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- Welchen Wert muss die x-Koordinate eines Punktes auf der y-Achse haben? - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, die Steigung einer Funktion zu beurteilen? - Berücksichtige bei der Ableitung die Kettenregel für die Exponentialfunktion. - Welche Vorzeichen haben die einzelnen Terme in deiner Ableitungsfunktion? - Überlege dir getrennt, gegen welche Werte die einzelnen Bestandteile des Funktionsterms streben, wenn x immer größer wird.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f_a(0) = 8 \cdot e^0 - a \cdot 0 + 3 = 8 + 3 = 11\). Da das Ergebnis unabhängig vom Parameter \(a\) ist, schneiden alle Graphen die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0|11)\). 2. Die erste Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = -4 \cdot e^{-0{,}5x} - a\). Da \(e^{-0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) und \(a > 0\) gilt, sind beide Summanden der Ableitung negativ. Somit ist \(f_a'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), woraus die strenge Monotonie folgt. 3. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = \lim_{x \to +\infty} (8 \cdot e^{-0{,}5x} - ax + 3)\). Da \(\lim_{x \to +\infty} e^{-0{,}5x} = 0\) und \(\lim_{x \to +\infty} (-ax) = -\infty\) für \(a > 0\), folgt insgesamt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\).

a) Der gemeinsame Schnittpunkt ist \(S(0|11)\). b) Die Ableitung \(f_a'(x) = -4e^{-0{,}5x} - a\) ist aufgrund von \(a > 0\) und \(e^{-0{,}5x} > 0\) stets negativ, daher ist \(f_a\) streng monoton fallend. c) \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in der Funktionsgleichung vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Wie viele Unbekannte musst du bestimmen und wie viele Informationen liefert der Text? - Was bedeutet die Information über den Wendepunkt für die Ableitungen der Funktion? - Setze die gegebenen Punkte und Eigenschaften in Gleichungen um.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 4\): \(f(0) = 4 \implies e = 4\). 3. Nullstelle bei \(x = 2\): \(f(2) = 0 \implies 16a + 4c + 4 = 0\) bzw. \(4a + c = -1\). 4. Wendepunkt bei \(x = 1\): \(f''(1) = 0\). Mit \(f''(x) = 12ax^2 + 2c\) folgt \(12a + 2c = 0\) bzw. \(c = -6a\). 5. Einsetzen von \(c = -6a\) in die Gleichung aus Schritt 3: \(4a - 6a = -1 \implies -2a = -1 \implies a = 0{,}5\). 6. Berechnung von \(c\): \(c = -6 \cdot 0{,}5 = -3\). 7. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 4\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 4\)

- Wie gehst du vor, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegen soll? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Maximum an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Denke beim Ableiten der Funktion im zweiten Teil an die Produktregel und die Kettenregel. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Zur Bestimmung von \(a\) wird der Punkt \(P(2|10)\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(10 = a \cdot 2^3 - 5 \cdot 2 + 4\). Dies führt zu \(10 = 8a - 6\) und somit zu \(8a = 16\), woraus \(a = 2\) folgt. 2. Für die notwendige Bedingung eines Extremums von \(g_k\) wird die erste Ableitung gebildet: \(g_k'(x) = -1 \cdot e^{0{,}5x} + (k - x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}5k - 0{,}5x - 1)\). 3. Setzen der Bedingung \(g_k'(4) = 0\) ergibt \(e^{2} \cdot (0{,}5k - 0{,}5 \cdot 4 - 1) = 0\). Da \(e^2 \neq 0\), folgt \(0{,}5k - 3 = 0\), also \(k = 6\). 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung \(g_k''(x) = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}25k - 0{,}25x - 1)\). Für \(k = 6\) und \(x = 4\) ergibt sich \(g_6''(4) = e^2 \cdot (1{,}5 - 1 - 1) = -0{,}5e^2 < 0\). Somit liegt bei \(x = 4\) ein lokales Maximum vor.

a) \(a = 2\) b) \(k = 6\)

- Welche Ableitungen benötigst du, um Aussagen über Wendestellen zu treffen? - Erinnere dich an die notwendige und die hinreichende Bedingung für Wendepunkte. - Wie kannst du zeigen, dass eine Eigenschaft unabhängig von einem Parameter gilt? - Überlege, was passiert, wenn du für den Parameter \(r\) in der Ableitung einen beliebigen Wert einsetzt.

1. Für die Wendestelle wird die zweite Ableitung benötigt: \(h_r'(x) = 5rx^4 - 15x^2\) und \(h_r''(x) = 20rx^3 - 30x\). 2. Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle bei \(x = 1\) lautet \(h_r''(1) = 0\). Einsetzen ergibt \(20r \cdot 1^3 - 30 \cdot 1 = 0\), woraus \(20r = 30\) und somit \(r = 1{,}5\) folgt. 3. Zur Absicherung wird die dritte Ableitung \(h_r'''(x) = 60rx^2 - 30\) betrachtet. Für \(r = 1{,}5\) gilt \(h_{1{,}5}'''(1) = 60 \cdot 1{,}5 - 30 = 60 \neq 0\), was die Wendestelle bestätigt. 4. Für den Nachweis in Aufgabenteil b) wird \(x = 0\) in die zweite Ableitung eingesetzt: \(h_r''(0) = 20r \cdot 0^3 - 30 \cdot 0 = 0\) für alle \(r \in \mathbb{R}\). 5. Die dritte Ableitung an dieser Stelle ist \(h_r'''(0) = 60r \cdot 0^2 - 30 = -30\). Da \(-30 \neq 0\) für alle \(r\) gilt, ist die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle an der Stelle \(x = 0\) stets erfüllt.

a) \(r = 1{,}5\) b) Da \(h_r''(0) = 0\) und \(h_r'''(0) = -30 \neq 0\) für alle \(r \in \mathbb{R}\) gilt, liegt bei \(x = 0\) immer eine Wendestelle vor.

- Wie gehst du vor, um Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Welche Eigenschaft hat die Exponentialfunktion \(e^{x}\) bezüglich ihrer Nullstellen? - Wie setzt man die Bedingung um, dass ein Punkt auf einer waagerechten Geraden liegt?

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = -e^{0{,}5x} + (a - x) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}5a - 1 - 0{,}5x) \cdot e^{0{,}5x}\) und \(f_a''(x) = -0{,}5 e^{0{,}5x} + (0{,}5a - 1 - 0{,}5x) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}25a - 1 - 0{,}25x) \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): Da \(e^{0{,}5x} > 0\), folgt \(0{,}5a - 1 - 0{,}5x = 0\), woraus \(x = a - 2\) resultiert. 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f_a''(a - 2) = (0{,}25a - 1 - 0{,}25(a - 2)) \cdot e^{0{,}5(a - 2)} = -0{,}5 \cdot e^{0{,}5a - 1}\). Da dieser Ausdruck für alle \(a\) negativ ist, liegt ein Hochpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a - 2) = (a - (a - 2)) \cdot e^{0{,}5(a - 2)} = 2 \cdot e^{0{,}5a - 1}\). Der Hochpunkt ist \(H(a - 2 \mid 2 e^{0{,}5a - 1})\). 5. Bedingung für b) anwenden: \(y_H = 2 \implies 2 e^{0{,}5a - 1} = 2\). 6. Gleichung lösen: \(e^{0{,}5a - 1} = 1 \implies 0{,}5a - 1 = 0 \implies a = 2\).

a) Der Hochpunkt hat die Koordinaten \(H(a - 2 \mid 2 e^{0{,}5a - 1})\). b) Für \(a = 2\) liegt der Hochpunkt auf der Geraden \(y = 2\).

- Wie lauten die Koordinaten des Koordinatenursprungs? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Steigung des Graphen aus? - Achte beim Ableiten darauf, dass k ein konstanter Parameter ist. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du die Grenzwerte der einzelnen Summanden leichter bestimmen kannst?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(g_k(0) = k \cdot (e^0 - 1) - 2 \cdot 0 = k \cdot (1 - 1) - 0 = 0\). Damit liegt der Punkt \((0|0)\) unabhängig von \(k\) auf jedem Graphen. 2. Die Ableitungsfunktion wird durch Differenzieren (unter Beachtung der Kettenregel) bestimmt: \(g_k'(x) = -k \cdot e^{-x} - 2\). Wegen \(k > 0\) ist \(-k < 0\). Da \(e^{-x}\) stets positiv ist, ist das Produkt \(-k \cdot e^{-x}\) stets negativ. Die Summe mit \(-2\) ist somit ebenfalls stets negativ (\(g_k'(x) < -2 < 0\)). 3. Für den Grenzwert betrachtet man die Einzelterme: \(\lim_{x \to +\infty} g_k(x) = \lim_{x \to +\infty} (k \cdot e^{-x} - k - 2x)\). Da \(k \cdot e^{-x} \to 0\) und \(-2x \to -\infty\), ergibt sich der Gesamtwert \(\lim_{x \to +\infty} g_k(x) = -\infty\).

a) Da \(g_k(0) = 0\) für alle \(k\), verläuft jeder Graph durch \((0|0)\). b) \(g_k'(x) = -k e^{-x} - 2\); da \(k > 0\) und \(e^{-x} > 0\), ist \(g_k'(x)\) stets negativ. c) \(\lim_{x \to +\infty} g_k(x) = -\infty\)

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Überlege dir bei der Untersuchung von Schnittpunkten, was es bedeutet, wenn eine Gleichung nur für einen bestimmten x-Wert erfüllt ist. - Eine Streckung in x-Richtung um den Faktor c ersetzt jedes x durch x/c. Eine Streckung in y-Richtung multipliziert den gesamten Funktionsterm mit c. - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du die y-Koordinate der Punkte in Abhängigkeit von ihrer x-Koordinate ausdrücken, indem du die Bedingung für Extremstellen nutzt.

1. Einsetzen von \(P(2|2)\) in \(f_k(x)\): \(2 = 2 \cdot e^{1 - k \cdot 2^2}\). Dies führt zu \(1 = e^{1 - 4k}\), woraus \(1 - 4k = 0\) und somit \(k = 0{,}25\) folgt. Da die Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, enthält genau ein Graph den Punkt. 2. Für \(k = 0\) gilt \(f_0(x) = x \cdot e^{1 - 0} = ex\). Die Steigung der Geraden ist somit \(m = e\). 3. Aus \(f_k(0) = 0\) folgt, dass alle Graphen durch den Ursprung verlaufen. Die Äquivalenz \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x) \iff x = 0\) besagt, dass der Ursprung der einzige gemeinsame Punkt aller Graphen der Schar ist. 4. Streckung in \(x\)- und \(y\)-Richtung um \(c\): \(y = c \cdot f_k\left(\frac{x}{c}\right) = c \cdot \frac{x}{c} \cdot e^{1 - k \left(\frac{x}{c}\right)^2} = x \cdot e^{1 - \frac{k}{c^2} x^2}\). Mit \(k^* = \frac{k}{c^2}\) ist dies die Funktionsgleichung von \(f_{k^*}\), was wiederum ein Element der Schar ist. 5. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = e^{1 - kx^2} + x \cdot e^{1 - kx^2} \cdot (-2kx) = (1 - 2kx^2) \cdot e^{1 - kx^2}\). Nullstellen der Ableitung bei \(1 - 2kx^2 = 0\), also \(kx^2 = \frac{1}{2}\). Einsetzen in \(f_k(x)\): \(y = x \cdot e^{1 - \frac{1}{2}} = x \cdot e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}x\). Somit liegen alle Extrempunkte auf der Geraden \(y = \sqrt{e}x\).

a) \(k = 0{,}25\) b) Die Steigung ist \(e\). c) Alle Graphen der Schar schneiden sich ausschließlich im Ursprung \((0|0)\). d) Der gestreckte Graph entspricht der Funktion \(f_{k^*}\) mit \(k^* = \frac{k}{c^2}\). e) Aus \(f_k'(x) = 0\) folgt \(kx^2 = 0{,}5\). Einsetzen in \(f_k(x)\) ergibt \(y = \sqrt{e}x\).

