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- Überlege, welchen kleinsten Wert eine nach oben geöffnete Parabel annimmt. - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, das Steigungsverhalten zu beschreiben? - Welche Steigung hat die Gerade \(y = 2x\)? - An welcher Stelle \(x\) hat die Funktion \(f_k\) genau diese Steigung? - Wie berechnest du die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Graphen?

1. Da \(f_k\) eine ganzrationale Funktion ist, gilt \(D = \mathbb{R}\). Da der Scheitelpunkt bei \(S(0|k)\) liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist (\(\frac{1}{k} > 0\)), ist die Wertemenge \(W = [k; \infty[\). 2. Die Ableitung ist \(f_k'(x) = \frac{2}{k}x\). Für \(x < 0\) ist \(f_k'(x) < 0\), daher ist die Funktion für \(x \leq 0\) streng monoton fallend. Für \(x > 0\) ist \(f_k'(x) > 0\), daher ist die Funktion für \(x \geq 0\) streng monoton steigend. 3. Die Steigung der Tangente \(y = 2x\) ist \(m = 2\). Aus dem Ansatz \(f_k'(x) = 2\) folgt \(\frac{2}{k}x = 2\), woraus sich die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes \(x_B = k\) ergibt. 4. Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(f_k(k) = \frac{1}{k} \cdot k^2 + k = k + k = 2k\). Der Berührpunkt ist somit \(B_k(k | 2k)\). Zur Verifizierung: Der Punkt liegt auch auf der Geraden \(y = 2x\), da \(2 \cdot k = 2k\) gilt.

a) \(D = \mathbb{R}\); \(W = [k; \infty[\) b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 0]\) und streng monoton steigend für \(x \in [0; \infty[\). c) \(B_k(k | 2k)\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Graphen in einem Punkt berühren? - Welche Bedingungen müssen für die Funktionswerte und die Steigungen an der Berührstelle gelten? - Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 2. Grades? - Wie viele Parameter bleiben nach Anwendung der Berührbedingungen im Punkt \(P\) noch frei wählbar? - Welche Bedingung muss für den Leitkoeffizienten gelten, damit der Grad der Funktion tatsächlich 2 ist?

1. Bestimmung des Funktionswerts und der Steigung von \(f\) an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = e^0 + 1 = 2\) und \(f'(x) = 2e^{2x}\), woraus \(f'(0) = 2\) folgt. 2. Aufstellen der Bedingungen für die Funktion \(p(x) = ax^2 + bx + c\): Aus der Berührbedingung \(p(0) = f(0)\) folgt \(c = 2\). Aus der Bedingung gleicher Steigung \(p'(0) = f'(0)\) folgt mit \(p'(x) = 2ax + b\), dass \(b = 2\) ist. 3. Berücksichtigung der Definition einer Funktion 2. Grades: Der Koeffizient \(a\) darf nicht Null sein (\(a \neq 0\)). 4. Zusammenfassen zum Funktionsterm: \(p_a(x) = ax^2 + 2x + 2\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(p_a(x) = ax^2 + 2x + 2\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Überlege zuerst, wie du den y-Wert des Punktes auf dem Graphen berechnen kannst. - Welche Ableitungsregel ist für diesen Funktionstyp besonders geeignet? - Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Wie hängen die Steigungen von zwei Geraden zusammen, die senkrecht aufeinander stehen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Geradengleichungen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = (2 - 0) \cdot e^0 = 2 \cdot 1 = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(0 | 2)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung mittels Produktregel: \(f'(x) = -1 \cdot e^x + (2 - x) \cdot e^x = (1 - x)e^x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(0) = (1 - 0)e^0 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(t(x) = 1 \cdot (x - 0) + 2 = x + 2\). 5. Bestimmung der Normalensteigung über die Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(n(x) = -1 \cdot (x - 0) + 2 = -x + 2\).

Tangente: \(t(x) = x + 2\) Normale: \(n(x) = -x + 2\)

- Bestimme zuerst den zugehörigen Punkt auf dem Graphen der Funktion. - Welche Regel musst du anwenden, um eine Funktion zu differenzieren, die als Bruch dargestellt ist? - Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung an der betrachteten Stelle. - Erinnere dich an die Beziehung zwischen den Steigungen einer Tangente und einer Normalen im selben Punkt. - Setze die gefundenen Werte in die allgemeine Form einer linearen Funktion ein.

1. Bestimmung des Punktes auf dem Graphen: \(f(3) = \frac{3^2}{3 - 2} = \frac{9}{1} = 9\). Der Punkt ist \(P(3 | 9)\). 2. Ableitung der Funktion mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{2x(x - 2) - x^2 \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2}\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f'(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3}{(3 - 2)^2} = \frac{9 - 12}{1} = -3\). 4. Tangentengleichung aufstellen: \(y = -3(x - 3) + 9 = -3x + 18\). 5. Berechnung der Normalensteigung: \(m_n = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}\). 6. Normalengleichung aufstellen: \(y = \frac{1}{3}(x - 3) + 9 = \frac{1}{3}x - 1 + 9 = \frac{1}{3}x + 8\).

Tangente: \(t(x) = -3x + 18\) Normale: \(n(x) = \frac{1}{3}x + 8\)

- Wie gehst du vor, um Punkte zu finden, die auf beiden Graphen liegen? - Erinnere dich an die Substitution, um Gleichungen mit \(e^x\) und \(e^{-x}\) zu lösen. - Was muss für die Funktionswerte und die Ableitungswerte an einer Stelle gelten, damit sich zwei Graphen dort berühren? - Parallele Geraden haben eine ganz bestimmte Eigenschaft bezüglich ihrer Steigung.

1. Berechnung des Schnittpunkts: Ansatz \(f(x) = g(x) \Rightarrow e^x = 2 - e^{-x}\). Multiplikation mit \(e^x\) führt auf \(e^{2x} - 2e^x + 1 = 0\). Mit der Substitution \(u = e^x\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(u^2 - 2u + 1 = 0\), deren einzige Lösung \(u = 1\) ist. Rücksubstitution liefert \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). Der Funktionswert ist \(f(0) = e^0 = 1\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 1)\). 2. Vergleich der Steigungen: Die Ableitungen sind \(f'(x) = e^x\) und \(g'(x) = e^{-x}\). An der Stelle \(x = 0\) gilt \(f'(0) = e^0 = 1\) und \(g'(0) = e^{-0} = 1\). Da sowohl der Funktionswert als auch die Steigung am Punkt \(S\) übereinstimmen, berühren sich die Graphen in diesem Punkt. 3. Parallele Tangenten: Der Ansatz \(f'(x) = g'(x)\) führt auf \(e^x = e^{-x}\). Durch Logarithmieren oder Multiplikation mit \(e^x\) folgt \(e^{2x} = 1\), was nur für \(x = 0\) erfüllt ist. Es gibt somit keine weiteren Stellen mit parallelen Tangenten.

a) \(S(0 \mid 1)\) b) \(f'(0) = 1\) und \(g'(0) = 1\). Da Punkt und Steigung gleich sind, berühren sich die Graphen in \(S\). c) Nein, \(x = 0\) ist die einzige Stelle.

- Überlege, welche Eigenschaft der Funktionsgleichung vorliegen muss, damit Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse herrscht. - Für die Wendepunkte benötigst du die zweite Ableitung der Funktion. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form, um die Geradengleichungen der Tangenten aufzustellen. - Skizziere dir gedanklich die Lage der Tangenten und der \(x\)-Achse, um die Grundseite und die Höhe des Dreiecks zu identifizieren.

1. Symmetrie: Wegen \(f(-x) = 4 \cdot e^{-0{,}5(-x)^2} = 4 \cdot e^{-0{,}5x^2} = f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Wendepunkte: Ableitungen bilden: \(f'(x) = -4x \cdot e^{-0{,}5x^2}\) und \(f''(x) = (4x^2 - 4) \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(x^2 - 1 = 0\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Die \(y\)-Koordinaten sind \(f(1) = f(-1) = 4 \cdot e^{-0{,}5} = \frac{4}{\sqrt{e}}\). Die Wendepunkte sind \(W_1(1 | \frac{4}{\sqrt{e}})\) und \(W_2(-1 | \frac{4}{\sqrt{e}})\). 3. Wendetangenten: Steigung in \(W_1\) ist \(m = f'(1) = -4 \cdot e^{-0{,}5} = -\frac{4}{\sqrt{e}}\). Tangentengleichung \(t_1: y = -\frac{4}{\sqrt{e}}(x - 1) + \frac{4}{\sqrt{e}} = -\frac{4}{\sqrt{e}}x + \frac{8}{\sqrt{e}}\). Aufgrund der Symmetrie ist \(t_2: y = \frac{4}{\sqrt{e}}x + \frac{8}{\sqrt{e}}\). 4. Dreiecksgeometrie: Die Tangenten schneiden sich auf der \(y\)-Achse bei \(y_S = \frac{8}{\sqrt{e}}\) (Höhe). Die Nullstellen der Tangenten liegen bei \(x = \pm 2\), woraus sich eine Grundseite auf der \(x\)-Achse der Länge \(g = 4\) ergibt. 5. Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{8}{\sqrt{e}} = \frac{16}{\sqrt{e}}\).

a) \(f(-x) = f(x)\), daher Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. b) \(W_1(1 | \frac{4}{\sqrt{e}})\) und \(W_2(-1 | \frac{4}{\sqrt{e}})\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{16}{\sqrt{e}}\) Flächeneinheiten.

