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- Versuche zuerst herauszufinden, wie die „Hauptzahl“ heißt, von der im Rätsel die Rede ist. - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Zahl finden, dann ihren Nachbarn bestimmen. - Was bedeutet es, wenn eine Zahl „genau zwischen“ zwei anderen Zahlen liegt?

1. Wenn der Vorgänger \(444\) ist, dann ist die Zahl \(444 + 1 = 445\). Der Nachfolger von \(445\) ist \(445 + 1 = 446\). 2. Wenn der Nachfolger \(201\) ist, dann ist die Zahl \(201 - 1 = 200\). Der Vorgänger von \(200\) ist \(200 - 1 = 199\). 3. Die Zahl zwischen \(898\) und \(900\) ist der Nachfolger von \(898\) und gleichzeitig der Vorgänger von \(900\). Das ist die Zahl \(899\).

a) \(446\) b) \(199\) c) \(899\)

- Wenn du den Vorgänger kennst, musst du 1 addieren, um zur gesuchten Zahl zu kommen. - Wenn du den Nachfolger kennst, musst du 1 subtrahieren, um zur gesuchten Zahl zu kommen.

1. Teil a): Wenn der Vorgänger \(319\) ist, muss die Zahl \(319 + 1 = 320\) sein. Dies ist eine Zehnerzahl. Der Nachfolger von \(320\) ist \(321\). 2. Teil b): Wenn der Nachfolger \(641\) ist, muss die Zahl \(641 - 1 = 640\) sein. Dies ist eine Zehnerzahl. Der Vorgänger von \(640\) ist \(639\).

a) Zahl: \(320\), Nachfolger: \(321\) b) Zahl: \(640\), Vorgänger: \(639\)

- Überlege dir, welche Zahl auf dem Zahlenstrahl genau zwischen den beiden Werten steht. - Schreibe dir die Zahlen einer Reihe (zum Beispiel von 220 bis 230) auf und schaue dir die einzelnen Ziffern an. - Dreistellige Zahlen haben Hunderter, Zehner und Einer. Was ist die kleinste mögliche Hunderterziffer? - Erinnere dich daran, woran man ungerade Zahlen an der letzten Stelle erkennt.

1. Berechnung des Mittelwerts von \(460\) und \(480\): \((460 + 480) : 2 = 470\). 2. Im Bereich von \(221\) bis \(229\) ist die Zehnerziffer immer \(2\). Da die Einerziffer gleich der Zehnerziffer sein soll, muss sie ebenfalls \(2\) sein. Die Zahl lautet \(222\). 3. Die dreistelligen Zahlen beginnen bei \(100\). Da \(100\) gerade ist, ist die nächstgrößere Zahl \(101\) die kleinste ungerade dreistellige Zahl.

- \(470\) - \(222\) - \(101\)

- Schreibe dir eine Stellenwerttafel mit Hundertern (H), Zehnern (Z) und Einern (E) auf. - Gehe die Hinweise nacheinander durch und trage die Ziffern in deine Tabelle ein. - Achte darauf, welche Ziffer sich auf welche andere bezieht.

1. Bestimmung der Hunderterstelle: Gemäß Hinweis ist \(H = 7\). 2. Bestimmung der Zehnerstelle: Die Hälfte von \(8\) ist \(4\), also \(Z = 4\). 3. Bestimmung der Einerstelle: \(4 - 3 = 1\), also \(E = 1\). 4. Zusammensetzen der Zahl aus den Stellenwerten: \(700 + 40 + 1 = 741\).

\(741\)

- Überlege, welche Zahl dreimal mit sich selbst addiert \(15\) ergibt. - Wie sieht eine Zahl aus, bei der die Hunderter-, Zehner- und Einerstelle gleich sind? - Woran erkennst du an der letzten Ziffer, ob eine Zahl ungerade ist?

