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- Welchen Wert nimmt der Term \(e^{-0{,}05t}\) für sehr große Werte von \(t\) an? - Kannst du die Informationen aus dem Text in mathematische Gleichungen übersetzen? - Überlege dir, wie du die Konstante \(c\) durch \(H\) ausdrücken kannst, indem du den Startzeitpunkt nutzt. - Wie verändert sich die Gleichung, wenn du den Wert nach 20 Jahren einsetzt?

1. Aufstellen der Gleichung für den Anfangswert: \(h(0) = H - c = 1{,}2 \implies c = H - 1{,}2\). 2. Einsetzen des zweiten Datenpunktes in die Funktionsgleichung: \(h(20) = H - (H - 1{,}2) \cdot e^{-0{,}05 \cdot 20} = 5{,}5\). 3. Vereinfachen des Exponenten: \(-0{,}05 \cdot 20 = -1\), daraus folgt \(H - (H - 1{,}2) \cdot e^{-1} = 5{,}5\). 4. Auflösen nach \(H\): \(H - H \cdot e^{-1} + 1{,}2 \cdot e^{-1} = 5{,}5 \iff H(1 - e^{-1}) = 5{,}5 - 1{,}2 \cdot e^{-1}\). 5. Berechnung des Grenzwerts: \(H = \frac{5{,}5 - 1{,}2 \cdot e^{-1}}{1 - e^{-1}} \approx 8{,}00\). Die langfristig zu erwartende maximale Höhe beträgt etwa \(8{,}00\,\text{m}\).

Langfristig ist mit einer maximalen Höhe von etwa \(8{,}00\,\text{m}\) zu rechnen.

- Überlege dir, ob eine Aussage einen Zustand zu einem festen Zeitpunkt oder eine Änderung über einen Zeitraum beschreibt. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der momentanen Änderungsrate und der durchschnittlichen Änderung in einem Intervall. - Welche mathematische Operation beschreibt die Steigung bzw. die Geschwindigkeit eines Prozesses? - Achte darauf, ob nach einem absoluten Wert (Höhe) oder einem relativen Wert (Zuwachs/Geschwindigkeit) gefragt ist.

1. Der Funktionswert zum Startzeitpunkt \(t=0\) entspricht der Anfangshöhe: \(h(0) = 1{,}2\). 2. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die erste Ableitung an der Stelle \(t=10\) beschrieben: \(h'(10) = 0{,}8\). 3. Der Zuwachs in einem Zeitraum ist die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(h(10) - h(5) = 3{,}5\). 4. Ein Stillstand des Wachstums bedeutet, dass die momentane Änderungsrate (Ableitung) Null ist: \(h'(150) = 0\). 5. Die mittlere Wachstumsrate entspricht dem Differenzenquotienten über das Intervall \([0; 20]\): \(\frac{h(20) - h(0)}{20} = 0{,}6\).

a) \(h(0) = 1{,}2\) b) \(h'(10) = 0{,}8\) c) \(h(10) - h(5) = 3{,}5\) d) \(h'(150) = 0\) e) \(\frac{h(20) - h(0)}{20} = 0{,}6\)

- Wie drückt man mathematisch aus, dass eine Größe einen Extrempunkt erreicht? - Was bedeutet es für das Vorzeichen der Ableitung, wenn eine Größe abnimmt? - Wie beschreibt man in der Analysis einen Zustand, der sich „nach sehr langer Zeit“ einstellt? - Überlege, wie du eine Differenz zwischen zwei Zeitpunkten mathematisch notierst.

1. Der Wert zum Startzeitpunkt wird durch \(K(0)\) angegeben: \(K(0) = 5\). 2. Die höchste Konzentration wird durch \(K(2) = \max_{t \geq 0} K(t)\) beschrieben. Bei Differenzierbarkeit folgt für den inneren Zeitpunkt zusätzlich \(K'(2)=0\). 3. Eine sinkende Konzentration bedeutet eine negative Änderungsrate: \(K'(5) = -0{,}4\). 4. Die Zunahme in einem Intervall ist die Differenz der Werte am Ende und am Anfang: \(K(1) - K(0) = 1{,}2\). 5. Das langfristige Verhalten wird durch den Grenzwert für \(t \to \infty\) beschrieben: \(\lim_{t \to \infty} K(t) = 0\).