- Wann ist ein Bruch gleich Null? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß wird oder gegen die Definitionslücke geht? - Wie lautet die Quotientenregel für Ableitungen? - Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme für zwei verschiedene Parameter gleichsetzen. - Kannst du den Integranden in zwei einfachere Brüche aufteilen, bevor du die Stammfunktion bildest? - Nutze Logarithmengesetze wie \(\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)\), um den Term des bestimmten Integrals zu vereinfachen.

1. Definitionsmenge: Da der Nenner nicht Null sein darf, ist \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Nullstelle: \(k - 2x = 0 \implies x = \frac{k}{2}\). 3. Asymptoten: Senkrechte Asymptote bei \(x = 0\) (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel). Waagerechte Asymptote: Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f_k(x) = 0\) ist die Gerade \(y = 0\) (x-Achse) waagerechte Asymptote. 4. Extremstellen: \(f_k'(x) = \frac{-2 \cdot x^2 - (k-2x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-2x^2 - 2kx + 4x^2}{x^4} = \frac{2x^2 - 2kx}{x^4} = \frac{2x - 2k}{x^3}\). 5. Notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(2x - 2k = 0 \implies x = k\). 6. Art des Extremums: \(f_k''(x) = \frac{2 \cdot x^3 - (2x-2k) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{2x - 6x + 6k}{x^4} = \frac{6k - 4x}{x^4}\). 7. Einsetzen: \(f_k''(k) = \frac{6k - 4k}{k^4} = \frac{2k}{k^4} = \frac{2}{k^3}\). Für \(k > 0\) ist \(f_k''(k) > 0\) (Tiefpunkt bei \((k | -\frac{1}{k})\)), für \(k < 0\) ist \(f_k''(k) < 0\) (Hochpunkt bei \((k | -\frac{1}{k})\)). 8. Schnittpunkte: \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x) \iff \frac{k_1 - 2x}{x^2} = \frac{k_2 - 2x}{x^2} \iff k_1 - 2x = k_2 - 2x \iff k_1 = k_2\). Für \(k_1 \neq k_2\) gibt es keine Lösung, die Graphen verlaufen also kreuzungsfrei. 9. Integral: Eine Stammfunktion ist \(F_k(x) = \int (\frac{k}{x^2} - \frac{2}{x}) \,\text{d}x = -\frac{k}{x} - 2\ln|x|\). 10. Berechnung: \(\int_{k/2}^{k} f_k(x) \,\text{d}x = [-\frac{k}{x} - 2\ln(x)]_{k/2}^{k} = (-1 - 2\ln(k)) - (-2 - 2\ln(\frac{k}{2})) = 1 - 2\ln(k) + 2(\ln(k) - \ln(2)) = 1 - 2\ln(2)\). Dieser Wert ist konstant und somit unabhängig von \(k\).

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); Nullstelle \(x = \frac{k}{2}\); senkrechte Asymptote \(x = 0\), waagerechte Asymptote \(y = 0\). b) Extrempunkt bei \(x = k\). Für \(k > 0\) ist es ein Tiefpunkt \(T(k | -\frac{1}{k})\), für \(k < 0\) ein Hochpunkt \(H(k | -\frac{1}{k})\). c) Keine Schnittpunkte für \(k_1 \neq k_2\); die Graphen liegen „nebeneinander“ bzw. „übereinander“. d) Das Integral ergibt stets \(1 - 2\ln(2) \approx -0{,}386\).

- Überlege dir, für welche Werte von \(a\) die Gleichung für die Nullstellen der ersten Ableitung überhaupt eine Lösung hat. - Erinnere dich daran, dass bei der Bestimmung einer Ortskurve der Parameter \(a\) aus der Gleichung eliminiert werden muss. - Eine Tangente, die durch den Ursprung geht, hat die Form \(y = mx\). Welche Bedingung muss also für die Steigung im Berührpunkt gelten? - Setze die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\) auf und fordere, dass der Ursprung auf der Tangente liegt.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3 - a e^x\) und \(f_a''(x) = -a e^x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(3 - a e^x = 0 \implies e^x = \frac{3}{a}\). Eine Lösung existiert nur für \(a > 0\) bei \(x_E = \ln\left(\frac{3}{a}\right)\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Für \(a > 0\) ist \(f_a''(x_E) = -a \cdot \frac{3}{a} = -3 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right)\right) = 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - a \cdot \frac{3}{a} = 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\). Der Hochpunkt ist \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\right)\). Für \(a < 0\) gibt es keine Extrema. 5. Ortslinie bestimmen: Mit \(x = \ln\left(\frac{3}{a}\right)\) folgt durch Einsetzen in die \(y\)-Koordinate direkt \(y = 3x - 3\). 6. Tangente vom Ursprung: Ansatz \(\frac{f_a(x_0)}{x_0} = f_a'(x_0)\). Dies führt auf \(\frac{3x_0 - a e^{x_0}}{x_0} = 3 - a e^{x_0} \implies 3 - \frac{a e^{x_0}}{x_0} = 3 - a e^{x_0}\). 7. Gleichung lösen: \(\frac{a e^{x_0}}{x_0} = a e^{x_0} \implies \frac{1}{x_0} = 1 \implies x_0 = 1\). Da \(a \neq 0\) und \(e^{x_0} \neq 0\), ist dies die einzige Lösung. 8. Berührpunkt: \(y_0 = f_a(1) = 3 - ae\). Der Berührpunkt ist \(P_a(1 \mid 3 - ae)\).

a) Für \(a > 0\) existiert ein Hochpunkt \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\right)\). Für \(a < 0\) gibt es keine Extrempunkte. b) Die Gerade hat die Gleichung \(y = 3x - 3\). c) Der Berührpunkt der Tangente ist \(P_a(1 \mid 3 - ae)\).

- Wie findet man den Schnittwinkel eines Graphen mit der \(x\)-Achse? Denke an den Zusammenhang zwischen der Steigung und dem Tangens des Winkels. - Überlege dir, welche Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel) du für die Untersuchung der Funktion benötigst. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Extrempunkts nach dem Parameter auflösen und in die Gleichung der \(y\)-Koordinate einsetzen. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird.

1. Nullstelle: \(f_k(x) = 0 \Rightarrow x-k = 0 \Rightarrow x_N = k\). 2. Erste Ableitung: \(f_k'(x) = 1 \cdot e^{1-\frac{x}{k}} + (x-k) \cdot \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = e^{1-\frac{x}{k}} \left(1 - \frac{x}{k} + 1\right) = \left(2 - \frac{x}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}}\). 3. Steigung an der Nullstelle: \(f_k'(k) = \left(2 - \frac{k}{k}\right) e^{1-1} = 1 \cdot e^0 = 1\). Da die Steigung \(m = 1\) unabhängig von \(k\) ist, ist der Schnittwinkel \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\). 4. Extrempunkt bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{x}{k} = 0 \Rightarrow x_E = 2k\). 5. Art des Extrempunkts: \(f_k''(x) = -\frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} + \left(2 - \frac{x}{k}\right) \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = \frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} \left(\frac{x}{k} - 3\right)\). Einsetzen ergibt \(f_k''(2k) = \frac{1}{k} e^{-1} (2-3) = -\frac{1}{ke} < 0\). Es handelt sich um ein Maximum. 6. Koordinaten: \(y_E = f_k(2k) = (2k-k) e^{1-2} = k \cdot e^{-1} = \frac{k}{e}\). Somit \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). 7. Ortskurve: Aus \(x = 2k\) folgt \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = \frac{k}{e}\) ergibt \(y = \frac{x}{2e}\). Dies ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(\frac{1}{2e}\).

a) Nullstelle bei \(x_N = k\). Da \(f_k'(k) = 1\) für alle \(k\), ist der Schnittwinkel stets \(\alpha = 45^\circ\). b) Hochpunkt bei \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). c) Die Extrempunkte liegen auf der Geraden \(y = \frac{1}{2e}x\).

- Überlege dir, welchen Einfluss das Vorzeichen von \(a\) auf den Nenner hat. - Erinnere dich an die Quotientenregel für die Ableitung. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten der Extrempunkte zusammen, wenn man den Parameter \(a\) eliminiert? - Vergleiche die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner für das Grenzverhalten. - Nutze für die Integration eine passende Regel für Brüche, deren Zähler (bis auf einen Faktor) die Ableitung des Nenners ist.

1. Da \(a > 0\) ist \(x^2 + a > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), woraus \(D_a = \mathbb{R}\) folgt. Die einzige Nullstelle liegt bei \(x = 0\). Wegen \(f_a(-x) = \frac{a^2 (-x)}{(-x)^2 + a} = -f_a(x)\) ist der Graph \(G_a\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Die erste Ableitung lautet \(f_a'(x) = a^2 \cdot \frac{1 \cdot (x^2 + a) - x \cdot 2x}{(x^2 + a)^2} = \frac{a^2 (a - x^2)}{(x^2 + a)^2}\). Waagrechte Tangenten liegen bei \(x^2 = a\), also \(x = \pm \sqrt{a}\). Aus dem Vorzeichenwechsel von \(f_a'\) oder der zweiten Ableitung folgen der Hochpunkt \(H(\sqrt{a} \mid 0{,}5 a\sqrt{a})\) und der Tiefpunkt \(T(-\sqrt{a} \mid -0{,}5 a\sqrt{a})\). Mit \(x = \sqrt{a}\) folgt \(a = x^2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot x = 0{,}5 x^3\). 3. Da der Grad des Nenners (2) größer ist als der Grad des Zählers (1), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 4. Eine Stammfunktion ist \(F_a(x) = \frac{a^2}{2} \ln(x^2 + a)\). Das Integral berechnet sich zu \(\int_0^{\sqrt{a}} f_a(x) \,\text{d}x = \left[ \frac{a^2}{2} \ln(x^2 + a) \right]_0^{\sqrt{a}} = \frac{a^2}{2} (\ln(2a) - \ln(a)) = \frac{a^2}{2} \ln\left(\frac{2a}{a}\right) = \frac{a^2}{2} \ln(2)\).

a) \(D_a = \mathbb{R}\); Nullstelle \(x = 0\); punktsymmetrisch zum Ursprung. b) \(H(\sqrt{a} \mid 0{,}5 a\sqrt{a})\), \(T(-\sqrt{a} \mid -0{,}5 a\sqrt{a})\); Ortskurve \(h(x)=0{,}5x^3\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\). d) \(\frac{a^2}{2} \ln(2)\)

- Überlege dir, wie man Extrem- und Wendepunkte mithilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnet. - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Verhalten im Unendlichen, wenn ein linearer Term und eine Exponentialfunktion multipliziert werden? - Um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion ist, kannst du diese einfach ableiten. - Erinnere dich an die Definition uneigentlicher Integrale, wenn eine Grenze im Unendlichen liegt.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = k(1-kx)e^{-kx}\) und \(f_k''(x) = k^2(kx-2)e^{-kx}\). 2. Hochpunkt: \(f_k'(x) = 0 \implies x = \frac{1}{k}\). Mit \(f_k(\frac{1}{k}) = \frac{1}{e}\) ergibt sich \(H_k\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{e}\right)\). 3. Wendepunkt: \(f_k''(x) = 0 \implies x = \frac{2}{k}\). Mit \(f_k(\frac{2}{k}) = \frac{2}{e^2}\) ergibt sich \(W_k\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{e^2}\right)\). 4. Grenzverhalten: Da die Exponentialfunktion stärker wächst als jede Potenzfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(k \cdot x \to -\infty\) und \(e^{-kx} \to \infty\), also \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). 5. Stammfunktion: \(F_k'(x) = -1 \cdot e^{-kx} - (x + \frac{1}{k}) \cdot (-k) \cdot e^{-kx} = -e^{-kx} + (kx + 1) e^{-kx} = kx e^{-kx} = f_k(x)\). 6. Flächeninhalt: Da \(f_k(x) \geq 0\) für \(x \geq 0\), ist \(A = \int_0^\infty f_k(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} [F_k(x)]_0^b = \lim_{b \to \infty} F_k(b) - F_k(0) = 0 - (-\frac{1}{k}) = \frac{1}{k}\). 7. Für den Wendepunkt gilt zusätzlich \(f_k'''\!\left(\frac{2}{k}\right)=k^3e^{-2}\neq0\); damit ist der Wendepunkt nachgewiesen.

a) \(H_k\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{e}\right)\), \(W_k\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{e^2}\right)\) b) \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\), \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\) c) Nachweis durch Ableiten: \(F_k'(x) = f_k(x)\) d) \(A = \frac{1}{k}\)

- Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer Normalparabel? - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(k\) zusammen, wenn der Scheitelpunkt auf einer bestimmten Kurve liegen muss? - Welche Eigenschaft muss der Scheitelpunkt einer Parabel haben, damit sie die \(x\)-Achse genau einmal berührt?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) einer Normalparabel in der Schar hat die Koordinaten \((k \mid g(k))\). Da er auf dem Graphen von \(g(x) = x^2 - 6\) liegt, gilt \(S(k \mid k^2 - 6)\). 2. Die Scheitelpunktform einer Normalparabel lautet allgemein \(f(x) = (x - x_S)^2 + y_S\). Durch Einsetzen der Koordinaten ergibt sich die Schargleichung \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\). 3. Eine Parabel besitzt genau dann eine einzige Nullstelle, wenn ihr Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, also wenn die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts null ist. 4. Die Bedingung \(k^2 - 6 = 0\) führt zu \(k^2 = 6\). 5. Die Lösungen für den Parameter sind somit \(k_1 = \sqrt{6}\) und \(k_2 = -\sqrt{6}\).

a) \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\) b) \(k = \sqrt{6}\) oder \(k = -\sqrt{6}\)

- Überlege dir, wie sich die Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte verhält. - Unterscheide Fälle für den Parameter, insbesondere ob die Funktion Extrema besitzt. - Wie beeinflusst die Lage des Extrempunktes (oberhalb, unterhalb oder auf der \(x\)-Achse) die Anzahl der Nullstellen? - Betrachte die Monotonie der Funktion in den verschiedenen Bereichen.

