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- Halbiere zuerst die Reihenzahl. - Halbiere danach das Ergebnis des großen Feldes zur Kontrolle.

Das große Feld zeigt \(6\cdot8=48\). Die Hälfte von 6 Reihen sind 3 Reihen. Also zeigt das kleine Feld \(3\cdot8=24\), die Hälfte von 48.

Das kleine Feld zeigt \(3\cdot8=24\), weil die Reihenzahl von 6 auf 3 und damit auch die Punktzahl von 48 auf 24 halbiert wird.

- Schau dir die beiden Malaufgaben in jeder Zeile genau an. - Was haben sie gemeinsam und was ist unterschiedlich? - Wie hängen die Zahlen 2 und 4 zusammen? - Rechne erst alle Aufgaben aus und vergleiche dann die Ergebnisse einer Zeile.

1. Berechnung der Paare: a) \(8\) und \(16\), b) \(12\) und \(24\), c) \(18\) und \(36\). 2. Vergleich: In jedem Paar ist der zweite Faktor (\(4\)) genau das Doppelte des ersten Faktors (\(2\)). 3. Schlussfolgerung: Wenn ein Faktor verdoppelt wird, verdoppelt sich auch das Gesamtergebnis.

a) \(8\) und \(16\) b) \(12\) und \(24\) c) \(18\) und \(36\) Auffälligkeit: Das Ergebnis verdoppelt sich ebenfalls.

- Schau dir die Zahlen in den Aufgaben genau an. Fällt dir etwas auf, das in beiden Teilen der Rechnung vorkommt? - Kannst du die Aufgabe vielleicht einfacher schreiben, bevor du rechnest? - Denk an die „Punkt-vor-Strich“-Regel, aber überlege auch, ob man Aufgaben zusammenfassen kann.

1. Für \(4 \cdot 9 + 6 \cdot 9\): Entweder \(36 + 54 = 90\) oder geschickt \((4 + 6) \cdot 9 = 10 \cdot 9 = 90\). 2. Für \(8 \cdot 7 - 3 \cdot 7\): Entweder \(56 - 21 = 35\) oder geschickt \((8 - 3) \cdot 7 = 5 \cdot 7 = 35\). 3. Für \(5 \cdot 8 + 5 \cdot 2\): Entweder \(40 + 10 = 50\) oder geschickt \(5 \cdot (8 + 2) = 5 \cdot 10 = 50\). 4. Für \(10 \cdot 6 - 2 \cdot 6\): Entweder \(60 - 12 = 48\) oder geschickt \((10 - 2) \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48\).

a) \(90\) b) \(35\) c) \(50\) d) \(48\)

- Hast du schon einmal probiert, eine Zahl zuerst mit \(10\) zu multiplizieren? - Was ist die Hälfte von \(10\)? Kann dir das bei der Multiplikation mit \(5\) helfen? - Es ist oft einfacher, eine Null anzuhängen und das Ergebnis dann zu halbieren. - Kannst du die Aufgabe in zwei kleine Schritte aufteilen?

1. Berechnung für a): \( 28 \cdot 10 = 280 \), dann \( 280 : 2 = 140 \). Somit ist \( 28 \cdot 5 = 140 \). 2. Berechnung für b): \( 46 \cdot 10 = 460 \), dann \( 460 : 2 = 230 \). Somit ist \( 46 \cdot 5 = 230 \). 3. Berechnung für c): \( 72 \cdot 10 = 720 \), dann \( 720 : 2 = 360 \). Somit ist \( 72 \cdot 5 = 360 \). 4. Berechnung für d): \( 84 \cdot 10 = 840 \), dann \( 840 : 2 = 420 \). Somit ist \( 84 \cdot 5 = 420 \).

a) \( 140 \) b) \( 230 \) c) \( 360 \) d) \( 420 \)

- Zähle die Reihen jeder Farbe. - Drücke „zweimal gleich viel“ auch als Multiplikation aus.

Das ganze Feld hat 6 Reihen mit je 9 Punkten: \(6\cdot9=54\). Jede Farbe umfasst 3 Reihen mit je 9 Punkten: \(3\cdot9=27\). Man kann rechnen: \(6\cdot9=3\cdot9+3\cdot9\) oder \(6\cdot9=2\cdot(3\cdot9)\).

Zum Beispiel: \(6\cdot9=3\cdot9+3\cdot9=27+27=54\) und \(6\cdot9=2\cdot27=54\).

- Vergleiche die Zahl der Reihen. - Nutze das Ergebnis von Feld A, statt neu zu zählen.

