, wie sich die Länge, Breite und Höhe der Schachtel verändern, wenn du die Quadrate an den Ecken größer oder kleiner machst. - Welche Werte für die Seitenlänge der Quadrate sind überhaupt sinnvoll? - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung der Volumenfunktion null ist.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(x) = (48 - 2x) \cdot (30 - 2x) \cdot x\). 2. Vereinfachen der Funktion: \(V(x) = (1440 - 96x - 60x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 156x^2 + 1440x\). 3. Bestimmen des Definitionsbereichs: Da die Seitenlängen positiv sein müssen, gilt \(2x < 30\), also \(0 < x < 15\). 4. Berechnen der ersten Ableitung: \(V'(x) = 12x^2 - 312x + 1440\). 5. Notwendige Bedingung \(V'(x) = 0\): \(12(x^2 - 26x + 120) = 0\). Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 20\). 6. Abgleich mit dem Definitionsbereich: Nur \(x = 6\) liegt im Intervall \((0; 15)\). 7. Hinreichende Bedingung prüfen: \(V''(x) = 24x - 312\). Einsetzen ergibt \(V''(6) = 24 \cdot 6 - 312 = 144 - 312 = -168 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(6) = (48 - 12) \cdot (30 - 12) \cdot 6 = 36 \cdot 18 \cdot 6 = 3888\).

Die Seitenlänge der Quadrate muss \(x = 6\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen der Schachtel ist \(3888\,\text{cm}^3\).

- Was ist hier die Größe, die maximiert werden soll, und welche Größe ist fest vorgegeben? - Stelle eine Gleichung für die Oberfläche eines geschlossenen Quaders mit quadratischer Grundfläche auf. - Wie kannst du die Höhe eliminieren, um das Volumen nur noch in Abhängigkeit von der Grundseite darzustellen? - An welchem Punkt der Kurve erreicht das Volumen seinen höchsten Wert?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V\): \(V = a^2h\), wobei \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Aufstellen der Nebenbedingung über die Oberfläche \(O\): \(O = 2a^2 + 4ah = 150\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(4ah = 150 - 2a^2 \Rightarrow h = \frac{150 - 2a^2}{4a} = \frac{37{,}5}{a} - 0{,}5a\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion: \(V(a) = a^2\left(\frac{37{,}5}{a} - 0{,}5a\right) = 37{,}5a - 0{,}5a^3\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(a) = 37{,}5 - 1{,}5a^2\). 6. Nullsetzen der ersten Ableitung: \(37{,}5 - 1{,}5a^2 = 0 \Rightarrow 1{,}5a^2 = 37{,}5 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\) (da \(a > 0\)). 7. Überprüfung des Extremums mit der zweiten Ableitung \(V''(a) = -3a\): Da \(V''(5) = -15 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{150 - 2 \cdot 5^2}{4 \cdot 5} = \frac{150 - 50}{20} = 5\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(5\,\text{cm}\) und die Höhe beträgt ebenfalls \(5\,\text{cm}\) (der Karton ist also ein Würfel).

- Was genau soll minimiert werden und welche Größe ist konstant? - Kannst du eine der Variablen durch die andere ausdrücken, indem du die Volumenformel nutzt? - Wie sieht die Funktion aus, wenn sie nur noch von einer Variablen abhängt? - Erinnerst du dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Tiefpunkten einer Funktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche: \(O(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = \pi r^2 h\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Zielfunktion: \(O(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r\frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}\). 6. Nullsetzen der ersten Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(4\pi r = \frac{2V}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{V}{2\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). 7. Überprüfung der zweiten Ableitung \(O''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0\) für \(r > 0\) bestätigt das Minimum. 8. Berechnung der Höhe \(h\): \(h = \frac{V}{\pi (\frac{V}{2\pi})^{\frac{2}{3}}} = \frac{V(2\pi)^{\frac{2}{3}}}{\pi V^{\frac{2}{3}}} = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). 9. Ergebnis: Der Radius beträgt \(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\) und die Höhe \(h = 2r = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\).

Die Oberfläche ist minimal für \(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\) und \(h = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\). Das bedeutet, die Höhe des Zylinders entspricht genau seinem Durchmesser.

- Stell dir die Schachtel ohne Deckel vor – wie viele Flächen hat sie? - Nutze das feste Volumen, um die Höhe durch die Grundseite zu ersetzen. - Überlege dir, wie du das Verhältnis \(a{:}h\) am Ende isolieren kannst. - Welche Bedingungen müssen für ein Minimum erfüllt sein?

1. Definition der Zielfunktion für die Oberfläche: \(A(a, h) = a^2 + 4ah\) (Boden plus vier Seitenflächen). 2. Definition der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = a^2 h\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{V}{a^2}\). 4. Substitution in die Zielfunktion: \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{V}{a^2} = a^2 + \frac{4V}{a}\). 5. Ableiten der Funktion: \(A'(a) = 2a - \frac{4V}{a^2}\). 6. Bestimmung der Extremstelle durch \(A'(a) = 0\): \(2a = \frac{4V}{a^2} \Rightarrow a^3 = 2V \Rightarrow a = \sqrt[3]{2V}\). 7. Nachweis des Minimums: \(A''(a) = 2 + \frac{8V}{a^3} > 0\) für \(a > 0\). 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{V}{(\sqrt[3]{2V})^2} = \frac{V}{2^{\frac{2}{3}} V^{\frac{2}{3}}} = \frac{V^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{2V}\). 9. Vergleich von \(a\) und \(h\): \(a = \sqrt[3]{2V}\) und \(h = \frac{1}{2}a\). 10. Das Verhältnis ist \(a{:}h = 2{:}1\).

Der Materialverbrauch ist minimal, wenn die Seitenlänge der Grundfläche \(a\) doppelt so groß ist wie die Höhe \(h\). Das Verhältnis beträgt somit \(a{:}h = 2{:}1\).

- Welche Größe soll in dieser Aufgabe maximal werden? Formuliere dafür eine Formel. - Wie hängen die Längen der Zaunstücke mit der Gesamtlänge des Drahtes zusammen? - Kannst du eine der Variablen in deiner Flächenformel durch die andere ersetzen? - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Kurve? - Hast du geprüft, ob dein Ergebnis tatsächlich ein Maximum und kein Minimum ist?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = xy\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Zaunlänge: \(3x + y = 120\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(y\): \(y = 120 - 3x\). 4. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen in die Hauptbedingung: \(A(x) = x(120 - 3x) = 120x - 3x^2\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(A'(x) = 120 - 6x\). 6. Bestimmen der Nullstelle der ersten Ableitung: \(120 - 6x = 0 \Rightarrow x = 20\). 7. Überprüfung der Maximaleigenschaft mit der zweiten Ableitung: \(A''(x) = -6\). Da \(A''(20) = -6 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 8. Berechnung der zugehörigen Länge \(y\): \(y = 120 - 3 \cdot 20 = 60\). Die optimalen Maße sind \(x = 20\,\text{m}\) und \(y = 60\,\text{m}\). 9. Da \(A(x)=120x-3x^2\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist die gefundene Extremstelle im sachgerechten Definitionsbereich das globale Maximum.

Die Gesamtfläche wird maximal für die Maße \(x = 20\,\text{m}\) und \(y = 60\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken der Zaun besteht und wie diese mit den Seitenlängen des Rechtecks zusammenhängen. - Welche Information im Text beschreibt eine feste Größe, die du als Bedingung nutzen kannst? - Versuche, eine Formel für die Größe aufzustellen, die minimal werden soll, und ersetze eine der Variablen mithilfe der festen Größe. - Wie findet man rechnerisch den kleinsten Wert einer Funktion?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Zaunlänge \(L\): Sei \(x\) die Länge einer der beiden zur Mauer senkrechten Seiten und \(y\) die Länge der zur Mauer parallelen Seite. Dann gilt \(L(x, y) = 2x + y\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung über den Flächeninhalt: \(A = xy = 18\), woraus folgt \(y = \frac{18}{x}\). 3. Bilden der Zielfunktion in Abhängigkeit von einer Variablen: \(L(x) = 2x + \frac{18}{x}\) für \(x > 0\). 4. Bestimmung der Ableitung: \(L'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}\). 5. Suche nach der Extremstelle durch Nullsetzen der Ableitung: \(2 - \frac{18}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\) (da \(x > 0\)). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(L''(x) = \frac{36}{x^3}\). Da \(L''(3) = \frac{36}{27} > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der zweiten Seite: \(y = \frac{18}{3} = 6\). Das Gehege muss somit \(3\,\text{m}\) tief (senkrecht zur Mauer) und \(6\,\text{m}\) breit (parallel zur Mauer) sein.

Die zur Mauer senkrechten Seiten müssen \(3\,\text{m}\) lang sein und die zur Mauer parallele Seite muss \(6\,\text{m}\) lang sein.

- Skizziere im Kopf oder auf Papier, wie das Blech nach dem Ausschneiden der Ecken aussieht. - Wie hängen die Maße des Schachtelbodens und die Höhe der Schachtel von der Länge \(x\) ab? - Stelle eine Funktion für das Volumen in Abhängigkeit von \(x\) auf. - In welchem Bereich muss \(x\) liegen, damit überhaupt eine Schachtel entstehen kann? - Nutze die Ableitungsregeln, um das Maximum der Volumenfunktion zu finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: Das Volumen einer Schachtel ist \(V = \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}\). Nach dem Ausschneiden der Ecken hat der Boden die Seitenlängen \(24 - 2x\) und die Höhe der Schachtel ist \(x\). 2. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(x) = (24 - 2x)^2 \cdot x = (576 - 96x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 96x^2 + 576x\). 3. Festlegen des Definitionsbereichs: Da die Seitenlängen positiv sein müssen, gilt \(0 < x < 12\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(x) = 12x^2 - 192x + 576\). 5. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(12x^2 - 192x + 576 = 0 \implies x^2 - 16x + 48 = 0\). Anwendung der p-q-Formel liefert \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 12\). 6. Überprüfung der Extremstelle: Da \(x_2 = 12\) am Rand des Abschlusses des Definitionsbereichs liegt (Volumen wäre 0), wird \(x_1 = 4\) untersucht. Zweite Ableitung: \(V''(x) = 24x - 192\). \(V''(4) = 96 - 192 = -96 < 0\), also liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(4) = (24 - 2 \cdot 4)^2 \cdot 4 = 16^2 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024\).

Die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate muss \(x = 4\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen der Schachtel ist \(1024\,\text{cm}^3\).

- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Beet zusammen? - Welche Teilstücke der Ränder bilden zusammen den gesamten Umfang? - Kannst du eine der Variablen durch die Umfangsgleichung ausdrücken und in die Flächenformel einsetzen? - Wie findet man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Überprüfe am Ende, ob deine Maße für das Rechteck und den Halbkreis sinnvoll sind.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Die Gesamtfläche setzt sich aus dem Rechteck \(bl\) und dem Halbkreis \(\frac{1}{2} \pi (\frac{b}{2})^2\) zusammen: \(A(b, l) = bl + \frac{\pi b^2}{8}\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang \(U\): Die Begrenzung besteht aus einer Rechteckseite \(b\), zwei Seiten der Länge \(l\) und dem Halbkreisbogen \(\frac{1}{2} \pi b\). Es gilt: \(b + 2l + \frac{\pi b}{2} = 10\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(l\): \(l = 5 - \frac{b}{2} - \frac{\pi b}{4}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: \(A(b) = b(5 - \frac{b}{2} - \frac{\pi b}{4}) + \frac{\pi b^2}{8} = 5b - \frac{b^2}{2} - \frac{\pi b^2}{8}\). 5. Bestimmung des Maximums durch Ableiten: \(A'(b) = 5 - b - \frac{\pi}{4} b\). Nullsetzen liefert \(b = \frac{5}{1 + \frac{\pi}{4}} = \frac{20}{4 + \pi} \approx 2{,}80\,\text{m}\). 6. Berechnung der Länge \(l\): Einsetzen von \(b\) in die umgeformte Nebenbedingung ergibt \(l = \frac{10}{4 + \pi} \approx 1{,}40\,\text{m}\). Wegen \(A''(b) = -(1 + \frac{\pi}{4}) < 0\) handelt es sich um ein Maximum.

Die Breite des Rechtecks beträgt \(b = \frac{20}{4 + \pi} \approx 2{,}80\,\text{m}\) und die Länge der Seiten beträgt \(l = \frac{10}{4 + \pi} \approx 1{,}40\,\text{m}\).

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Breite \(x\) und der Höhe \(y\) des Rechtecks? - In welchem Bereich darf sich der Punkt \((x|y)\) auf der schrägen Kante bewegen? - Wie lautet die Funktion für den Flächeninhalt, wenn du \(y\) durch den gegebenen Funktionsterm ersetzt? - Hast du nach dem Finden des Extremwerts auch die Ränder des Definitionsbereichs überprüft?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x, y) = xy\). 2. Einsetzen der Nebenbedingung \(y = -0{,}5x + 13\) in die Zielfunktion: \(A(x) = x(-0{,}5x + 13) = -0{,}5x^2 + 13x\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs für \(x\): Die Schnittkante existiert für \(6 \le x \le 16\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = -x + 13\). 5. Berechnen der Nullstelle der ersten Ableitung: \(-x + 13 = 0 \Rightarrow x = 13\). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(x) = -1 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der zugehörigen Koordinate \(y = -0{,}5 \cdot 13 + 13 = 6{,}5\). 8. Vergleich mit den Randwerten: \(A(6) = 6 \cdot 10 = 60\), \(A(16) = 16 \cdot 5 = 80\), \(A(13) = 13 \cdot 6{,}5 = 84{,}5\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 13\).

Die optimalen Seitenlängen sind \(x = 13\,\text{dm}\) und \(y = 6{,}5\,\text{dm}\).

- Drücke die Kosten als Funktion der Oberfläche aus und berücksichtige dabei die Gewichtung der verschiedenen Flächen. - Nutze das gegebene Volumen, um eine der beiden Variablen (\(x\) oder \(h\)) zu eliminieren. - Suche das Minimum der entstandenen Funktion mithilfe der Ableitung. - Achte darauf, dass die Grundfläche quadratisch ist, was die Formeln vereinfacht.

1. Sei \(c\) der Kostensatz der Seitenflächen in \(\text{€}/\text{m}^2\). Da \(x\) und \(h\) in Dezimetern angegeben werden, müssen die Flächen durch \(100\) geteilt werden. Für Boden und Deckel gilt der doppelte Kostensatz. Damit ist \(K = \frac{c}{100}(4x^2 + 4xh)\). Der positive konstante Faktor \(\frac{c}{100}\) beeinflusst die Lage des Minimums nicht. Daher genügt es, \(F(x,h)=4x^2+4xh\) zu minimieren. 2. Nebenbedingung: \(x^2h=54\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h=\frac{54}{x^2}\). 4. Einsetzen ergibt \(F(x)=4x^2+\frac{216}{x}\) für \(x>0\). 5. Es ist \(F'(x)=8x-\frac{216}{x^2}\). 6. Aus \(F'(x)=0\) folgt \(8x^3=216\), also \(x=3\). 7. Da \(F''(x)=8+\frac{432}{x^3}>0\) für \(x>0\), liegt ein Minimum vor. 8. Die Höhe beträgt \(h=\frac{54}{3^2}=6\). 9. Somit gilt \(x=3\,\text{dm}\) und \(h=6\,\text{dm}\).

Die Materialkosten sind minimal, wenn die Grundseite \(x = 3\,\text{dm}\) (bzw. \(30\,\text{cm}\)) und die Höhe \(h = 6\,\text{dm}\) (bzw. \(60\,\text{cm}\)) beträgt.

- Stelle zuerst eine Formel für den Umfang auf, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - Wie hängen die Seitenlängen in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse zusammen? - Die Lichtmenge ist proportional zur Fläche und zum Transmissionsgrad (1 minus Absorptionsgrad). - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein berechneter Wert tatsächlich ein Maximum liefert.

1. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang: Mit der Hypotenuse \(x\) sind die Katheten des Dreiecks \(s = \frac{x}{\sqrt{2}}\). Der Umfang ist \(U = x + 2y + 2s = x + 2y + \sqrt{2}x = 8\). Umgestellt nach \(y\) ergibt sich \(y = 4 - \frac{1+\sqrt{2}}{2}x\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Lichttransmission \(L\): Die Flächeninhalte sind \(A_R = xy\) und \(A_D = \frac{1}{2}s^2 = \frac{1}{4}x^2\). Die Transmission beträgt \(L(x) = 0{,}9 \cdot A_R + 0{,}6 \cdot A_D\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung: \(L(x) = 0{,}9x(4 - \frac{1+\sqrt{2}}{2}x) + 0{,}6 \cdot \frac{1}{4}x^2 = 3{,}6x - (0{,}45 + 0{,}45\sqrt{2} - 0{,}15)x^2 = 3{,}6x - (0{,}3 + 0{,}45\sqrt{2})x^2\). 4. Bestimmung des Extremums: Die Ableitung \(L'(x) = 3{,}6 - (0{,}6 + 0{,}9\sqrt{2})x\) wird null gesetzt. Dies führt zu \(x = \frac{3{,}6}{0{,}6 + 0{,}9\sqrt{2}} \approx 1{,}92\,\text{m}\). 5. Berechnung von \(y\): Durch Einsetzen von \(x\) in die Umfangsformel erhält man \(y \approx 1{,}68\,\text{m}\). Die zweite Ableitung \(L''(x) = -(0{,}6 + 0{,}9\sqrt{2}) < 0\) bestätigt das Maximum.

Die Breite beträgt etwa \(x \approx 1{,}92\,\text{m}\) und die Höhe etwa \(y \approx 1{,}68\,\text{m}\).

- Welche geometrische Bedingung muss erfüllt sein? Nutze diese, um eine Variable zu eliminieren. - Stelle eine Funktion für die Gesamtkosten auf, die nur noch von einer Variable abhängt. - Beachte, dass die Box oben offen ist und somit nur eine Grundfläche berechnet werden muss. - Verwende die Ableitungsregeln für Potenzen, auch für den Term im Nenner.

1. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = x^2h = 6\), woraus folgt \(h = \frac{6}{x^2}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Kosten \(K\): Die Kosten setzen sich aus der Bodenfläche (\(12x^2\)) und den vier Seitenflächen (\(4 \cdot 8 \cdot x \cdot h\)) zusammen. Es gilt \(K(x, h) = 12x^2 + 32xh\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(K(x) = 12x^2 + 32x \cdot \frac{6}{x^2} = 12x^2 + \frac{192}{x}\). 4. Bestimmung des Minimums: Die erste Ableitung \(K'(x) = 24x - \frac{192}{x^2}\) wird null gesetzt. Dies führt zu \(24x^3 = 192\), also \(x^3 = 8\), woraus \(x = 2\,\text{m}\) folgt. 5. Berechnung der Höhe: Mit \(x = 2\) ergibt sich \(h = \frac{6}{2^2} = 1{,}5\,\text{m}\). Die zweite Ableitung \(K''(x) = 24 + \frac{384}{x^3}\) ist für positive \(x\) immer positiv, was das Kostenminimum bestätigt.

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(x = 2\,\text{m}\) und die Höhe der Box beträgt \(h = 1{,}5\,\text{m}\).

- Nutze den Strahlensatz in einer Querschnittszeichnung des Kegels, um eine Beziehung zwischen den Radien und Höhen herzustellen. - Überlege dir, welche Größen konstant (Parameter) und welche variabel sind. - Die Mantelfläche eines Zylinders berechnet sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe. - Für den Anteil am Ende benötigst du die Formel für die Mantelfläche eines Kegels und den Satz des Pythagoras.

1. Aus dem Strahlensatz folgt die Beziehung zwischen Zylinderradius \(r\) und Zylinderhöhe \(h\): \(\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H}\), woraus \(r = R(1 - \frac{h}{H})\) resultiert. Die Mantelfläche des Zylinders ist \(M(h) = 2\pi rh = 2\pi R(1 - \frac{h}{H})h = 2\pi R(h - \frac{h^2}{H})\). 2. Zur Bestimmung des Extremums wird die Ableitung \(M'(h) = 2\pi R(1 - \frac{2h}{H})\) gebildet und nullgesetzt. Dies liefert \(1 - \frac{2h}{H} = 0\), also \(h = \frac{1}{2}H\). Da \(M''(h) = -\frac{4\pi R}{H} < 0\), liegt ein Maximum vor. 3. Für \(R = 5\) und \(H = 12\) ist die Mantellinie des Kegels \(s = \sqrt{R^2 + H^2} = 13\,\text{cm}\). Die Kegelmantelfläche beträgt \(M_{\text{Kegel}} = \pi Rs = 65\pi\,\text{cm}^2\). Mit \(h = 6\,\text{cm}\) ergibt sich \(r = 2{,}5\,\text{cm}\) und \(M_{\text{Zylinder}} = 2\pi \cdot 2{,}5 \cdot 6 = 30\pi\,\text{cm}^2\). Der Anteil beträgt \(\frac{30\pi}{65\pi} = \frac{6}{13} \approx 46{,}2\,\%\).

1. \(M(h) = 2\pi R(h - \frac{h^2}{H})\) 2. \(h = \frac{1}{2}H\) 3. Der Anteil beträgt \(\frac{6}{13} \approx 46{,}2\,\%\).

- Stelle zuerst eine Gleichung für das Volumen auf, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Überlege dir, wie sich die Gesamtkosten aus den Flächeninhalten des Bodens und der vier Seitenwände zusammensetzen. - Beachte den Kostenfaktor für das Bodenmaterial beim Aufstellen der Zielfunktion. - Wie findet man rechnerisch die Stelle, an der eine Funktion ihren kleinsten Wert annimmt? - Achte bei den Einheiten darauf, dass Liter in Kubikdezimeter umgerechnet werden können.

1. Aufstellen der Volumenformel für einen Quader mit quadratischer Grundfläche: \(V = a^2h = 32\,\text{dm}^3\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{32}{a^2}\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\). Da der Boden doppelt so teuer ist, gilt mit dem Kostensatz \(k\) für die Seitenwände: \(K(a) = 2ka^2 + 4kah\). Da \(k\) ein konstanter Faktor ist, minimiert man \(f(a) = 2a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = 2a^2 + \frac{128}{a}\). 4. Ableitung bilden: \(f'(a) = 4a - \frac{128}{a^2}\). 5. Nullstelle der Ableitung bestimmen: \(4a - \frac{128}{a^2} = 0 \Leftrightarrow 4a^3 = 128 \Leftrightarrow a^3 = 32 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}175\). 6. Überprüfung der Art des Extrempunktes: \(f''(a) = 4 + \frac{256}{a^3}\). Da \(f''(3{,}175) > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{32}{(\sqrt[3]{32})^2} = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}175\). Die Maße sind \(a \approx 31{,}7\,\text{cm}\) und \(h \approx 31{,}7\,\text{cm}\).

Die Kosten werden minimal für eine Seitenlänge von \(a = \sqrt[3]{32}\,\text{dm} \approx 31{,}7\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = \sqrt[3]{32}\,\text{dm} \approx 31{,}7\,\text{cm}\).

- Zeichne das Dreieck und das Rechteck in ein Koordinatensystem oder fertige eine Skizze an. - Nutze den Strahlensatz, um eine Beziehung zwischen der Breite \(a\) und der Höhe \(b\) des Rechtecks herzustellen. - Welche Funktion beschreibt die Fläche, die du maximieren möchtest? - Wie gehst du vor, um den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel zu finden?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(a, b) = ab\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes oder der Ähnlichkeit von Dreiecken: \(\frac{b}{9} = \frac{12 - a}{12}\) (Verhältnis der Höhe des kleinen abgeschnittenen Dreiecks oben zur Gesamthöhe entspricht dem Verhältnis der Basen). 3. Umformen der Nebenbedingung: \(b = 9(1 - \frac{a}{12}) = 9 - \frac{3}{4}a\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(A(a) = a(9 - \frac{3}{4}a) = 9a - \frac{3}{4}a^2\). 5. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(a) = 9 - \frac{3}{2}a\). 6. Nullstelle der Ableitung finden: \(9 - \frac{3}{2}a = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}a = 9 \Rightarrow a = 6\,\text{cm}\). 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(b = 9 - \frac{3}{4} \cdot 6 = 4{,}5\,\text{cm}\). 8. Da \(A''(a) = -1{,}5 < 0\), handelt es sich um ein Maximum.

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird maximal, wenn die Seitenlänge auf der Basis \(a = 6\,\text{cm}\) und die Höhe des Rechtecks \(b = 4{,}5\,\text{cm}\) beträgt.

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Kegels? - Wie hängen der Radius der Grundfläche, die Höhe und die Mantellinie in einem Kegel zusammen? - Kannst du eine der Variablen in der Volumenformel durch die andere ausdrücken, indem du die feste Länge der Mantellinie nutzt? - Überlege dir, für welchen Bereich der Höhe das Problem physikalisch sinnvoll ist.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für das Volumen des Kegels: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung unter Verwendung des Satzes des Pythagoras im Kegelquerschnitt: \(r^2 + h^2 = s^2\). Mit \(s = 12\,\text{cm}\) folgt \(r^2 = 144 - h^2\). 3. Aufstellen der Zielfunktion durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung: \(V(h) = \frac{1}{3} \pi (144 - h^2) \cdot h = \frac{1}{3} \pi (144h - h^3)\). 4. Bestimmung des Extremums durch Ableiten der Zielfunktion: \(V'(h) = \frac{1}{3} \pi (144 - 3h^2)\). Nullsetzen von \(V'(h)\) führt zu \(144 - 3h^2 = 0\), woraus \(h^2 = 48\) und somit \(h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{cm}\) folgt. 5. Überprüfung des Maximums: \(V''(h) = -2\pi h\). Da \(V''(4\sqrt{3}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 6. Berechnung des zugehörigen Radius: \(r = \sqrt{144 - 48} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80\,\text{cm}\).

Der Radius beträgt \(r = 4\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 9{,}80\,\text{cm}\) und die Höhe beträgt \(h = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Form hat die Dose und welche Formeln für Volumen und Oberfläche kennst du? - Wie kannst du eine der Variablen (Radius oder Höhe) durch die andere ersetzen, indem du das feste Volumen nutzt? - Was muss für die Steigung der Oberflächenfunktion an einem Tiefpunkt gelten? - Überlege dir, welche Faktoren außer dem Materialverbrauch für einen Hersteller wichtig sein könnten.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für die Oberfläche: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 800 \implies h = \frac{800}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung zur Zielfunktion: \(O(r) = 2\pi r^2 + \frac{1600}{r}\). 4. Bestimmung der Ableitung: \(O'(r) = 4\pi r - \frac{1600}{r^2}\). 5. Nullsetzen der Ableitung: \(4\pi r^3 = 1600 \implies r^3 = \frac{400}{\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}} \approx 5{,}03\,\text{cm}\). 6. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{800}{\pi \cdot (\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}})^2} = 2\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}} \approx 10{,}06\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(O''(r) = 4\pi + \frac{3200}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), also liegt ein Minimum vor. 8. Mögliche Gründe für Abweichungen: Stapelbarkeit im Regal, optische Wirkung (schmälere Dosen wirken größer), Handhabung (Greifbarkeit) oder Verschnittoptimierung bei der Blechverarbeitung.

a) Der Radius beträgt ca. \(5{,}03\,\text{cm}\) und die Höhe ca. \(10{,}06\,\text{cm}\). b) Mögliche Gründe sind unter anderem die Stapelbarkeit, die bessere Handhabung für den Konsumenten oder produktionstechnische Gründe wie die Minimierung von Verschnitt beim Ausschneiden der Bleche.

- Überlege dir, wie die Breite des Rechtecks mit der \(x\)-Koordinate eines Punktes auf der Parabel zusammenhängt, wenn das Rechteck symmetrisch zur Achse liegt. - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie findet man in der Analysis den größten Wert einer Funktion? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Da das Rechteck symmetrisch zur \(y\)-Achse liegt, hat es die Breite \(2x\) und die Höhe \(f(x)\). Somit gilt \(A(x) = 2x \cdot (-0{,}5x^2 + 6) = -x^3 + 12x\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = -3x^2 + 12\). 3. Bestimmung der Extremstellen: \(A'(x) = 0 \Rightarrow -3x^2 + 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4\). Da \(x > 0\) sein muss, folgt \(x = 2\). 4. Überprüfung des Maximums: \(A''(x) = -6x\). Da \(A''(2) = -12 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung der Abmessungen: Die Breite ist \(b = 2 \cdot 2 = 4\,\text{m}\). Die Höhe ist \(h = f(2) = -0{,}5 \cdot 2^2 + 6 = 4\,\text{m}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A(2) = 4 \cdot 4 = 16\,\text{m}^2\).

Die Breite des Rechtecks beträgt \(4\,\text{m}\), die Höhe beträgt \(4\,\text{m}\) und der maximale Flächeninhalt ist \(16\,\text{m}^2\).

- Skizziere die Situation im Koordinatensystem, um die Seitenlängen des Rechtecks zu identifizieren. - Welche Variable bestimmt die Höhe des Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf der Kurve liegt? - Nutze die erste Ableitung der Flächenfunktion, um die optimale Breite zu finden. - Achte auf die Einheiten in deiner finalen Antwort.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Das Rechteck hat die Seitenlängen \(x\) und \(y = f(x)\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = x \cdot (75 - 0{,}01x^2) = 75x - 0{,}01x^3\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 75 - 0{,}03x^2\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte: \(A'(x) = 0 \Rightarrow 0{,}03x^2 = 75 \Rightarrow x^2 = 2500 \Rightarrow x = 50\) (da \(x > 0\)). 4. Nachweis des Maximums: \(A''(x) = -0{,}06x\). Da \(A''(50) = -3 < 0\), handelt es sich um ein Maximum. 5. Berechnung der Seitenlängen: Die erste Seite ist \(x = 50\,\text{cm}\). Die zweite Seite ist \(y = f(50) = 75 - 0{,}01 \cdot 50^2 = 75 - 25 = 50\,\text{cm}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 50 \cdot 50 = 2500\,\text{cm}^2\).

Die Seitenlängen der Platte betragen jeweils \(50\,\text{cm}\) (es handelt sich um ein Quadrat). Der maximale Flächeninhalt ist \(2500\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir zuerst, wie man das Volumen eines Zylinders berechnet und welche Größen darin vorkommen. - Wie hängen der Umfang und der Radius eines Kreises zusammen? - Du hast eine Bedingung für die Summe aus Länge und Umfang gegeben. Nutze diese, um eine der Variablen durch die andere zu ersetzen. - Wenn du eine Funktion für das Volumen hast, wie findest du den Wert für den Radius, bei dem die Funktion ihren höchsten Punkt erreicht? - Achte darauf, ob nach dem exakten Wert oder einem gerundeten Wert gefragt ist.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V = \pi r^2l\). 2. Nutzen der Nebenbedingung \(l + U = 120\) mit \(U = 2\pi r\): \(l + 2\pi r = 120 \Rightarrow l = 120 - 2\pi r\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2(120 - 2\pi r) = 120\pi r^2 - 2\pi^2r^3\). 4. Bestimmen der ersten Ableitung: \(V'(r) = 240\pi r - 6\pi^2r^2\). 5. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(6\pi r(40 - \pi r) = 0\). Da \(r > 0\), folgt \(40 - \pi r = 0\), also \(r = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(V''(r) = 240\pi - 12\pi^2r\). Für \(r = \frac{40}{\pi}\) ergibt sich \(V''(\frac{40}{\pi}) = 240\pi - 480\pi = -240\pi < 0\), folglich liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung der optimalen Länge: \(l = 120 - 2\pi \cdot \frac{40}{\pi} = 120 - 80 = 40\,\text{cm}\). 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V = \pi \cdot (\frac{40}{\pi})^2 \cdot 40 = \frac{64000}{\pi} \approx 20\,371{,}8\,\text{cm}^3\).

a) \(V(r) = 120\pi r^2 - 2\pi^2r^3\) b) \(r = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}7\,\text{cm}\) und \(l = 40\,\text{cm}\) c) \(V_{\max} \approx 20\,371{,}8\,\text{cm}^3\)

- Welche Strecken müssen insgesamt eingezäunt werden? Skizziere die Situation. - Wie hängen die beiden Seitenlängen über den Flächeninhalt zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Welche mathematische Bedingung muss für einen minimalen Wert erfüllt sein?

