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- Schau dir an, wie sich die erste Zahl von Zeile zu Zeile verändert. - Untersuche dann die Veränderung der zweiten Zahl. - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn beide Zahlen einer Plusaufgabe größer werden?

1. Berechnung der vierten Aufgabe: Der erste Summand erhöht sich jeweils um \(10\,100\) (\(265\,300 + 10\,100 = 275\,400\)), der zweite Summand ebenfalls um \(10\,100\) (\(332\,600 + 10\,100 = 342\,700\)). Die vierte Aufgabe lautet somit: \(275\,400 + 342\,700 = 618\,100\). 2. Bestimmung der Ergebnisänderung: Da beide Summanden um jeweils \(10\,100\) wachsen, vergrößert sich die Summe in jedem Schritt um die Gesamtdifferenz von \(10\,100 + 10\,100 = 20\,200\).

a) \(275\,400 + 342\,700 = 618\,100\) b) Das Ergebnis vergrößert sich um \(20\,200\). Die Regel lautet: Da beide Summanden um \(10\,100\) größer werden, wächst das Gesamtergebnis um \(20\,200\).

- Schau dir die ersten Paare an. Wird die Zahl größer oder kleiner? - Um wie viel verändert sich der Wert von oben nach unten? - Prüfe, ob der Unterschied bei jedem bekannten Paar gleich bleibt.

1. Bestimmung der Differenz zwischen der unteren und der oberen Zahl anhand des ersten Paares: \(3700 - 1200 = 2500\). 2. Überprüfung der Regel \(+ 2500\) an den weiteren bekannten Paaren: \(5000 + 2500 = 7500\), \(15\,000 + 2500 = 17\,500\) und \(100\,000 + 2500 = 102\,500\). 3. Anwendung der Regel auf die leeren Spalten: \(240\,000 + 2500 = 242\,500\) und \(600\,000 + 2500 = 602\,500\).

Regel: \(+ 2500\); Fehlende Zahlen: \(242\,500\) und \(602\,500\).

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl (der Dividend) von Zeile zu Zeile verändert. - Vergleiche die Ergebnisse der Rechnungen miteinander. - Bleibt eine der Zahlen in der Rechnung immer gleich?

1. Der Divisor bleibt in jeder Aufgabe gleich (\(6\)). 2. Der Dividend erhöht sich von Aufgabe zu Aufgabe um \(6000\) (\(24\,000 + 6000 = 30\,000\) usw.). 3. Das Ergebnis vergrößert sich dadurch jeweils um \(1000\). 4. Für die nächste Aufgabe wird zum letzten Dividenden \(6000\) addiert: \(42\,000 + 6000 = 48\,000\). 5. Die Rechnung lautet \(48\,000 : 6\). 6. Das Ergebnis ist \(8000\).

\(48\,000 : 6 = 8000\)

- Schau dir den Abstand zwischen der ersten und der zweiten Zahl an. - Ist der Abstand zwischen der zweiten und dritten Zahl genauso groß? - Was musst du rechnen, um von einer Zahl zur nächsten zu gelangen?

1. Berechnung der Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern: \(126\,100 - 125\,400 = 700\); \(126\,800 - 126\,100 = 700\). Die Regel lautet: Addiere immer \(700\). 2. Berechnung des fünften Glieds: \(127\,500 + 700 = 128\,200\). 3. Berechnung des sechsten Glieds: \(128\,200 + 700 = 128\,900\). 4. Berechnung des siebten Glieds: \(128\,900 + 700 = 129\,600\).

Nächste Zahlen: \(128\,200, 128\,900, 129\,600\). Regel: Addiere immer \(700\) (\(+ 700\)).

- Vergleiche die erste und die zweite Zahl einer Folge. Werden sie größer oder kleiner? - Welche Stelle im Stellenwertsystem verändert sich? - Achte bei Aufgabe b) besonders auf den Übergang am vollen Hunderttausender.

1. Teilaufgabe a): Differenz zwischen \(456\,800\) und \(456\,700\) berechnen. Ergebnis: \(+100\). 2. Fortführung a): \(456\,900 + 100 = 457\,000\); \(457\,000 + 100 = 457\,100\); \(457\,100 + 100 = 457\,200\). 3. Teilaufgabe b): Differenz zwischen \(810\,000\) und \(820\,000\) berechnen. Ergebnis: \(-10\,000\). 4. Fortführung b): \(800\,000 - 10\,000 = 790\,000\); \(790\,000 - 10\,000 = 780\,000\); \(780\,000 - 10\,000 = 770\,000\).

a) \(457\,000, 457\,100, 457\,200\) b) \(790\,000, 780\,000, 770\,000\)

- Stell dir vor, du nimmst immer genau einen Tausender weg. - Was passiert mit der Million, wenn du den ersten Tausender abziehst? - Wie viele Tausender fehlen noch bis zur Million, wenn du bei \(999\,000\) bist?

1. Startwert festlegen: \(1\,000\,000\). 2. Schrittweise Subtraktion von \(1\,000\): 3. \(1\,000\,000 - 1\,000 = 999\,000\) 4. \(999\,000 - 1\,000 = 998\,000\) 5. \(998\,000 - 1\,000 = 997\,000\) 6. \(997\,000 - 1\,000 = 996\,000\) 7. \(996\,000 - 1\,000 = 995\,000\) 8. \(995\,000 - 1\,000 = 994\,000\) (Zielwert).