- Was weißt du über den Wertebereich der natürlichen Exponentialfunktion? - Nutze die Kettenregel für die Ableitung von \(e^{f(x)}\). - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Ableitung überall positiv ist? - Wie lautet die Funktionsgleichung einer Geraden, die durch den Punkt \((0|0)\) verläuft und eine bestimmte Steigung hat? - Setze die Steigung der Funktion gleich der Steigung der Geraden, um die Berührstelle zu finden.

1. Die Exponentialfunktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert, also \(D = \mathbb{R}\). Da \(a > 0\) und der Exponentialausdruck stets positiv ist, gilt für die Wertemenge \(W = ]0; \infty[\). 2. Die erste Ableitung berechnet sich mit der Kettenregel zu \(g_a'(x) = a \cdot e^{\frac{x}{a} - 1} \cdot \frac{1}{a} = e^{\frac{x}{a} - 1}\). Da die \(e\)-Funktion für alle reellen Exponenten positive Werte liefert, gilt \(g_a'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(g_a\) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. 3. Eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(1\) hat die Gleichung \(y = x\). 4. Um den Berührpunkt zu finden, setzt man die Ableitung gleich der Steigung: \(g_a'(x) = 1 \Rightarrow e^{\frac{x}{a} - 1} = 1\). Da \(e^0 = 1\), muss der Exponent null sein: \(\frac{x}{a} - 1 = 0 \Rightarrow x = a\). 5. Die \(y\)-Koordinate des Berührpunktes ist \(g_a(a) = a \cdot e^{\frac{a}{a} - 1} = a \cdot e^0 = a\). Der Berührpunkt ist \(B_a(a | a)\). Da \(a = a\) gilt, liegt dieser Punkt tatsächlich auf der Geraden \(y = x\).

a) \(D = \mathbb{R}\); \(W = ]0; \infty[\) b) Die Funktionen \(g_a\) sind auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. c) Gleichung der Geraden: \(y = x\); Berührpunkt: \(B_a(a | a)\)

- Wie hängen die Steigung des Graphen und die erste Ableitung der Funktion zusammen? - Beachte bei der Suche nach möglichen Steigungswerten den Definitionsbereich der Funktion. - Eine Tangente durch den Ursprung erfüllt die Bedingung \(y = m \cdot x\). Setze den allgemeinen Punkt der Tangentengleichung in diese Form ein. - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere für welche Werte er definiert ist.

1. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 3 + \frac{2}{x}\). 2. Bedingung für Steigung \(5\): \(3 + \frac{2}{x} = 5 \Rightarrow \frac{2}{x} = 2 \Rightarrow x = 1\). Funktionswert: \(f(1) = 3 \cdot 1 + 2 \ln(1) = 3\). Punkt: \(P(1|3)\). 3. Untersuchung für Steigung \(2\): \(3 + \frac{2}{x} = 2 \Rightarrow \frac{2}{x} = -1\). Da \(x > 0\) im Definitionsbereich gilt, ist \(\frac{2}{x}\) stets positiv. Die Gleichung hat keine Lösung, somit gibt es keinen solchen Punkt. 4. Tangente durch den Ursprung: Ansatz für die Tangente an der Stelle \(u\) ist \(y = f'(u)(x - u) + f(u)\). Da sie durch \((0|0)\) verläuft, gilt \(0 = (3 + \frac{2}{u})(-u) + 3u + 2\ln(u)\). 5. Vereinfachung: \(0 = -3u - 2 + 3u + 2\ln(u) \Rightarrow 0 = -2 + 2\ln(u) \Rightarrow \ln(u) = 1 \Rightarrow u = e\). 6. Tangentengleichung: \(f'(e) = 3 + \frac{2}{e}\). Da die Gerade durch den Ursprung geht, lautet die Gleichung \(y = (3 + \frac{2}{e}) \cdot x\).

a) \(P(1|3)\) b) Nein, da die Gleichung \(3 + \frac{2}{x} = 2\) auf \(x = -2\) führt, was nicht im Definitionsbereich \(D = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\}\) liegt. c) \(y = (3 + \frac{2}{e})x\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einem beliebigen Punkt \(x_0\)? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Gerade durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Kannst du in der entstandenen Gleichung einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Überlege, warum der Faktor mit der Exponentialfunktion niemals null werden kann.

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f_k'(x) = \frac{1}{k} \cdot e^x\). 2. Allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\) aufstellen: \(y = f_k'(x_0) \cdot (x - x_0) + f_k(x_0)\). 3. Koordinaten des Punktes \(P(k | 0)\) in die Tangentengleichung einsetzen: \(0 = \frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \cdot (k - x_0) + \frac{1}{k} \cdot e^{x_0}\). 4. Die Gleichung nach \(x_0\) auflösen: Ausklammern führt zu \(0 = \frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \cdot (k - x_0 + 1)\). Da \(\frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \neq 0\), folgt \(k - x_0 + 1 = 0\), also \(x_0 = k + 1\). 5. Tangentengleichung bestimmen: Einsetzen von \(x_0\) ergibt \(y = \frac{1}{k} \cdot e^{k+1} \cdot (x - (k+1)) + \frac{1}{k} \cdot e^{k+1}\), was zu \(y = \frac{e^{k+1}}{k} \cdot (x - k)\) vereinfacht wird.

Die Berührstelle ist \(x_0 = k + 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = \frac{e^{k+1}}{k} \cdot (x - k)\).

- Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Punkt \(P\) auf dem Graphen der Funktion liegt? - Die Tangente berührt den Graphen im Punkt \(P(2 | 0)\). Was bedeutet das für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse? - Wie kannst du aus dem Flächeninhalt des Dreiecks und dem Schnittpunkt auf der \(x\)-Achse den Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse bestimmen? - Nutze die beiden Achsenschnittpunkte, um die Steigung der Tangente zu berechnen, und vergleiche diese mit der Ableitung an der Stelle \(x = 2\).

1. Da \(P(2 | 0)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(f_{a, b}(2) = 0\), woraus die Gleichung \(4a + 2b + 5 = 0\) bzw. \(4a + 2b = -5\) folgt. 2. Da der Punkt \(P(2 | 0)\) auf der \(x\)-Achse liegt, ist die Nullstelle der Tangente \(x_0 = 2\). 3. Für den Flächeninhalt im I. Quadranten gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot y_0 = 6\). Einsetzen von \(x_0 = 2\) ergibt den \(y\)-Achsenabschnitt \(y_0 = 6\). 4. Die Steigung \(m\) der Tangente durch die Achsenschnittpunkte \((2 | 0)\) und \((0 | 6)\) beträgt \(m = \frac{0 - 6}{2 - 0} = -3\). 5. Mit \(f_{a, b}'(x) = 2ax + b\) folgt an der Stelle \(x = 2\) die Bedingung \(f_{a, b}'(2) = 4a + b = -3\). 6. Das Lösen des Gleichungssystems \(4a + 2b = -5\) und \(4a + b = -3\) ergibt durch Subtraktion \(b = -2\) und durch Einsetzen \(a = -0{,}25\).

\(a = -0{,}25\) und \(b = -2\)

- Setze den Punkt \(P\) in die Funktionsgleichung ein, um eine erste Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) zu erhalten. - Überlege dir die Koordinaten der beiden Punkte, an denen die Tangente die Koordinatenachsen schneidet. Einer dieser Punkte ist bereits gegeben. - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion an der Stelle \(x = 1\) zusammen? - Du erhältst zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Welches Verfahren eignet sich hier am besten zum Lösen?

1. Aus \(g_{a, b}(1) = 0\) folgt die Gleichung \(a + b + 1 = 0\) bzw. \(a + b = -1\). 2. Der Berührpunkt \(P(1 | 0)\) ist gleichzeitig die Nullstelle der Tangente, also \(x_0 = 1\). 3. Aus dem Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot y_0 = 2\) folgt mit \(x_0 = 1\) ein \(y\)-Achsenabschnitt der Tangente von \(y_0 = 4\). 4. Die Steigung der Tangente durch \((1 | 0)\) und \((0 | 4)\) ist \(m = \frac{0 - 4}{1 - 0} = -4\). 5. Die Ableitungsfunktion \(g_{a, b}'(x) = 3ax^2 + b\) liefert an der Stelle \(x = 1\) die Gleichung \(3a + b = -4\). 6. Das lineare Gleichungssystem bestehend aus \(a + b = -1\) und \(3a + b = -4\) führt durch Subtraktion auf \(2a = -3\), woraus \(a = -1{,}5\) und folglich \(b = 0{,}5\) resultieren.

\(a = -1{,}5\) und \(b = 0{,}5\)

- Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? Was bedeutet das für ihre Steigungen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Versuche, die Geradengleichung zuerst in die Form \(y = mx + b\) zu bringen. - Welche Ableitungsregel eignet sich am besten für einen Bruch?

