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- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, wenn die Eckpunkte durch den Ursprung und einen variablen Punkt auf einer Kurve gegeben sind. - Stelle eine Funktion auf, die nur von der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) abhängt. - Wie findet man in der Analysis den größten Wert einer Funktion innerhalb eines bestimmten Bereichs? - Vergiss nicht, auch die Werte an den Rändern des Definitionsbereichs zu prüfen.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: Da \(x \geq 0\) und \(f(x) \geq 0\) im gegebenen Intervall, gilt \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x - 6)^2 = x^3 - 12x^2 + 36x\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 3x^2 - 24x + 36\). 3. Bestimmung der stationären Punkte: \(3x^2 - 24x + 36 = 0 \implies x^2 - 8x + 12 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: Die zweite Ableitung ist \(A''(x) = 6x - 24\). Für \(x_1 = 2\) ergibt sich \(A''(2) = 12 - 24 = -12 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Für \(x_2 = 6\) ergibt sich \(A''(6) = 36 - 24 = 12 > 0\), ein lokales Minimum. 5. Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(6) = 0\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 2\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(2) = (2 - 6)^2 = 16\). Der gesuchte Punkt ist \(P(2 | 16)\).

\(P(2 | 16)\)

- Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn ein Eckpunkt auf dem Graphen liegt? - Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie geht man mit der oberen Grenze \(\infty\) bei einem Integral um? - Was bedeutet „prozentualer Anteil“ mathematisch für zwei gegebene Flächeninhalte?

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Rechtecks: \(A(x) = x \cdot f(x) = 24x \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(A'(x) = 24 \cdot e^{-0{,}2x} + 24x \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (24 - 4{,}8x) \cdot e^{-0{,}2x}\). 3. Nullstelle der Ableitung finden: \(24 - 4{,}8x = 0 \implies x = 5\). 4. Nachweis des Maximums (z. B. über \(A''(x)\) oder Vorzeichenwechsel): \(A''(x) = (-9{,}6 + 0{,}96x) \cdot e^{-0{,}2x}\); \(A''(5) = -4{,}8 \cdot e^{-1} < 0\), also Maximum bei \(x = 5\). 5. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(5) = 24 \cdot 5 \cdot e^{-0{,}2 \cdot 5} = 120 \cdot e^{-1} \approx 44{,}15\). 6. Berechnung des uneigentlichen Integrals für die Gesamtfläche: \(A_{\text{ges}} = \int_{0}^{\infty} 24 \cdot e^{-0{,}2x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{24}{-0{,}2} e^{-0{,}2x} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left[ -120 e^{-0{,}2x} \right]_0^b = 0 - (-120) = 120\). 7. Berechnung des prozentualen Anteils: \(\frac{A(5)}{A_{\text{ges}}} = \frac{120 \cdot e^{-1}}{120} = e^{-1} \approx 0{,}3679\), was \(36{,}79\,\%\) entspricht.

a) Das Maximum liegt bei \(x = 5\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(A(5) = 120 \cdot e^{-1} \approx 44{,}15\). b) Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{ges}} = 120\). c) Der Anteil beträgt \(e^{-1} \approx 36{,}79\,\%\).

- Wie lässt sich der Abstand zweier Punkte \(P(x_1|y_1)\) und \(Q(x_2|y_2)\) allgemein berechnen? - Anstatt die Abstandsfunktion selbst zu untersuchen, kannst du oft das Quadrat des Abstands betrachten. Warum vereinfacht das die Rechnung? - Welche Einschränkungen gibt es für den Definitionsbereich von \(x\)? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Extremwert tatsächlich ein Minimum ist.

1. Aufstellen der Abstandsfunktion mithilfe des Satzes von Pythagoras: \(d(x) = \sqrt{(x - 3)^2 + (\sqrt{x + 5} - 0)^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 9 + x + 5} = \sqrt{x^2 - 5x + 14}\). 2. Da die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, reicht es, den Radikanden \(h(x) = x^2 - 5x + 14\) zu minimieren. 3. Ableitung von \(h(x)\) bilden: \(h'(x) = 2x - 5\). 4. Nullstelle der Ableitung bestimmen: \(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = 2{,}5\). 5. Nachweis des Minimums: Da \(h(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, liegt an der Stelle \(x = 2{,}5\) das globale Minimum vor. 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d(2{,}5) = \sqrt{2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 + 14} = \sqrt{6{,}25 - 12{,}5 + 14} = \sqrt{7{,}75}\). 7. Randwertprüfung am Definitionsrand \(x = -5\): \(d(-5) = \sqrt{(-5-3)^2 + 0} = 8\). Da \(8 > \sqrt{7{,}75}\), ist \(d(2{,}5)\) der globale minimale Abstand.

Der Abstand wird minimal für \(x = 2{,}5\). Der minimale Abstand beträgt \(\sqrt{7{,}75} = \frac{\sqrt{31}}{2} \approx 2{,}78\).

- Wie hängen die Seitenlängen des Rechtecks mit der Position des Punktes \(Q\) auf dem Graphen zusammen? - Nutze die Produktregel und die Kettenregel, um die Zielfunktion abzuleiten. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist – beachte dabei das Verhalten der \(e\)-Funktion. - Überprüfe dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung oder einem Vorzeichenwechselkriterium.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Rechtecks: \(A(u) = u \cdot g(u) = 12u \cdot e^{-0{,}25u^2}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(A'(u) = 12 \cdot e^{-0{,}25u^2} + 12u \cdot (-0{,}5u) \cdot e^{-0{,}25u^2} = (12 - 6u^2) \cdot e^{-0{,}25u^2}\). 3. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(12 - 6u^2 = 0 \Rightarrow u^2 = 2 \Rightarrow u = \sqrt{2}\) (da \(u \ge 0\)). 4. Nachweis des Maximums: Die zweite Ableitung \(A''(u) = (3u^3 - 18u) \cdot e^{-0{,}25u^2}\) ergibt an der Stelle \(u = \sqrt{2}\) den Wert \((6\sqrt{2} - 18\sqrt{2}) \cdot e^{-0{,}5} = -12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} < 0\), somit liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}25 \cdot 2} = 12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} \approx 10{,}29\).

Der Flächeninhalt wird für \(u = \sqrt{2}\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(12\sqrt{2} \cdot e^{-0{,}5} \approx 10{,}29\).

- Woran erkennt man bei einer Kosinusfunktion ohne Ableitung, wo die Extremwerte liegen? - Welche Werte kann die Kosinusfunktion maximal und minimal annehmen? - Vergiss nicht, die Randwerte des Definitionsbereichs zu untersuchen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der y-Achse?

1. Ableitung bilden: \(f'(t) = -8 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} t\right) = \frac{2\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{12} t\right)\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(t) = 0\) im Intervall \([0; 24]\): \(\sin\left(\frac{\pi}{12} t\right) = 0\) liefert \(t_1 = 0\), \(t_2 = 12\) und \(t_3 = 24\). 3. Funktionswerte an den Stellen berechnen: \(f(0) = -8 \cdot \cos(0) - 2 = -10\), \(f(12) = -8 \cdot \cos(\pi) - 2 = 6\), \(f(24) = -8 \cdot \cos(2\pi) - 2 = -10\). 4. Die niedrigste Temperatur wird an den Punkten \(T_1(0 \mid -10)\) und \(T_2(24 \mid -10)\) erreicht. 5. Der Hochpunkt liegt bei \(H(12 \mid 6)\). 6. Temperaturdifferenz berechnen: \(\Delta T = 6 - (-10) = 16\).

