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- Schau dir die Zahlen genau an: Was verändert sich von der ersten zur zweiten Zeile? - Kannst du das Ergebnis der dritten Aufgabe finden, indem du die ersten beiden Ergebnisse nutzt? - Achte darauf, ob du Zehner oder Einer zu der Zahl hinzufügst.

1. Berechnung von Teil a: Zuerst werden die Zehner addiert (\(450 + 30 = 480\)), dann die Einer (\(450 + 6 = 456\)). Das dritte Ergebnis ist die Summe aus dem Grundwert und beiden Werten (\(450 + 36 = 486\)). 2. Berechnung von Teil b: Zuerst werden die Einer addiert (\(720 + 5 = 725\)), dann die Zehner (\(720 + 40 = 760\)). Das dritte Ergebnis kombiniert beide Schritte (\(720 + 45 = 765\)).

a) \(480\), \(456\), \(486\) b) \(725\), \(760\), \(765\)

- Was fällt dir an den Nullen in den Aufgaben auf? - Kannst du die Aufgabe zuerst ohne die Null am Ende rechnen? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn ein Faktor zehnmal so groß wird? - Erinnerst du dich an das kleine Einmaleins?

1. Berechnung des ersten Paares: \(4 \cdot 2 = 8\). Da der zweite Faktor zehnmal so groß ist, gilt \(4 \cdot 20 = 80\). 2. Berechnung des zweiten Paares: \(3 \cdot 5 = 15\). Durch Multiplikation mit \(10\) ergibt sich \(3 \cdot 50 = 150\). 3. Berechnung des dritten Paares: \(6 \cdot 3 = 18\). Mit der Zehnerregel folgt \(6 \cdot 30 = 180\). 4. Berechnung des vierten Paares: \(8 \cdot 4 = 32\). Somit ist \(8 \cdot 40 = 320\).

1) \(4 \cdot 2 = 8\) und \(4 \cdot 20 = 80\) 2) \(3 \cdot 5 = 15\) und \(3 \cdot 50 = 150\) 3) \(6 \cdot 3 = 18\) und \(6 \cdot 30 = 180\) 4) \(8 \cdot 4 = 32\) und \(8 \cdot 40 = 320\)

- Rechne die Aufgaben zuerst sorgfältig aus. - Vergleiche die Zehnerstellen und die Einerstellen der Aufgaben, die das gleiche Ergebnis haben. - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn man eine große Ziffer von der Einerstelle an die Zehnerstelle verschiebt?

1. Berechnung der Summen: \(13 + 46 = 59\), \(16 + 43 = 59\), \(31 + 64 = 95\), \(34 + 61 = 95\). 2. Analyse Teil b): In beiden Aufgaben sind die Zehnerziffern (\(1\) und \(4\)) sowie die Einerziffern (\(3\) und \(6\)) identisch. Sie wurden lediglich innerhalb ihrer Stellenwerte getauscht (\(3+6\) zu \(6+3\)), was die Gesamtsumme nicht verändert. 3. Analyse Teil c): In den letzten beiden Aufgaben wurden die größeren Ziffern (\(3\), \(6\) statt \(1\), \(4\)) an die Zehnerstelle gesetzt. Da Zehner den zehnfachen Wert der Einer haben, steigt die Gesamtsumme deutlich an.

a) \(13 + 46 = 59\); \(16 + 43 = 59\); \(31 + 64 = 95\); \(34 + 61 = 95\). b) Die Zehnerziffern (\(1\) und \(4\)) und die Einerziffern (\(3\) und \(6\)) sind in beiden Aufgaben gleich, sie wurden nur vertauscht. c) Weil bei den letzten beiden Aufgaben größere Ziffern an der Zehnerstelle stehen.

- Schau dir an, wie sich die Zehnerziffer und die Einerziffer von einer Zeile zur nächsten verändern. - Berechne die Ergebnisse der neuen Aufgaben genau. - Überlege, was bei den Zahlen \(41\), \(52\) und \(63\) gemeinsam ist, wenn du die Ziffern voneinander abziehst.

1. Fortsetzen der Serie durch Erhöhen beider Ziffern um 1: \(74 - 47 = 27\) und \(85 - 58 = 27\). 2. Feststellung: Das Ergebnis bleibt immer \(27\), da der Unterschied zwischen Zehner- und Einerziffer bei allen Aufgaben gleich bleibt (Differenz 3). 3. Berechnung der neuen Aufgabe: \(42 - 24 = 18\). Da hier die Zifferndifferenz 2 beträgt, lauten weitere Aufgaben mit diesem Ergebnis zum Beispiel \(53 - 35 = 18\) oder \(64 - 46 = 18\).

a) \(74 - 47 = 27\) und \(85 - 58 = 27\) (auch \(96 - 69 = 27\) ist möglich). b) Das Ergebnis ist immer \(27\). c) \(42 - 24 = 18\). Mögliche weitere Aufgaben: \(31 - 13 = 18\), \(53 - 35 = 18\), \(64 - 46 = 18\), \(75 - 57 = 18\), \(86 - 68 = 18\) oder \(97 - 79 = 18\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Was ist im Vergleich zur vorherigen Zeile gleich geblieben? - Rechne Schritt für Schritt von oben nach unten. - Konzentriere dich immer nur auf die Ziffer, die sich verändert hat.

1. Addition der Hunderter: \(300 + 400 = 700\). 2. Vergrößerung des ersten Summanden um \(50\): \(350 + 400 = 750\). 3. Vergrößerung des zweiten Summanden um \(20\): \(350 + 420 = 770\). 4. Vergrößerung des ersten Summanden um \(8\): \(358 + 420 = 778\). 5. Vergrößerung des zweiten Summanden um \(1\): \(358 + 421 = 779\).

\(300 + 400 = 700\) \(350 + 400 = 750\) \(350 + 420 = 770\) \(358 + 420 = 778\) \(358 + 421 = 779\)

- Vergleiche jede neue Aufgabe mit der Aufgabe darüber. - Welche Stelle (H, Z oder E) musst du neu berechnen? - Nutze das Ergebnis der vorherigen Aufgabe, um die neue Aufgabe leichter zu lösen.

1. Subtraktion der Hunderter: \(800 - 300 = 500\). 2. Änderung der Zehnerziffer im Minuenden: \(870 - 300 = 570\). 3. Änderung der Zehnerziffer im Subtrahenden: \(870 - 340 = 530\). 4. Änderung der Einerziffer im Minuenden: \(879 - 340 = 539\). 5. Änderung der Einerziffer im Subtrahenden: \(879 - 345 = 534\).

\(800 - 300 = 500\) \(870 - 300 = 570\) \(870 - 340 = 530\) \(879 - 340 = 539\) \(879 - 345 = 534\)

- Rechne zuerst die drei Aufgaben aus. - Schau dir die Zahlen an, die du abziehst. Wie verändern sie sich von Aufgabe zu Aufgabe? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du immer mehr abziehst?

1. Berechnung der einzelnen Differenzen durch Subtraktion von Zehnern von \(1000\): a) \(1000 - 20 = 980\), b) \(1000 - 40 = 960\), c) \(1000 - 60 = 940\). 2. Analyse der Zahlenfolge: Der Subtrahend (die abgezogene Zahl) wird in jedem Schritt um \(20\) größer. 3. Schlussfolgerung für das Ergebnis: Dadurch wird das Ergebnis (die Differenz) in jedem Schritt um \(20\) kleiner.

a) \(980\) b) \(960\) c) \(940\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden immer um \(20\) kleiner, weil die Zahl, die abgezogen wird, immer um \(20\) größer wird.

- Schau dir an, welche Ziffern in den Summanden oder beim Subtrahenden dazukommen oder wegfallen. - Überlege dir, ob sich nur die Hunderter, die Zehner oder die Einer verändern. - Kannst du das Ergebnis der nächsten Aufgabe finden, ohne alles neu zu rechnen?

1. Berechnung der ersten Folge: \(300 + 400 = 700\) \(320 + 400 = 720\) (Zehnerstelle ändert sich) \(320 + 450 = 770\) (Zehnerstelle ändert sich) \(326 + 450 = 776\) (Einerstelle ändert sich) \(326 + 451 = 777\) (Einerstelle ändert sich) 2. Berechnung der zweiten Folge: \(800 - 500 = 300\) \(870 - 500 = 370\) (Zehnerstelle ändert sich) \(870 - 530 = 340\) (Zehnerstelle ändert sich) \(879 - 530 = 349\) (Einerstelle ändert sich) \(879 - 534 = 345\) (Einerstelle ändert sich)

a) \(700\), \(720\), \(770\), \(776\), \(777\) b) \(300\), \(370\), \(340\), \(349\), \(345\)

- Rechne zuerst jedes Produkt einzeln aus. - Achte auf die Anzahl der Nullen in den Faktoren und im Ergebnis. - Vergleiche, ob ein Ergebnis genau das Zehnfache eines anderen ist oder ob sie gleich sind.

1. Berechnung der Ergebnisse: a) \(5 \cdot 10 = 50\) und \(5 \cdot 100 = 500\). Das zweite Ergebnis ist das Zehnfache des ersten (eine Null mehr). b) \(8 \cdot 100 = 800\) und \(80 \cdot 10 = 800\). Beide Ergebnisse sind gleich groß. c) \(30 \cdot 10 = 300\) und \(3 \cdot 10 = 30\). Das erste Ergebnis ist das Zehnfache des zweiten. d) \(10 \cdot 10 = 100\) und \(1 \cdot 100 = 100\). Beide Ergebnisse sind gleich groß.

a) \(50\) und \(500\) (Zehnfaches) b) \(800\) und \(800\) (gleich) c) \(300\) und \(30\) (Zehnfaches) d) \(100\) und \(100\) (gleich)

- Rechne zuerst alle sechs Aufgaben in Ruhe aus und schreibe dir die Ergebnisse auf. - Suche nach gleichen Ergebnissen und markiere sie. - Vergleiche die Hunderter, Zehner und Einer der Ergebnisse für die Reihenfolge.

1. Berechnung aller Ergebnisse: \(3 \cdot 1 = 3\) \(30 \cdot 1 = 30\) \(3 \cdot 10 = 30\) \(3 \cdot 100 = 300\) \(30 \cdot 10 = 300\) \(300 \cdot 1 = 300\) 2. Sortierung und Gruppierung: Kleinste Gruppe (Ergebnis 3): \(3 \cdot 1\) Mittlere Gruppe (Ergebnis 30): \(30 \cdot 1\) und \(3 \cdot 10\) Größte Gruppe (Ergebnis 300): \(3 \cdot 100\), \(30 \cdot 10\) und \(300 \cdot 1\)

Reihenfolge: 1. \(3 \cdot 1\) (Ergebnis \(3\)) 2. \(30 \cdot 1\) und \(3 \cdot 10\) (Ergebnis \(30\)) 3. \(3 \cdot 100\), \(30 \cdot 10\) und \(300 \cdot 1\) (Ergebnis \(300\))

- Schau dir an, wie viele Nullen bei der zweiten Zahl im Vergleich zur ersten Zahl dazugekommen sind. - Überlege, mit welcher Zahl du die erste Zahl multiplizieren musst, um das Ergebnis zu erhalten. - Gibt es Paare, bei denen du immer mit derselben Zahl malnimmst?

1. Berechnung der Multiplikationsfaktoren für jedes Paar: \(6 \cdot 10 = 60\), \(2 \cdot 100 = 200\), \(8 \cdot 10 = 80\), \(5 \cdot 100 = 500\), \(40 \cdot 10 = 400\), \(7 \cdot 100 = 700\). 2. Zusammenfassen der Paare mit Faktor 10: \(6 \rightarrow 60\), \(8 \rightarrow 80\), \(40 \rightarrow 400\). Die Regel lautet \(\cdot 10\). 3. Zusammenfassen der Paare mit Faktor 100: \(2 \rightarrow 200\), \(5 \rightarrow 500\), \(7 \rightarrow 700\). Die Regel lautet \(\cdot 100\).

Gruppe 1: \(6 \rightarrow 60\), \(8 \rightarrow 80\), \(40 \rightarrow 400\). Regel: \(\cdot 10\). Gruppe 2: \(2 \rightarrow 200\), \(5 \rightarrow 500\), \(7 \rightarrow 700\). Regel: \(\cdot 100\).

- Berechne für jedes Paar in einer Zeile, mit welcher Zahl multipliziert wurde. - Drei Paare in einer Zeile haben denselben Multiplikator, eines nicht. - Achte bei Aufgabe b) besonders genau auf die Anzahl der Nullen in beiden Zahlen.

1. Überprüfung von Zeile a): Die Paare \(4 \rightarrow 40\), \(8 \rightarrow 80\) und \(3 \rightarrow 30\) folgen der Regel \(\cdot 10\). Das Paar \(5 \rightarrow 500\) folgt der Regel \(\cdot 100\) und ist somit der Ausreißer. 2. Überprüfung von Zeile b): Die Paare \(2 \rightarrow 200\), \(6 \rightarrow 600\) und \(1 \rightarrow 100\) folgen der Regel \(\cdot 100\). Das Paar \(90 \rightarrow 900\) folgt der Regel \(\cdot 10\) (\(90 \cdot 10 = 900\)) und ist somit der Ausreißer.

a) Das Paar \(5 \rightarrow 500\) passt nicht (Regel \(\cdot 100\), während die anderen \(\cdot 10\) nutzen). b) Das Paar \(90 \rightarrow 900\) passt nicht (Regel \(\cdot 10\), während die anderen \(\cdot 100\) nutzen).

- Was verändert sich an der Zahl 8, wenn sie zu einer 80 wird? - Wie wirkt sich diese Veränderung auf das Gesamtergebnis aus? - Kannst du eine Regel finden, was mit der Null am Ende passiert?

1. Der Zusammenhang besteht darin, dass die Zahl \(80\) das Zehnfache von \(8\) ist. Daher ist auch das Ergebnis von \(3 \cdot 80\) das Zehnfache des Ergebnisses von \(3 \cdot 8\). 2. Berechnung von \(5 \cdot 90\): Die Grundaufgabe ist \(5 \cdot 9 = 45\). Das Zehnfache davon ist \(450\). 3. Berechnung von \(7 \cdot 40\): Die Grundaufgabe ist \(7 \cdot 4 = 28\). Das Zehnfache davon ist \(280\).