Feld A zeigt \(4\cdot6=24\). Feld B hat doppelt so viele Reihen, nämlich 8, weiterhin mit 6 Punkten. Daher verdoppelt sich das Ergebnis: \(8\cdot6=2\cdot24=48\).

Die Reihenzahl wurde verdoppelt. B enthält \(8\cdot6=48\) Punkte.

- Bestimme die Punktzahl einer Farbe. - Das Ganze besteht aus zwei identischen Teilen.

Jede Hälfte hat 3 Reihen mit 8 Punkten, also \(3\cdot8=24\). Zwei solche Hälften ergeben \(2\cdot24=48\). Daher \(6\cdot8=48\) und ist das Doppelte von 24.

\(6\cdot8=2\cdot(3\cdot8)=48\).

- Vergleiche die erste Zahl der ersten Aufgabe mit der ersten Zahl der zweiten Aufgabe. - Ist die Zahl doppelt so groß oder halb so groß? - Was bedeutet das für das Ergebnis? - Du musst die Aufgaben nicht komplett neu rechnen, wenn du den Zusammenhang erkennst.

1. Zu a): Da \(6\) das Doppelte von \(3\) ist, muss \(21\) verdoppelt werden. Ergebnis: \(42\). 2. Zu b): Da \(5\) die Hälfte von \(10\) ist, muss \(40\) halbiert werden. Ergebnis: \(20\). 3. Zu c): Da \(8\) das Doppelte von \(4\) ist, muss \(32\) verdoppelt werden. Ergebnis: \(64\). 4. Zu d): Da \(4\) die Hälfte von \(8\) ist, muss \(48\) halbiert werden. Ergebnis: \(24\).

a) \(42\) b) \(20\) c) \(64\) d) \(24\)

- Manchmal ist es einfacher, erst die Mengen zusammenzuzählen oder abzuziehen und dann erst malzunehmen. - Gibt es eine Zahl, die in der Aufgabe zweimal als Mal-Partner auftaucht? - Versuche, durch Zusammenfassen auf glatte Zehnerzahlen wie \(10\) oder \(20\) zu kommen.

1. Berechnung von \(15 \cdot 3 + 5 \cdot 3\): Zusammenfassen zu \((15 + 5) \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60\). 2. Berechnung von \(22 \cdot 4 - 2 \cdot 4\): Zusammenfassen zu \((22 - 2) \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80\). 3. Berechnung von \(6 \cdot 17 - 6 \cdot 7\): Zusammenfassen zu \(6 \cdot (17 - 7) = 6 \cdot 10 = 60\). 4. Berechnung von \(12 \cdot 5 + 8 \cdot 5\): Zusammenfassen zu \((12 + 8) \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100\).

a) \(60\) b) \(80\) c) \(60\) d) \(100\)

- Überlege dir, aus welchen zwei kleinen Zahlen man die große Zahl durch Malnehmen zusammensetzen kann. - Wenn du durch eine Zahl wie 14 teilen sollst, kannst du nacheinander durch ihre Faktoren teilen. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Umkehraufgabe (Malrechnen) machst.

1. Bestimmung der fehlenden Teiler durch Zerlegung des ursprünglichen Divisors: a) Da \(14 = 7 \cdot 2\), ist die fehlende Zahl \(2\). Rechnung: \(56 : 7 = 8\), dann \(8 : 2 = 4\). b) Da \(15 = 5 \cdot 3\), ist die fehlende Zahl \(3\). Rechnung: \(45 : 5 = 9\), dann \(9 : 3 = 3\). c) Da \(16 = 8 \cdot 2\), ist die fehlende Zahl \(8\). Rechnung: \(64 : 8 = 8\), dann \(8 : 2 = 4\). d) Da \(18 = 9 \cdot 2\), ist die fehlende Zahl \(2\). Rechnung: \(90 : 9 = 10\), dann \(10 : 2 = 5\).

a) Fehlende Zahl: \(2\); Ergebnis: \(4\) b) Fehlende Zahl: \(3\); Ergebnis: \(3\) c) Fehlende Zahl: \(8\); Ergebnis: \(4\) d) Fehlende Zahl: \(2\); Ergebnis: \(5\)

- Schau dir an, wie die Zahl 12 in beiden Rechenwegen vorkommt. - Was passiert, wenn du zwei Zahlen malnimmst, um auf die 12 zu kommen? - Probier die Schritte nacheinander aus und vergleiche die Zwischenergebnisse. - Kannst du die 14 auch in zwei Zahlen aus dem kleinen Einmaleins zerlegen?

