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- Kannst du die Beziehung zwischen den Zahlen in der untersten und der mittleren Reihe beschreiben? - Überlege, wie du Schritt für Schritt von unten nach oben gelangen kannst. - Welche Rechenart ist laut der Beschreibung für die Steine anzuwenden? - Kannst du zuerst die fehlenden Zahlen in der mittleren Reihe bestimmen?

1. Identifikation der untersten Reihe mit den Werten \(15\), \(8\) und \(30\). 2. Berechnung der beiden Steine in der mittleren Reihe durch Addition der jeweils darunterliegenden Nachbarn: linker Stein \(15 + 8 = 23\), rechter Stein \(8 + 30 = 38\). 3. Berechnung des Zielwerts (Fragezeichen) in der obersten Reihe durch Addition der beiden Steine der mittleren Reihe: \(23 + 38 = 61\).

\(61\)

- Nutze dein Wissen über das Rechnen mit Hunderterzahlen. - Die Rechenregel für die Mauer bleibt die gleiche, egal wie groß die Zahlen sind. - Kontrolliere dein Ergebnis am Ende: Ergibt die Summe der mittleren Steine wirklich den Zielstein?

1. Addition der Grundsteine: \(120 + 250 = 370\) und \(250 + 380 = 630\). 2. Berechnung des Zielsteins: \(370 + 630 = 1\,000\).

Die Steine in der mittleren Reihe sind \(370\) und \(630\). Der Zielstein ist \(1\,000\).

- Addiere immer zwei nebeneinanderliegende Steine, um den Wert des Steins direkt darüber zu finden. - Arbeite dich Reihe für Reihe nach oben.

1. Reihe 2: \(50 + 60 = 110\), \(60 + 40 = 100\), \(40 + 70 = 110\), \(70 + 30 = 100\). 2. Reihe 3: \(110 + 100 = 210\), \(100 + 110 = 210\), \(110 + 100 = 210\). 3. Reihe 4: \(210 + 210 = 420\), \(210 + 210 = 420\). 4. Spitze: \(420 + 420 = 840\).

Der oberste Stein hat den Wert \(840\).

- Nutze die schriftliche Addition, wenn die Zahlen zu groß für das Kopfrechnen sind. - Achte besonders auf die Überträge beim Addieren.

1. Linker Stein der zweiten Reihe: \(245 + 138 = 383\). 2. Rechter Stein der zweiten Reihe: \(138 + 304 = 442\). 3. Deckstein: \(383 + 442 = 825\).

Die zweite Reihe besteht aus den Zahlen \(383\) und \(442\). Der Deckstein an der Spitze hat den Wert \(825\).

- Addiere die Zahlen in der untersten Reihe paarweise, um die nächste Ebene zu füllen. - Überprüfe deine Rechnungen am Ende noch einmal.

1. Berechnung der zweiten Reihe: \(100 + 50 = 150\), \(50 + 120 = 170\) und \(120 + 130 = 250\). 2. Berechnung der dritten Reihe: \(150 + 170 = 320\) und \(170 + 250 = 420\). 3. Berechnung des Decksteins: \(320 + 420 = 740\).

Die Zahlen in der zweiten Reihe sind \(150\), \(170\) und \(250\). In der dritten Reihe stehen \(320\) und \(420\). Der Deckstein ist \(740\).

- Rechne beide Mauern sorgfältig bis zur Spitze aus. - Vergleiche die Endergebnisse miteinander.

1. Mauer 1: \(200 + 100 = 300\), \(100 + 200 = 300\). Deckstein: \(300 + 300 = 600\). 2. Mauer 2: \(220 + 90 = 310\), \(90 + 200 = 290\). Deckstein: \(310 + 290 = 600\). 3. Feststellung: Beide Decksteine sind gleich groß.

Beide Mauern haben den gleichen Deckstein \(600\).

- Nutze bekannte Einmaleinsaufgaben und die Zehnerregel. - Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. - Multipliziere die Zahlen in der untersten Reihe paarweise, um die nächste Reihe zu erhalten.

1. Berechnung des linken Steins in der zweiten Reihe: \( 2 \cdot 5 = 10 \). 2. Berechnung des rechten Steins in der zweiten Reihe: \( 5 \cdot 8 = 40 \). 3. Berechnung des obersten Steins: \( 10 \cdot 40 = 400 \).

In der zweiten Reihe stehen die Zahlen \( 10 \) und \( 40 \). Die Zielzahl an der Spitze ist \( 400 \).

- Fange dort an, wo du zwei Zahlen eines „Dreier-Pakets“ kennst. - Du kannst von oben nach unten rechnen, um die fehlenden Werte in der Mitte zu finden.

1. Berechne den Stein ganz links unten: \(x - 50 = 70 \Rightarrow x = 120\). 2. Berechne den mittleren Stein in der zweiten Reihe: Da an der Spitze \(40\) steht und links daneben \(70\), muss gelten: \(70 - y = 40 \Rightarrow y = 30\). 3. Berechne den Stein ganz rechts unten: \(50 - z = 30 \Rightarrow z = 20\).

In der untersten Reihe stehen die Zahlen \(120, 50\) und \(20\). In der mittleren Reihe stehen \(70\) und \(30\).

- Welchen Faktor musst du mit \(3\) malnehmen, um \(15\) zu erhalten? - Multipliziere dann die Steine in der zweiten Reihe für das Endergebnis.

1. Bestimme den mittleren Stein in der untersten Reihe: \(x \cdot 3 = 15\), also \(x = 15 : 3 = 5\). 2. Berechne den linken Stein in der zweiten Reihe: \(2 \cdot 5 = 10\). 3. Berechne die Spitze: \(10 \cdot 15 = 150\).

Die fehlenden Zahlen sind \(5\) (unten Mitte), \(10\) (Mitte links) und \(150\) (oben).

- Suche zuerst nach einer Stelle in der Mauer, bei der dir nur eine Zahl in einer Dreiergruppe aus zwei unteren Steinen und einem oberen Stein fehlt. - Schau dir den mittleren Stein der zweiten Reihe (\(230\)) an: Welche Zahl muss links neben \(90\) stehen? - Nutze gefundene Zahlen, um die angrenzenden Steine zu berechnen. - Wenn du eine Reihe nach oben gehst, addierst du die beiden Steine darunter. Wenn du nach unten gehst, subtrahierst du. - Mache am Ende eine Probe, ob alle Steine das richtige Ergebnis liefern, wenn du sie von unten nach oben zusammenzählst.

1. Bestimme den zweiten Stein der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(230\) ist und der rechte Stein darunter in der untersten Reihe \(90\) ist, rechnen wir: \(230 - 90 = 140\). 2. Berechne den ersten Stein der zweiten Reihe aus den darunterliegenden Steinen \(110\) und \(140\): \(110 + 140 = 250\). 3. Bestimme den dritten Stein der zweiten Reihe: Da der Stein darüber in der dritten Reihe \(490\) ist und der linke Stein darunter in der zweiten Reihe \(230\) ist, rechnen wir: \(490 - 230 = 260\). 4. Bestimme den vierten Stein der untersten Reihe: Da der Stein darüber in der zweiten Reihe \(260\) ist und der linke Stein darunter in der untersten Reihe \(90\) ist, rechnen wir: \(260 - 90 = 170\). 5. Berechne den ersten Stein der dritten Reihe aus den darunterliegenden Steinen \(250\) und \(230\): \(250 + 230 = 480\). 6. Berechne den obersten Stein aus den darunterliegenden Steinen \(480\) und \(490\): \(480 + 490 = 970\).

Die ausgefüllte Zahlenmauer lautet von unten nach oben: - Unterste Reihe: \(110\), \(140\), \(90\), \(170\) - Zweite Reihe: \(250\), \(230\), \(260\) - Dritte Reihe: \(480\), \(490\) - Oberste Reihe: \(970\)

- Überlege dir, wie oft die mittlere Zahl der untersten Reihe im Deckstein „steckt“. - Wenn du die mittlere Zahl um \(1\) erhöhst, um wie viel erhöht sich dann der Deckstein? - Wie viel fehlt dem aktuellen Deckstein bis \(600\)?

1. Aktueller Deckstein: \((120 + 140) + (140 + 160) = 260 + 300 = 560\). 2. Zielwert des Decksteins: \(600\). 3. Differenz: \(600 - 560 = 40\). 4. Da der Mittelstein zweimal in den Deckstein einfließt (einmal links, einmal rechts), muss er nur um die Hälfte der Differenz erhöht werden: \(40 : 2 = 20\). 5. Neuer Mittelstein: \(140 + 20 = 160\). 6. Probe: \((120 + 160) + (160 + 160) = 280 + 320 = 600\).

Der mittlere Stein muss um \(20\) erhöht werden. Die neue Zahl im mittleren Stein ist \(160\).