1. Ableitung bestimmen: \(f_a'(x) = ae^x - 1\). 2. Fallunterscheidung für \(a \le 0\): Für \(a < 0\) ist \(f_a'(x) < 0\), die Funktion also streng monoton fallend. Mit den Grenzwerten \(\lim_{x \to -\infty} f_a(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f_a(x) = -\infty\) folgt genau eine Nullstelle. Für \(a = 0\) ist \(f_0(x) = -x\) mit der einzigen Nullstelle \(x = 0\). 3. Fallunterscheidung für \(a > 0\): Das Minimum liegt bei \(f_a'(x) = 0 \implies x = \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)\). Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(-\ln(a)) = a \cdot e^{-\ln(a)} - (-\ln(a)) = a \cdot \frac{1}{a} + \ln(a) = 1 + \ln(a)\). Da \(\lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = \infty\), hängt die Anzahl der Nullstellen vom Vorzeichen des Minimums ab. 4. Analyse des Minimums: Das Minimum ist Null für \(1 + \ln(a) = 0 \iff a = e^{-1} = \frac{1}{e}\). Es ist negativ für \(a < \frac{1}{e}\) und positiv für \(a > \frac{1}{e}\). 5. Zusammenfassung: Für \(a > \frac{1}{e}\) gibt es keine Nullstellen. Für \(a = \frac{1}{e}\) sowie für \(a \le 0\) gibt es genau eine Nullstelle. Für \(0 < a < \frac{1}{e}\) gibt es genau zwei Nullstellen.

- Keine Nullstellen für \(a > \frac{1}{e}\) - Genau eine Nullstelle für \(a = \frac{1}{e}\) oder \(a \le 0\) - Genau zwei Nullstellen für \(0 < a < \frac{1}{e}\)

- Wie lässt sich eine quadratische Funktion direkt aus ihren Nullstellen konstruieren? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Welche Information liefert die erste Ableitung über den Graphen einer Funktion? - Wie hängen die verschiedenen Darstellungsformen (Nullstellenform, Scheitelpunktform, allgemeine Form) zusammen?

1. Ansatz der Nullstellenform: \(f_a(x) = c(x - 1)(x - a)\). Da der Scheitelpunkt symmetrisch zwischen den Nullstellen liegt, gilt \(x_s = \frac{a+1}{2}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt die Bedingung für die \(y\)-Koordinate: \(f_a(\frac{a+1}{2}) = c \cdot (\frac{a+1}{2} - 1) \cdot (\frac{a+1}{2} - a) = c \cdot (\frac{a-1}{2}) \cdot (\frac{1-a}{2}) = -c \cdot \frac{(a-1)^2}{4}\). Gleichsetzen mit \((a-1)^2\) führt auf \(-c \cdot \frac{(a-1)^2}{4} = (a-1)^2\). Da \(a > 1\), kann durch \((a-1)^2\) dividiert werden, woraus \(c = -4\) folgt. 2. Mit dem Scheitelpunkt \(S(\frac{a+1}{2} | (a-1)^2)\) lautet die Scheitelpunktform: \(f_a(x) = -4(x - \frac{a+1}{2})^2 + (a-1)^2\). Ausmultiplizieren ergibt: \(f_a(x) = -4(x^2 - (a+1)x + \frac{(a+1)^2}{4}) + (a-1)^2 = -4x^2 + (4a+4)x - (a^2+2a+1) + (a^2-2a+1) = -4x^2 + (4a+4)x - 4a\). 3. Die Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = -8x + 4a + 4\). Die Steigung an der Stelle \(x=1\) ist \(f_a'(1) = -8 \cdot 1 + 4a + 4 = 4a - 4\).

1. \(f_a(x) = -4(x-1)(x-a)\) 2. Scheitelpunktform: \(f_a(x) = -4(x - \frac{a+1}{2})^2 + (a-1)^2\); allgemeine Form: \(f_a(x) = -4x^2 + (4a+4)x - 4a\) 3. \(m = 4a - 4\)

- Welche Auswirkung hat die Punktsymmetrie zum Ursprung auf die Exponenten der Variable \(x\) im Funktionsterm? - Wie viele Unbekannte hat der allgemeine Ansatz unter Berücksichtigung der Symmetrie? - Welche Gleichungen lassen sich aus den gegebenen Nullstellen aufstellen? - Da nach „allen“ Funktionen gefragt ist, wird am Ende ein Parameter im Funktionsterm verbleiben.

1. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung enthält der Funktionsterm nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^5 + bx^3 + cx\). 2. Da die Funktion vom Grad 5 ist, muss \(a \neq 0\) gelten. 3. Aus den Nullstellen bei \(x = 1\) und \(x = 2\) ergeben sich die Bedingungen \(f(1) = 0\) und \(f(2) = 0\). 4. Einsetzen von \(x = 1\): \(a + b + c = 0 \implies c = -a - b\). 5. Einsetzen von \(x = 2\): \(32a + 8b + 2c = 0\). Division durch 2 ergibt \(16a + 4b + c = 0\). 6. Substitution von \(c\): \(16a + 4b + (-a - b) = 0 \implies 15a + 3b = 0\). 7. Auflösen nach \(b\): \(3b = -15a \implies b = -5a\). 8. Bestimmen von \(c\): \(c = -a - (-5a) = 4a\). 9. Die Funktionsschar lautet somit \(f_a(x) = ax^5 - 5ax^3 + 4ax\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(f_a(x) = ax^5 - 5ax^3 + 4ax = a(x^5 - 5x^3 + 4x)\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Welche Form hat eine ganzrationale Funktion vierten Grades, die achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Extrempunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt? Welche zwei Bedingungen müssen an dieser Stelle erfüllt sein? - Wie kannst du die Koeffizienten in Abhängigkeit von einem Parameter (z. B. \(a\)) ausdrücken?

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse enthält der Funktionsterm nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Da die Funktion vom Grad 4 ist, muss \(a \neq 0\) gelten. 3. Ein lokaler Extrempunkt auf der \(x\)-Achse bei \(x = 2\) bedeutet \(f(2) = 0\) (Punkt auf der Achse) und \(f'(2) = 0\) (waagerechte Tangente). 4. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\). 5. Bedingung \(f'(2) = 0\): \(4a \cdot 2^3 + 2b \cdot 2 = 32a + 4b = 0 \implies 4b = -32a \implies b = -8a\). 6. Bedingung \(f(2) = 0\): \(a \cdot 2^4 + b \cdot 2^2 + c = 16a + 4b + c = 0\). 7. Einsetzen von \(b = -8a\): \(16a + 4(-8a) + c = 0 \implies 16a - 32a + c = 0 \implies c = 16a\). 8. Die Funktionsschar lautet \(f_a(x) = ax^4 - 8ax^2 + 16a\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(f_a(x) = ax^4 - 8ax^2 + 16a = a(x^2 - 4)^2\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Überlege dir, welche Bedingung für einen Berührpunkt mit der x-Achse erfüllt sein muss. - Wie bestimmt man die Anzahl der Extremstellen einer Funktion? - Untersuche die Symmetriebedingung \(f(x) = f(-x)\) für den gegebenen Funktionsterm. - Berechne den Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(x = 0\) in Abhängigkeit von \(k\).

1. Nullstellen liegen vor, wenn \(k - e^x = 0\), also \(x = \ln(k)\). Da \(k > 0\) vorausgesetzt ist, existiert dieser Wert stets. Da der Funktionsterm ein Quadrat ist, gilt \(f_k(x) \geq 0\). Somit ist jede Nullstelle ein lokales Minimum und damit ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. Die Aussage gilt für alle \(k\). 2. Die Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2(k - e^x) \cdot (-e^x) = -2ke^x + 2e^{2x}\). Die Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(e^x = k\), woraus \(x = \ln(k)\) folgt. Da \(f_k''(\ln(k)) = 2k^2 > 0\), liegt dort immer ein lokales Minimum vor. Weitere Extremstellen existieren nicht. Die Aussage gilt für alle \(k\). 3. Achsensymmetrie erfordert \(f_k(-x) = f_k(x)\) für alle \(x\). Dies entspräche \((k - e^{-x})^2 = (k - e^x)^2\), was auf \(|k - e^{-x}| = |k - e^x|\) führt. Für \(x\to\infty\) gilt \(f_k(x)\to\infty\), während \(f_k(-x)\to k^2\). Daher kann die Gleichheit für kein \(k>0\) für alle \(x\) gelten. Die Aussage gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Die Steigung an der Stelle \(x=0\) ist \(f_k'(0) = 2(k - e^0) \cdot (-e^0) = -2(k - 1) = 2 - 2k\). Diese ist positiv, wenn \(2 - 2k > 0\), also \(k < 1\). Da \(k\) auch größer oder gleich 1 sein kann, hängt die Gültigkeit vom Wert des Parameters ab.

1. Gilt für alle Werte von \(k\). 2. Gilt für alle Werte von \(k\). 3. Gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Hängt vom Wert des Parameters \(k\) ab (positiv für \(k < 1\)).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Was passiert mit der Anzahl der Extremstellen, wenn der Parameter null ist? - Erinnere dich daran, dass ein Punkt genau dann auf der \(x\)-Achse liegt, wenn seine \(y\)-Koordinate einen bestimmten Wert hat. - Überprüfe bei der Bestimmung der Art der Extrempunkte, wie das Vorzeichen des Parameters die zweite Ableitung beeinflusst.

1. Die notwendige Bedingung für Extrema ist \(f_k'(x) = x^2 - k^2 = 0\). Für \(k = 0\) ist \(f_0'(x) = x^2\); da \(f_0'(0) = 0\) ohne Vorzeichenwechsel gilt (bzw. \(f_0''(0) = 0\) und \(f_0'''(0) \neq 0\)), liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt vor. Für \(k \neq 0\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 2x\) liefert \(f_k''(k) = 2k\) und \(f_k''(-k) = -2k\). Ist \(k > 0\), so liegt bei \(x_1 = k\) ein Tiefpunkt \(T(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und bei \(x_2 = -k\) ein Hochpunkt \(H(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) vor. Ist \(k < 0\), so liegt bei \(x_1 = k\) ein Hochpunkt \(H(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und bei \(x_2 = -k\) ein Tiefpunkt \(T(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) vor. 2. Ein Extrempunkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn sein \(y\)-Wert null ist. Fall 1: \(-\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3} = 0 \implies k^3 = 1 \implies k = 1\). Fall 2: \(\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3} = 0 \implies k^3 = -1 \implies k = -1\). Für \(k = 1\) liegt der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse, für \(k = -1\) ebenfalls der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\).

