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Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 22.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Tausch-, Umkehr- und Nachbaraufgaben

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

4158693
Nutze die Kernaufgaben mit \(10\), um die Ergebnisse der Nachbaraufgaben mit \(9\) zu finden. a) \(10 \cdot 5 = \dots\), also \(9 \cdot 5 = \dots\) b) \(10 \cdot 9 = \dots\), also \(9 \cdot 9 = \dots\) c) \(10 \cdot 4 = \dots\), also \(9 \cdot 4 = \dots\)

Denkanstöße

- Wie viel fehlt von der 9 bis zur 10? - Überlege dir, wie viel du vom Zehner-Ergebnis abziehen musst, um zum Neuner-Ergebnis zu kommen. - Wenn du zehnmal eine Zahl hast, wie bekommst du dann neunmal diese Zahl?

Lösung

1. Berechnung der Kernaufgaben durch Anhängen einer Null: \(10 \cdot 5 = 50\), \(10 \cdot 9 = 90\), \(10 \cdot 4 = 40\). 2. Ableitung der Nachbaraufgaben durch Subtraktion einer Gruppe: a) \(50 - 5 = 45\). b) \(90 - 9 = 81\). c) \(40 - 4 = 36\).

Antwort

a) \(10 \cdot 5 = 50\), also \(9 \cdot 5 = 45\) b) \(10 \cdot 9 = 90\), also \(9 \cdot 9 = 81\) c) \(10 \cdot 4 = 40\), also \(9 \cdot 4 = 36\)
4163343
Berechne die folgenden Aufgaben und schreibe jeweils die dazugehörige Tauschaufgabe auf. a) \(30 \cdot 5\) b) \(80 \cdot 2\) c) \(40 \cdot 9\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn du die beiden Zahlen vertauschst? - Kennst du die kleine Aufgabe ohne die Null? Das kann beim Rechnen helfen.

Lösung

1. Berechnung von \(30 \cdot 5 = 150\). Die Tauschaufgabe entsteht durch das Vertauschen der Faktoren: \(5 \cdot 30 = 150\). 2. Berechnung von \(80 \cdot 2 = 160\). Die Tauschaufgabe lautet: \(2 \cdot 80 = 160\). 3. Berechnung von \(40 \cdot 9 = 360\). Die Tauschaufgabe lautet: \(9 \cdot 40 = 360\).

Antwort

a) \(30 \cdot 5 = 150\), Tauschaufgabe: \(5 \cdot 30 = 150\) b) \(80 \cdot 2 = 160\), Tauschaufgabe: \(2 \cdot 80 = 160\) c) \(40 \cdot 9 = 360\), Tauschaufgabe: \(9 \cdot 40 = 360\)
4163373
Nutze die kleine Einmaleins-Aufgabe, um die Ergebnisse der großen Aufgaben zu finden. a) \(7 \cdot 3 = \dots\) b) \(7 \cdot 30 = \dots\) c) \(70 \cdot 3 = \dots\) Warum haben die Aufgaben b) und c) das gleiche Ergebnis? Erkläre kurz.

Denkanstöße

- Schau dir die erste Aufgabe genau an. Was ändert sich bei den anderen Aufgaben? - Wie hängen die Zahlen \(3\) und \(30\) zusammen? - Erinnerst du dich an das Vertauschungsgesetz beim Malnehmen?

Lösung

1. Berechnung der kleinen Aufgabe: \(7 \cdot 3 = 21\). 2. Übertragung auf die Zehneraufgabe b): Da ein Faktor das Zehnfache ist, ist auch das Ergebnis das Zehnfache: \(21 \cdot 10 = 210\). 3. Übertragung auf die Zehneraufgabe c): Auch hier ist ein Faktor das Zehnfache, das Ergebnis bleibt \(210\). 4. Begründung: In beiden Fällen wird die Grundaufgabe \(7 \cdot 3\) gerechnet und das Ergebnis mit \(10\) multipliziert (eine Null angehängt). Es ist egal, welcher der beiden Faktoren verzehnfacht wird (Vertauschungsgesetz).

Antwort

a) \(21\) b) \(210\) c) \(210\) Begründung: Beide Aufgaben basieren auf \(7 \cdot 3 = 21\). Da jeweils ein Faktor eine Zehnerzahl ist (das Zehnfache), ist das Ergebnis bei beiden Aufgaben das Zehnfache der Grundaufgabe (\(210\)).
4373583
Ein Rechteck enthält 42 Punkte und hat 7 Punkte in jeder Reihe. Bestimme die Zahl der Reihen. Formuliere außerdem die passende Geteiltaufgabe und die zugehörige Malaufgabe.
Abbildung zur Aufgabe 437358

Denkanstöße

- Frage: Wie oft passt 7 in 42? - Nutze eine bekannte Einmaleinsaufgabe.

Lösung

Wenn jede Reihe 7 Punkte enthält, gilt \(42:7=6\). Das Feld hat also 6 Reihen. Die Malaufgabe lautet \(6\cdot7=42\).

Antwort

6 Reihen; \(42:7=6\) und \(6\cdot7=42\).
4373763
Acht Beete enthalten jeweils 6 Salatpflanzen. Im nächsten Frühjahr kommt ein gleich großes Beet hinzu. Wie viele Pflanzen sind es dann? Nutze das erste Bild als bekannte Aufgabe.
Abbildung zur Aufgabe 437376

Denkanstöße

- Das zweite Bild hat genau eine Reihe mehr. - Nutze eine Nachbaraufgabe.

Lösung

Zuerst sind es \(8\cdot6=48\) Pflanzen. Ein weiteres Beet bringt 6 hinzu: \(48+6=54\). Das entspricht \(9\cdot6=54\).

Antwort

\(8\cdot6=48\). Eine weitere Reihe mit 6 Pflanzen ergibt \(48+6=54\), also \(9\cdot6=54\).
4157733
Berechne die Ergebnisse der Aufgabenpaare. Wie hängen die beiden Rechnungen jeweils zusammen? a) \(3 \cdot 4\) und \(6 \cdot 4\) b) \(10 \cdot 7\) und \(5 \cdot 7\) c) \(4 \cdot 8\) und \(8 \cdot 8\)

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlen vor dem Malzeichen genau an. Fällt dir eine Beziehung zwischen ihnen auf? - Wenn du ein Ergebnis schon kennst, wie kannst du es nutzen, um das andere schneller zu finden? - Überlege, was passiert, wenn man eine Zahl in der Rechnung verdoppelt oder halbiert.

Lösung

1. Berechnung von \(3 \cdot 4 = 12\). Da der erste Faktor verdoppelt wird (\(3 \rightarrow 6\)), verdoppelt sich auch das Ergebnis: \(6 \cdot 4 = 24\). 2. Berechnung von \(10 \cdot 7 = 70\). Da der erste Faktor halbiert wird (\(10 \rightarrow 5\)), halbiert sich auch das Ergebnis: \(5 \cdot 7 = 35\). 3. Berechnung von \(4 \cdot 8 = 32\). Da der erste Faktor verdoppelt wird (\(4 \rightarrow 8\)), verdoppelt sich auch das Ergebnis: \(8 \cdot 8 = 64\).

Antwort

a) \(3 \cdot 4 = 12\) und \(6 \cdot 4 = 24\); der erste Faktor und das Ergebnis werden verdoppelt. b) \(10 \cdot 7 = 70\) und \(5 \cdot 7 = 35\); der erste Faktor und das Ergebnis werden halbiert. c) \(4 \cdot 8 = 32\) und \(8 \cdot 8 = 64\); der erste Faktor und das Ergebnis werden verdoppelt.
4157763
Vergleiche die Dreierreihe (\(3, 6, 9, \dots\)) mit der Sechserreihe (\(6, 12, 18, \dots\)). Finde drei verschiedene Paare von Aufgaben, die das gleiche Ergebnis haben. Schreibe sie so auf: \((\dots) \cdot 3 = (\dots)\) \((\dots) \cdot 6 = (\dots)\)

Denkanstöße

- Gehe die Ergebnisse der Dreierreihe Schritt für Schritt durch und prüfe, ob sie auch in der Sechserreihe vorkommen. - Wenn du von der Dreierreihe zur Sechserreihe wechselst, musst du den anderen Faktor halbieren, damit das Ergebnis gleich bleibt. - Wie hängen die Zahlen 3 und 6 zusammen?

