Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, wie sich der Preis und die Anzahl der Mitglieder ändern, wenn du den Beitrag um einen bestimmten Betrag erhöhst oder senkst. - Stelle eine Funktionsgleichung für den Gesamtumsatz auf, indem du den Preis pro Person mit der Anzahl der Personen multiplizierst. - Denk daran, dass der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel das Maximum angibt. - Prüfe am Ende, ob alle geforderten Werte (Preis, Mitgliederzahl und Umsatz) berechnet wurden.

1. Aufstellen der Preis- und Mengenfunktion in Abhängigkeit von der Beitragsänderung \(x\) (in \(€\)): Der Preis pro Mitglied ist \(p(x) = 45 + x\), die Anzahl der Mitglieder beträgt \(n(x) = 800 - 10x\). 2. Aufstellen der Umsatzfunktion: \(U(x) = p(x) \cdot n(x) = (45 + x) \cdot (800 - 10x) = -10x^2 + 350x + 36\,000\). 3. Bestimmung des Extremwerts durch die erste Ableitung: \(U'(x) = -20x + 350\). Setzt man \(U'(x) = 0\), ergibt sich \(x = 17{,}5\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: \(U''(x) = -20 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung der Zielwerte: Der optimale Beitrag liegt bei \(45 + 17{,}5 = 62{,}50\,\text{€}\). Die Mitgliederzahl beträgt \(800 - 10 \cdot 17{,}5 = 625\). Der maximale Umsatz beläuft sich auf \(62{,}50 \cdot 625 = 39\,062{,}50\,\text{€}\).

Der maximale Umsatz wird bei einem monatlichen Beitrag von \(62{,}50\,\text{€}\) erreicht. Das Studio hat dann \(625\) Mitglieder und erzielt einen Umsatz von \(39\,062{,}50\,\text{€}\).

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Unternehmen Verlust macht? - Kannst du die Nullstellen der Gewinnfunktion näherungsweise bestimmen oder berechnen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 500x\) ergibt sich \(G(x) = 500x - (x^3 - 30x^2 + 500x + 1000) = -x^3 + 30x^2 - 1000\). 2. Bestimmung des Gewinnmaximums: Ableitung bilden \(G'(x) = -3x^2 + 60x\). Nullstellen der Ableitung: \(-3x(x - 20) = 0\), daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). 3. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 60\). Da \(G''(20) = -120 + 60 = -60 < 0\), liegt bei \(x = 20\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(20) = -(20)^3 + 30 \cdot (20)^2 - 1000 = -8000 + 12\,000 - 1000 = 3000\,\text{€}\). 5. Bestimmung der Verlustbereiche: Lösen der Gleichung \(G(x) = 0\), also \(-x^3 + 30x^2 - 1000 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x \approx 6{,}53\) und \(x \approx 28{,}79\) (sowie eine negative Lösung). Im kontinuierlichen Modell liegt ein Verlust (\(G(x) < 0\)) für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\) vor. Da \(x\) eine Stückzahl ist, bedeutet dies für ganzzahlige Produktionsmengen: Verlust bei \(x = 0, 1, \ldots, 6\) und bei \(x \ge 29\). 6. Für \(x\geq0\) gilt \(G'(x)>0\) auf \(]0;20[\) und \(G'(x)<0\) für \(x>20\). Damit ist das Gewinnmaximum bei \(x=20\) global.

a) \(G(x) = -x^3 + 30x^2 - 1000\) b) Das Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(20\) Stück; der Gewinn beträgt dort \(3000\,\text{€}\). c) Im kontinuierlichen Modell entsteht ein Verlust für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\). Für ganzzahlige Stückzahlen gilt: Verlust bei \(0\) bis \(6\) Stück und ab \(29\) Stück.

- Überlege zuerst, wie man den Erlös aus dem Preis und der Menge berechnet. - Der Gewinn ist die Differenz zwischen dem, was man einnimmt, und dem, was die Herstellung kostet. - Um eine Stelle mit maximalem Wert zu finden, hilft die erste Ableitung der Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel). - Achte darauf, dass Produktionsmengen in der Realität nicht negativ sein können.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 40x\) ergibt sich \(G(x) = 40x - (x^3 - 6x^2 + 25x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\) und \(G''(x) = -6x + 12\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema: \(G'(x) = 0 \Rightarrow -3(x^2 - 4x - 5) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da die Produktionsmenge nicht negativ sein kann, ist nur \(x = 5\) relevant. 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(5) = -(5)^3 + 6 \cdot (5)^2 + 15 \cdot 5 - 50 = -125 + 150 + 75 - 50 = 50\). 6. Für \(x\geq0\) gilt \(G'(x)>0\) auf \([0;5[\) und \(G'(x)<0\) für \(x>5\). Daher ist das Gewinnmaximum bei \(x=5\) global.

a) \(G(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\) b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) erreicht. c) Der maximale Gewinn beträgt \(50\,\text{GE}\).

- Wenn eine Funktion ansteigt, was sagt das über das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung aus? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die Steigung null ist. - Untersuche die Bereiche zwischen diesen Stellen, um herauszufinden, wo die Funktion steigt oder fällt. - Ein Maximum liegt vor, wenn die Kurve von einer Steigung in ein Gefälle übergeht.

