Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie berechnet man die Nullstellen einer reinquadratischen Funktion? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten von \(x\) und der Symmetrie eines Graphen. - Wenn zwei Graphen dieselben Nullstellen haben, begrenzen diese oft die eingeschlossene Fläche. - Überlege dir, welche Funktion im Intervall zwischen den Nullstellen größere Werte annimmt, um den Flächeninhalt positiv zu berechnen. - Nutze die erste und zweite Ableitung der Flächenfunktion, um das Maximum zu bestimmen.

1. Berechnung der Nullstellen von \(f_k\): \(kx^2 - k^3 = 0 \implies x^2 = k^2 \implies x_{1,2} = \pm k\). 2. Überprüfung der Nullstellen von \(g_k\): \(\frac{1}{k}x^2 - k = 0 \implies x^2 = k^2 \implies x_{1,2} = \pm k\). Da die Nullstellen identisch sind, liegen die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei \((\pm k | 0)\). 3. Symmetrie: Da in beiden Funktionstermen \(x\) nur mit geraden Exponenten vorkommt, gilt \(f_k(x) = f_k(-x)\) und \(g_k(x) = g_k(-x)\), was die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse zeigt. 4. Bestimmung der Differenzfunktion für den Flächeninhalt: Da \(0 < k < 1\), gilt \(f_k(0) = -k^3\) und \(g_k(0) = -k\). Wegen \(-k^3 > -k\) liegt der Graph von \(f_k\) im Intervall \([-k; k]\) oberhalb von \(g_k\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A(k) = \int_{-k}^k (f_k(x) - g_k(x)) \, dx = 2 \int_0^k ((k - \frac{1}{k})x^2 + k - k^3) \, dx = 2 [(k - \frac{1}{k})\frac{x^3}{3} + (k - k^3)x]_0^k = \frac{4}{3}(k^2 - k^4)\). 6. Optimierung: \(A'(k) = \frac{8}{3}k - \frac{16}{3}k^3\). Setzt man \(A'(k) = 0\), folgt \(8k(1 - 2k^2) = 0\). Die relevante Lösung im Intervall ist \(k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). 7. Nachweis des Maximums: \(A''(k) = \frac{8}{3} - 16k^2\). Für \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ist \(A''(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{8}{3} - 8 < 0\), also liegt ein Maximum vor. 8. Maximaler Flächeninhalt: \(A(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{4}{3}(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{3}\).

Das lokale Maximum wird für \(k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) erreicht. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(A(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{3}\).

- Wo liegen die Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse innerhalb des gegebenen Intervalls? - Wie musst du das Integral aufteilen, wenn der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Achte darauf, dass Flächeninhalte immer als positive Werte addiert werden müssen. - Nutze die Ableitungsregeln, um die Extremstelle der Flächenfunktion zu finden. - Prüfe, ob dein berechneter Wert für \(a\) tatsächlich im vorgegebenen Intervall liegt.

1. Die Funktion \(f_a(x) = x(x - a)\) besitzt im betrachteten Bereich die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = a\). Da \(0 < a < 1\), liegt die zweite Nullstelle innerhalb des Intervalls \([0; 1]\). 2. Der Graph verläuft für \(x \in [0; a]\) unterhalb und für \(x \in [a; 1]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Der Flächeninhalt berechnet sich somit durch \(A(a) = \int_0^a (ax - x^2) \, dx + \int_a^1 (x^2 - ax) \, dx\). 3. Mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2\) ergibt sich: \(A(a) = \left[ \frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^a + \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2 \right]_a^1 = \frac{1}{6}a^3 + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{6}a^3 \right) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3}\). 4. Die notwendige Bedingung für ein Extremum \(A'(a) = 0\) führt auf \(a^2 - \frac{1}{2} = 0\), woraus \(a = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) folgt (da \(a > 0\)). 5. Wegen \(A''(a) = 2a > 0\) für \(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\) liegt an dieser Stelle ein lokales Minimum vor. Der gesuchte Wert ist \(a = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\).

\(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (oder \(a = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\))

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die Achse schneidet, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Da ein Teil der Fläche unterhalb der Achse liegt, musst du mit Beträgen oder geschickten Vorzeichen arbeiten, um den Gesamtsinhalt zu berechnen. - Die resultierende Formel für den Flächeninhalt hängt noch von einer Unbekannten ab. Wie findet man bei so einer Funktion den kleinsten Wert? - Nutze die Symmetrie des Problems, um deine Vermutung für den optimalen Wert zu stützen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a(x) = x^3 - (a+1)x^2 + ax\): Diese liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = 1\). 2. Aufstellen der Flächenfunktion \(A(a)\) als Summe der Beträge der Teilintegrale: \(A(a) = \int_{0}^{a} f_a(x) \, dx - \int_{a}^{1} f_a(x) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion \(F_a(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2\) und Einsetzen der Grenzen: \(A(a) = 2 \cdot F_a(a) - F_a(1) = 2 \cdot (\frac{-a^4+2a^3}{12}) - \frac{2a-1}{12} = \frac{-2a^4+4a^3-2a+1}{12}\). 4. Ableiten nach \(a\): \(A'(a) = \frac{-8a^3+12a^2-2}{12} = \frac{-4a^3+6a^2-1}{6}\). 5. Nullsetzen der Ableitung \(A'(a) = 0\): Durch Probieren oder Symmetrieüberlegungen ergibt sich \(a = 0{,}5\) als Lösung in \((0; 1)\). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(a) = \frac{-12a^2+12a}{6} = -2a^2+2a\). Mit \(A''(0{,}5) = 0{,}5 > 0\) liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung des minimalen Flächeninhalts: \(A(0{,}5) = \frac{-2(0{,}5)^4+4(0{,}5)^3-2(0{,}5)+1}{12} = \frac{1}{32}\).