1. Bestimmung der Steigung der Geraden \(g\): Die Gleichung \(6x + y = 4\) wird nach \(y\) umgeformt zu \(y = -6x + 4\). Die Steigung beträgt somit \(m = -6\). 2. Berechnung der Ableitung \(f'(x)\) mithilfe der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{4 \cdot (x - 1) - (4x + 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{4x - 4 - 4x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-6}{(x - 1)^2}\). 3. Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung der Geraden: \(\frac{-6}{(x - 1)^2} = -6\) führt auf \((x - 1)^2 = 1\). 4. Lösen der Gleichung: \(x - 1 = 1 \implies x_1 = 2\) \(x - 1 = -1 \implies x_2 = 0\). Die Tangente ist an den Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 0\) parallel zur Geraden \(g\).

Die Tangente ist an den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) parallel zur Geraden \(g\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer linearen Funktion und der Steigung einer Tangente. - Wie leitest du eine verkettete Funktion mit dem natürlichen Logarithmus ab? - Stelle die Geradengleichung so um, dass du die Steigung direkt ablesen kannst. - Nach dem Gleichsetzen erhältst du eine Gleichung. Welchen Typ von Gleichung musst du hier lösen?

1. Bestimmung der Steigung von \(h\): Umformen von \(x - 2y = 5\) ergibt \(2y = x - 5\) bzw. \(y = 0{,}5x - 2{,}5\). Die Steigung ist \(m = 0{,}5\). 2. Berechnung der Ableitung \(f'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 3} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 3}\). 3. Ansatz \(f'(x) = m\): \(\frac{2x}{x^2 + 3} = 0{,}5 \implies 2x = 0{,}5(x^2 + 3) \implies 4x = x^2 + 3\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\): Mittels der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((x - 1)(x - 3) = 0\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Da \(x^2 + 3\) für alle reellen Zahlen positiv ist, liegen beide Stellen im Definitionsbereich.

Die gesuchten Stellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\).

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung einer Funktion erfüllen, damit die Tangente parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Nutze die Produktregel für die Ableitung. Erinnert dich die Struktur der Ableitung an ein bekanntes Additionstheorem für Sinus oder Kosinus? - Achte beim Lösen der trigonometrischen Gleichung darauf, dass es innerhalb eines Intervalls von \(\pi\) mehrere Lösungen geben kann.

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Produkt- und Kettenregel: \(g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \sin(x) \cdot \sin(x - \frac{\pi}{6})\). 2. Vereinfachung des Terms durch Anwendung des Additionstheorems \(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\): \(g'(x) = \cos(x + (x - \frac{\pi}{6})) = \cos(2x - \frac{\pi}{6})\). 3. Ansatz für waagerechte Tangenten \(g'(x) = 0\): \(\cos(2x - \frac{\pi}{6}) = 0\). 4. Bestimmung der Nullstellen der Kosinusfunktion: \(2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 5. Auflösen nach \(x\): \(2x = \frac{2\pi}{3} + k \cdot \pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k \cdot \frac{\pi}{2}\). 6. Auswahl der Werte im Intervall \([0; \pi]\): Für \(k = 0\) ergibt sich \(x_1 = \frac{\pi}{3}\), für \(k = 1\) ergibt sich \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\).

Die Stellen mit waagerechter Tangente im Intervall \([0; \pi]\) sind \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\).

- Was benötigst du alles, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten der e-Funktion. - Wie findet man die Nullstelle einer linearen Funktion? - Welche Maße des Dreiecks lassen sich direkt aus den Achsenschnittpunkten ablesen?

1. Funktionswert berechnen: \(f(4) = 4 \cdot e^{-0{,}25 \cdot 4} = 4 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}\). Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 4 \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25x} = -e^{-0{,}25x}\). Steigung an der Stelle \(x_0 = 4\) berechnen: \(f'(4) = -e^{-0{,}25 \cdot 4} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}\). Tangentengleichung aufstellen: \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \implies y = -\frac{1}{e} \cdot (x - 4) + \frac{4}{e} = -\frac{1}{e}x + \frac{4}{e} + \frac{4}{e} = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e}\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(x = 0\) einsetzen ergibt \(S_y(0 | \frac{8}{e})\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e} \implies \frac{1}{e}x = \frac{8}{e} \implies x = 8\). Somit \(S_x(8 | 0)\). 3. Das Dreieck hat die Kathetenlängen \(a = 8\) (Abstand des Schnittpunkts auf der \(x\)-Achse zum Ursprung) und \(b = \frac{8}{e}\) (Abstand des Schnittpunkts auf der \(y\)-Achse zum Ursprung). Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{e} = \frac{32}{e} \approx 11{,}77\).

1. Tangentengleichung: \(t: y = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e}\) 2. Schnittpunkte: \(S_x(8 | 0)\) und \(S_y(0 | \frac{8}{e})\) 3. Flächeninhalt: \(A = \frac{32}{e} \approx 11{,}77\,\text{FE}\)

- Überlege dir zuerst, welchen \(x\)-Wert du in die Tangentengleichung einsetzen musst, um den gesuchten Logarithmuswert zu erhalten. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Lage der Tangente im Vergleich zum Graphen aus? - Skizziere dir grob den Verlauf einer rechtsgekrümmten Funktion und ihrer Tangente.

1. Funktionswert und Ableitung an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = \ln(1) = 0\). Die Ableitung ist \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\), also \(f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1\). 2. Tangentengleichung aufstellen: \(t(x) = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0) = 1 \cdot x + 0\), also \(t(x) = x\). Dies liefert die Näherung \(\ln(x+1) \approx x\) für \(x\) nahe \(0\). 3. Berechnung der Näherungswerte: - Für \(\ln(1{,}1)\) ist \(x = 0{,}1\), also \(\ln(1{,}1) \approx 0{,}1\). - Für \(\ln(1{,}02)\) ist \(x = 0{,}02\), also \(\ln(1{,}02) \approx 0{,}02\). - Für \(\ln(0{,}95)\) ist \(x = -0{,}05\), also \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}05\). 4. Krümmungsverhalten und Fehlerabschätzung: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\). Da \(f''(x) < 0\) für alle \(x > -1\), ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt (konkav). Die Tangente liegt somit oberhalb des Graphen. Folglich sind alle berechneten Näherungswerte größer als die tatsächlichen Funktionswerte.

a) \(t(x) = x\) b) \(\ln(1{,}1) \approx 0{,}1\); \(\ln(1{,}02) \approx 0{,}02\); \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}05\) c) Wegen \(f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt. Die Tangente liegt oberhalb des Graphen, daher sind die Näherungswerte größer als die exakten Werte.

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an der Stelle \(x_0\). - Wie hängen die Krümmung eines Graphen und die Lage der Tangente zusammen? - Setze die \(x\)-Werte direkt in deine gefundene Geradengleichung ein.

1. Punkt und Steigung bestimmen: \(g(4) = \sqrt{4} = 2\). Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), woraus folgt \(g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Tangentengleichung \(L(x)\) aufstellen: \(L(x) = g'(4)(x - 4) + g(4) = 0{,}25(x - 4) + 2 = 0{,}25x + 1\). 3. Näherungswerte berechnen: - \(L(4{,}1) = 0{,}25 \cdot 0{,}1 + 2 = 0{,}025 + 2 = 2{,}025\) - \(L(4{,}04) = 0{,}25 \cdot 0{,}04 + 2 = 0{,}01 + 2 = 2{,}01\) - \(L(3{,}9) = 0{,}25 \cdot (-0{,}1) + 2 = -0{,}025 + 2 = 1{,}975\) 4. Begründung der Überschätzung: Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}\). Für \(x > 0\) ist \(g''(x) < 0\). Der Graph ist somit rechtsgekrümmt (konkav), weshalb die Tangente (außer im Berührpunkt) überall oberhalb des Graphen verläuft. Die Werte der Tangente sind daher größer als die der Wurzelfunktion.

a) \(L(x) = 0{,}25x + 1\) b) \(\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}025\); \(\sqrt{4{,}04} \approx 2{,}01\); \(\sqrt{3{,}9} \approx 1{,}975\) c) Da \(g''(x) = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} < 0\) für \(x > 0\) gilt, ist der Graph rechtsgekrümmt. Die Tangente liegt über dem Graphen, was zu einer Überschätzung führt.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Denke beim Ableiten an die Kettenregel. - Was kennzeichnet den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(x\)-Achse? - Überlege, wie der Abstand zwischen den Stellen \(x_0\) und \(x_S\) von \(x_0\) abhängt.

1. Die Ableitung der Funktion \(f(x) = e^{2x}\) lautet nach der Kettenregel \(f'(x) = 2e^{2x}\). Die Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\) ergibt sich mit \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\) zu \(y = 2e^{2x_0} \cdot (x - x_0) + e^{2x_0}\). Durch Ausklammern erhält man \(y = e^{2x_0} \cdot (2x - 2x_0 + 1)\). 2. Zur Bestimmung der Nullstelle der Tangente setzt man \(y = 0\). Da \(e^{2x_0} \neq 0\) für alle \(x_0 \in \mathbb{R}\), muss der Klammerausdruck null sein: \(2x - 2x_0 + 1 = 0\). Umstellen nach \(x\) liefert \(2x = 2x_0 - 1\), woraus \(x_S = x_0 - 0{,}5\) folgt. 3. Um die Tangente im Punkt \(P(x_0 \mid f(x_0))\) zu konstruieren, markiert man auf der \(x\)-Achse den Punkt \(x_S\), der genau \(0{,}5\) Einheiten links von der Stelle \(x_0\) liegt. Die Gerade durch die Punkte \((x_0 - 0{,}5 \mid 0)\) und \(P(x_0 \mid f(x_0))\) ist die gesuchte Tangente.

