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- Überlege, wie viele Nullen die jeweilige Zahl hat und wie viele noch fehlen, um auf die sechs Nullen der Million zu kommen. - Wie oft passt die kleinere Zahl in die größere? - Du kannst die Stellenwerttafel zu Hilfe nehmen.

1. Berechnung für Tausender: \(1\,000\,000 : 1000 = 1000\). Es werden \(1000\) Tausender benötigt. 2. Berechnung für Zehntausender: \(1\,000\,000 : 10\,000 = 100\). Es werden \(100\) Zehntausender benötigt. 3. Berechnung für Hunderttausender: \(1\,000\,000 : 100\,000 = 10\). Es werden \(10\) Hunderttausender benötigt.

a) \(1000\) Tausender b) \(100\) Zehntausender c) \(10\) Hunderttausender

- Was passiert mit den Stellen einer Zahl, wenn du sie durch 10 teilst? - Schau dir die letzte Ziffer der Zahl an – welche Rolle spielt sie beim Teilen durch 10? - Überlege beim Teilen durch 100, wie viele Nullen der Divisor hat. Was bedeutet das für den Rest?

1. Division durch 10: Die letzte Ziffer der Zahl ist der Rest, die restlichen Ziffern bilden den Quotienten. a) \(5420 : 10 = 542\) (Rest \(0\)) b) \(5427 : 10 = 542\) Rest \(7\) 2. Division durch 100: Die letzten zwei Ziffern bilden den Rest, die restlichen Ziffern bilden den Quotienten. c) \(19\,300 : 100 = 193\) (Rest \(0\)) d) \(19\,306 : 100 = 193\) Rest \(6\) e) \(19\,340 : 100 = 193\) Rest \(40\)

a) \(542\) b) \(542\) Rest \(7\) c) \(193\) d) \(193\) Rest \(6\) e) \(193\) Rest \(40\)

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Zahl mit 10 multiplizierst. - Wie viele Nullen kommen bei jedem Schritt dazu? - Kannst du die Anzahl der Zehner zählen und daraus das Ergebnis ableiten?

1. Multiplikation der ersten beiden Zahlen: \(10 \cdot 10 = 100\) 2. Multiplikation des Ergebnisses mit der nächsten 10: \(100 \cdot 10 = 1000\) 3. Fortsetzung der Multiplikation: \(1000 \cdot 10 = 10\,000\) 4. Nächster Schritt: \(10\,000 \cdot 10 = 100\,000\) 5. Letzter Schritt: \(100\,000 \cdot 10 = 1\,000\,000\)

\(1\,000\,000\)

- Überlege, wie sich die Anzahl der Nullen bei einer Division durch \(10\), \(100\) oder \(1000\) verändert. - Was passiert mit den Nullen, wenn du eine Zahl mit \(10\), \(100\) oder \(1000\) multiplizierst? - Achte genau darauf, wie viele Nullen die Ausgangszahl hat.

1. Division durch \(100\): Streichen von zwei Nullen am Ende der Zahl \(300\,000\). Ergebnis: \(3000\). 2. Division durch \(10\): Streichen von einer Null am Ende der Zahl \(30\,000\). Ergebnis: \(3000\). 3. Division durch \(1000\): Streichen von drei Nullen am Ende der Zahl \(300\,000\). Ergebnis: \(300\). 4. Multiplikation mit \(100\): Anhängen von zwei Nullen an die Zahl \(3000\). Ergebnis: \(300\,000\).

a) \(3000\) b) \(3000\) c) \(300\) d) \(300\,000\)

- Überlege, was passiert, wenn du eine Zahl mit \(10\), \(100\) oder \(1000\) multiplizierst. - Du kannst die Nullen der Faktoren zählen, um herauszufinden, wie viele Nullen das Ergebnis hat. - Versuche, erst die Stufenzahlen miteinander zu multiplizieren, bevor du mit der ersten Zahl rechnest.

1. Berechnung von \(52 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\): Weg 1 (schrittweise): \(52 \cdot 10 = 520\); \(520 \cdot 10 = 5200\); \(5200 \cdot 10 = 52\,000\). Weg 2 (zusammengefasst): \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\); \(52 \cdot 1000 = 52\,000\). 2. Berechnung von \(81 \cdot 100 \cdot 100\): Weg 1 (schrittweise): \(81 \cdot 100 = 8100\); \(8100 \cdot 100 = 810\,000\). Weg 2 (zusammengefasst): \(100 \cdot 100 = 10\,000\); \(81 \cdot 10\,000 = 810\,000\). 3. Berechnung von \(125 \cdot 10 \cdot 100\): Weg 1 (schrittweise): \(125 \cdot 10 = 1250\); \(1250 \cdot 100 = 125\,000\). Weg 2 (zusammengefasst): \(10 \cdot 100 = 1000\); \(125 \cdot 1000 = 125\,000\).

a) \(52\,000\) b) \(810\,000\) c) \(125\,000\)

- Erinnere dich an die Regel: Zehn Einheiten eines Stellenwerts ergeben immer eine Einheit des nächstgrößeren Stellenwerts. - Was passiert, wenn du diesen Schritt zweimal hintereinander ausführst?

1. \(10 \cdot 100\,000 = 1\,000\,000\). Das entspricht \(1\) Million. 2. \(10 \cdot 10\,000 = 100\,000\). Das entspricht \(1\) Hunderttausender. 3. \(100 \cdot 10\,000 = 1\,000\,000\). Das entspricht \(1\) Million.

a) \(1\) Million b) Hunderttausender c) \(1\) Million

- Macht es einen Unterschied für die Größe der Zahl, ob ein Plättchen bei den Einern oder bei den Hunderttausendern liegt? - Wie viel sind \(10\) Hunderttausender zusammen? - Erinnerst du dich an die Bündelungsregel? Was passiert, wenn \(10\) Einheiten einer Stelle voll sind?