a) \(K(0) = 5\) b) \(K(2) = \max_{t \geq 0} K(t)\) c) \(K'(5) = -0{,}4\) d) \(K(1) - K(0) = 1{,}2\) e) \(\lim_{t \to \infty} K(t) = 0\)

- Was gibt die Steigung einer Funktion in einem Sachkontext an? - Wie findet man die Hochpunkte einer Funktion mithilfe der Ableitung? - Was ist der Unterschied zwischen der Steigung an einem Punkt und der durchschnittlichen Steigung über einen Zeitraum? - Überlege dir, welche Vorzeichen die Ableitung haben muss, wenn eine Kurve steigt oder fällt.

1. Die Ableitung \(c'(t)\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Farbstoffkonzentration zum Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist Gramm pro Liter pro Stunde (\(\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\)). 2. Ableitung bilden: \(c'(t) = \frac{10 \cdot (t+4)^2 - 10t \cdot 2(t+4)}{(t+4)^4} = \frac{10t + 40 - 20t}{(t+4)^3} = \frac{40 - 10t}{(t+4)^3}\). 3. Extremstelle finden: \(c'(t) = 0 \Rightarrow 40 - 10t = 0 \Rightarrow t = 4\). Da \(c'(t) > 0\) für \(t < 4\) und \(c'(t) < 0\) für \(t > 4\), liegt bei \(t = 4\,\text{h}\) das Maximum vor. Die Konzentration nimmt im Intervall \([0; 4[\) zu und im Intervall \(]4; \infty[\) ab. 4. Momentane Änderungsraten: \(c'(0) = \frac{40}{4^3} = 0{,}625\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Zunahme zu Beginn), \(c'(4) = 0\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Maximum), \(c'(8) = \frac{40 - 80}{12^3} = -\frac{40}{1\,728} \approx -0{,}023\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Abnahme). 5. Mittlere Änderungsrate: \(m = \frac{c(8) - c(0)}{8 - 0} = \frac{\frac{80}{144} - 0}{8} = \frac{5/9}{8} = \frac{5}{72} \approx 0{,}0694\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). 6. Vergleich: Die mittlere Rate über das gesamte Intervall ist positiv, obwohl die Konzentration ab \(t=4\) sinkt. Zum Zeitpunkt \(t=4\) ist die momentane Änderung Null, da dort der Hochpunkt der Konzentrationskurve erreicht ist.

a) Die Ableitung \(c'(t)\) ist die momentane Änderungsrate der Konzentration in \(\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). b) Das Maximum liegt bei \(t = 4\,\text{h}\). Zunahme für \(0 \le t < 4\), Abnahme für \(t > 4\). c) \(c'(0) = 0{,}625\), \(c'(4) = 0\), \(c'(8) \approx -0{,}023\). d) Die mittlere Änderungsrate beträgt \(\frac{5}{72} \approx 0{,}0694\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\).

- Überlege dir, wie man die Funktionsgleichung umschreiben kann, um die einzelnen Parameter besser zu erkennen. - Was passiert mit dem Exponentialterm, wenn die Zeit immer größer wird? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Exponentialfunktionen. - Was gibt die erste Ableitung einer Funktion in einem zeitabhängigen Prozess allgemein an?

1. Die Funktion \(U(t) = 15 \cdot (1 - e^{-0{,}4t})\) kann als \(U(t) = -15 \cdot e^{-0{,}4t} + 15\) geschrieben werden. Ausgehend von \(g(t) = e^{-0{,}4t}\) erfolgt zuerst eine Spiegelung an der \(t\)-Achse, dann eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(15\) und schließlich eine Verschiebung um \(15\) Einheiten nach oben. 2. Für \(t \to \infty\) geht der Term \(e^{-0{,}4t}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{t \to \infty} U(t) = 15 \cdot (1 - 0) = 15\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 15\). Physikalisch bedeutet dies, dass die Spannung am Kondensator langfristig gegen den Maximalwert von \(15\,\text{V}\) strebt (Sättigung). 3. Die Ableitung lautet nach der Kettenregel \(U'(t) = 15 \cdot (-e^{-0{,}4t} \cdot (-0{,}4)) = 6 \cdot e^{-0{,}4t}\). Für \(t = 2\) ergibt sich \(U'(2) = 6 \cdot e^{-0{,}8} \approx 2{,}70\). Dies ist die momentane Änderungsrate der Spannung in \(\text{V}/\text{s}\). Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\) nimmt die Spannung also mit etwa \(2{,}70\,\text{V}/\text{s}\) zu.