- Überlege zuerst: Wie groß muss die Summe der beiden Steine in der zweiten Reihe sein? - Wenn du die beiden äußeren Steine vom Deckstein abziehst, was bleibt dann für den Mittelstein übrig? Beachte, dass er doppelt zählt. - Du kannst auch eine Zahl für die Mitte schätzen und dann prüfen, ob der Deckstein passt.

Mauer a): 1. Summe der Außensteine: \(200 + 250 = 450\). 2. Differenz zum Deckstein: \(950 - 450 = 500\). 3. Da der Mittelstein zweimal addiert wird, teilen wir durch 2: \(500 : 2 = 250\). 4. Der Mittelstein ist \(250\). Mauer b): 1. Summe der Außensteine: \(111 + 111 = 222\). 2. Differenz zum Deckstein: \(666 - 222 = 444\). 3. Mittelstein berechnen: \(444 : 2 = 222\). 4. Der Mittelstein ist \(222\).

Mauer a): Der mittlere Stein ist \(250\). Mauer b): Der mittlere Stein ist \(222\).

- Suche zuerst eine Stelle, an der nur eine Zahl in einer Dreiergruppe fehlt. - Du kannst von unten nach oben rechnen, musst aber an einer Stelle rückwärts rechnen (Subtraktion).

1. Fehlenden Grundstein finden: \(150 - 80 = 70\). 2. Restliche Steine der zweiten Reihe berechnen: \(50 + 70 = 120\) und \(80 + 60 = 140\). 3. Steine der dritten Reihe berechnen: \(120 + 150 = 270\) und \(150 + 140 = 290\). 4. Zielstein berechnen: \(270 + 290 = 560\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(50\), \(70\), \(80\), \(60\) - Zweite Reihe: \(120\), \(150\), \(140\) - Dritte Reihe: \(270\), \(290\) - Spitze: \(560\)

- Beginne dort, wo du zwei Zahlen einer Dreiergruppe bereits kennst. - Manchmal musst du erst eine Zahl in einer höheren Reihe finden, um tiefer liegende Lücken zu schließen.

1. Fehlender Grundstein: \(90 - 30 = 60\). 2. Steine der zweiten Reihe: \(40 + 60 = 100\) und \(170 - 90 = 80\). 3. Letzter Grundstein: \(80 - 30 = 50\). 4. Stein der dritten Reihe: \(100 + 90 = 190\). 5. Zielstein: \(190 + 170 = 360\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(40\), \(60\), \(30\), \(50\) - Zweite Reihe: \(100\), \(90\), \(80\) - Dritte Reihe: \(190\), \(170\) - Spitze: \(360\)

- Siehst du eine Symmetrie oder ein Muster in den vorgegebenen Zahlen? - Wenn zwei Steine in einer Reihe gleich sind, was bedeutet das für die Steine darunter?

1. Bestimmung der Grundsteine: Aus \(150\) und \(50\) folgt der erste Stein \(100\) (\(150 - 50\)). Analog ist der dritte Stein \(150 - 50 = 100\). 2. Bestimmung der mittleren Steine: \(50 + 100 = 150\). Alle Steine in der zweiten Reihe sind somit \(150\). 3. Dritte Reihe: \(150 + 150 = 300\). Beide Steine sind \(300\). 4. Zielstein: \(300 + 300 = 600\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(100\), \(50\), \(100\), \(50\) - Zweite Reihe: \(150\), \(150\), \(150\) - Dritte Reihe: \(300\), \(300\) - Spitze: \(600\)

- Beginne mit dem mittleren Stein der zweiten Reihe und dem bekannten Stein \(150\) direkt darunter. - Nutze danach die Grundsteine, um die zweite Reihe zu vervollständigen. - Rechne anschließend Reihe für Reihe nach oben.

1. Zuerst wird der fehlende Stein in der untersten Reihe berechnet: \(250 - 150 = 100\). 2. Der linke Stein in der zweiten Reihe ist \(50 + 100 = 150\). 3. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(150 + 80 = 230\). 4. Die dritte Reihe lautet \(150 + 250 = 400\) und \(250 + 230 = 480\). 5. Die Spitze ist \(400 + 480 = 880\).

Die Mauer wird wie folgt ausgefüllt: Unterste Reihe: \(50, 100, 150, 80\) Zweite Reihe: \(150, 250, 230\) Dritte Reihe: \(400, 480\) Spitze: \(880\)

- Schau dir die unterste Reihe genau an. Fällt dir eine Regelmäßigkeit auf? - Rechne von unten nach oben, indem du immer zwei Nachbarsteine addierst. - Was passiert in den höheren Reihen, wenn sich Zahlen unten wiederholen?

1. Der zweite Grundstein ist \(250 - 100 = 150\). 2. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(100 + 150 = 250\). Damit ergibt sich links in der dritten Reihe \(250 + 250 = 500\). 3. Der rechte Stein der dritten Reihe ist \(1000 - 500 = 500\). 4. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(500 - 250 = 250\). 5. Der vierte Grundstein ist \(250 - 100 = 150\). 6. Die unterste Reihe folgt somit dem Muster \(100\), \(150\), \(100\), \(150\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(100\), \(150\), \(100\), \(150\) - Zweite Reihe: \(250\), \(250\), \(250\) - Dritte Reihe: \(500\), \(500\) - Spitze: \(1000\)

- Fällt dir etwas Besonderes an der untersten Reihe auf? - Wenn die Basis symmetrisch ist, wie wirkt sich das auf die restliche Mauer aus? - Rechne Reihe für Reihe von unten nach oben.

1. Linker Grundstein: \(60 - 40 = 20\). 2. Der mittlere Stein der dritten Reihe ist \(120\). Nach Abzug der beiden bekannten \(40\) bleiben \(120 - 40 - 40 = 40\). Der mittlere Grundstein wird zweimal gezählt und ist daher \(40 : 2 = 20\). 3. Der mittlere rechte Stein der zweiten Reihe ist \(20 + 40 = 60\). 4. Aus dem rechten Stein der vierten Reihe folgt für den rechten Stein der dritten Reihe: \(240 - 120 = 120\). Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(120 - 60 = 60\), der rechte Grundstein also \(60 - 40 = 20\). 5. Der linke Stein der dritten Reihe ist \(60 + 60 = 120\). Der linke Stein der vierten Reihe ist \(120 + 120 = 240\), und die Spitze ist \(240 + 240 = 480\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(20\), \(40\), \(20\), \(40\), \(20\) - Zweite Reihe: viermal \(60\) - Dritte Reihe: dreimal \(120\) - Vierte Reihe: zweimal \(240\) - Spitze: \(480\)

- Berechne für beide Mauern die Zahl ganz oben. - Wie hängen die Zahlen in der untersten Reihe von Mauer b mit denen von Mauer a zusammen? - Gilt dieser Zusammenhang auch für die obersten Steine?

1. Zielstein Mauer a): \(10 + 25 = 35\), \(25 + 15 = 40\), \(35 + 40 = 75\). 2. Zielstein Mauer b): \(20 + 50 = 70\), \(50 + 30 = 80\), \(70 + 80 = 150\). 3. Vergleich: Da \(150 = 2 \cdot 75\), hat sich auch der Zielstein verdoppelt.

Wenn man alle Grundsteine verdoppelt, verdoppelt sich auch der Zielstein.

- Fülle zuerst alle leeren Steine in der Abbildung aus. - Erstelle im Kopf oder auf Papier eine neue Mauer mit den Grundsteinen \(7, 7, 7, 7\). - Vergleiche die beiden Ergebnisse an der Spitze.

1. Berechnung der Mauer: Reihe 2: \(10, 10, 10\); Reihe 3: \(20, 20\); Reihe 4: \(40\). 2. Erhöhung der Grundsteine auf \(7, 7, 7, 7\). 3. Berechnung der neuen Mauer: Reihe 2: \(14, 14, 14\); Reihe 3: \(28, 28\); Reihe 4: \(56\). 4. Differenz: \(56 - 40 = 16\). 5. In einer Zahlenmauer mit vier Grundsteinen bewirkt eine Erhöhung jedes Grundsteins um \(1\) eine Zunahme des Zielsteins um \(8\). Da hier um \(2\) erhöht wurde, ist die Zunahme \(2 \cdot 8 = 16\).

Der Zielstein nimmt um \(16\) zu.

- Rechne die Mauer b) Schritt für Schritt von unten nach oben aus. - Vergleiche dann das Endergebnis von b) mit dem von a).

1. Mauer a) ist bereits berechnet: Der Zielstein ist \(500\). 2. Mauer b) berechnen: Unterste Reihe \(110, 50, 50, 100\). 3. Zweite Reihe: \(110+50=160\), \(50+50=100\), \(50+100=150\). 4. Dritte Reihe: \(160+100=260\), \(100+150=250\). 5. Oberster Stein: \(260+250=510\). 6. Vergleich: \(510 - 500 = 10\). Max hat recht.