1. \(t: y = 2e^{2x_0} \cdot (x - x_0) + e^{2x_0}\) oder \(y = e^{2x_0} \cdot (2x - 2x_0 + 1)\) 2. Nachweis durch Nullsetzen: \(0 = 2e^{2x_0}(x - x_0) + e^{2x_0} \implies 0 = 2x - 2x_0 + 1 \implies x_S = x_0 - 0{,}5\). 3. Man findet den Achsenschnittpunkt der Tangente, indem man von der Stelle \(x_0\) aus eine halbe Einheit nach links geht. Die Verbindung dieses Punktes auf der \(x\)-Achse mit dem Kurvenpunkt \(P\) ergibt die Tangente.

- Wie hängen die Steigungen paralleler Geraden zusammen? - Kannst du die Geradengleichung so umformen, dass du die Steigung direkt ablesen kannst? - Welche Ableitungsregel ist für diesen Funktionstyp am besten geeignet? - Wie findest du die \(y\)-Koordinate eines Punktes, wenn du die \(x\)-Stelle bereits berechnet hast?

1. Umformen der Geradengleichung \(3x + y - 5 = 0\) nach \(y = -3x + 5\) liefert die Steigung \(m = -3\). 2. Ableitung von \(f\) mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - 1 \cdot (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}\). 3. Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung: \(\frac{-3}{(x-1)^2} = -3 \implies (x-1)^2 = 1\). 4. Lösen der Gleichung ergibt \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 5. Berechnung der Funktionswerte: \(f(0) = -2\) und \(f(2) = 4\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0 \mid -2)\) und \(P_2(2 \mid 4)\). 6. Aufstellen der Tangentengleichungen mittels \(y = m(x - x_0) + y_0\): \(t_1: y = -3x - 2\) und \(t_2: y = -3(x-2) + 4 = -3x + 10\).

Punkte: \(P_1(0 \mid -2)\) und \(P_2(2 \mid 4)\) Tangentengleichungen: \(y = -3x - 2\) und \(y = -3x + 10\)

- Überlege dir, wie die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(u\) aussieht. - Nutze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P\), um die Unbekannte \(u\) zu bestimmen. - Skizziere die Situation grob, um die Integrationsgrenzen und die Lage der Funktionen zueinander zu erkennen. - Achte beim Integrieren auf die richtige Stammfunktion der Exponentialfunktion.

1. Bestimmung des Berührpunktes \(B(u|f(u))\): Die Tangentengleichung lautet allgemein \(y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)\). Mit \(f'(x) = e^{0{,}5x}\) und dem Punkt \(P(2|0)\) ergibt sich die Bedingung \(0 = e^{0{,}5u} \cdot (2 - u) + 2 \cdot e^{0{,}5u}\). 2. Lösen der Gleichung: \(e^{0{,}5u} \cdot (2 - u + 2) = 0 \implies 4 - u = 0 \implies u = 4\). Der Berührpunkt ist \(B(4|2e^2)\). 3. Tangentengleichung: \(t(x) = f'(4) \cdot (x - 4) + f(4) = e^2 \cdot (x - 4) + 2e^2 = e^2 x - 2e^2\). 4. Flächenberechnung: Die Fläche liegt im Intervall \([0; 4]\) zwischen \(f(x)\) und \(t(x)\). Da \(f(x) \geq t(x)\) in diesem Bereich, gilt \(A = \int_{0}^{4} (2e^{0{,}5x} - (e^2 x - 2e^2)) \, dx\). 5. Integration: \(A = [4e^{0{,}5x} - \frac{1}{2}e^2 x^2 + 2e^2 x]_{0}^{4} = (4e^2 - 8e^2 + 8e^2) - (4e^0 - 0 + 0) = 4e^2 - 4\). Der Flächeninhalt beträgt \(4e^2 - 4 \approx 25{,}56\,\text{FE}\).

a) Berührpunkt \(B(4|2e^2)\), Tangentengleichung \(t: y = e^2 x - 2e^2\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(4e^2 - 4 \approx 25{,}56\,\text{FE}\).

- Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Welche zwei Bedingungen müssen an einer Berührstelle für die Funktionen \(p\) und \(f\) erfüllt sein? - Stelle zuerst den allgemeinen Term einer Parabel auf und bestimme so viele Parameter wie möglich aus der Berührung im Ursprung. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe des Punktes \(A\) berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundene Funktion tatsächlich vom Grad 2 ist.

1. Ermittlung der Eigenschaften von \(f\) im Ursprung \(O(0|0)\): \(f(0) = \ln(1) = 0\) und \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\), woraus die Steigung \(f'(0) = 1\) resultiert. 2. Anwendung der Berührbedingungen auf den allgemeinen Ansatz \(p(x) = ax^2 + bx + c\): Da der Graph durch den Ursprung geht, ist \(p(0) = 0\), also \(c = 0\). Wegen der gleichen Steigung gilt \(p'(0) = f'(0) = 1\), woraus mit \(p'(x) = 2ax + b\) direkt \(b = 1\) folgt. 3. Einsetzen des Punktes \(A(2|4)\) in den vorläufigen Funktionsterm \(p(x) = ax^2 + x\): \(p(2) = a \cdot 2^2 + 2 = 4\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(4a + 2 = 4 \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = 0{,}5\). 5. Aufstellen der fertigen Funktionsgleichung: \(p(x) = 0{,}5x^2 + x\).

\(p(x) = 0{,}5x^2 + x\)

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Gleichung einer Tangente an einer unbekannten Stelle \(u\) aussieht. - Welche Bedingungen muss die Tangente erfüllen, damit sie durch einen bestimmten Punkt außerhalb des Graphen geht? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deine Tangentengleichung ein, um die Berührstelle zu finden. - Denk daran, dass die Exponentialfunktion niemals den Wert Null annimmt.

1. Die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(u\) lautet \(y = f'(u)(x-u) + f(u)\). 2. Mit \(f'(x) = 2e^{2x}\) ergibt sich \(y = 2e^{2u}(x-u) + e^{2u}\). 3. Da die Tangente durch \(P(1|0)\) verläuft, setzt man \(x=1\) und \(y=0\) ein: \(0 = 2e^{2u}(1-u) + e^{2u}\). 4. Ausklammern führt zu \(e^{2u} \cdot (2 - 2u + 1) = 0\), also \(e^{2u} \cdot (3 - 2u) = 0\). 5. Da \(e^{2u} > 0\) für alle \(u\), folgt \(3 - 2u = 0\) und somit \(u = 1{,}5\). 6. Die Steigung an der Stelle \(u = 1{,}5\) ist \(f'(1{,}5) = 2e^3\). 7. Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form mit \(P(1|0)\) ergibt die Tangentengleichung \(y = 2e^3 \cdot (x - 1) = 2e^3x - 2e^3\).

\(y = 2e^3x - 2e^3\)

- Nutze die im Hinweis gegebenen Bedingungen, um eine Gleichung für die Berührstelle aufzustellen. - Es hilft, den Bruchterm von \(f\) in zwei einzelne Potenzen aufzuteilen, bevor du ableitest. - Wie viele reelle Zahlen ergeben hoch sechs genommen den Wert 64? - Überprüfe, ob die Steigung \(k\) für beide gefundenen Stellen tatsächlich identisch ist.

1. Funktionsterm vereinfachen: \(f(x) = x^3 + 32x^{-3}\). 2. Ableitung berechnen: \(f'(x) = 3x^2 - 96x^{-4}\). 3. Gleichung zur Bestimmung der Berührstelle \(x_0\) aufstellen: \(f'(x_0) \cdot x_0 = f(x_0)\). 4. Einsetzen: \((3x_0^2 - 96x_0^{-4}) \cdot x_0 = x_0^3 + 32x_0^{-3} \Rightarrow 3x_0^3 - 96x_0^{-3} = x_0^3 + 32x_0^{-3}\). 5. Nach \(x_0\) auflösen: \(2x_0^3 = 128x_0^{-3} \Rightarrow x_0^6 = 64\). 6. Reelle Lösungen finden: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 7. Steigung \(k\) berechnen: \(k = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - \frac{96}{2^4} = 12 - 6 = 6\). Da \(f'\) eine gerade Funktion ist, gilt auch \(f'(-2) = 6\). 8. Berührpunkte bestimmen: \(f(2) = \frac{2^6+32}{2^3} = \frac{96}{8} = 12\) und \(f(-2) = \frac{(-2)^6+32}{(-2)^3} = \frac{96}{-8} = -12\). 9. Ergebnisse: \(k = 6\), Berührpunkte \(B_1(2 \mid 12)\) und \(B_2(-2 \mid -12)\).