1. Die größtmögliche Zahl entsteht, wenn alle Plättchen auf den höchsten verfügbaren Stellenwert gelegt werden. In dieser Tabelle ist das die Spalte der Hunderttausender (HT). 2. Der Wert von \(10\) Plättchen in der HT-Spalte entspricht \(10 \cdot 100\,000\). 3. Das Ergebnis ist \(1\,000\,000\). In Worten lautet die Zahl „eine Million“.

a) Hunderttausender (HT) b) \(1\,000\,000\); eine Million

- Überlege dir zuerst, wie viele Tausenderpakete in der Zahl stecken. - Eine Stellenwerttafel kann dir helfen, keine Stelle zu vergessen. - Was passiert mit einer Zahl, wenn man eine Null in der Mitte einfach weglässt? - Erinnere dich daran, dass die Null anzeigt, dass ein bestimmter Stellenwert „leer“ ist.

1. Analyse der Wortform: Die Zahl besteht aus \(40\) Tausendern und \(800\). 2. Aufteilung in Stellenwerte: \(40\) Tausender entsprechen \(4\) Zehntausendern und \(0\) Tausendern. Hinzu kommen \(8\) Hunderter. Da keine weiteren Werte genannt werden, sind es \(0\) Zehner und \(0\) Einer. 3. Ergebnis Stellenwerte: \(4\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(8\) Hunderter, \(0\) Zehner, \(0\) Einer. 4. Ziffernschreibweise: Durch Zusammensetzen der Stellen ergibt sich \(40\,800\). 5. Begründung der Nullen: Die Null an der Tausenderstelle zeigt an, dass kein einzelner Tausender (zusätzlich zu den Zehntausendern) vorhanden ist. Die Null an der Zehnerstelle zeigt an, dass keine Zehner vorhanden sind. Die Nullen dienen als Platzhalter, damit die anderen Ziffern an ihrem richtigen Stellenwert stehen.

a) \(4\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(8\) Hunderter, \(0\) Zehner, \(0\) Einer. b) \(40\,800\). c) Die Nullen stehen dort, weil diese Stellenwerte (Tausender und Zehner) in der Zahl nicht mit anderen Ziffern besetzt sind. Sie dienen als Platzhalter.

- Überlege dir zuerst, wie die Zahlen in einer Stellenwerttafel aussehen würden. - Welchen Wert hat eine 5, wenn sie an der Tausenderstelle steht? Welchen Wert hat sie an der Zehnerstelle? - Stell dir die Null wie eine leere Schachtel vor, die den Platz für einen bestimmten Wert freihält.

1. Umwandlung von Worten in Ziffern: „fünfzigtausendachthundert“ entspricht \(50\,800\); „fünftausendacht“ entspricht \(5008\). 2. Bestimmung der Nullstellen für \(50\,800\): Die Ziffer 0 steht an der Tausenderstelle, der Zehnerstelle und der Einerstelle. 3. Analyse des Stellenwerts: In der Zahl \(5008\) steht die 5 an der Tausenderstelle und hat den Wert \(5000\). 4. Vergleich: In der Zahl \(58\) steht die 5 an der Zehnerstelle und hat nur noch den Wert \(50\). Ohne die Nullen als Platzhalter rückt die 5 an eine viel kleinere Stelle, und der Gesamtwert der Zahl verringert sich drastisch.

a) \(50\,800\) und \(5008\). b) An der Tausenderstelle, der Zehnerstelle und der Einerstelle. c) Die 5 würde von der Tausenderstelle auf die Zehnerstelle rutschen. Ihr Wert würde sich von \(5000\) auf \(50\) verringern.

- Stelle dir vor, du bündelst immer 10 Gegenstände. Was passiert dabei mit der Einerstelle der Zahl? - Wie verändert sich eine Zahl, wenn du sie durch 10 teilst? - Wenn eine Zahl nicht auf 0 endet, was sagt dir die letzte Ziffer über den Rest bei einer Division durch 10?

1. Berechnung der Schachtelanzahl für \(860\) Bleistifte: \(860 : 10 = 86\). 2. Berechnung der Schachtelanzahl für \(2400\) Bleistifte: \(2400 : 10 = 240\). 3. Division mit Rest für \(347\) Bleistifte: \(347 : 10 = 34\) Rest \(7\). Es können \(34\) Schachteln gefüllt werden, \(7\) Stifte bleiben übrig. 4. Bestimmung des Rests für \(1005\) Bleistifte: \(1005 : 10 = 100\) Rest \(5\). Es bleiben \(5\) Bleistifte übrig.

a) \(86\) Schachteln b) \(240\) Schachteln c) \(34\) Schachteln werden voll, \(7\) Bleistifte bleiben übrig d) \(5\) Bleistifte bleiben übrig

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie durch 10 oder 100 teilt? - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts. - Kannst du die Nullen beim Teilen geschickt streichen? - Zerlege bei der Division durch \(3\) oder \(4\) die Zahl so, dass sich die von null verschiedenen Teile leicht teilen lassen.

1. Teilaufgabe a): Zuerst \(400\,000 : 10 = 40\,000\), dann \(40\,000 : 10 = 4000\), schließlich \(4000 : 4 = 1000\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst \(90\,000 : 10 = 9000\), dann \(9000 : 3 = 3000\), schließlich \(3000 : 10 = 300\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst \(1\,000\,000 : 100 = 10\,000\), dann \(10\,000 : 10 = 1000\), schließlich \(1000 : 10 = 100\).

a) \(1000\) b) \(300\) c) \(100\)

- Was passiert mit den Nullen einer Zahl, wenn du sie durch 100 teilst? - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts. - Wie viele Nullen streichst du insgesamt weg?