Die niedrigste Temperatur wird an den Punkten \((0 \mid -10)\) und \((24 \mid -10)\) erreicht. Der Temperaturunterschied zwischen der höchsten und der niedrigsten Temperatur beträgt \(16\,^\circ\text{C}\).

- Überlege dir, welche Stellen für die Sinusfunktion den größten und kleinsten Wert liefern. - Achte darauf, ob nach dem x-Wert oder nach einem Punkt (x- und y-Koordinate) gefragt ist. - Der Höhenunterschied ist die Differenz zwischen dem globalen Maximum und dem globalen Minimum im Intervall.

1. Ableitung berechnen: \(h'(x) = 1{,}2 \cdot \frac{\pi}{10} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10} x\right) = 0{,}12\pi \cdot \cos\left(\frac{\pi}{10} x\right)\). 2. Nullstellen der Ableitung in \([0; 20]\) bestimmen: \(\cos\left(\frac{\pi}{10} x\right) = 0\) führt zu \(\frac{\pi}{10} x = \frac{\pi}{2}\) oder \(\frac{\pi}{10} x = \frac{3\pi}{2}\), also \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 15\). 3. Funktionswerte prüfen: \(h(5) = 1{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2{,}5 = 3{,}7\) und \(h(15) = 1{,}2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2{,}5 = 1{,}3\). 4. Randwerte prüfen: \(h(0) = 2{,}5\) und \(h(20) = 2{,}5\). 5. Der Hochpunkt liegt bei \(H(5 \mid 3{,}7)\), der Tiefpunkt bei \(T(15 \mid 1{,}3)\). 6. Höhenunterschied berechnen: \(3{,}7\,\text{m} - 1{,}3\,\text{m} = 2{,}4\,\text{m}\).

Der Hochpunkt der Strecke liegt bei \((5 \mid 3{,}7)\). Der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt beträgt \(2{,}4\,\text{m}\).

- Welche Bedingung muss für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit der Steigung und der Krümmung zusammen? - Prüfe bei Wendepunkten und Schnittpunkten immer, ob die berechneten Stellen im Definitionsbereich liegen. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein horizontaler Lichtstrahl genau auf die höchste Stelle des Graphen trifft?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x \cdot e^{-0{,}2x} + 0{,}5x^2 \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (x - 0{,}1x^2) \cdot e^{-0{,}2x}\). \(f''(x) = (1 - 0{,}2x) \cdot e^{-0{,}2x} - 0{,}2 \cdot (x - 0{,}1x^2) \cdot e^{-0{,}2x} = (0{,}02x^2 - 0{,}4x + 1) \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Maximale Höhe: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x(1 - 0{,}1x) = 0\). Da \(x = 0\) ein Randwert mit \(f(0) = 0\) ist, liegt das Maximum bei \(x = 10\). Die Höhe beträgt \(f(10) = 0{,}5 \cdot 100 \cdot e^{-2} = 50 \cdot e^{-2} \approx 6{,}77\,\text{m}\). 3. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 0{,}02x^2 - 0{,}4x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 20x + 50 = 0\). Daraus folgt \(x = 10 \pm \sqrt{50}\). Im betrachteten Intervall \([0; 15]\) liegt nur \(x = 10 - \sqrt{50} \approx 2{,}93\). Für \(x > 5\) gibt es im betrachteten Intervall keinen Wendepunkt; der rechnerische Wendepunkt auf der rechten Seite liegt bei \(x = 10 + \sqrt{50} \approx 17{,}07\) und damit außerhalb des modellierten Walls. Im Modell ändert sich die Krümmung auf der rechten Seite des betrachteten Walls also nicht mehr. 4. Lichtstrahl: Die Höhe der Wallkrone ist \(y = 50 \cdot e^{-2}\). Da \(x = 10\) die Stelle des globalen Maximums im Intervall \([0; 15]\) ist, gilt für alle anderen Stellen im betrachteten Bereich \(f(x) < 50 \cdot e^{-2}\). Der horizontale Lichtstrahl in Kronenhöhe trifft die Oberfläche rechts der Wallkrone daher im betrachteten Bereich nicht erneut.

a) Die maximale Höhe beträgt ca. \(6{,}77\,\text{m}\) an der Stelle \(x = 10\,\text{m}\). b) Im betrachteten Intervall gibt es für \(x > 5\) keinen Wendepunkt. Der rechnerische rechte Wendepunkt liegt bei \(x = 10 + \sqrt{50} \approx 17{,}07\) und damit außerhalb des modellierten Bereichs; im Intervall liegt nur der Wendepunkt bei \(x = 10 - \sqrt{50} \approx 2{,}93\). c) Der horizontale Lichtstrahl trifft die Oberfläche rechts der Wallkrone im Bereich \([0; 15]\) nicht erneut.

- Überlege dir, wie man die Länge der Grundseite und die Höhe eines Dreiecks im Koordinatensystem bestimmt, wenn zwei Punkte auf derselben Höhe liegen. - Welche geometrische Formel nutzt man für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Um eine Formel allgemein nachzuweisen, setze die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von \(k\) in deine Flächenformel ein. - Wie findet man in der Analysis die Stelle, an der eine Funktion ihren größten Wert annimmt? - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Für \(k=1\) ergibt sich \(f(1) = \frac{1^2}{1^2+4} = 0{,}2\). Die Punkte sind \(P_1(-1|0{,}2)\), \(Q_1(1|0{,}2)\) und \(R(0|1)\). Die Grundseite \(b\) verläuft parallel zur \(x\)-Achse mit Länge \(b = 1 - (-1) = 2\). Die Höhe \(h\) ist die Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(h = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}8 = 0{,}8\). 2. Allgemein ist die Grundseite \(b = 2k\) und die Höhe \(h = 1 - f(k) = 1 - \frac{k^2}{k^2+4} = \frac{k^2+4-k^2}{k^2+4} = \frac{4}{k^2+4}\). Der Flächeninhalt ergibt sich zu \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot 2k \cdot \frac{4}{k^2+4} = \frac{4k}{k^2+4}\). 3. Zur Bestimmung des Maximums wird die Ableitung gebildet: \(A'(k) = \frac{4(k^2+4) - 4k \cdot 2k}{(k^2+4)^2} = \frac{16 - 4k^2}{(k^2+4)^2}\). 4. Nullsetzen der Ableitung: \(16 - 4k^2 = 0 \Rightarrow k^2 = 4\). Da \(k > 0\), ist \(k = 2\). 5. Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(k)\) bei \(k=2\) von plus nach minus (da der Zähler eine nach unten geöffnete Parabel ist) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(k)\) für \(k \to 0\) und \(k \to \infty\) gegen \(0\) strebt, ist dies das globale Maximum. 6. Maximaler Flächeninhalt: \(A(2) = \frac{4 \cdot 2}{2^2+4} = \frac{8}{8} = 1\).

a) Für \(k=1\) ist der Flächeninhalt \(0{,}8\). Der allgemeine Term ist \(A(k) = \frac{4k}{k^2 + 4}\). b) Der Flächeninhalt ist für \(k = 2\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(1\).