Der Parameterwert ist \(a = 0{,}5\). Der minimale Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{min}} = \frac{1}{32}\).

- Wie gehst du vor, um die Schnittpunkte zweier Funktionen zu finden? - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im Intervall zwischen den Schnittstellen die größeren Funktionswerte hat. - Erinnere dich an die Integralformel für den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven. - Um ein Maximum zu finden, ist die erste Ableitung der Flächenfunktion hilfreich. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Schnittpunkte bestimmen: Gleichsetzen \(4k^2 - 4x^2 = k^3 - kx^2\) führt zu \(x^2(k - 4) = k^2(k - 4)\). Da \(k \neq 4\), folgt \(x^2 = k^2\), also \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). 2. Flächeninhalt \(A(k)\) berechnen: Da \(f_k(0) = 4k^2 > k^3 = g_k(0)\) für \(0 < k < 4\), liegt \(f_k\) über \(g_k\). \(A(k) = \int_{-k}^{k} (f_k(x) - g_k(x)) \, dx = \int_{-k}^{k} (4k^2 - k^3 - (4 - k)x^2) \, dx\) \(A(k) = [(4k^2 - k^3)x - \frac{4 - k}{3}x^3]_{-k}^{k} = 2((4k^2 - k^3)k - \frac{4 - k}{3}k^3) = \frac{4}{3}(4k^3 - k^4) = \frac{16}{3}k^3 - \frac{4}{3}k^4\). 3. Extremwert bestimmen: \(A'(k) = 16k^2 - \frac{16}{3}k^3 = 16k^2(1 - \frac{k}{3})\). \(A'(k) = 0 \implies k = 3\) (da \(k > 0\)). Überprüfung mit \(A''(k) = 32k - 16k^2\): \(A''(3) = 96 - 144 = -48 < 0\), also Maximum bei \(k = 3\). 4. Maximaler Flächeninhalt: \(A(3) = \frac{4}{3}(4 \cdot 3^3 - 3^4) = \frac{4}{3}(108 - 81) = \frac{4}{3} \cdot 27 = 36\).

a) Nachweis durch Gleichsetzen: \(x = \pm k\). b) \(A(k) = \frac{16}{3}k^3 - \frac{4}{3}k^4\) c) Das Maximum liegt bei \(k = 3\); der maximale Flächeninhalt beträgt \(36\).

- Beginne damit, die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \( k \) zu berechnen. - Überlege, welche Funktion im relevanten Intervall die größeren Funktionswerte besitzt, um das Integral für den Flächeninhalt korrekt aufzustellen. - Die resultierende Formel für den Flächeninhalt ist eine Funktion von \( k \). Nutze die Methoden der Kurvendiskussion, um das Minimum dieser Funktion zu finden. - Überprüfe dein Ergebnis für das Minimum mit der zweiten Ableitung.

1. Bestimmung der Schnittpunkte der Parabeln durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \( k \cdot x^2 - 4k = \frac{4}{k^2} - \frac{1}{k^2} \cdot x^2 \). Dies führt zu \( (k + \frac{1}{k^2}) \cdot x^2 = 4 \cdot (k + \frac{1}{k^2}) \), woraus die parameterunabhängigen Schnittstellen \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 2 \) folgen. 2. Aufstellen der Flächenfunktion \( A(k) \): Da \( q_k \) für \( k > 0 \) im Intervall \( [-2; 2] \) oberhalb von \( p_k \) liegt, ergibt sich \( A(k) = \int_{-2}^{2} (q_k(x) - p_k(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} ((\frac{4}{k^2} + 4k) - (\frac{1}{k^2} + k) \cdot x^2) \, dx \). Die Integration liefert \( A(k) = [(\frac{4}{k^2} + 4k) \cdot x - \frac{1}{3}(\frac{1}{k^2} + k) \cdot x^3]_{-2}^{2} = \frac{32}{3} \cdot (k + \frac{1}{k^2}) \). 3. Bestimmung des Extremums von \( A(k) \): Die Ableitung \( A'(k) = \frac{32}{3} \cdot (1 - \frac{2}{k^3}) \) hat an der Stelle \( k = \sqrt[3]{2} \) eine Nullstelle. Da \( A''(k) = \frac{32}{3} \cdot \frac{6}{k^4} > 0 \), liegt ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung des minimalen Inhalts: Einsetzen von \( k = \sqrt[3]{2} \) in \( A(k) \) ergibt \( A(\sqrt[3]{2}) = \frac{32}{3} \cdot (\sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}}) = \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{32}{\sqrt[3]{4}} = 16 \cdot \sqrt[3]{2} \).

Der Flächeninhalt wird für \( k = \sqrt[3]{2} \) minimal. Der minimale Flächeninhalt beträgt \( 16 \cdot \sqrt[3]{2} \approx 20{,}16 \).

- Wie lautet die allgemeine Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt \((x_0|y_0)\) und Radius \(r\)? - Die Differenz der beiden Kreisgleichungen liefert die gesuchte Gerade. - Wie berechnet man den Abstand einer Geraden \(ax + by + c = 0\) vom Ursprung? - Nutze die Ableitungsregeln, um die Extremstelle der Abstandsfunktion zu finden.

