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- Berechne die vier Aufgaben der Reihe nach. - Vergleiche jeweils zwei benachbarte Aufgaben: Was verändert sich, was bleibt gleich? - Übertrage genau diese Veränderung auf die nächste Aufgabe.

1. Die Ergebnisse sind \(120\), \(130\), \(140\) und \(150\). 2. Der erste Summand wird von Aufgabe zu Aufgabe um \(10\) größer; der zweite Summand bleibt gleich. 3. Deshalb wird auch das Ergebnis jedes Mal um \(10\) größer. 4. Eine passende Fortsetzung ist \(140+20=160\).

Ergebnisse: \(120,130,140,150\). Eine passende Fortsetzung ist \(140+20=160\). Die Ergebnisse werden jeweils um \(10\) größer.

- Rechne die Aufgaben zuerst sorgfältig aus. - Vergleiche die Zehnerstellen und die Einerstellen der Aufgaben, die das gleiche Ergebnis haben. - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn man eine große Ziffer von der Einerstelle an die Zehnerstelle verschiebt?

1. \(13 + 46 = 59\), \(16 + 43 = 59\), \(31 + 64 = 95\), \(34 + 61 = 95\). 2. Bei den ersten beiden Aufgaben stehen \(1\) und \(4\) an den Zehnerstellen und \(3\) und \(6\) an den Einerstellen. Nur die Einerziffern tauschen die Plätze. Deshalb bleibt die Summe gleich. 3. Bei den letzten beiden Aufgaben stehen die größeren Ziffern \(3\) und \(6\) an den Zehnerstellen. Dadurch wird die Summe deutlich größer.

a) \(13 + 46 = 59\); \(16 + 43 = 59\); \(31 + 64 = 95\); \(34 + 61 = 95\). b) Die Zehnerziffern (\(1\) und \(4\)) und die Einerziffern (\(3\) und \(6\)) sind in beiden Aufgaben gleich, sie wurden nur vertauscht. c) Weil bei den letzten beiden Aufgaben größere Ziffern an der Zehnerstelle stehen.

- Schau dir an, wie sich die Zehnerziffer und die Einerziffer von einer Zeile zur nächsten verändern. - Berechne die Ergebnisse der neuen Aufgaben genau. - Überlege, was bei den Zahlen \(41\), \(52\) und \(63\) gemeinsam ist, wenn du die Ziffern voneinander abziehst.

1. Von Zeile zu Zeile werden beide Ziffern um \(1\) größer. Deshalb geht es weiter mit \(74 - 47 = 27\) und \(85 - 58 = 27\). 2. Das Ergebnis bleibt immer \(27\), weil der Abstand zwischen den beiden Ziffern gleich bleibt. 3. \(42 - 24 = 18\). Das sind \(9\) weniger als \(27\). Weitere passende Aufgaben sind zum Beispiel \(53 - 35 = 18\) und \(64 - 46 = 18\).

a) \(74 - 47 = 27\) und \(85 - 58 = 27\). b) Das Ergebnis bleibt immer \(27\). c) \(42 - 24 = 18\); das Ergebnis wird also um \(9\) kleiner. Zwei weitere passende Aufgaben sind zum Beispiel \(53 - 35 = 18\) und \(64 - 46 = 18\). Andere passende Umkehrzahl-Aufgaben mit Ergebnis \(18\) sind ebenfalls möglich.

- Schau dir die Zahlen genau an: Was ist im Vergleich zur vorherigen Zeile gleich geblieben? - Rechne Schritt für Schritt von oben nach unten. - Konzentriere dich immer nur auf die Ziffer, die sich verändert hat.

1. Von \(300 + 400\) zu \(350 + 400\) ändert sich die Zehnerstelle des ersten Summanden: \(300 + 400 = 700\), \(350 + 400 = 750\). 2. Danach ändert sich die Zehnerstelle des zweiten Summanden: \(350 + 420 = 770\). 3. Anschließend ändert sich die Einerstelle des ersten Summanden: \(358 + 420 = 778\). 4. Zuletzt ändert sich die Einerstelle des zweiten Summanden: \(358 + 421 = 779\). Die Hunderterstellen bleiben in der ganzen Folge gleich.

Von der 1. zur 2. Aufgabe ändert sich die Zehnerstelle des ersten Summanden, von der 2. zur 3. die Zehnerstelle des zweiten, von der 3. zur 4. die Einerstelle des ersten und von der 4. zur 5. die Einerstelle des zweiten Summanden. Die Hunderterstellen bleiben gleich. \(300 + 400 = 700\) \(350 + 400 = 750\) \(350 + 420 = 770\) \(358 + 420 = 778\) \(358 + 421 = 779\)

- Vergleiche jede neue Aufgabe mit der Aufgabe darüber. - Welche Stelle (H, Z oder E) musst du neu berechnen? - Nutze das Ergebnis der vorherigen Aufgabe, um die neue Aufgabe leichter zu lösen.

1. \(800 - 300 = 500\). 2. Im Minuenden ändert sich die Zehnerziffer: \(870 - 300 = 570\). 3. Dann ändert sich die Zehnerziffer des Subtrahenden: \(870 - 340 = 530\). 4. Danach ändert sich die Einerziffer des Minuenden: \(879 - 340 = 539\). 5. Zuletzt ändert sich die Einerziffer des Subtrahenden: \(879 - 345 = 534\).

\(800 - 300 = 500\) \(870 - 300 = 570\) \(870 - 340 = 530\) \(879 - 340 = 539\) \(879 - 345 = 534\)

- Rechne zuerst die drei Aufgaben aus. - Schau dir die Zahlen an, die du abziehst. Wie verändern sie sich von Aufgabe zu Aufgabe? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du immer mehr abziehst?

1. \(1000 - 20 = 980\), \(1000 - 40 = 960\), \(1000 - 60 = 940\). 2. Von Aufgabe zu Aufgabe wird die Zahl, die abgezogen wird, um \(20\) größer. 3. Deshalb wird das Ergebnis jedes Mal um \(20\) kleiner.

a) \(980\) b) \(960\) c) \(940\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden immer um \(20\) kleiner, weil die Zahl, die abgezogen wird, immer um \(20\) größer wird.

- Schau dir an, welche Ziffern in den Summanden oder beim Subtrahenden dazukommen oder wegfallen. - Überlege dir, ob sich nur die Hunderter, die Zehner oder die Einer verändern. - Kannst du das Ergebnis der nächsten Aufgabe finden, ohne alles neu zu rechnen?

1. In a) gilt: \(300 + 400 = 700\), \(320 + 400 = 720\), \(320 + 450 = 770\), \(326 + 450 = 776\), \(326 + 451 = 777\). Von Zeile 1 zu 2 und von 2 zu 3 ändert sich die Zehnerstelle des Ergebnisses; danach ändert sich jeweils die Einerstelle. 2. In b) gilt: \(800 - 500 = 300\), \(870 - 500 = 370\), \(870 - 530 = 340\), \(879 - 530 = 349\), \(879 - 534 = 345\). Auch hier ändern sich zunächst die Zehnerstellen und danach die Einerstellen der Ergebnisse.

a) \(700\), \(720\), \(770\), \(776\), \(777\). Von \(700\) zu \(720\) und von \(720\) zu \(770\) ändert sich die Zehnerstelle; von \(770\) zu \(776\) und von \(776\) zu \(777\) die Einerstelle. b) \(300\), \(370\), \(340\), \(349\), \(345\). Von \(300\) zu \(370\) und von \(370\) zu \(340\) ändert sich die Zehnerstelle; von \(340\) zu \(349\) und von \(349\) zu \(345\) die Einerstelle.

- Rechne zuerst die Aufgabe a) aus. - Schau dir die Zehner- und Einerstellen der Zahlen in den Aufgaben b), c) und d) genau an. - Was haben die Ausgangszahlen gemeinsam? - Vergleiche deine vier Ergebnisse miteinander.

1. \(100 - 40 = 60\), \(300 - 240 = 60\), \(600 - 540 = 60\), \(900 - 840 = 60\). 2. Die Ergänzungszahl ist immer \(60\). Das liegt daran, dass bei allen vier Startzahlen Zehner und Einer gleich sind und bis zum nächsten vollen Hunderter immer gleich viel fehlt.

a) \(60\) b) \(60\) c) \(60\) d) \(60\) Auffälligkeit: Die Ergänzungszahl ist immer \(60\).

- Rechne zuerst jedes Produkt einzeln aus. - Achte auf die Anzahl der Nullen in den Faktoren und im Ergebnis. - Vergleiche, ob ein Ergebnis genau das Zehnfache eines anderen ist oder ob sie gleich sind.

1. Berechnung der Ergebnisse: a) \(5 \cdot 10 = 50\) und \(5 \cdot 100 = 500\). Das zweite Ergebnis ist das Zehnfache des ersten (eine Null mehr). b) \(8 \cdot 100 = 800\) und \(80 \cdot 10 = 800\). Beide Ergebnisse sind gleich groß. c) \(30 \cdot 10 = 300\) und \(3 \cdot 10 = 30\). Das erste Ergebnis ist das Zehnfache des zweiten. d) \(10 \cdot 10 = 100\) und \(1 \cdot 100 = 100\). Beide Ergebnisse sind gleich groß.

a) \(50\) und \(500\) (Zehnfaches) b) \(800\) und \(800\) (gleich) c) \(300\) und \(30\) (Zehnfaches) d) \(100\) und \(100\) (gleich)

- Rechne zuerst alle sechs Aufgaben aus und schreibe dir die Ergebnisse auf. - Suche nach gleichen Ergebnissen und markiere sie. - Ordne danach die drei verschiedenen Ergebnisgrößen.

1. Die Ergebnisse sind a) \(300\), b) \(30\), c) \(30\), d) \(300\), e) \(3\) und f) \(300\). 2. Damit steht e) allein in der kleinsten Gruppe, b) und c) bilden die mittlere Gruppe, und a), d) und f) bilden die größte Gruppe.

a) \(300\) b) \(30\) c) \(30\) d) \(300\) e) \(3\) f) \(300\) g) e); b) = c); a) = d) = f).

- Schau dir an, wie viele Nullen bei der zweiten Zahl im Vergleich zur ersten Zahl dazugekommen sind. - Überlege, mit welcher Zahl du die erste Zahl multiplizieren musst, um das Ergebnis zu erhalten. - Gibt es Paare, bei denen du immer mit derselben Zahl malnimmst?

1. \(6 \rightarrow 60\), \(8 \rightarrow 80\) und \(40 \rightarrow 400\) folgen der Regel „mal \(10\)“. 2. \(2 \rightarrow 200\), \(5 \rightarrow 500\) und \(7 \rightarrow 700\) folgen der Regel „mal \(100\)“.

Gruppe 1: \(6 \rightarrow 60\), \(8 \rightarrow 80\), \(40 \rightarrow 400\). Regel: \(\cdot 10\). Gruppe 2: \(2 \rightarrow 200\), \(5 \rightarrow 500\), \(7 \rightarrow 700\). Regel: \(\cdot 100\).

- Berechne für jedes Paar in einer Zeile, mit welcher Zahl multipliziert wurde. - Drei Paare in einer Zeile haben denselben Multiplikator, eines nicht. - Achte bei Aufgabe b) besonders genau auf die Anzahl der Nullen in beiden Zahlen.

1. a) \(4 \rightarrow 40\), \(8 \rightarrow 80\) und \(3 \rightarrow 30\) folgen „mal \(10\)“. \(5 \rightarrow 500\) folgt „mal \(100\)“ und passt deshalb nicht dazu. 2. b) \(2 \rightarrow 200\), \(6 \rightarrow 600\) und \(1 \rightarrow 100\) folgen „mal \(100\)“. \(90 \rightarrow 900\) folgt „mal \(10\)“ und passt deshalb nicht dazu.

a) Das Paar \(5 \rightarrow 500\) passt nicht (Regel \(\cdot 100\), während die anderen \(\cdot 10\) nutzen). b) Das Paar \(90 \rightarrow 900\) passt nicht (Regel \(\cdot 10\), während die anderen \(\cdot 100\) nutzen).

- Was verändert sich an der Zahl 8, wenn sie zu einer 80 wird? - Wie wirkt sich diese Veränderung auf das Gesamtergebnis aus? - Kannst du eine Regel finden, was mit der Null am Ende passiert?

1. \(80\) ist zehnmal so groß wie \(8\). Deshalb ist auch \(3 \cdot 80\) zehnmal so groß wie \(3 \cdot 8\): \(240\) statt \(24\). 2. \(5 \cdot 90\): \(5 \cdot 9 = 45\), also \(5 \cdot 90 = 450\). 3. \(7 \cdot 40\): \(7 \cdot 4 = 28\), also \(7 \cdot 40 = 280\).

Zusammenhang: Da \(80\) das Zehnfache von \(8\) ist, ist das Ergebnis von \(3 \cdot 80\) (\(240\)) ebenfalls das Zehnfache von \(3 \cdot 8\) (\(24\)). \(5 \cdot 90 = 450\) \(7 \cdot 40 = 280\)

- Schau dir an, wie sich die Zahlen in den Aufgaben von Schritt zu Schritt verändern. - Vergleiche die erste Aufgabe von Reihe A mit der ersten Aufgabe von Reihe B. Was hat sich verändert? - Rechne zuerst die Ergebnisse aus und vergleiche dann die Zahlen untereinander.

1. Fortsetzung der Reihe A: \(6 \cdot 40 = 240\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(8 \cdot 40 = 320\). In jedem Schritt vergrößert sich das Ergebnis um \(40\). 2. Fortsetzung der Reihe B: \(6 \cdot 80 = 480\), \(7 \cdot 80 = 560\), \(8 \cdot 80 = 640\). In jedem Schritt vergrößert sich das Ergebnis um \(80\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse in Reihe B sind genau doppelt so groß wie die Ergebnisse in Reihe A, da der zweite Faktor von \(40\) auf \(80\) verdoppelt wurde.