Lösung

1. Bestimmung gemeinsamer Ergebnisse in der Dreier- und Sechserreihe: Mögliche Ergebnisse sind \(6, 12, 18, 24, 30\). 2. Berechnung der Faktoren für das Ergebnis \(6\): \(2 \cdot 3 = 6\) und \(1 \cdot 6 = 6\). 3. Berechnung der Faktoren für das Ergebnis \(12\): \(4 \cdot 3 = 12\) und \(2 \cdot 6 = 12\). 4. Berechnung der Faktoren für das Ergebnis \(18\): \(6 \cdot 3 = 18\) und \(3 \cdot 6 = 18\). 5. Weitere Paare sind möglich, z. B. \(8 \cdot 3 = 24\) und \(4 \cdot 6 = 24\).

Antwort

Mögliche Paare sind: \(2 \cdot 3 = 6\) und \(1 \cdot 6 = 6\) \(4 \cdot 3 = 12\) und \(2 \cdot 6 = 12\) \(6 \cdot 3 = 18\) und \(3 \cdot 6 = 18\) (Auch möglich: \(8 \cdot 3 = 24\) und \(4 \cdot 6 = 24\) oder \(10 \cdot 3 = 30\) und \(5 \cdot 6 = 30\))
4157793
Schreibe alle Malaufgaben aus dem kleinen Einmaleins (Faktoren von \(1\) bis \(10\)) auf, die das Ergebnis \(16\) haben. Finde danach alle Malaufgaben, die das Ergebnis \(36\) ergeben.

Denkanstöße

- Denke an die verschiedenen Reihen des Einmaleins. In welchen Reihen kommt die Zahl als Ergebnis vor? - Vergiss nicht, dass man bei Malaufgaben die Zahlen vertauschen kann. - Gibt es auch eine Quadratzahl, die dieses Ergebnis hat?

Lösung

1. Suche nach Zahlenpaaren \((a, b)\) mit \(1 \le a, b \le 10\), deren Produkt \(16\) ist: Gefunden wurden \(2 \cdot 8\), \(8 \cdot 2\) und \(4 \cdot 4\). 2. Suche nach Zahlenpaaren \((a, b)\) mit \(1 \le a, b \le 10\), deren Produkt \(36\) ist: Gefunden wurden \(4 \cdot 9\), \(9 \cdot 4\) und \(6 \cdot 6\).

Antwort

Ergebnis \(16\): \(2 \cdot 8\), \(8 \cdot 2\), \(4 \cdot 4\) Ergebnis \(36\): \(4 \cdot 9\), \(9 \cdot 4\), \(6 \cdot 6\)
4157813
Ergänze die Tabelle mit jeweils zwei verschiedenen Malaufgaben (Aufgabe und Tauschaufgabe) aus dem kleinen Einmaleins für die vorgegebenen Ergebnisse. <table> <tr> <th>Ergebnis</th> <th>Aufgaben</th> </tr> <tr> <td>14</td> <td>? und ?</td> </tr> <tr> <td>45</td> <td>? und ?</td> </tr> <tr> <td>28</td> <td>? und ?</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Suche nach einer passenden Malaufgabe für die Zahl und bilde dann die Tauschaufgabe dazu. - In welcher Einmaleins-Reihe findest du die Zahl? - Überlege, welche zwei Zahlen du multiplizieren musst, um genau auf das Ergebnis zu kommen.

Lösung

1. Für das Ergebnis \(14\) sind die Faktoren \(2\) und \(7\) möglich: \(2 \cdot 7\) und \(7 \cdot 2\). 2. Für das Ergebnis \(45\) sind die Faktoren \(5\) und \(9\) möglich: \(5 \cdot 9\) und \(9 \cdot 5\). 3. Für das Ergebnis \(28\) sind die Faktoren \(4\) und \(7\) möglich: \(4 \cdot 7\) und \(7 \cdot 4\).

Antwort

14: \(2 \cdot 7\) und \(7 \cdot 2\) 45: \(5 \cdot 9\) und \(9 \cdot 5\) 28: \(4 \cdot 7\) und \(7 \cdot 4\)
4157913
Marie nutzt die 10er-Reihe als Hilfe, um Aufgaben der 9er-Reihe zu lösen. Sie erklärt: „Um \(9 \cdot 7\) zu rechnen, rechne ich erst \(10 \cdot 7\) und ziehe dann \(1 \cdot 7\) ab.“ Wende Maries Trick für diese Aufgaben an und schreibe deinen Rechenweg auf: a) \(9 \cdot 4\) b) \(9 \cdot 8\) c) \(9 \cdot 6\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du einen Faktor um 1 verringerst? - Wie hängen die 10er-Reihe und die 9er-Reihe zusammen? - Kannst du die Aufgabe erst mit der 10 lösen und dann einen Teil wieder wegnehmen?

Lösung

1. Berechnung für a): \(10 \cdot 4 = 40\). Davon wird \(1 \cdot 4\) abgezogen: \(40 - 4 = 36\). Also \(9 \cdot 4 = 36\). 2. Berechnung für b): \(10 \cdot 8 = 80\). Davon wird \(1 \cdot 8\) abgezogen: \(80 - 8 = 72\). Also \(9 \cdot 8 = 72\). 3. Berechnung für c): \(10 \cdot 6 = 60\). Davon wird \(1 \cdot 6\) abgezogen: \(60 - 6 = 54\). Also \(9 \cdot 6 = 54\).

Antwort

a) \(36\) b) \(72\) c) \(54\)
4158123
Löse die Aufgabenpaare. Denke dabei an die Malaufgaben. a) \(16 : 2 = \dots\) und \(16 : 4 = \dots\) b) \(20 : 2 = \dots\) und \(20 : 4 = \dots\) c) \(40 : 4 = \dots\) und \(40 : 8 = \dots\) Was stellst du bei den Ergebnissen fest? Erkläre.

Denkanstöße

- Schau dir die zweite Zahl in jeder Aufgabe genau an. Was fällt dir auf? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Aufgaben in einer Zeile. - Wie hängen die Ergebnisse mit dem Verdoppeln oder Halbieren zusammen? - Nutze die Malreihen, um die Ergebnisse zu überprüfen.

Lösung

1. Berechnung der Quotienten unter Verwendung der Umkehraufgaben (\(8 \cdot 2 = 16\), \(4 \cdot 4 = 16\) usw.): a) \(16 : 2 = 8\) und \(16 : 4 = 4\) b) \(20 : 2 = 10\) und \(20 : 4 = 5\) c) \(40 : 4 = 10\) und \(40 : 8 = 5\) 2. Vergleich der Ergebnisse: In jedem Paar bleibt der Dividend gleich und der zweite Divisor ist doppelt so groß wie der erste. Bei diesen Aufgaben, die ohne Rest lösbar sind, wird der Quotient dadurch halb so groß.

Antwort

a) \(8\) und \(4\) b) \(10\) und \(5\) c) \(10\) und \(5\) Bei gleichem Dividenden wird der Quotient in diesen ohne Rest lösbaren Aufgaben halb so groß, wenn der Divisor verdoppelt wird.
4158133
Berechne die folgenden Aufgaben. a) \(8 : 2 = \dots\) und \(16 : 2 = \dots\) b) \(12 : 3 = \dots\) und \(24 : 3 = \dots\) c) \(15 : 5 = \dots\) und \(30 : 5 = \dots\) Wie verändert sich das Ergebnis, wenn die erste Zahl verdoppelt wird? Erkläre.

Denkanstöße

- Was passiert mit der ersten Zahl in jeder Zeile? - Rechne zuerst alle Aufgaben aus und vergleiche dann die Ergebnisse. - Kannst du eine Regel finden, wie sich das Ergebnis verändert?

Lösung

1. Berechnung der Ergebnisse: a) \(8 : 2 = 4\) und \(16 : 2 = 8\) b) \(12 : 3 = 4\) und \(24 : 3 = 8\) c) \(15 : 5 = 3\) und \(30 : 5 = 6\) 2. Analyse der Veränderung: In jedem Paar wird der Dividend (die erste Zahl) verdoppelt, während der Divisor gleich bleibt. Das Ergebnis verdoppelt sich dadurch ebenfalls (\(4 \to 8\), \(3 \to 6\)).

Antwort

a) \(4\) und \(8\) b) \(4\) und \(8\) c) \(3\) und \(6\) Das Ergebnis verdoppelt sich, wenn man die erste Zahl verdoppelt.
4158703
Finde zu jeder Aufgabe eine passende Kernaufgabe mit dem Faktor \(2\), \(5\) oder \(10\) und berechne dann das Ergebnis. a) \(6 \cdot 4\) b) \(9 \cdot 7\) c) \(3 \cdot 8\)

Denkanstöße

- Welche einfache Malaufgabe mit 2, 5 oder 10 liegt ganz nah an der gesuchten Aufgabe? - Musst du am Ende eine Gruppe dazurechnen oder eine Gruppe abziehen? - Schreibe dir die Hilfsaufgabe zuerst auf.