a) Spiegelung an der \(t\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(15\), Verschiebung um \(15\) nach oben. b) Asymptote \(y = 15\); sie stellt die maximale Ladespannung (Sättigungswert) dar. c) \(U'(t) = 6 \cdot e^{-0{,}4t}\); \(U'(2) \approx 2{,}70\,\text{V}/\text{s}\). Der Wert gibt die Ladegeschwindigkeit (Spannungszunahme pro Sekunde) zum Zeitpunkt \(t = 2\) an.

- Wie beeinflussen Vorzeichen und Faktoren vor der Basis die Lage und Form des Graphen? - Betrachte das Verhalten der Basis \(0{,}85\) bei fortlaufender Multiplikation. - Nutze die Regel für das Ableiten von Exponentialfunktionen zur Basis \(a\). - Was bedeutet eine Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t=0\) anschaulich für den Start des Prozesses?

1. Die Funktion lautet \(N(t) = -800 \cdot 0{,}85^t + 800\). Ausgehend von \(h(t) = 0{,}85^t\) wird der Graph an der \(t\)-Achse gespiegelt, mit dem Faktor \(800\) in \(y\)-Richtung gestreckt und um \(800\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Da \(0 < 0{,}85 < 1\), gilt \(\lim_{t \to \infty} 0{,}85^t = 0\). Somit folgt \(\lim_{t \to \infty} N(t) = 800 \cdot (1 - 0) = 800\). Langfristig werden alle \(800\) Angestellten die Nachricht kennen. 3. Die Ableitung einer Funktion der Form \(a^t\) ist \(a^t \cdot \ln(a)\). Hier gilt \(N'(t) = 800 \cdot (-0{,}85^t \cdot \ln(0{,}85)) = -800 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^t\). Für \(t = 0\) ergibt sich \(N'(0) = -800 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^0 \approx -800 \cdot (-0{,}1625) \approx 130{,}01\). Die Nachricht verbreitet sich zu Beginn mit einer Rate von etwa \(130\) Personen pro Stunde.

a) Spiegelung an der \(t\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung (Faktor \(800\)), Verschiebung nach oben (um \(800\)). b) Grenzwert \(800\); bedeutet, dass die Information schließlich die gesamte Belegschaft erreicht. c) \(N'(t) = -800 \cdot \ln(0{,}85) \cdot 0{,}85^t\); \(N'(0) \approx 130{,}01\,\frac{\text{Personen}}{\text{Stunde}}\).

- Stell dir vor, wie der Graph einer Funktion aussieht, wenn man sehr weit herauszoomt. - Was misst man im Auto mit dem Tacho und was mit der Änderung der Tachonadel? - Überlege dir, was passiert, wenn die Geschwindigkeit positiv ist, man aber gleichzeitig „bremst“. - Denk an den Unterschied zwischen einer glatten Kurve in einem Koordinatensystem und einer Liste von echten Anmeldedaten.

1. Begründung der Differenzierbarkeit: Bei sehr großen Grundmengen (Millionen Nutzer) fallen einzelne diskrete Sprünge kaum ins Gewicht. Eine stetige, differenzierbare Funktion ermöglicht die Anwendung der Differentialrechnung zur Analyse von Trends und Raten. 2. Bedeutung der Ableitungen: \(N'(t)\) gibt die momentane Änderungsrate der Nutzerzahl zum Zeitpunkt \(t\) an (Wachstumsgeschwindigkeit in Millionen Nutzer pro Monat). \(N''(t)\) beschreibt die Änderung dieser Wachstumsgeschwindigkeit (Beschleunigung oder Verlangsamung des Wachstums). 3. Interpretation der Vorzeichen: Da \(N'(t) > 0\), steigt die Nutzerzahl an. Wegen \(N''(t) < 0\) nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit jedoch ab. Es handelt sich um ein degressives Wachstum (Rechtskurve des Graphen). 4. Modellgrenzen: Mathematische Modelle sind Idealisierungen. Reale Nutzerzahlen werden durch unvorhersehbare externe Ereignisse (z. B. technische Störungen, Konkurrenz, Trends) beeinflusst und folgen keinem starren funktionalen Gesetz. Zudem ist die Annahme einer unendlich feinen Teilbarkeit der Nutzerzahl abstrakt.