Reihe A: \(6 \cdot 40 = 240\), \(7 \cdot 40 = 280\), \(8 \cdot 40 = 320\). Reihe B: \(6 \cdot 80 = 480\), \(7 \cdot 80 = 560\), \(8 \cdot 80 = 640\). Auffälligkeit: Die Ergebnisse in Reihe B sind immer doppelt so groß wie die Ergebnisse in Reihe A.

- Vergleiche in jedem Paar, welcher Faktor gleich bleibt und welcher sich verändert. - Beschreibe die Veränderung des Faktors als Multiplikation mit einer Zahl. - Prüfe, ob sich das Produkt in allen vier Paaren nach derselben Regel verändert.

1. Die Ergebnisse sind a) \(24\) und \(240\), b) \(21\) und \(210\), c) \(16\) und \(160\), d) \(45\) und \(450\). 2. In jedem Paar wird genau ein Faktor mit \(10\) multipliziert, während der andere Faktor gleich bleibt. 3. Deshalb wird auch das Produkt jeweils mit \(10\) multipliziert. Sein Wert wird zehnmal so groß.

a) \(24\) und \(240\) b) \(21\) und \(210\) c) \(16\) und \(160\) d) \(45\) und \(450\) Wird ein Faktor verzehnfacht und der andere bleibt gleich, wird auch das Produkt verzehnfacht.

- Schau dir die Zahlen genau an: Was verändert sich von der ersten zur zweiten Zeile? - Kannst du das Ergebnis der dritten Aufgabe finden, indem du die ersten beiden Ergebnisse nutzt? - Achte darauf, ob du Zehner oder Einer zu der Zahl hinzufügst.

1. a) \(450 + 30 = 480\) und \(450 + 6 = 456\). In der dritten Aufgabe werden \(30\) und \(6\) zusammen als \(36\) addiert: \(450 + 36 = 486\). 2. b) \(720 + 5 = 725\) und \(720 + 40 = 760\). In der dritten Aufgabe werden \(5\) und \(40\) zusammen als \(45\) addiert: \(720 + 45 = 765\).

a) \(480\), \(456\), \(486\). Die dritte Aufgabe addiert die \(30\) aus der ersten und die \(6\) aus der zweiten Aufgabe zusammen: \(36=30+6\). b) \(725\), \(760\), \(765\). Die dritte Aufgabe verbindet \(5\) und \(40\) zu \(45\).

- Rechne schrittweise: Erst die Zehner wegnehmen, dann die Einer. - Was passiert beim Abziehen der Einer mit dem Zehner der Ausgangszahl? - Die dritte Aufgabe zieht genau das ab, was die ersten beiden Aufgaben einzeln abgezogen haben.

1. a) \(960 - 40 = 920\), \(960 - 8 = 952\). In der dritten Aufgabe werden \(40\) und \(8\) zusammen, also \(48\), abgezogen: \(960 - 48 = 912\). 2. b) \(390 - 70 = 320\), \(390 - 2 = 388\). In der dritten Aufgabe werden \(70\) und \(2\) zusammen, also \(72\), abgezogen: \(390 - 72 = 318\).

a) \(920\), \(952\), \(912\). In der dritten Aufgabe werden \(40\) und \(8\) zusammen, also \(48\), abgezogen. b) \(320\), \(388\), \(318\). In der dritten Aufgabe werden \(70\) und \(2\) zusammen, also \(72\), abgezogen.

- Welche kleine Aufgabe aus dem Einmaleins hilft dir bei der großen Aufgabe? - Vergleiche Aufgaben, bei denen nur der Dividend verzehnfacht wird, mit Aufgaben, bei denen Dividend und Divisor gemeinsam verzehnfacht werden. - Prüfe, ob der Quotient bei diesen beiden Arten von Veränderung gleich bleibt oder sich ebenfalls verändert.

1. In a) gilt \(48 : 6 = 8\) und \(48 : 8 = 6\). Wird nur der Dividend von \(48\) auf \(480\) verzehnfacht, wird bei gleichem Divisor auch der Quotient verzehnfacht: \(480 : 6 = 80\). Werden dagegen Dividend und Divisor gemeinsam verzehnfacht, bleibt der Quotient gleich: Aus \(48 : 8 = 6\) folgt \(480 : 80 = 6\). 2. In b) gilt \(72 : 8 = 9\) und \(72 : 9 = 8\). Weil \(720\) und \(80\) jeweils das Zehnfache von \(72\) und \(8\) sind, bleibt der Quotient bei \(720 : 80 = 9\) gleich. Bei \(720 : 9\) ist nur der Dividend verzehnfacht; deshalb ist der Quotient \(80\).

a) \(48 : 6 = 8\), \(48 : 8 = 6\), \(480 : 6 = 80\), \(480 : 80 = 6\) b) \(72 : 8 = 9\), \(72 : 9 = 8\), \(720 : 80 = 9\), \(720 : 9 = 80\) c) Wird nur der Dividend verzehnfacht, wird auch der Quotient zehnmal so groß. Werden Dividend und Divisor gemeinsam verzehnfacht, bleibt der Quotient gleich.

- Um wie viel wird die erste Zahl von Zeile zu Zeile größer? - Durch welche Zahl wird immer geteilt? - Wie verändern sich die Ergebnisse?

1. \(21 : 7 = 3\), \(28 : 7 = 4\), \(35 : 7 = 5\), \(42 : 7 = 6\), \(49 : 7 = 7\). 2. Die erste Zahl wird jedes Mal um eine weitere \(7\) größer. Deshalb passt auch eine weitere \(7\) hinein und das Ergebnis wird jeweils um \(1\) größer.

a) \(3\) b) \(4\) c) \(5\) d) \(6\) e) \(7\) Die erste Zahl wird jeweils um \(7\) größer, deshalb wird das Ergebnis jeweils um \(1\) größer.

- Rechne zuerst die kleine Malaufgabe ohne die Null am Ende. - Was passiert mit dem Produkt, wenn ein Faktor zehnmal so groß wird und der andere gleich bleibt? - Prüfe das Muster an allen vier Aufgabenpaaren.

1. \(4 \cdot 2 = 8\). Weil \(20\) zehnmal so groß wie \(2\) ist, gilt \(4 \cdot 20 = 80\). 2. \(3 \cdot 5 = 15\). Deshalb ist \(3 \cdot 50 = 150\). 3. \(6 \cdot 3 = 18\). Deshalb ist \(6 \cdot 30 = 180\). 4. \(8 \cdot 4 = 32\). Deshalb ist \(8 \cdot 40 = 320\).

1) \(4 \cdot 2 = 8\) und \(4 \cdot 20 = 80\) 2) \(3 \cdot 5 = 15\) und \(3 \cdot 50 = 150\) 3) \(6 \cdot 3 = 18\) und \(6 \cdot 30 = 180\) 4) \(8 \cdot 4 = 32\) und \(8 \cdot 40 = 320\)

- Nutze zu jeder Division die passende Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins. - Vergleiche erst die Quotienten, nachdem du alle fünf Aufgaben berechnet hast. - Suche den einzigen Quotienten, der von den übrigen abweicht.

1. \(24 : 6 = 4\). 2. \(28 : 7 = 4\). 3. \(32 : 8 = 4\). 4. \(35 : 7 = 5\). 5. \(36 : 9 = 4\). 6. Nur Aufgabe d) hat mit \(5\) ein anderes Ergebnis; die vier anderen Quotienten sind \(4\).

a) \(4\) b) \(4\) c) \(4\) d) \(5\) e) \(4\) Aufgabe d) passt nicht zu den anderen.

- Vergleiche die Faktoren der beiden großen Aufgaben jeweils mit \(7 \cdot 4\). - Welcher Faktor bleibt gleich, und welcher wird mit \(10\) multipliziert? - Suche für Teil c) ein anderes Faktorenpaar mit demselben Produkt und mindestens einer Zehnerzahl.

1. \(7 \cdot 4 = 28\), \(7 \cdot 40 = 280\) und \(70 \cdot 4 = 280\). 2. In den beiden großen Aufgaben wurde jeweils genau ein Faktor gegenüber \(7 \cdot 4\) verzehnfacht. Deshalb ist auch das Produkt jeweils zehnmal so groß: \(28 \cdot 10 = 280\). 3. Weitere passende Aufgaben sind zum Beispiel \(28 \cdot 10 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\).

a) \(28\), \(280\) und \(280\). b) Wird genau ein Faktor verzehnfacht und der andere bleibt gleich, wird auch das Produkt verzehnfacht. Deshalb sind \(7 \cdot 40\) und \(70 \cdot 4\) beide \(280\). c) Zum Beispiel \(28 \cdot 10 = 280\) oder \(14 \cdot 20 = 280\). Andere passende Aufgaben sind möglich.

- Rechne zuerst alle Aufgaben einzeln aus. - Schau dir die Ergebnisse genau an. Gibt es eine Zahl, die öfter vorkommt? - Welches Ergebnis unterscheidet sich von den anderen?

1. \(240 : 3 = 80\). 2. \(400 : 5 = 80\). 3. \(560 : 7 = 80\). 4. \(210 : 3 = 70\). 5. \(640 : 8 = 80\). 6. Vier Aufgaben haben das Ergebnis \(80\). Nur Aufgabe d) hat das Ergebnis \(70\) und passt deshalb nicht in die Reihe.

a) \(240 : 3 = 80\) b) \(400 : 5 = 80\) c) \(560 : 7 = 80\) d) \(210 : 3 = 70\) e) \(640 : 8 = 80\) Aufgabe d) passt nicht in die Reihe, weil nur dort der Quotient \(70\) statt \(80\) ist.

- Schau dir die zweiten Zahlen \(2\), \(4\) und \(8\) an. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn diese Zahl doppelt so groß wird? - Kannst du das erste Ergebnis nutzen, um das zweite leichter zu finden?

1. \(640 : 2 = 320\). 2. Bei \(640 : 4\) ist die zweite Zahl doppelt so groß wie vorher, deshalb ist das Ergebnis halb so groß: \(160\). 3. Bei \(640 : 8\) verdoppelt sich die zweite Zahl noch einmal, deshalb halbiert sich das Ergebnis wieder: \(80\). 4. Regel: Wird die zweite Zahl doppelt so groß und die erste bleibt gleich, wird das Ergebnis halb so groß.

a) \(320\) b) \(160\) c) \(80\) Regel: Wird die zweite Zahl doppelt so groß, wird das Ergebnis halb so groß.

- Rechne zuerst die Aufgaben mit der \(10\). - Vergleiche die beiden Ergebnisse in jedem Paar. Was fällt dir auf? - Wie oft passt die \(20\) in eine Zahl im Vergleich zur \(10\)? - Kannst du eine Regel formulieren, die das Halbieren nutzt?

1. a) \(340 : 10 = 34\). Weil \(20\) doppelt so groß wie \(10\) ist, ist \(340 : 20\) halb so groß: \(17\). 2. b) \(520 : 10 = 52\). Die Hälfte davon ist \(26\), also \(520 : 20 = 26\). 3. c) \(780 : 10 = 78\). Die Hälfte davon ist \(39\), also \(780 : 20 = 39\). 4. Regel: Halbiere das Ergebnis beim Teilen durch \(10\). Dann erhältst du das Ergebnis beim Teilen durch \(20\).

a) \(340 : 10 = 34\), \(340 : 20 = 17\) b) \(520 : 10 = 52\), \(520 : 20 = 26\) c) \(780 : 10 = 78\), \(780 : 20 = 39\) Regel: Halbiere das Ergebnis beim Teilen durch \(10\), um das Ergebnis beim Teilen durch \(20\) zu erhalten.

- Vergleiche die zweiten Zahlen in jeder Reihe. - Kann dir das erste Ergebnis bei der nächsten Aufgabe helfen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die zweite Zahl doppelt so groß wird? - Du kannst \(360\) auch in kleinere Zahlen zerlegen, die leichter zu teilen sind.

1. \(360 : 2 = 180\). 2. \(360 : 4 = 90\). Weil \(4\) doppelt so groß wie \(2\) ist, ist das Ergebnis halb so groß. 3. \(360 : 8 = 45\). \(8\) ist doppelt so groß wie \(4\), also halbiert sich das Ergebnis wieder. 4. \(360 : 3 = 120\). 5. \(360 : 6 = 60\). \(6\) ist doppelt so groß wie \(3\), also ist das Ergebnis halb so groß. 6. \(360 : 9 = 40\). \(9\) ist dreimal so groß wie \(3\), also ist das Ergebnis ein Drittel von \(120\).

a) \(180\), \(90\), \(45\) b) \(120\), \(60\), \(40\)

- Schau dir an, um wie viel die erste Zahl von Zeile zu Zeile wächst. - Überlege, ob das Ergebnis im gleichen Maße wächst oder schrumpft. - Wie viel musst du zu \(370\) dazutun, um auf \(400\) zu kommen?

1. Der erste Summand wird in jedem Schritt um \(10\) größer: \(360 - 350 = 10\) und \(370 - 360 = 10\). 2. Da der zweite Summand gleich bleibt, wird auch die Summe jeweils um \(10\) größer: \(470\), \(480\), \(490\). 3. Von \(370\) zu \(400\) beträgt der Unterschied \(400 - 370 = 30\). Deshalb wächst auch die bekannte Summe \(490\) um \(30\): \(490 + 30 = 520\).

a) Der erste Summand wird immer um \(10\) größer. b) Die Summe wird ebenfalls immer um \(10\) größer. c) \(400 - 370 = 30\). Deshalb folgt aus \(370 + 120 = 490\): \(490 + 30 = 520\). Also ist \(400 + 120 = 520\).

