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- Was genau ist in der Aufgabe gesucht? - Welche Rechenart könnte dir helfen, die Lücke zu füllen? - Kannst du die Aufgabe mit kleineren Zahlen ausprobieren, zum Beispiel \(2 + x = 5\)? - Wie kannst du prüfen, ob dein gefundenes Ergebnis stimmt?

1. Anwendung der Umkehraufgabe (Subtraktion) für jede Gleichung, um den fehlenden Summanden \(x\) zu berechnen. 2. Berechnung für a): \(x = 400 - 340 = 60\). 3. Berechnung für b): \(x = 290 - 250 = 40\). 4. Berechnung für c): \(x = 580 - 510 = 70\). 5. Berechnung für d): \(x = 800 - 720 = 80\).

a) \(x = 60\) b) \(x = 40\) c) \(x = 70\) d) \(x = 80\)

- Schau dir die Aufgaben genau an: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn sich einer der Faktoren verzehnfacht? - Kannst du eine „kleine Aufgabe“ ohne die Nullen am Ende finden, die dir beim Rechnen hilft? - Vergleiche die Platzhalter in den drei Aufgaben. Wann sind sie gleich und wann unterscheiden sie sich?

1. Berechnung von a): Um den Platzhalter zu finden, wird \(36 : 4\) gerechnet. Ergebnis: \(9\). 2. Berechnung von b): Da sowohl der erste Faktor (\(40\)) als auch das Ergebnis (\(360\)) das Zehnfache der ersten Aufgabe sind, bleibt der Platzhalter gleich: \(360 : 40 = 9\). 3. Berechnung von c): Das Ergebnis (\(360\)) ist das Zehnfache von Aufgabe a), aber der erste Faktor (\(4\)) ist gleich geblieben. Daher muss der Platzhalter das Zehnfache sein: \(360 : 4 = 90\).

a) \(9\) b) \(9\) c) \(90\)

- Schau dir die erste Aufgabe in jedem Päckchen genau an. Hilft sie dir bei der zweiten? - Wie verändern sich die Nullen bei den Zahlen, wenn du rechnest? - Denke an die Umkehraufgabe mit Multiplikation. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die vordere Zahl 10-mal größer wird, aber die Zahl im Kästchen gleich bleibt?

1. Berechnung der Grundaufgabe im kleinen Einmaleins: \(48 : 6 = 8\). 2. Übertragung auf die Zehnerzahl mit gleichem Divisor: \(480 : 6 = 80\). 3. Anpassung des Divisors für das Ergebnis 8: \(480 : 60 = 8\). 4. Grundaufgabe Teil b: \(32 : 8 = 4\). 5. Analoge Übertragung auf Zehner: \(320 : 8 = 40\). 6. Bestimmung des Zehner-Divisors: \(320 : 80 = 4\).

a) \(48 : 6 = 8\); \(480 : 6 = 80\); \(480 : 60 = 8\) b) \(32 : 8 = 4\); \(320 : 8 = 40\); \(320 : 80 = 4\)

- Schau dir die Zehnerzahl und das Ergebnis an. Kannst du die Nullen in Gedanken streichen, um eine einfachere Aufgabe zu sehen? - Welche Zahl aus dem kleinen Einmaleins passt hier? - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Malaufgabe noch einmal rechnest.

1. Aufgabe a): Suche eine Zahl \(x\), sodass \(x \cdot 4 = 20\). Ergebnis: \(5\). 2. Aufgabe b): Da \(350 = 35 \cdot 10\) und \(7 \cdot 5 = 35\), ist der gesuchte Faktor \(50\). 3. Aufgabe c): Suche eine Zahl \(z\), sodass \(z \cdot 7 = 56\). Ergebnis: \(8\). 4. Aufgabe d): Da \(810 = 81 \cdot 10\) und \(9 \cdot 9 = 81\), ist der gesuchte Faktor \(90\).

a) \(5 \cdot 40 = 200\) b) \(7 \cdot 50 = 350\) c) \(8 \cdot 70 = 560\) d) \(9 \cdot 90 = 810\)

- Überlege, wie oft die Zahl in die 180 passt. - Denk an das kleine Einmaleins: Wie oft passt die Zahl in die 18? - Wenn du durch eine Zehnerzahl teilst, kannst du dir die Nullen wegdenken, um einfacher zu rechnen. - Überprüfe dein Ergebnis durch die Umkehraufgabe (Multiplikation).

1. Berechnung von \(180 : 2\). Das Ergebnis ist \(90\). 2. Berechnung von \(180 : 30\). Das Ergebnis ist \(6\). 3. Berechnung von \(180 : 60\). Das Ergebnis ist \(3\).

a) \(90\) b) \(6\) c) \(3\)

- Suche nach der passenden Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins mit dem Ergebnis \(54\). - Achte genau darauf, ob du eine Einerzahl oder eine Zehnerzahl als Faktor hast. - Wie viele Zehner stecken in der Gesamtzahl? - Die Umkehraufgabe kann dir helfen, dein Ergebnis zu finden.

1. Schritt: \(540 : 9 = 60\). 2. Schritt: \(540 : 60 = 9\). 3. Schritt: \(540 : 90 = 6\).

a) \(60\) b) \(9\) c) \(6\)

- Finde zuerst heraus, welche Zahl Ben im Kopf hat. - Was musst du rechnen, um das „mal \(3\)“ bei Ben umzukehren? - Wenn du Bens Zahl kennst, kannst du Mias Zahl leicht finden. Was bedeutet „um \(4\) größer“?

1. Berechnung von Bens Zahl durch die Umkehroperation: \(30 : 3 = 10\). 2. Bestimmung von Mias Zahl durch Addition: \(10 + 4 = 14\). 3. Die gesuchte Zahl von Mia ist \(14\).

Mia hat sich die Zahl \(14\) gedacht.

- Kannst du das Rätsel schrittweise von hinten nach vorne lösen? - Überlege dir, was die jeweilige Umkehroperation zu den Rechenschritten im Text ist. - Hilft es dir, das Rätsel als eine Kette von Kästchen aufzumalen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du den letzten Schritt zuerst rückgängig machst?

Zur Lösung wird vom Endergebnis 30 ausgehend rückwärts gerechnet. Zuerst wird die Addition von 15 durch Subtraktion rückgängig gemacht: \(30 - 15 = 15\). Anschließend wird die Division durch 4 durch Multiplikation mit 4 umgekehrt: \(15 \cdot 4 = 60\). Die gedachte Zahl ist somit 60.

Die gedachte Zahl ist 60.

- Hast du schon versucht, die Umkehraufgabe zu bilden? - Welche Zahl aus dem kleinen Einmaleins passt hier? - Kannst du die Malaufgabe in eine Geteiltaufgabe verwandeln?

1. Berechnung von \(x\) durch die Umkehraufgabe \(24 : 4 = 6\). 2. Bestimmung des Faktors mittels \(42 : 7 = 6\). 3. Lösung der Gleichung durch \(64 : 8 = 8\). 4. Ermittlung der Zahl durch \(54 : 9 = 6\). 5. Berechnung des Platzhalters durch \(21 : 3 = 7\).

1) \(x = 6\) 2) \(x = 6\) 3) \(x = 8\) 4) \(x = 6\) 5) \(x = 7\)

- Kannst du das Rätsel von hinten nach vorne lösen? - Was ist das Gegenteil von „addieren“ und „multiplizieren“? - Überlege dir, welche Zahl vor dem letzten Rechenschritt da gewesen sein muss. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Schritte des Rätsels mit deiner Zahl nacheinander durchrechnest.

1. Berechnung der Zahl vor der Addition durch die Umkehraufgabe: \(40 - 4 = 36\). 2. Bestimmung der gedachten Zahl durch die Umkehraufgabe zur Multiplikation: \(36 : 6 = 6\).

Die Zahl heißt 6.

- Kannst du die Rechenschritte des Zauberers rückwärts gehen? - Überlege dir, was das Gegenteil von „abziehen“ und „malnehmen“ ist. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Rechenschritte mit deiner gefundenen Zahl vorwärts ausführst.

1. Umkehrung der letzten Rechenoperation (Subtraktion): Zum Endergebnis \(100\) wird \(24\) addiert, was \(100 + 24 = 124\) ergibt. 2. Umkehrung der ersten Rechenoperation (Multiplikation): Die Zwischenzahl \(124\) wird durch \(4\) dividiert. 3. Berechnung des Startwerts: \(124 : 4 = 31\). Der Zauberer hat mit der Zahl \(31\) begonnen.

Der Zauberer hat mit der Zahl \(31\) begonnen.

- Kannst du die Aufgabe von hinten nach vorne lösen? - Was ist das Gegenteil von „addieren“? - Was ist das Gegenteil von „verdreifachen“? - Versuche, jeden Rechenschritt einzeln rückgängig zu machen.

1. Umkehrung der Addition von \(120\): \(300 - 120 = 180\). 2. Umkehrung der Verdreifachung durch Division: \(180 : 3 = 60\). Die gesuchte Zahl ist \(60\).

Die gedachte Zahl ist \(60\).

- Kannst du die Rechnung von hinten nach vorne lösen? - Welche Rechenart ist das Gegenteil von Plus? - Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Überlege dir zuerst, welches Ergebnis die Multiplikation haben muss, bevor du den Platzhalter bestimmst.

1. Berechnung für a): Von dem Ergebnis \(30\) wird \(6\) subtrahiert, was \(24\) ergibt. Die Division von \(24\) durch \(4\) ergibt \(x = 6\). 2. Berechnung für b): Zum Ergebnis \(40\) wird \(5\) addiert, was \(45\) ergibt. Die Division von \(45\) durch \(9\) ergibt \(x = 5\). 3. Berechnung für c): Von dem Ergebnis \(52\) wird \(3\) subtrahiert, was \(49\) ergibt. Die Division von \(49\) durch \(7\) ergibt \(x = 7\).

a) \(x = 6\) b) \(x = 5\) c) \(x = 7\)

- Welche Rechenart macht eine Vergrößerung wieder rückgängig? - Was bedeutet es, wenn eine Zahl vervierfacht wurde? - Kannst du eine Aufgabe mit einem Platzhalter \(\square\) aufschreiben?

1. Berechnung der ersten Zahl durch die Umkehroperation (Subtraktion): \(400 - 125 = 275\). 2. Berechnung der zweiten Zahl durch die Umkehroperation (Division): \(320 : 4 = 80\).

a) \(275\) b) \(80\)

- Überlege zuerst, wie viele Sticker jedes Kind hat, wenn sie am Ende gleich viele besitzen. - Was passiert, wenn man die Aktion des Tauschens rückgängig macht? - Wer hatte vor dem Tausch mehr Sticker und wer weniger? - Kannst du eine Skizze oder eine Tabelle machen, um die Situation vor und nach dem Tausch darzustellen?

1. Berechnung der Anzahl der Sticker pro Kind im ausgeglichenen Zustand: \(64 : 2 = 32\). 2. Ermittlung der ursprünglichen Anzahl bei Tim durch Hinzufügen der abgegebenen Sticker zu seinem Endbestand: \(32 + 4 = 36\). 3. Ermittlung der ursprünglichen Anzahl bei Lisa durch Abziehen der erhaltenen Sticker von ihrem Endbestand: \(32 - 4 = 28\).