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Gesamtlänge \(L\): Bezeichnet \(y\) die Länge der vier parallelen Zaunstücke (zwei Außenseiten und zwei Trennzäune) und \(x\) die Länge der anderen beiden Außenseiten, so gilt \(L(x, y) = 2x + 4y\). 2. Verwendung der Nebenbedingung für den Flächeninhalt: \(A = xy = 1350\), woraus \(x = \frac{1350}{y}\) folgt. 3. Bildung der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(y\): \(L(y) = 2 \cdot \frac{1350}{y} + 4y = \frac{2700}{y} + 4y\). 4. Bestimmung des Extremums durch die erste Ableitung: \(L'(y) = -\frac{2700}{y^2} + 4\). Setzt man \(L'(y) = 0\), erhält man \(4y^2 = 2700\), also \(y^2 = 675\). 5. Berechnung der optimalen Werte: \(y = \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \approx 25{,}98\,\text{m}\). 6. Ermittlung der zweiten Seite: \(x = \frac{1350}{15\sqrt{3}} = \frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3} \approx 51{,}96\,\text{m}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(L''(y) = \frac{5400}{y^3} > 0\) für \(y > 0\), somit liegt ein lokales Minimum vor.

Die optimale Gesamtlänge des Geheges beträgt \(30\sqrt{3}\,\text{m} \approx 51{,}96\,\text{m}\) und die Breite (in Richtung der Trennzäune gemessen) beträgt \(15\sqrt{3}\,\text{m} \approx 25{,}98\,\text{m}\).

- Stelle eine Gleichung für die Größe auf, die minimiert werden soll. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den beiden Seitenlängen des Rechtecks? - Wie kannst du eine der Variablen in deiner Hauptgleichung ersetzen? - Überlege dir, für welchen Bereich der Seitenlängen das Problem überhaupt Sinn ergibt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich bei deinem Ergebnis tatsächlich um den kleinsten Wert handelt.

1. Zielfunktion für die Zaunlänge aufstellen: \(L(x, y) = x + 2y\), wobei \(x\) die Länge parallel zur Mauer und \(y\) die Länge der beiden Seiten senkrecht zur Mauer ist. 2. Nebenbedingung für den Flächeninhalt nutzen: \(xy = 800 \Rightarrow y = \frac{800}{x}\). 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von einer Variablen formulieren: \(f(x) = x + 2 \cdot \frac{800}{x} = x + \frac{1600}{x}\). 4. Ableitung bilden: \(f'(x) = 1 - \frac{1600}{x^2}\). 5. Nullstelle der Ableitung bestimmen: \(1 - \frac{1600}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1600 \Rightarrow x = 40\) (da \(x > 0\)). 6. Minimum prüfen (z. B. über \(f''(x) = \frac{3200}{x^3} > 0\)) und die zweite Seitenlänge berechnen: \(y = \frac{800}{40} = 20\). 7. Ergebnis: Die Seite an der Mauer ist \(40\,\text{m}\) lang, die beiden senkrechten Seiten sind jeweils \(20\,\text{m}\) lang.

Die Seite parallel zur Mauer muss \(40\,\text{m}\) lang sein, die beiden darauf senkrecht stehenden Seiten jeweils \(20\,\text{m}\).

- Welche Größe soll im Problem optimiert werden? - Wie hängen die Kosten für den Boden und die Wände mit der jeweiligen Fläche zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, indem du die Kostenbedingung nutzt? - Was musst du tun, um den Hochpunkt einer Funktion rechnerisch zu bestimmen?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(a, h) = a^2h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die gewichteten Materialkosten: \(3a^2 + 4ah = 9\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach der Höhe: \(h = \frac{9 - 3a^2}{4a}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion liefert die Volumenfunktion in Abhängigkeit von \(a\): \(V(a) = a^2 \cdot \frac{9 - 3a^2}{4a} = \frac{1}{4}(9a - 3a^3)\). 5. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(V'(a) = \frac{9}{4} - \frac{9}{4}a^2\). Nullsetzen liefert \(1 - a^2 = 0\), woraus wegen \(a > 0\) die Lösung \(a = 1\) folgt. 6. Nachweis des Maximums über die zweite Ableitung: \(V''(a) = -4{,}5a\), mit \(V''(1) = -4{,}5 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{9 - 3 \cdot 1^2}{4 \cdot 1} = 1{,}5\). 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(1) = 1^2 \cdot 1{,}5 = 1{,}5\). Die optimalen Abmessungen sind \(a = 1\,\text{m}\) und \(h = 1{,}5\,\text{m}\) bei einem Volumen von \(1{,}5\,\text{m}^3\).

a) \(a = 1\,\text{m}\) und \(h = 1{,}5\,\text{m}\) b) \(V = 1{,}5\,\text{m}^3\)

- Was sind die beiden Größen, die das Volumen eines Zylinders bestimmen? - Wie hängen die Seiten des Rechtecks mit den Maßen des Zylinders zusammen? - Nutze den Umfang des Rechtecks, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Achte darauf, dass eine Seite des Rechtecks den Umfang des Kreises bildet, nicht den Radius. - Überprüfe am Ende, ob deine Ergebnisse die Randbedingungen erfüllen.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) der Umfang der Grundfläche und \(h\) die Höhe des Zylinders. 2. Nebenbedingung: Der Umfang des Blechs ist \(2x + 2h = 120\), woraus \(h = 60 - x\) folgt. 3. Bestimmung des Radius \(r\) der Grundfläche: Da der Umfang \(x = 2\pi r\) ist, gilt \(r = \frac{x}{2\pi}\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V = \pi r^2 h = \pi \cdot \left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \cdot (60 - x) = \frac{1}{4\pi} \cdot (60x^2 - x^3)\). 5. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(x) = \frac{1}{4\pi} \cdot (120x - 3x^2)\). 6. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(120x - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x \cdot (40 - x) = 0\). 7. Lösungen sind \(x_1 = 0\) (Minimum/Randwert) und \(x_2 = 40\). 8. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(V''(x) = \frac{1}{4\pi} \cdot (120 - 6x)\). Da \(V''(40) = \frac{-120}{4\pi} < 0\), liegt ein Maximum vor. 9. Berechnung der zweiten Seitenlänge: \(h = 60 - 40 = 20\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Blechs müssen \(40\,\text{cm}\) und \(20\,\text{cm}\) betragen, wobei die \(40\,\text{cm}\) lange Seite zum Kreis gebogen wird.

- Wie hängen die Länge und Breite der Grundfläche von der Höhe \(h\) ab, wenn man die Gesamtmaße der Pappe betrachtet? - Überlege dir, welche Werte für die Höhe \(h\) überhaupt sinnvoll sind, damit die Schachtel existieren kann. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert tatsächlich zu einem Maximum führt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: Mit der Höhe \(h\), der Länge \(l\) und der Breite \(w\) gilt \(V(h, l, w) = lwh\). 2. Aufstellen der Nebenbedingungen aus den Maßen der Pappe: In der Länge gilt \(2l + 2h = 80 \implies l = 40 - h\). In der Breite gilt \(w + 2h = 50 \implies w = 50 - 2h\). 3. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(h) = (40 - h) \cdot (50 - 2h) \cdot h = (2000 - 80h - 50h + 2h^2) \cdot h = 2h^3 - 130h^2 + 2000h\). 4. Bestimmung des Definitionsbereichs: Aus \(l > 0\) und \(w > 0\) folgt \(h < 40\) und \(h < 25\), also \(D = (0; 25)\). 5. Ableiten und Nullstellen bestimmen: \(V'(h) = 6h^2 - 260h + 2000\). Setze \(V'(h) = 0 \implies 3h^2 - 130h + 1000 = 0\). 6. Anwendung der Mitternachtsformel: \(h = \frac{130 \pm \sqrt{16900 - 12000}}{6} = \frac{130 \pm 70}{6}\). Dies ergibt \(h_1 = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} \approx 33{,}33\) (nicht im Definitionsbereich) und \(h_2 = \frac{60}{6} = 10\). 7. Überprüfung des Maximums: \(V''(h) = 12h - 260\); \(V''(10) = 120 - 260 = -140 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Da \(\lim_{h \to 0^+} V(h) = 0\) und \(\lim_{h \to 25^-} V(h) = 0\), ist es das globale Maximum. 8. Berechnung des Volumens: \(V(10) = (40 - 10) \cdot (50 - 20) \cdot 10 = 30 \cdot 30 \cdot 10 = 9000\).

Die Höhe muss \(h = 10\,\text{cm}\) betragen. Das maximale Volumen ist \(V = 9000\,\text{cm}^3\).

- Stelle zuerst die Formeln für das Gesamtvolumen und die Gesamtoberfläche aus den Einzelteilen (Zylinder und Halbkugel) zusammen. - Achte darauf, dass die Halbkugel nur eine Oberfläche hat (keinen Boden zum Zylinder hin) und der Zylinder nur einen Boden hat. - Drücke die Höhe \(h\) durch den Radius \(r\) aus, indem du das gegebene Volumen nutzt. - Suche das Minimum der Oberflächenfunktion mithilfe der ersten Ableitung.

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche \(O\): \(O(r, h) = \pi r^2\) (Boden) \(+ 2\pi r h\) (Mantel) \(+ 2\pi r^2\) (Halbkugel), also \(O(r, h) = 3\pi r^2 + 2\pi r h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen \(V\): \(V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3 = 1{,}5\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{1{,}5 - \frac{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2} = \frac{1{,}5}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(O(r) = 3\pi r^2 + 2\pi r \cdot (\frac{1{,}5}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r) = 3\pi r^2 + \frac{3}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 = \frac{5}{3}\pi r^2 + \frac{3}{r}\). 5. Ableiten und Extrempunkt bestimmen: \(O'(r) = \frac{10}{3}\pi r - \frac{3}{r^2}\). Nullsetzen ergibt \(\frac{10}{3}\pi r = \frac{3}{r^2} \implies r^3 = \frac{9}{10\pi}\). 6. Numerische Werte berechnen: \(r = \sqrt[3]{\frac{9}{10\pi}} \approx 0{,}659\,\text{m}\). Einsetzen in die Formel für \(h\) ergibt \(h = \frac{1{,}5 - \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{9}{10\pi}}{\pi r^2} = \frac{1{,}5 - 0{,}6}{\pi r^2} = \frac{0{,}9}{\pi r^2} \approx 0{,}659\,\text{m}\). 7. Überprüfung: \(O''(r) = \frac{10}{3}\pi + \frac{6}{r^3} > 0\), somit liegt ein Minimum vor.

Die optimalen Maße sind \(r = \sqrt[3]{\frac{9}{10\pi}} \approx 0{,}66\,\text{m}\) und \(h = \frac{0{,}9}{\pi r^2} \approx 0{,}66\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du die Materialkosten als Funktion der Fläche ausdrücken kannst. - Welche Größe ist fest vorgegeben (die Konstante in deiner Rechnung) und welche soll maximiert werden? - Stelle eine Gleichung für die Kosten auf und nutze sie, um eine Variable in der Volumenformel zu ersetzen. - Vergiss nicht, am Ende das Verhältnis der beiden Längenmaße zu bilden.

1. Aufstellen der Kostenfunktion (Nebenbedingung): Seien \(k\) die Kosten pro Flächeneinheit für den Mantel und \(2k\) die Kosten für den Boden. Die Gesamtkosten \(C\) ergeben sich zu \(C = 2k \cdot \pi r^2 + k \cdot 2\pi r h\). 2. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{C - 2k\pi r^2}{2k\pi r} = \frac{C}{2k\pi r} - r\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{C}{2k\pi r} - r \right) = \frac{Cr}{2k} - \pi r^3\). 4. Ableiten und Nullstellen bestimmen: \(V'(r) = \frac{C}{2k} - 3\pi r^2 = 0 \implies C = 6k\pi r^2\). 5. Einsetzen von \(C\) in die Kostenfunktion: \(6k\pi r^2 = 2k\pi r^2 + 2k\pi r h \implies 4k\pi r^2 = 2k\pi r h\). 6. Auflösen nach dem Verhältnis: Durch Division durch \(2k\pi r\) erhält man \(2r = h\). Das Volumen ist maximal, wenn die Höhe genau dem Durchmesser des Bodens entspricht.

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\).

- Welche Größe soll maximiert werden? Stelle dafür eine Formel auf. - Welche Information ist fest vorgegeben? Nutze diese, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Erinnere dich daran, wie man mithilfe der Ableitung Hochpunkte einer Funktion bestimmt. - Prüfe am Ende, ob deine Maße im Kontext der Aufgabenstellung sinnvoll sind.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(r, h) = \pi r^2h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 600\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{600 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{300}{\pi r} - r\). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2\left(\frac{300}{\pi r} - r\right) = 300r - \pi r^3\). 5. Bestimmung des Extremums: \(V'(r) = 300 - 3\pi r^2 = 0 \Rightarrow r^2 = \frac{100}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} \approx 5{,}64\,\text{cm}\). 6. Nachweis des Maximums: \(V''(r) = -6\pi r\); da \(V''(5{,}64) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{300}{\pi \cdot 5{,}6419} - 5{,}6419 \approx 11{,}28\,\text{cm}\). 8. Berechnung des Volumens: \(V = 300 \cdot 5{,}6419 - \pi \cdot (5{,}6419)^3 \approx 1128{,}38\,\text{cm}^3\).

Der Radius beträgt \(r \approx 5{,}64\,\text{cm}\), die Höhe \(h \approx 11{,}28\,\text{cm}\) und das maximale Volumen \(V \approx 1128{,}38\,\text{cm}^3\).

- Stelle zuerst Formeln für das Volumen und die gewichteten Oberflächenkosten auf. - Überlege, wie du eine der Variablen \(h\) oder \(r\) eliminieren kannst, indem du die Volumenbedingung nutzt. - Welche Funktion beschreibt die Kosten in Abhängigkeit von nur einer Variablen? - Wie findest du den Tiefpunkt dieser Funktion mithilfe der Differentialrechnung?

1. Aufstellen der Formel für das Volumen: \(V = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion \(C\). Mit den Oberflächen der Seitenwand (\(2\pi r h\)) und der Halbkugel (\(2\pi r^2\)) sowie den relativen Kostenfaktoren \(1\) und \(2\) ergibt sich: \(C(r, h) = 2\pi r h \cdot 1 + 2\pi r^2 \cdot 2 = 2\pi r h + 4\pi r^2\). 3. Auflösen der Volumenformel nach \(h\): \(h = \frac{V - \frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Kostenfunktion: \(C(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 4\pi r^2 = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 4\pi r^2 = \frac{2V}{r} + \frac{8}{3}\pi r^2\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(C'(r) = -\frac{2V}{r^2} + \frac{16}{3}\pi r\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(-\frac{2V}{r^2} + \frac{16}{3}\pi r = 0 \Rightarrow \frac{16}{3}\pi r^3 = 2V \Rightarrow V = \frac{8}{3}\pi r^3\). 7. Einsetzen von \(V\) in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = \frac{8}{3}r - \frac{2}{3}r = 2r\). 8. Die zweite Ableitung \(C''(r) = \frac{4V}{r^3} + \frac{16}{3}\pi\) ist für \(r > 0\) stets positiv, woraus folgt, dass ein Minimum vorliegt. Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\).

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2r\). Die Höhe des zylindrischen Teils muss also genau dem Durchmesser der Halbkugel entsprechen.

- Betrachte einen zweidimensionalen Schnitt durch die Mitte der Pyramide, um die geometrische Beziehung zu finden. - Welche Größe soll maximiert werden? Stelle dafür eine Formel auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Denke an die notwendige Bedingung für Extremstellen bei differenzierbaren Funktionen. - Vergleiche am Ende das berechnete Quadervolumen mit der bekannten Formel für das Pyramidenvolumen.

1. Betrachtung eines Symmetrieschnitts durch die Pyramidenspitze und die Mittelpunkte gegenüberliegender Grundkanten: Das entstehende gleichschenklige Dreieck hat die Basis \(a\) und die Höhe \(h\). Der Quaderschnitt ist ein Rechteck mit Breite \(x\) und Höhe \(y\). Aus dem Strahlensatz folgt \(\frac{h-y}{h} = \frac{x}{a}\), woraus sich \(y = h(1 - \frac{x}{a})\) ergibt. 2. Die Zielfunktion für das Volumen ist \(V(x) = x^2y = x^2h(1 - \frac{x}{a}) = hx^2 - \frac{h}{a}x^3\). Die erste Ableitung \(V'(x) = 2hx - \frac{3h}{a}x^2\) liefert durch Nullsetzen \(x(2h - \frac{3h}{a}x) = 0\). Da \(x > 0\), folgt \(x = \frac{2}{3}a\). Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt \(y = h(1 - \frac{\frac{2}{3}a}{a}) = \frac{1}{3}h\). 3. Das Maximalvolumen beträgt \(V_{\max} = (\frac{2}{3}a)^2 \cdot \frac{1}{3}h = \frac{4}{27}a^2 h\). Das Volumen der Pyramide ist \(V_{\text{Pyr}} = \frac{1}{3}a^2 h\). Das Verhältnis beträgt \(\frac{V_{\max}}{V_{\text{Pyr}}} = \frac{4/27}{1/3} = \frac{4}{9}\). Der Anteil beträgt somit \(\frac{4}{9}\) (ca. \(44{,}4\,\%\)). 4. Für \(0<x<a\) gilt \(V''(x)=2h-\frac{6h}{a}x\), also \(V''\!\left(\frac{2}{3}a\right)=-2h<0\). Damit liegt dort das Maximum vor.

1. Nachweis über Strahlensatz: \(\frac{y}{h} = \frac{a-x}{a} \implies y = h(1 - \frac{x}{a})\). 2. Die optimalen Maße sind \(x = \frac{2}{3}a\) und \(y = \frac{1}{3}h\). 3. Der Quader nimmt \(\frac{4}{9}\) des Pyramidenvolumens ein.

- Welche geometrische Form hat der Querschnitt und wie berechnet man dessen Fläche? - Kannst du die Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks mithilfe der Funktionsgleichung ausdrücken? - Wie hängen die Breite des Rechtecks und die \(x\)-Koordinate der Eckpunkte zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein Maximum der Flächenfunktion erfüllt sein? - Hast du geprüft, ob deine Lösung im sinnvollen Bereich für die Breite liegt?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks in Abhängigkeit von der halben Breite \(x\): \(A(x) = 2x \cdot f(x) = 2x \cdot (4 - 0{,}25x^2) = 8x - 0{,}5x^3\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da das Rechteck innerhalb der Giebelwand liegen muss, gilt \(0 < x < 4\). 3. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 8 - 1{,}5x^2\). 4. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(8 - 1{,}5x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{8}{1{,}5} = \frac{16}{3} \implies x = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\). 5. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(A''(x) = -3x\). Da \(A''(\frac{4}{\sqrt{3}}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Da es die einzige Extremstelle im Intervall ist und \(\lim_{x \to 0^+} A(x) = 0\) sowie \(\lim_{x \to 4^-} A(x) = 0\) gilt, ist es das globale Maximum. 6. Berechnung der gesuchten Größen: Breite \(w = 2x = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4{,}62\,\text{m}\). Höhe \(h = f(\frac{4}{\sqrt{3}}) = 4 - 0{,}25 \cdot \frac{16}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\,\text{m}\). Maximaler Flächeninhalt \(A_{\max} = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{3\sqrt{3}} \approx 12{,}32\,\text{m}^2\).

Die optimale Breite des Schachts beträgt ca. \(4{,}62\,\text{m}\) (exakt \(\frac{8}{\sqrt{3}}\,\text{m}\)) und die optimale Höhe beträgt ca. \(2{,}67\,\text{m}\) (exakt \(\frac{8}{3}\,\text{m}\)). Der maximale Flächeninhalt des Querschnitts beläuft sich auf ca. \(12{,}32\,\text{m}^2\) (exakt \(\frac{64}{3\sqrt{3}}\,\text{m}^2\)).

- Überlege dir, wie die Grundseite der Pyramide und die Höhe mit der festen Seitenkante zusammenhängen. Eine Skizze des Querschnitts entlang der Diagonale hilft. - Drücke die Grundfläche der Pyramide durch die Höhe aus, um eine Funktion mit nur einer Variablen zu erhalten. - Welche Werte kann die Höhe theoretisch annehmen? - Nutze die Ableitung, um das Maximum der Volumenfunktion zu finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V = \frac{1}{3}a^2h\), wobei \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe der Pyramide ist. 2. Bestimmen der Nebenbedingung über den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck aus Höhe, halber Grundflächendiagonale und Seitenkante: \(s^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2\). Mit \(s = 9\) folgt \(81 = h^2 + \frac{a^2}{2}\), also \(a^2 = 2(81 - h^2)\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(h) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (81 - h^2) \cdot h = \frac{2}{3} \cdot (81h - h^3)\). 4. Bestimmen des Extremwerts durch Ableiten: \(V'(h) = \frac{2}{3}(81 - 3h^2)\). Nullsetzen ergibt \(81 - 3h^2 = 0 \implies h^2 = 27 \implies h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}\). 5. Überprüfung der Randwerte und der zweiten Ableitung \(V''(h) = -4h\). Da \(V''(3\sqrt{3}) < 0\), liegt ein Maximum vor. 6. Berechnung des maximalen Volumens: \(V(3\sqrt{3}) = \frac{2}{3} \cdot (81 \cdot 3\sqrt{3} - (3\sqrt{3})^3) = \frac{2}{3} \cdot (243\sqrt{3} - 81\sqrt{3}) = 108\sqrt{3}\,\text{cm}^3 \approx 187{,}06\,\text{cm}^3\).

Die Höhe der Pyramide beträgt \(h = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}\). Das maximale Volumen ist \(V = 108\sqrt{3}\,\text{cm}^3 \approx 187{,}06\,\text{cm}^3\).

- Was genau soll maximiert werden? Formuliere dafür eine Gleichung. - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen dem Radius der Kugel und den Maßen des Zylinders? Eine Skizze des Querschnitts kann hier helfen. - Kannst du eine der Variablen in deiner Volumengleichung durch die andere ersetzen? - Denke daran, die Randwerte des Definitionsbereichs für die Höhe zu betrachten.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen des Zylinders: \(V(r, h) = \pi r^2h\). 2. Bestimmen der Nebenbedingung unter Verwendung des Satzes von Pythagoras im axialen Schnitt der Kugel: \(r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2\), woraus \(r^2 = 36 - \frac{h^2}{4}\) folgt. 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion ergibt die Zielfunktion in Abhängigkeit von \(h\): \(V(h) = \pi\left(36 - \frac{h^2}{4}\right)h = 36\pi h - \frac{\pi}{4}h^3\). 4. Bilden der ersten Ableitung: \(V'(h) = 36\pi - \frac{3\pi}{4}h^2\). 5. Nullsetzen der ersten Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(36\pi = \frac{3\pi}{4}h^2 \Rightarrow h^2 = 48 \Rightarrow h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{m}\). 6. Überprüfung der zweiten Ableitung \(V''(h) = -\frac{3\pi}{2}h\): Da \(V''(4\sqrt{3}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Da \(V(0) = 0\) und \(V(2R) = 0\), ist dies das globale Maximum im relevanten Intervall. 7. Berechnung des Radius: \(r = \sqrt{36 - \frac{48}{4}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90\,\text{m}\). 8. Berechnung des maximalen Volumens: \(V = \pi \cdot 24 \cdot 4\sqrt{3} = 96\sqrt{3}\pi \approx 522{,}37\,\text{m}^3\).

Der Zylinder hat eine Höhe von \(h \approx 6{,}93\,\text{m}\) und einen Radius von \(r \approx 4{,}90\,\text{m}\). Das maximale Volumen beträgt \(V \approx 522{,}37\,\text{m}^3\).

- Welche Größe soll maximiert werden und von welchen Variablen hängt sie ab? - Wie hängen die Seitenlängen des Quaders mathematisch mit der Raumdiagonalen zusammen? - Kannst du die Nebenbedingung so umformen, dass du eine Variable in der Volumenformel ersetzen kannst? - Erinnere dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten mithilfe der Ableitung.

1. Aufstellen der Hauptbedingung für das Volumen: \(V = a^2h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung über die Raumdiagonale: \(D^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(a^2 = \frac{D^2 - h^2}{2}\) und Einsetzen in die Hauptbedingung zur Erstellung der Zielfunktion: \(V(h) = \frac{D^2 - h^2}{2}h = \frac{1}{2}(D^2 h - h^3)\). 4. Bilden der ersten Ableitung: \(V'(h) = \frac{1}{2}(D^2 - 3h^2)\). 5. Bestimmen der Nullstelle der Ableitung für das Maximum: \(D^2 - 3h^2 = 0 \Rightarrow h = \frac{D}{\sqrt{3}}\) (da \(h > 0\)). 6. Berechnen des zugehörigen Wertes für \(a\): \(a^2 = \frac{D^2 - \frac{D^2}{3}}{2} = \frac{1}{3} D^2 \Rightarrow a = \frac{D}{\sqrt{3}}\). 7. Bestimmen des Verhältnisses: \(\frac{h}{a} = \frac{D/\sqrt{3}}{D/\sqrt{3}} = 1\).

Das optimale Verhältnis ist \(\frac{h}{a} = 1\). Das bedeutet, der Behälter muss die Form eines Würfels haben.

- Wie hängen Volumen, Grundkante und Höhe bei einer Pyramide zusammen? - Kannst du die zu minimierende Größe als Funktion einer einzigen Variablen ausdrücken? - Überlege, ob es rechnerisch einfacher ist, das Quadrat der Fläche zu untersuchen. - Welche Bedingung muss die Ableitung an einer Minimalstelle erfüllen? - Versuche am Ende, die Konstante \(V\) wieder durch die geometrischen Variablen zu ersetzen.

1. Aufstellen der Formel für die Mantelfläche: \(M = a \cdot \sqrt{4h^2 + a^2}\). 2. Verwendung der Volumenformel \(V = \frac{1}{3}a^2 h\) als Nebenbedingung, um \(a^2 = \frac{3V}{h}\) auszudrücken. 3. Einsetzen der Nebenbedingung in das Quadrat der Zielfunktion: \(f(h) = M^2 = \frac{3V}{h} \cdot \left(4h^2 + \frac{3V}{h}\right) = 12Vh + \frac{9V^2}{h^2}\). 4. Bildung der ersten Ableitung der Zielfunktion: \(f'(h) = 12V - 18V^2 h^{-3}\). 5. Bestimmung der Extremstelle durch \(f'(h) = 0\): \(12V = \frac{18V^2}{h^3} \Rightarrow h^3 = \frac{3}{2}V\). 6. Rücksubstitution von \(V = \frac{1}{3}a^2 h\) in die Gleichung \(h^3 = \frac{3}{2}V\): \(h^3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}a^2 h = \frac{1}{2}a^2 h\). 7. Vereinfachung der Beziehung zwischen den Maßen: \(2h^2 = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{2}h\). Das gesuchte Verhältnis ist \(a{:}h=\sqrt{2}{:}1\).

Das Verhältnis von Grundkante \(a\) zur Höhe \(h\) muss \(a{:}h=\sqrt{2}{:}1\) betragen (also \(a = \sqrt{2} \cdot h\)).

- Schreibe einen beliebigen Punkt des Graphen als \(P(x,x^2)\). - Minimiere das Quadrat des Abstands; dadurch vermeidest du die Wurzel, ohne die Lage des Minimums zu verändern. - Faktorisiere die Ableitung und untersuche, ob der quadratische Faktor reelle Nullstellen besitzt. - Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von negativ zu positiv weist das absolute Minimum nach, wenn es die einzige kritische Stelle ist.

1. Ein Punkt auf dem Graphen hat die Form \(P(x,x^2)\). Das Quadrat seines Abstands zu \(A(3,0)\) ist \(D(x)=(x-3)^2+x^4=x^4+x^2-6x+9\). Da die Quadratwurzelfunktion streng monoton wächst, genügt es, \(D\) zu minimieren. 2. Die Ableitung ist \(D'(x)=4x^3+2x-6=2(x-1)(2x^2+2x+3)\). 3. Für den quadratischen Faktor gilt \(2x^2+2x+3>0\) für alle reellen \(x\), da seine Diskriminante \(2^2-4\cdot2\cdot3=-20<0\) ist. Daher ist \(x=1\) die einzige kritische Stelle. 4. Für \(x<1\) ist \(D'(x)<0\), und für \(x>1\) ist \(D'(x)>0\). Somit fällt \(D\) bis \(x=1\) und steigt danach. Deshalb liegt dort das eindeutige absolute Minimum. 5. Es ist \(f(1)=1\). Der gesuchte Punkt ist daher \(P(1,1)\).

Der Punkt mit dem absoluten minimalen Abstand zu \(A(3,0)\) ist \(P(1,1)\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen die Innenverkleidung des Beckens besteht. - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Grundseite, der Höhe und dem vorgegebenen Volumen? - Versuche, die Formel für die Oberfläche so umzuformen, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man in der Analysis den kleinsten Wert einer Funktion?

1. Aufstellen der Hauptbedingung für die zu minimierende Oberfläche \(O\) (Boden plus vier Seitenwände): \(O(a, h) = a^2 + 4ah\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung über das Volumen \(V\): \(V = a^2h = 32\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{32}{a^2}\). 4. Einsetzen in die Hauptbedingung zur Erstellung der Zielfunktion: \(O(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(O'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). 6. Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung: \(2a - \frac{128}{a^2} = 0 \Leftrightarrow 2a^3 = 128 \Leftrightarrow a^3 = 64 \Leftrightarrow a = 4\). 7. Überprüfung der Art des Extremums (z. B. über \(O''(a) = 2 + \frac{256}{a^3}\)): Da \(O''(4) = 6 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. 8. Berechnung der zugehörigen Tiefe: \(h = \frac{32}{4^2} = 2\).

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche beträgt \(a = 4\,\text{m}\) und die Tiefe des Beckens beträgt \(h = 2\,\text{m}\).

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Zusammenhänge zwischen den drei Kantenlängen. - Stelle eine Formel für die Gesamtoberfläche eines Quaders auf und nutze die Informationen aus dem Text, um Variablen zu ersetzen. - Verwende das feste Volumen, um die Höhe durch die Breite auszudrücken. - Suche nach dem Tiefpunkt der resultierenden Oberflächenfunktion.

1. Definition der Variablen: Breite \(b\), Länge \(l = 3b\), Höhe \(h\). 2. Aufstellen der Hauptbedingung für die Oberfläche \(O\): \(O = 2(lb + lh + bh) = 2(3b^2 + 3bh + bh) = 6b^2 + 8bh\). 3. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen \(V\): \(V = lbh = 3b \cdot b \cdot h = 3b^2 h = 36\). 4. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{36}{3b^2} = \frac{12}{b^2}\). 5. Einsetzen in die Hauptbedingung zur Zielfunktion: \(O(b) = 6b^2 + 8b \cdot \frac{12}{b^2} = 6b^2 + \frac{96}{b}\). 6. Ableiten der Zielfunktion: \(O'(b) = 12b - \frac{96}{b^2}\). 7. Nullsetzen der Ableitung: \(12b - \frac{96}{b^2} = 0 \Leftrightarrow 12b^3 = 96 \Leftrightarrow b^3 = 8 \Leftrightarrow b = 2\). 8. Berechnung der weiteren Maße: \(l = 3 \cdot 2 = 6\) und \(h = \frac{12}{2^2} = 3\). 9. Verifizierung des Minimums: \(O''(b) = 12 + \frac{192}{b^3}\), was für \(b=2\) positiv ist (\(O''(2) = 36\)).

Die Abmessungen des Behälters sind: Länge \(l = 6\,\text{dm}\), Breite \(b = 2\,\text{dm}\) und Höhe \(h = 3\,\text{dm}\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte in der Gleichung fest sind und welche variabel. - Kannst du die trigonometrischen Terme in der Gleichung so umformen, dass nur noch eine einzige trigonometrische Funktion (z. B. der Tangens) vorkommt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis. - Um ein Maximum zu finden, ist die Untersuchung der ersten Ableitung der Zielfunktion ein bewährtes Mittel.