1. Aufstellen der Kreisgleichungen: \(k: x^2 + y^2 = 32\) und \(k_t: (x-t)^2 + (y-t)^2 = 16\). 2. Bestimmung der Potenzgeraden durch Subtraktion der Gleichungen: \((x^2 + y^2) - (x^2 - 2tx + t^2 + y^2 - 2ty + t^2) = 32 - 16 \implies 2tx + 2ty - 2t^2 = 16\). 3. Vereinfachung zur Geradengleichung: \(x + y = t + \frac{8}{t}\). 4. Berechnung des Abstands \(d(t)\) zum Ursprung mittels der Hesseschen Normalform: \(d(t) = \frac{|t + \frac{8}{t}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(t + \frac{8}{t}\right)\) für \(t > 0\). 5. Ableitungen bilden: \(d'(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(1 - \frac{8}{t^2}\right)\) und \(d''(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{16}{t^3}\). 6. Nullstelle der ersten Ableitung: \(1 - \frac{8}{t^2} = 0 \implies t^2 = 8 \implies t = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (da \(t > 0\)). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(d''(2\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{16}{(2\sqrt{2})^3} = \frac{16}{\sqrt{2} \cdot 16\sqrt{2}} = \frac{1}{2} > 0\), somit liegt ein lokales Minimum vor. 8. Berechnung des minimalen Abstands: \(d(2\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(2\sqrt{2} + \frac{8}{2\sqrt{2}}\right) = \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\).

a) Die Potenzgerade hat die Gleichung \(x + y = t + \frac{8}{t}\). b) Das lokale Extremum liegt bei \(t = 2\sqrt{2}\) (ca. \(2{,}83\)). c) Der minimale Abstand beträgt \(4\). Da die zweite Ableitung an der Stelle \(t = 2\sqrt{2}\) positiv ist (\(d''(2\sqrt{2}) = 0{,}5\)), handelt es sich um ein lokales Minimum.

- Wie kannst du mathematisch zeigen, dass ein Punkt für jeden beliebigen Wert des Parameters auf dem Graphen liegt? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du zwei Funktionen der Schar mit unterschiedlichen Parametern gleichsetzt? - Wie hängen die Integrationsgrenzen für die Fläche mit den Eigenschaften der Funktion zusammen? - Welche Schritte sind notwendig, um die Extremstelle einer Funktion zu berechnen, die von einem Parameter abhängt?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte setzt man zwei Funktionsgleichungen mit verschiedenen Parametern \(k\) und \(m\) gleich: \(\frac{1}{k}((k+4)x - x^2) = \frac{1}{m}((m+4)x - x^2)\). Dies führt nach Umformen auf die Gleichung \((k-m)(x^2 - 4x) = 0\). Da \(k \neq m\), müssen die \(x\)-Werte \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) sein. Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f_k(0) = 0\) und \(f_k(4) = 4\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0|0)\) und \(P_2(4|4)\). 2. Die Nullstellen der Funktion \(f_k\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = k+4\). Da \(k > 0\), ist \(k+4 > 0\). 3. Der Flächeninhalt berechnet sich über das Integral \(A(k) = \int_0^{k+4} \frac{1}{k}((k+4)x - x^2) dx = \frac{1}{k} \left[ \frac{k+4}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{k+4} = \frac{(k+4)^3}{6k}\). 4. Um das Minimum zu finden, bildet man die Ableitung \(A'(k) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3(k+4)^2 \cdot k - (k+4)^3 \cdot 1}{k^2} = \frac{(k+4)^2(2k-4)}{6k^2}\). 5. Die notwendige Bedingung \(A'(k) = 0\) liefert für \(k > 0\) die einzige Lösung \(k = 2\). Eine Untersuchung des Vorzeichenwechsels von \(A'(k)\) bei \(k = 2\) (von negativ zu positiv) bestätigt das lokale Minimum. 6. Der minimale Flächeninhalt ergibt sich durch Einsetzen: \(A(2) = \frac{(2+4)^3}{6 \cdot 2} = \frac{216}{12} = 18\).

a) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0|0)\) und \(P_2(4|4)\). b) Der Flächeninhalt wird für \(k = 2\) minimal. Der minimale Flächeninhalt beträgt \(18\).

- Überlege dir zuerst, was die Bedingung für das senkrechte Aufeinandertreffen zweier Funktionsgraphen bezüglich ihrer Steigungen ist. - Denk daran, dass eine Fläche, die sich ins Unendliche erstreckt, mit Hilfe von Grenzwerten bei der Integration berechnet wird. - Um eine Funktion in Abhängigkeit von zwei Parametern zu optimieren, kannst du die Nebenbedingung nutzen, um einen Parameter zu ersetzen. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.