- Betrachte zuerst jede Änderung einzeln. - Macht die Änderung das Ergebnis größer oder kleiner? - Fasse danach beide Änderungen zusammen.

1. Wird die erste Zahl um \(80\) größer, wird auch das Ergebnis um \(80\) größer. 2. Wird die zweite Zahl um \(30\) kleiner, wird auch das Ergebnis um \(30\) kleiner. 3. Zusammen wird das Ergebnis um \(80 - 30 = 50\) größer. 4. \(450 + 50 = 500\).

a) Die Summe vergrößert sich um \(80\). b) Die Summe verkleinert sich um \(30\). c) Die neue Summe lautet \(500\). Die Summe ist insgesamt um \(50\) größer geworden, da \(80 - 30 = 50\) ist.

- Probiere es mit einer einfachen Beispielaufgabe wie \(100 - 20 = 80\) aus. - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Anfang mehr hast? - Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr wegnimmst?

1. Teilaufgabe a: Wenn die Zahl, von der abgezogen wird (Minuend), um \(65\) größer wird, vergrößert sich auch der Abstand zur zweiten Zahl. Das Ergebnis (die Differenz) steigt um \(65\). 2. Teilaufgabe b: Wenn die Zahl, die abgezogen wird (Subtrahend), um \(65\) größer wird, bleibt weniger vom Minuenden übrig. Das Ergebnis (die Differenz) sinkt um \(65\).

a) Die Differenz vergrößert sich um \(65\). b) Die Differenz verkleinert sich um \(65\).

- Was passiert mit einer Summe, wenn man nur eine Zahl verändert? - Rechne zuerst aus, wie die beiden Zahlen nach der Änderung heißen. - Vergleiche dann dein neues Ergebnis mit der Zahl 550. - Du kannst auch überlegen: Wenn du 50 dazugibst, aber 80 wegnimmst, hast du dann am Ende mehr oder weniger als vorher?

1. Die erste Zahl wird zu \(430 + 50 = 480\). 2. Die zweite Zahl wird zu \(120 - 80 = 40\). 3. Das neue Ergebnis ist \(480 + 40 = 520\). 4. \(550 - 520 = 30\). Das Ergebnis ist also um \(30\) kleiner geworden.

Das neue Ergebnis ist \(520\). Das Ergebnis ist im Vergleich zum ursprünglichen Ergebnis um \(30\) kleiner geworden.

- Kannst du die erste Aufgabe mit einer Minusrechnung lösen? - Überlege bei b), wie sich das Ergebnis verändert, wenn du am Anfang mehr Geld hast, aber die Kosten gleich bleiben. - Was passiert bei c) mit dem Restgeld, wenn du mehr ausgeben musst? - Musst du bei b) und c) wirklich alles neu rechnen oder kannst du das Ergebnis von a) nutzen?

1. a) \(350\,\text{€} - 120\,\text{€} = 230\,\text{€}\). Anna legt \(230\,\text{€}\) zurück ins Sparschwein. 2. b) Mit \(100\,\text{€}\) mehr Erspartem wären es \(450\,\text{€}\). \(450\,\text{€} - 120\,\text{€} = 330\,\text{€}\). Du kannst auch von a) aus \(230 + 100 = 330\) rechnen. 3. c) Wäre das Skateboard \(20\,\text{€}\) teurer, kostete es \(140\,\text{€}\). \(350\,\text{€} - 140\,\text{€} = 210\,\text{€}\). Oder von a) aus: \(230 - 20 = 210\).

a) \(230\,\text{€}\) b) \(330\,\text{€}\) c) \(210\,\text{€}\)

- Vergleiche die Startanzahl der Brötchen bei beiden Bäckern. - Wenn die Verkaufszahl gleich bleibt, wie wirkt sich der Unterschied am Anfang auf das Endergebnis aus? - Musst du für die zweite Aufgabe wirklich eine ganz neue Minusaufgabe rechnen?

1. Giulia Bianchi bleiben \(150 - 65 = 85\) Brötchen. 2. Pavel Novák beginnt mit \(20\) Brötchen weniger, verkauft aber dieselbe Anzahl. Deshalb ist auch sein Rest um \(20\) kleiner als Giulias Rest. 3. Aus dem Ergebnis von a) folgt direkt \(85 - 20 = 65\). Pavel Novák bleiben \(65\) Brötchen.

a) Giulia Bianchi bleiben \(150 - 65 = 85\) Brötchen. b) Pavel Novák hatte zu Beginn \(20\) Brötchen weniger und verkauft gleich viele. Deshalb sind auch \(20\) weniger übrig: \(85 - 20 = 65\). Ihm bleiben \(65\) Brötchen.

- Was passiert mit der Summe, wenn der erste Summand um \(50\) größer wird? - Danach wird der zweite Summand um \(30\) kleiner. Wie verändert das die Summe? - Wende beide Änderungen nacheinander an.

1. Der erste Summand wird um \(50\) größer. Die Summe wächst von \(420\) auf \(470\). 2. Der zweite Summand wird um \(30\) kleiner. Die Summe sinkt auf \(470 - 30 = 440\). 3. Die neue Summe ist \(440\).

Die neue Summe ist \(440\).

- Rechne zuerst die Aufgaben aus Teil a) aus und schaue dir die Ergebnisse genau an. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die erste Zahl einer Minusaufgabe größer wird? - Wie lautet der neue Subtrahend, wenn du \(100\) um \(50\) vergrößerst? - Überlege dir, ob das Ergebnis kleiner oder größer werden muss, wenn man mehr abzieht.

1. a) \(400 - 100 = 300\), \(450 - 100 = 350\), \(500 - 100 = 400\). 2. b) Wird die erste Zahl um \(50\) größer, wird auch das Ergebnis um \(50\) größer. 3. c) Die zweite Zahl wird \(150\): \(400 - 150 = 250\). Das Ergebnis wird also um \(50\) kleiner.

a) \(300\), \(350\), \(400\). b) Das Ergebnis vergrößert sich ebenfalls um \(50\). c) Das Ergebnis verringert sich um \(50\).

- Der Abstand zwischen den Zahlen beträgt zuerst \(240\). - Die kleinere Zahl wird um \(60\) größer und kommt der größeren Zahl näher. - Um wie viel wird der Abstand dadurch kleiner?

1. Der Abstand zwischen den beiden Zahlen ist zuerst \(240\). 2. Wird die kleinere Zahl um \(60\) größer, rückt sie um \(60\) näher an die größere Zahl. 3. Der neue Abstand ist \(240 - 60 = 180\).

Der neue Unterschied beträgt \(180\).

- Kannst du die Aufgabe mit einer Minusrechnung lösen? - Überlege bei Teil b), ob der Restbetrag größer oder kleiner werden muss, wenn man schon mehr geschafft hat. - Was passiert bei Teil c) mit der Lücke zum Ziel, wenn das Ziel weiter nach oben rutscht?

a) \(450\,\text{€} - 280\,\text{€} = 170\,\text{€}\). Es fehlen noch \(170\,\text{€}\). b) Wären schon \(30\,\text{€}\) mehr gespart, würden \(30\,\text{€}\) weniger fehlen: \(170\,\text{€} - 30\,\text{€} = 140\,\text{€}\). c) Wäre der Ausflug \(30\,\text{€}\) teurer, würden \(30\,\text{€}\) mehr fehlen: \(170\,\text{€} + 30\,\text{€} = 200\,\text{€}\).

a) Es fehlen noch \(170\,\text{€}\). b) Es würden noch \(140\,\text{€}\) fehlen. c) Es würden noch \(200\,\text{€}\) fehlen.

- Wie viele Bilder hat Lukas nach der Abgabe noch? - Wie viele Bilder hat Marie nach der Abgabe noch? - Vergleiche die Startzahlen und die abgegebenen Zahlen von Lukas und Marie. Fällt dir etwas auf? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man beide Zahlen um den gleichen Betrag vergrößert?

Lukas: \(360 - 140 = 220\). Marie: \(390 - 170 = 220\). Beide haben also \(220\) Bilder übrig. Marie hat am Anfang \(30\) Bilder mehr als Lukas, gibt aber auch \(30\) Bilder mehr ab. Deshalb bleibt bei beiden gleich viel übrig.

Beide haben am Ende gleich viele Bilder übrig (\(220\) Stück). Marie hat zwar \(30\) Bilder mehr als Lukas, gibt aber auch \(30\) Bilder mehr ab als er.

- Schau dir die erste Zahl (den Minuenden) bei beiden Aufgaben an. Was fällt dir auf? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man eine größere Zahl abzieht? - Vergleiche nur die Zahlen, die abgezogen werden. Wie groß ist der Unterschied zwischen ihnen?

Beide starten bei \(500\). Ben zieht \(180\) ab, Anja nur \(140\). Deshalb ist Anjas Ergebnis größer. Ben zieht \(180 - 140 = 40\) mehr ab. Deshalb ist Anjas Ergebnis um \(40\) größer.

Anja erhält das größere Ergebnis, weil beide bei \(500\) starten, Ben aber \(40\) mehr abzieht. Deshalb ist Anjas Ergebnis um \(40\) größer.

- Überlege dir zuerst, was passiert, wenn du von einer Menge mehr wegnimmst. - Was passiert, wenn du am Anfang schon mehr hast, aber die gleiche Menge wegnimmst? - Du kannst die neuen Aufgaben einfach ausrechnen und mit dem alten Ergebnis vergleichen.

a) Die erste Zahl wird zu \(580 + 40 = 620\). Also: \(620 - 230 = 390\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als vorher. b) Die zweite Zahl wird zu \(230 + 40 = 270\). Also: \(580 - 270 = 310\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als vorher.

a) Das Ergebnis wird um \(40\) größer (neues Ergebnis: \(390\)). b) Das Ergebnis wird um \(40\) kleiner (neues Ergebnis: \(310\)).

- Rechne zuerst alle Aufgaben nacheinander aus. - Vergleiche die Endergebnisse der vier Rechnungen. - Gibt es eine Gemeinsamkeit zwischen den Zahlen, die herausgekommen sind?

\(260 + 380 = 640\) \(450 + 190 = 640\) \(170 + 470 = 640\) \(540 + 100 = 640\) Alle vier Rechnungen haben das gleiche Ergebnis: \(640\).

a) \(640\) b) \(640\) c) \(640\) d) \(640\) Auffälligkeit: Alle Ergebnisse sind gleich.

- Schau dir die Zahlen \(4\) und \(8\) genau an. In welcher Beziehung stehen sie zueinander? - Musst du für b) wirklich alles neu rechnen oder helfen dir die Ergebnisse aus a)? - Vergleiche jeweils dieselbe Ausgangszahl in a) und b).

1. Mit \(4\) ergeben sich \(60 \cdot 4 = 240\), \(80 \cdot 4 = 320\), \(110 \cdot 4 = 440\) und \(120 \cdot 4 = 480\). 2. Mit \(8\) ergeben sich \(60 \cdot 8 = 480\), \(80 \cdot 8 = 640\), \(110 \cdot 8 = 880\) und \(120 \cdot 8 = 960\). 3. Die Ergebnisse aus b) sind jeweils doppelt so groß wie die entsprechenden Ergebnisse aus a), weil \(8\) das Doppelte von \(4\) ist.

a) \(240\), \(320\), \(440\), \(480\) b) \(480\), \(640\), \(880\), \(960\) c) Die Ergebnisse aus b) sind jeweils doppelt so groß wie die entsprechenden Ergebnisse aus a).

- Zerlege die große Zahl so, dass beide Teile gut durch den Teiler teilbar sind. - Rechne die beiden Teilaufgaben und addiere die Ergebnisse. - Vergleiche danach die vier Ergebnisse.

\(420 : 3 = 140\), denn \(300 : 3 = 100\) und \(120 : 3 = 40\). \(560 : 4 = 140\), denn \(400 : 4 = 100\) und \(160 : 4 = 40\). \(700 : 5 = 140\), denn \(500 : 5 = 100\) und \(200 : 5 = 40\). \(840 : 6 = 140\), denn \(600 : 6 = 100\) und \(240 : 6 = 40\). Alle vier Aufgaben haben das gleiche Ergebnis: \(140\).

a) \(140\) b) \(140\) c) \(140\) d) \(140\) Alle Ergebnisse sind gleich groß.

- Wie hängen die Zahlen \(4\) und \(8\) zusammen? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Teilung, wenn du durch eine doppelt so große Zahl teilst? - Vergleiche jeweils dieselbe Ausgangszahl in a) und b).

1. Durch \(4\) ergeben sich \(40\), \(80\), \(120\), \(160\) und \(200\). 2. Durch \(8\) ergeben sich \(20\), \(40\), \(60\), \(80\) und \(100\). 3. Da der Divisor \(8\) doppelt so groß ist wie \(4\), sind die Ergebnisse in b) jeweils halb so groß wie in a).

a) \(40\), \(80\), \(120\), \(160\), \(200\) b) \(20\), \(40\), \(60\), \(80\), \(100\) c) Die Ergebnisse aus b) sind jeweils halb so groß wie die entsprechenden Ergebnisse aus a).

- Nutze zu jeder Division die passende Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins. - Notiere die Quotienten zunächst neben den sechs Aufgaben. - Ordne anschließend Aufgaben mit demselben Quotienten zu einem Paar.

1. Die Quotienten sind \(A: 40 : 8 = 5\), \(B: 42 : 7 = 6\), \(C: 45 : 9 = 5\), \(D: 54 : 9 = 6\), \(E: 28 : 7 = 4\) und \(F: 32 : 8 = 4\). 2. Damit gehören A und C zusammen, B und D sowie E und F.