1. Bestimmung der ersten Ableitung zur Untersuchung der Monotonie: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(-3(x^2 - 6x + 5) = 0\). Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 3. Monotonieintervalle bestimmen: Da der Graph von \(G'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(G'(x) > 0\) für \(1 < x < 5\). In diesem Intervall ist die Gewinnfunktion streng monoton steigend. 4. Lokale Extrema klassifizieren: Die zweite Ableitung ist \(G''(x) = -6x + 18\). 5. Prüfung der Stellen: \(G''(1) = 12 > 0\) (lokales Minimum), \(G''(5) = -12 < 0\) (lokales Maximum). 6. Ergebnis: Der Gewinn steigt im Bereich \(1 < x < 5\) an. Das lokale Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) und hat den Wert \(G(5) = 5\).

a) Der Gewinn steigt im Intervall \((1; 5)\) bzw. für \(1 < x < 5\) an. b) Ein lokales Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) vor; der maximale Funktionswert beträgt \(G(5) = 5\).

- Wie hängt der Gesamterlös mathematisch mit der verkauften Menge und dem Preis zusammen? - Welches Werkzeug der Kurvendiskussion hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Funktion zu finden? - Wie kannst du sicherstellen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt? - Welche Werte musst du am Ende berechnen: die Menge, den Preis oder den Geldbetrag?

1. Der Erlös \(E(x)\) ist das Produkt aus Menge \(x\) und Preis \(p(x)\): \(E(x) = x \cdot (360 - 1{,}5x) = 360x - 1{,}5x^2\). 2. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet und gleich null gesetzt: \(E'(x) = 360 - 3x\). Aus \(360 - 3x = 0\) folgt \(x = 120\). Die zweite Ableitung \(E''(x) = -3\) ist negativ, somit liegt bei \(x = 120\) ein Maximum vor. 3. Der maximale Erlös beträgt \(E(120) = 360 \cdot 120 - 1{,}5 \cdot 120^2 = 43\,200 - 21\,600 = 21\,600\,\text{€}\). Der zugehörige Preis ergibt sich aus \(p(120) = 360 - 1{,}5 \cdot 120 = 180\,\text{€}\).

1. \(E(x) = 360x - 1{,}5x^2\) 2. Die optimale Absatzmenge liegt bei \(120\) Stück. 3. Der maximale Erlös beträgt \(21\,600\,\text{€}\) bei einem Stückpreis von \(180\,\text{€}\).

- Wie berechnest du den Durchschnittswert der Kosten, wenn du die Gesamtkosten kennst? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium für Extremstellen einer Funktion. - Kannst du die Gleichung durch Multiplikation mit \(x^2\) so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Denk daran, dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung auf ein Minimum zu prüfen.

1. Aufstellen der Stückkostenfunktion: \(k(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 12x + 60 + \frac{256}{x}\). 2. Ableiten der Stückkostenfunktion: \(k'(x) = 2x - 12 - \frac{256}{x^2}\). 3. Bestimmen der Nullstellen von \(k'(x)\): \(2x - 12 - \frac{256}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 12x^2 - 256 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 - 128 = 0\). Durch Probieren oder systematisches Lösen ergibt sich \(x = 8\) als einzige reelle Lösung. 4. Überprüfen der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(k''(x) = 2 + \frac{512}{x^3}\). Es gilt \(k''(8) = 2 + \frac{512}{512} = 3 > 0\), somit liegt bei \(x = 8\) ein lokales Minimum vor. 5. Berechnen des minimalen Stückkostenwerts: \(k(8) = 8^2 - 12 \cdot 8 + 60 + \frac{256}{8} = 64 - 96 + 60 + 32 = 60\). 6. Für alle \(x>0\) gilt \(k''(x)>0\). Zudem ist \(k(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\); das Minimum ist daher global.

Die Stückkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 8\,\text{ME}\) minimal. Die minimalen Stückkosten betragen \(60\,\text{€}\,\text{ME}^{-1}\).

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Was bedeutet es mathematisch für die Gewinnfunktion, wenn ein Unternehmen „mit Gewinn“ arbeitet? - Wie findest du die Stellen, an denen eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 52x - (x^3 - 15x^2 + 100x + 10) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(G(x)\): Durch den Hinweis \(x_1 = 5\) und Polynomdivision ergibt sich \((x-5)(-x^2 + 10x + 2) = 0\). Die weiteren Nullstellen liegen bei \(x = 5 \pm \sqrt{27}\), also \(x_2 \approx -0{,}20\) (ökonomisch nicht relevant) und \(x_3 \approx 10{,}20\). 3. Bestimmung der Gewinnzone: Da der Graph der Gewinnfunktion zwischen den positiven Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, liegt die Gewinnzone im Intervall \((5; 10{,}20)\). 4. Ermittlung des Gewinnmaximums: Die erste Ableitung \(G'(x) = -3x^2 + 30x - 48\) gleich Null setzen liefert \(x^2 - 10x + 16 = 0\), woraus die Extremstellen \(x = 2\) (Minimum) und \(x = 8\) (Maximum) folgen. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: Einsetzen von \(x = 8\) in \(G(x)\) ergibt \(G(8) = -8^3 + 15 \cdot 8^2 - 48 \cdot 8 - 10 = 54\). Das Gewinnmaximum liegt bei \(8\,\text{ME}\) mit einem Gewinn von \(54\,\text{GE}\). 6. Auf \(x\geq0\) fällt \(G\) zunächst bis \(x=2\), steigt bis \(x=8\) und fällt danach gegen \(-\infty\). Da \(G(8)>G(0)\), liegt bei \(x=8\) das globale Gewinnmaximum.

a) \(G(x) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\); Gewinnzone: \((5; 10{,}20)\) (in ME). b) Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 8\,\text{ME}\) und beträgt \(54\,\text{GE}\).