Zusammenhang: Da \(80\) das Zehnfache von \(8\) ist, ist das Ergebnis von \(3 \cdot 80\) (\(240\)) ebenfalls das Zehnfache von \(3 \cdot 8\) (\(24\)). \(5 \cdot 90 = 450\) \(7 \cdot 40 = 280\)

- Schau dir an, wie sich die Zahlen in den Aufgaben von Schritt zu Schritt verändern. - Vergleiche die erste Aufgabe von Reihe A mit der ersten Aufgabe von Reihe B. Was hat sich verändert? - Rechne zuerst die Ergebnisse aus und vergleiche dann die Zahlen untereinander.

1. Fortsetzung der Reihe A: \(6 \cdot 40 = 240\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(8 \cdot 40 = 320\). In jedem Schritt vergrößert sich das Ergebnis um \(40\). 2. Fortsetzung der Reihe B: \(6 \cdot 80 = 480\), \(7 \cdot 80 = 560\), \(8 \cdot 80 = 640\). In jedem Schritt vergrößert sich das Ergebnis um \(80\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse in Reihe B sind genau doppelt so groß wie die Ergebnisse in Reihe A, da der zweite Faktor von \(40\) auf \(80\) verdoppelt wurde.

Reihe A: \(6 \cdot 40 = 240\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(8 \cdot 40 = 320\). Reihe B: \(6 \cdot 80 = 480\), \(7 \cdot 80 = 560\), \(8 \cdot 80 = 640\). Auffälligkeit: Die Ergebnisse in Reihe B sind immer doppelt so groß wie die Ergebnisse in Reihe A.

- Wie viel musst du zur ersten Zahl addieren, um zur nächsten ersten Zahl zu gelangen? - Bleibt die Zahl, durch die geteilt wird, immer gleich? - Schau dir die Ergebnisse an: Gibt es dort auch einen regelmäßigen Sprung?

1. Bestimmung des Musters beim Dividenden: Die erste Zahl erhöht sich in jedem Schritt um \(120\). 2. Berechnung der nächsten Dividenden: \(360 + 120 = 480\) und \(480 + 120 = 600\). 3. Berechnung der Ergebnisse: \(480 : 6 = 80\) und \(600 : 6 = 100\). 4. Analyse der Veränderung: Wenn der Dividend um \(120\) größer wird, wächst das Ergebnis bei gleichbleibendem Divisor (\(6\)) immer um \(20\).

Die nächsten Aufgaben sind: \(480 : 6 = 80\) \(600 : 6 = 100\) Regel: Der Dividend wird immer um \(120\) größer, dadurch wird das Ergebnis immer um \(20\) größer.

- Rechne zuerst die kleinen Aufgaben aus dem Einmaleins. - Was passiert mit der Zahl, wenn du eine Null an einen der Faktoren hängst? - Vergleiche die Anzahl der Nullen in der Aufgabe mit der Anzahl der Nullen im Ergebnis.

1. Berechnung der Ergebnisse: a) \(24\) und \(240\), b) \(21\) und \(210\), c) \(16\) und \(160\), d) \(45\) und \(450\). 2. Vergleich: In jedem Paar ist das zweite Ergebnis genau zehnmal so groß wie das erste. 3. Regel: Wenn man einen Faktor mit \(10\) multipliziert (eine Null anhängt), wird auch das Gesamtergebnis mit \(10\) multipliziert (es erhält eine zusätzliche Null).

a) \(24\) und \(240\) b) \(21\) und \(210\) c) \(16\) und \(160\) d) \(45\) und \(450\) Das Ergebnis wird jeweils zehnmal so groß (es wird eine Null angehängt).

- Rechne schrittweise: Erst die Zehner wegnehmen, dann die Einer. - Was passiert beim Abziehen der Einer mit dem Zehner der Ausgangszahl? - Die dritte Aufgabe zieht genau das ab, was die ersten beiden Aufgaben einzeln abgezogen haben.

1. Teil a: Subtraktion der Zehner ergibt \(960 - 40 = 920\). Subtraktion der Einer mit Zehnerübergang ergibt \(960 - 8 = 952\). Die Kombination beider Abzüge führt zu \(960 - 48 = 912\). 2. Teil b: Subtraktion der Zehner ergibt \(390 - 70 = 320\). Subtraktion der Einer mit Zehnerübergang ergibt \(390 - 2 = 388\). Die Kombination beider Abzüge führt zu \(390 - 72 = 318\).

a) \(920\), \(952\), \(912\) b) \(320\), \(388\), \(318\)

- Welche kleine Aufgabe aus dem Einmaleins hilft dir bei der großen Aufgabe? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn beim Teiler eine Null dazukommt? - Vergleiche die Aufgaben innerhalb eines Pakets. Fällt dir etwas auf?

1. Für Teil a) wird zunächst die Grundaufgabe \(48 : 6 = 8\) gelöst. Daraus folgt \(48 : 8 = 6\). Da \(480\) das Zehnfache von \(48\) ist, ist auch der Quotient das Zehnfache: Aus \(48 : 6 = 8\) folgt \(480 : 6 = 80\). Für \(480 : 80\) hilft die passende Multiplikation: \(80 \cdot 6 = 480\), also \(480 : 80 = 6\). 2. Für Teil b) ist die Grundaufgabe \(72 : 8 = 9\) und \(72 : 9 = 8\). Analog dazu ergibt \(720 : 80 = 9\) (da \(72 : 8 = 9\)) und \(720 : 9 = 80\) (da \(72 : 9 = 8\)).

a) \(48 : 6 = 8\), \(48 : 8 = 6\), \(480 : 6 = 80\), \(480 : 80 = 6\) b) \(72 : 8 = 9\), \(72 : 9 = 8\), \(720 : 80 = 9\), \(720 : 9 = 80\)

- Was passiert mit der Zahl 28, wenn man eine 0 anhängt? - Schau dir die Faktoren in den Aufgaben genau an – was hat sich von der ersten zur zweiten Aufgabe verändert? - Gibt es andere Zahlen aus dem kleinen Einmaleins, die als Ergebnis 28 haben?

1. Berechnung der Produkte: \(7 \cdot 4 = 28\), \(7 \cdot 40 = 280\) und \(70 \cdot 4 = 280\). 2. Vergleich: Das Produkt ist zehnmal so groß, wenn einer der Faktoren verzehnfacht wird. Es ist egal, welcher der beiden Faktoren die Null am Ende hat (\(7 \cdot 40\) oder \(70 \cdot 4\)). 3. Beispiel für eine weitere Aufgabe mit Ergebnis \(280\): \(28 \cdot 10 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\).

a) \(28\), \(280\) und \(280\). b) Die Ergebnisse mit der Zehnerzahl (\(40\) oder \(70\)) sind gleich groß und zehnmal so groß wie das erste Ergebnis. c) Mögliche Lösungen: \(28 \cdot 10\), \(14 \cdot 20\), \(4 \cdot 70\) oder \(40 \cdot 7\).

- Rechne zuerst alle Aufgaben einzeln aus. - Schau dir die Ergebnisse genau an. Gibt es eine Zahl, die öfter vorkommt? - Welches Ergebnis unterscheidet sich von den anderen?

1. Berechnung der einzelnen Ergebnisse: \(240 : 3 = 80\) \(400 : 5 = 80\) \(560 : 7 = 80\) \(210 : 3 = 70\) \(640 : 8 = 80\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Vier Aufgaben haben das Ergebnis \(80\). Die Aufgabe d) hat das Ergebnis \(70\). 3. Identifikation: Aufgabe d) passt nicht in die Reihe.

Aufgabe d) passt nicht in die Reihe, da ihr Ergebnis \(70\) ist, während alle anderen Aufgaben das Ergebnis \(80\) haben.

- Schau dir an, wie sich die Teiler (\(2\), \(4\) und \(8\)) verändern. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du durch eine größere Zahl teilst? - Vergleiche die Ergebnisse der Aufgaben nacheinander. - Kannst du das Ergebnis der ersten Aufgabe nutzen, um die zweite leichter zu lösen?

1. Berechnung von \(640 : 2\): Das Ergebnis ist \(320\). 2. Berechnung von \(640 : 4\): Da der Teiler verdoppelt wurde, wird das Ergebnis halbiert. \(320 : 2 = 160\). 3. Berechnung von \(640 : 8\): Da der Teiler erneut verdoppelt wurde, wird das Ergebnis wieder halbiert. \(160 : 2 = 80\). 4. Feststellung der Regel: Wenn der Teiler bei gleichem Dividenden verdoppelt wird, halbiert sich das Ergebnis.

a) \(320\) b) \(160\) c) \(80\) Regel: Wenn sich der Teiler verdoppelt, halbiert sich der Quotient.

- Rechne zuerst die Aufgaben mit der \(10\). - Vergleiche die beiden Ergebnisse in jedem Paar. Was fällt dir auf? - Wie oft passt die \(20\) in eine Zahl im Vergleich zur \(10\)? - Kannst du eine Regel formulieren, die das Halbieren nutzt?

1. Berechnung für a): \(340 : 10 = 34\). Da \(20\) das Doppelte von \(10\) ist, ist das Ergebnis der Division durch \(20\) die Hälfte: \(34 : 2 = 17\). 2. Berechnung für b): \(520 : 10 = 52\). Die Hälfte von \(52\) ist \(26\), also \(520 : 20 = 26\). 3. Berechnung für c): \(780 : 10 = 78\). Die Hälfte von \(78\) ist \(39\), also \(780 : 20 = 39\). 4. Feststellung: Das Ergebnis der Division durch \(20\) ist immer genau die Hälfte des Ergebnisses der Division durch \(10\).

a) \(340 : 10 = 34\), \(340 : 20 = 17\) b) \(520 : 10 = 52\), \(520 : 20 = 26\) c) \(780 : 10 = 78\), \(780 : 20 = 39\) Regel: Halbiere den Quotienten der Division durch \(10\), um den Quotienten der Division durch \(20\) zu erhalten.

- Schau dir die Teiler genau an. Fällt dir eine Beziehung zwischen ihnen auf? - Wenn du die erste Aufgabe einer Reihe gelöst hast, hilft dir das Ergebnis vielleicht bei der nächsten? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn sich der Teiler verdoppelt? - Du kannst die große Zahl auch in zwei kleinere Zahlen zerlegen, die leichter zu teilen sind.

1. Berechnung von \(360 : 2 = 180\). 2. Berechnung von \(360 : 4 = 90\) (da \(4\) das Doppelte von \(2\) ist, wird das Ergebnis halbiert). 3. Berechnung von \(360 : 8 = 45\) (da \(8\) das Doppelte von \(4\) ist, wird das Ergebnis halbiert). 4. Berechnung von \(360 : 3 = 120\). 5. Berechnung von \(360 : 6 = 60\) (da \(6\) das Doppelte von \(3\) ist, wird das Ergebnis halbiert). 6. Berechnung von \(360 : 9 = 40\) (da \(9\) das Dreifache von \(3\) ist, wird das Ergebnis durch \(3\) geteilt).

a) \(180\), \(90\), \(45\) b) \(120\), \(60\), \(40\)

- Schau dir an, um wie viel die erste Zahl von Zeile zu Zeile wächst. - Überlege, ob das Ergebnis im gleichen Maße wächst oder schrumpft. - Wie viel musst du zu \(370\) dazutun, um auf \(400\) zu kommen?

1. Analyse der Summanden: Der erste Summand wird in jedem Schritt um \(10\) größer (\(360 - 350 = 10\) und \(370 - 360 = 10\)). 2. Beobachtung der Summe: Da einer der Summanden um \(10\) wächst und der andere gleich bleibt, erhöht sich auch die Summe in jedem Schritt um \(10\) (\(480 - 470 = 10\) und \(490 - 480 = 10\)). 3. Anwendung auf die neue Aufgabe: Die Zahl \(400\) ist um \(30\) größer als \(370\) (\(400 - 370 = 30\)). 4. Berechnung des neuen Ergebnisses: Da der Summand um \(30\) vergrößert wurde, muss auch das Ergebnis um \(30\) wachsen: \(490 + 30 = 520\).

a) Der erste Summand wird immer um \(10\) größer. b) Das Ergebnis wird ebenfalls immer um \(10\) größer. c) Das Ergebnis ist \(520\).

- Stell dir die Rechnung mit einfachen Zahlen vor, zum Beispiel \(10 + 10 = 20\). Was passiert dort, wenn du eine Zahl änderst? - Überlege dir schrittweise, ob das Gesamtergebnis durch die Änderung größer oder kleiner werden muss. - Kannst du die beiden Änderungen zu einer einzigen Veränderung zusammenfassen?

1. Wenn zu einem Summanden eine Zahl addiert wird, erhöht sich die Summe um denselben Betrag. Die Summe vergrößert sich also um \(80\). 2. Wenn von einem Summanden eine Zahl subtrahiert wird, verringert sich die Summe um diesen Betrag. Die Summe verkleinert sich also um \(30\). 3. Bei gleichzeitiger Durchführung beider Änderungen wird die Summe erst um \(80\) größer und dann um \(30\) kleiner. Die Gesamtänderung berechnet sich durch \(80 - 30 = 50\). 4. Die neue Summe ergibt sich aus der ursprünglichen Summe plus der Gesamtänderung: \(450 + 50 = 500\).

a) Die Summe vergrößert sich um \(80\). b) Die Summe verkleinert sich um \(30\). c) Die neue Summe lautet \(500\). Die Summe ist insgesamt um \(50\) größer geworden, da \(80 - 30 = 50\) ist.

- Probiere es mit einer einfachen Beispielaufgabe wie \(100 - 20 = 80\) aus. - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Anfang mehr hast? - Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr wegnimmst?

1. Teilaufgabe a: Wenn die Zahl, von der abgezogen wird (Minuend), um \(65\) größer wird, vergrößert sich auch der Abstand zur zweiten Zahl. Das Ergebnis (die Differenz) steigt um \(65\). 2. Teilaufgabe b: Wenn die Zahl, die abgezogen wird (Subtrahend), um \(65\) größer wird, bleibt weniger vom Minuenden übrig. Das Ergebnis (die Differenz) sinkt um \(65\).

a) Die Differenz vergrößert sich um \(65\). b) Die Differenz verkleinert sich um \(65\).

- Was passiert mit einer Summe, wenn man nur eine Zahl verändert? - Rechne zuerst aus, wie die beiden Zahlen nach der Änderung heißen. - Vergleiche dann dein neues Ergebnis mit der Zahl 550. - Du kannst auch überlegen: Wenn du 50 dazugibst, aber 80 wegnimmst, hast du dann am Ende mehr oder weniger als vorher?