1. Erklärung der Strategie: Beide Kinder zerlegen den Teiler \(12\) in die Faktoren \(6\) und \(2\), da \(6 \cdot 2 = 12\). Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge man nacheinander durch diese Faktoren teilt. 2. Berechnung Lukas: \(60 : 6 = 10\), dann \(10 : 2 = 5\). 3. Berechnung Mia: \(60 : 2 = 30\), dann \(30 : 6 = 5\). 4. Übertragung auf neue Aufgabe: Um \(84 : 14\) zu rechnen, zerlegt man \(14\) in \(7 \cdot 2\). 5. Rechenschritte für \(84 : 14\): \(84 : 7 = 12\) (da \(70 : 7 = 10\) und \(14 : 7 = 2\)), dann \(12 : 2 = 6\).

a) Beide haben recht, weil \(6 \cdot 2 = 12\) ist. Man darf nacheinander durch die Faktoren einer Zahl teilen. b) Das Ergebnis ist bei beiden Wegen \(5\). c) Möglicher Rechenweg: \(84 : 7 : 2 = 6\) (oder \(84 : 2 : 7 = 6\)).

- Rechne zuerst die Ergebnisse auf beiden Seiten aus. - Gibt es bei Aufgabe b) eine Besonderheit bei den Zahlen? - Kannst du die Aufgaben mit dem kleinen Einmaleins vergleichen? - Schau dir die Zehner und die Einer genau an.

1. Vergleich a): \(50 \cdot 4 = 200\) und \(30 \cdot 7 = 210\). Da \(200 < 210\), ist das Zeichen \(<\). 2. Vergleich b): \(6 \cdot 80 = 480\) und \(8 \cdot 60 = 480\). Da \(480 = 480\), ist das Zeichen \(=\). Begründung: In beiden Aufgaben werden die Faktoren \(6\) und \(8\) miteinander und zusätzlich mit \(10\) multipliziert (\(6 \cdot 8 \cdot 10 = 8 \cdot 6 \cdot 10\)). 3. Vergleich c): \(90 \cdot 3 = 270\) und \(40 \cdot 6 = 240\). Da \(270 > 240\), ist das Zeichen \(>\).

a) \(<\) b) \(=\) c) \(>\) Beispiel für die Erklärung zu b): Da \(6 \cdot 8 = 48\) ist, ergeben sowohl \(6 \cdot 80\) als auch \(8 \cdot 60\) genau \(48\) Zehner, also \(480\).

- Wie viele Boxen sind es insgesamt, bevor etwas verkauft wird? - Was passiert mit der Gesamtzahl, wenn zwei Boxen weggenommen werden? - Kannst du den Restbestand auch berechnen, indem du die Anzahl der Boxen bestimmst, die übrig bleiben?

1. Teilaufgabe a, Weg 1: Berechnung der Bausteine pro Farbe (\(6 \cdot 80 = 480\) rote und \(4 \cdot 80 = 320\) blaue Steine). Gesamtzahl: \(480 + 320 = 800\). 2. Teilaufgabe a, Weg 2: Gesamtzahl der Boxen berechnen (\(6 + 4 = 10\)). Multiplikation mit dem Inhalt pro Box: \(10 \cdot 80 = 800\). 3. Teilaufgabe b: Berechnung der verkauften Steine (\(2 \cdot 80 = 160\)). Subtraktion von der Gesamtmenge: \(800 - 160 = 640\). Alternativ: Anzahl der verbleibenden Boxen berechnen (\(10 - 2 = 8\)) und mit dem Inhalt multiplizieren (\(8 \cdot 80 = 640\)).

a) Es sind insgesamt \(800\) Bausteine in den Boxen. b) Es sind danach noch \(640\) Bausteine im Laden.

- Gibt es eine Zahl ganz in der Nähe der 9, mit der man leichter multiplizieren kann? - Kannst du die Aufgabe in zwei kleinere Schritte zerlegen? - Überlege, was du am Ende abziehen musst, wenn du zuerst mit einer größeren Zahl multipliziert hast. - Wie oft hast du die Zahl zu viel gerechnet, wenn du mal 10 statt mal 9 rechnest?

