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- Überlege, welchen kleinsten Wert eine nach oben geöffnete Parabel annimmt. - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, das Steigungsverhalten zu beschreiben? - Welche Steigung hat die Gerade \(y = 2x\)? - An welcher Stelle \(x\) hat die Funktion \(f_k\) genau diese Steigung? - Wie berechnest du die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Graphen?

1. Da \(f_k\) eine ganzrationale Funktion ist, gilt \(D = \mathbb{R}\). Da der Scheitelpunkt bei \(S(0|k)\) liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist (\(\frac{1}{k} > 0\)), ist die Wertemenge \(W = [k; \infty[\). 2. Die Ableitung ist \(f_k'(x) = \frac{2}{k}x\). Für \(x < 0\) ist \(f_k'(x) < 0\), daher ist die Funktion für \(x \leq 0\) streng monoton fallend. Für \(x > 0\) ist \(f_k'(x) > 0\), daher ist die Funktion für \(x \geq 0\) streng monoton steigend. 3. Die Steigung der Tangente \(y = 2x\) ist \(m = 2\). Aus dem Ansatz \(f_k'(x) = 2\) folgt \(\frac{2}{k}x = 2\), woraus sich die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes \(x_B = k\) ergibt. 4. Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(f_k(k) = \frac{1}{k} \cdot k^2 + k = k + k = 2k\). Der Berührpunkt ist somit \(B_k(k | 2k)\). Zur Verifizierung: Der Punkt liegt auch auf der Geraden \(y = 2x\), da \(2 \cdot k = 2k\) gilt.

a) \(D = \mathbb{R}\); \(W = [k; \infty[\) b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 0]\) und streng monoton steigend für \(x \in [0; \infty[\). c) \(B_k(k | 2k)\)

- Wie hängen die Steigung einer Kurve an einem Punkt und die Steigung der Tangente an diesem Punkt zusammen? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Welche Informationen benötigst du, um die Gleichung einer Geraden aufzustellen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an der Stelle \(a\).

1. Bestimmung der Ableitung von \(f\): \(f(x) = 8x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}\). 2. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = -\frac{8}{2^2} = -\frac{8}{4} = -2\). 3. Vergleich der Steigungen: Die Gerade \(g\) hat die Steigung \(m_g = -2\). Da \(f'(2) = m_g = -2\) gilt, sind die Tangente \(t\) in \(P\) und die Gerade \(g\) parallel. 4. Bestimmung des Funktionswertes: \(f(2) = \frac{8}{2} = 4\). Der Berührpunkt ist \(P(2 \mid 4)\). 5. Aufstellen der Tangentengleichung: \(y = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2) \Rightarrow y = -2 \cdot (x - 2) + 4 \Rightarrow y = -2x + 4 + 4 \Rightarrow y = -2x + 8\).

a) Die Ableitung ist \(f'(x) = -\frac{8}{x^2}\). An der Stelle \(x=2\) ergibt sich die Steigung \(f'(2) = -2\). Da dies exakt der Steigung der Geraden \(g\) entspricht, sind Tangente und Gerade parallel. b) Die Gleichung der Tangente lautet \(t: y = -2x + 8\).

- Überlege zuerst, wie du den y-Wert des Punktes auf dem Graphen berechnen kannst. - Welche Ableitungsregel ist für diesen Funktionstyp besonders geeignet? - Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Wie hängen die Steigungen von zwei Geraden zusammen, die senkrecht aufeinander stehen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Geradengleichungen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = (2 - 0) \cdot e^0 = 2 \cdot 1 = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(0 | 2)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung mittels Produktregel: \(f'(x) = -1 \cdot e^x + (2 - x) \cdot e^x = (1 - x)e^x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(0) = (1 - 0)e^0 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(t(x) = 1 \cdot (x - 0) + 2 = x + 2\). 5. Bestimmung der Normalensteigung über die Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(n(x) = -1 \cdot (x - 0) + 2 = -x + 2\).

Tangente: \(t(x) = x + 2\) Normale: \(n(x) = -x + 2\)

- Wie gehst du vor, um Punkte zu finden, die auf beiden Graphen liegen? - Erinnere dich an die Substitution, um Gleichungen mit \(e^x\) und \(e^{-x}\) zu lösen. - Was muss für die Funktionswerte und die Ableitungswerte an einer Stelle gelten, damit sich zwei Graphen dort berühren? - Parallele Geraden haben eine ganz bestimmte Eigenschaft bezüglich ihrer Steigung.

1. Berechnung des Schnittpunkts: Ansatz \(f(x) = g(x) \Rightarrow e^x = 2 - e^{-x}\). Multiplikation mit \(e^x\) führt auf \(e^{2x} - 2e^x + 1 = 0\). Mit der Substitution \(u = e^x\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(u^2 - 2u + 1 = 0\), deren einzige Lösung \(u = 1\) ist. Rücksubstitution liefert \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). Der Funktionswert ist \(f(0) = e^0 = 1\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 1)\). 2. Vergleich der Steigungen: Die Ableitungen sind \(f'(x) = e^x\) und \(g'(x) = e^{-x}\). An der Stelle \(x = 0\) gilt \(f'(0) = e^0 = 1\) und \(g'(0) = e^{-0} = 1\). Daher besitzen beide Graphen in \(S\) die gemeinsame Tangente \(t(x)=x+1\). 3. Lage zur gemeinsamen Tangente: Für \(f\) gilt \(f(x)-t(x)=e^x-x-1\geq0\), für \(g\) gilt \(g(x)-t(x)=1-x-e^{-x}\leq0\); Gleichheit gilt jeweils nur für \(x=0\). Somit liegt \(G_f\) oberhalb und \(G_g\) unterhalb der gemeinsamen Tangente. Außerdem ist \(f(x)-g(x)=e^x+e^{-x}-2\geq0\) mit Gleichheit nur für \(x=0\). Die Graphen berühren sich daher in \(S\), ohne einander zu schneiden. 4. Parallele Tangenten: Der Ansatz \(f'(x) = g'(x)\) führt auf \(e^x = e^{-x}\). Durch Multiplikation mit \(e^x\) folgt \(e^{2x} = 1\), was nur für \(x = 0\) erfüllt ist. Es gibt somit keine weiteren Stellen mit parallelen Tangenten.

a) \(S(0 \mid 1)\) b) \(f'(0)=g'(0)=1\). Beide Graphen haben in \(S\) die gemeinsame Tangente \(t(x)=x+1\). Dabei liegt \(G_f\) oberhalb und \(G_g\) unterhalb dieser Tangente; die Graphen berühren sich in \(S\), ohne einander zu schneiden. c) Nein, \(x=0\) ist die einzige Stelle, an der die Tangenten parallel sind.

- Welche Informationen kannst du aus der Tatsache ableiten, dass ein Wendepunkt im Ursprung liegt? - Eine Tangente berührt den Graphen. Was bedeutet das für den Funktionswert und die Steigung an der Berührstelle? - Nutze die Symmetrieeigenschaften, die aus der Lage des Wendepunkts folgen, um die Anzahl der Unbekannten im Ansatz zu reduzieren. - Stelle ein lineares Gleichungssystem für die verbleibenden Koeffizienten auf.

1. Ansatz für eine Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Da der Wendepunkt im Ursprung liegt, gilt \(f(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgen direkt \(d = 0\) und \(b = 0\). Der reduzierte Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Tangente an der Stelle \(x = 2\) hat die Gleichung \(y = -3x + 10\). Daraus ergeben sich zwei Bedingungen: Der Funktionswert an der Stelle 2 muss mit dem Wert der Tangente übereinstimmen, also \(f(2) = -3 \cdot 2 + 10 = 4\). Zudem entspricht die Ableitung an dieser Stelle der Steigung der Tangente, also \(f'(2) = -3\). 4. Aufstellen des Gleichungssystems: \(f(2) = a \cdot 2^3 + c \cdot 2 = 8a + 2c = 4\) \(f'(x) = 3ax^2 + c \implies f'(2) = 3a \cdot 2^2 + c = 12a + c = -3\) 5. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(c = -3 - 12a\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(8a + 2(-3 - 12a) = 4 \implies 8a - 6 - 24a = 4 \implies -16a = 10 \implies a = -0{,}625\). 6. Berechnung von \(c\): \(c = -3 - 12 \cdot (-0{,}625) = -3 + 7{,}5 = 4{,}5\). 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -0{,}625x^3 + 4{,}5x\).

\(f(x) = -0{,}625x^3 + 4{,}5x\)

- Wie hängen die Steigung des Graphen und die erste Ableitung der Funktion zusammen? - Beachte bei der Suche nach möglichen Steigungswerten den Definitionsbereich der Funktion. - Eine Tangente durch den Ursprung erfüllt die Bedingung \(y = m \cdot x\). Setze den allgemeinen Punkt der Tangentengleichung in diese Form ein. - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere für welche Werte er definiert ist.

1. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 3 + \frac{2}{x}\). 2. Bedingung für Steigung \(5\): \(3 + \frac{2}{x} = 5 \Rightarrow \frac{2}{x} = 2 \Rightarrow x = 1\). Funktionswert: \(f(1) = 3 \cdot 1 + 2 \ln(1) = 3\). Punkt: \(P(1|3)\). 3. Untersuchung für Steigung \(2\): \(3 + \frac{2}{x} = 2 \Rightarrow \frac{2}{x} = -1\). Da \(x > 0\) im Definitionsbereich gilt, ist \(\frac{2}{x}\) stets positiv. Die Gleichung hat keine Lösung, somit gibt es keinen solchen Punkt. 4. Tangente durch den Ursprung: Ansatz für die Tangente an der Stelle \(u\) ist \(y = f'(u)(x - u) + f(u)\). Da sie durch \((0|0)\) verläuft, gilt \(0 = (3 + \frac{2}{u})(-u) + 3u + 2\ln(u)\). 5. Vereinfachung: \(0 = -3u - 2 + 3u + 2\ln(u) \Rightarrow 0 = -2 + 2\ln(u) \Rightarrow \ln(u) = 1 \Rightarrow u = e\). 6. Tangentengleichung: \(f'(e) = 3 + \frac{2}{e}\). Da die Gerade durch den Ursprung geht, lautet die Gleichung \(y = (3 + \frac{2}{e}) \cdot x\).

a) \(P(1|3)\) b) Nein, da die Gleichung \(3 + \frac{2}{x} = 2\) auf \(x = -2\) führt, was nicht im Definitionsbereich \(D = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\}\) liegt. c) \(y = (3 + \frac{2}{e})x\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einem beliebigen Punkt \(x_0\)? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Gerade durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Kannst du in der entstandenen Gleichung einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Überlege, warum der Faktor mit der Exponentialfunktion niemals null werden kann.

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f_k'(x) = \frac{1}{k} \cdot e^x\). 2. Allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\) aufstellen: \(y = f_k'(x_0) \cdot (x - x_0) + f_k(x_0)\). 3. Koordinaten des Punktes \(P(k | 0)\) in die Tangentengleichung einsetzen: \(0 = \frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \cdot (k - x_0) + \frac{1}{k} \cdot e^{x_0}\). 4. Die Gleichung nach \(x_0\) auflösen: Ausklammern führt zu \(0 = \frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \cdot (k - x_0 + 1)\). Da \(\frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \neq 0\), folgt \(k - x_0 + 1 = 0\), also \(x_0 = k + 1\). 5. Tangentengleichung bestimmen: Einsetzen von \(x_0\) ergibt \(y = \frac{1}{k} \cdot e^{k+1} \cdot (x - (k+1)) + \frac{1}{k} \cdot e^{k+1}\), was zu \(y = \frac{e^{k+1}}{k} \cdot (x - k)\) vereinfacht wird.

Die Berührstelle ist \(x_0 = k + 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = \frac{e^{k+1}}{k} \cdot (x - k)\).

- Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Punkt \(P\) auf dem Graphen der Funktion liegt? - Die Tangente berührt den Graphen im Punkt \(P(2 | 0)\). Was bedeutet das für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse? - Wie kannst du aus dem Flächeninhalt des Dreiecks und dem Schnittpunkt auf der \(x\)-Achse den Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse bestimmen? - Nutze die beiden Achsenschnittpunkte, um die Steigung der Tangente zu berechnen, und vergleiche diese mit der Ableitung an der Stelle \(x = 2\).

1. Da \(P(2 | 0)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(f_{a, b}(2) = 0\), woraus die Gleichung \(4a + 2b + 5 = 0\) bzw. \(4a + 2b = -5\) folgt. 2. Da der Punkt \(P(2 | 0)\) auf der \(x\)-Achse liegt, ist die Nullstelle der Tangente \(x_0 = 2\). 3. Für den Flächeninhalt im I. Quadranten gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot y_0 = 6\). Einsetzen von \(x_0 = 2\) ergibt den \(y\)-Achsenabschnitt \(y_0 = 6\). 4. Die Steigung \(m\) der Tangente durch die Achsenschnittpunkte \((2 | 0)\) und \((0 | 6)\) beträgt \(m = \frac{0 - 6}{2 - 0} = -3\). 5. Mit \(f_{a, b}'(x) = 2ax + b\) folgt an der Stelle \(x = 2\) die Bedingung \(f_{a, b}'(2) = 4a + b = -3\). 6. Das Lösen des Gleichungssystems \(4a + 2b = -5\) und \(4a + b = -3\) ergibt durch Subtraktion \(b = -2\) und durch Einsetzen \(a = -0{,}25\).

\(a = -0{,}25\) und \(b = -2\)

- Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? Was bedeutet das für ihre Steigungen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Versuche, die Geradengleichung zuerst in die Form \(y = mx + b\) zu bringen. - Welche Ableitungsregel eignet sich am besten für einen Bruch?

1. Bestimmung der Steigung der Geraden \(g\): Die Gleichung \(6x + y = 4\) wird nach \(y\) umgeformt zu \(y = -6x + 4\). Die Steigung beträgt somit \(m = -6\). 2. Berechnung der Ableitung \(f'(x)\) mithilfe der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{4 \cdot (x - 1) - (4x + 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{4x - 4 - 4x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-6}{(x - 1)^2}\). 3. Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung der Geraden: \(\frac{-6}{(x - 1)^2} = -6\) führt auf \((x - 1)^2 = 1\). 4. Lösen der Gleichung: \(x - 1 = -1 \implies x_1 = 0\) \(x - 1 = 1 \implies x_2 = 2\). Die Tangente ist an den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) parallel zur Geraden \(g\).

Die Tangente ist an den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) parallel zur Geraden \(g\).

- Was benötigst du alles, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten der e-Funktion. - Wie findet man die Nullstelle einer linearen Funktion? - Welche Maße des Dreiecks lassen sich direkt aus den Achsenschnittpunkten ablesen?

1. Funktionswert berechnen: \(f(4) = 4 \cdot e^{-0{,}25 \cdot 4} = 4 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}\). Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 4 \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25x} = -e^{-0{,}25x}\). Steigung an der Stelle \(x_0 = 4\) berechnen: \(f'(4) = -e^{-0{,}25 \cdot 4} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}\). Tangentengleichung aufstellen: \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \implies y = -\frac{1}{e} \cdot (x - 4) + \frac{4}{e} = -\frac{1}{e}x + \frac{4}{e} + \frac{4}{e} = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e}\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(x = 0\) einsetzen ergibt \(S_y(0 | \frac{8}{e})\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e} \implies \frac{1}{e}x = \frac{8}{e} \implies x = 8\). Somit \(S_x(8 | 0)\). 3. Das Dreieck hat die Kathetenlängen \(a = 8\) (Abstand des Schnittpunkts auf der \(x\)-Achse zum Ursprung) und \(b = \frac{8}{e}\) (Abstand des Schnittpunkts auf der \(y\)-Achse zum Ursprung). Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{e} = \frac{32}{e} \approx 11{,}77\).

1. Tangentengleichung: \(t: y = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e}\) 2. Schnittpunkte: \(S_x(8 | 0)\) und \(S_y(0 | \frac{8}{e})\) 3. Flächeninhalt: \(A = \frac{32}{e} \approx 11{,}77\,\text{FE}\)

- Überlege dir zuerst, welchen \(x\)-Wert du in die Tangentengleichung einsetzen musst, um den gesuchten Logarithmuswert zu erhalten. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Lage der Tangente im Vergleich zum Graphen aus? - Skizziere dir grob den Verlauf einer rechtsgekrümmten Funktion und ihrer Tangente.

1. Funktionswert und Ableitung an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = \ln(1) = 0\). Die Ableitung ist \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\), also \(f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1\). 2. Tangentengleichung aufstellen: \(t(x) = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0) = 1 \cdot x + 0\), also \(t(x) = x\). Dies liefert die Näherung \(\ln(x+1) \approx x\) für \(x\) nahe \(0\). 3. Berechnung der Näherungswerte: - Für \(\ln(1{,}1)\) ist \(x = 0{,}1\), also \(\ln(1{,}1) \approx 0{,}1\). - Für \(\ln(1{,}02)\) ist \(x = 0{,}02\), also \(\ln(1{,}02) \approx 0{,}02\). - Für \(\ln(0{,}95)\) ist \(x = -0{,}05\), also \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}05\). 4. Krümmungsverhalten und Fehlerabschätzung: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\). Da \(f''(x) < 0\) für alle \(x > -1\), ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt (konkav). Die Tangente liegt somit oberhalb des Graphen. Folglich sind alle berechneten Näherungswerte größer als die tatsächlichen Funktionswerte.

a) \(t(x) = x\) b) \(\ln(1{,}1) \approx 0{,}1\); \(\ln(1{,}02) \approx 0{,}02\); \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}05\) c) Wegen \(f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt. Die Tangente liegt oberhalb des Graphen, daher sind die Näherungswerte größer als die exakten Werte.

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an der Stelle \(x_0\). - Wie hängen die Krümmung eines Graphen und die Lage der Tangente zusammen? - Setze die \(x\)-Werte direkt in deine gefundene Geradengleichung ein.

