- Welche Stellen sind durch den Bereich zwischen \(520\) und \(530\) schon festgelegt? - Welche Stelle wird durch die zweite Bedingung bestimmt? - Prüfe, ob deine Zahl zwischen den beiden Grenzen liegt und die richtige Einerziffer hat.

1. Zwischen \(520\) und \(530\) haben alle möglichen Zahlen die Hunderterziffer \(5\) und die Zehnerziffer \(2\). 2. Die Einerziffer soll \(4\) sein. 3. Damit ist die gesuchte Zahl \(524\).

Gesucht ist \(524\).

- Überlege, welche Zahl direkt nach der genannten Vorgängerzahl kommt. - Achte beim Weiterzählen auf den Übergang zum nächsten Hunderter.

1. Die gesuchte Zahl kommt beim Vorwärtszählen direkt nach \(699\). 2. \(699 + 1 = 700\).

\(700\)

- Schreibe zuerst alle ganzen Zahlen auf, die im angegebenen Bereich liegen. - Prüfe anschließend bei jeder Zahl die Einerziffer. - Nimm nur Zahlen, die wirklich beide Bedingungen erfüllen.

1. Zwischen \(243\) und \(250\) liegen die Zahlen \(244, 245, 246, 247, 248\) und \(249\). 2. Eine gerade Zahl hat eine gerade Einerziffer. 3. Deshalb erfüllen \(244\), \(246\) und \(248\) beide Bedingungen.

\(244, 246, 248\)

- Prüfe jede Bedingung einzeln. - Eine Zahl passt nur, wenn wirklich alle Bedingungen stimmen. - Nenne bei einer nicht passenden Zahl die Bedingung, an der sie scheitert.

1. \(346\) ist größer als \(340\), kleiner als \(350\) und hat die Einerziffer \(6\). Daher passt \(346\). 2. \(356\) hat zwar die Einerziffer \(6\), ist aber nicht kleiner als \(350\). Daher passt \(356\) nicht.

\(346\) passt, weil alle drei Bedingungen erfüllt sind. \(356\) passt nicht, weil die Zahl nicht kleiner als \(350\) ist.

- Finde zuerst die gesuchte Zahl, von der im Rätsel die Rede ist. - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Zahl finden, dann ihren Nachbarn bestimmen. - Was bedeutet es, wenn eine Zahl „genau zwischen“ zwei anderen Zahlen liegt?

1. Wenn der Vorgänger \(444\) ist, dann ist die Zahl \(444 + 1 = 445\). Der Nachfolger von \(445\) ist \(445 + 1 = 446\). 2. Wenn der Nachfolger \(201\) ist, dann ist die Zahl \(201 - 1 = 200\). Der Vorgänger von \(200\) ist \(200 - 1 = 199\). 3. Die Zahl zwischen \(898\) und \(900\) ist der Nachfolger von \(898\) und gleichzeitig der Vorgänger von \(900\). Das ist die Zahl \(899\).

a) \(446\) b) \(199\) c) \(899\)

- Überlege zuerst, welche Zahlen für den Vorgänger oder Nachfolger möglich sind. - Welche Zehnerzahl passt dann dazu? - Kontrolliere zum Schluss den gesuchten Nachbarn der Zahl.

1. Beim Rätsel mit dem Vorgänger kann dieser zwischen \(317\) und \(321\) liegen. Die gesuchte Zahl liegt also zwischen \(318\) und \(322\). Die einzige Zehnerzahl in diesem Bereich ist \(320\). Ihr Nachfolger ist \(321\). 2. Beim Rätsel mit dem Nachfolger kann dieser zwischen \(638\) und \(642\) liegen. Die gesuchte Zahl liegt also zwischen \(637\) und \(641\). Die einzige Zehnerzahl in diesem Bereich ist \(640\). Ihr Vorgänger ist \(639\).

a) Zahl: \(320\); Nachfolger: \(321\) b) Zahl: \(640\); Vorgänger: \(639\)

- Überlege dir, welche Zahl auf dem Zahlenstrahl genau zwischen den beiden Werten steht. - Schreibe dir die Zahlen von \(220\) bis \(230\) auf und schaue dir die Ziffern an. - Überlege, bei welcher Zahl die dreistelligen Zahlen beginnen. - Achte bei der letzten Aufgabe auf die Einerziffer.

