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- Betrachte den Faktor, der pro Zeiteinheit potenziert wird. - Vergleiche diesen Faktor mit dem Wert \(1\), der keiner Veränderung entspricht. - Übersetze den Unterschied zu \(1\) in eine Prozentangabe.

Der Wachstumsfaktor pro Zeiteinheit ist \(1{,}05\). Das entspricht einem Wachstum von \(5\,\%\) pro Zeiteinheit.

\(5\,\%\) pro Zeiteinheit

- Beobachte, welchem horizontalen Wert sich der Graph für große Zeiten nähert. - Die gestrichelte Gerade kennzeichnet den Wert, den das Modell langfristig annähert. - Lies den zugehörigen \(y\)-Wert an der Achse ab.

Der Graph nähert sich langfristig der waagrechten Asymptote \(s\) bei \(y=800\). Daher ist der modellierte Grenzwert \(800\).

Der langfristige Grenzwert beträgt \(800\).

- Worauf beziehen sich die \(8\,\%\) in jedem neuen Monat: auf den Anfangsbestand oder auf den jeweils aktuellen Bestand? - Welche Zahl ist der zugehörige Wachstumsfaktor? - Vergleiche, ob Leilas Term wiederholtes Multiplizieren oder nur wiederholtes Addieren beschreibt.

1. Eine Zunahme um \(8\,\%\) bezieht sich in jedem Monat auf den jeweils aktuellen Bestand. Deshalb wird der Bestand wiederholt mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert. 2. Der Wachstumsfaktor ist \(1+0{,}08=1{,}08\). 3. Ein passendes Modell ist daher \(N(t)=500\cdot1{,}08^t\). 4. Leilas Term addiert dagegen pro Monat nur \(0{,}08\) Einheiten und beschreibt weder eine Zunahme um \(8\,\%\) noch exponentielles Wachstum.

Passend ist \(N(t)=500\cdot1{,}08^t\). Bei prozentualem Wachstum wird in jedem Schritt mit \(1{,}08\) multipliziert; \(500+0{,}08t\) beschreibt keine monatliche Zunahme um \(8\,\%\).

- Vergleiche aufeinanderfolgende Werte zunächst darauf, ob immer derselbe Betrag hinzukommt. - Prüfe alternativ, ob aufeinanderfolgende Werte jeweils im gleichen Verhältnis stehen. - Welches dieser beiden Kennzeichen gehört zu multiplikativem Wachstum?

1. Die absoluten Zuwächse sind nicht konstant: Sie werden von Schritt zu Schritt größer. 2. Dagegen wird jeder neue Wert aus dem vorherigen durch denselben Faktor \(1{,}2\) gebildet. 3. Die Wertefolge passt daher zu einem multiplikativen Wachstumsmodell.

Die Werte passen zu einem multiplikativen Wachstumsmodell. Kennzeichen ist der konstante Faktor \(1{,}2\) zwischen aufeinanderfolgenden Beständen.

- Vergleiche nicht nur die gemeinsamen Sättigungswerte, sondern den Verlauf der Steigung. - Bei welchem Graphen wird die Kurve zunächst immer steiler und später wieder flacher? - Ein bloßes Annähern an eine obere Grenze reicht noch nicht aus, um logistisches Wachstum zu erkennen.

1. Verlauf \(b\) ist S-förmig: Zu Beginn nimmt seine Steigung zunächst zu, später nimmt sie wieder ab. 2. Dieser Krümmungswechsel mit einer Phase zunehmender und anschließend abnehmender Wachstumsrate ist typisch für logistisches Wachstum. 3. Verlauf \(a\) nähert sich der Sättigung dagegen von Beginn an mit abnehmender Steigung und entspricht einem einfachen begrenzten Wachstum.

Verlauf \(b\) ist logistisches Wachstum. Kennzeichnend ist die S-Form mit einem Krümmungswechsel: Die Steigung wächst zunächst und nimmt später wieder ab.

