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Zahlen ordnen und vergleichen

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Schwierigkeit: 1 – 5

4100254

Welche Zahl hat den geringsten Abstand zu 90000? a) 89000 b) 89800 c) 90300 d) 90500

Denkanstöße

- Wie weit ist jede Zahl von der 90000 entfernt? - Kannst du den Unterschied zwischen zwei Zahlen berechnen? - Was bedeutet „geringster Abstand“ in diesem Fall?

Lösung

1. Berechnung der Abstände zu 90000: a) \(|90000 - 89000| = 1000\) b) \(|90000 - 89800| = 200\) c) \(|90300 - 90000| = 300\) d) \(|90500 - 90000| = 500\) 2. Vergleich der Differenzen: 200 ist der kleinste Wert. 3. Ergebnis: 89800 liegt am nächsten an 90000.

Antwort

b) 89800

4100284

Die kleinste von den gegebenen Zahlen ist a) 217213 b) 341231 c) 89679 d) 91312

Denkanstöße

- Wie viele Stellen haben die einzelnen Zahlen? - Worauf achtest du zuerst, wenn du zwei Zahlen vergleichst? - Kannst du die Zahlen der Größe nach ordnen?

Lösung

1. Vergleichen der Anzahl der Stellen: 89679 und 91312 haben 5 Stellen, 217213 und 341231 haben 6 Stellen. 2. Vergleich der 5-stelligen Zahlen: Bei 89679 ist die Zehntausenderstelle eine 8, bei 91312 eine 9. 3. Ergebnis: 89679 ist die kleinste Zahl.

Antwort

c) 89679

4165144

An einer Zählstelle für Radfahrer springt die Anzeige gerade auf die Zahl \(600\,000\). a) Welche Zahl wurde unmittelbar davor auf dem Display angezeigt? b) Welche Zahl wird als Nächstes angezeigt, wenn noch ein Radfahrer vorbeifährt?

Denkanstöße

- Überlege, was passiert, wenn du von einer Zahl mit vielen Nullen eins abziehst. - Welche Ziffer ändert sich, wenn du eins dazuzählst?

Lösung

1. Berechnung des direkten Vorgängers durch Subtraktion von \(1\): \(600\,000 - 1 = 599\,999\). 2. Berechnung des direkten Nachfolgers durch Addition von \(1\): \(600\,000 + 1 = 600\,001\).

Antwort

a) \(599\,999\) b) \(600\,001\)

4164194

Vergleiche die Zahlenpaare und setze die Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) passend ein. a) \(302 \dots 320\) und \(302\,000 \dots 320\,000\) b) \(740 \dots 470\) und \(740\,000 \dots 470\,000\) c) \(855 \dots 855\) und \(855\,000 \dots 855\,000\) Was stellst du bei den Vergleichszeichen in den beiden Spalten fest? Erkläre kurz.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst nur die vorderen Ziffern der großen Zahlen. - Erinnern dich die großen Zahlen an die kleinen Zahlen aus dem ersten Schuljahr? - Was ändert sich an der Reihenfolge, wenn du bei beiden Zahlen drei Nullen hinzufügst?

Lösung

1. Vergleich der dreistelligen Zahlen: \(302 < 320\), \(740 > 470\), \(855 = 855\). 2. Übertragung auf die sechsstelligen Zahlen: \(302\,000 < 320\,000\), \(740\,000 > 470\,000\), \(855\,000 = 855\,000\). 3. Beobachtung: Die Vergleichszeichen sind in jeder Zeile identisch. 4. Erklärung: Da beide Zahlen eines Paares um den gleichen Faktor (\(1\,000\)) vergrößert wurden, bleibt ihr Größenverhältnis zueinander gleich.

Antwort

a) \(302 < 320\) und \(302\,000 < 320\,000\) b) \(740 > 470\) und \(740\,000 > 470\,000\) c) \(855 = 855\) und \(855\,000 = 855\,000\) Feststellung: Die Zeichen sind gleich. Wenn man beide Zahlen mit \(1\,000\) multipliziert, ändert sich ihre Rangfolge nicht.

4164204

Stell dir vor, du hast drei Ziffernkärtchen: \(0\), \(3\) und \(5\). a) Bilde aus diesen Kärtchen die kleinste und die größte dreistellige Zahl (die \(0\) darf nicht vorne stehen). Vergleiche sie mit \(<\). b) Multipliziere beide Zahlen mit \(1\,000\). Wie heißen die neuen Zahlen? Vergleiche sie ebenfalls. c) Hat sich die Rangfolge der Zahlen durch das Multiplizieren verändert? Begründe deine Antwort.

Denkanstöße

- Denk daran, dass eine dreistellige Zahl nicht mit einer Null beginnen kann. - Wie gehst du vor, um die größtmögliche Zahl aus gegebenen Ziffern zu bauen? - Vergleiche die Stellenwerte: Wenn \(3\) Hunderter weniger sind als \(5\) Hunderter, wie verhalten sich dann \(3\) Hunderttausender zu \(5\) Hunderttausendern?