1. Erste Division durch 100: \(1\,000\,000 : 100 = 10\,000\) 2. Zweite Division durch 100: \(10\,000 : 100 = 100\) 3. Dritte Division durch 100: \(100 : 100 = 1\)

\(1\)

- Zähle die Nullen der ersten Zahl und vergleiche sie mit der Anzahl der Nullen im Ergebnis. - Wie viele Stellen rückt die Zahl nach links oder rechts? - Erinnerst du dich an die Regel für das Multiplizieren und Dividieren mit Stufenzahlen wie \(10\), \(100\) und \(1000\)?

1. Vergleich von \(50\,000\) und \(500\): Zwei Nullen fehlen im Ergebnis, also Division durch \(100\). 2. Vergleich von \(500\) und \(500\,000\): Drei Nullen kommen hinzu, also Multiplikation mit \(1000\). 3. Vergleich von \(500\,000\) und \(50\,000\): Eine Null fehlt im Ergebnis, also Division durch \(10\). 4. Vergleich von \(5000\) und \(50\,000\): Eine Null kommt hinzu, also Multiplikation mit \(10\).

a) \(100\) b) \(1000\) c) \(10\) d) \(10\)

- Wie kannst du eine Divisionsaufgabe mit Rest umkehren, um die Anfangszahl zu finden? - Achte genau darauf, ob durch 100 oder durch 1000 geteilt wird. - Erinnere dich an das Stellenwertsystem: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender.

1. Berechnung von a): \(34\,500 : 100 = 345\) 2. Berechnung von b): \(6780 : 100 = 67 \text{ Rest } 80\) 3. Berechnung von c): \(125\,000 : 1000 = 125\) 4. Bestimmung der Ausgangszahl in d): \(8 \cdot 100 + 15 = 815\) 5. Berechnung von e): \(89\,432 : 1000 = 89 \text{ Rest } 432\)

a) \(345\) b) \(67 \text{ Rest } 80\) c) \(125\) d) \(815\) e) \(89 \text{ Rest } 432\)

- Überlege dir, an welcher Stelle in der Zahl jede Ziffer stehen muss. - Denk daran, dass eine Null an einer Stelle den Wert dieser Stelle auf Null setzt, aber als Platzhalter wichtig ist. - Im Deutschen werden Zahlen bis eine Million meistens als ein langes Wort zusammengeschrieben.

1. Die Stellenwerte werden der Reihe nach von links nach rechts (HT, ZT, T, H, Z, E) zusammengesetzt: \(5\) Hunderttausender, \(2\) Zehntausender, \(0\) Tausender, \(8\) Hunderter, \(4\) Zehner und \(1\) Einer ergeben die Ziffernfolge \(520\,841\). 2. Zur Umwandlung in Worte wird die Zahl in den Tausender-Teil (\(520\)) und den Rest (\(841\)) zerlegt. 3. \(520\) Tausend spricht man als „fünfhundertzwanzigtausend“. 4. \(841\) spricht man als „achthunderteinundvierzig“. 5. Zusammengesetzt ergibt dies: fünfhundertzwanzigtausendachthunderteinundvierzig.

Ziffernfolge: \(520\,841\) In Worten: fünfhundertzwanzigtausendachthunderteinundvierzig

- Überlege, was mit den Nullen am Ende einer Zahl passiert, wenn du sie durch \(10\) teilst. - Wie viele Stellen rückt die Zahl nach rechts, wenn eine Null wegfällt? - Kannst du ein Muster erkennen, wenn du zweimal hintereinander durch \(10\) teilst?

1. Berechnung für die erste Zeile: \(45\,000 : 10 = 4500\), dann \(4500 : 10 = 450\). 2. Berechnung für die zweite Zeile: \(12\,300 : 10 = 1230\), dann \(1230 : 10 = 123\). 3. Berechnung für die dritte Zeile: \(800 : 10 = 80\), dann \(80 : 10 = 8\). 4. Berechnung für die vierte Zeile: \(7000 : 10 = 700\), dann \(700 : 10 = 70\).

Die ausgefüllte Tabelle lautet: Zeile 1: \(4500\) und \(450\) Zeile 2: \(1230\) und \(123\) Zeile 3: \(80\) und \(8\) Zeile 4: \(700\) und \(70\)

- Zähle die Plättchen in jeder Spalte genau ab. - Achte besonders auf die Spalten, in denen keine Plättchen liegen. Welche Ziffer musst du dort schreiben? - Schreibe die gefundenen Ziffern in der richtigen Reihenfolge hintereinander auf.

1. Ablesen der Plättchenanzahl für Tafel a): \(2\) HT, \(0\) ZT, \(6\) T, \(3\) H, \(9\) Z, \(5\) E. Die Zahl lautet \(206\,395\). 2. Ablesen der Plättchenanzahl für Tafel b): \(5\) HT, \(4\) ZT, \(1\) T, \(0\) H, \(2\) Z, \(8\) E. Die Zahl lautet \(541\,028\).

a) \(206\,395\) b) \(541\,028\)

- Notiere dir die Ziffern der Zahl vor und nach dem Verschieben. - Wie ändert sich die Ziffer an der Zehntausender-Stelle? - Wie ändert sich die Ziffer an der Tausender-Stelle? - Denke daran, dass ein Plättchen in der ZT-Spalte \(10\,000\) wert ist, in der T-Spalte aber nur \(1000\).

1. Analyse der Startzahl: \(4\) Zehntausender, \(1\) Tausender, \(2\) Hunderter, \(5\) Zehner, \(0\) Einer ergeben \(41\,250\). 2. Durchführung der Verschiebung: Ein Plättchen wird von ZT nach T bewegt. Die Anzahl der Zehntausender sinkt auf \(3\), die Anzahl der Tausender steigt auf \(2\). 3. Bestimmung der neuen Zahl: \(3\) ZT, \(2\) T, \(2\) H, \(5\) Z, \(0\) E ergeben \(32\,250\). 4. Berechnung der Verringerung: \(41\,250 - 32\,250 = 9000\). Da ein Zehntausender (\(10\,000\)) gegen einen Tausender (\(1000\)) getauscht wurde, beträgt der Verlust genau \(10\,000 - 1000 = 9000\).

a) Die neue Zahl lautet \(32\,250\). b) Der Wert der Zahl hat sich um \(9000\) verringert.