Lösung

1. Bestimmung der nächstgelegenen Kernaufgabe und deren Ergebnis: a) \(5 \cdot 4 = 20\). b) \(10 \cdot 7 = 70\). c) \(2 \cdot 8 = 16\). 2. Anpassung um eine Gruppe: a) \(20 + 4 = 24\). b) \(70 - 7 = 63\). c) \(16 + 8 = 24\).

Antwort

a) Kernaufgabe: \(5 \cdot 4 = 20\); Ergebnis: \(6 \cdot 4 = 24\) b) Kernaufgabe: \(10 \cdot 7 = 70\); Ergebnis: \(9 \cdot 7 = 63\) c) Kernaufgabe: \(2 \cdot 8 = 16\); Ergebnis: \(3 \cdot 8 = 24\)
4165663
Gegeben ist die Aufgabe \(9 \cdot 70 = 630\). Finde die passende Tauschaufgabe und die beiden dazugehörigen Umkehraufgaben.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du die beiden vorderen Zahlen einer Malaufgabe vertauschst? - Eine Umkehraufgabe beginnt immer mit dem Ergebnis der ursprünglichen Rechnung. - Aus einer Malaufgabe kannst du zwei verschiedene Geteiltaufgaben machen.

Lösung

1. Tauschaufgabe durch Vertauschen der Faktoren \(9\) und \(70\) bilden: \(70 \cdot 9 = 630\) 2. Erste Umkehraufgabe bilden, indem das Ergebnis \(630\) durch den Faktor \(9\) geteilt wird: \(630 : 9 = 70\) 3. Zweite Umkehraufgabe bilden, indem das Ergebnis \(630\) durch den Faktor \(70\) geteilt wird: \(630 : 70 = 9\)

Antwort

Tauschaufgabe: \(70 \cdot 9 = 630\) Umkehraufgaben: \(630 : 9 = 70\) und \(630 : 70 = 9\)
4174533
Manchmal hilft die Tauschaufgabe dabei, ein Ergebnis schneller zu finden. Ergänze die Tauschaufgabe und berechne das Ergebnis. a) \(10 \cdot 4 = 4 \cdot \dots = \dots\) b) \(2 \cdot 6 = 6 \cdot \dots = \dots\) c) \(5 \cdot 7 = \dots \cdot \dots = \dots\) d) \(3 \cdot 8 = \dots \cdot \dots = \dots\)

Denkanstöße

- Tausche zuerst die Plätze der beiden Zahlen. - Rechne dann das Ergebnis aus. Es ist egal, welche der beiden Malaufgaben du dafür benutzt. - Fällt dir eine der beiden Aufgaben pro Zeile leichter zu rechnen?

Lösung

1. Zuerst wird die Tauschaufgabe durch Vertauschen der Faktoren gebildet. 2. Danach wird das Produkt berechnet. 3. Ergebnisse: a) \(10 \cdot 4 = 4 \cdot 10 = 40\) b) \(2 \cdot 6 = 6 \cdot 2 = 12\) c) \(5 \cdot 7 = 7 \cdot 5 = 35\) d) \(3 \cdot 8 = 8 \cdot 3 = 24\)

Antwort

a) \(10 \cdot 4 = 4 \cdot 10 = 40\) b) \(2 \cdot 6 = 6 \cdot 2 = 12\) c) \(5 \cdot 7 = 7 \cdot 5 = 35\) d) \(3 \cdot 8 = 8 \cdot 3 = 24\)
4179213
Tauschaufgaben können dir helfen, schwierige Rechnungen leichter zu lösen. a) Setze das richtige Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein: \(7 \cdot 4 \dots 4 \cdot 7\). b) Nutze dein Wissen über Tauschaufgaben: Wenn \(9 \cdot 3 = 27\) ist, wie viel ist dann \(3 \cdot 9\)? c) Finde ein Paar von Tauschaufgaben, bei denen das Ergebnis \(12\) ist.

Denkanstöße

- Musst du die Aufgaben in Teil a) wirklich ausrechnen, um zu wissen, ob sie gleich groß sind? - Überlege in Teil b), ob sich das Ergebnis ändert, wenn man die Reihenfolge der Zahlen beim Malnehmen ändert. - Welche Zahlen aus dem Einmaleins ergeben zusammen malgenommen \(12\)?

Lösung

1. Vergleich der Ausdrücke in Teil a): Da die Faktoren \(7\) und \(4\) nur vertauscht sind, ist das Ergebnis gleich. Einsetzen von \(=\). 2. Anwendung der Eigenschaft von Tauschaufgaben in Teil b): Das Ergebnis bleibt gleich, wenn die Faktoren vertauscht werden. Also ist \(3 \cdot 9 = 27\). 3. Suche nach Faktoren für das Produkt \(12\) in Teil c): Mögliche Paare sind \(2 \cdot 6\) und \(6 \cdot 2\) oder \(3 \cdot 4\) und \(4 \cdot 3\).

Antwort

a) \(7 \cdot 4 = 4 \cdot 7\) b) \(3 \cdot 9 = 27\) c) Zum Beispiel: \(3 \cdot 4 = 12\) und \(4 \cdot 3 = 12\) (oder \(2 \cdot 6 = 12\) und \(6 \cdot 2 = 12\)).
4205413
Leon und Mia rechnen Malaufgaben. Leon rechnet \(15 \cdot 4\). Mia rechnet die dazugehörige Tauschaufgabe \(4 \cdot 15\). a) Welches der beiden Kinder erhält ein größeres Ergebnis? Begründe deine Antwort ohne zu rechnen. b) Wie lautet das Ergebnis der beiden Aufgaben?

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Malaufgabe, wenn du die beiden Zahlen vertauschst? - Kennst du das Fachwort für Aufgaben, bei denen die Zahlen nur vertauscht sind? - Kannst du die Aufgabe in Zehner und Einer zerlegen, um sie leichter zu rechnen?

Lösung

1. Anwendung des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz): Bei einer Malaufgabe darf man die beiden Zahlen (Faktoren) vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. 2. Da \(4 \cdot 15\) die Tauschaufgabe zu \(15 \cdot 4\) ist, sind beide Ergebnisse gleich groß. 3. Berechnung des Ergebnisses: \(15 \cdot 4 = 10 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 40 + 20 = 60\).

Antwort

a) Beide Kinder erhalten das gleiche Ergebnis, da es sich um eine Tauschaufgabe handelt. b) Das Ergebnis ist \(60\).
4363013
Fülle die Lücken in dieser Produktmauer aus. In jedem Stein steht das Produkt der beiden Steine direkt darunter. Alle Zahlen liegen im Bereich bis \(100\).
Abbildung zur Aufgabe 436301

Denkanstöße

- Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Sie hilft dir, Lücken in der unteren Reihe zu füllen. - Beginne dort, wo nur eine Zahl in einem Dreiergespann aus Steinen fehlt.

Lösung

1. Bestimme die linke Zahl in der untersten Reihe: \(x \cdot 4 = 8\), also ist \(x = 8 : 4 = 2\). 2. Bestimme die rechte Zahl in der zweiten Reihe: \(8 \cdot y = 64\), also ist \(y = 64 : 8 = 8\). 3. Bestimme die rechte Zahl in der untersten Reihe: \(4 \cdot z = 8\), also ist \(z = 8 : 4 = 2\).

Antwort

Die unterste Reihe lautet von links nach rechts: \(2, 4, 2\). In der zweiten Reihe steht rechts die \(8\).
4372543
Das Punktefeld zeigt 32 Punkte. a) Welche Malaufgabe mit der Anzahl der Reihen als erstem Faktor beschreibt das Feld? b) Die 32 Punkte werden gleichmäßig auf 4 Reihen verteilt. Wie viele Punkte liegen in jeder Reihe? c) Notiere die beiden passenden Geteiltaufgaben.
Abbildung zur Aufgabe 437254

Denkanstöße

- Bestimme die Zahl der Reihen und Spalten. - Eine Geteiltaufgabe macht eine Malaufgabe rückgängig. - Verwende einmal die Reihenzahl und einmal die Spaltenzahl als Divisor.

Lösung

a) Das Feld besteht aus 4 Reihen und 8 Spalten. Die Malaufgabe lautet \(4 \cdot 8 = 32\). b) Bei der Verteilung auf 4 Reihen erhält jede Reihe 8 Punkte: \(32 : 4 = 8\). c) Zum Punktefeld gehören beide Umkehraufgaben: \(32 : 4 = 8\) und \(32 : 8 = 4\).

