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- Welchen Wert muss die x-Koordinate eines Punktes auf der y-Achse haben? - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, die Steigung einer Funktion zu beurteilen? - Berücksichtige bei der Ableitung die Kettenregel für die Exponentialfunktion. - Welche Vorzeichen haben die einzelnen Terme in deiner Ableitungsfunktion? - Überlege dir getrennt, gegen welche Werte die einzelnen Bestandteile des Funktionsterms streben, wenn x immer größer wird.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f_a(0) = 8 \cdot e^0 - a \cdot 0 + 3 = 8 + 3 = 11\). Da das Ergebnis unabhängig vom Parameter \(a\) ist, schneiden alle Graphen die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0|11)\). 2. Die erste Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = -4 \cdot e^{-0{,}5x} - a\). Da \(e^{-0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) und \(a > 0\) gilt, sind beide Summanden der Ableitung negativ. Somit ist \(f_a'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), woraus die strenge Monotonie folgt. 3. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = \lim_{x \to +\infty} (8 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x + 3)\). Da \(\lim_{x \to +\infty} e^{-0{,}5x} = 0\) und \(\lim_{x \to +\infty} (-ax) = -\infty\) für \(a > 0\), folgt insgesamt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\).

a) Der gemeinsame Schnittpunkt ist \(S(0|11)\). b) Die Ableitung \(f_a'(x) = -4e^{-0{,}5x} - a\) ist aufgrund von \(a > 0\) und \(e^{-0{,}5x} > 0\) stets negativ, daher ist \(f_a\) streng monoton fallend. c) \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in der Funktionsgleichung vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Wie viele Unbekannte musst du bestimmen und wie viele Informationen liefert der Text? - Was bedeutet die Information über den Wendepunkt für die Ableitungen der Funktion? - Setze die gegebenen Punkte und Eigenschaften in Gleichungen um.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 4\): \(f(0) = 4 \implies e = 4\). 3. Nullstelle bei \(x = 2\): \(f(2) = 0 \implies 16a + 4c + 4 = 0\) bzw. \(4a + c = -1\). 4. Wendepunkt bei \(x = 1\): \(f''(1) = 0\). Mit \(f''(x) = 12ax^2 + 2c\) folgt \(12a + 2c = 0\) bzw. \(c = -6a\). 5. Einsetzen von \(c = -6a\) in die Gleichung aus Schritt 3: \(4a - 6a = -1 \implies -2a = -1 \implies a = 0{,}5\). 6. Berechnung von \(c\): \(c = -6 \cdot 0{,}5 = -3\). 7. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 4\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 4\)

- Was muss für den Funktionswert an der Stelle x = 0 gelten, damit der Graph durch den Ursprung geht? - Setze die erste Ableitung gleich null, um die potenziellen Extremstellen zu finden. Beachte dabei, dass t positiv ist. - Für die Ortskurve suchst du einen Zusammenhang zwischen der x- und der y-Koordinate der Tiefpunkte, bei dem der Parameter t nicht mehr vorkommt.

1. Gemeinsamer Punkt: Es gilt \(f_t(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - t^2 \cdot 0 = 0\) für alle \(t > 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \(O(0|0)\). 2. Ableitungen: \(f_t'(x) = x^2 - t^2\) und \(f_t''(x) = 2x\). 3. Extrempunkte: \(f_t'(x) = 0 \Rightarrow x^2 = t^2 \Rightarrow x_{1} = t, x_{2} = -t\). Wegen \(f_t''(t) = 2t > 0\) ist bei \(x=t\) ein Tiefpunkt: \(T(t \mid -\frac{2}{3}t^3)\). Wegen \(f_t''(-t) = -2t < 0\) ist bei \(x=-t\) ein Hochpunkt: \(H(-t \mid \frac{2}{3}t^3)\). 4. Wendepunkt: \(f_t''(x) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\). Wegen \(f_t'''(x) = 2 \neq 0\) liegt bei \(W(0|0)\) ein Wendepunkt vor. 5. Ortskurve der Tiefpunkte: Die x-Koordinate ist \(x = t\). Einsetzen von \(t = x\) in die y-Koordinate \(y = -\frac{2}{3}t^3\) ergibt \(y = -\frac{2}{3}x^3\) (für \(x > 0\)).

a) Nachweis durch \(f_t(0) = 0\). b) \(H\left(-t \mid \frac{2}{3}t^3\right)\) und \(T\left(t \mid -\frac{2}{3}t^3\right)\) c) \(W(0|0)\) d) \(y = -\frac{2}{3}x^3\) (für \(x > 0\))

- Wie gehst du vor, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegen soll? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Maximum an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Denke beim Ableiten der Funktion im zweiten Teil an die Produktregel und die Kettenregel. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Zur Bestimmung von \(a\) wird der Punkt \(P(2|10)\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(10 = a \cdot 2^3 - 5 \cdot 2 + 4\). Dies führt zu \(10 = 8a - 6\) und somit zu \(8a = 16\), woraus \(a = 2\) folgt. 2. Für die notwendige Bedingung eines Extremums von \(g_k\) wird die erste Ableitung gebildet: \(g_k'(x) = -1 \cdot e^{0{,}5x} + (k - x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}5k - 0{,}5x - 1)\). 3. Setzen der Bedingung \(g_k'(4) = 0\) ergibt \(e^{2} \cdot (0{,}5k - 0{,}5 \cdot 4 - 1) = 0\). Da \(e^2 \neq 0\), folgt \(0{,}5k - 3 = 0\), also \(k = 6\). 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung \(g_k''(x) = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}25k - 0{,}25x - 1)\). Für \(k = 6\) und \(x = 4\) ergibt sich \(g_6''(4) = e^2 \cdot (1{,}5 - 1 - 1) = -0{,}5e^2 < 0\). Somit liegt bei \(x = 4\) ein lokales Maximum vor.

a) \(a = 2\) b) \(k = 6\)

- Welche Ableitungen benötigst du, um Aussagen über Wendestellen zu treffen? - Erinnere dich an die notwendige und die hinreichende Bedingung für Wendepunkte. - Wie kannst du zeigen, dass eine Eigenschaft unabhängig von einem Parameter gilt? - Überlege, was passiert, wenn du für den Parameter \(r\) in der Ableitung einen beliebigen Wert einsetzt.

1. Für die Wendestelle wird die zweite Ableitung benötigt: \(h_r'(x) = 5rx^4 - 15x^2\) und \(h_r''(x) = 20rx^3 - 30x\). 2. Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle bei \(x = 1\) lautet \(h_r''(1) = 0\). Einsetzen ergibt \(20r \cdot 1^3 - 30 \cdot 1 = 0\), woraus \(20r = 30\) und somit \(r = 1{,}5\) folgt. 3. Zur Absicherung wird die dritte Ableitung \(h_r'''(x) = 60rx^2 - 30\) betrachtet. Für \(r = 1{,}5\) gilt \(h_{1{,}5}'''(1) = 60 \cdot 1{,}5 - 30 = 60 \neq 0\), was die Wendestelle bestätigt. 4. Für den Nachweis in Aufgabenteil b) wird \(x = 0\) in die zweite Ableitung eingesetzt: \(h_r''(0) = 20r \cdot 0^3 - 30 \cdot 0 = 0\) für alle \(r \in \mathbb{R}\). 5. Die dritte Ableitung an dieser Stelle ist \(h_r'''(0) = 60r \cdot 0^2 - 30 = -30\). Da \(-30 \neq 0\) für alle \(r\) gilt, ist die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle an der Stelle \(x = 0\) stets erfüllt.

a) \(r = 1{,}5\) b) Da \(h_r''(0) = 0\) und \(h_r'''(0) = -30 \neq 0\) für alle \(r \in \mathbb{R}\) gilt, liegt bei \(x = 0\) immer eine Wendestelle vor.

- Wie gehst du vor, um Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Welche Eigenschaft hat die Exponentialfunktion \(e^{x}\) bezüglich ihrer Nullstellen? - Wie setzt man die Bedingung um, dass ein Punkt auf einer waagerechten Geraden liegt?

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = -e^{0{,}5x} + (a - x) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}5a - 1 - 0{,}5x) \cdot e^{0{,}5x}\) und \(f_a''(x) = -0{,}5 e^{0{,}5x} + (0{,}5a - 1 - 0{,}5x) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}25a - 1 - 0{,}25x) \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): Da \(e^{0{,}5x} > 0\), folgt \(0{,}5a - 1 - 0{,}5x = 0\), woraus \(x = a - 2\) resultiert. 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f_a''(a - 2) = (0{,}25a - 1 - 0{,}25(a - 2)) \cdot e^{0{,}5(a - 2)} = -0{,}5 \cdot e^{0{,}5a - 1}\). Da dieser Ausdruck für alle \(a\) negativ ist, liegt ein Hochpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a - 2) = (a - (a - 2)) \cdot e^{0{,}5(a - 2)} = 2 \cdot e^{0{,}5a - 1}\). Der Hochpunkt ist \(H(a - 2 \mid 2 e^{0{,}5a - 1})\). 5. Bedingung für b) anwenden: \(y_H = 2 \implies 2 e^{0{,}5a - 1} = 2\). 6. Gleichung lösen: \(e^{0{,}5a - 1} = 1 \implies 0{,}5a - 1 = 0 \implies a = 2\).

a) Der Hochpunkt hat die Koordinaten \(H(a - 2 \mid 2 e^{0{,}5a - 1})\). b) Für \(a = 2\) liegt der Hochpunkt auf der Geraden \(y = 2\).

- Wie lauten die Koordinaten des Koordinatenursprungs? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Steigung des Graphen aus? - Achte beim Ableiten darauf, dass k ein konstanter Parameter ist. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du die Grenzwerte der einzelnen Summanden leichter bestimmen kannst?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(g_k(0) = k \cdot (e^0 - 1) - 2 \cdot 0 = k \cdot (1 - 1) - 0 = 0\). Damit liegt der Punkt \((0|0)\) unabhängig von \(k\) auf jedem Graphen. 2. Die Ableitungsfunktion wird durch Differenzieren (unter Beachtung der Kettenregel) bestimmt: \(g_k'(x) = -k \cdot e^{-x} - 2\). Wegen \(k > 0\) ist \(-k < 0\). Da \(e^{-x}\) stets positiv ist, ist das Produkt \(-k \cdot e^{-x}\) stets negativ. Die Summe mit \(-2\) ist somit ebenfalls stets negativ (\(g_k'(x) < -2 < 0\)). 3. Für den Grenzwert betrachtet man die Einzelterme: \(\lim_{x \to +\infty} g_k(x) = \lim_{x \to +\infty} (k \cdot e^{-x} - k - 2x)\). Da \(k \cdot e^{-x} \to 0\) und \(-2x \to -\infty\), ergibt sich der Gesamtwert \(\lim_{x \to +\infty} g_k(x) = -\infty\).

a) Da \(g_k(0) = 0\) für alle \(k\), verläuft jeder Graph durch \((0|0)\). b) \(g_k'(x) = -k e^{-x} - 2\); da \(k > 0\) und \(e^{-x} > 0\), ist \(g_k'(x)\) stets negativ. c) \(\lim_{x \to +\infty} g_k(x) = -\infty\)

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Überlege dir bei der Untersuchung von Schnittpunkten, was es bedeutet, wenn eine Gleichung nur für einen bestimmten x-Wert erfüllt ist. - Eine Streckung in x-Richtung um den Faktor c ersetzt jedes x durch x/c. Eine Streckung in y-Richtung multipliziert den gesamten Funktionsterm mit c. - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du die y-Koordinate der Punkte in Abhängigkeit von ihrer x-Koordinate ausdrücken, indem du die Bedingung für Extremstellen nutzt.

1. Einsetzen von \(P(2|2)\) in \(f_k(x)\): \(2 = 2 \cdot e^{1 - k \cdot 2^2}\). Dies führt zu \(1 = e^{1 - 4k}\), woraus \(1 - 4k = 0\) und somit \(k = 0{,}25\) folgt. Da die Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, enthält genau ein Graph den Punkt. 2. Für \(k = 0\) gilt \(f_0(x) = x \cdot e^{1 - 0} = e \cdot x\). Die Steigung der Geraden ist somit \(m = e\). 3. Aus \(f_k(0) = 0\) folgt, dass alle Graphen durch den Ursprung verlaufen. Die Äquivalenz \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x) \iff x = 0\) besagt, dass der Ursprung der einzige gemeinsame Punkt aller Graphen der Schar ist. 4. Streckung in \(x\)- und \(y\)-Richtung um \(c\): \(y = c \cdot f_k\left(\frac{x}{c}\right) = c \cdot \frac{x}{c} \cdot e^{1 - k \left(\frac{x}{c}\right)^2} = x \cdot e^{1 - \frac{k}{c^2} x^2}\). Mit \(k^* = \frac{k}{c^2}\) ist dies die Funktionsgleichung von \(f_{k^*}\), was wiederum ein Element der Schar ist. 5. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = e^{1 - kx^2} + x \cdot e^{1 - kx^2} \cdot (-2kx) = (1 - 2kx^2) \cdot e^{1 - kx^2}\). Nullstellen der Ableitung bei \(1 - 2kx^2 = 0\), also \(kx^2 = \frac{1}{2}\). Einsetzen in \(f_k(x)\): \(y = x \cdot e^{1 - \frac{1}{2}} = x \cdot e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \cdot x\). Somit liegen alle Extrempunkte auf der Geraden \(y = \sqrt{e} \cdot x\).

a) \(k = 0{,}25\) b) Die Steigung ist \(e\). c) Alle Graphen der Schar schneiden sich ausschließlich im Ursprung \((0|0)\). d) Der gestreckte Graph entspricht der Funktion \(f_{k^*}\) mit \(k^* = \frac{k}{c^2}\). e) Aus \(f_k'(x) = 0\) folgt \(kx^2 = 0{,}5\). Einsetzen in \(f_k(x)\) ergibt \(y = \sqrt{e} \cdot x\).

- Überprüfe, ob der Funktionswert an der Stelle 0 für jeden Parameter den gleichen Wert ergibt. - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Nutze die Produktregel für die Ableitung. Der Hochpunkt liegt dort, wo die Ableitung null ist und ein Vorzeichenwechsel von plus nach minus vorliegt. - Um die Kurve zu finden, auf der alle Hochpunkte liegen, stelle die x-Koordinate nach dem Parameter um und setze diesen Ausdruck in die y-Koordinate ein.

1. Prüfung des Ursprungs: \(h_a(0) = a \cdot 0^2 \cdot e^0 = 0\). Da dies unabhängig von \(a\) gilt, ist \((0|0)\) ein gemeinsamer Punkt. 2. Grenzwertbetrachtung: Da die Exponentialfunktion \(e^{ax}\) für \(x \to \infty\) stärker wächst als jede Potenzfunktion \(x^2\), gilt \(\lim_{x \to \infty} a x^2 e^{-ax} = 0\). 3. Erste Ableitung: \(h_a'(x) = a \cdot [2x \cdot e^{-ax} + x^2 \cdot e^{-ax} \cdot (-a)] = a \cdot x \cdot (2 - ax) \cdot e^{-ax}\). 4. Hochpunkt bestimmen: \(h_a'(x) = 0\) liefert \(x = 0\) (Minimum) oder \(x = \frac{2}{a}\). Die \(y\)-Koordinate ist \(h_a\left(\frac{2}{a}\right) = a \cdot \left(\frac{2}{a}\right)^2 \cdot e^{-a \cdot \frac{2}{a}} = a \cdot \frac{4}{a^2} \cdot e^{-2} = \frac{4}{a} e^{-2}\). Der Hochpunkt ist \(H\left(\frac{2}{a} | \frac{4}{ae^2}\right)\). 5. Ortskurve: Aus \(x = \frac{2}{a}\) folgt \(a = \frac{2}{x}\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate: \(y = \frac{4}{(2/x) \cdot e^2} = \frac{4x}{2e^2} = \frac{2}{e^2} x\). Die Gerade hat die Gleichung \(y = \frac{2}{e^2} \cdot x\).

a) \(h_a(0) = 0\) für alle \(a > 0\). b) \(\lim_{x \to \infty} h_a(x) = 0\). c) \(H\left(\frac{2}{a} \mid \frac{4}{ae^2}\right)\). d) \(y = \frac{2}{e^2} \cdot x\).

- Wann ist ein Bruch gleich Null? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß wird oder gegen die Definitionslücke geht? - Wie lautet die Quotientenregel für Ableitungen? - Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme für zwei verschiedene Parameter gleichsetzen. - Kannst du den Integranden in zwei einfachere Brüche aufteilen, bevor du die Stammfunktion bildest? - Nutze Logarithmengesetze wie \(\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)\), um den Term des bestimmten Integrals zu vereinfachen.