a) Bei großen Zahlen (Millionen) können diskrete Änderungen als kontinuierlich betrachtet werden, was den Einsatz der Differentialrechnung ermöglicht. b) \(N'(t)\) ist die Wachstumsgeschwindigkeit (Änderung der Nutzerzahl pro Monat); \(N''(t)\) ist die Wachstumsbeschleunigung (Änderung der Geschwindigkeit). c) Die Nutzerzahlen steigen zwar noch an, aber das Wachstum wird immer langsamer. d) Unvorhersehbare Einflüsse (z. B. Marketing, Konkurrenz) und die Tatsache, dass Menschen keine kontinuierlichen Einheiten sind.

- Welche Einheiten entstehen, wenn man eine Größe nach der Zeit ableitet? - Überlege dir, was es bedeutet, wenn doppelt so viele Bakterien auch doppelt so viel Nachwuchs produzieren. - Was passiert mit der Steigung einer Kurve an einem Wendepunkt? - Kann etwas in einem abgeschlossenen Raum (wie einer Petrischale) ewig gleichmäßig weiterwachsen?

1. Einheiten und Bedeutung: \(m'(t)\) wird in \(\text{g}/\text{h}\) gemessen und stellt die momentane Zuwachsrate der Masse dar. \(m''(t)\) wird in \(\text{g}/\text{h}^2\) gemessen und gibt an, wie sich die Zuwachsrate über die Zeit verändert. 2. Biologische Annahme: Die Gleichung \(m'(t) = k \cdot m(t)\) besagt, dass die Änderung der Masse proportional zur vorhandenen Masse ist. Dies entspricht der Annahme, dass jedes Bakterium mit einer konstanten Rate zur Vermehrung beiträgt (ungehindertes exponentielles Wachstum). 3. Bedeutung von \(m''(t) = 0\): Beim beschriebenen logistischen Verlauf markiert dieser Zeitpunkt wegen des Vorzeichenwechsels den Wendepunkt des Graphen. Hier ist die Wachstumsgeschwindigkeit \(m'(t)\) maximal. Danach beginnt das Wachstum sich zu verlangsamen. 4. Modellgrenzen: Exponentielles Wachstum setzt unbegrenzte Ressourcen voraus. In der Realität führen begrenzter Platz, Nährstoffmangel oder die Anreicherung von Stoffwechselprodukten dazu, dass das Wachstum abnimmt und stagniert.

a) \(m'(t)\) in \(\text{g}/\text{h}\) (Wachstumsrate); \(m''(t)\) in \(\text{g}/\text{h}^2\) (Änderung der Wachstumsrate). b) Jedes Teilchen der Masse trägt proportional zur Vermehrung bei (konstante individuelle Teilungsrate). c) Es ist der Zeitpunkt des schnellsten Wachstums (Übergang von Beschleunigung zu Verlangsamung). d) Ressourcen wie Platz und Nahrung sind in der Realität begrenzt, was das Wachstum irgendwann stoppt.

- Überlege dir, was mit dem Term \(e^{-x}\) passiert, wenn \(x\) immer größer wird. - Der Abstand zwischen einer Funktion und einer Geraden ist der Betrag der Differenz ihrer Funktionswerte. - Für die Tangente benötigst du die erste Ableitung an der Stelle \(x = 0\). - Skizziere die Situation gedanklich: Wo liegt die Tangente im Verhältnis zum Graphen, und wo schneidet sie die Asymptote? - Bei einer ins Unendliche reichenden Fläche musst du ein uneigentliches Integral berechnen.