1. Einsetzen der gegebenen Werte \(x = 30\), \(v = 20\), \(g = 10\) und \(\alpha = 45^\circ\) in die Funktionsgleichung: \(y(30) = \tan(45^\circ) \cdot 30 - \frac{10 \cdot 30^2}{2 \cdot 20^2 \cdot \cos^2(45^\circ)}\). Mit \(\tan(45^\circ) = 1\) und \(\cos^2(45^\circ) = 0{,}5\) ergibt sich \(y(30) = 30 - \frac{9000}{400} = 30 - 22{,}5 = 7{,}5\,\text{m}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Höhe in Abhängigkeit von \(\alpha\) bei \(x = 30\): \(h(\alpha) = 30 \tan(\alpha) - \frac{45}{4 \cos^2(\alpha)}\). 3. Nutzung der Identität \(\frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 1 + \tan^2(\alpha)\) zur Vereinfachung: \(h(t) = 30t - 11{,}25(1 + t^2)\) mit \(t = \tan(\alpha)\). 4. Ableiten nach \(t\): \(h'(t) = 30 - 22{,}5t\). Nullsetzen der Ableitung liefert \(t = \frac{30}{22{,}5} = \frac{4}{3}\). 5. Berechnung des Winkels: \(\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ\). 6. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = \frac{4}{3}\) in \(h(t)\): \(h_{\max} = 30 \cdot \frac{4}{3} - 11{,}25 \cdot (1 + \frac{16}{9}) = 40 - 11{,}25 \cdot \frac{25}{9} = 40 - 31{,}25 = 8{,}75\,\text{m}\).

a) Die Kapsel trifft die Wand in einer Höhe von \(7{,}5\,\text{m}\). b) Die maximale Höhe von \(8{,}75\,\text{m}\) wird bei einem Abwurfwinkel von \(\alpha \approx 53{,}13^\circ\) erreicht.

- Überlege dir, wie sich der Umfang des Sektors aus den Radien und dem Bogen zusammensetzt. - Welche Formel verbindet Radius, Bogenlänge und Flächeninhalt eines Kreissektors? - Drücke eine der Variablen durch die andere aus, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten. - Beachte, dass der Winkel im Bogenmaß direkt über das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert ist.

1. Die Umfangsgleichung lautet \(U = 2r + b = 20\), woraus sich die Bogenlänge \(b = 20 - 2r\) ergibt. 2. Die Fläche eines Kreissektors ist \(A = \frac{1}{2}rb\). Einsetzen der Nebenbedingung liefert die Zielfunktion \(A(r) = \frac{1}{2}r(20 - 2r) = 10r - r^2\). 3. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(r) = 10 - 2r\). Nullsetzen ergibt \(10 - 2r = 0 \implies r = 5\). 4. Die zweite Ableitung \(A''(r) = -2\) ist überall negativ, also liegt bei \(r = 5\,\text{cm}\) ein Maximum vor. 5. Berechnung des Winkels \(\varphi\) im Bogenmaß über die Beziehung \(b = r\varphi\): Mit \(b = 20 - 2 \cdot 5 = 10\) folgt \(10 = 5 \cdot \varphi\), also \(\varphi = 2\).

Der Radius beträgt \(r = 5\,\text{cm}\) und der Mittelpunktswinkel beträgt \(\varphi = 2\) (im Bogenmaß).

- Skizziere die Situation und markiere den Weg an Land und den Weg durch das Wasser. - Überlege dir, wie du die Länge des Weges im Wasser mit dem Satz des Pythagoras ausdrücken kannst. - Erstelle eine Funktion für die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Stelle, an der die Leitung ins Wasser geht. - Wie findet man bei einer Funktion den kleinsten Wert? - Vergiss nicht, am Ende auch die Kosten für die gefundenen Kilometer zu berechnen.

1. Sei \(x\) der Abstand des Punktes \(P\) von Station \(A\) entlang der Küste in \(\text{km}\). Die Strecke an Land ist \(x\), die Strecke im Meer ist nach Pythagoras \(\sqrt{(15-x)^2 + 8^2}\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion: \(K(x) = 30\,000 \cdot x + 50\,000 \cdot \sqrt{(15-x)^2 + 64}\) für \(0 \leq x \leq 15\). 3. Bestimmung der Ableitung: \(K'(x) = 30\,000 - \frac{50000 \cdot (15-x)}{\sqrt{(15-x)^2 + 64}}\). 4. Nullsetzen der Ableitung führt zur Gleichung \(3 \cdot \sqrt{(15-x)^2 + 64} = 5 \cdot (15-x)\). Quadrieren ergibt \(9 \cdot ((15-x)^2 + 64) = 25 \cdot (15-x)^2\), woraus \(576 = 16 \cdot (15-x)^2\) und somit \(15-x = 6\) folgt. Dies ergibt \(x = 9\). 5. Vergleich mit Randwerten: \(K(0) = 850\,000\,\text{€}\), \(K(15) = 850\,000\,\text{€}\) und \(K(9) = 30\,000 \cdot 9 + 50\,000 \cdot 10 = 770\,000\,\text{€}\). 6. Das Minimum liegt bei \(x = 9\,\text{km}\).

Der Punkt \(P\) muss \(9\,\text{km}\) von der Station \(A\) entfernt sein. Die minimalen Gesamtkosten betragen \(770\,000\,\text{€}\).

- Ein Quader hat 12 Kanten. Welche davon sind jeweils gleich lang? - Nutze die Beziehung zwischen Länge und Breite, um die Anzahl der Variablen in deiner Gleichung für die Kantenlängensumme zu reduzieren. - Die Bedingung für die Höhe schränkt die möglichen Werte für die Breite ein. Bestimme diesen Bereich vor der Optimierung. - Denke daran, bei einer Optimierung auf einem beschränkten Definitionsbereich auch die Randwerte und das Randverhalten zu prüfen.

1. Zielfunktion für das Volumen: \(V(w, l, h) = wlh\). Mit \(l = 1{,}5w\) folgt \(V(w, h) = 1{,}5w^2h\). 2. Nebenbedingung für die Kantenlängensumme: \(4(w + l + h) = 240 \Rightarrow w + 1{,}5w + h = 60 \Rightarrow 2{,}5w + h = 60\). Umgestellt nach \(h\): \(h = 60 - 2{,}5w\). 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von \(w\): \(V(w) = 1{,}5w^2(60 - 2{,}5w) = 90w^2 - 3{,}75w^3\). 4. Definitionsbereich bestimmen: Aus \(h \le 30\) folgt \(60 - 2{,}5w \le 30 \Rightarrow 30 \le 2{,}5w \Rightarrow w \ge 12\). Da eine Box eine positive Höhe haben muss, gilt zudem \(h > 0\), also \(2{,}5w < 60 \Rightarrow w < 24\). Somit ist \(D = [12; 24[\). 5. Ableitung und Extremstellen: \(V'(w) = 180w - 11{,}25w^2 = 0\). Dies liefert \(w_1 = 0\) (nicht im Intervall) und \(w_2 = 16\). 6. Prüfung des Maximums: \(V''(w) = 180 - 22{,}5w\). \(V''(16) = 180 - 360 = -180 < 0\), also liegt bei \(w = 16\) ein lokales Maximum vor. 7. Vergleich mit dem Randwert und dem Randverhalten: \(V(12) = 1{,}5 \cdot 12^2 \cdot (60 - 2{,}5 \cdot 12) = 6480\,\text{cm}^3\). \(V(16) = 1{,}5 \cdot 16^2 \cdot (60 - 40) = 7680\,\text{cm}^3\). Außerdem gilt \(\lim_{w \to 24^-} V(w) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(w = 16\). 8. Maße berechnen: \(w = 16\,\text{cm}\), \(l = 1{,}5 \cdot 16 = 24\,\text{cm}\), \(h = 60 - 2{,}5 \cdot 16 = 20\,\text{cm}\). 9. Maximales Volumen: \(V = 16 \cdot 24 \cdot 20 = 7680\,\text{cm}^3\).

a) Die Box hat die Breite \(w = 16\,\text{cm}\), die Länge \(l = 24\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 20\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt \(7680\,\text{cm}^3\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Überlege dir eine Funktion für den Flächeninhalt, die nur von der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) abhängt. - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen mit \(e\)-Termen. - Denke daran, am Ende die Koordinaten des Punktes anzugeben, nicht nur den \(x\)-Wert.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Der Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks mit den Eckpunkten \((0 \mid 0)\) und \(P(x \mid f(x))\) berechnet sich durch \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x \cdot e^{1-x}) = x^2 \cdot e^{1-x}\). 2. Ableitung berechnen: Unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(A'(x) = 2x \cdot e^{1-x} + x^2 \cdot e^{1-x} \cdot (-1) = (2x - x^2) \cdot e^{1-x}\). 3. Bestimmung der Extremstellen: Die notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) führt auf \(x(2 - x) \cdot e^{1-x} = 0\). Da \(e^{1-x} > 0\) und \(x > 0\) vorausgesetzt ist, bleibt nur die Lösung \(x = 2\). 4. Überprüfung des Maximums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) an der Stelle \(x = 2\) von positiv nach negativ (da \(A'(1) = e^0 > 0\) und \(A'(3) = -3e^{-2} < 0\)) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(x)\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist es ein globales Maximum. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = 2 \cdot e^{1-2} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e}\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 \mid \frac{2}{e})\).

\(P(2 \mid \frac{2}{e})\)

- Nutze die Symmetrie der Funktion zur \(y\)-Achse aus, um die Breite des Rechtecks in Abhängigkeit von \(x\) auszudrücken. - Wenn die Breite \(2x\) ist, wie groß ist dann die zugehörige Höhe des Rechtecks? - Welche Ableitungsregel ist für gebrochen-rationale Funktionen am besten geeignet? - Achte darauf, dass am Ende nach den Seitenlängen des Rechtecks gefragt ist, nicht nur nach dem \(x\)-Wert.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse hat das Rechteck die Eckpunkte \((-x \mid 0)\), \((x \mid 0)\), \((x \mid f(x))\) und \((-x \mid f(x))\) mit \(x > 0\). Die Breite ist \(2x\) und die Höhe \(f(x)\). Die Fläche ist \(A(x) = 2x \cdot \frac{4}{x^2 + 1} = \frac{8x}{x^2 + 1}\). 2. Ableitung berechnen: Mit der Quotientenregel folgt \(A'(x) = \frac{8(x^2 + 1) - 8x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{8 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2}\). 3. Bestimmung der Extremstellen: Die notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) liefert \(8 - 8x^2 = 0\), woraus für \(x > 0\) die Stelle \(x = 1\) folgt. 4. Überprüfung des Maximums: Da der Zähler \(8(1-x^2)\) für \(x < 1\) positiv und für \(x > 1\) negativ ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokales Maximum vor. Wegen \(A(0) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} A(x) = 0\) ist dies das globale Maximum. 5. Berechnung der Seitenlängen: Die Breite beträgt \(b = 2x = 2 \cdot 1 = 2\). Die Höhe beträgt \(h = f(1) = \frac{4}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2\). Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(2\) und \(2\).

Die Seitenlängen betragen \(2\) und \(2\).

- Wie findest du die Steigung einer Geraden, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Überlege dir eine Funktion, die den vertikalen Unterschied zwischen zwei Graphen beschreibt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Kurve zu finden? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert tatsächlich im angegebenen Intervall liegt.

1. Berechnung der Funktionswerte an den Rändern: \(f(1) = 4\) und \(f(4) = 1\). 2. Bestimmung der Sekantensteigung: \(m = \frac{1 - 4}{4 - 1} = -1\). 3. Aufstellen der Sekantengleichung: \(s(x) = -1 \cdot (x - 1) + 4 = -x + 5\). 4. Definition der Differenzfunktion für den vertikalen Abstand: \(d(x) = s(x) - f(x) = -x + 5 - \frac{4}{x}\). 5. Ableitung der Differenzfunktion: \(d'(x) = -1 + \frac{4}{x^2}\). 6. Berechnung der kritischen Stelle: \(d'(x) = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4\). Da \(x \in [1; 4]\), folgt \(x = 2\). 7. Nachweis des Maximums: \(d''(x) = -\frac{8}{x^3}\); \(d''(2) = -1 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Da \(d(1) = 0\) und \(d(4) = 0\), ist es ein globales Maximum im Intervall. 8. Berechnung des maximalen Abstands: \(d(2) = -2 + 5 - \frac{4}{2} = 1\).

a) \(s(x) = -x + 5\) b) Die Stelle ist \(x = 2\); der maximale Abstand beträgt \(1\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um die Extremstelle zu finden? - Erstelle eine Zielfunktion, die nur noch von der Variablen \(x\) abhängt. - Welche Bedingungen muss die Ableitung an einer Minimalstelle erfüllen? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis ein lokales oder ein globales Minimum darstellt.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion zum Quadrat (da das Minimum des Abstandsquadrats mit dem Minimum des Abstands übereinstimmt): \(g(x) = (x-1)^2 + (e^x)^2 = (x-1)^2 + e^{2x}\). 2. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = 2(x-1) + 2e^{2x}\). 3. Bestimmung der notwendigen Bedingung \(g'(x) = 0\): Durch Einsetzen prüft man die Stelle \(x = 0\), wobei \(g'(0) = 2(0-1) + 2e^0 = -2 + 2 = 0\) ergibt. 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mittels der zweiten Ableitung: \(g''(x) = 2 + 4e^{2x}\). Da \(g''(0) = 2 + 4 = 6 > 0\), liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. 5. Da die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen unendlich strebt, ist das Minimum global. 6. Berechnung des zugehörigen Funktionswertes: \(f(0) = e^0 = 1\). Der gesuchte Punkt ist somit \(Q(0|1)\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem kleinsten Abstand zu \(A(1|0)\) ist \(Q(0|1)\).

- Drücke den Flächeninhalt als Produkt der Koordinaten des Punktes auf dem Graphen aus. - Beachte den Definitionsbereich \(x>0\). - Bestimme die einzige kritische Stelle der Flächeninhaltsfunktion. - Für ein absolutes Minimum musst du zusätzlich das Verhalten für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\) untersuchen.

1. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist \(A(x)=x\cdot f(x)=x\cdot\frac{x^3+54}{x^2}=x^2+\frac{54}{x}\), wobei \(x>0\). 2. Die Ableitung ist \(A'(x)=2x-\frac{54}{x^2}\). Aus \(A'(x)=0\) folgt \(2x^3=54\), also \(x=3\). 3. Für alle \(x>0\) gilt \(A''(x)=2+\frac{108}{x^3}>0\). Außerdem gilt \(A(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\). Daher ist die einzige kritische Stelle bei \(x=3\) das eindeutige absolute Minimum. 4. Die zugehörige \(y\)-Koordinate ist \(f(3)=\frac{3^3+54}{3^2}=9\). Somit ist der gesuchte Eckpunkt \(P(3,9)\).

Der Flächeninhalt ist absolut minimal für den Eckpunkt \(P(3,9)\).

- Stelle die Gerade durch \(P(4,1)\) mit einer negativen Steigung \(m\) dar. - Bestimme beide Achsenabschnitte in Abhängigkeit von \(m\). - Untersuche die Summe für den gesamten Definitionsbereich \(m<0\). - Prüfe neben der kritischen Stelle auch das Verhalten für \(m\to0^-\) und \(m\to-\infty\).

1. Eine Gerade durch \(P(4,1)\) mit Steigung \(m\) hat die Gleichung \(y-1=m(x-4)\). Damit beide Achsenabschnitte positiv sind, muss \(m<0\) gelten. 2. Für \(y=0\) ergibt sich \(x_0=4-\frac{1}{m}\). Für \(x=0\) ergibt sich \(y_0=1-4m\). 3. Die Summe der Kathetenlängen lautet \(S(m)=x_0+y_0=5-\frac{1}{m}-4m\), \(m<0\). 4. Die Ableitung ist \(S'(m)=\frac{1}{m^2}-4\). Aus \(S'(m)=0\) folgt \(m^2=\frac14\). Wegen \(m<0\) ist \(m=-\frac12\). 5. Für alle \(m<0\) gilt \(S''(m)=-\frac{2}{m^3}>0\). Außerdem gilt \(S(m)\to\infty\) für \(m\to0^-\) und für \(m\to-\infty\). Daher ist die einzige kritische Stelle das absolute Minimum. 6. Die Achsenabschnitte sind \(x_0=4-\frac{1}{-1/2}=6\) und \(y_0=1-4\left(-\frac12\right)=3\).

Die Summe der Kathetenlängen ist absolut minimal für \(x_0=6\) und \(y_0=3\).

- Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks und die Länge seiner Basis voneinander abhängen. Eine Skizze kann hier helfen. - Kannst du ein Verhältnis zwischen den Seiten des Rechtecks und den Maßen des Dreiecks finden? Der Strahlensatz ist hier ein nützliches Werkzeug. - Überlege dir, für welche Werte der Höhe \(h\) das Problem überhaupt sinnvoll definiert ist. - Denke daran, dass du eine Funktion aufstellen musst, die nur noch von einer Variablen (der Höhe \(h\)) abhängt, bevor du ableitest.

1. Definition der Variablen: Sei \(h\) die Höhe des Dreiecks und \(g\) dessen Grundseite. 2. Aufstellen der Nebenbedingung mittels Strahlensatz: Durch die Ähnlichkeit des Teildreiecks oberhalb des Rechtecks zum Gesamtdreieck ergibt sich das Verhältnis \(\frac{h-4}{10} = \frac{h}{g}\). 3. Auflösen nach \(g\): \(g(h) = \frac{10h}{h-4}\) für \(h > 4\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): \(A(h) = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2}\frac{10h}{h-4}h = \frac{5h^2}{h-4}\). 5. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(h) = \frac{10h \cdot (h-4) - 5h^2 \cdot 1}{(h-4)^2} = \frac{5h^2 - 40h}{(h-4)^2}\). 6. Nullsetzen der ersten Ableitung: \(5h(h-8) = 0\). Da \(h > 4\) sein muss, ist die einzige relevante Lösung \(h = 8\). 7. Überprüfung der Hinreichenden Bedingung: Da \(A'(h) < 0\) für \(4 < h < 8\) und \(A'(h) > 0\) für \(h > 8\), liegt bei \(h = 8\,\text{cm}\) ein lokales Minimum vor.

Die Höhe des Dreiecks muss \(h = 8\,\text{cm}\) gewählt werden.

- Fertige eine Skizze des Querschnitts (Achsenschnitt) durch die Mitte des Kegels an. Welche geometrischen Figuren siehst du? - Wie hängen der Radius und die Höhe des Zylinders zusammen, wenn die obere Kante den Kegel berührt? - Erinnere dich an die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders. - Welche Werte kann der Radius \(r\) im Kontext dieser Aufgabe annehmen?

1. Definition der Variablen: Sei \(r\) der Radius und \(h_z\) die Höhe des Zylinders. 2. Aufstellen der Nebenbedingung mittels Strahlensatz im Achsenschnitt des Kegels: \(\frac{H - h_z}{r} = \frac{H}{R}\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte und Auflösen nach \(h_z\): \(\frac{12 - h_z}{r} = \frac{12}{6} = 2 \implies h_z = 12 - 2r\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für die Mantelfläche \(M\): \(M(r) = 2\pi rh_z = 2\pi r(12 - 2r) = 24\pi r - 4\pi r^2\). 5. Bestimmung des Maximums durch Ableiten nach \(r\): \(M'(r) = 24\pi - 8\pi r\). 6. Nullsetzen der Ableitung: \(24\pi - 8\pi r = 0 \implies r = 3\). 7. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(M''(r) = -8\pi < 0\), somit liegt ein Maximum bei \(r = 3\,\text{cm}\) vor.

Die Mantelfläche des Zylinders wird für einen Radius von \(r = 3\,\text{cm}\) maximal.

- Überlege dir, wie die Höhe der Pyramide schrumpft, wenn die Grundseite größer wird. - Nutze den Strahlensatz in einer geeigneten Querschnittsfigur, um eine Beziehung zwischen den Variablen herzustellen. - Welche Einschränkungen gibt es für die Länge der Grundkante der Pyramide im Vergleich zum Quader? - Was ist die Zielgröße, die minimiert werden soll, und von welcher Variablen hängt sie ab?

1. Skizze eines Querschnitts durch die Mitte der Seitenflächen: Aus dem Strahlensatz (Ähnlichkeit der Dreiecke) folgt für die Höhe \(H\) der Pyramide und ihre Grundkante \(x\): \(\frac{H-h}{H} = \frac{a}{x}\). 2. Umstellen nach \(H\): \(Hx - hx = Ha \Rightarrow H(x-a) = hx \Rightarrow H(x) = \frac{hx}{x-a}\) für \(x > a\). 3. Zielfunktion für das Volumen: \(V(x) = \frac{1}{3} x^2 H(x) = \frac{h}{3}\frac{x^3}{x-a}\). 4. Ableitung bilden: \(V'(x) = \frac{h}{3} \cdot \frac{3x^2(x-a) - x^3 \cdot 1}{(x-a)^2} = \frac{h}{3} \cdot \frac{2x^3 - 3ax^2}{(x-a)^2}\). 5. Notwendige Bedingung \(V'(x) = 0\): \(2x^3 - 3ax^2 = 0 \Rightarrow x^2(2x - 3a) = 0\). Da \(x > a\), folgt \(x = 1{,}5a\). 6. Hinreichende Bedingung: Ein Vorzeichenwechsel von \(V'\) bei \(x = 1{,}5a\) von Minus nach Plus bestätigt das lokale Minimum. 7. Berechnung der Höhe: \(H = \frac{h \cdot 1{,}5a}{1{,}5a - a} = \frac{1{,}5ah}{0{,}5a} = 3h\). 8. Volumenvergleich: \(V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} (1{,}5a)^2 \cdot 3h = 2{,}25 a^2 h\). Da \(V_{\text{Quader}} = a^2 h\), beträgt der Anteil \(\frac{a^2 h}{2{,}25 a^2 h} = \frac{1}{2{,}25} = \frac{4}{9} \approx 44{,}4\,\%\). 9. Da \(V(x)\to\infty\) für \(x\to a^+\) und für \(x\to\infty\) gilt, ist das gefundene Minimum global.

a) \(H(x) = \frac{hx}{x-a}\) für \(x > a\) b) \(x = 1{,}5a\) und \(H = 3h\) c) Der Quader nimmt \(\frac{4}{9}\) (ca. \(44{,}4\,\%\)) des minimalen Pyramidenvolumens ein.

- Überlege dir zuerst, welche Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders gelten. - Welche Größe ist fest vorgegeben und welche soll maximiert werden? - Versuche, eine der Variablen (Radius oder Höhe) mithilfe der Oberflächenformel zu eliminieren. - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Maximum in der Analysis.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r, h) = \pi r^2h\). 2. Nutzen der Nebenbedingung für die Oberfläche: \(A = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 600\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{600 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{300}{\pi r} - r\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(r) = \pi r^2\left(\frac{300}{\pi r} - r\right) = 300r - \pi r^3\). 5. Bestimmen des Extremums durch die erste Ableitung: \(V'(r) = 300 - 3\pi r^2\). Nullsetzen liefert \(3\pi r^2 = 300 \implies r^2 = \frac{100}{\pi}\), also \(r = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \approx 5{,}64\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(V''(r) = -6\pi r\). Da \(V''\left(\frac{10}{\sqrt{\pi}}\right) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{300}{\pi \frac{10}{\sqrt{\pi}}} - \frac{10}{\sqrt{\pi}} = \frac{30}{\sqrt{\pi}} - \frac{10}{\sqrt{\pi}} = \frac{20}{\sqrt{\pi}} \approx 11{,}28\,\text{cm}\). 8. Im zulässigen Bereich \(0<r<\sqrt{\frac{300}{\pi}}\) gilt \(V(r)\to0\) an beiden Randstellen. Daher ist die gefundene Maximalstelle global.

Das Volumen wird maximal für einen Radius von \(r \approx 5{,}64\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h \approx 11{,}28\,\text{cm}\).

- Stelle zuerst fest, aus welchen Teilstücken sich der äußere Umfang zusammensetzt. - Drücke die Höhe des Rechtecks durch die Breite aus, indem du die Umfangsbeschränkung nutzt. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks. - Suche das Maximum der resultierenden Flächenfunktion.

1. Aufstellen der Umfangsgleichung (Nebenbedingung): Der Umfang besteht aus der Unterseite (\(x\)), den zwei vertikalen Seiten (\(2y\)) und den zwei oberen Schrägen des Dreiecks (\(2x\)). Es gilt \(U = 3x + 2y = 8\). 2. Umstellen nach \(y\): \(y = \frac{8 - 3x}{2} = 4 - 1{,}5x\). 3. Aufstellen der Flächenformel (Zielfunktion): \(A = A_{\text{Rechteck}} + A_{\text{Dreieck}} = xy + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2\). 4. Einsetzen von \(y\): \(A(x) = x(4 - 1{,}5x) + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = 4x - 1{,}5x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = 4x - (1{,}5 - \frac{\sqrt{3}}{4}) x^2\). 5. Ableiten und Nullstelle bestimmen: \(A'(x) = 4 - 2(1{,}5 - \frac{\sqrt{3}}{4}) x = 4 - (3 - \frac{\sqrt{3}}{2}) x = 0\). 6. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{4}{3 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \approx \frac{4}{2{,}134} \approx 1{,}874\,\text{m}\). 7. Berechnung von \(y\): \(y = 4 - 1{,}5 \cdot 1{,}874 \approx 1{,}189\,\text{m}\). 8. Überprüfung: \(A''(x) = -(3 - \frac{\sqrt{3}}{2}) < 0\), es handelt sich um ein Maximum.

Der Flächeninhalt des Fensters wird maximal für eine Breite von etwa \(1{,}87\,\text{m}\) und eine Rechteckhöhe von etwa \(1{,}19\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen ein oben offener Quader besteht. - Wie hängen die Grundseite \(a\), die Höhe \(h\) und das Volumen \(V\) zusammen? - Nutze diese Beziehung, um die Oberfläche nur noch mit einer Variablen auszudrücken. - Wie findet man in der Analysis Extremstellen einer Funktion?

1. Nebenbedingung aufstellen: Das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche ist \(V = a^2h = 32\). Umstellen nach der Höhe ergibt \(h = \frac{32}{a^2}\). 2. Zielfunktion aufstellen: Die Oberfläche eines oben offenen Quaders besteht aus der Grundfläche und vier Seitenflächen: \(A = a^2 + 4ah\). 3. Zu a): Einsetzen der Nebenbedingung in die Oberflächenformel ergibt \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\). 4. Zu b): Ableiten der Zielfunktion nach \(a\): \(A'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). Nullsetzen der Ableitung: \(2a - \frac{128}{a^2} = 0 \iff 2a^3 = 128 \iff a^3 = 64 \iff a = 4\,\text{m}\). Die zugehörige Höhe berechnen: \(h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2\,\text{m}\). (Überprüfung über \(A''(a) = 2 + \frac{256}{a^3} > 0\) bestätigt das Minimum). 5. Zu c): Einsetzen von \(a = 4\) in die Zielfunktion: \(A(4) = 4^2 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48\,\text{m}^2\).

a) \(A(a) = a^2 + \frac{128}{a}\) b) Die optimalen Maße sind \(a = 4\,\text{m}\) und \(h = 2\,\text{m}\). c) Die minimale Oberfläche beträgt \(48\,\text{m}^2\).

- Wie lässt sich die Grundseite und die Höhe des Dreiecks mithilfe der Koordinate \(x\) und dem Funktionswert \(f(x)\) ausdrücken? - Nutze die Symmetrie der Funktion zur \(y\)-Achse, um die Breite der Basis zu bestimmen. - Überlege dir eine Formel für den Flächeninhalt und leite diese ab, um die Extremstellen zu finden. - Denk beim Ableiten an die Produktregel und die Kettenregel. - Vergiss nicht, am Ende sowohl den \(x\)-Wert als auch die Koordinaten des Punktes \(P\) anzugeben.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da das Dreieck die Basisbreite \(b = 2x\) und die Höhe \(h = f(x)\) besitzt, ergibt sich \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 6e^{-0{,}1x^2} = 6x \cdot e^{-0{,}1x^2}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 6 \cdot e^{-0{,}1x^2} + 6x \cdot (-0{,}2x) \cdot e^{-0{,}1x^2} = (6 - 1{,}2x^2) \cdot e^{-0{,}1x^2}\). 3. Bestimmung der notwendigen Bedingung für ein Extremum: \(A'(x) = 0\) führt zu \(6 - 1{,}2x^2 = 0\), da die Exponentialfunktion stets positiv ist. Dies ergibt \(x^2 = 5\), also \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}236\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) an der Stelle \(x = \sqrt{5}\) von Plus nach Minus (da \(6 - 1{,}2x^2\) für \(x < \sqrt{5}\) positiv und für \(x > \sqrt{5}\) negativ ist) bestätigt das lokale Maximum. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate von \(P\): \(f(\sqrt{5}) = 6 \cdot e^{-0{,}1 \cdot 5} = 6 \cdot e^{-0{,}5} \approx 3{,}639\). 6. Ergebnis: \(x = \sqrt{5}\) und \(P(\sqrt{5} \mid 6e^{-0{,}5})\).

Der Flächeninhalt wird maximal für \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}24\). Der Punkt \(P\) hat die Koordinaten \((\sqrt{5} \mid 6e^{-0{,}5})\), gerundet etwa \((2{,}24 \mid 3{,}64)\).

- Skizziere dir gedanklich, wie das Rechteck unter der Kurve liegt. Wie hängen Breite und Höhe von \(x\) ab? - Welche Symmetrie weist die Funktion \(f\) auf und wie hilft dir das bei der Formel für die Breite? - Erinnere dich an die Quotientenregel für die Ableitung der Zielfunktion. - Wann ist ein Bruch gleich null? - Achte darauf, dass nach den Seitenlängen (Breite und Höhe) gefragt ist, nicht nur nach dem \(x\)-Wert.

1. Definition der Eckpunkte: Aufgrund der Symmetrie von \(f\) zur \(y\)-Achse liegen die Ecken auf dem Graphen bei \(P(x \mid f(x))\) und \(Q(-x \mid f(x))\) mit \(x > 0\). Die Ecken auf der \(x\)-Achse liegen bei \((x \mid 0)\) und \((-x \mid 0)\). 2. Aufstellen der Zielfunktion: Die Breite des Rechtecks ist \(b = 2x\) und die Höhe ist \(h = f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(A(x) = 2x \cdot \frac{12}{x^2 + 3} = \frac{24x}{x^2 + 3}\). 3. Ableitung mit der Quotientenregel: \(A'(x) = \frac{24 \cdot (x^2 + 3) - 24x \cdot (2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{24x^2 + 72 - 48x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{72 - 24x^2}{(x^2 + 3)^2}\). 4. Bestimmung der Extremstelle: \(A'(x) = 0 \implies 72 - 24x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}\). 5. Bestimmung der Seitenlängen: Die Breite ist \(b = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\). Die Höhe ist \(h = f(\sqrt{3}) = \frac{12}{3 + 3} = 2\). 6. Nachweis des Maximums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) an der Stelle \(x = \sqrt{3}\) von Plus nach Minus bestätigt das Maximum.

Das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt hat die Breite \(2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) und die Höhe \(2\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, dessen eine Ecke auf einem Funktionsgraphen liegt. - Welche Werte kann die Breite des Rechtecks überhaupt annehmen? Schau dir dazu die Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen an. - Wie findest du den höchsten Punkt einer Funktion? - Vergiss nicht zu prüfen, ob die gefundenen Seitenlängen im erlaubten Bereich liegen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (12 - 0{,}75x^2) = 12x - 0{,}75x^3\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs: Die Nullstelle von \(f\) im positiven Bereich liegt bei \(12 - 0{,}75x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4\). Somit gilt \(x \in [0; 4]\). 3. Bildung der ersten Ableitung: \(A'(x) = 12 - 2{,}25x^2\). 4. Bestimmung der Extremstellen: \(A'(x) = 0 \Rightarrow 12 = 2{,}25x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{16}{3} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2{,}31\). 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(A''(x) = -4{,}5x\). Da \(A''(\frac{4}{\sqrt{3}}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 6. Vergleich mit den Randwerten: \(A(0) = 0\) und \(A(4) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(x \approx 2{,}31\). 7. Berechnung der zugehörigen Rechteckshöhe: \(y = f(\frac{4}{\sqrt{3}}) = 12 - 0{,}75 \cdot \frac{16}{3} = 12 - 4 = 8\).