Am Anfang hatte Tim \(36\) Sticker und Lisa hatte \(28\) Sticker.

- Kannst du dir vorstellen, wie viele Bücher in jedem Regal stünden, wenn sie genau gleich viele hätten? - Wie verändert sich die Gesamtzahl, wenn du den Unterschied von \(18\) Büchern erst einmal wegnimmst? - Wenn du den Rest gleichmäßig auf zwei Regale verteilst, wie viele sind dann in einem? - Vergiss nicht, am Ende die \(18\) Bücher wieder dazuzurechnen.

1. Differenz von der Gesamtzahl abziehen: \(92 - 18 = 74\). 2. Den verbleibenden Wert halbieren, um die Anzahl im kleineren Regal zu finden: \(74 : 2 = 37\). 3. Die Differenz zum Wert des ersten Regals addieren, um die Anzahl im zweiten Regal zu bestimmen: \(37 + 18 = 55\).

Im ersten Regal stehen \(37\) Bücher und im zweiten Regal stehen \(55\) Bücher.

- Kannst du zuerst herausfinden, wie die ursprüngliche Zahl heißt? - Was ist das Gegenteil von „halbieren“? - Wenn du die Zahl gefunden hast, wie berechnest du dann das Doppelte? - Gibt es vielleicht einen direkten Weg von der Hälfte zum Doppelten?

1. Bestimmung der gedachten Zahl durch Umkehren des Halbierens: \(40 \cdot 2 = 80\). 2. Berechnung des Ergebnisses durch Verdoppeln der ursprünglichen Zahl: \(80 \cdot 2 = 160\).

Das Ergebnis ist \(160\).

- Kannst du die Aufgabe von hinten nach vorne lösen? - Welche Rechenart macht ein „Dazuaddieren“ wieder rückgängig? - Was ist das Gegenteil von „verdoppeln“?

1. Rückgängigmachen der letzten Operation durch Subtraktion: \(100 - 40 = 60\). 2. Rückgängigmachen der ersten Operation durch Division: \(60 : 2 = 30\).

Die gedachte Zahl ist \(30\).

- Welche Rechenart ist das Gegenteil von „abziehen“? - Kannst du die Aufgabe rückwärts rechnen, um zum Anfang zu kommen? - Überlege dir, ob die gesuchte Zahl größer oder kleiner als das Ergebnis sein muss.

1. Die unbekannte Zahl wird als \(x\) festgelegt. 2. Die beschriebene Operation führt zur Gleichung \(x - 275 = 420\). 3. Zur Lösung wird die Umkehroperation angewendet: \(420 + 275\). 4. Die Berechnung ergibt \(695\).

Die gemerkte Zahl ist \(695\).

- Kannst du die Aufgabe mit deinen eigenen Worten beschreiben? - Welche Zahl fehlt, damit die Rechnung auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche Ergebnis liefert? - Überlege, ob du die Umkehraufgabe nutzen kannst, um das Ergebnis zu finden. - Hilft es dir, zuerst an die Zehnerzahlen ohne die Hunderter zu denken?

1. Berechnung von \(x\) durch Subtraktion: \(400 - 130 = 270\). 2. Berechnung von \(x\) durch Addition: \(600 + 250 = 850\). 3. Berechnung von \(x\) durch Subtraktion: \(900 - 720 = 180\). 4. Berechnung von \(x\) durch Subtraktion: \(800 - 480 = 320\). 5. Berechnung von \(x\) durch Subtraktion: \(750 - 300 = 450\).

1) \(x = 270\) 2) \(x = 850\) 3) \(x = 180\) 4) \(x = 320\) 5) \(x = 450\)

- Löse zuerst beide Aufgaben nacheinander. - Welche Zahl musst du zur ersten Zahl hinzufügen, um das Ergebnis zu erhalten? - Vergleiche die beiden Zahlen, die du für \(x\) ausgerechnet hast. - Fällt dir etwas an den Endergebnissen auf?

1. Berechnung von \(x\) in Gleichung a) durch Subtraktion des bekannten Summanden von der Gesamtsumme: \(x = 520 - 460 = 60\). 2. Berechnung von \(x\) in Gleichung b) durch Subtraktion des bekannten Summanden von der Gesamtsumme: \(x = 450 - 390 = 60\). 3. Vergleich der beiden Ergebnisse: In beiden Fällen ergibt sich für \(x\) derselbe Wert von \(60\).

a) \(x = 60\) b) \(x = 60\) Die Ergebnisse beider Gleichungen sind gleich.

- Überlege dir bei jeder Aufgabe die passende „kleine Aufgabe“ aus dem Einmaleins. - Wenn du die vordere Zahl suchst, kann dir die Umkehraufgabe (Malnehmen) helfen. - Wenn du die Zahl nach dem Geteilt-Zeichen suchst, überlege: Wie oft passt die \(40\) in die vordere Zahl?

1. Berechnung für a): Um den Divisor zu finden, wird \(120 : 40\) gerechnet. Ergebnis: \(3\). 2. Berechnung für b): Um den Dividenden zu finden, wird \(40 \cdot 5\) gerechnet. Ergebnis: \(200\). 3. Berechnung für c): Die Division \(280 : 7\) ergibt \(40\). 4. Berechnung für d): Die Division \(360 : 9\) ergibt \(40\). 5. Berechnung für e): Um den Dividenden zu finden, wird \(40 \cdot 2\) gerechnet. Ergebnis: \(80\).

a) \(3\) b) \(200\) c) \(40\) d) \(40\) e) \(80\)

- Kannst du die Aufgabe als Gleichung mit einem Kästchen oder einem Fragezeichen aufschreiben? - Welche Rechenart ist das Gegenteil der Addition? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Aufstellen eines Rechenausdrucks mit einem Platzhalter: \(x + 384 = 721\). 2. Anwendung der Umkehroperation zur Bestimmung des Platzhalters: \(x = 721 - 384\). 3. Ausrechnen der Differenz: \(721 - 384 = 337\).

Die gedachte Zahl ist \(337\).

- Rechne zuerst aus, welches Ergebnis auf der rechten Seite herauskommen soll. - Was musst du tun, um eine Zahl zu finden, die nach dem Abziehen einer Menge einen bestimmten Wert ergibt? - Versuche, die Aufgabe schrittweise von hinten nach vorne zu lösen.

1. Berechnung des Zielergebnisses auf der rechten Seite: \(135 + 165 = 300\). 2. Aufstellen der Beziehung für die gedachte Zahl \(x\): \(x - 257 = 300\). 3. Bestimmung der Ausgangszahl durch die Umkehroperation (Addition): \(x = 300 + 257\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(300 + 257 = 557\).

Die gemeinte Zahl ist \(557\).

- Wie viele Kilogramm Obst sind insgesamt noch da, nachdem ein Teil der Äpfel verkauft wurde? - Wenn von beiden Sorten gleich viel übrig ist, wie verteilt sich dann das restliche Gewicht? - Überlege, ob sich die Menge der Birnen durch den Verkauf der Äpfel verändert hat. - Wie kannst du aus dem Rest der Äpfel und der verkauften Menge die ursprüngliche Menge berechnen?

1. Berechnung des restlichen Gesamtgewichts nach dem Verkauf: \(400\,\text{kg} - 240\,\text{kg} = 160\,\text{kg}\). 2. Da nun von beiden Sorten gleich viel übrig ist, wird das Restgewicht halbiert: \(160\,\text{kg} : 2 = 80\,\text{kg}\). Somit sind noch \(80\,\text{kg}\) Äpfel und \(80\,\text{kg}\) Birnen vorhanden. 3. Da keine Birnen verkauft wurden, war die Anfangsmenge der Birnen \(80\,\text{kg}\). 4. Berechnung der ursprünglichen Apfelmenge durch Addition der verkauften Menge zum Rest: \(80\,\text{kg} + 240\,\text{kg} = 320\,\text{kg}\).

Es waren zu Beginn \(320\,\text{kg}\) Äpfel und \(80\,\text{kg}\) Birnen.

- Wenn du das Doppelte kennst, wie findest du dann die ursprüngliche Zahl heraus? - Überlege zuerst, welche Zahl mit \(2\) multipliziert \(600\) ergibt. - Wenn du die ursprüngliche Zahl gefunden hast, wie berechnest du dann das Dreifache?

1. Bestimmung der gesuchten Zahl durch Division des Doppelten durch \(2\): \(600 : 2 = 300\). 2. Berechnung des Dreifachen der ermittelten Zahl \(300\): \(3 \cdot 300 = 900\).

\(900\)

- Denke an die Umkehraufgabe oder decke die Null kurz ab, um die passende Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins zu finden. - Wenn das Ergebnis eine Null am Ende hat, woher könnte diese kommen? - In Teil b) suchst du eine kleine Zahl (Einerzahl), in den anderen Teilen eher Zehnerzahlen oder das Gesamtergebnis.

1. Zu a): Überlege, welche Zahl mal \(7\) gleich \(49\) ergibt (\(7 \cdot 7 = 49\)). Da das Ergebnis \(490\) ist, muss die gesuchte Zahl \(70\) sein. 2. Zu b): Überlege, mit welcher Zahl du \(8\) multiplizieren musst, um \(24\) zu erhalten (\(8 \cdot 3 = 24\)). Da \(80 \cdot 3 = 240\) ist, lautet die fehlende Zahl \(3\). 3. Zu c): Rechne zuerst \(6 \cdot 5 = 30\). Da es sich um \(60\) handelt, hängst du eine Null an das Ergebnis an: \(60 \cdot 5 = 300\). 4. Zu d): Überlege, welche Zahl mal \(9\) gleich \(81\) ergibt (\(9 \cdot 9 = 81\)). Da das Ergebnis \(810\) ist, ist die gesuchte Zahl \(90\).

a) \(70 \cdot 7 = 490\) b) \(80 \cdot 3 = 240\) c) \(60 \cdot 5 = 300\) d) \(90 \cdot 9 = 810\)

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehraufgabe lösen? - Rechne in Schritten: Erst bis zum nächsten Hunderter und dann den Rest. - Überlege dir, wie viel von der einen Zahl fehlt, um die andere Zahl zu erreichen.

1. Berechnung des ersten Platzhalters durch Ergänzen zum nächsten Zehner: \(360 - 356 = 4\). 2. Berechnung des zweiten Platzhalters durch Subtraktion der Einer: \(680 - 673 = 7\). 3. Addition von Hundertern, Zehnern und Einern: \(445 + 55 = 500\). 4. Subtraktion über den Hunderter: \(710 - 40 = 670\). 5. Bestimmung des ersten Summanden durch Umkehroperation: \(600 - 350 = 250\).

a) \(4\) b) \(7\) c) \(500\) d) \(670\) e) \(250\)

- Kannst du die Aufgabe als eine Rechnung mit einer Lücke schreiben? - Überlege dir, welche Rechenart das Gegenteil von „dazu zählen“ ist. - Wie viel fehlt von der bekannten Zahl bis zum Ergebnis?

1. Aufstellen einer Gleichung mit der Platzhalterzahl \(x\): \(x + 350 = 820\). 2. Anwendung der Umkehroperation zur Bestimmung des Summanden: \(x = 820 - 350\). 3. Durchführung der Subtraktion: \(820 - 300 = 520\) und \(520 - 50 = 470\). 4. Ergebnis: \(x = 470\).