Lösung

1. Kleinste dreistellige Zahl aus \(0, 3, 5\) ist \(305\). Größte Zahl ist \(530\). Vergleich: \(305 < 530\). 2. Multiplikation mit \(1\,000\): \(305 \cdot 1\,000 = 305\,000\) und \(530 \cdot 1\,000 = 530\,000\). 3. Vergleich der großen Zahlen: \(305\,000 < 530\,000\). 4. Begründung: Die Rangfolge hat sich nicht geändert. Da beide Werte im gleichen Verhältnis (Faktor \(1\,000\)) vergrößert wurden, bleibt die linke Zahl weiterhin die kleinere.

Antwort

a) \(305 < 530\) b) \(305\,000 < 530\,000\) c) Nein, die Rangfolge bleibt gleich, weil beide Zahlen um denselben Faktor (\(1\,000\)) vergrößert wurden.

4164914

In vier verschiedenen Zoos wurden im letzten Jahr die Besucher gezählt: Zoo A: \(506\,780\) Besucher Zoo B: \(560\,870\) Besucher Zoo C: \(506\,870\) Besucher Zoo D: \(560\,780\) Besucher a) Vergleiche die Besucherzahlen von Zoo A und Zoo C. Setze \(<\) oder \(>\) ein. b) Vergleiche die Besucherzahlen von Zoo B und Zoo D. Setze \(<\) oder \(>\) ein. c) Ordne alle vier Besucherzahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende das Zeichen \(<\).

Denkanstöße

- Achte genau darauf, an welcher Stelle sich die Ziffern unterscheiden. - Vergleiche zuerst die Tausenderzahlen. - Was ist mehr: \(800\) oder \(700\)?

Lösung

1. Vergleich Zoo A und Zoo C: Die ersten drei Stellen (\(506\)) sind gleich. An der Hunderterstelle hat Zoo C eine \(8\) und Zoo A eine \(7\), daher gilt: \(506\,780 < 506\,870\). 2. Vergleich Zoo B und Zoo D: Die ersten drei Stellen (\(560\)) sind gleich. An der Hunderterstelle hat Zoo B eine \(8\) und Zoo D eine \(7\), daher gilt: \(560\,870 > 560\,780\). 3. Gesamte Ordnung: Durch Vergleich der Zehntausenderstellen (\(0\) gegen \(6\)) und anschließend der Hunderterstellen ergibt sich: \(506\,780 < 506\,870 < 560\,780 < 560\,870\).

Antwort

a) \(506\,780 < 506\,870\) b) \(560\,870 > 560\,780\) c) \(506\,780 < 506\,870 < 560\,780 < 560\,870\)

4165794

Finde die Zahl, die den gleichen Abstand zu beiden Werten eines Paares hat. a) \(120\,000\) und \(140\,000\) b) \(120\,000\) und \(130\,000\) c) \(122\,000\) und \(124\,000\)

Denkanstöße

- Derselbe Abstand zu zwei Zahlen bedeutet, dass die gesuchte Zahl genau in der Mitte liegt. - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Wo würde die Markierung in der Mitte liegen? - Kannst du eine Rechnung finden, die für alle drei Aufgaben funktioniert?

Lösung

1. Schritt für a): Die Mitte zwischen \(120\,000\) und \(140\,000\) ist \(130\,000\), da der Abstand zu beiden \(10\,000\) beträgt. 2. Schritt für b): Die Mitte zwischen \(120\,000\) und \(130\,000\) ist \(125\,000\), da der Abstand zu beiden \(5\,000\) beträgt. 3. Schritt für c): Die Mitte zwischen \(122\,000\) und \(124\,000\) ist \(123\,000\), da der Abstand zu beiden \(1\,000\) beträgt.

Antwort

a) \(130\,000\) b) \(125\,000\) c) \(123\,000\)

4166344

In der Tabelle siehst du die Anzahl der verkauften Eintrittskarten eines Freizeitparks in zwei verschiedenen Jahren. <table> <tr> <th>Freizeitpark</th> <th>Jahr 2022</th> <th>Jahr 2023</th> </tr> <tr> <td>Bärenpark</td> <td>\(456\,780\)</td> <td>\(461\,200\)</td> </tr> <tr> <td>Wasserwelt</td> <td>\(890\,120\)</td> <td>\(887\,500\)</td> </tr> <tr> <td>Ritterburg</td> <td>\(123\,450\)</td> <td>\(125\,000\)</td> </tr> </table> a) Bei welchen Parks sind die Verkaufszahlen gestiegen? b) Bei welchem Park sind die Verkaufszahlen gesunken?

Denkanstöße

- Schau dir die Ziffern von links nach rechts an, um zu entscheiden, welche Zahl größer ist. - Was bedeutet es für die Zahlen, wenn etwas steigt oder sinkt? - Vergleiche für jeden Park die Zahl aus dem Jahr 2022 mit der Zahl aus dem Jahr 2023.