Der Wert ist \(k = 6\). Die Berührpunkte sind \(B_1(2 \mid 12)\) und \(B_2(-2 \mid -12)\).

- Welche allgemeine Form hat eine Tangente, die durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wie hängen der Funktionswert und der Wert der Ableitung an einer Stelle zusammen, wenn dort eine Tangente vom Ursprung aus anliegt? - Erinnere dich an die Bedingung für die Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 4x + 1\). 2. Ansatz für eine Tangente durch den Ursprung: Da die Tangente durch \((0|0)\) verläuft, muss ihre Gleichung die Form \(y = f'(x_0) \cdot x\) haben. Am Berührpunkt \(x_0\) muss zudem gelten: \(f(x_0) = f'(x_0) \cdot x_0\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{1}{2}x_0^3 - 2x_0^2 + x_0 = x_0 \cdot (\frac{3}{2}x_0^2 - 4x_0 + 1)\). 4. Vereinfachen: \(\frac{1}{2}x_0^3 - 2x_0^2 + x_0 = \frac{3}{2}x_0^3 - 4x_0^2 + x_0 \Rightarrow x_0^3 - 2x_0^2 = 0\). 5. Ausklammern: \(x_0^2(x_0 - 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_0 = 0\) (Berührpunkt im Ursprung) und \(x_0 = 2\). Da \(B \neq O\), ist \(x_0 = 2\). 6. Koordinaten von \(B\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 = -2\). Somit ist \(B(2|-2)\). 7. Tangentengleichung: Die Steigung ist \(m_t = f'(2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1 = -1\). Die Gleichung lautet \(t: y = -x\). 8. Orthogonalitätsnachweis: Die Steigung der Tangente im Ursprung ist \(m_0 = f'(0) = 1\). Da \(m_t \cdot m_0 = -1 \cdot 1 = -1\) gilt, schneiden sich die Tangenten orthogonal.

a) Die Tangentengleichung lautet \(t: y = -x\). Der Berührpunkt ist \(B(2|-2)\). b) Die Steigung der Tangente \(t\) ist \(m_1 = -1\). Die Steigung der Tangente im Ursprung ist \(m_2 = f'(0) = 1\). Wegen \(m_1 \cdot m_2 = -1\) sind die Tangenten orthogonal.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Wie bestimmt man die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen? - Welche Rolle spielt die Vielfachheit einer Nullstelle beim Lösen der Schnittgleichung, wenn es sich um einen Berührpunkt handelt? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen mithilfe der Integralrechnung?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). 2. Steigung im Punkt \(B(0|0)\) berechnen: \(m = f'(0) = -3\). Da der Punkt im Ursprung liegt, lautet die Tangentengleichung \(t(x) = -3x\). 3. Schnittpunkt \(Q\) berechnen: Ansatz \(f(x) = t(x)\) führt zu \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x = -3x\). Dies vereinfacht sich zu \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 = 0\), also \(x^2(\frac{1}{3}x - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (Berührpunkt) und \(x_2 = 3\). Einsetzen in \(t(x)\) ergibt \(Q(3|-9)\). 4. Flächeninhalt berechnen: Da \(t(x) \geq f(x)\) im Intervall \([0; 3]\) gilt (Testwert \(x=1\): \(t(1)=-3 > f(1) \approx -3{,}67\)), berechnet man das Integral \(\int_{0}^{3} (t(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 - \frac{1}{3}x^3) \, dx\). 5. Stammfunktion bilden und auswerten: \([\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{12}x^4]_{0}^{3} = (9 - \frac{81}{12}) - 0 = 9 - 6{,}75 = 2{,}25\). Der Flächeninhalt beträgt \(2{,}25\,\text{FE}\).

a) \(t(x) = -3x\) b) \(Q(3|-9)\) c) \(A = 2{,}25\,\text{FE}\)

- Überlege dir zuerst, wie man Nullstellen und Extrema einer Funktion mit \(e\)-Termen berechnet. - Was ist die geometrische Bedeutung des Integrals in einem bestimmten Quadranten? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer beliebigen Stelle \(u\)? - Wann besitzt eine quadratische Gleichung genau zwei verschiedene Lösungen?

1. Nullstelle: \(f(x) = 0 \implies x-2 = 0 \implies x = 2\). 2. Ableitung: \(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2) \cdot e^x = (x-1)e^x\). Extremstelle bei \(f'(x) = 0 \implies x = 1\). Da \(f''(1) = e^1 > 0\), liegt ein Tiefpunkt bei \(T(1|-e)\) vor. 3. Flächeninhalt: Die Grenzen sind \(x=0\) (y-Achse) und \(x=2\) (Nullstelle). Das Integral lautet \(\int_{0}^{2} (x-2)e^x \, dx\). Mit partieller Integration oder der Stammfunktion \(F(x) = (x-3)e^x\) ergibt sich \([(x-3)e^x]_0^2 = -e^2 - (-3) = 3 - e^2\). Der Flächeninhalt beträgt \(A = |3 - e^2| = e^2 - 3 \approx 4{,}39\). 4. Tangentengleichung an der Stelle \(u\): \(t(x) = f'(u)(x-u) + f(u) = (u-1)e^u(x-u) + (u-2)e^u\). Da \(P(k|0)\) auf der Tangente liegt, gilt \(0 = (u-1)e^u(k-u) + (u-2)e^u\). Teilen durch \(e^u \neq 0\) führt auf \(0 = (u-1)(k-u) + u-2 = ku - u^2 - k + u + u - 2 = -u^2 + (k+2)u - (k+2)\). Umformen ergibt \(u^2 - (k+2)u + (k+2) = 0\). 5. Anzahl der Tangenten: Die quadratische Gleichung für \(u\) hat genau zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = (k+2)^2 - 4(k+2) = (k+2)(k-2) = k^2 - 4\) positiv ist. Dies ist für \(k > 2\) oder \(k < -2\) der Fall.

a) Nullstelle bei \(x=2\); Tiefpunkt bei \(T(1|-e)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 3 \approx 4{,}39\) Flächeneinheiten. c) Nachweis durch Einsetzen von \(P(k|0)\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(u)(x-u) + f(u)\). d) Genau zwei Tangenten existieren für \(k < -2\) oder \(k > 2\).

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten und Rechnen wie eine konstante Zahl. - Nutze die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit einer Seite auf der x-Achse benötigst du die Länge dieser Seite und die y-Koordinate des gegenüberliegenden Eckpunkts. - Achte darauf, dass Längen und Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Bestimmung der positiven Nullstelle: \(x^3 - kx = 0 \iff x(x^2 - k) = 0\). Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{k}\). Somit ist \(x_P = \sqrt{k}\). 2. Ableitungsfunktion: \(f_k'(x) = 3x^2 - k\). 3. Tangente \(t_0\) im Ursprung: Die Steigung ist \(f_k'(0) = -k\). Da der Punkt \((0|0)\) auf der Tangente liegt, lautet die Gleichung \(t_0: y = -kx\). 4. Tangente \(t_P\) im Punkt \((\sqrt{k}|0)\): Die Steigung ist \(f_k'(\sqrt{k}) = 3(\sqrt{k})^2 - k = 2k\). Die Punkt-Steigungs-Form ergibt \(y = 2k(x - \sqrt{k})\). 5. Schnittpunkt \(S\) der Tangenten: Gleichsetzen \(-kx = 2k(x - \sqrt{k}) \implies -kx = 2kx - 2k\sqrt{k} \implies 3kx = 2k\sqrt{k}\). Da \(k > 0\), folgt \(x_S = \frac{2}{3}\sqrt{k}\). Einsetzen in \(t_0\) ergibt \(y_S = -\frac{2}{3}k\sqrt{k}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: Die Grundseite auf der x-Achse liegt zwischen \(0\) und \(\sqrt{k}\), also \(g = \sqrt{k}\). Die Höhe ist \(h = |y_S| = \frac{2}{3}k\sqrt{k}\). Somit gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}k\sqrt{k} = \frac{1}{3}k \cdot (\sqrt{k})^2 = \frac{1}{3}k^2\).

a) \(x_P = \sqrt{k}\) b) \(t_0: y = -kx\); \(t_P: y = 2k(x - \sqrt{k})\) c) Nachweis durch Schnittpunkt \(S(\frac{2}{3}\sqrt{k}|-\frac{2}{3}k\sqrt{k})\) und \(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}k\sqrt{k} = \frac{1}{3}k^2\).

- Überprüfe zuerst, ob der gegebene Punkt tatsächlich auf beiden Kurven liegt. - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktionen, insbesondere \(e^{\ln(a)} = a\). - Für die Tangentengleichung benötigst du den Punkt und die Steigung an dieser Stelle. - Wenn nach einer „Stelle“ gefragt ist, ist nur der \(x\)-Wert gesucht.