1. Punkt und Steigung bestimmen: \(g(4) = \sqrt{4} = 2\). Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), woraus folgt \(g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Tangentengleichung \(L(x)\) aufstellen: \(L(x) = g'(4)(x - 4) + g(4) = 0{,}25(x - 4) + 2 = 0{,}25x + 1\). 3. Näherungswerte berechnen: - \(L(4{,}1) = 0{,}25 \cdot 0{,}1 + 2 = 0{,}025 + 2 = 2{,}025\) - \(L(4{,}04) = 0{,}25 \cdot 0{,}04 + 2 = 0{,}01 + 2 = 2{,}01\) - \(L(3{,}9) = 0{,}25 \cdot (-0{,}1) + 2 = -0{,}025 + 2 = 1{,}975\) 4. Begründung der Überschätzung: Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}\). Für \(x > 0\) ist \(g''(x) < 0\). Der Graph ist somit rechtsgekrümmt (konkav), weshalb die Tangente (außer im Berührpunkt) überall oberhalb des Graphen verläuft. Die Werte der Tangente sind daher größer als die der Wurzelfunktion.

a) \(L(x) = 0{,}25x + 1\) b) \(\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}025\); \(\sqrt{4{,}04} \approx 2{,}01\); \(\sqrt{3{,}9} \approx 1{,}975\) c) Da \(g''(x) = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} < 0\) für \(x > 0\) gilt, ist der Graph rechtsgekrümmt. Die Tangente liegt über dem Graphen, was zu einer Überschätzung führt.

- Überlege dir, wie die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(u\) aussieht. - Nutze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P\), um die Unbekannte \(u\) zu bestimmen. - Skizziere die Situation grob, um die Integrationsgrenzen und die Lage der Funktionen zueinander zu erkennen. - Achte beim Integrieren auf die richtige Stammfunktion der Exponentialfunktion.

1. Bestimmung des Berührpunktes \(B(u|f(u))\): Die Tangentengleichung lautet allgemein \(y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)\). Mit \(f'(x) = e^{0{,}5x}\) und dem Punkt \(P(2|0)\) ergibt sich die Bedingung \(0 = e^{0{,}5u} \cdot (2 - u) + 2 \cdot e^{0{,}5u}\). 2. Lösen der Gleichung: \(e^{0{,}5u} \cdot (2 - u + 2) = 0 \implies 4 - u = 0 \implies u = 4\). Der Berührpunkt ist \(B(4|2e^2)\). 3. Tangentengleichung: \(t(x) = f'(4) \cdot (x - 4) + f(4) = e^2 \cdot (x - 4) + 2e^2 = e^2 x - 2e^2\). 4. Flächenberechnung: Die Fläche liegt im Intervall \([0; 4]\) zwischen \(f(x)\) und \(t(x)\). Da \(f(x) \geq t(x)\) in diesem Bereich, gilt \(A = \int_{0}^{4} (2e^{0{,}5x} - (e^2 x - 2e^2)) \, dx\). 5. Integration: \(A = [4e^{0{,}5x} - \frac{1}{2}e^2 x^2 + 2e^2 x]_{0}^{4} = (4e^2 - 8e^2 + 8e^2) - (4e^0 - 0 + 0) = 4e^2 - 4\). Der Flächeninhalt beträgt \(4e^2 - 4 \approx 25{,}56\,\text{FE}\).

a) Berührpunkt \(B(4|2e^2)\), Tangentengleichung \(t: y = e^2 x - 2e^2\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(4e^2 - 4 \approx 25{,}56\,\text{FE}\).

- Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Welche zwei Bedingungen müssen an einer Berührstelle für die Funktionen \(p\) und \(f\) erfüllt sein? - Stelle zuerst den allgemeinen Term einer Parabel auf und bestimme so viele Parameter wie möglich aus der Berührung im Ursprung. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe des Punktes \(A\) berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundene Funktion tatsächlich vom Grad 2 ist.

1. Ermittlung der Eigenschaften von \(f\) im Ursprung \(O(0|0)\): \(f(0) = \ln(1) = 0\) und \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\), woraus die Steigung \(f'(0) = 1\) resultiert. 2. Anwendung der Berührbedingungen auf den allgemeinen Ansatz \(p(x) = ax^2 + bx + c\): Da der Graph durch den Ursprung geht, ist \(p(0) = 0\), also \(c = 0\). Wegen der gleichen Steigung gilt \(p'(0) = f'(0) = 1\), woraus mit \(p'(x) = 2ax + b\) direkt \(b = 1\) folgt. 3. Einsetzen des Punktes \(A(2|4)\) in den vorläufigen Funktionsterm \(p(x) = ax^2 + x\): \(p(2) = a \cdot 2^2 + 2 = 4\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(4a + 2 = 4 \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = 0{,}5\). 5. Aufstellen der fertigen Funktionsgleichung: \(p(x) = 0{,}5x^2 + x\).

\(p(x) = 0{,}5x^2 + x\)

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Gleichung einer Tangente an einer unbekannten Stelle \(u\) aussieht. - Welche Bedingungen muss die Tangente erfüllen, damit sie durch einen bestimmten Punkt außerhalb des Graphen geht? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deine Tangentengleichung ein, um die Berührstelle zu finden. - Denk daran, dass die Exponentialfunktion niemals den Wert Null annimmt.

1. Die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(u\) lautet \(y = f'(u)(x-u) + f(u)\). 2. Mit \(f'(x) = 2e^{2x}\) ergibt sich \(y = 2e^{2u}(x-u) + e^{2u}\). 3. Da die Tangente durch \(P(1|0)\) verläuft, setzt man \(x=1\) und \(y=0\) ein: \(0 = 2e^{2u}(1-u) + e^{2u}\). 4. Ausklammern führt zu \(e^{2u} \cdot (2 - 2u + 1) = 0\), also \(e^{2u} \cdot (3 - 2u) = 0\). 5. Da \(e^{2u} > 0\) für alle \(u\), folgt \(3 - 2u = 0\) und somit \(u = 1{,}5\). 6. Die Steigung an der Stelle \(u = 1{,}5\) ist \(f'(1{,}5) = 2e^3\). 7. Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form mit \(P(1|0)\) ergibt die Tangentengleichung \(y = 2e^3 \cdot (x - 1) = 2e^3x - 2e^3\).

\(y = 2e^3x - 2e^3\)

- Welche allgemeine Form hat eine Tangente, die durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wie hängen der Funktionswert und der Wert der Ableitung an einer Stelle zusammen, wenn dort eine Tangente vom Ursprung aus anliegt? - Erinnere dich an die Bedingung für die Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 4x + 1\). 2. Ansatz für eine Tangente durch den Ursprung: Da die Tangente durch \((0|0)\) verläuft, muss ihre Gleichung die Form \(y = f'(x_0) \cdot x\) haben. Am Berührpunkt \(x_0\) muss zudem gelten: \(f(x_0) = f'(x_0) \cdot x_0\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{1}{2}x_0^3 - 2x_0^2 + x_0 = x_0 \cdot (\frac{3}{2}x_0^2 - 4x_0 + 1)\). 4. Vereinfachen: \(\frac{1}{2}x_0^3 - 2x_0^2 + x_0 = \frac{3}{2}x_0^3 - 4x_0^2 + x_0 \Rightarrow x_0^3 - 2x_0^2 = 0\). 5. Ausklammern: \(x_0^2(x_0 - 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_0 = 0\) (Berührpunkt im Ursprung) und \(x_0 = 2\). Da \(B \neq O\), ist \(x_0 = 2\). 6. Koordinaten von \(B\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 = -2\). Somit ist \(B(2|-2)\). 7. Tangentengleichung: Die Steigung ist \(m_t = f'(2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1 = -1\). Die Gleichung lautet \(t: y = -x\). 8. Orthogonalitätsnachweis: Die Steigung der Tangente im Ursprung ist \(m_0 = f'(0) = 1\). Da \(m_t \cdot m_0 = -1 \cdot 1 = -1\) gilt, schneiden sich die Tangenten orthogonal.

a) Die Tangentengleichung lautet \(t: y = -x\). Der Berührpunkt ist \(B(2|-2)\). b) Die Steigung der Tangente \(t\) ist \(m_1 = -1\). Die Steigung der Tangente im Ursprung ist \(m_2 = f'(0) = 1\). Wegen \(m_1 \cdot m_2 = -1\) sind die Tangenten orthogonal.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Wie bestimmt man die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen? - Welche Rolle spielt die Vielfachheit einer Nullstelle beim Lösen der Schnittgleichung, wenn es sich um einen Berührpunkt handelt? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen mithilfe der Integralrechnung?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). 2. Steigung im Punkt \(B(0|0)\) berechnen: \(m = f'(0) = -3\). Da der Punkt im Ursprung liegt, lautet die Tangentengleichung \(t(x) = -3x\). 3. Schnittpunkt \(Q\) berechnen: Ansatz \(f(x) = t(x)\) führt zu \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x = -3x\). Dies vereinfacht sich zu \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 = 0\), also \(x^2(\frac{1}{3}x - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (Berührpunkt) und \(x_2 = 3\). Einsetzen in \(t(x)\) ergibt \(Q(3|-9)\). 4. Flächeninhalt berechnen: Da \(t(x) \geq f(x)\) im Intervall \([0; 3]\) gilt (Testwert \(x=1\): \(t(1)=-3 > f(1) \approx -3{,}67\)), berechnet man das Integral \(\int_{0}^{3} (t(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 - \frac{1}{3}x^3) \, dx\). 5. Stammfunktion bilden und auswerten: \([\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{12}x^4]_{0}^{3} = (9 - \frac{81}{12}) - 0 = 9 - 6{,}75 = 2{,}25\). Der Flächeninhalt beträgt \(2{,}25\,\text{FE}\).

a) \(t(x) = -3x\) b) \(Q(3|-9)\) c) \(A = 2{,}25\,\text{FE}\)

- Überlege dir zuerst, wie man Nullstellen und Extrema einer Funktion mit \(e\)-Termen berechnet. - Was ist die geometrische Bedeutung des Integrals in einem bestimmten Quadranten? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer beliebigen Stelle \(u\)? - Wann besitzt eine quadratische Gleichung genau zwei verschiedene Lösungen?