1. Definitionsmenge: Da der Nenner nicht Null sein darf, ist \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Nullstelle: \(k - 2x = 0 \implies x = \frac{k}{2}\). 3. Asymptoten: Senkrechte Asymptote bei \(x = 0\) (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel). Waagerechte Asymptote: Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f_k(x) = 0\) ist die Gerade \(y = 0\) (x-Achse) waagerechte Asymptote. 4. Extremstellen: \(f_k'(x) = \frac{-2 \cdot x^2 - (k-2x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-2x^2 - 2kx + 4x^2}{x^4} = \frac{2x^2 - 2kx}{x^4} = \frac{2x - 2k}{x^3}\). 5. Notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(2x - 2k = 0 \implies x = k\). 6. Art des Extremums: \(f_k''(x) = \frac{2 \cdot x^3 - (2x-2k) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{2x - 6x + 6k}{x^4} = \frac{6k - 4x}{x^4}\). 7. Einsetzen: \(f_k''(k) = \frac{6k - 4k}{k^4} = \frac{2k}{k^4} = \frac{2}{k^3}\). Für \(k > 0\) ist \(f_k''(k) > 0\) (Tiefpunkt bei \((k | -\frac{1}{k})\)), für \(k < 0\) ist \(f_k''(k) < 0\) (Hochpunkt bei \((k | -\frac{1}{k})\)). 8. Schnittpunkte: \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x) \iff \frac{k_1 - 2x}{x^2} = \frac{k_2 - 2x}{x^2} \iff k_1 - 2x = k_2 - 2x \iff k_1 = k_2\). Für \(k_1 \neq k_2\) gibt es keine Lösung, die Graphen verlaufen also kreuzungsfrei. 9. Integral: Eine Stammfunktion ist \(F_k(x) = \int (\frac{k}{x^2} - \frac{2}{x}) \,\text{d}x = -\frac{k}{x} - 2\ln|x|\). 10. Berechnung: \(\int_{k/2}^{k} f_k(x) \,\text{d}x = [-\frac{k}{x} - 2\ln(x)]_{k/2}^{k} = (-1 - 2\ln(k)) - (-2 - 2\ln(\frac{k}{2})) = 1 - 2\ln(k) + 2(\ln(k) - \ln(2)) = 1 - 2\ln(2)\). Dieser Wert ist konstant und somit unabhängig von \(k\).

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); Nullstelle \(x = \frac{k}{2}\); senkrechte Asymptote \(x = 0\), waagerechte Asymptote \(y = 0\). b) Extrempunkt bei \(x = k\). Für \(k > 0\) ist es ein Tiefpunkt \(T(k | -\frac{1}{k})\), für \(k < 0\) ein Hochpunkt \(H(k | -\frac{1}{k})\). c) Keine Schnittpunkte für \(k_1 \neq k_2\); die Graphen liegen „nebeneinander“ bzw. „übereinander“. d) Das Integral ergibt stets \(1 - 2\ln(2) \approx -0{,}386\).

- Wie gehst du vor, um den Schnittpunkt zweier Funktionen einer Schar zu finden? - Überlege dir, wie sich die Differenz zweier aufeinanderfolgender Scharfunktionen vereinfachen lässt. - Erinnere dich daran, dass die Fläche zwischen zwei Graphen durch das Integral des Betrags der Differenzfunktion berechnet wird. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „unabhängig von einem Parameter“ sein soll?

1. Bestimmung des Schnittpunkts der Graphen \(G_k\) und \(G_{k-1}\): \(f_k(x) = f_{k-1}(x) \iff x^4 + k(x^3 - 8) = x^4 + (k-1)(x^3 - 8)\) Dies führt auf \(k(x^3 - 8) = (k-1)(x^3 - 8)\), woraus \(x^3 - 8 = 0\) und somit der gemeinsame Schnittpunkt \(S(2|16)\) folgt. 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\) im Intervall \([0; 2]\): Die Differenzfunktion lautet \(d(x) = f_k(x) - f_{k-1}(x) = x^3 - 8\). Da \(x^3 - 8 \leq 0\) für \(x \in [0; 2]\), gilt: \(A = \int_{0}^{2} |x^3 - 8| \,\text{d}x = \int_{0}^{2} (8 - x^3) \,\text{d}x\). 3. Berechnung des Integrals: \(A = [8x - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{2} = (8 \cdot 2 - \frac{1}{4} \cdot 2^4) - 0 = 16 - 4 = 12\). Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Flächeneinheiten und ist offensichtlich unabhängig von \(k\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir, für welche Werte von \(a\) die Gleichung für die Nullstellen der ersten Ableitung überhaupt eine Lösung hat. - Erinnere dich daran, dass bei der Bestimmung einer Ortskurve der Parameter \(a\) aus der Gleichung eliminiert werden muss. - Eine Tangente, die durch den Ursprung geht, hat die Form \(y = m \cdot x\). Welche Bedingung muss also für die Steigung im Berührpunkt gelten? - Setze die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\) auf und fordere, dass der Ursprung auf der Tangente liegt.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = 3 - a e^x\) und \(f_a''(x) = -a e^x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(3 - a e^x = 0 \implies e^x = \frac{3}{a}\). Eine Lösung existiert nur für \(a > 0\) bei \(x_E = \ln\left(\frac{3}{a}\right)\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: Für \(a > 0\) ist \(f_a''(x_E) = -a \cdot \frac{3}{a} = -3 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right)\right) = 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - a \cdot \frac{3}{a} = 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\). Der Hochpunkt ist \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\right)\). Für \(a < 0\) gibt es keine Extrema. 5. Ortslinie bestimmen: Mit \(x = \ln\left(\frac{3}{a}\right)\) folgt durch Einsetzen in die \(y\)-Koordinate direkt \(y = 3x - 3\). 6. Tangente vom Ursprung: Ansatz \(\frac{f_a(x_0)}{x_0} = f_a'(x_0)\). Dies führt auf \(\frac{3x_0 - a e^{x_0}}{x_0} = 3 - a e^{x_0} \implies 3 - \frac{a e^{x_0}}{x_0} = 3 - a e^{x_0}\). 7. Gleichung lösen: \(\frac{a e^{x_0}}{x_0} = a e^{x_0} \implies \frac{1}{x_0} = 1 \implies x_0 = 1\). Da \(a \neq 0\) und \(e^{x_0} \neq 0\), ist dies die einzige Lösung. 8. Berührpunkt: \(y_0 = f_a(1) = 3 - ae\). Der Berührpunkt ist \(P_a(1 \mid 3 - ae)\).

a) Für \(a > 0\) existiert ein Hochpunkt \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\right)\). Für \(a < 0\) gibt es keine Extrempunkte. b) Die Gerade hat die Gleichung \(y = 3x - 3\). c) Der Berührpunkt der Tangente ist \(P_a(1 \mid 3 - ae)\).

- Wie findet man den Schnittwinkel eines Graphen mit der \(x\)-Achse? Denke an den Zusammenhang zwischen der Steigung und dem Tangens des Winkels. - Überlege dir, welche Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel) du für die Untersuchung der Funktion benötigst. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Extrempunkts nach dem Parameter auflösen und in die Gleichung der \(y\)-Koordinate einsetzen. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird.

1. Nullstelle: \(f_k(x) = 0 \Rightarrow x-k = 0 \Rightarrow x_N = k\). 2. Erste Ableitung: \(f_k'(x) = 1 \cdot e^{1-\frac{x}{k}} + (x-k) \cdot \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = e^{1-\frac{x}{k}} \left(1 - \frac{x}{k} + 1\right) = \left(2 - \frac{x}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}}\). 3. Steigung an der Nullstelle: \(f_k'(k) = \left(2 - \frac{k}{k}\right) e^{1-1} = 1 \cdot e^0 = 1\). Da die Steigung \(m = 1\) unabhängig von \(k\) ist, ist der Schnittwinkel \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\). 4. Extrempunkt bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{x}{k} = 0 \Rightarrow x_E = 2k\). 5. Art des Extrempunkts: \(f_k''(x) = -\frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} + \left(2 - \frac{x}{k}\right) \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = \frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} \left(\frac{x}{k} - 3\right)\). Einsetzen ergibt \(f_k''(2k) = \frac{1}{k} e^{-1} (2-3) = -\frac{1}{ke} < 0\). Es handelt sich um ein Maximum. 6. Koordinaten: \(y_E = f_k(2k) = (2k-k) e^{1-2} = k \cdot e^{-1} = \frac{k}{e}\). Somit \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). 7. Ortskurve: Aus \(x = 2k\) folgt \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = \frac{k}{e}\) ergibt \(y = \frac{x}{2e}\). Dies ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(\frac{1}{2e}\).

a) Nullstelle bei \(x_N = k\). Da \(f_k'(k) = 1\) für alle \(k\), ist der Schnittwinkel stets \(\alpha = 45^\circ\). b) Hochpunkt bei \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). c) Die Extrempunkte liegen auf der Geraden \(y = \frac{1}{2e}x\).

- Überlege dir, welchen Einfluss das Vorzeichen von \(a\) auf den Nenner hat. - Erinnere dich an die Quotientenregel für die Ableitung. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten der Extrempunkte zusammen, wenn man den Parameter \(a\) eliminiert? - Vergleiche die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner für das Grenzverhalten. - Nutze für die Integration eine passende Regel für Brüche, deren Zähler (bis auf einen Faktor) die Ableitung des Nenners ist.

1. Da \(a > 0\) ist \(x^2 + a > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), woraus \(D_a = \mathbb{R}\) folgt. Die einzige Nullstelle liegt bei \(x = 0\). Wegen \(f_a(-x) = \frac{a^2 (-x)}{(-x)^2 + a} = -f_a(x)\) ist der Graph \(G_a\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Die erste Ableitung lautet \(f_a'(x) = a^2 \cdot \frac{1 \cdot (x^2 + a) - x \cdot 2x}{(x^2 + a)^2} = \frac{a^2 (a - x^2)}{(x^2 + a)^2}\). Waagrechte Tangenten liegen bei \(x^2 = a\), also \(x = \pm \sqrt{a}\). Aus dem Vorzeichenwechsel von \(f_a'\) oder der zweiten Ableitung folgen der Hochpunkt \(H(\sqrt{a} \mid 0{,}5 a\sqrt{a})\) und der Tiefpunkt \(T(-\sqrt{a} \mid -0{,}5 a\sqrt{a})\). Mit \(x = \sqrt{a}\) folgt \(a = x^2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot x = 0{,}5 x^3\). 3. Da der Grad des Nenners (2) größer ist als der Grad des Zählers (1), gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 4. Eine Stammfunktion ist \(F_a(x) = \frac{a^2}{2} \ln(x^2 + a)\). Das Integral berechnet sich zu \(\int_0^{\sqrt{a}} f_a(x) \,\text{d}x = \left[ \frac{a^2}{2} \ln(x^2 + a) \right]_0^{\sqrt{a}} = \frac{a^2}{2} (\ln(2a) - \ln(a)) = \frac{a^2}{2} \ln\left(\frac{2a}{a}\right) = \frac{a^2}{2} \ln(2)\).

a) \(D_a = \mathbb{R}\); Nullstelle \(x = 0\); punktsymmetrisch zum Ursprung. b) \(H(\sqrt{a} \mid 0{,}5 a\sqrt{a})\), \(T(-\sqrt{a} \mid -0{,}5 a\sqrt{a})\); Ortskurve \(h(x)=0{,}5x^3\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\). d) \(\frac{a^2}{2} \ln(2)\)

- Überlege dir, wie man Extrem- und Wendepunkte mithilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnet. - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Verhalten im Unendlichen, wenn ein linearer Term und eine Exponentialfunktion multipliziert werden? - Um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion ist, kannst du diese einfach ableiten. - Erinnere dich an die Definition uneigentlicher Integrale, wenn eine Grenze im Unendlichen liegt.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = k(1-kx)e^{-kx}\) und \(f_k''(x) = k^2(kx-2)e^{-kx}\). 2. Hochpunkt: \(f_k'(x) = 0 \implies x = \frac{1}{k}\). Mit \(f_k(\frac{1}{k}) = \frac{1}{e}\) ergibt sich \(H_k\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{e}\right)\). 3. Wendepunkt: \(f_k''(x) = 0 \implies x = \frac{2}{k}\). Mit \(f_k(\frac{2}{k}) = \frac{2}{e^2}\) ergibt sich \(W_k\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{e^2}\right)\). 4. Grenzverhalten: Da die Exponentialfunktion stärker wächst als jede Potenzfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(k \cdot x \to -\infty\) und \(e^{-kx} \to \infty\), also \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). 5. Stammfunktion: \(F_k'(x) = -1 \cdot e^{-kx} - (x + \frac{1}{k}) \cdot (-k) \cdot e^{-kx} = -e^{-kx} + (kx + 1) e^{-kx} = kx e^{-kx} = f_k(x)\). 6. Flächeninhalt: Da \(f_k(x) \geq 0\) für \(x \geq 0\), ist \(A = \int_0^\infty f_k(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} [F_k(x)]_0^b = \lim_{b \to \infty} F_k(b) - F_k(0) = 0 - (-\frac{1}{k}) = \frac{1}{k}\).

a) \(H_k\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{e}\right)\), \(W_k\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{e^2}\right)\) b) \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\), \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\) c) Nachweis durch Ableiten: \(F_k'(x) = f_k(x)\) d) \(A = \frac{1}{k}\)

- Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer Normalparabel? - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(k\) zusammen, wenn der Scheitelpunkt auf einer bestimmten Kurve liegen muss? - Welche Eigenschaft muss der Scheitelpunkt einer Parabel haben, damit sie die \(x\)-Achse genau einmal berührt?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) einer Normalparabel in der Schar hat die Koordinaten \((k \mid g(k))\). Da er auf dem Graphen von \(g(x) = x^2 - 6\) liegt, gilt \(S(k \mid k^2 - 6)\). 2. Die Scheitelpunktform einer Normalparabel lautet allgemein \(f(x) = (x - x_S)^2 + y_S\). Durch Einsetzen der Koordinaten ergibt sich die Schargleichung \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\). 3. Eine Parabel besitzt genau dann eine einzige Nullstelle, wenn ihr Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, also wenn die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts null ist. 4. Die Bedingung \(k^2 - 6 = 0\) führt zu \(k^2 = 6\). 5. Die Lösungen für den Parameter sind somit \(k_1 = \sqrt{6}\) und \(k_2 = -\sqrt{6}\).

a) \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\) b) \(k = \sqrt{6}\) oder \(k = -\sqrt{6}\)

- Überlege dir, wie sich die Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte verhält. - Unterscheide Fälle für den Parameter, insbesondere ob die Funktion Extrema besitzt. - Wie beeinflusst die Lage des Extrempunktes (oberhalb, unterhalb oder auf der \(x\)-Achse) die Anzahl der Nullstellen? - Betrachte die Monotonie der Funktion in den verschiedenen Bereichen.

1. Ableitung bestimmen: \(f_a'(x) = a \cdot e^x - 1\). 2. Fallunterscheidung für \(a \le 0\): Für \(a < 0\) ist \(f_a'(x) < 0\), die Funktion also streng monoton fallend. Mit den Grenzwerten \(\lim_{x \to -\infty} f_a(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f_a(x) = -\infty\) folgt genau eine Nullstelle. Für \(a = 0\) ist \(f_0(x) = -x\) mit der einzigen Nullstelle \(x = 0\). 3. Fallunterscheidung für \(a > 0\): Das Minimum liegt bei \(f_a'(x) = 0 \implies x = \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)\). Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(-\ln(a)) = a \cdot e^{-\ln(a)} - (-\ln(a)) = a \cdot \frac{1}{a} + \ln(a) = 1 + \ln(a)\). Da \(\lim_{x \to \pm \infty} f_a(x) = \infty\), hängt die Anzahl der Nullstellen vom Vorzeichen des Minimums ab. 4. Analyse des Minimums: Das Minimum ist Null für \(1 + \ln(a) = 0 \iff a = e^{-1} = \frac{1}{e}\). Es ist negativ für \(a < \frac{1}{e}\) und positiv für \(a > \frac{1}{e}\). 5. Zusammenfassung: Für \(a > \frac{1}{e}\) gibt es keine Nullstellen. Für \(a = \frac{1}{e}\) sowie für \(a \le 0\) gibt es genau eine Nullstelle. Für \(0 < a < \frac{1}{e}\) gibt es genau zwei Nullstellen.

- Keine Nullstellen für \(a > \frac{1}{e}\) - Genau eine Nullstelle für \(a = \frac{1}{e}\) oder \(a \le 0\) - Genau zwei Nullstellen für \(0 < a < \frac{1}{e}\)

- Wie lässt sich eine quadratische Funktion direkt aus ihren Nullstellen konstruieren? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Welche Information liefert die erste Ableitung über den Graphen einer Funktion? - Wie hängen die verschiedenen Darstellungsformen (Nullstellenform, Scheitelpunktform, allgemeine Form) zusammen?

1. Ansatz der Nullstellenform: \(f_a(x) = c \cdot (x - 1) \cdot (x - a)\). Da der Scheitelpunkt symmetrisch zwischen den Nullstellen liegt, gilt \(x_s = \frac{a+1}{2}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt die Bedingung für die \(y\)-Koordinate: \(f_a(\frac{a+1}{2}) = c \cdot (\frac{a+1}{2} - 1) \cdot (\frac{a+1}{2} - a) = c \cdot (\frac{a-1}{2}) \cdot (\frac{1-a}{2}) = -c \cdot \frac{(a-1)^2}{4}\). Gleichsetzen mit \((a-1)^2\) führt auf \(-c \cdot \frac{(a-1)^2}{4} = (a-1)^2\). Da \(a > 1\), kann durch \((a-1)^2\) dividiert werden, woraus \(c = -4\) folgt. 2. Mit dem Scheitelpunkt \(S(\frac{a+1}{2} | (a-1)^2)\) lautet die Scheitelpunktform: \(f_a(x) = -4 \cdot (x - \frac{a+1}{2})^2 + (a-1)^2\). Ausmultiplizieren ergibt: \(f_a(x) = -4 \cdot (x^2 - (a+1)x + \frac{(a+1)^2}{4}) + (a-1)^2 = -4x^2 + (4a+4)x - (a^2+2a+1) + (a^2-2a+1) = -4x^2 + (4a+4)x - 4a\). 3. Die Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = -8x + 4a + 4\). Die Steigung an der Stelle \(x=1\) ist \(f_a'(1) = -8 \cdot 1 + 4a + 4 = 4a - 4\).