Die gedachte Zahl ist \(470\).

- Kannst du die Zielzahl in Hunderter und Zehner zerlegen? - Denke an Zahlen, die beim Zählen in Zehnerschritten vorkommen. - Es gibt für jede Aufgabe viele verschiedene richtige Lösungen. - Versuche, erst eine einfache Zahl wie \(100\) oder \(200\) einzusetzen und dann den Rest zu berechnen.

1. Für die Summe \(450\) werden zwei Zehnerzahlen gesucht, zum Beispiel \(200\) und \(250\). Überprüfung: \(200 + 250 = 450\). 2. Für die Summe \(820\) werden zwei Zehnerzahlen gesucht, zum Beispiel \(400\) und \(420\). Überprüfung: \(400 + 420 = 820\). 3. Für die Summe \(600\) werden zwei Zehnerzahlen gesucht, zum Beispiel \(250\) und \(350\). Überprüfung: \(250 + 350 = 600\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(200\) und \(250\) b) \(400\) und \(420\) c) \(250\) und \(350\) (Andere Lösungen mit Zehnerzahlen sind ebenfalls richtig.)

- Kannst du die erste Aufgabe als eine Plusaufgabe schreiben? - Überlege bei der zweiten Aufgabe: Wie viel fehlt von der kleineren Zahl bis zur größeren Zahl? - Hilft dir eine Skizze oder ein Zahlenstrahl dabei, die Lücken zu finden?

1. Berechnung der ersten Zahl durch die Umkehroperation (Addition): \(450 + 180 = 630\). 2. Berechnung der zweiten Zahl durch Subtraktion des Restwerts vom Ausgangswert: \(820 - 550 = 270\).

1. Die Zahl ist \(630\). 2. Die Zahl ist \(270\).

- Überlege dir, ob \(x\) der Minuend oder der Subtrahend ist. - Wenn du eine Zahl von \(x\) abziehst, wie kannst du die Rechnung umkehren? - Was musst du tun, wenn \(x\) an der zweiten Stelle steht, also abgezogen wird? - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du die Zahl für \(x\) einsetzt und nachrechnest.

1. Berechnung von a): Um den Minuenden \(x\) zu finden, addiere den Subtrahenden und die Differenz: \(250 + 120 = 370\). 2. Berechnung von b): Um den Subtrahenden \(x\) zu finden, subtrahiere die Differenz vom Minuenden: \(480 - 130 = 350\). 3. Berechnung von c): Addiere die Zahlen, um den Minuenden zu erhalten: \(410 + 340 = 750\). 4. Berechnung von d): Subtrahiere die Differenz vom Minuenden, um den Subtrahenden zu erhalten: \(860 - 590 = 270\).

a) \(x = 370\) b) \(x = 350\) c) \(x = 750\) d) \(x = 270\)

- Kannst du zuerst ausrechnen, welche Zahl auf der rechten Seite der Aufgabe stehen muss? - Überlege dir, ob die gesuchte Zahl größer oder kleiner als \(360\) sein muss. - Wie kannst du eine Minusaufgabe mit einer Plusaufgabe umkehren?

1. Berechnung des Ergebnisses der Addition: \(150 + 90 = 240\). 2. Aufstellen der Gleichung mit dem Platzhalter: \(\square - 360 = 240\). 3. Anwendung der Umkehroperation zur Bestimmung der Zahl: \(240 + 360 = 600\).

Die geheimnisvolle Zahl lautet \(600\).

- Was passiert, wenn du die Nullen bei der Suche nach der fehlenden Zahl kurz weglässt? - Welche Zahl aus dem kleinen Einmaleins passt hier? - Kannst du die Umkehraufgabe nutzen, um die Lücke zu finden? - Bei größeren Zahlen hilft es, die Zahl in Teile zu zerlegen.

1. Bestimmung des Produkts bei a): \(4 \cdot 8 = 32\), also \(320\). 2. Bestimmung des Faktors bei b): \(420 : 60\) entspricht \(42 : 6\), das Ergebnis ist \(7\). 3. Bestimmung des Faktors bei c): \(270 : 9\) entspricht \(27 : 9\) mit einer Null, also \(30\). 4. Bestimmung des Produkts bei d): Halbschriftliche Rechnung \(200 \cdot 4 = 800\) und \(30 \cdot 4 = 120\). Summe \(800 + 120 = 920\). 5. Bestimmung des Faktors bei e): \(45 : 5 = 9\), also ist der gesuchte Wert \(90\). 6. Bestimmung des Faktors bei f): \(35 : 7 = 5\), also ist der gesuchte Wert \(50\).

a) \(320\) b) \(7\) c) \(30\) d) \(920\) e) \(90\) f) \(50\)

- Kannst du die Summe der Zahlen in der ersten Zeile ausrechnen? - Diese Summe muss in allen Zeilen und Spalten gleich sein. - Suche nach einer Zeile oder Spalte, in der nur noch ein Feld leer ist. - Prüfe am Ende, ob alle Spaltensummen wirklich stimmen.

1. Berechnung der gemeinsamen Zeilen- und Spaltensumme mithilfe der vollständigen ersten Zeile: \(25 + 45 + 20 = 90\). 2. Ermittlung der fehlenden Zahl in der ersten Spalte: \(90 - (25 + 30) = 35\). 3. Ermittlung der fehlenden Zahl in der zweiten Spalte: \(90 - (45 + 30) = 15\). 4. Ermittlung der fehlenden Zahl in der zweiten Zeile: \(90 - (35 + 30) = 25\). 5. Ermittlung der fehlenden Zahl in der dritten Zeile: \(90 - (30 + 15) = 45\). 6. Überprüfung der dritten Spalte: \(20 + 25 + 45 = 90\).

Das ausgefüllte Quadrat sieht so aus: <table border="1" style="width:150px; text-align:center;"> <tr><td>25</td><td>45</td><td>20</td></tr> <tr><td>35</td><td>30</td><td>25</td></tr> <tr><td>30</td><td>15</td><td>45</td></tr> </table>

- Kannst du zuerst ausrechnen, wie groß die Summe insgesamt ist? - Was bedeutet das Wort „Achtfache“ für deine Rechnung? - Wie kannst du eine Malaufgabe umkehren, um die fehlende Zahl zu finden?

1. Berechnung der Summe auf der rechten Seite: \(200 + 120 = 320\). 2. Festlegen des Zusammenhangs mit einem Platzhalter: \(x \cdot 8 = 320\). 3. Bestimmung der Zahl durch die Umkehroperation: \(320 : 8 = 40\).

Die Zahl heißt \(40\).

- Kannst du die Aufgabe in eine passende Plus- oder Minusaufgabe umwandeln? - Überlege dir, welche Rechenart das Gegenteil von der genannten Operation ist. - Hilft es dir, die Aufgabe zuerst mit kleineren Zahlen zu rechnen?

1. Berechnung der ersten Zahl durch Umkehraufgabe: \(420 - 150 = 270\). 2. Berechnung der zweiten Zahl durch Addition des Abzugs zum Ergebnis: \(230 + 80 = 310\). 3. Berechnung des Platzhalters durch Subtraktion des bekannten Summanden von der Summe: \(900 - 610 = 290\).

a) Die Zahl ist \(270\). b) Die Zahl ist \(310\). c) Der Platzhalter \(x\) ist \(290\).

- Kannst du die Aufgabe als Platzhalteraufgabe aufschreiben? - Welche Rechenart ist das Gegenteil von „vergrößern“? - Was passiert, wenn du von der Zielzahl den Teil abziehst, den du schon kennst? - Rechne in Schritten: Ziehe erst die Hunderter, dann die Zehner und dann die Einer ab.

1. Aufstellen einer Gleichung mit der unbekannten Zahl \(x\): \(x + 237 = 500\). 2. Anwendung der Umkehroperation zur Berechnung von \(x\): \(x = 500 - 237\). 3. Durchführung der Subtraktion: \(500 - 237 = 263\).

\(263\)

- Wenn alle unteren Zahlen gleich sind, sind auch die Zahlen in der Reihe darüber gleich groß. - Überlege: Welche Zahl muss man viermal addieren, um auf \(44\) zu kommen?

1. Sind alle drei Grundsteine gleich, ist jeder Stein in der mittleren Reihe doppelt so groß wie ein Grundstein. 2. Der oberste Stein ist deshalb viermal so groß wie ein Grundstein. 3. Gesucht ist also \(44 : 4 = 11\). In der untersten Reihe steht dreimal \(11\), in der mittleren Reihe zweimal \(22\).

In der untersten Reihe muss dreimal die Zahl \(11\) stehen. In der mittleren Reihe steht zweimal die Zahl \(22\).

- Kannst du die Aufgabe in eine Plusaufgabe umwandeln? - Was musst du tun, wenn die vordere Zahl fehlt? - Wie kannst du herausfinden, wie groß der Unterschied zwischen zwei Zahlen ist?

1. Berechnung für a): \(950 - 200 = 750\), \(750 - 70 = 680\). 2. Berechnung für b) durch Umkehraufgabe: \(445 + 155\). \(445 + 100 = 545\), \(545 + 50 = 595\), \(595 + 5 = 600\). Die gesuchte Zahl ist \(600\). 3. Berechnung für c) durch Subtraktion des Ergebnisses: \(824 - 549\). \(824 - 500 = 324\), \(324 - 40 = 284\), \(284 - 9 = 275\). Die gesuchte Zahl ist \(275\).

a) \(680\) b) \(600\) c) \(275\)

- Um eine fehlende Zahl beim Abziehen zu finden, kannst du die beiden bekannten Zahlen voneinander abziehen. - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts. - Du kannst das Ergebnis der ersten Zeile als Start für die zweite Zeile nutzen.

1. Erste Lücke: Berechnung der Differenz zwischen \(1000\) und \(720\) durch \(1000 - 720 = 280\). 2. Zweite Lücke: Berechnung der Differenz zwischen \(720\) und \(485\) durch schriftliche Subtraktion oder Ergänzen: \(720 - 400 = 320\), \(320 - 80 = 240\), \(240 - 5 = 235\). 3. Dritte Lücke: Berechnung des Ergebnisses von \(485 - 139\). Schriftlich: \(485 - 139 = 346\).

Die fehlenden Zahlen sind: \(280\) \(235\) \(346\)

- Rechne zuerst die Seite aus, an der beide Zahlen stehen. - Überlege dann, mit welcher Zahl du die andere Seite multiplizieren musst, um auf das gleiche Ergebnis zu kommen. - Wie verändert sich eine Zahl, wenn man sie mit 10 oder 100 multipliziert?

1. Berechnung der bekannten Seite und Bestimmung des Platzhalters: a) \(4 \cdot 100 = 400\). Damit \(x \cdot 10 = 400\) gilt, muss \(x = 40\) sein. b) \(60 \cdot 10 = 600\). Damit \(6 \cdot x = 600\) gilt, muss \(x = 100\) sein. c) \(9 \cdot 10 = 90\). Damit \(x \cdot 1 = 90\) gilt, muss \(x = 90\) sein. d) \(1 \cdot 100 = 100\). Damit \(10 \cdot x = 100\) gilt, muss \(x = 10\) sein.

a) \(40\) b) \(100\) c) \(90\) d) \(10\)

- Versuche, die Sätze in eine Rechenaufgabe mit einem Platzhalterkästchen umzuschreiben. - Nutze die Umkehroperationen, um die gesuchten Zahlen zu finden. - Denk an das Einmaleins mit \(10\) und \(100\).