1. Nullstelle: \(f(x) = 0 \implies x-2 = 0 \implies x = 2\). 2. Ableitung: \(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2) \cdot e^x = (x-1)e^x\). Extremstelle bei \(f'(x) = 0 \implies x = 1\). Da \(f''(1) = e^1 > 0\), liegt ein Tiefpunkt bei \(T(1|-e)\) vor. 3. Flächeninhalt: Die Grenzen sind \(x=0\) (y-Achse) und \(x=2\) (Nullstelle). Das Integral lautet \(\int_{0}^{2} (x-2)e^x \, dx\). Mit partieller Integration oder der Stammfunktion \(F(x) = (x-3)e^x\) ergibt sich \([(x-3)e^x]_0^2 = -e^2 - (-3) = 3 - e^2\). Der Flächeninhalt beträgt \(A = |3 - e^2| = e^2 - 3 \approx 4{,}39\). 4. Tangentengleichung an der Stelle \(u\): \(t(x) = f'(u)(x-u) + f(u) = (u-1)e^u(x-u) + (u-2)e^u\). Da \(P(k|0)\) auf der Tangente liegt, gilt \(0 = (u-1)e^u(k-u) + (u-2)e^u\). Teilen durch \(e^u \neq 0\) führt auf \(0 = (u-1)(k-u) + u-2 = ku - u^2 - k + u + u - 2 = -u^2 + (k+2)u - (k+2)\). Umformen ergibt \(u^2 - (k+2)u + (k+2) = 0\). 5. Anzahl der Tangenten: Die quadratische Gleichung für \(u\) hat genau zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = (k+2)^2 - 4(k+2) = (k+2)(k-2) = k^2 - 4\) positiv ist. Dies ist für \(k > 2\) oder \(k < -2\) der Fall.

a) Nullstelle bei \(x=2\); Tiefpunkt bei \(T(1|-e)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 3 \approx 4{,}39\) Flächeneinheiten. c) Nachweis durch Einsetzen von \(P(k|0)\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(u)(x-u) + f(u)\). d) Genau zwei Tangenten existieren für \(k < -2\) oder \(k > 2\).

- Für eine unbegrenzte Fläche musst du ein uneigentliches Integral berechnen. - Wie verhält sich \(e^{-x}\) multipliziert mit einer Potenz von \(x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Stelle die allgemeine Tangentengleichung auf und bestimme daraus den Term für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Suche das Maximum dieser neu entstandenen Funktion in Abhängigkeit von \(a\).

1. Berechnung des Flächeninhalts: Die Fläche im 1. Quadranten entspricht dem Integral \(\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x}\). Der Grenzwert für \(x \to \infty\) ist \(0\). Somit gilt \(A = 0 - F(0) = 0 - (-2) = 2\). 2. Tangentengleichung: Mit \(f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}\) ergibt sich die Tangente an der Stelle \(a\) zu \(y = (2a - a^2)e^{-a} \cdot (x-a) + a^2 e^{-a}\). 3. \(y\)-Achsenabschnitt \(n(a)\): Vereinfachen von \(n(a) = -a(2a - a^2)e^{-a} + a^2 e^{-a}\) führt zu \(n(a) = (a^3 - a^2)e^{-a}\). 4. Extremwertbestimmung: Die Ableitung \(n'(a) = (3a^2 - 2a)e^{-a} - (a^3 - a^2)e^{-a} = (-a^3 + 4a^2 - 2a)e^{-a} = -a(a^2 - 4a + 2)e^{-a}\) hat Nullstellen bei \(a_1 = 0\) und \(a_{2,3} = 2 \pm \sqrt{2}\). 5. Maximum finden: Da \(n(2+\sqrt{2}) \approx 0{,}93\) der größte Funktionswert unter den Kandidaten ist und \(n(a) \to 0\) für \(a \to \infty\) sowie \(n(a) \to -\infty\) für \(a \to -\infty\) gilt, liegt das globale Maximum bei \(a = 2 + \sqrt{2}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2\). b) Die Tangentengleichung ist \(y = (2a - a^2)e^{-a} \cdot x + (a^3 - a^2)e^{-a}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist für \(a = 2 + \sqrt{2}\) am größten.

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Gleichung einer Tangente an einen Graphen an einer Stelle \(a\)? - Welche Ableitungsregel benötigst du für die natürliche Logarithmusfunktion? - Wie bestimmt man den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der \(y\)-Achse? - Überlege, was es bedeutet, wenn ein Term am Ende nicht mehr von der Variablen \(a\) abhängt.

1. Bestimmung der Ableitung: Die Ableitung von \(f(x) = \ln(x)\) ist \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Die Steigung der Tangente im Punkt \(P(a \mid \ln(a))\) ist somit \(m_t = f'(a) = \frac{1}{a}\). 2. Aufstellen der Tangentengleichung (Teilaufgabe a): Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)\) ergibt sich: \(y - \ln(a) = \frac{1}{a} \cdot (x - a)\) \(y = \frac{1}{a} \cdot x - 1 + \ln(a)\) 3. Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse (Teilaufgabe b): Für den Schnittpunkt \(S(0 \mid y_S)\) setzt man \(x = 0\) in die Tangentengleichung ein: \(y_S = \frac{1}{a} \cdot 0 - 1 + \ln(a) = \ln(a) - 1\) Der Schnittpunkt lautet somit \(S(0 \mid \ln(a) - 1)\). 4. Berechnung des Abstands (Teilaufgabe c): Der vertikale Abstand \(d\) zwischen der \(y\)-Koordinate von \(P\) (\(y_P = \ln(a)\)) und der \(y\)-Koordinate von \(S\) (\(y_S = \ln(a) - 1\)) beträgt: \(d = y_P - y_S = \ln(a) - (\ln(a) - 1) = 1\). Da dieser Wert unabhängig von \(a\) immer \(1\) ist, ist der vertikale Abstand konstant.

a) Die Tangentengleichung lautet \(t: y = \frac{1}{a} \cdot x - 1 + \ln(a)\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S(0 \mid \ln(a) - 1)\). c) Der vertikale Abstand ist \(y_P - y_S = \ln(a) - (\ln(a) - 1) = 1\). Da das Ergebnis unabhängig von \(a\) ist, ist der Abstand immer konstant gleich \(1\).

- Wie lautet die Ableitung von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten? - Setze die allgemeine Tangentenformel zusammen und versuche, sie so weit wie möglich zu vereinfachen. - Wenn eine Gerade durch einen Punkt auf der \(y\)-Achse verläuft, entspricht dessen \(y\)-Koordinate dem \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Wert von \(a\) in die Tangentengleichung einsetzt.

1. Ableitungsfunktion von \(g(x) = 2x^{-1}\) bestimmen: \(g'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). 2. Allgemeine Tangentengleichung im Punkt \(Q_a\) aufstellen: \(y = g'(a) \cdot (x - a) + g(a) = -\frac{2}{a^2} \cdot (x - a) + \frac{2}{a}\). 3. Term vereinfachen: \(y = -\frac{2}{a^2}x + \frac{2}{a} + \frac{2}{a} = -\frac{2}{a^2}x + \frac{4}{a}\). 4. Bedingung für \(P(0 \mid 4)\) einsetzen: \(4 = -\frac{2}{a^2} \cdot 0 + \frac{4}{a} \Rightarrow 4 = \frac{4}{a}\). 5. Nach \(a\) auflösen: \(a = 1\).

a) \(t_a: y = -\frac{2}{a^2}x + \frac{4}{a}\) b) \(a = 1\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einen Graphen an einer Stelle \(a\)? - Welche Bedingung muss für die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf der \(x\)-Achse gelten? - Versuche, den Term \(e^{0{,}5a}\) in deiner Gleichung auszuklammern oder zu kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen. - Der Abstand zwischen zwei Werten auf der \(x\)-Achse ist die Differenz der Werte.

1. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x}\). 2. Tangentengleichung an der Stelle \(x = a\) aufstellen: \(t: y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)\) \(t: y = 0{,}5e^{0{,}5a} \cdot (x - a) + e^{0{,}5a}\) 3. Schnittpunkt \(Q(x_Q \mid 0)\) mit der \(x\)-Achse berechnen: \(0 = 0{,}5e^{0{,}5a} \cdot (x_Q - a) + e^{0{,}5a}\) Da \(e^{0{,}5a} \neq 0\), kann man durch diesen Term dividieren: \(0 = 0{,}5(x_Q - a) + 1 \Rightarrow -1 = 0{,}5(x_Q - a) \Rightarrow -2 = x_Q - a \Rightarrow x_Q = a - 2\). 4. Horizontalen Abstand berechnen: \(d = |a - x_Q| = |a - (a - 2)| = 2\). Dieser Wert ist unabhängig von \(a\). In der Abbildung ist für \(a = 2\) der Berührpunkt \(P(2 \mid e)\) und der \(x\)-Achsenabschnitt bei \(x_Q = 0\), was einem Abstand von \(2 - 0 = 2\) entspricht.

a) \(t: y = 0{,}5e^{0{,}5a} \cdot (x - a) + e^{0{,}5a}\) (oder vereinfacht \(y = 0{,}5e^{0{,}5a} \cdot x + e^{0{,}5a}(1 - 0{,}5a)\)) b) \(x_Q = a - 2\) c) Der Abstand ist \(|a - (a - 2)| = 2\). Da \(a\) wegfällt, ist der Abstand für alle Punkte auf dem Graphen konstant 2.

- Bestimme zuerst den y-Wert des Punktes, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle. - Für den Winkel zur x-Achse hilft dir die Tangens-Funktion weiter.

1. Koordinaten des Berührpunktes berechnen: \(k(2) = \frac{2 \cdot 2^2}{2^2 + 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). Punkt \(P(2 \mid \frac{4}{3})\). 2. Ableitung berechnen: \(k'(x) = \frac{4x \cdot (x^2 + 2) - 2x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{8x}{(x^2 + 2)^2}\). 3. Steigung der Tangente bestimmen: \(m = k'(2) = \frac{8 \cdot 2}{(2^2 + 2)^2} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\). 4. Tangentengleichung \(y = m(x - x_0) + y_0\) aufstellen: \(y = \frac{4}{9}(x - 2) + \frac{4}{3} = \frac{4}{9}x - \frac{8}{9} + \frac{12}{9} = \frac{4}{9}x + \frac{4}{9}\). 5. Neigungswinkel berechnen: \(\tan(\alpha) = \frac{4}{9} \Rightarrow \alpha = \arctan(\frac{4}{9}) \approx 23{,}96^\circ\).

Die Gleichung der Tangente ist \(y = \frac{4}{9}x + \frac{4}{9}\). Der Schnittwinkel mit der positiven \(x\)-Achse beträgt ca. \(23{,}96^\circ\).

- Verwende die Nullstellenform der Parabel, um einen ersten Funktionsterm mit einem unbekannten Parameter aufzustellen. - Bestimme die Steigung der Tangenten mithilfe der Ableitungsfunktion an den Stellen der Nullstellen. - Stelle die Gleichung für eine der beiden Tangenten auf. - Nutze den im Text genannten Schnittpunkt der Tangenten, um den fehlenden Parameter der Parabel zu berechnen.

1. Da die Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 4\) liegen, kann die Funktion in der Nullstellenform \(f(x) = ax(x - 4) = ax^2 - 4ax\) angesetzt werden. 2. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = 2ax - 4a\). 3. Die Steigung der Tangente im Ursprung (\(x = 0\)) ist \(f'(0) = -4a\). Da die Tangente durch den Punkt \((0 \mid 0)\) verläuft, lautet ihre Gleichung \(y = -4ax\). 4. Der Schnittpunkt \(S(2 \mid -6)\) liegt auf dieser Tangente. Durch Einsetzen der Koordinaten erhält man: \(-6 = -4a \cdot 2\), woraus \(-6 = -8a\) folgt. 5. Damit ergibt sich der Parameter \(a = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 6. Der gesuchte Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 0{,}75(x^2 - 4x) = 0{,}75x^2 - 3x\).

\(f(x) = 0{,}75x^2 - 3x\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten und Rechnen wie eine konstante Zahl. - Nutze die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit einer Seite auf der x-Achse benötigst du die Länge dieser Seite und die y-Koordinate des gegenüberliegenden Eckpunkts. - Achte darauf, dass Längen und Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Bestimmung der positiven Nullstelle: \(x^3 - kx = 0 \iff x(x^2 - k) = 0\). Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{k}\). Somit ist \(x_P = \sqrt{k}\). 2. Ableitungsfunktion: \(f_k'(x) = 3x^2 - k\). 3. Tangente \(t_0\) im Ursprung: Die Steigung ist \(f_k'(0) = -k\). Da der Punkt \((0|0)\) auf der Tangente liegt, lautet die Gleichung \(t_0: y = -kx\). 4. Tangente \(t_P\) im Punkt \((\sqrt{k}|0)\): Die Steigung ist \(f_k'(\sqrt{k}) = 3(\sqrt{k})^2 - k = 2k\). Die Punkt-Steigungs-Form ergibt \(y = 2k(x - \sqrt{k})\). 5. Schnittpunkt \(S\) der Tangenten: Gleichsetzen \(-kx = 2k(x - \sqrt{k}) \implies -kx = 2kx - 2k\sqrt{k} \implies 3kx = 2k\sqrt{k}\). Da \(k > 0\), folgt \(x_S = \frac{2}{3}\sqrt{k}\). Einsetzen in \(t_0\) ergibt \(y_S = -\frac{2}{3}k\sqrt{k}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: Die Grundseite auf der x-Achse liegt zwischen \(0\) und \(\sqrt{k}\), also \(g = \sqrt{k}\). Die Höhe ist \(h = |y_S| = \frac{2}{3}k\sqrt{k}\). Somit gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}k\sqrt{k} = \frac{1}{3}k \cdot (\sqrt{k})^2 = \frac{1}{3}k^2\).

a) \(x_P = \sqrt{k}\) b) \(t_0: y = -kx\); \(t_P: y = 2k(x - \sqrt{k})\) c) Nachweis durch Schnittpunkt \(S(\frac{2}{3}\sqrt{k}|-\frac{2}{3}k\sqrt{k})\) und \(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}k\sqrt{k} = \frac{1}{3}k^2\).

- Was ist die Steigung einer Kurve im Ursprung? - Für eine Tangente von einem externen Punkt aus hilft der allgemeine Ansatz für die Tangentengleichung an einer Stelle \(u\). - Denke beim Lösen der Gleichung daran, dass die \(e\)-Funktion niemals Null wird. - Wie hängen das Krümmungsverhalten und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen?

1. Tangente in \(x = 0\): Funktionswert \(g(0) = 0\), Ableitung \(g'(x) = (1 - x)e^{-x}\), also \(g'(0) = 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = 1 \cdot x + 0\), also \(y = x\). 2. Tangente von \(A(4 | 0)\): Ansatz für die Tangente im Berührpunkt \(B(u | g(u))\) ist \(y = g'(u)(x - u) + g(u)\). Einsetzen von \(A(4 | 0)\) führt zu \(0 = (1 - u)e^{-u}(4 - u) + u e^{-u}\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(e^{-u}((1 - u)(4 - u) + u) = 0 \Rightarrow u^2 - 4u + 4 = 0 \Rightarrow (u - 2)^2 = 0\). Daraus folgt \(u = 2\). 4. Berührpunkt und Tangente: \(B(2 | 2e^{-2})\), Steigung \(g'(2) = -e^{-2}\). Die Gleichung ist \(y = -e^{-2}(x - 2) + 2e^{-2}\), vereinfacht \(y = -e^{-2}x + 4e^{-2}\). 5. Krümmung: Zweite Ableitung \(g''(x) = (x - 2)e^{-x}\). Für \(x < 2\) ist \(g''(x) < 0\), also liegt eine Rechtskurve vor. Für \(x > 2\) ist \(g''(x) > 0\), also liegt eine Linkskurve vor.

a) \(y = x\) b) Berührpunkt \(B(2 | 2e^{-2})\), Tangentengleichung \(y = -e^{-2}x + 4e^{-2}\). c) Rechtskurve für \(x < 2\), Linkskurve für \(x > 2\), da \(g''(x) < 0\) für \(x < 2\) und \(g''(x) > 0\) für \(x > 2\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Der Parameter \(k\) wird in der Rechnung wie eine normale Zahl behandelt. - Welche Bedingungen muss die Tangente erfüllen, damit sie durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Überlege zuerst, wie der Berührpunkt und die Steigung an der Stelle \(x=1\) vom Parameter \(k\) abhängen.