1. Da die Zahl aus drei gleichen Ziffern besteht, deren Summe \(15\) ist, muss jede Ziffer \(5\) sein, da \(5 + 5 + 5 = 15\) gilt. 2. Die Zahl lautet somit \(555\). 3. Da die Einerziffer eine \(5\) ist, ist die Zahl \(555\) ungerade, womit alle Bedingungen erfüllt sind.

\(555\)

- Überlege zuerst, welche Ziffer an der Hunderterstelle stehen muss. - Was bedeutet der Begriff Quersumme für die Berechnung der restlichen Ziffern? - Wie kannst du die Summe der restlichen Ziffern aufteilen, wenn ein Teil doppelt so groß wie der andere ist?

1. Da die Zahl zwischen \(400\) und \(500\) liegt, ist die Hunderterziffer \(4\). 2. Für Zehner- und Einerziffer bleiben zusammen \(13 - 4 = 9\). 3. Gesucht sind zwei Ziffern, bei denen die Zehnerziffer doppelt so groß wie die Einerziffer ist. Die passenden Ziffern sind \(6\) und \(3\), denn \(6 = 2 \cdot 3\) und \(6 + 3 = 9\). 4. Die gesuchte Zahl ist \(463\).

Die Zahl lautet \(463\).

- Welche ungeraden Zahlen gibt es, die nur eine Stelle haben? Welche davon ist die größte? - Wenn du die erste und die letzte Ziffer kennst, wie hilft dir die Quersumme bei der mittleren Ziffer? - Schreibe dir die Stellenwerte H, Z und E auf und fülle sie nacheinander aus.

1. Die Hunderterstelle ist \(6\), da die Zahl im Bereich von \(600\) bis \(700\) liegt. 2. Die größte einstellige ungerade Zahl ist \(9\). Somit ist die Einerstelle \(9\). 3. Die Zehnerstelle berechnet man, indem man die bekannten Ziffern von der Quersumme abzieht: \(20 - 6 - 9 = 5\). 4. Die zusammengesetzte Zahl ist \(659\).

Die Zahl ist \(659\).

- Kannst du die Beschreibung in eine Plus- oder Minusaufgabe übersetzen? - Was bedeutet „genau in der Mitte“ für die Zehnerstelle? - Achte darauf, ob die Zahl größer oder kleiner als der genannte Hunderter sein muss.

1. Berechnung für a): Die Zahl liegt \(15\) Einheiten über \(200\), also \(200 + 15 = 215\). Da sie kleiner als \(300\) ist, ist dies die gesuchte Zahl. 2. Berechnung für b): Die Mitte zwischen \(800\) und \(900\) wird durch die Addition von \(50\) zum kleineren Hunderter gefunden: \(800 + 50 = 850\). 3. Berechnung für c): Da die Zahl kleiner als \(500\) ist, subtrahiert man den Abstand vom Hunderter: \(500 - 4 = 496\).

a) \(215\) b) \(850\) c) \(496\)

- Schreibe dir zuerst alle möglichen dreistelligen Zahlen auf, die du aus den drei Ziffern bilden kannst. - Sortiere alle Zahlen aus, die nicht im gesuchten Bereich liegen. - Schau dir bei den restlichen Zahlen die Stelle der Hunderter und die Stelle der Zehner genau an.

1. Aus den Ziffern \(2\), \(6\) und \(8\) lassen sich die dreistelligen Zahlen \(268, 286, 628, 682, 826\) und \(862\) bilden. 2. Nur die Zahlen \(682\) und \(826\) liegen im Bereich zwischen \(650\) und \(850\). 3. Bei der Zahl \(682\) ist die Zehnerziffer \(8\) größer als die Hunderterziffer \(6\). 4. Bei der Zahl \(826\) ist die Zehnerziffer \(2\) kleiner als die Hunderterziffer \(8\). Somit ist \(826\) die gesuchte Zahl.