1. Zwischen \(460\) und \(480\) liegen \(20\). Die Mitte liegt \(10\) über \(460\) und \(10\) unter \(480\), also bei \(470\). 2. Im Bereich von \(221\) bis \(229\) ist die Zehnerziffer immer \(2\). Da die Einerziffer gleich der Zehnerziffer sein soll, muss sie ebenfalls \(2\) sein. Die Zahl lautet \(222\). 3. Die dreistelligen Zahlen beginnen bei \(100\). Da \(100\) gerade ist, ist die nächstgrößere Zahl \(101\) die kleinste ungerade dreistellige Zahl.

- \(470\) - \(222\) - \(101\)

- Schreibe dir eine Stellenwerttafel mit Hundertern (H), Zehnern (Z) und Einern (E) auf. - Gehe die Hinweise nacheinander durch und trage die Ziffern in deine Tabelle ein. - Achte darauf, welche Ziffer sich auf welche andere bezieht.

1. Die Hunderterziffer ist \(7\). 2. Die Hälfte von \(8\) ist \(4\). Also ist die Zehnerziffer \(4\). 3. Die Einerziffer ist \(4 - 3 = 1\). 4. Damit lautet die Zahl \(741\).

\(741\)

- Welche Hunderterziffer folgt aus dem angegebenen Zahlenbereich? - Die beiden letzten Stellen müssen dieselbe Ziffer tragen. - Prüfe anschließend die Summe aller drei Ziffern.

1. Wegen des Zahlenbereichs ist die Hunderterziffer \(5\). 2. Zehner- und Einerziffer sind gleich. Die beiden letzten Stellen müssen also mit derselben Ziffer besetzt werden. 3. Zusammen mit der Hunderterziffer \(5\) müssen die drei Ziffern die Summe \(15\) ergeben. Nur \(5+5+5=15\) passt. 4. Die gesuchte Zahl ist \(555\).

\(555\)

- Nutze zuerst den Zahlenbereich. Welche Hunderter- und Zehnerziffern sind dadurch möglich? - Prüfe dann bei den möglichen Zahlen die Summe der drei Ziffern. - Vergleiche zum Schluss Einer- und Zehnerziffer.

1. Zwischen \(330\) und \(350\) haben nur \(334\) und \(343\) die Ziffernsumme \(10\). 2. Bei \(334\) ist die Einerziffer \(4\) größer als die Zehnerziffer \(3\). 3. Bei \(343\) ist die Einerziffer \(3\) kleiner als die Zehnerziffer \(4\). 4. Daher ist \(343\) die gesuchte Zahl.

\(343\)

- Woran erkennst du eine gerade oder eine ungerade Zahl? Schau dir dazu die letzte Ziffer an. - Erinnere dich: Zehnerzahlen enden immer auf eine bestimmte Ziffer. Welche ist das? - Gehe die Zahlen nacheinander durch und prüfe, ob sie die Bedingung erfüllen.

1. Zwischen \(894\) und \(912\) liegen die geraden Zahlen \(896, 898, 900, 902, 904, 906, 908, 910\). 2. Zwischen \(395\) und \(413\) liegen die ungeraden Zahlen \(397, 399, 401, 403, 405, 407, 409, 411\). 3. Zwischen \(672\) und \(728\) liegen die Zehnerzahlen \(680, 690, 700, 710, 720\).

a) \(896, 898, 900, 902, 904, 906, 908, 910\) b) \(397, 399, 401, 403, 405, 407, 409, 411\) c) \(680, 690, 700, 710, 720\)

- Prüfe zuerst in jeder Tafel die Hunderter-Spalte. - Vergleiche anschließend nur bei den noch möglichen Tafeln die Zehner- und Einer-Spalte. - Eine Tafel ist nur dann richtig, wenn beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind.