- Gehe Spalte für Spalte von links nach rechts vor. - Notiere dir die Anzahl der Plättchen für jede Stelle als Ziffer.

1. Zähle die Plättchen in jeder Spalte: \(ZT = 3\), \(T = 8\), \(H = 2\), \(Z = 5\), \(E = 9\). 2. Setze die Ziffern zur Zahl zusammen: \(38\,259\).

Die Zahl heißt \(38\,259\).

- Wenn die Zahl kleiner werden soll, musst du ein Plättchen von einer höherwertigen Stelle zu einer niedrigerwertigen Stelle schieben. - Welche zwei benachbarten Stellen haben einen Unterschied von genau \(9\)?

1. Zielwert berechnen: \(4032 - 9 = 4023\). 2. Stellenwert-Logik: Um den Wert um \(9\) zu verringern, muss ein Plättchen von einer höheren Stelle zu einer niedrigeren Stelle verschoben werden, deren Differenz \(9\) beträgt. 3. Differenzprüfung: Ein Zehner (Wert \(10\)) minus ein Einer (Wert \(1\)) ergibt \(9\). 4. Durchführung: Ein Plättchen wird von den Zehnern weggenommen und zu den Einern hinzugefügt.

Ich schiebe ein Plättchen von den Zehnern zu den Einern.

- Du musst die neue Zahl gar nicht unbedingt ausrechnen. - Konzentriere dich nur auf das eine Plättchen, das seinen Platz wechselt. Was verliert die Zahl an seinem alten Platz und was gewinnt sie am neuen?

1. Wert des Ursprungsplatzes: Ein Plättchen an der Zehnerstelle hat den Wert \(10\). 2. Wert des Zielplatzes: Ein Plättchen an der Hunderterstelle hat den Wert \(100\). 3. Differenz berechnen: Durch das Verschieben verliert die Zahl \(10\) und gewinnt \(100\). Die Änderung ist \(100 - 10 = 90\). 4. Ergebnis: Die Zahl wird um \(90\) größer.

Die Zahl wird um \(90\) größer.

- Überlege dir, wie viel ein Tausenderplättchen mehr wert ist als ein Hunderterplättchen. - Welche Zahl ist um \(900\) größer als \(1100\)?

1. Zielwert berechnen: \(1100 + 900 = 2000\). 2. Verschiebung bestimmen: Damit der Wert um \(900\) steigt, muss ein Plättchen von den Hundertern (Wert \(100\)) zu den Tausendern (Wert \(1000\)) verschoben werden (\(1000 - 100 = 900\)). 3. Neue Verteilung: \(1 + 1 = 2\) Tausender, \(1 - 1 = 0\) Hunderter, \(0\) Zehner, \(0\) Einer. 4. Ergebnis: Die Zahl ist \(2000\).

Die neue Zahl lautet \(2000\).

- Wenn die Zahl kleiner werden soll, wandert ein Plättchen nach rechts. - Von welcher Stelle musst du ein Plättchen wegnehmen, damit du \(1000\) verlierst, aber durch das neue Plättchen wieder \(100\) dazugewinnst?

1. Zielwert: \(3000 - 900 = 2100\). 2. Verschiebung: Um den Wert um \(900\) zu senken, muss ein Plättchen von einer höheren Stelle zu einer niedrigeren Stelle bewegt werden, die \(900\) weniger wert ist. Das ist der Wechsel von Tausendern (\(1000\)) zu Hundertern (\(100\)). 3. Neue Verteilung: \(3 - 1 = 2\) Tausender, \(0 + 1 = 1\) Hunderter. 4. Ergebnis: Die Zahl heißt \(2100\).

Die neue Zahl heißt \(2100\).

- Welche Zahl ist \(9000\) größer als \(11\,000\)? - Wie viele Zehntausender braucht man für diese neue Zahl?

1. Zielwert: \(11\,000 + 9000 = 20\,000\). 2. Verschiebung: Eine Erhöhung um \(9000\) erreicht man durch Verschieben eines Plättchens von den Tausendern (\(1000\)) zu den Zehntausendern (\(10\,000\)), da \(10\,000 - 1000 = 9000\). 3. Neue Verteilung: Ursprünglich \(1\) ZT und \(1\) T. Nach der Verschiebung \(1 + 1 = 2\) ZT und \(1 - 1 = 0\) T. 4. Ergebnis: Es liegen nun \(2\) Plättchen an der Zehntausenderstelle.

Es liegen danach \(2\) Plättchen an der Zehntausenderstelle.

- Die Zahl soll kleiner werden, also muss ein Plättchen nach rechts wandern. - Welcher Schritt nach rechts verringert den Wert um genau \(9000\)?

1. Startwert: \(50\,000\). 2. Zielwert: \(50\,000 - 9000 = 41\,000\). 3. Verschiebung: Um den Wert um \(9000\) zu verringern, muss die Differenz zwischen dem alten und neuen Platz \(9000\) betragen. Das entspricht einem Schritt von den Zehntausendern (\(10\,000\)) zu den Tausendern (\(1000\)). 4. Ergebnis: Das Plättchen wird von den Zehntausendern (ZT) weggenommen.

Ich nehme das Plättchen von den Zehntausendern (ZT) weg.

- Achte beim Ablesen auf die Spalte mit der Null. - Erinnere dich daran, dass die Tausenderstelle die vierte Stelle von rechts ist.

1. Ablesen der Zahl: \(2\) ZT, \(0\) T, \(9\) H, \(4\) Z, \(3\) E. Dies ergibt \(20\,943\). 2. Hinzufügen von \(2\) Plättchen bei den Tausendern (T): Die Ziffer an der T-Stelle ändert sich von \(0\) auf \(2\). 3. Die neue Zahl lautet \(22\,943\).