- Stelle zuerst eine Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie hängen die Breite und die Höhe des Rechtecks mit dem gewählten \(x\)-Wert und dem Funktionswert zusammen? - Nutze die erste Ableitung der Flächenfunktion, um die optimale Breite zu finden. - Setze den gefundenen \(x\)-Wert in die Punktkoordinaten und die Flächenformel ein.

1. Die Eckpunkte des Rechtecks sind \(A(-x|0)\), \(B(x|0)\), \(V(x|g(x))\) und \(U(-x|g(x))\). 2. Die Breite des Rechtecks ist \(b = x - (-x) = 2x\), die Höhe ist \(h = g(x) = \frac{32}{x^2+4}\). 3. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt ist \(A(x) = 2x \cdot \frac{32}{x^2+4} = \frac{64x}{x^2+4}\). 4. Die Ableitung lautet \(A'(x) = \frac{64(x^2+4) - 64x \cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{256 - 64x^2}{(x^2+4)^2}\). 5. Nullstellen der Ableitung: \(256 - 64x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) (da \(x > 0\)). 6. Die Überprüfung (z. B. Vorzeichenwechselkriterium) zeigt, dass bei \(x=2\) ein Maximum vorliegt. 7. Koordinaten der Eckpunkte für \(x=2\): \(g(2) = \frac{32}{2^2+4} = \frac{32}{8} = 4\). Die Punkte sind \((-2|0)\), \((2|0)\), \((2|4)\) und \((-2|4)\). 8. Maximaler Flächeninhalt: \(A(2) = \frac{64 \cdot 2}{2^2+4} = \frac{128}{8} = 16\).

Das Maximum liegt bei \(x = 2\). Die Eckpunkte sind \((-2|0)\), \((2|0)\), \((2|4)\) und \((-2|4)\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16\).

- Überlege dir, wie du die Breite des Dreiecks in Abhängigkeit von der Höhe \(k\) ausdrücken kannst. - Welche geometrische Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist hier nützlich? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Länge der Grundseite zu bestimmen. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein gefundenes Ergebnis im sinnvollen Bereich für \(k\) liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\): Die Schnittpunkte mit der Geraden \(y = k\) ergeben sich aus \(k = 12 - x^2\), woraus \(x^2 = 12 - k\) und somit \(x = \pm \sqrt{12 - k}\) folgt. Die Grundseite des Dreiecks ist \(g = 2 \cdot \sqrt{12 - k}\), die zugehörige Höhe ist \(h = k\). 2. Die Zielfunktion lautet \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{12 - k} \cdot k = k \cdot \sqrt{12 - k}\) für \(k \in (0; 12)\). 3. Ableitung der Zielfunktion mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(k) = 1 \cdot \sqrt{12 - k} + k \cdot \frac{1}{2\sqrt{12 - k}} \cdot (-1) = \frac{2(12 - k) - k}{2\sqrt{12 - k}} = \frac{24 - 3k}{2\sqrt{12 - k}}\). 4. Bestimmung des Extremums: \(A'(k) = 0 \implies 24 - 3k = 0 \implies k = 8\). 5. Überprüfung der Art des Extremums und des Randverhaltens: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'\) bei \(k = 8\) von Plus nach Minus bestätigt das lokale Maximum. Da \(\lim_{k \to 0^+} A(k) = 0\) und \(\lim_{k \to 12^-} A(k) = 0\), liegt bei \(k = 8\) das globale Maximum vor. 6. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(8) = 8 \cdot \sqrt{12 - 8} = 8 \cdot 2 = 16\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für \(k = 8\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16\) Flächeneinheiten.

- Für Aufgabenteil a) musst du lediglich die gegebenen Zeitpunkte in die Funktionsgleichung einsetzen. - Denke bei Extremwertaufgaben in b) daran, sowohl die notwendige Bedingung als auch ein Kriterium zur Überprüfung der Art des Extremums zu nutzen. - Vergiss bei der Suche nach dem absoluten Maximum nicht, die Werte an den Rändern des Definitionsbereichs zu prüfen. - Die zweite Ableitung gibt an, wie sich die Steigung (also die Änderungsrate) der Funktion verändert. - Das Maximum einer Änderungsrate findest du dort, wo die Ableitung dieser Rate null wird.

1. Einsetzen der Zeitwerte in die Funktionsgleichung: \(c(0) = 5\) und \(c(12) = -0{,}1 \cdot 12^3 + 1{,}2 \cdot 12^2 + 5 = -172{,}8 + 172{,}8 + 5 = 5\). Zu Beginn und nach 12 Minuten beträgt die Konzentration jeweils \(5\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Bestimmung des Maximums über die erste Ableitung: \(c'(t) = -0{,}3t^2 + 2{,}4t\). Nullstellen von \(c'\): \(0{,}3t(-t + 8) = 0\) liefert \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). Die zweite Ableitung \(c''(t) = -0{,}6t + 2{,}4\) ergibt \(c''(8) = -2{,}4 < 0\), also liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. Da die Randwerte \(c(0) = 5\) und \(c(12) = 5\) kleiner sind als \(c(8) = -0{,}1 \cdot 8^3 + 1{,}2 \cdot 8^2 + 5 = 30{,}6\), ist dies das globale Maximum. 3. Berechnung von \(c''(2) = -0{,}6 \cdot 2 + 2{,}4 = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Da \(c''(2) > 0\), nimmt die Änderungsrate der Konzentration zu diesem Zeitpunkt zu; die Zunahme der Konzentration beschleunigt sich also. 4. Die maximale Zunahme liegt am Wendepunkt (Maximum der ersten Ableitung). \(c''(t) = 0 \implies -0{,}6t + 2{,}4 = 0 \implies t = 4\). Die maximale Änderungsrate beträgt \(c'(4) = -0{,}3 \cdot 4^2 + 2{,}4 \cdot 4 = -4{,}8 + 9{,}6 = 4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

a) \(c(0) = 5\,\text{mg}/\text{l}\) und \(c(12) = 5\,\text{mg}/\text{l}\). b) Das Maximum wird nach \(8\,\text{Minuten}\) erreicht und beträgt \(30{,}6\,\text{mg}/\text{l}\). c) \(c''(2) = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Dies bedeutet, dass die Änderungsrate der Konzentration zum Zeitpunkt \(t = 2\) ansteigt (positive Beschleunigung der Konzentrationszunahme). d) Die Konzentration nimmt nach \(4\,\text{Minuten}\) am schnellsten zu. Die maximale Änderungsrate beträgt \(4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

- Überlege zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, wenn die Seitenlängen durch die Koordinaten eines Punktes auf der Kurve gegeben sind. - Denke daran, dass Extremwerte nicht nur dort liegen können, wo die Ableitung Null ist. - Was passiert an den Grenzen des Definitionsbereichs? - Vergleiche alle berechneten Werte, um den tatsächlich größten Flächeninhalt zu finden.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x^2 - 6x + 10) = x^3 - 6x^2 + 10x\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(A'(x) = 3x^2 - 12x + 10\). 3. Suche nach lokalen Extremstellen durch Nullsetzen der Ableitung: \(3x^2 - 12x + 10 = 0\) ergibt mithilfe der \(p-q\)-Formel oder Mitternachtsformel die Stellen \(x_1 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}18\) und \(x_2 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 2{,}82\). 4. Prüfung der Funktionswerte an den kritischen Stellen: \(A(2 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \approx 5{,}09\) (lokales Maximum) und \(A(2 + \frac{\sqrt{6}}{3}) \approx 2{,}91\) (lokales Minimum). 5. Vergleich mit den Randwerten des Intervalls \([0; 4]\): \(A(0) = 0\) und \(A(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 10 \cdot 4 = 64 - 96 + 40 = 8\). 6. Da der Randwert \(A(4) = 8\) größer ist als der lokale Maximalwert \(5{,}09\), liegt das absolute Maximum am rechten Rand vor.