1. Tafel a) zeigt \(342\), Tafel b) zeigt \(324\), Tafel c) zeigt \(432\). 2. Die Bedingung Hunderterziffer \(3\) erfüllen a) und b). 3. Bei a) ist die Zehnerziffer \(4\) größer als die Einerziffer \(2\). Bei b) ist \(2\) kleiner als \(4\). 4. Deshalb passt nur Tafel a) mit der Zahl \(342\).

Tafel a) passt. Sie zeigt die Zahl \(342\).

- Prüfe die beiden Bedingungen für jede Tafel getrennt. - Eine Tafel zählt nur dann, wenn beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind. - Achte darauf, dass mehrere Tafeln richtig sein können.

1. Tafel a) zeigt \(407\). Die Zehnerziffer ist \(0\) und \(7>4\), also passt a). 2. Tafel b) zeigt \(704\). Zwar ist die Zehnerziffer \(0\), aber \(4<7\), also passt b) nicht. 3. Tafel c) zeigt \(509\). Die Zehnerziffer ist \(0\) und \(9>5\), also passt c). 4. Tafel d) zeigt \(950\). Die Zehnerziffer ist nicht \(0\), also passt d) nicht. 5. Damit erfüllen a) und c) beide Bedingungen.

a) \(407\) und c) \(509\)

- Prüfe zuerst bei jeder Zahl den Zahlenbereich. - Prüfe danach Zehner- und Einerziffer getrennt. - Eine Zahl gehört nur zur Lösung, wenn alle drei Bedingungen erfüllt sind.

1. \(425\) liegt zwischen \(420\) und \(460\), hat die gerade Zehnerziffer \(2\) und die Einerziffer \(5\). Daher passt \(425\). 2. \(435\) liegt im richtigen Bereich und endet auf \(5\), aber die Zehnerziffer \(3\) ist ungerade. Daher passt \(435\) nicht. 3. \(465\) hat die gerade Zehnerziffer \(6\) und endet auf \(5\), liegt aber nicht unter \(460\). Daher passt \(465\) nicht.

\(425\) passt. \(435\) passt nicht, weil die Zehnerziffer \(3\) ungerade ist. \(465\) passt nicht, weil die Zahl nicht kleiner als \(460\) ist.

- Eine dreistellige Zahl kann nicht mit \(0\) beginnen. - Überlege für a) und b), an welcher Stelle eine kleine beziehungsweise große Ziffer den größten Einfluss hat. - Berechne die Differenz erst, wenn du die kleinste und die größte Zahl gefunden hast.

1. Für die kleinste dreistellige Zahl darf \(0\) nicht an der Hunderterstelle stehen. Mit \(1\) vorne und den übrigen Ziffern in aufsteigender Reihenfolge entsteht \(104\). 2. Für die größte Zahl werden die Ziffern absteigend angeordnet: \(410\). 3. Die Differenz ist \(410 - 104 = 306\).

a) \(104\) b) \(410\) c) \(306\)

- Welche Ziffer muss an der Hunderterstelle stehen? - Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern. Welche Summe müssen Zehner- und Einerziffer zusammen haben? - Wie kannst du diese Summe auf zwei Ziffern verteilen, wenn die Zehnerziffer doppelt so groß wie die Einerziffer ist?

1. Da die Zahl zwischen \(400\) und \(500\) liegt, ist die Hunderterziffer \(4\). 2. Für Zehner- und Einerziffer bleiben zusammen \(13 - 4 = 9\). 3. Gesucht sind zwei Ziffern, bei denen die Zehnerziffer doppelt so groß wie die Einerziffer ist. Die passenden Ziffern sind \(6\) und \(3\), denn \(6 = 2 \cdot 3\) und \(6 + 3 = 9\). 4. Die gesuchte Zahl ist \(463\).

Die Zahl lautet \(463\).

- Welche ungeraden Zahlen gibt es, die nur eine Stelle haben? Welche davon ist die größte? - Wenn du die erste und die letzte Ziffer kennst, wie hilft dir die Quersumme bei der mittleren Ziffer? - Schreibe dir die Stellenwerte H, Z und E auf und fülle sie nacheinander aus.