1. \(f_a(x) = -4(x-1)(x-a)\) 2. Scheitelpunktform: \(f_a(x) = -4(x - \frac{a+1}{2})^2 + (a-1)^2\); allgemeine Form: \(f_a(x) = -4x^2 + (4a+4)x - 4a\) 3. \(m = 4a - 4\)

- Welche Auswirkung hat die Punktsymmetrie zum Ursprung auf die Exponenten der Variable \(x\) im Funktionsterm? - Wie viele Unbekannte hat der allgemeine Ansatz unter Berücksichtigung der Symmetrie? - Welche Gleichungen lassen sich aus den gegebenen Nullstellen aufstellen? - Da nach „allen“ Funktionen gefragt ist, wird am Ende ein Parameter im Funktionsterm verbleiben.

1. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung enthält der Funktionsterm nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^5 + bx^3 + cx\). 2. Da die Funktion vom Grad 5 ist, muss \(a \neq 0\) gelten. 3. Aus den Nullstellen bei \(x = 1\) und \(x = 2\) ergeben sich die Bedingungen \(f(1) = 0\) und \(f(2) = 0\). 4. Einsetzen von \(x = 1\): \(a + b + c = 0 \implies c = -a - b\). 5. Einsetzen von \(x = 2\): \(32a + 8b + 2c = 0\). Division durch 2 ergibt \(16a + 4b + c = 0\). 6. Substitution von \(c\): \(16a + 4b + (-a - b) = 0 \implies 15a + 3b = 0\). 7. Auflösen nach \(b\): \(3b = -15a \implies b = -5a\). 8. Bestimmen von \(c\): \(c = -a - (-5a) = 4a\). 9. Die Funktionsschar lautet somit \(f_a(x) = ax^5 - 5ax^3 + 4ax\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(f_a(x) = ax^5 - 5ax^3 + 4ax = a(x^5 - 5x^3 + 4x)\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Welche Form hat eine ganzrationale Funktion vierten Grades, die achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Extrempunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt? Welche zwei Bedingungen müssen an dieser Stelle erfüllt sein? - Wie kannst du die Koeffizienten in Abhängigkeit von einem Parameter (z. B. \(a\)) ausdrücken?

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse enthält der Funktionsterm nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Da die Funktion vom Grad 4 ist, muss \(a \neq 0\) gelten. 3. Ein lokaler Extrempunkt auf der \(x\)-Achse bei \(x = 2\) bedeutet \(f(2) = 0\) (Punkt auf der Achse) und \(f'(2) = 0\) (waagerechte Tangente). 4. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\). 5. Bedingung \(f'(2) = 0\): \(4a \cdot 2^3 + 2b \cdot 2 = 32a + 4b = 0 \implies 4b = -32a \implies b = -8a\). 6. Bedingung \(f(2) = 0\): \(a \cdot 2^4 + b \cdot 2^2 + c = 16a + 4b + c = 0\). 7. Einsetzen von \(b = -8a\): \(16a + 4(-8a) + c = 0 \implies 16a - 32a + c = 0 \implies c = 16a\). 8. Die Funktionsschar lautet \(f_a(x) = ax^4 - 8ax^2 + 16a\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(f_a(x) = ax^4 - 8ax^2 + 16a = a(x^2 - 4)^2\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Welche Informationen kannst du aus der Tatsache ableiten, dass ein Wendepunkt im Ursprung liegt? - Eine Tangente berührt den Graphen. Was bedeutet das für den Funktionswert und die Steigung an der Berührstelle? - Nutze die Symmetrieeigenschaften, die aus der Lage des Wendepunkts folgen, um die Anzahl der Unbekannten im Ansatz zu reduzieren. - Stelle ein lineares Gleichungssystem für die verbleibenden Koeffizienten auf.

1. Ansatz für eine Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Da der Wendepunkt im Ursprung liegt, gilt \(f(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgen direkt \(d = 0\) und \(b = 0\). Der reduzierte Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Tangente an der Stelle \(x = 2\) hat die Gleichung \(y = -3x + 10\). Daraus ergeben sich zwei Bedingungen: Der Funktionswert an der Stelle 2 muss mit dem Wert der Tangente übereinstimmen, also \(f(2) = -3 \cdot 2 + 10 = 4\). Zudem entspricht die Ableitung an dieser Stelle der Steigung der Tangente, also \(f'(2) = -3\). 4. Aufstellen des Gleichungssystems: \(f(2) = a \cdot 2^3 + c \cdot 2 = 8a + 2c = 4\) \(f'(x) = 3ax^2 + c \implies f'(2) = 3a \cdot 2^2 + c = 12a + c = -3\) 5. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(c = -3 - 12a\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(8a + 2(-3 - 12a) = 4 \implies 8a - 6 - 24a = 4 \implies -16a = 10 \implies a = -0{,}625\). 6. Berechnung von \(c\): \(c = -3 - 12 \cdot (-0{,}625) = -3 + 7{,}5 = 4{,}5\). 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -0{,}625x^3 + 4{,}5x\).

\(f(x) = -0{,}625x^3 + 4{,}5x\)

- Überlege dir, welche Bedingung für einen Berührpunkt mit der x-Achse erfüllt sein muss. - Wie bestimmt man die Anzahl der Extremstellen einer Funktion? - Untersuche die Symmetriebedingung \(f(x) = f(-x)\) für den gegebenen Funktionsterm. - Berechne den Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(x = 0\) in Abhängigkeit von \(k\).

1. Nullstellen liegen vor, wenn \(k - e^x = 0\), also \(x = \ln(k)\). Da \(k > 0\) vorausgesetzt ist, existiert dieser Wert stets. Da der Funktionsterm ein Quadrat ist, gilt \(f_k(x) \geq 0\). Somit ist jede Nullstelle ein lokales Minimum und damit ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. Die Aussage gilt für alle \(k\). 2. Die Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2(k - e^x) \cdot (-e^x) = -2ke^x + 2e^{2x}\). Die Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(e^x = k\), woraus \(x = \ln(k)\) folgt. Da \(f_k''(\ln(k)) = 2k^2 > 0\), liegt dort immer ein lokales Minimum vor. Weitere Extremstellen existieren nicht. Die Aussage gilt für alle \(k\). 3. Achsensymmetrie erfordert \(f_k(-x) = f_k(x)\) für alle \(x\). Dies entspräche \((k - e^{-x})^2 = (k - e^x)^2\), was auf \(|k - e^{-x}| = |k - e^x|\) führt. Dies müsste für alle \(x\) gelten, was für kein \(k > 0\) erfüllt ist (z. B. durch Einsetzen von \(x=1\)). Die Aussage gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Die Steigung an der Stelle \(x=0\) ist \(f_k'(0) = 2(k - e^0) \cdot (-e^0) = -2(k - 1) = 2 - 2k\). Diese ist positiv, wenn \(2 - 2k > 0\), also \(k < 1\). Da \(k\) auch größer oder gleich 1 sein kann, hängt die Gültigkeit vom Wert des Parameters ab.

1. Gilt für alle Werte von \(k\). 2. Gilt für alle Werte von \(k\). 3. Gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Hängt vom Wert des Parameters \(k\) ab (positiv für \(k < 1\)).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Was passiert mit der Anzahl der Extremstellen, wenn der Parameter null ist? - Erinnere dich daran, dass ein Punkt genau dann auf der \(x\)-Achse liegt, wenn seine \(y\)-Koordinate einen bestimmten Wert hat. - Überprüfe bei der Bestimmung der Art der Extrempunkte, wie das Vorzeichen des Parameters die zweite Ableitung beeinflusst.

1. Die notwendige Bedingung für Extrema ist \(f_k'(x) = x^2 - k^2 = 0\). Für \(k = 0\) ist \(f_0'(x) = x^2\); da \(f_0'(0) = 0\) ohne Vorzeichenwechsel gilt (bzw. \(f_0''(0) = 0\) und \(f_0'''(0) \neq 0\)), liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt vor. Für \(k \neq 0\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 2x\) liefert \(f_k''(k) = 2k\) und \(f_k''(-k) = -2k\). Ist \(k > 0\), so liegt bei \(x_1 = k\) ein Tiefpunkt \(T(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und bei \(x_2 = -k\) ein Hochpunkt \(H(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) vor. Ist \(k < 0\), so liegt bei \(x_1 = k\) ein Hochpunkt \(H(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und bei \(x_2 = -k\) ein Tiefpunkt \(T(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) vor. 2. Ein Extrempunkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn sein \(y\)-Wert null ist. Fall 1: \(-\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3} = 0 \implies k^3 = 1 \implies k = 1\). Fall 2: \(\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3} = 0 \implies k^3 = -1 \implies k = -1\). Für \(k = 1\) liegt der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse, für \(k = -1\) ebenfalls der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\).

1. Für \(k = 0\) gibt es keine Extrempunkte. Für \(k \neq 0\) sind die Extrempunkte \(P_1(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und \(P_2(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\). 2. Für \(k = 1\) und \(k = -1\) liegt der Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse.

- Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Punkt für alle Parameterwerte \(k\) gleich bleibt. - Wie hängen die gemeinsamen Punkte einer Schar mit den Nullstellen des variablen Teils des Funktionsterms zusammen? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen. - Wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen berechnest, hilft es, die Differenzfunktion zu bilden. Was fällt dir hier bei dem Parameter \(k\) auf?

1. Schnittpunkte mit den Achsen: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist für alle \(k\) durch \(f_k(0) = 0\) gegeben, also \(S_y(0|0)\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x^4 - 4x^3 = 0 \Leftrightarrow x^3(x-4) = 0\), woraus \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) folgen. Die Achsenschnittpunkte sind somit für alle \(k\) identisch: \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|0)\). 2. Weitere gemeinsame Punkte: Der Ansatz \(f_k(x) = f_m(x)\) für \(k \neq m\) führt auf \((k-m)(x^4 - 4x^3) = 0\). Dies ist nur für \(x=0\) oder \(x=4\) erfüllt. Somit sind die Achsenschnittpunkte die einzigen gemeinsamen Punkte. 3. Extrempunkte: Die Ableitung \(f_k'(x) = k(4x^3 - 12x^2) = 4kx^2(x-3)\) hat Nullstellen bei \(x=0\) (doppelt, kein Vorzeichenwechsel, Sattelpunkt) und \(x=3\) (einfach, Vorzeichenwechsel). Der Funktionswert an der Stelle \(x=3\) ist \(f_k(3) = k(81 - 108) = -27k\). Mit \(f_k''(3) = 12k \cdot 3 \cdot (3-2) = 36k\) ergibt sich: Für \(k > 0\) liegt ein lokales Minimum bei \((3|-27k)\) vor, für \(k < 0\) ein lokales Maximum bei \((3|-27k)\). 4. Ortskurve: Da alle Extrempunkte die \(x\)-Koordinate \(3\) besitzen, liegen sie auf der vertikalen Geraden mit der Gleichung \(x = 3\). 5. Flächeninhalt: Die Differenzfunktion \(d(x) = f_{k+1}(x) - f_k(x)\) vereinfacht sich zu \(d(x) = (k+1-k)(x^4 - 4x^3) = x^4 - 4x^3\). Die Schnittpunkte liegen bei \(x=0\) und \(x=4\). Der Flächeninhalt ist \(A = \int_{0}^{4} |x^4 - 4x^3| \,\text{d}x = \left| \int_{0}^{4} (x^4 - 4x^3) \,\text{d}x \right| = \left| [\frac{1}{5}x^5 - x^4]_0^4 \right| = \left| \frac{1024}{5} - 256 \right| = |204{,}8 - 256| = 51{,}2\).

a) Achsenschnittpunkte: \((0|0)\) und \((4|0)\). Einzige gemeinsame Punkte, da \(x^4 - 4x^3 = 0\) nur diese Lösungen hat. b) Extrempunkt bei \((3|-27k)\). Für \(k > 0\) ist es ein Minimum, für \(k < 0\) ein Maximum. c) Die Gerade hat die Gleichung \(x = 3\). d) Der Flächeninhalt beträgt \(51{,}2\) Flächeneinheiten.

- Welcher Teil des Funktionsterms dominiert das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit der Krümmung und den Wendepunkten zusammen? - Welche Bedingung muss für die \(x\)-Koordinate gelten, damit ein Punkt auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt berechnet.

1. Das Grenzverhalten wird durch das Glied mit der höchsten Potenz, \(\frac{1}{3}kx^3\), bestimmt. Für \(k > 0\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). Für \(k < 0\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = \infty\). 2. Die Ableitungen lauten \(f_k'(x) = kx^2 + 2(k+2)x + 12\) und \(f_k''(x) = 2kx + 2k + 4\). Die notwendige Bedingung \(f_k''(x) = 0\) führt auf \(2kx = -2k - 4\), woraus \(x = \frac{-2k-4}{2k} = -1 - \frac{2}{k}\) folgt. Da \(f_k'''(x) = 2k \neq 0\) für alle \(k \neq 0\), liegt stets ein Wendepunkt vor. 3. Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate null ist: \(-1 - \frac{2}{k} = 0 \iff k = -2\). 4. Für \(k = -2\) ergibt sich \(f_{-2}(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 12x\). Einsetzen von \(x = 0\) liefert \(f_{-2}(0) = 0\), somit ist \(W_{-2}(0|0)\) der Koordinatenursprung. 5. Die Steigung der Wendetangente ist \(f_{-2}'(0)\). Mit \(f_{-2}'(x) = -2x^2 + 12\) folgt \(f_{-2}'(0) = 12\).

a) Für \(k > 0\): \(f_k(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f_k(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). Für \(k < 0\): \(f_k(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f_k(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). b) \(x = -1 - \frac{2}{k}\) c) \(k = -2\); Wendepunkt \(W_{-2}(0|0)\); Steigung der Wendetangente \(m = 12\).

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in einem Funktionsterm vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle an einer bestimmten Position erfüllt sein? - Wie hängen der Funktionswert und die Ableitungen an einer Stelle zusammen? - Nutze die zweite Ableitung, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen.

1. Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades: \(f_k(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Punkt \(O(0|0)\) einsetzen: \(f_k(0) = 0 \implies c = 0\). 3. Extremstelle bei \(x = 1\) mit Funktionswert \(k\): \(f_k(1) = a + b = k\) und \(f_k'(1) = 4a + 2b = 0\). 4. Gleichungssystem lösen: Aus \(4a + 2b = 0\) folgt \(b = -2a\). Einsetzen in \(a + b = k\) ergibt \(a - 2a = k\), also \(a = -k\) und \(b = 2k\). 5. Funktionsterm: \(f_k(x) = -kx^4 + 2kx^2\). 6. Art des Extremums prüfen: \(f_k''(x) = -12kx^2 + 4k\). An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f_k''(1) = -12k + 4k = -8k\). 7. Ergebnis: Für \(k > 0\) ist \(f_k''(1) < 0\) (lokales Maximum), für \(k < 0\) ist \(f_k''(1) > 0\) (lokales Minimum). Da die Funktion vom Grad 4 ist, muss \(k \neq 0\) gelten.

a) \(f_k(x) = -kx^4 + 2kx^2\) b) Für \(k > 0\) liegt ein lokales Maximum vor, für \(k < 0\) ein lokales Minimum.

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse den allgemeinen Ansatz einer Funktion 4. Grades? - Welche drei Informationen stecken in der Angabe eines Wendepunkts inklusive der Steigung seiner Tangente? - Stelle für jede Information eine mathematische Gleichung auf. - Prüfe am Ende, ob alle Bedingungen durch deine berechneten Koeffizienten erfüllt werden.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt nutzen: \(f(0) = 2{,}5 \implies c = 2{,}5\). 3. Bedingungen am Wendepunkt \(W(1|0)\): \(f(1) = 0\) (Punktbedingung), \(f'(1) = -4\) (Steigung der Tangente) und \(f''(1) = 0\) (Krümmung). 4. Gleichungen aufstellen: I: \(a + b + 2{,}5 = 0 \implies a + b = -2{,}5\) II: \(4a + 2b = -4 \implies 2a + b = -2\) III: \(12a + 2b = 0 \implies 6a + b = 0\) 5. System lösen: Aus III folgt \(b = -6a\). Einsetzen in II: \(2a - 6a = -2 \implies -4a = -2 \implies a = 0{,}5\). 6. \(b\) berechnen: \(b = -6 \cdot 0{,}5 = -3\). 7. Konsistenzprüfung mit I: \(0{,}5 - 3 = -2{,}5\) (erfüllt). 8. Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5\)

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts vom Parameter ab? Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken? - Stell dir vor, du hättest einen festen Punkt gegeben. Unter welcher Bedingung findet man einen passenden Parameterwert? - Was muss für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gelten, damit es keine Lösung gibt?

1. Zur Bestimmung der Scheitelpunkte wird die erste Ableitung \(f_a'(x) = 2(x-a)\) gleich null gesetzt, woraus \(x = a\) folgt. 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(a) = (a-a)^2 + 2a = 2a\). Die Scheitelpunkte haben somit die Koordinaten \(S(a|2a)\). 3. Aus \(x = a\) und \(y = 2a\) ergibt sich durch Einsetzen die Gleichung der Ortskurve \(y = 2x\). 4. Ein Punkt \(P(x|y)\) liegt auf einem Graphen der Schar, wenn die Gleichung \(y = (x-a)^2 + 2a\) eine reelle Lösung für \(a\) besitzt. Umgestellt nach \(a\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(a^2 + (2-2x)a + (x^2-y) = 0\). 5. Die Diskriminante dieser Gleichung lautet \(D = (2-2x)^2 - 4(x^2-y) = 4 - 8x + 4x^2 - 4x^2 + 4y = 4(1 - 2x + y)\). 6. Eine Lösung für \(a\) existiert genau dann, wenn \(D \ge 0\), also \(1 - 2x + y \ge 0 \iff y \ge 2x - 1\). 7. Die Menge der Punkte, durch die kein Graph verläuft, ist somit durch die Bedingung \(y < 2x - 1\) definiert.

a) Die Ortskurve der Scheitelpunkte ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 2x\). b) Die Menge aller Punkte \(P(x|y)\) mit \(y < 2x - 1\) liegt auf keinem Graphen der Schar.