- Überlege dir, ob eine Aussage einen Zustand zu einem festen Zeitpunkt oder eine Änderung über einen Zeitraum beschreibt. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der momentanen Änderungsrate und der durchschnittlichen Änderung in einem Intervall. - Welche mathematische Operation beschreibt die Steigung bzw. die Geschwindigkeit eines Prozesses? - Achte darauf, ob nach einem absoluten Wert (Höhe) oder einem relativen Wert (Zuwachs/Geschwindigkeit) gefragt ist.

1. Der Funktionswert zum Startzeitpunkt \(t=0\) entspricht der Anfangshöhe: \(h(0) = 1{,}2\). 2. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die erste Ableitung an der Stelle \(t=10\) beschrieben: \(h'(10) = 0{,}8\). 3. Der Zuwachs in einem Zeitraum ist die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen: \(h(10) - h(5) = 3{,}5\). 4. Ein Stillstand des Wachstums bedeutet, dass die momentane Änderungsrate (Ableitung) Null ist: \(h'(150) = 0\). 5. Die mittlere Wachstumsrate entspricht dem Differenzenquotienten über das Intervall \([0; 20]\): \(\frac{h(20) - h(0)}{20} = 0{,}6\).

a) \(h(0) = 1{,}2\) b) \(h'(10) = 0{,}8\) c) \(h(10) - h(5) = 3{,}5\) d) \(h'(150) = 0\) e) \(\frac{h(20) - h(0)}{20} = 0{,}6\)

- Welche Werte sind für einen Ladezustand überhaupt physikalisch möglich? - Vergleiche die beiden Graphen mit der eingezeichneten Grenze von \(100\,\%\). - Achte zusätzlich darauf, wie sich die Steigung der Graphen im späteren dargestellten Verlauf verändert.

1. Modell B ist geeigneter, weil sein Graph bei \(20\,\%\) startet und sich im dargestellten Zeitraum der Grenze \(100\,\%\) von unten annähert. 2. Außerdem nimmt die Steigung von B beim Annähern an \(100\,\%\) sichtbar ab. Das passt zu einem Ladevorgang, der sich nahe der Kapazitätsgrenze verlangsamt. 3. Modell A überschreitet dagegen bereits im dargestellten Zeitraum die technisch mögliche Grenze von \(100\,\%\) und verläuft danach noch weiter oberhalb dieser Grenze. Daher ist A für einen längeren Ladevorgang ungeeignet.

Modell B. Sein Graph nähert sich der Grenze von \(100\,\%\) von unten und flacht dabei ab. Modell A überschreitet die technische Grenze bereits im dargestellten Zeitraum.

- Lies zunächst den langfristigen Sättigungswert des Modells ab. - Welche Beziehung zwischen Sättigungswert und Wendepunkt gilt für ein logistisches Standardmodell? - Setze den daraus folgenden Bestandswert in die Modellgleichung ein und löse nach \(t\).

1. Der Sättigungswert des Modells ist \(100\). Beim logistischen Wachstum liegt der Wendepunkt bei der Hälfte des Sättigungswertes, also bei \(N=50\). 2. Daher wird \(\frac{100}{1+9e^{-0{,}6t}}=50\) gelöst. 3. Es folgt \(1+9e^{-0{,}6t}=2\), also \(9e^{-0{,}6t}=1\). 4. Damit ist \(t=\frac{\ln 9}{0{,}6}=\frac53\ln9\approx3{,}66\). 5. Dieser Wert stimmt mit der Lage der steilsten Stelle im Graphen überein.

Die stärkste Zunahme liegt bei \(t=\frac{\ln9}{0{,}6}\approx3{,}66\). Dort gilt \(N(t)=50\), also die Hälfte des Sättigungswertes.

- Was gibt die Steigung einer Funktion in einem Sachkontext an? - Wie findet man die Hochpunkte einer Funktion mithilfe der Ableitung? - Was ist der Unterschied zwischen der Steigung an einem Punkt und der durchschnittlichen Steigung über einen Zeitraum? - Überlege dir, welche Vorzeichen die Ableitung haben muss, wenn eine Kurve steigt oder fällt.

