Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, wie sich der Preis und die Anzahl der Mitglieder ändern, wenn du den Beitrag um einen bestimmten Betrag erhöhst oder senkst. - Stelle eine Funktionsgleichung für den Gesamtumsatz auf, indem du den Preis pro Person mit der Anzahl der Personen multiplizierst. - Denk daran, dass der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel das Maximum angibt. - Prüfe am Ende, ob alle geforderten Werte (Preis, Mitgliederzahl und Umsatz) berechnet wurden.

1. Aufstellen der Preis- und Mengenfunktion in Abhängigkeit von der Beitragsänderung \(x\) (in \(€\)): Der Preis pro Mitglied ist \(p(x) = 45 + x\), die Anzahl der Mitglieder beträgt \(n(x) = 800 - 10x\). 2. Aufstellen der Umsatzfunktion: \(U(x) = p(x) \cdot n(x) = (45 + x) \cdot (800 - 10x) = -10x^2 + 350x + 36\,000\). 3. Bestimmung des Extremwerts durch die erste Ableitung: \(U'(x) = -20x + 350\). Setzt man \(U'(x) = 0\), ergibt sich \(x = 17{,}5\). 4. Überprüfung der Art des Extremums: \(U''(x) = -20 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung der Zielwerte: Der optimale Beitrag liegt bei \(45 + 17{,}5 = 62{,}50\,\text{€}\). Die Mitgliederzahl beträgt \(800 - 10 \cdot 17{,}5 = 625\). Der maximale Umsatz beläuft sich auf \(62{,}50 \cdot 625 = 39\,062{,}50\,\text{€}\).

Der maximale Umsatz wird bei einem monatlichen Beitrag von \(62{,}50\,\text{€}\) erreicht. Das Studio hat dann \(625\) Mitglieder und erzielt einen Umsatz von \(39\,062{,}50\,\text{€}\).

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Unternehmen Verlust macht? - Kannst du die Nullstellen der Gewinnfunktion näherungsweise bestimmen oder berechnen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 500x\) ergibt sich \(G(x) = 500x - (x^3 - 30x^2 + 500x + 1\,000) = -x^3 + 30x^2 - 1\,000\). 2. Bestimmung des Gewinnmaximums: Ableitung bilden \(G'(x) = -3x^2 + 60x\). Nullstellen der Ableitung: \(-3x(x - 20) = 0\), daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). 3. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 60\). Da \(G''(20) = -120 + 60 = -60 < 0\), liegt bei \(x = 20\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(20) = -(20)^3 + 30 \cdot (20)^2 - 1\,000 = -8\,000 + 12\,000 - 1\,000 = 3\,000\,\text{€}\). 5. Bestimmung der Verlustbereiche: Lösen der Gleichung \(G(x) = 0\), also \(-x^3 + 30x^2 - 1\,000 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x \approx 6{,}53\) und \(x \approx 28{,}79\) (sowie eine negative Lösung). Im kontinuierlichen Modell liegt ein Verlust (\(G(x) < 0\)) für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\) vor. Da \(x\) eine Stückzahl ist, bedeutet dies für ganzzahlige Produktionsmengen: Verlust bei \(x = 0, 1, \ldots, 6\) und bei \(x \ge 29\).

a) \(G(x) = -x^3 + 30x^2 - 1\,000\) b) Das Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(20\) Stück; der Gewinn beträgt dort \(3\,000\,\text{€}\). c) Im kontinuierlichen Modell entsteht ein Verlust für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\). Für ganzzahlige Stückzahlen gilt: Verlust bei \(0\) bis \(6\) Stück und ab \(29\) Stück.

- Überlege zuerst, wie man den Erlös aus dem Preis und der Menge berechnet. - Der Gewinn ist die Differenz zwischen dem, was man einnimmt, und dem, was die Herstellung kostet. - Um eine Stelle mit maximalem Wert zu finden, hilft die erste Ableitung der Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel). - Achte darauf, dass Produktionsmengen in der Realität nicht negativ sein können.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 40 \cdot x\) ergibt sich \(G(x) = 40x - (x^3 - 6x^2 + 25x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\) und \(G''(x) = -6x + 12\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema: \(G'(x) = 0 \Rightarrow -3(x^2 - 4x - 5) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da die Produktionsmenge nicht negativ sein kann, ist nur \(x = 5\) relevant. 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(5) = -(5)^3 + 6 \cdot (5)^2 + 15 \cdot 5 - 50 = -125 + 150 + 75 - 50 = 50\).

a) \(G(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\) b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) erreicht. c) Der maximale Gewinn beträgt \(50\,\text{GE}\).