Der maximale Flächeninhalt wird am Rand des Intervalls bei \(x = 4\) erreicht.

- Wie berechnet man allgemein den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Überlege dir, warum es ausreicht, das Quadrat des Abstands zu minimieren, um die Rechnung zu vereinfachen. - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Minimum einer Funktion erfüllt sein? - Hast du alle Bedingungen der Aufgabenstellung, wie zum Beispiel den Definitionsbereich, berücksichtigt?

1. Der Abstand eines Punktes \(P(x \mid f(x))\) zum Ursprung ist \(d=\sqrt{x^2+(f(x))^2}\). Da die Quadratwurzel streng monoton steigt, kann das Abstandsquadrat \(g(x)=d^2=x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2=x^2+\frac{16}{x^2}\) für \(x>0\) minimiert werden. 2. Es ist \(g'(x)=2x-\frac{32}{x^3}\). 3. Aus \(g'(x)=0\) folgt \(2x=\frac{32}{x^3}\), also \(x^4=16\). Wegen \(x>0\) gilt \(x=2\). 4. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=2+\frac{96}{x^4}>0\) für alle \(x>0\). Außerdem gilt \(g(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\). Daher ist der einzige stationäre Punkt das globale Minimum. 5. Es ist \(f(2)=2\). Der gesuchte Punkt lautet \(P(2 \mid 2)\).

Der Punkt \(P(2 \mid 2)\) hat den minimalen Abstand zum Ursprung.

- Stelle eine Funktion für den Abstand eines beliebigen Punktes auf der Kurve zum Ursprung auf. - Kannst du den Ausdruck für den Abstand vereinfachen, bevor du ihn ableitest? - Wie viele Punkte erwartest du aufgrund der Symmetrie der Parabel zur y-Achse? - Vergiss nicht, die berechneten x-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die y-Koordinaten zu finden.

1. Der quadrierte Abstand eines Punktes \(P(x \mid f(x))\) zum Ursprung ist \(g(x)=x^2+(x^2-1{,}5)^2=x^4-2x^2+2{,}25\). 2. Es ist \(g'(x)=4x^3-4x\) und \(g''(x)=12x^2-4\). 3. Aus \(g'(x)=0\) folgen \(x=0\) sowie \(x=\pm1\). 4. Es gilt \(g''(0)=-4<0\), also liegt bei \(x=0\) ein lokales Maximum vor. Weiter gilt \(g''(\pm1)=8>0\), also liegen bei \(x=\pm1\) lokale Minima vor. 5. Da \(g(x)\to\infty\) für \(|x|\to\infty\) und keine weiteren stationären Stellen existieren, sind die beiden lokalen Minima zugleich globale Minima. 6. Für \(x=\pm1\) ist \(f(\pm1)=-0{,}5\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-1 \mid -0{,}5)\).

Die Punkte mit dem geringsten Abstand zum Ursprung sind \(P_1(1 \mid -0{,}5)\) und \(P_2(-1 \mid -0{,}5)\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn die Koordinaten eines Eckpunkts bekannt sind? - Überlege dir, wie du die Zielfunktion für den Umfang nur in Abhängigkeit von \(x\) ausdrücken kannst. - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den optimalen \(x\)-Wert zu finden. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt?

1. Aufstellen der Umfangsfunktion: Da das Rechteck achsenparallel ist und einen Eckpunkt im Ursprung hat, sind die Seitenlängen \(x\) und \(f(x)\). Der Umfang berechnet sich zu \(U(x) = 2 \cdot (x + f(x)) = 2 \cdot (x + x + \frac{8}{x}) = 4x + \frac{16}{x}\). 2. Bestimmung des Minimums: Die erste Ableitung ist \(U'(x) = 4 - \frac{16}{x^2}\). Nullsetzen ergibt \(4 = \frac{16}{x^2} \Rightarrow x^2 = 4\). Da \(x > 0\), ist \(x = 2\). Die zweite Ableitung \(U''(x) = \frac{32}{x^3}\) ist für \(x = 2\) positiv (\(U''(2) = 4 > 0\)), daher liegt ein lokales Minimum vor. 3. Seitenlängen: Die erste Seite ist \(x = 2\). Die zweite Seite ist \(f(2) = 2 + \frac{8}{2} = 6\). 4. Minimaler Umfang: \(U(2) = 4 \cdot 2 + \frac{16}{2} = 16\). 5. Untersuchung des Flächeninhalts: Die Zielfunktion für die Fläche ist \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x + \frac{8}{x}) = x^2 + 8\). Da \(\lim_{x \to \infty} A(x) = \infty\), existiert für \(x > 0\) kein globales Maximum für den Flächeninhalt.

a) Die Seitenlängen betragen \(2\) und \(6\). b) Der minimale Umfang beträgt \(16\). c) Der Flächeninhalt wird durch \(A(x) = x^2 + 8\) beschrieben. Da dieser Term für \(x \to \infty\) unendlich groß wird, gibt es keinen maximalen Flächeninhalt.

- Welche Maße hat ein Rechteck, dessen Ecken durch die Koordinatenachsen und einen Punkt auf einer Kurve festgelegt sind? - Stelle eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Wie findet man in der Analysis den höchsten Wert einer Funktion? - Denk an die Ableitungsregeln für Wurzelterme und Produkte.

1. Da der Radikand einer Wurzelfunktion nicht negativ sein darf, gilt \(27 - 3x \ge 0\), woraus \(3x \le 27\) und somit \(x \le 9\) folgt. Da die Fläche im ersten Quadranten liegt, ist der Definitionsbereich \(x \in [0; 9]\). 2. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen \(x\) und \(y = f(x)\): \(A(x) = x \cdot \sqrt{27 - 3x}\). 3. Die Ableitung der Zielfunktion erfolgt mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(x) = 1 \cdot \sqrt{27 - 3x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{27 - 3x}} \cdot (-3) = \frac{2(27 - 3x) - 3x}{2\sqrt{27 - 3x}} = \frac{54 - 9x}{2\sqrt{27 - 3x}}\). 4. Die Extremstelle wird durch \(A'(x) = 0\) bestimmt: \(54 - 9x = 0 \Rightarrow x = 6\). 5. Die zugehörige \(y\)-Koordinate ist \(f(6) = \sqrt{27 - 3 \cdot 6} = \sqrt{9} = 3\). Der gesuchte Punkt ist \(P(6|3)\). 6. Der maximale Flächeninhalt berechnet sich zu \(A(6) = 6 \cdot 3 = 18\). Da \(A(0) = 0\) und \(A(9) = 0\), liegt bei \(x = 6\) das absolute Maximum vor.