1. Die Ableitung \(c'(t)\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Farbstoffkonzentration zum Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist Gramm pro Liter pro Stunde (\(\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\)). 2. Ableitung bilden: \(c'(t) = \frac{10 \cdot (t+4)^2 - 10t \cdot 2(t+4)}{(t+4)^4} = \frac{10t + 40 - 20t}{(t+4)^3} = \frac{40 - 10t}{(t+4)^3}\). 3. Extremstelle finden: \(c'(t) = 0 \Rightarrow 40 - 10t = 0 \Rightarrow t = 4\). Da \(c'(t) > 0\) für \(t < 4\) und \(c'(t) < 0\) für \(t > 4\), liegt bei \(t = 4\,\text{h}\) das Maximum vor. Die Konzentration nimmt im Intervall \([0; 4[\) zu und im Intervall \(]4; \infty[\) ab. 4. Momentane Änderungsraten: \(c'(0) = \frac{40}{4^3} = 0{,}625\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Zunahme zu Beginn), \(c'(4) = 0\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Maximum), \(c'(8) = \frac{40 - 80}{12^3} = -\frac{40}{1728} \approx -0{,}023\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Abnahme). 5. Mittlere Änderungsrate: \(m = \frac{c(8) - c(0)}{8 - 0} = \frac{\frac{80}{144} - 0}{8} = \frac{5/9}{8} = \frac{5}{72} \approx 0{,}0694\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). 6. Vergleich: Die mittlere Rate über das gesamte Intervall ist positiv, obwohl die Konzentration ab \(t=4\) sinkt. Zum Zeitpunkt \(t=4\) ist die momentane Änderung Null, da dort der Hochpunkt der Konzentrationskurve erreicht ist.

a) Die Ableitung \(c'(t)\) ist die momentane Änderungsrate der Konzentration in \(\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). b) Das Maximum liegt bei \(t = 4\,\text{h}\). Zunahme für \(0 \le t < 4\), Abnahme für \(t > 4\). c) \(c'(0) = 0{,}625\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Zunahme zu Beginn), \(c'(4) = 0\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Maximum), \(c'(8) \approx -0{,}023\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\) (Abnahme). d) Die mittlere Änderungsrate beträgt \(\frac{5}{72} \approx 0{,}0694\,\frac{\text{g}}{\text{l} \cdot \text{h}}\). Sie ist positiv, während die momentane Änderungsrate bei \(t = 4\) gleich \(0\) ist, da dort das Konzentrationsmaximum erreicht wird.

- Was bedeutet es in der Rekursion, dass ein Bestand ein Gleichgewichtsbestand ist? - Formuliere den natürlichen jährlichen Zuwachs als Funktion des Bestands. - Welche Eigenschaft dieser Zuwachsfunktion begrenzt eine dauerhaft mögliche feste Entnahme? - Prüfe, welche Entnahme dem maximalen natürlichen Zuwachs entspricht.

1. In einem Gleichgewicht gilt \(B_{n+1}=B_n\). Daher muss die Entnahme dem natürlichen Zuwachs entsprechen: \(A=Z(B)=0{,}12B\left(1-\frac{B}{12500}\right)\). 2. Es gilt \(Z'(B)=0{,}12-\frac{0{,}24}{12500}B\). Aus \(Z'(B)=0\) folgt \(B=6250\). Da \(Z\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt dort das Maximum. 3. Der maximale Zuwachs beträgt \(Z(6250)=0{,}12\cdot6250\cdot\left(1-\frac{6250}{12500}\right)=375\). 4. Damit ist \(A_{\max}=375\). Bei \(A>375\) existiert kein positiver Gleichgewichtsbestand mehr.

Die maximale feste Entnahmemenge beträgt \(A_{\max}=375\) Bäume pro Jahr. Bei \(A=375\) liegt der zugehörige Gleichgewichtsbestand bei \(6250\) Bäumen.

- Welchen funktionalen Zusammenhang beschreibt der Ertrag \(E(x)\) im Vergleich zur Reproduktionsfunktion \(f(x)\)? - Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung an einer Stelle gelten, an der eine Funktion ihr Maximum erreicht? - Wie kannst du die Information über die Bestandsgröße im nächsten Jahr in eine Gleichung für \(f(x)\) übersetzen? - Stelle ein Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten \(a\) und \(b\) auf.