Die Seitenlängen des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt betragen \(x = \frac{4}{3}\sqrt{3} \approx 2{,}31\) und \(y = 8\).

- Überlege zuerst, gegen welchen Wert die Funktion strebt, wenn \(x\) sehr groß wird. Das ist die waagerechte Asymptote. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um die Breite des Rechtecks durch eine Variable \(x\) auszudrücken. - Wie berechnet man den vertikalen Abstand zwischen zwei Linien, wenn man deren Funktionsgleichungen kennt? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf und suche deren Extrempunkt.

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Da \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2}{x^2+9} = 3\), lautet die Gleichung der Asymptote \(y = 3\). 2. Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wählen wir die Eckpunkte auf dem Graphen als \(P_1(x \mid f(x))\) und \(P_2(-x \mid f(x))\) mit \(x > 0\). Die gegenüberliegenden Eckpunkte auf der Asymptote sind \(P_3(x \mid 3)\) und \(P_4(-x \mid 3)\). 3. Die Breite des Rechtecks beträgt \(b(x) = 2x\), die Höhe ist die Differenz der y-Werte: \(h(x) = 3 - f(x) = 3 - \frac{3x^2}{x^2+9} = \frac{3(x^2+9) - 3x^2}{x^2+9} = \frac{27}{x^2+9}\). 4. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt lautet \(A(x) = 2x \cdot \frac{27}{x^2+9} = \frac{54x}{x^2+9}\). 5. Ableitung bilden: \(A'(x) = \frac{54(x^2+9) - 54x(2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{486 - 54x^2}{(x^2+9)^2}\). 6. Nullstelle der Ableitung: \(486 - 54x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\) (da \(x > 0\)). 7. Überprüfung des Maximums: \(A'(x)\) wechselt bei \(x = 3\) das Vorzeichen von Plus nach Minus, also liegt ein lokales Maximum vor. Da \(A(x) \to 0\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\), ist es ein absolutes Maximum. 8. Seitenlängen berechnen: Breite \(b = 2 \cdot 3 = 6\), Höhe \(h = \frac{27}{3^2+9} = \frac{27}{18} = 1{,}5\).

Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt hat die Seitenlängen \(6\) und \(1{,}5\).

- Wie lässt sich die Länge der Grundseite eines Dreiecks ausdrücken, dessen Eckpunkte symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen? - Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks mit dem Funktionswert an der Stelle \(x\) zusammenhängt. - Erstelle eine Funktion für den Flächeninhalt, die nur von der Variablen \(x\) abhängt. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für die Bestimmung von Extremstellen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da \(A(x | f(x))\) und \(B(-x | f(x))\) symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen, ist die Grundseite \(g = 2x\) und die Höhe \(h = f(x) = 27 - x^2\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (27 - x^2) = 27x - x^3\). 2. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da die Punkte im ersten und zweiten Quadranten auf der Parabel liegen sollen, gilt \(x > 0\) und \(27 - x^2 > 0\), also \(x \in (0; \sqrt{27})\). 3. Ableitungen bilden: \(A'(x) = 27 - 3x^2\) und \(A''(x) = -6x\). 4. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\): \(27 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) (da \(x > 0\)). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(A''(3) = -18 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 6. Koordinaten berechnen: \(f(3) = 27 - 3^2 = 18\). Die gesuchten Punkte sind \(A(3|18)\) und \(B(-3|18)\). 7. Zudem gilt \(A(x)\to0\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\sqrt{27}^{\,-}\). Damit ist das Maximum global.

Die Koordinaten der Punkte für den maximalen Flächeninhalt sind \(A(3|18)\) und \(B(-3|18)\).

- Der Abstand eines Punktes \((x \mid y)\) zum Ursprung lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. - Nutze die Funktionsgleichung, um die \(y\)-Koordinate in deiner Abstandsformel zu ersetzen, sodass nur noch eine Variable übrig bleibt. - Untersuche die resultierende Funktion auf ihre Tiefpunkte. - Achte darauf, ob es aufgrund der Symmetrie der Parabel mehr als einen Punkt geben könnte.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(D(x) = (x - 0)^2 + (f(x) - 0)^2 = x^2 + (x^2 - 5)^2\) 2. Ausmultiplizieren der Funktion: \(D(x) = x^2 + x^4 - 10x^2 + 25 = x^4 - 9x^2 + 25\) 3. Bilden der ersten Ableitung: \(D'(x) = 4x^3 - 18x\) 4. Nullstellen von \(D'(x)\) bestimmen: \(2x(2x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) oder \(x^2 = 4{,}5 \Rightarrow x_{2,3} = \pm \sqrt{4{,}5}\) 5. Zweite Ableitung bilden: \(D''(x) = 12x^2 - 18\) 6. Überprüfung der Stellen: - \(D''(0) = -18 < 0\) (lokales Maximum) - \(D''(\pm \sqrt{4{,}5}) = 12 \cdot 4{,}5 - 18 = 54 - 18 = 36 > 0\) (lokale Minima) 7. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten: \(f(\pm \sqrt{4{,}5}) = (\pm \sqrt{4{,}5})^2 - 5 = 4{,}5 - 5 = -0{,}5\) 8. Die gesuchten Punkte sind somit \(P_1(\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\). 9. Wegen \(D(x)\to\infty\) für \(|x|\to\infty\) sind die beiden lokalen Minima zugleich die globalen Minima.

Die Punkte mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung sind \(P_1(\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-\sqrt{4{,}5} \mid -0{,}5)\). Dies entspricht etwa \((2{,}12 \mid -0{,}5)\) und \((-2{,}12 \mid -0{,}5)\).

- Aus welchen Einzelteilen setzt sich die Randlinie des Fensters zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks und eines Halbkreises? - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf und löse sie nach einer Variablen auf, um sie in die Umfangsgleichung einzusetzen. - Überlege dir, welche Werte für die Breite \(b\) überhaupt sinnvoll sind.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Umfang \(U\): \(U = b + 2a + \frac{1}{2}\pi b\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Fläche \(A\): \(A = ab + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2 = ab + \frac{\pi b^2}{8} = 5\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(a\): \(a = \frac{5}{b} - \frac{\pi b}{8}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(U(b) = b + 2\left(\frac{5}{b} - \frac{\pi b}{8}\right) + \frac{\pi b}{2} = b + \frac{10}{b} + \frac{\pi b}{4} = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right)b + \frac{10}{b}\). 5. Ableiten der Umfangsfunktion: \(U'(b) = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{10}{b^2}\). 6. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(b^2 = \frac{10}{1 + \pi/4} = \frac{40}{4+\pi} \approx 5{,}600\) führt zu \(b = \sqrt{\frac{40}{4+\pi}} \approx 2{,}37\,\text{m}\). 7. Berechnung der zugehörigen Höhe \(a\): Einsetzen von \(b\) ergibt \(a = \frac{b}{2} \approx 1{,}18\,\text{m}\). 8. Es gilt \(U''(b)=\frac{20}{b^3}>0\) für \(b>0\). Damit ist \(U\) streng konvex und die gefundene kritische Stelle das eindeutige Minimum im zulässigen Bereich.

Die Breite des Fensters muss etwa \(b \approx 2{,}37\,\text{m}\) und die Höhe des rechteckigen Teils \(a \approx 1{,}18\,\text{m}\) betragen.

- Kannst du eine Skizze des Querschnitts machen, um die Beziehung zwischen den Variablen zu sehen? - Wie hängen der Radius der Kegelgrundfläche, die Kegelhöhe und der Kugelradius geometrisch zusammen? - Welche Variable eignet sich am besten als Unbekannte für die Zielfunktion? - Denk daran, dass die Höhe des Kegels größer oder kleiner als der Kugelradius sein könnte.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Kegelvolumen: \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot r_k^2 \cdot h\). 2. Bestimmung der Nebenbedingung durch den Zusammenhang in der Kugel: Sei \(x\) der Abstand vom Kugelmittelpunkt zur Grundfläche des Kegels. Dann gilt für die Höhe \(h = R + x\) (mit \(-R < x < R\)) und nach dem Satz des Pythagoras für den Grundkreisradius des Kegels \(r_k^2 = R^2 - x^2\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(x) = \frac{1}{3} \pi \cdot (R^2 - x^2) \cdot (R + x) = \frac{\pi}{3} \cdot (R^3 + R^2 x - R x^2 - x^3)\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(x\): \(V'(x) = \frac{\pi}{3} \cdot (R^2 - 2Rx - 3x^2)\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen: \(-3x^2 - 2Rx + R^2 = 0\). Die quadratische Lösungsformel ergibt \(x_1 = \frac{1}{3}R\) und \(x_2 = -R\). Der Wert \(x_2 = -R\) gehört nicht zum Definitionsbereich und entspricht nur dem entarteten Randfall der stetigen Fortsetzung. 6. Überprüfung der zweiten Ableitung \(V''(x) = \frac{\pi}{3} \cdot (-2R - 6x)\): Für \(x = \frac{1}{3}R\) ist \(V''(\frac{1}{3}R) = \frac{\pi}{3} \cdot (-4R) < 0\), also liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung der optimalen Höhe: \(h = R + \frac{1}{3}R = \frac{4}{3}R\).

Die Höhe des Kegels muss \(h = \frac{4}{3}R\) betragen.

- Wie findest du heraus, wo der Graph die x-Achse schneidet? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnet. - Überlege dir, wie die Seitenlängen des Rechtecks von der Wahl des Punktes \(u\) abhängen. - Die Zielfunktion für den Flächeninhalt muss abgeleitet werden, um das Maximum zu finden. - Achte darauf, ob dein gefundener Wert für \(u\) im gesuchten Bereich liegt.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(f(0) = 16\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x^3 - 12x + 16 = 0\). Durch Probieren findet man \(x = 2\) (\(2^3 - 12 \cdot 2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0\)). Da \(f'(x) = 3x^2 - 12\) im Intervall \([0; 2]\) stets negativ oder null ist, verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_0^2 (x^3 - 12x + 16) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_0^2 = (4 - 24 + 32) - 0 = 12\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für das Rechteck: \(A(u) = u \cdot f(u) = u(u^3 - 12u + 16) = u^4 - 12u^2 + 16u\). 4. Bestimmung des Extremums: \(A'(u) = 4u^3 - 24u + 16 = 0\). Da \(u = 2\) eine Nullstelle ist, folgt durch Polynomdivision \(4(u - 2)(u^2 + 2u - 2) = 0\). Die relevanten Nullstellen von \(u^2 + 2u - 2\) sind \(u = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}\). Im Intervall \(]0; 2[\) liegt nur \(u = \sqrt{3} - 1 \approx 0{,}732\). 5. Überprüfung und Koordinaten: \(A''(u) = 12u^2 - 24\). Für \(u = \sqrt{3} - 1\) ist \(A''(u) < 0\), also liegt ein Maximum vor. Der \(y\)-Wert ist \(f(\sqrt{3}-1) = 18 - 6\sqrt{3} \approx 7{,}608\). Die Koordinaten sind \(P(\sqrt{3}-1 | 18 - 6\sqrt{3})\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Flächeneinheiten. b) Der Punkt hat die Koordinaten \(P(\sqrt{3}-1 | 18 - 6\sqrt{3})\) (bzw. gerundet \(P(0{,}732 | 7{,}608)\)).

- Wie lässt sich die Grundseite und die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken? - Beachte, dass die Höhe die Differenz zwischen dem \(y\)-Wert des Punktes \(A\) und dem Funktionswert \(f(x)\) ist. - Nutze eine Substitution, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu finden. - Vergiss nicht, am Ende den tatsächlichen Flächeninhalt zu berechnen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt unter Verwendung der Basis \(g = 2x\) und der Höhe \(h = 10 - f(x)\): \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (10 - (x^4 - 6x^2 + 2)) = -x^5 + 6x^3 + 8x\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung: \(A'(x) = -5x^4 + 18x^2 + 8\). 3. Berechnung der Nullstellen von \(A'(x)\) mittels Substitution \(z = x^2\): Die Gleichung \(5z^2 - 18z - 8 = 0\) liefert die positive Lösung \(z = 4\). 4. Ermittlung der relevanten Stelle \(x = \sqrt{4} = 2\). 5. Nachweis des Maximums (z. B. über die zweite Ableitung \(A''(2) = -88 < 0\)) und Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(2) = -(2^5) + 6 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2 = -32 + 48 + 16 = 32\). 6. Im zulässigen Intervall gilt \(A(x)\to0\) für \(x\to0^+\) und am zweiten Randpunkt mit \(f(x)=10\). Daher ist das Maximum bei \(x=2\) global.

Der Flächeninhalt wird für \(x = 2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(32\) Flächeneinheiten.

- Welche mathematische Bedingung muss für die Achsensymmetrie zur y-Achse erfüllt sein? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? Welche Ableitungsregeln benötigst du hierfür? - Aus welchen Seitenlängen setzt sich das Rechteck zusammen? Drücke diese Längen mithilfe der Variable \(u\) aus. - Wie bestimmt man das Maximum einer Funktion? Welche Ableitungsregel ist für die Differenzierung von \(A(u)\) am besten geeignet?

1. Symmetrie und y-Achsenabschnitt: Für jedes \(x \in \mathbb{R}\) gilt: \(f(-x) = \frac{16}{(-x)^2 + 4} = \frac{16}{x^2 + 4} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\), ist der Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(x = 0\): \(f(0) = \frac{16}{0^2 + 4} = 4\). Dies ergibt den Schnittpunkt \(S_y(0 \mid 4)\). 2. Tangentengleichung und x-Schnittstelle: Der Berührpunkt ist \(B(2 \mid 2)\), da \(f(2) = \frac{16}{2^2 + 4} = 2\). Die Ableitung von \(f\) lautet: \(f'(x) = -\frac{32x}{(x^2 + 4)^2}\). Die Steigung der Tangente im Punkt \(B\) ist: \(f'(2) = -\frac{32 \cdot 2}{(2^2 + 4)^2} = -\frac{64}{64} = -1\). Die Tangentengleichung lautet somit: \(y = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2) \implies y = -(x - 2) + 2 \implies y = -x + 4\). Die Schnittstelle mit der x-Achse ergibt sich aus \(y = 0\): \(0 = -x + 4 \implies x = 4\). Die Tangente schneidet die x-Achse an der Stelle \(x = 4\). 3. Herleitung der Flächenfunktion: Die Breite des Rechtecks ist der Abstand zwischen \(P(-u \mid 0)\) und \(Q(u \mid 0)\), also \(2u\). Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(u\), also \(f(u) = \frac{16}{u^2 + 4}\). Für den Flächeninhalt \(A(u)\) gilt somit: \(A(u) = \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 2u \cdot \frac{16}{u^2 + 4} = \frac{32u}{u^2 + 4}\). 4. Bestimmung des maximalen Flächeninhalts: Wir leiten die Flächenfunktion \(A(u)\) mithilfe der Quotientenregel ab: \(A'(u) = \frac{32 \cdot (u^2 + 4) - 32u \cdot 2u}{(u^2 + 4)^2} = \frac{32u^2 + 128 - 64u^2}{(u^2 + 4)^2} = \frac{32(4 - u^2)}{(u^2 + 4)^2}\). Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist \(A'(u) = 0\): \(32(4 - u^2) = 0 \implies u^2 = 4 \implies u = 2\) (da \(u > 0\)). Für \(0 < u < 2\) ist \(A'(u) > 0\) (die Fläche steigt) und für \(u > 2\) ist \(A'(u) < 0\) (die Fläche sinkt). Somit liegt bei \(u = 2\) ein globales Maximum vor. Der maximale Flächeninhalt beträgt: \(A(2) = \frac{32 \cdot 2}{2^2 + 4} = \frac{64}{8} = 8\).

a) Der Nachweis der Symmetrie erfolgt über \(f(-x) = f(x)\); der Schnittpunkt mit der y-Achse ist \(S_y(0 \mid 4)\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = -x + 4\); sie schneidet die x-Achse an der Stelle \(x = 4\). c) Die Breite ist \(2u\) und die Höhe ist \(f(u) = \frac{16}{u^2 + 4}\), woraus sich \(A(u) = \frac{32u}{u^2 + 4}\) ergibt. d) Der Flächeninhalt wird für \(u = 2\) maximal; der maximale Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Wie hängen die Breite und die Höhe des eingezeichneten Rechtecks mit den Koordinaten des Punktes \(P(u \mid v)\) zusammen? - Drücke die Höhe des Rechtecks mithilfe der Funktionsgleichung \(f(x)\) durch die Variable \(u\) aus. - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt \(A(u)\) auf, indem du die Breite mit der Höhe multiplizierst. - Mit welchem mathematischen Werkzeug kannst du den Hochpunkt (das Maximum) einer Funktion bestimmen? - Vergiss am Ende nicht, aus dem optimalen Wert für \(u\) die tatsächliche Breite, Höhe und den Flächeninhalt des Rechtecks zu berechnen.

1. Aufstellen der Zielfunktion: Die Breite der rechteckigen Glasscheibe beträgt \(b = 2u\). Die Höhe entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(u\), also \(h = f(u) = 6 - 0{,}5u^2\). Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(u\) ist: \(A(u) = bh = 2u(6 - 0{,}5u^2) = 12u - u^3\) 2. Bestimmung des Maximums: Dazu wird die erste Ableitung der Flächenfunktion gebildet und gleich null gesetzt: \(A'(u) = 12 - 3u^2\) \(12 - 3u^2 = 0 \implies 3u^2 = 12 \implies u^2 = 4\) Da \(u > 0\) sein muss, erhalten wir die einzige relevante Stelle \(u = 2\). 3. Überprüfung auf ein Maximum: Die zweite Ableitung lautet \(A''(u) = -6u\). Für \(u = 2\) gilt: \(A''(2) = -12 < 0\). Es liegt somit ein lokales Maximum vor. Da die Randwerte \(A(0) = 0\) und \(A(\sqrt{12}) = 0\) sind, handelt es sich um das globale Maximum auf dem Definitionsbereich. 4. Berechnung der optimalen Abmessungen und der maximalen Fläche: Breite: \(2u = 2 \cdot 2 = 4\,\text{m}\) Höhe: \(f(2) = 6 - 0{,}5 \cdot 2^2 = 4\,\text{m}\) Maximaler Flächeninhalt: \(A(2) = 4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\)

a) \(A(u) = 12u - u^3\) b) Breite: \(4\,\text{m}\), Höhe: \(4\,\text{m}\) c) Maximaler Flächeninhalt: \(16\,\text{m}^2\)

- Überlege dir zuerst, wie die Seitenlängen des Rechtecks in Abhängigkeit von \(u\) ausgedrückt werden können. - Welche mathematische Beziehung beschreibt den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Stelle eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(u\) auf. - Wie bestimmt man den Hochpunkt einer solchen Funktion mithilfe der Differentialrechnung? - Denke daran, neben dem optimalen Wert für \(u\) auch den zugehörigen maximalen Flächeninhalt zu berechnen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Rechtecks: Die Breite des Rechtecks ist \(u\) und die Höhe ist \(f(u) = 8e^{-0{,}5u}\). Damit ergibt sich die Flächeninhaltsfunktion: \(A(u) = u \cdot f(u) = 8u \cdot e^{-0{,}5u}\) mit \(u > 0\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung mittels Produktregel: \(A'(u) = 8 \cdot e^{-0{,}5u} + 8u \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5u} = (8 - 4u) \cdot e^{-0{,}5u}\) 3. Notwendige Bedingung für ein Extremum (\(A'(u) = 0\)): \((8 - 4u) \cdot e^{-0{,}5u} = 0\) Da die Exponentialfunktion \(e^{-0{,}5u}\) für alle reellen Zahlen positiv ist, muss die Klammer null werden: \(8 - 4u = 0 \implies u = 2\) 4. Hinreichende Bedingung prüfen: Die zweite Ableitung lautet: \(A''(u) = -4 \cdot e^{-0{,}5u} + (8 - 4u) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5u} = (2u - 8) \cdot e^{-0{,}5u}\) Einsetzen von \(u = 2\) ergibt: \(A''(2) = (2 \cdot 2 - 8) \cdot e^{-1} = -4e^{-1} < 0\) Es liegt somit ein lokales (und aufgrund des Verlaufs auch globales) Maximum bei \(u = 2\) vor. 5. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(2) = 8 \cdot 2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2} = 16 \cdot e^{-1} = \frac{16}{e} \approx 5{,}89\)

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird für \(u = 2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt genau \(\frac{16}{e}\) (ca. \(5{,}89\) Flächeneinheiten).

- Drücke die Seitenlängen des Rechtecks in Abhängigkeit von \(u\) aus. Wie hängen Breite und Höhe mit den Koordinaten der Eckpunkte zusammen? - Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks ist \(A = \text{Breite} \cdot \text{Höhe}\). - Erinnere dich an das Vorgehen bei Extremwertaufgaben. Welchen Schritt musst du mit der Flächenfunktion \(A(u)\) durchführen? - Beachte beim Ableiten die Produktregel und die Kettenregel für die \(e\)-Funktion. - Überprüfe am Ende, ob dein gefundenes \(u\) tatsächlich zu einem Maximum führt.

1. Die Breite des Rechtecks ist \(2u\), seine Höhe ist \(g(u)=8e^{-u^2}\). Daher gilt \(A(u)=2u\cdot8e^{-u^2}=16ue^{-u^2}\). 2. Mit Produkt- und Kettenregel folgt \(A'(u)=16e^{-u^2}(1-2u^2)\). 3. Wegen \(e^{-u^2}>0\) ist \(A'(u)=0\) genau für \(u=\frac1{\sqrt2}\), da \(u>0\). Für \(0<u<\frac1{\sqrt2}\) ist \(A'(u)>0\), danach ist \(A'(u)<0\). 4. Außerdem gilt \(A(u)\to0\) für \(u\to0^+\) und für \(u\to\infty\). Somit ist \(u=\frac1{\sqrt2}\) die Stelle des eindeutigen absoluten Maximums. 5. Der maximale Flächeninhalt ist \(A(\frac1{\sqrt2})=8\sqrt2e^{-1/2}\approx6{,}86\) Flächeneinheiten.

a) \(A(u)=16ue^{-u^2}\). b) Das absolute Maximum liegt bei \(u=\frac1{\sqrt2}\approx0{,}71\). c) \(A_{\max}=8\sqrt2e^{-1/2}\approx6{,}86\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir, was mit dem Term \(e^{-0{,}4x}\) passiert, wenn \(x\) immer größer wird. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und ihrem Monotonieverhalten. - Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks für ein beispielhaftes \(s\) in Abhängigkeit von \(s\) und \(f(s)\). - Zur Bestimmung des Extremwerts einer Funktion bildest du deren Ableitung und suchst die Nullstellen.

1. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Für \(x \to \infty\) strebt der Term \(e^{-0{,}4x}\) gegen 0, da der Exponent gegen \(-\infty\) geht. Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1 + 6 \cdot 0 = 1\). Die Gerade \(y = 1\) ist eine waagrechte Asymptote. 2. Nachweis der Monotonie: Die erste Ableitung ist \(f'(x) = 6 \cdot (-0{,}4) \cdot e^{-0{,}4x} = -2{,}4 \cdot e^{-0{,}4x}\). Da die Exponentialfunktion \(e^{-0{,}4x}\) für alle \(x\) positiv ist, gilt \(f'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}_0^+\). Damit ist \(f\) streng monoton fallend. 3. Aufstellen der Flächenfunktion: Die Breite des Rechtecks ist \(s\), die Höhe ist \(f(s) - 1 = 6 \cdot e^{-0{,}4s}\). Der Flächeninhalt ist \(A(s) = s \cdot 6 \cdot e^{-0{,}4s} = 6se^{-0{,}4s}\). 4. Bestimmung des Maximums: Ableitung \(A'(s) = 6 \cdot e^{-0{,}4s} + 6s \cdot (-0{,}4) \cdot e^{-0{,}4s} = (6 - 2{,}4s) \cdot e^{-0{,}4s}\). Nullsetzen: \(6 - 2{,}4s = 0 \Rightarrow s = \frac{6}{2{,}4} = 2{,}5\). Da \(A'(s) > 0\) für \(s < 2{,}5\) und \(A'(s) < 0\) für \(s > 2{,}5\), liegt bei \(s = 2{,}5\) ein Maximum vor.

a) Wegen \(\lim_{x \to \infty} e^{-0{,}4x} = 0\) folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\). Mit \(f'(x) = -2{,}4 \cdot e^{-0{,}4x} < 0\) ist \(f\) streng monoton fallend. b) Der Flächeninhalt ist \(A(s) = 6se^{-0{,}4s}\). Das Maximum liegt bei \(s = 2{,}5\).

- Beachte, dass das Becken oben offen ist – wie ändert das die Formel für die Oberfläche? - Nutze das gegebene Volumen, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - Suche das Minimum der Oberflächenfunktion mithilfe der Ableitung. - Vergleiche am Ende den Wert der Tiefe direkt mit dem Wert des Radius.

1. Nebenbedingung für das Volumen: \(V = \pi r^2h = 50\), also \(h = \frac{50}{\pi r^2}\). 2. Zielfunktion für die Fläche (ohne Deckel): \(A = \pi r^2 + 2\pi rh\). 3. Substitution von \(h\): \(A(r) = \pi r^2 + 2\pi r\frac{50}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{100}{r}\). 4. Erste Ableitung bilden: \(A'(r) = 2\pi r - \frac{100}{r^2}\). 5. Extremstelle berechnen: \(2\pi r - \frac{100}{r^2} = 0 \Rightarrow 2\pi r^3 = 100 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{50}{\pi}} \approx 2{,}515\,\text{m}\). 6. Tiefe berechnen: \(h = \frac{50}{\pi r^2}\). Da \(V = \pi r^3 = 50\), folgt \(h = \frac{\pi \cdot r^3}{\pi \cdot r^2} = r \approx 2{,}515\,\text{m}\). 7. Verhältnis: Im Optimum gilt \(h = r\), also ein Verhältnis von \(1{:}1\). Bei einer geschlossenen Dose gilt hingegen \(h = 2r\).

a) \(A(r) = \pi r^2 + \frac{100}{r}\) b) Der optimale Radius ist \(r \approx 2{,}52\,\text{m}\) und die optimale Tiefe ist \(h \approx 2{,}52\,\text{m}\). c) Im Minimum gilt \(h = r\) (Verhältnis \(1{:}1\)). Bei einer geschlossenen Dose ist das optimale Verhältnis \(h = 2r\) (Verhältnis \(2{:}1\)).

- Nutze die Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen eines Zylinders. - Drücke die Höhe \(h\) durch den Radius \(r\) aus, indem du die gegebene Oberfläche verwendest. - Bestimme die Zielfunktion für das Volumen in Abhängigkeit vom Radius. - Suche nach dem globalen Maximum dieser Funktion im sinnvollen Definitionsbereich. - Prüfe, ob das Zielvolumen innerhalb des Wertebereichs der Funktion liegt.

1. Aus \(2\pi r^2+2\pi rh=24\pi\) folgt \(h=\frac{12-r^2}{r}\). Für einen physikalisch sinnvollen Tank gilt \(r>0\) und \(h>0\), also \(0<r<\sqrt{12}\). 2. Das Volumen ist \(V(r)=\pi r^2h=\pi(12r-r^3)\). 3. Es ist \(V'(r)=\pi(12-3r^2)\). Der einzige kritische Punkt im Definitionsbereich ist \(r=2\). Zudem gilt \(V''(r)=-6\pi r<0\) für \(r>0\), sodass \(V\) streng konkav ist. 4. An den Randgrenzen des physikalischen Bereichs gilt \(V(r)\to0\) für \(r\to0^+\) und für \(r\to\sqrt{12}^-\). Daher ist der kritische Punkt bei \(r=2\) das absolute Maximum. 5. Das maximale Volumen beträgt \(V(2)=\pi(24-8)=16\pi\,\text{m}^3\). Da \(16\pi<20\pi\), kann das geforderte Fassungsvermögen nicht erreicht werden.

Nein, ein solcher Tank kann nicht hergestellt werden. Das bei dieser Oberfläche maximal mögliche Volumen beträgt lediglich \(16\pi\,\text{m}^3\), was kleiner ist als die geforderten \(20\pi\,\text{m}^3\).

- Stelle zuerst eine Formel für die Gesamtkosten auf, wobei du unterschiedliche Faktoren für die verschiedenen Flächen nutzt. - Wie kannst du die Höhe der Dose durch das Volumen und den Radius ausdrücken? - Setze diesen Ausdruck in deine Kostenformel ein, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch vom Radius abhängt. - Suche den Tiefpunkt dieser Funktion. - Musst du die konkreten Kosten \(c\) kennen, um das optimale Verhältnis der Maße zu finden?

1. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\). Seien \(c\) die Kosten pro \(\text{cm}^2\) für die Mantelfläche, dann sind \(3c\) die Kosten für Boden und Deckel. Es gilt: \(K = 3c(2\pi r^2) + c(2\pi r h) = c(6\pi r^2 + 2\pi r h)\). 2. Nutzung der Nebenbedingung \(V = \pi r^2 h = 500\), um \(h\) zu eliminieren: \(h = \frac{500}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen in die Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K(r) = c(6\pi r^2 + 2\pi r\frac{500}{\pi r^2}) = c(6\pi r^2 + \frac{1000}{r})\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(r\): \(K'(r) = c(12\pi r - \frac{1000}{r^2})\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Minimums: \(12\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \implies 12\pi r^3 = 1000 \implies r = \sqrt[3]{\frac{250}{3\pi}}\). 6. Da \(K''(r) = c(12\pi + \frac{2000}{r^3}) > 0\) für alle \(r > 0\), liegt ein Minimum vor. 7. Bestimmung des Verhältnisses \(\frac{h}{r}\): Aus \(12\pi r^3 = 2 \cdot 500\) und \(500 = \pi r^2 h\) folgt durch Einsetzen \(12\pi r^3 = 2\pi r^2 h\). Kürzen durch \(2\pi r^2\) ergibt \(6r = h\). 8. Das optimale Verhältnis ist somit \(h{:}r=6{:}1\).

Die Materialkosten werden minimiert, wenn das Verhältnis von Höhe zu Radius \(h{:}r=6{:}1\) beträgt (bzw. \(h = 6r\)).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken sich der äußere Umfang zusammensetzt. Gehört die Trennlinie zwischen Rechteck und Dreieck dazu? - Erinnere dich an die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge. - Drücke die Höhe des Rechtecks durch die Breite aus, indem du die Flächenvorgabe nutzt. - Die Zielfunktion sollte am Ende nur noch von der Variablen \(b\) abhängen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den äußeren Umfang: \(P(b, h) = b + 2h + 2b = 3b + 2h\) (die untere Seite, die zwei Seitenwände des Rechtecks und die zwei Schenkel des Dreiecks). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für die Fläche: \(A = bh + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = 10\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{10 - \frac{\sqrt{3}}{4}b^2}{b} = \frac{10}{b} - \frac{\sqrt{3}}{4}b\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(P(b) = 3b + 2(\frac{10}{b} - \frac{\sqrt{3}}{4}b) = 3b + \frac{20}{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}b = (3 - \frac{\sqrt{3}}{2})b + \frac{20}{b}\). 5. Ableiten der Funktion nach \(b\): \(P'(b) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{20}{b^2}\). 6. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(b^2 = \frac{20}{3 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow b = \sqrt{\frac{40}{6 - \sqrt{3}}} \approx 3{,}06\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(P''(b) = \frac{40}{b^3} > 0\) für \(b > 0\), somit liegt ein Minimum vor.