\(1\,000\,000, 999\,000, 998\,000, 997\,000, 996\,000, 995\,000, 994\,000\)

- Schau dir die Zahlen an, die bereits dastehen. Wie groß ist der Abstand zwischen ihnen? - Wenn du bei einer Zahl mit vielen Neunen am Ende eins addierst, verändern sich auch die Stellen davor. - Wie heißt die Zahl, die genau zwischen \(599\,999\) und \(600\,001\) liegt?

1. Bestimmung des Schrittmaßes: Zwischen \(599\,996\) und \(599\,999\) liegen drei Schritte, also handelt es sich um Einerschritte. 2. Erste Lücke nach \(599\,996\): \(599\,997\). 3. Zweite Lücke nach \(599\,997\): \(599\,998\). 4. Dritte Lücke nach \(599\,999\): Übergang zum nächsten Tausender, Zehntausender und Hunderttausender: \(600\,000\). 5. Vierte Lücke nach \(600\,001\): \(600\,002\).

\(599\,997, 599\,998, 600\,000, 600\,002\)

- Überlege zuerst, welche Zahl der nächste Tausender nach der Startzahl ist. - Wie viel fehlt von deiner Zahl bis zu diesem vollen Tausender? - Wie oft passt die Schrittweite in diesen fehlenden Betrag?

1. Berechnung der Differenz zum nächsten Tausender für a): \(343\,000 - 342\,400 = 600\). Division durch die Schrittweite: \(600 : 200 = 3\). Es sind \(3\) Schritte nötig. 2. Berechnung der Differenz für b): \(713\,000 - 712\,750 = 250\). Division durch die Schrittweite: \(250 : 50 = 5\). Es sind \(5\) Schritte nötig. 3. Berechnung der Differenz für c): \(900\,000 - 899\,920 = 80\). Division durch die Schrittweite: \(80 : 20 = 4\). Es sind \(4\) Schritte nötig.

a) \(3\) Schritte b) \(5\) Schritte c) \(4\) Schritte

- Achte besonders auf den Übergang zum nächsten Hunderter, Tausender oder Zehntausender. - Wie viele Stellen verändern sich, wenn du von \(399\,999\) aus eins weiterzählst?

1. Erster Folgeschritt: \(399\,999 + 1 = 400\,000\). 2. Zweiter Folgeschritt: \(400\,000 + 1 = 400\,001\). 3. Dritter Folgeschritt: \(400\,001 + 1 = 400\,002\).

\(400\,000, 400\,001, 400\,002\)

- Schau dir an, wie sich die erste Zahl in jeder Zeile verändert. Welche Ziffer kommt hinzu? - Was passiert mit der Zahl, die nach dem Malzeichen addiert wird? - Betrachte die Ergebnisse. Fällt dir eine Besonderheit bei den Ziffern auf? - Wie viele Stellen hat das Ergebnis im Vergleich zur Anzahl der Ziffern in der ersten Zahl?

1. Im ersten Faktor wird in jeder Zeile die nächste Ziffer angehängt (\(1\), \(12\), \(123\), ...). Der zweite Faktor bleibt immer \(9\). Die Additionszahl erhöht sich pro Zeile um \(1\) (\(2\), \(3\), \(4\), ...). 2. Die vierte Zeile lautet: \(1234 \cdot 9 + 5\). Rechnung: \(1234 \cdot 9 = 11\,106\). Addition: \(11\,106 + 5 = 11\,111\). 3. Die fünfte Zeile lautet: \(12\,345 \cdot 9 + 6\). Rechnung: \(12\,345 \cdot 9 = 111\,105\). Addition: \(111\,105 + 6 = 111\,111\).

a) \(1234 \cdot 9 + 5 = 11\,111\) b) \(12\,345 \cdot 9 + 6 = 111\,111\)

- Schau dir die Regel genau an: Du musst immer die letzten beiden Zahlen addieren, um die neue Zahl zu finden. - Beginne damit, die beiden Startzahlen zusammenzuzählen. - Für die vierte Zahl nimmst du dann das Ergebnis der dritten Zahl und addierst es zur zweiten Zahl.

1. Berechnung der 3. Zahl: \(2\,400 + 3\,700 = 6\,100\) 2. Berechnung der 4. Zahl: \(3\,700 + 6\,100 = 9\,800\) 3. Berechnung der 5. Zahl: \(6\,100 + 9\,800 = 15\,900\) 4. Berechnung der 6. Zahl: \(9\,800 + 15\,900 = 25\,700\)

\(2\,400, 3\,700, 6\,100, 9\,800, 15\,900, 25\,700\)

- Schau dir die erste und die letzte Ziffer der Ergebnisse genau an. - Wie verändert sich der Bereich zwischen der ersten und der letzten Ziffer von Aufgabe zu Aufgabe? - Zähle mal, wie viele Siebener in der Aufgabe stehen und wie viele Neunen im Ergebnis vorkommen. - Kannst du die Regel für die vierte Aufgabe anwenden, um die fünfte zu finden?