Der Punkt ist \(P(6|3)\) und der maximale Flächeninhalt beträgt \(18\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Welche mathematische Eigenschaft einer Funktion sorgt dafür, dass die Position ihrer Maxima und Minima bei einer Transformation unverändert bleibt? - Überlege, wie sich die Ableitung einer Funktion \(d(x)\) im Vergleich zu \((d(x))^2\) berechnet (Kettenregel). - Kann ein Abstand negativ sein?

1. Die Abstandsfunktion zwischen \(P(3{,}5 \mid 0)\) und \(Q(x \mid \sqrt{x})\) lautet \(d(x) = \sqrt{(x - 3{,}5)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2} = \sqrt{x^2 - 7x + 12{,}25 + x} = \sqrt{x^2 - 6x + 12{,}25}\). 2. Da die Wurzelfunktion für positive Argumente streng monoton wachsend ist, nimmt \(d(x)\) genau dort ein Minimum an, wo auch der Radikand (das Quadrat des Abstands) minimal wird. Das Quadrieren eliminiert die Wurzel, was die Ableitung und die Nullstellensuche erheblich vereinfacht. 3. Wir minimieren \(g(x) = x^2 - 6x + 12{,}25\). Die Ableitung ist \(g'(x) = 2x - 6\). Setzen wir \(g'(x) = 0\), ergibt sich \(x = 3\). Da \(g''(x) = 2 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 3\) ist \(f(3) = \sqrt{3}\). Der gesuchte Punkt ist \(Q(3 \mid \sqrt{3})\).

Der Punkt auf dem Graphen mit dem minimalen Abstand zu \(P\) ist \(Q(3 \mid \sqrt{3})\). Das Quadrieren der Zielfunktion ist zulässig, da die Quadrierfunktion \(y \mapsto y^2\) für \(y \geq 0\) streng monoton wachsend ist und somit die Lage der Extremstellen beibehält.

- Überlege dir zuerst, wie du den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest, wenn die Seitenlängen von \(x\) abhängen. - Vergiss nicht, dass bei Extremwertaufgaben in einem geschlossenen Intervall das Maximum nicht immer dort liegen muss, wo die Ableitung Null ist. - Vergleiche am Ende alle berechneten Flächeninhalte miteinander, auch die an den Grenzen des Definitionsbereichs.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(x) = x \cdot f(x) = x \cdot (x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x\). 2. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 3x^2 - 8x + 5\). 3. Bestimmung der stationären Punkte (\(A'(x) = 0\)): \(3x^2 - 8x + 5 = 0\) liefert mit der Mitternachtsformel \(x_1 = 1\) und \(x_2 = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). Beide Werte liegen im Intervall \([0; 3]\). 4. Prüfung der Funktionswerte an den stationären Stellen: \(A(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 2\) und \(A(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - 4 \cdot (\frac{5}{3})^2 + 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{27} - \frac{100}{9} + \frac{25}{3} = \frac{50}{27} \approx 1{,}85\). 5. Prüfung der Randwerte des Intervalls \([0; 3]\): \(A(0) = 0\) und \(A(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 27 - 36 + 15 = 6\). 6. Vergleich der Werte: Der größte Flächeninhalt ist \(A(3) = 6\). Das absolute Maximum liegt somit am Rand bei \(x = 3\).

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird für \(x = 3\) maximal. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(6\) Flächeneinheiten.

- Stelle eine Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auf, dessen Höhe durch den Funktionswert bestimmt wird. - Wie verhält sich die Fläche an den Intervallgrenzen? Setze diese Werte in deine Flächenformel ein. - Denke daran, dass du die Stelle suchst, an der die erste Ableitung Null wird, und prüfe dann, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des Dreiecks: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{1}{2}x \cdot (-x^2 + 3x + 9) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 + 4{,}5x\). 2. Erste Ableitung bilden: \(A'(x) = -1{,}5x^2 + 3x + 4{,}5\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(-1{,}5x^2 + 3x + 4{,}5 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Da \(x \in [0; 4{,}5]\), ist nur \(x = 3\) relevant. 4. Prüfung auf Maximum (z. B. über \(A''(x) = -3x + 3\)): \(A''(3) = -9 + 3 = -6 < 0\), also liegt bei \(x = 3\) ein lokales Maximum vor. 5. Wert des lokalen Maximums berechnen: \(A(3) = -0{,}5 \cdot 27 + 1{,}5 \cdot 9 + 4{,}5 \cdot 3 = -13{,}5 + 13{,}5 + 13{,}5 = 13{,}5\). 6. Randwertprüfung: \(A(0) = 0\) und \(A(4{,}5) = -0{,}5 \cdot 4{,}5^3 + 1{,}5 \cdot 4{,}5^2 + 4{,}5^2 = 5{,}0625\). 7. Ergebnis: Das absolute Maximum liegt im Inneren des Intervalls bei \(x = 3\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird an der Stelle \(x = 3\) maximal.

- Stelle die Flächeninhaltsfunktion in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung der Zielfunktion zu bestimmen. - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung der Flächenfunktion Null ist. - Prüfe, ob der gefundene Wert tatsächlich ein Maximum liefert und vergleiche ihn mit den Werten an den Intervallgrenzen.

1. Zielfunktion für den Flächeninhalt aufstellen: \(A(x) = x \cdot f(x) = \frac{18x}{x^2 + 9}\). 2. Ableitung bilden (Quotientenregel): \(A'(x) = \frac{18(x^2 + 9) - 18x(2x)}{(x^2 + 9)^2} = \frac{18x^2 + 162 - 36x^2}{(x^2 + 9)^2} = \frac{162 - 18x^2}{(x^2 + 9)^2}\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(162 - 18x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\) (da \(x \in [0; 6]\)). 4. Art des Extremums prüfen: Ein Vorzeichenwechsel von \(A'\) bei \(x = 3\) von Plus nach Minus (da der Zähler für \(x < 3\) positiv und für \(x > 3\) negativ ist) bestätigt ein lokales Maximum. 5. Randwerte prüfen: \(A(0) = 0\) und \(A(6) = \frac{108}{45} = 2{,}4\). Der Funktionswert an der Stelle \(x = 3\) ist \(A(3) = \frac{54}{18} = 3\). Das absolute Maximum liegt somit bei \(x = 3\). 6. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(f(3) = \frac{18}{3^2 + 9} = \frac{18}{18} = 1\). Der Punkt ist \(P(3 | 1)\).

\(P(3 | 1)\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang \(a^x = e^{x \cdot \ln(a)}\). - Nutze die Produktregel beim Ableiten der Flächenfunktion. - Das Integral einer Exponentialfunktion \(a^x\) ist proportional zu \(a^x\). Was passiert mit \(0{,}75^x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Für den prozentualen Anteil in c) kannst du das Verhältnis der Integrale bilden. Fällt dir dabei eine Vereinfachung auf?