1. Rätsel a: Gesucht ist \(x\) in \(x : 10 = 7\). Die Umkehraufgabe ist \(7 \cdot 10 = 70\). 2. Rätsel b: Gesucht ist der Teiler in \(500 : x = 5\). Da \(5 \cdot 100 = 500\), ist die Geheimzahl \(100\). 3. Rätsel c: Gesucht ist \(x\) in \(x : 100 = 10\). Die Umkehraufgabe lautet \(10 \cdot 100 = 1000\).

a) \(70\) b) \(100\) c) \(1000\)

- Lasse die Nullen beim Überlegen kurz weg, um die kleine Aufgabe zu finden. - Überlege, ob die Null im Ergebnis schon durch eine Zahl in der Aufgabe erklärt wird. - Wie oft passt die vordere Zahl in das Ergebnis?

1. Teilaufgabe a): Suche die kleine Aufgabe \(3 \cdot \dots = 12\). Das Ergebnis ist \(4\). Da das Ziel \(120\) ist, muss der Faktor \(40\) sein. 2. Teilaufgabe b): Suche die kleine Aufgabe \(6 \cdot \dots = 48\). Das Ergebnis ist \(8\). Da \(60\) bereits eine Zehnerzahl ist, bleibt der Faktor \(8\). 3. Teilaufgabe c): Suche die kleine Aufgabe \(\dots \cdot 4 = 36\). Das Ergebnis ist \(9\). Da das Ziel \(360\) ist, muss der Faktor \(90\) sein.

a) \(40\) b) \(8\) c) \(90\)

- Nutze dein Wissen aus dem kleinen Einmaleins für die erste Aufgabe. - Wie viele Nullen stehen insgesamt auf der linken Seite der Gleichung und wie viele auf der rechten? - Wenn das Ergebnis zehnmal so groß wird, aber eine Zahl vorne gleich bleibt, was muss dann mit der anderen Zahl passieren?

1. Berechnung von a): Aus dem kleinen Einmaleins ist bekannt: \(8 \cdot 7 = 56\). Der Platzhalter ist \(7\). 2. Berechnung von b): Das Ergebnis (\(560\)) ist das Zehnfache von \(56\). Da der erste Faktor (\(8\)) gleich bleibt, muss der Platzhalter das Zehnfache sein: \(560 : 8 = 70\). 3. Berechnung von c): Hier sind sowohl das Ergebnis (\(560\)) als auch der erste Faktor (\(80\)) das Zehnfache im Vergleich zu Aufgabe a). Der Platzhalter bleibt also gleich: \(560 : 80 = 7\). 4. Vergleich: In a) und c) ist der Platzhalter jeweils \(7\). In b) ist er mit \(70\) zehnmal so groß.

a) \(7\) b) \(70\) c) \(7\) Auffälligkeit: In a) und c) ist der Platzhalter gleich. In b) ist er zehnmal so groß.

- Es kann helfen, zuerst die Aufgabe ohne die Zehnerzahlen zu lösen (die „kleine Aufgabe“). - Vergleiche Aufgabe a) und b): Das Ergebnis ist gleich, aber ein Faktor hat sich verändert. Was bedeutet das für den Platzhalter? - Überprüfe dein Ergebnis durch die Umkehraufgabe (Multiplikation).

1. Berechnung von c): Zuerst wird die Grundaufgabe ohne Zehnerzahlen gelöst: \(48 : 6 = 8\). 2. Berechnung von a): Das Ergebnis (\(480\)) ist das Zehnfache von Aufgabe c). Da der Faktor \(6\) gleich bleibt, muss der Platzhalter das Zehnfache sein: \(480 : 6 = 80\). 3. Berechnung von b): Das Ergebnis (\(480\)) ist das Zehnfache von Aufgabe c), aber der Faktor (\(60\)) ist auch das Zehnfache. Somit bleibt der Platzhalter gleich wie in Aufgabe c): \(480 : 60 = 8\).

a) \(80\) b) \(8\) c) \(8\)

- Kannst du die Aufgaben auf eine einfachere Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins zurückführen? - Vergleiche die Aufgaben b und c: Was hat sich beim Ergebnis verändert? - Überlege, wie viele Zehner in die große Zahl passen.

1. Bestimmung des Platzhalters durch die Grundaufgabe \(72 : 8 = 9\). 2. Für \(720 : \square = 9\) muss der Divisor um den Faktor 10 größer sein als in Aufgabe a, da der Dividend verzehnfacht wurde, das Ergebnis aber gleich blieb: \(720 : 80 = 9\). 3. Für \(720 : \square = 90\) bleibt der Divisor gleich der Grundaufgabe, da Dividend und Quotient beide verzehnfacht wurden: \(720 : 8 = 90\). 4. Anwendung der Logik auf \(240 : \square = 30\) mit der Grundaufgabe \(24 : 8 = 3\): Ergebnis \(8\).

a) \(8\) b) \(80\) c) \(8\) d) \(8\)

- Wie kannst du eine geteilte Zahl wieder finden, wenn du das Ergebnis kennst? - Rechne „rückwärts“ von rechts nach links. - Denk an die Stellenwerte: Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mal 10 oder mal 100 nimmt?

1. Um die erste Zahl zu finden, wird das Ergebnis mit dem Teiler multipliziert (Umkehraufgabe). 2. a) \(70 \cdot 10 = 700\). Die gesuchte Zahl ist \(700\). 3. b) \(5 \cdot 100 = 500\). Die gesuchte Zahl ist \(500\). 4. c) \(20 \cdot 10 = 200\). Die gesuchte Zahl ist \(200\). 5. d) \(10 \cdot 100 = 1000\). Die gesuchte Zahl ist \(1000\).

a) \(700\) (Umkehraufgabe: \(70 \cdot 10 = 700\)) b) \(500\) (Umkehraufgabe: \(5 \cdot 100 = 500\)) c) \(200\) (Umkehraufgabe: \(20 \cdot 10 = 200\)) d) \(1000\) (Umkehraufgabe: \(10 \cdot 100 = 1000\))

- Kannst du die Sätze in eine Rechenaufgabe mit einem Kästchen übersetzen? - Nutze die Umkehraufgabe, um die gesuchte Zahl zu finden. - Was passiert mit der gesuchten Zahl, wenn das Ergebnis zehnmal so groß wird, der andere Faktor aber gleich bleibt?

1. Teilaufgabe a): Gesucht ist \(x\) in \(x \cdot 3 = 21\). Die Division \(21 : 3 = 7\) ergibt die Zahl \(7\). 2. Teilaufgabe b): Gesucht ist \(x\) in \(x \cdot 30 = 210\). Da \(210\) das Zehnfache von \(21\) ist und \(30\) das Zehnfache von \(3\), bleibt der gesuchte Faktor gleich: \(7\). 3. Teilaufgabe c): Gesucht ist \(x\) in \(x \cdot 3 = 210\). Hier wurde das Ergebnis verzehnfacht, aber der Faktor \(3\) blieb gleich. Der gesuchte Faktor muss also verzehnfacht werden: \(7 \cdot 10 = 70\).

a) \(7\) b) \(7\) c) \(70\)

- Kannst du die Platzhalteraufgabe in eine Malaufgabe umwandeln? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die erste Zahl zehnmal größer wird? - Achte genau darauf, an welcher Stelle die Null steht.

1. Lösung der Grundaufgabe durch Division: \(45 : 5 = 9\). 2. Da \(450\) das Zehnfache von \(45\) ist und das Ergebnis \(50\) ebenfalls das Zehnfache von \(5\) ist, bleibt der Divisor gleich: \(450 : 9 = 50\). 3. Um das Ergebnis \(5\) (zehnmal kleiner als \(50\)) zu erhalten, muss der Divisor zehnmal größer sein: \(450 : 90 = 5\). 4. Direkte Division einer Zehnerzahl durch eine Einerzahl: \(450 : 5 = 90\).

a) \(9\) b) \(9\) c) \(90\) d) \(90\)

- Nutze dein Wissen über das kleine Einmaleins für die erste Aufgabe. - Bei der letzten Aufgabe ist die erste Zahl gesucht – hilft dir hier die Umkehraufgabe? - Vergleiche die Aufgaben b) und c). Was ist der Unterschied?

1. Berechnung der Grundaufgabe: \(72 : 9 = 8\). 2. Bestimmung des Divisors für \(720\), wenn das Ergebnis \(8\) sein soll: Da der Dividend zehnmal größer ist, muss auch der Divisor zehnmal größer sein: \(720 : 90 = 8\). 3. Division einer Zehnerzahl: \(720 : 9 = 80\). 4. Bestimmung des Dividenden durch die Umkehraufgabe: \(80 \cdot 9 = 720\).

a) \(9\) b) \(90\) c) \(80\) d) \(720\)

- Überlege dir, welche kleine Malaufgabe (das Einmaleins) hinter der großen Zahl steckt. - Wenn du die Null am Ende der Zahl wegdenkst, welche Zahlen ergeben dann beim Multiplizieren diesen Wert? - Du kannst die Null der Zehnerzahl beim Rechnen erst einmal ignorieren und sie am Ende wieder an das Ergebnis hängen.

1. Für \(150\): Zerlegung in Faktoren unter Berücksichtigung der Zehnerzahlen ergibt \(3 \cdot 50\) und \(5 \cdot 30\). 2. Für \(240\): Mögliche Kombinationen sind \(3 \cdot 80\), \(4 \cdot 60\), \(6 \cdot 40\) oder \(8 \cdot 30\). 3. Für \(320\): Passende Aufgaben sind \(4 \cdot 80\) und \(8 \cdot 40\). 4. Für \(450\): Mögliche Kombinationen sind \(5 \cdot 90\) und \(9 \cdot 50\).

Beispiele für mögliche Lösungen: \(150 = 3 \cdot 50 = 5 \cdot 30\) \(240 = 4 \cdot 60 = 8 \cdot 30\) \(320 = 4 \cdot 80 = 8 \cdot 40\) \(450 = 5 \cdot 90 = 9 \cdot 50\)

- Welche Zahl ergibt mit 4 multipliziert 32? - Was ändert sich an der Rechnung, wenn eine Null dazukommt? - Versuche die Aufgabe in Teilschritte zu zerlegen. - Kannst du die Umkehroperation nutzen?

1. Division von \(320\) durch \(4\). Das Ergebnis ist \(80\). 2. Division von \(320\) durch \(80\). Das Ergebnis ist \(4\). 3. Division von \(320\) durch \(40\). Das Ergebnis ist \(8\).

a) \(80\) b) \(4\) c) \(8\)

- Welche Zeile ist bereits vollständig? Rechne zuerst ihre Summe aus. - Diese Summe muss in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich sein. - Suche nach einer Zeile oder Spalte, in der nur noch eine einzige Zahl fehlt. - Rechne Schritt für Schritt und kontrolliere am Ende die letzte Spalte.