1. Asymptote bestimmen: Da \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\), gilt \(\lim_{x \to \infty} f_a(x) = a\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = a\). 2. Abstand berechnen: Für \(a = 5\) ist der Abstand \(d(x) = |5 - 5(1 - e^{-x})| = 5e^{-x}\). Die Bedingung \(5e^{-x} < 0{,}01\) führt zu \(e^{-x} < 0{,}002\), also \(-x < \ln(0{,}002)\), woraus \(x > -\ln(0{,}002) = \ln(500) \approx 6{,}215\) folgt. 3. Tangentengleichung: \(f_a'(x) = a \cdot e^{-x}\). Die Steigung im Ursprung ist \(f_a'(0) = a \cdot e^0 = a\). Da \(f_a(0) = 0\), lautet die Tangente \(y = a \cdot x\). 4. Flächeninhalt: Die Tangente \(y = ax\) schneidet die Asymptote \(y = a\) bei \(x = 1\). Die gesuchte Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen: - Zwischen Tangente und Graph von \(x = 0\) bis \(x = 1\): \(A_1 = \int_0^1 (ax - a(1 - e^{-x})) \, dx = [ \frac{1}{2}ax^2 - ax - ae^{-x} ]_0^1 = (\frac{1}{2}a - a - \frac{a}{e}) - (0 - 0 - a) = \frac{1}{2}a - \frac{a}{e}\). - Zwischen Asymptote und Graph von \(x = 1\) bis \(\infty\): \(A_2 = \int_1^\infty (a - a(1 - e^{-x})) \, dx = \int_1^\infty ae^{-x} \, dx = [ -ae^{-x} ]_1^\infty = 0 - (-ae^{-1}) = \frac{a}{e}\). 5. Gesamtergebnis: \(A = A_1 + A_2 = \frac{1}{2}a - \frac{a}{e} + \frac{a}{e} = \frac{1}{2}a\).

a) Asymptote: \(y = a\); für \(a = 5\) ist der Abstand für \(x > \ln(500) \approx 6{,}215\) kleiner als \(0{,}01\). b) Nachweis über \(f_a'(0) = a\) und \(f_a(0) = 0\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{a}{2}\).

- Was passiert mathematisch mit der Funktion, wenn die Zeit gegen Unendlich läuft? - Du hast drei Zeitpunkte gegeben. Wie kannst du diese nutzen, um die unbekannten Parameter zu bestimmen? - Es könnte hilfreich sein, eine Hilfsvariable für den Term \(e^{-5k}\) einzuführen. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen, insbesondere wie \(e^{-10k}\) mit \(e^{-5k}\) zusammenhängt.

1. Nutzung des Anfangswerts: \(F(0) = S - c = 400 \implies c = S - 400\). 2. Aufstellen eines Gleichungssystems mit \(x = e^{-5k}\): I) \(F(5) = S - (S - 400) \cdot x = 760 \implies x = \frac{S - 760}{S - 400}\) II) \(F(10) = S - (S - 400) \cdot x^2 = 976\) 3. Substitution von \(x\) in Gleichung II: \(S - (S - 400) \cdot \left(\frac{S - 760}{S - 400}\right)^2 = 976 \iff \frac{(S - 760)^2}{S - 400} = S - 976\). 4. Lösen der Gleichung: \((S - 760)^2 = (S - 976)(S - 400) \iff S^2 - 1520S + 577\,600 = S^2 - 1376S + 390\,400\). 5. Zusammenfassen und nach \(S\) auflösen: \(144S = 187\,200 \implies S = 1300\). Die Sättigungsgrenze beträgt \(1300\) Follower.

Die Sättigungsgrenze liegt bei \(1300\) Followern.

- Welche Ableitungsregeln benötigst du für eine Funktion der Form \(g(x) \cdot e^{h(x)}\)? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Veränderung über ein Zeitintervall? - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}2t}\), wenn \(t\) immer größer wird? - Erinnere dich daran, dass ein Maximum dort liegt, wo die Tangente waagerecht verläuft.

1. Ableitung bilden (Produkt- und Kettenregel): \(f'(t) = 4 \cdot e^{-0{,}2t} + 4t \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2t} = (4 - 0{,}8t) \cdot e^{-0{,}2t}\). 2. Momentane Raten: \(f'(0) = (4 - 0) \cdot e^0 = 4\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). \(f'(10) = (4 - 8) \cdot e^{-2} = -4e^{-2} \approx -0{,}541\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). 3. Höchste Konzentration: \(f'(t) = 0 \Rightarrow 4 - 0{,}8t = 0 \Rightarrow t = 5\,\text{h}\). Da \(f'(t)\) vor \(t=5\) positiv und danach negativ ist, liegt ein Maximum vor. 4. Durchschnittliche Rate \([0; 5]\): \(m = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \frac{20 \cdot e^{-1} - 0}{5} = 4e^{-1} \approx 1{,}472\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). 5. Momentane Rate bei \(t = 2{,}5\): \(f'(2{,}5) = (4 - 0{,}8 \cdot 2{,}5) \cdot e^{-0{,}5} = 2 \cdot e^{-0{,}5} \approx 1{,}213\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). Die durchschnittliche Rate ist hier höher als die momentane Rate in der Mitte des Intervalls. 6. Grenzwert: \(\lim_{t \to \infty} 4t \cdot e^{-0{,}2t} = 0\). Das bedeutet, dass das Vitamin langfristig vollständig aus dem Blut abgebaut wird.