1. Aufstellen der Ertragsfunktion: \(E(x) = f(x) - x = ax^2 + (b - 1)x\). 2. Bedingung für den Bestandswert nutzen: Da bei \(x = 400\) der Bestand auf \(f(400) = 500\) anwächst, gilt \(a \cdot 400^2 + b \cdot 400 = 500\), was zu \(160\,000a + 400b = 500\) vereinfacht wird. 3. Bedingung für das Maximum nutzen: Der Ertrag ist bei \(x = 400\) maximal, also muss die Ableitung \(E'(400) = 0\) sein. Mit \(E'(x) = 2ax + b - 1\) folgt \(2a \cdot 400 + b - 1 = 0\), also \(800a + b = 1\). 4. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = 1 - 800a\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(160\,000a + 400(1 - 800a) = 500\). 5. Berechnung von \(a\): \(160\,000a + 400 - 320\,000a = 500 \Rightarrow -160\,000a = 100 \Rightarrow a = -0{,}000625\). 6. Berechnung von \(b\): \(b = 1 - 800 \cdot (-0{,}000625) = 1 + 0{,}5 = 1{,}5\). 7. Mit \(a=-0{,}000625\) gilt \(E''(x)=2a=-0{,}00125<0\). Damit ist der Ertrag bei \(x=400\) tatsächlich maximal.

Die Parameter der Reproduktionsfunktion sind \(a = -0{,}000625\) und \(b = 1{,}5\).

- Überlege dir, wie man die Funktionsgleichung umschreiben kann, um die einzelnen Parameter besser zu erkennen. - Was passiert mit dem Exponentialterm, wenn die Zeit immer größer wird? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten von Exponentialfunktionen. - Was gibt die erste Ableitung einer Funktion in einem zeitabhängigen Prozess allgemein an?

1. Die Funktion \(U(t) = 15(1 - e^{-0{,}4t})\) kann als \(U(t) = -15e^{-0{,}4t} + 15\) geschrieben werden. Ausgehend von \(g(t) = e^{-0{,}4t}\) erfolgt zuerst eine Spiegelung an der \(t\)-Achse, dann eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(15\) und schließlich eine Verschiebung um \(15\) Einheiten nach oben. 2. Für \(t \to \infty\) geht der Term \(e^{-0{,}4t}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{t \to \infty} U(t) = 15 \cdot (1 - 0) = 15\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 15\). Physikalisch bedeutet dies, dass die Spannung am Kondensator langfristig gegen den Maximalwert von \(15\,\text{V}\) strebt (Sättigung). 3. Die Ableitung lautet nach der Kettenregel \(U'(t) = 15 \cdot (-e^{-0{,}4t} \cdot (-0{,}4)) = 6e^{-0{,}4t}\). Für \(t = 2\) ergibt sich \(U'(2) = 6 \cdot e^{-0{,}8} \approx 2{,}70\). Dies ist die momentane Änderungsrate der Spannung in \(\text{V}/\text{s}\). Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\) nimmt die Spannung also mit etwa \(2{,}70\,\text{V}/\text{s}\) zu.

a) Spiegelung an der \(t\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(15\), Verschiebung um \(15\) nach oben. b) Asymptote \(y = 15\); sie stellt die maximale Ladespannung (Sättigungswert) dar. c) \(U'(t) = 6e^{-0{,}4t}\); \(U'(2) \approx 2{,}70\,\text{V}/\text{s}\). Der Wert gibt die Ladegeschwindigkeit (Spannungszunahme pro Sekunde) zum Zeitpunkt \(t = 2\) an.

- Wie beeinflussen Vorzeichen und Faktoren vor der Basis die Lage und Form des Graphen? - Betrachte das Verhalten der Basis \(0{,}85\) bei fortlaufender Multiplikation. - Nutze die Regel für das Ableiten von Exponentialfunktionen zur Basis \(a\). - Was bedeutet eine Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t=0\) anschaulich für den Start des Prozesses?