A und C haben beide das Ergebnis \(5\). B und D haben beide das Ergebnis \(6\). E und F haben beide das Ergebnis \(4\).

- Schau dir a) und b) getrennt an: Welche Zahl wird jeweils verändert? - Bei c) verändern sich beide Zahlen gleichzeitig. Betrachte beide Änderungen zusammen. - Kannst du das neue Ergebnis aus \(350\) ableiten, ohne die ganze Addition neu zu rechnen?

a) Die erste Zahl wird um \(40\) größer. Deshalb wird auch das Ergebnis um \(40\) größer: \(390\). b) Die zweite Zahl wird um \(30\) kleiner. Deshalb wird auch das Ergebnis um \(30\) kleiner: \(320\). c) Beide Zahlen werden um \(20\) größer. Zusammen wächst das Ergebnis um \(20+20=40\): \(350+40=390\).

a) Die Summe wird um \(40\) größer. b) Die Summe wird um \(30\) kleiner. c) Die Summe wird um \(40\) größer; das neue Ergebnis ist \(390\).

- Betrachte die Wirkung der beiden Änderungen zunächst getrennt. - Welche der beiden Änderungen ist größer? - Vergleiche die beiden Beträge, um die Gesamtwirkung auf die Summe zu bestimmen.

1. Durch die Erhöhung des ersten Summanden würde die Summe um \(120\) wachsen. 2. Durch die Verringerung des zweiten Summanden würde die Summe um \(150\) sinken. 3. Die Verringerung ist um \(150-120=30\) größer als die Erhöhung. Deshalb wird die Summe insgesamt um \(30\) kleiner.

Die Summe verringert sich um \(30\).

- Was passiert mit der Differenz, wenn weniger abgezogen wird? - Wird die Differenz größer oder kleiner? - Prüfe deine Überlegung mit einer einfachen Beispielaufgabe.

Der Subtrahend wird um \(40\) kleiner. Es wird also \(40\) weniger abgezogen. Deshalb wird die Differenz um \(40\) größer: \(380 + 40 = 420\).

Die neue Differenz ist \(420\).

- Ein Stein in einer Zahlenmauer ist die Summe der beiden Steine direkt darunter. - Berechne die Mauer von unten nach oben. - Vergleiche am Ende die zusätzliche Additionsrechnung mit dem Spitzenstein.

1. Zweite Reihe: \(15+22=37\) und \(22+13=35\). 2. Spitzenstein: \(37+35=72\). 3. Summe der Grundreihe: \(15+22+13=50\). 4. Mit der mittleren Zahl nochmals: \(50+22=72\). 5. Das Ergebnis ist gleich dem Spitzenstein.

a) Die zweite Reihe lautet \(37\) und \(35\); der Spitzenstein ist \(72\). b) \(15+22+13+22=72\). Das Ergebnis ist genau der Wert des Spitzensteins.

- Rechne zuerst die Mauer im Bild fertig aus. - Erstelle eine zweite Mauer, bei der jeder Stein in der untersten Reihe um \(3\) größer ist. - Vergleiche die beiden Ergebnisse an der Spitze.

Zuerst entstehen aus \(1,4,2\) die Zahlen \(5\) und \(6\). An der Spitze steht \(11\). Nach der Erhöhung um \(3\) stehen unten \(4,7,5\). Daraus entstehen \(11\) und \(12\), an der Spitze \(23\). Die Spitze wird um \(23-11=12\) größer.

Ursprünglich steht an der Spitze \(11\), danach \(23\). Die Zahl an der Spitze wird also um \(12\) größer.

- Verfolge, an welchen beiden Seiten die veränderte obere Ecke beteiligt ist. - Eine Seite, deren beide Eckzahlen unverändert bleiben, behält auch ihr Produkt. - Prüfe deine Vorhersage danach durch Berechnen der Produkte.

1. Die obere Ecke gehört zu den Seiten oben rechts und oben links. Deshalb verdoppeln sich dort die Produkte. 2. Die untere Seite verwendet nur die beiden unveränderten unteren Ecken und bleibt daher gleich. 3. a): \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 5 = 20\), \(5 \cdot 3 = 15\). 4. b): \(6 \cdot 4 = 24\), \(4 \cdot 5 = 20\), \(5 \cdot 6 = 30\).

Die Seitenprodukte oben rechts und oben links verdoppeln sich. Das untere Seitenprodukt bleibt gleich. a): \(12, 20, 15\); b): \(24, 20, 30\).

- Vergleiche benachbarte Aufgaben, bevor du nur auf die Ergebnisse schaust. - Wie verändert sich der erste Summand von Zeile zu Zeile? - Was geschieht gleichzeitig mit dem zweiten Summanden?

1. Alle vier Summen sind \(200\). 2. Von Aufgabe zu Aufgabe wird der erste Summand um \(10\) größer und der zweite um \(10\) kleiner. 3. Deshalb bleibt die Summe gleich. 4. Eine passende Fortsetzung ist \(168+32=200\).

Die Ergebnisse sind jeweils \(200\). Eine passende Fortsetzung ist \(168+32=200\). Wird ein Summand um \(10\) erhöht und der andere um \(10\) vermindert, bleibt die Summe gleich.

- Wie verändern sich Minuend und Subtrahend jeweils von einer Zeile zur nächsten? - Denke bei einer Differenz an den Abstand zweier Zahlen. - Was passiert mit diesem Abstand, wenn beide Zahlen gleich stark wachsen?

1. Jede gegebene Differenz ist \(422\). 2. Minuend und Subtrahend werden jeweils gleichzeitig um \(10\) erhöht. 3. Ihr Abstand bleibt dadurch gleich. 4. Eine passende Fortsetzung ist \(583-161=422\).

Alle Ergebnisse sind \(422\). Eine passende Fortsetzung ist \(583-161=422\). Weil beide Zahlen jeweils um \(10\) steigen, bleibt ihre Differenz unverändert.

- Welche Zahl bleibt in allen Produkten gleich? - Um wie viel steigt der andere Faktor jeweils? - Welche Wirkung hat diese Faktoränderung auf das Produkt?

1. Die Ergebnisse sind \(60\), \(100\), \(140\) und \(180\). 2. Der zweite Faktor steigt jeweils um \(10\). 3. Deshalb steigt das Produkt jeweils um \(4\cdot10=40\). 4. Eine passende Fortsetzung ist \(4\cdot55=220\).

Ergebnisse: \(60,100,140,180\). Eine passende Fortsetzung ist \(4\cdot55=220\). Die Ergebnisse steigen jeweils um \(40\).

- Um wie viel wächst der Dividend von Zeile zu Zeile? - Teile genau diese Veränderung durch den unveränderten Divisor. - Passt dieser Wert zu den Abständen der Quotienten?

1. Die Quotienten sind \(40\), \(50\), \(60\) und \(70\). 2. Der Dividend steigt jeweils um \(60\). 3. Da \(60:6=10\), steigt der Quotient jeweils um \(10\). 4. Eine passende Fortsetzung ist \(480:6=80\).

Quotienten: \(40,50,60,70\). Eine passende Fortsetzung ist \(480:6=80\). Bei \(+60\) im Dividend steigt der Quotient um \(10\).

- Vergleiche zuerst die Quotienten der vier Aufgaben. - Wie verändern sich Dividend und Divisor von Zeile zu Zeile gemeinsam? - Welche feste Beziehung zwischen Dividend und Divisor erklärt den gleichbleibenden Quotienten?

1. Alle vier Quotienten sind \(40\). 2. Dividend und Divisor werden gemeinsam vergrößert; der Dividend ist jeweils das \(40\)-Fache des Divisors. 3. Eine passende Fortsetzung ist \(400:10=40\).

\(80:2=40\), \(160:4=40\), \(240:6=40\), \(320:8=40\). Eine passende Fortsetzung ist \(400:10=40\). Der Dividend ist jeweils das \(40\)-Fache des Divisors.

- Schau dir die Zahlen an, die abgezogen werden. Wie verändern sie sich von Aufgabe zu Aufgabe? - Wenn du die erste Aufgabe gelöst hast, kannst du das Ergebnis für die nächste nutzen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du immer \(100\) mehr abziehst?

1. \(500 - 142 = 358\). 2. Bei \(500 - 242\) ist der Subtrahend um \(100\) größer. Deshalb ist die Differenz um \(100\) kleiner: \(358 - 100 = 258\). 3. Bei \(500 - 342\) wird der Subtrahend noch einmal um \(100\) größer. Die Differenz wird wieder um \(100\) kleiner: \(258 - 100 = 158\).

a) \(358\) b) \(258\) c) \(158\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse werden immer um \(100\) kleiner.

- Überlege dir zuerst, welche Ziffern an der Zehnerstelle und welche an der Einerstelle stehen. - Wenn du die Zehnerziffern festlegst, bleiben nur noch zwei Ziffern für die Einerstellen übrig. Probiere beide Möglichkeiten aus. - Schau dir die Ergebnisse der Aufgaben genau an und vergleiche sie. Wie viel kommt von Schritt zu Schritt dazu?

1. a) Zehnerziffern: \(4\) und \(5\). Einerziffern: \(6\) und \(7\). Es gibt \(46 + 57 = 103\) und \(47 + 56 = 103\). 2. b) Zehnerziffern: \(4\) und \(6\). Einerziffern: \(5\) und \(7\). Es gibt \(45 + 67 = 112\) und \(47 + 65 = 112\). 3. c) Zehnerziffern: \(4\) und \(7\). Einerziffern: \(5\) und \(6\). Es gibt \(45 + 76 = 121\) und \(46 + 75 = 121\). 4. Die Ergebnisse werden jeweils um \(9\) größer: \(103\), \(112\), \(121\).

a) \(46 + 57 = 103\) und \(47 + 56 = 103\). b) \(45 + 67 = 112\) und \(47 + 65 = 112\). c) \(45 + 76 = 121\) und \(46 + 75 = 121\). d) Die Ergebnisse werden immer um \(9\) größer (\(103\), \(112\), \(121\)).

- Vergleiche den Abstand der Ziffern mit der 9er-Reihe. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn der Abstand der Ziffern um 1 größer wird? - Kannst du eine Regel finden, wie man das Ergebnis ohne langes Rechnen bestimmen kann?

1. Das Muster lautet: Ziffernabstand mal \(9\) ergibt das Ergebnis. 2. Bei \(61 - 16\) ist der Abstand \(5\). Also \(5 \cdot 9 = 45\). Kontrolle: \(61 - 16 = 45\). 3. Bei \(81 - 18\) ist der Abstand \(7\). Also erwartet man \(7 \cdot 9 = 63\). Kontrolle: \(81 - 18 = 63\). 4. Für das Ergebnis \(45\) muss der Ziffernabstand \(5\) sein. Zum Beispiel: \(72 - 27 = 45\).

a) \(45\) b) Erwartung: \(63\). Rechnung: \(81 - 18 = 63\). c) Zum Beispiel \(61 - 16 = 45\) oder \(94 - 49 = 45\).

- Überlege, wie viel von der Zahl in der linken Spalte bis zum Dach fehlt. - Schau dir die Endungen der Zahlen an, die du eingetragen hast. Sind sie sich ähnlich? - Was passiert mit der Ergänzung zu 100, wenn im 1000er-Haus noch Hunderter dazukommen?

1. Im 100er-Haus fehlen: \(100 - 14 = 86\), \(100 - 67 = 33\), \(100 - 48 = 52\), \(100 - 5 = 95\). 2. Im 1000er-Haus fehlen: \(1000 - 314 = 686\), \(1000 - 467 = 533\), \(1000 - 848 = 152\), \(1000 - 905 = 95\). 3. Die Zehner- und Einerziffern der passenden Ergänzungszahlen sind in beiden Häusern gleich, zum Beispiel \(86\) und \(686\).

Haus 100: 86; 33; 52; 95. Haus 1000: 686; 533; 152; 95. Auffälligkeit: Die Ergänzungszahlen haben die gleichen Zehner und Einer.

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus. - Schau dir die Zahlenpaare genau an: Vergleiche zum Beispiel das erste Ergebnis von a) mit dem ersten von b). - Gibt es eine Regel für die Nullen?

1. a) \(280\), \(660\), \(190\), \(530\). 2. b) \(28\), \(66\), \(19\), \(53\). 3. Die Ergebnisse in a) sind jeweils zehnmal so groß wie die passenden Ergebnisse in b). Die Ziffern bleiben gleich; hinten kommt eine Null dazu.

a) 280; 660; 190; 530. b) 28; 66; 19; 53. c) Die Ergebnisse in a) sind zehnmal so groß wie in b) (eine Null mehr).

- Achte darauf, wie sich Minuend und Subtrahend von Zeile zu Zeile verändern. - Wie wirkt sich eine Vergrößerung des Subtrahenden auf die Differenz aus? - Zerlege die letzte Subtraktion bei Bedarf in zwei günstige Teilschritte, ohne die Rechnung schon festzulegen.

1. \(600 - 400 = 200\). 2. \(630 - 400 = 230\). 3. \(630 - 410 = 220\). 4. \(635 - 410 = 225\). 5. \(635 - 418 = 217\).

\(600 - 400 = 200\) \(630 - 400 = 230\) \(630 - 410 = 220\) \(635 - 410 = 225\) \(635 - 418 = 217\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile verändert. - Was passiert mit der zweiten Zahl in jeder neuen Zeile? - Rechne zuerst die Ergebnisse aus und vergleiche sie dann miteinander.

1. Erste Differenz: \(542 - 200 + 1 = 343\). 2. Zweite Differenz: \(552 - 200 + 2 = 354\). 3. Dritte Differenz: \(562 - 200 + 3 = 365\). 4. Fortsetzung: In jeder Zeile steigt der Minuend um \(10\) und der Subtrahend sinkt um \(1\). 5. Vierte Aufgabe: \(572 - 196 = 376\). 6. Fünfte Aufgabe: \(582 - 195 = 387\). 7. Muster: Das Ergebnis (die Differenz) wird in jeder Zeile um \(11\) größer.