1. Nachweis des Berührpunkts: Zuerst wird geprüft, ob \(B\) auf beiden Graphen liegt: \(f(\ln(2)) = e^{2\ln(2)} = (e^{\ln(2)})^2 = 2^2 = 4\) und \(g(\ln(2)) = 4e^{\ln(2)} - 4 = 4 \cdot 2 - 4 = 4\). Die Ableitungen sind \(f'(x) = 2e^{2x}\) und \(g'(x) = 4e^x\). Die Steigungen an der Stelle \(x = \ln(2)\) betragen \(f'(\ln(2)) = 2 \cdot e^{2\ln(2)} = 2 \cdot 4 = 8\) und \(g'(\ln(2)) = 4 \cdot e^{\ln(2)} = 4 \cdot 2 = 8\). Da Punkt und Steigung identisch sind, liegt ein Berührpunkt vor. 2. Tangentengleichung: Die Tangente hat die Steigung \(m = 8\) und verläuft durch \(B(\ln(2) \mid 4)\). Der Ansatz \(y = m \cdot (x - x_0) + y_0\) liefert \(t(x) = 8(x - \ln(2)) + 4\). Ausmultipliziert ergibt dies \(t(x) = 8x - 8\ln(2) + 4\). 3. Stelle mit Steigung 2: Gesucht ist \(x\) mit \(f'(x) = 2\). Dies führt auf \(2e^{2x} = 2 \Rightarrow e^{2x} = 1\). Durch Logarithmieren erhält man \(2x = 0\), also \(x = 0\).

a) Nachweis über \(f(\ln(2)) = g(\ln(2)) = 4\) und \(f'(\ln(2)) = g'(\ln(2)) = 8\). b) \(t(x) = 8x - 8\ln(2) + 4\) c) \(x = 0\)

- Was ist die Steigung einer Kurve im Ursprung? - Für eine Tangente von einem externen Punkt aus hilft der allgemeine Ansatz für die Tangentengleichung an einer Stelle \(u\). - Denke beim Lösen der Gleichung daran, dass die \(e\)-Funktion niemals Null wird. - Wie hängen das Krümmungsverhalten und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen?

1. Tangente in \(x = 0\): Funktionswert \(g(0) = 0\), Ableitung \(g'(x) = (1 - x)e^{-x}\), also \(g'(0) = 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = 1 \cdot x + 0\), also \(y = x\). 2. Tangente von \(A(4 | 0)\): Ansatz für die Tangente im Berührpunkt \(B(u | g(u))\) ist \(y = g'(u)(x - u) + g(u)\). Einsetzen von \(A(4 | 0)\) führt zu \(0 = (1 - u)e^{-u}(4 - u) + u e^{-u}\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(e^{-u}((1 - u)(4 - u) + u) = 0 \Rightarrow u^2 - 4u + 4 = 0 \Rightarrow (u - 2)^2 = 0\). Daraus folgt \(u = 2\). 4. Berührpunkt und Tangente: \(B(2 | 2e^{-2})\), Steigung \(g'(2) = -e^{-2}\). Die Gleichung ist \(y = -e^{-2}(x - 2) + 2e^{-2}\), vereinfacht \(y = -e^{-2}x + 4e^{-2}\). 5. Krümmung: Zweite Ableitung \(g''(x) = (x - 2)e^{-x}\). Für \(x < 2\) ist \(g''(x) < 0\), also liegt eine Rechtskurve vor. Für \(x > 2\) ist \(g''(x) > 0\), also liegt eine Linkskurve vor.

a) \(y = x\) b) Berührpunkt \(B(2 | 2e^{-2})\), Tangentengleichung \(y = -e^{-2}x + 4e^{-2}\). c) Rechtskurve für \(x < 2\), Linkskurve für \(x > 2\), da \(g''(x) < 0\) für \(x < 2\) und \(g''(x) > 0\) für \(x > 2\).

- Untersuche das Grenzverhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Bestimme die Wendestellen allgemein in Abhängigkeit von \(k\) und setze diese in den Funktionsterm ein. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um den Schnittpunkt der Tangenten auf der \(y\)-Achse und die Nullstellen auf der \(x\)-Achse effizient zu bestimmen. - Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus der halben Grundseite mal Höhe. Setze den resultierenden Term mit dem Zielwert gleich.

1. Asymptote: Da \(k > 0\) ist, gilt für \(x \to \pm \infty\), dass der Exponent \(-k \cdot x^2 \to -\infty\). Somit gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} e^{-kx^2} = 0\). Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist waagrechte Asymptote. 2. Wendepunkte: Ableitungen: \(g_k'(x) = -2kx \cdot e^{-kx^2}\) und \(g_k''(x) = (4k^2x^2 - 2k) \cdot e^{-kx^2}\). \(g_k''(x) = 0 \implies 4k^2x^2 = 2k \implies x^2 = \frac{1}{2k} \implies x_W = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}\). Einsetzen in \(g_k\): \(y_W = e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). Dies ist unabhängig von \(k\). 3. Dreiecksfläche: Wendetangente bei \(x_W = \frac{1}{\sqrt{2k}}\) mit Steigung \(m = g_k'(x_W) = -2k \cdot \frac{1}{\sqrt{2k}} \cdot e^{-1/2} = -\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{e}}\). Nullstelle der Tangente: \(0 = m(x - x_W) + y_W \implies x_0 = x_W - \frac{y_W}{m} = \frac{1}{\sqrt{2k}} - \frac{1/\sqrt{e}}{-\sqrt{2k}/\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2k}} + \frac{1}{\sqrt{2k}} = \frac{2}{\sqrt{2k}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}}\). Grundseite \(g = 2x_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}}\). Höhe (Schnittpunkt auf \(y\)-Achse): \(h = -m \cdot x_W + y_W = \frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{e}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2k}} + \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{2}{\sqrt{e}}\). 4. Fläche berechnen: \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}} \cdot \frac{2}{\sqrt{e}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ke}}\). Gleichsetzen mit \(2\): \(2 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ke}} \implies \sqrt{ke} = \sqrt{2} \implies ke = 2 \implies k = \frac{2}{e}\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} g_k(x) = 0\). b) \(y_W = e^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). c) \(k = \frac{2}{e}\).

- Nutze die Produktregel, um die Ableitung der Funktion zu bilden. - Für die Bestimmung von Extrempunkten musst du die erste Ableitung gleich Null setzen und die Art des Extremums prüfen. - Wenn eine Tangente durch einen Punkt außerhalb des Graphen verläuft, nutze die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(u\) und setze die Koordinaten des gegebenen Punktes für \(x\) und \(y\) ein. - Überlege, wie du Gleichungen mit dem natürlichen Logarithmus durch die Exponentialfunktion lösen kannst.

1. Ableitung mit Produktregel: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\). 2. Punkt mit Steigung \(1\): \(\ln(x) + 1 = 1 \Rightarrow \ln(x) = 0 \Rightarrow x = 1\). Funktionswert: \(g(1) = 1 \cdot \ln(1) = 0\). Punkt: \((1|0)\). 3. Tiefpunkt bestimmen: \(g'(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}\). Zweite Ableitung \(g''(x) = \frac{1}{x}\). Da \(g''(\frac{1}{e}) = e > 0\), liegt ein Minimum vor. Funktionswert: \(g(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln(\frac{1}{e}) = -\frac{1}{e}\). Tiefpunkt: \(T(\frac{1}{e}|-\frac{1}{e})\). 4. Tangente durch \(P(0|-1)\): Die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(u\) ist \(y = g'(u)(x - u) + g(u)\). Einsetzen des Punktes \((0|-1)\) ergibt \(-1 = (\ln(u) + 1)(0 - u) + u \ln(u)\). 5. Auflösen nach \(u\): \(-1 = -u \ln(u) - u + u \ln(u) \Rightarrow -1 = -u \Rightarrow u = 1\). 6. Tangente aufstellen: Mit \(u = 1\) ist \(g(1) = 0\) und \(g'(1) = 1\). Die Gleichung ist \(y = 1 \cdot (x - 1) + 0\), also \(y = x - 1\).

a) \((1|0)\) b) \(T(\frac{1}{e}|-\frac{1}{e})\) c) \(y = x - 1\)

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle über die Tangente an diesem Punkt aus? - Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um ein Produkt aus zwei Funktionen abzuleiten, von denen eine verkettet ist? - Denke beim Ableiten von \(\tan(c - x)\) an die innere Ableitung der Klammer. - Ist es notwendig, die Ableitung für alle \(x\) vollständig zu vereinfachen, oder reicht es, den Zielwert einzusetzen?

1. Ableitung der Funktion \(f\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \tan(c - x) + \tan(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(c - x)} \cdot (-1)\). 2. Vereinfachung der Ableitung zu: \(f'(x) = \frac{\tan(c - x)}{\cos^2(x)} - \frac{\tan(x)}{\cos^2(c - x)}\). 3. Einsetzen der Stelle \(x = \frac{c}{2}\) in den Ableitungsterm: \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{\tan(c - \frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} - \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(c - \frac{c}{2})}\). 4. Auswertung der Terme: Da \(c - \frac{c}{2} = \frac{c}{2}\) gilt, folgt \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} - \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} = 0\). 5. Ergebnis: Da die erste Ableitung an der Stelle \(x = \frac{c}{2}\) null ist, liegt dort eine waagerechte Tangente vor.

Der Nachweis erfolgt über die erste Ableitung \(f'(x) = \frac{\tan(c - x)}{\cos^2(x)} - \frac{\tan(x)}{\cos^2(c - x)}\). Durch Einsetzen von \(x = \frac{c}{2}\) ergibt sich \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = 0\), was die Existenz einer waagerechten Tangente bestätigt.