- Überlege zuerst, wie die Funktion der Grenzkosten aus der Gesamtkostenfunktion hervorgeht. - Das Minimum einer Funktion findest du dort, wo ihre Ableitung Null ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Erinnere dich daran, dass die Durchschnittskosten die Kosten pro produzierter Einheit angeben. - Um eine Gleichung dritten Grades wie in b) zu lösen, kannst du Werte testen oder ein Näherungsverfahren nutzen.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}003x^2 - 0{,}12x + 5\). 2. Minimum der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung bestimmen: \(K''(x) = 0{,}006x - 0{,}12 = 0 \Rightarrow x = 20\). Da \(K'''(x) = 0{,}006 > 0\), liegt ein Minimum vor. Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. 3. Durchschnittskostenfunktion aufstellen: \(V(x) = 0{,}001x^2 - 0{,}06x + 5 + \frac{100}{x}\). 4. Ableitung der Durchschnittskosten bilden: \(V'(x) = 0{,}002x - 0{,}06 - \frac{100}{x^2}\). 5. Minimum der Durchschnittskosten durch \(V'(x) = 0\) bestimmen: \(0{,}002x^3 - 0{,}06x^2 - 100 = 0\). Durch systematisches Probieren oder Lösen ergibt sich \(x = 50\). 6. Grenzkosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(K'(50) = 0{,}003 \cdot 50^2 - 0{,}12 \cdot 50 + 5 = 7{,}5 - 6 + 5 = 6{,}5\). 7. Durchschnittskosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(V(50) = 0{,}001 \cdot 50^2 - 0{,}06 \cdot 50 + 5 + \frac{100}{50} = 2{,}5 - 3 + 5 + 2 = 6{,}5\). Somit gilt \(K'(50) = V(50)\). 8. Für \(x>0\) gilt \(V''(x)=0{,}002+\frac{200}{x^3}>0\). Zusammen mit \(V(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\) folgt, dass das Minimum bei \(x=50\) global ist.

a) Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. b) Die Durchschnittskosten sind bei \(x = 50\,\text{ME}\) minimal (Betriebsoptimum). c) An der Stelle \(x = 50\) gilt \(K'(50) = V(50) = 6{,}5\,\text{GE}\,\text{ME}^{-1}\).

- Was versteht man unter Grenzkosten in der Mathematik? - Wie hängen die Grenzkosten mit der Steigung der Kostenkurve zusammen? - Der Gewinn ist der Teil des Erlöses, der nach Abzug aller Kosten übrig bleibt. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen einer Funktion.

1. Zur Bestimmung des Grenzkostenminimums wird die erste Ableitung der Kostenfunktion \(K'(x) = 0{,}03x^2 - 6x + 400\) gebildet. 2. Die Minimalstelle der Grenzkostenfunktion wird über die Bedingung \(K''(x) = 0\) gefunden: \(0{,}06x - 6 = 0 \Rightarrow x = 100\). Mit \(K'''(100) = 0{,}06 > 0\) liegt ein lokales Minimum bei \(x = 100\,\text{ME}\) vor. 3. Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = E(x) - K(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). 4. Zur Gewinnmaximierung wird \(G'(x) = -0{,}03x^2 + 6x + 63 = 0\) gesetzt. Die quadratische Gleichung \(x^2 - 200x - 2100 = 0\) führt zu den Lösungen \(x_1 = 210\) und \(x_2 = -10\). 5. Da nur \(x > 0\) ökonomisch sinnvoll ist und \(G''(210) = -0{,}06 \cdot 210 + 6 = -6{,}6 < 0\) gilt, liegt das Gewinnmaximum bei \(x = 210\,\text{ME}\). 6. Die Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel; ihr Scheitel bei \(x=100\) ist daher das globale Minimum. Für \(x\geq0\) gilt außerdem \(G'(x)>0\) bis \(x=210\) und \(G'(x)<0\) danach, sodass das Gewinnmaximum bei \(x=210\) global ist.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(100\,\text{ME}\) minimal. b) Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(210\,\text{ME}\) erreicht.

- Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn ein Minimum vorliegt? - Kannst du eine der Variablen als festen Parameter behandeln und nur nach der anderen ableiten? - Nutze die Symmetrie des Problems: Wenn \(x\) und \(y\) in der Formel die gleichen Rollen spielen, was könnte das für ihre optimalen Werte bedeuten? - Wie hängen Volumen, Grundseiten und Höhe bei einem Quader zusammen?