Die optimale Breite des Logos beträgt \(b = \sqrt{\frac{40}{6 - \sqrt{3}}} \approx 3{,}06\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man das Volumen und die Teilflächen (Deckel, Boden, Mantel) eines Zylinders? - Erstelle eine Formel für die Gesamtkosten, indem du die Teilflächen mit ihren jeweiligen Preisen gewichtest. - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine Variable in deiner Kostenformel zu ersetzen. - Welches Verfahren aus der Differentialrechnung hilft dir dabei, den kleinsten Wert einer Funktion zu finden?

1. Aufstellen der Volumenformel als Nebenbedingung: \(V = \pi r^2 h = 2\). 2. Umstellen nach der Höhe: \(h = \frac{2}{\pi r^2}\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\) unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Materialpreise: \(K(r, h) = 10 \cdot (2 \pi r^2) + 5 \cdot (2 \pi r h) = 20 \pi r^2 + 10 \pi r h\). 4. Einsetzen der Nebenbedingung in die Kostenfunktion: \(K(r) = 20 \pi r^2 + 10 \pi r\frac{2}{\pi r^2} = 20 \pi r^2 + \frac{20}{r}\). 5. Bilden der ersten Ableitung: \(K'(r) = 40 \pi r - \frac{20}{r^2}\). 6. Nullsetzen der Ableitung zur Extremwertsuche: \(40 \pi r - \frac{20}{r^2} = 0 \implies 40 \pi r^3 = 20 \implies r^3 = \frac{1}{2\pi}\). 7. Berechnung des optimalen Radius: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} \approx 0{,}542\,\text{m}\). 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{2}{\pi (1/2\pi)^{2/3}} = 2\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}} \approx 2{,}168\,\text{m}\). 9. Die zweite Ableitung \(K''(r) = 40 \pi + \frac{40}{r^3}\) ist für \(r > 0\) stets positiv, was das Minimum bestätigt.

Der Radius beträgt ca. \(0{,}54\,\text{m}\) und die Höhe ca. \(2{,}17\,\text{m}\) (exakt: \(r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}\,\text{m}\) und \(h = 2\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}\,\text{m}\)).

- Der Abstand zwischen zwei Punkten \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. - Wenn du eine Wurzel minimieren möchtest, reicht es oft aus, den Ausdruck unter der Wurzel (den Radikanden) zu untersuchen. - Erinnere dich daran, welche geometrische Figur durch eine Gleichung der Form \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\) beschrieben wird. - Prozentuale Abweichungen berechnet man immer im Verhältnis zu einem Referenzwert.

1. Zu a) Breite und Höhe: \(f(\pm 8) = 8 - 0{,}125 \cdot 64 = 8 - 8 = 0\), daraus folgt die Breite \(8 - (-8) = 16\,\text{m}\). Die maximale Höhe ist \(f(0) = 8\,\text{m}\). 2. Zu b) Abstandsfunktion: \(d(x) = \sqrt{x^2 + (f(x))^2} = \sqrt{x^2 + (8 - 0{,}125x^2)^2} = \sqrt{x^2 + 64 - 2x^2 + 0{,}015625x^4} = \sqrt{0{,}015625x^4 - x^2 + 64}\). 3. Zu c) Minimierung des Abstands: Zur Minimierung von \(d(x)\) reicht es, den Radikanden \(h(x) = 0{,}015625x^4 - x^2 + 64\) zu minimieren. \(h'(x) = 0{,}0625x^3 - 2x\). Setze \(h'(x) = 0 \implies x(0{,}0625x^2 - 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (lokales Maximum von \(h\)) und \(x^2 = \frac{2}{0{,}0625} = 32\), also \(x_{2,3} = \pm \sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2} \approx \pm 5{,}66\). Der minimale Abstand ist \(d(\sqrt{32}) = \sqrt{0{,}015625 \cdot 32^2 - 32 + 64} = \sqrt{16 - 32 + 64} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{m}\). 4. Zu d) Flächenvergleich: \(A_f = \int_{-8}^{8} (8 - 0{,}125x^2) \text{d}x = [8x - \frac{0{,}125}{3}x^3]_{-8}^{8} = (64 - \frac{1}{24} \cdot 512) - (-64 + \frac{1}{24} \cdot 512) = 128 - \frac{512}{12} = 128 - \frac{128}{3} = \frac{256}{3} \approx 85{,}33\,\text{m}^2\). \(A_g = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 8^2 = 32\pi \approx 100{,}53\,\text{m}^2\) (Halbkreis). Abweichung: \(\frac{|85{,}33 - 100{,}53|}{100{,}53} \approx 0{,}1512\), also ca. \(15{,}1\,\%\).

a) Breite: \(16\,\text{m}\), Höhe: \(8\,\text{m}\). b) Nachweis durch Einsetzen von \(f(x)\) in den Satz des Pythagoras. c) Die \(x\)-Koordinaten sind \(x \approx \pm 5{,}66\); der minimale Abstand beträgt \(4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{m}\). d) Die Querschnittsfläche von \(f\) weicht um etwa \(15{,}1\,\%\) von der Fläche von \(g\) ab.

- Achte auf einheitliche Einheiten (Rechnen in Metern oder Dezimetern). - Der Behälter ist oben offen, daher besteht die Oberfläche nur aus einer Grundfläche und vier Seitenflächen. - Drücke die Gesamthöhe durch die Füllhöhe und den Sicherheitsabstand aus. - Nutze das gegebene Volumen, um eine der Variablen in der Oberflächenformel zu eliminieren. - Die Ableitung der Zielfunktion liefert dir die notwendige Bedingung für ein Minimum.

1. Definition der Variablen: \(a\) ist die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche, \(h_{w}\) ist die Füllhöhe des Wassers, \(H\) ist die Gesamthöhe des Behälters. 2. Nebenbedingung Volumen: \(V = a^2 \cdot h_{w} = 2\,\text{m}^3\). Umstellen nach \(h_{w}\): \(h_{w} = \frac{2}{a^2}\). 3. Zusammenhang der Höhen: \(H = h_{w} + 0{,}2 = \frac{2}{a^2} + 0{,}2\). 4. Aufstellen der Zielfunktion für die Oberfläche (oben offen): \(A(a) = a^2 + 4a \cdot H\). 5. Einsetzen von \(H\): \(A(a) = a^2 + 4a \cdot \left(\frac{2}{a^2} + 0{,}2\right) = a^2 + \frac{8}{a} + 0{,}8a\). 6. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(a) = 2a - \frac{8}{a^2} + 0{,}8\). 7. Extremwertbedingung \(A'(a) = 0\): \(2a - \frac{8}{a^2} + 0{,}8 = 0 \implies 2a^3 + 0{,}8a^2 - 8 = 0 \implies a^3 + 0{,}4a^2 - 4 = 0\). 8. Numerische Lösung ergibt \(a \approx 1{,}46\,\text{m}\). 9. Berechnung der Gesamthöhe: \(H = \frac{2}{1{,}46^2} + 0{,}2 \approx 1{,}13\,\text{m}\). 10. Die zweite Ableitung \(A''(a) = 2 + \frac{16}{a^3}\) ist positiv für \(a > 0\), daher liegt ein Minimum vor.

Die Seitenlänge beträgt \(a \approx 1{,}46\,\text{m}\) und die Gesamthöhe beträgt \(H \approx 1{,}13\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie Breite und Höhe eines Rechtecks zusammenhängen, das genau in einen Kreis passt. - Drücke eine der beiden Variablen durch die andere aus, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten. - Nutze die Ableitungsregeln, um das Maximum der Funktion zu finden. - Für den allgemeinen Nachweis solltest du mit der Variable für den Durchmesser rechnen, anstatt einen konkreten Zahlenwert einzusetzen.

1. Aufstellen der Nebenbedingung über den Satz des Pythagoras im kreisförmigen Querschnitt: \(b^2 + h^2 = d^2\), woraus \(h^2 = d^2 - b^2\) folgt. 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Steifigkeit in Abhängigkeit von \(b\): \(S(b) = kb(d^2 - b^2)^{1{,}5}\). 3. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(S'(b) = k \cdot \sqrt{d^2 - b^2} \cdot (d^2 - 4b^2)\). 4. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der Ableitung: \(d^2 - 4b^2 = 0 \Rightarrow b = \frac{d}{2}\). 5. Berechnung der Maße für \(d = 40\,\text{cm}\): \(b = 20\,\text{cm}\) und \(h = \sqrt{40^2 - 20^2} = \sqrt{1200} \approx 34{,}64\,\text{cm}\). 6. Allgemeiner Nachweis des Verhältnisses: Mit \(b = \frac{d}{2}\) ergibt sich \(h^2 = d^2 - \frac{d^2}{4} = \frac{3}{4}d^2\), also \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}d\). Das Verhältnis \(\frac{h}{b}\) ist somit \(\frac{\sqrt{3}d/2}{d/2} = \sqrt{3}\).

a) Die optimale Breite beträgt \(b = 20\,\text{cm}\) und die optimale Höhe \(h \approx 34{,}64\,\text{cm}\). b) Die Behauptung ist korrekt, da das Verhältnis \(\frac{h}{b} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}d}{\frac{1}{2}d} = \sqrt{3}\) konstant ist.

- Überlege dir, wie die Höhe der Pyramide und die Position ihrer Grundfläche innerhalb der Kugel zusammenhängen. - Eine Skizze des Querschnitts durch die Kugelmitte, der zwei gegenüberliegende Ecken der Grundfläche enthält, kann beim Finden der Nebenbedingung helfen. - Versuche, die Grundkantenlänge mithilfe des Satzes von Pythagoras durch die Höhe und den Radius der Kugel auszudrücken. - Was genau ist die Zielgröße, die hier optimiert werden soll?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen der Pyramide: \(V = \frac{1}{3} a^2 h\). 2. Herleiten der Nebenbedingung über den Querschnitt der Kugel durch die Diagonale der Grundfläche und die Pyramidenspitze. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für den Radius des Umkreises der Grundfläche \(r_G\): \(r_G^2 + (h - R)^2 = R^2\). 3. Da bei einer quadratischen Grundfläche mit Kantenlänge \(a\) für den Umkreisradius \(r_G = \frac{a}{\sqrt{2}}\) gilt, folgt \(r_G^2 = \frac{a^2}{2}\). Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt \(\frac{a^2}{2} = R^2 - (h - R)^2 = 2Rh - h^2\), also \(a^2 = 4Rh - 2h^2\). 4. Einsetzen von \(a^2\) in die Zielfunktion: \(V(h) = \frac{1}{3} (4Rh - 2h^2) h = \frac{4}{3}Rh^2 - \frac{2}{3}h^3\). 5. Bestimmen des Extremums durch Ableiten und Nullsetzen: \(V'(h) = \frac{8}{3}Rh - 2h^2 = 0\). Dies liefert neben der trivialen Lösung \(h = 0\) den Wert \(h = \frac{4}{3}R\). 6. Berechnung der zugehörigen Grundkante: \(a^2 = 4R \cdot \frac{4}{3}R - 2 \cdot (\frac{4}{3}R)^2 = \frac{16}{3}R^2 - \frac{32}{9}R^2 = \frac{16}{9}R^2\), woraus \(a = \frac{4}{3}R\) folgt.

Die Pyramide erreicht ihr maximales Volumen für eine Höhe von \(h = \frac{4}{3}R\) und eine Grundkantenlänge von \(a = \frac{4}{3}R\).

- Nutze die gegebenen Bedingungen, um alle Seitenlängen durch die Variable \(a\) auszudrücken. - Denke daran, dass die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist. - Um den Flächeninhalt zu maximieren, kann es hilfreich sein, das Quadrat der Flächenformel zu betrachten, um die Wurzel zu umgehen. - Achte bei der Rotation darauf, welche Seite die Höhe und welche der Radius des Kegels ist.

1. Nebenbedingungen aufstellen: \(a + c = 12 \Rightarrow c = 12 - a\) und \(a^2 + b^2 = c^2\). 2. Ausdruck für die zweite Kathete finden: \(b^2 = (12 - a)^2 - a^2 = 144 - 24a + a^2 - a^2 = 144 - 24a\), also \(b = \sqrt{144 - 24a}\). 3. Teil a: Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A(a) = \frac{1}{2} a \cdot \sqrt{144 - 24a}\). Zur Vereinfachung wird das Quadrat der Funktion \(f(a) = A^2 = \frac{1}{4} a^2 (144 - 24a) = 36a^2 - 6a^3\) maximiert. 4. Ableitung bilden: \(f'(a) = 72a - 18a^2\). Nullstellen bei \(a = 0\) (Minimum) und \(a = 4\). 5. Ergebnis für a): Bei \(a = 4\,\text{cm}\) ergeben sich \(c = 8\,\text{cm}\) und \(b = \sqrt{144 - 96} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). 6. Teil b: Bei Rotation um \(a\) ist \(a\) die Höhe und \(b\) der Radius des Kegels. Zielfunktion \(V(a) = \frac{1}{3} \pi b^2 a = \frac{1}{3} \pi (144 - 24a) a = 48\pi a - 8\pi a^2\). 7. Ableitung bilden: \(V'(a) = 48\pi - 16\pi a\). Nullstelle bei \(a = 3\). 8. Ergebnis für b): Bei \(a = 3\,\text{cm}\) ergeben sich \(c = 9\,\text{cm}\) und \(b = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

a) Maximaler Flächeninhalt bei \(a = 4\,\text{cm}\), \(b = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}\) und \(c = 8\,\text{cm}\). b) Maximales Volumen bei \(a = 3\,\text{cm}\), \(b = 6\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 8{,}49\,\text{cm}\) und \(c = 9\,\text{cm}\).

- Stelle eine Beziehung zwischen dem Zylinderradius, der Zylinderhöhe und dem Kugelradius auf. Ein rechtwinkliges Dreieck im Querschnitt hilft dabei. - Die Mantelfläche eines Zylinders berechnet sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe. - Manchmal ist es einfacher, das Quadrat einer Funktion zu maximieren, um Wurzeln bei der Ableitung zu vermeiden. - Was bedeutet ein Verhältnis von \(2\) geometrisch für die Form des Zylinders im Vergleich zu seinem Durchmesser?

1. Aufstellen der Formel für die Mantelfläche: \(M = 2\pi r h\). 2. Geometrische Nebenbedingung: Im Achsenschnitt bildet die Diagonale des Zylinders den Kugeldurchmesser \(2R\). Nach Pythagoras gilt \((2r)^2 + h^2 = (2R)^2\), also \(r = \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}}\). 3. Zielfunktion: \(M(h) = 2\pi h \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}} = \pi \sqrt{4R^2 h^2 - h^4}\). 4. Extremwertbestimmung: Es genügt, das Maximum des Radikanden \(f(h) = 4R^2 h^2 - h^4\) zu finden. Die Ableitung \(f'(h) = 8R^2 h - 4h^3\) liefert für \(h > 0\) die Nullstelle \(h = \sqrt{2}R\). Die zweite Ableitung \(f''(h) = 8R^2 - 12h^2\) ist an dieser Stelle negativ, es liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung von \(r\): Für \(h = \sqrt{2}R\) ergibt sich \(r = \sqrt{R^2 - \frac{2R^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}R^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}\). 6. Verhältnisprüfung: Der Quotient \(\frac{h}{r} = \frac{\sqrt{2}R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).

Die optimale Höhe ist \(h = \sqrt{2}R\). Das Verhältnis von Höhe zu Radius ist \(\frac{h}{r} = 2\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilflächen sich die Oberfläche der oben offenen Schachtel zusammensetzt. - Stelle eine Gleichung für das Volumen auf, das optimiert werden soll. - Nutze die gegebene Oberfläche, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - An welcher Stelle ist die Steigung der Volumenfunktion null? - Vergiss nicht, die zweite Ableitung zu nutzen, um zu zeigen, dass das Volumen dort wirklich am größten ist.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(x, h) = x^2h\). 2. Nebenbedingung für die Oberfläche (Boden plus vier Seitenwände): \(O = x^2 + 4xh = 1200\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{1200 - x^2}{4x}\). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(x) = x^2\frac{1200 - x^2}{4x} = \frac{1}{4}(1200x - x^3) = 300x - 0{,}25x^3\). 5. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(x) = 300 - 0{,}75x^2\). 6. Nullstellen von \(V'(x)\) bestimmen: \(300 - 0{,}75x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 400 \Rightarrow x = 20\) (da \(x > 0\)). 7. Nachweis des Maximums mit der zweiten Ableitung: \(V''(x) = -1{,}5x\). Da \(V''(20) = -30 < 0\), liegt ein Maximum vor. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{1200 - 20^2}{4 \cdot 20} = \frac{800}{80} = 10\). Die Schachtel hat die Maße \(x = 20\,\text{cm}\) und \(h = 10\,\text{cm}\).

Das Volumen ist maximal für eine Grundseitenlänge von \(x = 20\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 10\,\text{cm}\).

- Skizziere die Situation und unterscheide zwischen der bedruckten Fläche und der Gesamtfläche des Plakats. - Drücke die Gesamthöhe und Gesamtbreite durch die Maße der bedruckten Fläche und die Randbreiten aus. - Die Zielfunktion beschreibt den gesamten Papierverbrauch, also die gesamte Fläche des Plakats. - Nutze den festen Wert der bedruckten Fläche, um eine Variable in deiner Zielfunktion zu eliminieren.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Breite und \(y\) die Höhe der bedruckten Fläche. Die Gesamtbreite ist \(B = x + 4\) und die Gesamthöhe ist \(H = y + 6\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Gesamtfläche \(A_{ges}\): \(A_{ges}(x, y) = (x + 4)(y + 6)\). 3. Nebenbedingung für die bedruckte Fläche: \(xy = 384\), also \(y = \frac{384}{x}\). 4. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(A_{ges}(x) = (x + 4)(\frac{384}{x} + 6) = 384 + 6x + \frac{1536}{x} + 24 = 6x + \frac{1536}{x} + 408\). 5. Ableitung bilden: \(A_{ges}'(x) = 6 - \frac{1536}{x^2}\). 6. Extremstelle bestimmen: \(6 - \frac{1536}{x^2} = 0 \implies x^2 = 256 \implies x = 16\) (da \(x > 0\)). 7. Überprüfung: \(A_{ges}''(x) = \frac{3072}{x^3} > 0\) für \(x=16\), also liegt ein Minimum vor. 8. Berechnung der Gesamtabmessungen: \(x = 16 \implies B = 16 + 4 = 20\,\text{cm}\). Die Höhe der bedruckten Fläche ist \(y = \frac{384}{16} = 24\), also \(H = 24 + 6 = 30\,\text{cm}\).

Das Plakat sollte eine Gesamtbreite von \(20\,\text{cm}\) und eine Gesamthöhe von \(30\,\text{cm}\) haben.

- Wie berechnet man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge? - Welche Kanten des Fensters gehören zum äußeren Umfang und welche nicht? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Welche mathematische Bedingung muss für ein Maximum erfüllt sein? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit gemacht werden.

1. Hauptbedingung: Der Flächeninhalt \(A\) ist die Summe aus Rechtecksfläche \(bh\) und Dreiecksfläche \(\frac{\sqrt{3}}{4} b^2\). Also \(A(b, h) = bh + \frac{\sqrt{3}}{4} b^2\). 2. Nebenbedingung: Der Umfang \(U\) setzt sich aus der unteren Seite \(b\), den zwei vertikalen Seiten \(h\) und den zwei oberen Seiten des gleichseitigen Dreiecks (jeweils \(b\)) zusammen. Es gilt: \(U = 3b + 2h = 300\). 3. Zielfunktion: Aus der Nebenbedingung folgt \(h = 150 - 1{,}5b\). Einsetzen in \(A\) liefert \(A(b) = b(150 - 1{,}5b) + \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 = 150b - \frac{6 - \sqrt{3}}{4} b^2\). 4. Extremwertberechnung: Die Ableitung \(A'(b) = 150 - \frac{6 - \sqrt{3}}{2} b\) wird null für \(b = \frac{300}{6 - \sqrt{3}} \approx 70{,}30\,\text{cm}\). 5. Berechnung von \(h\): Einsetzen in die Gleichung für \(h\) ergibt \(h = \frac{450 - 150\sqrt{3}}{6 - \sqrt{3}} \approx 44{,}55\,\text{cm}\). Da \(A''(b) < 0\), liegt ein Maximum vor.

Die Breite des Fensters beträgt \(b = \frac{300}{6 - \sqrt{3}} \approx 70{,}30\,\text{cm}\) und die Höhe des rechteckigen Teils beträgt \(h = \frac{450 - 150\sqrt{3}}{6 - \sqrt{3}} \approx 44{,}55\,\text{cm}\).

- Kannst du die Situation in einem Koordinatensystem darstellen? Wo liegen die Eckpunkte der Bruchlinie? - Was ist die Zielgröße, die maximiert werden soll, und von welchen Variablen hängt sie ab? - Wie hängen die Breite und die Höhe des neuen Rechtecks zusammen, wenn eine Ecke auf der Bruchlinie liegen muss? - Überlege dir, für welchen Bereich von \(x\) die Bruchlinie überhaupt relevant ist.

1. Legen des Koordinatensystems mit dem Ursprung in die unbeschädigte Ecke: Die Platte erstreckt sich von \(x = 0\) bis \(x = 120\) und von \(y = 0\) bis \(y = 80\). 2. Bestimmung der Eckpunkte der Bruchkante: Mittelpunkt der langen Seite bei \((60 \mid 80)\), Mittelpunkt der kurzen Seite bei \((120 \mid 40)\). 3. Aufstellen der Geradengleichung für die Bruchkante: Steigung \(m = \frac{40 - 80}{120 - 60} = -\frac{2}{3}\). Gleichung: \(y = -\frac{2}{3}(x - 60) + 80 = -\frac{2}{3}x + 120\). 4. Definition der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A(x) = xy\) unter Verwendung der Nebenbedingung \(y = -\frac{2}{3}x + 120\): \(A(x) = x(-\frac{2}{3}x + 120) = -\frac{2}{3}x^2 + 120x\). 5. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(x) = -\frac{4}{3}x + 120\). Nullsetzen liefert \(-\frac{4}{3}x = -120 \Rightarrow x = 90\). 6. Prüfung der Randwerte und der zweiten Ableitung: Da \(A''(x) = -\frac{4}{3} < 0\), liegt ein Maximum vor. Für \(x = 90\) ergibt sich \(y = -\frac{2}{3} \cdot 90 + 120 = 60\). 7. Vergleich mit den Eckpunkten der Bruchstrecke: \(A(60) = 4800\,\text{cm}^2\), \(A(120) = 4800\,\text{cm}^2\), \(A(90) = 5400\,\text{cm}^2\). Das Maximum ist \(5400\,\text{cm}^2\).

Die neue Glasplatte hat die Maße \(90\,\text{cm} \times 60\,\text{cm}\).

- Welche Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders kennst du? - Überlege, welche Größe fest vorgegeben ist und welche maximiert werden soll. - Kannst du eine der Variablen in der Volumenformel durch die Oberflächenformel ersetzen? - Wie findet man rechnerisch den höchsten Punkt einer Funktion? - Für den prozentualen Vergleich hilft das Verhältnis der beiden Volumina.

1. Für die gegebene Dose gilt \(V_1=\pi \cdot (3{,}3\,\text{cm})^2 \cdot 11{,}5\,\text{cm}\approx393{,}44\,\text{cm}^3\). Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\pi \cdot (3{,}3\,\text{cm})^2+2\pi \cdot 3{,}3\,\text{cm}\cdot11{,}5\,\text{cm}=97{,}68\pi\,\text{cm}^2\approx306{,}87\,\text{cm}^2\). 2. Für eine Dose mit demselben Oberflächeninhalt gilt \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). Daraus folgt \(h=\frac{O}{2\pi r}-r\). 3. Einsetzen in \(V=\pi r^2h\) ergibt \(V(r)=\frac{O}{2}r-\pi r^3\). 4. Es ist \(V'(r)=\frac{O}{2}-3\pi r^2\). Aus \(V'(r)=0\) folgt \(r=\sqrt{\frac{O}{6\pi}}=\sqrt{16{,}28}\,\text{cm}\approx4{,}03\,\text{cm}\). Da \(V''(r)=-6\pi r<0\) für \(r>0\), liegt ein Maximum vor. 5. Mit der Nebenbedingung ergibt sich \(h=2r\approx8{,}07\,\text{cm}\). 6. Das maximale Volumen beträgt \(V_{\max}=\pi r^2h\approx412{,}73\,\text{cm}^3\). 7. Die prozentuale Vergrößerung ist \(\left(\frac{V_{\max}}{V_1}-1\right)\cdot100\,\%\approx4{,}90\,\%\).

a) \(V\approx393{,}44\,\text{cm}^3\); \(O\approx306{,}87\,\text{cm}^2\) b) \(r\approx4{,}03\,\text{cm}\); \(h\approx8{,}07\,\text{cm}\) c) Das Volumen ist um etwa \(4{,}90\,\%\) größer.

- Stelle mithilfe des Strahlensatzes den Zylinderradius in Abhängigkeit von der Zylinderhöhe dar. - Setze diese Beziehung in die Volumenformel ein und untersuche die Ableitung im geometrisch sinnvollen Bereich. - Übertrage das selbst hergeleitete Verhältnis anschließend auf den Restkegel. - Berechne die beiden Zylindervolumina und vergleiche ihre Summe mit dem Volumen des ursprünglichen Kegels.

1. Das Volumen eines einbeschriebenen Zylinders ist \(V=\pi r^2h\). Mit dem Strahlensatz \(r=R\left(1-\frac{h}{H}\right)\) ergibt sich \(V(h)=\pi R^2h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2\). Die Ableitung lässt sich faktorisieren: \(V'(h)=\pi R^2\left(1-\frac{h}{H}\right)\left(1-\frac{3h}{H}\right)\). Im Bereich \(0<h<H\) wechselt \(V'\) bei \(h=\frac{H}{3}\) von Plus nach Minus. Dort liegt daher das Volumenmaximum; der zugehörige Radius ist \(r=\frac{2R}{3}\). Für den ersten Zylinder gilt: \(h_1=\frac{1}{3}\cdot18\,\text{cm}=6\,\text{cm}\) und \(r_1=\frac{2}{3}\cdot9\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). Der Restkegel besitzt \(H_2=12\,\text{cm}\) und \(R_2=6\,\text{cm}\). Für den zweiten Zylinder gilt entsprechend: \(h_2=\frac{1}{3}\cdot12\,\text{cm}=4\,\text{cm}\) und \(r_2=\frac{2}{3}\cdot6\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 2. Das Volumen des ursprünglichen Kegels ist \(V_K=\frac{1}{3}\pi\cdot9^2\cdot18=486\pi\,\text{cm}^3\). Die Zylindervolumina sind \(V_{Z1}=\pi\cdot6^2\cdot6=216\pi\,\text{cm}^3\) und \(V_{Z2}=\pi\cdot4^2\cdot4=64\pi\,\text{cm}^3\). Damit ist \(\frac{V_{Z1}+V_{Z2}}{V_K}=\frac{280\pi}{486\pi}=\frac{140}{243}\approx0{,}576\).

1. Zylinder 1: \(r_1 = 6\,\text{cm}\), \(h_1 = 6\,\text{cm}\); Zylinder 2: \(r_2 = 4\,\text{cm}\), \(h_2 = 4\,\text{cm}\). 2. Das Verhältnis beträgt \(\frac{140}{243} \approx 0{,}576\).

- Das Gesamtvolumen setzt sich aus zwei Teilkörpern zusammen. Nutze diese Information für die Nebenbedingung. - Verwende den Satz des Pythagoras, um die Mantellinie des Kegels durch den Radius auszudrücken. - Die Zielfunktion beschreibt die Summe der Mantelflächen von Zylinder und Kegel. - Überlege dir, welche Variable du in der Zielfunktion ersetzen kannst, um eine Funktion in Abhängigkeit von nur einer Unbekannten zu erhalten. - Denk daran, am Ende zu prüfen, ob deine Lösung für die Höhe im Sachzusammenhang sinnvoll (positiv) ist.

1. Bestimmung des Gesamtvolumens: \(V = V_{\text{Zyl}} + V_{\text{Keg}} = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^2r = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^3 = 600\). 2. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{600 - \frac{1}{3} \pi r^3}{\pi r^2} = \frac{600}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r\). 3. Aufstellen der Mantelflächenfunktion: \(A(r) = M_{\text{Zyl}} + M_{\text{Keg}} = 2\pi r h + \pi r s\). Mit der Mantellinie \(s = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}\) folgt: \(A(r) = 2\pi r (\frac{600}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r) + \pi r^2 \sqrt{2} = \frac{1200}{r} - \frac{2}{3}\pi r^2 + \sqrt{2}\pi r^2\). 4. Zusammenfassen der Zielfunktion: \(A(r) = \frac{1200}{r} + \pi r^2 (\sqrt{2} - \frac{2}{3})\). 5. Ableitung bilden und Nullstelle suchen: \(A'(r) = -\frac{1200}{r^2} + 2\pi r (\sqrt{2} - \frac{2}{3}) = 0\). 6. Auflösen nach \(r\): \(r^3 = \frac{600}{\pi (\sqrt{2} - \frac{2}{3})} \approx 255{,}48 \Rightarrow r \approx 6{,}345\,\text{m}\). 7. Überprüfung mittels zweiter Ableitung: \(A''(r) = \frac{2400}{r^3} + 2\pi (\sqrt{2} - \frac{2}{3}) > 0\) für \(r > 0\), also Minimum. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{600}{\pi \cdot 6{,}345^2} - \frac{6{,}345}{3} \approx 4{,}744 - 2{,}115 \approx 2{,}629\,\text{m}\).

Der Stoffverbrauch ist minimal für einen Radius von \(r \approx 6{,}35\,\text{m}\) und eine Zylinderhöhe von \(h \approx 2{,}63\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie der Radius der Halbkugel, der Radius des Zylinders und die Höhe des Zylinders in einer Skizze zusammenhängen. Welches rechtwinklige Dreieck lässt sich finden? - Welche Größe soll maximiert werden? Formuliere dafür eine passende Formel. - Kannst du eine der Variablen in deiner Formel durch die andere ausdrücken, indem du den Zusammenhang aus der Skizze nutzt? - Erinnere dich an die Schritte zur Extremwertberechnung: Ableiten, Nullstellen finden und die Art des Extremums prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r, h) = \pi r^2h\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung unter Verwendung des Satzes des Pythagoras im Querschnitt der Halbkugel: \(r^2 + h^2 = R^2\), also \(r^2 = 100 - h^2\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(V(h) = \pi(100 - h^2)h = 100\pi h - \pi h^3\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(h) = 100\pi - 3\pi h^2\). 5. Ermittlung der notwendigen Bedingung für Extrema (\(V'(h) = 0\)): \(3\pi h^2 = 100\pi \Rightarrow h^2 = \frac{100}{3} \Rightarrow h = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77\,\text{cm}\). 6. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(V''(h) = -6\pi h\). Da \(V''(\frac{10}{\sqrt{3}}) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung des Radius: \(r = \sqrt{100 - \frac{100}{3}} = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 8{,}16\,\text{cm}\).

Das Volumen des Zylinders wird maximal für eine Höhe von \(h = \frac{10}{\sqrt{3}}\,\text{cm} \approx 5{,}77\,\text{cm}\) und einen Radius von \(r = 10\sqrt{\frac{2}{3}}\,\text{cm} \approx 8{,}16\,\text{cm}\).

- Erstelle zuerst eine Formel für die Kosten, die sowohl die Fläche als auch den jeweiligen Preis pro Quadratmeter berücksichtigt. - Beachte, dass der Behälter oben offen ist – wie wirkt sich das auf die Oberflächenformel aus? - Nutze das gegebene Volumen, um eine Variable durch die andere auszudrücken. - Die Kostenfunktion hängt nach der Substitution nur noch vom Radius ab. - Gehe wie bei einer klassischen Kurvendiskussion vor, um das Minimum zu finden.

1. Aufstellen der Kostenfunktion: \(K(r, h) = 60 \cdot \pi r^2 + 35 \cdot 2\pi rh\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 2{,}5 \Rightarrow h = \frac{2{,}5}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen von \(h\) in die Kostenfunktion: \(K(r) = 60\pi r^2 + \frac{175}{r}\). 4. Ableiten der Kostenfunktion: \(K'(r) = 120\pi r - \frac{175}{r^2}\). 5. Nullstelle der Ableitung finden: \(120\pi r^3 = 175 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{175}{120\pi}} = \sqrt[3]{\frac{35}{24\pi}} \approx 0{,}77\,\text{m}\). 6. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(K''(r) = 120\pi + \frac{350}{r^3} > 0\) für \(r > 0\) zeigt ein Minimum an. 7. Höhe berechnen: \(h = \frac{2{,}5}{\pi \cdot 0{,}7743^2} \approx 1{,}33\,\text{m}\).