1. Bestimmung des Berührpunktes auf dem Graphen für \(x = 1\): \(f_k(1) = 1^4 - k \cdot 1^2 + 4 = 5 - k\). Der Punkt ist \(B(1|5-k)\). 2. Berechnung der Ableitung an der Stelle \(x = 1\): \(f_k'(x) = 4x^3 - 2kx \implies f_k'(1) = 4 - 2k\). Dies ist die Steigung \(m\) der Tangente. 3. Aufstellen der Tangentengleichung \(t_k(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(t_k(x) = (4 - 2k)(x - 1) + 5 - k\). 4. Einsetzen des Punktes \(Q(0|1)\) in die Tangentengleichung, da die Tangente durch diesen Punkt verlaufen soll: \(1 = (4 - 2k)(0 - 1) + 5 - k\) 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(1 = -(4 - 2k) + 5 - k\) \(1 = -4 + 2k + 5 - k\) \(1 = 1 + k \implies k = 0\). 6. Für \(k = 0\) verläuft die Tangente an der Stelle \(x = 1\) durch den Punkt \(Q(0|1)\).

\(k = 0\)

- Untersuche das Grenzverhalten für \(x\to\pm\infty\). - Bestimme die Wendestellen allgemein in Abhängigkeit von \(k\) und setze diese in den Funktionsterm ein. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um den Schnittpunkt der Tangenten auf der \(y\)-Achse und die Nullstellen auf der \(x\)-Achse effizient zu bestimmen. - Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus der halben Grundseite mal Höhe. Setze den resultierenden Term mit dem Zielwert gleich.

1. Asymptote: Da \(k > 0\) ist, gilt für \(x \to \pm \infty\), dass der Exponent \(-kx^2 \to -\infty\). Somit gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} e^{-kx^2} = 0\). Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist waagrechte Asymptote. 2. Wendepunkte: Ableitungen: \(g_k'(x) = -2kx \cdot e^{-kx^2}\) und \(g_k''(x) = (4k^2x^2 - 2k) \cdot e^{-kx^2}\). \(g_k''(x) = 0 \implies 4k^2x^2 = 2k \implies x^2 = \frac{1}{2k} \implies x_W = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}\). Einsetzen in \(g_k\): \(y_W = e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). Dies ist unabhängig von \(k\). 3. Dreiecksfläche: Wendetangente bei \(x_W = \frac{1}{\sqrt{2k}}\) mit Steigung \(m = g_k'(x_W) = -2k \cdot \frac{1}{\sqrt{2k}} \cdot e^{-1/2} = -\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{e}}\). Nullstelle der Tangente: \(0 = m(x - x_W) + y_W \implies x_0 = x_W - \frac{y_W}{m} = \frac{1}{\sqrt{2k}} - \frac{1/\sqrt{e}}{-\sqrt{2k}/\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2k}} + \frac{1}{\sqrt{2k}} = \frac{2}{\sqrt{2k}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}}\). Grundseite \(g = 2x_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}}\). Höhe (Schnittpunkt auf \(y\)-Achse): \(h = -m \cdot x_W + y_W = \frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{e}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2k}} + \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{2}{\sqrt{e}}\). 4. Fläche berechnen: \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}} \cdot \frac{2}{\sqrt{e}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ke}}\). Gleichsetzen mit \(2\): \(2 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ke}} \implies \sqrt{ke} = \sqrt{2} \implies ke = 2 \implies k = \frac{2}{e}\). 5. Der Faktor \(4k^2x^2-2k\) wechselt an beiden Nullstellen sein Vorzeichen; damit sind beide Stellen tatsächlich Wendestellen.

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} g_k(x) = 0\). b) \(y_W = e^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). c) \(k = \frac{2}{e}\).

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle über die Tangente an diesem Punkt aus? - Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um ein Produkt aus zwei Funktionen abzuleiten, von denen eine verkettet ist? - Denke beim Ableiten von \(\tan(c - x)\) an die innere Ableitung der Klammer. - Ist es notwendig, die Ableitung für alle \(x\) vollständig zu vereinfachen, oder reicht es, den Zielwert einzusetzen?

1. Ableitung der Funktion \(f\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \tan(c - x) + \tan(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(c - x)} \cdot (-1)\). 2. Vereinfachung der Ableitung zu: \(f'(x) = \frac{\tan(c - x)}{\cos^2(x)} - \frac{\tan(x)}{\cos^2(c - x)}\). 3. Einsetzen der Stelle \(x = \frac{c}{2}\) in den Ableitungsterm: \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{\tan(c - \frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} - \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(c - \frac{c}{2})}\). 4. Auswertung der Terme: Da \(c - \frac{c}{2} = \frac{c}{2}\) gilt, folgt \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} - \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} = 0\). 5. Ergebnis: Da die erste Ableitung an der Stelle \(x = \frac{c}{2}\) null ist, liegt dort eine waagerechte Tangente vor.

Der Nachweis erfolgt über die erste Ableitung \(f'(x) = \frac{\tan(c - x)}{\cos^2(x)} - \frac{\tan(x)}{\cos^2(c - x)}\). Durch Einsetzen von \(x = \frac{c}{2}\) ergibt sich \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = 0\), was die Existenz einer waagerechten Tangente bestätigt.

- Arbeite im ersten Teil allgemein mit den Variablen \(x_0\) und \(k\). - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Tangentengleichung so ausklammern, dass der Term \(e^{kx_0}\) als Faktor vor einer Klammer steht? - Nutze das Ergebnis aus dem ersten Aufgabenteil als Formel für die restlichen Fragen. - Was ist der \(x\)-Wert des Koordinatenursprungs?

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = ke^{kx}\). Tangentengleichung an \(x_0\): \(y = k e^{kx_0}(x - x_0) + e^{kx_0}\). Schnittpunkt mit \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = e^{kx_0} \cdot [k(x - x_0) + 1]\). Da \(e^{kx_0} > 0\), muss \(k(x - x_0) + 1 = 0\) gelten. Umformen ergibt \(k(x - x_0) = -1 \implies x - x_0 = -\frac{1}{k} \implies x_s = x_0 - \frac{1}{k}\). 2. Gegeben sind \(x_0 = 3\) und \(x_s = 1\). Einsetzen in die Formel: \(1 = 3 - \frac{1}{k} \implies -2 = -\frac{1}{k} \implies 2 = \frac{1}{k} \implies k = 0{,}5\). 3. Die Tangente geht durch den Ursprung, wenn \(x_s = 0\). Mit \(k = 0{,}5\) gilt: \(0 = x_0 - \frac{1}{0{,}5} \implies 0 = x_0 - 2 \implies x_0 = 2\).

1. Nachweis durch Nullsetzen der Tangente: \(x_s = x_0 - \frac{1}{k}\). 2. \(k = 0{,}5\) 3. \(x_0 = 2\)

- Bestimme zuerst die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\). - Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\). - Vergleiche am Ende die Koordinaten des Mittelpunkts mit den Koordinaten von \(P\).

1. Die Ableitung von \(f(x) = 4x^{-1}\) ist \(f'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}\). 2. Die Tangentengleichung im Punkt \(P(x_0 \mid \frac{4}{x_0})\) lautet: \(y = -\frac{4}{x_0^2}(x - x_0) + \frac{4}{x_0}\). Vereinfacht ergibt dies \(y = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0}\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(y = \frac{8}{x_0}\), also \(S_y(0 \mid \frac{8}{x_0})\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0} \implies \frac{4}{x_0^2}x = \frac{8}{x_0} \implies x = 2x_0\), also \(S_x(2x_0 \mid 0)\). 5. Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{S_x S_y}\) berechnet sich durch \(M\left(\frac{x_{S_x} + x_{S_y}}{2} \mid \frac{y_{S_x} + y_{S_y}}{2}\right)\). Einsetzen ergibt \(M\left(\frac{2x_0 + 0}{2} \mid \frac{0 + \frac{8}{x_0}}{2}\right) = M(x_0 \mid \frac{4}{x_0})\). Dies entspricht exakt den Koordinaten des Berührpunktes \(P\).

Die Tangente an der Stelle \(x_0\) hat die Gleichung \(y = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0}\). Die Achsenschnittpunkte sind \(S_x(2x_0 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid \frac{8}{x_0})\). Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{S_x S_y}\) ist \(M\left(\frac{2x_0+0}{2} \mid \frac{0+\frac{8}{x_0}}{2}\right) = (x_0 \mid \frac{4}{x_0})\), was identisch mit dem Berührpunkt \(P\) ist.

- Erinnere dich daran, dass parallele Geraden die gleiche Steigung besitzen. - Welche Regel benötigst du, um eine verkettete Funktion mit dem natürlichen Logarithmus abzuleiten? - Nach dem Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung erhältst du eine quadratische Gleichung. Wie löst du diese? - Verwende die Punkt-Steigungs-Form für die finale Tangentengleichung.

1. Umformen der Geradengleichung \(4x - 5y + 10 = 0\) zu \(y = 0{,}8x + 2\) ergibt die Steigung \(m = 0{,}8\). 2. Ableitung von \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). 3. Bedingung für Parallelität: \(\frac{2x}{x^2 + 1} = 0{,}8 \implies 0{,}8x^2 - 2x + 0{,}8 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 2\). 5. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(f(0{,}5) = \ln(1{,}25)\) und \(f(2) = \ln(5)\). Die Punkte sind \(P_1(0{,}5 \mid \ln(1{,}25))\) und \(P_2(2 \mid \ln(5))\). 6. Aufstellen der Tangentengleichungen: \(t_1: y = 0{,}8x - 0{,}4 + \ln(1{,}25)\) und \(t_2: y = 0{,}8x - 1{,}6 + \ln(5)\).