1. Umrechnung der Basis: \(0{,}75 = e^{\ln(0{,}75)}\), daraus folgt \(h(x) = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75) \cdot x} \approx 5 \cdot e^{-0{,}2877x}\). 2. Zielfunktion für die Rechteckfläche: \(A(u) = u \cdot 5 \cdot e^{\ln(0{,}75)u}\). 3. Ableitung bilden: \(A'(u) = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75)u} + 5u \cdot \ln(0{,}75) \cdot e^{\ln(0{,}75)u} = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75)u} (1 + u \ln(0{,}75))\). 4. Nullstelle der Ableitung: \(1 + u \ln(0{,}75) = 0 \implies u = -\frac{1}{\ln(0{,}75)} \approx 3{,}48\). (Nachweis des Maximums analog zur ersten Aufgabe). 5. Berechnung der Gesamtfläche über das uneigentliche Integral: \(\int_0^\infty 5 \cdot 0{,}75^x \, dx = \left[ \frac{5}{\ln(0{,}75)} \cdot 0{,}75^x \right]_0^\infty = 0 - \frac{5}{\ln(0{,}75)} = -\frac{5}{\ln(0{,}75)} \approx 17{,}38\). 6. Berechnung der Teilfläche für \(x > 10\): \(\int_{10}^\infty 5 \cdot 0{,}75^x \, dx = \left[ \frac{5}{\ln(0{,}75)} \cdot 0{,}75^x \right]_{10}^\infty = 0 - \frac{5}{\ln(0{,}75)} \cdot 0{,}75^{10}\). 7. Verhältnisbildung: \(\frac{\text{Teilfläche}}{\text{Gesamtfläche}} = \frac{-(5/\ln(0{,}75)) \cdot 0{,}75^{10}}{-5/\ln(0{,}75)} = 0{,}75^{10} \approx 0{,}0563\).

a) \(h(x) = 5 \cdot e^{\ln(0{,}75) \cdot x}\) b) Das Maximum liegt bei \(u = -\frac{1}{\ln(0{,}75)} \approx 3{,}48\). c) Die Gesamtfläche beträgt \(-\frac{5}{\ln(0{,}75)} \approx 17{,}38\). Der Anteil für \(x > 10\) beträgt \(0{,}75^{10} \approx 5{,}63\,\%\).

- Stelle eine Funktion für das Quadrat des Abstands zwischen einem allgemeinen Punkt auf dem Graphen und dem Punkt \(M\) auf. - Überlege dir anhand der Symmetrie der Parabel, warum zwei Punkte als Lösung infrage kommen könnten. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob es sich um ein Minimum handelt? - Wie erhältst du aus dem Minimum der Abstandsquadrat-Funktion den tatsächlichen Abstand?

1. Aufstellen der Zielfunktion für das Quadrat des Abstands zwischen einem beliebigen Punkt \(Q(x|\frac{1}{2}x^2)\) und dem Punkt \(M(0|3)\): \(D(x) = (x - 0)^2 + (\frac{1}{2}x^2 - 3)^2 = x^2 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\). 2. Erste Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen berechnen: \(D'(x) = x^3 - 4x\). 3. Nullstellen von \(D'(x)\) bestimmen: \(x(x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Prüfung mit der zweiten Ableitung \(D''(x) = 3x^2 - 4\): \(D''(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum); \(D''(\pm 2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0\) (lokale Minima). 5. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten der Punkte auf dem Graphen: \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2\) und \(g(-2) = 2\). Die gesuchten Punkte sind \(Q_1(2|2)\) und \(Q_2(-2|2)\). 6. Berechnung des minimalen Abstands: \(d_{min} = \sqrt{D(2)} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 9} = \sqrt{4 - 8 + 9} = \sqrt{5}\).

Die Punkte mit dem geringsten Abstand sind \(Q_1(2|2)\) und \(Q_2(-2|2)\). Der minimale Abstand beträgt \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Eckpunkte durch Koordinaten gegeben sind? - Überlege dir, wie die Höhe des Dreiecks mit dem Funktionswert an der Stelle \(u\) zusammenhängt. - Erinnere dich an die Quotientenregel für das Ableiten von Brüchen. - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Maximum erfüllt sein? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der gefundene Wert im Definitionsbereich liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt \(A\) in Abhängigkeit von \(u\): Da das Dreieck rechtwinklig mit der Grundseite \(u\) und der Höhe \(f(u)\) ist, gilt \(A(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot \frac{10 \ln(u)}{u^2} = \frac{5 \ln(u)}{u}\). 2. Bildung der ersten Ableitung mittels Quotientenregel: \(A'(u) = \frac{5 \cdot \frac{1}{u} \cdot u - 5 \ln(u) \cdot 1}{u^2} = \frac{5 - 5 \ln(u)}{u^2}\). 3. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung): \(5 - 5 \ln(u) = 0 \Leftrightarrow \ln(u) = 1 \Leftrightarrow u = e\). 4. Überprüfung der Art des Extremums (hinreichende Bedingung): Ein Vorzeichenwechsel von \(A'(u)\) an der Stelle \(u = e\) von Plus nach Minus (da \(5 - 5 \ln(u) > 0\) für \(u < e\) und \(5 - 5 \ln(u) < 0\) für \(u > e\)) bestätigt das lokale Maximum. Da \(A(1) = 0\) und \(\lim_{u \to \infty} A(u) = 0\), liegt bei \(u = e\) das globale Maximum vor.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist für \(u = e\) am größten.

- Wie findet man Extrempunkte und Wendepunkte einer Funktion? - Was sagt die zweite Ableitung über die Krümmung des Graphen aus? - Stell dir die Sichtlinie als eine Gerade vor. Wann liegt eine Kurve unterhalb oder oberhalb einer Geraden? - Überlege, wie sich die Steigung des Profils vom Startpunkt aus entwickelt.

1. Ableitungen: \(g'(x) = 1 \cdot e^{-0{,}5x} + (x + 4) \cdot (-0{,}5) e^{-0{,}5x} = (1 - 0{,}5x - 2) e^{-0{,}5x} = (-0{,}5x - 1) e^{-0{,}5x}\). \(g''(x) = -0{,}5 e^{-0{,}5x} - 0{,}5(-0{,}5x - 1) e^{-0{,}5x} = (-0{,}5 + 0{,}25x + 0{,}5) e^{-0{,}5x} = 0{,}25x \cdot e^{-0{,}5x}\). 2. Gipfel: \(g'(x) = 0 \implies -0{,}5x - 1 = 0 \implies x = -2\). \(g(-2) = (-2 + 4) e^{1} = 2e \approx 5{,}44\). Gipfel bei \((-2 | 2e)\). 3. Steilstes Gefälle: Das Gefälle ist an den Wendepunkten oder den Rändern maximal. \(g''(x) = 0 \implies x = 0\). Steigung im Wendepunkt: \(g'(0) = -1 \cdot e^0 = -1\). Vergleich mit dem Rand \(x=6\): \(g'(6) = (-3 - 1) e^{-3} = -4 e^{-3} \approx -0{,}20\). Da \(g'(0) = -1\) die kleinste (stärkstes Gefälle) Steigung ist, liegt die steilste Stelle bei \(x = 0\). 4. Sichtbarkeit: Die Verbindungslinie von \(P(-4|0)\) zum Gipfel \(S(-2|2e)\) hat die Steigung \(m = \frac{2e - 0}{-2 - (-4)} = \frac{2e}{2} = e \approx 2{,}72\). Die Tangentensteigung im Punkt \(P(-4|0)\) ist \(g'(-4) = (-0{,}5(-4) - 1) e^{2} = (2 - 1) e^2 = e^2 \approx 7{,}39\). Da die Steigung des Geländes am Startpunkt (\(e^2\)) größer ist als die Steigung der Sichtlinie (\(e\)), verläuft das Gelände zunächst oberhalb der Sichtlinie. Die Person kann den Gipfel nicht sehen, da er durch den Hügel selbst verdeckt wird (der Graph ist in diesem Bereich rechtsgekrümmt).

a) Der Gipfel liegt bei \(x = -2\) mit den Koordinaten \((-2 | 5{,}44)\). b) Das steilste Gefälle befindet sich an der Stelle \(x = 0\). c) Nein, die Person kann den Gipfel nicht sehen. Da die Steigung des Geländes im Startpunkt (\(e^2 \approx 7{,}39\)) größer ist als die Steigung der direkten Verbindungslinie zum Gipfel (\(e \approx 2{,}72\)), wölbt sich der Hügel über die Sichtlinie.