Der optimale Radius beträgt ca. \(0{,}77\,\text{m}\) und die optimale Höhe beträgt ca. \(1{,}33\,\text{m}\).

- Hier soll nicht die Fläche, sondern die Kostenfunktion minimiert werden. Multipliziere die Teilflächen mit ihren jeweiligen Preisen. - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine der Abmessungen zu eliminieren. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Minimalstelle gelten? - Vergiss nicht, am Ende auch die Höhe der Schachtel zu berechnen.

1. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\) in Abhängigkeit von den Flächeninhalten: \(K = 0{,}20 \cdot (2 \cdot a^2) + 0{,}10 \cdot (4 \cdot a \cdot h) = 0{,}4a^2 + 0{,}4ah\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für das Volumen: \(V = a^2h = 250\), woraus folgt \(h = \frac{250}{a^2}\). 3. Substitution von \(h\) in die Kostenfunktion zur Zielfunktion: \(K(a) = 0{,}4a^2 + 0{,}4a \cdot \frac{250}{a^2} = 0{,}4a^2 + \frac{100}{a}\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(K'(a) = 0{,}8a - \frac{100}{a^2}\). 5. Berechnung der Extremstelle durch \(K'(a) = 0\): \(0{,}8a = \frac{100}{a^2} \Rightarrow a^3 = \frac{100}{0{,}8} = 125\). Dies liefert \(a = 5\,\text{cm}\). 6. Verifizierung des Minimums: \(K''(a) = 0{,}8 + \frac{200}{a^3}\), was für \(a = 5\) positiv ist (\(K''(5) = 2{,}4 > 0\)). 7. Ermittlung der Höhe: \(h = \frac{250}{5^2} = \frac{250}{25} = 10\,\text{cm}\).

Die Materialkosten sind minimal, wenn die Grundkante \(a = 5\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 10\,\text{cm}\) beträgt.

- Stelle zunächst das Volumen des Quaders auf. - Für eine feste Grundkante wird das Volumen mit wachsender Länge größer. - Beachte beide Beschränkungen für \(l\); je nach Größe von \(a\) ist eine andere Schranke maßgeblich. - Untersuche die entstehenden Bereiche getrennt und vergleiche anschließend ihre größten Volumen.

1. Das Volumen ist \(V(a,l)=a^2l\). 2. Es gelten die Nebenbedingungen \(l+4a\le160\), \(l\le80\), \(a>0\) und \(l>0\). Für festes \(a\) wächst das Volumen mit \(l\). Daher ist jeweils die größtmögliche zulässige Länge zu wählen: \(l=\min(80,160-4a)\). 3. Für \(0<a\le20\) gilt \(l=80\). Dann ist \(V_1(a)=80a^2\), also auf diesem Bereich streng steigend. Das größte Volumen dieses Bereichs wird bei \(a=20\) erreicht und beträgt \(32\,000\,\text{cm}^3\). 4. Für \(20\le a<40\) gilt \(l=160-4a\). Damit ist \(V_2(a)=a^2(160-4a)=160a^2-4a^3\). 5. Es ist \(V_2'(a)=320a-12a^2=4a(80-3a)\). Die relevante stationäre Stelle ist \(a=\frac{80}{3}\,\text{cm}\). 6. Da \(V_2''(a)=320-24a\) und \(V_2''\left(\frac{80}{3}\right)=-320<0\), liegt in diesem Bereich ein Maximum vor. Die zugehörige Länge ist \(l=160-4\cdot\frac{80}{3}=\frac{160}{3}\,\text{cm}\). 7. Das Volumen beträgt \(V_{\max}=\left(\frac{80}{3}\right)^2\cdot\frac{160}{3}=\frac{1024000}{27}\,\text{cm}^3\approx37\,925{,}93\,\text{cm}^3\). Da dieser Wert größer als \(32\,000\,\text{cm}^3\) ist, handelt es sich um das globale Maximum unter beiden Versandbedingungen.

Das Paket hat das maximale Volumen bei einer Seitenlänge von \(a = \frac{80}{3}\,\text{cm} \approx 26{,}67\,\text{cm}\) und einer Länge von \(l = \frac{160}{3}\,\text{cm} \approx 53{,}33\,\text{cm}\). Das maximale Volumen beträgt etwa \(37\,925{,}93\,\text{cm}^3\).

- Erstelle zuerst eine Gleichung für die Gesamtlänge der acht Kanten. - Ersetze in der Volumenformel das \(h\) durch einen Ausdruck mit \(a\), um die Formel aus Aufgabenteil a) zu erhalten. - Überlege dir gut, welchen Bereich die Seitenlänge \(a\) annehmen darf, wenn die Höhe mindestens \(40\,\text{cm}\) sein muss. - Untersuche den Verlauf der Volumenfunktion. Steigt oder fällt das Volumen, wenn \(a\) sich der Grenze des erlaubten Bereichs nähert? - Wenn eine Funktion in einem Bereich immer weiter ansteigt und dann der Bereich endet, wo muss dann das Maximum liegen?

1. Aufstellen der Bedingung für die Kantenlänge: \(4a + 4h = 360\). Vereinfachen zu \(a + h = 90\), woraus folgt \(h = 90 - a\). 2. Einsetzen in die Volumenformel \(V = a^2h\): \(V(a) = a^2(90 - a) = 90a^2 - a^3\). 3. Berücksichtigung des Definitionsbereichs durch die Bedingung \(h \ge 40\): \(90 - a \ge 40 \Rightarrow a \le 50\). Da \(a\) und \(h\) positiv sein müssen, gilt \(0 < a \le 50\). 4. Ableitung der Volumenfunktion: \(V'(a) = 180a - 3a^2\). 5. Suche nach Extremstellen: \(3a(60 - a) = 0\) liefert \(a = 0\) (Minimum) und \(a = 60\). 6. Analyse der Monotonie: Da die einzige für ein Maximum relevante Nullstelle der Ableitung (\(a = 60\)) außerhalb des zulässigen Bereichs \((0; 50]\) liegt und \(V'(a) > 0\) für alle \(a \in (0; 50)\) gilt, ist die Funktion im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. 7. Das Maximum liegt daher am rechten Rand des Intervalls bei \(a = 50\). 8. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = 90 - 50 = 40\,\text{cm}\). 9. Berechnung des Volumens: \(V(50) = 50^2 \cdot 40 = 2500 \cdot 40 = 100\,000\,\text{cm}^3\).

a) Nachweis durch \(h = 90 - a\) und \(V = a^2h\). b) \(a = 50\,\text{cm}\) und \(h = 40\,\text{cm}\) c) \(V_{\max} = 100\,000\,\text{cm}^3\)

- Was genau soll minimiert werden? Formuliere dafür einen mathematischen Ausdruck. - Welche Information aus dem Text dient als feste Bedingung, um die Variablen zu verknüpfen? - Achte darauf, dass der Behälter oben offen ist – wie wirkt sich das auf die Formel für die Oberfläche aus? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um eine Funktion mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Wie findest du mit Hilfe der Ableitung den tiefsten Punkt einer Funktion?

1. Zielfunktion für die Oberfläche \(O\) eines oben offenen Quaders mit quadratischer Grundseite \(a\) und Höhe \(h\) aufstellen: \(O(a, h) = a^2 + 4ah\). 2. Nebenbedingung für das Volumen nutzen: \(V = a^2h = 108 \Rightarrow h = \frac{108}{a^2}\). 3. Zielfunktion in Abhängigkeit von \(a\) formulieren: \(f(a) = a^2 + 4a \cdot \frac{108}{a^2} = a^2 + \frac{432}{a}\). 4. Ableitung bilden: \(f'(a) = 2a - \frac{432}{a^2}\). 5. Extremstelle berechnen: \(2a - \frac{432}{a^2} = 0 \Rightarrow 2a^3 = 432 \Rightarrow a^3 = 216 \Rightarrow a = 6\). 6. Minimum durch die zweite Ableitung \(f''(a) = 2 + \frac{864}{a^3}\) bestätigen: \(f''(6) = 2 + \frac{864}{216} = 6 > 0\). 7. Die Höhe berechnen: \(h = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3\). 8. Ergebnis: Die Grundkante beträgt \(6\,\text{dm}\), die Höhe \(3\,\text{dm}\).

Die Grundkanten des Behälters müssen jeweils \(6\,\text{dm}\) lang sein, die Höhe des Behälters muss \(3\,\text{dm}\) betragen.

- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Fenster zusammen? - Welche Linien gehören zum Außenumfang des gesamten Fensters? Beachte, dass die Trennlinie zwischen Rechteck und Halbkreis nicht zum Umfang zählt. - Stelle eine Gleichung für den Umfang auf und löse sie nach einer der Unbekannten auf. - Setze diesen Ausdruck in die Flächenformel ein, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Variablen abhängt. - Wie findet man rechnerisch den höchsten Wert einer solchen Funktion?

1. Hauptbedingung für den Flächeninhalt aufstellen: \(A = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2\) (wobei \(2r\) die Breite des Rechtecks ist). 2. Nebenbedingung für den Umfang formulieren: \(U = 2h + 2r + \pi r = 6\). 3. Nebenbedingung nach \(h\) auflösen: \(h = 3 - r - \frac{\pi}{2}r = 3 - r(1 + \frac{\pi}{2})\). 4. Zielfunktion \(A(r)\) bilden: \(A(r) = 2r(3 - r(1 + \frac{\pi}{2})) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 6r - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 = 6r - r^2(2 + \frac{\pi}{2})\). 5. Ableitung bestimmen: \(A'(r) = 6 - 2r(2 + \frac{\pi}{2}) = 6 - r(4 + \pi)\). 6. Extremstelle berechnen: \(6 - r(4 + \pi) = 0 \implies r = \frac{6}{4 + \pi} \approx 0{,}84\). 7. Art des Extremums prüfen: \(A''(r) = -(4 + \pi) < 0\), also liegt ein Maximum vor. 8. Höhe \(h\) berechnen: \(h = 3 - \frac{6}{4 + \pi} \cdot (1 + \frac{\pi}{2}) = 3 - \frac{6 \cdot (2 + \pi)}{2 \cdot (4 + \pi)} = \frac{3 \cdot (4 + \pi) - 3 \cdot (2 + \pi)}{4 + \pi} = \frac{6}{4 + \pi}\).

Die Fläche wird maximal für einen Radius von \(r = \frac{6}{4 + \pi}\,\text{m} \approx 0{,}84\,\text{m}\) und eine Rechteckhöhe von ebenfalls \(h = \frac{6}{4 + \pi}\,\text{m} \approx 0{,}84\,\text{m}\).

- Wie lauten die Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders? - Beachte, dass der Zylinder oben offen ist – wie verändert das die Formel für die Oberfläche? - Versuche, die Höhe \(h\) in der Volumenformel durch einen Ausdruck mit \(r\) und \(O\) zu ersetzen. - Vergleiche am Ende den Ausdruck für den optimalen Radius mit der Formel für die Höhe.

1. Zielfunktion für das Volumen eines Zylinders: \(V = \pi r^2 h\). 2. Nebenbedingung für die Oberfläche (Mantel plus Boden): \(O = \pi r^2 + 2\pi r h\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach der Höhe: \(h = \frac{O - \pi r^2}{2\pi r}\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion zur Ermittlung von \(V(r)\): \(V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{O - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{1}{2}(Or - \pi r^3)\). 5. Ableiten nach \(r\) und Nullsetzen der ersten Ableitung: \(V'(r) = \frac{1}{2}(O - 3\pi r^2) = 0\), woraus \(O = 3\pi r^2\) folgt. 6. Nachweis des Verhältnisses durch Einsetzen von \(O = 3\pi r^2\) in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{3\pi r^2 - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{2\pi r^2}{2\pi r} = r\). 7. Für \(O = 12\pi\) ergibt sich aus \(O = 3\pi r^2\): \(12\pi = 3\pi r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2\). 8. Da für das Maximum \(h = r\) gilt, folgt \(h = 2\). 9. Berechnung des Volumens: \(V = \pi \cdot 2^2 \cdot 2 = 8\pi\). Das maximale Volumen für \(O = 12\pi\,\text{m}^2\) beträgt \(V = 8\pi\,\text{m}^3 \approx 25{,}13\,\text{m}^3\) bei \(r = 2\,\text{m}\) und \(h = 2\,\text{m}\). 10. Außerdem gilt \(V''(r)=-3\pi r<0\) für \(r>0\); die gefundene Stelle ist daher tatsächlich eine Maximalstelle.

a) \(V(r) = \frac{1}{2}(Or - \pi r^3)\) b) Nachweis über \(V'(r) = 0 \implies O = 3\pi r^2\) und Einsetzen in \(h(r)\) ergibt \(h = r\). c) \(r = 2\,\text{m}\), \(h = 2\,\text{m}\), \(V = 8\pi\,\text{m}^3 \approx 25{,}13\,\text{m}^3\)

- Kannst du die Höhe und die Breite des Trapezes mithilfe von Winkelfunktionen ausdrücken? - Skizziere den Querschnitt und markiere den gesuchten Winkel. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Welche Werte für den Winkel sind im Kontext der Aufgabenstellung überhaupt sinnvoll? - Nutze Identitäten für Winkelfunktionen, um die Ableitung leichter berechnen zu können.

1. Aufstellen der Zielfunktion für die Querschnittsfläche \(A\): Das Trapez hat die Höhe \(h = 10 \cdot \sin(\alpha)\), die untere Seite \(b = 10\) und die obere Seite \(a = 10 + 2 \cdot 10 \cdot \cos(\alpha)\). 2. Die Flächenformel \(A = \frac{a+b}{2}h\) ergibt nach Einsetzen: \(A(\alpha) = (10 + 10 \cdot \cos(\alpha)) \cdot 10 \cdot \sin(\alpha) = 100 \cdot (\sin(\alpha) + \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha))\). 3. Vereinfachung mit der Doppelwinkelformel: \(A(\alpha) = 100\sin(\alpha) + 50\sin(2\alpha)\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(\alpha) = 100\cos(\alpha) + 100\cos(2\alpha)\). 5. Nullstellen von \(A'(\alpha)\) bestimmen: \(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha) = 0 \Rightarrow \cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) - 1 = 0\). 6. Substitution \(u = \cos(\alpha)\) führt zu \(2u^2 + u - 1 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 0{,}5\) und \(u_2 = -1\). 7. Für den Winkel zwischen einer hochgebogenen Seitenwand und der waagerechten Verlängerung des Bodens gilt \(0^\circ < \alpha \le 90^\circ\). Daher ist nur \(\cos(\alpha) = 0{,}5\) relevant, also \(\alpha = 60^\circ\). 8. Überprüfung der Randwerte und der zweiten Ableitung bestätigt das Maximum. 9. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(60^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1 + 0{,}5) = 75\sqrt{3} \approx 129{,}90\,\text{cm}^2\).

Der optimale Winkel beträgt \(\alpha = 60^\circ\). Die maximale Querschnittsfläche der Rinne ist dann \(A \approx 129{,}90\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir zuerst, aus welchen Teilstücken sich der Umfang zusammensetzt. - Stelle eine Formel für den gesamten Flächeninhalt auf, der sich aus zwei verschiedenen geometrischen Grundformen zusammensetzt. - Nutze die Umfangsgleichung, um eine der Variablen zu eliminieren. - Wie gehst du vor, um das Maximum einer Funktion zu bestimmen? - Am Ende ist nach einem Verhältnis gefragt, das heißt, du musst die beiden Maße durcheinander dividieren.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Das Fenster besteht aus einem Rechteck (\(bh\)) und einem gleichseitigen Dreieck (\(\frac{\sqrt{3}}{4}b^2\)), also \(A(b, h) = bh + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung für den Umfang \(u\): Der Umfang besteht aus der Basis \(b\), den zwei vertikalen Seiten \(2h\) und den zwei schrägen Seiten des Dreiecks \(2b\). Somit gilt \(u = 3b + 2h\). 3. Auflösen der Nebenbedingung nach \(h\): \(h = \frac{u - 3b}{2} = \frac{u}{2} - 1{,}5b\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(A(b) = b(\frac{u}{2} - 1{,}5b) + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{u}{2}b - 1{,}5b^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2\). 5. Ableiten und Nullstelle finden: \(A'(b) = \frac{u}{2} - 3b + \frac{\sqrt{3}}{2}b\). Setzt man \(A'(b) = 0\), erhält man \(b(3 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{u}{2}\), woraus \(b = \frac{u}{6 - \sqrt{3}}\) folgt. 6. Berechnung von \(h\): Durch Einsetzen von \(b\) in die Gleichung für \(h\) ergibt sich \(h = \frac{u - \frac{3u}{6 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{u(6 - \sqrt{3} - 3)}{2(6 - \sqrt{3})} = \frac{u(3 - \sqrt{3})}{2(6 - \sqrt{3})}\). 7. Bestimmung des Verhältnisses: \(\frac{h}{b} = \frac{u(3 - \sqrt{3})}{2(6 - \sqrt{3})} \cdot \frac{6 - \sqrt{3}}{u} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\).

Das Verhältnis von \(h\) zu \(b\) für einen maximalen Flächeninhalt beträgt \(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} \approx 0{,}634\).

- Wie berechnet man die Fläche der vier dreieckigen Seitenflächen einer Pyramide? - Stelle einen Zusammenhang zwischen der Seitenhöhe der Dreiecke, der Körperhöhe und der Grundseite auf. - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Volumens zu maximieren, um die Wurzel in der Rechnung zu eliminieren. - Welche Variable lässt sich am leichtesten aus der Gleichung für die Mantelfläche eliminieren?

1. Mantelfläche einer quadratischen Pyramide: \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} a h_s = 2 a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}} = a \sqrt{4H^2 + a^2}\). 2. Umstellen der Nebenbedingung nach \(H^2\): \(M^2 = a^2 (4H^2 + a^2) = 4a^2 H^2 + a^4 \implies H^2 = \frac{M^2 - a^4}{4a^2}\). 3. Zielfunktion für das Volumen (quadriert, um Wurzeln zu vermeiden): \(V^2(a) = \left(\frac{1}{3} a^2 H\right)^2 = \frac{1}{9} a^4 H^2 = \frac{1}{9} a^4 \cdot \frac{M^2 - a^4}{4a^2} = \frac{1}{36} (M^2 a^2 - a^6)\). 4. Ableiten von \(f(a) = M^2 a^2 - a^6\) nach \(a\): \(f'(a) = 2M^2 a - 6a^5\). 5. Nullstelle der Ableitung finden: \(2M^2 a = 6a^5 \implies M^2 = 3a^4\). 6. Einsetzen von \(M^2 = 4a^2 H^2 + a^4\) in das Ergebnis: \(3a^4 = 4a^2 H^2 + a^4 \implies 2a^4 = 4a^2 H^2 \implies a^2 = 2H^2\). 7. Bestimmung des Verhältnisses: \(a = H\sqrt{2}\) bzw. \(H = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a\).

Das Volumen ist maximal für \(a = H\sqrt{2}\) bzw. \(H = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

- Da der Behälter oben offen ist, besteht die Oberfläche nur aus dem Boden und der Mantelfläche. - Berücksichtige die unterschiedlichen Preise pro Quadratmeter direkt in deiner Zielfunktion. - Eliminiere die Variable \(h\) mithilfe der Volumenformel. - Wo liegt die Ableitung der Kostenfunktion bei null?

1. Aufstellen der Kostenfunktion: \(K(r, h) = 15 \cdot (\pi r^2) + 10 \cdot (2\pi rh)\). 2. Nebenbedingung über das Volumen: \(V = \pi r^2 h = 10\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{10}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen in die Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K(r) = 15\pi r^2 + 20\pi r \cdot \frac{10}{\pi r^2} = 15\pi r^2 + \frac{200}{r}\). 5. Bestimmung des Extremums: \(K'(r) = 30\pi r - \frac{200}{r^2} = 0 \Rightarrow 30\pi r^3 = 200 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{20}{3\pi}} \approx 1{,}29\,\text{m}\). 6. Nachweis des Minimums: \(K''(r) = 30\pi + \frac{400}{r^3}\); da \(K''(1{,}29) > 0\), liegt ein Minimum vor. 7. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{10}{\pi \cdot (1{,}285)^2} \approx 1{,}93\,\text{m}\). 8. Berechnung der minimalen Kosten: \(K(1{,}285) = 15\pi \cdot (1{,}285)^2 + \frac{200}{1{,}285} \approx 233{,}45\,\text{€}\).

Die Kosten werden minimal für einen Radius von \(r \approx 1{,}29\,\text{m}\) und eine Höhe von \(h \approx 1{,}93\,\text{m}\). Die minimalen Kosten betragen \(K \approx 233{,}45\,\text{€}\).

- Berechne zuerst die Mantellinie des Kegels in Abhängigkeit von \(r\). - Stelle die Gleichungen für die Oberfläche und das Volumen auf. Achte darauf, welche Flächen zur Gesamtoberfläche gehören. - Nutze die Oberflächengleichung als Nebenbedingung, um die Höhe \(h\) zu ersetzen. - Suche das Maximum der resultierenden Volumenfunktion durch Ableiten.

1. Berechnung der Mantellinie \(s\) des Kegels: \(s = \sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{r^2 + \left(\frac{4}{3}r\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9}r^2} = \frac{5}{3}r\). 2. Aufstellen der Formel für die Oberfläche \(O\) (Boden + Zylindermantel + Kegelmantel): \(O = \pi r^2 + 2\pi r h + \pi r s = \pi r^2 + 2\pi r h + \frac{5}{3}\pi r^2 = \frac{8}{3}\pi r^2 + 2\pi r h\). 3. Aufstellen der Formel für das Volumen \(V\): \(V = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^2 H = \pi r^2 h + \frac{4}{9}\pi r^3\). 4. Umstellen der Oberflächenformel nach \(h\): \(h = \frac{O - \frac{8}{3}\pi r^2}{2\pi r} = \frac{O}{2\pi r} - \frac{4}{3}r\). 5. Einsetzen in die Volumenformel: \(V(r) = \pi r^2 \left(\frac{O}{2\pi r} - \frac{4}{3}r\right) + \frac{4}{9}\pi r^3 = \frac{Or}{2} - \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{4}{9}\pi r^3 = \frac{Or}{2} - \frac{8}{9}\pi r^3\). 6. Ableiten nach \(r\): \(V'(r) = \frac{O}{2} - \frac{8}{3}\pi r^2\). 7. Nullsetzen der Ableitung: \(\frac{8}{3}\pi r^2 = \frac{O}{2} \Rightarrow O = \frac{16}{3}\pi r^2\). 8. Einsetzen von \(O\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\frac{16}{3}\pi r^2}{2\pi r} - \frac{4}{3}r = \frac{8}{3}r - \frac{4}{3}r = \frac{4}{3}r\). 9. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(V''(r) = -\frac{16}{3}\pi r < 0\) bestätigt das Maximum. Das Ergebnis ist \(h = \frac{4}{3}r\).

Das Volumen ist maximal, wenn die Zylinderhöhe \(h\) gleich der Kegelhöhe \(H\) ist, also \(h = \frac{4}{3} r\).

- Welche Teilkörper bilden den Tank und wie berechnet man deren Einzelvolumina und Oberflächen? - Nutze das vorgegebene Volumen, um eine der beiden Unbekannten (\(h\) oder \(r\)) durch die andere auszudrücken. - Überlege dir mithilfe des Satzes von Pythagoras, wie lang die Mantellinie der Kegel in Abhängigkeit vom Radius ist. - Suche das Minimum der Oberflächenfunktion durch Ableiten. - Es ist hilfreich, das Volumen \(V\) am Ende wieder durch den gefundenen Radius-Ausdruck zu ersetzen, um das Verhältnis zu bestimmen.

1. Aufstellen der Formeln für das Gesamtvolumen \(V = V_{\text{Zylinder}} + 2V_{\text{Kegel}} = \pi r^2 h + 2 \cdot \frac{1}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3\) und die Gesamtoberfläche \(A = A_{\text{Zylindermantel}} + 2A_{\text{Kegelmantel}}\). 2. Berechnung der Mantellinie des Kegels: \(s = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}\). Damit gilt \(A = 2\pi r h + 2\pi r s = 2\pi r h + 2\sqrt{2}\pi r^2\). 3. Auflösen der Volumenformel nach \(h\): \(h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Oberflächenformel zur Eliminierung einer Variablen: \(A(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 2\sqrt{2}\pi r^2 = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 2\sqrt{2}\pi r^2\). 5. Zusammenfassen der Zielfunktion: \(A(r) = \frac{2V}{r} + \pi r^2 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)\). 6. Ableiten und Nullsetzen der ersten Ableitung: \(A'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right) = 0\). 7. Daraus folgt für das Volumen im Extremum: \(V = \pi r^3 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)\). 8. Einsetzen dieses Ausdrucks für \(V\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\pi r^3 \left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3}\right)}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = r\left(2\sqrt{2} - \frac{4}{3} - \frac{2}{3}\right) = r(2\sqrt{2} - 2)\). 9. Das gesuchte Verhältnis ist \(h = 2(\sqrt{2} - 1)r\).

Das optimale Verhältnis ist \(h = 2(\sqrt{2} - 1)r\). Dies entspricht etwa \(h \approx 0{,}828r\).

- Zerlege den Körper in einen Quader und eine Pyramide. - Achte darauf, welche Flächen zur gesamten Außenfläche \(S\) gehören (Boden, Wände, Dachflächen). - Wie berechnet man die Fläche eines Seitendreiecks der Pyramide, wenn die Pyramidenhöhe bekannt ist? - Drücke die Höhe \(h\) durch die Variable \(a\) und die Konstante \(S\) aus, um eine Zielfunktion für das Volumen zu erhalten. - Bestimme das Maximum der Funktion durch die erste Ableitung.

1. Aufstellen der Formeln für die Gesamtoberfläche \(S = a^2\) (Boden) \(+ 4ah\) (Seitenwände) \(+ M_{\text{Pyramide}}\) und das Volumen \(V = a^2 h + \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a}{2} = a^2 h + \frac{1}{6} a^3\). 2. Berechnung der Höhe der Seitendreiecke der Pyramide: \(h_s = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}\). Damit ist die Mantelfläche \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} a^2\). 3. Die Gesamtoberfläche ist \(S = a^2 + 4ah + \sqrt{2} a^2 = a^2(1 + \sqrt{2}) + 4ah\). 4. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{S - a^2(1 + \sqrt{2})}{4a} = \frac{S}{4a} - \frac{1 + \sqrt{2}}{4} a\). 5. Einsetzen in die Volumenformel: \(V(a) = a^2 \left(\frac{S}{4a} - \frac{1 + \sqrt{2}}{4} a\right) + \frac{1}{6} a^3 = \frac{S}{4} a - \frac{1 + 3\sqrt{2}}{12} a^3\). 6. Ableiten und Nullsetzen: \(V'(a) = \frac{S}{4} - \frac{1 + 3\sqrt{2}}{4} a^2 = 0\), woraus \(S = (1 + 3\sqrt{2}) a^2\) und damit \(a = \sqrt{\frac{S}{1 + 3\sqrt{2}}}\) folgt. 7. Einsetzen in den Ausdruck für \(h\): \(h = \frac{(1 + 3\sqrt{2}) a^2 - (1 + \sqrt{2}) a^2}{4a} = \frac{2\sqrt{2} a^2}{4a} = \frac{\sqrt{2}}{2} a\).

Die Grundkante muss \(a = \sqrt{\frac{S}{1 + 3\sqrt{2}}}\) betragen. Die Höhe des quaderförmigen Unterbaus ist dann \(h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a\).

- Verwende den Satz des Pythagoras in einem geeigneten Querschnitt, um eine Beziehung zwischen Zylinderradius und Zylinderhöhe zu finden. - Welche Fläche ist mit „Mantelfläche“ eines Zylinders gemeint? - Um die Ableitung zu vereinfachen, kannst du statt der Mantelfläche selbst ihr Quadrat maximieren. Warum ist das erlaubt? - Erinnere dich an die Formel für die Oberfläche einer Kugel und halbiere sie für die Halbkugeloberfläche.

1. In einem Achsenschnitt durch das Zentrum der Halbkugel bildet der Radius \(R\), die Zylinderhöhe \(h\) und der Zylinderradius \(r\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras gilt \(r^2 + h^2 = R^2\), also \(r = \sqrt{R^2 - h^2}\). Die Mantelfläche ist \(M(h) = 2\pi r h = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2}\). 2. Zur Maximierung von \(M(h)\) kann das Quadrat der Funktion \(f(h) = (M/2\pi)^2 = h^2(R^2 - h^2) = R^2 h^2 - h^4\) untersucht werden. Die Ableitung \(f'(h) = 2R^2 h - 4h^3\) liefert durch Nullsetzen \(2h(R^2 - 2h^2) = 0\). Da \(h > 0\), ergibt sich \(h = \frac{R}{\sqrt{2}}\) (bzw. \(h = \frac{1}{2}\sqrt{2}R\)). 3. Für \(h = \frac{R}{\sqrt{2}}\) ergibt sich \(r = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}\). Die maximale Mantelfläche ist \(M_{\max} = 2\pi \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = \pi R^2\). Die gekrümmte Oberfläche einer Halbkugel ist \(O_{\text{HK}} = 2\pi R^2\). Es gilt \(\frac{M_{\max}}{O_{\text{HK}}} = \frac{\pi R^2}{2\pi R^2} = \frac{1}{2}\).

1. \(M(h) = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2}\) 2. Die maximale Mantelfläche wird für \(h = \frac{R}{\sqrt{2}}\) erreicht. 3. Die maximale Mantelfläche beträgt \(M_{\max} = \pi R^2\), was genau der Hälfte der Halbkugeloberfläche (\(2\pi R^2\)) entspricht.

- Welche Formel benötigst du für das Volumen eines Zylinders? - Kannst du eine Skizze des Querschnitts machen? Welche geometrischen Sätze helfen dir, eine Beziehung zwischen Radius und Höhe zu finden? - Wie verändert sich die Höhe des Zylinders, wenn der Radius größer wird? - Überlege dir, in welchem Bereich der Radius des Eisblocks liegen kann. - Was musst du tun, um den Hochpunkt der Volumenfunktion zu finden?

1. Aufstellen der Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes oder einer Geradengleichung für die Kegelwand: Sei \(r\) der Radius und \(h\) die Höhe des Zylinders. Im Querschnitt betrachtet ergibt sich das Verhältnis \(\frac{h}{6-r} = \frac{15}{6}\), woraus folgt: \(h = 2{,}5(6 - r) = 15 - 2{,}5r\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen \(V\) des Zylinders: \(V(r) = \pi r^2h = \pi r^2(15 - 2{,}5r) = 15\pi r^2 - 2{,}5\pi r^3\). 3. Definitionsbereich festlegen: \(0 < r < 6\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(V'(r) = 30\pi r - 7{,}5\pi r^2\). 5. Notwendige Bedingung für ein Extremum (\(V'(r) = 0\)): \(7{,}5\pi r(4 - r) = 0\). Da \(r > 0\), folgt \(r = 4\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(V''(r) = 30\pi - 15\pi r\). Da \(V''(4) = 30\pi - 60\pi = -30\pi < 0\), liegt ein Maximum vor. 7. Berechnung der restlichen Werte: Höhe \(h = 15 - 2{,}5 \cdot 4 = 15 - 10 = 5\,\text{cm}\). Maximales Volumen \(V_{\max} = \pi \cdot 4^2 \cdot 5 = 80\pi \approx 251{,}33\,\text{cm}^3\).

Der Eisblock hat bei einem Radius von \(4\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(5\,\text{cm}\) sein maximales Volumen. Dieses beträgt \(80\pi\,\text{cm}^3 \approx 251{,}33\,\text{cm}^3\).