- Was musst du über den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion wissen? - Wie hängen die notwendige Bedingung für Extremstellen und der Parameter \(a\) zusammen? - Welches Vorzeichen muss \(a\) haben, damit die Gleichung für die erste Ableitung eine Lösung im Definitionsbereich hat? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, die Art des Extrempunktes allgemein zu bestimmen?

1. Ableitungen berechnen: \(f_a'(x) = \frac{a}{x} - 1\) und \(f_a''(x) = -\frac{a}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) anwenden: \(\frac{a}{x} - 1 = 0 \iff \frac{a}{x} = 1 \iff x = a\). 3. Existenzprüfung: Da der Logarithmus nur für \(x > 0\) definiert ist, muss die Lösung \(x = a\) im Definitionsbereich liegen, woraus \(a > 0\) folgt. Für \(a \leq 0\) existiert kein Extrempunkt. 4. Art des Extrempunktes bestimmen: Einsetzen der Stelle in die zweite Ableitung ergibt \(f_a''(a) = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}\). Da für die Existenz \(a > 0\) vorausgesetzt wurde, ist \(f_a''(a) < 0\), womit ein lokales Maximum (Hochpunkt) vorliegt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a) = a \cdot \ln(a) - a = a(\ln(a) - 1)\). Die Koordinaten lauten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

Ein Extrempunkt existiert genau dann, wenn \(a > 0\) gilt. Es handelt sich um einen Hochpunkt mit den Koordinaten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

- An welcher Stelle nimmt der Ausdruck im Nenner seinen kleinsten Wert an? - Was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs und damit für die Signalstärke? - Stelle für die beiden bekannten Informationen jeweils eine Gleichung mit den Unbekannten auf. - Wie kannst du eine der Unbekannten eliminieren, indem du die Gleichungen miteinander verrechnest?

1. Bestimmung der maximalen Signalstärke: Da der Nenner \(x^2 + 4\) für \(x = 0\) minimal ist, liegt das Maximum der Funktion bei \(x = 0\). Es gilt \(S(0) = \frac{a}{0 + 4} + b = \frac{a}{4} + b\). 2. Aufstellen der ersten Gleichung mit dem Maximalwert: \(\frac{a}{4} + b = 20\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung für \(x = 4\): \(S(4) = \frac{a}{4^2 + 4} + b = \frac{a}{20} + b = 8\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung ergibt \(\frac{a}{4} - \frac{a}{20} = 12\). Dies führt zu \(\frac{5a}{20} - \frac{a}{20} = 12\), also \(\frac{4a}{20} = 12\) bzw. \(a = 60\). 5. Berechnung von \(b\): Einsetzen von \(a = 60\) in die erste Gleichung ergibt \(\frac{60}{4} + b = 20\), woraus \(15 + b = 20\) und somit \(b = 5\) folgt.

\(a = 60\) und \(b = 5\)

- Für die Schnittpunkte mit der x-Achse reicht es, den polynomialen Teil der Funktion zu betrachten. - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Die Anzahl der Extremstellen hängt von der Anzahl der Lösungen der Gleichung \(f_k'(x) = 0\) ab. - Nutze die Produktregel für die Ableitungen. - Denke an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung, um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen.

1. Schnittpunkte mit den Achsen: Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(f_k(0) = (0^2 + k \cdot 0) \cdot e^0 = 0\), also im Ursprung \(S_y(0|0)\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x^2 + kx = 0\), was zu \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -k\) führt. Die Schnittpunkte sind \(N_1(0|0)\) und \(N_2(-k|0)\). 2. Grenzwerte: Da die Exponentialfunktion \(e^{-x}\) für \(x \to \infty\) schneller gegen Null strebt als jedes Polynom gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\). Für \(x \to -\infty\) strebt \((x^2 + kx) \to \infty\) und \(e^{-x} \to \infty\), sodass \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = \infty\). 3. Extrempunkte: Die erste Ableitung ist \(f_k'(x) = (2x + k) \cdot e^{-x} - (x^2 + kx) \cdot e^{-x} = (-x^2 + (2-k)x + k) \cdot e^{-x}\). Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf die quadratische Gleichung \(-x^2 + (2-k)x + k = 0\). Die Diskriminante ist \(D = (2-k)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot k = 4 - 4k + k^2 + 4k = k^2 + 4\). Da \(k^2 + 4 > 0\) für alle \(k \in \mathbb{R}\), hat die Gleichung stets zwei verschiedene Lösungen, was die Existenz von genau zwei Extremstellen belegt. 4. Wendepunkte für \(k=2\): Die zweite Ableitung ist \(f_k''(x) = (-2x + 2-k) \cdot e^{-x} - (-x^2 + (2-k)x + k) \cdot e^{-x} = (x^2 + (k-4)x + 2-2k) \cdot e^{-x}\). Für \(k=2\) ergibt sich \(f_2''(x) = (x^2 - 2x - 2) \cdot e^{-x}\). Nullsetzen des quadratischen Terms liefert \(x^2 - 2x - 2 = 0\). Mit der p-q-Formel erhält man \(x_{W1,2} = 1 \pm \sqrt{1+2} = 1 \pm \sqrt{3}\).

a) \(S_y(0|0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -k\). b) \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\); \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = \infty\). c) Die Ableitung \(f_k'(x) = (-x^2 + (2-k)x + k) e^{-x}\) hat eine Diskriminante von \(D = k^2 + 4\), welche immer positiv ist. d) Die x-Koordinaten der Wendepunkte sind \(x_{W1} = 1 - \sqrt{3}\) und \(x_{W2} = 1 + \sqrt{3}\).

- Überlege dir, für welchen x-Wert der Funktionsterm unabhängig vom Parameter k immer denselben Wert annimmt. - Nutze die Produkt- und Kettenregel, um die notwendigen Ableitungen der Funktionenschar zu bilden. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die x-Koordinate des Punktes nach dem Parameter k auflösen und diesen Ausdruck in die y-Koordinate einsetzen.

1. Den gemeinsamen Punkt ermitteln: Ansatz \(f_k(x) = f_m(x)\) führt auf \(x \cdot e^{1-kx} = x \cdot e^{1-mx}\). Für \(x \neq 0\) müsste \(1-kx = 1-mx\) gelten, was nur für \(k=m\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist somit \(O(0|0)\). 2. Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = (1-kx) \cdot e^{1-kx}\) und \(f_k''(x) = (k^2x - 2k) \cdot e^{1-kx}\). 3. Extrempunkte bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 1-kx = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{k}\). Wegen \(f_k''(\frac{1}{k}) = -k < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{1}{k}) = \frac{1}{k} \cdot e^0 = \frac{1}{k}\). Somit \(H(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k})\). 4. Wendepunkte bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow k^2x - 2k = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{k}\). Da die zweite Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist, liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{2}{k}) = \frac{2}{k} \cdot e^{-1} = \frac{2}{ke}\). Somit \(W(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke})\). 5. Ortskurve der Hochpunkte: Aus \(x = \frac{1}{k}\) folgt \(k = \frac{1}{x}\). Einsetzen in \(y = \frac{1}{k}\) ergibt \(y = x\).

a) \(O(0|0)\) b) \(H\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k}\right)\) und \(W\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke}\right)\) c) \(y = x\)

- Welchen funktionalen Zusammenhang beschreibt der Ertrag \(E(x)\) im Vergleich zur Reproduktionsfunktion \(f(x)\)? - Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung an einer Stelle gelten, an der eine Funktion ihr Maximum erreicht? - Wie kannst du die Information über die Bestandsgröße im nächsten Jahr in eine Gleichung für \(f(x)\) übersetzen? - Stelle ein Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten \(a\) und \(b\) auf.

1. Aufstellen der Ertragsfunktion: \(E(x) = f(x) - x = a \cdot x^2 + (b - 1) \cdot x\). 2. Bedingung für den Bestandswert nutzen: Da bei \(x = 400\) der Bestand auf \(f(400) = 500\) anwächst, gilt \(a \cdot 400^2 + b \cdot 400 = 500\), was zu \(160\,000a + 400b = 500\) vereinfacht wird. 3. Bedingung für das Maximum nutzen: Der Ertrag ist bei \(x = 400\) maximal, also muss die Ableitung \(E'(400) = 0\) sein. Mit \(E'(x) = 2ax + b - 1\) folgt \(2a \cdot 400 + b - 1 = 0\), also \(800a + b = 1\). 4. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = 1 - 800a\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(160\,000a + 400(1 - 800a) = 500\). 5. Berechnung von \(a\): \(160\,000a + 400 - 320\,000a = 500 \Rightarrow -160\,000a = 100 \Rightarrow a = -0{,}000625\). 6. Berechnung von \(b\): \(b = 1 - 800 \cdot (-0{,}000625) = 1 + 0{,}5 = 1{,}5\).

Die Parameter der Reproduktionsfunktion sind \(a = -0{,}000625\) und \(b = 1{,}5\).

- Wo schneidet der Graph die x-Achse? Diese Stellen begrenzen deine Fläche. - Überlege dir, wie du den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse mithilfe eines Integrals berechnest. - Nach der Integration erhältst du einen Term, der von der Variable \(a\) abhängt. - Setze diesen Term mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich, um die Unbekannte zu bestimmen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): \(x^2(a - x) = 0\) liefert die Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = a\). Da \(a > 0\), liegt das Integrationsintervall bei \([0; a]\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da der Graph im ersten Quadranten verläuft, gilt \(A = \int_{0}^{a} (ax^2 - x^3) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\left[ \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{3} - \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{12}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{a^4}{12} = 6{,}75\). 5. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(a^4 = 81 \implies a = 3\) (da \(a > 0\) vorausgesetzt ist).

\(a = 3\)

- Welche Nullstellen hat die Funktion und in welchem Bereich liegt der Graph unterhalb der x-Achse? - Denke daran, dass ein Flächeninhalt immer positiv ist, auch wenn das Integral negativ sein kann. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Fläche nur noch von \(k\) abhängt. - Welche positive Zahl ergibt hoch vier genommen genau \(16\)?

1. Nullstellenbestimmung von \(g_k(x) = x(x^2 - k^2)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) und \(x_3 = -k\). Für den vierten Quadranten (\(x > 0\), \(y < 0\)) ist das Intervall \([0; k]\) relevant. 2. Ansatz für den Flächeninhalt: Da die Funktion im Intervall \([0; k]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \left| \int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx \right|\). 3. Integration: \(\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{k^2}{2}x^2 \right]_{0}^{k} = \frac{k^4}{4} - \frac{k^4}{2} = -\frac{k^4}{4}\). 4. Bestimmung des Betrags und Gleichsetzen: \(A = \frac{k^4}{4} = 4\). 5. Auflösen nach \(k\): \(k^4 = 16 \implies k = 2\) (da \(k > 0\)).

\(k = 2\)

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - In welchem Bereich liegt die eingeschlossene Fläche? - Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x \cdot (x - k)^2 = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) (doppelte Nullstelle). 2. Da \(k > 0\) und der Faktor \((x - k)^2\) stets nicht-negativ ist, ist \(f_k(x) \geq 0\) für alle \(x \in [0; k]\). 3. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - 2kx^2 + k^2x) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}kx^3 + \frac{1}{2}k^2x^2]_0^k\). 4. Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{2}{3}k^4 + \frac{1}{2}k^4 = \frac{3-8+6}{12}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 5. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75\). 6. Auflösen nach \(k\): \(k^4 = 81\), woraus wegen \(k > 0\) folgt: \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Untersuche die Symmetrie der Funktion, um die Rechnung zu vereinfachen. - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Wie viele Teilflächen entstehen und wie hängen diese zusammen? - Verwende die Integralrechnung, um eine allgemeine Formel für den Flächeninhalt zu finden.

1. Symmetrie untersuchen: Da \(g_a(-x) = -g_a(x)\), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Die beiden Teilflächen sind also inhaltsgleich. 2. Nullstellen berechnen: \(x(a^2 - x^2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = -a\). 3. Integral für eine Teilfläche (z. B. von \(0\) bis \(a\)): \(\int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx = [\frac{1}{2}a^2x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^a = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{4}a^4\). 4. Gesamtfläche bestimmen: \(A = 2 \cdot \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{2}a^4\). 5. Parameter berechnen: \(\frac{1}{2}a^4 = 40{,}5 \Rightarrow a^4 = 81\). 6. Da \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = 3\).

\(a = 3\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen allgemeinen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wie kannst du eine Potenzgleichung der Form \(a^n = c\) lösen?

1. Nullstellen bestimmen: \(f_a(x) = a x^2 (a^2 - x^2) = 0\) liefert die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm a\). 2. Symmetrie und Integral aufstellen: Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und der Lage des Graphen oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-a; a]\) berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^3 x^2 - a x^4) \, dx\). 3. Integration: \(2 \cdot [\frac{1}{3}a^3 x^3 - \frac{1}{5}a x^5]_{0}^{a} = 2 \cdot (\frac{1}{3}a^6 - \frac{1}{5}a^6) = \frac{4}{15}a^6\). 4. Gleichung lösen: Den Term für den Flächeninhalt mit dem Zielwert gleichsetzen: \(\frac{4}{15}a^6 = \frac{256}{15}\). Daraus folgt \(a^6 = 64\). 5. Ergebnis: Da \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = \sqrt[6]{64} = 2\).

\(a = 2\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Bestimme zuerst die Integrationsgrenzen. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der Achse mithilfe eines Integrals berechnet. - Nach der Integration erhältst du einen Ausdruck, der noch vom Parameter abhängt. - Setze diesen Ausdruck mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich, um nach dem Parameter aufzulösen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x^2 - \frac{1}{k}x^3 = 0 \iff x^2(1 - \frac{x}{k}) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt im Intervall \([0; k]\): \(A = \int_{0}^{k} (x^2 - \frac{1}{k}x^3) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals unter Verwendung einer Stammfunktion: \([\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4k}x^4]_0^k = \frac{k^3}{3} - \frac{k^4}{4k} = \frac{k^3}{3} - \frac{k^3}{4} = \frac{k^3}{12}\). 4. Lösen der Gleichung für \(k\): \(\frac{k^3}{12} = 18 \iff k^3 = 216 \iff k = 6\).

\(k = 6\)

- Kannst du die Nullstellen der Funktion für den speziellen Parameterwert finden? - Welche Integrationsmethode eignet sich für ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Denk daran, die Produktregel für die Ableitung der Scharfunktionen anzuwenden. - Wie hängen die Koordinaten des Extrempunkts vom Parameter ab? Versuche, den Parameter zu eliminieren, um eine Beziehung zwischen x und y zu finden.

1. Für \(a = 4\) ist \(f_4(x) = (x^2 - 4x + 4) \cdot e^x = (x-2)^2 \cdot e^x\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\), der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 4\). Die Fläche im 1. Quadranten wird durch das Integral \(\int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \cdot e^x \, dx\) berechnet. Eine Stammfunktion ist \(F(x) = (x^2 - 6x + 10) \cdot e^x\). Das Ergebnis ist \(F(2) - F(0) = 2 \cdot e^2 - 10 \approx 4{,}778\). 2. Die erste Ableitung ist \(f_a'(x) = (2x - a + x^2 - ax + a) \cdot e^x = (x^2 + (2-a)x) \cdot e^x = x(x - (a-2)) \cdot e^x\). Die notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = a-2\). 3. Für \(a = 2\) gibt es eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\), was zu einem Sattelpunkt führt. Für \(a \neq 2\) existieren zwei Extrempunkte: Ein Extrempunkt liegt bei \(E_1(0 \mid a)\). Der zweite Extrempunkt liegt bei \(E_2(a-2 \mid (4-a) \cdot e^{a-2})\). Die Art (Hoch- oder Tiefpunkt) hängt vom Vorzeichen von \(2-a\) ab. 4. Zur Bestimmung der Ortslinie von \(E_2\) setzt man \(x = a-2\). Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = x+2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate \(y = (4 - (x+2)) \cdot e^x = (2-x) \cdot e^x\). Die Gleichung der Ortslinie lautet \(y = (2-x) \cdot e^x\) für \(x \neq 0\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2e^2 - 10 \approx 4{,}778\,\text{FE}\). b) Für \(a \neq 2\) gibt es zwei Extrempunkte: \(E_1(0 \mid a)\) und \(E_2(a-2 \mid (4-a)e^{a-2})\). Für \(a = 2\) liegt ein Sattelpunkt vor. c) Die Ortslinie ist \(y = (2-x) \cdot e^x\) für \(x \neq 0\).

- Wie gehst du vor, wenn du Punkte suchst, die unabhängig vom Parameter einer Funktionenschar sind? - Erinnere dich an die Bedingung für Schnittpunkte zweier Funktionen. - Überlege dir, wie man eine Stammfunktion für ein Produkt aus einem Polynom und einer Exponentialfunktion bildet. - Achte darauf, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der Achse verläuft.

1. Um den gemeinsamen Punkt zu finden, setzt man \(f_a(x) = f_b(x)\) für zwei verschiedene Parameter \(a\) und \(b\). Dies führt zu \((x^2 - ax) e^x = (x^2 - bx) e^x\), woraus durch Division durch \(e^x \neq 0\) und Subtraktion von \(x^2\) die Gleichung \(-ax = -bx\) folgt. Dies ist für \(a \neq b\) nur für \(x = 0\) erfüllt. Mit \(f_a(0) = 0\) ergibt sich der gemeinsame Punkt \(P(0|0)\). 2. Für \(a = 2\) ist \(f_2(x) = (x^2 - 2x) e^x\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Eine Stammfunktion wird mittels zweifacher partieller Integration bestimmt: \(F(x) = (x^2 - 4x + 4) e^x\). Der Flächeninhalt ergibt sich aus dem Betrag des Integrals: \(A = |\int_0^2 f_2(x) \, \text{d}x| = |F(2) - F(0)|\). Einsetzen liefert \(F(2) = (4 - 8 + 4) e^2 = 0\) und \(F(0) = (0 - 0 + 4) e^0 = 4\). Somit ist \(A = |0 - 4| = 4\).