1. Es gilt \(N(t)=-800\cdot0{,}85^t+800\). Ausgehend von \(h(t)=0{,}85^t\) wird der Graph an der \(t\)-Achse gespiegelt, in vertikaler Richtung mit dem Faktor \(800\) skaliert und anschließend um \(800\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Da \(0<0{,}85<1\), gilt \(\lim_{t\to\infty}0{,}85^t=0\). Somit ist \(\lim_{t\to\infty}N(t)=800\). Nach dem Modell nähert sich die Zahl der informierten Personen der gesamten Belegschaft von \(800\) Personen an; der Wert wird zu keinem endlichen Zeitpunkt exakt erreicht. 3. Die Ableitung ist \(N'(t)=-800\ln(0{,}85)\cdot0{,}85^t\). Zu Beginn gilt \(N'(0)=-800\ln(0{,}85)\approx130{,}02\,\frac{\text{Personen}}{\text{Stunde}}\).

a) Spiegelung an der \(t\)-Achse, vertikale Skalierung mit dem Faktor \(800\), danach Verschiebung um \(800\) nach oben. b) \(N(t)\) nähert sich \(800\). Das Modell beschreibt, dass langfristig nahezu die gesamte Belegschaft informiert ist. c) \(N'(t)=-800\ln(0{,}85)\cdot0{,}85^t\); \(N'(0)\approx130{,}02\,\frac{\text{Personen}}{\text{Stunde}}\).

- Versuche zunächst, die beschriebenen physikalischen Zustände in mathematische Gleichungen oder Grenzwerte zu übersetzen. - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Verhalten für sehr große Zeiten? - Wie lässt sich die momentane Temperaturänderung zu Beginn mathematisch ausdrücken? - Wenn du den vollständigen Funktionsterm aufgestellt hast, kannst du gesuchte Funktionswerte direkt durch Einsetzen berechnen. - Für eine gesuchte Zeit zu einer vorgegebenen Temperatur brauchst du eine Gleichung mit der Zeitvariable.

1. Da sich der Kaffee langfristig der Raumtemperatur nähert, gilt \(\lim_{t \to \infty} f(t) = 20\). Wegen \(\lim_{t \to \infty} e^{-kt} = 0\) folgt \(c = 20\). 2. Aus \(f(0)=80\) folgt \(a+20=80\), also \(a=60\). 3. Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t=0\) beträgt \(-6\,^\circ\text{C}/\text{Min.}\). Mit \(f''(t)=-ake^{-kt}\) ergibt sich \(f''(0)=-60k=-6\), also \(k=0{,}1\). Damit lautet das Modell \(f(t)=60e^{-0{,}1t}+20\). 4. Es ist \(f(10)=60e^{-1}+20\approx42{,}07\,^\circ\text{C}\). 5. Aus \(60e^{-0{,}1t}+20=50\) folgt \(e^{-0{,}1t}=0{,}5\) und damit \(t=-10\ln(0{,}5)\approx6{,}93\,\text{Minuten}\).

a) \(a = 60\), \(c = 20\), \(k = 0{,}1\) und damit \(f(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20\) b) Ca. \(42{,}07\,^\circ\text{C}\) c) Nach ca. \(6{,}93\,\text{Minuten}\)

- Schau dir den höchsten Punkt der Kurve an, um den Zeitpunkt des Maximums abzulesen. - Für die Berechnung des Werts nach einer bestimmten Zeit setzt du den Zeitwert einfach in die Funktionsgleichung ein. - Denke beim Integrieren daran, die obere und untere Grenze in die Stammfunktion einzusetzen und die Differenz zu bilden. - Überlege dir, was die Fläche unter einer Konzentrations-Zeit-Kurve physikalisch oder biologisch bedeuten könnte.