1. Es gilt \(f_a(0) = e^{a \cdot 0} = 1\) und \(g_b(0) = e^{b \cdot 0} = 1\), womit \(P(0|1)\) der gemeinsame Schnittpunkt ist. Die Ableitungen sind \(f_a'(x) = a e^{ax}\) und \(g_b'(x) = b e^{bx}\). Im Schnittpunkt gilt \(f_a'(0) = a\) und \(g_b'(0) = b\). Für einen orthogonalen Schnitt muss das Produkt der Steigungen \(-1\) sein, also \(a \cdot b = -1\). 2. Da \(a > 0\) und \(b < 0\), nähert sich \(f_a(x)\) für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse an und \(g_b(x)\) für \(x \to \infty\). Der Flächeninhalt setzt sich aus zwei uneigentlichen Integralen zusammen: \(A(a, b) = \int_{-\infty}^{0} e^{ax} \, dx + \int_{0}^{\infty} e^{bx} \, dx\). Die Berechnung ergibt \([\frac{1}{a} e^{ax}]_{-\infty}^{0} + [\frac{1}{b} e^{bx}]_{0}^{\infty} = (\frac{1}{a} - 0) + (0 - \frac{1}{b}) = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}\). 3. Mit der Bedingung \(b = -\frac{1}{a}\) folgt \(A(a) = \frac{1}{a} - (-\frac{1}{a})^{-1} = \frac{1}{a} + a\). Die notwendige Bedingung für ein Minimum ist \(A'(a) = -\frac{1}{a^2} + 1 = 0\), woraus wegen \(a > 0\) der Wert \(a = 1\) folgt. Wegen \(A''(a) = \frac{2}{a^3} > 0\) liegt ein Minimum vor. Daraus ergibt sich \(b = -1\). Der minimale Flächeninhalt beträgt \(A(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2\).

1. Bedingung: \(a \cdot b = -1\). 2. Flächeninhalt: \(A(a, b) = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}\). 3. \(a = 1\), \(b = -1\); minimaler Flächeninhalt \(A = 2\).

- Wie lässt sich die Fläche des Dreiecks mithilfe der Koordinaten von \(P\) und \(Q\) ausdrücken? - Denke an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). - Welche Bedingung muss die erste Ableitung der Flächenfunktion an einer Extremstelle erfüllen? - Vergleiche den Funktionswert an der Stelle \(u\) mit dem Wert an der Stelle \(0\).

1. Die Grundseite des Dreiecks ist \(g = 2u\) und die Höhe ist \(h = f_k(u) = \frac{k}{u^2 + 3}\). Die Flächeninhaltsfunktion lautet \(A(u) = \frac{1}{2} \cdot 2u \cdot \frac{k}{u^2 + 3} = \frac{ku}{u^2 + 3}\). Die Ableitung \(A'(u) = \frac{k(u^2 + 3) - ku(2u)}{(u^2 + 3)^2} = \frac{3k - ku^2}{(u^2 + 3)^2}\) hat für \(u > 0\) die einzige Nullstelle bei \(u = \sqrt{3}\). Da \(A'(u)\) für \(u < \sqrt{3}\) positiv und für \(u > \sqrt{3}\) negativ ist, liegt ein Maximum vor. 2. Der maximale Flächeninhalt ist \(A(\sqrt{3}) = \frac{k\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{k\sqrt{3}}{6}\). Die Bedingung \(A(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\) führt auf \(\frac{k\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}\), woraus \(k = 12\) folgt. 3. Die \(y\)-Koordinate der Punkte \(P\) und \(Q\) bei maximalem Flächeninhalt ist \(f_k(\sqrt{3}) = \frac{k}{3 + 3} = \frac{k}{6}\). Der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(f_k(0) = \frac{k}{0 + 3} = \frac{k}{3}\). Es gilt \(\frac{k}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{3}\), womit die Behauptung gezeigt ist.

1. \(u = \sqrt{3}\) 2. \(k = 12\) 3. \(f_k(\sqrt{3}) = \frac{k}{6}\) und \(f_k(0) = \frac{k}{3}\), also \(f_k(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot f_k(0)\).

- Klammere \(x\) aus, um die Nullstellen der Funktionen direkt abzulesen. - Überlege dir die Form des Graphen der Differenzfunktion (Parabel), um die Vorzeichen im Intervall zu begründen. - Der Flächeninhalt lässt sich durch Integration der Differenzfunktion über das Intervall der gemeinsamen Nullstellen berechnen. - Denke an die notwendige und hinreichende Bedingung für lokale Extrema einer Funktion.

1. Nullstellen von \(h_a\): \(x(a - x) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = a\). 2. Nullstellen von \(p_a\): \(\frac{1}{a}x(1 - \frac{1}{a}x) = 0 \implies x_1 = 0, \frac{x}{a} = 1 \implies x_2 = a\). 3. Differenzfunktion: \(d_a(x) = (\frac{1}{a}-a)x - (\frac{1}{a^2}-1)x^2 = \frac{1-a^2}{a}x - \frac{1-a^2}{a^2}x^2\). Da \(0 < a < 1\), ist der Koeffizient vor \(x^2\) negativ (\(-\frac{1-a^2}{a^2} < 0\)). Die Differenzfunktion stellt eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(0\) und \(a\) dar, weshalb sie dazwischen positiv ist. 4. Flächeninhalt: \(A(a) = \int_0^a d_a(x) \, dx = [\frac{1-a^2}{2a}x^2 - \frac{1-a^2}{3a^2}x^3]_0^a = \frac{(1-a^2)a}{2} - \frac{(1-a^2)a}{3} = \frac{1}{6}a(1 - a^2) = \frac{1}{6}(a - a^3)\). 5. Extremwertbestimmung: \(A'(a) = \frac{1}{6}(1 - 3a^2)\). Setzt man \(A'(a) = 0\), erhält man \(3a^2 = 1 \implies a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\) (da \(a > 0\)). 6. Art des Extremums: \(A''(a) = \frac{1}{6}(-6a) = -a\). Da \(a > 0\), ist \(A''(a) < 0\), woraus folgt, dass bei \(a = \frac{\sqrt{3}}{3}\) ein Maximum vorliegt.

Der Flächeninhalt wird für \(a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) maximal.