a) \(f'(0) = 4\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\); \(f'(10) \approx -0{,}541\,\frac{\text{mg}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). b) Die höchste Konzentration wird nach \(t = 5\,\text{h}\) erreicht. c) Durchschnittliche Rate: \(4e^{-1} \approx 1{,}472\); momentane Rate \(f'(2{,}5) = 2e^{-0{,}5} \approx 1{,}213\). d) Der Grenzwert ist 0; das Vitamin wird langfristig abgebaut.

- Setze den gegebenen Wert für \(t\) und das Ergebnis in die Funktionsgleichung ein, um nach \(k\) aufzulösen. - Überlege dir bei Teilaufgabe b), warum sich \(k\) aus der Gleichung herauskürzt. - Skizziere die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\). Die Strecke \(AB\) liegt auf einer waagerechten Geraden, was die Flächenberechnung vereinfacht. - Nutze die Produktregel für die Ableitung der Flächenfunktion \(F(a)\). - Da \(a>5\) gilt, kannst du den Betrag \(|a-5|\) vor dem Ableiten durch \(a-5\) ersetzen.

1. Parameter \(k\) bestimmen: \(g_k(10) = k(1 - e^{-0{,}2 \cdot 10}) = k(1 - e^{-2}) = 500\). Daraus folgt \(k = \frac{500}{1 - e^{-2}} \approx 578{,}27\). 2. Unabhängigkeit von \(k\): Die Bedingung \(g_k(t) = 0{,}75k\) führt auf \(k(1 - e^{-0{,}2t}) = 0{,}75k\). Division durch \(k\) ergibt \(1 - e^{-0{,}2t} = 0{,}75\), also \(e^{-0{,}2t} = 0{,}25\). Dies ist unabhängig von \(k\). 3. Zeit berechnen: \(-0{,}2t = \ln(0{,}25) \implies t = \frac{\ln(0{,}25)}{-0{,}2} = 5 \cdot \ln(4) \approx 6{,}93\). 4. Dreiecksflächen-Funktion: Die Tangente im Ursprung hat die Steigung \(g_k'(0) = 0{,}2k\), also \(y = 0{,}2kt\). Schnittpunkt mit \(y = k\) ist \(A(5 | k)\). Die Punkte sind \(B(a | k)\) und \(C(a | k(1 - e^{-0{,}2a}))\). 5. Die Basis des Dreiecks auf der Asymptote ist \(|a - 5|\), die Höhe ist der vertikale Abstand \(|k - k(1 - e^{-0{,}2a})| = k e^{-0{,}2a}\). 6. Flächeninhalt \(F(a) = \frac{1}{2} \cdot |a - 5| \cdot k e^{-0{,}2a}\). Untersuchung für \(a > 5\): \(F(a) = \frac{k}{2} (a - 5) e^{-0{,}2a}\). 7. Ableitung bilden: \(F'(a) = \frac{k}{2} [ 1 \cdot e^{-0{,}2a} + (a - 5)(-0{,}2)e^{-0{,}2a} ] = \frac{k}{2} e^{-0{,}2a} [ 1 - 0{,}2a + 1 ] = \frac{k}{2} e^{-0{,}2a} [ 2 - 0{,}2a ]\). 8. Extremum: \(F'(a) = 0 \implies 2 - 0{,}2a = 0 \implies a = 10\). Die Prüfung der Randwerte und des Verlaufs zeigt, dass hier ein Maximum vorliegt.

a) \(k = \frac{500}{1 - e^{-2}} \approx 578{,}27\). b) \(t = 5 \ln(4) \approx 6{,}93\). c) Das Dreieck hat einen maximalen Flächeninhalt für \(a = 10\).