1. Berechnung des ersten neuen Summanden: \(430 + 50 = 480\). 2. Berechnung des zweiten neuen Summanden: \(120 - 80 = 40\). 3. Berechnung der neuen Summe: \(480 + 40 = 520\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(550 - 520 = 30\). 5. Die Summe hat sich insgesamt um \(30\) verringert, da die Verringerung (\(80\)) stärker war als die Erhöhung (\(50\)).

Das neue Ergebnis ist \(520\). Das Ergebnis ist im Vergleich zum ursprünglichen Ergebnis um \(30\) kleiner geworden.

- Kannst du die erste Aufgabe mit einer Minusrechnung lösen? - Überlege bei b), wie sich das Ergebnis verändert, wenn du am Anfang mehr Geld hast, aber die Kosten gleich bleiben. - Was passiert bei c) mit dem Restgeld, wenn du mehr ausgeben musst? - Musst du bei b) und c) wirklich alles neu rechnen oder kannst du das Ergebnis von a) nutzen?

1. Berechnung des Restbetrags durch Subtraktion der Kosten vom Ersparten: \(350\,\text{€} - 120\,\text{€} = 230\,\text{€}\). 2. Anpassung des Startbetrags um \(+100\,\text{€}\): \(450\,\text{€} - 120\,\text{€} = 330\,\text{€}\). Alternativ: Das Ergebnis aus a) erhöht sich um den gleichen Betrag (\(230\,\text{€} + 100\,\text{€} = 330\,\text{€}\)). 3. Anpassung der Kosten um \(+20\,\text{€}\): \(350\,\text{€} - 140\,\text{€} = 210\,\text{€}\). Alternativ: Das Ergebnis aus a) verringert sich um diesen Betrag (\(230\,\text{€} - 20\,\text{€} = 210\,\text{€}\)).

a) \(230\,\text{€}\) b) \(330\,\text{€}\) c) \(210\,\text{€}\)

- Vergleiche die Startanzahl der Brötchen bei beiden Bäckern. - Wenn die Verkaufszahl gleich bleibt, wie wirkt sich der Unterschied am Anfang auf das Endergebnis aus? - Musst du für die zweite Aufgabe wirklich eine ganz neue Minusaufgabe rechnen?

1. Berechnung für den ersten Bäcker: \(150 - 65 = 85\). 2. Da der zweite Bäcker \(20\) Brötchen weniger startete (\(150 - 20 = 130\)) und die gleiche Menge verkaufte, muss auch sein Rest um \(20\) kleiner sein als beim ersten Bäcker. 3. Berechnung für den zweiten Bäcker: \(85 - 20 = 65\).

a) Dem ersten Bäcker bleiben \(85\) Brötchen übrig. b) Dem zweiten Bäcker bleiben \(65\) Brötchen übrig.

- Überlege dir zuerst, was passiert, wenn du nur eine der beiden Zahlen veränderst. - Wird das Gesamtergebnis größer oder kleiner, wenn du eine Zahl in einer Plusaufgabe verkleinerst? - Du kannst die Veränderungen nacheinander auf das Ergebnis anwenden.

1. Berechnung der Veränderung durch den ersten Summanden: Eine Vergrößerung eines Summanden vergrößert die Gesamtsumme um denselben Betrag, also \(420 + 50 = 470\). 2. Berechnung der Veränderung durch den zweiten Summanden: Eine Verkleinerung eines Summanden verringert die Gesamtsumme um denselben Betrag, also \(470 - 30 = 440\). 3. Die neue Summe beträgt \(440\).

Die neue Summe ist \(440\).

- Rechne zuerst die Aufgaben aus Teil a) aus und schaue dir die Ergebnisse genau an. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die erste Zahl einer Minusaufgabe größer wird? - Wie lautet der neue Subtrahend, wenn du \(100\) um \(50\) vergrößerst? - Überlege dir, ob das Ergebnis kleiner oder größer werden muss, wenn man mehr abzieht.

1. Berechnung der Ergebnisse: \(400 - 100 = 300\), \(450 - 100 = 350\), \(500 - 100 = 400\). 2. Vergleich der Ergebnisse aus Teil a: Wenn der Minuend um \(50\) vergrößert wird, steigt auch das Ergebnis (die Differenz) um \(50\). 3. Berechnung für Teil c: Bei \(400 - (100 + 50) = 400 - 150\) ergibt sich \(250\). 4. Vergleich mit dem ursprünglichen Ergebnis: Das Ergebnis verringert sich um \(50\), wenn der Subtrahend um \(50\) vergrößert wird.

a) \(300\), \(350\), \(400\). b) Das Ergebnis vergrößert sich ebenfalls um \(50\). c) Das Ergebnis verringert sich um \(50\).

- Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Was passiert mit dem Abstand, wenn die hintere Zahl näher an die vordere heranrückt? - Probiere es zuerst mit ganz einfachen Zahlen aus, zum Beispiel \(10 - 4 = 6\). Was passiert, wenn du die \(4\) um \(2\) vergrößerst? - Wird der Rest größer oder kleiner, wenn du mehr wegnimmst?

1. Identifikation der Rollen: Die kleinere Zahl in einer Differenz ist der Subtrahend. 2. Analyse der Änderung: Wenn der Subtrahend um einen Betrag vergrößert wird, verringert sich die Differenz um genau diesen Betrag. 3. Berechnung der neuen Differenz: \(240 - 60 = 180\).

Der neue Unterschied beträgt \(180\).

- Kannst du die Aufgabe mit einer Minusrechnung lösen? - Überlege bei Teil b), ob der Restbetrag größer oder kleiner werden muss, wenn man schon mehr geschafft hat. - Was passiert bei Teil c) mit der Lücke zum Ziel, wenn das Ziel weiter nach oben rutscht?

1. Berechnung des fehlenden Betrags durch Subtraktion des bereits gesparten Geldes vom Zielbetrag: \(450\,\text{€} - 280\,\text{€} = 170\,\text{€}\). 2. Wenn \(30\,\text{€}\) mehr gespart worden wären, verringert sich der fehlende Betrag um diesen Wert: \(170\,\text{€} - 30\,\text{€} = 140\,\text{€}\). 3. Wenn der Gesamtpreis um \(30\,\text{€}\) steigt, erhöht sich auch der fehlende Betrag um diesen Wert: \(170\,\text{€} + 30\,\text{€} = 200\,\text{€}\).

a) Es fehlen noch \(170\,\text{€}\). b) Es würden noch \(140\,\text{€}\) fehlen. c) Es würden noch \(200\,\text{€}\) fehlen.

- Wie viele Bilder hat Lukas nach der Abgabe noch? - Wie viele Bilder hat Marie nach der Abgabe noch? - Vergleiche die Startzahlen und die abgegebenen Zahlen von Lukas und Marie. Fällt dir etwas auf? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man beide Zahlen um den gleichen Betrag vergrößert?

1. Berechnung der restlichen Bilder bei Lukas: \(360 - 140 = 220\). 2. Berechnung der restlichen Bilder bei Marie: \(390 - 170 = 220\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide haben mit \(220\) gleich viele Bilder übrig. 4. Logische Begründung: Marie hat \(30\) Bilder mehr als Lukas (\(390 - 360 = 30\)), gibt aber auch genau \(30\) Bilder mehr ab (\(170 - 140 = 30\)). Da Minuend und Subtrahend um denselben Betrag erhöht wurden, bleibt die Differenz gleich.

Beide haben am Ende gleich viele Bilder übrig (\(220\) Stück). Marie hat zwar \(30\) Bilder mehr als Lukas, gibt aber auch \(30\) Bilder mehr ab als er.

- Schau dir die erste Zahl (den Minuenden) bei beiden Aufgaben an. Was fällt dir auf? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man eine größere Zahl abzieht? - Vergleiche nur die Zahlen, die abgezogen werden. Wie groß ist der Unterschied zwischen ihnen?

1. Vergleich der Minuenden: Beide Kinder beginnen mit der Zahl \(500\). 2. Vergleich der Subtrahenden: Ben zieht mit \(180\) eine größere Zahl ab als Anja mit \(140\). 3. Logische Schlussfolgerung: Je mehr abgezogen wird, desto kleiner ist der Rest. Da Ben mehr abzieht, muss Anjas Ergebnis größer sein. 4. Berechnung des Unterschieds: Die Differenz der Subtrahenden beträgt \(180 - 140 = 40\). 5. Ergebnis: Anjas Ergebnis ist um \(40\) größer als das von Ben.

Anja erhält das größere Ergebnis. Es ist um \(40\) größer als das Ergebnis von Ben.

- Überlege dir zuerst, was passiert, wenn du von einer Menge mehr wegnimmst. - Was passiert, wenn du am Anfang schon mehr hast, aber die gleiche Menge wegnimmst? - Du kannst die neuen Aufgaben einfach ausrechnen und mit dem alten Ergebnis vergleichen.

1. Berechnung für Teil a): Die erste Zahl wird zu \(580 + 40 = 620\). Die neue Rechnung lautet \(620 - 230 = 390\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als vorher (\(390 - 350 = 40\)). 2. Berechnung für Teil b): Die zweite Zahl wird zu \(230 + 40 = 270\). Die neue Rechnung lautet \(580 - 270 = 310\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als vorher (\(350 - 310 = 40\)).

a) Das Ergebnis wird um \(40\) größer (neues Ergebnis: \(390\)). b) Das Ergebnis wird um \(40\) kleiner (neues Ergebnis: \(310\)).

- Rechne zuerst alle Aufgaben nacheinander aus. - Vergleiche die Endergebnisse der vier Rechnungen. - Gibt es eine Gemeinsamkeit zwischen den Zahlen, die herausgekommen sind?

1. Berechnung der einzelnen Summen: \(260 + 380 = 640\) \(450 + 190 = 640\) \(170 + 470 = 640\) \(540 + 100 = 640\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Alle vier Rechnungen führen zum gleichen Ergebnis \(640\).

a) \(640\) b) \(640\) c) \(640\) d) \(640\) Auffälligkeit: Alle Ergebnisse sind gleich.

- Schau dir die Zahlen \(4\) und \(8\) genau an. In welcher Beziehung stehen sie zueinander? - Musst du für die zweite Reihe wirklich alles neu rechnen oder hilft dir das erste Ergebnis? - Vergleiche die Ergebnisse für die Zahl \(60\) in beiden Reihen. Was bemerkst du?

1. Multiplikation mit \(4\): \(60 \cdot 4 = 240\) \(80 \cdot 4 = 320\) \(110 \cdot 4 = 440\) \(120 \cdot 4 = 480\) 2. Multiplikation mit \(8\): \(60 \cdot 8 = 480\) \(80 \cdot 8 = 640\) \(110 \cdot 8 = 880\) \(120 \cdot 8 = 960\) 3. Vergleich: Die Ergebnisse der \(8\)er-Reihe sind jeweils genau doppelt so groß wie die Ergebnisse der \(4\)er-Reihe, da \(8\) das Doppelte von \(4\) ist.

Ergebnisse für \(\cdot 4\): \(240\), \(320\), \(440\), \(480\). Ergebnisse für \(\cdot 8\): \(480\), \(640\), \(880\), \(960\). Auffälligkeit: Die Ergebnisse der \(8\)er-Reihe sind doppelt so groß wie die der \(4\)er-Reihe.

- Kannst du die große Zahl am Anfang in zwei einfachere Zahlen zerlegen, die du gut durch den Teiler teilen kannst? - Denke an die Zehnerzahlen: Wie oft passt der Teiler in den Hunderter-Teil der Zahl? - Hilft es dir, erst die Aufgabe ohne die Null am Ende zu betrachten und dann die Zehnerstelle wieder zu berücksichtigen?

1. Berechnung von \(420 : 3\): Zerlegung in \(300 : 3 = 100\) und \(120 : 3 = 40\), ergibt \(140\). 2. Berechnung von \(560 : 4\): Zerlegung in \(400 : 4 = 100\) und \(160 : 4 = 40\), ergibt \(140\). 3. Berechnung von \(700 : 5\): Zerlegung in \(500 : 5 = 100\) und \(200 : 5 = 40\), ergibt \(140\). 4. Berechnung von \(840 : 6\): Zerlegung in \(600 : 6 = 100\) und \(240 : 6 = 40\), ergibt \(140\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Alle vier Aufgaben haben das gleiche Ergebnis \(140\).

a) \(140\) b) \(140\) c) \(140\) d) \(140\) Alle Ergebnisse sind gleich groß.

- Wie hängen die Zahlen 4 und 8 zusammen? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Teilung, wenn du durch eine größere Zahl teilst? - Schau dir die Ergebnisse paarweise für jede Startzahl an.

1. Division durch \(4\): \(160 : 4 = 40\), \(320 : 4 = 80\), \(480 : 4 = 120\), \(640 : 4 = 160\), \(800 : 4 = 200\). 2. Division durch \(8\): \(160 : 8 = 20\), \(320 : 8 = 40\), \(480 : 8 = 60\), \(640 : 8 = 80\), \(800 : 8 = 100\). 3. Vergleich: Da der Divisor \(8\) doppelt so groß ist wie der Divisor \(4\), sind die Ergebnisse bei der Division durch \(8\) genau halb so groß wie bei der Division durch \(4\).

Ergebnisse für \(: 4\): \(40\), \(80\), \(120\), \(160\), \(200\). Ergebnisse für \(: 8\): \(20\), \(40\), \(60\), \(80\), \(100\). Feststellung: Die Ergebnisse der Division durch \(8\) sind halb so groß wie die Ergebnisse der Division durch \(4\).

- Überlege dir, wie sich die Waage verändert, wenn du auf einer Seite etwas hinzufügst oder wegnimmst. - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn nur ein Teil der Plusaufgabe geändert wird? - Wenn beide Zahlen größer werden, wird dann das Gesamtergebnis viel größer oder kleiner?

1. Erhöhung eines Summanden um \(40\): Die Summe vergrößert sich ebenfalls um \(40\). Das neue Ergebnis wäre \(350 + 40 = 390\). 2. Verringerung eines Summanden um \(30\): Die Summe verringert sich ebenfalls um \(30\). Das neue Ergebnis wäre \(350 - 30 = 320\). 3. Gleichzeitige Erhöhung beider Summanden um \(20\): Die Summe vergrößert sich um die Gesamtsumme der Änderungen, also um \(20 + 20 = 40\). 4. Berechnung des neuen Ergebnisses für Teil c): \(350 + 40 = 390\).

a) Das Ergebnis vergrößert sich um \(40\). b) Das Ergebnis verringert sich um \(30\). c) Das Ergebnis vergrößert sich um \(40\). Das neue Ergebnis ist \(390\).