1. Gemeinsamer Punkt: \(P(0|0)\) 2. Flächeninhalt: \(A = 4\)

- Was bedeutet „knickfrei“ mathematisch für den Funktionswert und die Ableitung an den Anschlussstellen? - Überprüfe die Bedingungen für beide Anschlussstellen separat. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Wie findet man die Krümmungsänderung einer Funktion? Welche Ableitungen benötigst du dafür?

1. Knickfreiheit an einer Stelle \(x_0\) bedeutet, dass sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (Ableitungen) übereinstimmen. Für \(x = 0\): \(h_k(0) = 0\) und \(h_k'(x) = 4kx^3 - 12kx^2 + (8k + 1)x\), also \(h_k'(0) = 0\). Dies passt zur Geraden \(y = 0\). Für \(x = 2\): \(h_k(2) = k \cdot 16 - 4k \cdot 8 + (4k + 0{,}5) \cdot 4 = 16k - 32k + 16k + 2 = 2\). Die Gerade \(y = 2x - 2\) hat bei \(x = 2\) ebenfalls den Wert \(2 \cdot 2 - 2 = 2\). Die Ableitung an der Stelle \(2\) ist \(h_k'(2) = 4k \cdot 8 - 12k \cdot 4 + (8k + 1) \cdot 2 = 32k - 48k + 16k + 2 = 2\). Dies entspricht der Steigung der Geraden \(y = 2x - 2\). Somit ist der Übergang überall knickfrei. 2. Es soll \(h_k(1) = 1\) gelten: \(k \cdot 1^4 - 4k \cdot 1^3 + (4k + 0{,}5) \cdot 1^2 = k - 4k + 4k + 0{,}5 = k + 0{,}5\). Aus \(k + 0{,}5 = 1\) folgt \(k = 0{,}5\). 3. Für \(k = 1\) lautet die zweite Ableitung \(h_1''(x) = 12x^2 - 24x + 9\). Die notwendige Bedingung \(h_1''(x) = 0\) führt auf \(12x^2 - 24x + 9 = 0\), was durch \(3\) dividiert \(4x^2 - 8x + 3 = 0\) ergibt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 1{,}5\). Da die dritte Ableitung \(h_1'''(x) = 24x - 24\) an diesen Stellen ungleich null ist (\(h_1'''(0{,}5) = -12\); \(h_1'''(1{,}5) = 12\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\). Beide Stellen liegen im Intervall \([0; 2]\).

a) Nachweis durch \(h_k(0) = 0, h_k'(0) = 0\) und \(h_k(2) = 2, h_k'(2) = 2\). b) \(k = 0{,}5\). c) Wendepunkte: \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\).

- Welche Bedingungen müssen für einen Tiefpunkt erfüllt sein? - Beachte den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. - Wie vereinfacht man Terme wie \(\ln(\sqrt{k})\) mithilfe von Logarithmengesetzen? - Was bedeutet es geometrisch für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = x - \frac{k}{x}\) und \(g_k''(x) = 1 + \frac{k}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(g_k'(x) = 0\): \(x - \frac{k}{x} = 0 \implies x^2 = k\). Da \(x > 0\) und \(k > 0\), ist die einzige Lösung \(x = \sqrt{k}\). 3. Art des Extrempunktes prüfen: Da \(k > 0\) und \(x^2 > 0\), ist \(g_k''(x) = 1 + \frac{k}{x^2} > 0\) für alle \(x\) im Definitionsbereich. Somit ist \(x = \sqrt{k}\) immer die Stelle eines lokalen Minimums. 4. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(g_k(\sqrt{k}) = \frac{1}{2}(\sqrt{k})^2 - k \cdot \ln(\sqrt{k}) = \frac{1}{2}k - k \cdot \frac{1}{2} \ln(k) = \frac{k}{2}(1 - \ln(k))\). Der Tiefpunkt ist \(T(\sqrt{k} \mid \frac{k}{2}(1 - \ln(k)))\). 5. Bedingung für b): Ein Punkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate null ist. \(\frac{k}{2}(1 - \ln(k)) = 0\). 6. Da \(k > 0\), muss \(1 - \ln(k) = 0\) gelten. Dies führt zu \(\ln(k) = 1\), also \(k = e\).

a) Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(T(\sqrt{k} \mid \frac{k}{2}(1 - \ln(k)))\). Da \(g_k''(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist dies der einzige Extrempunkt. b) Der Tiefpunkt liegt für \(k = e\) auf der \(x\)-Achse.

- Erinnere dich daran, dass \(\ln(x) - \ln(a)\) auch als \(\ln(\frac{x}{a})\) geschrieben werden kann. - Wie verhält sich der natürliche Logarithmus für sehr kleine positive Werte? - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung. Der Zähler der Ableitung bestimmt die Extremstellen. - Wenn du zwei Funktionen gleichsetzt und die Variable \(x\) dabei wegfällt, was bedeutet das für die Existenz von Schnittpunkten? - Bei Integralen der Form \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \dots\) oder \(\int g(f(x)) \cdot f'(x) \,\text{d}x\) ist oft eine Substitution oder das Erkennen der inneren Ableitung hilfreich. Hier ist \(\frac{1}{x}\) die Ableitung von \(\ln(x)\).

1. Nullstelle: \(\ln(x) - \ln(a) = 0 \iff \ln(\frac{x}{a}) = 0 \iff \frac{x}{a} = 1 \iff x = a\). 2. Grenzwerte: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\ln(x) \to -\infty\), also \(h_a(x) \to -\infty\). Für \(x \to \infty\) gilt nach der Regel von L'Hospital \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x/a)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0\). 3. Ableitungen: \(h_a(x) = \frac{\ln(x) - \ln(a)}{x}\). Mit der Quotientenregel: \(h_a'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln(x) - \ln(a)) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x/a)}{x^2}\). 4. Hochpunkt: \(h_a'(x) = 0 \iff \ln(x/a) = 1 \iff x/a = e \iff x = ae\). 5. Funktionswert: \(h_a(ae) = \frac{\ln(ae/a)}{ae} = \frac{\ln(e)}{ae} = \frac{1}{ae}\). Da der Graph von \(-\infty\) kommt, eine Nullstelle bei \(a\) hat und gegen \(0\) strebt, muss bei \(x = ae\) ein Hochpunkt \(H(ae | \frac{1}{ae})\) vorliegen (Bestätigung über \(h_a''(ae) < 0\) möglich). 6. Schnittpunkte: \(h_{a_1}(x) = h_{a_2}(x) \iff \frac{\ln(x) - \ln(a_1)}{x} = \frac{\ln(x) - \ln(a_2)}{x} \iff -\ln(a_1) = -\ln(a_2) \iff a_1 = a_2\). Da \(a_1 \neq a_2\) vorausgesetzt ist, gibt es keine Schnittpunkte. 7. Integral: Mit der Substitution \(u = \ln(x/a)\) und \(\text{d}u = \frac{1}{x} \text{d}x\) folgt: \(\int h_a(x) \,\text{d}x = \int \frac{\ln(x/a)}{x} \,\text{d}x = \int u \,\text{d}u = \frac{1}{2} u^2 = \frac{1}{2}(\ln(x/a))^2\). 8. Auswertung: \([\frac{1}{2}(\ln(x/a))^2]_a^{ae} = \frac{1}{2}(\ln(ae/a))^2 - \frac{1}{2}(\ln(a/a))^2 = \frac{1}{2}(\ln(e))^2 - \frac{1}{2}(\ln(1))^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - 0 = 0{,}5\).

a) Nullstelle bei \(x = a\). Grenzwerte: \(\lim_{x \to 0^+} h_a(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} h_a(x) = 0\). b) Hochpunkt \(H(ae | \frac{1}{ae})\). c) Die Gleichung \(h_{a_1}(x) = h_{a_2}(x)\) führt auf den Widerspruch \(a_1 = a_2\), somit existieren keine Schnittpunkte. d) Das Integral berechnet sich zu \([\frac{1}{2}(\ln(\frac{x}{a}))^2]_a^{ae} = 0{,}5\), was unabhängig von \(a\) ist.

- Findest du einen \(x\)-Wert, für den der Funktionsterm für alle \(a\) denselben Wert annimmt? - Bilde die Differenz \(g_{a+1}(x) - g_a(x)\) und schaue, was mit dem Parameter passiert. - Achte beim Integrieren auf das Vorzeichen der Differenzfunktion im gegebenen Intervall. - Nutze die Grundregeln der Integralrechnung für Exponentialfunktionen.

1. Bestimmung des gemeinsamen Schnittpunkts: Alle Graphen der Schar schneiden sich dort, wo der Term beim Parameter \(a\) null wird: \(e^x - e^2 = 0 \implies x = 2\), also \(S(2|4)\). Alternativ durch Gleichsetzen: \(g_a(x) = g_{a+1}(x) \implies a(e^x - e^2) = (a+1)(e^x - e^2) \implies e^x - e^2 = 0 \implies x = 2\). 2. Differenzfunktion bilden: \(d(x) = g_{a+1}(x) - g_a(x) = (x^2 + (a+1)(e^x - e^2)) - (x^2 + a(e^x - e^2)) = e^x - e^2\). 3. Integral berechnen: Da \(e^x - e^2 \leq 0\) für \(x \in [1; 2]\), berechnet sich die Fläche zu: \(A = \int_{1}^{2} |e^x - e^2| \,\text{d}x = \int_{1}^{2} (e^2 - e^x) \,\text{d}x\). \(A = [e^2 \cdot x - e^x]_{1}^{2} = (2e^2 - e^2) - (1 \cdot e^2 - e^1) = e^2 - e^2 + e = e\). Das Ergebnis \(A = e \approx 2{,}718\) ist unabhängig von \(a\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e\) Flächeneinheiten.

- Achte beim Lösen der Gleichung \(e^{-x} = c\) auf das Vorzeichen der Konstante \(c\). - Für die Ortslinie kannst du die \(x\)-Koordinate des Extrempunktes nach dem Parameter auflösen und in die \(y\)-Koordinate einsetzen. - Überlege dir, wie das Steigungsdreieck einer Geraden durch den Ursprung und einen Punkt auf dem Graphen mit der Ableitung an dieser Stelle zusammenhängt. - Die Tangente berührt den Graphen an der Stelle \(x_0\). Der Ursprung liegt auf dieser Tangente, wenn \(g_k(x_0) = g_k'(x_0) \cdot x_0\) gilt.

1. Ableitungen: \(g_k'(x) = -k e^{-x} - 1\) und \(g_k''(x) = k e^{-x}\). 2. Extrema: \(-k e^{-x} - 1 = 0 \implies e^{-x} = -\frac{1}{k}\). Lösung existiert nur für \(k < 0\) bei \(x_E = -\ln\left(-\frac{1}{k}\right) = \ln(-k)\). 3. Art bestimmen: Für \(k < 0\) ist \(g_k''(\ln(-k)) = k \cdot e^{-\ln(-k)} = k \cdot \left(-\frac{1}{k}\right) = -1 < 0\). Es handelt sich um ein lokales Maximum. 4. \(y\)-Koordinate: \(g_k(\ln(-k)) = k \cdot \left(-\frac{1}{k}\right) - \ln(-k) = -1 - \ln(-k)\). Der Hochpunkt ist \(H(\ln(-k) \mid -1 - \ln(-k))\). 5. Ortslinie: Sei \(x = \ln(-k)\). Dann ist \(y = -1 - x\), also \(y = -x - 1\). Dies ist die gesuchte Gerade. 6. Tangente vom Ursprung: Bedingung \(g_k'(x_0) = \frac{g_k(x_0)}{x_0}\) führt auf \(-k e^{-x_0} - 1 = \frac{k e^{-x_0} - x_0}{x_0} = \frac{k e^{-x_0}}{x_0} - 1\). 7. Lösen nach \(x_0\): \(-k e^{-x_0} = \frac{k e^{-x_0}}{x_0}\). Da \(k \neq 0\) und \(e^{-x_0} \neq 0\), folgt \(-1 = \frac{1}{x_0} \implies x_0 = -1\). 8. Berührpunkt: \(y_0 = g_k(-1) = k e^1 - (-1) = ke + 1\). Der Punkt ist \(B_k(-1 \mid ke + 1)\).

a) Ein Extrempunkt (Hochpunkt) existiert nur für \(k < 0\). Er liegt bei \(H(\ln(-k) \mid -1 - \ln(-k))\). b) Einsetzen von \(x = \ln(-k)\) in \(y = -1 - \ln(-k)\) ergibt direkt \(y = -1 - x\). c) Der Berührpunkt ist \(B_k(-1 \mid ke + 1)\).

- Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse ist eine Nullstelle, die gleichzeitig ein Extrempunkt ist. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. Klammere Faktoren aus, um die Nullstellen der Ableitung leichter zu finden. - Für die Ortskurve: Schau dir das Verhältnis zwischen der \(x\)- und \(y\)-Koordinate des Punktes \(H_a\) an. - Bei Teilaufgabe d) musst du den gegebenen \(x\)-Wert einfach in deine zuvor berechnete Ableitungsfunktion einsetzen.

1. Berührpunkt: \(f_a(x) = 0 \Rightarrow (\ln(x) - a)^2 = 0 \Rightarrow \ln(x) = a \Rightarrow x_B = e^a\). Da \(f_a(x) \geq 0\) für alle \(x > 0\) (da \(x > 0\) und Quadratterm \(\geq 0\)), ist \(B_a(e^a \mid 0)\) ein Tiefpunkt und somit ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. 2. Ableitung bilden: \(f_a'(x) = 1 \cdot (\ln(x) - a)^2 + x \cdot 2(\ln(x) - a) \cdot \frac{1}{x} = (\ln(x) - a)^2 + 2(\ln(x) - a) = (\ln(x) - a)(\ln(x) - a + 2)\). 3. Weitere Extremstelle: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) - a + 2 = 0 \Rightarrow \ln(x) = a - 2 \Rightarrow x_H = e^{a-2}\). 4. Koordinaten von \(H_a\): \(y_H = f_a(e^{a-2}) = e^{a-2} \cdot (a - 2 - a)^2 = e^{a-2} \cdot (-2)^2 = 4e^{a-2}\). Also \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). 5. Ortskurve von \(H_a\): Setze \(x = e^{a-2}\) und \(y = 4e^{a-2}\). Es folgt direkt durch Substitution: \(y = 4x\). 6. Steigung an \(x = e^{a-1}\): \(f_a'(e^{a-1}) = (\ln(e^{a-1}) - a)(\ln(e^{a-1}) - a + 2) = (a - 1 - a)(a - 1 - a + 2) = (-1)(1) = -1\). Die Steigung ist konstant \(-1\).

a) Berührpunkt \(B_a(e^a \mid 0)\). b) Weiterer Extrempunkt (Hochpunkt) \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). c) Die Ortskurve ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 4x\). d) Die Steigung an der Stelle \(x = e^{a-1}\) beträgt für alle \(a\) den Wert \(-1\).

- Untersuche, wie sich die Funktion verhält, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Nutze die Quotientenregel und achte beim Ableiten des Nenners auf die Kettenregel. - Setze zwei Funktionsterme mit unterschiedlichen Parametern gleich, um gemeinsame Punkte zu finden. - Für die Stammfunktion könnte eine einfache Substitution oder das Erkennen einer Kettenregel in umgekehrter Form hilfreich sein. - Ein uneigentliches Integral wird über einen Grenzwert definiert.

1. \(g_k(-x) = \frac{-2x}{((-x)^2 + k)^2} = -g_k(x) \implies\) Punktsymmetrie zum Ursprung. Nullstelle: \(2x = 0 \implies x = 0\). 2. Ableitung: \(g_k'(x) = \frac{2(x^2 + k)^2 - 2x \cdot 2(x^2 + k) \cdot 2x}{(x^2 + k)^4} = \frac{2(x^2 + k) - 8x^2}{(x^2 + k)^3} = \frac{2k - 6x^2}{(x^2 + k)^3}\). Extremstellen bei \(x^2 = \frac{k}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{k}{3}}\). Die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts ist \(g_k\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right) = \frac{2\sqrt{k/3}}{(k/3 + k)^2} = \frac{2\sqrt{k/3}}{(4k/3)^2} = \frac{2\sqrt{k/3}}{16k^2/9} = \frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\). Aufgrund der Symmetrie liegt der Tiefpunkt bei \(\left(-\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). 3. Schnittbedingung \(g_{k_1}(x) = g_{k_2}(x)\) führt für \(k_1 \neq k_2\) auf \(\frac{2x}{(x^2+k_1)^2} = \frac{2x}{(x^2+k_2)^2}\). Dies ist erfüllt für \(x = 0\). Für \(x \neq 0\) müsste \((x^2+k_1)^2 = (x^2+k_2)^2\) gelten, was wegen \(x^2+k > 0\) nur für \(k_1 = k_2\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist \((0 \mid 0)\). Wegen Nennergrad (4) > Zählergrad (1) ist \(y = 0\) die waagrechte Asymptote. 4. Mit der Substitution \(u = x^2 + k\) und \(\text{d}u = 2x \,\text{d}x\) ergibt sich eine Stammfunktion \(G_k(x) = -\frac{1}{x^2 + k}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \lim_{b \to \infty} \int_0^b g_k(x) \,\text{d}x = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x^2 + k} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b^2 + k} + \frac{1}{k} \right) = 0 + \frac{1}{k} = \frac{1}{k}\). Der Flächeninhalt ist somit endlich.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; Nullstelle bei \(x = 0\). b) \(H\left(\sqrt{\frac{k}{3}} \mid \frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\), \(T\left(-\sqrt{\frac{k}{3}} \mid -\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). c) Gemeinsamer Punkt \((0 \mid 0)\); waagrechte Asymptote \(y = 0\). d) Stammfunktion \(G_k(x) = -\frac{1}{x^2 + k}\); der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(\frac{1}{k}\).