Die ursprüngliche Zahl ist \(20\,943\). Die neue Zahl heißt \(22\,943\).

- Gehe Stelle für Stelle vor und ändere nur die Ziffern, bei denen Plättchen dazukommen. - Lies die fertige Zahl laut vor, um sie zu überprüfen.

1. Ablesen: \(4\) ZT, \(3\) T, \(2\) H, \(1\) Z, \(9\) E. In Ziffern: \(43\,219\). 2. Hinzufügen: - \(1\) Plättchen bei T: Aus \(3\) Tausendern werden \(4\). - \(1\) Plättchen bei Z: Aus \(1\) Zehner werden \(2\). 3. Die anderen Stellen bleiben gleich. 4. Neue Zahl: \(44\,229\).

Dargestellt ist die Zahl \(43\,219\). Die neue Zahl heißt \(44\,229\).

- Stell dir vor, du hüpfst auf einem Zahlenstrahl. Wie groß ist jeder Sprung? - Kannst du das Ergebnis von Teilaufgabe c) mithilfe der Ergebnisse aus a) und b) finden?

1. Für \(100\,000\)er-Schritte bis \(1\,000\,000\): Division \(1\,000\,000 : 100\,000 = 10\). 2. Für \(10\,000\)er-Schritte bis \(100\,000\): Division \(100\,000 : 10\,000 = 10\). 3. Für \(10\,000\)er-Schritte bis \(1\,000\,000\): Division \(1\,000\,000 : 10\,000 = 100\).

a) \(10\) Schritte b) \(10\) Schritte c) \(100\) Schritte

- Eine Stellenwerttafel kann dir helfen, die Ziffern an die richtige Position zu setzen. - Wenn ein Stellenwert in der Liste fehlt, musst du an dieser Stelle eine Null schreiben. - Achte bei Aufgabe c) genau darauf, bei welchem Stellenwert die Zahl beginnt.

1. Zuordnung der Stellenwerte zu ihren Positionen: HT (Hunderttausender), ZT (Zehntausender), T (Tausender), H (Hunderter), Z (Zehner), E (Einer). 2. Für a): \(4, 2, 5, 8, 3, 1\) ergibt \(425\,831\). Wortform: vierhundertfünfundzwanzigtausendachthunderteinunddreißig. 3. Für b): Fehlende oder mit \(0\) angegebene Stellen als \(0\) notieren: \(7, 0, 0, 4, 0, 9\) ergibt \(700\,409\). Wortform: siebenhunderttausendvierhundertneun. 4. Für c): Nicht genannte Stellen (HT, H, E) sind \(0\). Die Zahl beginnt bei ZT: \(1, 6, 0, 5, 0\) ergibt \(16\,050\). Wortform: sechzehntausendfünfzig.

a) \(425\,831\); vierhundertfünfundzwanzigtausendachthunderteinunddreißig b) \(700\,409\); siebenhunderttausendvierhundertneun c) \(16\,050\); sechzehntausendfünfzig

- Wenn eine Stelle (wie zum Beispiel die Hunderter) nicht genannt wird, bedeutet das, dass an dieser Stelle eine Null steht. - Bei Aufgaben wie „14 Hunderter“ musst du bedenken, dass \(10\) Hunderter bereits einen Tausender ergeben. - Du kannst die Werte der einzelnen Stellen auch untereinander aufschreiben und addieren.

1. Berechnung für a): \(5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2 = 5382\). 2. Berechnung für b): \(9 \cdot 10\,000 + 4 \cdot 1000 + 7 = 94\,007\). 3. Berechnung für c): \(2 \cdot 100\,000 + 6 \cdot 10\,000 + 1 \cdot 100 + 5 \cdot 10 = 260\,150\). 4. Berechnung für d): \(14 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 3 = 1400 + 60 + 3 = 1463\). 5. Berechnung für e): \(3 \cdot 1000 + 25 \cdot 10 = 3000 + 250 = 3250\).

a) \(5382\) b) \(94\,007\) c) \(260\,150\) d) \(1463\) e) \(3250\)

- Was passiert, wenn in einer Spalte der Stellenwerttafel eine Zahl größer als 9 steht? - Wie viele Einer ergeben einen Zehner, wie viele Zehner einen Hunderter und so weiter? - Wenn ein Stellenwert in der Beschreibung gar nicht vorkommt (wie die Zehner in Aufgabe a), welche Ziffer musst du dann dort eintragen?

1. Analyse für Zahl a: \(6 \cdot 10\,000 + 14 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 5 = 60\,000 + 14\,000 + 200 + 5\). 2. Bündelung der Tausender: \(14\,\text{T}\) sind \(1\,\text{ZT}\) und \(4\,\text{T}\). Die Zehntausender erhöhen sich auf \(6 + 1 = 7\). Ergebnis: \(7\,\text{ZT}\), \(4\,\text{T}\), \(2\,\text{H}\), \(0\,\text{Z}\), \(5\,\text{E}\). Die Zahl lautet \(74\,205\). 3. Analyse für Zahl b: \(3 \cdot 100\,000 + 8 \cdot 1000 + 12 \cdot 10 = 300\,000 + 8000 + 120\). 4. Bündelung der Zehner: \(12\,\text{Z}\) sind \(1\,\text{H}\) und \(2\,\text{Z}\). Ergebnis: \(3\,\text{HT}\), \(0\,\text{ZT}\), \(8\,\text{T}\), \(1\,\text{H}\), \(2\,\text{Z}\), \(0\,\text{E}\). Die Zahl lautet \(308\,120\).

a) \(74\,205\) (Tabelle: \(\text{HT}=0; \text{ZT}=7; \text{T}=4; \text{H}=2; \text{Z}=0; \text{E}=5\)) b) \(308\,120\) (Tabelle: \(\text{HT}=3; \text{ZT}=0; \text{T}=8; \text{H}=1; \text{Z}=2; \text{E}=0\))

- Du kannst die Aufgabe lösen, indem du zuerst den bekannten Teil der Rechnung ausrechnest. - Wie viele Nullen fehlen am Ende im Vergleich zum Anfang? - Überlege, welche Zahl beim Teilen genau diese Anzahl an Nullen entfernen würde. - Versuche doch mal, die Aufgabe rückwärts mit Multiplikation zu lösen.