- Wenn eine Funktion ansteigt, was sagt das über das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung aus? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die Steigung null ist. - Untersuche die Bereiche zwischen diesen Stellen, um herauszufinden, wo die Funktion steigt oder fällt. - Ein Maximum liegt vor, wenn die Kurve von einer Steigung in ein Gefälle übergeht.

1. Bestimmung der ersten Ableitung zur Untersuchung der Monotonie: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(-3(x^2 - 6x + 5) = 0\). Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 3. Monotonieintervalle bestimmen: Da der Graph von \(G'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(G'(x) > 0\) für \(1 < x < 5\). In diesem Intervall ist die Gewinnfunktion streng monoton steigend. 4. Lokale Extrema klassifizieren: Die zweite Ableitung ist \(G''(x) = -6x + 18\). 5. Prüfung der Stellen: \(G''(1) = 12 > 0\) (lokales Minimum), \(G''(5) = -12 < 0\) (lokales Maximum). 6. Ergebnis: Der Gewinn steigt im Bereich \(1 < x < 5\) an. Das lokale Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) und hat den Wert \(G(5) = 5\).

a) Der Gewinn steigt im Intervall \((1; 5)\) bzw. für \(1 < x < 5\) an. b) Ein lokales Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) vor; der maximale Funktionswert beträgt \(G(5) = 5\).

- Wie hängt der Gesamterlös mathematisch mit der verkauften Menge und dem Preis zusammen? - Welches Werkzeug der Kurvendiskussion hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Funktion zu finden? - Wie kannst du sicherstellen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt? - Welche Werte musst du am Ende berechnen: die Menge, den Preis oder den Geldbetrag?

1. Der Erlös \(E(x)\) ist das Produkt aus Menge \(x\) und Preis \(p(x)\): \(E(x) = x \cdot (360 - 1{,}5x) = 360x - 1{,}5x^2\). 2. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet und gleich null gesetzt: \(E'(x) = 360 - 3x\). Aus \(360 - 3x = 0\) folgt \(x = 120\). Die zweite Ableitung \(E''(x) = -3\) ist negativ, somit liegt bei \(x = 120\) ein Maximum vor. 3. Der maximale Erlös beträgt \(E(120) = 360 \cdot 120 - 1{,}5 \cdot 120^2 = 43\,200 - 21\,600 = 21\,600\,\text{€}\). Der zugehörige Preis ergibt sich aus \(p(120) = 360 - 1{,}5 \cdot 120 = 180\,\text{€}\).

1. \(E(x) = 360x - 1{,}5x^2\) 2. Die optimale Absatzmenge liegt bei \(120\) Stück. 3. Der maximale Erlös beträgt \(21\,600\,\text{€}\) bei einem Stückpreis von \(180\,\text{€}\).

- In dieser Aufgabe ist der Preis die Variable, von der alles abhängt. - Wie stellst du die Formel für den Umsatz auf, wenn du den Preis \(p\) und die Besucheranzahl \(x(p)\) kennst? - Suche die Stelle, an der die Steigung der Umsatzfunktion null ist. - Denk daran, am Ende sowohl den Preis als auch die Menge und den Gesamtwert anzugeben.

1. Die Umsatzfunktion \(U(p)\) ergibt sich aus Preis mal Besucheranzahl: \(U(p) = p \cdot x(p) = p \cdot (600 - 25p) = 600p - 25p^2\). 2. Um das Maximum zu finden, wird die Ableitung nach \(p\) gebildet: \(U'(p) = 600 - 50p\). 3. Nullsetzen der Ableitung: \(600 - 50p = 0 \Rightarrow 50p = 600 \Rightarrow p = 12\). Da \(U''(p) = -50 < 0\), liegt ein Maximum vor. 4. Die Besucherzahl bei \(p = 12\) ist \(x(12) = 600 - 25 \cdot 12 = 600 - 300 = 300\). 5. Der maximale Umsatz beträgt \(U(12) = 12 \cdot 300 = 3\,600\,\text{€}\).