1. Für \(k = 0\) gibt es keine Extrempunkte. Für \(k \neq 0\) sind die Extrempunkte \(P_1(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und \(P_2(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\). 2. Für \(k = 1\) und \(k = -1\) liegt der Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse.

- Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Punkt für alle Parameterwerte \(k\) gleich bleibt. - Wie hängen die gemeinsamen Punkte einer Schar mit den Nullstellen des variablen Teils des Funktionsterms zusammen? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen. - Wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen berechnest, hilft es, die Differenzfunktion zu bilden. Was fällt dir hier bei dem Parameter \(k\) auf?

1. Schnittpunkte mit den Achsen: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist für alle \(k\) durch \(f_k(0) = 0\) gegeben, also \(S_y(0|0)\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x^4 - 4x^3 = 0 \Leftrightarrow x^3(x-4) = 0\), woraus \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) folgen. Die Achsenschnittpunkte sind somit für alle \(k\) identisch: \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|0)\). 2. Weitere gemeinsame Punkte: Der Ansatz \(f_k(x) = f_m(x)\) für \(k \neq m\) führt auf \((k-m)(x^4 - 4x^3) = 0\). Dies ist nur für \(x=0\) oder \(x=4\) erfüllt. Somit sind die Achsenschnittpunkte die einzigen gemeinsamen Punkte. 3. Extrempunkte: Die Ableitung \(f_k'(x) = k(4x^3 - 12x^2) = 4kx^2(x-3)\) hat Nullstellen bei \(x=0\) (doppelt, kein Vorzeichenwechsel, Sattelpunkt) und \(x=3\) (einfach, Vorzeichenwechsel). Der Funktionswert an der Stelle \(x=3\) ist \(f_k(3) = k(81 - 108) = -27k\). Mit \(f_k''(3) = 12k \cdot 3 \cdot (3-2) = 36k\) ergibt sich: Für \(k > 0\) liegt ein lokales Minimum bei \((3|-27k)\) vor, für \(k < 0\) ein lokales Maximum bei \((3|-27k)\). 4. Ortskurve: Da alle Extrempunkte die \(x\)-Koordinate \(3\) besitzen, liegen sie auf der vertikalen Geraden mit der Gleichung \(x = 3\). 5. Flächeninhalt: Die Differenzfunktion \(d(x) = f_{k+1}(x) - f_k(x)\) vereinfacht sich zu \(d(x) = (k+1-k)(x^4 - 4x^3) = x^4 - 4x^3\). Die Schnittpunkte liegen bei \(x=0\) und \(x=4\). Der Flächeninhalt ist \(A = \int_{0}^{4} |x^4 - 4x^3| \,\text{d}x = \left| \int_{0}^{4} (x^4 - 4x^3) \,\text{d}x \right| = \left| [\frac{1}{5}x^5 - x^4]_0^4 \right| = \left| \frac{1024}{5} - 256 \right| = |204{,}8 - 256| = 51{,}2\).

a) Achsenschnittpunkte: \((0|0)\) und \((4|0)\). Einzige gemeinsame Punkte, da \(x^4 - 4x^3 = 0\) nur diese Lösungen hat. b) Extrempunkt bei \((3|-27k)\). Für \(k > 0\) ist es ein Minimum, für \(k < 0\) ein Maximum. c) Die Gerade hat die Gleichung \(x = 3\). d) Der Flächeninhalt beträgt \(51{,}2\) Flächeneinheiten.

- Welcher Teil des Funktionsterms dominiert das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit der Krümmung und den Wendepunkten zusammen? - Welche Bedingung muss für die \(x\)-Koordinate gelten, damit ein Punkt auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt berechnet.

1. Das Grenzverhalten wird durch das Glied mit der höchsten Potenz, \(\frac{1}{3}kx^3\), bestimmt. Für \(k > 0\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). Für \(k < 0\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = \infty\). 2. Die Ableitungen lauten \(f_k'(x) = kx^2 + 2(k+2)x + 12\) und \(f_k''(x) = 2kx + 2k + 4\). Die notwendige Bedingung \(f_k''(x) = 0\) führt auf \(2kx = -2k - 4\), woraus \(x = \frac{-2k-4}{2k} = -1 - \frac{2}{k}\) folgt. Da \(f_k'''(x) = 2k \neq 0\) für alle \(k \neq 0\), liegt stets ein Wendepunkt vor. 3. Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate null ist: \(-1 - \frac{2}{k} = 0 \iff k = -2\). 4. Für \(k = -2\) ergibt sich \(f_{-2}(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 12x\). Einsetzen von \(x = 0\) liefert \(f_{-2}(0) = 0\), somit ist \(W_{-2}(0|0)\) der Koordinatenursprung. 5. Die Steigung der Wendetangente ist \(f_{-2}'(0)\). Mit \(f_{-2}'(x) = -2x^2 + 12\) folgt \(f_{-2}'(0) = 12\).

a) Für \(k > 0\): \(f_k(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f_k(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). Für \(k < 0\): \(f_k(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f_k(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). b) \(x = -1 - \frac{2}{k}\) c) \(k = -2\); Wendepunkt \(W_{-2}(0|0)\); Steigung der Wendetangente \(m = 12\).

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in einem Funktionsterm vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle an einer bestimmten Position erfüllt sein? - Wie hängen der Funktionswert und die Ableitungen an einer Stelle zusammen? - Nutze die zweite Ableitung, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen.

1. Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades: \(f_k(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Punkt \(O(0|0)\) einsetzen: \(f_k(0) = 0 \implies c = 0\). 3. Extremstelle bei \(x = 1\) mit Funktionswert \(k\): \(f_k(1) = a + b = k\) und \(f_k'(1) = 4a + 2b = 0\). 4. Gleichungssystem lösen: Aus \(4a + 2b = 0\) folgt \(b = -2a\). Einsetzen in \(a + b = k\) ergibt \(a - 2a = k\), also \(a = -k\) und \(b = 2k\). 5. Funktionsterm: \(f_k(x) = -kx^4 + 2kx^2\). 6. Art des Extremums prüfen: \(f_k''(x) = -12kx^2 + 4k\). An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f_k''(1) = -12k + 4k = -8k\). 7. Ergebnis: Für \(k > 0\) ist \(f_k''(1) < 0\) (lokales Maximum), für \(k < 0\) ist \(f_k''(1) > 0\) (lokales Minimum). Da die Funktion vom Grad 4 ist, muss \(k \neq 0\) gelten.

a) \(f_k(x) = -kx^4 + 2kx^2\) b) Für \(k > 0\) liegt ein lokales Maximum vor, für \(k < 0\) ein lokales Minimum.

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse den allgemeinen Ansatz einer Funktion 4. Grades? - Welche drei Informationen stecken in der Angabe eines Wendepunkts inklusive der Steigung seiner Tangente? - Stelle für jede Information eine mathematische Gleichung auf. - Prüfe am Ende, ob alle Bedingungen durch deine berechneten Koeffizienten erfüllt werden.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt nutzen: \(f(0) = 2{,}5 \implies c = 2{,}5\). 3. Bedingungen am Wendepunkt \(W(1|0)\): \(f(1) = 0\) (Punktbedingung), \(f'(1) = -4\) (Steigung der Tangente) und \(f''(1) = 0\) (Krümmung). 4. Gleichungen aufstellen: I: \(a + b + 2{,}5 = 0 \implies a + b = -2{,}5\) II: \(4a + 2b = -4 \implies 2a + b = -2\) III: \(12a + 2b = 0 \implies 6a + b = 0\) 5. System lösen: Aus III folgt \(b = -6a\). Einsetzen in II: \(2a - 6a = -2 \implies -4a = -2 \implies a = 0{,}5\). 6. \(b\) berechnen: \(b = -6 \cdot 0{,}5 = -3\). 7. Konsistenzprüfung mit I: \(0{,}5 - 3 = -2{,}5\) (erfüllt). 8. Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5\). 9. Schließlich gilt \(f'''(1)=12\neq0\); damit ist \(W(1|0)\) tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5\)

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts vom Parameter ab? Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken? - Stell dir vor, du hättest einen festen Punkt gegeben. Unter welcher Bedingung findet man einen passenden Parameterwert? - Was muss für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gelten, damit es keine Lösung gibt?

1. Zur Bestimmung der Scheitelpunkte wird die erste Ableitung \(f_a'(x) = 2(x-a)\) gleich null gesetzt, woraus \(x = a\) folgt. 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(a) = (a-a)^2 + 2a = 2a\). Die Scheitelpunkte haben somit die Koordinaten \(S(a|2a)\). 3. Aus \(x = a\) und \(y = 2a\) ergibt sich durch Einsetzen die Gleichung der Ortskurve \(y = 2x\). 4. Ein Punkt \(P(x|y)\) liegt auf einem Graphen der Schar, wenn die Gleichung \(y = (x-a)^2 + 2a\) eine reelle Lösung für \(a\) besitzt. Umgestellt nach \(a\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(a^2 + (2-2x)a + (x^2-y) = 0\). 5. Die Diskriminante dieser Gleichung lautet \(D = (2-2x)^2 - 4(x^2-y) = 4 - 8x + 4x^2 - 4x^2 + 4y = 4(1 - 2x + y)\). 6. Eine Lösung für \(a\) existiert genau dann, wenn \(D \ge 0\), also \(1 - 2x + y \ge 0 \iff y \ge 2x - 1\). 7. Die Menge der Punkte, durch die kein Graph verläuft, ist somit durch die Bedingung \(y < 2x - 1\) definiert.

a) Die Ortskurve der Scheitelpunkte ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 2x\). b) Die Menge aller Punkte \(P(x|y)\) mit \(y < 2x - 1\) liegt auf keinem Graphen der Schar.

- Was musst du über den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion wissen? - Wie hängen die notwendige Bedingung für Extremstellen und der Parameter \(a\) zusammen? - Welches Vorzeichen muss \(a\) haben, damit die Gleichung für die erste Ableitung eine Lösung im Definitionsbereich hat? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, die Art des Extrempunktes allgemein zu bestimmen?

1. Ableitungen berechnen: \(f_a'(x) = \frac{a}{x} - 1\) und \(f_a''(x) = -\frac{a}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) anwenden: \(\frac{a}{x} - 1 = 0 \iff \frac{a}{x} = 1 \iff x = a\). 3. Existenzprüfung: Da der Logarithmus nur für \(x > 0\) definiert ist, muss die Lösung \(x = a\) im Definitionsbereich liegen, woraus \(a > 0\) folgt. Für \(a \leq 0\) existiert kein Extrempunkt. 4. Art des Extrempunktes bestimmen: Einsetzen der Stelle in die zweite Ableitung ergibt \(f_a''(a) = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}\). Da für die Existenz \(a > 0\) vorausgesetzt wurde, ist \(f_a''(a) < 0\), womit ein lokales Maximum (Hochpunkt) vorliegt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a) = a \cdot \ln(a) - a = a(\ln(a) - 1)\). Die Koordinaten lauten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

Ein Extrempunkt existiert genau dann, wenn \(a > 0\) gilt. Es handelt sich um einen Hochpunkt mit den Koordinaten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

- An welcher Stelle nimmt der Ausdruck im Nenner seinen kleinsten Wert an? - Was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs und damit für die Qualitätsindex? - Stelle für die beiden bekannten Informationen jeweils eine Gleichung mit den Unbekannten auf. - Wie kannst du eine der Unbekannten eliminieren, indem du die Gleichungen miteinander verrechnest?

1. Bestimmung des maximalen Indexwerts: Da der Nenner \(x^2 + 4\) für \(x = 0\) minimal ist, liegt das Maximum der Funktion bei \(x = 0\). Es gilt \(S(0) = \frac{a}{0 + 4} + b = \frac{a}{4} + b\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung mit dem Maximalwert: \(\frac{a}{4} + b = 20\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung für \(x = 4\): \(S(4) = \frac{a}{4^2 + 4} + b = \frac{a}{20} + b = 8\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung ergibt \(\frac{a}{4} - \frac{a}{20} = 12\). Dies führt zu \(\frac{5a}{20} - \frac{a}{20} = 12\), also \(\frac{4a}{20} = 12\) bzw. \(a = 60\). 5. Berechnung von \(b\): Einsetzen von \(a = 60\) in die erste Gleichung ergibt \(\frac{60}{4} + b = 20\), woraus \(15 + b = 20\) und somit \(b = 5\) folgt.