1. Die Funktion \(f_x(y) = 6xy + \frac{64}{x} + \frac{64}{y}\) wird nach \(y\) abgeleitet: \(f_x'(y) = 6x - \frac{64}{y^2}\). Die notwendige Bedingung \(f_x'(y) = 0\) liefert \(6x = \frac{64}{y^2}\) bzw. \(y^2 = \frac{64}{6x} = \frac{32}{3x}\). 2. Analog ergibt die Ableitung nach \(x\) die Bedingung \(f_y'(x) = 6y - \frac{64}{x^2} = 0\), woraus \(x^2 = \frac{32}{3y}\) folgt. 3. Durch Gleichsetzen oder Einsetzen (Symmetrie nutzen: \(x=y\)) ergibt sich \(x^2 = \frac{32}{3x}\), also \(x^3 = \frac{32}{3}\). Damit ist \(x = \sqrt[3]{\frac{32}{3}} \approx 2{,}20\,\text{dm}\). Aufgrund der Symmetrie gilt \(y = x \approx 2{,}20\,\text{dm}\). Die Höhe berechnet sich über das Volumen: \(h = \frac{V}{xy} = \frac{16}{(32/3)^{2/3}} \approx 3{,}30\,\text{dm}\). 4. Am kritischen Punkt \(x=y=\sqrt[3]{\frac{32}{3}}\) hat die Hesse-Matrix die Diagonaleinträge \(12\) und die Nebendiagonaleinträge \(6\); ihre führenden Hauptminoren sind \(12>0\) und \(108>0\). Sie ist daher positiv definit. Da \(K(x,y)\to\infty\) für \(x\to0^+\), \(y\to0^+\), \(x\to\infty\) oder \(y\to\infty\), liegt dort das globale Minimum.

Die optimalen Maße sind \(x \approx 2{,}20\,\text{dm}\), \(y \approx 2{,}20\,\text{dm}\) und \(h \approx 3{,}30\,\text{dm}\).

- Wie berechnet man den Erlös aus dem Preis und der Menge? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Gewinn, Erlös und Kosten? - An welcher Stelle der Gewinnkurve ist die Steigung gleich Null? - Wie kannst du sicherstellen, dass es sich um einen Hochpunkt und nicht um einen Tiefpunkt handelt?

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = x \cdot p(x) = x \cdot (-0{,}4x + 84) = -0{,}4x^2 + 84x\). 2. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = (-0{,}4x^2 + 84x) - (12x + 400) = -0{,}4x^2 + 72x - 400\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung: \(G'(x) = -0{,}8x + 72\). 4. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen: \(-0{,}8x + 72 = 0 \Rightarrow x = 90\). 5. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -0{,}8 < 0\), somit liegt bei \(x = 90\) ein lokales Maximum vor. 6. Berechnung des optimalen Preises: \(p(90) = -0{,}4 \cdot 90 + 84 = 48\). 7. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(90) = -0{,}4 \cdot 90^2 + 72 \cdot 90 - 400 = 2840\).

Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 90\,\text{ME}\) erreicht. Der zugehörige Preis beträgt \(48\,\text{GE/ME}\) und der maximale Gewinn beläuft sich auf \(2840\,\text{GE}\).

- Wie berechnet man den Erlös aus dem Preis und der Menge? - Überlege dir, wie der Gewinn mit dem Erlös und den Kosten zusammenhängt. - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion an einer Stelle einen Hochpunkt hat? - Denk daran, dass negative Produktionsmengen in der Realität nicht sinnvoll sind.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = p \cdot x = 125x\) 2. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 125x - (\frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 50x + 100) = -\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 + 75x - 100\) 3. Bestimmung der ersten Ableitung der Gewinnfunktion: \(G'(x) = -x^2 + 10x + 75\) 4. Setzen der ersten Ableitung gleich Null zur Bestimmung der Extremstellen: \(-x^2 + 10x + 75 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren ergibt sich \(x_1 = 15\) und \(x_2 = -5\). Da die Produktionsmenge positiv sein muss, ist \(x = 15\) der relevante Kandidat. 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -2x + 10\). Einsetzen von \(x = 15\) ergibt \(G''(15) = -20\). Da \(G''(15) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 15\) ein lokales Maximum vor. 6. Für \(x \ge 0\) gilt \(G'(x) > 0\) auf \([0;15[\) und \(G'(x) < 0\) für \(x > 15\). Daher ist \(x = 15\) nicht nur ein lokales, sondern das globale Maximum im ökonomisch relevanten Bereich.

Der Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(15\,\text{ME}\) maximal.

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion grafisch an? - Wenn du das Minimum einer Funktion (hier der Grenzkosten) suchst, welche Ableitung musst du dann gleich Null setzen? - Erinnere dich an die Definition des Wendepunkts einer Funktion. - Wie interpretierst du die Steigung der Kostenkurve im Hinblick auf den Kostenanstieg?

1. Bildung der Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}8x + 40\). 2. Bestimmung des Minimums von \(K'(x)\): Die notwendige Bedingung \(K''(x) = 0\) führt zu \(0{,}06x - 1{,}8 = 0\), woraus \(x = 30\,\text{ME}\) folgt. 3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(K'''(x) = 0{,}06 > 0\), somit liegt bei \(x = 30\) ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung der minimalen Grenzkosten: \(K'(30) = 0{,}03 \cdot 30^2 - 1{,}8 \cdot 30 + 40 = 27 - 54 + 40 = 13\,\text{GE/ME}\). 5. Ökonomischer und geometrischer Zusammenhang: Das Minimum der Grenzkosten entspricht dem Wendepunkt der Kostenfunktion \(K\). An dieser Stelle geht die Kostenkurve von einer Rechtskrümmung (degressiver Kostenverlauf) in eine Linkskrümmung (progressiver Kostenverlauf) über; hier steigen die Kosten am langsamsten an.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 30\,\text{ME}\) am geringsten. b) Die minimalen Grenzkosten betragen \(13\,\text{GE/ME}\). c) Das Minimum der Grenzkosten markiert die Stelle des geringsten Kostenanstiegs, was geometrisch dem Wendepunkt der Gesamtkostenfunktion \(K\) entspricht.