Der optimale Ticketpreis beträgt \(12\,\text{€}\). Bei diesem Preis werden \(300\) Besucher erwartet, was zu einem maximalen Umsatz von \(3\,600\,\text{€}\) führt.

- Wie berechnest du den Durchschnittswert der Kosten, wenn du die Gesamtkosten kennst? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium für Extremstellen einer Funktion. - Kannst du die Gleichung durch Multiplikation mit \(x^2\) so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Denk daran, dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung auf ein Minimum zu prüfen.

1. Aufstellen der Stückkostenfunktion: \(k(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 12x + 60 + \frac{256}{x}\). 2. Ableiten der Stückkostenfunktion: \(k'(x) = 2x - 12 - \frac{256}{x^2}\). 3. Bestimmen der Nullstellen von \(k'(x)\): \(2x - 12 - \frac{256}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 12x^2 - 256 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 - 128 = 0\). Durch Probieren oder systematisches Lösen ergibt sich \(x = 8\) als einzige reelle Lösung. 4. Überprüfen der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(k''(x) = 2 + \frac{512}{x^3}\). Es gilt \(k''(8) = 2 + \frac{512}{512} = 3 > 0\), somit liegt bei \(x = 8\) ein lokales Minimum vor. 5. Berechnen des minimalen Stückkostenwerts: \(k(8) = 8^2 - 12 \cdot 8 + 60 + \frac{256}{8} = 64 - 96 + 60 + 32 = 60\).

Die Stückkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 8\,\text{ME}\) minimal. Die minimalen Stückkosten betragen \(60\,\text{€}\,\text{ME}^{-1}\).

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Was bedeutet es mathematisch für die Gewinnfunktion, wenn ein Unternehmen „mit Gewinn“ arbeitet? - Wie findest du die Stellen, an denen eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 52x - (x^3 - 15x^2 + 100x + 10) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(G(x)\): Durch den Hinweis \(x_1 = 5\) und Polynomdivision ergibt sich \((x-5)(-x^2 + 10x + 2) = 0\). Die weiteren Nullstellen liegen bei \(x = 5 \pm \sqrt{27}\), also \(x_2 \approx -0{,}20\) (ökonomisch nicht relevant) und \(x_3 \approx 10{,}20\). 3. Bestimmung der Gewinnzone: Da der Graph der Gewinnfunktion zwischen den positiven Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, liegt die Gewinnzone im Intervall \((5; 10{,}20)\). 4. Ermittlung des Gewinnmaximums: Die erste Ableitung \(G'(x) = -3x^2 + 30x - 48\) gleich Null setzen liefert \(x^2 - 10x + 16 = 0\), woraus die Extremstellen \(x = 2\) (Minimum) und \(x = 8\) (Maximum) folgen. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: Einsetzen von \(x = 8\) in \(G(x)\) ergibt \(G(8) = -8^3 + 15 \cdot 8^2 - 48 \cdot 8 - 10 = 54\). Das Gewinnmaximum liegt bei \(8\,\text{ME}\) mit einem Gewinn von \(54\,\text{GE}\).

a) \(G(x) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\); Gewinnzone: \((5; 10{,}20)\) (in ME). b) Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 8\,\text{ME}\) und beträgt \(54\,\text{GE}\).

- Überlege zuerst, wie die Funktion der Grenzkosten aus der Gesamtkostenfunktion hervorgeht. - Das Minimum einer Funktion findest du dort, wo ihre Ableitung Null ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Erinnere dich daran, dass die Durchschnittskosten die Kosten pro produzierter Einheit angeben. - Um eine Gleichung dritten Grades wie in b) zu lösen, kannst du Werte testen oder ein Näherungsverfahren nutzen.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}003x^2 - 0{,}12x + 5\). 2. Minimum der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung bestimmen: \(K''(x) = 0{,}006x - 0{,}12 = 0 \Rightarrow x = 20\). Da \(K'''(x) = 0{,}006 > 0\), liegt ein Minimum vor. Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. 3. Durchschnittskostenfunktion aufstellen: \(V(x) = 0{,}001x^2 - 0{,}06x + 5 + \frac{100}{x}\). 4. Ableitung der Durchschnittskosten bilden: \(V'(x) = 0{,}002x - 0{,}06 - \frac{100}{x^2}\). 5. Minimum der Durchschnittskosten durch \(V'(x) = 0\) bestimmen: \(0{,}002x^3 - 0{,}06x^2 - 100 = 0\). Durch systematisches Probieren oder Lösen ergibt sich \(x = 50\). 6. Grenzkosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(K'(50) = 0{,}003 \cdot 50^2 - 0{,}12 \cdot 50 + 5 = 7{,}5 - 6 + 5 = 6{,}5\). 7. Durchschnittskosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(V(50) = 0{,}001 \cdot 50^2 - 0{,}06 \cdot 50 + 5 + \frac{100}{50} = 2{,}5 - 3 + 5 + 2 = 6{,}5\). Somit gilt \(K'(50) = V(50)\).

a) Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. b) Die Durchschnittskosten sind bei \(x = 50\,\text{ME}\) minimal (Betriebsoptimum). c) An der Stelle \(x = 50\) gilt \(K'(50) = V(50) = 6{,}5\,\text{GE}\,\text{ME}^{-1}\).

- Was versteht man unter Grenzkosten in der Mathematik? - Wie hängen die Grenzkosten mit der Steigung der Kostenkurve zusammen? - Der Gewinn ist der Teil des Erlöses, der nach Abzug aller Kosten übrig bleibt. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen einer Funktion.

1. Zur Bestimmung des Grenzkostenminimums wird die erste Ableitung der Kostenfunktion \(K'(x) = 0{,}03x^2 - 6x + 400\) gebildet. 2. Die Minimalstelle der Grenzkostenfunktion wird über die Bedingung \(K''(x) = 0\) gefunden: \(0{,}06x - 6 = 0 \Rightarrow x = 100\). Mit \(K'''(100) = 0{,}06 > 0\) liegt ein lokales Minimum bei \(x = 100\,\text{ME}\) vor. 3. Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = E(x) - K(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). 4. Zur Gewinnmaximierung wird \(G'(x) = -0{,}03x^2 + 6x + 63 = 0\) gesetzt. Die quadratische Gleichung \(x^2 - 200x - 2100 = 0\) führt zu den Lösungen \(x_1 = 210\) und \(x_2 = -10\). 5. Da nur \(x > 0\) ökonomisch sinnvoll ist und \(G''(210) = -0{,}06 \cdot 210 + 6 = -6{,}6 < 0\) gilt, liegt das Gewinnmaximum bei \(x = 210\,\text{ME}\).

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(100\,\text{ME}\) minimal. b) Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(210\,\text{ME}\) erreicht.

- Kannst du die Anzahl der Teilnehmer als eine lineare Funktion des Preises beschreiben? - Wie berechnet man den Gesamterlös aus dem Preis pro Person und der Anzahl der Personen? - Achte darauf, dass die Anzahl der Teilnehmer nicht größer als die verfügbaren Plätze im Bus sein darf. - Welche mathematische Bedingung muss für ein Maximum der Erlösfunktion erfüllt sein?

1. Aufstellen der linearen Nachfragefunktion \(n(p)\): Mit der Steigung \(m = \frac{\Delta n}{\Delta p} = \frac{2}{-10} = -0{,}2\) und dem Punkt \((400|30)\) ergibt sich \(n(p) = -0{,}2 \cdot (p - 400) + 30 = -0{,}2p + 110\). 2. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(p) = p \cdot n(p) = p \cdot (-0{,}2p + 110) = -0{,}2p^2 + 110p\). 3. Bestimmung des Maximums: Die erste Ableitung \(E'(p) = -0{,}4p + 110\) wird null gesetzt: \(-0{,}4p + 110 = 0 \Rightarrow p = 275\). 4. Überprüfung der Kapazität: Bei einem Preis von \(275\,\text{€}\) beträgt die Teilnehmerzahl \(n(275) = -0{,}2 \cdot 275 + 110 = 55\). Da \(55 \le 60\), wird die Kapazitätsgrenze nicht überschritten. 5. Bestätigung des Maximums: Da \(E(p)\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, stellt der Scheitelpunkt bei \(p = 275\) das globale Maximum dar.