1. Teilaufgabe a): \(280\,000 : 10 = 28\,000\). Um von \(28\,000\) auf \(2800\) zu kommen, muss durch \(10\) geteilt werden. 2. Teilaufgabe b): Das Gesamtergebnis ist \(450\). Rechnet man rückwärts: \(450 \cdot 10 = 4500\). Nun muss \(450\,000 : \dots = 4500\) gelöst werden. Da zwei Nullen wegfallen, ist die gesuchte Zahl \(100\). 3. Teilaufgabe c): \(1\,000\,000 : 10 : 10 = 10\,000\). Um von \(10\,000\) auf \(100\) zu kommen, müssen zwei Nullen gestrichen werden, also wird durch \(100\) geteilt.

a) \(10\) b) \(100\) c) \(100\)

- Für die Teilaufgaben a und b kannst du dir vorstellen, die Zahl in einer Stellenwerttafel zu zerlegen. - Wie viele Zehner stecken insgesamt in der Zahl, nicht nur an der Zehnerstelle? - Bei Teilaufgabe c: Welches ist die nächste Hunderterzahl, die größer als \(73\,412\) ist?

1. Anzahl der Zehner: Ganzzahlige Division durch 10 ergibt \(73\,412 : 10 = 7341\) Rest 2. Es sind 7341 vollständige Zehner. 2. Anzahl der Tausender: Ganzzahlige Division durch 1000 ergibt \(73\,412 : 1000 = 73\) Rest 412. Es sind 73 vollständige Tausender. 3. Nächster Hunderter: Die Zahl hat aktuell 734 vollständige Hunderter. Der nächsthöhere Wert mit einem weiteren Hunderter ist \(735 \cdot 100 = 73\,500\). 4. Berechnung der Differenz: \(73\,500 - 73\,412 = 88\). Es müssen 88 Einer dazukommen.

a) 7341 vollständige Zehner b) 73 vollständige Tausender c) 88 Einer

- Wie verändert sich die Anzahl, wenn die Einheit (Zehner, Hunderter, ...) immer größer wird? - Du kannst die Stellen rechts von der gesuchten Einheit zunächst abdecken. - Überlege, wie oft die jeweilige Einheit vollständig in der Zahl enthalten ist.

1. Bestimmung der vollen Zehner durch Division durch \(10\): \(528\,314 : 10 = 52\,831\) Rest \(4\). Ergebnis: \(52\,831\). 2. Bestimmung der vollen Hunderter durch Division durch \(100\): \(528\,314 : 100 = 5283\) Rest \(14\). Ergebnis: \(5283\). 3. Bestimmung der vollen Tausender durch Division durch \(1000\): \(528\,314 : 1000 = 528\) Rest \(314\). Ergebnis: \(528\). 4. Bestimmung der vollen Zehntausender durch Division durch \(10\,000\): \(528\,314 : 10\,000 = 52\) Rest \(8314\). Ergebnis: \(52\).

a) \(52\,831\) volle Zehner b) \(5283\) volle Hunderter c) \(528\) volle Tausender d) \(52\) volle Zehntausender

- Rechne zuerst aus, wie viel insgesamt bis zur Million fehlt. - Wie viele Hunderter stecken in einem Tausender? - Du kannst auch in Schritten zählen: Wie viele Hunderter fehlen bis \(999\,000\) und wie viele dann noch bis zur Million?

1. Berechnung der Differenz zwischen dem Zielwert und dem Startwert: \(1\,000\,000 - 998\,000 = 2000\). 2. Bestimmung der Anzahl der Hunderter in der Differenz: Da \(2000 = 20 \cdot 100\), sind es \(20\) Hunderter. 3. Ergebnis: Es fehlen \(20\) Hunderter.

Es fehlen \(20\) Hunderter.

- Was ist die kleinste Zahl, die genau diese Anzahl an Zehnern hat? - Wie viele Einer kannst du hinzufügen, ohne dass ein neuer Zehner entsteht? - Probiere es zur Not mit einer kleineren Anzahl an Zehnern aus, zum Beispiel mit genau \(5\) vollen Zehnern.

1. Die kleinste Zahl mit genau \(3057\) vollen Zehnern erhält man durch Multiplikation: \(3057 \cdot 10 = 30\,570\). 2. Da die Anzahl der vollen Zehner erst bei der nächsten Zehnerzahl (\(30\,580\)) ansteigt, ist die größte mögliche Zahl um \(9\) größer als die kleinste Zahl: \(30\,570 + 9 = 30\,579\).

Die kleinste Zahl ist \(30\,570\) und die größte Zahl ist \(30\,579\).

- Rechne zuerst den Teil aus, den du schon kennst. - Wie viele Nullen fehlen noch, um auf das Endergebnis zu kommen? - Denk an das Vertauschungsgesetz: Ändert sich das Ergebnis, wenn man Zahlen in einer Malrechnung vertauscht?