- Skizziere die Situation und wähle eine Ecke als Ursprung. - Wie lautet die Geradengleichung für eine Linie mit einem \(45^\circ\)-Winkel? - Bestimme das Intervall, in dem sich der Eckpunkt des neuen Rechtecks auf der Bruchlinie bewegen kann. - Überlege dir, warum das Ergebnis davon abhängen könnte, wie lang die Platte im Vergleich zu ihrer Breite ist. - Denke an die Untersuchung der Randwerte, falls dein berechnetes Extremum außerhalb des erlaubten Bereichs liegt.

1. Koordinatensystem: Ursprung \((0|0)\) unten links, Steinplatte bis \((b|a)\). Defekte Ecke oben links bei \((0|a)\). Die Bruchlinie startet bei \((0|0{,}75a)\) und hat wegen des \(45^\circ\)-Winkels die Steigung \(1\). 2. Gleichung der Bruchlinie: \(y = x + 0{,}75a\). Sie trifft die Oberkante \(y=a\) bei \(x = 0{,}25a\). Der Definitionsbereich für den Eckpunkt des neuen Rechtecks auf der Linie ist \(x \in [0; 0{,}25a]\). 3. Zielfunktion: Das Rechteck zwischen \((x|y)\) auf der Linie und \((b|0)\) hat die Fläche \(A(x) = (b - x)(x + 0{,}75a) = -x^2 + (b - 0{,}75a)x + 0{,}75ab\). 4. Ableitung: \(A'(x) = -2x + b - 0{,}75a\). Nullstelle bei \(x_0 = 0{,}5b - 0{,}375a\). 5. Fallunterscheidung: Das Maximum liegt bei \(x_0\), sofern \(x_0 \le 0{,}25a\). Dies ist äquivalent zu \(0{,}5b \le 0{,}625a\) bzw. \(b \le 1{,}25a\). 6. Fall 1 (\(a \le b \le 1{,}25a\)): Das Optimum liegt bei \(x = 0{,}5b - 0{,}375a\). Die Maße sind \(w = b - x = 0{,}5b + 0{,}375a\) und \(h = x + 0{,}75a = 0{,}5b + 0{,}375a\) (quadratisch). 7. Fall 2 (\(b > 1{,}25a\)): Die Ableitung ist im Intervall stets positiv, das Maximum liegt am Rand bei \(x = 0{,}25a\). Die Maße sind \(w = b - 0{,}25a\) und \(h = a\).

Für \(b \le 1{,}25a\) ist die neue Platte quadratisch mit der Seitenlänge \(0{,}5b + 0{,}375a\). Für \(b > 1{,}25a\) hat die neue Platte die Maße \(b - 0{,}25a\) und \(a\).

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche? - Wie hängen die Eckpunkte der Deckfläche des Quaders mit dem Radius des Kegels auf einer bestimmten Höhe zusammen? Nutze den Strahlensatz. - Beachte den Zusammenhang zwischen der Seitenlänge des Quadrats und dem Abstand seiner Ecken zum Mittelpunkt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob dein gefundenes Extremum tatsächlich ein Maximum ist.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen des Quaders: \(V(a, h) = a^2h\). 2. Herleiten der Nebenbedingung über den Strahlensatz im Achsenschnitt des Kegels. Sei \(x\) die halbe Diagonale der quadratischen Grundfläche, also \(x = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Es gilt: \(\frac{x}{R} = \frac{H - h}{H}\). 3. Umstellen nach \(a\): \(a = \sqrt{2}R\frac{H - h}{H} = \sqrt{2} \cdot 12 \cdot \frac{18 - h}{18} = \frac{2\sqrt{2}}{3}(18 - h)\). 4. Einsetzen in die Zielfunktion: \(V(h) = \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}(18 - h)\right)^2h = \frac{8}{9}(18 - h)^2h = \frac{8}{9}(324h - 36h^2 + h^3)\). 5. Ableiten der Funktion: \(V'(h) = \frac{8}{9}(324 - 72h + 3h^2) = \frac{8}{3}(108 - 24h + h^2)\). 6. Bestimmung der Extremstellen durch \(V'(h) = 0\): Die quadratische Gleichung \(h^2 - 24h + 108 = 0\) liefert \(h_1 = 6\) und \(h_2 = 18\). 7. Untersuchung der Art des Extremums: \(h = 18\) führt zu \(V = 0\) (Minimum). Bei \(h = 6\,\text{cm}\) liegt das Maximum vor. 8. Berechnung der Seitenlänge: \(a = \frac{2\sqrt{2}}{3}(18 - 6) = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31\,\text{cm}\). 9. Berechnung des Volumens: \(V(6) = (8\sqrt{2})^2 \cdot 6 = 128 \cdot 6 = 768\,\text{cm}^3\).

Die Seitenlänge beträgt \(a \approx 11{,}31\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 6\,\text{cm}\). Das maximale Volumen des Quaders ist \(V = 768\,\text{cm}^3\).

- Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck im Inneren des Zylinders vor, dessen Hypotenuse die gesuchte Distanz ist. - Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Versuche, die Zielfunktion so umzuformen, dass sie nur noch von einer Variablen abhängt. - Was passiert mit dem Quadrat einer Funktion, wenn die Funktion selbst ein Minimum annimmt?

1. Hauptbedingung: Minimierung der Distanz \(s = \sqrt{r^2 + h^2}\), was äquivalent zur Minimierung von \(f(r, h) = r^2 + h^2\) ist. 2. Nebenbedingung: \(V = \pi r^2h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}\). 3. Zielfunktion durch Substitution von \(h\): \(f(r) = r^2 + \left(\frac{V}{\pi r^2}\right)^2 = r^2 + \frac{V^2}{\pi^2r^4}\). 4. Ableitung der Zielfunktion: \(f'(r) = 2r - \frac{4V^2}{\pi^2r^5}\). 5. Nullstelle der Ableitung: \(2r = \frac{4V^2}{\pi^2r^5} \Rightarrow r^6 = \frac{2V^2}{\pi^2}\). 6. Ersetzen von \(V^2\) durch \((\pi r^2 h)^2\): \(r^6 = \frac{2 \pi^2 r^4 h^2}{\pi^2} = 2r^4 h^2\). 7. Auflösen nach dem Verhältnis: \(r^2 = 2h^2 \Rightarrow \frac{r}{h} = \sqrt{2}\).

Das optimale Verhältnis von Radius zu Höhe beträgt \(r{:}h=\sqrt{2}{:}1\) bzw. \(r = \sqrt{2}h\).

- Wie hängen der Radius der Kugel, der Radius des Zylinders und die halbe Höhe des Zylinders in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Welche Formel beschreibt die Mantelfläche eines Zylinders? - Oft ist es leichter, das Quadrat einer Fläche zu maximieren, um die Wurzel in der Ableitung zu vermeiden. - Was bedeutet ein Verhältnis von 1 für die Form des Zylinderquerschnitts?

1. Zielfunktion für die Mantelfläche des Zylinders: \(M(r, h) = 2\pi rh\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung durch den Satz des Pythagoras im Achsenschnitt der Kugel: \(r^2 + (\frac{h}{2})^2 = R^2\), woraus \(r = \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}}\) folgt. 3. Einsetzen in die Zielfunktion: \(M(h) = 2\pi h\sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}} = \pi\sqrt{4R^2h^2 - h^4}\). 4. Zur Vereinfachung Maximierung des Quadrats der Funktion (oder des Radikanden): \(f(h) = 4R^2h^2 - h^4\). 5. Ableiten: \(f'(h) = 8R^2h - 4h^3\). 6. Nullstellen bestimmen: \(4h(2R^2 - h^2) = 0\). Da \(h > 0\), ergibt sich \(h^2 = 2R^2\), also \(h = R\sqrt{2}\). 7. Berechnung des Radius \(r\): \(r^2 = R^2 - \frac{2R^2}{4} = \frac{1}{2}R^2\), also \(r = \frac{R}{\sqrt{2}}\). 8. Berechnung des Durchmessers \(d = 2r = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}\). 9. Bestimmung des Verhältnisses: \(\frac{h}{d} = \frac{R\sqrt{2}}{R\sqrt{2}} = 1\).

Das Verhältnis von Höhe \(h\) zu Durchmesser \(d\) des Zylinders mit der größten Mantelfläche beträgt \(1{:}1\) (bzw. \(\frac{h}{d} = 1\)).

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen Radius, Höhe und Mantellinie eines Kegels? - Wie kannst du eine der Unbekannten mithilfe des Volumens eliminieren? - Welches Werkzeug der Analysis hilft dir, den kleinsten Wert einer Funktion zu finden? - Kannst du das Ergebnis als ein einfaches Verhältnis zwischen \(h\) und \(r\) formulieren?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Quadrat der Mantellinie unter Nutzung des Satzes von Pythagoras: \(s^2 = r^2 + h^2\). 2. Nutzung der Nebenbedingung für das konstante Volumen: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \Rightarrow r^2 = \frac{3V}{\pi h}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(f(h) = \frac{3V}{\pi h} + h^2\). 4. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(h) = -\frac{3V}{\pi h^2} + 2h\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremums: \(2h = \frac{3V}{\pi h^2} \Rightarrow 2h^3 = \frac{3V}{\pi}\). 6. Einsetzen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) in das Ergebnis: \(2h^3 = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h}{\pi} = r^2 h\). 7. Bestimmung des Verhältnisses: \(2h^2 = r^2 \Rightarrow r = \sqrt{2}h\). Daraus folgt das Verhältnis \(h{:}r=1{:}\sqrt{2}\).

Die Mantellinie \(s\) ist am kürzesten, wenn das Verhältnis von Höhe zu Radius \(h{:}r=1{:}\sqrt{2}\) beträgt (bzw. \(r = \sqrt{2} \cdot h\)).

- Was ist die Zielgröße, die extrem werden soll? - Welche Informationen aus dem Text kannst du nutzen, um eine Beziehung zwischen den Variablen herzustellen? - Die Formel für die Mantelfläche einer Pyramide benötigt die Höhe der Seitenflächen. Wie hängt diese mit der Körperhöhe zusammen? - Manchmal ist es einfacher, das Quadrat einer Größe zu optimieren, um lästige Wurzeln loszuwerden. - Überlege dir, in welchem Bereich die Seitenlänge der Grundfläche liegen muss.

1. Hauptbedingung für das Volumen: \(V(a, h) = \frac{1}{3} a^2 h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_s = a^2 + a \sqrt{4h^2 + a^2} = 432\). 3. Umstellen der Nebenbedingung nach \(h\): \((432 - a^2)^2 = a^2 (4h^2 + a^2) \Rightarrow 432^2 - 864a^2 + a^4 = 4a^2h^2 + a^4 \Rightarrow h^2 = \frac{432^2}{4a^2} - 216\). 4. Aufstellen der Zielfunktion (hier zur Vereinfachung \(V^2\)): \(f(a^2) = \frac{1}{9} a^4 \left(\frac{432^2}{4a^2} - 216\right) = \frac{432^2}{36} a^2 - 24 a^4\). Mit \(u = a^2\) ergibt sich \(g(u) = 5184u - 24u^2\). 5. Bestimmung des Extremums: \(g'(u) = 5184 - 48u = 0 \Rightarrow u = 108\). Da \(g''(u) = -48 < 0\), liegt ein Maximum vor. 6. Berechnung der Maße: \(a = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\,\text{cm}\). Einsetzen in die Gleichung für \(h\): \(h^2 = \frac{432^2}{4 \cdot 108} - 216 = 432 - 216 = 216 \Rightarrow h = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}70\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt \(a = 6\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 10{,}39\,\text{cm}\) und die Höhe der Pyramide beträgt \(h = 6\sqrt{6}\,\text{cm} \approx 14{,}70\,\text{cm}\).

- Was ist die Größe, die maximiert werden soll? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Radius, der Höhe und der schrägen Mantellinie eines Kegels? - Kannst du das Volumen quadrieren oder nur den Term unter der Wurzel betrachten, um die Ableitung zu vereinfachen? - Überlege, wie du die Nebenbedingung so umstellst, dass du eine Variable in der Volumenformel ersetzen kannst.

1. Hauptbedingung: Maximierung des Volumens \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \). 2. Nebenbedingung: Die Mantelfläche \( M = \pi rs \) ist konstant, wobei \( s = \sqrt{r^2 + h^2} \) die Mantellinie ist. 3. Aus der Nebenbedingung folgt \( s = \frac{M}{\pi r} \). Einsetzen in den Satz des Pythagoras ergibt \( h = \sqrt{s^2 - r^2} = \sqrt{\frac{M^2}{\pi^2 r^2} - r^2} \). 4. Aufstellen der Zielfunktion: \( V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{\frac{M^2}{\pi^2 r^2} - r^2} = \frac{1}{3}\sqrt{M^2 r^2 - \pi^2 r^6} \). 5. Zur Extremwertbestimmung wird die Funktion unter der Wurzel \( f(r) = M^2 r^2 - \pi^2 r^6 \) abgeleitet und nullgesetzt: \( f'(r) = 2M^2 r - 6\pi^2 r^5 = 0 \). 6. Dies führt auf \( 2M^2 = 6\pi^2 r^4 \), woraus \( M = \pi r^2 \sqrt{3} \) folgt. 7. Da \( M = \pi r s \) gilt, ergibt sich \( \pi r s = \pi r^2 \sqrt{3} \), also \( s = r\sqrt{3} \). 8. Berechnung der Höhe: \( h = \sqrt{(r\sqrt{3})^2 - r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2} \). 9. Das optimale Verhältnis ist \( \frac{h}{r} = \sqrt{2} \).

Das Verhältnis von Höhe \( h \) zu Radius \( r \) muss \( \frac{h}{r} = \sqrt{2} \) betragen.

- Stelle eine Funktion auf, die den Abstand eines beliebigen Punktes \((x; f(x))\) zum Punkt \(S\) beschreibt. - Kannst du die Symmetrie der Parabel nutzen, um deine Ergebnisse zu plausibilisieren? - Achte darauf, alle Stellen zu finden, an denen die Ableitung null wird, und untersuche sie auf ihre Art. - Überlege am Ende, ob der berechnete Abstand sinnvoll ist, indem du ihn mit dem Abstand des Scheitelpunktes zu \(S\) vergleichst.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(D(x) = (x - 0)^2 + (0{,}5x^2 - 1{,}5 - 1)^2 = x^2 + (0{,}5x^2 - 2{,}5)^2\). 2. Vereinfachen des Ausdrucks: \(D(x) = x^2 + 0{,}25x^4 - 2{,}5x^2 + 6{,}25 = 0{,}25x^4 - 1{,}5x^2 + 6{,}25\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen durch \(D'(x) = x^3 - 3x = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3}\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(D''(x) = 3x^2 - 3\): \(D''(0) = -3 < 0\) (lokales Maximum), \(D''(\pm \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 - 3 = 6 > 0\) (lokale Minima). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(\pm \sqrt{3}) = 0{,}5 \cdot 3 - 1{,}5 = 0\). 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d = \sqrt{(\pm \sqrt{3} - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\).

Die Punkte mit dem minimalen Abstand sind \(P_1(-\sqrt{3}; 0)\) und \(P_2(\sqrt{3}; 0)\). Der minimale Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten.

- Nutze trigonometrische Identitäten, um die Zielfunktion zu vereinfachen, bevor du ableitest. - Konstante Faktoren vor der Funktion beeinflussen die Lage der Extremstelle nicht. - Die Produktregel ist hier dein wichtigstes Werkzeug für die Ableitung. - Überlege dir, bei welchen Winkeln das Produkt sicher Null ist, um die Randwerte schnell zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion \(P(\alpha) = \frac{v^2}{g} \sin(2\alpha) \cdot \frac{v^2 \sin^2(\alpha)}{2g} = \frac{v^4}{2g^2} \sin(2\alpha) \sin^2(\alpha)\). 2. Vereinfachung unter Nutzung von \(\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\): \(P(\alpha) = \frac{v^4}{g^2} \sin^3(\alpha) \cos(\alpha)\). 3. Da \(\frac{v^4}{g^2}\) konstant ist, reicht es, \(f(\alpha) = \sin^3(\alpha) \cos(\alpha)\) zu maximieren. 4. Ableiten mit der Produkt- und Kettenregel: \(f'(\alpha) = 3 \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha) - \sin^4(\alpha)\). 5. Faktorisieren: \(f'(\alpha) = \sin^2(\alpha) (3 \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))\). 6. Nullstellen bestimmen: \(\sin^2(\alpha) = 0\) (Randwert) oder \(3 \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 0 \implies \tan^2(\alpha) = 3\). 7. Lösung für \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ\). 8. Für den Rand gilt \(P(0^\circ) = 0\) und \(\lim_{\alpha \to 90^\circ-} P(\alpha) = 0\). Somit liegt bei \(60^\circ\) ein globales Maximum vor.

Das Produkt aus Wurfweite und Scheitelhöhe wird bei einem Abwurfwinkel von \(\alpha = 60^\circ\) maximal.

- Die Zeit berechnet sich aus dem Quotienten von Weg und Geschwindigkeit. - Stelle eine Formel für die Zeit im Wald und eine für die Zeit auf der Straße auf. - Nutze eine Variable für die Teilstrecke auf der Straße, um beide Weglängen auszudrücken. - Suche das Minimum der kombinierten Zeitfunktion mithilfe der Ableitung. - Achte beim Ergebnis darauf, den Dezimalwert der Zeit korrekt in Stunden und Minuten umzurechnen.

1. Sei \(y\) der Abstand des Punktes \(P\) vom Punkt \(C\) in \(\text{km}\). Die Wegstrecke im Wald beträgt \(\sqrt{4^2 + y^2}\), die Strecke auf der Straße \(10-y\). 2. Aufstellen der Zeitfunktion: \(T(y) = \frac{\sqrt{16+y^2}}{3} + \frac{10-y}{5}\) für \(0 \leq y \leq 10\). 3. Ableitung bilden: \(T'(y) = \frac{y}{3\sqrt{16+y^2}} - \frac{1}{5}\). 4. Nullstelle der Ableitung berechnen: \(5y = 3\sqrt{16+y^2}\). Quadrieren liefert \(25y^2 = 9(16+y^2)\), also \(16y^2 = 144\). Daraus folgt \(y = 3\). 5. Prüfung der Randwerte und des Extremums: \(T(0) \approx 3{,}33\,\text{h}\), \(T(10) \approx 3{,}59\,\text{h}\), \(T(3) = \frac{5}{3} + \frac{7}{5} = \frac{46}{15}\,\text{h}\). 6. Umrechnung der Zeit: \(\frac{46}{15}\,\text{h} = 3\,\text{h} + \frac{1}{15}\,\text{h} = 3\,\text{h}\) und \(4\,\text{min}\).

Der Wanderer muss die Straße in einem Abstand von \(3\,\text{km}\) vom Punkt \(C\) betreten. Er benötigt für den Weg insgesamt \(3\,\text{Stunden}\) und \(4\,\text{Minuten}\).

- Überlege dir zuerst, welche geometrische Formel für das Volumen hier wichtig ist. - Wie hängen der Radius und der Umfang eines Kreises zusammen? Nutze dies für die Nebenbedingung. - Drücke eine der Variablen durch die andere aus, um eine Funktion zu erhalten, die nur noch von einer Unbekannten abhängt. - Achte darauf, ob die berechneten Extremstellen innerhalb der vorgegebenen Grenzen für die Höhe liegen. - Vergiss nicht, am Ende auch die Werte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(r, h) = \pi r^2h\). 2. Einsetzen der Nebenbedingung \(h + U = 180\) mit \(U = 2\pi r\): \(r = \frac{180 - h}{2\pi}\). 3. Erstellen der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(h\): \(V(h) = \pi\left(\frac{180 - h}{2\pi}\right)^2h = \frac{1}{4\pi}(180 - h)^2h = \frac{1}{4\pi}(h^3 - 360h^2 + 32\,400h)\). 4. Bestimmung des Definitionsbereichs aus den Bedingungen: \(20 \le h \le 100\). 5. Ableiten und Nullstellen finden: \(V'(h) = \frac{1}{4\pi}(3h^2 - 720h + 32\,400) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung \(h^2 - 240h + 10\,800 = 0\) sind \(h_1 = 60\) und \(h_2 = 180\). 6. Überprüfung der Extrema: \(h_1 = 60\) liegt im Intervall \([20; 100]\). Wegen \(V''(60) = \frac{1}{4\pi} \cdot (6 \cdot 60 - 720) = -\frac{360}{4\pi} < 0\) liegt dort ein lokales Maximum vor. 7. Randwertprüfung: \(V(20) = \frac{128000}{\pi} \approx 40\,743{,}66\), \(V(60) = \frac{216000}{\pi} \approx 68\,754{,}94\), \(V(100) = \frac{160000}{\pi} \approx 50\,929{,}58\). Das absolute Maximum liegt bei \(h = 60\,\text{cm}\). 8. Berechnung der Maße: \(h = 60\,\text{cm}\), \(r = \frac{180 - 60}{2\pi} = \frac{60}{\pi} \approx 19{,}10\,\text{cm}\). 9. Maximales Volumen: \(V(60) = \frac{216000}{\pi} \approx 68\,754{,}94\,\text{cm}^3\).

a) Die optimalen Maße sind eine Höhe von \(h = 60\,\text{cm}\) und ein Radius von \(r = \frac{60}{\pi} \approx 19{,}10\,\text{cm}\). b) Das maximale Volumen beträgt etwa \(68\,754{,}94\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst die Steigung der Geraden mithilfe der gegebenen Punkte. - Stelle eine Funktion für die Differenz der beiden Funktionswerte auf. - Nutze die Ableitungsregeln für Logarithmusfunktionen, um Extremstellen zu finden. - Achte darauf, den Wert für \(x\) und den zugehörigen Differenzwert exakt (mit \(e\) und \(\ln\)) anzugeben.

1. Bestimmung der Geradensteigung durch \(O(0|0)\) und \(P(e-1|1)\): \(m = \frac{1 - 0}{e-1 - 0} = \frac{1}{e-1}\). 2. Aufstellen der Geradengleichung: \(g(x) = \frac{1}{e-1}x\). 3. Bildung der Differenzfunktion: \(d(x) = \ln(x+1) - \frac{1}{e-1}x\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(d'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{e-1}\). 5. Nullsetzen der Ableitung: \(\frac{1}{x+1} = \frac{1}{e-1} \implies x+1 = e-1 \implies x = e-2\). 6. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(d''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\). Da \(d''(e-2) = -\frac{1}{(e-1)^2} < 0\), liegt ein Maximum vor. 7. Vergleich mit den Randwerten: \(d(0) = 0\) und \(d(e-1) = \ln(e) - \frac{e-1}{e-1} = 1 - 1 = 0\). 8. Berechnung des maximalen Werts an der Stelle \(x = e-2\): \(d(e-2) = \ln(e-2+1) - \frac{e-2}{e-1} = \ln(e-1) - \frac{e-2}{e-1}\).

a) \(g(x) = \frac{1}{e-1}x\) b) Die Differenz ist am größten für \(x = e-2\). Der maximale Wert beträgt \(\ln(e-1) - \frac{e-2}{e-1}\).

- Der Abstand eines Punktes \((x|y)\) zum Ursprung berechnet sich über den Satz des Pythagoras. - Nutze die Funktionsgleichung, um die \(y\)-Koordinate in der Abstandsformel durch \(x\) zu ersetzen. - Die Ableitung der Logarithmusfunktion und die Kettenregel sind hier wichtig. - Manchmal lassen sich Nullstellen von Ableitungen bei Logarithmusfunktionen durch einfaches Einsetzen markanter Werte wie \(1\) oder \(e\) finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Quadrat des Abstands zum Ursprung \(O(0|0)\): \(g(x) = x^2 + (1 - \ln(x))^2\). 2. Bildung der ersten Ableitung nach der Kettenregel: \(g'(x) = 2x + 2(1 - \ln(x)) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = 2x - \frac{2}{x} + \frac{2\ln(x)}{x}\). 3. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die Ableitung faktorisiert: \(g'(x) = \frac{2}{x}(x^2 - 1 + \ln(x))\). Für \(q(x) = x^2 - 1 + \ln(x)\) gilt \(q(1) = 0\) und \(q'(x) = 2x + \frac{1}{x} > 0\) für \(x > 0\). Daher ist \(q\) streng monoton steigend und \(x = 1\) die einzige Nullstelle von \(g'\). 4. Da \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) gilt, ist die einzige Extremstelle bei \(x = 1\) das globale Minimum. 5. Bestimmung der Koordinaten des Punktes: \(f(1) = 1 - \ln(1) = 1\). Der gesuchte Punkt ist \(P(1|1)\).

Der Punkt des Graphen mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung ist \(P(1|1)\).

- Verwende die Zwei-Punkte-Form oder die Steigung, um eine Beziehung zwischen den Achsenabschnitten herzustellen. - Welcher geometrische Satz verbindet die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Beim Ableiten der Zielfunktion kann Ausklammern oder geschicktes Vereinfachen des Bruchs hilfreich sein. - Überlege dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrem Quadrat unter der Bedingung, dass die Funktionswerte positiv sind.

1. Aufstellen der Geradengleichung durch \(P(1 | 8)\) und \(S_x(x_0 | 0)\): Die Steigung ist \(m = \frac{8 - 0}{1 - x_0} = \frac{8}{1 - x_0}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ergibt sich zu \(y_0 = \frac{-8x_0}{1 - x_0} = \frac{8x_0}{x_0 - 1}\). 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras für das Quadrat der Hypotenuse: \(L^2 = x_0^2 + y_0^2 = x_0^2 + \left(\frac{8x_0}{x_0 - 1}\right)^2 = x_0^2 + \frac{64x_0^2}{(x_0 - 1)^2}\). 3. Ableiten von \(f(x_0) = L^2(x_0)\): \(f'(x_0) = 2x_0 + \frac{128x_0(x_0 - 1)^2 - 64x_0^2 \cdot 2(x_0 - 1)}{(x_0 - 1)^4} = 2x_0 \cdot \left(1 - \frac{64}{(x_0 - 1)^3}\right)\). 4. Nullsetzen der Ableitung: \(1 - \frac{64}{(x_0 - 1)^3} = 0 \implies (x_0 - 1)^3 = 64 \implies x_0 - 1 = 4 \implies x_0 = 5\). 5. Begründung für \(L^2\): Da die Hypotenusenlänge \(L(x_0)\) stets positiv ist und die Quadratfunktion \(g(z) = z^2\) für \(z > 0\) streng monoton wachsend ist, liegt das Minimum von \(L(x_0)\) an derselben Stelle wie das Minimum von \([L(x_0)]^2\). 6. Für \(x_0>1\) ist \(x_0=5\) die einzige Nullstelle von \(f'\). Zudem gilt \(f(x_0)\to\infty\) für \(x_0\to1^+\) und für \(x_0\to\infty\). Daher liegt bei \(x_0=5\) das globale Minimum.

a) Nachweis über den Strahlensatz oder die Geradengleichung und Pythagoras. b) Die Hypotenuse wird minimal für \(x_0 = 5\). c) Da \(L(x_0) > 0\) und die Funktion \(g(z) = z^2\) für \(z > 0\) streng monoton steigt, haben \(L\) und \(L^2\) ihre Extrema an den gleichen Stellen.

- Stelle eine Beziehung zwischen dem Radius und der Höhe des Kegels her, indem du ähnliche Dreiecke im Querschnitt betrachtest. - Drücke das Volumen des Kegels als Funktion einer einzigen Variablen aus. - Vergiss nicht, die Definitionsmenge für deinen Radius festzulegen. - Wie hängen Kegel- und Zylindervolumen allgemein von Radius und Höhe ab?

1. Definition der Variablen: \(R\) sei der Radius und \(H\) die Höhe des Kegels. 2. Zusammenhang über Strahlensatz (Achsenschnitt): \(\frac{H}{R} = \frac{H-h}{r}\). 3. Auflösen nach \(H\): \(Hr = R(H-h) \Rightarrow Hr = RH - Rh \Rightarrow H(R-r) = Rh \Rightarrow H = \frac{Rh}{R-r}\). 4. Zielfunktion Volumen: \(V(R) = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{\pi h}{3}\frac{R^3}{R-r}\). 5. Ableiten nach \(R\): \(V'(R) = \frac{\pi h}{3} \cdot \frac{3R^2(R-r) - R^3}{(R-r)^2} = \frac{\pi h}{3} \cdot \frac{2R^3 - 3rR^2}{(R-r)^2}\). 6. Extremstellen bestimmen: \(V'(R) = 0 \Rightarrow 2R^3 - 3rR^2 = 0 \Rightarrow R = 1{,}5r\) (da \(R > r\)). 7. Höhe berechnen: \(H = \frac{1{,}5r \cdot h}{1{,}5r - r} = \frac{1{,}5rh}{0{,}5r} = 3h\). Dies bestätigt die Behauptung. 8. Minimales Volumen: \(V_{\min} = \frac{1}{3} \pi (1{,}5r)^2 \cdot 3h = 2{,}25 \pi r^2 h\). 9. Da \(V_Z = \pi r^2 h\), gilt \(V_{\min} = 2{,}25V_Z\). 10. Da \(V(R)\to\infty\) für \(R\to r^+\) und für \(R\to\infty\) gilt, ist das gefundene Minimum global.

Das Volumen des Kegels wird minimal für \(H = 3h\). Das minimale Volumen beträgt \(V_{\text{Kegel}} = 2{,}25V_Z = \frac{9}{4} V_Z\).

- Stelle die Formeln für die Oberfläche und das Volumen einer quadratischen Pyramide auf. - Beachte, dass die Oberfläche aus der Grundfläche und vier kongruenten Dreiecksflächen besteht. - Um die Rechnung zu vereinfachen, kannst du statt des Volumens auch dessen Quadrat maximieren. - Welche Beziehung besteht zwischen der Körperhöhe, der Seitenkante und der Höhe der Seitenfläche?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Volumen: \(V(a, h) = \frac{1}{3} a^2h\). 2. Nebenbedingung über die Oberfläche: \(O = a^2 + 2a\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 100\). 3. Umformen der Nebenbedingung nach \(h\): \(100 - a^2 = 2a\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} \implies (100 - a^2)^2 = 4a^2(h^2 + \frac{a^2}{4}) = 4a^2 h^2 + a^4\). 4. Vereinfachen: \(10\,000 - 200a^2 + a^4 = 4a^2 h^2 + a^4 \implies h^2 = \frac{10000 - 200a^2}{4a^2} = \frac{2500}{a^2} - 50\). 5. Da \(V\) maximal ist, wenn \(V^2\) maximal ist, betrachte \(f(a) = \frac{1}{9} a^4h^2 = \frac{1}{9} a^4\left(\frac{2500}{a^2} - 50\right) = \frac{1}{9} (2500a^2 - 50a^4)\). 6. Ableitung bilden und Nullstellen suchen: \(f'(a) = \frac{1}{9} (5000a - 200a^3) = 0 \implies 200a(25 - a^2) = 0\). Da \(a > 0\), folgt \(a = 5\,\text{cm}\). 7. Überprüfung: \(f''(a) = \frac{1}{9} (5000 - 600a^2) \implies f''(5) = \frac{1}{9} (5000 - 15\,000) < 0\), also Maximum. 8. Berechnung der Höhe: \(h = \sqrt{\frac{2500}{25} - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}\).

Das maximale Volumen wird erreicht, wenn die Grundseite \(a = 5\,\text{cm}\) und die Körperhöhe \(h = 5\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 7{,}07\,\text{cm}\) betragen.

- Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung der Flächenfunktion zu bilden. - Suche die Nullstellen der Ableitung im relevanten Intervall. - Überlege dir, welche der mathematisch möglichen Lösungen im Kontext der Geometrie (positive Seitenlängen) sinnvoll ist.