- Überlege dir zuerst, wo der Graph der Funktion die x-Achse schneidet und wie sich das auf das Integral auswirkt. - Wie berechnet man eine Fläche, wenn der Graph innerhalb des Intervalls die Seite der x-Achse wechselt? - Stelle eine Funktion auf, die den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) beschreibt. - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den optimalen Wert für \(a\) zu finden. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt und betrachte auch die Grenzen des Intervalls.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): \(x^2 - ax = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = a\). Da \(a \in [0; 2]\), liegt die Nullstelle \(a\) innerhalb des Integrationsintervalls. 2. Aufstellen der Flächenfunktion \(A(a)\) durch Integration des Betrags: \(A(a) = \int_{0}^{a} (ax - x^2) \, dx + \int_{a}^{2} (x^2 - ax) \, dx\). 3. Berechnung der Integrale: \(\int_{0}^{a} (ax - x^2) \, dx = [\frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^a = \frac{a^3}{6}\) und \(\int_{a}^{2} (x^2 - ax) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2]_a^2 = (\frac{8}{3} - 2a) - (\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{2}) = \frac{8}{3} - 2a + \frac{a^3}{6}\). 4. Zusammenfassen zur Zielfunktion: \(A(a) = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3}\). 5. Ableiten und Extremstellen bestimmen: \(A'(a) = a^2 - 2 = 0 \Rightarrow a = \sqrt{2}\) (da \(a \ge 0\)). 6. Überprüfung der Art des Extremums: \(A''(a) = 2a\); \(A''(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} > 0\), somit liegt ein lokales Minimum vor. 7. Randwertprüfung: \(A(0) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\); \(A(2) = \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\); \(A(\sqrt{2}) = \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{8}{3} = \frac{8 - 4\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}78\). Das absolute Minimum liegt bei \(a = \sqrt{2}\).

Der Flächeninhalt wird für \(a = \sqrt{2}\) minimal. Der minimale Flächeninhalt beträgt \(\frac{8 - 4\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}78\).

- Wo schneidet die horizontale Gerade den Graphen der Wurzelfunktion? - Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Teilen: einem Teil, in dem die Gerade oberhalb des Graphen liegt, und einem Teil, in dem sie unterhalb liegt. - Kannst du ein Integral aufstellen, das den gesamten Flächeninhalt zwischen den beiden Linien im Intervall von 0 bis 1 beschreibt? - Denke daran, dass du eine Funktion von \(c\) minimieren möchtest.

1. Bestimmung des Schnittpunkts von \(f(x) = \sqrt{x}\) und \(y = c\): \(\sqrt{x} = c \Rightarrow x = c^2\). 2. Aufstellen der Flächenfunktion \(A(c)\) als Integral der Betragsdifferenz: \(A(c) = \int_{0}^{1} |\sqrt{x} - c| \, dx = \int_{0}^{c^2} (c - \sqrt{x}) \, dx + \int_{c^2}^{1} (\sqrt{x} - c) \, dx\). 3. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{0}^{c^2} (c - x^{1/2}) \, dx = [cx - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^{c^2} = c^3 - \frac{2}{3}c^3 = \frac{1}{3}c^3\). 4. Zweites Teilintegral: \(\int_{c^2}^{1} (x^{1/2} - c) \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - cx]_{c^2}^1 = (\frac{2}{3} - c) - (\frac{2}{3}c^3 - c^3) = \frac{2}{3} - c + \frac{1}{3}c^3\). 5. Zielfunktion: \(A(c) = \frac{2}{3}c^3 - c + \frac{2}{3}\). 6. Bestimmung des Minimums: \(A'(c) = 2c^2 - 1 = 0 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). 7. Überprüfung: \(A''(c) = 4c\); \(A''(\frac{\sqrt{2}}{2}) > 0\), also Minimum. 8. Minimaler Flächeninhalt: \(A(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{3}{3\sqrt{2}} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}\).

Der Flächeninhalt ist für \(c = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\) minimal. Der minimale Flächeninhalt beträgt \(\frac{2 - \sqrt{2}}{3} \approx 0{,}195\).

- Bestimme zuerst die Nullstelle der Funktion in Abhängigkeit von \(t\). - Denke daran, dass der Betrag des Integrals den Flächeninhalt liefert, wenn die Funktion unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Die Produktregel hilft dir beim Ableiten der resultierenden Flächenfunktion. - Wie hängen die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus zusammen?

1. Die Nullstelle von \(g_t(x) = e^x - t\) liegt bei \(x = \ln(t)\). Für \(1 < t < e\) liegt diese Nullstelle im offenen Intervall \((0; 1)\). 2. Die Fläche setzt sich aus zwei Teilintegralen zusammen: \(A(t) = \int_0^{\ln(t)} (t - e^x) \, dx + \int_{\ln(t)}^1 (e^x - t) \, dx\). 3. Die Integration liefert: \(A(t) = [tx - e^x]_0^{\ln(t)} + [e^x - tx]_{\ln(t)}^1 = (t \ln(t) - t + 1) + (e - t - (t - t \ln(t))) = 2t \ln(t) - 3t + e + 1\). 4. Die Ableitung der Flächenfunktion nach \(t\) lautet \(A'(t) = 2 \ln(t) + 2t \cdot \frac{1}{t} - 3 = 2 \ln(t) - 1\). 5. Die Bedingung \(A'(t) = 0\) ergibt \(\ln(t) = 0{,}5\), also \(t = e^{0{,}5} = \sqrt{e}\). 6. Da \(A''(t) = \frac{2}{t} > 0\) für alle \(t > 0\), handelt es sich bei \(t = \sqrt{e}\) um ein Minimum.