1. Berechnung der magischen Summe aus der ersten Zeile: \(250 + 130 + 220 = 600\). 2. Fehlende Zahl in der ersten Spalte (Zeile 2, Spalte 1): \(600 - (250 + 180) = 170\). 3. Fehlende Zahl in der zweiten Spalte (Zeile 3, Spalte 2): \(600 - (130 + 200) = 270\). 4. Fehlende Zahl in der zweiten Zeile (Zeile 2, Spalte 3): \(600 - (170 + 200) = 230\). 5. Fehlende Zahl in der dritten Zeile (Zeile 3, Spalte 3): \(600 - (180 + 270) = 150\). 6. Kontrolle der dritten Spalte: \(220 + 230 + 150 = 600\).

Das vollständig ausgefüllte Quadrat lautet: <table border="1" style="text-align:center;"> <tr><td>250</td><td>130</td><td>220</td></tr> <tr><td>170</td><td>200</td><td>230</td></tr> <tr><td>180</td><td>270</td><td>150</td></tr> </table>

- Du kannst die Umkehraufgabe (Multiplikation) nutzen, um die großen Zahlen oben in der Tabelle zu finden. - Wie oft passt die \(15\) in die jeweilige Zahl? - Wenn du ein Ergebnis schon hast, hilft dir das vielleicht für die nächste Spalte weiter?

1. Bestimmung des Quotienten für \(45\): \(45 : 15 = 3\). 2. Bestimmung des Dividenden für den Quotienten \(4\): Umkehraufgabe \(4 \cdot 15 = 60\). 3. Bestimmung des Quotienten für \(75\): \(75 : 15 = 5\). 4. Bestimmung des Dividenden für den Quotienten \(6\): Umkehraufgabe \(6 \cdot 15 = 90\). Ergebnisse der Lücken von links nach rechts: \(3\) (Quotient), \(60\) (Dividend), \(5\) (Quotient), \(90\) (Dividend).

Die fehlenden Zahlen sind: Quotienten: \(3\) und \(5\). Dividenden: \(60\) und \(90\).

- Beginne beim Ergebnis und führe die Rechenschritte in der umgekehrten Reihenfolge aus. - Was ist das Gegenteil von „das Dreifache nehmen“? - Welche Zahl musst du von 500 abziehen, um den vorherigen Schritt zu erreichen? - Versuche, das Rätsel in eine Gleichung mit einer Lücke oder einem Platzhalter zu übersetzen.

Die Lösung erfolgt durch das Rückwärtsrechnen vom Ergebnis 500 aus. Zuerst wird die Addition von 140 durch Subtraktion aufgehoben: \(500 - 140 = 360\). Da im Rätsel das Dreifache der Zahl genommen wurde, muss das Zwischenergebnis nun durch 3 geteilt werden, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten: \(360 : 3 = 120\). Die gesuchte Zahl ist 120.

Die gedachte Zahl ist 120.

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert das Ergebnis liefert. - Bei Geteilt-Aufgaben hilft oft die Malaufgabe in die andere Richtung. - Was musst du tun, um eine Zahl zu finden, die am Anfang einer Geteilt-Aufgabe steht?

1. Division des Ergebnisses durch den bekannten Faktor: \(81 : 9 = 9\). 2. Bestimmung des Teilers durch Umkehrung: \(45 : 5 = 9\). 3. Suche nach einer Quadratzahl: Da \(8 \cdot 8 = 64\) ist, ist \(x = 8\). 4. Multiplikation des Quotienten mit dem Teiler: \(7 \cdot 6 = 42\). 5. Berechnung des fehlenden Faktors: \(40 : 4 = 10\).

a) \(x = 9\) b) \(x = 9\) c) \(x = 8\) d) \(x = 42\) e) \(x = 10\)

- Was musst du tun, um den letzten Schritt des Rätsels rückgängig zu machen? - Wenn eine Zahl halbiert wurde, wie kommst du dann zur ganzen Zahl zurück? - Versuche, das Rätsel schrittweise rückwärts zu rechnen.

1. Umkehrung der Subtraktion, um den Wert nach dem Halbieren zu finden: \(200 + 50 = 250\). 2. Umkehrung des Halbierens durch Verdoppeln, um die ursprüngliche Zahl zu finden: \(250 \cdot 2 = 500\).

Die Zahl ist 500.

- Rechne zuerst aus, welche Zahl Lukas meint. - Rechne danach aus, welche Zahl Marie meint. - Vergleiche die beiden Ergebnisse.

1. Berechnung von Lukas' Zahl mit der Umkehraufgabe: \(20 \cdot 5 = 100\). 2. Berechnung von Maries Zahl mit der Umkehraufgabe: \(10 \cdot 10 = 100\). 3. Vergleich der beiden Ergebnisse: Da beide Rechnungen \(100\) ergeben, ist die Zahl identisch.

Ja, beide Kinder haben an die gleiche Zahl gedacht. Lukas' Zahl ist \(100\) (\(20 \cdot 5 = 100\)) und Maries Zahl ist ebenfalls \(100\) (\(10 \cdot 10 = 100\)).

- Versuche, die Rechenkette von hinten nach vorne aufzulösen. - Was musst du tun, um ein „Minus 30“ am Ende rückgängig zu machen? - Schreibe dir die einzelnen Zwischenergebnisse Schritt für Schritt auf. - Welche Zahl ergibt mal 5 genommen genau 200? Prüfe dein Ergebnis am Ende durch Vorwärtsrechnen.

1. Umkehrung des letzten Schritts (Minus \(30\)): \(160 + 30 = 190\). 2. Umkehrung des zweiten Schritts (Plus \(150\)): \(190 - 150 = 40\). 3. Umkehrung des ersten Schritts (Geteilt durch \(5\)): \(40 \cdot 5 = 200\). 4. Die geheime Zahl ist \(200\).

Die geheime Zahl lautet \(200\).

- Überlege dir, welche Zahl vor dem Teilen durch \(5\) da gewesen sein muss. - Wenn du rückwärts rechnest, wird aus „Minus“ ein „Plus“ und aus „Geteilt“ ein „Mal“. - Schreibe dir die Kette der Rechenschritte auf und gehe sie von rechts nach links durch.

1. Umkehrung des letzten Schritts (Division durch \(5\)): \(40 \cdot 5 = 200\). 2. Umkehrung des ersten Schritts (Subtraktion von \(50\)): \(200 + 50 = 250\). Die Anfangszahl war \(250\).

Der Zauberer hat am Anfang die Zahl \(250\) benutzt.

- Wie hängen Division und Multiplikation zusammen? - Kann dir die Umkehraufgabe helfen, die Lücke zu füllen? - Was passiert, wenn du die bekannten Zahlen miteinander malnimmst oder teilst? - Überlege, ob die gesuchte Zahl größer oder kleiner als die gegebenen Zahlen sein muss.

1. Bestimmung des Dividenden in a): Durchführung der Umkehraufgabe \(130 \cdot 5 = 650\). 2. Bestimmung des Divisors in b): Division des Dividenden durch den Quotienten: \(480 : 60 = 8\). 3. Bestimmung des Divisors in c): Division des Dividenden durch den Quotienten: \(720 : 90 = 8\). 4. Bestimmung des Dividenden in d): Durchführung der Umkehraufgabe \(150 \cdot 4 = 600\).

a) \(650\) b) \(8\) c) \(8\) d) \(600\)

- Wie viele Früchte sind noch übrig, nachdem eine Birne gegessen wurde? - Wenn eine Sorte doppelt so oft vorkommt wie die andere, aus wie vielen „Teilen“ besteht dann die gesamte Menge? - Versuche, die restlichen Früchte so aufzuteilen, dass ein Haufen doppelt so groß ist wie der andere. - Vergiss nicht, die gegessene Frucht am Ende wieder zur richtigen Sorte hinzuzuzählen.

1. Berechnung der verbleibenden Früchte: \(16 - 1 = 15\). 2. Aufteilung der \(15\) Früchte in drei gleiche Teile, da die Äpfel zwei Teile und die Birnen einen Teil ausmachen: \(15 : 3 = 5\). 3. Bestimmung der aktuellen Mengen: \(5\) Birnen und \(5 \cdot 2 = 10\) Äpfel. 4. Ermittlung der ursprünglichen Birnenanzahl: \(5 + 1 = 6\). 5. Die Anzahl der Äpfel blieb unverändert bei \(10\).

Am Anfang lagen \(10\) Äpfel und \(6\) Birnen in der Schale.

- Schreibe dir für jedes Kind eine Gleichung oder eine Umkehraufgabe auf. - Was bedeutet „das Fünffache einer Zahl“? - Rechne schrittweise rückwärts, beginnend mit dem Ergebnis der Kinder. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

1. Berechnung von Lukas' Zahl: Die Umkehroperation zur Addition von \(4\) ist die Subtraktion (\(40 - 4 = 36\)). Die Umkehroperation zur Multiplikation mit \(6\) ist die Division (\(36 : 6 = 6\)). Lukas' Zahl ist \(x = 6\). 2. Berechnung von Saras Zahl: Die Umkehroperation zur Subtraktion von \(3\) ist die Addition (\(32 + 3 = 35\)). Die Umkehroperation zum Fünffachen (Multiplikation mit \(5\)) ist die Division (\(35 : 5 = 7\)). Saras Zahl ist \(y = 7\). 3. Vergleich: Da \(7 > 6\), hat Sara die größere Zahl gewählt.

Lukas' Zahl ist \(6\). Saras Zahl ist \(7\). Sara hat die größere Zahl gewählt.

- Berechne zuerst, welche Zahl Lukas meint. Was ist das Gegenteil von „halbieren“? - Finde danach heraus, welche Zahl Marie meint. - Vergleiche am Ende beide Ergebnisse miteinander.

1. Berechnung von Lukas' Zahl durch die Umkehroperation zum Halbieren (Verdoppeln): \(150 \cdot 2 = 300\). 2. Berechnung von Maries Zahl durch die Umkehroperation zur Addition (Subtraktion): \(400 - 150 = 250\). 3. Vergleich der beiden Zahlen: \(300 > 250\). Lukas hat sich die größere Zahl gedacht.

Lukas hat sich die größere Zahl gedacht, da seine Zahl \(300\) ist und Maries Zahl \(250\).

- Überlege bei Aufgaben wie \(\square : 11 = 6\), welche Zahl durch 11 geteilt 6 ergibt. Die Umkehraufgabe hilft dir hier. - Wenn der Divisor fehlt, kannst du auch den Dividenden durch das Ergebnis teilen. - Probier mal, die Zahl schrittweise zu verdoppeln oder zu verdreifachen.

1. Berechnung von a): Um den Dividenden zu finden, wird die Umkehraufgabe \(6 \cdot 11 = 66\) gerechnet. Somit ist \(\square = 66\). 2. Berechnung von b): Um den Divisor zu finden, wird \(72 : 4\) gerechnet. Da \(4 \cdot 18 = 72\), ist \(\square = 18\). 3. Berechnung von c): Der Quotient wird durch Probieren ermittelt. Da \(5 \cdot 17 = 85\), ist \(\square = 5\). 4. Berechnung von d): Der Dividend wird durch die Multiplikation \(4 \cdot 15 = 60\) berechnet. Somit ist \(\square = 60\). 5. Berechnung von e): Um den Divisor zu finden, wird \(51 : 3\) gerechnet. Da \(3 \cdot 17 = 51\), ist \(\square = 17\).

a) \(66\) b) \(18\) c) \(5\) d) \(60\) e) \(17\)

- Kannst du zuerst herausfinden, wie viel die Klasse 3c gesammelt hat? - Schau dir danach nur noch die Klassen 3a und 3b an. Was weißt du über ihre gemeinsame Menge? - Wie viel hätten 3a und 3b gesammelt, wenn sie beide den gleichen Anteil hätten? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben alle drei Zahlen zusammen wieder \(450\,\text{kg}\)?