- Überlege dir, wie weit die Eckpunkte auf der \(x\)-Achse voneinander entfernt sind. - Die Höhe des Rechtecks wird durch den Graphen der Funktion begrenzt. - Zur Bestimmung eines Extremwerts ist die erste Ableitung der Zielfunktion hilfreich. - Achte beim Ableiten besonders auf die Verknüpfung der Funktionen (Produkt- und Kettenregel). - Denke daran, dass \(u\) laut Aufgabenstellung positiv sein muss.

1. Seitenlängen bestimmen: Die Grundseite auf der \(x\)-Achse reicht von \(-u\) bis \(u\), hat also die Länge \(2u\). Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(u\), also \(g(u) = 5 \cdot e^{-0{,}5u^2}\). 2. Flächeninhalt aufstellen: \(A(u) = \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 2u \cdot 5 \cdot e^{-0{,}5u^2} = 10u \cdot e^{-0{,}5u^2}\). 3. Ableitung der Flächenfunktion mit der Produkt- und Kettenregel: \(A'(u) = 10 \cdot e^{-0{,}5u^2} + 10u \cdot e^{-0{,}5u^2} \cdot (-u) = 10 \cdot e^{-0{,}5u^2} \cdot (1 - u^2)\). 4. Notwendige Bedingung für Extremum: \(A'(u) = 0\). Da \(10 \cdot e^{-0{,}5u^2} > 0\) für alle \(u\), muss \(1 - u^2 = 0\) gelten. 5. Lösung für \(u > 0\): \(u^2 = 1 \Rightarrow u = 1\). 6. Art des Extremums prüfen: \(A'(u)\) hat bei \(u = 1\) einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus (da \(1-u^2\) für \(u<1\) positiv und für \(u>1\) negativ ist), folglich liegt ein lokales Maximum vor.

a) Seitenlängen: \(2u\) und \(5e^{-0{,}5u^2}\); Fläche: \(A(u) = 2u \cdot 5e^{-0{,}5u^2} = 10u e^{-0{,}5u^2}\). b) Der Flächeninhalt wird für \(u = 1\) maximal.

- Überlege dir, welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Ableitung besteht. - Bei der Suche nach dem globalen Maximum in einem geschlossenen Intervall musst du die lokalen Extrema mit den Werten an den Intervallgrenzen vergleichen. - "Am stärksten zunehmen" bezieht sich auf das Maximum der ersten Ableitung. - Um die stärkste Abnahme zu finden, musst du den kleinsten (negativsten) Wert der Änderungsrate bestimmen. Prüfe hierfür die Wendepunkte und die Randwerte der Ableitungsfunktion.

1. Die Leistung nimmt zu, wenn die erste Ableitung positiv ist: \(P'(t) = -1{,}5t^2 + 12t\). \(P'(t) > 0 \implies 1{,}5t(8 - t) > 0\). Dies ist für \(0 < t < 8\) der Fall. Die Leistung nimmt im Intervall \([0; 8]\) zu. 2. Mögliche Extrema bei \(P'(t) = 0\): \(t = 0\) und \(t = 8\). Prüfung der Funktionswerte: \(P(0) = 20\), \(P(8) = -0{,}5 \cdot 512 + 6 \cdot 64 + 20 = 148\). Randwertprüfung bei \(t = 10\): \(P(10) = -0{,}5 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 20 = 120\). Die maximale Leistung beträgt \(148\,\text{kW}\) bei \(t = 8\). 3. Maximale Zunahme am Wendepunkt von \(P\): \(P''(t) = -3t + 12 = 0 \implies t = 4\). Die Zunahme beträgt \(P'(4) = -1{,}5 \cdot 16 + 12 \cdot 4 = 24\,\text{kW}/\text{h}\). 4. Die stärkste Abnahme entspricht dem globalen Minimum der Ableitungsfunktion \(P'(t)\) im Intervall \([0; 10]\). Da die Parabel von \(P'\) nach unten geöffnet ist, liegt das Minimum an einem der Ränder des betrachteten Intervalls. \(P'(0) = 0\) und \(P'(10) = -1{,}5 \cdot 100 + 12 \cdot 10 = -30\). Die stärkste Abnahme findet somit am Ende des Zeitraums bei \(t = 10\) statt; die Änderungsrate beträgt dort \(-30\,\text{kW}/\text{h}\).

a) Die Leistung nimmt im Zeitraum von \(t = 0\) bis \(t = 8\) Stunden zu. b) Die maximale Leistung beträgt \(148\,\text{kW}\) nach \(8\,\text{Stunden}\). c) Die Leistung nimmt nach \(4\,\text{Stunden}\) am stärksten zu; die Zunahme beträgt \(24\,\text{kW}/\text{h}\). d) Die Leistung nimmt am Ende des Beobachtungszeitraums bei \(t = 10\,\text{Stunden}\) am stärksten ab; die Änderungsrate beträgt dort \(-30\,\text{kW}/\text{h}\).

- Stelle eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - Nutze die Ableitung, um nach Hochpunkten innerhalb des Intervalls zu suchen. - Es ist bei solchen Aufgaben sehr wichtig, die Werte an den Intervallgrenzen mit den lokalen Maxima zu vergleichen. - Kann es sein, dass ein Maximum mehrmals vorkommt?

1. Die Zielfunktion für den Flächeninhalt lautet \(A(x) = x \cdot ((x-2)^2 + 1) = x(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 4x^2 + 5x\). 2. Die erste Ableitung ist \(A'(x) = 3x^2 - 8x + 5\). 3. Nullstellen der Ableitung: \(3x^2 - 8x + 5 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). 4. Überprüfung der Art der Extrema: \(A''(x) = 6x - 8\). Da \(A''(1) = -2 < 0\), ist bei \(x=1\) ein lokales Maximum. Da \(A''(\frac{5}{3}) = 2 > 0\), ist bei \(x=\frac{5}{3}\) ein lokales Minimum. 5. Berechnung der Flächeninhalte: \(A(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 2\). 6. Randwertbetrachtung: \(A(0) = 0\) und \(A(2) = 2 \cdot ((2-2)^2 + 1) = 2 \cdot 1 = 2\). 7. Ergebnisvergleich: Sowohl an der lokalen Maximalstelle \(x = 1\) als auch am rechten Intervallrand \(x = 2\) beträgt der Flächeninhalt \(2\).

Der maximale Flächeninhalt von \(2\) Flächeneinheiten wird an zwei Stellen erreicht: bei \(x = 1\) und am Rand bei \(x = 2\).