1. Anwendung des Rechenvorteils \(a \cdot 9 = a \cdot 10 - a\). 2. Berechnung von \(19 \cdot 9\): \(190 - 19 = 171\). 3. Berechnung von \(34 \cdot 9\): \(340 - 34 = 306\). 4. Berechnung von \(48 \cdot 9\): \(480 - 48 = 432\). 5. Berechnung von \(72 \cdot 9\): \(720 - 72 = 648\).

a) \(171\) b) \(306\) c) \(432\) d) \(648\)

- Kannst du die 11 in zwei Zahlen zerlegen, die einfacher zu multiplizieren sind? - Wenn du weißt, wie man geschickt mit 9 (also \(10 - 1\)) rechnet, wie könnte das bei der 11 (also \(10 + 1\)) funktionieren? - Was musst du am Ende zum Zehnfachen der Zahl hinzufügen?

1. Transfer des Rechenvorteils auf die Multiplikation mit 11: \(a \cdot 11 = a \cdot 10 + a\). 2. Berechnung von \(16 \cdot 11\): \(160 + 16 = 176\). 3. Berechnung von \(27 \cdot 11\): \(270 + 27 = 297\). 4. Berechnung von \(35 \cdot 11\): \(350 + 35 = 385\). 5. Berechnung von \(52 \cdot 11\): \(520 + 52 = 572\).

a) \(176\) b) \(297\) c) \(385\) d) \(572\)

- Schau dir die Ergebnisse in einer Reihe an. Um wie viel werden sie jedes Mal größer? - Wie oft passt die \(25\) in die Zahl \(100\)? - Kannst du das Ergebnis von \(8 \cdot 25\) vorhersagen, wenn du weißt, was \(4 \cdot 25\) ist?

1. Berechnung der ersten Werte: \(4 \cdot 25 = 100\), \(8 \cdot 25 = 200\), \(12 \cdot 25 = 300\). 2. Beobachtung des Musters: Wenn der erste Faktor um \(4\) steigt, erhöht sich das Ergebnis immer um \(100\). Dies liegt daran, dass \(4 \cdot 25 = 100\) ist. 3. Fortführung des Musters: Da \(12 \cdot 25 = 300\), muss \(16 \cdot 25 = 300 + 100 = 400\) sein. Entsprechend ist \(20 \cdot 25 = 400 + 100 = 500\).

a) \(100\), \(200\), \(300\). b) Das Ergebnis wird immer um \(100\) größer. c) \(16 \cdot 25 = 400\) und \(20 \cdot 25 = 500\).

- Schau dir die Struktur der Aufgaben genau an. Welche Zahl wurde mit 10 multipliziert? - Erinnerst du dich an den Trick mit der 10 und der 2, um mal 5 zu rechnen? - In Aufgabe b) kannst du vom Ergebnis der Division rückwärts rechnen. - Überlege bei c) und d), welche Zahl durch 2 geteilt werden muss, um auf das Ergebnis von „mal 5“ zu kommen.

1. Schritt a): Da \( 46 \cdot 5 \) das Gleiche ist wie \( 46 \cdot 10 : 2 \), muss im ersten Kästchen eine \( 2 \) stehen. \( 460 : 2 = 230 \). 2. Schritt b): Das Ergebnis am Ende ist \( 820 : 2 = 410 \). Um die Ausgangszahl zu finden, rechnen wir \( 410 : 5 = 82 \) (oder nutzen den Zusammenhang, dass der Faktor vor der \(10\) die Zahl \(82\) sein muss, da \(820 = 82 \cdot 10\)). Platzhalter sind \(82\) und \(410\). 3. Schritt c): Der Rechenvorteil nutzt \( 28 \cdot 10 = 280 \). Also ist der erste Platzhalter \( 280 \). Das Endergebnis ist \( 280 : 2 = 140 \). 4. Schritt d): Analog zu c) rechnen wir \( 54 \cdot 10 = 540 \). Der erste Platzhalter ist \( 540 \). Das Endergebnis ist \( 540 : 2 = 270 \).

a) \( 46 \cdot 5 = 460 : 2 = 230 \) b) \( 82 \cdot 5 = 820 : 2 = 410 \) c) \( 28 \cdot 5 = 280 : 2 = 140 \) d) \( 54 \cdot 5 = 540 : 2 = 270 \)

- Wie schreibst du „das Dreifache“ als Rechenaufgabe? - Rechne Schritt für Schritt und notiere dir die Zwischenergebnisse. - Wie hängen die Zahlen \(2\), \(3\) und \(6\) zusammen? - Vergleiche am Ende die Ergebnisse aus dem zweiten Rechenschritt mit den Ergebnissen der Malaufgabe mit \(6\).