Lösung

1. Vergleich der Zahlen für den Bärenpark: \(461\,200 > 456\,780\), also ein Anstieg. 2. Vergleich der Zahlen für die Wasserwelt: \(887\,500 < 890\,120\), also ein Rückgang. 3. Vergleich der Zahlen für die Ritterburg: \(125\,000 > 123\,450\), also ein Anstieg.

Antwort

a) Die Verkaufszahlen sind beim Bärenpark und bei der Ritterburg gestiegen. b) Die Verkaufszahlen sind bei der Wasserwelt gesunken.

4168294

In einer Region leben \(320\,000\) Menschen. Ergänze die fehlenden Angaben: Es sind \(?\) mehr als \(300\,000\). Es sind \(?\) weniger als \(400\,000\).

Denkanstöße

- Stelle dir die Zahlen am Zahlenstrahl vor. - Wie viel musst du zur kleineren Zahl addieren, um die größere Zahl zu erhalten? - Überlege dir, wie groß der Schritt von einem Hunderttausender zum nächsten ist.

Lösung

1. Berechnung des Unterschieds zu \(300\,000\): \(320\,000 - 300\,000 = 20\,000\). 2. Berechnung des Unterschieds zu \(400\,000\): \(400\,000 - 320\,000 = 80\,000\).

Antwort

Es sind \(20\,000\) mehr als \(300\,000\). Es sind \(80\,000\) weniger als \(400\,000\).

4205294

Gegeben sind diese vier Zahlen: \(67\,804\), \(123\,900\), \(8\,560\), \(204\,050\). a) Berechne die Differenz zwischen der größten und der kleinsten Zahl. b) Addiere die beiden kleinsten Zahlen und subtrahiere das Ergebnis von der größten Zahl.

Denkanstöße

- Ordne die Zahlen zuerst vom kleinsten zum größten Wert, um den Überblick zu behalten. - Achte bei der schriftlichen Subtraktion auf die richtige Stellenwertschreibung (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw.). - Überlege bei Teil b genau, welche zwei Zahlen die kleinsten sind, bevor du sie addierst. - Denk daran, dass „Differenz“ das Ergebnis einer Minusaufgabe ist.

Lösung

1. Sortieren der Zahlen nach ihrer Größe: \(8\,560\), \(67\,804\), \(123\,900\), \(204\,050\). 2. Bestimmung der Differenz für Aufgabenteil a: \(204\,050 - 8\,560 = 195\,490\). 3. Berechnung der Summe der beiden kleinsten Zahlen für Aufgabenteil b: \(8\,560 + 67\,804 = 76\,364\). 4. Subtraktion dieser Summe von der größten Zahl: \(204\,050 - 76\,364 = 127\,686\).

Antwort

a) \(195\,490\) b) \(127\,686\)

4163794

Gegeben sind die folgenden fünf Zahlen: \(450\,300\), \(405\,030\), \(450\,003\), \(405\,300\), \(540\,003\) a) Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende das Zeichen \(<\). b) Welche dieser Zahlen liegt am nächsten an der Zahl \(450\,000\)?

Denkanstöße

- Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts. - Schau dir zuerst die Hunderttausenderstelle an, dann die Zehntausenderstelle und so weiter. - Um herauszufinden, welche Zahl am nächsten liegt, kannst du den Unterschied (die Differenz) berechnen.

Lösung

1. Vergleich der Stellenwerte (Hunderttausender, Zehntausender, Tausender usw.): \(405\,030 < 405\,300 < 450\,003 < 450\,300 < 540\,003\) 2. Bestimmung der Abstände zu \(450\,000\): \(|450\,000 - 450\,003| = 3\) \(|450\,000 - 450\,300| = 300\) \(|450\,000 - 405\,300| = 44\,700\) \(|450\,000 - 405\,030| = 44\,970\) \(|540\,003 - 450\,000| = 90\,003\) Der kleinste Abstand beträgt \(3\), daher liegt \(450\,003\) am nächsten.

Antwort

a) \(405\,030 < 405\,300 < 450\,003 < 450\,300 < 540\,003\) b) \(450\,003\)

4163804

Setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. Berechne dazu zuerst die Ergebnisse der Aufgaben. a) \(300\,000 + 40\,000 \square 350\,000 - 5\,000\) b) \(120\,000 \cdot 4 \square 1\,000\,000 : 2\) c) \(720\,000 : 8 \square 9\,000 \cdot 10\) d) \(999\,998 + 2 \square 1\,000\,000\)

Denkanstöße

- Rechne zuerst die linke Seite und dann die rechte Seite der Lücke aus. - Achte bei der Multiplikation und Division auf die Anzahl der Nullen. - Vergleiche anschließend die beiden Endergebnisse miteinander.