- Arbeite im ersten Teil allgemein mit den Variablen \(x_0\) und \(k\). - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Tangentengleichung so ausklammern, dass der Term \(e^{kx_0}\) als Faktor vor einer Klammer steht? - Nutze das Ergebnis aus dem ersten Aufgabenteil als Formel für die restlichen Fragen. - Was ist der \(x\)-Wert des Koordinatenursprungs?

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = k \cdot e^{kx}\). Tangentengleichung an \(x_0\): \(y = k e^{kx_0}(x - x_0) + e^{kx_0}\). Schnittpunkt mit \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = e^{kx_0} \cdot [k(x - x_0) + 1]\). Da \(e^{kx_0} > 0\), muss \(k(x - x_0) + 1 = 0\) gelten. Umformen ergibt \(k(x - x_0) = -1 \implies x - x_0 = -\frac{1}{k} \implies x_s = x_0 - \frac{1}{k}\). 2. Gegeben sind \(x_0 = 3\) und \(x_s = 1\). Einsetzen in die Formel: \(1 = 3 - \frac{1}{k} \implies -2 = -\frac{1}{k} \implies 2 = \frac{1}{k} \implies k = 0{,}5\). 3. Die Tangente geht durch den Ursprung, wenn \(x_s = 0\). Mit \(k = 0{,}5\) gilt: \(0 = x_0 - \frac{1}{0{,}5} \implies 0 = x_0 - 2 \implies x_0 = 2\).

1. Nachweis durch Nullsetzen der Tangente: \(x_s = x_0 - \frac{1}{k}\). 2. \(k = 0{,}5\) 3. \(x_0 = 2\)

- Bestimme zuerst die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\). - Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\). - Vergleiche am Ende die Koordinaten des Mittelpunkts mit den Koordinaten von \(P\).

1. Die Ableitung von \(f(x) = 4x^{-1}\) ist \(f'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}\). 2. Die Tangentengleichung im Punkt \(P(x_0 \mid \frac{4}{x_0})\) lautet: \(y = -\frac{4}{x_0^2}(x - x_0) + \frac{4}{x_0}\). Vereinfacht ergibt dies \(y = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0}\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(y = \frac{8}{x_0}\), also \(S_y(0 \mid \frac{8}{x_0})\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0} \implies \frac{4}{x_0^2}x = \frac{8}{x_0} \implies x = 2x_0\), also \(S_x(2x_0 \mid 0)\). 5. Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{S_x S_y}\) berechnet sich durch \(M\left(\frac{x_{S_x} + x_{S_y}}{2} \mid \frac{y_{S_x} + y_{S_y}}{2}\right)\). Einsetzen ergibt \(M\left(\frac{2x_0 + 0}{2} \mid \frac{0 + \frac{8}{x_0}}{2}\right) = M(x_0 \mid \frac{4}{x_0})\). Dies entspricht exakt den Koordinaten des Berührpunktes \(P\).

Die Tangente an der Stelle \(x_0\) hat die Gleichung \(y = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0}\). Die Achsenschnittpunkte sind \(S_x(2x_0 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid \frac{8}{x_0})\). Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{S_x S_y}\) ist \(M\left(\frac{2x_0+0}{2} \mid \frac{0+\frac{8}{x_0}}{2}\right) = (x_0 \mid \frac{4}{x_0})\), was identisch mit dem Berührpunkt \(P\) ist.

- Erinnere dich daran, dass parallele Geraden die gleiche Steigung besitzen. - Welche Regel benötigst du, um eine verkettete Funktion mit dem natürlichen Logarithmus abzuleiten? - Nach dem Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung erhältst du eine quadratische Gleichung. Wie löst du diese? - Verwende die Punkt-Steigungs-Form für die finale Tangentengleichung.

1. Umformen der Geradengleichung \(4x - 5y + 10 = 0\) zu \(y = 0{,}8x + 2\) ergibt die Steigung \(m = 0{,}8\). 2. Ableitung von \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). 3. Bedingung für Parallelität: \(\frac{2x}{x^2 + 1} = 0{,}8 \implies 0{,}8x^2 - 2x + 0{,}8 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 2\). 5. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(f(0{,}5) = \ln(1{,}25)\) und \(f(2) = \ln(5)\). Die Punkte sind \(P_1(0{,}5 \mid \ln(1{,}25))\) und \(P_2(2 \mid \ln(5))\). 6. Aufstellen der Tangentengleichungen: \(t_1: y = 0{,}8x - 0{,}4 + \ln(1{,}25)\) und \(t_2: y = 0{,}8x - 1{,}6 + \ln(5)\).

Punkte: \(P_1(0{,}5 \mid \ln(1{,}25))\) und \(P_2(2 \mid \ln(5))\) Tangentengleichungen: \(y = 0{,}8x - 0{,}4 + \ln(1{,}25)\) und \(y = 0{,}8x - 1{,}6 + \ln(5)\)

- Wenn eine Tangente durch den Ursprung geht, hat sie die Form \(y = m \cdot x\). - Setze die Steigung der Tangente mit der Ableitung an der Berührstelle gleich. - Überlege dir, aus welchen Teilstücken die Fläche besteht. Wo wechselt die untere Begrenzung der Fläche? - Erinnere dich daran, wie man Grenzwerte bei uneigentlichen Integralen berechnet.

1. Tangente bestimmen: Ansatz \(y = f'(u) \cdot x\), da die Tangente durch den Ursprung verläuft. Es gilt \(f'(x) = 2e^{2x}\). Die Bedingung \(f(u) = f'(u) \cdot u\) führt zu \(e^{2u} = 2e^{2u} \cdot u\). 2. Da \(e^{2u} \neq 0\), folgt \(1 = 2u \implies u = 0{,}5\). Die Steigung ist \(m = f'(0{,}5) = 2e\). Die Tangentengleichung lautet \(t(x) = 2ex\). 3. Flächeninhalt aufteilen: Die Fläche wird für \(x < 0\) durch \(f(x)\) und die \(x\)-Achse begrenzt, für \(0 \leq x \leq 0{,}5\) durch \(f(x)\) und die Tangente \(t(x)\). 4. Teilfläche \(A_1\) (uneigentliches Integral): \(A_1 = \int_{-\infty}^{0} e^{2x} \, dx = [\frac{1}{2} e^{2x}]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{2} - 0 = 0{,}5\). 5. Teilfläche \(A_2\): \(A_2 = \int_{0}^{0{,}5} (e^{2x} - 2ex) \, dx = [\frac{1}{2} e^{2x} - ex^2]_{0}^{0{,}5} = (\frac{1}{2}e - 0{,}25e) - (\frac{1}{2} - 0) = 0{,}25e - 0{,}5\). 6. Gesamte Fläche: \(A = A_1 + A_2 = 0{,}5 + 0{,}25e - 0{,}5 = 0{,}25e\). Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}25e \approx 0{,}68\,\text{FE}\).

a) Tangentengleichung \(t: y = 2ex\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}25e \approx 0{,}68\,\text{FE}\).

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades auf. - Welche Informationen über den Funktionswert und die Ableitung kannst du aus der Bedingung „berührt an der Stelle \(x=0\)“ gewinnen? - Was sagt dir eine waagerechte Tangente über die Ableitung an dieser Stelle? - Nutze alle gegebenen Bedingungen, um ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten aufzustellen.

1. Ansatz: \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) und Ableitung \(p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). 2. Berühren bei \(x=0\) bedeutet \(p(0) = f(0)\) und \(p'(0) = f'(0)\). 3. Funktionswert: \(f(0) = 4 \cdot e^0 = 4\), also \(d = 4\). 4. Steigung: \(f'(x) = -2e^{-0{,}5x}\), also \(f'(0) = -2\). Hieraus folgt \(c = -2\). 5. Waagerechte Tangente bei \(x = -1\): \(p'(-1) = 3a - 2b - 2 = 0\), also \(3a - 2b = 2\). 6. Punkt \(Q(1|2)\): \(p(1) = a + b - 2 + 4 = 2\), woraus \(a + b = 0\) bzw. \(b = -a\) folgt. 7. Gleichungssystem lösen: \(3a - 2(-a) = 2 \implies 5a = 2 \implies a = 0{,}4\). Damit ist \(b = -0{,}4\). 8. Zusammensetzen des Funktionsterms: \(p(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}4x^2 - 2x + 4\).

\(p(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}4x^2 - 2x + 4\)

- Wie sieht die Funktionsgleichung einer Geraden aus, die durch den Ursprung verläuft? - Ein Punkt auf dem Graphen ist genau dann ein Berührpunkt einer Ursprungstangente, wenn die Steigung der Geraden vom Ursprung zu diesem Punkt gleich der Ableitung an dieser Stelle ist. - Verwende die Kettenregel, um die Funktion abzuleiten. - Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung, die du für die Berührstelle aufstellst?