1. Berechnung der ersten drei Aufgaben: \(9 \cdot 7 = 63\), \(9 \cdot 77 = 693\), \(9 \cdot 777 = 6\,993\). 2. Analyse des Musters: Jedes Ergebnis beginnt mit der Ziffer 6 und endet mit der Ziffer 3. Dazwischen stehen Neunen. Die Anzahl der Neunen ist immer um eins kleiner als die Anzahl der Siebener im zweiten Faktor. 3. Bestimmung der vierten Aufgabe: \(9 \cdot 7\,777 = 69\,993\). 4. Bestimmung der fünften Aufgabe: Der zweite Faktor hat fünf Siebener (\(77\,777\)). Das Ergebnis muss also mit 6 beginnen, mit 3 enden und vier Neunen in der Mitte haben: \(9 \cdot 77\,777 = 699\,993\).

a) \(63\), \(693\), \(6\,993\) b) Die Ergebnisse beginnen immer mit 6 und enden mit 3. Dazwischen stehen Neunen. Die Anzahl der Neunen ist eins weniger als die Anzahl der Siebener im Faktor. c) \(9 \cdot 77\,777 = 699\,993\)

- Kannst du die Zahlen rückwärts zählen? - Was passiert mit den Stellenwerten, wenn du von einer Zahl mit vielen Nullen eins abziehst? - Welche Einerziffer steht beim Rückwärtszählen unmittelbar vor der \(3\)? - Achte besonders auf den Übergang bei der Zahl \(300\,000\).

1. Bestimmung der ersten Zahl vor \(300\,003\) durch Subtraktion von 1: \(300\,003 - 1 = 300\,002\). 2. Fortlaufende Subtraktion von 1 für die weiteren vier Zahlen: \(300\,002 - 1 = 300\,001\), \(300\,001 - 1 = 300\,000\), \(300\,000 - 1 = 299\,999\), \(299\,999 - 1 = 299\,998\). Die gesuchten Zahlen sind \(300\,002, 300\,001, 300\,000, 299\,999\) und \(299\,998\).

\(300\,002, 300\,001, 300\,000, 299\,999, 299\,998\)

- Zähle die Münzen in den ersten drei Sechsecken. Fällt dir ein Muster auf? - Wie verändert sich die Anzahl der Münzen von einem Sechseck zum nächsten? - Welche Malfolge (Einmaleins) könnte hier helfen?

1. Bestimmung der Anzahl der Münzen pro Muster: Muster 1 hat 6 Münzen, Muster 2 hat 12 Münzen, Muster 3 hat 18 Münzen. 2. Erkennen der Gesetzmäßigkeit: Die Anzahl der Münzen entspricht \(6 \cdot n\), wobei \(n\) die Nummer des Musters ist. 3. Berechnung für 54 Münzen: \(6 \cdot n = 54 \implies n = 54 / 6 = 9\).

c) 9

- Vergleiche die Ergebnisse der ersten drei Aufgaben. Fällt dir etwas auf? - Wenn das Ergebnis immer gleich bleiben soll, wie müssen sich dann die beiden Zahlen der Minusaufgabe verändern? - Prüfe die Abstände zwischen den Zahlen von Aufgabe zu Aufgabe.

1. Analyse des Musters: In den ersten drei Aufgaben verringert sich der Minuend (die erste Zahl) jeweils um \(30\,000\) (\(980\,000 \to 950\,000 \to 920\,000\)). Der Subtrahend (die zweite Zahl) verringert sich ebenfalls jeweils um \(30\,000\) (\(450\,000 \to 420\,000 \to 390\,000\)). Dadurch bleibt die Differenz (das Ergebnis) konstant bei \(530\,000\). 2. Identifikation des Fehlers: In der 4. Aufgabe wurde der Minuend korrekt um \(30\,000\) auf \(890\,000\) gesenkt, der Subtrahend jedoch um \(40\,000\) statt um \(30\,000\) auf \(350\,000\) verändert. Damit das Ergebnis wieder \(530\,000\) lautet, müsste der Subtrahend \(890\,000 - 530\,000 = 360\,000\) sein.

a) Die 4. Aufgabe ist falsch. b) Die richtige 4. Aufgabe lautet: \(890\,000 - 360\,000 = 530\,000\).

- Du kannst die Aufgaben nacheinander aufschreiben (2., 3., 4. und dann die 5. Aufgabe). - Achte darauf, dass du bei der 5. Aufgabe die Veränderung insgesamt viermal durchgeführt hast, ausgehend von der ersten Aufgabe. - Überlege dir, wie sich das Gesamtergebnis in jedem Schritt verändert, wenn eine Zahl um \(50\,000\) steigt und die andere um \(20\,000\) sinkt.

1. Bestimmung der Summanden für die 5. Aufgabe: Der erste Summand startet bei \(300\,000\) und wird 4-mal um \(50\,000\) erhöht: \(300\,000 + 4 \cdot 50\,000 = 300\,000 + 200\,000 = 500\,000\). 2. Der zweite Summand startet bei \(200\,000\) und wird 4-mal um \(20\,000\) verringert: \(200\,000 - 4 \cdot 20\,000 = 200\,000 - 80\,000 = 120\,000\). 3. Berechnung der Summe: \(500\,000 + 120\,000 = 620\,000\).

Die 5. Aufgabe lautet \(500\,000 + 120\,000 = 620\,000\). Das Ergebnis ist \(620\,000\).

- Vergleiche die obere mit der unteren Zahl. Mit welcher Zahl musst du malnehmen, um das Ergebnis unten zu erhalten? - Passt diese Multiplikationsregel auch zu den größeren Zahlen in der Tabelle?

1. Untersuchung des Zusammenhangs zwischen den ersten Zahlenpaaren: \(15 \cdot 3 = 45\) oder \(45 : 15 = 3\). 2. Überprüfung der Multiplikationsregel \(\cdot 3\) bei den anderen Paaren: \(60 \cdot 3 = 180\), \(200 \cdot 3 = 600\) und \(1000 \cdot 3 = 3000\). 3. Berechnung der fehlenden unteren Zahlen: \(3000 \cdot 3 = 9000\) und \(12\,000 \cdot 3 = 36\,000\).