\(t = \sqrt{e} \approx 1{,}649\)

- Wo schneidet die Funktion die \(x\)-Achse in Abhängigkeit von \(t\)? - Überlege dir, wie sich die Fläche zusammensetzt, wenn die Nullstelle innerhalb des Intervalls \([0; 1]\) liegt. - Erinnere dich daran, wie man Funktionen mit dem natürlichen Logarithmus ableitet. - Prüfe auch die Parameterbereiche, in denen die Nullstelle außerhalb des Intervalls \([0; 1]\) liegt, damit du ein globales Minimum erhältst.

1. Bestimmung der Nullstelle von \(f_t\): \(e^x - t = 0 \Leftrightarrow x = \ln(t)\). Die Nullstelle liegt im Intervall \([0; 1]\), wenn \(1 \le t \le e\) gilt. 2. Aufstellen der Flächenfunktion \(A(t)\) für \(1 \le t \le e\): \(A(t) = \int_{0}^{\ln(t)} (t - e^x) \, dx + \int_{\ln(t)}^{1} (e^x - t) \, dx\). 3. Integration und Vereinfachung: \(A(t) = [tx - e^x]_0^{\ln(t)} + [e^x - tx]_{\ln(t)}^1 = (t\ln(t) - t + 1) + (e - t - (t - t\ln(t))) = 2t\ln(t) - 3t + e + 1\). 4. Bestimmung des Extremums durch Ableiten: \(A'(t) = 2\ln(t) + 2 - 3 = 2\ln(t) - 1\). 5. Nullsetzen der Ableitung: \(2\ln(t) - 1 = 0 \Leftrightarrow \ln(t) = 0{,}5 \Leftrightarrow t = e^{0{,}5} = \sqrt{e}\). 6. Nachweis des Minimums: \(A''(t) = \frac{2}{t}\). Da \(A''(\sqrt{e}) = \frac{2}{\sqrt{e}} > 0\), liegt ein Minimum vor. 7. Prüfung der übrigen Parameterbereiche: Für \(0 < t \leq 1\) gilt \(A(t) = \int_0^1 (e^x-t) \,\text{d}x = e-1-t\); der kleinste Wert in diesem Bereich ist \(A(1)=e-2\). Für \(t \geq e\) gilt \(A(t) = \int_0^1 (t-e^x) \,\text{d}x = t-e+1\); der kleinste Wert in diesem Bereich ist \(A(e)=1\). 8. Berechnung des minimalen Inhalts: \(A(\sqrt{e}) = 2\sqrt{e} \cdot 0{,}5 - 3\sqrt{e} + e + 1 = e + 1 - 2\sqrt{e} \approx 0{,}421\). Da dieser Wert kleiner als \(e-2\) und \(1\) ist, handelt es sich um das globale Minimum für \(t>0\).

Der Inhalt wird für \(t = \sqrt{e}\) minimal. Der minimale Flächeninhalt ist \(A_{\text{min}} = e + 1 - 2\sqrt{e}\).

- Welche Form hat der Graph von \(f_a\)? Ist es eine Kurve oder eine Gerade? - Wenn du die Schnittstellen berechnest, kannst du \(a^2\) auf beiden Seiten der Gleichung kürzen, da \(a > 0\). - Die Integration wird einfacher, wenn du den konstanten Faktor \(a^2\) vor das Integral ziehst oder geschickt ausklammerst. - Achte beim Ableiten der Flächenfunktion auf die Potenzregeln. - Setze deinen gefundenen Wert für \(a\) in die ursprüngliche Flächenformel ein, um den finalen Wert zu erhalten.

1. Schnittstellen berechnen: \(a^2 = \frac{a^2}{(6-a)^2} x^2 \implies (6-a)^2 = x^2 \implies x = \pm(6-a)\). 2. Flächeninhalt \(A(a)\) bestimmen: Da \(f_a\) eine horizontale Gerade oberhalb der nach oben geöffneten Parabel \(g_a\) ist, gilt: \(A(a) = \int_{-(6-a)}^{6-a} (a^2 - \frac{a^2}{(6-a)^2} x^2) \, dx = [a^2 x - \frac{a^2}{3(6-a)^2} x^3]_{-(6-a)}^{6-a}\) \(A(a) = 2(a^2(6-a) - \frac{a^2(6-a)^3}{3(6-a)^2}) = 2(a^2(6-a) - \frac{1}{3}a^2(6-a)) = \frac{4}{3}a^2(6-a) = 8a^2 - \frac{4}{3}a^3\). 3. Maximum suchen: \(A'(a) = 16a - 4a^2 = 4a(4-a)\). \(A'(a) = 0 \implies a = 4\) (da \(a > 0\)). Zweite Ableitung: \(A''(a) = 16 - 8a \implies A''(4) = 16 - 32 = -16 < 0\). Somit liegt bei \(a = 4\) ein Maximum vor. 4. Maximalwert berechnen: \(A(4) = \frac{4}{3} \cdot 4^2 \cdot (6-4) = \frac{4}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3}\).

a) Die Schnittpunkte liegen bei \(S_1(-(6-a)|a^2)\) und \(S_2(6-a|a^2)\). b) \(A(a) = 8a^2 - \frac{4}{3}a^3\) c) Der Flächeninhalt ist maximal für \(a = 4\); der Flächeninhalt beträgt dann \(\frac{128}{3}\).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Graphen, die die Integrationsgrenzen bilden. Beachte, dass diese Grenzen von \( a \) abhängen können. - Stelle die Integrationsformel für den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven auf. - Nachdem du den Flächeninhalt als Funktion \( A(a) \) dargestellt hast, kannst du das Minimum durch Ableiten nach \( a \) bestimmen. - Vergiss nicht, am Ende den konkreten minimalen Flächeninhalt durch Einsetzen des gefundenen Wertes für \( a \) zu berechnen.