Ja, Max hat recht. Die oberste Zahl in Mauer b) ist \(510\), also genau um \(10\) größer als in Mauer a).

- Berechne die Spitze für beide Mauern Schritt für Schritt. - Überlege dir, wie oft die geänderte Zahl (\(11\) statt \(10\)) in die Rechnungen der darüberliegenden Reihen einfließt.

1. Mauer a) berechnen: Reihe 2: \(20, 20, 20\). Reihe 3: \(40, 40\). Spitze: \(80\). 2. Mauer b) berechnen: Reihe 2: \(21, 21, 20\). Reihe 3: \(42, 41\). Spitze: \(83\). 3. Ergebnis: Der Zielstein erhöht sich um \(3\).

In Mauer a) ist die Spitze \(80\). In Mauer b) ist die Spitze \(83\). Der Zielstein erhöht sich also um \(3\), wenn man einen der inneren Steine in der untersten Reihe um \(1\) erhöht.

- Beginne mit dem gegebenen Stein \(100\) in der dritten Reihe. - Wegen der symmetrischen Grundreihe sind die beiden Steine direkt unter dem Stein mit der Zahl \(100\) gleich groß. - Rechne anschließend Reihe für Reihe nach oben und unten weiter.

1. In der dritten Reihe ist der mittlere Stein \(100\) gegeben. Die beiden Steine direkt darunter sind wegen des symmetrischen Aufbaus gleich groß und ergeben zusammen \(100\). Daher trägt jeder die Zahl \(50\). 2. Der mittlere Grundstein ist \(50 - 20 = 30\). Die unterste Reihe lautet \(10\), \(20\), \(30\), \(20\), \(10\). 3. Die zweite Reihe lautet \(30\), \(50\), \(50\), \(30\). 4. Die dritte Reihe lautet \(80\), \(100\), \(80\). 5. Die vierte Reihe lautet \(180\), \(180\). 6. Der Zielstein ist \(180 + 180 = 360\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(10\), \(20\), \(30\), \(20\), \(10\) - Zweite Reihe: \(30\), \(50\), \(50\), \(30\) - Dritte Reihe: \(80\), \(100\), \(80\) - Vierte Reihe: \(180\), \(180\) - Zielstein: \(360\)

- Nutze die Umkehroperation (Minusrechnen), um Lücken zu füllen, wenn der obere Stein bekannt ist. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die gesamte Mauer noch einmal von unten nach oben zusammenrechnest.

1. Berechne den zweiten Stein in der untersten Reihe: \(110 - 50 = 60\). 2. Berechne den ersten Stein der zweiten Reihe: \(40 + 60 = 100\). 3. Berechne den linken Stein der dritten Reihe: \(100 + 110 = 210\). 4. Berechne den rechten Stein der dritten Reihe von der Spitze aus: \(440 - 210 = 230\). 5. Berechne den rechten Stein der zweiten Reihe: \(230 - 110 = 120\). 6. Berechne den letzten Stein der untersten Reihe: \(120 - 50 = 70\).

Die unterste Reihe ist \(40, 60, 50, 70\). Die weiteren Steine sind \(100, 110, 120\) (2. Reihe) und \(210, 230\) (3. Reihe).

- Du kannst von oben nach unten rechnen, indem du subtrahierst. - Suche zuerst eine Dreiergruppe, in der der obere Stein und einer der beiden unteren Steine bekannt sind.

1. Fehlende Zahl in der mittleren Reihe (links): \(750 - 420 = 330\). 2. Fehlende Zahl in der untersten Reihe (Mitte): \(330 - 180 = 150\). 3. Fehlende Zahl in der untersten Reihe (rechts): \(420 - 150 = 270\).

In der untersten Reihe fehlen die Zahlen \(150\) und \(270\). In der mittleren Reihe fehlt \(330\).

- Beginne mit der Lücke in der untersten Reihe, indem du die Zahl in der zweiten Reihe nutzt. - Wenn du die unterste Reihe vollständig hast, kannst du die Mauer einfach nach oben fertigstellen.

1. Unterste Reihe (dritte Zahl): \(270 - 150 = 120\). 2. Zweite Reihe links: \(100 + 150 = 250\). 3. Zweite Reihe rechts: \(120 + 80 = 200\). 4. Dritte Reihe links: \(250 + 270 = 520\). 5. Dritte Reihe rechts: \(270 + 200 = 470\). 6. Kontrolle Deckstein: \(520 + 470 = 990\). Stimmt.

Die fehlenden Zahlen sind: unten \(120\); zweite Reihe \(250\) und \(200\); dritte Reihe \(520\) und \(470\).

- Multipliziere die beiden nebeneinander liegenden Zahlen, um die Zahl im Stein darüber zu finden. - Nutze dein Wissen aus dem kleinen Einmaleins.

1. Erste Reihe über der Basis: \(2 \cdot 2 = 4\), \(2 \cdot 1 = 2\), \(1 \cdot 3 = 3\). 2. Zweite Reihe über der Basis: \(4 \cdot 2 = 8\), \(2 \cdot 3 = 6\). 3. Oberster Stein: \(8 \cdot 6 = 48\).

Die vervollständigte Mauer hat in der zweiten Reihe \(4, 2, 3\), in der dritten Reihe \(8, 6\) und an der Spitze die \(48\).

- Wenn das Ergebnis oben steht, kannst du mit einer Divisionsaufgabe eine der Zahlen darunter finden. - Fange dort an, wo du zwei von drei Zahlen in einem kleinen Dreieck kennst. - Überprüfe am Ende, ob alle Multiplikationen von unten nach oben stimmen.

1. Berechnung des linken Steins in der mittleren Reihe: Der oberste Stein ist das Produkt der beiden Steine darunter, also \(x \cdot 10 = 200\). Daraus folgt durch Division \(x = 200 : 10 = 20\). 2. Bestimmung des mittleren Steins in der unteren Reihe: Es gilt \(4 \cdot y = 20\), also \(y = 20 : 4 = 5\). 3. Bestimmung des rechten Steins in der unteren Reihe: Es gilt \(5 \cdot z = 10\), also \(z = 10 : 5 = 2\).

In der untersten Reihe fehlen die \(5\) und die \(2\). In der mittleren Reihe fehlt die \(20\).

- Rechne immer "links minus rechts", um den Stein darüber zu finden. - Gehe schrittweise von unten nach oben vor. - Achte darauf, dass die Zahlen nach oben hin kleiner werden.

1. Zweite Reihe: \( 200 - 80 = 120 \), \( 80 - 40 = 40 \), \( 40 - 20 = 20 \), \( 20 - 10 = 10 \). 2. Dritte Reihe: \( 120 - 40 = 80 \), \( 40 - 20 = 20 \), \( 20 - 10 = 10 \). 3. Vierte Reihe: \( 80 - 20 = 60 \), \( 20 - 10 = 10 \). 4. Spitze: \( 60 - 10 = 50 \).

Die Zahlen in den Reihen von unten nach oben sind: 1. Reihe: \( 200, 80, 40, 20, 10 \) 2. Reihe: \( 120, 40, 20, 10 \) 3. Reihe: \( 80, 20, 10 \) 4. Reihe: \( 60, 10 \) 5. Reihe (Spitze): \( 50 \)

- Nutze die Umkehraufgabe (Division), um die fehlenden Steine in der untersten Reihe zu finden. - Multipliziere zum Schluss die beiden Zahlen in der Mitte.

1. Bestimme den linken Stein unten: \(x \cdot 3 = 6 \Rightarrow x = 2\). 2. Bestimme den rechten Stein unten: \(3 \cdot y = 12 \Rightarrow y = 4\). 3. Berechne das Ergebnis an der Spitze: \(6 \cdot 12 = 72\).

Die fehlenden Zahlen sind \(2\) (unten links), \(4\) (unten rechts) und \(72\) (oben).

- Addiere zuerst alle drei Seitenzahlen und nutze den Hinweis, um die Summe der Ecken zu finden. - Wenn du die Summe von drei Zahlen kennst und weißt, wie groß zwei davon zusammen sind (eine Seitenzahl), kannst du die dritte Zahl (die gegenüberliegende Ecke) ausrechnen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Eckzahlen paarweise addierst.

1. Berechnung der Gesamtsumme der Seitenzahlen: \(220 + 340 + 280 = 840\). 2. Berechnung der Summe der drei Eckzahlen durch Halbierung: \(840 : 2 = 420\). 3. Berechnung der ersten Ecke (gegenüber der Seite \(340\)): \(420 - 340 = 80\). 4. Berechnung der zweiten Ecke (gegenüber der Seite \(280\)): \(420 - 280 = 140\). 5. Berechnung der dritten Ecke (gegenüber der Seite \(220\)): \(420 - 220 = 200\). 6. Prüfung der Ergebnisse: \(80 + 140 = 220\); \(140 + 200 = 340\); \(200 + 80 = 280\).

a) Die Summe der drei Eckzahlen beträgt \(420\). b) Die drei Eckzahlen sind \(80\), \(140\) und \(200\).

