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- Kannst du eine der Variablen mithilfe der Summenbedingung durch die andere ersetzen? - Wie lautet der Funktionsterm für das Produkt, wenn er nur noch von einer Variablen abhängt? - Welches Verfahren aus der Analysis hilft dir dabei, den größten Wert einer Funktion zu bestimmen?

1. Aufstellen der Nebenbedingung: \(x + y = 60\), woraus folgt \(x = 60 - y\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für das Produkt: \(P(y) = x \cdot y^2 = (60 - y) \cdot y^2 = 60y^2 - y^3\). 3. Ableiten der Zielfunktion zur Bestimmung des Extremums: \(P'(y) = 120y - 3y^2\). 4. Nullsetzen der ersten Ableitung: \(120y - 3y^2 = 0 \Rightarrow 3y(40 - y) = 0\). Da die Summanden positiv sein müssen, ist \(y = 40\) die relevante Lösung. 5. Überprüfung des Maximums mit der zweiten Ableitung: \(P''(y) = 120 - 6y\). Einsetzen ergibt \(P''(40) = 120 - 240 = -120 < 0\), was ein lokales Maximum bestätigt. 6. Berechnung des ersten Summanden: \(x = 60 - 40 = 20\).

Die beiden Summanden sind \(x = 20\) und \(y = 40\).

- Überlege dir, wie du die Bedingung „Produkt ist 36“ mathematisch ausdrücken kannst. - Kannst du eine der beiden Zahlen durch die andere ausdrücken, um die Summe nur noch von einer Variable abhängig zu machen? - Erinnere dich daran, wie man mithilfe der Ableitung den kleinsten Wert einer Funktion bestimmt. - Achte darauf, dass die gesuchten Zahlen laut Aufgabenstellung positiv sein müssen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die erste Zahl und \(y\) für die zweite Zahl, wobei \(x, y > 0\) gilt. 2. Aufstellen der Nebenbedingung: Da das Produkt 36 ist, gilt \(x \cdot y = 36\). Auflösen nach \(y\) ergibt \(y = \frac{36}{x}\). 3. Aufstellen der Zielfunktion: Die zu minimierende Summe ist \(S = x + 9y\). Einsetzen der Nebenbedingung führt zu \(S(x) = x + 9 \cdot \frac{36}{x} = x + \frac{324}{x}\). 4. Bestimmung der Ableitung: \(S'(x) = 1 - \frac{324}{x^2}\). 5. Ermittlung der kritischen Stellen: \(S'(x) = 0 \implies 1 = \frac{324}{x^2} \implies x^2 = 324\). Da \(x\) positiv sein muss, folgt \(x = 18\). 6. Überprüfung des Extremums: Die zweite Ableitung \(S''(x) = \frac{648}{x^3}\) ist für \(x = 18\) positiv (\(S''(18) > 0\)), folglich liegt ein lokales Minimum vor. 7. Berechnung der zweiten Zahl: Durch Einsetzen in die Nebenbedingung erhält man \(y = \frac{36}{18} = 2\).

Die erste Zahl ist \(18\) und die zweite Zahl ist \(2\).

- Wie lässt sich die Summe der beiden Zahlen als Gleichung schreiben? - Versuche, das zu maximierende Produkt als Funktion einer einzigen Variable darzustellen. - Welche Werte kann die erste Zahl sinnvollerweise annehmen, wenn beide Zahlen nichtnegativ sein müssen? - Nutze die Differentialrechnung, um die Stelle mit dem größten Funktionswert zu finden.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die erste Zahl und \(y\) für die zweite Zahl (\(x, y \geq 0\)). 2. Nebenbedingung nutzen: Aus \(x + y = 15\) folgt \(y = 15 - x\). 3. Zielfunktion formulieren: Das Produkt \(P\) soll maximal werden, also \(P(x) = x^2 \cdot (15 - x) = 15x^2 - x^3\). 4. Definitionsbereich bestimmen: Da \(x\) und \(y\) nichtnegativ sind, liegt \(x\) im Intervall \([0; 15]\). 5. Ableitungen berechnen: \(P'(x) = 30x - 3x^2\) und \(P''(x) = 30 - 6x\). 6. Extremstellen suchen: \(P'(x) = 0 \implies 3x(10 - x) = 0\). Mögliche Stellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 10\). 7. Art des Extremums und Randwerte prüfen: \(P''(10) = 30 - 60 = -30 < 0\), somit liegt bei \(x = 10\) ein lokales Maximum vor. Die Randwerte ergeben \(P(0) = 0\) und \(P(15) = 0\), während \(P(10) = 10^2 \cdot 5 = 500\) ist. Das globale Maximum liegt also bei \(x = 10\). 8. Ergebnis vervollständigen: Die zweite Zahl ist \(y = 15 - 10 = 5\).

Die erste Zahl ist \(10\) und die zweite Zahl ist \(5\).