1. Bestimmung der Schnittstellen: Gleichsetzen von \( a \cdot x^2 = (a+1) \cdot x \) ergibt \( x \cdot (ax - (a+1)) = 0 \). Die Schnittstellen liegen bei \( x_1 = 0 \) und \( x_2 = \frac{a+1}{a} \). 2. Aufstellen der Flächenfunktion \( A(a) \): Da \( g_a(x) \ge f_a(x) \) für \( x \in [0; \frac{a+1}{a}] \), berechnet sich der Inhalt durch \( A(a) = \int_{0}^{\frac{a+1}{a}} ((a+1)x - ax^2) \, dx \). Das Integral ergibt \( A(a) = [\frac{a+1}{2}x^2 - \frac{a}{3}x^3]_{0}^{\frac{a+1}{a}} = \frac{(a+1)^3}{2a^2} - \frac{(a+1)^3}{3a^2} = \frac{(a+1)^3}{6a^2} \). 3. Optimierung: Die Ableitung \( A'(a) = \frac{3(a+1)^2 \cdot 6a^2 - (a+1)^3 \cdot 12a}{36a^4} \) (oder über die Produktregel) vereinfacht sich zu \( A'(a) = \frac{(a+1)^2 \cdot (a-2)}{6a^3} \). Die einzige positive Nullstelle der Ableitung ist \( a = 2 \). Da \( A'(a) < 0 \) für \( a < 2 \) und \( A'(a) > 0 \) für \( a > 2 \), liegt bei \( a = 2 \) ein Minimum vor. 4. Minimaler Inhalt: Einsetzen von \( a = 2 \) in \( A(a) \) ergibt \( A(2) = \frac{(2+1)^3}{6 \cdot 2^2} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \).

Der Flächeninhalt ist für \( a = 2 \) minimal. Der minimale Flächeninhalt beträgt \( \frac{9}{8} = 1{,}125 \).

- Stelle zuerst die Gleichungen beider Kreise auf und subtrahiere sie, um die Gleichung der Geraden zu erhalten. - Da die Potenzgerade hier eine vertikale Gerade ist, entspricht ihr Abstand zum Ursprung einfach dem Betrag ihres \(x\)-Werts. - Vergiss bei der Suche nach dem globalen Maximum und Minimum nicht, auch die Randwerte des Intervalls \([2; 10]\) zu prüfen.

1. Aufstellen der Kreisgleichungen: \(K: x^2 + y^2 = 25\) und \(C_u: (x-u)^2 + y^2 = 2u\). 2. Bestimmung der Potenzgeraden: \(x^2 + y^2 - 25 = x^2 - 2ux + u^2 + y^2 - 2u \implies 2ux = u^2 - 2u + 25\). 3. Auflösen nach \(x\) ergibt die vertikale Gerade: \(x = \frac{u}{2} - 1 + \frac{12{,}5}{u}\). 4. Der Abstand zum Ursprung ist \(d(u) = |x(u)| = \frac{u}{2} - 1 + \frac{12{,}5}{u}\) (da der Ausdruck für \(u \in [2; 10]\) stets positiv ist). 5. Untersuchung auf lokale Extrema: \(d'(u) = \frac{1}{2} - \frac{12{,}5}{u^2} = 0 \implies u^2 = 25 \implies u = 5\) (da \(u > 0\)). 6. Funktionswerte an der Extremstelle und den Rändern vergleichen: - \(d(5) = 2{,}5 - 1 + 2{,}5 = 4\) (Minimum, da \(d''(5) = \frac{25}{5^3} > 0\)). - \(d(2) = 1 - 1 + 6{,}25 = 6{,}25\). - \(d(10) = 5 - 1 + 1{,}25 = 5{,}25\). 7. Ergebnis: Der kleinste Abstand beträgt \(4\) (bei \(u = 5\)), der größte Abstand beträgt \(6{,}25\) (am Rand bei \(u = 2\)).

Der minimale Abstand zum Ursprung beträgt \(4\) und wird für den Kreis mit \(u = 5\) erreicht. Der maximale Abstand zum Ursprung beträgt \(6{,}25\) und wird für den Kreis mit \(u = 2\) erreicht.

- Die obere Grenze für dein Integral ist die Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. - Drücke die Seiten des Rechtecks durch die Variable \(u\) und den Parameter \(a\) aus. - Denke daran, dass \(a\) beim Ableiten nach \(u\) wie eine Konstante behandelt wird. - Um \(a\) zu finden, musst du die Formel für den maximalen Flächeninhalt mit dem gegebenen Wert gleichsetzen.

1. Integrationsgrenzen: Die Nullstelle im 1. Quadranten liegt bei \(x = \sqrt{a}\). 2. Flächeninhalt der Fläche: \(A_{\text{Fläche}} = \int_0^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx = \left[ ax - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt{a}} = a\sqrt{a} - \frac{1}{3}a\sqrt{a} = \frac{2}{3}a\sqrt{a}\). 3. Zielfunktion Rechteck: \(A(u) = u \cdot (a - u^2) = au - u^3\). 4. Extremwertberechnung: \(A'(u) = a - 3u^2 = 0 \implies u = \sqrt{\frac{a}{3}}\) (da \(u > 0\)). \(A''(u) = -6u < 0\), also Maximum. 5. Maximaler Inhalt: \(A_{\max}(a) = \sqrt{\frac{a}{3}} \cdot (a - \frac{a}{3}) = \frac{2a}{3} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}\). 6. Bestimmung von \(a\): Setze \(\frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}}\). Dies führt zu \(2a^{3/2} = 16 \implies a^{3/2} = 8 \implies a = 8^{2/3} = 4\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{2}{3}a\sqrt{a}\). b) Der maximale Flächeninhalt ist \(A_{\max} = \frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}\). c) Der Wert ist \(a = 4\).