- Erinnere dich daran, dass der oberste Stein die Summe der beiden Steine darunter ist. - Die beiden äußeren Steine unten fließen jeweils einmal in die Spitze ein, der mittlere untere Stein jedoch zweimal. - Wenn du die beiden bekannten äußeren Steine von der Spitze abziehst, was muss dann für die Verdopplung des mittleren Steins übrig bleiben? - Lässt sich der verbleibende Wert ohne Rest durch \(2\) teilen? - Kann die Summe der beiden äußeren Steine größer sein als der Spitzenstein?

1. Analyse der Lösbarkeit der vier Mauern: - Für eine 3-stufige Zahlenmauer mit den unteren Steinen \(a\), \(b\) und \(c\) gilt für die Spitze \(T\): \(T = a + 2b + c\). Daraus folgt für den mittleren Stein: \(2b = T - a - c\). - Mauer A: \(T = 500\), \(a = 150\), \(c = 250\). Es gilt \(2b = 500 - 150 - 250 = 100\), also \(b = 50\). Die Mauer ist lösbar. Mittlere Reihe: \(150 + 50 = 200\) und \(50 + 250 = 300\). - Mauer B: \(T = 500\), \(a = 150\), \(c = 249\). Es gilt \(2b = 500 - 150 - 249 = 101\). Da \(101\) eine ungerade Zahl ist, gibt es keine natürliche Zahl \(b\), die diese Gleichung löst (der Stein müsste \(50{,}5\) sein). Die Mauer ist unlösbar. - Mauer C: \(T = 800\), \(a = 300\), \(c = 450\). Es gilt \(2b = 800 - 300 - 450 = 50\), also \(b = 25\). Die Mauer ist lösbar. Mittlere Reihe: \(300 + 25 = 325\) und \(25 + 450 = 475\). - Mauer D: \(T = 800\), \(a = 300\), \(c = 520\). Die Summe der äußeren Steine ist bereits \(300 + 520 = 820\). Das ist größer als die Spitze von \(800\). Es gilt \(2b = 800 - 820 = -20\), was einen negativen Mittelstein (\(-10\)) erfordern würde. Da im Bereich der natürlichen Zahlen gerechnet wird, ist diese Mauer unlösbar.

1. Lösbar sind **Mauer A** und **Mauer C**: - **Mauer A**: Unterer mittlerer Stein = \(50\); mittlere Reihe = \(200\) und \(300\). - **Mauer C**: Unterer mittlerer Stein = \(25\); mittlere Reihe = \(325\) und \(475\). 2. Nicht lösbar sind **Mauer B** und **Mauer D**: - **Mauer B**: Der verbleibende Rest für die Verdopplung des mittleren Steins ist \(101\). Da \(101\) ungerade ist, lässt er sich nicht ohne Rest durch \(2\) teilen. - **Mauer D**: Die beiden äußeren Steine ergeben zusammen bereits \(820\), was größer ist als die Spitze mit \(800\). Daher müsste der mittlere Stein negativ sein, was bei natürlichen Zahlen nicht erlaubt ist.

- Suche nach einer Stelle in der Mauer, an der der obere Stein und einer der beiden Steine darunter bekannt sind. - Mit Subtraktion kannst du fehlende Steine in den unteren Reihen bestimmen. - Gehe Schritt für Schritt vor: Sobald du eine neue Zahl herausgefunden hast, hilft sie dir beim Lösen der Nachbarsteine. - Rechne die oberen Reihen anschließend durch Addition aus.

1. Bestimme die zweite Zahl der untersten Reihe. Da darüber \(222\) steht und darunter links \(128\), rechnen wir: \(222 - 128 = 94\). 2. Bestimme die dritte Zahl der untersten Reihe. Da darüber \(209\) steht und darunter rechts \(62\), rechnen wir: \(209 - 62 = 147\). 3. Berechne die mittlere Zahl der zweiten Reihe: \(94 + 147 = 241\). 4. Berechne die beiden Zahlen der dritten Reihe: - Links: \(222 + 241 = 463\) - Rechts: \(241 + 209 = 450\) 5. Berechne den Deckstein: \(463 + 450 = 913\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(94\) und \(147\) (vollständig von links nach rechts: \(128\), \(94\), \(147\), \(62\)) - Zweite Reihe von unten: \(241\) (vollständig von links nach rechts: \(222\), \(241\), \(209\)) - Dritte Reihe von unten: \(463\) und \(450\) - Spitze: \(913\)

- Berechne zuerst für beide Mauern Reihe für Reihe von unten nach oben. - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Reihen von Zoe und Ben. Was fällt dir bei den Unterschieden auf? - Überlege, wie oft der Wert des zweiten Steins der untersten Reihe in die darüber liegenden Steine einfließt.

1. **Berechnung von Zoes Zahlenmauer:** - Erste Reihe von unten (gegeben): \(60\), \(110\), \(80\), \(50\) - Zweite Reihe von unten: - \(60 + 110 = 170\) - \(110 + 80 = 190\) - \(80 + 50 = 130\) - Dritte Reihe von unten: - \(170 + 190 = 360\) - \(190 + 130 = 320\) - Oberster Stein (Spitze): - \(360 + 320 = 680\) 2. **Berechnung von Bens Zahlenmauer:** - Erste Reihe von unten (gegeben): \(60\), \(120\), \(80\), \(50\) - Zweite Reihe von unten: - \(60 + 120 = 180\) - \(120 + 80 = 200\) - \(80 + 50 = 130\) - Dritte Reihe von unten: - \(180 + 200 = 380\) - \(200 + 130 = 330\) - Oberster Stein (Spitze): - \(380 + 330 = 710\) 3. **Vergleich und Erklärung:** - Der Unterschied an der Spitze beträgt: \(710 - 680 = 30\). - Erklärung: Der zweite Stein von links fließt in der zweiten Reihe in zwei Steine ein (den linken und den mittleren). In der dritten Reihe fließt er somit dreimal in den Spitzenstein ein. Eine Erhöhung um \(10\) in der untersten Reihe führt daher zu einer Erhöhung des Spitzensteins um \(3 \cdot 10 = 30\).

a) Zoes oberster Stein hat den Wert \(680\). b) Bens oberster Stein hat den Wert \(710\). c) Der oberste Stein von Bens Mauer ist um \(30\) größer als der von Zoes Mauer. Das liegt daran, dass der zweite Stein von links in der untersten Reihe dreimal zum Spitzenstein beiträgt (\(3 \cdot 10 = 30\)).

- Beginne ganz oben an der Spitze. Wenn du den obersten Stein und einen der beiden darunter liegenden Steine kennst, kannst du den anderen Stein durch Minusrechnen finden. - Gehe dann Reihe für Reihe nach unten vor. - Suche immer nach einer Dreiergruppe von Steinen, bei denen bereits zwei Zahlen eingetragen sind. - Du kannst deine berechneten Zahlen überprüfen, indem du sie mit den Nachbarsteinen zusammenzählst.

1. Berechnung für Mauer A: - Linker Stein der dritten Reihe von unten: \(500 - 240 = 260\). - Mittlerer Stein der zweiten Reihe von unten: \(260 - 160 = 100\). - Linker Stein der untersten Reihe: \(160 - 60 = 100\). - Dritter Stein der untersten Reihe: \(100 - 60 = 40\). - Rechter Stein der zweiten Reihe: \(240 - 100 = 140\). - Rechter Stein der untersten Reihe: \(140 - 40 = 100\). 2. Berechnung für Mauer B: - Rechter Stein der dritten Reihe von unten: \(600 - 330 = 270\). - Linker Stein der zweiten Reihe von unten: \(330 - 130 = 200\). - Rechter Stein der zweiten Reihe von unten: \(270 - 130 = 140\). - Zweiter Stein der untersten Reihe: \(200 - 120 = 80\). - Dritter Stein der untersten Reihe: \(130 - 80 = 50\). - Rechter Stein der untersten Reihe: \(140 - 50 = 90\).

Mauer A: - Unterste Reihe: \(100\), \(60\), \(40\), \(100\) - Zweite Reihe von unten: \(160\), \(100\), \(140\) - Dritte Reihe von unten: \(260\), \(240\) - Spitze: \(500\) Mauer B: - Unterste Reihe: \(120\), \(80\), \(50\), \(90\) - Zweite Reihe von unten: \(200\), \(130\), \(140\) - Dritte Reihe von unten: \(330\), \(270\) - Spitze: \(600\)

- Berechne Schritt für Schritt die Werte für jede Reihe der Zahlenmauer von unten nach oben. - Überlege dir, wie oft jeder der vier Grundsteine in den obersten Zielstein einfließt. - Wenn du jeden Grundstein um \(1\) erhöhst, um wie viel erhöht sich dann der Zielstein? Probiere es mit einer kleinen Beispielrechnung aus! - Nutze das gefundene Muster, um die Fragen b) und c) ohne langes Zeichnen direkt zu beantworten.