\(a = 60\) und \(b = 5\)

- Überlege dir, für welchen x-Wert der Funktionsterm unabhängig vom Parameter k immer denselben Wert annimmt. - Nutze die Produkt- und Kettenregel, um die notwendigen Ableitungen der Funktionenschar zu bilden. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die x-Koordinate des Punktes nach dem Parameter k auflösen und diesen Ausdruck in die y-Koordinate einsetzen.

1. Den gemeinsamen Punkt ermitteln: Ansatz \(f_k(x) = f_m(x)\) führt auf \(x \cdot e^{1-kx} = x \cdot e^{1-mx}\). Für \(x \neq 0\) müsste \(1-kx = 1-mx\) gelten, was nur für \(k=m\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist somit \(O(0|0)\). 2. Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = (1-kx) \cdot e^{1-kx}\) und \(f_k''(x) = (k^2x - 2k) \cdot e^{1-kx}\). 3. Extrempunkte bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 1-kx = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{k}\). Wegen \(f_k''(\frac{1}{k}) = -k < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{1}{k}) = \frac{1}{k} \cdot e^0 = \frac{1}{k}\). Somit \(H(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k})\). 4. Wendepunkte bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow k^2x - 2k = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{k}\). Da die zweite Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist, liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{2}{k}) = \frac{2}{k} \cdot e^{-1} = \frac{2}{ke}\). Somit \(W(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke})\). 5. Ortskurve der Hochpunkte: Aus \(x = \frac{1}{k}\) folgt \(k = \frac{1}{x}\). Einsetzen in \(y = \frac{1}{k}\) ergibt \(y = x\).

a) \(O(0|0)\) b) \(H\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k}\right)\) und \(W\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke}\right)\) c) \(y = x\)

- Kannst du die Nullstellen der Funktion für den speziellen Parameterwert finden? - Welche Integrationsmethode eignet sich für ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Denk daran, die Produktregel für die Ableitung der Scharfunktionen anzuwenden. - Wie hängen die Koordinaten des Extrempunkts vom Parameter ab? Versuche, den Parameter zu eliminieren, um eine Beziehung zwischen x und y zu finden.

1. Für \(a = 4\) ist \(f_4(x) = (x^2 - 4x + 4) \cdot e^x = (x-2)^2 \cdot e^x\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\), der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 4\). Die Fläche im 1. Quadranten wird durch das Integral \(\int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \cdot e^x \, dx\) berechnet. Eine Stammfunktion ist \(F(x) = (x^2 - 6x + 10) \cdot e^x\). Das Ergebnis ist \(F(2) - F(0) = 2 \cdot e^2 - 10 \approx 4{,}778\). 2. Die erste Ableitung ist \(f_a'(x) = (2x - a + x^2 - ax + a) \cdot e^x = (x^2 + (2-a)x) \cdot e^x = x(x - (a-2)) \cdot e^x\). Die notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = a-2\). 3. Für \(a = 2\) gibt es eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\), was zu einem Sattelpunkt führt. Für \(a \neq 2\) existieren zwei Extrempunkte: Ein Extrempunkt liegt bei \(E_1(0 \mid a)\). Der zweite Extrempunkt liegt bei \(E_2(a-2 \mid (4-a) \cdot e^{a-2})\). Die Art (Hoch- oder Tiefpunkt) hängt vom Vorzeichen von \(2-a\) ab. 4. Zur Bestimmung der Ortslinie von \(E_2\) setzt man \(x = a-2\). Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = x+2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate \(y = (4 - (x+2)) \cdot e^x = (2-x) \cdot e^x\). Die Gleichung der Ortslinie lautet \(y = (2-x) \cdot e^x\) für \(x \neq 0\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2e^2 - 10 \approx 4{,}778\,\text{FE}\). b) Für \(a \neq 2\) gibt es zwei Extrempunkte: \(E_1(0 \mid a)\) und \(E_2(a-2 \mid (4-a)e^{a-2})\). Für \(a = 2\) liegt ein Sattelpunkt vor. c) Die Ortslinie ist \(y = (2-x) \cdot e^x\) für \(x \neq 0\).

- Wie gehst du vor, wenn du Punkte suchst, die unabhängig vom Parameter einer Funktionenschar sind? - Erinnere dich an die Bedingung für Schnittpunkte zweier Funktionen. - Überlege dir, wie man eine Stammfunktion für ein Produkt aus einem Polynom und einer Exponentialfunktion bildet. - Achte darauf, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der Achse verläuft.

1. Um den gemeinsamen Punkt zu finden, setzt man \(f_a(x) = f_b(x)\) für zwei verschiedene Parameter \(a\) und \(b\). Dies führt zu \((x^2 - ax) e^x = (x^2 - bx) e^x\), woraus durch Division durch \(e^x \neq 0\) und Subtraktion von \(x^2\) die Gleichung \(-ax = -bx\) folgt. Dies ist für \(a \neq b\) nur für \(x = 0\) erfüllt. Mit \(f_a(0) = 0\) ergibt sich der gemeinsame Punkt \(P(0|0)\). 2. Für \(a = 2\) ist \(f_2(x) = (x^2 - 2x) e^x\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Eine Stammfunktion wird mittels zweifacher partieller Integration bestimmt: \(F(x) = (x^2 - 4x + 4) e^x\). Der Flächeninhalt ergibt sich aus dem Betrag des Integrals: \(A = |\int_0^2 f_2(x) \, \text{d}x| = |F(2) - F(0)|\). Einsetzen liefert \(F(2) = (4 - 8 + 4) e^2 = 0\) und \(F(0) = (0 - 0 + 4) e^0 = 4\). Somit ist \(A = |0 - 4| = 4\).

1. Gemeinsamer Punkt: \(P(0|0)\) 2. Flächeninhalt: \(A = 4\)

- Überlege dir zuerst, welche Koordinaten die Mitte des Seils im gewählten Koordinatensystem hat. - Wie hängen die Steigung an einer Stelle und der Neigungswinkel zusammen? - Wo befindet sich bei einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste Punkt? - Welche Bedingung muss für die Funktionswerte gelten, damit ein Graph die x-Achse berührt?

1. Zur Bestimmung von \(k\) wird der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) gleich \(12\) gesetzt: \(f_k(0) = k \cdot 0^2 + 20 - 400k = 12\). Daraus folgt \(20 - 400k = 12\), also \(400k = 8\) und somit \(k = 0{,}02\). 2. Für den Neigungswinkel wird die erste Ableitung der Funktion \(f_{0{,}02}(x) = 0{,}02x^2 + 12\) an der Stelle des Pfeilers \(x = 20\) berechnet: \(f_{0{,}02}'(x) = 0{,}04x\). Mit \(f_{0{,}02}'(20) = 0{,}8\) ergibt sich der Winkel \(\alpha = \arctan(0{,}8) \approx 38{,}66^\circ\). 3. Das Seil erreicht die Fahrbahn erstmals, wenn der tiefste Punkt bei \(x = 0\) die Höhe \(0\) besitzt. Aus \(f_k(0) = 0\) folgt \(20 - 400k = 0\), also \(k = 0{,}05\). Für \(k > 0{,}05\) läge der Scheitelpunkt unterhalb der Fahrbahn.

a) Der Parameter ist \(k = 0{,}02\). b) Der Neigungswinkel beträgt ca. \(38{,}66^\circ\). c) Das Seil erreicht die Fahrbahn erstmals bei \(k = 0{,}05\); für größere Werte liegt sein tiefster Punkt rechnerisch unterhalb der Fahrbahn.

- Was bedeutet „knickfrei“ mathematisch für den Funktionswert und die Ableitung an den Anschlussstellen? - Überprüfe die Bedingungen für beide Anschlussstellen separat. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Wie findet man die Krümmungsänderung einer Funktion? Welche Ableitungen benötigst du dafür?

1. Knickfreiheit an einer Stelle \(x_0\) bedeutet, dass sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (Ableitungen) übereinstimmen. Für \(x = 0\): \(h_k(0) = 0\) und \(h_k'(x) = 4kx^3 - 12kx^2 + (8k + 1)x\), also \(h_k'(0) = 0\). Dies passt zur Geraden \(y = 0\). Für \(x = 2\): \(h_k(2) = k \cdot 16 - 4k \cdot 8 + (4k + 0{,}5) \cdot 4 = 16k - 32k + 16k + 2 = 2\). Die Gerade \(y = 2x - 2\) hat bei \(x = 2\) ebenfalls den Wert \(2 \cdot 2 - 2 = 2\). Die Ableitung an der Stelle \(2\) ist \(h_k'(2) = 4k \cdot 8 - 12k \cdot 4 + (8k + 1) \cdot 2 = 32k - 48k + 16k + 2 = 2\). Dies entspricht der Steigung der Geraden \(y = 2x - 2\). Somit ist der Übergang an beiden Anschlussstellen knickfrei. 2. Es soll \(h_k(1) = 1\) gelten: \(k \cdot 1^4 - 4k \cdot 1^3 + (4k + 0{,}5) \cdot 1^2 = k - 4k + 4k + 0{,}5 = k + 0{,}5\). Aus \(k + 0{,}5 = 1\) folgt \(k = 0{,}5\). 3. Für \(k = 1\) lautet die zweite Ableitung \(h_1''(x) = 12x^2 - 24x + 9\). Die notwendige Bedingung \(h_1''(x) = 0\) führt auf \(12x^2 - 24x + 9 = 0\), was durch \(3\) dividiert \(4x^2 - 8x + 3 = 0\) ergibt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 1{,}5\). Da die dritte Ableitung \(h_1'''(x) = 24x - 24\) an diesen Stellen ungleich null ist (\(h_1'''(0{,}5) = -12\); \(h_1'''(1{,}5) = 12\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\). Beide Stellen liegen im Intervall \([0; 2]\).

a) Nachweis durch \(h_k(0) = 0, h_k'(0) = 0\) und \(h_k(2) = 2, h_k'(2) = 2\). b) \(k = 0{,}5\). c) Wendepunkte: \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\).

- Welche Bedingungen müssen für einen Tiefpunkt erfüllt sein? - Beachte den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. - Wie vereinfacht man Terme wie \(\ln(\sqrt{k})\) mithilfe von Logarithmengesetzen? - Was bedeutet es geometrisch für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = x - \frac{k}{x}\) und \(g_k''(x) = 1 + \frac{k}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(g_k'(x) = 0\): \(x - \frac{k}{x} = 0 \implies x^2 = k\). Da \(x > 0\) und \(k > 0\), ist die einzige Lösung \(x = \sqrt{k}\). 3. Art des Extrempunktes prüfen: Da \(k > 0\) und \(x^2 > 0\), ist \(g_k''(x) = 1 + \frac{k}{x^2} > 0\) für alle \(x\) im Definitionsbereich. Somit ist \(x = \sqrt{k}\) immer die Stelle eines lokalen Minimums. 4. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(g_k(\sqrt{k}) = \frac{1}{2}(\sqrt{k})^2 - k \cdot \ln(\sqrt{k}) = \frac{1}{2}k - k \cdot \frac{1}{2} \ln(k) = \frac{k}{2}(1 - \ln(k))\). Der Tiefpunkt ist \(T(\sqrt{k} \mid \frac{k}{2}(1 - \ln(k)))\). 5. Bedingung für b): Ein Punkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate null ist. \(\frac{k}{2}(1 - \ln(k)) = 0\). 6. Da \(k > 0\), muss \(1 - \ln(k) = 0\) gelten. Dies führt zu \(\ln(k) = 1\), also \(k = e\).

a) Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(T(\sqrt{k} \mid \frac{k}{2}(1 - \ln(k)))\). Da \(g_k''(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist dies der einzige Extrempunkt. b) Der Tiefpunkt liegt für \(k = e\) auf der \(x\)-Achse.

- Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse ist eine Nullstelle, die gleichzeitig ein Extrempunkt ist. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. Klammere Faktoren aus, um die Nullstellen der Ableitung leichter zu finden. - Für die Ortskurve: Schau dir das Verhältnis zwischen der \(x\)- und \(y\)-Koordinate des Punktes \(H_a\) an. - Bei Teilaufgabe d) musst du den gegebenen \(x\)-Wert einfach in deine zuvor berechnete Ableitungsfunktion einsetzen.

1. Berührpunkt: \(f_a(x) = 0 \Rightarrow (\ln(x) - a)^2 = 0 \Rightarrow \ln(x) = a \Rightarrow x_B = e^a\). Da \(f_a(x) \geq 0\) für alle \(x > 0\) (da \(x > 0\) und Quadratterm \(\geq 0\)), ist \(B_a(e^a \mid 0)\) ein Tiefpunkt und somit ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. 2. Ableitung bilden: \(f_a'(x) = 1 \cdot (\ln(x) - a)^2 + x \cdot 2(\ln(x) - a) \cdot \frac{1}{x} = (\ln(x) - a)^2 + 2(\ln(x) - a) = (\ln(x) - a)(\ln(x) - a + 2)\). 3. Weitere Extremstelle: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) - a + 2 = 0 \Rightarrow \ln(x) = a - 2 \Rightarrow x_H = e^{a-2}\). 4. Koordinaten von \(H_a\): \(y_H = f_a(e^{a-2}) = e^{a-2} \cdot (a - 2 - a)^2 = e^{a-2} \cdot (-2)^2 = 4e^{a-2}\). Also \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). 5. Ortskurve von \(H_a\): Setze \(x = e^{a-2}\) und \(y = 4e^{a-2}\). Es folgt direkt durch Substitution: \(y = 4x\). 6. Steigung an \(x = e^{a-1}\): \(f_a'(e^{a-1}) = (\ln(e^{a-1}) - a)(\ln(e^{a-1}) - a + 2) = (a - 1 - a)(a - 1 - a + 2) = (-1)(1) = -1\). Die Steigung ist konstant \(-1\).

a) Berührpunkt \(B_a(e^a \mid 0)\). b) Weiterer Extrempunkt (Hochpunkt) \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). c) Die Ortskurve ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 4x\). d) Die Steigung an der Stelle \(x = e^{a-1}\) beträgt für alle \(a\) den Wert \(-1\).

- Untersuche, wie sich die Funktion verhält, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Nutze die Quotientenregel und achte beim Ableiten des Nenners auf die Kettenregel. - Setze zwei Funktionsterme mit unterschiedlichen Parametern gleich, um gemeinsame Punkte zu finden. - Für die Stammfunktion könnte eine einfache Substitution oder das Erkennen einer Kettenregel in umgekehrter Form hilfreich sein. - Ein uneigentliches Integral wird über einen Grenzwert definiert.

1. \(g_k(-x) = \frac{-2x}{((-x)^2 + k)^2} = -g_k(x) \implies\) Punktsymmetrie zum Ursprung. Nullstelle: \(2x = 0 \implies x = 0\). 2. Ableitung: \(g_k'(x) = \frac{2(x^2 + k)^2 - 2x \cdot 2(x^2 + k) \cdot 2x}{(x^2 + k)^4} = \frac{2(x^2 + k) - 8x^2}{(x^2 + k)^3} = \frac{2k - 6x^2}{(x^2 + k)^3}\). Extremstellen bei \(x^2 = \frac{k}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{k}{3}}\). Die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts ist \(g_k\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right) = \frac{2\sqrt{k/3}}{(k/3 + k)^2} = \frac{2\sqrt{k/3}}{(4k/3)^2} = \frac{2\sqrt{k/3}}{16k^2/9} = \frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\). Aufgrund der Symmetrie liegt der Tiefpunkt bei \(\left(-\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). 3. Schnittbedingung \(g_{k_1}(x) = g_{k_2}(x)\) führt für \(k_1 \neq k_2\) auf \(\frac{2x}{(x^2+k_1)^2} = \frac{2x}{(x^2+k_2)^2}\). Dies ist erfüllt für \(x = 0\). Für \(x \neq 0\) müsste \((x^2+k_1)^2 = (x^2+k_2)^2\) gelten, was wegen \(x^2+k > 0\) nur für \(k_1 = k_2\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist \((0 \mid 0)\). Wegen Nennergrad (4) > Zählergrad (1) ist \(y = 0\) die waagrechte Asymptote. 4. Mit der Substitution \(u = x^2 + k\) und \(\text{d}u = 2x \,\text{d}x\) ergibt sich eine Stammfunktion \(G_k(x) = -\frac{1}{x^2 + k}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \lim_{b \to \infty} \int_0^b g_k(x) \,\text{d}x = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x^2 + k} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b^2 + k} + \frac{1}{k} \right) = 0 + \frac{1}{k} = \frac{1}{k}\). Der Flächeninhalt ist somit endlich.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; Nullstelle bei \(x = 0\). b) \(H\left(\sqrt{\frac{k}{3}} \mid \frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\), \(T\left(-\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). c) Gemeinsamer Punkt \((0 \mid 0)\); waagrechte Asymptote \(y = 0\). d) Stammfunktion \(G_k(x) = -\frac{1}{x^2 + k}\); der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(\frac{1}{k}\).

- Was unterscheidet die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel von einer nach oben geöffneten? - Wie führst du eine Punktprobe durch, um einen unbekannten Parameter zu bestimmen? - Wenn du eine Gleichung mit einem Bruch erhältst, wie kannst du sie vereinfachen? - Gibt es einen einfachen ganzzahligen Wert, der die Gleichung im letzten Schritt lösen könnte?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) der nach unten geöffneten Normalparabel liegt auf dem Graphen von \(h(x) = \frac{1}{x}\), woraus sich die Koordinaten \(S(a \mid \frac{1}{a})\) ergeben. 2. Die allgemeine Form einer nach unten geöffneten Normalparabel ist \(g(x) = -(x - x_S)^2 + y_S\). Eingesetzt ergibt dies die Schar \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\). 3. Um den Parameter \(a\) zu finden, für den die Parabel durch \(P(1 \mid 1)\) verläuft, wird die Punktprobe durchgeführt: \(1 = -(1 - a)^2 + \frac{1}{a}\). 4. Auflösen der Gleichung: \(1 = -(1 - 2a + a^2) + \frac{1}{a} \Rightarrow 1 = -1 + 2a - a^2 + \frac{1}{a} \Rightarrow 2 - 2a + a^2 - \frac{1}{a} = 0\). 5. Multiplikation mit \(a\) führt auf die kubische Gleichung \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = 0\). 6. Durch systematisches Probieren oder Erkennen der Koeffizientensumme findet man die Lösung \(a = 1\). Eine Überprüfung (Polynomdivision) zeigt, dass \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = (a - 1)(a^2 - a + 1)\) ist, wobei der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen besitzt.

a) \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\) b) \(a = 1\)

- Achte auf den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. - Bestimme die erste Ableitung, um mögliche Extremstellen in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen von \(k\) für den Verlauf des Graphen? - Untersuche die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs. - Setze den Funktionswert an der Extremstelle in Beziehung zur \(x\)-Achse.

1. Ableitung bilden: \(h_k'(x) = 2x - \frac{k}{x}\). 2. Fall \(k < 0\): Es gilt \(h_k'(x) = 2x + \frac{|k|}{x} > 0\) für alle \(x > 0\). Die Funktion ist streng monoton steigend. Mit \(\lim_{x \to 0^+} h_k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} h_k(x) = \infty\) ergibt sich genau eine Nullstelle. 3. Fall \(k = 0\): \(h_0(x) = x^2\) hat im Bereich \(x > 0\) keine Nullstelle. 4. Fall \(k > 0\): Ein lokales Minimum existiert bei \(2x - \frac{k}{x} = 0 \implies 2x^2 = k \implies x = \sqrt{\frac{k}{2}}\). Der minimale Funktionswert ist \(h_k\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right) = \frac{k}{2} - k \cdot \ln\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right) = \frac{k}{2} - \frac{k}{2} \ln\left(\frac{k}{2}\right) = \frac{k}{2} \left(1 - \ln\left(\frac{k}{2}\right)\right)\). Da \(\lim_{x \to 0^+} h_k(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} h_k(x) = \infty\), entscheiden das Vorzeichen des Minimums über die Anzahl der Nullstellen. 5. Vorzeichen des Minimums für \(k > 0\): \(1 - \ln\left(\frac{k}{2}\right) = 0 \iff \frac{k}{2} = e \iff k = 2e\). Das Minimum ist positiv für \(k < 2e\) und negativ für \(k > 2e\). 6. Kombination der Ergebnisse: Keine Nullstelle für \(0 \le k < 2e\). Genau eine Nullstelle für \(k < 0\) oder \(k = 2e\). Genau zwei Nullstellen für \(k > 2e\).

- Keine Nullstellen: \(0 \le k < 2e\) - Genau eine Nullstelle: \(k < 0\) oder \(k = 2e\) - Genau zwei Nullstellen: \(k > 2e\)

- Wie findet man die Nullstellen einer Funktion, bei der ein Term ausgeklammert werden kann? - Welche Methode nutzt man, um den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel zu finden? - Wie eliminiert man einen Parameter aus zwei Koordinatengleichungen, um eine Ortskurve zu finden? - Welches mathematische Werkzeug berechnet den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse?

1. Nullstellen: Aus \(h_k(x) = x \cdot (-\frac{1}{k}x + 1) = 0\) folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(x_s = \frac{k}{2}\). Die \(y\)-Koordinate ist \(h_k(\frac{k}{2}) = -\frac{1}{k} \cdot \frac{k^2}{4} + \frac{k}{2} = -\frac{k}{4} + \frac{k}{2} = \frac{k}{4}\). Somit ist \(S_k(\frac{k}{2} | \frac{k}{4})\). 2. Für die Koordinaten des Scheitelpunkts gilt \(x = \frac{k}{2}\) und \(y = \frac{k}{4}\). Auflösen der ersten Gleichung nach \(k\) ergibt \(k = 2x\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(y = \frac{2x}{4} = \frac{1}{2}x\). Die Ortskurve ist die Gerade \(g(x) = 0{,}5x\). 3. Der Flächeninhalt wird über das Integral berechnet: \(A = \int_{0}^{k} (-\frac{1}{k}x^2 + x) \,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3k}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{k} = -\frac{k^3}{3k} + \frac{k^2}{2} = -\frac{k^2}{3} + \frac{k^2}{2} = \frac{k^2}{6}\). Aus der Bedingung \(\frac{k^2}{6} = 36\) folgt \(k^2 = 216\). Da \(k > 0\), ergibt sich \(k = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\).

1. Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=k\); Scheitelpunkt \(S_k(\frac{k}{2} | \frac{k}{4})\) 2. Die Ortskurve ist die Gerade \(y = 0{,}5x\). 3. \(k = 6\sqrt{6}\) (ca. \(14{,}7\))

- Wann kann der Nenner eines Bruchs Null werden? - Untersuche, ob das Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) den Funktionsterm verändert. - Setze den Zähler gleich Null und überlege, für welche Werte von \(a\) es Lösungen gibt. - Betrachte den Grenzwert der Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte.

1. Der Nenner \(x^2 + a\) darf nicht Null werden. Für \(a > 0\) ist \(x^2 + a \geq a > 0\), somit ist die Funktion für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Für \(a < 0\) gibt es Definitionslücken bei \(x = \pm \sqrt{-a}\). Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 2. Es gilt \(g_a(-x) = \frac{(-x)^2 - a}{(-x)^2 + a} = \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = g_a(x)\). Da dies für alle \(a \neq 0\) und alle \(x\) im Definitionsbereich gilt, ist der Graph für alle \(a\) symmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x^2 - a = 0\) vor, also \(x^2 = a\). Für \(a > 0\) ergeben sich genau zwei Schnittpunkte \((\pm \sqrt{a}|0)\). Für \(a < 0\) hat die Gleichung keine reelle Lösung, da \(x^2 \geq 0\) und \(a < 0\) ist. Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 4. Für das Verhalten im Unendlichen gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - a/x^2}{1 + a/x^2} = 1\). Dieser Grenzwert ist unabhängig von \(a \neq 0\). Somit ist \(y = 1\) für alle \(a\) die waagerechte Asymptote.

1. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 2. Gilt für alle Werte von \(a\). 3. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 4. Gilt für alle Werte von \(a\).

- Wie viele Bedingungen stecken in der Information, dass ein Punkt ein Sattelpunkt ist? - Übersetze die Begriffe Ursprung, Sattelpunkt und Extremstelle in mathematische Bedingungen für \(f(x)\), \(f'(x)\) und \(f''(x)\). - Erstelle ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten \(a, b, c, d, e\). - Denke daran, dass beim Ursprung ein Koeffizient sofort wegfällt.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Punkt im Ursprung: \(f(0) = 0 \implies e = 0\). 3. Sattelpunkt bei \((2|2)\) liefert drei Bedingungen: - \(f(2) = 2 \implies 16a + 8b + 4c + 2d = 2\) - \(f'(2) = 0 \implies 32a + 12b + 4c + d = 0\) - \(f''(2) = 0 \implies 48a + 12b + 2c = 0\) 4. Extremstelle bei \(x = 1\): \(f'(1) = 0 \implies 4a + 3b + 2c + d = 0\). 5. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus den Gleichungen folgt durch Elimination oder Einsetzungsverfahren: \(a = -0{,}375\), \(b = 2{,}5\), \(c = -6\) und \(d = 6\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}375x^4 + 2{,}5x^3 - 6x^2 + 6x\). 7. Außerdem gilt \(f'''(2)=-3\neq0\); damit ist die angegebene stationäre Wendestelle tatsächlich ein Sattelpunkt.

\(f(x) = -0{,}375x^4 + 2{,}5x^3 - 6x^2 + 6x\)

- Bestimme zuerst die Extrempunkte in Abhängigkeit von \(k\). Wie hängen \(x\) und \(y\) dort zusammen? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, kannst du \(x\) als festen Wert betrachten und untersuchen, welche \(y\)-Werte durch Variation von \(k\) erreicht werden können. - Welchen maximalen Wert kann die Funktion \(g_k(x)\) für ein festes \(x\) annehmen, wenn man \(k\) verändert?

1. Die Ableitung \(g_k'(x) = 1 \cdot e^{k-x} + (x-k) \cdot e^{k-x} \cdot (-1) = e^{k-x} \cdot (1 - x + k)\) hat die Nullstelle \(x = k + 1\). Da \(g_k''(k+1) = -e^{-1} < 0\), liegt dort ein Hochpunkt vor. 2. Der Funktionswert an der Stelle \(x = k+1\) ist \(g_k(k+1) = 1 \cdot e^{-1} + k = k + \frac{1}{e}\). Die Hochpunkte sind \(H(k+1 | k + \frac{1}{e})\). 3. Mit \(x = k+1 \implies k = x-1\) folgt für die \(y\)-Koordinate: \(y = (x-1) + \frac{1}{e}\). Die Ortskurve ist die Gerade \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). 4. Für einen festen Wert \(x\) wird die Funktion \(h(k) = (x-k) e^{k-x} + k\) untersucht. Es soll geprüft werden, welche Werte \(y\) diese Funktion annehmen kann. 5. Die Ableitung nach \(k\) ist \(h'(k) = -e^{k-x} + (x-k) e^{k-x} + 1 = e^{k-x}(x-k-1) + 1\). Die Bedingung \(h'(k) = 0\) wird für \(k = x\) erfüllt (\(e^0 \cdot (-1) + 1 = 0\)). 6. Da \(h''(x) = -2 < 0\), besitzt \(h(k)\) bei \(k=x\) ein absolutes Maximum mit dem Wert \(h(x) = (x-x)e^0 + x = x\). 7. Wegen \(\lim_{k \to \pm \infty} h(k) = -\infty\) ist der Wertebereich von \(h(k)\) das Intervall \((-\infty; x]\). 8. Ein Punkt \((x|y)\) liegt genau dann auf einem Graphen, wenn \(y \le x\). Folglich liegen alle Punkte mit \(y > x\) auf keinem Graphen. 9. Mit \(t=k-x\) lautet \(h'(k)=0\) äquivalent \((t+1)e^t=1\). Für \(t<-1\) ist die linke Seite negativ, und für \(t>-1\) ist sie streng wachsend; daher ist \(t=0\), also \(k=x\), die einzige Lösung. Zusammen mit dem bereits bestimmten Randverhalten ist das Maximum absolut.

a) Die Hochpunkte liegen auf der Geraden \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). b) Alle Punkte \(P(x|y)\) mit \(y > x\) liegen auf keinem Graphen der Schar.

- Welche Werte kann die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) annehmen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Denke an die Kettenregel beim Ableiten der Funktionenschar. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunktes aus, unabhängig vom konkreten Wert von \(x\)?

1. Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(h_k'(x) = ke^{kx} - 1\) und \(h_k''(x) = k^2e^{kx}\). 2. Stationäre Punkte bestimmen: \(h_k'(x) = 0 \iff ke^{kx} = 1 \iff e^{kx} = \frac{1}{k}\). 3. Existenzbedingung herleiten: Da die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) für alle reellen Zahlen positive Werte annimmt, besitzt die Gleichung nur dann eine Lösung für \(x\), wenn \(\frac{1}{k} > 0\) gilt, was gleichbedeutend mit \(k > 0\) ist. 4. Extremstelle berechnen: Durch Logarithmieren folgt \(kx = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\), also \(x = -\frac{\ln(k)}{k}\). 5. Art des Extrempunktes klassifizieren: Da \(k \neq 0\) ist \(k^2\) stets positiv. Da auch \(e^{kx} > 0\) gilt, ist \(h_k''(x) = k^2e^{kx} > 0\) für alle \(x\). Somit liegt an der gefundenen Stelle immer ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 6. Funktionswert ermitteln: \(h_k\left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{k \cdot \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right)} - \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{-\ln(k)} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1}{k} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1 + \ln(k)}{k}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

Ein Extrempunkt existiert nur für \(k > 0\). Es handelt sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

- Untersuche die Gleichung \(x^2 = a\) für verschiedene Werte von \(a\). - Nutze die notwendige Bedingung für Extrema und die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung. - Um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion ist, musst du sie ableiten. - Bei einer nach links unbegrenzten Fläche musst du den Grenzwert des Integrals für die untere Grenze gegen \(-\infty\) berechnen. - Beachte, dass Flächeninhalte immer positiv angegeben werden.

1. Nullstellen: \(a - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = a\). Für \(a < 0\) gibt es keine Nullstellen, für \(a = 0\) eine Nullstelle (\(x=0\)) und für \(a > 0\) zwei Nullstellen (\(x = \pm \sqrt{a}\)). 2. Extrempunkte: \(g_a'(x) = -2x \cdot e^x + (a - x^2) \cdot e^x = (-x^2 - 2x + a) \cdot e^x\). Nullstellen der Ableitung: \(-x^2 - 2x + a = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - a = 0\). Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a\). Zwei Lösungen existieren für \(4 + 4a > 0\), also \(a > -1\). 3. Stammfunktion: \(G_a'(x) = (-2x + 2) \cdot e^x + (-x^2 + 2x + a - 2) \cdot e^x = (-x^2 + a) \cdot e^x = g_a(x)\). Damit ist \(G_a\) eine Stammfunktion. 4. Flächeninhalt für \(a=0\): Gesucht ist \(A = \left| \int_{-\infty}^{0} g_0(x) \, dx \right|\). Es gilt \(\int g_0(x) \, dx = G_0(x) = (-x^2 + 2x - 2) \cdot e^x\). Der Grenzwert für \(x \to -\infty\) ist \(\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 2x - 2) \cdot e^x = 0\). Der Wert an der Stelle \(0\) ist \(G_0(0) = (-0^2 + 2 \cdot 0 - 2) \cdot e^0 = -2\). Das Integral ist \(G_0(0) - \lim_{x \to -\infty} G_0(x) = -2 - 0 = -2\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(2\) Flächeneinheiten.

a) Keine für \(a < 0\), eine für \(a = 0\), zwei für \(a > 0\). b) Bedingung für zwei Extremstellen: \(D = 4 + 4a > 0 \Rightarrow a > -1\). c) Nachweis durch Ableiten: \(G_a'(x) = g_a(x)\). d) Der Flächeninhalt beträgt \(2\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du prüfen, ob eine bestimmte Funktion in einer Schar enthalten ist? - Um die gegenseitige Lage zu bestimmen, solltest du die Differenzfunktion \(d(x) = f_k(x) - g(x)\) betrachten. - Achte bei der Ungleichungsbetrachtung darauf, wie sich das Vorzeichen von \(k\) auf das Ergebnis auswirkt. - Überlege dir, was eine doppelte Nullstelle der Differenzfunktion für die geometrische Lage bedeutet.

1. Für \(k = 2\) ergibt sich \(f_2(x) = \frac{2}{4}x^3 - 2x^2 + x = \frac{1}{2}x^3 - 2x^2 + x\). Dies entspricht der Funktion \(f\). 2. Schnittpunkte berechnen: \(f_k(x) = x \Rightarrow \frac{k}{4}x^3 - kx^2 + x = x \Rightarrow \frac{k}{4}x^3 - kx^2 = 0\). 3. Ausklammern: \(kx^2(\frac{1}{4}x - 1) = 0\). Da \(k \neq 0\), sind die Lösungen \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle, also Berührpunkt) und \(x_2 = 4\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|4)\). 4. Differenzfunktion untersuchen: \(d(x) = f_k(x) - x = kx^2(\frac{1}{4}x - 1)\). Der Faktor \(x^2\) ist für alle \(x \neq 0\) positiv. Das Vorzeichen von \(d(x)\) hängt also von \(k\) und dem Term \((\frac{1}{4}x - 1)\) ab. 5. Fallunterscheidung \(k > 0\): Für \(x < 4\) (und \(x \neq 0\)) ist \(d(x) < 0\), der Graph liegt unterhalb von \(g\). Für \(x > 4\) ist \(d(x) > 0\), der Graph liegt oberhalb von \(g\). 6. Fallunterscheidung \(k < 0\): Für \(x < 4\) (und \(x \neq 0\)) ist \(d(x) > 0\), der Graph liegt oberhalb von \(g\). Für \(x > 4\) ist \(d(x) < 0\), der Graph liegt unterhalb von \(g\).

a) Für \(k = 2\) gilt \(f_2(x) = f(x)\). b) Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|4)\). Für \(k > 0\): Unterhalb für \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4)\), oberhalb für \(x \in (4; \infty)\). Für \(k < 0\): Oberhalb für \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4)\), unterhalb für \(x \in (4; \infty)\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt für alle Werte von \(k\) auf dem Graphen liegt? - Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente erfüllen? - Wie unterscheidet man zwischen Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt? - Wie findet man die Gleichung einer Kurve, auf der bestimmte Punkte einer Schar liegen, wenn man deren Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter kennt?

1. Gemeinsame Punkte: \(f_k(0) = 0\) ist offensichtlich. Für \(x=4\): \(f_k(4) = \frac{64}{6} - \frac{16}{4}(k+2) + 4k = \frac{32}{3} - 4k - 8 + 4k = \frac{32}{3} - \frac{24}{3} = \frac{8}{3}\). Da das Ergebnis unabhängig von \(k\) ist, liegen beide Punkte auf allen Graphen. 2. Waagerechte Tangente bei \(x=2\): Ableitung \(f_k'(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k\). Es gilt \(f_k'(2) = \frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2}(k+2)(2) + k = 2 - (k+2) + k = 0\). 3. Art des Extrempunktes: \(f_k''(x) = x - \frac{1}{2}(k+2)\). Für \(x=2\) ist \(f_k''(2) = 2 - \frac{1}{2}k - 1 = 1 - \frac{1}{2}k\). Ein Extrempunkt liegt vor, wenn \(f_k''(2) \neq 0\), also \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist \(f_k''(2) < 0\), es handelt sich um einen Hochpunkt. Für \(k=2\) liegt ein Sattelpunkt vor. 4. Weiterer Extrempunkt: Nullstellen von \(f_k'(x)\) bestimmen: \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k = 0 \Leftrightarrow x^2 - (k+2)x + 2k = 0\). Mit der \(pq\)-Formel oder durch Faktorisieren erhält man \((x-2)(x-k)=0\). Die zweite Stelle ist somit \(x=k\). Für \(k \neq 2\) ist dies eine einfache Nullstelle von \(f_k'\) mit Vorzeichenwechsel, also ein Extrempunkt. 5. Ortskurve: \(y = f_k(k) = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}(k+2)k^2 + k^2 = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + k^2 = -\frac{1}{12}k^3 + \frac{1}{2}k^2\). Da \(x=k\), ist die Gleichung der Ortskurve \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(x=0\) und \(x=4\) in \(f_k(x)\). b) Waagerechte Tangente, da \(f_k'(2)=0\). Extrempunkt für \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist es ein Hochpunkt. c) Die Nullstellen der Ableitung sind \(x=2\) und \(x=k\). d) \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\)

- Überlege dir, wie sich der Funktionsterm bei jeder Ableitung verändert. Siehst du ein Muster? - Wie kannst du den Parameter \(k\) in der Gleichung für die x-Koordinate isolieren? - Was passiert mit dem Faktor vor der Exponentialfunktion, wenn du die Produktregel anwendest?