Lösung

1. Berechnung der Werte für a): \(300\,000 + 40\,000 = 340\,000\) und \(350\,000 - 5\,000 = 345\,000\). Vergleich: \(340\,000 < 345\,000\). 2. Berechnung der Werte für b): \(120\,000 \cdot 4 = 480\,000\) und \(1\,000\,000 : 2 = 500\,000\). Vergleich: \(480\,000 < 500\,000\). 3. Berechnung der Werte für c): \(720\,000 : 8 = 90\,000\) und \(9\,000 \cdot 10 = 90\,000\). Vergleich: \(90\,000 = 90\,000\). 4. Berechnung der Werte für d): \(999\,998 + 2 = 1\,000\,000\). Vergleich: \(1\,000\,000 = 1\,000\,000\).

Antwort

a) \(<\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(=\)

4163814

Welche Ziffer oder Zahl muss in das leere Feld eingesetzt werden, damit die Aussage wahr ist? a) \(345\,\square 20 < 345\,100\) (Setze eine Ziffer ein) b) \(8\square 9\,000 > 889\,000\) (Setze eine Ziffer ein) c) \(600\,000 : \square = 300\,000\) (Setze eine Zahl ein) d) \(480\,000 + \square = 500\,000\) (Setze eine Zahl ein)

Denkanstöße

- Überlege bei den Aufgaben mit Ziffern genau, welchen Stellenwert das Kästchen hat. - Gibt es bei a) vielleicht nur eine einzige Lösung? - Denke bei c) und d) an die Umkehraufgaben oder an das Ergänzen.

Lösung

1. Zu a): Da die ersten drei Stellen gleich sind, muss die Hunderterstelle betrachtet werden. \(0 < 1\), also passt die Ziffer \(0\). 2. Zu b): Die Zehntausenderstelle links muss größer als \(8\) sein, damit die Zahl größer ist. Nur die Ziffer \(9\) erfüllt dies (\(899\,000 > 889\,000\)). 3. Zu c): Die Division von \(600\,000\) durch \(2\) ergibt \(300\,000\). 4. Zu d): Die Ergänzung von \(480\,000\) auf \(500\,000\) erfolgt durch die Addition von \(20\,000\).

Antwort

a) \(0\) b) \(9\) c) \(2\) d) \(20\,000\)

4164714

Setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \(100\,000 : 2 \quad \dots \quad 1\,000\,000 : 20\) b) \(100\,000 : 4 \quad \dots \quad 10\,000 \cdot 2\) c) \(1\,000\,000 : 8 \quad \dots \quad 100\,000 + 25\,000\) d) \(100\,000 : 10 \quad \dots \quad 10\,000 \cdot 1\)

Denkanstöße

- Rechne zuerst beide Seiten getrennt aus, bevor du sie vergleichst. - Erinnere dich: Eine Million geteilt durch 8 ist eine wichtige Zerlegung, die oft vorkommt.

Lösung

1. Berechnung a: \(100\,000 : 2 = 50\,000\) und \(1\,000\,000 : 20 = 50\,000\). Ergebnis: \(=\). 2. Berechnung b: \(100\,000 : 4 = 25\,000\) und \(10\,000 \cdot 2 = 20\,000\). Ergebnis: \(>\). 3. Berechnung c: \(1\,000\,000 : 8 = 125\,000\) und \(100\,000 + 25\,000 = 125\,000\). Ergebnis: \(=\). 4. Berechnung d: \(100\,000 : 10 = 10\,000\) und \(10\,000 \cdot 1 = 10\,000\). Ergebnis: \(=\).

Antwort

a) \(=\) b) \(>\) c) \(=\) d) \(=\)

4164904

In der folgenden Tabelle sind sechs deutsche Städte und ihre Einwohnerzahlen aufgeführt. <table> <tr> <td>Bochum</td> <td>\(363\,441\)</td> <td>Wuppertal</td> <td>\(354\,572\)</td> </tr> <tr> <td>Bielefeld</td> <td>\(334\,002\)</td> <td>Bonn</td> <td>\(331\,285\)</td> </tr> <tr> <td>Münster</td> <td>\(317\,713\)</td> <td>Karlsruhe</td> <td>\(309\,964\)</td> </tr> </table> a) Ordne die Städte nach ihrer Einwohnerzahl. Beginne mit der Stadt, die die meisten Einwohner hat. b) Berechne den Unterschied zwischen der größten und der kleinsten Einwohnerzahl aus dieser Tabelle.

Denkanstöße

- Schau dir zuerst die Ziffern ganz links an. Wenn diese gleich sind, vergleiche die nächste Stelle rechts davon. - Welche Stadt hat die höchste Zahl an der Zehntausenderstelle? - Für den Unterschied musst du eine Minusaufgabe rechnen.