\(542 - 199 = 343\) \(552 - 198 = 354\) \(562 - 197 = 365\) \(572 - 196 = 376\) \(582 - 195 = 387\) Auffälligkeit: Das Ergebnis wird immer um \(11\) größer.

- Vergleiche die erste Zahl der ersten Aufgabe mit der ersten Zahl der zweiten Aufgabe. - Vergleiche nun die zweiten Zahlen der Aufgaben auf die gleiche Weise. - Wenn beide Zahlen einer Minusaufgabe um den gleichen Betrag verändert werden, was passiert dann mit dem Abstand dazwischen?

1. \(735 - 399 = 735 - 400 + 1 = 336\). 2. \(736 - 400 = 336\). 3. \(737 - 401 = 737 - 400 - 1 = 337 - 1 = 336\). 4. Von Aufgabe zu Aufgabe werden die erste und die zweite Zahl jeweils um \(1\) größer. 5. Deshalb bleibt ihr Abstand gleich und damit auch das Ergebnis.

Die Ergebnisse sind: \(735 - 399 = 336\) \(736 - 400 = 336\) \(737 - 401 = 336\) Das Ergebnis bleibt gleich, weil sowohl die erste als auch die zweite Zahl um jeweils \(1\) vergrößert werden. Der Abstand zwischen den Zahlen bleibt also gleich.

- Was ist der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben in einem Paar? - Wird beim zweiten Mal mehr oder weniger dazuaddiert oder abgezogen? - Wie wirkt sich diese Änderung auf dein erstes Ergebnis aus?

1. Paar a: \(450 + 300 = 750\). Da der zweite Summand um \(20\) größer ist, ist das Ergebnis \(750 + 20 = 770\). 2. Paar b: \(680 - 200 = 480\). Da \(40\) mehr abgezogen werden, ist das Ergebnis \(480 - 40 = 440\). 3. Paar c: \(512 + 100 = 612\). Da der zweite Summand um \(7\) größer ist, ist das Ergebnis \(612 + 7 = 619\). 4. Paar d: \(975 - 400 = 575\). Da \(6\) mehr abgezogen werden, ist das Ergebnis \(575 - 6 = 569\).

a) \(450 + 300 = 750\); wegen \(+20\) im zweiten Summanden folgt \(750 + 20 = 770\). b) \(680 - 200 = 480\); weil \(40\) mehr abgezogen werden, folgt \(480 - 40 = 440\). c) \(512 + 100 = 612\); wegen \(+7\) im zweiten Summanden folgt \(612 + 7 = 619\). d) \(975 - 400 = 575\); weil \(6\) mehr abgezogen werden, folgt \(575 - 6 = 569\).

- Schau dir die Ziffern der Zahlen in jeder Zeile genau an. Wie verändern sie sich von oben nach unten? - Rechne die Subtraktionen sorgfältig. - Vergleiche die Ergebnisse, die du unter a) ausgerechnet hast.

1. \(959 - 595 = 364\), \(848 - 484 = 364\), \(737 - 373 = 364\). 2. Alle Ergebnisse sind gleich: \(364\). 3. Von Aufgabe zu Aufgabe wird jede Ziffer in beiden Zahlen um \(1\) kleiner. 4. Deshalb geht es weiter mit \(626 - 262 = 364\) und \(515 - 151 = 364\).

a) Die Ergebnisse lauten alle \(364\). b) Die Ergebnisse sind immer gleich. c) Die nächsten Aufgaben sind: \(626 - 262 = 364\) \(515 - 151 = 364\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Bleibt die zweite Zahl gleich oder verändert sie sich auch? - Was haben die Zahlen \(858\), \(747\) und \(636\) gemeinsam?

1. Die erste Zahl wird von Aufgabe zu Aufgabe um \(111\) kleiner: \(979, 868, 757, \dots\). 2. Die zweite Zahl bleibt immer \(121\). 3. Deshalb geht es weiter mit: \(646 - 121 = 525\) \(535 - 121 = 414\) \(424 - 121 = 303\) 4. Auch die Ergebnisse sind Palindromzahlen und werden jedes Mal um \(111\) kleiner.

a) Die nächsten Aufgaben sind: \(646 - 121 = 525\) \(535 - 121 = 414\) \(424 - 121 = 303\) b) Die Ergebnisse sind ebenfalls Palindromzahlen. Jedes Ergebnis ist um \(111\) kleiner als das vorherige.

- Ordne die Ziffern in jedem Schritt neu: einmal von groß nach klein und einmal von klein nach groß. - Rechne dann die kleinere Zahl von der größeren ab. - Sobald ein Ergebnis zum zweiten Mal vorkommt, bist du fertig. - Kontrolliere die Minusaufgaben besonders sorgfältig.

1. Mit \(8,4,1\): größte Zahl \(841\), kleinste Zahl \(148\). \(841 - 148 = 693\). 2. Mit \(9,6,3\): \(963 - 369 = 594\). 3. Mit \(9,5,4\): \(954 - 459 = 495\). 4. Im nächsten Schritt entsteht wieder \(954 - 459 = 495\). Damit wiederholt sich \(495\) beim 4. Rechenschritt.

Der Zahlenzug sieht so aus: \(841 - 148 = 693\) \(963 - 369 = 594\) \(954 - 459 = 495\) \(954 - 459 = 495\) Nach dem 4. Rechenschritt wiederholt sich das Ergebnis \(495\).

- Werden die Zahlen in den Aufgaben größer oder kleiner? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man einen Faktor halbiert? - Schau dir die Abstände zwischen den Ergebnissen in Reihe a) an.

1. Fortsetzung a): \(5 \cdot 60 = 300\), \(4 \cdot 60 = 240\), \(3 \cdot 60 = 180\). Die Ergebnisse werden immer um \(60\) kleiner. 2. Fortsetzung b): \(5 \cdot 30 = 150\), \(4 \cdot 30 = 120\), \(3 \cdot 30 = 90\). Die Ergebnisse werden immer um \(30\) kleiner. 3. Vergleich: In jeder Spalte ist das Ergebnis von b) genau die Hälfte des Ergebnisses von a), weil der Faktor \(30\) die Hälfte von \(60\) ist.

a) \(5 \cdot 60 = 300\), \(4 \cdot 60 = 240\), \(3 \cdot 60 = 180\). b) \(5 \cdot 30 = 150\), \(4 \cdot 30 = 120\), \(3 \cdot 30 = 90\). Innerhalb der Reihen werden die Ergebnisse immer kleiner (um \(60\) bzw. um \(30\)). Die Ergebnisse von b) sind halb so groß wie die von a).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Zahl mit \(10\) malnimmst? - Wie viel kommt in Serie 1 von Aufgabe zu Aufgabe dazu? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Serien zeilenweise.

1. Serie 1: \(10 \cdot 20 = 200\), \(10 \cdot 30 = 300\), \(10 \cdot 40 = 400\). Fortsetzung: \(10 \cdot 50 = 500\), \(10 \cdot 60 = 600\), \(10 \cdot 70 = 700\). 2. Serie 2: \(5 \cdot 20 = 100\), \(5 \cdot 30 = 150\), \(5 \cdot 40 = 200\). Fortsetzung: \(5 \cdot 50 = 250\), \(5 \cdot 60 = 300\), \(5 \cdot 70 = 350\). 3. In Serie 1 bleibt der erste Faktor \(10\), während der zweite Faktor jeweils um \(10\) wächst. Daher wächst das Ergebnis jeweils um \(100\).

Serie 1: \(10 \cdot 20 = 200\), \(10 \cdot 30 = 300\), \(10 \cdot 40 = 400\), \(10 \cdot 50 = 500\), \(10 \cdot 60 = 600\), \(10 \cdot 70 = 700\). Serie 2: \(5 \cdot 20 = 100\), \(5 \cdot 30 = 150\), \(5 \cdot 40 = 200\), \(5 \cdot 50 = 250\), \(5 \cdot 60 = 300\), \(5 \cdot 70 = 350\). Regel für Serie 1: Der zweite Faktor wächst jeweils um \(10\), deshalb werden die Ergebnisse jeweils um \(100\) größer.

- Schau dir an, um wie viel sich die erste Zahl von Aufgabe zu Aufgabe verändert. - Vergleiche die Teiler (die zweiten Zahlen) der beiden Reihen miteinander. - Rechne zuerst die Ergebnisse der bekannten Aufgaben aus, um ein Muster zu finden. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man durch eine kleinere Zahl teilt?

1. Fortsetzung der Reihe a) durch Verringerung des Dividenden um jeweils \(80\): \(560 : 80 = 7\) und \(480 : 80 = 6\). 2. Fortsetzung der Reihe b) durch Verringerung des Dividenden um jeweils \(80\): \(560 : 40 = 14\) und \(480 : 40 = 12\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Die Quotienten in Reihe b) sind genau doppelt so groß wie die entsprechenden Quotienten in Reihe a) (z. B. \(20\) statt \(10\), \(18\) statt \(9\)).

a) \(560 : 80 = 7\) und \(480 : 80 = 6\) b) \(560 : 40 = 14\) und \(480 : 40 = 12\) Auffälligkeit: Die Ergebnisse in Reihe b) sind doppelt so groß wie in Reihe a).

- Wie viel musst du zur ersten Zahl addieren, um zur nächsten ersten Zahl zu gelangen? - Bleibt die Zahl, durch die geteilt wird, immer gleich? - Schau dir die Ergebnisse an: Gibt es dort auch einen regelmäßigen Sprung?

1. Die erste Zahl wird jedes Mal um \(120\) größer. 2. Deshalb folgen \(480\) und \(600\). 3. Die nächsten Aufgaben sind \(480 : 6 = 80\) und \(600 : 6 = 100\). 4. Wenn die erste Zahl um \(120\) größer wird und immer durch \(6\) geteilt wird, wächst das Ergebnis jedes Mal um \(20\).

Die nächsten Aufgaben sind: \(480 : 6 = 80\) \(600 : 6 = 100\) Regel: Die erste Zahl wird immer um \(120\) größer, dadurch wird das Ergebnis immer um \(20\) größer.

- Die Zahl \(600\) bleibt in allen Aufgaben gleich. - Vergleiche die zweiten Zahlen \(10\) und \(20\). - Vergleiche dazu die Ergebnisse \(60\) und \(30\).

1. Die erste Zahl \(600\) bleibt gleich. Wenn die zweite Zahl größer wird, wird das Ergebnis kleiner. 2. \(20\) ist doppelt so groß wie \(10\). 3. Deshalb ist \(600 : 20 = 30\) nur halb so groß wie \(600 : 10 = 60\).

Wenn die zweite Zahl größer wird, wird das Ergebnis kleiner. Wenn sich die zweite Zahl verdoppelt, zum Beispiel von \(10\) auf \(20\), halbiert sich das Ergebnis von \(60\) auf \(30\).

- Vergleiche die Ergebnisse der beiden Rechnungen in jeder Zeile. - Was verändert sich an den Stellenwerten, wenn du durch \(10\) oder durch \(100\) teilst? - Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden Ergebnissen?

1. Berechnungen für a): \(900 : 10 = 90\) (Umkehraufgabe: \(90 \cdot 10 = 900\)) und \(900 : 100 = 9\) (Umkehraufgabe: \(9 \cdot 100 = 900\)). 2. Berechnungen für b): \(200 : 10 = 20\) (Umkehraufgabe: \(20 \cdot 10 = 200\)) und \(200 : 100 = 2\) (Umkehraufgabe: \(2 \cdot 100 = 200\)). 3. Berechnungen für c): \(500 : 10 = 50\) (Umkehraufgabe: \(50 \cdot 10 = 500\)) und \(500 : 100 = 5\) (Umkehraufgabe: \(5 \cdot 100 = 500\)). 4. Beobachtung: Das Ergebnis der Division durch \(100\) ist immer ein Zehntel so groß wie das Ergebnis der Division durch \(10\).

a) \(900 : 10 = 90\) mit der Umkehraufgabe \(90 \cdot 10 = 900\); \(900 : 100 = 9\) mit der Umkehraufgabe \(9 \cdot 100 = 900\). b) \(200 : 10 = 20\) mit der Umkehraufgabe \(20 \cdot 10 = 200\); \(200 : 100 = 2\) mit der Umkehraufgabe \(2 \cdot 100 = 200\). c) \(500 : 10 = 50\) mit der Umkehraufgabe \(50 \cdot 10 = 500\); \(500 : 100 = 5\) mit der Umkehraufgabe \(5 \cdot 100 = 500\). Auffälligkeit: Das Ergebnis der Division durch \(100\) ist ein Zehntel so groß wie das Ergebnis der Division durch \(10\).

- Welche Division beschreibt in a) die Anzahl gleich langer Reihen? - In b) ist die Anzahl der Reihen bekannt. Welche Größe ist jetzt gesucht? - Vergleiche anschließend nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Rollen der beiden Zahlen in den Divisionen.

1. a) \(480 : 8 = 60\). Es entstehen \(60\) Reihen. 2. b) \(480 : 60 = 8\). In jede Reihe kommen \(8\) Steine. 3. In den beiden Rechnungen tauschen die Zahlen \(8\) und \(60\) ihre Plätze.

a) Es entstehen \(60\) Reihen. b) In jede Reihe kommen \(8\) Steine. c) Die Zahlen \(8\) und \(60\) sind in den beiden Divisionen vertauscht.