Antwort

a) \(4 \cdot 8 = 32\) b) 8 Punkte c) \(32 : 4 = 8\) und \(32 : 8 = 4\)
4372643
Im Punktefeld sind 5 vollständige Reihen blau und eine weitere Reihe orange markiert. Berechne \(6 \cdot 7\), indem du die bekannte Nachbaraufgabe \(5 \cdot 7\) nutzt. Schreibe die Zerlegung auf und erkläre die orange Reihe.
Abbildung zur Aufgabe 437264

Denkanstöße

- Berechne zuerst nur den blauen Teil. - Bestimme anhand der Spaltenzahl, wie viele Punkte die orange Reihe enthält. - Addiere beide Teilmengen.

Lösung

1. Der blaue Teil enthält \(5 \cdot 7 = 35\) Punkte. 2. Die orange Reihe enthält weitere \(1 \cdot 7 = 7\) Punkte. 3. Zusammen ergibt das \(35 + 7 = 42\). Also gilt \(6 \cdot 7 = 42\).

Antwort

\(6 \cdot 7 = 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7 = 35 + 7 = 42\). Die orange Reihe steht für zusätzlich 7 Punkte.
4372743
Der grüne Teil zeigt \(6 \cdot 5\). Rechts ist eine zusätzliche violette Spalte angefügt. Bestimme damit das Ergebnis von \(6 \cdot 6\). Welche Nachbaraufgabe wird genutzt?
Abbildung zur Aufgabe 437274

Denkanstöße

- Berechne zunächst den grünen Teil. - Zähle die Punkte in der zusätzlichen Spalte. - Eine zusätzliche Spalte liefert genau einen weiteren Punkt pro Reihe.

Lösung

1. Im grünen Teil liegen \(6 \cdot 5 = 30\) Punkte. 2. Die violette Spalte enthält 6 weitere Punkte. Das entspricht \(6 \cdot 1 = 6\). 3. Daher ist \(6 \cdot 6 = 30 + 6 = 36\). Die genutzte Nachbaraufgabe ist \(6 \cdot 5\).

Antwort

\(6 \cdot 6 = 6 \cdot 5 + 6 \cdot 1 = 30 + 6 = 36\). Genutzt wird \(6 \cdot 5\).
4373453
Mara behauptet: „Beide Felder zeigen dieselbe Malaufgabe, weil beide vier Reihen haben.“ Prüfe ihre Aussage. Formuliere eine genaue Korrektur.
Abbildung zur Aufgabe 437345

Denkanstöße

- Vergleiche nicht nur die Reihenzahl. - Wie viele Punkte liegen jeweils in einer Reihe?

Lösung

Feld A hat 4 Reihen mit je 5 Punkten, also \(4\cdot5=20\). Feld B hat 4 Reihen mit je 8 Punkten, also \(4\cdot8=32\). Gleiche Reihenzahl bedeutet nicht automatisch dieselbe Malaufgabe; auch die Anzahl der Punkte pro Reihe muss gleich sein.

Antwort

Maras Aussage ist falsch. A zeigt \(4\cdot5=20\), B zeigt \(4\cdot8=32\). Gleiche Reihenzahl allein genügt nicht; auch die Punktezahl je Reihe muss gleich sein.
4373493
Ein Kind kennt \(7\cdot7=49\), aber nicht \(7\cdot8\). Erkläre mit dem Feld, wie die unbekannte Aufgabe aus der bekannten entsteht.
Abbildung zur Aufgabe 437349

Denkanstöße

- Suche zuerst das blaue Quadrat. - Was kommt durch die zusätzliche Spalte hinzu?

Lösung

Das blaue Quadrat zeigt \(7\cdot7=49\). Die graue Zusatzspalte enthält 7 Punkte. Deshalb ist \(7\cdot8=49+7=56\). Es handelt sich um eine Nachbaraufgabe.

Antwort

Das blaue Quadrat zeigt \(7\cdot7=49\). Die graue Zusatzspalte bringt 7 Punkte hinzu, also \(7\cdot8=49+7=56\).
4373533
Das Feld kann als 4 Reihen mit 7 Punkten oder als 7 Spalten mit 4 Punkten gelesen werden. Erkläre, warum das Drehen des Blattes keine neue Punktzahl erzeugt.
Abbildung zur Aufgabe 437353

Denkanstöße

- Formuliere je eine Rechnung für Reihen und Spalten. - Beschreibe, was beim Drehen mit den Punkten geschieht.

Lösung

Nach Reihen gelesen ergibt sich \(4\cdot7=28\), nach Spalten \(7\cdot4=28\). Beim Drehen werden keine Punkte hinzugefügt oder entfernt. Daher bleibt das Produkt gleich; sichtbar wird das Tauschgesetz.

Antwort

\(4\cdot7=7\cdot4=28\), weil sich beim Drehen nur die Blickrichtung ändert.
4373623
Zum selben Feld passen die Rechnungen \(54:6\) und \(54:9\). Erkläre, welche Frage jeweils beantwortet wird.
Abbildung zur Aufgabe 437362

Denkanstöße

- Unterscheide Anzahl der Gruppen und Größe jeder Gruppe. - Nutze die Malaufgabe \(6\cdot9=54\).

Lösung

Das Feld hat 6 Reihen mit je 9 Punkten. \(54:6=9\) beantwortet: Wie viele Punkte liegen in jeder der 6 Reihen? \(54:9=6\) beantwortet: Wie viele Reihen zu je 9 Punkten gibt es?

Antwort

\(54:6=9\): Punkte je Reihe. \(54:9=6\): Anzahl der Reihen.
4373793
Eine Wildkamera registriert 54 Tierspuren. Blau steht für Rehe, Orange für Füchse und Grün für Hasen. Was fällt an den drei Anzahlen auf? Formuliere eine Multiplikations- und eine Divisionsaufgabe dazu.
Abbildung zur Aufgabe 437379

Denkanstöße

- Vergleiche die Längen der drei Farbabschnitte. - Die Gesamtzahl wird in drei gleich große Teile zerlegt.

Lösung

Jede Farbe kommt 18-mal vor. Die 54 Spuren sind also in drei gleich große Gruppen geteilt: \(3\cdot18=54\) und \(54:3=18\).

Antwort

Alle drei Tierarten haben je 18 Spuren. \(3\cdot18=54\), \(54:3=18\).
4157593
In der Einmaleinstabelle bilden die Quadratzahlen eine diagonale Linie. a) Berechne die Quadratzahlen \(4 \cdot 4\), \(5 \cdot 5\) und \(6 \cdot 6\). b) Bestimme nun die Ergebnisse der „Nachbaraufgaben“ von \(5 \cdot 5\). Das sind die Felder direkt links und rechts daneben in der Tabelle: \(5 \cdot 4\) und \(5 \cdot 6\). Bestimme auch die Ergebnisse von \(4 \cdot 6\) und \(6 \cdot 4\). c) Vergleiche das Ergebnis der Quadratzahl \(5 \cdot 5\) mit dem Ergebnis von \(4 \cdot 6\). Was fällt dir auf? Prüfe, ob das auch für \(4 \cdot 4\) und \(3 \cdot 5\) stimmt.

Denkanstöße

- Quadratzahlen entstehen, wenn man eine Zahl mit sich selbst malnimmt. - Wo liegen diese Aufgaben in der Tabelle? - Rechne die Ergebnisse aus und bilde den Unterschied zwischen ihnen.

Lösung

1. Quadratzahlen berechnen: \(4 \cdot 4 = 16\), \(5 \cdot 5 = 25\), \(6 \cdot 6 = 36\). 2. Nachbaraufgaben berechnen: \(5 \cdot 4 = 20\), \(5 \cdot 6 = 30\). Die Aufgaben \(4 \cdot 6\) und \(6 \cdot 4\) ergeben beide \(24\). 3. Vergleich: \(5 \cdot 5 = 25\) und \(4 \cdot 6 = 24\). Das Ergebnis der Quadratzahl ist um \(1\) größer als das Produkt der Nachbarn (\(25 - 24 = 1\)). 4. Überprüfung: \(4 \cdot 4 = 16\) und \(3 \cdot 5 = 15\). Auch hier ist die Quadratzahl um \(1\) größer (\(16 - 15 = 1\)).