1. Erste Ableitung: \(g_k'(x) = k \cdot e^x + (kx + 1) \cdot e^x = (kx + k + 1) \cdot e^x\). 2. Extremstelle bestimmen: \(g_k'(x) = 0 \Leftrightarrow kx + k + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 - \frac{1}{k}\). 3. y-Koordinate: \(g_k(-1 - \frac{1}{k}) = (k(-1 - \frac{1}{k}) + 1) \cdot e^{-1 - \frac{1}{k}} = (-k - 1 + 1) \cdot e^x = -ke^x\). Der Extrempunkt ist \(E_k(-1 - \frac{1}{k} \mid -ke^{-1 - \frac{1}{k}})\). 4. Ortslinie: Aus \(x = -1 - \frac{1}{k}\) folgt \(x+1 = -\frac{1}{k}\), also \(k = -\frac{1}{x+1}\). Einsetzen in den Ausdruck für \(y\) (Schritt 3): \(y = -(-\frac{1}{x+1}) \cdot e^x = \frac{e^x}{x+1}\). 5. Ableitungsgesetz: Höhere Ableitungen bilden: \(g_k''(x) = (kx + 2k + 1) \cdot e^x\), \(g_k'''(x) = (kx + 3k + 1) \cdot e^x\). 6. Vermutung: \(g_k^{(n)}(x) = (kx + nk + 1) \cdot e^x\). Begründung: Bei jeder weiteren Ableitung kommt durch die Produktregel (Ableiten des linearen Terms) ein Summand \(k \cdot e^x\) hinzu, während der Rest des Terms durch das Ableiten von \(e^x\) erhalten bleibt. 7. Bei der Ortslinie ist \(x=-1\) ausgeschlossen, da der Ausdruck \(k=-\frac{1}{x+1}\) dort nicht definiert ist.

a) \(E_k(-1 - \frac{1}{k} \mid -ke^{-1 - \frac{1}{k}})\) b) Die Ortslinie lautet \(y=\frac{e^x}{x+1}\) mit \(x\neq-1\); Nachweis über \(k = -\frac{1}{x+1}\) und Einsetzen in \(y = -ke^x\). c) \(g_k^{(n)}(x) = (kx + nk + 1) \cdot e^x\); Begründung über die fortlaufende Addition von \(k\) im Linearfaktor bei jeder Differentiation.

- Was muss für den Funktionsterm gelten, damit der Wert an einer Stelle \(x\) nicht von \(k\) abhängt? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines stationären Punktes zu bestimmen? - Was passiert, wenn die zweite Ableitung an einer Stelle genau null ergibt? Welche weiteren Kriterien kannst du dann heranziehen?

1. Ein Punkt ist gemeinsam, wenn \(g_k(x)\) unabhängig von \(k\) ist. Die Gleichung \(g_k(x) = g_m(x)\) führt auf \(kx^2 e^{-x} = mx^2 e^{-x}\), was für \(k \neq m\) nur für \(x = 0\) gilt. Da \(g_k(0) = 0\) für alle \(k\), ist der gemeinsame Punkt \(S(0|0)\). 2. Die erste Ableitung ist \(g_k'(x) = (-2x^3 + (6-k)x^2 + 2kx) e^{-x}\). Für \(x = 0\) gilt \(g_k'(0) = 0\), was den stationären Punkt bestätigt. Die zweite Ableitung an der Stelle \(0\) ist \(g_k''(0) = 2k\). - Falls \(k > 0\), ist \(g_k''(0) > 0\), also liegt ein lokales Minimum vor. - Falls \(k < 0\), ist \(g_k''(0) < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. - Falls \(k = 0\), ist \(g_0(x) = 2x^3 e^{-x}\). Die erste Ableitung \(g_0'(x) = (6x^2 - 2x^3) e^{-x} = 2x^2(3-x)e^{-x}\) hat bei \(x=0\) keinen Vorzeichenwechsel (da \(x^2 \ge 0\)), somit liegt ein Sattelpunkt vor.

1. Gemeinsamer Schnittpunkt: \((0|0)\) 2. Für \(k > 0\): lokales Minimum; für \(k < 0\): lokales Maximum; für \(k = 0\): Sattelpunkt.

- Nutze für die zweite Ableitung Produkt- und Kettenregel. - Setze \(z=x^2\) und beachte ausdrücklich, dass \(z\ge0\) gilt. - Eine positive \(z\)-Lösung erzeugt zwei Lösungen für \(x\); zwei verschiedene positive \(z\)-Lösungen erzeugen vier. - Untersuche für Teil 3 neben der Diskriminante auch die Lage des Scheitelpunkts relativ zum Bereich \(z\ge0\).

1. Die erste Ableitung ist \(g_a'(x)=-2ax(x^2+a)^{-2}\). Mit Produkt- und Kettenregel folgt \(g_a''(x)=-2a(x^2+a)^{-2}+8ax^2(x^2+a)^{-3}\) \(=\frac{-2a(x^2+a)+8ax^2}{(x^2+a)^3}\) \(=\frac{6ax^2-2a^2}{(x^2+a)^3}\). 2. Aus \(g_a(x)=g_a''(x)\) folgt wegen \(a>0\): \((x^2+a)^2=6x^2-2a\). Mit \(z=x^2\ge0\) erhält man \(z^2+(2a-6)z+a^2+2a=0\). Die Diskriminante ist \(D=36-32a\). Für \(0<a<\frac98\) gilt \(D>0\). Außerdem sind dann die Summe der beiden Nullstellen \(6-2a>0\) und ihr Produkt \(a^2+2a>0\), also sind beide Nullstellen positiv. Das ergäbe vier verschiedene Lösungen für \(x\). Für \(a>\frac98\) gibt es keine reellen \(z\)-Nullstellen. Genau bei \(D=0\), also bei \(a=\frac98\), gibt es eine einzige positive doppelte Nullstelle \(z=3-a=\frac{15}{8}\). Daraus entstehen genau die zwei Lösungen \(x=\pm\sqrt{\frac{15}{8}}\). 3. Die Ungleichung \(g_a(x)\ge g_a''(x)\) ist äquivalent zu \(q_a(z)=z^2+(2a-6)z+a^2+2a\ge0\) für alle \(z=x^2\ge0\). Für \(0<a<\frac98\) besitzt \(q_a\) zwei positive Nullstellen und ist zwischen ihnen negativ. Die Bedingung ist dann nicht erfüllt. Für \(\frac98\le a<3\) gilt \(D\le0\), also ist \(q_a(z)\ge0\) für alle reellen \(z\). Für \(a\ge3\) liegt der Scheitel bei \(z=3-a\le0\); auf \([0,\infty)\) ist die Parabel daher steigend und beginnt bei \(q_a(0)=a^2+2a>0\). Somit gilt die Ungleichung genau für \(a\ge\frac98\).

1. \(g_a''(x)=\frac{6ax^2-2a^2}{(x^2+a)^3}\) 2. \(a=\frac98\) 3. \(a\ge\frac98\)

- Überlege dir, was mit dem Ausdruck \(e^{-0{,}04t}\) passiert, wenn \(t\) sehr große Werte annimmt. - Um den Zeitpunkt des maximalen Andrangs zu finden, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung untersuchen. - Der stärkste Rückgang entspricht dem Punkt der steilsten negativen Steigung, also einem Wendepunkt. - Vergleiche die Sättigungswerte (Grenzwerte) der beiden Graphen für große \(t\).

1. Grenzwertbestimmung: Für \(t \to \infty\) strebt der Term \(a(t-20)e^{-0{,}04t}\) gegen 0. Somit gilt \(\lim_{t \to \infty} v_a(t) = 20a\). Dies ist die langfristige Besucherzahl. 2. Bestimmung des Maximums: \(v_a'(t) = a \cdot 1 \cdot e^{-0{,}04t} + a(t-20) \cdot (-0{,}04) \cdot e^{-0{,}04t} = a \cdot e^{-0{,}04t} \cdot (1 - 0{,}04t + 0{,}8) = a \cdot e^{-0{,}04t} \cdot (1{,}8 - 0{,}04t)\). Nullsetzen ergibt \(1{,}8 - 0{,}04t = 0 \implies t = 45\). Der Peak ist nach 45 Tagen. 3. Bestimmung des stärksten Rückgangs (Wendepunkt): \(v_a''(t) = a \cdot (-0{,}04) \cdot e^{-0{,}04t} \cdot (1{,}8 - 0{,}04t) + a \cdot e^{-0{,}04t} \cdot (-0{,}04) = -0{,}04a \cdot e^{-0{,}04t} \cdot (2{,}8 - 0{,}04t)\). Nullsetzen ergibt \(2{,}8 - 0{,}04t = 0 \implies t = 70\). Nach 70 Tagen sinken die Zahlen am schnellsten. 4. Zuordnung der Graphen: Für \(a = 100\) liegt der langfristige Grenzwert bei \(20 \cdot 100 = 2000\) Besuchern. Für \(a = 50\) liegt er bei \(20 \cdot 50 = 1000\) Besuchern. Der obere (grüne) Graph nähert sich der \(2000\) an, der untere (blaue) der \(1000\). Also: oben \(a=100\), unten \(a=50\).

a) Langfristig werden täglich \(20a\) Besucher erwartet. b) Der maximale Besucherandrang wird nach \(45\) Tagen erreicht. c) Die Besucherzahlen gehen nach \(70\) Tagen am stärksten zurück. d) Der obere (grüne) Graph gehört zu \(a = 100\), der untere (blaue) zu \(a = 50\). Dies erkennt man am langfristigen Grenzwert (\(2000\) vs. \(1000\)) oder an der Höhe des Maximums, da beide Werte proportional zu \(a\) sind.

- Was sagt dir die Position der senkrechten Asymptote über den Nenner des Funktionsterms? - Wie hängen die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion mit ihrem Zähler zusammen? - Nutze die Quotientenregel, um die Steigungsfunktion zu bestimmen. - Setze die bekannte Steigung an der Stelle \(x = 2\) in deine Ableitung ein, um den fehlenden Parameter zu finden.

1. Die senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) bestimmt den Nenner: \(-2 + c = 0 \Rightarrow c = 2\). 2. Da \(x = 2\) eine Nullstelle ist, muss der Zähler dort null werden: \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = 0 \Rightarrow b = -2a\). Der Term lautet somit \(f(x) = \frac{ax^2 - 2ax}{x + 2}\). 3. Berechnung der Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{(2ax - 2a)(x + 2) - (ax^2 - 2ax) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2ax^2 + 4ax - 2ax - 4a - ax^2 + 2ax}{(x + 2)^2} = \frac{ax^2 + 4ax - 4a}{(x + 2)^2}\). 4. Einsetzen der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = \frac{a \cdot 2^2 + 4a \cdot 2 - 4a}{(2 + 2)^2} = \frac{4a + 8a - 4a}{16} = \frac{8a}{16} = \frac{a}{2}\). Gegeben ist \(f'(2) = 0{,}5\), also \(\frac{a}{2} = 0{,}5 \Rightarrow a = 1\). 5. Damit ergibt sich \(b = -2 \cdot 1 = -2\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x + 2}\).

Die Parameter sind \(a = 1\), \(b = -2\) und \(c = 2\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x + 2}\).