- Was versteht man unter Grenzkosten und wie hängen sie mit der Kostenfunktion zusammen? - Wie berechnet man die Durchschnittskosten pro Mengeneinheit? - Was ist die Bedingung für ein Minimum oder Maximum einer Funktion? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Erlös, Kosten und Gewinn? - Wie kannst du Nullstellen bei einer Funktion dritten Grades finden, wenn kein einfaches Ausklammern möglich ist?

1. Berechnung der Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 3x^2 - 18x + 30\). Um das Minimum der Grenzkosten zu finden, wird die zweite Ableitung \(K''(x) = 6x - 18\) gleich null gesetzt. Es ergibt sich \(x = 3\). Da \(K'''(3) = 6 > 0\), liegt bei \(x = 3\,\text{ME}\) ein Minimum vor. 2. Bestimmung des Betriebsoptimums: Die Durchschnittskostenfunktion ist \(\bar{K}(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 9x + 30 + \frac{25}{x}\). Die Ableitung \(\bar{K}'(x) = 2x - 9 - \frac{25}{x^2}\) wird gleich null gesetzt: \(2x^3 - 9x^2 - 25 = 0\). Durch Probieren findet man die Nullstelle \(x = 5\). Das Betriebsoptimum liegt bei \(x = 5\,\text{ME}\). 3. Maximierung des Gewinns: Die Gewinnfunktion ist \(G(x) = E(x) - K(x) = 51x - (x^3 - 9x^2 + 30x + 25) = -x^3 + 9x^2 + 21x - 25\). Die erste Ableitung \(G'(x) = -3x^2 + 18x + 21\) wird gleich null gesetzt: \(x^2 - 6x - 7 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 7\) und \(x_2 = -1\). Da nur positive Mengen sinnvoll sind, wird \(x = 7\) mit \(G''(x) = -6x + 18\) geprüft: \(G''(7) = -24 < 0\). Der maximale Gewinn wird bei \(x = 7\,\text{ME}\) erzielt.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(3\,\text{ME}\) minimal. b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(x = 5\,\text{ME}\). c) Die gewinnmaximale Produktionsmenge beträgt \(7\,\text{ME}\).

- Überlege dir zuerst, wie die Gewinnfunktion aus der Erlös- und der Kostenfunktion zusammengesetzt wird. - Welche Ableitung einer Funktion nutzt man, um Extremstellen zu finden? - Was bedeutet der Begriff „Grenzkosten“ mathematisch für die Kostenfunktion? - Achte bei der Gewinnberechnung darauf, den gefundenen \(x\)-Wert korrekt in die ursprüngliche Gewinnfunktion einzusetzen.

1. Minimale Grenzkosten: Die Grenzkostenfunktion ist \(K'(x) = x^2 - 20x + 150\). Das Minimum dieser Parabel liegt an ihrem Scheitelpunkt. Die Ableitung \(K''(x) = 2x - 20\) liefert bei \(K''(x) = 0\) den Wert \(x = 10\). Da \(K'''(10) = 2 > 0\), sind die Grenzkosten bei \(x = 10\,\text{ME}\) minimal. 2. Gewinnmaximum: Die Erlösfunktion ist \(E(x) = 450x\). Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = 450x - (\frac{1}{3}x^3 - 10x^2 + 150x + 1000) = -\frac{1}{3}x^3 + 10x^2 + 300x - 1000\). Die notwendige Bedingung für ein Maximum ist \(G'(x) = -x^2 + 20x + 300 = 0\). Die quadratische Gleichung liefert \(x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 1200}}{-2}\), woraus \(x_1 = 30\) und \(x_2 = -10\) folgen. Für \(x = 30\) gilt \(G''(30) = -2(30) + 20 = -40 < 0\), also liegt ein Maximum vor. 3. Maximaler Gewinn: Einsetzen von \(x = 30\) in die Gewinnfunktion: \(G(30) = -\frac{1}{3}(30)^3 + 10(30)^2 + 300(30) - 1000 = -9000 + 9000 + 9000 - 1000 = 8000\). Der maximale Gewinn beträgt \(8000\,\text{GE}\).

a) Die Grenzkosten sind bei \(x = 10\,\text{ME}\) am geringsten. b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(30\,\text{ME}\) erreicht. c) Der maximale Gewinn beträgt \(8000\,\text{GE}\).

- Wie berechnet man die Zeit, die man für eine bestimmte Strecke benötigt? - Die Gesamtkosten pro Stunde setzen sich aus den variablen Kosten und den Fixkosten zusammen. - Denk daran, dass die Gesamtkosten für die Fahrt die Kosten pro Stunde multipliziert mit der Gesamtfahrzeit sind. - Um die optimale Geschwindigkeit zu finden, bilde die Ableitung der Kostenfunktion. - Für den Nachweis der Tangente kannst du die allgemeine Tangentengleichung nutzen und prüfen, ob der Punkt \(P\) darauf liegt.