Antwort

a) \(16, 25, 36\) b) \(5 \cdot 4 = 20\), \(5 \cdot 6 = 30\), \(4 \cdot 6 = 24\), \(6 \cdot 4 = 24\) c) In beiden überprüften Fällen ist das Ergebnis der Quadrataufgabe um \(1\) größer als das Produkt der beiden Nachbarzahlen (\(25\) zu \(24\) und \(16\) zu \(15\)).
4157773
Ergänze die fehlenden Zahlen in der Tabelle, sodass die Aufgaben in jeder Zeile das gleiche Ergebnis haben. <table> <tr> <td>Fünferreihe</td> <td>Ergebnis</td> <td>Zehnerreihe</td> </tr> <tr> <td>\(2 \cdot 5 =\)</td> <td>\(10\)</td> <td>\(\Box \cdot 10 =\)</td> </tr> <tr> <td>\(\Box \cdot 5 =\)</td> <td>\(20\)</td> <td>\(2 \cdot 10 =\)</td> </tr> <tr> <td>\(6 \cdot 5 =\)</td> <td>\(\Box\)</td> <td>\(\Box \cdot 10 =\)</td> </tr> <tr> <td>\(\Box \cdot 5 =\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(4 \cdot 10 =\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Schau dir zuerst das Ergebnis in der mittleren Spalte an. - Überlege, wie oft die 10 in das Ergebnis passt. - Wenn das Ergebnis feststeht, kannst du die fehlende Malaufgabe leicht finden.

Lösung

1. Erste Zeile: Da das Ergebnis \(10\) ist, muss \(\Box \cdot 10 = 10\) gelten. Somit ist \(\Box = 1\). 2. Zweite Zeile: Das Ergebnis ist \(20\). Aus \(\Box \cdot 5 = 20\) folgt \(\Box = 4\). 3. Dritte Zeile: \(6 \cdot 5 = 30\). Damit das Ergebnis in der Zehnerreihe gleich ist, muss \(\Box \cdot 10 = 30\) gelten, also \(\Box = 3\). 4. Vierte Zeile: Das Ergebnis ist \(40\). Aus \(\Box \cdot 5 = 40\) folgt \(\Box = 8\).

Antwort

Zeile 1: \(1 \cdot 10\) Zeile 2: \(4 \cdot 5\) Zeile 3: Ergebnis \(30\), \(3 \cdot 10\) Zeile 4: \(8 \cdot 5\)
4157783
Finde die passende Zahl für die Lücke, damit die Ergebnisse auf beiden Seiten gleich sind. a) \(1 \cdot 4 = \Box \cdot 2\) b) \(2 \cdot 4 = \Box \cdot 2\) c) \(3 \cdot 4 = \Box \cdot 2\) d) \(4 \cdot 4 = \Box \cdot 2\) e) \(5 \cdot 4 = \Box \cdot 2\) Was fällt dir bei den Zahlen in den Kästchen auf?

Denkanstöße

- Rechne zuerst die linke Seite der Gleichung aus. - Überlege dann: „Wie oft passt die 2 in dieses Ergebnis?“ - Vergleiche die Zahl vor dem Malzeichen links mit der Zahl, die du im Kästchen gefunden hast.

Lösung

1. Berechnung der Ergebnisse der Viererreihe: \(1 \cdot 4 = 4\), \(2 \cdot 4 = 8\), \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 4 = 16\), \(5 \cdot 4 = 20\). 2. Bestimmung der Faktoren für die Zweierreihe: a) \(4 = 2 \cdot 2\), also \(\Box = 2\). b) \(8 = 4 \cdot 2\), also \(\Box = 4\). c) \(12 = 6 \cdot 2\), also \(\Box = 6\). d) \(16 = 8 \cdot 2\), also \(\Box = 8\). e) \(20 = 10 \cdot 2\), also \(\Box = 10\). 3. Vergleich der Faktoren: Der Faktor in der Zweierreihe ist immer doppelt so groß wie der Faktor in der Viererreihe.

Antwort

a) \(\Box = 2\) b) \(\Box = 4\) c) \(\Box = 6\) d) \(\Box = 8\) e) \(\Box = 10\) Auffälligkeit: Die Zahl im Kästchen ist immer doppelt so groß wie die Zahl vor der 4.
4157803
Max behauptet: „Es gibt mehr verschiedene Malaufgaben im kleinen Einmaleins mit dem Ergebnis \(24\) als mit dem Ergebnis \(25\).“ (Betrachte Faktoren von \(1\) bis \(10\)). Prüfe, ob Max recht hat, indem du alle passenden Aufgaben für beide Zahlen notierst.

Denkanstöße

- Schreibe zuerst alle Aufgaben auf, die dir für die \(24\) einfallen. - Überlege dann, welche Aufgaben aus dem Einmaleins die \(25\) als Ergebnis haben. - Zähle die Aufgaben und vergleiche die Mengen.

Lösung

1. Bestimmung aller Malaufgaben für \(24\): \(3 \cdot 8\), \(8 \cdot 3\), \(4 \cdot 6\) und \(6 \cdot 4\). Das sind \(4\) Aufgaben. 2. Bestimmung aller Malaufgaben für \(25\): \(5 \cdot 5\). Das ist \(1\) Aufgabe. 3. Vergleich der Anzahl: \(4 > 1\). Max hat recht.

Antwort

Max hat recht. Aufgaben für \(24\): \(3 \cdot 8\), \(8 \cdot 3\), \(4 \cdot 6\), \(6 \cdot 4\) Aufgaben für \(25\): \(5 \cdot 5\)
4157833
Untersuche den Zusammenhang zwischen der 5er-Reihe und der 10er-Reihe. Rechne zuerst: \(2 \cdot 5 = \dots\) \(2 \cdot 10 = \dots\) Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du die gleiche Zahl mit 10 statt mit 5 malnimmst? Schreibe zwei weitere Beispiele auf, die deine Entdeckung zeigen.

Denkanstöße

- Rechne die ersten beiden Aufgaben aus und vergleiche die Ergebnisse. - Überlege, wie 5 und 10 zusammenhängen. - Probiere es mit einer anderen Zahl aus, zum Beispiel der 5 oder der 1.

Lösung

1. Berechnung der ersten Aufgaben: \(2 \cdot 5 = 10\) und \(2 \cdot 10 = 20\). 2. Vergleich der Ergebnisse: \(20\) ist das Doppelte von \(10\). 3. Feststellung: Wenn man eine Zahl mit 10 statt mit 5 malnimmt, verdoppelt sich das Ergebnis, da 10 das Doppelte von 5 ist. 4. Mögliche weitere Beispiele: \(3 \cdot 5 = 15\) und \(3 \cdot 10 = 30\) sowie \(4 \cdot 5 = 20\) und \(4 \cdot 10 = 40\).

Antwort

Das Ergebnis verdoppelt sich (wird doppelt so groß). Mögliche Beispiele: \(3 \cdot 5 = 15\) und \(3 \cdot 10 = 30\) \(4 \cdot 5 = 20\) und \(4 \cdot 10 = 40\)
4157863
Lukas behauptet: „Wenn ich ein Ergebnis aus der 3er-Reihe kenne, kann ich das passende Ergebnis der 6er-Reihe ganz einfach durch Verdoppeln finden.“ Überprüfe seine Behauptung an den Aufgaben mit den Faktoren 4 und 7. Stimmt Lukas' Aussage? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Rechne die Beispiele schrittweise aus. - Vergleiche das Ergebnis der 3er-Reihe mit dem Ergebnis der 6er-Reihe. - Überlege dir, wie die Zahlen 3 und 6 zueinander stehen.

Lösung

1. Überprüfung für Faktor 4: \(4 \cdot 3 = 12\). Das Doppelte von \(12\) ist \(24\). Rechnung: \(4 \cdot 6 = 24\). Die Aussage stimmt hier. 2. Überprüfung für Faktor 7: \(7 \cdot 3 = 21\). Das Doppelte von \(21\) ist \(42\). Rechnung: \(7 \cdot 6 = 42\). Die Aussage stimmt auch hier. 3. Begründung: Die Aussage ist korrekt, da \(6 = 2 \cdot 3\). Wenn man einen Faktor verdoppelt, verdoppelt sich auch das Gesamtergebnis (Produkt).

Antwort

Ja, Lukas hat recht. Da \(6\) das Doppelte von \(3\) ist, sind auch die Ergebnisse der 6er-Reihe doppelt so groß wie die der 3er-Reihe (\(12 \to 24\) und \(21 \to 42\)).
4157923
Das Verdoppeln von Ergebnissen hilft dir, größere Malaufgaben zu lösen. a) Berechne zuerst \(2 \cdot 8\). Verdopple das Ergebnis, um \(4 \cdot 8\) zu finden. Verdopple dieses neue Ergebnis noch einmal, um \(8 \cdot 8\) zu berechnen. b) Berechne \(3 \cdot 6\). Wie kannst du dieses Ergebnis nutzen, um \(6 \cdot 6\) zu finden? Erkläre kurz und gib das Ergebnis an.