1. Berechnung der ersten Mauer: - Zweite Reihe: \(50 + 80 = 130\), \(80 + 60 = 140\) und \(60 + 40 = 100\). - Dritte Reihe: \(130 + 140 = 270\) und \(140 + 100 = 240\). - Vierte Reihe (Zielstein): \(270 + 240 = 510\). 2. Erhöhung für Zielstein \(590\): Der Zielstein soll von \(510\) auf \(590\) steigen, also um eine Differenz von \(590 - 510 = 80\). Bei einer vierstöckigen Mauer bewirkt das Erhöhen jedes Grundsteins um \(x\), dass sich der Zielstein um \(8x\) erhöht. Aus \(8x = 80\) folgt \(x = 10\). Felix muss jeden Grundstein um \(10\) erhöhen. 3. Erhöhung um \(20\): Wenn jeder Grundstein um \(20\) erhöht wird, erhöht sich der Zielstein um \(8 \cdot 20 = 160\). Der neue Zielstein ist \(510 + 160 = 670\).

a) Der Zielstein an der Spitze lautet \(510\). b) Er muss jeden Grundstein um \(10\) erhöhen. c) Der neue Zielstein an der Spitze lautet \(670\).

- Beginne ganz oben an der Spitze der Mauer: Wenn du die Spitze und einen Stein darunter kennst, kannst du den anderen Stein in dieser Reihe durch Subtraktion berechnen. - Arbeite dich Schritt für Schritt von oben nach unten durch die Reihen der Zahlenmauer. - Wenn du einen Stein in einer Reihe und einen der beiden Steine direkt darunter kennst, subtrahiere den unteren vom oberen Stein, um den fehlenden unteren Stein zu finden.

1. Berechnung des linken Steins in der dritten Reihe von unten: \(670 - 308 = 362\). 2. Berechnung des mittleren Steins in der zweiten Reihe von unten: \(362 - 189 = 173\). 3. Berechnung des dritten Steins in der untersten Reihe: \(173 - 101 = 72\). 4. Berechnung des rechten Steins in der zweiten Reihe: \(308 - 173 = 135\). 5. Berechnung des vierten Steins in der untersten Reihe: \(135 - 72 = 63\). 6. Berechnung des ersten Steins in der untersten Reihe: \(189 - 101 = 88\).

Der erste Stein von links in der untersten Reihe hat den Wert \(88\). Der dritte Stein von links hat den Wert \(72\). Der vierte Stein von links hat den Wert \(63\).

- Berechne zuerst alle fehlenden Zahlen für Mauer A bis zur Spitze. - Berechne danach alle fehlenden Zahlen für Mauer B bis zur Spitze. - Vergleiche die beiden Zahlen an den Spitzen der Mauern. Um wie viel hat sich der oberste Stein verändert? - Überlege, warum sich eine Änderung des mittleren Steins in der untersten Reihe stärker auf die Spitze auswirkt als eine Änderung der äußeren Steine.

1. Berechne die Zahlen für Mauer A: - Die Steine in der zweiten Reihe sind \(120 + 150 = 270\) und \(150 + 180 = 330\). - Der oberste Stein ist \(270 + 330 = 600\). 2. Berechne die Zahlen für Mauer B: - Die Steine in der zweiten Reihe sind \(120 + 160 = 280\) und \(160 + 180 = 340\). - Der oberste Stein ist \(280 + 340 = 620\). 3. Vergleiche die beiden obersten Steine: - Der Unterschied an der Spitze beträgt \(620 - 600 = 20\). 4. Beantworte Jonas' Behauptung: - Jonas hat nicht recht. Der oberste Stein wird um \(20\) größer, nicht um \(10\). Das liegt daran, dass der mittlere Stein in der untersten Reihe in beide Steine der zweiten Reihe einfließt und somit doppelt zum Ergebnis an der Spitze beiträgt.

Nein, Jonas hat nicht recht. Die Spitze von Mauer A hat den Wert \(600\), während die Spitze von Mauer B den Wert \(620\) hat. Der oberste Stein wird also um \(20\) größer (und nicht um \(10\)), weil der mittlere Stein der untersten Reihe doppelt in die Berechnung der Spitze einfließt.

- Beginne dort, wo du durch einfaches Plus- oder Minusrechnen eine fehlende Zahl bestimmen kannst. - Für die zweite Mauer: Ziehe vom Stein \(465\) zunächst die bekannten äußeren Grundsteine \(70\) und \(95\) ab. Der verbleibende Betrag enthält den unbekannten Grundstein zweimal. - Nutze ein Fragezeichen als Platzhalter, wenn dir das beim Ordnen der Rechenschritte hilft.

1. Berechnung für Mauer a): - Der zweite Stein der untersten Reihe ist \(205 - 85 = 120\). - Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(45 + 120 = 165\). - Der linke Stein der dritten Reihe ist \(165 + 205 = 370\). - Der rechte Stein der dritten Reihe ist \(770 - 370 = 400\). - Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(400 - 205 = 195\). - Der vierte Stein der untersten Reihe ist \(195 - 85 = 110\). 2. Berechnung für Mauer b): - Der erste Stein der untersten Reihe ist \(205 - 70 = 135\). - Im rechten Stein der dritten Reihe werden die Zahlen \(70\) und \(95\) jeweils einmal und der gesuchte dritte Grundstein zweimal gezählt. Daher gilt: \(465 - 70 - 95 = 300\). Der dritte Grundstein ist \(300 : 2 = 150\). - Der mittlere Stein der zweiten Reihe ist \(70 + 150 = 220\). - Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(150 + 95 = 245\). - Der linke Stein der dritten Reihe ist \(205 + 220 = 425\). - Der oberste Stein ist \(425 + 465 = 890\).

a) Vollständige Zahlenmauer von unten nach oben: - 1. Reihe (unten): \(45\), \(120\), \(85\), \(110\) - 2. Reihe: \(165\), \(205\), \(195\) - 3. Reihe: \(370\), \(400\) - 4. Reihe (oben): \(770\) b) Vollständige Zahlenmauer von unten nach oben: - 1. Reihe (unten): \(135\), \(70\), \(150\), \(95\) - 2. Reihe: \(205\), \(220\), \(245\) - 3. Reihe: \(425\), \(465\) - 4. Reihe (oben): \(890\)

- Beginne ganz oben an der Spitze der Zahlenmauer. Welche Zahl fehlt direkt neben der \(430\) unter dem Deckstein? - Nutze die Umkehroperation (Subtraktion), wenn dir ein Stein in einer unteren Reihe fehlt. - Wenn du eine Zahl ausgerechnet hast, kannst du mit diesem neuen Wert Schritt für Schritt weiter nach unten rechnen. - Kontrolliere deine Zwischenschritte, indem du die Steine von unten nach oben wieder zusammenrechnest.

1. Wir beginnen an der Spitze: Der Deckstein hat den Wert \(905\), der linke Stein direkt darunter den Wert \(430\). Der rechte Stein dieser Reihe ist daher \(905 - 430 = 475\). 2. Der linke Stein in der zweiten Reihe von unten ist \(430 - 230 = 200\). 3. Der zweite Stein von links in der untersten Reihe ist \(200 - 120 = 80\). 4. Der dritte Stein von links in der untersten Reihe ist \(230 - 80 = 150\). 5. Der rechte Stein in der zweiten Reihe von unten ist \(475 - 230 = 245\). 6. Der Stein ganz rechts in der untersten Reihe ist \(245 - 150 = 95\).

- Der rechte Stein in der 3. Reihe von unten ist \(475\). - Der linke Stein in der 2. Reihe von unten ist \(200\). - Der zweite Stein von links in der untersten Reihe ist \(80\).

- Suche zuerst nach einer Stelle in der Mauer, an der du zwei von drei zusammenhängenden Steinen kennst. - Wenn ein Stein oben und einer der beiden Steine direkt darunter bekannt sind, kannst du den fehlenden unteren Stein durch Subtraktion (Minusrechnen) finden. - Wenn du einen neuen Stein ausgerechnet hast, trage ihn gedanklich ein und suche nach dem nächsten Schritt. - Manchmal musst du von oben nach unten zurückrechnen, um an die unterste Reihe zu gelangen.