1. Die Hunderterstelle ist \(6\), da die Zahl im Bereich von \(600\) bis \(700\) liegt. 2. Die größte einstellige ungerade Zahl ist \(9\). Somit ist die Einerstelle \(9\). 3. Die Zehnerstelle berechnet man, indem man die bekannten Ziffern von der Quersumme abzieht: \(20 - 6 - 9 = 5\). 4. Die zusammengesetzte Zahl ist \(659\).

Die Zahl ist \(659\).

- Überlege, ob du zur genannten Zahl etwas dazurechnen oder etwas abziehen musst. - Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen zwei Hundertern? - Achte darauf, ob die gesuchte Zahl größer oder kleiner als der genannte Hunderter sein muss.

1. Bei a) gilt \(200 + 15 = 215\). 2. Die Mitte zwischen \(800\) und \(900\) ist \(850\). 3. Bei c) liegt die Zahl unter \(500\). Deshalb gilt \(500 - 4 = 496\).

a) \(215\) b) \(850\) c) \(496\)

- Schreibe dir zuerst alle möglichen dreistelligen Zahlen auf, die du aus den drei Ziffern bilden kannst. - Sortiere alle Zahlen aus, die nicht im gesuchten Bereich liegen. - Schau dir bei den restlichen Zahlen die Stelle der Hunderter und die Stelle der Zehner genau an.

1. Aus den Ziffern \(2\), \(6\) und \(8\) lassen sich die dreistelligen Zahlen \(268, 286, 628, 682, 826\) und \(862\) bilden. 2. Nur die Zahlen \(682\) und \(826\) liegen im Bereich zwischen \(650\) und \(850\). 3. Bei der Zahl \(682\) ist die Zehnerziffer \(8\) größer als die Hunderterziffer \(6\). 4. Bei der Zahl \(826\) ist die Zehnerziffer \(2\) kleiner als die Hunderterziffer \(8\). Somit ist \(826\) die gesuchte Zahl.

\(826\)

- Ab welcher Stelle in einem Hunderterbereich ist eine Zahl näher am nächsten Hunderter? - Wenn \(800\) der kleinere Nachbar ist, muss die gesuchte Zahl knapp über \(800\) liegen. - Welche Zahlen liegen auf dem Zahlenstrahl zwischen \(0\) und \(100\)?

1. Bei a) passt jede Zahl von \(651\) bis \(699\), zum Beispiel \(670\). 2. Bei b) muss die Zahl größer als \(800\) sein. Die kleinste passende dreistellige Zahl ist \(801\). 3. Bei c) passt jede Zahl von \(1\) bis \(99\), zum Beispiel \(45\).

Mögliche Lösungen: a) z. B. \(670\) (alle Zahlen von \(651\) bis \(699\) sind korrekt) b) \(801\) c) z. B. \(45\) (alle Zahlen von \(1\) bis \(99\) sind korrekt)

- Überlege, welche Ziffernpaare einen Unterschied von \(3\) haben. - Prüfe, ob du solche Paare bei Hundertern, Zehnern und Einern verwenden kannst. - Kontrolliere jede Aufgabe getrennt: Stimmt das Ergebnis und kommt keine Ziffer doppelt vor?

1. Eine einfache Möglichkeit ist, an jeder Stelle zwei Ziffern mit dem Unterschied \(3\) zu wählen, ohne entbündeln zu müssen. 2. Mit den Paaren \((4,1)\), \((5,2)\) und \((6,3)\) entsteht \(456-123=333\). 3. Mit den Paaren \((7,4)\), \((8,5)\) und \((9,6)\) entsteht eine zweite Aufgabe: \(987-654=333\). 4. Andere Aufgaben sind ebenfalls möglich, wenn das Ergebnis \(333\) ist und in jeder einzelnen Aufgabe alle sechs verwendeten Ziffern verschieden sind.

Korrekt sind beliebige zwei verschiedene Subtraktionsaufgaben mit dreistelligen Zahlen und dem Ergebnis \(333\), wenn in jeder Aufgabe alle sechs verwendeten Ziffern verschieden sind. Beispiele: \(456-123=333\) und \(987-654=333\).