1. Gewicht für Klasse 3c durch Subtraktion berechnen: \(450\,\text{kg} - 310\,\text{kg} = 140\,\text{kg}\). 2. Den Unterschied zwischen 3a und 3b von ihrer gemeinsamen Summe abziehen: \(310\,\text{kg} - 20\,\text{kg} = 290\,\text{kg}\). 3. Den Restwert halbieren, um die Menge von Klasse 3a zu erhalten: \(290\,\text{kg} : 2 = 145\,\text{kg}\). 4. Den Unterschied zur Menge von Klasse 3a addieren, um die Menge von Klasse 3b zu bestimmen: \(145\,\text{kg} + 20\,\text{kg} = 165\,\text{kg}\).

Klasse 3a hat \(145\,\text{kg}\), Klasse 3b hat \(165\,\text{kg}\) und Klasse 3c hat \(140\,\text{kg}\) gesammelt.

- Überlege zuerst, welche Zahl genau um \(20\) kleiner ist als \(200\). - Was bedeutet der Begriff „das Dreifache“ für eine Rechnung? - Mit welcher Rechenart kannst du das Dreifache einer Zahl wieder rückgängig machen?

1. Berechnung des Wertes, der um \(20\) kleiner als \(200\) ist: \(200 - 20 = 180\). 2. Bestimmung der gedachten Zahl durch Division (Umkehrung der Multiplikation): \(180 : 3 = 60\).

Die gedachte Zahl ist \(60\).

- Versuche zuerst herauszufinden, mit welcher Zahl Lukas gestartet ist. - Berechne danach die Startzahl von Sarah. - Nutze für beide Kinder den Weg rückwärts vom Ergebnis zur gesuchten Zahl. - Vergleiche am Ende die beiden Zahlen, die du gefunden hast.

1. Bestimmung von Lukas' Zahl durch Umkehroperationen: \(80 + 20 = 100\) und \(100 : 2 = 50\). 2. Bestimmung von Sarahs Zahl durch Umkehroperationen: \(80 - 20 = 60\) und \(60 \cdot 2 = 120\). 3. Vergleich der berechneten Startzahlen: \(120 > 50\).

Sarah hat sich die größere Zahl gedacht (\(120\)).

- Versuche, das Rätsel schrittweise von hinten nach vorne zu lösen. - Was war die Zahl direkt vor dem letzten Schritt (dem Abziehen der \(50\))? - Wenn du ein Ergebnis hast, prüfe es, indem du die Schritte des Rätsels nacheinander mit deiner Zahl durchrechnest.

1. Die gesuchte Zahl wird als \(x\) bezeichnet: \(x + 120 - 50 = 600\). 2. Der Rechenweg wird von hinten nach vorne aufgelöst. 3. Zuerst wird die letzte Änderung rückgängig gemacht: \(600 + 50 = 650\). 4. Danach wird die erste Änderung rückgängig gemacht: \(650 - 120 = 530\). 5. Die gesuchte Zahl ist \(530\).

Die gesuchte Zahl ist \(530\).

- Kannst du die Rechenschritte in der umgekehrten Reihenfolge ausführen? - Was ist das Gegenteil von „abziehen“? - Was ist das Gegenteil von „verdoppeln“? - Versuche, vom Ergebnis aus Schritt für Schritt zurückzurechnen.

1. Die Aufgabe durch Umkehren der Rechenschritte von hinten nach vorne lösen. 2. Den letzten Schritt (Subtraktion von \(150\)) umkehren: \(450 + 150 = 600\). 3. Den ersten Schritt (Verdoppeln) umkehren: Die Hälfte von \(600\) berechnen: \(600 : 2 = 300\). 4. Die gedachte Zahl ist \(300\).

Die gedachte Zahl ist \(300\).

- Finde zuerst heraus, welche Zahl sich Lukas gedacht hat. - Finde dann heraus, welche Zahl sich Marie gedacht hat. - Wie kannst du ausrechnen, welche Zahl am Ende größer ist? - Welche Rechenart hilft dir, den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu finden?

1. Lukas' Zahl durch die Umkehroperation berechnen: \(360 + 240 = 600\). 2. Maries Zahl durch die Umkehroperation berechnen: \(800 - 180 = 620\). 3. Die beiden Zahlen vergleichen: \(620 > 600\), also hat Marie die größere Zahl. 4. Den Unterschied berechnen: \(620 - 600 = 20\). 5. Maries Zahl ist um \(20\) größer.

Marie hat sich die größere Zahl gedacht. Ihre Zahl (\(620\)) ist um \(20\) größer als die von Lukas (\(600\)).

- Kannst du die Aufgabe von hinten nach vorne lösen? - Was ist das Gegenteil von „verringern“? - Was ist das Gegenteil von „dazugeben“? - Schreibe dir die Rechenschritte als Kette auf.

1. Den letzten Rechenschritt rückgängig machen: Da zuletzt \(112\) addiert wurde, wird dieser Betrag vom Endergebnis abgezogen: \(500 - 112 = 388\). 2. Den ersten Rechenschritt rückgängig machen: Da die Zahl zuvor um \(245\) verringert wurde, muss dieser Betrag zum Zwischenergebnis addiert werden: \(388 + 245 = 633\).

Die Zahl lautet \(633\).

- Rechne zuerst aus, was auf der rechten Seite der Aufgabe herauskommt. - Kannst du die Aufgabe mit einem Platzhalter (zum Beispiel einem Kästchen) aufschreiben? - Welche Zahl fehlt, damit die Plusrechnung stimmt? - Nutze die Umkehraufgabe, um das Ergebnis zu finden.

1. Berechnung des Zielwertes auf der rechten Seite der Gleichung: \(900 - 150 = 750\). 2. Aufstellen der Gleichung mit dem Platzhalter: \(\square + 325 = 750\). 3. Berechnung der gesuchten Zahl durch die Umkehraufgabe: \(750 - 325 = 425\).

Die gedachte Zahl ist \(425\).

- Finde zuerst heraus, welche Zahl Lukas sich gedacht hat. - Finde danach heraus, welche Zahl Julia sich gedacht hat. - Wie kannst du eine Minusaufgabe umkehren, um die Startzahl zu finden? - Vergleiche am Ende die beiden Zahlen, die du gefunden hast.

1. Berechnung von Lukas' Zahl durch die Umkehroperation: \(240 + 360 = 600\). 2. Berechnung von Julias Zahl durch die Umkehroperation: \(500 - 120 = 380\). 3. Vergleich der beiden Ergebnisse: \(600 > 380\). 4. Lukas hat sich die größere Zahl gedacht.

Lukas hat sich die größere Zahl gedacht (seine Zahl ist \(600\), Julias Zahl ist \(380\)).

- Was genau sollst du herausfinden? - Kannst du die Gleichung vereinfachen, indem du zuerst den Teil rechts vom Gleichheitszeichen ausrechnest? - Wie verändert sich die Aufgabe, wenn du das Ergebnis der rechten Seite in die Gleichung einsetzt? - Welche Rechenart hilft dir am Ende, um \(x\) alleine stehen zu haben?

1. Rechte Seite berechnen: \(400 + 100 = 500\). Dann \(x\) bestimmen: \(x = 500 + 150 = 650\). 2. Rechte Seite berechnen: \(250 + 50 = 300\). Dann \(x\) bestimmen: \(x = 800 - 300 = 500\). 3. Rechte Seite berechnen: \(900 - 300 = 600\). Dann \(x\) bestimmen: \(x = 600 - 220 = 380\). 4. Rechte Seite berechnen: \(120 + 180 = 300\). Dann \(x\) bestimmen: \(x = 1000 - 300 = 700\).

1) \(x = 650\) 2) \(x = 500\) 3) \(x = 380\) 4) \(x = 700\)

- Wenn ein Faktor fehlt, kannst du die Umkehraufgabe (Division) nutzen. - Überlege bei der Suche nach dem fehlenden Faktor: Wie oft passt die Zahl in das Ergebnis? - Vergiss nicht, am Ende die Probe zu machen.

1. Für a) wird das Produkt berechnet: \(130 \cdot 5 = 650\). 2. Für b) wird der fehlende Faktor gesucht: \(720 : 3 = 240\). Probe: \(240 \cdot 3 = 720\). 3. Für c) wird der fehlende Faktor gesucht: \(880 : 4 = 220\). Probe: \(4 \cdot 220 = 880\). 4. Für d) wird das Produkt berechnet: \(250 \cdot 4 = 1000\).

a) \(650\) b) \(240\) c) \(220\) d) \(1000\)

- Überlege, welche Zahl du mit dem Ergebnis multiplizieren musst, um die vordere Zahl zu erhalten. - Wie oft passt die gesuchte Zahl in den Dividenden? - Wenn die vordere Zahl fehlt, hilft oft die Multiplikation der beiden hinteren Zahlen.

1. Berechnung von a): Umkehraufgabe \(120 \cdot 4 = 480\). Die fehlende Zahl ist \(480\). 2. Berechnung von b): Suche nach dem Teiler durch \(560 : 70 = 8\). Die fehlende Zahl ist \(8\). 3. Berechnung von c): Division \(840 : 2 = 420\). Die fehlende Zahl ist \(420\). 4. Berechnung von d): Umkehraufgabe \(210 \cdot 3 = 630\). Die fehlende Zahl ist \(630\). 5. Berechnung von e): Halbschriftliche Division \(500 : 5 = 100\) und \(150 : 5 = 30\), also \(130\). Die fehlende Zahl ist \(130\).

a) \(480\) b) \(8\) c) \(420\) d) \(630\) e) \(130\)

- Finde zuerst heraus, welche Zahl Lara im Kopf hat. - Welches Rechenzeichen gehört zu „durch \(6\) teilen“? Wie rechnest du das umgekehrt? - Wenn du Laras Zahl kennst, wie findest du dann Jonas' Zahl? - Achte darauf, ob Jonas' Zahl größer oder kleiner als Laras Zahl sein muss.

1. Bestimmung von Laras Zahl durch Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor (Umkehroperation der Division): \(80 \cdot 6 = 480\). 2. Berechnung von Jonas' Zahl durch Subtraktion der Differenz von Laras Zahl: \(480 - 150 = 330\).

Jonas hat sich die Zahl \(330\) gedacht.

- Versuche, die Aufgabe schrittweise rückwärts zu rechnen. - Was war der allerletzte Rechenschritt? Fange damit an. - Wenn du ein Ergebnis hast, prüfe es: Rechne den Weg von deiner Zahl bis zur 920 einmal durch.