1. Wir betrachten das Dreieck aus dem mittleren Stein der zweiten Reihe (\(250\)) und den beiden Steinen darunter. Da der rechte davon \(140\) ist, berechnen wir den linken davon (den zweiten Stein von links in der untersten Reihe): \(250 - 140 = 110\). 2. Nun berechnen wir den linken Stein der zweiten Reihe aus den beiden bekannten Steinen darunter: \(80 + 110 = 190\). 3. Damit bestimmen wir den linken Stein der dritten Reihe: \(190 + 250 = 440\). 4. Da der oberste Stein \(900\) ist, berechnen wir den rechten Stein der dritten Reihe durch Subtraktion: \(900 - 440 = 460\). 5. Nun können wir den rechten Stein der zweiten Reihe bestimmen, da der Stein darüber \(460\) und sein linker Nachbar darunter \(250\) ist: \(460 - 250 = 210\). 6. Zum Schluss finden wir die gesuchte Zahl ganz unten rechts, indem wir \(210 - 140 = 70\) rechnen.

Ganz unten rechts muss die Zahl \(70\) stehen.

- Wenn du einen Stein in der Mitte oder oben suchst, musst du addieren. - Wenn dir ein Stein in einer unteren Reihe fehlt, musst du subtrahieren. - Du kannst in Mauer b) auch erst überlegen, wie groß die Summe der beiden Steine in der zweiten Reihe sein muss, damit oben 600 steht.

Mauer a): 1. Der rechte Stein in der zweiten Reihe ist \(210 + 150 = 360\). 2. Der linke Stein in der zweiten Reihe ist \(800 - 360 = 440\). 3. Der fehlende Stein unten links ist \(440 - 210 = 230\). Mauer b): 1. Die beiden äußeren Grundsteine tragen zusammen \(145 + 145 = 290\) zum Deckstein bei. 2. Für den mittleren Grundstein, der zweimal gezählt wird, bleiben \(600 - 290 = 310\). 3. Der mittlere Grundstein ist \(310 : 2 = 155\). 4. In der zweiten Reihe stehen zweimal \(145 + 155 = 300\).

Mauer a): Unten links fehlt \(230\). In der zweiten Reihe fehlen \(440\) und \(360\). Mauer b): Der mittlere Grundstein ist \(155\). In der zweiten Reihe stehen zweimal \(300\).

- Berechne zuerst alle drei Mauern vollständig. - Schau dir an, wie sich die Zahlen in der untersten Reihe von Mauer zu Mauer verändern. - Was passiert mit dem Mittelstein, wenn die Außensteine kleiner werden?

1. Mauer a): Mittelstein = \((800 - (200 + 200)) : 2 = 400 : 2 = 200\). 2. Mauer b): Mittelstein = \((800 - (100 + 100)) : 2 = 600 : 2 = 300\). 3. Mauer c): Mittelstein = \((800 - (50 + 50)) : 2 = 700 : 2 = 350\). 4. Beobachtung: Wenn die äußeren Steine kleiner werden, muss der Mittelstein größer werden, damit die Summe oben gleich bleibt. 5. Speziell: Wenn die Summe der Außensteine um 200 sinkt, steigt der Mittelstein um 100.

a) Die Mittelsteine sind: Mauer a) \(200\), Mauer b) \(300\), Mauer c) \(350\). b) Wenn die äußeren Steine kleiner werden, muss der mittlere Stein größer werden. Verringert man die Summe der Außensteine um einen bestimmten Betrag, muss der Mittelstein um die Hälfte dieses Betrags wachsen.

- Lass dich von den ungewohnten Zahlen nicht verwirren, das Prinzip bleibt gleich. - Nutze schriftliche Nebenrechnungen, wenn die Zahlen zu schwierig für den Kopf sind.

1. Unterste Reihe: \(196 - 104 = 92\). 2. Zweite Reihe: \(123 + 85 = 208\) und \(85 + 92 = 177\). 3. Dritte Reihe: \(208 + 177 = 385\) und \(177 + 196 = 373\). 4. Zielstein: \(385 + 373 = 758\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(123\), \(85\), \(92\), \(104\) - Zweite Reihe: \(208\), \(177\), \(196\) - Dritte Reihe: \(385\), \(373\) - Spitze: \(758\)

- Wenn du die Summe und einen Summanden kennst, kannst du den anderen Summanden durch Minusrechnen finden. - Arbeite dich schrittweise von den bekannten Zahlen zu den unbekannten vor. - Überprüfe am Ende deine Ergebnisse durch Plusrechnen von unten nach oben.

1. Dritte Reihe links berechnen: \(800 - 450 = 350\). 2. Zweite Reihe links berechnen: \(350 - 200 = 150\). 3. Zweite Reihe rechts berechnen: \(450 - 200 = 250\). 4. Unterste Reihe (von links nach rechts): Zweiter Stein: \(150 - 60 = 90\). Dritter Stein: \(200 - 90 = 110\). Kontrolle mit dem vorgegebenen vierten Stein: \(110 + 140 = 250\).

Die unterste Reihe ist \(60\), \(90\), \(110\), \(140\). Die zweite Reihe ist \(150\), \(200\), \(250\). Die dritte Reihe ist \(350\), \(450\). Die Spitze ist \(800\).

- Wie groß ist der Unterschied zwischen dem aktuellen Zielstein und \(800\)? - Wenn du alle Grundsteine um \(10\) erhöhst, wie stark ändert sich der Zielstein? Hilft dir das für die große Differenz?

1. Aktueller Zielstein: \(400\). Gewünschter Zielstein: \(800\). 2. Differenz: \(800 - 400 = 400\). 3. Bei einer Zahlenmauer mit drei Grundsteinen erhöht sich die Spitze um das Vierfache des Betrags, um den man die Grundsteine erhöht. 4. Rechnung: \(400 : 4 = 100\). 5. Neue Grundsteine: \(100 + 100 = 200\). Da alle Grundsteine \(100\) waren, sind sie nun alle \(200\).

Die neuen Grundsteine lauten alle \(200\).

- Berechne den Unterschied zwischen dem Zielstein \(260\) und dem Zielstein \(120\). - Wie oft steckt die Zahl \(4\) in diesem Unterschied? - Ziehe diesen Wert von jedem deiner Startsteine ab.

1. Aktueller Zielstein: \(260\). Gewünschter Zielstein: \(120\). 2. Differenz: \(260 - 120 = 140\). 3. In einer Zahlenmauer mit drei Grundsteinen entspricht eine Verringerung des Zielsteins um \(140\) einer gleichmäßigen Verringerung der Grundsteine um \(140 : 4 = 35\). 4. Neue Grundsteine berechnen: \(60 - 35 = 25\), \(80 - 35 = 45\), \(40 - 35 = 5\).

Die neuen Grundsteine sind \(25\), \(45\) und \(5\).

- Wenn alle Steine unten gleich sind, wie oft steckt der Wert eines Grundsteins im Zielstein einer Zahlenmauer mit vier Grundsteinen? - Probiere einfache Zahlen aus: Was passiert bei \(10\)? Was passiert bei \(20\)?

1. Trägt jeder Grundstein die Zahl \(1\), stehen in der zweiten Reihe dreimal \(2\), in der dritten Reihe zweimal \(4\) und an der Spitze \(8\). 2. Die Zahl an der Spitze ist daher achtmal so groß wie die gemeinsame Zahl der Grundsteine. 3. Gesucht ist \(240 : 8 = 30\). 4. Jeder Grundstein muss also die Zahl \(30\) tragen.

Alle vier Grundsteine müssen jeweils die Zahl \(30\) tragen.

- Suche zuerst nach Steinen in der zweiten Reihe, bei denen die Zahl darüber und eine Zahl darunter bereits feststehen. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die Mauer noch einmal von unten nach oben zusammenrechnest.

1. Den zweiten Stein von links in der untersten Reihe berechnen: \(220 - 120 = 100\). 2. Den Stein ganz rechts in der untersten Reihe berechnen: \(200 - 120 = 80\). 3. Den linken Stein in der zweiten Reihe berechnen: \(150 + 100 = 250\). 4. Die Steine in der dritten Reihe berechnen: \(250 + 220 = 470\) und \(220 + 200 = 420\). 5. Den Deckstein berechnen: \(470 + 420 = 890\).

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts: \(150\), \(100\), \(120\), \(80\). Die zweite Reihe: \(250\), \(220\), \(200\). Die dritte Reihe: \(470\), \(420\). Der oberste Stein ist \(890\).

- Berechne die Lücken in Mauer b) und finde den neuen Zielstein. - Überlege dir, wie oft die Zahl aus dem zweiten Stein von links in die Steine darüber „hineingerechnet“ wird.

1. Mauer a) berechnen: Zielstein ist \(500\). 2. Mauer b) berechnen: Unterste Reihe \(100, 60, 50, 100\). 3. Zweite Reihe: \(160, 110, 150\). 4. Dritte Reihe: \(270, 260\). 5. Oberster Stein: \(530\). 6. Vergleich: \(530 - 500 = 30\). Die oberste Zahl ist um \(30\) gestiegen. 7. Erklärung: Der zweite Grundstein von links wird für zwei Steine in der zweiten Reihe verwendet und im Zielstein insgesamt dreimal gezählt. Deshalb erhöht sich der Zielstein um das Dreifache der ursprünglichen Änderung.