Die Erlösfunktion lautet \(E(p) = -0{,}2p^2 + 110p\). Der maximale Erlös wird bei einem Reisepreis von \(275{,}00\,\text{€}\) erzielt. Die Teilnehmerzahl liegt dann bei \(55\) Personen, womit die Kapazität von \(60\) Plätzen eingehalten wird.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Preis, Menge und Erlös. - Wie gehst du vor, um die Nullstellen einer quadratischen Gleichung zu finden? - Achte darauf, dass nur positive Produktionsmengen ökonomisch sinnvoll sind. - Die Grenzen der Gewinnzone sind die Punkte, an denen der Gewinn genau Null ist.

1. Gewinnfunktion: \(G(x) = 100x - (0{,}01x^3 - 1{,}35x^2 + 70x + 1\,200) = -0{,}01x^3 + 1{,}35x^2 + 30x - 1\,200\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen: \(G'(x) = -0{,}03x^2 + 2{,}7x + 30 = 0\). Division durch \(-0{,}03\) ergibt \(x^2 - 90x - 1\,000 = 0\). 3. Nullstellen von \(G'(x)\): Die Anwendung der p-q-Formel liefert \(x = 45 \pm \sqrt{2\,025 + 1\,000} = 45 \pm 55\). Damit sind \(x_1 = -10\) (ökonomisch nicht sinnvoll) und \(x_2 = 100\). 4. Hinreichende Bedingung: \(G''(x) = -0{,}06x + 2{,}7\). Da \(G''(100) = -6 + 2{,}7 = -3{,}3 < 0\), liegt bei \(x = 100\) ein Maximum vor. 5. Maximaler Gewinn: \(G(100) = -10\,000 + 13\,500 + 3\,000 - 1\,200 = 5\,300\,\text{€}\). 6. Gewinnzone: Suche nach den Nullstellen von \(G(x) = -0{,}01x^3 + 1{,}35x^2 + 30x - 1\,200\). Durch numerische Verfahren oder Probieren finden sich die relevanten Nullstellen bei \(x \approx 21{,}91\) (Gewinnschwelle) und \(x \approx 149{,}69\) (Gewinngrenze). Die Gewinnzone liegt somit im Intervall \((21{,}91; 149{,}69)\).

a) \(G(x) = -0{,}01x^3 + 1{,}35x^2 + 30x - 1\,200\) b) Der maximale Gewinn von \(5\,300\,\text{€}\) wird bei einer Menge von \(100\,\text{ME}\) erreicht. c) Die Gewinnzone liegt zwischen ca. \(21{,}91\,\text{ME}\) und \(149{,}69\,\text{ME}\).

- Überlege zuerst, wie sich der Gesamterlös aus dem Preis und der verkauften Menge zusammensetzt. - Die Gewinnschwelle und Gewinngrenze sind die Grenzen der Gewinnzone – was gilt dort für den Gewinn? - Nutze die Ableitungsregeln, um die notwendige Bedingung für ein Maximum zu prüfen. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum oder ein Minimum handelt.

1. Aufstellen der Funktionen: \(E(x) = 70x\) und \(G(x) = E(x) - K(x) = -0{,}5x^3 + 9x^2 - 30x - 80\). 2. Berechnung von Gewinnschwelle und -grenze: \(G(x) = 0\). Mit \(x_1 = 8\) und Polynomdivision folgt \((x-8)(-0{,}5x^2 + 5x + 10) = 0\). Die Mitternachtsformel für den quadratischen Term liefert \(x = 5 \pm \sqrt{45}\). Die relevanten Nullstellen sind \(x_1 = 8\) (Gewinnschwelle) und \(x_3 \approx 11{,}71\) (Gewinngrenze). 3. Bestimmung des Extremums: \(G'(x) = -1{,}5x^2 + 18x - 30 = 0\). Division durch \(-1{,}5\) ergibt \(x^2 - 12x + 20 = 0\), woraus \(x = 2\) und \(x = 10\) folgen. 4. Überprüfung der Art des Extremums: \(G''(x) = -3x + 18\). Da \(G''(10) = -12 < 0\), liegt bei \(x = 10\) ein Maximum vor. 5. Berechnung des Funktionswerts: \(G(10) = -0{,}5 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 - 30 \cdot 10 - 80 = 20\). Das Maximum liegt bei \(10\,\text{ME}\) mit einem Gewinn von \(20\,\text{GE}\).

a) \(E(x) = 70x\); \(G(x) = -0{,}5x^3 + 9x^2 - 30x - 80\); Gewinnschwelle: \(8\,\text{ME}\); Gewinngrenze: \(\approx 11{,}71\,\text{ME}\). b) Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 10\,\text{ME}\). Der maximale Gewinn beträgt \(20\,\text{GE}\).