Lösung

1. Durch Vergleich der Stellenwerte (Hunderttausender, Zehntausender und Tausender) ergibt sich die absteigende Reihenfolge der Einwohnerzahlen: \(363\,441 > 354\,572 > 334\,002 > 331\,285 > 317\,713 > 309\,964\). Die entsprechende Reihenfolge der Städte lautet: Bochum, Wuppertal, Bielefeld, Bonn, Münster, Karlsruhe. 2. Zur Berechnung des Unterschieds wird die kleinste Einwohnerzahl (\(309\,964\)) von der größten Einwohnerzahl (\(363\,441\)) subtrahiert: \(363\,441 - 309\,964 = 53\,477\).

Antwort

a) Bochum, Wuppertal, Bielefeld, Bonn, Münster, Karlsruhe. b) Der Unterschied beträgt \(53\,477\) Einwohner.

4164924

Eine Fabrik hat in vier aufeinanderfolgenden Jahren unterschiedlich viele Fahrräder hergestellt: Jahr 1: \(243\,650\) Stück Jahr 2: \(234\,560\) Stück Jahr 3: \(243\,560\) Stück Jahr 4: \(234\,650\) Stück Ordne diese Produktionszahlen der Größe nach. Beginne mit der größten Zahl und verwende das Zeichen \(>\).

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst die Tausenderstellen jeder Zahl. - Wenn die ersten drei Ziffern gleich sind, hilft dir die Hunderterstelle weiter. - Vergiss nicht, das Zeichen \(>\) zwischen jede Zahl zu setzen.

Lösung

1. Zuerst werden die Zahlen in Gruppen mit gleichen Zehntausender- und Tausenderstellen eingeteilt: Die \(243\,000\)er-Zahlen sind größer als die \(234\,000\)er-Zahlen. 2. Innerhalb der Gruppen erfolgt der Vergleich über die Hunderterstelle: \(243\,650 > 243\,560\) und \(234\,650 > 234\,560\). 3. Die vollständige Kette lautet somit: \(243\,650 > 243\,560 > 234\,650 > 234\,560\).

Antwort

\(243\,650 > 243\,560 > 234\,650 > 234\,560\)

4165124

Du hast die Ziffernkarten \(2\), \(2\), \(5\), \(7\), \(8\) und \(9\). a) Lege die größte sechsstellige ungerade Zahl. b) Lege die kleinste sechsstellige ungerade Zahl.

Denkanstöße

- Woran erkennst du, ob eine Zahl ungerade ist? - Wenn du die größte Zahl suchst, welche Ziffern sollten dann möglichst weit vorne stehen? - Was musst du bei der Einerstelle beachten, damit die Bedingung „ungerade“ erfüllt bleibt?

Lösung

1. Eine ungerade Zahl muss auf \(5\), \(7\) oder \(9\) enden. Für die größte Zahl wird die kleinste dieser ungeraden Ziffern (\(5\)) an die Einerstelle gesetzt, um die großen Ziffern für die vorderen Stellen zu behalten. Die restlichen Ziffern werden absteigend sortiert: \(987\,225\). 2. Für die kleinste ungerade Zahl wird die größte ungerade Ziffer (\(9\)) an die Einerstelle gesetzt, damit die kleineren Ziffern vorne stehen können. Die restlichen Ziffern werden aufsteigend sortiert: \(225\,789\).

Antwort

a) \(987\,225\) b) \(225\,789\)

4165164

Beantworte die Fragen zu den Grenzen im Zahlenraum bis \(1\,000\,000\). a) Wie heißt der direkte Vorgänger der kleinsten sechsstelligen Zahl? b) Wie heißt der direkte Nachfolger der größten sechsstelligen Zahl?

Denkanstöße

- Wie viele Stellen hat die kleinste sechsstellige Zahl und wie lautet sie? - Was ist die größte Zahl, die du mit genau sechs Stellen schreiben kannst? - Denke an den Übergang zwischen fünfstelligen, sechsstelligen und siebenstelligen Zahlen.

Lösung

1. Identifikation der kleinsten sechsstelligen Zahl: \(100\,000\). 2. Bestimmung des Vorgängers: \(100\,000 - 1 = 99\,999\). 3. Identifikation der größten sechsstelligen Zahl: \(999\,999\). 4. Bestimmung des Nachfolgers: \(999\,999 + 1 = 1\,000\,000\).

Antwort

a) \(99\,999\) b) \(1\,000\,000\)

4165564

Dir stehen die Ziffernkarten \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(7\) und \(8\) zur Verfügung. Jede Karte darf nur einmal verwendet werden. a) Bilde die größte sechsstellige Zahl. b) Bilde die kleinste sechsstellige Zahl. c) Welche sechsstellige Zahl liegt am nächsten an der Zahl \(500\,000\)?

Denkanstöße

- Überlege dir für die größte Zahl, welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss. - Wie gehst du vor, um eine möglichst kleine Zahl zu bilden? - Bei der Suche nach der nächsten Zahl hilft es, eine Zahl knapp unter und eine knapp über dem Zielwert zu vergleichen.