1. Kostenfunktion aufstellen: Die Fahrzeit beträgt \(t = \frac{s}{v} = \frac{400}{v}\). Die Gesamtkosten sind \(C(v) = t \cdot (K(v) + L) = \frac{400}{v} \cdot (0{,}01 v^2 + 15 + 85) = \frac{400}{v} \cdot (0{,}01 v^2 + 100)\). Vereinfacht: \(C(v) = 4 v + \frac{40000}{v}\). 2. Minimum bestimmen: Ableitung \(C'(v) = 4 - \frac{40000}{v^2}\). Nullsetzen ergibt \(4 = \frac{40000}{v^2} \Rightarrow v^2 = 10\,000 \Rightarrow v = 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Die zweite Ableitung \(C''(100) = \frac{80000}{100^3} > 0\) bestätigt das Minimum. 3. Tangente prüfen: Der Berührpunkt ist \(B(100 | K(100))\) mit \(K(100) = 0{,}01 \cdot 100^2 + 15 = 115\). Die Steigung ist \(K'(100) = 0{,}02 \cdot 100 = 2\). Die Tangentengleichung lautet \(y = 2(v - 100) + 115 = 2v - 200 + 115 = 2v - 85\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(-85\), was exakt \(-L\) entspricht.

a) \(C(v) = \frac{400}{v} \cdot (0{,}01 v^2 + 100) = 4v + \frac{40000}{v}\). b) Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(v = 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). c) Die Tangente an \(K(v)\) bei \(v=100\) ist \(y = 2v - 85\). Für \(v=0\) ist \(y = -85\), was dem Wert \(-L\) entspricht.

- Überlege dir zuerst, wie sich das Gesamtvolumen aus den Teilvolumina von Zylinder und Halbkugel zusammensetzt. - Drücke eine der Variablen (am besten die Höhe) durch die andere aus, indem du das Volumen als konstant betrachtest. - Achte beim Aufstellen der Kostenfunktion darauf, welche Flächen mit welchen Kostenfaktoren multipliziert werden müssen. - Erinnere dich an die Oberflächenformeln für Halbkugeln, Kreise und Zylindermäntel. - Wann ist eine Funktion minimal? Nutze die erste Ableitung.

1. Aufstellen der Volumenformel: \(V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3\). 2. Umstellen nach der Zylinderhöhe: \(h = \frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion \(K\) mit dem Kostenfaktor \(k\) für Mantel und Deckel und \(2k\) für den Boden: \(K(r, h) = k \cdot (2\pi r h + \pi r^2) + 2k \cdot (2\pi r^2) = k \cdot (2\pi r h + 5\pi r^2)\). Da \(k\) keinen Einfluss auf die Extremstelle hat, wird die Zielfunktion \(f(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r\right) + 5\pi r^2\) betrachtet. 4. Vereinfachen der Zielfunktion: \(f(r) = \frac{2V}{r} - \frac{4}{3}\pi r^2 + 5\pi r^2 = \frac{2V}{r} + \frac{11}{3}\pi r^2\). 5. Ableiten und Nullstelle finden: \(f'(r) = -\frac{2V}{r^2} + \frac{22}{3}\pi r = 0 \Rightarrow \frac{22}{3}\pi r^3 = 2V \Rightarrow V = \frac{11}{3}\pi r^3\). 6. Einsetzen von \(V\) in die Gleichung für \(h\): \(h = \frac{\frac{11}{3}\pi r^3}{\pi r^2} - \frac{2}{3}r = \frac{11}{3}r - \frac{2}{3}r = 3r\). 7. Überprüfung der zweiten Ableitung: \(f''(r) = \frac{4V}{r^3} + \frac{22}{3}\pi > 0\) für \(r > 0\), also liegt ein Minimum vor.

Die Materialkosten werden minimiert, wenn die Höhe \(h\) des zylindrischen Teils genau das Dreifache des Radius \(r\) beträgt (\(h = 3r\), also \(h{:}r=3{:}1\)).

- Überlege dir, was der \(y\)-Achsenabschnitt der Kostenfunktion im wirtschaftlichen Kontext bedeutet. - Der Gewinn ist der vertikale Abstand zwischen der Erlösgeraden und der Kostenkurve. Wo ist dieser Abstand am größten? - Um das Maximum einer Funktion zu finden, ist die erste Ableitung ein hilfreiches Werkzeug. - Achte beim Endergebnis auf die Umrechnung der Einheiten von GE in Euro.

1. Fixkosten aus dem Graphen ablesen: \(K(0) = 10\). Da eine GE \(100\,\text{€}\) entspricht, betragen die Fixkosten \(1000\,\text{€}\). 2. Bei \(8\,\text{ME}\) liest man aus dem Graphen ungefähr \(48\,\text{GE}\), also etwa \(4800\,\text{€}\), ab. Mit dem Funktionsterm erhält man genauer \(K(8) = 0{,}2 \cdot 8^3 - 2 \cdot 8^2 + 8 \cdot 8 + 10 = 48{,}4\), entsprechend \(4840\,\text{€}\). 3. Die Erlösfunktion \(E(x) = 8x\) ist eine Gerade durch den Ursprung und den Punkt \((10 \mid 80)\). 4. Die Schnittpunkte von \(E\) und \(K\) werden grafisch bestimmt: Die Gewinnschwelle liegt bei \(x \approx 2{,}6\,\text{ME}\), die Gewinngrenze bei \(x \approx 9{,}4\,\text{ME}\). 5. Gewinnfunktion aufstellen: \(G(x) = E(x) - K(x) = -0{,}2x^3 + 2x^2 - 10\). 6. Gewinnmaximum durch Ableitung bestimmen: \(G'(x) = -0{,}6x^2 + 4x = 0\). Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\). 7. Maximaler Gewinn: \(G\left(\frac{20}{3}\right) = \frac{530}{27} \approx 19{,}63\,\text{GE}\). 8. Umrechnung in Euro: \(\frac{530}{27} \cdot 100\,\text{€} \approx 1963\,\text{€}\).