- Wie findet man die Stellen, an denen ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion null wird? - Nutze die Produktregel für die Ableitungen und achte auf die Kettenregel beim Exponenten. - Überlege dir das Vorzeichen der Funktion im gesuchten Intervall, um den Flächeninhalt korrekt zu berechnen. - Was passiert mit dem Term \(x \cdot e^{-x}\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Nullstelle: \(g_a(x) = 0 \implies a-x = 0 \implies x = a\). 2. Tiefpunkt: Ableitung \(g_a'(x) = \frac{x-2a}{a^2} e^{-\frac{x}{a}}\). Nullstelle der Ableitung bei \(x = 2a\). Funktionswert \(g_a(2a) = \frac{a-2a}{a} e^{-2} = -e^{-2}\). Da \(g_a''(2a) = \frac{1}{a^2 e^2} > 0\), liegt ein Tiefpunkt bei \(T_a(2a \mid -e^{-2})\) vor. 3. Wendepunkt: Zweite Ableitung \(g_a''(x) = \frac{3a-x}{a^3} e^{-\frac{x}{a}}\). Nullstelle bei \(x = 3a\). Funktionswert \(g_a(3a) = \frac{a-3a}{a} e^{-3} = -2e^{-3}\). Somit \(W_a(3a \mid -2e^{-3})\). 4. Grenzverhalten: Aufgrund des dominierenden Exponentialterms gilt \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = 0\). 5. Stammfunktion: \(G_a'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{x}{a}} + x \cdot (-\frac{1}{a}) e^{-\frac{x}{a}} = (1 - \frac{x}{a}) e^{-\frac{x}{a}} = \frac{a-x}{a} e^{-\frac{x}{a}} = g_a(x)\). 6. Flächeninhalt: Im Intervall \([a; \infty[\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. \(A = \int_a^\infty -g_a(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} [-G_a(x)]_a^b = 0 - (-G_a(a)) = G_a(a) = a \cdot e^{-1} = \frac{a}{e}\).

a) Nullstelle bei \(x = a\); \(T_a(2a \mid -e^{-2})\) b) \(W_a(3a \mid -2e^{-3})\) c) \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = 0\) d) Nachweis durch Ableiten: \(G_a'(x) = g_a(x)\) e) \(A = \frac{a}{e}\)

- Was unterscheidet die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel von einer nach oben geöffneten? - Wie führst du eine Punktprobe durch, um einen unbekannten Parameter zu bestimmen? - Wenn du eine Gleichung mit einem Bruch erhältst, wie kannst du sie vereinfachen? - Gibt es einen einfachen ganzzahligen Wert, der die Gleichung im letzten Schritt lösen könnte?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) der nach unten geöffneten Normalparabel liegt auf dem Graphen von \(h(x) = \frac{1}{x}\), woraus sich die Koordinaten \(S(a \mid \frac{1}{a})\) ergeben. 2. Die allgemeine Form einer nach unten geöffneten Normalparabel ist \(g(x) = -(x - x_S)^2 + y_S\). Eingesetzt ergibt dies die Schar \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\). 3. Um den Parameter \(a\) zu finden, für den die Parabel durch \(P(1 \mid 1)\) verläuft, wird die Punktprobe durchgeführt: \(1 = -(1 - a)^2 + \frac{1}{a}\). 4. Auflösen der Gleichung: \(1 = -(1 - 2a + a^2) + \frac{1}{a} \Rightarrow 1 = -1 + 2a - a^2 + \frac{1}{a} \Rightarrow 2 - 2a + a^2 - \frac{1}{a} = 0\). 5. Multiplikation mit \(a\) führt auf die kubische Gleichung \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = 0\). 6. Durch systematisches Probieren oder Erkennen der Koeffizientensumme findet man die Lösung \(a = 1\). Eine Überprüfung (Polynomdivision) zeigt, dass \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = (a - 1)(a^2 - a + 1)\) ist, wobei der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen besitzt.

a) \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\) b) \(a = 1\)

- Achte auf den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. - Bestimme die erste Ableitung, um mögliche Extremstellen in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen von \(k\) für den Verlauf des Graphen? - Untersuche die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs. - Setze den Funktionswert an der Extremstelle in Beziehung zur \(x\)-Achse.

1. Ableitung bilden: \(h_k'(x) = 2x - \frac{k}{x}\). 2. Fall \(k < 0\): Es gilt \(h_k'(x) = 2x + \frac{|k|}{x} > 0\) für alle \(x > 0\). Die Funktion ist streng monoton steigend. Mit \(\lim_{x \to 0^+} h_k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} h_k(x) = \infty\) ergibt sich genau eine Nullstelle. 3. Fall \(k = 0\): \(h_0(x) = x^2\) hat im Bereich \(x > 0\) keine Nullstelle. 4. Fall \(k > 0\): Ein lokales Minimum existiert bei \(2x - \frac{k}{x} = 0 \implies 2x^2 = k \implies x = \sqrt{\frac{k}{2}}\). Der minimale Funktionswert ist \(h_k\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right) = \frac{k}{2} - k \cdot \ln\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right) = \frac{k}{2} - \frac{k}{2} \ln\left(\frac{k}{2}\right) = \frac{k}{2} \left(1 - \ln\left(\frac{k}{2}\right)\right)\). Da \(\lim_{x \to 0^+} h_k(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} h_k(x) = \infty\), entscheiden das Vorzeichen des Minimums über die Anzahl der Nullstellen. 5. Vorzeichen des Minimums für \(k > 0\): \(1 - \ln\left(\frac{k}{2}\right) = 0 \iff \frac{k}{2} = e \iff k = 2e\). Das Minimum ist positiv für \(k < 2e\) und negativ für \(k > 2e\). 6. Kombination der Ergebnisse: Keine Nullstelle für \(0 \le k < 2e\). Genau eine Nullstelle für \(k < 0\) oder \(k = 2e\). Genau zwei Nullstellen für \(k > 2e\).

- Keine Nullstellen: \(0 \le k < 2e\) - Genau eine Nullstelle: \(k < 0\) oder \(k = 2e\) - Genau zwei Nullstellen: \(k > 2e\)

- Der Abstand zwischen zwei Punkten \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. - Wenn du eine Wurzel minimieren möchtest, reicht es oft aus, den Ausdruck unter der Wurzel (den Radikanden) zu untersuchen. - Erinnere dich daran, welche geometrische Figur durch eine Gleichung der Form \(y = \sqrt{r^2 - x^2}\) beschrieben wird. - Prozentuale Abweichungen berechnet man immer im Verhältnis zu einem Referenzwert.

1. Breite und Höhe: \(f(\pm 8) = 8 - 0{,}125 \cdot 64 = 8 - 8 = 0\), daraus folgt die Breite \(8 - (-8) = 16\,\text{m}\). Die maximale Höhe ist \(f(0) = 8\,\text{m}\). 2. Abstandsfunktion: \(d(x) = \sqrt{x^2 + (f(x))^2} = \sqrt{x^2 + (8 - 0{,}125x^2)^2} = \sqrt{x^2 + 64 - 2x^2 + 0{,}015625x^4} = \sqrt{0{,}015625x^4 - x^2 + 64}\). 3. Minimierung des Abstands: Zur Minimierung von \(d(x)\) reicht es, das Radikand \(h(x) = 0{,}015625x^4 - x^2 + 64\) zu minimieren. \(h'(x) = 0{,}0625x^3 - 2x\). Setze \(h'(x) = 0 \implies x(0{,}0625x^2 - 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (lokales Maximum von \(h\)) und \(x^2 = \frac{2}{0{,}0625} = 32\), also \(x_{2,3} = \pm \sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2} \approx \pm 5{,}66\). Der minimale Abstand ist \(d(\sqrt{32}) = \sqrt{0{,}015625 \cdot 32^2 - 32 + 64} = \sqrt{16 - 32 + 64} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{m}\). 4. Flächenvergleich: \(A_f = \int_{-8}^{8} (8 - 0{,}125x^2) \text{d}x = [8x - \frac{0{,}125}{3}x^3]_{-8}^{8} = (64 - \frac{1}{24} \cdot 512) - (-64 + \frac{1}{24} \cdot 512) = 128 - \frac{512}{12} = 128 - \frac{128}{3} = \frac{256}{3} \approx 85{,}33\,\text{m}^2\). \(A_g = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 8^2 = 32\pi \approx 100{,}53\,\text{m}^2\) (Halbkreis). Abweichung: \(\frac{|85{,}33 - 100{,}53|}{100{,}53} \approx 0{,}1512\), also ca. \(15{,}1\,\%\).

a) Breite: \(16\,\text{m}\), Höhe: \(8\,\text{m}\). b) Nachweis durch Einsetzen von \(f(x)\) in den Satz des Pythagoras. c) Die \(x\)-Koordinaten sind \(x \approx \pm 5{,}66\); der minimale Abstand beträgt \(4\sqrt{3} \approx 6{,}93\,\text{m}\). d) Die Querschnittsfläche von \(f\) weicht um etwa \(15{,}1\,\%\) von der Fläche von \(g\) ab.

- Wie findet man die Nullstellen einer Funktion, bei der ein Term ausgeklammert werden kann? - Welche Methode nutzt man, um den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel zu finden? - Wie eliminiert man einen Parameter aus zwei Koordinatengleichungen, um eine Ortskurve zu finden? - Welches mathematische Werkzeug berechnet den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der Abszisse?

1. Nullstellen: Aus \(h_k(x) = x \cdot (-\frac{1}{k}x + 1) = 0\) folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(x_s = \frac{k}{2}\). Die \(y\)-Koordinate ist \(h_k(\frac{k}{2}) = -\frac{1}{k} \cdot \frac{k^2}{4} + \frac{k}{2} = -\frac{k}{4} + \frac{k}{2} = \frac{k}{4}\). Somit ist \(S_k(\frac{k}{2} | \frac{k}{4})\). 2. Für die Koordinaten des Scheitelpunkts gilt \(x = \frac{k}{2}\) und \(y = \frac{k}{4}\). Auflösen der ersten Gleichung nach \(k\) ergibt \(k = 2x\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(y = \frac{2x}{4} = \frac{1}{2}x\). Die Ortskurve ist die Gerade \(g(x) = 0{,}5x\). 3. Der Flächeninhalt wird über das Integral berechnet: \(A = \int_{0}^{k} (-\frac{1}{k}x^2 + x) \,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3k}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{k} = -\frac{k^3}{3k} + \frac{k^2}{2} = -\frac{k^2}{3} + \frac{k^2}{2} = \frac{k^2}{6}\). Aus der Bedingung \(\frac{k^2}{6} = 36\) folgt \(k^2 = 216\). Da \(k > 0\), ergibt sich \(k = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\).

1. Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=k\); Scheitelpunkt \(S_k(\frac{k}{2} | \frac{k}{4})\) 2. Die Ortskurve ist die Gerade \(y = 0{,}5x\). 3. \(k = 6\sqrt{6}\) (ca. \(14{,}7\))

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Der Parameter \(k\) wird in der Rechnung wie eine normale Zahl behandelt. - Welche Bedingungen muss die Tangente erfüllen, damit sie durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Überlege zuerst, wie der Berührpunkt und die Steigung an der Stelle \(x=1\) vom Parameter \(k\) abhängen.

1. Bestimmung des Berührpunktes auf dem Graphen für \(x = 1\): \(f_k(1) = 1^4 - k \cdot 1^2 + 4 = 5 - k\). Der Punkt ist \(B(1|5-k)\). 2. Berechnung der Ableitung an der Stelle \(x = 1\): \(f_k'(x) = 4x^3 - 2kx \implies f_k'(1) = 4 - 2k\). Dies ist die Steigung \(m\) der Tangente. 3. Aufstellen der Tangentengleichung \(t_k(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(t_k(x) = (4 - 2k)(x - 1) + 5 - k\). 4. Einsetzen des Punktes \(Q(0|1)\) in die Tangentengleichung, da die Tangente durch diesen Punkt verlaufen soll: \(1 = (4 - 2k)(0 - 1) + 5 - k\) 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(1 = -(4 - 2k) + 5 - k\) \(1 = -4 + 2k + 5 - k\) \(1 = 1 + k \implies k = 0\). 6. Für \(k = 0\) verläuft die Tangente an der Stelle \(x = 1\) durch den Punkt \(Q(0|1)\).

\(k = 0\)

- Wann kann der Nenner eines Bruchs Null werden? - Untersuche, ob das Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) den Funktionsterm verändert. - Setze den Zähler gleich Null und überlege, für welche Werte von \(a\) es Lösungen gibt. - Betrachte den Grenzwert der Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte.

1. Der Nenner \(x^2 + a\) darf nicht Null werden. Für \(a > 0\) ist \(x^2 + a \geq a > 0\), somit ist die Funktion für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Für \(a < 0\) gibt es Definitionslücken bei \(x = \pm \sqrt{-a}\). Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 2. Es gilt \(g_a(-x) = \frac{(-x)^2 - a}{(-x)^2 + a} = \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = g_a(x)\). Da dies für alle \(a \neq 0\) und alle \(x\) im Definitionsbereich gilt, ist der Graph für alle \(a\) symmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x^2 - a = 0\) vor, also \(x^2 = a\). Für \(a > 0\) ergeben sich genau zwei Schnittpunkte \((\pm \sqrt{a}|0)\). Für \(a < 0\) hat die Gleichung keine reelle Lösung, da \(x^2 \geq 0\) und \(a < 0\) ist. Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 4. Für das Verhalten im Unendlichen gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - a/x^2}{1 + a/x^2} = 1\). Dieser Grenzwert ist unabhängig von \(a \neq 0\). Somit ist \(y = 1\) für alle \(a\) die waagerechte Asymptote.

1. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 2. Gilt für alle Werte von \(a\). 3. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 4. Gilt für alle Werte von \(a\).

- Wie viele Bedingungen stecken in der Information, dass ein Punkt ein Sattelpunkt ist? - Übersetze die Begriffe Ursprung, Sattelpunkt und Extremstelle in mathematische Bedingungen für \(f(x)\), \(f'(x)\) und \(f''(x)\). - Erstelle ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten \(a, b, c, d, e\). - Denke daran, dass beim Ursprung ein Koeffizient sofort wegfällt.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Punkt im Ursprung: \(f(0) = 0 \implies e = 0\). 3. Sattelpunkt bei \((2|2)\) liefert drei Bedingungen: - \(f(2) = 2 \implies 16a + 8b + 4c + 2d = 2\) - \(f'(2) = 0 \implies 32a + 12b + 4c + d = 0\) - \(f''(2) = 0 \implies 48a + 12b + 2c = 0\) 4. Extremstelle bei \(x = 1\): \(f'(1) = 0 \implies 4a + 3b + 2c + d = 0\). 5. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus den Gleichungen folgt durch Elimination oder Einsetzungsverfahren: \(a = -0{,}375\), \(b = 2{,}5\), \(c = -6\) und \(d = 6\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}375x^4 + 2{,}5x^3 - 6x^2 + 6x\).

\(f(x) = -0{,}375x^4 + 2{,}5x^3 - 6x^2 + 6x\)

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitung der Funktion. - Überlege, warum die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5x}\) niemals null wird. - Setze die berechnete Extremstelle in die Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Koordinate zu erhalten. - Wann ist eine Exponentialfunktion der Form \(e^{u}\) gleich \(1\)?

1. Die Ableitung nach der Produktregel lautet \(f_a'(x) = 1 \cdot e^{0{,}5x} + (x - a) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (1 + 0{,}5x - 0{,}5a)\). Die Nullstelle der Ableitung ergibt sich aus \(1 + 0{,}5x - 0{,}5a = 0 \implies 0{,}5x = 0{,}5a - 1 \implies x = a - 2\). Die zweite Ableitung \(f_a''(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x} \cdot (1 + 0{,}5x - 0{,}5a) + e^{0{,}5x} \cdot 0{,}5 = e^{0{,}5x} \cdot (1 + 0{,}25x - 0{,}25a)\) ergibt an der Stelle \(x = a - 2\) den Wert \(f_a''(a - 2) = e^{0{,}5(a-2)} \cdot (1 + 0{,}25(a-2) - 0{,}25a) = 0{,}5 e^{0{,}5a - 1}\). Da dieser Ausdruck für alle \(a\) positiv ist, liegt stets ein Tiefpunkt vor. Die \(y\)-Koordinate ist \(f_a(a - 2) = (a - 2 - a) \cdot e^{0{,}5(a-2)} + 2 = -2 e^{0{,}5a - 1} + 2\). Der Extrempunkt ist \(T(a - 2 \mid -2 e^{0{,}5a - 1} + 2)\). 2. Die Bedingung für einen Punkt auf der \(x\)-Achse ist \(y = 0\): \(-2 e^{0{,}5a - 1} + 2 = 0 \implies 2 e^{0{,}5a - 1} = 2 \implies e^{0{,}5a - 1} = 1\). Da \(e^0 = 1\), folgt \(0{,}5a - 1 = 0 \implies 0{,}5a = 1 \implies a = 2\).