1. Aus dem Graphen liest man den höchsten Punkt bei \(t\approx2\,\text{h}\) ab. Der Zeitpunkt des Maximums ist daher \(t=2\,\text{h}\). 2. Der maximale Wert wird mit dem Funktionsterm berechnet: \(f(2)=4\cdot2\cdot e^{-1}=8e^{-1}\approx2{,}94\,\text{mg/L}\). 3. Nach \(6\) Stunden gilt \(f(6)=24e^{-3}\approx1{,}19\,\text{mg/L}\). 4. Mit der gegebenen Stammfunktion folgt \(\int_0^4f(t)\,\mathrm{d}t=F(4)-F(0)=-48e^{-2}-(-16)=16-48e^{-2}\approx9{,}50\). 5. Der Integralwert beschreibt die gesamte Wirkstoffexposition in den ersten vier Stunden; seine Einheit ist \(\text{mg}\cdot\text{h}/\text{L}\).

a) Das Maximum liegt bei \(t = 2\,\text{h}\) mit \(f(2) \approx 2{,}94\,\text{mg/L}\). b) Nach \(6\) Stunden beträgt die Konzentration ca. \(1{,}19\,\text{mg/L}\). c) Der Wert des Integrals beträgt ca. \(9{,}50\,\text{mg} \cdot \text{h}/\text{L}\). Er beschreibt die gesamte Wirkstoffexposition in den ersten \(4\) Stunden.

- Berechne für beide Modelle zuerst die Vorhersagen genau an denselben beiden Zeitpunkten. - Verwende für den Vergleich jeweils den Betrag „Modellwert minus Messwert“. - Eine kleinere Gesamtabweichung spricht bei diesem Kriterium für das passendere Modell. - Betrachte zusätzlich, ob die Zuwächse der Messwerte eher größer, gleichbleibend oder kleiner werden.

1. Für das exponentielle Modell gilt \(E(2)=225\) und \(E(3)=337{,}5\). Die absoluten Abweichungen sind daher \(65\) und \(0{,}5\); ihre Summe beträgt \(65{,}5\). 2. Für das beschränkte Modell gilt \(B(2)=400-300\cdot0{,}36=292\) und \(B(3)=400-300\cdot0{,}216=335{,}2\). Die absoluten Abweichungen sind \(2\) und \(1{,}8\); ihre Summe beträgt \(3{,}8\). 3. Damit passt B an diesen Vergleichsdaten deutlich besser. 4. Auch qualitativ spricht die Messreihe für beschränktes Wachstum: Die Zuwächse pro Zeitschritt werden kleiner, während der Bestand weiter zunimmt.

Für E beträgt die Summe der absoluten Abweichungen \(65{,}5\), für B nur \(3{,}8\). Daher passt das beschränkte Modell B besser. Dazu passt, dass die Zuwächse der Messwerte im Verlauf kleiner werden.

- Überlege zuerst, welcher der beiden Randwerte von \(k\) die kleinere beziehungsweise größere Prognose erzeugt. - Setze beide Randwerte getrennt in dasselbe Modell ein. - Vergleiche nicht nur die beiden Zahlen, sondern auch ihre Differenz als Maß für die Prognoseunsicherheit. - Beziehe deine Beurteilung darauf, dass sich die Unsicherheit im Exponenten mit der Zeit auswirkt.

1. Für festes \(t=12\) wächst \(N_k(12)=200e^{12k}\) mit zunehmendem \(k\). Deshalb entstehen die kleinste und größte Vorhersage an den Intervallgrenzen von \(k\). 2. Für \(k=0{,}09\) gilt \(N_{0{,}09}(12)=200e^{1{,}08}\approx588{,}94\), also gerundet \(589\). 3. Für \(k=0{,}11\) gilt \(N_{0{,}11}(12)=200e^{1{,}32}\approx748{,}68\), also gerundet \(749\). 4. Die Modellvorhersage liegt damit zwischen etwa \(589\) und \(749\) Einheiten. Die Spannweite beträgt rund \(160\) Einheiten. Schon die relativ kleine Unsicherheit in \(k\) führt also nach zwölf Monaten zu deutlich verschiedenen Prognosen; eine einzelne Punktprognose würde diese Unsicherheit verdecken.

Nach \(12\) Monaten sagt das Modell etwa \(589\) bis \(749\) Einheiten voraus. Die Spannweite von rund \(160\) Einheiten zeigt eine deutliche Empfindlichkeit der Langzeitprognose gegenüber der Unsicherheit des Wachstumsparameters.