a) Die Fixkosten betragen \(1000\,\text{€}\); die Kosten bei \(8\,\text{ME}\) liegen grafisch bei etwa \(4800\,\text{€}\) (rechnerisch \(4840\,\text{€}\)). b) Die Gewinnschwelle liegt bei ca. \(2{,}6\,\text{ME}\), die Gewinngrenze bei ca. \(9{,}4\,\text{ME}\). c) Der maximale Gewinn von ca. \(1963\,\text{€}\) wird bei einer Produktionsmenge von \(6{,}67\,\text{ME}\) erreicht.

- Erinnere dich daran, dass der Erlös das Produkt aus Menge und Preis ist. - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn ein Faktor eine Exponentialfunktion ist? - Wann kann ein Produkt aus einer Exponentialfunktion und einer Klammer den Wert Null annehmen? - Vergiss nicht, die Einheiten und die geforderte Rundung zu beachten.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = x \cdot p(x) = 300x \cdot e^{-0{,}005x}\). 2. Ableiten der Erlösfunktion unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(E'(x) = 300 \cdot e^{-0{,}005x} + 300x \cdot (-0{,}005) \cdot e^{-0{,}005x} = 300 \cdot e^{-0{,}005x} \cdot (1 - 0{,}005x)\). 3. Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen: Da \(e^{-0{,}005x} > 0\), muss \(1 - 0{,}005x = 0\) gelten, woraus \(x = 200\) folgt. 4. Überprüfung des Maximums: \(E''(x) = 300 \cdot e^{-0{,}005x} \cdot (-0{,}005) \cdot (1 - 0{,}005x) + 300 \cdot e^{-0{,}005x} \cdot (-0{,}005)\). An der Stelle \(x = 200\) ergibt sich \(E''(200) = -1{,}5 \cdot e^{-1} < 0\), also liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des Preises: \(p(200) = 300 \cdot e^{-1} \approx 110{,}36\,\text{GE/ME}\). 6. Berechnung des maximalen Erlöses: \(E(200) = 200 \cdot 110{,}3639... \approx 22\,072{,}77\,\text{GE}\).

Der Erlös ist bei einer Absatzmenge von \(x = 200\,\text{ME}\) maximal. Der maximale Erlös beträgt circa \(22\,072{,}77\,\text{GE}\) bei einem Preis von etwa \(110{,}36\,\text{GE/ME}\).

- Beachte, dass der Preis hier nicht konstant ist, sondern von der Menge \(x\) abhängt. - Wie verändert sich die Erlösfunktion, wenn der Preis eine Funktion von \(x\) ist? - Stelle zuerst die vollständige Gewinnfunktion auf, bevor du ableitest. - Vergiss nicht, am Ende auch den Funktionswert der Gewinnfunktion an der optimalen Stelle zu berechnen.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = x \cdot p(x) = x \cdot (300 - 10x) = 300x - 10x^2\) 2. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = (300x - 10x^2) - (x^3 - 15x^2 + 100x + 500) = -x^3 + 5x^2 + 200x - 500\) 3. Bestimmung der kritischen Punkte durch die erste Ableitung: \(G'(x) = -3x^2 + 10x + 200\). Nullsetzen führt zu \(3x^2 - 10x - 200 = 0\). Die Lösungen sind \(x = \frac{10 \pm 50}{6}\), also \(x_1 = 10\) und \(x_2 = -\frac{20}{3}\). Nur \(x = 10\) ist ökonomisch sinnvoll. 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 10\). Für \(x = 10\) gilt \(G''(10) = -60 + 10 = -50 < 0\), somit liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns durch Einsetzen in \(G(x)\): \(G(10) = -10^3 + 5 \cdot 10^2 + 200 \cdot 10 - 500 = -1000 + 500 + 2000 - 500 = 1000\).

Der Gewinn ist bei einer Produktionsmenge von \(10\) Stück maximal und beträgt \(1000{,}00\,\text{€}\).

- Wie bildest du die Durchschnittskosten, wenn du die Gesamtkosten kennst? - Um eine gebrochen-rationale Funktion abzuleiten, kannst du sie entweder umschreiben oder die Quotientenregel nutzen. - Wenn du die Nullstelle einer kubischen Gleichung suchst, probiere zunächst kleine ganzzahlige Werte aus. - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Kurven in einem Punkt schneiden?