\(826\)

- Suche zuerst alle Zahlen zwischen \(330\) und \(350\), bei denen die Summe der Ziffern \(10\) ergibt. - Prüfe, welche dieser Zahlen genau zwei gleiche Ziffern haben. - Vergleiche die letzte Ziffer mit der mittleren Ziffer.

1. Im Bereich von \(330\) bis \(350\) kommen nur die Zahlen \(334\) (\(3 + 3 + 4 = 10\)) und \(343\) (\(3 + 4 + 3 = 10\)) infrage, wenn man die Ziffern addiert. 2. Beide Zahlen besitzen zwei gleiche Ziffern (jeweils die Ziffer \(3\)). 3. Bei der Zahl \(334\) ist die Einerziffer \(4\) größer als die Zehnerziffer \(3\). 4. Bei der Zahl \(343\) ist die Einerziffer \(3\) kleiner als die Zehnerziffer \(4\). Damit ist \(343\) die gesuchte Zahl.

\(343\)

- Ab welcher Stelle in einem Hunderterbereich ist eine Zahl näher am nächsten Hunderter? - Wenn \(800\) der kleinere Nachbar ist, muss die gesuchte Zahl knapp über \(800\) liegen. - Welche Zahlen liegen auf dem Zahlenstrahl zwischen \(0\) und \(100\)?

1. Zu a): Zahlen zwischen \(600\) und \(700\), die näher an \(700\) liegen, müssen größer als \(650\) sein (z. B. \(670\)). 2. Zu b): Wenn \(800\) der kleinere Nachbarhunderter ist, muss die Zahl größer als \(800\) sein. Die kleinste dreistellige Ganzzahl ist somit \(801\). 3. Zu c): Zahlen mit den Nachbarhundertern \(0\) und \(100\) liegen im Bereich von \(1\) bis \(99\) (z. B. \(45\)).

Mögliche Lösungen: a) z. B. \(670\) (alle Zahlen von \(651\) bis \(699\) sind korrekt) b) \(801\) c) z. B. \(45\) (alle Zahlen von \(1\) bis \(99\) sind korrekt)

- Du suchst Aufgaben, bei denen das Ergebnis genau feststeht. - Kannst du zu einer Zahl eine passende Partnerzahl finden, indem du im Kopf kurz überschlägst? - Achte besonders auf Zahlen, die knapp über oder unter einem vollen Zehner oder Hunderter liegen. - Vergleiche immer zwei Zahlen: Wie weit sind sie auf dem Zahlenstrahl voneinander entfernt?

1. Identifizieren von Zahlenpaaren mit geringem Abstand. 2. Berechnen der Differenzen: \(135 - 128 = 7\) \(676 - 669 = 7\) \(403 - 396 = 7\) \(812 - 805 = 7\) \(250 - 243 = 7\) 3. Alle berechneten Differenzen ergeben exakt den Wert \(7\).

\(135 - 128 = 7\) \(676 - 669 = 7\) \(403 - 396 = 7\) \(812 - 805 = 7\) \(250 - 243 = 7\)

- Welche Ziffern haben einen Unterschied von \(3\)? - Versuche, die Zahlen so zu bilden, dass du an jeder Stelle (Einer, Zehner, Hunderter) das gleiche Ergebnis erhältst. - Achte darauf, dass du keine Ziffer doppelt benutzt.

1. Um die Differenz \(333\) ohne Entbündeln zu erreichen, werden innerhalb einer Subtraktionsaufgabe Ziffernpaare mit dem Unterschied \(3\) gesucht. 2. Erste Möglichkeit: Verwendung der Ziffern \(1, 2, 3, 4, 5, 6\). Paare: \((4, 1)\), \((5, 2)\), \((6, 3)\). Eine Aufgabe lautet \(456 - 123 = 333\). 3. Zweite Möglichkeit: Verwendung der Ziffern \(4, 5, 6, 7, 8, 9\). Paare: \((7, 4)\), \((8, 5)\), \((9, 6)\). Eine Aufgabe lautet \(987 - 654 = 333\).