1. Bestimmung von \(\Box\) in Aufgabe a): \(37 \cdot 10 \cdot 10 = 3700\). Um auf \(37\,000\) zu kommen, muss \(3700\) mit \(10\) multipliziert werden. Ergebnis: \(10\). 2. Bestimmung von \(\Box\) in Aufgabe b): \(5 \cdot 100 = 500\). Um auf \(50\,000\) zu kommen, muss \(500\) mit \(100\) multipliziert werden. Ergebnis: \(100\). 3. Bestimmung von \(\Box\) in Aufgabe c): Die linke Seite berechnet sich zu \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000\). Also gilt \(14 \cdot 10\,000\). Ergebnis: \(10\,000\). 4. Vergleich in Aufgabe d): \(22 \cdot 10 \cdot 100 = 22 \cdot 1000 = 22\,000\) und \(22 \cdot 100 \cdot 10 = 22 \cdot 1000 = 22\,000\). Die Ergebnisse sind gleich groß, da die Reihenfolge der Faktoren bei der Multiplikation das Ergebnis nicht ändert (Vertauschungsgesetz).

a) \(\Box = 10\) b) \(\Box = 100\) c) \(\Box = 10\,000\) d) Ja, sie sind gleich groß (\(22\,000\)), da die Faktoren nur vertauscht wurden.

- Lies zuerst die beiden Zahlen Zeile für Zeile ab, indem du die Plättchen in jeder Spalte zählst. - Denke daran, dass eine leere Spalte für den Wert 0 steht. - Welches Rechenverfahren benutzt du, um den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu berechnen? - Achte beim Berechnen des Unterschieds darauf, die kleinere Zahl von der größeren Zahl abzuziehen.

1. Zuerst werden die beiden Zahlen aus der Stellenwerttafel abgelesen: - Erste Zeile: 4 Zehntausender, 3 Tausender, 0 Hunderter, 7 Zehner und 5 Einer ergeben die Zahl \(43\,075\). - Zweite Zeile: 2 Zehntausender, 8 Tausender, 5 Hunderter, 1 Zehner und 9 Einer ergeben die Zahl \(28\,519\). 2. Anschließend wird die Differenz zwischen der größeren und der kleineren Zahl berechnet: - Rechnung: \(43\,075 - 28\,519 = 14\,556\). - Der Unterschied zwischen den beiden Zahlen beträgt somit \(14\,556\).

a) Die erste Zahl lautet \(43\,075\) und die zweite Zahl lautet \(28\,519\). b) Der Unterschied beträgt \(14\,556\).

- Bestimme zuerst, welche Zahl in der Tabelle dargestellt ist. - Wenn die Zahl um genau \(90\,000\) kleiner werden soll, wie muss sich die Anzahl der Plättchen in den verschiedenen Spalten verändern? - Welche Spalten stehen für Hunderttausender (HT) und Zehntausender (ZT)? Wie ändert sich der Wert, wenn du ein Plättchen zwischen diesen Spalten verschiebst? - Denke daran, dass du genau ein Plättchen wegnimmst und an einer anderen Stelle wieder dazulegst.

1. Bestimme den Wert der ursprünglichen Zahl in der Stellenwerttafel: \(3\) Hunderttausender, \(2\) Zehntausender, \(5\) Tausender, \(4\) Hunderter, \(1\) Zehner und \(6\) Einer ergeben die Zahl \(325\,416\). 2. Berechne den Zielwert der neuen Zahl: \(325\,416 - 90\,000 = 235\,416\). 3. Vergleiche die Stellenwerte der beiden Zahlen: Bei der Zahl \(235\,416\) gibt es einen Hunderttausender weniger (\(2\) statt \(3\)), einen Zehntausender mehr (\(3\) statt \(2\)) und alle anderen Stellen bleiben gleich. 4. Dies entspricht dem Verschieben von genau einem Plättchen von der Hunderttausender-Spalte (HT) in die Zehntausender-Spalte (ZT). Der Unterschied der Stellenwerte beträgt \(100\,000 - 10\,000 = 90\,000\).

Du musst das Plättchen aus der Spalte **HT** (Hunderttausender) in die Spalte **ZT** (Zehntausender) verschieben.

- Bestimme zuerst für jede Spalte der Stellenwerttafel die Anzahl der Plättchen und schreibe die Zahl auf. - Denke beim Aufschreiben der Zahl in Worten an die typische Sprechweise im Deutschen (z. B. erst Einer, dann Zehner bei den letzten beiden Ziffern). - Wenn ein Plättchen von einer Spalte in eine andere wandert, verliert die eine Spalte an Wert und die andere gewinnt an Wert. Berechne den Unterschied. - Überlege für den letzten Aufgabenteil: Welche zwei Stellenwerte haben eine Differenz von genau \(9900\)?

1. Abgelesene Zahl: In den Spalten liegen von links nach rechts folgende Plättchenanzahlen: ZT: \(4\), T: \(2\), H: \(6\), Z: \(1\), E: \(5\). Die dargestellte Zahl ist somit \(42\,615\). In Worten: zweiundvierzigtausendsechshundertfünfzehn. 2. Verschiebung von ZT nach T: Ein Plättchen wird von den Zehntausendern abgezogen (\(-10\,000\)) und bei den Tausendern hinzugefügt (\(+1000\)). Der Wert der Zahl verringert sich um \(10\,000 - 1000 = 9000\). Die neuen Stellenwerte sind ZT: \(3\), T: \(3\), H: \(6\), Z: \(1\), E: \(5\). Die neue Zahl lautet \(33\,615\). 3. Erhöhung um genau \(9900\): Wenn wir ein Plättchen verschieben, verringern wir den Wert einer Spalte um deren Stellenwert und erhöhen den Wert einer anderen Spalte um deren Stellenwert. Wir suchen zwei Stellenwerte \(A\) und \(B\) (mit \(B > A\)), so dass \(B - A = 9900\). Da \(10\,000 - 100 = 9900\) ist, müssen wir ein Plättchen von der Hunderter-Spalte (\(H\), Wert \(100\)) in die Zehntausender-Spalte (\(ZT\), Wert \(10\,000\)) verschieben. Die neuen Stellenwerte sind dann ZT: \(5\), T: \(2\), H: \(5\), Z: \(1\), E: \(5\). Die neue Zahl lautet \(52\,515\).

a) Ziffern: \(42\,615\); Worte: zweiundvierzigtausendsechshundertfünfzehn b) Neue Zahl: \(33\,615\); der Wert verringert sich um \(9000\). c) Verschiebung von der Hunderter-Spalte (\(H\)) in die Zehntausender-Spalte (\(ZT\)). Neue Zahl: \(52\,515\).