Lösung

1. Für die größte Zahl werden die Ziffern absteigend sortiert: \(876\,432\). 2. Für die kleinste Zahl werden die Ziffern aufsteigend sortiert: \(234\,678\). 3. Um möglichst nah an \(500\,000\) zu liegen, werden Zahlen gesucht, die mit \(4\) (kleiner als \(500\,000\)) oder \(6\) (größer als \(500\,000\)) beginnen. 4. Die größte Zahl mit einer \(4\) an der Hunderttausenderstelle ist \(487\,632\). Der Abstand beträgt \(500\,000 - 487\,632 = 12\,368\). 5. Die kleinste Zahl mit einer \(6\) an der Hunderttausenderstelle ist \(623\,478\). Der Abstand beträgt \(623\,478 - 500\,000 = 123\,478\). 6. Da \(12\,368 < 123\,478\), ist \(487\,632\) die gesuchte Zahl.

Antwort

a) \(876\,432\) b) \(234\,678\) c) \(487\,632\)

4165574

Lukas möchte aus den Ziffernkarten \(0\), \(1\), \(5\), \(6\), \(7\) und \(9\) eine sechsstellige Zahl bilden, die möglichst nah an \(600\,000\) liegt. Er schwankt zwischen zwei Möglichkeiten: Zahl A: Er wählt die größte Zahl, die kleiner als \(600\,000\) ist. Zahl B: Er wählt die kleinste Zahl, die größer als \(600\,000\) ist. Bestimme beide Zahlen und entscheide, welche Zahl näher an \(600\,000\) liegt. Berechne auch den jeweiligen Abstand.

Denkanstöße

- Welche Ziffer muss an der ersten Stelle stehen, damit die Zahl knapp unter \(600\,000\) liegt? - Wie müssen die anderen Ziffern angeordnet sein, damit die Zahl so groß wie möglich wird? - Verfahre genauso für die Zahl, die knapp über \(600\,000\) liegt. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Zahlen?

Lösung

1. Zahl A (kleiner als \(600\,000\)): Sie muss mit der nächstkleineren Ziffer \(5\) beginnen. Um nah an den Zielwert zu kommen, müssen die restlichen Stellen so groß wie möglich sein: \(597\,610\). 2. Berechnung des Abstands für Zahl A: \(600\,000 - 597\,610 = 2\,390\). 3. Zahl B (größer als \(600\,000\)): Sie muss mit der Ziffer \(6\) beginnen. Um nah an den Zielwert zu kommen, müssen die restlichen Stellen so klein wie möglich sein: \(601\,579\). 4. Berechnung des Abstands für Zahl B: \(601\,579 - 600\,000 = 1\,579\). 5. Vergleich: Da \(1\,579 < 2\,390\), liegt Zahl B (\(601\,579\)) näher an \(600\,000\).

Antwort

Zahl A ist \(597\,610\) (Abstand \(2\,390\)). Zahl B ist \(601\,579\) (Abstand \(1\,579\)). Zahl B liegt näher an \(600\,000\).

4166354

Ein Naturschutzbund zählt jedes Jahr die Anzahl der Zugvögel in einem Gebiet. Jahr 2021: \(345\,900\) Vögel Jahr 2022: \(342\,100\) Vögel Jahr 2023: \(339\,850\) Vögel Beschreibe die Entwicklung der Zahlen über die drei Jahre. Steigen die Zahlen oder fallen sie? Begründe deine Antwort durch einen Vergleich der Zahlen.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst die Zahlen von 2021 und 2022. - Vergleiche dann die Zahlen von 2022 und 2023. - Passiert in beiden Schritten das Gleiche?

Lösung

1. Vergleich der ersten beiden Jahre: \(342\,100 < 345\,900\), die Zahl ist gesunken. 2. Vergleich der letzten beiden Jahre: \(339\,850 < 342\,100\), die Zahl ist erneut gesunken. 3. Gesamtfeststellung: Da die Zahlen von Jahr zu Jahr kleiner werden, fallen die Zahlen kontinuierlich.

Antwort

Die Zahlen fallen. Begründung: Es gilt \(345\,900 > 342\,100 > 339\,850\). Die Anzahl der Vögel wird also jedes Jahr kleiner.

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In einer Region wurde die Menge des recycelten Abfalls in Tonnen (\(\text{t}\)) gemessen. <table> <tr> <th>Abfallart</th> <th>2021</th> <th>2022</th> <th>2023</th> </tr> <tr> <td>Altpapier</td> <td>\(789\,400\,\text{t}\)</td> <td>\(785\,200\,\text{t}\)</td> <td>\(780\,100\,\text{t}\)</td> </tr> <tr> <td>Kunststoff</td> <td>\(345\,600\,\text{t}\)</td> <td>\(350\,000\,\text{t}\)</td> <td>\(355\,200\,\text{t}\)</td> </tr> <tr> <td>Altglas</td> <td>\(120\,800\,\text{t}\)</td> <td>\(125\,400\,\text{t}\)</td> <td>\(122\,000\,\text{t}\)</td> </tr> </table> a) Bei welcher Abfallart steigen die Zahlen in jedem Jahr an? b) Bei welcher Abfallart fallen die Zahlen in jedem Jahr? c) Bei welcher Abfallart steigen die Zahlen erst und fallen dann wieder?