- Überlege dir zuerst, wie sich das Ergebnis verändert, wenn du nur eine der beiden Zahlen änderst. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du etwas wegnimmst? Was passiert, wenn du etwas hinzufügst? - Du kannst dir auch eine einfache Beispielaufgabe ausdenken, zum Beispiel \(200 + 200\), und die Änderungen dort ausprobieren.

1. Bestimmung der Änderung durch den ersten Summanden: Die Summe erhöht sich um \(120\). 2. Bestimmung der Änderung durch den zweiten Summanden: Die Summe verringert sich um \(150\). 3. Berechnung der Gesamtänderung: \(+120 - 150 = -30\). 4. Die Summe wird insgesamt um \(30\) kleiner.

Die Summe verringert sich um \(30\).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du von einer Zahl weniger wegnimmst als vorher? - Probiere es zuerst mit einer ganz einfachen Aufgabe aus, zum Beispiel \(10 - 5 = 5\). Was passiert, wenn du statt \(5\) nur \(3\) abziehst? - Überlege, ob sich die Differenz in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung wie der Subtrahend verändert.

1. Die ursprüngliche Differenz ist \(a - b = 380\). 2. Wenn der Subtrahend um \(40\) verkleinert wird, lautet die neue Rechnung \(a - (b - 40)\). 3. Da weniger abgezogen wird, vergrößert sich die Differenz um diesen Betrag. 4. Die neue Differenz berechnet sich durch \(380 + 40 = 420\).

Die neue Differenz ist \(420\).

- Beginne damit, die beiden Steine in der mittleren Reihe zu berechnen, indem du die jeweils darunterliegenden Steine addierst. - Wenn du die mittlere Reihe hast, kannst du diese beiden Zahlen addieren, um den obersten Stein zu finden. - Vergleiche die Zahlen im untersten mittleren Stein von Mauer A, Mauer B und Mauer C. Um wie viel werden sie größer? - Vergleiche nun die Zahlen in den obersten Steinen. Fällt dir ein Zusammenhang auf? - Überlege, wie oft die untere mittlere Zahl in die Berechnung des obersten Steins einfließt.

1. Berechnen der fehlenden Steine für jede Mauer: - Mauer A: Die mittlere Reihe ergibt sich aus \(10 + 15 = 25\) und \(15 + 12 = 27\). Der oberste Stein ist \(25 + 27 = 52\). - Mauer B: Die mittlere Reihe ergibt sich aus \(10 + 20 = 30\) und \(20 + 12 = 32\). Der oberste Stein ist \(30 + 32 = 62\). - Mauer C: Die mittlere Reihe ergibt sich aus \(10 + 25 = 35\) und \(25 + 12 = 37\). Der oberste Stein ist \(35 + 37 = 72\). 2. Vergleich der Ergebnisse: - Die Spitzenzahlen sind \(52\), \(62\) und \(72\). Sie erhöhen sich von Mauer zu Mauer um jeweils \(10\). - Erklärung: Der mittlere Stein der untersten Reihe wird sowohl für den linken als auch den rechten Stein der mittleren Reihe benötigt. Er fließt somit doppelt in die Berechnung des obersten Steins ein. Eine Erhöhung der unteren Mitte um \(5\) bewirkt daher eine Erhöhung der Spitze um \(2 \cdot 5 = 10\).

1. Die ausgefüllten Mauern haben folgende Werte: - **Mauer A**: Mittlere Reihe: \(25\) und \(27\); Spitze: \(52\) - **Mauer B**: Mittlere Reihe: \(30\) und \(32\); Spitze: \(62\) - **Mauer C**: Mittlere Reihe: \(35\) und \(37\); Spitze: \(72\) 2. Wenn sich die untere mittlere Zahl um \(5\) erhöht, wird die Spitze um \(10\) größer. Das liegt daran, dass die untere Mittelzahl doppelt in die Spitze einfließt, da sie für beide Steine der mittleren Reihe benötigt wird.

- Schau dir die Steine an, bei denen du bereits zwei Nachbarsteine kennst. - Wenn ein Stein über zwei anderen Steinen liegt, ist sein Wert die Summe dieser beiden Steine. - Wenn der obere Stein und einer der beiden unteren Steine bekannt sind, kannst du den fehlenden unteren Stein durch eine Minusaufgabe finden. - Vergleiche nach dem Lösen die unterste Reihe von Mauer A und Mauer B. Was hat sich verändert und wie wirkt sich das auf die Spitze aus?

1. Berechnung für Mauer A: - Der Stein unten links berechnet sich durch Subtraktion: \(32 - 15 = 17\). - Der Stein in der Mitte rechts ist die Summe der beiden Steine darunter: \(15 + 24 = 39\). - Der Stein an der Spitze ist die Summe der beiden Steine der mittleren Reihe: \(32 + 39 = 71\). 2. Berechnung für Mauer B: - Der Stein unten links berechnet sich durch Subtraktion: \(35 - 15 = 20\). - Der Stein in der Mitte rechts ist die Summe der beiden Steine darunter: \(15 + 24 = 39\). - Der Stein an der Spitze ist die Summe der beiden Steine der mittleren Reihe: \(35 + 39 = 74\). 3. Vergleich der Mauern: - Der Stein unten links ist bei Mauer B um \(3\) größer als bei Mauer A (\(20\) statt \(17\)). - Da dieser Stein zur Summe an der Spitze beiträgt, ist auch der oberste Stein bei Mauer B um genau \(3\) größer als bei Mauer A (\(74\) statt \(71\)).

Mauer A: - Untere Reihe: \(17\), \(15\), \(24\) - Mittlere Reihe: \(32\), \(39\) - Spitze: \(71\) Mauer B: - Untere Reihe: \(20\), \(15\), \(24\) - Mittlere Reihe: \(35\), \(39\) - Spitze: \(74\) Erklärung: Der Stein unten links ist bei Mauer B um \(3\) größer als bei Mauer A (\(20\) statt \(17\)). Dadurch wird auch der Stein ganz oben bei Mauer B um genau \(3\) größer (\(74\) statt \(71\)).

- Wie berechnet man die Steine in einer Zahlenmauer? Denke daran, dass ein Stein immer die Summe der beiden Steine direkt darunter ist. - Schreibe dir die Rechnungen für die erste Mauer auf und vergleiche sie mit den Rechnungen für die zweite Mauer. - Fällt dir etwas auf, wenn du die Erhöhung der Grundsteine mit der Erhöhung des Zielsteins vergleichst? - Welcher Grundstein wird für die Berechnung des Zielsteins besonders oft mitgezählt?

1. Berechnung der ersten Mauer: Die Steine in der zweiten Reihe lauten \(6 + 8 = 14\) und \(8 + 12 = 20\). Der Zielstein an der Spitze ist \(14 + 20 = 34\). 2. Erhöhung der Grundsteine um \(2\): Die neuen Grundsteine sind \(8\), \(10\) und \(14\). Die Steine der zweiten Reihe sind \(8 + 10 = 18\) und \(10 + 14 = 24\). Der neue Zielstein ist \(18 + 24 = 42\). Er ist um \(42 - 34 = 8\) größer als der alte. 3. Werden alle drei Grundsteine um denselben Betrag erhöht, wächst der Zielstein um das Vierfache dieses Betrags: Die beiden äußeren Grundsteine zählen jeweils einmal, der mittlere Grundstein zählt zweimal. Bei einer Erhöhung um \(5\) wird der Zielstein daher um \(4 \cdot 5 = 20\) größer.

a) Der Zielstein der ersten Zahlenmauer ist \(34\). b) Der neue Zielstein ist \(42\). Er ist um \(8\) größer als der erste Zielstein. c) Wenn jeder Grundstein um \(5\) erhöht wird, wird der Zielstein um \(20\) größer (neuer Zielstein: \(54\)).

- Berechne zuerst beide Mauern vollständig, bevor du sie vergleichst. - Schau dir genau an, welche Steine in der zweiten Reihe vom mittleren Stein der Grundreihe beeinflusst werden. - Überlege dir, warum die Änderung unten an der Spitze „doppelt“ ankommen könnte.

1. Berechnung Mauer a): Untere Reihe ist \(8, 10, 12\). Zweite Reihe ergibt sich zu \(8 + 10 = 18\) und \(10 + 12 = 22\). Die Spitze ist \(18 + 22 = 40\). 2. Berechnung Mauer b): Untere Reihe ist \(8, 11, 12\). Zweite Reihe ergibt sich zu \(8 + 11 = 19\) und \(11 + 12 = 23\). Die Spitze ist \(19 + 23 = 42\). 3. Vergleich: Der mittlere Stein unten wurde um \(1\) erhöht (\(11 - 10 = 1\)). Die Spitze hat sich um \(2\) erhöht (\(42 - 40 = 2\)).

a) In Mauer a) steht an der Spitze \(40\), in Mauer b) steht an der Spitze \(42\). b) Wird der mittlere Stein in der untersten Reihe um \(1\) erhöht, steigt die Zahl an der Spitze um \(2\).

- Ein Stein in einer Zahlenmauer ist immer die Summe der beiden Steine direkt darunter. - Berechne die Mauer Schritt für Schritt von unten nach oben. - Vergleiche am Ende dein Ergebnis der Additionsaufgabe mit der Zahl im obersten Stein.

1. Berechnung der zweiten Reihe: \(15 + 22 = 37\) und \(22 + 13 = 35\). 2. Berechnung des Decksteins: \(37 + 35 = 72\). 3. Summe der untersten Reihe: \(15 + 22 + 13 = 50\). 4. Addition der Mittelzahl: \(50 + 22 = 72\). 5. Ergebnis: Die berechnete Summe entspricht genau dem Wert des Decksteins.

a) Die Steine der zweiten Reihe sind 37 und 35. Der Deckstein ist 72. b) Die Rechnung lautet: \(15 + 22 + 13 + 22 = 72\). Das Ergebnis ist genau die Zahl im Deckstein.

- Rechne zuerst die Mauer im Bild fertig aus. - Erstelle eine zweite Mauer, bei der jeder Stein in der untersten Reihe um \(3\) größer ist. - Vergleiche die beiden Ergebnisse an der Spitze.

1. Berechnung des ursprünglichen Zielsteins: \(1 + 4 = 5\), \(4 + 2 = 6\), \(5 + 6 = 11\). 2. Erhöhung der Grundsteine um \(3\): Die neuen Grundsteine sind \(4\), \(7\) und \(5\). 3. Berechnung des neuen Zielsteins: \(4 + 7 = 11\), \(7 + 5 = 12\), \(11 + 12 = 23\). 4. Differenz berechnen: \(23 - 11 = 12\). Der Zielstein wird um \(12\) größer.

Der Zielstein wird um \(12\) größer.

- Probiere beide Veränderungen nacheinander aus. - Achte darauf, wie oft der Wert eines Grundsteins in das Ergebnis an der Spitze einfließt.

1. Ursprünglicher Zielstein: \(5 + 10 = 15\), \(10 + 5 = 15\), \(15 + 15 = 30\). 2. Mittlerer Stein \(+5\): Grundsteine \(5, 15, 5\). Neuer Zielstein: \(5 + 15 = 20\), \(15 + 5 = 20\), \(20 + 20 = 40\). Erhöhung um \(10\). 3. Äußere Steine \(+5\): Grundsteine \(10, 10, 10\). Neuer Zielstein: \(10 + 10 = 20\), \(10 + 10 = 20\), \(20 + 20 = 40\). Erhöhung um \(10\). 4. Ergebnis: In beiden Fällen erhöht sich der Zielstein um \(10\).

In beiden Fällen erhöht sich der Zielstein um genau \(10\).

- Schau dir die Zahlen an, die abgezogen werden. Wie verändern sie sich von Aufgabe zu Aufgabe? - Wenn du die erste Aufgabe gelöst hast, kannst du das Ergebnis für die nächste nutzen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du immer \(100\) mehr abziehst?

1. Berechnung von \(500 - 142\): \(500 - 100 = 400\), \(400 - 40 = 360\), \(360 - 2 = 358\). 2. Berechnung von \(500 - 242\): Da der Subtrahend um \(100\) größer ist als bei der ersten Aufgabe, muss das Ergebnis um \(100\) kleiner sein: \(358 - 100 = 258\). 3. Berechnung von \(500 - 342\): Da der Subtrahend erneut um \(100\) größer ist, verringert sich das Ergebnis wieder um \(100\): \(258 - 100 = 158\).

a) \(358\) b) \(258\) c) \(158\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden immer um \(100\) kleiner.

- Überlege dir zuerst, welche Ziffern an der Zehnerstelle und welche an der Einerstelle stehen. - Wenn du die Zehnerziffern festlegst, bleiben nur noch zwei Ziffern für die Einerstellen übrig. Probiere beide Möglichkeiten aus. - Schau dir die Ergebnisse der Aufgaben genau an und vergleiche sie. Wie viel kommt von Schritt zu Schritt dazu?

1. Für a) sind die Zehnerziffern \(4\) und \(5\). Die Einerziffern sind dann \(6\) und \(7\). Mögliche Rechnungen: \(46 + 57 = 103\) und \(47 + 56 = 103\). Das Ergebnis ist immer \(103\). 2. Für b) sind die Zehnerziffern \(4\) und \(6\). Die Einerziffern sind \(5\) und \(7\). Mögliche Rechnungen: \(45 + 67 = 112\) und \(47 + 65 = 112\). Das Ergebnis ist immer \(112\). 3. Für c) sind die Zehnerziffern \(4\) und \(7\). Die Einerziffern sind \(5\) und \(6\). Mögliche Rechnungen: \(45 + 76 = 121\) und \(46 + 75 = 121\). Das Ergebnis ist immer \(121\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(112 - 103 = 9\) und \(121 - 112 = 9\). Die Ergebnisse nehmen jeweils um \(9\) zu.

a) \(46 + 57 = 103\) und \(47 + 56 = 103\). b) \(45 + 67 = 112\) und \(47 + 65 = 112\). c) \(45 + 76 = 121\) und \(46 + 75 = 121\). d) Die Ergebnisse werden immer um \(9\) größer (\(103\), \(112\), \(121\)).