1. Aufstellen der Durchschnittskostenfunktion: \(k(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 50x + 32}{x} = x^2 - 6x + 50 + \frac{32}{x}\). 2. Ableitung der Durchschnittskostenfunktion bilden: \(k'(x) = 2x - 6 - \frac{32}{x^2}\). 3. Notwendige Bedingung für ein Extremum \(k'(x) = 0\): \(2x - 6 - \frac{32}{x^2} = 0 \iff 2x^3 - 6x^2 - 32 = 0 \iff x^3 - 3x^2 - 16 = 0\). Durch systematisches Probieren oder ein Näherungsverfahren findet man die Nullstelle \(x_0 = 4\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(k''(x) = 2 + \frac{64}{x^3}\). Da \(k''(4) = 2 + \frac{64}{64} = 3 > 0\), liegt bei \(x_0 = 4\) ein Minimum vor. 5. Vergleich von Grenzkosten und Durchschnittskosten an der Stelle \(x_0 = 4\): Durchschnittskosten: \(k(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 50 + \frac{32}{4} = 16 - 24 + 50 + 8 = 50\). Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 3x^2 - 12x + 50\). Grenzkostenwert: \(K'(4) = 3 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 + 50 = 48 - 48 + 50 = 50\). Ergebnis: \(K'(4) = k(4) = 50\).

a) \(k(x) = x^2 - 6x + 50 + \frac{32}{x}\) b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(x_0 = 4\,\text{ME}\). c) An der Stelle \(x_0 = 4\) gilt \(K'(4) = 50\) und \(k(4) = 50\). Damit ist nachgewiesen, dass die Grenzkostenkurve die Durchschnittskostenkurve in ihrem Minimum schneidet.

- Welche geometrischen Formen bilden das Fenster und wie hängen ihre Maße zusammen? - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Berücksichtige bei der Kostenfunktion, dass verschiedene Abschnitte unterschiedliche Preise pro Meter haben. - Wie verhält sich die Kostenfunktion an den Rändern des Definitionsbereichs?

1. Aufstellen der Flächenformel (Nebenbedingung): Mit dem Radius \(r = \frac{b}{2}\) gilt \(A = bh + \frac{1}{2} \pi r^2 = 2rh + \frac{1}{2} \pi r^2 = 2{,}50\). 2. Umstellen nach \(h\): \(h = \frac{2{,}50 - 0{,}5 \pi r^2}{2r} = \frac{1{,}25}{r} - \frac{\pi}{4} r\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion (Zielfunktion): \(K = 12 \cdot (2h + 2r) + 18 \cdot (\pi r) = 24h + 24r + 18\pi r\). 4. Einsetzen von \(h\) in die Kostenfunktion: \(K(r) = 24 \left( \frac{1{,}25}{r} - \frac{\pi}{4} r \right) + 24r + 18\pi r = \frac{30}{r} - 6\pi r + 24r + 18\pi r = \frac{30}{r} + 24r + 12\pi r\). 5. Ableiten und Nullstelle bestimmen: \(K'(r) = -\frac{30}{r^2} + 24 + 12\pi = 0\). 6. Auflösen nach \(r\): \(r^2 = \frac{30}{24 + 12\pi} \approx 0{,}4862 \implies r \approx 0{,}6973\,\text{m}\). 7. Berechnung der Maße: Breite \(b = 2r \approx 1{,}39\,\text{m}\). Höhe \(h = \frac{1{,}25}{0{,}6973} - \frac{\pi \cdot 0{,}6973}{4} \approx 1{,}7926 - 0{,}5477 \approx 1{,}24\,\text{m}\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(K''(r) = \frac{60}{r^3} > 0\) für \(r > 0\), somit liegt ein Minimum vor.

Die Kosten für den Rahmen werden minimiert, wenn die Breite des rechteckigen Teils etwa \(1{,}39\,\text{m}\) und die Höhe etwa \(1{,}24\,\text{m}\) beträgt.

- Welche mathematischen Formeln beschreiben das Volumen und die verschiedenen Teilflächen eines Zylinders? - Wie kannst du die Information über das feste Volumen nutzen, um eine der Variablen in der Kostengleichung zu ersetzen? - Was musst du tun, um den tiefsten Punkt einer Funktion zu finden? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein Ergebnis wirklich ein Minimum beschreibt.

1. Aufstellen der Volumenformel als Nebenbedingung: \(V = \pi r^2h = 27\pi\). Daraus folgt die Höhe in Abhängigkeit vom Radius: \(h = \frac{27}{r^2}\). 2. Aufstellen der Kostenfunktion (Zielfunktion): Die Kosten setzen sich aus Boden, Deckel und Mantelfläche zusammen: \(K(r, h) = 2 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 1 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \cdot 2 = 2\pi r^2 + 4\pi r h\). 3. Substitution der Nebenbedingung in die Zielfunktion: \(K(r) = 2\pi r^2 + 4\pi r \cdot \frac{27}{r^2} = 2\pi r^2 + \frac{108\pi}{r}\). 4. Bestimmung der ersten Ableitung: \(K'(r) = 4\pi r - \frac{108\pi}{r^2}\). 5. Berechnung der Nullstelle der ersten Ableitung: \(4\pi r - \frac{108\pi}{r^2} = 0 \iff 4\pi r = \frac{108\pi}{r^2} \iff r^3 = 27 \iff r = 3\,\text{cm}\). 6. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(h = \frac{27}{3^2} = 3\,\text{cm}\). 7. Nachweis des Minimums mit der zweiten Ableitung: \(K''(r) = 4\pi + \frac{216\pi}{r^3}\). Einsetzen von \(r = 3\): \(K''(3) = 4\pi + \frac{216\pi}{27} = 4\pi + 8\pi = 12\pi\). Da \(12\pi > 0\), liegt ein lokales Minimum vor.

Die Materialkosten sind minimal für einen Radius von \(r = 3\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 3\,\text{cm}\).