Regel: \(\cdot 3\); Fehlende Zahlen: \(9000\) und \(36\,000\).

- Was fällt dir bei den Ergebnissen der Aufgaben auf? - Wie verändern sich der Dividend (erste Zahl) und der Divisor (zweite Zahl) von Schritt zu Schritt? - Versuche, die Regelmäßigkeit für beide Zahlen der Division zu finden.

1. Der Quotient (das Ergebnis) ist in jeder Aufgabe konstant \(800\). 2. Der Divisor verringert sich in jedem Schritt um \(10\) (\(80, 70, 60, 50, \dots\)). Der nächste Divisor ist also \(40\). 3. Der Dividend verringert sich in jedem Schritt um \(8000\) (\(64\,000, 56\,000, 48\,000, 40\,000, \dots\)). Der nächste Dividend ist \(40\,000 - 8000 = 32\,000\). 4. Die neue Aufgabe lautet \(32\,000 : 40\). 5. Zur Überprüfung: \(32\,000 : 40 = 800\).

\(32\,000 : 40 = 800\)

- Untersuche zuerst, wie sich die Divisoren (die Zahlen nach dem Doppelpunkt) verändern. - Schau dir dann die Ergebnisse an. Welches Muster erkennst du dort? - Wie kannst du aus dem neuen Divisor und dem neuen Ergebnis die erste Zahl der Rechnung bestimmen?

1. Der Divisor erhöht sich in jedem Schritt um \(1\) (\(3, 4, 5, 6, \dots\)). Der nächste Divisor ist \(7\). 2. Das Ergebnis (der Quotient) erhöht sich in jedem Schritt um \(1000\) (\(7000, 8000, 9000, 10\,000, \dots\)). Das nächste Ergebnis ist \(11\,000\). 3. Um den nächsten Dividenden zu finden, multipliziert man den neuen Divisor mit dem neuen Quotienten: \(7 \cdot 11\,000 = 77\,000\). 4. Alternativ: Die Differenz zwischen den Dividenden wächst stetig an (\(+11\,000, +13\,000, +15\,000\)). Der nächste Sprung ist \(+17\,000\), also \(60\,000 + 17\,000 = 77\,000\). 5. Die vollständige Aufgabe lautet \(77\,000 : 7 = 11\,000\).

\(77\,000 : 7 = 11\,000\)

- Hier ändert sich die Richtung der Zahlen: Manchmal werden sie kleiner, manchmal größer. - Untersuche die ersten zwei Schritte getrennt voneinander. - Wiederholen sich die Rechenschritte nach einer bestimmten Anzahl von Zahlen?

1. Bestimmung der ersten Änderung: \(850\,000 - 50\,000 = 800\,000\). 2. Bestimmung der zweiten Änderung: \(800\,000 + 25\,000 = 825\,000\). 3. Überprüfung des Musters: \(825\,000 - 50\,000 = 775\,000\) und \(775\,000 + 25\,000 = 800\,000\). Die Regel ist abwechselnd \(- 50\,000\) und \(+ 25\,000\). 4. Fortsetzung: \(800\,000 - 50\,000 = 750\,000\). 5. Fortsetzung: \(750\,000 + 25\,000 = 775\,000\). 6. Fortsetzung: \(775\,000 - 50\,000 = 725\,000\).

Nächste Zahlen: \(750\,000, 775\,000, 725\,000\). Regel: Rechne abwechselnd \(- 50\,000\) und \(+ 25\,000\).

- Berechne die Unterschiede zwischen den Zahlen, die direkt nebeneinander stehen. - Vergleiche die Unterschiede miteinander. Werden sie größer oder kleiner? - Haben die Unterschiede selbst ein erkennbares Muster? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Regel auf die Zahlen nach der Lücke anwendest.

1. Ermittlung der Differenzen zwischen den ersten Zahlen: \(120\,000 - 100\,000 = 20\,000\) und \(150\,000 - 120\,000 = 30\,000\). 2. Erkennen des Musters: Der Summand vergrößert sich bei jedem Schritt um \(10\,000\). 3. Berechnung der ersten Lücke: \(150\,000 + 40\,000 = 190\,000\). 4. Überprüfung des nächsten Schritts: \(190\,000 + 50\,000 = 240\,000\) (passt). 5. Berechnung der zweiten Lücke: \(300\,000 + 70\,000 = 370\,000\).

Die fehlenden Zahlen sind \(190\,000\) und \(370\,000\).

- Schau dir an, wie viel von einer Zahl zur nächsten dazukommt. - Was passiert mit der Hunderter- und Tausenderstelle, wenn du \(500\) addierst? - Überlege, wie viele Schritte du brauchst, um den nächsten Tausender zu erreichen.

1. Berechnung der Folgeschritte durch fortlaufende Addition von \(500\). 2. \(348\,500 + 500 = 349\,000\) 3. \(349\,000 + 500 = 349\,500\) 4. \(349\,500 + 500 = 350\,000\) 5. \(350\,000 + 500 = 350\,500\) 6. \(350\,500 + 500 = 351\,000\) (Zielzahl erreicht).

\(348\,000, 348\,500, 349\,000, 349\,500, 350\,000, 350\,500, 351\,000\)

- Achte auf die Hunderterstelle der Zahlen. - Was passiert an der Tausenderstelle, wenn du über die 900 hinausgehst? - Wie viele Schritte fehlen noch bis zur Zielzahl?