- Vergleiche den Abstand der Ziffern mit der 9er-Reihe. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn der Abstand der Ziffern um 1 größer wird? - Kannst du eine Regel finden, wie man das Ergebnis ohne langes Rechnen bestimmen kann?

1. Erkennen des Musters: Das Ergebnis entspricht immer dem Ziffernabstand multipliziert mit 9. 2. Berechnung für \(61 - 16\): Der Abstand zwischen 6 und 1 ist 5. \(5 \cdot 9 = 45\). Rechnung: \(61 - 10 = 51\), \(51 - 6 = 45\). 3. Vorhersage für \(81 - 18\): Der Abstand ist 7. \(7 \cdot 9 = 63\). Überprüfung: \(81 - 10 = 71\), \(71 - 8 = 63\). 4. Suche nach Ergebnis 45: Da \(45 = 5 \cdot 9\), muss der Ziffernabstand 5 sein. Mögliche Ziffernpaare sind \(6\) und \(1\), \(7\) und \(2\), \(8\) und \(3\) sowie \(9\) und \(4\). Eine Aufgabe ist z. B. \(72 - 27 = 45\).

a) \(45\) b) Erwartung: \(63\). Rechnung: \(81 - 18 = 63\). c) Zum Beispiel \(61 - 16 = 45\) oder \(94 - 49 = 45\).

- Achte besonders auf die letzte Aufgabe. Hier musst du beim Abziehen der Einer gut aufpassen. - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn der abgezogene Teil (der Subtrahend) größer wird? - Kannst du die letzte Aufgabe in zwei Schritten rechnen? Erst minus \(410\), dann minus \(8\)?

1. Berechnung der Hunderter-Differenz: \(600 - 400 = 200\). 2. Erhöhung der Zehnerziffer im Minuenden: \(630 - 400 = 230\). 3. Erhöhung der Zehnerziffer im Subtrahenden: \(630 - 410 = 220\). 4. Erhöhung der Einerziffer im Minuenden: \(635 - 410 = 225\). 5. Erhöhung der Einerziffer im Subtrahenden mit Zehnerübergang (\(15 - 8\)): \(635 - 418 = 217\).

\(600 - 400 = 200\) \(630 - 400 = 230\) \(630 - 410 = 220\) \(635 - 410 = 225\) \(635 - 418 = 217\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile verändert. - Was passiert mit der zweiten Zahl in jeder neuen Zeile? - Rechne zuerst die Ergebnisse aus und vergleiche sie dann miteinander.

1. Erste Differenz: \(542 - 200 + 1 = 343\). 2. Zweite Differenz: \(552 - 200 + 2 = 354\). 3. Dritte Differenz: \(562 - 200 + 3 = 365\). 4. Fortsetzung: In jeder Zeile steigt der Minuend um \(10\) und der Subtrahend sinkt um \(1\). 5. Vierte Aufgabe: \(572 - 196 = 376\). 6. Fünfte Aufgabe: \(582 - 195 = 387\). 7. Muster: Das Ergebnis (die Differenz) wird in jeder Zeile um \(11\) größer.

\(542 - 199 = 343\) \(552 - 198 = 354\) \(562 - 197 = 365\) \(572 - 196 = 376\) \(582 - 195 = 387\) Auffälligkeit: Das Ergebnis wird immer um \(11\) größer.

- Vergleiche die erste Zahl der ersten Aufgabe mit der ersten Zahl der zweiten Aufgabe. - Vergleiche nun die zweiten Zahlen der Aufgaben auf die gleiche Weise. - Wenn beide Zahlen einer Minusaufgabe um den gleichen Betrag verändert werden, was passiert dann mit dem Abstand dazwischen?

1. Berechnung: \(735 - 399 = 735 - 400 + 1 = 336\). 2. Berechnung: \(736 - 400 = 336\). 3. Berechnung: \(737 - 401 = 737 - 400 - 1 = 337 - 1 = 336\). 4. Analyse: Der Minuend wird um \(1\) größer, und gleichzeitig wird auch der Subtrahend um \(1\) größer. 5. Schlussfolgerung: Da der Abstand zwischen beiden Zahlen gleich bleibt, verändert sich das Ergebnis nicht (Konstanz der Differenz).

Die Ergebnisse sind: \(735 - 399 = 336\) \(736 - 400 = 336\) \(737 - 401 = 336\) Das Ergebnis bleibt gleich, weil sowohl die erste als auch die zweite Zahl um jeweils \(1\) vergrößert werden. Der Abstand zwischen den Zahlen bleibt also gleich.

- Was ist der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben in einem Paar? - Wird beim zweiten Mal mehr oder weniger dazuaddiert oder abgezogen? - Wie wirkt sich diese Änderung auf dein erstes Ergebnis aus?

1. Paar a: \(450 + 300 = 750\). Da der zweite Summand um \(20\) größer ist, ist das Ergebnis \(750 + 20 = 770\). 2. Paar b: \(680 - 200 = 480\). Da \(40\) mehr abgezogen werden, ist das Ergebnis \(480 - 40 = 440\). 3. Paar c: \(512 + 100 = 612\). Da der zweite Summand um \(7\) größer ist, ist das Ergebnis \(612 + 7 = 619\). 4. Paar d: \(975 - 400 = 575\). Da \(6\) mehr abgezogen werden, ist das Ergebnis \(575 - 6 = 569\).

a) \(750\) und \(770\) b) \(480\) und \(440\) c) \(612\) und \(619\) d) \(575\) und \(569\)

- Schau dir die Ziffern der Zahlen in jeder Zeile genau an. Wie verändern sie sich von oben nach unten? - Rechne die Subtraktionen sorgfältig. - Vergleiche die Ergebnisse, die du unter a) ausgerechnet hast.

1. Berechnung der Aufgaben: \(959 - 595 = 364\), \(848 - 484 = 364\), \(737 - 373 = 364\). 2. Feststellung: Alle Ergebnisse sind gleich (\(364\)). 3. Fortführung des Musters: In beiden Zahlen verringert sich jede Ziffer von Aufgabe zu Aufgabe um \(1\). 4. Nächste Aufgaben: \(626 - 262 = 364\) und \(515 - 151 = 364\).

a) Die Ergebnisse lauten alle \(364\). b) Die Ergebnisse sind immer gleich. c) Die nächsten Aufgaben sind: \(626 - 262 = 364\) \(515 - 151 = 364\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Bleibt die zweite Zahl gleich oder verändert sie sich auch? - Was haben die Zahlen \(858\), \(747\) und \(636\) gemeinsam?

1. Analyse der ersten Zahl: Die Ziffern an der Hunderter-, Zehner- und Einerstelle werden jeweils um \(1\) kleiner. Die Zahl nimmt also immer um \(111\) ab (\(979, 868, 757, \dots\)). 2. Die abzuziehende Zahl bleibt gleich (\(121\)). 3. Fortsetzung der Reihe: \(646 - 121 = 525\) \(535 - 121 = 414\) \(424 - 121 = 303\) 4. Regel für die Ergebnisse: Die Ergebnisse sind ebenfalls Palindromzahlen. Sie verringern sich von Aufgabe zu Aufgabe um \(111\).

a) Die nächsten Aufgaben sind: \(646 - 121 = 525\) \(535 - 121 = 414\) \(424 - 121 = 303\) b) Die Ergebnisse sind allesamt Palindromzahlen. Jedes Ergebnis ist um \(111\) kleiner als das vorherige.

- Achte darauf, die Ziffern in jedem Schritt neu zu ordnen. - Stell dir die größte Zahl immer so vor, dass die größte Ziffer an der Hunderterstelle steht. - Wenn du ein Ergebnis erhältst, das du schon einmal hattest, ist die Aufgabe gelöst. - Kontrolliere deine Subtraktionen genau, besonders wenn du beim Subtrahieren entbündeln musst.

1. Erste Rechnung mit den Ziffern \(8\), \(4\) und \(1\): Die größte Zahl ist \(841\), die kleinste \(148\). Die Differenz ist \(841 - 148 = 693\). 2. Zweite Rechnung mit den Ziffern \(9\), \(6\) und \(3\): Die größte Zahl ist \(963\), die kleinste \(369\). Die Differenz ist \(963 - 369 = 594\). 3. Dritte Rechnung mit den Ziffern \(9\), \(5\) und \(4\): Die größte Zahl ist \(954\), die kleinste \(459\). Die Differenz ist \(954 - 459 = 495\). 4. Vierte Rechnung mit den Ziffern \(9\), \(5\) und \(4\): Wiederum ergibt sich \(954 - 459 = 495\). Das Ergebnis \(495\) hat sich wiederholt. Es wurden insgesamt \(4\) Rechenschritte durchgeführt, bis die Wiederholung eintrat.

Der Zahlenzug sieht so aus: \(841 - 148 = 693\) \(963 - 369 = 594\) \(954 - 459 = 495\) \(954 - 459 = 495\) Nach dem 4. Rechenschritt wiederholt sich das Ergebnis \(495\).

- Werden die Zahlen in den Aufgaben größer oder kleiner? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man einen Faktor halbiert? - Schau dir die Abstände zwischen den Ergebnissen in Reihe a) an.

1. Fortsetzung a): \(5 \cdot 60 = 300\), \(4 \cdot 60 = 240\), \(3 \cdot 60 = 180\). Die Ergebnisse werden immer um \(60\) kleiner. 2. Fortsetzung b): \(5 \cdot 30 = 150\), \(4 \cdot 30 = 120\), \(3 \cdot 30 = 90\). Die Ergebnisse werden immer um \(30\) kleiner. 3. Vergleich: In jeder Spalte ist das Ergebnis von b) genau die Hälfte des Ergebnisses von a), weil der Faktor \(30\) die Hälfte von \(60\) ist.

a) \(5 \cdot 60 = 300\), \(4 \cdot 60 = 240\), \(3 \cdot 60 = 180\). b) \(5 \cdot 30 = 150\), \(4 \cdot 30 = 120\), \(3 \cdot 30 = 90\). Innerhalb der Reihen werden die Ergebnisse immer kleiner (um \(60\) bzw. um \(30\)). Die Ergebnisse von b) sind halb so groß wie die von a).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Zahl mit \(10\) malnimmst? - Wie viel kommt in Serie 1 von Aufgabe zu Aufgabe dazu? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Serien zeilenweise.

1. Berechnung und Fortsetzung Serie 1: \(10 \cdot 20 = 200\), \(10 \cdot 30 = 300\), \(10 \cdot 40 = 400\). Nächste Aufgaben: \(10 \cdot 50 = 500\), \(10 \cdot 60 = 600\), \(10 \cdot 70 = 700\). 2. Berechnung und Fortsetzung Serie 2: \(5 \cdot 20 = 100\), \(5 \cdot 30 = 150\), \(5 \cdot 40 = 200\). Nächste Aufgaben: \(5 \cdot 50 = 250\), \(5 \cdot 60 = 300\), \(5 \cdot 70 = 350\). 3. Regel Serie 1: Da der erste Faktor immer \(10\) bleibt und der zweite Faktor um \(10\) steigt, wächst das Ergebnis immer um \(100\).

Serie 1: \(10 \cdot 50 = 500\), \(10 \cdot 60 = 600\), \(10 \cdot 70 = 700\). Serie 2: \(5 \cdot 50 = 250\), \(5 \cdot 60 = 300\), \(5 \cdot 70 = 350\). Regel für Serie 1: Die Ergebnisse werden immer um \(100\) größer.

- Schau dir an, um wie viel sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Vergleiche die Teiler (die zweiten Zahlen) der beiden Reihen miteinander. - Rechne zuerst die Ergebnisse der bekannten Aufgaben aus, um ein Muster zu finden. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man durch eine kleinere Zahl teilt?

1. Fortsetzung der Reihe a) durch Verringerung des Dividenden um jeweils \(80\): \(560 : 80 = 7\) und \(480 : 80 = 6\). 2. Fortsetzung der Reihe b) durch Verringerung des Dividenden um jeweils \(80\): \(560 : 40 = 14\) und \(480 : 40 = 12\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Die Quotienten in Reihe b) sind genau doppelt so groß wie die entsprechenden Quotienten in Reihe a) (z. B. \(20\) statt \(10\), \(18\) statt \(9\)).

a) \(560 : 80 = 7\) und \(480 : 80 = 6\) b) \(560 : 40 = 14\) und \(480 : 40 = 12\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse in Reihe b) sind doppelt so groß wie in Reihe a).

- Stell dir vor, du verteilst \(600\) Bonbons an immer mehr Kinder. Bekommt jedes Kind dann mehr oder weniger? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn sich der Teiler genau verdoppelt? - Schau dir die Zahlenpaare genau an: \(10\) und \(60\), \(20\) und \(30\). Fällt dir etwas bei ihrem Produkt auf?

1. Beobachtung des Gesamttrends: Da der Dividend (\(600\)) gleich bleibt, sinkt das Ergebnis (Quotient), sobald der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) steigt. 2. Spezifischer Vergleich: Der Divisor \(20\) ist doppelt so groß wie der Divisor \(10\). 3. Ergebnisvergleich: Das Ergebnis von \(600 : 20\) (\(30\)) ist genau die Hälfte des Ergebnisses von \(600 : 10\) (\(60\)).

Wenn der Divisor größer wird, wird das Ergebnis kleiner. Entdeckung: Wenn sich der Divisor verdoppelt (von \(10\) auf \(20\)), halbiert sich das Ergebnis (von \(60\) auf \(30\)).

- Vergleiche die Ergebnisse der beiden Rechnungen in jeder Zeile. - Was verändert sich an den Stellenwerten, wenn du durch \(10\) oder durch \(100\) teilst? - Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden Ergebnissen?