Die oberste Zahl erhöht sich um \(30\). Der zweite Grundstein von links fließt dreimal in den Zielstein ein. Deshalb führt seine Erhöhung um \(10\) zu einer Erhöhung der Spitze um \(3 \cdot 10 = 30\).

- Nutze die Steine in der zweiten Reihe, um die fehlenden äußeren Steine ganz unten zu finden. - Wenn du die untere Reihe hast, kannst du die Lücken in der Mitte füllen. - Überprüfe am Ende, ob deine Rechnung oben bei \(900\) ankommt.

1. Der linke Grundstein ist \(75 - 25 = 50\), der rechte Grundstein ebenfalls \(75 - 25 = 50\). Die unterste Reihe lautet \(50\), \(25\), \(100\), \(25\), \(50\). 2. Zweite Reihe: \(50 + 25 = 75\), \(25 + 100 = 125\), \(100 + 25 = 125\), \(25 + 50 = 75\). 3. Dritte Reihe: \(75 + 125 = 200\), \(125 + 125 = 250\), \(125 + 75 = 200\). 4. Vierte Reihe: \(200 + 250 = 450\) und \(250 + 200 = 450\). 5. Spitze: \(450 + 450 = 900\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(50\), \(25\), \(100\), \(25\), \(50\) - Zweite Reihe: \(75\), \(125\), \(125\), \(75\) - Dritte Reihe: \(200\), \(250\), \(200\) - Vierte Reihe: \(450\), \(450\) - Spitze: \(900\)

- Suche zuerst nach Lücken, die du direkt durch Subtraktion (Minusrechnen) von oben nach unten füllen kannst. - Wenn du in einer Reihe nicht weiterkommst, schau dir an, welche Summen die Steine in der Reihe darüber ergeben müssen. - Nutze die Symmetrie der Mauer, um fehlende Zahlen schneller zu finden.

1. Der fehlende Stein in der vierten Reihe ist \(36 - 18 = 18\). 2. Die äußeren Steine der dritten Reihe sind jeweils \(18 - 10 = 8\). Die dritte Reihe lautet \(8\), \(10\), \(8\). 3. Für den zweiten Grundstein bleiben nach Abzug der bekannten Zahlen \(1\) und \(3\) vom linken Stein \(8\) noch \(8 - 1 - 3 = 4\). Der gesuchte Grundstein wird dort zweimal gezählt und ist daher \(4 : 2 = 2\). Wegen der Symmetrie gilt dasselbe rechts. 4. Die unterste Reihe lautet \(1\), \(2\), \(3\), \(2\), \(1\). 5. Die zweite Reihe lautet \(3\), \(5\), \(5\), \(3\); die dritte Reihe \(8\), \(10\), \(8\); die vierte Reihe \(18\), \(18\); die Spitze \(36\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(1\), \(2\), \(3\), \(2\), \(1\) - Zweite Reihe: \(3\), \(5\), \(5\), \(3\) - Dritte Reihe: \(8\), \(10\), \(8\) - Vierte Reihe: \(18\), \(18\) - Spitze: \(36\)

- Fülle zuerst den Stein in der untersten Reihe aus, den du durch eine einfache Minusaufgabe berechnen kannst. - Achte darauf, ob sich Zahlen in der Mauer wiederholen. - Kannst du Symmetrien entdecken? Das heißt, sieht die linke Seite der Mauer genauso aus wie die rechte?

1. Berechne den dritten Stein in der untersten Reihe: \(100 - 50 = 50\). 2. Berechne den rechten Stein in der zweiten Reihe: \(50 + 50 = 100\). 3. Berechne den rechten Stein in der dritten Reihe: \(100 + 100 = 200\). 4. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe von der Spitze aus: \(400 - 200 = 200\). 5. Berechne den linken Stein in der zweiten Reihe: \(200 - 100 = 100\). 6. Berechne den ersten Stein in der untersten Reihe: \(100 - 50 = 50\). 7. Das Muster zeigt, dass alle Steine in der untersten Reihe den Wert \(50\) haben.

In der untersten Reihe stehen viermal \(50\). Die weiteren Reihen sind \(100, 100, 100\) und \(200, 200\) bis zur Spitze \(400\).

- Beginne ganz oben und arbeite dich nach unten durch Subtraktion vor. - Überprüfe am Ende, ob alle Summen von unten nach oben wieder stimmen.

1. Dritte Reihe rechts: \(800 - 380 = 420\). 2. Zweite Reihe Mitte: \(380 - 180 = 200\). 3. Unterste Reihe links: \(180 - 100 = 80\). 4. Dritter Stein von links in der untersten Reihe: \(200 - 100 = 100\). 5. Zweite Reihe rechts: \(420 - 200 = 220\). 6. Unterste Reihe rechts: \(220 - 100 = 120\).

Die fehlenden Zahlen sind: Unterste Reihe \(80\) und \(100\); zweite Reihe \(200\) und \(220\); dritte Reihe \(420\).

- Schaue dir die Mauer genau an und suche nach „Zahlendreiecken“, bei denen zwei von drei Werten bekannt sind. - Wenn du eine Zahl in der unteren Reihe suchst, musst du manchmal addieren, obwohl es eine Subtraktionsmauer ist.

1. Bestimme die dritte Zahl in der untersten Reihe: \(x - 30 = 70\), also \(x = 100\). 2. Berechne die mittlere Zahl in der zweiten Reihe: \(250 - 100 = 150\). 3. Berechne die rechte Zahl in der dritten Reihe: \(150 - 70 = 80\). 4. Berechne die linke Zahl in der dritten Reihe: \(250 - 150 = 100\). 5. Berechne die Spitze: \(100 - 80 = 20\). 6. Bestimme die ganz linke Zahl unten: \(y - 250 = 250\), also \(y = 500\).

Die unterste Reihe von links nach rechts: \(500, 250, 100, 30\). Die zweite Reihe: \(250, 150, 70\). Die dritte Reihe: \(100, 80\). Die Spitze der Mauer ist die \(20\).

- Nutze die Division, um von einer oberen Zahl auf eine fehlende untere Zahl zu schließen. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende, indem du die Mauer noch einmal von unten nach oben durchrechnest.

1. Berechne die linke Zahl unten: \(x \cdot 3 = 15\), also \(x = 15 : 3 = 5\). 2. Berechne die rechte Zahl in der zweiten Reihe: \(15 \cdot y = 135\), also \(y = 135 : 15 = 9\). 3. Berechne die rechte Zahl unten: \(3 \cdot z = 9\), also \(z = 9 : 3 = 3\).

Die unterste Reihe ist \(5, 3, 3\). In der zweiten Reihe steht rechts die \(9\).

- Wenn dir eine Zahl in der Basis fehlt, überlege: "Welche Zahl minus die bekannte Zahl ergibt den Stein darüber?" - Suche dir eine Stelle, an der bereits zwei von drei zusammengehörenden Steinen bekannt sind.

1. Der mittlere Stein in Reihe 2 ist die Differenz der Basissteine: \(200 - 80 = 120\). 2. Den linken Basisstein finden: \(x - 200 = 300\), also \(x = 500\). 3. Den linken Stein in Reihe 3 berechnen: \(300 - 120 = 180\). 4. Den rechten Stein in Reihe 2 finden: \(120 - y = 75\), also \(y = 45\). 5. Den rechten Basisstein finden: \(80 - z = 45\), also \(z = 35\). 6. Den Spitzenstein berechnen: \(180 - 75 = 105\).

Die vollständige Mauer hat: - Basis: \(500, 200, 80, 35\) - Reihe 2: \(300, 120, 45\) - Reihe 3: \(180, 75\) - Spitze: \(105\)

- Fange dort an, wo du bereits zwei Zahlen einer „Dreiergruppe“ kennst. - Nutze die Division, um von einem Ergebnis auf einen der Faktoren in der Reihe darunter zu kommen.

1. Berechne den linken Stein der zweiten Reihe: \(2 \cdot 1 = 2\). 2. Bestimme die fehlende Zahl in der Basis: \(1 \cdot x = 3\), also \(x = 3\). 3. Berechne den rechten Stein der zweiten Reihe: \(3 \cdot 2 = 6\). 4. Berechne die Steine der dritten Reihe: \(2 \cdot 3 = 6\) und \(3 \cdot 6 = 18\). 5. Berechne die Spitze: \(6 \cdot 18 = 108\).

Die fehlenden Zahlen sind: Basis \(3\), zweite Reihe \(2\) und \(6\), dritte Reihe \(6\) und \(18\), Spitze \(108\).