- Was passiert mathematisch mit der Funktion, wenn die Zeit gegen Unendlich läuft? - Du hast drei Zeitpunkte gegeben. Wie kannst du diese nutzen, um die unbekannten Parameter zu bestimmen? - Es könnte hilfreich sein, eine Hilfsvariable für den Term \(e^{-5k}\) einzuführen. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen, insbesondere wie \(e^{-10k}\) mit \(e^{-5k}\) zusammenhängt.

1. Nutzung des Anfangswerts: \(F(0) = S - c = 400 \implies c = S - 400\). 2. Aufstellen eines Gleichungssystems mit \(x = e^{-5k}\): I) \(F(5) = S - (S - 400) \cdot x = 760 \implies x = \frac{S - 760}{S - 400}\) II) \(F(10) = S - (S - 400) \cdot x^2 = 976\) 3. Substitution von \(x\) in Gleichung II: \(S - (S - 400) \cdot \left(\frac{S - 760}{S - 400}\right)^2 = 976 \iff \frac{(S - 760)^2}{S - 400} = S - 976\). 4. Lösen der Gleichung: \((S - 760)^2 = (S - 976)(S - 400) \iff S^2 - 1520S + 577\,600 = S^2 - 1376S + 390\,400\). 5. Zusammenfassen und nach \(S\) auflösen: \(144S = 187\,200 \implies S = 1300\). Die Sättigungsgrenze beträgt \(1300\) Follower.

Die Sättigungsgrenze liegt bei \(1300\) Followern.

- Welche Bedingung aus Teil a) verbindet den unbekannten Sättigungswert mit dem beobachteten Bestand? - Warum kann sich bei einem festen prozentualen Anteil des Sättigungswertes der Parameter \(k\) aus der Gleichung herauskürzen? - Welche Strecken des Dreiecks lassen sich aus den Koordinaten von \(A\), \(B\) und \(C\) in Abhängigkeit von \(a\) beschreiben? - Woran kannst du nach dem Aufstellen der Flächenfunktion erkennen, ob eine gefundene kritische Stelle das absolute Maximum im Bereich \(a>5\) liefert?

1. Aus \(g_k(10)=500\) folgt \(k(1-e^{-2})=500\). Daher ist \(k=\frac{500}{1-e^{-2}}\approx578{,}26\). 2. Für \(75\,\%\) des Sättigungswertes gilt \(k(1-e^{-0{,}2t})=0{,}75k\). Da \(k>0\), kann durch \(k\) dividiert werden: \(e^{-0{,}2t}=0{,}25\). Damit ist \(t=5\ln(4)\approx6{,}93\). Der Wert ist unabhängig von \(k\). 3. Die Tangente im Ursprung hat die Steigung \(g_k''(0)=0{,}2k\) und damit die Gleichung \(y=0{,}2kt\). Ihr Schnittpunkt mit \(y=k\) ist \(A(5,k)\). Außerdem sind \(B(a,k)\) und \(C(a,k(1-e^{-0{,}2a}))\). 4. Für \(a>5\) hat das Dreieck die Grundseite \(a-5\) und die Höhe \(ke^{-0{,}2a}\). Seine Fläche ist \(F(a)=\frac{k}{2}(a-5)e^{-0{,}2a}\). 5. Die Ableitung ist \(F''(a)=\frac{k}{2}e^{-0{,}2a}(2-0{,}2a)\). Sie ist für \(5<a<10\) positiv und für \(a>10\) negativ. Zudem gilt \(\lim_{a\to5^+}F(a)=0\) und \(\lim_{a\to\infty}F(a)=0\). Daher besitzt das Dreieck bei \(a=10\) den absoluten maximalen Flächeninhalt.

a) \(k=\frac{500}{1-e^{-2}}\approx578{,}26\) b) \(t=5\ln(4)\approx6{,}93\) c) Der Flächeninhalt ist absolut maximal für \(a=10\).