1. Berechnungen für a): \(900 : 10 = 90\) (Umkehraufgabe: \(90 \cdot 10 = 900\)) und \(900 : 100 = 9\) (Umkehraufgabe: \(9 \cdot 100 = 900\)). 2. Berechnungen für b): \(200 : 10 = 20\) (Umkehraufgabe: \(20 \cdot 10 = 200\)) und \(200 : 100 = 2\) (Umkehraufgabe: \(2 \cdot 100 = 200\)). 3. Berechnungen für c): \(500 : 10 = 50\) (Umkehraufgabe: \(50 \cdot 10 = 500\)) und \(500 : 100 = 5\) (Umkehraufgabe: \(5 \cdot 100 = 500\)). 4. Beobachtung: Das Ergebnis der Division durch \(100\) ist immer ein Zehntel so groß wie das Ergebnis der Division durch \(10\).

a) \(900 : 10 = 90\) mit der Umkehraufgabe \(90 \cdot 10 = 900\); \(900 : 100 = 9\) mit der Umkehraufgabe \(9 \cdot 100 = 900\). b) \(200 : 10 = 20\) mit der Umkehraufgabe \(20 \cdot 10 = 200\); \(200 : 100 = 2\) mit der Umkehraufgabe \(2 \cdot 100 = 200\). c) \(500 : 10 = 50\) mit der Umkehraufgabe \(50 \cdot 10 = 500\); \(500 : 100 = 5\) mit der Umkehraufgabe \(5 \cdot 100 = 500\). Auffälligkeit: Das Ergebnis der Division durch \(100\) ist ein Zehntel so groß wie das Ergebnis der Division durch \(10\).

- Schau dir an, welche Zahl auf der linken Seite des Gleichheitszeichens verändert wurde. - Wenn das Ergebnis eine Null mehr hat, muss auch einer der Faktoren eine Null mehr bekommen haben. - Manchmal verändern sich beide Faktoren so, dass das Ergebnis gleich bleibt.

1. Schritt a: Da der Faktor \(4\) zu \(40\) verzehnfacht wurde, muss auch das Ergebnis \(12\) verzehnfacht werden: \(12 \cdot 10 = 120\). 2. Schritt b: Das Ergebnis hat sich von \(10\) auf \(100\) verzehnfacht. Da der Faktor \(2\) gleich blieb, muss der Faktor \(5\) zu \(50\) verzehnfacht werden. 3. Schritt c: Der Faktor \(10\) wurde zu \(100\) verzehnfacht, also wird das Ergebnis \(80\) zu \(800\). 4. Schritt d: \(60 \cdot 10 = 600\). Bei \(6 \cdot 100\) wurde der erste Faktor durch \(10\) geteilt und der zweite mit \(10\) multipliziert. Das Ergebnis bleibt \(600\).

a) \(120\) b) \(50\) c) \(800\) d) \(600\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Wie oft passt die \(13\) mehr in die Zahl hinein, wenn diese um \(13\) größer wird? - Kannst du ein Muster in der Reihe der Ergebnisse erkennen?

1. Berechnung der Quotienten: \(39 : 13 = 3\) \(52 : 13 = 4\) \(65 : 13 = 5\) \(78 : 13 = 6\) \(91 : 13 = 7\) 2. Beobachtung des Musters: Da der Dividend in jedem Schritt um den Wert des Divisors (\(13\)) wächst, erhöht sich das Ergebnis (der Quotient) jeweils um genau \(1\).

a) \(3\) b) \(4\) c) \(5\) d) \(6\) e) \(7\) Der Quotient wird jeweils um \(1\) größer.

- Kannst du die Divisionsaufgaben in Multiplikationsaufgaben umkehren? - Überlege dir: Wie oft passt die kleinere Zahl in die größere hinein? - Du kannst die größere Zahl in Zehner und Einer zerlegen, um leichter zu rechnen. - Haben fast alle Aufgaben das gleiche Ergebnis?

1. Berechnung von \(48 : 12\): Da \(4 \cdot 10 = 40\) und \(4 \cdot 2 = 8\), ist \(40 + 8 = 48\). Das Ergebnis ist \(4\). 2. Berechnung von \(60 : 15\): Da \(4 \cdot 10 = 40\) und \(4 \cdot 5 = 20\), ist \(40 + 20 = 60\). Das Ergebnis ist \(4\). 3. Berechnung von \(72 : 18\): Da \(4 \cdot 10 = 40\) und \(4 \cdot 8 = 32\), ist \(40 + 32 = 72\). Das Ergebnis ist \(4\). 4. Berechnung von \(80 : 16\): Da \(5 \cdot 10 = 50\) und \(5 \cdot 6 = 30\), ist \(50 + 30 = 80\). Das Ergebnis ist \(5\). 5. Berechnung von \(96 : 24\): Da \(4 \cdot 20 = 80\) und \(4 \cdot 4 = 16\), ist \(80 + 16 = 96\). Das Ergebnis ist \(4\). 6. Vergleich: Die Ergebnisse sind \(4\), \(4\), \(4\), \(5\), \(4\). Die Aufgabe d) liefert als Einzige das Ergebnis \(5\).

a) \(4\) b) \(4\) c) \(4\) d) \(5\) e) \(4\) Aufgabe d) passt nicht zu den anderen.

- Wie oft passt die \(8\) in die \(48\)? Nutze das für die Rechnung mit \(480\). - Schau dir die Zahlen in deinen beiden Rechnungen genau an. Erkennst du ein Muster? - Kannst du die Rechnung aus b) mithilfe einer Umkehraufgabe (Multiplikation) überprüfen?

1. Berechnung der Reihenanzahl: Division der Gesamtanzahl der Steine durch die Steine pro Reihe: \(480 : 8 = 60\). Es entstehen \(60\) Reihen. 2. Berechnung der Steine pro Reihe für eine Zielanzahl an Reihen: Division der Gesamtanzahl der Steine durch die gewünschte Reihenanzahl: \(480 : 60 = 8\). Es müssen \(8\) Steine pro Reihe gelegt werden. 3. Vergleich der Ergebnisse: Es fällt auf, dass die Zahlenpaare (\(8\) und \(60\)) in beiden Rechnungen gleich sind, nur ihre Rollen als Divisor und Ergebnis sind vertauscht.

a) Es entstehen \(60\) Reihen. b) Er muss \(8\) Steine in jede Reihe legen. c) Die Zahlen sind in beiden Aufgaben gleich, nur vertauscht. Wenn \(480 : 8 = 60\) ist, dann ist auch \(480 : 60 = 8\).

- Rechne zuerst alle Aufgaben einzeln aus. - Schau dir die Ziffern der Ergebnisse genau an. Welche Ziffern kommen vor? - Was passiert mit der Null im Ergebnis, wenn die Null im Dividenden an einer anderen Stelle steht?

1. Berechnung Paar a: \(360 : 3 = 120\) und \(306 : 3 = 102\). 2. Berechnung Paar b: \(840 : 4 = 210\) und \(804 : 4 = 201\). 3. Berechnung Paar c: \(550 : 5 = 110\) und \(505 : 5 = 101\). 4. Vergleich: In jedem Paar vertauschen die Ziffern im Ergebnis ihre Plätze (Zehner und Einer), da sich im Dividenden die Position der Null und der anderen Ziffer verändert hat.

a) \(120\) und \(102\) b) \(210\) und \(201\) c) \(110\) und \(101\) Auffälligkeit: Die Ziffern an der Zehner- und Einerstelle sind im Ergebnis vertauscht.

- Überlege, was passiert, wenn du die gleiche Menge unter doppelt so vielen Leuten aufteilst. - Was passiert, wenn du nur noch die halbe Menge hast, sie aber unter der gleichen Anzahl an Leuten aufteilst? - Vergleiche die Zahlen in den neuen Aufgaben mit den Zahlen aus der Startaufgabe \(900 : 3\).

1. Analyse von Aufgabe a): Der Dividend (\(900\)) bleibt gleich, aber der Teiler verdoppelt sich von \(3\) auf \(6\). Das Ergebnis muss daher die Hälfte von \(300\) sein: \(300 : 2 = 150\). 2. Analyse von Aufgabe b): Der Teiler (\(3\)) bleibt gleich, aber der Dividend halbiert sich von \(900\) auf \(450\). Das Ergebnis muss daher ebenfalls die Hälfte von \(300\) sein: \(300 : 2 = 150\).

a) \(150\) b) \(150\) Bei a) verdoppelt sich der Teiler, daher halbiert sich der Quotient. Bei b) halbiert sich der Dividend, daher halbiert sich ebenfalls der Quotient.

- Rechne zuerst alle Aufgaben in Teil a) aus und schreibe sie untereinander. - Schau dir an, wie sich die Teiler \(10\), \(20\) und \(40\) verändern. - Betrachte nun die Ergebnisse: Werden sie größer oder kleiner? In welchem Verhältnis? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du denselben Kuchen an doppelt so viele Kinder verteilst?

1. Berechnungen für \(240\): \(240 : 10 = 24\), \(240 : 20 = 12\), \(240 : 40 = 6\). 2. Berechnungen für \(480\): \(480 : 10 = 48\), \(480 : 20 = 24\), \(480 : 40 = 12\). 3. Vergleich der Teiler: \(10 \to 20 \to 40\) (Verdopplung). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(24 \to 12 \to 6\) bzw. \(48 \to 24 \to 12\) (Halbierung). 5. Schlussfolgerung: Wenn der Teiler verdoppelt wird, halbiert sich das Ergebnis.

a) Ergebnisse für \(240\): \(24\), \(12\), \(6\). Ergebnisse für \(480\): \(48\), \(24\), \(12\). b) Wenn sich der Teiler verdoppelt, wird das Ergebnis halb so groß.

- Überlege dir zuerst, was mit dem Ergebnis passiert, wenn man nur eine der beiden Zahlen ändert. - Was passiert mit der Summe, wenn ein Teil weggenommen wird? - Du kannst dir auch eine einfache Beispielaufgabe ausdenken, wie \(300 + 300\), und die Änderungen dort ausprobieren.

1. Die Vergrößerung des ersten Summanden bewirkt zunächst eine Zunahme der Summe um \(210\). 2. Die Verkleinerung des zweiten Summanden bewirkt eine Abnahme der Summe um \(130\). 3. Um die gesamte Änderung zu bestimmen, wird die Verkleinerung von der Vergrößerung abgezogen: \(210 - 130 = 80\). 4. Da die Vergrößerung stärker war als die Verkleinerung, ist das Endergebnis eine Zunahme um \(80\).

Die Summe vergrößert sich um \(80\).

- Kannst du die Aufgabe in deinen eigenen Worten beschreiben? - Was genau suchen wir in dieser Aufgabe? - Was würde passieren, wenn man nur den ersten Summanden verändert? - Kannst du aufschreiben, was wir über die Änderungen wissen und was uns noch fehlt? - Wie hängen die Änderungen der einzelnen Zahlen mit der Änderung des Endergebnisses zusammen?

1. Die gesamte Erhöhung der Summe beträgt \(500\). 2. Der erste Summand trägt bereits eine Erhöhung von \(320\) zu diesem Gesamtergebnis bei. 3. Um herauszufinden, wie viel der zweite Summand beigetragen hat, subtrahiert man den Anteil des ersten Summanden von der Gesamtänderung: \(500 - 320 = 180\). 4. Da die Summe insgesamt stärker gestiegen ist als der erste Summand allein, muss auch der zweite Summand vergrößert worden sein.

Der zweite Summand wurde um \(180\) vergrößert.

- Wähle für dein Beispiel ganz einfache Zahlen, mit denen du leicht rechnen kannst. - Stell dir vor, du hättest zwei Körbe mit Äpfeln. Wenn du aus einem Korb Äpfel nimmst und sie in den anderen legst, ändert sich dann die Gesamtzahl der Äpfel? - Rechne erst das Ergebnis deiner Beispielaufgabe aus und dann das Ergebnis mit den veränderten Zahlen.

1. Beispielrechnung wählen: \(100 + 100 = 200\). 2. Erste Zahl vergrößern: \(100 + 15 = 115\). 3. Zweite Zahl verkleinern: \(100 - 15 = 85\). 4. Neue Summe berechnen: \(115 + 85 = 200\). 5. Vergleich und Schlussfolgerung: Das Ergebnis bleibt gleich (\(200 = 200\)). Da der Betrag, der bei der einen Zahl hinzugefügt wird (\(+15\)), bei der anderen Zahl wieder abgezogen wird (\(-15\)), gleicht sich die Veränderung insgesamt aus.

Das Gesamtergebnis (die Summe) bleibt gleich. Beispiel: \(100 + 100 = 200\). Verändert man die Zahlen, erhält man \(115 + 85 = 200\). Da man genau so viel wegnimmt, wie man an anderer Stelle dazutut, ändert sich die Summe nicht.

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Plusaufgabe, wenn die Zahlen, die man zusammenzählt, kleiner werden? - Wenn jede der beiden Zahlen um einen bestimmten Betrag schrumpft, wie oft wirkt sich das auf das Endergebnis aus? - Versuche, die Änderungen der beiden Summanden erst zusammenzuzählen.

1. Der erste Summand wird um \(40\) kleiner, wodurch die Summe zunächst um \(40\) sinkt. 2. Der zweite Summand wird ebenfalls um \(40\) kleiner, wodurch die Summe nochmals um \(40\) sinkt. 3. Die gesamte Verringerung der Summe beträgt \(40 + 40 = 80\). 4. Berechnung des neuen Ergebnisses: \(500 - 80 = 420\).

Das Ergebnis verringert sich um \(80\). Das neue Ergebnis ist \(420\). Da jeder der zwei Summanden um \(40\) kleiner wird, muss man insgesamt zweimal \(40\) (also \(80\)) vom ursprünglichen Ergebnis abziehen.

- Stell dir die Aufgabe zuerst mit kleinen Zahlen vor. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du nur eine Zahl veränderst? - Rechne die Änderungen nacheinander aus.

1. Eine Vergrößerung des ersten Summanden um \(120\) bewirkt zunächst, dass die Summe ebenfalls um \(120\) ansteigt. 2. Eine gleichzeitige Verkleinerung des zweiten Summanden um \(50\) bewirkt, dass die Summe wieder um \(50\) sinkt. 3. Die Gesamtänderung berechnet sich durch die Verrechnung beider Änderungen: \(120 - 50 = 70\). 4. Die Summe ist somit insgesamt um \(70\) größer als vorher.

Die Summe vergrößert sich um \(70\).

- Was passiert mit dem Rest, wenn du von einer größeren Zahl denselben Betrag abziehst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du von derselben Zahl weniger abziehst? - Probiere es mit einer Beispielaufgabe aus, zum Beispiel \(200 - 100\). Verändere dann die Zahlen wie beschrieben und vergleiche die Ergebnisse.

1. Eine Vergrößerung des Minuenden um \(50\) bewirkt, dass das Ergebnis (die Differenz) um \(50\) größer wird. 2. Eine Verkleinerung des Subtrahenden um \(50\) bewirkt ebenfalls, dass das Ergebnis (die Differenz) um \(50\) größer wird, da weniger abgezogen wird. 3. Gesamte Änderung des Ergebnisses: \(50 + 50 = 100\). 4. Das Ergebnis der Minusaufgabe vergrößert sich um \(100\).