- Wie hängen Grenzkosten und die Ableitung der Kostenfunktion zusammen? - Für die näherungsweise Bestimmung in b) kannst du eine Wertetabelle nutzen oder gezielt Werte einsetzen, um das Vorzeichen der Ableitung zu prüfen. - Überlege dir für c), wann eine Gerade durch den Ursprung, die einen Funktionsgraphen schneidet, die geringste Steigung hat.

1. Die Grenzkostenfunktion ist \(K'(x)=0{,}006x^2-0{,}2x+8\). Ihr Minimum liegt an der Nullstelle von \(K''(x)=0{,}012x-0{,}2\), also bei \(x=\frac{0{,}2}{0{,}012}\approx16{,}67\,\text{ME}\). 2. Die Durchschnittskostenfunktion lautet \(V(x)=\frac{K(x)}{x}=0{,}002x^2-0{,}1x+8+\frac{500}{x}\). Damit ist \(V'(x)=0{,}004x-0{,}1-\frac{500}{x^2}\). 3. Die Gleichung \(V'(x)=0\) besitzt für \(x>0\) näherungsweise die Lösung \(x\approx59{,}87\). Es gilt \(V''(x)=0{,}004+\frac{1\,000}{x^3}>0\) für \(x>0\). Zudem strebt \(V(x)\) sowohl für \(x\to0^+\) als auch für \(x\to\infty\) gegen unendlich. Daher liegt bei \(x\approx59{,}87\) das globale Minimum der Durchschnittskosten. 4. Die Durchschnittskosten sind die Steigung der Ursprungsgeraden durch \((x \mid K(x))\). Diese Steigung ist minimal, wenn die Ursprungsgerade den Graphen von \(K\) berührt. Im Berührpunkt stimmt ihre Steigung mit der Tangentensteigung \(K'(x)\) überein. Daher sind dort Durchschnittskosten und Grenzkosten gleich.

a) Die Grenzkosten sind bei \(x\approx16{,}67\,\text{ME}\) minimal. b) Die Durchschnittskosten sind bei \(x\approx59{,}87\,\text{ME}\), gerundet also bei \(60\,\text{ME}\), minimal. c) Im Berührpunkt stimmen die Steigung der Ursprungsgeraden (Durchschnittskosten) und die Tangentensteigung (Grenzkosten) überein.

- Wie berechnet man die Durchschnittskosten für eine gegebene Menge? - An welcher Stelle schneiden sich die Grenzkostenkurve und die Durchschnittskostenkurve? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung einer Funktion an einer Extremstelle gelten? - Überlege dir, ob alle mathematisch möglichen Lösungen im Sachzusammenhang sinnvoll sind.

1. Berechnung der Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 1{,}5x^2 - 30x + 600\). Das Minimum der Grenzkosten liegt bei \(K''(x) = 3x - 30 = 0\), also bei \(x = 10\,\text{Stück}\). 2. Aufstellen der Durchschnittskostenfunktion: \(\bar{k}(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}5x^2 - 15x + 600 + \frac{2000}{x}\). Das Betriebsoptimum wird erreicht, wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind: \(1{,}5x^2 - 30x + 600 = 0{,}5x^2 - 15x + 600 + \frac{2000}{x}\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(x^2 - 15x = \frac{2000}{x} \Rightarrow x^3 - 15x^2 - 2000 = 0\). Durch systematisches Probieren oder Einsetzen findet man die Nullstelle \(x = 20\,\text{Stück}\). 4. Gewinnmaximierung: \(G'(x) = E'(x) - K'(x) = 0\), also \(744 - (1{,}5x^2 - 30x + 600) = 0\). Dies führt zu \(-1{,}5x^2 + 30x + 144 = 0\) bzw. \(x^2 - 20x - 96 = 0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = 24\) und \(x_2 = -4\). Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 24\,\text{Stück}\) (da \(G''(24) = -3 \cdot 24 + 30 = -42 < 0\)).

a) Die Grenzkosten sind bei \(10\,\text{Stück}\) minimal. b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(20\,\text{Stück}\). c) Die gewinnmaximale Menge beträgt \(24\,\text{Stück}\).