1. Rückgängigmachen des letzten Schritts: Da zuletzt \(120\) addiert wurde, wird dieser Betrag vom Endergebnis abgezogen: \(920 - 120 = 800\). 2. Rückgängigmachen des ersten Schritts: Da die Zahl zuvor vervierfacht wurde, wird das Zwischenergebnis durch \(4\) dividiert: \(800 : 4 = 200\). 3. Die ursprüngliche Zahl ist \(200\).

Die gedachte Zahl ist \(200\).

- Wie viele Kinder sind insgesamt noch im Lager, wenn die Kanugruppe weg ist? - Wenn im Lager Gleichstand zwischen Jungen und Mädchen herrscht, wie viele sind es dann von jeder Gruppe? - Hat sich die Anzahl der Mädchen verändert, oder sind alle Mädchen im Lager geblieben? - Wie viele Jungen gehören insgesamt zum Ferienlager, wenn du die im Lager und die auf Tour zusammenzählst?

1. Bestimmung der Anzahl der Kinder, die im Lager geblieben sind: \(750 - 350 = 400\). 2. Da im Lager gleich viele Jungen wie Mädchen sind, wird die Anzahl der verbliebenen Kinder halbiert: \(400 : 2 = 200\). Es sind also \(200\) Mädchen und \(200\) Jungen im Lager. 3. Da alle Mädchen im Lager geblieben sind, beträgt ihre Gesamtzahl \(200\). 4. Die Gesamtzahl der Jungen berechnet sich aus den Jungen im Lager und den Jungen auf Kanutour: \(200 + 350 = 550\).

Es sind insgesamt \(550\) Jungen und \(200\) Mädchen im Ferienlager.

- Wie viel Draht bleibt insgesamt übrig, wenn man das Stück abschneidet? - Wenn nach dem Abschneiden beide Rollen gleich lang sind, wie kannst du den Rest gleichmäßig aufteilen? - Überlege, welche Rolle am Anfang länger gewesen sein muss.

1. Die Gesamtlänge um das abgeschnittene Stück verringern: \(870\,\text{m} - 150\,\text{m} = 720\,\text{m}\). 2. Die verbleibende Länge halbieren, um die Länge der zweiten Rolle zu erhalten: \(720\,\text{m} : 2 = 360\,\text{m}\). 3. Die ursprüngliche Länge der ersten Rolle berechnen: \(360\,\text{m} + 150\,\text{m} = 510\,\text{m}\). 4. Die Länge nach dem Abschneiden bestimmen: Da beide Rollen dann gleich lang sind, messen beide \(360\,\text{m}\).

1. Am Anfang war die erste Rolle \(510\,\text{m}\) lang und die zweite Rolle \(360\,\text{m}\) lang. 2. Nachdem die \(150\,\text{m}\) abgeschnitten wurden, sind beide Rollen \(360\,\text{m}\) lang.

- Kannst du eine ähnliche Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins finden? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du aus einer \(7\) eine \(70\) machst? - Probier doch mal aus, was passiert, wenn du \(60 \cdot 6\) rechnest. Ist das schon genug? - Gibt es vielleicht mehr als eine richtige Zahl?

1. Suche nach einer Zehnerzahl, die mit \(6\) multipliziert ein Ergebnis über \(400\) liefert. 2. Nutze das kleine Einmaleins als Hilfe: \(6 \cdot 6 = 36\), also ist \(60 \cdot 6 = 360\). Dies ist noch kleiner als \(400\). 3. Probiere die nächste Zehnerzahl: \(7 \cdot 6 = 42\), also ist \(70 \cdot 6 = 420\). Dies ist größer als \(400\). 4. Überprüfe die weiteren Zehnerzahlen: \(80 \cdot 6 = 480\) und \(90 \cdot 6 = 540\). Beide sind ebenfalls größer als \(400\). 5. Die passenden Zehnerzahlen sind \(70\), \(80\) und \(90\).

Die passenden Zehnerzahlen sind \(70\), \(80\) und \(90\).

- Stell dir vor, du hast eine Tüte Murmeln. Wenn du mehr Murmeln weggibst, aber am Ende genauso viele übrig behalten willst wie vorher – musstest du dann am Anfang mehr oder weniger Murmeln gehabt haben? - Wie heißt die Umkehraufgabe bei Minusaufgaben, wenn die vordere Zahl fehlt?

1. Vergleich: In beiden Aufgaben bleibt nach dem Abziehen ein Rest von \(400\). Da in Aufgabe B mehr abgezogen wird (\(250\) statt \(150\)), muss die Startzahl \(x\) in Aufgabe B größer sein, um auf denselben Rest zu kommen. 2. Berechnung A: Um den Minuenden zu finden, rechnet man \(400 + 150 = 550\). Also \(x = 550\). 3. Berechnung B: Um den Minuenden zu finden, rechnet man \(400 + 250 = 650\). Also \(x = 650\). 4. Bestätigung: \(650 > 550\), die Vermutung war korrekt.

1. In Aufgabe B muss \(x\) größer sein, weil mehr abgezogen wird, um das gleiche Ergebnis zu erhalten. 2. Aufgabe A: \(x = 550\); Aufgabe B: \(x = 650\).

- Bestimme zuerst, welche Rechenart dir hilft, den jeweiligen Platzhalter zu finden. - Bei der letzten Aufgabe: Kannst du zuerst die beiden bekannten Zahlen zusammenrechnen? - Welche Umkehraufgabe hilft dir, den Platzhalter zu bestimmen?

1. Berechnung des Platzhalters durch Subtraktion: \(610 - 480 = 130\). 2. Berechnung des Subtrahenden: \(820 - 740 = 80\). 3. Berechnung des Minuenden durch Addition: \(410 + 190 = 600\). 4. Zusammenfassen der bekannten Summanden: \(350 + 100 = 450\). Anschließend Berechnung des Platzhalters: \(700 - 450 = 250\).

1. \(130\) 2. \(80\) 3. \(600\) 4. \(250\)

- Kannst du das Rätsel rückwärts lösen? - Was ist die Umkehroperation von „durch 3 teilen“? - Was musst du tun, um eine Vergrößerung um 120 wieder rückgängig zu machen? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die Schritte des Rätsels mit deiner Zahl durchrechnest.

1. Umkehrung des letzten Schritts: Da das Ergebnis nach dem Teilen durch \(3\) den Wert \(100\) hat, muss die Zahl vor dem Teilen \(100 \cdot 3 = 300\) gewesen sein. 2. Umkehrung des ersten Schritts: Da die Zahl \(300\) durch Vergrößern der Geheimzahl um \(120\) entstanden ist, muss man \(120\) abziehen: \(300 - 120 = 180\). 3. Überprüfung: \((180 + 120) : 3 = 300 : 3 = 100\). Die Geheimzahl ist \(180\).

Die Geheimzahl lautet \(180\).

- Bestimme zuerst, wie groß das Dreifache der Zahl genau ist. - Was bedeutet der Ausdruck „um 40 kleiner als 250“ als feste Zahl? - Wenn du das Dreifache einer Zahl kennst, wie berechnest du dann die einfache Zahl? - Welche Rechenart hilft dir, wenn du das Ergebnis einer Malrechnung schon kennst?

1. Den Wert des Dreifachen der Zahl berechnen: \(250 - 40 = 210\). 2. Um die gesuchte Zahl zu finden, den Wert durch \(3\) teilen: \(210 : 3 = 70\). 3. Die gedachte Zahl ist \(70\).

Die gedachte Zahl ist \(70\).

- Rechne zuerst aus, welche Zahl auf der rechten Seite der Aufgabe stehen muss. - Schreibe dir die Aufgabe Schritt für Schritt auf. - Stell dir vor, die gedachte Zahl wäre eine Lücke in einer Minusaufgabe. - Was musst du von \(1000\) wegnehmen, um bei deinem Zwischenergebnis zu landen?

1. Berechnung des Zielergebnisses auf der rechten Seite: \(120 + 130 = 250\). 2. Aufstellen der Gleichung für die gesuchte Zahl \(x\): \(1000 - x = 250\). 3. Bestimmung des Subtrahenden durch Subtraktion der Differenz vom Minuenden: \(x = 1000 - 250\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(1000 - 200 = 800\) und \(800 - 50 = 750\).

Die gedachte Zahl ist \(750\).

- Kannst du die Aufgabe rückwärts rechnen? - Wenn du viermal den gleichen Betrag wegnimmst und bei Null landest, wie viel hattest du dann am Anfang? - Suche bei b) eine Zahl, die siebenmal in \(630\) passt. - Überlege, welche Grundrechenart (Plus, Minus, Mal oder Geteilt) dir hier am besten hilft.

1. Berechnung der Startzahl für Aufgabenteil a) durch Multiplikation der Anzahl der Schritte mit dem Subtrahenden: \(4 \cdot 150 = 600\). 2. Berechnung des Subtrahenden für Aufgabenteil b) durch Division der Startzahl durch die Anzahl der Schritte: \(630 : 7 = 90\).

a) Die Startzahl ist \(600\). b) Die abgezogene Zahl ist \(90\).

- Was bedeuten die Begriffe „Summe“ und „Unterschied“? - Wenn beide Zahlen gleich groß wären, welche Zahl ergäbe mit sich selbst addiert \(700\)? - Eine Zahl muss etwas größer sein als die andere, damit ein Unterschied entsteht. - Wenn du den Unterschied von der Summe abziehst, kannst du den verbleibenden Wert auf zwei gleich große Anteile verteilen.

1. Die Summe der beiden gesuchten Zahlen ist \(700\). 2. Da der Unterschied \(100\) beträgt, ist die eine Zahl um \(100\) größer als die andere. 3. Zieht man diesen Unterschied von der Gesamtsumme ab (\(700 - 100 = 600\)), erhält man den Wert, den zwei gleich große (kleine) Zahlen zusammen hätten. 4. Die kleinere Zahl ist die Hälfte von \(600\), also \(300\). 5. Die größere Zahl ist um \(100\) größer als die kleine Zahl: \(300 + 100 = 400\). 6. Überprüfung: \(300 + 400 = 700\) (Summe) und \(400 - 300 = 100\) (Unterschied).

Die beiden Zahlen heißen \(300\) und \(400\).

- Berechne zuerst, welche Zahl Lukas meint. - Was bedeutet „um \(240\) kleiner“ als Rechenoperation? - Wenn du Lukas' Zahl kennst, kannst du sie in Sarahs Rätsel einsetzen. - Wie kommst du von Sarahs Ergebnis wieder zurück zu ihrer ursprünglichen Zahl?

1. Berechnung von Lukas' Zahl durch Subtraktion: \(710 - 240 = 470\). 2. Bestimmung von Sarahs Zahl durch die Umkehroperation: Da Sarahs Zahl minus \(130\) den Wert \(470\) ergibt, rechnet man \(470 + 130 = 600\).

Lukas hat sich die Zahl \(470\) gedacht. Sarah hat sich die Zahl \(600\) gedacht.

- Rechne zuerst aus, was rechts vom Gleichheitszeichen steht. - Schreibe die neue, vereinfachte Gleichung auf. - Wie findest du heraus, was in das Kästchen gehört, wenn du das Gesamtergebnis kennst? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis mit der Zahl \(400\).