Denkanstöße

- Gehe jede Zeile der Tabelle einzeln durch. - Vergleiche die Zahl von 2021 mit 2022 und dann die von 2022 mit 2023. - Achte genau auf die Fragestellung: Suchst du nach einem dauerhaften Anstieg, einem dauerhaften Abfall oder einer Änderung der Richtung?

Lösung

1. Analyse Altpapier: \(789\,400 > 785\,200 > 780\,100\). Die Zahlen fallen stetig. 2. Analyse Kunststoff: \(345\,600 < 350\,000 < 355\,200\). Die Zahlen steigen stetig. 3. Analyse Altglas: \(120\,800 < 125\,400\), aber \(125\,400 > 122\,000\). Die Zahlen steigen erst und fallen dann.

Antwort

a) Bei Kunststoff steigen die Zahlen in jedem Jahr an. b) Bei Altpapier fallen die Zahlen in jedem Jahr. c) Bei Altglas steigen die Zahlen erst an (von 2021 auf 2022) und fallen dann wieder (von 2022 auf 2023).

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Ein großes Stadion wurde im letzten Jahr von \(545\,000\) Fans besucht. Ergänze die Sätze: Das sind \(?\) mehr als eine halbe Million. Das sind \(?\) weniger als \(600\,000\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „eine halbe Million“ als Zahl geschrieben? - Du kannst die Aufgabe lösen, indem du die Differenz zwischen den Zahlen berechnest. - Achte auf die Stellenwerte der Ziffern beim Rechnen.

Lösung

1. Bestimmung des Wertes einer halben Million: \(500\,000\). 2. Berechnung der Differenz zur halben Million: \(545\,000 - 500\,000 = 45\,000\). 3. Berechnung der Differenz zu \(600\,000\): \(600\,000 - 545\,000 = 55\,000\).

Antwort

Das sind \(45\,000\) mehr als eine halbe Million. Das sind \(55\,000\) weniger als \(600\,000\).

4168314

Betrachte die Zahl \(785\,500\). Wie viel mehr ist sie als eine Dreiviertelmillion? Wie viel fehlt ihr noch bis zu \(800\,000\)?

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass eine Million \(1\,000\,000\) ist. Wie viel ist dann ein Viertel oder drei Viertel davon? - Schreibe die Begriffe zuerst als Zahlen auf. - Rechne schrittweise: Wie viel fehlt bis zum nächsten Tausender, Zehntausender und dann zum Hunderttausender?

Lösung

1. Bestimmung des Wertes einer Dreiviertelmillion: \(750\,000\). 2. Berechnung der Differenz: \(785\,500 - 750\,000 = 35\,500\). 3. Berechnung des fehlenden Betrags bis \(800\,000\): \(800\,000 - 785\,500 = 14\,500\).

Antwort

Sie ist \(35\,500\) größer als eine Dreiviertelmillion. Es fehlen noch \(14\,500\) bis zu \(800\,000\).

4170134

Was passiert bei Rechnungen mit \( 0 \), \( 1 \) oder anderen Faktoren? Setze \( < \), \( = \) oder \( > \) ein. a) \( 240\,000 \cdot 0 \dots 240\,000 \) b) \( 240\,000 : 1 \dots 240\,000 \) c) \( 240\,000 \cdot 1 \dots 240\,000 \) d) \( 240\,000 : 4 \dots 240\,000 \) e) \( 240\,000 \cdot 4 \dots 240\,000 \)

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Besonderheiten es gibt, wenn man mit \( 0 \) oder \( 1 \) rechnet. - Musst du bei manchen Aufgaben überhaupt rechnen, um das Ergebnis vergleichen zu können? - Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie teilt oder vervielfacht?

Lösung

1. Jede Zahl multipliziert mit \( 0 \) ergibt \( 0 \). Vergleich: \( 0 < 240\,000 \). 2. Eine Zahl dividiert durch \( 1 \) bleibt unverändert. Vergleich: \( 240\,000 = 240\,000 \). 3. Eine Zahl multipliziert mit \( 1 \) bleibt unverändert. Vergleich: \( 240\,000 = 240\,000 \). 4. Division durch eine Zahl größer als \( 1 \) verkleinert den Wert: \( 240\,000 : 4 = 60\,000 \). Vergleich: \( 60\,000 < 240\,000 \). 5. Multiplikation mit einer Zahl größer als \( 1 \) vergrößert den Wert: \( 240\,000 \cdot 4 = 960\,000 \). Vergleich: \( 960\,000 > 240\,000 \).