Punkte: \(P_1(0{,}5 \mid \ln(1{,}25))\) und \(P_2(2 \mid \ln(5))\) Tangentengleichungen: \(y = 0{,}8x - 0{,}4 + \ln(1{,}25)\) und \(y = 0{,}8x - 1{,}6 + \ln(5)\)

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades auf. - Welche Informationen über den Funktionswert und die Ableitung kannst du aus der Bedingung „berührt an der Stelle \(x=0\)“ gewinnen? - Was sagt dir eine waagerechte Tangente über die Ableitung an dieser Stelle? - Nutze alle gegebenen Bedingungen, um ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten aufzustellen.

1. Ansatz: \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) und Ableitung \(p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). 2. Berühren bei \(x=0\) bedeutet \(p(0) = f(0)\) und \(p'(0) = f'(0)\). 3. Funktionswert: \(f(0) = 4 \cdot e^0 = 4\), also \(d = 4\). 4. Steigung: \(f'(x) = -2e^{-0{,}5x}\), also \(f'(0) = -2\). Hieraus folgt \(c = -2\). 5. Waagerechte Tangente bei \(x = -1\): \(p'(-1) = 3a - 2b - 2 = 0\), also \(3a - 2b = 2\). 6. Punkt \(Q(1|2)\): \(p(1) = a + b - 2 + 4 = 2\), woraus \(a + b = 0\) bzw. \(b = -a\) folgt. 7. Gleichungssystem lösen: \(3a - 2(-a) = 2 \implies 5a = 2 \implies a = 0{,}4\). Damit ist \(b = -0{,}4\). 8. Zusammensetzen des Funktionsterms: \(p(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}4x^2 - 2x + 4\).

\(p(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}4x^2 - 2x + 4\)

- Wie sieht die Funktionsgleichung einer Geraden aus, die durch den Ursprung verläuft? - Ein Punkt auf dem Graphen ist genau dann ein Berührpunkt einer Ursprungstangente, wenn die Steigung der Geraden vom Ursprung zu diesem Punkt gleich der Ableitung an dieser Stelle ist. - Verwende die Kettenregel, um die Funktion abzuleiten. - Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung, die du für die Berührstelle aufstellst?

1. Die Ableitung der Funktion ist \(f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}\). 2. Eine Tangente durch den Ursprung hat die Form \(y = mx\), wobei die Steigung \(m = f'(u) = \frac{2}{u}\) an der Berührstelle \(u\) sein muss. 3. Da der Berührpunkt \((u|f(u))\) auf der Tangente liegt, gilt \(f(u) = \frac{2}{u} \cdot u = 2\). 4. Die Gleichung \(\ln(u^2) = 2\) führt zu \(u^2 = e^2\), woraus die zwei Berührstellen \(u_1 = e\) und \(u_2 = -e\) folgen. Dies zeigt die Existenz von genau zwei Tangenten. 5. Die Steigungen sind \(f'(e) = \frac{2}{e}\) und \(f'(-e) = -\frac{2}{e}\). 6. Die Tangentengleichungen lauten somit \(y = \frac{2}{e}x\) und \(y = -\frac{2}{e}x\).

a) Die Bedingung für die Berührstelle \(u\) lautet \(\ln(u^2) = 2\). Diese hat genau die zwei Lösungen \(u = e\) und \(u = -e\). b) \(y = \frac{2}{e}x\) und \(y = -\frac{2}{e}x\)

- Stelle zuerst die Tangente an der Stelle \(a\) auf und bestimme ihre Achsenschnittpunkte. - Beachte im Bereich \(0<a<e\) die Vorzeichen der beiden Achsenabschnitte. - Untersuche das Vorzeichen von \(A'(a)\) auf beiden Seiten der kritischen Stelle. - Da das Intervall offen ist, musst du für ein absolutes Maximum auch die Grenzwerte an beiden Intervallrändern prüfen.

1. Die Ableitung von \(g(x)=2\ln(x)\) ist \(g'(x)=\frac{2}{x}\). Die Tangente an der Stelle \(a>0\) lautet daher \(t(x)=\frac{2}{a}(x-a)+2\ln(a)=\frac{2}{a}x-2+2\ln(a)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(R(0,2\ln(a)-2)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{2}{a}x-2+2\ln(a)\), also \(S(a(1-\ln(a)),0)\). 3. Im Bereich \(0<a<e\) gilt \(x_S>0\) und \(y_R<0\). Der Flächeninhalt des Rechtecks ist daher \(A(a)=|x_Sy_R|=2a(1-\ln(a))^2\). 4. Die Ableitung ist \(A'(a)=2(1-\ln(a))(-1-\ln(a))\). Im offenen Intervall \((0,e)\) liegt nur die kritische Stelle \(a=e^{-1}=\frac1e\). 5. Für \(0<a<\frac1e\) ist \(A'(a)>0\), und für \(\frac1e<a<e\) ist \(A'(a)<0\). Außerdem gilt \(\lim_{a\to0^+}A(a)=0\) und \(\lim_{a\to e^-}A(a)=0\). Damit besitzt \(A\) bei \(a=\frac1e\) das absolute Maximum auf \((0,e)\). 6. Der maximale Flächeninhalt ist \(A\left(\frac1e\right)=\frac{8}{e}\approx2{,}943\).

a) \(S(a(1-\ln(a)),0)\) und \(R(0,2\ln(a)-2)\) b) \(A(a)=2a(1-\ln(a))^2\) c) Das absolute Maximum beträgt \(\frac8e\approx2{,}943\) Flächeneinheiten und wird bei \(a=\frac1e\) erreicht.

- Überlege dir zuerst, wie lange das Flugzeug für die Strecke \(s\) in der Luft ist und wie viel Höhe es dabei verliert. - Wie viel Zeit muss es im Aufwind verbringen, um genau diese Höhe wieder zu gewinnen? - Um eine Funktion zu minimieren, hilft dir die erste Ableitung. - Was bedeutet es geometrisch für eine Gerade, durch einen bestimmten Punkt zu verlaufen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\).

1. Herleitung der Zeitfunktion: Die Gleitzeit beträgt \(t_{\text{G}} = \frac{s}{c}\) (in Stunden), also \(3600 \cdot \frac{s}{c}\) Sekunden. Der Höhenverlust ist \(h = v \cdot t_{\text{G}} = g(c) \cdot \frac{3600 \cdot s}{c}\). Die Zeit zum Steigen ist \(t_{\text{St}} = \frac{h}{v_{\text{St}}} = \frac{g(c) \cdot 3600 \cdot s}{c \cdot v_{\text{St}}}\). Die Summe ergibt \(T(c) = \frac{3600 \cdot s}{c} \left(1 + \frac{g(c)}{v_{\text{St}}}\right)\). 2. Minimierung von \(T(c)\): Es genügt, den Term \(f(c) = \frac{v_{\text{St}} + g(c)}{c}\) zu minimieren. Einsetzen der Werte ergibt \(f(c) = \frac{3{,}2 + 0{,}0005(c-80)^2 + 0{,}8}{c} = \frac{0{,}0005 c^2 - 0{,}08 c + 7{,}2}{c} = 0{,}0005 c - 0{,}08 + \frac{7{,}2}{c}\). 3. Ableitung bilden: \(f'(c) = 0{,}0005 - \frac{7{,}2}{c^2}\). Nullsetzen führt zu \(c^2 = \frac{7{,}2}{0{,}0005} = 14\,400\), woraus \(c = 120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) folgt (die negative Lösung entfällt physikalisch). Die Überprüfung der zweiten Ableitung \(f''(120) = \frac{14{,}4}{120^3} > 0\) bestätigt das Minimum. 4. Tangentennachweis: Die Tangentengleichung an \(g\) im Punkt \(B(120 | g(120))\) lautet mit \(g(120) = 1{,}6\) und \(g'(120) = 0{,}001(120-80) = 0{,}04\): \(y = 0{,}04(c - 120) + 1{,}6 = 0{,}04 c - 4{,}8 + 1{,}6 = 0{,}04 c - 3{,}2\). Für \(c=0\) ergibt sich \(y = -3{,}2\), was genau \(-v_{\text{St}}\) entspricht.

a) \(T(c) = t_{\text{G}} + t_{\text{St}} = \frac{3600s}{c} + \frac{g(c) \cdot 3600s}{c \cdot v_{\text{St}}} = \frac{3600s}{c} (1 + \frac{g(c)}{v_{\text{St}}})\). b) Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(c = 120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). c) Die Tangente an \(g\) im Punkt \((120 | 1{,}6)\) hat die Gleichung \(y = 0{,}04c - 3{,}2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0 | -3{,}2)\), was \(-v_{\text{St}}\) entspricht.

- Stelle eine Funktion für den Abstand eines Punktes auf der Kurve zum Ursprung auf. - Denk daran, dass die Bedingung für Orthogonalität zweier Geraden \(m_1 \cdot m_2 = -1\) lautet. - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte? - Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente dort zusammen?