1. Berechnung des Wertes auf der rechten Seite der Gleichung: \(900 - 140 = 760\). 2. Einsetzen des Ergebnisses in die Gleichung: \(260 + \square = 760\). 3. Berechnung des Platzhalters durch Subtraktion: \(\square = 760 - 260 = 500\). 4. Vergleich des Ergebnisses mit dem Referenzwert: Da \(500\) größer ist als \(400\), lautet die Antwort „größer“.

Die Zahl ist \(500\). Sie ist größer als \(400\), da \(500 > 400\).

- Kannst du die Aufgabe in Teilschritte zerlegen und erst das Ergebnis der ersten beiden Zahlen ausrechnen? - Hilft es dir, die Umkehraufgabe zu bilden? - Kannst du die Zahlen in Hunderter und Zehner zerlegen, um leichter im Kopf zu rechnen? - Überlege bei Teil d), wie viel von der Summe der ersten beiden Zahlen noch bis zum vollen Tausender fehlt.

1. Berechnung für a): Zuerst die Summe bilden: \(450 + 280 = 730\). Um auf \(600\) zu kommen, muss die Differenz berechnet werden: \(730 - 600 = 130\). Die gesuchte Zahl ist \(130\). 2. Berechnung für b): Zuerst die Operationen umkehren: \(550 - 320 = 230\). Dann \(230 + 140 = 370\). Die gesuchte Zahl ist \(370\). 3. Berechnung für c): Schrittweise subtrahieren: \(800 - 330 = 470\). Dann \(470 - 170 = 300\). Das Ergebnis ist \(300\). 4. Berechnung für d): Zuerst die Summe der bekannten Zahlen bilden: \(260 + 390 = 650\). Dann die Ergänzung zu \(1000\) berechnen: \(1000 - 650 = 350\). Die gesuchte Zahl ist \(350\).

a) \(130\) b) \(370\) c) \(300\) d) \(350\)

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Welche Zahl steht bei einer Minusaufgabe ganz vorne? - Was bedeutet es, wenn eine Zahl „doppelt so groß“ ist? - Wenn du die vordere Zahl und das Ergebnis kennst, wie findest du die Zahl, die abgezogen wurde?

1. Bestimmung der Differenz durch Verdopplung: \(2 \cdot 110 = 220\). 2. Einsetzen der bekannten Werte in die Struktur \(\text{Minuend} - \text{Subtrahend} = \text{Differenz}\): \(720 - \square = 220\). 3. Berechnung des Subtrahenden: \(720 - 220 = 500\).

Der Subtrahend ist \(500\).

- Berechne zuerst, wie groß die zweite Zahl ist. - Wie viel ergeben die erste und die zweite Zahl zusammen? - Wie viel fehlt dann noch bis zur \(1000\)?

1. Berechnung der zweiten Zahl: \(350 - 100 = 250\). 2. Berechnung der Summe der ersten beiden Zahlen: \(350 + 250 = 600\). 3. Berechnung der dritten Zahl durch Subtraktion der Teilsumme vom Gesamtwert: \(1000 - 600 = 400\).

Die dritte Zahl ist \(400\).

- Welche Zeile ist bereits vollständig ausgefüllt? Berechne dort die Gesamtsumme. - Benutze dieses Ergebnis, um die Lücken in den anderen Zeilen und Spalten zu füllen. - Rechne immer zuerst dort, wo nur noch eine Zahl fehlt.

1. Berechnung der gemeinsamen Zeilen- und Spaltensumme aus der vollständigen zweiten Zeile: \(350 + 200 + 50 = 600\). 2. Berechnung der fehlenden Zahl oben rechts (erste Zeile): \(600 - (150 + 250) = 200\). 3. Berechnung der fehlenden Zahl unten links (erste Spalte): \(600 - (150 + 350) = 100\). 4. Berechnung der fehlenden Zahl unten rechts (dritte Zeile): \(600 - (100 + 150) = 350\). 5. Überprüfung der dritten Spalte: \(200 + 50 + 350 = 600\).

Das fertig ausgefüllte Quadrat: <table border="1" style="width:150px; text-align:center;"> <tr><td>150</td><td>250</td><td>200</td></tr> <tr><td>350</td><td>200</td><td>50</td></tr> <tr><td>100</td><td>150</td><td>350</td></tr> </table>

- Versuche, das Rätsel von hinten nach vorne zu lösen. - Wenn am Ende \(20\) übrig bleibt, wie hoch war die Zahl, bevor \(80\) abgezogen wurden? - Welche Rechenart macht ein „Teilen durch 4“ wieder rückgängig? - Gehe Schritt für Schritt vor und prüfe dein Ergebnis am Ende mit der Probe.

1. Schrittweises Rückwärtsrechnen beginnend beim Endergebnis \(20\). 2. Umkehrung der Subtraktion: \(20 + 80 = 100\). 3. Umkehrung der Division durch Multiplikation: \(100 \cdot 4 = 400\). 4. Die ursprüngliche Zahl ist \(400\).

Die gedachte Zahl ist \(400\).

- Rechne zuerst für jede Gleichung aus, welche Zahl für \(x\) eingesetzt werden muss. - Schreibe dir die Ergebnisse für \(x\) neben die Gleichungen. - Vergleiche deine vier Ergebnisse miteinander. Welches sticht heraus?

1. Berechnung von \(x\) für Gleichung A: \(x = 600 - 340 = 260\). 2. Berechnung von \(x\) für Gleichung B: \(x = 850 - 590 = 260\). 3. Berechnung von \(x\) für Gleichung C: \(x = 150 + 120 = 270\). 4. Berechnung von \(x\) für Gleichung D: \(x = 730 - 470 = 260\). 5. Vergleich: In den Gleichungen A, B und D ist \(x = 260\). In Gleichung C ist \(x = 270\). Damit passt Gleichung C nicht zu den anderen.

Die Gleichung C passt nicht zu den anderen, da \(x\) hier den Wert \(270\) hat, während \(x\) in den anderen Gleichungen \(260\) ist.

- Stelle dir die Aufgabe als Minusaufgabe mit einer Lücke am Anfang vor. - Wenn du etwas weggenommen hast und noch ein Rest da ist, wie groß war die Zahl dann am Anfang? - Hilft dir die Umkehraufgabe weiter? - Überlege, ob die gesuchte Zahl größer oder kleiner als \(418\) sein muss.

1. Formulierung der Aufgabe als Platzhaltergleichung: \(x - 418 = 252\). 2. Bestimmung der gesuchten Zahl durch Addition der beiden bekannten Werte: \(252 + 418\). 3. Schrittweise Berechnung: \(200 + 400 = 600\), \(50 + 10 = 60\), \(2 + 8 = 10\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(600 + 60 + 10 = 670\).

\(670\)

- Der Deckstein enthält die beiden äußeren Grundsteine jeweils einmal und den mittleren Grundstein zweimal. - Kann der Deckstein kleiner sein als die Summe der beiden äußeren Grundsteine? - Ziehe zunächst die äußeren Grundsteine vom Deckstein ab. Was sagt der verbleibende Rest über den mittleren Grundstein aus?

1. Mauer a): Von \(80\) werden zuerst die beiden äußeren Grundsteine abgezogen: \(80 - 10 - 20 = 50\). Dieser Rest enthält den mittleren Grundstein zweimal. Daher ist der Mittelstein \(50 : 2 = 25\). Die zweite Reihe lautet \(35\) und \(45\). Die Mauer ist mit natürlichen Zahlen lösbar. 2. Mauer b): Die äußeren Grundsteine ergeben bereits \(45 + 40 = 85\). Das ist größer als der Deckstein \(80\). Die Mauer ist daher nicht mit natürlichen Zahlen lösbar. 3. Mauer c): \(80 - 25 - 25 = 30\). Der Mittelstein ist \(30 : 2 = 15\). Die zweite Reihe lautet \(40\) und \(40\). Die Mauer ist mit natürlichen Zahlen lösbar. 4. Mauer d): Die äußeren Grundsteine ergeben bereits \(41 + 42 = 83\). Das ist größer als der Deckstein \(80\). Die Mauer ist daher nicht mit natürlichen Zahlen lösbar.

Lösbar sind die Mauern a) und c). Bei a) ist der Mittelstein \(25\); in der zweiten Reihe stehen \(35\) und \(45\). Bei c) ist der Mittelstein \(15\); in der zweiten Reihe stehen zweimal \(40\). Die Mauern b) und d) sind nicht mit natürlichen Zahlen lösbar, weil die äußeren Grundsteine zusammen bereits größer als \(80\) sind.

- Wie viel fehlt dir noch bis zum neuen Zielstein? - Überlege dir: Wenn du jeden Stein unten um \(1\) erhöhst, um wie viel wächst die Spitze? - Probiere systematisch aus, um wie viel du die untere Reihe anheben musst.

1. Differenz der Zielsteine: \(45 - 25 = 20\). 2. In einer dreireihigen Zahlenmauer bewirkt die Erhöhung jedes Grundsteins um \(1\) eine Erhöhung des Zielsteins um \(4\), da der mittlere Stein doppelt zählt (\(1 + 2 \cdot 1 + 1 = 4\)). 3. Berechnung des Betrags: \(20 : 4 = 5\). Jeder Grundstein muss um \(5\) erhöht werden. 4. Probe: Neue Grundsteine \(10, 12, 11\). Zielstein: \(10 + 12 = 22\), \(12 + 11 = 23\), \(22 + 23 = 45\).

Jeder Grundstein muss um \(5\) erhöht werden.

- Überlege dir, wie oft die mittlere Zahl der untersten Reihe in das Endergebnis oben einfließt. - Es gibt viele verschiedene richtige Lösungen. Du musst nur zwei Zahlen finden, die zusammen \(20\) ergeben.

1. Der mittlere Grundstein \(40\) fließt zweimal in den Zielstein ein. Er trägt daher \(40 + 40 = 80\) zur Spitze bei. 2. Bis \(100\) fehlen noch \(100 - 80 = 20\). Die beiden äußeren Grundsteine müssen zusammen \(20\) ergeben. 3. Eine mögliche Wahl ist \(12\) und \(8\). Dann lautet die unterste Reihe \(12\), \(40\), \(8\).

Eine mögliche Lösung für die unterste Reihe ist \(12\), \(40\) und \(8\). Jedes Zahlenpaar, dessen Summe \(20\) ergibt (zum Beispiel \(10\) und \(10\) oder \(15\) und \(5\)), ist ebenfalls korrekt.

- Ergänze 42 um die abgezogenen 7 Punkte. - Welche Quadratzahl ergibt 49?

Das vollständige Feld hat 49 Punkte und 7 Reihen zu je 7 Punkten. Zieht man die graue Reihe mit 7 Punkten ab, bleiben 42. Also ist \(7\cdot7-7=42\), daher \(\square=7\).

\(\square=7\). Die graue Reihe ist der abgezogene Siebener.

- Beginne mit der Zeile, zu der du die meisten Angaben hast. - Probiere passende Zahlenpaare und prüfe alle Bedingungen.

1. Bei Anna teilen sich \(10\) Marken in \(6\) rote und \(4\) blaue, weil der Unterschied \(2\) beträgt. 2. Bo hat \(4\) rote Marken. 3. Bo hat \(9-4=5\) blaue Marken.

Kind	Rote Marken	Blaue Marken
Anna	\(6\)	\(4\)
Bo	\(4\)	\(5\)