Zwei mögliche Aufgaben sind: \(456 - 123 = 333\) \(987 - 654 = 333\)

- Eine dreistellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen. - Ordne die Ziffern für die kleinste Zahl möglichst klein und für die größte möglichst groß an. - Ziehe anschließend die kleinere Zahl von der größeren ab.

1. Bildung der kleinstmöglichen dreistelligen Zahl: Da die \(0\) nicht an erster Stelle stehen darf, ist es \(104\). 2. Bildung der größtmöglichen dreistelligen Zahl: Absteigende Sortierung ergibt \(410\). 3. Berechnung der Differenz: \(410 - 104 = 306\).

\(306\)

- Hier gibt es zwei Bedingungen für das Ergebnis: Es muss eine Zahl zwischen 5 und 10 sein. - Welche Zahlen kommen als Ergebnis überhaupt infrage? (Zum Beispiel 6, 7, 8 oder 9). - Suche nach Zahlen, die einen etwas größeren Abstand haben als nur 1 oder 2, aber trotzdem nah beieinander sind. - Hilft es dir, die Zahlen zuerst nach ihrer Größe zu sortieren?

1. Paare finden, deren Abstand zwischen \(6\) und \(9\) liegt. 2. Schrittweise Berechnung der möglichen Paare: \(605 - 597 = 8\) \(411 - 403 = 8\) \(904 - 895 = 9\) \(715 - 706 = 9\) 3. Das Paar \(302 - 298 = 4\) wird ausgeschlossen, da \(4\) nicht größer als \(5\) ist. 4. Die Ergebnisse \(8\) und \(9\) sind größer als \(5\) und kleiner als \(10\).

\(605 - 597 = 8\) \(411 - 403 = 8\) \(904 - 895 = 9\) \(715 - 706 = 9\)

- Überlege dir, an welcher Stelle (Hunderter, Zehner oder Einer) eine kleine Ziffer den Wert der Zahl am meisten senkt. - Welche Ziffer darf bei einer dreistelligen Zahl niemals an der Hunderterstelle stehen? - Probiere für die kleinste Summe aus, die kleinsten Karten ganz nach vorne zu legen.

1. Für die kleinste Summe müssen die kleinsten Ziffern an den wertvollsten Stellen stehen. Die Hunderterstellen werden mit \(1\) und \(2\) belegt. Die Zehnerstellen erhalten die nächstkleineren Ziffern \(0\) und \(3\). Die Einerstellen erhalten die verbleibenden Ziffern \(4\) und \(5\). Eine mögliche Rechnung ist \(104 + 235 = 339\). 2. Für die größte Summe müssen die größten Ziffern an den Hunderterstellen stehen (\(5\) und \(4\)). Die Zehnerstellen erhalten die nächstgrößeren Ziffern \(3\) und \(2\). Die Einerstellen erhalten die kleinsten Ziffern \(1\) und \(0\). Eine mögliche Rechnung ist \(531 + 420 = 951\).

a) Die kleinste Summe ist \(339\). b) Die größte Summe ist \(951\).

- Schau dir die Summe genau an. Muss es bei der Rechnung Überträge geben, damit du auf \(999\) kommst? - Welche zwei Ziffern ergeben zusammen \(9\)? - Wie viele Paare von Karten, die zusammen \(9\) ergeben, kannst du aus deinem Stapel bilden?

Um die Summe \(999\) ohne Übertrag zu erreichen, müssen die Ziffernpaare an jeder Stelle (\(H\), \(Z\), \(E\)) jeweils \(9\) ergeben. Mögliche Paare aus dem Vorrat sind \((1, 8)\), \((2, 7)\), \((3, 6)\) und \((4, 5)\). Da nur sechs Karten für zwei dreistellige Zahlen benötigt werden, werden drei dieser Paare ausgewählt. Das vierte Paar bleibt übrig. Beispiel: Mit den Paaren \((1, 8)\), \((2, 7)\) und \((3, 6)\) bildet man zum Beispiel \(123 + 876 = 999\). In diesem Fall bleiben die Karten \(4\) und \(5\) übrig.