Das Ergebnis vergrößert sich um \(100\).

- Was passiert mit einem Ergebnis, wenn du einen Teil der Rechnung größer machst? - Was passiert, wenn du danach einen anderen Teil um denselben Betrag kleiner machst? - Probiere es zur Not mit ganz kleinen Zahlen aus, zum Beispiel mit \(10 + 10 = 20\).

1. Auswirkung der ersten Änderung: Da ein Summand um \(30\) erhöht wird, steigt die Gesamtsumme ebenfalls um \(30\). Rechnung: \(480 + 30 = 510\). 2. Auswirkung der zweiten Änderung: Da der andere Summand nun um \(30\) verringert wird, sinkt die Summe wieder um \(30\). Rechnung: \(510 - 30 = 480\). 3. Vergleich: Die Endsumme ist identisch mit der Startsumme \(480\).

a) Die neue Summe ist \(510\). b) Die Summe ist dann wieder \(480\). Wenn man eine Zahl um einen Betrag vergrößert und die andere um den gleichen Betrag verkleinert, bleibt die Gesamtsumme gleich.

- Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Der Abstand zwischen den Zahlen ist das Ergebnis. - Wenn du die erste Zahl nach rechts verschiebst, was musst du mit der zweiten Zahl machen, damit der Abstand gleich bleibt? - Probiere es mit einer einfacheren Aufgabe aus, zum Beispiel \(10 - 5 = 5\). Was passiert, wenn du aus der 10 eine 11 machst?

1. Ermittlung des neuen Minuenden: \(600 + 40 = 640\). 2. Aufstellen der neuen Gleichung mit dem Zielergebnis: \(640 - x = 350\). 3. Berechnung des neuen Subtrahenden: \(640 - 350 = 290\). 4. Vergleich der Subtrahenden: \(290 - 250 = 40\). 5. Feststellung: Um die Differenz gleich zu halten, müssen beide Zahlen der Subtraktion um denselben Betrag verändert werden (Konstanz der Differenz).

Lukas muss die Zahl \(250\) ebenfalls um \(40\) vergrößern (auf \(290\)). Das muss er tun, weil bei einer Minusaufgabe das Ergebnis gleich bleibt, wenn man beide Zahlen um den gleichen Betrag erhöht oder verringert.

- Überlege zuerst: Ist die Summe nach der ersten Änderung (\(+80\)) schon größer oder kleiner als das gewünschte Ziel (\(+50\))? - Musst du beim zweiten Summanden etwas hinzufügen oder wegnehmen, um auf das Ziel von \(+50\) zu kommen? - Rechne es mit einer Beispielaufgabe wie \(100 + 100 = 200\) durch.

1. Geplante Erhöhung der Gesamtsumme: \(+50\). 2. Bereits erfolgte Erhöhung durch den ersten Summanden: \(+80\). 3. Berechnung der notwendigen Gegenmaßnahme: \(80 - 50 = 30\). 4. Da die bisherige Erhöhung (\(80\)) zu groß für das Ziel (\(50\)) ist, muss der zweite Summand um \(30\) verkleinert werden.

Der zweite Summand muss um \(30\) verkleinert werden.

- Rechne die neuen Aufgaben zuerst ganz normal aus. - Vergleiche dann das neue Ergebnis mit der Zahl \(440\). Ist es größer oder kleiner geworden? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Was passiert mit dem Abstand zwischen ihnen, wenn du beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts verschiebst?

1. Erhöhung des Minuenden: \(710 - 230 = 480\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als das ursprüngliche Ergebnis (\(440 + 40 = 480\)). 2. Erhöhung des Subtrahenden: \(670 - 270 = 400\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als das ursprüngliche Ergebnis (\(440 - 40 = 400\)). 3. Gleichzeitige Erhöhung beider Werte: \(770 - 330 = 440\). Das Ergebnis bleibt gleich, da der Abstand zwischen den beiden Zahlen auf dem Zahlenstrahl unverändert bleibt.

a) Das neue Ergebnis ist \(480\). Es ist um \(40\) größer geworden. b) Das neue Ergebnis ist \(400\). Es ist um \(40\) kleiner geworden. c) Das Ergebnis bleibt \(440\) (gleich), weil der Unterschied zwischen den Zahlen gleich bleibt.

- Was passiert mit dem Rest, wenn du von einer kleineren Zahl startest? - Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr abziehst als vorher? - Versuche den Unterschied direkt zu bestimmen, ohne die ganze Aufgabe neu zu rechnen.

1. Berechnung der Basisaufgabe: \(780 - 150 = 630\). 2. Veränderung des Minuenden: Der neue Minuend ist \(780 - 50 = 730\). Die neue Rechnung lautet \(730 - 150 = 580\). Das Ergebnis ist um \(50\) kleiner geworden (\(630 - 580 = 50\)). 3. Veränderung des Subtrahenden: Der neue Subtrahend ist \(150 + 20 = 170\). Die neue Rechnung lautet \(780 - 170 = 610\). Das Ergebnis ist um \(20\) kleiner geworden (\(630 - 610 = 20\)).

a) Das Ergebnis ist \(630\). b) Das Ergebnis wird um \(50\) kleiner (es ist nun \(580\)). c) Das Ergebnis wird um \(20\) kleiner (es ist nun \(610\)).

- Stell dir vor, du hast eine Tüte Gummibärchen und jemand nimmt dir mehr weg als vorher. Bleiben dann mehr oder weniger für dich übrig? - Welche Zahl in der Minusaufgabe ist der Subtrahend? - Probiere es zur Not mit ganz kleinen Zahlen aus, zum Beispiel \(10 - 2 = 8\). Was passiert, wenn du aus der \(2\) eine \(3\) machst?

1. Analyse der Veränderung: Wenn bei einer Minusaufgabe die Zahl, die abgezogen wird (der Subtrahend), größer wird, verringert sich das Ergebnis (die Differenz). 2. Berechnung der Verringerung: Da der Subtrahend um \(60\) vergrößert wurde, verringert sich die Differenz um genau diesen Betrag. 3. Berechnung des neuen Wertes: \(350 - 60 = 290\).

Die Differenz verringert sich um \(60\). Der neue Wert ist \(290\).

- Wie lautet Bens Rechenaufgabe, wenn die erste Zahl \(600\) ist und das Ergebnis \(420\) sein soll? - Wenn du von einer kleineren Zahl startest, musst du dann mehr oder weniger abziehen, um beim gleichen Ziel anzukommen? - Vergleiche die Änderung der ersten Zahl mit der nötigen Änderung der zweiten Zahl.

1. Bestimmung der Ziel-Rechnung: Gesucht ist eine Zahl \(x\) für die Gleichung \(600 - x = 420\). 2. Berechnung des neuen Subtrahenden: \(x = 600 - 420 = 180\). 3. Vergleich mit Annas Subtrahend: Annas Subtrahend war \(210\), Bens neuer Subtrahend ist \(180\). 4. Berechnung der Differenz: \(210 - 180 = 30\). 5. Schlussfolgerung: Damit das Ergebnis gleich bleibt, muss der Subtrahend um den gleichen Betrag wie der Minuend verringert werden. Ben muss die Zahl also um \(30\) verkleinern.

Ben muss die zweite Zahl um \(30\) verkleinern.

- Überlege dir eine Beispielaufgabe, die \(300\) ergibt, zum Beispiel \(400 - 100 = 300\). - Verändere nun die erste Zahl wie in der Aufgabe beschrieben. Was musst du mit der zweiten Zahl tun, damit wieder \(300\) herauskommt? - Wenn die erste Zahl kleiner wird, muss dann von ihr mehr oder weniger abgezogen werden, um das gleiche Ziel zu erreichen?

1. Analyse der ersten Änderung: Wenn der Minuend um \(50\) verkleinert wird, sinkt das Ergebnis der Subtraktion ebenfalls um \(50\) (von \(300\) auf \(250\)). 2. Zielsetzung: Das Ergebnis soll wieder um \(50\) steigen, um den ursprünglichen Wert von \(300\) zu erreichen. 3. Bestimmung der Gegenmaßnahme: Um die Differenz wieder zu erhöhen, muss der Subtrahend verkleinert werden. 4. Berechnung des Betrags: Da das Ergebnis um \(50\) steigen muss, muss der Subtrahend um exakt \(50\) verkleinert werden.

Der Subtrahend muss ebenfalls um \(50\) verkleinert werden.

- Rechne zuerst aus, wie viel Wasser nach dem normalen Verbrauch übrig ist. - Musst du für b) und c) wirklich ganz neu rechnen oder kannst du das erste Ergebnis anpassen? - Was passiert mit dem Rest, wenn du von der gleichen Menge weniger wegnimmst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Anfang einfach mehr hast?

1. Berechnung des Restbestands: \(650 - 380 = 270\). Im Tank bleiben \(270\) Liter. 2. Wenn \(20\) Liter weniger verbraucht werden (Subtrahend wird kleiner), vergrößert sich der Rest um \(20\): \(270 + 20 = 290\). Es blieben \(290\) Liter übrig. 3. Wenn der Anfangsbestand um \(20\) Liter höher ist (Minuend wird größer), vergrößert sich der Rest ebenfalls um \(20\): \(270 + 20 = 290\). Es blieben \(290\) Liter übrig.

a) Es bleiben \(270\) Liter übrig. b) Es blieben \(290\) Liter übrig. c) Es blieben \(290\) Liter übrig.

- Schau dir die vorderen Zahlen der Aufgaben genau an. Wie verändern sie sich von Zeile zu Zeile? - Schau dir die hinteren Zahlen der Aufgaben genau an. Was fällt dir auf? - Überlege dir einen Namen für die Regel, wenn beide Zahlen einer Minusaufgabe gleichmäßig wachsen. - Was bedeutet das Gleichbleiben des Ergebnisses für den Abstand zwischen den beiden Zahlen?

1. Fortsetzung der Reihe: Da die Zahlen jeweils um \(10\) steigen, lautet die nächste Aufgabe \(570 - 240 = 330\). 2. Analyse der Veränderung: In jedem Schritt werden sowohl der Minuend als auch der Subtrahend um \(10\) größer. 3. Erklärung der Regel: Wenn man bei einer Subtraktion zu beiden Zahlen den gleichen Betrag addiert, verändert sich der Abstand zwischen den Zahlen nicht. Daher bleibt das Ergebnis (die Differenz) gleich.

a) Die nächste Aufgabe lautet \(570 - 240 = 330\). b) Beide Zahlen werden in jedem Schritt um \(10\) größer. c) Das Ergebnis bleibt gleich, weil der Unterschied (Abstand) zwischen den beiden Zahlen immer derselbe ist, wenn man beide um den gleichen Betrag erhöht.

- Stell dir vor, du hast eine Kiste mit Äpfeln. Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr Äpfel in die Kiste legst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Ende weniger Äpfel herausnimmst als geplant? - Verändere das Ergebnis Schritt für Schritt für jede der beiden Zahlen einzeln.

1. Schritt: Durch die Vergrößerung der ersten Zahl um \(30\) wächst das Ergebnis der Subtraktion ebenfalls um \(30\). Zwischenergebnis: \(150 + 30 = 180\). 2. Schritt: Durch die Verkleinerung der zweiten Zahl um \(10\) wird weniger abgezogen. Dadurch wächst das Ergebnis um weitere \(10\). 3. Endberechnung: \(180 + 10 = 190\). Das neue Ergebnis ist \(190\).

Das neue Ergebnis lautet \(190\).

- Rechne jede Aufgabe Schritt für Schritt aus und notiere dir die Zwischenergebnisse. - Vergleiche die Endergebnisse der vier Aufgaben miteinander. - Nutze die Umkehraufgabe mit Multiplikation, um sicherzugehen, dass deine Ergebnisse stimmen.

1. Berechnung von \(480 : 3\): \(300 : 3 = 100\) und \(180 : 3 = 60\), Summe ist \(160\). 2. Berechnung von \(640 : 4\): \(400 : 4 = 100\) und \(240 : 4 = 60\), Summe ist \(160\). 3. Berechnung von \(800 : 5\): \(500 : 5 = 100\) und \(300 : 5 = 60\), Summe ist \(160\). 4. Berechnung von \(780 : 6\): \(600 : 6 = 100\) und \(180 : 6 = 30\), Summe ist \(130\). 5. Identifikation des Ausreißers: Das Ergebnis von Aufgabe d) ist \(130\), während alle anderen \(160\) ergeben.

a) \(160\) b) \(160\) c) \(160\) d) \(130\) Das Ergebnis von d) passt nicht zu den anderen.

- Rechne zuerst jedes Ergebnis einzeln aus. - Notiere dir das Ergebnis neben jede Aufgabe. - Vergleiche am Ende deine Ergebnisse und suche nach gleichen Ergebnissen. - Wenn du dir unsicher bist, mache die Probe mit der Multiplikation.

1. Ergebnisse berechnen: \(A: 90 : 18 = 5\) \(B: 72 : 12 = 6\) \(C: 65 : 13 = 5\) \(D: 96 : 16 = 6\) \(E: 52 : 13 = 4\) \(F: 64 : 16 = 4\) 2. Paare mit gleichem Ergebnis zuordnen: \(A\) und \(C\) ergeben beide \(5\). \(B\) und \(D\) ergeben beide \(6\). \(E\) und \(F\) ergeben beide \(4\).

Die Paare sind: A und C (Ergebnis \(5\)) B und D (Ergebnis \(6\)) E und F (Ergebnis \(4\))

- Du musst nicht immer alles neu rechnen. Schau dir an, welche Zahl in der Aufgabe verändert wurde. - Wenn du zu einer Zahl mehr dazu tust als vorher, was passiert dann mit dem Endergebnis? - Wenn du von einer größeren Zahl den gleichen Betrag abziehst, wie verändert das den Rest? - Vergleiche die Aufgaben ganz genau, bevor du mit dem Rechnen beginnst.