- Suche keinen Hinweis, der schon allein nur zu \(623\) passt. - Finde zwei verschiedene Eigenschaften, die jeweils zu mehreren Zahlen passen. - Prüfe danach, welche Zahl zu beiden Eigenschaften passt.

1. Ein möglicher erster Hinweis lautet: „Die Zehnerziffer ist \(2\).“ Er passt zu \(623\) und \(629\). 2. Ein möglicher zweiter Hinweis lautet: „Die Einerziffer ist kleiner als \(5\).“ Er passt zu \(623\) und \(653\). 3. Nur \(623\) passt zu beiden Hinweisen. 4. Andere Lösungen sind ebenfalls richtig, wenn jeder Hinweis allein zu mindestens zwei Zahlen passt und beide zusammen nur zu \(623\).

Richtig ist jedes Paar von Hinweisen, bei dem jeder Hinweis allein zu mindestens zwei der vier Zahlen passt, beide zusammen aber nur zu \(623\). Beispiel: „Die Zehnerziffer ist \(2\)“ und „Die Einerziffer ist kleiner als \(5\)“.

- Welche Stelle entscheidet am stärksten über den Wert einer dreistelligen Zahl? - Die \(0\) darf nicht an einer Hunderterstelle stehen. - Vergleiche für a) und b), welche Ziffern du an die beiden Hunderterstellen setzen willst.

a) Für die kleinste Summe kommen die kleinen Ziffern möglichst weit nach links. An den Hunderterstellen stehen \(1\) und \(2\); \(0\) darf nicht vorne stehen. Eine mögliche Rechnung ist \(104+235=339\). b) Für die größte Summe kommen die großen Ziffern möglichst weit nach links. An den Hunderterstellen stehen \(5\) und \(4\). Eine mögliche Rechnung ist \(531+420=951\).

a) Die kleinste Summe ist \(339\). b) Die größte Summe ist \(951\).

- Überlege zuerst, wie du die Hunderterziffern verteilen musst, damit der Abstand sehr groß wird. - Für die kleinste positive Differenz sollten die Hunderterziffern möglichst nah beieinanderliegen. - Prüfe die möglichen benachbarten Hunderterpaare systematisch.

a) Für einen möglichst großen Unterschied muss die erste Zahl möglichst groß und die zweite möglichst klein sein. Deshalb: \(654-123=531\). b) Für einen möglichst kleinen positiven Unterschied sollten die Hunderterziffern möglichst nah beieinanderliegen. Prüft man die fünf möglichen Nachbarpaare, erhält man: \(234-165=69\) \(314-265=49\) \(412-365=47\) \(512-463=49\) \(612-543=69\) Der kleinste positive Unterschied ist \(47\). Also: \(412-365=47\).

a) \(654-123=531\) b) \(412-365=47\)

- Welche Ziffer steht wegen des Zahlenbereichs schon fest? - Welche beiden übrigen Ziffern müssen zusammen die restliche Quersumme ergeben? - Vergleiche \(645\) mit den anderen gefundenen Zahlen. Welche Eigenschaft hat nur \(645\)?

1. Wegen des Bereichs ist die Hunderterziffer \(6\). Zehner- und Einerziffer müssen zusammen \(15 - 6 = 9\) ergeben. 2. Unter \(650\) passen dafür die Ziffernpaare \(0\) und \(9\), \(1\) und \(8\), \(2\) und \(7\), \(3\) und \(6\), \(4\) und \(5\). 3. Deshalb erfüllen \(609, 618, 627, 636\) und \(645\) beide Bedingungen. Leas Behauptung ist also falsch. 4. Eine mögliche zusätzliche Bedingung lautet: „Die Zehnerziffer ist \(4\).“ Dann bleibt nur \(645\). Andere Bedingungen sind ebenfalls möglich, wenn danach nur \(645\) übrig bleibt.

a) Leas Behauptung ist falsch. Möglich sind \(609, 618, 627, 636, 645\). b) Zum Beispiel: „Die Zehnerziffer ist \(4\).“ Dann bleibt nur \(645\). Andere passende Zusatzbedingungen sind ebenfalls möglich.