1. Identifikation der Schrittweite: Zählen in \(100\)er-Schritten. 2. Ergänzen der Folge für a) durch Addition von \(100\): \(359\,600, 359\,700, 359\,800, 359\,900\). 3. Ergänzen der Folge für b) durch Addition von \(100\): \(819\,800, 819\,900\).

a) \(359\,600, 359\,700, 359\,800, 359\,900\) b) \(819\,800, 819\,900\)

- In jeder Zeile fehlt eine andere Information. - Wenn die Startzahl fehlt, kannst du von der Zielzahl aus rückwärts rechnen. - Wenn die Schrittweite fehlt, teile den Gesamtabstand durch die Anzahl der Schritte. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Schritte von der Startzahl aus im Kopf durchgehst.

1. Erste Zeile: Differenz \(452\,000 - 451\,200 = 800\). \(800 : 200 = 4\). Die Anzahl der Schritte ist \(4\). 2. Zweite Zeile: Differenz \(124\,000 - 123\,750 = 250\). \(250 : 5 = 50\). Die Schrittweite ist \(50\). 3. Dritte Zeile: Gesamtweg berechnen mit \(3 \cdot 10 = 30\). Startzahl berechnen durch \(888\,000 - 30 = 887\,970\).

Zeile 1: \(4\) Schritte Zeile 2: Schrittweite \(50\) Zeile 3: Startzahl \(887\,970\)

- Schau dir an, wie sich die einzelnen Ziffern von einer Zahl zur nächsten verändern. - Wie viel wird insgesamt in einem einzigen Schritt addiert? - Bei Teil b) musst du genau auf die Zehntausender- und Hunderttausenderstelle achten, da es dort einen Übergang gibt. - Bei Teil c) kannst du die Differenz zwischen Start und Ziel nutzen.

1. Bestimmung des Summanden pro Schritt: \(111\,111\). 2. Fortsetzen der Folge für a): \(234\,567 + 111\,111 = 345\,678\) und \(345\,678 + 111\,111 = 456\,789\). 3. Berechnung für b): \(600\,111 + 111\,111 = 711\,222\). 4. Berechnung für c): Die Differenz ist \(888\,888 - 222\,222 = 666\,666\). Division durch den Einzelschritt ergibt \(666\,666 : 111\,111 = 6\).

a) \(345\,678\) und \(456\,789\) b) \(711\,222\) c) \(6\)-mal

- Was passiert mit der Anzahl der Nullen, wenn du durch 10, 100 oder 1000 teilst? - Schau dir im zweiten Päckchen an, wie sich die Teiler verändern. Was bedeutet das für das Ergebnis?

1. Päckchen a: Division durch Stufenzahlen verkürzt die Zahl um die entsprechende Anzahl an Nullen: \(1\,000\,000\); \(100\,000\); \(10\,000\); \(1\,000\). 2. Päckchen b: Der Divisor verdoppelt sich jeweils (\(2 \to 4 \to 8\)), wodurch sich das Ergebnis jeweils halbiert: \(100\,000 : 2 = 50\,000\); \(50\,000 : 2 = 25\,000\); \(25\,000 : 2 = 12\,500\).

a) \(1\,000\,000\); \(100\,000\); \(10\,000\); \(1\,000\) b) \(50\,000\); \(25\,000\); \(12\,500\) Auffälligkeit: In a) wird das Ergebnis pro Schritt durch 10 geteilt (eine Null weniger). In b) wird das Ergebnis pro Schritt halbiert.

- Berechne zuerst den Unterschied zwischen zwei benachbarten Zahlen. - Achte darauf, ob du addieren oder subtrahieren musst. - Rechne schrittweise, zum Beispiel erst die Zehntausender und dann die Tausender.

1. In a) beträgt die Schrittweite \(+150\,000\). Die nächsten Zahlen sind \(300\,000 + 150\,000 = 450\,000\), \(450\,000 + 150\,000 = 600\,000\) und \(600\,000 + 150\,000 = 750\,000\). 2. In b) beträgt die Schrittweite \(-75\,000\). Die Fortsetzung lautet \(850\,000 - 75\,000 = 775\,000\), \(775\,000 - 75\,000 = 700\,000\) und \(700\,000 - 75\,000 = 625\,000\). 3. In c) beträgt die Schrittweite \(+75\,000\). Die Fortsetzung lautet \(650\,000 + 75\,000 = 725\,000\), \(725\,000 + 75\,000 = 800\,000\) und \(800\,000 + 75\,000 = 875\,000\).

a) Schrittweite: \(+150\,000\); Folge: \(450\,000, 600\,000, 750\,000\) b) Schrittweite: \(-75\,000\); Folge: \(775\,000, 700\,000, 625\,000\) c) Schrittweite: \(+75\,000\); Folge: \(725\,000, 800\,000, 875\,000\)

- Schreibe dir die Zahlenfolge für Lukas und Marie jeweils komplett auf. - Überlege, welche Zahlen bei Marie immer an der Zehntausenderstelle eine Null haben müssen. - Vergleiche die beiden Listen Zahl für Zahl.

1. Aufstellen der Zahlenfolge von Lukas durch fortlaufende Addition von \(250\,000\): \(0, 250\,000, 500\,000, 750\,000, 1\,000\,000\). 2. Aufstellen der Zahlenfolge von Marie durch fortlaufende Subtraktion von \(100\,000\): Alle vollen Hunderttausender von \(1\,000\,000\) abwärts bis \(0\) (\(1\,000\,000, 900\,000, \dots, 0\)). 3. Vergleich der beiden Listen: Die Zahlen \(0\), \(500\,000\) und \(1\,000\,000\) sind in beiden Folgen enthalten.