1. Jede Funktion hat genau einen Tiefpunkt bei \(T(a - 2 \mid -2 e^{0{,}5a - 1} + 2)\). 2. Für \(a = 2\) liegt der Extrempunkt auf der \(x\)-Achse.

- Wie viele Lösungen hat die Gleichung für die gemeinsamen Punkte? Jede Lösung entspricht einer \(x\)-Koordinate. - Achte bei der Art der Extrempunkte darauf, wie das Vorzeichen von \(a\) die Krümmung beeinflusst. - Überlege dir, warum die Differenz der Funktionswerte zweier aufeinanderfolgender Scharparameter unabhängig vom Parameter selbst ist. - Nutze Symmetrieeigenschaften der Funktionen, um die Integration zu vereinfachen.

1. Gemeinsame Punkte: Aus \(a(x^4 - 2x^2) = b(x^4 - 2x^2)\) folgt für \(a \neq b\), dass \(x^2(x^2 - 2) = 0\) gelten muss. Die Lösungen sind \(x_1 = 0, x_2 = \sqrt{2}, x_3 = -\sqrt{2}\). Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0|0)\), \(P_2(\sqrt{2}|0)\) und \(P_3(-\sqrt{2}|0)\). 2. Extrempunkte: Die Ableitung \(g_a'(x) = a(4x^3 - 4x) = 4ax(x-1)(x+1)\) hat Nullstellen bei \(x=0, x=1, x=-1\). - Für \(x=0\): \(g_a(0) = 0\). \(g_a''(0) = -4a\). Bei \(a > 0\) Maximum, bei \(a < 0\) Minimum in \((0|0)\). - Für \(x=1\): \(g_a(1) = -a\). \(g_a''(1) = 8a\). Bei \(a > 0\) Minimum, bei \(a < 0\) Maximum in \((1|-a)\). - Für \(x=-1\): \(g_a(-1) = -a\). \(g_a''(-1) = 8a\). Bei \(a > 0\) Minimum, bei \(a < 0\) Maximum in \((-1|-a)\). Es gibt somit immer genau drei Extrempunkte. 3. Geraden: Die \(x\)-Koordinaten der Extrempunkte sind konstant \(0, 1\) und \(-1\). Die Geraden sind \(x = 0\), \(x = 1\) und \(x = -1\). 4. Flächeninhalt: Die Differenzfunktion ist \(d(x) = g_{a+1}(x) - g_a(x) = (a+1-a)(x^4 - 2x^2) = x^4 - 2x^2\). Da \(d(x)\) nicht von \(a\) abhängt, ist auch das Integral über dem festen Intervall unabhängig von \(a\). Berechnung: \(A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} |x^4 - 2x^2| \,\text{d}x\). Wegen Symmetrie: \(A = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} (2x^2 - x^4) \,\text{d}x = 2 \cdot [\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^{\sqrt{2}} = 2 \cdot (\frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{1}{5} \cdot 4\sqrt{2}) = 2 \cdot (\frac{4}{3}\sqrt{2} - \frac{4}{5}\sqrt{2}) = 2 \cdot \frac{20-12}{15}\sqrt{2} = \frac{16}{15}\sqrt{2} \approx 1{,}508\).

a) Gemeinsame Punkte: \((0|0)\), \((\sqrt{2}|0)\) und \((-\sqrt{2}|0)\). b) Es gibt drei Extrempunkte bei \(x=0, x=1\) und \(x=-1\). Lage: \((0|0), (1|-a), (-1|-a)\). c) Die Geraden sind \(x = 0\), \(x = 1\) und \(x = -1\). d) Der Flächeninhalt ist unabhängig von \(a\), da die Differenzfunktion \(x^4 - 2x^2\) parameterfrei ist. Der Wert beträgt \(\frac{16}{15}\sqrt{2} \approx 1{,}508\).

- Hat der Parameter \(a\) Einfluss auf das globale Verhalten des Graphen, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie berechnet man die Koordinaten eines Wendepunkts allgemein? - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Um die Unabhängigkeit der Steigung zu zeigen, setze die allgemeine \(x\)-Koordinate des Wendepunkts in die erste Ableitung ein und beobachte, ob der Parameter \(a\) im Ergebnis stehen bleibt.

1. Da der Leitkoeffizient \(1 > 0\) und der Grad der Polynomfunktion ungerade ist, gilt unabhängig von \(a\): \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g_a(x) = -\infty\). 2. Ableitungen: \(g_a'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 - 4\) und \(g_a''(x) = 6x - 6a\). Die Bedingung \(g_a''(x) = 0\) liefert \(x = a\). Wegen \(g_a'''(x) = 6 \neq 0\) ist dies die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts. 3. Die \(y\)-Koordinate des Wendepunkts ist \(g_a(a) = a^3 - 3a(a^2) + (3a^2 - 4)a = a^3 - 3a^3 + 3a^3 - 4a = a^3 - 4a\). 4. \(W_a\) liegt auf der \(x\)-Achse, wenn \(y = 0\) gilt: \(a^3 - 4a = 0 \iff a(a^2 - 4) = 0\). Dies ergibt die Werte \(a_1 = 0\), \(a_2 = 2\) und \(a_3 = -2\). 5. Die Steigung der Wendetangente ist \(g_a'(a)\). Einsetzen von \(x = a\) in die erste Ableitung ergibt \(g_a'(a) = 3a^2 - 6a^2 + 3a^2 - 4 = -4\). Dieser Wert ist konstant \(-4\) und somit für alle gefundenen Werte von \(a\) (sogar für alle \(a \in \mathbb{R}\)) identisch.

a) \(\lim_{x \to \infty} g_a(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g_a(x) = -\infty\) b) Nachweis über \(g_a''(x) = 6x - 6a = 0 \implies x = a\). c) \(a \in \{0; 2; -2\}\); Die Steigung der Wendetangente beträgt in diesen Fällen stets \(m = -4\).

- Bestimme zuerst die Extrempunkte in Abhängigkeit von \(k\). Wie hängen \(x\) und \(y\) dort zusammen? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, kannst du \(x\) als festen Wert betrachten und untersuchen, welche \(y\)-Werte durch Variation von \(k\) erreicht werden können. - Welchen maximalen Wert kann die Funktion \(g_k(x)\) für ein festes \(x\) annehmen, wenn man \(k\) verändert?

1. Die Ableitung \(g_k'(x) = 1 \cdot e^{k-x} + (x-k) \cdot e^{k-x} \cdot (-1) = e^{k-x} \cdot (1 - x + k)\) hat die Nullstelle \(x = k + 1\). Da \(g_k''(k+1) = -e^{-1} < 0\), liegt dort ein Hochpunkt vor. 2. Der Funktionswert an der Stelle \(x = k+1\) ist \(g_k(k+1) = 1 \cdot e^{-1} + k = k + \frac{1}{e}\). Die Hochpunkte sind \(H(k+1 | k + \frac{1}{e})\). 3. Mit \(x = k+1 \implies k = x-1\) folgt für die \(y\)-Koordinate: \(y = (x-1) + \frac{1}{e}\). Die Ortskurve ist die Gerade \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). 4. Für einen festen Wert \(x\) wird die Funktion \(h(k) = (x-k) e^{k-x} + k\) untersucht. Es soll geprüft werden, welche Werte \(y\) diese Funktion annehmen kann. 5. Die Ableitung nach \(k\) ist \(h'(k) = -e^{k-x} + (x-k) e^{k-x} + 1 = e^{k-x}(x-k-1) + 1\). Die Bedingung \(h'(k) = 0\) wird für \(k = x\) erfüllt (\(e^0 \cdot (-1) + 1 = 0\)). 6. Da \(h''(x) = -2 < 0\), besitzt \(h(k)\) bei \(k=x\) ein absolutes Maximum mit dem Wert \(h(x) = (x-x)e^0 + x = x\). 7. Wegen \(\lim_{k \to \pm \infty} h(k) = -\infty\) ist der Wertebereich von \(h(k)\) das Intervall \((-\infty; x]\). 8. Ein Punkt \((x|y)\) liegt genau dann auf einem Graphen, wenn \(y \le x\). Folglich liegen alle Punkte mit \(y > x\) auf keinem Graphen.

a) Die Hochpunkte liegen auf der Geraden \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). b) Alle Punkte \(P(x|y)\) mit \(y > x\) liegen auf keinem Graphen der Schar.

- Welche Werte kann die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) annehmen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Denke an die Kettenregel beim Ableiten der Funktionenschar. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunktes aus, unabhängig vom konkreten Wert von \(x\)?

1. Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(h_k'(x) = k \cdot e^{kx} - 1\) und \(h_k''(x) = k^2 \cdot e^{kx}\). 2. Stationäre Punkte bestimmen: \(h_k'(x) = 0 \iff k \cdot e^{kx} = 1 \iff e^{kx} = \frac{1}{k}\). 3. Existenzbedingung herleiten: Da die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) für alle reellen Zahlen positive Werte annimmt, besitzt die Gleichung nur dann eine Lösung für \(x\), wenn \(\frac{1}{k} > 0\) gilt, was gleichbedeutend mit \(k > 0\) ist. 4. Extremstelle berechnen: Durch Logarithmieren folgt \(kx = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\), also \(x = -\frac{\ln(k)}{k}\). 5. Art des Extrempunktes klassifizieren: Da \(k \neq 0\) ist \(k^2\) stets positiv. Da auch \(e^{kx} > 0\) gilt, ist \(h_k''(x) = k^2 \cdot e^{kx} > 0\) für alle \(x\). Somit liegt an der gefundenen Stelle immer ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 6. Funktionswert ermitteln: \(h_k\left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{k \cdot \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right)} - \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{-\ln(k)} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1}{k} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1 + \ln(k)}{k}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

Ein Extrempunkt existiert nur für \(k > 0\). Es handelt sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

- Überlege dir zuerst, warum die maximale Temperatur genau bei \(t = 12\) vorliegt. - Welchen Wert hat der Funktionsterm an dieser Stelle in Abhängigkeit von \(a\) und \(b\)? - Nutze die Angabe für 22:00 Uhr, um eine zweite Bedingung für die Parameter zu finden. - Ein lineares Gleichungssystem lässt sich oft einfach lösen, wenn in beiden Gleichungen derselbe Parameter (hier \(b\)) einzeln vorkommt.

1. Analyse der Maximalstelle: Der Term \((t - 12)^2 + 5\) ist für \(t = 12\) minimal (Wert 5). Folglich ist die Funktion \(f\) an dieser Stelle maximal. 2. Erste Gleichung für das Maximum bei \(t = 12\): \(f(12) = \frac{a}{5} + b = 30\). 3. Zweite Gleichung für den Zeitpunkt \(t = 22\): \(f(22) = \frac{a}{(22 - 12)^2 + 5} + b = \frac{a}{105} + b = 12\). 4. Lösen des Systems durch Subtraktion: \((\frac{a}{5} + b) - (\frac{a}{105} + b) = 30 - 12\), also \(\frac{21a - a}{105} = 18\). Dies ergibt \(\frac{20a}{105} = 18\), woraus \(a = \frac{18 \cdot 105}{20} = 94{,}5\) folgt. 5. Bestimmung von \(b\): Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(\frac{94{,}5}{5} + b = 30\). Mit \(18{,}9 + b = 30\) ergibt sich \(b = 11{,}1\).

\(a = 94{,}5\) und \(b = 11{,}1\)

- Untersuche die Gleichung \(x^2 = a\) für verschiedene Werte von \(a\). - Nutze die notwendige Bedingung für Extrema und die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung. - Um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion ist, musst du sie ableiten. - Bei einer nach links unbegrenzten Fläche musst du den Grenzwert des Integrals für die untere Grenze gegen \(-\infty\) berechnen. - Beachte, dass Flächeninhalte immer positiv angegeben werden.

1. Nullstellen: \(a - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = a\). Für \(a < 0\) gibt es keine Nullstellen, für \(a = 0\) eine Nullstelle (\(x=0\)) und für \(a > 0\) zwei Nullstellen (\(x = \pm \sqrt{a}\)). 2. Extrempunkte: \(g_a'(x) = -2x \cdot e^x + (a - x^2) \cdot e^x = (-x^2 - 2x + a) \cdot e^x\). Nullstellen der Ableitung: \(-x^2 - 2x + a = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - a = 0\). Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a\). Zwei Lösungen existieren für \(4 + 4a > 0\), also \(a > -1\). 3. Stammfunktion: \(G_a'(x) = (-2x + 2) \cdot e^x + (-x^2 + 2x + a - 2) \cdot e^x = (-x^2 + a) \cdot e^x = g_a(x)\). Damit ist \(G_a\) eine Stammfunktion. 4. Flächeninhalt für \(a=0\): Gesucht ist \(A = \left| \int_{-\infty}^{0} g_0(x) \, dx \right|\). Es gilt \(\int g_0(x) \, dx = G_0(x) = (-x^2 + 2x - 2) \cdot e^x\). Der Grenzwert für \(x \to -\infty\) ist \(\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 2x - 2) \cdot e^x = 0\). Der Wert an der Stelle \(0\) ist \(G_0(0) = (-0^2 + 2 \cdot 0 - 2) \cdot e^0 = -2\). Das Integral ist \(G_0(0) - \lim_{x \to -\infty} G_0(x) = -2 - 0 = -2\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(2\) Flächeneinheiten.

a) Keine für \(a < 0\), eine für \(a = 0\), zwei für \(a > 0\). b) Bedingung für zwei Extremstellen: \(D = 4 + 4a > 0 \Rightarrow a > -1\). c) Nachweis durch Ableiten: \(G_a'(x) = g_a(x)\). d) Der Flächeninhalt beträgt \(2\) Flächeneinheiten.

- Was bedeutet es für den Funktionswert \(f(x)\), wenn die Population „zusammenbricht“? - Wie lässt sich die Information über das Maximum des Ertrags mithilfe der Ableitung von \(E(x)\) ausdrücken? - Nutze die erste Bedingung, um eine Variable durch die andere auszudrücken und setze dies in die zweite Bedingung ein. - Vergiss nicht, am Ende den Funktionswert der Ertragsfunktion an der Stelle des Maximums zu berechnen.

1. Bedingung für den Zusammenbruch nutzen: \(f(10) = 0 \Rightarrow a \cdot 10^2 + b \cdot 10 = 0 \Rightarrow 100a + 10b = 0 \Rightarrow b = -10a\). 2. Ertragsfunktion und Ableitung bilden: \(E(x) = ax^2 + (b-1)x\). Die Ableitung ist \(E'(x) = 2ax + b - 1\). 3. Bedingung für das Ertragsmaximum nutzen: \(E'(3) = 0 \Rightarrow 2a \cdot 3 + b - 1 = 0 \Rightarrow 6a + b = 1\). 4. Parameter berechnen: Ersetzen von \(b\) durch \(-10a\) in der Gleichung \(6a + b = 1\) ergibt \(6a - 10a = 1 \Rightarrow -4a = 1 \Rightarrow a = -0{,}25\). 5. Wert für \(b\) bestimmen: \(b = -10 \cdot (-0{,}25) = 2{,}5\). Die Funktion lautet \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2{,}5x\). 6. Maximalen Ertrag berechnen: \(E(x) = -0{,}25x^2 + (2{,}5 - 1)x = -0{,}25x^2 + 1{,}5x\). Einsetzen von \(x = 3\) ergibt \(E(3) = -0{,}25 \cdot 3^2 + 1{,}5 \cdot 3 = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25\).

a) Die Parameter sind \(a = -0{,}25\) und \(b = 2{,}5\). b) Der maximale jährliche Ertrag beträgt \(2{,}25\,\text{t}\).

- Beginne damit, die Schnittpunkte des Graphen mit der horizontalen Achse zu finden. Diese hängen von \(k\) ab. - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral einer Potenzfunktion bildet. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Potenzgesetze, wenn du Terme wie \((k^{\frac{3}{2}})^3\) vereinfachst. - Setze dein Ergebnis für das Integral mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich und löse nach \(k\) auf.

1. Nullstellen berechnen: Die Gleichung \(k - \frac{1}{k^2} x^2 = 0\) führt zu \(x^2 = k^3\), also \(x_{1,2} = \pm \sqrt{k^3} = \pm k^{\frac{3}{2}}\). 2. Integral für den Flächeninhalt aufstellen: \(A = \int_{-k^{\frac{3}{2}}}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). Unter Ausnutzung der Symmetrie gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). 3. Stammfunktion und Auswertung: \(2 \cdot [kx - \frac{1}{3k^2}x^3]_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} = 2 \cdot (k \cdot k^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3k^2} (k^{\frac{3}{2}})^3) = 2 \cdot (k^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}k^{\frac{5}{2}}) = \frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}}\). 4. Parameter bestimmen: Die Bedingung \(\frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}} = \frac{128}{3}\) führt auf \(k^{\frac{5}{2}} = 32\). 5. Ergebnis: Durch Umstellen der Potenz ergibt sich \(k = 32^{\frac{2}{5}} = 4\).

\(k = 4\)

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf? Das kann die Rechnung vereinfachen. - Bestimme die Stellen, an denen der Graph die Achse berührt oder schneidet. - Achte beim Integrieren darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Der gesamte Flächeninhalt ist die Summe der Inhalte der einzelnen Teilstücke.

1. Berechnung der Nullstellen von \(f_a\): \(\frac{1}{a^2}x^4 - x^2 = 0 \iff x^2(\frac{x^2}{a^2} - 1) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = -a\). 2. Nutzung der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: Der Gesamtflächeninhalt ist \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{a} (\frac{1}{a^2}x^4 - x^2) \, dx \right|\). Da der Graph im Intervall \([0; a]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (x^2 - \frac{1}{a^2}x^4) \, dx\). 3. Integration und Auswertung: \(2 \cdot [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5a^2}x^5]_0^a = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^5}{5a^2}) = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{5}) = 2 \cdot \frac{2a^3}{15} = \frac{4}{15}a^3\). 4. Bestimmung von \(a\): \(\frac{4}{15}a^3 = 7{,}2 \iff 4a^3 = 108 \iff a^3 = 27 \iff a = 3\).