1. Berechnung des Dreifachen der Ausgangszahlen: \(30 \cdot 3 = 90\), \(70 \cdot 3 = 210\), \(110 \cdot 3 = 330\). 2. Multiplikation dieser Zwischenergebnisse mit \(2\): \(90 \cdot 2 = 180\), \(210 \cdot 2 = 420\), \(330 \cdot 2 = 660\). 3. Berechnung des Sechsfachen der Ausgangszahlen zur Kontrolle: \(30 \cdot 6 = 180\), \(70 \cdot 6 = 420\), \(110 \cdot 6 = 660\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Die Endergebnisse sind identisch. Das bedeutet, eine Zahl erst mit \(3\) und dann mit \(2\) zu multiplizieren, ergibt dasselbe Ergebnis wie die direkte Multiplikation mit \(6\).

Die Endergebnisse lauten \(180\), \(420\) und \(660\). Es fällt auf, dass das Dreifache einer Zahl multipliziert mit \(2\) immer das Sechsfache der ursprünglichen Zahl ergibt.

- Suche im Feld nach einer Zerlegung mit 5, 10 oder zwei gleich großen Teilen. - Nutze die senkrechte Farbgrenze für deine Zerlegung. - Begründe nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Vorteil des Weges.

1. Das Punktefeld ist in 5 und 4 Spalten zerlegt. 2. Ein günstiger Rechenweg ist \(6 \cdot (5+4)=6 \cdot 5+6 \cdot 4\). 3. Damit erhält man \(30+24=54\). Der Weg ist vorteilhaft, weil dabei einfache Kernaufgaben mit 5, 10 oder gleichen Hälften verwendet werden.

Ein möglicher geschickter Weg: \(6 \cdot (5+4)=6 \cdot 5+6 \cdot 4\), also \(30+24=54\). Der Weg ist günstig, weil \(6 \cdot 5\) eine einfache Kernaufgabe ist und anschließend nur der zweite Teil ergänzt wird.

- Suche im Feld nach einer Zerlegung mit 5, 10 oder zwei gleich großen Teilen. - Bei einer 9er-Aufgabe kann „mal 10 minus eine Spalte“ helfen. - Begründe nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Vorteil des Weges.

1. Feld B ergänzt das ursprüngliche Feld A um eine graue Spalte. Das vollständige Feld mit zehn Spalten enthält \(8 \cdot 10\) Punkte; die ergänzte Spalte mit 8 Punkten wird wieder abgezogen. 2. Ein günstiger Rechenweg ist \(8 \cdot (10-1)=8 \cdot 10-8 \cdot 1\). 3. Damit erhält man \(80-8=72\). Der Weg ist vorteilhaft, weil die Zehneraufgabe besonders einfach ist.

Ein möglicher geschickter Weg: \(8 \cdot (10-1)=8 \cdot 10-8 \cdot 1\), also \(80-8=72\). Der Weg ist günstig, weil \(8 \cdot 10=80\) besonders einfach ist und nur eine Spalte mit 8 Punkten abgezogen wird.

- Nutze \(7\cdot6=42\) als gemeinsame Hilfsaufgabe. - Vergleiche dann nur die Zugaben 6 und 7.

Bus A hat \(8\cdot6=48\) Plätze. Bus B hat \(7\cdot7=49\). Man kann vergleichen: \(8\cdot6=7\cdot6+6=42+6=48\), während \(7\cdot7=42+7=49\). Bus B hat einen Platz mehr.

Bus B hat mit 49 Plätzen einen Platz mehr als Bus A mit 48.

- Berechne beide Produkte über bekannte Nachbaraufgaben. - Vergleiche anschließend nur die Ergebnisse.

Nutze \(8\cdot6=48\) als gemeinsame Hilfsaufgabe. Dann ist \(8\cdot7=48+8=56\) und \(9\cdot6=48+6=54\). Deshalb ist \(8\cdot7\) um 2 größer.

Mit \(8\cdot6=48\) gilt \(8\cdot7=48+8=56\) und \(9\cdot6=48+6=54\). Daher ist \(8\cdot7\) um 2 größer.

- Ergänze gedanklich eine zehnte Spalte. - Oder teile die acht Reihen in zwei Viererblöcke.

Über die Zehneraufgabe: \(8\cdot9=8\cdot10-8=80-8=72\). Über Halbieren und Verdoppeln: Eine Hälfte des Feldes ist \(4\cdot9=36\), also \(8\cdot9=2\cdot36=72\).

\(8\cdot9=80-8=72\) und \(8\cdot9=2\cdot36=72\).