1. Zielfunktion für den Flächeninhalt aufstellen: \(A(x) = x \cdot f(x) = \frac{8x - 2x^2}{x + 2}\). 2. Definitionsbereich eingrenzen: Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x = 4\), Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(f(0) = 4\). Also \(x \in [0; 4]\). 3. Ableitung mit der Quotientenregel berechnen: \(A'(x) = \frac{(8 - 4x)(x + 2) - (8x - 2x^2) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-2x^2 - 8x + 16}{(x + 2)^2}\). 4. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\) führt auf die quadratische Gleichung \(-2x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 8 = 0\). 5. Lösung der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = -2 \pm \sqrt{12} = -2 \pm 2\sqrt{3}\). 6. Da \(x > 0\) sein muss, ist die einzige relevante Stelle \(x = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1{,}46\). 7. Nachweis des Maximums (z. B. Vorzeichenwechselkriterium oder Randwertvergleich): \(A(0) = 0\), \(A(4) = 0\), \(A(1{,}46) > 0\). 8. Maximalen Flächeninhalt berechnen: \(A(2\sqrt{3}-2) = 16 - 8\sqrt{3} \approx 2{,}14\).

Der Flächeninhalt wird für \(x = 2\sqrt{3} - 2 \approx 1{,}46\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16 - 8\sqrt{3} \approx 2{,}14\) Flächeneinheiten.

- Wie berechnet man den Mantel eines Kegels, wenn Radius und Höhe bekannt sind? - Nutze die Volumenformel, um die Höhe \(h\) des Zylinders zu eliminieren. - Die Gesamtoberfläche besteht aus drei Teilen: der Grundfläche, der Mantelfläche des Zylinders und der Mantelfläche des Kegels. - Vergiss nicht, nach dem Ableiten und Nullsetzen zu prüfen, ob es sich wirklich um ein Minimum handelt. - Das Endergebnis ist ein einfaches Vielfaches von \(r\).

1. Volumenformel für den zusammengesetzten Körper (Zylinder und Kegel): \(V = \pi r^2 h + \frac{1}{3}\pi r^2r = \pi r^2 h + \frac{1}{3}\pi r^3\). 2. Nebenbedingung nach \(h\) auflösen: \(h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r\). 3. Oberflächenformel (Boden + Zylindermantel + Kegelmantel): \(A = \pi r^2 + 2\pi r h + \pi r \sqrt{r^2 + r^2} = \pi r^2 + 2\pi r h + \sqrt{2}\pi r^2 = (1+\sqrt{2})\pi r^2 + 2\pi r h\). 4. Substitution von \(h\) in die Oberflächenformel: \(A(r) = (1+\sqrt{2})\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r\right) = (1+\sqrt{2})\pi r^2 + \frac{2V}{r} - \frac{2}{3}\pi r^2 = \left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi r^2 + \frac{2V}{r}\). 5. Ableiten nach \(r\) und Nullstelle bestimmen: \(A'(r) = 2\left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 \Rightarrow V = \left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi r^3\). 6. Einsetzen von \(V\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{(\frac{1}{3} + \sqrt{2})\pi r^3}{\pi r^2} - \frac{1}{3}r = \left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)r - \frac{1}{3}r = \sqrt{2}r\). 7. Da \(A''(r) = 2\left(\frac{1}{3} + \sqrt{2}\right)\pi + \frac{4V}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), ist die Oberfläche minimal.

Das optimale Verhältnis ist \(h = \sqrt{2}r\) (bzw. \(\frac{h}{r} = \sqrt{2}\)).

- Bestimme zunächst die waagerechte Asymptote, indem du den Grenzwert für große \(x\) betrachtest. - Drücke die Höhe des Rechtecks als Differenz zwischen dem konstanten Wert der Asymptote und dem Funktionswert \(g(x)\) aus. - Da der Graph symmetrisch zur y-Achse ist, ist es hilfreich, die Breite als \(2x\) anzusetzen. - Denke beim Ableiten der Zielfunktion an die Produktregel und die Kettenregel.

1. Bestimmung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) geht \(e^{-x^2}\) gegen \(0\), also ist die waagerechte Asymptote \(y = 5\). 2. Aufgrund der Achsensymmetrie von \(g\) wählen wir ein Rechteck mit der Breite \(2x\) für \(x > 0\). Die Höhe ist der Abstand zwischen Asymptote und Graph: \(h(x) = 5 - g(x) = 5 - (5 - 4e^{-x^2}) = 4e^{-x^2}\). 3. Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = 2x \cdot 4e^{-x^2} = 8x e^{-x^2}\). 4. Erste Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 8e^{-x^2} + 8x e^{-x^2}(-2x) = 8e^{-x^2}(1 - 2x^2)\). 5. Notwendige Bedingung \(A'(x) = 0\): Da \(8e^{-x^2} \neq 0\), muss \(1 - 2x^2 = 0\) gelten. Dies liefert \(x^2 = 0{,}5\), also \(x = \sqrt{0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\). 6. Hinreichende Bedingung: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) bei \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) von Plus nach Minus bestätigt das Maximum. 7. Maximaler Flächeninhalt: \(A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-(1/\sqrt{2})^2} = \frac{8}{\sqrt{2}} e^{-0{,}5} = 4\sqrt{2} e^{-0{,}5} \approx 3{,}427\).

Der maximale Flächeninhalt beträgt \(4\sqrt{2} e^{-0{,}5} \approx 3{,}427\) Flächeneinheiten.

- Welche geometrische Eigenschaft haben Punkte auf dem Graphen, die symmetrisch zur \(y\)-Achse liegen? - Nutze die Flächenformel für Dreiecke und setze die Terme für Grundseite und Höhe ein. - Welche Ableitungsregel ist hier besonders hilfreich, um die Nullstellen der Ableitung zu finden? - Achte darauf, dass das Ergebnis für \(x\) im Kontext der Aufgabenstellung (erster Quadrant für \(A\)) sinnvoll ist.

1. Zielfunktion aufstellen: Die Grundseite des Dreiecks verläuft horizontal zwischen \(B(-x|f(x))\) und \(A(x|f(x))\) mit der Länge \(g = 2x\). Die Höhe entspricht dem Funktionswert \(h = f(x)\). Die Fläche ist \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \frac{16}{x^2 + 4} = \frac{16x}{x^2 + 4}\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel berechnen: \(A'(x) = \frac{16(x^2 + 4) - 16x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{64 - 16x^2}{(x^2 + 4)^2}\). 3. Extremstellen finden: \(A'(x) = 0 \Rightarrow 64 - 16x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4\). Für \(x > 0\) ergibt sich \(x = 2\). 4. Überprüfung des Maximums: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(x)\) bei \(x=2\) von Plus nach Minus (oder Prüfung der zweiten Ableitung) bestätigt das lokale Maximum. 5. Punktkoordinaten bestimmen: \(f(2) = \frac{16}{2^2 + 4} = \frac{16}{8} = 2\). 6. Ergebnisse formulieren: \(A(2|2)\) und \(B(-2|2)\). 7. Da \(A(x)\to0\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\) gilt, ist das Maximum bei \(x=2\) global.

Der Flächeninhalt wird maximal für die Punkte \(A(2|2)\) und \(B(-2|2)\).

- Stelle zunächst eine Formel für das Quadrat des Abstands zwischen einem beliebigen Punkt auf dem Graphen und dem gegebenen Punkt auf. - Warum reicht es aus, das Quadrat des Abstands zu minimieren, anstatt die Wurzel zu betrachten? - Leite die Abstandsfunktion ab und suche nach den Nullstellen. - Wenn du eine Gleichung höheren Grades erhältst, versuche eine ganzzahlige Lösung durch Testen kleiner Werte zu finden. - Vergiss nicht, die Art des Extrempunkts zu überprüfen und die Koordinaten des gesuchten Punktes anzugeben.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion zum Quadrat: \(D(x) = (x - (-1))^2 + (f(x) - (-1))^2 = (x+1)^2 + \left(\frac{4}{x} + 1\right)^2\) 2. Vereinfachen der Zielfunktion: \(D(x) = x^2 + 2x + 1 + \frac{16}{x^2} + \frac{8}{x} + 1 = x^2 + 2x + 2 + 8x^{-1} + 16x^{-2}\) 3. Bilden der ersten Ableitung: \(D'(x) = 2x + 2 - \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3}\) 4. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen: \(2x + 2 - \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3} = 0 \Leftrightarrow 2x^4 + 2x^3 - 8x - 32 = 0 \Leftrightarrow x^4 + x^3 - 4x - 16 = 0\) 5. Bestimmen der Nullstelle durch Probieren oder systematisches Testen von Teilern des Absolutglieds: \(x = 2\) ist eine Lösung, da \(2^4 + 2^3 - 4 \cdot 2 - 16 = 16 + 8 - 8 - 16 = 0\) 6. Überprüfen der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(D''(x) = 2 + \frac{16}{x^3} + \frac{96}{x^4}\). Da \(D''(x)=2+\frac{16}{x^3}+\frac{96}{x^4}>0\) für alle \(x>0\) gilt, ist \(D\) dort streng konvex; die kritische Stelle \(x=2\) ist somit das eindeutige Minimum. 7. Da \(D(x)\) für \(x \to 0\) und \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt, ist das Minimum global. 8. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = \frac{4}{2} = 2\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem kleinsten Abstand zu \(P(-1 \mid -1)\) ist \(Q(2 \mid 2)\).

- Welche geometrischen Größen bestimmen den Flächeninhalt des Dreiecks? - Kannst du eine Beziehung zwischen der Höhe, der halben Basis und dem Radius des Inkreises herstellen? Skizziere dazu den Radius, der senkrecht auf einem Schenkel steht. - Es ist oft einfacher, das Quadrat einer Zielfunktion zu minimieren, wenn diese eine Wurzel enthält. - Welchen Definitionsbereich muss die Höhe \(h\) im Vergleich zum Radius \(r\) haben?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2}bh\), wobei \(b\) die Grundseite und \(h\) die Höhe des Dreiecks ist. 2. Bestimmung der Nebenbedingung durch geometrische Überlegungen (z. B. Ähnlichkeit von Dreiecken oder Abstandsformel): Der Abstand des Kreismittelpunktes (auf der Höhe im Abstand \(r\) von der Basis) zu einem Schenkel muss \(r\) betragen. Dies führt zur Beziehung \(b^2 = \frac{4r^2h}{h-2r}\). 3. Einsetzen der Nebenbedingung mit \(r = 3\) in die Zielfunktion: \(A(h) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{36h}{h-6}}h = \frac{3h^{1{,}5}}{\sqrt{h-6}}\). Zur Vereinfachung kann das Quadrat der Funktion minimiert werden: \(f(h) = A(h)^2 = \frac{9h^3}{h-6}\). 4. Ableiten der Zielfunktion nach \(h\): \(f'(h) = \frac{27h^2(h-6) - 9h^3}{(h-6)^2} = \frac{18h^3 - 162h^2}{(h-6)^2}\). 5. Nullsetzen der Ableitung zur Bestimmung des Extremwerts: \(18h^2(h-9) = 0\). Da \(h > 2r = 6\) gelten muss, ergibt sich \(h = 9\). 6. Für \(6 < h < 9\) ist \(f'(h) < 0\), für \(h > 9\) ist \(f'(h) > 0\). Außerdem gilt \(\lim_{h \to 6^+} f(h) = \infty\) und \(\lim_{h \to \infty} f(h) = \infty\). Somit liegt bei \(h = 9\,\text{cm}\) das globale Minimum vor.

Die Höhe des Dreiecks muss \(h = 9\,\text{cm}\) gewählt werden, damit der Flächeninhalt minimal wird.

- Was ist die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders? - Wie kannst du den Radius und die Höhe des Zylinders mithilfe des Kugelradius in Beziehung setzen? - Es ist oft einfacher, das Quadrat einer Funktion zu maximieren, wenn eine Wurzel enthalten ist. - Was genau ist nach der Berechnung der Einzelwerte noch zu tun, um die Endfrage zu beantworten?

1. Zielgröße ist die Mantelfläche des Zylinders: \(M = 2 \pi rh\). 2. Aufstellen der Nebenbedingung mittels des Satzes von Pythagoras im Achsenschnitt der Kugel: \(r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2\), woraus \(r = \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}}\) folgt. 3. Aufstellen der Zielfunktion in Abhängigkeit von \(h\): \(M(h) = 2 \pi h\sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}} = \pi\sqrt{4R^2 h^2 - h^4}\). 4. Zur Vereinfachung wird das Quadrat der Mantelfläche oder die Funktion unter der Wurzel maximiert: \(f(h) = 4R^2 h^2 - h^4\). 5. Ableiten und Nullsetzen: \(f'(h) = 8R^2 h - 4h^3 = 0\). Da \(h > 0\), folgt \(4h(2R^2 - h^2) = 0 \implies h = \sqrt{2}R\). 6. Bestimmung des zugehörigen Radius \(r\): \(r^2 = R^2 - \frac{2R^2}{4} = \frac{1}{2}R^2 \implies r = \frac{R}{\sqrt{2}}\). 7. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{h}{r} = \frac{\sqrt{2}R}{R / \sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).

Das Verhältnis von Höhe zu Radius beträgt \(h{:}r=2{:}1\).

- Erinnere dich an die Formel für den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem. - Es ist oft einfacher, das Quadrat des Abstands zu minimieren, da die Wurzel eine monotone Funktion ist. - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Minimum erfüllt sein? - Untersuche alle gefundenen kritischen Stellen, um das globale Minimum zu identifizieren.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion (oder deren Quadrat zur Vereinfachung) zwischen \(S(0|4{,}5)\) und einem allgemeinen Punkt \(P(x|x^2)\): \(D(x) = (x - 0)^2 + (x^2 - 4{,}5)^2 = x^2 + x^4 - 9x^2 + 20{,}25 = x^4 - 8x^2 + 20{,}25\). 2. Bildung der Ableitung der Zielfunktion: \(D'(x) = 4x^3 - 16x\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen durch Nullsetzen der Ableitung: \(4x(x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Prüfung der Stellen auf ein Minimum: Ein Vergleich der Funktionswerte \(D(0) = 20{,}25\) und \(D(\pm 2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 20{,}25 = 4{,}25\) zeigt, dass bei \(x = \pm 2\) ein globales Minimum vorliegt. 5. Angabe der Koordinaten durch Einsetzen in die Parabelgleichung: \(P_1(2|4)\) und \(P_2(-2|4)\). 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d = \sqrt{4{,}25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \approx 2{,}06\).

Die Punkte mit dem kleinsten Abstand sind \(P_1(2|4)\) und \(P_2(-2|4)\). Der minimale Abstand beträgt \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) (ca. \(2{,}06\)) Längeneinheiten.

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen mit der Funktionsgleichung zusammen? - Welche mathematische Formel hilft dir, den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene zu berechnen? - Überlege dir, warum das Minimum des quadratischen Abstands an derselben Stelle liegt wie das Minimum des eigentlichen Abstands. - Wie bestimmst du die Extremstellen einer Funktion mithilfe der Differentialrechnung? - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese senkrecht aufeinander stehen?

1. Aufstellen der Abstandsformel: Der Abstand \(d(x)\) eines Punktes \(Q(x \mid 0{,}5x^2)\) zum Punkt \(P(6 \mid 0)\) berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras zu \(d(x) = \sqrt{(x - 6)^2 + (0{,}5x^2 - 0)^2}\). Das Quadrat des Abstands ist somit \(d^2(x) = (x - 6)^2 + 0{,}25x^4 = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). 2. Bestimmung des Minimums: Gesucht ist das Minimum von \(g(x) = d^2(x) = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). Die erste Ableitung lautet \(g'(x) = x^3 + 2x - 12\). Die Nullstellenbedingung \(g'(x) = 0\) liefert durch Ausprobieren die ganzzahlige Nullstelle \(x = 2\). Polynomdivision ergibt \((x^3 + 2x - 12) : (x - 2) = x^2 + 2x + 6\), was keine weiteren reellen Nullstellen besitzt. Wegen \(g''(x) = 3x^2 + 2\) und \(g''(2) = 14 > 0\) liegt bei \(x = 2\) ein globales Minimum vor. Der optimale Anschlusspunkt ist \(Q_E(2 \mid 2)\). 3. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: Die Steigung der Tangente an \(f\) im Punkt \(Q_E(2 \mid 2)\) ist \(f'(2) = 2\). Die Steigung der Verbindungsgeraden \(PQ_E\) ist \(m = \frac{2 - 0}{2 - 6} = -0{,}5\). Das Produkt der Steigungen ist \(f'(2) \cdot m = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\). Damit verläuft die Verbindungsstraße im Anschlusspunkt senkrecht zur Umgehungsstraße.

a) Der Abstand beträgt \(d(x) = \sqrt{(x-6)^2 + (0{,}5x^2)^2}\). Das Quadrat dieses Abstands liefert nach dem Ausmultiplizieren die Formel \(d^2(x) = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). b) Der optimale Anschlusspunkt hat die Koordinaten \(Q_E(2 \mid 2)\). c) Die Steigung der Tangente im Punkt \(Q_E\) ist \(f'(2) = 2\). Die Steigung der Verbindungsstrecke \(PQ_E\) ist \(m = -0{,}5\). Da das Produkt der Steigungen \(2 \cdot (-0{,}5) = -1\) ist, verläuft die Verbindungsstraße senkrecht zur Umgehungsstraße im Anschlusspunkt.

- Überlege zuerst, wie die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lautet und welche Seitenlängen das beschriebene Dreieck hat. - Für die Bestimmung des Maximums in Teilaufgabe b) hilft dir die Produktregel beim Ableiten der Flächenfunktion. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird, wenn du nach den Nullstellen der Ableitung suchst. - Um den Inhalt einer unbegrenzten Fläche zu berechnen, bestimmt man das Integral bis zu einer Grenze \(z\) und untersucht dann den Grenzwert für \(z \to \infty\). - Der prozentuale Anteil berechnet sich aus dem Verhältnis des maximalen Dreiecksflächeninhalts zur Gesamtfläche unter der Kurve.

1. **Teilaufgabe a**: Die Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks sind \(O(0 \mid 0)\), \(P(u \mid 0)\) und \(Q(u \mid f(u))\). Die Grundseite auf der \(x\)-Achse hat die Länge \(g = u\) und die Höhe hat die Länge \(h = f(u) = 6 \cdot e^{-0{,}4 u}\). Für den Flächeninhalt gilt: \(A(u) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot u \cdot 6 \cdot e^{-0{,}4 u} = 3u \cdot e^{-0{,}4 u}\) 2. **Teilaufgabe b**: Die Ableitung von \(A(u)\) wird mit der Produktregel berechnet: \(A'(u) = 3 \cdot e^{-0{,}4 u} + 3u \cdot (-0{,}4) \cdot e^{-0{,}4 u} = (3 - 1{,}2u) \cdot e^{-0{,}4 u}\) Nullsetzen der Ableitung liefert wegen \(e^{-0{,}4 u} > 0\): \(3 - 1{,}2u = 0 \implies u = 2{,}5\) Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(u)\) von Plus nach Minus bei \(u = 2{,}5\) bestätigt das Vorliegen eines lokalen und globalen Maximums. Der maximale Flächeninhalt beträgt: \(A(2{,}5) = 3 \cdot 2{,}5 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 2{,}5} = 7{,}5 \cdot e^{-1} \approx 2{,}76\) 3. **Teilaufgabe c**: Der Inhalt der unbegrenzten Fläche berechnet sich über das uneigentliche Integral: \(A_{\text{gesamt}} = \int_0^\infty 6 \cdot e^{-0{,}4 x} \,\mathrm{d}x = \lim_{z \to \infty} \left[ \frac{6}{-0{,}4} e^{-0{,}4 x} \right]_0^z = \lim_{z \to \infty} \left[ -15 \cdot e^{-0{,}4 x} \right]_0^z = \lim_{z \to \infty} \left( -15 \cdot e^{-0{,}4 z} - (-15) \right) = 15\) Da der Grenzwert existiert, ist die Fläche endlich und hat den Inhalt \(15\). 4. **Teilaufgabe d**: Der prozentuale Anteil berechnet sich aus dem Verhältnis des maximalen Dreiecksflächeninhalts zur Gesamtfläche: \(\frac{A(2{,}5)}{A_{\text{gesamt}}} = \frac{7{,}5 \cdot e^{-1}}{15} = 0{,}5 \cdot e^{-1} \approx 0{,}1839 \approx 18{,}4\,\%\)

a) Nachgewiesen durch \(A(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot 6 \cdot e^{-0{,}4 u} = 3u \cdot e^{-0{,}4 u}\). b) Der Flächeninhalt wird maximal für \(u = 2{,}5\); der maximale Flächeninhalt beträgt ca. \(2{,}76\). c) Die Fläche ist endlich und hat den Inhalt \(A_{\text{gesamt}} = 15\). d) Der maximale Flächeninhalt nimmt ca. \(18{,}4\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Nutze den Satz des Pythagoras, um den Abstand zwischen zwei Punkten auszudrücken. - Wenn du das Minimum einer Wurzelfunktion suchst, reicht es oft aus, den Term unter der Wurzel zu untersuchen. - Zerlege die gesuchte Fläche gedanklich in eine Fläche unter einer Kurve und eine einfache geometrische Figur wie ein Dreieck. - Erinnere dich an die Stammfunktion von Potenzfunktionen für die Integration.

1. Nachweis der Abstandsfunktion: \(d(x) = \sqrt{(x-3)^2 + (2\sqrt{x}-0)^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 9 + 4x} = \sqrt{x^2 - 2x + 9}\). 2. Bestimmung von \(Q_E\): Zur Minimierung von \(d(x)\) wird der Radikand \(g(x) = x^2 - 2x + 9\) minimiert. \(g'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\). Da \(g''(x) = 2 > 0\), liegt ein Minimum vor. Der Funktionswert ist \(f(1) = 2\sqrt{1} = 2\). Somit ist \(Q_E(1 \mid 2)\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die Fläche setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen. Teil 1: Fläche unter dem Graphen von \(x=0\) bis \(x=1\): \(A_1 = \int_0^1 2\sqrt{x} \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{4}{3}x^{1{,}5} \right]_0^1 = \frac{4}{3}\). Teil 2: Fläche unter der Strecke \(\overline{PQ_E}\) von \(x=1\) bis \(x=3\). Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(3-1=2\) und der Höhe \(2\). \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). Gesamtfläche: \(A_{ges} = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\).

a) Nachweis durch Einsetzen in die Abstandsformel: \(d(x) = \sqrt{(x-3)^2 + (2\sqrt{x})^2} = \sqrt{x^2 - 2x + 9}\). b) \(Q_E(1 \mid 2)\) c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{10}{3} \approx 3{,}33\).

- Überlege dir, wie sich der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet. - Stelle eine Funktion für den Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von \(u\) auf. - Denke daran, die Funktionswerte an den Rändern des Intervalls zu berechnen. - Zur Bestimmung des exakten Werts benötigst du eine Stammfunktion von \(g\).

1. Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A(u)\) aufstellen: Die Flächeninhalte der beiden Trapeze sind \(A_1 = \frac{g(0) + g(u)}{2} \cdot u\) und \(A_2 = \frac{g(u) + g(4)}{2} \cdot (4 - u)\). Mit den Randwerten \(g(0) = 2\) und \(g(4) = 6\) vereinfacht sich der Gesamtinhalt zu: \(A(u) = 2 \cdot g(u) - 2u + 12\). 2. Maximieren der Funktion: Einsetzen von \(g(u)\) ergibt \(A(u) = 4\sqrt{u} - 2u + 16\). Die Ableitung lautet \(A'(u) = \frac{2}{\sqrt{u}} - 2\). Die Bedingung \(A'(u) = 0\) liefert \(\sqrt{u} = 1\), also \(u = 1\). Wegen \(A''(1) = -1 < 0\) handelt es sich um ein Maximum. 3. Koordinaten von \(R\): Berechnung des Punktes auf dem Graphen: \(g(1) = 4\). Somit ist \(R(1 \mid 4)\). 4. Abweichung berechnen: Maximaler Näherungswert: \(A(1) = 18\). Exakter Integralwert: \(\int_0^4 (2\sqrt{x} + 2) \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{4}{3}x^{1{,}5} + 2x \right]_0^4 = \frac{56}{3} \approx 18{,}67\). Prozentuale Abweichung: \(\frac{\frac{56}{3} - 18}{\frac{56}{3}} = \frac{1}{28} \approx 3{,}57\,\%\).

a) Der Flächeninhalt wird für \(u = 1\) maximal. Die Koordinaten von \(R\) sind \(R(1 \mid 4)\). b) Die Abweichung beträgt ca. \(3{,}57\,\%\).

- Wie berechnet man allgemein die Fläche eines Rechtecks, wenn die Seitenlängen durch Koordinaten gegeben sind? - Nutze die Funktionsgleichung, um die Höhe des Rechtecks in Abhängigkeit von \(u\) anzugeben. - Um ein Maximum zu finden, musst du die Ableitung der Flächenfunktion bilden und deren Nullstellen untersuchen. - Achte beim Ableiten besonders auf die Produktregel.

1. Der Flächeninhalt ist \(A(u)=u\cdot f(u)=12u^2e^{-0{,}5u}\). 2. Mit Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(A'(u)=(24u-6u^2)e^{-0{,}5u}=6u(4-u)e^{-0{,}5u}\). 3. Für \(u>0\) ist die einzige kritische Stelle \(u=4\). Auf \((0;4)\) gilt \(A'(u)>0\), auf \((4;\infty)\) gilt \(A'(u)<0\). 4. Außerdem gilt \(A(u)\to0\) für \(u\to0^+\) und für \(u\to\infty\). Daher liegt bei \(u=4\) das eindeutige absolute Maximum. 5. \(A(4)=192e^{-2}\approx25{,}98\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird für \(u = 4\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt ca. \(25{,}98\) Flächeneinheiten.

- Stell dir vor, du verschiebst die Gerade \(g\) parallel in Richtung der Parabel. Welchen Punkt berührt sie zuerst? - Die Steigung der Parabel erhältst du über die erste Ableitung. - Für den Abstand eines Punktes von einer Geraden gibt es eine spezielle Formel (Hesse-Normalform). - Alternativ kannst du die vertikale Differenz \(h(x) = f(x) - g(x)\) minimieren, um die Stelle zu finden, aber für den echten Abstand ist das Lot entscheidend.

1. Geometrische Begründung: Beim minimalen Abstand steht die kürzeste Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden und auf der Tangente an die Parabel. Daher sind Tangente und Gerade parallel. 2. Berechnung der Stelle mit paralleler Tangente: \(f(x) = 0{,}25x^2 + 2 \Rightarrow f'(x) = 0{,}5x\). Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = 0{,}5\). Gleichsetzen: \(0{,}5x = 0{,}5 \Rightarrow x = 1\). 3. Koordinaten von \(P\): \(f(1) = 0{,}25 \cdot 1^2 + 2 = 2{,}25\). Somit ist \(P(1 \mid 2{,}25)\). 4. Berechnung des Abstands: Verwende die Punkt-Gerade-Abstandsformel für \(P(1 \mid 2{,}25)\) und \(0{,}5x - y - 1 = 0\): \(d = \frac{|0{,}5 \cdot 1 - 2{,}25 - 1|}{\sqrt{0{,}5^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2{,}75|}{\sqrt{1{,}25}} = \frac{2{,}75}{\sqrt{1{,}25}} \approx 2{,}46\).

a) Beim minimalen Abstand steht die Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden und auf der Tangente an die Parabel. Daher sind Tangente und Gerade parallel. b) Der Punkt ist \(P(1 \mid 2{,}25)\). Der minimale Abstand beträgt \(d = \frac{2{,}75}{\sqrt{1{,}25}} \approx 2{,}46\) Längeneinheiten.

- Fertige eine Skizze des Achsenschnitts an, um die geometrischen Zusammenhänge zwischen den Radien und der Höhe zu erkennen. - Kannst du den Radius der Kegelgrundfläche mithilfe des Satzes von Pythagoras durch den Kugelradius und die Höhe ausdrücken? - Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel und Kugel. - Untersuche die Randwerte des Definitionsbereichs der Höhe – was passiert, wenn die Höhe gegen \(0\) oder gegen den Kugeldurchmesser geht?

1. Aufstellen der Volumenformel für den Kegel: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), wobei \(r\) der Radius der Grundfläche und \(h\) die Höhe ist. 2. Bestimmen des Zusammenhangs zwischen \(r\), \(h\) und \(R\): Mit dem Abstand \(x = |h - R|\) vom Kugelmittelpunkt zur Grundfläche gilt nach Pythagoras \(r^2 + (h - R)^2 = R^2\), woraus \(r^2 = 2Rh - h^2\) folgt. 3. Aufstellen der Zielfunktion: \(V(h) = \frac{1}{3} \pi (2Rh - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)\) für \(0 < h < 2R\). 4. Bestimmen der Extremstelle: Die Ableitung \(V'(h) = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2)\) besitzt im Definitionsbereich die Nullstelle \(h = \frac{4}{3}R\). Da \(V''(h) = \frac{\pi}{3} (4R - 6h)\) an dieser Stelle negativ ist, liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Volumens: Einsetzen von \(h = \frac{4}{3}R\) in \(V(h)\) ergibt \(V_{\text{max}} = \frac{32}{81} \pi R^3\). 6. Berechnung des Volumenverhältnisses: Mit dem Kugelvolumen \(V_K = \frac{4}{3} \pi R^3\) ergibt sich das Verhältnis \(\frac{V_{\text{max}}}{V_K} = \frac{32/81 \pi R^3}{4/3 \pi R^3} = \frac{8}{27}\).

Die optimale Höhe beträgt \(h = \frac{4}{3}R\). Das Verhältnis des maximalen Kegelvolumens zum Kugelvolumen ist \(\frac{8}{27}\).

- Nutze den Strahlensatz, um die Höhe des inneren Körpers durch seinen Radius bzw. seine Breite auszudrücken. - Beachte beim Quader, dass die Ecken den Kegelmantel berühren. Wie hängt der Abstand dieser Ecken zur Mittelachse mit der Seitenlänge des Quadrats zusammen? - Verwende für den Nachweis in Teil 1 die allgemeine Formel und leite nach der Variablen des inneren Körpers ab. - Stelle für den Vergleich der Volumina in Teil 3 einen Bruch auf, in dem sich \(R\) und \(H\) kürzen lassen.

1. Für einen Zylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\) gilt nach dem Strahlensatz \(\frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}\), also \(h = H(1 - \frac{r}{R})\). Das Volumen ist \(V(r) = \pi r^2 H (1 - \frac{r}{R}) = \pi H (r^2 - \frac{r^3}{R})\). Die Ableitung \(V'(r) = \pi H (2r - \frac{3r^2}{R})\) besitzt bei \(r = \frac{2}{3}R\) eine Extremstelle. Einsetzen in die Höhenformel ergibt \(h = H(1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3}H\). 2. Für die quadratische Säule mit Grundkante \(s\) liegen die oberen Ecken auf einem Kreis mit Radius \(r_{s} = \frac{s\sqrt{2}}{2}\). Der Strahlensatz liefert \(\frac{H-h}{H} = \frac{s\sqrt{2}}{2R}\), woraus \(h = H(1 - \frac{s\sqrt{2}}{2R})\) folgt. Das Volumen ist \(V(s) = s^2 H (1 - \frac{s\sqrt{2}}{2R}) = H (s^2 - \frac{\sqrt{2}}{2R}s^3)\). Die Ableitung \(V'(s) = H (2s - \frac{3\sqrt{2}}{2R}s^2)\) führt auf \(s = \frac{4R}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}R\). Das maximale Volumen ist \(V_{\text{Säule}} = (\frac{2\sqrt{2}}{3}R)^2 \cdot \frac{1}{3}H = \frac{8}{27}R^2 H\). 3. Das maximale Zylindervolumen ist \(V_{\text{Zyl}} = \pi (\frac{2}{3}R)^2 \cdot \frac{1}{3}H = \frac{4\pi}{27}R^2 H\). Das Verhältnis beträgt \(\frac{V_{\text{Zyl}}}{V_{\text{Säule}}} = \frac{4\pi/27}{8/27} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). Da \(\pi > 2\), ist das Zylindervolumen größer; der Zylinder nutzt den Raum besser aus.

1. Nachweis über \(V'(r)=0 \implies r = \frac{2}{3}R\) und \(h = H(1-\frac{r}{R}) = \frac{1}{3}H\). 2. \(V_{\text{Säule},\max} = \frac{8}{27}R^2 H\) 3. Verhältnis \(\frac{V_{\text{Zyl}}}{V_{\text{Säule}}} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\); der Zylinder nutzt den Raum besser aus.