Die gemeinsamen Zahlen sind \(0\), \(500\,000\) und \(1\,000\,000\).

- Rechne die nächste Aufgabe schriftlich aus, um deine Vermutung zu prüfen. - Aus welchen Ziffern bestehen alle Ergebnisse? - Wo genau im Ergebnis verändern sich die Ziffern? - Vergleiche die Anzahl der Sechser in der Aufgabe mit der Anzahl der Dreier im Ergebnis.

1. Berechnung der nächsten Aufgabe: \(66\,666 + 66\,666 = 133\,332\). 2. Analyse des Musters im Ergebnis: Das Ergebnis beginnt immer mit einer \(1\) und endet mit einer \(2\). Dazwischen stehen ausschließlich Ziffern \(3\). 3. Bei jeder zusätzlichen \(6\) in den Summanden kommt im Ergebnis eine weitere \(3\) in der Mitte hinzu. Die Anzahl der Dreier ist immer um eins kleiner als die Anzahl der Sechser in einem Summanden.

a) \(66\,666 + 66\,666 = 133\,332\) b) Das Ergebnis beginnt immer mit einer \(1\) und endet mit einer \(2\). Mit jeder zusätzlichen \(6\) in den Summanden kommt in der Mitte des Ergebnisses eine weitere \(3\) hinzu.

- Wie kannst du eine Zahl finden, wenn du weißt, dass sie zusammen mit einer anderen eine Summe ergibt? Denke an die Umkehroperation. - Um die 5. Zahl zu finden, kannst du die Regel direkt anwenden. - Um weiter vorne in der Folge Zahlen zu finden, musst du rückwärts rechnen und subtrahieren.

1. Berechnung der 5. Zahl durch Addition der 3. und 4. Zahl: \(12\,500 + 20\,000 = 32\,500\) 2. Berechnung der 2. Zahl durch Subtraktion (Umkehroperation): Die 4. Zahl minus die 3. Zahl ergibt die 2. Zahl: \(20\,000 - 12\,500 = 7\,500\) 3. Berechnung der 1. Zahl: Die 3. Zahl minus die 2. Zahl ergibt die 1. Zahl: \(12\,500 - 7\,500 = 5\,000\)

1. Zahl: \(5\,000\), 2. Zahl: \(7\,500\), 5. Zahl: \(32\,500\)

- Rechne jede Folge Schritt für Schritt bis zur fünften Zahl aus. - Schau dir die Abstände zwischen den fünften Zahlen genau an. - Was passiert mit der Summe, wenn du am Anfang etwas hinzufügst?

1. Berechnung der 5. Zahl für Folge 1: \(10\,000 + 20\,000 = 30\,000\) (3. Zahl), \(20\,000 + 30\,000 = 50\,000\) (4. Zahl), \(30\,000 + 50\,000 = 80\,000\) (5. Zahl). 2. Berechnung für Folge 2: \(11\,000 + 20\,000 = 31\,000\), \(20\,000 + 31\,000 = 51\,000\), \(31\,000 + 51\,000 = 82\,000\). 3. Berechnung für Folge 3: \(12\,000 + 20\,000 = 32\,000\), \(20\,000 + 32\,000 = 52\,000\), \(32\,000 + 52\,000 = 84\,000\). 4. Berechnung für Folge 4: \(13\,000 + 20\,000 = 33\,000\), \(20\,000 + 33\,000 = 53\,000\), \(33\,000 + 53\,000 = 86\,000\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Die fünfte Zahl vergrößert sich immer um \(2\,000\), wenn die erste Zahl um \(1\,000\) wächst.

Die fünften Zahlen lauten \(80\,000\), \(82\,000\), \(84\,000\) und \(86\,000\). Sie vergrößern sich jeweils um \(2\,000\).

- Addiere immer die letzten beiden Zahlen, um die nächste zu finden. - Vergleiche die Ergebnisse der fünften Zahlen miteinander. - Wie oft steckt die Veränderung der zweiten Zahl im Endergebnis?

1. Folge a: \(50\,000, 10\,000, 60\,000, 70\,000, 130\,000\). 2. Folge b: \(50\,000, 20\,000, 70\,000, 90\,000, 160\,000\). 3. Folge c: \(50\,000, 30\,000, 80\,000, 110\,000, 190\,000\). 4. Folge d: \(50\,000, 40\,000, 90\,000, 130\,000, 220\,000\). 5. Differenz berechnen: \(160\,000 - 130\,000 = 30\,000\). Die weiteren Differenzen (\(190\,000 - 160\,000\) und \(220\,000 - 190\,000\)) sind ebenfalls \(30\,000\).

Die fünfte Zahl vergrößert sich jeweils um \(30\,000\).

- Bestimme zuerst den Unterschied zwischen den ersten zwei Zahlen einer Reihe. - Überprüfe, ob die Zahlen größer oder kleiner werden. - Achte beim Abziehen oder Dazurechnen auf den Wechsel zur nächsten großen Stelle (z. B. von Tausendern zu Zehntausendern).