Mögliche Antworten sind: - Die Karten \(4\) und \(5\) bleiben übrig (zum Beispiel bei \(123 + 876 = 999\)). - Die Karten \(3\) und \(6\) bleiben übrig (zum Beispiel bei \(124 + 875 = 999\)). - Die Karten \(2\) und \(7\) bleiben übrig (zum Beispiel bei \(134 + 865 = 999\)). - Die Karten \(1\) und \(8\) bleiben übrig (zum Beispiel bei \(234 + 765 = 999\)).

- Damit am Ende eine \(0\) steht, müssen die Ziffern an der Einerstelle zusammen \(10\) ergeben. - Denke an den Übertrag: Wenn die Einer \(10\) ergeben, überträgst du \(1\) Zehner zur nächsten Stelle. - An der Hunderterstelle muss die Summe der beiden Ziffern zusammen mit dem Übertrag \(5\) ergeben.

Um die Summe \(500\) zu erhalten, müssen Überträge genutzt werden. An der Einerstelle müssen zwei Ziffern stehen, die \(10\) ergeben, zum Beispiel \(6\) und \(4\) (Übertrag \(1\)). An der Zehnerstelle müssen zwei Ziffern stehen, die zusammen mit dem Übertrag wieder \(10\) ergeben (also \(Z_1 + Z_2 = 9\)), zum Beispiel \(2\) und \(7\) (Übertrag \(1\)). An der Hunderterstelle müssen die Ziffern zusammen mit dem Übertrag \(5\) ergeben (also \(H_1 + H_2 = 4\)), zum Beispiel \(1\) und \(3\). Die Zahlen sind somit \(126\) und \(374\). Überprüfung: \(126 + 374 = 500\). Alle Ziffern \(\{1, 2, 6, 3, 7, 4\}\) stammen aus dem Vorrat und sind verschieden.

Eine mögliche Lösung ist: \(126 + 374 = 500\) (oder auch \(124 + 376 = 500\), \(174 + 326 = 500\), \(176 + 324 = 500\)).

- Wie musst du die Hunderterziffern wählen, damit der Abstand zwischen den Zahlen ganz groß wird? - Wie müssen die Hunderterziffern gewählt werden, damit die Zahlen ganz nah beieinander liegen? - Wenn die Hunderter nah beieinander liegen, hilft es, die eine Zahl so klein wie möglich und die andere so groß wie möglich zu machen.

1. Für die größte Differenz wählt man die größtmögliche Zahl (\(654\)) und die kleinstmögliche Zahl (\(123\)). Die Rechnung lautet \(654 - 123 = 531\). 2. Für die kleinste Differenz müssen die Hunderterstellen möglichst nah beieinanderliegen. Mit den Hunderterstellen \(4\) und \(3\) kann man den Minuenden möglichst klein und den Subtrahenden möglichst groß bilden: \(412 - 365 = 47\). 3. Andere naheliegende Möglichkeiten sind größer, zum Beispiel \(314 - 265 = 49\) und \(512 - 463 = 49\). Die kleinste Differenz ist daher \(47\).

a) Größte Differenz: \(654 - 123 = 531\) b) Kleinste Differenz: \(412 - 365 = 47\)

- Schau dir zuerst die Hunderterstellen der Zahlen an, um schnell zu schätzen. - Kannst du eine Liste machen, um keine Kombination zu vergessen? - Überlege bei der Subtraktion, welche Zahlen ungefähr \(100\) bis \(200\) auseinanderliegen.