- Rechne zuerst alle Aufgaben einzeln aus. - Schau dir die Ziffern der Ergebnisse genau an. Welche Ziffern kommen vor? - Was passiert mit der Null im Ergebnis, wenn die Null im Dividenden an einer anderen Stelle steht?

1. Berechnung Paar a: \(360 : 3 = 120\) und \(306 : 3 = 102\). 2. Berechnung Paar b: \(840 : 4 = 210\) und \(804 : 4 = 201\). 3. Berechnung Paar c: \(550 : 5 = 110\) und \(505 : 5 = 101\). 4. Vergleich: In jedem Paar vertauschen die Ziffern im Ergebnis ihre Plätze (Zehner und Einer), da sich im Dividenden die Position der Null und der anderen Ziffer verändert hat.

a) \(120\) und \(102\) b) \(210\) und \(201\) c) \(110\) und \(101\) Auffälligkeit: Die Ziffern an der Zehner- und Einerstelle sind im Ergebnis vertauscht.

- Vergleiche jede neue Aufgabe mit \(900 : 3 = 300\). - Was ändert sich bei a)? - Was ändert sich bei b)? - Wie wirkt sich Verdoppeln oder Halbieren auf das Ergebnis aus?

1. a) Die erste Zahl bleibt \(900\), aber statt durch \(3\) wird durch \(6\) geteilt. Weil \(6\) doppelt so groß ist, ist das Ergebnis halb so groß: \(300 : 2 = 150\). 2. b) Jetzt bleibt die \(3\) gleich, aber \(450\) ist halb so groß wie \(900\). Deshalb ist auch das Ergebnis halb so groß: \(300 : 2 = 150\).

a) \(150\) b) \(150\) Bei a) wird die zweite Zahl verdoppelt, deshalb halbiert sich das Ergebnis. Bei b) halbiert sich die erste Zahl, deshalb halbiert sich auch das Ergebnis.

- Rechne zuerst alle Aufgaben in a) aus. - Vergleiche die zweiten Zahlen \(10\), \(20\) und \(40\). - Was passiert gleichzeitig mit den Ergebnissen?

1. Für \(240\): \(240 : 10 = 24\), \(240 : 20 = 12\), \(240 : 40 = 6\). 2. Für \(480\): \(480 : 10 = 48\), \(480 : 20 = 24\), \(480 : 40 = 12\). 3. Die zweiten Zahlen werden von \(10\) zu \(20\) zu \(40\) jeweils doppelt so groß. 4. Die Ergebnisse werden dabei jeweils halb so groß: \(24,12,6\) und \(48,24,12\).

a) Ergebnisse für \(240\): \(24\), \(12\), \(6\). Ergebnisse für \(480\): \(48\), \(24\), \(12\). b) Wenn die zweite Zahl doppelt so groß wird, wird das Ergebnis halb so groß.

- Überlege dir zuerst, was mit dem Ergebnis passiert, wenn man nur eine der beiden Zahlen ändert. - Was passiert mit der Summe, wenn ein Teil weggenommen wird? - Du kannst dir auch eine einfache Beispielaufgabe ausdenken, wie \(300 + 300\), und die Änderungen dort ausprobieren.

1. Der erste Summand wird um \(210\) größer. Dadurch wird auch die Summe zunächst um \(210\) größer. 2. Der zweite Summand wird um \(130\) kleiner. Dadurch wird die Summe wieder um \(130\) kleiner. 3. Insgesamt wird die Summe um \(210 - 130 = 80\) größer.

Die Summe vergrößert sich um \(80\).

- Insgesamt wird das Ergebnis um \(500\) größer. - Die erste Zahl erklärt davon schon \(320\). - Wie viel fehlt noch bis \(500\)?

1. Die Summe ist insgesamt um \(500\) größer geworden. 2. Durch den ersten Summanden kommen davon bereits \(320\). 3. Für die Veränderung des zweiten Summanden bleiben \(500 - 320 = 180\).

Der zweite Summand wurde um \(180\) vergrößert.

- Nimm für dein Beispiel einfache Zahlen. - Rechne zuerst die ursprüngliche Plusaufgabe. - Verändere beide Zahlen wie beschrieben und vergleiche die Ergebnisse.

1. Zum Beispiel: \(100 + 100 = 200\). 2. Verändert: \(115 + 85 = 200\). 3. Das Ergebnis bleibt gleich. Bei der ersten Zahl kommen \(15\) dazu, bei der zweiten werden genau \(15\) weggenommen. Beides gleicht sich aus.

Das Ergebnis bleibt gleich. Beispiel: \(100 + 100 = 200\) und \(115 + 85 = 200\). Es wird genau so viel weggenommen, wie an der anderen Zahl dazukommt.

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn eine Zahl um \(40\) kleiner wird? - Hier werden beide Zahlen um \(40\) kleiner. Wie oft wirkt sich das aus? - Fasse die beiden Änderungen zusammen.

1. Die erste Zahl wird um \(40\) kleiner, also wird auch das Ergebnis um \(40\) kleiner. 2. Die zweite Zahl wird ebenfalls um \(40\) kleiner. Das Ergebnis wird noch einmal um \(40\) kleiner. 3. Insgesamt wird das Ergebnis um \(40 + 40 = 80\) kleiner. 4. \(500 - 80 = 420\).

Das Ergebnis wird um \(80\) kleiner. Das neue Ergebnis ist \(420\). Beide Zahlen werden um \(40\) kleiner, deshalb werden insgesamt \(80\) abgezogen.

- Betrachte die beiden Änderungen einzeln. - Eine macht das Ergebnis größer, die andere kleiner. - Welche Änderung ist stärker, und um wie viel?

1. Durch die erste Änderung wird das Ergebnis um \(120\) größer. 2. Durch die zweite Änderung wird das Ergebnis um \(50\) kleiner. 3. Insgesamt wird es um \(120 - 50 = 70\) größer.

Die Summe vergrößert sich um \(70\).

- Was passiert mit dem Rest, wenn du von einer größeren Zahl denselben Betrag abziehst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du von derselben Zahl weniger abziehst? - Probiere es mit einer Beispielaufgabe aus, zum Beispiel \(200 - 100\). Verändere dann die Zahlen wie beschrieben und vergleiche die Ergebnisse.

1. Eine Vergrößerung des Minuenden um \(50\) bewirkt, dass das Ergebnis (die Differenz) um \(50\) größer wird. 2. Eine Verkleinerung des Subtrahenden um \(50\) bewirkt ebenfalls, dass das Ergebnis (die Differenz) um \(50\) größer wird, da weniger abgezogen wird. 3. Gesamte Änderung des Ergebnisses: \(50 + 50 = 100\). 4. Das Ergebnis der Minusaufgabe vergrößert sich um \(100\).

Das Ergebnis vergrößert sich um \(100\).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die erste Zahl um \(30\) größer wird? - Danach wird die zweite Zahl um denselben Betrag kleiner. Was macht das mit dem Ergebnis? - Vergleiche am Ende mit \(480\).

1. Wird die erste Zahl um \(30\) größer, wird auch das Ergebnis um \(30\) größer: \(480 + 30 = 510\). 2. Wird danach die zweite Zahl um \(30\) kleiner, wird das Ergebnis wieder um \(30\) kleiner: \(510 - 30 = 480\). 3. Am Ende ist das Ergebnis wieder genauso groß wie am Anfang: \(480\).

a) Die neue Summe ist \(510\). b) Die Summe ist dann wieder \(480\). Wenn man eine Zahl um einen Betrag vergrößert und die andere um den gleichen Betrag verkleinert, bleibt die Gesamtsumme gleich.

- Die erste Zahl wird um \(40\) größer. - Welche zweite Zahl brauchst du, damit weiterhin \(350\) herauskommt? - Vergleiche danach \(250\) und die neue zweite Zahl.

1. Die erste Zahl wird von \(600\) auf \(640\) erhöht. 2. Damit das Ergebnis \(350\) bleibt, muss die zweite Zahl \(640 - 350 = 290\) sein. 3. Auch die zweite Zahl wird also um \(40\) größer: von \(250\) auf \(290\). 4. Werden bei einer Minusaufgabe beide Zahlen um denselben Betrag größer, bleibt ihr Abstand und damit auch das Ergebnis gleich.

Lukas muss auch die zweite Zahl um \(40\) vergrößern, also von \(250\) auf \(290\). Dann gilt \(640 - 290 = 350\). Wenn beide Zahlen um denselben Betrag größer werden, bleibt das Ergebnis gleich.

- Nach der ersten Änderung wäre das Ergebnis um \(80\) größer. - Gewünscht sind nur \(50\) mehr. - Wie viel musst du also wieder wegnehmen?

1. Durch die erste Änderung wird das Ergebnis um \(80\) größer. 2. Gewünscht sind aber nur \(50\) mehr. 3. \(80 - 50 = 30\). Deshalb muss die zweite Zahl um \(30\) kleiner werden.

Die zweite Zahl muss um \(30\) kleiner werden.

- Rechne die neuen Aufgaben aus und vergleiche jeweils mit \(440\). - Wird nur die erste Zahl größer: Was passiert mit dem Ergebnis? - Wird nur die zweite Zahl größer: Was passiert mit dem Ergebnis? - Bei c) ändern sich beide Zahlen gleich stark.

1. a) \(710 - 230 = 480\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer als \(440\). 2. b) \(670 - 270 = 400\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner als \(440\). 3. c) \(770 - 330 = 440\). Das Ergebnis bleibt gleich, weil beide Zahlen um denselben Betrag größer werden.

a) Das neue Ergebnis ist \(480\). Es ist um \(40\) größer geworden. b) Das neue Ergebnis ist \(400\). Es ist um \(40\) kleiner geworden. c) Das Ergebnis bleibt \(440\) (gleich), weil der Unterschied zwischen den Zahlen gleich bleibt.

- Was passiert mit dem Rest, wenn du von einer kleineren Zahl startest? - Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr abziehst als vorher? - Versuche den Unterschied direkt zu bestimmen, ohne die ganze Aufgabe neu zu rechnen.

1. a) \(780 - 150 = 630\). 2. b) Die erste Zahl wird \(730\): \(730 - 150 = 580\). Das Ergebnis ist um \(50\) kleiner als vorher. 3. c) Die zweite Zahl wird \(170\): \(780 - 170 = 610\). Das Ergebnis ist um \(20\) kleiner als vorher.

a) Das Ergebnis ist \(630\). b) Das Ergebnis wird um \(50\) kleiner (es ist nun \(580\)). c) Das Ergebnis wird um \(20\) kleiner (es ist nun \(610\)).

- Wenn bei einer Minusaufgabe mehr abgezogen wird: Wird das Ergebnis größer oder kleiner? - Hier werden \(60\) mehr abgezogen. - Verändere das alte Ergebnis um genau diesen Betrag.

1. Wenn die zweite Zahl größer wird, wird mehr abgezogen. Deshalb wird das Ergebnis kleiner. 2. Die zweite Zahl wird um \(60\) größer, also wird das Ergebnis um \(60\) kleiner. 3. \(350 - 60 = 290\).

Das Ergebnis wird um \(60\) kleiner. Danach beträgt es \(290\).

- Die erste Zahl wird um \(30\) kleiner. - Das Ergebnis soll trotzdem \(420\) bleiben. - Welche zweite Zahl brauchst du dann? Kontrolliere mit einer Rechnung.

1. Bens erste Zahl ist um \(30\) kleiner als Annas. 2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, muss auch die zweite Zahl um \(30\) kleiner werden. 3. \(210 - 30 = 180\). 4. Kontrolle: \(600 - 180 = 420\).

Ben muss die zweite Zahl um \(30\) verkleinern, also auf \(180\).

- Überlege dir eine Beispielaufgabe, die \(300\) ergibt, zum Beispiel \(400 - 100 = 300\). - Verändere nun die erste Zahl wie in der Aufgabe beschrieben. Was musst du mit der zweiten Zahl tun, damit wieder \(300\) herauskommt? - Wenn die erste Zahl kleiner wird, muss dann von ihr mehr oder weniger abgezogen werden, um das gleiche Ziel zu erreichen?

Die erste Zahl wird um \(50\) kleiner. Dadurch wird das Ergebnis zunächst auch um \(50\) kleiner. Damit es wieder \(300\) wird, muss auch die zweite Zahl um \(50\) kleiner werden. Dann wird wieder \(50\) weniger abgezogen.

Die zweite Zahl muss ebenfalls um \(50\) kleiner werden.

- Rechne zuerst aus, wie viel Wasser nach dem normalen Verbrauch übrig ist. - Musst du für b) und c) wirklich ganz neu rechnen oder kannst du das erste Ergebnis anpassen? - Was passiert mit dem Rest, wenn du von der gleichen Menge weniger wegnimmst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Anfang einfach mehr hast?

1. Es bleiben \(650 - 380 = 270\) Liter. 2. Werden \(20\) Liter weniger verbraucht, wird der Rest um \(20\) Liter größer. Aus dem Ergebnis von a) folgt direkt \(270 + 20 = 290\). 3. Enthält der Tank zu Beginn \(20\) Liter mehr und der Verbrauch bleibt gleich, wird der Rest ebenfalls um \(20\) Liter größer: \(270 + 20 = 290\).

a) Es bleiben \(650 - 380 = 270\) Liter übrig. b) Aus a): \(270 + 20 = 290\). Es blieben \(290\) Liter übrig. c) Auch ein um \(20\) Liter größerer Anfangsbestand vergrößert den Rest um \(20\): \(270 + 20 = 290\). Es blieben \(290\) Liter übrig.