1. Die Ableitung der Funktion ist \(f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}\). 2. Eine Tangente durch den Ursprung hat die Form \(y = m \cdot x\), wobei die Steigung \(m = f'(u) = \frac{2}{u}\) an der Berührstelle \(u\) sein muss. 3. Da der Berührpunkt \((u|f(u))\) auf der Tangente liegt, gilt \(f(u) = \frac{2}{u} \cdot u = 2\). 4. Die Gleichung \(\ln(u^2) = 2\) führt zu \(u^2 = e^2\), woraus die zwei Berührstellen \(u_1 = e\) und \(u_2 = -e\) folgen. Dies zeigt die Existenz von genau zwei Tangenten. 5. Die Steigungen sind \(f'(e) = \frac{2}{e}\) und \(f'(-e) = -\frac{2}{e}\). 6. Die Tangentengleichungen lauten somit \(y = \frac{2}{e}x\) und \(y = -\frac{2}{e}x\).

a) Die Bedingung für die Berührstelle \(u\) lautet \(\ln(u^2) = 2\). Diese hat genau die zwei Lösungen \(u = e\) und \(u = -e\). b) \(y = \frac{2}{e}x\) und \(y = -\frac{2}{e}x\)

- Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Gerade einen Graphen berührt? - Welche Bedingungen müssen an der Berührstelle für die Funktionswerte und die Steigungen gelten? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch die Berührstelle \(x_0\) als Unbekannte vorkommt? - Denke an die Quotientenregel beim Ableiten.

1. Bedingungen für den Berührpunkt an der Stelle \(x_0\): Es muss gelten \(f(x_0) = g(x_0)\) und \(f'(x_0) = g'(x_0)\). 2. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = k\) und \(f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}\). 3. Aus \(f'(x_0) = k\) folgt durch Einsetzen in die erste Bedingung: \(f'(x_0) \cdot x_0 = f(x_0)\). 4. Gleichung aufstellen: \(\frac{e^{x_0}(x_0-1)}{x_0^2} \cdot x_0 = \frac{e^{x_0}}{x_0}\). 5. Gleichung lösen: Durch Multiplikation mit \(x_0\) und Division durch \(e^{x_0}\) (da \(e^{x_0} \neq 0\)) erhält man \(x_0 - 1 = 1\), also \(x_0 = 2\). 6. Steigung berechnen: \(k = f'(2) = \frac{e^2(2-1)}{2^2} = \frac{e^2}{4}\). 7. Berührpunkt berechnen: \(y_0 = f(2) = \frac{e^2}{2}\). Der Berührpunkt ist \(B(2 \mid 0{,}5e^2)\).

Die Steigung beträgt \(k = \frac{e^2}{4}\). Der Berührpunkt liegt bei \(B(2 \mid \frac{e^2}{2})\).

- Wie kannst du prüfen, ob eine bestimmte Funktion in einer Schar enthalten ist? - Um die gegenseitige Lage zu bestimmen, solltest du die Differenzfunktion \(d(x) = f_k(x) - g(x)\) betrachten. - Achte bei der Ungleichungsbetrachtung darauf, wie sich das Vorzeichen von \(k\) auf das Ergebnis auswirkt. - Überlege dir, was eine doppelte Nullstelle der Differenzfunktion für die geometrische Lage bedeutet.

1. Für \(k = 2\) ergibt sich \(f_2(x) = \frac{2}{4}x^3 - 2x^2 + x = \frac{1}{2}x^3 - 2x^2 + x\). Dies entspricht der Funktion \(f\). 2. Schnittpunkte berechnen: \(f_k(x) = x \Rightarrow \frac{k}{4}x^3 - kx^2 + x = x \Rightarrow \frac{k}{4}x^3 - kx^2 = 0\). 3. Ausklammern: \(kx^2(\frac{1}{4}x - 1) = 0\). Da \(k \neq 0\), sind die Lösungen \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle, also Berührpunkt) und \(x_2 = 4\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|4)\). 4. Differenzfunktion untersuchen: \(d(x) = f_k(x) - x = kx^2(\frac{1}{4}x - 1)\). Der Faktor \(x^2\) ist für alle \(x \neq 0\) positiv. Das Vorzeichen von \(d(x)\) hängt also von \(k\) und dem Term \((\frac{1}{4}x - 1)\) ab. 5. Fallunterscheidung \(k > 0\): Für \(x < 4\) (und \(x \neq 0\)) ist \(d(x) < 0\), der Graph liegt unterhalb von \(g\). Für \(x > 4\) ist \(d(x) > 0\), der Graph liegt oberhalb von \(g\). 6. Fallunterscheidung \(k < 0\): Für \(x < 4\) (und \(x \neq 0\)) ist \(d(x) > 0\), der Graph liegt oberhalb von \(g\). Für \(x > 4\) ist \(d(x) < 0\), der Graph liegt unterhalb von \(g\).

a) Für \(k = 2\) gilt \(f_2(x) = f(x)\). b) Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|4)\). Für \(k > 0\): Unterhalb für \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4)\), oberhalb für \(x \in (4; \infty)\). Für \(k < 0\): Oberhalb für \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4)\), unterhalb für \(x \in (4; \infty)\).

- Denke daran, dass beim Grenzwert gegen unendlich die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz von \(x\). - Stelle zuerst die allgemeine Tangentengleichung für eine beliebige Stelle \(u\) auf, bevor du den Punkt \(Q\) betrachtest. - Die Anzahl der Tangenten entspricht der Anzahl der Lösungen der Gleichung, die durch das Einsetzen des Punktes entsteht. - Was bedeutet es für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung, wenn es genau eine Lösung geben soll?

1. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) dominiert die Exponentialfunktion im Nenner, also \(f(x) \to 0\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(x \to -\infty\) und \(e^{2-x} \to +\infty\); daher ist \(f(x) \to -\infty\). 2. Ableitung: \(f'(x) = 1 \cdot e^{2-x} + x \cdot (-e^{2-x}) = (1-x)e^{2-x}\). \(f'(x) = 0 \implies x = 1\). Mit \(f(1) = 1 \cdot e^1 = e\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(1|e)\). 3. Tangente bei \(x=2\): \(f(2) = 2 \cdot e^0 = 2\) und \(f'(2) = (1-2)e^0 = -1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = -1(x-2) + 2 = -x + 4\). 4. Tangenten von \(Q(a|0)\): Die Tangente an der Stelle \(u\) hat die Gleichung \(y = (1-u)e^{2-u}(x-u) + ue^{2-u}\). Einsetzen von \(Q(a|0)\) liefert \(0 = (1-u)(a-u) + u = a - u - au + u^2 + u = u^2 - au + a\). 5. Die Anzahl der Lösungen für \(u\) hängt von der Diskriminante \(D = a^2 - 4a = a(a-4)\) ab. Für \(a < 0\) oder \(a > 4\) gibt es zwei Tangenten (\(D > 0\)), für \(a = 0\) oder \(a = 4\) eine Tangente (\(D = 0\)), und für \(0 < a < 4\) keine Tangente (\(D < 0\)). 6. Die Tangente aus b) berührt den Graphen bei \(u=2\). Einsetzen von \(u=2\) in \(u^2 - au + a = 0\) ergibt \(4 - 2a + a = 0 \implies a = 4\). Für \(a=4\) ist \(D=0\), es gibt also genau diese eine Tangente.

a) \(x \to \infty \implies f(x) \to 0\); \(x \to -\infty \implies f(x) \to -\infty\); Hochpunkt \(H(1|e)\). b) Tangentengleichung: \(y = -x + 4\). c) Zwei Tangenten für \(a < 0\) oder \(a > 4\); eine Tangente für \(a = 0\) oder \(a = 4\); keine Tangente für \(0 < a < 4\). d) Die Tangente \(y = -x + 4\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(a = 4\). Da für \(a=4\) die Diskriminante der Berührstellen-Gleichung Null ist, gibt es genau eine Tangente.

- Welche Werte kann die Kosinusfunktion in dem angegebenen Intervall annehmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Wie findet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen? - Das Dreieck ist rechtwinklig, da es von den Koordinatenachsen begrenzt wird.

1. Da \(\cos(x)\) für \(x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) Werte zwischen \(0\) und \(1\) annimmt, ist die Wertemenge \(W = [0; k]\). 2. Der Funktionswert ist \(h_k(\frac{\pi}{4}) = \frac{k\sqrt{2}}{2}\). Die Ableitung ist \(h_k'(x) = -k \sin(x)\), also \(h_k'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}\). Die Tangentengleichung lautet \(t_k(x) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{k\sqrt{2}}{2} = -\frac{k\sqrt{2}}{2}x + \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4})\). 3. Die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen sind \(S_y(0 | \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4}))\) und \(S_x(1 + \frac{\pi}{4} | 0)\). Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist der Flächeninhalt \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4}) = \frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2\). 4. Gleichsetzen \(\frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2 = 10\) ergibt \(k = \frac{40}{\sqrt{2}(1 + \frac{\pi}{4})^2} = \frac{20\sqrt{2}}{(1 + \frac{\pi}{4})^2} \approx 8{,}93\).

1. \(W = [0; k]\) 2. \(t_k(x) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}x + \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4})\) 3. \(A(k) = \frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2\) 4. \(k = \frac{20\sqrt{2}}{(1 + \frac{\pi}{4})^2} \approx 8{,}93\)