- Wie lässt sich eine der Zahlen eliminieren, wenn ihr Produkt bekannt ist? - Stelle eine Funktion auf, die die zu minimierende Summe beschreibt. - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Minimalstelle gelten? - Achte darauf, dass nur positive Werte für die Zahlen gesucht sind.

1. Aufstellen der Nebenbedingung: \(x \cdot y = 16\), woraus folgt \(y = \frac{16}{x}\). 2. Aufstellen der Zielfunktion für die Summe: \(S(x) = x^2 + \frac{16}{x}\) für \(x > 0\). 3. Ableiten der Zielfunktion: \(S'(x) = 2x - \frac{16}{x^2}\). 4. Bestimmung der kritischen Stelle durch Nullsetzen: \(2x - \frac{16}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 16 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\). 5. Überprüfung der Minimaleigenschaft mit der zweiten Ableitung: \(S''(x) = 2 + \frac{32}{x^3}\). Einsetzen ergibt \(S''(2) = 2 + \frac{32}{8} = 6 > 0\), was ein lokales Minimum bestätigt. 6. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = \frac{16}{2} = 8\).

Die Zahlen lauten \(x = 2\) und \(y = 8\).

- Bestimme zuerst die Ableitungen und die Art des Extremums für die einfache Funktion. - Wende die Kettenregel oder die ausmultiplizierte Form an, um die Extremstelle der quadrierten Funktion zu untersuchen. - Was passiert mit negativen Zahlen, wenn man sie quadriert? Vergleiche zum Beispiel \(-5\) und \(-4\). - Welche Rolle spielt die Monotonie der Funktion \(y = x^2\) für verschiedene Vorzeichenbereiche?

1. Die Ableitung ist \(f'(x) = 2x\). Die einzige Nullstelle ist \(x_0 = 0\). Da \(f''(x) = 2 > 0\), liegt bei \(x_0 = 0\) ein lokales Minimum mit dem Funktionswert \(f(0) = -5\) vor. 2. Es ist \(g(x) = (x^2 - 5)^2\). Die Ableitung ist \(g'(x) = 2(x^2 - 5) \cdot 2x = 4x^3 - 20x\). Die zweite Ableitung lautet \(g''(x) = 12x^2 - 20\). An der Stelle \(x_0 = 0\) gilt \(g''(0) = -20 < 0\). Somit hat \(g\) an der Stelle \(x_0 = 0\) ein lokales Maximum. 3. Da \(f(0) = -5\) negativ ist, kehrt das Quadrieren die Größenverhältnisse in der Umgebung um: Während \(f(0)\) der kleinste Wert ist (z. B. \(-5 < -4{,}9\)), wird \(g(0) = (-5)^2 = 25\) zum größten Wert, da \((-5)^2 > (-4{,}9)^2\). Die streng monoton fallende Eigenschaft der Quadratfunktion für negative Werte kehrt das Minimum von \(f\) in ein Maximum von \(g\) um.

1. Lokales Minimum bei \(x_0 = 0\). 2. Lokales Maximum bei \(x_0 = 0\). 3. Da \(f(0) < 0\), kehrt das Quadrieren die Ordnung der Funktionswerte um (aus kleineren negativen Werten werden größere positive Werte), wodurch das Minimum zum Maximum wird.

- Erinnere dich an die Kettenregel für die Ableitung zusammengesetzter Funktionen. - Was bedeutet „streng monoton wachsend“ für die Ordnung von Funktionswerten? - Untersuche, ob die äußere Funktion die „Richtung“ der Ungleichung zwischen zwei Funktionswerten verändert. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der Ableitung der äußeren Funktion auf die Ableitung der gesamten Funktion?

1. Die Ableitung von \(h(x) = \ln(f(x))\) lautet nach der Kettenregel \(h'(x) = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\). Ist \(f'(x_0) = 0\), so folgt \(h'(x_0) = \frac{1}{f(x_0)} \cdot 0 = 0\), da \(f(x) > 0\) vorausgesetzt ist. Somit ist \(x_0\) eine stationäre Stelle von \(h\). 2. Damit die Extremstellen und deren Art (Maximum/Minimum) erhalten bleiben, muss die äußere Funktion \(T\) im Wertebereich von \(f\) streng monoton wachsend sein. Ist \(T\) streng monoton wachsend, gilt: \(f(x_1) < f(x_2) \iff T(f(x_1)) < T(f(x_2))\). Da die Quadrierfunktion für \(y > 0\) und der natürliche Logarithmus für alle \(y\) in ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend sind, bleiben die Stellen der Extrema bei diesen Transformationen identisch.

1. Nach der Kettenregel ist \(h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\). Da \(f(x) > 0\), führt \(f'(x) = 0\) direkt zu \(h'(x) = 0\). 2. Die äußere Funktion \(T\) muss im relevanten Bereich streng monoton wachsend sein. Dies ist für \(T(y) = y^2\) (für \(y > 0\)) und \(T(y) = \ln(y)\) gegeben, weshalb beide Transformationen die Lage und Art der Extrema erhalten.