\(a = 3\)

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse trifft. - Beachte, dass die gesuchte Fläche aus zwei symmetrischen Teilen bestehen könnte. - Beim Integrieren wird \(k\) als Konstante behandelt. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Flächeninhalt mit dem Wert \(64{,}8\) verknüpft.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(g_k\): Aus \(x^2 \cdot (k^2 - x^2) = 0\) ergeben sich die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse bei \(x = 0\) sowie \(x = \pm k\). 2. Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist und für \(x \in [-k; k]\) nicht unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, lässt sich der gesamte Flächeninhalt \(A\) als \(2 \cdot \int_{0}^{k} (k^2 \cdot x^2 - x^4) \, dx\) berechnen. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(2 \cdot \left[ \frac{1}{3}k^2x^3 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{k} = 2 \cdot (\frac{1}{3}k^5 - \frac{1}{5}k^5) = \frac{4}{15}k^5\). 4. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt: \(\frac{4}{15}k^5 = 64{,}8\). 5. Auflösen nach \(k\): Durch Multiplikation mit \(\frac{15}{4}\) erhält man \(k^5 = 243\). Die fünfte Wurzel liefert \(k = 3\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 3\).

- Wie findest du allgemein die Extrempunkte einer Funktionenschar in Abhängigkeit vom Parameter? - Berechne zuerst die Koordinaten des Hochpunktes \(H(x \mid y)\) so, dass beide Werte noch vom Parameter \(k\) abhängen. - Wie kannst du den Parameter \(k\) aus den beiden Koordinatengleichungen eliminieren, um einen direkten Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\) zu erhalten? - Löse die Gleichung für die \(x\)-Koordinate nach \(k\) auf und setze das Ergebnis in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate ein.

1. Erste Ableitung von \(f_k(x)\) mit der Quotientenregel bestimmen: \(f_k'(x) = \frac{k \cdot x^2 - (kx - 4) \cdot 2x}{x^4} = \frac{kx^2 - 2kx^2 + 8x}{x^4} = \frac{-kx + 8}{x^3}\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen: \(-kx + 8 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{8}{k}\). Dies ist die \(x\)-Koordinate \(x_H\) des Hochpunktes. 3. \(y\)-Koordinate \(y_H\) des Hochpunktes berechnen: \(f_k\left(\frac{8}{k}\right) = \frac{k \cdot \frac{8}{k} - 4}{(\frac{8}{k})^2} = \frac{8 - 4}{\frac{64}{k^2}} = \frac{4k^2}{64} = \frac{k^2}{16}\). 4. Elimination des Parameters \(k\): Aus \(x = \frac{8}{k}\) folgt \(k = \frac{8}{x}\). 5. Einsetzen von \(k\) in die Gleichung für \(y_H\): \(y = \frac{(\frac{8}{x})^2}{16} = \frac{\frac{64}{x^2}}{16} = \frac{4}{x^2}\). Die Gleichung der Ortskurve lautet \(g(x) = \frac{4}{x^2}\).

Die Ortskurve der Hochpunkte hat die Gleichung \(y = \frac{4}{x^2}\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt für alle Werte von \(k\) auf dem Graphen liegt? - Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente erfüllen? - Wie unterscheidet man zwischen Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt? - Wie findet man die Gleichung einer Kurve, auf der bestimmte Punkte einer Schar liegen, wenn man deren Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter kennt?

1. Gemeinsame Punkte: \(f_k(0) = 0\) ist offensichtlich. Für \(x=4\): \(f_k(4) = \frac{64}{6} - \frac{16}{4}(k+2) + 4k = \frac{32}{3} - 4k - 8 + 4k = \frac{32}{3} - \frac{24}{3} = \frac{8}{3}\). Da das Ergebnis unabhängig von \(k\) ist, liegen beide Punkte auf allen Graphen. 2. Waagerechte Tangente bei \(x=2\): Ableitung \(f_k'(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k\). Es gilt \(f_k'(2) = \frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2}(k+2)(2) + k = 2 - (k+2) + k = 0\). 3. Art des Extrempunktes: \(f_k''(x) = x - \frac{1}{2}(k+2)\). Für \(x=2\) ist \(f_k''(2) = 2 - \frac{1}{2}k - 1 = 1 - \frac{1}{2}k\). Ein Extrempunkt liegt vor, wenn \(f_k''(2) \neq 0\), also \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist \(f_k''(2) < 0\), es handelt sich um einen Hochpunkt. Für \(k=2\) liegt ein Sattelpunkt vor. 4. Weiterer Extrempunkt: Nullstellen von \(f_k'(x)\) bestimmen: \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k = 0 \Leftrightarrow x^2 - (k+2)x + 2k = 0\). Mit der \(pq\)-Formel oder durch Faktorisieren erhält man \((x-2)(x-k)=0\). Die zweite Stelle ist somit \(x=k\). Für \(k \neq 2\) ist dies eine einfache Nullstelle von \(f_k'\) mit Vorzeichenwechsel, also ein Extrempunkt. 5. Ortskurve: \(y = f_k(k) = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}(k+2)k^2 + k^2 = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + k^2 = -\frac{1}{12}k^3 + \frac{1}{2}k^2\). Da \(x=k\), ist die Gleichung der Ortskurve \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(x=0\) und \(x=4\) in \(f_k(x)\). b) Waagerechte Tangente, da \(f_k'(2)=0\). Extrempunkt für \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist es ein Hochpunkt. c) Die Nullstellen der Ableitung sind \(x=2\) und \(x=k\). d) \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\)

- Wie lautet die Produktregel für das Ableiten dieser Funktionen? - Wann hat eine quadratische Gleichung genau zwei Lösungen? - Um eine Ortslinie zu finden, kannst du die Bedingung für den Punkt nutzen, um den Parameter \(k\) zu eliminieren. - Kannst du den Term für \(k\) aus der Ableitungsbedingung direkt in die Funktionsgleichung einsetzen, ohne nach \(x\) aufzulösen?

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = (-x^2 - 2x + k) \cdot e^x\) und \(f_k''(x) = (-x^2 - 4x + k - 2) \cdot e^x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = 0 \Leftrightarrow -x^2 - 2x + k = 0\). Die Lösungen sind \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1+k}\). Für \(k>-1\) existieren zwei Extrempunkte. Für \(k=-1\) liegt bei \(x=-1\) nur eine stationäre Stelle ohne Extremum vor; für \(k<-1\) gibt es keine stationäre Stelle. 3. Koordinaten der Extrempunkte für \(k>-1\): Durch Einsetzen von \(x\) in \(f_k(x)\) erhält man \(E_{1,2}(-1 \pm \sqrt{1+k} \mid 2(-1 \pm \sqrt{1+k}) \cdot e^{-1 \pm \sqrt{1+k}})\). 4. Nachweis der Ortslinie der Extrema: Aus \(f_k'(x) = 0\) folgt \(k = x^2 + 2x\). Einsetzen in \(f_k(x)\) ergibt \(y = (x^2 + 2x - x^2) \cdot e^x = 2x \cdot e^x\). Da dies für alle Extremstellen gilt, liegen sie auf dieser Kurve. 5. Wendepunkte bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \Leftrightarrow k = x^2 + 4x + 2\). Für \(k>-2\) gibt es zwei Wendepunkte. Für \(k=-2\) besitzt \(f_k''\) bei \(x=-2\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel; für \(k<-2\) gibt es keine Wendepunkte. 6. Ortslinie der Wendepunkte: Einsetzen von \(k\) in \(f_k(x)\) ergibt \(y = (x^2 + 4x + 2 - x^2) \cdot e^x = (4x + 2) \cdot e^x\). Da \(x=-2\) keinem Wendepunkt entspricht, gilt die Ortslinie für \(x \neq -2\).

a) Für \(k>-1\): \(E_{1,2}(-1 \pm \sqrt{1+k} \mid 2(-1 \pm \sqrt{1+k}) \cdot e^{-1 \pm \sqrt{1+k}})\). Für \(k=-1\) gibt es eine stationäre Stelle ohne Extremum, für \(k<-1\) keine Extrempunkte. b) Nachweis durch Einsetzen von \(k = x^2 + 2x\) in \(f_k(x)\). c) Die Ortslinie der Wendepunkte ist \(y = (4x + 2) \cdot e^x\) für \(x \neq -2\).

- Überlege dir, wie sich der Funktionsterm bei jeder Ableitung verändert. Siehst du ein Muster? - Wie kannst du den Parameter \(k\) in der Gleichung für die x-Koordinate isolieren? - Was passiert mit dem Faktor vor der Exponentialfunktion, wenn du die Produktregel anwendest?

1. Erste Ableitung: \(g_k'(x) = k \cdot e^x + (kx + 1) \cdot e^x = (kx + k + 1) \cdot e^x\). 2. Extremstelle bestimmen: \(g_k'(x) = 0 \Leftrightarrow kx + k + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 - \frac{1}{k}\). 3. y-Koordinate: \(g_k(-1 - \frac{1}{k}) = (k(-1 - \frac{1}{k}) + 1) \cdot e^{-1 - \frac{1}{k}} = (-k - 1 + 1) \cdot e^x = -k \cdot e^x\). Der Extrempunkt ist \(E_k(-1 - \frac{1}{k} \mid -k \cdot e^{-1 - \frac{1}{k}})\). 4. Ortslinie: Aus \(x = -1 - \frac{1}{k}\) folgt \(x+1 = -\frac{1}{k}\), also \(k = -\frac{1}{x+1}\). Einsetzen in den Ausdruck für \(y\) (Schritt 3): \(y = -(-\frac{1}{x+1}) \cdot e^x = \frac{e^x}{x+1}\). 5. Ableitungsgesetz: Höhere Ableitungen bilden: \(g_k''(x) = (kx + 2k + 1) \cdot e^x\), \(g_k'''(x) = (kx + 3k + 1) \cdot e^x\). 6. Vermutung: \(g_k^{(n)}(x) = (kx + nk + 1) \cdot e^x\). Begründung: Bei jeder weiteren Ableitung kommt durch die Produktregel (Ableiten des linearen Terms) ein Summand \(k \cdot e^x\) hinzu, während der Rest des Terms durch das Ableiten von \(e^x\) erhalten bleibt.

a) \(E_k(-1 - \frac{1}{k} \mid -k \cdot e^{-1 - \frac{1}{k}})\) b) Nachweis über \(k = -\frac{1}{x+1}\) und Einsetzen in \(y = -k \cdot e^x\). c) \(g_k^{(n)}(x) = (kx + nk + 1) \cdot e^x\); Begründung über die fortlaufende Addition von \(k\) im Linearfaktor bei jeder Differentiation.

- Überlege zuerst, in welchem Bereich die Fläche im 1. Quadranten liegt, indem du die Nullstellen bestimmst. - Nutze die Produktregel und beachte die Kettenregel beim Ableiten von \(e^{-x}\). - Untersuche, was passiert, wenn die beiden berechneten x-Stellen der Extrema zusammenfallen. - Um die Ortslinie zu finden, kannst du die x-Koordinate des Extrempunkts als Variable nutzen und in die y-Koordinate einsetzen.

1. Für \(k = 3\) ist \(g_3(x) = (x^2 - 2x + 1) \cdot e^{-x}\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 1\), der \(y\)-Achsenabschnitt bei \(y = 1\). Das Integral \(\int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) \cdot e^{-x} \, dx\) mit der Stammfunktion \(G(x) = (-x^2 - 1) \cdot e^{-x}\) ergibt \(G(1) - G(0) = -2e^{-1} - (-1) = 1 - \frac{2}{e} \approx 0{,}264\). 2. Ableitung bilden: \(g_k'(x) = (2x + 1-k - (x^2 + (1-k)x + 1)) \cdot e^{-x} = (-x^2 + (k+1)x - k) \cdot e^{-x}\). Nullsetzen der Klammer: \(x^2 - (k+1)x + k = 0\). Mit der pq-Formel folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = k\). 3. Für \(k = 1\) liegt bei \(x = 1\) ein Sattelpunkt vor, da die Ableitung dort eine doppelte Nullstelle hat. Für \(k \neq 1\) gibt es zwei Extrempunkte: \(E_1(1 \mid (3-k)e^{-1})\) und \(E_2(k \mid (k+1)e^{-k})\). 4. Für den Extrempunkt \(E_2\) gilt \(x = k\). Einsetzen von \(k = x\) in die \(y\)-Koordinate liefert direkt die Ortslinie \(y = (x+1) \cdot e^{-x}\) für \(x \neq 1\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(1 - \frac{2}{e} \approx 0{,}264\,\text{FE}\). b) Für \(k \neq 1\) gibt es zwei Extrempunkte bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = k\). Die Koordinaten sind \(E_1(1 \mid (3-k)e^{-1})\) und \(E_2(k \mid (k+1)e^{-k})\). Für \(k = 1\) gibt es keine Extrempunkte (Sattelpunkt bei \(x = 1\)). c) Die Ortslinie ist \(y = (x+1) \cdot e^{-x}\) für \(x \neq 1\).

- Was muss für den Funktionsterm gelten, damit der Wert an einer Stelle \(x\) nicht von \(k\) abhängt? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines stationären Punktes zu bestimmen? - Was passiert, wenn die zweite Ableitung an einer Stelle genau null ergibt? Welche weiteren Kriterien kannst du dann heranziehen?

1. Ein Punkt ist gemeinsam, wenn \(g_k(x)\) unabhängig von \(k\) ist. Die Gleichung \(g_k(x) = g_m(x)\) führt auf \(kx^2 e^{-x} = mx^2 e^{-x}\), was für \(k \neq m\) nur für \(x = 0\) gilt. Da \(g_k(0) = 0\) für alle \(k\), ist der gemeinsame Punkt \(S(0|0)\). 2. Die erste Ableitung ist \(g_k'(x) = (-2x^3 + (6-k)x^2 + 2kx) e^{-x}\). Für \(x = 0\) gilt \(g_k'(0) = 0\), was den stationären Punkt bestätigt. Die zweite Ableitung an der Stelle \(0\) ist \(g_k''(0) = 2k\). - Falls \(k > 0\), ist \(g_k''(0) > 0\), also liegt ein lokales Minimum vor. - Falls \(k < 0\), ist \(g_k''(0) < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. - Falls \(k = 0\), ist \(g_0(x) = 2x^3 e^{-x}\). Die erste Ableitung \(g_0'(x) = (6x^2 - 2x^3) e^{-x} = 2x^2(3-x)e^{-x}\) hat bei \(x=0\) keinen Vorzeichenwechsel (da \(x^2 \ge 0\)), somit liegt ein Sattelpunkt vor.

1. Gemeinsamer Schnittpunkt: \((0|0)\) 2. Für \(k > 0\): lokales Minimum; für \(k < 0\): lokales Maximum; für \(k = 0\): Sattelpunkt.

- Nutze die Quotientenregel oder die Kettenregel zur Bestimmung der Ableitungen. - Setze die Funktionsterme gleich und versuche, die Gleichung durch eine Substitution zu vereinfachen. - Wann hat eine Gleichung der Form \(x^2 = z\) genau zwei, keine oder eine Lösung? - Untersuche die Diskriminante des resultierenden quadratischen Ausdrucks. - Wann liegt eine Parabel vollständig oberhalb oder auf der horizontalen Achse?

1. Erste Ableitung: \(g_a'(x) = -a(x^2 + a)^{-2} \cdot 2x = -2ax(x^2 + a)^{-2}\). Zweite Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: \(g_a''(x) = -2a(x^2 + a)^{-2} + (-2ax) \cdot (-2)(x^2 + a)^{-3} \cdot 2x = \frac{-2a(x^2 + a) + 8ax^2}{(x^2 + a)^3} = \frac{6ax^2 - 2a^2}{(x^2 + a)^3}\). 2. Die Gleichung \(\frac{a}{x^2 + a} = \frac{6ax^2 - 2a^2}{(x^2 + a)^3}\) führt für \(a > 0\) auf \((x^2 + a)^2 = 6x^2 - 2a\). Mit \(z = x^2\) ergibt sich \(z^2 + (2a - 6)z + (a^2 + 2a) = 0\). Die Diskriminante ist \(D = (2a - 6)^2 - 4(a^2 + 2a) = 36 - 32a\). Genau zwei Lösungen für \(x\) ergeben sich, wenn die quadratische Gleichung in \(z\) genau eine positive Lösung besitzt. Dies ist für \(D = 0\) der Fall, also \(36 - 32a = 0 \Rightarrow a = 1{,}125\). Hierbei ist \(z = \frac{-(2 \cdot 1{,}125 - 6)}{2} = 1{,}875 > 0\). 3. Die Bedingung \(g_a(x) \ge g_a''(x)\) ist äquivalent zu \(z^2 + (2a - 6)z + a^2 + 2a \ge 0\) für alle \(z \ge 0\). Da der Scheitelpunkt bei \(z_S = 3 - a\) liegt und der \(y\)-Achsenabschnitt \(a^2 + 2a > 0\) ist, ist die Parabel für alle \(z \ge 0\) nichtnegativ, wenn sie keine zwei verschiedenen positiven Nullstellen hat. Dies ist gewährleistet, wenn \(D \le 0\) gilt, also \(36 - 32a \le 0 \Rightarrow a \ge 1{,}125\).

1. Nachweis durch Differentiation. 2. \(a = 1{,}125\) 3. \(a \ge 1{,}125\)