- Schau dir die erste Zahl in jeder Zeile an. Wie verändert sie sich? - Schau dir dann die zweite Zahl an. Was fällt dir auf? - Beide Zahlen werden gleich stark größer. Was passiert dadurch mit ihrem Abstand und mit dem Ergebnis?

a) Beide Zahlen werden jeweils um \(10\) größer. Die nächste Aufgabe lautet deshalb \(570 - 240 = 330\). b) In jedem Schritt werden die erste und die zweite Zahl um \(10\) größer. c) Wenn beide Zahlen um gleich viel größer werden, bleibt ihr Abstand gleich. Deshalb bleibt auch das Ergebnis gleich.

a) Die nächste Aufgabe lautet \(570 - 240 = 330\). b) Beide Zahlen werden in jedem Schritt um \(10\) größer. c) Das Ergebnis bleibt gleich, weil der Unterschied (Abstand) zwischen den beiden Zahlen immer derselbe ist, wenn man beide um den gleichen Betrag erhöht.

- Stell dir vor, du hast eine Kiste mit Äpfeln. Was passiert mit dem Rest, wenn du mehr Äpfel in die Kiste legst? - Was passiert mit dem Rest, wenn du am Ende weniger Äpfel herausnimmst als geplant? - Verändere das Ergebnis Schritt für Schritt für jede der beiden Zahlen einzeln.

Wird die erste Zahl um \(30\) größer, steigt das Ergebnis von \(150\) auf \(180\). Wird danach die zweite Zahl um \(10\) kleiner, wird \(10\) weniger abgezogen. Das Ergebnis steigt also noch einmal um \(10\): \(180 + 10 = 190\).

Das neue Ergebnis ist \(190\). Es steigt zuerst um \(30\) und dann noch einmal um \(10\).

- Rechne jede Aufgabe Schritt für Schritt aus und notiere dir die Zwischenergebnisse. - Vergleiche die Endergebnisse der vier Aufgaben miteinander. - Nutze die Umkehraufgabe mit Multiplikation, um sicherzugehen, dass deine Ergebnisse stimmen.

\(480 : 3 = 160\), denn \(300 : 3 = 100\) und \(180 : 3 = 60\). \(640 : 4 = 160\), denn \(400 : 4 = 100\) und \(240 : 4 = 60\). \(800 : 5 = 160\), denn \(500 : 5 = 100\) und \(300 : 5 = 60\). \(780 : 6 = 130\), denn \(600 : 6 = 100\) und \(180 : 6 = 30\). Aufgabe d) passt nicht zu den anderen: Dort ist das Ergebnis \(130\), bei den anderen \(160\).

a) \(160\) b) \(160\) c) \(160\) d) \(130\) Das Ergebnis von d) passt nicht zu den anderen.

- Vergleiche zuerst die Faktoren von a) und b). - Was passiert mit dem Produkt, wenn ein Faktor doppelt und der andere halb so groß wird? - Prüfe dieselbe Idee von b) zu c).

1. \(124\cdot4=496\). 2. Von a) zu b) wird der erste Faktor verdoppelt und der zweite halbiert. Dadurch bleibt das Produkt gleich: \(248\cdot2=496\). 3. Von b) zu c) wird der erste Faktor durch \(4\) geteilt und der zweite mit \(4\) multipliziert. Auch dadurch bleibt das Produkt gleich: \(62\cdot8=496\). 4. Das Muster lautet: Wird ein Faktor zum Beispiel doppelt so groß und der andere halb so groß, bleibt das Produkt gleich. Dasselbe gilt hier auch mit mal 4 und geteilt durch 4.

a) \(496\) b) \(496\) c) \(496\) Muster: Wird ein Faktor zum Beispiel doppelt so groß und der andere halb so groß, bleibt das Produkt gleich.

- Du musst nicht immer alles neu rechnen. Schau dir an, welche Zahl in der Aufgabe verändert wurde. - Wenn du zu einer Zahl mehr dazu tust als vorher, was passiert dann mit dem Endergebnis? - Wenn du von einer größeren Zahl den gleichen Betrag abziehst, wie verändert das den Rest? - Vergleiche die Aufgaben ganz genau, bevor du mit dem Rechnen beginnst.

a) \(270 + 80 = 350\) und \(270 + 90 = 360\). Der zweite Summand ist um \(10\) größer, deshalb ist auch die Summe um \(10\) größer. b) \(640 - 50 = 590\) und \(660 - 50 = 610\). Der Minuend ist um \(20\) größer, während derselbe Subtrahend abgezogen wird. Deshalb ist auch die Differenz um \(20\) größer.

a) \(270 + 80 = 350\) und \(270 + 90 = 360\). Die zweite Summe ist um \(10\) größer. b) \(640 - 50 = 590\) und \(660 - 50 = 610\). Die zweite Differenz ist um \(20\) größer, weil der Minuend um \(20\) größer ist.

- Probiere die Rechnung mit den veränderten Zahlen einfach mal aus. - Stell dir vor, du hast zwei Beutel mit Murmeln. Wenn du aus dem einen Beutel Murmeln in den anderen legst, ändert sich dann die Gesamtzahl der Murmeln? - Was passiert, wenn du in beide Beutel zusätzliche Murmeln hineinfüllst?

a) Die erste Zahl wird \(340 + 20 = 360\), die zweite \(160 - 20 = 140\). Also: \(360 + 140 = 500\). Umas Regel stimmt hier. b) Bei der einen Zahl kommen \(20\) dazu, bei der anderen werden \(20\) weggenommen. Das gleicht sich aus. c) Werden beide Zahlen um \(20\) größer, wächst das Ergebnis um \(20+20=40\). Das neue Ergebnis ist \(540\).

a) Die neuen Zahlen sind \(360\) und \(140\). Das Ergebnis ist weiterhin \(500\). b) Das Ergebnis bleibt gleich, weil man bei der einen Zahl genau das dazutut, was man bei der anderen wegnimmt. c) Das Ergebnis würde um \(40\) größer werden (neues Ergebnis: \(540\)).

- Betrachte zuerst nur die Änderung des Minuenden. - Betrachte danach nur die Änderung des Subtrahenden: Was passiert, wenn weniger abgezogen wird? - Vergleiche die beiden entgegengesetzten Auswirkungen.

1. Wird nur der Minuend um \(40\) kleiner, wird die Differenz um \(40\) kleiner. 2. Wird der Subtrahend um \(15\) kleiner, wird weniger abgezogen; dadurch wird die Differenz um \(15\) größer. 3. Von der Verringerung um \(40\) werden also \(15\) wieder ausgeglichen. Übrig bleibt \(40-15=25\). Die Differenz wird insgesamt um \(25\) kleiner.

Die Differenz verringert sich um \(25\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn die erste Zahl größer wird? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Die Differenz ist der Abstand zwischen ihnen. Was passiert mit dem Abstand, wenn beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts verschoben werden? - Betrachte die beiden Änderungen nacheinander: Erst wird das Ergebnis größer, und dann?

a) Wird die erste Zahl um \(20\) größer, wird auch das Ergebnis um \(20\) größer: \(350+20=370\). b) Wird nun auch die zweite Zahl um \(20\) größer, wird wieder \(20\) mehr abgezogen. Das Ergebnis sinkt deshalb zurück auf \(350\). Die neue Rechnung lautet \(520-170=350\).

a) Das neue Ergebnis ist \(370\). b) Das Ergebnis ist \(350\) (es bleibt gleich).

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du mit einer größeren Menge startest, aber gleich viel wegnimmst? - Überlege, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird, wenn du von einer Zahl mehr abziehst als vorher. - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Was passiert mit dem Abstand, wenn beide Zahlen um das gleiche Stück nach rechts hüpfen?

a) \(540 - 200 = 340\). Das Ergebnis ist um \(40\) größer. b) \(500 - 240 = 260\). Das Ergebnis ist um \(40\) kleiner. c) \(540 - 240 = 300\). Werden beide Zahlen um gleich viel größer, bleibt ihr Abstand und damit das Ergebnis gleich.

a) \(340\); das Ergebnis wird um \(40\) größer. b) \(260\); das Ergebnis wird um \(40\) kleiner. c) \(300\); das Ergebnis bleibt gleich.

- Stell dir die beiden Zahlen als Markierungen auf einem Lineal vor. - Was passiert mit dem Abstand zwischen den Markierungen, wenn die rechte Markierung nach links geschoben wird? - Was passiert mit dem Abstand, wenn die linke Markierung nach rechts geschoben wird? - Verkleinert oder vergrößert sich die Lücke in jedem Schritt?

Wird die größere Zahl um \(20\) kleiner, wird der Abstand um \(20\) kleiner: \(150-20=130\). Wird dann die kleinere Zahl um \(10\) größer, wird der Abstand noch einmal um \(10\) kleiner: \(130-10=120\).

Der neue Abstand beträgt \(120\).

- Beginne damit, die beiden Steine in der mittleren Reihe zu berechnen, indem du die jeweils darunterliegenden Steine addierst. - Wenn du die mittlere Reihe hast, kannst du diese beiden Zahlen addieren, um den obersten Stein zu finden. - Vergleiche die Zahlen im untersten mittleren Stein von Mauer A, Mauer B und Mauer C. Um wie viel werden sie größer? - Vergleiche nun die Zahlen in den obersten Steinen. Fällt dir ein Zusammenhang auf? - Überlege, wie oft die untere mittlere Zahl in die Berechnung des obersten Steins einfließt.

Mauer A: \(10+15=25\), \(15+12=27\), oben \(25+27=52\). Mauer B: \(10+20=30\), \(20+12=32\), oben \(30+32=62\). Mauer C: \(10+25=35\), \(25+12=37\), oben \(35+37=72\). Die Zahlen an der Spitze sind \(52,62,72\). Sie werden jeweils um \(10\) größer. Die Zahl unten in der Mitte wird in beiden Steinen der mittleren Reihe mitgerechnet. Wird sie um \(5\) größer, wird die Spitze deshalb zweimal um \(5\) größer, also um \(10\).

Mauer A: mittlere Reihe \(25,27\), Spitze \(52\). Mauer B: mittlere Reihe \(30,32\), Spitze \(62\). Mauer C: mittlere Reihe \(35,37\), Spitze \(72\). Wird die untere mittlere Zahl um \(5\) größer, wird die Spitze um \(10\) größer. Die mittlere Zahl wird auf dem Weg zur Spitze zweimal mitgerechnet.

- Schau dir die Steine an, bei denen du bereits zwei Nachbarsteine kennst. - Wenn ein Stein über zwei anderen Steinen liegt, ist sein Wert die Summe dieser beiden Steine. - Wenn der obere Stein und einer der beiden unteren Steine bekannt sind, kannst du den fehlenden unteren Stein durch eine Minusaufgabe finden. - Vergleiche nach dem Lösen die unterste Reihe von Mauer A und Mauer B. Was hat sich verändert und wie wirkt sich das auf die Spitze aus?

Mauer A: Unten links fehlt \(32-15=17\). Rechts in der Mitte steht \(15+24=39\). Oben steht \(32+39=71\). Mauer B: Unten links fehlt \(35-15=20\). Rechts in der Mitte steht wieder \(15+24=39\). Oben steht \(35+39=74\). Bei Mauer B ist die Zahl unten links um \(3\) größer. Deshalb ist auch die Zahl an der Spitze um \(3\) größer: \(74\) statt \(71\).

Mauer A: - Untere Reihe: \(17\), \(15\), \(24\) - Mittlere Reihe: \(32\), \(39\) - Spitze: \(71\) Mauer B: - Untere Reihe: \(20\), \(15\), \(24\) - Mittlere Reihe: \(35\), \(39\) - Spitze: \(74\) Erklärung: Der Stein unten links ist bei Mauer B um \(3\) größer als bei Mauer A (\(20\) statt \(17\)). Dadurch wird auch der Stein ganz oben bei Mauer B um genau \(3\) größer (\(74\) statt \(71\)).

- Berechne die abgebildete Mauer zunächst vollständig. - Vergleiche danach, welche Steine sich verändern, wenn alle Grundsteine um denselben Betrag steigen. - Untersuche, wie oft jeder Grundstein auf dem Weg zur Spitze beiträgt.

a) Aus \(6,8,12\) entstehen \(14\) und \(20\). Oben steht \(34\). b) Mit jeweils \(+2\) stehen unten \(8,10,14\), darüber \(18,24\) und oben \(42\). Die Spitze ist also um \(42-34=8\) größer. c) Die beiden äußeren Grundsteine werden auf dem Weg nach oben je einmal mitgerechnet, der mittlere zweimal. Werden alle drei um \(5\) größer, wächst die Spitze deshalb um \(5+10+5=20\).

a) Untere Reihe: \(6\), \(8\), \(12\); mittlere Reihe: \(14\), \(20\); Spitze: \(34\). b) Untere Reihe: \(8\), \(10\), \(14\); mittlere Reihe: \(18\), \(24\); Spitze: \(42\). Die Spitze ist um \(8\) größer. c) Werden alle drei Grundsteine um \(5\) erhöht, wächst die Spitze um \(20\) auf \(54\).

- Berechne beide Mauern vollständig und vergleiche entsprechende Steine. - Verfolge, welche Steine in der zweiten Reihe durch die veränderte Mitte beeinflusst werden. - Vergleiche die Änderung unten mit der Änderung an der Spitze.

1. Mauer a): Aus \(8\), \(10\), \(12\) entstehen \(18\), \(22\) und oben \(40\). 2. Mauer b): Aus \(8\), \(11\), \(12\) entstehen \(19\), \(23\) und oben \(42\). 3. Der mittlere Grundstein wurde um \(1\) erhöht. Die Spitze stieg von \(40\) auf \(42\), also um \(2\).

a) Mauer a): untere Reihe \(8\), \(10\), \(12\); mittlere Reihe \(18\), \(22\); Spitze \(40\). Mauer b): untere Reihe \(8\), \(11\), \(12\); mittlere Reihe \(19\), \(23\); Spitze \(42\). b) Wird der mittlere Grundstein um \(1\) erhöht, steigt die Spitze um \(2\).