1. Berechnung von \(270 + 80 = 350\). 2. Berechnung von \(270 + 90 = 360\). 3. Vergleich der Ergebnisse aus a): \(360 - 350 = 10\). Da der zweite Summand um \(10\) größer ist, steigt auch das Ergebnis um \(10\). 4. Berechnung von \(640 - 50 = 590\). 5. Berechnung von \(660 - 50 = 610\). 6. Vergleich der Ergebnisse aus b): Da die Ausgangszahl (Minuend) um \(20\) größer ist (\(660\) statt \(640\)), aber derselbe Wert abgezogen wird, muss das Ergebnis ebenfalls um \(20\) größer sein (\(610 - 590 = 20\)).

a) \(270 + 80 = 350\) und \(270 + 90 = 360\). Das zweite Ergebnis ist um \(10\) größer. b) \(640 - 50 = 590\) und \(660 - 50 = 610\). Das zweite Ergebnis ist größer, weil die Startzahl (Minuend) um \(20\) größer ist.

- Probiere die Rechnung mit den veränderten Zahlen einfach mal aus. - Stell dir vor, du hast zwei Beutel mit Murmeln. Wenn du aus dem einen Beutel Murmeln in den anderen legst, ändert sich dann die Gesamtzahl der Murmeln? - Was passiert, wenn du in beide Beutel zusätzliche Murmeln hineinfüllst?

1. Anwendung der Regel auf die Zahlen: Die erste Zahl wird \(340 + 20 = 360\). Die zweite Zahl wird \(160 - 20 = 140\). 2. Berechnung der neuen Summe: \(360 + 140 = 500\). Die Behauptung stimmt für dieses Beispiel. 3. Logische Erklärung: Da dem einen Summanden genau so viel hinzugefügt wird (\(+20\)), wie dem anderen weggenommen wird (\(-20\)), gleicht sich die Änderung insgesamt aus (\(0\)). 4. Analyse der doppelten Vergrößerung: Wenn beide Summanden um \(20\) wachsen, erhöht sich die Summe insgesamt um \(20 + 20 = 40\). Das neue Ergebnis wäre \(540\).

a) Die neuen Zahlen sind \(360\) und \(140\). Das Ergebnis ist weiterhin \(500\). b) Das Ergebnis bleibt gleich, weil man bei der einen Zahl genau das dazutut, was man bei der anderen wegnimmt (Gegensinniges Verändern). c) Das Ergebnis würde um \(40\) größer werden (neues Ergebnis: \(540\)).

- Stelle dir eine Minusaufgabe vor: Minuend \(-\) Subtrahend \(=\) Differenz. - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Anfang weniger hast? - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Ende weniger wegnimmst? - Probiere es mit einer einfachen Aufgabe wie \(100 - 50 = 50\) aus und führe die Schritte nacheinander durch.

1. Auswirkung der Verkleinerung des Minuenden: Wenn die Zahl, von der abgezogen wird, um \(40\) kleiner wird, sinkt das Ergebnis (die Differenz) ebenfalls um \(40\). 2. Auswirkung der Verkleinerung des Subtrahenden: Wenn die Zahl, die abgezogen wird, um \(15\) kleiner wird, steigt das Ergebnis um \(15\), da weniger weggenommen wird. 3. Kombination beider Änderungen: \(-40 + 15 = -25\). 4. Die Differenz verringert sich insgesamt um \(25\).

Die Differenz verringert sich um \(25\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn die erste Zahl größer wird? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Die Differenz ist der Abstand zwischen ihnen. Was passiert mit dem Abstand, wenn beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts verschoben werden? - Betrachte die beiden Änderungen nacheinander: Erst wird das Ergebnis größer, und dann?

1. Teil a): Wenn der Minuend um \(20\) vergrößert wird, steigt das Ergebnis der Subtraktion ebenfalls um \(20\). Rechnung: \(350 + 20 = 370\). 2. Teil b): Wenn nun auch der Subtrahend um \(20\) vergrößert wird, wird wieder mehr abgezogen. Das Ergebnis sinkt also wieder um \(20\). 3. Da beide Zahlen um den gleichen Betrag (\(20\)) erhöht wurden, bleibt der Abstand zwischen den Zahlen (die Differenz) gleich. 4. Die Rechnung lautet \(520 - 170 = 350\). Das Ergebnis ist identisch mit dem Startwert.

a) Das neue Ergebnis ist \(370\). b) Das Ergebnis ist \(350\) (es bleibt gleich).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du mit einer größeren Menge startest, aber gleich viel wegnimmst? - Überlege, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird, wenn du von einer Zahl mehr abziehst als vorher. - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Was passiert mit dem Abstand, wenn beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts hüpfen?

1. Berechnung für Fall a: Der Minuend wird zu \(500 + 40 = 540\). Die neue Rechnung lautet \(540 - 200 = 340\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als vorher. 2. Berechnung für Fall b: Der Subtrahend wird zu \(200 + 40 = 240\). Die neue Rechnung lautet \(500 - 240 = 260\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als vorher. 3. Berechnung für Fall c: Beide Zahlen ändern sich. Die neue Rechnung lautet \(540 - 240 = 300\). Da sich beide Zahlen um denselben Betrag in die gleiche Richtung ändern, bleibt der Abstand (die Differenz) gleich.

a) \(340\); die Differenz wird um \(40\) größer. b) \(260\); die Differenz wird um \(40\) kleiner. c) \(300\); die Differenz bleibt gleich.

- Berechne erst einmal beide Mauern komplett fertig. - Vergleiche die Ergebnisse an der Spitze. Um wie viel unterscheiden sie sich? - Überlege dir, warum die mittlere Zahl einen doppelten Einfluss auf das Endergebnis hat.

1. Mauer a): Zweite Reihe: \( 50 - 15 = 35 \) und \( 15 - 5 = 10 \). Spitze: \( 35 - 10 = 25 \). 2. Mauer b): Zweite Reihe: \( 50 - 16 = 34 \) und \( 16 - 5 = 11 \). Spitze: \( 34 - 11 = 23 \). 3. Vergleich: Die Spitze sinkt von \( 25 \) auf \( 23 \). Wenn die mittlere Zahl unten um \( 1 \) erhöht wird, verringert sich die Zielzahl um \( 2 \).

Die Spitze von Mauer a) ist \( 25 \), die von Mauer b) ist \( 23 \). Wenn man die mittlere Zahl unten um \( 1 \) erhöht, verringert sich die Zahl an der Spitze um \( 2 \).

- Setze beide Faktoren jeweils um 1 fort. - Vergleiche anschließend die Punktzahlen des dritten und des nächsten Feldes.

Bei jedem Schritt steigen Reihen- und Spaltenzahl um 1. Das nächste Feld ist \(5\cdot6=30\). Vom dritten Feld mit 20 Punkten zum nächsten kommen \(30-20=10\) Punkte hinzu.

Bei jedem Schritt werden Reihen- und Spaltenzahl um 1 erhöht. Das nächste Feld ist \(5\cdot6=30\); der Zuwachs beträgt 10 Punkte.

- Um eine kleine Summe zu bekommen, sollten die kleinen Ziffern möglichst viel wert sein – oder doch eher die großen? Überlege, welcher Stellenwert wichtiger ist. - Systematisches Probieren hilft: Wähle zwei Ziffern für die Zehnerstelle aus und schau, welches Ergebnis herauskommt. Wie viele Paare kannst du bilden? - Denke daran, dass \(24 + 58\) das gleiche Ergebnis liefert wie \(28 + 54\).

1. Kleinstmögliche Summe: Die kleinsten Ziffern (\(2\) und \(4\)) müssen an die Zehnerstelle. Die verbleibenden Ziffern (\(5\) und \(8\)) sind die Einer. Rechnung: \(25 + 48 = 73\) oder \(28 + 45 = 73\). Das kleinste Ergebnis ist \(73\). 2. Größtmögliche Summe: Die größten Ziffern (\(5\) und \(8\)) müssen an die Zehnerstelle. Die verbleibenden Ziffern (\(2\) und \(4\)) sind die Einer. Rechnung: \(52 + 84 = 136\) oder \(54 + 82 = 136\). Das größte Ergebnis ist \(136\). 3. Anzahl der Ergebnisse: Es gibt 6 verschiedene Paare von Zehnerziffern: \((2, 4)\), \((2, 5)\), \((2, 8)\), \((4, 5)\), \((4, 8)\) und \((5, 8)\). Da jede Kombination von Zehnerziffern zu einer eindeutigen Summe führt, gibt es genau 6 verschiedene Ergebnisse: \(73, 82, 100, 109, 127, 136\).

a) Kleinstmögliche Summe: \(25 + 48 = 73\) (oder \(28 + 45 = 73\)). b) Größtmögliche Summe: \(52 + 84 = 136\) (oder \(54 + 82 = 136\)). c) Es gibt insgesamt 6 verschiedene Ergebnisse (\(73\), \(82\), \(100\), \(109\), \(127\), \(136\)).

- Rechne sorgfältig untereinander oder schrittweise. - Schau dir die mittlere Ziffer der Ergebnisse an. - Addiere bei den Ergebnissen einmal die erste und die letzte Ziffer. Was fällt dir auf? - Warum sind die Ergebnisse hier alle gleich, obwohl die Startzahlen unterschiedlich sind?

1. Berechnung der Aufgaben: \(421 - 124 = 297\) \(623 - 326 = 297\) \(825 - 528 = 297\) 2. Analyse der Ergebnisse: In diesem Päckchen ist das Ergebnis immer \(297\). 3. Beobachtung der Ziffern: Die Zehnerziffer des Ergebnisses ist immer \(9\). Die Summe der Hunderter- und Einerziffer des Ergebnisses ist ebenfalls \(9\) (\(2 + 7 = 9\)).

a) \(297\) b) \(297\) c) \(297\) d) Das Ergebnis ist immer gleich (\(297\)). Die Zehnerziffer ist immer eine \(9\). Die Hunderterziffer (\(2\)) und die Einerziffer (\(7\)) ergeben zusammen \(9\).

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus Päckchen A aus. Was bemerkst du? - Rechne dann Päckchen B aus. - Vergleiche die Ergebnisse beider Päckchen. Ist das Ergebnis eines Päckchens ein Vielfaches des anderen?

1. Berechnung Päckchen A: \(654 - 456 = 198\), \(765 - 567 = 198\), \(876 - 678 = 198\). 2. Berechnung Päckchen B: \(642 - 246 = 396\), \(753 - 357 = 396\), \(864 - 468 = 396\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse innerhalb eines Päckchens sind jeweils identisch. 4. Zusammenhang: Das Ergebnis von Päckchen B (\(396\)) ist genau das Doppelte des Ergebnisses von Päckchen A (\(198\)), da \(198 + 198 = 396\).

a) Ergebnisse Päckchen A: immer \(198\). Ergebnisse Päckchen B: immer \(396\). b) Die Ergebnisse in Päckchen B sind genau doppelt so groß wie die Ergebnisse in Päckchen A.

- Rechne für jedes Kind getrennt. - Wenn eine Null unter den Ziffern ist, steht sie bei der kleinsten Zahl ganz vorne (zum Beispiel die Ziffernfolge „038“, die den Wert \(38\) hat). - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Schritte miteinander. Findest du eine Zahl, die in beiden Zügen vorkommt?

1. Mias Start: \(721 - 127 = 594\). Toms Start: \(830 - 38 = 792\); bei der dreistelligen Anordnung steht vorne die Ziffernfolge „038“. 2. Mias zweiter Schritt: Aus \(5\), \(9\) und \(4\) wird \(954 - 459 = 495\). Mia erreicht die \(495\) nach \(2\) Schritten. 3. Toms zweiter Schritt: Aus \(7\), \(9\) und \(2\) wird \(972 - 279 = 693\). 4. Toms dritter Schritt: Aus \(6\), \(9\) und \(3\) wird \(963 - 369 = 594\). 5. Toms vierter Schritt: Aus \(5\), \(9\) und \(4\) wird \(954 - 459 = 495\). Tom erreicht die \(495\) nach \(4\) Schritten. 6. Vergleich: Beide Züge landen schließlich bei der \(495\), auch wenn sie unterschiedlich lang sind und verschiedene Zwischenstationen haben.

a) Mia: \(721 - 127 = 594\). Tom: \(830 - 38 = 792\). b) Mia braucht \(2\) Schritte: \(594 \rightarrow 495\). Tom braucht \(4\) Schritte: \(792 \rightarrow 693 \rightarrow 594 \rightarrow 495\). c) Beide Züge treffen sich bei der Zahl \(594\) und enden beide bei der \(495\).

- Überlege zuerst: Was passiert mit dem Ergebnis \(300\), wenn du nur die erste Zahl um \(50\) erhöhst? - Vergleiche dieses Zwischenergebnis mit dem Zielwert \(320\). Muss das Ergebnis noch größer oder kleiner werden? - Wenn das Ergebnis kleiner werden soll, musst du dann von der zweiten Zahl mehr oder weniger abziehen? - Versuche, dir die Aufgabe mit kleinen Zahlen vorzustellen, zum Beispiel \(10 - 5 = 5\).

1. Auswirkung der Änderung des Minuenden: Wenn der Minuend um \(50\) vergrößert wird, steigt auch das Ergebnis um \(50\). Das neue Ergebnis wäre also zunächst \(300 + 50 = 350\). 2. Vergleich mit dem Zielergebnis: Das gewünschte Ergebnis ist \(320\). Das ist um \(350 - 320 = 30\) kleiner als der Zwischenstand von \(350\). 3. Bestimmung der Änderung am Subtrahenden: Damit das Ergebnis um \(30\) kleiner wird, muss der Subtrahend um \(30\) vergrößert werden. 4. Ergebnis: Der Subtrahend muss um \(30\) vergrößert werden.

Der Subtrahend muss um \(30\) vergrößert werden.

- Stell dir die beiden Zahlen als Markierungen auf einem Lineal vor. - Was passiert mit dem Abstand zwischen den Markierungen, wenn die rechte Markierung nach links geschoben wird? - Was passiert mit dem Abstand, wenn die linke Markierung nach rechts geschoben wird? - Verkleinert oder vergrößert sich die Lücke in jedem Schritt?

1. Analyse der ersten Änderung: Wenn die größere Zahl (der Minuend) um \(20\) kleiner wird, verringert sich der Abstand zwischen den Zahlen ebenfalls um \(20\). Zwischenstand: \(150 - 20 = 130\). 2. Analyse der zweiten Änderung: Wenn die kleinere Zahl (der Subtrahend) um \(10\) größer wird, rückt sie näher an die größere Zahl heran. Der Abstand verringert sich also um weitere \(10\). 3. Endberechnung: \(130 - 10 = 120\). Der neue Unterschied zwischen den Zahlen beträgt \(120\).

\(120\)