- An welcher Stelle im Graphen ist die Steigung der Kurve am steilsten? - Wie hängen Wachstumsrate und die Ableitung einer Funktion zusammen? - Was bedeutet die Sättigungsgrenze für den Verlauf des Graphen und welche Zahl in der Funktionsgleichung gibt sie an? - Wie kannst du einen gesuchten Wert auf der \(y\)-Achse finden und den zugehörigen Zeitpunkt auf der \(x\)-Achse ablesen?

a) Der Zeitpunkt des stärksten Wachstums entspricht der Wendestelle der logistischen Funktion. Diese liegt bei \(f(t)=\frac{S}{2}=5\). Aus \(\frac{10}{1+9e^{-0{,}5t}}=5\) folgt \(e^{-0{,}5t}=\frac19\) und damit \(t_m=\frac{\ln(9)}{0{,}5}\approx4{,}39\) Stunden. b) Die maximale Wachstumsrate ist der Wert der Ableitung an der Wendestelle. \(f'(t)=\frac{10\cdot9\cdot0{,}5\cdot e^{-0{,}5t}}{(1+9e^{-0{,}5t})^2}\). Mit \(e^{-0{,}5t_m}=\frac19\) ergibt sich \(f'(t_m)=\frac54=1{,}25\) Tausend Aufrufe pro Stunde, also \(1250\) Aufrufe pro Stunde. c) \(80\,\%\) von \(10\,000\) sind \(8000\) Aufrufe, also \(f(t)=8\). Daraus folgt \(e^{-0{,}5t}=\frac1{36}\) und damit \(t=2\ln(36)\approx7{,}17\) Stunden. Im Graphen liegt der zugehörige Punkt bei etwa \(t=7{,}2\) und \(f(t)=8\).

a) Die Anzahl der Aufrufe nimmt nach etwa \(4{,}39\) Stunden am stärksten zu. b) Die maximale Wachstumsrate beträgt \(1250\) Aufrufe pro Stunde. c) Nach etwa \(7{,}17\) Stunden sind \(80\,\%\) der Sättigungsgrenze erreicht.

- Die beiden Messwerte enthalten denselben unbekannten Sättigungswert und denselben Zerfallsfaktor. - Eine neue Variable für \(e^{-2k}\) kann die beiden Gleichungen übersichtlicher machen. - Nutze die Werte bei \(t=2\) und \(t=4\), um zuerst den Sättigungswert zu bestimmen, bevor du nach \(k\) auflöst. - Für die Schwellenfrage brauchst du anschließend eine Ungleichung im bereits bestimmten Modell. - Prüfe, ob dein gefundener Zeitpunkt zur monotonen Annäherung an die Sättigungsgrenze passt.

1. Setze \(q=e^{-2k}\) mit \(0<q<1\). Dann liefern die beiden Messwerte \(250=S-(S-100)q\) und \(325=S-(S-100)q^2\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \((S-100)q=S-250\). Aus der zweiten folgt \((S-100)q^2=S-325\). Division der zweiten Beziehung durch die erste ergibt \(q=\frac{S-325}{S-250}\). 3. Zugleich ist aus \((S-100)q=S-250\) auch \(q=\frac{S-250}{S-100}\). Gleichsetzen liefert \((S-250)^2=(S-325)(S-100)\). Daraus folgt \(S=400\). 4. Damit ist \(q=\frac{150}{300}=\frac{1}{2}\). Also gilt \(e^{-2k}=\frac{1}{2}\) und damit \(k=\frac{\ln2}{2}\). 5. Das Modell lautet \(N(t)=400-300e^{-\frac{\ln2}{2}t}=400-300\cdot2^{-t/2}\). 6. Für die Schwelle \(N(t)\ge370\) gilt \(400-300\cdot2^{-t/2}\ge370\). Das ist äquivalent zu \(2^{-t/2}\le0{,}1\). 7. Logarithmieren liefert \(t\ge\frac{2\ln10}{\ln2}\approx6{,}64\). Der früheste modellierte Zeitpunkt ist daher etwa \(6{,}64\) Zeiteinheiten.

a) \(S=400\) und \(k=\frac{\ln2}{2}\). b) Die Schwelle \(370\) wird erstmals bei \(t\approx6{,}64\) erreicht.