1. In Folge a) beträgt der Abstand zwischen den Zahlen \(-100\). Die nächsten drei Zahlen nach der Subtraktion von \(100\) sind \(59\,900\), \(59\,800\) und \(59\,700\). 2. In Folge b) beträgt der Abstand \(+1\). Nach \(899\,999\) folgen durch Addition von \(1\) die Zahlen \(900\,000\), \(900\,001\) und \(900\,002\). 3. In Folge c) beträgt der Abstand \(-10\,000\). Nach \(100\,000\) folgen durch Subtraktion von \(10\,000\) die Zahlen \(90\,000\), \(80\,000\) und \(70\,000\).

a) \(59\,900, 59\,800, 59\,700\) b) \(900\,000, 900\,001, 900\,002\) c) \(90\,000, 80\,000, 70\,000\)

- In welchen Abständen sollst du hier zählen? - Welche Ziffer ändert sich, wenn du immer \(10\) addierst? - Was passiert an der Zehnerstelle, wenn dort bereits eine \(9\) steht? - Achte auf den großen Sprung, wenn du von \(699\,990\) aus zehn weiterzählst.

1. Addition von 10 zur Startzahl: \(699\,980 + 10 = 699\,990\). 2. Erneute Addition von 10 führt über mehrere Stellenwerte hinweg zur nächsten runden Zahl: \(699\,990 + 10 = 700\,000\). 3. Fortsetzung der Zehnerschritte: \(700\,000 + 10 = 700\,010\) und \(700\,010 + 10 = 700\,020\). Die Folge lautet \(699\,990, 700\,000, 700\,010, 700\,020\).

\(699\,990, 700\,000, 700\,010, 700\,020\)

- Finde zuerst heraus, um wie viel die Zahlen in jedem Schritt wachsen. - Was passiert an der Stellenwerttafel, wenn du \(50\) zu \(999\,950\) addierst? - Wie viele Nullen hat die Zahl eine Million? - Rechne Schritt für Schritt und achte auf die Überträge.

1. Berechnung des Abstands (Differenz) zwischen den ersten beiden Zahlen: \(999\,850 - 999\,800 = 50\) 2. Addition von \(50\) zur zweiten Zahl für das dritte Folgenglied: \(999\,850 + 50 = 999\,900\) 3. Addition von \(50\) für das vierte Folgenglied: \(999\,900 + 50 = 999\,950\) 4. Addition von \(50\) für das fünfte Folgenglied (Erreichen der Millionengrenze): \(999\,950 + 50 = 1\,000\,000\) 5. Die gesuchten drei Zahlen sind: \(999\,900, 999\,950, 1\,000\,000\)

\(999\,900, 999\,950, 1\,000\,000\)

- Wie oft passt die erste Zahl in die zweite Zahl? - Was passiert im nächsten Schritt mit dem Ergebnis? - Könnte eine Multiplikation Teil der Regel sein?

1. Analyse des ersten Schritts: \(2\,500 \cdot 2 = 5\,000\). 2. Analyse des zweiten Schritts: \(5\,000 - 1\,000 = 4\,000\). 3. Überprüfung bei den weiteren Zahlen: \(4\,000 \cdot 2 = 8\,000\) und \(8\,000 - 1\,000 = 7\,000\). 4. Die Regel ist: Multipliziere mit \(2\) und subtrahiere dann \(1\,000\) (\(\cdot 2, - 1\,000\)). 5. Berechnung der nächsten Glieder: \(7\,000 \cdot 2 = 14\,000\); \(14\,000 - 1\,000 = 13\,000\); \(13\,000 \cdot 2 = 26\,000\).

Nächste Zahlen: \(14\,000, 13\,000, 26\,000\). Regel: Rechne abwechselnd \(\cdot 2\) und \(- 1\,000\).

- Lass dich von den vielen Nullen nicht verwirren. Du kannst erst einmal mit den vorderen Stellen rechnen. - Überlege: Wie viel fehlt von \(200\) bis \(350\)? Das hilft dir für die Tausenderzahlen. - Bei Teilaufgabe c) schau dir an, wie oft die \(125\) in die \(250\) passt.

1. In Teilaufgabe a) wird immer \(150\,000\) addiert: \(500\,000 + 150\,000 = 650\,000\), \(650\,000 + 150\,000 = 800\,000\), \(800\,000 + 150\,000 = 950\,000\). 2. In Teilaufgabe b) wird immer \(80\,000\) subtrahiert: \(740\,000 - 80\,000 = 660\,000\), \(660\,000 - 80\,000 = 580\,000\), \(580\,000 - 80\,000 = 500\,000\), \(500\,000 - 80\,000 = 420\,000\). 3. In Teilaufgabe c) wird jede Zahl verdoppelt (\(\cdot 2\)): \(500\,000 \cdot 2 = 1\,000\,000\).

a) Regel: \(+ 150\,000\); Folge: \(650\,000, 800\,000, 950\,000\) b) Regel: \(- 80\,000\); Folge: \(660\,000, 580\,000, 500\,000, 420\,000\) c) Regel: \(\cdot 2\); Folge: \(1\,000\,000\)

- Überlege zuerst, um welchen Gesamtwert die Startzahl steigt, wenn du ein Paket vollständig ausführst. - Wenn du ein Paket zweimal ausführst, verdoppelt sich dieser Gesamtwert. - Für die zweite Teilaufgabe kannst du überschlagen oder schrittweise immer wieder denselben Wert addieren, bis du nah an die Million kommst.