- Bestimme zuerst den Stellenwert jeder Spalte, um die Startzahl richtig abzulesen. - Denke bei Teilaufgabe b) daran, welchen Wert ein Plättchen in der Spalte \(\text{ZT}\) und welchen Wert es in der Spalte \(\text{T}\) hat. - Du kannst auch die neue Zahl nach dem Verschieben aufschreiben und den Unterschied zur Startzahl berechnen. - Achte bei Teilaufgabe c) darauf, wieder von der ursprünglichen Startzahl auszugehen und drei Plättchen in der Hunderterspalte zu ergänzen.

1. Bestimmung der Startzahl: Da \(2\) Plättchen bei \(\text{ZT}\), \(5\) bei \(\text{T}\), \(1\) bei \(\text{H}\), \(4\) bei \(\text{Z}\) und \(3\) bei \(\text{E}\) liegen, lautet die Startzahl \(25\,143\). 2. Verschieben eines Plättchens von \(\text{ZT}\) nach \(\text{T}\): Das Wegnehmen von \(\text{ZT}\) verringert den Wert um \(10\,000\), das Hinzufügen bei \(\text{T}\) erhöht ihn um \(1000\). Die Zahl verringert sich insgesamt um \(10\,000 - 1000 = 9000\). Alternativ ergibt sich die neue Zahl \(16\,143\) mit der Differenz \(25\,143 - 16\,143 = 9000\). 3. Hinzufügen von drei Plättchen bei \(\text{H}\) (ausgehend von \(25\,143\)): Die Hunderterziffer erhöht sich um \(3\) auf \(4\). Die neue Zahl lautet \(25\,443\).

a) \(25\,143\) b) Um \(9000\) c) \(25\,443\)

- Zähle die Plättchen in jeder Spalte sorgfältig. Achte besonders auf die Spalte, in der kein Plättchen liegt. - Wenn du eine Zahl so klein wie möglich machen möchtest, an welche Stelle (ganz links oder ganz rechts) solltest du neue Plättchen legen? - Wenn du eine Zahl so groß wie möglich machen möchtest, welchen Stellenwert solltest du erhöhen? - Führe die Veränderungen Schritt für Schritt für jede Teilaufgabe durch und schreibe die neuen Ziffern auf.

1. Bestimmung der Ausgangszahl: Die Stellenwerttafel zeigt: - \(1\) Hunderttausender (HT) - \(3\) Zehntausender (ZT) - \(4\) Tausender (T) - \(0\) Hunderter (H) - \(2\) Zehner (Z) - \(5\) Einer (E) Die Zahl lautet somit \(134\,025\). 2. Bestimmung der kleinsten Zahl durch Hinzufügen von zwei Plättchen: Um die Zahl so klein wie möglich zu halten, müssen die neuen Plättchen auf den Stellenwert mit dem geringsten Wert gelegt werden. Das ist die Spalte der Einer (E). Wir fügen beide Plättchen bei den Einern hinzu (aus \(5\) werden \(7\) Einer). Die kleinste Zahl ist \(134\,027\). 3. Bestimmung der größten Zahl durch Hinzufügen von zwei Plättchen: Um die Zahl so groß wie möglich zu machen, müssen die neuen Plättchen auf den Stellenwert mit dem höchsten Wert gelegt werden. Das ist die Spalte der Hunderttausender (HT). Wir fügen beide Plättchen bei den Hunderttausendern hinzu (aus \(1\) werden \(3\) Hunderttausender). Die größte Zahl ist \(334\,025\). 4. Hinzufügen von je einem Plättchen bei Z und HT: - Bei HT kommt ein Plättchen hinzu: \(1 + 1 = 2\) - Bei Z kommt ein Plättchen hinzu: \(2 + 1 = 3\) Die neue Zahl lautet \(234\,035\).

a) Die Zahl lautet \(134\,025\). b) - Die kleinste Zahl ist \(134\,027\). - Die größte Zahl ist \(334\,025\). - Die Zahl mit den zwei zusätzlichen Plättchen lautet \(234\,035\).

- Was passiert mit der Anzahl der Plättchen in einer Spalte, wenn du eines wegnimmst? - Was passiert in der anderen Spalte, in die du das Plättchen legst? - Lies die Zahl nach dem Verschieben einfach neu ab.

1. Ausgangszustand: \(T = 1\), \(H = 4\), \(Z = 2\), \(E = 6\). 2. Aktion ausführen: Ein Plättchen bei \(H\) wegnehmen (\(4 - 1 = 3\)) und bei \(Z\) hinzufügen (\(2 + 1 = 3\)). 3. Neue Stellenwerte: \(T = 1\), \(H = 3\), \(Z = 3\), \(E = 6\). 4. Zahl zusammensetzen: \(1336\).

Die neue Zahl heißt \(1336\).

- Schreibe die Zahl zuerst in Ziffern auf. Achte dabei auf die Nullen an den Stellen, an denen keine Plättchen liegen. - Überlege dir, wie viele Tausender eine Million hat. - Du kannst auch schrittweise rechnen: Wie viele Tausender fehlen bis zum nächsten Zehntausender, wie viele dann bis zum nächsten Hunderttausender?

1. Ablesen der Zahl: Die Tafel zeigt \(9\) HT, \(8\) ZT, \(4\) T, \(0\) H, \(0\) Z, \(0\) E. Das entspricht der Zahl \(984\,000\). 2. Berechnung der Differenz zur Million: \(1\,000\,000 - 984\,000 = 16\,000\). 3. Umrechnung in Tausender: \(16\,000\) Einheiten entsprechen genau \(16\) Tausendern.

Es fehlen noch \(16\) Tausender.