- Probiere beide Veränderungen nacheinander aus. - Achte darauf, wie oft der Wert eines Grundsteins in das Ergebnis an der Spitze einfließt. - Vergleiche am Ende beide neuen Spitzen mit der ursprünglichen Spitze.

1. Aus \(5\), \(10\), \(5\) entstehen \(15\), \(15\) und oben \(30\). 2. Wird nur die Mitte um \(5\) erhöht, lauten die Grundsteine \(5\), \(15\), \(5\). Daraus entstehen \(20\), \(20\), oben \(40\). Die Spitze wächst um \(10\). 3. Werden stattdessen nur die äußeren Grundsteine um jeweils \(5\) erhöht, lauten die Grundsteine \(10\), \(10\), \(10\). Daraus entstehen ebenfalls \(20\), \(20\), oben \(40\). Die Spitze wächst ebenfalls um \(10\).

Ursprünglich steht an der Spitze \(30\). Nur Mitte \(+5\): neue Spitze \(40\), also \(+10\). Nur beide äußeren Grundsteine je \(+5\): neue Spitze ebenfalls \(40\), also ebenfalls \(+10\).

- Berechne beide Mauern zunächst vollständig. - Vergleiche, wie sich die beiden Steine der zweiten Reihe verändern. - Verbinde diese beiden Veränderungen mit dem Unterschied an der Spitze.

1. Mauer a): Zweite Reihe \(50-15=35\) und \(15-5=10\); Spitze \(35-10=25\). 2. Mauer b): Zweite Reihe \(50-16=34\) und \(16-5=11\); Spitze \(34-11=23\). 3. Die mittlere Zahl unten steigt um \(1\), während die Spitze von \(25\) auf \(23\) sinkt. Die Spitze wird also um \(2\) kleiner.

Die Spitze von Mauer a) ist \(25\), die von Mauer b) ist \(23\). Wird die mittlere Zahl unten um \(1\) erhöht, sinkt die Spitze um \(2\).

- Vergleiche bei A, B und C getrennt die Anzahl der Reihen und die Anzahl der Spalten. - Setze beide Veränderungen für die nächste Anordnung fort. - Vergleiche danach die Punktzahlen von C und der neuen Anordnung.

1. A hat \(2\) Reihen und \(3\) Spalten, B hat \(3\) Reihen und \(4\) Spalten, C hat \(4\) Reihen und \(5\) Spalten. 2. Von Bild zu Bild kommen jeweils eine Reihe und eine Spalte hinzu. 3. Die nächste Anordnung hat daher \(5\) Reihen und \(6\) Spalten: \(5 \cdot 6 = 30\) Punkte. 4. C hat \(4 \cdot 5 = 20\) Punkte. Der Zuwachs beträgt \(30 - 20 = 10\) Punkte.

Reihen- und Spaltenzahl steigen jeweils um \(1\). Die nächste Anordnung hat \(30\) Punkte; der Zuwachs beträgt \(10\) Punkte.

- Vergleiche zuerst, welche Eckzahl sich von Bild zu Bild verändert. - Beobachte jede Seite getrennt über alle drei Dreiecke hinweg. - Erkläre die Schrittweite einer Seitenfolge mithilfe der unveränderten angrenzenden Ecke.

1. a): oben rechts \(5 \cdot 3 = 15\), unten \(3 \cdot 2 = 6\), oben links \(2 \cdot 5 = 10\). 2. b): oben rechts \(5 \cdot 4 = 20\), unten \(4 \cdot 2 = 8\), oben links \(2 \cdot 5 = 10\). 3. c): oben rechts \(5 \cdot 5 = 25\), unten \(5 \cdot 2 = 10\), oben links \(2 \cdot 5 = 10\). 4. Oben rechts wächst die Folge jeweils um \(5\), unten jeweils um \(2\), oben links bleibt sie konstant bei \(10\).

a): \(15, 6, 10\) b): \(20, 8, 10\) c): \(25, 10, 10\) Oben rechts steigt die Seitenzahl jeweils um \(5\), unten jeweils um \(2\), oben links bleibt sie gleich.

- Betrachte jede Seite danach, welche ihrer beiden Eckzahlen verändert wurde. - Was geschieht mit einem Produkt, wenn ein Faktor verdoppelt und der andere gleichzeitig halbiert wird? - Prüfe die beiden übrigen Seiten getrennt: Dort ändert sich jeweils nur einer der beiden Faktoren.

1. Oben rechts wirken Verdoppeln und Halbieren gleichzeitig. Das Produkt bleibt deshalb gleich: a) \(4 \cdot 6 = 24\), b) \(8 \cdot 3 = 24\). 2. Unten bleibt die linke untere Ecke gleich, während die rechte untere Ecke halbiert wird. Das Produkt halbiert sich von \(30\) auf \(15\). 3. Oben links bleibt die linke untere Ecke gleich, während die obere Ecke verdoppelt wird. Das Produkt verdoppelt sich von \(20\) auf \(40\).

Oben rechts bleibt das Produkt gleich. Unten halbiert es sich. Oben links verdoppelt es sich. Kontrolle: a) \(24, 30, 20\); b) \(24, 15, 40\).

- Untersuche die Veränderung des Minuenden und des Subtrahenden getrennt. - Welche der beiden Veränderungen macht die Differenz kleiner? - Wie wirken beide Veränderungen zusammen auf den Abstand?

1. Die Ergebnisse sind \(800\), \(730\), \(660\) und \(590\). 2. Der Minuend sinkt jeweils um \(50\), während der Subtrahend gleichzeitig um \(20\) steigt. 3. Beide Veränderungen verkleinern die Differenz; zusammen beträgt die Änderung \(50+20=70\). 4. Eine passende Fortsetzung ist \(700-180=520\).

Ergebnisse: \(800,730,660,590\). Eine passende Fortsetzung ist \(700-180=520\). Die Differenz sinkt jeweils um \(70\), weil der Minuend um \(50\) kleiner und der Subtrahend um \(20\) größer wird.

- Berechne zunächst mehrere der Produkte und vergleiche die Ergebnisse. - Welche Zahl scheint unverändert zu bleiben? - Suche für die Fortsetzung zwei Faktoren, deren Produkt genau diese Zahl ergibt.

1. Alle fünf Produkte sind \(240\). 2. Die Faktoren ändern sich unterschiedlich, werden aber so gewählt, dass das Produkt konstant bleibt. 3. Ein weiteres passendes Paar ist zum Beispiel \(12\cdot20=240\).

Alle Produkte sind \(240\). Zum Beispiel ist auch \(12\cdot20=240\). Andere passende Faktorenpaare mit Produkt \(240\) sind möglich.

- Vergleiche nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Summanden benachbarter Zeilen. - Welche Veränderung erkennst du beim ersten Summanden? - Welche passende Gegenveränderung müsste beim zweiten Summanden auftreten?

Von Zeile zu Zeile soll die erste Zahl um \(10\) größer und die zweite um \(10\) kleiner werden. Deshalb muss die dritte Zeile \(340+160=500\) lauten. \(345+155=500\) ist zwar richtig gerechnet, passt aber nicht zur regelmäßigen Veränderung. Das Ergebnis bleibt in der passenden Folge immer \(500\).

Die dritte Zeile unterbricht das Muster. Passend ist \(340+160=500\). Die erste Zahl wird jeweils um \(10\) größer, die zweite um \(10\) kleiner; das Ergebnis bleibt \(500\).

- Für eine kleine Summe: Welche Ziffern sollten an den Zehnerstellen stehen? - Probiere systematisch verschiedene Paare für die Zehnerstellen aus. - Wenn dieselben beiden Ziffern an den Zehnerstellen stehen, ändert das Vertauschen der Einerziffern die Summe nicht.

1. Für die kleinste Summe müssen die kleinsten Ziffern \(2\) und \(4\) an den Zehnerstellen stehen. Dann sind zum Beispiel \(25 + 48 = 73\) oder \(28 + 45 = 73\) möglich. Die kleinste Summe ist \(73\). 2. Für die größte Summe müssen die größten Ziffern \(5\) und \(8\) an den Zehnerstellen stehen. Dann sind zum Beispiel \(52 + 84 = 136\) oder \(54 + 82 = 136\) möglich. Die größte Summe ist \(136\). 3. Wähle jeweils zwei Ziffern für die Zehnerstellen. Dafür gibt es sechs verschiedene Paare. Sie führen zu den sechs Ergebnissen \(73, 82, 100, 109, 127, 136\).

a) Kleinstmögliche Summe: \(25 + 48 = 73\) (oder \(28 + 45 = 73\)). b) Größtmögliche Summe: \(52 + 84 = 136\) (oder \(54 + 82 = 136\)). c) Es gibt insgesamt 6 verschiedene Ergebnisse (\(73\), \(82\), \(100\), \(109\), \(127\), \(136\)).

- Rechne sorgfältig untereinander oder schrittweise. - Schau dir die mittlere Ziffer der Ergebnisse an. - Addiere bei den Ergebnissen einmal die erste und die letzte Ziffer. Was fällt dir auf? - Warum sind die Ergebnisse hier alle gleich, obwohl die Startzahlen unterschiedlich sind?

1. \(421 - 124 = 297\), \(623 - 326 = 297\), \(825 - 528 = 297\). 2. In diesem Päckchen ist das Ergebnis immer \(297\). 3. Die Zehnerziffer des Ergebnisses ist \(9\). Außerdem ergeben Hunderter- und Einerziffer zusammen ebenfalls \(9\): \(2 + 7 = 9\).

a) \(297\) b) \(297\) c) \(297\) d) Das Ergebnis ist immer gleich (\(297\)). Die Zehnerziffer ist immer eine \(9\). Die Hunderterziffer (\(2\)) und die Einerziffer (\(7\)) ergeben zusammen \(9\).

- Rechne zuerst alle Aufgaben aus Päckchen A aus. Was bemerkst du? - Rechne dann Päckchen B aus. - Vergleiche die Ergebnisse beider Päckchen. Ist das Ergebnis eines Päckchens ein Vielfaches des anderen?

1. Päckchen A: \(654 - 456 = 198\), \(765 - 567 = 198\), \(876 - 678 = 198\). 2. Päckchen B: \(642 - 246 = 396\), \(753 - 357 = 396\), \(864 - 468 = 396\). 3. In jedem Päckchen sind die drei Ergebnisse gleich. 4. \(396\) ist doppelt so groß wie \(198\), denn \(198 + 198 = 396\).

a) Ergebnisse Päckchen A: immer \(198\). Ergebnisse Päckchen B: immer \(396\). b) Die Ergebnisse in Päckchen B sind genau doppelt so groß wie die Ergebnisse in Päckchen A.

- Rechne für jedes Kind getrennt. - Wenn eine Null unter den Ziffern ist, steht sie bei der kleinsten Zahl ganz vorne (zum Beispiel die Ziffernfolge „038“, die den Wert \(38\) hat). - Vergleiche die Ergebnisse der einzelnen Schritte miteinander. Findest du eine Zahl, die in beiden Zügen vorkommt?

1. Mia startet mit \(721 - 127 = 594\). Tom startet mit \(830 - 38 = 792\); die kleinste Zahl aus \(3,0,8\) ist \(038 = 38\). 2. Mia: Aus \(5,9,4\) wird \(954 - 459 = 495\). Sie erreicht \(495\) nach \(2\) Schritten. 3. Tom: Aus \(7,9,2\) wird \(972 - 279 = 693\). 4. Danach: \(963 - 369 = 594\). 5. Dann: \(954 - 459 = 495\). Tom erreicht \(495\) nach \(4\) Schritten. 6. Beide Züge kommen bei \(594\) zusammen und enden bei \(495\).

a) Mia: \(721 - 127 = 594\). Tom: \(830 - 38 = 792\). b) Mia braucht \(2\) Schritte: \(594 \rightarrow 495\). Tom braucht \(4\) Schritte: \(792 \rightarrow 693 \rightarrow 594 \rightarrow 495\). c) Beide Züge treffen sich bei der Zahl \(594\) und enden beide bei der \(495\).

- Vergleiche die beiden Zahlen vor und nach dem Pfeil. - Wird eine Zahl zehnmal größer, zehnmal kleiner oder bleibt sie gleich? - Wenn sich beide Zahlen ändern, gleichen sich die Änderungen vielleicht aus?

1. a) \(4\) wird zu \(40\), also wird auch \(12\) zu \(120\): \(3 \cdot 40 = 120\). 2. b) Das Ergebnis wird von \(10\) zu \(100\) zehnmal so groß, während die \(2\) gleich bleibt. Deshalb wird \(5\) zu \(50\). 3. c) \(10\) wird zu \(100\), also wird \(80\) zu \(800\). 4. d) Die erste Zahl wird zehnmal kleiner, die zweite zehnmal größer. Deshalb bleibt das Ergebnis \(600\).

a) \(120\) b) \(50\) c) \(800\) d) \(600\)

- Was passiert mit dem Ergebnis \(300\), wenn nur die erste Zahl um \(50\) größer wird? - Vergleiche dieses Zwischenergebnis mit \(320\). Muss das Ergebnis noch größer oder kleiner werden? - Brauchst du dafür eine größere oder eine kleinere zweite Zahl?

Wird nur die erste Zahl um \(50\) größer, steigt das Ergebnis von \(300\) auf \(350\). Gewünscht ist aber \(320\). Das Ergebnis muss also wieder um \(30\) kleiner werden. Dazu muss man \(30\) mehr abziehen. Die zweite Zahl muss deshalb um \(30\) größer werden.

Die zweite Zahl muss um \(30\) größer werden. Dann sinkt das Zwischenergebnis \(350\) um \(30\) auf \(320\).