- Arbeite dich von den bekannten Zahlen aus vorwärts und nutze Lücken, bei denen du schon Nachbarn kennst. - Wenn eine Zahl in der unteren Reihe fehlt, hilft oft die Umkehroperation (Addition statt Subtraktion). - Kontrolliere deine Ergebnisse Zeile für Zeile, um sicherzugehen, dass die Regel überall eingehalten wird.

1. Bestimme den zweiten Stein von links in der untersten Reihe: \(x - 200 = 250\), also \(x = 450\). 2. Berechne den ersten Stein in der zweiten Reihe: \(800 - 450 = 350\). 3. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe: \(350 - 250 = 100\). 4. Bestimme den dritten Stein in der zweiten Reihe: \(250 - y = 100\), also \(y = 150\). 5. Bestimme den letzten Stein unten rechts: \(200 - z = 150\), also \(z = 50\). 6. Berechne die Spitze: \(100 - 100 = 0\).

Die fehlenden Zahlen sind: - Unterste Reihe: \(450\) und \(50\) - Zweite Reihe: \(350\) und \(150\) - Dritte Reihe links: \(100\) - Spitze: \(0\)

- Beginne in der untersten Reihe und überlege: Mit welcher Zahl musst du die \(2\) multiplizieren, um \(4\) zu erhalten? - Wenn du eine Reihe vervollständigt hast, kannst du die Steine darüber berechnen. - Zerlege \(36\) in \(30 + 6\), um die letzte Multiplikation halbschriftlich zu rechnen.

1. Bestimme den zweiten Stein von links in der untersten Reihe: \(2 \cdot x = 4\), also \(x = 2\). 2. Bestimme den dritten Stein: \(2 \cdot y = 6\), also \(y = 3\). 3. Bestimme den rechten Stein: \(3 \cdot z = 6\), also \(z = 2\). 4. Berechne die dritte Reihe: \(4 \cdot 6 = 24\) und \(6 \cdot 6 = 36\). 5. Berechne die Spitze halbschriftlich: \(24 \cdot 36 = 24 \cdot (30 + 6) = 720 + 144 = 864\).

Die fehlenden Zahlen sind: Unterste Reihe: \( 2, 3, 2 \) (von links nach rechts gelesen ab dem zweiten Stein) Dritte Reihe: \( 24, 36 \) Spitze: \( 864 \)

- Berechne die Zielzahlen für alle drei Mauern. - Schau dir an, welche Zahl in jeder Mauer in der Mitte der untersten Reihe steht. - Überlege dir: Welche Zahl wird bei der Berechnung der Zielzahl öfter "benutzt"?

1. Mauer a): \( 2 \cdot 3 = 6 \), \( 3 \cdot 4 = 12 \). Spitze: \( 6 \cdot 12 = 72 \). 2. Mauer b): \( 4 \cdot 3 = 12 \), \( 3 \cdot 2 = 6 \). Spitze: \( 12 \cdot 6 = 72 \). 3. Mauer c): \( 3 \cdot 2 = 6 \), \( 2 \cdot 4 = 8 \). Spitze: \( 6 \cdot 8 = 48 \). 4. Mauern a) und b) haben dasselbe Ergebnis. In Mauer c) steht die kleinste Zahl (\( 2 \)) in der Mitte. Da die mittlere Zahl für beide Steine darüber verwendet wird, wirkt sie sich stärker auf das Endergebnis aus.

Mauer a) und b) haben beide die Zielzahl \( 72 \). Mauer c) hat die Zielzahl \( 48 \). Das Ergebnis von c) ist anders, weil die mittlere Zahl der untersten Reihe bei der Berechnung doppelt gewichtet wird. In Mauer c) ist dies die kleinste Zahl (\( 2 \)), was zu einem kleineren Gesamtergebnis führt.

- Suche nach einem Stein, bei dem schon zwei der drei beteiligten Zahlen bekannt sind. - Wenn die Zahl links unten fehlt, hilft dir die Addition der beiden anderen Zahlen. - Kontrolliere am Ende jede Differenz von unten nach oben.

1. Bestimme den zweiten Stein von links in der untersten Reihe: \(x - 60 = 90\), also \(x = 150\). 2. Berechne den Stein ganz rechts in der zweiten Reihe: \(60 - 20 = 40\). 3. Berechne den Stein ganz links in der zweiten Reihe: \(400 - 150 = 250\). 4. Berechne den linken Stein in der dritten Reihe: \(250 - 90 = 160\). 5. Berechne den rechten Stein in der dritten Reihe: \(90 - 40 = 50\). 6. Berechne die Spitze: \(160 - 50 = 110\).

Die Mauer wird von unten nach oben mit folgenden Zahlen ergänzt: Reihe 1: \(400, 150, 60, 20\) Reihe 2: \(250, 90, 40\) Reihe 3: \(160, 50\) Reihe 4: \(110\)

- Arbeite dich von der Spitze schrittweise nach unten vor. - Überprüfe deine Ergebnisse für die Grundreihe: Ergeben sie zusammenaddiert wirklich die Steine darüber?

1. Dritte Reihe: \(999 - 555 = 444\). 2. Zweite Reihe: \(444 - 244 = 200\) und \(555 - 244 = 311\). 3. Grundreihe: \(200 - 80 = 120\), dann \(244 - 120 = 124\) und \(311 - 124 = 187\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(80\), \(120\), \(124\), \(187\) - Zweite Reihe: \(200\), \(244\), \(311\) - Dritte Reihe: \(444\), \(555\) - Spitze: \(999\)

- Nutze die Symmetrie der Mauer, um Rechenschritte zu sparen. - Achte beim Addieren der Hunderter auf die richtigen Stellenwerte. - Rechne sorgfältig von unten nach oben.

1. Da die Spitze \(920\) und der linke Stein der vierten Reihe \(460\) beträgt, ist der rechte Stein dort \(920 - 460 = 460\). 2. Der linke Stein der dritten Reihe ist \(460 - 240 = 220\), der rechte Stein ebenfalls \(460 - 240 = 220\). 3. Der linke Stein der zweiten Reihe ist \(220 - 120 = 100\). Der zweite Grundstein ist daher \(100 - 45 = 55\). 4. Der dritte Stein der zweiten Reihe ist \(240 - 120 = 120\). Der mittlere Grundstein ist \(120 - 55 = 65\). 5. Der rechte Stein der zweiten Reihe ist \(220 - 120 = 100\). Der vierte Grundstein ist \(120 - 65 = 55\), der rechte Grundstein ist \(100 - 55 = 45\). 6. Die vollständig ausgefüllten Reihen lauten: unten \(45\), \(55\), \(65\), \(55\), \(45\); darüber \(100\), \(120\), \(120\), \(100\); darüber \(220\), \(240\), \(220\); darüber \(460\), \(460\); Spitze \(920\).

Die vollständig ausgefüllte Mauer lautet: - Unterste Reihe: \(45\), \(55\), \(65\), \(55\), \(45\) - Zweite Reihe: \(100\), \(120\), \(120\), \(100\) - Dritte Reihe: \(220\), \(240\), \(220\) - Vierte Reihe: \(460\), \(460\) - Spitze: \(920\)

- Bestimme zuerst, wie viel dem aktuellen Zielstein bis zur \(1000\) fehlt. - Überlege dir, wie stark sich die Spitze einer Zahlenmauer mit vier Grundsteinen ändert, wenn man alle Steine unten um \(1\) erhöht. - Teile den fehlenden Betrag durch diesen Wert.

1. Differenz der Zielsteine: \(1000 - 320 = 680\). 2. In einer Zahlenmauer mit vier Grundsteinen bewirkt eine Erhöhung jedes Grundsteins um \(1\) eine Erhöhung des Zielsteins um \(8\). 3. Berechnung des Betrags: \(680 : 8 = 85\). 4. Jeder Grundstein wurde um \(85\) vergrößert.

Jeder Grundstein wurde um \(85\) vergrößert.

- Suche dir zuerst eine Stelle, an der nur eine Zahl in einem „Zahlendreieck“ (zwei Steine unten, einer oben) fehlt. - Du musst manchmal von oben nach unten rechnen (Subtraktion) und manchmal von unten nach oben (Addition).

1. Stein rechts in der dritten Reihe: \(950 - 450 = 500\). 2. Stein links in der zweiten Reihe: \(450 - 240 = 210\). 3. Stein rechts in der zweiten Reihe: \(500 - 240 = 260\). 4. Zweiter Stein von links in der untersten Reihe: \(210 - 100 = 110\). 5. Dritter Stein von links in der untersten Reihe: \(240 - 110 = 130\). 6. Stein ganz rechts in der untersten Reihe: \(260 - 130 = 130\).

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts: \(100\), \(110\), \(130\), \(130\). Die zweite Reihe lautet: \(210\), \(240\), \(260\). In der dritten Reihe stehen \(450\) und \(500\). Der Deckstein hat den Wert \(950\).