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Stellen Sie aus rund 21.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Rechenregeln mit Punktefeldern

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Betrachte das Punktefeld. a) Notiere die Malaufgabe mit 3 Reihen. b) Notiere die passende Tauschaufgabe. c) Begründe am Punktefeld, warum beide Aufgaben dasselbe Ergebnis haben.
Abbildung zur Aufgabe 437244

Denkanstöße

- Zähle zuerst die Reihen und dann die Punkte in jeder Reihe. - Betrachte danach die Spalten. - Ändert sich die Gesamtzahl der Punkte, wenn du das Feld drehst?

Lösung

a) Das Feld hat 3 Reihen mit jeweils 7 Punkten. Daher gilt \(3 \cdot 7 = 21\). b) Liest man dasselbe Feld nach Spalten, sieht man 7 Spalten mit jeweils 3 Punkten. Daher gilt \(7 \cdot 3 = 21\). c) Die Anzahl der Punkte verändert sich durch das Vertauschen von Reihen und Spalten nicht. Das veranschaulicht das Tauschgesetz der Multiplikation.

Antwort

a) \(3 \cdot 7 = 21\) b) \(7 \cdot 3 = 21\) c) Beide Aufgaben beschreiben dasselbe Punktefeld und haben deshalb dasselbe Ergebnis.
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Die beiden Punktefelder enthalten gleich viele Punkte, sehen aber verschieden aus. Notiere zu jedem Feld eine Malaufgabe und erkläre, woran du ohne einzelnes Abzählen erkennst, dass die Ergebnisse gleich sind.
Abbildung zur Aufgabe 437344

Denkanstöße

- Bestimme Reihen und Punkte je Reihe. - Suche für beide Aufgaben eine Rechnung mit demselben Ergebnis.

Lösung

Feld A hat 4 Reihen mit je 6 Punkten: \(4\cdot 6=24\). Feld B hat 3 Reihen mit je 8 Punkten: \(3\cdot 8=24\). Beide Felder lassen sich in gleich große Teilfelder zerlegen, zum Beispiel in vier Sechsergruppen beziehungsweise drei Achtergruppen. Die Gesamtzahl ist in beiden Fällen 24.

Antwort

A: \(4\cdot6=24\), B: \(3\cdot8=24\). Beide Felder enthalten 24 Punkte.
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Drei Felder zeigen jeweils 24 Punkte. Ordne die Rechnungen \(4\cdot6\), \(3\cdot8\) und \(2\cdot12\) zu. Welches Feld wirkt am wenigsten langgestreckt?
Abbildung zur Aufgabe 437354

Denkanstöße

- Bestimme bei jedem Feld Reihen und Spalten. - Vergleiche anschließend den Unterschied zwischen den beiden Faktoren.

Lösung

A hat 4 Reihen zu 6 Punkten: \(4\cdot6\). B hat 3 Reihen zu 8 Punkten: \(3\cdot8\). C hat 2 Reihen zu 12 Punkten: \(2\cdot12\). Am wenigsten langgestreckt ist A, weil 4 und 6 näher beieinanderliegen als 3 und 8 beziehungsweise 2 und 12.

Antwort

A: \(4\cdot6\), B: \(3\cdot8\), C: \(2\cdot12\). A ist am kompaktesten.
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Die Felder A und B haben dieselbe Punktzahl. Finde für Feld B eine Rechnung und leite sie aus dem quadratischen Feld A ab.
Abbildung zur Aufgabe 437355

Denkanstöße

- Nutze die bekannte Quadratzahl 36. - Prüfe, welche Zahl viermal genommen 36 ergibt.

Lösung

A ist ein Quadrat mit \(6\cdot6=36\). Für Feld B werden 4 Reihen gesucht. Aus \(36:4=9\) folgt, dass jede Reihe 9 Punkte enthält. Daher zeigt B \(4\cdot9=36\).

Antwort

A: \(6\cdot6=36\). Aus \(36:4=9\) folgt für B: \(4\cdot9=36\).
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Das Feld ist wie ein Schachbrett gefärbt. Wie viele blaue und wie viele orange Punkte gibt es? Begründe, ohne jede Farbe einzeln abzuzählen.
Abbildung zur Aufgabe 437395

Denkanstöße

- Betrachte eine einzige Reihe. - Die gleiche Farbverteilung wiederholt sich sechsmal.

Lösung

Jede der 6 Reihen enthält 4 blaue und 4 orange Punkte. Daher gibt es \(6\cdot4=24\) Punkte jeder Farbe.

Antwort

24 blaue und 24 orange Punkte. Jede Reihe enthält vier Punkte jeder Farbe, und diese Verteilung wiederholt sich sechsmal.
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Stell dir verschiedene Punktefelder vor und schreibe die passende Malaufgabe dazu auf. a) Wie viele Punkte hat ein Punktefeld mit \(1\) Reihe und \(10\) Spalten? b) Wie viele Punkte hat ein Punktefeld mit \(6\) Reihen und nur \(1\) Spalte? c) Ein Punktefeld hat \(5\) Spalten, aber \(0\) Reihen. Wie viele Punkte sind insgesamt zu sehen? Was fällt dir bei den Ergebnissen von a) und b) auf, wenn du sie mit den Zahlen aus der Aufgabe vergleichst?

Denkanstöße

- Erinnere dich: Reihen gehen von links nach rechts, Spalten von oben nach unten. - Wie sieht ein Punktefeld aus, das nur eine einzige Reihe hat? - Kann ein Feld überhaupt Punkte haben, wenn es gar keine Reihen besitzt?

Lösung

1. Berechnung der Punkte für eine Reihe mit 10 Spalten: \(1 \cdot 10 = 10\). 2. Berechnung der Punkte für 6 Reihen mit einer Spalte: \(6 \cdot 1 = 6\). 3. Überlegung für das Feld ohne Reihen: Da keine Reihen vorhanden sind, können keine Punkte existieren, also \(0 \cdot 5 = 0\). 4. Analyse der Ergebnisse: Bei der Multiplikation mit \(1\) entspricht das Ergebnis genau dem jeweils anderen Faktor; dieser bleibt als Wert erhalten.

Antwort

a) \(1 \cdot 10 = 10\) b) \(6 \cdot 1 = 6\) c) \(0 \cdot 5 = 0\) Beobachtung: Bei Aufgaben mit \(1\) ist das Ergebnis immer die Zahl, mit der man die \(1\) malgenommen hat. Die Zahl verändert sich nicht.
4374353
Ein \(8\times9\)-Feld ist abwechselnd blau und orange gefärbt. Manche Reihen enthalten fünf blaue, andere nur vier. Warum sind insgesamt trotzdem beide Farben gleich häufig?
Abbildung zur Aufgabe 437435

Denkanstöße

- Fasse immer zwei benachbarte Reihen zusammen. - In jedem Reihenpaar gleichen sich 5:4 und 4:5 aus.

Lösung

In einer Reihe mit fünf blauen Punkten folgen vier orange; in der nächsten Reihe ist es umgekehrt. Je zwei aufeinanderfolgende Reihen enthalten daher 9 blaue und 9 orange Punkte. Bei 8 Reihen gibt es vier solche Reihenpaare, also je \(4\cdot9=36\) Punkte.

Antwort

Je zwei benachbarte Reihen enthalten zusammen 9 blaue und 9 orange Punkte. Vier Reihenpaare ergeben daher jeweils \(4\cdot9=36\) Punkte pro Farbe.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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