Denkanstöße

- Wenn du die Anzahl der Gruppen verdoppelst, was passiert dann mit der Gesamtzahl? - Wie oft steckt die 2 in der 4 oder in der 8? - Kannst du ein Ergebnis nutzen, um ein schwierigeres Ergebnis durch Plusrechnen zu finden?

Lösung

1. Lösung zu a): \(2 \cdot 8 = 16\). Das Doppelte von 16 ist \(16 + 16 = 32\), also \(4 \cdot 8 = 32\). Das Doppelte von 32 ist \(32 + 32 = 64\), also \(8 \cdot 8 = 64\). 2. Lösung zu b): Da 6 das Doppelte von 3 ist, muss auch das Ergebnis von \(3 \cdot 6\) verdoppelt werden. \(3 \cdot 6 = 18\). Das Doppelte von 18 ist \(18 + 18 = 36\). Also ist \(6 \cdot 6 = 36\).

Antwort

a) \(2 \cdot 8 = 16\); \(4 \cdot 8 = 32\); \(8 \cdot 8 = 64\) b) \(6 \cdot 6 = 36\). Da 6 das Doppelte von 3 ist, verdoppelt man das Ergebnis von \(3 \cdot 6 = 18\).
4157933
Manchmal ist es einfacher, von einer bekannten Aufgabe auszugehen und das Ergebnis zu halbieren oder eine Nachbaraufgabe zu nutzen. a) Du weißt, dass \(10 \cdot 4 = 40\) ist. Wie findest du damit das Ergebnis von \(5 \cdot 4\)? b) Du weißt, dass \(8 \cdot 3 = 24\) ist. Wie findest du damit das Ergebnis von \(4 \cdot 3\)? c) Nutze eine Kernaufgabe mit einem Faktor \(2\), \(5\) oder \(10\), um \(6 \cdot 7\) zu berechnen. Schreibe deinen Weg auf.

Denkanstöße

- Was ist die Hälfte von 10? Wie hilft dir das bei der 5er-Reihe? - Wenn du die Hälfte eines Faktors nimmst, was passiert mit dem Ergebnis der Malaufgabe? - Welche einfachen Aufgaben aus dem Einmaleins fallen dir sofort ein, die nah an der gesuchten Aufgabe liegen?

Lösung

1. Lösung zu a): Da 5 die Hälfte von 10 ist, ist das Ergebnis die Hälfte von 40. Die Hälfte von 40 ist 20. Also \(5 \cdot 4 = 20\). 2. Lösung zu b): Da 4 die Hälfte von 8 ist, ist das Ergebnis die Hälfte von 24. Die Hälfte von 24 ist 12. Also \(4 \cdot 3 = 12\). 3. Lösung zu c): Möglicher Weg über die Kernaufgabe \(5 \cdot 7 = 35\). Da \(6 \cdot 7\) eine Gruppe mehr ist, rechnet man \(35 + 7 = 42\). Alternativ über \(10 \cdot 7 = 70\), davon die Hälfte ist \(5 \cdot 7 = 35\), dann plus 7.

Antwort

a) \(20\) (Hälfte von 40) b) \(12\) (Hälfte von 24) c) \(42\) (z. B. über \(5 \cdot 7 = 35\) und \(35 + 7 = 42\))
4157983
Vervollständige die Tabelle. Nutze die Probe (Malaufgabe), um das Ergebnis der Division zu finden oder zu überprüfen. <table> <tr> <th>Geteiltaufgabe</th> <th>Probe (Malaufgabe)</th> </tr> <tr> <td>\(63 : 9 = \square\)</td> <td>\(\square \cdot 9 = 63\)</td> </tr> <tr> <td>\(32 : 4 = \square\)</td> <td>\(\square \cdot 4 = 32\)</td> </tr> <tr> <td>\(81 : 9 = \square\)</td> <td>\(\square \cdot 9 = 81\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Schau dir die Malaufgabe in der rechten Spalte an. Welche Zahl fehlt dort? - Das Ergebnis der Malaufgabe muss immer die erste Zahl der Geteiltaufgabe sein. - Gehe die entsprechende Einmaleins-Reihe im Kopf durch.

Lösung

1. Für die erste Zeile wird die Zahl gesucht, die mit \(9\) multipliziert \(63\) ergibt. Das ist \(7\). Also \(63 : 9 = 7\). 2. Für die zweite Zeile wird die Zahl gesucht, die mit \(4\) multipliziert \(32\) ergibt. Das ist \(8\). Also \(32 : 4 = 8\). 3. Für die dritte Zeile wird die Zahl gesucht, die mit \(9\) multipliziert \(81\) ergibt. Das ist \(9\). Also \(81 : 9 = 9\).

Antwort

Erste Zeile: \(63 : 9 = 7\); Probe: \(7 \cdot 9 = 63\) Zweite Zeile: \(32 : 4 = 8\); Probe: \(8 \cdot 4 = 32\) Dritte Zeile: \(81 : 9 = 9\); Probe: \(9 \cdot 9 = 81\)
4158013
In diesen Zahlentripeln fehlt jeweils eine Zahl. Ergänze die passende Zahl so, dass die drei Zahlen eine Mal- oder Geteiltaufgabe bilden. a) \((6, 8, \_\_\_)\) b) \((\_\_\_, 7, 63)\) c) \((36, \_\_\_, 4)\) d) \((4, \_\_\_, 32)\)

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlen genau an: Ist die gesuchte Zahl ein Ergebnis oder ein Teil der Rechnung? - Nutze dein Wissen aus den Einmaleins-Reihen. - Kannst du eine Umkehraufgabe bilden, um die Lücke zu finden?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Produkts von \(6\) und \(8\): \(6 \cdot 8 = 48\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung des Faktors, der mit \(7\) multipliziert \(63\) ergibt: \(63 : 7 = 9\). 3. Teilaufgabe c): Bestimmung des Divisors, der \(36\) zu \(4\) teilt: \(36 : 4 = 9\). 4. Teilaufgabe d): Bestimmung des Faktors, der mit \(4\) multipliziert \(32\) ergibt: \(32 : 4 = 8\).

Antwort

a) \(48\) b) \(9\) c) \(9\) d) \(8\)
4158023
Zu zwei gegebenen Zahlen kann man oft zwei verschiedene dritte Zahlen finden, um eine Rechnung zu bilden. Beispiel für die Zahlen \(10\) und \(5\): Möglichkeit 1: \(10 \cdot 5 = 50\) (Die dritte Zahl ist \(50\)) Möglichkeit 2: \(10 : 5 = 2\) (Die dritte Zahl ist \(2\)) Finde für jedes Zahlenpaar zwei mögliche dritte Zahlen und schreibe die passenden Rechnungen auf: a) \(12\) und \(3\) b) \(20\) und \(5\) c) \(18\) und \(2\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welches Rechenzeichen du zwischen die beiden Zahlen setzen kannst. - Einmal kannst du die Zahlen malnehmen. - Einmal kannst du die größere Zahl durch die kleinere Zahl teilen. - Gibt es für jede Kombination ein Ergebnis, das du kennst?

Lösung

1. Paar a): Multiplikation \(12 \cdot 3 = 36\) ergibt die Zahl \(36\); Division \(12 : 3 = 4\) ergibt die Zahl \(4\). 2. Paar b): Multiplikation \(20 \cdot 5 = 100\) ergibt die Zahl \(100\); Division \(20 : 5 = 4\) ergibt die Zahl \(4\). 3. Paar c): Multiplikation \(18 \cdot 2 = 36\) ergibt die Zahl \(36\); Division \(18 : 2 = 9\) ergibt die Zahl \(9\).

Antwort

a) \(36\) (Rechnung: \(12 \cdot 3 = 36\)) und \(4\) (Rechnung: \(12 : 3 = 4\)) b) \(100\) (Rechnung: \(20 \cdot 5 = 100\)) und \(4\) (Rechnung: \(20 : 5 = 4\)) c) \(36\) (Rechnung: \(18 \cdot 2 = 36\)) und \(9\) (Rechnung: \(18 : 2 = 9\))
4158083
Bilde aus den drei angegebenen Zahlen eine Aufgabenfamilie. Schreibe dazu jeweils zwei Malaufgaben und zwei Geteiltaufgaben auf. a) \(7, 9, 63\) b) \(4, 8, 32\)

Denkanstöße

- In einer Aufgabenfamilie nutzt du immer dieselben drei Zahlen. - Die größte Zahl ist bei den Malaufgaben immer das Ergebnis. - Bei den Geteiltaufgaben steht die größte Zahl immer ganz vorne. - Du kannst die Faktoren bei der Multiplikation einfach vertauschen.