1. Zielfunktion für das Abstandsquadrat: \(g(x) = x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2 = x^2 + 81x^{-2}\). 2. Ableitung bilden: \(g'(x) = 2x - 162x^{-3}\). 3. Nullstelle der Ableitung für \(x > 0\): \(2x = \frac{162}{x^3} \implies x^4 = 81 \implies x = 3\). 4. Nachweis des Minimums: \(g''(x) = 2 + 486x^{-4}\); \(g''(3) = 2 + \frac{486}{81} = 8 > 0\). Der Punkt ist \(P(3|3)\). 5. Steigung der Strecke \(OP\): \(m_1 = \frac{f(3) - 0}{3 - 0} = \frac{3}{3} = 1\). 6. Steigung der Tangente in \(P\): \(f'(x) = -9x^{-2}\), also \(f'(3) = -\frac{9}{9} = -1\). 7. Orthogonalitätsnachweis: Wegen \(m_1 \cdot f'(3) = 1 \cdot (-1) = -1\) stehen die Strecke \(OP\) und die Tangente senkrecht aufeinander.

1. Der Punkt mit minimalem Abstand ist \(P(3|3)\). 2. Die Steigung der Strecke \(OP\) ist \(m_1 = 1\), die Steigung der Tangente ist \(f'(3) = -1\). Da das Produkt der Steigungen \(-1\) ergibt, sind sie orthogonal.

- Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Gerade einen Graphen berührt? - Welche Bedingungen müssen an der Berührstelle für die Funktionswerte und die Steigungen gelten? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch die Berührstelle \(x_0\) als Unbekannte vorkommt? - Denke an die Quotientenregel beim Ableiten.

1. Bedingungen für den Berührpunkt an der Stelle \(x_0\): Es muss gelten \(f(x_0) = g(x_0)\) und \(f'(x_0) = g'(x_0)\). 2. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = k\) und \(f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}\). 3. Aus \(f'(x_0) = k\) folgt durch Einsetzen in die erste Bedingung: \(f'(x_0) \cdot x_0 = f(x_0)\). 4. Gleichung aufstellen: \(\frac{e^{x_0}(x_0-1)}{x_0^2} \cdot x_0 = \frac{e^{x_0}}{x_0}\). 5. Gleichung lösen: Durch Multiplikation mit \(x_0\) und Division durch \(e^{x_0}\) (da \(e^{x_0} \neq 0\)) erhält man \(x_0 - 1 = 1\), also \(x_0 = 2\). 6. Steigung berechnen: \(k = f'(2) = \frac{e^2(2-1)}{2^2} = \frac{e^2}{4}\). 7. Berührpunkt berechnen: \(y_0 = f(2) = \frac{e^2}{2}\). Der Berührpunkt ist \(B(2 \mid 0{,}5e^2)\).

Die Steigung beträgt \(k = \frac{e^2}{4}\). Der Berührpunkt liegt bei \(B(2 \mid \frac{e^2}{2})\).

- Überlege zuerst, in welchem Bereich der Graph im 3. Quadranten verläuft, indem du die Nullstellen suchst. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(a\). - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Funktionswert der Tangentengleichung bei \(x=0\). - Um ein Maximum zu finden, musst du die Ableitung der Funktion bilden, die den \(y\)-Achsenabschnitt beschreibt. - Denke daran, auch das Verhalten an den Rändern oder die Art des Extremums zu prüfen.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Die Nullstellen von \(f(x) = (x(x+2))e^x\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 0\). Da der Graph für \(x \in (-2; 0)\) unterhalb der \(x\)-Achse im 3. Quadranten verläuft, ist der Flächeninhalt \(A = \left| \int_{-2}^{0} f(x) \, dx \right|\). 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = x^2 e^x\). Damit ergibt sich \(A = |[x^2 e^x]_{-2}^0| = |0 - 4e^{-2}| = 4e^{-2} \approx 0{,}541\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit \(f'(x) = (x^2 + 4x + 2)e^x\) lautet die Tangente \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\), also \(y = (a^2 + 4a + 2)e^a \cdot (x-a) + (a^2 + 2a)e^a\). 4. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n(a)\): Durch Einsetzen von \(x=0\) erhält man \(n(a) = -a(a^2 + 4a + 2)e^a + (a^2 + 2a)e^a = (-a^3 - 3a^2)e^a\). 5. Optimierung von \(n(a)\): Die Ableitung \(n'(a) = (-a^3 - 6a^2 - 6a)e^a = -a(a^2 + 6a + 6)e^a\) hat die Nullstellen \(a_1 = 0\), \(a_2 = -3 + \sqrt{3}\) und \(a_3 = -3 - \sqrt{3}\). 6. Vergleich der Funktionswerte: Da \(n(-3-\sqrt{3}) \approx 0{,}34\) positiv ist und \(n(0) = 0\) sowie \(n(-3+\sqrt{3}) < 0\) gelten, liegt das globale Maximum bei \(a = -3 - \sqrt{3}\). 7. Außerdem gilt \(n(a)\to0\) für \(a\to-\infty\) und \(n(a)\to-\infty\) für \(a\to\infty\). Damit ist das gefundene Maximum global.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(4e^{-2} \approx 0{,}541\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = (a^2 + 4a + 2)e^a \cdot x + (-a^3 - 3a^2)e^a\). Der \(y\)-Achsenabschnitt wird für \(a = -3 - \sqrt{3}\) maximal.

- Welche Werte kann die Kosinusfunktion in dem angegebenen Intervall annehmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Wie findet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen? - Das Dreieck ist rechtwinklig, da es von den Koordinatenachsen begrenzt wird.

1. Da \(\cos(x)\) für \(x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) Werte zwischen \(0\) und \(1\) annimmt, ist die Wertemenge \(W = [0; k]\). 2. Der Funktionswert ist \(h_k(\frac{\pi}{4}) = \frac{k\sqrt{2}}{2}\). Die Ableitung ist \(h_k'(x) = -k \sin(x)\), also \(h_k'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}\). Die Tangentengleichung lautet \(t_k(x) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{k\sqrt{2}}{2} = -\frac{k\sqrt{2}}{2}x + \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4})\). 3. Die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen sind \(S_y(0 | \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4}))\) und \(S_x(1 + \frac{\pi}{4} | 0)\). Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist der Flächeninhalt \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4}) = \frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2\). 4. Gleichsetzen \(\frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2 = 10\) ergibt \(k = \frac{40}{\sqrt{2}(1 + \frac{\pi}{4})^2} = \frac{20\sqrt{2}}{(1 + \frac{\pi}{4})^2} \approx 8{,}87\).

1. \(W = [0; k]\) 2. \(t_k(x) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}x + \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4})\) 3. \(A(k) = \frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2\) 4. \(k = \frac{20\sqrt{2}}{(1 + \frac{\pi}{4})^2} \approx 8{,}87\)

- Erinnere dich daran, wie man die Ableitung einer Funktion bildet, die aus einem Produkt zweier Terme besteht. - Wie hängen die Extrema einer Funktion mit ihrer ersten und zweiten Ableitung zusammen? - Stelle die allgemeine Gleichung einer Tangente an einem beliebigen Punkt \(u\) auf und setze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P\) ein. - Was bedeutet es mathematisch, dass eine Funktion \(F\) eine Stammfunktion einer Funktion \(f\) ist? Welchen Rechenschritt musst du durchführen, um dies zu überprüfen?

1. Um das lokale Minimum zu bestimmen, wird die erste Ableitung von \(f(x) = x \cdot \ln(x)\) berechnet: \(f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\) Nullsetzen der ersten Ableitung liefert: \(\ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}\) Wegen \(f''(x) = \frac{1}{x} > 0\) für alle \(x > 0\) liegt an dieser Stelle ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot \ln\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e}\). Das lokale Minimum hat somit die Koordinaten \(\left(\frac{1}{e} \;\middle|\; -\frac{1}{e}\right)\). 2. Die allgemeine Gleichung der Tangente an einer Stelle \(u\) lautet: \(t(x) = f'(u)(x - u) + f(u) = (\ln(u) + 1)(x - u) + u \cdot \ln(u) = (\ln(u) + 1)x - u\) Da die Tangente durch den Punkt \(P(0 \mid -1)\) verlaufen soll, setzen wir diese Koordinaten ein: \(-1 = (\ln(u) + 1) \cdot 0 - u \implies -1 = -u \implies u = 1\) Einsetzen von \(u = 1\) in die Tangentengleichung ergibt: \(y = (\ln(1) + 1)x - 1 \implies y = x - 1\) 3. Um zu zeigen, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, leiten wir \(F\) mithilfe der Produktregel ab: \(F'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\right) = \left(x \cdot \ln(x) + \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{2}x = x \cdot \ln(x) + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x = x \cdot \ln(x) = f(x)\) Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

a) Das lokale Minimum hat die Koordinaten \(\left(\frac{1}{e} \;\middle|\; -\frac{1}{e}\right)\). b) Die Gleichung der Tangente lautet \(y = x - 1\). c) Die Ableitung von \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\) ergibt \(F'(x) = x \cdot \ln(x) = f(x)\). Damit ist gezeigt, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.