1. Zusammenfassen des Pakets zu einem Gesamtwert: \(1 + 10 + 100 + 1\,000 + 10\,000 + 100\,000 = 111\,111\). 2. Lösung für a): Zweimalige Anwendung bedeutet die Addition von \(2 \cdot 111\,111 = 222\,222\). Rechnung: \(345\,123 + 222\,222 = 567\,345\). 3. Lösung für b): Gesucht ist das größte \(n\), für das \(100\,000 + n \cdot 111\,111 \le 1\,000\,000\) gilt. Dies entspricht \(n \cdot 111\,111 \le 900\,000\). Für \(n = 8\) ergibt sich \(100\,000 + 888\,888 = 988\,888\). Für \(n = 9\) ergibt sich \(1\,099\,999\), was zu groß ist. Also kann das Paket \(8\)-mal angewendet werden.

a) \(567\,345\) b) \(8\)-mal

- Lies die Aufgabe genau: Soll die Zahl nur erreicht oder überschritten werden? - Notiere dir die Dreier-Folge der Multiplikatoren, damit du nicht durcheinander kommst. - Was passiert, wenn ein Ergebnis genau \(1\,000\,000\) ist? Ist die Bedingung dann schon erfüllt?

1. Schritt (\(\cdot 10\)): \(10 \cdot 10 = 100\) 2. Schritt (\(\cdot 5\)): \(100 \cdot 5 = 500\) 3. Schritt (\(\cdot 2\)): \(500 \cdot 2 = 1\,000\) 4. Schritt (\(\cdot 10\)): \(1\,000 \cdot 10 = 10\,000\) 5. Schritt (\(\cdot 5\)): \(10\,000 \cdot 5 = 50\,000\) 6. Schritt (\(\cdot 2\)): \(50\,000 \cdot 2 = 100\,000\) 7. Schritt (\(\cdot 10\)): \(100\,000 \cdot 10 = 1\,000\,000\) 8. Schritt (\(\cdot 5\)): \(1\,000\,000 \cdot 5 = 5\,000\,000\) Da die Zahl echt größer als \(1\,000\,000\) sein muss, reicht der siebte Schritt nicht aus, da das Ergebnis dort genau \(1\,000\,000\) ist. Erst im achten Schritt wird die Million überschritten.

Es sind \(8\) Schritte nötig.

- Schau dir die erste Zahl in jeder Zeile an. Was passiert mit den Ziffern? - Was passiert mit der Zahl, die ganz am Ende addiert wird? - Zähle die Anzahl der Achten im Ergebnis und vergleiche sie mit der Zeilennummer. - Wie viele Stellen hat das Ergebnis der ersten, zweiten und dritten Aufgabe? Siehst du eine Regel?

1. Bestimmung der Regel: Der erste Faktor beginnt bei \(9\) und erhält in jedem Schritt die nächstkleinere Ziffer (\(9\), \(98\), \(987\), ...). Der zweite Faktor ist konstant \(9\). Der Summand verringert sich pro Schritt um \(1\) (\(7\), \(6\), \(5\), ...). 2. Vierte Aufgabe: \(9876 \cdot 9 + 4\). Rechnung: \(9876 \cdot 9 = 88\,884\). Addition: \(88\,884 + 4 = 88\,888\). 3. Fünfte Aufgabe: \(98\,765 \cdot 9 + 3\). Rechnung: \(98\,765 \cdot 9 = 888\,885\). Addition: \(888\,885 + 3 = 888\,888\). 4. Anzahl der Stellen: Das Ergebnis der 5. Aufgabe hat \(6\) Stellen. Begründung: Jede neue Zeile im Muster erhöht die Anzahl der Achten im Ergebnis um eins. Die erste Aufgabe hat \(2\) Achten, die zweite \(3\), die dritte \(4\), die vierte \(5\) und die fünfte folglich \(6\).

a) \(9876 \cdot 9 + 4 = 88\,888\) und \(98\,765 \cdot 9 + 3 = 888\,888\) b) Das Ergebnis hat \(6\) Stellen, da in jeder neuen Zeile eine weitere \(8\) zum Ergebnis dazukommt.

- Schreibe die Folge Schritt für Schritt auf und nummeriere die Zahlen. - Addiere immer die letzten beiden Ergebnisse, um die nächste Zahl zu erhalten. - Höre erst auf, wenn dein Ergebnis mehr als \(100\,000\) beträgt.

1. Berechnung der Folgeglieder: 3. Zahl: \(6\,500 + 9\,000 = 15\,500\) 4. Zahl: \(9\,000 + 15\,500 = 24\,500\) 5. Zahl: \(15\,500 + 24\,500 = 40\,000\) 6. Zahl: \(24\,500 + 40\,000 = 64\,500\) 7. Zahl: \(40\,000 + 64\,500 = 104\,500\) 2. Vergleich mit dem Zielwert: Da \(104\,500 > 100\,000\), ist dies die gesuchte Zahl.

Die 7. Zahl ist die erste, die größer als \(100\,000\) ist. Sie lautet \(104\,500\).

- Rechne beide Folgen ganz genau bis zur fünften Stelle aus. - Achte darauf, welche Zahl sich bei der Addition öfter auswirkt. - Ein kleiner Unterschied am Anfang kann am Ende verschiedene Auswirkungen haben.

1. Berechnung für Lukas: \(100\,001, 100\,000, 200\,001\) (3. Zahl), \(300\,001\) (4. Zahl), \(500\,002\) (5. Zahl). 2. Berechnung für Mia: \(100\,000, 100\,001, 200\,001\) (3. Zahl), \(300\,002\) (4. Zahl), \(500\,003\) (5. Zahl). 3. Vergleich: \(500\,003 > 500\,002\). Mia erhält die größere Zahl.

Mia erhält die größere fünfte Zahl. Ihre Folge endet bei \(500\,003\), während die Folge von Lukas bei \(500\,002\) endet.