- Überlege, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein \(x\)-Wert unabhängig vom Parameter \(k\) immer dieselbe Lösung liefert. - Skizziere den Verlauf einer nach oben geöffneten Parabel, um das Vorzeichen des Integrals für die Flächenberechnung zu bestimmen. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung der Flächenfunktion zu bilden. - Prüfe, ob dein Ergebnis für \(k\) im vorgegebenen Definitionsbereich liegt.

1. Um die gemeinsamen Punkte zu finden, betrachtet man die Gleichung \(g_k(x) = g_m(x)\) für \(k \neq m\). Durch Umformen der Gleichung \(\frac{x^2-kx}{k-2} = \frac{x^2-mx}{m-2}\) erhält man \((m-k)(x^2 - 2x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(g_k(0) = 0\) und \(g_k(2) = \frac{4-2k}{k-2} = -2\). Die Schnittpunkte sind \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(2|-2)\). 2. Die Nullstellen von \(g_k\) sind \(x = 0\) und \(x = k\). Da \(k > 2\), ist \(k\) die rechte Grenze. Da der Graph für \(0 < x < k\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft (Parabel nach oben geöffnet), ist der Flächeninhalt \(A(k) = -\int_0^k g_k(x) dx = \frac{k^3}{6(k-2)}\). 3. Die Ableitung der Flächenfunktion nach \(k\) lautet \(A'(k) = \frac{3k^2(k-2) - k^3 \cdot 1}{6(k-2)^2} = \frac{2k^3 - 6k^2}{6(k-2)^2} = \frac{2k^2(k-3)}{6(k-2)^2}\). 4. Die Bedingung \(A'(k) = 0\) führt für \(k > 2\) auf \(k = 3\). Da \(A'(k) < 0\) für \(2 < k < 3\) und \(A'(k) > 0\) für \(k > 3\), liegt bei \(k = 3\) ein Minimum vor. 5. Der minimale Flächeninhalt ist \(A(3) = \frac{3^3}{6(3-2)} = \frac{27}{6} = 4{,}5\).

a) Die Graphen schneiden sich in \(Q_1(0|0)\) und \(Q_2(2|-2)\). b) Der Flächeninhalt ist für \(k = 3\) am kleinsten. Der minimale Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\).

- Wie hängen die Steigungen zweier Geraden oder Kurven zusammen, wenn sie senkrecht aufeinander stehen? - Nutze für die Flächenberechnung das Integral der Differenzfunktion über dem angegebenen Intervall. - Erinnerst du dich an die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus? - Verwende die Standardmethode der Extremwertberechnung (Ableiten und Nullsetzen), um den optimalen Parameter zu finden.

1. Einsetzen von \(x = 1\) ergibt \(f_k(1) = k \ln(1) = 0\) und \(g_k(1) = -\frac{1}{k}(1-1) = 0\). Die Ableitungen sind \(f_k'(x) = \frac{k}{x}\) und \(g_k'(x) = -\frac{1}{k}\). An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f_k'(1) = k\) und \(g_k'(1) = -\frac{1}{k}\). Das Produkt der Steigungen ist \(k \cdot (-\frac{1}{k}) = -1\), was den orthogonalen Schnitt beweist. 2. Da für \(x > 1\) gilt \(f_k(x) > 0\) und \(g_k(x) < 0\), berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A(k) = \int_{1}^{e} (f_k(x) - g_k(x)) \, dx = \int_{1}^{e} (k \ln(x) + \frac{1}{k}x - \frac{1}{k}) \, dx\). Unter Verwendung der Stammfunktion \(\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x\) ergibt sich: \(A(k) = [k(x \ln(x) - x) + \frac{1}{k}(\frac{1}{2}x^2 - x)]_{1}^{e} = k(e \ln(e) - e - (1 \ln(1) - 1)) + \frac{1}{k}(\frac{1}{2}e^2 - e - (\frac{1}{2} - 1)) = k(0 - (-1)) + \frac{1}{k}(\frac{1}{2}e^2 - e + \frac{1}{2}) = k + \frac{(e-1)^2}{2k}\). 3. Zur Minimierung von \(A(k) = k + \frac{(e-1)^2}{2k}\) wird die Ableitung \(A'(k) = 1 - \frac{(e-1)^2}{2k^2}\) gleich null gesetzt. Dies führt zu \(2k^2 = (e-1)^2\). Da \(k > 0\), folgt \(k = \frac{e-1}{\sqrt{2}}\). Die zweite Ableitung \(A''(k) = \frac{(e-1)^2}{k^3}\) ist für \(k > 0\) stets positiv, somit liegt ein Minimum vor.

1. Nachweis über \(f_k(1)=g_k(1)=0\) und \(f_k'(1) \cdot g_k'(1) = -1\). 2. \(A(k) = k + \frac{(e-1)^2}{2k}\). 3. \(k = \frac{e-1}{\sqrt{2}}\).