Lösung

1. Für die Zahlen \(7, 9, 63\) ergeben sich die Multiplikationen \(7 \cdot 9 = 63\) und \(9 \cdot 7 = 63\) sowie die Divisionen \(63 : 9 = 7\) und \(63 : 7 = 9\). 2. Für die Zahlen \(4, 8, 32\) ergeben sich die Multiplikationen \(4 \cdot 8 = 32\) und \(8 \cdot 4 = 32\) sowie die Divisionen \(32 : 8 = 4\) und \(32 : 4 = 8\).

Antwort

a) Aufgabenfamilie: \(7 \cdot 9 = 63\) \(9 \cdot 7 = 63\) \(63 : 9 = 7\) \(63 : 7 = 9\) b) Aufgabenfamilie: \(4 \cdot 8 = 32\) \(8 \cdot 4 = 32\) \(32 : 8 = 4\) \(32 : 4 = 8\)
4158143
Rechne aus und vergleiche die Ergebnisse innerhalb der Paare. a) \(6 : 3 = \dots\) und \(12 : 6 = \dots\) b) \(10 : 2 = \dots\) und \(20 : 4 = \dots\) c) \(14 : 2 = \dots\) und \(28 : 4 = \dots\) Warum kommt bei beiden Aufgaben eines Paares das gleiche Ergebnis heraus? Erkläre mit dem Verdoppeln.

Denkanstöße

- Rechne erst einmal alle Ergebnisse aus. Was fällt dir auf? - Schau dir an, wie sich die erste Zahl verändert und wie sich die zweite Zahl verändert. - Was passiert, wenn du beide Zahlen vor dem Gleichheitszeichen verdoppelst?

Lösung

1. Berechnung der Quotienten: a) \(6 : 3 = 2\) und \(12 : 6 = 2\) b) \(10 : 2 = 5\) und \(20 : 4 = 5\) c) \(14 : 2 = 7\) und \(28 : 4 = 7\) 2. Begründung der Gleichheit: In jedem Paar wurden sowohl die erste Zahl (Dividend) als auch die zweite Zahl (Divisor) verdoppelt (\(6 \to 12\) und \(3 \to 6\)). Wenn beide Zahlen im gleichen Verhältnis vergrößert werden, bleibt der Quotient unverändert.

Antwort

a) \(2\) und \(2\) b) \(5\) und \(5\) c) \(7\) und \(7\) Das Ergebnis bleibt gleich, weil sowohl die erste als auch die zweite Zahl verdoppelt wurden.
4158713
Auch Quadratzahlen können dir als Hilfsaufgaben dienen. Berechne zuerst die Quadrataufgabe und leite davon das Ergebnis der Nachbaraufgabe her. a) \(6 \cdot 6 = \dots\), also \(7 \cdot 6 = \dots\) b) \(9 \cdot 9 = \dots\), also \(8 \cdot 9 = \dots\) c) \(5 \cdot 5 = \dots\), also \(4 \cdot 5 = \dots\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Ergebnis der Quadratzahl, wenn du die erste Zahl um 1 vergrößerst? - Was passiert, wenn du sie um 1 verkleinerst? - Schau dir genau an, welcher Faktor gleich bleibt und welcher sich verändert.

Lösung

1. Berechnung der Quadratzahlen: \(6 \cdot 6 = 36\), \(9 \cdot 9 = 81\), \(5 \cdot 5 = 25\). 2. Bestimmung der Nachbaraufgabe durch Addition oder Subtraktion einer Gruppe: a) \(36 + 6 = 42\). b) \(81 - 9 = 72\). c) \(25 - 5 = 20\).

Antwort

a) \(6 \cdot 6 = 36\), also \(7 \cdot 6 = 42\) b) \(9 \cdot 9 = 81\), also \(8 \cdot 9 = 72\) c) \(5 \cdot 5 = 25\), also \(4 \cdot 5 = 20\)
4158863
Vervollständige die Zahlentrios so, dass jeweils eine Aufgabenfamilie entsteht. Schreibe für jedes Trio die vier zugehörigen Aufgaben auf. a) \(5, 45, ?\) b) \(?, 4, 28\)

Denkanstöße

- Kannst du in jedem Trio die größte Zahl finden? Sie ist das Produkt der beiden kleineren Zahlen. - Welche Zahl mal \(5\) ergibt \(45\)? - Welche Zahl mal \(4\) ergibt \(28\)? - Denk an die Tausch- und Umkehraufgaben.

Lösung

Teil a): 1. Fehlende Zahl durch Division bestimmen: \(45 : 5 = 9\). 2. Aufgaben bilden: \(5 \cdot 9 = 45\), \(9 \cdot 5 = 45\), \(45 : 9 = 5\), \(45 : 5 = 9\). Teil b): 1. Fehlende Zahl durch Division bestimmen: \(28 : 4 = 7\). 2. Aufgaben bilden: \(7 \cdot 4 = 28\), \(4 \cdot 7 = 28\), \(28 : 4 = 7\), \(28 : 7 = 4\).

Antwort

a) Fehlende Zahl: \(9\) Aufgaben: \(5 \cdot 9 = 45\), \(9 \cdot 5 = 45\), \(45 : 9 = 5\), \(45 : 5 = 9\) b) Fehlende Zahl: \(7\) Aufgaben: \(7 \cdot 4 = 28\), \(4 \cdot 7 = 28\), \(28 : 4 = 7\), \(28 : 7 = 4\)
4163363
Vervollständige die Aufgabenreihen. Nutze dabei dein Wissen über Tauschaufgaben. a) \(6 \cdot 80 = \dots \cdot 6 = \dots\) b) \(\dots \cdot 7 = 7 \cdot 50 = \dots\) c) \(4 \cdot 90 = 90 \cdot \dots = \dots\)

Denkanstöße

- Schau dir die Zahlen vor und nach dem Gleichheitszeichen an. Welche Zahl fehlt, damit es eine Tauschaufgabe wird? - Rechne zuerst die Aufgabe aus, bei der beide Zahlen bekannt sind. - Wie hängen die Aufgaben mit der Zehnerzahl mit den Aufgaben aus dem kleinen Einmaleins zusammen?

Lösung

1. In der Gleichung \(6 \cdot 80 = \dots \cdot 6\) wird der Faktor \(80\) vertauscht. Die Grundaufgabe \(6 \cdot 8 = 48\) führt zum Produkt \(480\). 2. In der Gleichung \(\dots \cdot 7 = 7 \cdot 50\) wird der Faktor \(50\) vertauscht. Die Grundaufgabe \(7 \cdot 5 = 35\) führt zum Produkt \(350\). 3. In der Gleichung \(4 \cdot 90 = 90 \cdot \dots\) wird der Faktor \(4\) vertauscht. Die Grundaufgabe \(4 \cdot 9 = 36\) führt zum Produkt \(360\).

Antwort

a) \(6 \cdot 80 = 80 \cdot 6 = 480\) b) \(50 \cdot 7 = 7 \cdot 50 = 350\) c) \(4 \cdot 90 = 90 \cdot 4 = 360\)
4165423
Setze die Aufgabenreihen in den Päckchen fort und berechne die Ergebnisse: Päckchen A: \(3 \cdot 6 = 18\) \(4 \cdot 6 = 24\) \(5 \cdot 6 = \dots\) \(6 \cdot 6 = \dots\) Päckchen B: \(9 \cdot 8 = 72\) \(8 \cdot 8 = 64\) \(7 \cdot 8 = \dots\) \(6 \cdot 8 = \dots\) Um wie viel verändert sich das Ergebnis in Päckchen A und um wie viel in Päckchen B bei jedem Schritt?

Denkanstöße

- Was passiert mit der ersten Zahl in jeder Zeile? Wird sie größer oder kleiner? - Welche Malreihe wird in Päckchen A gerechnet? - Welche Malreihe wird in Päckchen B gerechnet? - Kannst du das nächste Ergebnis finden, ohne die ganze Aufgabe neu zu rechnen?

Lösung

1. Fortführung Päckchen A: \(5 \cdot 6 = 30\), \(6 \cdot 6 = 36\). Die Ergebnisse steigen jeweils um \(6\), da der erste Faktor um \(1\) erhöht wird. 2. Fortführung Päckchen B: \(7 \cdot 8 = 56\), \(6 \cdot 8 = 48\). Die Ergebnisse sinken jeweils um \(8\), da der erste Faktor um \(1\) verringert wird.