1. Für Teilaufgabe a) werden alle Zahlenpaare addiert und nur Summen mit \(500 < \text{Summe} < 600\) notiert: \(142 + 418 = 560\) \(356 + 235 = 591\) \(89 + 504 = 593\) \(89 + 418 = 507\) \(271 + 235 = 506\) \(504 + 63 = 567\) 2. Für Teilaufgabe b) wird jeweils die kleinere Zahl von der größeren subtrahiert. Notiert werden alle Differenzen mit \(100 < \text{Differenz} < 200\): \(271 - 142 = 129\) \(504 - 356 = 148\) \(356 - 235 = 121\) \(271 - 89 = 182\) \(235 - 89 = 146\) \(418 - 271 = 147\) \(418 - 235 = 183\) \(235 - 63 = 172\).

a) \(142 + 418 = 560\), \(356 + 235 = 591\), \(89 + 504 = 593\), \(89 + 418 = 507\), \(271 + 235 = 506\), \(504 + 63 = 567\) b) \(271 - 142 = 129\), \(504 - 356 = 148\), \(356 - 235 = 121\), \(271 - 89 = 182\), \(235 - 89 = 146\), \(418 - 271 = 147\), \(418 - 235 = 183\), \(235 - 63 = 172\)

- Für die größte Differenz musst du die extremsten Werte der Liste finden. - Für die kleinste Differenz suche nach Zahlen, die in der Zahlenreihe nah beieinander stehen. - Bei der Summe nahe \(500\) hilft es, eine Zahl knapp unter \(500\) zu wählen und eine sehr kleine dazu zu addieren.

1. Für a) werden die Zahlen sortiert: \(34, 98, 156, 207, 441, 523, 615, 782\). Die Abstände benachbarter Zahlen sind \(98 - 34 = 64\), \(156 - 98 = 58\), \(207 - 156 = 51\), \(441 - 207 = 234\), \(523 - 441 = 82\), \(615 - 523 = 92\) und \(782 - 615 = 167\). Die kleinste Differenz ist also \(51\). 2. Für b) wird die kleinste Zahl von der größten Zahl subtrahiert: \(782 - 34 = 748\). 3. Für c) werden die Paar-Summen systematisch verglichen. Die nächsten Summen zu \(500\) sind \(441 + 34 = 475\) (Abstand \(25\)), \(441 + 98 = 539\) (Abstand \(39\)), \(523 + 34 = 557\) (Abstand \(57\)) und \(441 + 156 = 597\) (Abstand \(97\)). Daher liegt \(475\) am nächsten an \(500\).

a) Die kleinste Differenz ist \(207 - 156 = 51\). b) Die größte Differenz ist \(782 - 34 = 748\). c) Die Zahlen \(441\) und \(34\) liegen mit der Summe \(475\) am nächsten an \(500\).

- Runde die Zahlen auf Zehner oder Hunderter, um schneller zu rechnen. - Welche gerundeten Werte könnten zusammen fast \(1000\) ergeben? - Probiere verschiedene Kombinationen aus und vergleiche, wie weit sie von \(1000\) entfernt sind.

1. Durch Überschlagen werden Kombinationen gesucht, die nahe an \(1000\) liegen, z. B. \(500 + 400 + 100 \approx 1000\). 2. Berechnung der besten gefundenen Summe: \(482 + 408 + 107 = 997\). 3. Eine vollständige Prüfung der Dreierkombinationen zeigt als kleinste Abstände: \(482 + 408 + 107 = 997\) (Abstand \(3\)) \(408 + 334 + 267 = 1009\) (Abstand \(9\)) \(591 + 267 + 126 = 984\) (Abstand \(16\)) \(482 + 408 + 126 = 1016\) (Abstand \(16\)) 4. Die Summe \(997\) liegt mit einem Abstand von \(3\) am nächsten an \(1000\).

Die Zahlen sind \(482\), \(408\) und \(107\). Rechnung: \(482 + 408 + 107 = 997\).