- Setze die Funktionsterme der Geraden und der Kurve gleich, um die Schnittstellen zu finden. - Erinnere dich an die Abstandsformel zwischen zwei Punkten \(P_1(x_1|y_1)\) und \(P_2(x_2|y_2)\). - Wenn du eine Wurzel-Funktion minimieren möchtest, reicht es oft aus, den Ausdruck unter der Wurzel zu untersuchen. - Beachte bei der Lösung von Gleichungen wie \(m^2 = k\) die Definitionsmenge für die Steigung.

1. Schnittpunkte berechnen: Gleichsetzen von \(g(x) = mx\) und \(f(x) = \frac{9}{x}\) ergibt \(mx = \frac{9}{x} \Rightarrow x^2 = \frac{9}{m}\). Daraus folgen \(x_1 = \frac{3}{\sqrt{m}}\) und \(x_2 = -\frac{3}{\sqrt{m}}\). Die \(y\)-Koordinaten sind \(y_1 = m \cdot \frac{3}{\sqrt{m}} = 3\sqrt{m}\) und \(y_2 = -3\sqrt{m}\). Die Punkte sind \(P_1\left(\frac{3}{\sqrt{m}} \mid 3\sqrt{m}\right)\) und \(P_2\left(-\frac{3}{\sqrt{m}} \mid -3\sqrt{m}\right)\). 2. Minimum der Abstandsfunktion: Um \(d(m)\) zu minimieren, reicht es, den Radikanden \(h(m) = m + \frac{1}{m}\) zu minimieren. Die Ableitung ist \(h'(m) = 1 - \frac{1}{m^2}\). Nullsetzen ergibt \(m^2 = 1\), also \(m = 1\) (da \(m > 0\)). Wegen \(h''(m) = \frac{2}{m^3} > 0\) liegt ein Minimum vor. 3. Koordinaten und Abstand: Für \(m = 1\) ergeben sich die Punkte \(P_1(3 \mid 3)\) und \(P_2(-3 \mid -3)\). Der minimale Abstand ist \(d(1) = \sqrt{36 \cdot (1 + 1)} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

a) \(P_1\left(\frac{3}{\sqrt{m}} \mid 3\sqrt{m}\right)\) und \(P_2\left(-\frac{3}{\sqrt{m}} \mid -3\sqrt{m}\right)\). b) Die Steigung für den minimalen Abstand beträgt \(m = 1\). c) Die Punkte sind \(P_1(3 \mid 3)\) und \(P_2(-3 \mid -3)\). Der minimale Abstand beträgt \(6\sqrt{2} \approx 8{,}49\).

- Wie berechnet man den vertikalen Abstand zwischen zwei Punkten, die dieselbe \(x\)-Koordinate haben? - Stelle eine Funktion für die Länge der Strecke auf, indem du die Funktionsgleichungen voneinander abziehst. - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung dieser Abstandsfunktion null ist. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich an der gefundenen Stelle wirklich um einen kleinsten Wert handelt.

1. Die Länge der vertikalen Strecke \(\overline{PQ}\) entspricht der Differenz der Funktionswerte. Im Bereich \([-4; -1]\) gilt \(f(x) \ge g(x)\), daher lautet die Abstandsfunktion: \(d(a) = f(a) - g(a) = -\frac{1}{3}a^3 - 2a^2 - 3a + 3\). 2. Zur Bestimmung der Extrema wird die erste Ableitung gebildet: \(d'(a) = -a^2 - 4a - 3\). 3. Nullsetzen der Ableitung ergibt \(-a^2 - 4a - 3 = 0\), was zu den Lösungen \(a_1 = -1\) und \(a_2 = -3\) führt. 4. Die zweite Ableitung \(d''(a) = -2a - 4\) dient zur Klassifizierung: Für \(a = -3\) ist \(d''(-3) = 2 > 0\), was ein lokales Minimum bestätigt. Für \(a = -1\) ist \(d''(-1) = -2 < 0\), was ein lokales Maximum darstellt. 5. Der minimale Abstand an der Stelle \(a = -3\) beträgt \(d(-3) = -\frac{1}{3}(-27) - 2(9) - 3(-3) + 3 = 9 - 18 + 9 + 3 = 3\). 6. Ein Vergleich mit dem Randwert \(d(-4) \approx 4{,}33\) bestätigt, dass der kleinste Abstand im Intervall bei \(a = -3\) liegt.

Die Strecke wird für \(a = -3\) minimal. Der minimale Abstand beträgt \(3\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Die Höhe des Dreiecks entspricht genau dem Funktionswert an der Stelle \(x\). - Denke beim Ableiten an die Produktregel und die Kettenregel für die Exponentialfunktion. - Da das Intervall für \(x\) abgeschlossen ist, musst du sicherstellen, dass das gefundene Maximum nicht an den Rändern liegt.

1. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f(x) = \frac{1}{2}x(4 - x)e^{0{,}5x} = (2x - 0{,}5x^2)e^{0{,}5x}\). 2. Ableiten der Zielfunktion unter Verwendung der Produktregel: \(A'(x) = (2 - x) \cdot e^{0{,}5x} + (2x - 0{,}5x^2) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 3. Vereinfachen der Ableitung: \(A'(x) = (2 - x + x - 0{,}25x^2)e^{0{,}5x} = (2 - 0{,}25x^2)e^{0{,}5x}\). 4. Bestimmen der Extremstellen durch \(A'(x) = 0\): Da \(e^{0{,}5x} \neq 0\), muss \(2 - 0{,}25x^2 = 0\) gelten, woraus \(x^2 = 8\) folgt. 5. Da \(x\) im Intervall \([0; 4]\) liegen muss, ist die relevante Stelle \(x = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). 6. Randwertprüfung: \(A(0) = 0\), \(A(4) = 0\). Da \(A(\sqrt{8}) = (2\sqrt{8} - 0{,}5 \cdot 8)e^{0{,}5\sqrt{8}} \approx 6{,}82 > 0\), ist dies das absolute Maximum im Intervall.

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird für \(x = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) maximal.

- Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem. Welche Koordinaten haben die Eckpunkte des Rechtecks? - Drücke die Breite und die Höhe des Rechtecks durch die Koordinate \(x\) eines Punktes auf dem Graphen aus. - Stelle eine Funktion für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) auf. - In welchem Bereich muss \(x\) liegen, damit das Rechteck innerhalb der Fläche bleibt? - Nutze die Ableitung, um das Maximum der Flächenfunktion zu finden.

1. Wahl der Variablen: Ein Eckpunkt auf dem Graphen hat die Koordinaten \(P(x | 12 - x^2)\) mit \(x > 0\). Die Breite des Rechtecks ist \(b = 2x\), die Höhe ist \(h = f(x) = 12 - x^2\). 2. Aufstellen der Zielfunktion: \(A(x) = 2x \cdot (12 - x^2) = 24x - 2x^3\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs: Da \(x\) zwischen der \(y\)-Achse und der Nullstelle von \(f\) liegen muss, gilt \(0 < x < \sqrt{12}\). 4. Ableiten der Zielfunktion: \(A'(x) = 24 - 6x^2\). 5. Notwendige Bedingung für ein Extremum: \(24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) (da \(x > 0\)). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(A''(x) = -12x \Rightarrow A''(2) = -24 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 7. Berechnung der Maße: Breite \(b = 2 \cdot 2 = 4\), Höhe \(h = 12 - 2^2 = 8\).

Die Seitenlängen des flächengrößten Rechtecks betragen \(4\) und \(8\).