Antwort

Päckchen A: \(30, 36\) (Ergebnis erhöht sich immer um \(6\)). Päckchen B: \(56, 48\) (Ergebnis verringert sich immer um \(8\)).
4165673
Eine Aufgabenfamilie besteht aus drei Zahlen. Zwei dieser Zahlen sind \(6\) und \(540\). Die Zahl \(540\) ist das Ergebnis der Multiplikationsaufgabe. Bestimme die fehlende dritte Zahl und schreibe alle vier Aufgaben der Familie auf.

Denkanstöße

- Wie oft passt die \(6\) in die \(540\)? Das hilft dir, die dritte Zahl zu finden. - Denk an das kleine Einmaleins: Wie oft passt die \(6\) in die \(54\)? - Wenn du alle drei Zahlen hast, kannst du sie wie in einem Bausteinsatz für die vier Aufgaben nutzen. - Achte darauf, dass die größte Zahl bei der Division immer vorne steht.

Lösung

1. Berechnung der fehlenden Zahl durch Division des Produkts durch den bekannten Faktor: \(540 : 6 = 90\) 2. Aufstellen der ersten Multiplikationsaufgabe: \(90 \cdot 6 = 540\) 3. Aufstellen der Tauschaufgabe: \(6 \cdot 90 = 540\) 4. Aufstellen der ersten Umkehraufgabe: \(540 : 6 = 90\) 5. Aufstellen der zweiten Umkehraufgabe: \(540 : 90 = 6\)

Antwort

Die fehlende Zahl ist \(90\). Die Aufgaben sind: \(90 \cdot 6 = 540\) \(6 \cdot 90 = 540\) \(540 : 6 = 90\) \(540 : 90 = 6\)
4181083
Gegeben ist die Aufgabe \(8 \cdot 4 = 32\). Nutze dieses Wissen, um die folgenden Aufgaben zu lösen: a) Tauschaufgabe: \(\dots \cdot \dots = 32\) b) Nachbaraufgabe: \(9 \cdot 4 = 32 + \dots = \dots\) c) Nachbaraufgabe: \(8 \cdot 3 = 32 - \dots = \dots\)

Denkanstöße

- Wie hängen eine Malaufgabe und ihre Tauschaufgabe zusammen? - Wenn du \(8 \cdot 4\) kennst, wie oft musst du die \(4\) dann bei \(9 \cdot 4\) nehmen? Wie viel kommt also zum Ergebnis dazu? - Was ändert sich am Ergebnis, wenn einer der Faktoren um \(1\) kleiner wird? Musst du dann etwas abziehen oder dazutun?

Lösung

1. Bestimmung der Tauschaufgabe durch Vertauschen der Faktoren \(8\) und \(4\): \(4 \cdot 8 = 32\). 2. Berechnung der Nachbaraufgabe \(9 \cdot 4\): Da der erste Faktor um \(1\) erhöht wurde, muss zum Ergebnis \(32\) einmal der zweite Faktor \(4\) addiert werden: \(32 + 4 = 36\). 3. Berechnung der Nachbaraufgabe \(8 \cdot 3\): Da der zweite Faktor um \(1\) verringert wurde, muss vom Ergebnis \(32\) einmal der erste Faktor \(8\) subtrahiert werden: \(32 - 8 = 24\).

Antwort

a) \(4 \cdot 8 = 32\) b) \(9 \cdot 4 = 32 + 4 = 36\) c) \(8 \cdot 3 = 32 - 8 = 24\)
4187123
Vervollständige die Multiplikationstabelle. Berechne zuerst die fehlenden Zahlen in der Kopfzeile und der ersten Spalte. <table> <tr><td>\(\cdot\)</td><td>?</td><td>\(7\)</td><td>?</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(32\)</td><td>?</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>?</td><td>?</td><td>\(21\)</td><td>?</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Wie kannst du aus einem Ergebnis und einem Faktor den anderen Faktor berechnen? - Welche Umkehroperation hilft dir hier weiter? - Fülle zuerst die Lücken in der Kopfzeile und der linken Spalte aus, bevor du die restlichen Felder im Inneren berechnest.

Lösung

1. Bestimmung des ersten Faktors in der Kopfzeile: \(32 : 2 = 16\). 2. Bestimmung des dritten Faktors in der Kopfzeile: \(50 : 2 = 25\). 3. Bestimmung des zweiten Faktors in der ersten Spalte: \(21 : 7 = 3\). 4. Berechnung des fehlenden Produkts in der ersten Zeile: \(2 \cdot 7 = 14\). 5. Berechnung der fehlenden Produkte in der zweiten Zeile: \(3 \cdot 16 = 48\) und \(3 \cdot 25 = 75\).

Antwort

Die vervollständigte Tabelle sieht so aus: <table> <tr><td>\(\cdot\)</td><td>\(16\)</td><td>\(7\)</td><td>\(25\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(32\)</td><td>\(14\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>\(3\)</td><td>\(48\)</td><td>\(21\)</td><td>\(75\)</td></tr> </table>
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Du weißt bereits, dass \(6 \cdot 13 = 78\) ist. Nutze dieses Wissen, um die Ergebnisse der folgenden Aufgaben zu finden, ohne alles neu zu rechnen. Erkläre kurz, wie du dabei vorgehst. a) \(13 \cdot 6\) b) \(7 \cdot 13\)

Denkanstöße

- Schau dir die erste Aufgabe genau an. Was hat sich bei Aufgabe a) verändert? - Was hat sich bei Aufgabe b) im Vergleich zur Startaufgabe verändert? - Wie oft kommt die Zahl \(13\) in der Startaufgabe vor und wie oft in Aufgabe b)? - Musst du wirklich alles neu rechnen oder kannst du ein bekanntes Ergebnis nutzen?

Lösung

1. Bestimmung von Aufgabe a: Da \(13 \cdot 6\) die Tauschaufgabe zu \(6 \cdot 13\) ist, bleibt das Ergebnis gleich. Ergebnis: \(78\). 2. Bestimmung von Aufgabe b: \(7 \cdot 13\) ist eine Nachbaraufgabe zu \(6 \cdot 13\). Es kommt also einmal die Zahl \(13\) zum Ergebnis \(78\) hinzu. 3. Berechnung für b: \(78 + 13 = 91\).

Antwort

a) \(13 \cdot 6 = 78\) (da es die Tauschaufgabe ist). b) \(7 \cdot 13 = 91\) (da es eine Nachbaraufgabe ist: \(78 + 13 = 91\)).
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Ergänze die Lücken so, dass die Gleichungen stimmen. a) \(4 \cdot 4 = \dots \cdot 8\) b) \(6 \cdot 4 = \dots \cdot 8\) c) \(8 \cdot 4 = \dots \cdot 8\) d) \(10 \cdot 4 = \dots \cdot 8\) Welche Regel kannst du für die Faktoren finden, wenn das Ergebnis gleich sein soll?

Denkanstöße

- Rechne zuerst die linke Seite jeder Aufgabe aus. - Welche Zahl aus der 8er-Reihe ergibt das gleiche Ergebnis? - Schau dir die Zahlen vor dem Malzeichen genau an. Wie hängen sie zusammen?

Lösung

1. Berechnung der linken Seiten der Gleichungen (4er-Reihe): \(16, 24, 32, 40\). 2. Bestimmung der fehlenden Faktoren für die rechte Seite (8er-Reihe) durch Division der Ergebnisse durch 8: \(16 : 8 = 2\), \(24 : 8 = 3\), \(32 : 8 = 4\), \(40 : 8 = 5\). 3. Vergleich der Faktoren: In der 4er-Reihe sind die Faktoren \(4, 6, 8, 10\). In der 8er-Reihe sind sie \(2, 3, 4, 5\). 4. Regel: Der Faktor bei der 8er-Reihe muss halb so groß sein wie der Faktor bei der 4er-Reihe (oder: Der Faktor bei der 4er-Reihe muss doppelt so groß sein), damit das Ergebnis gleich bleibt.

Antwort

a) \(4 \cdot 4 = 2 \cdot 8\) b) \(6 \cdot 4 = 3 \cdot 8\) c) \(8 \cdot 4 = 4 \cdot 8\) d) \(10 \cdot 4 = 5 \cdot 8\) Regel: Der Faktor der 8er-Reihe ist halb so groß wie der Faktor der 4er-Reihe (bzw. der Faktor der 4er-Reihe ist doppelt so groß).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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