Antwort

a) \( 240\,000 \cdot 0 < 240\,000 \) b) \( 240\,000 : 1 = 240\,000 \) c) \( 240\,000 \cdot 1 = 240\,000 \) d) \( 240\,000 : 4 < 240\,000 \) e) \( 240\,000 \cdot 4 > 240\,000 \)

4165134

Verwende die Ziffernkarten \(1\), \(4\), \(5\), \(5\), \(7\) und \(9\). Bilde eine sechsstellige Zahl, die alle folgenden Bedingungen gleichzeitig erfüllt: - Die Zahl ist größer als \(500\,000\). - An der Zehntausenderstelle steht die Ziffer \(1\). - Die Zahl ist so klein wie möglich.

Denkanstöße

- Welche Stelle im Stellenwertsystem ist die Zehntausenderstelle? - Wenn eine Zahl so klein wie möglich sein soll, wie sortierst du dann die restlichen Ziffern? - Welche Ziffern kommen für die Hunderttausenderstelle infrage, wenn die Zahl größer als \(500\,000\) sein muss?

Lösung

1. Die Bedingung „Zehntausenderstelle ist \(1\)“ fixiert die zweite Stelle von links: \(\_\,1\_\,\_\_\_\). 2. Die Zahl muss größer als \(500\,000\) sein. Die Hunderttausenderstelle muss also \(5\), \(7\) oder \(9\) sein. Da die Zahl so klein wie möglich sein soll, wählen wir die \(5\): \(51\_\,\_\_\_\). 3. Die verbleibenden Ziffern sind \(4, 5, 7, 9\). Um die kleinste Zahl zu bilden, werden diese aufsteigend an die restlichen Stellen gesetzt: \(514\,579\).

Antwort

\(514\,579\)

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Verwende die Ziffernkarten \(4\), \(4\), \(8\), \(0\), \(2\) und \(1\). Finde alle sechsstelligen Zahlen, die größer als \(844\,100\) sind. Schreibe sie der Größe nach auf, beginne mit der kleinsten Zahl.

Denkanstöße

- Welche Ziffern müssen an den ersten Stellen stehen, damit die Zahl überhaupt in den Bereich von \(844\,100\) kommt? - Wie viele Möglichkeiten hast du für die restlichen Stellen, wenn die ersten drei Ziffern feststehen? - Prüfe jede deiner gelegten Zahlen: Ist sie wirklich größer als der vorgegebene Wert?

Lösung

1. Damit die Zahl größer als \(844\,100\) ist, muss sie mit den Ziffern \(8\), \(4\) und \(4\) beginnen (da keine größere Ziffer als \(8\) für die Hunderttausenderstelle und keine weiteren Ziffern außer \(4\) für die Zehntausender- und Tausenderstelle zur Verfügung stehen, um über \(844\,000\) zu bleiben). 2. Die verbleibenden Ziffern sind \(0\), \(1\) und \(2\). 3. Mögliche Kombinationen für die letzten drei Stellen: \(012, 021, 102, 120, 201, 210\). 4. Überprüfung der Bedingung (\(> 844\,100\)): \(844\,012\) und \(844\,021\) sind zu klein. 5. Die gültigen Zahlen sind: \(844\,102\), \(844\,120\), \(844\,201\), \(844\,210\).

Antwort

\(844\,102 < 844\,120 < 844\,201 < 844\,210\)

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Verwende jede der Ziffernkarten \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) und \(6\) genau einmal. Welche sechsstellige Zahl liegt am nächsten an \(250\,000\)? Begründe deine Antwort durch den Vergleich der Abstände.

Denkanstöße

- Probiere Zahlen aus, die mit \(24...\) und \(25...\) beginnen. - Achte darauf, bei der Zahl unter \(250\,000\) die restlichen Ziffern so groß wie möglich zu wählen. - Achte darauf, bei der Zahl über \(250\,000\) die restlichen Ziffern so klein wie möglich zu wählen. - Vergleiche am Ende, welche Differenz kleiner ist.

Lösung

1. Suche eine Zahl knapp unter \(250\,000\): Sie muss mit \(24\) beginnen. Die restlichen Ziffern (\(1, 3, 5, 6\)) müssen so groß wie möglich sein: \(246\,531\). 2. Berechnung des Abstands: \(250\,000 - 246\,531 = 3\,469\). 3. Suche eine Zahl knapp über \(250\,000\): Sie muss mit \(25\) beginnen. Die restlichen Ziffern (\(1, 3, 4, 6\)) müssen so klein wie möglich sein: \(251\,346\). 4. Berechnung des Abstands: \(251\,346 - 250\,000 = 1\,346\). 5. Vergleich der Abstände: Da \(1\,346 < 3\,469\), ist die Zahl \(251\,346\) näher am Zielwert.

Antwort

Die Zahl \(251\,346\) liegt am nächsten an \(250\,000\). Ihr Abstand beträgt \(1\,346\); bei der Zahl \(246\,531\) beträgt er \(3\,469\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.